Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
РАЗДЕЛ ПЕРВЫЙ
КУРС ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ.Харьков, Технологический институт, 1893 г.28
Введение 28
Кинематика 29
Глава I. Кинематика точки. § 1 (29). § 2 (30). § 3 (31). § 4 (32). § 5 (32). § 6 (33). § 7 (34). § 8 (36). § 9(37). § 10 (38). § 11 (39). § 12 (41). § 13 (42). § 14 (44).
Глава II. Кинематика твердого тела. § 1 (45). § 2 (45). § 3 (47). § 4 (48). § 5 (49). § 6 (50)
§ 7 (52). § 8 (54). § 9 (57). § 10 (58). § 11 (59).
Г л а в а III. Кинематика относительного движения*. § 1 (63). § 2 (65). § 3*(66). § 4 (67).63
Динамика материальной точки 69
Основные законы движения. § 1 (69). § 2 (71). § 3 (72). §4 (73). § 5 (73)
Глава!. Динамика свободной материальной точки. § 1 (74). § 2 (75). § 3 (77). § 4 (78).
§ 5 (82). § 6 (83). § 7 (85). § 8 (86). § 9 (89). § 10 (90). § 11 (91).
Глава II. Динамика несвободной материальной точки. § 12 (94). § 13 (97). § 14 (101).
§ 15 (102). §16 (106). § 17(109)
Г л а в а III. Движение точки поданной линии. § 18 (1 И). § 19 (112). §20. Простой маятник П13). § 21. Таутохрона (117). § 22. Движение тяжелой точки по вращающейся прямой (118).
Г л а в а IV. Движение точки по данной поверхности. § 23. Геодезические линии (121).
§ 24. Сферический маятник (123). § 25 (128).
Динамика неизменяемой системы точек 129
§ 1 (129). § 2(132). §3(133). §4(136). §5(137). §6(139). §7(141). §8(143). §9. Выражения живой силы и моментов количеств движения для неизменяемой системы точек (145). § 10 (146). § 11 (150). § 12. Вывод дифференциальных уравнений движения неизменяемой системы (150). § 13. Движение твердого тела, имеющего две неподвижные точки. Физический маятник (154). § 14 (156). § 15. Вращение по инерции твердого тела, имеющего одну неподвижную точку (158). §16. Движение свободного твердого тела в пустоте под действием силы тяжести (160). § 17. Лагранжевы дифференциальные уравнения движения (160).
РАЗДЕЛ ВТОРОЙ
КУРС АНАЛИТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ.Харьковский университет, 1885 г 163
Кинематика 163
Введение 163
Глава I. Кинематика неизменяемой системы. § 1 (165). §2 (166). § 3 (169). §4.(171). §5 (171). § 6 (173). § 7(175). §8(176). §9(179). § 10(183). § 11 (186). § 12 (188).§ 13 (190). § 14 (193). § 15 (194). § 16 (196). § 17 (199). § 18 (204). § 19 (211). § 20 (213)
Глава II. Относительное движение. § 21 (215). § 22 (216). § 23 (217). § 24 (218). § 25 (220) .§ 26 (222). § 27 (225). Задачи (226) 226
Динамика материальной точки
Введение
Динамика свободной материальной точки. §9 (229). § 10 (232). § 11 (238). § 12 (239). § 13 (241)
Динамика несвободной материальной точки. § 14 (245). § 15 (247). § 16 (251). § 17 (253). § 18 (256). § 19(259). §20(263)
Движение точки по данной линии. § 21 (265). § 22 (266). § 23 Простой маятник (266). § 24 (270). § 25 Таутохрона (272). § 26 Брахистохрона (275). § 27 Движение тяжелой точки по вращающейся прямой (277)
Движение точки по данной поверхности. § 28 Геодезические линии (279). § 29 Сферический маятник (282). § 30 (288). § 31 Маятник Фуко (290). § 32 Движение тяжелой точки по вращающейся плоскости (292)
Мгновенные силы. Удар точки о поверхность § 33 (294). § 34 (297)
Механика систем точек . .
Глава I. Динамика систем свободных точек. § 1 (301). § 2 (302). § 3 (308). § 4. Закон сохранения движения центра инерции (310) §5 Закон сохранения площадей (312). § 6 (315). §7 Закон сохранения живой силы (318). §8(319). §9(320). § 10 (322). § 11.
Примеры (324)
Глава II Общая динамика несвободных систем. § 12 (341). § 13 (344). § 14 (346). § 15 (350). § 16 (354). § 17 (357). § 18 (358). § 19 (361). § 20. Законы сохранения движения центра инерции, площадей и живой силы для несвободных систем (364). § 21 (370). § 22. Критерий устойчивости равновесия, выведенный из уравнения живой силы (376). § 23. Начало Гамильтона. Преобразование дифференциальных уравнений движения
РАЗДЕЛ ТРЕТИЙ
СТАТИКА
Введение. § 1 (385). § 2 (386). § 3 (388)
Глава!. Твердое тело. § 4 (388)
Глава II. Стержневые и веревочные многоугольники. § 5 (390). § 6 (391). § 7 (394). § 8 (394) Глава III. Гибкая нерастяжимая материальная нить. § 9 (396). § 10 (397). § 11 (398).
§ 12 (400). § 13 (401). § 14 (403). § 15 (406)
Глава IV. Начало возможных перемещений. § 16 (409). § 17 (411). § 18 (412). § 19 (416). §20(419)
Динамика систем точек
(422). § 2 (423). §3 (429) § 4 (430). § 5 (434) Закон сохранения движения центра инерции (438). Закон сохранения площадей (439). §6 (441). Закон сохранения живой силы (444). § 7 (446). Законы движения центра инерции, площадей и живой силы для несвободных систем (459). Критерий устойчивости равновесия, выведенный из уравнения живой силы (469). Начало наименьшего действия и начало Гамильтона (474). Преобразование дифференциальных уравнений движения (479). Скобки Пуассона. Теорема Якоби (484). Выражения живой силы и моментов количеств движения для неизменяемой системы точек (487). Вывод дифференциальных уравнений движения неизменяемой системы (497). Движение твердого тела, имеющего две неподвижные точки. Физический маятник (501). Вращение по инерции твердого тела, имеющего одну неподвижную точку (504). Движение свободного твердого тела в пустоте под действием силы тяжести (516).
О действии мгновенных сил на системы материальных точек § 1 (516) § 2 (517). § 3 (520). § 4 (521). § 5 (524). § 6 (527). § 7 (527). § 8 (529).
(533). § 10 (534). § 11 (535). § 12 (537). § 13 (540). § 14 (541). § 15 (543)
РАЗДЕЛ ЧЕТВЕРТЫЙ
Основания теории деформируемых тел и гидростатика
(545). § 2 (547). § 3 (548). § 4 (551). § 5 (553). § 6 (555)
Уравнения гидродинамики. § 7 (557). § 8 (557). § 9 (561). § 10 (564)
Гидростатика § 11 (565). § 12 (567). § 13 (571). § 14 (573). § 15 (575). § 16 (579). § 17 (583). § 18 (587). § 19 (590). § 20 (595)
Теория притяжения § 1 (598). § 2 (599). § 3 (601). § 4 (602). § 5 (604). § 6 (608). § 7 (610). § 8 (613). § 9 (617).
(618). § 11 (620). § 12 (623). § 13 (624). § 14 (626)
Комментарии
226226226226301381385409422301381385409422516516545545598628629598628629Литература к комментариям Предметный указатель
226
226
226
226
301
381
385
409
422
301
381
385
409
422
516
516
545
545
598
628
629
598
628
629
ОТ РЕДКОЛЛЕГИИ
В 1982 г. исполняется 125 лет со дня рождения выдающегося русского математика и механика Александра Михайловича Ляпунова. В харьковский период деятельности (1885—1902 гг.) А. М. Ляпуновым были созданы курсы лекций по теоретической механике, читавшиеся им в университете и технологическом институте. В настоящее время сохранилось собрание литографий этих курсов. При издании Академией наук СССР собрания сочинений А. М. Ляпунова указанные курсы не были опубликованы. В то же время лекции эти написаны, по свидетельству академика В. А. Стеклова, самим А. М. Ляпуновым и представляют ценнейший вклад в теоретическую механику.
Настоящее издание открывается очерками академиков Б. М. Ляпунова и А. Н. Крылова о жизни и деятельности А. М. Ляпунова.
Для удобства текст разбит на четыре раздела. Курс теоретической механики, читавшийся А. М. Ляпуновым в технологическом институте, составляет первый раздел. Второй, третий и четвертый разделы содержат университетский курс лекций по аналитической механике, включая «основания деформируемых тел и гидростатику» и «теорию притяжения». Более детальные сведения о структуре лекций читатель найдет в прилагаемом содержании.
При подготовке рукописи настоящего издания сохранен не только подлинный текст, но и терминология, обозначения (за небольшими исключениями) и рубрикация.
В заключение приведены краткие комментарии и литература к ним, а также предметный указатель.
Б. М. Ляпунов
КРАТКИЙ ОЧЕРК ЖИЗНИ
И ДЕЯТЕЛЬНОСТИ А. М. ЛЯПУНОВА
(Доложено академиком А. Н. Крыловым
на заседании Физико-математического отделения 29 октября 1929 г.) f1]
Старший сын известного астронома Михаила Васильевича Ляпунова, Александр Михайлович родился 25 мая 1857 г. в г. Ярославле на Волге. Прежде чем перейти к биографии А. М., скажем несколько слов о ближайших предках и родственниках его. Отец наш Михаил Васильевич родился 25 сентября 1820 г. в селе Плетнихе Васильского у. Нижегородской губ. Родители его, Василий Александрович и Анастасия Евсеевна Ляпуновы, имели много сыновей и дочерей, из которых старший сын Виктор, родившийся в 1817 г., был дедом акад. А. Н. Крылова (через его мать Софию Викторовну), дочь Наталия, родившаяся в 1819 г., по мужу Зайцева, была матерью известных химиков — профессора Казанского университета Александра и его братьев Константина и Михаила Михайловичей Зайцевых, а самая младшая Екатерина, родившаяся в 1834 г., выйдя замуж за Р. М. Сеченова, брата известного физиолога Ивана Михайловича Сеченова, была матерью Наталии Рафаиловны, двоюродной сестры и с 1886 г. жены математика Александра Михайловича Ляпунова. Дед наш, Василий Александрович Ляпунов, с 1826 г. служил при Казанском университете сначала бухгалтером, а с 1837 г. занимал какую-то хозяйственную должность синдика по тогдашнему университетскому уставу.
В июне 1839 г. второй из оставшихся в то время в живых сыновей его Михаил окончил курс наук в университете и был утвержден кандидатом 2-го отделения философского факультета с награждением серебряной медалью, а в 1840 г. определен старшим учителем математики во 2-ю казанскую гимназию и астрономом-наблюдателем при Казанском университете. О научной деятельности М. В., его участии в экспедиции Н. И. Лобачевского и Кнорра для наблюдения полного солнечного затмения в 1842 г., о его заграничной командировке, его работах в Пулкове и в особенности о ценном наблюдении звезд туманности Ориона (1847—1851 гг.) желающие найдут сведения в «Русском биографическом словаре». Здесь же считаю достаточным упомянуть, что в 1850 г. М. В. был назначен заведующим обсерваторией и руководителем студентов в практических занятиях астрономией, и что ученая
деятельность его при Казанском университете продолжалась по 1855 г., когда частью вследствие недоразумений между ним и профессором астрономии Ковальским, частью по слабости зрения он вынужден был оставить службу в Казани и принять в 1856 г. место директора Демидовского лицея в Ярославле, в то время представлявшего особый тип высшего общеобразовательного учебного заведения, и на этом месте отец наш оставался до окончательного выхода в отставку в 1863 г. Еще во время служебно-научной деятельности в Казани М. В. в 1847 г. схоронил отца, в последние годы жизни совершенно потерявшего зрение, и сестру Наталию Васильевну Зайцеву, скончавшихся от холеры, и при скромном казенном содержании должен был взять на свое попечение мать и пять незамужних сестер, так как старший брат Виктор, по специальности врач, в то время уже давно был женат и имел уже свою семью, а младший Андрей внезапно скончался от сердечного приступа во время знаменитого казанского пожара в 1842 г. Материальное положение еще более затруднялось, когда М. В. женился в 1852 г. на дочери уроженца Курмышского у. Симбирской губ. Софье Александровне Шипиловой, от которой имел двух скончавшихся в младенчестве дочерей и троих сыновей (Александра, памяти которого посвящен настоящий очерк; родившегося 18 ноября 1859 г. в Ярославле же, Сергея, известного композитора, скончавшегося в 1924 г., и родившегося уже по переселении семьи из Ярославля в деревню, 25 июля 1862 г., в селе Болобонове Курмышского у. Симбирской губ. Бориса). Родившиеся позже, в 1864 и 1867 гг., сын и дочь умерли в младенчестве, первый еще при жизни отца, вторая — уже почти через два года после его кончины, внезапно последовавшей от сердечного приступа в ночь на 20 ноября 1868 г. в селе Болобонове.
Служба отца в общеобразовательном учебном заведении могла иметь некоторое значение в деле воспитания детей, расширив круг научных интересов, занимавших отца, ранее углубленного исключительно в занятия высшей математикой и астрономией. Конечно, я, оставшись по смерти отца шестилетним мальчиком, не могу судить о характере его научных интересов по личным воспоминаниям, но для меня свидетельством разнообразия его интересов могла служить сохранившаяся в нашем, построенном отцом, деревянном доме, но сгоревшая, к сожалению, вместе с домом в ноябре 1917 г. библиотека, богатая сочинениями на русском, немецком и французском языках по специальностям не только математики, астрономии и естественных наук , но и по философии, истории, этнографии, политической экономии, литературе. О том же свидетельствуют и некоторые автографы отца, например, о значении классического образования, выписки из сочинений философских, исторических, географических. Конечно, некоторые книги могли попасть в библиотеку отца по наследству от дедов, но изданные в 1845—1867 гг. приобретены, несомненно, отцом в период, когда он уже был известен в качестве специалиста-астронома. И судьбе угодно было, чтобы блестяще начатая научная деятельность отца в области точных наук проявилась с необычайной силой уже после его смерти в его старшем сыне в области тех же наук.
Первоначальное воспитание дети, получали под руководством матери, но ученьем, которое отец считал возможным начинать лишь с семилетнего возраста, обоих старших сыновей он занимался сам, переселившись, по вы-
ходе в 1863 г. в отставку, сначала в усадьбу своих родителей Васильского у. Нижегородской губ., а затем во вновь им построенный в 1865 г. дом (одноэтажный из пяти комнат) в усадьбе жены в с. Болобонове Курмышского у. Симбирской губ., всего в 3—4 верстах от усадьбы его родителей. Я помню, какое сильное впечатление производили на меня ежедневные занятия отца с братьями в его кабинете, и я с любопытством смотрел, как братья гусиными перьями выводили крупные буквы между линейками. Для приучения к быстрому счету отец заставлял братьев писать цифры, прибавляя сначала по одному, на следующей странице по два, затем по три и т. д. Сам отец, по свидетельству матери и других, хорошо помнивших его, обладал удивительно быстрой способностью счета. Для развития интереса к географии отец поощ* рял игры, состоявшие в путешествиях по различным странам, а также черчение географических карт, за которым дети просиживали долгие зимние вечера. Но мне не суждено было учиться у отца, так как мне исполнилось в день его кончины только 6 лет и 4 месяца, и удалось воспользоваться лишь его библиотекой, отдельные части которой мы постепенно вывозили каждый по своей специальности. Но вывезти все было невозможно, да и военное положение 1916 г. не внушало уверенности в безопасности имущества в городе, а потому библиотека была оставлена на произвол судьбы и в тревожный 1917 г.
Александр Михайлович Ляпунов после смерти отца остался в возрасте 11 лет и 6 месяцев. Начатые при отце занятия он продолжал в семье дяди (мужа сестры отца) Р. М. Сеченова, где он и его двоюродная сестра, будущая жена, Наталья Рафаиловна, годом моложе его, готовились по предметам гимназического курса и новым языкам под руководством учительниц и тетки, сестры отца Гл. В. Ляпуновой. В 1870 г. А. М. вместе с матерью и братьями переехал в Нижний Новгород, где был принят в третий класс Нижегородской гимназии. Именно в то время вводилась полностью классическая система с двумя древними языками — латинским и греческим, но в третьем классе еще преподавали согласно программам 60-х годов элементарное естествознание. А. М. успешно занимался по всем предметам и читал много книг по русской и европейской литературам, истории и естествознанию, причем в старших классах гимназии он все более отдавался изучению точных наук, да и из области исторических сочинений наиболее ценил те, которые, в противовес буржуазному национализму, выдвигали борьбу за существование и экономический материализм, как главные факторы прогресса и развития человечества; так, после значительно устаревшего Шлоссера он читал «Историю человеческой культуры» Кольба, «Историю цивилизации в Англии» Бокля, «Историю умственного развития Европы» Дрепера, а по географии после А. Гумбольдта и К. Риттера изучал «Землю» Элизе Реклю. Конечно, с годами его взгляды менялись, и он сумел критически отнестись и к крайним экономистам и материалистам, но во время прохождения гимназического курса, пресытившись неумело навязываемым идеализмом, он заметно увлекался в сторону материализма. Окончив гимназический курс с золотой медалью в 1876 г., А. М. в том же году осенью поступил на физико-математический факультет Петербургского университета сначала по отделению естественных наук, причем особенно усердно занимался химией у проф. Д. И. Менделеева, но уже через месяц перешел на математическое отделение, «так как всегда имел особенную склонность к наукам математическим», продолжая, впрочем, и изучение химии, в то время обязательной и для студентов первого курса математического отделения. В университете с особенным увлечением слушал известного математика П. Л. Чебышева, который по собственному признанию А. М. «своими лекциями, а затем советами оказал существенное влияние
на характер последующей ученой деятельности его». Из личных воспоминаний я могу добавить, что с восхищением отзывался А. М. также о рано погибшем молодом талантливом профессоре Золотареве, который, как узнаем из помещенной в «Материалах» автобиографии, пытался работать по предложению Чебышева над тем же вопросом гидростатики, который заинтересовал по вы- держании магистерского экзамена и А. М. Ляпунова, решившего его, однако, лишь двадцать лет спустя, получив необходимый досуг вследствие избрания в Академию наук, т. е. после разработки других вопросов, послуживших темами для магистерской и докторской диссертаций. Но не успел А. М. окончить университетский курс, как в 1879 г. смерть матери, посвятившей жизнь свою воспитанию детей в завещанном отцом научном направлении, вызвала новую заботу А. М. о поддержке еще не окончившего среднюю школу младшего брата. В 1880 г. А. М. получил золотую медаль за сочинение, написанное на предложенную факультетом тему по теоретической механике. Однокурсником А. М. был Г, К. Суслов, также окончивший университет с золотой медалью, впоследствии известный профессор Киевского университета, ныне Политехнического института в Одессе. По окончании университетского курса А. М. был оставлен по предложению профессора теоретической механики Д. К. Бобылева при университете для приготовления к профессорскому званию по кафедре механики. В то же время он состоял в должности хранителя механического кабинета и, занимаясь под руководством проф. Бобылева, он напечатал в журнале Физико-химического общества две работы по гидростатике, предварительно сделав сообщение в заседании Общества. Из профессоров-математиков А. М. имел в числе своих учителей также А. Н. Коркина, К. А. Поссе и физика Ф. Ф. Петрушевского. Особенно много он вспоминал А. Н. Коркина, большого оригинала, уроженца одной из северных губерний, сохранившего резко окающий говор своей родины и отличавшегося самым стилем своих лекций, но вместе с тем очень строгого и точного математика, мнением которого очень дорожил А. М., когда после сдачи в 1882 г. магистерских экзаменов он принялся за поиски темы для диссертации и, проработав над предложенным ему П. Л. Чебышевым гидростатическим вопросом, решение которого он отложил до более позднего времени, остановился на другом вопросе для магистерской диссертации, напечатанной им в 1884 г. и защищенной в январе 1885 г. На диспуте, однако, оппонентами были только Д. К. Бобылев и проф. Будаев (П. Л. Чебышев в то время уже вышел из состава профессоров, а старший ученик его А. Н. Коркин, выступления которого ожидал А. М., ограничился немым присутствием). В своем очерке «Пафнутий Львович Чебышев» А. М. дал не только список сочинений и главное содержание научных трудов Чебышева, но и меткую характеристику его как ученого, профессора и создателя школы математиков. Здесь нет надобности говорить об ученых заслугах Чебышева, достаточно известных всем специалистам математикам и механикам, и я ограничусь дословной выпиской лишь тех мест статьи А. М., в которых он характеризует его как профессора: «Гениальный ученый и изобретатель П. Л. Чебышев был в то же время образцовым профессором... В различные периоды своей профессорской деятельности П. Л. Чебышев читал различные курсы. В то время, когда я был студентом, в конце 70-х годов он читал теорию чисел, теорию определенных интегралов и исчисление конечных разностей студентам III курса и теорию вероятностей студентам IV курса. Курсы его не были обширными, и при изложении их он заботился не столько о количестве сообщаемого материала, сколько о выяснении принципиальных сторон трактуемых вопросов. Отличаясь
живым и увлекательным изложением, лекции его сопровождались множеством интересных замечаний относительно значения и важности тех или других вопросов или научных методов. Замечания эти высказывались иногда мимоходом по поводу какого-нибудь конкретного случая, но всегда глубоко западали в умах его слушателей. Вследствие этого лекции его имели высокое развивающее значение, и слушатели его после каждой лекции выносили нечто существенно новое в смысле большей широты взглядов и новизны точек зрения. П. Л. Чебышев почти не пропускал лекций ... В аудитории он появлялся всегда точно в назначенное время и тотчас же ... приступал к продолжению выводов, начатых в предшествовавшую лекцию. Вычисления он производил чрезвычайно быстро, вследствие чего, несмотря на то, что был прекрасным калькулятором, часто делал ошибки в выкладках, и за ходом вычислений нужно было следить очень внимательно, чтобы во-время предупредить его о сделанной ошибке, о чем он всегда просил своих слушателей. Когда ... получался желаемый вывод, П. Л. Чебышев садился ...и вот тут-то и начинались те разнообразные замечания, которые придавали особенный интерес его лекциям ... Продолжительная профессорская деятельность П. Л. Чебышева, в течение 35 лет принадлежавшая С.-Петербургскому университету, не могла не отразиться самым благотворным образом на всем составе математического факультета, кафедры которого замещались наиболее талантливыми из его учеников ... Но как бы ни было велико влияние П. Л. Чебышева на университет, главная заслуга его, как профессора, заключается в создании той школы математиков, которая известна под его именем и характеризуется особым направлением исследований ... Ученики П. Л. Чебышева продолжали и продолжают разработку изобретенных им методов ... В то время как почитатели весьма отвлеченных идей Римана все более и более углубляются в функционально теоретические исследования и в псевдо-геометрические изыскания в пространствах четырех и большего числа измерений ..., П. Л. Чебышев и его последователи остаются постоянно на реальной почве, руководясь взглядом, что только те изыскания имеют цену, которые вызываются приложениями ... и только те теории действительно полезны, которые вытекают из рассмотрения частных случаев ...»
Так характеризует А. М. Ляпунов профессорскую деятельность своего знаменитого учителя, и, к счастью для него и его дальнейшей научной деятельности, ему удалось закончить университетский курс за два года до оставления университета П. Л. Чебышевым, а именно в 1880 г. И можно сказать, что действительно реальное направление академика Чебышева сказалось на научной деятельности его учеников. Сколько я слышал от брата, таким был и старший из них А. Н. Коркин, таким же был и младший — А. М. Ляпунов, всегда придерживавшийся реального направления в математических исследованиях и считавший декадентством идеалистическое направление некоторых новейших немецких математиков.
Весной 1885 г. А. М. получил звание приват-доцента, имея ученую степень магистра прикладной математики и предполагая с осени открыть в Петербургском университете курс теории потенциала; но весной же получил предложение занять вакантную кафедру механики в Харьковском университете и в августе 1885 г. переехал в Харьков, где и начал чтение лекций по всем относящимся к кафедре отделам науки в том же звании приват-доцента. Приходилось вырабатывать курсы и составлять записки для студентов, что отнимало много времени от научных занятий. Вследствие этого только через пять лет А. М. мог приступать к печатанию докторской диссертации. Тем не менее в течение семи лет между временем защиты магистерской и докторской диссертаций научная деятельность А. М., вопреки его собственному утверждению,
не прекращалась, как видно из ряда статей, напечатанных им в «Сообщениях Харьковского Математического Общества». Устойчивость движения твердых и жидких тел была предметом исследований А. М. с 1884 г. по 1892 г. и позже; но, следуя завету П. Л. Чебышева, он постепенно переходил от частных случаев к более общим; между тем как магистерская диссертация исследует вопрос «Об устойчивости эллипсоидальных форм равновесия вращающейся жидкости», докторская представляет «Общую задачу об устойчивости движения». Обе диссертации были впоследствии напечатаны в переводе на французский язык Davaux (в 1904 и 1908 гг.). Несмотря на то, что большинство магистров, вопреки уставу 1884 г., назначались или (в случае ходатайства факультета) утверждались министром народного просвещения в звании выполняющих должность профессора, А. М. предпочел оставаться при скромном окладе приват-доцента в университете, одновременно читая с 1887 по 1893 г. аналитическую механику в Харьковском технологическом институте.
Но прежде чем дать представление о жизни А. М. в Харькове и о его профессорской деятельности, я вернусь ко времени нашей совместной жизни в Петербурге в годы моего студенчества с 1881 по 1885 гг. Мы жили в одной комнате в квартире вдовы Михайловской, сестры профессора физиологии И. М. Сеченова, и я был свидетелем напряженных занятий брата во время подготовки к сдаче магистерских экзаменов и защите первой диссертации. В то время он любил работать по ночам. Раз в неделю у нашей хозяйки собирались родные, в том числе и физиолог И. М. Сеченов, любивший отдохнуть в кругу учащейся молодежи, приходившей по воскресеньям к его сестре. Помню также, что в то время брат А. М. давал уроки И. М. Сеченову по тем разделам математических наук, которые считал особенно важными для физиолога Иван Михайлович, принимавший самое теплое участие во всех научных успехах А. М. Ляпунова. После переезда осенью 1895 г. в Харьков, где читал уже лекции в осеннем семестре, А. М. приезжал во время зимнего вакационного времени в Петербург, где 17 января 1886 г. обвенчался со своей двоюродной сестрой, племянницей И. М. Сеченова, Н. Р. Сеченовой, тесная привязанность к которой у А. М. неизменно продолжалась с раннего детства. В числе свидетелей на свадьбе были в то время начинающие, впоследствии известные ученые физиолог Б. Ф. Вериго и химик Н. С. Курнаков.
Вскоре после свадьбы А. М. с женой и ее родителями уехали в Харьков, где он продолжал свою преподавательскую деятельность. В июне и июле 1886 г. он с семьей совершил поездку заграницу (в Германию, Швейцарию, Австрию и Сербию); в то время связей и знакомств с заграничными учеными он еще не имел, и поездка носила не специально научный, а общеобразовательный характер, причем посещение Сербии было сделано главным образом для жены, постоянно интересовавшейся этой страной, ее языком и литературой.
В Харькове А. М. познакомился с бывшими в то время там профессорами— математиками К. А. Андреевым, М. А. Тихомандрицким и астрономом Г. В. Левицким, которого с 1894 г. сменил внук известного астронома Вильгельма (Василия) Струве, сын современника и сотрудника М. В. Ляпунова академика (с 1852 г.) О. В. Струве, профессор Л. О. Струве. Там же встретился А. М. Ляпунов с бывшим учителем математики и физики в Нижегородской гимназии 70-х годов, переехавшим из Нижнего Новгорода в Харьков в 1879 г. и после сдачи экзамена на степень магистра с 1889 г. вступившим в число приват-доцентов по кафедре физики, а в марте 1903 г. назначенным и. д. экстраординарного профессора А. П. Грузинцевым, автором сочинений «Электромагнитная теория света» и других по математической физике.
Лекции А. М. и его влияние на аудиторию с восторгом вспоминает его старший и лучший ученик акад. Стеклов, передавая, как предвзято были настроены студенты против А. М. Ляпунова, подозревая в нем ставленника Делянова по вновь вводимому в то время уставу 1884 г., и как с первой же лекции переменили свое отношение к нему. Кроме старшего и самого даровитого ученика В. А. Стеклова, который только на шесть с половиной лет был моложе своего учителя и вскоре по оставлении при университете, сдав магистерские экзамены и защитив в 1893 г. диссертацию, был назначен, согласно ходатайству факультета, в 1896 г. и. д. экстраординарного профессора Харьковского университета, отметим из числа учеников А. М. механика А. А. Потебню (сына известного лингвиста Ал. Аф. Потебни), астронома Н. Н. Евдокимова, математика Н. Н. Салтыкова.
В 1892 г. А. М. закончил печатание докторской диссертации, которую защитил в сентябре 1892 г. в Московском университете, где оппонировали известный московский механик проф. Н. Е. Жуковский и математик проф. Б. К. Млодзеевский. В январе 1893 г. А. М. получил звание ординарного профессора Харьковского университета, где продолжал чтение различных курсов до весны 1902 г. Он читал общие и специальные курсы теоретической механики, интегрирования дифференциальных уравнений, а в последние годы пребывания в Харькове и по теории вероятностей. О научной ценности литографированных курсов А. М. Ляпунова особенно подробно говорит статья акад. А. Н. Крылова. После «Общей задачи об устойчивости движения» А. М. продолжал разработку вопросов о движении твердых и жидких тел и незаметно перешел к астрономическим вопросам о движении небесных тел; таковы его статьи: «О рядах, предложенных Хиллом для представления движения луны» и «Recherches dans la theorie de la figure des corps celestes» (1903); такого же характера и работа его «О форме небесных тел».
Как товарищ председателя, а с 1899 по 1902 г. председатель Харьковского математического общества и редактор его «Сообщений», А. М. принимал деятельное участие в трудах общества как своими собственными докладами, так и привлечением к работе своих учеников. В 1895 г. А. М. прочел и напечатал в «Сообщениях Харьковского математического общества» некролог своего учителя Пафнутия Львовича Чебышева. Хотя летом А. М. обычно уезжал в родную деревню Курмышского у. Симбирской губ., где отдыхал от трудов преподавания, тем не менее он не прерывал своих научных занятий и почти ежедневно продолжал работать над каким-либо вопросом своей специальности. Но в часы отдыха А. М. любил отдаваться обаянию красот природы, любил и умел сажать и выращивать комнатные и садовые деревья. И харьковская и позднее петербургская квартиры его были украшены им самим выращенными фикусами и пальмами. В мае и июне 1897 г. он с женой, и тещей, и со мною совершил поездку в Крым, где около месяца прожил в Ялте, изучая природные богатства ее окрестностей.
Как профессор университета, А. М. естественно должен был принимать участие в общеуниверситетских делах и в частности в комиссиях, вырабатывавших ответы на циркуляр министра народного просвещения Боголепова в 1900 г. и на вопросы, разосланные министром Ванновским в 1901 г. Яркую характеристику А. М. Ляпунова, как деятельного члена университетского совета, дал профессор Харьковского университета акад. В. П. Бузескул. «А. М. Ляпунов,— говорит В. П. Бузескул,— принадлежал к тем профессорам, которые составляют истинную душу университета, которыми университет
живет и процветает, которые носят в себе идеал профессора и ученого. Все низменное было ему чуждо ...Он постоянно витал в сфере науки ... Бывало, в профессорской комнате, в промежутке между лекциями ... видишь его в кругу своих коллег, ближайших по специальности, всегда беседующим по научным вопросам ... С течением времени ... к этим темам присоединилась и другая, близкая — наболевший университетский вопрос. Нельзя не подчеркнуть отношений между А. М. Ляпуновым и В. А. Стекловым. В университетской жизни часто наблюдалось печальное явление: ученики резко расходились и даже враждовали с учителями ... Между А. М. Ляпуновым и В. А. Стекловым были неизменно добрые отношения ... трогательное единодушие ...»
В 1900 г. А. М. Ляпунов был избран в члены-корреспонденты Петербургской Академии наук, а 6 ноября 1901 г. — в ординарные академики по кафедре прикладной математики, оставшейся вакантной после П. Л. Чебышева, умершего в 1894 г. Закончив курс лекций в весеннем семестре 1902 г. в Харьковском университете, А. М. с семьей оставил Харьков в мае 1902 г. и переехал в Петербург. С этого времени, устранившись от всякой педагогической деятельности, он исключительно посвятил себя научной работе. Ученые труды его, ясную и точную характеристику которых, понятную даже для неспециалистов, дал в своей прекрасной статье акад. Стеклов, а также научно-педагогическая деятельность, охарактеризованная В. А. Стекловым и А. Н. Крыловым, обратили на себя внимание научных учреждений как русских, так и зарубежных, избравших А. М. Ляпунова в действительные и почетные члены. Еще в 90-х годах прошлого столетия у А. М. Ляпунова завязались письменные связи с иностранными, а именно французскими, учеными Пуанкаре и Пикаром, но в 1908 г., во время математического конгресса в Риме, он имел возможность завязать личные знакомства с лучшими математиками итальянскими, французскими, английскими, приехавшими в Рим. О путешествии в Италию скажем потом по письмам и рассказам А. М., после описания первых лет его жизни по возвращении в Петербург через 17 лет. Здесь А. М. снова встретился со своими учителями — профессорами Д. К. Бобылевым, А. Н. Коркиным, К. А. Поссе и старшим товарищем академиком А. М. Марковым, представлению которого при поддержке академика Н. Я. Сонина следует приписать инициативу избрания А. М. в действительные члены Академии.
Но недолго могла продолжаться спокойная научная работа по переезде А. М. в Петербург. Скоро после войны с Японией начался тревожный 1905 г. Хотя освобождение от педагогической работы (университетской деятельности) и давало возможность А. М. исключительно посвятить себя научно-исследовательской работе в Академии, хотя университетские неурядицы 1905—1906 гг. не касались теперь его непосредственно, как преподавателя и члена университетского совета, тем не менее он не мог вполне равнодушно отнестись к совершающимся вокруг него событиям и в числе 16 академиков подписал известную записку 343 ученых, идеалом которых была свободная школа в свободном государстве.
Тем не менее мы видим, что 1905 и 1906 годы А. М. не потерял для науки, выпустив за это время крупные специальные труды, а именно «Sur un prob- leme de Tchebychef» и «Sur les figures d’equilibre peu differentes des ellipsoides d’une masse liquide homogene d’un mouvement de rotation», одна первая часть которых занимает 225 с., вторая (1909 г.) — 203 с., третья (1912 г.) — 228 с., четвертая (1914 г.) — 112 с. Заметим, что еще, будучи профессором в Харькове, А. М. с 1896 г. начал печатать свои труды почти исключительно на фран-
цузском языке, желая сделать их более доступными французским и другим зарубежным ученым. Вспомним, что и обе его диссертации на ученые степени были переведены на французский язык в течение первого десятилетия XX столетия, когда он и другими трудами своими заставил французских ученых заинтересоваться более крупными и более ранними, напечатанными первоначально по-русски. Кроме французских и позднее итальянских ученых А. М. Ляпунов своими научными интересами близко сошелся с одним английским ученым профессором Дарвином, сыном известного натуралиста. И А. М. и проф. Дарвин занимались вопросом об устойчивости тех фигур равновесия, которые были названы Poincare «грушевидными» (puriformes), но между тем как А. М. Ляпунов пришел еще в 1905 г. (в упомянутой выше статье о задаче Чебышева) к заключению, что «грушевидные формы равновесия неустойчивы»\ Дарвин пришел к противоположному заключению, что грушевидные формы — устойчивы. В третьей части сочинения, исследующей «формы равновесия, производные от эллипсоидов Якоби» (1912 г.), А. М. излагает свои вычисления «настолько подробно, что внимательный читатель может проследить их шаг за шагом». Как видно из сообщения, разногласие двух ученых произошло потому, что Дарвин ограничился приближенными формулами, между тем как А. М. Ляпунов получил точное выражение, над которым и производил свои вычисления, вследствие чего истина в вопросе об устойчивости указанных форм равновесия была на его стороне.
Так непрерывно работал А. М., ежегодно выпуская по «диссертации», иногда по две.
В 1908 г. он получил командировку на четвертый международный математический конгресс в Риме с 6 по 11 апреля, отчет о котором доложен А. М. Ляпуновым на заседании Физико-Математического отделения 25 апреля 1908 г. по ст. ст. За два года до этого (в 1906 г.) из Харькова в Петербург переехал на открывшуюся кафедру в университете профессор В. А. Стеклов, через четыре года (6 ноября 1910 г.) избранный адьюнктом, а с 1912 г.— экстраординарным и ординарным академиком.
В марте 1908 г. А. М. Ляпунов и В. А. Стеклов выезжают из Петербурга, как командированные на конгресс представители, один от Академии наук, другой от Петербургского университета. В письмах ко мне А. М. Ляпунова от апреля и мая 1908 г. находим много подробностей об этом путешествии, имеющих общеобразовательный интерес. Ввиду этого желательно было бы значительную часть этих писем напечатать в каком-либо издании общеобразовательного характера.
Здесь же позволю себе воспользоваться лишь некоторыми из них, как материалом для биографии А. М. Из Петербурга А. М. с женой Н. Р. выехали вечером 16 марта (ст. ст.), когда в окрестностях Петербурга поля большей частью были еще покрыты снегом. Взяв экспресс до Вены, они ехали через Вильно, Гродно и Варшаву. Подробно описывает А. М. постепенное движение весны по мере движения поездки на юг и юго-запад. Но хорошая погода в Вене и далее сменилась на пасмурную и дождливую. В Вене Ляпуновы пробыли сутки, побродили по городу и посетили известного слависта, русского академика И. В. Ягича, тогда только что избранного почетным членом Новороссийского университета, в котором он был профессором в 1870-х годах (до 1875 г.), одновременно с физиологом И. М. Сеченовым. И. В. Ягич, наше знакомство с которым началось со времени его профессорской и академической деятельности в Петербурге 1880—1886 гг., всегда очень радушно встречавший русских в Вене, принял очень приветливо А. М. и Н. Р.; последняя еще до 1886 г.
обращалась к нему за рекомендациями к сербским ученым и литераторам. Ягич жаловался на запоздавшую весну; зелень на деревьях едва начинала пробиваться. Когда же на другой день (18 марта по ст. ст.) А. М. и Н. Р. двинулись из Вены дальше на юг и поднялись на высоты Земмеринга, они увидали зимнюю картину: началась настоящая вьюга. «Не только отдаленный пейзаж, но и ближайшие предметы скрылись за белой пеленой... Таким образом, благодаря снежной вьюге не пришлось увидать самой красивой части пути. Но после перевала,'по мере того как спускались по южным склонам к Адриатическому морю, снег исчез и опять зазеленела трава ... и заходящее солнце стало освещать обступавшие со всех сторон горы. Пейзаж становился все живописнее... Вечером были уже у австро-итальянской границы, а поздно ночью (около 11 ч) в Венеции. Пробыв двое суток в Венеции, где осмотрели памятники старины и покатались в гондоле при ясной, прохладной погоде, двинулись 22 марта (ст. ст) с утренним поездом в Рим. Проехав Местре, долго ехали по совершенно открытой равнине, местами залитой водой и окаймленной на севере виднеющимися в тумане Альпами. Путь шел на Падую (часа полтора от Венеции) и Болонью. До Болоньи местность была довольно низкая. Луга и поля с плохо развивающейся растительностью. В Болонью приехали около полудня к... Вскоре появляются горы — предгорья Апеннин. Дорога поднимается все выше ... Весна настолько запоздала, что уже на высоте 400— 500 м деревья и кустарники стоят даже без почек, и трава исчезает. Весь пейзаж делается серо-желтым».
Описав перевал через Апеннины и проезд через Флоренцию, А. М. говорит о приезде в Рим «около 11 ч. в совершенном мраке и под проливным дождем». Утром следующего дня осматривали остатки старинных зданий и учреждений (Капитолийский холм, «forum», Палатин и пр.).
Вечером 5 апреля А. М. Ляпунов и В. А. Стеклов были на предварительном заседании членов конгресса. Народу было множество, но ни на предварительном собрании, ни на официальном открытии и даже за все время конгресса не было принято никаких мер, чтобы познакомить гостей друг с другом. «Из французов были Darboux, Picard, Poincare, Hadamard, Goursat». Но из них A. M. мимоходом познакомился только с Пикаром, Гадамаром и Гурса. С 7 апреля начались заседания: по утрам — заседания секции, в три часа дня — общих собраний. А. М. Ляпунов из общих был на первом и предпоследнем, где делал сообщение французский ученый Пикар, а на одном их секционных председательствовал А. М. Осмотр древностей республиканской и дореспубли- канской эпох продолжался между заседаниями. Съезд закончился 13 апреля поездкой на дачу Адриана и в Тиволи, организованной распорядителями конгресса. В Тиволи конгрессисты осматривали грандиозные водопады. Везде, во время путешествия, А. М. обращал особенное внимание на природу. В Риме, пишет он, «при Академии наук имеется довольно большой сад ... Большая часть деревьев из пород, никогда не теряющих листву ... Особенно хороша в этом саду аллея из пальм: латании и финиковые пальмы в перемежку, с толстыми стволами ... Есть и деревья, теряющие листву. Из них мы в особенности обратили внимание на громадные платаны. Но на них листьев еще не было: только что начали лопаться почки. В саду множество певчих птиц. Особенно много скворцов...» Описывая прогулку на Палатин и завтрак на одном из выступов палатинского холма, А. М. замечает (27 марта—9 апреля): «Недалеко от нас над обрывом виднелась гигантская финиковая пальма. Без сомнения, она прожила много веков и, быть может, видела древний Рим не в развалинах».
реля А. М. и Н. Р. Ляпуновы выехали утром из Рима в Неаполь при непроглядном ненастье, сопровождавшем их всю дорогу до Неаполя. Близ Неаполя «с обеих сторон дороги потянулись апельсинные сады, сплошь 16
покрытые фруктами, а еще немного далее, елевой стороны, обрисовался сквозь завесу дождя, точно приведение, силуэт Везувия». Неаполь очень понравился нашим путешественникам, несмотря на не совсем удачную погоду, в особенности набережная, по которой тянется очень хорошо содержимый сад с большими латаниями и финиковыми пальмами. Осмотрев Неаполь, остров Капри и Помпеи, А. М. и Н. Р. отправились через южную Италию (Калабрию) в Сицилию и 21 апреля утром приехали в Мессину, откуда ездили в Таор- ми и Палермо, причем А. М. сделал визиты итальянским математикам. К сожалению, конец путешествия в письмах не сохранился, и я слышал о нем лишь устный рассказ А. М., а потому не могу назвать имен математиков, посещенных им в Сицилии; точно по памяти. Но кажется, один из них был Roberto Marcolongo, значащийся в «Минерве» за 1907—1908 г. в числе профессоров Мессинского университета по кафедре теоретической механики и математической физики, позднее «Минерве» (1908—1909 г.) в Неаполе. С ним А. М. Ляпунов поддерживал письменные связи после путешествия. Кого он посетил в Палермо, не помню. Часто слыхал я и от брата имя итальянского механика Леви-Чивита.
В отчете А. М. Ляпунова «О IV Международном математическом конгрессе, имевшем место в Риме с 6 по 11 апреля» названы имена только трех итальянских математиков, выступавших на конгрессе: проф. Бласерна, проф. Воль- терра, представившего очерк развития математики в Италии во второй половине XIX столетия, и Веронезе, сделавшего сообщение «La Geometrica non- archimedea», но не названы ни Леви-Чивита , в то время профессор высшей механики в Падуе, ни представители этой кафедры в Палермо Фр. Кальда- рера и Адольфо Вентури.
Вскоре по возвращении из поездки в Италию А. М. был избран членом Accademia die Lincei в Риме и иностранным членом Circolo Matematico di Palermo.
К сожалению, А. М. Ляпунову не удалось лично познакомиться с А. Пуанкаре (Henri Poincare), членом-корреспондентом Петербургской Академии наук и членом Парижской Академии наук, работы которого наиболее близко соприкасались с работами А. М., и письменные связи с которым у А. М. начались еще в последнее десятилетие XIX столетия. На съезде математиков, состоявшемся в Петербурге в 1912 г. А. М. еще раз виделся с Пикаром. Между тем, Пуанкаре бывший только на три года старше А. М., скончался в Париже 17 июля 1912 г. Сравнительную оценку исследований А. М. Ляпунова и Пуанкаре дал акад. Стеклов . Недолго прожил и другой член-корреспондент нашей Академии наук, английский ученый Джордж Дарвин, «один из выдающихся сыновей ... великого Чарльза Дарвина», скончавшийся 27 ноября 1912 г. 67 лет (род. 27 июня 1845 г.), с которым, как мы видели, А. М. тоже столкнулся в своих изысканиях.
Ученые заслуги А. М. Ляпунова были почтены избранием его в почетные члены университетов Харьковского (1911 г.), Петербургского (1913 г.), Казанского и, наконец, Новороссийского (Одесского), постановление Совета которого об избрании А. М. почетным членом от 20 мая 1917 г. было утверждено министром народного просвещения летом 1917 г.
Кроме того, А. М. состоял почетным членом Харьковского математического общества и Полтавского кружка любителей физико-математических наук, действительным членом Московского математического общества и непременным членом Общества любителей естествознания, антропологии и этнографии.
Важно отметить, что, кроме непрерывно продолжавшихся самостоятельных научных исследований, А. М. Ляпунов вместе с акад. Марковым еще в заседании Общего собрания 5 октября 1902 г., напомнив Академии, что в 1907 г. исполнится 200 лет со дня рождения Леонарда Эйлера, заявили, что наиболее целесообразным предприятием для ознаменования этой годовщины они считают издание полного собрания сочинений Эйлера. Тогда же Конференция избрала комиссию, в состав которой вошли академики А. А. Марков, Б. Б. Голицын и А. М. Ляпунов, и которая собиралась несколько раз в 1902, 1903 и 1904 г. Конференция поручила председателю комиссии, акад. Фами- цыну связаться по вопросу об издании сочинений Эйлера с Берлинской Академией, но последняя письмом 7 февраля 1907 г. уведомила комиссию, что не считает возможным принять участие в этом деле, а потому комиссия положила прекратить свою деятельность. Но в заседании 11 апреля 1909 г. А. М. Ляпунов заявил, что «IV Международный математический конгресс, собиравшийся в прошедшем году в Риме, признавая в высшей степени важным издание полного собрания сочинений Эйлера, постановил просить Международный союз Академий принять это предприятие, задуманное в Швейцарии, под свое покровительство, причем высказал пожелание, чтобы Петербургская и Берлинская Академии приняли в нем участие». Излагая далее прежнее состояние вопроса с 1902 г., т. е. результаты связей комиссии с Берлинской Академией, сначала согласившейся принять участие в издании, а после трехлетней переписки категорически отказавшейся от него, он предлагает Общему собранию, не найдет ли оно желательным чтобы представители нашей Академии довели до сведений Комитета Международного союза Академий всю историю возбужденного нашей Академией вопроса об издании полного собрания сочинений Эйлера. В заседании Общего собрания 2 мая 1909 г. и. о. Непременного секретаря акад. Голицын довел до сведения собрания, что от Центрального Комитета «Societe helvetique des scientes naturelies» и Эйлеровской комиссии этого общества поступил в Академию циркуляр о поддержании, путем пожертвований или подписки, предпринятого обществом полного издания трудов Эйлера. После обмена мнений постановили ассигновать 5000 фр. на печатание полного собрания сочинений Эйлера, подписаться на 40 экз. и избрать комиссию в составе академиков Баклунда, Залемана, Маркова, Сонина, Голицына и А. М. Ляпунова, для рассмотрения подлежащего передаче в Эйле- ровскую комиссию материала.
С этого времени начинается деятельное участие А. М. Ляпунова в издании сочинений Эйлера, но у меня, к сожалению, не имеется никаких данных для определения сделанного А. М. по осуществлению этого предприятия. Вероятно, однако, все это хорошо известно специалистам. Из напечатанных протоколов заседания 4 мая 1911 г. узнаем, что некоторые рукописи Леонарда Эйлера пересылались в Цюрих профессору Ф. Рудно.
В 1911 г. болезнь жены, которой необходимо было по предписанию врача пожить в более мягком климате, заставила А. М. и Н. Р. весной взять заграничный отпуск, чтобы отдохнуть где-нибудь около озер Швейцарии или в южной Франции. Поехав втроем (А. М., Н. Р. и ее мать) в Швейцарию, где виделись с жившими там много лет родными, семьей племянника профессора
Казанского университета химика А. М. Зайцева, прожив несколько дней на берегу Женевского озера, вернулись в Россию и поспешили в свою деревенскую усадьбу, в Курмышский у. Симбирской губ., сознавая, что никакой курорт не может дать того, чего ищут люди, желающие отдохнуть телом и душой, и что можно найти только в глухом родном уголке.
В 1912 г. семью А. М. постигло большое горе: в июне после тяжелой болезни скончалась мать его жены, Екатерина Васильевна Сеченова, урожденная Ляпунова, самая младшая сестра нашего отца. Связанная с горячо любимой, вечно хворающей дочерью тесными духовными узами, никогда не покидавшая ее и ее мужа, она всю жизнь свою отдала на самоотверженное служение семье, взяв на себя всю тяжесть материальных забот и стараясь обеспечить душевное равновесие для спокойных научных занятий своего зятя и племянника. Смерть горячо любимой матери была тяжелым ударом для Н. Р.: сильное нравственное потрясение как будто задержало начавшийся процесс туберкулеза легких, который через год возобновился опять.
Внезапно начавшаяся летом 1914 г. война, приковавшая к себе внимание всего света, отразилась на здоровье многих профессоров и академиков. Многие, всецело отдававшиеся науке, были поставлены в особенно тяжелое положение вследствие прекращения связей между русскими и зарубежными, именно германскими и австрийскими учеными. Так, в сентябре 1914 г. в Косолме Олонецкой губ. скончался главный представитель русской лингвистики акад. Фортунатов, учениками которого являются многие профессора русских и зарубежных университетов, а через пять месяцев вслед за ним в феврале 1915 г. Академия наук потеряла в лице Ф. Е. Корша лингвиста-полиглота, которого, по словам акад. Шахматова, «с таким же правом, как Отделение русского языка и словесности, могли бы принять в свой состав и два разряда Отделения историко-филологического — классический и восточный»х. Но и в области точных наук Академия понесла тяжелые утраты в лице скончавшихся академиков Сонина (февраль 1915 г.), Голицына (май 1916 г.), много работавшего по сейсмологии и геофизике, а 16 августа 1916 г. известного астронома, директора Главной астрономической обсерватории в Пулкове, О. А. Баклунда, сильно огорчавшегося временным перерывом из-за войны в деле устройства новых обсерваторий на юге России .
А. М. Ляпунов и его жена постоянно следили за ходом войны и не теряли надежды на скорый и справедливый исход. Исследования в области математических наук страдали от прекращения связей с Германией менее, чем в области наук гуманитарных. Научные интересы А. М. Ляпунова связывали его более с учеными Франции, Англии и Италии, чем с учеными Германии. Вследствие этого, следя за текущими событиями, А. М. не предавался унынию и продолжал по-прежнему усердно работать в отвлеченной области небесной механики и высшей математики. В Известиях Академии наук он печатает в 1915 г. статью «Sur les series de polynomes» и в 1916 г. «Sur les equations qui appartiennent aux surfaces des figures d’equilibre derivees des ellipsoides d’un liquide homogene en rotation» и «Nouvelles considerations relatives a la theorie des figures d’equilire derivees des ellipsoides dans le cas d’un liquide homogene», и в 1917 г. «Sur une formule d’analyse».
Кроме того, следует отметить, что А. М. Ляпунов в 1915 г. входил в состав комиссии вместе с академиками Марковым, Стекловым и членами-корреспон-
дентами Н. Я. Цингером, Д. К. Бобылевым я А. Н. Крыловым, собиравшейся в октябре и ноябре 1915 г., доклад которой «по обсуждению некоторых вопросов, касающихся преподавания математики в средней школе», напечатан в «Известиях Академии наук» (1916, № 2, с. 66—80). Доклад этот представляет подробную критику напечатанного в «Журнале Министерства народного просвещения» (февраль, март, апрель 1915 г.) проекта члена совета министра народного просвещения П. А. Некрасова ... о введении в курс средней школы теории вероятностей, а также вызванных данной акад. А. А. Марковым оценкой и статьей К. А. Поссе новых статей П. А. Некрасова, в которых автор пытается провести свое толкование основных понятий и определений анализа, входящих уже в курс средней школы, а именно понятий о пределах и о бесконечно малых величинах. Довольно обширный доклад комиссии, борясь против парадоксальных и несогласных с общеустановленными со времен Коши понятиями взглядов проф. Некрасова, устанавливающего два различных якобы направления в математической науке, расходящихся в понимании основных начал науки, и противопоставляющего одну школу, «с дурной теорией познания», другой, во главе которой стояли акад. В. Г. Ймшенецкий и Н. В. Бугаев, и к которому причисляет Некрасов и себя, «пристраивая» себя также к линии «Лаплас — Лагранж — Коши — Чебышев...» в противоположность линии «Лаплас — Бьэнэмэ — Чебышев — Марков», заявляет, что «никаких двух различных направлений в понимании основных начал математики ... не существует, нет никакого особого анализа бесконечно-малых А. А. Маркова,... никакой особой школы В. Г. Имше- нецкого ...» (стр. 68). Доклад комиссии ссылается и на статью А. М. Ляпунова в «Записках Харьковского университета» 1901 г., в которой отмечено уже давно «извращение основных определений и понятий анализа» в рассуждении Некрасова о его понимании слова «предел», с которым расходятся, как он говорит, выводы Маркова и Ляпунова. Доклад Комиссии считает особенно важным показать несостоятельность рассуждений Некрасова потому, что они напечатаны в официальном органе, «который не может не считаться авторитетным руководителем в научно-педагогических вопросах для учителей средней школы»; имея это в виду, Академия наук, «как первенствующее ученое сословие Российской Империи» (по § 1 устава), «могущее входить во все касающееся просвещения (§ 8) и обязанное иметь попечение о распространении просвещения вообще и о направлении оного ко благу общему» (§ 2, п. б), «обязана высказать свое суждение об основных ошибках и неправильных (а потому и вредных), идеях, распространяемых П. А. Некрасовым с целью проведения их в обиход средней школы». Далее доклад комиссии считает необходимым «остановиться на том, что с указанным проектом введения в среднюю школу теории вероятностей связана попытка воздействовать при помощи математики на нравственно-религиозное и политическое миросозерцание юношества в наперед заданном направлении», и что «такое отношение к делу определенно высказывается весьма часто в многочисленных статьях П. А. Некрасова и В. Г. Алексеева, помещенных не только в чисто научных и педагогических журналах..., но и в «Журнале Министерства народного просвещения». В докладе указывается, что по Некрасову «математическая теория вероятностей есть Паскалевский и Бугаевский мост, соединяющий веру, как факт народной психологии и религии, и науку друг с другом...», что Некрасов находит «четвертое» графическое измерение, заставляющее смот-
реть на эволюционные теории Дарвина, Геккеля и проч., как на фиктивные утверждения, требующие поправок, и приводится дословно цитата из статьи Алексеева о громадном образовательном значении курса теории вероятностей, «так как им открывается совсем новое мировоззрение в противовес господствующему материалистическому, которое упрочилось во всех отраслях знаний, незаметно пронизало всю нашу культуру, весь строй нашей жизни вследствие блестящих успехов математического анализа и основанной на нем механики ...», и что вследствие успехов приложений последних к явлениям природы ... «являлась заманчивая мысль применять простые аналитико-механические таблицы исследования по наукам биологическим и социальным, что породило немало совершенно превратных теорий и учений нового времени: социальную физику Кетле, позитивизм Огюста Конта, дарвинизм в его крайностях, исторический материализм и т. д.» Алексеев указывает, что «качественные вопросы формы и отношений отдельных единиц ... получали ложное освещение при обработке их по шаблонам математического анализа и механики» (с. 78). Доклад комиссии заканчивается замечанием, что «в XX веке возобновляются настойчивые попытки использовать совершеннейшую из наук — математику — в том направлении, которому она по самой своей сущности служить не может», что «такие попытки делались неоднократно», но «опыт показал, что все эти поползновения либо рассыпались в прах перед неумолимой строгостью точной науки, либо приводили к результатам прямо противоположным ...» «Комиссия полагает, что вышеупомянутые заблуждения и ошибочные толкования основ науки и злоупотребление математикой с предвзятой целью превратить чистую науку в орудие религиозного и политического воздействия на подрастающее поколение, проникнув в жизнь школы, принесут непоправимый вред делу просвещения» (с. 79).
Весной 1917 г. А. М. Ляпунову пришлось поместить на страницах «Известий Академии наук» два некролога членов-корреспондентов Академии наук. 1 марта 1917 г. он прочел в заседании Отделения физико-математических наук сведения о жизни и научной деятельности своего учителя по университету Дмитрия Константиновича Бобылева и 15 февраля — о научной деятельности Гастона Дарбу (Gaston Darboux), известного французского математика. Д. К. Бобылева Ляпунов, знавший его почти 40 лет, в особенности в качестве руководителя своих научных занятий в первые годы по окончании им университетского курса, но надолго разлученный с ним в период профессорской деятельности в Харьковском университете, характеризует как человека высоких нравственных качеств, привлекавших к нему симпатии его коллег профессоров, из которых особенно высоко ценил его И. М. Сеченов, называя его «человеком не от мира сего».
Поездка в конце июня 1917 г. на летние месяцы в Одессу после полуторамесячного пребывания в Финляндии была роковой для его жены и для него: здоровье жены, в эту весну бывшее сравнительно удовлетворительным, по переезде со значительными затруднениями в пути из Финляндии и Петрограда на юг не улучшилось, а весной 1918 г. после простуды туберкулез легких принял быстро прогрессирующий характер. В конце лета 1918 г. Н. Р. уже не могла выходить на прогулку, а только лежать на балконе, чтобы подкрепляться свежим воздухом по предписанию врача. Так тянулось время в мучительной безнадежной тоске до рокового конца в октябре 1918 г., ибо для А. М. хорошо известно было состояние здоровья жены и скрыть от себя безнадежность положения он не мог. И можно себе представить, каково было его душевное состояние, когда он в сентябре 1918 г. по предложению физико-математического факультета (23 августа 1918 г. за № 554) приступил к чтению объявлен-
ного им курса. Тем не менее внимание молодых коллег-профессоров Новороссийского университета, посещавших его лекции в старом здании университета на Елизаветинской улице (проф. Билимовича, А. Я. Орлова, В. Ф. Кагана, С. О. Шатуновского, И. Ю. Тимченко, Д. А. Крыжановского, Е. Л. Бу- ницкого и др.), поддерживало его энергию и бодрость духа, и он продолжал чтение своего курса до понедельника последней недели своей жизни. 18/31 октября скончалась Н. Р. Ляпунова и в тот же день А. М. был отвезен в хирургическую клинику проф. Сапежка, где скончался 21 окт./З ноября 1918 г, В оставленной им записке он завещал похоронить себя в одной могиле с женой. Так погиб ученый, который при более благоприятных обстоятельствах мог бы еще много лет обогащать науку своими трудами. Ляпунов оставил в рукописи обширное сочинение, переданное через А. Я. Орлова Российской Академии наук.
В заключение считаю долгом выразить благодарность всем лицам, оказавшим так или иначе поддержку и помощь своими указаниями при составлении настоящего очерка, а именно В. Ф. Кагану, А. Я. Орлову, И. Ю. Тимченко, В. А. и Н. В. Циммерманнам и Д. А. Крыжановскому.
Отделению физико-математических наук, принявшему для напечатания на страницах своих «Известий» этот составленный мною в Одессе до 30 июня 1923 г. очерк, также приношу глубокую благодарность. И конечно, пересматривая написанное мною 7 лет назад, я должен был внести необходимые поправки и сокращения.
5.02.1930 г.
A. Н. Крылов
ПАМЯТИ АЛЕКСАНДРА МИХАЙЛОВИЧА ЛЯПУНОВА [2] (1857—1918)
Академик В. А. Стеклов дал обзор тридцатипятилетней научной работы А. М. Ляпунова и охарактеризовал ее результаты, стяжавшие Александру Михайловичу всемирную известность как глубокого мыслителя и творца в избранных им для исследования труднейших математических вопросах. Александр Михайлович, прежде чем всецело предаться чисто учебной работе, занимал кафедру механики в Харьковском университете, и в его библиотеке сохранилось собрание литографированных курсов, им читанных. Вот об этих- то курсах, характеризующих профессорскую деятельность Александра Михайловича, и я позволю себе сказать несколько слов.
Первый цикл курсов относится к 1885—1887 гг., когда Александр Михайлович только что начал преподавание как приват-доцент. Этот цикл включает следующие отделы: кинематика (155 с.), динамика материальной точки (156 с.), статика (124 с.), динамика систем материальных точек (415 с.), теория притяжения (75 с.), основания теории деформируемых тел и гидростатика (128 с.).
Необходимо заметить, что эти лекции написаны довольно крупным почерком и изданы в формате обыкновенной тетради в V4 листа, так что страница заключает всего 800 букв, т. е. три литографированных страницы соответствуют всего одной печатной странице обычного для математических книг формата и большое in 8°, так что весь курс составил бы книгу несколько менее 20 печатных листов. Посмотрим, однако, какое богатое содержание Александр Михайлович сумел вложить в столь малый объем.
Кинематика. Установив понятие о системе точек, связях и числе степеней свободы, Александр Михайлович прямо переходит к рассмотрению неизменяемой системы, предполагая известными из элементарного курса основные понятия о скорости и ускорения для точки.
Доказав, что число степеней свободы для неизменяемой системы, точки которой не все лежат на одной прямой, равно шести. Александр Михайлович, приняв за независимые переменные координаты какой-либо точки системы и три эйлеровых угла, выводит формулы для девяти косинусов углов между подвижными и неподвижными осями, после чего переходит к исследованию движения неизменяемой системы. Исходной теоремой ему служит теорема о постоянстве проекции скорости точек, лежащих на прямой, на эту прямую, доказав и пояснив которую примерами, он подробно изучает вращательное движение твердого тела около неподвижной точки, причем строго как геомет-
рически, так и чисто аналитически доказывает основные свойства подвижного и неподвижного аксоидов, поясняя их несколькими примерами. Затем изучается общее движение неизменяемой системы и показывается, как найти центральную ось во всякий момент, причем как пример приводится движение земли; как частный случай изучаются движение, параллельное плоскости, центроиды и рулеты вообще, после чего, вернувшись к общему случаю, показываются существование и способы определения аксоидов центральных осей, причем попутно поясняются главнейшие свойства развертывающихся и не- развертывающихся линейчатых поверхностей.
Далее следует изучение ускорения точек неизменяемой системы в абсолютном движении, указывается аналогия выражений проекций ускорения на координатные оси с выражениями проекций скоростей и дается понятие о центре ускорений.
Последний отдел кинематики заключает учение об относительном движении, причем вначале рассматривается движение точки по отношению к движущейся системе и выводятся выражения проекций скоростей и ускорений, а затем исследуется движение одной неизменяемой системы по отношению к другой; аналитически выводится правило сложения угловых скоростей, и в заключение получается теорема Шаля о разложении винтового движения на два вращательных.
Непосредственным продолжением «Кинематики» служит «Динамика материальной точки». Содержание этого курса следующее. По установлении основных понятий и формулировке законов инерции и независимости действия сил рассматривается движение свободной материальной точки, сперва прямолинейное, причем приводятся обычные случаи интегрируемости в квадратурах уравнений такого движения, затем криволинейное, причем вначале разбираются случаи, когда траектория — кривая плоская, и как пример рассматриваются общие свойства движения тяжелой точки в среде, сопротивление которой выражается заданной функцией скорости. Движение под действием центральной силы изучается более подробно как для ньютонова закона притяжения, так и для притяжения, пропорционального первой степени расстояния. Далее рассматривается движение точки под действием силы, имеющей силовую функцию, причем доказываются свойства так называемой главной функции и связь между полным решением дифференциального уравнения в частных производных, которому она удовлетворяет, с интегралами уравнений движения точки, и для примера по этому методу составляются интегралы уравнений движения точки, притягиваемой к неподвижному центру по какому-либо закону в зависимости от расстояния. Учение о движении свободной точки заканчивается рассмотрением относительного движения такой точки, причем подробно разобран случай движения тяжелой точки по отношению к земле.
Динамика несвободной материальной точки начинается с установления условий, которым должны удовлетворять скорость и ускорение точки при движении ее по данной поверхности как удерживающей, так и неудерживающей; составляются выражения реакции поверхности и силы трения и уравнения движения точки для того и другого случая, для поверхности, как постоянной, так и изменяющейся в течение времени. Совершенно также рассматривается вопрос о движении точки по данной постоянной* или переменной кривой с трением и без трения. После вывода условия, при котором существует для несвободного движения точки интеграл живой силы, рассматривается движение тяжелой точки по заданной линии и как пример — математический маятник без сопротивления и при сопротивлении, пропорциональном квадрату скорости, не ограничиваясь при этом случаем малых колебаний. Затем дается решение задач о таутохроне и брахистохроне, для первой весьма простое, принадле-
жащее Puiseux, для второй — по общим правилам вариационного исчисления. Как пример движения точки по движущейся линии рассматривается задача о движении точки по вращающейся прямой. В примерах движения точки по поверхности вначале рассматривается случай движения без действия внешних сил и дается понятие о геодезической линии для данной поверхности, затем исследуется движение сферического маятника, маятника Фуко и движение точки по вращающейся плоскости. Курс заканчивается рассмотрением вопроса об ударе точки о поверхность.
Лекции о динамике систем точек начинаются с изложения статики. Здесь также предполагается, что учащимися уже пройден элементарный курс, поэтому статика начинается с установления общих условий равновесия твердого тела, после чего рассматриваются веревочные и стержневые многоугольники, подробно разбирается задача о цепной линии и показывается ее аналогия с задачей о движении материальной точки. В заключение излагается начало возможных перемещений, причем дается лагранжево доказательство, существенно, однако, дополненное в том отношении, что показывается не только необходимость, но и достаточность выведенного общего условия равновесия всякой системы, причем связи рассматриваются как удерживающие, так и неудерживающие.
Динамика систем точек начинается с обстоятельного разбора тех условий, которые излагаются удерживающими и неудерживающими связями на скорости и ускорения точек системы; случай неудерживающих связей рассмотрен при этом гораздо подробнее, нежели это обычно делается. Составив уравнения движения всякой системы и объяснив начало Даламбера, Александр Михайлович подробно останавливается на рассмотрении первой лагранжевой формы дифференциальных уравнений движения и доказывает в совершенно общем виде, что эти уравнения, по исключении из них проекций ускорений, пользуясь уравнениями связей, всегда разрешимы относительно лагранжевых множителей.
По выяснении понятия об интегралах системы выводятся законы сохранения движения центра инерции, площадей и живой силы для свободной системы точек как в абсолютном их движении, так и в относительном по отношению к центру инерции. Как пример вначале рассматривается задача двух тел, притягивающихся по закону Ньютона, затем составляются дифференциальные уравнения движения для случая п + 1 точки и находятся их известные 10 интегралов. В заключение раздела о движении свободной системы рассматривается случай системы точек, притягивающихся или отталкивающихся пропорционально расстоянию.
Следующий раздел заключает подробное аналитическое установление необходимых и достаточных условий, при которых для несвободной системы имеют место законы движения центра инерции, площадей и живой силы, после чего дается строгое доказательство Дирихле критерия устойчивости или неустойчивости положения равновесия какой угодно системы и поясняется примером.
Далее излагается начало наименьшего действия и начало Гамильтона, на основании которого выводятся уравнения движения во второй лагранжевой форме и в каноническом виде, доказываются свойства символа Пуассона и теорема Якоби.
Следующим разделом служит учение о движении неизменяемой системы. По получении общих выражений живой силы и моментов количеств движения для такой системы исследуются свойства моментов инерции, эллипсоида инерции и гирационного эллипсоида, после чего на основании законов движения центра инерции и уравнений моментов составляются дифференциальные уравнения движения твердого тела. Примерами такого движения служат физический маятник, вращение по инерции твердого тела, имеющего неподвижную
точку, причем дается как геометрическое исследование Пуансо, так и аналитическое при помощи эллиптических функций, пользуясь лишь самыми их элементарными свойствами, тут же доказываемыми.
Последний раздел курса — учение «о действии мгновенных сил», развитое с гораздо большей подробностью и полнотой, нежели это обычно делается. Вопрос вначале поставлен так: дана система точек, подчиненных данным удерживающим связям, требуется определить движение, сообщаемое системе данными импульсами. Вопрос этот решается в первой лагранжевой форме, после чего показывается, как вся совокупность полученных уравнений может быть заменена одним вариационным уравнением. Затем выводятся теоремы Бертрана и Томсона, и в отличие от многих курсов не оставляются без применений, а, напротив, служат средством для решения ряда примеров общего характера, в которых требуется определить или движение, сообщаемое системе или твердому телу данными импульсами, или наоборот. Вопрос о движении твердого тела рассмотрен особенно подробно, причем выведены общие условия, при которых данное винтовое движение тела может быть сообщено одним импульсом; отсюда как частный случай получается решение вопроса о сообщении данного вращательного движения и о центре удара. По рассмотрении вопроса об ударе двух упругих шаров решается в общем виде задача о так называемом ударе о связь и выводится общее выражение потери живой силы при этом. В заключение решается вопрос, обратный предыдущему, т. е. о внезапном уничтожении одной из связей системы и происходящем при этом увеличении живой силы.
Другие два курса Александра Михайловича: «Теория притяжения» и «Основания теории деформируемых тел и гидростатики» тесно соприкасаются с его собственными изысканиями в этой области, поэтому при такой же сжатости изложения, как и приведенные выше, они заключают большее число вполне оригинальных, принадлежащих Александру Михайловичу доказательств и выводов, теорем, хотя и известных ранее, но доказательства которых Александр Михайлович не считал достаточно строгими, как, например, относительно условий устойчивости равновесия плавающих тел или основных свойств потенциальной функции и начала Дирихле. Из этого общего обзора читанных Александром Михайловичем курсов видно, что он излагал механику как отрасль математики, а не физики, оставляя в стороне указания на прикладную ее часть и на согласие ее выводов, полученных на основных умозрительно установленных начал с наблюдениями и опытами, поэтому безукоризненная строгость доказательства ставилась им как главное требование, и в этом отношении многое принадлежит ему лично и не находится в других курсах или трактатах.
Остается теперь сказать, каким образом Александр Михайлович достигал такой изумительной краткости изложения при полной его ясности и строгости, стремление к которой столь часто ведет к длиннотам и растянутости.
Понятно, что с внутренней стороны здесь проявлялась обширность его познаний, глубина, с которой им продумывались каждое предложение, каждый вывод и доказательство, и та тщательность отделки, к которой он привык во всякой своей работе.
Со стороны внешней уже по самой последовательности статей курса видно, что каждый из главнейших вопросов различных разделов механики ставился им с самого начала в самом общем виде; для поставленного так вопроса давалось прямое и вполне общее решение; таким образом, все отдельные случаи получались как частные из найденного общего решения или служили примерами для пояснения его.
Второй особенностью изложения является отсутствие всякого рода простых промежуточных выкладок, они заменены указанием последовательности необходимых действий или преобразований и того результата, который по-
лучится. Может показаться, что при таком изложении чтение курса представ вит значительные затруднения учащемуся, но это не совсем так благодаря тому, что выкладка не просто скрыта под словами: «после простых преобразований получится» и т. д., а напротив, весь ход выкладки указан словами и опущено лишь то, что совершается по определенным известным правилам.
Лекции эти, по свидетельству В. А. Стеклова, написаны самим Александром Михайловичем, и можно выразить сожаление, что он, всецело поглощенный творческой ученой работой, не уделил времени печатному изданию своего курса, которому он, конечно, придал бы высокое совершенство и который составил бы ценнейший вклад в учебную литературу и облегчил бы изучение механики многим поколениям.
Раздел первый
КУРС ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ П
Харьков, Технологический институт, 1893 г.
ВВЕДЕНИЕ
Предметом изучения теоретической механики служат различные обстоятельства движения материальных тел в зависимости от основного свойства материи, называемого инертностью, и причин, вызывающих или изменяющих движение, называемых вообще силами.
Элементарные законы зависимости между движением и обусловливающими его силами выражаются в нескольких общих положениях, известных под названием основных законов движения. Положения эти, представляющие результат обобщения наблюдаемых явлений, имеют для механики такое же значение, какое аксиомы имеют для геометрии. Будучи приняты без доказательства, они дают возможность все вопросы теоретической механики сводить к вопросам математического анализа, благодаря чему теоретическая механика становится наукой рациональной.
Движение можно рассматривать однако и независимо от каких-либо свойств материи и сил. Движение, рассматриваемое таким образом, т. е. с чисто геометрической стороны, составляет предмет изучения первого, вступительного раздела механики, называемого кинематикой.
Кинематика не нуждается ни в каких новых положениях, кроме чистой математики, тогда как все остальные разделы механики, которые вместе взятые составляют то, что называется динамикой, основываются на упомянутых выше основных законах движения.
Динамику разделяют обыкновенно на два раздела: статику, в которой изучаются различные обстоятельства, при которых силы, действующие на данное тело или данную систему тел, движение не производят (в этом случае говорят, что силы уравновешиваются) и кинетику, в которой рассматриваются движения, производимые данными силами. Можно впрочем и не придерживаться строго этого разделения, рассматривая статику, как частный случай динамики, ибо покой можно рассматривать как частный случай движения.
Так как изучение механики мы начнем с кинематики, то об основных законах говорить пока не будем. Кинематика, рассматривая движение с геометрической стороны, существенным образом отличается от геометрии, в которой также часто приходится рассматривать перемещения фигур тем, что в ней всякое движение предполагается совершающимся во времени. Понятие о времени механика принимает без определения подобно тому, как в геометрии принимается без определения понятие о пространстве. Механика до-
вольствуется только возможностью измерения времени, в основание которой лежат следующие принципы: когда мы замечаем какое-либо повторяющееся явление, которое при том повторяется при совершенно тождественных физических условиях, то продолжительности всех повторений его принимаем равными. Когда мы замечаем два явления, из которых одно начинается в момент окончания другого, то продолжительность обоих явлений принимаем равной сумме продолжительностей, каждого из этих явлений взятого отдельно. На основании этих принципов, в которых заключаются определение равенства и сложение промежутков времени, мы можем измерять всякие промежутки времени, принимая за единицу времени продолжительность какого-либо известного явления.
Так как изучение движения всякого тела приводится к изучению движения всех его точек, то вообще механика должна быть начинаема с изучения различных обстоятельств движения точки. Мы начнем поэтому с кинематики точки. Затем перейдем к кинематике неизменяемой системы точек. Под этим понятием понимают совокупности точек, в которой при всяких ее движениях расстояния между каждыми двумя точками остаются неизменными. Физически твердые тела с известной степенью приближения можно рассматривать, как неизменяемые системы точек. Мы закончим кинематику рассмотрением некоторых вопросов об относительном движении.
Так как мы можем рассуждать о движении точки или тела не иначе, как относя их положения к какой-либо действительно существующей или только воображаемой неизменяемой системе, то всякое движение по необходимости есть относительное. Но если неизменяемая система, к которой мы относили движение, сама находится в движении по отношению к какой-либо новой неизменяемой системе, то желая отличить движение, отнесенное к одной из этих систем, от движения, отнесенного к другой, мы будем одно из них называть абсолютным, другое относительным. Отсюда видно, что существенного отличия между абсолютным и относительным движением нет. Рассмотрение зависимости между некоторыми обстоятельствами абсолютного и относительного движения и составит предмет заключительной статьи кинематики.
КИНЕМАТИКА
Глава I
КИНЕМАТИКА ТОЧКИ
Возьмем какую-либо, например, координатную прямоугольную систему х, у, г. Мы говорим, что точка находится (по отношению к взятой координатной системе) в движении, когда координаты ее х, у, г изменяются с течением времени по какому-либо определенному закону, другими словами, когда х, у, г суть некоторые функции времени I. Пусть
х = Ц^, y = ^(t), 2 = 4^.(1)
Так как в каждый момент времени точка может занимать только одно определенное положение в пространстве, то функции f (О, Ф (О и ф (/) должны быть вполне определенными, однозначными и непрерывными. Это всегда будем предполагать.
Уравнения (1) носят название уравнений движения точки. Для составления уравнений движения можно пользоваться не только прямолинейными, но и всякими другими (криволинейными) координатными системами. Из прямолинейных мы будем пользоваться преимущественно прямоугольными. Из криволинейных полярными на плоскости или в пространстве (сферическими) и цилиндрическими, составляющими переход от прямолинейных прямоугольных к сферическим. Всякий вопрос об определении движения точки приводится к составлению уравнений движения, подобных (1), ибо уравнения эти дают возможность, когда функции f (/), ф (/), ф (/) известны, определить положение точки в каждый момент времени, чем и решается вопрос о движении.
При своем движении точка чертит в пространстве некоторую непрерывную линию, вообще кривую. Линия эта называется траекторией точки. Для составления уравнений траектории достаточно исключить t из трех уравнений (1). Это даст два уравнения вида
F (х, у, z) = О, Ф (х, у, z) = 0,(2)
из которых каждое в отдельности определяет некоторую поверхность. Пересечением этих поверхностей и определится траектория.
Иногда, вследствие недостатка в знаках анализа упомянутое исключение не может быть выполнено на самом деле. В таких случаях для определения траекторий придется довольствоваться уравнениями (1) или какими-либо уравнениями вида
x = f^), У = Ч>^), z = ^(s),(3)
которые могут быть из них выведены при помощи какого-либо данного соотношения
V (s, /) = О между временем t и новой вспомогательной переменной s, ибо кривая линия, как известно, также хорошо может быть определена тремя уравнениями вида (3), как и двумя уравнениями вида (2).
Рассмотрим некоторые простейшие случаи определения траектории.
Когда уравнения движения имеют вид
x = af(Z) + a', у = ЬЦ^-\-Ь', z = cf^ + c',(4)
где а, b, с. а , Ь', с — некоторые постоянные, уравнения траектории будут
х — а' у— Ь' z — с'
аbс
и, следовательно, траектория — прямая линия.
Пусть уравнения движения имеют вид
х = af (t) + а'ф (О Л-а", У = bf (/) + Ь'ц> (t) + b\ z = cf (t) + с'ф (О + с”, (5) где а, Ь, с, а', Ь', с' и т. д. — постоянные. Исключая из этих уравнений / (/)
и ф (/), находим
х — а а а
y—b" bЬ'=0.(6)
г — с"сс'
Если постоянные а, Ь, с не пропорциональны постоянным а', Ь', с', это уравнение выражает некоторую плоскость. Если же
(7)(7)а' Ь' с' аbс ’
(7)
(7)
оно обращается в тождество. Но в последнем случае уравнения (5) приводятся к виду (4), и, следовательно, траектория есть прямая линия.
Итак, в случае уравнений движения (5) траектория точки есть всегда кривая плоская. Когда соотношения (7) не имеют места, уравнением (6) определяется ее плоскость. Вид траектории в этом общем случае зависит от вида функций f (Q и ф (/). Обратно — если траектория точки есть плоская кривая, то уравнения движения ее должны принадлежать к типу (5). В следующих примерах постоянные а, Ь, с предполагаются не пропорциональными постоянным а , Ь', с .
Пример 1.
х = at2 + аЧ + а", у = W2 + ЬЧ + 6", 2 = с/2 + сЧ + c"t.
Траектория — парабола.
Пример 2.
х = a cos kt + ar sin kt + a", у = b cos kt + b' sin kt + b", z = c cos kt + c* sin kt + c".
Траектория — эллипс с центром в точке (а", Ь”, с?). Движение, определяемое такими уравнениями, называется простым гармоническим. Это есть движение периодическое с периодом Т = = 2л/&.
Примерз.
х = aekt + a’e~kt + а", у = bekt + b'e~kt + b", z = cekt + c'e—kt + с".
Траектория — гипербола с центром в точке (а", Ь", с").
П р и м е р 4. Точка движется в плоскости и уравнения движения даны в полярных координатах: г (радиус вектор) и ф (полярный угол)
г = at, ф = bt + с.
Траектория определяется уравнением
и есть Архимедова спираль.
" П р и м е р 5.
x = a(kt — sin kt), у = а(Д—cos^Z), 2=0.
Траектория — обыкновенная циклоида.
Пример 6.
х = a cos kt, у = a sin kt, z = bt.
Траектория — винтовая линия.
Когда траектория точки известна, то для определения всех прочих обстоятельств движения достаточно одного уравнения, которое давало бы возможность определить положение точки на траектории в каждый момент времени. Когда даны уравнения движения в координатах, то таким уравнением может служить одно из этих уравнений. Но можно получить уравнение и независимо от какой-либо координатной системы.
Возьмем на траектории некоторую точку О и назовем дугу траектории между этой точкой и положением М движущейся точки в момент t через s. Каждому значению s будут соответствовать два положения точки М на траектории, по ту и по другую сторону от точки О. Но если мы условимся дуге s приписывать положительные значения, когда точка М лежит с одной стороны от точки О, и отрицательные, когда она лежит с другой, то каждому значению s будет соответствовать только одно положение точки М и, следовательно, величина s может служить для определения точки на траектории. Точку О будем называть началом s, а направление траектории, по которому должна перемещаться точка М для того, чтобы s возрастала, положительным направлением траектории. Противное направление — отрицательным. Когда траектория известна и на ней выбраны: начало дуг s и положительное направление, то движение точки может быть определено уравнением вида
s = £(/),(8)
которое называется уравнением движения по траектории.
Когда даны уравнения движения в координатах, легко составить и уравнение движения по траектории. Пусть даны уравнения движения (1) в прямоугольных координатах и пусть /0 есть момент, в который точка была в начале дуг. Имеем
ds = ± Уйх1 4-dy2 + dza = ± У\{' (1^ + [ф' (/)]г 4- [ip' (f^dt, откуда
t
s = f ± УУ (ОР + [ф' (01г + N' WJ2dt,
это уравнение и представляет искомое уравнение (8). Здесь знак перед радикалом определяется тем, по какому направлению траектории — положительному или отрицательному движется точка в течение рассматриваемого промежутка времени.
Простейшее из уравнений движения по траектории есть следующее: s = at + b,(9)
где а и b — постоянные.
Движение, определяемое этим уравнением, характеризуется тем, что в нем в равные времена точка проходит равные пути. Такое движение называется равномерным. Жъх можем считать постоянную а положительной, ибо в противном случае мы могли бы коэффициент при t в уравнении (9) сделать положительным, выбирая за положительное противоположное прежнему направлению траектории. При этом а представит отношение пути, пройденного точкой в какой-либо промежуток времени, к этому промежутку времени (или, если угодно,— путь, пройденный точкой в единицу времени). Это отношение называется скоростью равномерного движения точки. Таким образом, числовая величина скорости есть отношение числовой величины некоторой длины к числовой величине некоторого времени. Отсюда следует, что скорость измеряется именованным числом, единица которого зависит от единиц длины и времени так, что при изменении этих единиц изменяется прямо пропорционально единице длины и обратно пропорционально единице времени. Это обстоятельство в связи с тем, что скорость обращается в единицу скорости, когда равномерное движение таково, что в единицу времени оно проходит единицу длины, может быть выражено следующим символическим равенством:
ед. скорости =ед. скорости =ед. длиныед. времениед. длиныед. времени
ед. скорости =
ед. скорости =
ед. длины
ед. времени
ед. длины
ед. времени
Все величины, с которыми приходится встречаться в кинематике, измеряются единицами, зависящими от двух основных единиц: единиц длины и единиц времени и выражаемыми формулами, подобными только что приведенной.
Обращаемся к какому угодно движению. Пусть Л4 и Л^ — положения движущейся точки в какие-либо два момента времени 1 и tx > t. Мы можем момент tx взять настолько близким к моменту t. что во время от t до 1г точка будет двигаться постоянно в одном и том же направлении по траектории. Тогда дуга vv ММХ представит путь, пройденный точкой в течение этого времени. Отношение
<10)
называется средней скоростью точки за рассматриваемый промежуток времени. Принимая в расчет уравнение (8), можем представить (10) в виде
^1 t
(11)
где знак модуля означает, что берется арифметическое значение разности F^-F^.
Отсюда видно, что средняя скорость за промежуток времени от / до tx есть функция двух переменных t и tv Для равномерного движения эта функция обращается в постоянную величину — скорость равномерного движения. Будем приближать момент tx к моменту / так, чтобы разность tx — t стремилась к нулю. Тогда в отношении (10) или (11) и числитель, и знаменатель будут стремиться к нулю. Если при этом оно будет приближаться к некоторому пределу, то предел этот называется скоростью движущейся точки в момент t.
ds"dids"diТаким образом, скорость в момент t есть предел средней скорости за промежуток времени от t до t + А/, когда этот промежуток времени А/ стремится к нулю. Из (11) видно, что скорость в момент t равна
ds"di
ds"di
1^(01 =
т. е. равна арифметическому значению производной dsldt дуги по времени. Сама производная dsldt носит название скорости по положительному направлению траектории.
Скорость есть всегда величина положительная [4].
Скорость же по положительному направлению траектории положительна, если точка движется в положительном направлении, и отрицательна в противном случае. Скорости приписывают некоторое направление, а именно — направление касательной к траектории, идущее в сторону движения. Направление скорости и направление движения суть тождественные направления. При этом условии скорость можно изображать отрезком прямой. Выбрав произвольную длину для изображения единицы скорости» всякую скорость, заключающую в себе п единиц скорости, изобразим длиной в п раз большей, отложенной от точки в направлении скорости. Вследствие только что сказанного, вопрос об определении скорости приводится к вопросу об определении длины и направления некоторого отрезка прямой Р1. Последние же, как известно, определяются однозначным образом тремя проекциями (прямоугольными или косоугольными) отрезка на какие-либо три направления, не лежащие в одной плоскости.
Таким образом, вопрос об определении скорости приводится к определению ее трех проекций на координатные оси.
Можно доказать, что проекция скорости на какую-либо ось равна скорости проекции движущейся точки на ту же ось по положительному направлению этой оси, если проектирование скорости и точки производится параллельно одной и той же плоскости.
Пусть Ми Мх — положения движущейся точки в моменты t и tv а т и тх — проекции М и Мг на рассматриваемую ось. Будем иметь
ттх = ПР MMV
От точки М в направлении ММХ откладываем длину MN, представляющую в известном масштабе отношение
ммг
и от точки т в направлении ттх откладываем длину тп, изображающую в том же масштабе отношение
тт^ k — t е Очевидно найдем
m/г = ПР MTV.(12)
Но уменьшая tL — г до нуля, найдем, что в пределе тп изобразит в принятом нами масштабе скорость точки т по положительному направлению ее траектории, т. е. оси проекций (ибо проекция тп всякого отрезка MN считается положительной, когда направление от проекции т начала М к проекции п конца N одинаково с направлением оси, и отрицательной в противном случае). Длина же MN изобразит в пределе скорость точки М, так как она изображает отношениеНо уменьшая tL — г до нуля, найдем, что в пределе тп изобразит в принятом нами масштабе скорость точки т по положительному направлению ее траектории, т. е. оси проекций (ибо проекция тп всякого отрезка MN считается положительной, когда направление от проекции т начала М к проекции п конца N одинаково с направлением оси, и отрицательной в противном случае). Длина же MN изобразит в пределе скорость точки М, так как она изображает отношениеММг _ ММ^ ^ ммг tx — t w ммх tx — tММг _ ММ^ ^ ммг tx — t w ммх tx — tа предел отношенияа предел отношенияхорды ММг к дуге w ММг, как известно, равен 1.хорды ММг к дуге w ММг, как известно, равен 1.Поэтому, если о есть скорость точки М в момент /, а ^ — скорость в тот же момент точки т по положительному направлению траектории, то равенст-Поэтому, если о есть скорость точки М в момент /, а ^ — скорость в тот же момент точки т по положительному направлению траектории, то равенст-во (12) вво (12) вТаким плоскостьТаким плоскостьпределе дает следующее:t^ = ПР г.же образом легко доказать, что проекция скорости на какую-либо равна скорости проекции точки на эту плоскость, если проектиро-пределе дает следующее:t^ = ПР г.же образом легко доказать, что проекция скорости на какую-либо равна скорости проекции точки на эту плоскость, если проектиро-вание скорости и точки производится параллельно одному и тому же направлению.§ 7. Пусть положение точки определяется прямолинейными координатами х, у, г и пусть vx, оу) vz — проекции скорости о движущейся точки на координатные оси, причем проектирование на каждую из трех осей х, у, г производится параллельно плоскости двух других осей. По первой теореме предыдущего параграфа заключаем, что их есть скорость проекции движущейся точки по оси х по положительному направлению этой оси. Поэтомуdxвание скорости и точки производится параллельно одному и тому же направлению.§ 7. Пусть положение точки определяется прямолинейными координатами х, у, г и пусть vx, оу) vz — проекции скорости о движущейся точки на координатные оси, причем проектирование на каждую из трех осей х, у, г производится параллельно плоскости двух других осей. По первой теореме предыдущего параграфа заключаем, что их есть скорость проекции движущейся точки по оси х по положительному направлению этой оси. ПоэтомуdxТочно также найдемТочно также найдемdudzyv — ЧГ ’ Уг ~ ЧГ •dudzyv — ЧГ ’ Уг ~ ЧГ •Если взятые оси прямоугольны, то все рассматриваемые проекции будут ортогональными. Поэтому для прямоугольных осей предыдущие формулы можно написать так:vx = о cos (г,х) = , vy = v cos (и, у) = , oz = v cos (г, г) = . (13) (л1 v*k IIIЕсли взятые оси прямоугольны, то все рассматриваемые проекции будут ортогональными. Поэтому для прямоугольных осей предыдущие формулы можно написать так:vx = о cos (г,х) = , vy = v cos (и, у) = , oz = v cos (г, г) = . (13) (л1 v*k IIIКогда уравнения движения даны в прямоугольных координатах х, у, г, этими формулами определится и величина скоростиКогда уравнения движения даны в прямоугольных координатах х, у, г, этими формулами определится и величина скорости
Но уменьшая tL — г до нуля, найдем, что в пределе тп изобразит в принятом нами масштабе скорость точки т по положительному направлению ее траектории, т. е. оси проекций (ибо проекция тп всякого отрезка MN считается положительной, когда направление от проекции т начала М к проекции п конца N одинаково с направлением оси, и отрицательной в противном случае). Длина же MN изобразит в пределе скорость точки М, так как она изображает отношение
Но уменьшая tL — г до нуля, найдем, что в пределе тп изобразит в принятом нами масштабе скорость точки т по положительному направлению ее траектории, т. е. оси проекций (ибо проекция тп всякого отрезка MN считается положительной, когда направление от проекции т начала М к проекции п конца N одинаково с направлением оси, и отрицательной в противном случае). Длина же MN изобразит в пределе скорость точки М, так как она изображает отношение
ММг _ ММ^ ^ ммг tx — t w ммх tx — t
ММг _ ММ^ ^ ммг tx — t w ммх tx — t
а предел отношения
а предел отношения
хорды ММг к дуге w ММг, как известно, равен 1.
хорды ММг к дуге w ММг, как известно, равен 1.
Поэтому, если о есть скорость точки М в момент /, а ^ — скорость в тот же момент точки т по положительному направлению траектории, то равенст-
Поэтому, если о есть скорость точки М в момент /, а ^ — скорость в тот же момент точки т по положительному направлению траектории, то равенст-
во (12) в
во (12) в
Таким плоскость
Таким плоскость
пределе дает следующее:
t^ = ПР г.
же образом легко доказать, что проекция скорости на какую-либо равна скорости проекции точки на эту плоскость, если проектиро-
пределе дает следующее:
t^ = ПР г.
же образом легко доказать, что проекция скорости на какую-либо равна скорости проекции точки на эту плоскость, если проектиро-
вание скорости и точки производится параллельно одному и тому же направлению.
§ 7. Пусть положение точки определяется прямолинейными координатами х, у, г и пусть vx, оу) vz — проекции скорости о движущейся точки на координатные оси, причем проектирование на каждую из трех осей х, у, г производится параллельно плоскости двух других осей. По первой теореме предыдущего параграфа заключаем, что их есть скорость проекции движущейся точки по оси х по положительному направлению этой оси. Поэтому
dx
вание скорости и точки производится параллельно одному и тому же направлению.
§ 7. Пусть положение точки определяется прямолинейными координатами х, у, г и пусть vx, оу) vz — проекции скорости о движущейся точки на координатные оси, причем проектирование на каждую из трех осей х, у, г производится параллельно плоскости двух других осей. По первой теореме предыдущего параграфа заключаем, что их есть скорость проекции движущейся точки по оси х по положительному направлению этой оси. Поэтому
dx
Точно также найдем
Точно также найдем
dudz
yv — ЧГ ’ Уг ~ ЧГ •
dudz
yv — ЧГ ’ Уг ~ ЧГ •
Если взятые оси прямоугольны, то все рассматриваемые проекции будут ортогональными. Поэтому для прямоугольных осей предыдущие формулы можно написать так:
vx = о cos (г,х) = , vy = v cos (и, у) = , oz = v cos (г, г) = . (13) (л1 v*k III
Если взятые оси прямоугольны, то все рассматриваемые проекции будут ортогональными. Поэтому для прямоугольных осей предыдущие формулы можно написать так:
vx = о cos (г,х) = , vy = v cos (и, у) = , oz = v cos (г, г) = . (13) (л1 v*k III
Когда уравнения движения даны в прямоугольных координатах х, у, г, этими формулами определится и величина скорости
Когда уравнения движения даны в прямоугольных координатах х, у, г, этими формулами определится и величина скорости
и ее направление , х 1 dx/ х 1 du, х \ dz
COS (d, X) = —-^р , COS(P,y) = —-^-, cos(y, z) = ——.
Пусть точка движется в плоскости ху. Вместо прямоугольных коорданат х и у будем определять положение ее полярными координатами: ОМ = г и / хОМ = <р. Проводим направление МР, перпендикулярное к радиусу-вектрру
ОМ в сторону возрастания угла ф. Это направление будем обозначать той же буквой ф подобно тому, как направление ОМ радиуса-вектора г обозначаем также буквой г.
Направления г и ф представляют оси полярной системы координат. Найдем проекции скорости на эти оси. Замечая, что
У cos (и, г) = V cos (и, х) cos (г, х) + V cos (и, у) cos (г, у) = ~^- COS ф + -~~ sin ф,
V COS (и, ф) = V cos (и, X) COS (ф, X) + V cos (г, у) COS (ф, у) =^- sin ф +
+ -5ГСОЗФ,
и внося сюда вместо dxldt и dy/dt их выражения, получаемые дифференцированием равенств: х = г cos ф, у = г sin ф, находим
и cos (с, г) =-^-, v cos (г, ф) = г -^-.(14)
Отсюда получаем следующее выражение скорости в полярных координатах
/ / dr \2 .2 V
"=1/ + ■
Положение точки М в пространстве может быть определяемо координатой 2 и полярными координатами г и ф ее проекции т на плоскость ху. Если при этом ось z перпендикулярна к плоскости ху, то величины г, г и ф представляют цилиндрические координаты точки М. Направление оси г вместе с направлениями г и ф осей полярных координат точки т представляют три взаимно перпендикулярных направления, называемые осями цилиндрической системы координат. Найдем проекции скорости точки М на эти оси.
Проекция скорости точки М на ось z дается третьей из формул (13). Что же касается ее проекций на оси г и ф, то для нахождения их достаточно заметить, что на основании второй теоремы § 6 проекция скорости точки М на какую- либо ось, лежащую в плоскости ху, равна проекции на ту же ось скорости точки т. Вследствие этого, с учетом формулы (14), находим
V cos (и, г) =, VCOS (и, ф) = г ^-, vcos(v, Z) =-~ 9(15)
откуда
Л ( dr \2 . 2 / dq> \2 . / dz \2 у = ]/(^)+г (-5-)+(^г)-
Положение точки в пространстве может быть определено также: радиусом-вектором ОМ = г, проведенным из данной точки О (полюса), углом МОР = ф (дополнение широты), составляемым радиусом-вектором с данной осью ОР (полярной) и углом ф (долгота), заключенным между плоскостями МОР (плоскость меридиана) и QOP. Величины г, Ф и ф называются сферическими или полярными в пространстве координатами точки М. Три взаимно перпендикулярных направления:
радиуса-вектора МА, перпендикуляра МВ к нему в плоскости меридиана, направленного в сторону возрастания угла ф, и перпендикуляра МС к плоскости меридиана, направленного в сторону возрастания угла гр, называются осями сферической системы координат. Мы будем обозначать направления МА, МВ и МС Q соответственно г, ф игр. Чтобы найти проекции скорости на эти оси, вводим вспомогательную цилиндрическую координатную систему, в которой за ось z принимаем ось ОР и за полярную ось — ось OQ, перпендикулярную к ОР. Пусть т есть проекция точки М на плоскость
QOR, перпендикулярную к ОР, и пусть От = р. Направления ОР, От и МС будут осями этой вспомогательной системы. По формулам (15) находим
и cos (и, От) = и cos (и, р) = -~-,
и cos (и, МС) = и cos (и, гр) = р -~-,
и cos (и, ОР) = и cos (у, ОР) = -^-.
Поэтому, учитывая, что z = рсо$ф, р = г$шф
ии cos (и, г) = и COS (и, OP) COS ф + и cos (и, р) sin ф,
и COS (и, ф) = — v cos (и, OP) sin ф + V COS (у, р) COS ф, находим
и cos (и, г) = -^-, и cos (и, ф) = г -^-, и cos (и, гр) = г sin ф -^- , (16) откуда
Пусть дано произвольное число отрезков прямой р, q, г, ... по величине и направлению. Для этого должны быть даны их проекции рх, ру, р2; qx, qy, Яг» гх» гу» гг» ••• на координатные оси х, у, г. Здесь, как и везде, мы предполагаем, что проектирование на каждую ось производится параллельно плоскости двух других осей.
Если построим новый отрезок s такой длины и такого направления, чтобы проекции его sx, sy, s2 на наши оси были равны
Sx = Рх + qx + гх + • • • , sg = Ру + qg + Гу 4- • • • , sz = pz + qz + rz + • • • , то этот отрезок представит то, что называется геометрическойJ?
суммой отрезков р, q, г, ... Это выражают равенствомг/
s = pA-q-Vr-V •••
Из этого определения видно, что геометрическая сумма не за- л висит от порядка, в котором производится геометрическое ело- \$
жение ее слагаемых. Легко видеть, что отрезок, представляю- А дий геометрическую сумму данных отрезков, есть замыкаю- \ щая ломаной, построенной на этих отрезках, как сторонах.\
Если, например, имеем три отрезка р, q, г, то геометри-^V,
ческая сумма их s может быть построена следующим образом:р
из какой-либо точки пространства А проводим длину АВ, рав- Рис. 4.
ную и одинаково направленную с отрезком р, из конца ее В проводим длину ВС, равную и одинаково направленную с q и из конца последней С проводим длину CD, равную и одинаково направленную с г. Длина AD есть искомая s.
В случае двух отрезков р и q геометрическая сумма есть диагональ параллелограмма, построенного на р и q, как сторонах.
В случае трех отрезков, не лежащих в одной плоскости, когда они проведены через одну точку, геометрическая сумма есть диагональ параллелепипеда, построенного на этих отрезках, как ребрах. В случае, когда все слагаемые отрезки параллельны, геометрическая сумма их приводится к аналитической, если отрезки одного направления рассматривать, как положительные величины, а отрезки противоположного направления, как отрицательные. Если проекциям рх, ру, рг отрезка р будем приписывать направления осей х, у, г, то будем иметь
Р = Рх + Ру + Рг*
Таким образом, формулы (13) можем заменить следующей геометрической формулой:
dx . du , dz
” = — + -зг + -5Г-
Вследствие этого dxldt и т. д. называется слагающими или составляющими скорости о по координатным осям.
Точно также формулы (15) можно заменить следующей:
dr , d® . dz
если drldt приписывать направление оси г, a dq/dt — направление оси ф и т. д.
Из какой-либо точки в пространстве проводим длину ON, изображающую в принятом нами масштабе по величине и по направлению скорость движущейся точки М. Точка М будет находиться в определенном движении, зависящем от движения точки М. Траектория ее по Гамильтону называется годографом скорости точки М.
Мы будем одновременные положения точек Ми N называть соответственными точками траектории и годографа. Точку О — полюсом годографа.
Когда даны уравнения движения точки М, легко составить и уравнения движения точки N, а следовательно, и уравнения годографа. Пусть
х = Ш, y = wk^, z = ^^
суть уравнения движения точки М в прямолинейных координатах. Принимая за полюс годографа начало координат и обозначая координаты точки N через т] и £, по определению найдем
с. dxdudz
где п — произвольный положительный постоянный коэффициент. Поэтому
I = nf (0, п = пЧ> W ^' (О
будут уравнениями движения точки N. Исключая из них t, получим уравнения годографа. Легко видеть, что когда траектория точки М есть прямая линия, годограф скорости есть прямая, проходящая через полюс.
Когда точка движется равномерно, годограф есть некоторая кривая, лежащая на поверхности сферы, центр которой совпадает с полюсом. Если при этом траектория точки М есть плоская кривая, годограф есть окружность с центром в полюсе. В случае равномерного и прямолинейного движения точки М годограф — точка.
Обращаясь к примерам § 2, находим, что в примере 1 годограф есть прямая, параллельная оси параболы, которую описывает точка М; в примере 2 годограф есть эллипс, подобный и подобным образом расположенный с эллипсом, представляющим траекторию точки М (за полюс годографа принят центр эллипса траектории); в примере 3 годограф есть гипербола, подобная и подобным образом расположенная с гиперболой, сопряженной с той, которая служит траекторией точки М (полюс в центре гиперболы траектории); в примере 6 годограф есть окружность, плоскость которой перпендикулярна к оси 2 и центр вообще не совпадает с полюсом.
Рассмотрение годографа легко приводит к общему определению понятия об ускорении.
Ускорением движущейся точки называется величина, относящаяся к скорости так, как скорость соответствующей точки годографа относится к радиусу-вектору последней.
При этом ускорению приписывается направление, одинакобое с направлением скорости этой последней точки. Пусть о — скорость точки М, и — скорость точки N и р радиус-вектор точки N. Обозначая через о по величине и по направлению [6] ускорение точки М будем иметь
V =(18)
и cos (и, х) = cos (и, х\ cos (и, у) = cos (и, у), cos (и, 2) = COS (и, 2).
Из (18) видно, что ускорение измеряется единицей, которую можно выразить следующей символической формулой:
ед. скорости
ед. ускорения =* един, скорости
или, принимая в расчет выражение единицы скорости,
ед. ускорения =ед. ускорения =ед. длины(ед. времени)2ед. длины(ед. времени)2
ед. ускорения =
ед. ускорения =
ед. длины
(ед. времени)2
ед. длины
(ед. времени)2
Также, как и скорость ускорение можно изображать длиной, выбрав произвольную длину для изображения единицы ускорения. При этом вопрос об определении ускорения приведется к определению его трех проекций на координатные оси. Обозначая через оХ1 иу, и2 и через их, иу, и2 проекции о и и на оси х, у, г, замечая затем, что формулы (17) дают и _ 1
и, принимая в расчет сказанное выше о направлении ускорения, из (18) находим
111
п WX1 Vy п иУ' ^2 п ^Z^
но вследствие (17) имеем d^ d2xdr] d2ydt, d2z
Ux "“ П dt2 ’ иУ ~ T " П dt2 ’~ IF " П dt2 *
Поэтому
• __d4_• _ _сРу_ • ___ _db_
Ux — dt2 ’ УУ — dt2 ’ ^г ” dt2 *
В случае прямоугольных координат первые части этих равенств соответственно равны
V cos (и, х), V cos (и, у), и cos (V, 2).
Поэтому в данном случае
Л/ Л \2 , / d^y \2 , / d2z \2
У —( d^ ) + ( d/2 ) + ( d^ ) ’
Когда движение точки М равномерно и прямолинейно, уравнения движения будут
х = а/ + а', у = bt + b', z = ct-Vcr.(20)
Отсюда
d2x _ d2y _ d2z _
IP ^2 ~ dt2 ’
т. е. ускорение точки равно нулю.
Обратно — если ускорение точки равно нулю, то имеют место равенства (21), интегрирование которых дает равенства (20), где а, а', 6, Ь', с, с' — произвольные постоянные. Движение точки есть, следовательно, прямолинейное и равномерное. Обращаемся к примерам § 2.
В примере 1
^х — 2а ^ — 26 ^г — 2сdP — Za' dP — ZD> dP ~ ZCe
Ускорение сохраняет постоянными величину и направление. Оно параллельно оси параболы, которую описывает точка. В частном случае, когда
а’ V с*аbс
парабола превращается в прямую линию. В этом случае скорость точки есть линейная функция времени, а ускорение постоянно и направлено вдоль прямолинейной траектории точки. Такое движение называется равномерно измененным.
Равномерно измененное движение называется равномерно ускоренным, если в нем скорость и ускорение имеют одинаковые направления и равномернозамедленным, если скорость и ускорение имеют противоположные направления.
В примере 2
^. = _кчх_аг ^_ = _h^_b-v ^.=_кчг_^.
Ускорение пропорционально радиусу-вектору, проведенному из центра эллипса траектории, и направлено вдоль его к центру.
В примере 3
^- = кЧх-а^ ^-=кЧу-Ь"\ -^ = кЧг-^.
Ускорение пропорционально радиусу-вектору, проведенному из центра гиперболы траектории, и направлению вдоль его от центра.
Пусть даны два отрезка прямых р и q своими проекциями рх, ру, р2 и Чх» Чу» Чх на оси х» У» 2- Пусть
Рх — Цх = гх, pg — qg = rg, pz — qz = rz.(22)
Отрезок прямой такой длины и такого направления, что проекции его на координатные оси равные, гу, гг, называется геометрической разностью отрезков р и q. Это выражают следующим геометрическим равенством
p—q = r.(23)
Так как из (22) следует
Рх = Ух + rx, pg = qH + rg, pz = qz + rz, тор = q + г.
^,_..,- Сравнивая это геометрическое равенство с предыдущим, ви
Дим, что в геометрических равенствах можно переносить \*^ члены из одной части равенства в другую, изменяя при них
X/знаки. Если р = 0, то рх = ру = рг = 0. При этом (22)
/р дает
/—qx^rx. —qti = rgi — qz = rZi
Очто означает, что длины q и г равны и противоположны по
Рис. 5. направлению. Это обстоятельство геометрически выразится равенством —q = г, вытекающим при р = 0 из (23). Построенная геометрическая разность определяется следующим образом. Из какой-либо точки О проводим длины О А и ОВ равные и параллельные q и р. Длина АВ представит геометрическую разность р — q.
Отрезок прямой, непрерывно изменяющий с течением времени и свою длину, и свое направление, можно назвать геометрической функцией времени. Пусть р и рх — суть отрезки, изображающие (по величине и направлению) значения геометрической функции времени в моменты / и tv Геометрическую разность рг — р можно назвать геометрическим приращением этой функции за время от t до ty, а предел отношения
Р1 — Рty t
когда ty — t стремится к нулю, геометрической производной ее по времени. Геометрической производной будем приписывать направление, в которое в пределе обратится направление геометрического приращения.
Пусть р* есть геометрическая производная геометрической функции р и пусть рх, ру, рг — проекции р* на оси х, у, г, а рх, ру, р2 — проекции р. Легко показать, что
Рх — dt * р«- dt ’ Рг dt - ^
В самом деле, если pl, р^,, р\ — проекции рг, то р* — рх есть проекция на ось х геометрической разности рг — р, а следовательно,
Р^ — Рхty /
есть проекция
Pi — P ty — t если последней величине приписывать направление рг—р. Переходя к пределу, получим первую из формул (24).
Если г есть радиус-вектор движущейся точки, проведенный из начала координат, то гх = х, гу = у, rz = г. Поэтому на основании (24), заключаем, что г — скорость точки. Итак, скорость есть геометрическая производная по времени от радиуса-вектора точки.
Пусть о = г' — скорость движущейся точки. Тогда
Поэтому на основании (24) заключаем, что о' есть ускорение точки.
Таким образом, мы приходим к новому общему определению ускорения: ускорение точки есть геометрическая производная скорости по времени.
Если найдем геометрическую производную от ускорения, то это будет геометрическая производная второго порядка от скорости или третьего порядка от радиуса-вектора, которая называется ускорением второго порядка. Вообще
геометрические производные высших порядковQ
от скорости дают так называемые ускорения
высших порядков. Рассматривать их здесь не у
будем. Заметим, что когда геометрическая /
функция времени изображается отрезком, не ^ j(т^
меняющим своего направления, то геометр и че- //
ская производная приводится к аналитической /и
производной от той функции времени, которой
выражается длина этого отрезка.
12. Выведем одну вспомогательную фор-Рис- 6-
мулу. Пусть имеем Р— некоторое подвижное направление, изменяющееся с течением времени по данному закону и нам необходимо найти ортогональную проекцию на это направление геометрической производной р' геометрической функции р. Предположим координатные оси прямоугольными, найдем:
р' cos (р', Р) = рх cos (Р, х) + ptJ cos (Р, у) + рг cos (Р, 2) = -^- cos (Р, х) +
+-^-cos (Р, у) +-^-cos (Р, г) =-4-[у, cos (Р, х) + •••] — [рх х
_ dcos(P, х) ,1 d[pcos(p, Р)] Г dcos(P, х) , d cos (Р» у) ,
хdi+ * * J di[^di+di+
, d cos (Р, z) ]
Через начало координат проводим направление, параллельное Р и на этом направлении берем точку N в расстоянии 1 от начала координат. Координаты этой точки будут
cos (Р, х), cos (Р, уУ cos (Р, 2).
Поэтому, если через и обозначим скорость точки N, то будем иметь
dcos(P, х),. dcos(P, у), х dcos(P, z),.
■ 7 = и cos (и, х), —— = и cos (и, уу ~ = и cos (и, гУ di'atX »X > /
Вследствие этого формула наша примет вид
// / пх d[pcos(p, Р)], х
р cos (р , Р) = ———^— ри cos (р, и).(25)
Эту формулу нам и нужно было вывести. Обозначая по-прежнему через г радиус-вектор движущейся точки и через о — ее скорость, из формулы (25) при р = г находим
/[г cos (и, Р)1, х
и cos (и, Р) = —~~ru COS (г, иу
Этой формулой мы могли бы воспользоваться для вывода проекции скорости на оси полярной или какой-либо другой криволинейной координатной системы.
Формула (25) приводит также к следующей формуле для ускорения ■/’d [и cos (и, Р)], х
О cos (и, Р) = —-OU cos (и, и).(26)
Предполагая, что точка М движется в плоскости, в которой положение ее определяется полярными координатами г и ф, воспользуемся формулой (26) для определения проекций ускорения на оси этой системы координат. На радиус-векторе точки М берем точку Nr на расстоянии 1 от полюса О. Затем
через О проводим направление ф и на нем на расстоянии 1 от О берем точку N^. Из расстояния чертежа нетрудно убедиться, что скорость точки Nr или равна dq/dt и направлена одинаково с осью ф или равна — dqldt и направлена противоположно оси ф. Точно также скорость точки N^ или равна d^ldt и направлена противоположно оси г или равна — dq/dt и направлена одинаково с г.
Примем в формуле (26) за ось Р направление г. Тогда и будет скоростью точки Nn а следовательно (по только что замеченному),
и cos (и, г) = О, и cos (и, ф) = -^-.
Вследствие этого, принимая в расчет формулы (14), находим
ш cos (и, и) = v cos (и, г) и cos (юг) + и cos (и, ф) и cos (и, ф) = г (-^-j .
Формула (26) поэтому дает [7]
,- х d^r (dtp \2
ycos(y,r) = -^-r^ .
Примем теперь за направление Р направление ф. Тогда и будет скоростью точки Л/ф и, следовательно,
и cos (и, г) =^-, и cos (и, ф) = О,
вследствие чего
, хdr dtp
mcos(v,b) =
Формула же (26) дает
х d / dtp \ , dr dtp
уcos(Р, ф) = —^
Вторая часть этого равенства легко приводится к виду
d / 2 dtp \ г dt у dt ) *
Таким образом, находим
*/*\ ^г / dtp \2
У cos (у, г)г ,
у cos (у, ф) = 4" "ИГ (г2 "5") •(27)
Пусть точка движется в плоскости так, что направление ее ускорения всегда проходит через некоторую неподвижную точку. Такое ускорение называется центральным, а точка, через которую всегда проходит его направление — центром ускорения.
Принимая центр ускорения за полюс полярной системы координат, найдем что в таком движении всегда имеет место равенство cos (и, ф) = О или в силу
откуда
(28)
где с — произвольная постоянная.
Покажем какое значение имеет уравнение (28). Величина -—гМср представляет, как известно, элемент площади, ограниченной дугой траектории точки и двумя радиусами-векторами, проведенными в конце этой дуги. Если поэтому площадь, описанную радиусом-вектором в течение какого-либо времени обозначим через s, то будем иметь
-y-r2dq> = ds.
Уравнение (28) обратится поэтому в следующее: ds 1 „
откуда s=-~-ct-\-c\ где с* — новая произвольная постоянная. Уравнение (28) выражает поэтому, что площадь, описываемая радиусом-вектором, возрастает пропорционально времени. Таким свойством характеризуется всякое движение точки с центральным ускорением.
Бине дал весьма простую формулу для определения центрального ускорения по данной траектории точки. Чтобы вывести эту формулу, условимся центральное ускорение считать положительным, когда оно направлено от точки М к центру и отрицательным в противном случае. Тогда из (27) найдем
z- х /dtp \2 d2rv = -vcos(v,r) = r^j
Рассматривая г как данную функцию ф, а ф как функцию I и принимая в расчет уравнение (28), находим
d-L
dr dr dtp c dr г
di dtp dt r2 dtp C dtp ’
d2 —d2 —
d2r л rdtp c2 r
dt2Cdtp2dtr2dtp2 *
Вследствие этого и получаем искомую формулу
Когда траектория точки дана, 1 /г будет известной функцией <р. Поэтому формула эта дает непосредственно величину ускорения.
Пусть, например, траектория точки есть коническое сечение, а ускорение всегда проходит через его фокус. Принимая последний за полюс и выбирая надлежащим образом полярную ось, представим уравнение конического сечения в виде
1 + 8 COS ф ’
где р — параметр, а 8 — его эксцентриситет. При 8 < 1 это будет эллипс, при 8—1 — парабола и при е > 1 — гипербола. Уравнение это дает
d-—
Г 8 d2 COS ф811
dф2 р dip2~р"C0S ~р У *
Поэтому по (29) имеем
Ускорение, следовательно, обратно пропорционально квадрату расстояния от фокуса, и так как величина его получилась положительная, то направлено оно от точки к фокусу.
Когда даны траектория точки и уравнение движения по траектории, для определения величины и направления ускорения, можно получить формулы, не зависящие от какой-либо координатной системы. Обозначая через s дугу траектории, положим, что последняя задана уравнениями вида
X = f (s), У = ф (s), Z = ф (S).
Рассматривая здесь s как известную функцию / найдем dx dx ds d^x dx d^s . d^x / ds \2 "dT — ^rT’ "dS" — ~dT'~dir + "d^ var) •
Назовем через T положительное направление касательной к траектории в точке М и через р направление главной нормали или радиуса кривизны, которое будем считать от точки М к центру кривизны. Величину радиуса кривизны обозначим через р. Тогда, предполагая нашу координатную систему прямоугольной, найдем
dxim х d^x 1
-ar = cos(T,x\— cos (р, x).
Поэтому принимая в расчет, что
находим
**d2sи2
V COS (и, X) = -^2“ cos (Т, х) + COS (р, х),
..п2
и cos (и. у) = cos (Т, у) + — COS (р, у),(30)
и cos (d, z) = -^- cos (Т, г) + -у- cos (р, z).
Обозначая еще через га направление перпендикуляра к плоскости кривизны (перпендикуляр к Т и р) [8] из формулы (30) выводим
•*d^s***
V COS (и, Т) = -^2- , и cos (и, р) = —— , V cos (и, и) = 0.(31)
Последнее из этих равенств показывает, что ускорение всегда лежит в соприкасающейся плоскости, что впрочем можно вывести и непосредственно из определения ускорения.
Второе равенство дает положительную величину для cos (и, р), откуда следует, что ускорение всегда составляет острый угол с направлением радиуса кривизны.
Формулы (31) дают следующую величину ускорения
откуда видно, что ускорение вообще больше | d^s/dt21. В формулы (31) можно внести вместо направления Т направление скорости. Для этого замечаем, что когда ds/dt > 0 направления d и Т одинаковы и v = ds/dt и когда ds/dt < 0 направлениям и Т прямопротивоположны им =—ds/dt. Поэтому во всяком случае
и cos (м, м) = . (32)
Из найденных формул следует, что ускорение точки есть геометрическая сумма двух ускорений:
скорения, равного dvldt, если dvldt > 0 и направленного одинаково с и или равного — dvldt, если dvldt <0 и направленного противоположно г; 2) ускорения, равного и2/р и направленного одинаково с р. Первое ускорение называется тангенциальным, второе — центростремительным.
В одном только случае, когда траектория есть прямая линия, ускорение всегда приводится к одному тангенциальному и в одном только случае, когда движение есть равномерное, ускорение приводится всегда к одному только центростремительному. Так, например, при равномерном движении по окружности ускорение равно квадрату скорости, деленному на радиус и направлено по радиусу от точки к центру.
Глава II
КИНЕМАТИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
§ 1. Мы будем рассматривать твердое тело как неизменяемую систему точек (см. введение). Вообразим координатную систему £, т], £, оси которой были бы неизменно связаны с твердым телом. Определяя положение этой системы по отношению к какой-либо координатной системе х, у, г мы тем самым определим и положение тела по отношению к последней. Обе координатные системы: х, у, г, которую будем называть неподвижной, и В, т), £, которую предполагаем неизменно связанной с телом, будем всегда выбирать прямоугольными. Известно, что положение одной координатной системы по отношению к другой определяется шестью величинами, за которые можно принять: три координаты начала новой системы и три эйлеровых угла, которым направления новой системы определяются по отношению к осям прежней. Те же величины могут служить и для определения положения твердого тела.
Итак, положение твердого тела в пространстве определяется шестью величинами. Эти шесть величин можно назвать координатами твердого тела. Когда все шесть координат его совершенно независимы между собой, мы будем говорить, что твердое тело свободно.
Введем следующие сокращенные обозначения:
cos (х, g) = (X, £), COS (X, Т]) = (х, Т]), cos (х, 9 = (х, С),
cos (у, g) = (у, у, cos (у, T]) = (у, Т]), cos (у, 9 = (у, 9,cos (z, У = (z, У, cos (z, 4) = (z, T]), cos (z, 9 = (z, g.
Эти девять косинусов связаны между собой следующими шестью уравнениями:кхЛ?А-кУ. У2 + (г,У2 = 1,
(х, ч)2 + (У, Ч)2 + (z, П)2 = 1.
(*, 92 + (у, 92 + (?, 92 = L(1)
(х, 4) (х, 9 + (у. ч) (У. 9 + (z, ч) (z, 9 = 0,
(х, 9 (х, у + (у, 9 (У, У + (г, 9 (г, У = 0,
(X, у (X, ч) + (у, у (у, ч) + (г, У (z, ч) = 0,
которые, если угодно, можно заменить равносильными им уравнениями:
(х, У2 + (х, ч)2 + (х, 92 = 1,
(У, У (z, У + (У, ч) (г, ч) + (у, 9 (г, 9 = 0.
Рассмотрим некоторые следствия уравнений (1). Пусть
(х,9 (У, 9 (2,9(х,9 (У, 9 (2,9= А.= А.(х, 9 (X, Т])(У. 9 (У. П)(z, 9 (Z, Т])
(х,9 (У, 9 (2,9
(х,9 (У, 9 (2,9
= А.
= А.
Возведя этот определитель в квадрат по правилу перемножения определителей, и принимая в расчет соотношения (1), находим Д2 = 1 и, следовательно, Д = = ± 1. Выбор знака зависит от того, являются ли координатные системы х, у. z и ^ ^ t, одного и того же рода или различных родов.
Положим, что координатная система £, т], £ приведена в такое положение, при котором ось £ приняла направление оси х и ось т] — направление оси у. Если при этом ось £ примет направление оси г мы говорим, что координатные системы £, т], £ и х, у, г одного и того же рода. Если ось £ примет направление противоположное оси г, мы говорим, что наши координатные системы различных родов. Очевидно, что в первом случае Д = 1, во втором Д = —1.
Мы будем предполагать всегда, что координатные системы х, у, z и £, т), £ одного рода и что, следовательно, Д = 1.
Из группы уравнений (1) берем три следующие
(X, 9 (X, 9 + (У, 9 (У, 9 + (2,9 (2,9 = 1.
(х, я) (х, 9 + (у. л) (у, 9 + (г, n) (z,9 = о,
(х, 9 (х, 9 + (у, 9 (У. 9 + (г, 9 (2, 9 = 0
и рассматривая в них вторые множители каждого члена, как неизвестные, решаем их относительно последних принимая в расчет, что Д = 1. Таким образом, находим
(х, 9 = (у, л) (z, 9 — (у, 9 (z, л),
(у, 9 = (Z, Л) (х, 9 — (Z, 9 (Х, Л),
(2,9 = (*, л) (у. 9 — (*, 9 (у. л)-
Делая в этих формулах круговую перестановку букв, получаем следующие формулы:
(x,n) = (y,9(z, 9-(У. 9(2,9,
(y,n) = (z,9(x,9-(z,9(x,9,(2)
(z,n) = (x,9(y.9-(x,9(y.9.
Точно также получаем еще третью группу формул
(*, 9 = (У, 9 (z, л) — (у, Л) (z, 9,
(У, 9 = (z, 9 (х, л) — (z, Л) (*, 9.
(z, 9 = (х, 9 (у, п) — (х, л) (у, 9-
Определим теперь те три эйлеровых угла, которыми будем пользоваться. Из какой-либо точки О проводим направления, параллельные осям обеих координатных систем. Затем из этой точки, как из центра, описываем сферу радиусом, равным 1, и замечаем точки пересечения ее с осями. Пусть х, у, г; £, т], £ — СУТЬ эти точки. Соединяем их дугами больших кругов.
Сферический угол между дугами zx и z£, измеряемый дугой хх\ обозначаем через ф. Это есть двугранный угол между плоскостями zOx и zO£. Угол, измеряемый дугой z£, обозначаем через О. Это есть угол между направлениями Oz и О£ или плоскостями хОу и £От]. Наконец, сферический угол между дугами £х' (продолжение z£) и ££, равный двугранному углу между плоскостями zO£ и £О£, обозначаем через ф. Тремя углами определяются направления осей О£, От], О£ по отношению к осям Ox, Оу, Oz.
Определим точным образом направления, в которых эти углы гр, fl, ср будем отсчитывать.
Рассматривая вращение неизменяемой системы вокруг оси данного направления, мы будем отличать вращение, совершающееся в одну сторону от вращения, совершающегося в противоположную сторону, называя одно положительным, другое отрицательным.
Условимся положительным называть такое вращение, которое должно быть сообщено координатной системе х, у, 2 вокруг оси г для того, чтобы после поворота на прямой угол положительное направление оси х совместилось с прежним положительным направлением оси у.
Если наша координатная система такова, что для наблюдателя, поместившегося вдоль оси г (так, что направление этой оси идет снизу вверх) и смотрящего по направлению оси х, ось у направлена вправо, то положительное вращение таково же, каково вращение Земли вокруг того направления своей оси, которое идет с севера на юг. Вращение совершающееся в такую сторону, мы будем иногда называть вращением по часовой стрелке.
Угол яр будем отсчитывать от дуги 2Х в направлении положительного вращения вокруг оси z. После такого поворота на угол яр координатной системы х, у, г точка х займет положение х', а точка у — положение у*.
Угол У* мы будем отсчитывать от оси 02 в направлении положительного вращения вокруг оси Оу'.
Наконец, угол ф будем отсчитывать от дуги ^х' в направлении положительного вращения вокруг оси О£.
Отрицательные значения этих углов будут указывать, что они должны отсчитываться в направлениях, противоположных только что указанным.
Из рассмотрения рис. 7, пользуясь элементарными формулами сферической тригонометрии, выводим следующие формулы:
(х, |) = — sin ф sin яр + cos ф cos яр cos fl,
(х, т^ = — cos ф sin яр — sin ф cos яр cos fl, (х, £) = sin fl* cos яр,
(у, £) = sin ф cos яр + cos ф sin яр cos fl,(3)
(у, Л) “ cos Ф cos яр — sin ф sin яр cos А, (у, £) = sin fl* sin яр,(z, I) = — sin fl cos ф, (z, T]) = sin fl sin ф, (z, Q = cos fl.
Назовем координаты в отношении неподвижной системы той точки твердого тела, которая принимается за начало координат 5, т), £ через х0, yQl z0. Шесть величин х0, yOl z0, яр, ф, fl мы можем принять за координаты твердого тела. Всякий вопрос о движении твердого тела приводится к составлению уравнений следующего вида:
Х0 = кЦ), y6 = f3^, г0 = 13^,
» = Fa(t), w = F3(t).(4)
Так как такие уравнения найдены, мы будем в состоянии составить уравнения движения всякой точки твердого тела. В самом деле, между координатами х, у, г и 5 т], £ одной и той же точки существует следующая зависимость:
X = Хй + (X, У £ + (х, 13) Т] + (х, С)
У = Уо + ^Л)^ + (У,Ч)ч + (У,9^.(5)
z = z0 + (z, £) £ + (г, ^ П + (г, £) ^
Если рассматриваемая точка принадлежит твердому телу, то е, г|, £ будут здесь величинами постоянными. Задавая их, мы тем самым определяем точку твердого тела, движение которой желаем рассматривать.
Заменяя в уравнениях (5) косинусы (х, g) (х, т]) и т. д. их выражениями (3), а величины х0, у0, z0, гр, Ф, ср вторыми частями равенств (4) и подставляя вместо g, г|, £ данные постоянные, мы преобразуем уравнения (5) в уравнения движения рассматриваемой точки (|, т), £) твердого тела.
Обратим внимание на некоторые наиболее характерные роды движений, возможных для твердого тела. Когда твердое тело движется так, что всякая принадлежащая ему прямая сохраняет неизменное направление, движение его называется поступательным. В таком движении траектории всех точек тела суть кривые, тождественные по своему виду.
Когда при движении тела остается неподвижной некоторая принадлежащая ему прямая, для чего достаточно, чтобы две точки этой прямой оставались неподвижными, движение его называется вращательным вокруг оси.
В таком движении траектории всех точек суть дуги окружностей, плоскости которых перпендикулярны к неподвижной прямой (оси) и центры лежат на последней. Если тело движется так, что можно найти такую плоскость Q, от которой все точки его находятся на постоянных расстояниях, говорят, что тело движется параллельно плоскости Q. В этом движении все точки тела, находившиеся в какой-либо момент времени на прямой, перпендикулярной к плоскости Q, и во всякий другой момент будут находиться на прямой, перпендикулярной к Q. Вращательное движение вокруг оси есть частный случай такого движения.
В известном смысле движение, параллельное плоскости, можно рассматривать как сложное из поступательного и вращательного вокруг оси.
Мы говорим вообще, что движение твердого тела есть сложное из двух движений, когда рассматриваем его, как результат совместного существования следующих двух движений: относительного движения тела по отношению к новой неизменяемой системе и движения этой последней. Эти же два движения по отношению к рассматриваемому движению тела называются составляющими.
Рассматривая движение, параллельное плоскости Q, вообразим неизменяемую систему, постоянно связанную с одной из точек О твердого тела и движущуюся поступательно. Движение тела будет сложное из движения этой неизменяемой системы и из относительного движения по отношению к ней. Последнее же есть вращательное вокруг оси ОР, перпендикулярной к плоскости Q, ибо в этом движении точка О, а следовательно (по свойству движения параллельного плоскости) и все другие точки тела, лежащие на ОР, не участвуют.
Если твердое тело движется так, что одна из точек его остается неподвижной, то движение его называется вращательным вокруг точки или просто вращательным. В таком движении траектории всех точек лежат на сферах, общий центр которых совпадает с неподвижной точкой.
Рассматривая теперь произвольное движение твердого тела, легко убеждаемся, что его всегда можно рассматривать, как сложное из поступательного и вращательного. В самом деле, если мы введем неизменяемую систему, неизменно связанную с одной из точек О твердого тела и движущуюся поступательно, то из двух составляющих движения тела то, которое есть относительное по отношению к введенной неизменяемой системе, будет вращательным, ибо в нем точка О не принимает участия. Обратим внимание еще на один частный случай движения. Пусть твердое тело движется так, что движение его можно рассматривать, как сложное из поступательного, в котором все точки движутся параллельно некоторой прямой, и из вращательного вокруг оси, параллельной той же прямой, причем угол, на который поворачивается тело в какой-
либо промежуток времени во втором движении, находится в постоянном отношении к перемещению какой-либо точки за тот же промежуток времени в первом. Такое движение называется винтовым. Ось вращательного составляющего движения называется осью винтового движения. В этом движении траектории всех точек тела суть винтовые линии одного и того же шага, который называется шагом винтового движения.
Поступательное движение рассматривать не будем. Достаточно заметить, что по свойству этого движения в нем скорости и ускорение всех точек тела равны и параллельны.
Рассмотрим вращательное движение вокруг оси.
Через ось проводим две плоскости: неподвижную Q и неизменно связанную с телом Р. Угол между ними обозначим через гр. Это будет некоторая функция t. Пусть е есть угол, на который поворачивается плоскость Р во время т. Если т предположим бесконечно малым, то предел отношения е/т представит то, что называют угловой скоростью тела. Мы будем обозначать ее буквой Q.
Так как углы мы выражаем отвлеченными числами, то из данного определения угловой скорости выводим следующую символическую формулу:
1 единица углов, скор. =•
Jг един. врем.
Легко видеть, что
dt ’
где, конечно, знак «+» относится к случаю d-^/dt > 0, знак «—» к случаю d-^/dt < 0.
Примем ось вращения за ось 2, с ней же совместим и ось £. Плоскость Q примем за плоскость zx, а плоскость Р — за плоскость ^. Запишем
х = £ cos гр — тз sin гр, у = g sin гр + т] cos гр.
Предполагая и т] координатами некоторой точки твердого тела и, следовательно, постоянными, дифференцируем эти тождества но / и находим
-ДГ = — gsinip + ricosip)-^ , -^- = (gcosip—rising)
или
dx dtp dy d-ф
"~dT — — ""dT ’ 1Г~ХИГ-
Этими формулами в связи с тем, что dzldt = 0 определяются проекции скорости о рассматриваемой точки тела на координатные оси. Мы представим эти формулы в виде
о cos (и, X) = =Р Йу, у cos (и, у) = ± Qx, (6)
где верхние знаки относятся к случаю, когда тело вращается вокруг оси z в положительном направлении, нижние — когда оно вращается вокруг нее в отрицательном направлении. Из формул (6) находим
и2 = Q2 (х2 + у2),
V^H2 *V^H2 *откуда
V^H2 *
V^H2 *
Формула эта дает новое определение угловой скорости: угловая скорость твердого тела есть постоянное для всех его точек отношение скорости к расстоянию до оси.
В формулах (6) за ось z принята ось вращения. Выведем общие формулы, предполагая ось вращения наклонной к координатным осям под произволь-
ными углами. Условимся под направлением оси вращения понимать то вполне определенное направление, вокруг которого тело вращается в положительную сторону. Пусть I есть это направление.
Пусть М (х, у, г)— точка тела, скорость которой нужно определить. Из этой точки опускаем перпендикуляр на направление Z, проведенное через начало координат. Основанием перпендикуляра пусть будет т. Положим тМ = р и длине тМ припишем направление от т кЛ4. Это направление будем обозначать через р.
Из определения того, что мы понимаем под положительным вращением следует, что направления Z, р и у также расположены между собой, как соответственно z, х и у или ^Д и т|. Поэтому мы прямо можем воспользоваться формулами (2), заменяя в них: направления £, £, т) направлениями Z, р, и. Таким образом, находим
cos (у, х) = cos (Z, у) cos (р, z) — cos (Z, z) cos (р, у), cos (у, у) = cos (Z, z) cos (р, х) — cos (Z, х) cos (р, z), cos (у, z) = cos (Z, х) cos (р, у) — cos (Z, у) cos (р, х).
Умножая эти равенства на v = Qp, получаем
v cos (у, х) = Q cos (Z, у) р cos (р, z) — Q cos (Z, z) р cos (р, у),
v cos (у, у) = Q cos (Z, z) р cos (р, х) — Q cos (Z, х) р cos (р, z),(7)
*0 cos (у, z) = Q cos (Z, х) р cos (р, у) — Q cos (Z, у) р cos (р, х).
Пусть О — начало координат. Мы можем рассматривать ОМ = г как геометрическую сумму От (От = г cos (г, Z)) и тМ = р. Поэтому для произвольного направления
г cos (г, Р) = г cos (г, Z) cos (Z, Р) + р cos (р. П
Определяя по этой формуле р cos (р, х), р cos (р, у), р cos (р, г), вносим их значения во вторые части равенств (7). Тогда, замечая, что
о cos (с, х) = х, и cos (и, у) — у, и cos (о, z) = z, найдем
о cos (с, х) = й cos (I, y)z — й cos (I, z) y,
v cos (c, y) = Й cos (I, z)x — Й cos (Z, x) z.
Эти формулы и нужно было вывести.
Формулы эти можно представить в виде
о cos (v, х) = toyz — tojy, и cos (с, у) = ©2х — toxz, у cos (t>, г) = юху — ®ух, (8) полагая
й cos (I, х) = ©х, й cos (Z, у) = юи, Й cos (I, z) = юг.
Отсюда
Й = У"tox + toy + ©г, cos (I, х) = —=^==^.(9)
Vto2x + toy + toz
cos (I, у) =cos (I, у) =^ю* + <Оу + <Вг^ю* + <Оу + <Вгcos (Z, z) =cos (Z, z) =Kto^ + 0)2 + 6)2Kto^ + 0)2 + 6)2(10)(10)
cos (I, у) =
cos (I, у) =
^ю* + <Оу + <Вг
^ю* + <Оу + <Вг
cos (Z, z) =
cos (Z, z) =
Kto^ + 0)2 + 6)2
Kto^ + 0)2 + 6)2
(10)
(10)
Рассмотрим движение твердого тела, параллельное некоторой плоскости. Примем последнюю за плоскость ху. Достаточно рассмотреть движение сечения тела плоскостью ху, так как движение всех сечений его плоскостями, параллельными ху, будет тождественным. Таким образом, мы будем рассматривать движение плоской неизменяемой фигуры в ее плоскости.
Возьмем какую-нибудь точку О фигуры с координатами х0, у0 и примем ее за начало новых координат х, у, оси которых всегда остаются параллельными осям хи у, так что между координатами х, у и х, у одной и той же точки будут существовать соотношения
x = x0+x, у = уо + у.(Н)
Движение фигуры будет сложным, состоящим из поступательного, определяемого движением точки О и из вращательного вокруг последней. Это второе движение будет относительным по отношению к системе осей х, у. Пусть Q — угловая скорость этого движения.
Из (11) находим
dx dx0 х dx dy dy0 , dydt — ~dT dt dt ~+ di e
Равенства эти выражают, что скорость каждой точки фигуры есть геометрическая сумма из скоростей этой точки в составляющих движениях фигуры. Далее, согласно (6) имеем
Поэтому, полагая ±£2 = со, находим
-^ = VCOS (и, X) =<0 (у — у0),
-J- = wcos(r, ^) = -^-+®(х —х0).(12)
Если введем систему осей g и т] с началом в точке О, неизменно связанных с фигурой, и угол между осями х и £ обозначим через гр, то трех величин х0, у0, ф будет достаточно для определения положения фигуры в ее плоскости. Чтобы задать движение фигуры, мы должны задать в функциях времени х0, у0, Ф-
Для величины со, входящей в формулы (12), будем иметь следующее выражение:
из которого следует, что если бы вместо точки О за начало координат х, у и £, т] была принята какая-либо другая точка фигуры, то величина, играющая роль со в новых формулах, подобных (12), осталась бы прежней. Следовательно, угловая скорость вращательного составляющего движения фигуры не зависит от способа, которым движение фигуры разлагается на поступательное и вращательное.
Из формул (12) следует, что в каждый момент времени, в который со не есть нуль, может быть найдена одна вполне определенная точка фигуры, скорость которой равна нулю. Точка эта называется мгновенным центром скоростей. Координаты ее хс, ус определяются формулами
(13)
При помощи этих формул уравнения (12) приводятся к виду
V cos (и, х) = — со (у — ус), и cos (и, у) = со (х — х^. (14) Сравнивая эти равенства с (6), убеждаемся, что скорости всех точек плоской неизменяемой фигуры, движущейся в своей плоскости, таковы, как если бы фигура вращалась вокруг мгновенного центра с угловой скоростью Q = ± со. Короче — скорости всех точек фигуры суть вращательные вокруг мгновен-
ного центра. Когда положение мгновенного центра С и угловая скорость Q известны, скорость всякой точки М фигуры легко найти построением, ибо она перпендикулярна к СМ и равна ЙСМ. Когда известны направления скоростей двух точек М и N фигуры, мгновенный центр найдется, как пересечение перпендикуляров, восстановленных из М и N к скоростям этих точек. Если, кроме того, известна величина скорости точки М, то найдется и величина скорости точки N, а также и всякой другой точки фигуры.
Пример 1. Две точки М и N фигуры движутся по двум взаимно перпендикулярным прямым Ох и Оу. Мгновенный центр есть вершина прямоугольника, построенного на сторонах ОМ и ON, противоположная О.
П р и м е р 2. Некоторая точка М фигуры движется по прямой АВ, а прямая MN фигуры всегда проходит через неподвижную точку О. Мгновенный центр найдется, как пересечение перпендикуляров: МС к АВ и ОС к ОМ. В этом примере всякая точка N фигуры, лежащая на прямой ОМ, чертит кривую называемую конхоидой. Прямая CN есть нормаль к конхоиде в точке N.
С течением времени мгновенный центр перемещается как по отношению к осям х, у, так и по отношению к осям £ и т]. Мы будем рассматривать только такие движения плоской фигуры, в которых эти перемещения совершаются непрерывным образом. При этом условии мгновенный центр будет описывать некоторые непрерывные кривые как на неподвижной плоскости ху, так и на плоскости фигуры ^т). Кривые эти называются центроидами, неподвижной и неизменно связанной с фигурой.
Так, в примере 1 предыдущего параграфа неподвижная центроида есть окружность с центром в точке О, радиус которой равен MN, центроида же, неизменно связанная с фигурой, есть окружность, которой прямая MN служит диаметром.
В примере 2 неподвижная центроида есть парабола, вершина которой совпадает с О, а ось перпендикулярна к ЛВ; центроида, неизменно связанная с фигурой есть некоторая алгебраическая кривая четвертого порядка.
Если мы вообще хотим определить центроиды уравнениями, то уравнение неподвижной центроиды в координатах х, у получим, исключив время из уравнений (13). Центроиду, неизменно связанную с фигурой, мы определим уравнением в координатах £, т], которое получим следующим образом. Между координатами х, у и £, т] одной и той же точки имеем следующие соотношения:
£ = (х — х0) cos ф + (у — у0) sin ф, п = — (* — х0) sin ф + (у — у0) cos ф.
Поэтому, обозначая через ^, т]с координаты мгновенного центра, вследствие (13) найдем
L =^- cos ib Hт^- sin ib,
”to dt r ' to dt T>
tic =4t~ sin ib H—- cos ib.
Ic to di Y 1 to dt Y
Исключив из этих уравнений время, получим искомое уравнение.
Можно доказать, что при всяком движении плоской неизменяемой фигуры в ее плоскости, центроида, неизменно связанная с фигурой, катится без скольже- С ния по центроиде неподвижной. Доказательство вытекает из самого понятия о катании, которое состоит в следующем: когда некоторая неизменяемая кривая Л непрерывно движется в своей плоскости так, что в каждый момент касается в некоторой точке С неподвиж
ной кривой 6, мы говорим, что движение кривой Л есть катание по кривой 6. Пусть С' есть точка кривой Л, которая в рассматриваемый момент находится в С. Если в этот момент скорость точки С' не равна нулю, мы говорим, что катание сопровождается скольжением и скорость точки С' называем скоростью скольжения. Например, если скорость всякой точки фигуры в момент, когда она совпадает с С, равна нулю, мы говорим, что катание происходит без скольжения.
Пусть СЛ — центроида, неизменно связанная с фигурой в том положении, которое она занимает в момент t, СВ — неподвижная центроида и С — общая их точка, в момент t служащая мгновенным центром. Пусть В есть точка неподвижной центроиды, которая служит мгновенным центром в момент t + т, бесконечно близкий к моменту /, а Л — та точка центроиды СЛ, совпадающая с В в момент t + т. Скорость точки Л в момент t равна ЙСА. Выходя с этой скоростью, точка А должна пройти за время т путь, хорда которого равна АВ. Поэтому АВ есть бесконечно малая величина, порядок которой не ниже порядка йтСЛ, а следовательно, ABIC А есть величина бесконечно малая, что выразим равенством
(15)(15)АВ А hm -рд =0.
(15)
(15)
Т->0
Но треугольник АВС дает
. . АВ ВС . АВ
1 + "АС "АС~"^С"е
Поэтому вследствие (15) имеем
Пт-^-=1.(16)
т->0
Из того же треугольника выводим
Z агв _ М ВС . АС А№ \cos £_ АС В2 дс + вс АС • ВС ] ’
что вследствие (15) и (16) дает
lim cos / АСВ = 1 и 11m / АСВ = 0.
т-*0т->о
Замечая, что предельное направление прямой С А есть направление касательной к кривой С А в точке С и что предельное направление прямой СВ есть направление касательной к кривой СВ в точке С, из последнего равенства заключаем, что кривая СЛ касается в точке С кривой СВ.
Это обстоятельство в связи с тем, что скорость точки С', как совпадающей с мгновенным центром, всегда равна нулю, и доказывает справедливость теоремы.
Заметим, что из уравнения (16), которое можно заменить следующим: hm —уде = h Т->0 AU
вводя бесконечно малые дуги х>АС и о ВС, следует равенство этих последних, так что, обозначая через s и ст дуги кривых СВ и СА, считаемые от каких-либо точек, взятых на них, и кончающиеся в общей точке С, будем иметь ds = do, откуда s = ст + const.
Если дуги s и ст будем считать от таких точек центроид, которые в некоторый момент совпадали, то равенство это примет вид
s = ст
и выразит равенство дуг, описываемых точкой касания С одновременно на обеих кривых. Это есть, следовательно, характерное свойство всякого катания без скольжения.
Обратная теорема очевидна. Если неизменяемая кривая катится без скольжения по неподвижной, то кривые эти суть центроиды в движении плоской неизменяемой фигуры, неизменно связанной с первой кривой, а точка касания кривых есть мгновенный центр.
Когда окружность катится без скольжения по прямой, то всякая неизменно связанная с ней точка чертит, как известно, обыкновенную циклоиду, удлиненную или укороченную, и из только что сказанного следует, что прямая, соединяющая эту точку с точкой касания окружности с прямой, есть нормаль к циклоиде.
Легко также вывести способ для построения нормалей к эпициклоидам и гипоциклоидам.
В примере 1 предыдущего параграфа движение фигуры может быть произведено катанием без скольжения окружности по внутренней стороне окружности вдвое большего радиуса. Гипоциклоиды, описываемые в этом движении точками фигуры вообще суть эллипсы (они превращаются в прямые линии для точек, лежащих на катящейся окружности), и прямая, соединяющая каждую точку фигуры с точкой касания окружностей, есть нормаль к описываемому ей эллипсу.
Переходим к рассмотрению общего случая вращательного движения твердого тела.
Неподвижную точку О принимаем за начало обеих координатных систем х, у. z и |, т), £. Тогда между координатами х, у, г и g, т), £ какой-либо точки тела будем иметь соотношения, которые получим из (5) положив х0 = у0 = = z0 = 0. Обозначив через и скорость рассматриваемой точки тела, из этих соотношений найдем
у cos (и, х) =
dx
ИГ
= 6
d^x, 9 dt
-+ T)
d (x, i)) dt
d^x, £)
dt ’
у cos (и, у) =
dy dt
= B
Д(уЛ) dt
+ t]
d (y, f]) dt
+ :
d(y, Q dt ’
у cos (d, z) =
dz dt
=5
d^, ^ dt
+ л
d (z, Л) dt
+ :•
d(z, Q dt *
Подставляя сюда вместо |, т), £ их выражения через координаты х, у, г, которые суть линейные и однородные относительно последних, получаем
-и cos (и, х) = -~- = Ах + By + Cz, v cos (и, у) = -^- = А'х + В*у + С*г.
у cos (и, z) = -^- = Л"х + В"у + C"z,(17)
где Л, В, С, А' и т. д. суть некоторые функции от косинусов (х, |), (х, т]) и т. д. и их производных по t, независящие от х, у, г. Но по свойству неизменяемой системы величина х2 + у2 + z2, представляющая квадрат расстояния между 54
двумя ее точками (0, 0, 0) и (х, у, г) с течением времени не меняется. Поэтому
dx , dy , dz АХ-тт- += °»
dt и dt dt
что вследствие (17) приводится к виду
Лх2 + В'у^ + C"z2 + (С' + В") yz + (Л" + С) 2Х + (В + Л') ху = 0.
Это равенство, в котором коэффициенты при квадратах и произведениях х, у, г от последних не зависят, должно иметь место при всяких х, у, г. Поэтому
Л = В' = С" = С' + В" = Л" + С = В + Л' = 0.
Вследствие этого, полагая
В" = — С' — сох, С = — Л" = (ду) А' = — В = to2, приводим равенство (17) к виду
V COS (г, X) = toyZ — tozy, V COS (У, у) = to^ — toxZ, V COS (U, z) = toxy — toyX.
(18)
Этими формулами, которые были даны Эйлером, определяются величина и направление скорости каждой точки твердого тела вращающегося вокруг начала координат. Входящие в них величины сох, со^, to2 суть определенные функции гр, ft, ф и их производных повремени. Пользуясь формулами (3) можно найти
tox = sin ft cos гр — sin гр —-,xdtdt
. л •, d<p .. d^dtb , a dm
tou = sin ft sin гр+ cos гр , toz = —77- + cos ft —77-.(19)
ydtT dt ’ z dtdtx 1
Впоследствие мы дадим весьма простое доказательство этих формул, не основанное на выражениях (3).
Сравнивая формулы (18) с формулами (8), видим, что первые составлены по тому же типу что и вторые. Разница между ними состоит только в следующем: в формулах (18) tox, tog, toz могут быть какими угодно функциями времени; в формулах же (8) это такие функции времени, для которых выражения (10) сохраняют постоянные значения. Во всяком случае из сравнения этих формул заключаем, что во всяком вращательном движении твердого тела скорости всех его точек в каждый момент таковы, как если бы тело вращалось вокруг некоторой оси. Изменяющееся с течением времени направление оси, вокруг которой должно вращаться тело, чтобы воспроизвести ту систему скоростей, которой обладают его точки в рассматриваемый момент, определяется формулами (10). Эта ось называется мгновенной осью вращения, Угловая же скорость, с которой при этом должно вращаться тело, определяется формулой (9) и представляет то, что называют угловой скоростью вращательного движения вокруг точки. Мгновенной оси и угловой скорости вращательного движения в общем случае можно дать определения и не прибегая к сравнению формул для скоростей в этом движении с формулами для скоростей вращательного движения вокруг оси.
Для этого прежде всего замечаем, что из формул (18) непосредственно следует, что во всяком вращательном движении в каждый момент существует прямая в теле, скорости всех точек которой равны нулю. Эту прямую мы называем мгновенной осью вращения. Уравнение ее следующее:
х = У =2
tox toy to2
Далее, из тех же формул (18) выводим, что отношение скорости какой-либо точки тела к расстоянию этой точки до мгновенной оси равно
+ tog + toz
и, следовательно, не зависит от координат точки. Это общее всем точкам отношение мы называем угловой скоростью вращательного движения.
Угловой скорости условимся приписывать направление мгновенной оси и изображать ее отрезком прямой, имеющей это направление. Если поэтому через Q обозначим не только величину угловой скорости, но и ее направление, то будем иметь
сох = й cos (Й, х), tog = Q cos (Й, у), coz = Q cos (Й, z).
Величины соЛ, со^, сог представят, следовательно, ортогональные проекции угловой скорости на координатные оси.
Вывод формул (18) основывался на предположении, что оси х, у, г неподвижны. Но так как они справедливы для всяких неподвижных взаимно перпендикулярных осей, пересекающихся в точке О, то, очевидно, будут справедливы и для осей х, у, z, взаимно перпендикулярные направления которых изменяются с течением времени по какому угодно закону, если только под соЛ, со^, со2 понимать проекции угловой скорости на эти движущиеся оси.
Так, например, обозначив проекции угловой скорости на оси £, т), £ неизменно связанные с телом, через со^, сол, со;, найдем
V COS (г, £) = С0л£ — СО;Т], V COS (г, Т]) = СО;^ — СО;^, V COS (tf, £) = СО;Т] — СО^. (20)
Входящие сюда величины со;, соУ, со; определяются через соЛ, со^,, со2 следующими формулами:
Ю$ = ю* (х, у + toy (у, £) + юг (г, Е), й^ = tox (x.n) + toy (у, ц) + о:>2 (г, т]), (21) ®; = tox (х, £) + toy (у, у + <о2 (г, □•
Отсюда вследствие формул (8) и (19) можно найти
со; = — sin A cos ср + sin ф -^- ,(22)
С0л = Sin ft Sin ф ——- + COS ф —ч— , Юг = —77- + COS fl* .1r dtw dt 'dt хdi
Обратим внимание на некоторые формулы, в которых можем встретить надобность далее.
На оси 0^ на расстоянии, равном 1, от точки О берем точку А. Эта точка принадлежит твердому телу и координаты ее в системе х, у, г суть: (х, £), (у, Е), (z, £). Поэтому, определяя по формулам (18) проекции ее скорости, находим
-™d7~ = toy (г, |) — toz (у, £), d ^ У = №г (х, %) — со, (г, g),
= tox (у, g) - toy (х, I).(23)
Заменяя здесь £ через т) и £, получаем еще две системы таких же формул.
Можно получить еще три подобные системы формул, если рассматривать не движение тела по отношению к осям Ox, Оу, Oz, а относительное движение по отношению к телу этой системы осей. Замечая, что это относительное движение есть вращательное вокруг точки О и что в нем угловая скорость равна и противоположна по направлению угловой скорости тела, приходим к заключению, что проекции этой угловой скорости на оси 0^, От], 0^ (которые для рассматриваемого движения играют роль неподвижных) равны: — со;, —сол, —со;. С учетом этого рассмотрим относительное движение точки, лежащей на оси Ох
на расстоянии 1 от точки О. Так как координаты этой точки в системе g, т), g равны (х, g), (х, т]), (х, g), то проекции ее скорости на оси 0g, От], 0g будут выражаться следующими формулами:
-^^- = ®g (х, т]) — ®л (х, ^, -••^ ■ = cog (х, □ — cog (х, 9,
(24)
—= tot) (Х) у _ ^ (Х> П).
Еще две такие же системы формул получим, заменив здесь х через у и г.
Мгновенная ось, изменяя с течением времени свое направление как в пространстве (т. е. по отношению к осям х, у, г), так и в теле (т. е. по отношению к осям g, т), g) описывает две конические поверхности, имеющие общую вершину (неподвижная точка) и, по крайней мере, одну общую образующую. Эти конические поверхности называются аксоидами мгновенных осей. Один из них неподвижен, другой движется вместе с телом, будучи с ним неизменно связан.
Когда сох, (Оу, coz, со^, соп, со; найдены в функциях времени или какой-либо другой переменной т, тогда легко составить уравнения аксоидов. А именно, исключая т из уравнений
_ х = У = 2
tox toy toz получим уравнение
f(— ^ = о
\ 22 /
неподвижного аксоида, а исключая т из уравнений
toe«г)®g ’
получим уравнение
ф/З- JL\ о
аксоида, неизменно связанного с телом. Можно показать, что во всякий момент времени аксоиды взаимно касаются, (т. е. имеют общие касательные плоскости) во всех точках той общей образующей, которая служит мгновенной осью для этого момента времени. Для этого достаточно показать, что кривые, по которым аксоиды пересекаются с какой-либо поверхностью, обладают общей касательной в этой общей их точке, служащей пересечением поверхности с рассматриваемой общей образующей аксоидов.
Пересекаем аксоиды сферой с центром в их вершине О. Пусть СА есть кривая, по которой сфера пересекается с аксоидом, неизменно связанным с телом и СВ кривая, по которой она пересекается с аксоидом неподвижным (см. рис. 10). Пусть С есть точка пересечения сферы с той общей образующей, которая служит мгновенной осью в рассматриваемый момент 1, В — пересечение ее с той образующей неподвижного аксоида, которая должна служить мгновенной осью в момент t + т, бесконечно близкий к / и Л — пересечение с той образующей аксоида, неизменно связанного с телом, которая в момент /4-т должна совпасть с ОВ. Скорость точки А в момент t равна произведению Q на перпендикуляр, опущенный из А на ОС. Поэтому, если введем хорду АС, то можем утверждать, что скорость эта есть бесконечно малая одного порядка с АС • Q. Выходя в момент / с этой скоростью, рассматриваемая точка проходит путь с хордой АВ за время т. Поэтому АВ есть бесконечно малая, по крайней мере, одного порядка с АС • Qt, а следовательно, отношение
АВ
АС есть бесконечно малая величина.
Рассуждая далее так же, как в § 7, придем к заключению, что кривые СЛ и СВ имеют общую касательную в точке С, чем и докажется рассматриваемая теорема.
Обратим внимание на то обстоятельство, что точка касания С описывает одновременно равные дуги на кривых С А и СВ. Отсюда следует, что площади, описываемые длиной ОС на общих аксоидах в течение одного и того же времени, равны. Если из двух конусов, имеющих общую вершину, один неподвижен, а другой движется непрерывным образом так, что во всякий момент времени имеет общую образующую с первым, вдоль которой он с ним соприкасается, то мы говорим, что второй конус катится по первому. Если притом скорость всякой точки катящегося конуса в тот момент, когда она делается одной из точек общей образующей, обращается в нуль, мы говорим, что катание происходит без скольжения.
Вследствие только что доказанного, для аксоидов мгновенных осей оба эти условия удовлетворены. Поэтому заключаем, что всякое вращательное движение твердого тела таково, что его можно произвести катанием без скольжения некоторого неизменно с ним связанного конуса по другому, неподвижному, имеющему с ним общую вершину. Эта теорема принадлежит Пуансо.
Переходим к рассмотрению какого угодно движения твердого тела. Пусть х0, z/0, z0 — координаты какой-либо точки О твердого тела и х, уД — координаты какой-либо другой его точки по отношению к осям, параллельным неподвижным и имеющим начало в точке О. Будем иметь
х = х0 + х, у^Уо + у, z = z0 + 2.(25)
Движение твердого тела мы можем рассматривать, составное из поступательного, определяемого движением точки О (будем называть ее полюсом) и из вращательного вокруг последней, а из равенств
dx dx0dx dy dy0 dy dz dz^.dz
dtdtdt’ dtdt* dt’ dtdt'dt
получаемых из (25), заключаем, что скорость всякой точки тела есть геометрическая сумма скорости полюса и скорости ее во вращательном составляющем движении тела.
Обозначим проекции на неподвижные оси угловой скорости этого вращательного движения через сох, со^, со2. Будем иметь
dx --
— = V — ^гУ И Т- Д-
Поэтому понимая под о полную скорость точки (х, у, z) тела, найдем
У cos (р, х) = -^ = -^ + му (z — z0) - мг (у — у0),
ucos(p, #) = ^ =-^- + <вг(х —х0) —tox(z—z0),(26)
v cos (d, z) = ^ = -^ + (о,(у —у0) —<оу(х —х0).
Величины сох, со^, со2 не зависят от того какая точка твердого тела принята за полюс (см. формулу (19)). Поэтому угловая скорость вращательного составляющего движения тела не зависит от способа, которым движение тела разлагается на поступательное и вращательное, и мы можем, следовательно, говорить об угловой скорости, не упоминая, какая точка тела принята за полюс. Полагая
-%- + «гУо — toyZg = а, -^- + toxZ0 — tozX0 = р,
-£- + МуХ0 — <вху0 = у,
формулы (26) можем заменить следующими:
и cos (и, х) = а 4- юуг — согу, v cos (и, у) = Р + согх — ом,
V COS (у, 2) = у + ^хУ — <йуХ.^^
Отсюда видно, что а, р, у — проекции скорости на координатные оси той точки твердого тела, которая в рассматриваемый момент совпадает с началом координат. Обратим внимание на некоторые свойства системы скоростей, которой обладает тело во всякий момент своего движения.
Возьмем две точки (х, у, 2) и (хп уъ z^ тела, лежащие на прямой, имеющей направление угловой скорости. Скорость первой обозначим через и, скорость второй — через ух. Принимая во внимание соотношения
х — хг = у —ут = z — z^^ХtoytoZ ,
находим
vx cos (гь x) = a + (dyZT — coxyx = a + <%2 — ^гу = y cos (y> x\vx cos (i^, y) = V cos (y, y), vx cos (yx, Z) = V cos (y, z).
Отсюда следует, что скорости всех точек тела, лежащих на прямой, имеющей направление угловой скорости, равны и параллельны.
Далее, из формул (27) находим
сохи cos (у, х) + toyX) cos (у, у) + со2 cos (у, 2) = асох + Ро^ + усог, откудаи cos (у, Й) = -^- (асо^ + рсо^ + усог).
Отсюда заключаем, что прямоугольные проекции скоростей всех точек тела на направление угловой скорости равны между собой.
Если общая величина этих проекций не нуль, то тело не имеет точек, скорости которых равны нулю.
Из последнего свойства следует также, что наименьшими скоростями обладают те точки тела, скорости которых параллельны направлению угловой скорости.
Разыскивая такие точки, находим, что они лежат на прямой, определяемой уравнениями
a-\-toti2 — to2y _ 0 + to2x — toxz _ у + toxy — toyx toxtoyto2•
Прямая эта имеет направление угловой скорости и называется центральной осью. С течением времени центральная ось изменяет свое положение, как в пространстве, так и в теле.
Рассматривая совокупность скоростей точек тела в какой-либо момент, обозначим через w общую величину скоростей точек центральной оси. Очевидно, что скорости всех его точек таковы, как если бы движение тела было сложное: из поступательного вдоль центральной оси со скоростью w и из вращательного вокруг той же оси с угловой скоростью Q.
Таким образом, приходим к заключению, что во всяком движении твердого тела скорости всех его точек во всякий момент таковы, как если бы тело имело винтовое движение. Осью этого винтового движения служит центральная ось. Шаг его равен
До сих пор мы говорили только о скоростях точек твердого тела. Перейдем теперь к рассмотрению ускорений.
Из уравнений (26) находим
, х d2x d2xa . dtoa , х dto-, / х ,
У COS (У, x) = -S5- = -5^- + -^_(z — Zo)^(у —Уо) +
+ Ц <tt dt )2 ( di dt ) dP + dt 'Z Z»'
^r (у — Уо) + ®x [®х (x — x0) + my (у — Уо) + Юг (Z — z0)] — Q2 (x — x0),
где Q = V^x + to2 + to2 .
Положим
^- = y0 cos (p0, x), -^- = y0cos(y0, y\
= Уо COS (y0, z),
^ (z — z0)^- (y — y0) = f cos (/, x),
^- (x — x0)^ (z — Zo) = f cos (/, y),
^-(У —Уо) —-^-(^ —X0) = /cos(/, z),
®x [©x (x — Xo) + toy (y — y0) + ©z (z — z0)] — Q2 (x — x0) = c cos (c, x), toy [to, (* — x0) + toy (y — y0) + ©z (z — z0)] — Q2 (у — Уо) = c cos (c, y), ©z [to, (X — Xo) + toy (y — y0) + m, (z — Zo)l — Й2 (z — z0) = c cos (c, z), Тогда найдем
V COS (у, x) = y0 COS (y0,X) 4- t COS (/,x) + c cos (c, x),
6 cos (y, y) = y0 cos (y0,y^ + t cos (/,y) + c cos (e, y),(28)
V cos (u, 2) = y0 COS (u0,2) + / COS (/,2) + £ COS (c, 2).
Отсюда видно, что ускорение у всякой точки М (xt у, 2) твердого тела есть геометрическая сумма трех ускорений: и0, / и с, т. е.
^ = ^0 + / + с-
Ускорение у0 есть ускорение полюса О. Ускорение / имеет проекциями на координатные оси такие выражения, которые могут быть выведены из проекций вращательной скорости вокруг полюса О заменой величин со^, со^, со2 величинами dto* dtou ^0)2 г-х
—5р,"dt* Э™ послеДние величины мы можем рассматривать, как проек
ции на координатные оси геометрической производной О от угловой скорости 12 по времени
-^- = Q cos (Q, х^ -^- = Q cos (Й, у), -^- = Q cos (Й, 2).
Эта геометрическая производная называется угловым ускорением тела. Ускорение же / называется вращательным ускорением точки М вокруг полюса О.
Если через точку О проведем прямую, имеющую направление углового ускорения й и расстояние точки М от этой прямой обозначим через р, то будехМ иметь
/ = р£2.
Направление ускорения / перпендикулярно к плоскости, содержащей точку М и направление й, проведенное через точку О. Что касается ускорения с, то обозначая через г длину и направление ОМ найдем
с cos (с, х) = 0Х rQ cos (г, Q) — Й2 г cos (г, х) = Й2 [г cos (г, й) cos (й,.х) —
— г cos (г, х)].
Но если через точку О проведем прямую, имеющую направление угловой скорости й и через р обозначим длину и направление перпендикуляра, опущенного из точки М на эту прямую, считая это направление от точки М, то найдем
г cos (г, й) cos (й, х) — г cos (г, х) = р cos (р, х).
Поэтому
с cos (с, х) = ^р cos (р, х), с cos (с, у) = й2р cos (р, у), С COS (с, 2) =
= Q2pcos(p, 2).
Отсюда видно, что с = й2р и что направление с одинаково с направлением р. Это ускорение с называется центростремительным по отношению к полюсу 0.
Итак, ускорение всякой точки твердого тела есть геометрическая сумма трех ускорений: ускорения полюса, вращательного ускорения и центростремительного ускорения.
Найдем проекции ускорения какой-либо точки тела на оси £, л, £, неизменно с ним связанные и имеющие начало в точке О.
Имеем
6 cos (v, g) = v0 cos (v0, g) + / cos(/, ^ + c cos (c, g).
Чтобы найти выражение для f cos (/, £), мы должны найти сначала проекции на оси £, л» t углового ускорения Й. Из (21) находим
, „ <Цх, 1) d(y, У d(z, у
+—dT- +—dF"*
Но из (23) выводим
dt ' += 0-
Поэтому равенство наше примет вид
4^ - а + 4г (у, а + 4г(г- а - а«,з(я, в.
Таким же образом находим
Qcos(fi,Qcos(fi, 9 = -^.
Вследствие этого запишем
_ dto„ dav
Далее имеем
ccos (с, У = Й2р cos (р, £) = й2 [г cos (г, Й) cos (й, 9 — г cos (г, |)],
или
с cos (с, g) = (0£ (co^g + <onT] 4- to^g) — Q2g
Таким образом, находим
и cos (г, £) = u0cos (р0,У + -^ с^- Л + Ю; (ю^ + 0)т)Т] 4- to^) — Q2^. (29)
Остальные две формулы легко могут быть выведены из этой по симметрии. Если положим
$- 4" У о -^Р — г0 -^ 4- £2% — со, (<о,хо 4- togy0 4- сог?о) = а,
+ 2«——+ “^о) =
LitVvvU-v
-^- 4- х0 -^- — у0 -^- 4-— <ог (со,хо 4- «уУ» 4- согго) = у,
QLI**
то формулы (28), если в них заменить проекции ускорений / и с их выражениями, примут вид
и cos (v, х) = а + (со, — Q2) х + (со/о,^-) у + (сог(о, + -^-) г,
v cos (г, у) = Р + (со2 — Q2) у + (со/оу^-j г 4- (со,соу + -^-) х,
и cos (г, z) = у 4- (со, — й2) г + (со,сог^р) х 4- (соусог 4- ^-^ у.
Посмотрим, возможно ли найти в теле точку, которая имела бы ускорение данных величины и направления. Вопрос этот приводится к решению предыдущих уравнений относительно х, у, г и будет всегда возможен, коль скоро определитель
со, — Й2<о/ох^ согсож 4- -^-
dton। dtov2 ЛЛ9
W^ztoyto2 +COZ — Q2
не нуль. Но составляя этот определитель находим для него следующую величину:
/ dtox . dton . dtoz \2/ 2 ,2 ,2\ Г/ dtox .
""ИГ + tov~dF + ^"dF) — (“^ 4- “у 4- сог) [(—] 4-+ (-^У 4- (-^-У] = — Q2Q2 sin2 (О, Q).
Поэтому определитель этот может быть нулем только в одном из трех следующих случаев: 1) когда угловая скорость равна нулю, 2) когда угловое ускорение равно нулю, 3) когда направление угловой скорости и углового ускорения одинаковы или прямо противоположны.
Следовательно, за исключением только что перечисленных случаев, всегда можно найти в теле точку, ускорение которой имело бы данные величину и направление. Между прочим можно найти точку, ускорение которой равно нулю. Точка эта называется мгновенным центром ускорения.
Если будем искать геометрическое место точек, ускорения которых имеют данную величину, то найдем, что вообще это геометрическое место будет эллипсоидом, центр которого совпадает с мгновенным центром ускорений. Б перечисленных выше частных случаях вообще не существует точки, ускорение которой было бы равно нулю, а предыдущее геометрическое место есть круговой цилиндр.
Глава III
КИНЕМАТИКА ОТНОСИТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
Вообразим две прямоугольные координатные системы: х, у, г, которую будем называть неподвижной и |, т], £, движущуюся по отношению к первой по какому-либо закону. Движение всякой точки М по отношению к первой координатной системе будем называть абсолютным, а движение ее по отношению ко второй — относительным.
Когда движение координатной системы £, т), £ известно, то зависимость между абсолютным и относительным движением точки М будет устанавливаться формулами преобразования координат. Если введем обозначения предыдущей главы, то формулы эти будут следующие:
х == х0 + (х, 9 £ + (х, я) П + (х, 9 9
у = y0 + Uh 9£ + (у, т])п + (у. 99(О
z = z0 + (г, 9 в + (z, я) П + (z, 9 9
Когда хв, у0) г0, (х, 9, (х, я) и т. д. — известные функции времени, то формулы эти дадут возможность составить уравнения
х = fl (О, У = /2 (О, 2 = f3 (t) абсолютного движения, если известны уравнения
1 = Ф1 (О, П = Ф2(0, £ = Фз(0(2)
относительного движения и обратно.
Мы будем далее пользоваться еще следующим термином. Если вообразим неизменяемую систему точек, неизменно связанную с осями £, т], £, то движение той ее точки, с которой движущаяся точка М совпадает в момент ^, будем называть переносным движением точки М, соответствующим моменту tv Уравнение этого движения получим, если в формулы (1) вместо £, т), £ подставим функции (2) и в последних t заменим на tv
Дифференцируя уравнения (1) по I, находим dx dx^ । d (x, ^) ^ iM i ^ t- ।
dt ~ dt dt ~ dtdt
+ (x, S4 + U.4)-^+(*. 04.(3)
Первая часть этого равенства представляет проекцию на ось х скорости в абсолютном движении точки М, обозначим ее через о. Первые четыре слагаемых второй части равенства есть производная по t от выражения х, в котором £, т), £ заменены постоянными, равными координатам точки М в рассматриваемый момент t. Это есть, следовательно, проекция на ось х скорости в переносном движении точки М, соответствующем моменту I, обозначим ее через ио. Наконец, последние три слагаемых второй части равенства есть проекция на ось х скорости лdn dtс,
в относительном движении точки М, ибо -—-,-~- суть проекции этой
скорости на оси £, т), £, обозначим ее через и. Тогда равенство (3) примет вид
V cos (и, х) = w cos (w, X) +и COS (и, xY
Из этого равенства и из двух подобных, относящихся к осям у, и г, заключаем о следующем геометрическом равенстве:
v = w + и,
т. е. скорость в абсолютном движении всякой точки есть геометрическая сумма скоростей ее в переносном и относительном движениях.
Дифференцируя равенство (3), находим
d2x d2x0 , d2(x, У t , d2(x, t]) _d2(x, 9
V = T + dt2 6 +др +
+ (x, Ю-g- + (x,£) "5b +
। 9 Г d(x, g) d^ d (x, T]) dt) . d (x, 9^ 1
*" [ dt dt ' dt dt ' dt dt ] •
Первая часть этого равенства представляет проекцию на ось х ускорения в абсолютном движении точки М, обозначим его через г. Первые четыре слагаемых второй части есть проекция на ту же ось ускорения в переносном движении точки М, соответствующем рассматриваемому моменту, обозначим его через w. Следующие три слагаемых второй части есть проекция на ось х ускорения в относительном движении нашей точки; обозначим его через и. Наконец, оставшиеся слагаемые второй части мы также можем рассматривать как проекцию на ось х некоторого ускорения. Ускорение, равное ему и прямопротивоположное по направлению, называется поворотным или сложным центробежным. Обозначая его через л, будем, следовательно, иметь
л cos (л, х)z [Ttнн. Выражения для л cos (л, у) и л cos (л, 2) легко написать по симметрии.
Таким образом,
ц cos (г, х) = ay cos (гг, х) + и cos (и, х) — л cos (л, х).
Отсюда и из двух подобных равенств, относящихся к осям у и 2, заключаем, что
V -|_ л = IV + и,
т. е. геометрическая сумма ускорений абсолютного и поворотного равна и параллельна геометрической сумме ускорений переносного и относительного. В этом состоит теорема Кориолиса.
Легко найти величину и направление поворотного ускорения.
Выражение
dlx, I) d^ d (х, Т])^ d(x, у dg
dt di dt dtdt dt
мы можем рассматривать как проекцию на ось х вращательной вокруг начала координат |, т), £ скорости той точки неизменяемой системы, связанной с осями В, т], У координаты которой равны -—-, -^-, -^-. Если поэтому угловую скорость рассматриваемой неизменяемой системы обозначим через й, то эта вращательная скорость будет равна
Qzzsin (и, О).
Таким образом, находим
л = 2^Qsin(w, Й).(4)
Что же касается направления ускорения л, то оно противоположно направлению этой вращательной скорости и, следовательно, если через какую-нибудь точку в пространстве проведем длины, изображающие Й и и и через конец последней — перпендикуляр к их плоскости в том направлении, в котором этот конец двигался бы, если бы мы стали длину и вращать вокруг оси й в отрицательную сторону, то направление этого перпендикуляра и представит направление л.
Из (4) видно, что поворотное ускорение может обратиться в нуль только в одном из трех следующих случаев: 1) Q = О, 2) когда и = 0 и 3) когда направления и и Й одинаковы или противоположны.
В особенности обращаем внимание на первый случай, который может иметь место во все время движения. В этом случае координатная система £, т], £ движется поступательно.
Когда поворотное движение равно нулю, абсолютное ускорение есть геометрическая сумма переносного и относительного ускорений. Если система, по отношению к которой мы рассматриваем относительное движение, движется поступательно, то мы говорим, что абсолютное движение точки состоит из переносного и относительного. Последние два движения по отношению к абсолютному называются составляюьцими.
Относительное движение точки мы, в свою очередь, можем разложить на два: относительное по отношению к некоторой новой системе, движущейся поступательно по отношению к прежней, и на новое переносное, которое есть относительное движение какой-либо точки новой системы по отношению к прежней. Таким образом, абсолютное движение нашей точки разложится на три движения: относительное по отношению ко второй системе, переносное, определяемое относительным движением этой системы по отношению к первой, и переносное, определяемое абсолютным движением первой.
Вообще всякое движение точки мы можем разложить на какое угодно число составляющих движений и если примем в расчет доказанные выше теоремы, то найдем, что скорость и ускорение в этом движении будут геометрическими суммами скоростей и ускорений в составляющих движениях. Возвращаясь опять к общему случаю движения координатной системы £, т), £, выведем выражения для проекций на оси этой системы ускорения в относительном движении.
Имеем
и cos (и, £) = -^- = и cos (v, Е) — W COS (ifl, £) + Л COS (л, Е).
Ускорение w есть ускорение точки (£, т), £) неизменяемой системы, связанной с осями £, т), £. Поэтому, обозначая проекции на эти оси угловой скорости этой системы через со^, соп, ю^, величину w cos (w, £) найдем по формуле (29) предыдущей главы, заменяя в ней и на w и и0 через ш0 (ускорение начала координат £, т], £). Что же касается л cos (л, £), то, заключая, что проекция на ось £ вращательной вокруг начала координат скорости точки (£, т], £) равна находим
л cos (л, £) = — 2 (сол -^со£ -^ .
Таким образом, получим
№••••d<&r t.(o
= и cos (v, а — СУ0COS (w0, I) + -^-Т)зг^Ч-
+ й2£ — о? (и^ ++ ю££) + 2 ^ -^соп .
Остальные две формулы записываются легко по симметрии.
Ускорение, проекция которого на ось £ равна
Q2E — сов (со^ + со^Т] + со^), называется центробежным.
Пусть плоская неизменяемая фигура А движется в плоскости ху по какому-либо закону и пусть в той же плоскости движется неизменяемая фигура В независимо от первой.
Движение фигуры Л по отношению к осям х, у будем называть абсолютным, а движение ее по отношению к фигуре В — относительным. Абсолютное движение фигуры В будем называть переносным движением фигуры Л. Найдем зависимость между угловыми скоростями и положениями мгновенных центров в трех движениях фигуры Л: абсолютном, относительном и переносном.
Обозначим через Q, хС1 ус угловую скорость и координаты мгновенного центра в абсолютном движении, через Qb хь уг — соответственные величины для переносного движения и через и, w, и — абсолютную, переносную, относительную скорости какой-либо точки (х, у) фигуры.
Согласно формулам (14) предыдущей главы будем иметь
и cos (и, х) = — со (у — ус), V cos (и, у) — со (х — xcYW COS (ю, х) = — СОх (у — ух\ W COS ^ у) = СОх (X — Xi),и cos (и, х) = — со2 (у — y^Y и cos (и, у) = со2 (х — х2),где со = ±Q, сох = ±йх, со2 = ±Q2.
Знаки определяются здесь направлениями угловых скоростей.
Ра основании теоремы предыдущего параграфа имеем и cos (и, х) = w cos (ю, х) + и cos (и, х), V cos (и, у) = W COS (to, у) + и COS (tt, yY Поэтому находим
® (У — У,') = «Ч(У — У1) + ®2 (у — уО,
СО (X — Хс) = СОх (х — Хх) + со2 (х — х2).
Эти равенства должны иметь место при всяких хи у. Поэтому из них заключаем
СО = СОх + 0)2, СОХс = С01Х1 + со2х2, юус = СО1У1 + со2у2.
Этими формулами и решается наша задача. Из них выводим следующие заключения.
Если угловые скорости переносного и относительного движений фигуры имеют одинаковые направления, то угловая скорость абсолютного движения равна их сумме и одинаково с ними направлена, а мгновенный центр последнего движения лежит на прямой, проходящей через мгновенные центры двух первых движений, разделяя расстояние между ними внутренним образом в отношении, обратном угловым скоростям в этих движениях.
Если угловые скорости переносного и относительного движений, не будучи равными, имеют противоположные направления, то угловая скорость абсолютного движения равна их разности и направлена одинаково с большей из них, а мгновенный центр последнего движения, находясь на прямой, проходящей через мгновенные центры первых двух движений, делит расстояние между ними внешним образом в отношении, обратном угловым скоростям этих движений.
Если, наконец, угловые скорости переносного и относительного движений, будучи противоположно направлены, равны между собой, то в абсолютном движении скорости всех точек фигуры равны и перпендикулярны к прямой, проходящей через мгновенные центры двух первых движений.
В § 3 предыдущей главы мы уже имели случай говорить, что понимают под движением твердого тела, состоящем из двух составляющих движений. По смыслу данного там определения мы должны назвать абсолютное движение фигуры Л, содержащее переносное и относительное движения ее. Одно из двух последних движений, например переносное, мы можем, в свою очередь, рассматривать, как сложное из относительного движения фигуры В по отношению к некоторой новой фигуре С и из абсолютного движения последней. Абсолютное
движение фигуры Л при этом представится, как сложное из трех составляющих движений. Продолжая такие рассуждения далее, мы можем придти к представлению о движении фигуры, сложенном из п составляющих движений. Условившись таким образом в понятии о сложении движений плоской неизменяемой фигуры, легко доказать общую теорему, в которой теорема предыдущего параграфа заключается, как частный случай.
Пусть движение фигуры есть сложное из п составляющих движений и пусть Qf, xt> У1 — угловые скорости и координаты мгновенного центра в Z-м составляющем движении, aQ, xcs ус — угловая скорость и координаты мгновенного центра в сложном движении. Обозначая через и< и и скорости какой-либо точки (х, у) фигуры в Z-м составляющем и в сложном движениях, будем иметь
и< COS (Гр х) = — tot (у — yt), vt cos (г(, у) = ®t (х — хг)
и cos (г, х) = — <0 (у — ус\ V cos (г, у) = <0 (х — хс),
где со,- = ±Q(-, <0 = ±Q. Но на основании доказанного в § 1 имеем
и cos (г, х) = £ и£соз(и(, х), У cos (г, у) = 5 Ui cos (иь у).
1=11=1
Поэтому находим
to (У — Ус) = £ toi (у — уО, ю (х —хс) = £ (0; (х — Xi).1=1(=1
Так как равенства эти должны иметь место для всяких х и у, то из них заключаем следующее:
to = 5 toi, toXc = 2 ®гХь toyc = £ totyt.
1=11=11=1
Чтобы формулировать теорему, выражаемую первым из этих равенств, условимся угловые скорости какого-либо одного направления считать положительными, а противоположного — отрицательными. Тогда она выразится так:
Угловая скорость сложного движения фигуры есть алгебраическая сумма угловых скоростей составляющих движений.
Положение мгновенного центра в сложном движении определится следующими формулами:
сб^ + 6)2 + . . . + сол ’
^хУ1 + У^У^ + • • • + ^пУп
Ссох + (02 + . . . + ton
Оно делается неопределенным, когда знаменатель в этих формулах равен нулю. Но в этом случае угловая скорость в сложном движении равна нулю, и следовательно, скорости всех точек фигуры равны и параллельны.
Рассмотрим произвольное движение твердого тела по отношению к координатной системе х, у, г. Пусть по отношению к той же системе движется независимо от тела некоторая неизменяемая система В. Называя движения, отнесенные к нашей координатной системе, абсолютными, назовем движение тела А по отношению к системе В относительным, а абсолютное движение системы В — переносным движением тела А.
Найдем зависимость между угловыми скоростями тела А в его трех движениях: абсолютном, относительном и переносном. Пусть Q, сох, со^, со2 —угловая скорость и ее проекции на координатные оси в абсолютном движении тела А, Ф, фх, (ру, ф2—угловая скорость и ее проекции в относительном движении и V, фх, фу, гр2 — угловая скорость и ее проекции в переносном движении. Обозначим
через v, и, ио абсолютную, относительную, переносную скорости какой-либо точки (х, у, г) тела А. Согласно формулам предыдущей главы будем иметь
и cos (и, х) = а + toyz — югу, и cos (а, х) = а' + ф/у2 — Ф2у»w cos (и?, х) = а" + ^yZ — ^гУ,
где а, а*, а" не зависят от х, у, z. Но по доказанному выше и cos (и, х) = и cos (а, х) + w cos (ю, х).
Поэтому
а + muz — ^гу = а' + а" + (ф^ + ф^) z — (ф2 + ф2) у.
Так как равенство это должно удовлетворяться при всяких величинах у и г, то из него выводим ^ = фу + %, ю2 = ф2 + ф2.
Если бы мы еще рассмотрели проекции скоростей на ось у или г, то получили бы такое равенство:
«х = Фх + Фх-
Эти три равенства равносильны следующему:
Й = ф + у.
Таким образом, искомая зависимость состоит в следующем:
Угловая скорость абсолютного движения тела есть геометрическая сумма угловых скоростей относительного и переносного движений.
Абсолютное движение тела есть результирующее его относительного и переносного движений. Каждое из двух последних движений, вводя некоторую новую неизменяемую систему, мы можем в том же смысле разложить на два движения.
Продолжая поступать таким образом далее, мы можем составить представление о движении тела, состоящем из какого угодно числа составляющих движений. Последовательное применение только что доказанной теоремы к разложению каждого движения на два, приведет при этом к следующей общей теореме:
Угловая скорость в движении твердого тела, сложном из нескольких составляющих движений, есть геометрическая сумма угловых скоростей в последних.
Для примера приложения этой теоремы докажем формулы (19) и (22) предыдущей главы. Обращаясь к рис. 7, который служил нам для определения эйлеровых углов фЛ, ф и понимая под О общее начало координатных систем х, у, 2 и £, т), £, рассматриваем кроме тела А еще две неизменяемые системы: В — неизменно связанную с направлениями 0£ и Оу' и С, неизменно связанную с направлениями Oz и Оу'. Система С имеет абсолютное движение, являющееся вращательным вокруг оси Oz (или противоположной ей) с угловой скоростью 1 или — Система В имеет относительное движение по отноше- rat уat )
нию к С, которое есть вращательное вокруг оси Оу* (или противоположной ей) с угловой скоростью -др или^ и тело А имеет относительное движение по отношению к системе В, которое есть вращательное вокруг оси 0^ (или противоположной ей) с угловой скоростью -~- (или^L). Поэтому абсолютное движение тела А есть сложное из трех только что перечисленных вращательных движении с угловыми скоростями ±±± имеющими указанные
направления. Угловая скорость его есть, следовательно, геометрическая сумма этих трех угловых скоростей, так что для произвольного направления I
Qcos (й, 0 = -^- cos (z, Z) +) -^ cos (z/', ?) + -§- cos (C, Z).
Замечая, что
cos (r/\ х) = — sin ф, cos (£, х) = sin $ cos ф, cos (у', у) = cos ф,
cos (£, у) = sin fl* sin ф, cos (у', г) = 0, cos (£, г) = cos А,
cos (г, £) = — sin fl1 cos ф, cos (у\ t) = sin ф,
cos (г, т]) — sin $ sin ф, cos (у', т]) = cos ф, cos (у', 0 = 0
и принимая за направление I последовательно направления х, у, г, |, т], 0 получим рассматриваемые формулы.
ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ
§ 1. Основные законы, на которых основывается динамика, прилагаются непосредственно только к таким материальным телам, все линейные измерения которых бесконечно малы в сравнении с единицей, которой мы измеряем расстояния. Такие материальные тела называются материальными точками. Бесконечно малые элементы всякого материального тела мы рассматриваем обыкновенно, как материальные точки. С известной степенью приближения мы можем рассматривать как материальные точки и конечные тела, если их взаимные расстояния весьма велики по сравнению с их линейными измерениями. Говоря о положении или о движении материальной точки, мы под этим подразумеваем положение или движение какой-либо геометрической точки, ей принадлежащей.
Первый основной закон механики, называемый законом инерции, состоит в следующем:
Материальная точка, находящаяся в состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения, не может без причины изменить этого состояния.
Всякая причин-а, изменяющая или стремящаяся изменить состояние покоя или равномерного и прямолинейного движения материальной точки, называется силой.
Отсюда заключаем, что если ускорение движущейся материальной точки не равно нулю, то она должна находиться под действием некоторой силы.
Материальная точка может находиться под одновременным действием нескольких сил. Но в таких случаях всегда существует одна сила, действие которой тождественно с одновременным действием этих сил. Эта сила называется равнодействующей их. Силы же по отношению к своей равнодействующей называются ее составляющими.
Силе мы приписываем некоторую величину и направление.
Под направлением силы мы понимаем направление, по которому покоящаяся материальная точка начинает двигаться, находясь под действием рассматриваемой силы. Что касается величины силы, то измерение ее основывается на некоторых определениях и на втором основном законе механики — законе независимости действия сил.
Упомянутые определения состоят в следующем:
две силы мы называем равными, когда, будучи приложены к одной и той же материальной точке порознь, они приводят ее в движение с одинаковыми ускорениями,
под суммой двух сил мы понимаем равнодействующую равных им сил, приложенных одновременно к материальной точке по одному и тому же направлению.
Закон независимости действия сил в общем виде может быть выражен в следующей форме:
Когда материальная точка движется, находясь под действием одной или нескольких сил, то движение ее есть сложное: из равномерного и прямолинейного движения, в котором скорость равна и параллельна скорости точки в рассматриваемый момент и из движений, которые получила бы точка, выходя из состояния покоя вследствие действия каждой из сил порознь.
Отсюда следует, что когда материальная точка находится в движении под действием данной силы, то какова бы ни была ее скорость, ускорение ее равно и параллельно тому, с которым точка пришла бы в движение из состояния покоя вследствие действия той же силы. Таким образом, сила, под действием которой движется точка, вполне определяется ее ускорением, направление силы одинаково с направлением ускорения. Величина силы есть функция ускорения. Закон независимости действия сил дает возможность определить и вид этой функции, как это будет сейчас показано.
Из рассматриваемого закона следует, что ускорение, которым обладает материальная точка, находясь под действием нескольких сил, есть геометрическая сумма ускорений, которыми она обладала бы, если бы силы эти действовали на нее порознь.
Пусть на материальную точку действуют две силы f и ^ одного и того же направления. Пусть и есть ускорение, которое получила бы точка, если бы на нее действовала одна только сила f и о1 — ускорение, которое она получила бы под действием одной только силы fv Так как ускорения и и иг имеют одинаковые направления, то геометрическая сумма их приводится к алгебраической. Поэтому и + Ui есть ускорение, которым будет обладать наша точка, находясь под одновременным действием двух сил / и ^ или их равнодействующей, которая по второму определению равна / + fv
Пусть f = F (и).
Тогда будем также иметь
fi = F (vj и f + ^ = F (о + vx).
Отсюда
F(u + ui) = F (о) +F (Oi)
ИЛИ
F (x + у) = F (x) + F (у),(1)
где x и у — произвольные положительные величины. Из этого уравнения последовательно находим
F (2х) = 2F (х), F (Зх) = F (2х) 4- F (х) = 3F (х),
..., F (тх) = mF (х),^
где т — произвольное целое положительное число. Полагая тх = г, из (2) имеем
F(z) = тр Ш.
\ m /
Отсюда, обозначая через п какое-либо другое положительное целое число, вследствие (2) находим
F [п —1 = nF (—К — F (г).
у т )\ т ) т v
Поэтому для всякого рационального числа р справедливо следующее равенство:
F^ = pF^.(3)
Легко убедиться, что равенство это справедливо и для всякого иррационального числа р. В самом деле, каково бы ни было иррациональное число р,
мы можем найти два бесконечных ряда иррациональных чисел
Pv Р^--, Рт • ••; р\» Р2»..., Рт...> таких, что
Рп>Р>Рп
для всякого п и притом таких, что
Рп — Р и Р — Рпс беспредельным возрастанием п стремятся к нулю. По доказанному будем иметь
(PnZ) = Рп F (г) и F (р ^ = pnF (г).
Но из уравнения (1), в котором функция F (х) по самому ее значению положительна для всякого положительного х, следует, что это есть функция возрастающая. Поэтому
F крп^ > F ^pz') > F (pnz)
ИЛИ
Рп F^>F (pz) > pnF (г).
Отсюда, переходя к пределу для оо, получаем равенство (3).
Так как равенство (3) справедливо для всяких р и г, то из него находим, что для всякого х
F (х) = тх, где т — некоторая постоянная.
Заметим, что предыдущий вывод можно было бы значительно упростить, если бы нам a priori было известно, что функцию F (х) можно дифференцировать. В самом деле, дифференцируя тождество (1) частным образом по у, находим F' (^ + У) = F' (у), откуда F' (х) = F' (0) и, следовательно,
F (х) - F' (0) х + с,
где с — постоянная, которая будет равна нулю, в чем убедимся, подставляя это выражение функции F (х) в уравнение (1).
Таким образом, мы нашли
/ = то, т. е. сила пропорциональна сообщаемому ею ускорению.
Постоянное для каждой материальной точки отношение
= т
силы к ускорению, которое она сообщает точке, называется массой материальной точки.
Мы принимаем, что материальные точки с равными массами обладают одинаковым количеством материи. На основании этого можно показать, что массы материальных точек относятся между собой, как количества материи, которыми они обладают.
Пусть сила / сообщает материальной точке с массой т ускорение и и пусть тоже самое ускорение и сообщается материальной точке с массой гщ силой fv Составим из этих материальных точек новую, масса которой пусть будет р и приложим к ней силу, равную / +fv Но действие этой силы таково же, как и одновременное действие двух сил / и /ь приложенных к новой точке в одном и том же направлении, и при том мы можем рассматривать дело так, как если бы сила f была приложена к точке с массой т, а сила fx — к точке с массой тг. Поэтому сила / + /1 нашей новой материальной точке сообщит также ускорение
v. Вследствие этого имеем
/ = mv, ft = тха, f + fi = Й>
откуда р. = т + mv
Отсюда следует, что если из п материальных точек с равными массами т составим новую, то масса последней будет пт, а с другой стороны — количество материи, которым обладает новая точка, очевидно, в п раз больше количества материи каждой из составляющих точек. Поэтому массу мы можем принять за меру количества материи, которым обладает материальная точка. Имея дело с каким-либо материальным телом, мы разбиваем его на элементы в трех бесконечно малых измерениях и последние рассматриваем как материальные точки. Поэтому можем сказать, что всякое материальное тело состоит из бесконечно большого числа материальных точек. Возьмем какую-нибудь часть гела. Под массой тела мы понимаем сумму масс составляющих его точек. Пусть М есть ее масса и Q — ее объем. Отношение -^- представит то, что называется средней плотностью рассматриваемой части тела. Если средние плотности всяких частей тела одинаковы, мы говорим, что тело наше однородно.
Если тело неоднородно, допустим, что отношение — приближается к некоторому пределу, когда все измерения рассматриваемой части тела уменьшаются до нуля. Предел этот называется плотностью тела в той точке А, к которой при этом приближается взятая часть тела. Для однородного тела плотность постоянна. Для неоднородного тела она является некоторой функцией координат точки А. Пусть х, у, г — прямоугольные координаты точки А и а — плотность тела в этой точке. Масса тела выразится интегралом
J J ^odxdydz,
распространенным на весь объем тела.
Все величины, с которыми нам приходилось иметь дело в кинематике, измерялись единицами, зависящими от двух основных единиц: единицы длины и единицы времени. В динамике к последним придется прибавить новую — единицу массы.
Единицы массы суть те единицы, которые общеизвестны под названием единиц веса.
Из выражения силы через массу и ускорение выводим следующую символическую формулу:
ед. силы = (ед. массы) (ед. ускорен.)
или
ед. силы =ед. силы =(ед. массы) • (ед. длины)(ед. времени)2
ед. силы =
ед. силы =
Вообще все величины, рассматриваемые в механике, измеряются единицами, зависящими от трех основных единиц: единицы длины, единицы времени и единицы массы. Вместо последней, если угодно, можно ввести единицу плотности, так как
ед. массы = (ед. плотности) (ед. длины)3.
Когда за единицу длины принимается сантиметр, за единицу времени — секунда среднего времени и за единицу массы — грамм, единица силы обращается в так называемую дину:
(грамм) (сантиметр)д (секунд, средн, времени)2 *
Выше мы уже обратили внимание на одно следствие второго закона механики, состоящее в том, что равнодействующая нескольких сил сообщает материальной точке ускорение, являющееся геометрической суммой тех ускорений, которые сообщили бы ей данные силы, действуя на нее порознь. Отсюда в связи с доказанной пропорциональностью сил ускорению вытекает простой способ для определения величины и направления равнодействующей данных сил. Если условимся силы изображать пропорциональными им длинами, имеющими направления сил, то способ этот может быть выражен в форме следующего предложения:
Равнодействующая нескольких сил равна и одинаково направлена с их геометрической суммой.
Отсюда следует, что равнодействующая двух сил изображается по величине и направлению диагональю параллелограмма, построенного на этих силах, как сторонах. В этом состоит известное начало параллелограмма сил.
Изображая силу длиной, мы определяем величину и направление силы проекциями этой длины на какие-либо три направления, не лежащие в одной плоскости. Эти проекции называем проекциями силы.
Пусть к материальной точке приложены п сил, которые заданы своими проекциями на координатные оси
X,, Уъ Z.; Х2, У2, Z2; . ..; Хт Ym Zn.
Называя проекции на те же оси равнодействующей их через X, У, Z, будем иметь
X = Xi + Х2 + ... + Хт У = У, + У2 + .. . + Yn, Z = Zx + Z2 + ... + Zn. Эти формулы дают аналитическое решение вопроса об определении равнодействующей данных сил.
Прилагая к покоящейся точке одновременно несколько сил, мы можем встретить случаи, когда и после приложения их точка остается в покое. В таких случаях мы говорим, что рассматриваемые силы уравновешиваются.
Для уравновешивания сил, очевидно, необходимо и достаточно, чтобы равнодействующая их была равна нулю. Поэтому аналитически условия уравновешивания предыдущих п сил выразятся следующими уравнениями:
X, + Х2 + ... + Хп = О, Yx 4- к2 + ... + Yn = О, Zx + Z2 + ... 4- Zn = о, которые называются уравнениями равновесия точки.
Из этих уравнений следует, что рассматриваемые силы должны быть таковы, чтобы из них можно было составить замкнутый многоугольник.
Рассмотренные два основных закона механики достаточны для решения вопросов динамики материальной точки. В динамике систем точек к ним придется прибавить еще некоторые общие положения, о которых говорить теперь не будем.
Когда материальная точка, движение которой мы желаем рассматривать, не подчинена никаким кинематическим условиям, так что ей может быть сообщено какое угодно положение в пространстве и какая угодно скорость, мы называем ее свободной. Но могут быть такие случаи, когда существуют некоторые условия, которым всегда важно удовлетворять движение точки, независимо от сил, которые могут на нее действовать. Условия эти выражаются обыкновенно в форме поверхностей или линий, на которых должна оставаться точка. В таких случаях мы называем точку несвободной.
Глава I
ДИНАМИКА СВОБОДНОЙ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
§ 1. Относя движение точки к прямоугольной системе координатных осей, обозначим координаты ее через х, у, г, проекции на оси координат равнодействующей всех приложенных к ней сил через X, Y, Z и массу ее — через т. Тогда на основании изложенных выше принципов будем иметь следующие уравнения:
d?x v d2y v d2z у
rzz-^2-—m № -Y, m № — Z.(1)
Эти уравнения служат для решения двух главных задач динамики: определения силы по данному движению точки и определения движения по данным силам и данным начальным обстоятельствам движения. Под последними понимается: положение точки, величина и направление ее скорости для какого-нибудь данного, принимаемого за начальный, момента времени.
Решение первой задачи не представляет затруднений. Для решения ее не требуется производить никаких других операций, кроме дифференцирования. Что же касается второй задачи, решением которой мы и будем заниматься преимущественно, то данными здесь служат величины и направления всех действующих на точку сил, которые могут зависеть: от положения точки, величины и направления ее скорости и от времени. Силы, зависящие от скорости, появляются обыкновенно при рассмотрении сопротивления среды, в которой движется точка. Таким образом, данными служат величины X, Y, Z в функциях следующих семи величин:
dx du dz ,
X,
9 dt 9 dt 9 dt 9
При этом уравнения (1) обращаются в системы совокупных дифференциальных уравнений второго порядка каждое с тремя неизвестными функциями х, у, г и независимой переменной I. Интегрирование этой системы уравнений дает выражение для х, у, z в виде функций времени / и шести произвольных постоянных
X = f (t, cv с2, ... , c6\ у = ф (/, cv c^ ... , c^ 2 = ^(t, cv c^ .. . , c^
и эти шесть постоянных сь с^ ...,с6 определятся по данным начальным обстоятельствам движения. Для этого обозначим через /0 начальный момент времени (это есть некоторая данная постоянная, например нуль), через а. Ь, с — зна- ,,//dx , du , dz
чения х, у, z для / = /0 и через а , о , с — значения -^- = х , -^- = у , -^- = = г для t = /0- Тогда понимая под f, ф', ф' частные производные по / от функций /, ф, ф, будем иметь уравнения
а = / (<0, cv с2, ... , с6), 6 = <р (/0, cv с2, ... , с6), с = ф (^о, Cl с2, ... , с6),
а' = f (/0, cv сгс6), Ь' = <р' (4, сг, с2с6), с' = ф' (Zo, cv с2с6), решением которых и найдем все шесть постоянных в функциях шести начальных данных а, Ь, с, а', Ь'э с*. После этого найденные выражения для х, у. 2 представятся в виде
х = F (/, а. Ь, с. а', Ь\ с'\ у = Ф (/, а, в, с, а', Ь', с'), 2 = Т (/, а, 6, с, а', 6', c'Y чем и приведется к концу решение задачи.
Рассмотрение начнем с простейших случаев уравнений (1).
Обратим внимание на один довольно общий случай, когда движение точки может быть прямолинейным. Если сила, действующая на материальную точку, есть равнодействующей двух сил, из которых одна сохраняет неизменное направление, другая направлена по касательной к траектории, то возможно прямолинейное движение точки, для чего необходимо и достаточно, чтобы начальная скорость ее имела направление, одинаковое или прямопротивоположное с направлением силы. В самом деле, при рассматриваемом условии дифференциальные уравнения движения точки будут следующего вида:
тх" = aF + x'S, ту" = pF + y'S, mz" = yF + z'S,
где a, p, у — некоторые постоянные; F и S — некоторые функции x, у, г, х', у', z , t. Из этих уравнений находим
хп у" ( х' у' \ S х"/ X* ?' \ S
a р ™ \ a р / m ’ а у ~ \ а у / т ’
откуда
Поэтому если а'Ь*с*
то будет X*_у*_г'
a”Р—Y’
а следовательно, и
х — а у — b г — сa “ Р “ ~
т. е. траектория точки будет прямой линией.
Рассмотрим более полно прямолинейное движение точки. Траекторию ее примем за ось х. При этом движении точки будет определяться уравнением
где X — некоторая функция от х, х' = -^, I. Простейшие случаи представляются тогда, когда X есть функция только от одной из этих трех величин. В этих случаях это уравнение всегда может быть проинтегрировано в квадратурах.
Рассмотрим отдельно каждый из этих трех случаев.
X - mf (/).
Дифференциальное уравнение примет вид
х’-т
а интегрированием его найдем
t t
х = а + a' (t — /0) + j dt J f (/) dt.
X = mf (x).6
Дифференциальное уравнение
дает
x' = f (x) x' или -^- dx'2 = f (x) dx.
Поэтому находим
х'2 = а'2+ 2p(x)dx, / — ^ = J ^—
аа а,2 +2^ f (х) dx
X = mf (x'Y
x'dx' , №T = fcx'dx' , №T = fc-^тг ~л~f lx')-^тг ~л~f lx')аатакжетакжеДифференциальное уравнение дает
x'dx' , №T = fc
x'dx' , №T = fc
-^тг ~л~f lx')
-^тг ~л~f lx')
а
а
также
также
откуда
а*а*= 1-4= 1-4ииС x'dx'\ тгтг = х — а.J fix )а'С x'dx'\ тгтг = х — а.J fix )а'
а*
а*
= 1-4
= 1-4
и
и
С x'dx'
\ тгтг = х — а.
J fix )
а'
С x'dx'
\ тгтг = х — а.
J fix )
а'
Исключение х’ из двух последних уравнений и приведет к искомой зависимости между хи/.
g, так чтоg, так чтоПример. Определить вертикальное движение тяжелой точки в среде, сопротивление которой пропорционально квадрату скорости движущейся в ней точки. Принимая за ось х направление силы тяжести, назовем постоянное ускорение, сообщаемое ею всякой точке через
g, так что
g, так что
g — 9,8 м/с2.
Если &2 — некоторая постоянная, а и — скорость движущейся точки, то величина сопротивления среды может быть выражена через mkV. Это есть сила, направление которой прямо противоположно скорости. Таким образом, для движения точки вверх мы будем иметь X = mg + 4- mW, а для движения ее вниз X = mg — тк^. Поэтому дифференциальное уравнение движения будет одного из двух следующих видов: для восходящего движения
для нисходящего движениядля нисходящего движенияxh = g + кЧ'2,х” = g — к2х'2.
для нисходящего движения
для нисходящего движения
Рассматривая восходящее движениеи полагаяZo = 0, находим
С dx'Сx'dx'
1 = t и I - = X — а,
Jg + w2Jg + ^
а'а'
откуда_
х' — ^^ ка‘ cos кУg t -у Уg s\n кУ g tk У g cos kVgt — ka’ sin к Уg t
ии2Л2 (x — a) = In2Л2 (x — a) = Ing+^'2 g + k^g+^'2 g + k^и наконеци наконецx = a^- In ^cos к V~g tx = a^- In ^cos к V~g tka'/gka'/gsin кsin кВысота поднятия h есть значение а — х для х* = 0 и будет, следовательно, определяться форВысота поднятия h есть значение а — х для х* = 0 и будет, следовательно, определяться формулоймулойАIn-22^2 g + к^а'2АIn-22^2 g + к^а'212^212^2InIna'2a'2Для движения вниз найдемДля движения вниз найдемК^ (Уg + ka') ekVgt — (У^ — ^д') е—kVit ^ (Ksf + ка') е^^ + (Уg — ка‘) e—kVgtК^ (Уg + ka') ekVgt — (У^ — ^д') е—kVit ^ (Ksf + ка') е^^ + (Уg — ка‘) e—kVgt
и
и
2Л2 (x — a) = In
2Л2 (x — a) = In
g+^'2 g + k^
g+^'2 g + k^
и наконец
и наконец
x = a^- In ^cos к V~g t
x = a^- In ^cos к V~g t
ka'
/g
ka'
/g
sin к
sin к
Высота поднятия h есть значение а — х для х* = 0 и будет, следовательно, определяться фор
Высота поднятия h есть значение а — х для х* = 0 и будет, следовательно, определяться фор
мулой
мулой
АIn-2
2^2 g + к^а'2
АIn-2
2^2 g + к^а'2
1
2^2
1
2^2
In
In
a'2
a'2
Для движения вниз найдем
Для движения вниз найдем
К^ (Уg + ka') ekVgt — (У^ — ^д') е—kVit ^ (Ksf + ка') е^^ + (Уg — ка‘) e—kVgt
К^ (Уg + ka') ekVgt — (У^ — ^д') е—kVit ^ (Ksf + ка') е^^ + (Уg — ка‘) e—kVgt
ии№U — а) = In -—^-5-5 g—k^x'2№U — а) = In -—^-5-5 g—k^x'2откудаоткудаЕсли точка была брошена вверх со скоростью о, то она достигнет высотыЕсли точка была брошена вверх со скоростью о, то она достигнет высоты
и
и
№U — а) = In -—^-5-5 g—k^x'2
№U — а) = In -—^-5-5 g—k^x'2
откуда
откуда
Если точка была брошена вверх со скоростью о, то она достигнет высоты
Если точка была брошена вверх со скоростью о, то она достигнет высоты
и затем начнет опускаться. При этом скорость t^, которой она будет обладать, опустившись на ту высоту, с которой была брошена, найдется из уравнения
и будет, следовательно, равнаи будет, следовательно, равна№h = — In ^1у- v|)
и будет, следовательно, равна
и будет, следовательно, равна
' £ + &2у2
так что эта скорость будет меньше той, с которой была брошена точка.
Когда точка брошена вниз со скоростью, большей движение ее будет замедленным, а ког- да она брошена вниз со скоростью, меньшей движение ее будет ускоренным. В том и другом случаях скорость ее будет приближаться асимптотически к пределу Если, наконец, точка брошена вниз со скоростью, равной —~, движение ее будет равномерным.
В случае, когда X есть функция двух из величин х, х\ t задача вообще не может быть приведена к квадратурам. Но в двух случаях: когда X не зависит от х или от / она приводится к интегрированию уравнения первого порядка и выполнению одной квадратуры.
В первом случае дифференциальное уравнение движения имеет вид
х" = / (х\ t\
Поэтому, получив
х* = F У, а'\
интегрированием уравнения первого порядка
Т =t),
найдем
t
х = а + ^F (t, а’^ di
to
Во втором случае дифференциальное уравнение движения имеет вид
ХИ = / (х', Х).
Принимая в нем х за независимую переменную, а х' за неизвестную функцию, мы получим из него для определения х’ уравнение первого порядка
Найдя интегрированием его
х' = F (х, <р (а, а')).
получим
ах
F (х, ср (а, а')) *
Из случаев, когда уравнения последнего типа интегрируются в квадратурах, укажем на тот, когда
Нх\ х) = ф (х) + х'2^ UY
В этом случае, если за неизвестную функцию принять х'2, вопрос приводится к интегрированию линейного уравнения первого порядка
которое даеткоторое дает= 2ф (х) + 2ф (х) х ,
которое дает
которое дает
XX
\^x)dx -х —2 J ip(x)dx|_£
х' = е° а'2 + 2 J ^ ° ф (х) dx 2
_а.
Из случаев, когда X зависит от всех трех величин х, х , I, обратим внимание на тот, когда
Д- X = / (0 х' + ф (х) х'2.
Здесь задача приводится к интегрированию уравнения Лиувилля х" = / (/) X* + ф (х) х'2.
Умножая обе части этого уравнения на-^-, мы приведем его к виду
откудаоткудаи, следовательно,и, следовательно,-^_ = f^dt+<Hx)dx,
откуда
откуда
и, следовательно,
и, следовательно,
~ tх
х' = a' exp J f (i) dt + j ф (х) dx
х
х ~ У 4>Wdxt ^ W*
е ° dx = а' ^ е^ dt.
ato
Перейдем теперь к рассмотрению криволинейных движений. Простейший случай таких движений есть тот, когда траектория точки есть плоская кривая. Можно показать, что этот случай будет иметь место, например, тогда, когда точка находится под действием двух сил, из которых одна параллельна некоторой плоскости, а другая направлена по касательной к траектории, если только начальная скорость точки параллельна той же плоскости. В самом деле если уравнение этой плоскости есть
Ах + By + Cz = О,
то дифференциальные уравнения движения в рассматриваемом случае будут вида
тх" = X + Sx\ ту" = У + Sy', mz” = Z 4- Sz\
где X, У, Z удовлетворяют условию
АХ + BY + CZ = 0.
Поэтому,умножая эти уравнения соответственно на Л, В, С и складывая результаты, мы получаем уравнение
т (Лх" + By" + Cz") = S (Лх' + By' + Cz'), дающее
-^sdt
Ax' + By' + Cz' = (Ла' + Bb' + Cc') e to .
Отсюда видно, что если Aaf + Bb' + Cc’ = 0, то и Ax' + By' + Cz' = 0, t. e. траектория точки будет лежать в плоскости
Л (х — а) + В (у — Ь) + С (z — с) = 0.
Так, например, траектория тяжелой точки, двигается ли она в пустоте или в сопротивляющейся среде, будет плоской кривой.
Рассмотрим эти случаи движения. Плоскость траектории примем за плоскость ху, направление оси у возьмем по направлению силы тяжести, а направление оси х так, чтобы оно составляло острый угол с направлением начальной скорости точки.
Предполагая, что точка движется в пустоте, мы будем иметь дифференциальные уравнения
^ = 0, у" = g.
Поэтому, если положим /0 = 0 и за начальное положение точки примем начало координат, то найдем
х = a't, у = -Lgt2 + b't
или, обозначая через г0 начальную скорость точки, а через соо — угол, составляемый ее направлением с осью х, считаемый положительным, когда это направление составляет тупой угол с осью у,
х = vQt cos соо, у = Ц- gt2 — v0/ sin соо, откуда находим уравнение траектории
У = о"2 ™ 1Xtg<B0.
2^о cos2 соо
Эта траектория будет, следовательно, параболой, ось которой вертикальна, а вершина находится в точке
X = — Vo Sin (Оо COS С00, у =^- Vq Sin2 соо.
Если точка брошена наклонно к горизонту вверх, то поднявшись до высоты
12.0
Vo Sin2 соо,
она начнет опускаться, и когда опустится до прежней высоты, расстояние ее от той точки, из которой она брошена, будет
— Vo sin 2оэо.
Это расстояние, называемое амплитудой бросания, при данной скорости бросания достигает, следовательно, наибольшей величины, когда точка была брошена под углом в 45° к горизонту. При этом возвращении точки на прежнюю высоту скорость ее также возвращается к прежней величине v0.
Рассмотрим теперь движение тяжелой точки в сопротивляющейся среде. Сопротивление среды рассматривается обыкновенно, как сила, зависящая от
плотности среды и от скорости движущейся в ней точки и направленная прямо противоположно скорости. Плотность среды есть некоторая функция координат. Поэтому, если сопротивление среды обозначим через mvf, то / будет вообще некоторой положительной функцией координат и скорости о и дифференциальные уравнения движения (оставляя прежнюю координатную систему) будут следующего вида:
%" = -х7, y" = g-y't(2)
Проинтегрировать эти уравнения, не делая каких-либо частных предположений относительно функции/, конечно, нельзя. Но несмотря на это, на основании одного только свойства функции / оставаться всегда положительной, из них можно вывести некоторые общие свойства движения в сопротивляющейся среде.
Прежде всего заметим, что если в уравнениях (2) принять х за независимую переменную, а у и а/ — за неизвестные функции, то эти уравнения обратятся в следующие:
dx' ,,2 d^u
(3)
, / dy \2+
Далее, умножая уравнения (2). соответственно на / и / и затем складывая результаты, получаем
Т -лГ (* АгУ ) = gy —(х + у )f.
Поэтому, если за начальное положение точки по-прежнему примем начало координат, а время будем отсчитывать от момента / = 0, то найдем
у2у2= VO + ^gy— 2 J y^fdt,= VO + ^gy— 2 J y^fdt,ОО(4)(4)
у2
у2
= VO + ^gy— 2 J y^fdt,
= VO + ^gy— 2 J y^fdt,
О
О
(4)
(4)
где Oq — начальная скорость точки. Положим, что точка брошена вверх под острым углом соо к оси х. Если бы среда не оказывала сопротивления движению, то х’ сохраняло бы постоянное значение и0 cos ш0. В случае же, рассматриваемом теперь, х’ будет убывающей функцией х, как показывает первое из уравнений (3), а также убывающей функцией /, как это видно из первого уравнения (2), которое дает
х* = и0 cos соое 0 •
Это последнее равенство показывает также, что х сохраняет всегда положительные значения (так что х есть возрастающая функция времени). Из сказанного следует, что х’^ есть возрастающая функция х, так что для одной и той же абсциссы значение х'—2 будет больше значения соответствующей величины при движении в пустоте (конечно, при тех же начальных обстоятельствах движения). Вследствие этого равенство
X X
у = — xtgcoo + g f dx
J А x' 00
следующее из второго из уравнений (3), показывает, что для одной и той же абсциссы ордината траектории в пустоте меньше ординаты траектории в сопротивляющейся среде, так что последняя, касаясь в начале координат параболической траектории точки в пустоте, во всех других точках расположена ниже ее. Траектория эта, как обнаруживает второе из уравнений (3), выпуклостью
где и2 — некоторая функция от х, обращающаяся в нуль для х = 0, а для х > О сохраняющая положительные значения, то это уравнение может быть представлено в виде
х
— tg(00 + — 8„ - * + g ( иМх = 0.
"О COS2 to0J
Первая часть этого уравнения есть возрастающая функция х, которая для х = 0 получает отрицательное значение, а для х достаточно большого остается положительной. Поэтому, замечая, что подстановка в нее вместо х выражения
2 .
— Vo sin соо cos соо
обращает ее в положительную величину, мы заключаем, что абсцисса наивысшей точки рассматриваемой траектории меньше
2 .
— V0 sincoo cos соо,
т. е. меньше абсциссы наивысшей точки параболической траектории. Вследствие всего сказанного, если ОАВ есть параболическая траектория точки, то траектория ее в сопротивляющейся среде при тех же начальных обстоятельствах движения будет иметь вид кривой 0CD. Что касается скорости точки, движущейся в сопротивляющейся среде, то формула (4) показывает, что на одном и том же уровне эта скорость меньше той, которой обладала бы точка, двигаясь в пустоте при тех же обстоятельствах движения. Вследствие этого, когда движущаяся точка придет в D на один уровень со своим начальным положением О, то скорость ее будет меньше той, с которой она была брошена. Относительно интегрирования уравнений (2) нужно заметить, что если среда однородна, так что сопротивление зависит только от скорости, то оно приводится к интегрированию уравнения первого порядка и выполнению трех квадратур. Чтобы показать это, возьмем дифференциальные уравнения движения в несколько иной форме. Пусть со — угол, составляемый с осью х направлением скорости и считаемый положительным, когда это направление составляет тупой угол с осью у. Далее, обозначим через р радиус кривизны траектории и будем проектировать ускорение и действующие на точку силы на направления скорости и радиуса кривизны. Это нам даст два следующих уравнения:
"5Г = — gsmco — ф(»), —■ = g cos to,(5)
где ср (v) = vf — функция, выражающая силу сопротивления среды. Замечая, что
1 da) 1 da)рdsv dt
(ds — элемент дуги траектории), мы приведем второе из уравнений (5) к виду у 2^- = — g COS со,(6 )
а потому первое из этих уравнений обратится в следующее:
J-4-+(7)
и da) Ь g COS со7
Интегрированием этого уравнения первого порядка мы найдем и в функции со, после чего из уравнения (6) найдем
g J cos со
СОо
и, следовательно, со и и будут известны в функциях времени. Замечая же, что х' = у cos со, у' = — X) sin со, мы найдем
х = J v cos todt, у = — J v sin todt.оо
Таким образом, задача приводится главным образом к интегрированию уравнения первого порядка (7).
Заметим два частных случая, когда это уравнение приводится к линейному.
Если ср (и) = а + ЬхУ\ где а, b и п — некоторые постоянные, то, полагая
1
и п
мы приведем уравнение (7) к линейному
du ,/.। а \nb
-зЬ я tg со Ни Н= 0.
dto 1\ b g cos coy 1 g cos co
Если ф (v) = a + b In v, то, полагая и = e", мы приведем это уравнение также к линейному
du b . ., а
-_ =и । со Н.
dto g cos соg cos co
Таким образом, в этих двух случаях задача может быть решена при помощи квадратур.
Траектория точки всегда будет плоской кривой, когда точка находится под действием центральной силы, т. е. такой, направление которой всегда проходит через неподвижную точку. Принимая эту точку за начало координат, мы будем иметь для такой силы следующие соотношения:
— =
х ” у — z
Поэтому, замечая, что дифференциальные уравнения движения точки дают возможность составить следующие равенства:
т ку г" — zy") = т-А- kyz’ — zy') = yZ — zY,
т (zx" — xz") = nt -^- (zx' — xz') = zX — xZ,(8)
m kxy" — yx") = tn -^- kxy’ — yx') = xY — yX
(третьи части которых равны нулю), мы получим три следующих интеграла этих дифференциальных уравнений:
yz' — гу' = Ср 2ХГ — хг' = С2, ху' — ух' = С3,(9)
где Ст, С2, С3 — постоянные. Уравнения же (9) показывают, что траектория точки лежит в плоскости
С^х + С^у + C3z = 0.
К такому же результату мы придем, предполагая, что кроме центральной силы на точку действует еще сопротивление среды. В этом последнем случае дифференциальные уравнения движения имеют вид
тх" = X + Sx\ ту" = У + Sy*. m2" = Z + Sz', где X, Y, Z удовлетворяют условиям
yZ — 2Y = 2Х — xZ = xY — уХ = 0.
Вследствие этого мы получаем из них равенства
т ^2" — гу") = (у2' — гу') S, т ^2х" — хг") = (zx' — xz') S, ^ W — ух") = ^ху' — ух*) S, дающие
yY — 2у' = Сх exp ^- j Sdt^ ,гх’ — Х2* = С2 exp ^-^- j Sdt^ ,ху' —yx'^Cgexp^^SdtyИз этих же последних равенств видно, что траектория точки лежит в плоскостиСгх + С2у + C3z = 0.
Выражения, встречающиеся в уравнениях (8) и (9), имеют очень важное значение в механике. Поэтому мы должны остановиться на их рассмотрении.
Говоря о действии силы на материальную точку по отношению к некоторой оси или точке, в механике рассматриваются величины, известные под названием моментов силы относительно оси или точки.
Под моментом силы относительно оси определенного направления понимают взятое с тем или другим знаком произведение из проекции силы на плоскость, перпендикулярную к оси, и из расстояния этой проекции от оси (т. е. кратчайшего расстояния между геометрическим изображением силы и осью). Расстояние же это называют плечом силы по отношению к оси. Что же касается знака этого момента, то он считается положительным или отрицательным в зависимости от направления проекции силы. Мы условимся момент силы относительно оси определенного направления рассматривать, как положительную величину, когда для наблюдателя, поместившегося вдоль этой оси, кажется, что проекция силы на плоскость, перпендикулярную к оси, стремится сообщить точке перемещение в сторону положительного вращения вокруг этой оси и как отрицательную величину в противном случае.
При этом условии нетрудно убедиться, что выражения
yZ — 2Y. 2X — XZ. xY-уХ.(10)
входящие в третьи части равенств (8), представляют моменты силы {X, Y, Z} относительно координатных осей х, у, г.
Под моментом силы относительно некоторой точки понимают произведение из величины силы и расстояния ее геометрического изображения от этой точки — расстояния, называемого плечом силы относительно этой точки. Этот момент рассматривается всегда как положительная величина. Он представляет удвоенную площадь треугольника, построенного на радиусе-векторе точки (принимая за начало ту точку, относительно которой берется момент) и геометрическом изображении силы. Для этого момента принято линейное изображение, подобное тому, которым пользуются для угловой скорости, а именно, его изображают длиной, отложенной на одном из двух направлений перпендикуляра к плоскости только что упомянутого треугольника. Мы будем проводить этот перпендикуляр через ту точку, относительно которой берется момент, и последний изображать длиной, отложенной от этой точки на том направлении этого перпендикуляра, по которому должен поместиться наблюдатель для того, чтобы ему казалось, что сила стремится сообщить точке, на которую она действует, перемещение в сторону положительного вращения вокруг этого направления перпендикуляра.
При сказанном условии момент силы относительно какой-либо оси будет представлять проекцию на эту ось момента сил относительно одной из точек этой оси. Таким образом, выражения (10) можно также рассматривать, как проекции на оси х, у, г момента силы {X, Y, Z} относительно начала координат.
Рассмотрим теперь значение вторых частей равенств (8). Если о — скорость точки, масса которой равна т, то произведение то представляет то, что называют количеством движения этой точки.
Если количества движения условиться изображать длинами, отложенными на касательной к траектории точки в направлении движения и понятия о моментах относительно оси и точки, развитые выше по отношению к силам, распространить и на количества движения, то можно сказать, что выражения
m^yz’— zy'^ m^zx*—xz'), m^xy*—yx’\
находящиеся под знаками производных во вторых частях равенства (8), являются моментами количества движения точки относительно координатных осей х, у, z и в то же время — проекции на эти оси момента количества движения точки относительно начала координат.
Вследствие этого уравнения (8), которые можно назвать уравнениями моментов, выражают, что производные по времени моментов количества движения точки относительно координатных осей, равны моментам относительно тех же осей силы, приложенной к точке.
Когда момент силы вокруг одной, двух или трех координатных осей равен нулю, мы получаем один, два или три интеграла (9) дифференциальных уравнений движения.
Так как выражения
-^- (ydz — zdy^ -~- (zdx — xdz), -^- (xdy — ydx) представляют взятые с тем или другим знаком площади секторов, описываемых в течение бесконечно малого времени di проекциями радиуса-вектора точки на координатные плоскости, то эти интегралы выражают, что площади, описываемые проекциями на координатные плоскости радиуса-вектора точки возрастают пропорционально времени. Вследствие этого эти интегралы называются интегралами площадей, а движение, в котором они имеют место — удовлетворяющим закону сохранения площадей.
Когда сила, приложенная к точке, пересекает некоторую ось или параллельна ей, то из интегралов площадей всегда будет иметь место один, если эту ось принять за одну из координатных осей. Для центральной силы имеют место
все три интеграла, если за начало координат принята та точка, через которую всегда проходит направление силы. Движение точки, как мы видели, при этом будет совершаться в плоскости, проходящей через начало координат и площадь, описываемая радиусом-вектором точки в этой плоскости, будет возрастать пропорционально времени. Поэтому если положение точки в этой плоскости мы будем определять полярными координатами: г (радиусом-вектором) и ф углом, составляемым им с некоторым неизменным направлением, лежащим в плоскости траектории), то будем иметь уравнение
г2^-=С.(11)
Кроме преобразования дифференциальных уравнений движений, заключающегося в уравнениях (8), весьма часто пользуются также следующим преобразованием их.
Умножая уравнения (1) соответственно на х\ у', г* и затем складывая их почленно, получаем
d — nw2
—^— = Хх' + Y у' + Zz',
где через и обозначена по-прежнему скорость точки. Отсюда находим
-^- тх?^- тио = j (Хх' + Yy' + Zz') dt.(12)
Величина-^-mu2, представляющая произведение из половины массы точки и квадрата ее скорости, известна в механике под названием живой силы или кинетической энергии точки.
Величина же
(Хх' + Yyf+ Zz^ dt = Xdx + Ydy + Zdz, находящаяся под знаком интеграла во второй части равенства (12), представляет произведение из проекции силы на направление перемещения точки ее приложения и из величины этого перемещения, соответствующего бесконечно малому приращению времени dt. Это произведение известно в механике под названием элементарной работы, совершаемой силой в течение времени dt или на протяжении элементарного перемещения точки ее приложения. Интеграл же второй части равенства (12) представляет то, что называется работой, совершаемой силой за промежуток времени t — t0 или на протяжении пути, проходимого точкой ее приложения за этот промежуток времени.
Таким образом, равенство (12) выражает, что приращение живой силы точки за какой-либо промежуток времени равно работе действующей на нее силы за тот же промежуток времени.
Вообще интеграл, выражающий работу, может быть найден только после интегрирования дифференциальных уравнений движения. Но в тех случаях, когда выражение
Xdx-У Ydy + Zdz(13)
представляет полный дифференциал от некоторой функции U только трех переменных х, yt г, этот интеграл найдется непосредственно и уравнение (12) будет представлять интеграл
Amu^U-Vh(14)
дифференциальных уравнений движения точки. Здесь h есть постоянная, вве- денная интегрированием, и найдется по начальным значениям и и U
h = -^- mvo — Uo.
Выражение (13) будет полным дифференциалом от некоторой функции координат, когда, например, X, У, Z зависят только от координат и выражаются при помощи частных производных
г — ^L 7 _ диА дх ’ У ~ ду ’ L “ dz
одной и той же функции U. Когда сила удовлетворяет этому условию, то функция U называется силовой. Можно заметить, что вообще выражение (13) будет полным дифференциалом от некоторой функции U координат, когда
y = SL + R,'-P2',
где P.Q, R — совершенно произвольные функции величин х, у, z, х* .у* .г* и /. Интеграл (14) известен под названием уравнения живой силы. Он выражает то замечательное свойство движения точки, по которому скорость ее зависит только от ее положения, так что, если U — однозначная функция координат и движение точки таково, что по истечении известного промежутка времени она возвращается в прежнее положение, то и скорость ее получает при этом прежнюю величину.
Особенного внимания заслуживает случай, когда существует силовая функция, так как для большинства сил природы может быть обнаружено ее существование.
Если действующая на точку сила есть притяжение или отталкивание ее некоторым неподвижным центром, зависящее только от расстояния между точкой и этим центром, или вообще — если на точку действует несколько притягивающих или отталкивающих сил, направления которых проходят через некоторые неподвижные центры, а величины зависят только от расстояния между точкой и этими центрами, то, как нетрудно убедиться, силовая функция всегда будет иметь место. При этом, если rt — расстояние точки от какого- либо Z-го центра, а ^ (г^ — функция, выражающая закон изменения притягивающей или отталкивающей силы, исходящей из этого центра, в зависимости от расстояния г{ (причем мы условимся эту функцию считать положительной для притягивающей силы и отрицательной —для отталкивающей), то силовая функция выразится следующим образом:
X pi (г<) drt*
где сумма распространена на все значения I. соответствующие различным притягивающим или отталкивающим центрам.
Заметим еще случай, когда точка находится под действием силы постоянной по величине и направлению. В этом случае силовая функция будет линейной функцией прямоугольных координат точки.
Так, например, если точка находится только под действием силы тяжести и если за ось у принято вертикальное направление сверху вниз, то силовая функция будет
mg у + const.
Рассмотрим движение точки, притягиваемой или отталкиваемой началом координат силой, зависящей только от радиуса-вектора точки. Движение
точки будет происходить в плоскости, проходящей через начало координат. Если положение точки в этой плоскости будем определять полярными координатами: радиусом-вектором г и углом ф, составляемым им с некоторым неподвижным направлением в той же плоскости, то найдем
„2 _МГ V I ,2 / ^ф V
Поэтому если силовую функцию обозначим через mF (г), то уравнение живой силы даст следующее дифференциальное уравнение:
Присоединяя к нему уравнение (11), представляющее интеграл площадей для плоскости траектории, мы получим для определения г и ф в функциях времени два дифференциальных уравнения, интегрирование которых может быть выполнено при помощи квадратур. В самом деле, исключив из уравнений (11) и (15) dt, найдем
I г I 12
откуда квадратурой найдем ф в функции г, т. е. получим уравнение траектории, после чего уравнение (11) даст возможность определить ф в функции I. Относительно постоянных С и h, входящих в эти уравнения, нужно заметить, что они зависят от величин и направлений начального радиуса-вектора и начальной скорости точки следующим образом:
С = rouosin(yo, r0), h =-у Uo—F (,гоу(16)
Рассмотрим ближе случай притяжения обратно пропорционального квадратам расстояний. Действующая на точку сила будет направлена по радиусу- вектору к началу координат и равна fmr-^ где f — некоторый постоянный коэффициент. Поэтому мы можем положить F (г) = -у. Дифференциальное уравнение траектории примет вид
\ dcp / г2 С2г / •
Если же положим
С21 , 2С2 ,2
— = р, 1+-р— h = e?,(17)
то приведем его к виду
I d r I = е2/J—
\ ^ф / р2гр ) ’
откуда
5
1 + 8 cos (ф + а) *
где а — постоянная введенная интегрированием.
Таким образом, траектория точки есть коническое сечение, фокус которого находится в центре притяжения. В частном случае, когда С = О, траектория будет прямой линией, проходящей через центр притяжения. Как показывает первая из формул (16) для этого начальная скорость точки должна быть или
равна нулю, или направлена по радиусу-вектору. Параметр и эксцентриситет конического сечения, описываемого точкой, определяются формулами (17). Последняя из них показывает, что характер этого конического сечения исключительно определяется знаком постоянной h; в зависимости от того Л < О, h = 0 или Я > 0 это будет эллипс, парабола или гипербола. Так как по (16)
й = ^-y2__L
то, следовательно, траектория будет эллипсом, параболой или гиперболой, смотря по тому
«О < V Т" * B»=V"7 или и° > V V"'
Таким образом, характер этого конического сечения не зависит от направления
начальной скорости точки, а только от ее величины.
Если начальная скорость перпендикулярна к радиусу-вектору и равна
, то траектория будет окружностью. В самом деле, при этом
с = УдГо = Vfr0, h =-Lv20 — -L. = — -l--L ,zr0z r0
а потому по формуле (17) 8 = 0.
Заметим еще, что если большую полуось эллиптической или вещественную гиперболической траектории обозначим через а. так что для
е<1, а = у—^ и для е >1, а = -2-^ р , то будем иметь
“ = Т 4г = Т ,(18)
откуда видно, что величина этой полуоси также не зависит от направления начальной скорости.
Для выполнения интегрирования, дающего зависимость между ф и /, рассмотрим отдельно три случая: 8<1,8=1,8>1.
8 < 1. Полагая
ф + а _1+е'“
21-е2 ’
найдем
г = а(\—8 cos и),(19)
а потому уравнение
r^ = c = Vpt
обратится в
(1 — 8 cos и) du = ~~ ^ уу dt
и даст
и — 8 sin и = -^- |Л-~- (^ — т),(20)
где т — постоянная, введенная интегрированием. Отсюда видно, что движение точки по эллипсу будет периодическим с периодом
Т = 2 ла У -у-,
так что по истечении промежутка времени Т точка будет возвращаться в прежнее положение с прежней скоростью. Следует заметить, что отношение между
квадратом этого периода и кубом большой полуоси эллипса траектории есть величина постоянная, т. е. не зависящая ни от начальных обстоятельств движения, ни от массы точки. Отсюда вытекает третий закон Кеплера, выведенный им из наблюдений над движением планет и состоящий, как известно, в том, что квадраты времен обращений планет относятся, как кубы их средних расстояний от Солнца.
8=1. В этом случае уравнение
приводясь к
[1 + cos (<р + a)]2 р V р at’ непосредственно дает
tg^+4tg.^=4/r(/-T).
е > 1. Полагая
находим
Г = afe е +е1), — U+ е -—~^е~— =-L j/-L(< — т).(21)
В случае прямолинейного движения, когда С = 0, вопрос будет решаться: для й < О уравнениями (19) и (20), если в них под а понимать его выражение (18), а для h > 0 — уравнениями (21). В случае же h = 0 уравнение живой силы принимает вид
1 / dr \2 __
2 ( di ) "“ г ' а интегрирование его дает
гр7=3]/1-(/-т).
Вообще при решении задачи о движении точки, находящейся под действием центральной силы, целесообразно использовать полярные координаты. Но в одном случае, а именно для силы, изменяющейся пропорционально первой степени расстояния, удобнее воспользоваться прямолинейными координатами.
Принимая центр притяжения или отталкивания за начало координат, обозначим радиус-вектор точки через г. В таком случае действующая на нее сила будет иметь величину, которую можно представить в виде к^тг, где к?— некоторый постоянный коэффициент. Дифференциальные уравнения движения точки будут: в случае притяжения
Z = — кЧ, у" = — к2у, 2п = — кЧ(22)
и в случаях отталкивания
х" = кЧ, у" = tfy, zh = кЧ.(23)
Интегрирование уравнений (22) дает
х = A cos kt + A’ sin kt, у = В cos kt + В* sin kt,z = C cos kt + C' sin kt,
где Л, Л', В, В', С, О' — постоянные, зависящие от начальных данных следующим образом:
Л = а, В = Ь, С = с, А' = 4-, В' =. С' = 4- -
’’к ’к ’к
Отсюда заключаем, что если все три величины
ВС' — СВ', С А' — АС', АВ' — ВА' одновременно не равны нулю, т. е. если начальная скорость точки не равна нулю и не направлена по ее радиусу-вектору, траектория есть эллипс, центр которого находится в центре притяжения. В противном случае траектории будут прямой линией, проходящей через этот центр. Во всяком случае движение будет периодическое с периодом г = -у.
Рассматриваемое движение представляет простейший случай гармонического движения. Под этим понимают движение, в котором прямоугольные координаты точки выражаются линейными функциями синусов и косинусов некоторых кратностей времени.
Рассмотрим теперь случай отталкивания. Интегрирование уравнений (23) дает
х = Aekt + A'e~kt, у = Bekt + B'e-kt, z - Cekt + Ce-kt, (25) где постоянные А, А' и т. д. выражаются следующим образом в начальных данных:
АfD 1• Ь \1 /. С \
л = -г(а + пг)- В = "Г (й + т) ’+
л/1 / а'\b'\1 /\
Л г)’ В г)’ С
Отсюда следует, что если начальная скорость точки не равна нулю и не направлена по радиусу-вектор у, траектория есть гипербола, центр которой находится в центре отталкивания. В противном случае это есть прямая линия, проходящая через центр отталкивания. Вообще с беспредельным возрастанием времени точка удаляется в бесконечность. Только в частном случае, когда
“+т = 6+т-с+т“0-
т. е. когда начальная скорость точки направлена по радиусу-вектор у к центру отталкивания и равна произведению постоянной к на радиус-вектор, точка приближается при этом к центру отталкивания.
Преимущество прямоугольных координат перед другими в рассматриваемом случае состоит конечно в том, что для них дифференциальные уравнения движения суть линейные с постоянными коэффициентами. Тем же свойством будут обладать дифференциальные уравнения движения и в том случае, когда точка движется в среде, оказывающей сопротивление движению, пропорциональное первой степени скорости.
Обращаемая теперь к вопросу об относительном движении свободной точки по отношению к некоторой неизменяемой системе, движущейся данным образом.
Вопросы этого рода могут быть разрешены двояким путем: 1) интегрированием дифференциальных уравнений абсолютного движения и затем переходом от определенного таким путем абсолютного движения к относительному при помощи формул преобразования координат, или 2) составлением и непосредственным интегрированием дифференциальных уравнений относительного движения. В тех случаях, когда действующая на точку сила дана в зависимости
от относительных положения и скорости ее и когда начальными данными служат также относительные положение и скорость точки, второй путь иногда предпочтительнее. Дифференциальные уравнения относительного движения получаются из найденных в кинематике выражений относительного ускорения, если мы в них заметим проекции на оси Qg, От], 0g (неизменно связанные с неизменяемой системой) абсолютного ускорения
и cos (v, 0g), и cos (v, От]), и cos (v, Og) величинами, деленными на массу т точки проекций на те же оси действующей на нее силы. Обозначая эти проекции через В, Н, Z, получаем следующие дифференциальные уравнения относительного движения:
d^ -./^ю J , о / dr) d^ \ ,
+ mQ2g — т (т^ + <Bnri + ч£) “5-(26.1)
m^L = H-mp +g) + 2т ^ -jЧ^-) +
+ mQ2T] — т (со^ + (ОцТ) + ю^) о^,(26.2)
+ тй% — т (со^ + ю^г) + ®^) ®S.(26.3)
где а, р, у — проекции на оси 0g, От], 0g ускорения начала координат О. Это суть некоторые неизвестные функции времени, точно так же, как и величины со^, соп» ®; проекций на те же оси угловой скорости Q, так как движение неизменяемой системы, по отношению к которой рассматривается движение точки, должно быть заданным. Что касается величин В, Н, Z, то они должны быть даны в функциях В, 7] л, %, -% , -%- и I.
Таким образом, при составлении дифференциальных уравнений относительного движения необходимо учитывать, что при этом, кроме задаваемой силы {В, Н, Z} появляются еще некоторые силы, проекции которых на оси относительных координат выражаются линейными функциями g, т), g, -^-, -^, -~ . Из этих сил та, проекции которой на эти оси выражаются функциями (26.1), (26.2), (26.3) называется центробежной силой. Эта сила равна произведению из массы точки, квадрата угловой скорости и расстояния точки от мгновенной оси, направление же ее идет по перпендикуляру, опущенному из точки на мгновенную ось от этой оси к точке.
Рассмотрим относительное движение тяжелой точки по отношению к Земле. Выведем приближенные дифференциальные уравнения относительного движения в следующих предположениях:
Земля равномерно вращается вокруг оси, движущейся в пространстве поступательно, равномерно и прямолинейно;
точка находится только под действием притяжения Земли, которое направлено к некоторой точке оси вращения ее и обратно пропорционально квадрату расстояния до этой точки, которую будем называть центром Земли;
начальная скорость точки достаточно мала и начальное положение ее достаточно близко к поверхности Земли для того, чтобы можно было пренебрегать изменениями координат ее в сравнении с расстоянием ее до центра Земли.
Примем начальное положение точки за начало координатных осей, неизменно связанных с Землей. За ось g возьмем направление вертикали, прямо противоположное направлению силы тяжести для начала координат. Эта сила есть равнодействующая из силы притяжения Земли и из центробежной силы
для начала координат относительно земной оси. Так как направление и той, и другой проходит через земную ось, то и направление силы тяжести, т. е. оси £, будет пересекать ее. За ось т] примем направление, перпендикулярное к земной оси, идущее от востока к западу. Ось 5 будет при этом направлена в горизонтальной плоскости к югу. Широту начала координат назовем через X, считая ее положительной в северном полушарии и отрицательной в южном. Это будет угол дополнительный к -у углу между осью £ и северным направлением земной оси. Угловая скорость Земли будет иметь направление, идущее с севера на юг (так как Земля вращается от запада к востоку). Поэтому, обозначив эту угловую скорость через Q, найдем
co^ = QcosX, соп = 0, со^ = — QsinX.
Так как в рассматриваемом случае
dto.dm dtor
di dt " dt ”
то дифференциальные уравнения движения будут
т = В — та + mQ2g — mQ2 cos % (£ cos X — £ sin X) —
— 2mQsin X ,dt
m -^Д- = H — mP ++ 2mQ /sin X -^- + cos X-S-\ ,
dt41dtdt )
m -^- = Z — my + mQ2£ +^Q2 sin X (E cos X — £ sin X) — 2mQ cos X -^ .
Здесь В, H, Z — проекции на координатные оси притяжения Земли. Если расстояние движущейся точки до центра Земли обозначим через р, а координаты центра Земли: £ через а, а £ через с (координата т] центра Земли будет равна нулю), по замеченному выше можем положить
S = ^Н =Z = fm
Р2 рр2 р ’Р2 р ’
где / — постоянная. Но величины ■—, у, -~ по условию должны быть настолько малы, чтобы ими можно было пренебрегать. Поэтому эти выражения мы заменим следующими:
— ^2 R > H — 0,— ^2 R > H — 0,7 tm CR^ R ’7 tm CR^ R ’(27)(27)
— ^2 R > H — 0,
— ^2 R > H — 0,
7 tm C
R^ R ’
7 tm C
R^ R ’
(27)
(27)
где 7? — расстояние начала координат от центра Земли. Эти выражения представляют проекции притяжения Земли на точку т, находящуюся в начале координат; а, р, у — проекции центростремительного ускорения начала координат по отношению к центру Земли, так что —та, —тр, —ту — проекции центробежной силы, действующей на точку т, находящуюся в начале координат, а потому
В — та, Н — mp, Z — ту
(где под В, Н, Z понимают выражения (27)) являются проекциями на координатные оси силы тяжести для начала координат, а следовательно, вследствие выбора нашей координатной системы
В — та = О, Н — тР = О, Z — ту =— mg, где g — ускорение силы тяжести для начала координат.
Выражения (27) мы получили, пренебрегая величинами -^-, -~, -^-.
Но пренебрегая этими величинами, мы тем более можем пренебрегать величи- Q2£Q2£
нами —, потому что отношения их к предыдущим равны
—-— , что представляет правильную дробь, так как
g = 32Jfc
7? < 6000 верст = 6000 • 500 • 7 фут
Q — 2л /11
24-60-6012 000’
а, следовательно, Q2/?6000 • 500 • 7 _7
g <12 0002-32“ 4-12-32 ’
Поэтому мы отбрасываем в предыдущих уравнениях все члены, зависящие от
Q2g, Q2r], Q2g и, таким образом, получаем следующие приближенные уравнения:
5- = — 2QsinX-^-, -§- = 2QsinX -§-+ 2Q cos X-$-,(28)
dt2dt dt2dtdix z
_g-=_g-2QcosX-5L.
Отсюда, принимая за начальный момент времени / = 0 и обозначая начальные значения -^-, -^-, -5- через Ео, ло, Ео, находим 0101 ш
-^- = Ео — 2@л sin X, -^- = т|о + 2Q (Е sin X + Е cos X),
= — gt — 2йл cos X + Ео.
-dt, d-n dr
Если же внесем эти выражения вместо -^- , -^-, -^- во вторые части уравнений (28) и отбросим в них члены, зависящие от Q2E, Й2Л, ^2Е> то получим -^- = — 2йло sin X, -^- = 2Q (Ео sin X + Ео cos X) — 2Qgt cos X,
= — g — 2йлоСозХ.
Отсюда же находим следующие приближенные выражения для Е, Л> £:
Е = V — &ло^2 sin X,
Л = ’’W + Q (^о sin X + Ео cos X) <31- Qg/3 cos X,(29)
Е = Ео^g- g^ — QiW2 COS X,
Если go = Ло ^ 0, т- е- если точка брошена по вертикальному направлению, то уравнения движения будут
5 = 0, л = ^о/2созХi-Q^3cosX, Е = ^^/2.
Таким образом, если точка брошена по вертикальному направлению, то она дзижется в плоскости, перпендикулярной к плоскости меридиана, причем высота ее изменяется по тому же закону, как и в случае, когда не принимается в расчет движение Земли.
Если точка падает с некоторой высоты безначальной скорости, так что £о = = 0, то
q =у tigt3 cos X,
т. е. точка отклоняется от вертикали к востоку (ц < 0).
Если начальная скорость точки равна и0 и направлена вверх, так что £о = = v0, то
ц = Qv0/2 cos Xу Qg/3 cos X, £ = votу gP.
Вертикальная составляющая скорости ее и0 — gt обратится в нуль в момент t = -у. Затем точка начнет опускаться и достигнет прежней высоты в момент t = 2 —. Так как
т] = QZ2 cos Х^у gt^,
то в течение всего этого периода времени т] будет сохранять положительные значения, достигая наибольшего значения для / = 2у. Таким образом, точка, брошенная вертикально вверх, отклоняется от вертикали к западу. Когда она Ул2
достигает наибольшей высоты —, это отклонение равно Q cos X. Наибольшая величина отклонения равна у ^ "^ cos^ и имеет место в момент, когда точка возвращается на прежнюю высоту.
Если точка брошена по горизонтальному направлению, так что £о = О, то формулы (29) дают
^ = ^ — Qrjo^2 sin X,
Л = Цо/ + Й^2 sin Xу Qg/3 cos X,
откудаоткудаif По _ 2Q2sinX(^2 + T]o2)/if По _ 2Q2sinX(^2 + T]o2)/Q^2 cos XQ^2 cos X^о ^о 2Qt]q/ sin X) ^q 2Qt]q/ sin X^о ^о 2Qt]q/ sin X) ^q 2Qt]q/ sin X
откуда
откуда
if По _ 2Q2sinX(^2 + T]o2)/
if По _ 2Q2sinX(^2 + T]o2)/
Q^2 cos X
Q^2 cos X
^о ^о 2Qt]q/ sin X) ^q 2Qt]q/ sin X
^о ^о 2Qt]q/ sin X) ^q 2Qt]q/ sin X
Отсюда видно, что для достаточно малого / разность уг имеет одинаковый знак с sin X, т. е. положительна в северном полушарии и отрицательна в южном, а отсюда следует, что точка, брошенная по какому-либо горизонтальному направлению в начале движения отклоняется от этого направления в северном полушарии вправо, а в южном — влево.
Глава II
ДИНАМИКА НЕСВОБОДНОЙ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
До сих пор мы предполагали, что движение точки не подчинено никаким кинематическим условиям. Но есть много вопросов, в которых приходится рассматривать материальную точку, как принадлежащую некоторому
механизму, благодаря которому не всякие движения для нее становятся возможными. В таких случаях свобода движения точки обыкновенно ограничивается тем, что между координатами ее (и вообще — временем) появляются некоторые уравнения или неравенства, вид которых исключительно определяется свойствами того механизма, которому принадлежит точка, и нисколько не зависит от сил, под действием которых она находится. Таким образом, в этих случаях, кроме сил, действующих на точку, даются еще некоторые уравнения или неравенства, которым должны удовлетворять координаты ее и которые не зависят ни от действующих на нее сил, ни от начальных обстоятельств движения, а потому называются кинематическими условиями, стесняющими свободу движений точки.
Так как всякое условие, выражаемое уравнением между координатами точки, можно рассматривать, как поверхность неподвижную или изменяющую свой вид или только положение (в зависимости от того, входит или не входит время в это уравнение), на которой должна оставаться движущаяся точка, а условие, выражаемое неравенством как поверхность, препятствующую переходу движущейся точки из одной части пространства в другую, то мы можем сказать, что кинематические условия, стесняющие свободу движений точки, состоят в том, что даются одна или несколько поверхностей, на которых должна оставаться движущаяся точка во все время движения, или которые должны служить для нее преградами, не допускающими переход из одной части пространства в другую. Поверхность, на которой должна оставаться точка во все время движения, называется удерживающей. Поверхность же, служащая только преградой для нее, называется неудерживающей.
Условие, которому должны удовлетворять координаты точки в случае неудерживающей поверхности, выразится или уравнением, или неравенством, т. е. всегда будет одним из двух следующих видов:
/ (*, У, 2> 0 > О или Ф ^х» У, 2» О ^ 0.
Очевидно, что условие второго вида всегда можно привести к первому виду: оно равносильно следующему:
— ф(я, У, 2, /)>0.
Поэтому в случае неудерживающей поверхности мы будем для однообразия всегда предполагать, что условие, которому подчинена точка, имеет вид
Н^ у, г, 0>0,
т. е. некоторая функция координат и времени больше или равна нулю.
Две удерживающие поверхности можно рассматривать, как линию, на которой должна оставаться движущаяся точка.
В случае трех удерживающих поверхностей положение или движение точки будет вполне определенным. Поэтому такие случаи нет надобности рассматривать в динамике.
Рассмотрим, каким условиям подчинены скорость и ускорение несвободной точки. Каждая удерживающая поверхность дает условие, выражаемое аналитически уравнением
/ (х, у, 2, t) = 0.
Так как этому уравнению должны удовлетворять координаты точки, как функции времени, во всяком возможном для нее движении, то дифференцируя его по I, мы получим уравнения, которым должны удовлетворять производные координат ее в каждом таком движении. Таким образом, мы получим следующие условия для скорости и ускорения:
^-■ + ^8" + ТГ г' + т- °-<3|>
Здесь
ГЛ -/ 4-г'2 4- 2и* 2* 4- 2г'х' 4-
V1 — дх^ Х + ду2 + dz2 2 + 2 дудг У 2 + z дгдх 2 Х +
+ 2-S-xV + 2^x'+2^!l-+243rZ.+^f(32)
дхду у dxdt 1 dydt 3 1 dzdidt2v '
Условие (30) выражает, что проекция скорости движущейся точки на нормаль к поверхности есть вполне определенная функция
V ( дх / + \ dy ) + ( dz /
координат и времени, а условие (31) — что проекция ускорения на нормаль к поверхности есть вполне определенная функция
[Л.
у \ дх / + \ ду / + \ dz /
проекций скорости, координат и времени. Если данная удерживающая поверхность есть поверхность неизменяемого вида и при том неподвижная, то время не будет входить в ее уравнение, вследствие чего условие для скорости приведется к тому, что скорость должна заключаться в касательной плоскости к ней. Проекция ускорения на нормаль при этом будет однородной функцией второй степени относительно проекций скорости, в которой коэффициенты будут известными функциями координат. В этом случае направление ускорения будет заключаться в касательной плоскости к поверхности каждый раз, когда будет обращаться в нуль скорость точки. Таковы условия, которым должны удовлетворять скорость и ускорение точки для каждой из удерживающих поверхностей.
Рассмотрим теперь неудерживающую поверхность. Для координат она дает условие, выражаемое неравенством
/(х, у, г, /)>0 или уравнением
t (х, у, 2, 0 = 0.(33)
В те моменты времени, когда имеет место первое условие, точка не находится на поверхности, а потому ни скорость, ни ускорение не подчиняются ею никаким условиям.
В те же моменты времени, когда имеет место второе условие, должно быть удовлетворено условие 1
так как в противном случае, т. е. когда было бы -~- < 0, функция / (х, у, z, t) (рассматривая в ней х, у и 2 как функции 0 была бы убывающей функцией времени, и, следовательно, будучи для рассматриваемого момента равной нулю, она сделалась бы для следующих достаточно близких моментов времени меньше нуля, что противоречит условию f (х, у, 2, /) ^ 0. Таким образом, в каждый момент времени, когда неудерживающая поверхность дает для координат условие (33), т. е. когда движущаяся точка находится на
этой поверхности, для скорости получается условие, выражаемое неравенством i^+2L9. + i2.+ « >0pi,
дх v ду у х dz ' dtх }
или равенством (30). В первом случае ^т. е. когда -~- > 01 не подчинена никакому условию, а потому и ускорение остается произвольным. Во втором же случае ^когда -~- = oj должно быть удовлетворено условие -^- ^ 0, так как в противном случае -~- была бы убывающей функцией времени, а потому для следующих за рассматриваемым достаточно близких моментов времени она получила бы отрицательные значения, вследствие чего и / была бы убывающей функцией, что невозможно, потому что для рассматриваемого момента она равна нулю, а отрицательных значений она принимать не может. Итак, когда скорость удовлетворяет условию (30), ускорение должно удовлетворять условию
-|L х" + #- у" + -^ г" + [Л >одх ' дуdz u J
или условию (31).
Переходим теперь к рассмотрению, каким образом определяется движение несвободной точки, находящейся под действием данных сил. При этом нужно иметь в виду, что в случае существования неудерживающих поверхностей они могут быть вовсе не принимаемы в расчет, пока точка не находится на них. Такая поверхность начинает оказывать влияние на движение точки только с того момента времени, когда точка вступает на нее. Если затем точка будет в течение известного времени продолжать свое движение, оставаясь на такой поверхности, то скорость и ускорение ее в течение того же времени постоянно будут удовлетворять условиям (30) и (31), т. е. тем же как и для удерживающей поверхности.
Прежде всего заметим, что рассматривая какую-нибудь поверхность
/(х, у, z, t) = 0,(35)
мы будем отличать между двумя направлениями нормали к ней в какой-либо точке то, косинусы углов которого с координатными осями определяются выражениями
от прямо противоположного направления. Первое мы будем называть положительным, а второе — отрицательным. Если функция / такова, что по одну сторону от поверхности (35) она получает положительные значения, а по другую — отрицательные, то положительное направление нормали будет то, по которому должна переместиться точка (х, у, z), находившаяся на этой поверхности, для того, чтобы функция / получила положительное значение.
Мы видели, что когда точка движется по поверхности (35), то проекция ускорения ее на положительное направление нормали есть всегда вполне определенная функция
in
У \ дх ) ду ) дг )
проекций скорости, координат и времени. Легко также убедиться и в справедливости обратного значения: если за все время движения точки проекция ускорения ее на положительное направление нормали к поверхности / (х, у, г, /) = const равна функции (36), и если при том в начальный момент времени точка находилась на поверхности (35), а скорость ее удовлетворяла условию (30), то и за все время движения точка будет оставаться на поверхности (35). В самом деле, при сказанном условии за все время движения будет удовлетворено условие (31), которое равносильно следующему:
а потому за все время движения будет
/ (х, у, г, /) = А + Bt, где А и 6 — постоянные величины. Отсюда видно, что если в начальный момент / = 0 и -~- = 0, то будет/ = 0 и во время движения.
Принимая в расчет, что ускорение материальной точки равно деленной на массу равнодействующей всех приложенных к ней сил и одинаково направлено с этой равнодействующей, мы можем вследствие только что сказанного утверждать, что необходимым и достаточным условием для того, чтобы материальная точка, помещенная на поверхность (35) с начальной скоростью, удовлетворяющей условию (30), оставалась на этой поверхности и во время движения, служит то, чтобы проекция на положительное направление нормали к поверхности равнодействующей всех приложенных к ней сил была равна выражению
тЩ
1/ РИ211 (df У
у \ дх )\ ду ) "^ \ дг )
Положим, что существует только одна удерживающая поверхность. Пусть материальная точка во всяком своем движении вынуждена оставаться на поверхности (35). При этом силы, действующие на точку во время всякого ее движения, будут двоякого рода: 1) силы нисколько не зависящие от поверхности, на которой должна оставаться точка, или от того механизма, по свойству которого точка должна оставаться на этой поверхности; эти силы действуют одинаково как на свободную точку, так и на точку, подчиненную каким-либо кинематическим условиям: обыкновенно они даются в зависимости от координат точки, ее скорости и времени^ а потому называются задаваемыми; 2) силы, зависящие от поверхности, по которой должна двигаться точка; назначение этих сил главным образом состоит в удерживании точки на поверхности, они неизвестны a priori, но определяются по данным силам первого рода вместе с движением точки; эти силы могут быть названы силами сопротивления поверхности.
Пусть X, У, Z — проекции на координатные оси равнодействующей сил первого рода. Проекция этой равнодействующей на положительное направле- 98
ние нормали к поверхности будет
Поэтому вследствие замеченного выше проекция на то же направление силы сопротивления поверхности будет равна
(37)(37)
(37)
(37)
Если силу сопротивления поверхности разложить на две составляющие, из которых одна была бы направлена по нормали к поверхности, а другая заключалась бы в касательной плоскости, то первая составляющая представит то, что называется реакцией поверхности. Величина реакции равна численному значению выражения (37), а направление ее одинаково или прямо противоположно с положительным направлением нормали в зависимости оттого, положительно или отрицательно это выражение. Таким образом, вполне определяется реакция поверхности по данным силам первого рода в зависимости от положения точки на поверхности, ее скорости и времени. По высказанному выше положению, эта сила (т. е. реакция) необходима и в то же время достаточна для удержания точки на поверхности и для всяких механизмов, действие которых должно состоять в удерживании точки на некоторой поверхности, определяется по уравнению этой поверхности формулой (37).
Реакция зависит, следовательно (при данной скорости точки и данных силах первого рода), только от геометрических свойств поверхности. Что же касается той составляющей, которая заключается в касательной плоскости и которую можно назвать тангенциальной силой сопротивления поверхности, то она зависит также и от различных физических свойств поверхности, и сообразно с ними может определяться по уравнению поверхности различными формулами. Эта сила не оказывает никакого влияния на удержание точки на поверхности. Обыкновенно она является вследствие несовершенства того механизма, который заставляет точку оставаться на данной поверхности, и при этом играет роль сопротивления движению в тесном смысле этого слова. Такова сила трения, проявляющаяся при движении точки по всякой материальной поверхности. Силы этого рода с усовершенствованием механизма могут быть насколько угодно уменьшаемы и должны быть равными нулю для механизма, вполне совершенного.
Поэтому мы можем сказать, что реакция есть низший предел силы сопротивления поверхности, который достигается в идеальном случае совершенства того механизма, который заставляет двигаться точку по данной поверхности.
Поверхность, для которой сила сопротивления приводится к одной только реакции, называется соответственно с этим идеальной поверхностью. Случай идеальной поверхности есть, конечно, наиболее простой. Кроме того, во многих вопросах тангенциальные силы настолько малы, что ими можно пренебрегать без заметной погрешности. Поэтому в динамике несвободной материальной точки главным образом и рассматривается этот предельный случай. При этом в большинстве случаев даже не уточняется, что поверхность, на которой вынуждена оставаться точка, должна быть идеальной: говоря о движении материальной точки под действием данных сил по данной поверхности, при этом обыкновенно подразумевают, что эти силы первого рода, а поверхность —
идеальная. Впрочем иногда встречается необходимость учитывать силу трения и в этих случаях об этой силе всегда упоминают отдельно.
Рассматривая далее преимущественно движение по идеальной поверхности, мы покажем также, каким образом определяется движение и в случае существования трения.
Предполагая, что поверхность (35) является идеальной, мы можем легко составить дифференциальные уравнения движения материальной точки, вынужденной оставаться на ней. Так как сила сопротивления такой поверхности приводится к одной только реакции, которая нормальна к поверхности, то проекции на координатные оси этой силы могут быть выражены следующим образом:
x4L, х^-,дх ду дг
где X — пока неопределенный множитель. Поэтому, полагая, что равнодействующая этой силы и задаваемых сил равна произведению из массы точки и ускорения, и одинаково направлена с последним, мы получаем дифференциальные уравнения
„ <^х у I , dfd^y у t 1 ^ т ^г 7 I 1 д/ ^ЧR\
т dp— Х + Л дх' т dPY * ду’ т dPZ + ^ дг* (3°'
в которых X, У, Z — известные функции х, у, г, -^- , -~- > --“ и t. Уравнения (38) заключают в себе четыре неизвестные функции: х, у, г и X. Поэтому, присоединяя к ним уравнение (35), мы получаем систему уравнений, число которых равно числу этих неизвестных функций и которые поэтому дают возможность определить их. Что касается функции X, то она может быть определена предварительно в зависимости от координат точки, проекций ее скорости и времени. Для этого необходимо в уравнение (31) внести величины /', V, ^\ следующие из уравнений (38). Таким образом, найдем
m Ш + 4^aдхА* — — —_—/\2m Ш + 4^aдхА* — — —_—/\2df ду \2df ду \2dfдг~\2~dfдг~\2~(39)(39)
m Ш + 4^
aдх
А* — — —_—
/\2
m Ш + 4^
aдх
А* — — —_—
/\2
df ду \2
df ду \2
dfдг~\2~
dfдг~\2~
(39)
(39)
Внося эту величину X в уравнение (38), мы найдем, что одно из этих уравнений будет следствием двух остальных в силу уравнения (31), которое является следствием уравнения (35). Таким образом, после рассматриваемой подстановки мы можем определить движение при помощи двух из уравнений (33) и уравнения (35). В силу последнего эти два уравнения могут быть приведены к двум уравнениям второго порядка с двумя неизвестными функциями. Интегрированием их введутся поэтому четыре произвольные постоянные, для определения которых можно задать две из начальных координат точки а. Ь, с и две из проекций начальной скорости о!, b', с*, связанные между собой уравнениями
/ (а, 6, с, <0) = О, -#-а' ++ -^- с' += 0.
* ' ’ ’ ’'да ' дЬ 1 дсdt0
Если реакцию поверхности по величине и по направлению обозначим через 7V, то будем иметь
Ncos(N, х) = Х-^-, Ncos(N, у) = Х^-, Ncos(N, z) = X-^- и, следовательно,
N - ± х V V^) + \дГ) + W *
где нужно брать, конечно, тот из двух знаков, для которого это выражение окажется положительным. Эти формулы вместе с выражениями (39) определяют реакцию поверхности в функции времени, после того как определено движение. Для N мы получаем уже известное нам выражение (37). Притом относительно направления реакции можно заметить, что оно одинаково или прямопротивоположно с положительным направлением нормали, в зависимости от того, положительна или отрицательна реакция.
Рассмотрим теперь, каким образом определяется движение в случае существования трения. Но при этом ограничимся только тем случаем, когда точка должна оставаться на неподвижной или движущейся поверхности неизменяемого вида. Относительно силы трения, проявляющейся при движении точки по поверхности, в динамике принимается следующий опытный закон.
Трение есть сила, направление которой прямо противоположно относительной по отношению к поверхности скорости точки, величина же пропорциональна реакции поверхности.
Если под N по-прежнему будем понимать величину реакции поверхности, то сила трения на основании рассматриваемого закона будет равна kN, где к — некоторая постоянная, зависящая от физических свойств поверхности и называемая коэффициентом трения.
На основании сказанного легко составить дифференциальные уравнения движения. Обозначая через а, р, у косинусы углов, составляемые с координатными осями направлением относительной скорости точки и полагая по-прежнему
где | X | означает численное значение X, мы сможем этим уравнениям дать следующий вид:
Если в уравнение (35) не входит t, т. е. если поверхность, на которой должна оставаться движущаяся точка, неподвижна, то в этих уравнениях
1dx □ 1dy 1dzа иdt’ Риdt' уdt
Если же это есть движущаяся поверхность неизменяемого вида, то обозначая проекции на координатные оси угловой скорости их через сох, со^, со2, а через х0, Уо» 2о — координаты некоторой неизменно связанной с ней точки, будем иметь
11ии— ~1Г + “^ (У — Уо) — ®у (z — 2»)] '
1
1
и
и
Р = 4" [4fSb + ®x (z — z0) — ®г (x — x0)],
1 Г dz dz^ ., x
где
, / ахах а ,/х/\ ।. uz
U=V Ь»^ + “ИУ-Уо)-Мг~го)]+Ц]+^, причем х0, у0, z0, сох, мд, со2 — известные функции времени. Во всяком случае а, р и 7 будут удовлетворять следующему уравнению:
^а+ »Lp + 4L1 = 0.(41,
дх 1 ду г 1 dz rv 7
Присоединяя к уравнениям (40) уравнение (35), мы получим число уравнений, достаточное для определения всех входящих в них неизвестных функций х, у, г и X. Следует заметить, что вследствие условия (41) из уравнений (40) и (31) получится прежнее выражение (39) для X, как это и должно быть, потому что реакция поверхности в рассматриваемом случае выражается прежней формулой через X.
В случае неудерживающей поверхности движение точки, пока она не оставляет поверхности, также будет определяться уравнениями (38) или (40). Но в этом случае принимают, что поверхность не может оказывать никакого сопротивления стремлению точки оставить ее, и потому реакция такой поверхности может иметь направление только этой нормали, по которой точка может сойти с нее. В силу сделанного выше условия это есть положительное направление нормали. Отсюда видно, что в случае неудерживающей поверхности предыдущими уравнениями будет определяться движение точки только до тех пор, пока X > 0. В тот же момент, когда X обращается в нуль, чтобы стать потом отрицательным, точка составит поверхность, и будет затем двигаться, как свободная.
Заметим, что сила, равная и противоположная сопротивлению поверхности, называется давлением точки на поверхность.
Положим теперь, что точка должна оставаться на линии пересечения двух поверхностей
f (х, у, г, t) = 0, ф (х, у, г, /) = 0.(42)
Предполагая, что обе эти поверхности суть идеальные, мы составим дифференциальные уравнения движения, выражая, что равнодействующая из задаваемой силы {X, Y, Z} и реакций этих поверхностей одинаково направлена с ускорением точки и равна произведению из ускорения на массу. Таким образом, получатся следующие дифференциальные уравнения:
_ d4 v । 1 df । .. ^- d2y _ л/ । 1 df । .. dtp
d^z 7 , л df . dtpm dt* “dz + dz ’
где X и р — пока неопределенные множители. В этих уравнениях X, Y, Z — данные функции от х, у, г, х', у', г1 и I, а потому в них входит пять неизвестных функций времени: х, у, гД и р, которые все и определятся из них, если к ним присоединить два уравнения (42).
Что касается Хи р, то они могут быть найдены в функциях от х, у, z, х\ у', z*, 1 следующим образом: ускорение движущейся точки в рассматриваемом
случае должно удовлетворять двум условиям
4-х"-v4-y"+-S-z" + гл = о, -4-х"+4-у"+z" + it] = °.
дх ду у дг 1’ дхду у дг 1’
где [ф] — выражение, составленное из функции ф совершенно таким же образом, как выражение (32) составлено из функции f. Если в эти уравнения внести вместо х", у", z" их выражения, следующие из уравнений (43), то мы получим уравнения для определения рассматриваемых выражений X и р,
dfV ,/ д/ у/ df \2ЪГ dfдфdfдфdfдер 1 _
дх /\ ду /\ дг / J[ дхдхдудудгдг J г
L дхL дхдердхдердх= —т [Л — -9-Хl/ J дх= —т [Л — -9-Хl/ J дхдудгдудгdf__ дф ду дуdf__ дф ду дуд^ дф 1 . Г/ дф у / дф у / дф VI _ +■ "дГ "дГ]л + Ц~/+ hd^-д^ дф 1 . Г/ дф у / дф у / дф VI _ +■ "дГ "дГ]л + Ц~/+ hd^-(44)(44)
L дх
L дх
дер
дх
дер
дх
= —т [Л — -9-Хl/ J дх
= —т [Л — -9-Хl/ J дх
дудг
дудг
df__ дф ду ду
df__ дф ду ду
д^ дф 1 . Г/ дф у / дф у / дф VI _ +■ "дГ "дГ]л + Ц~/+ hd^-
д^ дф 1 . Г/ дф у / дф у / дф VI _ +■ "дГ "дГ]л + Ц~/+ hd^-
(44)
(44)
= -ш[ф]^x-^y-^-z.
дхдудг
Подставляя следующие отсюда выражения X и р в уравнения (43), мы обратим вторые части их в известные функции от х, у, z, х\ у', г' и t. Затем, для определения х, у, z в функциях времени мы можем воспользоваться одним только из этих трех уравнений, присоединяя к нему два уравнения (42). В силу последних это уравнение может быть приведено к дифференциальному уравнению второго порядка с одной неизвестной функцией. Поэтому в общие выражения х, у, z в функциях времени войдут две произвольные постоянные, которые могут быть определены по одной из начальных координат точки и по одной из проекций начальной скорости, которые связаны между собой уравнениями
/ (я, Ь, с, /0) = О, ср (a, Ь, с, /0) = О,
dt * df h' I df I df^Ф л' I ^ф h' I| dtp n
После этого найдутся и X и |i в функциях времени. При этом величины
\ дГ) + \д^) +\дГ) ’ |И|]/+’
в которых | X | и | р | означают численные значения X и р, представят величины реакции обеих поверхностей. Направление же каждой реакции будет одинаково или прямо противоположно с положительным направлением нормали к соответствующей поверхности в зависимости от того, положительно или отрицательно X или р. Если обе поверхности (42) суть удерживающие, то знаки X и р могут быть какими угодно.
Если же поверхность ф (х, у. г, /) = 0 неудерживающая, то реакция ее может быть только направлена по положительной нормали к этой поверхности, а, следовательно, р не может получать отрицательных значений. Поэтому в этом случае уравнения (43) будут определять истинное движение точки только до тех пор, пока р ^ 0. Если бы оказалось, что р, полученное из этих уравнений, есть такая функция времени, которая, не становясь отрицательной до момента ^, в этот момент обращается в нуль и затем получает отрицательные значения, то истинное движение точки определялось бы уравнениями (43) только до момента tx\ дальнейшее движение ее должно быть определяемо уравнениями (38), так как в момент 1г точка оставит поверхность ф = 0 и будет затем двигаться только по поверхности / = 0.
Зная величины и направления реакций обеих поверхностей и составляя равнодействующую этих двух сил, мы получим реакцию линии пересечения
этих поверхностей. Направление этой реакции всегда заключается в плоскости, нормальной к линии.
Сила, равная и прямо противоположная реакции линии, представит давление материальной точки на линию.
Легко убедиться, что ни реакция линии, ни движение, определяемое уравнениями (43), нисколько не зависят от выбора поверхностей (42), пересечением которых определяется линия, на которой должна оставаться движущаяся точка, а только от геометрических свойств этой линии. В самом деле, если положим
+Х-^- + ц-^- = Ng, ^#" + И“?-=^г, (45)
dx 1 г dx х ду г ду у’ дг ' дг г» \/
то при всяких X и р величины Nx, Nyi Nz будут удовлетворять уравнению ( dfд<рд[_д<р \ „ . ( dfdtpdfдф \ „
\ dydzdzdy ) x ‘ \ dzdxdxdz /1*
+ (4--^_^_^^г=:0,(46)
1 \ дх dy dy dx / 2’v 7
а, с другой стороны, каковы бы ни были NX1 Nyi NZ1 удовлетворяющие условию (46), они всегда могут быть представлены в виде (45). Действительно, равенство (46) только тогда поставляет некоторое условие для величин Nx, Ny, NZ1 когда в нем все три коэффициента при этих величинах одновременно не равны нулю. Положим поэтому, что
dfdtpdfdtp
dx dydy dx
не равно нулю. Но в таком случае, полагая
dx ' dxх dydy r y'
мы найдем, решением этих уравнений при всяких NX1 Ny вполне определенные величины для Хи р, т. е. для NX1 Ny будет возможна эта форма. Если же подставим эти величины Nx, Ny в условие (46), то оно примет вид
( df dty df dtp \—ftp \
\ dx dy dy dx / V z dz dz ) и, следовательно,
2 dz ' r dz
Поэтому, если все три величины
dfdtpdfдфdfd<pdfdtp dfдфdfдф
dydzdzdydzdxdxdz’ dxdydydx
одновременно не равны нулю, то все равно, говорить ли, что проекции реакции линии NX1 Nyi Nz есть выражения вида (45), или что это величины, удовлетворяющие условию (46).
Замечая, что условие (46) равносильно следующему:
Nxa + N^ + N^ = О,
где а, 0 и 7 — косинусы углов, составляемых касательной к линии, на которой принуждена оставаться точка, с координатными осями, мы приходим вследствие всего сказанного к заключению, что три уравнения (43) равносильны че-
тырем следующим
^■^г* = ^ + NX1 т-^- = К + N^ w-^- = ^ + Nz,Nxa + Ny$ + Nzy = O.( '
Эти же уравнения зависят только от вида линии пересечения поверхностей (42), нисколько не завися от выбора самих поверхностей, пересечением которых определяется линия.
Когда линия, удерживающая на себе точку, есть неподвижная линия неизменяемого вида, то уравнения (48) могут быть преобразованы к весьма простому виду, не зависящему от какой-либо координатной системы. В этом случае траектория точки совпадает с этой линией, а потому, если обозначим через и скорость точки, через р радиус кривизны линии, через Fv, Fp и Fb проекции силы, действующей на точку, на направления скорости, радиуса кривизны и на направление, перпендикулярное к плоскости кривизны линии, а через Np и Nb — проекции реакции линии на два последних направления, то дифференциальные уравнения (48) могут быть преобразованы к следующему виду [9]:
т-?- = ^ т-^ = Р0 + Кр, 0 = Fb + Nb.(49)
Первое из этих уравнений определит движение, а два последних — величину и направление реакции линии. Давлением точки на линию будет сила, равная и прямо противоположная последней. Проекции его на направления радиуса кривизны и перпендикуляра к плоскости кривизны линии определяются выражениями
-Np = Fp-m^-, — Nb = Fb, откуда видно, что если задаваемую силу разложить на две составляющие, из которых одна была бы направлена по касательной, а другая — нормальна к линии, то давление точки на линию будет равнодействующей из этой последней составляющей и из силы, направленной прямо противоположно радиусу кривизны и равной произведению из массы точки, квадрата ее скорости и кривизны линии. Эта последняя сила называется центробежной.
Дифференциальные уравнения, которые мы рассматривали до сих пор, относятся к случаю идеальной линии. Но иногда встречается надобность принимать в расчет силу трения. Эта сила прямо противоположна относительной (по отношению к линии) скорости точки и пропорциональна величине реакции линии или давления точки на линию. Поэтому если через к обозначим постоянный коэффициент трения, то дифференциальные уравнения примут следующий вид
т = Х +
= Y A- Ng-kV N^-y N2^,(50)
m^^ZA-Nx-kVNVY^VN"^ NxaA-N^-VN^ = 0.
В случае неподвижной линии неизменяемого вида здесь
Если же линия, будучи неизменяемой, движется, то а, р, у определяется по ее движению и скорости точки теми же формулами, как ив § 14.
В случае неподвижной линии уравнения (50) могут быть преобразованы к виду
т-^- = Ро-к /^ + ^ • m^=FPA-Np, Q = Fb^Nb. (51)
Когда кинематические условия, которым подчинена точка, и действующие на нее силы не зависят явным образом от времени, то может возникнуть вопрос о разыскании таких положений точки, в которых она может оставаться в равновесии, будучи помещена в них без начальной скорости. Эти положения суть те, в которых задаваемые силы уравновешиваются с сопротивлением поверхности или линии, на которой должна оставаться точка, и называются положениями равновесия ее. Уравнения, служащие для определения этих положений,— уравнения равновесия получаются из дифференциальных уравнений движения, если в последних положить ускорение точки равным нулю. В случае неудерживающих поверхностей к этим уравнениям должны быть присоединены еще некоторые неравенства. Условия, которым вследствие этих уравнений и неравенств должны удовлетворять задаваемые силы, называются условиями равновесия.
В случае свободной точки уравнения равновесия имеют вид
X = 0, Г = 0, Z = 0,(52)
а потому условие равновесия состоит в том, чтобы равнодействующая всех задаваемых сил была равна нулю. (Если X, У, Z — выражения, зависящие кроме координат также и от производных %', у', У, то для получения уравнений равновесия в этих выражениях нужно положить х' = у* = У = 0).
В случае несвободной точки условия равновесия имеют более общий характер.
Когда точка вынуждена оставаться на идеальной поверхности
/ (х, у, г) = 0,(53)
то уравнения равновесия, получаемые из уравнений (38), будут следующего вида:
X + X 4" = 0, Y + X 4- = 0, z + X 4- = 0.
1 дх ’dy ’ х dz
Исключая из этих уравнений X, получаем условия равновесия
dfdf — df
dxdy dz
которые выражают, что равнодействующая задаваемых сил должна быть нормальна к поверхности. Если рассматриваемая поверхность есть неудерживающая, то к этим уравнениям должно быть присоединено еще условие X ^ 0, приводящееся к виду
х4- + v 4-+z4r^°-дх dy dz
Поэтому здесь условие равновесия состоит в том, чтобы сила была направлена по отрицательной нормали к поверхности (т. е. по той, по которой точка перемещаться не может).
Когда точка вынуждена оставаться на идеальной линии
/ (х, у, z) = 0, ф (х, у, г) = 0,(55)
то уравнения равновесия имеют вид
Условие равновесия получается исключением из этих уравнений X и р и, следовательно, будет
О = X ( д' дсрдср I df дср — дср 1
\ dy dz dz dy ) '\ dz дх dx dz / *"
+ Z[^L(5б)
\ дх ду ду дх )v 1
Отсюда видим, что равнодействующая задаваемых сил должна заключаться в плоскости, нормальной к линии. Если поверхность ф = 0 или обе поверхности / = 0 и ф = 0 суть неудерживающие, то мы должны поставить еще условие
р>0 или Х^О и р^О.
Когда точка принуждена оставаться в пересечении трех поверхностей / (х, г/, 2) = 0, ф(х, г/, 2) = 0, ф(х, г/, 2) = 0,(57)
то уравнения равновесия будут
Х + Х^- + И-^ + Х-^- = О1 У + Х-^ + ц-^+%-^ =0, (58) 1 дх 1 г дх 1 дх ’ 1 ду 1 ду 1 ду ’ 4 7
dz 1 r dz 1 dz
Из этих уравнений X, р и % вообще не исключаются, а потому в случае удерживающих поверхностей условия равновесия не будет вовсе. Если же поверхность ф = 0 или поверхности ф = 0 и ф = 0 или, наконец, все три поверхности / = 0, ф = 0 и ф = 0 суть неудерживающие, то условия равновесия выразятся соответственно следующим образом: % ^ 0 или р ^ 0 и % ^ 0 или X ^ > 0, р > 0 и X > 0, где под X, р, % нужно понимать решения уравнений (58).
Во всех рассмотренных случаях точка имеет вообще конечное число положений равновесия, потому что координаты ее, соответствующие этим положениям, должны удовлетворять трем уравнениям: в случае свободной точки — трем уравнениям (52), в случае идеальной поверхности — трем уравнениям (53) и (54), в случае идеальной линии — трем уравнениям (55) и (56) и, наконец, в случае трех поверхностей — трем уравнениям (57). Только в частном случае, когда эти три уравнения приводятся к двум или одному, как, например, в случае тяжелой точки, положенной на горизонтальную плоскость, возможен непрерывный ряд бесчисленного множества положений равновесия.
Иначе обстоит дело в тех вопросах о равновесии на данной поверхности или линии, в которых принимается во внимание сила трения. В этих случаях всегда существует бесчисленное множество положений равновесия.
Выше был приведен опытный закон, на основании которого вводится сила трения, проявляющаяся при движении точки. Теперь мы приведем опытный закон, которому подчиняется сила трения, действующая на покоящуюся точку. Закон этот состоит в следующем:
В случае материальной точки, покоящейся на данной поверхности, трение есть сила, которая может иметь всякое направление в плоскости, касательной к поверхности, и всякую величину, отношение которой к реакции поверхности не превосходит некоторого предела, зависящего от физических свойств поверхности.
В случае материальной точки покоящейся на данной линии, сила трения направлена по касательной к линии и может иметь всякую величину, отношение которой к реакции линии не превосходит известного предела, зависящего от физических свойств линии.
Наибольшая величина отношения силы трения к реакции поверхности или линии может быть названа коэффициентом статического трения. Этот
коэффициент, как показывают опыты, всегда больше коэффициента к. входящего в выражение силы трения, проявляющейся при движении точки.
Когда материальная точка, находящаяся под действием данной силы, помещена в некоторую точку поверхности или линии, причем ей не сообщено скорости, то могут представиться два случая: или в числе сил, необходимых для уравновешивания действующей на точку силы вместе с реакцией поверхности или линии, существует такая, величина и направление которой возможны для силы трения, или не существует. В первом случае сила трения всегда будет иметь величину и направление такой силы, и точка останется в покое. Во втором же случае точка непременно придет в движение.
Если коэффициент статического трения обозначим через kv а проекции на координатные оси силы трения — через Sx, Sg и Sz то на основании сказанного закона уравнения равновесия точки на данной поверхности (53) будут следующего вида:
x + i| + s, = o, K + ^ + s.-o, z + x4L+s,-o,
е I S I S = 0
x dx 8 dy ' z dz
Притом, так как величина реакции поверхности будет
у \ Ох / ' \ ду /\ дг /
то Sx, Sy и Sz должны удовлетворять условию
[
/ 3 £ \ 2/ 3 £ \ 2/ 3 £ \ 21
+ J ’(60)
Исключая из этого неравенства при помощи уравнений (59) величины X, SX1 Sy) Sz, мы получим условие равновесия под следующим видом:
[Д Эх / * \ ду /
+ №Г1 (^2 + У2 + 22) ^ (1 + $ (х-^ + У #- + /-#-?•\ д2 / J v 117 v 117 \ дх 1 ду 1 дг )
Это условие в связи с уравнением (53) определит такие части поверхности, все точки которых будут положениями равновесия для материальной точки. Если под F и N будем понимать направления силы и нормали к поверхности, то рассматриваемое условие представится так:
1 < (1 + tf) cos2 (F, N)
или tg (F, N)^.kv
Поэтому положениями равновесия будут все те точки поверхности, в которых направление силы составляет с нормалью угол, не превосходящий известного предела. Этот предел есть угол, тангенс которого равен коэффициенту статического трения и называется углом трения.
Таким образом, в задачах рассматриваемой категории число положений равновесия бесконечно велико. При этом вопрос, главным образом, состоит в назначении пределов для положений равновесия. Из только что сказанного видно, что этими пределами будут служить такие кривые, проведенные на поверхности, во всех точках которых угол между направлениями силы и нормали к поверхности равен углу трения.
Если рассматриваемая поверхность есть неудерживающая, то к условиям (59) и (60) должно быть присоединено еще следующее: X ^ 0. В этом случае положениями равновесия будут только те точки поверхности, для которых угол между направлением силы и отрицательным направлением нормали не превосходит угла трения.
Примеры. Тяжелая точка, положенная на наклонную плоскость, останется в покое или придет в движение в зависимости от того, не превосходит или превосходит угла трения угол наклона плоскости к горизонту.
Для тяжелой точки, находящейся на поверхности эллипсоида
а2 ф ф с2 - ’
ось 2с которого вертикальна, все положения равновесия находятся внутри эллиптического конуса
охватывающего ось 2с. Если поверхность этого эллипсоида есть удерживающая, то каждая точка ее, находящаяся внутри этого конуса, будет положением равновесия. В^противном случае положениями равновесия будут точки только той части этой поверхности, которая отсекается верхней полой конуса, или только той, которая отсекается нижней полой конуса, в зависимости оттого, на наружную или внутреннюю сторону поверхности эллипсоида положена тяжелая точка.
Рассмотрим теперь условия равновесия с трением на некоторой линии. Если а, р, у по-прежнему означают косинусы углов, составляемых касательной к линии с координатными осями, a aS — силу трения, то уравнения равновесия будут
X + Nx + Sa = 0, Y + Ng + Sp = 0, Z + Nz + Sy = 0,
yv^ + ^p + ^y^o.(61)
При этом должно быть удовлетворено еще условие
S2^6f(^ + ^ + ^).(62)
Исключая из неравенства (62) при помощи (61) величины Nx, Ng, Nz и S, мы получим следующее условие равновесия
(1 + 6?) (Ха + Ур + Z^ < 6? (X2 + У2 + Z2).
Если под Гит понимать направление силы и касательной к линии, то это условие можно представить в виде
(1 + 61) cos2 (F, т) < 61
или ctg2 (F, т) ^ 6ь
Поэтому условие равновесия выражает, что угол между направлением силы и плоскостью, нормальной к линии, не должен превосходить известного предела — угла, тангенс которого равен коэффициенту статического трения, и который также называется углом трения. Пределами положений равновесия будут такие точки на данной линии, в которых направление силы с плоскостью, нормальной к линии составляет угол, равный углу трения.
Возвращаемся теперь к дифференциальным уравнениям движения. Если точка принуждена оставаться на неподвижной поверхности
/ (х, у, Z) = О
или на неподвижной линии
/ (х, у, z) = 0, <р (х, у, z) = 0, то скорость ее будет удовлетворять условию
дх Х + ду У + дг ^ ₽ 0
или условиям
Пользуясь этим замечанием, легко составить для случая движения по неподвижной поверхности или линии один из результатов исключения X из уравнений (38) или результат исключения X и р из уравнений (43). Для этого стоит только умножить эти уравнения соответственно на х', y't z' и результаты сложить. Таким образом, мы получим то же самое преобразование дифференциальных уравнений движения
т ^’х' + у” у' + z" z’^ =-L щ -^- = Хх* + Yy' + Zz',(63)
которое в случае свободной точки приводило к интегралу, известному под названием уравнения живой силы. Отсюда видно, что при том же самом условии относительно задаваемой силы, при котором этот интеграл имеет место в случае свободной точки он будет иметь место и в случае точки, принужденной оставаться на неподвижной поверхности или линии.
Условие это состоит в следующем: сила должна иметь силовую функцию U, не зависящую ни от времени I, ни от производных х\ y't z'. Выраженное в более общей форме, это условие состоит в том, что выражение
Xdx + Ydy + Zdz (64)
(65)(65)должно быть полным дифференциалом некоторой функции U координат. При выполнении этого условия уравнение (63) и приводит к интегралу
(65)
(65)
(h — постоянная) живой силы.
Но легко убедиться, что в случае несвободной точки, рассматриваемое нами теперь дифференциальное уравнение (63) может дать интеграл даже и тогда, когда выражение (64) не есть полный дифференциал некоторой функции трех переменных х, у, z. Когда точка принуждена оставаться на данной поверхности, при помощи уравнения / (х, у, z) = 0 этой поверхности, из выражения (64) можно исключить одну из переменных х, у, z вместе с ее дифференциалом, а потому для возможности получения интеграла из уравнения (63) достаточно, чтобы выражение (64) после сказанного исключения приводилось к полному дифференциалу некоторой функции двух остальных переменных. Для этого же, когда X, У, Z — функции одних только координат, как известно, необходимо и достаточно, чтобы эти функции удовлетворяли следующему условию:
^ I 5Yaz \ t^ ( azах \^ / ахау \
дх \ dzду } 'ду \ дхdz /* dz \ дудх /'**
Когда, следовательно, X, Y, Zбудучи функциями одних только координат, удовлетворяют условию (66), то исключая из выражения (64) при помощи уравнения поверхности, например z и dz, мы обратим его в полный дифференциал некоторой функции U двух переменных х и у, после чего интегрированием уравнения (63) получим уравнение (65).
Когда точка должна оставаться на данной линии, то уравнение (63) всегда дает интеграл, коль скоро X, Y и Z — функции одних только координат. В самом деле тогда мы можем воспользоваться уравнениями линии
/ (я, у, 2) = 0 и ср (х, у, 2) = О
для исключения из выражения (64) двух из переменных х, у, z с их дифференциалами, после чего оно обратится в дифференциал функции одной переменной.
В рассматриваемом случае дифференциальное уравнение второго порядка (63) будет вполне решать вопрос о движении точки и можно показать, что интегрирование его всегда приводится к квадратурам. Для этого положим, что данная линия определяется тремя уравнениями
х = fl (s), у = к (8), 2 = fa (s), дающими координаты в функциях дуги s. Так как по условию X, У, Z — функции одних только координат, то в силу этих уравнений они будут известными функциями s. Полагая поэтому
Хх' + Yy' + Zzl = [Xfi (s) + Yf^ (s) + Z^ (s)] -£_ = ф' (s) -^- ,
мы приведем уравнение (63) к виду
=ф <s)>
откуда
У2= JL<d(s) + /i
или
/\22
-^- = ——— Ф (s) ~Ь Л,\ dt )m ' 7 1 *
а отсюда
Таким образом, интегрирование дифференциальных уравнений движения точки по данной неподвижной линии всегда приводится к квадратурам, так как задаваемые силы зависят только от координат точки. Легко убедиться, что то же будет иметь место и в том случае, когда проекции задаваемой силы имеют выражения
X = Xi + Qz' — Ry’, Y = Yi + Rx'—Pz', Z = Z, + Py' — Qx', в которых Хъ Ytl Zx — какие-нибудь функции одних координат х, у, z, а Р, Q и R — произвольные функции х, у, z, х', у* ,z' и /, ибо при этом
Хх' + Yy' + Zz’ = Хгх' + У1У’ + Zxz'.
Далее будут исследованы наиболее замечательные случаи движения по данной поверхности и линии. При этом мы начнем с рассмотрения последних, так как в отношении интегрирования дифференциальных уравнений движение по данной линии представляется более простым. В большинстве случаев, которые мы будем рассматривать, вопрос будет решаться при помощи уравнения (65) живой силы.
Глава III
ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ ПО ДАННОЙ ЛИНИИ
Простейший случай движения точки по данной неподвижной линии есть, конечно, тот, когда на точку не действуют никакие силы (за исключением, конечно, реакции линии). Уравнение живой силы приводит к заключению, что в этом случае скорость точки остается во время движения постоянной, так что какова бы ни была данная линия, точка будет двигаться по ней равно-
мерно с сообщенной ей скоростью. В этом движении по замеченному в § 15 давление точки на линию будет приводиться к одной только центробежной силе: оно будет обратно пропорционально радиусу кривизны линии, а направление его будет прямо противоположно направлению радиуса кривизны (принимая за направление радиуса кривизны направление, идущее от точки линии к центру кривизны).
Рассмотрим теперь, как изменится характер движения, когда принимается в расчет трение. Для этого воспользуемся уравнениями (49) § 15, которые в рассматриваемом случае принимают вид
и, следовательно, дают
du , и2
—— — — &.dtр
Предполагая, что движение совершается в сторону возрастания дуги s линии, _ds
мы будем иметь и =, а потому последнее уравнение примет вид
du, и
откуда
Здесь р можно рассматривать, как известную функцию s, а потому и интеграл, входящий в выражение показателя, будет известной функцией s. Дуга s в функции времени найдется из уравнения
S/ Sx
/ С ds \
ехр I fc j — I ds = и0 (t — /0).
So X s0 /
Уравнение (67) показывает, что скорость точки будет постоянно убывать, становясь равной нулю вообще только для s = оо. Давление точки на кривую по-прежнему будет равно центробежной силе.
Рассмотрим теперь некоторые случаи движения тяжелой точки.
Рассмотрим движение тяжелой точки по такой кривой, расположенной на цилиндрической поверхности, которая при развертке этой поверхности на плоскость обращается в прямую линию. Такая кривая называется геодезической линией цилиндрической поверхности. В случае кругового цилиндра это будет винтовая линия. Образующие цилиндра предположим вертикальными и за ось г примем направление силы тяжести. При этом, обозначая через s дугу {рассматриваемой линии, мы можем уравнения ее представить в виде
^ = f(s), у = ср (s), z = ssina,(68)
где а — постоянный угол, составляемый касательной к линии с горизонтальной плоскостью.
Уравнение живой силы в рассматриваемом случае получает вид
-L щи2 = mgz + h = smg sin a + h.
Продифференцировав это тождество по 1, учтя, что v = ± -^- » получим
"air = ё sin
откуда
s = ~- gt2 sin a + so/ + s0;
где So и s0 — постоянные величины.
Таким образом, движение точки будет равномерно ускоренное или равномерно замедленное. Если So ^ 0, т. е. если начальная скорость составляет острый угол с направлением действия силы тяжести или равна нулю, оно будет равномерно ускоренное и точка будет постоянно опускаться. В противном случае точка будет подниматься равномерно замедленным движением до момента времени
gsina
а затем начнет опускаться равномерно ускоренно. Закон этого движения нисколько не зависит от вида этой цилиндрической поверхности (68), на которой взята геодезическая линия, и будет тот же самый, как и в случае прямой линии, наклонной к горизонту под углом а.
От вида этой цилиндрической поверхности зависит только реакция линии или давление точки на линию. Так как радиус кривизны геодезической линии направлен по нормали к цилиндрической поверхности:
,d2z п
cos (р, г) = р = О,
которая перпендикулярна к направлению действия силы тяжести, то проекция этого давления на направление, противоположное радиусу кривизны, равна
1
772У^о 17 d2X \। / d2y \ I / d^Z \9 т г £ м / \ т 9 । г м 1
— пит -7-й- + —Нг + —Го-=m^VYt ($)] + [ф (s) 2 .
р[\ ds2 / 1 \ ds2 /\ ds2 ) Jг \।\
Проекция же его на направление, перпендикулярное к плоскости кривизны, равна mg cos a.
Простой маятник. Рассмотрим вопрос о движении тяжелой точки по окружности, находящейся в вертикальной плоскости, или вопрос о так называемом простом или математическом маятнике. Радиус окружности или длину маятника обозначим через I. Принимая за начало координат центр окружности и направляя ось у параллельно действию силы тяжести, запишем уравнение живой силы в следующем виде:
у2 = 2g (g — gi) = 2g (g — g0) + Уо,(69)
Уд
где г/о и v0 — начальные значения у и и и ух = у0^- • Отсюда видно, что так как у0 не может выходить из пределов — Z и Z, то постоянная уг всегда будет заключаться в пределах — I и I. Когда ух = Z, то и у0 = Z, а и0 = 0. Это будет тот случай, когда точка помещена без начальной скорости в самую низшую точку окружности. Так как это положение для нее есть положение равновесия, то она после этого и будет оставаться в покое. Положим поэтому, что у^ < Z. Обозначим угол отклонения маятника от вертикали через У*, рассматривая его как положительную величину с одной стороны вертикали и как отрицательную с другой. Уравнение (69) при этом примет следующий вид:
/2(ггГ = 2g(/cos»-g1).(70)
Рассмотрим теперь отдельно все случаи, которые могут представиться сообразно с различными величинами постоянной yv
1. -Kih<l.
В этом случае мы можем положить z/i = / cos а, предполагая —л < а <; < л, причем а будет наибольшим углом отклонения маятника от вертикали, так называемой амплитудой колебания. Уравнение (70) примет вид
Z / = 2g (cos ft — cos a) = 4g I sin2 -^sin2 -у I •
Так как по этому уравнению sin2—не может превосходить sin2-^— > то мы можем положить
ft .. aх
sin -у- = 8Шф sin -у- ,(71)
и наше уравнение, определяющее ft в функции от /, обратится в следующее уравнение, определяющее ф в функции от t
Отсюда видно, что производная —~- никогда не может обратиться в нуль, т. е. угол ф будет или постоянно возрастающей, или постоянно убывающей функцией I. Но этот угол у нас определен пока еще только одним уравнением (71). Уравнение же это таково, что если ему удовлетворяет ф = ф, то будет удовлетворять и ф — л — ф. Но если одно из этих двух решений будет убывающей функцией I, то другое будет возрастающей, а так как мы имеем право выбрать любое решение этого уравнения, то и будем понимать под ф то, которое есть возрастающая функция t. При этом условии, полагая sin2-^- — А2, из уравнения (72) находим
= ]/ -f- V1 — £2 sin2<p , откуда
V1 — £2 sin2 ф ' где т — постоянная, введенная интегрированием.
Если к — положительная правильная дробь, положим ф Г dm = и J ]/1 — £2 sin2 ср
и затем решим это уравнение относительно ф, то найденная таким образом функция от и представит эллиптическую функцию [10], называемую амплитудой от и при модуле к. Это записывают таким образом
Ф = ат (и, ку
или проще
Ф = amzz,
когда нет надобности обращать внимание на модуль. Мы отметим некоторые свойства этой функции.
Так как интеграл
ф
V1 — &2 sin2 ф
может быть нулем только при ф = 0 и так как этот интеграл при замене ф на —Ф, очевидно, изменяет знак, не меняя своей величины, то мы можем написать
am 0 = О и am (— ы) = — am и, т. е. амплитуда есть нечетная функция своего аргумента, обращающаяся в нуль, когда этот аргумент обращается в нуль.
Далее, так как
^ am иdtp -ж* о • ол
—-= —У— = 1/1 — sin2 ф > О,
du du г’
то мы заключаем, что амплитуда есть возрастающая функция.
Легко убедиться, что если положить л 2
f = к,
5 У 1 —/г2 sin2 <р то Ф+^лФл
Г Фр _ Г L л f d<P —
J )/1 — ft2 sin2 фo^l — ^2 s*n2 Ф o^l — &2 s*n2 Ф
= [ —=^=- + 2пКJ У1 — /г2 sin2 ср
для всякого целого п, а потому для всякого целого п будет справедлива следующая формула:
ат (и + 2пК^ = ат и + пл.(74)
Возвращаясь теперь к уравнению (73), находим из него
Ф = ат "|/-у- (/ —т),
а потому колебания маятника определятся следующими формулами [и1: sin 4г = sin // sin am 1/ -у (^ — т),
22V (75)
-4/ =±21/-§- sin -|- cos am ]/-/ (/ — т).
Из этих формул видно, что движение будет периодическим с периодом л
т=4 У4 к=4 у у f -t=s=— •<76)
'5g J у 1 — sin2 а sjn2 ф
В самом деле, когда t изменится на Т, то аргумент, от которого в наших формулах зависит функция — амплитуда, изменится на 47<, а потому по формуле (74) ат получит приращение 2л, a sin am и cos am, при помощи которых выражаются в формулах (75) sin ~2"И — , получат прежние величины и движение возвратится в прежнюю фазу.
Вообще, пользуясь формулой (74), можно составить следующую таблицу значении v и +:
13
t — т0—Т —Т —ТТ
24
^0а 0—а0
d^
± а 0— а 0 а
dt
Здесь положеноЗдесь положено
Здесь положено
Здесь положено
а = 2 У -у sin -у- •
Время полного колебания Т, как показывает формула (76), зависит от амплитуды колебания так, что с возрастанием ее возрастает и обращается в бесконечность при а = л. Для Т может быть найдено выражение в виде бесконечного ряда. Для этого достаточно заметить, что
L • о а . о \?, ,1 • 3 • 5 . . . (2п — 1). 2п а -2л
l-sm^sin^j =1+22-4-6 ... 2л Sln Т"5111 Ф
П=1
И
л
2
С . 2п д 1 • 3 • 5 . . .• (2п — 1) л
j Sln =2-4-6... 2л — *
Таким образом, найдем
ТТ1 - 3 - 5 . . . (2n — 1)1 - 3 - 5 . . . (2n — 1)2-4-62-4-6. . . 2п. . . 2п(77)(77)
Т
Т
1 - 3 - 5 . . . (2n — 1)
1 - 3 - 5 . . . (2n — 1)
2-4-6
2-4-6
. . . 2п
. . . 2п
(77)
(77)
Отсюда для бесконечно малых колебаний, т. е. когда а есть бесконечно малая величина, мы находим известную приближенную формулу
Г = 2л УТ,
которой определяется низший предел Т.
ух = —/.
В этом случае уравнение (70) обращается в следующее:
= 2g (1 +cos»), откуда
~ Г / cos 2 и, следовательно,
tg --t—=ехр [^ V Л"т)] *
Точка будет двигаться, следовательно, постоянно в одном и том же направлении, асимптотически приближаясь к наивысшей точке окружности.
Уг <Z /•
Уравнение (70) можно записать в виде
Поэтому, полагаяПоэтому, полагая
Поэтому, полагая
Поэтому, полагая
(так что &2 будет положительной правильной дробью), найдем'hr) =тЦ‘-6 sin —)•
откудаоткудаО2О2dtpdtpОи, следовательно,Ои, следовательно,V1 —&2 sin2 фV1 —&2 sin2 ф(t-т)(t-т)
откуда
откуда
О
2
О
2
dtp
dtp
О
и, следовательно,
О
и, следовательно,
V1 —&2 sin2 ф
V1 —&2 sin2 ф
(t-т)
(t-т)
У* = ± 2 am
Отсюда видно, что точка будет двигаться по окружности в одном и том же направлении, описывая полную окружность в промежуток времени
л
2
ТТdcpdcpJV1 —£2 sin2 срJV1 —£2 sin2 ср
Т
Т
dcp
dcp
JV1 —£2 sin2 ср
JV1 —£2 sin2 ср
который и будет периодом движения. Постоянная к, от которой зависит этот период, находится в следующей зависимости от наибольшей скорости ит, которой обладает точка в наинизшем своем положении
к _ .
Таутохрона. Мы видели, что время полного колебания простого маятника не зависит от величины размаха только для бесконечно малых колебаний. Теперь мы рассмотрим так называемый циклоидальный маятник, характеристичное свойство которого состоит в том, что время полного колебания его точно не зависит от величины размаха.
Возьмем в вертикальной плоскости две полные ветви циклоиды, образованной катанием по горизонтальной прямой АВ круга радиуса а. Если обе эти ветви предположим твердыми и непроницаемыми и в общей их точке О укрепим конец гибкой нерастяжимой невесомой нити длины 4а, к другому концу которой прикреплена тяжелая точка М, и предположим, что эта точка может двигаться только в вертикальной плоскости, то и получим циклоидальный маятник, устроенный Гюйгенсом. Такое название ему дано потому, что точка М будет описывать циклоиду, образующий круг которой будет того же радиуса а. Последнее же вытекает из следующего: 1) эволюта циклоиды есть равная ей циклоида, 2) циклоидальные дуги Л'О и ОВГ представляют эволюту для кривой А'СВ', описываемой точкой М, 3) циклоида, для которой эволютой служат дуги АГО и OB', вследствие выбора длины нити, которая равна 4а, проходит через наинизшую точку С кривой АГСВГ.
Вопрос о колебаниях циклоидального маятника приводится к задаче о движении тяжелой точки по дуге циклоиды. Если прямую АВ примем за ось х, а ось у направим параллельно действию силы тяжести, принимая за начало координат общую точку О ветвей АА'О и OB'В циклоиды, то уравнения цикло-
ввоов*в*ееУ Рис.У Рис.иды А'СВ', по которой движется д точка М, могут быть представлены в виде
в
в
о
о
в*
в*
е
е
У Рис.
У Рис.
х = а (со + sin со), у = a (s + cosco), где со — вспомогательный угол. Для получения всех точек циклоиды А'С В' его должно изменять от
— л до л. Если дугу s циклоиды будем отсчитывать от точки С, рассматривая ее как положительную величину, когда со > 0 и как отрицательную в противном случае, то найдем
S = 4(2 Sin -у '
откуда
8а (4а —у).(78)
Для определения движения точки М воспользуемся уравнением живой силы. Если в начальный момент точка М была помещена в точку циклоиды, для которой у = у^ и пущена без начальной скорости, то это уравнение примет вид
/ ds \2 о
Если же положим
So = 8(2 (4(2 — у0), то в силу (78) это уравнение обратится в / ds V g / 2
откуда, обозначая длину нити через I, т. е. полагая 4(2 = Z, находим
и, следовательно,
S = s0 cos []/-р kt — «] •
Это уравнение показывает, что колебания будут периодическими. Время полного колебания,
' g
оказывается независящим ots0 и, следовательно, от величины размаха, и равно времени бесконечно малого колебания простого маятника той же длины. Время, в которое точка опускается до наинизшей точки циклоиды, будучи помещена без начальной скорости в какое-либо положение на ней, для которого s = s0, равно-^-7 и, следовательно, не зависит от пройденной точкой дуги s0. Такое свойство движения называется таутохронизмом, вследствие чего в циклоида называется таутохроной для силы тяжести.
Движение тяжелой точки по вращающейся прямой. Для примера движения точки по движущейся линии рассмотрим движение тяжелой точки по прямой, равномерно вращающейся вокруг некоторой оси. Обозначим через а угол, составляемый прямой с осью вращения, через р угол, составляемый осью с вертикалью, и через Q постоянную угловую скорость вращения.
Рассматриваемая задача, как и многие другие задачи о движении точки по движущимся поверхностям или линиям неизменяемого вида, удобнее всего решается при помощи формул относительного движения. Для этого введем три взаимно перпендикулярные оси, неизменно связанные с прямой линией: |, т|, £. За ось| примем направление самой прямой линии, аза осьт| — направление кратчайшего расстояния между этой прямой и осью вращения. За начало координат примем ту точку прямой, которая находится в кратчайшем расстоянии от оси вращения. Мы будем иметь
o)|^Qcosa, 0)^ = 0, G)£=Qsina.(79)
(80)(80)(81)(81)
(80)
(80)
(81)
(81)
Относительное движение точки будет происходить по оси |, так что во время движения будет т] = 0 и ^ = 0. Для определения этого движения мы воспользуемся формулами (26), в ко
торых вместо В, Н, Z должны быть подставлены\/ /
проекции на оси 5, Л, ? равнодействующей всех \/
действующих на точку сил. Силы же эти в рас- \/
сматриваемом случае суть: сила тяжести, нап- \/
равление которой примем за ось z и реакция ли-\/
нии, направление которой перпендикулярно к \/
оси t Что касается величин а, р, у, входящих в/
формулы (26), то они являются проекциями на оси £, т), £ ускорения начала координат, которое в рассматриваемом случае есть центростреми-Рис. 13-
тельное: величина его равна М22, если к есть
кратчайшее расстояние между прямой и осью, а направление идет по этому кратчайшему расстоянию от прямой к оси. Если поэтому за ось т] принято именно это направление кратчайшего расстояния, то вместо а, р и у в уравнения (26) нужно подставить 0, &Q2 и 0. Обозначая через (z, g), (z, т]), (z, £) косинусы углов, составляемых осью г с осями L Л> ? и через М), N^ проекции на оси т] и £ реакции линии, и пользуясь формулами (79), мы приведем уравнения (26) для рассматриваемого случая к следующему виду:
g) + ^Q2sin2a, 0 = g(z, т]) + —М22 ~ 2Q-^-sin а,
0 = g(z, £MШ2 sin a cos a.
Для определения входящих сюда (z, £), (z, iq) и (z, £) проводим через начало координат направления параллельные оси вращения и оси z и замечаем точки пересечения их с поверхностью сферы радиуса 1, имеющей центр в начале координат. Пусть эти точки Q и z. Точки пересечения сферы с осями координат обозначим через g, т), £. Соединив эти точки попарно дугами больших кругов, найдем
Qn = ^^ = ^^ = -^, -Qg = a, ^Qz=p, ^Q£ = ^a.
/ qQz = -f- + Z_ ^Qz, Z_№ = n —zC^fiz.
Что же касается угла ^Qz, то он будет возрастать пропорционально времени, и мы можем принять Z_gQz = Q/. Поэтам данным из сферических треугольников zQ^, zQr), zQ£ найдем
(z, g) = cos a cos P + sin a sin P cos Q^, (z, r]) = — sin p sin Q^,(z, Q = sin a cos p — cos a sin p cos QZ.
Внося эти выражения в уравнения (80), мы определим движение по первому из них
= g (cos a cos P + sin a sin p cos Q^) + £Q2 sin2 a,
после чего реакция линии определится по двум остальным из уравнений (80). Вводя вместо £ новую неизвестную функцию ^ при помощи подстановки
g cos a cos P g sin a sin p
Q2sin2a Q2(l+sin2a)
мы обратим уравнение (81) в следующее:
-§- = Q2^ sin2 а,общий интеграл которого естье।—-Q/sina
Из этих формул видно, что вообще с беспредельным возрастанием времени точка будет удаляться в бесконечность.
Следует обратить внимание на частное решение, когда С = Ct = 0. Движение, соответствующее этому решению, получается, когда в момент времени / = 0 точка помещена без начальной относительной скорости в ту точку прямой, для которой
- g / cos a cos р , sin a sin 0 \
’Q2 \ sin2 a"* l + sin2a /
Это движение определяется уравнением
р g cos a cos Pg sin a sin 0
6Q2 sin2 a Q2(l +sin2«) coswr
2л
и представляет простое гармоническое колебание с периодом —q— и амплитудой
g sin a sin P
Q2 (1 + sin2 a)
Когда ось вращения вертикальна, т. е. когда 0 = 0, движение определяется уравнением
t g COS a . p Q/sina । p —Qfsina
ёQ2sin2a ++1
В этом случае существует положение относительного равновесия движущейся точки, а именно положение, для которого
о geos a
Q2 sin2 a
Если мы предположим еще, что ось вращения перпендикулярна к прямой, то получим первую задачу о движении точки, вынужденной оставаться на движущейся линии. Задача эта была предложена И. Бернулли и разрешена Ампером.
Глава IV
ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ ПО ДАННОЙ ПОВЕРХНОСТИ
Геодезические линии. Переходя теперь к вопросам о движении точки по данной поверхности, начнем с рассмотрения простейших случаев, которые при этом могут представиться. Рассмотрим движение точки по данной неподвижной поверхности, предполагая, что на точку не действуют никакие силы, кроме сопротивления поверхности. Пусть
/ (х, у, z) = 0
есть уравнение данной поверхности. Предполагая сначала, что поверхность эта идеальная, мы будем иметь следующие дифференциальные уравнения 120
движения по ней
d2x a dfd^y a dfd^z . Of
ду ’“ ^ "dT* (82)
Эти уравнения выражают, что ускорение движущейся точки направлено по нормали к поверхности. Но вследствие неподвижности последней касательная к траектории точки заключается в касательной плоскости к поверхности и, следовательно, по только что замеченному, ускорение точки оказывается направленным перпендикулярно к ее скорости. Если же учесть, что ускорение точки всегда заключается в плоскости кривизны траектории и что проекция dv
его на направление скорости равна -^- , то придем к заключению, что в рас- du
сматриваемом случае-^- = 0, т. е. что точка движется равномерно и что радиус кривизны ее траектории всегда направлен по нормали к поверхности.
Вообще кривая, проведенная на какой-либо поверхности так, чтобы радиус кривизны ее всегда был направлен по нормали к поверхности, называется геодезической линией. В вариационном исчислении доказывается, что это есть та линия, по которой измеряется кратчайшее расстояние между двумя точками на поверхности. Например, на плоскости геодезическая линия есть прямая, на поверхности сферы — дуга большого круга, на цилиндрической поверхности — такая линия, которая при развертке этой поверхности на плоскость обращается в прямую линию. На всякой поверхности вращения меридиональная кривая есть одна из геодезических линий.
Таким образом, если к материальной точке не приложено никаких задаваемых сил, то при движении по идеальной поверхности она будет описывать геодезическую линию, двигаясь по ней равномерно с сообщенной ей скоростью. При этом описываемая точкой геодезическая линия вполне определится по начальному положению и по направлению начальной скорости точки, ибо определение геодезической линии приводится к интегрированию одного дифференциального уравнения второго порядка с одной неизвестной функцией, вследствие чего конечные уравнения ее содержат две произвольные постоянные, для определения которых достаточно дать точку на поверхности, через которую должна проходить геодезическая линия, и в этой точке — направление касательной к геодезической линии.
Если через ds назовем дифференциал дуги геодезической линии, то по свойству ее будем иметь
d^xd^yd^z
ds2 ds2 ds2
dxdydz
Поэтому если за независимую переменную примем, например, х, то будем иметь
Но из уравнения / (х, у, г) = О поверхности мы можем найти 2 = ф (X, у), откуда
dz дф . дф dy dxdx "* dy dx
Если же эти величины г и -^— подставим в предыдущее уравнение, то обратим его в дифференциальное уравнение второго порядка с неизвестной функцией у и независимой переменной х. Поэтому интегрированием его найдем y = С, С'),
где постоянные С и С' определятся, когда даны значения у и -^- для какого-либо данного значения х.
Рассмотрим теперь, каково будет движение точки по поверхности, когда принимается в расчет трение. Так как мы предполагаем, что на точку не действуют никакие задаваемые силы и что поверхность неподвижна, то уравнения (40) примут следующий вид:
т d"y A , ^КУТТ^ТТР^Г У' №^ у +~(83)
/и —= х -^— к х 1 / -а— + -4— + -4— — •dt2 dz 1 1\ дх / 1 \ ду /\ dz / и
Пусть р, q и г — косинусы углов, составляемых с координатными осями направлением, перпендикулярным к скорости точки и к нормали к поверхности, так что
df . df . df nI / n
P "77 + q -77 += 0 и px 4 qy + rz = 0.
Умножая уравнения (83) соответственно на р, q и г и складывая результаты, мы поэтому найдем
px” + qy" + rz" = 0.
Это уравнение выражает перпендикулярность направления (р, q, г} с направлением ускорения точки, и так как это направление перпендикулярно также и к направлению скорости, то, следовательно, оно перпендикулярно к плоскости кривизны траектории точки. Из этого же обстоятельства в связи с тем, что направление {р, q, г} перпендикулярно к нормали к поверхности, мы заключаем, что плоскость кривизны траектории содержит нормаль к поверхности, и, следовательно, радиус кривизны траектории направлен по нормали к поверхности.
Таким образом, и в случае существования трения, траектория точки будет геодезической линией, которая по-прежнему вполне определяется по начальному положению и по направлению начальной скорости точки. Но движение точки по поверхности в случае существования трения уже не будет равномерным. В самом деле, умножая уравнения (83) на х', у', г* и складывая результаты, по сокращении на и найдем
НоНогде [/] = + 2-^- т дхдугде [/] = + 2-^- т дхдуd^ dx2х'у'.d^ dx2х'у'.m [f]/8 , d2f ,2 . d2f ,2 о d2f , , . о х + —У +2 +2 - д ' у г +21 dy2 у dz-dydz Jm [f]/8 , d2f ,2 . d2f ,2 о d2f , , . о х + —У +2 +2 - д ' у г +21 dy2 у dz-dydz Jz'x' +z'x' +
Но
Но
где [/] = + 2-^- т дхду
где [/] = + 2-^- т дхду
d^ dx2
х'у'.
d^ dx2
х'у'.
m [f]
/8 , d2f ,2 . d2f ,2 о d2f , , . о х + —У +2 +2 - д ' у г +2
1 dy2 у dz-dydz J
m [f]
/8 , d2f ,2 . d2f ,2 о d2f , , . о х + —У +2 +2 - д ' у г +2
1 dy2 у dz-dydz J
z'x' +
z'x' +
= v2^ (s),= v2^ (s),(Л(ЛПоэтому, зная геодезическую линию, которую описывают точки на поверхности, мы будем иметь
= v2^ (s),
= v2^ (s),
(Л
(Л
где Y (s) — известная функция дуги s геодезической линии и, следовательно, найдем
=-to2|Y(s)|,
где l^ (s) | — численное значение Т (s). Нетрудно видеть, что это есть кривизна геодезической линии.
Если предположим, что дуга s отсчитывается в сторону движения точки, то будем иметь и = -—- и наше уравнение, принимая вид
-J- = — Ь | ¥ (s) I,ds।\ м
дает
и = и0 ехри = и0 ехр— к ^ | Т (s) | dsSo— к ^ | Т (s) | dsSo
и = и0 ехр
и = и0 ехр
— к ^ | Т (s) | ds
So
— к ^ | Т (s) | ds
So
Это же уравнение показывает, что скорость точки будет постоянно уменьшаться, асимптотически приближаясь к нулю.
Таким образом, когда задаваемые силы равны нулю, то трение, замедляя движение точки по поверхности, не оказывает никакого влияния на вид ее траектории.
Сферический маятник. Рассмотрим движение тяжелой точки, вынужденной оставаться на поверхности сферы,— вопрос о так называемом сферическом или коническом маятнике. Принимая за ось г направление действия силы тяжести, запишем уравнение сферы в виде
(84)(84)4-(/2 — х2 — у2 — г2) = 0,
(84)
(84)
где I — длина маятника. Дифференциальные уравнения (38) примут вид — —лх, т -~- =—лу, m—n7-=mg — кг. (85)
dtzdt2J dt2 &x 7
Первые два из этих уравнений дают d2y d2x n
откуда
где С — постоянная. Кроме того, мы имеем уравнение живой силы
т)-2S(^-^) + ^.(87)
где 2, п г„ — начальные значения z и о. К этим уравнениям мы присоединяем следующее:
dx . dydt/оох
х-нг+у-<1Г = -г-4Г’<88)
которое вытекает из уравнения (84). Возводя уравнения (86) и (88) почленно в квадрат и складывая результат, находим
г / » \ 2/ . \ 21/ , \ 2
Zr2 I „2\ II I I I Г*2 I ^2 I )
(Я + У ) Ц dt ) + ( dt ) J - с + z
или в силу (84)
Вследствие же этого равенства уравнение (87) приводится к виду
/2 ("S' Т = </2 ~ ^ V2g (2- z0) + ^] - С\(89)
откуда при помощи квадратуры можно найти / в функции г.
Когда С = О уравнение (86) дает — = const, т. е. в этом случае точка движется по дуге окружности, получаемой в пересечении сферы (84) с некоторой вертикальной плоскостью, проходящей через ее центр и мы приходим, следовательно, к рассмотренному уже случаю колебаний простого маятника. Поэтому случай С = 0, который будет иметь место, когда начальная скорость точки равна нулю или заключается в вертикальной плоскости, проходящей через центр сферы, мы теперь исключим из рассмотрения.
Обозначим через ф угол, составляемый вертикальной плоскостью, проходящей через центр сферы и движущуюся точку, с плоскостью zx. Тогда уравнение (86) примет следующий вид:
(Z2 _ Z2)= С>(90)
откуда видно, что если ц0 — проекция начальной скорости на направление перпендикуляра к плоскости ф = const, проходящей через начальное положение точки, то
С2 = (Z2 — г|) и2-(91)
Вследствие замеченного выше мы будем предполагать, что и0 не равно нулю, и что zo не равно /2. Когда z найдется в функции /, уравнение (90) даст ф в функции I, чем и решается окончательно вопрос о движении точки, потому что для определения положения точки на поверхности сферы в каждый момент времени достаточно знать z и ф в функциях времени. Полагая
мы приведем уравнение (89) к виду
/2(^-) =2^(z).(92)
Мы должны поэтому прежде всего исследовать функцию f (z). Принимая в расчет выражение (91), находим
f/A С2 .('2 —?о) (^—“о)А & ft х I
/ (0 =Цг6) =^, /(—/) =/ (—°0) = 4-00.
Так как Р — А > 0 и х^ — «о > 0, то / (z0) > 0. Отсюда видно, что уравнение третьей степени / (z) = О имеет три вещественных корня, из которых один всег-
да заключается между пределами —I и —оо, а два других между пределами —I и /. Из этих последних один будет равен z0, если Uo = Uq, т. е. если начальная скорость точки горизонтальна. В общем же случае, когда ио > «о, эти два корня заключаются между пределами —/, z0 и z0, /. Обозначим эти корни через zb z2 и z3, предполагая Zj > z2 > z3.
Когда uo = ио, мы находим
f (z) = (z0 — z) z2 + ^- (z + z0) — Z2 .
а поэтому в данном случае, если
Zo + —|-z„ — Z2 > О, то Zj = z0 и z0 > z2 > —Z; если же
Zo + -y-z0 —Z2<0,
что будет иметь место всякий раз, как z0 ^ 0, то I > zv > z0 и z2 = z0. Когда, наконец,
2^ + -^20-Z2=0, для чего необходимо должно быть z0 > 0, то zt = z2 = z0, при этом
2з — Z° 2z0'
Прежде чем перейти к общему случаю, мы рассмотрим этот последний частный случай, когда начальное положение точки ниже горизонтальной плоскости, проходящей через центр сферы (z0 > 0), когда начальная скорость горизонтальна (ио = ^о) и когда величина этой начальной скорости удовлетворяет условию
ио =-|~-(Z2 — Zo).
В этом случае уравнение (92) принимает вид
р -2g <2 - (г+г"+
и показывает, что должно быть z = z0 во все время движения, ибо в противном случае вторая часть принимала бы отрицательные значения. Если же постоянно z = z0, то уравнение (90) дает
Таким образом, рассматриваемое частное решение определяет равномерное вращательное движение точки по окружности, получаемой в пересечении сферы с горизонтальной плоскостью.
Обращаемся теперь к общему случаю. Уравнение (92) мы можем представить в виде
^(-^-)2 = 2g(z1-z)(z-z2)(z-z3).(93)
Так как вообще для всех точек сферы —I <z < Z, a z3 < —Z и так как первая часть равенства (93) положительна, то необходимо, чтобы
21 > 2 > Z2,
т. е. во все время движения г должно заключаться между пределами гх и z2. Поэтому мы можем положить
2 = Zx COS2 ф + Z2 sin2 ф,(94)
вводя вместо неизвестной функции г новую ф. Уравнение (93) при этом обратится в следующее:
(~sF") = 92 0 — ^2 sin2 V),(95)
где
~2 £ (212з)£2 2122(96)
так что № — положительная правильная дробь. Отсюда видно, что -^- никогда не может обратиться в нуль, т. е. что ф — или постоянно возрастающая, или постоянно убывающая функция времени. Но ф у нас определяется только уравнением (94), а последнее таково, что если ему удовлетворяет ф = = т], то будет удовлетворять и величина ф = л — т). Поэтому мы можем предположить ф возрастающей функцией, вследствие чего уравнение (95) даст
ф
f —==^== q (t — т)
J ]/1 — &2 sin2 ср
и, следовательно,
Ф = am \q (t — т)].(97)
Здесь т — постоянная, которая находится в определенной зависимости от z0, а именно, принимая за начальный момент времени / = 0 и обозначая начальное значение ф через ф0, имеем z0 = zx cos2 ф0 + z2 sin2 ф0 и ф0 = —am qT. Обращаясь к уравнению (90), находим
^Ф “ /222"' ^
или вследствие (95)
,. С
= ===г- •
я (I2 — 22) 1^1 — к2 sin2 ф
Понимая здесь под г его выражение (90), находим отсюда ф в функции от ф при помощи эллиптического интеграла третьего рода
ф
ф — ф0 = I — ' '■—- — . ' >
q J (Z2 —z2)/l—fe2sin2<p
где ярд — начальное значение гр. Если же положим
ф
С (ф),
J (/2 —г2) /1 -^281П2ф
то будем иметь
- ^0 = -С- [G (ф) - G (ф0)].(98)
Относительно входящей сюда функции G (ф) необходимо заметить, что она обладает, как нетрудно убедиться, следующими свойствами:
G (ф + /гл) = G (ф) + nG (л)
G (л) = 2G (-^-)G (л) = 2G (-^-)для всякого целого /г, так что
G (л) = 2G (-^-)
G (л) = 2G (-^-)
G (0) = 0,
и что
G (— ф) = — Q (ф),
Уравнения (94), (97) и (98) и решают вопрос о движении точки.
Учитывая свойства функции am, изложенные при рассмотрении задачи о колебаниях простого маятника (§ 20), а также свойства функции G (ф), о которых только что было сказано, мы можем придти к заключению о следующих свойствах этого движения.
Если провести две горизонтальные плоскости г = zx и г = z2, то в пересечении их со сферой получатся две окружности, ограничивающие тот сферический пояс, на котором расположена вся траектория точки. Значения ф : : 0, л, 2л и т. д. дают точки этой траектории, лежащие на нижней окружности, 135«
а значения ф : у л, у л, у л и т. д.— точки ее, лежащие на верхней окружности. Так как
dz1ч .dtp
= — 2 (Zi — Zo) SIH ф COS ф —77
и так каки так какб/ср (Ц)б/ср (Ц)dcpх 1Yd^
и так как
и так как
б/ср (Ц)
б/ср (Ц)
никогда не обращается в бесконечность, то для всех этих
точек —^- = 0; это показывает, что траектория в этих точках касается с этими окружностями. Значения ф, соответствующие точкам касания с нижней окружностью, следующие:
Фо7 G (фо). ФоФо7 G (фо). ФоG (Фо) + 2-^-0 ^G (Фо) + 2-^-0 ^
Фо7 G (фо). Фо
Фо7 G (фо). Фо
G (Фо) + 2-^-0 ^
G (Фо) + 2-^-0 ^
и т. д., а значения гр, соответствующие точкам касания с верхней окружностью, следующие:
Фо - 4-G ^о)+4-G (4-) • ф« - 4-G to»)+3 4-G 4г)
и т. д., откуда видно, что при переходе от точки касания с верхней окружностью к следующей точке касания с нижней окружностью и обратно, угол гр изменяется всегда на одну и ту же величину
Поэтому траектория точки будет незамкнутой или замкнутой кривой, в зависимости от того, соизмерима или несоизмерима эта величина ¥ с числом л.
dz
Величины z, -у- и -уу будут изменяться с течением времени периодически, возвращаясь к прежним величинам по истечении каждого промежутка времени л
,р _ 2 С,
Я J У1 — &2 sin2 ф
так что по истечении этого промежутка времени точка будет возвращаться на прежнюю высоту с прежней (по величине) скоростью. Находиться на нижней окружности точка будет в моменты времени: т, т + Т, т + 2Т и т. д., 135
а на верхней в моменты: т + -^-Т, т +-^-Т, т^-уТ1 и т. д., так что переход с верхней окружности на нижнюю и обратно будет совершаться всегда в течение одного и того же промежутка времени 4 Т. Так как -^ сохраняет постоян-
•но один и тот же знак, то точка будет двигаться по траектории всегда в одном и том же направлении. Все части траектории точки, заключающиеся между каждыми двумя последовательными точками соприкосновения ее с одной и той же окружностью будут совершенно тождественны по виду.
§ 25. В предыдущем параграфе мы предполагали, что сфера, на которой движется точка, есть удерживающая поверхность. Но если движение точки по поверхности сферы обусловливается тем, что она прикреплена к концу гибкой нерастяжимой нити, другой конец которой укреплен неподвижно, то эта поверхность будет неудерживающей: она не будет позволять точке проникать только во внешнюю часть пространства. Так как для точек внутри сферы первая часть равенства (84) положительна и, следовательно, условие, обусловленное поверхностью сферы, в этом случае имеет вид
^_(/2_х2_^2_г2)>01
то при этом движение точки будет определяться предыдущими формулами только до тех пор, пока множитель X, входящий в уравнение (85), не переходит от положительных значений к отрицательным, после чего точка сойдет с поверхности и будет двигаться, как свободная, описывая параболу, пока снова не встретит поверхность. Но может случиться, что при известных начальных данных X сохраняет положительные значения во все время движения, определяемого предыдущими формулами, и в этих случаях точка всегда будет оставаться на поверхности сферы, совершая движение, рассмотренное в предыдущем параграфе. Рассмотрим при каких условиях может иметь место последнее, а также если точка должна оставить поверхность,— то в каком именно месте она сойдет с нее.
Уравнение (84) дает
XX + УУ" + 22" + х” + у,а + г'2 = О,
а потому, умножая уравнения (85) соответственно на х, у, 2 и складывая результаты почленно, в силу (84) находим
XZ2 = /тг (g2 + v2)
или вследствие (87)
М2 = т (3^2 — 2g20 + Vo) = Smg (z — h),
2Uq
где Н = -у26—^-.
Но мы знаем, что при движении, рассматриваемом в предыдущем параграфе, z изменяется между пределами zx и 22. Поэтому для того, чтобы точка не оставила поверхности сферы, необходимым и достаточным условием служит
гг>К(ЮО)
Рассмотрим, к какому виду приводится это условие, если принять в расчет, что 22 есть один из корней уравнения третьей степени
М*)=0.
Мы знаем, что
для оо > г > гъ
для z1>z>z2,
ДЛЯ Z2 ^> 2 ^> Zg
И ДЛЯ Zs > Z > — оо
Г^<0;
f^>0;
fto<0;
f(2)>0.
Ho 2j > h, так какHo 2j > h, так как
Ho 2j > h, так как
Ho 2j > h, так как
,2^
Z1 _ А = Z1 _ _ Zo + _ ,
а, как мы знаем, zx > 0 и zx > z0. Поэтому h всегда заключается между zT и —оо. Если при этом h ^ —Z, т. е. если
Vo2>5(3Z + 2zo),(101)
то условие (100) удовлетворится само собой, потому что z2 ^ —/. Если же
^о2<£(3* + 2го),
то h > —I и, следовательно, h будет заключаться между пределами zv и z3 (ибо z3 ^ —Z), а потому, если при этом f (h) > 0, то/г > z2, если же / (/i) ^ 0, то z2 h. Таким образом, в этом втором случае условие (100) равносильно следующему:
что приводится к
gh (/2 _ h^ + ^2 (/2 _ ^2) ^ 0.(1 02)
Мы приходим, следовательно, к заключению, что когда начальные данные z0, v0 и и0 удовлетворяют условиям (101) и (102) или только одному из них, точка при своем движении не оставит поверхности сферы.
Когда же ни одно из условий (101) и (102) не удовлетворяется, в известный момент движения точка непременно оставит эту поверхность. Она оставит ее в начальный момент движения, если h > z0, т. е. если Vo + 2^г0 < 0. В противном случае она оставит ее, достигнув высоты, для которой
_ . _ 2 «оz_ ft— 3 z0 ^
В частном случае, когда и0 = 0, условие (102) принимает вид h (? — Zi2) ^ ^ 0 и, следовательно, для h > —Z приводится к h ^ 0 или 2gz0 — Vo ^ 0. Поэтому в данном случае, в котором все движение происходит в вертикальной плоскости, проходящей через центр сферы, для того чтобы точка не оставила поверхности, начальная скорость ее должна удовлетворять условию (101) или условию
VO < 2gz0.
Последнее условие может быть удовлетворено, конечно, только при z0 ^ 0.
ДИНАМИКА НЕИЗМЕНЯЕМОЙ СИСТЕМЫ ТОЧЕК
§ 1. Всякие кинематические условия, которым должны удовлетворять всякие движения какой-либо системы материальных точек называются связями. Мы будем исключительно рассматривать только такие связи, вследствие которых координаты точек системы во всяком возможном для нее движении должны удовлетворять некоторым данным конечным уравнениям или неравенствам. При том каждое такое уравнение или неравенство будем рассматривать как аналитическое выражение одной из связей, и связь, выражаемую уравнением, будем называть удерживающей, а выражаемую неравенством неудерживающей. Если упомянутое уравнение или неравенство не содержит явным образом времени, мы будем связь называть постоянной, в противном случае переменной.
Если рассматриваемая система состоит из п точек, координаты которых хъ Ух» гъ ^2> У^ 22, •••, хп> Ут гт то общее аналитическое выражение удержива-
5 2-3651 29
ющей связи будет
(1)(1)/ (*i, Уъ zv х2, у2, г2хп, уп, гт /) = 0.
(1)
(1)
Аналитическое выражение неудерживающей связи мы будем всегда приводить к следующему виду:
(2)(2)ф(^1, Уг. zlt х2, у», г2, ... , хп, уп, гп, 0>0.
(2)
(2)
Если функция f или ф не содержит /, связь будет постоянной. Рассмотрим какое-либо движение возможное для данной системы точек. Пусть уравнение (1) выражает одну из удерживающих связей. Уравнение это будет поэтому удовлетворяться во все время рассматриваемого движения и, следовательно, будут удовлетворяться во все время, рассматриваемого движения также и следующие уравнения:
di dt^ и
и т. д. Первое из этих уравнений может быть представлено в виде I dxi ду[ у 1 dz^ 1 diх 7
i=i 47
и выражает условие, которому рассматриваемая связь подчиняет скорости точек системы.
Если положим
i i [hSr»+»-+s+
1 \dx(dyj 1 dytdyj 91 dzcdyj )91 1
.dxidzj Xi "* dyidzj ^‘ ~*" dzidzj
. 9 V / 94 х 4- 94 и 4- 94(h
+ I didxi Xl + dtdyt ^l + dtdzt Z4 + dt2 ^ ^
i=i x'
то второе уравнение представится в виде
и выразит условие, которому рассматриваемая связь подчиняет ускорения точек системы.
Пусть условие (2) выражает одну из неудерживающих связей. В те моменты, dro когда условие это удовлетворяется со знаком неравенства, величины — d2(p,т-г
и "5/2 МОГУТ быть произвольными. Поэтому в эти моменты ни скорость, ни ускорение рассматриваемой связи не подчиняются никаким условиям. Напротив, в те моменты, когда это условие удовлетворяется со знаком равенства, необходимо чтобы удовлетворялось так же условие
dt
(5)(5)или
(5)
(5)
так как в противном случае ф для моментов, достаточно близких к рассматриваемому, была бы убывающей функцией времени и, следовательно, будучи в рассматриваемый момент равной нулю, сделалась бы отрицательной в следующие достаточно близкие рассматриваемому моменты, что противоречит условию (2). Итак, при ф = 0 рассматриваемая связь подчиняет скорость условию (5).
Если это последнее условие удовлетворяется со знаком неравенства, величина может быть произвольной, и, следовательно, рассматриваемая связь не подчиняет ускорение никакому условию.
Напротив, если при ф = 0 и -^L = 0, то должно быть удовлетворено условие
№'
так как в противном случае для моментов, достаточно близких к рассматриваемому, ф было бы убывающей функцией t, что невозможно. Итак, когда условия (2) и (5) удовлетворяются оба со знаками равенства, рассматриваемая связь подчиняет ускорения условию
где К (ф) — выражение, составленное из функции ф совершенно так же, как К ^ составлено из функции /. Если в течение известного промежутка времени условие (2) постоянно удовлетворяется со знаком равенства, условия (5) и (6) в течение этого времени также будут удовлетворяться со знаками равенства.
Замечая, что
x'idt = dxb yidt = dyb z'idt = dzb I = 1, 2, . .. , n, и предполагая элемент времени dt положительным, может представить условия (3) и (5) в следующем виде:
V dxt + dyt 4- —■ dzA + dt = 0,\ dx( * 1 дус 1 дг{ 1 dt’
у ( дф d + _^_dy +-^dzA + ^ dt = 0.
\ dx(dyt 1 dzi 1 dt
Этими условиями удерживающая связь (1) и неудерживающая (2) (когда ф = 0) подчиняют бесконечно малые перемещения, совершаемые точками системы во время dt. Условия эти принимают более простой вид, когда рассматриваемые связи посгоянные. В этом случае -~- = 0 и -^- = 0. Поэтому в предыдущих условиях члены, зависящие от dt исчезают и первые части их являются однородными относительно дифференциалов dxb dyb dzt (t = 1, 2, ..., n). Кроме бесконечно малых перемещений, совершаемых точками системы во время dt в каком-либо действительном движении (т. е. в движении, определяемом данными силами), мы будем рассматривать также бесконечно малые перемещения только допускаемые связями, но которых точки на самом деле могут и не совершать. Эти последние будем называть возможными перемещениями.
Так как мы встретим необходимость рассматривать те и другие перемещения одновременно, то для них необходимо ввести различные обозначения и мы условимся проекции на координатные оси действительных перемещений обо-
значать через dxb dyb dzb а проекции возможных перемещений через 6хь ^Уь ^i G* = 1» 2, ..., п).
Предполагая наши связи постоянными, найдем, что каждая удерживающая связь f = 0 будет подчинять бесконечно малые возможные перемещения условию
У № 6х< + ^- 6yt + -l^- бг() = О,
I дХ{ 1 dy; 1 dZi Ч ’ z=i х1
а каждая неудерживающая связь ф ^ О, когда ф = О — условию
у /р. 6х. + ^ 6 + дф 6 \0
i=\ х
Х\ъ\ будем сначала рассматривать исключительно связи постоянные. Затем покажем, как от этого случая можно перейти к случаю связей переменных.
В случае постоянных связей может возникнуть вопрос о нахождении условий, которым должны удовлетворять силы, приложенные к точкам системы, для того чтобы силы эти не приводили систему в движение, т. е. чтобы они уравновешивались. Определение этих условий, называемых условиями равновесия, составляет задачу статики, решением которой мы и займемся сначала.
Вся статика может быть заключена в одном общем положении, известном под названием начала возможных перемещений, которое в первый раз в общем виде было высказано Лагранжем. Начало это состоит в следующем.
Для уравновешивания сил, приложенных к точкам какой-либо системы, необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ, совершаемых этими силами всякий раз, как точкам системы сообщаются какие-либо бесконечно малые возможные перемещения» оставалась или равной нулю или отрицательной. Пусть Fc — сила, приложенная к точке ^xb yh z^ и б$£ — какое-либо бесконечно малое возможное перемещение этой точки. Требование, заключающееся в рассматриваемом начале, выразится условием
f F£COS(F£, 6sJ | S$£ К О,
Z=1
которое должно быть выполнено для всяких возможных величин и направлений 6st.
Пусть система наша подчинена р удерживающим связям
Л = о, /2 = о,/р = о
и q — неудерживающим связям
Ф1>0, ф2>0, ..., ф^О и нам нужно найти условия, при которых силы Ft будут уравновешиваться для одного из тех положений системы, в которых все функции ф равны нулю. Обозначая через Xb YI, ZL проекции силы Ft на координатные оси, искомые условия получаем, положив
f (Х£х( + Y£yt +^ 0(7)
1=Л
для всяких величин 6х£, 6уи bzu которые одновременно удовлетворяют р уравнениям
у^б^ + ^-б^ + ^бг^ 0 (/=1,2р) (8)
I dx;dyidZi чх
х
и q условиям
2(^6^ + ^б^+^Гбг<)>0 (s=1> 2’ •••’ ?)•(9)
Не имея в виду доказывать начало возможных перемещений [12] заметим только, что на основании одних уже допущенных нами общих положений динамики точки начало это не может быть доказано. Каким бы путем мы ни старались его доказать, во всяком случае нам пришлось бы принять некоторые новые положения, которые определяли бы связи в динамическом отношении. Вместо того, чтобы делать новые допущения, мы принимаем самое начало, как основное положение статики.
Если бы мы приложили рассматриваемое начало к случаю точки вынужденной оставаться на данной поверхности, то нашли бы, что необходимое и достаточное условие равновесия состоит в том, что сила должна быть нормальна к поверхности. Но это справедливо только при условии, что поверхность не представляет трения. Уже отсюда видно, что справедливость начала возможных перемещений не безусловна. Во всей своей полноте оно имеет место только для связей особого динамического характера, которые можно назвать идеальными.
Только такие связи мы будем рассматривать далее.
Принимая начало возможных перемещений, покажем, каким образом из него могут быть выведены все условия равновесия сил, действующих на какую-либо систему точек. Как уже было сказано, мы должны для этого положить, что условие (7) выполняется всякий раз, как выполняются условия (8) и (9).
Если система возможных перемещений {6хг, byb 6zt} (f = 1, 2, ..., ri) такова, что для нее все условия (9) удовлетворяются со знаками равенства, мы будем называть эти перемещения неосвобождающими. Они характеризуются тем, что равные и противоположные им перемещения также возможные.
Этим свойством не обладают перемещения, для которых одно или несколько из условий (9) удовлетворяются со знаками неравенства.Такие перемещения будем называть освобождающими. Легко видеть, что для неосвобождающих перемещений условие (7) не может быть неравенством, ибо если бы для каких- либо перемещений оно удовлетворялось со знаком неравенства, то для перемещений, равных и противоположных, оно наверно не удовлетворилось бы, а между тем оно должно удовлетворяться для всяких возможных перемещений.
Рассмотрим сначала неосвобождающие перемещения. Мы должны выразить, что равенство п
5 (Х£х{ + Yfiyi + 2,6га = 0(10)
i=l
имеет место при всяких величинах 6xb 6yb Szb удовлетворяющих р -V Я условиям (8) и (9), которые все предполагаем уравнениями. Для этого можем воспользоваться Лагранжевым способом неопределенных множителей. Каждое из уравнений (8) и (9) умножаем на некоторые неопределенные множители Хь р$ и все полученные таким образом равенства складываем с равенством (10). Находим
£ [(X, + PJ 6xt + (У, + Q0 6yt + (Z, + R^ 6z,J = 0,(11)
Z=1 где
p. = f’-.J$- + S . Q.-£ -Щ- +£i*. >.
R.-i^Tsr + t^-^--<12>
Z=1s=l
Для удобства дальнейших рассуждений вводим однообразные обозначения для всех координат, всех проекций сил, всех функций связей и всех неопределенных множителей. Координаты обозначаем через
Wl, и2> . . . , Ызт
соответственные проекции сил через
Uv и,изп,
соответственные величины Pb Qtl R^ через
Si, S2, . .. , S3n,
функции фь ф2, ..., Ф,? через
/р+Ь fp~№ • • • , /р+<7
и множители рь р2, ..., р^ через
^р+Ь ^р4-2> • • • 1 ^р+р*
Число р + q для сокращения обозначаем через к.
Равенство (11) при этом представим в виде
Зп
5 (Ut + SJ 6ut = 0,(13)
где
si = ixiS-(14)
но мы должны выразить, что равенство это имеет место при всяких величинах 6иь удовлетворяющих к уравнениям
Зп
2"5-6мг = 0 (Z=l, 2, к).(15)
Мы можем предположить, что из этих уравнений ни одно не есть следствие остальных, ибо в противном случае такое уравнение можно было бы отбросить. При этом условии, предполагая к < Зп, мы можем эти уравнения разрешить относительно некоторых к из Зп величин бпь которые выразятся, как линейные и однородные функции Зп — к остальных. Пусть 6пх, 6п2, ..., дшк— те из них, относительно которых уравнения эти разрешимы. Остальные бп^+ь 6п^+2, ..., бп3п будут совершенно произвольными и между собой независимыми.
Допущение, что уравнение (15) можно разрешить относительно би^ 6п2, ..., 6ик равносильно допущению, что определитель
дкдкдк
дихди2дик
дкdf2 , . . дк
дигди2дик
дк dfk , , , dfk диг ди2дик
не нуль. Но если определитель этот не нуль, то к множителям Xi можно приписать такие значения, при которых будут иметь место к равенств
^i + *^1 — О, U2 -\- S2 — 0, ... , Uk 4“ ^k — О,
ибо вследствие (14) такие значения Xz найдутся решением уравнений
7=1
Определив таким образом множители %z, мы приведем условие (13) к виду
Зп
^ (^+50 6^ = 0.
7=^+1
Но входящие сюда величины Suit по замеченному выше, совершенно произвольны и независимы между собой. Поэтому равенство это может быть удовлетворено только при выполнении Зп — к следующих уравнений:
Uw + S/z+i = 0, Uk^ + S/54.2 = 0, ... , U3n + S3n = 0.
Таким образом, получим Зп следующих уравнений:
Ut + SZ = 0 (7= 1, 2, ... , Зп).(16)
Если бы число к было равно Зп, из уравнений (15) следовало бы
бих = бп2 = • • • = 6и3п = 0
и условие (13) удовлетворилось каковы бы ни были величины Ut + St (i = = 1,2, ..., Зп). Но и в этом случае нам ничто не мешало бы построить Зп уравнений (16), ибо уравнения эти послужили бы только для определения Зп множителей Хр (^ = 1, 2, ..., Зп).
Подобное же можно сказать и относительно случая к > Зп. Но этот случай может встретиться только как исключительный и потому останавливаться на нем не будем. Используя прежние обозначения, полученные Зп уравнений запишем в виде
Xz + Pt = Q,Yi + Qi= 0, 7^ + R{ = 0 (7 = 1,2,..., n) (17.1)
или
Обращаемся теперь к рассмотрению каких угодно перемещений. Полагая
бу6Z \ = бф (s = 1, 2, ... , q),
I дх; 1 1 ду; * dzi t\
z=i x*
вследствие (17.2) и (8) находим
£ <X£xt + Гг6^ + 7.^ = — (p.^ + р2бф2 + ... + р9бф„). 7=1
Поэтому условие (7) приводится к виду
^бф! + р26ф2 + • • • + ^бф, > 0
и это условие должно быть выполнено при всяких положительных или равных нулю бф!, 6ф2, ..., бф^, а это возможно не иначе, как при выполнении q следующих условий:
Mi > 0, р,2>0, ..., ^>0.(18)
Таким образом, условия (17) и (18) — необходимые следствия (7). Очевидно также, что и условие (7) есть необходимое следствие условий (17) и (18),
а следовательно, последние являются единственными условиями, вытекающими из начала возможных перемещений.
Условия (17) называются уравнениями равновесия. Входящие в них величины Pb Qit R( можно рассматривать, как проекции на координатные оси некоторых сил. Силы эти называются сопротивлениями или реакциями связей.
Из выражений (12) видно, что реакция связей, приложенная к некоторой точке (хь у{, Zi) есть равнодействующая к сил, из которых какая-либо имеет проекциями на координатные оси выражения
Х.^-, Х[4г-- (i= 1, 2,, n;/ = 1, 2,... , ку
dxi ’1 dyi ’1 dzi v ’’’’’’’7
Последняя называется реакцией связи, которой принадлежит функция ft на точку (xit yh Zi). Эта реакция имеет направление нормали к поверхности, уравнение которой получается из уравнения h = 0, если в нем сделать постоянными все координаты за исключением хь yt, z(. При том из (13) видно, что если рассматриваемая связь неудерживающая и позволяет точкам занимать такие положения, при которых ft > 0, то рассматриваемая реакция направлена в ту сторону, по отношению к упомянутой выше поверхности, в которую должна переместиться точка (хь уь zt) для того, чтобы функция /z стала положительной.
Что касается величин реакций рассматриваемой связи на различные точки, то они пропорциональны величинам радикалов
у dXi ) 1 \dyi / 1 \dzi ) х’’’’’7
Предполагая к = р + q < Зп, мы можем из уравнений (17.2) исключить все множители Xt и ps. Это доставит Зп — к уравнений между величинами Xit Yb Zt (i = 1, 2, ..., n) и координатами точек. Из тех же уравнений (17.2) могут быть выведены выражения множителей ps в функции этих величин, после чего можем составить неравенства (18). Эти последние вместе с упомянутыми Зп — — к уравнениями представят так называемые условия равновесия.
Если бы все связи были удерживающими, то все условия равновесия были бы уравнениями и число их было бы равно Зп — к, т. е. равно числу независимых переменных, заданием которых определяется положение рассматриваемой системы. Если бы все величины Хь Yb Zt были заданы в функциях координат и вопрос состоял бы в нахождении всех положений равновесия системы, то для этого мы должны были бы разрешить относительно координат Зп — к уравнений, представляющих условия равновесия, вместе с к уравнениями связей. При этом, если бы связи были удерживающими, всякая система вещественных решений этих уравнений доставила бы положения равновесия. В случае же существования неудерживающих связей только те вещественные решения определили бы положения равновесия, которые удовлетворяют условиям (18). Для составления условий равновесия можно и непосредственно пользоваться началом возможных перемещений. Для этого мы должны были бы поступить следующим образом.
Из р уравнений (8) вместе с q следующими
2(->^+-^81'<+-^5г<) = «'Р.")
мы можем найти к = р + Я из Зп величин 8xb 8уь 8zt как линейные и однородные функции от Зп — к остальных и от q величин 6ф$. В общем случае мы можем все Зп величин 8хь 8yit 8zt представить как линейные и однородные функции Зп — к — т независимых переменных 8Ь е2, ..., ет и q величин 6ф$. Если эти выражения величин 8xb 8yb 8zt внесем в уравнение (7), то представим
его в следующем виде:
V181 + V2e2 + *** 4- V тгт — П1^Ф1Нг^ФгН^Ф^^®»
а так как здесь 8г, е2, -*^т совершенно произвольны и между собой независимы, а бф!, 6ф2, ..., бф^ подчинены только одному условию — никогда не быть отрицательными, то отсюда и получим все условия равновесия в виде
V1 = 0, V2 = 0, ...» Vm = 0; ^>0, р2>0,, ^>0.
Пусть, например, нужно найти условия равновесия сил, приложенных к свободному твердому телу.
Из формул кинематики для скоростей точек твердого тела находим выражения для Ьхь 6yb 8zt следующего вида:
6xz = ех + e5z£ — eeyf, 6у£ = е2 + евх£ — e4zz, 6zz = е3 + e4yz — е5х£,где 8Ь е2, е3, е4, е6, ев в случае свободного тела совершенно произвольны и меж-ду собой независимы. Пользуясь этими выражениями и полагая для сокращения
SX£ = X, ZYt = Y, ZZ£ = Z, 2 ^y£Z£ — zzFz) = L,
2 ^£Xt - x£Z^ = M, 2 (x£Y£ - y£X£) = N, находим
5 (Xtbxi + Y fiyt 4* Zt-62t) = Xex 4- У82 + Ze3 4- ^4 4“ ^es 4* ^ee-
Поэтому условие (7) дает следующие условия равновесия:
X = 0, Y = 0, Z = 0, L = 0, М = 0, N = 0, выражающие, что главный вектор и главный момент (взятый относительно какой-либо точки) сил должны быть равны нулю.
Переходим теперь к вопросу о движении систем точек. Благодаря принципу, которым мы обязаны Даламберу, вопрос о составлении дифференциальных уравнений движения всякой системы точек приводится к вопросу о составлении уравнений равновесия.
Пусть система п точек, подчиненных каким-либо связям, движется, находясь под действием данных сил. Пусть Xt, Yb Zt — проекции на координатные оси силы, приложенной к точке (хь yt, zty массу которой обозначим через mt. Каково бы ни было движение нашей системы во всяком случае можем положить
т^ = X; 4- Pb m^'i = Yt + Qb m^ = Zt + Rt (f = 1, 2, ... , n), (19) где Pb Qi, Ri — пока неизвестные величины, которые мы можем рассматривать, как проекции некоторой новой силы, приложенной к точке (xt, yb zty При этом только что написанные уравнения представят дифференциальные уравнения движения, которым обладала бы наша система, если бы все связи были уничтожены, а взамен к каждой точке (xb yb z^ кроме силы {Xb Yb Z^ была бы приложена еще сила {^, Qb R^.
Силы ^Pb Qi, R^ называются сопротивлениями или реакциями связей.
Каждую силу yxb Yt, ZJ мы можем рассматривать как равнодействующую двух сил, из которых одна имеет проекциями на координатные оси величины mtXi, mtyi, rn^zi, а другая — величины — Pi,— Qb— Rb Первая равна произведению из массы и ускорения точки (xb yb Zi), будучи одинаково направлена с этим ускорением и называется движущей. Вторая равна и противоположна сопротивлению связей, действующему на ту же точку, и называется потерянной. Так как потерянные силы для нашей движущейся системы уничтожаются сопротивлением связей, то естественно допустить, что они уничтожились бы этими сопротивлениями и в том случае, если бы были приложены к
точкам нашей системы, находящейся в покое, другими словами, что это —■ силы уравновешивающиеся при посредстве связей нашей системы.
Тем не менее, на основании одних принятых нами положений допущение это не может быть оправдано, а потому составляет новый принцип, называемый началом Даламбера.
Он может быть высказан в следующей форме: во всяком движении системы потерянные силы в каждый момент уравновешиваются при посредстве связей системы.
Из уравнений (19), представленных в виде
— Pt = Х{ — mLxu — Q; = Fz — m^i, — Rt = Zt — m^Zi (i = 1, 2, ... , n), следует, что каждую из потерянных сил можно рассматривать, как равнодействующую двух сил:
заданной ^Хь Уь Z^»
силы {—т^и — rnLyu — ^г^}, равной и противоположной движущей. Эта вторая сила называется силой инерции.
Вследствие этого начало Даламбера выражают еще в следующей форме: Во всяком движении системы заданные силы и силы инерции в каждый момент уравновешиваются при посредстве его связей.
Рассматривая начало возможных перемещений, как общее начало статики и выражая при помощи него, что потерянные силы уравновешиваются, мы получим условие, из которого могут быть выведены все дифференциальные уравнения движения всякой системы точек. Условие это имеет следующий вид:
2 [(Xi — т^ 6xt + (Xi — т^ byt + (Zz — т^ 6гД ^ 0.(20)
i=l
Полагая, что оно выполняется для всяких значений 6хи 8yh 6zb удовлетворяющих известным условиям, которые доставляются связями для возможных перемещений, и получим все дифференциальные уравнения движения. Рассмотрим какой-либо промежуток времени, в течение которого некоторые из неудерживающих связей, если таковые существуют, выражаются постоянно равенствами, остальные выражаются постоянно неравенствами. Не делая различия в обозначениях функции удерживающих и неудерживающих связей, допустим, что fb f2, ...Лк (гДе к < Зп) все функции координат, которые остаются равными нулю в течение рассматриваемого промежутка времени. При том, допустим, что если /z — функция неудерживающей связи, то связь эта позволяет точкам занимать такие положения, при которых ^ > 0. При этих допущениях, рассуждая так же, как в § 3, из условия (20) выведем следующие уравнения:
miXt =+ ^i-^-+ ••• + ^-к-^- , mtyi = Yt ++ ^-^-,
(21)
filiZi = Zz + ^11= V 2, • • • , ^,
которые и будут искомыми дифференциальными уравнениями движения. Эти уравнения можно и прямо получить из уравнений равновесия, заменив в последних заданные силы потерянными.
Уравнения (21) мы выводим из уравнения (20), рассматривая неосвобождающие перемещения.
Если же рассмотрим освобождающие перемещения, то получим еще дополнительные условия, состоящие в том, что для каждой неудерживающей свя-
зи в течение всего рассматриваемого промежутка времени должно быть удовлетворено условие
X; ^ 0.
Уравнения (21) в связи с уравнениями
fi = 0, h = 0, ... , fk = 0
дадут возможность определить в функциях времени все координаты и множите^ ли X, а условия (22) послужат для решения вопроса о том, до какого момента времени рассматриваемые связи будут выражаться постоянно равенствами.
До сих пор мы рассматривали только постоянные связи. Покажем теперь, как определяется движение системы в случае существования переменных связей.
Всякую переменную связь мы будем рассматривать как постоянную, связывающую точки нашей системы с некоторыми другими точками, имеющими движения, не зависящие от движений наших точек, вследствие того, что массы этих точек бесконечно велики. Соответственно с этим движение системы, подчиненной переменным связям, будем рассматривать как предельный случай движения системы с постоянными связями, когда массы некоторых точек системы делаются бесконечно большими.
Пусть наша система состоит из п + г точек, координаты которых
Хр Уь 2i (f = 1, 2, ... , пу Up vh w^ (/ = 1, 2, . . . , г).
Массу каждой точки (хь уь z^ будем предполагать конечной; обозначим ее через тр Массу же каждой из точек (up Up Wj) будем предполагать стремящейся к бесконечности. Ее обозначим через pp,-, предполагая р;- конечным и р стремящимся к бесконечности. Проекции заданной силы, приложенной к точке (хр ур Zi) обозначим через Хр Yp Zb а проекции заданной силы, приложенной к точке (цу, У/, w^ через
^Uj-VU’i, p-VjA-Vb ^i + w’i,
предполагая, что Xt, Y ь Zt; Uj, V/, Wj не зависят от ц; Up Vj, W/ если и зависят от р, то так, что величины
— U'b — V — w';
с беспредельным возрастанием р стремятся к нулю.
Рассматривая только те из неудерживающих связей, которые в течение рассматриваемого промежутка времени выражаются равенствами, положим, что
фх = 0, Ф2 = 0, ... , Ф^ = 0,(23)
^ = 0, V2 = 0, ... , ^ = 0(24)
есть все уравнения связей. Здесь каждая из функций Т предполагается зависящей только от координат
Up и1> ^11 ^2» ^2» ^2» • • • ; им ur> Wri
а каждая из функций Ф — зависящей вообще от всех 3 (п + г) координат. При том мы предполагаем, что из уравнений (23) координаты xb yb zt (i = = 1, 2, ..., п) не исключаются, так как в противном случае, выполнивэто исключение мы получили бы одно или несколько уравнений вида (24), которые и присоединили бы к последним. Это предположение требует, чтобы число к не превосходило Зп. Мы будем предполагать к <С Зп, так как в противном случае все координаты хь yb zt были бы в силу уравнений (23) определенными функциями координат Up Vp Wj (j = 1, 2, ..., г) и, следовательно, движение точек с конечными массами вполне определилось бы движениями точек с беско-
нечными массами (этот случай рассматривать не будем). Наконец, число q, по самому существу вопроса, мы должны представить меньшим Зг.
Дифференциальные уравнения движения нашей системы получим из условия, что
S К^г — m^Xi) 6х£• • • 4- • * • 1 4~
z=i
S l(^/ 4~ Ui — №7^/) ^ui 4" • • • + • • • 10(25)
/=1
для всяких величин 6xb byb bzt\ 6uh 6vh 6wjt удовлетворяющих условиям
Хй дх£ ‘ 1 ду£ 1 dz£ 1/ 1
+ у / 5Ф;_б +^_бУ + ^-бш.-^О (/ = 1, 2, . , k), (26) \ dtijди, 1 1 dwj 7уv\ /
У |,-^б“/ + 4^-6у/ + 4^-М>°= 1, 2,, <7),(27)
\ duj 1 1 dvj 1 1 дш, 1rх 1
/=1
в которых, если они относятся к неудерживающим связям, нужно брать только знаки равенства.
Этим условиям мы можем удовлетворить, полагая все би,, 6vh 6^- (/ = = 1,2, ..., г) равными нулю и подчиняя величины 6xb 8у£, 6z£ (i = 1,2,..., n) условиям
itw^+^-^+^-H^0 (Z=1,2ку (28>
При этом условие (25) приведется к виду (20) и, выражая, что это последнее выполнено при всяких величинах 6хи 8у£, bz£ (i = 1,2, ..., п), удовлетворяющих условиям (28), получим дифференциальные уравнения движения системы п точек (xb yt1 z£).
Возвращаясь теперь к произвольным перемещениям, разделим первую часть условия (25) на р и перейдем к пределу при р ~> оо.
Таким образом, находим
5— \ijU^ bu.j + (Yj — у.^) 6vj + (Wf — y-jW^ 6(0,1 < 0.
/=1
Выражая, что это условие выполнено для всяких величин bu^ 6и}, &Wj (j = 1, 2,..., г), удовлетворяющих условиям (27), получим все дифференциальные уравнения движения г точек ^Uj, v^ Wj). Так как условия (27) не зависят от координат x£l у£э z£ (t = 1, 2, ..., п), то упомянутые дифференциальные уравнения, а следовательно, и движения точек ^Uj, Up Wj) (/ = 1, 2, ..., г) не будут зависеть от состояния движения точек (xit yit z£) (f = 1, 2, ..., n), если только величины Uj, Vp Wj (j = 1, 2, ..., г) не зависят от последнего. Таким образом, при этом последнем условии, которое мы и сделаем, предельное движение системы точек Vuj. и,, Wj) У = 1, 2, ..., г) может быть найдено независимо от движения системы точек (xit yit z£) (i = 1, 2, ..., n). Предполагая его известным и, следовательно, координаты Uj, Vj, Wj (j = 1, 2, ..., г) известными функциями времени, внесем их выражения в функции Ф/ и Xt1 Yь Ztl если последние зависят от них. Пусть при этом найдем
ф/ (^Р Ур ^р ^2, У^ г2> • • • , хП1 уП1 zn; Up Vp Wp u.p v^ w^ ...
..., ur, vr, wr) = fl (xv ylf zu x2, у» z2, ..., xn, yn, zn, 0
(/= 1, 2, ... , k).
Тогда движение нашей системы п точек (х;, уь 21) (i = 1, 2, ..., п) подчиненной переменным связям
11 = о, к = О, ... , fk = о, определится уравнениями, которые получим, выражая, что условие (20) выполнено при всяких величинах 6xt-, byb 6zt (i = 1, 2, ..., п), удовлетворяющих условиям
2(^г^ + -|г«’-+-1гН>0 |Z-1’26)-1291
Уравнения эти будут того же вида, как и уравнения (21).
Таким образом, рассматривая переменные связи с установленной здесь точки зрения, мы видим, что для них дифференциальные уравнения движения составляются по тем же правилам, как и для постоянных.
Заметим, что в случае переменных связей величины 6xit 8yit 62 { (i = 1, 2, ..., n), входящие в условие (20), нельзя рассматривать как проекции перемещений, которые могут быть сообщены точкам в течение бесконечно малого времени 6/, ибо эти проекции должны были бы удовлетворять условиям
У (^б^+4^б^ + ^б2/| + --&-^>01, 2, , к),
I dxi 1 v ду£ ' dZ( Ч '01х
z=i х7
отличающимся от условий (29). Тем не менее, эти величины можно рассматривать, как проекции некоторых фиктивных перемещений, которые мы будем называть вариационными перемещениями. Сами же величины 6хь 6yb 6zb удовлетворяющие условиям (29), будем называть вариациями координат.
Рассуждая далее о движении системы точек, мы не будем ограничиваться случаем постоянных связей.
§ 7. В дифференциальных уравнениях (21) мы будем предполагать величины Xi, Yb Zi заданными в функциях 6n + 1 следующих величин:
Xv Уъ 2П • • • , Хт уп, 2т х\, у\, 2\. . . . , Xn, у^ 2^ t. (30)
Решим вопрос о порядке этой системы уравнений.
Каждая связь Л = 0 дает следующее условие для ускорений:
^(т^ + ^+^ + ^М-О 2‘)-
Внося сюда величины хи уь 2^ следующие из уравнений (20), получаем для определения множителей X уравнения вида
^/i^i 4~ ^/2^2 4~ * * * 4” Ащ^к = Bi (Z = 1, 2, ... , к\ (31) где
A - V 1dfs dh dfs dh dfs \
ls ггц \ dxi dxi * Oyt Oyt ‘ Ozi Ozi I ’
в 1 = — к (fl) — У(I, s= 1, 2,, k).
M u .^* mi I dxt 1 1 dyi 1 1 dzi 4 v ’’ ’’ 7
Легко убедиться, что уравнения (31) всегда можно предположить разрешимыми относительно Хх, Х2, ..., Х^. Для этого мы должны показать, что
определительопределитель
определитель
определитель
^11^12• • •^1А
^21-^22• е е^2/?
^fel^fe2• • •^fe/e
можно считать не равным нулю ни тождественно, ни в силу уравнений связей
Л = 0, /2 = 0,/* = 0.
(32)
Обозначая Зп величин У1тцХй V^ttib Vm^i U = 1, 2, ..., п), расположенных в каком-либо порядке, через
найдем
51> 5г» • • •, 5зп»
А-и
3n dfi df, dli dh '
Поэтому, по известной теореме теории определителей будем иметь
dfi
df* dli,
^i,
dfiдк
dhk df29k
d^t.dhk ,
atkdfk
dK^k
где сумма распространена на всевозможные различные комбинации iv ц, ... ik) которые можно составить из Зп чисел 1,2, Зп по к.
Отсюда видно, что равенство А = 0 возможно только при условии, что каждый из определителей
dfi
dfi
dfi
94
^ik
dk
df2
df2
д^Ц
a^k
dfk
dfk
dfk
a^, •••
a^k
(33)
равен нулю. Но легко убедиться, что уравнения (32) всегда можно преобразовать к такому виду, что по крайней мере один из этих определителей наверно нулем не будет. Для этого достаточно разрешить эти уравнения относительно некоторых к из Зп величин ^, ^,.... |з„.
Пусть величины эти будут ^, £2, ..., gft. Тогда уравнения (32) могут быть заменены следующими:
11 — Ф1 = °. & — фг = 0, • • • . ^ — Фб = 0,
где <р1( <р2Фа не зависят от ^, ^,.... ^. Мы можем поэтому принять за функцию /z функцию ^z — <pz, а при этом найдем
dhdisdis x.>-z- /
и, следовательно, для s, не превосходящего к и неравного I
Вследствие этого тот из определителей (33), для которого 4=1, 4 = 2, ..., 4 = к будет равен 1. Из уравнений (31) найдем множители Xt в функциях бп + 1 величин (30). Внося эти выражения в уравнения (21), мы обратим вторые части их в известные функции тех же величин. Но из этих уравнений к будут следствиями Зп — к остальных уравнений (32), которыми мы воспользовались для определения множителей Хр.
Поэтому к из этих уравнений можем заменить уравнениями (32). Из последних определяем к координат в функциях Зп — к = т остальных и вносим их выражения во вторые части уравнений (21). Если и^ и^ ..., ит — эти остальные координаты, то соответствующие уравнения в системе (21) представляются так:
d>u- ~ , , ,
-^- = Ft (tq, u2, ... , и^ uXl и2, ... , Um, о (f = L 2, .. . , ту (34)
Интегрированием этой системы уравнений, порядок которой равен 2т, найдем иь и^, ..., ит в функциях времени, после чего к прочих координат найдутся решением уравнений (32).
Отсюда следует, что порядок системы уравнений (21) 2т = бп — 2к. Таково же будет, следовательно, и число произвольных постоянных, которые войдут в общий интеграл этой системы. Эти постоянные определяются по начальным обстоятельствам движения (т. е. по координатам и скоростям точек в некоторый момент времени, принимаемый за начальный), задание которых, очевидно, вводит 6п — 2к условий, выражаемых уравнениями.
§ 8. Всякий вопрос об определении движения системы точек приводится к составлению и интегрированию Зп — к уравнений (34) или каких-либо других, или равносильных, которые во всяком случае представят Зп — к результатов исключения множителей X из уравнений (21). Эти результаты исключения есть ничто иное как условия равновесия потерянных сил, и, как было показано в § 4, могут быть выводимы непосредственно из начала возможных перемещений. Чтобы дать пример для этого способа получения этих уравнений, воспользуемся им для доказательства некоторых общих теорем.
Для получения всех дифференциальных уравнений движения достаточно рассматривать в условии (20) только неосвобождающие перемещения. При этом оно обращается в уравнение
^ \(т{х”1 — Хг) 6хг + (т^ — У,) 6yt + (т£г^ — Z£) 6г£] = 0. (35) 1=1
Пусть наша система точек подчинена таким постоянным или переменным связям, при которых в числе возможных вариационных перемещений находятся поступательные параллельные оси х. При этом для вариаций координат будут возможны значения
6хх = бх2 = • • * = 6х„ = а, 6уг = 6у2 = ... = 6уп = 6г, = 6г2 = • • •
••• = 6г„ = 0,
где а — произвольная величина. Полагая, что уравнение (35) при этих значениях вариаций удовлетворяется, находим
5 mtXi = £ X, i=i <=i
или, обозначая Sm£ через М и координату х центра инерции системы через хс, имеем
Мхс = 2 Xt.
4=1
Уравнение это представляет дифференциальное уравнение движения центра инерции, соответствующее оси х.
Рассуждая так же и в случаях с другими координатными осями, приходим к следующему результату:
Если система точек подчинена таким связям, которыми допускаются поступательные вариационные перемещения параллельно одной, двум или трем координатным осям, то в числе дифференциальных уравнений движения этой системы существуют одно, два или три дифференциальных уравнений движения центра инерции.
Допустим, что система наша подчинена таким связям, при которых возможны вращательные вариационные перемещения вокруг оси х. Допущение это равносильно тому, что для вариаций координат возможны следующие значения 6х£ = 0, 6yt = —z£a, 6z£ = у£а (t = 1, 2, ... , n)
при произвольном а. Полагая, что уравнение (35) при этих значениях вариаций удовлетворяется, находим
-dF^mi ку^—г^ = X (t/Л — z^. 4=14=1
Уравнение это есть дифференциальное уравнение моментов, соответствующее оси х.
Если бы связи допускали вариационные вращательные перемещения вокруг двух координатных осей, то необходимо было бы допустить таковые и вокруг третьей, ибо можно убедиться, что надлежащей комбинацией последовательных вращений системы вокруг двух взаимно перпендикулярных осей можно достигнуть такого перемещения, которое можно было бы при помощи одного вращения системы вокруг оси, перпендикулярной к ним. Вследствие этого полученный нами результат мы выражаем в следующей форме:
Если связи системы таковы, что допускают вращательные вариационные перемещения вокруг одной из координатных осей, или вокруг начала координат, то в числе дифференциальных уравнений движения ее существуют одно или все три дифференциальных уравнения моментов.
Если связи допускают всякие вариационные перемещения системы, возможные для свободной неизменяемой системы, то справедливы все три дифференциальных уравнения движения центра инерций и все три дифференциальные уравнения моментов. В этом случае дифференциальные уравнения моментов справедливы также и для относительного движения по отношению к центру инерции, если моменты берутся относительно центра инерции.
Пусть система точек подчинена постоянным связям. Условия, доставляемые такими связями для возможных скоростей, одинаковы с условиями для возможных вариационных перемещений. Поэтому в числе значений, возможных для вариаций координат существуют, между прочим, следующие
8х{ = x£a, 6у( = y£a, 6z£ = z^a (i = 1, 2, ... , n)
при произвольном a. Считая условие (35) при этих значениях вариаций выполнимым, находим
~ ^t ^Xf 4" № + 2i ))= ^ ^ixi + itii + Z^t), i=l4=1
что представляет дифференциальное уравнение живой силы.
Итак, дифференциальное уравнение живой силы, справедливо для всякой системы точек с постоянными связями.
Если число связей, выражаемых уравнениями, только на единицу менее числа всех координат, то мы говорим, что система подчинена полным связям. Для определения движения такой системы достаточно одного уравнения.
Если все связи такой системы постоянные, то этим уравнением будет служить дифференциальное уравнение живой силы.
Выражения живой силы и моментов количеств движения для неизменяемой системы точек. В динамике твердого тела весьма часто приходится встречаться с выражениями живой силы и проекций главного момента количеств движения на оси координат, неизменно связанные с телом. Поэтому, прежде чем выводить дифференциальные уравнения движения твердого тела, мы остановимся на рассмотрении этих выражений.
Все наши дальнейшие выводы будут одинаково относиться как к неизменяемым системам, состоящим из какого-либо конечного числа п материальных точек, так и к сплошным твердым телам. При этом последние будут рассматриваться как предельные случаи первых для п возрастающего беспредельно. Поэтому, если т — масса какой-либо материальной точки (х, у, г), входящей в состав рассматриваемой неизменяемой системы, ст — ее плотность и / (я, у. 2) — какая-либо функция координат, то рассматривая суммы вида
^mf (х, у, z),(35а)
распространенные на все точки системы, мы будем в случае сплошного тела под ними понимать интегралы вида
j j j of (х, у, z) dxdyd2, распространенные на весь объем тела.
В некоторых случаях приходится рассматривать движение поверхностей или линий неизменяемого вида, по которым распределена материя сплошным образом. При этом суммы вида (35а) будут представлять интегралы, распространенные на эти поверхности или линии.
Понимая под Т живую силу рассматриваемой неизменяемой системы точек так, что
F = 4 S/nu2.
и заменяя квадрат скорости и2 его выражением через проекции скорости на оси g, т|, £ неизменно связанные с телом, получаем
т = 4" ^Vo + Ми0 [Г]с cos (г0, □ — ^ COS (»0, Т])] (0$ + Ми0 [£е cos (р0, I) —
— ^cos(r0, 91 <йп + Mv0 [^ COS (р0, К]) — Т]с cos (и0, 5)]®? +
+ 4" И®| + ^®п + ^®? — 20(0^ — 2E’<0g<0g — 2Fcog(oT|), (36)
где и0 — скорость начала О координат £, т], £; М = 5m — масса всей системы; ^с» Лс» ^ — относительные координаты центра инерции ее, а Л, В, С, D, Е, F — следующие выражения:
Л-2m(n2 + £2), B-^m^-V^Y C^^m^ + ^)t D=^m^
E = Sm^, F = 2/n^.(37)
Так как £, т), £ — координаты по отношению к осям, неизменно связанным с системой, то эти величины Л, В и т. д. есть постоянные, зависящие от распределения материи в рассматриваемой системе точек.
Следует заметить, что последние шесть слагаемых формулы (36), представляют живую силу вращательного движения системы вокруг полюса О.
Рассмотрим теперь выражения проекции на оси £, т), £ главного момента вокруг полюса О количеств движения системы. Обозначая проекции его на оси х, у, г неподвижные в пространстве через Кх. Ку1 Кг» а на оси £, т), £ через К^ К^ К^ будем иметь
K^Kxkx, D+Kyto, l) + KAzt 9, K^Kxkx, ^А-КукУ» П) ++ Кг кг, Т]), К^ = Кх kx, 9 + К, ку, ^ + Кг k2, О
и К,= Sm[(# —у0)-^ —(z —z0)-^-j, Кд = 2mJ(z — ?0)-^- —
~ —^-^-j, Kz = 2m^kx — х0)-^- — ку— Уо)-$-] •
Поэтому, замечая, что
кх, 9 = ку, л) кг, 9 — ку, 9 кг, Л), ку, 9 = кг, л) кх, 9 — кг, й кх, Л),(z, 9 = кх, л) кУ. 9 — кх, 9 <У, Л)
и пользуясь формулой
кВс — Сд) кВ’С* — С'6') + кСа — Ас) (Са’ — А'с') + кАЬ — Ва) кА’Ь* — В'а') = = (АА’ + ВВ’ + СС) каа’ + bb* + сс’) — (Ла' + ВЬ’ + Сс') кА'а + В'Ь + С с), находим первую из трех следующих формул:
/<t = 2/71 [t)v cos (d, 9— £vcos(p, ц)], Кт\ = S/п [^у cos кс, 9— |псоз(», 91.
К^ = 2m [gv cos (у, t]) — тщ cos (p, 91-
Отсюда
Кг, = Mu0 [т]с cos (»0, 9 — ^ cos (у0, т])] + Лоъ — Fto^ — Ешь
Кч\ = Мий [9 cos (р0, 9 — 9 cos (р0, 91 — Роу. + Вю^ — D<o^,(38)
К^ = Mv0 [9 COS (Уо, T]) — Ле cos (»0, 91 — Eto^ — Dtoq + Cto^,
где Л, В и т. д.— постоянные, определяемые формулами (37). Сравнивая формулы (38) и (36), замечаем, что
=(39)
т. е. проекции главного момента количеств движения неизменяемой системы на оси, неизменно связанные с ней, выражаются частными производными or выражения живой силы, взятыми относительно проекций на те же оси угловой скорости системы.
Величины А, В и С, входящие в формулы (36) и (38), играют очень важную роль в теории вращательного движения неизменяемой системы. Поэтому мы остановимся теперь на рассмотрении некоторых их свойств.
Если р — расстояние материальной точки т, входящей в состав какой- либо системы, от какой-либо оси, то сумма
S = Smp2, распространенная на все точки системы, является величиной, называемой моментом инерции ее относительно этой оси. Так, величины А, В, С представляют моменты инерции системы относительно координатных осей 5, Л и ?• Относительно различных осей моменты инерции одной и той же системы точек имеют, конечно, различные величины, низшим пределом которых служит некоторая положительная величина, потому что по самому определению, мо-
мент инерции не может быть отрицательным, нулем же он может быть только в том случае, когда рассматриваемая система точек расположена вдоль некоторой прямой, и при том когда ось, относительно которой берется момент инерции, совпадает с этой прямой. Этот случай мы будем исключать из рассмотрения.
Согласно сказанному для всякой системы точек существует одна или несколько осей, относительно которых моменты инерции имеют наименьшие величины. Рассмотрим положение этих осей.
Будем сравнивать сначала моменты инерции для различных параллельных осей. Принимая ту из этих осей, которая проходит через центр инерции С системы, за ось £, обозначим момент инерции относительно нее через Sc, понимая под S момент инерции относительно какой-либо другой параллельной ей оси и находящейся от нее на расстоянии а. Если плоскость этих осей примем за плоскость ^, то будем иметь
Sc = Хт (g2 + Т]2), S = Sm [g — a)2 + r]2] .
Поэтому, замечая, что Sm^ = 0, найдем
S = Sc + Ma\
т. е. момент инерции относительно какой-либо оси больше момента инерции относительно параллельной ей оси, проходящей через центр инерции, на величину произведения из массы всей системы и из квадрата расстояния между осями.
Таким образом, из всех моментов инерции относительно различных параллельных осей наименьшим будет тот, который берется относительно оси, проходящей через центр инерции.
При этом моменты инерции относительно осей, служащих образующими кругового цилиндра, ось которого проходит через центр инерции, имеют равные величины, беспредельно возрастающие с беспредельным возрастанием радиуса кругового сечения этого цилиндра.
Рассмотрим теперь моменты инерции относительно различных осей, проходящих через одну и ту же точку. Принимая эту точку за начало прямоугольных координат £, т), £, обозначим косинусы углов, составляемых с координатными осями осью, относительно которой берется момент инерции S, через X, р, v. Мы будем иметь
S = ^m [g2 + n2 + е2 - (^ + ПН + М2].
Поэтому с учетом равенства
V + р2 + v2 = 1, найдем
S = ЛХ2 + Bp2 + Cv2 — 2£)pv — 2EvX — 2ЕХр,(40;
где Л, 6 и т. д.— величины, определяемые формулами (37).
Для сравнения моментов инерции относительно различных осей, проходящих через одну и ту же точку, пользуются обыкновенно следующим построением: на направлениях различных осей, проходящих через эту точку, откладывают от нее длины, обратно пропорциональные квадратным корням из соответствующих моментов инерции и рассматривают поверхность, представляющую геометрическое место концов этих длин. Чтобы получить уравнение этой поверхности, при наших обозначениях положим
С.Ак
Уз/3 г Уз
Тогда равенство (40) обратится в уравнение
Л^2 + Вт]2 + С^ - т^ - 2EQ - 2^7) = fe2,(41)
описывающее поверхность второго порядка. Так как радиусы векторы этой поверхности обратно пропорциональны квадратным корням из моментов инерции, а из последних, по замеченному выше, ни один не может быть нулем, то эта поверхность должна представлять некоторый эллипсоид. Изменяя в уравнении (41) параметр к, мы получим ряд подобных концентрических и подобным образом расположенных эллипсоидов, направления и относительные величины осей которых зависят исключительно от распределения массы в системе вокруг той точки, которую мы приняли за начало координат, и которая служит общим центром этих эллипсоидов.
Последние носят название эллипсоидов инерции, соответствующих рассматриваемой точке системы; направления же их осей называются осями инерции системы, соответствующими этой точке. Моменты инерции относительно осей инерции называются главными.
Если же при том эти оси берутся для центра инерции системы, то соответствующие моменты инерции называются главными центральными.
Из сказанного следует, что если за оси координат £, т), £ принять оси инерции системы, соответствующие рассматриваемой точке, то величины D. Е и F будут нулями, а величины А, В и С — главными моментами инерции, соответствующими этой точке. Зная их, мы найдем момент инерции относительно всякой оси, проходящей через ту же точку, по формуле
S = Д V + Вр2 + с^.
Таким образом, для всякой точки системы можно найти, по крайней мере, три таких взаимно перпендикулярных направления, для которых, если их принять за оси координат, будут иметь место три равенства
'Sm^ = 0, Sm£g = 0, ИтЕ^ = 0. (42)
Два из этих направлений обладают тем свойством, что момент инерции системы относительно одного из них есть наименьший, а относительно другого—наибольший из всех моментов инерции относительно осей, проходящих через эту точку.
В частных случаях эллипсоид инерции может быть эллипсоидом вращения или сферой и в этих случаях существует бесчисленное множество таких систем координатных осей, для которых имеют место равенства (42). Когда для какой- нибудь точки системы, принятой за начало координат известны величины А, В, С, D, Е и F, то определение направлений осей инерции и главных моментов инерции, соответствующих этой точке будет задачей аналитической геометрии, и потому мы можем на ней не останавливаться. Заметим только, что во многих случаях задача об определении направлений осей инерции для известных точек может быть решена непосредственно учитывая, что для этих направлений, принятых за координатные оси должны иметь место равенства (42). Так, например, можно сказать a priori, что оси инерции однородного эллипсоида, соответствующие его центру, совпадают с его геометрическими осями.
Когда система точек имеет плоскость симметрии, то центр инерции ее будет лежать в этой плоскости, и направление перпендикуляра к этой плоскости будет направлением одной из центральных осей инерции. В самом деле принимая эту плоскость за плоскость ^т], найдем, что каждой точке (£, т), Q с массой т в этом случае будет соответствовать точка (£, т),—£) также с массой т и потому
^тт^ = 0, Sm££ = 0, Sm^T] = 0.
Когда рассматриваемая система точек заключается в некоторой плоскости, то направление одной из центральных осей инерции будет перпендикулярно к этой плоскости.
Когда система точек имеет две взаимно перпендикулярные плоскости симметрии, то центр инерции находится на прямой пересечения этих плоскостей,
которая служит одной из центральных осей инерции. Две же другие оси перпендикулярны к плоскостям симметрии.
Вычисление моментов инерции приводится к вычислению величин
Д' = М^ В' = Smn2, С' = Sm^2, называемых квадратичными моментами системы относительно координатных плоскостей т)^, ^, £тр Многие авторы называют их моментами инерции системы относительно этих координатных плоскостей.
Остановимся на вычислении моментов инерции некоторых однородных площадей и однородных сплошных тел.
Положим, что тело имеет три взаимно перпендикулярные оси симметрии, которые приняты за оси ?, л, S- Пусть 2г/, 26 и 2с — наибольшие измерения тела по направлениям, параллельным этим осям и пусть известны площади ^, q^ и q^ сечений тела плоскостями, перпендикулярными к осям симметрии и находящимися от начала координат на расстояниях £, г|, £так, что q^ будет известной функцией £, q^ — известной функцией 13, q^ — известной функцией £. При этом квадратичные моменты А*, В' и С получатся при помощи однократных интегрирований аbс
А' = 20^ д^Ч^ В' = 20^ д^Чц, С' = 2а ^ дДЧ£,00о
где а — плотность тела. После этого найдутся моменты инерции по формулам Д = В' + С\ В^С + Д', С - Д' + В'.
Этими формулами удобно пользоваться, например, при вычислении главных центральных моментов инерции однородного параллелепипеда или эллипсоида. Центральные оси инерции первого будут параллельны его ребрам, проходя через точку пересечения его диагоналей. Центральные же оси второго совпадают с его геометрическими осями.
Примеры. Понимая под М массу, найдем следующие величины для моментов инерции.
Для площади однородного прямоугольника со сторонами 2а и 2Ь относительно оси, параллельной стороне 2а и проходящей через центр инерции: — Mb2;
относительно оси, перпендикулярной к его плоскости и проходящей через центр инерции: 2. м (а2 + П
Для площади однородного эллипса с полуосями а и b относительно оси 2а: — Mb2; относительно оси, перпендикулярной к его плоскости и проходящей через центр: 2 м (а2 + &2).
Для однородного прямоугольного параллелепипеда с ребрами 2а, 2Ь и 2с относительно оси, параллельной ребру 2а, и проходящей через центр инерции: -^- М (Ь2 + с2).
Для однородного эллипсоида с полуосями а, b и с относительно оси 2а : М (Ь2 + + с2).
Для однородного прямого эллиптического цилиндра с высотой 2h и полуосями эллипса основания а и b относительно оси, параллельной образующим и проходящей через центр инерции: — М (а2 + Ь2у,
относительно оси, параллельной оси 2а эллипса основания и проходящей через центр инерции: М b2 + -~- /i2j.
Следует заметить, что моменты инерции прямоугольника, эллипса, прямоугольного параллелепипеда и эллипсоида могут быть заключены в одной общей формуле
Момент инерции относительно оси _ Мяггя Сумма квадратов перпендикулярных полуосей симметрии—з 4 5*
где 3 относится к прямоугольнику и прямоугольному параллелепипеду, 4 — к эллипсу и 5 — к эллипсоиду.
§11. Живая сила неизменяемой, как и всякой другой системы точек, может быть представлена, как известно, следующим образом:
T = +Т,
где и — скорость центра инерции; Т — живая сила относительного движения по отношению к центру инерции. В случае неизменяемой системы в § 9 для последней было найдено выражение
Т = -g- (Лсо| + Всо^ + Ссо^ — 2Dconco^ — ЗЕсо^ — 2Всо^сол).
Если через а, р и у обозначим косинусы углов, составляемых мгновенной осью с координатными осями, то этому выражению можем дать следующий вид:
Т = 4"Q2 кАа? + В^ + Су2 — 2D?>4 — 2Еуа — 2F ар).
Но из предыдущего мы знаем, что выражение, находящееся в скобках, представляет момент инерции системы относительно мгновенной оси. Обозначая этот момент инерции через J, мы будем иметь
T = -LjQ2,
т. е. живая сила вращательного движения неизменяемой системы равна половине произведения из момента инерции относительно мгновенной оси и из квадрата угловой скорости.
Мы рассматривали вращательное движение вокруг центра инерции, но очевидно, что этот результат будет справедлив и для вращательного движения вокруг какой-нибудь другой точки.
Если введем плечо инерции к (так называют длину, равную корню квадратному из отношения момента инерции к массе тела) относительно мгновенной оси, полагая / = Мк2, то найдем
Т = 1м№,
т. е. живая сила вращательного движения неизменяемой системы равна живой силе вращательного движения одной из ее точек, находящихся на расстоянии к от мгновенной оси, если в этой точке сосредоточена масса всей системы.
Поэтому плечо инерции системы точек относительно какой-либо оси можно определить, как расстояние от этой оси той ее точки, в которой должна быть сосредоточена масса всей системы для того, чтобы при вращении системы вокруг этой оси живая сила движения этой точки была равна живой силе всей системы.
Полная живая сила неизменяемой системы, как нетрудно убедиться, равна живой силе двух ее точек, в которых поровну распределена масса всей системы и которые лежат в одной плоскости с мгновенной осью, проходящей через центр инерции, находясь по разные стороны этой оси на расстояниях от нее, равных плечу инерции системы относительно этой оси.
Вывод дифференциальных уравнений движения неизменяемой системы. Выведем теперь дифференциальные уравнения движения неизменяемой системы для каждого из трех следующих предположений: 1) неизменяемая
система совершенно свободна, 2) она имеет одну неподвижную точку и 3) она имеет две неподвижные точки.
В случае совершенно свободной неизменяемой системы будут иметь место уравнения движения центра инерции и уравнения моментов в том же виде, как и для системы точек, не подчиненных связям. Поэтому обозначая через X, К, Z проекции на неподвижные оси силы, действующей на какую-нибудь точку (х, у, z) неизменяемой системы, масса которой есть т, мы получим шесть следующих уравнений:
м-£^-=^х, м-^- = ^¥, м-^- = ^г,(43)
Sm (у — у0)-^- — (z — z0) -§г] = 2 [(у — у0) Z — (z — z0) У], 2m (z — z0)-^ — (x — x0)-^- = 2 [(z — z0)X — (x — x0)Z],(44)
2m (x — x0)-^(y — y0)-5" =S[(x—х0)У —(у —у0)Х].
В этих уравнениях (х0, у0, 20) координаты совершенно произвольной точки, которая может быть как неподвижной в пространстве, так и иметь какое угодно данное движение. Предполагая, что за эту точку принят центр инерции системы, мы можем уравнениям (44) дать следующий вид:
~5Г 2m (у — ус) 4(z — zc) 4"] = 2 [(у — ус) Z — (z — zc) У], 4-2/n[(z-zc)-^-(x-xc)4-] = 2[(z-zc)X-(x-xc)Z],(45)
2m [(х — хс) 4" — (У — ус) 4"] = 2 [(х — хс) У — (у — ус) X].
Так как положение свободной неизменяемой системы определяется шестью независимыми переменными, то шести уравнений (43) и (45) будет достаточно для определения ее движения. При этом уравнения (45) будут определять вращательное движение ее вокруг центра инерции.
Когда неизменяемая система имеет одну неподвижную точку, то при движении ее будут иметь место три уравнения (44), если в них х0, у0, г0 — координаты этой точки. При этом условии х0, у0) z0 будут постоянными и потому уравнения (44) можно записать в виде
4"2m^у-у0)-^- — (г — z0) 4"] = 2 [(у — у0) Z — (г — z0) У],
-^- 2m f(z - z0) 4~ (х — х0) 4-1 = 2 [(z - г0) X - (х -х0) Z], (46)
— Sm [(х — х0) -^- — (у — у0) 4" ] = 2 [(х — х0) У — {у — у0) X].
Этих трех уравнений будет достаточно для определения движения, потому что при неподвижности одной из точек неизменяемой системы положение ее определяется тремя углами гр, О и ф. Наконец, когда неизменяемая система имеет две неподвижные точки, движение ее приводится к вращательному вокруг оси, проходящей через эти точки и для определения его достаточно одного уравнения, определяющего изменение угла гр, составляемого какой-либо плоскостью, проходящей через эту ось и неизменно связанной с системой с другой — неподвижной. Если эту ось принять за ось г, то движение будет определяться уравнением
4г^т-»тг\-^¥-«^-<47>
Теперь остается только уравнение вращательного движения для каждого из трех рассматриваемых случаев преобразовать к виду дифференциальных уравнений, определяющих углы ф, У* и ф в функциях времени.
Начнем с последнего случая, как наиболее простого. Предполагая, что ось £ совпадает с осью z, вокруг которой должна вращаться система, обозначим через ф — угол между плоскостями ££ и xz. При этом найдем
у ^ п dx /£2 I 2\ ^Ф
Поэтому, полагая по-прежнему
^т (^Ч-т^-С и обозначая через L сумму моментов всех действующих на тело сил вокруг оси вращения, так что
L = ^xY — уХ\
мы приведем уравнение (47) к следующему виду:
C^r = L.(48)
Это уравнение, в котором L будет известной функцией ip, Чр и t и будет служить для определения движения неизменяемой системы, имеющей неподвижную ось.
Переходим теперь к преобразованию уравнений (46). Но предварительно заметим, что это преобразование будет относиться и к уравнениям (45). Обе эти системы уравнений могут быть заключены в одной
7 dKy г dKz __ гdt — х’ di —di1
если под КХ1 Ку» Кг будем понимать проекции на оси х, у, z главного момента количеств движения, а под LX1 Ly, Lz — проекции на те же оси главного момента всех приложенных к системе сил, причем в случае совершенно свободной неизменяемой системы эти моменты предполагаются взятыми относительно центра инерции, а в том случае, когда она имеет неподвижную точку,— относительно последней.
Положим, что кроме неподвижных координатных осей х, у viz введены еще оси £, т), £, неизменно связанные с системой, начало которых совпадает или с центром инерции, или с неподвижной точкой, в зависимости от того, какой из двух упомянутых случаев имеется в виду. Обозначая проекции на оси £, т), £ главного момента количеств движения через К^» Кт\» К^ а проекции на эти оси главного момента сил через L^ L4l L^ мы можем составить при помощи уравнений (49) три следующих:
(х, 9(у, ю + -^-(г, ю = Ц, -^(х, Т]) +(у, TD +
+ -^-(2,1]) = ^, -^-^Л^^_^Л^-^-^ЛА = Ц, (5И)
НО
(X, g) -^ + (у, I) + (2, В) ^ = 4" VKt (X, 9 + Ку (у, 9 1
+ Кг V, О] — [Ах —5— + Ку—^Н Аг —5—J-^(К^
4- /Ст)И1) 4* К^и^,
где и^ и^, и^ — проекции на оси ^ т), £ вращательной вокруг начала координат Н, л, £ скорости точки, находящейся на оси £ на расстоянии 1 от начала координат. Поэтому
и^ = О, и^ = СО^, и- = — (От) и, следовательно,
Таким образом, первое из уравнений (50) преобразуется к виду
-^Н ^СОп — ^со^ = Ц.
Точно также второе и третье преобразуются в следующие:
—th K^ — K^ = Ln, —th K^Ob — K^ = Ц.
Что касается величин K^ Кх\ и К^ входящих в эти уравнения, то они выражаются частными производными от одной и той же функции по со^, соп, со^, а именно, мы нашли, что если Т есть живая сила неизменяемой системы, то
„ — дт — дТ дТдок ’дю^ » ^Q “ дю^ •
Таким образом, наши уравнения принимают видТаким образом, наши уравнения принимают видd / дТ \ , дТдТ тdt ( дсо^ ) дох~" п’d / дТ \ , дТдТ тdt ( дсо^ ) дох~" п’d / ОТ \ , ЭТдТ т—"ТГ* I —7 I Ч Ч Lr .dt ( дю^ ) ' dco^ 61d / ОТ \ , ЭТдТ т—"ТГ* I —7 I Ч Ч Lr .dt ( дю^ ) ' dco^ 61
Таким образом, наши уравнения принимают вид
Таким образом, наши уравнения принимают вид
d / дТ \ , дТдТ т
dt ( дсо^ ) дох~" п’
d / дТ \ , дТдТ т
dt ( дсо^ ) дох~" п’
d / ОТ \ , ЭТдТ т
—"ТГ* I —7 I Ч Ч Lr .
dt ( дю^ ) ' dco^ 61
d / ОТ \ , ЭТдТ т
—"ТГ* I —7 I Ч Ч Lr .
dt ( дю^ ) ' dco^ 61
При этом для обоих рассматриваемых случаев будем иметь
= Лео? — Fa)^ — Еаь, = — Еаь + Ва)^ — Dab,
— Осо™ 4- Са>г.
Поэтому если за оси |, т), ^ приняты оси инерции, соответствующие центру инерции или неподвижной точке, так что D = Е = F = 0, то уравнения (51) будут иметь вид
А —^—Н (С — В) ®псо£ = Ц, В —^—Н (А — С) <o£<Og = L^, dtor_''
С —fИ (В — А) <В|(оя = Ц.
Это так называемые эйлеровы уравнения вращательного движения. К ним необходимо присоединить равенства
d^dlb* ad^I d'l’ ••а
(o$ =-тг- sin <р^- cos q>sin б1,Шт] = -тг- cos ф + -^- Sinф sin б-,
сиахatat
(53)(53)ю^ = -^- + -^С05^
(53)
(53)
найденные раньше, в силу которых уравнения (52) обращаются в уравнения второго порядка относительно ф, У и ф.
Силы, действующие на систему, вообще будут зависеть от времени и от координат и скоростей различных ее точек. Поэтому в случае свободной неизменяемой системы величины
SX, SV, SZ, Ц. La Ц
будут функциями от 13 следующих величин:
,_,dxc duc dzc dip d'O dtp
XC> Ус» гс» Ф» ^>ф, t»"dP ’ ”"dF ' ""dF' dt' dt’ dt ’
так что вообще вопрос об определении движения ее приведется к совместному интегрированию двух систем из уравнений второго порядка (43) и (52) (в которой cog, со^, cog должны быть заменены их выражениями (53)), из которых ни одна не может быть проинтегрирована отдельно. В том случае, когда Lg, Ln тdxcdu0dzc
и Lg не зависят от хс. уС1 zci ™ip> рр вРаЩательное движение вокруг центра инерции может быть определено независимо от этого движения точки интегрированием систем уравнений (52) и (53). К интегрированию этих же двух систем из уравнений первого порядка (или системы из уравнений второго порядка, получаемой из них исключением cog, con, cog) приводится вопрос и об определении вращательного движения вокруг неподвижной точки. В частном случае, когда Lg, £л и Lg — функции только четырех переменных cog, con, cog и / систему из трех уравнений первого порядка (52) можно проинтегрировать независимо от системы уравнений (53). Найдя интегрированием ее cog, con, cog в функциях /, мы найдем затем гр, ^ и ср интегрированием системы (53).
В случае свободной неизменяемой системы мы введем интегрированием дифференциальных уравнений движения 12 произвольных постоянных в случае неизменяемой системы, имеющей неподвижную точку — бив случае неизменяемой системы, имеющей неподвижную ось — 2. Эти постоянные определятся в первом случае по начальным значениям хс. ус. zci гр, v, ср -^-, dzcdOdm n
——тг» Во втором случае — по начальным значениям dtdt dtdtrJ
, n dip dO dtp,
гр, $’"d/ ’ ~dF’ "5/ и в тРетьем случае — по начальным значениям гр
и
и dt •
Движение твердого тела, имеющего две неподвижные точки. Физический маятник. Когда твердое тело имеет две неподвижные точки и, следовательно, вращается вокруг неподвижной оси, то это вращение, как мы видели, определяется уравнением (48), в котором С — момент инерции тела относительно этой оси, a L — момент относительно той же оси всех действующих на него сил. Рассмотрим ближе случай, когда тело находится только под действием силы тяжести, а ось вращения горизонтальна. Такое тело носит название физического маятника.
Ось вращения примем за ось г, направляя ось х вертикально сверху вниз. Предполагая далее, что ось £ совпадает с осью г, примем за ось £ направление, перпендикулярное к ней, проходящее через центр инерции тела, расстояние которого от оси вращения обозначим через а. Таким образом, будем иметь ^с = а» Чс = 0, ^ = 0. Угол гр будет представлять угол между плоскостью и плоскостью zx. Мы будем считать его положительным с одной стороны плоскости zx и отрицательным с другой.
При рассматриваемых предположениях X = mg. Y = Z = 0. Поэтому
L = S (xY — уХ) = — g^my = — Mgyc.
Но вообще
у = £ sin гр + r]cos гр,
а потому ус = a sin гр и, следовательно, L = — Mag sin гр.
(54)(54)Таким образом, уравнение (48) принимает вид С-^-= —Massing.
(54)
(54)
Это уравнение совершенно того же вида, как и уравнение, определяющее колебания математического маятника. Если длину последнего обозначить через /, а угол, составляемый им с вертикалью в какой-нибудь момент движения — через гр, то дифференциальное уравнение, определяющее его колебания будет
= — gsmip,
(55)(55)а это уравнение будет тождественно с уравнением (54), если
(55)
(55)
Ма *
При этом условии, если начальные значения гр и -^- в обоих случаях одинаковы, оба уравнения дадут одинаковые выражения для гр в функции времени.
Таким образом, физический маятник совершает свои колебания по тому же закону, как и математический, длина которого определяется формулой (55) и, следовательно, равна отношению момента инерции тела относительно оси вращения к произведению из его массы и расстояния от оси вращения центра инерции. Если момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр инерции и параллельной его оси вращения, обозначим через S, то будем иметь
С = S + Ма2, а потому по формуле (55) найдем
I = а Н—тт— .Ма
Эта формула показывает, что длина эквивалентного (т. е. совершающего такие же колебания) математического маятника больше расстояния центра инерции тела от оси вращения. Если через центр инерции проведем перпендикуляр к оси вращения, то точка пересечения его с последней представит то, что называют центром привешивания физического маятника. Если же от центра инер
ции на этом перпендикуляре отложим длину Ма ■ в сторону противоположную той, с которой находится ось вращения, то получим в конце этой длины точку, которая называется центром качания. Расстояние этой точки от оси вращения будет равно длине эквивалентного математического маятника. Поэтому эта точка тела при движении его будет совершать такие же колебания, какие она совершала бы оставаясь неизменно связанной с осью вращения, но не будучи связана с остальными точками тела. Легко убедиться, что центры привешивания и качания обладают такого рода взаимностью, что если центр качания принять за центр привешивания, то новый центр качания будет находиться в прежнем центре привешивания. В самом деле, при этом расстояние центра инерции от центра привешивания станет равным —м™’ а потому расстояние нового центра качания от центра инерции будет равно
М Ма
Заметим еще, что если через к обозначить плечо инерции тела относительно оси, проходящей через центр инерции и параллельной оси вращения, так что S = = Мк\ то расстояние центра качания от центра инерции будет равно. Поэтому плечо инерции тела относительно оси, проходящей через центр инерции, есть средняя геометрическая между расстояниями центра инерции от центров привешивания и качания.
Мы предполагали ось вращения горизонтальной. Если же она составляет с горизонтальной плоскостью некоторый угол а, то принимая ее по-прежнему за ось 2, а вертикальную плоскость, проходящую через нее, за плоскость zx, найдем
X = mg cos a, Y = О, Z = — mg sin а, а потому будем иметь
L = — Mgyc cos а = — Mag cos а sin ф
и уравнение (48) примет вид
С -^- = — Mag cos а sin ф.(56)
Это же уравнение отличается от уравнения (54) только тем, что в него входит g cos а вместо g, входящего в уравнение (54). Поэтому и в случае наклонной оси тело совершает колебания по закону математического маятника. Длина эквивалентного математического маятника в рассматриваемом случае будет
С
Ma cos а *
Она возрастает с увеличением наклона оси вращения к горизонту и делается бесконечно большой, когда эта ось вертикальна. В этом предельном случае движение тела приводится к равномерному вращению вокруг нее.
Так как уравнения (54) и (56) того же типа, что и дифференциальные уравнения колебаний математического маятника, рассматриваемых в динамике материальной точки, то на интегрировании их мы можем здесь не останавливаться.
Вопросы о движении твердого тела, имеющего две неподвижные точки (две точки опоры) можно также решать и при помощи дифференциальных уравнений движений свободного твердого тела. Для этого стоит только ввести кроме заданных сил еще две неопределенные по величине и направлению силы, приложенные к телу в точках опоры и затем определить их из условия неподвижности этих точек. Определенные таким образом силы будут представлять давление опорных точек на тело, а силы, равные и прямо противоположные им, представлять давление тела на опорные точки. Поэтому рассматриваемый способ решения задачи полезен в тех случаях, когда необходимо знать эти давления. Принимая одну из опорных точек за начало координат х, у, г, примем за ось z направление, идущее от нее ко второй опорной точке. Расстояние между этими точками обозначим через h.
Если проекции на координатные оси давлений этих точек на тело обозначим через Хх, Yb Zx и Х2, Y^ 7^ и заметим, что координаты г для всех точек тела остаются постоянными, то дифференциальные уравнения движения будут
X1 + X2 = M-^--SX, Y^Y^M-^-^’(57)
Z, + Z2 = 2Z,(58)
hY2 = ^mz-^- + ^(yZ — zY), hX2 = ^mz^-— ^(zX — xZ), (59)
Zm (x -g- - у ^ = 2 (xY - yX).(60)
Из этих уравнений последнее приводится, как мы видели, к виду (48) и определит движение тела. После этого из уравнений (59) найдутся величины Х2 и Y^ а затем из уравнений (57) — Xv Yv Этим определятся проекции на плоскость, перпендикулярную к оси давлений на тело опорных точек. Для окончательного определения этих давлений необходимо будет, следовательно, иметь только проекции этих давлений на ось. Но для этого мы имеем одно только уравнение (58), которое определяет сумму этих проекций. Каждая же из них в отдельности остается неизвестной. Эта неопределенность становится совершенно понятной, если учесть, что опорные точки связаны одна с другой неизменным образом, а к таким точкам можно, как известно, прилагать равные и прямопротивоположные силы, направленные по прямой, их соединяющей, не нарушая состояния движения той системы, которой они принадлежат; при том общая величина этих сил может быть совершенно произвольна. Таким образом, одну из величин Zx и Z2 мы можем предполагать произвольной. Но остановившись на какой-нибудь величине для одной из них, мы получим для другой вполне определенную величину, потому что сумма их по уравнению (58) вполне определена.
Положим, что на тело не действуют никакие силы, т. е. X = Y = Z = 0. Найдем условия, которым должна удовлетворять ось вращения, чтобы во все время движения тела оно не оказывало давления на опорные точки.
Вопрос приводится к определению условий, при которых можно удовлетворить уравнениям
di2 ’ dt2 'k ;
^mz4^ = 0,(62)
di2dt2x 7
где у — постоянная. Последние из этих уравнений дает угловую скорость вращения тела, которая при рассматриваемых условиях будет постоянной, а именно, если С и гр имеют прежние значения, то это уравнение приводится к виду
откуда -^- = Й = -£-.
Далее, так как тело вращается с постоянной угловой скоростью Q вокруг оси 2, то для каждой точки его будут иметь место равенства
дающие
d/2 ”dt2 — У*
Вследствие последних равенств уравнения (61) и (62) приводятся к следующим: хс = 0, ус = 0, Ътгу = 0, Тлтх = 0.
Это и есть искомые условия. Из них видно, что для того, чтобы твердое тело, изолированное от действия всяких сил и вращающееся вследствие сообщенного ему толчка вокруг неподвижной оси, не оказывало давлений на опорные точки, эта ось должна проходить через центр инерции его и служить одной из осей инерции [13L
Если ось вращения удовлетворяет этому условию, то тело может вращаться вокруг нее и при отсутствии опорных точек. Поэтому такая ось называется свободной осью вращения.
Каждая из центральных осей инерции есть свободная ось вращения. Когда свободному твердому телу, изолированному от действия сил сообщено какое- нибудь вращение вокруг одной из этих осей, то во все время последующего движения эта ось будет оставаться неподвижной, а тело будет вращаться, вокруг нее равномерно с сообщенной ему угловой скоростью.
Вращение по инерции твердого тела, имеющего одну неподвижную точку. Когда на твердое тело, имеющее неподвижную точку, не действуют никакие силы, то движение, которое оно может иметь вследствие сообщенного ему толчка, носит название вращения по инерции вокруг неподвижной точки.
Так как вообще вращение твердого тела вокруг неподвижной точки определяется только главным моментом вокруг нее всех действующих на него сил, то движение такого твердого тела будет иметь характер вращения по инерции и во всех тех случаях, когда на него действуют такие силы, главный момент которых вокруг неподвижной точки равен нулю. Остановимся на рассмотрении этого движения.
Дифференциальные уравнения движения для рассматриваемого случая получатся из уравнений (52), если мы положим Ц = Ln = L^ = 0. Таким образом, мы будем иметь следующие уравнения:
^"^■^(^ — Q^4> ^"^"^^— ^W0^» (63)
с —£■ = (Л — В) (о^.
Легко получить два интеграла этих уравнений. Для этого нужно умножить их соответственно на cog, соп, со^ или на A cog, Всоп, Ссо^ и затем сложить результаты. Таким образом, мы получим два следующих интеграла:
Асо^ -|- Всо^ -|- Сео- = 2/i, (64)
АЦ + В^ + С2(0£ = к», (65) где h и к — постоянные.
Следует заметить, что эти два уравнения можно было бы составить и независимо от уравнений (63). В самом деле уравнение (64) выражает постоянство живой силы твердого тела, а так как Acog, Всол, С^ проекции на оси g, т), £ главного момента количеств движения, то уравнение (65) выражает постоянство величины этого момента. А что эти два обстоятельства имеют место при рассматриваемом движении тела, это следует из того, что для него имеют место, как закон живой силы (и при том потенциал равен нулю), так и три интеграла площадей (если за начало координат принята неподвижная точка).
Пуансо показал, что на основании уравнений (64) и (65) можно составить себе некоторое понятие о характере вращения тела по инерции. Для этого рассмотрим эллипсоид инерции тела, соответствующий неподвижной точке. Уравнение этого эллипсоида будет
А^ + ВП2 + С^ = р\ (66) где р — постоянная, зависящая от нашего выбора.
Найдем точку пересечения этого эллипсоида с мгновенной осью и проведем в этой точке к эллипсоиду касательную плоскость. Если ^, т]п ^ — координаты, а гх — радиус-вектор этой точки, то мы будем иметь
Si _ 41 __ Si „ ri
(0^ ®т|
Внося следующие отсюда величины для ^, т,!, t^ вместо £, г], £ в уравнения (66), найдем
f2
-^- (Л®| + Вю^ + Ссо^) = р2
и потому вследствие уравнения (64)
Уравнение касательной плоскости к эллипсоиду (66) в точке (gv т^, ^ будет иметь вид
Перпендикуляр, опущенный из начала координат на эту плоскость, будет составлять с осями £, т), £ углы, косинусы которых равны
,_ 1 л
т ЙЮт|’ V C®s>
а потому он будет совпадать с направлением главного момента количеств движения (т. е. будет сохранять неизменное направление в пространстве). Для этого перпендикуляра
или вследствие выражений для ^, г^, ^ и равенств (65) и (67)
6 =.(68)
Кроме того, заметим еще, что уравнение (64) может быть представлено в виде Лй)£й)£ + Всо^СОт! + Ссо^со^ = 2h ИЛИ
&Qcos(fc, fi) = 2/г,(69)
где под к понимается не только величина, но и направление главного момента количеств движения.
Вследствие всего изложенного мы можем теперь выставить следующие характерные свойства вращения твердого тела по инерции вокруг неподвижной точки:
живая сила вращения сохраняет постоянную величину;
главный момент вокруг неподвижной точки количеств движения сохраняет постоянные величину и направление;
мгновенная ось пересекает эллипсоид инерции тела, соответствующий неподвижной точке на расстоянии от последней, изменяющемся пропорционально изменению величины угловой скорости (67);
проекция угловой скорости на постоянное направление главного момента количеств движения сохраняет постоянную величину (69);
касательная плоскость, проведенная к эллипсоиду инерции в точке пересечения его с мгновенной осью, находится в постоянном расстоянии (68) от неподвижной точки. При том она перпендикулярна к направлению главного момента количеств движения и, следовательно, остается неподвижной в пространстве.
Легко видеть, что свойство 4) является следствием свойств 3) и 5).
Таким образом, вращение твердого тела по инерции вокруг неподвижной точки может быть произведено таким движением эллипсоида инерции его,
соответствующего этой точке при котором этот эллипсоид всегда касается неподвижной плоскости, перпендикулярной к направлению главного момента количеств движения. При том точка касания находится всегда на мгновенной оси, а потому скорость той точки эллипсоида инерции, которая совпадает с ней в известный момент времени, равна нулю. Поэтому движение эллипсоида инерции есть катание без скольжения по этой неподвижной плоскости.
Эта теорема принадлежит П у а н с о.
Движение свободного твердого тела в пустоте под действием силы тяжести. Движение свободного твердого тела определяется совокупностью уравнений (43), (52) и (53). При этом в уравнениях (52) А, В и С — главные центральные моменты инерции, а Л^, L^ L^ — проекции на направления центральных осей инерции главного момента относительно центра инерции всех действующих сил.
Рассмотрим случай, когда твердое тело находится под действием только силы тяжести. Принимая направление действия этой силы за ось г, мы будем иметь 2Х = О, 2У = О, SZ = Mg.
Кроме того,
L^ = О, L^ = О, L^ = О, потому, что главный момент относительно центра инерции для силы тяжести равен, как известно, нулю.
Вследствие этого уравнения (43) примут вид
Хс — 0, уС) ^с = gi
а уравнения (52) приведутся к виду уравнений (63). Отсюда мы заключаем, что центр инерции будет двигаться, как тяжелая материальная точка, описывая в вертикальной плоскости параболу. В то же время твердое тело будет вращаться вокруг него по тому же закону, по какому оно вращалось бы вокруг неподвижной точки, будучи изолировано от действия всяких сил, т. е. относительное по отношению к центру инерции движение твердого тела будет обладать характером вращения по инерции. Это движение будет состоять в катании без скольжения центрального эллипсоида инерции по плоскости, находящейся в постоянном расстоянии от центра инерции и перпендикулярной к неизменяемому направлению главного момента относительно центра инерции количеств движения.
Формулы, относящиеся к этому относительному движению, будут те же, что и в предыдущем случае. Разница будет состоять только в значении величин А, В, и С: в рассматриваемом случае эти величины будут представлять главные центральные моменты инерции, между тем как в предыдущем случае они изображали главные моменты инерции, соответствующие неподвижной точке.
Лагранжевы дифференциальные уравнения движения. Пусть имеем систему п материальных точек с координатами
У1, ^i> ^2> у^» ^2, • • • > хпэ уп1 zm(70)
подчиненными в силу существующих связей к уравнениям
fi -0, /2 = 0,^ = 0.(71)
Здесь flt f2, ..., fk известные функции величин (70) и (в случае переменных связей) времени t. Предполагая к < Зп и считая Зп — к = т, мы замечаем, что уравнения (71) дают возможность к координат выразить в функциях т остальных (и времени) и что поэтому для определения движения системы достаточно уметь определить в функциях времени эти т последних координат.
(72)(72)Желая рассматривать вопрос с более общей точки зрения, мы можем* пользуясь уравнениями (71), все координаты выразить в функциях т новых независимых переменных
(72)
(72)
Цп Ч^ •••, Чт
и искать дифференциальные уравнения, которым при данных силах должны удовлетворять эти новые переменные, как функции времени.
Вопрос о составлении этих дифференциальных уравнений в самых общих предположениях был решен Лагранжем, вследствие чего они и носят название лагранжевых.
Рассмотрим вывод этих уравнений. Пусть выражения координат в функциях переменных (72) имеют вид
^i = Fl (91, • • • , qnv О, Hi = Ф< (91, • • • , Чт' ^» ^i = ^*i (91, • • • » Чт» ^ (73) (f = 1, 2,п).
Для большей общности, кроме величин (72), мы ввели в эти выражения время /, которое непременно войдет в них всякий раз, когда входит в уравнения (71). Функции Fb Фг, ^ должны быть таковы, чтобы после подстановки их вместо величин хь уи zt (i = 1, 2, ..., ri) в уравнения (71) последние обращались в тождества, т. е. в равенства, имеющие место при всяких значениях величин 91, 9г, •••, 9/п и ^ В остальном функции эти могут быть какими угодно. Из указанного сейчас свойства функций (73) вытекают следующие равенства:
у/^^+д/з__сМ = ° (s= 1, 2,(74)
\ дх‘ dqi 9yi 8qi 9zi 9qi )
/ = 1,2, ..., m).
Пусть mv m4, ..., mn — массы наших материальных точек и Х^ Yv Zt; Х4, Y4, Z2; ...; Хп, Yn, Zn—проекции на координатные оси действующих на них сил. Дифференциальные уравнения движения будут, как известно, следующего вида:
dxt 11 R dx{ ’
т,</( = У, + Х1-^- + ^++
1 dyt 12 dyi 1dyi 9
rUiZi = Zt + Xi -^- + Х2 -—~ + • • • + Х^ -^- (i = 1, 2, .. ., п).
Понимая под / одно из чисел 1, 2, ..., т, умножаем обе части первого из этих уравнений на -—-, второго — на 2|L, третьего — на -^-, затем результаты складываем и суммируем по всем значениям i от 1 до п включительно. В силу (74) при этом исчезнут все члены, зависящие от множителей А^,... ..., Хк, и мы придем таким образом к следующему уравнению:
У т (v дХ{ J- п 9yi J- / ^Л—^бу 9xl _X_V 9tii Л- 7 dZi
Первая часть этого уравнения, очевидно, может быть представлена в виде d V m (v dxt , ' dyi , ' dzj\ dt ^ ^ 1^ dqj + til dq, + Z£ dq, /
Рассматривая в этом выражении xt величины 9Х, ^29т, 9ь 9г, • ••, 9m, ? как
независимые переменные и в этом предположении составляя частную произ- дх, водную —г-, находим
ЦdFt dxt
9q\9qi " 9qi ’
таким же образом найдем
n; j = 1, 2, ..., myn; j = 1, 2, ..., my9Vi _ dig 9Ч_ _ dzt2
n; j = 1, 2, ..., my
n; j = 1, 2, ..., my
dq, dqi ’ dq, ' dqj V *
Вследствие этого имеем
= "Гг 2 "Т^ + У? + А Ц=^А т). dqi и 2
Далее, из уравнения (76) находим
Ц d"Ft - d~Ft ' ,, d^Fj ■
^j ~ dq^qx+dq^q™ +
. d2Ft d dFi ddxt
dq.^tdi dqjdi dqj
и аналогично найдем
., n; j = 1, 2, ..., tri).., n; j = 1, 2, ..., tri).dg'iddyt ^_ agZt
., n; j = 1, 2, ..., tri).
., n; j = 1, 2, ..., tri).
dqjdtdqj’ dqj" didq/
Вследствие этого имеем
V I *ddxi.» ddyi. »ddzt\
71 mt Xl+Ui --77-+Zi-77-=:
\dq} 1 dtdqi1dtdqi/
2
"( , dx't , dy£ , dz£ ) a ^ m£ ,2,2,2
ti^V 9qi9qi ^Zi 9q// 9ql ^ 2 X‘
Отсюда видно, что если живую силу
4" S m-i кх? + У? + Zi2)
нашей системы обозначим через Т и рассматривая ее, как функцию независимых переменных qx, qa, ..., qm, q\, q'2, .... qm, t, составим частные производные дГ дТ„сх
-g—, —7, то выражение (75) можем написать так:
d дТ дТ ,.* пх
—п;5— 0 = 1,2, ..., mV
<« dqj Qq, и ’’
Здесь -^обозначение полной производной по t, составленной в предположении, что величины qv q^ ..., qm — функции t [14J.
Раздел второй
КУРС АНАЛИТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ [15]
Харьковский университет, 1885 г.
КИНЕМАТИКА
ВВЕДЕНИЕ
Кинематика имеет целью изучение законов движения материальных тел независимо от свойств материи и причин производящих движение. Поэтому всякое тело в кинематике рассматривается только со стороны его геометрических свойств и возможности получать те или другие изменения в положении и форме. Но кинематика существенным образом отличается от «кинематической геометрии», в которой рассматриваются различные геометрические объекты также в состоянии движения, тем, что вводит понятие о времени. Таким образом, принимая только два основных понятия: о пространстве и времени и основываясь на тех же аксиомах, которые служат основанием геометрии, кинематика служит переходной ступенью от геометрии в динамике.
Движение точки в кинематике определяется, как переход ее через различные точки пространства, совершающийся с течением времени последовательно и непрерывно.
Так как движение всякого тела становится известным, коль скоро известно движение каждой из его точек, то кинематика начинает с изучения различных обстоятельств движения точки и затем для каждого тела устанавливает зависимость между движениями его различных точек. При этом тела рассматриваются, как системы точек.
Вообще под системой точек в кинематике понимают совокупность точек, движения которых подчинены известным условиям. Чаще всего эти условия являются под видом уравнений, связывающих координаты точек. Такие уравнения называются уравнениями связей и являются, как следствия различных физических свойств рассматриваемых тел (непроницаемости, нерастяжимости, несжимаемости и т. п.).
Простейший пример связи есть поверхность, на которой должна оставаться движущаяся точка. Если х, у, г — координаты движущейся точки, то такая связь выразится уравнением
/ (х, у, г) = О,
где первая часть кроме координат может зависеть также и от времени. В этом случае поверхность, представляющая связь, будет изменять свой вид с течением времени.
Если число всех точек системы есть п, то число всех координат будет Зп, а потому число уравнений связей должно быть меньше Зп. Оно не может быть
равно Зп, потому что при этом число уравнений было бы равно числу неизвестных и, следовательно, для каждой координаты получилось бы значение, представляющее вообще вполне определенную функцию времени (которая в частном случае, когда уравнения связей не зависят от времени, обращается в постоянное), вследствие чего положение всей системы было бы вполне определенным для каждого момента времени, между тем как в кинематике рассматриваются только такие системы точек, которые в каждый момент времени могут иметь бесчисленное множество различных положений, непрерывно переходящих одно в другое.
Таким образом, если т — число уравнений связей, то мы будем иметь т < Зп. Эти т уравнений мы можем решить относительно некоторых т координат, выразив их в функциях Зп — т остальных координат и времени t, если оно входит в уравнения связей. Последние Зп — т координат остаются совершенно произвольными. Это независимые переменные, определяющие для каждого момента времени положение рассматриваемой системы, так как задавая им какие-либо значения, мы найдем остальные т координат и, следовательно, положение всей системы определится.
Число Зп — т независимых переменных, определяющих положение системы, называют иногда числом степеней свободы ее.
Примеры. В случае движения точки на данной поверхности п — \,т = 1 и, следовательно, число степеней свободы равно 2.
Для точки, движущейся по данной линии п = 1, т = 2 и, следовательно, число степеней свободы равно 1.
Если система состоит из двух точек (прямоугольные координаты которых хъ уъ zt и х21 y2i z2), соединенных твердым стержнем длины /, то связь, которой они подчинены, выразится уравнением
(•<4 — *2)2 + (Уг — У2)2 + (zi — гг)2 = /2-
Так как в рассматриваемом случае п = 2 и т = 1, то число степеней свободы равно 5. Положим еще, что наша система состоит из двух точек, прямоугольные координаты которых должны удовлетворять уравнениям
х| + yf + zf = а2, х1 + х2 = 0, У1+у2 = 0, z1 + z2 = 0.
Так как здесь п = 2 и т = 4, то число степеней свободы равно 2. Рассматриваемая здесь связь может быть реализована при помощи твердого стержня длины 2а, середина которого неподвижна, а на концах находятся данные точки.
Зависимость между координатами точек системы обусловливает зависимость движения одних точек ее от движения других. При этом возможными движениями системы будут конечно только такие, при которых координаты точек ее не перестают удовлетворять уравнениям связей. Изучение возможных движений различных систем и составляет главную задачу кинематики. Задача же динамики состоит в определении из бесчисленного множества возможных движений каждой системы того, которое она будет действительно совершать, находясь под действием данных сил.
Таким образом, кинематика подготовляет материал для динамики и потому понятно, что изучение ее должно предшествовать изучению динамики.
В особенности важно изучение возможных движений неизменяемой системы точек. Так называется такая система точек, в которой расстояния между каждыми двумя се точками остаются неизменными. Всякое твердое тело предполагается в механике обладающим этим свойством, а потому термины «неизменяемая система» и «твердое тело» употребляются часто как синонимы.
Далее будет изложена кинематика неизменяемой системы и кинематика относительного движения точки и твердого тела по отношению к неизменяемой системе. При этом понятия о скорости и ускорении будут предполагаться известными.
Глава I
КИНЕМАТИКА НЕИЗМЕНЯЕМОЙ СИСТЕМЫ
Положим, что рассматриваемая неизменяемая система состоит из п точек. Возьмем какие-либо три точки ее, не лежащие на одной прямой. Связи, которым подчинены эти точки, представятся аналитически тремя уравнениями, выражающими постоянство расстояний между ними. Если к рассматриваемым трем точкам, которые обозначим через А, В и С прибавим четвертую точку неизменяемой системы — точку М, то к имеющимся трем уравнениям связей прибавим еще три, выражающие постоянство расстояний МА, МВ и МС новой точки от трех прежних. Легко теперь видеть, что прибавление всякой новой точки N к рассматриваемым четырем точкам даст также только три новых уравнения, выражающих постоянство расстояний NA, NB и NC ее от первоначально взятых трех точек А, В и С. В самом деле, из всевозможных расстояний между пятью точками А, В, С, М и N нами не принято в расчет только одно, а именно расстояние MN. Но легко видеть, что это расстояние есть функция девяти уже принятых во внимание расстояний АВ, ВС, С А, МА, МВ, МС, NA, NB и NC , а потому неизменяемость его есть следствие уже выраженного постоянства этих девяти расстояний и, следовательно, не даст нового уравнения. Таким образом, прибавление к рассматриваемым трем точкам неизменяемой системы остальных п — 3 точек дает для каждой из них по три новых уравнения и, следовательно, всего у нас будет 3 + 3 (п — 3) = = Зм — 6 уравнений связей. Замечая далее, что всех координат в рассматриваемой системе Зп, мы отсюда, по предыдущему, заключаем, что число степеней свободы неизменяемой системы, состоящей из п точек, не лежащих на одной прямой, равно 6.
Так как это число не зависит от числа точек п, то последнее мы можем предполагать сколь угодно большим, и перейдя, таким образом, к сплошному твердому телу, заключаем, что число степеней свободы его или число независимых переменных, необходимых для определения его положения в пространстве равно 6. Действительно, положение твердого тела будет известно, коль скоро мы знаем положение одной из точек его, направление какой-нибудь неизменно связанной с ним прямой, проходящей через эту точку и положение плоскости, проходящей через эту прямую и неизменно связанной с телом. Положение же точки определяется тремя координатами, направление прямой — двумя углами и положение плоскости, проходящей через данную прямую — одним углом, вследствие чего и оказывается всего шесть независимых переменных, определя
ющих положение твердого тела.
Прежде чем перейти к рассмотрению тех независимых переменных, которыми мы будем пользоваться далее при определении положения твердого тела, исследуем исключенный нами частный случай, а именно случай независимой системы, все точки которой расположены на одной прямой. Пусть хх, yL, zx и х2, у2, 2г — прямоугольные координаты каких-либо двух точек этой системы, расстояние между которыми а. Предполагая, что все остальные точки рассматриваемой неизменяемой системы расположены по отношению к точке (Хх, уъ Zx) с той же стороны, что и точка (х2, у2, z2), обозначим прямоугольные координаты какой-либо из них через х, у, г, а расстояние ее от точки (Xi, ух, z^ через г. При этих обозначениях уравнения связей представятся
в следующем виде:
(х2 - х^ + (у2 - У^ + ^ - ?1)2 = а\ -^^- = -Ы- = ^2^ = ^ ,
(1) где г и а — величины, остающиеся постоянными при движении системы.
Всех систем уравнений вида (1) будет столько, сколько мы имеем точек за исключением двух: (хь ух, zj и (х2, у2> 2г)- Поэтому если число всех точек есть гц то число уравнений связей будет 1 + 3 (п — 2) = Зп — 5, а так как всех координат Зп, то число степеней свободы или число независимых переменных, определяющих положение неизменной системы точек, расположенных на одной прямой, будет Зп— (Зп — 5) = 5. Действительно, положение такой системы определится, если мы зададим три координаты одной из ее точек и два угла, определяющих направление прямой, на которой расположены все точки.
Обращаемся теперь к рассмотрению тех независимых переменных, которые мы будем использовать для определения положения твердого тела в пространстве.
Пусть Дх, Ду, Дг—три взаимно перпендикулярные неподвижные в пространстве оси координат и Ox', Оу', Oz' — три параллельные им оси, начало которых О постоянно остается в совпадении с одной из точек неизменяемой системы, служащей также началом прямоугольных осей координат ОХ, ОУ, OZ, неизменно связанных с рассматриваемой системой точек. Координаты точек по отношению к этим осям обозначим, через 5, т], £. Так как эти оси неизменно связаны с телом, то координаты g, т), £ различных точек его будут оставаться во время движения постоянными. Эти координаты мы будем называть относительными.
Если теперь координаты х, у, z точки О твердого тела обозначим через х0, Уо и z0, а косинусы углов, составляемых осями Дх, Ду, Az или Ox', Оу', Oz' с осями ОХ, ОУ, OZ через (х, £), (х, г]), (х, £), (у, £), (у, я) и т. д., то по формулам преобразования координат найдем следующие выражения для координат х, у, z (которые будем называть абсолютными) той точки твердого тела, относительные координаты которой следующие:
х = х0 + (*, 9 Е + (X, n) П + (X, 99 У = Уо + (у, 9 £ + (У. Ч) Л + (у, 9 9
z = z0 + (z,9^ + (z,T1)n + (z,99()
Здесь обозначения выбраны так, что, например, (у, £)— косинус угла, составляемого осями Ду и OX; (z, tj) — косинус угла, составляемого осями Az и OY и т. д.
Девять косинусов (х, £), (х, -ц) и т. д. связаны между собой, как известно, шестью уравнениями
(*, Ю2 + (У, Ю2 + (2, 5)2 = 1, (х, г])2 + (У, л)2 + (2, Л)2 = 1,
(X, 92 + (у, 92 + (г, 92 = 1,
(х, т)) (х, 9 + (у, т0 (у, 9 + (г, т]) (г, 9 = 0, (х, 9 (х, 9 + (У, ^ (У, 9 + U+ (г, 9 (г, 9 = 0, (х, 9 (х, п) + (У, 9 (У, П) + (г, 9 (г, п) = 0,
так что между ними независимых переменных может быть только три.
Если обе части первого из уравнений (2) умножим на (х, 9> обе части второго — на (у, 9 и третьего — на (z, 9 и затем результаты сложим, то в силу уравнений (3) получим первое из трех следующих уравнений:
| = (х, 9 (х — х0) + (у, 9 (у — у0) + (z, 9 (z — z0),
Л = (Х, Т]) (X — Хо) + (У, Т]) (у — у0) + (Z, Т]) (z — z0),(4)
С = (х, 9 (х — х0) + (У. 9 (У — Уо) + (z, 9 (z — z0), из которых второе и третье могут быть получены подобным же образом.
Уравнения (2) и (4) выражают абсолютные координаты точек твердого тела через относительные, и наоборот.
Задать какую-либо точку твердого тела значит задать ее относительные координаты g, т], £. Определив таким образом точку тела, мы найдем ее движение по формулам (2), если в них х0, у0, z0, (х, £), (х, т]) и т. д. известны в функциях времени. Таким образом, для того,чтобы движение каждой точки тела, а следовательно, и самого тела было известно, необходимо и достаточно иметь выражения х0, у0, z0, (х, g), (х, т]) и т. д. в функциях времени. При этом для х0, i/0, z0 можно выбрать произвольные функции времени, для девяти же косинусов, (х, |), (х, т]) и т. д. они должны быть конечно выбраны так, чтобы удовлетворились уравнения (3).
К сказанному можно прибавить, что если в уравнениях (4) рассматривать х, у, г как постоянные, a g, т), £, как определяемые ими функции времени, то эти уравнения определят для различных моментов времени те точки неизменяемой системы, с которыми во время движения ее будет последовательно приходить в совпадение данная точка (х, у, z) пространства, и, следовательно, определят относительное движение неподвижной точки (х, у, z) по отношению к движущейся неизменяемой системе.
Три координаты х0, у0) z0 и три независимых между собой из девяти косинусов (например, (х, £), (х, т]) и (у, £)) и могут быть приняты за независимые переменные, определяющие положение твердого тела в пространстве. Но введение в число независимых переменных этих трех косинусов представляет два весьма важных неудобства, из которых первое состоит в том, что когда два из этих косинусов даны, третий не может получать всевозможных значений, заключающихся между —1 и 4-1, а все возможные его значения заключаются в более тесных пределах, зависящих при том от выбранных значений первых двух косинусов. Второй недостаток состоит в том, что направление осей ОХ, 0Y и 0Z по отношению к осям Ox', Оу' и Oz' этими тремя косинусами не определяется однозначным образом. Вследствие этого вместо этих косинусов вводятся обыкновенно другие независимые переменные, в функциях которых эти косинусы выражаются. За такие переменные удобнее всего взять те три угла, о которых мы говорили в § 1.
К более точному определению этих углов, введенных в анализ Эйлером, мы теперь и обратимся.
Прежде всего заметим, что обе системы координатных осей; Ox'y'z' и OXYZ мы будем предполагать конгруэнтными, т. е. таким, что при совмещении положительных направлений осей 0Z и Oz* и ОХ и Ох' положительное направление оси 0Y совмещается также с положительным направлением оси Оу'. При этом, чтобы остановиться на чем нибудь более определенном, мы будем предполагать, что оси Ох' и 0уг расположены по отношению к оси 0zr так, что вращение оси Ох' в плоскости, перпендикулярной к оси Oz', на прямой угол, совмещающее положительное направление оси Ох' с положительным направлением оси Оу', для наблюдателя, смотрящего со стороны положительной части оси Oz' кажется совершающимся слева направо, т. е. соответственно движению часовой стрелки. При этом заметим, что, вообще говоря, о вращении вокруг оси определенного направления, мы будем различать положительное вращение вокруг нее от отрицательного, понимая под положительным вращением то, которое наблюдателю, поместившемуся вдоль по этой оси, представляется совершающимся соответственно движению стрелок в часах.
Из точки О проведем сферу радиусом, равным 1, и, заметив точки х', у', z', X, Y, Z пересечения ее с положительными направлениями осей обеих систем координат, проведем дуги больших кругов z'x', z'Z, у’х' и ZX. Точку пересечения дуг z’Z и у’х' обозначим через Р. Угол, составляемый дугой z'Z с дугой z'x', и измеряемый дугой Рх', обозначим через ф. Это есть угол, составляемый
плоскостью z'OZ с плоскостью z’Ox и отсчитывать его мы будем в плоскости х'Оу' от положительной части оси Ох' в направлении положительного вращения вокруг положительной оси Oz'.
Угол, измеряемый дугой z’Z и представляющий, следовательно, угол между положительными направлениями осей OZ и 0Z'. обозначим через ft. Отсчитывать его мы будем от точки z’ по той части дуги большого круга, проходящего через точки z* и Z, которая служит стороной сферического угла гр.
Наконец, угол, составляемый плоскостью ZOX с плоскостью z'OP или дугой ZX с дугой ZP. мы обозначим через ср. Для более точного определения этого угла проведем в точке Z касательную к дуге ZP в направлении увеличения угла Ф, которую обозначим через Тр. и касательную Т^ к дуге ZX в том направлении, в котором точка Z должна была бы двигаться по этой дуге, чтобы пройдя путь, равный -у л, совпасть с точкой X. Угол ср — угол, составляемый
касательными Т^ и Тр и отсчитываться он будет от касательной Тр в направлении положительного вращения вокруг положительного направления оси OZ. Само собой разумеется, что если в каких-либо случаях придется рассматривать отрицательные значения углов гр, О и ср, то эти углы нужно будет от
считывать в направлениях, противоположных указанным здесь.
Углы гр, А и ф могут иметь всевозможные значения, но, очевидно, что для получения всевозможных положений тела достаточно изменять гр и ф в пределах 0 и 2л, а ^ в пределах Ойл, потому что два положения тела, из которых одно определяется координатами гр, А, ф, а другое — координатами гр + л, 2л — О, ф — тождественны.
Для приведения к концу вопроса об определении положения твердого тела, необходимо теперь записать формулы, при посредстве которых по данным гр, ф и О можно было бы вычислить девять косинусов (х. £), (х, т]) и
т. д.
Формулы эти следующие: *
(х, У = cos ft cos ф cos гр — sin ф sin гр,
(х, т]) = — cos ft sin ф cos гр — cos ф sin гр, (х, С) = sin У* cos гр,
(5)(5)(у, £) = cos ft cos ф sin гр + sin ф cos гр.
(5)
(5)
(У, л) = — cos ^ sin Ф sin Ф + cos Ф cos гр, (у, £) = sin ft sin гр,(2, 5) = — sin ^ cos ф, (г, т]) = sin ft sin ф, (2, С) = cos t>.
Получены они могут быть из рассмотрения различных сферических треугольников, вершинами которых служат точки х', у', 2', X. У, Z, Р. принимая в расчет, что каждая из дуг z'x*. х'у', y'z', ZX. XY. YZ равна -^- л. При этом могут быть полезны также уравнения (3), связывающие эти девять косинусов. Выражения для (х, £), (у. £), (2, £) и (2, л) получаются непосредственно соответственно из треугольников z'x'Z, z'Zy'. zrZX и z’ZY. Далее, если проведем дугу большого круга РХ и обозначим ее через
X, а угол ХРу', составляемый ею с дугой Ру* — через а, то из треугольника РхХ найдем
(х, Е) = cos X cos г|> — sin X sin гр cos a,
а, с другой стороны, учитывая, что угол z'Py' — прямой, из треугольника ZPX получим
cos X = cos d cos ср, sin X cos a = sin cp
и, таким образом, найдем первую из формул (5). Затем из пятого уравнения (3) получим
tx = _ (х, о (х, у + (г, о (г, У
(^ 0 и, решая уравнения
(х, С) (х, Т|) + (у, ^ (у„ П) = — (z, С) (?, Т]), (х, g) (х, т]) + (у, ^) (у, т]) = — (z, 9 (г, Т|), в которых неизвестными остаются только (х, т]) и (у, rj), мы найдем и эти два косинуса. При этом так как приходится решать уравнения первой степени, то для них получится только одна система решений.
Показав, каким образом определяется положение твердого тела, перейдем теперь к исследованию его возможных движений.
§ 3. Если ^ уь г^ и (х2, у^ z^ —две какие-либо точки неизменяемой системы, то, как нам известно, координаты их связаны между собой уравнением
(х2 — xt)2 + (у2 — yt)2 + (z2 — Z1)2 = const, выражающим, что первая часть равенства после подстановки вместо этих координат функций времени, посредством которых они выражаются, обращается в величину, независящую от времени. Вследствие этого, дифференцируя это тождество по времени, найдем
(х2 - хх) -57- + (Уз — Ух) -57- + (га — г,) -^- = (ха — z j -^- +
+ (yI-y1)4r + fe^^T-
Но если под Cj будем понимать величину и направление скорости точки (хь ylt Zi), под г2 — величину и направление скорости точки (х2, у2, z2) и под I — величину и направление прямой, соединяющей эти точки от точки (xlf уь zx) к точке (х2, у2, z2), то будем иметь
Х2 — Xi = I COS (I, х), у2 — У1 = 1 cos (Z, у), z2 — zt = Z cos (Z, z),
-^- = Ui COS (vlt X), -^ = Ui cos (vlt y),-^-= Ui cos (Ui, z),
= U2 cos (P2, X),-^ = u2 cos (»2, y),-J- = u2 cos (r2, z),
а потому полученное равенство по сокращении на I примет следующий вид:ит cos (ут, /) = v2 cos (у2, Z).
Таким образом, мы приходим к заключению, что во всяком движении неизменяемой системы скорости каждых двух точек ее имеют равные проекции на направление прямой, проходящей через эти точки.
Пусть (х, у, 2) — какая-либо третья точка неизменяемой системы, находящаяся на прямой, проходящей через точки (хъ уъ 2}) и (х2, у2, 2а) и пусть г — расстояние ее отточки (хь уь 2^, считаемое положительным, если эта точка находится с той же стороны по отношению к точке (хх, уъ 2^, что и точка (х2, у2,
22) и отрицательным в противном случае. При этом мы найдем
(х %i) = — (х2х^, ^У У1) ^ "/“ (У2Ух) > ^ ^i ^ ~ ^2^ *
откуда
dxdxtг / dx2dxt \dydyt г / dy^dyT \
"didFГ\Ж"dt /’dtdt— I \ dtdt ) ’
dzdz^ r / dz^ dzt \
dtdtI у dtdt j
Пусть nv— длина, произвольно выбранная нами для изображения скорого। dx , dy , dz
сти у. В таком случае х + л —тг, у -V п -тг-, 2 + я -зт- будут координа- CLvUIUI
тами конца прямой, служащей изображением скорости точки (х, у, z) (предполагая, разумеется, что начало этой прямой находится в этой точке). Поэтому, если каждое из трех только что полученных равенств мы умножим на п и сложим с тем, из которого оно было получено, то три составленных таким образом новых равенства
х + п_^_Х1_й^_ = л_(Х2 + „_^—Х1_„^.
У^п"^ — У1 — п"^ = -т^^п^—
. dzdz-. г /, dz*dzA \
z^n-dr-zi-nT = -rV^n"i"-^-n^
выразят, что концы геометрических изображений скоростей трех рассматрива
емых точек находятся на одной прямой.
Таким образом, мы приходим к заключению, что концы геометрических изображений скоростей всех точек неизменяемой системы, лежащих на одной прямой, находятся также на одной прямой.
Но прямая, на которой находятся концы скоростей, вообще не лежит в од
ной плоскости с прямой, на которой расположены рассматриваемые точки. Доказанные здесь два свойства скоростей точек неизменяемой системы
дают возможность построить скорости всех точек неизменяемой системы, лежащих на одной прямой, если известна скорость одной из точек этой прямой и про
екция на плоскость, перпендикулярную к прямой, скорости некоторой другой точки этой прямой. В самом деле, возьмем прямую MjM2 и положим, что для точки М2 дана ее скорость M22V2, а Для точки Мг — проекция МТР скорости ее МТ№г на плоскость, перпендикулярную к прямой МГМ2. Откладывая от точки Мх длину Mxmv равную и одинаково направленную (т. е. геометрически равную) с длиной М2т2, представляющей проекцию на направление MVM2 скорости M2N2, на основании доказанного заключаем, что скорость точки Мг изобразится диагональю MtNT прямоугольника, построенного на МгР и Мгтг, как на двух сторонах его. Затем для построения скорости какой-либо точки М
прямой МгМ2 откладываем от этой точки длину Мт, геометрически равную длине М2т2 и через точку т проводим плоскость, перпендикулярную к прямой МгМ2. Если N есть точка пересечения этой плоскости с прямой N±N2, проходящей через концы скоростей точек Мг и М2, то MN изобразит по величине и направлению скорость точки М.
В частном случае, когда скорость одной из точек прямой равна нулю, скорости всех других точек ее также равны нулю или перпендикулярны к этой прямой. В последнем случае величины их пропорциональны расстояниям точек от той точки, скорость которой равна нулю.
На основании доказанных теорем можно исследовать свойства скоростей всех точек неизменяемой системы, движущейся каким бы то ни было образом. Но прежде мы рассмотрим некоторые частные случаи движения такой системы.
В простейшем случае движения неизменяемойРис. 17.
системы скорости всех точек ее в каждый момент времени геометрически равны между собой. Движение такого рода, называемое поступательным, характеризуется тем,что во время него всякая прямая, неизменно связанная с системой, сохраняет свое направление, причем все точки неизменяемой системы проходят равные пути.
Вращательное движение вокруг некоторой оси представляет другой простейший случай движения неизменяемой системы.
В этом движении все точки системы описывают дуги окружностей, плоскости которых перпендикулярны к оси вращения, и центры лежат на последней. Величины скоростей всех точек, находящихся на поверхности кругового цилиндра, осью которого служит ось вращения, равны между собой и при переходе от поверхности одного цилиндра к поверхности другого изменяются пропорционально радиусам этих цилиндров. При этом скорость каждой точки перпен* дикулярна к плоскости, проходящей через эту точку и ось вращения. Постоянное для всех точек отношение величины скорости к расстоянию точки от оси вращения называется угловой скоростью вращения системы. Это движение характеризуется тем, что во время него скорости всех точек некоторой прямой (оси вращения) остаются равными нулю.
В более сложном случае движения неизменяемой системы остается неподвижной только одна ее точка. Это случай так называемого вращательного движения вокруг точки, которая при этом называется центром вращения. Далее мы увидим, что всякое движение неизменяемой системы может быть рассмотрено, как соединение в известном смысле этого слова поступательного движения с вращательным вокруг точки. Теперь же исследуем ближе это вращательное движение.
Пусть О — неподвижная точка рассматриваемой неизменяемой системы. При этом скорость всякой другой точки М неизменяемой системы будет иметь проекцию на направление прямой ОМ равную нулю. Поэтому, если предположим, что скорость точки М не равна нулю, то эта скорость будет перпендикулярна к прямой ОМ. Вследствие этого, проведя через точку М плоскость, перпендикулярную к направлению ее скорости, мы найдем, что эта плоскость пройдет через точку О. Плоскость эта будет обладать тем свойством, что скорости всех ее точек будут или перпендикулярны к ней или равны нулю. Пусть М' — другая точка неизменяемой системы, скорость которой не равна нулю, и которая не лежит в этой плоскости. Проводя и через эту точку плоскость перпендикулярную к скорости этой точки, мы найдем, что и эта плоскость пройдет через точку О, а следовательно, пересечется с первой плоскостью по некоторой прямой ОР, проходящей через точку О. Так как и скорости всех точек этой новой плоскости или перпендикулярны к этой плоскости, или равны нулю, то скорости всех точек прямой ОР необходимо равны нулю.
Таким образом, во всяком вращательном движении неизменяемой системы вокруг точки в каждый момент времени можно найти такую прямую, проходя-
щую через эту точку, скорости всех точек которой равны нулю.
Легко убедиться, что кроме точек этой прямой не существует других, скорости которых были бы равны нулю. В самом деле, если допустить существование такой точки, то, проводя через нее и прямую ОР плоскость, мы найдем, что скорости всех точек этой плоскости равны нулю. Это есть прямое следствие того, что скорость всякой точки прямой равна нулю, если нам известно, что скорости двух точек ее равны нулю. Но допуская существование такой плоскости, все точки которой имеют скорости, равные нулю, мы обязательно придем к заключению,
что и скорости всех других точек неизменяемой системы равны нулю, потому что скорость всякой точки в этом случае должна быть или равна нулю, или перпендикулярна ко всякой прямой, соединяющей ее с одной из точек плоскости.
Рассмотрим теперь, в какой зависимости находятся скорости всех других
точек.
Так как скорость всякой точки, не находящейся на прямой ОР, перпендикулярна ко всякой прямой, проходящей через эту точку и пересекающей прямую ОР, то она перпендикулярна к плоскости, проходящей через эту точку и прямую ОР. Далее, если через эту точку провести прямую, параллельную ОР, то скорости всех точек этой прямой будут геометрически равны между собой. В самом деле, скорости всех точек этой прямой перпендикулярны к плоскости, проходящей через эту прямую и прямую ОР, и, следовательно, если бы они не были равны между собой, то прямая, проходящая через концы их, непременно встретила бы где-нибудь рассматриваемую прямую, параллельную ОР, и мы получили бы таким образом точку, не находящуюся на прямой ОР, скорость которой была бы равна нулю.
Рассмотрим теперь скорости различных точек в какой-либо плоскости, перпендикулярной к ОР. Пусть Р есть точка пересечения этой плоскости с прямой ОР. Описывая из этой точки окружность произвольным радиусом, возьмем две точки ее М и М*. Скорости этих точек, как и всяких других точек рассматриваемой плоскости, будут лежать в ней, а так как они перпендикулярны к прямым МР и М'Р, то изобразятся некоторыми длинами MN кМ'№, отложенными на касательных к окружности в точках М и М'. С другой стороны, мы знаем, что если Мт — проекция на направление М'М скорости точки М, а Мгтг — проекции на то же направление скорости точки М', то Мт и Мгтг равны между собой и при том должны идти от точек М и М' в одном и том же направлении. Из равенства же Мт = М'т! и из равенства углов m'M'N* и mMN мы заключаем о равенстве самих скоростей MN и M'N'. При этом, если для наблюдателя, помещенного на рассматриваемую плоскость и смотрящего на точку М, скорость этой точки представляется направленной слева направо, то то же будет иметь место и по отношению ко всякой другой точке этой плоскости.
Полученные здесь результаты приводят к заключению, что скорости всех точек неизменяемой системы, расположенных на поверхности кругового цилиндра, ось которого совпадает с прямой ОР, равны между собой. Если же учесть, что скорости всех точек прямой, пересекающей ОР, пропорциональны расстояниям этих точек от точки пересечения, то можно прибавить, что при переходе от поверхности такого к поверхности какого-либо другого кругового ци-
линдра, ось которого совпадает с прямой ОР, скорости точек неизменяемой системы изменяются пропорционально радиусам круговых сечений цилиндров.
Из всего сказанного следует, что всякое вращательное движение неизменяемой системы вокруг точки совершается таким образом, что во всякий момент времени существует некоторая прямая, проходящая через неподвижную точку, скорости всех точек которой равны нулю, и что все движение неизменяемой системы в этот момент времени таково, как если бы система вращалась вокруг этой прямой. Но прямая, обладающая этим свойством, вообще изменяет свое направление как в пространстве, так и по отношению к телу, так что в различные моменты времени различные прямолинейные системы точек тела имеют скорости, равные нулю. Поэтому прямую эту называют мгновенной осью вращения. Ей приписывают определенное направление и под направлением ее мы будем подразумевать то, вдоль по которому должен поместиться наблюдатель для того, чтобы вращение тела ему предоставлялось совершающимся в положительную сторону, т. е. слева направо.
Постоянное для всех точек неизменяемой системы отношение скорости точки к ее расстоянию от мгновенной оси вращения называется угловой скоростью.
Так как линейная скорость выражается в сложной единице, которую можно представить в виде отношения
ед. длиныед. времени 'то угловая скорость, представляющая отношение линейной скорости к некото-рой длине, выразится в единице, которую можно представить в виде
1ед. времени *
Угловые скорости, как и линейные, изображаются геометрически прямыми линиями определенной длины и определенного направления. Для этого, приняв произвольную длину I для изображения единицы угловой скорости, всякую другую угловую скорость со изображают длиной со/, отложенной от центра вращения на направлении мгновенной оси.
При этом условии может быть речь о направлении угловой скорости, которое будет, следовательно, тождественно с направлением мгновенной оси. Мы будем также употреблять выражение «проекция угловой скорости» на какое- нибудь направление, понимая под ним, разумеется, произведение угловой скорости на косинус угла, составляемого мгновенной осью с этим направлением.
Очевидно, что если задать величину и направление угловой скорости и дать центр вращения, то этим определятся вращательные скорости всех точек неизменяемой системы.
Перейдем теперь к выводу аналитических выражений для проекций скоростей точек неизменяемой системы, вращающейся вокруг некоторой точки.
Принимая неподвижную точку О твердого тела за начало прямоугольной системы координат, оси которой Ох, Оу и Ог сохраняют свои направления в пространстве, назовем проекции угловой скорости Й твердого тела на эти оси соответственно через сох, ю^ и со2, так что
Q = ]/" со* + toy + о)^.
Скорость всякой точки (х, у, z) неизменяемой системы, как нам известно из предыдущего, перпендикулярна к мгновенной оси и к радиусу-вектору этой точки (так как начало координат неподвижная точка). Это дает нам два следующих уравнения:
dx , dy . dz ~ dx . dy . dz л“^ + ^^ + “г-л- = 0’ x-dr + y-^ + z-dT = 0>
из которых находим
dxdydz
dt _ dt _ attoyZ®гУ tozXtoxZ toxytoyX '
Обозначая общую величину этих отношений через к, легко найдем
/ dx \2/ dy \2/dz \2
£2 = \/\/\^ / /g\
ItoyZ — tozy^A^zX — toxZ^A^toxy — to^•V }
Однако мы знаем, что вращательная скорость всякой точки неизменяемой системы равна произведению угловой скорости на расстояние этой точки от оси вращения. Поэтому если под г будем подразумевать величину и направление радиуса-вектора точки (х, у, г), а под О — не только величину, но и направление угловой скорости, то найдем
(т)"+(4г)‘ + (т)’ = ^ si”2 <Q' r> = й’г’ I’ - с™* <“• Г>1 =
- ^[, _ tai+^+wlt] _ (m,+ю,+^ (,,+^+^_
— (®xx + ®gy + tozz)a
ИЛИ
(“S")2+("sF)2+(~$")2=^z—®2^2+ (® ^— ®xzy + ^y—^^
а потому формула (6) дает к = ±1.
Чтобы решить в данном случае вопрос о знаке, рассмотрим частный случай, когда мгновенная ось совпадает с осью Oz, т. е. когда сох = со^ = О и о)г = Q. В этом случае мы находим непосредственно следующее выражение для проекции на ось Оу скорости какой-либо точки неизменяемой системы, находящейся в рассматриваемый момент времени на оси Ох
dt ~
а с другой стороны, среднее из отношений, общую величину которых мы обозначим через к, принимает для этой точки вид
Дук = -^-
т. е. в этом частном случае к = 1, а так как к не зависит ни от координат, ни от угловой скорости, то мы отсюда заключаем, что и вообще к = 1.
Таким образом, мы находим следующие формулы: dxdydz
— ^^^ — ю^,-^ = (0zX — ю<2,= toxy — toyX.(7)
Если введем еще систему прямоугольных осей OXYZ, неизменно связанных с твердым телом, и проекции угловой скорости на эти оси обозначим через cog, сол и cog, то понимая под w величину и направление вращательной скорости точки (g, т), £) твердого тела, мы найдем путем совершенно таких же рассуждений следующие выражения для проекций w на оси OX, 0Y и 0Z:
W COS (w, X) = СОт^ — со^ц, w cos (гг, У) = 0)^ — 0)^,
w cos (w, Z) = со^т] — сол£.(8)
Эти последние формулы были даны в первый раз Эйлером.
Из самого значения величин tog, ©т], о^ мы выводим для них следующие выражения:
cog = го, (х, 9 + toB (у, 9 + со, (z, 9, Гоп = го, (х, п) +
+ ®й ку» Т) + ®2 кг, п), ®с = ®* кх, 9 + tog ку, 9 + ®2 кг» 9.(9)
которые понадобятся нам далее.
Формулы (7) могут быть получены также независимо от всяких геометрических соображений. Для этого можно взять уравнения, связывающие абсолютные координаты точек твердого тела с его относительными координатами. Так, если возьмем тождество
X = (X, 9 g + кх, п) П + кх, 9 С
и продифференцируем его по времени
dx d (х, ^) £ । d (х, q) . d (х, £) с.
~dF~" dtdtdt
а затем выразим входящие в него координаты £, т), £ через х, у, г при помощи формул
^=кх,^хА-кУ»^уА-кг,^г
и т. д., то учитывая тождества (3), связывающие (х, 9» кх, л)и т- Дч а также уравнения, получаемые из них дифференцированием по t, мы получим результат вида dx
toyZ <йгу,
где №у и toz будут величинами, зависящими от косинусов (х, 9. кх, л) и т. д.
d (х, d (х, q)m
и их производных —dt" > —"dt" и т* Де Так же получим и остальных два уравнения.
Укажем еще на один способ непосредственного вывода формул (8). Этот способ основывается на одной формуле, которая может быть полезна и во многих других случаях. Прежде всего мы и выведем эту формулу.
Пусть О — какая-либо неподвижная точка, например, начало прямоугольной системы осей координат Oxyz и пусть ОР — прямая, направление которой изменяется в течение времени. Формула, которую мы должны вывести, дает особое выражение для проекции на направление ОР скорости какой-либо точки М (х, у, z). Для этой проекции мы имеем следующее выраженние:
cos (ОР, х) + -§- cos (ОР, у) + -^ cos (ОР, г) =
d -1 Г d cos (OP, х) .,1
= —[X COS (ОР, X) ++ •"] — X^'■+ ••• + ... .
Но если под г будем понимать величину и направление радиуса-вектора точки М и заметим, что
d cos (OP, х) d cos (OP, у) d cos (OP, z)dt 9dt 9 dt
есть проекции на оси Ох, Оу и Oz скорости точки, находящейся на направлении ОР на расстоянии 1 от точки О,^обозначая скорость этой точки (которая, конечно, перпендикулярна к ОР) по величине и по направлению ир, мы получим для проекции скорости г точки М на направление ОР следующее выражение:
/ гчтьх dr cos (г, ОР), х
у cos (г, ОР) =^гир cos (г, Ир).(10)
Применим эту формулу к нахождению проекции скорости какой-либо точки неизменяемой системы, имеющей неподвижную точку О на оси OX, OY, OZ, неизменно связанные с системой.
Принимая за ОР направление ОХ и обозначая через £, -q, £ относительные координаты рассматриваемой точки неизменяемой системы, найдем
dr cos (г, ОХ) d^ dt — dt *
Поэтому если ио — по-прежнему скорость точки (£, т), £) неизменяемой системы , то
w cos (w, OX) = — ru-. cos (r, u^.(11)
где u^ — скорость точки, находящейся на оси ОХ на расстоянии 1 от начала координат. Проекция этой скорости на ось ОХ равна нулю; проекции же ее на оси OY и OZ обозначим соответственно через ал и а^. Вследствие этого формула (11) примет вид
w cos (it, OX) = — <ед — а^.
Точно также, если и^ — скорость точки, находящейся на оси OY на расстоянии 1 от точки О, а и^ — скорость точки, находящейся на оси OZ на расстоянии 1 от точки О, то
и^ cos (tty), OY) = 0, и^ cos ^i OZ) = 0.
Поэтому полагая и^ cos (ють ОХ) = b^ u^ cos (z^, OZ) = Ь^, и^ cos (и^ ОХ) = с^ и^ cos (и^, OY) = с^, аналогично находим
w cos (it, OY) = — b^ — b^, w cos (w, OZ) = — c^ — ед.
Если же теперь учесть, что проекции скоростей двух точек неизменяемой системы на направление прямой, соединяющей их, равны между собой, то найдем
£& = сц^ а^ = Ь^ Ь^ =с^,
а потому полученные выражения примут вид
w cos (it, X) = с^ — ед, ну cos (w, Y) = а^ — b^ w cos (w, Z) = b^ — c^, (12) одинаковый с формулами (8).
Величины ©x, юд1 ©2 и ©^, ©л, ©^, конечно, есть некоторые функции углов ф, О, ср и их производных по времени. Так как при решении многих вопросов встречается необходимость иметь выражения этих функций, то мы теперь обратимся к их выводу.
Пусть неподвижная точка О твердого тела по-прежнему принята за общее начало обеих систем координатных осей: неподвижных и неизменно связанных с телом. Проводя из этой точки сферу радиусом, равным 1, заметим точки пересечения ее х, у, г, X, У, Z с осями обеих систем. Далее, пусть Р и Q — точки пересечения дуги большого круга zZ соответственно с дугами больших кругов ху и XY и N — точка пересечения дуги ху с дугой ХУ. Так как ON перпендикулярна и Oz и OZ, то перпендикулярна также и ОР и OQ. Поэтому каждая из дуг PN и QN равна -^-л.
Для установления зависимости между величинами©^, ©т), ©£ и углами ф, О, ф с их производными, можно воспользоваться формулой (10), выбирая надлежащим образом движу-
щуюся точку М и переменное направление, на которое проектируется скорость.
Возьмем за точку 714 точку X (относительные координаты которой 1, 0, 0) и за переменное направление — направление ON. По формуле (10) проекция скорости точки X на направление ON выразится таким образом:
dcos (OX, ON)х
•-Un cos (OX, un),
где un — скорость точки N. Ho cos (OX, ON) = sin (OX, OQ) = sin cp, a un имеет направление одинаковое или прямо противоположное с направлением ОР, причем во всяком случае
Un cos (un, OP) =^-.
Отсюда видно, что
Un cos (OX, un) =^- cos (OX, OP) = — cos # cos cp -^-.
Поэтому проекция скорости точки X на направление ON выразится так: d sin ср , n( dm . о. \
—— + COSdCOS ф-^ = СО5ф 4- cos d
а с другой стороны, придерживаясь обозначения предыдущего параграфа, мы найдем для этой проекции следующее выражение:
а^ cos (OY, ON) + а^ cos (OZ, ON), которое в силу равенств cos (OZ, ON) = 0, cos (OY, ON) = cos (OX, OQ) = = cos ср и ^ = co^ (в последнем можно убедиться, например, сравнивая формулы (12) и (8)), принимает вид со^ cos ср.
Таким образом, мы найдем
( dm . а 0)^ cos ф = COS ф I + COS V
откуда и получим выражение для со^.
Для нахождения со^ и со^ примем за точку М точку Z и за переменные направления, на которые будем проектировать ее скорость, направления ZT и ZS касательных к дуге большого круга, описываемого точкой Z при постоянном ф, и к дуге малого круга, описываемого этой точкой при постоянном $. При этом мы будем предполагать, что ZT направлена в сторону увеличения угла ft, a ZS — в сторону увеличения угла ф. Но для получения выражений для проекций скорости точки Z на эти два взаимно перпендикулярных направления нет необходимости пользоваться формулой (10), потому что они гораздо проще получаются непосредственно. В самом деле, если по истечении бесконечно малого промежутка времени dt углы $ и ф изменятся в ^ + dd и ф + + ^ф, то дуга, которую опишет при этом точка Z, будет иметь проекциями на направления ZT и ZS выражения, отличающиеся на бесконечно малые величины высших порядков от d$ и sin Мф, а потому, если с — скорость точки Z, то с cos (с, ZT) = -^-, с cos (с, ZS) = sin fl* —~ .
Но с другой стороны, по обозначениям предыдущего параграфа с cos (с, ОХ) = с^ = о)^, с cos (с, OY) = сл = — о^, а потому, принимая в расчет, что ZT, ZS и OZ— три взаимно перпендикулярных направления и что с cos (с, OZ) = 0, найдем
(о^ = — с [cos (с, ZT) cos (OY, ZT) + cos (c, ZS) cos (OY, ZS)] =
= — -^ cos (ОУ, ZT) — sin » -^ cos (ОУ, ZS),
®n = c [cos (c, ZT) cos (OX, ZT) + cos (c, ZS) cos (OX, ZS)) =
= -^- cos (OX, ZT) 4- sin ti -^- cos (OX, ZS).
Отсюда с учетом
cos (ОУ, ZT) = cos ^- + q>) = — sin ф, cos (ОУ, ZS) = cos ф,cos (OX, ZT) = cos ф, cos (OX, ZS) = cos ^ф) = sin фмы и находим две первые из трех следующих формул
tog = Sin ф -^COS ф Sin ti -^г ,
dO ... а dфdtp .„ dф
(On = COS ф— 4-sin ф Sintitos =-^г 4-cos ti.
Замечая, что
cos (Oz, OX) = — cos ф sin ti, cos (Oz, OY) = sin ti sin ф,
cos (Oz, OZ) = cos ti, cos (OZ, OX) ^ 0, cos (OZ, OY) = 0,
cos (OZ, OZ) = 1, cos (ON, OX) = sin ф, cos (ON, OY) = cos ф,
cos (ON, OZ) = 0,
мы можем этим формулам дать следующий вид:
tog = -^ cos (Oz, OX) 4- 4г cos (OZ, OX) 4- 4г cos (ON, OX),
ton = -^ cos (Oz, OY) 4- -^ cos (OZ, OY) 4- -^- cos (ON, OY),
<oE = 4r cos (Oz, OZ) 4- -§-cos (oz> oz) + 4г cos <0N> 0ZY
Из этих формул видно, что если величины -~-, -—- и -^т- (выражающиеся в единицах угловой скорости) изобразить длинами, отложенными от точки О соответственно по направлениям Oz, OZ и ON и затем на этих длинах построить параллелепипед, то диагональ последнего, выходящая из точки О, изобразит по величине и по направлению угловую скорость Q. Это обстоятельство, как мы увидим далее, является следствием общей теоремы о сложении угловых скоростей. Теперь мы обращаем на него внимание только потому, что оно дает возможность по найденным выражениям для og, соп и со^ получить выражения ДЛЯ 0)^, 0)у и 0)2.
В самом деле, по только что замеченному, проекция угловой скорости Q на всякое направление равна сумме проекций на то же направление: 1) угловой скорости-^-, имеющей направление Oz, 2) угловой скорости -^-, имеющей направление OZ и 3) угловой скорости -^-, имеющей направление ON. Поэтому со, = -^ cos (Oz, Ox) 4- -^ cos (OZ, Ox) 4- -^ cos (ON, Ox),
ю» = "^ cos (Oz> °У) + “^ cos ^0Z* °lh + -^- cos (ON, Oy), илUvCiv
юг = 4»~ cos (Oz, 0 г) 4-cos (OZ, Oz) + -^ cos (ON, Oz),
ulacat
что приводится к .,I • a i d®
(14)(14)Юх = — Sin ф —th sin v cos ф -“- ,. d*^ .. n .. d®— d® . dib
(14)
(14)
(Oy =COS Ip +Sin V Sin ф —77- ,CO- =COS О -77- 4
9 Tdt 1dt ’ гdt 1 dt
Формулы (13) и (14) мы и имели в виду вывести.
Производные -^- и -^-, определяющие движение некоторой оси OZ, неизменно связанной с телом, носят особые названия, а именно: -^- назы- dt
вается прецессией и — нутациеи.
Уравнения (13) и (14) дают возможность по данным ф, О и ср в функциях t определить для каждого момента времени величину угловой скорости и направление мгновенной оси как в пространстве, так и в теле. Решение обратной задачи — нахождение ф, У- и ср в функциях t, приведется к интегрированию одной из двух систем уравнений (13) и (14), в которой в этом случае со^, соп, о); или сох, со^, со2 будут данными функциями времени. Но интегрирование этих систем в общем случае, т. е. когда со^, 0^, со^ или сох, со^, со2 рассматриваются как произвольные функции времени, сопряжено с довольно большими затруднениями.
Приведем пример на решение прямой и обратной задач.
Рассмотрим движение неизменяемой системы, в котором -^-, - ^- и -^~ сохраняют постоянные значения. Обозначая эти постоянные через а, b ис, так что
Лd^ , d®
= Ь, = с, dt ’ dtdt *
положим, что в момент времени ^ — О оси координат ОХ, ОУ, OZ совпадают с осями, неподвижными в пространстве, т. е. что для / = 0иф = 6 = ф = 0. При этом формулы (13) и (14) дадут
он = b sin ct — a cos ct sin bt,
5(15)
con = bcosct + a sin rf sin bt, ^ = c + acosbt\v 7
cox = — b sin at + c cos at sin bt,
wy = b cos at + c sin at sin bt, = a-V c cos bt.^^
Отсюда находим величину угловой скорости
Q = ]Уа2 + Ь2 + с2 + 2ас cos bt.
Направление мгновенной оси будет в течение времени меняться как в пространстве, так и в теле. Последовательный ряд ее положений в пространстве образует некоторую неподвижную коническую поверхность, а ряд положений ее в теле — коническую поверхность, неизменно связанную с телом. Это так называемые неподвижный и подвижный аксоиды мгновенных осей.
Пусть ^ у, 2 и ^, т], ^ — абсолютные и относительные координаты какой- либо точки мгновенной оси, так что
хУ — 2
сохtoyto2’
и
gЧ£
со.со^со:•
Исключая из уравнений (17) время t, входящее в выражения сох, о)^, со2, мы получим уравнение неподвижного аксоида в абсолютных координатах. Точно также, исключив t из уравнений (18), мы получим уравнение аксоида, неизменно связанного с телом, в относительных координатах.
В рассматриваемом нами частном случае исключение времени из уравнений (17), так и из уравнений (18) вообще приводит к очень сложному результату. Если отношения у и -^иррациональные числа, то оба аксоида представляют трансцендентные поверхности. Если -^ — число рациональное, то неподвижный аксоид есть алгебраическая поверхность; то же имеет место по отношению к подвижному аксоиду, если у— число рациональное. Но даже „ a bt
в самом простом случае рациональных отношении у и у , когда а = о = с, оба аксоида представляют конусы четвертого порядка. Есть впрочем два частных случая, когда эти аксоиды— обыкновенные круговые конусы. Это имеет место, когда при произвольных а и b с = 0 или когда при произвольных b и с а = 0. Рассмотрим первый случай.
Для с = 0 уравнения (15) и (16) обращаются в следующие:
о)^ = — a sin bt, to^ — b, to^—a cos bt; tox = — b sin at, % = b cos at, o)z = a. Поэтому неподвижный аксоид будет определяться уравнением
я2 + Z/2 = -^ Л
а подвижный — уравнением
£2 + ?2 =П2.
Первый есть круговой конус, осью которому служит ось Oz, причем тангенс по- ь „о
ловины угла растворения есть — , а второй — круговой конус с осью, направ
ленной по оси OY и с углом растворения, тангенс половины которого есть ■— • Так как в рассматриваемом случае ф = 0 и, следовательно, ось Од остается в плоскости Оху, то вследствие только что заключенного относительно величин углов растворения оказывается, что оба конуса касаются вдоль той образующей, которая представляет положение мгновенной оси в рассматриваемый момент времени.
Если х, у, г и $, 1), ^ — абсолютные и относительные координаты точки, находящейся на расстоянии г от начала координат на мгновенной оси, соответствующей моменту времени t, то
Ьг .,Ьг.ат
х =, — sin at, у = ——- cos at, z = —=;
Уа2 + b2Уа2 + Ь2"Уа2 + b2
~cr • мЬг_аг
Е^7=-Sindr, Т] = —. . .-..■—■ ,£ = --7^ cos И.
у а2 + Ь21 Vа2 + b2Vа2 + Ь2
В течение бесконечно малого промежутка времени dt рассматриваемая точка опишет на неподвижном аксоиде дугу, проекции которой на неподвижные оси следующие:
dx =•.abr—cos atdt, dy =sin atdt, dz = 0, У a2 + b2Уу a2 + b2
а на подвижном аксоиде — дугу, проекции которой на оси, неизменно связанные с телом суть
d^ =cos btdt, dr] = 0, dt, =-=^=- sin btdt.
у a2 + b21]/a2 + b2
Но из этих равенств следует
dx2 4- dz/2 + dz2 = dg2 + d^2 + dg2, а потому дуга, описываемая каждой точкой мгновенной оси на неподвижном аксоиде, равна дуге, описываемой этой точкой на подвижном аксоиде, т. е. последний катится без скольжения по первому.
Таким образом, мы видим, что рассматриваемое движение твердого тела может быть воспроизведено катанием без скольжения некоторого кругового конуса, неизменно связанного с телом, по другому — неподвижному.
Этот результат, как мы увидим далее, есть следствие общей теоремы, доказанной Пуансо, по которой всякое вращательное движение твердого тела приводится к катанию без скольжения одной конической поверхности по другой.
Для примера решения обратной задачи рассмотрим Гуков шарнир. Так называется сочленение, служащее для преобразования вращательного движения вокруг какой-либо оси во вращательное вокруг другой оси, составляющей с первой произвольный тупой угол, и прй том пересекающей ее. Состоит оно из трех неизменяемых частей: двух валов Д иВ, с которыми неизменно соединены вилки ab и cd и крестообразного тела a'b'c'd'. Вилки имеют на концах гнезда а, b и с, d, в которые могут вкладываться шипы а', bf, с', dr, находящиеся на концах крестообразного тела. При этом прямые а'Ь' и c'd', соединяющие попарно концы противоположных шипов, взаимно перпендикулярны и делятся в точке пересечения О пополам. Вилки устроены так, что прямая ab, соединяющая концы одной из них, лежит в одной плоскости с осью вала Д, перпендикулярна к ней и делится ею пополам, а также что прямая cd лежит в одной плоскости с осью вала В, перпендикулярна к ней и делится ею пополам.
Вследствие этого оказывается, что когда шипы а' и bf вложены в гнезда а и Ь, а шипы с' и d' — в гнезда с и d, то оси валов Д и В пересекаются в точке О, причем ось вала Д перпендикулярна прямой а'Ь' и ось вала В перпендикулярна прямой c'd'. При этом валу В можно давать какое угодно положение по отношению к валу Д и если только угол, составляемый осями валов (угол XOz) тупой, то будет возможно вращение вала В вокруг оси ОХ на произвольный угол, причем это вращение вызовет соответствующее вращение вала Д вокруг оси Oz. Задача, которую мы предполагаем решить, будет состоять в определении вращения вала Д по данной угловой скорости2
Й вала В- z
?Примем точку О пересечения осей валов за начало
^Ачкоординат, ось вала Л — за ось Oz, направление Od— за
/ \ось 0Z, ось вала В — за ось ОХ и так как эта ось непо-
2\ движна, то примем за плоскость zOx плоскость осей валов
\ Л и В. Угол, представляющий дополнение до л угла меж- \ ду осями валов, обозначим через а.
\ I Решаемая нами задача приводится к определению углов тр, О1 и ср в функции времени, когда угловая скорость ^ тела (вала В) имеет постоянное направление. При этом
Рис. 22. Угол Ф и представит искомый угол вращения вала А.
*Так как в рассматриваемом случае угловая скорость
направлена по оси ОХ, то уравнения (13), к интегрированию которых приводится вопрос, принимают вид
Sin ф —ПCOS ф Sin V
т dtтdt
(19) d^ ,.. n d^bdco .. dib A
cos ф + sin ф sin $= 0,+ cos v = 0
Исключая из двух последних уравнении , мы получим уравнение
cos ф cos $sin ф sin 0= 0,
dtт dt
которое дает
cos ф sin ft = const.
Постоянная же, находящаяся во второй части равенства, определяется условием, что для ф = 0 -О- обращается в zLXOz = -~, т. е. в -^а, а потому полученное равенство принимает вид
sin # cos ф = cos а.(20)
Это равенство, конечно, могло бы быть получено и из геометрических соображений. Точно также путем геометрических соображений можно получить и второй интеграл уравнений (19), не содержащий времени. Для этого рассмотрим сферический треугольник zXZ, вершинами которого служат точки пересечения осей Oz, ОХ и OZ со сферой, проведенной из точки О радиусом единица. Так как ось ОХ лежит в плоскости zOx, то сферический угол при точке z есть ф. Далее, сторона zZ = Ф, сторона ZX = ^- и сторона zX = л — а. Вследствие этого находим
cos (Z, X) = 0 = — cos # cos а + sin $ sin а cos ф,
что и дает искомую зависимость
12$со5ф = ctga.(21)
Наконец, из того же сферического треугольника имеем
sin (Z, X) 1
sin zZX — sin Ф ’
Но A zZX = ф — л, а потому это равенство обращается в следующее:
sin ф = — sin a sin ф,(22)
которое представляет следствие равенств (20) и (24).
В силу уравнений (20) и (21) первое из уравнений (19) приводится к виду .. d^d^b
sin a sin ф —т— + cos а т dtdt’
а из (21) следуетА
d^ ctg ос sin xp dtpdt ctg2 a + cos2 tp di
Поэтому находим
cos a dtp ^ cos2 a + sin2 a cos2 tp dt
откуда
tgib = —!— tgfc — f шАb Y cos a b \ J /
где C — постоянная, введенная интегрированием.
Уравнения (20), (21), (23) решают вопрос о нахождении ф, $ и ср в функциях времени по данной угловой скорости Q вала В.
Формула (23) показывает, что вал А совершает полный оборот в то же время, что и вал В, но что при равномерном вращении последнего вал А только в том случае будет вращаться равномерно, когда оси обоих валов имеют прямо противоположные направления.
На одном частном примере мы видели, что вращение твердого тела вокруг точки может быть воспроизведено катанием без скольжения некоторого конуса, неизменно связанного с телом, по другому неподвижному. Теперь мы докажем эту теорему для общего случая, предполагая, что мгновенная ось изменяет свое направление в течение времени непрерывным образом.
Из неподвижной точки О проводим сферу радиусом единица. Пусть С — точка пересечения ее с мгновенной осью, соответствующей рассматриваемому моменту времени t и пусть СА — кривая, по которой она пересекается с неподвижным аксоидом, а СВ — положение в момент времени t кривой пересечения ее с аксоидом, неизменно связанным с телом. По истечение бесконечно малого промежутка времени т мгновенная ось будет иметь другое направление в пространстве. Пусть А — точка пересечения со сферой мгновенной оси в этом новом положении, а В — положение в рассматриваемый момент времени t той точки твердого тела, которая в момент t + т совпадет с точкой А, так что ОВ будет представлять направление, которое в момент t + т примет мгновенная ось в теле. Через точки Д, В, С проводим дуги ^ЛВ, ВС, w С А больших кругов, которые на рис. 23 обозначены штриховой линией *.
С уменьшением т до нуля точки Л и В будут приближаться к совпадению с точкой С. При этом дуга С А будет стремиться к совпадению с дугой большого круга, касательной в точке С к дуге С А, а ^ СВ — к совпадению с дугой большого круга, касательной в той же точке к дуге СВ. Кроме того, будем иметь
Ишт->0Ишт->0w С АСАw С АСА= Нш= Ншт->0 СВт->0 СВСВ _ АСВ _ А
Иш
т->0
Иш
т->0
w С А
СА
w С А
СА
= Нш
= Нш
т->0 СВ
т->0 СВ
СВ _ А
СВ _ А
Вследствие этого теорема будет доказана, если мы докажем: 1) сферический угол АСВ при т = 0 имеет пределом нуль и 2) отношение ^^ имеет пределом 1. В самом деле, согласно первому оба аксоида касаются вдоль той образующей [16] их, которая представляет положение мгновенной оси в рассматриваемый момент времени в пространстве и в теле, а согласно второму дуги, описываемые в течение бесконечно малого промежутка времени каждой точкой мгновенной оси на неподвижном и подвижном аксоидах, таковы, что отношение имеет пределом 1. Но если дуга, описанная в течение какого-либо времени ка-
кой-либо точкой мгновенной оси на неподвижном аксоиде, есть s, то дуга, описанная той же точкой в течение того же времени на подвижном аксоиде, будет определенной функцией s, которую мы обозначим через / (s). Поэтому из 2) будет следовать, что
НшЖ = 1 иИт^±^=1^ = 1, s->0 s8->08
т. е. f (0) = 0 и f (s) = 1, откуда вытекает равенство f (s) = s дуг, описанных всякой точкой мгновенной оси в одно и то же время на обоих аксоидах. Таким образом, из 1) и 2) вместе и будет следовать, что подвижный аксоид катится без скольжения по неподвижному.
Сферический треугольник АС В дает
smZ_ACB = ^#~sin/_АВС, 1+^|^->-^5 >1^_.
Отсюда видно, что если мы докажем, что
то найдем и
lira Z_ АСВ = 0, lira = 1
и, следовательно, теорема будет доказана. Но
В А _В А В А т С А
<jCA ~В Ат С А оСА ’
«. С А
а из четырех множителей, входящих во вторую часть равенства последний имеет пределом 1, первый ^ - представляет величину, которая не может быть
ВА
больше 1 и второй —у имеет пределом 0, потому что В А — путь, пройденный точкой В твердого тела в течение времени т, а эта точка, как находящаяся на бесконечно малом расстоянии от мгновенной оси, имеет бесконечно малую скорость, вследствие чего путь В А, пройденный ею в течение бесконечно малого времени т, есть бесконечно малая высшего порядка, чем т. Отсюда видно, что
С ABA v
если предел у не есть нуль, то предел действительно будет нулем.
СА
Но предел —у представляет, очевидно, угловую скорость мгновенной оси (если эту ось рассматривать, как неизменяемую систему точек), и если эта угловая скорость в течение некоторого промежутка времени постоянно равна нулю, то мгновенная ось при этом не изменяет своего направления, и, следовательно, в течение этого промежутка времени тело вращается вокруг неподвижной оси. При этом, разумеется, не может быть речи о катании одного аксоида по другому. Таков, например, случай, когда катанием пирамиды по круговому конусу мы приводим в совпадение с поверхностью конуса одно из ребер пирамиды и затем начинаем вращать последнюю вокруг этого ребра до тех пор пока пирамида не начнет кататься по конусу другой своей стороной.
Отсюда видно, что если в течение некоторого промежутка времени мгновен- СА
ная ось постоянно изменяет свое направление, то предел -у может обращаться в нуль только для отдельных моментов времени и в промежутках между этими моментами времени движение тела будет приводиться к катанию без скольжения одного аксоида по другому.
Таким образом, теорема о воспроизведении движения тела катанием без скольжения подвижного аксоида по неподвижному справедлива для всех тех
промежутков времени, в течение которых мгновенная ось изменяет свое направление и при том изменяет его непрерывным образом.
Здесь следует обратить внимание на то обстоятельство, что возможны случаи, когда при движении тела* мгновенная ось изменяет свое направление прерывным образом. Этот случай представляется, например, при движении пирамиды, когда она, вращаясь вокруг одного из своих ребер, лежащего в некоторой плоскости, приводит в совпадение с пос
ледней одну из своих сторон и затем продолжает вращаться вокруг следующего ребра, которое совпадает с этой плоскостью.
Легко убедиться также и в справедливости обратной теоремы: если движе
ние твердого тела производится катанием без скольжения некоторого конуса,
неизменно с ним связанного, по другому — неподвижному, имеющему с первым общую вершину и если при том конусы таковы, что образующая, вдоль которой они касаются, изменяет свое направление при этом катании непрерывным образом с течением времени, то эта образующая будет совпадать в каждый момент времени с мгновенной осью и, следовательно, конусы будут аксоидами мгновенных осей.
Пусть MN — кривая пересечения неподвижного конуса со сферой, проведенной из общей вершины конусов, a ММ* — пересечение с ней катящегося конуса в момент времени t, M'N — положение кривой MN' в момент времени t + т, бесконечно близкий к t. Так как кривые MN и М'N касаются в точке N и при том дуга NVN равна дуге MN (катание происходит без скольжения), то дуга ММ', описанная точкой М во время т, есть бесконечно малая высшего порядка, чем MN. Поэтому, если ^^ с уменьшением т до нуля не обращается .ММ'uММ'
в бесконечность, то предел будет нулем. Но предел есть скорость
той точки твердого тела, которая в момент времени t находилась в М.
Таким образом, мы видим, что до тех пор, пока угловая скорость образующей, по которой конусы касаются, не обращается в бесконечность, скорости всех точек твердого тела, которые на ней находятся в каждый момент времени, равны нулю и, следовательно, эта образующая совпадает с мгновенной осью.
Если бы оказалось, что для момента времени t отношение —— стремится к бесконечности, а для момента tx имеет конечный предел и при том как бы tx — t мало ни было, то образующая, по которой конусы касаются в момент tx, совпадала бы с соответствующей этому моменту мгновенной осью и это было бы справедливо, как бы tx — t мало ни было, а потому, принимая в расчет сделанное условие о непрерывности изменения направления этой образующей, мы заключили бы, что образующая, вдоль по которой конусы касаются в момент времени t есть предельное положение для мгновенной оси, соответствующей бесконечно близкому моменту времени.
Теорема о катании одного а к с о ида по другому может быть также доказана аналитически следующим образом.
Уравнения (9) дают
^°£ dmx / t\ I dtoy , £v , dtoz / £ч . d (х, £). d(y, §) [
"dT+ т—ST" + ^ —+
+ «2+ «2d^ Уdtd^ Уdt
+ «2
+ «2
d^ Уdt
d^ Уdt
Но величины (х, У, (у, В), (г, 9 можно рассматривать как абсолютные координаты точки, находящейся на оси ОХ на расстоянии 1 от начала координат. При этом 44, ^ ^’ ^ , 44 будут проекциями на неподвижные оси скорости этой точки. Поэтому формулы (7) дают для них следующие выражения:
- = «у (z, I) — ®2 (у, g), -d ^’^ ■ = 0)2 (х, £) — О), (г, ^,
^Зк = ю,(уЛ)-(о,(х^).(24)
„d (х, g) d (у, уd (г, g)
Пользуясь этими выражениями для —— и —~ц , мы приводим написанное выше выражение -^- к виду, определяемому первой из трех следующих формул:
=(Х ^) + ^ЧУ, £) +’
4^ = 44^)+-^ (У. Т1) + 4г Я)’(25)
Т = 4г 9 + 4г (у, 0 + ^- (г, С),
из которых вторая и третья получаются подобным же образом.
Рассмотрим движение точки, находящейся на конце геометрического изображения угловой скорости, абсолютные координаты которой, следовательно, со^, toy, to2, а относительные о)^, со^, со^. Эта точка будет изменять свое положение с течением времени как в пространстве, так и в теле. При этом абсолютная траектория ее (путь, который она описывает в пространстве) будет расположена на неподвижной аксоиде, а относительная (путь, который она описывает в теле) — на подвижном. Первая называется абсолютным годографом угловой скорости, а вторая — относительным. Абсолютная скорость рассмат- риваемои точки имеет проекциями на неподвижные оси выражения -^— , -^-, -^- * а относительная скорость ее проекциями на оси, неизменно свя- dto^ dto„ dto*
занные с телом, имеет выражения , -др, ~5/ * Поэтому формулы (25), вторые части равенств которых представляют, очевидно, проекции на оси, неизменно связанные с телом, абсолютной скорости рассматриваемой точки, показывают, что относительная скорость ее в каждый момент времени геометрически равна ее абсолютной скорости. Отсюда следует, что 1) касательные, проведенные к абсолютному и относительному годографу в их общей точке, представляющей положение для рассматриваемого момента времени конца угловой скорости, совпадают одна с другой и, следовательно, если эти касательные не совпадают с мгновенной осью, то оба аксоида касаются вдоль последней и что 2) дуги, описанные концом угловой скорости на абсолютном и относительном годографе в течение бесконечно малого промежутка времени dt равны между собой. Отсюда подобно предыдущему мы заключаем о справедливости теоремы для всех тех промежутков времени, в течение которых мгновенная ось изменяет свое направление в течение времени и при том изменяет его непрерывным образом.
§11. Хороший пример катания одного аксоида по другому представляет движение крестообразного тела, посредством которого в гуковом шарнире происходит передача вращения с одного вала на другой,
Введем систему прямоугольных осей, неизменно связанных с этим телом. Одной из/
осей этой системы будет прежняя ось 0Z,/ в
вследствие чего углы гр и У для этого новогохл Д
тела останутся прежними, причем гр — угол, „л ( ^^ / ^ составляемый плоскостью zOZ с плоскостью 2~
осей валов А и В. Новую ось ОХ выберем так,х х
чтобы она была перпендикулярна к плоскости,\
определяемой направлениями ab и cd, а на-\X
правление Оа примем за новую ось OY. Таким^
образом, последняя будет перпендикулярна ку
плоскости zOZ и, следовательно, ось ОХ будетРис. 25.
лежать в этой плоскости и потому угол ср для нашего тела будет постоянно равен нулю. Обозначая по-прежнему угол между осями валов через л — а, легко видеть, что углы гр и У по-прежнему будут связаны уравнением (21). Полагая в формулах (13) и (14) <р = О, найдем
сох = — У' sin гр, №у = У' cos гр, to2 = гр', to^ = — гр' sin У, (ол = У', о)^ = гр' cos А, где У' и гр' обозначают производные -^- и -^- , которые в силу уравнения (21) связаны между собой уравнением
У' = гр'tg гр sin fl1 cos У. Внося это выражение У' в выражения cox, toy, to2, to^ со^, со^, мы приведем задачу о получении уравнения неподвижного аксоида в абсолютных координатах и уравнения подвижного аксоида в относительных координатах к исключению У и гр при помощи уравнения (21) из уравнений
* = _У_ == л = £
Wx toy toz ’(0|(0^(Й£’
которые принимают вид
х cos гр #^— sin2 гр sin У cos У sin гр sin У cos У ’
5=г)С .
— sin У sin гр sin У cos У cos У *
Таким образом, мы найдем для неподвижного аксоида уравнение у2 + х2 cos2 а + xz sin а cos а = 0,(26)
а для подвижного аксоида — уравнение
т^ + ^ + ^-^а.(27)
Если в плоскости xz возьмем две новые оси Охх и Ozx так, чтобы новые координаты хх и гх были связаны с прежними х и г при помощи уравнений а .а. а .а
X = Хх COS ~22Х Sin -у , 2 = Хх Sin -^ + 2Х COS -^ , то уравнение (26) приведется к виду
2 .Z/221 % а
*1 + "7„\2 = 21 tg2 .
(cos-— Vcosa \2/
Так как угол а острый и, следовательно, cos a> 0, то по этому виду уравнения неподвижного аксоида мы заключаем, что этот аксоид есть эллиптический
конус, ось которого (ось OZj) есть биссектриса острого угла, составляемого направлением оси одного вала с направлением, противоположным оси другого вала. Наибольший угол с осью составляют образующие этого конуса, лежащие в плоскости осей валов. Этот угол равен-^-а. Тангенс наименьшего из этих углов есть sin-^ "Kcos а.
Что касается подвижного аксоида, то уравнение (27) показывает, что это конус четвертого порядка, имеющий ось симметрии, которой служит ось ОХ. Если острый угол, составляемый какой-либо образующей этого аксоида с осью ОХ обозначить через Ф, так что
g2
а угол, составляемый с плоскостью ££ плоскостью, проходящей через эту образующую и ось ОХ, обозначим через /, так что tg/ = -—-, то уравнение (27) обратится в следующее:
tg4 А Н. L ’ tg2 $ = tg2 ос, 1 sin2 2/ ь sin2 2/ ь ’ откуда
tgо - —.
V 1 + )^1 + tg2 a sin2 2/
Эта формула показывает, что для каждой из координатных плоскостей^ и ^ угол # имеет наибольшее значение, равное а, а для каждой из плоскостей, делящих углы между этими плоскостями пополам, А получает наименьшее значение, тангенс которого равен
J^tg«_r2/f+^tgi>tgi.
cos^-
Чтобы решить вопрос о том, внутренней или наружной стороной своей поверхности подвижный аксоид катается по неподвижному, конечно, достаточно рассмотреть взаимное положение аксоидов в каком-либо частном случае. Одно из возможных положений подвижного аксоида получается при ф = —, когда ось ОХ имеет направление, прямопротивоположное оси Oz. При этом ось подвижного аксоида будет составлять угол -^- с осью неподвижного. Но этот угол меньше всех углов, составляемых образующими подвижного аксоида с осью, а потому для рассматриваемого положения подвижного аксоида и, следовательно, для всякого его положения, ось неподвижного аксоида находится внутри подвижного, как это изображено на рис. 26, где АВ — кривая пересечения неподвижного, a MNPQ — подвижного аксоида со сферой, проведенной из общей их вершины. Точка А и В к^таоиАВ, наиболее удаленные от точки С, представляющей пересечение со сферой оси неподвижного аксоида, суть точки пересечения сферы с осями валов А и В.
Таким образом, движение крестообразного тела в гуковом шарнире может быть произведено катанием без скольжения наружного конуса четвертого порядка M.NPQ по внутреннему — эллиптическому АВ.
Переходим теперь к рассмотрению общего случая движения твердого тела.
В начале § 2 была введена система прямоугольных осей Ox'y'z', направления которых параллельны неподвижным в пространстве осям Ах, Ay, Az,
а начало всегда остается в совпадении с одной из точек О твердого тела. Если координаты последней обозначим через х0, t/о, 2о, а координаты какой-либо точки (х, у, 2) твердого тела по отношению к системе осей Ох'у'2' — через х', у' ,2', то будем иметь
х = х0Л-х\ у = у0 + у\ 2 = 2оА-2\(28)
Но изменения координат х', у’, z' определяют относительные движения различных точек твердого М тела по отношению к системе осей Ох'у'г'. Так как в этом относительном движении точка О твердого тела не участвует, то оно будет такого же характера, как и то абсолютное движение твердого тела, которое мы
рассматривали в предыдущих параграфах: это относительное движение будет вращательным вокруг точки О. Если угловую скорость этого вращательного движения обозначим через В, а проекции ее на оси Ох', Оу', 02' или, что все равно, на оси Ах, Ay, А2 через юх, юд, со2 и заметим, что проекции на те же оси скорости точки (х', у', z') тела в рассматриваемом относительном движении dx' dy' dz'„
есть -ri-, —й- , —п-, то на основании предыдущего найдем dt
dx',, du',, dz',,
— = %z — ®zy ,—юхг', =®xy'— toyX*. (29)
Далее, дифференцированием тождеств (28) находим
dxdx0. dx' dy= dye, dy' dz= dzndz"
dtdt dt* dt dt dt’ dt dtdt ’
Отсюда, принимая в расчет (28) и (29), получаем следующие выражения для проекций на неподвижные оси скорости г какой-либо точки (х, у, г) твердого тела в самом общем случае его движения
у cos (г, х) = -$-=-^-+ юу (z — ?») — ®г(у — у»),
о cos (г, у) = s- = sr + toz(x — x0) — tox(z — z^,(31)
у cos (v, z) = s- = -V <йх(у — у0) — <йн(х — х6).
Таким образом, мы видим, что всякое движение, твердого тела может быть рассмотрено, как результат одновременного существования двух следующих движений: 1) поступательного движения некоторой системы точек, из которых одна всегда совпадает с одной из точек твердого тела и 2) относительного, по отношению к этой системе вращательного вокруг этой точки, движения твердого тела.
В этом смысле мы будем говорить, что всякое движение твердого тела может быть разложено на поступательное вместе с некоторой точкой его и на вращательное вокруг этой точки, которую будем называть полюсом. Таких разложений может быть бесчисленное множество, так как всякая точка твердого тела может быть принята за полюс.
Формулы (30) или (31) показывают, что в общем случае движения скорость каждой точки твердого тела есть геометрическая сумма из скорости какой- либо его точки и вращательной скорости вокруг нее.
Если вместо точки О мы примем за полюс точку С твердого тела, то обозначая вращательную вокруг точки С скорость точки (х, у, г) тела через иос,
а координаты точки С — через хс, ус, гс, найдем
dx dxc ./\ dy dyc ,, х dz
-^-=-^+tycC0s(lPc,x), -J- = -^- + ^005^, у), -^-^
= "ST + cos (“^ ’2> •<32)
Но первое из равенств (31) в приложении к точке С дает
= -^- + «у (Z, — 20) — 0)2 (ус — у о).
Если же это равенство мы вычтем почленно из первого равенства (31), то найдем dx dxc /\\
= toy (^^с)WZ (у Ус) •
Вследствие этого первое из равенств (32) приводит к первой из трех следующих формул:
Wc COS ^Wc, х) = toy (z — zc) —to2(y— yc), wG cos (wc, y) =W^X — xc) — — 0^ (2 — Zc), wc cos (wc, z) = tox(y — yj — toy (x — xc), из которых вторая и третья получаются подобным же образом. Эти же формулы показывают, что во вращательном движении вокруг полюса С угловая скорость тела имеет ту же величину и то же направление, что и во вращательном движении вокруг полюса О.
Таким образом, угловая скорость не зависит от того, какая точка твердого тела принимается за полюс, и, следовательно, рассматривая какое-либо движение твердого тела, мы можем говорить о его угловой скорости, как о чем либо вполне определенном, не прибавляя, какая точка твердого тела берется за полюс.
Мы знаем, что вращательные скорости всех точек твердого тела, находящихся в каждый момент времени на прямой, параллельной мгновенной оси, геометрически равны между собой. Отсюда в силу показанного в предыдущем параграфе мы заключаем, что и полные скорости всех точек тела, лежащих на прямой, параллельной мгновенной оси, геометрически равны между собой.
Если равенства (31) мы умножим соответственно на ох, toy, to2 и результаты почленно сложим, то найдем
dx , dy . dzdxn . dya . dzQ
®х ~dT + ®» ИГ + ®2 ПГ — ®*+ ®» "ПГ + ®z dt ’
а это равенство приводит к заключению, что проекции скоростей всех точек твердого тела на направление мгновенной оси равны между собой.
Отсюда следует, что наименьшими скоростями обладают те точки неизменяемой системы, скорости которых параллельны мгновенной оси, т. е. те, для которых
V COS (Р, х) и (cos Р, у) V COS (р, z)tox -*
Понимая под х, у, z координаты одной из таких точек, мы приведем эти равенства при помощи (31) к следующему виду:
dx0dyn
—ц- + ^у(г — z0) — со2 (у — у0)-^— + <ог (х—х0) — (0, (2 — z0)
+— Уо) ~ &у (х — х0)
toz
Таким образом, мы видим, что все точки неизменяемой системы, имеющие наименьшие скорости, лежат на прямой, определяемой уравнениями (33). Прямая эта имеет направление мгновенной оси и называется центральной осью.
Так как скорости всех точек твердого тела, находящихся на центральной оси, имеют направления, совпадающие с этой осью, то принимая за полюс одну из точек центральной оси, мы найдем, что вращательная скорость всякой точки твердого тела будет равна проекции ее полной скорости на плоскость, перпендикулярную к мгновенной оси. При том эта вращательная скорость бу
дет перпендикулярна к плоскости, проходящей через рассматриваемую точку твердого тела и центральную ось, а величина ее будет равна произведению угловой скорости Q на расстояние рассматриваемой точки от центральной оси.
Из сказанного вытекает следующий способ для построения центральной оси, когда известны скорость г0 одной из точек О твердого тела и величина и направление угловой скорости Й. Через точку О проводим плоскость, перпендикулярную к направлению мгновенной оси 0Q. Находим проекции на эту плос
кость скорости г0 точки О. Пусть Оуо — эта проекция. Затем через точку О проводим прямую, перпендикулярную плоскости, определяемой направлениями Ой и Ог0 и на этом перпендикуляре откладываем от точки О длину ОС, равную отношению -^- и притом в том направлении, которое приняла бы поло
жительная ось Оу', если бы положительное направление оси Oz' совместилось с направлением мгновенной оси ОЙ, а положительное направление оси Ох' с направлением OuV Прямая СЙ', имеющая направление мгновенной оси и проходящая через найденную таким образом точку С и будет центральной осью.
Если прямоугольные координаты точки С обозначим через хС1 ус и гСУ то найдем
= ^о + ос cos (ОС, Ох'), ус = у0 + ОС cos (ОС, Оу'), zc — z0 +
+ ОС cos (ОС, Oz').
Но ОС равно
г0 sin (р0, Q) .
Q
направление же ОС одинаково с направлением вращательной вокруг полюса О скорости той точки твердого тела, которая в рассматриваемый момент времени находится в точке г0, представляющей конец геометрического изображения скорости точки О. Вращательная вокруг О скорость этой точки равна Йу0 X X sin (у0, й), проекция же ее на ось Ох' равна
^ dtdt •
Поэтому косинус угла, составляемого этой вращательной скоростью с Ох', равен
dt ®z dtQvosin(Do, Q)
Таким образом, мы находим
<0, cos (ОС, Ох') = —<0, cos (ОС, Ох') = —dt z dt ,пп А
<0, cos (ОС, Ох') = —
<0, cos (ОС, Ох') = —
——г—,—кт—, cos (ОС, Оу) =ЙУ0 Sin (Do, й)'•“ /
,ч dxn ,х dz0,х dy0 dx0
_ to2Z5LZ^3L cos (ос oz') - Ul2Jl
— ЙУ0 sin (Po, Й) ’ ^^«^7 Qyo sin (Го, Й) и потому
у у t tog dz^ (0г dy^ , to2 dx0 tox dzQ
Xc — ^0 т q2 at Q2 at ’ a° a°^" Й2 dt Й2 dt ’
(34)(34)■ tox dyntog dx0
(34)
(34)
c ^o т QadtQ2at •
Эти формулы определяют координаты одной из точек центральной оси. Поэтому уравнения этой оси примут вид
X ^с У Ус ^с/Q£\
toxtoy “ to2''
Эти уравнения легко могут быть получены и преобразованием уравнений (33). Если введем снова систему осей 0XYZ, неизменно связанных с телом и проекции на них угловой скорости по-прежнему обозначим через о^, <л>л, ю*, то понимая под г0 скорость точки О, найдем следующие выражения для проекции скорости г какой-либо точки (g, т], £) твердого тела на оси OX, OY и 0Z
v cos (г, X) = v0 cos (г0, X) + «^ — ^Л»
v cos (г, Y) = и0 cos (d0, У) + Ю^ — ®?С,(36)
и cos (г, Z) = и0 cos (г0, Z) + с^т] — <0^.
Уравнения центральной оси в относительных координатах ^, т], t, примут следующий вид:
В~ Ес = Ч —Чс = В —Ес
ю^“л’V ’
если под |с, Чс, L будем подразумевать относительные координаты точки С. Если принять в расчет геометрическое значение точки С, то совершенно таким же путем, как были найдены формулы (34), найдем
£с = -^- Vo cos (с0, Z)^- Од cos (Уд, Y), Чс = ^Уд cos (Vg, X) —
^-V0cos(r0, Z), t,c= -^-v0 cos (г0, Г) — ^-u0cos(r0, X).(38)
Из изложенного здесь видно, что всякое движение твердого тела может быть разложено на поступательное вдоль центральной оси и на вращательное вокруг нее. Если бы начиная от рассматриваемого момента времени, скорости точек твердого тела перестали изменяться, то в течение каждого промежутка времени тело перемещалось бы вдоль центральной оси на величину, пропорциональную углу, на который оно поворачивалось бы в течение того же времени вокруг центральной оси. Движение твердого тела было бы, следовательно, такого же характера, как и движение винта в гайке. Все точки твердого тела, движущегося таким образом, описывали бы винтовые линии одного и того же шага, расположенные на поверхностях круговых цилиндров общей осью которых была бы центральная ось.
Таким образом, мы видим, что скорости всех точек твердого тела, движущегося каким бы то ни было образом, в каждый момент времени таковы, как
если бы тело имело винтовое движение, осью которого служила бы центральная ось. Вследствие этого центральную ось называют иногда, винтовой.
§14. Для примера разыскания центральных осей рассмотрим движение, которым обладает Земля, вращаясь вокруг своей оси и вокруг Солнца. При этом мы будем предполагать, что центр Земли равномерно движется по окружности, центром которой служит центр Солнца, и что Земля равномерно вращается вокруг оси постоянного направления.
Так как Земля вращается вокруг своей оси от запада к вос
току, то согласно с нашим условием относительно того, какое вращение считать положительным, угловая скорость ее Q будет направлена от центра к южному полюсу. Принимая за точку О центр Земли, мы примем это направление за ось Oz'. Неподвижные оси Ах, Ay, Az выберем так, чтобы начало их А находилось в центре Солнца. Плоскость ху будет параллельна плоскости земного экватора. За ось Ау мы примем пересечение ее с плоскостью эклиптики и при том то направление этого пересечения, которое идет от центра Солнца к точке N, в которой бывает центр Земли в момент осеннего равноденствия. Затем возьмем еще две оси Ахг и Azv из которых первая лежит в плоскости эклиптики и направлена от центра Солнца к той точке М, в которой центр Земли бывает во время летнего солнцестояния, а вторая, будучи перпендикулярна плоскости эклиптики составляет острый угол а с осью Az, так что а « 23° 27' 33".
Расстояние центра Земли от центра Солнца обозначим через R, а скорость центра Земли через г0. При этом -~ будет представлять угловую скорость радиуса-вектора АО центра Земли, так, что, если положим
то к будет представлять дробь, приблизительно равную ■ ^ - •
Так как в рассматриваемом случае (ох = №у = 0 и со2 = й, то уравнения центральной оси примут вид
X — Хс, У — Ус, где согласно формулам (34)
^с = ^0 — 4" vocos (ро. У). Ус = Уб + 4" Уо cos (v0, х).(39)
Но если под х? будем подразумевать координату xt точки О, так что х0 = 0о
= Xi cos а, то найдем
у0 cos (v0, xj =^- Уо. Уо cos (с0. У) = -^-^
а так как
cos (v0, х) = cos a cos (г0, хх),
то получим
v0 cos (г0, х) = — Шуо cos а, с0 cos (v0, у) = Юх®
и, следовательно, формулы (39) примут вид
хс = (cos а — &) х?, ус = (1 — к cos а) у0.(40)
Отсюда, принимая в расчет, что
х?2 + yl = R\
мы получаем следующее уравнение геометрического места всех центральных осей в пространстве:
у 2#»2
2IУ — 02
(cos а — &)2 ~ (1—^cosa)2 ’
которое принадлежит эллиптическому цилиндру, ось которого проходит через центр Солнца. Так как
1 — к cos a — (cos a — k) = (1 + к) (1 — cos a) > 0
и при том в силу приведенных выше численных значений для а и к cos a > &, то наибольшая полуось эллипса, получаемого в сечении этого цилиндра плоскостью, перпендикулярной к его оси, параллельна линии пересечения плоскости эклиптики с плоскостью земного экватора.
Формулы (40) или следующие
хс = (cosa —й)-^-, ус = (1 — kcosa)y0
дают возможность определить положение центральной оси для всякого данного положения центра Земли в пространстве. Из этих формул между прочим видно, что
2 .2_2 .2
Хо + У0 > Хс + Ус»
хс всегда одного знака с х0, а уе одного знака с yQ и что когда ни х0, ни у0 не равны нулю
т. е. что центральная ось всегда ближе к Солнцу, чем земная ось, и что если через центр Солнца провести две плоскости: одну, содержащую земную ось, и другую, содержащую центральную ось, то эти плоскости будут совпадать во время солнцестояний и равноденствий, причем центральная ось будет находиться между земной осью и центром Солнца; во всякое же другое время угловые расстояния солнцестояний от плоскости, содержащей центральную ось, будут больше их угловых расстояний от плоскости, содержащей земную ось.
Легко также убедиться, что расстояние центральной оси от центра Земли достигает наибольшего значения kR во время солнцестояний, а наименьшего kR cos а во время равноденствий.
К сказанному можно прибавить, что если принять за полюс одну из точек центральной оси, то в период времени от летнего до зимнего солнцестояния поступательная скорость Земли будет направлена прямо противоположно направлению угловой скорости Земли и в период времени от зимнего до летнего солнцестояния — одинаково с направлением этой угловой скорости.
Особого внимания заслуживает частный случай, когда центральная ось сохраняет неизменное направление в пространстве, и когда проекции скоростей всех точек твердого тела на это направление равны нулю. В этом случае все точки твердого тела движутся в плоскостях, перпендикулярных к неизмен- 194
ному направлению центральной оси и движения во всех таких плоскостях совершаются абсолютно одинаковым образом. Вследствие этого для исследования данного случая движения твердого тела достаточно рассмотреть движение одного из таких плоских сечений тела. Поэтому рассматриваемый случай движения тела называют иногда случаем движения плоской фигуры в ее плоскости.
Принимая неизменное направление центральной оси за ось z, рассмотрим движение точек тела, которые находятся в плоскости ху. Так как в рассматриваемом случае сох = со^ = 0, то по формулам (31) находим следующие выражения для проекций на неподвижные оси скорости о какой-либо точки (х, у^ неизменяемой плоской фигуры
/ х dx dXn«к»du
V cos (v, X) =ю2(у — t/0), V cos (p, y) =
= -^- + ®г (x — x0),(41)
где x0 и y0 — прямоугольные координаты некоторой точки О плоской неизменяемой фигуры. Если эту точку принять за начало прямоугольной системы осей ОХ и OY, неизменно связанных с рассматриваемой плоской фигурой, то понимая под и0 величину и направление скорости этой точки, по формулам (36) найдем
у cos (г, X) = у0 cos (г0, X) — со2г|, и cos (г, Y) = у0 cos (у0, Y) + (о2£. (42)
Мы можем сказать a priori, что в рассматриваемом движении в каждый момент времени будет существовать такая точка, скорость которой равна нулю: этим свойством должна обладать точка пересечения центральной оси с плоскостью ху. Если координаты этой точки обозначим: абсолютные — через хс и уС1 а относительные — через Ьс и т]с, то из уравнений (41) и (42) найдем для них следующие выражения:
х==х»-4-^г> ^=уо + ^-^~<43)
и
^ = —5-cos(r0, У), i]0=^cos(e0,X).(44)
Из этих формул видно, что рассматриваемая точка имеет вполне определенное положение, пока о2 не равно нулю, в противном же случае она вообще удаляется в бесконечность. Но это есть тот случай, когда плоская фигура движется поступательно и мы можем его не рассматривать.
Точка, координаты которой определяются формулами (43) и (44), и которая обладает, следовательно, тем свойством, что скорость совпадающей с ней точки неизменяемой фигуры равна нулю, называется мгновенным центром вращения.
На основании общих свойств скоростей точек неизменяемой системы, мы можем утверждать, что скорости всех точек плоской неизменяемой фигуры перпендикулярны к прямым, соединяющим их с мгновенным центром и в данный момент времени пропорциональны их расстоянию от последнего. Это не трудно проверить и на основании формул (41) или (42), которым в силу (43) и (44) можно дать следующий вид:
и cos (г, х) = — со2 (у — у^, У cos (г, у) = 0)2 (х — хс),
у cos (г, X) = — со2 Сп — Яс), V cos (г, Y) = со2 (£ — £с).
Из сказанного вытекает очень простой способ для построения мгновенного центра, когда известны направления скоростей двух данных точек плоской
ввккРис. 29.Q, направлена, какРис. 29.Q, направлена, какнеизменяемой фигуры. Для этого стоит только провести через эти точки прямые, перпендикулярные к направлениям их скоростей. Точка пересечения этих перпендикуляров и будет мгновенным центром.
в
в
к
к
Рис. 29.
Q, направлена, как
Рис. 29.
Q, направлена, как
ся в точкеся в точкеДля примера положим, что наша плоская фигура есть прямая КМ, движение которой подчинено тому условию, чтобы она всегда проходила через неподвижную точку Q и чтобы одна из точек N ее двигалась по данной прямой АВ. В рассматриваемом случае для каждого момента времени известны направления скоростей двух точек фигуры: скорость точки N направлена по прямой АВ и скорость той точки прямой КМ, которая в рассматриваемый момент времени находит- нетрудно убедиться, по прямой КМ. Поэто
ся в точке
ся в точке
му, проводя через точки N и Q прямые, перпендикулярные соответственно к АВ и КМ, в пересечении их S, получим положение мгновенного центра для рассматриваемого момента времени.
Как известно, всякая точка М прямой КМ, отличная от точки N, чертит кривую МР, называемую конхоидой и из сказанного здесь вытекает весьма простой способ для построения нормали или касательной к ней в какой-либо ее точке: для этого соединяем эту точку М прямой SM с соответствующим положением мгновенного центра S. Прямая SM и будет нормалью к конхоиде в точке Q.
Положение плоской неизменяемой фигуры ее плоскости вполне определяется тремя величинами, за которые могут быть приняты координаты х0 и у0 одной из ее точек и угол ф, составляемый осью ОХ с осью х. Во всяком данном движении плоской неизменяемой фигуры в ее плоскости эти три величины будут известными функциями времени.
Угол ф мы будем отсчитывать от оси х в сторону положительного вращения вокруг оси г. При этом, понимая под х, у и £, т) абсолютные и относительные координаты одной и той же точки, найдем
£ = (х — Х0)СО5ф+ (у — У0)5Шф, Т] = —(х —Хо)зтф + (у —у0)СО5ф. (45)
Замечая, что со2 = -^-, мы приведем теперь формулы (43) и (44) к следующему виду:
(46)(46)(47)(47)Уо, xo
(46)
(46)
(47)
(47)
%C ^0 гр' ’ ^с Uo "V ^z ,
. хо . , Уо и хо , . Уо . u
L = -ту- Sin Ф-Г COS Ф, Т1С = —COS Ф Нгг sin ф, где для сокращения введены общепринятые обозначения
х0 =х0 =^о,/ _ dVo 1h, _ J^L
х0 =
х0 =
d/ • У° di ’ ^ dt ‘
В предыдущем параграфе мы видели, что скорости всех точек плоской неизменяемой фигуры, движущейся в своей плоскости, в каждый момент времени таковы, как если бы эта фигура вращалась вокруг одной из точек своей плоскости. Но точка эта, которую мы назвали мгновенным центром, вообще изменяет свое положение с течением времени как на неподвижной так и на движущейся плоскости, неизменно связанной с плоской фигурой. При этом гео-
метрическое место положений ее на неподвижной плоскости представляет кривую, которая называется неподвижной центроидой, а последовательный ряд точек плоской фигуры, с которыми мгновенный центр совпадает в различные моменты времени, образует кривую, неизменно связанную с плоской фигурой, и называемую подвижной центроидой. В частном случае обе центроиды могут обратиться конечно в точки.
Для получения уравнений центроид в каком-либо данном движении плоской фигуры, стоит только исключить время из уравнений (46) или (47): исключение времени из первых двух даст уравнение неподвижной центроиды в абсолютных координатах, исключение же времени из двух последних приведет к уравнению подвижной центроиды в относительных координатах.
Мгновенный центр в каждый момент времени будет одной из общих точек обеих центроид для этого момента времени и можно показать, что в этой общей точке обе центроиды вообще касаются. Кроме того, можно показать, что дуги описанные мгновенным центром в одно и тоже время на подвижной и на неподвижной центроидах, равны между собой.
Для этого обращаемся к уравнениям (47), дифференцирование которых по времени дает
^ъсI d. d f I хо \
= COS ф —77- Ха77- + Sin ф -77- У а + --7- ,dtdt \ ф /dt 1 фу
\. d /. хо \
dtdt \ ф уdt 1 ф у
или в силу уравнений (46)
d^ = dxc cos ф + dyc sin ф, dx\c = — dxc sin ф + dyc cos ф.(48)
Эти уравнения определяют проекции на оси ОХ и OY перемещения мгновенного центра на подвижной центроиде в зависимости от проекций на оси х и у перемещения, которое совершает мгновенный центр по неподвижной центроиде в течение того же бесконечно малого промежутка времени dt. Если же мы сравним формулы (48) с формулами (45), то придем к заключению, что d^ и dx\c — проекции на оси ОХ и OY той же самой длины, проекции которой на оси х и у суть dxc и dyc. А отсюда и следует, что обе центроиды касаются в той общей их точке, которая представляет положение мгновенного центра для рассматриваемого момента времени и что дуги, описанные мгновенным центром на обеих центроидах в течение бесконечно малого промежутка времени, равны между собой. От равенства этих бесконечно малых дуг нетрудно перейти к заключению о равенстве каких-либо дуг, описанных мгновенным центром на обеих центроидах в течение одного и того же времени.
Таким образом, подвижная центроида катается без скольжения по неподвижной и, следовательно, всякое движение плоской фигуры в ее плоскости можно воспроизвести катанием без скольжения некоторой кривой, неизменно связанной с фигурой, по другой — неподвижной.
Легко убедиться также и в справедливости обратной теоремы, т. е. что если движение плоской фигуры в ее плоскости производится катанием без скольжения некоторой кривой, неизменно связанной с фигурой, по другой — неподвижной, то эти кривые суть центроиды этого движения, а та непрерывно перемещающаяся точка, в которой они касаются в каждый момент времени, есть мгновенный центр этого движения.
Пусть АСВ— неподвижная кривая, по которой катится без скольжения кривая неизменяемого вида, имеющая в момент времени t положение АСВ',
а в момент времени t + т — положение А'С'В, так что А1 — положение, в которое приходит в момент t + т та точка катящейся кривой, которая в момент t находилась на неподвижной кривой в точке Лив которой обе кривые касались. Если В есть та точка, в которой обе кривые касаются в момент t + т, то из условия катания без скольжения следует, что дуга АВ равна дуге А1 В. Общую величину этих дуг, которая при бесконечно малом т есть также бесконечно малая величина, мы обозначим через о.
Далее, проведем в точках А, А* и В касательные к обеим кривым и заметим точки: а — пересечения касательных, проведенных в точках А и А'; b — пересечения касательных, проведенных в точках В и Д' и с — пересечения касательных, проведенных в точках А и В. При этом, если центры кривизны обеих кривых, соответствующие точке А, лежат по разные стороны этой точки, то для достаточно малого т
Z_ AoA’ — / abc + Z_ acb.
Если же эти центры кривизны лежат по одну сторону от точки А, то
/ АаА' = л — / acb — / abc.
Но в первом случае Z_ acb и / abc — углы смежности неподвижной кривой в точке Д и катящейся кривой в точке Д', или — для положения, которое занимает эта кривая в момент t,— в точке А. Во втором же случае эти значения будут принадлежать углам л — / acb и / abc, или углам / acb ил — 2L abc. Поэтому если радиусы кривизны в точке А для неподвижной кривой обозначим через R, а для подвижной — через Р и угол AaA' — через А, то найдем
0 = ±а(-1-±-1-)(И-а),(49)
где а — бесконечно малая величина.
Но # — угол, на который катящаяся кривая поворачивается в течение времени т, так что
lim — т->0 т есть угловая скорость ее для момента t, которую мы обозначим через Q. Вследствие этого если хорду А А’ обозначим через е и расстояние точки А от положения в момент t мгновенного центра (в движении катящейся кривой) — через к, то замечая, что
lim — = кй, т->о т
найдем
к = lim
Но легко убедиться, что хорда АА' — бесконечно малая более высокого порядка, чем дуга АВ. Поэтому
lim JL О
Т-*0 о
и, следовательно, в силу (49)
Нт 4 = 0.
Таким образом, к = 0 и, следовательно, мгновенный центр в момент t находится в точке А.
Как видно из формулы (49), приведенное доказательство теряет силу, коль скоро для точки А центры кривизны обеих кривых совпадают, или когда их радиусы кривизны для этой точки бесконечно велики. Но если это обстоятельство представляется только для точки А, не имея места для всех достаточно близких к ней точек обеих кривых, то справедливость теоремы остается несомненной. Когда же это имеет место для всех точек некоторой дуги неподвижной кривой, то эта
дуга будет тождественна дуге катящейся кривой, точки которой совпадают с ее
точками и этот случай действительно будет исключительным по отношению к справедливости рассматриваемой теоремы, ибо очевидно, что при совпадении
этих тождественных дуг положение мгновенного центра делается неопреде
ленным.
Понятно, что для получения уравнений центроид нет необходимости знать выражения х0, у0 и ф в функциях времени. Для этого достаточно только иметь две зависимости между этими тремя величинами. Определяем из них, например, х0 и у0 в функциях ф, мы обратим вторые части уравнений (46) и (47) в известные функции ф, а исключение из этих уравнений последнего и приведет к уравнениям центроид.
Конечно, во многих частных случаях для составления уравнений центроид нет необходимости обращаться к уравнениям (46) и (47).
Например, если при движении плоской фигуры две точки ее движутся по двум взаимно перпендикулярным прямым, то непосредственно видно, что неподвижная центроида есть окружность с центром в точке пересечения этих прямых, радиус которой равен расстоянию между этими двумя точками фигуры. Подвижная же центроида будет окружностью, построенной на этом расстоянии, как на диаметре. Легко убедиться, что траектория всякой точки плоской фигуры в этом движении есть эллипс, если эта точка не принадлежит подвижной центроиде и прямая линия — в противном случае.
Таким образом, эллипс можно рассматривать, как траекторию точки, неизменно связанной с некоторым кругом, но не лежащей на его окружности, который катится без скольжения по внутренней стороне окружности круга вдвое большего радиуса.
Рассмотрим еще центроиды в движении прямой, одна из точек которой движется по данной прямой, а направление проходит через неподвижную точку, т. е. в движении той прямой, точки которой чертят конхоиды. Пусть КМ — прямая, принадлежащая некоторой неизменяемой фигуре и О — точка ее, движущаяся по данной прямой PQ, а Л — неподвижная точка, через которую должно проходить направление прямой КМ. Как мы видели, мгновенный центр S найдется в пересечении перпендикуляров OS и Л5 к прямым PQ и КМ
в точках О и Л, так что нахождение центроид сводится к отысканию геометрических мест точек S на неподвижной плоскости и на плоскости, неизменно связанной с прямой КМ.
Примем точку Л за начало неподвижной системы координатных осей и за ось Ау — прямую, параллельную PQ. Величину АВ перпендикуляра, опущенного из точки А на прямую PQ, обозначим через а. Если t — основание перпендикуляра, опущенного из S на ось Ах, то из подобия треугольников АВО и St А найдем
АВ __ St OB “ At ’ что приводится к у2 = ах, если х и у — абсолютные координаты точки S.
Таким образом, неподвижная центроида есть парабола, вершина которой находится в точке Л, ось перпендикулярна к прямой PQ и параметр равен расстоянию точки А от этой прямой.
Для составления уравнения подвижной центроиды примем точку О за начало системы координатных осей OXY, неизменно связанных с прямой КМ, а за направление оси OY примем направление этой прямой. Тогда соотношение
АВ ОА_
ОА OS ’
следующее из подобия треугольников АВО и 0Л5, приведется к виду
т)2 = a V^2 + П2 •
Таким образом, подвижная центроида есть кривая четвертого порядка. Эта кривая имеет уединенную точку в начале координат и две бесконечные ветви, пересекающие ось OY в точках Е и F, отстоящих от начала координат на расстоянии а. Обе ветви расположены симметрично относительно осей ОХ и OY и ось ОХ не пересекают. Каждая ветвь имеет две точки перегиба G и S.
Конхоиду можно рассматривать, следовательно, как траекторию некоторой точки, неизменно связанной с рассматриваемой кривой четвертого порядка, когда одна из ветвей этой кривой катится без скольжения по параболе.
Вообще, если кривая неизменяемого вида катится без скольжения по другой, неподвижной, то всякая точка, неизменно связанная с первой, чертит кривую, называемую по отношению к этим кривым рулетой. Так, если неподвижная кривая есть прямая линия, а катящаяся — окружность, то рулетой будет циклоида удлиненная, укороченная или обыкновенная, в зависимости от того, чертится ли она точкой, находящейся по отношению к окружности вне ее, внутри или на окружности. Если обе кривые — окружности, то рулетой будет эпициклоида, эллипс или прямая линия. Мы только что видели, что конхоида есть рулета, для которой неподвижная кривая есть парабола, а катящаяся кривая — четвертого порядка известного вида.
Вообще нетрудно убедиться, что всякую данную кривую можно рассматривать, как рулету по отношению к двум другим, и что при том из этих последних одна может быть задана произвольно. В самом деле, эта задача приводится к отысканию одной из центроид, когда известны другая центроида и траектория одной из точек плоской неизменяемой фигуры, в движении которой образуются эти центроиды. Принимая эту точку плоской фигуры за точку О мы будем, следовательно, иметь уравнение между х0 и у0- Кроме того, мы будем иметь также уравнение между хс и ус или между £с и т]с, в зависимости от того задана ли неподвижная или подвижная центроида. Таким образом, вместе с четырьмя уравнениями (46) и (47) мы будем иметь шесть уравнений, содержащих семь величин: х0, yQ, хс, ус, ^, т]^ и ф и дифференциалы dx0, dy*, d^, а из этих шести
уравнений мы найдем интегрированием шесть из этих величин в функциях седьмой, чем и решится вопрос.
Положим, например, что задана неподвижная центроида, так что будет
дано
(50)(50)F(xc, ус) = 0.
(50)
(50)
Далее, пусть Уо = / (хо) — данное уравнение кривой, которую мы рассматриваем, как рулету по отношению к неподвижной кривой (50). Уравнения (46) и (47) возьмем в виде
Уравнение (50) принимает теперь следующий вид:Уравнение (50) принимает теперь следующий вид:хс = Хо ^- , Ус = уо+ , ^--^^--^Г005^ ^==-^cos^ + -$Lsinii’- <51>
Уравнение (50) принимает теперь следующий вид:
Уравнение (50) принимает теперь следующий вид:
находимнаходимdxn
находим
находим
и решением этого последнего уравнения относительно —^~
откуда ф-J-^ + C.
Вследствие этого уравнения (51) обращаются в следующие:
^ = ф <z«) sin [J-^ + с] - Г (х0) Ф (х0) cos [J ^- + с],
11с = Ф (Хо) cos [ С -^- + с] + Д (х0) ф (х0) sin [ f -^- + с]
и вопрос об определении катящейся кривой приводится, следовательно, к исключению х0 из этих двух уравнений.
Положим, например, что требуется найти кривую, при катании которой по оси х одна из точек, неизменно связанных с ней, чертила бы данную цепную
линию
Уо = 4г (е ° +е а) •
В рассматриваемом случае уравнение неподвижной центроиды есть ус = 0. Поэтому мы имеем уравнение
+ е ‘)+тг = 0’ интегрированием которого находим
ф = С — 2 arctg е ° ,
где С — постоянная. Предполагая ф = 0 для х0 = 0, найдем С = -^-л, если подi
arctgе а
условимся понимать дугу, не выходящую из пределов 0 и у л. Таким образом, мы будем иметь
+е °\ А=_^(е2:_еф=^_
х0
— 2 arctg е ° ,
вследствие чего после некоторых преобразований получим
^с = а(е° —е °), Чс =
ХрХр
= — а + -f- (е“ — е г), откуда
^ = 4a(i% + a).
Рис. 32.Таким образом, искомая кривая есть парабола,
ось которой направлена по оси 0Y, а фокус находится в начале координат О (х0, у0)- Итак, цепная линия есть кривая, которую чертит фокус параболы, катящейся без скольжения по прямой линии.
Из самого образования рулеты вытекает весьма простой способ построения к ней нормали и касательной. Для этого стоит только соединить прямой точку, чертящую рулету с точкой касания катящейся кривой с неподвижной. Эта прямая и будет представлять нормаль к рулете в рассматриваемой точке, потому что по доказанному выше точка касания обеих кривых есть мгновенный центр в движении катящейся кривой.
Когда известны радиус кривизны 7? неподвижной кривой и радиус кривизны р катящейся кривой в общей их точке М, то легко найти и радиус кривизны р рулеты в соответствующей точке S. Пусть MN — неподвижная кривая и MN*, М'N— два бесконечно близких положения катящейся кривой; S' — положение точки S, чертящей рулету, для второго положения катящейся кривой, a S' М — положение, принимаемое при этом нормалью SM к рулете в точке S. Эту нормаль мы обозначим через п, а угол SMP, который она составляет с нормалью МР к катящейся кривой в точке М, направленной к центру кривизны этой кривой — через -0*. Далее, проведем хорду SS' дуги рулеты, нормаль NS' к рулете в точке S' и прямую МТ, параллельную нормали MS.
Угол О, на который повернулась катящаяся кривая, переходя из первого положения во второе, дается формулой (49), так что, отбрасывая бесконечно малые высших порядков, будем иметь
#-±(4-±v)'''
где с — дуга MN и где перед скобками должен быть взят тот из двух знаков, для которого О окажется положительным. Что же касается знака перед ^ внутри скобок, то в том случае, когда центры кривизны неподвижной и катящей
ся кривой находятся по разные стороны от точки М (случай, изображенный на чертеже), выбираем «+» и в противном случае «—». Чтобы получить общую формулу для р, не содержащую двойных знаков, условимся в первом случае считать R положительным, а во втором отрицательным. При этом мы будем иметь
Далее условимся р считать положительным, когда центр кривизны рулеты и точка М находятся по одну сторону от точки S и отрицательным в противном случае. В силу этого последнего условия р будет положительным, когда точка S' не лежит между точками 5 и Т и отрицательным в противном случае.
Понимая под | р | численное значение р, мы найдем, отбрасывая бесконечно малые высших порядков:
Но вследствие только что замеченного мы имеем относительно знака р: для р > О TS' = = SS' + ST и для р < О TS' = ST — SS', а потому в любом случае будем иметь
SS' • п rW
р “ SS' + ST п-6 Т ST ’
где необходимо взять знак «+» в том случае, когда точка S лежит между точками S' и Т, и «—» в противном случае.
Далее, смотря по тому, острый или тупой угол », отбрасывая бесконечно малые высших порядков, имеем
ST = ± MN cos А = ± a cos fl*.
Но легко убедиться, что если£" < ДГ ’ то для ^ < -^ л точка S не лежит между точками S' и Т, а для 0*>-^-л лежит между ними. Когда
^*>~> то будет иметь место обратное. Поэтому в любом случае получится следующая формула:
("7 + "^) -cos»
которую мы и имели в виду вывести.
Эту формулу можно заменить следующей:
Ра / 1 I 1
— COS V = П\Н -р — п\ р v R )
Если катящаяся кривая есть окружность и точка, чертящая рулету, находится на ней,то
п — 2р cos О*, а потому последняя формула дает
Р _ 9 Iр — пR
ИЛИп _ R-^ 2р
р — п— R *
По этой формуле легко найти радиус кривизны рулеты для рассматриваемого случая построением. Для этого через точку S, чертящую рулету, проводим диаметр ST катящегося круга и затем точку Т соединяем прямой с центром кривизны О неподвижной кривой. Точка N пересечения с прямой ОТ нормали SM к рулете в точке S и будет центром кривизны для точки S рулеты. В самом деле, если прямую ОМ продолжим до пересечения с окружностью в точке Р, то получим два подобных треугольника РОТ и MON, а потому найдем
РТ _ РО
MN ~ МО
или, так как PT = SM = п, МО = R и РО = R + 2р,
п = R + 2р
SN — n R
Этот способ можно приложить, например, к построению радиуса кривизны эпициклоиды. Чтобы перейти к случаю обыкновенной циклоиды, стоит только предположить R = оо, вследствие чего получится известная формула: р = 2п.
Мы видели, что при движении плоской неизменяемой фигуры в ее плоскости подвижная центроида катится без скольжения по неподвижной. Поэтому, переходя отсюда к движению самого тела, для которого эта плоская фигура представляет одно из сечений плоскостями, параллельно которым происходит движение тела, мы заключаем, что при этом движении та неизменно связанная с телом цилиндрическая поверхность, которая представляет геометрическое место центральных осей в теле, катится без скольжения по неподвижной цилиндрической поверхности, представляющей геометрическое место центральных осей в пространстве.
Вообще при каком-либо движении твердого тела геометрические места центральных осей в пространстве и в теле будут некоторыми линейчатыми поверхностями, которые носят название неподвижного и подвижного аксоидов центральных осей.
Мы видели, что уравнения центральной оси в абсолютных и относительных координатах имеют следующий вид:
х хс У Ус 2 гсZKQ\
toxto^toz''
И
£ ^с __ ч Нс _ £ ^с(54)
со^cot|(О, ’
где хС) уС) zc и £с, Лс, ^ — координаты одной и той же точки С, определяемые формулами
^С Xq Н Q2~ ^0 Q2 УО, УсУ О A Q2 ^0 Q2 2о,
2С = 20 + -^ Уо — -^ Хо,(55)
1с = -^Г [®Т) COS (г0, Z) — 0)^ cos (г0, У)], Чс= -^_ [со^ cos (г0, X) —
— 0)^ cos (г0, Z)], у = -^- (о)^ cos (г0, У) — сол cos (г0, X)].(56)
В каждом данном движении твердого тела o)x, а^, со2, со^, а>п, о)^, хС1 ус, zc, ^С1 Ч?> У будут известными функциями времени. Исключая время из уравнений (53), мы получим уравнение неподвижного аксоида в абсолютных координатах; исключая же время из уравнений (54), мы получим уравнение подвижного аксоида в относительных координатах. Если желательно иметь уравнение последнего в абсолютных координатах, то обозначив через о)^, о)^, со^, £®, Л?» й значения функций времени о)^, со^, со^, у, т)с, у при t = 0, для этого стоит только исключить ф из уравнений
х — х0 — £® (х, У — ч° (х> ч) — £ to» Q _ у—уо — ^ to» У — Чс to» ч) — 5° (у» О _
«I (х, У + 0)0 (х, Т|) + (О® (х, У^ (^, У + (О® (у, Т]) + ю® (у, Q
г-г0-^(г, У^ч^^, ч) ~ ^ (^ □
^ (г, У + со® (г, -q) + со® (г, у
Результатом исключения t0 из этих уравнений будет некоторое уравнение между х, у, z и I, которое и будет представлять уравнение подвижного аксоида в абсолютных координатах для того положения, которое занимает этот аксоид в момент времени t.
Так как о)х, о)^, со2, х0, у0) z0 могут быть заданы, как произвольные функции времени, то каждый из аксоидов, взятый в отдельности, может представлять произвольную линейчатую поверхность. Но мы увидим далее, что когда один из аксоидов задан, другой уже не может быть вполне произвольным.
Оба аксоида в каждый момент времени имеет по крайней мере одну общую образующую, которая представляет положение для этого момента времени центральной оси в пространстве и в теле и мы сейчас покажем, что аксоиды касаются во всех точках этой образующей. Отсюда будет следовать, что при движении твердого тела подвижный аксоид катится по неподвижному; но этот случай катания будет отличаться от всех, рассмотренных раньше, тем, что в нем катание будет соединять со скольжением: а именно, мы покажем, что здесь скольжение будет происходить вдоль образующих аксоидов.
Возьмем какую-либо точку центральной оси, например, ту точку С, координаты которой даются формулами (55) и (56). При движении тела, эта точка будет чертить некоторые кривые как на неподвижном, так и на подвижном аксоидах. Кривые эти будут пересекаться в некоторой точке той общей образующей аксоидов, которая служит для рассматриваемого момента времени центральной осью и мы покажем, что касательные, проведенные к этим кривым в этой точке, находятся в одной плоскости с этой общей образующей. Отсюда будет следовать, что если эти касательные не направлены вдоль этой образующей (что и будет иметь место вообще), то аксоиды в этой точке имеют общую касательную плоскость. Но рассматриваемая нами точка С зависит от выбора полюса (%о, у6, z0) и легко убедиться, что для каждого момента времени соответствующим выбором полюса (х0, у0, z0) точку С можно переместить в любую точку центральной оси. В этом легко убедиться как на основании формул (55), так и припоминая геометрическое значение этой точки, которое послужило нам для вывода этих формул. Таким образом, мы можем рассматривать точку С, как произвольную точку центральной оси, а потому, доказав, что аксоиды имеют общую касательную плоскость в точке С, мы тем самым докажем, что они касаются во всех точках той общей образующей, которая служит центральной осью.
Так как хС1 ус, zc и ^, т]с, £с — абсолютные и относительные координаты одной и той же точки, то мы имеем
Хс = Хо + (Х, £) ^с + (Х, Г]) Т]с + (X, 9 ^, ус = у6 + (у, У ^с +
+ кУ, П) Пс + ку, 9 ^с, zc = z6-V кг, 6) ^ + (г, n) ^ + kz, У k-
Дифференцируя по времени первое из этих тождеств, находим dxc /^ е\ ^с । /\ ^с f . »х d^c f dx0 . ~ d(x, У ]
(57)(57)d(x, Л) dj^*dtbe dt
(57)
(57)
Но если скорость точки С в движении ее по неподвижному аксоиду обозначить через ис (абсолютная скорость точки С), а ту скорость, с которой она чертит кривую, расположенную на аксоиде, неизменно связанном с телом,— через wc (относительная скорость точки С), то будем иметь
/ х dx^, хduг, х dzc
ис cos кис, я) = —^ , ис cos (ис> у) = -^-, ис cos (Ус, г) =-^-
и
wc cos (юс, X) = -^-, wc cos (wc, У) = -^-, we cos (wc, Z)=-^-.
Из последних же трех формул найдем
(*, ^ 4"+ (х’ ^ "Sb + ^ ^"%" = w°cos ^ ^-
Далее, если ос— скорость той точки твердого тела, с которой в рассматриваемый момент времени совпадает точка С, то, очевидно, найдем
/ х।d(x,^ . d (х, ri) . о d(x, у
Вследствие всего этого равенство (57) приводится к первому из трех следующих равенств:
ис cos (ип х) = wc cos (wc, x) + oc cos (rc, x), uc cos (uC) y) =
= wc cos ^wc. y) + oc cos (rc, y), uc cos <uc1 z) = wc cos (wC) z) + oc cos (rc, z), из которых второе и третье получатся подобным же образом.
Эти равенства показывают, что скорость ис есть геометрическая сумма скоростей wc и ос. Но по свойству центральной оси, скорость сс направлена по этой оси, а потому из только что сказанного следует, что направления скоростей ис и wc лежат в одной плоскости с направлением центральной оси. Таким образом, касательная к кривым, которые чертит точка на неподвижном и на подвижном аксоидах, проведенная в той общей точке этих кривых, в которой они пересекаются с центральной осью, лежит в одной плоскости с общей образующей аксоидов, проходящей через эту точку, что и следовало доказать.
Заключать на основании доказанного, что аксоиды имеют в точке С общую касательную плоскость, мы, конечно, имеем право только в том случае, когда скорость иС) а следовательно, и ос не направлены по центральной оси. Но, как уже замечено выше, точка С может представлять произвольную точку центральной оси, и если центральные оси, соответствующие моментам времени t и t + dt не совпадают, то скорость ис может быть направлена по центральной оси только для одной из ее точек и, следовательно, в этом случае мы заключили бы на основании доказанного, что аксоиды имеют общую касательную плоскость для каждой из остальных точек центральной оси. Но может случиться, что скорость ис направлена вдоль центральной оси, какую бы точку этой оси ни представляла точка С. Если это обстоятельство имеет место только для одного момента времени / и если при том образующие аксоидов, представляющие для этого момента времени центральную ось, таковы, что может быть речь о касании аксоидов вдоль этих образующих, то мы заключили бы о том, что они касаются вдоль нее, переходя к пределу, на основании того, что они касаются вдоль бесконечно близких образующих. Исключение представляет только случай, когда сказанное имеет место в течение некоторого промежутка времени, когда, следовательно, в течение известного промежутка времени центральная ось не изменяет своего положения ни в пространстве, ни в теле.
Таким образом, вообще аксоиды в каждый момент времени касаются вдоль общей образующей их, которая служит для этого момента центральной осью. Из этого же обстоятельства и из того, что скорости всех точек подвижного аксо- ида, находящихся на этой образующей направлены вдоль нее, и следует, что движение подвижного аксоида есть катание по неподвижному, соединенное вообще со скольжением вдоль общей образующей.
Вообще катание какой-либо поверхности по другой, соединенное со скольжением, не есть определенное движение. Катание же одной линейчатой поверх- 206
Рис. 34.Рис. 34.как части развертыкак части разверты
Рис. 34.
Рис. 34.
как части разверты
как части разверты
ности по другой, если это только не суть цилиндрические поверхности, соединенное со скольжением только вдоль общей образующей, представляет случай вполне определенного движения в том смысле, что здесь с каждой образующей неподвижной линейчатой поверхности совпадает некоторая определенная образующая подвижной и при том совпадение это происходит так, что совмещаются некоторые определенные точки обеих образующих.
Чтобы показать это, мы должны обратиться к некоторым общим свойствам линейчатых поверхностей.
Как известно, все линейчатые поверхности разделяются на два класса: развертывающиеся и неразвертываю- щиеся на плоскость.
Всякую развертывающуюся поверхность можно рассматривать, как геометрическое место касательных к некоторой кривой, называемой ребром возврата этой поверхности. Конические и цилиндрические поверхности представляют два предельных случая развертывающихся поверхностей. Первые получаются, когда ребро возврата обращается в точку. Вторые же можно рассматривать,
вающихся поверхностей, бесконечно удаленные от ребра возврата. Так как кратчайшее расстояние двух бесконечно близких касательных к какой-либо кривой есть бесконечно малая более высокого порядка, чем угол, составляемый ими, то часто говорят, что развертывающиеся суть такие линейчатые поверхности, бесконечно близкие образующие которых, пересекаются. При этом ребро возврата будет представлять обертывающую кривую этих образующих. Из свойств развертывающихся поверхностей здесь следует особенное внимание обратить на то, что для такой поверхности касательные плоскости, проведенные к ней и в различных точках одной и той же образующей, совпадают между собой.
Неразвертывающиеся поверхности представляют общий случай линейчатых поверхностей. Для этих поверхностей кратчайшее расстояние между двумя бесконечно близкими образующими есть бесконечно малая вообще такого же порядка, как и угол составляемый этими образующими. Геометрическое место предельных положений, тех точек образующих, в которых они находятся в кратчайших расстояниях от бесконечно близких образующих, представляющих кривую, называемую линией сужения линейчатой поверхности. Таким образом, для развертывающейся поверхности линий сужения будет ребро возврата.
Легко убедиться, что для неразвертывающейся поверхности касательные плоскости, проведенные в различных точках одной и той же образующей, вооб
ще различны.
Пусть АВ и CD — две бесконечно близкие образующие такой поверхности, А'С — кратчайшее расстояние между ними, А — предельное положение точки А*, представляющее, следовательно, точку пересечения образующей АВ с линией сужения, СЕ — прямая, параллельная АВ и Е и D — точки пересечения прямых СЕ и CD с плоскостью, перпендикулярной к образующей АВ и проходящей через какую-либо точку ее.
Положим
Д'С = 6, Z_ECD = a, Z_DBE = ф', А'В = х', Hm-^- = X, limq/ = ср,АВ = Нтх' = х.
Касательная плоскость к нашей поверхности в точке В есть предельное положение плоскости, проходящей через А В и точку D. Поэтому ф — угол, со-
ставляемый этой касательной плоскостью с предельным положением плоскости, проходящей через образующую АВ и точку С. Найдем этот угол. Мы имеем
, , DE СЕ tg а V tg а= -ВЁ =-^- = ——>
а отсюда
. X
Здесь X — величина, постоянная для одной и той же образующей, но вообще изменяющаяся при переходе от одной образующей к другой. Для развертывающихся поверхностей Z = 0.
Таким образом, мы видим, что тангенс угла, составляемого касательной плоскостью к неразвертывающейся поверхности в какой-либо точке В ее образующей с касательной плоскостью, проведенной к ней в точке А пересечения этой образующей с линией сужения, пропорционален удалению точки В от точки А, откуда и следует справедливость доказанного выше.
Пусть S и S} — две неразвертывающиеся поверхности, имеющие общую образующую Р; А — точка пересечения с этой образующей линии сужения поверхности S и Аг — точка пересечения той же образующей с линией сужения поверхности Sx. Расстояние между точками А и Аг обозначим через к и через Хх — постоянную, характеризующую образующую Р для поверхности Sx и имеющую для этой поверхности такое же значение, какое имеет определенная выше постоянная X для образующей Р по отношению к поверхности S.
Предполагая, что поверхности S и Sx касаются во всех точках общей образующей Р, обозначим через гр угол, составляемый касательными плоскостями, проведенными к ним в точках А и Av Вследствие этого, понимая под ф и х величины, имеющие прежнее значение по отношению к поверхности S, мы будем иметь следующие равенства:
= 1ё(ф±ф) = -^,
которые должны быть справедливы для всякого х, а это может быть только при условии X = Хх и если при этом X не равно нулю, то должно быть к = 0.
Таким образом, мы видим, что если две линейчатые поверхности касаются во всех точках общей образующей, то 1) параметры X, характеризующие эту образующую по отношению к одной и другой линейчатой поверхности, должны быть равны между собой и 2) если эти поверхности неразвертывающиеся, то линии сужения их пересекаются с рассматриваемой общей образующей их в одной точке.
Из сказанного видно, что в случае неразвертывающихся линейчатых поверхностей одного только условия касания их во всех точках общей образующей достаточно для того, чтобы положение одной из них было определенным по отношению к другой при совмещении их образующих. В случае развертывающихся поверхностей одного этого условия, конечно, еще не достаточно для подобной определенности. Но если одна из этих линейчатых поверхностей катится по другой таким образом, что это катание не сопровождается скольжением по направлению, перпендикулярному к образующим, то на основании этого можно показать, что ребра возврата их непременно пересекаются в одной точке с общей образующей.
В самом деле, условие такого катания, о котором здесь говорится, состоит в том, что скорости всех точек образующей катящейся поверхности, совпадающих с одной из образующих неподвижной вдоль которой эти поверхности касаются, или равны нулю, или направлены вдоль этой образующей. Отсюда же, нетрудно заключить, что если Р — общая образующая обеих поверхностей, 208
вдоль которой они касаются в какой-либо момент времени t, а Р‘ и Рг — бесконечно близкие к ней образующие обеих поверхностей, совпадающие в какой- либо следующий бесконечно близкий момент времени t + т, то проводя через какую-либо точку М образующей Р плоскость, перпендикулярную к этой образующей, мы получим в пересечении ее с образующими Рг и Рг точки М' и Mi такие, что отношение -^^- будет иметь пределом 1 для всякой точки М, лишь бы только она в случае, когда обе поверхности—развертывающиеся не совпадала с точкой пересечения образующей Р и ребра возврата одной из этих поверхностей. Положим же, что наши поверхности развертывающиеся. Пусть ребро возврата той поверхности, которой принадлежит образующая Р'. пересекает образующую Р в точке А, а ребро возврата другой поверхности пересекает ту же образующую Р в точке Av Расстояние ААг обозначим через к, а расстояние АМ — через х. Далее, угол между образующими Р‘ и Р обозначим через а, а угол между образующими Рг и Р — через av В силу того обстоятельства, что кратчайшие расстояния между образующими Р‘ и Р и Рг и Р— бесконечно малые более высокого порядка, чем а и аъ легко видеть, что
ММ' = ха(1 +е), Л1Л1! = (х 4- &) сб! (1 4-^),
где 8 и 8Х — бесконечно малые величины. Таким образом, на основании сказанного мы должны иметь
Ит—= 1<58)
(х+^а+81)v 1
для всякого неравного нулю положительного х. Это же возможно только при условии к = 0, т. е. когда ребра возврата обеих поверхностей пересекаются с образующей Р в одной точке, что и требовалось доказать.
Между прочим можно заметить, что из условия (58) следует
Hm—= 1.
Из всего сказанного здесь следует, что когда одна из поверхностей (неподвижная или катящаяся) есть развертывающаяся, то и другая непременно будет развертывающейся и что при том, когда одна из них есть цилиндрическая поверхность, то и другая будет цилиндрической.
Положим опять, что Р — общая образующая обеих поверхностей. Спрашивается, какая именно образующая катящейся поверхности должна совпасть в какой-либо следующий момент времени с некоторой данной образующей Q неподвижной поверхности. Для решения этого вопроса возьмем опять образующие: Р' неподвижной и Рх катящейся поверхности. Мы только что видели, что если обе поверхности не цилиндрические, то
lim — = 1.
Кроме того, если обе поверхности неразвертывающиеся, то
= 1,
где 6 и 6i — кратчайшие расстояния между Рг и Р и между Рг и Р. Далее, обозначим через s дугу линии сужения неподвижной поверхности, а через о — дугу линии сужения катящейся поверхности. Эти дуги мы будем отсчитывать от произвольных точек до общей точки А пересечения обеих кривых с образующей Р, предполагая, что при катании s и а одновременно возрастают. Угол, составляемый касательной к дуге s в точке А с образующей Р, обозначим через /, а угол, составляемый касательной к дуге о в той же точке с образующей Р,—
через <р. Эти углы / и <р могут быть рассмотрены, как данные функции s и а. Далее, радиусы кривизны обеих линий сужения в точке А обозначим через г и р. Они также будут данными функциями sho.
Легко теперь видеть, что отбрасывая бесконечно малые высших порядков, для неразвертывающихся поверхностей можно положить
6 = sin /ds, 6Т = sin ^dc,
а для развертывающихся (исключая цилиндрические)
Таким образом, если S! и О! — значения s и о для каких-либо образующих, которые должны совпасть, то в первом случае stо,
j sin fds = J sin qx/a, Sо
а во втором
Одно из этих уравнений определит дугу от по данным s, а и sb чем и определится та образующая катящейся поверхности, которая должна совпасть с данной образующей неподвижной.
В случае цилиндрических поверхностей те образующие, которые должны совпасть, определяются по равенству дуг сечений цилиндров плоскостями, перпендикулярными к образующим.
Таким образом, мы видим, что действительно при рассматриваемом катании совмещаются вполне определенные образующие обеих поверхностей. Выше же было доказано, что при этом совмещении совпадают вполне определенные точки образующих, за исключением,конечно, случая цилиндрических поверхностей. Поэтому сказанное выше относительно определенности рассматриваемого катания можно считать доказанным.
Мы пришли, следовательно, к таким результатам.
Каждый из аксоидов центральных осей, взятый в отдельности, может быть произвольной линейчатой поверхностью. Но когда один из них задан, то другой уже не может быть вполне произвольным: известные параметры X, характеризующие его образующие, должны быть равны подобным же параметрам, характеризующим те образующие первого, с которыми они должны совпасть. Так, когда один из аксоидов есть развертывающаяся поверхность, то и другой должен быть развертывающейся. Притом когда один есть цилиндрическая поверхность, то и другой будет цилиндрической. За исключением этого последнего случая, характер движения твердого тела вполне определен, когда даны оба аксоида и одна пара их образующих, которые должны совместиться. Это движение может быть воспроизведено катанием одного аксоида по другому, не сопровождающимся скольжением по направлению перпендикулярному к образующим. Что же касается скольжения по направлению образующих, которое вообще сопровождает это катание, то оно определяется тем, что линии сужения обеих поверхностей всегда должны пересекаться в одной точке с общей образующей, вдоль которой касаются аксоиды. Только в том случае, когда аксоиды цилиндрические поверхности, это катание может сопровождаться произвольным скольжением вдоль образующих, что обусловливается неопределенностью положения ребра возврата этих поверхностей (которое находится в бесконечности).
Способ, представления общего случая движения твердого тела рассмотренным здесь катанием одной линейчатой поверхности по другой был предложен 210
Понселе. С точки же зрения Пуансо это движение представилось бы как катание без скольжения некоторого неизменно связанного с телом конуса по другому, имеющему поступательное движение.
Обращаемся теперь к исследованию ускорений точек неизменяемой системы.
Для общего случая движения твердого тела мы нашли следующие выражения для проекций на неподвижные оси скорости какой-либо точки (х, у, 2) его
-5Г = Т + ЮД2 - 2») - ^ (У * У») • ^ = Т + ®2 <х * х») -
— ®,(z — z0), -^ = ^- + ®,(у — у») — %<* — х0).(59)
Дифференцируя по t первое из этих тождеств, получаем
dt2 " dt2 + dt ^ Z® dt ^ tio> + ®Ц di
— ©г
Но производные -~- и -^-, входящие во вторую часть этого последнего равенства, мы можем исключить при помощи двух остальных равенств (59).
Таким образом, мы получим следующие формулы:
J^ = ^ + ^(z_2o)_J^(y_yoHK(x_xo)+oyy_^^+ ®г (z — z0)] to, — Q2 (х — x^,
т" = ^р+ l®x(^—^o) + ©у(у—у») +
+ юг (Z — Zo)] toy — Q2 (у — y0),(60)
"S' = "S' + "S"(y “ У»> ~ "S'(x “ Xo) + [o)*(x — Xo) + ®ДУ " У") ++ юг (z — Zo)l ®г — Q2 (z — z0).
Эти формулы показывают, что ускорение всякой точки твердого тела есть геометрическая сумма трех ускорений:
ускорения какой-либо его точки О, принимаемой за полюс;
ускорения, проекции которого на неподвижные оси
-^-(z—г0)^-(у —у0) и т. д.;(61)
ускорения, проекции которого
[йДх — х0) + ®у(у — у0) + ©г(2 — Zo)] to, — Q2(x — х0) и т. д. (62) Выражения (61) имеют одинаковый вид с проекциями вращательной ско- роста точки (х, у, г) тела вокруг полюса О, причем величины -^,вхо
дят в них совершенно так же, как проекции угловой скорости входят в выражения проекций вращательной скорости.
Если из какой-либо неподвижной точки провести длину, которая во все время движения тела сохраняла бы направление мгновенной оси и заключала бы в себе столько единиц длины, сколько Q заключает в себе единиц угловой
скорости, то конец этой длины при движении тела будет чертить кривую, называемую годографом угловой скорости. Скорость этого конца или, как мы будем говорить, скорость точки, чертящей годограф — угловой скорости, будет иметь dtox dtou dtoz проекциями на оси координат величины, пропорциональные -^—, —^, —др-
Подобно тому, как за меру линейного ускорения принимается скорость точки, чертящей годограф линейной скорости, так за меру углового ускорения принимается скорость точки, чертящей годограф угловой скорости. Вследствие этого величина
называется угловым ускорением. Так же, как и угловой скорости, ему приписывают определенное направление, а именно — направление, составляющее с осями координат углы, косинусы которых равны
1 dtox 1 dtoy 1 dto2dT" ’ dt ’ "5 di”*
dtoy dtoy dtoz
вследствие чего величины —^-, -^-, - ^ называются проекциями на оси координат углового ускорения. Геометрически мы будем изображать его длиной, имеющей отмеченное направление и проведенной из полюса О.
Угловое ускорение выражается в единице, зависящей от единицы времени следующим образом:
1 ед. углового ускорения =.
Jj гвремени)2
Вследствие сказанного ускорение, проекции которого есть выражения (61), равно произведению углового ускорения Й на расстояние рассматриваемой точки (х, у, 2) от геометрического изображения углового ускорения. При этом оно имеет направление, перпендикулярное к плоскости, проходящей через точку (х, у, z) и геометрическое изображение углового ускорения. Это ускорение носит название вращательного вокруг полюса.
Обращаемся теперь к рассмотрению ускорения, проекции которого на оси координат определяются выражениями (62). Если под г понимать величину и направление радиуса-вектора точки (х, у, z), проведенного из полюса О, то выражениям (62) можем дать следующий вид:
Q2 [г cos (г, Й) cos (й, х) — г cos (г, х)] и т. д.
Отсюда видно, что рассматриваемое ускорение равно произведению из квадрата угловой скорости и из расстояния рассматриваемой точки от мгновенной оси. Направление же его одинаково с направлением перпендикуляра, опущенного из этой точки на мгновенную ось, идущим от точки к оси. Это ускорение называется центростремительным по отношению к полюсу.
Таким образом, ускорение всякой точки твердого тела есть геометрическая сумма трех ускорений: 1) ускорения какой-либо точки тела, принимаемой за полюс, 2) вращательного ускорения вокруг этого полюса и 3) центростремительного ускорения по отношению к этому полюсу.
Принимая в расчет показанное выше геометрическое значение этих ускорений, мы можем на основании только что сказанного составить выражения для проекций ускорения всякой точки твердого тела на оси, неизменно с ним связанные [17]. Проекция этого ускорения, которое по величине и по направлению обозначим через о на ось ОХ будет равна сумме трех следующих выражений:
проекции на эту ось ускорения полюса
й + Е) + ^(=. 8;
проекции вращательного ускорения, которая, очевидно, будет равна
[^(х, Л) +-^ (У, 4)+-^Я)] £ - [^(X, £) + ^ (У,9 + ^ (2, о] п
и проекции центростремительного ускорения
й [г cos (г, fi) cos (й, ^ — г cos (г, £)] = (со^ + ®^т| + (0^) со5 — й2^.
Но при рассмотрении аксоидов мгновенных осей мы между прочим на- dto
шли, что , —-. ■ и —тгпроекции на оси OX, OY, 0Z той же самой
dt dt di г
длины, проекции которой на оси Ox', Оу', Oz' суть -^- ,, -^-. Поэто
му проекция на ось ОХ вращательного ускорения выразится так:
Вследствие этого мы находим первую из трех следующих формул:
и COS (Г, X) = ^ (х, £) + ^ {у, У + -5" (2, У +
+ "V" Сл + (ю^ + ®иЛ + «еО ®5 — й2Е,
и cos (и, У) = -^(х, 1]) + -^ ку, Л) + ^Н*. Л) +(63)
+ -дГ 6^Г ^ + ^ + ®лЛ + ю& ®” — $2тЬ
ncos(r, Z) = ^(х, ^^^-^, 9 + -^- (2, 9 4- dto- dto
+ -^4^ + Ш + «Ml + «S ®£ -
dto^da)dto^
Величины -тг-, -дг-^ —дг~' входящие в эти формулы, есть проекции на diatси
оси OX, OY и OZ углового ускорения.
§ 20. Выражения (60) и (63) для проекций на оси прямоугольных координат ускорений точек твердого тела имеют то общее свойство с выражениями для проекций на эти оси скоростей точек твердого тела, что суть линейные функции координат. Так, выражения (60) могут быть представлены в виде
d^xd^u
= а + ахх + ауу + ад, —^- = b + Ьхх + Ьду + Ьд,
= С + СхХ + Сду + СД, если положим
22dtoz, dtou
ax = —toy — to2l ag = toxtog^, az = toxtoz-Y~^-,
. dtox22
Cx = ®г®х^ • Су = <йгЮу + -^ , Cz=—tox — ®„,
a —a —d2x0dt^d2x0dt^ОхХ^ ^уУ^ О220)ОхХ^ ^уУ^ О220)b — ^t bxxQ byyQ b22^b — ^t bxxQ byyQ b22^c =c =at2*at2*^x^O ^уУо C22q,^x^O ^уУо C22q,
a —
a —
d2x0dt^
d2x0dt^
ОхХ^ ^уУ^ О220)
ОхХ^ ^уУ^ О220)
b — ^t bxxQ byyQ b22^
b — ^t bxxQ byyQ b22^
c =
c =
at2*
at2*
^x^O ^уУо C22q,
^x^O ^уУо C22q,
так что а. ах, ау, а2) b и т. д.— известные функции времени.
Очевидно, что повторяя тот же прием, которым мы воспользовались для перехода от формул (59) к формулам (60), мы можем из этих последних получить выражения для проекций ускорений второго и высших порядков и, очевидно, что все эти выражения будут обладать тем же общим свойством, что будут линейными функциями координат.
Вникать в исследование этих выражений мы не будем, потому, что нам не придется иметь дело с ускорениями высших порядков. Желающим же ознакомиться с ними можно рекомендовать следующие сочинения: Resal «Traite de cinematique pure», И. И. Сомов «Рациональная механика» (ч. I, Кинематика); Schell «Theorie der Bewegung und der Krafte».
Относительно выражений (64) следует заметить, что между ними и выражениями (59) для проекций скоростей существенная разница состоит в том, что
О-х ОдО-х Одопределитель
О-х Од
О-х Од
й2
Ьгсг
составленный из коэффициентов выражений (64) при х, у, г вообще не равен нулю, тогда как определитель
0 —coz tog
to2 0 —сох
—соу о)х 0
составленный из коэффициентов при х, у, г в выражениях (59), тождественно равен нулю, т. е. каковы бы ни были tox, toy и to2. В самом деле, пользуясь произведенными выше выражениями для аХ) аи и т. д. легко найти, что
А - - Q2Q2 + (^ -^ + toti ^- + Юг -^)2 = - Й2Й2 sin2 (Q, Q),
откуда и следует справедливость сказанного выше: определитель А обращается в нуль только для тех моментов времени, для которых или угловая скорость равна нулю, или угловое ускорение равно нулю, или угловое ускорение имеет направление одинаковое с угловой скоростью.
Вследствие этого обстоятельства во всяком движении твердого тела в каждый момент времени существует бесчисленное множество точек, скорости которых геометрически равны между собой (этим свойством обладают все точки всякой прямой, имеющей направление мгновенной оси), и вообще не существует точек, скорости которых равны нулю. Для ускорений же наоборот: вообще ускорения различных точек твердого тела геометрически не равны между собой и вообще существует такая точка, ускорение которой равно нулю. Приравнивая нулю вторые части равенств (64), мы получим уравнения для определения координат этой точки, называемой мгновенным центром ускорений. Когда определитель Л обращается в нуль, точка эта удаляется в бесконечность.
Относительно выражений (64) заметим еще, что вообще, так как когда А не равен нулю, из них следует, что геометрическое место точек, величина ускорений, которых равны между собой, есть эллипсоид, центр которого находится
в мгновенном центре ускорений. Когда же А — О геометрическое место таких точек представляет эллиптический цилиндр, ось которого имеет направление угловой скорости или углового ускорения, причем точки этой оси имеют наименьшие ускорения.
Глава II
ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ
В предыдущем нам уже не раз приходилось говорить об относительном движении точки. При этом мы всегда имели в виду некоторую движущуюся систему координатных осей OXYZ, по отношению к которой положение точки определялось координатами £, г], £ и под относительным движением точки понималось то движение, которым она обладала бы, если бы система осей OXYZ оставалась неподвижной, а координаты £, т), £ выражались бы теми же самыми функциями времени, как и в действительном движении.
Если мы вообразим непрерывную неизменяемую систему точек, неизменно связанных с системой осей OXYZ, то каждая система значений £, т), £ будет определять во все время движения одну и ту же точку этой неизменяемой системы, так что изменения £, т), £ будут определять переход от одной точки этой системы к другой. Поэтому подобно тому, как абсолютное движение точки определяется, как переход движущейся точки через различные точки пространства (предполагаемые неподвижными), совершающийся в течение времени последовательно и непрерывно, так и относительное движение точки по отношению к движущейся системе осей OXYZ можно определить, как переход движущейся точки через различные точки неизменяемой системы (неизменно связанные с этой системой осей), совершающийся в течение времени последовательно и непрерывно. Такое движение точки мы будем называть относительным по отношению к этой неизменяемой системе точек.
Во многих случаях, как например в различных вопросах гидродинамики, встречается необходимость рассматривать относительное движение точки по отношению к некоторой непрерывной изменяемой системе точек. Движение такой системы точек будет дано, сколь скоро координаты х, у, г точек ее по отношению к некоторой неподвижной системе осей даны в виде
х = Ф& ц, £, tY g - Ф6, n, £, tY г = О& Ч, ^ О (65) функций времени и трех параметров £, т), £, каждая система значений которых определяет одну и ту же точку изменяемой системы для всего времени движения, так что если в уравнениях (65) рассматривать £, т] и £, как постоянные, то они определят движение некоторой точки изменяемой системы, если же рассматривать в них / как постоянное и давать различные значения £, i], £, то из них будут получаться координаты различных точек изменяемой системы, соответствующие одному и тому же моменту времени.
Определение относительного движения точки по отношению к такой изменяемой системе может быть получено из приведенного выше определения относительного движения по отношению к неизменяемой системе для этого стоит только заменить в нем выражение «неизменяемая система» выражением «изменяемая система». В этой возможности распространения на какие угодно системы точек приведенного выше определения, заключается преимущество его перед определением, которое обыкновенно приводится в курсах механики, и по которому относительным называется движение, отнесенное к движущейся системе координатных осей.
Исследование относительного движения точки по отношению к изменяемым системам можно найти в кинематике профессора Бобылева . Мы же ограничимся здесь рассмотрением относительного движения только по отношению к неизменяемым системам.
Так как относительное движение точки по отношению к некоторой неизменяемой системе от абсолютного отличается только тем, что в нем рассматривается последовательный переход движущейся точки не через различные точки пространства, а через точки этой неизменяемой системы, которые определяются координатами g, т), £ по отношению к некоторой системе осей OXYZ, неизменно связанных с этой системой, то все элементарные кинематические понятия — о траектории движения, скорости, годографе скорости и об ускорениях — могут быть без дальнейших рассуждений применены к этому относительному движению. При определении всех этих понятий для относительного движения нужно только вместо точек пространства рассматривать точки неизменяемой системы и относить последние вместо неподвижной к движущейся системе координатных осей, неизменно связанных с системой точек. Таким образом, проекции на оси OX, OY, 0Z относительной скорости движущейся точки d^ d4 dz
выразятся через -~, -~, -^, а проекции на те же оси ускорения ее через
d^ d24 d^
dt2 ’ at2 ’ dt2 '
Если x, y,z — абсолютные координаты движущейся точки (т. е. координаты по отношению к некоторой неподвижной системе осей), то они будут связаны с ее относительными координатами g, т|, g выражениями
х = х0 + (х, £) 5 + (X, n) П + (X, 0 ^, У = у0 + (у, £К +
+ (У, п)П + (у, ОС, z = z0 + (z, £К + (z, Т])Т) + (z, £)£,(66)
в которых х0, у0, 20, (х, g), (х, л) и т- Д-— некоторые функции времени, определяющие движение неизменяемой системы.
Рассматривая все величины, входящие в уравнения (66), как функции времени 1, продифференцируем по t первое из этих тождеств. Это нам даст следующее равенство:
। dx0 , t d(x, у , _ d(x, гр , d(x,Q^”dT + 5—dT" + 71 —di” + £—di” •
Здесь выражение, находящееся в первой строке второй части равенства, представляет, очевидно, проекцию на ось х относительной скорости движущейся точки; выражение же, находящееся во второй строке, есть проекция на ту же ось скорости той точки (g, т|, У неизменяемой системы, с которой движущаяся точка совпадает в рассматриваемый момент времени I: это есть, следовательно, проекция на ось х скорости, которой обладала бы движущаяся точка в момент времени I, если бы, начиная с этого момента времени, относительные координаты ее перестали изменяться. Эта скорость называется скоростью переносного движения.
Если мы обозначим по величине и по направлению абсолютную скорость движущейся точки через г, относительную скорость ее через и и скорость переносного движения через ио, то полученное нами равенство представится так:
v cos (и, х^ — и cos (и, х) + w cos (го, х).
Это равенство в связи с двумя другими, относящимися к осям у и 2, может быть заменено следующим:
Г = И + Ю,выражающим, что скорость г — геометрическая сумма скоростей и и ио.
Таким образом, во всяком движении абсолютная скорость движущейся точки есть геометрическая сумма скорости относительного движения ее по отношению к некоторой неизменяемой системе и скорости переносного движения.
Перейдем к рассмотрению ускорения в относительном движении точки.
Дифференцируя первое из тождеств (66) по t два раза, найдем
^/2 — (Х» Ю J/2 + (Х> В) ^2 + (Х> £) № +
dt2- 5 dt2-dt2- 5 dt2-I n d2 ^, 11) f r d2 (X, £)+^2^2+
dt2- 5 dt2-
dt2- 5 dt2-
(67)(67)9 Г ^ d (я, у . dK\ d (x, 4)^ d (x, Q 1
(67)
(67)
L dt dt dt dt dt dt
Здесь выражение, находящееся в первой строке второй части равенства, представляет проекцию на ось х относительного ускорения движущейся точки; выражение, находящееся во второй строке, может быть получено дифференцированием по t два раза первой формулы (66), рассматривая в ней g, т], £ как постоянные; это есть, следовательно, проекции на ось х ускорения той точки неизменяемой системы, с которой движущаяся точка совпадает в рассматриваемый момент времени; это ускорение называется ускорением переносного движения.
Что касается выражения, находящегося в третьей строке равенства (67), то оно имеет следующее значение. Если пи есть длина известного направления, принятая для геометрического изображения относительной скорости и, то dt dv\ dtv,
п п ""яЬ п~я/ — относительные координаты точки, чертящей годограф отно- at civ
сительной скорости, а выражение
Г ^ d (х, g) dK\ d^x, 4) dt, d (x, Q 1
V dt dt ' dt dt dt dt J
есть проекция на ось х вращательной вокруг полюса О скорости той точки неизменяемой системы, с которой в рассматриваемый момент времени совпадает точка, чертящая годограф относительной скорости.
Если для геометрического изображения скорости и примем длину, заключающую в себе столько единиц длины, сколько и заключает в себе единиц скорости, то получим
ед. длиныед. скоростиед. длиныед. скоростиед. времени,ед. времени,
ед. длиныед. скорости
ед. длиныед. скорости
ед. времени,
ед. времени,
а потому можем сказать, что
9 Г dt, d^x, у dK\ d (х, ч) . d (х, Q 1L dt dt dt dt dt dt J
есть проекция на ось х удвоенной и разделенной на единицу времени скорости той точки неизменяемой системы, с которой в рассматриваемый момент времени совпадает точка, чертящая годограф относительной скорости. Ускорение, имеющее эту величину, которая равна ^ий sin (и, Й) и направление которого прямо противоположно направлению этой скорости,
Кориолис назвал сложным центробежным. Сомовым же для него предложено название поворотного.
Обозначая через г, гц ио ускорения абсолютного, относительного и переносного движений, а через л ускорение поворотное и учитывая две другие формулы, подобные (67) и относящиеся к осям у и 2, мы можем записать
Г = и + W — л,
т. е. геометрическая сумма абсолютного и поворотного ускорения геометрически равна геометрической сумме ускорений относительного и переносного движений.
Таким образом, ускорение абсолютного движения точки вообще не есть геометрическая сумма ускорений относительного и переносного движений, как то имело место по отношению к скоростям.
Скорости относительного и переносного движений точки, слагаясь по закону параллелограмма, дают скорость абсолютного движения. При сложении же по этому закону ускорений этих движений абсолютное ускорение получается только тогда, когда поворотное ускорение равно нулю.
Поворотное же ускорение может быть равно нулю только в одном из трех следующих случаев: 1) когда относительная скорость точки имеет направление мгновенной оси в движении неизменяемой системы; 2) когда относительная скорость движущейся точки обращается в нуль и 3) когда угловая скорость неизменяемой системы равна нулю.
Таким образом, когда неизменяемая система движется поступательно, абсолютное ускорение всякой движущейся точки есть геометрическая сумма из ускорений относительного по отношению к этой системе и переносного.
Из определения поворотного ускорения непосредственно следует
л cos (л, ОХ) = — 2 ^о)Г| -^о)^ -^-), л cos (л, ОУ) =
= — 2, Л cos (л, 0Z) = — 2 (g)?0)л.
\ at 5 at )х '\ ъ at 1 at /
Поэтому для проекции на оси ОХ, ОУ, 0Z относительного ускорения движущейся точки мы будем иметь следующие формулы:
= у cos (г, ОХ) — w cos (и?, ОХ) — 2о)г ,
-^- = ycos(v, ОУ) — оу cos (w, ОУ) —2 (о>£-^- —(68)
-^- = у cos (v, 0Z) — w cos (w, OZ) — 2 [он -^—- ®л —^ •
Три уравнения (66) связывают 12 величин: абсолютные координаты движущейся точки, относительные координаты ее и шесть величин, определяющих положение неизменяемой системы. Поэтому из этих 12 величин могут быть выбраны 9 таких, которые можно задать произвольно (как произвольные функции времени). Так, например, можно задать движение неизменяемой системы и одно из двух движений точки: абсолютное или относительное, после чего уравнения (66) определят другое. Можно также задать произвольно абсолютное и относительное движение точки, после чего еще может быть задано произвольно вращательное движение неизменяемой системы. Тогда уравнения (66) определят поступательную часть этого движения.
Таким образом, всякое движение точки можно рассматривать как результат совместного существования двух движений: 1) произвольного относительного движения ее по отношению к некоторой неизменяемой системе и 2) движения этой неизменяемой системы, имеющей произвольную угловую скорость.
В этом смысле можно сказать, что всякое движение точки может быть разложено на два, из которых одно может быть задано произвольно. Одно из этих движений есть относительное по отношению к некоторой неизменяемой системе, а другое — то движение, которое имела бы эта точка, если бы, начиная с известного момента времени, прекратилось ее относительное движение, это есть, следовательно, движение некоторой точки неизменяемой системы; по отношению к движущейся точке оно называется увлекающим или переносным. Задать относительное движение точки значит задать ее относительные координаты в функциях времени. Задать же переносное движение значит задать движение неизменяемой системы.
Когда данное движение точки разлагается на два других таким образом, что задается переносное движение ее, то этим вполне определяется другое составляющее движение. Когда же задается относительное движение точки, то другое составляющее движение ее хотя и не может быть вполне произвольно, но и не определяется еще вполне, при этом углы ф, А и ср, определяющие вращательное движение неизменяемой системы, могут быть заданы произвольно.
Чаще всего, разлагая данное движение точки на два других, предполагают, что движение неизменяемой системы должно быть поступательным. При этом условии одно из составляющих движений вполне определяет другое.
В общем случае траектория переносного движения точки изменяет в течение времени не только свое положение в пространстве, но и свой вид, тогда как траектория относительного движения изменяет только свое положение, ибо это есть кривая, неизменно связанная с неизменяемой системой. Поэтому при разложении данного движения точки на два других относительное и переносное движение вообще не могут меняться своими значениями. Такая перемена значений составляющих движений возможна только в частном предположении, что неизменяемая система должна двигаться поступательно. В этом предположении каждое из двух составляющих движений может быть принято за относительное.
Мы видели, что каким бы образом ни разлагалось данное движение точки на два других составляющих, скорость ее всегда будет геометрической суммой скоростей составляющих движений. Для ускорений же это вообще будет справедливо только в последнем частном предположении, когда неизменяемая система при посредстве которой производится это разложение, движется поступательно.
Положим, что движущаяся точка М имеет в рассматриваемый момент времени скорость г, проекции которой на оси координат суть V, yz, z* и ускорение г, проекции которого на те же оси суть х", у”, z". Мы будем иметь следующие геометрические равенства:
v = х' + у' 4- я', г = хп + у" + zn. (69)
Далее, возьмем некоторую систему точек Л, движущуюся поступательно параллельно ось х так, чтобы скорость и ускорение каждой ее точки в рассматриваемый момент времени были х и х" и систему В, относительное движение которой по отношению к системе А было бы поступательным и параллельным оси у, так чтобы относительные скорость и ускорение каждой точки ее в тот же момент времени были равны у' и у".
В рассматриваемый момент времени абсолютная скорость каждой точки системы В будет геометрической суммой х' и у', а абсолютное ускорение ее геометрической суммой х" и у" и, следовательно, абсолютное движение системы В будет также поступательным.
Но движение точки М можно разложить на относительное движение ее по отношению к системе В и на соответствующее переносное. При этом скорость ее будет геометрической суммой х' + у' и скорости этого относительного
движения, а ускорение — геометрической суммой ^ + ^" и ускорения в этом относительном движении. Отсюда, с учетом равенства (69), мы заключаем, что относительные скорость и ускорение точки М по отношению к системе В параллельны оси z и равны z* + z".
Таким образом, проекции на оси координат скорости и ускорения движущейся точки могут быть рассматриваемы как скорости и ускорения некоторых составляющих движений, на которые может быть разложено движение этой точки. Поэтому величины ж', у*, z' и ж", у", z" и называют иногда составляющими скорости и ускорения движущейся точки, параллельными координатным осям.
Рассмотрим теперь некоторые обстоятельства относительного движения одной неизменяемой системы (которую обозначим системой Л) по отношению к другой (системе В\
Пусть С есть некоторая точка системы В, которую мы примем за начало прямоугольных координатных осей Сх, Су, Cz, неизменно связанных с системой В. Проекции на эти оси скорости точки С обозначим соответственно через се, 0, у, угловую скорость системы В — через Ф, а проекции ее на эти оси — через Фх> Ф*/> Фг*
Пусть далее О есть некоторая точка системы А, которую мы будем принимать за полюс, как при рассмотрении абсолютного, так и при рассмотрении относительного движения системы А по отношению к системе В. Координаты этой точки по отношению к системе осей Cxyz обозначим через х0, у0, 20. Угловую скорость системы Л в ее относительном движении по отношению к системе В обозначим через Y, а проекции ее на рассматриваемые оси — через фх, %, гр2. Угловую же скорость системы Л в ее абсолютном движении — через й и проекции ее на оси координат — через сох, соу, coz. Угловую скорость V мы будем называть относительной, а угловую скорость й — абсолютной.
Наконец, обозначим через г, us ио абсолютную, относительную и переносную скорости какой-либо точки (х, у, z) системы А. Под г0 будем понимать абсолютную скорость точки О. Мы имеем
и cos (г, х) = Уо cos (г0, х) 4- toy (? — z0) — сог (у — y0),и cos (w, x) = -§- = -^- + % (z — z0) — %ky — Уо),w cos (it, x) = a + (py2 — cp2y.
Поэтому, учитывая равенство о = и + w, найдем первую из трех следующих формул:
у0 cos (г0, х) + ^ (z — z0) — юг (у — у0) = a + -^- + фуг0 — фгу0 ++ (% + фу) (z — z0) — (фг + фг) (у — у0),
y0cos(r0, У) + ®г(х — х0) — <йДг — z0) == Р +-^-+ ФЛ — ФЛ+
+ (Фг + фг) (х — х0) — (фЛ 4- фж) (г — z0),(70)
у0cos(r0, z) + tox(y —у0) —^(х —х0) = т + -^+ ФЛ —ФЛ +
+ (Фх + Фх) кУ — Уо) — (Фу + фу) (X — Х0).
Так как эти три равенства должны иметь место при всяких х, у, z, то мы из них находим
®х = Фх + Фх, Юд = Фу 4- фу. ®г = фг ф- фг
или й = Ч? + Ф.
Таким образом, абсолютная угловая скорость в движении всякой неизменяемой системы есть геометрическая сумма ее относительной угловой скорости по отношению к некоторой другой неизменяемой системе и угловой скорости последней.
Каково бы ни было данное движение неизменяемой системы, мы всегда можем его рассматривать, как результат совместного существования двух других движений: относительного по отношению к некоторой другой системе В и движения этой последней.
В этом смысле можно сказать, что всякое движение неизменяемой системы может быть разложено на два других, из которых одно может быть задано произвольно. Таких разложений может быть бесчисленное множество и для каждого из них угловая скорость системы будет геометрической суммой угловых скоростей составляющих движений.
Каждое из составляющих движений, в свою очередь, может быть разложено на два других, так что всякое движение неизменяемой системы может быть разложено на произвольное число п составляющих движений, из которых п — 1 могут быть заданы произвольно, после чего определится и п-е. Угловая скорость системы при этом будет геометрической суммой угловых скоростей всех п составляющих движений.
Таким образом, если Я есть угловая скорость некоторой неизменяемой системы, а сох, coy, cdz по-прежнему означают проекции ее на неподвижные оси, то мы можем разложить движение этой системы на три составляющих с угловыми скоростями, направленными параллельно координатным осям и равными Юл, tog) tox (если только условиться угловую скорость вокруг отрицательного направления одной из координатных осей рассматривать как угловую скорость вокруг ее положительного направления, приписывая этой угловой скорости отрицательную величину). Вследствие этого величины шх, toy, toz и называют иногда составляющими угловой скорости, параллельными координатным осям.
Обращаясь к рис. 19 (§ 8), введем кроме неизменяемой системы, неизменно связанной с осями OX, OY, 0Z, и которую мы будем теперь называть системой А, еще две неизменяемые системы: систему С, неизменно связанную с осями Ог и ОР, и систему В, неизменно связанную с осями 0Z и ON. Система С будет иметь абсолютное движение, в котором угловая скорость направлена по Ог и равна система В будет иметь относительное движение по отношению к системе С, в котором угловая скорость направлена по ON и равна -^; система же А будет иметь относительное движение по отношению к системе В, в котором угловая скорость направлена по 0Z и равна -^. Совместное существование этих трех движений и дает действительное абсолютное движение системы А. Угловая скорость Я в этом движении будет геометрической суммой угловой скорости -^ и абсолютной угловой скорости системы 6. Последняя же есть геометрическая сумма угловых скоростей ^ и ^-. Таким образом, мы приходим к результату, полученному в § 8 иным путем, что угловая скорость Я есть геометрическая сумма трех угловых скоростей: имеющей направление Ог, ^, имеющей направление ON и -^-, имеющей направление 0Z.
Покажем теперь, каким образом могут быть найдены остальные элементы абсолютного винтового движения системы А, когда известны элементы винтового движения системы В и относительного по отношению к ней винтового движения системы А.
Обращаясь опять к формулам (70), положим для упрощения их, что ось Cz в рассматриваемый момент совпадает с центральной осью в движении системы В. Кроме того, положим, что ось Сх в тот же момент времени совпадает с прямой, по которой измеряется кратчайшее расстояние между этой центральной осью и центральной осью в относительном движении системы А по отношению к системе В так, что положительное направление оси Сх идет от первой центральной оси ко второй. Это кратчайшее расстояние обозначим через к. За точку О примем ту точку системы А, которая в рассматриваемый момент времени находится в точке пересечения оси Сх и центральной оси в относительном движении системы А. Проекцию на эту центральную ось поступательной скорости этого относительного движения обозначим через g.
Вследствие этого мы будем иметь
Фх = Фу = 0, а = р = 0, ^ = 0, -^- = 0, у0 = z0 = о,
Фг — Хо — К, dt — g, at — g’
а потому из уравнений (70) найдем
«о cos (г0, х) = 0, v0 cos (г0 У) = -^- g + &Ф,
(71) v0cos(v0, z) = т + ^g, ®х = 0,% ®г = 1рг + Ф.
Уравнения
и COS (о, х) и cos (о, Z/) У cos (о, 2)
<OX~'toy " tog
центральной оси в абсолютном движении системы А в силу (71) приводятся к виду
(ди2 — to2U = 0,9(72)
(toy + ©г) (х — £) = и0 cos (re, z) toy — у0 cos (v0, у) toz.
Второе из этих уравнений вследствие формул (71) принимает вид
Й2 (х — fc) = (уф — ^Ф) -^ — &ФЙ cos (Ф, Й)
или так как
Й = Фсоз(Ф, Й) + V cos СУ, Й), гру = ± Т sin (Ф, Т),
Й, = ШТ cos (Т, Й) ± (уТ — ^Ф) sin (Ф, Т),(?3)
где нужно взять знак «+», когда для наблюдателя, поместившегося в направлении центральной оси (Ф) и смотрящего на центральную ось (y^ направление последней представляется идущим с левой стороны плоскости, определяемой направлениями (Ф) и (fc), на правую, и знак «—» в противном случае.
Уравнение (72) показывает, что центральная ось в абсолютном движении системы А пересекает кратчайшее расстояние между центральными осями в двух составляющих движениях. Уравнение же (73), в котором величина и направление Й могут быть рассмотрены в силу равенства
Й = ф + уг,(74)
как известные, определяют точку пересечения. Если бы величина х, следующая из уравнений (73), оказалась отрицательной, то это должно означать, что центральная ось (Ф) находится между центральными осями (Й) и (4е). Численное значение х представляет, очевидно, величину кратчайшего расстояния между центральными осями (Ф) и (Й). Точно так же численное значение к — х представляет величину кратчайшего расстояния между центральными осями W И (Й).
Формулы (73) и (74) определяют положение центральной оси в абсолютном движении системы А. Теперь для окончательного решения задачи осталось только найти абсолютную поступательную скорость системы А вдоль этой оси. Обозначим эту скорость через о, проекцию же ее на направление й — через Н. Мы будем иметь
± О = h = и0 cos (г0, Я) = 4- lyo cos (г0, у) tog + v0 cos (г0, г) ®г], что в силу формул (71) обращается в
йк = Фу + Tg + (®g + Ту) cos (Ф, Т) ± ^ФТ sin (Ф, Т), (75) где из двух знаков «±» нужно взять тот же, что и в формуле (73). Формула (75) и решает вопрос.
Когда данное винтовое движение неизменяемой системы разлагается на два других винтовых с угловыми скоростями Ф и Т ис поступательными скоростями вдоль их направлений у и g, то выражение, находящееся во второй части равенства (75), для всех таких разложений сохраняет свою величину. Вследствие этого это выражение называется инвариантом двух составляющих винтовых движений.
Обратимся теперь к рассмотрению частного случая, когда поступательные скорости обоих составляющих движений равны нулю. Полагая в формулах (73) и (75) у = g = 0, найдем
йх = kW cos (Т, Й), Q {k — х) = кФ cos (Ф, Й) (76) и
Йо = &ФТ sin (Ф, Т). (77)
Учитывая, что геометрическое равенство (74) заключает в себе три алгебраических равенства, мы приходим к заключению, что между девятью величинами: элементами Q, о абсолютного винтового движения неизменяемой системы, угловыми скоростями Ф, Т двух составляющих вращательных движений, кратчайшими расстояниями к, х и углами (Ф, Й), (Т, й), (Ф, Т) существует пять уравнений: (71), одно из двух (76) и три, заключающихся в (74). Поэтому между этими девятью величинами существует четыре таких, которые могут быть заданы произвольно, после чего по этим уравнениям определятся пять остальных. Так, например, можно задать произвольно две угловые скорости Фи?, угол между ними (Ф, Т) и кратчайшее расстояние к, т. е. можно задать два составляющих вращательных движения, после чего найдется составное винтовое движение. Можно также задать произвольно Q, о и две величины: Ф < (Ф, й), т. е. можно задать винтовое движение неизменяемой системы, величину и направление угловой скорости одного из двух составляющих вращательных движений. Кроме Q и а можно также задать произвольно положение мгновенной оси в одном из этих составляющих движения.
Когда данное винтовое движение неизменяемой системы разлагается на два составляющих вращательных таким образом, что задается величина и направление угловой скорости в одном из них, то остальные элементы этих составляющих движений определятся следующим образом. Равенство (74) по данным величине и направлению й и Ф дает возможность найти величину и
направление V. [После этого из уравнения (77) найдется 6, а одно из двух уравнений (76) даст х. Имея же эти данные, легко построить мгновенные оси (Ф) и (V).
Когда задается положение мгновенной оси в одном из двух составляющих движений, то кроме Q и о будут известны еще sin (Ф, В) и численные значения х и cos (Ф, О). Замечая, что
Q _ У _ Фsin (Ф, V) sin (Ф, О) sin (У, В) ’
мы можем привести равенство (77) к одному из двух следующих видов:
а = кФ sin (Ф, Q),(78)
о = ^ sin (^( Й).(79)
Уравнение (78) определяет кФ. Уравнение же (79) в связи с первым уравнением (76) дает
^ = Уа2+ Q2X2.(80)
Вследствие (78) и (80) уравнения (76) и (79) дают
& = х +-^-ctg(O, Q), sin (Y.Q) = -=£=, cos(T, Й) =ыу а2 + &2х2
Вторые части этих трех уравнений содержат кроме известных величин еще две величины х и ctg (Ф, Й), численные значения которых известны, знаки же должны быть еще определены. Для этого мы замечаем, что к представляет существенно положительную величину. Поэтому относительно знаков х и ctg (Ф, Й) можно сделать только два предположения: х и ctg (Ф, Й) оба положительны и 2) х и ctg (Ф, Й) имеют такие противоположные знаки, для которых вторая часть первого из уравнений (81) положительна. В каждом из этих двух предположений уравнения (81), (78) и (80) определяют все элементы обоих составляющих движений однозначным образом. Таким образом, мы получим две пары составляющих вращательных движений, из которых будут слагаться винтовые движения с одной и той же центральной осью, угловой скоростью и величиной а поступательной скорости. Но легко убедиться, что если для одной пары составляющих движений скорость о направлена одинаково с угловой скоростью й, то для другой пары она будет направлена прямо противоположно й. Поэтому известное направление поступательной скорости о укажет, на котором из двух предположений относительно знаков х и ctg (Ф, Й) следует остановиться.
Замечая, что вторая часть равенства (77) представляет ушестеренный объем тетраэдра, построенного на угловых скоростях Ф и V, мы можем полученный результат выразить следующим образом:
Всякое винтовое движение неизменяемой системы может быть разложено на два вращательных, из которых в одном можно задать величину и направление угловой скорости или положение мгновенной оси. Таких разложений может быть бесчисленное множество, но для всех них объемы тетраэдров, построенных на составляющих угловых скоростях, как противоположных ребрах, равны между собой.
Теорема эта принадлежит Шалю (Chasles). Мгновенные оси двух составляющих вращательных движений названы им сопряженными осями.
Легко видеть, что эти оси обладают тем свойством, что плоскости, проведенные через различные точки одной из них перпендикулярно к скоростям этих точек, проходят через другую ось. Основываясь на этом свойстве, легко построить сопряженную ось для всякой прямой (принимаемой за одну из осей),
направления скоростей двух точек которой известны. Эта сопряженная ось получится в пересечении плоскостей, проходящих через эти точки и перпендикулярных к их скоростям.
В заключение рассмотрим частный случай, когда оба составляющих движения, а следовательно, и составное совершаются параллельно некоторой плоскости, т. е. когда вопрос сводится к рассмотрению движений плоских фигур в их плоскостях. Рассмотрение центральных осей при этом заменяется рассмотрением мгновенных центров вращения.
Положим
Ф cos (Ф, Й) = Йь ¥ cos (Т, Й) = Й2,
где cos (Ф, Й) = + 1, cos (Т, Й) = ± 1.
Формулы (76) принимают вид
Йх = Й2й, Й (& — х) = Й^,(82)
причем Й = Й! + Й2.
Формулы (82) определяют положение мгновенного центра в составном движении по данным угловым скоростям и мгновенным центрам в составляющих движениях.. Эти формулы показывают, что мгновенный центр в составном движении находится на прямой, проходящей через мгновенные центры составляющих 'движений. Притом, если угловые скорости составляющих движений имеют одинаковые направления, он лежит между этими мгновенными центрами и делит расстояние между ними обратно пропорционально величинам соответствующих им угловых скоростей. Угловая скорость составного движения при этом одинаково направлена с угловыми скоростями составляющих движений и равна их сумме. Если же угловые скорости составляющих движений имеют прямо противоположные направления, то мгновенный центр составного движения не лежит между их мгновенными центрами: по отношению к точкам, лежащим на прямой, проходящей через эти центры между ними, он будет находиться со стороны того из них, которому соответствует ббльшая угловая скорость. Угловая скорость составного движения при этом будет равна разности угловых скоростей составляющих движений; направление же ее будет одинаково с направлением большей из угловых скоростей этих движений.
Все эти результаты легко получить и непосредственно из геометрических соображений.
Если в плоскости движения неизменяемой фигуры возьмем координатные оси, по отношению к которым координаты мгновенных центров в составном и составляющих движениях обозначим через х, у; хх и уг; х2 и у2 (так, чтобы хг и уг были координатами того мгновенного центра, которому соответствует угловая скорость Й^, то легко видеть, что формулы (82) будут равносильны следующим:
йх = Й^х -}- й2х2, йу = Й1У1 4 й2у2, где Й = Йх + Й2.
Одно из составляющих движений, например то, которому соответствует угловая скорость Й2, мы можем, в свою очередь, разложить на два составляющих движения. Если угловые скорости последних обозначим через * Й2 и Йз, а координаты их мгновенных центров — через Х2, у2 и Хз, у^ то будем иметь ^2-^2 “ ^2-^2 4" ^3-^3,^2^2 “ ^2У2 4" ^ЗУЗ, й2 = йг 4“ ^3
и, следовательно,
йх = й^ 4“ Й2Х2 4“ Й3Х3, йу == й1У14“ Й2У2 4“ йзуз, ^== й^ 4~ Й2 4“ ^з«
Продолжая рассуждать таким образом, нетрудно придти к результату, что если движение плоской неизменяемой фигуры в ее плоскости есть составное из п движений в той же плоскости с угловыми скоростями Qn Q2, ..., Qn и мгновенными центрами (хь у^, (х2, у^, ..., (хт у^, то координаты мгновенного центра х и у и угловая скорость Q этого составного движения будут определяться следующими формулами
Y — ^!Х! + ^2Х2 + е • е + &ПХп __ ^1^1 + ^2^2 + 1 • • + ^пУп ^1 + ^2 Т’^1 + ^2 Н" е * * + ^М ’
Q = QT 4- Q2 + • • • 4- ^таналогичными с теми, которыми определяется положение центра тяжести.
Задачи. 1. Твердое тело вращается вокруг начала координат с угловой скоростью, проекции которой на неподвижные оси даны в виде следующих функций времени:
юх = АЦГ), toy = BfW, to2 = Cf^» где Л, В и С — постоянные. Выразить в функциях времени координаты той точки тела, которая в момент t = 0 имела координаты х0, у0, z0.
Проекции угловой скорости тела на неподвижные оси даны в виде следующих функций времени:
(ох = — a sin tot, toy = a cos tot, to2 = a, где а и co — постоянные. Выразить в функциях времени углы ф, Ф и ф.
Найти геометрическое место направлений скорости всех точек неизменяемой прямой.
Найти центроиды и траектории различных точек плоской неизменяемой фигуры, движущейся в своей плоскости таким образом, что две принадлежащие ей взаимно перпендикулярные прямые проходят через две неподвижные точки.
Найти центроиды в движении прямой неизменяемой длины, один конец которой движется по данной окружности, а другой — по продолжению диаметра этой окружности.
Найти центроиды в движении прямой, одна из точек которой описывает данную окружность и направление которой проходит через данную точку.
Найти центроиды в движении параболы, скользящей по двум взаимно перпендикулярным прямым.
Какая кривая должна катиться без скольжения по прямой, чтобы одна из точек, неизменно связанных с ней, двигалась по данному эллипсу, одна из осей которого совпадает с этой прямой.
Три точки А, В и С твердого тела служат вершинами равностороннего треугольника. Скорости точек А и В направлены в плоскости этого треугольника перпендикулярно к сторонам АС (для точки Л) и ВС (для точки В\ Величины скоростей всех трех точек равны между собой. Определить положение центральной оси и элементы винтового движения тела в зависимости от стороны треугольника а и общей величины скоростей у.
Найти центральную ось в движении тела, две точки которого движутся по осям х и у, а некоторая плоскость, содержащая эти точки, проходит через данную точку на оси г.
Определить аксоиды центральных осей в движении тела, определяемом уравнениями л _АлЛео (оц cos a + со)
ф =I- tot, и = а, ф = со4, х0 = Л cos tot, Уо = A sin tot, z0 =t,
2tox sin a
где Л, a, го и tot — постоянные.
Какому условию должны удовлетворять ускорения двух данных точек твердого тела?
Найти в теле геометрическое место точек, ускорения которых перпендикулярны к их скоростям.
В движении плоской фигуры в ее плоскости ускорение некоторой! точки М, находящейся на расстоянии а от мгновенного центра ускорений О, имеет величину у, направление же его составляет с направлением МО острый угол ф. Требуется определить величины угловой скорости и углового ускорения.
ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
ВВЕДЕНИЕ
В динамике рассматривается движение материальных тел в зависимости от причин, производящих движение. Поэтому в основании ее должны лежать некоторые общие свойства материи, а также — добытые эмпирически законы, устанавливающие зависимость движения от причин, производящих его.
Дать сколько-нибудь удовлетворительное определение понятию о материи едва ли возможно. При этом приходится довольствоваться только следующим: материей называется все то, что может оказывать какое-либо действие на наши чувства [181. Свойство это формулируется обыкновенно как первый основной закон механики, называемый законом инерции следующим образом:
Всякое материальное тело, находящееся в абсолютном покое или в поступательном равномерном и прямолинейном абсолютном движении, имеет стремление сохранить свое состояние покоя или движения.
В силу этого закона для объяснения равномерного и прямолинейного поступательного движения тела нет необходимости предполагать существование каких-либо причин, не заключающихся в свойствах материи, которые поддерживали бы такое движение тела. Напротив того, если мы замечаем, что в каком-либо движении скорости различных точек тела изменяются в течение времени, то заключаем о существовании некоторых причин, изменяющих движение и не заключающихся в свойствах самой материи. Эти причины, о сущности которых мы знаем так же мало, как и о сущности материи, называются вообще силами. Не имея никаких данных для суждения о силах a priori, мы руководствуемся при этом единственно только производимыми ими действиями, состоящими в сообщении ускорений точкам тела, на которое они действуют.
Всякое тело мы можем разбить на элементы, все измерения которых бесконечно малы, а коль скоро нам будут известны законы, устанавливающие зависимость между силами, действующими на такие элементы и производимыми ими движениями, то можно будет решать вопросы и о движении всяких тел, находящихся под действием данных сил. Поэтому прежде всего необходимо ознакомиться с движениями материальных тел, все измерения которых бесконечно малы. Такие бесконечно малые материальные тела называются в механике материальными точками. Так как при рассмотрении движения такого тела можно ограничиться рассмотрением движения одной геометрической точки, принадлежащей ему, то движение материальной точки представляет простейший случай движения, с рассмотрения которого должно поэтому начаться изложение динамики. Кроме того, важность введения в механику понятия о материальной точке обусловливается также тем, что во многих вопросах (например, в небесной механике) ею заменяются такие тела, размерами которых пре- небрегается сравнительно с другими встречающимися величинами.
По отношению к материальной точке первый основной закон механики выразится в следующей форме: всякая материальная точка стремится сохранить свое состояние абсолютного покоя или равномерного и прямолинейного абсолютного движения.
Если мы замечаем, что материальная точка имеет ускорение, то заключаем о действии на нее некоторой силы. При этом для определения силы мы вводим три элемента: место приложения ее, направление и величину. Под местом приложения силы понимается та геометрическая точка, движение которой имеется в виду при рассмотрении движения материальной точки. Под направлением силы — направление ускорения, которым обладает точка. Что же касается величины силы, то о ней мы составляем заключение на основании второго закона механики, известного под названием закона независимости действия сил. Этот закон состоит в следующем.
Ускорение, которым обладает материальная точка, при одновременном действии на нее нескольких сил, есть геометрическая сумма тех ускорений, которые сообщили бы ей эти силы, действуя на нее порознь.
На этом законе и на следующих ниже определениях и основывается измерение сил.
Силы, сообщающие одной и той же материальной точке одинаковые ускорения, называются равными.
Сила, сообщающая материальной точке ускорение, геометрически равное тому, которым обладала бы точка, находясь под одновременным действием нескольких сил, называется равнодействующей этих сил, которые по отношению к равнодействующей называются составляющими.
Величина равнодействующей двух сил, имеющих одинаковые или прямо противоположные направления, принимается соответственно за сумму или разность этих сил.
Из этого последнего определения в связи с законом II следует, что сила обращается в нуль одновременно с сообщаемым ею ускорением и что сила в п раз большая сообщает одной и той же материальной точке и ускорение в п раз большее. Таким образом, силы, действующие на одну и ту же материальную точку, пропорциональны, сообщаемым ими ускорениям. Другими словами, отношение силы к сообщаемому ею ускорению для одной и той же материальной точки есть величина постоянная. Количество материи, содержащейся в теле, называется его массой.
Ускорение, сообщаемое материальной точке данной силой, может зависеть только от ее массы: вследствие инертности материи, стремящейся сохранить свое состояние покоя или равномерного прямолинейного движения, это стремление должно быть тем больше, чем больше масса точки. Вследствие этого массы различных точек принимают пропорциональными силам, сообщающим им одинаковые ускорения, причем за меру массы принимается постоянное для каждой точки отношение силы к сообщаемому ею ускорению. Таким образом, если т — масса материальной точки, / — действующая на нее сила, а о — сообщаемое этой силой ускорение, то
/ = то.
К двум основным понятиям о пространстве и времени, которыми довольствуется кинематика, в динамике прибавляются, следовательно, еще понятия: о силе и массе. Но так как сила выражается при помощи массы и ускорения, то независимых элементарных понятий, которыми пользуется механика, только три: пространство, время и масса. Сообразно с этим все величины, рассматриваемые в механике, выражаются в трех основных единицах: единице длины, времени и массы. Вместо последней иногда вводят единицу плотности. Под средней плотностью тела понимают отношение его массы к объему. Предел* средней плотности какого-либо элемента тела, все измерения которого бесконечно малы, представляет то, что называют плотностью в одной из точек этого элемента. Вообще плотность изменяется при переходе от одной точки тела к другой. Тело, плотность которого для всех точек постоянна, называется однородным. Если р — плотность в точке (х, у, z) тела (это есть некоторая функция координат), то на основании сказанного масса М этого тела выразится интегралом
М = У j У pdxdydz,
распространенным на весь объем тела. Вследствие всего сказанного мы будем иметь следующее символическое равенство:
ед. массы = (ед. плотности) • (ед. длины)3,
а так как
ед. силы = (ед. массы) • (ед. ускорения), то
(ед. массы) • (ед. длины) _ (ед. плотности) • (ед. длины)4
ед. СИЛЫ — (ед. времени)2(ед. времени)2
Если принять за единицу длины сантиметр, за единицу времени — секунду среднего времени и за единицу массы — грамм, то единицей силы будет
а = (грамм) . (сантиметр)д(секунда сред, времени)2 ’
Подобно скоростям и ускорениям силы изображаются длинами, имеющими определенные направления. Принимая известную длину для изображения единицы силы, всякую другую силу изображают пропорциональной длиной, отложенной от точки, на которую она действует, в направлении сообщаемого ею ускорения. При этом условии можно говорить о проекции силы на какое-нибудь направление, понимая под этим произведение из величины силы и косинуса угла, составляемого ее направлением с тем, на которое она проектируется.
По второму закону равнодействующая нескольких сил, одновременно приложенных к материальной точке, есть геометрическая сумма этих сил.
В этом состоит принцип, известный под названием начала параллелограмма сил.
Когда равнодействующая нескольких сил, действующих на материальную точку, равна нулю, то говорят, что эти силы уравновешиваются. Для уравновешивания всех действующих на материальную точку сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех этих сил на какие-либо три направления, не лежащие в одной плоскости, были равны нулю.
Материальная точка, не подчиненная в своем движении никаким кинематическим условиям, так что ей может быть сообщена произвольная скорость по произвольному направлению, называется свободной.
Мы начнем с изложения динамики свободной точки, а затем перейдем к динамике точки, принужденной оставаться на некоторой поверхности или линии.
ДИНАМИКА СВОБОДНОЙ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
§ 9. Вообще при решении задачи о движении точки, находящейся под действием центральной силы, рационально употребление полярных координат. Но в одном случае, а именно для силы, изменяющейся пропорционально первой степени расстояния, удобнее пользоваться прямоугольными координатами. Принимая центр притяжения или отталкивания за начало координат, обозначим радиус-вектор точки через г. Тогда действующая на нее сила будет иметь величину, которую можно представить в виде k?mr, где А2 — некоторый постоянный коэффициент. Дифференциальные уравнения движения точки будут: в случае притяжения
хп = — кЧ, у” = — №у, г” = — кЧ(22)
и в случае отталкивания
^ = кЧ, у” - к^у, г" = кЧ.(23)
Интегрирование уравнений (22) дает нам величины
х = A cos kt + A' sin kt, у = В cos kt + В' sin kt, 2 = C cos kt + C' sin kt,
(24)
где A, A', В, В', C, Cr — постоянные, зависящие от начальных данных следующим образом:
А = а, В = Ь, С = с, А'= В'= 4 > С'= 4-’’’k ’кк
Исключая из уравнений (24) время ?, получаем: уравнение плоскости, в которой
лежит траектория
х А А' у В В' г С С'
и уравнения цилиндрических поверхностей, проектирующих эту траекторию на координатные плоскости
(Су — Bz^ + (С'У — В'z^ = (ВС' — СВ')2,
(Лг — Cxf + (Л'г — Cxf = (СЛ' — ЛС')2,
(Вх — Лу)2 + (В'х — Л'у)2 = (ЛВ' — ВЛ')2.
Из этих уравнений видно, что если, все три величины
ВС — СВ', С А' — АС, АВ' — А'В
одновременно не равны нулю, т. е., если начальная скорость точки не равна нулю и не направлена по ее радиусу-вектору, траектория есть эллипс, центр которого находится в центре притяжения. В противном случае траектория будет прямой линией, проходящей через этот центр.
Во всяком случае движение точки будет периодическим с периодом Т = 2 л
= — . Рассматриваемое движение представляет простейший случай гармонического движения. Под этим понятием понимают движение, в котором прямоугольные координаты точки выражаются линейными функциями синусов и косинусов некоторых кратностей времени.
Рассмотрим теперь случай отталкивания. Интегрирование уравнений (23) дает
х = Aekt + А'е-м, у = Bekt + B'e~k*, z = Cekt + Се-к^ (25) где постоянные Л, А' и т. д. выражаются в начальных данных следующим образом
л-т(« + т). в-т(6 + т). c-# + #
Исключая из уравнений (25) время I, получаем, во-первых, уравнение плоскости траектории в прежнем виде и, во-вторых, уравнения цилиндров, проектирующих траекторию на координатные плоскости,
(В? — Су) (С'у — B'z) = (ВС' — СВ')2, (Сх — Лг) (Л'z — Сх) == (СЛ' — ЛС')2, (Лу — Вх) (В'х — Л'у) = (АВ' — ВЛ')2.
Эти уравнения показывают, что, если начальная скорость точки не равна нулю и не направлена по радиусу-вектору, траектория есть гипербола, центр которой находится в центре отталкивания.
Вообще с беспредельным возрастанием времени точка удаляется в бесконечность. Только в том частном случае, когда
а + 4- = ^ + 4 = с + -Г=0’
т. е. когда начальная скорость точки направлена по радиусу-вектору к центру отталкивания и равна произведению постоянной к на радиус-вектор, точка приближается к центру отталкивания.
Преимущество прямоугольных координат перед другими в рассматриваемом случае состоит в том, что для них дифференциальные уравнения движения
являются линейными с постоянными коэффициентами. Тем же свойством будут обладать дифференциальные уравнения движения и в том случае, когда точка движется в среде, оказывающей сопротивление движению, пропорциональное первой степени скорости. Исследуем этот случай движения.
Принимая по-прежнему центр притяжения или отталкивания за начало координат, обозначим коэффициенты пропорциональности: для силы, действующей на точку, через кт и для сопротивления среды через 2Х2/п, причем под к будем понимать положительную величину для притяжения и отрицательную — для отталкивания. Дифференциальные уравнения движения точки будут
х" + 2XV + кх = 0, у" + 2ХУ + ky = O, z" + 2W + kz = О и мы найдем:
для Х4>&
х = де-ч^-Ух^1 _|_ дг^^м^, у = g^v-Vl^^t _|_
B'e-^^^™^1, z = Qe-^-Vv=w _|_ c^-^Vx^b^6)
для X4 = к
х = (Л + Л 7) е-^, у = (В + В7) e-^s z = (С + С7) е-^\(27)
для X4 < к
х = Ае"хч cos J/^Vt + А'е~хч sin Уб — V t,
у = Ве-хч cos Vk — k41 + В'е—Хг<sin Vk—k4t,(28)
z = Ce~vt cos Vk^k4t + С*е~хч sin Vk^k41.
Отсюда видно, что движение точки будет происходить в плоскости
х А У в z С
А*
В' =0
С
и что если ввести вспомогательную точку, определяемую координатами £ = хе^4, г] = уехп. £ = zevt,
то движение последней будет совершаться таким образом, как если бы она притягивалась или отталкивалась началом координат силой, пропорциональной радиусу-вектору, для которой коэффициент пропорциональности есть к — X4. Траектория этой вспомогательной точки будет, следовательно, в первом случае гипербола с центром в начале координат, или прямая линия во втором — прямая линия и в третьем — эллипс с центром в начале координат или прямая линия. По движению этой вспомогательной точки легко составить понятие и о движении рассматриваемой точки: радиус-вектор последней всегда будет иметь направление, одинаковое с радиусом-вектором вспомогательной точки; для t = 0 обе точки совпадают, и с возрастанием времени отношение первого радиуса-вектора ко второму постоянно убывает, приближаясь к нулю.Таким образом, траектория рассматриваемой точки будет плоская спиралеобразная кривая или в частном случае прямая линия.
В случае отталкивающей силы движение точки определяется уравнениями (26). Так как при этом к < 0, то ]/Х4 — к > X2, а потому с возрастанием времени точка будет вообще удаляться в бесконечность. Только в том частном случае, когда А = В = С = 0 или
а' + (X2 + KV^) а = b' + (X2 /Х4^!) b = с' + (X2 + /V^l) с = О,
т. е. когда начальная скорость точки направлена к центру отталкивания и равна произведению начального радиуса-вектора на постоянную V + У"Х4 — 6, точка будет приближаться с беспредельным возрастанием времени к центру отталкивания, описывая при этом прямую линию.
В случае притягивающей силы движение точки будет определяться уравнениями (26), (24) или (28) в зависимости от знака X4 — к. В этом случае с беспредельным возрастанием времени точка всегда будет приближаться к центру притяжения, совпадая с ним только при t = оо.
§ 10. Рассмотрим теперь некоторые общие свойства интегралов дифференциальных уравнений движения свободной точки, находящейся под действием силы, имеющей силовую функцию. Обозначая силовую функцию через mU, мы представим дифференциальные уравнения движения в виде трех уравнений второго порядка
d2x dU d2y _dUd^zdU
dt2 dx * dt2dy ’dt2dz
с тремя неизвестными функциями x, у, zили ввидешестиуравнений первого
порядка
dx , dy , dz , dx’ dU dy’ dU
dt ^ ’ dt ^ ’ dt ^ s ^/ dx ’ dt dy *
(29)(29)dz’ _ dU_dt dz
(29)
(29)
с шестью неизвестными функциями x, у, z, x\ y\ z1. Здесь U — некоторая функция от x, у, z, которую мы можем и будем предполагать зависящей также и от 1.
Для интегрирования системы уравнений (29) необходимо найти шесть независимых интегралов, т. е. шесть таких функций / (х, у, z, х , у\ z\ t) от семи переменных х, у, z, х\ у*, z', /, связываемых этими уравнениями, полные дифференциалы которых обращались бы в нуль тождественно в силу уравнений (29), так что для каждой из этих функций имело бы место тождество
dx dy ^ ' dz •" dx' dx ‘ dy' dy + dz' dz ‘ dt * V )
Каждая такая функция будет интегралом системы уравнений (29) и в силу последних будет иметь постоянное значение. Поэтому, найдя шесть независимых интегралов (т. е. таких шесть, между которыми не существует зависимости, не содержащей х, у, z, х\у\ z1^ и приравнивая их к произвольным постоянным, мы получим шесть уравнений, которые можно будет решить относительно шести неизвестных функций х, у, z, х', у', z'. Эти решения, которые будут функциями времени t и шести введенных произвольных постоянных, и представят общие решения уравнений (29). Произвольные постоянные определятся в них по шести начальным данным a, b, с, a*, b\ d.
Заметим еще, что если по найденным шести независимым интегралам составлены уравнения
Л- (*, У, 2, х*, у\ z’, t) = Ct (i = 1, 2, . .. , 6), которые затем преобразованы и после преобразований приведены к виду
(31)(32)(31)(32)Мх, у, г, х', у', г', t) = С; (j = 1, 2, 3),
(31)
(32)
(31)
(32)
(А = 1, 2, 3),(А = 1, 2, 3),Фя (-'-» У* 2, Cv С2, С8) — Сз+к
(А = 1, 2, 3),
(А = 1, 2, 3),
то первые части уравнений (32) будут интегралами системы трех дифференциальных уравнений первого порядка, которая получится из уравнений (31) „ ,dx гdy ,dz
заменой х через -^-, у — через -^- и z — через -^- . Поэтому первые части
уравнений (31) называются первыми, а первые части уравнений (32) — вторыми интегралами дифференциальных уравнений движения. Когда найдено три каких-либо независимых вторых интеграла, вопрос об интегрировании этих уравнений может считаться решенным.
Мы теперь покажем, что все интегралы системы (29) могут быть получены путем дифференцирования некоторой одной и той же функции координат, времени и трех произвольных постоянных. Рассмотрим функцию
i
Q = J (-L У2 + ^ dt,(33)
где у — скорость движущейся точки, так что
^ = x'2 + y'2+z'2.
Положим, что уравнения (29) проинтегрированы, так что мы имеем выражения х, у, z, х*, у\ г* в функциях времени и шести произвольных постоянных, за которые примем величины а, Ь, с, а', Ь\ с*. При этом подынтегральная функция в выражении (33) будет известной функцией t, а, Ь, с, а/ Ь*, с1, а следовательно, найдется и Q в виде известной функции этих семи величин. Найдем дифференциал этой функции, взятый в предположении изменяемости только шести постоянных a, Ь, с» а\ Ь1, с’. Обозначая дифференцирование по этим постоянным символом 6, найдем
t
6Q= ( |л/6х' + у'Ьу' +z'Sz' + -^г- 6х +бу +6z) dt.
J \। s» ।'dx 1dy3 1dz/
Но легко убедиться, что
cc dxd^xc* dy d^yedzd^z
OX =0 —77- =—7— ,by=0 -77- = —7-,bz= б—77-= —77- .
dtdt ’dtdtdtdt
Замечая это и интегрируя по частям, получаем
6Q = [х'бх + у'Ьу 4- z’bzX^ — t
dU dx' . ( ди dy' \ ~ (ди dz' \ . 1 ,, лт- м + ~зо# + -3лг- bz\dt.
\ dx dt )\ dy dt / у ' \ dz dt / J
to
Замечая далее, что коэффициенты при 6х, бу и б? в подынтегральной функции этого выражения равны нулю, в силу уравнений (29) находим
6Q = х'бх + у'бу + z'bz — a'ba — b'bb — с'be.(34)
Это выражение мы хотели найти.
В силу интегральных уравнений величины х , у\ z\ а', Ь\ с* можно рассматривать, как известные функции величин х, у, z, t, а, b, с. Если в функции Q постоянные а', Ь', с* заменим выражениями их в функциях этих семи величин, то равенство (34) обратится в следующее:
/ dQ Д с, . / dQ Д я / dQ Д Л / dQ Д - —х бх + -чу бу 4-z 6z 4- -ч— 4- а ба 4-
\ дх /\ ду 3 у х \ dz /1 \ da 11
4~ I —47—Ь b I bb 4~ I —4—h==
\ db 1/1 \ de 1/
и это равенство должно быть тождеством, если в нем под х', у', г', а*, Ь', с* понимать только что упомянутые их выражения, другими словами, мы должны
иметь следующие тождества:
dQ , dQ , dQ ,= У 9-Г" = 2 >дхду у ’ dz ’dQ , dQ , dQ ,= У 9-Г" = 2 >дхду у ’ dz ’dQ,даdQ,даdQ ,, dQ (—-= —Ь-з—=—Сdb’ dedQ ,, dQ (—-= —Ь-з—=—Сdb’ de(35.1)(35.2)(35.1)(35.2)
dQ , dQ , dQ ,
= У 9-Г" = 2 >
дхду у ’ dz ’
dQ , dQ , dQ ,
= У 9-Г" = 2 >
дхду у ’ dz ’
dQ,
да
dQ,
да
dQ ,, dQ (
—-= —Ь-з—=—С
db’ de
dQ ,, dQ (
—-= —Ь-з—=—С
db’ de
(35.1)
(35.2)
(35.1)
(35.2)
Таким образом, если бы Q в виде функции х, у, z, t, а, b. с была известна до интегрирования системы (29), то, составляя при помощи ее частных производных уравнения (35), мы получили бы в них шесть интегральных уравнений этой системы. Первые части уравнений (35.2) представили бы притом вторые интегралы дифференциальных уравнений движения.
Рассматривая в функции Q х, у, г как функции времени, продифференцируем ее в этом предположении по /. Учитывая формулу (33), мы при этом найдем
dQ , dQ , . dQ , , dQ ,1 , ,2 .,2 ,,2X ,
x + У +2 = -о- (^ + У + z ) + U.
dt dx x dy y dz 2 x у।
Отсюда с учетом уравнения (35.1) находим
dQ1 17 dQ Vs/ dQ \2/ dQ \21,, n
dt + 2 Ц dx ) + \ dy / + \ dz / J
Таким образом, функция Q удовлетворяет следующему дифференциальному уравнению с частными производными первого порядка:
av 1 Г/ av \2/ av \2/ av \21
4г+4- 4- ++ 4- — и = о. (зб)
dt ‘ 2 L\ дх / 1 \ ду / 1 \ dz / Jv '
Вообще всякое решение дифференциального уравнения с частными производными первого порядка, взятыми по п независимым переменным, заключающее в себе п произвольных постоянных и притом не удовлетворяющее никакому другому дифференциальному уравнению первого порядка с частными производными, взятыми по тем же переменным, называется полным решением этого дифференциального уравнения. Функция Q заключает в себе три произвольных постоянных а, Ь, с. Притом функция Q + Л при произвольной постоянной А удовлетворяет уравнению (36), в которое входят частные производные неизвестной функции по четырем переменным t, х, у, г. Кроме уравнения (36) функция Q + А не удовлетворяет никакому другому уравнению первого порядка, в которое входили бы все или некоторые из частных производных по 1, х, у, г. В самом деле, если бы Q + А удовлетворяла также какому-нибудь другому уравнению
8V_х и _ t\_Qz37)
\ dt ' dx ' dy ’ dz ' 'v 7
то оно удовлетворяло бы также и уравнению
J dV dV dVЛ n
\ dx ’ dy ’ dz ’ ’’ /’
получаемому через исключение частной производной ^- из уравнений (36) и (37). Мы имели бы, следовательно, тождество
г / dQ dQ dQ,\ n
\ dx ' dy ' dz ''’
которое в силу равенств (35.1) давало бы зависимость
f^/, у', z\ х, у, г, /) = 0.
между неизвестными функциями х , у . г’, х. у, г, удовлетворяющими системе уравнений (29) и независимой переменной I,— зависимость, не содержащую произвольных постоянных и в то же время представляющую следствие общих интегральных уравнений системы (29).
Так как такой зависимости между этими функциями существовать не может, то, следовательно, функция Q + Л не может удовлетворять никакому уравнению первого порядка, отличному от уравнения (36) и заключающему частные производные по /, х, у, г.
Таким образом, Q + Л есть полное решение уравнения (36).
Но легко видеть, что это не есть произвольное полное решение уравнения (36), ибо система уравнений (35), составленных из частных производных Q, должна быть такова, чтобы решением се относительно х, у, г, х', у', z' для последних получались такие выражения в функциях /, а, Ь, с, а', Ь', с', которые при / = /0 обращались бы соответственно в а, Ь, с, а', Ь', с’.
Из предыдущего видно, что можно найти такие полные решения уравнений (36), которые путем дифференцирования позволяют составить все интегральные уравнения системы (29). Мы теперь покажем, что этим свойством обладает всякое полное решение уравнения (36).
Пусть V есть какое-либо полное решение уравнения (36). Это будет некоторая функция х, у, z и /, заключающая в себе кроме прибавочной произвольной постоянной А еще три произвольных постоянных а, р, у, так что
V = F (х, у, г, /, а, Р, у) + А.
Вводя три новых произвольных постоянных а', р', у', составим уравнения
дУ г dv _ дУ ,
— У»(38.1)
дх ’ дуdz ’\ л
dV , dVdV ,ох
-г— = а ,= Р ,= у ,(38.2)
да ’ dp r ’ ду гх '
покажем, что эта система уравнений представляет полную систему интегральных уравнений для системы дифференциальных уравнений (29). Для этого необходимо доказать:
что система (38) может быть решена как относительно а, р, у, а', р\ у', так и относительно х, у, г, х , у\ г’,
что эти последние решения удовлетворяют системе (29) при произвольных постоянных а, р, у, а', Р', у'.
Чтобы доказать справедливость 1), очевидно, достаточно показать, что три уравнения (38.1) могут быть решены относительно а, р и у, а три уравнения (38.2) — относительно х, у и z. В этом же мы убеждаемся, замечая, что если бы уравнения (38.1) нельзя было решить относительно постоянных а, р, у, т. е. если бы а, р и у исключились из этих трех уравнений, то мы имели бы зависимость
J дУ дУ дУА п
\ дх ’ ду ’ dz ’’ ух 7
дУ дУ дУ
между тремя частными производными -^-, -^- , и независимыми пере.„о дУ
менными х, у. z. t — зависимость, не содержащую частной производной
а при этом функция V не была бы полным решением уравнения (36), потому что удовлетворяла бы также и уравнению (39), отличному от (36). Далее, если бы уравнение (38.2) нельзя было решить относительно х, у, z, т. е. если бы х, у. z
исключались из этих уравнений, так что мы имели бы зависимость между -^ ,
-~-, у- , не содержащую х, у, z, то функциональный определитель трех
переменных х, у, гпеременных х, у, г, о dV dV dV
переменных х, у, г
переменных х, у, г
(40)(40)функции -^-, -^р-, -^ от трех независимых
(40)
(40)
dW
d^y
d^V
dadx
d^dx
d^dx
d^y
d2V
д^У
dad у
d^dy
d^dy
dW
dW
d2V
dadz
d^dz
d^dz
был бы, как известно, тождественно равен нулю. Но этот определитель, оче- ,„. v dV dV
видно, есть также функциональный определитель для трех функции ^—, -^— , С/ЛС/ у
dVо»
от трех независимых переменных а, р, у, а потому, по известной теореме, ,dV
он может быть равен нулю тождественно, только когда между функциями -^- ,
dV dyо
"ду* ’ "dz сУЩествУет зависимость, не содержащая а, р, у, т. е. зависимость вида
). Такая же зависимость, как мы только что видели, существовать не может. Итак, 1) может считаться доказанным.
Обратимся теперь к доказательству 2). Если в равенстве (36) под V понимать рассматриваемое полное решение, то это равенство будет тождеством.
Поэтому мы получим из него новые тождества, дифференцируя его по тем величинам, от которых зависит V. Таким образом, дифференцируя его по х, у, z, а, Р, У, получим шесть следующих тождеств:
d^VdW dV
dW dV
d^y dy dU
dtdx * dx2 dx •
dxdy dy "~r
dxdz dzdx ’
д2Ид2У dV
dW dV ,
d^v dy du
dtdy * dxdy dx * dWdW dV
dy2 dy "T" d2V dV
dydz dzdy ’' '
dW dy __ dU e
dtdz * dxdz dx *" dWd^V dV
dydz dy * dW dV dad у dy , d2V dV
dz2dzdz ’
I_ 0
* dadz dz’
ф d^dz dzU’
dW dyn
dtda 1 dadx dx dWdW dV
dtd^1 d^dxdxrd^dydy
d^Vd2VdV.d2VdV
dtd^ 1 d^dx dx 1
d^dy dy
+ d^dz dz “ U*
Замечая, что эти равенства останутся тождествами и тогда, когда в них под
ставлены вместо х, у, г какие угодно другие величины, заменим в них х, у, z их выражениями в функциях t, а, р, у, а', р', у', следующими из уравнений (38.2). Но когда мы сделаем такую замену, то тождества (42) будут показывать,
дУ дУ dVо
что величиныи -^- удовлетворяют темже линейным уравнениям, что
и величины -п-, -зг, -тт, следующие из уравнении (38.2), а так как определи- ч
тель этих уравнений есть функциональный определитель (40), который, по замеченному выше, не может тождественно обращаться в нуль, то мы отсюда за
ключаем о справедливости равенств
dxдУ dyдУ dz_ дУ
dtdx’ dtdy’ d t— dz '
которые показывают, что величины х, у, z, х', у\ z\ следующие из уравнений (38), удовлетворяют уравнениям
dx _ Yrи' dz _ у
dt ' dt У ’ di
Далее по только что доказанному мы можем в тождествах (41) величины dVdVdVdx dydz
-r—, ——, -г— заменить величинами —77-, -—-, —77-, после чего эти тож- dxdydzdt’ dtdt 1
дества обратятся в
dЗУ_ dU_ddV_ dV ddV_ dU
dtdx dx ’dtdy dy’ dtdz dz 1
а это показывает, что рассматриваемые величины х, у, z, х,у*, г* удовлетворяют уравнениям
dx* dU dy' dU dz', dU
dtdx’ dtdy’ di dz *
Таким образом, и справедливость 2) доказана.
Итак, для интегрирования системы уравнений (29) достаточно найти какое-нибудь полное решение уравнения (36): система уравнений (38), составленных при помощи него, и представит систему интегральных уравнений. При этом первые части уравнений (38.2) будут вторыми интегралами дифференциальных уравнений движения. Система трех уравнений (38.2) будет вполне решать вопрос об их интегрировании.
Рассмотрим частный случай, когда силовая функция не зависит явным образом от времени.
Так как в этом случае U — функция только от х, у, z, то уравнению (36) может удовлетворить только
V = at 4- Г, где а — произвольная постоянная; W — функция только одних координат. В самом деле для этого достаточно только определить W так, чтобы она удовлетворяла уравнению
, 1 Г/ dw \2 , / dw V ,п
а +— U = 0.(43)
дх / 1 \ dy / 1 \ dz / Jх '
Пусть найдено полное решение уравнения (43), заключающее кроме прибавочной постоянной А и кроме постоянной а, входящей в само уравнение, еще две произвольные постоянные Р и у. Обозначая это полное решение через W, мы найдем, что
V = at + Г
будет полным решением уравнения (36). Поэтому система интегральных уравнений дифференциальных уравнений движения будет
(44.1)(44.1)dW _ , dW _ , dW _ ,dx ^ ’ dy ’ dz ’
(44.1)
(44.1)
dW7 '/,/л л ox
— = a—t, ———(44.2)
da’ dp r ’ dy rx /
Заметим, что результатом исключения постоянных р и у из уравнений (44.1) в силу уравнения (43) будет уравнение
4-(^2 + У'2 + 2,2) = ^-а,
т. с. уравнение живой силы, которое будет иметь место для рассматриваемого случая, так как силовая функция не зависит явным образом от времени.
. Для примера составим по предыдущему способу интегральные уравнения для того случая, когда точка притягивается или отталкивается неподвижным центром по какому-нибудь закону в зависимости от расстояния г до неподвижного центра, который примем за начало координат.
В рассматриваемом случае U = F (г) не зависит явным образом от времени. Поэтому вопрос сводится к разысканию полного решения уравнений (43).
Если введем вместо прямоугольных координат сферические г, ср и гр при помощи уравнений
х = г sin ф cos гр, у = г sin ф sin гр, г = гсо5ф,
то уравнение (43) примет следующий вид:
/ dW V2 , 1 / dW \2 ,1/ dW \2 х о//1Сх
I —т— I -j—1 — I 4“ —5—:—9— I ) — 2Е (г) — 2а.(45)
\ dr / г2 \ дф /1 г2 sin2 ф \ дф /х 'х '
Для нахождения полного решения этого уравнения мы воспользуемся приемом, показанным Я к о б и, который состоит в разложении данного уравнения на несколько других с меньшим числом независимых переменных. Если положим
—= 2Е(г) —2а(46)
\ дг /х 7г2 ’х 7
то наше уравнение даст
Р^У, 1 РУ-26(47)
\+ Sin® ф к дф /
Таким образом, уравнение (45) мы разложим на два: (46) и (47), которые не противоречат одно другому, так как из уравнения (46) следует
W = j/"2F (г) — 2а^ dr + f (ф, ф),
а уравнение (47) дает следующее уравнение для определения функции / (ф, ф): Ldf У | 1 ри2 _ 26 \ дф / ~ sin2 ф \ dip /
Если мы положим теперь
т=2₽_^_,
\ дф / r sin2 ф ’ то получим
а интегрирование этих двух уравнений дает
Нф, Ф) = Г У2Р~ si„L ^ф + /2уф + АУDill LU
где А — произвольная постоянная.
Таким образом, мы получаем полное решение уравнения (45) в виде
W = ^y2FV)-2a-^-dr+ ^V2^--^d<v + 2V^^ + A. (48) Поэтому по формулам (44.2) получатся следующие интегральные уравнения:
dr
y2F(z)-2a^~
Г d<P fdr
Cf
—х_\ -X- — V.
^2? sin2 ф 1/" 20—
Y r51П2ф
Легко убедиться, что последнее из этих уравнений есть уравнение плоскости траектории. Если же вместо ср ввести полярный угол, отсчитываемый в этой плоскости, то нетрудно привести первые два уравнения к виду, тождественному тому, под которым были получены интегральные уравнения для рассматриваемой задачи раньше.
12. Обращаемся теперь к вопросу об относительном движении свободной точки по отношению к некоторой неизменяемой системе, движущейся данным образом. Вопросы этого рода могут быть разрешаемы двояким путем: 1) интегрированием дифференциальных уравнений абсолютного движения и затем переходом от определенного таким путем абсолютного движения к относительному при помощи формул преобразования координат, 2) составлением и непосредственным интегрированием дифференциальных уравнений относительного движения.
В тех случаях, когда действующая на точку сила дана в зависимости от относительного положения и скорости ее и когда начальными данными служат также относительные положения и скорость точки, второй путь иногда предпочтительнее.
Дифференциальные уравнения относительного движения получатся из формул (68) кинематики, если мы в них заменим проекции на оси 0g, От], 0g, неизменно связанные с неизменяемой системой, абсолютного ускорения у cos (и, 0g), у cos (и, От]), у cos (и, 0g) величинами, деленных на массу т точки проекций на те же оси действующей на нее силы. Обозначая эти проекции через В, Н, Z и выражая величины w cos (it, Og), w cos (it, От]), w cos (it, Og) проекций переносного ускорения по формулам (63) кинематики, получим следующие дифференциальные уравнения относительного движения:
+ тй^ — т^й^, + «л1! + ®£)®ь(49.1)
+ /nQ2i] — т (ю^ + <о^ц + w^) со^, (49.2)
+ /nQ2g — т (co^g + со^т] + co^g) G)C, (49.3) где a, 0, у — проекции на оси 0g, От], 0g ускорения начала координат О. Это суть некоторые известные функции времени, точно так же как и величины о^, о)л, о)^ проекций на те же оси угловой скорости Й, потому что движение неизменяемой системы, по отношению к которой рассматривается движение точки, должно быть дано. Что касается величин S, Н, Z, то они должны быть даны в . ~ dg dt] dg .
функциях
Таким образом, при составлении дифференциальных уравнений относительного движения нужно иметь в виду, что при этом кроме задаваемой силы {В, Н, Z} появляются еще некоторые фиктивные силы, проекции которых
на оси относительных координат выражаются линейными функциями £, т), С, ^, ^, ^ . Из этих фиктивных сил та, проекции которой на эти оси выражаются функциями (49.1), (49.2), (49.3), называется центробежной силой. Эта сила равна произведению массы точки, квадрата угловой скорости и расстояния точки от мгновенной оси; направление же ее идет по перпендикуляру, опущенному из точки на мгновенную ось от этой оси к точке.
Пример. Неизменяемая система вращается вокруг неподвижной оси Ог с постоянной угловой скоростью Q. Точка £ = а, q = b плоскости gq притягивает движущуюся точку с силой, пропорциональной расстоянию; коэффициент пропорциональности равен тк2. Найти положение относительного равновесия точки и определить относительное движение, предполагая, что в начальный момент / = О точка была помещена в какую-либо точку плоскости £q, причем относительная скорость, сообщенная ей в этом положении, есть вращательная с угловой скоростью к + Q вокруг оси, проходящей через положение относительного равновесия, направление которой прямо противоположно направлению оси Oz. Рассмотреть случай, когда к = Q.
dtordtг^ — к2т^dtordtг^ — к2т^В рассматриваемом случае
dtor
dt
г^ — к2т^
dtor
dt
г^ — к2т^
a = p = у = 0, (D| = G)^ = 0, co^ = Q,
S = — k2m (£ — a), H = — k2m (q — b), Поэтому дифференциальные уравнения (49) принимают вид
d^ dP d^xx "di2d^ dP d^xx "di2£а (g — а) + 2Q£а (g — а) + 2Q= — № (т] — Р) — 2Q= — № (т] — Р) — 2QdqИГd^ dtdqИГd^ dt■W.■W.+ Q=T],+ Q=T],(50)(50)
d^ dP d^xx "di2
d^ dP d^xx "di2
£а (g — а) + 2Q
£а (g — а) + 2Q
= — № (т] — Р) — 2Q
= — № (т] — Р) — 2Q
dq
ИГ
d^ dt
dq
ИГ
d^ dt
■W.
■W.
+ Q=T],
+ Q=T],
(50)
(50)
(51)(51)dt2 b
(51)
(51)
Этим уравнениям можно удовлетворить, полагая
&2а&2акЧкЧA2—Q2 •4- fe2_Q2A2—Q2 •4- fe2_Q2, £=0., £=0.
&2а
&2а
кЧ
кЧ
A2—Q2 •4- fe2_Q2
A2—Q2 •4- fe2_Q2
, £=0.
, £=0.
Таким образом, точка, определяемая этими координатами, служит положением относительного равновесия движущейся точки.
Переходим к определению движения. Если положим
к2ак2ак^Ьк^Ьр— к»_Q1 ’4— ^2_й2 >р— к»_Q1 ’4— ^2_й2 >
к2а
к2а
к^Ь
к^Ь
р— к»_Q1 ’4— ^2_й2 >
р— к»_Q1 ’4— ^2_й2 >
dq"didq"di(^ + ^ &,-?),(^ + ^ &,-?),(52)(52)то для / = 0 по условию должно быть
dq"di
dq"di
(^ + ^ &,-?),
(^ + ^ &,-?),
(52)
(52)
6 = Ь» п = Ло« £ = °> ~^- = ^ 1-<'h> — q),
at
— = 0.
di
Интегрирование уравнения (51) дает
£ = Cx cos kt + C2 sin kt.
Но для t = 0 должно быть £ == 0, а потому Cx = C2 = 0 и, следовательно, £ = О
во все время движения, т. е. движение совершается в плоскости £q. Это движение определяется уравнениями (50), которые принимают вид
d2^,dx]
(53)
Отсюда находим уравнение
^+2(^ + ^2)_^_ + (62_д2)(|_р)==0>
drdr
общий интеграл которого есть
^ = р + Л cos (k + й) t 4- В sin (k + Й) t + A' cos (/г — Й) t + B' sin (/г — Й) t. Координата г] найдется по формуле
_&24-Зй2 dg1 d^
4-q 2Q (Л2 — Q2) dt 2Q(^2 —Q2) d/3 ’ и, следовательно,
Л = q — A sin (k + Й) t + В cos (k + Й) t 4- A' sin (к — Й) t — B' cos — Й) t. Отсюда, принимая в расчет начальные обстоятельства движения (52), получаем следующие уравнения для определения постоянных Л, В, А', В':
А А-А’ =^0-р, В-В' = ц0 — д, (£4-Й)В4-(& —Й)#'-^^^-^^~(к + ^) А^^к-^А' =~(^ + Q) №0~р),откуда А = g0 — р, В = т]0 — q, А' = В' = 0.
Таким образом, находим
S = Р + Йо — Р) cos (к 4- Й) t + (Т]о — q) sin (к 4- Й) /, Ч = Я— Йо — Р) sin (k 4- Й) t 4- (-q0 — q^ cos (^ 4- Й) t. Отсюда уравнение траектории получается в виде
Й ~ Р? + (П ~ Я? = Йо — Р)2 + (По — Я?-
Относительная траектория точки будет, следовательно, окружностью, центр которой совпадает с положением относительного равновесия. Точка движется по ней равномерно.
Следует обратить внимание на частный случай, когда й = к. В этом случае не существует положения относительного равновесия. Дифференциальные уравнения (50) принимают вид
с^2dt +’ dt2dt +
Полагая
/ d^ \( d4 \,
I /У/ I ^о» I я/ I По» \ Jt=O\ Jt=O
интегрированием их находим
• I По , а , ^Ь 4/ По , а \। I ^оb \
— ^о + 2Q + 4 + 2 t 2Q + 4 j cos KU + 2Q4 j sin 2Й/,
So . b Qa , / So b \/ По . a \
4=n»-w+—
Отсюда видно, что в рассматриваемом частном случае относительное движение точки можно рассматривать как результат равномерного движения ее по окружности радиуса
центр которой движется равномерно и прямолинейно. Угловая скорость вращения точки равна 2Q и имеет направление, прямо противоположное направлению угловой скорости неизменяемой системы. Центр же окружности движется со скоростью -^- Й У а2 4- Ь2 и прямая, которую он описывает, перпендикулярна к прямой, проходящей через центр притяжения и мгновенную ось неизменяемой системы.
§ 13. Рассмотрим относительное движение тяжелой точки по отношению к Земле. Выведем приближенные дифференциальные уравнения относительного движения в следующих предположениях:
Земля равномерно вращается вокруг оси, движущейся в пространстве поступательно, равномерно и прямолинейно;
точка находится только под действием притяжения Земли, которое направлено к некоторой точке оси вращения ее и обратно пропорционально квадрату расстояния до этой точки, которую будем называть центром Земли;
начальная скорость точки достаточно мала и начальное положение ее достаточно близко к поверхности Земли для того, чтобы можно было пренебрегать изменениями координат ее в сравнении с расстоянием ее до центра Земли.
Примем начальное положение точки за начало координатных осей, неизменно связанных с Землей. За ось £ возьмем направление вертикали, прямо противоположное направлению силы тяжести для начала координат. Эта сила есть равнодействующая из силы притяжения Земли и из центробежной силы. Так как направление и той и другой проходит через земную ось, то и направление силы тяжести, т. е. оси £, будет пересекать ее. За ось т] примем направление, перпендикулярное к земной оси, идущее от востока к западу. Ось £ будет при этом направлена в горизонтальной плоскости к югу. Широту начала координат обозначим через X, считая ее положительной в северном полушарии и отрицательной в южном. Это будет угол, дополнительный до у л углу между осью £ и северным направлением земной оси. Угловая скорость Земли будет иметь направление, идущее с севера на юг (так как Земля вращается от запада к востоку). Поэтому, обозначая эту угловую скорость через Q, найдем
o)^ = QcosX, 0)^ = 0, о)^ = —QsinX.
Так как в рассматриваемом случае
dto„
—L = —IL — —L = оdi di dt ’
то дифференциальные уравнения движения будут
т -^- = В — та + тй^ — mQ2 cos X (£ cos X — £ sin X) — 2mQ sin X -^- ,
m = H — m^ + mQ2r] + 2mQ (sin X + cos X , \LitСЦ /
m AA = Z — my + тй^ + mQ2 sin X (£ cos X — £ sin X) — 2mQ cos ^-^-.
Здесь В, H, Z — проекции на координатные оси притяжения Земли. Если расстояние движущейся точки до центра Земли обозначить через р, а координаты центра Земли: £ через а, £ через с (координата т] центра Земли будет равна нулю), то по замеченному выше можем положить
ст /^ д £ ц1-1 р2 р ’р2где / — постоянная. Но величины ~- , настолько малы, чтобы можно было имист /^ д £ ц1-1 р2 р ’р2где / — постоянная. Но величины ~- , настолько малы, чтобы можно было ими—Цz = fa с —Р ’Р2 Р—Цz = fa с —Р ’Р2 РР ’Р ’кРкРпо условию должны бытьпо условию должны бытьпренебрегать. Поэтому эти выраженияпренебрегать. Поэтому эти выражениямы заменим следующими:мы заменим следующими:
ст /^ д £ ц
1-1 р2 р ’р2
где / — постоянная. Но величины ~- , настолько малы, чтобы можно было ими
ст /^ д £ ц
1-1 р2 р ’р2
где / — постоянная. Но величины ~- , настолько малы, чтобы можно было ими
—Цz = fa с —
Р ’Р2 Р
—Цz = fa с —
Р ’Р2 Р
Р ’
Р ’
к
Р
к
Р
по условию должны быть
по условию должны быть
пренебрегать. Поэтому эти выражения
пренебрегать. Поэтому эти выражения
мы заменим следующими:
мы заменим следующими:
(54)(54)СТ7^ С
(54)
(54)
" ~ R^ R 9 Н —— /^2 ^ >
где 7? — расстояние начала координат от центра Земли. Эти же выражения представляют проекции притяжения Земли на точку т, находящуюся в начале координат. Что касается величин а, р, у , то они являются проекциями центростремительного ускорения начала координат по отношению к центру Земли, так что —та, —т^, —ту — проекции центробежной силы, действующей на
точку т, находящуюся в начале координат, а потому
S — ma, Н — т^, Z — ту
(где под В, Н, Z понимаем выражения (54)) — проекции на координатные оси силы тяжести для начала координат и, следовательно, вследствие выбора нашей координатной системы
В — та = 0, Н — т[3 = 0, Z — ту = — mg, где g — ускорение силы тяжести для начала координат.
Выражения (54) мы получили, пренебрегая величинами -~, J-, -^.
Но пренебрегая этими величинами, мы тем более можем пренебречь величи- Q2t
нами ——, L, —-, потому что отношения их к предыдущим равны
W g g g
, что представляет правильную дробь, так как
g = 32 фут/с2,
R < 6000 верст = 6000 • 500 • 7 фут,
й =й =2л2л24 - 60 - 6012 00024 - 60 - 6012 000С-1,С-1,
й =
й =
2л
2л
24 - 60 - 6012 000
24 - 60 - 6012 000
С-1,
С-1,
а следовательно,а следовательно,77Q2/? _ 6000 -500-7Q2/? _ 6000 -500-7
а следовательно,
а следовательно,
7
7
Q2/? _ 6000 -500-7
Q2/? _ 6000 -500-7
g 12 0002 -32 4 - 12 - 32'
Поэтому мы отбрасываем в предыдущих уравнениях все члены, зависящие от Й2 £, й2т], й2£, и, таким образом, получаем следующие приближенные уравнения:
(55)(55)5-= — 2Й sin X 4г • -4r = 2QsinX-^-+2Qcosx4y,dt^at 1atat
(55)
(55)
= — g — 2i2cosX-^--dt2 °at
Отсюда, принимая за начальный момент времени t = 0 и обозначая началь- dE dfn dtс.,,
ные значениячерез g0, т]0, £0, находим
% = ?0 — 2ЙЛsin X, 4#- = Ло + 2Й (? sin X + £ cos X),
А = — gt — 2Qr| cos X + ^.
„rig dri
Если же внесем эти выражения вместо, -^- во вторые части урав
нений (55) и отбросим в них члены, зависящие от й2^, й2г), й2£, то получим
-^г = — 2Qq0 sin X, -^- = 2Й (^ sin X + £0 cos ^) — 2^ cos ^>
-§- = — g — 2ЙПо cos X.
Отсюда же находим следующие приближенные выражения для ^, т], ^:
g = ^-Qn^sinX,
Л = Ло^ + ^ №osin ^ + So cos X) t8^gi3 cos X,(56)
^ = ^--4^2-^2cosX.
Если |о = т]о = О, т. е. если точка брошена по вертикальному направлению, то уравнения движения будут
= 0, r] = Q^2cos%--^Q^3cos%, | = |уXTgt\
Таким образом, если точка брошена по вертикальному направлению, то она движется в плоскости, перпендикулярной к плоскости меридиана, причем высота ее изменяется по тому же закону, как и в случае, когда не принимается в расчет движение Земли.
Если точка падает с некоторой высоты без начальной скорости, так что Со = 0, то
т] =Qg73 cos X,
т. е. точка отклоняется от вертикали к востоку (п < 0).
Если начальная скорость точки равна г0 и направлена вверх, так что Со = = Ц» то
П = Qy0Z2 cos X^- QgZ3 cos X, С = ^Vу g^-
Вертикальная составляющая скорости ее у0 — gt обратится в нуль в момент
t =t =t =t =gg2 — . Так как g2 — . Так как gт] = QZ2 cos X ^0^- gtт] = QZ2 cos X ^0^- gt. Затем точка начнет опускаться и достигнет прежней высоты в момент
t =
t =
t =
t =
g
g
2 — . Так как g
2 — . Так как g
т] = QZ2 cos X ^0^- gt
т] = QZ2 cos X ^0^- gt
то в течение всего этого периода времени т] будет сохранять положительные значения, достигая наибольшего значения для t = 2-^- . Таким образом, точка, брошенная вертикально вверх, отклоняется от вертикали к западу. Когда она достигает наибольшей высоты -^7, это отклонение равно
-|-Q-^-cos
Наибольшая величина отклонения равна -4- Q -Л cos X и имеет место в момент, когда точка возвращается на прежнюю высоту.
Если точка брошена по горизонтальному направлению, так что Со = 0, то формулы (56) дают
С = СУ — йп^2 sin ^
Л =+ Q£c/2 sin — -у- ^gZ3 cos X,
откуда
tj 'По = 2Й2 sin X %о + -q'2) t _ QgZ2 cos x
^ So So (So 2Qg0Z sin X) Co — 2Qg0Z sin X
Отсюда видно, что для достаточно малого t разность
Y)' Пр
имеет одинаковый знак с sin X, т. е. положительна в северном полушарии и отрицательна в южном, а отсюда следует, что точка, брошенная по какому- либо горизонтальному направлению, в начале движения отклоняется от этого направления в северном полушарии вправо, а в южном — влево.
ДИНАМИКА НЕСВОБОДНОЙ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
До сих пор мы предполагали, что движение точки не подчинено никаким кинематическим условиям. Но часто приходится рассматривать материальную точку как принадлежащую некоторому механизму, благодаря которому нс всякие движения для нес становятся возможными. В таких случаях свобода движений точки обыкновенно ограничивается тем, что между координатами ее (и вообще — временем) являются некоторые уравнения или неравенства, вид которых исключительно определяется свойствами того механизма, которому принадлежит точка и нисколько не зависит от сил, под действием которых она находится. Таким образом, в этих случаях кроме сил, действующих на точку, даются еще некоторые уравнения или неравенства, которым должны удовлетворять координаты се и которые нс зависят ни от действующих на нес сил, ни от начальных обстоятельств движения, а потому называются кинематическими условиями, стесняющими свободу движений точки.
Так как всякое условие, выражаемое уравнением между координатами точки, можно рассматривать как поверхность, неподвижную или изменяющую свой вид или только положение (в зависимости от того, нс входит или входит время в это уравнение), на которой должна оставаться движущаяся точка, а условие, выражаемое неравенством,— как поверхность, препятствующую переходу движущейся точки из одной части пространства в другую, то мы можем сказать, что кинематические условия, стесняющие свободу движений точки, состоят в том, что даются одна или несколько поверхностей, на которых должна оставаться движущаяся точка во все время движения, или которые должны только служить для нее преградами, не допускающими переход из одной части пространства в другую.
Поверхность, на которой должна оставаться точка во все время движения, называется удерживающей. Поверхность же, служащая только преградой для нее, называется неудерживающей.
Условие, которому должны удовлетворять координаты точки в случае неудерживающей поверхности, выразится или уравнением, или неравенством, т. е. всегда будет одного из двух следующих видов:
/ (х, у, г, 1)^0 или <р (х, у, г. f) ^ 0.
Очевидно, что условие второго вида всегда можно привести к первому виду: оно равносильно следующему:
— ф U, у» 2, о ^ о.
Поэтому в случае неудерживающей поверхности мы будем для однообразия всегда предполагать, что условие, которому подчинена точка, имеет вид
Ж у, г, 0>0,
т. е. некоторая функция координат и времени больше или равна нулю.
Две удерживающие поверхности можно рассматривать как линию, на которой должна оставаться движущаяся точка.
В случае трех данных удерживающих поверхностей положение или движение точки будет вполне определенным. Поэтому такие случаи нет надобности рассматривать в динамике.
Рассмотрим, каким условиям подчинены скорость и ускорение несвободной точки. Каждая удерживающая поверхность дает условие, выражаемое аналитически уравнением
/ <Х, у, 2, t) = 0.
Так как этому уравнению должны удовлетворять координаты точки, как функции времени, во всяком возможном для нее движении, то, дифференцируя его по /, мы получим уравнения, которым должны удовлетворять производные координат ее в каждом таком движении. Таким образом, мы получим следующие условия для скорости и ускорения:
df , . df , df , df r
lx" X + У + ~дг~ 2 + "57 —(57)
^»- + ^-»- + 4^ + lfl = 0,(58)
где
“ ■* дх2 * d^2* dz2 * dydz Уdzdx *
। п d^f г г t п дЧ г . п ЭЧ г . п д^ , , дЧ/СПх
Н- 2 з—ч— х и -Т* 2 д д, х 2 д , и -{- 2 Л z -4—чтг"*(59)
dxdy у dxdtdydt у dzdt 1 d/2v '
Условие (57) выражает, что проекция скорости движущейся точки на нормаль к поверхности есть вполне определенная функция
di
|/\ дх /\ ду / + \ dz /
координат и времени, а условие (58) — что проекция ускорения на нормаль к поверхности есть вполне определенная функция
У \ dx ) dy )\ dz )
проекций скорости, координат и времени.
Если данная удерживающая поверхность есть поверхность неизменяемого вида и притом неподвижная, то время не будет входить в ее уравнение, вследствие чего условие для скорости приведется к тому, что скорость должна заключаться в касательной плоскости к ней. Проекция ускорения на нормаль при этом будет однородной функцией второй степени относительно проекций скорости, в которой коэффициенты будут известными функциями координат. В этом случае направление ускорения будет заключаться в касательной плоскости к поверхности всякий раз, когда будет обращаться в нуль скорость точки. Таковы условия, которым должны удовлетворять скорость и ускорение точки для каждой из удерживающих поверхностей.
Рассмотрим теперь неудерживающую поверхность. Для координат она дает условие, выражаемое неравенством
Ц*, у, 2, f)>0 или уравнением
/ (х, у, г, t) = 0.(60)
В те моменты времени, когда имеет место первое, точка не находится на поверхности, а потому ни скорость, ни ускорение не подчиняются никаким условиям.
В те же моменты времени, когда имеет место второе, обязательно должно быть удовлетворено условие
так как в противном случае, т. е. когда было бы -^- < 0, функция / (х, у, г, /) (рассматривая в ней х. у и г как функции f) была бы убывающей функцией времени и, следовательно, будучи для рассматриваемых моментов равной нулю, она сделалась бы для следующих достаточно близких моментов времени меньше нуля, что противоречит условию / (х, у, г, t) ^ 0. Таким образом, в каждый момент времени, когда неудерживающая поверхность дает для координат условие (60), т. е. когда движущаяся точка находится на этой поверхности, для скорости получается условие, выражаемое неравенством
df , , df , df , df n
~— x ~|—ч— у 4—т 2 *4—T7 0(01)
dx 1 dy y 1 dz 1 dtv 1
о/dfd2f
или равенством (57). В первом случае (т. е. когда 0) не подчинена никакому условию, а потому и ускорение остается произвольным. Во втором же случае когда -~ = 0 должно быть удовлетворено условие
df
отому что в противном случае была бы убывающей функцией времени, а потому для следующих за рассматриваемым достаточно близких моментов времени она получала бы отрицательное значение, вследствие чего и / была бы убывающей функцией, что невозможно, потому что для рассматриваемого момента она равна нулю, а отрицательных значений она принимать не может. Итак, когда скорость удовлетворяет условию (57), ускорение должно удовлетворять условию
-^х" 4- 4- У" + 4-г" + [f] > О(62)
dx 1 dy у х dz u 1х '
или условию (58).
Таким образом, пока точка не находится на неудерживающей поверхности, ни скорость, ни ускорение ее не подчиняется ею никаким условиям. Когда же точка находится на этой поверхности, скорость ее должна удовлетворять условию (61) или (57). В первом случае ускорение ее не подчиняется этой поверхностью никакому условию, а во втором оно должно удовлетворять условию (62) или (58). Переходим теперь к рассмотрению определения движения несвободной точки, находящейся под действием данных сил. При этом нужно иметь в виду, что в случае существования неудерживающих поверхностей они могут вовсе не учитываться, пока точка не находится на них. Такая поверхность начинает оказывать влияние на движение точки только с того момента времени, когда точка вступает на нее. Если затем точка будет в течение известного времени продолжать свое движение, оставаясь на такой поверхности, то скорость и ускорение ее в течение того же времени постоянно будут удовлетворять условию (57) и (58), т. е. тем же, что и для удерживающей поверхности.
Прежде всего заметим, что, рассматривая какую-либо поверхность
Цх, у, г, t) = 0,(63)
мы будем отличать между двумя направлениями нормали к ней в какой-либо точке то, косинусы углов которого с координатными осями определяются
выражениями
дх ду
у \ dx / Р dy / Р dz / у \ дх ) + \ ду /\ дг /
Т7Т^Т+|ТГ+37У \ дх I \ ду ) dtj
от прямо противоположного направления. Первое мы будем называть положительным, а второе отрицательным. Если функция / такова, что по одну сторону от поверхности (63) она получает положительные значения, а по другую — отрицательные, то положительное направление нормали будет то, по которому должна переместиться точка (х, у, г). находившаяся на этой поверхности, для того, чтобы функция / получила положительное значение.
Мы видели, что когда точка движется по поверхности (63), то проекция ускорения ее на положительное направление нормали есть всегда вполне определенная функция
1/ PL)2 + PL f + W
У \ дх ) ^ \ ду ) Д дг)
проекций скорости, координат и времени. Легко также убедиться и в справедливости обратного заключения: если во все время движения точки проекция ускорения се на положительное направление нормали к поверхности / (х, у, г, 0 = const равна функции (64) и если притом в начальный момент времени точка находилась на поверхности (63), а скорость се удовлетворяла условию (57), то и во все время движения точка будет оставаться на поверхности (63).
В самом деле при сказанном условии во все время движения будет удовлетворено условие (58), которое равносильно следующему:
d4at2d4at2= 0,= 0,
d4
at2
d4
at2
= 0,
= 0,
а потому во все время движения
/ (х, у, z, t) = А + Bt,
где Д и В — постоянные. Отсюда видно, что если в начальный момент / = 0 и -^- = 0, то будет / = 0 и во все время движения.
Принимая в расчет, что ускорение материальной точки равно деленной на массу равнодействующей всех приложенных к ней сил и одинаково направлено с этой равнодействующей, мы можем вследствие только что сказанного утверждать, что необходимым и достаточным условием для того, чтобы материальная точка, помещенная на поверхность (63) с начальной скоростью, удовлетворяющей условию (57), оставалась на этой поверхности и во все время движения, служит то, чтобы проекция на положительное направление нормали к поверхности равнодействующей всех приложенных к ней сил была равна
дх )\ ду )\ дг )
Положим, что существует только одна удерживающая поверхность. Пусть материальная точка во всяком своем движении вынуждена оставаться на поверхности (63). При этом силы, действующие на точку во время всякого ее движения, будут двоякого рода: 1) силы, нисколько независящие от поверхности, на которой должна оставаться точка, или от того механизма, по свойству которого точка должна оставаться на этой поверхности; эти силы действуют одинаково как на свободную материальную точку, так и на точку, подчиненную каким-либо кинематическим условиям; обыкновенно они даются в зависимости от координат точки, ее скорости и времени, а потому называются иногда задаваемыми; 2) силы, зависящие от поверхности, по которой должна двигаться точка; назначение этих сил главным образом состоит в удержании точки на поверхности; они не известны a priori, но определяются по данным силам первого рода вместе с движением точки; эти силы могут быть названы силами сопротивления поверхности.
Пусть X, У, Z — проекции на координатные оси равнодействующей сил первого рода. Проекция этой равнодействующей на положительное направление нормали к поверхности будет
|/ I дх М \ ду /\ дг /
Поэтому вследствие замеченного выше проекция на то же направление силы сопротивления поверхности будет
Если силу сопротивления поверхности разложить на две составляющие, из которых одна была бы направлена по нормали к поверхности, а другая заключалась бы в касательной плоскости, то первая составляющая представит то, что называется реакцией поверхности. Величина реакции равна численному значению выражения (65), а направление ее одинаково или прямо противоположно положительному направлению нормали в зависимости от того, положительно или отрицательно это выражение. Таким образом, вполне определяется реакция поверхности по данным силам первого рода в зависимости от положения точки на поверхности, ее скорости и времени. По высказанному выше положению эта сила (т. е. реакция) необходима и в то же время достаточна для удержания точки на поверхности и для всяких механизмов, действие которых должно состоять в удержании точки на некоторой поверхности, определяется по уравнению этой поверхности формулой (65).
Реакция зависит, следовательно (при данной скорости точки и данных силах первого рода), только от геометрических свойств поверхности. Что же касается той составляющей, которая заключается в касательной плоскости и которую можно назвать тангенциальной силой сопротивления поверхности, то она зависит также и от различных физических свойств поверхности и сообразно с ними может определяться по уравнению поверхности различными формулами. Эта сила нс оказывает никакого влияния на удержание точки на поверхности. Обычно она является следствием несовершенства того механизма, который заставляет точку оставаться на данной поверхности и при этом играет роль сопротивления движению в тесном смысле этого слова. Такова сила трения, проявляющаяся при движении точки по всякой материальной поверхнос-
ти. Силы этого рода с усовершенствованием механизма могут быть насколько угодно уменьшаемы и должны быть равны нулю для механизма, вполне совершенного.
Поэтому мы можем сказать, что реакция есть низший предел силы сопротивления поверхности, который достигается в идеальном случае совершенства того механизма, который заставляет точку двигаться по данной поверхности.
Поверхность, для которой сила сопротивления приводится к одной только реакции, т. с. к наименьшей своей величине, достаточной для удержания точки на поверхности, называется в соответствии с этим идеальной поверхностью. Случай идеальной поверхности есть, конечно, наиболее простой. Кроме того, во многих вопросах тангенциальные силы настолько малы, что ими можно пренебрегать без заметной погрешности. Поэтому в динамике несвободной материальной точки главным образом и рассматривается этот предельный случай. При этом в большинстве случаев даже нс прибавляется, что поверхность, на которой вынуждена оставаться точка, должна быть идеальной: говоря о движении материальной точки под действием данных сил по данной поверхности, при этом обыкновенно подразумевают, что эти силы первого рода, а поверхность — идеальная. Впрочем иногда встречается необходимость принимать в расчет силу трения и в этих случаях об этой силе всегда упоминается отдельно.
Рассматривая далее преимущественно движение по идеальной поверхности, мы покажем, каким образом определяется движение и в случае существования трения.
Предполагая, что поверхность (63) идеальная, мы можем легко составить дифференциальные уравнения движения материальной точки, вынужденной оставаться на ней. Так как сила сопротивления такой поверхности приводится к одной только реакции, которая нормальна к поверхности, то проекции на координатные оси этой силы могут быть выражены следующим образом:
Л —— , ЛЛ -г— ,
ОХ оу dz ’
где X — пока неопределенный множитель. Поэтому, выражая, что равнодействующая этой силы и задаваемых сил равна произведению массы точки и ускорения и одинаково направлена с последним, мы получим следующие дифференциальные уравнения:
d^xv .л df d^y\\ df d^z~ , , df
m ^ X 4~ ^ —ч— , m -= Y 4- X -ч—, m ,,2 - = Z 4- X -ч— ,(66)
di2 1 dx’ di21 dy’ dt2 1 dz * x 7
в которых X, Y, Z— известные функции x, у. z, -^-, -^-, -^- и t. Уравнения (66) заключают в себе четыре неизвестных функции: х, у, г и X. Поэтому, присоединяя к ним уравнение (63), мы получаем систему уравнений, число которых равно числу этих неизвестных функций и которые поэтому дают возможность определить их. Что касается функции X, то она может быть определена предварительно в зависимости от координат точки, проекций ее скорости и времени. Для этого стоит только в уравнение (58) внести величины х", у\ гп, следующие из уравнений (66). Таким образом, мы найдем
а _1 dxду 1 dz
дх ) + ду ) + \ dz /
Внося эту величину X в уравнения (66), мы найдем, что одно из этих уравнений будет следствием двух остальных в силу уравнения (58), которое есть следствие
уравнения (63). Таким образом, после рассматриваемой подстановки мы можем определить движение при помощи двух из уравнений (66) и (63). В силу последнего эти два уравнения могут быть приведены к двум дифференциальным уравнениям второго порядка с двумя неизвестными функциями. Интегрированием их введутся поэтому четыре произвольных постоянных, для определения которых можно задать две из начальных координат точки а, Ь, с и две из проекций начальной скорости а', Ь', с', которые связаны между собой уравнениями
f (а, Ь, с, t0) = 0, -^- а’ + -S- V + -^- с* += 0.
' ' * * • 0/’ да ' дЬ ' дс dt0
Если реакцию поверхности по величине и направлению обозначим через N, то будем иметь
Ncos(N, х) = Х-^, Ncos^N, у) = Х-^-, N cos(7V, z) = Х^
и, следовательно,
w± xp^-^L) +(-57) +(#) •
где нужно, конечно, взять тот из двух знаков, для которого это выражение окажется положительным. Эти формулы вместе с выражением (67) определят реакцию поверхности в функции времени после того, как определено движение. Для N мы получаем уже известное нам выражение (65). Притом относительно направления реакции можно заметить, что оно одинаково или прямо противоположно положительному направлению нормали в зависимости от того, положительно или отрицательно X.
Рассмотрим теперь, каким образом определяется движение в случае существования трения. Но при этом ограничимся только тем случаем, когда точка должна оставаться на неподвижной или движущейся поверхности неизменяемого вида. Относительно силы трения, проявляющейся при движении точки по поверхности, в динамике принимается следующий опытный закон.
Трение есть сила, направление которой прямо противоположно относительной по отношению к поверхности скорости точки, величина же пропорциональна реакции поверхности.
Примечание. Легко убедиться, что условие (57), которому должна удовлетворять скорость движущейся точки, выражает, что относительная по отношению к поверхности скорость этой точки должна заключаться в касательной плоскости к поверхности. В самом деле уравнение (63) должно обращаться в тождество, коль скоро в нем х, у, г заменены теми функциями времени, которыми выражаются координаты какой-либо точки рассматриваемой поверхности, г-,дх ду dz,
Поэтому, обозначая черезпроизводные этих функции времени, мы
будем иметь для каждой точки поверхности следующее равенство:
df дх _д[___ду__ , df dz . df п
дх dt ' dy dt 1 дг dt dt
Если же это равенство, отнесенное к той точке поверхности, с которой движущаяся точка совпадает в рассматриваемый момент времени, вычесть из равенства (57), то получится следующее:
df / dxдх \ df / dydx у dtdt dy у dtdf / dxдх \ df / dydx у dtdt dy у dtdy \ df ( dzdz\ = С)dt j ' дг у dtdt ]dy \ df ( dzdz\ = С)dt j ' дг у dtdt ]
df / dxдх \ df / dy
dx у dtdt dy у dt
df / dxдх \ df / dy
dx у dtdt dy у dt
dy \ df ( dzdz\ = С)
dt j ' дг у dtdt ]
dy \ df ( dzdz\ = С)
dt j ' дг у dtdt ]
в котором выражения в скобках — проекции на координатные оси относительной скорости движущейся точки, и поэтому оно подтверждает только что сказан-
ное. Вследствие этого сила трения, определенная на основании высказанного закона, будет заключаться в касательной плоскости к поверхности, как это и должно быть согласно сказанному выше относительно силы сопротивления поверхности вообще.
Если под N по-прежнему будем понимать величину реакции поверхности, то сила трения на основании рассматриваемого закона будет равна kN, где к — некоторая постоянная, зависящая от физических свойств поверхности и называемая коэффициентом трения.
На основании всего сказанного легко составить дифференциальные уравнения движения. Обозначая через а, р, у косинусы углов, составляемых с координатными осями направлением относительной скорости точки и полагая по-прежнему
w=। х । 1\ дх )\ ду ) 1 dz) *
где | X | означает численное значение X, мы можем этим уравнениям дать следующий вид:
,п— = А +у РЛ + И “•
+ ^V + ®2P>(68)
^/21 ду х х у \ дх ) ' \ ду )\ dz)х 1
dt2 1 dz 1 1 у dx ) 1 ду / 1 \ dz / г
Если в уравнения (63) нс входит /, т. с.если поверхность, на которой должна оставаться движущаяся точка, неподвижна, то в этих уравнениях
1 dx о 1 dy 1 dzа у dt ’ Ру dt 1 у dt *
ГI dxV . I dy \2 , / dz \2
где и— у ^-j + ("^Г/ "^("5/ ‘
Если же это есть движущаяся поверхность неизменяемого вида, то обозначая проекции на координатные оси угловой скорости се через сох, соу, сог, а через х0, у0, г0 координаты некоторой неизменно связанной с ней точки, будем иметь
1 Г dx dx^ ,, х
а = — —-V — и Л — соу (г — г0) , и \ dt dt 1Ух*
Р = 4" ^- — -^ + «х (г — z0) — ®г (х — хо)] ,
~~~ хо) — ®х 0/ — Уо)].
где
“ = {["$— -^г + юг(у — у0) — «у ^ — Zo)^ + ^- — • • У +। Г ^г ТГ/г
причемх0, у0> z0, tox, ®д, №г бу^ известными функциями времени.
Во всяком случае а, р и у будут удовлетворять уравнению
-^а + ^-р + -^-у = 0.(69)
дх х ду v dz хх 7
Присоединяя к уравнениям (68) уравнение (63), мы получим число уравнений, достаточное для определения всех входящих в них неизвестных функций х, у, 2 и %. Следует заметить, что вследствие условия (69) из уравнений (68) и (58) получится прежнее выражение (67) для X, как это и должно быть, потому что реакция поверхности в рассматриваемом случае выражается прежней . v df df df формулой через.
Уравнениями (66) или (68), служащими для решения главной задачи динамики точки, вынужденной оставаться на данной поверхности, определения движения по данной силе {X, У, Z} и начальным обстоятельствам движения, можно также воспользоваться и для решения обратной задачи определения силы по данному движению. Но эта обратная задача, будучи вполне определенной для свободной точки, в рассматриваемом случае становится неопределенной. В самом деле вторые части уравнений (66) или (68) вследствие выражения (67) для % линейные функции от X, У, Z, в которых при данном движении точки все коэффициенты суть известные функции времени и задача, о которой идет речь, приводится к решению этих трех уравнений относительно X, У, Z. Но легко видеть, что эти уравнения не могут дать определенных решений для этих неизвестных, ибо последние из них исключаются, доставляя как результат исключения уравнение (58).
Так, например, в случае идеальной поверхности всевозможные силы, производящие на ней данное движение точки, определяются формулами
X =+ Y = ту" А-1. Z = mz"-Vl4".(70)
* dx ’у 1 dydz ’ х 7
где I — совершенно произвольная величина, т. е. в этом случае, не изменяя движение точки, можно к действующей на нее силе прибавить произвольную силу, направленную по нормали к поверхности.
Рассматриваемая задача может быть вполне определенной, когда дано еще некоторое условие, которому должна удовлетворять искомая сила. Из этих добавочных условий мы обратим внимание на два следующих: 1) когда искомая сила должна быть наименьшей из всех, производящих данное движение, и 2) когда она должна быть такова, чтобы поверхность не оказывала никакого сопротивления движению точки, т. е. чтобы точка двигалась под ее действием как свободная.
Для решения задачи о наименьшей силе, производящей данное движение по поверхности, нет необходимости прибегать к общему приему дифференциального исчисления потому, что из весьма простых геометрических соображений очевидно, что эта сила должна быть перпендикулярна направлению сопротивления поверхности. Поэтому, например, в случае идеальной поверхности мы легко найдем эту силу из условия
-5Lx + -^-y + #z = °.
дх dy 1 dz
Вследствие этого условия формулы (70) дадут
х="ч"й№№Г
\ дх / ' \ дг/ / ' \ дг )
Y = my" +Y = my" +
Y = my" +
Y = my" +
Отсюда, принимая в расчет условие (58), находим
X2 + Г2 + Z2 = /и2 (х"2 + у"2 + z2)
Из этого равенства между прочим видно, что наименьшая сила, необходимая для сообщения точке, вынужденной оставаться на данной идеальной поверхности, данного движения, вообще менее той, под действием которой свободная точка имеет то же самое движение.
Разыскание силы, производящей данное движение, для которой сопротивление поверхности постоянно равно нулю, приводится к отысканию силы, для которой X = 0. Для этого же вследствие выражения (57) для X необходимо и достаточно, чтобы сила удовлетворяла условию
5-Х ^r-$-Y ^5-2^ m\t\ = 0. (71) дх 1 ду dz 1 J v '
Если вообще проекции на координатные оси силы сопротивления поверхности обозначим через X, У, Z, то уравнения (66) и (68) могут быть представлены в виде
тх" = X + X, ту" = Y + У, mz” = Z+ Z.
Если X, У, Z удовлетворяют условию (71), то, как мы только что видели, X, У, Z будут равны нулю. Во всяком же другом случае по крайней мере одна из этих трех величин не будет равна нулю. Но какова бы ни была данная сила (X, У, Z), мы можем ее разложить на две составляющие
{Х + Х, У + У, Z + Z} и {—X, — У, — Z}.
Первая из этих составляющих будет удовлетворять условию (71) и, следовательно, под действием одной этой силы точка будет двигаться как свободная (потому что при этом сопротивление поверхности было бы равно нулю), и притом движение ее будет то же самое, как и при действии силы {X, У, Z}. Поэтому мы можем сказать, что эта составляющая производит движение. Что же касается второй составляющей, то она вызывает со стороны поверхности равное себе и прямо противоположное сопротивление и им уничтожается, не оказывая никакого влияния на движение точки. Эта составляющая называется поэтому потерянной силой. Вследствие этого часто говорят, что при движении несвобод- hopi точки действующая (задаваемая) сила только отчасти производит движение, а отчасти уничтожается сопротивлениями. Но было бы ошибочно понимать это в том смысле, что каждая из составляющих, служащих для этих целей, менее самой действующей силы: мы видели, что составляющая, производящая движение, может быть больше задаваемой силы.
Если бы не было поверхности, удерживающей на себе точку, то потерянная сила также сообщала бы последней некоторое ускорение. В рассматривае- 254
мом же случае силовое действие ее ограничивается только тем, что точка стремится уничтожить преграду, представляемую поверхностью, производя на нее давление, равное и прямо противоположное сопротивлению поверхности, а, следовательно, равное и одинаково направленное с потерянной силой.
Это заключение о равенстве давления точки на поверхность сопротивлению последней основывается на общем законе, называемым третьим основным законом механики. Этот закон, имеющий значение главным образом для динамики систем точек, высказан Ньютоном в его «Philosophiae natural is principia mathematica» следующим образом:
При всяком действии существует равное и прямо противоположное противодействие, или взаимные действия двух тел суть всегда равные и прямо противоположные силы.
По этому закону, когда два тела А и В соприкасаются в одной или нескольких точках и тело А производит в этих точках давления на тело В, то тело В также оказывает в них давления на тело А и эти последние давления соответственно равны и прямо противоположны первым.
Этот закон, в применении к точке, движущейся по данной поверхности и приводит к высказанной выше зависимости между давлением и сопротивлением.
При движении точки по материальной поверхности давление вообще есть равнодействующая двух сил: нормального давления (давления в тесном смысле этого слова), равного и прямо противоположного реакции поверхности и тангенциальной силы, равной и прямо противоположной силе трения.
Для того, чтобы механизм, удерживающий точку на данной поверхности, не разрушился, давление не должно превосходить известного предела. Отсюда видно практическое значение знания величины давления.
Что касается знания направления давления, то оно важно в тех случаях, когда точка движется по неудерживающей поверхности, для решения вопроса о том, когда точка должна оставить эту поверхность.
В случае неудерживающей поверхности точка не может перемещаться с нее только по одному из двух направлений нормали, а именно, вследствие условия, высказанного в § 14, относительно вида, к которому мы будем приводить уравнение такой поверхности,— точка не может перемещаться по отрицательному направлению нормали. В этом случае потерянная сила будет уничтожаться сопротивлением поверхности и, следовательно, точка будет двигаться по неудерживающей поверхности, как и по удерживающей только до тех пор, пока она составляет острый угол с отрицательным направлением нормали, или в случае идеальной поверхности — пока потерянная сила имеет направление отрицательной нормали. Когда же потерянная сила, обратившись в нуль, должна при дальнейшем движении точки составлять острый угол с положительным направлением нормали, точка более не будет встречать преграды своему движению, потерянная сила поэтому не будет уничтожаться сопротивлением поверхности и заставит точку сойти с последней. Таким образом, движение по неудерживающей поверхности от движения по удерживающей поверхности отличается только тем, что в первом нормальная составляющая давления может быть направлена только по отрицательной нормали, тогда как во втором для нее возможно и прямо противоположное направление. Поэтому в случае неудерживающей поверхности реакция последней или направлена по положительной нормали, или равна нулю. Пока имеет место первое, точка остается на поверхности и может сойти с нее, только когда реакция обращается в нуль.
Принимая в расчет сказанное в конце § 15 относительно знака К мы приходим к заключению, что в случае неудерживающей поверхности X не может получать отрицательных значений. Поэтому при определении движения по такой поверхности всегда нужно иметь в виду знак X: движение, определенное
интегрированием уравнения (66) или (68), в этом случае будет истинным только до тех пор, пока X ^ 0. Когда же из найденных уравнений движения окажется, что в известный момент времени X обращается в нуль, делаясь при дальнейшем возрастании времени отрицательным, то начиная с этого момента эти уравнения уже не будут определять истинного движения точки. В этот момент наступит новый период движения: точка сойдет с поверхности и истинное движение ее определится интегрированием дифференциальных уравнений свободного движения под действием силы {X, У, 2} с тем начальным положением точки и с той начальной скоростью, которыми обладала она в конечный момент первого периода движения. Заметим, что по формуле (67) условие, которому должна удовлетворять сила для того, чтобы точка не оставила поверхности, имеет вид
4-Х + 4" ^ + -^Z + m[/]<0.dxdy 1 dz 1 u J
Положим теперь, что точка принуждена оставаться на линии пересечения двух поверхностей
/ (х, у, г. /) = 0, ф (х, у. 2, /) = 0.(72)
Предполагая, что обе эти поверхности идеальные, мы составим дифференциальные уравнения движения, выражая, что равнодействующая из задаваемой силы {X, У, 2} и реакций этих поверхностей одинаково направлена с ускорением точки и равна произведению ускорения на массу. Таким образом, получатся следующие дифференциальные уравнения:
dt2дх г дх di2ду ' ду(73)
d2z 7 , a df дф
ГП—ттг = Z 4-+ Ц—,
dt2 1 dz 1 r dz ’
где Хи р — пока неопределенные множители. В этих уравнениях X, У, 2 — данные функции отх, у, 2, х', у* s г* и t, а потому в них входит пять неизвестных функций времени: х, у, 2, X и р, которые все и определяются из них, если к ним присоединить два уравнения (72).
Что касается X и р, то они могут быть найдены в функциях от х, у, z, х\ у*. г', t следующим образом: ускорение движущейся точки в рассматриваемом случае должно удовлетворять двум условиям
4-х" + 4"У" + Фг" + [/1 = °- ^-х" + у” +? + [ф] = °.
dx ' dy у dz L/ J ’ dxdy y dz > j ,
где [ф! — выражение, составленное из функции ф совершенно таким же образом, как выражение (59) составлено из функции f. Если эти уравнения внести вместо х", у", г" их выражения, следующие из уравнений (73), то мы получим уравнения для определения рассматриваемых выражений X и р
Г( ^V । (df V ।(dfVI1 д- (dfдФI^dtpdfдер! _
dx)уdy у\^dz у ][dxdx'dydy 'dzdz J
— m-ш 9x x 9y Y 9гХ,(74)
Г dfdtpdf дфdfдф1 .,Г/ dфV/dф \2/дф Vl
L dxdx1dy dy1 dzdzJЦ dx]\dy j\dz у J r
dxdy dz
Подставляя следующие отсюда выражения X и р в уравнения (73), мы обратим вторые части их в известные функции от х, у, z, х', у', z' и 1. Затем для опреде-
ления х, у, 2 в функциях времени мы можем воспользоваться только одним из этих трех уравнений, присоединяя к нему два уравнения (72). В силу последних это уравнение может быть приведено к дифференциальному уравнению второго порядка с одной неизвестной функцией. Поэтому в общие выражения х, у, г в функциях времени войдут две произвольные постоянные, которые могут быть определены по одной из начальных координат точки и по одной из проекций начальной скорости, которые связаны между собой уравнениями
/ Va, b, с, £0) = О, ср (я, Ь, с, £0) = О,
df,,df .,, df,.dfnCl4-—TT— b4"“ZC*|T7— 0,da1db1de1dt0df,,df .,, df,.dfnCl4-—TT— b4"“ZC*|T7— 0,da1db1de1dt0^,a-jL__^_b' 4--^-c' 4--^=0da ‘ db * de * dtQ "^,a-jL__^_b' 4--^-c' 4--^=0da ‘ db * de * dtQ "
df,,df .,, df,.dfn
Cl4-—TT— b4"“ZC*|T7— 0,
da1db1de1dt0
df,,df .,, df,.dfn
Cl4-—TT— b4"“ZC*|T7— 0,
da1db1de1dt0
^,a-jL__^_b' 4--^-c' 4--^=0da ‘ db * de * dtQ "
^,a-jL__^_b' 4--^-c' 4--^=0da ‘ db * de * dtQ "
После этого найдутся и X и ц в функциях времени. При этом величины
|/ \ <5^ /\\ <^2 у ’ * ^ । |/ dx у dy у dz у '
в которых | X | и | р | означают численные значения % и р, представят величины реакций обеих поверхностей. Направление же каждой реакции будет одинаково или прямо противоположно с положительным направлением нормали к соответствующей поверхности, в зависимости от того, положительно или отрицательно X или р. Если обе поверхности (72) удерживающие, то знаки X и р могут быть какими угодно.
Если же поверхность ср (х, у, z, t) = 0 неудерживающая, то реакция ее может быть направлена только по положительной нормали к этой поверхности, а, следовательно, р не может получать отрицательных значений. Поэтому в этом случае уравнения (73) будут определять истинное движение точки только до тех пор, пока р ^ 0. Если бы оказалось, что р, полученная из этих уравнений, есть такая функция времени, которая, не делаясь отрицательной до момента tv в этот момент обращается в нуль и затем получает отрицательные значения, то истинное движение определялось бы уравнениями (73) только до момента tx\ дальнейшее же движение точки должно быть определяемо уравнениями (66), потому что в момент tv точка оставит поверхность ср = 0 и будет затем двигаться только по поверхности / = 0.
Зная величины и направления реакций обеих поверхностей и составляя равнодействующую этих двух сил, мы получим реакцию линии пересечения этих поверхностей. Направление этой реакции всегда заключается в плоскости, нормальной к линии.
Сила, равная и прямо противоположная реакции линии, представит давление материальной точки на линию.
Легко убедиться, что ни реакция линии, ни движение, определяемое уравнениями (73), нисколько не зависят от выбора поверхностей (72), пересечением которых определяется линия, на которой должна оставаться движущаяся точка, а только от геометрических свойств этой линии.
В самом деле, если положим
+ =^ = N (75)
dx v dxdy dy 9 dz 1 r dz 2’ х 7
то при всяких X и р величины NX1 Nyl Nz будут удовлетворять уравнению
/ dfдфdf дц)\м. / д/ дфdfдф \.
у dydzdz dy ) x‘ d2 dxdxdz ] 9
+ /_ _|L дф_Х
у dx dy dy dx ) 2’x 7
а с другой стороны, каковы бы ни были Nx, Ny и Nz, удовлетворяющие условию (76), они всегда могут быть представлены в виде (75). Действительно,
равенство (76) только тогда определяет некоторое условие для величин Nx, Ny, Nz, когда в нем все три коэффициента при этих величинах одновременно не равны нулю. Положим поэтому, что
df дфdf дф
dx dydy dx
не равно нулю. Но в таком случае, полагая
дх дх г х ду 1 ду г У'
мы найдем решением этих уравнений при всяких Nx и Ng вполне определенные величины для X и р, т. е. для Nx и Ng будет возможна эта форма. Если же подставим эти выражения Nx и Ng в условие (76), то оно примет вид
У dx dy dy dx ] у 2 dz r dz )
и, следовательно, дает
NZ = X +2 dz 1 r dz
Поэтому если все три величины
dfдфdf дф df дфdfдф dfдфdfдф
dydzdz dy* dz dxdxdz' dxdydydx ' '
одновременно не равны нулю, то все равно, говорить ли, что проекции реакции линии Nx, Ng, Nz суть выражения вида (75), или что это величины, удовлетворяющие условию (76).
Что же касается случая, когда все три выражения (77) одновременно равны нулю, то он может быть исключен на том основании, что рассматривать его непосредственно мы не можем: его можно рассматривать только как предельный общего случая, когда по крайней мере одно из этих выражений не равно нулю. Действительно, в случае равенства нулю всех трех выражений (77) определитель уравнений (74), которым должны удовлетворять X и р, будет равен нулю (и притом только в этом случае), а потому для X и р получатся неопределенные величины, вследствие чего и реакция линии будет неопределенной. Неопределенность же эта может быть устранена только если этот случай рассматривать, как предельный общего.
Замечая, что условие (76) равносильно условию
Nxa + N^ + Nz4 = О, где а, р и у — косинусы углов, составляемых касательной к линии, на которой принуждена оставаться точка с координатными осями, мы приходим вследствие всего сказанного к заключению, что три уравнения (73) равносильны четырем следующим:
т ~ ^ + Nx, tn -g^ = У + Ny, т -g^- = Z + Nz,(7g)
Nxa + Ng^ + N2^ = 0.
Эти же уравнения зависят только от вида линии пересечения поверхностей (72), нисколько не зависят от выбора самих поверхностей, а потому ни реакция линии, ни движение, определяемое ими в связи с уравнениями линии, не будут зависеть от вида поверхностей, пересечением которых определяется линия.
Когда линия, удерживающая на себе точку, есть неподвижная линия неизменяемого вида, то уравнения (78) могут быть преобразованы к весьма простому виду, независимому от какой-либо координатной системы. В этом случае
траектория точки совпадает с этой линией, а потому, если через г обозначить скорость точки, через р — радиус кривизны линии, через Fy) Fp, Fb — проекции силы, действующей на точку, на направления: скорости, радиуса кривизны и на направление, перпендикулярное к плоскости кривизны линии, а через Np и Nb — проекции реакции линии на два последних направления, то дифференциальные уравнения (78) могут быть преобразованы к следующему виду [*]:
m^-=Fy, m^- = FP + NPt 0 = Fb + Nb.(79)
Первое из этих уравнений определит движение, а два последних— величину и направление реакции линии. Давлением точки на линию будет сила, равная и прямо противоположная последней. Проекции его на направления радиуса кривизны и перпендикуляра к плоскости кривизны линии определяются выражениями
— Np = Fp — tn ^-, — Nb = Fb,
откуда видно, что если задаваемую силу разложить на две составляющие, из которых одна была бы направлена по касательной, а другая — нормальна к линии, то давление точки на линию будет равнодействующей из этой последней составляющей и из силы, направленной прямо противоположно радиусу кривизны и равной произведению из массы точки, квадрата ее скорости и кривизны линии. Эта последняя сила называется центробежной.
Дифференциальные уравнения, которые мы рассматривали до сих пор, относятся к случаю идеальной линии. Но иногда необходимо учитывать силу трения. Эта сила прямо противоположна относительной (по отношению к линии) скорости точки и пропорциональна величине реакции линии или давления точки на линию.
Поэтому если через к назовем постоянный коэффициент трения, то дифференциальные уравнения примут вид
т^ = Х^ Nx — к^Ых + Х2+Х2а,
=Y ^Ny-k(80)
m-^ = Z + Nz-k Vn2, + N2vA-N^ Nxa + ^₽ + Nz^ = 0.
В случае неподвижной линии неизменяемого вида здесь
Если же линия, будучи неизменяемой, движется, то а, Р, у определяются по ее движению и скорости точки теми же формулами, что и в § 16.
В случае неподвижной линии уравнения (80) могут быть преобразованы к виду
m^- = Fy-kVN2-VN2b, m-^ = Fp + Np, Q = Fb + Nb. (81)
Когда кинематические условия, которым подчинена точка и действующие на нее силы не зависят явным образом от времени, то может возникнуть вопрос о разыскании таких положений точки, в которых она может оставаться, будучи помещена в них без начальной скорости. Эти положения есть те, в которых задаваемые силы уравновешиваются с сопротивлением поверхности или линии, на которой вынуждена оставаться точка, и называются положениями 9*259
равновесия ее. Уравнения, служащие для определения этих положений, уравнения равновесия, получаются из дифференциальных уравнений движения, если в последних положить ускорение точки равным нулю. В случае неудерживающих поверхностей к этим уравнениям должны быть присоединены еще некоторые неравенства. Условия, которым вследствие этих уравнений и неравенств должны удовлетворять задаваемые силы, называются условиями равновесия.
В случае свободной точки уравнения равновесия имеют вид
Х = 0, У = 0, 7 = 0,(82)
а потому условие равновесия состоит в том, чтобы равнодействующая всех задаваемых сил была равна нулю.
В случае несвободной точки условия равновесия имеют более общий характер.
Когда точка принуждена оставаться на идеальной поверхности
/ (х, у, г') = 0,(83)
то уравнения равновесия, получаемые из уравнений (66), будут следующего вида:
Х + Л^ = 0, У + Х^- = 0, Z + X-^ = 0.
дх ’ду ’1 dz
Исключая из этих уравнений %, получаем условия равновесия
X_УZ
djdf—Of’(84)
дхдудг
которые выражают, что равнодействующаязадаваемых сил должна быть нор
мальна к поверхности. Если рассматриваемая поверхность есть неудерживающая, то к этим уравнениям должно быть присоединено еще условие X ^ 0, приводящееся к виду
дх 1 ду дг
Поэтому в этом случае условие равновесия состоит в том, чтобы сила была направлена по отрицательной нормали к поверхности (т. е. по той, по которой точка перемещаться не может).
Когда точка вынуждена оставаться на идеальной линии
/ (х, у, z) = 0, ф (х, у, z) = 0,(85)
то уравнения равновесия имеют вид
х + х-^ + и_|ф =0, г + ^ + ц^- = о, z ++=
дх 1 г дх 11 ду дудг х дг
Условие равновесия получается исключением из этих уравнений Z и р и, следовательно, будет
Л = У / df дф^ Рф \ I у у ду дгдг ду ) ' дг дх дх дг ] х
+ Z(dL^L_dL^\.(86)
1 у дх ду ду дх ) ’v 7
оно выражает, что равнодействующая задаваемых сил должна заключаться в плоскости, нормальной к линии. Если поверхность ср = 0 или обе поверхно-
сти / = 0 и ф = О неудерживающие, то мы должны поставить еще условие р ^ ^ 0 или X ^ 0 и р 0.
Когда точка должна оставаться в пересечении трех поверхностей
/ (х, у, z) = 0, ср (х, у, z) = 0, ф (х, у, z) = 0, (87) то уравнения равновесия будут
х + %-^- + ^+х-^ = о, у + %-^-+и4ф +х-^ = 0,
1 дх 1 г дх 1 дх ’ 1 ду 1 г ду ду *
7 + Х-^ + ц-^+ (88)
d2 г д2 дг
Из этих уравнений X, р и X вообще не исключаются, а потому в случае удерживающих поверхностей условий равновесия не будет вовсе. Если же поверхность тр = 0 или поверхности ф = 0 и ф = 0 или, наконец, все три поверхности / = 0, ф = 0 и ф = 0 неудерживающие, то условия равновесия выразятся соответственно: X ^ 0 или р ^ 0 и X ^ 0 или X ^ 0, р ^ 0 и X ^ 0, где X, р, X — решения уравнений (88).
Во всех рассмотренных случаях точка имеет вообще конечное число положений равновесия, потому что координаты ее, соответствующие этим положениям, должны удовлетворять трем уравнениям: в случае свободной точки — трем уравнениям (82), в случае идеальной поверхности — трем уравнениям (83) и (84), в случае идеальной линии — трем уравнениям (85) и (86) и, наконец, в случае трех поверхностей — трем уравнениям (87). Только в частном случае, когда эти уравнения приводятся к двум или одному, как, например, в случае тяжелой точки, положенной на горизонтальную плоскость, возможен непрерывный ряд бесчисленного множества положений равновесия.
Не то представляется в тех вопросах о равновесии на данной поверхности или линии, в которых принимается в расчет сила трения. В этих случаях всегда существует бесчисленное множество положений равновесия.
Выше был приведен опытный закон, на основании которого вводится сила трения, проявляющаяся при движении точки. Теперь мы приведем опытный закон, которому подчиняется сила трения, действующая на покоющуюся точку. Закон этот состоит в следующем:
В случае материальной точки, покоящейся на данной поверхности, трение есть сила, которая может иметь всякое направление в плоскости, касательной к поверхности, и всякую величину, отношение которой к реакции поверхности не превосходит известного предела, зависящего от физических свойств поверхности.
В случае материальной точки, покоящейся на данной линии, сила трения направлена по касательной к линии и может иметь всякую величину, отношение которой к реакции линии не превосходит известного предела, зависящего от физических свойств линии.
Наибольшая величина отношения силы трения к реакции поверхности или линии может быть названа коэффициентом статического трения. Этот коэффициент, как показывают опыты, всегда больше того коэффициента к, который входит в выражение силы трения, проявляющейся при движении точки.
Когда материальная точка, находящаяся под действием данной силы, помешена р некоторую точку поверхности или линии, причем ей не сообщено скорости, то могут представиться два случая: или в числе сил, необходимых для 'уравновешивания действующей на точку силы вместе с реакцией поверхности, или линии, существует такая, величина и направление которой возможны для силы трения, или не существует. В первом случае сила трения всегда будет иметь величину и направление такой силы и точка останется в покое. Во втором же случае точка непременно придет в движение.
Если коэффициент статического трения обозначим через ^ а проекции на координатные оси силы трения — через Sx, Sy и Sz, то на основании сказанного закона уравнения равновесия точки на данной поверхности (83) будут вида
^ + ^ “gj" + ^ = О, У + ^ ^- + sy = о, z + к -^ + S2 = о,
s,4L + s A + S^_o.(89)
х дх У ду 2 дг
Притом так как величина реакции поверхности будет
г \\ ®У /\ &г / *
то Sx, Sy, S2 должны удовлетворять условию
<?2 , е2 . ^2 , ,2.2Г/ 5/ \2 , / df \2/ 5Н2],qn
Исключая из этого неравенства при помощи уравнений (89) величины К Sx) Sy, Sz, мы получим условие равновесия в виде
Ц дх ) 1 ду ) дг ) J v 117
7 дх 1 ду 1 дг)
Это условие в связи с уравнением (83) определит такие части поверхности, все точки которых будут положениями равновесия для материальной точки.
Если под F и N понимать направления силы и нормали к поверхности, то рассматриваемое условие представится в виде
1 < (1 + ^b COS2 (F, jV) или tg (F, N) < £v
Поэтому положениями равновесия будут все те точки поверхности, у которых направление силы составляет с нормалью угол, не превосходящий известного предела. Этот предел есть угол, тангенс которого равен коэффициенту статического трения и называется углом трения.
Таким образом, в задачах рассматриваемой категории число положений равновесия бесконечно велико. При этом вопрос, главным образом, состоит в назначении пределов для положений равновесия. Из только что сказанного видно, что этими пределами будут служить такие кривые, проведенные на поверхности, во всех точках которых угол между направлениями силы и нормали к поверхности равен углу трения.
Если рассматриваемая поверхность есть неудерживающая, то к условиям (89) и (90) должно быть присоединено еще условие X ^ 0. В этом случае положениями равновесия будут только те точки поверхности, для которых угол между направлением силы и отрицательным направлением нормали не превосходит угла трения.
Примеры.
Тяжелая точка, положенная на наклонную плоскость, останется в покое или придет в движение, в зависимости от того, не превосходит или превосходит угол трения угол наклона плоскости к горизонту.
Для тяжелой точки, находящейся на поверхности эллипсоида
X2 Z/2 ( Z2X2 Z/2 ( Z21,1,
X2 Z/2 ( Z2
X2 Z/2 ( Z2
1,
1,
ось 2с которого вертикальна, все положения равновесия находятся внутри эллиптического конуса
а4 ^”1 с4 ’
охватывающего ось 2с. Если поверхность этого эллипсоида удерживающая, то каждая точка ее, находящаяся внутри этого конуса, будет положением равновесия. В противном случае положениями равновесия будут точки только той части этой поверхности, которая отсекается верхней полой конуса, или только той, которая отсекается нижней полой конуса, в зависимости от того, на наружную или внутреннюю сторону поверхности эллипсоида положена тяжелая точка.
Рассмотрим теперь условия равновесия с трением на некоторой линии. Если а, р, у по-прежнему означают косинусы углов, составляемых касательной к линии с координатными осями, а 5 — силу трения, то уравнения равновесия будут
X + Nx + Sa = О, У + Ny + Sp = О, Z + Nz + Sy = О,
^,« + ^ + ^ = 0.(91)
При этом должно быть удовлетворено еще условие
S2<^(^ + ^ + ^).(92)
Исключая из неравенства (92) при помощи уравнений (91) величины NX1 Ny9 N2 и S, мы получим следующее условие равновесия:
(1 + $ (Ха + ур + Z^ < к\ (X2 + к2 + z^.
Если под F и т понимать направления силы и касательной к линии, то это условие можно представить в виде
(1 + ^f)cos2(F, т)^&1 или ctg2(F, т)^^.
Поэтому условие равновесия выражает, что угол между направлением силы и плоскостью, нормальной к линии, не должен превосходить известного предела — угла, тангенс которого равен коэффициенту статического трения, и который также называется углом трения. Пределами положений равновесия будут такие точки на данной линии, в которых направление силы с плоскостью, нормальной к линии, составляет угол, равный углу трения.
Возвращаемся теперь к дифференциальным уравнениям движения. Если точка должна оставаться на неподвижной поверхности / (х, у, г) = 0 или на неподвижной линии / (х, у, г) = 0, ср (х, у, z) = 0, то скорость ее будет удовлетворять условию
df , , df , . df , n dx x dy y dz
или условиям
у' _L dfV — П d(p y' 4- ^— 0
dx 1 dy y dzdx x dy y dz
Пользуясь этим замечанием, легко составить для случая движения по неподвижной поверхности или линии один из результатов исключения X из урав^ нений (66) или результат исключения X и р из уравнений (73). Для этого стоит только умножить эти уравнения соответственно на х', yr, zf и результаты сложить. Таким образом, мы получим то же самое преобразование дифференциальных уравнений движения
т(х"х' + у"У' + 2"^ = 4" m4r = Хх' + Yti' + Zz'> <93)
которое в случае свободной точки приводило к интегралу, известному под названием уравнения живой силы. Отсюда видно, что при том же самом условии относительно задаваемой силы, при котором этот интеграл имеет место в случае свободной точки, он будет иметь место и в случае точки, вынужденной оставаться на неподвижной поверхности или линии. Условие это состоит в том, чтобы сила имела силовую функцию U9 независящую ни от времени /, ни от
производных х\ у’, z'. Выраженное в более общей форме это условие состоит в том, чтобы выражение
Xdx + Ydy + Zdz(94)
было полным дифференциалом некоторой функции U координат. При выполнении этого условия уравнение (98) и приводит к интегралу
(95)(95)— = u + h
(95)
(95)
ф, — постоянная) живой силы.
Но легко убедиться, что в случае несвободной точки, рассматриваемом нами теперь, дифференциальное уравнение (93) может дать интеграл даже и тогда, когда выражение (94) не есть полный дифференциал некоторой функции трех переменных х, у, г. Когда точка должна оставаться на данной поверхности, при помощи уравнения f (х, у, z) = 0 этой поверхности, из выражения (94) можно исключить одну из переменных х, у, z вместе с ее дифференциалом, а потому для возможности получения интеграла из уравнения (93) достаточно, чтобы выражение (94) после сказанного исключения приводилось к полному дифференциалу некоторой функции двух остальных переменных. Для этого же, когда X, У, Z суть функции одних только координат, как известно, необходимо и достаточно, чтобы эти функции удовлетворяли следующему условию:
df / 0YdZ_\ df / dZ _ dX \ df / dX _ ^F \ _ n dx dzdy ] * dy у dx dz ] * dz dy dx I *' '
Когда, следовательно, X, Y, Z, будучи функциями одних только координат удовлетворяют условию (96), то, исключая из выражения (94) при помощи уравнения поверхности, например z и dz, мы обратим его в полный дифференциал некоторой функции U двух переменных х и у, после чего интегрированием уравнения (93) получим уравнение (95).
Когда точка должна оставаться на данной линии, то уравнение (93) всегда дает интеграл, коль скоро X, У и Z — функции одних только координат. В самом деле при этом мы можем воспользоваться уравнениями линии
/(х, у, z) = 0 и ср(х, у, z) = О
для исключения из выражения (94) двух из переменных х, у, z и с их дифференциалами, после чего оно обратится в дифференциал функции одной переменной. В рассматриваемом случае дифференциальное уравнение второго порядка (93) будет вполне решать вопрос о движении точки и можно показать, что интегрирование его всегда приводит к квадратурам. Для этого положим, что данная линия определяется тремя уравнениями
X = fl ($), у = /г (s), Z = /3 (s),
дающими координаты в функциях дуги s. Так как по условию X, У, Z — функции одних только координат, то в силу этих уравнений они будут известными функциями s. Полагая поэтому
Хх' + У у' + Zz' = \Xf\ (s) + Vf2 (s) + Zf3 (s)] -5- = Ф' (S) A,
мы приведем уравнение (93) к виду
1 do2 -, , .
-к- т-з— = Ф s),
ds' ”
<2/ds V 2
откуда уг = — Ф (s) + h или 1-^-1 = — Ф (s) + h, а отсюда
Таким образом, интегрирование дифференциальных уравнений движения точки по данной неподвижной линии всегда приводится к квадратурам, так как задаваемые силы зависят только от координат точки. Легко убедиться, что то же будет иметь место и в том случае, когда проекции задаваемой силы имеют выражения
X = Хг + Qz' — Ry', Y = Ki + Rx' — Pz', Z-Z^Py' — Qx',
в которых Хъ Yv Zt — какие-нибудь функции одних координат х, у, z, а Р, Qh R — произвольные функции х, у, г, х', у', z* и /, так как при этом
Хх' 4" Y у' Ч~ ^^ = Ххх' 4- Yty' Ч" Z^'.
Далее будут исследованы наиболее замечательные случаи движения по данной поверхности и линии. При этом мы начнем с рассмотрения последних, так как в отношении интегрирования дифференциальных уравнений движение по данной линии представляется более простым.
В большинстве случаев, которые мы будем рассматривать, вопрос будет решаться при помощи уравнения (95) живой силы.
ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ ПО ДАННОЙ ЛИНИИ
. Простейший случай движения точки по данной неподвижной линии есть тот, когда на точку не действуют никакие силы (за исключением реакции линии). Уравнение живой силы приводит к заключению, что в этом случае скорость точки остается во время движения постоянной, так что какова бы ни была данная линия, точка будет двигаться по ней равномерно с сообщенной ей скоростью. В этом движении, по замеченному в §18, давление точки на линию будет приводить к одной только центробежной силе: оно будет обратно пропорционально радиусу кривизны линии, а направление его будет прямо противоположно направлению радиуса кривизны (принимая за направление радиуса кривизны направление, идущее отточки линии к центру кривизны). Рассмотрим теперь, как изменится характер движения при учете трения. Для этого воспользуемся уравнениями (79) § 18, которые в рассматриваемом случае принимают вид
m_^- = _-kyN^ -VNb\ m^ = Np, 0 = Nb
и, следовательно, дают -^- =—^-—-. Предполагая, что движение совер- ds
шается в сторону возрастания дуги s линии, мы будем иметь v = -^-, а потому последнее уравнение примет вид
(
S \
, Г ds I
— к II.(97)
7
Здесь р можно рассматривать, как известную функцию s, а потому и интеграл, входящий в выражение показателя, будет известной функцией s. Дуга s в функции времени найдется из уравнения
J exp (& J -у-1 ds = v0(t — tQ).
So\ S, /
Уравнение (97) показывает, что скорость точки будет постоянно убывать, делаясь равной нулю только для s = оо. Давление точки на кривую по-прежнему будет равно центробежной силе.
Рассмотрим теперь некоторые случаи движения тяжелой точки.
22. Рассмотрим движение тяжелой точки по такой кривой, расположенной на цилиндрической поверхности, которая при развертке этой поверхности на плоскость обращается в прямую линию. Такая кривая, проведенная на цилиндрической поверхности, называется геодезической линией. В случае кругового цилиндра это винтовая линия. Образующие цилиндра предположим вертикальными и за ось г примем направление действия силы тяжести. При этом, обозначая через s дугу рассматриваемой линии, мы можем уравнения ее представить в виде
x = /(s), у = ф (s), z = ssina,(98)
где а — постоянный угол, составляемый касательной к линии с горизонтальной плоскостью.
Уравнение живой силы в рассматриваемом случае получает вид
-1_ пти2 = mgz + h = smg sin a + h.
Если продифференцируем это тождество по t, принимая в расчет, что о =
, ds
=, то получим
d^s
-^ = gsma,
откуда s = -^-gt2 sin a + s^ 4- s0, где s' и s0 — постоянные.
Таким образом, движение точки будет равномерно ускоренное или равномерно замедленное. Если so > 0, т. е. если начальная скорость составляет острый угол с направлением действия силы тяжести или равна нулю, оно будет равномерно ускоренное и точка будет постоянно опускаться. В противном случае точка будет подниматься равномерно замедленным движением до момента времени
t = —2s°
g sin a ’
а затем начнет опускаться равномерно ускоренно. Закон этого движения нисколько не зависит от вида той цилиндрической поверхности (98), на которой взята геодезическая линия и будет тот же самый, как и в случае прямой линии, наклоненной к горизонту под углом а.
От вида этой цилиндрической поверхности зависит только реакция линии или давление точки на линию. Так как радиус кривизны геодезической линии
направлен по нормали к цилиндрической поверхности Icos (р, z) = р- ^ = 01, которая перпендикулярна к направлению действия силы тяжести, то проекция этого давления на направление, противоположное радиусу кривизны, равна
/тгу2^V(d2x\2 । / ^У \2 । / d2z \2lVz 9 i г, с» , х19—;—:
=4-4- —-= то2 у Г (s) 2 + ф (s)]2.
рl as2 / I as2 / 1 I ds2 /L/ xx ’
Проекция же его на направление, перпендикулярное плоскости кривизны, равна mg cos a.
Простой маятник. Рассмотрим вопрос о движении тяжелой точки по окружности, находящейся в вертикальной плоскости, или вопрос о так называемом простом или математическом маятнике. Радиус окружности или длину маятника обозначим через I. Принимая за начало координат центр окружности и направляя ось у параллельно движению силы тяжести, запишем уравнение живой силы в виде
У2 = 2g (у — у^ = 2g (у — у0) + у2,(99)
где g0 и уо ” начальные значения у и и и ух = у0 — -^-. Отсюда видно, что так как у0 не может выходить из пределов —I и /, то постоянная ух всегда будет заключаться в пределах —I и L Когда ух = /, то необходимо и у0 = /, а и0 = 0. Это будет тот случай, когда точка помещена без начальной скорости в самую низкую точку окружности. Так как это положение для нее есть положение равновесия, то она после этого и будет оставаться в покое. Положим поэтому, что ух «< L Обозначим угол отклонения маятника от вертикали через Ф, рассматривая его как положительную или как отрицательную величину, в зависимости от направления, в котором он отсчитывается от вертикали.
Уравнение (99) при этом примет вид
/2(-^) =2^(/с05»-У1).(100)
Рассмотрим теперь отдельно все случаи, которые могут представиться в соответствии с различными величинами постоянной ух.
1. —I < ух<_1. В этом случае мы можем положить ух = I cos а, предполагая —л < а < л, причем а будет наибольшим углом отклонения маятника от вертикали, так называемой амплитудой колебания. Уравнение (100) примет вид
I = 2g (cos $— COS а) = 4g Sin2 SHl2-^- «
Так как по этому уравнению sin2-^- не может превосходить sin2^-, то мы можем положить
Sin-g- = sin ф sin —(101)
и наше уравнение, определяющее А в функции от /, обратится в следующее уравнение, определяющее ср:
I ^^ = йф — sin2-^-sin2 <р). (102) Отсюда видно, что производная ^- никогда не может обратиться в нуль, т. е. угол ср будет или постоянно возрастающей или постоянно убывающей функцией t. Но этот угол у нас определен пока еще только одним уравнением (101). Уравнение же это таково, что если ему удовлетворяет ф = ф, то будет удовлетворять и ф = л — ф. Но если одно из этих двух решений будет убывающей функций t, то другое будет возрастающей, а так как мы имеем право остановиться на любом решении этого уравнения, то и будем понимать под ф то, которое есть возрастающая функция t. При этом условии, полагая sin2 -^- = = £2, из уравнения (102) найдем
откуда
V 1 — &2 sin2 фV 1 — &2 sin2 ф(103)(103)
V 1 — &2 sin2 ф
V 1 — &2 sin2 ф
(103)
(103)
где т — постоянная, введенная интегрированием.
Если, понимать под к положительную правильную дробь, положим
.= U
V 1 — &2 sin2 ф
и затем решим это уравнение относительно ср, то найденная таким образом функция от и представит эллиптическую функцию, называемую амплитудой от и при модуле к. Это записывают ф = ат (и, &) или просто ср = ат и, когда нет надобности обращать внимание на модуль. Мы отметим некоторые свойства этой функции.
Так как интеграл
ф
Г
J / 1 — /г2 sin2 ф
может быть нулем только при ср = 0 и так как этот интеграл при перемене ср на —ср, очевидно, изменяет знак, не меняя своей величины, то мы можем записать
ат 0 = 0 и ат (— и) = — ат и, т. е. амплитуда есть нечетная функция своего аргумента, обращающаяся в нуль, когда этот аргумент обращается в нуль.
Далее, так как
= ^- = ]Л —£2sin2<p>0,
du du уv ’
то мы заключаем, что амплитуда есть возрастающая функция. Легко убедиться, что если положить
л2
J У 1 — к2 sin2 ф
ф+ллфл
то f -- + П (
J У 1 — /г2 sin2 ф J У 1 — к2 sin2 ф J У 1 — /г2 sin2 ф
ф
= Г —+ 2пКJ У 1 — к2 sin2 ф
для всякого п, а потому для всякого целого п будет справедлива формула ат (и + 2пК) = ат и + пи.(104)
Возвращаясь теперь к уравнению (103), мы находим из него ср = am ^-y(t — т),
(105)(105)(106)(106)а потому колебания маятника определятся формулами sin-g- = sin-уsin am у — т),
(105)
(105)
(106)
(106)
-^- = ±2 У-у- sin -^- cos am 1Л-f- (f — t).
Из этих формул видно, что движение будет периодическое с периодом л
7 = 41/-Lt< = 41/-LC-7=^=.
* g'5 J V 1 — sin2 a sin2 ф
о
В самом деле, когда t изменится на 7, то аргумент, от которого в наших формулах зависит функция амплитуды, изменится на 4К, а потому по формуле (104)
ат получит приращение 2л, a sin am и cos am, при помощи которых выражаются в формулах (105) sin -~- и -^, получат прежние величины и движение возвратится в прежнюю фазу.
Вообще пользуясь формулой (104), можно составить следующую табо n лицу значении v и ±
t — т О Л-Т Л-Т Л-Т т424
ф 0а 0—а 0
а0—а0 а
где положено
а = 2 j/"-y-sin-^-.
Время полного колебания Т, как показывает формула (106), зависит от амплитуды колебания а. Для Т может быть найдено выражение в виде бесконечного ряда. Для этого достаточно заметить, что
1 — Sin-у Sin2 ф1 2 = 1+^ 2.4.6...2пsm2n -у-ЗШ^ф
'/2=1
И Л
г . 9п л 1 - 3 • 5(2л — 1) л
) Sm2 ^ =2-4-6. ..2л— — *
о
Таким образом, найдем
г = 2л/т|1 + у[144?^1>-з№^|. (ют» Отсюда для бесконечно малых колебаний, т. е. когда а есть бесконечно малая величина, мы находим известную формулу
Поэтому полагая
1
2
Ух
I
. 2 О
51П ^
(так как &2 будет положительной правильной дробью), найдем
(^г) = -5" 0 -&а sin2 4)’ 0ТКУда 5 yr4w = ± V-^r^-^
о
и, следовательно,
» = ± 2 ат []/_£_ (7 — r)j .
Отсюда видно, что точка будет двигаться по окружности постоянно в одном и том же направлении, описывая полную окружность в промежуток времени
л
2
т = 2 1/— Ж = 2^ 1/ — ( VT=^4=" ’
г gг g J yi—/?~sm2q)
о
который и будет периодом движения. Постоянная к, от которой зависит этот период, находится в следующей зависимости от наибольшей скорости vm, которой обладает точка в наинизшем своем положении
к = avjl ,
ит
Рассмотрим теперь влияние на колебания простого маятника сопротивления воздуха, принимая его пропорциональным квадрату скорости. Обозначая коэффициент пропорциональности для силы сопротивления воздуха через тй2, остальные обозначения оставим те же, что и в предыдущем параграфе. Проектируя ускорение точки и действующую на нее силу на направление скорости, мы составим следующее дифференциальное уравнение:
-^- = — h?^ ± g sin fl*,
где знак «+» относится к случаю убывания угла Ф, когда у = —I а «—» к случаю возрастания его, когда и = 1-^. Принимая за неизвестную функцию и, а за независимую переменную А, мы будем поэтому иметь для -^ > О
и -AL + /й2и2 + /g sin А = о
И ДЛЯ -гг- < О
at
V /^2у2 _|_ /gsin# = 0.
Второе из этих уравнений получается из первого заменой О на — О. Поэтому можно ограничиться интегрированием первого, которое принимает вид
-А— _|_ 21к2и^ + 2 lg sin О = 0
и, следовательно, обращается в линейное, если за неизвестную функцию принять у2. Интегрированием этого уравнения находим
У2 = Се-№9, J2^,» (2^2sin О — cos О),(108)
где С — произвольная постоянная.
Для определения этой постоянной положим, что маятник был отклонен от вертикали на угол а и затем пущен без начальной скорости, т. е. положим, что в начальный момент движения fl* = —а и и = 0. При этом условии, полагая для сокращения
2^2 = е и 1 -_j_ ^-^ = р, найдем
С = — ре~ш (е sin а + cos а).
Внося эту величину С в уравнение (108) и заменяя в нем и на /-^—, мы можем привести окончательное решение задачи к квадратуре. Угол fl* будет некоторой трансцендентной функцией Z, исследованием которой мы заниматься не будем, а поставим себе для решения только следующую задачу: по начальному отклонению маятника от вертикали а, которое мы будем называть нулевым отклонением, определить величину ап какого-либо n-го отклонения.
Величина аг найдется по а из уравнения
ееа* (cos ат — 8 sin аг) = е-£а (cos а + 8 sin а),(109)
которое получится из уравнения (108), если в нем положить А =аь и = 0 и С заменить найденным для него выражением. Рассматривая в уравнении (109) ах как неизвестную, легко показать, что оно всегда имеет и притом только один положительный корень, не превосходящий л и что этот корень меньше а. Для этого мы замечаем, что пока ах заключается между Ойл, первая часть равенства (109) есть убывающая функция ai, ибо производная ее по аг
— (1 + 82) sinax^1
для таких значений ах остается отрицательной. Поэтому для доказательства справедливости сказанного достаточно показать, что при ах = 0 первая часть равенства (109) больше второй, а при ах = а меньше второй, т. е., что
£-ea(cos а + 8Sin а) < 1(110)
и
е£а (cos а — 8 sin а) — e~£a(cosa + esina) < 0.(111)
Что касается неравенства (НО), то справедливость его следует из того, что первая часть этого неравенства для 0 < a < л есть убывающая функция a (производная ее по а равна — (1 + 82) e~£asina), которая для a = 0 равна 1. Точно также справедливость неравенства (111) следует из того, что первая часть его для 0 < a < л есть убывающая функция а, ибо производная ее по a равна — (1 + 82) sin a (e£a — e~£a) и что для a = 0 она обращается в нуль. Таким образом, уравнение (109) дает для ах положительную величину, меньшую а. Найти эту величину можно только по способу последовательных приближений. Найдя ее, мы найдем а2 по уравнению совершенно того же типа, потому что вообще ап и art_i будут связаны уравнением
eea" (cos а„ — 8 sin aj = (cos an_i + 8 sin a„_i).
По уравнениям этого типа мы и вычислим последовательно, по данному a : ax, a2 ит. д., причем в силу только что доказанного будет a > ax > a2 >,... т. е. амплитуда маятника будет постоянно убывать.
Рассмотрим случай, когда сопротивление настолько мало, что можно пренебрегать квадратом и высшими степенями 8. При этом уравнение (109) примет следующий вид:
cos ax — cos a = 8 (sin ax + sin a — aT cos at — a cos a) или
2 sinsm —2s" = 8 (sm ai + sin a — ax cos aT — a cos a).
Из этого уравнения видно, что когда 8 — бесконечно малая величина, а — аг — бесконечно малая того же порядка. Поэтому полагая аг = а — 6, затем разлагая все члены этого уравнения в ряды по степеням 6 и удерживая только тс члены, которые одного порядка с 6, находим
о sin а — 2е (sin а — а cos а), откуда ах = а — 28 ^-^.
По этой формуле и могут быть вычисляемы приближенные величины последовательных размахов маятника.
Таутохрона. Мы видели, что время полного колебания простого маятника не зависит от величины размаха только для бесконечно малых колебаний. Теперь мы рассмотрим так называемый циклоидальный маятник, характеристичное свойство которого состоит в том, что время полного колебания его точно не зависит от величины размаха.
Возьмем в вертикальной плоскости две полные ветви циклоиды, образованной катанием по горизонтальной прямой АВ круга радиуса а (рис. 12, с. 117). Если обе эти ветви предположим твердыми и непроницаемыми и в общей их точке О укрепим конец гибкой нерастяжимой невесомой нити длины 4^z, к другому концу которой прикреплена тяжелая точка М и предположим, что эта точка может двигаться только в вертикальной плоскости, то и получим циклоидальный маятник, устроенный Гюйгенсом. Такое название ему дано потому, что точка М будет описывать циклоиду, образующий круг которой будет того же радиуса а. Последнее же вытекает из следующего: 1) эволюта циклоиды есть равная ей циклоида, 2) циклоидальные дуги А'О и OB' представляют эволюту для кривой А'СВ', описываемой точкой М, 3) циклоида, для которой эволютой служат дуги А'О и OB', вследствие выбора длины нити, которая равна 4а, проходит через наинизшую точку С кривой А'С В'.
Вопрос о колебаниях циклоидального маятника приводится к задаче о движении тяжелой точки по дуге циклоиды. Если прямую АВ примем за ось х, а ось у направим параллельно действию силы тяжести, принимая за начало координат общую точку О ветвей А А'О и OB'В циклоиды, то уравнения циклоиды А'СВ', по которой движется точка М, могут быть представлены в виде
х = а (со + sin со), у = a (s + cosco),
где со — вспомогательный угол. Для получения всех точек циклоиды А'СВ' его нужно изменять от —л до л. Если дугу s циклоиды будем отсчитывать от точки С, рассматривая ее как положительную величину, когда со > 0, и как отрицательную в противном случае, то найдем
s = lasin-Tj-, откуда
s2 = 8а (4а — у).(112)
Для определения движения точки М воспользуемся уравнением живой силы. Если в начальный момент точка М была помещена в точку циклоиды, для которой у = у^ъ пущена без начальной скорости, то это уравнение примет вид
Если же положим So = 8а (4а — у^, то в силу П12) это уравнение обратится в
S — s0 cosS — s0 cosУ ^-а-и].У ^-а-и].откуда, обозначая длину нити через Z, т. е. полагая 4а = /, находим
S — s0 cos
S — s0 cos
У ^-а-и].
У ^-а-и].
и, следовательно,
Это уравнение показывает, что колебания будут периодическими. Время полного колебания
Т = 2л У —;
' g
оно оказывается независящим от s0 и, следовательно, от величины размаха и равно времени бесконечно малого колебания простого маятника той же длины. Время, в которое точка опускается до наинизшей точки циклоиды, будучи помещена без начальной скорости в какое-либо положение на ней, для которого s = s0, равно -- Т и, следовательно, не зависит от пройденной точкой дуги. Такое свойство движения называется таутохронизмом, вследствие чего и циклоида называется таутохроной для силы тяжести.
Мы покажем теперь, что из всех плоских кривых циклоида есть единственная, таутохрона для силы тяжести. Для этого решим более общий вопрос о таутохроне, для какой-либо силы, имеющей потенциал. Обозначим потенциал через тП и положим, что наименьшее из всех значений его, соответствующих различным точкам таутохроны, есть 0.
Пусть материальная точка в начальный момент времени была помещена на таутохроне в какое-либо положение, для которого П = По и затем пущена без начальной скорости. При этом время Т, за которое точка достигнет того положения на таутохроне, для которого П имеет наименьшее значение 0, не должна зависеть от начального положения точки и, следовательно, от По. Это характеристичное для таутохроны свойство и послужит для ее определения. Возьмем уравнение живой силы у2 = 2 (По — П). Если дугу s таутохроны будем отсчитывать от того положения на ней, для которого П минимально, а начальное значение s обозначим через s0, то из этого уравнения найдем
-^- = _/2(П0-П) ,
откуда
о$0
грf1dsСds
=“J/2(П0-П)= JУ2(П0-П)’
и это выражение не должнозависетьот По.В силу уравнения таутохроны дуга
ее s будет, конечно, некоторой функцией П. Положим поэтому s = / (П), так что будет s0 = / (По) и f (0) = 0. Так как
ds = _^_dn = f' (П)<Ш,
dll
то выражение для Т примет вид
с‘ДДП^П^(ИЗ)
J /2П0-П > о
а условие, которому Т должно удовлетворять для таутохроны, выразится
адг^0-(114>
Но для составления этого уравнения мы не можем дифференцировать по По непосредственно интеграл (113), ибо в нем подынтегральная функция обращается в бесконечность при верхнем пределе интегрирования, которым служит П(. Поэтому преобразуем его предварительно при помощи подстановки П = Поа. При этом найдем
7 = С УТТ^ ЩоаМа ,(115)
J ]/2(1—а)
а уравнение (114) примет вид
1
С [f (Поа) + 2Поа^ (П„а)] da q
или, полагая /' (х) + 2х/" (х) = F (х),
1
С 212^1 = о(1161
J /1 — a О г
Так как это равенство должно иметь место для всякого По, то функция F должна быть равна нулю для всякого значения ее аргумента, ибо в противном случае для всяких достаточно малых положительных значений этого аргумента она сохраняла бы постоянно один и тот же знак и если бы это имело место для значений аргумента, не превосходящих е, то равенство (116) не могло бы иметь места для По = е, потому что при этом все элементы интеграла были бы одного знака.
Итак, мы должны иметь F (х) = 0 или /' (х) + 2xf (х) = 0. Это дифференциальное уравнение второго порядка относительно неизвестной функции / (х) имеет общий интеграл
Цх) = СГх + С1,
а так как должно быть fx (0) = 0, то Сг = 0. Таким образом, мы находим f (х) = С V~x и, следовательно,
s2 = С2П.(117)
Этим уравнением решается вопрос о таутохроне, потому что при этой зависимости между s и П время Т действительно не будет зависеть от По: по формуле (115) найдем
1
гр С 1daС д
~ 2 J /2а (1 — а) ™ 2/5"
Возвращаемся теперь к случаю силы тяжести. Положим С2 = -^ и, принимая за ось у направление действия силы тяжести, поместим начало координат так, чтобы для той точки таутохроны, для которой потенциал минимален, было х = 0 и у = 4я. При этом будет П = g (4(2 — у) и уравнение (117) примет вид
S2 = 8(2 (4(2 — у),
т. е. сделается тождественным уравнению (112). Это уравнение, которому должна удовлетворять всякая таутохрона для силы тяжести, само по себе еще не определяет кривой: ему могут удовлетворять весьма различные кривые двоякой кривизны. Но если мы поставим еще условие, чтобы искомая кривая была плоской, то найдем, что этому уравнению может удовлетворять одна только циклоида. В самом деле, найдем таутохрону для плоскости, наклоненной к вер-
тикали под углом а. Для этого мы должны присоединить к уравнению (112) еще уравнение
2 = z/tga.(118)
Но из уравнения (112) находим
ds = — V "7~ или ^ + ^3 + ^2 = Т~^У2'
Отсюда при помощи уравнения (118) найдем
dx2 = (-т^-^—dy2.
I 4a — у cos2 а у и
Поэтому если положим
у = 4(2— (2(1 —coso)) cos2 а,(119)
то найдем
dx = а (1 + cos a)) cos ado),
откуда, принимая во внимание, что х должен обращаться в нуль для у = 4(2 х = а (a) + sin со) cos a.(120)
Совокупность (118), (119) и (120) и определяет искомую кривую. Уравнения эти показывают, что это есть циклоида. Радиус образующего круга ее равен a cos a.
Брахистохрона. Мы теперь покажем, что циклоида обладает еще другим замечательным свойством по отношению к движению тяжелой точки, а именно это есть кривая, по которой должна двигаться тяжелая точка (в пустоте) для того, чтобы выходя из данной точки пространства с данной (по величине) скоростью, достигнуть другой данной точки пространства в кратчайшее время. Вообще кривая, обладающая таким свойством по отношению к движению по ней точки, находящейся под действием каких-либо сил, называется брахистохроной. Циклоида есть, следовательно, брахистохрона для силы тяжести.
Примем за начало координат ту из двух данных точек, которая находится на более высоком уровне, за плоскость ху — вертикальную плоскость, проходящую через обе данные точки и за ось у — направление действия силы тяжести. Координаты второй данной точки обозначим через хг и ух. Будем искать кривую, проходящую через начало координат, и точку (хь ух, 0), по которой должна двигаться тяжелая точка, выходящая из начала координат с данной скоростью г0, чтобы достигнуть точки (хь ух, 0) в кратчайшее время.
Уравнение живой силы в рассматриваемом случае будет
у2 = ио + 2g-y.
Отсюда, понимая под ds элемент дуги искомой кривой, найдем
= ^ + 2gy
и, следовательно, время Т, в которое наша точка пройдет дугу ее, заключающуюся между началом координат и точкой (Хх, у± 0), будет
или
(121)
где | ds | означает абсолютное значение dy. Искомая кривая должна обладать тем свойством, чтобы для нее это выражение Т было меньше, чем для всякой другой кривой, проходящей через начало координат и точку (хъ уъ 0). Из этого легко следует, что она должна заключаться в вертикальной плоскости, ибо из всех кривых, проходящих через точки (0, 0, 0) и (хъ уъ 0) и расположенных на поверхности одного и того же цилиндра / (х, у) = 0, интеграл (121), очевидно, будет наименьшим для той, для которой z = 0.
УхУхТаким образом, мы можем с самого же начала принять для искомой кривой условие z = 0, и поэтому вопрос приведется к разысканию плоской кривой х = ф (у), для которой интеграл
Ух
Ух
ООНу! (122)
О
О
У ^ + 28У
есть минимум (при данных ул и и0). Поэтому поступая по правилам вариационного исчисления, мы должны определить искомую функцию х = ф (у) так, чтобы первая вариация этого интеграла была равна нулю для всяких вариаций бх функции х, обращающихся в нуль для у = 0 и у = уг (ибо для этих значений у функция х должна получать данные значения 0 и х^. При составлении вариации интеграла (122) нужно иметь в виду, что 6хг == 0 и 6^ = 0 . Кроме того, для упрощения вычислений мы можем принять бх = 0 и бу = 0 для всех тех точек искомой кривой, в которой dy меняет свой знак, или что все равно для всех тех точек, для которых у есть максимум или минимум. При этом условии найдем
Ухdx с dx , , ,Ухdx d6x . , .
Р— о —т— \dy\р— -— dy
idy dy 11dy dy '
Отсюда, интегрируя по частям и замечая, что для пределов интегрирования бх = 0, находим
Ух /dx\
*6\ У 1+(зг) Уу°+ 2gy /
Таким образом, для искомой кривой должно иметь место равенство
Ухуdx\
У л Г mrL^ kW° 0.(123)
Здесь бх — непрерывная функция от у, подчиненная только одному условию обращаться в нуль для некоторых отдельных точек искомой кривой, в остальном же совершенно произвольная. Поэтому равенство (123) может иметь место только при условии, что вообще для искомой кривой
Это и есть дифференциальное уравнение искомой кривой. Понимая под а про- изЕольную постоянную, интегрированием его найдем dx
,dy1
откудаоткуда/ dx \2 \ dy // dx \2 \ dy /^ + 2g у
откуда
откуда
/ dx \2 \ dy /
/ dx \2 \ dy /
4ga — u^ — 2gy ’
Вводя вместо у новую переменную со при помощи уравнения
У + -^- = а(1 — cos to), найдем
dx = ± а ДГsin codco = ± 2а sin2 dco. V 1 + cos со2
(125)(125)Легко убедиться, что из двух знаков здесь можно остановиться на любом: при перемене со на —со равенство (125), определяющее со, не нарушается, а выражение для dx изменяет свой знак, не меняя абсолютной величины. Поэтому мы примем
(125)
(125)
(126)(126)dx = 2n sin2 ~- dco, откуда x = A + a (co — sin co).
(126)
(126)
Совокупность уравнений (125) и (126) определяет циклоиду. Радиус образующего круга ее равен а, а прямая, по которой этот круг должен катиться для ее образования, горизонтальна, уравнение ее
Две постоянные, введенные интегрированием А и а, определятся по тому условию, что циклоида должна проходить через точки (0, 0) и (хь yj. Когда начальная скорость г0 равна нулю, касательная к циклоиде при начальном положении движущейся точки вертикальна. Если при этом обе данные точки находятся на одном уровне, т. е. если ух = 0, то для определения постоянных А и а мы получаем уравнения
1 — cos соо = 0, А + а (соо — sin соо) = 0,1 — cos 0^ = 0, хг = А + а (со± —— sincoj.
Если хг > 0, то мы можем предположить, что со не выходит из пределов 0 и 2л, а при этом из этих уравнений найдем соо = 0, о^ = 2л и, следовательно, А = = 0, а = -^-. Таким образом, в этом случае мы получаем полную ветвь циклоиды, на концах которой находятся данные точки.
В другом предельном случае — когда данные точки находятся на одной вертикали, т. е. когда хг = 0, для определения постоянных А и а мы имеем уравнения
= а (1 — cos соо), 0 = Л + п (со0 — sin со0),
у?
У1 Н—2^~ = а ^ — cos ^i)» 0 = ^ + ^ (toi — sin COJ,
из которых видно, что в этом случае а = оо. Циклоида обращается при этом в вертикальную прямую. Рассмотренная здесь задача о брахистохроне предложена была Иваном Бернулли в 1696.г. и послужила открытию вариационного исчисления.
Движение тяжелой точки по вращающейся прямой. Для примера движения точки по движущейся линии рассмотрим движение тяжелой точки по прямой, равномерно вращающейся вокруг некоторой оси. Обозначим через
а угол, составляемый прямой с осью вращения, через 0 угол, составляемый осью с вертикалью и через Q постоянную угловую скорость вращения.
Рассматриваемая задача, как и многие другие задачи о движении точки по движущимся поверхностям или линиям неизменяемого вида, удобнее всего решается при помощи формул относительного движения. Для этого введем три взаимноперпендикулярные оси, неизменно связанные с прямой линией: £, т), £. За ось g примем направление самой прямой линии, а за ось т] — направление кратчайшего расстояния между этой прямой и осью враще
ния. За начало координат примем ту точку прямой, которая находится на кратчайшем расстоянии от оси вращения. Мы будем иметь
cos = Qcosa, (оп = 0, co^ = Qsina.(127)
Относительное движение точки будет происходить по оси £, так что во все время движения будет т] = 0 и £ = 0. Для определения этого движения мы воспользуемся формулами (49), в которых вместо S, Н, Z должны быть подставлены проекции на оси Е, т), £ равнодействующей всех действующих на точку сил. Силы же эти в рассматриваемом случае суть: сила тяжести, направление которой примем за ось г и реакция линии, направление которой перпендикулярно к оси X- Что касается величин а, 0, у, входящих в формулы (49), то они являются проекциями на оси £, т), £ ускорения начала координат, которое в рассматриваемом случае есть центростремительное; величина его равна &Q2, если к — кратчайшее расстояние между прямой с осью, а направление идет по этому кратчайшему расстоянию от прямой к оси. Если поэтому за ось т] принято именно это направление кратчайшего расстояния, то вместо а, 0 и у в уравнения (49) нужно подставить 0, &Q2 и 0.
Обозначая через (2, £), (2, т]), (2, £) косинусы углов, составляемых осью 2 с осями £, т), X и через N^, N^ проекции на оси т) и £ реакции линии и пользуясь формулами (127), мы приведем уравнения (49) для рассматриваемого случая к виду
d2Eай
IF" = g (z, £) + ^2 sin а, 0 = 5 (z, Т]) + —^&й2 — 2Й -^-sin а,
N.(128>
о = g (г, У + -^£й2 sin а cosa.
Для определения входящих сюда (2, Е), (2, т]) и (2, £) проводим через начало координат направления, параллельные оси вращения и оси 2 и замечаем точки пересечения их с поверхностью сферы радиуса 1, имеющей центр в начале координат. Пусть эти точки Q и 2. Точки пересечения этой сферы с осями координат обозначим через £, т], X- Соединяя эти точки попарно дугами больших кругов, найдем
W ЙЧ = ^ ^ = ^ ^ = -5- , ^ й£ = a, ^ Йг = р, ^ Й^ = ^а.
Z. Т]Й2 = -у- + Z. ^йг, Z. £йг = л — А?йг.
Что же касается угла £Й2, то он будет возрастать пропорционально времени, и мы можем принять /Л^ — ^- По этим данным из сферических треугольни-
ков zQ?, zQ-q, zQ? найдем
(z, У = cos a cos P + sin a sin p cos QZ, (z, q) = — sin p sin QZ,(z, Q = sin a cos P — cos a sin p cos Qi.
Внося эти выражения в уравнения (127), мы определим движение по первому из них
-£|- = g (cos a cos p + sin a sin 0 cos Ш) + |92sin2a,(129)
после чего реакция линии определится по двум остальным из уравнений (128). Вводя вместо £ новую неизвестную функцию ^ при помощи подстановки
, _ geos a cos р _ g sin a sin 0 o.
”^ Q2sin2a Q2 (1sin2 a) ’
обратим уравнение (129) в следующее:
-^ = Q2^sin2a, общий интеграл которого есть
^ = c^sma + C^-QZsina.
Из этих формул видно, что вообще с беспредельным выражением времени точка будет удаляться в бесконечность.
Следует обратить внимание на частное решение, когда С = Сг = 0. Движение, соответствующее этому решению, получается, когда в момент времени / = 0 точка помещена без начальной относительной скорости в ту точку прямой, для которой
» g /cos a cos p) . sin a sin p\
’Q2 у sin2 a~*~ 1 +sin2 a у
Это движение определяется уравнением
е. g cos a cos pg sin a sin p q,
5 — —Q2 sin2 aй2 (1 -|-sin2 a) C0S ^
и представляет простое гармоническое колебание с периодом -q- и амплитудой g sin a sin p
Q2 (1 + sin2 a)
Когда ось вращения вертикальна, т. е. когда 0 = 0 движение определяется уравнением
| = — 7^^- + CeQZsina + Сле-й^па.
э Q2 sin2 a 111
В этом случае существует положение относительного равновесия движущейся точки, а именно положение, для которого
~ g cos a
”Q2 sin2 a
Если мы предположим еще, что ось вращения перпендикулярна к прямой, то получим первую задачу, которая была решена о движении точки, вынужденной оставаться на движущейся линии. Задача эта была предложена Иваном Бернулли и разрешена Ампером.
ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ ПО ДАННОЙ ПОВЕРХНОСТИ
Геодезические линии. Переходя теперь к вопросам о движении точки по данной поверхности, начнем с рассмотрения простейших случаев, которые могут при этом представиться. Рассмотрим движение точки по данной
неподвижной поверхности, предполагая, что на точку не действуют никакие силы, кроме сопротивления поверхности. Пусть / (х, у, г) = 0 есть уравнение данной поверхности. Предполагая, сначала, что поверхность эта идеальная, мы будем иметь следующие дифференциальные уравнения по ней:
d2x A df d2y , df d2z * df
==(130)
Эти уравнения выражают, что ускорение движущейся точки направлено по нормали к поверхности. Но вследствие неподвижности последней касательная к траектории точки заключается в касательной плоскости к поверхности и, следовательно, по только что замеченному, ускорение точки оказывается направленным перпендикулярно к ее скорости. Если же учесть, что ускорение точки всегда заключается в плоскости кривизны траектории и что проекция du
его на направление скорости равна -^-, то придем к заключению, что в рас- сматриваемом случае -^- = 0, т. е. что точка движется равномерно и что радиус кривизны ее траектории всегда направлен по нормали к поверхности.
Вообще кривая, проведенная на какой-либо поверхности так, чтобы радиус кривизны ее всегда был направлен по нормали к поверхности, называется геодезической линией. В вариационном исчислении доказывается, что это есть линия, по которой измеряется кратчайшее расстояние между двумя точками на поверхности. Например, на плоскости геодезическая линия есть прямая, на поверхности сферы — дуга большого круга, на цилиндрической поверхности — такая линия, которая при развертке этой поверхности на плоскость обращается в прямую. На всякой поверхности вращения меридиональная кривая есть одна из геодезических линий.
Таким образом, если к материальной точке не приложены никакие силы, то при движении по идеальной поверхности она будет описывать геодезическую линию, двигаясь по ней равномерно с сообщенной ей скоростью. При этом описываемая точкой геодезическая линия вполне определится по начальному положению и по направлению начальной скорости точки, ибо определение геодезической линии приводится к интегрированию одного дифференциального уравнения второго порядка с одной неизвестной функцией, вследствие чего конечные уравнения ее содержат две произвольные постоянные, для определения которых достаточно дать точку на поверхности, через которую должна проходить геодезическая линия и в этой точке — направление касательной к геодезической линии.
Если через ds обозначим дифференциал дуги геодезической линии, то по свойству ее будем иметь
d2xd2yd2z
ds2 ds2 ds2~f~3/~df e
dxdydz
Поэтому если за независимую переменную примем, например, х, то
(
\/dyх
1\ df d I *dx।
1/, , / dy )2 , / I = dx dx I Л ( dy ( dz \2 Г
Но из уравнения / (х, у, г) = 0 поверхности мы можем найти г = <р (х, у), откуда
dz дф . дф dy dx — dx ^ dy dx *
Если же эти величины 2 и -^- подставим в предыдущее уравнение, то обратим его в дифференциальное уравнение второго порядка с неизвестной функцией у и независимой переменной х. Поэтому интегрированием его найдем у = гр (х, С, С'), где постоянные С и С' определятся, когда даны значения у и -—- для какого-либо данного значения х.
Рассмотрим теперь, каково будет движение точки по поверхности, когда принимается в расчет трение.
Так как мы предполагаем, что на точку не действуют никакие задаваемые силы и что поверхность неподвижна, то уравнения (68) примут вид
dt2dx''гXdx /‘X dy /Xdz/v’
(,31)
dt2dy''тxдх /'X ду ’Vdz/и’v 7
dt2dz'xVXdx )x dy )Xdz)v
Пусть p, q и r — косинусы углов, составляемых с координатными осями направлением, перпендикулярным к скорости точки и к нормали к поверхности, так что
^^- + ^ + Г^- = 0 и Px'-Vqy'+rz' = 0.
Умножая уравнение (131) соответственно на р, q и г и складывая результаты, мы поэтому найдем
рх" + qy" + rz" - 0.
Это уравнение выражает перпендикулярность направления ^ps q, г} с направлением ускорения точки, а так как это направление перпендикулярно также и к направлению скорости, то, следовательно, оно перпендикулярно к плоскости кривизны траектории точки. Из этого же обстоятельства в связи с тем, что направление {р, q, г) перпендикулярно к нормали к поверхности, мы заключаем, что плоскость кривизны траектории содержит нормаль к поверхности, и, следовательно, радиус кривизны траектории направлен по нормали к поверхности. Таким образом и в случае существования трения траектория точки будет геодезической линией, которая по-прежнему вполне определяется по начальному положению и по направлению начальной скорости точки.
Но движение точки по поверхности в случае существования трения уже не будет равномерным. В самом деле, умножая уравнения (131) на х’, у\ г' и складывая результаты, по сокращении на и найдем
Но аm [Л
(ЛА2 . (^LY *\ дх ) х у dy )dz ]
Д ' dx2dy2 У dz2 * dydz *
+ 2/7 ;Y + 2/V tv.
dzdx 1 dxdy 3
мы будем иметьмы будем иметьVIVI= v2T (s),= v2T (s),Поэтому зная геодезическую линию, которую описывает точка на поверхности,
мы будем иметь
мы будем иметь
VI
VI
= v2T (s),
= v2T (s),
где У (s) будет известной функцией дуги s геодезической линии и, следовательно, найдем
_^-==-^2|ЧГ(8)|,
где | ¥ (s) | означает численное значение Y (s). Если же предположим, что дуга s отсчитывается в сторону движения точки, то будем иметь у = -^- и наше уравнение, принимая вид
дает
у = у0 ехру = у0 ехр— к J | V (s) | ds So.— к J | V (s) | ds So.
у = у0 ехр
у = у0 ехр
— к J | V (s) | ds So.
— к J | V (s) | ds So.
Это же уравнение показывает, что скорость точки будет постоянно уменьшаться, асимптотически приближаясь к нулю.
Таким образом, когда задаваемые силы равны нулю, то трение, замедляя движение точки по поверхности, не оказывает никакого влияния на вид ее траектории.
Рассмотрим теперь некоторые случаи движения тяжелой точки по данной поверхности.
§ 29. Сферический маятник. Рассмотрим движение тяжелой точки, вынужденной оставаться на поверхности сферы — вопрос о так называемом сферическом маятнике. Предполагая, что за ось принято направление действия силы тяжести, возьмем уравнение сферы в виде
-^(/2 —х2 —у2 —г2) =0,(132)
так что I будет представлять длину маятника. Дифференциальные уравнения (66) примут вид
d2xd2yлd2zа
т-д^- = — ^х, т—^ = — Ху,— Xz. (133)
d2y d2x n
Первых два из этих уравнении дают х у = 0, откуда
du dx
x1t y~dT~С’(134)
где С — постоянная. Кроме того, мы имеем уравнение живой силы
/ dx \2 . ( dy \2 . / dz \2 оч . о
+ (‘di ) + ("5") = 2^ (г “ zo) + у0 >(135)
где z0 и и0 — начальные значения z и и. К этим уравнениям мы присоединяем уравнение
dx . dydz
X~dT + ^ dt ~~~Z dt *(136)
которое вытекает из уравнения (132). Возводя уравнения (134) и (135) почленно в квадрат и результаты складывая, находим
+ » ) [(—) + 1 +(—)
или в силу (132)
Вследствие этого равенства уравнение (135) приводится к виду
Р = (/2 - z2) l2^ <z - z«) + yol - С2.(137)
откуда при помощи квадратур можно найти / в функции г.
Когда С = О, уравнение (134) дает -у = const, т. е. в этом случае точка движется по дуге окружности, получаемой в пересечении сферы (132) с некоторой вертикальной плоскостью, проходящей через ее центр, и мы приходим, следовательно, к рассмотренному уже случаю колебаний простого маятника. Поэтому случай С = О, который будет иметь место, когда начальная скорость точки равна нулю или заключается в вертикальной плоскости, проходящей через центр сферы, мы теперь исключим из рассмотрения. Обозначим через чр угол, составляемый вертикальной плоскостью, проходящий через центр сферы и движущуюся точку, с плоскостью 2х. Тогда уравнение (134) примет вид (/2_22)^_ = С1(138)
откуда видно, что если и0 — проекция начальной скорости на направление перпендикуляра к плоскости ф = const, проходящей через начальное положение точки, то
с2 = (/2 — 22) 4(139)
Вследствие замеченного выше мы будем предполагать, что и0 не равно нулю и что Zo не равно /2. Когда г найдется в функции /, уравнение (138) даст ф в функции /, чем и решится окончательно вопрос о движении точки, потому что для определения положения точки на поверхности сферы в каждый момент времени достаточно знать z и ф в функциях времени. Полагая (9 \/9 \
Ул \Ул \
Z-20+^--^ = -23+ ^0-^22 + /22-
(
Ул \ Г2
мы приводим уравнение (137) к виду
=(140)
Мы должны поэтому прежде всего исследовать функцию / (г). Принимая в расчет выражение (139), находим
нп С2(/2~го) (уо-“о) ,, h С2 н ,
IV) =2Г> т) =^,/(—0 = —°°) = +
Так как /2 — 2о > 0 и Уд — ио > 0, то / (г0) > 0. Отсюда видно, что уравнение третьей степени / (z) = 0 имеет три вещественных корня, из которых один всегда заключается между пределами —I и —оо, а два других между пределами —I
и I. Из этих последних один будет равен 20, если «о = ^о, т. е. если начальная скорость точки горизонтальна. В общем же случае, когда Уо > ^о эти два корня заключаются между пределами — Z, z0 и z0, L Корни эти обозначим через zn z2, 2з, предполагая z3 ^ z2 > z3.
Когда «о = ^о, мы находим
/(2) = (2о —2) 22+ -|г(2 + 2о) —’
а потому в этом случае, если
2^ + ^Z0-/2>0, то 2А = 20 и z0 > z2 > — Z; если же
22+^-2о-/2<О,
что будет иметь место всякий раз, как z0 ^ 0, то I > 2г > z0 и z2 = z0. Когда, наконец,
^ + -^го-/3 = О, для чего необходимо должно быть z0 > 0, то 2А = z2 = z0, при этом
Прежде чем перейти к общему случаю, мы и рассмотрим этот последний частный случай, когда начальное положение точки ниже горизонтальной плоскости, проходящей через центр сферы (z0 > 0), когда начальная скорость горизонтальна (Уо = «о) и когда величина этой начальной скорости удовлетворяет условию
^ = -f-^-^.
В этом случае уравнение (140) принимает вид / . \2//2-2
и показывает, что должно быть 2 = z0 во все время движения, ибо в противном случае вторая часть его принимала бы отрицательные значения. Если же постоянно 2 = z0, то уравнение (138) дает
Таким образом, рассматриваемое частное решение определяет равномерное вращательное движение точки по окружости, получаемой в пересечении сферы с горизонтальной плоскостью.
Обращаемся теперь к общему случаю. Уравнение (140) мы можем представить в виде
—гз)(2 —2з)-(141)
Так как вообще для всех точек сферы — I < 2 < Z, а 23 < — I и так как первая часть равенства (141) положительна, то необходимо должно быть 2Х ^ г ^ 2^
т. е. во все время движения z должно заключаться между пределами гх и 22. Поэтому мы можем положить
г = zt cos2 ф + z2 sin2 ф,(142)
вводя вместо неизвестной функции г новую функцию ф. Уравнение (141) при этом обратится в
("5^)2 = ^^ — ^2^п2ф),(143)
где
= 8^г^-* k2 = ^E^^(144)
так что £2 — положительная правильная дробь. Отсюда видно, что ^- никогда не может обратиться в нуль, т. е. что ф есть или постоянно возрастающая, или постоянно убывающая функция времени. Но ф у нас определяется только уравнением (142), а последнее таково, что если ему удовлетворяет величина ф = = q, то будет удовлетворять и величина ф = л — т). Поэтому мы можем предположить ф возрастающей функцией, вследствие чего уравнение (143) даст
J V 1 — &2 sin2 ср
и, следовательно,
Ф = am \q (t — т)].(145)
Здесь т есть постоянная, которая находится в определенной зависимости от 20, а именно принимая за начальный момент времени t = 0 и называя начальное значение ф через ф0, имеем
20 = zx cos2 ф0 + 22 sin2 ф0 и фо = — ат дт.
Обращаясь к уравнению (138), находим
dtp = р1гг di
или вследствие (143)
d-ф = —=- .
Я (Z2 — 22) V 1 — &2 sin2 ф
Понимая здесь под z его выражение (142), находим отсюда ф в функции от ф при помощи эллиптического интеграла третьего рода
ф,
Ф — ф = \ 7=^==- ,
™ q J (/2 _ 22) / ! _ £2 sjn2 ф ’Фо
где фо есть начальное значение ф. Если же положим
ф
С/ф= G (ф),
J (Z2 — 22) V 1 — &2 sin2 ф
то будем иметь
ф-фо=^-[С(ф)-6(Фо)1.(146)
Относительно входящей сюда функции G (ф) надо заметить, что она обладает, как нетрудно убедиться, следующими свойствами:
G (ф + ил) = G (ф) + nG (л)
для всякого целого п, что
G(0) = 0, G(n) = 2G^ и что 6(— ф) = — С(ф).
Уравнения (142), (145) и (146) и решают вопрос о движении точки.
Принимая в расчет свойства функции ат, изложенные при рассмотрении задачи о колебаниях простого маятника, а также свойства функции G (ф), о которых только что было сказано, мы можем придти к заключению о следующих свойствах этого движения.
Если провести две горизонтальные плоскости z = гх и г = z2, то в пересечении их со сферой получается две окружности, ограничивающие тот сферический пояс, на котором расположена вся траектория точки. Значения ф: : 0, л, 2л и т. д. дают точки этой траектории, лежащие на нижней окружности, а значения ср: -^-, -^-, у ит. д. — точки ее, лежащие на верхней окружности. Так как
dzо ( х .dtp
— =-2(21-22)51ПфСО5ф^
и так как -^- никогда не обращается в бесконечность, то для всех этих
dz
точек = 0; это показывает, что траектория в этих точках касается с этими окружностями. Значения ф, соответствующие точкам касания с нижней окружностью, следующие:
%-4С(Ч)о), ^-^О(ф0) + 24с(^-). ^--^GW + ^G^-)
ччч \)ЧЯ \ z /
и т. д., а соответствующие точкам касания с верхней окружностью следующие:
Ф0-4б(ф0)+4от, ^o_-£.g(Vo)+3^g(^
и т. д., откуда видно, что при переходе от точки касания с верхней окружностью к следующей точке касания с нижней окружностью и обратно угол ф изменяется всегда на одну и ту же величину
(147)
Поэтому траектория точки будет замкнутой или незамкнутой кривой, в зависимости от того, соизмерима или несоизмерима эта величина Ф с числом л.
Величины z, -^- , -^- будут изменяться в течение времени периодически, возвращаясь к прежним величинам по истечении каждого промежутка времени, равного л
Тгр 2 Сdtp
Я J / 1 — £2 sin2 ф ’
так что по истечении этого промежутка времени точка будет возвращаться на прежнюю высоту с прежней (по величине и направлению) скоростью. Находиться на нижней окружности точка будет в моменты времени: т, т + Т, т + 2Т 135
и т. д., а на верхней в моменты: т + -уТ, т + —Т, т + -^Т и т. д., так что переход с верхней окружности на нижнюю и обратно будет совершаться всегда в течение одного и того же промежутка времени уТ. Так как -у- со-
храняет постоянно один и тот же знак, то точка будет двигаться по траектории всегда в одном и том же направлении. Все части траектории точки, заключающиеся между каждыми двумя последовательными точками соприкосновения ее с одной и той же окружностью, будут совершенно тождественны по виду.
Для составления себе более полного представления о виде этой траектории можно заметить следующие ее свойства:
траектория эта расположена симметрично по отношению к каждой точке соприкосновения с той или другой окружностью;
плоскость нижней окружности находится от центра сферы в большем расстоянии, чем плоскость верхней (так что нижняя окружность всегда ниже центра сферы);
угол ф, заключающийся между вертикальными плоскостями, проходящими через центр сферы и последовательные точки соприкосновения траектории с той и другой окружностью, больше прямого.
Для доказательства 1) мы замечаем, что для точек касания с той или другой окружностью ф = м-^-, где п — какое-нибудь целое число и что для ф = м-^- + + е и ф = п^- — 8 при произвольном 8, 2 получает одинаковые значения. Поэтому 1) будет доказано, если покажем, что значения гр, соответствующие этим значениям ф, которые мы обозначим через грт и гр2, удовлетворяют условию Фг + Фг = 2гр, где гр — значение, получаемое гр при ф = м -^-. Для этого же в силу (146) достаточно показать, что
G^n^- + e) + G(n^- —е) = 2G(n^-j .(148)
Но когда п — число четное, то вследствие замеченных выше свойств функции С(<р)
G (п -^ + в) = G (n + G (е), G (п ^в) = G (n -у-) — G (е).
Когда же п — число нечетное, имеем
G^ + e) = G[(n+ 1)-2— (^--8)]=.g[(m+ l)^-]-G(^--e).
G(n-^--в) = сГ(п-1)-^ + ^—в1 = сГ(п-1)^-1 + с(^--в), притом
G[(n + l)-^j = (n+l)G^ = G^ + G(n^,
G[(n-l)^-] = (n-l)G^+.
Поэтому для обоих случаев находим формулу (148).
Для доказательства 2) замечаем, что из сравнения двух выражений той целой функции, которую мы обозначили выше через / (г), между прочим следует z^ ++ 232г = — /2, откуда
Но мы знаем, что /2 + г1г2 > 0 и г3 < 0. Поэтому отсюда заключаем, что 2г + + z2 > 0.
Наконец, для доказательства 3) замечаем, что
ллл
2/22\
с^ф 1I сIС^ф|
J/2 _ 22 — "2/~l J Т+Т +J1 — 2/
о\оо/
л ГI.1 1
Далее, так как
Г2
(/ + г1)(/ + г2)(/ + г3) = /(-/) = --^ и
(Z - 2,) (Z - 22) (Z - 23) = - / (Z) = -^ ,
ТО
л
2
f -Дг = ^Йт (Г^+^=^73), о
где | С | — численное значение С. Поэтому обозначая через | Т | численное значение Ф, по формулам (147) и (144) найдем
I Щ I23
Отсюда, принимая в расчет, что / > zT и что, следовательно,
1
Vz1 — Z3’
и находим требуемое | Т | > -^-.
В предыдущем параграфе мы предполагали, что сфера, на которой движется точка, есть удерживающая поверхность. Но если движение точки по поверхности сферы обусловливается тем, что она прикреплена к концу гибкой нерастяжимой нити, другой конец которой укреплен неподвижно, то эта поверхность будет неудерживающей: она не будет позволять точке проникать только во внешнюю часть пространства. Так как для точек внутри сферы первая часть равенства (132) положительна и, следовательно, условие, поставляемое поверхностью сферы в этом случае, имеет вид -^- (/2 — х2 — у2 — z2) ^ 0, то при этом движение точки будет определяться предыдущими формулами только до тех пор, пока множитель %, входящий в уравнения (133), не переходит от положительных значений к отрицательным, после чего точка сойдет с поверхности и будет двигаться, как свободная, описывая параболу, пока снова не встретит поверхность. Но может случиться, что при известных начальных данных X сохраняет положительные значения во все время движения, определяемого предыдущими формулами и в этих случаях точка всегда будет оставаться на поверхности сферы, имея движение, рассмотренное в предыдущем параграфе. Рассмотрим, при каких условиях может иметь место последнее, а также, если точка должна оставить поверхность, то в каком именно месте ее
она сойдет с нее. Уравнение (132) дает
хх" + уу" 4- 22" + X'2 + Z/'2 + 2'2 = О,
а потому, умножая уравнения (133) соответственно на х, у, г и складывая почленно, в силу (132) находим
'Ll1 = m^gz + V8)
или вследствие (135)
М2 = т (3gz — 2gz0 + Vo) = ^mg (г — А),
2 ио
где h = —Zo-—.
Но мы знаем, что при движении, рассмотренном в предыдущем параграфе, г изменяется между пределами zx и 23. Поэтому для того чтобы и точка не оставила поверхности сферы, необходимым и достаточным условием служит
2^>К(149)
Рассмотрим, к какому виду приводится это условие, если принять в расчет, что 22 есть один из корней уравнения третьей степени / (2) = 0. Мы знаем, что
ДЛЯ ОО^
>2>
>21
со,
для zx ^
>2^
>ч
>0,
ДЛЯ 22;
>2^
> 23
RzV
со
И ДЛЯ 2^
> 2*^
> ОО
>0.
2
Но z, > h, так как гт — h = гг5- г0 4- —— , а, как мы знаем, г, > 0 и dog
zx > z0. Поэтому h всегда заключается между zx и —оо. Если притом h ^ —I, т. е. если
Уо>^(3/ + 22О),(150)
то условие (149) удовлетворяется само собой, потому что 23 ^ —I. Если же Уо < < g- (3Z + 2г0), то будет/г > —/ и, следовательно, h будет заключаться между пределами zx и 23 (ибо z3 ^ —Z), а потому если при этом / (/г) > 0, то h > г2; если же/ (h) ^ 0, то 23 h. Таким образом, в этом втором случае условие (149) равносильно условию / (/i) ^ 0, что приводится к
gh^ — h^ + uUl2—Zo)>O.(151)
Мы приходим, следовательно, к заключению, что когда начальные данные 20, и0, и0 удовлетворяют условиям (150) и (151) или только одному из них, точка при своем движении не оставит поверхности сферы.
Когда же ни одно из условий (150) и (151) не удовлетворяется, в известный момент движения точка непременно оставит эту поверхность. Она оставит ее в начальный же момент движения, если h > 20, т. е. если ио + g20 < 0. В противном случае она оставит ее, достигнув высоты, для которой г = h = _ 2 - 3 2° 3g ‘
В частном случае, когда и0 = 0, условие (151) принимает вид h (Р —/г2) ^ ^ 0 и, следовательно, для h > —I приводится к h ^ 0 или 2g2 — Уо ^ 0. Поэтому в этом случае, в котором все движение происходит в вертикальной плоскости, проходящей через центр сферы, для того чтобы, точка не оставила поверхности, начальная скорость ее должна удовлетворять или условию (150), или условию Uq ^ 2gz0. Это последнее условие может быть удовлетворено только при 20> 0.
Маятник Фуко. Рассмотрим влияние вращения Земли на колебания сферического маятника. Предполагая точку привеса маятника неизменно связанной с Землей, выведем приближенные дифференциальные уравнения относительного движения в тех же предположениях, в каких были выведены подобные уравнения в § 13. Но там мы рассматривали относительное движение по отношению к Земле; здесь же будет удобнее рассматривать движение по отношению к некоторой воображаемой неизменяемой системе, которая сама имеет некоторое относительное движение по отношению к Земле, а именно мы предположим, что эта неизменяемая система в относительном движении по отношению к Земле равномерно вращается вокруг вертикали, проходящей через точку привеса маятника, с такой угловой скоростью, чтобы проекция на эту вертикаль ее абсолютной угловой скорости была равна нулю.
Примем точку привеса за начало координат £, л, £, а направление вертикали, прямопротивоположное направлению силы тяжести для начала координат, за ось £. Если % есть по-прежнему северная широта начала координат, a Q угловая скорость Земли, то проекция этой угловой скорости на ось £ будет — Q sin X. Положим поэтому, что наша воображаемая неизменяемая система вращается вместе с осями £ и л вокруг оси £с угловой скоростью Q sin %; пусть /Qsin% — угол, составляемый осью £ с тем направлением горизонтали, которое идет с севера на юг. При этом мы найдем
(о^ = Q cos X cos (ZQ sin %), cd^ = — Q cos % sin (ZQ sin X), cd^ = 0.
Эти величины cd^, co^, co^ мы должны теперь подставить в дифференциальные уравнения относительного движения, которые от уравнений (49), выведенных в § 12 для свободной точки, будут отличаться только тем, что во вторые части их, кроме В, Н, Z проекций на координатные оси задаваемой силы (в рассматриваемом случае — силы притяжения Земли), войдут еще проекции на эти оси реакции поверхности сферы £2 + л2 + С2 = /2, на которой должна оставаться точка. Эти проекции, как мы знаем, могут быть представлены в виде р,^, р-Л, нС- Принимая в расчет это обстоятельство, а также то, что, пренебрегая отношением длины маятника / к радиусу Земли, вследствие выбора нашей координатной системы можно положить
В—та = 0, Н — т₽ = О, Z — ту = — mg
и что при этом можно также пренебрегать величинами Q2£, й2л, Й2£ мы получим следующие приближенные дифференциальные уравнения относительного движения
= 2Q cos X sin (ZQ sin %)+ ^,
at2*x ’ at 1’
-^- = 252 cos X cos (to sin X) -^- + p],(152)
-^- = — g — 2Q cos X [sin (to sin X) -^- + cos (to sin X) -^- + p£.
Мы проинтегрируем теперь эти уравнения приближенно, предполагая, что маятник совершает бесконечно малые колебания, т. е. что угол Ф, составляемый маятником с направлением, противоположным оси £, и производная ^- — бесконечно малые величины во все время движения. Так как £= — Z cos $ и ф^2 + л2 ^ ^ sin 0-, то при этом £ будет бесконечно мало отличаться от —Z,
а ^ и г] будут бесконечно малыми величинами. Так как, далее dt 1 . n d^1d^ х d-n \;. ^
-g- = I Sin $ —77- И -/ - g -77- + Т] -77- = Z COS # —7- ,
dtdt |Л £2 1 ^2 у dt 1 1 dt jdt ’
то -~- и -у- мы можем рассматривать, как бесконечно малые одного порядка с -^у- , а -у- будут бесконечно малой более высокого порядка. Притом
dtd^
У ^2 у ^2dt
есть также бесконечно малая величина, т. с. -5- есть бесконечно малая более высокого порядка, чем g и т]. Наконец, равенство
-~7^- = Z COS “& —77-+ Z Sin # —77о-
Л2\ dt )dt2
показывает, что бесконечно малая величина.
Принимая в расчет все сказанное, мы приходим к заключению, что в силу третьего из уравнений (152) pZ + g есть бесконечно малая величина, т. е. р отличается от—у на бесконечно малую величину. Поэтому отбрасывая бесконечно малые высших порядков, мы можем в двух первых из уравнений (152) р заменить через —у и отбросить члены, заключающие уу. Таким образом, мы придем к уравнениям известного типа
J!L —d^ = gdt2l dt2I *•
Общий интеграл этих уравнений будет
g = Л cos ]Л-f- Z + Л' sin ]/ f - Z, т] = 6 cos ]/"-у-1 + В' sin Д/*
Отсюда видно, что проекция движущейся точки на плоскость gr) в ее относительном движении описывает эллипс, двигаясь по нему периодически с периодом
Г-2л
равным времени полного колебания простого маятника в случае бесконечно малых размахов.
Определим постоянные А, В, А', В' по начальным обстоятельствам движения в одном частном случае, а именно — когда в момент времени Zo маятник был отклонен от вертикали в плоскости gg на бесконечно малый угол а и затем пущен без начальной относительной по отношению к Земле скорости. Обозначая начальные значения g, т), g', т)' через g0, т]0, go, т]о, мы будем иметь
g0 = Za, т]0 = 0, go = 0, т]о -— — ZaQ sin X.
Поэтому получим уравнения
A cos У ^-10 + A* sin ]/ ^-t6 = la, В cos у _1_ t0 + В' sin У -8-t0 = О,— A sin У у- ^0 + A' cos У у- <0 = 0,
— В sin У -S-te-\- В' cos У у- ^о = — ^а "V ~^ ^ s*n ^>
откуда
А = la cos У^ у- t0, В = I j/" y- aQ sin X sin j/" y- t0,A' = la sin j/"-p t0, B' = — / ^y- aQ sin X cos ]/^y- t0.
Вследствие этого находим
£ = la cos ]/”-pit — /0), t] = — l Д/"-^- aQ sin X sin Д/"-p(t — t^.
Уравнение эллипса, который описывает проекция точки на горизонтальную плоскость, при этом будет
V + -7-^ = №.
— Й2 sin2 X
Отношение полуосей его равно у- Q sin X.
При этом при X > О движение по этому эллипсу совершается в направлении, противоположном направлению движения часовой стрелки, а при X < О — в одинаковом.
Таким образом, если маятник был отклонен от вертикали на бесконечно малый угол и затем пущен без начальной относительной по отношению к Земле скорости, то наблюдателю, находящемуся на поверхности Земли, будет казаться, что конец его описывает эллипс, весьма удлиненный, потому что отношение полуосей его |Л~-Qsin X при длинах маятника, обыкновенно употребляемых в подобных опытах, представляет весьма малую величину, и что плоскость этого эллипса равномерно вращается вокруг вертикали с угловой скоростью Q sin X, равной проекции на направление вертикали угловой скорости вращения Земли. При этом направление движения конца маятника по эллипсу будет всегда прямо противоположно направлению вращения плоскости эллипса. Последняя же в северном полушарии вращается соответственно движению часовой стрелки, а в южном — в направлении прямопротивоположном. Явление это происходит независимо от того, в каком азимуте было совершено первоначально отклонение маятника.
Движение тяжелой точки по вращающейся плоскости. Для примера движения точки по движущимся поверхностям рассмотрим задачу о движении тяжелой точки по плоскости, равномерно вращающейся вокруг некоторой оси. Эта задача, как уже было замечено в § 27, удобнее всего может быть решена при помощи формул относительного движения.
Пусть Q — угловая скорость вращения плоскости, a — угол, составляемый ею с осью вращения, и Р — угол между осью вращения и направлением вертикали, по которому действует сила тяжести. Это направление мы назовем осью г. Принимая точку пересечения плоскости с осью вращения за начало координат £, т), £, примем за ось £ направление, перпендикулярное к плоскости, а за ось £ — направление в плоскости, составляющее угол а с осью вращения. При этом ось т] будет перпендикулярна к оси вращения.
Так как расположение наших координатных осей по отношению к оси вращения и вертикали то же самое, что и в § 27, то придерживаясь обозначений этого параграфа, мы будем иметь
со^ = Q cos а, о)л = 0, о)£ = — Q sin a, (2, g) = cos a cos P + sin a sin p cos QZ,
(2, r|) = — sin P sin Q£, (2, у = sin a cos p — cos a sin p cos QZ.
Замечая поэтому, что если тХ есть проекция реакции плоскости на ось £, то в уравнениях (49) нужно положить
В = mg (z, g), Н = mg (z, r]), Z = mg кг. у + Xm
и что входящие в эти уравнения величины а, р, у в рассматриваемом случае равны нулю, мы получим следующие дифференциальные уравнения относительного движения
-^|- = — 2Q -—- sin а + Q2£ sin2 а + g (cos a cos Р + sin а sin р cos Q^),
-^- = 2Q-^-since + Q2rj —gsinP sin tit,(153)
0 = X — 2Q -^~ cos а — Q2g sin cc cos cc + g (sin cc cos P — cos cc sin P cos tit).
Первые два из этих уравнений определят движение, а последнее — реакцию плоскости. Легко видеть, что уравнения (153) допускают следующие частные решения:
gcosacosp - gsinp . Q.
s Q2sin2a ’2Q2 sm
Поэтому, полагая £ = £ + £i и т] = т] + ть получим для определения ^ и т^ следующие уравнения:
-4М- = — 2Q sin а + Q2^ sin2 а,dt2dt।>
о(155)
^L=2Q-^-sina+fi^.
Общий интеграл этих уравнений будет следующего вида:
^ = (Q2 - $ iC^'4 + С\е-М) + (Й2 + $ (С/‘( + С'2е-к=\
Пх = 2Й sin a (С^/18 — С'хк^ + С2к/г< — С2к2е-к=\
где Cv С\, С2, С2 — произвольные постоянные, определяемые по начальному положению и начальной скорости точки, а кг, —къ к2, —&2 — корни уравнения четвертой степени
к4 — Q2 (1 — 3 sin2 а) к2 + Q4 sin2 a = О, так что
^ = -^- Q2 (1 — 3 sin2 a + cos а ]/"1 — 9 sin2 a),
^1 = -^-Q2 (1 — 3 sin2 cc — cos cc ]/1 — 9 sin2 a).
Когда sin a ^ -^-, обе эти величины &i и k^ будут вещественны и притом, как нетрудно убедиться, положительны, а потому в этом случае кх и &2 будут вещественными величинами. Когда же sin сс > -|- величины fei и 62 — мнимые сопряженные, а, следовательно, кх и к^ будут вида кх = т + п V — 1, k2 = т — — п У — К гдет не будет равно нулю. Поэтому во всяком случае с возрастанием t до бесконечности точка будет вообще удаляться в бесконечность. Если под кг и к2 условимся разуметь те корни, вещественные части которых положительны, то точка не будет удаляться в бесконечность только в том частном предположении относительно начальных данных, для которого Q ^ 0 и С2 = 0.
Когда sina = -|-, то ^ = ^2 = -j-^2- В этом случае общий интеграл уравнений (155) представится под видом
.-^=-ш_,,7= Qt
^=^(^ + ^^3+^(C1 + C20e V3 ,
^ = (^+^0^-(С1+С2)^ <3+£^£c2eV3+
Частное решение (154) определяет простое гармоническое колебание по прямой, „2л„ 1о
перпендикулярной к оси вращения, с периодом -^- и амплитудой -у g£2 sin р. Середина всего пути, проходимого точкой в том и другом направлении при этом колебании, находится на оси £ в точке, для которой
с g cos a cos p ^Q2 sin2 a
Амплитуда этого колебания уменьшается по мере уменьшения угла, составляемого осью вращения с вертикалью, и обращается в нуль при вертикальности этой оси. Таким образом, когда ось вращения вертикальна, существует положение относительного равновесия точки. Оно определяется координатами
| = 5cosa
ъ Q2 sin2 a ’1
Рассматриваемое частное решение получается при следующих начальных данных (относящихся к моменту t = 0):
~ g cos a cos Вa < a ' gsinp
МГНОВЕННЫЕ СИЛЫ.
УДАР ТОЧКИ О ПОВЕРХНОСТЬ
На практике иногда встречается необходимость знать результат действия на тело сил весьма значительной величины, но действующих в течение столь малого промежутка времени, что точки тела не успевают в течение его переместиться сколько-нибудь заметным образом. Результат действия таких сил может состоять, следовательно, только в изменении скоростей этих точек и эти изменения могут быть довольно значительными вследствие значительности величины сил. Этим обусловливается введение в рациональную механику так называемых мгновенных сил. Под этим понятием понимают силы, имеющие бесконечно большие величины и действующие в течение бесконечно малых промежутков времени. При этом порядок этого бесконечно малого промежутка времени должен находиться в такой зависимости с порядком бесконечно большой силы, чтобы результат действия ее на тело состоял в изменении скоростей его точек на конечные величины.
Мы рассмотрим здесь действие мгновенных сил на материальную точку. Но предварительно дадим некоторые определения. Пусть свободная материальная точка массы т находится под действием силы (X, У, Z). Дифференциальные уравнения движения ее будут
(Рх v (РусРг
т-др- — Х, m—^r—Y, m—^ — Z.
Пусть хо, у0, ?о — значения х , у', г* для какого-нибудь момента /0. Тогда из этих уравнений мы можем вывести уравнения
тх' — тхо = ^ Xdt, ту' — myo = J Ydt, mz' — mzo = j Zdt. (156) ^0^0^0
Если г есть скорость точки, то тг называется количеством движения ее. Его можно изобразить геометрически некоторой длиной, отложенной на направление скорости. При этом условии первые части уравнений (156) представят проекцию на координатные оси геометрической разности между количествами движения точки в момент времени t и £0. Эту геометрическую разность называют изменением количества движения точки за промежуток времени от /0 до 1. Из уравнений (156) видно, что величина этого изменения при помощи действующей на точку силы выражается
Это выражение называется импульсом силы, соответствующим промежутку времени от £0 до I. Импульсы подобно силам изображают геометрически длинами, имеющими определенные направления. Под направлением импульса понимают то направление, которое с координатными осями составляет углы, косинусы которых равны
-^- J Xdt, -i- J Ydt, -1- J Zdt,t»tQto
где J — величина импульса (157). При таком геометрическом изображении импульса может быть речь о проекциях его на координатные оси. Этими проекциями служат величины
ttt
j Xdt, ^ Ydt, j* Zdt. tototo
В частном случае, когда в течение всего рассматриваемого промежутка времени сила сохраняет неизменное направление, составляющее с координатными осями углы, косинусы которых есть а, Р, у, обозначая через F величину этой силы, мы будем иметь tttt
Xdt = Ja, j* Ydt=J^, ^ Zdt = Jy, J = Fdt. toteto
В э т о м частном случае импульс равен интегралу, взятому от произведения величины силы на элемент времени между теми пределами, которые ограничивают рассматриваемый промежуток времени, направление же его одинаково с направлением действия силы.
Уравнения (156) показывают, что изменение количества движения точки за какой-либо промежуток времени геометрически равно импульсу за тот же промежуток времени действующей на точку силы.
В тех вопросах, которые мы намерены теперь рассматривать, происходит мгновенное изменение скорости или (что все равно) количества движения точки. Поэтому в этих вопросах имеет важное значение рассмотрение импульсов, которым и заменяется рассмотрение самих сил.
От сил конечных непрерывно действующих мы переходим к силам мгновенным в пределе, предполагая величины сил бесконечно малыми. Мы уже говорили
выше, в какой зависимости должен находиться порядок промежутка времени действия мгновенной силы с порядком последней. Учитывая сказанное относительно импульса и изменения количества движения, мы можем теперь эту зависимость высказать в следующей форме: импульс мгновенной силы должен иметь конечную величину, т. е. интегралы
tx
j Xd/, J Ydt, J Zdt, ^0
в которых £0 и ^ — моменты начала и конца действия мгновенной силы, с уменьшением tt — /0 до нуля и с беспредельным возрастанием X, У, Z должны приближаться к некоторым пределам. Мы будем при этом предполагать, что эти интегралы, при переходе к пределу, остаются конечными и в том случае, когда верхним пределом интегрирования служит не ^, а какая-нибудь другая величина, промежуточная между t0 и ^, т. е. что импульс мгновенной силы, относящийся только к какой-либо части всего промежутка времени действия ее, имеет конечную величину. Если F есть величина мгновенной силы, соответствующая какому-либо моменту действия ее, то сказанное здесь будет, например, иметь место тогда, когда в пределе произведение F (^ — ^0) останется конечным.
Если Jx, Jy, J г — проекции импульса мгновенной силы на координатные оси, так что
txtx
Jx = lim C Xdt, Jy = lim C Ydt, Jz = lim C Zdt,Wt.
то результат действия этой силы на материальную точку найдется из уравнений
тх\ — тх'о = Jx, ту\ — myQ = Jg, mz\ — mz0 = Jz,
в которых {xo, У^ ?o} и {xi, yb zi} — скорости точки в моменты начала и конца действия мгновенной силы. Из этих уравнений по данному импульсу и данной скорости точки до начала действия мгновенной силы найдется скорость ее по окончании действия этой силы.
Легко убедиться, что мгновенная сила за промежуток времени своего действия не производит перемещения точки. В самом деле первое из уравнений (156) дает
т (%! — х0) = тх0 (tt — t^ + j dt ^ Xdt,
где xt и х0 — значения х для t = t^ и t = t0. Но по замеченному выше, при переходе к пределу интеграл
j Xdt
остается конечным. Поэтому
Точно так же иа, следовательно, иТочно так же иа, следовательно, иlim [тх'о (^ — 4)] = О,lim (хх — х0) = 0.lim [тх'о (^ — 4)] = О,lim (хх — х0) = 0.
Точно так же и
а, следовательно, и
Точно так же и
а, следовательно, и
lim [тх'о (^ — 4)] = О,
lim (хх — х0) = 0.
lim [тх'о (^ — 4)] = О,
lim (хх — х0) = 0.
Также найдем, что
lim (z/T — у0) = Нт (г, — г0) = 0.
Итак, в результате действия мгновенной силы на точку оказывается, что скорость точки получает мгновенное изменение (в величине и направлении), между тем как точка остается в прежнем положении. При рассмотрении действия мгновенных сил на точку можно вовсе не принимать в расчет конечные силы, которые в то же время могут действовать на нее, потому что импульсы таких сил, соответствующие времени действия мгновенной силы, очевидно, равны нулю.
Мы рассмотрим теперь один наиболее простой и вместе с тем чаще всего встречаемый случай, в котором приходится иметь дело с мгновенными силами, действующими на материальную точку. Пусть
f^y,z, 0 = 0(158)
есть некоторая неудерживающая поверхность, препятствующая материальной точке проникнуть в ту часть пространства, для которой / (х, у, 2, t) <0, и пусть материальная точка, неподчиненная никаким другим кинематическим условиям, движется, находясь под действием данных сил, в той части пространства, для которой / (х, у, 2, 0 > 0. При этом она будет двигаться как свободная до тех пор, пока не встретит поверхность (158).
Для решения вопроса о том, встретит ли точка эту поверхность и, если встретит, когда именно, стоит только исследовать уравнение Ф (^) = 0, первая часть которого представляет результат подстановки в функцию / (х, у, 2, /) вместо х, у, z тех выражений их в функциях t, которые соответствуют рассматриваемому свободному движению точки. Встреча произойдет только в том случае, когда это уравнение имеет вещественные корни, превосходящие /0 (начальное значение £) и притом произойдет в момент времени, равный наименьшему из таких корней этого уравнения.
Положим, что точка встречает поверхность и пусть t есть момент встречи. Рассмотрим, каково будет дальнейшее движение точки. Прежде всего заметим, что точка в момент встречи с поверхностью (157) может обладать только такой скоростью, которая удовлетворяет условию
^ г , df , , df , df дх 1 ду у dz 1 dt
В самом деле если бы точка обладала при этом скоростью, удовлетворяющей условию
df Г х. df , , df n
- X + У + -4— 2 + “47“ > 0,дх' dy у dz 1 dt *
то функция Ф (I) в момент встречи была бы возрастающей, а так как она для этого момента равна нулю, то в моменты предшествующие достаточно близкие к нему, она была бы отрицательной, т. е. координаты точки для этих моментов удовлетворяли бы условию f (х, у, z, t) < 0, противоречащему тому, которое было поставлено в самом начале нашей задачи.
Итак, возможны только два случая: когда скорость точки в момент встречи удовлетворяет условию
df, , df , df ,.dfn
—4 X ~p “4 У 44 Z-147™ 0
dx 1 dy y 1 dzdt
и когда она удовлетворяет условию
dfг \df , df, .df. пм
~—х-V-4-г +-чт-<0.(159)
дх 1дуу 1 dz 1dtv 7
В первом случае скорость точки в момент встречи удовлетворяет тому условию, которому вообще должна удовлетворять скорость точки, движущейся по
поверхности (158). Поэтому этот случай не представляет никакой особенности: дальнейшее движение точки, для которого начальным моментом будет момент t встречи точки с поверхностью, определится по известным задаваемым силам и по известным начальному положению (х, у, z) и начальной скорости {х', у', г'} точки на основании принципов, изложенных в § 15—17.
Поэтому нам остается только рассмотреть второй случай. Легко видеть, что в этом втором случае начальной скоростью для нового движения точки уже не может служить, как в предыдущем случае, скорость (х', у', z'}, с которой точка вступает на поверхность, ибо эта скорость, как удовлетворяющая условию (159), невозможна для точки, выходящей в момент /из некоторого положения (х, у, z) на поверхности (158), препятствующей ей проникнуть в ту часть пространства, для которой / < 0. Поэтому в рассматриваемом случае в момент встречи точки с поверхностью должно произойти мгновенное изменение скорости ее из первоначальной {х', у', z'} в некоторую новую {х1, уь z\^, возможную, т. е. удовлетворяющую условию
++(teo)
Этот процесс мгновенного изменения скорости точки при встрече с поверхностью, который может обусловливаться только развитием мгновенной силы соприкосновения поверхности, называется ударом точки о поверхность. При этом первоначальная скорость {х', у', z'}, с которой точка вступает на поверхность, называется скоростью падения, а скорость {xi, уь 2^, которую точка приобретает тотчас же по окончании удара, — скоростью отражения. Эта последняя скорость и будет служить начальной при дальнейшем движении точки, которое определится по ней и по начальному положению на основании известных принципов, а так как начальное положение точки известно (это есть место встречи точки с поверхностью), то вся задача приводится к нахождению скорости отражения.
Мы ограничимся здесь рассмотрением только случая идеальной поверхности. Так как сопротивление такой поверхности приводится к одной только реакции, которая в рассматриваемом случае может иметь направление только положительной нормали к поверхности (ибо это есть неудерживающая поверхность), то импульс ее по предыдущему также будет направлен по положительной нормали. Поэтому обозначая этот импульс через J и полагая
, _ ч/ m+m+m,дх ) ду ) 1 dz у ’
то будем иметь на основании предыдущего такие уравнения:
тх\— тх'^Х-——^ тух—ту' =, тг\—(161)
ОХОу02 х '
Если бы величина импульса реакции поверхности была известна, то по этим уравнениям можно было бы найти скорость отражения. Но рациональным путем можно найти только низший предел этого импульса. Для этого умно- df df df
жаем уравнения (161) соответственно на -~,и результаты скла-
дываем. Полученное таким образом уравнение дает
откуда,откуда,полагаяполагая(163)(163)
откуда,
откуда,
полагая
полагая
(163)
(163)
в силу (160) находим J ^ /. Таким образом, / есть наименьшая величина, которую может иметь импульс реакции поверхности при данной скорости падения {V, у', /}.
Что же касается действительной величины этого импульса, то она зависит от физических свойств поверхности, а также от свойств материи, которой обладает точка. Мы приведем сейчас опытный закон, на основании которого она определяется, но предварительно обратим внимание на следующее обстоятельство.
Из уравнений (161) видно, что геометрическая разность между скоростью отражения и скоростью падения направлена по нормали к поверхности. Поэтому если каждую из этих скоростей разложить на две составляющие (по нормали и в касательной плоскости к поверхности), то последняя составляющая для обеих скоростей будет одинакова по величине и по направлению. Вопрос состоит, следовательно, только в определении нормальной составляющей скорости отражения. Разыскание зависимости между этой нормальной составляющей и нормальной составляющей скорости падения и составляло цель опытов над ударом твердых тел, которые были начаты еще Ньютоном. Результаты этих опытов в применении к материальной точке, ударяющейся о неподвижную поверхность, могут быть высказаны в форме следующего закона: отношение нормальной составляющей скорости отражения к нормальной составляющей скорости падения не зависит ни от величины, ни от направления скорости падения, а только от физических свойств поверхности и свойств материи точки; притом это отношение есть всегда правильная дробь. Этому же закону подчиняется и удар точки о движущуюся поверхность неизменяемого вида, если только в предыдущем выражении его под скоростями падения и отражения понимать не абсолютные, а относительные по отношению к поверхности скорости. Если поверхность (158) неизменяемая, то
г у дх у ду у ( дг у
представит проекцию на положительную нормаль относительной скорости падения, а
проекцию на то же направление относительной скорости отражения. Так как первая отрицательна, а вторая положительна, то отношение между нормальными составляющими относительных скоростей отражения и падения будет
(164)(164)^' X ^' X df ' х ^
(164)
(164)
~ df . I df . , df , , df
~d?x ^"di» + ^Г2 + м
а это отношение по только что высказанному закону всегда есть правильная дробь, зависящая только от физических свойств поверхности и свойств мате-
рии точки. Так как нормальную составляющую относительной скорости падения называют иногда потерянной скоростью, а нормальную составляющую относительной скорости отражения — восстановленной скоростью, то отношение 8 называется коэффициентом восстановления. Из формулы (164) находим
14-8 =
df , , dr , , df , , df
Ox X + dy ^ dz 2 + dt
а сравнение этого равенства с формулами (162) и (163) дает
(165)(165)«7 = (1 +8)/.
(165)
(165)
Таким образом, отношение импульса реакции поверхности к его низшему пределу (наименьшей возможной величине при данной скорости падения) зависит только от физических свойств поверхности и свойств материи ударяющейся точки; оно больше единицы на правильную дробь, называемую коэффициентом восстановления. Этот закон принимают и для поверхностей, изменяющих свой вид (деформирующихся).
Вследствие (165) уравнения (161) принимают вид
df
™Ух — ту' = (Д + в) j —7===$====Г , (166) V™Ух — ту' = (Д + в) j —7===$====Г , (166) V
™Ух — ту' = (Д + в) j —7===$====Г , (166) V
™Ух — ту' = (Д + в) j —7===$====Г , (166) V
df , dz
mz\ — тг' = (1 + e) i —r t-t- .
V \ dx ) ^ \ dy ) ^ \ dz )
Когда коэффициент восстановления 8 известен из опытов, эти уравнения в связи с выражением (163) для / дадут возможность по известной скорости падения {х', у', 2'} найти скорость отражения {хь у\, 21}. Хотя в действительности 8 никогда не достигает своих пределов 0 и 1, но в рациональной механике рассматривают и эти предельные случаи, потому что 8 отличается иногда от 0 и 1 весьма мало.
При 8 = 0 мы имеем случай так называемого неупругого удара. В этом случае импульс реакции поверхности достигает своей наименьшей величины /. При этом восстановленная скорость равна нулю.
При 8 = 1 мы встречаем напротив случай удара вполне упругого. В этом случае импульс реакции достигает своей наибольшей величины 2/, а восстановленная скорость равна потерянной.
Заметим еще, что острый угол, составляемый скоростью падения с нормалью к поверхности, называется углом падения, а острый угол между скоростью отражения и нормалью — углом отражения, и что в случае неподвижной поверхности коэффициент восстановления, как нетрудно в том убедиться, равен отношению тангенса угла падения к тангенсу угла отражения. В этом случае угол отражения, следовательно, вообще больше угла падения и равен ему только при вполне упругом ударе. При ударе неупругом в случае неподвижной поверхности угол отражения всегда прямой.
МЕХАНИКА СИСТЕМ ТОЧЕК
Под системой точек в динамике понимается такое собрание материальных точек, в котором движение каждой точки зависит от движения прочих точек. Эта зависимость может обусловливаться или тем, что силы, действующие на каждую точку зависят от положений и скоростей остальных точек, причем возможные движения точек не подчинены никаким условиям, или тем, что эти точки подчинены известным кинематическим условиям, выражаемым аналитически при помощи уравнений или неравенств между координатами точек, в силу которых возможные движения точек становятся не вполне произвольными. При существовании зависимости только первого рода, система называется системой свободных точек. Когда же движения точек подчинены также и условиям второго рода, то система называется системой несвободных точек или системой точек, подчиненных связям.
Мы начнем с изложения динамики систем свободных материальных точек, которая основывается на тех же принципах, что и динамика одной материальной точки.
Глава I
ДИНАМИКА СИСТЕМ СВОБОДНЫХ ТОЧЕК
Положим, что наша система состоит из п материальных точек, прямоугольные координаты которых хъ уъ zx, х^у^ z2, ...,хп, уп, zn, а массы тТ1 т^, .... тп. На каждую из точек системы пусть действуют некоторые силы. Совместное действие всех сил, действующих на какую-либо точку (xi9 уь zt) системы, как известно, одинаково с действием на нее одной только силы, называемой равнодействующей, величина и направление которой определяются по известному правилу. Пусть Х1э Уь Z{ — проекции на оси принятой нами системы координат этой равнодействующей. Таким образом, при рассмотрении действия, производимого на точку (xi9 уь zt) всеми приложенными к ней силами, мы можем заменить их этой одной, которая сообщит точке ускорение, имеющее одинаковое с ней направление и равное величине силы, разделенной на массу точки. Проекции на оси координат ускорения точки ^х^ уИ z^ будут, следовательно,
а с другой стороны мы знаем, что эти проекции являются вторыми производными координат этой точки по времени. Вследствие этого мы получим уравнения d2^ 1у d2yt 1 уcPzt 1 у
dt2иц И dt2mt ьdt2mt
Прилагая эти рассуждения ко всем точкам системы, мы получим систему дифференциальных уравнений
d2xx уd2y^_ уd2zx у
mi dt2 — mi dt2mi dt2 “
d2x2 уd-y2_ уmd2z2 у
№A2>Ш2^2*2,m2^2Z2>/их
d2xn m —
n dt2
-d2yn
n' n dt2
-d2zn-
n» ^n dt2^*m
O')O')ГГЦгХп — Х„, ^пУп — Шп^п — ^п, где Хг, Ух, Zx, Х2 и т. д. вообще суть функции 6га + 1 величинГГЦгХп — Х„, ^пУп — Шп^п — ^п, где Хг, Ух, Zx, Х2 и т. д. вообще суть функции 6га + 1 величинXv У1, Zv x2, y2, z2Xv У1, Zv x2, y2, z2> хт Ут 2т ^>> хт Ут 2т ^>(2')(2')Xi, уь ?ь х2, у2, z2хп, уп, гп.Продифференцируем теперь уравнения (Г) по времени. Это нам дает следующие уравнения х:Xi, уь ?ь х2, у2, z2хп, уп, гп.Продифференцируем теперь уравнения (Г) по времени. Это нам дает следующие уравнения х:дХг » дХг ' дХг m^Y=-^-XV-V^-yx-V-^дХг » дХг ' дХг m^Y=-^-XV-V^-yx-V-^дХх ' , 0Хх ОХ,^ГХп+ "д^"^"^-^дХх ' , 0Хх ОХ,^ГХп+ "д^"^"^-^
O')
O')
ГГЦгХп — Х„, ^пУп — Шп^п — ^п, где Хг, Ух, Zx, Х2 и т. д. вообще суть функции 6га + 1 величин
ГГЦгХп — Х„, ^пУп — Шп^п — ^п, где Хг, Ух, Zx, Х2 и т. д. вообще суть функции 6га + 1 величин
Xv У1, Zv x2, y2, z2
Xv У1, Zv x2, y2, z2
> хт Ут 2т ^>
> хт Ут 2т ^>
(2')
(2')
Xi, уь ?ь х2, у2, z2хп, уп, гп.
Продифференцируем теперь уравнения (Г) по времени. Это нам дает следующие уравнения х:
Xi, уь ?ь х2, у2, z2хп, уп, гп.
Продифференцируем теперь уравнения (Г) по времени. Это нам дает следующие уравнения х:
дХг » дХг ' дХг m^Y=-^-XV-V^-yx-V-^
дХг » дХг ' дХг m^Y=-^-XV-V^-yx-V-^
дХх ' , 0Хх ОХ,^ГХп+ "д^"^"^-^
дХх ' , 0Хх ОХ,^ГХп+ "д^"^"^-^
которая и должна послужить для определения движения рассматриваемой системы точек.
В уравнениях (1) Хи Yv Zv Х2 и т. д.— функции следующих величин: ^1» Уъ zi> ^2> Уг> z2> • • • > ^п> Уп» ^п» t»
dxx dy^ dz^ dx2 dy^ dz^dxn dy^ dz^ (2)
dt’ dt* dt* dt* dt* dt’ * * * ’ dt’ dt* dt *
причем величины, находящиеся во второй строке, обыкновенно входят в выражения Xv Yx, Zv Х2 и т. д. в тех случаях, когда принимается в расчет сопротивление среды, в которой движется система точек.
Таким образом, уравнения (1) представляют систему Зи совокупных дифференциальных уравнений второго порядка с Зи неизвестными функциями: хг, Уи zv х^ У^ z2, •••> хт Ут гп и независимой переменной I. Вопрос об определении движения рассматриваемой системы точек сводится, следовательно, к интегрированию системы (1), т. е. к нахождению таких самых общих выражений xn t/x, г^ ..., хп. уп, гт в функциях t которые будучи подставлены вместо хх, Уг> zi> •••> хт Ут гп в уравнения (1), обращали бы их в тождества.
Теория интегрирования совокупных дифференциальных уравнений приводит к заключению, что общие выражения функций xv у19 zx, х2 и т. д. кроме времени / будут зависеть также от 6л произвольных постоянных. Приводить подробности доказательства этой теоремы, относящейся к интегральному исчислению, мы не будем, а покажем только справедливость ее, по крайней мере, для того случая, когда интегрирование рассматриваемой системы дифференциальных уравнений может быть выполнено по способу составления рядов, расположенных по целым положительным степеням времени.
Прежде всего мы замечаем, что уравнения (1), дающие выражения вторых производных координат по времени в функциях величин (2), позволяют составить также и выражения всех высших производных координат по времени в функциях тех же величин (2). В самом деле, положим для сокращения
dxi _ ' dyt _ ' dzt _ ' d4t __ " d^ _ " d^zt _ -
dt " dt ~ dt ~ dt2 Хи dt2 Уи dt2 Zt
и вообще
«^t _ Yw ^ _ „(») ^ _ ^ <b — 1 9 q \
dtk dtk 9 ’ dtk '
где i есть одно из чисел 1, 2, 3, .... п, вследствие чего система уравнений (1) запишется так:
тхх\ = Хъ тху\ = Ух, тхгх = Zx,т2Х2 = Х2, т2у2 = У2, m2Z2 = Z2,
- „,.df dt df
Если f — функция нескольких переменных х, у, z, то -^-,будут означать
df«„
ее частные производные по этим переменным в отличие от — ее полной производной по xt взятой в предположении, что уэ г, ...— некоторые функции х.
, дХ, . дХг " , дХг - , dXt - ,.
+ l^* + 3^X1+ V^^ + ^Z1+ '" +
дхх духогх
дХг " , дХч " , dXt -
-ИгЛ -Т-У Уп + -т-Л Z„ . . .
9хпд«пдгп
- д¥г - ,, dY t - ,т^=^Гх> +^"dt2^- д¥г - ,, dY t - ,т^=^Гх> +^"dt2^9Лdi9ЛdidYj дх\dYj дх\9Yt дгп9Yt дгп^П,^П,
- д¥г - ,, dY t - ,
т^=^Гх> +^"dt2^
- д¥г - ,, dY t - ,
т^=^Гх> +^"dt2^
9Лdi
9Лdi
dYj дх\
dYj дх\
9Yt дгп
9Yt дгп
^П,
^П,
” bZn ' ,, dZn * . dZn , dZn w .. dZn "
тп2п = тХ\У У-дТ" zn УУ—У xv У У—Угп.
Если мы теперь воспользуемся уравнениями (Г) для исключения входящих во вторые части равенств величин
x"i, yi, Zb xL у2, й, ... , хп, Уп, z"n,
« дХ. • дХ. •' х дХл *miX1 = д»; Х| + дУ; У' + ^1 21У• +9хпХп^^Уп"^Хх, 9ХгdXj_2l++дх1mt8у\тг 1dz'xтхА.9Х1.Хп. 9XtYn |дХг7-пdznдхптп9«птп 1тп ’« дХ. • дХ. •' х дХл *miX1 = д»; Х| + дУ; У' + ^1 21У• +9хпХп^^Уп"^Хх, 9ХгdXj_2l++дх1mt8у\тг 1dz'xтхА.9Х1.Хп. 9XtYn |дХг7-пdznдхптп9«птп 1тп ’то приведем, например, первое уравнение к виду:то приведем, например, первое уравнение к виду:dXj дгпdXj дгпZn +Zn +
« дХ. • дХ. •
' х дХл *
miX1 = д»; Х| + дУ; У' + ^
1 21У
• +
9хп
Хп^^Уп"^
Хх
, 9Хг
dXj
_2l++
дх1
mt
8у\
тг 1
dz'x
тх
А.9Х1.
Хп
. 9Xt
Yn |
дХг
7-п
dzn
дхп
тп
9«п
тп 1
тп ’
« дХ. • дХ. •
' х дХл *
miX1 = д»; Х| + дУ; У' + ^
1 21У
• +
9хп
Хп^^Уп"^
Хх
, 9Хг
dXj
_2l++
дх1
mt
8у\
тг 1
dz'x
тх
А.9Х1.
Хп
. 9Xt
Yn |
дХг
7-п
dzn
дхп
тп
9«п
тп 1
тп ’
то приведем, например, первое уравнение к виду:
то приведем, например, первое уравнение к виду:
dXj дгп
dXj дгп
Zn +
Zn +
а вторая часть этого уравнения представляет, очевидно, функцию тех же величин (2'), от которых зависят и вторые части уравнений (Г).
Таким образом, мы найдем шw///wтт
Х1 = /1, У1 = Ф1, 21 = ^f, х2 = /2, № = ф2, ^2 = ф2: .. .
х"п = fn, Уп = фп, Zn =(3)
где tx, фх, фх, /2, ф2, ф2 и т. д.— известные функции величин (2').
Дифференцируя по времени уравнение (3), мы получим выражения x{v, x{v, z1/, x2v, y^, zx2 и т. д. в функциях величин (2') и величин Хь у\, Zi, ... ...,хп, уп, ^п, а если Зп последних величин исключим из этих выражений при помощи уравнении (г), то получим и для четвертых производных Xi , ух и т. д. выражения в виде известных функций величин (2'). Поступая таким образом и далее, мы можем, очевидно, получить выражения производных и какого угодно высшего порядка в виде известных функций величин (2').
Таким образом, мы можем теперь предположить, что нам известны выражения производных х^\ уТ, ...,2^ какого угодно А-го порядка в функциях величин (2').
Пусть t0 есть какое-нибудь данное значение времени и пусть
(4)(4)^1» ^1> ^1» ^2» ^2» ^2» • • • > ^*т ^т ^т^1> Ь\,^2, Ь2, C2l . . . , Un, Ьц, Сп
(4)
(4)
суть пока неизвестные нам значения соответственно величин
•^ь Уь 2х, х2, у2, z2, . . . , хт уп, zm
Хь Уь 2'1, Х2, у2) Z2, • • . , Хп, Уп, гп
для момента времени t = /0.
Положим теперь, что подставляя в известные нам выражения производных ^\ у^\ 2^ 9 ..., Хп \ Уп \ 2^ в виде функций величин (2') t0 вместо / и величины (4) соответственно вместо величин (5), мы обращаем эти выражения в известные нам функции величин (4), которые мы обозначим соответственно через а\к\ b\k\ с(к\ ...9 ап\ Ьп\ Сп\ В силу сделанного условия, что величины (4) есть частные значения для t = /0 функций времени (5), эти последние выражения будут представлять частные значения для t = t0 функций времени i®(k)
Пользуясь только что сделанным замечанием, мы можем теперь составить выражения функций х19 у19 г19 ..., хП9 уп9 zn в виде рядов, расположенных по целым положительным степеням разности / — /0- В самом деле, пользуясь формулой Тэйлора, мы найдем
хг = аг + а\ (t — /0) + #i " । . ^—Ь ах 1 . 2 ^з + * * * ’д^ь.л-ь^-^ + й^Ц^+ь”^,
21 = <4 + с’х (t- и+ С\(/~ 2°)2+ С\+•••,(6)
— г п Ц/ )_L /^^2 I г' - ^^3+•••.
zn — Ln I Ln VLn।e 2г Ln j e 2 . з1
Так как a\9 b\9 c\9 ... , ani bn9cn,^i ,b”9 c\9 . .. , c'n ит.д. известные
функции величин (4), то вторые части равенств (6) содержат только 6м неизвестных постоянных (4) и если эти постоянные таковы, что могут быть приняты за частные значения при t = /0 функций времени х19 у19 z19 ..., хП9 уп9 zn9 удовлетворяющих уравнениям (I) и их первых производных х\9 у'ь 2\9 ..., хП9 уП9 гП9 то, как это видно из хода наших рассуждений, выражения (6) для х19 у 19 ..., zn и будут представлять эти функции времени. Но можно показать, что выражения (6) удовлетворяют уравнениям (1), каковы бы ни были постоянные (4).
В самом деле, дифференцируя тождества (6) два раза и подставляя резуль, таты вместо хь у\9 ..., zn в уравнения (1), мы найдем
c;+=:<i-u+^^^+^4^- +=z„
и, следовательно, остается доказать, что эти равенства обращаются в тождества, если мы в выражения Х19 У19 ..., Zn подставим: вместох19 у19 z19 ..., хп1 уП9 zn ряды (6), а вместо xj, у\9 z\9 ..., хП1 уп. 2п ряды
ах + d;(t-/„) + ах ■+ ^ТГГТ + • • • ,
&;+^(/-Q + b;-^f^ + bfv4^-+ •••,
Сп *г сп to) г ьп 1 . 2 “г I . 2 . з *»
получаемые из (6) дифференцированием по t. Для этого же достаточно только показать, что если после упомянутой подстановки функции Xv Yv Zb ..., Хп> Yn, Zn разложить в ряды по степеням / — /0, то эти ряды будут тождественны с находящимися в первых частях равенств (6). Последнее же непосредственно следует из способа, которым были составлены выражения dx, Ьу,...9сП9 а^ Ьь ....с"п и т. д. в виде функций величин (4): так, например, 6Zi получается из Хх рассматриваемого, как функция величин (2') заменойх19у19 ..., zn через а19 Ьг, ..., сп; / — через /0 и x'y, уу, ..., zn — через ль b^ ..., c^ а потому ay тождественно равно значению при / = /0 того выражения Xv в котором xv у19 zv... ..., хп) уП1 zn) ху, уу9 zx, ..., хП) ут zn заменены упомянутыми выше рядами. Точно так же убедимся, что а у есть значение при t = t0 первой производной по t этого выражения Хг и т. д.
Таким образом, мы приходим к заключению, что выражения удовлетворяют уравнениям (1) при произвольных постоянных значениях для величин (4), а с другой стороны очевидно, что эти выражения суть самые общие, которые удовлетворяют этим уравнениям (1), в виде рядов, расположенных по степеням t — /0- Поэтому высказанная выше теорема может считаться доказанной.
Вследствие только что доказанного проинтегрировать систему уравнений (1) значит найти для х1э уъ z19 ..., хП9 уП9 zn выражения
Xi — ^ (£, С1? С2, ... , Сбп), у^ = q?! (t9 С19 С29 .. • > Сбп),
^i == Ф1 (^, С19 С2, ... , Сбп)»/gx
хп = tn V, С19 С2, .. . , С^9 уп = срп (^, С19 С2, ... , С6п),
гп = Фи (^ С19 С2, ... 9 CG/t)
в виде функций t и 6м произвольных постоянных
С-^ С2) С3, ... , Свп.
которые (т. е. выражения) удовлетворяли бы уравнениям (1). При этом в первоначальном виде, в каком эти выражения обыкновенно получаются, постоянные С19 С2, ..., С^п вообще не будут частными значениями для данного значения времени величин
*1, Uv 2П • • • . ХП1 уП1 Zm ХЬ у\9 Zy, ... 9 Хп. у'п. 2П9
как это имеет место при интегрировании по способу составления рядов. Между тем в механике обыкновенно даются начальные значения координат и скоростей точек и чтобы ввести их, придется решить относительно Сп С2, ..., СбЛг уравнения
^i == А (^о> ^ь ^*2» • • • , Сбп)9 Ь^ = ф1 (t09 Clf С2, ... , Сбп),
^i Ф.х Voi ^ь ^г» • • • > Сбп^.
йп —tn(^о>^i>С29...,Сбп),Ьп —фг/ (/0, С1?С2,...,с^9
сп” Фи (^0> ^1>С21 .. . , Сбл),
^1 "/1(^о>^*1’^*2»•••1Сбп).by —Ф1 (/0, Сг,С2,...,Сбл),
Су = ф1 (^о, Сг, С2, .. ., Сбл),
С^п "tn.(^о>^*1’^2»•••»^6п).Ьп —фи (^о, С|,С2,..•,Сбп)»
Сп — фи (^о> ^1» ^*2> • • • > ^6п),
в котором /0 есть данное значение времени, принимаемое за начальный момент, и вообще fi, ^ь гр^ — производные по t функций fb ф£, ф£ (i = 1,2, ..., п). Теорема о числе произвольных постоянных и важна для механики именно в том отношении, что обнаруживает возможность удовлетворить всем начальным условиям движения.
Выражения (8) обыкновенно получаются решением относительно хъ у19 ^ь • м хП1 уп, zn уравнений
^1 С^1> У1» • • • > ^п» ^Ь У1> • • • , ^п. t, С^ С2. • • • , С^п) — о,
F2 (^1> У1» е в • > ^ГИ Х[. У\) е . е , Zn. t. ^11 ^2> * * * > ^бм) 0,(9)
Рбп (^1, У\1 • • • » ^П» Xh У\. е • е . Zn. t, С^, С,. . . . , С^п) 0.
Вообще всякая такая система 6м уравнений вида (9), из которой следуют величины х19 у19 ..., хп в функциях t и произвольных постоянных Съ С2, ... ..., Сбп, удовлетворяющие дифференциальным уравнениям (1) и величины х\, у\..... zn в функциях t и 6мтех же постоянных, представляющие производные по / от первых, называется системой интегральных уравнений системы дифференциальных уравнений (1).
Если решить уравнения (9) относительно Съ С2, ..., С6п,то получится частный вид системы интегральных уравнений
ф1 (хъ yv . . . , Zn, ХЬ Уь . . . , Zn. о = Cv
Ф2 (^1> У1л • • • > ^п.) Х{. у\9 • . . , Zn. t^ = С2,(Ю)
Ф6п кХ\. УиФ6п кХ\. Уи%nt Х\9 у\9 . . . , 2п. t^ С^п.
Ф6п кХ\. Уи
Ф6п кХ\. Уи
0Фг ' , дФх '0Фг ' , дФх 'который носит специальное название: каждые из уравнений такой системы называется интегралом системы дифференциальных уравнений (1). Функции Ф1? Ф2,..., Ф6п, входящие в первые части этих уравнений обладают тем свойством, что их полные производные по t тождественно равны нулю в силу уравнений {I). В самом деле, мы находим, например, для -^ выражение
0Фг ' , дФх '
0Фг ' , дФх '
. дФх ' дФх " дФх " .
^+—ЛХ1 + —Af/1 +
огпдххдух
дФ1 * . дФ1
^2" + ^Г-
которое в силу уравнений (I) обращается в следующее
дФт' . дФх ..дФ.* ,— %1 Н—ч— У\А~ * * * Н—д— ^п 4" дхгдуг1 *1дгпп 1дФт' . дФх ..дФ.* ,— %1 Н—ч— У\А~ * * * Н—д— ^п 4" дхгдуг1 *1дгпп 1дФхдххдФхдхх^ | дФ!mi дУ;^ | дФ!mi дУ;+ ... ++ ... +
дФт' . дФх ..дФ.* ,
— %1 Н—ч— У\А~ * * * Н—д— ^п 4" дхгдуг1 *1дгпп 1
дФт' . дФх ..дФ.* ,
— %1 Н—ч— У\А~ * * * Н—д— ^п 4" дхгдуг1 *1дгпп 1
дФх
дхх
дФх
дхх
^ | дФ!
mi дУ;
^ | дФ!
mi дУ;
+ ... +
+ ... +
। дФг Zn . дФх"Г дгп тп dt ’
т. е. в некоторую функцию от xlt уг, ..., zn, х\, y\t ..., гп и t, не содержащуюпостоянных Сь С2, .... Сбп и которую, следовательно, можно обозначить черезФ1 (^ь Уъ • • • . zn. х\, у'1,, г'п, t).
Но в силу первого из уравнений (10) мы должны иметь
dt
и, следовательно,
Ф1 (*ь Уь • • • , zn, хь уи ... , zni 0 = 0.(П)
Что касается этого равенства (11), то оно очевидно, не может быть следствием уравнений (9), потому что из последних постоянные С^, С2, ..., С^п не исключаются (ибо в противном случае мы не могли бы перейти от уравнений (9) к уравнениям (10), а, с другой стороны, функция Фт не содержит этих постоянных. Если же равенство (11) не есть следствие уравнений (9), то оно есть тождество, потому что в противном случае оно было бы уравнением, которое в связи с 6м уравнениями (9) давало бы возможность найти Sn + 1 величин хт> Z/b 2Л, xj, уЬ ..., Z^ t в функциях постоянных.
Таким образом, высказанное выше свойство интеграла д о к а з ано.
Интегральные уравнения встречаются часто также в виде следующей системы уравнений:
Ф1Ub уъ ... , z„, Хь г/ь . .. , Zn, 0 = «ь
Ф2 (*ь У1 • • • , ^ хь Уь . .. , zn^ = «2,(12)
Фзи (Хр yv..., znlхь у и...,zm f) =a3„,
^i (^ь Уъ•• • ,z„,ab a2,. ..,a3„, 0 =pb
^2 (*i, Уъ•• • ,zn,ab a2,.. .,a3n, f) =p2,(13)
^зп (xn уъ.. . ,znlаъ a2,...,а3л, f) =р3и,
где аъ a2, ..., a3n, pb p2, ..., p3n — произвольные постоянные.
При этом каждое из Зп уравнений (12), в которые входят как координаты,, так и их первые производные по времени, называется первым интегралом системы дифференциальных уравнений (1), а каждое из Зп уравнений (13), в которые не входят производные координат,— вторым интегралом этой системы. Можно заметить, что каждое из уравнений (13) есть интеграл системы Зп дифференциальных уравнений первого порядка (12).
Интегрирование системы дифференциальных уравнений (1) весьма часто и ведется так, что сначала разыскивается система Зп первых интегралов ее, а потом интегрируется эта система уравнений и находятся Зп вторых интегралов, системы (1), решением которых относительно хъ yv zT) ..., xn, уп) zn и приводится задача к концу.
Иногда система уравнений (1) может быть разделена на несколько групп,, из которых каждая может быть проинтегрирована отдельно.
Так например, если вообще Х£, Y ь 7^ — функции семи величин
Хи Уи ^Ь Хи Уи ги t, то мы будем иметь п групп уравнений вида
т^ = Хь щ^ = ¥£, m^-Zt (i = 1, 2, ... , и),
из которых каждая интегрируется отдельно, доставляя для хь уь zt выражения в функциях t и 6 произвольных постоянных, различных для различных групп (так что всего и будет 6п произвольных постоянных). Но в этом частном случае мы имеем в сущности не систему материальных точек, а такое собрание их,, в котором движение каждой точки совершается независимо от движений прочих точек.
Прежде чем идти далее, мы приведем один пример, в котором система уравнений (1) также распадается на несколько групп уравнений и который послужит также для приложения изложенного нами способа интегрирования при помощи рядов.
Положим, что наша система состоит из двух только точек, которые взаимно притягиваются пропорционально произведению из их масс и расстояния между ними. Если г есть это расстояние, так что
то эта сила будет, следовательно, равна &ПЦ1ЩГ, где й2 — постоянный коэффициент. Замечая далее, что
^2 — ^102 — Ух AZZ^L
г ’ г ’ г
есть косинусы углов, составляемых с осями координат тем направлением прямой, соединяющей обе точки, которое идет от точки (х1? ух, 2-^ к точке (х2, у^ г2) и, следовательно, одинаково с направлением силы, действующей на точку (xn уп z^, мы получим для проекций этой силы на оси координат следующие выражения:
Хг = k2m1mi(x2 — xj, YT = ^m^^ —у^, ZT = к^т^ — z^.
Точно также найдем
Х2 = k2mxm2 (хт — х2), У2 = ^mxm2 (уг — у2), Z2 = k^m^ (гг — z2).
Вследствие этого мы получим следующую систему дифференциальных уравнений
■^г = Ь?тй (ха — xj, = ^т^^ — у^, -^Ь = к2тй^—г1\
-^ = к2тг (хх — х2), -^- = к2тх (ух — у^, -^- = к2тх (zx — z2), которая распадается на три группы с двумя уравнениями каждая.
Очевидно, что достаточно проинтегрировать уравнения только одной группы, например той, в которую входят координаты хъ х2.
Проинтегрировать систему уравнений
Xi = h?m2 (х2 — х^, х<2 = к?тг(хх — х2)(14)
весьма нетрудно, так как это есть система линейных уравнений с постоянными коэффициентами. Но имея в виду не столько решение самой задачи, сколько приложение способа интегрирования при помощи рядов, мы не будем для этого идти кратчайшим путем, а только приложим к рассматриваемому частному случаю способ, изложенный в предыдущем параграфе.
Дифференцируя по / два раза первое из уравнений (14), находим
хГ = к^т2 (х2— Xi).
Но уравнения (14) дают
Х2 — Х1 = к2 ^тх + /п2) (хх — х2) =1 ^ 2 Хь
а потому находим
x!v = — к2 (тх 4- т2) хь
Последовательное дифференцирование этого тождества дает
х/1 = — к2 (тх + m2) XiV = к4 (тх + т2)2 Хь
хУш = к4 (пгх + m2) x{v = — к6 (тх + /п2)3 xj и вообще
х!» =(-1)'-'*’-" („, + „,)« х;
или в силу первого из уравнений (14)
х*2'* = (_ i)‘ т^1 (т1 + т2/-1 (xj — х2),(15)
откуда
х^0 = (_ I)z mafe2‘ (m, + т^ (xi — x2).(15')
Таким образом, мы выразим производные от хг какого угодно порядка через xv х2, х'ь х2.
Положим, что время отсчитывается от того момента, который мы принимаем за начальный при рассмотрении движения нашей системы так, что /0 = 0. Вводя начальные значения для хъ х21 х'ь х2, которые мы обозначим соответственно через аъ а21 аь а2, из выражений (15) получим следующие:
аР° = (— 1/ т^к"1 (т^ + т2)‘~* (^ — а2),
а№+1) =jy m^i ^ _j_ m>j—\ ^ах — ti2y
Теперь остается только подставить эти выражения в ряд
^1^1 "4” ^i^ Н- ^1 । в 2 ~Н ^1 1 • 2 • 3 "^ ^ 1 • 2 • 3 • 4 ~^ * * * ’
что и даст искомое выражение для xv Во многих случаях, когда удается получить выражение общего члена такого ряда, этим решение задачи и должно считаться законченным. В большинстве случаев придется довольствоваться нахождением только некоторых первых членов ряда, который и дает приближенное решение задачи для весьма малого промежутка времени. Что же касается рассматриваемого нами случая, то здесь можно идти дальше, потому что ряд, посредством которого выразилось хъ может быть просуммирован, что мы сейчас и сделаем.
В силу выражений (16) этот ряд может быть представлен так:
Х1 - Й1 mi + m2 №2/^ 1.2.3... (21—l)2i +
+1 >' "I■
& (/721 + m2) 72^*1 -2-3 . . . 21 (2l -f- 1)
Если же воспользоваться известными разложениями cos х и sin х по степеням х, то мы получим
*1 = °i + "^^7 ^ ~ а^ lcos ^ Г mi + т2 0 — 11 + а^ +
+ "77—Т~~?Г ^ ~ а^ Vsm^kVm1-Vm2t) — kVm1 + m,2 /] к (тг + /п2)
или
т1а| + т2а2т1а| + т2а2шг + /п2шг + /п2Х1 =+ J^izi^LC0S {k ]/^"+7Г2 0 +
т1а| + т2а2
т1а| + т2а2
шг + /п2
шг + /п2
-^4—^sin(kv^+^ty
к (тТ + т2)/г
Переставляя в этом выражении у всех букв индексы 1 и 2, мы получим выраже
ние для х2
m1a1 + т2а2nii + mgm1a1 + т2а2nii + mg^ - '"™;7Г + "‘JX?’cos <6 v^rs; о+
m1a1 + т2а2nii + mg
m1a1 + т2а2nii + mg
sin (к J/ ^ + «2 /).sin (к J/ ^ + «2 /).mi (<4 — ai)к (п^ + т2)’/г
sin (к J/ ^ + «2 /).
sin (к J/ ^ + «2 /).
Если же в этих выражениях для ^ и х2 заменим а через b или через с, то получим подобные же выражения для yv у^ и zb z2.
Полученные выражения показывают, что движение наших точек обладает замечательным свойством, называемым периодичностью. Свойство это характеризуется тем, что по прошествии всегда одного и того же промежутка времени точки возвращаются в прежние положения с прежними скоростями. Этот промежуток времени в рассматриваемом случае будет
2л
Движение, которое совершают наши точки, представляет простейший пример так называемого гармонического движения. Под последним понимается вообще всякое такое движение, в котором координаты точек выражаются линейными функциями синусов и косинусов некоторых кратностей времени.
Так как мы имели в виду только дать приложение способа интегрирования при помощи рядов, то останавливаться дальше на исследовании полученных нами формул не будем, тем более, что дальше мы будем рассматривать более общий случай, когда система состоит из произвольного числа точек, притягивающихся по рассматриваемому здесь закону. Теперь же возвратимся к уравнениям (1) и покажем некоторые преобразования их, которые во многих случаях дают интегралы, известные под названием законов сохранения движения центра инерции, сохранения площадей и сохранения энергии.
Закон сохранения движения центра инерции. Из уравнений (1) мы можем составить три следующие уравнения:
^2 (^i-^i + • • • 4- ^п^п)-^i 4" • • • 4* Хт
(т1У1 4- • • • 4- тпУп) — ^i 4- • • • 4- Уп>
^a (^i^i 4* • • • 4~ ^п^п) ^i 4* • • • 4" Zn.
Если же положим
(17)(17)x1 + x24-... + xn = x, л + г2+... + кп-г, Z1 + z2+...+zn = z
(17)
(17)
и тх 4- т2 4- ... 4- тп = М
и определим координаты хС1 уС) гс по формулам
, = тххх + т^ + . , , + mnxn, = тххх + т^ + . , , + mnxn_ m^i + т2у2 + . . . + тпуп ’ Усmi + «2 + • • • + тп_ m^i + т2у2 + . . . + тпуп ’ Усmi + «2 + • • • + тп
, = тххх + т^ + . , , + mnxn
, = тххх + т^ + . , , + mnxn
_ m^i + т2у2 + . . . + тпуп ’ Усmi + «2 + • • • + тп
_ m^i + т2у2 + . . . + тпуп ’ Усmi + «2 + • • • + тп
(18)(18)(19)(19)
(18)
(18)
(19)
(19)
г = ^12т +4- ... 4- тпгп
с тх 4- т2 4" • • • + тп
то эти уравнения примут следующий вид:
МТ = Х' мТ=у. =
Формулы (17) показывают, чтоХ, Y и Z — проекции на оси координат замыкающей ломаной, составленной из прямых, геометрически равных всем силам, действующим на рассматриваемую систему точек. Эта замыкающая носит название вектора всех действующих на систему сил I20]. Если бы мы вообразили, что все эти силы параллельно их действиям приложены к одной точке, то вектор выразил бы равнодействующую всех этих сил.
Что касается точки, координаты которой определяются формулами (18), то легко убедиться, что положение ее не зависит от выбранной системы координат. Оно определяется исключительно взаимным расположением точек системы. Вследствие этого для нее можно и нужно дать аналитическое определение, независящее от выбранной системы координат.
Для этого обозначим через rt расстояние какой-либо точки (xb уь z^ системы от произвольной точки (х, у, г) через р( — расстояние той же точки (х£, уь г^ от точки (хс, ус, zc) и через гс — расстояние точки (хс, ус, zc) от точки (X, У. Z).
Мы найдем
^ = ^ + Р? + ^Гс Р; COS (гс, р^, если направление гс будем считать от точки (х, у, г), а направление р(- — от точки (хс, ус, zc), так что
rr>Q^ nl- Xt — X Xi — X= ! Ус —У У1~Ус _|_ 2C — Z Zi — 2C
COS (Гс, Pi)—— + r= Pi •
Умножая написанное равенство на mt и затем суммируя его для всех значений i от i = 1 до I = п включительно, найдем
2 т^ = Мг^ + 2 т^ + 2г с 2 mtpt cos (rc, pt), но
^mipi cos (rc, р{) = Xc”x £ mt (x,- — xc) +
+ -^77^- 2 mi ^i - У^ +^ (zt - zc),
а потому в силу уравнений (18) эта сумма равна нулю.
Таким образом, мы получаем равенство
2 т^ = Mr^ + S т^,(20)
выражающее, что для точки (xci уС) zc) сумма произведений из масс всех точек на квадраты их расстояний от переменной точки есть наименьшая.
Точка, обладающая этим свойством, называется центром инерции рассматриваемой системы точек. Некоторые авторы называют ее также центром масс. В геометрическом смысле эта точка тождественна с той, которая в статике называется центром тяжести системы точек.
Так как уравнения (19) есть дифференциальные уравнения движения материальной точки, масса которой равна М и которая находится под действием силы {X, Y, Z}, то мы приходим к следующему результату.
Центр инерции свободной системы точек движется как материальная точка, в которой сосредоточена масса всей системы и к которой приложена сила, геометрически равная вектору всех действующих сил, т. е. так, как если бы к ней были приложены все действующие на систему силы, перенесенные параллельно их направлениям.
Особенно важен случай, когда X = 0, Y = 0 и Z = 0, т. е. когда вектор всех сил приводится к нулю. Этот случай будет иметь место, например, когда все силы, действующие на систему, есть силы взаимодействия между точками системы. Такие силы подчиняются закону равенства между действием и противодействием. В этом случае в выражение X войдет, например, проекция Х^ силы, с которой точка (х^ у*р z^ действует на точку (xf, yL, z^, а также проекция X/ силы, с которой точка (х^, уь z^ действует на точку (xz-, у^ z^ и которая в силу только что высказанного закона равна —Х{. Таким образом, проекции всех сил, входящие в выражение X, сократятся попарно, и мы найдем X = 0. То же самое будет иметь место и по отношению к У и Z.
О дает возможность тотчас имеют место одновременно,= а3О дает возможность тотчас имеют место одновременно,= а3Каждое из трех равенств X = О, Y = О, Z = же получить два интеграла и если эти равенства то мы получим шесть интегралов
О дает возможность тотчас имеют место одновременно,
= а3
О дает возможность тотчас имеют место одновременно,
= а3
dxc w _dyc_ _ d2c
dt n dt 2’ dt "
и хс — аг1 = 0П ус — а2/ = ₽2, zc — а3/ = рз, где ап а2, а3, 0П 02, рз — произвольные постоянные, выражающие, что когда вектор всех сил приводится к нулю, центр инерции системы имеет равномерное прямолинейное движение* так что если начальная скорость его равна нулю, то он будет оставаться в покое и во все время движения.
В этом состоит открытый Ньютоном закон сохранения движения центра инерции.
Закон сохранения площадей. Дифференциальные уравнения движения, относящиеся к точке (xf, у{) г^ системы, дают следующее уравнение
т‘ ТIF Zt ) = y‘Zi — г^1'
откуда, принимая в расчет и остальные точки системы, найдем
Таким же образом получим еще два уравненияТаким же образом получим еще два уравнения
Таким же образом получим еще два уравнения
Таким же образом получим еще два уравнения
dt 5j di yt dA"^ ^iYi(2П
/=1 xz /=1
Прежде чем перейти к рассмотрению частных случаев, когда эти уравнения приводятся к известным интегралам, необходимо показать значение входящих в них выражений.
Если условимся взаимное расположение координатных осей выбирать всегда таким, при котором от наблюдателя, стоящего на плоскости ху в начале координат так, чтобы положительное направление оси z шло снизу вверх и смотрящего в направлении положительной оси х положительное направление оси у идет вправо, то выражение
представляя по величине удвоенную площадь треугольника, построенного на проекциях на плоскость yz радиуса-вектора точки (xf, yb z^ и силы, действующей на нее, будет положительно, когда при рассмотрении этой площади со стороны положительной оси х она представляется вправо от проекции радиуса- вектора и отрицательным в противном случае. Вследствие этого, если на радиусе-векторе точки (xz, у^ z^ и силе, действующей на нее, построим треугольник и к плоскости этого треугольника восстановим перпендикуляр в том направлении, с которого нужно смотреть на нее для того, чтобы площадь треугольника представлялась вправо от радиуса-вектора, то обозначая углы, составляемые этим направлением перпендикуляра с осями х, у и z соответственно через af, 0f и у^, а удвоенную площадь треугольника — через S£, найдем y^i — г^ t = б^соза^.
Точно также получим
ZtXi — XtZi = 6t. cos pt., x^ — y^ = 6f cos ^ь
Величина 6Z, представляя произведение силы, приложенной к точке (xz, yt, z^. расстояния ее направления от начала координат О (называемое плечом силы по отношению к точке О), называется моментом силы вокруг точки О. Этот момент изображают длиной, отложенной от точки О на перпендикуляр к плоскости, проходящей через точку О и через направление силы, и мы будем откладывать его всегда в том направлении этого перпендикуляра, с которого сила представляется вправо от радиуса-вектора. При этом условии мы можем сказать, что
У^1X^Z(, XtYt У^(
есть проекции на оси координат момента силы, приложенной к точке (xz, yt, г^ вокруг начала координат. Но эти выражения имеют также и самостоятельные названия. Вообще произведение проекции силы на плоскость, перпендикулярную к данной оси, и расстояния этой проекции от оси, взятое с тем или другим знаком, в зависимости от направления этой проекции, называется моментом силы вокруг этой оси. Таким образом, проекции момента силы (Xz, Yb Z^ вокруг начала координат О на оси Ох. Оу и Oz есть вместе с тем и моменты той же силы вокруг этих осей.
Входящие в уравнения (21) суммы
2^Г,), 2 ^iXi — XiZi), £ (х^^у^^
i=li=li=l
являются моментами всех сил, приложенных к точкам системы, вокруг осей координат. Но в то же время это проекции на эти оси замыкающей ломаной, составленной из моментов всех этих сил вокруг начала координат. Эта замыкающая, изображенная длиной определенного направления, проведенной из начала координат, называется главным линейным моментом всех действующих на систему сил вокруг начала координат.
Если с — скорость движущейся точки, масса которой есть т. то величина то называется, как известно, количеством движения этой точки. Количества движения изображаются геометрически длинами, отложенными от движущихся точек в направлении их скоростей. Поэтому мы можем понятия о моментах вокруг оси и вокруг точки, развитые выше по отношению к силам, распространить и на количества движения. При этом условии сумма
2
Л/ dz? du? \ Г / dzt \/ dm
di 1 di I\ dt 1 \ 1 di \
i=i x* i=i L x'x
представит проекции на ось х главного линейного момента количества движения, взятого вокруг начала координат, а также — сумму моментов количеств движения всех точек системы вокруг оси Ох.
Таким образом, полученные выше дифференциальные уравнения (21) выражают, что производные по времени от сумм моментов количеств движения всех точек свободной системы вокруг неподвижных осей координат равны моментам всех действующих на систему сил вокруг тех же осей.
Кроме того, значения этих уравнений можно выразить и в следующей форме: абсолютная скорость конца главного линейного момента количества абсолютного движения системы вокруг какой-либо неподвижной точки геометрически равна главному линейному моменту всех действующих на систему сил вокруг той же точки.
Истолкование дифференциальных уравнений (21) в этом последнем смысле во многих случаях дает возможность обойти целый ряд довольно продолжительных выкладок, как мы это увидим, например, при изучении движения твердого тела.
Иногда оказывается возможным систему координатных осей выбрать так, что по отношению к ней во все время движения будут иметь место одно, два или все три из следующих равенств:
ппп
2 № - z^) = 0, £ № - х£й = 0, 5 (xtYt - уДе.) = 0.
1 = 1t=l1=1
В этом случае мы получаем один, два или все три из следующих интегралов:
я ,,,п
S
dti\ г> V / dxidz; \~
mtVi-$ Z< dt ) — ^ь 2/ПЧ2/_Л(22)
i=i '' z=i 41
Каждый из трех интегралов и выражает закон сохранения площадей в соответствующей координатной плоскости. Чтобы выяснить причину такого названия, достаточно обратить внимание на то обстоятельство, что, например, выражение у^—z^dyt представляет удвоенную площадь сектора, описываемого в течение бесконечно малого промежутка времени dt проекцией на плоскость yz радиуса-вектора точки (xf, уь zt\ причем эта площадь должна рассматриваться как положительная или как отрицательная величина в зависимости от того, представляется ли со стороны положительной части оси х направление, в котором она описывается, слева направо или справа налево. Вследствие этого, например, первый из интегралов (22) выражает, что если проекция на ось х главного линейного момента всех действующих на систему сил равна нулю, то алгебраическая сумма произведений из масс точек системы и из площадей, описываемых проекциями на плоскость yz радиусов-векторов точек системы, возрастает пропорционально времени.
Следует прибавить, что выражения вида
И dZi — 7УУУ^
yi dtdt ’ dtdt ’ dt yi dt
называются векториальными скоростями проекций точки (хь yit z^ на плоскости yz, zx и ху.
Если главный линейный момент вокруг начала координат всех действующих на систему сил равен нулю, то будут иметь место все три интеграла (22). В этом случае закон площадей имеет место для всякой плоскости, проходящей через начало координат, между прочим — и для плоскости, перпендикулярной к постоянному в этом случае направлению главного линейного момента количеств движения. Эта неподвижная плоскость, определяемая уравнением
Сгх + С2у + С3г = 0, названа Лапласом неизменяемой плоскостью. Отличительное свойство ее состоит в том, что для нее алгебраическая сумма произведений масс точек и сек- ториальных их скоростей имеет большую величину, чем для всякой другой плоскости. В случае одной только материальной точки это есть та плоскость, в которой точка совершит движение.
Что касается тех случаев, в которых имеют место интегралы (22), то, например, если все силы приводятся к силам взаимодействия между точками системы, для каждой пары точек равным и направленным прямопротивоположно по прямой, соединяющей эти точки, то все три интеграла (22) будут иметь место и при том — при совершенно произвольном выборе системы координатных осей. Чтобы убедиться в этом, достаточно только заметить, что момент вокруг
какого-либо центра равнодействующей всех сил, приложенных к какой-либо точке, есть замыкающая ломаной, составленной из моментов вокруг того же центра всех этих сил. Если все силы, действующие на систему, имеют направления, проходящие через некоторую неподвижную точку, то все три интеграла (22) будут иметь место, если эту точку принять за начало координат. Если все силы имеют направления, пересекающие некоторую неподвижную ось или параллельные ей, то из интегралов (22) всегда будет иметь место по крайней мере один, если эта ось принята за одну из координатных осей.
Весьма часто (как, например, при рассмотрении движения нашей солнечной системы) приходится рассматривать не абсолютное, а относительное движение системы по отношению к осям координат, движущимся поступательно вместе с центром инерции системы. Поэтому мы теперь рассмотрим, как изменяются моменты сил и количеств движения при перемене положения той точки (центра), вокруг которой они берутся.
Пусть а, Ь, с — прямоугольные координаты нового центра. Проекции на оси координат главного линейного момента всех сил вокруг этого нового центра выразятся следующим образом:
£ [(У; - b) Zt - (г, - с) KJ = £ (y£Zt - z£Y£) - (bZ - сК), 1=11=1
V [(г, - с) Х£ - (хг - a) ZtA = 5 (z£Xt - x£Z^ - (сХ - aZ^ (23) 1=11=1
f [(Xt. - а) Yt - (у, - 6) ХЛ = f <xtYt - у^) - (aY - ЬХ^ i=ii=i
где X, Y и Z по-прежнему означают проекции на оси координат вектора всех действующих сил.
Равенства (23) показывают, что главный линейный момент всех действующих сил вокруг какого-либо центра (а, Ь, с) есть геометрическая разность, в которой уменьшаемым служит главный линейный момент этих сил вокруг начала координат, а вычитаемым — момент вокруг начала координат силы, приложенной к новому центру и геометрически равной вектору всех действующих сил.
Заметим, что из равенств (23) легко могут быть получены следующие результаты.
Главные линейные моменты вокруг различных центров, лежащих на прямой, параллельной вектору всех действующих сил, геометрически равны между собой.
Если положим
ппп
s кУ^£ — z£Y^ = Lx, 5 (ztX£ — х£гл = Ly, 5 (x£Y£ — у£ХЛ =LZ
i=lt=li=l
и определив точку координатами
L2Y — LyZ LXZ — L2X LtiX — LXYX2 + y2 + Z2 , X2 + Y2 + Z2 1 X2 + Y2 + Z2
проведем через нее прямую, параллельную вектору всех действующих сил, то эта прямая, называемая центральной осью рассматриваемых сил, будет обладать тем свойством, что главные линейные моменты вокруг всех центров, лежащих на ней, будут иметь наименьшие величины, равные
LxX + LyY + L2Z
— VX2 + Y2 + Z2 ’
причем направления их будут совпадать с направлением этой оси.
Возвратимся теперь к нашей задаче. Предполагая, что точка (а, Ь, с) принимается за начало новой системы координат, оси которой движутся вместе с этой точкой поступательно, оставаясь параллельными прежним неподвижным осям координат, рассмотрим, какой вид будут иметь уравнения, аналогичные (21), для относительного движения системы по отношению к этим движущимся осям координат.
По отношению к новой системе координат координатами точки (xb yit zL) будут: xt — a, yt — b, zt — с, а выражения
d (Xj — a) d kyt — b) d^-c)
dt ’ di ’ dt
представят проекции на оси координат относительной скорости этой точки. Поэтому проекции на оси координат главного линейного момента вокруг точки (а, Ь, с) количеств относительного движения системы выразятся следующим образом:
1=1
2 т, [(Z, - 0- („ - с) ^=q - к,
2 т, [<„ -«)- & -») ^5^1 =
1=1 I
Обозначая по-прежнему координаты центра инерции системы через ^хс, уС) zc) и сумму всех масс через М, мы можем выражение, обозначенное через КХ) преобразовать к следующему виду
' dZidy, \ M[ d(zc — c)d(yc — b)l
yi-dF — zi-drpM \bdicdt
,, / de db .
— М\УСИZc"drV
откудаоткуда±Хт I.. dZj_аУ1_\ _ dk^ dt ^тНУ. dt Zt dt ] — dt±Хт I.. dZj_аУ1_\ _ dk^ dt ^тНУ. dt Zt dt ] — dtbD dt2bD dt2— с— с
откуда
откуда
±Хт I.. dZj_аУ1_\ _ dk^ dt ^тНУ. dt Zt dt ] — dt
±Хт I.. dZj_аУ1_\ _ dk^ dt ^тНУ. dt Zt dt ] — dt
b
D dt2
b
D dt2
— с
— с
+ М^ус-Ь^-(гс-с^"^.
Замечая теперь, что по закону движения центра инерции
М — Z М -5-^ — Ут dt2 “м dt2 ~ ¥
и принимая в расчет первое из уравнений (21), мы можем заменить полученное нами равенство следующим
Гd2b 1
2 ^Zt - ztY^ = ^ + bZ-cY + M [(yc - 6) -^ - (Zc - c)
а складывая это уравнение с первым из уравнений (23), получим первое из трех следующих уравнений
- пгч
^ = 2 [(У.- b)Zt _ (2. _ с) уJ _ м [(ус - Ь) -^- - (гс - г) -^-] ,
dKy v
dt[(^i^) ^i ^i ^) ^il ^c ^) dt2 ^c ^) dt2 p
z=l
dti^2 ktic ^) dt2 p
z=lL1
из которых второе и третье получаются подобным же образом.
Сравнивая эти уравнения с уравнениями (21), мы замечаем, что они отличаются от последних прибавочными членами
— М \(ус — b) — (zc — с) -5-1
и т. д., члены же эти пропадают только в двух случаях: или когда а, Ь, с — линейные функции времени, т. е. когда поступательное движение введенной нами системы координатных осей равномерно и прямолинейно, или когда а = хС1 b = ус и с = zc, т. е. когда эта система координатных осей переносится поступательно вместе с центром инерции системы точек, принятым за начало координат. В обоих этих случаях уравнения моментов в относительном движении вполне аналогичны уравнениям моментов в абсолютном движении.
Остановимся на втором случае, когда
а = хс, Ь = Ус, с = zc.
Относительные координаты точек по отношению к введенной нами системе осей, движущихся вместе с центром инерции системы, мы будем обозначать буквами g, т), £, так что положим
Xt — Хс = ^, yL —Ус^й zt — zc = ^t (I = 1, 2, ..., пу
Вследствие этого уравнения моментов примут такой вид
4" ^ (п/ т - ^)= 1 № -
Z=14=1
4 2 У т - б, т) - i &х- - ■
Z=1Z = 1
i=\z=l
и будут, следовательно, выражать такое же свойство относительного движения системы по отношению к центру инерции ее, какое выражается в уравнениях (21) для абсолютного движения.
Если силы во все время движения удовлетворяют одному, двум или всем трем условиям
I ^tZt - ^Y^ = О, 5 ^Xt - ^Z^ = 0, 2 ^Yt -^Xi) = О, Z=1z=lt=l
то мы получаем один, два или все три интеграла
5 mi (^ -4"—^")= с®’
выражающих закон сохранения площадей в относительном движении системы по отношению к центру инерции ее.
Когда все эти три интеграла имеют место (как, например, в случае, когда все силы, действующие на систему, есть силы взаимодействия между точками ее), то величина и направление главного линейного момента вокруг центра инерции количеств относительного движения системы остаются постоянными. Плоскость, проходящая через центр инерции и перпендикулярная к направлению этого момента, в этом случае также называется неизменяемой, хотя она и не неподвижна. Она обладает тем свойством, что для нее алгебраическая сумма произведений масс точек системы и их относительных секториальных скоростей имеет наибольшую величину.
Закон сохранения живой силы. Из дифференциальных уравнений (1) можно вывести между прочим следующее равенство
пп
2 mL ^ dx^^- dyi + dzA = 2 (Xt dxt + Yt dy, + Zt dz^,
i=4 X
которое может быть представлено в виде
d 2 4" mt [(-^)2 + (^-)2 + (-^Н)2] = 2 № dxt + Ytdtil + ZtdztY
(24)
Выражение
представляющее сумму живых сил всех точек системы, называется живой силой или кинетической энергией системы точек. Выражение, представляющее произведение элемента пути, проходимого точкой (хи уи г^ в течение бесконечно малого промежутка времени dt и проекции на его направление силы, приложенной к этой точке, называется, как известно, элементарной работой, совершаемой этой силой на протяжении этого пути или в течение этого промежутка времени. При движении точки в течение какого-либо конечного промежутка времени от момента времени /0 до момента /, работа, совершаемая приложенной к ней силой, выразится интегралом
^X^ + Y^ + Z^dL
Поэтому уравнение (24) или следующее из него
с п
Т - то = J g (Х( х\ + Y^ + Z^ dt,(25)
в котором п
i=l
представляет значение живой силы Т, соответствующее моменту времени /0 (который мы будем называть начальным). Оно выражает, что приращение живой силы системы точек за какой-либо промежуток времени равно сумме работ, совершаемых в течение него всеми действующими на систему силами.
Интеграл, представляющий вторую часть равенства (25), вообще может быть найден только после интегрирования системы дифференциальных уравне-
ний (1). Поэтому равенство (25) вообще не имеет другого значения кроме того, которое обусловливается представляемой им зависимостью между работой и живой силой. Но в некоторых случаях, которые мы теперь и намерены рассмотреть, этот интеграл может быть получен до интегрирования системы (1) и в этих случаях уравнение (25) имеет еще значение интеграла этой системы дифференциальных уравнений. Случаи, о которых идет речь, суть все те же, в которых вторая часть равенства (24) представляет полный дифференциал некоторой функции
и = U (Xj, у19 2n . . . , ХП9 уп9 2^
координат х19 уи z19 ..., хп9 уп9 zn. Это будет иметь место, например, если
X = ди V — ди 7 — дих — ди V — ди
’1 дуг ’1 ^х ’ • • п дхп ’ п дуп ’
2п = -^.(26)
п дгп ’х '
где U не зависит ни от скоростей Xi, у\9 Z\9 ..., х'П9 Уп, ^п ни от времени t.
Вообще, если силы удовлетворяют условиям (26), то говорят, что они имеют силовую функцию U.
Во всяком случае удовлетворены ли условия (26) или нет, мы будем теперь предполагать, что вторая часть равенства (24) есть полный дифференциал, так что
f] (Х^х( + Ytdyt + Z^ = dU.(27)
В этом случае уравнение (25) обращается в интеграл
T — U = h(28)
системы дифференциальных уравнений (1). Здесь h есть постоянная, значение которой найдется по начальным значениям Т и U:
h = То t/0,
где Uq — U (а19 b19 с19 ..., яп, ЬП9 с^.
Примечание. Если действующие на систему силы имеют силовую функцию U9 не зависящую ни от скоростей, ни от времени, то как было замечено выше, равенство (27) будет удовлетворено. Но очевидно, что это условие, будучи достаточным, не есть необходимое для существования равенства (27). Так, например, выражение Xdx + Ydy + Zdz обращается в полный дифференциал от функции U трех переменных х9 у и 2, если
х = ^ + Qz' - Ry’, Y = ^- + Rx’-Pz’, Z = ^- + Py’-Qx’,
(29) где P9 Q и R — произвольные функции от x9 y9 z9 t9 x’ 9 y’ 9 z’. Легко также убедиться и в обратном: если Xdx + Ydy + Zdz — полный дифференциал от функции U трех переменных х9 у и z9 то Х9 Y и Z имеют вид (29).
Полученный нами интеграл (28) называется уравнением живой силы. Он выражает то замечательное свойство движения системы точек в рассматриваемом случае (т. е., когда удовлетворено условие (27)), по которому живая сила зависит только от положения системы в данный момент времени и конечно от начальных данных, так что если U есть однозначная функция координат л^, ^i, •••> £п и если движение системы таково, что по истечении известного промежутка времени она может возвратиться в прежнее положение, то живая сила ее получит при этом возвращении прежнее значение.
Это свойство движения системы и составляет так называемый закон сохранения живой силы.
Уравнение (27) приводит к следующему
J Е tx* + vtdyi + z^ = и-и01
to Z=1
которое показывает, что работа, совершаемая действующими на систему силами при переходе ее из одного положения в другое, в рассматриваемом случае не зависит ни от времени, затраченного на этот переход, ни от путей, пройденных точками, а только от двух крайних положений системы, так что если А и В — какие-либо два положения системы при ее движении под действием сил ^Хь Yb Z^ и если \ХЬ Yu Z^ —такие новые силы, что, находясь под действием сил РС( + Х() Yt + Yu Zt + Z^, система может из положения А прийти в положение В, то работа, совершаемая силами {Xz, Yt, Z^ при этом новом движении, будет такова же, как и при движении из положения А в положение В под действием одних только сил {Xz, Y t, Z^.
Так как функция U может заключать в себе прибавочную произвольную постоянную, то произвольное положение системы может быть принято за такое, в котором U = 0. Выбрав за такое какое-нибудь положение, положим
U = — П, так что
и 1=\ х'
т. е. обозначая через П работу, которую совершили бы приложенные к точкам системы силы при переходе системы из рассматриваемого положения (которое система занимает в момент времени /) в выбранное произвольным образом (в котором U = 0). Эта величина называётся потенциальной энергией системы в ее рассматриваемом положении или потенциалом.
Иногда за положение, в котором С/ = 0 или П = 0, может быть выбрано такое положение системы, что во всяком другом ее положении П > 0. Это можно сделать, например, если П для некоторого положения системы имеет абсолютный минимум, каково, например, следующее выражение П
П = Д к^ [(х,- — at)2 + (j^ — 6J2 + (Zi — Ci)2] + с,
в котором С, feu а^ bt и сс — некоторые постоянные. Если мы положим в нем С = 0, то П и будет сохранять положительные значения для всяких положений системы, отличных от того, в котором xL = at, у с = bu zt = cL для всякого i и, следовательно, П = 0.
В этих случаях потенциальная энергия системы представляет действительный запас работы, которую могут произвести действующие на нее силы.
Система свободных точек, находящаяся под действием таких сил, работа которых зависит только от крайних положений системы, называется консервативной.
Уравнение (28), принимая теперь вид
Т + П = й, выражает, что при движении консервативной системы точек сумма кинетической и потенциальной энергии сохраняет постоянное значение.
В этой форме уравнение живой силы выражает так называемый закон сохранения энергии, важное значение которого в современной физике достаточно всем известно.
Особенное внимание заслуживает случай, когда U есть силовая функция действующих на систему сил. Важность этого случая обусловливается
тем, что во всех случаях взаимодействия между телами, замечаемого в природе, может быть обнаружено существование силовой функции.
Самый простейший случай существования силовой функции есть тот, когда действующие на различные точки системы силы постоянны как по величине, так и по направлению. Силовая функция при этом будет линейной функцией координат
^Л 4™ ^\У1 4" Сггг + Д2х2 4- ...,
где Аъ Въ Сп Л2 и т. д. суть постоянные величины. К этому классу сил относится, например, сила тяжести, когда рассматривается движение вблизи некоторой точки поверхности Земли. Если ускорение, сообщаемое этой силой, обозначим через g и за ось г примем направление, идущее вертикально сверху вниз, то силовая функция выразится так
6 кРЧЧ + т^ + ... + mnzn) = Mgzc,
где zc по-прежнему есть координата г центра инерции системы точек.
Во всех случаях, когда точки системы притягиваются к некоторым неподвижным центрам или отталкиваются ими с силами, зависящими только от расстояний этих точек от центров, а также и во всех случаях взаимного притяжения или отталкивания точек системы с силами, для каждой пары точек равными и зависящими только от расстояний между точками, существование функции сил несомненно. Чтобы получить общее выражение для силовой функции U или потенциала П для этих случаев, положим, что существует т притягивающих или отталкивающих центров: Сх (ап (3^ yj, С2 (а2, р2, у2), ..., Ст (ат Рт, Т/п) и обозначим через plz расстояние центра Ct от точки (х/, yh zj), так что
Ри = V (Xj — aj2 + (у, — р,)2 + (2/ — у,)2.
Далее, обозначим через rti расстояние между точками (хг, у,, zj и (X/, у,-, г,), так что
Гц = V (Xj — Xi)2 4- (у/ — у,)2 + (г, — г^.
Если положим теперь, что Ф^ (р//) есть притягивающая или отталкивающая сила, с которой центр Ct действует на точку (xh yh z^ а Рц (г^ (здесь Фц (х) и Fq (х) — производные некоторых функций Ф^- (х) и Fq (х)) — притягивающая или отталкивающая сила взаимодействия между точками (хь y;i z^ и ^Хр Ур z^ то, например, для Xj найдем следующее выражение:
™Пу. у.
- 2 т ф;, (Р„)+v+г» ы •
1=1
где символ Уд означает, что сумма распространяется на все значения i от 1 до п включительно, за исключением значения i = j и где верхние знаки относятся к случаям притяжения, а нижние — к случаям отталкивания. Замечая, что
Xj — a, _ дрц и Xj — Xj = дгц
РНдХ)гцdxj ’
мы можем это выражение записать в виде
Из этого выражения для X,- и из подобных ему выражений для других проекций сил видно, что для рассматриваемых сил можно положить
т п
П = 5 5 ^ф^ + ^Рц(г^),
<=1 /=1i.i
где 5 означает сумму -^- п(п— 1) членов вида ±Fti(rij), получаемых из этого общего члена при подстановке вместо i и / различных чисел из ряда 1, 2, 3,..., п, так, чтобы получились всевозможные сочетания этих чисел по два и чтобы одно и то же сочетание не встречалось более одного раза. При этом перед Fq надо взять знак «+», когда взаимодействие между точками ^х^ уь 2t) и (Ху, Уу, 2у) есть взаимное притяжение, и «—», когда это взаимодействие есть отталкивание. Так, например, когда все точки системы взаимно притягиваются по закону Ньютона, так что
гм
где / — положительный коэффициент одинаковый для всех точек системы, то для Fq (rq) можно взять функцию
г ттцгтцТ ГЦ
и мы найдем
=। т^пн,j . 4, ^тп
\ Г12Г13ГХПГ23Г2Л
^з^л I1 тп-\тп
ГЗЛГП—\П '
Во всех рассматриваемых случаях закон живой силы будет иметь место и если притом Ф^у (р) и Fq (г) — однозначные функции р и г, то система точек будет консервативной.
Во многих случаях приходится рассматривать относительное движение системы точек по отношению к ее центру инерции. Если координаты точки (хь уь г^ относительно прямоугольной системы координат, направления осей которой остаются параллельными неподвижным осям координат, а начало совпадает с центром инерции, по-прежнему обозначим через ^, т]г, ^, так что
ппп
у т& = 0, £ mt4i = 0, 2 Mt = 0,(30)
1=11=1*=1
то найдем
Т = -у У mt |(х, + ^)2 + (Ус + Л«)2 + (2= + Ш = ^ (Хс + Ус + 2с) +
1=1
+ Хс^ т^ + у'с у m^i + 2с ^ т^ + 4 S m< ^ + ^ + й).i=l1=11=1i=l
Но дифференцирование по времени тождеств (30) дает
Е = X ^i4i = Е = 0, i=ii=ii=i
а потому, полагая
г=24т<^,+^'+^’
1=1 найдем
Т=-уМ(х'с -Vy'c -Vz'c)-Vr.(31)
Здесь Г есть живая сила системы точек в ее относительном движении по отношению к центру инерции, а первый член
-^М(Хс + Ус +2J
представляет живую силу движения центра инерции, предполагая, что в этой точке сосредоточена масса всей системы. Если бы рассматриваемая система точек двигалась поступательно, т. е. так, чтобы все точки ее в каждый момент времени имели равные и параллельные скорости, то мы нашли бы ^ = -щ = = ^ = О и, следовательно, рассматриваемый член представил бы живую силу всей системы. При произвольном движении системы точек, скорость каждой ее точки в каждый момент времени есть геометрическая сумма скорости поступательного движения вместе с центром инерции и относительной скорости по отношению к нему, как это видно из формул
Xt = Хс+ ^i, y'i = Ус+ Пь 2i=Zc-V^i (f = 1, 2, . . . , П).
Таким образом равенство (31) выражает, что живая сила абсолютного движения какой-либо системы точек равна сумме живой силы поступательного движения ее вместе с центром инерции и живой силы относительного движения по отношению к этой точке.
При помощи равенства (31) уравнению живой силы можно дать теперь следующий вид:
— М (хс + Ус + 2С) + Г = U + h.
Такое преобразование уравнения живой силы может быть полезно, например, в тех случаях, когда действующие на систему силы суть силы взаимодействия между ее точками. В этом случае центр инерции системы будет двигаться равномерно и прямолинейно, так что
1 л л л"2* Л4 ^хс А* Ус + ^с)
будет постоянной величиной, а потому мы получим уравнение
Г=[/ + h*,
где h* — постоянная, выражающая закон живой силы в относительном движении системы по отношению к центру инерции ее. При том U, будучи в этом случае функцией только разностей координат, выразится в функции относительных координат.
Вообще рассматриваемое преобразование полезно во всех тех случаях, когда действующие на систему силы удовлетворяют условиям
X^-^X + Xi, Y^^Y^Y*, Zl=^ZA-Zu
f х; = £ Y* = f Z? = О, X (X*dx£ + Yldy, + Z*td2i-) = dU*. i=ii=ii=ii=i
где U* — некоторая функция координат. В самом деле, мы найдем
-Ь М-^ + Ус + Ю + Г = Г 2 ^- (Xdxt + Yd9i + Zdz^ + U* + h i=l
ИЛИ
~2“ M {xc -V Ус + 2C) + Г = у (Xdxc + Ydyc 4- Zdz^) 4- U* 4* ^»
а, с другой стороны, дифференциальные уравнения движения центра инерции
дадут
4"М(х^ +ус + z^) = у (Xdxc + ¥dyc + Zdzc) + const
и потому мы получим уравнение
Г U* + h
выражающее закон живой силы в относительном движении системы по отношению к центру инерции ее. При этом в абсолютном движении закон живой силы может и не иметь места. Таков, например, случай, когда кроме взаимодействий между точками системы силовая функция которых есть [)*, на все точки системы действуют еще параллельные силы пропорциональные массам точек, величины и направления которых изменяются в течение времени.
§11. Примеры. Пример 1. Система состоит из двух точек, которые взаимно притягиваются или отталкиваются с силами, равными, прямо противоположно направленными по прямой, соединяющей точки, и зависящими только от расстояния между точками. Привести решение вопроса к квадратурам.
Пусть т — расстояние между точками и F' (г) — функция, выражающая закон притяжения. Дифференциальные уравнения движения будут иметь следующий вид:
d^XidF (г)OF (г)
1 dtzdxT1 di2dyt
d2x2dF (г)d^y^dF (г)
И2 dt"дх\ • т»-^^Г*
d?Zi_dF^
miЛ2дгг1
d2z,dF(г)
m2 dt2dz2 ’
где верхние знаки относятся к случаю притяжения, а нижние — к случаю отталкивания.
Для полного интегрирования этой системы уравнений надо найти 12 интегралов, из которых 10 тотчас же даются законами сохранения движения центра инерции, площадей и живой силы, которые все имеют место для рассматриваемого случая. Таким образом, мы имеем следующие уравнения:
т^ + т^гт^ + т2у2_
+- m1 + m2 " ~ P1Z + Р’
Zc = "^Г^П^= V1/ + т’ mi (г11^— ^ + т2 (П2^ ~ ^зЛ2) = Ci,
«1 6151 - ^) + т2 (^ - g^ = С2, mi (ё1П1 — Л iSi) + т2 (ё2Пз — Лг^) = Сз.
4" «1 (^ + пГ + О + 4" m2 ^ + ^ + £) = Т F И + к*-
где aj, а, Pi, 0, ух, у2, Сх, С2, C^h* — постоянные. При этом интегралы, даваемые законами площадей и живой силы, взяты в той форме, в которой они появляются при рассмотрении относительного движения по отношению к центру инерции.
Принимая за плоскость gr] неизменяемую плоскость для этого относительного движения, мы приведем уравнения площадей к следующему виду:
т1 (Л1^1 — С1Л1) + «2 (Л 2?2 — ?2Л2) = т1 (£1^ — ^1^) + «2 (^2 — В^ = 0-
«1 (11Л1 — Л161) + т2 ^2<2 — n2Q = С-
где С — главный момент количества относительного движения вокруг центра инерции. Если же исключим из этих уравнений величины g2, т]2, £2, ^, Л^ й ПРИ помощи уравнений
^1^1 + ^2 = т1Ч1 + ^2 = ^1^1 + "^2 =
= тД\ + т^ = т^ + т2я2 = тД\ + /п^ = 0,
то найдемто найдем,,,,,, пи С
то найдем
то найдем
41S1 —С1П1 =0, ^-^=0, ^41-^!= т 1т —.(32)
Умножая обе части первого уравнения на ^, второго — на Th, третьего — на ^ и затем складывая результаты, получим
ТЕ— ^1 = 0,
/721 + ^2 т1
т. е. ^ — 0, откуда будет следовать, что и g2 = 0, а, следовательно, ^ = 0 и ^ = 0. Таким образом, мы видим, что относительное движение точек по отношению к центру инерции будет происходить в неизменяемой плоскости.
Полагая
V^I + 41 = Pi,
мы найдем
а потому уравнение живой силы приведется (после исключения gg и Л2) к ВИДУ
5'2,2_2т261 + *11 — т1 (От1 ^_ т^5'2,2_2т261 + *11 — т1 (От1 ^_ т^h^F ^"Н..\«2h^F ^"Н..\«2(33)(33)Вопрос привелся теперь к интегрированию двух уравнений первого порядка (32) и (33) с двумя неизвестными функциями ^ и т)Р Когда эти функции будут найдены, мы найдем g2 и % по формуламВопрос привелся теперь к интегрированию двух уравнений первого порядка (32) и (33) с двумя неизвестными функциями ^ и т)Р Когда эти функции будут найдены, мы найдем g2 и % по формулам62 =62 =^1/И2^1/И211» Л 2 —~ Л1>/72 211» Л 2 —~ Л1>/72 2чем определится относительное движение и другой точки. Затем, если необходимо определить абсолютное движение точек, можно по найденным выражениям для ^, Л1 и Ь = 0 получить выражения этих координат в первоначальной системе, в которой плоскость |т) не совпадала с неизменяемой, а была параллельна плоскости ху. После этого xlt ylf zlt х2, у^ z2 найдутся решением уравненийчем определится относительное движение и другой точки. Затем, если необходимо определить абсолютное движение точек, можно по найденным выражениям для ^, Л1 и Ь = 0 получить выражения этих координат в первоначальной системе, в которой плоскость |т) не совпадала с неизменяемой, а была параллельна плоскости ху. После этого xlt ylf zlt х2, у^ z2 найдутся решением уравнений
5'2,2_2т2
61 + *11 — т1 (От1 ^_ т^
5'2,2_2т2
61 + *11 — т1 (От1 ^_ т^
h^F ^"Н.
.\«2
h^F ^"Н.
.\«2
(33)
(33)
Вопрос привелся теперь к интегрированию двух уравнений первого порядка (32) и (33) с двумя неизвестными функциями ^ и т)Р Когда эти функции будут найдены, мы найдем g2 и % по формулам
Вопрос привелся теперь к интегрированию двух уравнений первого порядка (32) и (33) с двумя неизвестными функциями ^ и т)Р Когда эти функции будут найдены, мы найдем g2 и % по формулам
62 =
62 =
^1
/И2
^1
/И2
11» Л 2 —~ Л1>
/72 2
11» Л 2 —~ Л1>
/72 2
чем определится относительное движение и другой точки. Затем, если необходимо определить абсолютное движение точек, можно по найденным выражениям для ^, Л1 и Ь = 0 получить выражения этих координат в первоначальной системе, в которой плоскость |т) не совпадала с неизменяемой, а была параллельна плоскости ху. После этого xlt ylf zlt х2, у^ z2 найдутся решением уравнений
чем определится относительное движение и другой точки. Затем, если необходимо определить абсолютное движение точек, можно по найденным выражениям для ^, Л1 и Ь = 0 получить выражения этих координат в первоначальной системе, в которой плоскость |т) не совпадала с неизменяемой, а была параллельна плоскости ху. После этого xlt ylf zlt х2, у^ z2 найдутся решением уравнений
тгхг 4- пих2 . ,-■-■--—— = аЛ 4- а, /721 + т2nuzv-Vm»3u . ,- 1, TJ = т? + т,^1 + ^2тгхг 4- пих2 . ,-■-■--—— = аЛ 4- а, /721 + т2nuzv-Vm»3u . ,- 1, TJ = т? + т,^1 + ^2"'•ЛТ -м+»-/721 I"/Hi+ m22"'•ЛТ -м+»-/721 I"/Hi+ m22/722/х—Г— toi-^ = 4v /721Для интегрирования системы уравнений полагая/722/х—Г— toi-^ = 4v /721Для интегрирования системы уравнений полагая/тг2/тг2(zi z2) — £j.(zi z2) — £j."4 T ш2(32) и (33) вводим полярные координаты,"4 T ш2(32) и (33) вводим полярные координаты,^ = Pl cos <p,^ = Pl cos <p,T)1 = Pl Sin <pT)1 = Pl Sin <p
тгхг 4- пих2 . ,
-■-■--—— = аЛ 4- а, /721 + т2
nuzv-Vm»3u . ,
- 1, TJ = т? + т,
^1 + ^2
тгхг 4- пих2 . ,
-■-■--—— = аЛ 4- а, /721 + т2
nuzv-Vm»3u . ,
- 1, TJ = т? + т,
^1 + ^2
"'•ЛТ -м+»-
/721 I"
/Hi+ m22
"'•ЛТ -м+»-
/721 I"
/Hi+ m22
/722/х
—Г— toi-^ = 4v /721
Для интегрирования системы уравнений полагая
/722/х
—Г— toi-^ = 4v /721
Для интегрирования системы уравнений полагая
/тг2
/тг2
(zi z2) — £j.
(zi z2) — £j.
"4 T ш2
(32) и (33) вводим полярные координаты,
"4 T ш2
(32) и (33) вводим полярные координаты,
^ = Pl cos <p,
^ = Pl cos <p,
T)1 = Pl Sin <p
T)1 = Pl Sin <p
.//г».
ИЛИ ^1 = ™ _L^ ”Г C0S Ф- *11 = ^' I „ ' Г 8,П Ф-
/721 "Т" ^2^1 । ^2
При этом уравнения (32) и (33) приведутся к виду
.2 б/ф = /721 + /722 сdi т1т2 ’.2 б/ф = /721 + /722 сdi т1т2 ’^ф V ~ ^ (mi + m^^ф V ~ ^ (mi + m^тгтйтгтйWW,WW,
.2 б/ф = /721 + /722 с
di т1т2 ’
.2 б/ф = /721 + /722 с
di т1т2 ’
^ф V ~ ^ (mi + m^
^ф V ~ ^ (mi + m^
тгтй
тгтй
WW,
WW,
из которых второе при посредстве первого обращается в следующее
г* dtp ) ф г2 (/721 + пг2) С2 1(
откуда
J |(mi + zn2) С21 xn J r r vo r0
где r0 и ф0 — постоянные. Так как гиф — полярные координаты точки (^i, т]1), принимая за полюс точку (^2, 1]2), то это уравнение, дающее зависимость между г и ф, определит траекторию
точки gf, T|i) в ее относительном движении по отношению к точке (Е^, Лг)- Траектория же относительного движения по отношению к центру инерции получится из этого уравнения заменой тг +т2
в нем г через —— pj.
Имея зависимость между г и ср, мы выразим их во времени при помощи уравнения
li^±C(t-tQ).тгт20/
Фо
Относительные траектории обеих точек будут подобными кривыми, расположенными так, что центр инерции будет центром подобия.
П р и м е р 2. Исследовать движение точек предыдущего примера в предположении, что притяжение подчиняется закону Ньютона.
В рассматриваемом случае
F^ = -f^ .
Дифференциальные уравнения движения точек принимают вид
d^Xn , х2 — хл_^ = tm2-^-Xd^Xn , х2 — хл_^ = tm2-^-X^Vi _tm у г —«1 "W ~ ,ТПг ~^Vi _tm у г —«1 "W ~ ,ТПг ~d^x2 ,d^x2 ,’2’2^. = fmiUlZL^ dt2 1 г3^. = fmiUlZL^ dt2 1 г3d2z^1 "dFd2z2dt2d2z^1 "dFd2z2dt2= fm2^l= fm2^l= f”4= f”4zi ^2zi ^2Отсюда легко получаютсяОтсюда легко получаютсяуравненияуравненияd2 (^i — хЛ , .,,—^^ = — f Цтч + т2)d2 (^i — хЛ , .,,—^^ = — f Цтч + т2)dt2dt2гзгзdt2dt2
d^Xn , х2 — хл_^ = tm2-^-X
d^Xn , х2 — хл_^ = tm2-^-X
^Vi _tm у г —«1 "W ~ ,ТПг ~
^Vi _tm у г —«1 "W ~ ,ТПг ~
d^x2 ,
d^x2 ,
’2
’2
^. = fmiUlZL^ dt2 1 г3
^. = fmiUlZL^ dt2 1 г3
d2z^
1 "dF
d2z2dt2
d2z^
1 "dF
d2z2dt2
= fm2^l
= fm2^l
= f”4
= f”4
zi ^2
zi ^2
Отсюда легко получаются
Отсюда легко получаются
уравнения
уравнения
d2 (^i — хЛ , .,,
—^^ = — f Цтч + т2)
d2 (^i — хЛ , .,,
—^^ = — f Цтч + т2)
dt2
dt2
гз
гз
dt2
dt2
,,, х Un — и2 d2 (zn — z2)_,, х Zf — z™
= — f («1 + mO -^—-, ^ -2'- = — Цтг + m2) 1 f3 -2-
которые показывают, что относительное движение каждой точки по отношению к другой таково же, каково было бы ее абсолютное движение, если бы она притягивалась по закону Ньютона неподвижной точкой, масса которой равна сумме масс обеих точек.
Далее, мы находим ==^1-^2, m2
dt2 dt2 ' 3 г3 ~ 1 (т1 + т2)2 рз
и, следовательно, d2^."4Щ d2^
dt2 T (m1 + m2)2 рз ’ dt2 ' (mi+тг)2 рз ’ dt2
(mt + /n2)2‘
Эти уравнения показывают, что относительное движение каждой точки по отношению к их центру инерции совершается таким же образом, как происходило бы абсолютное движение ее, если бы она притягивалась по закону Ньютона неподвижной точкой, масса которой меньше массы другой точки в отношении квадрата массы последней к квадрату суммы масс обеих точек.
Таким образом, относительное движение рассматриваемых точек, как по отношению к их центру инерции, так и одной из них по отношению к другой будет совершаться по коническому сечению, лежащему в неизменяемой плоскости, в фокусе которого будет находиться центр инерции или одна из точек. При этом коническое сечение, описываемое каждой точкой в одном относительном движении, подобно коническому сечению, описываемому ею в другом.
Рассмотрим относительное движение точки тг по отношению к точке т2. Вводя систему прямоугольных осей координат, начало которой всегда совпадает с точкой т21 а оси сохраняют неизменные направления, обозначим координаты точки т^ в этой системе через х, у, z. Поэтому если положим
f (mt + т^ = ц,
то дифференциальные уравнения этого относительного движения примут вид
d2x х d2y у d2z г
dt-—^ г3' di2— г3’ dt2—^ г3-
где г = Ух2 + у2 + г2.
Обозначим через J угол, составляемый с осью г направлением главного момента вокруг центра инерции количеств относительного движения, по отношению к центру инерции обеих, точек и через ¥ угол, составляемый с осью х прямой пересечения неизменяемой плоскости с плоскостью ху и при том — тем направлением этой прямой, вокруг которого неизменяемая плоскость должна совершить положительное вращение на угол J, чтобы совпасть с плоскостью ху. Углы J и Т определяют положение неизменяемой плоскости по отношению к выбранной нами системе осей и могут быть приняты за две из шести произвольных постоянных, вводимых интегрированием (эти два угла будут функциями трех постоянных, входящих в интегралы площадей). Так как относительное движение точки тг по отношению к точке т2 совершается в неизменяемой плоскости, то это есть также постоянные, определяющие положение плоскости траектории точки тг в этом движении. Выражаясь языком астрономов, мы можем сказать, что J есть угол наклонения к плоскости эклиптики плоскости орбиты планеты mt в ее относительном движении по отношению к Солнцу m2, a ¥ есть долгота восходящего узла (предполагая, что ось г направлена к южному полюсу эклиптики). Это суть два из шести элементов планеты mv Остальные обозначим следующим образом: через Ф угловое расстояние перигелия от восходящего узла, считаемое в направлении движения планеты, через р полупараметр конического сечения, описываемого планетой, через е его эксцентриситет и через т время прохождения планеты через перигелий.
Если теперь через ф обозначим угловое расстояние планеты от перигелия, так называемую истинную аномалию, то для координат х, у, г ее получим следующие выражения
х = г [cos T cos (Ф + Ф) — sin ¥ cos J sin (ф + Ф)1,(35)
у — г [sin V cos (ф + Ф) + cos ¥ cos J sin (ф + Ф)], 2 = — г sin J sin (ф + Ф),
к которым для окончательного решения вопроса остается только присоединить два уравнения, связывающие г, ф и / или какую-либо систему уравнений равносильную последним.
щий видщий видоткудаоткудаИнтеграл площадей для плоскости орбиты и уравнение живой силы принимают следую
щий вид
щий вид
откуда
откуда
а потому, если положим
то найдемто найдем(36)
то найдем
то найдем
11.8,, х
— = — + — cos (ф + Фо).
(37)(37)где фо есть постоянная, введенная интегрированием. Так как для ф = О значение г должно быть наименьшее, то можно положить ф0 = 0, вследствие чего уравнение траектории примет вид
(37)
(37)
1 + 8 COS ф *
Выражение (36) для е2 показывает, что характер конического сечения, описываемого точкой, определяется единственно знаком постоянной Л, входящей в уравнение живой силы: если эта постоянная отрицательна, траектория точки есть эллипс, если она положительна, траектория есть гипербола и наконец, когда h = 0, траектория есть парабола.
Если через г0 обозначим начальное значение г и через у0 начальную скорость точки, то найдем
откуда видно, что характер траектории точки тх исключительно определяется величиной начальной скорости, сообщаемой ей при данном расстоянии от точки.
При всякой величине для последнего и при всяком направлении начальной скорости, не совпадающем с радиусом-вектором, траектория есть эллипс, пока эта начальная скорость меньше
1Л 2/ (т, + м2)
' г»
1^ / («1 + ™2)1^ / («1 + ™2)если при том начальная скорость, имея величину
1^ / («1 + ™2)
1^ / («1 + ™2)
•перпендикулярна к радиусу-вектору, то траектория есть окружность, потому что при этом Л =2" уо» Н = гоуо и’ следовательно,
так как вообщетак как вообщее2 = 1е2 = 1С2С2ФоФоО,О,С = rovo sin (r0, г0).Легко также убедиться, что это условие не только достаточно, но и необходимо для того, чтобы траектория была окружностью. Когда начальная скорость равнаС = rovo sin (r0, г0).Легко также убедиться, что это условие не только достаточно, но и необходимо для того, чтобы траектория была окружностью. Когда начальная скорость равна
так как вообще
так как вообще
е2 = 1
е2 = 1
С2
С2
Фо
Фо
О,
О,
С = rovo sin (r0, г0).
Легко также убедиться, что это условие не только достаточно, но и необходимо для того, чтобы траектория была окружностью. Когда начальная скорость равна
С = rovo sin (r0, г0).
Легко также убедиться, что это условие не только достаточно, но и необходимо для того, чтобы траектория была окружностью. Когда начальная скорость равна
] / 2f (»h + m2)
траектория обращается в параболу, а для больших скоростей она есть гипербола. Конечно, при этом предполагается, что начальная скорость не направлена по радиусу-вектору, потому что в последнем случае, при всякой величине ее, траектория будет прямой линией.
Таким образом, для того чтобы относительная траектория точки тх была эллипсом, необходимо, чтобы начальная относительная скорость ее была меньше некоторого предела, зависящего от начального расстояния ее от точки т2 и здесь следует обратить внимание на то обстоятельство, что предел этот
1/ 2f(mi + m,)
больше того
который играл бы такую же роль в случае неподвижности точки т^. Поэтому относительная траектория точки тх может быть эллипсом при тех же самых начальных условиях относительного движения ее, при которых она есть гипербола в случае неподвижности точки т2.
Заменяя в интеграле площадей С его выражением )^рр,, а г его выражением (37), мы по
р2^Ф(1 + 8 cos ф)2р2^Ф(1 + 8 cos ф)2= Kw di,= Kw di,лучим уравнение
р2^Ф
(1 + 8 cos ф)2
р2^Ф
(1 + 8 cos ф)2
= Kw di,
= Kw di,
интегрированием которого и приведется задача к концу.
Если е < 1, мы можем положить
предполагая, что и обращается в нуль вместе с ф. В силу этой подстановки наше уравнение обращается в следующее
(1 — е cos и) du = j 2 У^р dt,
а потому, если обозначим через а большую полуось эллиптической траектории точки, т. е. поРV
ложим а = -——-, то найдем 1 — 8 4
и — е sinM = — ^/" — (t— т).(39)
Заметим еще формулу
r = a^\—ecoszz),40)
которая получается из (37) при помощи подстановки (38).
В этих формулах и есть так называемая эксцентрическая аномалия, а
средняя аномалия.
Время полного оборота
Т = 2ла ]/— ,(4Г)
72v
откуда видно, что выражение (/Л] + т^ не меняется при переходе от одной планеты к другой. Таким образом, третий кеплеров закон — о пропорциональности квадратов времен обращений планет кубам их средних расстояний от Солнца есть только приблизительный и получается, когда пренебрегают массами планет по отношению к массе Солнца.
Когда е = 1, мы получаем уравнение
2= 2. V^dt, (1 + 8 COS ф)2 р Т р откуда
Наконец, для е > 1 мы полагаем и и
(43) е 2 + е 2 и получаем уравнение
+= 2.1/(44)
12а г а
причем
Последние три формулы можно представить также в виде, более аналогичном формулам (38), (39) и (40):
tgth — , г= — а(1 — echo),и — 8Shu=—^-1/ — (t — т).
а V а
Заметим, что величина а, входящая в уравнения (39), (40), (44) и (45), выражается, как’ показывают формулы (36), следующим образом:
(46)(46)И
(46)
(46)
2/1
где верхний знак относится к случаю h < 0, а нижний — к случаю h > 0. Это выражение для а показывает, что, например, в эллиптическом движении большая полуось траектории зависит только от величины начальной относительной скорости и начального расстояния между точками.
Для полного решения задачи теперь остается только рассмотреть случай прямолинейного движения, которое получается при начальной скорости, направленной по радиусу-вектору и, следовательно, при С = 0. Но для h < 0 к этому случаю можно перейти от формул (39) и (40) эллиптического движения, полагая в них е = 1, а для h > 0 — от формул (44), (45) гиперболического движения, полагая в них 8=1. Полученные таким образом формулы, если в них под а понимать выражение (46), представят результат интегрирования уравнения живой силы„ которое для прямолинейного движения принимает вид
Для случая же h = 0 мы находим
г3/= = 3 ]/ 2- « — т)
непосредственным интегрированием этого уравнения.
Системы уравнений (35), (37) и одна из трех: (38), (39), или (42), или (43), (44) и решают вопрос об интегрировании системы уравнений (34). В случае необходимости из них можно получить также зависимости, дающие возможность шесть введенных нами постоянных J, Ф, Ф„ р) е, т, играющих в астрономии роль элементов движения планеты, выразить при помощи шести
начальных данных: начальных значений координат х, у, г и начальных значений их производных х11 у’,г*. Но на выводе этих зависимостей мы останавливаться не будем.
Пример 3. Предполагая, что система состоит из п + 1 точек, взаимно притягивающихся по закону Ньютона, рассмотреть относительное движение п из них по отношению к одной.
Пусть т есть масса одной из точек и х, у, г ее прямоугольные координаты по отношению к какой-либо системе неподвижных в пространстве осей. Пусть далее тг, тъ ..., тп —массы остальных точек, а хъ уъ z-^ ..., хП1 уП1 гп — их координаты по отношению к точке т, т. е. по отношению к системе осей, параллельных неподвижным и имеющих начало в точке т. Абсолютные координаты этих точек будут, следовательно, х + хг, у + у^ г + zt и т. д. Расстояние точки т( от точки т обозначим через г/, а расстояние между точками mi и mj — через Рф так что
. , n).. , n).p^^ + ^ + z?, РУ = ^i —х,)2+(yt —1/,)2+(z(—г,)2(/, 1=1, 2,
. , n).
. , n).
Если теперь положим
где сумма распространена на всевозможные различные сочетания чисел < и /, взятых из ряда I, 2, ..., п, то дифференциальные уравнения абсолютного движения рассматриваемой системы
точек примут следующий вид пп
d^x _ # У тРЧ d2y , у mjyj d^z
i=i ii=i idt2 2d гз ’ d/2 ~Г 2d ’ di2
i=i i
i=i i
d2(x + xz) _ f тт(Х( mi дрI ad2(x + xz) _ f тт(Х( mi дрI adV dxi *dV dxi *m d2 (y + yi) _ _ , mtntyt , dV
d2(x + xz) _ f тт(Х( mi дрI a
d2(x + xz) _ f тт(Х( mi дрI a
dV dxi *
dV dxi *
1 dP',3+ dyi
d2(z + zt)'■ dt1d2(z + zt)'■ dt1mmjZjmmjZjdV157 0"=l. 2, ... ,n)dV157 0"=l. 2, ... ,n)
d2(z + zt)
'■ dt1
d2(z + zt)
'■ dt1
mmjZj
mmjZj
dV
157 0"=l. 2, ... ,n)
dV
157 0"=l. 2, ... ,n)
причем уравнений, подобных трем последним, будет 3/1. Отсюда мы находим, например,
d2Xj №1d2Xj №1mxjmxjaamjxt 1 9Vmjxt 1 9Vme dXime dXi(t = 1, 2, . . . , n^(t = 1, 2, . . . , n^(47)(47)Но если под выражениемНо если под выражениемпппо-прежнему будем понимать сумму, распространенную на все значения / от 1 до п включительно, за исключением / — i, то найдемпо-прежнему будем понимать сумму, распространенную на все значения / от 1 до п включительно, за исключением / — i, то найдемппmjXjmjXjfiliXifiliXinC1 mjX! = mjXjnC1 mjX! = mjXjj=1j=1n— EMn— EMУШ1 + z/z()УШ1 + z/z()ии1 9V1 9V99mt dXi дх^mt dXi дх^npi/npi/(i = 1, 2n).(i = 1, 2n).
d2Xj №1
d2Xj №1
mxj
mxj
a
a
mjxt 1 9V
mjxt 1 9V
me dXi
me dXi
(t = 1, 2, . . . , n^
(t = 1, 2, . . . , n^
(47)
(47)
Но если под выражением
Но если под выражением
п
п
по-прежнему будем понимать сумму, распространенную на все значения / от 1 до п включительно, за исключением / — i, то найдем
по-прежнему будем понимать сумму, распространенную на все значения / от 1 до п включительно, за исключением / — i, то найдем
п
п
mjXj
mjXj
filiXi
filiXi
n
C1 mjX! = mjXj
n
C1 mjX! = mjXj
j=1
j=1
n
— E
M
n
— E
M
УШ1 + z/z()
УШ1 + z/z()
и
и
1 9V
1 9V
9
9
mt dXi дх^
mt dXi дх^
n
pi/
n
pi/
(i = 1, 2n).
(i = 1, 2n).
Вследствие этого вторая часть равенства (47) приведется к виду
1,31,3XjXj + yjVj + ZjZjXjXj + yjVj + ZjZj,3,31Pt71Pt7
1,3
1,3
XjXj + yjVj + ZjZj
XjXj + yjVj + ZjZj
,3
,3
1
Pt7
1
Pt7
nGz=/VnGz=/V
n
Gz=/V
n
Gz=/V
Поступая таким же образом с остальными уравнениями и полагая
XjXt + yjyt + ZiZiL\ // _ 1 9 „Zr?P.</ J (’ ' ’ ‘ ’ * ’•
Ы
мы получим поэтому следующую систему уравнений
d2X( _ f (m + mt) xi 9Q1 ^i _, (m + m;) Vi ^i
dt2 ' r3dxt ’ dt2 ~* fSdye *
*1(49)
d2z, , (m+m^Zi OQt „, „,
« = 1,2n).
число которых будет 3n. Это и есть искомые дифференциальные уравнения относительного движения точек тъ т^ ...,тп по отношению к точке т*
Преобразование дифференциальных уравнений абсолютного движения к виду (49) имеет важное значение в небесной механике, где рассматриваются обыкновенно относительные движения планет тъ т^ тп по отношению к Солнцу т.
Для полного интегрирования системы (49) необходимо найти 6л интегралов. Из них же в настоящее время известно только четыре, которые даются законами площадей и живой силы в связи с законом движения центра инерции. В самом деле, все эти три закона имеют место для абсолютного движения рассматриваемой системы точек. Вследствие этого для абсолютного движения мы имеем 10 интегралов. Из них шесть интегралов, выражающих прямолинейность и равномерность движения центра инерции, дают возможность из интегралов площадей и живой силы исключить координаты х, у, г точки т и их производных х^у',^ вследствие чего эти последних четыре интеграла и обращаются в интегралы уравнений (49). Найдем выражения этих интегралов.
Для абсолютного движения мы имеем следующие интегральные уравнения: пп
тх + У тс (х + хс) = axt + а, ту + У т. (у + у,) = р^ + р,
4=14=1(50)
П
mz + 2 т, (z + г,) = ч^ + У,
4=1
( dz dy \ , Д Г. . . d(z + z;), . х d (у 4-у;П
41г-г^4^\(у+м^г--(г+ - ^М1 •
(51)
/ dx dz \ , Д Г, . Xd(x4-xi) , , х d (г-VzA Л _т(г-5—х "ar + S mt (г+г^ —(х + ^ -""dt= °2’
\/4=1 LJ
( dy dx \ Д Г , xd(y4-yA . .. d(x + xz)3 _
m r "dT - y "dF + 5 mi (x + хй - "dt -(z/ + ^ -' -dt ■= Сз-
\/4=1 LJ
J4=14,/
Но если положим
nm + ^ mt = M,
то уравнения (5Э) дадут
nn
Mx = — ^ mcxt + a^ + a, Mg = — 2 m.y; + P^ + P,4=14=1
П
Mz^ — ^ mczc + TiZ + у,i=l
откуда nnn
Mx' = — J] mcx't + alt My' = — ^ тсу\ + Pi, Мг* ^—^ тсг( + Yf.«=1(=1i=i
преобразовывается к видупреобразовывается к видуи, следовательно, уравнение (52) принимает види, следовательно, уравнение (52) принимает вид
преобразовывается к виду
преобразовывается к виду
и, следовательно, уравнение (52) принимает вид
и, следовательно, уравнение (52) принимает вид
Если следующие отсюда выражения для у, z, у* и z' внесем в первое из уравнений (51), то после некоторых преобразований приведем его к виду
ипппп
М^пч (у^ — z^ + 2 mtZi 2 т^ — £ mtyt £ mtzt + 0^ —= MC,,
1=11=11=11=11=1
откуда круговой перестановкой букв х, у, г получаются преобразования и остальных двух уравнений (51).
Далее мы находим п/ п\2
№х'1 + 2Мх' 2 ичх^ +1 У! mtxL | = ар
4=1v=i/
Поэтому в уравнении (52) член
11 п
— тх'2 + -у S т* + ^^
п \211 п 1
^ rntxA +— S т‘х1
Эти уравнения можно привести к несколько иному виду, если заметить, что вообще
(
п. / п\п пп п
X “1)1 S °‘) = 2 S и<°« = S S и№ =
1=1 / V=1 )1=1 /=11=1 ;=1
| п пп
=т2 2 (“^+и^ = S (“«°/+“w) + S w-4=1 /=14,/4=1
Таким образом, мы найдем
£ mi 2 mi <У1Ч — гш^ = £ "W ^iz'i + Uizi ~ ziUt — zi«i> + S mt кУ1Ч — ZiZ/) 4=11=1I,/4=1
^ m^ ^ тх,у\ — ^ mtyt ^ m^ = ^^у] + ^ • — y^ — y^ —
4=11=14=11=1t,/
— S mZ (^z£ —Z^z)1=1
-и, следовательно,
55 mi (yiz'i— ziy'i) + X miziSmiVi ~ Sт‘У{ S m‘z'i =
1=11=11=11=14=14=1
= 5 m‘m' ~ У>) ^zi — Z^ - ^t "~ ZA (y'i — y'j)Y
Точно так же найдем
П П 2 / П V
S mi S m*xi — S т*хИ = X т,т/(х'— Ху)2.
4=14=1\4 = 1/4,/
1-следствие всего этого искомые интегралы уравнений (49) принимают вид
m 2 mi (У*г1— г*У1) + S m*”4 toi — У0 kzt — z') — (z,- — z0 (у'£ — у';П = A, 4=14,/
т ^ mt ^ — х^ + V m(mj [(zi — z/) (xz — x'.) — (xz — x/) (zz — z'.)] = B, 1=1I,/
m V mz (xzy'- — y^) + £ mzm/ [(xz — x/) ^yt — y.) — ^yt — у ft (x'. — xj) = C, m у mz (x^ + y^ + z ;) + у пцпц [(xz — x'^ + (^ — y'-)2 + (z'. — z'j)4 — 1=1Ц
\*^ ч *4 to 1
где Л, В, С и H — постоянные.
Случай, когда n = 2 представляет так называемую задачу о трех телах. В этом случае система уравнений (49) двенадцатого порядка и, следовательно, при помощи этих четырех интегралов может быть понижена до восьмого порядка. Но даже и в более простом случае, когда предполагается, что все три точки во все время движения остаются в одной и той же плоскости и когда порядок системы дифференциальных уравнений может быть понижен до шестого, задача о трех телах не может быть решена точно при настоящих средствах анализа. Для этого последнего случая могут быть найдены только некоторые частные решения.
Когда массы тъ m2t ...» тп весьма малы в сравнении с массой т, что и имеет место, если точки тх, т2, ..., тп — планеты, а т— Солнце, то дифференциальные уравнения (49) могут быть проинтегрированы приближенно при помощи способа изменения произвольных постоянных. Так как этот способ имеет весьма важное значение, то мы и изложим здесь его основания. Входить же в подробности приложения его к уравнениям (49) мы не будем, так как это относится к области небесной механики.
_,
Если в уравнениях (49) отбросить члены -5—, -—, -т—, то они обратятся в дифференци- OXi оу t OZi
альные уравнения относительного движения точки т^ по отношению к точке т в предположении, что остальные точки системы, за исключением точки т на точку т^ не действуют. Но формула (48) показывает, что все члены Q/ имеют множителями величины тх, т2тп. Поэтому если массы тх, т2, ..., тп весьма малы в сравнении с массой т, то мы таким образом во вторых частях уравнений (49) отбрасываем члены, которые могут быть рассмотрены, как весьма малые в сравнении с оставленными:
JmJ-mJx^ (m + mz)yz (m + mz)zz _
Вследствие этого решение уравнений (49) без добавочных членов ^~ и т. д. может быть рассмотрено, как первое приближенное решение вопроса о движении нашей системы точек. Это первое приближение дает движение, которое носит название невозмущенного. Когда же принимают в расчет и эти добавочные члены, то получают так называемое возмущенное движение. Вследствие этого функция Qz называется пертурбационной функцией (от perturbation — возмущение). Как видно из ее выражения (48), она зависит от Z и, следовательно, для различных точек системы пертурбационные функции различны.
В рассматриваемом случае невозмущенное движение есть рассмотренное в предыдущем примере движение по коническому сечению. Пусть с^ flt gt, hi, hi, l{ — шесть элементов этого движения для точки mt. Невозмущенное движение будет выражаться уравнениями
xi = ^i ^i СЬ ft» gb ^[у kiy 1$, yi — ^i^t» Cb fb gi» hi, hi, Ц)>
2i = ^i(ty Ci, fi, gi, hi, hi, li) (t = 1, 2, . . . , ny(50')
Величины Ci, ft, gi и т. д. для этого движения есть произвольные постоянные. Но если рассматривать их, как некоторые функции времени, то, очевидно, можно предположить, что выражения (50') для Xi, yt, Zi справедливы и для возмущенного движения. Для этого новые функции времени ct, fi, gi и т. д. должны быть только определены так, чтобы эти выражения удовлетворяли уравнениям (49). Понятно, что это всегда может быть сделано и что при том задача об определе- нии_этих функций неопределенна. В самом деле, всех уравнений (49) Зп, а всех функций сь fi, gi и т. д., которые должны им удовлетворить, 6п. Вследствие этого между этими функциями, их производными и временем t можно ввести совершенно произвольно Зи уравнений, не противоречащих остальным. Обыкновенно эти Зп уравнений выбираются таким образом, чтобы первые производные хь yi, Zi по t выражались теми же самыми функциями t, ct, fi, gt и т. д., какими они выражаются в них для невозмущенного движения, когда с^, ft, gi и т. д. рассматриваются как постоянные.
Рассматривая в уравнениях (50') ct, ft» gL и т. д., как некоторые функции времени, диффе* ренцированием их, находим
dxtdXi, dX£dc{, dX(dfi,dX(dlt
dtdt detdt dfidtdltdt '
dy;дф£дф;dct^zdfj^jdlj
dtdtdqdtdfidtdltdt *
dZi _ ^ф/ , d^i dci дфг dfi .. дф; dli
дХ{ приводятся к ,dt dx: производные ,dtи в невозмущенном,дХ{ приводятся к ,dt dx: производные ,dtи в невозмущенном,dt ” dt dct dt dfi dtdli dt
дХ{ приводятся к ,
dt dx: производные ,
dt
и в невозмущенном,
дХ{ приводятся к ,
dt dx: производные ,
dt
и в невозмущенном,
Но для невозмущенного движения вторые части этих равенств
дф;^Ф;г-,-
—— , . Поэтому для того, чтобы и в возмущенном движении
dtdt
dyidZ(
, выражались теми же функциями г, Ci, fi и т. д., как dtdt
функции с^ fi, gi и т. д. должны удовлетворять следующим уравнениям:
dXj dcj dXj dCi dt ' dfidXj dcj dXj dCi dt ' dfid^i dli dli dtd^i dli dli dtdfi ,. dXi dl{ _ 0^ф1 dct дфГ dfi ,
dXj dcj dXj dCi dt ' dfi
dXj dcj dXj dCi dt ' dfi
d^i dli dli dt
d^i dli dli dt
dt f f dh dt ’ dc( dt dfi dt
,n>,n>d^j dcj дфг dfj. дфг dlj
,n>
,n>
dct dt dfi dtdli dt
(5Г)
Эти уравнения, которых всего будет Зп, вместе с Зп уравнениями, получаемыми из уравнений (49) заменой в них xb уь zt выражениями (50'), и послужат для определения 6л новых неизвестных функций cb fi, gi и т. д.
Таким образом, излагаемый способ изменения произвольных постоянных приводится к разысканию для каждой точки т£ такого переменного конического сечения, фокус которого находился бы в точке т и которое касалось бы (относительной) траектории точки пц в том месте, в котором эта точка находится в рассматриваемый момент времени.
Перейдем теперь к преобразованию уравнений (49) при помощи подстановки (50').
М—— функций Xi, ф1 и ф, по t обозначим dtМ—— функций Xi, ф1 и ф, по t обозначим dtdltd^t
М
—— функций Xi, ф1 и ф, по t обозначим dt
М
—— функций Xi, ф1 и ф, по t обозначим dt
Если частные производные —-— ,
dtdt
через Хр фр фр то система уравнений (50') и (5Г) будет равносильна системе (50') и (52').
х\ = X. (Z, сь fi/(), yt = ф, (Z, ct, fi, . .. , li), z'i = ф- (Z, ct, fi, ... , li)
(< = 1,2n).(52')
Положим теперь, что система шести уравнений (50') и (52') (при фиксированном I) решена относительно шести величин ct, fi, ..., li, так что
Ci = Ci(ixi, Vi, z(, х'(, уь z'(, t), fi = Fi(Xi, yt, Zt, x^, yif zt, Z),
gi = Gikxi, Ui. z(, х'(, y\, z't, f)Ц = Li (х(, yu zb x'i, y\, zb Z).(53)
Эти выражения для Ci, fi и т. д. в функциях х^ yt и т. д., очевидно, те же самые, как и в невозмущенном движении. Но для последнего ct, fi и т. д. есть постоянные и уравнения (53) представляют систему интегралов дифференциальных уравнений. Для возмущенного же движения^ это только формулы, определяющие новые функции с^ ft и т. д.
Если мы положим для сокращения
. т + rrij _
то дифференциальные уравнения невозмущенного движения для точки mi могут быть представлены в виде шести уравнений первого порядка
dxi > dyt ... dZi 4 dx'i dUi dy'i dU( dz't dU.
dt ~ b dt Уь dt b dt dxt 1 dt dy£ ’ dt — dzt ’ 1 ’
и потому в силу только что замеченного относительно выражений (53) мы будем иметь шесть следующих тождеств
MLa. MLy.a- Ml ,;. j_ Ml 7. I 9ctdUi I 64dUiI 9cidU{- 0
dt "^ dxt 1 + dyt 1 "^ dz£ 1 "*" дх;dxt + Qy.dy£"^ gz£dz£ *
(55)
dlt, dlt■dl£ -dl£-dl£dU£ dltdU£dl£dU£
dt dx£ldy£ Utдг£1axtdx£‘r аУ(ду£a^dz£ ’
выражающих, что (53) есть интегралы дифференциальных уравнений (54).
Поэтому для возмущенного движения, дифференциальные уравнения которого получа
ются из (54) заменой U£ через U£ — Qt, мы находим
dC( _ dct d^i det d^t dc£ д^
"dT — — 17"dxi "dy^ dy"i dz( dz? ’
(56)
dljdli dQ^dl£ dQ£dl£ dQ£ . 19 n\ dt ~ dx'( dxi ayt dyt azt dzt 1 b
Ho Q, есть известная функция координат. Если последние заменить в ней их выражениями (50'), то она обратится в известную функцию 6n + 1 величину, ft, .... lt, с2, /2, к> ст fm ..., 1пи I. Предполагая, что это действительно сделано, и замечая, что С/, // и т. д. не зависят от хь ур Zp если i не равно / (формула (53)), мы найдем
dQt- dQt- дс( d^j dft * д^ dlt дх£ " дс( дх( "• df£ дх[ ++ ^^х. >
д^ dQ£ dc£ ,, dQ£ dl£ д&£ dQ,- dc£ ,, dQf dl£
ду£ "" dc£ ду£dlt dyt ’ dz£ ~ dc£ dz£ *“ dl£ dz£
(i = 1, 2, ,». , n).
Вследствие этого уравнения (56) принимают вид
det _/Oct dc£ dc£ dcj dc£ dc£ \ dQt-
"di \ 5x7 "dx? + "dy[ "дуГ + 1гL "dz?j dct
_ f 9c‘ -Ml j 9c£ Ml , 9ct 9^ \ ^l _\ dx\ dxi + ayt dy( + dz'( dzi j dft
/ dc£ dl£\ 5x7 ^/ dc£ dl£\ 5x7 ^dc{ dljdcjdyt dytдг\dc{ dljdcjdyt dytдг\5Q;"di”5Q;"di”<ЬТ)<ЬТ)
/ dc£ dl£
\ 5x7 ^
/ dc£ dl£
\ 5x7 ^
dc{ dljdcj
dyt dytдг\
dc{ dljdcj
dyt dytдг\
5Q;
"di”
5Q;
"di”
<ЬТ)
<ЬТ)
dfi dtdfi dtdlt
dfi dt
dfi dt
4~=... (i = l,2n\
d^-t-Гт— и т. д. выражены oild^-t-Гт— и т. д. выражены oilat
d^-t
-Гт— и т. д. выражены oil
d^-t
-Гт— и т. д. выражены oil
dct 'dct 'Таких уравнений будет всего 6п. В них коэффициенты при
dct '
dct '
в функциях хь Ур Zp х() у£, z( и L Если же при помощи уравнений (50') и (52') мы выразим их
в функциях с£, ft и т. д. и I, то вторые части уравнений (57) обратятся в известные функции 6п + + 1 величин съ ft и т. д. и I. Таким образом, уравнения (57) будут представлять систему 6п дифференциальных уравнений первого порядка, достаточных для определения 6п неизвестных функций сг> fT и т. д. Но это еще не окончательная форма дифференциальных уравнений, определяющих эти функции. Для приведения же их к той окончательной форме, в которой ими обыкновенно пользуются, мы поступим следующим образом.
Замечая, что если в выражение функции Qt- подставить вместо c£l ft и т. д. их выражения (53), то функция Qt- примет выражение (48), которое не зависит от х'{> у^ г£1 мы находим
d^i dl£ dli dx't ’d^i dl£ dli dx't ’d^t dc£ d^t dft dcT d^7+ dft "a^
d^i dl£ dli dx't ’
d^i dl£ dli dx't ’
dfi; dct . дЙ, dft , ЭЙ, dlt n
9е idiii ®ti dyldli Qy, '
ЭЙг dcf айг ЭЛ ,, dQj dlt n
dcj dxidcj dxidct dci-т—, затем складывая dyi д2(dct dci-т—, затем складывая dyi д2(dec дг( 9ft ^ "г" ”■ dlt дг.
dcj dxi
dcj dxi
dct dci
-т—, затем складывая dyi д2(
dct dci
-т—, затем складывая dyi д2(
Умножая первые части этих равенств соответственно на
результаты и прибавляя полученную сумму (которая будет равна нулю) ко второй части того
dci
из уравнений (57), в которое входит -^-, получим
dct _ / dct dftdct dftdi ( dxi gXfgx. dxidct _ / dct dftdct dftdi ( dxi gXfgx. dxidct dftdct dfj6yi duidy'i 9ytdct dftdct dfj6yi duidy'i 9yt■dctdfi dcjdfi \дй(-
dct _ / dct dftdct dft
di ( dxi gXfgx. dxi
dct _ / dct dftdct dft
di ( dxi gXfgx. dxi
dct dftdct dfj
6yi duidy'i 9yt
dct dftdct dfj
6yi duidy'i 9yt
Ф9zidztdz't9zt уdfi +
dgi 9<dgi 9<dct dgt dx'i 9xidct dgt dx'i 9xidct dgidct dgidyi dy'jdy'i dyidct dgidct dgidyi dy'jdy'i dyidct dgtdct dgi \ dil(dzi dztdzt dzi ) dgt "1"dct dgtdct dgi \ dil(dzi dztdzt dzi ) dgt "1"dl£dx'[dl£dx'[dct dlt . dct dltdx'i dx‘ "^ dyi dy'idct dlt . dct dltdx'i dx‘ "^ dyi dy'idci dlt"Оу^dci dlt"Оу^dci дЦdct dli \ dQfdzt dztdz't dzi ) dlidci дЦdct dli \ dQfdzt dztdz't dzi ) dli
dgi 9<
dgi 9<
dct dgt dx'i 9xi
dct dgt dx'i 9xi
dct dgidct dgi
dyi dy'jdy'i dyi
dct dgidct dgi
dyi dy'jdy'i dyi
dct dgtdct dgi \ dil(
dzi dztdzt dzi ) dgt "1"
dct dgtdct dgi \ dil(
dzi dztdzt dzi ) dgt "1"
dl£dx'[
dl£dx'[
dct dlt . dct dltdx'i dx‘ "^ dyi dy'i
dct dlt . dct dltdx'i dx‘ "^ dyi dy'i
dci dlt"Оу^
dci dlt"Оу^
dci дЦdct dli \ dQf
dzt dztdz't dzi ) dli
dci дЦdct dli \ dQf
dzt dztdz't dzi ) dli
(i = 1, 2n).
Поступая таким же образом и с остальными уравнениями (57) и полагая для сокращения * dc{dft_ dctdft. dctdfj_ dctdfjdctdft_ dctdfj =
dx'i&Xi ^Xt^x'i ®®'i^^ ^ytdy{dzt9zt dziдг.
(58) мы получим следующую систему 6л дифференциальных уравнений
-$- = <»й^г + <а.М^-++#,.М^.(59)
- <с- УЫ -^ + ''' + №■ О -§- К - 1. 2«).
в которых Уь ct), (gi, с^ и т. д. предполагаются выраженными в функциях cb ft и т. д. при помощи уравнений (50') и (52'). В этой форме дифференциальные уравнения, определяющие переменные элементы cb ft и т. д., и были даны Лагранжем и Лапласом.
Уравнения (59), по-видимому, сложнее уравнений (57), но они имеют перед последними одно важное преимущество, благодаря которому дифференциальные уравнения возмущенного движения и приводятся всегда к виду (59). Преимущество это состоит в том важном свойстве выражений yb ft), по которому они оказываются не зависящими явным образом от времени: подставляя в них вместо xb yi, zb xb yb z^ их выражения (50') и (52'), мы найдем, что Уь /У
обратятся в некоторые функции только шести величин cb fb gb ht, kt и lb время же t в них вхо- дить не будет. Коэффициенты же при -^—, -^т~ и т. д. в уравнениях (57) при этой подстанов- Oft
ке обратятся вообще в функции с,, Л, gt, hb kb /,• и t.
Чтобы доказать это свойство выражений fo, А) достаточно показать, что производная от (cb h) по ^, если при дифференцировании cb fi, ..., Ь рассматривать, как постоянные, равна нулю. Понимая под ^- ™ производную, взятую именно в этом смысле, найдем
Iеi* fi)dtIеi* fi)dtdfjddcjdcjddfjdec ddfjdfjddcj
Iеi* fi)dt
Iеi* fi)dt
dxidtdxtdxidtdx^dx\dtdxidx\dtдх( +
* Так что (^, ff) = — Уь Ci)..
Далее, если Сь fb ..., 4 рассматриваются, как постоянные, то выражения (50') для хь уи
Zi и (52') для хр уь г^ удовлетворяют уравнениям (54). Вследствие этого находим
ddet_ d^ctd2ct ^ d2ct', _d^i_ £■ ^ctdUtd2ct
dtdxt dx^dtdx'jdxi 1dxidyt1 dx^dzi 1 ax£dxidx^yt
dUt 1 №ct dUjdVi dx^z£ 9zt
ddetd2C( d^j.d2ct .. d2C(, d2ctdUt
dtdxtdXidt"t" dx?t‘dXidyi 91 dxtdzt1"r dxtdx£9x{ "*'
d»ct dUt ^Cj autdxidyt dyidxidzt dZj
Замечая теперь, что равенства (55) имеют место тождественно, если все входящие в них величины выражены в хьуи гь х'^ ур zt и /, мы получим из них снова тождественные равенства, если продифференцируем их частным образом по какой-либо из этих переменных. Таким образом, дифференцируя первое из равенств (55) по xt и замечая, что Ut не зависит от xh найдем
d^Cj. d2ct х d2Cjd2ct г.d2c£dUj d2c(dU{
dx'jdt dXjdxt 1dxidyt1 dx^dzi 1ax^dXtд*^d9t
।З2^dUjdc( _ Q
dx'idz,dztdxt '
Дифференцируя же первое из равенств (55) по хь получим
d^Cj d2ct- . d^ct .d^ct .d2ctdUt d2ctdUt
dxidt+ ax^ X‘dxidyt 9£ +dxidzt Z£ах^х£dx,+ дх^у£dyt +
d2ct dU£dct d»U{ da d»Ujdad4Jt=
+ dxidzt dzt + axt dx^+ dy( dxtdyt +az(dxidzt~*
d dci d dci
Всилу этих равенств полученныевыше выражениядля— и—тг——
dtq^ .
принимают теперь следующий вид:
d дс(_ dci d dcj дс^d^Uiдс^dWidc^d2Uj
"dF dxt dx?~dF dxt^7ax]"dy?9х(ду{a^.dxtdzt ‘
Таким образом, мы находим
dtjddcjdciddfj
dX(dtqx.dx{dt5X.
и
dctddfjdfjddcj_ / df(dctd^dcj \ d^Uj( d^dcj
^xdtdxidxdtdxi I dx.dy,dy,dx, ) (^dy;I dx,dz,
dfj dct \ d^Ujdzt dxt ) dxidzt
Делая здесь круговые перестановки букв xt, у^ zt и xt1 у\, zt и складывая результаты, мы и получим равенство
dt ’
которое требовалось доказать.
Рассматриваемое свойство выражений (с^ fu было замечено еще Лагранжем. Затем в более общей форме его доказал Пуассон, вследствие чего выражения вида (58) и носят название
пуассоновых скобок, а теорема о независимости их от времени — теоремы Пуассона. Но Пуассон ограничился только приложениями этой теоремы в теории возмущений и, по-ви- димому, не заметил ее настоящего важного значения. Последнее было сделано Якоби и только много лет спустя после открытия Пуассона. Настоящее значение этой теоремы состоит в том, что если нам известны два интеграла дифференциальных уравнений механики (эти интегралы должны удовлетворять некоторым условиям, о которых мы теперь говорить не будем; точно так же и дифференциальные уравнения должны быть известного типа), то простым дифференцированием могут быть составлены по ним и другие интегралы. В самом деле, для невозмущенного движения, когда сь ft, ..., // есть постоянные, в силу доказанного выше и выражения (сь fi) будут постоянными, так что выражение fo, fi), составленное путем дифференцирования из выражений двух интегралов невозмущенного движения
Ci = ct (Xi, Уь zit х\, y\, zt, t), ti = Ft (Xi, y(, Zi, x'l, yt, zt, t),
дает уравнение
to, h) = Y (xt, yt, zt, xt, yt, zt, 0,(60)
представляющее вообще новый интеграл дифференциальных уравнений невозмущенного движения. В частном случае to, //) может быть функцией от ct и fb так что таким путем получится интеграл, представляющий следствие двух предыдущих. Могут быть также случаи, когда (ct, fi) тождественно обращается в постоянное, и, следовательно, вовсе не дает интеграла. Истолкованная в этом новом смысле теорема Пуассона называется теоремой Якоби.
Возвращаемся теперь к нашей задаче.
В силу только что доказанного, если во вторую часть равенства (60) вместо хь уь zb х\ уь г{ подставить их выражения (50') и (52'), то она обратится в функцию от cb fb ..., lb не содержащую t. Поэтому вместо этой подстановки получится такой же результат, как и после подстановки в функцию
Ф ^ь bi, cb ab bb cb t0)
вместо Qi, bi, Ci, ab bb ct выражений
СЦ ~ %t (^0» cb fb • • • » k)» bi = ф^ (/0, Ci, fiIf), C( = ф( (/0, Ci, fi, , . . , If),
O-i — ^t- to» ^6 ft^t)» ^i = Ф/ to» ^t, tik)» Ci ™ Ф; to» Ci, fili), (61)
где t0 есть какая-либо данная постоянная величина (например, нуль) и at, bb сь ab bt, а — начальные значения xb yb zb xb yb zt для невозмущенного движения. Отсюда видно, что при составлении выражения ^i, fi) можно пользоваться формулой
. = дссdfj__ дс(dfjдс(dfj__ dctdftdcjdf(_ dc£dft ,
datda£ dotdd.ay.dbi dbtдЬ(ac£dct dctdc£
в которой сначала с£ и fi рассматриваются, как функции ab bi, сь аь Ьь сь получаемые из функций (53) заменой t через /0, х£ через at, у£ через Ь£ и т. д. и затем ab bt, ct, db bb с{ исключаются при помощи формул (61).
Так как с£, ft и т. д. есть совершенно произвольно выбранные элементы невозмущенного движения точки ть то мы можем под ними подразумевать и сами величины ab bb ct, db bb cb которые также играют роль шести произвольных постоянных невозмущенного движения точки. Но если положим ct = ab f£ = bt, g£ = с£, hi = db k£ = b( и It = cb то формулы, подобные (62), дадут
to, h) = о, (сь gi) = o, (ct, hi) = -\, (ct, ki) = o, (cb ij) = o,
to, gi) = 0, to, hi) = 0, (h, ki) = -1, (fi, lc) = 0, (gt, hi) = o,
(gi, ki) = 0, (gb Ц) = - 1, (hi, ki) = 0, (hi, 1() = 0, (ki, k) = o,
а потому дифференциальные уравнения (59) возмущенного движения примут вид [21]
da£
dbi _
dct
d^i
dt
dd(
dt
dbt
dt "
da
da£
д^£
db’i _
d^i
dct
-(i = 1, 2, . .
. , n).
(63)
di ~~
da£ *
dt
db£ ’
dt
dc’i
Таким образом, мы видим, что дифференциальные уравнения возмущенного движения принимают весьма простой вид, если за величины, играющие роль произвольных постоянных в невозмущенном движении, принять начальные значения координат и их первых производных. Вообще существует целый класс произвольных постоянных, обладающих тем свойством, что для них коэффициенты уравнений возмущенного движения приводятся к типу уравнений (63).
Дифференциальные уравнения (59) или (63) есть ничто иное, как преобразования дифференциальных уравнений (49). Вообще для цели интегрирования этих последних в таком преобразовании очень мало пользы. Но в случае, представляющемся в небесной механике, а также и во многих случаях, оно весьма важно, как дающее средство для приближенного интегрирования их и это интегрирование основывается на следующих соображениях.
Вследствие того, что массы т^, т^ ..., тп весьма малы по сравнению с массой т, возмущающее действие точек тг, тйтп на движение какой-либо из них т^ может быть рассмотрено, как весьма малое. Вследствие этого величины с^ fi и т. д., которые без этих возмущений оставались бы постоянными, при существовании возмущений претерпевают такие изменения, которые могут быть рассматриваемы, как весьма малые. Поэтому если первое приближение получается, когда Ct, fi и т. д. рассматриваются, как постоянные, то мы получим второе приближение, если проинтегрируем уравнения (59), заменив во вторых частях их cb f{ и т. д. постоянными. При этом вторые части этих уравнений обратятся в известные функции одного времени t и, следовательно, вопрос приведется к квадратурам. Найдя таким образом приближенные выражения для с^ ft и т. д.,мы вносим эти последние во вторые части уравнений (59) и новыми квадратурами находим более точные выражения для с^ ft и т. д., через что получится третье приближение и т. д.
В этом и состоит сущность способа, посредством которого в небесной механике определяется возмущенное движение планет.
Пример 4. Определить движение системы точек, предполагая, что между каждыми двумя точками ее действуют притягивающие или отталкивающие силы, пропорциональные произведению масс точек и расстояния между ними.
Если всех точек п, то движение системы будет определяться Зп дифференциальными уравнениями вида d2x-
-—А- = ± й2 [mi (^ _ х.) _|_ т^ (х2 — xt) + • • • + m„ (х„ — xt)J,
—— = ±№ [«! (у, — у() + m2 (у2 — у,-) + • • • + тп (уп — у.) J,(64)
-—^- = ±fe2[m1(z1—z£)+m2(z2 — z£) + • •• mn(zn — z£)] (< = 1, 2, . . . , л),
где &2 есть постоянный коэффициент (если r^. есть расстояние между точками mi и т/, то сила, действующая между ними, равна к^т^Гц^ и верхний знак относится к случаю притяжения, а нижний — к случаю отталкивания.
При рассматриваемом движении системы центр инерции ее будет двигаться равномерно’ и прямолинейно, так что d4c _ d^yc _ d^c dt^ dt2 dt2 *
Поэтому, полагая по-прежнему
Xi — xc = ^b У^-Ус — Чь z£ — zc=^(i= 1, 2n),
мы получим из дифференциальных уравнений (64) следующие дифференциальные уравнения относительного движения рассматриваемой системы точек по отношению к ее центру инерции:
^- = =F^M^, -^-=T^K]t., ^- = ^kWAi=V 2л),(65)
где М = тТ + т^ + ...+ тп и по-прежнему верхние знаки относятся к случаю притяжения, а нижние — к случаю отталкивания. Эти уравнения показывают, что каждая точка нашей системы движется таким образом, как если бы на нее действовала сила, подчиняющаяся тому же закону пропорциональности массам и расстоянию и исходящая из центра инерции системы, в котором была бы сосредоточена масса всей системы.
Рассматривая сначала случай притяжения, интегрированием уравнений (65) находим
§4 = At cos (к УМ^) + Л'-,sin (к ^Mt), -q, = Bi cos (к ]ЛЙ/) + В^ sin (к У^О,
^i = Ci cos (й VMt) 4- С', sin (к УМА (<=1,2л),(66)
где A£, Bt, Ci, At, B^, C£ — произвольные постоянные. Всех таких постоянных мы введем 6л. Но из них независимых будет конечно только 6л — 6, потому что в силу равенств
2т£^ = 0, 2т£т\£ = 0,= О
между этими постоянными будет существовать шесть уравнений
^т^А^ = ^mtBi = ^т^С^ = ^.пцА^ = ^т^В^ = Тт^ = 0.
Шесть недостающих постоянных пополнится теми шестью, которые входят в интегралы движения центра инерции.
Если за начальный момент времени примем / = 0 и начальные значения gt-, r)t-, ^-, ^ г),, ^ обозначим через ^0, т)(0, ^0, ^0, т)^, £-0, то выражая постоянные Ар В£ и т. д. через эти последние постоянные, приведем уравнения (66) к виду
Bi = ^0 cos (к У Mt) + —^=- sin № VMt), nt- = Т|,о cos (к УMt) + -^- Xку MkyM
X sin (k VMt), & = Cro cos (k УШ) H^_ sin (k У Mt) (i = 1, 2, . . . , n).ку M
Легко убедиться, что траектория, которую описывает каждая точка tnt в своем относительном движении по отношению к центру инерции, есть плоская кривая. Уравнение ее плоскости легко получается из уравнений (66) в следующем виде:
At л;
Пг Bi В£^ ct с;
Если плоскость траектории точки mt мы примем временно за плоскость g-q, то траектория ее получится исключением времени из первых двух уравнений (66). Результатом этого исключения будет уравнение
№ - л^а2+(в& - л^)2 = ^ - в^,
принадлежащее эллипсу с центром в центре инерции, если А^ — В^ или, что все равно, если ^^q^ — ^оЛго не Равно нулю. В противном случае, когда, следовательно, начальная скорость точки mt направлена по радиусу-вектору этой точки, проведенному из центра инерции, траектория будет прямой линией, проходящей через центр инерции.
Таким образом, в случае притяжения, пропорционального массам и расстояниям между точками, движение системы будет совершаться так, что все точки системы в своих относительных движениях по отношению к центру инерции будут совершать простые гармонические ко- 2 л
лебания с общим периодом Т =— , причем относительные траектории точек вообще будут
к
эллипсами с общим центром, находящимся в центре инерции системы: в частности, же могут быть и прямыми линиями, проходящими через эту точку. При этом плоскости этих эллипсов (для различных точек вообще различные) будут двигаться в пространстве поступательно равно- номерно и прямолинейно.
В случае отталкивания интегрирование уравнений (65) дает
^ = А£ек^ЧА1е-кУ1й1, iu = В^Ч В^^, ^ = С^ + С'^™ (i =
= 1,2,... п),
откуда видно, что с течением времени точки системы вообще будут беспредельно удаляться от их центра инерции. Точка mt всегда будет оставаться на конечном расстоянии от центра инерции только в том случае, когда A; = Bt = Ct- = 0, т. е. когда начальные данные для нее будут удовлетворять условиям
Вю + к /Л1^о = Т);о + к УМ^ ^tio + k Уми = 0.
Относительная траектория каждой точки т£ будет лежать в плоскости
В; а£ а;
4i Bi B’t
Bi Ci c£
0.
Проекции этой траектории на координатные плоскости т]£, ^ и £т] будут определяться уравнениями
ф^ - С^) (С^ - В^ = фф^ - Сф^№ - л^а (л^- ~ с^ = фф; - а^\(л^ - в^ ф^ - л^а = <м - вф^
и, следовательно, если Ab Bb Ct не пропорциональны А(, В'^ Ct т. е., если начальная относительная скорость точки т^ не направлена по радиусу-вектору, проведенному из центра инерции, относительная траектория ее есть гипербола, центр которой находится в центре инерции системы. В противном случае эта траектория есть прямая линия, проходящая через центр инерции.
Задача 1. Предполагая, что между точками системы существуют такие же взаимодействия, как и в предыдущем примере, исследовать движение этой системы в сопротивляющейся среде, сопротивление которой пропорционально количеству движения движущейся в ней точки (так что если vf есть скорость точки т^ то действующая на нее сила сопротивления среды равна Vm^ и направлена прямо противоположно этой скорости; X2 есть некоторый постоянный коэффициент).
Задача 2. Рассмотреть движение системы точек, предполагая, что кроме сил предыдущей задачи на нее действуют еще притягивающие или отталкивающие силы, исходящие из некоторых неподвижных центров и пропорциональные массам точек и их расстояниям от неподвижных центров.
Задача 3. Показать, что если взаимодействия между точками системы пропорциональны произведениям масс точек и обратно пропорциональны кубам их взаимных расстояний, то кроме десяти интегралов, даваемых законами движения центра инерции, площадей и живой силы, дифференциальные уравнения движения этой системы будут иметь еще следующее интегральное уравнение
§ mi ^ + ^ + г2) = + а + С',
1=1
где С и С' — две новые произвольные постоянные, а А — постоянная уравнения живой силы.
Глава II
ОБЩАЯ ДИНАМИКА НЕСВОБОДНЫХ СИСТЕМ
Система точек называется несвободной, когда она подчинена таким кинематическим условиям, в силу которых точки ее не могут быть приведены в произвольные движения.
Такова, например, неизменяемая система точек. Условия, которым она подчинена, состоят в том, что расстояния между каждыми двумя ее точками должны оставаться неизменными.
Другой пример представляет система точек, известная под названием веревочного многоугольника. Здесь каждая точка (за исключением двух крайних) соединена с двумя другими посредством гибких нерастяжимых нитей и, следовательно, расстояния между каждыми точками не могут превосходить известных пределов.
Кинематические условия, стесняющие свободу движения точек, называются связями. Аналитически они выражаются обыкновенно уравнениями или неравенствами, связывающими координаты точек.
Так, например, если система состоит из двух точек, неизменно связанных между собой, то называя постоянное расстояние между ними через Z, мы выразим связь, которой они подчинены уравнением
(х2 — хгу + (у2 — у^1 + (z2 — zj2 = /2.
Если бы те же точки были связаны между собой гибкой нерастяжимой нитью длины Z, то связь, которой они подчинены, выразилась бы условием
(х2 — хх)2 + (у2 — У1)2 + (z2 — zx)2 < Z2.
Если две рассматриваемые точки служат центрами непроницаемых сферических поверхностей радиусов /?х и R^, то связь, которой они подчинены, выражается условием
(х2 — хх)2 + (у2 — ух)2 + (Z2 — zx)2 > (Rr + R^)2.
Связи, выражаемые равенствами, называются удерживающими, а связи, выражаемые равенствами и неравенствами,— неудерживающими. Так из трех предыдущих примеров в первом точки (х1? уъ 2Х) и (х2, у2, 22) подчинены удерживающей связи, а в двух остальных — неудерживающим связям.
Условия, выражающие неудерживающие связи, мы будем для однообразия всегда приводить к виду
/ (хх, ух, zx, х2, у2, z2, ...) > 0.
Так, из трех предыдущих примеров во втором связь выразится условием /2 — (*2 — Хх)2 — (у2 — ух)2 — (z2 — zx)2 > 0, а в третьем — условием
(х2 — хх)2 + (у2 — ух)2 + (z2 — zx)2 — (Ях + R.^2 > 0.
Веревочный многоугольник представляет пример системы точек, подчиненной неудерживающим связям. Если всех точек в нем п и если длина нити, связывающей точки (хь уь 2t) и (Xi+i, yl+i, 2i+i), есть Ztv+i, то связи в этой системе точек выразятся совокупностью п — 1 следующих условий:
& — (Х2 — хх)2 — (у2 — ух)2 — (z2 — zx)2 > О,
& — (х3 — х2)2 — (у3 — у2)2 — (z3 — z2)2 > О,
/Li^ — (Х„ — Хп-1)2 — (у„ — Уп-1)2 — (Z„ — Z„_1)2 > 0.
Напротив, стержневой многоугольник принадлежит к числу систем точек, подчиненных удерживающим связям. В нем каждая точка соединена неизменным образом с некоторой другой, так что если всех точек в нем п и если l^x есть постоянное расстояние между точками (хь уь z^ и (х,+ь уцл, 2i+i), то связи, которым подчинены его точки, выразятся системой п — 1 уравнений
(х2 — Хх)2 + (У2 — У!)2 + (z2 — zx)2 — Z?2 = о,
(х3 — х2)2 + (Уз — УгУ + (*з — z2)2 — Z23 = о,
(х„ — X -1)2 + (Уп — У»-1)2 + (2п — Zn-1)2 = ZLi,n — 0.
Связи, которым подчинены точки, могут быть постоянными (каковы, например, связи во всех предыдущих примерах), а также и такими, которые изменяются в течение времени. Последнее обстоятельство выразится аналитически в том, что в уравнения или неравенства, связывающие координаты точек, будет входить время t.
Так, например, если система состоит из двух точек, из которых каждая соединена неизменным образом с некоторой точкой, движущейся по оси х равномерно со скоростью а, то связи, которым подчинены эти две точки, выразятся системой двух уравнений, содержащих время t
(^1 — aty + ух + Д — Zf = 0, <хг — aty + ^2 + ^2 — /2 = 0, где /х и /2 — данные постоянные.
Таким образом, если всех точек в системе п, то общий вид аналитического выражения удерживающей связи будет
/ С^ь У^ ^х» ^2> У 2л ^2> • • • > хт уп, znl f) = 0,(67)
а неудерживающей
Ф (^1> Уи ^1 ^г» Уг» ^2> • • • » ^п’ Ут ^т ^ ^^ 6*(68)
Понятно, что при рассмотрении движения какой-либо системы точек, подчиненной между прочими неудерживающей связи, последнюю можно вовсе не принимать в расчет, пока она аналитически выражается неравенством. Только с того момента она может оказывать влияние на движение системы и, следовательно, должна быть принимаема в расчет, когда точки системы приходят в такие положения, при которых аналитическое выражение рассматриваемой связи обращается в равенство. Поэтому относительно неудерживающей связи говорят, что она действует или не действует в зависимости от того, выражается ли она равенством или неравенством.
Всякое движение системы может быть разбито на такие периоды, в течение которых некоторые связи постоянно действуют, другие не действуют. Поэтому задача об определении движения ее распадается на несколько отдельных задач, из которых каждая будет состоять в определении движения для одного из таких периодов.
Вследствие этого, говоря о несвободных системах, в числе которых могут быть и неудерживающие, мы будем предполагать, что последние могут одновременно выражаться равенствами. При этом условии вопрос об определении движения системы п точек, подчиненных к связям * , может быть поставлен только в том случае, когда k не превосходит Зп — 1, потому что если бы к было равно Зп, то из к уравнений связей мы нашли бы все Зп координат, как постоянные или вообще (если в уравнения связей входит время) как определенные функции времени. Вследствие этого мы всегда будем предполагать к ^ Зп — 1.
Когда система п точек подчинена к удерживающим связям, то из Зп координат точек ее произвольными могут быть только Зп — к. Остальные же к координат будут некоторыми функциями этих Зп — к и вообще времени. Поэтому некоторые Зп — к координат могут быть рассматриваемые в этом случае, как независимые переменные, определяющие для каждого данного момента времени положение всей системы. Во многих случаях оказывается удобнее принимать за независимые переменные не некоторые Зп — к из Зп координат хь y^z^ х2 и т. д., а Зп — Иновых величин qlt q^ ..., узп-к, в функциях которых все Зп координат выражаются. При этом функции эти должны быть таковы, чтобы подстановка их вместо хп у^ zlt х2 и т. д. в каждое из к уравнений связей обращала последние в тождества, т. е. в такие равенства, которые имеют место при всяких величинах qlt q^ ..., узп—ь Понятно, что выбор независимых переменных qv q^ и т. д. можно разнообразить до бесконечности.
Пусть, например, из к уравнений связей
Л = 0, /2 = 0, ... , Л = О(69)
мы нашли к величин хп х2, .... хь уг, уг, .... yb zx ,z2Zk-t—j в функциях Зп — к остальных х(+ь х<+2, .... хп, yi+i, у^уп, zh_i_b zk-t_j+i, .... zn и времени t. Положим теперь
= ^+1 (71» Чи • • • , Цап—к» О, • • • > хп = Fn (^lt ^2, ... , q^n—k, t).
Um = Фж (<7i. q^ • • •• q^-ь h, ..., y„ = Ф„ (^b qaq3n-k, t), 2fc—i—m = ^<г—<—/+i (flh q») • • • , q^n—kt t\ ..., 2n = 'Fn ^q^ qa, ... , q3n—k, 0, где FZ|_i, ..., Tn есть Зл— к функций, подчиненных только тому условию, чтобы из только что написанных Зл — к уравнений возможно было определить Зл — к величин qv ..., q^n—k в функциях x/+i, х/+2, ..., zn и времени t. В остальном же функции Рц-л, ..., Тп совершенно произвольны, и выбор их можно разнообразить до бесконечности. Если теперь эти выражения Xi+b х/+2, ...» zn в функциях qx. .... q^n-k и t подставить вместо Xi+b х^+2, ..., гп в выражения хъ х2, ...» Zk—i—^ т0 Для последних получатся выражения в виде функций qx. q^ .... q^n-k. t.
*i = Л ton 92,• • • , q^n-k. t\... , xt =Ft (qx. q^ .... q^n-k. t\
У1 = Ф1 ton q^• • • , q^k, t\... . yj =Ф, lqv q^ .... q^n-k. t\
Zx = ^ (9n q^» • • •» q^n—к» 0» • • •> Zk—i—/ =4^/?—i—/ (91, 9г, • • • , q^n—к»f).
Таким образом, все Зл координат хь х2, ..., гпвыразятся в функцияхЗл ~к
переменных qx, q^ .... q^n-k (и вообще времени 0 и, как легко видеть из способа, которым они были найдены, эти функции будут таковы, что подстановка их вместо хх, х2, .... zn в уравнения (69) обращает последние в тождества.
Вообще Зл— к независимых переменных qx. q^ ..., qsn—k. определяющих для каждого данного момента времени положение системы, называются координатами этой системы точек. Число же этих координат Зл — к называется числом степеней свободы этой системы (перевод английского термина «degree of freedom»).
Для системы п свободных точек число степеней свободы есть Зл и это есть наибольшая величина этого числа. Наименьшая же величина его в силу замеченного выше есть единица и имеет место, когда число уравнений связей только на единицу меньше числа координат всех точек. Этот крайний случай характеризует систему точек с так называемыми полными связями. Вообще число степеней свободы системы л точек может быть произвольным числом из ряда 1, 2, 3, ..., Зл.
В силу того обстоятельства, что координаты точек несвободной системы подчинены известным условиям, скорости и ускорения различных порядков этих точек также будут подчинены некоторым условиям.
Рассмотрим сначала удерживающие связи. Пусть
f C^l, Uv ^Т» *^2, У^' ^2’ • • • , ^т Ут ^т ^) == 9(70)
есть уравнение одной из таких связей. Это уравнение выражает, что во всяком движении, возможность для рассматриваемой системы точек, координаты хх. Уъ •••, гп должны быть такими функциями времени, которые обращали бы это уравнение в тождество. Но если так, то эти функции должны обращать в нуль и все полные производные по t функции /, т. е. должно быть
= 4^-=0ит'д‘
Первое же из этих уравнений дает следующее условие для скоростей
df ' t df - df ', df ' . df - Of ' df
(71)
Второе дает условие для ускорений
df " df " df ". df " df " . df "
”5— У\ H—5— 2i -|~ • • • + “л— ^п 4—5— Уп 4—5— ^7i 4* дхх 1 ' dyx 1 dzx к 1* dxtt п 1 dyn у dzn
п Пп п
п п п
+^^+^‘+^+^=°- <72)
Точно так же из следующих уравнений получатся подобные же условия для ускорений высших порядков. Но составлять их мы не будем, так как в них не представится надобности.
Рассмотрим теперь неудерживающую связь. Пусть
/ (*1, Ун zn . .. , хт ут zn) f)>0(73)
есть ее аналитическое выражение. Обозначим временно через F (/) ту функцию времени, в которую обращается / (хх, уъ ..., zn. f) после подстановки в нее вместо хъ ух. .... zn тех функций времени, которыми координаты выражаются в каком-либо движении, возможном для нашей системы точек. Эта функция будет, следовательно, такова, что для всякого / будет удовлетворять условию F (/) > 0, так что мы будем также иметь F (/ + т) ^ 0, где т есть какое-либо приращение времени. Но если функция F (t) в промежутке от t до t + т вместе со своими двумя первыми производными по / непрерывна, то последнее условие приведется к виду
F(O + TF'(o + ^-Fffa + ^)>o,<74)
где У — некоторая положительная правильная дробь.
Если F (/) > 0, то из (74), конечно, не может быть получено никаких условий для F' (/) и F" (/). Но если F ^) = 0, то условие (74) приводится к
F' ^^^-ЕЧ1-У^>^,F' ^^^-ЕЧ1-У^>^,(75)(75)
F' ^^^-ЕЧ1-У^>^,
F' ^^^-ЕЧ1-У^>^,
(75)
(75)
и это будет справедливо, как бы т мало ни было, а потому необходимо будет F’ (/) > 0. Если это последнее условие удовлетворяется со знаком неравенства, то условие (75) ничего не дает для F” (t). Если же оно удовлетворяется со знаком равенства, то (75) обращается в F" (/ + Ут) ^ 0 для всякого достаточно малого т и, следовательно, будет F" (/) ^ 0.
Таким образом, если в каком-либо движении рассматриваемой системы, допускаемом связями, координаты хъ ух. гг. .... хп. уп, гп в момент времени / удовлетворяют условию (73) одной из неудерживающих связей со знаком неравенства, то эта связь в этот момент времени не подчиняет скорости и ускорения никакому условию. Если же координаты удовлетворяют условию (73) со знаком равенства, то для скоростей получается условие ~-д-*> 0, где -~’ написанное в развитой форме, представляет первую часть равенства (72).
Из сказанного очевидно, что если система подчинена к удерживающим и неудерживающим связям, то число условий, которым подчинены скорости, а также и число условий, которым подчинены ускорения, вообще меньше к, но никогда не может превосходить к. Если же движение рассматривается только в течение известного промежутка времени, когда все рассматриваемые неудерживающие связи выражаются равенствами и если при том это движение
совершается непрерывным образом, то в течение всего этого промежутка времени (периода движения) скорости будут удовлетворять к уравнениям вида (71), а ускорения —к уравнениям вида (72).
Так как к всегда меньше числа всех координат Зп, то для каждого данного момента времени можно вообразить бесчисленное множество различных положений системы, в которых координаты точек ее удовлетворяли бы к условиям вида (70) или (73), выражающим связи этой системы. Точно так же для каждого из таких положений системы можно вообразить бесчисленное множество различных систем скоростей, удовлетворяющих условиям вида (71) или вида "^ ^ 0 (причем последних должно быть столько, сколько условий неудерживающих связей для рассматриваемого положения системы удовлетворяется со знаком равенства). Наконец, для каждого из таких положений системы и для каждой из таких систем скоростей можно вообразить бесчисленное множество систем ускорений, удовлетворяющих стольким условиям вида -^>0, скольким условиям вида -^-= 0 удовлетворяет эта система скоростей. Вообще, можно найти бесчисленное множество различных движений системы, в которых координаты точек ее не перестают удовлетворять к условиям вида (70) или (73).
Всякие положения системы, скорости и ускорения ее точек и всякие движения ее, удовлетворяющие только что высказанным условиям, носят название возможных.
Исследование различных свойств возможных движений для каждой данной системы точек относится к области кинематики. Разыскание же из бесчисленного множества возможных движений этой системы того определенного, которое она действительно будет иметь в течение известного промежутка времени, находясь под действием данных сил и выходя из данного положения с данными начальными скоростями, и составляет одну из задач динамики. К динамике же относится и задача об определении начальных условий движения для различных периодов, которые определяются тем, что в начале каждого из них некоторые связи перестают действовать, а взамен их начинают действовать другие.
Мы займемся сначала изложением принципов и способов для решения вопросов первого рода. Изложение же способов для решения вопросов второго рода отнесем к особой главе, в которой будет говорить о так называемых мгновенных силах.
Пусть рассматриваемая система п точек подчинена к удерживающим и неудерживающим связям и пусть для всех рассматриваемых движений этой системы все эти связи постоянно выражаются уравнениями
/1 = 0, f2 = 0, ... , fk = 0,(76)
связывающими Зп координат хъ уг и т. д. и заключающими вообще время t.
Вследствие замеченного выше, для всех рассматриваемых движений этой системы скорости будут удовлетворять k уравнениям вида
2(^-x; + ^^ + -B-z:) + -l- = 0 (* = 1,2,(77)
у
а ускорения к — уравнения вида
2№^ + -^: + -£-^)+tfa = 0 (/=1,2, ....,&),(78)
\ U*^uytj
где положено для сокращения
п пп п
dyjdyi У1 dyjdzi у 7 и \ dzidxi 1 dzjdyt ^ ‘ dzjdz; Zl) "**
\ didxt1 dtdy^ у 1 dtdZj, ) 1v '
Пусть по-прежнему mt- есть масса точки (xb уи z^s а Xb Yb Zt — проекции на оси координат системы, приложенной к этой точке.
Вопрос, решением которого мы будем заниматься, может быть поставлен следующим образом:
Для какого-либо данного момента времени t = /0 дано положение системы, в котором координаты точек ее а^Ь^ с1ч а2, b2, с2 и т. д. удовлетворяют к уравнениям (76). Для того же момента / = /0 и для этого положения системы дана система скоростей яь bb ci, й2 и т. д., удовлетворяющих к уравнениям (77). Эти системы координат и скоростей мы будем называть начальными данными. Если все связи, которым подчинена система, удерживающие, то из бесчисленного множества движений, возможных для нашей системы при этих начальных данных, требуется найти то, которое она действительно будет совершать, находясь под действием данных сил ^Xb Yb Z^. Если же в числе связей есть и неудерживающие, то прежде всего требуется узнать, будет ли при этих начальных данных и этих силах действительное движение системы таково, чтобы все неудерживающие связи в течение известного промежутка времени постоянно действовали (то есть, выражались равенствами), и если будет так, то определить это движение, а также определить и тот момент времени, когда прекращается действие, по крайней мере, одной из связей.
Если бы рассматриваемая система точек была свободной, то каждая сила ^Xb Yb Zi} сообщала бы точке ть к которой она приложена, ускорение, проекции которого на оси координат выражались бы величинами -^-Хь —— Yb -^—Zb Но вследствие того, что рассматриваемая система в действительности подчинена связям, эти ускорения могут не быть для нее возможными. В самом деле эти ускорения будут возможными только в том случае, когда силы ^Xb Yb Z^ для удерживающих связей удовлетворяют всем уравнениям вида
п
У — (-^-X. + ^-Yi -V^p-zA-Hhl =0,(80)
т( дх; 1 1 ду£ * 1 dZ( у 11v '
а для неудерживающих — всем условиям вида
пп(81)(81)
п
п
(81)
(81)
Но даже и в том случае, когда силы удовлетворяют всем условиям вида (80) и (81), основные принципы динамики свободных точек недостаточны для того, чтобы из них можно было'бы вывести логическим путем, каковы должны быть ускорения, которыми будут обладать точки нашей несвободной системы в ее движении под действием этих сил.
Рассматривая связи, как условия, препятствующие одному ряду движений системы, и допускающие другой ряд движений ее, конечно, весьма естественно придти к заключению, что если приложенные к системе силы стремятся сообщить ей одно из этих последних движений, названных выше возможными, то они и сообщат его в действительности. Тем не менее, так как это заключение строго логическим путем ниоткуда не может быть выведено, то оно составляет новый принцип, который мы выразим в следующей форме.
Если силы, приложенные к точкам какой-либо системы, таковы, что ускорения, которые они производили бы, если эта система была свободной, возможны (для -того положения и для той системы скоростей, которыми она обладает в рассматриваемый момент времени) и при существовании ее связей, то именно этими ускорениями и будут обладать в рассматриваемый момент времени точки этой системы в ее действительном движении.
На этот принцип, если угодно, можно смотреть, как на динамическое определение связи. В руководствах по динамике он обыкновенно не высказывается в определенной форме, но всегда предполагается и принимается за аксиому.
В силу этого принципа в тех случаях, когда приложенные силы удовлетворяют всем условиям вида (80) и (81) во все время движения, дифференциальные уравнения этого движения будут вида
т^ = Хь т^=¥ь m^-Zi (i = 1, 2, ... , n^
т. e. того же вида, что и для свободных систем.
Таким образом, в этом случае рассматриваемый принцип дает возможность определить движение системы. Мы покажем сейчас, что он достаточен для определения движения и в общем случае, но предварительно сделаем одно замечание.
Когда силы, действующие на какую-либо систему точек, в известный момент времени не производят ускорений, то говорят, что эти силы в этот момент времени уравновешиваются при посредстве связей этой системы. Так, если рассматриваемая система точек, находясь в движении под действием двух систем сил Л и В, в известный момент времени обладает теми же самыми ускорениями, какими она обладала бы при прочих одинаковых условиях (т. е. при тех же связях, в тот же момент времени, в том же положении и при той же системе скоростей), находясь в движении под действием только одной системы сил Л, то мы отсюда заключаем, что система сил В в рассматриваемый момент времени уравновешивается при посредстве связей нашей системы точек.
Условия уравновешивания сил излагаются в статике, причем принимается за аксиому, что уравновешивание сил не зависит ни от того, находится ли система в покое или в движении, ни от того, действуют ли на нее еще и другие силы или не действуют, возможность же его обусловливается единственно только тем положением, которое занимает система в рассматриваемый момент времени, и теми связями, в которые обращаются для этого момента вообще изменяющиеся в течение времени связи системы. Так, если на нашу систему точек, находящуюся в каком-либо движении, действуют две системы сил Л и В, из которых система сил В в известный момент времени уравновешивается, то эта система сил В в этот же момент времени уравновешивалась бы и во всяком другом движении нашей системы точек, в котором она в этот момент проходила бы через то же самое положение, находясь под действием двух систем сил С и В.
Вследствие только что сказанного разыскание условий равновесия сил в статике приводится к разысканию условий, при которых система точек может оставаться в покое, если она подчинена только постоянным связям, или могла бы оставаться в покое, если бы все переменные связи ее, начиная с рассматриваемого момента времени, перестали изменяться.
Возвращаемся к нашей задаче.
Положим, что силы {Xi, Yb Z^, приложенные к точкам системы, которые мы будем называть задаваемыми, какие угодно. Пусть {ХГ, Yi, Z^ есть те силы, которые, действуя на нашу систему, если бы она была свободной, производили бы те же самые ускорения, какими обладают ее точки и в ее действительном движении, когда она, будучи подчинена связям, находится под действием сил {Xz, Yb Z^. На основании высказанного выше принципа мы можем утверждать, что если бы на нашу систему действовали одни только силы {X*, Y*, Z}}, то при тех же начальных данных точки ее обладали бы в каждый момент времени теми же самыми ускорениями, как и в действительном движении. Но в действительном движении наша система точек находится под действием двух систем сил {X*, Y*, Z^ и {Xz— X*, Yt—yz, ZL —Zt*}. Отсюда на основании сделанного выше замечания мы заключаем, что система сил {Xz— X*, Yt— Yu Zt—Z^ в каждый момент времени уравновешивается при посредстве связей нашей системы точек.
Из статики известно, что условия равновесия каких-либо сил, действующих на систему п точек, подчиненную к связям, выражаются Зп — к уравнениями между этими силами и координатами точек, и столькими неравенствами, сколько неудерживающих в числе связей нашей системы.
Таким образом, из условий равновесия системы сил {Xz — X*, Yt — Yu Zt — Z^ мы получим Зп — к уравнений между X?, Уь Z\, Х2 и т. д., Xlt ^D ^п Х2 и т. д., Зп координатами и вообще временем t. Но по определению сил Xt*, У*, Z?
Yi=miV’ Zt = mi-dr 0= 1,2, а потому если силы {Xz, Yb Z^ заданы вообще в функциях координат, скорости и времени, то мы получим таким путем Зп — к дифференциальных уравнений второго порядка. Присоединяя к ним уравнения связей, мы получим число уравнений, достаточное для определения всех Зп неизвестных функций Xi, уг zb х2 и т. д. Так как в числе этих уравнений только Зп — к дифференциальных (и притом второго порядка), а остальные к — конечные, то, как известно, интегрированием этой системы уравнений мы введем 6п — 2к произвольных постоянных, которые и определятся по начальным данным. Что же касается неравенств, которые получаются при существовании неудерживающих связей, то они, как мы увидим далее, будут служить критерием для суждения о возможности при известных начальных данных такого движения, в котором все неудерживающие связи в течение некоторого промежутка времени постоянно выражались бы равенствами.
Таким образом, приведенный выше принцип действительно достаточен для определения движения системы, что мы и имели в виду теперь показать.
Введенные выше силы {X*, Yu Z^ и {Xz— X*, Yt— У*, Z^—Z*} имеют особые названия. Так как каждая сила ^Xb Yb Zt\ есть равнодействующая этих двух сил и так как движение системы определяется только силами (X*, У*, Z*}, то эти силы называются движущими, тогда как силы {X, —X*, Yt — У*, Z{ — Zz} называются потерянными. Заметим еще, что силы {—Xt*, — У/, —Zt*} называются силами инерции. Мы можем, следовательно, сказать, что задаваемые силы суть равнодействующие движущих и потерянных сил, а потерянные силы суть равнодействующие задаваемых сил и сил инерции.
Силы инерции имеют проекциями на оси координат выражения
d^xtd^u;d^z;\
—u = 1, 2, .. . , n).
Результат, к которому мы пришли, может быть теперь выражен в форме следующего положения.
В каждый момент движения системы потерянные силы уравновешиваются, при посредстве связей.
Его выражают иногда также и в следующей форме.
Задаваемые силы и силы инерции в каждый момент движения системы уравновешиваются при посредстве связей.
Это положение и составляет так называемое начало или принцип Даламбера, который его высказал в первый раз в своем «Traete de Dynamique».
Мы теперь покажем, каким образом из этого принципа в связи с началом возможных перемещений действительно могут быть получены все дифференциальные уравнения движения системы.
Начало возможных перемещений, из которого могут быть получены все условия равновесия сил, действующих на какую-либо систему точек, состоит, как известно, в следующем.
Пусть рассматриваемая система п точек подчинена k уравновешивающим и неудерживающим связям. Для уравновешивания сил ^Хь Vb ZJ, приложенных к точкам ее, в одном из тех положений этой системы, для которого все эти связи выражаются равенствами
А = о, к = о, = необходимо и достаточно, чтобы было удовлетворено условие
S (ХД + УМ + ^ХО
1=1
при всяких величинах 6^, 6ylf 5zlt ..., 6xn, 6yn, 6z„, удовлетворяющих для каждой из удерживающих связей уравнению
ф- 6хг + -^- 6^ + ф- 6zi + 11' + Ф~ 6х» + ф- 6уп + ф- 6г„ = О,дхг 1 1 дуг 1 dzx 1 11 дхп п 1 дуп 1 dzn п ’
а для каждой из неудерживающих связей условию
-^-6х1 + ^=-6»,+ -§-&.++^-^.+^-^ + ^&«>0.
Что касается величин 6^, 5уг и т. д., то если связи, которым подчинена система, постоянные, т. е. функции f^ f^ .... fk не зависят явным образом от времени, что и предполагается всегда в статике, эти величины могут быть рассмотрены, как проекции на оси координат бесконечно малых перемещений, получаемых точками системы в каком-либо возможном движении ее. В самом деле, в этом случае = 0, а потому возможные скорости удовлетворяют для удерживающих связей уравнениям
^ ( dxt Xt + dyt У{ + dZi Zt) °’
а для неудерживающих — условиям
~ \ dx(dyt y 1 dZ(’
откуда видно, что в рассматриваемом случае величины xidt, yidt, Zidt удовлетворяют тем же самым условиям, что и величины 6х1Г, 6yb bzb а потому каждая система значений, возможная для одних, возможна и для других;
величины же Xidt, yidt, Zidt — проекции на оси координат перемещения точки fc, Ум zj в каком-либо возможном движении системы. Вследствие только что сказанного величины 6^, 6уг и т. д. и называются в статике возможными перемещениями.
Обращаемся теперь к нашей динамической задаче. В силу начала Даламбера дифференциальные уравнения движения системы под действием сил ^Xb Yb Z^} должны получиться из условий уравновешивания сил
mi dt2 ’"di2" ’ ^l mi dt2 J
в каждый момент времени при посредстве тех постоянных связей, в которые обращаются для этого момента времени связи этой системы.
Отсюда следует, что в каждый момент движения должно быть удовлетворено условие
X [(х, - ГГЦ 6xt + (г, - mt 6yt + ^Zt - mt ^ §2,] < 0 (82) при всяких величинах 6^, 6^ и т. д., удовлетворяющих для каждой из удерживающих связей уравнению
У /А 8хс + -^~8У( +8г<1 = °.(83)-
дхсдус 1 dz^ )
а для каждой из неудерживающих связей — условию
Так как в кинетических вопросах связи вообще могут быть переменными, т. е. функции fTl f^ и т. д. могут содержать явным образом время, то эти величины бл^, 8уг и т. д. уже нельзя рассматривать в сказанном выше значении, как проекции на оси координат возможных перемещений точек системы: последние, например, для удерживающих связей должны удовлетворять уравнениям п
S Н$г dxi +-^~dyi + "$-dz^ +4rdt = 0-
Чтобы показать, какое значение могут иметь эти величины 6^, 6уг и т. д. в рассматриваемом случае, заметим следующее. Рассмотрим какое-либо возможное движение нашей системы точек, в котором все неудерживающие связи постоянно выражались бы равенствами, и затем возьмем какое-либо другое возможное движение ее, в котором неудерживающие связи могут выражаться как равенствами, так и неравенствами, но которое бесконечно мало отличалось бы от первого, так чтобы координаты каждой точки в один и тот же момент времени в обоих движениях бесконечно мало отличались между собой. В таком случае разности этих координат, как нетрудно убедиться, будут удовлетворять тем же самым условиям, каким должны удовлетворять и величины 6^, &У1 и т. д. Последние можно, следовательно, рассматривать, как такие бесконечно малые приращения координат, при посредстве которых мы переходим от первого движения ко второму. Но от первого движения ко второму мы переходим, изменяя бесконечно мало вид тех функций времени, которыми выражались координаты в первом движении. Поэтому, придерживаясь обычной терминологии, величины 6^, 6уг и т. д. можно назвать вариациями координат. Вследствие этого мы и будем эти величины называть возможными вариациями координат, прибавляя слово «возможные» для того, чтобы выразить,.
что при посредстве величин 6^, 6уг и т. д. мы переходим от одного возможного движения к другому, бесконечно близкому, а также и возможному для нашей системы движению.
Все условия вида (83) и (84), которым должны удовлетворять возможные вариации координат, могут быть представлены в виде к уравнений
п
З^Г^.+^-бг/.+^-б^-бЛ <1-1,26),(85)
в которых для всех удерживающих связей нужно полагать 6// = 0, для не- удерживающих же под 8fi нужно подразумевать произвольную положительную величину или нуль, так что для последних 6/z0.
Мы должны теперь выразить, что условие (82) удовлетворено для всяких возможных 6хъ 8ух и т. д., удовлетворяющих k уравнениям вида (85). Но из этих уравнений мы можем определить к из Зп величины бхп 8ух и т. д. в виде линейных функций от остальных Зп — к и от 5^, 6/2 и т. д. Обозначая эти к из величин 6xlt 6^ и т. д. через а,, а2ак, а Зп — к остальных — через Ръ Р2> • ••. Рзп-6, мы будем, следовательно, иметь
ai = Ai >Р1 + Л2 'Р2 + • • • + Азп—»Рзп—к + Bfi^^fx + • • • + Bk^8fk,
(86)
о-к = Л1 ^Pj + Л2 ’Рг + • • • + Лзп—»Рзп—к + В\ '8fx + • • • + В^б/д,
где А^ и Вт1 известные функции координат и времени.
Система уравнений (86) будет равносильна системе уравнений (85), а потому величины Рх, ра, ..., Рз„_к могут быть рассмотрены, как совершенно произвольные величины.
Внося в первую часть условия (82) вместо аъ а2, ..., ае их выражения (86), мы приведем это условие к виду
Р1Р1 +^2^2+ " ■ ' + Рзп—к^Зп—к + Qi^fi + Q26f2 + • • • + Qk8fk ^ 6, (87) где Рх, Р2и т. д., Qx Qa и т. д. будут линейными функциями от
d2x1d2z-id2x«
Xi тх dt2 , Kj mx № , Zx тх № , Ха /п2 ^2 и т. д.,коэффициенты которых будут известными функциями координат и времени.
Условие (87) должно быть удовлетворено при произвольных pif р2, ..., ..., Рзп-* и при всяких возможных 8fx, 8f2, ..., 6Д. Но в числе значений, возможных для последних, есть значения, равные нулю. Если же мы положим в условии (87) 8fx = 8f2 = ... = 8fk = 0, то оно приведется к виду
РiPi 4* Р2Рз + ‘ • • + Рзп—^Рзл—к0,
где ръ Ра и т. д.— произвольные величины. Но при этом этому последнему условию можно удовлетворить только со знаком равенства, и притом полагая
Рх = 0, Ра = 0,, Рзп-к = 0.(88)
Таким образом, условие (87) приводится к следующему:
Qi^A + Q26f2 + ••• + №<0,
а это условие в силу замеченного выше относительно величин 8fx, 8f2 и т. д. требует, чтобы для каждой из неудерживающих связей было удовлетворено условие
Qs^O.(89)
Уравнения (88) и будут искомыми Зп — к дифференциальными уравнениями движения системы. Проинтегрировав эти уравнения, принимая в рас- 352
чет к уравнений связей, и затем, определив введенные интегрированием произвольные постоянные по известным начальным данным, мы найдем и все Qs в функциях времени. В силу условий (89) все эти функции для неудерживающих связей не должны получать положительных значений. Поэтому если бы оказалось, что в известный момент одна из этих функций обращается в нуль, принимая при дальнейшем возрастании времени положительные значения, то это послужило бы признаком, что дальнейшее движение системы невозможно при условии, чтобы все неудерживающие связи постоянно выражались равенствами: мы увидим далее, что в следующем периоде движения та связь будет выражаться неравенством, для которой Qs обратилось в нуль, переходя к положительным значениям.
Изложенный здесь способ вывода дифференциальных уравнений движения из условия (82) приведен только с целью поставить на вид те соображения, которыми приходится при этом всегда руководствоваться. В действительности же он очень редко употребляется, потому что связан с очень многими неудобствами. Кроме того, что в нем дается преимущество некоторым из величин 6хь 6уг и т. д. перед остальными, поэтому нарушается симметричность формул; переход от уравнений (85) к (86), при сколько-нибудь значительном числе координат и связей, требует довольно утомительных выкладок. Кроме этого он приводит к уравнениям, вид которых изменяется с изменением числа условных уравнений, а потому неудобен для каких-либо общих изысканий. Вследствие этого употребляется обыкновенно другой прием, состоящий во введении неопределенных множителей и предложенный Лагранжем, вследствие чего и эти множители носят название Лагранжевых. Состоит он в следующем.
Умножая каждое из уравнений (85) на некоторый пока неопределенный множитель Хь сложим результаты почленно с первой частью условия (82). Таким образом, это условие приведется к виду
пк
2 ^xt + St6yt + Tt^ - S ^,6fz < 0,(90)
1=1Z=1
ГДе кк
p у m ^xi । V X ^ Y m ^i I 1 ^
Ki —- Yt —^1-5^-,
к
Условие (90) должно быть удовлетворено при всяких возможных значениях для &хг, 6уг и т. д. А всякие возможные значения для них могут быть получены, если мы будем давать Зи — к из них рь ра, ..., Рз„-£ произвольные значения, определяя соответствующие значения к остальных аъ а2, ..., а.к по формулам (86). Но, с другой стороны, мы можем распорядиться выбором к множителей X,, %2, ..., Хк (которым мы имеем право приписывать всякие значения) таким образом, чтобы к из величин Rt, St, Tt обратились в нуль. Выберем же эти множители так, чтобы те из величин Rt, S( и т. д. были нулями, которые служат коэффициентами при а1( аа, ..., ак. Тогда условие (90) приведется к виду (87) и мы придем к заключению, что для того, чтобы ему удовлетворить, необходимо приравнять нулю коэффициенты и при ръ р2, ..., Рзп_к. Кроме того, мы получим также для каждой из неудерживающих связей условие
Таким образом, в результате оказывается, что для того, чтобы удовлетворить условию (90) самым обидим образом мы можем приравнять нулю все
Зп величин Rt, Su Tt, после чего для каждой из неудерживающих связей должны поставить условие
Xz>0.(91)
Таким путем мы придем к следующей системе Зп дифференциальных уравнений
w‘ ^дХ( -г ^2 дх. л-дх. ,
"^-У.+Х^ + Х^А- +4^-.(92)
«^-г. + х^ + х^А- +>.»-§- у=1.2„),
которая в связи с к уравнениями связей будет достаточна для определения всех Зп + к входящих в нее неизвестных функций хъ у^ 2Х, хп, уп, гП) %ь %2, ..., Хк. При этом знаки тех функций Х^ которые соответствуют неудерживающим связям, будут служить критерием для суждения о возможности такого движения нашей системы точек, в котором все неудерживающие связи постоянно выражались бы равенствами: во время такого движения эти Xt не должны получать отрицательных значений.
Так как во многих вопросах встречается необходимость иметь выражения для множителей %z в функциях координат, скоростей и времени, то мы теперь и рассмотрим уравнения, определяющие эти множители.
Каждое из уравнений /$ = 0 связей дает, как мы видели, следующее уравнение, которому должны удовлетворять ускорения
Т^Н + Щ - 0.Т^Н + Щ - 0.Если же мы исключим из этого уравнения хь ух, 2ь А и т. д. при помощи уравнений (92), то приведем его к следующему виду:Если же мы исключим из этого уравнения хь ух, 2ь А и т. д. при помощи уравнений (92), то приведем его к следующему виду:АЛ1 + ^4s2^2 + • • • + Ask^k — Bs (s — 1,2,... k),(93)АЛ1 + ^4s2^2 + • • • + Ask^k — Bs (s — 1,2,... k),(93)гдегде21( dfsdh. dhdhdtsdh \t=1mi\ dxidxi dVidVidzidzi ) *21( dfsdh. dhdhdtsdh \t=1mi\ dxidxi dVidVidzidzi ) *(94)(94)Уравнений вида (93) мы получим столько же, сколько имеется уравнений связей, т. е. столько же, сколько в них входит множителей X.Мы теперь покажем, что к уравнений (93) всегда можно предположить разрешимыми относительно к множителей Хк В самом деле, для того, чтобы это было возможно, необходимо и достаточно, чтобы определитель этих уравненийУравнений вида (93) мы получим столько же, сколько имеется уравнений связей, т. е. столько же, сколько в них входит множителей X.Мы теперь покажем, что к уравнений (93) всегда можно предположить разрешимыми относительно к множителей Хк В самом деле, для того, чтобы это было возможно, необходимо и достаточно, чтобы определитель этих уравнений^11^12^21^22^11^12^21^22А\к A^kА\к A^k= А= А^4/г1 ^62 • • • Акк^4/г1 ^62 • • • Аккне обращался в нуль ни тождественно, ни в силу уравнений связей. Мы теперь и покажем, что обращаться в нуль тождественно (т. е. при всяких хъ уъ ... ..., гП) t) он не может, а что если бы он обращался в нуль в силу уравненийне обращался в нуль ни тождественно, ни в силу уравнений связей. Мы теперь и покажем, что обращаться в нуль тождественно (т. е. при всяких хъ уъ ... ..., гП) t) он не может, а что если бы он обращался в нуль в силу уравнений
Т^Н + Щ - 0.
Т^Н + Щ - 0.
Если же мы исключим из этого уравнения хь ух, 2ь А и т. д. при помощи уравнений (92), то приведем его к следующему виду:
Если же мы исключим из этого уравнения хь ух, 2ь А и т. д. при помощи уравнений (92), то приведем его к следующему виду:
АЛ1 + ^4s2^2 + • • • + Ask^k — Bs (s — 1,2,... k),(93)
АЛ1 + ^4s2^2 + • • • + Ask^k — Bs (s — 1,2,... k),(93)
где
где
21( dfsdh. dhdhdtsdh \
t=1mi\ dxidxi dVidVidzidzi ) *
21( dfsdh. dhdhdtsdh \
t=1mi\ dxidxi dVidVidzidzi ) *
(94)
(94)
Уравнений вида (93) мы получим столько же, сколько имеется уравнений связей, т. е. столько же, сколько в них входит множителей X.
Мы теперь покажем, что к уравнений (93) всегда можно предположить разрешимыми относительно к множителей Хк В самом деле, для того, чтобы это было возможно, необходимо и достаточно, чтобы определитель этих уравнений
Уравнений вида (93) мы получим столько же, сколько имеется уравнений связей, т. е. столько же, сколько в них входит множителей X.
Мы теперь покажем, что к уравнений (93) всегда можно предположить разрешимыми относительно к множителей Хк В самом деле, для того, чтобы это было возможно, необходимо и достаточно, чтобы определитель этих уравнений
^11^12
^21^22
^11^12
^21^22
А\к A^k
А\к A^k
= А
= А
^4/г1 ^62 • • • Акк
^4/г1 ^62 • • • Акк
не обращался в нуль ни тождественно, ни в силу уравнений связей. Мы теперь и покажем, что обращаться в нуль тождественно (т. е. при всяких хъ уъ ... ..., гП) t) он не может, а что если бы он обращался в нуль в силу уравнений
не обращался в нуль ни тождественно, ни в силу уравнений связей. Мы теперь и покажем, что обращаться в нуль тождественно (т. е. при всяких хъ уъ ... ..., гП) t) он не может, а что если бы он обращался в нуль в силу уравнений
связей, то последние всегда можно так преобразовать, что для нового вида этих уравнений он уже не будет обращаться в нуль.
Чтобы удобнее было исследовать определитель А, введем вместо Зп координат Зп новых переменных, полагая
УпгхУ1 =УпгхУ1 =£2, Утх гх = £3, /та х2 = £4 и т. д.£2, Утх гх = £3, /та х2 = £4 и т. д.
УпгхУ1 =
УпгхУ1 =
£2, Утх гх = £3, /та х2 = £4 и т. д.
£2, Утх гх = £3, /та х2 = £4 и т. д.
При этом формула (94) обратится в следующую
Зп(SJ-1.26),
и мы найдем
ЗпЗп
V^i^2У^tarfe
S9^9^*"Sд^9^
ЗпЗп
2
^2^2У^2j?k_
1=16^д^•••^д^д^(
у ^/^ у ^ ^2 у d^ dfk
Д d^i ^i £ d^ d^ "• ^ d^ 9^
а этот определитель по теореме Коши приводится к следующему виду:
где 1г, ц, ..., ik — какие-либо различные числа, взятые из ряда 1, 2, ...^ Зп и сумма распространена на всевозможные различные сочетания последних Зп чисел по 6, так что заключает в себе
Отсюда видно, что Л =
= 0 только тогда, когда dfiдГхdfj
<^1д^ ••• d^tk
df2df,df2
dhxd^2d^ife
каждый из определителей
(96)
dtk dlix
Qtkdfk
^*2^fe
членов.
Зп (Зя — 1) ... (Зп — £ + 1)
1 • 2 . . . k
равен нулю. Но это есть функциональный определитель к функций ft, f^ ... ..., fk от к независимых переменных ^,, ^2, ..., ^к и, как известно, он может быть нулем тождественно только тогда, когда между функциями /ъ/2, -**Ль существует зависимость, не заключающая переменных ^, ^2, ..., ^ т. е. только тогда, когда к уравнений
/1-0, /2 = 0, ...,/, = 0(97)
не могут быть решены относительно к величин ^, ^2, ..., ^.
Из сказанного следует, что определитель А тогда только может обращаться в нуль тождественно, когда уравнения (97) не могут быть решены относительно к из 3/1 связываемых ими величин
£ь ?2> • • • » ^зп, (98) какое бы сочетание к из этих величин мы ни взяли для этого. Последнее же может быть только в двух случаях: 1) когда уравнения (97) несовместны, 2) когда некоторые из них являются следствиями остальных. Но ни тот, ни другой из этих случаев невозможен: первый по самому существу дела, а второй — потому, что при решении всякой задачи динамики все условия, представляющие аналитические выражения связей, должны быть с самого же начала приведены к такому виду, чтобы ни одно из них не было следствием остальных.
Если бы определитель А был нулем в силу уравнений (97), то последние всегда можно было бы преобразовать к такому виду, что новый определитель А не был бы нулем. Для этого достаточно, например, решить уравнения (97) относительно некоторых к из Зп величин (98). Положим, что эти уравнения решены например, относительно ^, £2, •••, ^- Вследствие этого уравнения (97) преобразятся в следующие:
£1 — Ф1 = 0, ^2 —Фа = 0, ^6—ф6 = 0,
где Ф1, ф2, •••, Ф* не зависят от ^, ga, .... ^к. Чтобы составить теперь опреде- литель А, мы полагаем
fi = ?i Фх» /2 = ^2 Ф2, tk — ^k — Фь
откуда найдем
= 1- 0
1, д^ и, .
= 0,
dll
д^к
; 0-^_ — 1
df2
= 0,
Но при этом тот из определителей (96), для которого ^ == 1, /2 = 2, ..., ik = к, обращается в единицу и, следовательно, новый определитель А не будет нулем.
Таким образом, мы всегда можем предположить, что уравнения (93) могут быть решены относительно множителей Хк Решая же их, найдем
Ai^12А\л—\ВхЛ1Д+1...А\к
Л21^22^2,^—1S2^.Z-f-l•• •А^к
Ак\Акд... А^д—хВкАк,ц_\...Акк
или, если определители низшего порядка /-го столбца определителя А обозначим через а\и ..., акь так что
А = A\iCL\l + Дг/^2/ 4" е е е 4" Akl^kl»
найдем
Xt = -^- ф^ц + B^i 4- • • • + Вкам) (/ = 1, 2, ..., ку (99)
Таким образом, мы найдем множители Xt в функциях координат, скоростей, времени и проекций сил Хь Уг, Zlf Х2 н к д., а так как последние должны
быть даны в функциях координат, скоростей и времени, то, следовательно, и множители Xt могут быть рассмотрены, как известные функции этих величин.
Внося найденные таким путем выражения множителей Xi во вторые части уравнений (92), мы обратим последние в известные функции координат, скоростей и времени. Таким образом, мы получим для определения координат в функциях времени систему Зп дифференциальных уравнений второго порядка каждое, из которых k будут, конечно, следствиями Зп—k остальных и к условных уравнений (97). Интегрированием этой системы мы и найдем все Зп координат в функциях времени и 6п — 26 произвольных постоянных, определяемых по начальным данным.
Имея выражения множителей Xt в функциях координат, скоростей и времени, мы можем до интегрирования дифференциальных уравнений движения решить вопрос о том, при каких начальных данных наша система точек будет двигаться так, чтобы в течение известного промежутка времени все неудерживающие связи выражались равенствами. Для этого достаточно, чтобы начальные значения всех Хь соответствующих неудерживающим связям, были положительны. Когда это условие удовлетворено, то во время движения все неудерживающие связи будут выражаться равенствами до тех пор, пока один или несколько из множителей Хь соответствующих неудерживающим связям, не обратятся в нуль, переходя затем к отрицательным значениям. Дальнейшее движение при условии, чтобы все неудерживающие связи выражались равенствами, невозможно. В следующем периоде движения непременно одна или несколько связей не будут действовать.
Пример. Система состоит из двух точек, соединенных гибкой нерастяжимой нитью. Предполагая, что точки притягиваются к началу координат силами, пропорциональными массам и расстояниям их от начала координат, определить условия, при которых нить во время движения будет оставаться натянутой.
Если I есть длина нити, то связь, которой подчинены точки, выразится условием
-у- U2 — (*1 — х2)2 — <У1 — УаУ — (zi — zz)2l > О-
В том движении нашей системы точек, в котором эта связь действует, координаты хг> Уъ zi> ^2, У^ z2 должны удовлетворять следующей системе шести дифференциальных уравнений:
тгхх = — т^х^ — X (xj — х2),т2х2 = — ицк^х^ + X (хг — х2),
ПНУХ = ~ m^yt — X (z/j — z/2),т^ = — mj^y^ + X (^ — z/2),(100)
тггх =^ — т^^ — X (% — z2),m2z2 = — т^кЧ^ + X (zx — z2),
где к2 — постоянный коэффициент, входящий в выражение силы. В этом же движении скорости должны удовлетворять уравнению
(*1 — х2) (xj — Х2) + (У1 — у2) (у^ — у^ + (гц — z2) (г', — 22) = 0,(101)
а ускорения — уравнению
(х, — х2) (х, — х^ + (У1 — у2) (у, — у^ + (Zj — z2) (г, — г^ + у2 = 0,(102)
где положено Для сокращения
у2 = (xj — Xg)8 + tof — Уг)2 + (zi — 4)2-
Если теперь из уравнения (102) исключить xv ху у{ и т. д. при помощи уравнений (100), то получится следующее уравнение для определения множителя X:
- Г^ + % (— + — )1 Цх, - х2)8 + (yt - у,)2 + ^-г^Ч + V2 = о
L \ тг тг / J или
(—— 4- —М2 = у2 — кЧЧ(103)
\ Шг пц]
Входящая сюда величина о представляет, очевидно, относительную скорость одной из точек по отношению к другой (т. е. по отношению к системе осей, направления которых остаются неизменными, а начало совпадает с этой последней точкой). В силу (101) эта относительная скорость должна иметь направление, перпендикулярное к прямой, соединяющей точки.
Так как в рассматриваемом движении должно быть % ^ 0, то на основании (101) и (103) мы приходим к следующему заключению.
Для возможности движения наших точек при условии натянутости нити необходимо, чтобы начальная относительная скорость одной из точек по отношению к другой была перпендикулярна к прямой, соединяющей точки, и кроме того, чтобы она была достаточно велика, а именно, она не должна быть меньше kl.
Мы сейчас покажем, что когда высказанное здесь условие удовлетворено, то нить будет оставаться натянутой во все время движения.
Для этого рассмотрим относительное движение точки mt по отношению к точке т2.
Из дифференциальных уравнений (100) находим
„„/ 11 \
^1^2=^2 ^Х1 хг) I ~~I Z I (^1^з)*
\ ^1/
Если же воспользуемся уравнением (103), то приведем только что написанное уравнение к первому из трех следующих:
"" у2„„ и2„„О2-
х, — Х2 = — — (х, — х^, ух—— zY—z2 = — — (zt—z2y
Эти дифференциальные уравнения, очевидно, имеют три следующих интеграла:
(Ух У2) (zi 2г)(212г) (У1У2)= ^v
(21Zg) (Xjх2)(XjХ2) (Zjz2) = C2,(Ю4)
(XjXg) (угy2)(УуУ 2) (^i^2) = ^з»
где Сг, C2 и C3 — постоянные, введенные интегрированием. Возводя эти интегралы в квадрат и результаты складывая почленно, получаем уравнение, приводящееся к виду
[(X! — х2р + (yt — у2^ + (zf — z2)2] [(xt — х')2 + 1у\ — у^ + (zj — z')2] —
— K^i — *2) (x'i — 4) + <У1 — Уг) (4 — У^ + Oi — ?2) (zx — z^2 = Cf + C| + C|
ИЛИ
IV = с2 + С2 + С?у
Это последнее уравнение показывает, что когда наши точки движутся так, что нить остается натянутой, то относительная скорость о одной из них по отношению к другой сохраняет постоянную величину, а формула (103) показывает, что при этом и X сохраняет постоянную величину. Отсюда же и следует, что если начальная величина относительной скорости удовлетворяет высказанному выше условию, то нить будет оставаться натянутой во все время движения. Следует обратить внимание на частный случай, когда начальная относительная скорость г, будучи перпендикулярна к направлению нити, имеет величину, равную kl. В этом случае точки будут двигаться так, как они двигались бы при этой начальной величине г и не будучи связаны нитью.
Для решения вопроса о характере движения рассматриваемых точек при условии натянутости нити1 мы замечаем, что из уравнений (100) легко составить следующие дифференциальные уравнения движения центра инерции этих точек
4 = — ЬЧС, у"с = — кгУс, гс = — 6%.
Отсюда видно, что центр инерции будет описывать эллипс с центром в начале координат, „ ,2л
совершая полный оборот в промежуток времени —— .
Далее, уравнения (104) дают следующее уравнение
£1 (^1*2) + ^2 кУх У^) ^з (212г) == 0»
которое показывает, что относительное движение каждой точки по отношению к другой совершается в плоскости, проходящей через эту вторую точку. Притом ^мы видели, что скорость этого относительного движения постоянна.
Отсюда нетрудно заключить, что в относительном движении по отношению к центру инерции прямая, соединяющая точки, будет равномерно вращаться вокруг центра инерции, описывая при этом плоскость.
До сих пор мы рассматривали множители X только с аналитической точки зрения: сначала — как величины, выбором которых можно было
распорядиться так, чтобы в общем уравнении динамики, представляющем комбинацию начала возможных перемещений с началом Даламбера, исчезли члены с зависимыми вариациями координат и затем — как такие аналитические выражения, по знаку которых можно судить о том, возможно ли такое движение системы, в котором все неудерживающие связи действуют.
Теперь мы покажем, что эти множители имеют также и механическое значение.
Возьмем дифференциальные уравнения движения
m,x; = xt + X, ^ + х2 ^ + .. • + хк ^-,
^=^• + ^ + ^4-+(105)
miz, = Zt + K1-^- + Х2^ + •••
11 dz^ 12 dz{ 11 й dzt
(i = 1, 2, ...» п)
системы точек, подчиненных к связям
fl = о, к = О, ..., fk = 0.
Из этих дифференциальных уравнений видно, что движение такой несвободной системы точек совершается таким же образом, как ©но совершалось бы при тех же начальных данных, если бы система была свободной и если бы кроме сил {Xz, Y^ Zt] на нее действовали еще силы, проекции которых на оси координат следующие:
х.47 + х-^ +
и т. д. Действие этих добавочных сил, следовательно, таково, что они могут заменить собой связи. Вследствие этого эти силы и носят название реакций связей, а имению — реакцией связи /z = 0 на точку mz называется сила, проекции которой на оси координат следующие:
Xt^L, , Xt^-(Юб)
dxt ’1 dyi ’1 dzix '
Таким образом, вводя с самого начала понятие о реакциях связей, можно динамику несвободных систем привести к динамике систем свободных. Так и поступают многие авторы, как, например, Коши, который доказывает не начало возможных перемещений, а непосредственно то, что дифференциальные уравнения движения несвободных систем имеют вид (105).
В том обстоятельстве, что при рассмотрении движения несвободных систем можно связи заменить некоторыми добавочными силами, не заключается, конечно, ничего такого, что требовало бы доказательства или должно было бы быть принято, как некоторый принцип. Такая замена, конечно, всегда возможна, потому что этими добавочными силами всегда можно распорядиться так, чтобы движение системы было такое же, каким оно должно быть при существовании связей. Вводя кроме заданных сил {Xz, ¥ь Zt} еще некоторые силы {Xi, Yb Z^, мы можем последние определить так, что движение свободной системы, определяемое Зя дифференциальными уравнениями вида
^Ч ^Z24“ ^i да * i 4“ ^i да 4”
(i= 1, 2, ..., n^
будет каким угодно. Если, например, эти силы удовлетворяют к уравнениям вида
О - 2 ^- [<№ + *.) + у- + ^> + 5" <S+ z,)l + И
(Z = 1» 2, ..., к\
то во все время движения, определяемого этими дифференциальными уравнениями, будут выполнены условия
^1 = 0, /2 = о, ..., и = о,
если только начальные данные согласуются с этими условиями. Но таким образом мы введем Зп неопределенных величин X, Уъ Zlf Х2 и т. д., связанных к уравнениями. Для окончательного решения вопроса о виде дифференциальных уравнений движения несвободных систем необходимо, следовательно, или найти еще Зп — к уравнений, которым должны удовлетворять добавочные силы (Xb Yb Zt\ или найти для последних выражения, зависящие от к неопределенных величин. Таково именно выражение этих добавочных сил в уравнениях (105).
Коши и доказывает, что каждая связь действует на связываемые ею точки с силами, проекции которых на оси координат определяются выражениями (106).
По предложению Ламе положительная величина
Pi -]/ J +1 dyj + (dztJ
называется дифференциальным параметром первого порядка функции ft (xi> Уъ zi, х2, •••) в точке (хь уь z^. Этот параметр геометрически изображается длиной, проведенной из точки (х£, у£, z^ в направлении, составляющем с координатными осями углы, косинусы которых равны
dh 1 dh 1 dhР^ dxt ’ pV) dy£ ’ pto dz£ "
Направление его, следовательно, таково, что при бесконечно малом перемещении по нему точки (х£, yb z^ функция /, возрастает, а именно, если это бесконечно малое перемещение есть е, а соответствующее приращение функции ft есть A /z, то легко видеть, что
lim-^- = Р^.8-»-0 8
Таким образом, частный вид дифференциальных уравнений (105) есть следствие того положения, что реакции каждой связи на различные точки пропорциональны дифференциальным параметрам первого порядка в этих точках от той функции координат, которая, будучи приравнена нулю, дает уравнение этой связи и что направления этих реакций в случае удерживающих связей одинаковы или прямо противоположны с направлениями этих параметров; в случае же неудерживающих связей — всегда одинаковы (потому, что для таких связей Х1 0).
Приводить доказательство Коши мы не будем (это доказательство можно найти, например, в статике Муаньо). Заметим только, что оно основывается между прочим на следующем допущении: если закрепить все точки, связываемые какой-либо связью, за исключением одной (х£, у(, 2;), то эта связь обратится в условие, что точка (хь уь г^ должна оставаться на некоторой 360
поверхности (в случае неудерживающей связи — что точка может сходить с этой поверхности только в одну сторону); относительно же этой поверхности принимается, что реакция ее на точку (х£, yb z^ направлена по нормали к ней (и при том в случае неудерживающей связи — по известному направлению этой нормали). Но реакция поверхности имеет такое направление только в том случае, когда не принимается в расчет трение, т. е.— только для так называемых идеальных поверхностей. Поэтому и тот случай, обыкновенно рассматриваемый в механике, когда реакции связей определяются выражениями (106), называют иногда случаем идеальных связей.
Мы рассматриваем здесь связи (не прибавляя выражения «идеальные»), только как такие условия, стесняющие свободу движений точек, для которых справедливо то положение, на котором в одном из предыдущих параграфов был основан принцип Даламбера. Вследствие этого мы всегда будем предполагать, что реакции связей определяются выражениями (106). В тех же случаях, когда пришлось бы рассматривать системы точек, при движении которых под действием сил, заданных в функциях координат, скоростей и времени, появляются еще некоторые другие добавочные силы, зависящие от связей (какова, например, сила трения), мы можем эти добавочные силы включить в число задаваемых, вводя таким образом в рассмотрение более сложные случаи задания сил. ^Хь Yb Z^ чем это делали до сих пор: задаваемые силы при этом будут функциями не только от координат, скоростей и времени, но также и от множителей Xz (т. е. от реакций связей).
Везде далее, где ничего не будет сказано о форме задания сил {Х£, Yb Z^ мы будем предполагать их функциями только от координат, скоростей и времени.
Мы закончим изложение принципов динамики несвободных систем доказательством одной теоремы Гаусса, которая представляет непосредственное следствие начала Даламбера (в связи с началом возможных перемещений), но может также и сама служить основным принципом динамики несвободных систем.
Положим, что система точек mx, т2, ..., подчиненная каким-либо связям, движется под действием сил ^Xb Yb Z^. Пусть в какой-либо момент времени t точка, масса которой есть ть проходит в этом движении положение (хь уь z^ со скоростью {х£, yb z'i). Если бы, начиная с этого момента времени связи перестали действовать, то точка т£, выходя из этого положения с этой скоростью и находясь под действием силы {Х£, Yb Z^, пришла бы в конце бесконечно малого времени т в положение, определяемое координатами xt + Doxc> Ui AD», z{ + DoZb где
цл=^+4-4гт2+ •••• Do«/i=^+4-^7T2+
doz£ = z;t + 4--^t2+
В действительном же движении в тот же момент времени t + т эта точка займет положение, определяемое координатами х£ -}-Dxb yt + Dyb zt + Dzi9 где
DXi = x\% + -L xTt2 + ..., Dyt = y'£-t + 4" У?2
Dz£ = z.x + -1- z/r2 + ... .
Расстояние между этими двумя положениями точки mt обозначим через gi9 так что
gt = V ФХ1 — D^ + фу£ — D^ + фг£ — D0Zi)\
Величина gt будет представлять, следовательно, расстояние, на которое связи в действительном движении принуждают точку т,-отклониться оттого положения, которое она заняла бы в момент времени / + т, будучи свободной.
Затем положим, что в каком-либо возможном движении нашей системы точек точка mt, выходя в момент времени / из положения (хь yt, z^ в момент времени t + т приходит в положение <xt + \хь yt + ^yi) zt 4- kz^ и, следовательно, отклоняется от положения точки т^ в момент t + т в свободном движении под действием сил {Л^ Yb Zt} на величину
G, = V (^ - Dox^ + kMi - Doy^ + (A2z - Doz^.
Теорема Гаусса состоит в том, что сумма S т^, распространенная на все точки системы, не больше суммы S т^ и, следовательно, эта теорема может быть выражена таким образом
Движение системы материальных точек, подчиненных каким-либо связям, совершается таким образом, что в каждый момент времени сумма произведений масс точек на квадраты отклонений, получаемых ими в конце следующего бесконечно малого промежутка времени от тех положений, которые они заняли бы, если бы в течение этого промежутка времени были свободны от связей,— эта сумма имеет наименьшую из всех возможных для нее величин.
Примечание. Для точного понимания этой теоремы нужно иметь в виду следующее. Сумма Sm^2 вообще есть бесконечно малая величина четвертого порядка по отношению к т и теорема эта предполагает, что бесконечно малые высших порядков должны быть отбрасываемы, так что величины, разнящиеся на бесконечно малые выше четвертого порядка, рассматриваются в ней, как равные.
Для доказательства мы замечаем, что
^т^ - ^т^ = ^mt [(Дх, - Dx^ + (Ay, - Dy^2 + (Дг, - Dz^A + S, (107) где
S = 22m, [(Dx, — D0Xi) (Ax, — Dx{) + (Dyt — Doy,) (Ay, — Dy^ +
+ (Dzt — DqZ^ (Az, — Dz,)].
Если же мы положим для сокращения
Д^- — Dxt = 6xb kyt — Dyi = 6yb kzt — Dzt = 6zt и воспользуемся приведенными выше выражениями для Dxb Doxt и т. д., то найдем
5 = т22 [(m,x" — X,) бх, + ("г,У • — Y^ 6yt + (т^ — Z^ 62,] 4- ет2, где е — бесконечно малая величина по отношению к сумме.
Далее, если проекции на оси координат какой-либо возможной скорости точки mi для момента / обозначим через ^, Tjt, ^, а проекции на эти оси ее возможного ускорения — через иь оь wt, то найдем
Ах, = ^,т +-^-и,т2 + .... Ду, = т^т + 4~ ^т2 + .
Az, = £,т ++ ...
и, следовательно,
Ах, — D^Xi = %, — х'^ т + -L ^ — 2^ Т2 + ... и т. д.
Отсюда видно, что при доказательстве рассматриваемой теоремы достаточно рассмотреть случай, когда ^, = х,, т], = у,, £, = z,, потому что в про- 362
тивном случае сумма Sm^G? будет бесконечно малой второго порядка по отношению к т. Если же ^ = xi и т. д., то
6Xi =-J-(Ы; — Т2 +6у£ = 4"(у‘" —^')т2+
^ = 4" (wt — Z) Т2 +
причем ет2 будет бесконечно малой выше четвертого порядка.
Поэтому, если положим
6xi=-4(zz, —х:)т2, 6yt Д- (v< — у) т2, 6zt = -L(Wi — z;)t2,
то, отбрасывая бесконечно малые выше четвертого порядка, можем написать S = т22 [(/п£х: — X.) 5х, + (т,г/Г — У() 6yt + (m(z; — Z^ 6zJ.
Но ускорения {Xi, у^ z^ для каждой связи fs = 0 удовлетворяют уравнению
1 дх{ + Эус У1 + dzt Zt) +
Ускорения же {^, иь w^ для каждой связи удовлетворяют условию
5 (-^ ^+4^ +4г- ^) + 1М > °.
\ dxidytdZi 1’
где знак неравенства относится к неудерживающим связям. Отсюда видно, что б*;, 6уи &Zi удовлетворяют условиям
и, следовательно, в силу начала Даламбера 5^0. Вследствие же этого условия формула (107) дает
что и требовалось доказать.
Если равенство (107) умножим на 4т-4 и затем перейдем к пределу для т -> 0, то получим следующее тождество, в справедливости которого нетрудно убедиться и непосредственно
V Г/Xi \2 , /Yi V , /Zi
2/72/ | U[I + V/ —гI ~f“ || —
L\mi \mi \ГП( ) J
— Smt- [xT— Smt- [xT
— Smt- [xT
— Smt- [xT
= Zmt [(u£ — xp2 + (u£ — g'y + <wt — z'^2] +
- 22 [(/n.-xT — X() (ui — x) + Irnty. — ¥4) (vt — у) + ^г". — Zt) (wt — z)).
Это тождество приводит к следующему точному выражению теоремы Гаусса:
Движение системы материальных точек, подчиненных каким-либо связям, совершается таким образом, что из всех систем ускорений {щ, иь w^t возможных для нее, она обладает в каждый момент времени той, для которой
сумма
имеет наименьшее значение.
В этой последней форме эта теорема может служить основным принципом динамики несвободных систем [22].
Вопрос об определении движения системы, подчиненной к связям
Л = о, /2 = о, .... l =
приводится условиями теоремы к разысканию из всех иь vb wb удовлетворяющих к уравнениям
2(^“-+^+-5Н+м=° <’-'•2
таких, для которых выражение (108) есть минимум. Если действительно про- извести*все те действия, которые необходимы для такого определения иь ub w{ и в результате положить и^ xb ut= yb wt= zb то получится условие, представляющее комбинацию начала Даламбера с началом возможных перемещений.
Далее, имея в виду главным образом задачу об определении движения систем, подчиненных данным связям, мы уже не будем говорить о неудерживающих связях, предполагая, что в течение всего рассматриваемого промежутка времени все связи постоянно выражаются уравнениями. При этом исходной точкой нам будет служить общее вариационное уравнение динамики
V,mtxt — Xz) 6х( + (т;уТ— Y^ byt + (m£ 2" — Z£) 6zz] = 0,(109)
1=1
в котором 8xb 8yb 8zi — произвольные величины, удовлетворяющие известным линейным однородным уравнениям.
§ 20. Законы сохранения движения центра инерции, площадей и живой силы для несвободных систем. Связи мы предполагаем вообще изменяющимися в течение времени. Но если они таковы, что те постоянные связи, в которые они обращаются в каждый данный момент времени, допускают поступательное перемещение рассматриваемой системы точек параллельно оси х, то в числе значений, возможных для вариаций 6xb 8уь 8zb будут между прочими следующие:
&q = 6х2 = • • • = 8хп = е, 8уг = 8у^ = • • • = 8уп = 6zx = 6z2 = • • •
. .. =62„ = 0,
где е — произвольная величина. При этих же значениях вариаций уравнение (109) приводится к следующему:
£ (т,х"-Х() = 0.
1=1
Если же введем прежние обозначения, то приведем его к виду
м^- = ^Х, = х.
i=l
Таким образом, при рассматриваемом условии в движении несвободной системы координата хс центра инерции будет удовлетворять тому же дифференциальному уравнению, что и для свободной системы.
Что же касается этого условия, то оно, очевидно, равносильно тому, чтобы для каждой связи было удовлетворено равенство
тНЬ -11=1й> ОВД
или тождественно (т. е. для всяких х1$ уъ гх. ..., хт уп, zni /), или в силу уравнений связей и притом для всякого преобразования этих уравнений. Но легко убедиться, что уравнения связей всегда можно преобразовать к такому виду, для которого последний случай будет невозможен. Для этого стоит только эти уравнения решить относительно некоторых к координат (под к мы всегда понимаем число уравнений связей). Если эти координаты обозначим через ^, g2, ..., ^к, то таким путем получим следующие преобразования уравнений связей:
£1 —Ф1 = 0, Е2 — ф2 = О^ — ф* = 0,(111)
где фь ф2, ..., фй — функции остальных Зп — к координат и времени, не содержащие ^, g2, ..., ^. Полагая же
Л = — Фъ fa = 1а — Фг. • • •. fk = Ik — Фь
легко видеть, что первая часть равенства (НО) не будет зависеть от ^, g2, ••• ..., ^ вследствие чего это равенство не может иметь места в силу уравнений (111), а следовательно, должно иметь место тождество.
Если же равенства вида (НО) являются тождествами, то функции /ь /2, ... ...Лк удовлетворяют следующему дифференциальному уравнению с частными производными
дхг дх2дхп ’
общее решение которого есть
и = Р(х2 — х1, х3 — хгх„ — xv gu у3уп, zv z2zn, t).
Таким образом, необходимым и достаточным условием для того, чтобы те постоянные связи, в которые обращаются для каждого момента времени связи рассматриваемой системы точек, допускали поступательное перемещение ее, параллельное одной из координатных осей, служит то, чтобы координаты, соответствующие этой оси, входили в уравнения связей только в виде разностей.
Если в уравнения связей не только координаты х, но также и координаты у и г входят только в виде разностей, так что каждое из уравнений связей имеет вид
fs(X2—Хь Ха — Хх, . ... Хп — Хх, У^ — Ух, Уз—У1, ...
• • •, Уп — У1, Z2 — zv Zg — Zx, ..., z„ — Z1, 0 = О,
то мы получаем три следующих дифференциальных уравнения
di2 * dt2 ’ di2 *
которые показывают, что в этом случае движение центра инерции несвободной системы точек подчинено тому же закону, что и для свободной системы, т. е. центр инерции движется так, как двигалась бы материальная точка, масса которой равна сумме масс всех точек системы и к которой приложена сила, геометрически равная вектору всех действующих на систему сил.
Таков, например, случай свободной неизменяемой системы точек.
При рассматриваемом условии интегралы, выражающие равномерность движения центра инерции параллельно одной из координатных осей, будут
иметь место в тех же случаях относительно сил (Х^, Y t, Z^ что и для свободных систем.
Положим теперь, что те постоянные связи, в которые обращаются в каждый данный момент времени связи нашей системы точек, таковы, что допускают вращение всей системы вокруг оси х, как неизменяемой системы. При этом в числе значений, возможных для бх^ 6уь 6zt будут между прочими следующие:
бхх = 6х2 = • • • = 6х„ = 0; 6уг = — 21бб-, 6у2 = — 22бУ-, ...,
6уп = — £пб»; 6zx = у^», bz2 = у26», ..., 6zn = уп№, где 6$ — произвольная величина. Для этой же системы значений бх^, 6уи 6zt уравнение (109) дает следующее:
5 mt ^yi — у^ = -^- 5 mt (у^ — zty^ = £ (у^ — г/^.
Таким образом, при рассматриваемом условии для несвободной системы точек уравнение моментов, соответствующее оси х, будет иметь такой же вид, как и для свободной системы.
Условие же это, как нетрудно видеть, аналитически выражается тем, что для каждой связи должно иметь место равенство
уА — 21Ф-+У2^- —2а^++уп= й (112)
91 дгх 1 дух 1 92 dz2 2 дуг 1эп дгп п дуп х '
(s= 1, 2,6)
или тождественно, или в силу уравнений связей и притом для всякого вида, к которому эти уравнения могут быть преобразованы.
Но если вместо переменных yt и zt введем новые rt и 9t, полагая
yt = rt cos 0ь zt = rt sin 0г (i = 1, 2, ..., n),
то приведем условие (112) к виду
> + <+••• +-®7 = ° <s=1’2(113>
Из предыдущего мы знаем, что уравнения связей всегда могут быть преобразованы к такому виду, для которого все условия (113) будут удовлетворены тождественно (для этого стоит только предположить, что уравнения связей решены относительно некоторых к из Зп переменных xb rb 0Z. Поэтому и все равенства (112) мы можем предположить имеющими место тождественно.
Если же все равенства (112) имеют место тождественно, то функции /1» /г, -м fk являются решениями следующего дифференциального уравнения с частными производными
dU dU , dU dU ,, dU dU п
У1 дгг 21 дут 1 ^2 дг2 22 ду2 * * * + дгп 2п дуп “ ’
самое общее решение которого имеет вид
U = F (у\ + 2*, . . . , у2п + z^, угу2 + 2^, у1Уз + 2Х23, . . .
• •, УхУп + ^П» XV ..., xnty
Этот вид функции [/, удовлетворяющей уравнению (114), может быть несколько преобразован. Для этого рассмотрим Зп — 3 следующих функций + У1 + 21 = “ь 4 4- у1 + Z2 = ua, . . . , X2 + У2 + z2 = u„,(П5)
*1*2 + У1Уа + Z1Z2 = V2, ХХХ3 + уху3 + 2Х23 = У3ХХХП + у^у,, + 2х2п = У„,
*2*3 + #2^3 + ЗД = ^3,*2*4 + ^4 + 2224 =
= W4) . . . , Х2Хп + У2Уп + Z^2n = Wn.
х Во-первых, легко убедиться, что каждая из этих функций удовлетворяет уравнению (114), и во-вторых, что между этими функциями и переменными *i, х2 и 2Х не существует зависимости вида
Цих, и^ ..., ит и2, и3, vn, w^ wv .wm хъ х2, zt) = 0, (116) которая обращалась бы в тождество при подстановке вместо uv и21 ..., ит и^ Уз» •••» Ум» ^з» ^4» •••» wn их значений (115). Последнее видно из геометрического значения функций иь Vf и wt. В самом деле, ut — квадрат расстояния точки (хь уь 2^ от начала координат, ■ ?_ — косинус угла составляе-
V ^
мого радиусами-векторами точек (хи уи 2Х) и (хь уь 2^, а —^=коси-
V u2ut
нус угла между радиусами-векторами точек (х21 у2, 22) и (хь уь 2^ и очевидно, что все эти 3/1 — 3 величин могут быть заданы произвольно (по крайней мере между известными пределами) и что при том, когда они заданы, можно еще задать произвольно хъ х2 и 2V
Если же между функциями иь иь wt не существует зависимости вида (116), то уравнения (115) можно решить относительно z3, z4, ..., хп, yv у2, ... ..., Ут 22, 23, ..., 2п и, следовательно, Зп переменных хъ х2, ..., хп, уъ у21 ... ..., Ут 2п 22, ..., 2п можно заменить Зп следующими:
uv и^uv и^ит У2, У3, .. ., У„, W3) w4.ит У2, У3, .. ., У„, W3) w4.wm хъ Х2, 2г.(117)wm хъ Х2, 2г.(117)
uv и^
uv и^
ит У2, У3, .. ., У„, W3) w4.
ит У2, У3, .. ., У„, W3) w4.
wm хъ Х2, 2г.(117)
wm хъ Х2, 2г.(117)
Положим же, что функция U выражена в этих переменных. Тогда, принимая в расчет, что функции ub v^ wt удовлетворяют уравнению (114), мы легко преобразуем его к следующему виду:
означает частную производную от U по 2Ъ взятую в предполо
жении, что U выражено в функции величин (117).
Таким образом, мы приходим к заключению, что общий вид функции, удовлетворяющей уравнению (114), имеет вид
и = Ф(иъ и2, .... ип, Va, О3, . . . , Р„, ПУ3, Wt1 ..., wn, xv х2, О,
где Ф — знак произвольной функции, т. е. U, выраженная в переменных (117), не зависит от 2V
Когда, следовательно, первая часть каждого из уравнений Д = 0 связей имеет такой вид, в движении рассматриваемой несвободной системы будет иметь место уравнение
Рассмотрим теперь, каков должен быть вид уравнений связей для того, чтобы те постоянные связи, в которые обращаются для каждого момента времени связи нашей системы, допускали вращение ее вокруг двух координатных осей: х и у.
По предыдущему для этого необходимо, чтобы уравнения связей могли быть преобразованы, как к виду
Л = 0, /2 = 0, Л = 0,(118)
где /г, ..., fk — функции величин
^1, ^2> • • • > ^т ^2» ^3> * • • > ^т ^3> ^4> • • • » ^пэ *1> *2> ^>(1 Ю)
так и к виду
Ф1 — 0, ср2 = О, Ф^ = О, (120) где фп ..., <р^ — функции величин
^i, ^2, • • • , ^т У2, Уз, • • •, ^ ^3, ^4, • • •, ^т уъ уъ t. (121) Другими словами, уравнения (120) должны быть следствиями уравнений (118) и единственного уравнения
^1^2 + У1У2 + J/^i — Я1 — у? p^2 — ^2 — У2 = V2 (122) между величинами (119) и (121), следующего из уравнений (115). На основании этого легко показать, что уравнения (120) не должны содержать ух и у2 и, следовательно, уравнения (118) не должны содержать хг и х2.
В самом деле, если из уравнения (122) определить у2 и подставить полученное для него выражение в уравнения (120), то в результате должны получиться уравнения, представляющие следствия уравнений (118), а потому после упомянутой подстановки уравнения (120) не должны зависеть от yv Отсюда видно, что если какое-нибудь из уравнений (120) содержит одну из величин У1» У^ то непременно должно содержать и другую. Пусть фх = 0 есть одно из таких уравнений. Решая его относительно у2» мы найдем
у2 = Е(иъ .. ., ит о^ ... , от w^ ... , wm yv t).
Если под y2 мы будем здесь понимать решение уравнения (122), то вследствие
F
замеченного выше отношение — не должно зависеть от yv а это возможно
только при условии, когда имеет место тождество
F <ut1 иаwn, yt, t) = у^ (un u2, ..., хь х2, f).
Это же тождество приводит к следующему:
d in у2 din У
дх^дхг ’
ненезависит от уъ тог-зависит от уъ тог-din V
не
не
зависит от уъ тог-
зависит от уъ тог-
невозможность которого очевидна, потому что дх-
да как -—^^ зависит от него, как в том легко убедиться, действительно
составив эту частную производную.
Противоречие, к которому мы пришли, показывает, что уравнения (120) не должны зависеть ни от yD ни от у2, что и требовалось доказать.
Таким образом, в рассматриваемом случае уравнения связей должны зависеть только от следующих Зп — 2 величин
(123)(123)щ, .. ., ит о^ у3, ..., v„, w^ w^ ..., wm t.
(123)
(123)
а при этом те постоянные связи, в которые для каждого момента времени обращаются связи нашей системы, будут допускать также вращение ее и вокруг оси 2. Если, следовательно, эти связи допускают вращение системы вокруг двух координатных осей, то будут допускать вращение ее и вокруг третьей оси, т. е. вообще вокруг начала координат. Необходимым и достаточным условием для этого служит то, чтобы эти уравнения содержали координаты только в виде функций (115) или, что все равно, чтобы эти уравнения связывали только взаимные расстояния между точками системы и расстояния последних от начала координат.
Когда это условие удовлетворено, то мы получаем три дифференциальных уравнения моментов
-^- Д ^z; — zty^ = Д № — Zt¥t^
пп
-^- ^ mt ^х\ — х^) = 5 (ztX( — х^,
4г ^ mt (xtyt — у^ = S (xtYt — yiXt)
того же вида, как и для свободных систем. В этом случае, следовательно, как и для свободных систем, скорость конца геометрического изображения главного момента вокруг начала координат количеств движения системы будет геометрически равна главному моменту вокруг той же точки всех задаваемых сил.
При рассматриваемом условии интегралы площадей будут иметь место для несвободной системы в тех же случаях относительно сил {Xf, Yb Z^, как и для свободной.
Этому условию удовлетворяет, например, свободная неизменяемая система точек, а также неизменяемая система, имеющая неподвижную точку в начале координат.
Положим, что уравнения связей зависят только от величин (123) и что силы ^Xb Yb Z^ имеют силовую функцию, так что
Xt = -^-, Yt = -y-, Zt = ^- (i= 1, 2,n),
dXi ’1 dyi 91 dz, x’9
где V — некоторая функция координат, которая может зависеть также и от времени.
В рассматриваемом случае необходимым и достаточным условием для того, чтобы имел место интеграл площадей
2 mt toiZ’t — zty) = Л,(124)
для плоскости уг служит равенство 2/ дУдУ \ нПгх
Zt"dy^~ °*(125)
Точно так же для того, чтобы имел место интеграл площадей
2 mt (z^; — х^) = В,(126)
для плоскости ZX должно быть удовлетворено условие
При этом каждое из условий (125) и (127) может быть удовлетворено как тождественно, так и в силу уравнений связей.
Если мы заменим в функции V координат переменными (119), то условие (125) приведется к виду
и это равенство должно обращаться в тождество в силу уравнений связей. Но последние, выраженные в переменных (117), по условию не зависят от zb и потому нетрудно придти к заключению, что функция V должна приводиться в силу уравнений связей к виду V = f (иъ и2, ..., ип, и^ и3, ..., vm w3l w4l ..., wn) xb х2, О» что короче мы будем писать так
У = Цхь х2).(128)
Точно так же найдем, что если должно быть удовлетворено равенство (127), то функция V в силу уравнений связей должна приводиться к виду
У = ф(У1, Уз)'(129)
Поэтому если условия (125) и (127) удовлетворяются одновременно, то функция V в силу уравнений связей должна приводиться как к виду (128), так и к виду (129). Мы должны, следовательно, иметь равенство
/(^1, х2) = ф(уп у2),
которое обращалось бы в тождество в силу уравнения (122) и уравнений связей. Но последние по условию зависят только от величин (123), а потому нетрудно убедиться, что такое равенство возможно только при условии, когда / не зависит ни от хт, ни от х^ а ф не зависит ни от ^, ни от у2.
Итак, функция V в силу уравнений связей должна приводиться к виду функции только одних величин (123), а при этом будет удовлетворено кроме (125) и (127), также и условие
dVdV\п
\ 1 дусдх( )’
вследствие чего, кроме интегралов (124) и (126) будет иметь место также и интеграл площадей
S т( V^y, — ytx^ = С для плоскости ху.
Таким образом, мы приходим к следующей известной теореме механики.
Если в движении какой-либо системы точек, подчиненной связям, допускающим произвольное вращение ее вокруг начала координат, и находящейся под действием сил, имеющих силовую функцию, закон площадей имеет место для двух координатных плоскостей, то непременно будет иметь место и для третьей.
При рассматриваемом условии возможны, следовательно, только три случая: 1) когда ни один из интегралов площадей не имеет места, 2) когда имеет место только один из них и 3) когда все три эти интеграла имеют место.
Обращаясь опять к уравнению (109), положим, что наша система точек подчинена постоянным связям, так что уравнения связей не зависят явным образом от времени. При этом условии в числе значений, возможных для Ьхь 6уь bzt) будут следующие:
бл:^ = x^dt = dxb byt = y.dt = dy{, dZi = z.dt = dzt (i = 1, 2, ..., ny Если же мы внесем эти значения в уравнение (109), то оно обратится в следующее:
m< (хХ + ytyt + zX) dt = d 2 -^- (x;2 + y'i + zf) =
= £ (X^x,- + Yidyi + Ztdzt).
Если выражение, находящееся в третьей части равенства, есть полный дифференциал некоторой функции — П одних только координат, то, пользуясь прежним обозначением для живой силы, мы получим отсюда интеграл
Т + П = К(130)
(й — постоянная), выражающий закон живой силы в движении рассматриваемой несвободной системы.
Таким образом, если связи системы не зависят явным образом от времени и если действующие на нее силы имеют потенциал П, то в движении ее будет иметь место закон живой силы и притом в том же виде, что и для свободной системы.
Во многих случаях, когда число независимых переменных, определяющих положение системы, незначительно, уравнения движения центра
живои СИЛЫ определитьживои СИЛЫ определитьРис. 36.Рис. 36.инерции, моментов и закон дают возможность вполне движение такой системы.
живои СИЛЫ определить
живои СИЛЫ определить
Рис. 36.
Рис. 36.
Приведем примеры.
призма однойпризма однойПример!. Треугольная
призма одной
призма одной
из своих сторон лежит на гладкой горизонтальной плоскости, по которой она может скользить только по направлению, перпендикулярному к своим ребрам. На две другие стороны ее в одной из плоскостей, перпендикулярных к ее ребрам, положены две материальные точки, соединенные гибкой нерастяжимой нитью, перекинутой через ребро призмы, по которому эти стороны пересе-
каются. Определить движение всей системы (т. е. призмы и точек), предполагая, что на нее- действует только сила тяжести, что нить во все время движения остается натянутой и что на
чальные скорости всех точек равны нулю.
Пусть АВС есть сечение призмы той плоскостью, перпендикулярной к ее ребрам, в которой точки тг и т^ были в начальный момент движения. Так как начальные скорости их по условию равны нулю, то они, очевидно, и во все время движения будут оставаться в этой вертикальной плоскости, что мы и будем предполагать.
Принимая пересечение этой вертикальной плоскости с горизонтальной за ось х, возьмем ось у по направлению действия силы тяжести, а за начало координат — начальное положение точки А.
Полагая ОА = х и Атг = ^ легко видеть, что положение нашей системы вполне определяется этими двумя переменными х и g. Поэтому для решения вопроса о движении ее достаточна двух уравнений.
Обозначим координаты точек через хх, уг и х2, у^ углы САВ и АВС — через а и 0, массу призмы — через М, массы точек — через mx и т2, координату х центра инерции всей системы — через хс.
Легко видеть, что
хх — х 4- g cos а, уг =—gsina, х2 = х + geos 0 + const, у2 = g sin р -f- const (131)
и, следовательно,
(М + ^i + ^2) хс = Мх + т1 (х + g cos a) + т2 (х + g cos Р) + const. (132}
Замечая, что связи нашей системы точек допускают поступательное перемещение ее параллельно оси х, что проекция на эту ось вектора всех действующих на систему сил равна нулю и что для начального момента времени (за который примем t = 0) х = 0, х* = 0, g' = 0, мы получим по закону движения центра инерции уравнение хс = const, приводящееся в силу (132) к виду
(44 + т1 + т2) х + (m, cos a + m2 cos р) (g — g0) = 0,(133)
где g0 — начальное значение g.
Это и будет одним из уравнений, решающих вопрос. Другим будет служить уравнение живой силы, которое будет иметь место для нашей системы, потому что связи ее, очевидно, являются постоянными, а силы имеют потенциал. Последний будет определяться следующей формулой:
п = — g Vm^! + m2z/2) + const.
Живая сила всей системы будет
Т =-у ^^ + "7" mi <+ + «Ь + 4" т2 (^ + 9^-
Поэтому, принимая в расчет формулы (131), мы приведем уравнение живой силы (130) в рассматриваемом случае к виду
(41 + ттг, + т2) хА + 2 (т, cos a + т2 cos р) x'g' + (т, + т2) g'2 =
= 2g (т2 sin Р — т, sin a) (g — g0).(134)
Из уравнений (133) и (134) легко находим
[(44 + тп, + ттг2) (тг + т2) — (ттг, cos a + m2 cos P)2] g'2 =■
= 2g (M + mi + m^ (m2 sin 0 — m^ sin a) (g — g0), откуда
£ = 1в + (М4-тх + т2)№
и, следовательно, в силу (133)
(135)(135)х = — ^тх cos а 4- тй cos Р) №,
(135)
(135)
где положено
fe==-rx
т2 sin Р — mt sing
Таким образом, как движение призмы, так и относительное по отношению к ней движение каждой из точек будет равномерно ускоренным. Из двух точек опускаться будет та, для которой больше произведение ее массы и синуса
угла наклона к горизонту стороны призмы, на которой она находится. Направление движения призмы будет таким, что поднимающаяся точка будет находиться на передней стороне ее.
Когда m2 sin Р = ^ sin а, вся система будет оставаться в покое.
Пример 2. Однородная круговая замкнутая трубка с весьма малым поперечным сечением (рассматриваемая, как однородная круговая линия) может вращаться в горизонтальной плоскости вокруг одной из точек своей окружности. Материальная точка, масса которой равна массе всей трубки, движется внутри нее с постоянной относительной (по отношению к трубке) скоростью. Определить движение трубки, предполагая, что в начальный момент движения она находилась в покое, а материальная точка выходила из той точки трубки, которая диаметрально противоположна ее неподвижной точке.
Принимая плоскость движения трубки за плоскость ху, возьмем за начало координат неподвижную точку ее (вокруг которой она вращается), а ось х по начальному направлению диаметра О А, проходящего через эту точку.
Обозначим массу трубки и равную ей массу точки через М, радиус С А трубки через а; относительную скорость движущейся в трубке точки М через г; угол АОх, на который повернулась трубка в течение времени t (принимая за начальный момент t=0), через д; угол ВСА между радиусами, проведенными к точке А и какой-либо точке В трубки, через (р; координаты точки А через xv уг; координаты точки В через х, у; координаты точки М через £, т].
Связи рассматриваемой системы выразятся уравнениями вида
х2 + у2 = с2, (х — х^ + (у — у^2 = ^а2с\
выражающими неизменяемость расстояний между точками трубки и неподвижность одной из этих точек (предполагая, что постоянная с в этих уравнениях может иметь всякое значение между 0 и 2а) и уравнениями
S2 + Г)2 = ^ + т)^ = 4а2 cos2 — , выражающими, что точка М находится на окружности АВО и что угол АСМ возрастает пропор- ционально времени.
Таким образом, одно из уравнений связей нашей системы содержит время, а потому закон живой силы для нее не будет иметь места. Закон движения центра инерции также не будет иметь места, так как связи не допускают поступательного перемещения ее ни по какому направлению. Но уравнения связей содержат координаты точек системы только в виде функций, выражающих их взаимные расстояния и их расстояния от начала координат, а потому для плоскости ху, в которой должна оставаться наша система, будет иметь место закон площадей, который дает следующее уравнение:
2/п (ху' — ух') + М ^т]' — т]£') = const,(136)
где т есть масса одного из бесконечно малых элементов трубки и сумма распространена на все эти элементы.
Так как положение нашей системы вполне определяется (для каждого данного момента времени) одной переменной д, то этого уравнения и будет достаточно для решения вопроса о движении ее
Замечая, что
ху' — ух* = 4a2d' cos2 -~-
и что можно положить
найдем
2л
^т (ху' — ух') = —^ -- д' у cos2 -~ dtp = 2Л1а2д'.
о
Далее, замечая, что
£ = a cos Ф + a cos ^Ф + -~- ^ , т] = a sin Ф + a sin ^Ф + -^-/ находим
и/
^' — Г Л = 2а (2аО' + о) cos2 ——.
Поэтому, принимая в расчет начальные данные, мы приводим уравнение (136) к виду
а^* + (2аФ' + о) cos2 —— = о,
откуда
sin2 -——
didi2а
di
di
vt
1 4- 2 cos22а
и, следовательно,и, следовательно,^ — ^+/3arctg(y=-tg-g-j,^ — ^+/3arctg(y=-tg-g-j,
и, следовательно,
и, следовательно,
^ — ^+/3arctg(y=-tg-g-j,
^ — ^+/3arctg(y=-tg-g-j,
где arctg должен обращаться в нуль для t = 0.
ПримерЗ. Система состоит из такой же трубки, как и в предыдущем примере, и из материальной точки, масса которой равна массе трубки, и которая может двигаться внутри трубки свободно. Определить движение системы, предполагая, что в начальный момент трубка была в покое, а материальная точка выходила с начальной скоростью г из точки трубки, диаметрально противоположной ее неподвижной точке.
Оставляя остальные обозначения теми же, что и в предыдущем примере, обозначим угол MCA через ф.
Положение рассматриваемой системы определяется двумя переменными Фиф. Связи ее, очевидно, являются постоянными и при этом допускают вращение всей системы вокруг точки О. Поэтому будут иметь место и закон живой силы, и закон площадей, которые дадут два уравнения, достаточных для определения движения системы.
Замечая, что
£ = a cos 0+ а cos (Ф + ф), т] = a sin Ф + a sin (Ф + ф), найдем~
5л' — Г Л = 2°2 ^' + ’Ю cos2 -у- • а потому закон площадей дает уравнение
Ф' + (2Ф' + ф') cos2 -~- = -^-,(137)
ибо для t = О
ф'= О, ф = 0, ф'=е а
Уравнение же живой силы будет
2m (х'2 + у'2) + М (Г2 + л'2) = const, а так как 2л
2m (х'2 + z/'2) = 2 -^- d'2 j cos2 -f- йф = 2Ма^’\О
Г2 + ц'2 = 4а2#'2 cos2 -у- + 4a2»'i|>' cos2 -у + а2^'2. то оно приведется к виду
2^1 4-2cos2^d'2 + 4»V cos^+t'2 = -^-(138>
Исключая из уравнений (137) и (139) ф', получим
^1+-^-^п2ф^ф'2 =-^-соэф,(139)
откуда видно, что угол ф всегда должен заключаться в пределах— и + — .
Уравнение (139) даетУравнение (139) дает
Уравнение (139) дает
Уравнение (139) дает
Ф'Ф'у V cos гр а 11
Ф'
Ф'
у 1+ -у sin2 гр
где должен быть взят знак плюс, когда точка М движется по трубке в том направлении, в ко* тором ей была сообщена начальная скорость и минус в противном случае. Притом гр' может менять свой знак только при гр = ± у л.
Время в функции угла гр выразится при помощи следующего ультра-эллиптического интеграла
р / 1+4-^^
t=cdz V —X d^*
aJ рcos гр
Если положим
ниянияиз которого видно, что угол гр будет возрастать от 0 доиз которого видно, что угол гр будет возрастать от 0 дото для промежутка времени / от 0 до Т угол гр в функции времени будет определяться из уравне
ния
ния
из которого видно, что угол гр будет возрастать от 0 до
из которого видно, что угол гр будет возрастать от 0 до
d^=—t,
т а
1
у л и что последнего значения он дос
тигнет при t = Г. По замеченному выше дальнейшее возрастание угла гр невозможно. Поэтому по достижении / = Т угол гр будет убывать от гр = у л и, следовательно, для t > Т мы будем
1-b-i-sin*^ „1-b-i-sin*^ „иметь
1-b-i-sin*^ „
1-b-i-sin*^ „
откуда видно, что с возрастанием t от Т до 2 Т угол гр будет убывать от у л до О и с дальнейшим возрастанием t до ВТ он будет убывать от 0 до—у л. Дальнейшее убывание его невозможно. Поэтому для I > ВТ мы будем иметь уравнение
l+-l-sin2ip—^^ = -«-30l+-l-sin2ip—^^ = -«-30
l+-l-sin2ip
—^^ = -«-30
l+-l-sin2ip
—^^ = -«-30
или
^ = -(/-47),
из которого видно, что при возрастании t от ВТ до 4Т угол гр будет возрастать от —^ л до О, При возрастании t от 4Т до ВТ изменения гр будут совершенно такими же, как и при возрастании t от 0 до 4Т. Вообще для / = ^пТ + т (где п целое число) угол гр будет иметь такую же величину, как и для t = т.
Что касается гр' и -0*', то мы находим
t = О, Т, 2Tt ЗГ, 4Т, . ..
, О°лу
Ф' = —, о,,0,—, ...
ааа
,1 и2 у1 у
’2а' За' 2а'* * * * *
Таким образом, точка М будет совершать внутри трубки колебания, описывая полуокружности, причем точка трубки, «диаметрально» противоположная ее неподвижной точке, будет находиться в середине дуги, описываемой точкой М. Колебания будут периодические с периодом 47. Трубка же будет вращаться вокруг своей неподвижной точки постоянно в одном и том же направлении, а именно: в том, в котором была сообщена начальная скорость точке М. Угловая скорость этого вращения будет периодически то возрастать, то убывать, обращаясь в нуль, только когда точка М возвращается в свое начальное положение в трубке со скоростью, одинаково направленной с ее начальной скоростью. Период для изменений этой угловой скорости будет равен 47.
П р и м е р 4. Определить движение стержня, рассматривая его, как материальную прямую линию, принимая в расчет только силу тяжести.
В рассматриваемом случае будут иметь место в том же виде, как и для свободной системы, три дифференциальных уравнения движения центра инерции, три уравнения моментов и уравнение живой силы.
Заметим вообще, что если для какой-либо системы точек имеют место уравнения
•^- Zmi (yiz't — Ziy') = 2 №i — z£Yi),
А- Хщ (Zix'i — xtz) = 2 (ztXt — XiZiY(140)
— 2m; (xty’i — ytx^ = 2 (xtY t — ytX^,
то будут иметь место также и уравнения моментов в относительном движении системы по отношению к центру инерции ее
4" 2m, (т]^. - ^т^) = 2 (т^ - Ui),
d,,
— ^mt (Ui - W = 2 (Ui - Ui),
d,,
— Xmi (Ui - Ш = 2 (Ui -
Это было показано в § 6 для свободной системы, но будет справедливо также и для каких угодно систем, потому что основывается только на совместном существовании уравнений (140). Точно также и преобразование уравнения живой силы, показанное в § 10, будет справедливо и для несвободных систем.
Принимая за ось г направление действия силы тяжести, обозначим через х, у, г и через g, т), £ абсолютные и относительные по отношению к центру инерции координаты какой-либо точки стержня.
Уравнения движения центра инерции стержня будут следующие:
d4c _ d/2d4c _ d/20,0,^Ус _dt2^Ус _dt20,0,d2zcdt2 — S‘d2zcdt2 — S‘(141)(141)
d4c _ d/2
d4c _ d/2
0,
0,
^Ус _dt2
^Ус _dt2
0,
0,
d2zc
dt2 — S‘
d2zc
dt2 — S‘
(141)
(141)
Уравнения моментов возьмем для относительного движения его по отношению к центру инерции. Так как главный момент силы тяжести вокруг центра инерции всякой системы равен нулю, то эти уравнения дадут три интеграла
^т (т^' - Sn') = А\ ^пг ^ - ^) = В\ Ът Йп' - П^) = ^, (142) где т — масса какого-либо бесконечно малого элемента стержня, а сумма распространена на все эти элементы.
Кроме того, мы будем иметь уравнение живой силы, которое для относительного движения по отношению к центру инерции, по § 10 примет следующий вид:
(143)(143)2m (^Н-т]'^'2)^'.
(143)
(143)
Уравнения (141) показывают, что центр инерции будет двигаться, как тяжелая материальная точка, описывая параболу.
Уравнения (142) и (143) определят вращательное движение стержня вокруг центра инерции. Так как направление стержня определяется двумя углами, то для определения этого вращательного движения достаточно двух уравнений. Поэтому из уравнений (142) и (143) два должны быть следствиями остальных.
Обозначим угол, составляемый одним из двух направлений стержня с осью г через -О', а угол, составленный вертикальной плоскостью, проходящей через стержень, с плоскостью гх — через гр. Расстояние точки (g, т), □ стержня от центра инерции обозначим через s, считая его положительным по одному направлению и отрицательным по другому. Мы будем иметь
£ = s sin ft cos гр, -q = s sin -О* sin гр, £ = s cos О.
Вследствие этого, полагая
А' = Л5/и$2, В* = B^ms^, С = CSms2, h' = ZzS/ns2, мы приведем уравнения (142) и (143) к виду
— О'sin гр — гр'sin ^ cos О cos гр = Л, -0*'cos гр — гр'sin ft cos 0* sin гр = 5,^^
гр' sin2 О = С, О'2 + гр'2 sin2 О = h,
где, как нетрудно убедиться, между постоянными Л, Bt С и h существует зависимость
^ = Л2 + 52 + С2.(145)
Поэтому последнее из уравнений (144) будет представлять алгебраическое следствие трех остальных, которые между собой алгебраически независимы. Поэтому одно из них будет следствием двух остальных в том смысле, что величины ^ и гр, удовлетворяющие, как функции t, двум из этих уравнений, будут удовлетворять при известной зависимости между постоянными, введенными интегрированием,— и третьему.
Исключая из первых трех уравнений (144) О' и гр', получаем уравнение
Л sin О cos гр + В sin О sin гр + С cos О = 0.(146)
Если же исключим гр' из третьего и четвертого уравнений (144), то в силу (145) найдем
О'2 + ■= Л2 + в2 + С2,
sin2 -О-
откуда
cos » = ]/ —^+^-2 COS ^ЛЧ^^+С"2 (/ -10),(147)
где 10 — постоянная, введенная интегрированием.
Уравнения (146) и (147) и решают вопрос о движении. Постоянные А, В и С определятся по начальным данным, т. е. по значениям -0*, гр, О' и гр' для t = t0.
Уравнение (146) показывает, что стержень в относительном движении по отношению к центру инерции движется в плоскости
Л5+5г]+С£ = 0.(148)
уравнение же (147) приводит к заключению, что он вращается в ней равномерно. Для этого достаточно заметить, что
А^ + В^
V л2+в2 + с2 есть косинус угла, составляемого осью г с плоскостью (148).
Критерий устойчивости равновесия, выведенный из уравнения живой силы. Из уравнения живой силы могут быть выведены некоторые следствия, относящиеся к устойчивости равновесия какой-либо консервативной системы точек, т. е. такой, которая подчинена постоянным связям, и на которую действуют силы, имеющие силовую функцию, зависящую только от координат.
Пусть рассматриваемая система п точек подчинена к связям, уравнения которых
/1 = 0, /2 = ОЛ = 0(149)
не зависят явным образом от времени. Если на эту систему точек действуют силы ^Xb Yb ZJ, которые мы будем предполагать зависящими только от
координат, то все положения равновесия этой системы точек определятся, как известно, из условия, что выражение
п
(Х^бХ; + ^i^Vi + Z^Zi) i—1
должно обращаться в нуль для всех возможных систем значений вариаций 8х; 6уь Ьгь удовлетворяющих k линейным однородным уравнениям
п
2(^6^+^6У= + -$-6^) = 0 G=U 2к).(150)
Положим теперь, что силы (Х^, Yb Z^ имеют потенциал, так что
VОТт,ОТОТ,.1х
Xt- =—,Y;=х— ,Z.=—-G =1,2, ...,nV
dxt1dyi ’1dzcx
где П — некоторая функция координат. В таком случае все положения равновесия нашей системы точек найдутся из условия, что выражение
/ ОТ х ОТ х дП s \Л — ОХ.- 4-02.-
^Xdxtdyt 1 dZi 7
должно обращаться в нуль для всяких значений 6xt-, 6уь 8zb удовлетворяющих & уравнениям (150).
Отсюда видно, что в рассматриваемом случае разыскание положений равновесия системы точек приводится к разысканию таких систем значений координат, которые, удовлетворяя к уравнениям (149), обращали бы в нуль полный дифференциал функции координат П.
Таким образом, всякая система значений координат, которая обращает потенциал П в минимум или максимум [23] при условиях (149), определяет некоторое положение равновесия рассматриваемой системы точек.
Положения равновесия, как известно, разделяются на устойчивые и неустойчивые. Основанием для этого разделения служит характер движения, которое получает система, после того как точки ее были бесконечно мало удалены от их положений равновесия и приведены в движение с бесконечно малыми скоростями. Если это движение таково, что расстояния точек от их положений равновесия и скорости их постоянно остаются бесконечно малыми, то рассматриваемое положение, равновесия называется устойчивым; в противном случае положение равновесия будет неустойчивым. Так, например, тяжелый стержень, один конец которого неподвижен, может иметь два положения равновесия, в которых направление его совпадает с направлением вертикали. То из этих положений равновесия, в котором центр тяжести стержня ниже неподвижной его точки устойчиво, а другое неустойчиво.
Мы теперь покажем, что те положения равновесия, для которых потенциал П есть минимум, являются положениями устойчивого равновесия.
Теорема эта была известна уже давно. Первое доказательство ее было дано Лагранжем. Некоторые дополнения к ней были сделаны потом Пуассоном. Но и после этих дополнений доказательство это оставалось недостаточно строгим. Строгое доказательство ее было предложено Лежен — Дирихле. Его доказательство мы и приводим здесь.
Вопрос состоит в том, чтобы доказать, что те значения координат, которые обращают П в относительный минимум, при условиях (149), определяют устойчивое положение равновесия системы.
Положим, что координаты хп уг, zn х2, у2, 22, ..., хпэ уП1 zn выражены в функциях Зп — k = т независимых переменных qv q^ ..., qm. Функция П при этом обратится в некоторую функцию этих т переменных, а условные
уравнения (149) — в тождества. Если для рассматриваемого положения равновесия П, как функция величин хь уи гъ х2, у2, z2, ..., хт уп, zn имела относительный минимум при условиях (149), то теперь П, как функция величин ^,^2, ..., qm для того же положения равновесия будет иметь абсолютный минимум.
Переменные qu q2, ..., qm мы можем, конечно, всегда выбрать так, чтобы они обращались в нуль для рассматриваемого положения равновесия. Поэтому мы будем предполагать, что П есть функция переменных qv q^ ..., q^ обращающаяся в абсолютный минимум при
^1 == ^2 = * * • = Ат = 0.
Это минимальное значение П, которое будет соответствовать рассматриваемому положению равновесия, мы обозначим через Пт.
Положим, что положение, в которое система переводится из положения равновесия, определяется значениями qt = q\, q2 = q2, ..., qm = qm. Это положение системы по отношению к последующему движению ее мы будем называть начальным. Соответствующее ему значение функции П обозначим через По.
Так как связи нашей системы не зависят от времени, а действующие на нее силы имеют потенциал, то для последующего движения ее будет иметь место закон живой силы. Мы будем, следовательно, иметь уравнение
Т + П = Т0 + П0,(151)
в котором То — начальное значение живой силы Т, зависящее от скоростей, которые были сообщены точкам системы после того, как она был приведена в положение, названное выше начальным.
Основываясь на уравнении (151), которое будет иметь место во все время последующего движения системы, мы теперь покажем, что величины д?, q^ ...» qm и То (а, следовательно, и начальные скорости) могут быть выбраны по численным значениям настолько малыми, что во все время последующего движения системы переменные qv q2, ..., qmw Т (а, следовательно, и скорости) будут оставаться по численным значениям сколь угодно малыми.
Так как Пт есть минимум П, имеющий место при qx = q2 = ... = = qm = 0, то, как это следует из понятия о минимуме, для переменных qv q^ • ••, qm могут быть назначены пределы QT и —Qn Q2 и —Q2, ..., Qm и —Qm (где Qi, Q2, ..., Qm — некоторые положительные величины) настолько малые по численным значениям, что для всех значений qv q^, ..., q^, удовлетворяющих условиям
— Qi ^ Ai ^Qi (1=1,2,..., m), соответствующие значения П будут больше Пш, делаясь равными только при qx = q2 = ... = qm = 0.
Рассмотрим из этих значений П те, которые получаются, когда одна или несколько из переменных q( достигают своих пределов. Все такие значения П будут больше Пт. Обозначая наименьшее из таких значений П через Щ, мы будем поэтому иметь Щ > Пт.
Выберем теперь q^ q2, ...,, qm настолько малыми, чтобы были удовлетворены неравенства
— Qi<qOi<Qi (t = 1, 2, ... , m), ПоСЩ.
Затем начальные скорости точек системы выберем настолько малыми, чтобы 70 Щ По.
При этом уравнение (151) обратится в следующее неравенство
Т + П<ПЬ(152)
которое будет удовлетворено во все время движения, получаемого нашей системой при выбранных начальных данных. На основании же этого неравенства легко показать: 1) переменные qt всегда будут заключаться в пределах — Q{ и Qi и 2) Т всегда будет оставаться меньше Щ — Пт. Первое вытекает из следующих соображений: начальные значения qL по условию заключаются в пределах — Q, и Qt. Поэтому вследствие непрерывности изменений q( в течение времени (которая всегда предполагается), эти переменные могут выйти из означенных пределов не иначе, как когда одна или несколько из них сделаются предварительно равными своим пределам, между тем как другие еще будут заключаться в соответствующих им пределах. Но такая система значений для переменных q{ невозможна в силу неравенства (152), потому что для нее П было бы равно или больше Щ, между тем как это неравенство, в котором Г, как живая сила, есть величина положительная или, в крайнем случае нуль, требует чтобы П было меньше Щ. Убедившись, таким образом, что переменные qt всегда будут заключаться в пределах — Qt и Qb легко оправдать и второе заключение. В самом деле, неравенство (152) дает
Т<П1 — п.
Если же переменные qL заключаются в указанных пределах, то значения П будут удовлетворять условию П > Пт, а потому мы найдем
71 < Щ Пт.
Таким образом? мы доказали, что если для какого-либо положения равновесия системы потенциал имеет минимум, то всегда можно начальное отклонение ее от этого положения равновесия (величины q^ q^ ..., q^ и начальные скорости ее точек (величину Т^ выбрать достаточно малыми для того, чтобы и во все время последующего движения она не отклонялась от этого положения равновесия далее известных пределов (—Qx Qx; —Q^ Q2; ... ; —Qm» QmY которые можно принять достаточно малыми. При этом живая сила системы, а следовательно, и скорости ее точек будут оставаться во все время движения сколь угодно малыми. А все это и доказывает рассматриваемую т ею р е м у.
Что касается тех положений равновесия, для которых потенциал не есть минимум, то на основании соображений иного рода, приводить которые здесь мы не будем, их причисляют к неустойчивым. Следует заметить, что строгого доказательства обратной теоремы не существует I24].
Когда на систему точек действует только сила тяжести, то, принимая за направление оси г направление, прямо противоположное ее действию, мы найдем
П = Mgzc,
где М — сумма масс всех точек системы, g — ускорения силы тяжести и 2С — координата центра тяжести этой системы точек.
Таким образом, для случая силы тяжести мы получаем известную теорему: то положение равновесия системы точек, в котором центр тяжести ее занимает положение наиболее низкое, есть устойчивое.
На основании доказанной теоремы вопрос о разыскании устойчивых положений равновесия системы приводится к аналитической задаче о разыскании минимума некоторой функции координат.
Пр и м е р. Две тяжелые точки равных масс вынуждены оставаться на параболе, ось которой вертикальна. Между точками действует отталкивающая сила, обратно пропорциональная их взаимному расстоянию. Найти устойчивые положения равновесия точек.
Примем ось параболы за ось у, направляя ее прямо противоположно действию силы тяжести, а за ось х — касательную к параболе в ее вершине. Координаты точек обозначим через х1$ ух и х2, у2, общую величину их масс — через т, ускорение силы тяжести — через g, силу,
с которой эти точки отталкиваются на единице расстояния,— через k и параметр параболы — через 2р.
Задача приводится к разысканию значений координат, обращающих функцию
П = — ft In V(х2 — xj2 + (у2 — yj2 + mg (у^ + у2)
в минимум при условиях
xf = 2ру^ х2 = 2pz/2
и, следовательно, к разысканию абсолютного минимума функции
П = — к In (х2 — х^ — к In Y5l+B±5S_ + _^_ (д.2 д2)
Мы находимМы находимдПдххдПдххкк& (х2 + *1)& (х2 + *1)mgmgд2Пд2Пгде S— кгде S— кдПдх2 "дПдх2 "х2—-Xiкх2—-XiкХ2Х2д2Пд2Пкк4р2 + (х2 — х,)2 ^ р4р2 + (х2 — х,)2 ^ рк (х2 4- хг) , mg V + (^2 — Ч)2 Рк (х2 4- хг) , mg V + (^2 — Ч)2 Р•^2*•^2*дх2 дх2 (%24р2 — (х2 — х^2дх2 дх2 (%24р2 — (х2 — х^2mg s д2Пр 1 дхгдх2mg s д2Пр 1 дхгдх2кк(х2 —х^1(х2 —х^1S,S,^pS+^+xJ2]2*^pS+^+xJ2]2*Все положения равновесия точек определятся уравнениямиВсе положения равновесия точек определятся уравнениями^ = o.dxt^ = o.dxt^- = одх2^- = одх2илиилидП (Шдхг дх2дП (Шдхг дх2О,О,дП <ШдП <Шдххдххдх2дх2О,О,которые приводятся ккоторые приводятся к26264р2 + (^ + *1)24р2 + (^ + *1)2mgРmgР(153)(153)ииХ2 —XjХ2 —Xj(154)(154)(предполагая х2 > xj. Уравнение (153) дает 0 ^ + *1 = оили(предполагая х2 > xj. Уравнение (153) дает 0 ^ + *1 = оилиТаким образом,Таким образом,1/" 2р (к — 2pmg)Гmg •мы получаем одно или три положения равновесия, в зависимости к ^ 2pmg или к > 2pmg.1/" 2р (к — 2pmg)Гmg •мы получаем одно или три положения равновесия, в зависимости к ^ 2pmg или к > 2pmg.от тогоот тогоВ силу (154) мыВ силу (154) мынаходимнаходим
Мы находим
Мы находим
дП
дхх
дП
дхх
к
к
& (х2 + *1)
& (х2 + *1)
mg
mg
д2П
д2П
где S— к
где S— к
дП
дх2 "
дП
дх2 "
х2—-Xi
к
х2—-Xi
к
Х2
Х2
д2П
д2П
к
к
4р2 + (х2 — х,)2 ^ р
4р2 + (х2 — х,)2 ^ р
к (х2 4- хг) , mg V + (^2 — Ч)2 Р
к (х2 4- хг) , mg V + (^2 — Ч)2 Р
•^2*
•^2*
дх2 дх2 (%2
4р2 — (х2 — х^2
дх2 дх2 (%2
4р2 — (х2 — х^2
mg s д2Пр 1 дхгдх2
mg s д2Пр 1 дхгдх2
к
к
(х2 —х^1
(х2 —х^1
S,
S,
^pS+^+xJ2]2*
^pS+^+xJ2]2*
Все положения равновесия точек определятся уравнениями
Все положения равновесия точек определятся уравнениями
^ = o.
dxt
^ = o.
dxt
^- = о
дх2
^- = о
дх2
или
или
дП (Ш
дхг дх2
дП (Ш
дхг дх2
О,
О,
дП <Ш
дП <Ш
дхх
дхх
дх2
дх2
О,
О,
которые приводятся к
которые приводятся к
26
26
4р2 + (^ + *1)2
4р2 + (^ + *1)2
mgР
mgР
(153)
(153)
и
и
Х2 —Xj
Х2 —Xj
(154)
(154)
(предполагая х2 > xj. Уравнение (153) дает 0 ^ + *1 = о
или
(предполагая х2 > xj. Уравнение (153) дает 0 ^ + *1 = о
или
Таким образом,
Таким образом,
1/" 2р (к — 2pmg)
Гmg •
мы получаем одно или три положения равновесия, в зависимости к ^ 2pmg или к > 2pmg.
1/" 2р (к — 2pmg)
Гmg •
мы получаем одно или три положения равновесия, в зависимости к ^ 2pmg или к > 2pmg.
от того
от того
В силу (154) мы
В силу (154) мы
находим
находим
(155)(155)иид2Пдх1дх2д2Пдх1дх22р ’2р ’(155')(155')где для первогогде для первогоположенияположенияравновесияравновесияSSкка для второго и третьегоа для второго и третьегоmg ^pmg — к)2крmg ^pmg — к)2кр
(155)
(155)
и
и
д2Пдх1дх2
д2Пдх1дх2
2р ’
2р ’
(155')
(155')
где для первого
где для первого
положения
положения
равновесия
равновесия
S
S
к
к
а для второго и третьего
а для второго и третьего
mg ^pmg — к)2кр
mg ^pmg — к)2кр
д2П _ д2П _ 3mg
дх^ дх22 2р 5
Потенциал П будет минимум, если удовлетворены условия д2П д2П / д2П \2 ЗП ЗП дх^ * дх^ ’ \ d*id%2 / дхг дх2
Условия же эти вследствие (155) принимают вид
3mg2р3mg2рS>0S>0и, следовательно, приводятся ки, следовательно, приводятся кmg 2рmg 2р
3mg2р
3mg2р
S>0
S>0
и, следовательно, приводятся к
и, следовательно, приводятся к
mg 2р
mg 2р
Таким образом, первое положение равновесия будет устойчиво, если к < 2pmg, а второе и третье — если к > 2pmg, т. е. пока возможно только одно положение равновесия, в котором точки находятся на одном уровне, это положение равновесия устойчиво, когда же возможны также и еще два положения равновесия, то устойчивы эти последние.
§ 23. Начало Гамильтона. Преобразование дифференциальных уравнений движения. Полагая
S №t + Yt5yt + ZA) = и*, мы приведем общее вариационное уравнение динамики к виду 2mi(^L6x.+ ^L6y. + ^6z.) = U*.(156)
В § 15 было замечено, что величины 8xb 8yh 8zb входящие в это уравнение, могут быть рассмотрены, как действительные вариации координат, т. е. как бесконечно малые приращения, получаемые функциями времени хь уь гь когда мы переходим в какой-либо момент времени от действительного движения системы к другому какому-либо возможному для нее бесконечно близкому к первому, так что (хь уь г^ и (^ + 6xb yt + 8yb zt + 62 J суть одновременные положения точки mt в обоих движениях. Поэтому если под 6 мы условимся теперь понимать обозначение варьирования в сказанном смысле, и заметим, что
б4г=Т (t = l. 2, п)
ит. д., то уравнение (156) можем представить так
42т,(^1-8г, + 4-6,, + 2§-6г,)- 1=1
п /\
di ° di + di 0 di + dt 6 dt ) U
ИЛИ
4 S mt №t + y^ + z'Sz,) - ST = U\(157)
1=1
где T по-прежнему означает живую силу.
Положим теперь, что действительное движение системы сравнивается с такими бесконечно близкими к нему возможными движениями, в которых система занимает в какие-либо два данные момента времени t^ и tx те же положения, что и в действительном движении. При этом мы будем иметь, как для t = /0, так и для t = tx
8xt = бу. = 6zt = О (Z — 1, 2, ..., п),
а потому уравнение (157) приведет к следующему:
J (ST + U*) dt = 0.(158)
Если силы, действующие на систему, имеют силовую функцию, зависящую от координат и времени, так что
‘ dxt ’1 dyt ’1 dzt '’’’ ’’
то мы найдем
U* = 6U,
а уравнение (158) обратится в следующее:
6 j (Т + U) dt = 0.(159)
Это последнее уравнение и выражает так называемое начало Гамильтона. Высказано оно может быть следующим образом.
Если даны два положения системы: для какого-либо данного начального момента времени Zo и для какого-либо данного конечного момента tA) то действительное движение ее из первого положения во второе под действием сил, имеющих силовую функцию U, будет таково, что для него будет обращаться в нуль первая вариация интеграла
^(T + U)dt.
to
Таким образом, это начало приводит вопрос об определении движения системы к задаче вариационного исчисления.
Гамильтон первый обратил внимание на это начало, поэтому оно и известно под его именем.
Начало Гамильтона может быть полезно при различных преобразованиях дифференциальных уравнений движения. Мы воспользуемся уравнением (159) или более общим уравнением (158) для вывода лагранжевых дифференциальных уравнений движения.
Если £ есть по-прежнему число уравнений связей и если положим Зя — к = т, то координаты точек системы могут быть выражены в функциях т независимых переменных qT) q2, ..., qm. Поэтому для определения движения ее достаточно найти эти т переменных в функциях времени. Те дифференциальные уравнения, которые мы желаем вывести и будут служить для определения этих функций времени.
По известным выражениям х£, ^, zt в функциях переменных qu q2, ... .... qmi мы найдем
+45-6,,,+ ■■■ +^б,„ У = 1, 2„)
и т. д. и, следовательно,
(7* = QT6qT + Q^q2Qmbqnv
где
++(s=l>2nt).
И^s dqs)
Эти выражения Qs должны быть выражены в переменных qX) q2l ..., qm. Если же силы (Xt-, Yb Z^ кроме координат и времени, зависят также и от скорос-
тей ^, уь z^, то последние должны быть заменены в них выражениями
X = ^-q.+-^-?т + -^" (i = h 2, л) (160)
* oqx 1 dq2 ^2 1dqm ^m x Qt x * *’ 1 x 1
и т. д. (где члены вида ~p входят потому, что выражения хь yb zu кроме переменных qv q^ ..., q^, вообще будут содержать также и время t; только в том случае, когда уравнения связей не зависят явным образом от времени, эти выражения можно предполагать не содержащими /). Таким образом, под Qs мы будем подразумевать известные функции величин qu q2i ..., q^ qi, qs» ...» qm и t.
Вследствие уравнений (160) живая сила системы Т также может быть рассматриваема, как известная функция этих величин. При том относительно производных q\, q^ ...» qm это будет функция второй степени.
Предполагая, что сказанные преобразования выполнены, мы приведем уравнение (158) к виду
m Чх
2 f 8qs + ^ 6^ + Qs^ = 0.(161)
S ' dtb dqsJ
Ho 6<?' = -^2. (s = 1, 2, ..., m^, а потому
6qsdt (s = 1, 2, ..., /и).6qsdt (s = 1, 2, ..., /и).
6qsdt (s = 1, 2, ..., /и).
6qsdt (s = 1, 2, ..., /и).
Если же учесть, что 6qs= 0 как для момента времени /0, так и для момента tT вследствие того, что положения системы в эти моменты предполагаются данными, то найдем
f^S^ = ~ f^rfv^6^ (s= 1, 2,т).
J dqst \ 3gs у
Вследствие же этого уравнение (161) принимает вид
m
зЛач-^-^^)]6»^-0-<1б2>
Величины 6qS) входящие в это уравнение, подчинены только одному условию: обращаться в нуль для t = /0 и t = tv в остальном же это совершенно произвольные функции времени. Вследствие этого равенство (162) возможно только при условии существования m равенств вида
дТ
^7"
^7 зт~ — Qs (s 1, 2, ... , m)(163)
для всякого t, заключающегося между пределами интегрирования, так как в противном случае выбором произвольных функций можно было бы распорядиться так, чтобы они сохраняли между пределами интегрирования знаки, одинаковые со знаками тех выражений, которые в первой части равенства (162) на них умножены, а это равенство представляло бы, таким образом, равенство нулю суммы интегралов, все элементы которых положительны.
Таким образом, т переменных qs должны быть функциями времени, удовлетворяющими т дифференциальным уравнениям второго порядка каждое (163) в течение всего промежутка времени от /0 до tx, а так как моменты /0 и tx совершенно произвольны, то эти переменные должны вообще удовлетворять уравнениям (163) в движении нашей системы точек. Эти уравнения представляют, следовательно, преобразование дифференциальных уравнений движения, когда вместо координат точек системы вводятся какие-либо независимые переменные qv q^ ..., qm.
Дифференциальные уравнения (163) были даны в первый раз Лагранжем вследствие чего и. носят название лагранжевых.
Форму дифференциальных уравнений динамики (163) называют иногда второй лагранжевой формой этих уравнений, в отличие от формы (92), называемой первой, которая также дана была Лагранжем.
Когда силы, действующие на систему, имеют силовую функцию U, не зависящую от скоростей, то выражая ее в переменных qv q^ ..., q^ мы найдем
=(s= 1, 2,, m)
(как это следует из формулы, служащей для определения Qs\ а потому уравнения (163), примут вид
ОТ
(s= 1, 2m).(164)
U4s
Таким образом, когда выбраны какие-либо независимые переменные, определяющие положение системы, то для составления дифференциальных уравнений, которым должны удовлетворять эти переменные, как функции времени при движении системы, вся суть должна состоять в составлении выражения живой силы и в составлении выражений Qs. В случае же существования силовой функции эта задача приводится к преобразованию только двух выражений: живой силы и силовой функции.
Раздел третий [25]
СТАТИКА
ВВЕДЕНИЕ
1. Такое собрание материальных точек, в котором движение каждой точки зависит от движений прочих точек, называется в динамике системой материальных точек. Если эта зависимость между движениями точек обусловливается только тем, что силы, действующие на каждую точку, зависят от координат и скоростей прочих точек, между тем как в каждый момент времени этим точкам можно сообщить какие угодно положения в пространстве и какие угодно скорости, то система точек называется свободной. Если же независимо от действующих на систему сил существуют еще некоторые условия, вследствие которых£не всякие положения точек и не всякие скорости для них возможны, то система точек называется несвободной, или подчиненной связям. Эти условия, как не зависящие от сил, называются кинематическими. Они выражаются аналитически обыкновенно тем, что заранее дается известный ряд уравнений или неравенств между координатами точек и вообще временем, называемых уравнениями или неравенствами связей. Совокупность этих уравнений и неравенств характеризует рассматриваемую систему точек и определяет для нее так называемые возможные движения, т. е. такие движения, в которых координаты точек ее не перестают удовлетворять этим уравнениям и неравенствам. При этом каждое уравнение и каждое неравенство рассматривается как аналитическое выражение особой связи. Связи, аналитические выражения которых не зависят явным образом от времени, называются постоянными. В противном случае они называются переменными. При том связи, выражаемые уравнениями, называются удерживающими, а выражаемые уравнениями или неравенствами — неудерживающими. Неудерживающие связи могут оказывать влияние на движение системы только пока они выражаются равенствами. Поэтому такую связь называют действующей или недействующей в зависимости от того выражается она равенством или неравенством.
Если координаты точек системы обозначим через хъ уи 2П х2, у^ ^, •••» то общее выражение неудерживающей связи будет
f (Х1, уъ zv х2, z/2, z2, ... , t)>0(1)
или
Уи 2V x2r у2, z2, ... , 0<0.(2)
Но полагая ср = —Д мы приведем условие (2) к виду (1). Поэтому для однообразия мы всегда будем предполагать условия, относящиеся к неудерживающим связям, заданными в виде (1), т. е. что для такой связи некоторая функция координат и вообще времени равна или больше нуля.
Мы будем здесь рассматривать только системы точек с постоянными связями. Для такой системы может идти речь о разыскании таких положений, в которых она, находясь под действием данных сил, может оставаться в покое, если точкам ее не сообщено скоростей. Вообще такие силы, находясь под действием которых данная система точек может оставаться в покое, называются уравновешивающимися, а те положения системы, в которых действующие на нее силы уравновешиваются,— положениями равновесия. Две системы сил А и В, которые, действуя на данную систему точек порознь в одном и том же положении ее, уравновешиваются с одной и той же системой сил С, называются эквивалентными.
Все вопросы об условиях уравновешивания и эквивалентности сил, а также вопросы о разыскании положений равновесия систем точек относятся к области динамики, называемой статикой.
Прежде чем перейти к рассмотрению способов, служащих для решения этих вопросов, мы дадим определения некоторым понятиям, имеющим весьма важное значение в динамике вообще и в статике в особенности.
. Определение 1. Геометрическая сумма всех сил, действующих на какую-либо систему точек, называется вектором этих сил.
Определение 2. Геометрическая сумма моментов всех сил, действующих на какую-либо систему точек, взятых относительно какой-нибудь точки О, называется главным моментом этих сил вокруг центра О.
Таким образом, если Xv, Vv, ^v — проекции на прямоугольные координатные оси силы, действующей на какую-нибудь точку (xv, у^ 2V) системы, а X, Y, Z — проекции на те же оси вектора этих сил, то
X = 2XV, Y = 2KV, Z = 2ZV,
где суммы распространены на все значения v, соответствующие различным точкам системы.
Если L, М, N — проекции на координатные оси главного момента вокруг начала координат этих сил, то
L = 2 ^y^Z^ — z^Yv), М == 2 (2vXv — XyZv), N = 2 (хуУ^у — y^^V)* Отсюда видно, что проекция главного момента сил вокруг начала координат на каждую из координатных осей равна сумме моментов всех сил относительно этой оси.
Зная величину и направление главного момента сил вокруг начала координат, а также величину и направление вектора этих сил, легко найти величину и направление главного момента тех же сил вокруг какого-либо другого центра. В самом целе, пусть а, Ь, с — прямоугольные координаты нового центра, а Л', АГ, N' — проекции на координатные оси главного момента вокруг этого центра. Тогда
U = 2 [(z/v — 6) Zv — (2V — с) Kv] и т. д. или
U = L-ycY — bZ, М' = M + aZ — cX, N' = N + bX — aY. (3) Из этих уравнений видно, что величина и направление главного момента сил вообще изменяются с изменением положения центра, но так как из них следует
UX + M/Y + N'Z = LX + MY + NZ,(4)
то проекция главного момента на направление вектора системы сил при этом сохраняет постоянную величину.
Далее легко убедиться, что если центр перемещается по прямой, имеющей направление вектора системы сил, то главный момент не изменяет ни величины, ни направления. В самом деле, если аъ Ьъ сг — координаты нового центра, связанные с а, Ь, с уравнениями
аг — а bt — b _ _ сг — с
X ” У “ Z
и Li, Mi, Ni — проекции главного момента вокруг центра (аи Ьъ с^, то по формулам (3) L\ = L + сгУ — bxZ = L + cY — bZ = U, Mi = M', Ni = N'.
Из формул (3) видно также, что если вектор системы сил равен нулю, то главные моменты сил вокруг всяких центров геометрически равны между собой.
Предполагая вектор системы сил неравным нулю, найдем положения тех центров, вокруг которых главный момент имеет наименьшую величину. Из теоремы, выражаемой равенством (4), следует, что главный момент вокруг такого центра должен иметь направление одинаковое или прямо противоположное с вектором системы сил, так что если U, М', N' — проекции наименьшего главного момента на координатные оси, то
L'М' _ X'х — У — г ’
а потому, если а, Ь, с — координаты одного из рассматриваемых центров, то они должны удовлетворять уравнениям
L + cY — bZM + aZ — cX _ Х-^-ЬХ — аУ
X ~ УZ е
Эти уравнения, как нетрудно убедиться, равносильны следующим уравнениям
ХУ— MZLZ — XXМХ — ЬУ
а Х2 + У2 + 22°Х2+Г2 + 72 СХ2 + У2 + 72
X—У~’
а потому, если в них а, Ь, с рассматривать как переменные координаты, то они представляют прямую, параллельную вектору системы сил. Итак, если через точку, определяемую координатами
ХУ — MZLZ — XXMX — Ly
X^ + Y^ + Z2 9 Х2 + У2 + ^ ’ X2 + K2 + Z2 ’
провести прямую, имеющую направление вектора системы сил, то эта прямая будет геометрическим местом тех центров, вокруг которых главные моменты сил имеют наименьшую величину, равную, как легко видеть
+ LX + МУ + XZ
Прямая эта называется центральной осью рассматриваемой системы сил.
Определение 3. Система двух равных и прямо противоположных сил, перпендикулярных к прямой, соединяющей их точки приложения, называется парой сил. Расстояние между точками приложения сил пары называется плечом ее, плоскость этих сил — плоскостью пары, а одно из двух направлений перпендикуляра к плоскости пары, восставленного из середины плеча, называется осью пары.
Мы будем под направлением оси пары понимать то направление этого перпендикуляра, по которому должен поместиться наблюдатель для того, чтобы ему казалось, что силы пары стремятся повернуть ее плечо по направлению движения часовой стрелки.
Так как вектор сил пары равен нулю, то, по замеченному выше, главный момент этих сил не зависит от положения центра, вокруг которого он берется. Поэтому каково бы ни было положение центра, главный момент сил пары вокруг него равен главному моменту этих сил вокруг середины плеча, а следовательно, если Р — общая величина сил пары, ар — величина ее плеча, то главный момент сил пары вокруг всякого центра равен произведению Рр; направление же его одинаково с направлением оси пары. Этот главный момент называется моментом пары. Его изображают геометрически некоторой длиной, отложенной на оси пары.
Обращаемся теперь к решению поставленных выше задач статики для различных систем точек. При этом мы имеем в виду главным образом системы точек, подчиненных связям, потому что для систем свободных точек все вопросы статики решаются весьма просто без новых принципов, а при помощи только тех положений, которые служат основанием динамики одной свободной материальной точки. Условия уравновешивания сил, действующих на систему свободных точек, представляют ничто иное, как совокупность условий уравновешивания сил, действующих на каждую из точек системы в отдельности. Поэтому если п — число всех точек, и если Xv, Y^ Zv — проекции на координатные оси равнодействующей всех сил, приложенных к какой- либо точке М^ системы, то условие уравновешивания всех сил, действующих на систему, или, «условия равновесия» для системы свободных точек выразятся, Зп уравнениями вида Xv = О, 7V = О, Zv = 0 (v = 1, 2, ..., п). Если все Xv, Y^^ Zv даны как функции координат точек системы, то всякая система вещественных решений этих Зп уравнений относительно Зп координат определит положение равновесия системы.
Глава I
ТВЕРДОЕ ТЕЛО
Все вопросы статики по отношению к твердому телу могут быть решены элементарным способом на основании двух следующих положений: 1) две равные и прямо противоположные силы, направленные по прямой, соединяющей их точки приложения, принадлежащие какой-нибудь неизменяемой системе, взаимно уравновешиваются.
2) две силы, составляющие пару и приложенные к двум точкам неизменяемой системы, взаимно уравновешиваться не могут.
На основании этих положений может быть доказано, что две параллельные силы, действующие на твердое тело, вообще эквивалентны одной силе, или, как выражаются иначе, приводятся к одной равнодействующей силе, и что этой равнодействующей не существует только в том случае, когда силы составляют пару, так что пара не может быть уравновешена одной силой. Вообще, если на твердое тело действует несколько параллельных сил и Ри Р^ Р3 и т. д.— их величины, взятые со знаком «+» для сил одного направления, и со знаком «—» для сил прямопротивоположного направления, то во всех тех случаях, когда сумма Рг + Рй + Рз +••• не равна нулю, эти силы эквивалентны одной, величина которой равна численному значению этой суммы, а направление одинаково с направлением тех сил, которым соответствует знак этой суммы. Что касается точки приложения этой силы, называемой равнодействующей, то для нее возможно бесчисленное множество различных положений (которые все расположены на прямой, параллельной силам), из которых одно обладает тем свойством, что не зависит от общего направле-
ния параллельных сил. Это положение точки приложения равнодействующей называется центром рассматриваемых параллельных сил. Если координаты этого центра обозначим через хс9 ус, zC9 а координаты точек приложения параллельных сил — через хъ у19 zx; х2, у29 22 и т. д., то будем иметь
г+ ^2%2 + * * *, Ргуг + Р2У^ + е * *- Р1Z1 + Р^З + * е '
С Р1 + Р.+ -’ 9с"Р1+Р2+’ С” ^2 + ^2+'
Когда параллельные силы Р19 Р^ и т. д. есть силы тяжести, то, обозначая массы точек, к которым они приложены через т19 т^ ..., а ускорение силы тяжести — через g9 будем иметь
Pi = №. Р» = №
а потому центр этих параллельных сил будет определяться координатами
_ т^! + т^ + • • •__ /72^4-/72^2+«т^ут&у
с т^т^У •••’ Ус /тг1 + /тг2+ •••’ с тг-ут2-у ’
Этот центр называется центром тяжести системы точек т19 т29 ...
Когда Рг + Р2 + ... = О, система параллельных сил эквивалентна некоторой паре.
Вообще каковы бы ни были силы {Xv, Kv, Z^9 приложенные к точкам (xv, у^9 z^ твердого тела, они всегда эквивалентны одной силе и одной паре. Эта сила, называемая равнодействующей силой, геометрически равна вектору данной системы сил; точка же приложения ее может быть взята где угодно. Что же касается пары, называемой равнодействующей парой, то она может быть выбрана произвольно при условии, чтобы момент ее был геометрически равен главному моменту рассматриваемой системы сил вокруг точки приложения равнодействующей силы. Таким образом, момент равнодействующей пары зависит от выбора точки приложения равнодействующей силы. Если за эту точку принять одну из точек центральной оси рассматриваемой системы сил, то этот момент достигнет наименьшей величины. Когда этот наименьший момент равен нулю, рассматриваемая система сил эквивалентна одной силе, или приводится к одной равнодействующей силе. Необходимым и достаточным условием для этого служит равенство
LX + МУ + NZ = О,
в котором L, М, N9 X, У, Z имеют значения, определенные в § 2.
На основании сказанной эквивалентности всякой системы сил, действующих на неизменную систему точек, одной силе и одной паре выводятся все условия уравновешивания этих сил. В простейших случаях, которые могут при этом представиться, эти условия состоят в следующем.
В случае свободной неизменяемой системы (т. е. такой, шесть координат которой не подчинены никаким кинематическим условиям) для уравновешивания действующих на нее сил необходимо и достаточно, чтобы вектор этих сил и главный момент их относительно какого-либо центра были равны нулю. Условия равновесия в этом случае выражаются, следовательно, шестью такими уравнениями
Х = 09 У = О, Z = 09 L = 09 М = 0, Af = 0.
В случае неизменяемой системы, одна из точек которой неподвижна, для уравновешивания сил необходимо и достаточно, чтобы главный момент этих сил относительно неподвижной точки был равен нулю. Поэтому, если неподвижная точка принята за начало координат, условия равновесия в этом случае выражаются тремя уравнениями
L = О, Л4 = 0, N = 0.
В случае неизменяемой системы, две точки которой неподвижны, для уравновешивания сил необходимо и достаточно, чтобы сумма моментов этих сил относительно оси, проходящей через эти точки, была равна нулю. В данном случае, если эта ось принята за ось z, условия равновесия выражаются, следовательно, одним уравнением
N = 0.
В случае неизменяемой системы, одна из точек которой должна оставаться на данной поверхности, для уравновешивания сил необходимо и достаточно, чтобы главный момент их относительно этой точки был равен нулю и чтобы вектор этих сил составлял с нормалью к поверхности в этой точке угол, не превосходящий угла трения. Поэтому, если / = О есть уравнение поверхности, х, у, z — координаты той точки системы, которая должна оставаться на ней, и к — коэффициент трения, то условия равновесия выражаются в этом случае такими тремя уравнениями и неравенством
L + zY — yZ = О, М + xZ — zX = О, N + уХ — xY = О,
(X- + У + Z-)+ ^* + (4-)1 <
<(i+t-)(x-a. + r-g.+z^)'.
Заметим еще, что из условий уравновешивания какого-либо числа сил, действующих на свободную неизменяемую систему, легко вывести следующие результаты для случаев двух и трех сил.
Для уравновешивания двух сил, приложенных к точкам, неизменно связанным между собой, необходимо и достаточно, чтобы эти силы были равны, прямо противоположны и направлены по прямой, соединяющей точки.
Для уравновешивания трех сил, приложенных к точкам, неизменно связанным между собой, необходимо и достаточно, чтобы эти силы находились в одной плоскости, чтобы направления их пересекались в одной точке (которая может быть и бесконечно удаленной, т. е. силы могут быть и параллельными) и чтобы эти силы имели такие величины и направления, чтобы из них можно было составить треугольник.
Глава II
СТЕРЖНЕВЫЕ И ВЕРЕВОЧНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ
Система п точек Мъ М2, ..., Мп, подчиненных тому условию, чтобы расстояния между точками Мг и М2; Л12 и 7И3; ... ; Мп-\ и Мп оставались неизменными, называется стержневым многоугольником. Если же эти расстояния не должны только превосходить известных пределов, то такая система точек называется веревочным многоугольником. Такие названия этих систем точек присвоены потому, что связи их могут быть реализованы соединением точек Afv—i и М^ (v = 1, 2, ..., п) в первом случае посредством твердых невесомых стержней, а во втором — посредством гибких нерастяжимых невесомых нитей. Многоугольники эти могут быть замкнутыми, т. е. может быть дано еще условие, чтобы расстояние между точками Мг и Мп оставалось неизменным или не превосходило известного предела.
Если х^, yVi z^ — прямоугольные координаты точки Mv, то связи этих систем точек выразятся следующим образом:
для стержневого многоугольника
/12 — (х2 — х^2 — (z/2 — у^2 — (z2 — Zj2 = 0, /23 — (x3 — x2)2 —
— (Уз — УаУ — (^з — ЧУ = 0, ... , 1У-1,п — (x„ — X„-1)2 — (y„ — Z/„_1)2 —
-(zn-zn_1y = O,(5)
для веревочного многоугольника
/12 — (x2 — хгУ — <уй — z/J2 — (z2 — Z^ > 0, /23 — (x3 — хйу —
— (Уз — УгУ — (гз — ^гУ > 0, . .. , У-\,п — (х„ — Хп-1)2 — (у„ — Уп-хУ —
— (г„ — Zn-хУ > о,(6)
где /12,/23, ..., 1п-\,п—данные постоянные величины.
Точки Мг и Мп могут быть подчинены еще некоторым условиям, которые могут состоять или в том, что расстояние между ними также должно быть неизменным или не превосходящим известного предела, или в неподвижности этих точек, или в том, что они должны оставаться на некоторых данных поверхностях или линиях и т. п.
Пусть Xv, Kv, Zv — проекции на координатные оси силы, приложенной к точке Mv. Найдем условия уравновешивания всех этих сил. При этом начнем с рассмотрения стержневого многоугольника.
Положим, что силы (Xv, Kv, Zv}, действующие на точки Mv стержневого многоугольника, взаимно уравновешиваются. Очевидно, что нс нарушая равновесия, каждое из п — 1 условий (5), или, как мы будем говорить, каждый стержень MvAlv+i можно заменить некоторыми силами, действующими на связываемые им точки Mv и zMv+i. Эти силы, действия которых на точки Mv и Afv+i равносильны условию неизменяемости расстояния MvMv+i> называются реакциями стержня MvMv+\ на точки Mv и Mv+ь
Легко убедиться, что реакции каждого стержня на связываемые им точки равны, прямопротивоположны и направлены вдоль этого стержня. Для этого возьмем какие-либо две точки Mv и Mv+i многоугольника и, заменяя условия неизменяемости расстояний Mv-iMv и Mv+iMv+2 введением реакций стержней Mv-iMv и Mv+iMv+2 на точки Mv и Afv+b рассмотрим условия уравновешивания всех сил, приложенных к точкам Mv и Afv+ь Так как эти точки связаны неизменным образом, то для уравновешивания этих сил равнодействующая силы (Xv, Yv, Zv} и реакции стержня Mv— \MV на точку Mv должна быть равна и прямо противоположна равнодействующей силы {Xv+i, Kv+i, Zv+i} и реакции стержня _Mv+i Mv+2 на точку Ж+ь причем обе эти равнодействующие должны быть направлены вдоль стержня MvMv+i. Но если мы введем еще реакции этого последнего стержня, то можем точки Mv и Mv-h рассматривать как свободные. Выражая же их условия равновесия при этой новой точке зрения, придем к заключению, что реакция стержня MvA4v+i на точку Mv должна быть равна и прямопротивоположна равнодействующей силы (Xv, Yv, Zv} и реакции стержня Mv-iMv на ту же точку, а реакция стержня MvMv+i на точку Afv+i должна быть равна и прямо противоположна равнодействующей силы {Xv+i, Kv+i, Zv+i} и реакции стержня Mv+iMv+2 на точку Mv+i. Таким образом, находим, что реакции стержня МЖ+1 на точки Mv и Afv+i равны, прямо противоположны и направлены вдоль стержня AfvAlv+i.
Пусть Rv.v-н — общая величина реакций стержня AlvAlv+i на связываемые им точки. Полагая
^?v,v+l — ^v,v+l^v,v+b
когда эти реакции направлены так, что препятствуют удлинению стержня, так что могут быть названы натяжениями и полагая
-Rv.v+l = A'V.v+l^V.V+l
в том случае, когда эти реакции препятствуют ускорению стержня, так что могут быть названы давлениями, для обоих случаев найдем, что проекции на координатные оси реакции стержня MvMV4-i на точку Mv равны
^v,v+l (-^v+l — ^v), ^v,v+l (^v+1 — У^» ^v,v+l (Zv4-1 — 2v).
Вводя реакции j?v-i,v и R^^x, можем рассматривать точку Mv как свободную. Поэтому, выражая условия уравновешивания всех действующих на нее сил, получаем три следующих уравнения:
Xv — ^v—l,v (*v — Xv—1) 4~ ^v,v+l («^v+l-^v) == 0,
Kv Xv_i>v (yv ^/v—1) 4” ^v,v+l (yv+1^v) = 0,(7)
Zv — ^v—l,v (2v2^—1) + ^v,v-t-l (2v+l — 2v) — 0«
Если точки Мг и Мп не подчинены никаким другим условиям, кроме тех, которые заключаются в уравнениях (5), то здесь v можно давать все значения от 1 до п включительно, полагая, разумеется, \х = 0 и Хп,п+1 = 0.
Если точки Мг и Мп связаны между собой неизменным образом, т. е. многоугольник есть замкнутый, то в уравнениях (7) также можно давать v все значения от 1 до п включительно, причем нужно полагать
^01 ” ^п,гг+1 ” ^Хп = i Rxn—i >
где Rxn — реакция стержня MvMn) а 1хп — длина его. Притом под x0, у0> 20 понимаем хт уп) zm а под х/г+ь уп+1, zn+x — хь ^, zv
Таким образом, в обоих этих случаях мы будем иметь Зп уравнений вида (7). Но в первом случае в них будет входить п — 1 величин X, а во втором п. Поэтому, исключая из этих уравнений все X, мы получим в первом случае 2п + 1, а во втором — 2п уравнений, которые и будут представлять условия равновесия. Если все силы {Xv, Kv, Z^ даны в зависимости от координат точек, то все положения равновесия системы найдутся решением относительно Зп координат Зп уравнений, которые будут состоять: в первом случае из 2п +1 условий равновесия и п — 1 кинематических уравнений (5), а во втором — из 2п условий равновесия и п — 1 уравнений (5) вместе с уравнением
(х„ — х^ + кУп — Уг? + к2п — Z1)2 = fin .
Если точка Мп не подчинена никаким новым условиям, а точка Мх неподвижна, так что хг^ухА— данные постоянные, то, давая v все значения от 2 до п включительно с условием, что Хп,п+1 = 0, получим из (7) Зп — 3 уравнений, в которые будет входить п — 1 величин X. Поэтому, исключая из них последние, придем к 2п — 2 уравнениям между координатами и силами {Х2, Г2, Z^, ..., {Хп, Yni Z^, которые и будут условиями равновесия. Если (Xv, Yv, Z^ даны в функциях координат, то решением этих 2п — 2 уравнений вместе с п — 1 уравнениями (5) относительно Зп — 3 координат х^ у^ г2, ••., хп, уп, zn определим все положения равновесия системы.
Если вместо условия неподвижности точки МТ дана поверхность, на которой она должна оставаться, т. е. дано условие
f (Хг, У1, 21) = о,(8)
то, полагая в уравнениях (7) последовательно
v = 2, 3, ... , п
при условии, что %пл+1 = 0, получим из них Зп — 3 уравнений того же вида, что и в предыдущем случае. Но к этим уравнениям мы должны теперь присоединить еще условия равновесия точки Мг, которые в случае, когда поверхность (8) идеальная, выразятся двумя такими уравнениями
^1 + ^12 (Х2 Х1) ^1 + ^12 (Уъ У-д __ ^1 + ^12 (Z2Zl)dt — dfdf
дхгдугдг^
Таким образом, в этом случае мы получим всего Зп — 1 уравнений равновесия с п — 1 величинами X и, следовательно, 2п результатов исключения последних или условий равновесия. Решая эти 2п уравнений вместе с уравнением (8) и п — 1 уравнениями (5) относительно Зп координат, получим все положения равновесия системы.
Легко также найти условия равновесия и для случая, когда точка Мг принуждена оставаться на данной линии, а также и для всех тех случаев, когда кроме рассмотренных условий, которым подчинена точка Мь даны еще подобные же условия для другой крайней точки многоугольника Мп.
Обратим внимание на шесть результатов исключения величин X из всех уравнений вида (7) в случае, когда многоугольник замкнутый или когда он незамкнутый, но крайние точки его не подчинены никаким особым условиям.
Для обоих этих случаев, как нетрудно в том убедиться, в числе результатов исключения величин X или в числе условий равновесия будут шесть следующих:
Х = 0, Г = 0, Z = 0, L = О, М = 0, N = 0, где приняты прежние обозначения (см. § 2).
Это обстоятельство можно было предвидеть, потому что в число условий равновесия рассматриваемой системы точек должны заключаться и условия равновесия неизменяемой системы, ибо если силы {Xv, Kv, Z^, действуя на точки нашего многоугольника, взаимно уравновешиваются, то, не нарушая равновесия, можно предположить, что все эти точки связаны между собой неизменным образом.
Легко также убедиться, что шесть подобных уравнений будут иметь место и для всякой промежуточной части многоугольника MsMfe (п*> k> s > 1), каким бы условиям ни были подчинены его крайние точки Мг и Мт если только к силам {Xv, Y^ Zv}, действующим на точки Ms, A4s+i , . Al^-i, Mfe, прибавить реакции 7?s-i,s стержня 7И$_17И$ на точку Ms и Кь,^ — стержня MfeMk+i на точку Мк. Поэтому мы будем иметь между прочим такие уравнения к
S Ху Xs—i,s ^sХ$—1) ~H ^,^4-1 (^-f-i — X^ = 0,
v=s
к
Ц yv — Xs-1,5 (ys — ys-1) + XkW (yk+i — yj = 0,(9)
v=s
к
S ^v — Xs— i,s (2S2$—1) -|- X^^i (2£_ц — 2^) = 0,
v=s
к
S (y^Zv^Yv) — Xs—1,$ (2sys—iysZs_\^ + ^,^4-1 (2^4-1 y^ — Ук-^xZ^ = 0,
v—s
к
(2yXv XvZy)Xs—l,s C^s^s—12SXS—1) + X^^_|_i (Xfe_|_j2^ — Zk-^-lX^ = 0, (10)
v=s
к
Xi ^VYv ^/vXv)Xs— 1,S {ysXs— 1Xsys— 1) + X/^^] (yk^-iX^ — Xk^iykj ~ 0.
v=s
От рассмотренных нами стержневых многоугольников весьма легко перейти к многоугольникам веревочным. Последние от первых отличаются тем, что для них вместо неизменяемости каждого из расстояний AfvAfv+i дается условие, что это расстояние не должно превосходить известной величины /v.v+ь Поэтому, если все расстояния A4vAlv+i равны своим пределам /v.v+ь что мы и будем предполагать, то случай веревочного многоугольника от случая стержневого будет отличаться только тем, что для него реакции связей не должны иметь таких направлений, при которых они препятствовали бы уменьшению этих расстояний. Эти реакции, которые мы будем называть натяжениями нитей, связывающих точки, могут иметь, следовательно, только такие направления, при которых они препятствуют увеличению расстояний MvMv+ь Поэтому, используя прежние обозначения и припоминая данное выше определение величин А, мы должны при переходе к веревочному многоугольнику поставить еще условие, чтобы ни одна из этих величин не была отрицательной. В этом добавочном условии и будет состоять единственное отличие случая веревочного многоугольника от случая стержневого, для которого множители К могли быть как положительными, так и отрицательными.
Таким образом, в случае веревочного многоугольника мы будем иметь те же уравнения равновесия, что и в случае стержневого многоугольника. Но к этим уравнениям должны будем присоединить еще п — 1 условий вида
Av,vT-l ^ 0. (11)
Поэтому для веревочного многоугольника условия равновесия (результаты исключения всех X) выразятся 1) теми же уравнениями, что и для стержневого многоугольника и 2) п— 1 условиями, получаемыми из (11), если в последних заменить А теми функциями координат и сил, которые для них следуют из уравнений равновесия.
Из сказанного здесь видно, что всякое положение равновесия, возможное для веревочного многоугольника, будет возможно и для стержневого. Обратное же вообще не будет справедливо; между положениями равновесия стержневого многоугольника только те будут положениями равновесия веревочного многоугольника, которые не противоречат условиям (11).
Показав различие между решениями вопросов о равновесии для стержневых и веревочных многоугольников, мы будем эти многоугольники рассматривать вместе.
Положим, что крайние точки многоугольника Мг и Мп не подчинены никаким особым кинематическим условиям и пусть силы {Ху, Kv, Z^, приложенные к его вершинам, имеют направления, параллельные некоторой плоскости. При этом в числе положений равновесия многоугольника могут быть такие, при которых стороны его заключаются в одной плоскости, параллельной силам. Рассмотрим эти положения равновесия.
Принимая плоскость многоугольника за плоскость ху, будем иметь
= 2» = • • • = 2„ = 0, Zx = Z2 = • • • = Zn = 0.
Вследствие этого Зп уравнений равновесия (7) для рассматриваемого случая дадут только 2п следующих уравнений равновесия:
Ху Ау—i,v (Лч ■ ^v—i) "4™ Av,v+i (-^v-j-i ^v) — 0,
Kv — Av_i,v (y^ Уч—i) “F Av,v+i (Уч-ц — y^ — 0*
Исключая из этих уравнений п — 1 входящих в них множителей А, получим п + 1 условий равновесия, выражаемых уравнениями. Если Xv и Уу даны в виде функций координат, то этих п +1 уравнений вместе с п — 1 уравнениями связей вообще будет достаточно для определения всех 2п координат, 394
соответствующих положениям равновесия многоугольника. Но Xv и Kv могут быть заданы также в виде функций значка v, не зависящих от координат. Мы теперь и рассмотрим этот случай, в котором задается величина и направление силы, приложенной к каждой точке М^ многоугольника независимо от положений этой и остальных точек многоугольника. В этом случае в числе п + 1 условий равновесия, выражаемых уравнениями, два
Е xv = о,
V=1
не будут зависеть от координат. Эти условия показывают только, что силы {Xv, yv} не могут быть заданы произвольно (а именно, они должны быть таковы, чтобы из них можно было составить замкнутый многоугольник). Поэтому эти п + 1 условий равновесия дадут не более п — 1 уравнений между координатами, а потому всего (т. е. вместе с уравнениями связей) мы получим не больше 2п — 2 уравнений между координатами, которые притом, как нетрудно видеть, будут зависеть только от разностей
Xv — Xv—1, Z/v — У^—1 (^ — 2, 3, • • • , ^)•
Отсюда видно, что в рассматриваемом случае положение одной из точек, например точки Мг, можно задать произвольно, после чего из упомянутых 2п — 2 уравнений вообще найдутся координаты остальных п — 1 точек. Мы покажем теперь, что эта задача об определении положений остальных точек может быть решена графически.
Принимая известный масштаб для линейного изображения сил, построим многоугольник Р4Р2Р3 ..., в котором стороны FXF2, F2F3, F3F4 и т. д. были бы соответственно равны и одинаково направлены с силами {Хь Ух), {Х2, У2) и т. д. Многоугольник этот, называемый многоугольником сил, вследствие условий (12), будет, конечно, замкнутым. Затем проводим прямые FXF2> FXF3) FXF4 и т. д., соединяющие вершину Рх со всеми остальными вершинами многоугольника. Легко убедиться, что прямые эти представят по величине и по направлению реакции стержней или нитей МХМ^ М2М3, М3М4 и т. д., приложенные соответственно к точкам М2, М3) М4 и т. д. В самом деле, реакция стержня МХМ2 на точку Мх должна быть равна и прямо противоположна силе {Хх, KJ, а следовательно, реакция этого стержня на точку М2 равна и одинаково направлена с силой {Хх, Ух} и, следовательно, изображается длиной FXF2. Далее, реакция стержня Л42Л43 на точку М2 должна быть равна и прямо противоположна равнодействующей силы {Х2, У2) и реакции стержня МХМ2 на точку М2 и, следовательно, изобразится длиной F3FV Поэтому реакция стержня М2М3 на точку 7И3, как равная и прямо противоположная ей, изобразится длиной FXF3. Точно так же найдем, что реакция стержня М3М4 на точку М4 изобразится длиной FXF4 и т. д.
Принимая теперь в расчет то обстоятельство, что реакции стержней или нитей МХМ2, М2М3 и т. д. направлены вдоль этих стержней или нитей, мы отсюда заключаем, что многоугольник МХМ2М3... примет в положении равновесия такую форму, что его стороны МХМ2, М2М3) М3М4 и т. д. будут параллельны прямым РХР^ FxF3, FaF4 и т. д. При этом если этот многоугольник стержневой, то для каждой стороны его МкМ^х возможны оба направления jFxFft+i и F^iFx. Если же это веревочный многоугольник, то для стороны
М4 ^МкМ^\ возможно только одно
Me/*>^гнаправление, прямо противопо-
Гложное Г^^ь
м/\^Основываясь на этом, мож-
Г^Ч но определить форму равновесия \веревочного многоугольника сле- 7 дующим построением: через какую-нибудь точку Мг проводим прямую МХМ^ равную /12 и одинаково направленную с F2FV Через точку М2 проводим прямую "^2И2Л73, равную /23 и одинаково
Рис. 39.направленную cF3FP Через точ
ку Л43 — прямую Л73Л74, равную Z34 и одинаково направленную с F4FT и т. д. Получится многоугольник MiM2M3M4..., который и будет представлять искомую фигуру равновесия. Решение, очевидно, будет только одно.
Подобным же построением решится вопрос о фигуре равновесия и для стержневого многоугольника. Но при этом получится несколько решений вследствие того, что для каждой из сторон его 74vV4v+i возможно каждое из двух направлений, параллельных прямой ГгГ^х. Если число всех точек по-прежнему есть п, то число различных фигур равновесия, очевидно, будет 2Л~1.
Показанное здесь графическое решение вопроса о равновесии веревочного или стержневого многоугольника принадлежит Варинъону.
Глава III
ГИБКАЯ НЕРАСТЯЖИМАЯ МАТЕРИАЛЬНАЯ НИТЬ
Положим, что число сторон веревочного многоугольника беспредельно возрастает, сами стороны уменьшаются, приближаясь к нулю, и массы материальных точек его также уменьшаются, приближаясь к нулю, притом так, чтобы сумма масс всех точек, расположенных на каждой единице длины периметра многоугольника, приближалась к конечному пределу. В пределе веревочный многоугольник обратится в систему точек, известную под названием гибкой нерастяжимой нити.
Каждую точку М (х, у, 2) нити можно определить длиной s дуги нити, заключающейся между этой точкой и одним из концов нити. Принимая один из этих концов за начало для отсчитывания s, мы будем называть положительным то направление нити, по которому s возрастает. Всякая форма нити при этом может быть определена уравнениями вида
X = f^, g = <p(s), z = ^(s).(13)
Но функции /, ф, ф здесь, очевидно, не вполне произвольны. В самом деле, s — длина дуги той кривой линии, форму которой приняла нить и уравнения которой есть уравнения (13). Поэтому мы должны иметь
ds2 = dx2 + dy2 + dz2,
т. e. функции f, ф, ф всегда должны удовлетворять уравнению
O)]2W(s)l2 + №W=l.
Очевидно, что это уравнение
ds ) V ds / \ ds / ~ 1
(которое должно иметь место для всякого s) можно рассматривать как совокупность уравнений связей: уравнение заключает в себе совокупность всех тех уравнений, в которые в пределе обращаются уравнения (5).
Следует заметить, что вследствие сделанного условия относительно того, какое направление нити будет рассматриваться как положительное, величины dx du dz
”ds' "is' "ds' входящие в уравнение (14), представляют косинусы углов с координатными осями положительного направления касательной в точке М (Х, у, 2) К нити.
Возьмем какую-нибудь точку М нити. Пусть М' есть бесконечно близкая к ней точка нити. Обозначим длину дуги ТИТИ' через As и сумму всех масс материальных точек, расположенных по ней, через т. Эта сумма масс представит массу части МАГ нити. С приближением точки МТ к совпадению с точкой М как As, так и т будут приближаться к нулю. Отношение же ^ будет приближаться при этом к пределу а, называемому линейной плотностью, или, просто, плотностью нити в точке М. Вообще а будет некоторой функцией s; в частности же а может быть постоянной для всей нити. В последнем случае нить называется однородной.
При рассмотрении действия сил на материальную нить мы будем предполагать, что эти силы есть пределы сил, действующих на точки веревочного многоугольника, получаемые в предположении, что величины этих сил с беспредельным возрастанием числа его сторон уменьшаются до нуля, а направления их приближаются к некоторым предельным направлениям, изменяющимся непрерывно при переходе от одной точки нити к другой, причем вектор всех сил, приложенных к точкам каждой единицы длины периметра многоугольника, приближается к некоторому конечному пределу.
Пусть
SXV, SKv, 2ZV
есть суммы проекций на координатные оси всех сил, приложенных к точкам части ММ* нити. Эти суммы, по только что замеченному, с приближением точки Mf к совпадению с точкой М будут приближаться к нулю. Отношения же
2XV SFV SZV
As * As ' As
вообще будут приближаться при этом к некоторым конечным пределам. Пределы эти, которые мы обозначим через X, У, Z, называются проекциями на координатные оси, отнесенной к единице длины нити силы, действующей на ее точку М. Эти величины X, У, Z и будут встречаться везде далее в наших формулах. Вообще в динамических вопросах, относящихся к материальной нити, всегда приходится иметь дело с силами, отнесенными к единице длины. Величины X, У, Z будут, конечно, некоторыми функциями s.
При переходе к пределу натяжение каждой стороны веревочного многоугольника будет приближаться к некоторому пределу т, который называется натяжением нити в соответственной точке. Это т будет некоторой функцией s, которая не должна получать отрицательных значений. Направление т, очевидно, будет совпадать с касательной к нити.
Чтобы получить уравнения равновесия нити, возьмем те три уравнения, в которые обращаются в пределе (при переходе от веревочного многоугольника к нити) уравнения (9). Если рассмотрим бесконечно малый элемент
ММ' нити и значения величин т, -^- , -^-, -^- в точке М' обозначим as 7 as as
, ( dx V ( du \ / dz V через т , , ту ММ' будут2XV — t-^ + t' (-^Y v ds 1 \ ds /, ( dx V ( du \ / dz V через т , , ту ММ' будут2XV — t-^ + t' (-^Y v ds 1 \ ds /то эти уравнения по отношению к элемен-
, ( dx V ( du \ / dz V через т , , ту ММ' будут
2XV — t-^ + t' (-^Y v ds 1 \ ds /
, ( dx V ( du \ / dz V через т , , ту ММ' будут
2XV — t-^ + t' (-^Y v ds 1 \ ds /
= 0, Syv —t-^ + v(-^-Y = 0, ds \ ds /*
*7 dz t( dz ।
SZV—т—т-Ч-т'-з— =0v ds 1\ ds /
(предполагая, что положительное направление нити идет от М к М').
ЗУ lim—^ЗУ lim—^22vAs22vAs= Z,= Z,Иш &s->0Иш &s->0sxv Assxv AslimAs->0limAs->0Разделим теперь эти уравнения на As и затем будем приближать точку М к совпадению с точкой М'. В пределе найдем
ЗУ lim—^
ЗУ lim—^
22vAs
22vAs
= Z,
= Z,
Иш &s->0
Иш &s->0
sxv As
sxv As
lim
As->0
lim
As->0
Поэтому наши уравнения в пределе обратятся в следующие:
(т 4") + х = °, -^-(т-^-Н У = 0, 4-('c^ + Z = 0. (15) ds \ ds / 1’ ds \ ds ) ‘ds \ ds J 1' '
Таких уравнений мы будем иметь бесчисленное множество, потому что для каждой точки М (х, у, z) нити должны иметь место такие уравнения. Это же, очевидно, равносильно утверждению, что для уравновешивания сил {X, У, Z^, приложенных к точкам материальной нити, необходимо, чтобы координаты всякой точки М (s) ее и натяжение т в этой точке были функциями от s, удовлетворяющими трем дифференциальным уравнениям второго порядка (15). Когда X, У, Z даны в функциях х, у, z, s, то этих трех уравнений вместе с уравнением (14) будет достаточно для определения вида четырех функций х, у, г, т.
При этом три уравнения
х = П§\ у = <^, г = ф($)
определят кривую линию, форму которой примет нить в положении равновесия. Но нужно иметь в виду, что могут быть приняты только такие решения, для которых т оказывается функцией от s, удовлетворяющей условию
т 0
для всякого s, заключающегося между 0 и /, если I — длина всей нити.
Что касается произвольных постоянных, введенных интегрированием, то они определятся по данным предельным условиям, т. е. по условиям, относящимся к концам нити. Поэтому теперь нужно обратиться к решению вопроса о числе этих постоянных и, следовательно, о числе предельных условий, которые должны быть даны.
Далее мы будем предполагать, что X, Y, Z — данные функции координат х, у, z и дуги s. Это есть самый общий случай задания силы. Чаще всего такой вид функций X, Y, Z будет происходить вследствие того, что силы, под действием которых находится нить, есть данные функции координат, пропорциональные массам тех материальных точек, на которые они действуют (каково, например, ньютоновское притяжение, исходящее из некоторого неподвижного центра). В этом случае проекции на координатные оси вектора всех сил, приложенных к точкам бесконечно малого элемента нити ММ',
масса которого есть т, выразятся следующим образом:
SXV = m (%' + a), 2Fv = m(Y* + р), SZV = m (Z' + у),
где X', Y', Z* — данные функции x, у, г координат точки М, а а, 0, у — бесконечно малые величины. Поэтому, разделяя эти выражения на As и затем переходя к пределу для As -> 0, получаем следующие выражения для
Х = иХ\ Y = aY\ Z = gZ\
где а — плотность нити в точке /И. Поэтому это есть данная функция от s. Таким образом, в рассматриваемом случае X, Y, Z выразятся в виде произведений некоторых данных функций координат X', У', Z' на одну и ту же данную функцию s.
Положим
т dx , du r dz ,
dsds у ’ ds
Тогда в силу уравнений (14) найдем
т = Ух'2 + у'2 + г'2.(16)
Отсюда видно, что система четырех уравнений (14) и (15) с четырьмя неизвестными функциями х, у, 2 и т равносильна следующей системе шести уравнений dx х’dy yrdz zr
^-=—Х, -^L = —Y, ^- = —Z(17)
dsdsdsv 1
вместе с уравнением (16).
Так как X, У, Z — данные функции х, у, 2, s, то система (17) есть система шести дифференциальных уравнений первого порядка с шестью неизвестными функциями х, у, 2, х\ у’, 2* и независимой переменной s. Интегрирование ее дает поэтому для этих неизвестных функций выражения, содержащие шесть произвольных постоянных, после чего определится т по формуле (16) без нового интегрирования.
Таким образом, мы видим, что самые общие выражения функций х, у, 2, т, удовлетворяющие уравнениям (14) и (15), будут зависеть от шести произвольных постоянных, а потому и число предельных условий, которые должны быть заданы для полной определенности задачи, равно шести.
Рассмотрим некоторые из этих условий. Пусть
х = / (s, С\, С2, ... , С6), у = ф (s, С^, С2, ... , С6),
2 = ф (s, Ст, С2, ... , С6), т = F (s, С1Э С2, ... , С6) суть найденные выражения для х, у, 2. т с шестью произвольными постоянными С2, ..., Сб.
Если концы нити должны быть неподвижны, то шесть задаваемых предельных условий состоят в том, что даются три координаты одного конца и три координаты другого. Пусть х0 у^ 20 — данные координаты начала (т. е. того конца, от которого отсчитывается s) и хг ух, 2Х — данные координаты конца. Шесть постоянных определятся из шести следующих уравнений:
/ (О, Съ С2, ... , С6) = х0, ср (О, С1$ С2, ... , С6) = у0,
ф(0, Cv С2, ... , С6) = z0,
/ V) СХ) С2, • ♦ • , С6) = хх, ср (Z, С1$ С2, ... , С6) == уХ1
^2, • • • , С6) = 2Х.
Если начало нити неподвижно, а конец ее должен оставаться на данной идеальной поверхности
X (*, У> 2) = О, то шесть задаваемых предельных условий состоят в том, что даются три координаты начала нити х0, у0, z0 и три следующих условия, относящихся к концу ее: он должен находиться на данной поверхности
M^i. У1.21) = о
и натяжение нити в нем должно быть нормально к поверхности, т. е.
Ч (xv Уь zi) Ч ^ У1» zi) xz (*i’ Уи г^ ’
где М*> у, г) = -^ , ^(х, у, z) = -^ , Х2(х, у, г) =.
Если положим
А^ВдВдддддВк. = ^, (^ с^ ^Cg)
и т. д., то для определения шести постоянных в этом случае будем иметь шесть следующих уравнений:
/ (0> ^1> ^2» • • • » ^в) = ^0, Ф (®> ^1> ^2> • • • > ^б) = Уй»
Ф (0, Cv С2, ... , Q = z0,
[/ (^, ^Ь ^2» • • • > ^*б)> Ф G> ^1> ^2» • • • > ^б)> Ф U» ^1> ^2> • • • , ^б)1 “ 0,
,Г (к cv С2. С6)=
^х [/ V> ^1» С2,С6), ф (/, Cj, С2, ... , Св), ф (/, Cv С2> • .., с6)]
ф' U> £i> С2> ... , Св)
^у [/ У» Ci> С2, . . . , Св), ф (Z, Cv С2, . . . , Св), ф (/, С1# С2, ..., с6)]
Ф' У> С-£, С2, . . . , С6)
~ x;vfv, cv С2, ... , С6), ф(/, cv С2, . . . , С6), ф(/, cv с2, ... , с6)] •
Предельные условия могут состоять также в задании положения одного из концов нити и в задании величины и направления натяжения ее в этом конце. Если эти условия относятся, например, к началу нити и а, 0, у — проекции на координатные оси данного натяжения в этой точке, то уравнения для определения постоянных будут следующего вида:
/ (0> ^1» ^2> • • • > ^б) = -^о, Ф (0, Cv С2, . .. , С^ = у0,
Ф (^i, С2, ... , Сб) = z0,
^ (0> ^1» ^2, • • • , ^e)f (0, С1? С2, ... , С6) = а,
^(0, Cv С^ ... , Сб)ф'(0, сх, с2, ... , С6) = р,
^(0, Съ С2, ... , С6) ф' (0, Cv С2, ... , С6) = у.
Вообще предельные условия могут состоять из каких-либо шести данных уравнений вида
0(хо, yOt z0, хи yv 21# т0, тх) = 0,
где т0 и тх — натяжения нити в начале и в конце.
В тех случаях, когда силы, под действием которых находится нить, зависят только от положения в пространстве той точки, на которую они дейст- 400
вуют и нисколько не зависят от того, к какой точке нити приложены, другими словами, когда X, Y, Z — функции координат х, у, г, не зависящие от s, вопросы о равновесии нити аналогичны вопросам о движении свободной точки.
Чтобы показать это, заменим в уравнениях (14) и (15) независимую переменную s новой переменной t, связанной с ней уравнением
Тогда уравнение (14) примет вид (,\2/ .\2 f j \ 2
dx \\/dz\
dt / + \ dt / + \ di /
а уравнения (15) преобразуются в следующие:
71 dx V । d^ Y । / dz V"d^ = —ZV \^) + l^d + ^/ *
Если же в этих уравнениях рассматривать t как время, то это будут дифференциальные уравнения движения свободной материальной точки, масса которой равна единице и которая находится под действием силы, имеющей проекциями на координатные оси
Величина этой силы пропорциональна скорости точки и некоторой функции координат; направление же ее зависит только от координат.
Решая вопрос о движении точки под действием силы (18), мы тем самым решаем вопрос и о равновесии нити под действием силы {X, Y, Z}. Форма, которую примет нить в положении равновесия, находясь под действием этой силы, очевидно, будет тождественна с траекторией этой точки, если начальное положение точки одинаково с положением начала нити, а величина и направление начальной скорости — с величиной и направлением натяжения нити в ее начале. При этом натяжение нити в каждой ее точке будет равно скорости движущейся точки.
Обращаемся теперь к некоторым преобразованиям уравнений (15). Уравнение (14) дает
dxd2x dyd2y, dzd2z
dsds2* dsds2 dsds2
Поэтому замечая, что уравнения (15) могут быть представлены в виде
dx dx ,d2x , v n
—1 —3—T —, o A. — U
ds ds 1ds2 1
dx dy dz
и т. д., умножая эти уравнения соответственно на -^- ,-^- и скла-
d2x d2y d2z
дывая результаты, и также умножая их на -^-, -^-> ~^- и складывая
результаты, получаем два следующих уравнения:
+Y^- + Z^- = 0,(19)
dsdsds ' ds ’x '
Г/ <Px V / d^y V / d^z VI x d^x у d^y „ d^z n
Последнее уравнение может быть еще несколько преобразовано, если заметим, что
d2x cos (р, х) d2y cos (р, у) d2z cos (р, z) ds2р ’ ds2р ’ ds2р ’
где р означает величину и направление радиуса кривизны линии, форму которой принимает нить (здесь за направление радиуса кривизны принимается направление, идущее к центру кривизны). Вследствие этого, обозначая через F величину и направление силы (отнесенной к единице длины нити), последнему уравнению можем дать вид
т = — Fp cos (F, р).(20)
Так как т, F, р — величины положительные, то из этого уравнения следует cos (F, р) < 0.
Таким образом, мы приходим к заключению, что форма равновесия нити, находящейся под действием данных сил, всегда такова, что радиус кривизны ее составляет тупой угол с направлением силы в каждой точке нити и что притом натяжение нити равно произведению радиуса кривизны и проекции силы на направление, противоположное радиусу кривизны.
Что касается уравнения (19), то оно может быть полезно в тех случаях, когда силы под действием которых находится нить, имеют силовую функцию, т. е. когда Х9 Y9 Z — частные производные по х, у, г некоторой функции V координат. В самом деле, в этом случае уравнение (19) приводится к интегрирующемуся
ds ds
и дает один из интегралов уравнений (15) в виде
% = h — V,(21)
где h — постоянная. Можно заметить аналогию этого интеграла с уравнением живой силы в движении материальной точки.
Рассмотрим некоторые случаи, в которых форма равновесия нити есть плоская кривая.
Положим, что силы удовлетворяют условию
АХ + BY + CZ = 0,(22)
где А, В, С — некоторые постоянные. Вследствие этого условия уравнения (15) дадут
л d (dx \. D d (dy \ ,d /dz \ A
A—T- T -5— + В-7- т V- + C-7— T -;— = 0, ds \ds ) ds \ds J vds \ds /’
откуда находим такой интеграл
т ^Ах + By + Cz) = const = D
и, следовательно, если х0, у0, z0 — координаты начала (т. е. соответствуют s = 0), то
s
Д(х-хо) + 8(У-УоНС(г-г«м1т' (23)
о
Обозначая через хг, ух, гх координаты конца нити, положим, что они удовлетворяют условию
A fo — х0) + В (ух — у») + С (zT — z0) = 0.(24)
Но вследствие только что полученного равенства (23) это условие равносильно следующему
S
D ( — = 0,
о
которое может быть удовлетворено только при D = 0, ибо интеграл не может быть равен нулю (так как т > 0). Но если D = 0, то уравнение (23) обращается в уравнение
А (х — х0) + В (у — у0) + С (z — г0) = 0, имеющее место для всякой точки нити.
Таким образом, мы приходим к заключению, что если элементы нити находятся под действием сил, параллельных некоторой плоскости (условие 22)) и если концы нити находятся в плоскости, параллельной последней (условие 24)), то форма равновесия нити будет плоской кривой, лежащей в этой плоскости.
Можно показать, что форма равновесия нити будет всегда плоской кривой, когда нить находится под действием центральных сил (т. е. таких, направления которых проходят через одну и ту же точку — «центр»). Плоскость этой кривой будет проходить через центр сил. В самом деле, принимая за начало координат центр сил, будем иметь
х “ у " г '
а потому уравнения (15) дадут
d / du \ d ( dz \~
2 т — и -г- т -т- = 0ds \ ds / у ds \ ds )
ИЛИ d Г / du dz ~ ds V \ ds у ds / J откуда
I du dz \ лт z У-3—1 = А,\ dsу ds /’
где А — величина постоянная. Точно также из уравнений (15) найдем
( dz dx \ п ( dx du \ т х г -т- = В, т \и х -7- = С, \ ds ds )’ v ds ds )’
где В и С — две новые постоянные. Из этих же трех уравнений получим
Ах + By + Сг = 0, отсюда и следует справедливость сказанного.
Рассмотрим случай тяжелой нити. Когда нить находится только под действием силы тяжести, то, по замеченному в предыдущем параграфе, форма равновесия ее будет плоской кривой, заключающейся в вертикальной плоскости. Примем эту плоскость за плоскость ху, направляя ось у вертикально сверху вниз. Тогда будем иметь
X = 0, У = og,
где ст — плотность нити и дифференциальные уравнения равновесия нити примут вид
d / dx \ nd /du \,Л
т- т —j~ = 0,—г- т-г-1+ стц= 0.
ds \ ds )’ds\ds J16
Понимая под С произвольную постоянную, из первого уравнения находим
(25)(25)Т^- = С,ds
(25)
(25)
Подставляя следующую отсюда величину т во второе уравнение, получаем с 4 (4)<26> Когда о дана в функции s, то это уравнение и послужит для определения формы равновесия нити. Легко видеть, что интегрирование его приводится к квадратурам. В самом деле, если значение ^ для s = 0 обозначим через уо, то из него находим
с -^- = Су0— g j ads.
Но мы имеем
\dx )1 ^\dx ) ’
а потому найдем
откуда при помощи квадратур найдутся х и у в функциях s.
Предположим нить однородной. Уравнение (26) может быть представлено в виде
d^y
где знак «+» относится к случаю, когда ^ > 0, что в силу (25) равносильно С > 0, а знак «—» к противоположному случаю (С< 0). Поэтому если, понимая под к положительную постоянную, положим
то это уравнение примет вид
d^y
и интегрированием его найдем
InIndy dxdy dx+ к (х — а) = О,+ к (х — а) = О,
In
In
dy dx
dy dx
+ к (х — а) = О,
+ к (х — а) = О,
^ = _L ^—к(х—а) gk^x—a^^ = _L ^—к(х—а) gk^x—a^где а — произвольная постоянная. Отсюда
^ = _L ^—к(х—а) gk^x—a^
^ = _L ^—к(х—а) gk^x—a^
и, следовательно,
откуда
и
(27)(27)у — р =^- [е^-а) + е-^-а>],
(27)
(27)
где р — новая постоянная. Таково уравнение линии, представляющей форму равновесия однородной тяжелой нити.
Так как однородная тяжелая цепь, рассматриваемая как нить, принимает форму линии, определяемой уравнением (27), то последняя и называется цепной линией. Линия эта состоит из одной бесконечной ветви, симметрично расположенной относительно вертикальной оси х = а, пересекающей ее в самой низшей ее точке, для которой
Рассмотрим, какими уравнениями определяются постоянные a, р, к, когда даны положения концов (х0, у^ и (хп у^ и длина I нити.
Для этого мы имеем, во-первых, два следующих уравнения:
у0 — Р + -^- ^*0-^ + е-^'о-")] = О,
,(28)
У1 ~ Р + 4~ [^(Х1-а) + ег-^-аЛ = 0.
ds
Третье получится следующим образом: предполагая *^->0, имеем
44 = 1/^+Wy = 4
X
откудаs = 4 I [е6(-*—«) -|- g-^-a)]
и, следовательно, третье уравнение будет следующее:
е^хг-а) — g-fef^-a) — ек(х,-а) _|_ g-A(x„-a) — 2^/.(29)
Легко показать, что при всяких данных х0, Уо, *1» уу и /, удовлетворяющих ds
условиям хх > х0 (ибо мы предположили -^ > 0) и /2 ^ ^ — х0)2 + + (У1 — Уо)2 (ибо расстояние между концами нити не должно превосходить длины ее), уравнения (28) и (29) определяют fc, а и р однозначным образом.
Для этого замечаем, что исключение р из уравнений (28) приводит к следующему
gk^-a) _|_ g-k^-a) — e4(*,-a) — g-k(x,-a) = 2k (у, — у,),
а это уравнение вместе с (29), дает два следующих уравнения _ ^(х0-а) = Уг (/ + y0 — yj,
е-к(ха-а) „е-Цх.-а) = к^_уо +У1^t '
перемножением которых находим
^(Xi—х0) _[_ е—ккхх~х^ — 2 = й2 [/2 — ^ух — #0)2],
откуда получается такое уравнение для определения к
^_ е- 4_ к утг__—^= о (з1)
Легко убедиться, что это уравнение всегда имеет и притом только один положительный корень. В самом деле, обозначая первую часть этого уравнения через / (к), имеем
Ит -ф- = х1 — х0 — У /2 — (У1 — у0)2
Ик-0 R
Ит ■=4-оо,
к-ео R
откуда видно, что для к = 0 функция ^~- отрицательная (она для к = О равна нулю только когда /2 = (%х — z0)2 4- (#i — УоУ» т. е. когда нить имеет форму прямой линии, будучи натянута между своими концами; этот случай мы можем исключить), а для к = 4-оо положительна. Отсюда же следует существование, по крайней мере, одного положительного значения к, обращающего f (k) в нуль. Но легко убедиться, что более одного такого значения к не существует. Для этого замечаем, что
г № = ф (^ - ХО) [^+- К/ТГ^^Г
откуда видно, что f'(k) есть возрастающая функция к, обращающаяся для к = 0 в отрицательную величину, а для к достаточно больших,— сохраняющая положительные значения. Отсюда видно, что уравнение /' (6) = 0 имеет один и только один положительный корень, а следовательно, по теореме Ролля, уравнение / (6) = 0, имеющее корень к = 0, не может иметь больше одного корня, превышающего нуль.
Итак, решением уравнения (31) найдем одну только положительную величину к, после чего уравнение (30), которое можно записать в виде
,Ркхо
^(^ + ^о — ^1) ’
даст одну только вещественную величину а, а затем одно из уравнений (28) даст одну величину р. Таким образом, однозначность решения уравнений (28) и (29) доказана.
Что касается величины натяжения нити, то по уравнению (25) найдем т = С = ^- 1/ 1 + (ф-Г = -^- Хе^-^ + dx к у 1 \ dx / 2k 11
откуда видно, что наименьшее натяжение, равное имеет место в самой низшей точке нити, для которой х = а.
До сих пор мы рассматривали случаи, когда промежуточные точки нити не были подчинены никаким особым кинематическим условиям. Рассмотрим теперь случай, когда нить всеми своими точками должна оставаться на 406
некоторой поверхности. Чтобы перейти к этому случаю от предыдущего, надо только к задаваемым силам {X, К, Z) присоединить отнесенные к единице длины нити силы сопротивления поверхности. Ограничиваясь при этом только случаем идеальной поверхности, когда ее сопротивление приводится к одной только нормальной реакции, положим, что
f(x, у, z) = О(32)
есть уравнение данной поверхности, на которой должна оставаться нить. Тогда проекции на координатные оси отнесенной к единице длины нити реакции поверхности выразятся так
Ox ’ dy dz ’
а, следовательно, дифференциальные уравнения равновесия нити будут следующие:
4-(т-4) + ^ += °-+ Г+х4^ = °.
ds \ ds ] 'дхds \ ds /ди ’
,(33)
ds \ ds /dz
Эти три уравнения в связи с уравнением (14) и с уравнением (32) и послужат для определения всех пяти функций s, входящих в них: х, у, г, т и X.
Легко видеть, что интегрирование этой системы уравнений дает для этих функций выражения с четырьмя произвольными постоянными. Для этого прежде всего замечаем, что из уравнений (32) и (33) для X может быть найдено dx dy dz xr xr г-»
выражение в зависимости от х, у, г, т, -у-, -4-,В самом
деле, уравнение (32) дает
dfdxdfdydfdz_~
dxds'dyds ‘ dzds’
dfd^xdfd^y,dfd^z . -n 1dxdydz\n
dxds2 ~ dyds2‘dzds2 \ds'ds ’ ds/’
где
Ч U ^2 S ‘5^2* dz2dydz ‘ dzdxdxdy
Вследствие этого, умножая уравнения (33) соответственно на -|~, ~^~ , Л^- и складывая результаты, находимВследствие этого, умножая уравнения (33) соответственно на -|~, ~^~ , Л^- и складывая результаты, находимdy dz \ —о\ ds ’ ds ' ds ]dy dz \ —о\ ds ’ ds ' ds ]
Вследствие этого, умножая уравнения (33) соответственно на -|~, ~^~ , Л^- и складывая результаты, находим
Вследствие этого, умножая уравнения (33) соответственно на -|~, ~^~ , Л^- и складывая результаты, находим
dy dz \ —о
\ ds ’ ds ' ds ]
dy dz \ —о
\ ds ’ ds ' ds ]
откуда и получается упомянутое выражение для X
(34)(34)\ ds 1 ds * ds ) dx 1 dy dz
(34)
(34)
\ dx ) dy ] dz 1
Введем теперь три новые неизвестные функции, полагая, как в § 11,
dx , dy , dz
Х-Т—^Х, х—у-=у', x-r- = Zds ’ ds 9 ds
Тогда уравнение (14) обратится в
т = Гх'2 + у'2 + г'2,
а уравнения (33) (по внесении этих значений новых неизвестных функций) заменятся следующей системой:
dxх*dy у' dz/
=’ ds ~ рТчТчЧ ’
(35)
Притом замечая, что
2Jjh _^L ^-\ = F^x’, у', z'y\ ds * ds ’ ds /\» /
Из (34) находим
Мы и будем теперь в уравнениях (35) под % понимать именно это выражение.
Кроме того, мы должны иметь в виду, что функции х', у', г' должны удовлетворять уравнению
df , . df , . df , n
x + у + г = 0.(36)
dx 1 dy y 1 dzv '
Легко теперь видеть, что уравнения
dz / dz* df
~’ ds -dz
есть следствия четырех остальных уравнений (35) в силу (32) и (36), а потому для определения шести неизвестных функций х, у, г, х', у', г' мы имеем четыре дифференциальных уравнения первого порядка
dx V dy у' Ух'Нч’П^ ’
dx’ _ уX— dif _ у ^ dfdsdx * dsdy
и два конечных
£ /\ndf , , df , . df , n
f (x, y, z) = 0, -4x + -4—у + -4- z = 0, откуда и следует, что эти функции определяются с четырьмя произвольными постоянными. Мы по-прежнему предполагаем, что X, Y, Z даны в функциях х, у, г и s.
Четыре произвольные постоянные определятся по данным предельным условиям. Положим, например, что даны положения концов нити, т. е. даны -^о, Уо, 2о, х1$ уг гъ которые, конечно, должны удовлетворять уравнениям
Цх0, у9, z0) = О, f (xn уг, Zj) = 0.
Тогда, если
я = ф (s, Clt С2, С3, С4), у = О (s, С1У С2, С3, С4)
суть найденные выражения для х и у, то постоянные Сп С2, С3 и С4 найдутся из уравнений
*ф(0, Cj, С2, С3, С4) = х0, «(О, С4, С2, С3, С4) = у0,Ф (/, С^ С2, С3, С4) = х1$ О’ (Z, С1Э С2, С3, С4) = уг.
Следует заметить, что при существовании силовой функции V натяжение нити будет по-прежнему определяться формулой (21), потому что уравнение (19), как нетрудно в том убедиться, будет справедливо и для рассматриваемого случая.
Рассмотрим простейший случай, который может представиться, когда нить натянута между двумя точками поверхности и когда на элементы ее не действуют никакие силы за исключением реакции поверхности. Предполагая X = Y = Z = 0, из уравнения (19) найдем, что т есть постоянная, а потому уравнения (33) принимают вид d2x _ ^ df _ d2y ^ df d2z i df
T ds2 dx ’ v ds2 dy ’ X ds2 dz ’ откуда d2xd2yd2z
ds2_ds2 ds2
df~dfdf ’
dxdydz
а эти уравнения, как известно, принадлежат геодезической линии. Таким образом, нить, натянутая между двумя точками поверхности, располагается по геодезической линии, проходящей на поверхности через эти точки. При этом натяжение ее везде одинаково.
Следует заметить, что результат этот получен в предположении, что т не равно нулю. При т = 0 нить может принять форму какой угодно линии, начерченной на поверхности. Но в этом случае нить не натянута.
Глава IV
НАЧАЛО ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
Обращаемся теперь к выводу общих условий равновесия, относящихся к каким угодно системам точек.
Рассмотрим какую-нибудь систему п материальных точек М» (xv, yv, zv), подчиненную к связям, fi = 0, f2 = 0, fk = ^
где Л, /2 и т. д. есть некоторые функции координат. Притом число к предполагается меньшим 3/1. Если эта система точек получает какое-нибудь возможное бесконечно малое перемещение, в котором точка М^ перемещается на длину 6sv, проекции которой на координатные оси есть 6xv, бу^ 6zv, то эти проекции должны удовлетворять уравнениям
6xv 46xv 46yv Н—^vду^ 1 dz^ v6yv Н—^vду^ 1 dz^ v= 0,= 0,$2-byv-t дух a$2-byv-t дух aэкэк0,0,(37)(37)
6xv 4
6xv 4
6yv Н—^v
ду^ 1 dz^ v
6yv Н—^v
ду^ 1 dz^ v
= 0,
= 0,
$2-byv-t дух a
$2-byv-t дух a
эк
эк
0,
0,
(37)
(37)
i^^ + ^T^ + ^H-0' v=l 4
Обратно, всякая система бесконечно малых значений 6xT, 6//n SzT, 6х2 и т. дв> удовлетворяющих к линейным однородным уравнениям (37), представляет проекции на координатные оси бесконечно малых возможных перемещений точек системы.
Мы предполагали все связи удерживающими, но если бы между ними были и неудерживающие, например, если бы координаты точек должны были бы удовлетворять условию fT ^ 0, то между бесконечно малыми возможными перемещениями системы из какого-либо положения ее, удовлетворяющего уравнению fT = 0, были бы и такие, для которых
у (4^-^v+-^-8yv+4^- М > о.
I dxv v 1 dyv 94 1 dzv v
V—0
Таким образом, если в числе связей есть и неудерживающие, то каждая из них /z = 0, при тех положениях системы, для которых// > 0 дает для возможных перемещений условие
2 (^75х^ + "Sr 6^ + -^ Ч > °-(38)
v=l х
При тех же положениях системы, для которых //>0, рассматриваемая связь не будет подчинять возможные перемещения никакому условию. Но этот случай по отношению к условиям равновесия тождествен с тем, когда система точек подчинена только к — 1 остальным связям. Поэтому, говоря о системах точек, подчиненных к связям, в числе которых могут быть и неудерживающие, мы будем рассматривать только те положения их, для которых все к связей выражаются равенствами.
Вследствие этого, говоря о проекциях на координатные оси возможных перемещений, мы будем под ними понимать какие-либо величины 6^, 6^, 6гт, 6х2, ..., удовлетворяющие к условиям (37), между которыми уравнения, относящиеся к неудерживающим связям, должны быть заменены условиями вида (38).
Пусть Fv — сила, действующая на точку М^ и Xv, Y^ Zv — ее проекции на координатные оси. Тогда выражение
Fv cos (Fv, 6sv) 6sv = Xv6xv + Y^Sy^ + Zv6zv,
равное произведению из бесконечно малого возможного перемещения 6sv точки Mv и из проекции на его направление силы, приложенной к этой точке, представит то, что называется элементарной возможной работой этой силы. Его называют также иногда возможным моментом силы.
При этом принцип, который мы имеем в виду вывести и в котором заключается общее условие равновесия каких угодно систем точек, может быть высказан в следующей форме: для уравновешивания сил {Xv, Y^, Zv), приложенных к точкам какой-нибудь системы, необходимо и достаточно, чтобы сумма всяких элементарных возможных работ этих сил была равна нулю, или количеству отрицательному, т. е. чтобы было удовлетворено условие
У1! (Xv6xv *4“ Y^yv Ч Zv6zv) $4 0(39)
v=l
каковы бы ни были величины 6xv, 8yVi 8zv, удовлетворяющие сказанным выше условиям.
Принцип этот известен под названием начала возможных перемещений.
Начало возможных перемещений было известно еще Галилею, а затем им пользовались Валлис и Иван Бернулли. Но первое общее доказательство этого начала было дано только Лагранжем, который положил его в основание своей аналитической механики. После его доказывали также Пуассон, Коши и др., хотя лучшим доказательством до настоящего времени остается все-таки Лагранжево. Но все существующие доказательства рассматриваемого принципа обладают одним общим недостатком: в них не высказываются определенно те условия, при которых этот принцип вообще справедлив, а между тем многие вопросы, которые приходится рассматривать в механике, показывают, что справедливость его не безусловна.
Во всей своей полноте начало возможных перемещений справедливо только для систем точек, подчиненных так называемым идеальным связям. Но дать общее определение понятия об идеальных связях, которое, обладая достаточной простотой, в то же время давало бы возможность строго доказать рассматриваемое начало, весьма трудно. В этом и заключается причина упомянутого недостатка существующих доказательств его.
Мы покажем далее, что для систем точек с идеальными связями начало возможных перемещений заключает в себе все необходимые и достаточные условия равновесия. Для всяких же других систем оно заключает в себе только достаточные условия.
Следует сделать еще одно замечание относительно аналитического выражения начала возможных перемещений. В числе возможных перемещений системы точек могут быть и такие (6xv, 6z/v, 6zv}, для которых равные и прямо противоположные перемещения {—6xv, —8уу, —6zv} также являются возможными, но могут быть и такие, для которых последние невозможны. Если система возможных перемещений (6xv, 8yv, 6zv} принадлежит к первому роду, то легко убедиться, что для нее условие (39), которое должно быть удовлетворено для всяких возможных перемещений, не может удовлетворяться со знаком неравенства, потому что если бы мы имели
S ^Ху^Ху -р Yу$уу 4“ Zy^Zy) <2 О, то нашли бы
2 [Xv (— 6xv) + Yy (— 6yv) + Zy (— 6zv)l > о,
а так как, по условию система перемещений {—6xv, —Ьуу, —6zv} возможная, то мы пришли бы таким образом к неравенству, противоречащему условию (39). Итак, для таких перемещений, прямо противоположные которым также возможны, условие (39) может удовлетворяться только со знаком равенства.
Если все связи системы удерживающие, то величины бхх, 6уг и т. д. будут удовлетворять условиям (37). А так как все эти условия суть уравнения и притом линейные и однородные относительно величин 6xn 8уг ит. д., то если им удовлетворяют бхх = аь 6уг = рх и т. д., то будут удовлетворять и бхх = = — ат, 5уг = — рх и т. д. Поэтому в этом случае все возможные перемещения таковы, для которых равные и прямо противоположные перемещения также возможны.
Отсюда следует, что для систем точек, подчиненных только удерживающим связям, в аналитическое выражение начала возможных перемещений будет всегда входить только знак равенства. Знак же неравенства может иметь место только для систем точек, в числе связей которых есть и неудерживающие и притом только для таких перемещений, прямо противоположные которым невозможны.
Прежде чем обратиться к доказательству начала возможных перемещений, проверим его на некоторых из рассмотренных частных случаев равновесия.
В случае свободной системы точек величины 6xlf 6ух и т. д. не подчинены никаким условиям, а потому равенство
5 (?Cv6Xv + ^v^yv + ^v62v)0,
выражающее в этом случае начало возможных перемещений, равносильно Зп следующим
хх + х2+ ... +хл = о, гх + г2+ ... +Ул = 0, /, + /,+ •••
••• +Zn = 0
и, следовательно, заключает в себе все необходимые и достаточные условия равновесия.
В случае одной материальной точки (х, у, 2), принужденной оставаться на данной поверхности
f (X, У, z) = 0, величины бх, бу, бг подчинены одному условию
-У- бх + -^- бу + -у- 6z = U,(40)
дх 1 дуv '
а начало возможных перемещений дает равенство
Хбх + Y6y + Z62 = 0,(41)
которое должно быть удовлетворено для всяких бх, бу, 62, удовлетворяющих этому условию. Но это требование, очевидно, равносильно тому, чтобы имели место три следующих уравнения,
х + r + l"8r=°. 2 + хТГ = °-<42>
в которых % — величина, подлежащая определению. В самом деле, этих трех уравнений, очевидно, достаточно для того, чтобы уравнение (41) удовлетворялось при всяких величинах бх, бу, 62, подчиненных условию (40), а с другой стороны, если определить величину % по одному из уравнений (42), например по уравнению
Z + X-^- =0,1 дг ’то условие (41) покажет, что должны удовлетворяться и оба остальных урав-нения (42), потому что при этом условие (41) равносильно следующему
X6x-VY6y — X 4- 6z = 0и02
или в силу (40) — следующему
(х + Xбх + (у 4- хбу = 0,
а так как бх и бу могут быть какими угодно, то из этого равенства следует
X + X= 0, Y + X= 0.
1 дх ’ду
Итак, уравнения (42) не только достаточны, но и необходимы для того, чтобы условие (41) удовлетворялось при всяких величинах бх, бу, 62, подчиненных условию (40), а потому условие (41) заключает в себе условия, достаточные для равновесия. Если же притом поверхность, на которой должна оставаться точка, есть идеальная, то оно заключает в себе также и необходимые условия.
Если рассматриваемая поверхность есть неудерживающая, то вместо (40) будем иметь более общее условие
^L6, + ^r6i, + -|-ez>0,(43)
а начало возможных перемещений даст условие
Х8х + Y8y + Z5z^0.(44)
Рассматривая сначала только такие величины 8х, 8у, 8г, которые удовлетворяют условию (43) со знаком равенства, мы по-прежнему найдем, что из условия (44) должны вытекать три уравнения (42). Если же, предполагая 8х, 8у, 8г какими угодно, удовлетворяющими условию (43), умножим эти уравнения соответственно на 8х, 8у, 8г и результаты сложим, то найдем
Х8х + Y8y + Z6z + X 8х + бу + 4т~ Й = 0,
а отсюда в силу (43) следует, что для того, чтобы можно было удовлетворить условию (44), должно быть X ^ 0. Это единственное добавочное условие и отличает случай неудерживающей поверхности от случая удерживающей. Таким образом, и в этом случае начало возможных перемещений дает условия, вообще достаточные для равновесия, а при идеальности поверхности — и необходимые.
В случае одной материальной точки, вынужденной оставаться на данной линии
/(х, у, 2) = 0, ф (х, у, г) = 0,
величины бх, бу, 62 подчинены условиям
8х + 4- бу + 4" 6z = °,бу + 6z = °, (45)
дх 1 ду у х dz9 dxду у 1 dz»\ /
а начало возможных перемещений приводит к равенству
Хбх + Убу + Z62 = 0,(46}
которое должно удовлетворяться при всяких таких бх, бу, 62. Это же условие равносильно трем следующим уравнениям
х + ’‘4- + ^ = °. у + х-зг+^ = о.
в которых X и р — неопределенные величины; ибо как эти три уравнения»
так и три уравнения (45) и (46) приводят к одному и тому же условию
X
Y
Z
дГ дх
JL ду
df dz
= 0
дф дх
дф ду
дф dz
и возможны только при нем. Таким образом, и в случае материальной точки,, принужденной оставаться на данной линии, начало возможных перемещений дает условия достаточные, а при идеальности линии — и необходимые для равновесия.
Рассмотрим свободную неизменяемую систему точек. Пусть (xv, yv, ^ и (Хц, Уц, 2и) — какие-либо две точки ее. Тогда все условия, которым подчинены бхп бух и т. д., выразятся рядом уравнений вида
(Хц — Xv) (бхц — 6xv) + (z/ц — yv) (буц — 8у^ + (2ц — Zv) (бгц — 6zv) = 0, (47)
которые получатся, если будем здесь брать всевозможные комбинации чисел v и р, из ряда 1, 2, ..., п (предполагая, что число всех точек п). Начало же возможных перемещений выразится в этом случае уравнением
5 (Xv6x-v Ч” Yv^yv 4™ Zv6zv) == 0.(48)
Легко убедиться, что всем уравнениям вида (47) можно удовлетворить, полагая
6xv = е, +— »гУм, 8yv = гу + »гХм — ^Zv,(49)
6zv = 8г + »xyv — »yXv,
где 8Х, е^, 8Z, ^j ^, $2 — произвольные величины, одинаковые для всех точек системы. А с другой стороны, это суть общие выражения для 6xv, 6yv, 6zv, ибо заключают в себе шесть независимых произвольных величин sx, s^ и т. д., а от большего числа произвольных величин возможные перемещения свободной неизменяемой системы зависеть не могут (так как положение ее в пространстве определяется только шестью величинами). Вследствие этого мы можем утверждать, что выражения (49) равносильны всем уравнениям (47). Можно заметить, что в них 8„ 8^, е2 — проекции на координатные оси бесконечно малого перемещения той точки системы, которая до перемещения совпадала с началом координат, а $х, fty,®?— бесконечно малые углы вращения системы вокруг координатных осей. Пользуясь выражениями (49), находим
S (Xv6xv Ч~ Уv^yv Ч” Zv6zv) = Xsx Ч" Y^у Ч" Z^ Ч" L^^. Ч" МАу Ч" ^^2"' где по-прежнему
X = 2XV, Y = SKv, Z = 2ZV, L = 2 (z/vZv — z^),M = 2 (ZvXv —' XvZv), N = 2 (Xv^v — I/vXv).
Из этого же равенства вследствие произвольности величин гХ) гу и т. д. видно, что уравнение (48) равносильно шести следующим:
X = Y = Z = L = М = N = 0, т. е. равносильно условиям равновесия свободной неизменяемой системы.
Точно также можно было бы показать равносильность условий, получаемых из начала возможных перемещений, с условиями равновесия и для всех тех случаев несвободной неизменяемой системы, в которых свобода ее стесняется идеальными связями. Но мы считаем излишним это делать и переходим к последнему примеру — гибкой нерастяжимой нити, который заслуживает особого внимания, представляя пример системы точек с бесконечно большим числом степеней свободы. При этом, чтобы иметь в виду нечто более определенное, ограничимся случаем нити с неподвижными концами.
Прежде всего выведем условия, которым должны удовлетворять бх, бу, 6z — проекции возможных перемещений каждой точки М (х, у, z) нити. Возьмем две какие-нибудь точки нити М (х, у, z) и Мг (хп уХ) z-^ и обозначим через As длину части нити ММЬ заключающуюся между ними. Из условия нерастяжимости нити следует, что при деформациях часть нити ММг может располагаться только по таким дугам кривых, длины которых или равны или меньше As. Последнее возможно вследствие того, что в некоторых своих частях нить может налагаться сама на себя. Невозможны только такие деформации, после которых часть нити ММХ расположилась бы по дуге кривой, длина которой (т. е. дуги) больше As. Положим теперь, что мы берем точку Л4Т все ближе и ближе к точке М, уменьшая As до нуля. Это можно выразить, заменяя As дифференциалом ds и полагая
хх = х + dx, Уг = у + dy, zx = z + dz.Пусть x, у, z — координаты точки М до деформации. После какой-нибудьвозможной бесконечно малой деформации они обратятся в х + бх, у +
+ бу, 2 + 82. Положим, что до деформации каждый элемент ММ, нити был расположен по дуге кривой, равной ему длины, т. е. что длина дуги
Vdx2 + dy1 + dz2 , по которой он был расположен, была равна длине элемента нити, или что было удовлетворено условие
/ dx V ( dy V / dz V .
После деформации он может расположиться как по дуге равной ему длины, так и по дуге меньшей длины. Но длина дуги, по которой элемент нити ММХ располагается после деформации, равна
VW + бх)]2 + [d (у + бу)]2 + [d (г + 8г)]2, а потому мы должны иметь
[ d(x + MуГ <Цу + 6у)УГd(z+MУ
[ dsJL dsJ[ dsJ ’
откуда, отбрасывая бесконечно малые высших порядков и принимая в расчет уравнение (50), находим
dx d6x , dy d6y , dz d6z /n/C1X
"dT ds + ds ds
Таково искомое условие, которому должны удовлетворять бх, бу, 62 для каждой точки нити. Что касается концов ее, то мы будем иметь еще добавочные (предельные) условия. Мы предположим концы ее неподвижными. Если обозначим по-прежнему длину всей нити через I и s будем отсчитывать от одного из концов, то это можно выразить равенствами
6х = бу = 62 = 0 для s = 0 и s — l.(52)
Если удержим те же обозначения, какими мы пользовались в главе III о нерастяжимой нити, то начало возможных перемещений выразится условием i
j* (.Хбх + Убу + Z62) ds ^ 0,(53)
о
которое должно удовлетворяться при всяких бх, бу, бг, удовлетворяющих условиям (51) и (52). Притом, если рассматриваются только такие величины бх, бу, 62, которые удовлетворяют условию (51) со знаком равенства, то и в условии (53) нужно брать знак равенства.
Понимая под т какую-нибудь функцию s, найдем i
Г( dxd6x,dyd6y ,dzd6z \л Г( dx,dy c,
I т -5лH T- ds = T 6x + —t— бу +
J\ dsds1dsds 1dsds J L\ dsxds yx
0 l
. dzR ГГ d / dx \ R, d(dy \R,d ( dz \& 1 л
+ -7—62 — I—j— t —7— бх+ -7—т-,—бу+—т— т —7—62 ds,
dsЦо JI ds \ ds J1 ds\ds /y1ds \ ds /J ’
0
а так как здесь член второй части равенства, находящийся вне знака интеграла, в силу условий (52) пропадает, то будем иметь такое выражение:
ii
f (Хбх + Убу + /бг) ds— (т (-^ -^- + 4г" -гг~ + "Г" -тт") ds =
J v 1 у х ' J \ ds ds 1 ds ds 1 ds ds /
о0
l
Г fГ. d ( dx Al c , d ( dy Al с ,, d ( dz Al c ,
= H X 4- -7— т -—7- бх + К H—г —7- бг/ + Z + —7— г 62 ds.
J Ц 1 ds \ ds /J 1 L ds \ ds /J y 1 x ds \ as /J J 0
s. Положим теперь,s. Положим теперь,Мы до сих пор предполагали т какой угодно функцией что эта функция удовлетворяет уравнению
s. Положим теперь,
s. Положим теперь,
2424ddsdds(55)(55)
24
24
dds
dds
(55)
(55)
Кроме того, будем рассматривать только такие 6 х, бу, 62, которые удовлетворяют условию (51) со знаком равенства. Тогда уравнение (54) примет вид zz
J (Хбх + Убу + ^62) ds = J {[х + -А" (* 4г)1 5х + Оо
+[у+^4т)Н&-+[у+^4т)Н&-(56)(56)
+[у+^4т)Н&-
+[у+^4т)Н&-
(56)
(56)
Но величины бх, бу, 6z связаны одним только уравнением
dx d^x ds dsdx d^x ds ds. dy d^y j dz d8z ~
dx d^x ds ds
dx d^x ds ds
* ds ds * ds ds ’
которому можно удовлетворить, предполагая бх и бу какими угодно функциями s и определяя затем соответственным образом 62. Поэтому в равенстве (56) бх и бу подчинены одному условию: обращаться в нуль как для s = О, так и для s = I. В остальном же мы можем их рассматривать, как совершенно произвольные функции s. Отсюда видно, что при рассматриваемых значениях бх, бу, 62 начало возможных перемещений равносильно условиям
х + ^- (т-^) =0, Y + 4- (т-^-) =0,(57)
1 ds \ ds /’1 ds \ ds /’v '
в которых т есть величина, удовлетворяющая уравнению (55), а потому уравнения (55) и (57) необходимые следствия этого начала.
Установив это, обращаемся теперь к рассмотрению общих перемещений, для которых условие (51) может удовлетворяться как со знаком равенства, так и со знаком неравенства. В силу уравнений (55) и (57), уравнение (54) принимает вид
ZZ
Гх J Г ( dx d8x , dy d^y , dz d^z \ ,
j (Хбх + Убу + Z62) ds = J т — +—ps,
00
а отсюда в силу условия (51) не трудно заключить, что для возможности удовлетворить условию (53) при всяких бх, бу, 62, подчиненных известным условиям, необходимо, чтобы было
т ^ 0.
Легко также убедиться, что этого условия и уравнений (55) и (57) также и достаточно для возможности удовлетворить условию (53).
Таким образом, мы приходим к заключению, что начало возможных перемещений дает все условия, необходимые и достаточные для равновесия гибкой нерастяжимой нити.
Переходим теперь к доказательству начала возможных перемещений. Мы докажем сначала, что условия, получаемые из этого начала, достаточны для равновесия, и с этой целью приведем доказательство Лагранжа.
Положим, что для сил (Xv, Kv, 2V}, действующих на рассматриваемую систему точек Мъ М^ ..., Мп, удовлетворяется условие
2 (Xv6xv 4* ^v6yv 4“ 2V62V) ^ 0
V=1
Рис. 40.Рис. 40.при всяких 6xv, 6z/v, 6zv, подчиненных известным условиям, или — что для этих сил
Рис. 40.
Рис. 40.
v=lv=lУ, Fv cos (Fv, 6sv) 6sv ^ 0, (58)
v=l
v=l
где Fv означает величину и направление силы, приложенной к точке Mv. Докажем, что эти силы уравновешиваются.
Положим сначала, что рассматриваемые силы соизмеримы, так что
Fi = hiP,
F^ = кйр, ... , Fn = knp,
где кх, кй, .... кп — целые числа. Приэтом условие (58) обратится в следующее:
У ^vcos(Fv, 6sv)6sv^0.(59)
V=1
Идея лагранжева доказательства, которое мы намерены привести, состоит в замене этих сил натяжениями нити, соединяющей при посредстве п полиспастов с подвижными и неподвижными блоками точки системы с некоторыми неподвижными точками, находящимися на направлениях сил, приложенных к ним. На направлениях сил FX) F^ ..., Fn берем неподвижные точки N^ N2, ..., N^, Каждую точку Mv соединяем с осью системы подвижных блоков, число которых равно £v и которые могут вращаться вокруг этой оси независимо один от другого, а в каждой из точек Nv укрепляем ось системы неподвижных блоков, число которых, за исключением точки Nm равно 6V + 1 и которые также могут вращаться вокруг своей оси независимо один от другого. При точке же Nn укрепим ось системы с hn блоками. Затем, уничтожив все силы Рг, F2. .... Fni заменим их натяжением нити, к одному концу которой прикреплен груз -ур и которая, обогнув все блоки по одному разу, кончается в точке МП1 к которой и прикреплен другой ее конец. Для этого нить от точки Nn должна направляться к одному из блоков при точке МП) обогнув его, направляться к одному из блоков при точке Nni обогнув этот блок, направляться к одному из остальных блоков при точке Мп и т. д. до тех пор, пока она не пройдет через все блоки при точках Мп и Nn поочередно по одному разу. Вследствие равенства чисел блоков при точках Nn и Мп нить обогнет в последний раз один из блоков при точке Nn. Затем она должна направиться к одному из блоков при точке Nn_ 1 и точно также обогнуть поочередно по одному разу все блоки при точках Ып-г и Мп—ь Вследствие того, что число блоков при точке Nn-i на единицу больше числа блоков при точке Мп—ь нить пройдет в последний раз через один из блоков при точке Nn—ь Затем она должна направиться к одному из блоков при точке Nn—^ и т. д. Обогнув все блоки при точках ^1 и Мр нить пройдет в последний раз через один из блоков при точке Мъ а затем она должна быть натянута прикрепленным к ее концу грузом ^-р. Таким образом, мы получим систему п полиспастов МгМХ1 M2N2l ... ..., MnNn с одной и той же нитью, которая в полиспасте M^N^ будет проходить между точками Mv и Nv 2£v раз. На рис. 39 изображен случай п = 3, &х = 1, ^ = 3 и k^ = 2.
Предполагая радиусы всех блоков бесконечно малыми, мы можем принять, что нить между точками М^ и Nv проходит 2&v раз по одному и тому
же направлению — по направлению Fv. Кроме того, предполагается, что в рассматриваемой системе полиспастов нигде не существует трения.
Рассматривая груз ^р как новую материальную точку Р, мы получаем, таким образом, из прежней системы п точек М1Э М2, ..., Мп новую, состоящую из п + 1 точек Mv М2, ..., 7ИП, Р. В этой системе точки Mlt М21 ...» Мп подчинены прежним связям и, кроме того, связаны с точкой Р при помощи только что описанного механизма. Последний же таков, что не поставляет никаких новых условий для возможных движений точек Мъ М2, ..., Мт а только устанавливает зависимость возможных движений точки Р от возможных движений остальных и это обстоятельство имеет весьма важное значение для последующего. Сила действует на нашу новую систему только в одной точке Р и равна весу груза -^pt прикрепленного к этой точке. Под действием этой единственной силы наша система может оставаться в покое или придти в движение. Докажем, что если условие (59) удовлетворено, то она останется в покое.
Сила тяжести, действующая на точку Р, стремится опустить ее. Поэтому, для того чтобы вся система оставалась в покое, достаточно, чтобы точка Р не могла опускаться, т. е. чтобы опускание точки Р благодаря механизму, связывающему ее с точками М^ М21 ..., Мпз могло вызывать только такие перемещения последних, которые для них невозможны в силу связей, которым они подчинены. Но это требование, очевидно, равносильно тому, чтобы при всяких возможных перемещениях точек М^ М2) ..., Мп точка Р не опускалась. Выразим это условие аналитически.
Положим, что перемещение получает одна только точка Mv. Точки же Мъ .... Mv-\, Mv+i, • •, Мп остаются в покое. При рассматриваемом перемещении она может приблизиться к точке N^ или удалиться от нее. Рассматривая удаление как отрицательное приближение, обозначим через ev длину, на которую она приближается к точке N^. Но между точками М^ и N^ нить проходит 2&v раз. Поэтому вследствие рассматриваемого перемещения точки 7WV точка Р опустится на длину 2&v8v (само собой разумеется, что поднятие точки Р здесь рассматривается как отрицательное опускание). Положим, что точка Mv получает бесконечно малое перемещение 6sv. Тогда, отбрасывая бесконечно малые высших порядков, можно положить
8v ~::~ COS (Fv, 6Sv) 5Sv,
а потому величина опускания точки Р будет
2£v cos (Fv, 6sv) 6sv.
Отсюда видно, что если все точки Мг, М2, ..., Мп получат какие-нибудь бесконечно малые возможные перемещения Ssx, 6S2, ..., 6sni то величина опускания точки Р выразится
п
2 2^v COS (Fv, 6sv) 6sv
V=1
и, следовательно, (59) есть аналитическое выражение высказанного выше условия, что при всех возможных перемещениях точек Mv М21 .... Мп точка Р не должна опускаться.
Таким образом, убеждаемся, что при условии (59) вся система останется в покое. Но если она останется в покое, то натяжение нити будет равно -^-р, оставаясь постоянным на всем протяжении нити. В теории полиспаста это обстоя- 418
тельство принимается за аксиому. Лагранж, приводя свое доказательство, принимает его также как основное положение, не требующее доказательства. Но мы уже изложим теорию равновесия гибкой нерастяжимой нити, которой и можем воспользоваться, чтобы установить это положение. В рассматриваемом случае нить предполагается невесомой, играя роль только связи. Тем не менее мы можем приложить к ней формулы, выведенные для материальной нити. Для этого стоит только положить в этих формулах X = Y = Z = 0. Из этих же формул, замечая, что в рассматриваемом случае некоторые части нити свободны, а другие лежат на идеальных поверхностях-блоках, и что о1
один конец нити укреплен неподвижно, а другой поддерживает груз -^р, мы и получаем только что высказанный результат. Благодаря этому обстоятельству оказывается, что на точку М^ действует 2&v сил — натяжений нити, равных -^р и направленных по прямой Mv Nv. Силы же эти, слагаясь, дают одну равную к^р = Fv и одинаково направленную с Fv. Таким образом, возвращаясь к первоначальной системе точек Mv М2, ..., Мт мы приходим к заключению, что она остается в покое, находясь под действием сил, равных и одинаково направленных с теми, которые были приложены к ней первоначально, т. е. что эти силы Fv уравновешиваются.
Мы предполагали силы Fv соизмеримыми, но ничто не мешает нам общую меру сил р предполагать сколько угодно малой, а числа къ к21 ..., кп сколь угодно большими. Если же уменьшая р до нуля, в тоже время эти числа беспредельно увеличивать, то произведения кх р, k2p, ..., кпр могут приближаться к каким-угодно несоизмеримым между собой пределам. Поэтому мы должны придти к заключению о справедливости доказанного и для несоизмеримых сил.
Таким образом, мы можем считать доказанным, что если силы {Av, Kv. Zv}, приложенные к какой-нибудь системе точек, удовлетворяют условию (39) при всяких величинах 6,rv, 6#v, 6zv, подчиненных известным условиям, то это уравновешивающиеся силы.
Покажем теперь, каким образом из начала возможных перемещений могут быть получены все условия равновесия.
Пусть все кинематические условия, которым подчинена система, следующие:
Л = о, /2 = о, /р = о,
Ф1 > о, ф2 > 0, ... , ф„ > 0 (р + q = ку
Будем искать условия уравновешивания действующих на нее сил для тех ее положений, для которых все q последних условий (относящихся к неудерживающим связям) выражаются равенствами.
При этом для возможных перемещений получится к условий, которые все можно выразить такими уравнениями:
2 ^-6xv + ^6z/v + ^M^ =° (/ = 1> 2Р^к/(6О)
у /^ 6xv -V^1-^ + 4г~ 6zv1 = 6ф5 (s = 1, 2, ... , q), v=l'
где бфх, 6cp2, ..., бср^ — какие-нибудь величины, подчиненные условиям 6ф5>0 (s = 1, 2, ... , qY
Из к уравнений (60) можно определить к из величин 6^, 6уъ 6гт, 6х2 и т. д. в зависимости от Зп — к остальных и от 6фх, Зф2, ..., 8ф^. Обозначим эти к
величин через aD а2, ..., а^ и, полагая Зп— & = т, обозначим Зп— & остальных через рп 02, ..., рт. Тогда к уравнений (60) можем заменить равносильными им следующими:
ai = ^PPi + ^^Рг + • • • + А(тРт + Врбф! + В^бфг + ... + В^бф.,
ОС2 = Лр^ + Лр^ + • • • + Л^р^ + Врбф! + Я^фя + • • • + В^бф,,
а^ — Л1 ^ + Л2 ^2 + • • • + Л^р^ J- В^бф! + В^бф2 + • • • + ^^бф^, где все Л и В суть некоторые известные функции координат точек системы. Отсюда видно, что для получения всяких возможных систем значений бхр 6ух, 6?! и т. д. можно т из них рь Р2, ..., Рт давать произвольные значения.
Положим теперь, что только что найденные выражения для alf a2, ..., a6 подставлены вместо au a2, ..., 0^ в первую часть условия (39). Тогда это условие примет следующий вид
S ^zP/ + SQsSts^o,(61)
Z=1s=l
где все Рг и Qs будут вполне определенными линейными функциями составляющих сил Хг1 Уп Zb Х2 и т. д., в которых коэффициенты будут известными функциями координат. Так как условие (39) должно удовлетворяться при всяких возможных значениях величин 6хх, б^, б^, 6х2 и т. д., то, следовательно, условие (61) должно удовлетворяться при всяких произвольных pz и при всяких положительных или равных нулю 6ф$, а это, очевидно, возможно только при условиях
Р1 = 0, Р2 = 0, ... , Pm = 0; Qx<0, Q2^0,, Q.<0.
Таковы условия, которым должны удовлетворять силы для возможности равновесия. Это и суть искомые условия равновесия.
Таким образом, если система п точек подчинена к связям, в числе которых р удерживающих и q неудерживающих, то всех условий равновесия будет Зп — к + q = Зп — р. Из этих условий Зп — к — уравнения, а q — нера- вества или равенства.
Покажем теперь другой способ получения условий равновесия, который иногда предпочтительнее изложенного. Каковы бы ни были к величин ?Ф, Х2, ..., Хр, Hi» И2» •••» И?» условие (39) вследствие уравнений (60) равносильно следующему: пq
S (7?v6xv + Sv6yv + Tv6zv) — S Hs^<ps < 0,(62)
v=ls=l
где для сокращения введены обозначения
&-г, + х1-»- + ^++ 4^- + ^ +
, „ дср2, ^Фд
Ts -Zv + %! -^- + а,2 д^ + +s dZv +Н1 dZv +
Таким образом, Зп величин R^ Sv, 1\ — линейные функции А введенных нами неопределенных величин X и р,. Эти величины R^, Sv, Tv в первой части условия (62) служат коэффициентами при ап а2, ..., с^, рп р2, ..., р^. Определим k величин X и р, из уравнений, выражающих, что коэффициенты при ап а2, ..., ак равны нулю. Тогда условие (62) приведется к виду (61), а потому, как и прежде, мы придем к заключению, что для удовлетворения условию (39) или, что все равно,— условию (62) самым общим образом и коэффициенты при аь а2, ..., ак должны быть равны нулю, а коэффициенты при рх, 02, ... ..., Рт не должны быть положительными. Таким образом, оказывается, что для удовлетворения условию (39) самым общим способом мы можем поставить Зп следующих уравнений
Rv = О, Sv = О, Tv = 0 (v = 1, 2, ... , п\
после чего должны быть поставлены еще условия
И1 > 0, н2 > 0, ... , р,^ > 0.(63)
Мы получим, следовательно, Зп уравнений
Xv + %! А + • • • + ХР А + И1 + • • • + ^ 4^ = о
1 dxv 19 dxv 1 дх^ 1‘ rq дх^
Kv + Xi + • • • + ^p 4^" + Hi 421- + • • • + И» = °- (64) 1 dyv 11 p dyv 1 dyv 11 dyv ’ v ’
zv+x, a + • • • + ч 4^ + Hi 4^ + • • • +^ 4г- = °1 ^zv 119 dz^ 1 dz^ 11 dzv
(v = 1, 2, ... , n), которые называются уравнениями равновесия.
Исключая из этих уравнений к величин X и р,, получим Зп — к условий равновесия, выражаемых уравнениями. К ним необходимо присоединить еще q условий равновесия, выражаемых равенствами, или неравенствами, которые получатся, если выражения р,п р,2, ..., р^, найденные из уравнений (64), подставить в условия (63).
Когда все Xv, Y^ Z^ даны в функциях координат, то присоединяя к уравнениям (64) уравнения
/1 = 0, /2 = 0, ... , /р = 0; Фх = 0, ф2 = 0, ... , ф, = 0,
мы получим систему Зп + к уравнений с Зп + к неизвестными хь уъ 2Х, ... ..., хт уП1 2П1 Л,ь ..., Хр, ць ..., р^. Решением этих уравнений найдутся все системы значений координат, которые могут определять положения равновесия. Выбирая же из найденных систем решений те, которые удовлетворяют условиям (63), мы получим все системы значений координат, которые действительно будут определять положения равновесия. Таким образом, найдутся все положения равновесия системы.
В заключение заметим, что величины
^44 G = h 2, р; v = l, 2п),
dxv 11 dyv 1 dz., хп
входящие в уравнения равновесия, можно рассматривать, как проекции на координатные оси реакции связи /z 0 на точку (xv, yv, 2V). Величина этой реакции, следовательно, равна
ДИНАМИКА СИСТЕМ ТОЧЕК
Переходим теперь к движению систем точек. При этом, рассматривая несвободные системы, мы будем связи полагать вообще переменными, так чтообщий виданалитического выражения удерживающейсвязибудет
/ (xvyv zv хг, у», z2хп, уп, zn, I) = О,(1)
а неудерживающей
Ф^!,yv zn х2> у2, z2хт уп, zn, 0>0.(2)
Понятно, что при рассмотрении движения какой-либо системы точек, подчиненной между прочими неудерживающей связи, последнюю можно вовсе не учитывать, пока она аналитически выражается неравенством. Только с того момента она может оказывать влияние на движение системы и, следовательно, должна быть принимаема в расчет, когда точки системы приходят в такие положения, при которых аналитическое выражение рассматриваемой связи обращается в равенство. Поэтому относительно неудерживающей связи говорят, что она действует или не действует в зависимости от того, выражается ли она равенством или неравенством.
Всякое движение системы может быть разбито на такие периоды, в течение которых некоторые связи постоянно действуют, другие не действуют. Поэтому задача об определении движения ее распадается на несколько отдельных задач, из которых каждая будет состоять в определении движения для одного из таких периодов.
Вследствие этого, говоря о несвободных системах, в числе связей которых могут быть и неудерживающие, мы будем предполагать, что последние могут одновременно выражаться равенствами. При этом условии вопрос об определении движения системы п точек, подчиненных к связям , может быть поставлен только в том случае, когда к не превосходит Зп— 1, потому что, если бы к было равно Зп, то из к уравнений связей мы нашли бы все Зп координат, как постоянные, или вообще (если в уравнения связей входит время), как определенные функции времени. Таким образом, движение системы при действии к рассматриваемых связей было бы вполне определенным и, следовательно, об определении его не могло быть речи. Вследствие этого мы всегда будем предполагать к ^ Зп—1.
Когда система п точек подчинена к удерживающим связям, то из Зп координат точек ее произвольными могут быть только Зп — к. Остальные же к координат будут некоторыми функциями этих Зп — к и вообще времени. Поэтому некоторые из Зп — к координат могут быть рассматриваемы в этом случае как независимые переменные, определяющие для каждого данного момента времени положение всей системы. Во многих случаях оказывается удобнее принимать за независимые переменные не некоторые Зп — к из Зп координат хп //], 2п х2 и т. д., а Зп — Иновых величин qv q^ .... q^n-k, в функциях которых все Зп координат выражаются. При этом функции эти должны быть таковы, чтобы подстановка их вместо хх. уи zL и т. д. в каждое из к уравнений связей обращала последние в тождества, т. е. в такие равенства, которые имеют место при всяких величинах qt. q^. .... q^n-k. Понятно, что выбор независимых переменных qx. .... q^n—k можно разнообразить до бесконечности.
Пусть, например, из к уравнений связей
fl = 0, к = о, ... , fk = 0(3)
мы нашли к величин хъ х2, хь щ. у2. ..., у,-, гЛ1 z2, ..., Zk-i-j в функциях 3^2 к ОСТаЛЬНЫХ X14-I, Xi-^, • ••, Хп, yj^-\. yj-^^, ..., Уп* Zk—i—/4-1, Zk—t—/4-2, • ••, Zn и времени t. Положим теперь
x*4-i = Л+1 (qv q2. ... , q^n—k, t\ х^ = Fi^ (q^ q^ ... , qan—k, t), .. • ,
xn — ^п^Ут» У 21 • * • 1 Уап—k, t\ yw— Ф/4-1 (7i, 72, • • • , 7зп—^, 0,
У/+2 = Ф/+2 (7n 72, • • • , Язп-к, t\ . -. , yn = Фи (71, 72» • • , 73/г-^, О, Zk—i—/4-1 ^ ^k—i—/4-I (71, • • • , qan—k) t). Zk—i—/4-2 == ^/?—i—/4-2 (71, • • • , 73n—к, О, .. .
• • • , zn = Т» (qx, ... , 7зп—к» 0>
где ^4-1, F^. ..., Ч\ суть 3n — к функций, подчиненных только тому условию, чтобы из только что написанных Зп — к уравнений возможно было определить Зп— к величин qv q2. ..., q^n—k в функциях от х^!, х^, ..., zn и времени I. В остальном же функции Л-н, Fi^ ..., Ч^ совершенно произвольны, и выбор их можно разнообразить до бесконечности. Если теперь эти выражения x^i, х^г, ..., zn в функциях qb q2. ..., q^n—k и t подставить вместо Х/4-ь Xf4-2, ..., zn в выражения хъ х2, ...» Zk—t—j, то для последних получатся выражения в виде функций qb q2, .... qsn-k, t
^1 = Fr (7i, 72, • • • , qan—k, t\ x2 = F2 {q^ q2. ... , qan—k, t^ ... , Zk—i—j =
= ^k—i—i (71, 72, • • • , qan—k, f).
Таким образом, все Зп координат xn х2, ..., zn выразятся в функциях Зп — к переменных qT, q2. .... q^n—k и вообще времени t и, как легко видеть из способа, которым они были найдены, эти функции будут таковы, что подстановка их вместо хи х2, .... zn в уравнения (3) обращает последние в тождества.
Вообще, Зп — к независимых переменных qy. q2. .... qan—к, определяющих для каждого данного момента времени положение системы называются координатами этой системы точек. Число же этих координат Зп — к называется числом степеней свободы этой системы.
Для системы п свободных точек число степеней свободы есть Зп и это есть наибольшая величина этого числа. Наименьшая же величина его в силу замеченного выше есть 1 и имеет место, когда число уравнений связей только на 1 меньше числа координат всех точек. Этот крайний случай характеризует систему точек с так называемыми полными связями. Вообще число степеней свободы системы п точек может быть произвольным числом из ряда 1, 2, ... .... Зп.
В силу того обстоятельства, что координаты точек несвободной системы подчинены известным условиям, скорости и ускорения различных порядков этих точек также будут подчинены некоторым условиям. Рассмотрим сначала удерживающие связи. Пусть
/ (-^1, У1, ^1» -^2, Уй» ^2, • • • , ^т Ут ^т 0 == ^(4)
есть уравнение одной из таких связей. Это уравнение выражает, что во всяком движении, возможном для рассматриваемой системы точек, координаты Xi, yY, ...» zn должны быть такими функциями времени, которые обращали бы это уравнение в тождество. Но если так, то эти функции должны обращать в нуль и все полные производные по t от функции Д т. е. должно быть
dt и’ dt^ и
и т. д. Первое же из этих уравнений дает следующее условие для скоростей
df * । df - df ' .. Of ' df ' df ' , df n
■^rX1+ '^ryi+ '^r21+ *** +^ГХп+ "д^Уп + ^Г2п + 'дГ-0’
второе — условие для ускорений
Of " , df " Of ". Of " , Of " . Of * .
+\ dx„dxv v дх ду^dxdz vl
Ц=1 v=l '
т ^Уи 2Д dy„dxv xv + дудуч У^ + dy„dzv zv +
"T 2ц I Ог дх^ + дгдх + Ozdz_ zv +ц=1 v=l xц vц v /
/ 04,04,04 ,\34
+ 2 OtOx^ XV+ dtdy„yv +OtOzvzv)+ ~^T = 0.(6)
Точно также из следующих уравнений получатся подобные же условия для ускорений высших порядков. Но составлять их мы не будем, так как в них не представится надобности.
Рассмотрим теперь неудерживающую связь. Пусть
/ №. Уп Sp ... , хп. уп, z„, 0 > 0(7)
есть ее аналитическое выражение. Обозначим временно через F (/) ту функцию времени, в которую обращается f (х-ь Ут» •••> г™ 0 после подстановки в нее вместо xv у1$ ..., 2п функций времени, которыми эти координаты выражаются в каком-либо движении, возможном для нашей системы точек. Эта функция будет, следовательно, такова, что для всякого t будет удовлетворять условию F (t) ^ 0, так что мы будем также иметь F (t + т) ^ 0, где т — какое-либо приращение времени. Но если функция F (/) в промежутке от t до t + т вместе со своими двумя первыми производными по t непрерывна, то последнее условие приведется к виду
<т-2
F (0 + xF' (0 + F" (/ + От) > 0,(8)
где $ — некоторая положительная правильная дробь. Если F (Л > 0, то из (8) не может быть получено никаких условий для F* (/) и F" (/). Но если F (/) = 0, то условие (8) приводится к виду
F' (^) + -1-Г(/ + »т)>0F' (^) + -1-Г(/ + »т)>0(9)(9)
F' (^) + -1-Г(/ + »т)>0
F' (^) + -1-Г(/ + »т)>0
(9)
(9)
и это будет справедливо, как бы т мало ни было, а потому необходимо будет F' (/) ^0. Если это последнее условие удовлетворяется со знаком неравенства, то условие (9) ничего не дает для F" (/). Если же оно удовлетворяется со знаком равенства, то (9) обращается в
F" (/ + ^т) > 0
для всякого достаточно малого т и, следовательно, будет F" (/) ^ 0. Таким образом, если в каком-либо движении рассматриваемой системы, допускаемом связями, координаты xv уъ 2Ь ..., хт уп, 2п в момент времени t удовлетворяют условию (7) одной из неудерживающих связей со знаком неравенства,
то эта связь в этот момент времени не подчиняет скорость и ускорение никакому условию. Если же координаты удовлетворяют условию (7) со знаком равенства, то для скоростей получается условие
df_di
где -~~ написанное в развитой форме, представляет первую часть равенства (5). Далее, если скорости удовлетворяют этому последнему условию со знаком неравенства, то рассматриваемая связь не дает никаких условий для ускорений. Если же они удовлетворяют ему со знаком равенства, то для ускорений получается условие
где написанное в развитой форме, представляет вторую часть равенства (6).
Из сказанного видно, что если система подчинена к удерживающим и неудерживающим связям, то число условий которым подчинены скорости, а также и число условий, которым подчинены ускорения, вообще меньше 6, но никогда не может превосходить к. Если же движение рассматривается только в течение известного промежутка времени, когда все рассматриваемые неудерживающие связи выражаются равенствами и если притом это движение совершается непрерывным образом, то в течение всего этого промежутка времени (периода движения) скорости будут удовлетворять к уравнениям вида (6), а ускорения — уравнениям вида (6). Так как к всегда меньше числа всех координат Зп, то для каждого данного момента времени можно вообразить бесчисленное множество различных положений системы, в которых координаты точек ее удовлетворяли бы к условиям вида (4) или (7), выражающим связи этой системы. Точно также для каждого из таких положений системы можно вообразить бесчисленное множество различных систем скоростей, удовлетворяющих условиям вида (5) или вида ^ 0 (причем последних должно быть столько, сколько условий неудерживающих связей для рассматриваемого положения системы удовлетворяется со знаком равенства). Наконец, для каждого из таких положений системы и для каждой из таких систем скоростей можно вообразить бесчисленное множество систем ускорений, удовлетворяющих стольким условиям вида ^ 0, скольким условиям вида -^- = 0 удовлетворяет эта система скоростей. Вообще можно найти бесчисленное множество различных движений системы, в которых координаты точек ее не перестают удовлетворять к условиям вида (4) или (7). Всякие положения системы, скорости, ускорения ее точек и всякие движения ее, удовлетворяющие только что высказанным условиям, носят название возможных. Исследование различных свойств возможных движений для каждой данной системы точек относится к области кинематики. Разыскание же из бесчисленного множества возможных движений этой системы того определенного, которое она действительно будет иметь в течение известного промежутка времени, находясь под действием данных сил и выходя из данного положения с данными начальными скоростями, составляет одну из задач динамики. К динамике же относится и задача об определении начальных условий движения для различных периодов, которые определяются тем, что в начале каждого из них некоторые связи перестают действовать, а взамен их начинают действовать другие.
Мы займемся сначала изложением принципов и способов для решения вопросов первого рода. Изложение же способов для решения вопросов второго рода отнесем к особой главе, в которой будем говорить о так называемых мгновенных силах.
Пусть рассматриваемая система п точек подчинена к удерживающим и неудерживающим связям и пусть для всех рассматриваемых движений этой 425
системы все эти связи постоянно выражаются уравнениями
/1 = 0, /2 = 0, ffe = 0,/1 = 0, /2 = 0, ffe = 0,(10)(10)
/1 = 0, /2 = 0, ffe = 0,
/1 = 0, /2 = 0, ffe = 0,
(10)
(10)
(11)(12)(13)(11)(12)(13)
(11)
(12)
(13)
(11)
(12)
(13)
связывающими Зп координат хи у1э ... и заключающими вообще время t. Вследствие замеченного выше для всех рассматриваемых движений этой системы скорости будут удовлетворять к уравнениям вида
+ ayv yv + dzv Zv) + at — u’
где I = 1, 2, ..., k, а ускорения — к уравнениям вида
у + Л1_и; + Ли^ + [Л] = о,
£ \dxv v 1 dyv 94 1 dzv v) ' UH ’
где / = 1, 2, ..., h и где положено для сокращения
(Л1 ~.2j \ dxdxv v "^ дх ду^ ^ "* дх dzv v I +
Ц=1 v=l,
+ 2 У“ 2 ( Эуидх^ ^ + ду ду^ ^ + ду дг^ ^) +
Ц=1V=1
■, V - V (-Л1и_ г 4-5^'/ 1 дЧ1 /\ 4+ ^ zn Jj \ dzadxv v + dz dyvdzdzv v) +
|Ы=1V=1
I 9 V (—У1— Y 4- d2h и 4- yh ,') 4- d^i
+ 2 dtdXv V + dtQy^ Ум + gtdz^ V I + № .
V=1
Пусть по-прежнему mv — масса точки (xv, Уч, 2V), a Xv, Fv, Zv — проекции на оси координат силы, приложенной к этой точке. Вопрос, решением которого мы будем заниматься, может быть поставлен следующим образом.
Для какого-либо данного момента времени /0 дано положение системы, в котором координаты точек ее аъ Ьъ съ а^, Ь2, с2 и т. д. удовлетворяют к уравнениям (10). Для того же момента /0 и для этого положения системы дана система скоростей ах. ЬХ) сХ) а^, ..., удовлетворяющих к уравнениям (11). Эти системы координат и скоростей назовем начальными данными. Если все связи, которым подчинена система, удерживающие, то из бесчисленного множества движений, возможных для нашей системы при этих начальных данных, требуется найти то, которое она действительно будет совершать, находясь под действием данных сил {Xv, Kv, Zv}. Если же в числе связей есть и неудерживающие, то прежде всего требуется узнать, будет ли при этих начальных данных и этих силах действительное движение системы таково, чтобы все неудерживающие связи в течение известного промежутка времени постоянно действовали (т. е. выражались равенствами), и если будет таково, то определить это движение, а также определить и тот момент времени, когда прекращается действие по крайней мере одной из связей.
При решении этой задачи мы будем рассматривать только системы с идеальными связями. Пусть Rx, Ry, Rz — проекции на координатные оси равнодействующей из всех реакций связей, приложенных к точке (х^, у^, z^. Движение нашей системы будет совершаться согласно с Зп уравнениями следующего типа:
^4^-^Xm-VRx, гпм^- =yv + ^, тм-^- = гм + К1 (14)
где v = 1, 2, ..., п. Если следующие из этих уравнений величины
dyv d2zv
dt» ’ dt2 ’ dt2
внесем в условия, которым должны удовлетворять возможные ускорения, то получим следующие условия:
S+ й) + -57(Г*+ ® + "7 + й>] +1» > 0. (15)
где I = 1, 2, ..., к, которым должны удовлетворять возможные величины реакций связей. В этих условиях знаки неравенства относятся к неудерживающим связям. Но по свойству сопротивлений идеальных связей величины 7?^, R^y, Rz должны обращать в минимум выражение
V=1 v
при условиях (15). Отсюда же необходимо следует, что эти величины должны удовлетворять условию
S №xv + R>h + №v) > 0(16)
V=1
при всяких величинах бхл,, 6yv, 8г^ удовлетворяющих для каждой из удерживающих связей уравнению
i^^+^^+^H™0’(17)
а для каждой из неудерживающих — условию
2(^8л+-^8’’+-7Ч>о-(18)
v=l
Если же в условии (16) величины R*, R^, Rz заменим их выражениями, следующими из (14), то найдем, что при тех же 6zv, ву^, 8zv должно быть удовлетворено в каждыймомент движенияусловие
V Г/^XN^/^V\/^ZV\1
I \^VTTL’X?^2j ^^V*4” I ^V^V^) ^!Jv *4” ( ^V ^V ^2) 62v I ^^ 0.
v=l LX/\/\/j
(19)
Так как в кинетических вопросах связи вообще могут быть переменными, т. е. функции flt f2 и т. д. могут содержать явным образом время, то эти величины 6^, 6уг и т. д. уже нельзя рассматривать в сказанном выше значении, как проекции на оси координат возможных перемещений точек системы: последние, например, для удерживающих связей должны удовлетворять уравнениям
другое возможное движение ее, в котором неудерживающие связи могут выражаться как равенствами, так и неравенствами, но которое бесконечно мало отличалось бы от первого, так чтобы координаты каждой точки в один и тот же момент времени в обоих движениях бесконечно мало разнились между собой. Тогда разности этих координат, как нетрудно убедиться, будут удовлетворять тем же самым условиям, каким должны удовлетворять и величины 6^, Sz/i и т. д. Последние можно, следовательно, рассматривать, как такие бесконечно малые приращения координат, при посредстве которых мы переходим от первого движения ко второму. Но от первого движения ко второму мы переходим, изменяя бесконечно мало вид тех функций времени, которыми выражались координаты в первом движении. Поэтому, придерживаясь обычной терминологии, величины 6^, 6уг и т. д. можно назвать вариациями координат. Вследствие этого мы и будем эти величины называть возможными вариациями координат, прибавляя слово «возможные» для того, чтобы выразить, что при посредстве величин 6хп 6^ и т. д. мы переходим от одного возможного движения к другому, бесконечно близкому, а также и возможному для нашей системы движению.
Следует заметить, что условие (19) имеет такой же вид, как и аналитическое выражение начала возможных перемещений. Поэтому его обыкновенно и формулируют, как условие равновесия некоторых фиктивных сил. Положим, что силы {Xv, Y^ Zv}, которые мы будем называть задаваемыми, разложены на две системы сил: {Ху, Y^, Z^ и {Xv, Y^ Z^, так чтобы
d^x^ *dyv »d2zv/ i о\
Xv — m^ ^’ Yv —Шу ^2’ ^v— Шу ^2 "(v— 1» 2,.. . , n\
Тогда
Xy = — R^ fv = — R^ Zv-—Rl (v = 1, 2, ... , n\
При этом силы {Ху, Уу, Zy) будут вполне расходоваться на осуществление движения, а силы {Xv, Уу, Z^ — на преодоление сопротивлений связей. Поэтому первые называют движущими, а вторые — потерянными. Кроме того, силы равные и прямо противоположные движущим, т. е. те, проекции которых на координатные оси равны
d^^duy^d2z^ / i ох
_mv_(v=l, 2,n),
называют силами инерции. Удерживая эти термины, мы можем высказать условие (19) в следующей форме: движение всякой системы совершается всегда под тем условием, что в каждый момент движения потерянные силы взаимно уравновешиваются; или еще в следующей: задаваемые силы и силы инерции взаимно уравновешиваются в каждый момент движения.
В этих выражениях условия (19) и заключается так называемое начало Дал а м б е р а, значение которого состоит в том, что оно дает возможность тотчас же составить дифференциальные уравнения движения системы, коль скоро для нее известна форма уравнений равновесия.
Заметим еще, что если wv, о^. wv —* проекции на координатные оси ускорения точки (zy, у^ z^ в каком-либо возможном движении ее, то положение, из которого мы исходили и которое служило определением идеальных связей, может быть выражено так: ускорения точек системы в действительном движении ее под действием сил {Xv, Уу, Z^ всегда таковы, что для них выражение
обращается в минимум. Если же заметим, что это выражение приводится к виду
У/Hvf^v+]
и что {—-—XVl —-— Kv, —— Zvi суть ускорения, которыми обладали бы точки системы при действии на них тех же сил, если бы все связи были уничтожены, то легко придем к принципу Гаусса, названному им принципом наименьшего принуждения. Состоит он в следующем: движение системы точек, подчиненных каким-либо связям, совершается таким образом, что в каждый момент времени сумма произведений из масс точек на квадраты отклонений, получаемых ими в конце следующего бесконечно малого промежутка времени, от тех положений, которые они заняли бы, если бы в течение этого промежутка времени были свободны от связей — эта сумма имеет наименьшую из всех возможных для нее величин.
Из условия (19) получаются все дифференциальные уравнения движения системы. Для вывода их рассуждаем таким же образом, как рассуждали при выводе уравнений равновесия из начала возможных перемещений. При этом придем к системе следующих Зп уравнений
йЧ^ = х + х + х _^_ + ... х %dt2dxv 12 dxv 1dxv
= у ++ • • • +’(20)
dt21 dyv '2 dyv '1 R dy^v 1
= Zv + \1(v = 1, 2, ... ,
где Xb X2, •••» ^k — неопределенные множители, из которых те, которые относятся к неудерживающим связям fs > 0, должны удовлетворять условиям Xs>0.
Если все силы {Xv, Y^ Z^ известны, т. е. если Xv, Y^, Z^ даны как некоторые функции от х1э ylf 2n х^ y^s 23, ..., хт ут
,dxt dyT dzt dx2 dy2 dz2dxn JVn_dzn
m ’dt’ dt’ dt’ dt’ dt’ dt’ * * * ’ dt’ dt 1dt ’
то уравнения (20) будут заключать Зп + k неизвестных функций времени хъ Уз» 2ь х2, у2, 221 ..., хП1 ут гП1 \, Х2, • ••, ^к- Поэтому, если присоединим к ним k уравнений связей, то получим систему того же числа Зп + & уравнений, которая и будет достаточна для их определения.
Легко видеть, что определение это ведет к интегрированию некоторой системы Зп — к дифференциальных уравнений второго порядка с таким же числом неизвестных функций. В самом деле, исключая из уравнений (20) к величин X, получаем Зп — к уравнений между координатами, временем и первыми и вторыми производными координат по времени. Исключая же из последних уравнений при помощи к уравнений связей какие-либо к координат вместе с их производными, приводим их к виду Зп — к дифференциальных уравнений второго порядка с неизвестными функциями, представляющими Зп — к остальных координат.
Отсюда видно, что при решении вопроса о движении системы мы получаем для координат такие функции времени, которые содержат 6п — 2^ произвольных постоянных. Поэтому для окончательного решения вопроса о движении надо еще определить эти постоянные, что и может быть выполнено, коль скоро даны начальные обстоятельства движения, т. е. начальные значения
координат Ov, 6V, Cv и их первых производных а^ b^ eV Вместе с координатами найдутся в функциях времени и множители %х, %2» •••» ^-
Если система подчинена только удерживающим связям, то найденное таким путем движение и будет действительным. Если же в числе связей есть и неудерживающие, то это движение будет действительным только до тех пор, пока ни один из множителей %, соответствующий неудерживающим связям, не делается отрицательным. Когда же наступает момент, в который один или несколько из этих множителей обращаются в нуль, чтобы затем стать отрицательным, то это служит признаком, что в этот момент одна или несколько их неудерживающих связей перестают действовать, т. е. их аналитические выражения переходят из равенств в неравенства. Поэтому дальнейшее движение системы будет подчинено новым уравнениям, которые должны быть составлены по тому же типу, что и уравнения (20), но в которых не должны быть приняты в расчет эти связи. Для определения движения в этом новом периоде, конечно, нужно провести новое интегрирование.
Так как во многих вопросах надо иметь выражения для множителей % в функциях координат, скоростей и времени, то мы теперь и рассмотрим уравнения, определяющие эти множители. Каждое из уравнений fs = 0 связей дает, как мы видели, следующее уравнение, которому должны удовлетворять ускорения
i^+<^+^+v.'-°-
Если же мы исключим из этого уравнения х[, yl, 2^ Хг и т. д. при помощи уравнений (20), то приведем его к виду
^4sAi + ^s2^2 + • • • + ASkKk = Bs (s = 1, 2, ..., &),(21)
где
4 _ л _ V —— (Jh_ dfi , Jfi_ , Jh_\,z99x
Asi — Au —d^v dxv + dyv dyv T dzv dzv)W
B-=-i^r№x'+TtY'+^^-v.'- та
V=1
Уравнений вида (21) мы получим столько же, сколько имеется уравнений связей, т. е. столько же, сколько в них входит множителей %.
Мы теперь покажем, что к уравнений (21) всегда можно предположить решимыми относительно к множителей %. В самом деле, для того чтобы это было возможно, необходимо и достаточно, чтобы определитель этих уравнений
^11^12 • • • Aik
^21^22 1• ^2* д
Aki Ak2 ... Akk
не обращался в нуль ни тождественно, ни в силу уравнений связей. Мы теперь и покажем, что обращаться в нуль тождественно, т. е. при всяких хь yv 2Т, ... ..., хт Уп» 2tn ^ он не может, а что если бы он обращался бы в нуль в силу уравнений связей, то последние всегда можно так преобразовать, что для нового вида этих уравнений он уже не будет обращаться в нуль.
Чтобы удобнее было исследовать определитель А, введем вместо Зп координат Зп новых переменных, полагая
К^х^^, УпкУ1 = ^ K"h ^1 = u Кт2х2 = Е4
и т. д. При этом формула (22) преобразуется к виду
Зп
а."-2тг--эг- <$. ' = '•26>
и мы найдем
v 9fT Лк_ v д^ _^_V —
^ din 5U Д ^ц ^чД ^н д^
Ц=1И—1
V9h V ЛЬ_ Л^- ... V
Д —^ц, ^ц^ ^Ц ^Ц*^ ^Ц
Ц,=1Ц,=1
v^fiv Лк_ Лк_v Лк_Лк_
^ц, ^Ц^ц ^ц/”1 ^М- ^Ц,
Ц=1Ц,=1Ц—1
>
а этот определитель по теореме Коши приводится к следующему виду:
9к
дк
dfi
д^=
9к
А= 2
д^
’Иг
д^к
^1^2М*
д!к
91к
_Лк_
д^2
где рь р,2, ..., р^— какие-либо различные числа, взятые из ряда 1, 2, ... ..., Зп и сумма распространена на всевозможные различные сочетания послед- . Зп(Зп—1) . . . (Зп — & + Т)
них Зп чисел по к, так что заключает в себеt 2 ^-^
членов.
Отсюда видно, что А = 0
только тогда, когда кажд
9fi9ft9fi
д^^^
9h91гд^
Лк__Л^к_Лк_
д^.д^д^к
;ый из определителей
(24)
равен нулю. Но это есть функциональный определитель к функций fu fa, ...
fk от k независимых переменных ^, ^U2, ..., ^ и, как известно, он может быть равен нулю тождественно только тогда, когда между функциями 1ъ к' •••Лк существует зависимость, не заключающая переменных ^ ^ц,, ... •••1 ^ц6, Ti е- только тогда, когда к уравнений
fi = о, /2 = 0, ... , fk = 0(25)
не могут быть решены относительно к величин ^ц,, |ц„ ..., ^.
Из сказанного следует, что определитель Л тогда только может обращаться в нуль тождественно, когда уравнения (25) не могут быть решены относительно к из Зп связываемых ими величин
£1, U • • • , ^,(26)
какое бы сочетание из этих величин мы ни взяли для этого. Последнее же может быть только в двух случаях: 1) или когда уравнения (25) несовместны, 2) или когда некоторые из них являются следствиями остальных. Но ни тот, ни другой из этих случаев невозможен: первый — по самому существу дела, а второй — потому что при решении всякой задачи динамики, все условия, представляющие аналитические выражения связей, должны быть с самого же начала приведены к такому виду, чтобы ни одно из них не было следствием остальных.
Если бы определитель А = 0 в силу уравнений (25), то последние всегда можно было бы преобразовать к такому виду, что новый определитель Л ^ 0. Для этого достаточно, например, решить уравнения (25) относительно некоторых к из Зп величин (26). Положим, что эти уравнения решены, например, относительно ^, Е2, •••, ^- Вследствие этого уравнения (25) преобразятся в следующие:
— Ф1 = 0, ^2 — Фз = 0, . . . , Ск — Фй = 0,
где фь ф2, ..., Ф^ не зависят от ^, £2, ..., ^. Чтобы составить теперь определитель А, мы полагаем
откуда найдемоткуда найдем5/1_ ,а^ --^ = о ...J&- =0-^- = 0^t 2 1_д4_ = о5/1_ ,а^ --^ = о ...J&- =0-^- = 0^t 2 1_д4_ = оf 1 ■ ^1Фь /2 = ^2Ф2, • • • , fк " ^кФьf 1 ■ ^1Фь /2 = ^2Ф2, • • • , fк " ^кФь
откуда найдем
откуда найдем
5/1_ ,
а^ -
-^ = о ...
J&- =0
-^- = 0
^t 2 1
_д4_ = о
5/1_ ,
а^ -
-^ = о ...
J&- =0
-^- = 0
^t 2 1
_д4_ = о
f 1 ■ ^1Фь /2 = ^2Ф2, • • • , fк " ^кФь
f 1 ■ ^1Фь /2 = ^2Ф2, • • • , fк " ^кФь
Но при этом, тот из определителей (24), для которого ^ = 1, р2 = 2, ... ..., pfe = к, обращается в единицу, следовательно, нрвый определитель Л 0. Таким образом, мы всегда можем предположить, что уравнения (21) могут быть решены относительно множителей %z. Решая же их, найдем
Лц^12•••^и—iВгЛ1,/_|_1...А\к
Л21Л22• • •A^j—1В.Лолм...А2к
AkiАк2...Ak,i—iВкЛ^,/4-1...Акк
или если младшие определители /-го столбца определителя А обозначим через ац, а^, ..., так что
А = Ацац + A21QL21 + • • • + Аы&кь найдем
^/ — — Фх^и 4“ B2ci2i + • • • + Bkciki^ (I — 1, 2, ... , ку (27)
Таким образом, мы найдем множители Xz в функциях координат, скоростей, времени и слагающих сил Хь Yv Zv Х2 и т. д., а так как последние должны быть даны в функциях координат, скоростей и времени, то, следовательно, и множители ^ могут быть рассмотрены, как известные функции этих величин.
Внося найденные таким путем выражения множителей Xz во вторые части уравнений (20), мы обратим последние в известные функции координат, скоростей и времени. Таким образом, мы получим для определения координат в функциях времени систему Зп дифференциальных уравнений второго порядка, из которых k будут, конечно, следствиями Зп — к остальных и к условных уравнений (25). Интегрированием этой системы мы и найдем все Зп координат в функциях времени и 6п — 26 произвольных постоянных, определяемых по начальным данным.
Зная выражения множителей Xz в функциях координат, скоростей и времени, мы можем до интегрирования дифференциальных уравнений движения решить вопрос о том, при каких начальных данных наша система точек будет двигаться так, чтобы в течение известного промежутка времени все неудерживающие связи выражались равенствами. Для этого достаточно, чтобы начальные значения всех Xz, соответствующих неудерживающим связям, были положительны. Когда это условие удовлетворено, то во время движения все неудерживающие связи будут выражаться равенствами до тех пор пока один или несколько из множителей Xz, соответствующих связям, не обратится в нуль, переходя затем к отрицательным значениям. Дальнейшее движение при условии, чтобы все неудерживающие связи выражались равенствами, невозможно. В следующем периоде движения непременно одна или несколько связей не будут действовать.
Пример. Система состоит из двух точек, соединенных гибкой нерастяжимой нитью. Предполагая, что точки притягиваются к началу координат силами, пропорциональными массам и расстояниям их от начала координат, определить условия, при которых нить во время движения будет оставаться натянутой.
Если I — длина нити, то связь, которой подчинены точки, выразится условием
-у [^ — (*1 — *2)2 — (У1 — У2)2 — (Z1 — 2з)21 > 0.
В том движении нашей системы точек, в котором эта связь действует, координаты Xf, уъ zv х2, ^2» г2 должны удовлетворять следующей системе шести дифференциальных уравнений:
/п1х1 = — т^Ху — X (хх — х2),т2х2 = — т^х^ + M^i — я2),
^1^1 = — ^2У1 — X (У1 — У2).т2^2 = — т2^У2 + Mt/1 — У2^(28)
т^ = — tn^Zx — X (?! — z2),tn^ = — m^z^ + X ^ — z2),
где &2 — постоянный коэффициент, входящий ввыражение силы. В этом же движении скорости
должны удовлетворять уравнению
(%1 — х2) (xj — х2) + (^ — у^ <у'х — у^ + (?! — z2) (zj — z2) = 0,(29)
а ускорения — уравнению
(Xi — х2) (Xj — х2) + (уг — у2) (i/j — у^ + (Zj — z2) (zj — z2) + и2 = 0,(30)
полагая для сокращения
У2 = (*j — 4)2 + 1у\ — У^ + (21 — 22>2*
Если теперь из уравнения (30) исключить Хр х2, ух и т. д. при помощи уравнений (28), то получится для определения множителя X уравнение
- Ь2 + ^ (-7- + —)1 [(*1 -*2)2 + (У1 - У2)2 + (Z1 - г2)21 + V2 = 0
L \m2 /J
или
Н) XZ2 = и2 — №2.(31)
\ т1 т2 ]
Входящая сюда величина и представляет, очевидно, относительную скорость одной из точек по отношению к другой (т. е. по отношению к системе осей, направления которых остаются
неизменными, а начало совпадает с этой последней точкой). В силу (29) эта относительная скорость должна иметь направление, перпендикулярное к прямой, соединяющей точки.
Так как в рассматриваемом движении должно быть % ^ 0, то на основании (29) и (30) мы приходим к следующему заключению. Для возможности движения наших точек при условии натянутости нити необходимо, чтобы начальная относительная скорость одной из точек по отношению к другой была перпендикулярна к прямой, соединяющей точки и, кроме того, чтобы она была достаточна велика, а именно, она не должна быть меньше kl.
Мы сейчас покажем, что когда высказанное здесь условие удовлетворено, то нить будет оставаться натянутой во все время движения. Для этого рассмотрим относительное движение точки тг по отношению к точке т^. Из дифференциальных уравнений (28) находим
*1 — ^2 = — fe2 (-4 — ^з) — А ( —1—) (*i — *2)-
\^2 /
Если же воспользуемся (31), то приведем только что написанное уравнение к первому из трех следующих:
„„и2„„и2г, „и2
*i — ч =—p-(*i—*2). У1 —у2 =^-(У1 —у2)> г1 — г2 = —^-(?i —z2).
Эти дифференциальные уравнения, очевидно, имеют три следующих интеграла:
(У| — У2) <г1 — гз) — (г1 — г2) (У1 — Уз) = Ср
(г,Z2) (Xj х2) (Xj Xg) (Zj z2) = C2,(32)
(*1 — *2) (Ут — Уз) — (У i — У2) (*i — x^ = сз>
где Съ C^ C3 — постоянные, введенные интегрированием. Возвышая эти интегралы в квадрат и результаты складывая почленно, получим уравнение, приводящееся к виду
[(Х1 — х2)2 + ^ — у^г + (Zj — z2)2] [(xj — Х2)2 + ки\ — у^ + (z, — z')2] —
— 1(^1 — *2) (V] — Х2) + (t/i — у^ (у^ — Уз) + (Zj — z2) (z, — z')]2 = Cf + С| + c|,
или /2и2 = Су + с| + С|.
Это последнее уравнение показывает, что когда наши точки движутся так, что нить остается натянутой, то относительная скорость о одной из них по отношению к другой сохраняет постоянную величину, а формула (31) показывает, что при этом и % сохраняет постоянную величину. Отсюда же и следует, что если начальная величина относительной скорости удовлетворяет высказанному выше условию, то нить будет оставаться натянутой во все время движения. Следует обратить внимание на частный случай, когда начальная относительная скорость г, будучи перпендикулярна к направлению нити, имеет величину, равную kl. В этом случае точки будут двигаться так, как они двигались бы при этой начальной величине г и не будучи связаны нитью.
Переходим теперь к изложению так называемых общих законов движения. При этом начнем с динамики систем свободных точек.
Мы в этом случае будем иметь систему дифференциальных уравнений
d2xT vd^yn Л7d^z. „
d^x«d2z9 -
— ^2» m2 №— ^2. m2 dZ2 ■ — ^2>
mn^=Xm mn-^-=Yn, mn^- = Zn,
которая и должна послужить для определения движения рассматриваемой системы точек. В уравнениях (33) Хп кп Zlt Х2 и т. д. вообще функции следующих 6л + 1 величин
^1» Уъ ^i> ^2» У2> ^21 • • • » хп, уп, zn, t,(34)
_dx, _dyx dzy dx2 dy2 dz2dxn dyn dzn
di - ’ dt’ dt’ dt’ dt' dt’ " "" ’ dt' di’ dt ’
причем величины, находящиеся во второй строке, обыкновенно входят в вы* ражения Xn Yu Z19 Х2 и т. д. в тех случаях, когда учитывается сопротивление среды, в которой движется система точек.
Таким образом, уравнения (33) представляют систему Зл совокупных дифференциальных уравнений второго порядка с Зп неизвестными функциями хи у19 2Ь ..., хп, ут zn и независимой переменной t. Вопрос об определении движения рассматриваемой системы точек сводится, следовательно, к интегрированию системы (33), т. е. к нахождению таких самых общих выражений хт уп, zn в функциях /, которые, будучи подставлены вместо хи ylv 2i, ..., хт ут zn в уравнения (33), обращали бы их в тождества. Как известно из теории дифференциальных уравнений, получим при интегрировании бл произвольных постоянных. Вследствие этого, проинтегрировать систему уравнений (33) значит найти для хи yv гъ ..., хп) ут zn выражения
Xi = /1 (/, Сп С2, • • • , Сбл), У1 = Ф1 (t. Ci, С2, • • • , Сбп)г
21 = ф1 (/, Сь С2, . . . , С^п)»
(35>
Хп — fn V» Ci, С2, ... , С6п), уп = Фп (/, Сь С2, .. • , Св^
zn = фп (/, Сь С2, ... , С^ в виде функций t и 6л произвольных постоянных
Qb ^2, • • • » ^6п»
которые (т. е. выражения) удовлетворяли бы уравнениям (33). При этом, в первоначальном виде, в каком эти выражения обыкновенно получаются,, постоянные Сг, С2, ..., С^п вообще не будут частными значениями для данного значения времени величин
Хи Уи ^и . . . , Хт уп, Zn) ХХ, у\, 21', . . . , Хп, У^ 2п,
как это имеет место при интегрировании по способу составления рядов. Между тем в механике обыкновенно даются начальные значения координат и скоростей точек и чтобы ввести их, придется решить относительно Сп С2, ..., С6л. уравнения
tZi = /i (Zo, Сь С2, ... , С^^ Ьг = Ф1 (Zo, Сп С2, ..., С6я),
^1 = ф1 (Zo, Ci, С2, ... , Сбл),
^п " fn (^0> Qb ^2» • • • > Сбп), Ьп = ф„ (/0, С1, С2, . . . , С6п\
^П = Фл (^о, ^U ^2> • • • » Сбп),
^i = fi (^о> ^i, ^2, • • • > Сбп)» Ь\ = ф1 (/0, Сх, С2, ... , Сел),
^i = ipi (/0> Ci, С2, •. • , Сбл),
Ctn = fn (^0> ^1, ^2, • • • » Сбл), Ьп = фл (^0, ^1> ^2, • • • , Сбп)>
Сп — фл (^о> ^1, ^2, • • • , Сбл),
в которых /0 — данное значение времени, принимаемое за начальный момент и вообще fv> ф^, фу — производные по t функций /v, фу, фу. Теорема о числе произвольных постоянных и важна для механики именно в том отношении, что обнаруживает возможность удовлетворить всем начальным условиям движения.
Выражения (35) обыкновенно получаются решением относительно xlt У1, ?!, ...,хп, уп, zn уравнений
^1 C^l, til» • • • , ^т ^1, У1> • • • , ^п» ty С^, С2, • • • , С^п) = О,
F^ C^i> tih • • • > ^т хх, tiv * * * 1 ^п» t» C^i С2, • - • , Свп) = О,
Рбп Uli till . • , 2„, /ь у\, ... , zn, t, Сп С2, . . . , Сбп) = 0.
Вообще всякая такая система 6п уравнений вида (36), из которой следуют величины х^у^ ..., zn в функциях t и 6п произвольных постоянных Сп С2, ... **•1 С6п, удовлетворяющие дифференциальным уравнениям (33) и величины Хь У in -»2п в функциях / и 6п тех же постоянных, представляющие производные по t от первых, называется системой интегральных уравнений системы дифференциальных уравнений (33).
Если решить уравнения (36) относительно Сь С2, ..., С^ то получится частный вид системы интегральных уравнений
Ф1 Ui, till . . . 1 гт хх, у\, ... , zn, f) = Cn
Ф2 С^п Ын • • , 2„, хх, ух, . .. , z’n, t) = C2,
Фбп (^1, tih * * * i ^ni ^1 > ti^» • • • » Zn, ^) — C^n» который носит специальное название: каждое из уравнений такой системы называется интегралом системы дифференциальных уравнений (33). Функции Ф1Э Ф2, ..., Фбп, входящие в первые части этих уравнений, обладают тем свойством, что их полные производные по / тождественно обращаются в нуль в силу уравнений (33). В самом деле, мы находим, например, для ^^- выражение
дфдфдФ^ * . дФх " .'Г^Х1 + т^"^1+дххдухдФ^ * . дФх " .'Г^Х1 + т^"^1+дххдух* . дФх
дф
дф
дФ^ * . дФх " .
'Г^Х1 + т^"^1+
дххдух
дФ^ * . дФх " .
'Г^Х1 + т^"^1+
дххдух
5^1дУ1
дФх " , дФ]-
которое в силу уравнений (33) обращается в следующее
дФх ' . дФт ' ."дхГ"Х1 + дух У1 +дФх ' . дФт ' ."дхГ"Х1 + дух У1 +дФх ' , ^Фх X]дгп 2п + дх. ""кдФх ' , ^Фх X]дгп 2п + дх. ""кдФ, Ft9у\ тгдФ, Ft9у\ тг
дФх ' . дФт ' .
"дхГ"Х1 + дух У1 +
дФх ' . дФт ' .
"дхГ"Х1 + дух У1 +
дФх ' , ^Фх X]
дгп 2п + дх. ""к
дФх ' , ^Фх X]
дгп 2п + дх. ""к
дФ, Ft
9у\ тг
дФ, Ft
9у\ тг
Zn I дФ1 ,dzn тп dt '
т. е. в некоторую функцию от хг, yt, ..., zni Хх, х2, ...,zn и t, несодержащую постоянных Сг, С2, ..., С^п и которую, следовательно, можно обозначить через
Ф1(^Ь till . . * 1 ^т Хх, у\, . . . , Zn, t\
Но в силу первого из уравнений (37) мы должны иметь
dt
и, следовательно,
Ф1 (Xi, Ухг„, х'ь у'ь ... , гп, I) = 0.(38)
Что касается этого равенства (38), то, оно, очевидно, не может быть следствием уравнений (36), потому что из последних постоянные Сь С2, ..., С6п не исключаются (ибо в противном случае мы не могли бы перейти от уравнений (36) к уравнениям (37)), а, с другой стороны, функция ^ не содержит этих постоянных. Если же равенство (38) не есть следствие уравнений (36), то оно будет тождеством, потому что в противном случае оно было бы уравнением, которое в связи с 6п уравнениями (36) давало бы возможность найти 6n + 1 величин х19 у19 ..., 2„, ^, у\9 ...,zn, t в функциях постоянных. Таким образом, высказанное выше свойство интеграла доказано.
Интегральные уравнения встречаются часто также в виде следующей системы уравнений:
Ф1 ^ъ Уи • • , *«, Xi, у\, . .. , 2^, 0 = ап
Ф2 (хъ уг, ..., гп, xv y'v ..., 2^, /) = а2,(39)
(40)(40)Фзп (^, Уь . . . , 2п, ХЬ уь . . . , 2п, f) = а3п, ^1 (^1» Ун • • • , ^т ^ь у\, ... , 2п, О = Р1, Ф2 С^П Уп • • • , 2П, Хь Уь . .. , 2„, 0 = 02>
(40)
(40)
^Зп (^!, уп . . . , 2т ХЬ У1, . . . , 2„, 0 = Рзп,
где аъ а2, ..., а3„, Рх, Р2, ..., р3п — произвольные постоянные. При этом каждое из Зп уравнений (39), в которые входят как координаты, так и их первые производные по времени, называется первым интегралом системы дифференциальных уравнений (33), а каждое из Зп уравнений (40), в которые не входят производные координат, — вторым интегралом этой системы.
Можно заметить, что каждое из уравнений (40) есть интеграл системы Зп дифференциальных уравнений первого порядка (39).
Интегрирование системы дифференциальных уравнений (33) весьма часто и ведется так, что сначала разыскивается система Зп первых интегралов ее, а потом интегрируется эта система уравнений и находятся Зп вторых интегралов системы (33), решением которых относительно хъ ylf 2Х, ..., хп, уп, 2п и приводится задача к концу.
Иногда система уравнений (33) может быть разделена на несколько групп, из которых каждая может быть проинтегрирована отдельно.
Так, например, если вообще Xv, Fv, Zv — функции семи величин
•^v, Уч, 2ч, Х4, yv, 2ч, t,
то будем иметь п групп уравнений вида
^V 5/2 —^v 5/2 — ^v> ^v —^/2 — ^v (^ — » 2’ • • • , ^),
из которых каждая интегрируется отдельно, образуя для Хч, Уч, ^ч выражения в функциях t и шести произвольных постоянных, различных для различных групп (так что всего и будет Зп произвольных постоянных). Но в этом частном случае мы имеем в сущности не систему материальных точек, а такое собрание их, в которой движение каждой точки совершается независимо от движения прочих точек. Теперь возвратимся к уравнениям (33) и покажем некоторые преобразования их, которые во многих случаях дают интегралы, известные под названием законов сохранения движения центра инерции, сохранения площадей и сохранения энергии.
Закон сохранения движения центра инерции. Из уравнений (33) мы можем составить три следующих уравнения:
^2 " (^1^1 + • • ' +^1 4“ * * *
-§Г к^ЧУх + ••• +mnyn) = ^i+ ••• + К„,
-^-(m1z1+ ••• +mnzn) = Z1+ +Zn.
Если же положим
Xjl + ^24*+ Хп = Х, Уг + У2 + 4-Уп = У,
Z1 + Z2 + A-Zn = Z(41)
и mt + m2 + • • • + mn = M
и определим координаты хс, ус, zc по формулам
^ -т^ + т^-У ••• + ™пхп ,_ т1у1-ут2у2 + ■•■ + тпуп ,
° т1 + т2+ ••• +тп * Ус т1 + т2+ +тп *^
_+ т2х2 + ... +тпхп ,
с т1+тг+ +т„*
то эти уравнения примут следующий вид:
^T=^=M-^-=Z.(43)
Формулы (41) показывают, что X, V и Z — проекции на оси координат замыкающей ломаной, составленной из прямых, геометрически равных силам, действующим на рассматриваемую систему точек. Эта замыкающая носит название вектора всех действующих на систему сил. Если бы мы вообразили, что все эти силы параллельно их действиям приложены к одной точке, то вектор выразил бы равнодействующую этих сил.
Что касается точки, координаты которой определяются формулами (42), то легко убедиться, что положение ее не зависит от выбранной системы координат. Оно определяется исключительно только взаимным расположением точек системы. Вследствие этого для нее можно и нужно дать аналитическое определение, не зависящее от выбранной системы координат. Для этого введем обозначения: rv — расстояние какой-либо точки (xv, z/v, 2V) системы от произвольной точки (х, у, 2), pv — расстояние той же точки (xv, yv, 2V) от точки (хс, ус, 2С) и гс — расстояние точки (хс, ус, 2^ от точки (х, у, 2). Мы найдем
4 = ^ + Pv + 2r^pv cos (rc, Pv), если направление rc будем считать от точки (х, у, 2), а направление pv —- от точки (хс, уС) 2С), так что
У^ — УсУ^ — УсZc —Z х^ — хсГсPvZc —Z х^ — хсГсPvу у— Хл
У^ — Ус
У^ — Ус
Zc —Z х^ — хс
ГсPv
Zc —Z х^ — хс
ГсPv
COS (г., pv) =~Н
Умножая это равенство на пц и затем суммируя его для всех значений v от 1 до п включительно, найдем
^т^Л = Мгс 4- 2mvpv 4- 2rc2mvpvcos (rc, pv), но
2mvpv cos (rc, pv) = ——~ Smv (xv — x,) +Tc
- -^-^- 2mv кУм — Ус) + ^Vc2'" ^'^ V^ — Z^>
а потому, в силу уравнений (42), эта сумма равна нулю. Таким образом, мы получаем равенство
^т^ч = МЛ + S/TZvPv,(44)
выражающее, что для точки (хс, уС1 zc) сумма произведений, из масс всех точек на квадраты их расстояний от переменной точки является наименьшей.
Точка, обладающая этим свойством, называется центром инерции рассматриваемой системы точек. Некоторые авторы называют ее также центром масс. В геометрическом смысле эта точка тождественна той, которая в статике называется центром тяжести системы точек.
Так как уравнения (43) есть дифференциальные уравнения движения материальной точки, масса которой равна М и которая находится под действием силы {X, У, Z}, то мы приходим к следующему результату:
Центр инерции свободной системы точек движется, как материальная точка, в которой сосредоточена масса всей системы и к которой приложена сила, геометрически равная вектору всех действующих сил, т. е. так, как если бы к ней были приложены все действующие на систему силы, перенесенные параллельно их направлениям.
Особенно важен случай, когда X = У = Z = 0, т. е. когда вектор всех сил приводится к нулю. Этот случай будет иметь место, например, когда все силы, действующие на систему, являются силами взаимодействия между точками системы. Такие силы подчиняются закону равенства между действием и противодействием. В этом случае в выражение X войдет, например, проекция Х^ силы, с которой точка (л^, уу, z^ действует на точку (xv, yv, 2V), а также проекция Хц} силы, с которой точка (xv, yv, 2V) действует на точку (Ху,, уу, Zy) и которая, в силу только что высказанного закона, равна — Х^. Таким образом, проекции всех сил, входящие в выражение X сократятся попарно и мы найдем X = 0. Тоже самое будет иметь место и по отношению к У и Z. Каждое из трех равенств X = 0 , У = 0, Z = 0 дает возможность тотчас же получить два интеграла и если эти равенства имеют место одновременно, то мы получим шесть интегралов
dxc dycdzc
~dT ~ ai’ ~dT "Т ~
И Хо CL-jt — Pi, уо CL^ — Р2, Zo ^X^ Рз, где an a2, a3, px, p2, p3 — произвольные постоянные, выражающие, что когда вектор всех сил приводится к нулю, центр инерции системы имеет равномерное прямолинейное движение, так что если начальная скорость его равна нулю, то он будет оставаться в покое и во все время движения.
В этом состоит открытый Ньютоном закон сохранения движения центра инерции.
Закон сохранения площадей. Дифференциальные уравнения движения, относящиеся к точке (xv, у^ z^ системы дают следующее уравнение
d / ^zvdy^\
"dT \^v ”dt 2v Т) —— ^^
откуда, с учетом остальных точек системы найдем
d VdZ^dyv 1 V v\
' ^1Zv ^ I(yvZy z-^Y^.(45)
V=14j V=1
Таким же образом получим и еще два уравнения
dzv
V—1
dx^"Ж
n
=(XyKvZ/vXv).
V=1
(45')
Эти уравнения (45) выражают, что производные по времени от сумм моментов количеств движения всех точек свободной системы вокруг неподвижных осей координат равны моментам всех действующих на систему сил вокруг тех же осей.
Кроме того, значение этих уравнений можно выразить и следующим образом: абсолютная скорость конца главного линейного момента количеств абсолютного движения системы вокруг какой-либо неподвижной точки геометрически равна главному линейному моменту всех действующих на систему сил вокруг той же точки.
Истолкование дифференциальных уравнений (45) в этом последнем смысле во многих случаях дает возможность обойти целый ряд довольно продолжительных выкладок.
Иногда оказывается возможным систему координатных осей выбрать так, что по отношению к ней во все время движения будут иметь место одно, два или все три из следующих равенств:
У ^tj^Z^ — ZyKу) — О, У^ (ZyXy — X^Z^ — О, У, (XyKу — Z/yXy) — 0. v=lv=lv—1
В этом случае мы получаем один, два или все три из следующих интегралов:
Каждый из трех интегралов и выражает закон сохранения площадей в соответствующей координатной плоскости. Чтобы выяснить причину такого названия, достаточно обратить внимание на то обстоятельство, что, например, выражение yvdzv — zvdyv представляет удвоенную площадь сектора, описываемого в течение бесконечно малого промежутка времени dt проекцией на плоскость yz радиуса-вектора точки (xv, z/v, zv), причем эта площадь должна быть рассмотрена как положительная или как отрицательная величина в зависимости от того, представляется ли со стороны положительной части оси х направление, в котором она описывается, слева направо, или справа налево. Вследствие этого, например, первый из интегралов (46) выражает, что если проекция на ось х главного линейного момента всех действующих на систему сил равна нулю, то алгебраическая сумма произведений масс точек системы и площадей, описываемых проекциями на плоскость yz радиусов-векторов точек системы возрастает пропорционально времени.
Следует прибавить, что выражения вида
dz^dyv dxvdz^dy^dxv
y^—t zv -57- ’ 2v—tУч dt
называются секториалъными скоростями проекций точки (xv, у^, zv) на плоскости yz, zx и ху.
Если главный линейный момент вокруг начала координат всех действу-
ющих на систему сил равен нулю, то будут иметь место все три интеграла (46). В этом случае закон площадей имеет место для всякой плоскости, проходящей через начало координат, между прочим, и для плоскости, перпендикулярной к постоянному в этом случае направлению главного линейного момента количеств движения. Эта неподвижная плоскость, определяемая уравнением Стх + С2у + С32 = О,
названа Лапласом неизменяемой плоскостью. Отличительное свойство ее состоит в том, что для нее алгебраическая сумма произведений масс точек на секториальные их скорости имеет наибольшую величину, чем для всякой другой плоскости. В случае одной только материальной точки это есть та плоскость, в которой точка совершает движение.
Что касается тех случаев, в которых имеют место интегралы (46), то, например, если все силы приводятся к силам взаимодействия между точками системы, для каждой пары точек равным и направленным прямо противоположно по прямой, соединяющей эти точки, то все три интеграла (46) будут иметь место и при том — при совершенно произвольном выборе системы координатных осей. Чтобы убедиться в этом, достаточно только заметить, что момент вокруг какого-либо центра равнодействующей всех сил, приложенных к какой-либо точке, есть замыкающая ломаной, составленной из моментов вокруг того же центра всех этих сил. Если все силы, действующие на систему, имеют направления, проходящие через некоторую неподвижную точку, то все три интеграла (46) будут иметь место, если эту точку принять за начало координат. Если все силы имеют направления, пересекающие некоторую неподвижную ось или параллельные ей, то из интегралов (46) всегда будет иметь место, по крайней мере, один, если эта ось принята за одну из координатных осей.
Весьма часто (например, при рассмотрении движения нашей солнечной системы) приходится рассматривать не абсолютное, а относительное движение системы по отношению к осям координат, движущимся поступательно вместе с центром инерции системы. Поэтому мы теперь рассмотрим, как изменяются моменты сил и количества движения при перемене положения точки (центра), вокруг которой они берутся.
Пусть а, Ь, с — прямоугольные координаты нового центра. Проекции на оси координат главного линейного момента всех сил вокруг этого нового центра выразятся следующим образом:
£ [(z/v — b^Z^ — (2V — с) Kv] = X (yv^v — 2vKv) — (bZ — cY), v=lv=l
У [(zv — c) Xv — (xv — «) Z^ = У (zvXv — xvZv) — (cX — aZY (47) V=1V=1
У [(xv — a) Fv — (th — b) Xv] = У (Xv^v — yvXv) — (aY — bX\ V=1V=1
где X, Y, Z — проекции на оси координат вектора всех действующих сил. Предполагая, что точка (а, Ь, с) принимается за начало новой системы координат, оси которой движутся вместе с этой точкой поступательно, оставаясь параллельными прежним неподвижным осям координат, рассмотрим, какой вид будут иметь уравнения, аналогичные (45), для относительного движения системы по отношению к этим движущимся осям координат. По отношению к новой системе координат координатами точки (х^, yVi 2V) будут: х^ — а, у^ — b, zv — с, а выражения
d (xv — a)d (z/v — 6) d (2V — c)
dt * dt * di
представят проекции на оси координат относительной скорости этой точки. Поэтому проекции на оси координат главного линейного момента вокруг точки (а, 6, с) количеств относительного движения системы выразятся следующим образом:
V Г/ м ^ (zv с) / х(^v — ^) 1/;
vL ^v I (yv — Ь)(Zv — C) I = Kx,
-k„-k„VI Lx d (XV °),x d <ZVc)
-k„
-k„
Ъ I (Zv — C)(xv — a)—
^ mv I (xv — a)^(yv — 6)^
Обозначая по-прежнему координаты центра инерции системы через хс, ус, гс и сумму всех масс через М, мы можем выражение, обозначенное через Кх, преобразовать к виду
п
-I dzv dyv \ Г d(zc — с) d (ус — 6)1
К, — ^ mv (уv dt Zv dt ) М р dt с dt j v=lL
/ de db \
d V^ dyv \ dKx , и к d?zc d2yc ) ,
откуда — 2mvyv-^Zv— = -dr + M^T-c-^- +
v=l
+ У^Ус ^) ^2 fc ^) ^2 " J e
Замечая теперь, что по закону движения центра инерции
т at1 ^' /и dt1
и принимая в расчет первое из уравнений (45), мы можем заменить полученное нами равенство следующим
Д № - Zv Yv) = ^- + bZ - с¥ + М [(у, - b) -^ - (гс - с) -^
а складывая это уравнение с первым из (47), получим первое из трех следующих уравнений
^ = Д [(Z/v -b^Zv- (zv-c)Yv]-M^c-b)^—^ = Д [(Z/v -b^Zv- (zv-c)Yv]-M^c-b)^—dK9dtdK9dtn^t [(^v^) ^v ”~* (-^v — ^) ^v] M-V=1n^t [(^v^) ^v ”~* (-^v — ^) ^v] M-V=1fc — C)fc — C)d^aIFd^aIFкгс c) dp ,^c a) dt1 *кгс c) dp ,^c a) dt1 *dKzdtdKzdtn= 5j [(-^v^ ^v (Z/vn= 5j [(-^v^ ^v (Z/v-&)XV]-M (x=-a)^--(yc-b)-^-&)XV]-M (x=-a)^--(yc-b)-^
^ = Д [(Z/v -b^Zv- (zv-c)Yv]-M^c-b)^—
^ = Д [(Z/v -b^Zv- (zv-c)Yv]-M^c-b)^—
dK9dt
dK9dt
n
^t [(^v^) ^v ”~* (-^v — ^) ^v] M-
V=1
n
^t [(^v^) ^v ”~* (-^v — ^) ^v] M-
V=1
fc — C)
fc — C)
d^a
IF
d^a
IF
кгс c) dp ,^c a) dt1 *
кгс c) dp ,^c a) dt1 *
dKzdt
dKzdt
n
= 5j [(-^v^ ^v (Z/v
n
= 5j [(-^v^ ^v (Z/v
-&)XV]-M (x=-a)^--(yc-b)-^
-&)XV]-M (x=-a)^--(yc-b)-^
из которых второе и третье получаются подобным же образом.
Сравнивая эти уравнения с уравнениями (45), мы замечаем, что они отличаются от последних прибавочными членами
. , Г/Zx d2C, х d2b
^ у^Ус^ dt2^с^ dt2
и т. д., члены же эти пропадают между прочим в двух случаях: когда а, Ь, с — линейные функции времени, т. е. когда поступательное движение введенной нами системы координатных осей равномерно и прямолинейно, или когда а = хс, b = ус, с = гс, т. е. когда эта система координатных осей переносится поступательно вместе с центром инерции системы точек, принятым за начало координат. В обоих этих случаях уравнения моментов в относительном движении вполне аналогичны уравнениям моментов в абсолютном движении.
Остановимся на втором случае, когда
а = хс, Ь = ус, с = гс.
Относительные координаты точек по отношению к введенной нами системе осей, движущихся вместе с центром инерции системы, мы будем обозначать буквами g, т), £, так что получим
Х^ — Хс = £v, Уч — Ус = %, 2v — гс = £v (v = 1, 2, ... , п).
Вследствие этого уравнения моментов примут следующий вид
d ^т (n ^ trV)
v=lv=l
2 mV (^v-^£v —J' ) = 2 (^V — CVZV), v=l1v=l
~dt^v dt / — (^vKv 'HvXv) v=lv=l
и будут, следовательно, выражать такое же свойство относительного движения системы по отношению к центру инерции ее, какое выражается в уравнениях (45) для абсолютного движения.
Если силы во все время движения удовлетворяют одному, двум или всем трем условиям
S (^v v) = О, 5j (^v^V gvZv) = О, ^J (§v^v nvXv) 0, V=1v—1V=1
то мы получаем один, два или все три интеграла
^Mvrnv-^ ^-^р — С15 ^^X^-di^-2Г'/“С2’
v=lV=1
2* ^ ^v ц ^ ~5Г ~ C3’
v=l
выражающих закон сохранения площадей в относительном движении системы по отношению к центру инерции ее.
Когда все эти три интеграла имеют место (например, в случае, когда все силы, действующие на систему, являются силами взаимодействия между точками ее), то величина и направление главного линейного момента вокруг центра инерции количеств относительного движения системы остаются постоянными. Плоскость, проходящая через центр инерции и перпендикулярная к направлению этого момента, в этом случае также называется неизменяемой, хотя она и не неподвижна. Она обладает тем свойством, что для нее алгебраическая сумма произведений масс точек системы и их относительных секториальных скоростей имеет наибольшую величину.
Закон сохранения живой силы. Из дифференциальных уравнений (33) можно вывести, между прочим, следующее равенство
/ d2xvd2yvd2zv \
Zi mv I "^2 ^v 4—^pr^v "^—di^"^^) ™(Xvdxv + Yvdyv 4* Zvdzv),
v=l xv=l
которое может быть представлено в виде
Г/ dx« \2/ dy„ \2/ dzv \21
d Zj 11 jz J 4-+ \ —= VX^dx<^ + Y vdyv + Z^dz^Y (48)
V=1 LV=1
Выражение
vi Г/ dx^ \2/ dy^ \2/ dz^ \2"|
представляющее сумму живых сил всех точек системы, называется живой силой или кинетической энергией системы точек.
Выражение же
Xvdxv 4™ Yvdyv 4~ Zvdzv, представляющее произведение из элемента пути, проходимого точкой (xv, Уч, zv) в течение бесконечно малого промежутка времени dt и из проекции на его направление силы, приложенной к этой точке, называется, как известно, элементарной работой, совершаемой этой силой на протяжении этого пути или в течение этого промежутка времени. При движении точки в течение какого-либо конечного промежутка времени от момента времени /0 До момента tv работа, совершаемая приложенной к ней силой выразится интегралом
У (Xv-^v 4~ YV уу 4~ Zv 2v) dt.
Поэтому уравнение (48) или следующее из него
Т — Т^ = \ ^ (Xv^v 4* Y^y^ 4“ ZV2V) dt,(49)
to v=1 в котором n
VI m^ ,2,2,2
To = z ~2” (^v + 6v + ^v )
V=1
представляет значение живой силы Г, соответствующее моменту времени /0 (который мы будем называть начальным), выражает, что приращение живой силы системы точек за какой-либо промежуток времени равно сумме работ, совершаемых в течение него всеми действующими на систему силами.
Интеграл, представляющий вторую часть равенства (49), вообще может быть найден только после интегрирования системы дифференциальных уравнений (33). Поэтому равенство (49) вообще не имеет другого значения кроме того, которое обусловливается представляемой им зависимостью между работой и живой силой. Но в некоторых случаях, которые мы теперь и намерены рассмотреть, этот интеграл может быть получен до интегрирования системы (33), и в этих случаях уравнение (49) имеет еще значение интеграла этой системы дифференциальных уравнений. Случаями, о которых идет речь, есть все те, в которых вторая часть равенства (48) представляет полный дифференциал некоторой функции
U = U (хх, у^ч 21, ... , хП1 уп, Z^)
координат хх, уъ гъ ..., хп, уп, гп. Это будет иметь место, например, тогда, когда
X — 9U V — аи 7 — дих — 9и V — 9и 7 — ди
дхг ’1~ дхп *дуп ’ Z"~ дгп’
(50) где U не зависит ни от скоростей xi, у\, гх, ..., хП1 Ут z'ni ни от времени t.
Вообще, если силы удовлетворяют условиям (50), то говорят, что они имеют силовую функцию U".
Во всяком случае, удовлетворены ли условия (50), или нет, мы будем теперь предполагать, что вторая часть равенства (48) есть полный дифференциал, так что
2 (^X^dx^ -J- Y^dy^ -4- Z^dzy) = dU.(51)
V=1
В этом случае уравнение (49) обращается в интеграл
T — U = h(52)
системы дифференциальных уравнений (33). Здесь h есть постоянная, значение которой найдется по начальным значениям Т и U:
h = T0 — U6,
где Uo = U (an bv съ ... , ап, Ьп, с^.
Примечание. Если действующие на систему силы имеют силовую функцию U, независящую ни от скоростей, ни от времени, то, как было замечено выше, равенство (51) будет удовлетворено. Но очевидно, что это условие, будучи достаточным, не есть необходимое для существования равенства (51). Так, например, выражение Xdx + Ydy + Zdz обращается в полный дифференциал от функции U трех переменных х, у и z, если
X = ^ + Qz'-Ry', Y = ^- + Rx'-Pz', Z=-^ + Py'-Qx', (53) где P, Q и R — произвольные функции от x, у, г, t, х’ = -^-, у* = -^- и z* = "Ж * ^егк0 также убедиться и в обратном: если Xdx + Ydy + Zdz есть полный дифференциал от функции U трех переменных х, у, z, то X, У, Z имеют вид (53).
Полученный нами интеграл (52) называется уравнением живой силы. Он выражает то замечательное свойство движения системы точек в рассматриваемом случае (т. е. когда удовлетворено условие (51)), по которому живая сила зависит только от положения системы в данный момент времени, и конечно от начальных данных, так что если U есть однозначная функция координат хх, yv ..м zn и если движение системы таково, что по истечении известного промежутка времени она может возвратиться в прежнее положение, то живая сила ее получит при этом возвращении прежнее значение.
Это свойство движения системы и составляет так называемый закон сохранения живой силы.
Уравнение (51) приводит к следующему
с п
1 У (XvdxvY^dy^Zvdzv) = U — U
которое показывает, что работа, совершаемая действующими на систему силами при переходе ее из одного положения в другое, в рассматриваемом случае
не зависит ни от времени, затраченного на этот переход, ни от путей, пройденных точками, а только от двух крайних положений системы: так что если А и В — какие-либо два положения системы при ее движении под действием сил {Xv, Kv, Z^ и если (Xv, ^v, ^v} — такие новые силы, что, находясь под действием сил {Xv + Xv, Kv + ^v, Zv + ^v} система может из положения А придти в положение В, то работа, совершаемая силами {Xv, YVl Z^ при этом новом движении, будет такова же, как и при движении из положения А в положение В под действием одних только сил (Xv, Kv, Z^.
Так как функция U может заключать в себе прибавочную произвольную постоянную, то произвольное положение системы может быть принято за такое, в котором U = 0. Выбрав за такое какое-нибудь положение, положим
U = — П, так что О п
Г / dx.,du„dz„ \
П = J 2 (^v Т + ^v~dU" + ^ "dU")
U V=1
т. e. обозначим через П ту работу, которую совершили бы приложенные к точкам системы силы при переходе системы из рассматриваемого положения (занимаемое системой в момент времени f) в выбранное произвольным образом (в котором U = 0). Эта величина П представит то, что называют потенциальной энергией системы в ее рассматриваемом положении или потенциалом.
Иногда за положение, в котором U = 0 или П = 0 может быть выбрано такое положение системы, что во всяком другом ее положении П > 0. Это можно сделать, например, тогда, когда П для некоторого положения системы имеет абсолютный минимум, каково, например, следующее выражение
П = 2 ^ [(xv - а^У + (z/v - b^y + (Zv - с^УА + С,
V=1
в котором С, ^v, Ov, 6V, с^ — некоторые постоянные. Если мы положим в нем С = 0, то П и будет сохранять положительные значения для всяких положений системы, отличных от того, в котором xv = а^ у^ = 6V, 2V = с^ для всякого v и, следовательно, П = 0. В этих случаях потенциальная энергия системы представляет действительный запас работы, которую могут произвести действующие на нее силы.
Система свободных точек, находящаяся под действием таких сил, работа которых зависит только от крайних положений системы, называется консервативной.
Уравнение (52), принимая вид
Т + П = й
выражает, что при движении консервативной системы точек сумма кинетической и потенциальной энергии сохраняет постоянное значение.
В этой форме уравнение живой силы выражает так называемый закон сохранения энергии, важное значение которого в современной физике достаточно всем известно.
Особенного внимания заслуживает случай, когда U есть силовая функция действующих на систему сил. Важность этого случая обусловливается тем, что во всех случаях взаимодействия между телами, замечаемого в природе, может быть обнаружено существование силовой функции.
Самый простейший случай существования силовой функции есть тот, когда действующие на различные точки системы силы постоянны, как по ве- 446
личине, так и по направлению. Силовая функция при этом будет линейной функцией координат
^Л + ^i#i + ^А + Айхй + • • • ,
где Дх, Вг, Сн Д2 и т. д.— постоянные величины. К этому классу сил относится, например, сила тяжести, когда рассматривается движение вблизи некоторой точки поверхности Земли. Если ускорение, сообщаемое этой силой, обозначим через g и за ось г примем направление, идущее вертикально сверху вниз, то силовая функция выразится так
g ^т^ + т^ + • • • + m,nzn) = Mgzci
где гс — по-прежнему координата г центра инерции системы точек.
Во всех случаях, когда точки системы притягиваются к некоторым неподвижным центрам или отталкиваются ими с силами, зависящими только от расстояний этих точек от центров, а также и во всех случаях взаимного притяжения или отталкивания точек системы с силами, для каждой пары равными и зависящими только от расстояний между точками, существование функции сил несомненно. Чтобы получить общее выражение для силовой функции U или потенциала П для этих случаев, положим, что существует т притягивающих или отталкивающих центров
С1 (0Ср Рх, уг), С2 (а2, Р2, у2), . . . , Ст ^^ Pm, ym)
и обозначим через pvц расстояние центра Cv от точки (л^, у^ 2ц), так что
PviLL = V (-Гц — «у)2 + (^ц — Pv)2 + (2ц — Ту)2.
Далее, обозначим через ^ц расстояние между точками (zv, у^ 2^ и (Хц, у^ 2ц), так что
Гуц = К(Гц — X^Y + (z/ц — у^У 4- (2ц — 2^у.
Если положим теперь, что Фvм, (pVM) — притягивающая или отталкивающая сила, с которой центр Cv действует на точку (.Гц, у^ гц), a Р'^ (rVM) (здесь Ф^ (г) и ^ц (х) — производные некоторых функций ФVц (я) и Р^ (х) есть притягивающая или отталкивающая сила взаимодействия между точками (xv, у^ 2V) и (.Гц, #ц, 2^ то, например, для Хц найдем следующее выражение
т
^ц = 2 + ^^ (Р^) —~ + ^ + ^^ (rvц) —,v=iPvц *Чц
где символгде символФ означает, что сумма распространяется на все значения v от
где символ
где символ
до п включительно, за исключением значения v = р и где верхние знаки относятся к случаям притяжения, а нижние — к случаям отталкивания. Замечая, что
ХЦ aV ^УЦ PJ ^Ц ^Гуц
Руц%ГУЦ^Хц ’
' т5 + Фуц (руц) ^^ + ^УЦ (гуц)_ V—1' т5 + Фуц (руц) ^^ + ^УЦ (гуц)_ V—1Хц =Хц =ддхиддхимы можем этому выражению дать следующий вид:
' т
5 + Фуц (руц) ^^ + ^УЦ (гуц)
_ V—1
' т
5 + Фуц (руц) ^^ + ^УЦ (гуц)
_ V—1
Хц =
Хц =
ддхи
ддхи
Из этого выражения для Хц и из подобных ему выражений для других проекций сил видно, что для рассматриваемых сил можно положить
т п
П = 2 Xj — Фуц (руц) X — ^Ц Vуц), У=1 Ц=1У,Ц
где 2 означает сумму -^-п(п—1) членов вида ±^и(^ц), получаемых из этого общего члена при подстановке вместо v и ц различных чисел из ряда 1, 2, 3, ..., п, так, чтобы получились всевозможные сочетания этих чисел по два, и чтобы одно и то же сочетание не встречалось более одного раза. При этом перед F^ надо взять знак плюс, когда взаимодействие между точками (.Гу, у^ 2^ и (.Гц, у^ 2ц) есть взаимное притяжение, и знак минус, когда это взаимодействие есть отталкивание. Так, например, когда все точки системы взаимно притягиваются по закону Ньютона, так что
г УЦ, V — Г 2 ’
rvpi
где / — положительный коэффициент, одинаковый для всех точек системы,
то для Гуц (r^) можно взять функцию — / - --- и мы найдем rvn
V,HV,HV.jLLV.jLL^у^цгуц,^у^цгуц,/?71т2 । т^т^Г12Г13/?71т2 । т^т^Г12Г13тлтп rUтлтп rU
V,H
V,H
V.jLL
V.jLL
^у^цгуц,
^у^цгуц,
/?71т2 । т^т^
Г12Г13
/?71т2 । т^т^
Г12Г13
тлтп rU
тлтп rU
тп_хтпгп—\птп_хтпгп—\п
тп_хтпгп—\п
тп_хтпгп—\п
Г1ТГ19 ।।"^т।। тътп f
Г
«3г2пГ3п
Во всех рассматриваемых случаях закон живой силы будет иметь место и если при том Фуц (р) и F^ (г) — однозначные функции р и г, то система точек будет консервативной.
Во многих случаях приходится рассматривать относительное движение системы точек по отношению к ее центру инерции. Если координаты точки (xv, Уч» £у) относительно прямоугольной системы координат, направления осей которой остаются параллельными неподвижным осям координат, а начало совпадает с центром инерции по-прежнему обозначим через gv, т^у, £v, так что
5= 0, ^vT]v 0, 5 mv£v = 0,(54)
У=1у=1У—1
то найдем
1,,,,,,КД ,2,2,2
Т = 4- Е m4<X= + ^v)2 + (Ус + T]v)2 + (ZC 4- М2] = 4 (Хс + Ус + 2с ) +
2 У=12
ППП| ^222
+ Хс S Шу^ + ус £ ШуЦу + 2с 2 Шу^ + S mv 6v + Цу + £v). v=lv=iV=1Z V=1
Но дифференцирование по времени тождеств (54) дает nnn
У /Лу5у == ^ /7ZyT|y = У /^y^y0,
V=1V=1V=1
а потому, полагая
г = Xi mv (£v + л V + ^v),2 v=l
найдем 1,2,2,2
T = “2“ M (xc + Ус + 2c ) + г.
Здесь Г — живая сила системы точек в ее относительном движении по отношению к центру инерции, а первый член
-^-М(Хс + Ус + 2с )
представляет живую силу движения центра инерции, предполагая, что в этой точке сосредоточена масса всей системы. Если бы рассматриваемая система точек двигалась поступательно, т. е. так, чтобы все точки ее в каждый момент времени имели равные и параллельные скорости, то мы нашли бы ^v = ^v = = ^v = 0 и, следовательно, рассматриваемый член представил бы живую силу всей системы. При произвольном движении системы точек, скорость каждой ее точки в каждый момент времени есть геометрическая сумма из скорости поступательного движения вместе с центром инерции и из относительной скорости по отношению к нему, как это видно из формул
х^ = Хс + ^ Ух^УсАг nv, 2v = 2, + £v (v = 1, 2, ... , п).
Таким образом, равенство (55) выражает, что живая сила абсолютного движения какой-либо системы точек равна сумме живой силы поступательного движения ее вместе с центром инерции и живой силы относительного движения по отношению к этой точке.
При помощи равенства (55) уравнение живой силы можно записать в виде
-у- М^хс + ус + 2С) + Г = [/ + Я.
Такое преобразование уравнения живой силы может быть полезно, например, в тех случаях, когда действующие на систему силы являются силами взаимодействия между ее точками. В этом случае центр инерции системы будет двигаться равномерно и прямолинейно, так что
|,2,2,2
— М (хс + ус + Zc )
будет постоянной величиной, а потому мы получим уравнение
Г = U + h*
(где й* — постоянная), выражающее закон живой силы в относительном движении системы по отношению к центру инерции ее. При том U будучи в этом случае функцией только разностей координат, выразится в функции относительных координат.
$ Вообще рассматриваемое преобразование полезно во всех тех случаях, когда действующие на систему силы удовлетворяют условиям
xv = -^x+x;, y^^-y-vy^ zv = ^z+z;,
5 %; = § у; = f z; = о, S qC^ + y*^ + zUz^ = au% v=lv=lv=lV=1
где U* — некоторая функция координат. В самом деле мы найдем
п
4 М (хс2 + Ус + г?) + Г = [ 2 т <Xdx^ + r^v + Zdz^ + U* + hV=1
ИЛИ
4 м (Хс + Ус + 2 J 4- г = $ (Xdxc + Ydyc + Zdzc^ + и* + h,
а с другой стороны, дифференциальные уравнения движения центра инерции
м 4> = х, м = y, м -^- = г
dt- ’ dP ’d/2
дадут
4 М (хс + Ус + гс) = j (Xdxc A-Ydy^ Zdz^ + const,
15 2-365449
и потому мы получим уравнение
Г = U* + h*.
выражающее закон живой силы в относительном движении системы по отношению к центру инерции ее. При этом в абсолютном движении закон живой силы может и не иметь места. Таков, например, случай, когда кроме взаимодействий между точками системы, силовая функция которых есть U*, на все точки системы действуют еще параллельные силы, пропорциональные массам точек, величины и направления которых изменяются в течение времени.
Примеры. 1. Система состоит из двух точек, которые взаимно притягиваются или отталкиваются с силами, равными, прямо противоположно направленными по прямой, соединяющей точки и зависящими только от расстояний между точками. Привести решение вопроса к квадратурам.
Пусть г есть расстояние между точками и F' (г) — функция, выражающая закон притяжения. Дифференциальные уравнения движения будут иметь следующий вид
^ dF(r) d^i _ dF^ d^ _ dF (r)dXi ’ mi dP -+-d^" ’ n4~dP'-
m <Px, _ dF(r) <Pye dF(r) d% dF(r)
2 dP dx^ ’ 2 dP * dy2 ’ 3 dP ~ dz2 ’
где верхние знаки относятся к случаю притяжения, а нижние — к случаю отталкивания.
Для полного интегрирования этой системы уравнений надо найти двенадцать интегралов, из которых десять даются законами сохранения движения центра инерции, площадей и живой силы, которые все имеют место для рассматриваемого случая. Таким образом, мы имеем следующие уравнения:
^1^1 4" ^2*2 п * I „ п ^1^1 4~ ^2^2 R / I R
гс = ™ m1 i-Z^2 = T1Z + т' ^ (т11^ — ^^ + тз ^2^2 — £2^) = Cv
«1 (^ - Ы1) + пц (^ - Ш = С2, «1 &< - 4161) + «2 (62TI2 - П2& = С3>
1,2,2,21,2,2,2
— ^1(11 4-41 4-£1)4- — т^^ 4-42 4-£2)=^ F(r) + h*,
где cq, а, Р1# 0, ух, у, Съ С^ С3 и h — постоянные. При этом интегралы, даваемые законами площадей и живой силы, взяты в той форме, в которой они являются при рассмотрении относительного движения по отношению к центру инерции.
Принимая за плоскость gq неизменяемую плоскость для этого относительного движения, мы приведем уравнения площадей к следующему виду
mi (HiCi — £i4i) + m2 (4г£г — £г4д) ~ mi (Ci5i £i£i) 4- ^2 (£2^2 — ^£2) “ О»
«1 (Ьп! — 4161) + «2 Й2П2 — Л2^2) = с-
где С — главный момент количеств относительного движения вокруг центра инерции. Если же исключим из этих уравнений величины £2, q2, £2, ^> 42 и ^2 ПРИ ПОМ°ЩИ уравнений
«1^1 + «2^2 = «Л + ^2^2 = тА1 + т& = «111 + «2^2 = /П1'П1 + «2П2 = тА\ + m2^ = О,
то найдем
п^; - kn;=о, ^; - ы; = о, g^; - %?; = -^- -^- •(56)
//t2
Умножая обе части первого уравнения на ^, второго — на 41? третьего — на Ci и затем складывая результаты, получим
^1 4" т2 т1
т. е. Ь = 0, откуда будет следовать, что £2 = 0, а, следовательно, ^ = 0 и ^ = 0. Таким образом, мы видим, что относительное движение точек по отношению к центру инерции будет происходить в неизменяемой плоскости.
ПолагаяПолагаямы найдеммы найдем]А1 + 41 =Р1,]А1 + 41 =Р1,
Полагая
Полагая
мы найдем
мы найдем
]А1 + 41 =Р1,
]А1 + 41 =Р1,
Л* TF| т^т» \ т2Л* TF| т^т» \ т2(57)(57)а потому уравнение живой силы приведется (после исключения gg и т]^) к виду
Л* TF| т^т» \ т2
Л* TF| т^т» \ т2
(57)
(57)
£Л" I 'ZJTI2
61+41 — ^(^чр^у
Вопрос привелся теперь к интегрированию двух уравнений первого порядка (56) и (57) с двумя неизвестными функциями gj и т]1е Когда эти функции будут найдены, мы найдем g2 и т]2 по формулам
^2 ~
чем определится относительное движение и другой точки. Затем, если желательно определить абсолютное движение точек, можно по найденным выражениям для gi, т]1 и £1 = 0 получить выражения этих координат в первоначальной системе, в которой плоскость g-q не совпадала с неизменяемой, а была параллельна плоскости ху. После этого xv у^ zv х21 у21 г2 найдутся решением уравнений
вд + вд.= /+о т1У1_+т2у2^.±^= (,
^1 + ^2тг + т2 п \ v
—(хх — х2) = gx, —(уг — у^ = т^, —(2i — г2) = gf.
^1+^211^1 + ^2121тг-\-т^2/51
Для интегрирования системы уравнений (56) и (57) вводим полярные координаты, полагая
gl = p1cosф, т]! = pf sincp
или gTили gTтТ + ^2тТ + ^2Г COS ф,Г COS ф,111 =111 =т2тх +т2т2тх +т2г sin ф.г sin ф.
или gT
или gT
тТ + ^2
тТ + ^2
Г COS ф,
Г COS ф,
111 =
111 =
т2
тх +т2
т2
тх +т2
г sin ф.
г sin ф.
При этом уравнения (56) и (57), приведутся к виду
Г2 d^ = mi + ^2 с dt тгтгГ2 d^ = mi + ^2 с dt тгтг^^^Vh^FW.^^^Vh^FW.
Г2 d^ = mi + ^2 с dt тгтг
Г2 d^ = mi + ^2 с dt тгтг
^^^Vh^FW.
^^^Vh^FW.
из которых второе при посредстве первого обращается в следующее:
откудаоткуда2тгт2(т^ + т^ С22тгт2(т^ + т^ С2lh*TFW.lh*TFW.
откуда
откуда
2тгт2
(т^ + т^ С2
2тгт2
(т^ + т^ С2
lh*TFW.
lh*TFW.
— ф ф0,— ф ф0,dr
— ф ф0,
— ф ф0,
-2»-lh*TF(r)l-l
(/7?i -j- /77 2) С
где г0 и ф0— постоянные. Так как г и ф суть полярные координаты точки (gp т^), принимая за полюс точку (g2, q2), то это уравнение, дающее зависимость между г и ф, определит траекторию точки (gi, Th) в ее относительном движении по отношению к точке (g2, q2). Траектория же относительного движения по отношению к центру инерции получится из этого уравнения заменой тл +
в нем г на ——! pf.
/тг2
Имея зависимость между г и ф, мы выразим их во времени при помощи уравнения
фJ r^d^ =ФофJ r^d^ =Фоll 1 П12 171^2ll 1 П12 171^2CV-t0).CV-t0).
ф
J r^d^ =
Фо
ф
J r^d^ =
Фо
ll 1 П12 171^2
ll 1 П12 171^2
CV-t0).
CV-t0).
Относительные траектории обеих точек будут подобными кривыми, расположенными так, что центр инерции будет центром подобия.
Исследовать движение точек, предыдущего примера в предположении, что притяжение подчиняется закону Ньютона.
В рассматриваемом случае
ПТа
F(r) = —f -А-А
Дифференциальные уравнения движения точек принимают вид
d4x1 td4x1 t^2 — ^1^2 — ^1г3г342У1_ #^242У1_ #^2У2 — У1 ^У2 — У1 ^г3г3ДЧг t_ xi — xi dt4 ~' 1 г3ДЧг t_ xi — xi dt4 ~' 1 г3^Уг _ fm У1— У1"dP" ~ tn4 ™^Уг _ fm У1— У1"dP" ~ tn4 ™dt4d2zr "di2dt4d2zr "di2Mi-ч-1Mi-ч-1
d4x1 t
d4x1 t
^2 — ^1
^2 — ^1
г3
г3
42У1_ #
^2
42У1_ #
^2
У2 — У1 ^
У2 — У1 ^
г3
г3
ДЧг t_ xi — xi dt4 ~' 1 г3
ДЧг t_ xi — xi dt4 ~' 1 г3
^Уг _ fm У1— У1"dP" ~ tn4 ™
^Уг _ fm У1— У1"dP" ~ tn4 ™
dt4
d2zr "di2
dt4
d2zr "di2
Mi-ч-1
Mi-ч-1
Из этих уравнений легко получаются следующие:
f (mi + m2) -^-^f (mi + m2) -^-^^ ^2 2'- = - f (mt + т^ 1 f8 2 , "^"”
f (mi + m2) -^-^
f (mi + m2) -^-^
—^" = -f («1 + «2) ^=^
которые показывают, что относительное движение каждой точки по отношению к другой таково же, каково было бы ее абсолютное движение, если бы она притягивалась по закону Ньютона неподвижной точкой, масса которой равна сумме масс обеих точек.
Далее, мы находим
dt4 ~ dt4 ~' 2dt4 ~ dt4 ~' 2г3г3//3/тг23/тг2(тг + т^4(тг + т^4Pl ’Pl ’и, следовательно, —^°2-и, следовательно, —^°2--f-f^2^2(ггц + m^4(ггц + m^461Pl61Pl^24idt4^24idt4ff3 ^23 ^24141(тг + т^4 рз ’(тг + т^4 рз ’^1,dt4 -'^1,dt4 -'3 т23 т2(mt + zn2)2 рз '(mt + zn2)2 рз '
dt4 ~ dt4 ~' 2
dt4 ~ dt4 ~' 2
г3
г3
/
/
3
/тг2
3
/тг2
(тг + т^4
(тг + т^4
Pl ’
Pl ’
и, следовательно, —^°2-
и, следовательно, —^°2-
-f
-f
^2
^2
(ггц + m^4
(ггц + m^4
61
Pl
61
Pl
^24i
dt4
^24i
dt4
f
f
3 ^2
3 ^2
41
41
(тг + т^4 рз ’
(тг + т^4 рз ’
^1,
dt4 -'
^1,
dt4 -'
3 т2
3 т2
(mt + zn2)2 рз '
(mt + zn2)2 рз '
Эти уравнения показывают, что относительное движение каждой точки по отношению к их центру инерции совершается таким же образом, как происходило бы абсолютное движение ее, если бы она притягивалась по закону Ньютона неподвижной точкой, масса которой меньше массы другой точки в отношении квадрата массы последней к квадрату суммы масс обеих точек.
Таким образом, относительное движение рассматриваемых точек, как по отношению к их центру инерции, так и одной из них по отношению к другой будет совершаться по коническому сечению лежащему в неизменяемой плоскости, в фокусе которого будет находиться центр инерции или одна из точек. При этом коническое сечение, описываемое каждой точкой в одном относительном движении, подобно коническому сечению, описываемому ей в другом.
Рассмотрим относительное движение точки тг по отношению к точке т^. Вводя систему прямоугольных осей координат, начало которой всегда совпадает с точкой т^ а оси сохраняют неизменные направления, обозначим координаты точки тх в этой системе через х, у, z. Поэтому, если положим
/ (тг + т^ = |л, то дифференциальные уравнения этого относительного движения примут вид
d2xd2xх d2yх d2ydt4 и r3 dt4dt4 и r3 dt4ууd2zd2zzz<U4 И r8 ’<U4 И r8 ’(58)(58)
d2x
d2x
х d2y
х d2y
dt4 и r3 dt4
dt4 и r3 dt4
у
у
d2z
d2z
z
z
<U4 И r8 ’
<U4 И r8 ’
(58)
(58)
Сопоставляя эти уравнения с подобными уравнениями, рассмотренными в динамике материальной точки, мы заключаем, что при всякой величине для начального радиуса-вектора и при всяком направлении начальной скорости, не совпадающем с радиусом-вектором, траектория есть эллипс, пока эта начальная скорость меньше
]/ 2/ (mt + m2)," Го *
если при том начальная скорость, имея величину
V f (^1 +^Г* 'о ’
перпендикулярна к радиусу-вектору, то траектория есть окружность . Когда начальная скорость равна
траектория обращается в параболу, а для больших скоростей она есть гипербола. Конечно, при этом предполагается, что начальная скорость не направлена по радиусу-вектору, потому что в последнем случае при всякой величине ее траектория будет прямой линией. Везде здесь говорится, разумеется, только об относительной скорости точки тг по отношению к т^.
Таким образом, для того, чтобы относительная траектория точки тх была эллипсом, необходимо, чтобы начальная относительная скорость ее была меньше некоторого предела, зависящего от начального расстояния ее от точки т^ здесь следует обратить внимание на то обстоятельство, что предел этот
]/ З/^ + тг)
больше предела
который играл бы такую же роль в случае неподвижности точки т^. Поэтому относительная траектория точки тг может быть эллипсом при тех же начальных условиях относительного движения ее, при которых она является гиперболой в случае неподвижности точки пц.
Если через а обозначим большую полуось для траектории точки, то время полного оборота
Т = 2ла V — ><59)
Г Ц
72
откуда видно, что выражение — (тг + т^ не меняется при переходе от одной планеты к другой. Таким образом, третий закон Кеплера — о пропорциональности квадратов времен обращений планет кубам их средних расстояний от Солнца есть только приблизительный и получается, когда пренебрегают массами планет по отношению к массе Солнца.
Предполагая, что система состоит из п + \ точек, взаимно притягивающихся по закону Ньютона, рассмотреть относительное движение п из них по отношению к одной.
Пусть т есть масса одной из точек и х, у, г — ее прямоугольные координаты по отношению к какой-либо системе неподвижных в пространстве осей. Пусть далее тг, т^ ..., тп —массы остальных точек, а хг, уг, zn .... хп, у^, zn — их координаты по отношению к точке т, т. е. по отношению к системе осей, параллельных неподвижным и имеющим начало в точке т. Абсолютные координаты этих точек будут, следовательно, х + xlf у + уг и т. д. Расстояние точки т^ от точки т обозначим через rv, а расстояние между точками т^ и т^ — через pVJLl, так что
rv == P^^V + ^V + 2V’ Pvp, = V(^V Хц)2 + ^V ^ц)2 + ^V^jLl^
Если теперь положимЕсли теперь положим(v, ц = 1, 2n; p, ^ v).(v, ц = 1, 2n; p, ^ v).У,Ц P^У,Ц P^
Если теперь положим
Если теперь положим
(v, ц = 1, 2n; p, ^ v).
(v, ц = 1, 2n; p, ^ v).
У,Ц P^
У,Ц P^
где сумма распространена на всевозможные различные сочетания чисел v и ц, взятых из ряда 1, 2, ..., п, то дифференциальные уравнения абсолютного движения рассматриваемой системы точек примут следующий вид
dt^L •Ц=1 udt^L •Ц=1 uJX = / у тА d^z _ f у тдdi2^ ’ dt4 ' гз
dt^L •
Ц=1 u
dt^L •
Ц=1 u
Ц=1 ILLц=1 Ц
ЭУ dy.y ’ЭУ dy.y ’tn.tn.d2 ^фг^!v dt2d2 ^фг^!v dt2«,zvr 3' V«,zvr 3' VdVdzvdVdzv(v = 1, 2, . . . , n),(v = 1, 2, . . . , n),
ЭУ dy.y ’
ЭУ dy.y ’
tn.
tn.
d2 ^фг^
!v dt2
d2 ^фг^
!v dt2
«,zv
r 3
' V
«,zv
r 3
' V
dVdzv
dVdzv
(v = 1, 2, . . . , n),
(v = 1, 2, . . . , n),
d^ + x^) mmvxv av <Р(у + у^mm^x
mv—372—73- + -aZ7> "4Si— =
причем уравнений, подобных трем последним, будет Зп. Отсюда мы находим, например,
Но если под выражениемНо если под выражениемтх.,тх.,2 т^х^Ц=1 гц2 т^х^Ц=1 гцJdV_тч дх^JdV_тч дх^(60)(60)
Но если под выражением
Но если под выражением
тх.,
тх.,
2 т^х^
Ц=1 гц
2 т^х^
Ц=1 гц
JdV_тч дх^
JdV_тч дх^
(60)
(60)
все значения ц от 1 до п включи-П^ц. ^ц^г “Ь У^У': 4“ ^^2^все значения ц от 1 до п включи-П^ц. ^ц^г “Ь У^У': 4“ ^^2^(v = 1, 2, . . . , пу(v = 1, 2, . . . , пу(61)(61)
все значения ц от 1 до п включи-
П
^ц. ^ц^г “Ь У^У': 4“ ^^2^
все значения ц от 1 до п включи-
П
^ц. ^ц^г “Ь У^У': 4“ ^^2^
(v = 1, 2, . . . , пу
(v = 1, 2, . . . , пу
(61)
(61)
по-прежнему будем понимать сумму, распространенную на тельно, за исключением ц Ф v, то найдем
п
п
mv dxv дх^p
Вследствие этого вторая часть равенства (60) приведется к виду
, (m + mv)xv а
' rv3 Г Эх^
Поступая таким же образом с остальными уравнениями и полагая
мы получим поэтому следующую систему уравнений
d.4^(т + т^ xv aQv d2yv(т + mv> ^v dQv
^ = f r3 "d^’1 r3 dyv ’
^4 (m + mv) zv dQ
(62)(62)di2 ~ ^ r3 dz (v-1’2”)'
(62)
(62)
число которых будет Зп. Это и есть искомые дифференциальные уравнения относительного движения точек тъ т^ ..., тп по отношению к точке т. Преобразование дифференциальных уравнений абсолютного движения к виду (62) имеет важное значение в небесной механике, где рассматриваются обыкновенно относительные движения планет тъ т^ ..., тп по отношению к Солнцу т.
Для полного интегрирования системы (62) необходимо найти 6п интегралов. Из них же в настоящее время известно только четыре, которые даются законами площадей и живой силы в связи с законом движения центра инерции. В самом деле, все эти три закона имеют место для абсолютного движения рассматриваемой системы точек. Вследствие этого для абсолютного движения мы имеем десять интегралов. Из них шесть интегралов, выражающих прямолинейность и равномерность движения центра инерции, дают возможность из интегралов площадей и живой силы исключить координаты х, у, г точки т и их производные х', у’, г', вследствие чего эти последние четыре интеграла и обращаются в интегралы уравнений (62). Найдем выражения этих интегралов.
Для абсолютного движения мы имеем следующие интегральные уравнения
mx-V J] mv (х + xv) = сс^ + а,
V=1
„„(63)
ту + 2 mv (У + У^ = ₽i* + ₽> тг + £ mv (z + z^ = V? + Y, V=1V—1
т(„ dz dy\,VГ z ,d (у +1
v at z at / + 2 mv [(у + ^v) dt (z + zv)J — cv
/ dx dz \Гd (x -f- x-Лd (z -j- 2.,) 1
m (z ~at x ~aT) + 2 mv |(z + at + ^ "at J= C2’' v=l LJ
Vh.Vh.(65)(65)
Vh.
Vh.
(65)
(65)
Но если положим
п
то уравнения (63) дадутто уравнения (63) дадутт + V т^ = Мv=l
то уравнения (63) дадут
то уравнения (63) дадут
п
Мх= — £ т^ + а^ + а,
V=1
пп
Му = —^ m^ys + Pi< + р, Mz = — 5 m„zv + ^t + у,V=1V=1
откуда nnn
Mx’ = —^ m^ + av My' = — ^ mvyv + pi, Afz' = — ^ mvz' + урv=lv—1v=l
Если следующие отсюда выражения для у, г, у', г* внесем в первое из уравнений (64), то после некоторых преобразований приведем его к виду
Л1 2 mv ^z'v — zvy4) + 5 т^ ^ mvyv — ^ mvyv ^ mvzv + PYi — ?Pi = ^i- v=lv=l v=lv=l v=l
откуда круговой перестановкой букв х, у, г получаются преобразования и остальных двух уравнений (64).
Далее, мы находим
ЛГх'2 + ^Мх J] mvx'v +1 f] mvxj = af.v=l\v—1 j
Поэтому в уравнении (65) член
4-m-к'2+ 4- X mv(r' + x^)2V=1
преобразовывается к виду
и, следовательно, уравнение (65) принимает вид
Эти уравнения можно привести к несколько иному виду, если заметить, что вообще (п \ Г П \ п ппИ|п п
X MV / ( X UV / ~ X X U^VL~XX^ILL^V ”"2*XX ^V^p^ILL^v) =
V=1/\v=l/V=1p=lV=1p=lV=1p=l
П
= X ^vyp + “{Л) + X VwV.pv=l
Таким образом, мы найдем пп
X ^V X ^V (^V^V^У^ X ^V^p ^V^V ""Ь У^р» ^V^V 2p^p) *^"
V=1V=1V,|LL
n
Xj mv (^v^v ^уУ^ >
V=1 nnnn
X । ^v^v X ^v^vXj ^v^v X ^v^vX ^v^p ^v^p “b ^p^vУ^у, Уу?^
V=1V=1V=1V=1V.P
n
V=1и, следовательно,nnnnn-I
Xj ^v Xj^v (^v^v ^У^ “bXj^v^v X^v^vX ^v^v X^v^v =
v=l v=lV=1V=1V=1V=1
X ^V^p, t^V Уц) (ZV Zp,) (ZV Zp,) ^v Ур,)]- v.p.
Точно также найдем
2 mv S т^ — ( S mvxv) = S т^ти ^ — ^u)2- v=l V=1\v=l ) v.u
Вследствие всего этого искомые интегралы (62) принимают вид
^ X ^v (^vzv^v^v) + X ^v^p, f^vУ\х) ^zv2ц)(zvZy) (yv^p,)l == ^»
v=lv,p,
^ X ^v (^v^v^v^v^ ~^~ X ^v^u t^vzp,) (^v^ц) ^v ^ц) ^v zp,)l = ^»
V=1V.p,
m ^ mv (xvy'v — yvx^) + ^ m^ [(xv — хц) (^ — y^) — (yv — Уу) (^ — x^)] = C, v=lv p,
+ У^ 4“ 2v ) "^^v^p, K^v ^p)2 + ^v Уу)2 "^" (ZV zp^2l
v=lv.p
где Л, В, С и Н — постоянные.
Случай, когда л = 2 представляет так называемую задачу о трех телах. В этом случае система уравнений (62) двенадцатого порядка и, следовательно, при помощи этих четырех интегралов может быть понижена до восьмого порядка. Но даже и в более простом случае, когда предполагается, что все три точки во все время движения остаются в одной и той же плоскости и когда порядок системы дифференциальных уравнений может быть понижен до шестого, задача о трех телах не может быть решена при настоящих средствах анализа. Для последнего случая могут быть найдены только некоторые частные решения.
Когда массы тх, т^ ..., тп весьма малы в сравнении с массой т, что и имеет место, если точки т/гх, т^ ..., т^— планеты, а т — Солнце, то дифференциальные уравнения (62) могут быть проинтегрированы приближенно при помощи так называемого способа изменения произвольных постоянных.
Определить движение системы точек, предполагая, что между каждыми двумя точками ее действуют притягивающие или отталкивающие силы, пропорциональные произведению масс точек и расстояния между ними.
Если всех точек п, то движение системы будет определяться Зп дифференциальными уравнениями вида
d^x
■ др' = ±Лг \rrii (^ — Х^ + «2 (^2 — ^v) + • • • + тп ^п ~ Xv)L d^y
—дР" = +k2 [Ml O/j — У^ + m4 (У2 — Уу) + • • • + m« ^ — Уу)1-(66)
d2z_
^ ^ (2i__ г^т^ (22 —zv) + ••• -Vmn (zn — zv)] (v = 1, 2n),
где &2 — постоянный коэффициент (если rvu — расстояние между точками mv и т^, то сила, действующая между ними, равна ^т^т г^ и где верхний знак относится к случаю притяжения, а нижний — к случаю отталкивания.
При рассматриваемом движении системы центр инерции ее будет двигаться равномерно и прямолинейно, так что
d4c d2yc _ d2zc dt^di2 dt2
Поэтому, полагая по-прежнему
x^ — xc=^ у^ — ус^ц^ ^ — гс = ^ (v = 1, 2п).
мы получим из дифференциальных уравнений (66) следующие дифференциальные уравнения относительного движения рассматриваемой системы точек по отношению к ее центру инерции
d^vd2rivd2L,
=(v=l, 2, ... , n),(67)
где M = тг + т2 + ...+ тт верхние знаки относятся к случаю притяжения, а нижние — к случаю отталкивания. Эти уравнения показывают, что каждая точка нашей системы движется таким образом, как если бы на нее действовала сила, подчиняющаяся тому же закону пропорциональности массам и расстоянию и исходящая из центра инерции системы, в котором была бы сосредоточена масса всей системы.
Рассматривая сначала случай притяжения, интегрированием уравнений (67) находим
^ = A, cos (Л /ЛЯ) + я; sin (ft VMt), T)v = Bv cos (ft /Mt) + B'v sin (ft VMt),
^ = Cvcos (ft VMt) + Cy sin (kVMt) (v = 1, 2, ... , n),(68)
где Л v, B^ Cv Л^ B^, C'^ — произвольные постоянные. Всех таких постоянных мы введем 6л. Но из них независимых будет, конечно, только 6л — 6, потому, что в силу равенств
^т^ = 0, Ът^ = 0, ^т^ = О
между этими постоянными будет существовать шесть уравнений
^т^ = ^т^ = 2mvCv = ^т^ = ^т^ = 'Lm^ = 0.
Шесть недостающих постоянных пополнится теми шестью, которые входят в интегралы движения центра инерции.
Если за начальный момент времени примем / = 0 и начальные значения gv, -qv, ^, gj, ^ ^ обозначим через gv0, t]v0, £v0, ^o, -q^, £v0, to выражая постоянные Л^, Bv и т. д. через
эти последние постоянные, приведем уравнения (68) к виду
6у = &уоcos(Аумо + -^=-sin(6VМО, T)v = ^voc°s(А/МО + ку М
J^sinCkVMt), t„ =t^ cos ^VMt) + 2=^ Sin (к VMf) (v=l, 2, ... , n\ к"УМkyM
Легко убедиться, что траектория, которую описывает каждая точка т^ в своем относительном движении по отношению к центру инерции, есть плоская кривая. Уравнение ее плоскости легко получается из уравнений (68) в виде
^V ^v ^v nv B^ Bv
Cv Cv
Если плоскость траектории точки ти^мы примем временно за плоскость gr], то траектория ее получится исключением времени из первых двух уравнений (68). Результатом этого исключения будет уравнение
№ - Л^)2 + (В'^ - Л>]у)2 = (А^ - В^\
принадлежащее эллипсу с центром в центре инерции, если А^В'^ — в^\г или» чт0 все Равно> если gv т]^ — ^v^Vq не Равно нУлю. В противном случае, когда, следовательно, начальная скорость точки т^ направлена по радиусу-вектору этой точки, проведенному из центра инерции, траектория будет прямой линией, проходящей через центр инерции.
Таким образом, в случае притяжения, пропорционального массам и расстояниям между точками, движение системы будет совершаться так, что все точки системы в своих относительных движениях по отношению к центру инерции будут совершать простые гармонические колебания с общим периодом
Т = 2л kVM ’ причем относительные траектории точек вообще будут эллипсами с общим центром, находящимся в центре инерции системы; в частности же могут быть и прямыми линиями, проходящими через эту точку. При этом плоскости этих эллипсов (для различных точек вообще различные) будут двигаться в пространстве поступательно равномерно и прямолинейно.
В случае отталкивания интегрирование уравнений (68) дает
= а/^А- К^™, nv = B/VMt + B^-kVMt> = с^м<+ с^Ум« (v = 1,2, . . . , n),
откуда видно, что в течение времени точки системы вообще будут беспредельно удаляться от их центра инерции. Точка т^ всегда будет оставаться на конечном расстоянии от центра инерции только в том случае, когда Лv = Bv = Cv = 0, т. е. когда начальные данные для нее будут удовлетворять условиям
X + fe/^U = nvo + */^vo = ио+^/Жо = 0-
Относительная траектория каждой точки т^ будет лежать в плоскости
^v Вч Bv
= 0.
£v Cv Cv
Проекции этой траектории на координатные плоскости т£, Ц и gr] будут определяться уравне* (Bv^ - CVT]V) (С^у - В^ = (Svc; - CVBV)2, ^ - W (Лубу - сХ) = (СуХ -
Hvnv - Bv^) (ВХ - XvT]y) = (Я„в; - В^У
и, следовательно, если Л v, В^ С^ не пропорциональны Л v, В^ С^ т. е. если начальная относительная скорость точки т^ не направлена по радиусу-вектору, проведенному из центра инерции, относительная траектория ее есть гипербола, центр которой находится в центре инерции системы. В противном случае эта траектория есть прямая линия, проходящая через центр инерции.
Задача 1. Предполагая, что между точками системы существуют такие же взаимодействия, как и в предыдущем примере, исследовать движение этой системы в сопротивляющейся среде, сопротивление которой пропорционально количеству движения движущейся в ней точки (так что если Vv есть скорость точки т^ то действующая на нее сила сопротивления среды равна ^тп^и^ и направлена прямо противоположно этой скорости; %2 — некоторый постоянный коэффициент).
а д а ч а 2. Рассмотреть движение системы точек, предполагая, что кроме сил предыдущей задачи на нее действуют еще притягивающие или отталкивающие силы, исходящие из некоторых неподвижных центров и пропорциональные массам точек и их расстояниям от неподвижных центров.
а д а ч а 3. Показать, что если взаимодействия между точками системы пропорциональны произведениям их масс точек и обратно пропорциональны кубам их взаимных расстояний, то кроме десяти интегралов, даваемых законами движения инерции, площадей и живой силы, дифференциальные уравнения движения этой системы будут иметь еще следующее интегральное уравнение:
2 пц ^ + ^ + z^ = № + & + С,
V=1
где С и С' — две новые произвольные постоянные; h — постоянная уравнения живой силы.
Законы движения центра инерции, площадей и живой силы для несвободных систем. Перейдем теперь к системам точек, подчиненных связям. Пусть по-прежнему п — число точек системы и к — число уравнений связей.
Выведем условия необходимые и достаточные, которым должны удовлетворять связи, для того, чтобы имели место те преобразования дифференциальных уравнений движения, которые носят название дифференциальных уравнений движения центра инерции, дифференциальных уравнений моментов и дифференциального уравнения энергии. Преобразования эти следующие:
Мхс = X, Мус = У, Mzc = Z,(1)
пппп
где М = 2 mv, X = £ ^v, Г = S rv, Z = S Zv, a xc, yc, гс — коорди-
V=1V=1V=1V=1
наты центра инерции,
л± S ^V (i/v ^V ^У^ = 5 (i/v-Zv ^уУу),
V=1V=1
"37™ X1 ITL^ (Z^ X^Z^ = 3^। (ZyXy X^Z^^(2)
V=1V=1
Ji X П1у(ХуУу yv-^v) — X («КуУу yvXy),
V=1V=1
—— X^ (Xvxv + Y^y^ + Z^z^,(3)
где T — живая сила системы.
Исходной точкой для этого исследования нам послужит вариационное уравнение динамики
п
X V(mvxv — Xv) 6zv + (jnvyv — Уу) 6yv + (mvzv — Zv) 6zv] = 0,(4)
V=1
которое должно удовлетворяться при всяких величинах 6xV) Syv, 62v, удовлетворяющих к уравнениям
где ^ — одна из к функций координат и времени, составляющих первые части уравнений связей.
Если все связи нашей системы постоянны, то величины 6xv, Syv, 6zv можно рассматривать, как проекции на координатные оси бесконечно малых возможных перемещений ее точек. В противном случае им может быть приписано следующее значение. Пусть 1г есть какой-нибудь данный момент времени. Заменяя в уравнениях связей переменное / постоянной 1Ъ получим уравнения некоторых постоянных связей, которые можно назвать соответствующими нашим переменным связям в момент /Р Уравнения, которым должны удовлетворять возможные перемещения точек системы, подчиненной этим постоянным связям, будут те самые, которые удовлетворяют 6xv, 6yV9 8zv в момент tv Поэтому величины 6xv, 6yv, 6zv мы можем рассматривать, как проекции возможных перемещений, допускаемых постоянными связями, соответствующими в рассматриваемый момент t переменным связям нашей системы.
Пусть связи нашей системы таковы, что соответствующие им постоянные связи в каждый момент времени допускают произвольное поступательное перемещение параллельно оси х. Это условие равносильно тому, что между системами величин 6xv, 6yv, 6zv, удовлетворяющими уравнениям (5), существует следующая:
6zv = а, 6у^ = 8zv = О (v = 1, 2, ... , п),(6)
где а — произвольная одинаковая для всех точек системы величина.
Но уравнение (4) должно удовлетворяться при всяких величинах 6х^9 8yv, 6zV9 удовлетворяющих уравнению (5), а потому, в силу сделанного условия, должно удовлетвориться и при величинах (6). Выражая это обстоятельство, получим п
2 (mv^v — Xv) а = О,
V=1
откуда и находим первое из уравнений (1).
Итак, при допущенном условии относительно связей будет иметь место дифференциальное уравнение движения центра инерции, соответствующее оси х. При таких же условиях, относящихся к осям у и z будет иметь место дифференциальное уравнение движения центра инерции, соответствующее той или другой из этих осей; так что, когда удовлетворены одновременно условия, относящиеся к каждой из координатных осей, т. е. когда связи таковы, что соответствующие им постоянные связи в каждый момент допускают произвольное поступательное перемещение, то будут иметь место все три уравнения типа (1).
Можно обнаружить и справедливость обратной теоремы: если при произвольных силах в числе дифференциальных уравнений движения системы находится одно из уравнений типа (1), то связи ее должны быть таковы, чтобы соответствующие постоянные связи допускали поступательное перемещение параллельно одной из координатных осей.
Возьмем дифференциальные уравнения движения - X, + л -Ь- + X, -&- + - ■ ■ + X,
ад-Г, + Х1-^+ХаА++1.^6-,(7)
ro,z;_Z, + X1^ + X2^-+ ... +Х»-*- (,-1.2„),
складывая все уравнения, относящиеся к оси х, находим ппп
Поэтому, если при произвольных силах должно иметь место уравнение МХс = = X, то при всяких силах
ппп
»-.2^+>-=2-5-++'•-2-5-0.<8>
V=1 vV=1vV=1 v
Но когда силы произвольны, то будут произвольны и величины %ъ Х2,..., Хк, ибо задав эти величины произвольным образом и притом задав произвольным образом движение системы при условии, конечно, чтобы были удовлетворены все уравнения связей, мы можем удовлетворить Зп уравнениям (7), надлежащим выбором Зп величин Xv, Kv, Zv (v = 1,2, ..., ri).
Итак, уравнение (8) должно иметь место при всяких X, что возможно только при условиях ппп
2-S- = 0, 24^-0 2^ = 0-(9)
”дх„ 99 ^dxvх 7
v=i vv=i vv=l v
Но если эти условия удовлетворены, то величины (6) будут удовлетворять уравнениям (5) и, следовательно, связи будут допускать поступательное перемещение параллельно оси х.
Таким образом, приходим к заключению, что необходимое и достаточное условие для того, чтобы при всяких силах в движении системы имело место дифференциальное уравнение движения центра инерции, соответствующее одной из координатных осей, состоит в том, что постоянные связи, соответствующие связям системы в каждый момент должны допускать поступательные перемещения вдоль этой оси.
Так, например, для свободной неизменяемой системы точек будут иметь место все три уравнения (1).
Покажем теперь, каким аналитическим условиям относительно функций fi, /г, •••, fk равносильны рассмотренные кинематические условия относительно связей.
Утверждение, что постоянные связи, соответствующие связям нашей системы, допускают поступательные перемещения вдоль оси х, очевидно, равносильно тому, что имеют место уравнения (9), которые должны быть или тождествами, или следствиями уравнений /х = 0, /2 = 0, ..., fk = 0. Но так как уравнения (9) должны иметь место для всякого преобразования уравнений j\ = = 0, ..., fk = 0, то легко убедиться, что всегда можно предположить первое, т. е. что уравнения (9) есть тождества. В самом деле, уравнения связей могут быть решены относительно некоторых к из координат хъ уи 2П ..., хп> уп, гп. Пусть £ь ^2, •••, ^к — эти координаты. Тогда
51 — Ф1 = о, Е2 —ф2 = 0, ... , ^ —ф^-о,(10)
где фх, ф3, ..., ф* — функции остальных Зп — к координат и времени, не содержащие |х, g2, ..., tk- Так как (10) суть преобразования уравнений связей, то в силу (9) будем иметь
пПft
У з^^ф^ = о У д(^-ф2) = 0 у З^гФ^ = 0(1})
" dxvдх99дхv 7
v=l VV=1 VV=1v
Но первые части этих уравнений, очевидно, не зависят от ^, g2, ..., £ъ а потому эти уравнения не могут быть следствиями уравнений (10), между которыми
нет ни одного, которое не содержало бы ни одной из этих к величин. Уравнения (11) должны быть поэтому тождествами. Итак, уравнения связей всегда можно привести к такому виду, для которого все уравнения (9) будут тождествами.
Но если равенства (9) тождества, то функции fx, f2i ..., fk удовлетворяют дифференциальному уравнению с частными производными
общий интеграл которого имеет вид
/ = П (х2 — хг, х3 — хгхп — xv уъ у2у„, zv z2zn, t), где П — произвольная функция.
Итак, рассматриваемое кинематическое условие равносильно тому, что уравнения связей должны содержать координаты хх, х2,..., хп только в виде разностей. Поэтому высказанную выше теорему мы можем выразить также в следующей форме: необходимым и достаточным условием для того, чтобы при всяких силах имело место дифференциальное уравнение движения центра инерции, соответствующее одной из координатных осей, служит то, чтобы координаты, соответствующие этой оси входили в уравнения связей только в виде разностей.
Переходим к выводу условий для существования уравнений (2). Если постоянные связи, соответствующие связям нашей системы, допускают вращательные движения вокруг оси х, то среди систем величин 6zv, 6yv, 6zv, удовлетворяющих уравнениям (5), будет, между прочим, следующая:
6xv = 0, 6f/v = —2va, 62v = у^а (v = 1, 2, .. . , п^(12)
где а — произвольная, одинаковая для всех точек системы величина. Вследствие этого уравнение (4) между прочим дает следующее
S [— (mvyv — Y^ z^ + ^т^ — Zv) yv] a = 0,
V=1
откуда получается первое из уравнений (2). Итак, приведенного условия достаточно для того чтобы имело место первое из уравнений (2).
Покажем теперь, что при произвольных силах оно также и необходимо. В самом деле, если при всяких силах в движении нашей системы имеет место уравнение
^ т^ ^y^Z^2v</v) — S G/v^v — 2VKV),
v=lv—1
то из уравнений (7) можем составить следующее
которое должно иметь место при всяких Хх, ..., Хк и, следовательно, возможно только при условиях
Условия же эти выражают то, что величины (12) удовлетворяют уравнениям (5), т. е. что связи допускают вращательные перемещения вокруг оси х.
Таким образом, приходим к заключению, что необходимое и достаточное условие для того, чтобы при произвольных силах в движении системы имело место дифференциальное уравнение моментов, соответствующее одной из коор-
динатных осей, состоит в том, что постоянные связи, соответствующие связям системы, должны допускать вращательные перемещения вокруг этой оси.
Если высказанное здесь условие удовлетворено для двух координатных осей, то во всяком движении нашей системы будут иметь место два из уравнений (2). Покажем, что при этом должно иметь место и третье из этих уравнений.
С этой целью докажем следующую кинематическую теорему:
Надлежащей комбинацией последовательных вращений вокруг двух взаимно перпендикулярных осей может быть произведено такое перемещение системы, которого можно было бы достигнуть одним только вращательным перемещением вокруг оси, перпендикулярной к этим двум и притом на какой угодно угол.
Пусть имеем три взаимно перпендикулярные оси Ox, Оу, Oz и некоторую систему точек, которой сообщаются последовательно четыре следующих вращательных перемещения: 1) вокруг оси Ох в каком-либо направлении на некоторый угол а; 2) вокруг оси Оу в каком-либо направлении на некоторый угол Р; 3) вокруг оси Ох в направлении, противоположном прежнему, на некоторый угол у и 4) вокруг оси Оу в противоположном прежнему направлении на некоторый угол 6. Покажем, что углы а, р, у, 6 могут быть выбраны таким образом, что в результате получится перемещение, которое могло бы быть произведено одним вращательным перемещением вокруг оси Oz на данный угол е.
Вообразим сферу радиуса единица с центром в точке О. Пусть х, у, z — точки пересечения ее с осями Ox, Оу, Oz и yz, zx, ху — дуги больших кругов, проходящих через эти точки. Рассмотрим последовательные положения после каждого из четырех вращений той точки системы, которая до перемещения находилась в точке z. Эту точку обозначим через М2. При первом вращении точка М2 переходит из 2 в такое положение z' для которого zz* = а. При втором вращении точка М2 переходит из z’ в такое положение 2", для которого дуга большого круга у^* = yz’ и угол z"yzr = р. Определим теперь у таким образом, чтобы при третьем вращении точка М2 переходила из 2" в некоторое положение 2'" на дуге большого круга zx. При этом дуга большого круга xz" = xz,M и угол ^хг’” = у. Наконец, определим 6 таким образом, чтобы при четвертом вращении точка М2 перешла из z,M в z. При этом zz,M = = 6. При сказанном определении углов у и 6 точка М2 возвращается после четвертого вращения в свое первоначальное положение на оси Oz, а, следовательно, в результате получается такое перемещение системы, которое можно было бы произвести одним вращением вокруг оси Oz на некоторый угол е. Чтобы определить этот угол, найдем положение, которое займет после четвертого вращения та точка М2 системы, которая до первого вращения находилась в положении х.
При первом вращении точка М2 остается в положении х. При втором вращении она переходит из х в такое положение х' на дуге большого круга zx, для которого хх’ = 0. При третьем вращении она переходит из х* в такое положение х”, для которого дуга большого круга хх” = хх’ и угол х’ хх” = у. Наконец, при четвертом вращении точка М2 переходит из хГ в такое положение х,н на дуге большого круга ху, для которого дуга большого круга ух" = = ух,н и угол х”ух,м = S.
cos г"у = cos fx cos yx + sin z"x sin yx cos z"xy,cos г"у = cos fx cos yx + sin z"x sin yx cos z"xy,Дуга хх,н = е и представит искомый угол. Чтобы найти его в зависимости от а и р рассматриваем сферические треугольники ^ху и х”ху. Первый из них дает
cos г"у = cos fx cos yx + sin z"x sin yx cos z"xy,
cos г"у = cos fx cos yx + sin z"x sin yx cos z"xy,
cos z’x = cos zny cos yx + sin z"y sin yx cos z”yx.
Ho z"y = z'y — -^— a, z"x = ^"x = -^ + 6, yx = -y , / z"xy
Zz"yx = 4p+0.
Поэтому наши уравнения приводятся к виду
(14)(14)sin a = cos 6 sin у, sin 6 = cos a sin p, откуда .sin a
(14)
(14)
sin у = —======-.
У 1 — cos2 a sin2 p
Из треугольника x"xy находим
cos yx" = sin x"x cos x"xy, а так как
yx" = yxw = -~ + e, x" x = x’x = p, x"xy = ~~ + y,
то это уравнение приводится к виду
sin е = sin Р sin у,
а, следовательно, в силу (14)
.sin a sin р
SIH 8 —■о :•
у 1 — cos2 a sin2 p
Из этой формулы легко найти также следующую:
tge = sinatgp.(15)
Формула (15) показывает, что угол 8 может иметь какую угодно данную величину, ибо при всяких данных е и а из (15) получается возможная величина для р.
Заметим, что для бесконечно малых вращений формула (15) принимает вид
8 = ар.
На основании только что доказанной теоремы заключаем, что если связи допускают произвольные вращательные перемещения системы вокруг двух координатных осей, то они будут допускать и произвольное вращательное перемещение вокруг третьей оси, ибо при известной комбинации вращательных перемещений вокруг первых двух осей система может перейти в такое положение, достигнуть которого она могла бы одним вращательным перемещением вокруг третьей оси на данный угол.
Отсюда следует, что, если при всяких силах в числе дифференциальных уравнений движения системы находятся два из уравнений (2), то будет находиться и третье.
Таким образом, возможны только три случая: 1) когда ни одно из уравнений (2) не имеет места; 2) когда имеет место только одно из них и 3) когда имеют место все три. Последний случай будет тогда, когда постоянные связи, соответствующие связям системы, допускают произвольные вращательные перемещения вокруг начала координат.
Примером первого случая может служить винт, вложенный в неподвижную гайку или гайка, надетая на неподвижный винт. Примером второго случая может служить твердое тело, имеющее неподвижную ось, которая принята за одну из координатных осей. Наконец, примером третьего случая может служить твердое тело, имеющее неподвижную точку, когда последняя принята за начало координат.
Рассмотрим, какой вид должны иметь уравнения связей для того, чтобы имело место одно из уравнений (2), положим — первое. Мы видели, что для этого необходимы и достаточны уравнения (13), которые должны удовлетворяться или тождественно, или в силу уравнений связей и при том для всякого преобразования последних. Введем вместо переменных у^ и 2V переменные pv и Av при помощи уравнений
Уч = pv COS Av, 2V = pv sin Av (v = 1, 2, ... , n).
Тогда какое-либо из уравнений (13) примет вид
т. е. будет того же вида, как и уравнения (9). Поэтому к рассматриваемому случаю могут быть приложены все те рассуждения, которые относились к этим последним уравнениям. Мы можем, следовательно, утверждать, что в уравнения связей координаты Av должны входить только в виде разностей А2 — ^l, 'О’з ^Ь •••, ^l-
Таким образом, приходим к заключению, что необходимым и достаточным условием, для того, чтобы при всяких силах в движении системы имело место дифференциальное уравнение моментов, соответствующее одной из координатных осей, служит то, чтобы в уравнения связей, кроме координат, соответствующих этой оси и времени, входили только расстояния точек до этой оси и углы между плоскостями, проходящими через точки и эту ось.
Рассмотрим теперь, какой вид должны иметь уравнения связей для того, чтобы имели место все три уравнения (2). Кроме неподвижной системы координатных осей Охуг рассматриваем еще прямоугольную систему осей Ogqg с тем же началом, направления которых определены из того условия, чтобы ось Og проходила всегда через некоторую точку тг системы, а плоскость Ogq — через некоторую точку т2 системы. Тогда положение системы может быть определено координатами gv, t]v, £v (причем гц = ^ = 0 и g2 = 0) каждой ее точки по отношению к подвижной системе осей Ogqg и тремя эйлеровыми углами ф, А, ф, определяющими направления этих осей по отношению к неподвижным. Абсолютные координаты xv, yv, 2V каждой точки будут определенными функциями от gv, л^ ^v, ф, А и ф. Если мы внесем их выражения в функциях от этих величин в уравнения связей, то последние обратятся вообще в некоторые зависимости между Зи + 1 величинами
Ф, А, ф, gx, g2, q2, ga, Лз» ^з, ^4, Л4, ?4, • • • > ?л» Лп» ^п» t* (16)
Но если постоянные связи, соответствующие рассматриваемым, допускают произвольные вращательные перемещения системы вокруг начала координат, то должны быть возможными произвольные изменения углов ф, А, ф при условии, чтоЗп— 2 остальных из величин (16) остаются постоянными. А это возможно только тогда, когда углы ф, А, ф после сказанной подстановки, не войдут в уравнения связей.
Итак, для того, чтобы имели место все три уравнения (2), необходимо и достаточно, чтобы уравнения связей представляли зависимости только между Зп — 2 следующими величинами:
^1» ^2» Лг» ^3» Лз, ^3» ^4 Л4» ^4» • • • , ^п» Лп» ^п» ^е
Но первые Зп— 3 из этих величин, очевидно, являются функциями только от взаимных расстояний между точками системы и от их расстояний до начала координат. Поэтому заключаем: необходимым и достаточным условием для того, чтобы при всяких силах в движении системы имели место три дифференциальных уравнения моментов, служит то, чтобы уравнения связей кроме
времени, содержали только взаимные расстояния между точками системы и их расстояния от начала координат.
К этому прибавим, что, когда расстояния точек от начала координат не входят в уравнения связей, то три дифференциальных уравнения моментов будут иметь место независимо от выбора начала координат.
Следует заметить, что предыдущее доказательство теряет силу, коль скоро все точки рассматриваемой системы лежат на одной прямой, проходящей через начало координат, ибо в этом случае положение плоскости ОЕц делается неопределенным. Тем не менее теорема справедлива и для этого случая. В самом деле, в том случае, принимая за ось Og ту прямую, на которой лежат все точки, мы определяем их положения координатами gn g2, ..., gn, т. е. расстояниями их от начала координат и углами ср и ф, определяющими направление оси 0g по отношению к неподвижным осям. Абсолютные координаты xv, у^ z^ каждой точки будут при этом определенными функциями величин ср, ф и gv. Затем, рассуждая таким же образом, как и в общем случае, придем к заключению, что для возможности существования трех уравнений (2) необходимо и достаточно, чтобы уравнения связей представляли зависимости только между величинами gn g2, ..., Еп и t.
Уравнения (2) дают интегралы площадей при тех условиях относительно сил, которые были указаны при рассмотрении систем свободных точек.
Здесь мы обратим внимание на следующее обстоятельство. Когда система точек, во всяком движении которой имеют место три уравнения (2), находится под действием сил, имеющих силовую функцию, то не может быть случая, когда из трех интегралов площадей только два имеют место. В самом деле, пусть
Xv = Yv =, Z^ = -^- (V = 1, 2, ... , п),
v dxvdyvdzv v’ ъ
где V — некоторая функция координат, которая может содержать также и время. Если в движении нашей системы имеют место интегралы площадей, относящиеся к плоскостям у г и гх, то должны быть удовлетворены условия
2(*--£П’^Нта
V=1
И
<18>
V=1
Но если в функции V будем рассматривать /, как постоянную величину, то для полного дифференциала ее, который обозначим 617, получим следующее выражение:
61/ — I — 6xv Н™ ~5 6z/v Н—5 ^v I ,
^\ dxv vdyv 94 dzv 4 ’
V=1
где 6xv, 6z/v, 62v — дифференциалы переменных x^ y^, zv. Вследствие условия (17) этот полный дифференциал будет обращаться в нуль, когда
6xv = 0, 6z/v = —2va, 6zv = yv« (v = 1, 2, ... , n^ (19) где a — произвольная величина, независящая от v. А вследствие (18) он будет обращаться в нуль, когда
8xv = z^, 8yv = 0, 6zv = —xvp (v = 1, 2, ... , n),(20)
где p — произвольная величина, независящая от v.
Но величины (19) это бесконечно малые приращения координат, происходящие вследствие вращения системы вокруг оси х на бесконечно малый угол а, 466
а величины (20) — бесконечно малые приращения координат, происходящие вследствие вращения системы вокруг оси у на бесконечно малый угол р. Так как для таких приращений координат полный дифференциал функции V обращается в нуль, то заключаем, что эта функция не изменяет своей величины при таких изменениях координат, которые могут быть получены какими-либо комбинациями вращательных перемещений вокруг осей х и у. Но мы видели^ что эти комбинации могут быть такими, что в результате получится перемещение, которое можно было бы произвести одним только вращением вокруг оси г и при том на любой угол. Поэтому функция V не должна изменять своей величины и от таких приращений координат, которые происходят при вращательных перемещениях вокруг оси г и, следовательно, 6V должно обращаться в нуль, когда
8xv = — #vY, ^Ум = WY« 62v = 0 (v = 1, 2, ..., и),
где y — произвольная величина, независящая от v. Выражая же это обстоятельство, найдем
Итак, если имеют место уравнения (18) и (19), то должно иметь место также и уравнение (21). Но последнее есть необходимое и достаточное условие для существования интеграла площадей, соответствующего плоскости ху.
Таким образом, получаем следующую теорему: если в движении какой- либо системы точек, подчиненной связям, допускающим произвольные вращательные перемещения вокруг начала координат и находящейся под действием сил, имеющих силовую функцию, закон площадей имеет место для двух координатных плоскостей, то непременно будет иметь место и для третьей.
При рассматриваемом условии возможны следующие три случая: 1) когда ни один из интегралов площадей не имеет места; 2) когда имеет место только один из них и 3) когда имеют место все три.
Заметим, что в том случае, когда уравнения (17) и (18) должны удовлетворяться тождественно, а не в силу уравнений связей, что будет, если поставлено условие, что силовая функция не должна зависеть от связей системы, то доказанная выше теорема о том, что равенство (21) есть следствие равенств (17) и (18), представляет частный случай общей теоремы, доказываемой в теории совокупных уравнений с частными производными первого порядка. Рассматриваемый частный случай этой теоремы может быть доказан следующим образом. Положим
По условию Л и В должны обращаться в нуль тождественно, коль скоро вместо V подставлено его выражение в функции от координат. Поэтому будут тождественно обращаться в нуль после этой подстановки и все частные производные от Л и В по координатам, а, следовательно, обратится в тождество и равенство
Вследствие этого, замечая, что
М _/ д2Ид2У \ 0В _ у! / д^Уд^У \
дх^ ~Oz^dx^ Zv ду^дх^ ) ’ ду^ 2d дх^ду^ дг^ду^ / ’
ЗВ ЗУ % - dxnЗВ ЗУ % - dxnнайдемнайдемVi / д2Г2^ 3xvdZp Xvv=l xVi / д2Г2^ 3xvdZp Xvv=l xd2rdz^d2rdz^^^p^ Iz'^^^^p^ Iz'^^d2V \ .Зу^Хц. ) +d2V \ .Зу^Хц. ) +
ЗВ ЗУ % - dxn
ЗВ ЗУ % - dxn
найдем
найдем
Vi / д2Г
2^ 3xvdZp Xv
v=l x
Vi / д2Г
2^ 3xvdZp Xv
v=l x
d2r
dz^
d2r
dz^
^^p^ Iz'^^
^^p^ Iz'^^
d2V \ .
Зу^Хц. ) +
d2V \ .
Зу^Хц. ) +
ЗА _ дГ ./ д2Г _ д2Г \
%,^v + ^ V dzvdzn Zv дУмдгц /
. Vд2Г \ , V V*,, jv _L
2 2 I yv^u yZv5vкхмУ\>.dzv3z„
Ц=1 V—1 'Ц=1 V=1
+ 2 2 v^ ~д^д^—х^~д^) =
Но каждая из четырех входящих сюда двойных сумм, очевидно, равна нулю. Поэтому имеем
Ц=1
Итак, когда удовлетворяются тождественно уравнения (17) и (18), то удовлетворится тождественно и уравнение (21). Полезно заметить, что общий вид функции V, удовлетворяющей этим трем уравнениям, есть произвольная функция от взаимных расстояний между точками системы и от расстояний их до начала координат.
Переходим теперь к выводу условий для существования уравнения (3). Во всяком движении нашей системы скорости ее точек должны удовлетворять 6 уравнениям вида
2(^Xv+"^yv+ '5"Zv) + lT = 0 (^= 1,2,(22)
v=l1
Поэтому если все связи системы постоянны, т. с. если
^ _ ^2 _- ^ - п
#^dt ~
то величины xv, yv, zv будут удовлетворять тем же к линейным однородным уравнениям (5), которым должны удовлетворять и величины 6xv, 6yv, 6zv. Вследствие этого в числе систем значений последних найдется следующая: 6xv = p,xv, 6у^ = p,z/v, 6zv = pzv (v = 1, 2, ... , n),(23)
где p — произвольная одинаковая для всех точек величина. Но при величинах (23) уравнение (4) принимает вид
п
X [(mvxv — Xv) xv + (myZ/v — Fv) Ум + (mvZv — Zv) Zvi = 0, V=1
откуда и получится уравнение (3).
Положим теперь, что каковы бы ни были силы, в числе дифференциальных уравнений движения нашей системы находится уравнение (3). Тогда из уравнений (7) имеем
^-^Г^ + -&7^+2^Xv + '^7yv +
V=1+X"ZV)=O-
или в силу (22)
что должно иметь место при всяких X. Но последнее возможно только при условиях
^f _ ^2= П
dt dtdi и’
которые должны удовлетворяться для всякого преобразования уравнений связей, а потому это выражает то обстоятельство, что время не должно входить в уравнения связей.
Таким образом, получаем теорему: необходимым и достаточным условием для существования дифференциального уравнения энергии в движении системы точек под действием всяких сил, служит то, чтобы связи ее были постоянными. Отсюда заключаем, что когда система с постоянными связями находится под действием сил, имеющих потенциал П, то дифференциальные уравнения движения ее будут иметь интеграл
Т + П = Л, известный под названием уравнения живой силы. Такие системы точек называются консервативными.
В заключение резюмируем все найденные условия следующим образом: для существования трех дифференциальных уравнений движения центра инерции уравнения связей не должны меняться от изменения начала координат. Для существования трех дифференциальных уравнений моментов эти уравнения не должны меняться от изменения направлений координатных осей. Наконец, для существования дифференциального уравнения энергии уравнения связей не должны зависеть явным образом от времени.
Критерий устойчивости равновесия, выведенный из уравнения живой силы. Из уравнения живой силы могут быть выведены некоторые следствия, относящиеся к устойчивости равновесия какой-либо консервативной системы точек, т. е. такой, которая подчинена постоянным связям и на которую действуют силы, имеющие силовую функцию, зависящую только от координат.
Пусть рассматриваемая система п точек подчинена к связям, уравнения которых
Л = 0, f2 = 0, fk = 0(24)
не зависят явным образом от времени. Если на эту систему точек действуют силы {Xv, Kv, Zv}, которые мы будем предполагать зависящими только от координат, то все положения равновесия этой системы точек определятся, как известно, из условия, что выражение
2 (Xv6xv + Yv6yv = Zv6zv)
v=l
должно обращаться в нуль для всех возможных систем значений вариаций 6xv, 6#v, 6zv, удовлетворяющих к линейным однородным уравнениям
^^^ + ^ь«'*4^Ьг'П°|25)
Положим теперь, что силы (Xv, Yx, Zv} имеют потенциал, так что
vдП „ дП „дП ,. о.
Лу =Н ,^V=5 .Zv=5—(v = 1, 2,. . . , П),
dxv ’v dyv '1 dzvv ' ’’ "
где П есть некоторая функция координат. В таком случае все положения равновесия нашей системы точек найдутся из условия, что выражение
должно обращаться в нуль для всяких значений 6xv, бу^, 8zVl удовлетворяющих 6 уравнениям (25).
Отсюда видно, что в рассматриваемом случае разыскание положений равновесия системы точек приводится к разысканию таких систем значений координат, которые, удовлетворяя к уравнениям (24), обращали бы в нуль полный дифференциал функции координат П. Таким образом, всякая система значений координат, которая обращает потенциал П в минимум или максимум при условиях (24), определяет некоторое положение равновесия рассматриваемой системы точек.
Положения равновесия, как известно, разделяются на устойчивые и неустойчивые. Основанием для этого разделения служит характер движения, которое получает система, после того как точки ее были бесконечно мало удалены от их положений равновесия и приведены в движение с бесконечно малыми скоростями. Если это движение таково, что расстояния точек от их положений равновесия и скорости их постоянно остаются бесконечно малыми, то рассматриваемое положение равновесия называется устойчивым; в противном случае положение равновесия будет неустойчивым. Так например, тяжелый стержень, один конец которого неподвижен, может иметь два положения равновесия, в которых направление его совпадает с направлением вертикали. То из этих положений равновесия, в котором центр тяжести стержня ниже неподвижной его точки, устойчиво, а другое — неустойчиво.
Мы теперь покажем, что те положения равновесия, для которых потенциал П есть минимум, суть положения устойчивого равновесия.
Теорема эта была известна уже давно. Первое доказательство ее было дано Лагранжем. Некоторые дополнения к ней были сделаны потом Пуассоном. Но и после этих дополнений доказательство это оставалось недостаточно строгим. Строгое доказательство ее было предложено Лежен — Дирихле. Его доказательство мы и приводим здесь.
Вопрос состоит в том, чтобы доказать, что те значения координат, которые обращают П в относительный минимум при условиях (24), определяют устойчивое положение равновесия системы. Положим, что координаты xv yv zn ..., хп) уп1 zn выражены в функциях Зп— k — m независимых переменных qv q^ .... qm. Функция П при этом обратится в некоторую функцию этих т переменных, а условные уравнения (24) — в тождества. Если для рассматриваемого положения равновесия П, как функция величин xn yv z19 ..., хп, уП1 zn имела относительный минимум при условиях (24), то теперь П, как функция величин qv q^ ..., qm для того же положения равновесия будет иметь абсолютный минимум.
Переменные qv q^, .... qm мы можем, конечно, всегда выбрать так, чтобы они обращались в нуль для рассматриваемого положения равновесия. Поэтому мы будем предполагать, что П есть функция переменных qlt q^ ..., qm, обращающаяся в абсолютный минимум при
Я1 “ ^2 " * * * “ Ят ~ 0.
Это минимальное значение П, которое будет соответствовать рассматриваемому положению равновесия, мы обозначим через П^.
Положим, что то положение, в которое система переводится из положения 00о гх
равновесия, определяется значениями Я1~Я\> Яъ^ Я^ •••, Ят^ Ят* это по-
ложение системы по отношению к последующему движению ее мы будем называть начальным. Соответствующее ему значение функции П обозначим через п0.
Так как связи нашей системы не зависят от времени, а действующие на нее силы имеют потенциал, то для последующего движения ее будет иметь место закон живой силы. Мы будем, следовательно, иметь уравнение
Т + П = То + По,(26)
в котором То есть начальное значение живой силы Т, зависящее от скоростей, которые были сообщены точкам системы после того, как она была приведена в положение, названное выше начальным.
Основываясь на уравнении (26), которое будет иметь место во все время последующего движения системы, мы теперь покажем, что величины 9^ q^ — 7^ и То (а, следовательно, и начальные скорости) могут быть выбраны по численным значениям настолько малыми, что во все время последующего движения системы переменные qv q^ .... q^ и Т (а, следовательно, и скорости) будут оставаться по численным значениям насколько угодно малыми. Так как Пт есть минимум П, имеющий место при qT = q2 = ...= qm = 0, то, как это следует из понятия о минимуме, для переменных qv q2, ..., qm могут быть назначены пределы Qx и —Qv Q2 и — Q2Qm и — Qm (где Qn Q2,..., ^ — некоторые положительные величины), настолько малые по численным значениям, что для всех значений qv q2, ..., q^ удовлетворяющих условиям
— Qp. < Яр. < Сц (И = 1, 2, ... , m), соответствующие значения П будут больше Пт, делаясь равными Пт, только когда qT = q2 = ... = qm = 0. Рассмотрим из этих значений те, которые получаются, когда одна или несколько из переменных qy, достигают своих пределов. Все такие значения П будут больше Пт. Обозначая наименьшее из таких значений П через Щ, мы будем поэтому иметь П1 > П^. Выберем теперь ^?, ^2, • ••, Я™ настолько малыми, чтобы были удовлетворены неравенства
Qp. Яр. < Qp. (Р' = 1 > 2, ... , т), По <2 Щ.
Затем, начальные скорости точек системы выберем настолько малыми, чтобы
То < Щ По.
При этом уравнение (26) обратится в неравенство
Т + П<ПЬ(27)
которое будет удовлетворено во все время движения, получаемого нашей системой при выбранных начальных данных. На основании же этого неравенства легко показать: 1) что переменные ^ всегда будут заключаться в пределах—Qp, и Qp, и 2) что Т всегда будет оставаться меньше Щ — Пт. Первое вытекает из следующих соображений: начальные значения q^ по условию, заключаются в пределах — Q^ и Qy,. Поэтому вследствие непрерывности изменений q^ в течение времени (которая всегда предполагается), эти переменные могут выйти из означенных пределов не иначе, как когда одна или несколько из них сделаются предварительно равными своим пределам, между тем как другие еще будут заключаться в соответствующих им пределах. Потакая система значений для переменных qy, невозможна в силу неравенства (27), потому что для нее П получила бы значение, равное или большее Щ, между тем как это неравенство, в котором Т, как живая сила, есть величина положительная или в крайнем случае нуль, требует, чтобы П было меньше Щ. Убедившись таким образом, что переменные qy, всегда будут заключаться в пределах —Qp, и Qy,
(ц = 1,2, ..., т} легко оправдать и второе заключение. В самом деле, неравенство (27) дает
Т<П1 —п.
Если же переменные qv q^ ..., qm заключаются в указанных пределах, то значения, получаемые П будут удовлетворять условию
П>Пт,а потому мы найдемт < Пх Пт.
Таким образом, мы доказали, что, если для какого-либо положения равновесия системы потенциал имеет минимум, то всегда можно начальное отклонение ее от этого положения равновесия (величины q^ ..., q^ и начальные скорости ее точек (величину То) выбрать достаточно малыми для того, чтобы и во все время последующего движения она не отклонялась от этого положения равновесия далее известных пределов (—Q , Qf, —Q2, Q2; ...; —Q™ Q^, которые можно назначить насколько угодно малыми. При этом живая сила системы, а следовательно, и скорости ее точек будут оставаться во все время движения сколь угодно малыми. А все это идоказывает рассматриваемую теорему.
Что касается тех положений равновесия, для которых потенциал не есть минимум, то на основании соображений иного рода, приводить которые здесь мы не будем, их причисляют к неустойчивым. Должны впрочем заметить, что строгого доказательства обратной теоремы не существует (см. I24], с. 629).
Когда на систему точек действует только сила тяжести, то принимая за направление оси z направление, прямо противоположное ее действию, мы найдем
П = Mgzc, где М — сумма масс всех точек системы; g — ускорение силы тяжести и zc — координата центра тяжести этой системы точек. Таким образом, для случая силы тяжести мы получаем известную теорему: то положение равновесия системы точек, в котором центр тяжести ее занимает положение наиболее низкое, есть устойчивое.
На основании доказанной теоремы вопрос о разыскании устойчивых положений равновесия системы приводится к аналитической задаче о разыскании минимума некоторой функции координат.
Пример. Две тяжелые точки равных масс принуждены оставаться на параболе, ось которой вертикальна. Между точками действует отталкивающая сила, обратно пропорциональная их взаимному расстоянию. Найти устойчивые положения равновесия точек.
Примем ось параболы за ось у, направляя ее прямо противоположно действию силы тяжести, а за ось х — касательную к параболе в ее вершине. Координаты точек обозначим через Хц t/х и х2, у2, общую величину их масс — через т, ускорение силы тяжести — через g, силу, с которой эти точки отталкиваются на единице расстояния,— через к и параметр параболы — через 2р.
Задача приводится к разысканию значений координат, обращающих функцию
П = — A In УТх^^х^у^+Чу^У^ + mg (У1 + У^ в минимум при условиях
а^ = 2pylt ^ = 2руг
и, следовательно,— к разысканию абсолютного минимума функции
П = — к In (х2 — xj — k In J^£lt^Z^iL + ^ (x2 + Мы находим
дП кк (х2 + хх) mg
dxt ~ ха — хТ4р2 + (х2 — xj2р-*1’
илиилиапдхгапдхг^=0.дх.^=0.дх.апах2апах2ооап 0 ап ап ах2 ~ ’ дхА дх2ап 0 ап ап ах2 ~ ’ дхА дх2которые приводятся к виду^^Ч 4д2 + (х2_Х1)2которые приводятся к виду^^Ч 4д2 + (х2_Х1)2(28)(29)(28)(29)(предполагая х2 > х^. Уравнение (28) дает(предполагая х2 > х^. Уравнение (28) дает1) х24-Х! = 01) х24-Х! = 0илиТаким образом, мы получаем одно или три положения равновесия в зависимости от условийилиТаким образом, мы получаем одно или три положения равновесия в зависимости от условий& < Zpmg,илик > 2pmg.В силу (29) мы находим а2п _ а2п _ 3mg „ axj дх^ ^ри а2П = mg 5 дхгдх22р ’где для первого положения равновесия4р2 ’а для второго и третьего= mg ^pmg — к)2крПотенциал П будет минимум, если удовлетворены условия а2п а2п / а2п \2 ап ап ах^ ’ ax^ > W^xJ дхт дх2& < Zpmg,илик > 2pmg.В силу (29) мы находим а2п _ а2п _ 3mg „ axj дх^ ^ри а2П = mg 5 дхгдх22р ’где для первого положения равновесия4р2 ’а для второго и третьего= mg ^pmg — к)2крПотенциал П будет минимум, если удовлетворены условия а2п а2п / а2п \2 ап ап ах^ ’ ax^ > W^xJ дхт дх2(30)(30')(30)(30')Условия же эти вследствие (30) принимают видУсловия же эти вследствие (30) принимают вид-^-S>0 и f^ + sV-Z'^-s^o 2Р\ 2р ) V 2р-^-S>0 и f^ + sV-Z'^-s^o 2Р\ 2р ) V 2ри, следовательно, приводятся к видуи, следовательно, приводятся к видуmgmg
или
или
ап
дхг
ап
дхг
^=0.
дх.
^=0.
дх.
ап
ах2
ап
ах2
о
о
ап 0 ап ап ах2 ~ ’ дхА дх2
ап 0 ап ап ах2 ~ ’ дхА дх2
которые приводятся к виду
^^Ч 4д2 + (х2_Х1)2
которые приводятся к виду
^^Ч 4д2 + (х2_Х1)2
(28)
(29)
(28)
(29)
(предполагая х2 > х^. Уравнение (28) дает
(предполагая х2 > х^. Уравнение (28) дает
1) х24-Х! = 0
1) х24-Х! = 0
или
Таким образом, мы получаем одно или три положения равновесия в зависимости от условий
или
Таким образом, мы получаем одно или три положения равновесия в зависимости от условий
& < Zpmg,
или
к > 2pmg.
В силу (29) мы находим а2п _ а2п _ 3mg „ axj дх^ ^р
и а2П = mg 5 дхгдх22р ’
где для первого положения равновесия
4р2 ’
а для второго и третьего
= mg ^pmg — к)2кр
Потенциал П будет минимум, если удовлетворены условия а2п а2п / а2п \2 ап ап ах^ ’ ax^ > W^xJ дхт дх2
& < Zpmg,
или
к > 2pmg.
В силу (29) мы находим а2п _ а2п _ 3mg „ axj дх^ ^р
и а2П = mg 5 дхгдх22р ’
где для первого положения равновесия
4р2 ’
а для второго и третьего
= mg ^pmg — к)2кр
Потенциал П будет минимум, если удовлетворены условия а2п а2п / а2п \2 ап ап ах^ ’ ax^ > W^xJ дхт дх2
(30)
(30')
(30)
(30')
Условия же эти вследствие (30) принимают вид
Условия же эти вследствие (30) принимают вид
-^-S>0 и f^ + sV-Z'^-s^o 2Р\ 2р ) V 2р
-^-S>0 и f^ + sV-Z'^-s^o 2Р\ 2р ) V 2р
и, следовательно, приводятся к виду
и, следовательно, приводятся к виду
mg
mg
9П 6fe (х2 + xj) mg
дх, — х2 — х, 4р2 + (х2 + х^2 р~ Ху
541 _ д2ПАmg д2Пк
дх? ~ дх^ ~ (<2 —xj2 + ~Р’ дх^дх^ = — (х2 — х^
где S = &где S = &4р2 — (х2 — xj2[4р2 + (х2 + х1)2]2
где S = &
где S = &
определяются уравнениямиопределяются уравнениямиВсе положения равновесия точек
определяются уравнениями
определяются уравнениями
Таким образом, первое положение равновесия будет устойчиво, если к < 2pmg, а второе и третье,— если к > 2pmg, т. е. пока возможно только одно положение равновесия, в котором точки находятся на одном уровне, это положение равновесия устойчиво; когда же возможны также и еще два положения равновесия, то устойчивы эти последние.
Начало наименьшего действия и начало Гамильтона. Мы покажем теперь, что при известных предположениях дифференциальные уравнения движения могут быть получены из условий минимума некоторого интеграла. Пусть имеем систему точек, подчиненную постоянным связям и находящуюся под действием сил, имеющих независящую от времени силовую функцию U, так что если Т — живая сила системы, то всякое действительное движение ее будет удовлетворять уравнению
Т = U + h,(31)
где h — постоянная.
Положим, что заданы два положения системы: Мо, которое будем называть начальным, и Ми которое будем называть конечным. Если число степеней свободы нашей системы не менее двух, то кроме действительных будет существовать бесчисленное множество других движений, удовлетворяющих уравнению (31) при данном значении постоянной h , при помощи которых система может перейти с первого положения во второе.
Рассматривая все эти движения, мы найдем для каждого из них некоторую величину интеграла
т
Л = 2 J Tdt,
О
где т — время, употребляемое системой на движение из положения Мй в положение Mv При этом величина эта должна быть положительной, а потому между рассматриваемыми движениями найдется такое, для которого интеграл этот будет минимум. Постараемся найти это движение пользуясь обычными приемами вариационного исчисления.
Мы будем искать условия минимума интеграла А при данных начальном и конечном положениях системы, при условии (31) (в котором h будем рассматривать, как данную постоянную) и, конечно, при тех условиях, которые поставляются связями системы. Поступая по правилам вариационного исчисления, мы должны для этого прежде всего выразить, что для искомого движения равна нулю вариация интеграла А. При составлении этой вариации можно предполагать, что вариация независимой переменной t равна нулю.
При этом, если во всех рассматриваемых движениях время будем отсчитывать от того момента, когда система находилась в положении 7И0, то вариации 6xv, 6yv, 6zv будут представлять бесконечно малые приращения координат при переходе от какого-либо положения системы в искомом движении к одновременному положению ее в каком-либо из бесконечно близких движений, удовлетворяющих перечисленным выше условиям. Вследствие уравнения (31) имеем
т
Л = У (Т + и + h) dt,
О
поэтому тт
бд = J (бт + w> at 4- (?! + иг + ft) бт = ((бт + ш^ at + гт^т, Оо
где Т\ и иг значения Т и U для / = т. Далее,
V / 'с ' . 'с ' ,/ ' ^ ,' d^ , * d^ \
о/ — S/7Zy (ХубХу “1“ Уу^Ух 4~“ 2v02v) — S/72y I Ху —-^— -I™ y^ —-тч— 4“ 2^ ———I —
—^- 5Шу (ХубХу 4“ • * • 4“ • • •) — S/7Zy (xv6xy 4™ * * * 4™ * * *)•
Поэтому, предполагая xv, z/v, 2V; 6xv, 6z/v, 62v непрерывными функциями времени, найдем
6Л = [S/zzy (xv6xy 4“ * • • 4“ • • *)Ь=т — [Szzzv (xv6xv 4“ • • • 4“ * • *)b=o 4~
T
4-27\бт 4~ J 2 [(“^jm^x^ 8xv +4“
Но начальное и конечное положения системы даны, а в искомом движении система занимает их в моменты / = 0 и / = т, а в бесконечно близком движении, с которым мы сравниваем искомое — в моменты t = 0 и / = т + бт. Поэтому для t = О
6xv = 6yv = 6zv = 0,(32)
а для I — т
6xv = — xv6t, 6yv = — z/убт, 6zv = — 2v6t (v = 1, 2, ..., n\ (32')
Вследствие этого находим т
6zJ dt.6zJ dt.6Л = j ^1 (—mvxv I 6xv 4- (rn^\ Sy^ 4- Imv2v
6zJ dt.
6zJ dt.
Таким образом, для искомого движения должно быть удовлетворено равенство
dU \dU \6z<y6z<y^ = 0^ = 0(33)(33)
dU \
dU \
6z<y
6z<y
^ = 0
^ = 0
(33)
(33)
при всяких значениях вариаций 6xv, 6yv, 6zv, которые удовлетворяют условиям нашей задачи. Условия же эти двух родов: одни должны быть удовлетворены для всякого /, промежуточного между 0 и т и состоят, во-первых, из линейных и однородных уравнений относительно этих вариаций, вытекающих из уравнений связей и, во-вторых, — из уравнения
6Т — 6(7 = 0, или
’^пг^^х^—-^ 4- — 5 ( дт 8ху 4- 4- (34) получаемого варьированием уравнения (31), а другие относятся к предельным моментам времени и выражаются равенствами (32).
Пусть 6'xv, 6'z/v, 6'zv суть какие-либо вариации, удовлетворяющие всем тем уравнениям, которые получаются из уравнений связей и обращаются в нуль как при t = 0, так и при t = т. Легко показать, что всегда можно найти такую функцию от 1, которую обозначим 6^, что вариации
6xv — б'Ху — Хуб/, 6z/y = 6'z/y — y^t) 6zv = 6'2V — 2V6/ (v = 1, 2, . . . , n)
при надлежащем выборе постоянного 6т будут удовлетворять всем перечисленным выше условиям. В самом деле, пусть б'Л есть результат подстановки вариаций 6%, 6'yv, 6% в уравнение (34). Тогда, выражая, что вариации (35) удовлетворяют этому уравнению, получаем для определения 6/ следующее дифференциальное уравнение первого порядка
67i—^ т^ (ХуХу + - • • + ’ *’) ^ + ^ (~5х—Xv ++ ’’’j^—
^ri / '2х d^t п
— ^mv(xv + ••• + • • •) —др = О
или в силу уравнения (31)
6'h — 2Т-^- = 0.
При том, если при / = 0 все величины х^ у^, zv одновременно не равны нулю, то постоянную, введенную интегрированием этого уравнения, можно определить так, что 6/ будет обращаться в нуль при t = 0. Удовлетворяющая этому условию функция 6/ будет
о
Отсюда видно, что функцию 6/ в выражениях (35) всегда можно предположить такой, что величины 6xv, 6#v, 6zv будут удовлетворять как уравнению (34), так и условиям (32), в которых 6т будет значением функции 6/ при / = т. С другой стороны, очевидно, что вариации (35) при всяком 6/ будут удовлетворять всем уравнениям, получаемым из уравнений связей, ибо последние, по условию, не зависят явным образом от времени.
Если же величины (35) удовлетворяют всем условиям нашей задачи, то для них должно иметь место равенство (33). Выражая это обстоятельство, найдем
что вследствие (31) равно нулю. Поэтому, учитывая определенные выше значения величин 6%, 6'yv, 6% и отбрасывая значки при 6, в которых теперь не представится надобности, приходим к заключению, что для искомого движения должно быть удовлетворено равенство (33) при всяких значениях вариаций 6xv, ^у^, 6zv, обращающихся в нуль как при / = 0, так и при t = т и для всякого промежуточного значения t удовлетворяющих всем уравнениям, вытекающим из уравнений связей. Но эти уравнения суть линейные и однородные относительно вариаций 6xv, 6#v, 6zv. Поэтому, если им удовлетворяют величины 6xv, 6#v, 6zv, то будут удовлетворять также и величины X6xv, Х&у^ X6zv, где X — произвольная, одинаковая для всех точек функция t. Вследствие этого равенство
т
Jx2[4vx;-4L)6^v+= 0(36)
0 L\v /J
должно иметь место при тех же значениях вариаций, как и равенство (33), какова бы ни была функция X. Это же возможно только при условии, что
2 (2 (" dU \ к" dU \ Л . /" dU \ * 1 п
2 (
2 (
дГ") °Xv +ду" ) °^v +57/ 6Zv] = °
для всякого t между 0 и т ибо в противном случае функцию X можно было бы определить так, чтобы подынтегральная функция в (36) сохраняла между пределами интегрирования один и тот же знак, причем равенство (36) стало бы невозможным.
Таким образом, для определения искомого движения получаем известное вариационное уравнение динамики. Но на основании этого было бы однако несправедливо утверждать, что минимум интеграла А всегда соответствует действительному движению, ибо в предыдущем анализе мы предполагали xv, у^ zv непрерывными функциями времени, т. е. искомое движение — непрерывным и время движения т — конечным. Между тем возможно, что движение, для которого А есть минимум и не обладает этими свойствами. Возможность этого видна уже и из того, что каковы бы ни были начальное и конечное положения системы и какова бы ни была постоянная h, удовлетворяющая условиям Uo + + h *> О, Ux + h *> 0, существование минимума А несомненно, между тем как в числе движений, переводящих систему из одного из этих положений в другое при условии (31), может вовсе не существовать действительных движений. Простым примером, разъясняющим это обстоятельство, может служить случай движения свободной тяжелой точки в пустоте. Если заданные начальное и конечное положения точки лежат по разные стороны той параболы, которая огибает все параболические траектории точки, получаемые при данной величине начальной скорости, то мы можем утверждать, что минимум интеграла А наверно не будет соответствовать действительному движению.
Заметим, что интеграл А называют интегралом действия. Поэтому результат, к которому мы пришли, может быть высказан в следующей форме: если в числе непрерывных движений, удовлетворяющих условию (31), при помощи которых система может перейти из некоторого данного начального положения в некоторое данное конечное положение, употребляя на этот переход конечное время, существуют действительные движения, то последние будут единственными между рассматриваемыми движениями, для которых вариация действия равна нулю.
Отсюда следует, что если движение, для которого действие при данных начальном и конечном положениях системы и при условии (31) есть минимум, непрерывно и совершается в конечное время, то это движение есть одно из действительных движений системы.
В этом состоит так называемое начало наименьшего действия, открытие которого приписывается Мопертюи (Maupertuis).
Как видно из предыдущего, начало наименьшего действия имеет место только для системы точек, подчиненных постоянным связям и находящихся под действием сил, имеющих независящую от времени силовую функцию.
Переходим теперь к другому сходному с ним началу, которое было открыто Гамильтоном и имеет место при более общих условиях: для справедливости этого начала нет надобности, чтобы связи были постоянными и чтобы силовая функция не зависела явным образом от времени.
Предположим сначала силы действующие на систему, какими угодно. Полагая
'У । (Х\6ху 4" Y^y^ + 2.«vbZ\) =5 U* t
тиы приведем общее вариационное уравнение динамики к виду
+<37>
v=l
В § 2 было замечено, что величины 6xv, 6yv, 6zv, входящие в это уравнение, могут быть рассматриваемы, как действительные вариации координат, т. е. как бесконечно малые приращения, получаемые функциями времени xv, yv, 2V, когда мы приходим в какой-либо момент времени, от действительного движения системы к другому какому-либо возможному для нее бесконечно близкому к первому, так что (xv, 9v, Zv) и (xv + 6xv> Уч + 6z/v, 2V + 6zv) — одновременные положения точки m^ в обоих движениях. Поэтому, если под 6 мы условимся теперь понимать варьирование в сказанном смысле и заметим, что dx^ _ d^
~" dt
и т. д., то уравнение (37) можем представить так:
"Ж 2 ^ (— б^+—6^ +—6zv -
V=1
V „ ( dXV s ds,d»V S ^,dZ^ K_ 77,
— ✓ j ITU; I —73— О —73—473— 0 —7373— О —73— I— U
v \ dt dt1dt dt1dt dt
v=i
или
—77 5 /nv (XvfiXv + y'^v + 2v62v) — ST = U',(38)
v=l
где T по-прежнему означает живую силу.
Положим теперь, что действительное движение системы сравнивается с такими бесконечно близкими к нему возможными движениями, в которых система занимает в какие-либо два данные момента времени /0 и tT те же положения, что и в действительном движении. При этом мы будем иметь, как для t — = /0, так и для / = ^
6xv = 6yv = 62v = О (v = 1, 2, ..., п),
а потому уравнение (38) приведет к следующему:
ti
j (ST + W) dt = 0.(38')
Если силы, действующие на систему, имеют силовую функцию, зависящую от координат и времени, так что
v dUdU г, dU ,1 ох
Лу — —5, rv — , Zv — — — 1, 2, . . . , ZZ)
ozv
то мы найдем
и- = 6f/
и уравнение (38') обратится в следующее:
tt
J {Т + Щ dt = 0.(39)
Это последнее уравнение и выражает так называемое начало Гамильтона. Высказано оно может быть в следующей форме:
Если даны два положения системы для какого-либо данного начального момента времени t0 и для какого-либо данного конечного момента ^, то действи- 478
тельное движение ее из первого положения во второе под действием сил, имеющих силовую функцию U, будет таково, что для него будет обращаться в нуль первая вариация интеграла
+ Щ dt.
Таким образом, это начало приводит вопросов определении движения системы к задаче вариационного исчисления. Гамильтон первый обратил внимание на это начало, почему оно и известно под его именем.
Преобразование дифференциальных уравнений движения. Начало Гамильтона может быть полезно при различных преобразованиях дифференциальных уравнений движения. Мы воспользуемся доставляемым им уравнением (39), или более общим уравнением (38') для вывода лагранжевых дифференциальных уравнений движения.
Если к есть по-прежнему число уравнений связей и если положим Зи— к= = т, то координаты точек системы могут быть выражены в функциях т независимых переменных qv q^ ..., qm. Поэтому для определения движения ее достаточно найти эти т переменных в функциях времени. Те дифференциальные уравнения, которые мы желаем вывести, и будут служить для определения этих функций времени.
По известным выражениям xv, yv, zv в функциях переменных qu q^ ... ..., qm мы найдем
дхмдхм ~
=6-71 +^-6-72 ++ -^qm (v = 1, 2, п)
и т. д. и, следовательно,
^' = Qifyi + 626^2 + • • • + Qm6qm,п / дхдудг \
где Qs = 2 (xv -^- + Yv-^r + z^”§7) (s = 1, 2,m)- Эти выражения
Qs должны быть выражены в переменных qb q2, ..., q^ Если же силы {XVr yv, Z^ кроме координат и времени, зависят также и от скоростей {Xv, yv, ^Т то последние должны быть заменены в них выражениями
, дх.. , дх.. ,дх_ , дх^л ~
%v = ~д^~ 91+++ ~~дГ (v = 1 > 2га) (40>
.дх
и т. д. (где члены вида -^- входят потому, что выражения xv, yv, zv кроме ne- ременных qv q21 ..., qm вообще будут содержать также и время t; только в том случае, когда уравнения связей не зависят явным образом от времени, эти выражения можно предполагать несодержащими 0. Таким образом, под Qs мы будем подразумевать известные функции величин qu q2l ..., qml q^ q^ ... ...» q'm И t.
Вследствие уравнений (40) живая сила системы Т также может быть рассматриваема как известная функция этих величин. При том относительно производных q^ q^ ..., q'm это будет функция второй степени. Предполагая, что сказанные преобразования выполнены, мы приведем уравнение (39) к виду
т
2 (^ 6qs+-^6qs + QsSq\dt = 0,(41)
no
6qs = ^_ (s = 1,2, .... m),dt
а потому
6qsdt (s = 1, 2, ..., ту6qsdt (s = 1, 2, ..., туЕсли же учесть, что &qs = 0, как для момента времени /0, так и для момента 1г вследствие того, что положения системы в эти моменты предполагаются данными, то найдем
6qsdt (s = 1, 2, ..., ту
6qsdt (s = 1, 2, ..., ту
Вследствие этого уравнение (41) принимает вид
дТ dqsдТ dqsd f дТ V\ R n—— oqsdt = 0.\ dqs yjd f дТ V\ R n—— oqsdt = 0.\ dqs yj(42)(42)
дТ dqs
дТ dqs
d f дТ V\ R n
—— oqsdt = 0.
\ dqs yj
d f дТ V\ R n
—— oqsdt = 0.
\ dqs yj
(42)
(42)
(43)(43)Величины &qs, входящие в это уравнение, подчинены только одному условию — обращаться в нуль для моментов /0 и 4; в остальном же это совершенно произвольные функции времени. Вследствие этого равенство (42) возможно только при условии существования равенств вида
(43)
(43)
r~ = Qs (s = 1,2, m)
dt dqs s7
для всякого /, заключающегося между пределами интегрирования, потому что в противном случае выбором произвольных функций &qs можно было бы распорядиться так, чтобы они сохраняли между пределами интегрирования знаки, одинаковые со знаками тех выражений, которые в первой части равенства (42) на них умножены и это равенство представляло бы, таким образом, равенство
нулю суммы интегралов, все элементы которых положительны.
Таким образом, m переменных qs должны быть функциями времени, удовлетворяющими m дифференциальным уравнениям второго порядка (43) в течение всего промежутка времени от tQ до ^ и так как моменты /0 и tx совершенно произвольны, то эти переменные должны вообще удовлетворять уравнениям (43) в движении нашей системы точек. Эти уравнения представляют, следовательно, преобразование дифференциальных уравнений движения, когда вместо координат точек системы вводятся какие-либо независимые переменные qu
q^ Am-
Дифференциальные уравнения (43) были даны в первый раз Лагранжем, вследствие чего и носят название лагранжевых.
Форму дифференциальных уравнений динамики (43) называют иногда второй лагранжевой формой этих уравнений, в отличие от формы, называемой первой, которая также дана была Лагранжем.
Когда силы, действующие на систему, имеют силовую функцию U. независящую от скоростей, то выражая ее в переменных q^ q^ ..., q^ мы найдем Qs — = -^- (как это следует из формулы, служащей для определения Qs), а потому
уравнения (43) примут вид
_25_ = jyrw (s = L2mV(44)
LIL
Таким образом, когда выбраны какие-либо независимые переменные, определяющие положение системы, то для составления дифференциальных уравнений, которым должны удовлетворять эти переменные, как функции времени, при движении системы, необходимо составить выражения живой силы и выражения Qs. В случае же существования силовой функции эта задача приводится к преобразованию только двух выражений: живой силы и силовой функции.
Предполагая существование силовой функции, положим
T + U = L.
Тогда L представит так называемую лагранжеву функцию.
Так как U не зависит от ^, q2) ..., qm» то
—— = —г- (s = 1, 2, ..., mV
dq. dqs
а потому уравнения (44) могут быть представлены в виде
d Г dL \у dqs уd Г dL \у dqs уdL dqsdL dqs(s = 1, 2, ..., т).(s = 1, 2, ..., т).(45)(45)
d Г dL \
у dqs у
d Г dL \
у dqs у
dL dqs
dL dqs
(s = 1, 2, ..., т).
(s = 1, 2, ..., т).
(45)
(45)
Эту систему т дифференциальных уравнений второго порядка, как известно, всегда можно заменить равносильной ей системой 2m дифференциальных уравнений первого порядка. Из бесчисленного множества таких преобразований мы укажем здесь на одно, имеющее весьма важное значение в современной механике. Преобразование это сделано было Гамильтоном.
Прежде всего докажем следующую лемму.
дУ дУ
Пусть Укакая-либо функция величин уи у2,...» ут, хъ х2, ... ичаст
ные производные. Полагая
дУОУдУ
= 2», ..., -3— = zm,(46)
дУ1 ь ду2 2’’ дут т'v 7
предположим, что эти уравнения могут быть разрешены относительно ух> У^, •••> Ут- Вследствие этого всякую функцию величин уТ1 у2, ...» ут> хг, х2,... можно будет представить в виде функции величин zn z2, ..., zm, хг, х2, ... Положим, что это сделано по отношению к функции
(47) предположении.(48)(47) предположении.(48)Z = — У + УД. + y4Za + • • • + Ут^т
(47) предположении.
(48)
(47) предположении.
(48)
dZ dZа
и что -з—, -3частные производные, взятые в этом
dzs ’ дх^м
Тогда найдем dZ _dZ _ЭУ
dzs — ^s’dxv —дх^ *
Для доказательства замечаем, что для полного дифференциала Z из (47) получается выражение тп
V дУ , dY , dY ,, V z j । j х
dZ^^ dys ^ dx-^ ^х^ dx2 • • • (^&dys 4- y&dz^,
которое вследствие (46) принимает вид
c/Z = 5 ys<izsd,xxdx2 — • • ys s dxt 1 dx2 1’
а, с другой стороны, имеем
т
Из сравнения же этих двух выражений dZ и получаются равенства (48).
Заметим, что функции Z и У. связанные уравнением (47), называются взаимными по отношению к величинам уи у?. .... ут или z^ г2, ..., zm.
Возвращаясь теперь к нашей задаче, найдем функцию, взаимную с лагранжевой по отношению к величинам q\. q^ ..., qm. Для этого полагаем
dLдЯтdLдЯтdLdL
dLдЯт
dLдЯт
—г^Ръ —т- = р2» dqxdq2
или, что все равно,
дТдТдТdqvdq2dqmдТдТдТdqvdq2dqm(49)(49)
дТдТдТ
dqvdq2dqm
дТдТдТ
dqvdq2dqm
(49)
(49)
и разрешаем эти уравнения относительно^, ^2, .... qm. Так как Т есть функция второй степени относительно последних, то это будут уравнения первой степени и мы сейчас покажем, что они всегда могут быть разрешены. Затем полученные из них выражения для qx. q2. ..., qm. которые будут линейными функциями pv р2. .... рт. подставляем в функцию
н = — L -Vq'xPi + W+ ••• -Vq'mPm.(50)
которая и представит искомую функцию, взаимную с лагранжевой. Она носит название функции Гамильтона.
Найдя эту функцию, по только что доказанной лемме будем иметь
дН , дНdL .. пх
dpsdqsdqs v7
Вследствие же этих последних равенств уравнения (45) принимают вид
dpsdidpsdiSr I-'.2™).Sr I-'.2™).
dpsdi
dpsdi
Sr I-'.2™).
Sr I-'.2™).
а потому, рассматривая qu q2. .... qm; pv p^ .... pm как искомые неизвестные функции времени, получаем для определения их следующую систему 2m дифференциальных уравнений первого порядка
di dps ’ dt " dqs VS —2. .... m).
Эти уравнения представляют гамильтоновы дифференциальные уравнения динамики. Они называются также каноническими.
Покажем теперь, что уравнения (49) действительно всегда могут быть решены относительно величин q\. q2. .... qm. Так как Т— функция второй степени относительно величин qx. q2. .... qm. то можно положить
= Т2 + а^^ + а^ + - • • + amqm + а0.
где Т2 — однородная функция второй степени относительно величин qx. q2.... ..., qm и ах. а^. .... ат. а0 — величины, независящие от qx. q2. .... qm. При этом уравнения (49) примут вид
dT2dT2dT2
—!- = Pi — a11 —k=p2 — a2,..., —Л=рт — ат, dqxdq2dqm
где первые части равенств будут линейными и однородными функциями у?, ^2, ..., Qm. Если бы эти уравнения не могли быть разрешены относительно q^ q^ ...,qmi то определитель их был бы равен нулю, а при этом можно было бы удовлетворить уравнениям
^2 _ Q ^2= Q^2 = Q
величинами ^i, q^ ..., qV отличными от нуля. Но по свойству однородных функций
2Т — д^2 л’ ^2 л' 4 ... 4 -Уа. л*
^11^2д4т
а потому при рассматриваемых условиях можно было бы найти такие вещественные величины qi, q2, ..., qm, которые, будучи отличными от нуля, обратили бы в нуль Т2, а эт0 невозможно. В самом деле, мы имеем
п
Т = ^v (^v + Уv + 2v ) =V=1
Пг/ а1 vГ/ 9xvV=1Пг/ а1 vГ/ 9xvV=1дх^ \2дх^ \2
Пг/ а
1 vГ/ 9xv
V=1
Пг/ а
1 vГ/ 9xv
V=1
дх^ \2
дх^ \2
дх^дх„ \21дх^дх„ \21откуда
дх^дх„ \21
дх^дх„ \21
т — _l v т 17dXv л’ j. ^2 — 2 2 ^ IA dqt ^1 “^
и, следовательно, равенство Т2 = О возможно только тогда, когда имеют место одновременно следующие равенства:
ду„ , дуч , дЧ1 qv + 9qi 42ду„ , дуч , дЧ1 qv + 9qi 42dxv , дх„дх„ ._
ду„ , дуч , дЧ1 qv + 9qi 42
ду„ , дуч , дЧ1 qv + 9qi 42
dqi Чх + dq» 41 +"^ dqm qm — ’
дгм dzMdz„
-s—9t+-д—q, + ••• +-5—q'„ = ^ (v = 1» 2, ..., n).
dqi 412dQm Чт'
Но этим уравнениям нельзя удовлетворить вообще (т. е. для всяких qlt q4, ... .... qm, t) величинами qi, qs, ..., qm, отличными от нуля, ибо в противном случае был бы равен нулю тождественно определитель каждых m из этих Зп уравнений. Определитель же этот есть функциональный для т из Зп функций х1т уи гъ ... •^п» Уп» ^п величин qu qa, ..., qm и тождественное равенство его нулю потребовало бы, чтобы между каждыми т из Зп функций хг, уъ ..., z„ существовала зависимость, не содержащая qv q2, .... qm, а тогда наша система точек обладала бы не т степенями свободы, как мы предполагали, а по большей мере только т — 1.
Итак, уравнения (49) всегда могут быть разрешены относительно q\, qa, • -•ч qm.
Из предыдущего видно, что для составления канонических уравнений динамики должно прежде всего найти преобразование живой силы Т для рассматриваемых независимых координат <71, 92, ...» qm- Затем найдя решением уравнений (49) величины ^1, qi, ..., qm в функциях от рь рг, .... рт, qv q2, ... ..., qm и t, получим Гамильтонову функцию Н, внося эти величины в выражение
. Наконец, при помощи этой функции должно составить уравнения (51), которые и будут искомыми.
Из предыдущего анализа видно, что к интегрированию канонических уравнений может быть приведено решение всякой задачи механики, в которой силы имеют силовую функцию, независящую от скоростей.
Заметим, что когда гамильтонова функция не зависит явным образом от времени, то приравнивая ее постоянной, получим один из интегралов дифференциальных уравнений движения. В самом деле, из уравнений (51) следует
V / дН , , дН Л Л( dqs + др$ Р=)’
что когда Н не зависит явным образом от /, приводится к -^- = 0 и дает Н = const.
Когда все связи системы постоянны, этот интеграл будет представлять ничто иное, как уравнение живой силы. В самом деле в случае постоянства связей Т будет однородной функцией второй степени величин qi, q^ ..., qm , а потому будем иметь
q\Pi-Vq'^-V ••• -V q’mpm = ЭТ, вследствие чего (50) даст
н = т — и.
Скобки Пуассона. Теорема Якоби. Пусть <р и ф — какие-либо две функции величин qv q^, .... qm, pit рг, ..., pm. Положим
tn
yoqs Ops/
Выражения, составленные таким образом из двух функций ф и ф, имеют весьма важное значение в теории интегрирования канонических уравнений. Их называют скобками Пуассона, так как он ввел их в рассмотрение в теории возмущенного движения. Из самого определения символа (ср, ф), которое заключается в уравнении (52), вытекают непосредственно следующие его свойства:
(ф, ф) = — (ф. ф). (ф. — ф) = —(ф. ф), (ф. Ф1 + ф2) = (ф. Ф1) + (ф, ф2),
где £ — какая-либо переменная, от которой зависят (риф. Далее, легко убедиться, что для всяких трех функций /, ф, ф имеет место следующее тождественное равенство:
(А (ф, Ф)) + (ф, (Ф, А) + (Ф. (А ф)) = °-(53)
Для этого достаточно заметить, что каждая из трех скобок, сумма которых составляет первую часть равенства (53), есть линейная и однородная функция вторых частных производных
дЧ дЧ дЧ д2ср д2фdpidpi * dpidqj ’ Oq^qj ’ dpidpj ’ dptdq^
и т. д., а составляя коэффициенты при каждой из этих частных производных, найдем, что при сложении трех скобок они взаимно уничтожаются. Так, например, замечая, что члены со вторыми производными от функции f могут входить только в скобки (ф, (ф, /)) и (ф, (/, ф)), находим, что коэффициент при
"др-dqT B nePB0$ И3 НИХ Равсн dip dфdф dф
dpj dqtdpj dqt '
а во второй dф dip , dip dф dpj dqt + dpj dqt
и, следовательно, при сложении этих скобок эти коэффициенты взаимно уничтожаются.
Пусть функция ф такова, что приравнивая ее произвольной постоянной, получаем один из интегралов уравнений (51). Тогда равенство
п dq V / dф dqs dф dps \ . dф _ q dt \ dqs dt ' dps dt ) ‘ dt
должно обращаться в тождество в силу этих уравнений и, следовательно, мы должны иметь следующее тождество:
V / dфdHdфdH \ .dфq
\ dqsdpsdpsdqs j 'dt" ’
что при введенном обозначении, представится так:
(Ф,Я)+# = О.(54)
Таково условие, выражающее, что ф есть интеграл уравнений (51).
Если ф есть другой интеграл этих уравнений, то точно также
(Ф,Я) + ^ = 0.(55)
Но вследствие (53) имеем
(Я, (ф, ф)) 4- (ф, (Ф, Я)) + OK (Н, ф)) = О
или (вследствие свойств выражений (ф, ф))
((ф, Ф), Я) + (ф, — (Ф, Я)) + ((Я, ф), Ф) = о, а потому тождества (54) и (55) дают следующее:
((ф, Ф), Я) + (ф, -^-) +, ф) = о
или ((ф, ф), Я) + —^--- = О, а это равенство приводит к заключению, что если только (ф, ф) не обращается тождественно в постоянное, то это есть также интеграл уравнений (51).
Таким образом, получаем следующую теоремуЯкоби: если ф иф— два интеграла канонических дифференциальных уравнений и если (ф, ф) не обращается тождественно в постоянное, то представляет вообще новый интеграл тех же уравнений.
Следует заметить, что Пуассон, занимаясь теорией возмущенного движения, встретил эту теорему раньше Якоби, но в совершенно иной форме и не заметил ее значения для интегрирования дифференциальных уравнений динамики. Последнее было указано в первый раз Якоби, который и высказал ее в той форме, как она приведена здесь. Поэтому справедливее приписывать ее Якоби, а не Пуассону, как делают иногда.
Если ф и ф — два интеграла уравнений (51), то составляя скобки (ф, ф) найдем вообще новый интеграл этих уравнений. Но может случиться, что
(ф, ф) будет функцией от ф и ф. В таком случае это, хотя и будет интегралом, но уже, конечно, не новым, а представляющим следствие интегралов ф и ф. Наконец, возможен и такой случай, когда (ф, ф) вовсе не будет интегралом. Этот случай представится тогда, когда (ф, ф) тождественно равно постоянному. Если же (ф, ф) не обращается тождественно ни в постоянное, ни в функцию от Ф и ф, то полагая (ф, ф) = Д из трех интегралов ф, ф, f, которые будут различными, получим вообще новые интегралы, составляя скобки из / и ф или f и ф.Таким образом, можем продолжать до тех пор, пока не получим интеграла, который будет функцией всех раньше найденных. Может случиться, что при этом получатся все 2т независимых интегралов уравнений (51), и тогда вопрос об интегрировании их будет решен. Но для этого необходимо, чтобы интегралы ф и ф, из которых мы исходили, были характерными для рассматриваемой задачи. А потому чаще будут встречаться случаи, когда два интеграла Ф и ф дадут возможность найти только часть всех интегралов.
Для примера рассмотрим случай свободной системы точек, находящейся под действием сил, имеющих силовую функцию и допускающих все шесть интегралов движения центра инерции
Smvxv = o/, SmvVv = Р', ^т^ = ^\ ^т^— t^m^^a,,,(56)
^т^Ум — f£mvyv = Р, 2mvzv — Gm^ = у
и три интеграла площадей
S/TZy (^v^v — ^У\) = ^1,
(56) S/TZy (ZyXyXyZy) —— С2, S/7Zy (XyZ/y — У^\) ^^ ^3,
где a, p, y, a', P', y', Cx, C2, C3 — постоянные. Для приведения дифференциальных уравнений движения к каноническому виду, полагаем
Ху = 93v—2, Уу = 93v—Ь 2v=^3v (v = 1, 2, . . . , и), так что
Т = -у 2/Пу (^Sv—2 + 93v—1 + 93v),
а решая уравнения
находим ''03v—2,,^3v— 1//^3v
Xv — g3v-2 — т^ , yv — q^_x, zv —
(v= 1,2, .... n).
Вследствие этого интегралы (56) принимают вид
ОС' = S/?3v—2, Р = 2/>3v—1, У — Sp3v, ОС = S/TZy^v—2t^p^y—2,
Р = Smv^3v-i — ^Sp3v-i, Y = S/n^v — tSp^,Cj = S (</3v—i/?3v — q^vpiv—i), C2 — S (^3vP3v—2q^M—iP^t
C3 = 2 (</3v—2p3v—1 <?3v—i/>3v—2)-
Понимая здесь a', P', ... сокращения вторых частей равенств и составляя скобки, находим
(a', Р') = 0, (а, р) = О,
(а, а') = "2,1гц, (а', Р) = 0, (а', С^ = 0, (а', С2) = у',(57)
(а'« С$) = — Р', (а, С^ = 0, (а, С^ = у, (ос, С8) = —Р, (Cj, С2) = С8.
Таким образом, видим, что комбинация интегралов движения центра инерции между собой, а также комбинации этих интегралов с соответственными интегралами площадей не дают вовсе интегралов, ибо скобки при этом обращаются тождественно в постоянные величины. Напротив, комбинации интегралов движения центра инерции с несоответственными интегралами площадей, а также комбинации последних между собой дают новые по отношению к комбинируемым интегралы. Но эти новые интегралы суть остальные из интегралов движения центра инерции и площадей и кроме этих интегралов никаких дру- мих рассматриваемым способом не найдем. Заметим, что равенство (57) заключает в себе уже известную нам теорему о том, что третий интеграл площадей есть следствие двух остальных.
Выражения живой силы и моментов количеств движения для неизменяемой системы точек. В динамике твердого тела весьма часто приходится иметь дело с выражениями живой силы и проекций главного момента количеств движения на оси координат, неизменно связанными с телом. Поэтому прежде чем выводить дифференциальные уравнения движения твердого тела, мы остановимся на рассмотрении этих выражений.
Все наши дальнейшие выводы будут одинаково относиться как к неизменяемым системам, состоящим из какого-либо конечного числа п материальных точек, так и к сплошным твердым телам. При этом последние будут рассматриваться, как предельные случаи первых для п возрастающего беспредельно. Поэтому, если т есть масса какой-либо материальной точки (х, у, z), входящей в состав рассматриваемой неизменяемой системы, а — плотность ее и / (я, У» 2) — какая-либо функция координат, то, рассматривая суммы вида
'Smf (х, у, z),(58)
распространенные на все точки системы, мы будем в случае сплошного тела под ними понимать интегралы вида
У У У of U> Уэ 2) dxdydz, распространенные на весь объем тела.
В некоторых случаях приходится рассматривать движение поверхностей или линий неизменяемого вида, по которым распределена материя сплошным образом. При этом суммы вида (58) будут представлять интегралы, распространенные на эти поверхности или линии.
Понимая под Т живую силу рассматриваемой неизменяемой системы точек, так что
Т = -^тий
и заменяя квадрат скорости и2 его выражением через проекции скорости на оси £, т), £, неизменно связанные с телом, получим
71=4* Му°+Му°1т1с cos ^«, ^ ~ ^cos ^<” ^ °’+Му» ^cos ^°’ ^—
— 9 cos (с0, у] сол + Мий & cos (г0, Т]) — ^ cos (г0, 91 <аЕ +
+ 4" И0^ + ^^ + ^юе — 2D(on®j — 2£®^®5 — 2Fto$to^, (59)
где v0 означает скорость начала О координат 9 П> С. М = "Lm — массу всей системы, 9» По 9 — относительные координаты центра инерции ее, а Л, В, С, IX, Е, F — следующие выражения
А = ^пг^^^\ В = ^тйгА-^, C = ^m^ + v^, D = ^m^, £ = Smg, £ = Sm^.(60)
Так как Е, Л, £ ~ координаты по отношению к осям, неизменно связанным с системой, то эти величины Л, В, С, D, Е и F — постоянные, зависящие от распределения материи в рассматриваемой системе точек.
Следует заметить, что последние шесть слагаемых формулы (59), представляют живую силу вращательного движения системы вокруг полюса О.
Рассмотрим теперь выражения проекций на оси £, yj, £ главного момента вокруг полюса О количеств движения системы. Обозначая проекции его на оси к, у, г неподвижные в пространстве через Кх> Кд1 Кг> а на оси £, т), £ — черезК^ будем иметь
К^КДхД) + КДуД) + Кг^ К^ К^ = ••• и
Кх = 2т^ — Уо)"^ — (z — z0)-^- , Ку = ^т^(г — 20)-^
— (х — х0)-§-у А'г = 2т[(х —х0)-§(у — Уо)-^р
Поэтому, замечая, что
(х, 9 = О/, ij) (z, 9 — (у, 9 (*, П),
(у, 9 = (Z, Т|) (х, 9 — (Z, 9 (Х, Т]), (Z, 9 = (ж, ц) (у, 9 — (х, 9 (у, п) и пользуясь формулой
(Вс — СЬ) О'с* — С'Ь') + (Са — Лс) ^Са' — Л'с') + (ЛЬ — 5а) (Л'Ь' — В'а') = = (ЛЛ' 4- ВВ' 4- СС') ^ст* 4- bbr Л* сс'^ — (Ли' 4“ ВЬ' 4~ Сс*^ (/Ьа -I- В'Ь 4* С'с), находим первую из трех следующих формул:
^ = 2m [ф cos (v, 9 — ^ cos (г, я)], К^ = 2m [£v cos (v, 9 — gy cos (у, 9),
/СЕ = 2m [^у cos (v, т]) — tjy cos (c, 9b Отсюда находим
K^ = Муй [ъ cos (v0, 9 — 9 cos (v6, T])] + ^®g — Fm^ — E®t,
Kn = My0 [9 cos (v0, 9 — 9 cos (p0, 9) — Fto^ + Вюч — D<ot, (61)
Kg = Afy0 [9 cos (r0, r|) — i]c cos (p0, 9] — Eto^ — Deo,) + Ca^,
где А, В, C, D, E, F — постоянные, определяемые формулами (60). Сравнивая формулы (61) с формулой (59), замечаем, что
==(62)
т. е. проекции главного момента количеств движения неизменяемой системы на оси, неизменно связанные с ней, выражаются частными производными от выражения живой силы, взятыми относительно проекций на те же оси угловой скорости системы.
Величины Л, В и С, входящие в формулы (59) и (61), играют важную роль в теории вращательного движения неизменяемой системы. Поэтому мы остановимся теперь на рассмотрении некоторых их свойств.
Если р есть расстояние материальной точки т, входящей в состав какой- либо системы от какой-либо оси, то сумма
S = 2тр2,
распространенная на все точки системы, представляет то, что называется моментом инерции ее относительно этой оси. Так, величины A,Bw С представляют моменты инерции системы относительно координатных осей £, т) и £.
Относительно различных осей моменты инерции одной и той же системы точек имеют, конечно, различные величины, низшим пределом которых служит некоторая положительная величина, потому что по самому определению момент
инерции не может быть отрицательным; нулем же он может быть только в том случае, когда рассматриваемая система точек расположена вдоль некоторой прямой и при том когда ось, относительно которой берется момент инерции, совпадает g этой прямой. Этот случай мы будем исключать из рассмотрения.
Из сказанного следует, что для всякой системы точек существует одна или несколько осей, относительно которых моменты инерции имеют наименьшие величины. Рассмотрим положения этих осей.
Будем сравнивать сначала моменты инерции для различных параллельных осей. Принимая ту из этих осей, которая проходит через центр инерции системы, за ось £, обозначим момент инерции относительно нее через Se, понимая под S момент инерции относительно какой-либо другой параллельной ей оси и находящейся от нее на расстоянии а. Если плоскость этих осей примем за плоскость ££, то будем иметь
S^Sm^ + n2), S = S/n№-a)2 + n2].
Поэтому, замечая, что Sm^ = 0, найдем
S = S. + Ма2, т. е. момент инерции относительно какой-либо оси больше момента инерции относительно параллельной ей оси, проходящей через центр инерции, на величину произведения массы всей системы и квадрата расстояния между осями.
Таким образом, из всех моментов инерции относительно различных параллельных осей наименьшим будет тот, который берется относительно оси, проходящей через центр инерции. При том моменты инерции относительно осей, служащих образующими кругового цилиндра, ось которого проходит через центр инерции, имеют равные величины, беспредельно возрастающие с беспредельным возрастанием радиуса кругового сечения этого цилиндра.
Рассмотрим теперь моменты инерции относительно различных осей, проходящих через одну и ту же точку. Принимая эту точку за начало прямоугольных координат |, т], £, обозначим косинусы углов, составляемых с координатными осями осью, относительно которой берется момент инерции S, через* X, р, v. Мы будем иметь
S = 2m £2 + т]2 + е2 - ^ + ПН + М2].
Поэтому, принимая в расчет равенство
X2 + р2 + v2 = 1, найдем
S = ЛХ2 + Bp2 + Cv2 — 2Dpv — 2BvX — 2ВХр,(63)
где Л, 6 и т. д.— величины, определяемые формулами (60).
Для сравнения моментов инерции относительно различных осей, проходящих через одну и ту же точку, пользуются обыкновенно следующим построением. На направлениях различных осей, проходящих через эту точку, откладывают от нее длины, обратно пропорциональные квадратным корням из соответствующих моментов инерции, и рассматривают поверхность, представляющую геометрическое место концов этих длин. Чтобы получить уравнение этой поверхности при наших обозначениях, положим
с.k лкk
§ = = М Г — V.
Тогда равенство (63) обратится в уравнение
Л^ + В^ + СС2 — 2Ог|£ — 2Е^ — 2^П = £2(64>
поверхности второго порядка. Так как радиусы-векторы этой поверхности обратно пропорциональны квадратным корням из моментов инерции, а из
последних, по замеченному выше, ни один не может быть нулем, то эта поверхность должна представлять некоторый эллипсоид. Изменяя в уравнении (64) парамегр к, мы получим ряд подобных концентрических и подобным образом расположенных эллипсоидов, направления и относительные величины осей которых зависят исключительно от распределения массы в системе вокруг той точки, которую мы приняли за начало координат и которая служит общим центром этих эллипсоидов.
Эллипсоиды эти носят название эллипсоидов инерции, соответствующих рассматриваемой точке системы; направления же их осей называются осями инерции системы, соответствующими этой точке. Моменты инерции вокруг осей инерции называются главными. Если же при том эти оси берутся для центра инерции системы, то соответствующие моменты инерции называются главными центральными.
Из сказанного следует, что если за оси координат g, т], £ принять оси инерции системы, соответствующие рассматриваемой точке, то величины D, Е и F будут нулями, а величины А, В и С представят главные моменты^ инерции, соответствующие этой точке. Зная их, мы найдем момент инерции относительно всякой оси, проходящей через ту же точку, по формуле
S = ЛЬ2 + В^ + С^.
Таким образом, для всякой точки системы можно найти, по крайней мере, три таких взаимно перпендикулярных направления, для которых если их принять за оси координат, будут иметь место три равенства
(65)(65)2/пц£ = 0, ^т^ = 0, Sm^Y] = 0.
(65)
(65)
Два из этих направлений обладают тем свойством, что момент инерции системы относительно одного из них есть наименьший, а относительно другого — наибольший из всех моментов инерции относительно осей, проходящих через эту точку.
В частных случаях эллипсоид инерции может быть эллипсоидом вращения или сферой и в этих случаях существует бесчисленное множество таких систем координатных осей, для которых имеют место равенства (65).
Когда для какой-нибудь точки системы, принятой за начало координат, известны величины А, В, С, D, Е и F, то разыскание направлений осей инерции и главных моментов инерции, соответствующих этой точке, будет задачей аналитической геометрии и потому мы можем на ней не останавливаться. Заметим только, что во многих случаях задача об определении направлений осей инерции для известных точек может быть решена непосредственно, учитывая, что для этих направлений, принятых за координатные оси, должны иметь место равенства (65). Так, например, можно сказать a priori, что оси инерции однородного эллипсоида, соответствующие его центру, совпадают с его геометрическими осями.
Когда направления осей инерции и величины главных моментов инерции известны для центра инерции системы, то могут быть найдены и для всякой другой ее точки. Покажем, каким образом решается эта задача. Принимая центр инерции системы за начало координат, а оси инерции, соответствующие этой точке,— за координатные оси, обозначим через А, В и С главные центральные моменты инерции. Пусть £, ц, £ — координаты той точки, для которой ищутся направления осей инерции и величины главных моментов инерции. Проводя через эту точку ось, составляющую с координатными осями углы, косинусы которых равны X, р, и v, по предыдущему найдем, что момент инерции системы относительно этой оси, который обозначим через S, будет равен
М [g2 + П2 + S2 - (^ + ПН + М2] + su
где М есть масса всей системы и Sx момент инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр инерции, так что
Sx = ДХ2 + Bp2 + Cv2.
Таким образом,
S = А^4 + Вхр2 + Cxv2 — 2Bpv — 2EvX — 2FXp,(66)
где Дх = А + М (т)2 + £2), ВХ = В + М(С2 + ^2), Сх = С + М (У + Ц2), D = = W. Е = М^, Р = М^ч,.
и наша задача приводится к разысканию условий максимума или минимума выражения (66) при условии
X2 + Р2 + v2 = 1.
Условия эти дают следующую систему уравнений:
ДхХ — Bp — Ем = SX, — FX + Вхр — Dm = Sp, — EX — Dp + Cxv = Sv. (67)
Исключая из этих уравнений X, р, v, находим уравнение
Дх —S— F— ЕДх —S— F— Е— FB^S— D— FB^S— D— Е— DCx — S— Е— DCx — S= 0= 0(68)(68)
Дх —S— F— Е
Дх —S— F— Е
— FB^S— D
— FB^S— D
— Е
— D
Cx — S
— Е
— D
Cx — S
= 0
= 0
(68)
(68)
третьей степени относительно S. Корни этого уравнения будут главными моментами инерции системы для точки (£, т), £). Если же внесем их последовательно вместо S в уравнения (67) (из которых одно будет, конечно, следствием двух остальных), то получим уравнения, которые в связи с условием X2 + + р2 + v2 = 1 определят направления осей инерции для этой точки.
Рассмотрим, к какому виду приводятся уравнения (67) и (68) вследствие приведенных выше выражений для А, В, С, D, Е и F. Легко видеть, что уравнения (67) можно представить в виде
[Д - S + М (g2 + г)2 + С2)] X = М (X? + рт] + м^) g, [B-S + M(£2 + i]2 + £2)lp = M(X£ + pT] + vC)r],(69)
[C-S + M (g2 + т]2 + C2)] v = М (Xg + рт] + Mt) С-
Чтобы исключить из этих уравнений X, р, м, достаточно умножить первоеиз
них на | (Д — S + М^2)-1 второе — на т] (В — S + Мк4)-1 и третье — на С (С — S + Мк4^-*, где к4 = £2 + tj2 + С2 и затем сложить результаты почленно. Таким образом, мы найдем преобразование уравнения (68) в следующем- виде му ,м^2му _ .
Л-S+W "Г" В —SA-Mk2 ^ С —SA-Mk2 — и^'^
Уравнение же (69) дадут следующие величины для X, р, v:
X =^I. = Ят1Л, - Н^/7П
A — SA-Mk2 • В — SA-Mk2 • C — SA-Mk2’ v4 где
i_
Н =I1 2
[(Л —5 + Л№)2(В — S + Мк^—5+Л1^)2]•
Положим Л = Л4а2, В = М№, С = Мс^.
Вообще, если S есть момент инерции относительно какой-либо оси, то определяя длину р из условия S = Л4р2, мы найдем в ней то, что называется плечом инерции системы относительно этой оси. Величины а, b и с будут, следовательно, представлять плечи инерции системы относительно главных центральных осей инерции.
Далее, положим
S = M№-\- Mo.
Тогда уравнение (70) обратится в уравнение £2м2>*2
+Р2)
третьей степени относительно а, которому можно дать вид
(о — а2) (о — Ь2) (а — с2) + g2 (а — Ь2) (а — с2) + ц2 (а — с2) (а — а2) +
+ С2(о — а^(о — b^ = Q.
Легко убедиться, что все три корня этого уравнения вещественны. Для этого подставим в первую часть равенства вместо о последовательно с2, Ь2, а2 и —сю. Предполагая с > b > а, мы найдем, что она получит при этом соответственно следующие знаки: +, —, +, —. Отсюда видно, чтс все три корня рассматриваемого уравнения вещественны и при том заключаются в следующих пределах: с2 и Ь2, Ь2 и а2, а2 и —оо. Если эти корни обозначить соответственно через о1( а2 и о3, то будем иметь
а2 — о3>0, №— а3>0, с2 — о3>0; а2 — а2<0, Ь2 — а2>0,с2 — а2>0; а2 — а1<0, b1— с^сО, с2 — а1>0.
Таким образом, если в уравнении (72) рассматривать g, т), £ как переменные координаты, то для о = о3 оно будет представлять эллипсоид, для о = о2 — однополый гиперболоид, охватывающий ось ^ и для о = ог — двуполый гиперболоид, охватывающий ось £. При том эти три поверхности будут концентрическими и однофокусными с эллипсоидом
£2F2
-^- + -^+-^-1.(73)
Отсюда видно, что решение уравнения (72) решает вопрос о разыскании трех однофокусных поверхностей второго порядка: эллипсоида, однополого и двуполого гиперболоида, проходящих через данную точку (g, rj, £). Оказывается, что всегда возможно найти три такие однофокусные поверхности, которые при том будут однофокусными с некоторым данным эллипсоидом (73). Параметры он а2» аз этих трех поверхностей представляют так называемые эллиптические координаты точки.
Мы предполагали с > b > а. Но когда центральный эллипсоид инерции есть эллипсоид вращения, то будет с = b или b = а. В первом случае ах = = 62, а во втором о2 = с?. Поэтому из трех однофокусных поверхностей второго порядка, проходящих через точку (g, т], £) в первом случае двуполый гиперболоид обращается в две плоскости, пересекающиеся по оси £, а во втором — однополый гиперболоид, обращающийся в две плоскости, пересекающиеся по оси £. Если в случае равенства между величинами b и с или а ^ Ъ под двуполым или однополым гиперболоидом понимать только что упомянутые плоскости, то результат, к которому мы пришли, может быть выражен следующим образом.
Когда известны направления центральных осей инерции и величины главных центральных моментов инерции, то для разыскания направлений осей и величин моментов инерции, соответствующих какой-нибудь точке, нужно провести через эту точку три поверхности второго порядка: эллипсоид, однополый гиперболоид и двуполый гиперболоид, однофокусный с эллипсоидом (73), центр которого находится в центре инерции системы, направления осей совпадают с направлениями осей инерции, а полуоси равны плечам инерции системы, относительно этих осей и который называется гирационным эллипсоидом. Уравнения этих трех поверхностей будут вида (72), различаясь параметрами о. По трем параметрам этих поверхностей оп а2, а3 найдутся три главных 492
момента инерции системы для рассматриваемой точки при помощи формулы S = M(g2 + П2 + С2 + о).
Направление же осей инерции, соответствующих этой точке, будут совпадать, как показывают формулы (71), с направлениями нормалей к упомянутым трем поверхностям второго порядка, проведенных в общей их точке.
Между прочим заметим, что из только что сказанного следует, что однофокусные поверхности второго порядка (эллипсоид, однополый и двуполый гиперболоид) пересекаются ортогонально, т. е. так, что нормали, проведенные к ним в их общей точке, взаимно перпендикулярны (ибо направления осей инерции взаимно перпендикулярные направления). Это обстоятельство можно доказать и непосредственно следующим образом. Возьмем две из рассматриваемых однофокусных поверхностей
H^ + _2L + _^_=1.
а2— а2 1 Ь2— а2 1 с2— а2
Вычитая второе из этих уравнений из первого, найдем
££।лл।С£л
а2 — ог а2 — а2 ‘ Ь2 — ах Ь2 — а2 ‘ с2 — ах с2 — а2 ’
а это равенство показывает, что поверхности (ох) и (о2) пересекаются ортогонально. Также докажем и ортогональность пересечения поверхностей (о2) и (а3), а также (а3) и (nJ.
Когда центральный эллипсоид инерции есть сфера, так что с = b = а, то эллипсоид инерции, соответствующий какой-нибудь точке (g, -ц, £) будет эллипсоидом вращения вокруг оси, проходящей через центр инерции и рассматриваемую точку. В самом деле, при этом ах = а2 = а2, а а3 = с? — g2 — л2 — — £2. Поэтому два из главных моментов инерции, соответствующих точке (g, т), □, имея величины М (£2 + л2 + ^2 + а2), будут равны между собой, т. е. эллипсоид инерции будет эллипсоидом вращения вокруг оси третьего главного момента инерции. Этот же последний будет иметь величину Ма2, а направление соответствующей ему оси найдется по формулам (71), если мы в них положим
A=B=C=S=Ма\
Таким образом, для косинусов углов этого направления с координатными осями мы получаем величины
цЧ
показывающие, что это направление проходит через центр инерции и точку (^ Ч» □•
По предыдущему для определения направлений осей инерции и величин главных моментов инерции, соответствующих какой-нибудь точке, достаточно знать эти элементы для центра инерции системы.
Во многих случаях вопрос о направлениях одной или всех трех центральных осей инерции может быть решен без всякого вычисления. Укажем на некоторые из этих случаев.
Когда система точек имеет плоскость симметрии, то центр инерции ее будет лежать в этой плоскости и направление перпендикуляра к этой плоскости будет направлением одной из центральных осей инерции. В самом деле, принимая эту плоскость за плоскость ^г], найдем, что каждой точке (£, т), £) с массой т в этом случае будет соответствовать точка (В, т), — £) также с массой т, а потому
Sm£ = 0, Sm^^ == 0,= 0.
Когда рассматриваемая система точек заключается в некоторой плоскости, то направление одной из центральных осей инерции будет перпендикулярно к этой плоскости.
Когда система точек имеет две взаимно перпендикулярные плоскости симметрии, то центр инерции находится на прямой пересечения этих плоскостей, которая служит одной из центральных осей инерции. Две же другие оси перпендикулярны к плоскостям симметрии.
Когда система точек имеет некоторую ось симметрии, то эта ось служит одной из центральных осей инерции.
Когда рассматриваемая система точек такова, что после вращения ее вокруг некоторой оси на некоторый угол а, меньший л, в каждую точку пространства приходит точка системы с той же самой массой, что и точка, находившаяся в этой точке пространства до вращения, то эта ось есть одна из центральных осей инерции, причем центральный эллипсоид инерции есть эллипсоид вращения, ось которого совпадает с ней.
В самом деле, принимая эту ось за ось £, найдем, что величины сумм
Sm^Y), ^т^ ^т^
не должны изменяться от вращения системы вокруг оси £ на угол а, т. е. мы должны иметь
2т£т] = S/n (g cos а + Y) sin а) (— £ sin а + yj cos a),
S/mr]£ = Sm£ (— £ sin a + Л cos a), Sm££ = S/n£ (E cos a + y] sin a) или
(1 — cos 2a) Sm|Y] + sin 2aS/n (£2 — y]2) = 0,
sinaSm^ + (1 — cos a) SmY|g = 0, (1 — cos a) ^mt^ — sin a ^rmxt, = 0.
Два последних уравнения дают
^т^ =5 0, ^тх\^ = 0, так как их определитель
— sin2 a — (1 — cos a)2
нг может быть нулем, а это показывает, что ось £ есть одна из осей инерции системы. Что же касается первого уравнения, то замечая, что оно должно иметь место при всяком выборе взаимно перпендикулярных осей £, Y) и выбирая последние таким образом, чтобы они совпадали с осями инерции системы, найдем 2^6л = 0, вследствие чего это уравнение при а не равном-^- л даст
^т (£2 — т)2) = 0 или ^т (£2 + £2) = ^т (y)2 + £2).
Это же последнее равенство показывает, что эллипсоид инерции, соответствующий началу координат, есть эллипсоид вращения вокруг оси £.
Когда а = -~-л, наше уравнение дает
Sm^Y) = 0
для всяких направлений взаимно перпендикулярных осей £ и Y|, а это показывает по-прежнему, что эллипсоид инерции, соответствующий началу координат, есть эллипсоид вращения вокруг оси £.
Легко также убедиться, что центр инерции системы находится на оси £.
Вычисление моментов инерции приводится к вычислению величин
A' = Sm^2, В' = S/mf, С = Smg2,
называемых квадратичными моментами инерции системы относительно координатных плоскостей^, gg и £ц. Многие авторы называют их моментами инерции системы относительно этих координатных плоскостей.
Остановимся на вычислении моментов инерции некоторых однородных площадей и однородных сплошных тел.
Положим, что тело имеет три взаимно перпендикулярные оси симметрии, которые приняты за оси g, ц и g. Пусть 2а, 2Ь и 2с — наибольшие измерения тела по направлениям, параллельным этим осям и пусть известны площади ^, q4 и q^ сечений тела плоскостями, перпендикулярными к осям симметрии и находящимися от начала координат на расстояниях g, ц, g, так что q^ будет известной функцией g, q^ — известной функцией ц и % — известной функцией g. При этом квадратичные моменты Д', В' и С' получатся при помощи однократных интегрирований аbс
Л' = 2а$^№ B' = 2aJ^n, С'= 2а $ 9 £2d£,и "оо
где а — плотность тела. После этого найдутся моменты инерции по формулам А = В' +С, В = С +Д\ С = А'+В'.
Этими формулами можно с удобством пользоваться, например, при вычислении главных центральных моментов инерции однородного параллелепипеда или эллипсоида. Центральные оси инерции первого будут параллельны его ребрам, проходя через точку пересечения его диагоналей. Центральные же оси второго совпадают с его геометрическими осями.
Когда рассматриваемое тело есть однородное тело вращения вокруг оси
Если вместо координат g и ц введем полярные р и ф, то найдем
2л
С = а У г/ф У У p3dpdg = 2ла У У p3dpdg,о
где интегрирование распространяется на ту часть площади, ограничиваемой образующей кривой рассматриваемой поверхности в одной из меридиональных плоскостей, которая лежит по одну сторону оси вращения.
Далее, замечая, что
С2С' = У q^
где % есть площадь сечения рассматриваемой поверхности плоскостью, перпендикулярной к оси g, a Ci и с2 — наименьшая и наибольшая из координат g для этой поверхности, получим
Л = В = а (?E£2d£ +-^-С.
Рассмотрим еще однородное тело, ограниченное цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси £ и двумя перпендикулярными к ним плоскостями £ = —h и £ = h.
Главные центральные оси инерции такого тела будут проходить через центр инерции площади среднего сечения его. Одна из этих осей будет параллельна образующим, а две другие будут совпадать с центральными осями инерции этой площади.
Обозначая величину этой площади через q, а моменты инерции ее относительно осей £ и г] через qb1 и qc?, найдем
А' = 2/ia J У £2d£dt] = 2hoqa2 = Ma?,
В = 2ho J j ry^dq = 2hoqb2 = Mb2,c-=o $ ^ j j dsdn=-j- ^"^=4- wгде M — масса тела.
л = м (ь2 + 4-л = м (ь2 + 4-а2 + -у- h2\ С = М (а2 + Ь2).а2 + -у- h2\ С = М (а2 + Ь2).Таким образом, получим h^, В = М
л = м (ь2 + 4-
л = м (ь2 + 4-
а2 + -у- h2\ С = М (а2 + Ь2).
а2 + -у- h2\ С = М (а2 + Ь2).
Примеры. Понимая под М массу, найдем следующие величины для моментов инерции. 1. Для площади однородного прямоугольника со сторонами 2а и 2/?:
относительно оси, параллельной стороне 2а и проходящей через центр инерции: ^ Л№; относительно оси, перпендикулярной к его плоскости и проходящей через центр инерции:
/И («2 + ЬЧ.
Для площади однородного эллипса с полуосями а и Ь: относительно оси 2а: ~~ Mb2; относительно оси, перпендикулярной к его плоскости и проходящей через центр:
-1- М (а2 + b2Y
Для однородного прямоугольного параллелепипеда с ребрами 2а, 2Ь и 2с:
относительно оси, параллельной ребру 2а и проходящей через центр инерции: - М (Ь2 +
+ А3
Для однородного эллипсоида с полуосями а, b и с:
относительно оси 2а : М (Ь2 4- с2).
Для однородного прямого эллиптического цилиндра с высотой 2h и полуосями эллипса основания а и Ь:
относительно оси, параллельной образующим и проходящей через центр инерции:
L М (а2 + 62);
относительно оси, параллельной оси 2а эллипса основания и проходящей через центр
инерции: М ^—- Ь2 4- ^2j-
Следует заметить, что моменты инерции прямоугольника, эллипса, прямоугольного параллелепипеда и эллипсоида могут быть заключены в одной общей формуле:
Момент инерции_^яггя Сумма квадратов перпендикулярных полуосей
относительно оси симметрии3 4 §'
где 3 относится к прямоугольнику и прямоугольному параллелепипеду, 4 — к эллипсу и 5 - к эллипсоиду *.
Живая сила неизменяемой, как и всякой другой системы точек, может быть представлена, как известно, следующим образом:
Т = -^-Mv2 + Г,
где у — скорость центра инерции, а Г — живая сила относительного движения по отношению к центру инерции. В случае неизменяемой системы в одном из предыдущих параграфов для последней было найдено следующее выражение:
Г = —~ (Л<о| 4- В(д^ + Сю^ — 2D(otig)^ — 2Е(д^ — ^Рю^ю^.
Если через а, р, у обозначим косинусы углов, составляемых мгновенной осью с координатными осями, то этому выражению можем дать следующий вид:
Г = Д- Й2 (Ла2 + вр2 + Су2 — 2фу — 2Вуа — 2Вар).
Но из предыдущего мы знаем, что выражение, находящееся в скобках, представляет момент инерции системы относительно мгновенной оси. Обозначая этот момент инерции через J мы будем иметь
г = А/й2,
т. е. живая сила вращательного движения неизменяемой системы равна половине произведения из момента инерции относительно мгновенной оси и из квадрата угловой скорости.
Мы рассматривали вращательное движение вокруг центра инерции, но, очевидно, что этот результат будет справедлив и для вращательного движения вокруг какой-нибудь другой точки.
Если введем плечо инерции* относительно мгновенной оси, полагая J = = Мк\ то найдем
Г = -1-Ш2Й2,
т. е. живая сила вращательного движения неизменяемой системы равна живой силе вращательного движения одной из ее точек, находящихся на расстоянии к от мгновенной оси, если в этой точке сосредоточена масса всей системы.
Поэтому плечо инерции системы точек относительно какой-либо оси можно определить, как расстояние от этой оси той ее точки, в которой должна быть сосредоточена масса всей системы для того, чтобы при вращении системы вокруг этой оси живая сила движения этой точки была равна живой силе всей системы.
Полная живая сила неизменяемой системы как нетрудно убедиться, равна живой силе двух ее точек, в которых поровну распределена масса всей системы и которые лежат в одной плоскости с мгновенной осью, проходящей через центр инерции, находясь по разные стороны этой оси на расстояниях от нее, равных плечу инерции системы относительно этой оси.
Вывод дифференциальных уравнений движения неизменяемой системы. Мы выведем теперь дифференциальные уравнения движения неизменяемой системы для каждого из трех следующих предположений: 1) когда неизменяемая система совершенно свободна, 2) когда она имеет одну неподвижную точку и 3) когда она имеет две неподвижные точки.
В случае совершенно свободной неизменяемой системы будут иметь место уравнения движения центра инерции и уравнения моментов в том же виде, что и для системы точек, не подчиненных связям. Поэтому, обозначая через X, У, Z проекции на неподвижные оси силы, действующей на какую-нибудь точку (х, у, 2) неизменяемой системы, масса которой есть т, мы получим шесть следующих уравнений:
= M^ = ZZ,(74)
2 m [(у — Уо) -$-— (г — г«) -^-] = 2 Ку — Уо) z — (z - z0) kj,
2m[(z — z0) -^ —(х —х0)-^-]= 2t(z —z0)X —(х—x0)Z], (75) 2m[(x — х^-^ — Uj — Уо)-$-] = 2Кх — x^Y — (у — у0) X].
* Так называют длину, равную корню квадратному из отношения момента инерции к массе тела.
В этих уравнениях х0, у0, z0 — координаты совершенно произвольной точки, которая может быть как неподвижной в пространстве, так и иметь какое угодно данное движение. Предполагая, что за эту точку принят центр инерции системы, мы можем уравнениям (75) дать следующий вид:
4г] = 2 Ку — Ус^ — (г— ?с) И, ^5т[(г_гс)-^-(х-хс)4-] = 2Кг-гс)Х-(х-хс)Х], (76) -42m[(z — "4" —(У-^“4] = 2 К*- x^Y — {у — ус) X].
Так как положение свободной неизменяемой системы определяется шестью независимыми переменными, то шести уравнений (74) и (76) и будет достаточно для определения ее движения. При этом уравнения (76) будут определять вращательное движение ее вокруг центра инерции.
Когда неизменяемая система имеет одну неподвижную точку, то при движении ее будут иметь место три уравнения (75), если в них х0, у0 и 2о — координаты ЭТОЙ ТОЧКИ. При ЭТОМ условии Хо, у о и 20 будут постоянными и потому уравнениям (75) можно дать следующий вид:
-^г'2«т^у — у0)-^ — (2 — г0) ^г]^ 2КУ~Уо)^ —(z —z0) И,
4 2 т [<г - го) ^ - (^ - х^ -4] = 2 Кг - 20) X - (X - х0) У], (77)
4г^А^ — х^^Г~^ — у^ "^А = 2 К* — Хо) Y — (у — Уо) X].
Этих трех уравнений будет достаточно для определения движения, потому что при неподвижности одной из точек неизменяемой системы положение ее определяется тремя углами ф, fl* и ф.
Наконец, когда неизменяемая система имеет две неподвижные точки, движение ее приводится к вращательному вокруг оси, проходящей через эти точки и для определения его достаточно одного уравнения, определяющего изменение угла ф, составляемого какой-либо плоскостью, проходящей через эту ось и неизменно связанной с системой с другой — неподвижной. Если эту ось примем за ось z, то движение будет определяться уравнением
(78)
Теперь остается только уравнения вращательного движения для каждого из трех рассматриваемых случаев преобразовать к виду дифференциальных уравнений, определяющих углы ф, fl и ср в функциях времени.
Начнем с последнего случая, как наиболее простого. Предполагая, что ось £ совпадает с осью z, вокруг которой должна вращаться система, обозначим через ф угол между плоскостями ^ и гх. При этом найдем
мы приведем уравнение (78) к следующему виду:
С^$-=Ь.(79)
Это уравнение, в котором L будет известной функцией ф, ^ и / и будет служить для определения движения неизменяемой системы, имеющей неподвижную ось.
Переходим теперь к преобразованию уравнений (77). Но предварительно заметим, что это преобразование будет относиться и к уравнениям (76). Обе эти системы уравнений могут быть заключены в одной
di "Lx’ dt ~ L9> di — Lz’
если под Kx> Ку1 Кг будем понимать проекции на оси х, у, г главного момента количеств движения, а под LX1 Lgi Lz — проекции на те же оси главного момента всех приложенных к системе сил, причем в случае совершенно свободной неизменяемой системы эти моменты предполагаются взятыми относительно центра инерции, а в том случае, когда она имеет неподвижную точку — относительно последней.
Положим, что кроме неподвижных координатных осей х, у, z, введены еще оси £, т), £ неизменно связанные с системой, начало которых совпадает или с центром инерции или с неподвижной точкой, в зависимости от того какой из двух упомянутых случаев имеется в виду.
Обозначая проекции на оси В, Л, С главного момента количеств движения через К^, К-ц, К^ а проекции на эти оси главного момента сил — через L^ L4, L^ мы можем составить при помощи уравнений (80) три следующих:
4г(х’9+^(^) + т(2>а = £ь
4г кх, Я) + 4г ^» ^ + т (г, Г!) = 1^(81)
Т^ 9 -V^kti, 9 + ^(2, С) = Lt.
Но
к*, 9 ^- + (У, 9 ^ + (2, 9 ^Г 1Г ^ кх, Э + К8 ку, 9 + К, (2, Э1 -
— [Л,^VKy^FAz dt j ~5(a^£ + AtM + A^),
где u^ ця и и^ — проекции на оси g, т), £ вращательной вокруг начала координат £, т), С скорости точки, находящейся на оси £ на расстоянии единица от начала координат. Поэтому
и^ = 0, ая = со^, и^ = — соя и, следовательно,
(*■ 0 т + (». 0 ^ + (7, 0
Таким образом, первое из уравнений (81) преобразуется к виду
die
+ ^ЮЧ —= LV
Точно также второе и третье уравнения преобразуются в следующие:
dK,dKr
-^— + Кг^ — /Cj©8 = £11,-^—I- К^ — К^ = Lv
Что касается величин К^ Кц и К^ входящих в эти уравнения, то они выражаются частными производными от одной и той же функции по (о^, (о^, со^, а именно, мы нашли, что если Т — живая сила неизменяемой системы, то
к _ ОТ „ _ дТ к - дТ
Таким образом, наши уравнения принимают следующий вид:
d / дТ \ , дТОТ , d / дТ \ , дТЭТ х т
di док ] + дб)£ 0)11 ^ол ^^^ di у дсо^ ) "^ ^ °^ дю^ ^ л’
d / дТ \ , дТдТ
—«Т* I ~ч—) Н—ч— со?ч СО-п — Lr*
dt у да^ ) 1 дй)^ 5дю^ 44 7
При этом для обоих рассматриваемых случаев мы будем иметь
-^ = Лео. — Fto^ — Et^,-^- = — F^ + В®ч — Oto£,
= — £со$ — D<o^ + С<о£.
Поэтому если за оси 5, т]. € приняты оси инерции, соответствующие центру инерции или неподвижной точке, так что D = Е = F = 0, то уравнения (82) будут иметь вид
Л -^- + (С — В) ю^ = L£, В -^- + (Л — С) ю^ = Еч,
(83)
С —+ (В — Л) togtor) = Lr.
Это так называемые эйлеровы уравнения вращательного движения. К ним нужно присоединить равенства
. d^. а dti)d^ ,
ОК = Sill ф —г.COS ф Sin V -47- , (О™ = COS ф —т. р
ъ т штat 1dt
+ sin ф sin ft , (oE =+ cos ft ,(84)
T dtdt 1dt
найденные раньше, в силу которых уравнения (83) обращаются в уравнения второго порядка относительно ф, # и ф.
Силы, действующие на систему, вообще будут зависеть от времени и от координат и скоростей различных ее точек. Поэтому в случае свободной неизменяемой системы величины
SX, 2У, 2Z, Ц, и и
будут функциями вообще от тринадцати следующих величин
хС) Ус, Zc, ф, », ф, t,хС) Ус, Zc, ф, », ф, t,dxc dyc dzc d"^d1^* dtp
хС) Ус, Zc, ф, », ф, t,
хС) Ус, Zc, ф, », ф, t,
dt9 dt1 dt9 dt9 dt' dt
так что вообще вопрос об определении движения ее приведется к совместному интегрированию двух систем уравнений второго порядка (74) и (83) (в которой он, (От) и (о^ должны быть заменены их выражениями (84)), из которых ни одна не может быть проинтегрирована отдельно. В том случае, когда Ц, т т dxc dyc dZr
L^ и Ц не зависят от хс> ус, го —^ , -~-, вращательное движение вокруг центра инерции может быть определено независимо от движения этой точки интегрированием систем уравнений (83) и (84). К интегрированию этих же двух систем уравнений первого порядка (или системы уравнений второго порядка, получаемой из них исключением со^, о^, ©^) приводится вопрос и об определе-
нии вращательного движения вокруг неподвижной точки. В частном случае, когда Ц, L^ и Ц функции только четырех переменных со^, со^, со^ и 1, систему трех уравнений первого порядка (83) можно проинтегрировать независимо от системы уравнений (84). Найдя интегрированием ее ю^, (ол и со^ в функциях t мы найдем затем ф, ^ и ср интегрированием системы (84).
В случае свободной неизменяемой системы мы введем интегрированием дифференциальных уравнений движения двенадцать произвольных постоянных; в случае неизменяемой системы, имеющей неподвижную точку — шесть и в случае неизменяемой системы, имеющей неподвижную ось,— две. Эти постоянныеопределятся впервомслучае поначальнымзначениямхС1ус>гс,ф,
ЛdXrdzrdAbd^d®
О,Ф,,“57-,-37-,-37-, -37-,-т^ вовтором —поначальным значениям
dt’dtdtdtdt ’dtr
.dAb d^ d®, dAb
ф, v, ф, —77-, -37-, в третьем — по начальным значениям ф и .
dt ' dt ' dt 'dt
Движение твердого тела, имеющего две неподвижные точки. Физический маятник. Когда твердое тело имеет две неподвижные точки и, следовательно, вращается вокруг неподвижной оси, то это вращение, как мы видели, определяется уравнением (79), в котором С — момент инерции тела относительно этой оси, a L — момент относительно той же оси всех действующих на него сил. Рассмотрим ближе случай, когда тело находится только под действием силы тяжести, а ось вращения горизонтальна. Такое тело носит название физического маятн ика.
Ось вращения примем за ось z, направляя ось х вертикально сверху вниз. Предполагая далее, что ось £ совпадает с осью z, примем за ось £ направление, перпендикулярное к ней, проходящее через центр инерции тела, расстояние которого от оси вращения обозначим через а. Таким образом, будем иметь Ьс = а, цс = £с = 0. Угол ф будет представлять угол между плоскостью Е £ и плоскостью гх. Мы будем считать его положительным с одной стороны плоскости гх и отрицательным с другой.
При рассматриваемых предположениях
X = mg, Y = Z = 0.
Поэтому
L = 2 (хУ — уХ) = — gZmy = — Mgyc.
Но вообще у = £ sin ф + т) cos ф, а потому ус — a sin ф и, следовательно, £ =—Mag sin ф.
Таким образом, уравнение (79) принимает вид
С -^- = —Mag sin ф.(85)
Это уравнение совершенно того же вида, что и уравнение, определяющее колебания математического маятника. Если длину последнего обозначим через /, а угол, составляемый им с вертикалью в какой-нибудь момент движения,— через ф, то дифференциальное уравнение, определяющее его колебания, будет
, С^аЬ
а это уравнение будет тождественно с уравнением (85), если
‘-ТЯГ-№
При этом условии, если начальные значения гр и -^- в обоих случаях одинаковы, оба уравнения дадут одинаковые выражения для гр и -^- в функции времени.
Таким образом, физический маятник совершает свои колебания по тому же закону, что и математический, длина которого определяется формулой (86), и, следовательно, равна отношению момента инерции тела относительно оси вращения к произведению из его массы и расстояния от оси вращения центра инерции.
Если момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр инерции и параллельной его оси вращения, обозначим через S, то будем иметь
С = Ma2 + S, а потому по формуле (86) найдем
Эта формула показывает, что длина эквивалентного (т. е. совершающего такие же колебания) математического маятника больше расстояния центра инерции тела от оси вращения. Если через центр инерции проведем перпендикуляр к оси вращения, то точка пересечения его с последней представит то, что называют центром привешивания физического маятника. Если же от центра инерции на этом перпендикуляре отложим длину в сторону противоположную той, с которой находится ось вращения, то получим в конце этой длины точку, которая называется центром качания. Расстояние этой точки от оси вращения будет равно длине эквивалентного математического маятника. Поэтому эта точка тела при движении его будет совершать такие же колебания, какие она совершала бы, оставаясь неизменно связанной с осью вращения, но не будучи связана с остальными точками тела.
Легко убедиться, что центры привешивания и качания обладают такого рода взаимностью, что если центр качания принять за центр привешивания, то новый центр качания будет находиться в прежнем центре привешивания. В самом деле, при этом расстояние центра инерции от центра привешивания будет равным д^-, а потому расстояние нового центра качания от центра инерции
S= а-
М
Ма
Заметим еще, что, если к— плечо инерции тела относительно оси, проходящей через центр инерции и параллельной оси вращения, так что S = Мк2, то расстояние центра качания от центра инерции будет равно —. Поэтому плечо инерции тела относительно оси, проходящей через центр инерции, есть средняя геометрическая между расстояниями центра инерции от центров привешивания и качания.
Мы предполагали ось вращения горизонтальной. Если же она составляет с горизонтальной плоскостью некоторый угол а, то принимая ее по-прежнему за ось г, а вертикальную плоскость, проходящую через нее, за плоскость гх, найдем
Х = mucosa, Y = 0, Z = wg’sina, а потому будем иметь
L = — Mgyc cos a = — Mag cos a sin ф
и уравнение (79) примет вид
С-^- = —Mag cos a sin ф.
(87)
Это же уравнение отличается от уравнения (85) только тем, что в него входит g cos а вместо g, входящего в уравнение (85). Поэтому и в случае наклонной оси тело совершает колебания по закону математического маятника. Длина эквивалентного математического маятника в рассматриваемом случае равна &Ма cos а. Она возрастает с увеличением наклонения оси вращения к горизонту и делается бесконечно большой, когда эта ось вертикальна. В этом предельном случае движение тела приводится к равномерному вращению вокруг нее. Так как уравнения (85) и (87) того же типа, что и дифференциальное уравнение колебаний математического маятника, рассматриваемого в динамике материальной точки, то на интегрировании их мы можем здесь не останавливаться.
Вопросы о движении твердого тела, имеющего две неподвижные точки (две точки опоры), можно также решать и при помощи дифференциальных уравнений движения свободного твердого тела. Для этого стоит только ввести кроме заданных сил еще две неопределенные по величине и направлению силы, приложенные к телу в точках опоры и затем определить их из условия неподвижности этих точек. Определенные таким образом силы будут представлять давление опорных точек на тело, а силы, равные и прямо противоположные им, представят давление тела на опорные точки. Поэтому рассматриваемый способ решения задачи полезен в тех случаях, когда встречается необходимость знать эти давления.
Принимая одну из опорных точек за начало координат %, у, z, примем за ось г направление, идущее от нее ко второй опорной точке. Расстояние между этими точками обозначим через Л. Если проекции на координатные оси давлений этих точек на тело обозначим через Хь Уь Zx и Х2, У2, Z2 и заметим, что координаты z для всех точек тела остаются постоянными, то дифференциальные уравнения движения будут
Х^Х^М-^SX, У1 + У2 = М-^2У,(88)
Z, + Z2 = - SZ,(89)
hY^^mz-^-A-^yZ-zY), hX2=Ymz^^X-xZ), (90)
(91>
Из этих уравнений последнее приводится, как мы видели, к виду (79) и определит движение тела. После этого из уравнений (90) найдутся величины Х2 и У2, а затем из уравнений (88) — и Хь У^ Этим определятся проекции на плоскость, перпендикулярную к оси, давлений на тело опорных точек. Для окончательного определения этих давлений необходимо будет, следовательно, иметь только проекции этих давлений на ось г. Но для этого мы имеем только одно уравнение (89), которое определяет сумму этих проекций. Каждая же из них в отдельности остается неизвестной. Эта неопределенность становится совершенно понятной, если учесть, что опорные точки связаны одна с другой неизменным образом, а к таким точкам можно, как известно, прилагать равные и прямо противоположные силы, направленные по прямой, их соединяющей, не нарушая состояния движения той системы, которой они принадлежат, при том общая величина этих сил может быть совершенно произвольной.
Таким образом, одну из величин Zx и Z2 мы можем предполагать произвольной. Но остановившись на какой-нибудь величине для одной из них, мы получим для другой уже вполне определенную величину, потому что сумма их по уравнению (89), вполне определена.
Положим, что на тело не действуют никакие силы, т. е. X = У = = Z = 0. Найдем условия, которым должна удовлетворять ось вращения,
чтобы во время движения тела оно не оказывало давлений на опорные точки. Вопрос приводится к разысканию условий, при которых можно удовлетворить уравнениям
т-°. Т-°-<92>
2^-0,(93)
где у — постоянная. Последнее из этих уравнений дает угловую скорость вращения тела, которая при рассматриваемых условиях будет постоянной, а именно, если С и гр имеют прежние значения, то это уравнение приводится к
dtp п у
откуда=
Далее, так как тело вращается с постоянной угловой скоростью Q вокруг оси г, то для каждой точки его будут иметь место равенства
дающие -^- = — Q2x, = — Q2y.
Вследствие последних равенств уравнения (92) и (93) приводятся к следующим:
х0 = 0, ус = 0, ^туг = 0, Итгх = 0.
Это и есть искомые условия. Из них видно, что для того, чтобы твердое тело, изолированное от действия всяких сил и вращающееся вследствие сообщенного ему толчка вокруг неподвижной оси, не оказывало давлений на опорные точки, эта ось должна проходить через центр инерции его и служить одной из осей инерции.
Если ось вращения удовлетворяет этому условию, то тело может вращаться вокруг нее и при отсутствии опорных точек. Поэтому такая ось называется свободной осью вращения.
Каждая из центральных осей инерции есть свободная ось вращения. Когда свободному твердому телу, изолированному от действия сил, сообщено какое-нибудь вращение вокруг одной из этих осей, то во все время последующего движения эта ось будет оставаться неподвижной, а тело будет вращаться вокруг нее равномерно с сообщенной ему угловой скоростью.
Вращение по инерции твердого тела, имеющего одну неподвижную точку. Когда на твердое тело, имеющее неподвижную точку, не действуют никакие силы, то движение которое оно может иметь вследствие сообщенного ему толчка, носит название вращения по инерции вокруг неподвижной точки.
Так как вообще вращение твердого тела вокруг неподвижной точки определяется только главным моментом вокруг нее всех действующих на него сил, то движение такого твердого тела будет иметь характер вращения по инерции и во всех тех случаях, когда на него действуют такие силы, главный момент которых вокруг неподвижной точки равен нулю.
Остановимся на рассмотрении этого движения.
Дифференциальные уравнения движения для рассматриваемого случая получается из уравнений (83), если мы положим Ц = L^ = Ц = 0. Таким
образом, мы будем иметь следующие уравнения:
А -^- = (B — C) ю^, В -^- =(С — А) ючо^, С —^ = (Л — В) 04® п. (94)
Легко получить два интеграла этих уравнений. Для этого стоит только умножить их соответственно на со^, о)л, со^ или на Лсо^, В<ол, С^ и затем сложить результаты. Таким образом, мы получим два следующих интеграла
Л®1 + В< + С®^ = 2/i,(95)
Л2®| + В2®^ + С^Х = k\(96)
где h и к — постоянные.
Следует заметить, что эти два уравнения можно было бы составить и независимо от уравнений (94). В самом деле, уравнение (95) выражает постоянство живой силы твердого тела, а так как Лсо^, В^ С^ — проекции на оси |, т), £ главного момента количеств движения, то уравнение (96) выражает постоянство величины этого момента. То что эти два обстоятельства имеют место при рассматриваемом движении тела следует из того, что для него имеют место как закон живой силы (и при том потенциал равен нулю) так и три интеграла площадей (если за начало координат принята неподвижная точка).
Пуансо показал, что на основании уравнений (95) и (96) можно составить себе некоторое понятие о характере вращения тела по инерции. Для этого рассмотрим один из эллипсоидов инерции тела, соответствующих неподвижной точке. Уравнение этого эллипсоида будет
Л^2 + В^2 + С^ = р\(97)
где р — постоянная, выбранная произвольно. Найдем точку пересечения этого эллипсоида с мгновенной осью и проведем в этой точке к эллипсоиду касательную плоскость. Если |ь тц, ^ — координаты, а гг — радиус-вектор этой точки, то мы будем иметь
Зх_ = Л1_=(0^ ю^ (o^ Q
Внося следующие отсюда величины для ^, т^, ^ вместо £, т], £ в уравнение (97), найдем
г2
-^-(Л^ + Во^ + С®^^,
а потому, вследствие уравнения (95)
rt = -^=Q.(98)
Уравнение касательной плоскости к эллипсоиду (97) в точке (^ т)х, ^) будет следующее:
ЛМ+Вад + С^^Р2.
Перпендикуляр, опущенный из начала координат на эту плоскость, будет составлять с осями g, т], £ углы, косинусы которых равны
= , А^ = 4
а потому он будет совпадать с направлением главного момента количеств движения (т. е. будет сохранять неизменное направление в пространстве).
Величина этого перпендикуляра 6 = —р- р ™— или вследствие вы-
УЛ^ + 52^ + ^2
ражений для |п тц, ^ и равенств (96) и (98)
6 = -L^L.(99)
Кроме того, заметим еще, что уравнение (95) может быть представлено в видеЛйыоз + В(оТ1й)Т1 + СГсо^со^ = ^h
ИЛИ
&Qcos(fc, Q) = 2A,(100)
где под к понимается не только величина, но и направление главного момента количеств движения.
Вследствие всего изложенного мы можем теперь выставить следующие характерные свойства вращения твердого тела по инерции вокруг неподвижной точки:
живая сила вращения сохраняет постоянную величину,
главный момент вокруг неподвижной точки количеств движения сохраняет постоянные величину и направление,
мгновенная ось пересекает эллипсоид инерции тела, соответствующий неподвижной точке, на расстоянии от последней, изменяющемся пропорционально изменению величины угловой скорости (98),
проекция угловой скорости на постоянное направление главного момента количеств движения сохраняет постоянную величину (100),
касательная плоскость, проведенная к эллипсоиду инерции в точке пересечения его с мгновенной осью, находится на постоянном расстоянии (99) от неподвижной точки. При том она перпендикулярна к направлению главного момента количеств движения и, следовательно, остается неподвижной в пространстве.
Легко видеть, что свойство 4 есть следствие свойств 3 и 5.
Таким образом, вращение твердого тела по инерции вокруг неподвижной точки может быть произведено таким движением эллипсоида инерции его, соответствующего этой точке, при котором этот эллипсоид всегда касается неподвижной плоскости, перпендикулярной к направлению главного момента количеств движения. При том точка касания находится всегда на мгновенной оси, а потому скорость той точки эллипсоида инерции, которая совпадает с ней в известный момент времени, равна нулю. Поэтому движение эллипсоида инерции есть катание без скольжения по этой неподвижной плоскости.
Эта теорема принадлежит П у а н с о.
Точка касания эллипсоида инерции с плоскостью, по которой он катится, чертит на эллипсоиде инерции и этой плоскости некоторые кривые. Кривая, которую она чертит на эллипсоиде инерции, называется полодией, а кривая, которую она чертит на плоскости,— эрполодией. Полодия есть пересечение эллипсоида инерции с аксоидом мгновенных осей, неизменно связанным с телом, а эрполодия есть пересечение плоскости, перпендикулярной к главному моменту количеств движения, с аксоидом мгновенных осей, неподвижным в пространстве.
Эрполодия будет некоторая трансцендентная кривая, уравнение которой мы выводить здесь не будем. Что же касается уравнений полодии, то одно ив них будет уравнение (97) эллипсоида инерции, а другое — уравнение аксоида мгновенных осей, неизменно связанного с телом. Последнее получимся исключением времени из уравнений
-^ = -57 = 4-(101)
мгновенной оси. Чтобы выполнить это исключение, воспользуемся уравнениями (95) и (96), которым удовлетворяют функции времени cog, co^, (о^. Из этих уравнений легко составить следующее
О = Д (&2 — 2Ы) (о^ + В (^ — 2hB) (0^ + С (^ — 2hC) ^
а потому исключив время из уравнений (101), получим
А (^ — 2hA) g2 + В (^ — 2hB) т]2 + С (^ — 2hQ С2 = 0.(102)
Это и есть уравнение аксоида мгновенных осей неизменно связанного с телом. Совокупность уравнений (97) и (102) и представляет полодию. Это будет, следовательно, алгебраическая кривая вообще двоякой кривизны, получаемая в пересечении эллипсоида с конусом второго порядка.
Пусть С > В > А, так что ось | направлена по наибольшей оси эллипсоида инерции. В таком случае легко убедиться, что
&2 —2М>0 и k2 — 2hC<0.(103)
Для этого достаточно только заметить, что расстояние 6 касательной плоскости к эллипсоиду инерции от его центра должно заключаться между наибольшей и наименьшей полуосями его, т. е.
РVcРVcр
РVc
РVc
У А ’
а эти два неравенства, в силу выражения (99) для 6 и приводят к неравенствам (103). В справедливости последних неравенств можно также убедиться и на основании следующих уравнений
В (В — Л) ©?, + С (С — Л) ®^ = ^ — 2ЛЛ,
Л (С — Л)а^ + В(С — В)^ = 2hC — к\ легко получаемых из уравнений (95) и (96).
В предельных случаях неравенства (103) могут переходить в равенства.
Таким образом, величина —^- должна заключаться между пределами А и С включительно. В остальном же она совершенно произвольна.
Из сказанного следует, что в уравнении (102) коэффициент при В2 не может быть отрицательным, а коэффициент при £2 не может быть положительным. Поэтому, когда &2 — 2hB > 0 уравнение (102) представляет конус второго порядка, осью которому служит ось £. Притом, если &2 = 2hC этот конус сливается с этой осью. Когда же &2 — 2hB < 0 уравнение (102) представляет конус второго порядка, осью которому служит ось X- Когда &2 = = 2hA он сливается с этой осью. Наконец, когда £2 = 2hB уравнение (102) распадается на два
УА(В-А^ = ±КС(С-В)С (104) и представляет, следовательно, две проходящие через ось т) плоскости, одинаково наклоненные к плоскости £т].
Таким образом, когда -^- = С полодия состоит из двух точек — кон- £2 £2
цов малой оси эллипсоида инерции. Когда < С и -^- > В полодия состоит из двух тождественных замкнутых кривых, симметрично расположенных по отношению к плоскости £п и огибающих концы малой оси эллипсоида. Когда -^г- = В полодия состоит из двух эллипсов — сечений эллип
соида инерции плоскостями (104). Когда В > —^- > А полодия состоит
из двух тождественных замкнутых кривых, симметрично расположенных по отношению к плоскости т]£ и огибающих концы большой оси эллипсоида инерции. Наконец, когда -^- = Л, полодия обращается в две точки — концы большой оси. За исключением предельного случая &2 = 2hBt полодия состоит, следовательно, всегда из вдух замкнутых кривых, огибающих или концы малой, или концы большой оси эллипсоида инерции, сливаясь с этими точками в предельных случаях й2 = 2hA и &2 = 2hC. При непрерывном изменении -^- от С до А полодия непрерывно изменяется из одного типа в другой. Поэтому, когда 2h,C — &2 есть бесконечно малая величина, полодия состоит из двух замкнутых кривых, бесконечно близких во всех своих точках к концам малой оси эллипсоида инерции. Тоже имеет место по отношению к концам большой оси, когда &2 — 2ИА — бесконечно малая величина. Таким образом, в этих двух случаях полодия состоит из двух бесконечно малых замкнутых кривых. Напротив, когда &2 — 2ИВ есть бесконечно малая величина, полодия состоит из двух ветвей, бесконечно мало отличающихся от упомянутых выше эллипсов, и, следовательно, обе эти кривые имеют конечные размеры. Все сказанное здесь относится к общему случаю, когда оси эллипсоида инерции, соответствующего неподвижной точке, различны. Когда же этот эллипсоид есть эллипсоид вращения, т. е. когда А = В или В = С конус (102) обращается в круговой, причем осью его всегда служит ось эллипсоида вращения. Поэтому в этом частном случае полодии будут окружностями, между которыми одна состоит из двух точек — концов оси вращения эллипсоида инерции.
Наконец, когда А = В = С, т. е. когда эллипсоид есть сфера, конус (102) обращается в прямую линию, и, следовательно, полодия состоит из двух диаметрально противоположных точек этой сферы.
При движении твердого тела точки пересечения мгновенной оси с эллипсоидом инерции движутся по двум ветвям одной из полодий. Можно показать, что каждая из этих точек движется по соответствующей кривой постоянно в одном и том же направлении и что при том направление это определяется вполне двумя обстоятельствами: 1) тем, находится ли рассматриваемая точка на положительном направлении мгновенной оси (т. е. на том, по которому должен поместиться наблюдатель для того, чтобы вращение тела ему казалось совершающимся слева направо) или на отрицательном и 2) тем, огибает ли полодия, по которой она движется, концы малой оси или большой.
Для этого рассмотрим движение по полодии той точки, которая находится на положительном направлении мгновенной оси. Координаты этой точки будут выражаться следующим образом:
В = <М, Т] = £ = <0^,где / — постоянная положительная величина. Из этих уравнений мы находим
Л_= ^ и JL = J^
Поэтому, пользуясь уравнениями (94), найдем
С —В о . С — В
d / т] \
"аГУТ) ~
d / 4 ) dTU /
В ЮН~ шч
С—А 9 , В — А 2
ВС* С "ч
Ч2•
<0,
Отсюда видно, что производная -^- (-2-j всегда имеет одинаковый знак с со^, а производная -^-(д^— с о):. Но -у- есть тангенс угла, составляемого с осью £ проекцией на плоскость £q мгновенной оси, считая этот угол от оси £ в направлении положительного вращения вокруг оси £ и этот угол оказывается возрастающим в течение времени, когда со* > 0 и убывающим, когда со^ < 0. Поэтому, если ветвь полодии, которую чертит рассматриваемая точка, огибает один из концов малой оси эллипсоида инерции, то для наблюдателя, смотрящего с внешней стороны этого эллипсоида, будет казаться, что эта точка описывает полодию слева направо. Если же эта полодия огибает один из концов большой оси эллипсоида инерции, то на основании того, что -~ есть возрастающая или убывающая функция времени, в зависимости от того, положительна или отрицательна ®^, мы заключим подобно предыдущему, что, если смотреть на движущуюся по ней точку с внешней стороны эллипсоида инерции, то будет казаться, что эта точка описывает полодию справа налево. При том, исключая предельный случай й2 = 2/iB, легко убедиться, что, когда полодия огибает концы малой оси, со^ не может обратиться в нуль, а когда она огибает концы большой оси, о^ не может обратиться в нуль. Поэтому рассматриваемая точка (которая взята на мгновенной оси с той стороны от неподвижной точки, в которую направлена угловая скорость) всегда будет двигаться по одной и той же ветви полодий и при том всегда в одном и том же направлении: вокруг конца малой оси в направлении движения часовой стрелки, а вокруг конца большой оси в противоположном направлении, причем, за исключением случая № = 2AS скорость ее нигде не будет обращаться в нуль.
Уравнениям (94) можно удовлетворить, предполагая две из величин о^, €0л, (о^ равными нулю, а третью — произвольной постоянной. Эти частные решения дают такие движения тела, в которых мгновенная ось сохраняет неизменное направление в теле, а угловая скорость — постоянную величину. Но вообще, если мгновенная ось сохраняет неизменное направление в теле, то она будет оставаться неподвижной и в пространстве. В справедливости этого заключения легко убедиться на основании формул (21) и (23) (с. 182, 183), из которых видно, что при
d /М _d/^\ =d/М_ п
dt \Q / —dt\ Q)dt\Q/и
имеем
d /tov \d[ со»\d(со2\м
dt \Q /dt\ Q/dt\Q/
Таким образом, рассматриваемые частные решения дают вращательные движения тела вокруг неподвижных осей с постоянными угловыми скоростями. Твердое тело может, следовательно, вращаться равномерно вокруг каждой из осей инерции, соответствующих неподвижной точке, причем эта ось будет оставаться неподвижной. Для этого, как показывают уравнения (95) и (96), необходимо, чтобы постоянные к и h имели такие величины, для которых одно из выражений кг — 2ЛС, &2 — 2ЛВ, /г — 2/гЛ равнялось бы нулю. Легко также убедиться в том, что твердое тело, имеющее одну неподвижную точку, не может вращаться вокруг оси неизменного направления, если эта ось не совпадает с одной из осей инерции его, соответствующих этой точке. В самом деле, такое движение тела возможно только при условии, что одно из трех выражений fe2 — 2ЛС, &2 — 2/iS, &2 — 2hА равно нулю, ибо в противном случае точка пересечения мгновенной оси с эллипсоидом
инерции необходимо перемещалась бы по последнему, так что направление мгновенной оси в теле, а следовательно, и в пространстве не было бы неизменным. Но если &2 = 2hC, то из уравнений (95) и (96) необходимо будет следовать <о^ = (ол = 0 и (os = const, т. е. тело будет вращаться вокруг оси инерции £. Точно также если &2= 2М, то те же уравнения приведут к заключению, что тело будет вращаться вокруг оси инерции g. Наконец, когда А2 = 2йВ точка пересечения мгновенной оси с эллипсоидом инерции будет перемещаться по последнему, описывая дугу полодии, которая будет состоять в этом случае из двух эллипсов, пересекающихся в концах средней оси эллипсоида инерции, до тех пор, пока не совпадет с одним из концов этой оси, т. е. мгновенная ось будет изменять свое направление до тех пор, пока не совпадет с направлением оси инерции т].
Таким образом, оси инерции, соответствующие неподвижной точке, это единственные направления, которым могут служить постоянными осями вращения тела. Но обладая этим общим свойством, эти оси различаются между собой по отношению к устойчивости вращения.
Когда тело вращается вокруг одной из осей инерции, к2 имеет, как мы видели, одну из трех величин: 2/гС, 2Л6 или 2М, а полодия состоит из двух точек — концов той оси инерции, которая служит осью вращения. Если затем телу сообщен какой-нибудь бесконечно малый толчок, то в результате этого постоянные к и h получат некоторые бесконечно малые приращения. Поэтому во время последующего движения тела то из трех выражений к2 — 2ИС, к2 — 2НВ, k2 — 2hA будет иметь бесконечно малую величину, которое раньше было равно нулю. Поэтому, если тело вращалось вокруг оси наименьшего или наибольшего момента инерции, то во время последующего движения будет бесконечно малой одна из двух величин к2 — 2НС или к2 — 2М и соответствующая полодия будет, следовательно, состоять из двух замкнутых кривых, бесконечно близких во всех своих точках к концам той оси инерции, вокруг которой вращалось тело раньше. Вследствие этого мгновенная ось во время последующего движения будет составлять бесконечно малый угол с этой осью инерции, т. е. со своим первоначальным направлением в теле. Движение же тела будет состоять в катании эллипсоида инерции по плоскости, расстояние которой от его центра будет бесконечно мало отличаться от величины малой или большой полуоси, вследствие чего направление этой полуоси будет составлять бесконечно малый угол с направлением перпендикуляра, опущенного из центра на эту плоскость. Поэтому мгновенная ось во время движения будет составлять бесконечно малый угол с неизменным направлением этого перпендикуляра, которое, служа новым направлением главного момента количеств движения, будет при том бесконечно мало отличаться от прежнего направления этого момента, совпадающего с осью вращения. Таким образом, если тело вращалось вокруг оси наименьшего или наибольшего момента инерции, то движение, которое оно получит вследствие бесконечно малого толчка, будет всегда бесконечно мало отличаться от прежнего вращательного движения вокруг оси неизменного направления. Поэтому вращение вокруг этих двух осей инерции отличается характером устойчивости.
Что касается вращения вокруг оси среднега момента инерции, то оно уже не обладает таким характером. В самом деле при этом к2 = 2hB, а потому после бесконечно малого толчка к2 — 2hB будет вообще бесконечно малой положительной или отрицательной величиной. Соответственно этому полодия будет состоять из двух замкнутых кривых, огибающих концы наибольшей или наименьшей оси эллипсоида инерции, а точка пересечения мгновенной оси с этим эллипсом будет двигаться по этой полодии постоянно в одном и том же направлении. Вследствие этого мгновенная ось будет постоянно изме-
нять свое направление в теле, вообще удаляясь все более и более от своего первоначального направления — оси инерции т]. Поэтому движение тела в течение времени совершенно изменит свой характер.
Вследствие только что рассмотренных свойств вращательного движения вокруг трех осей инерции, из них оси наибольшего и наименьшего момента инерции называются осями устойчивого вращения, а ось среднего момента инерции — осью неустойчивого вращения.
Когда эллипсоид инерции есть эллипсоид вращения, то осью устойчивого вращения будет геометрическая ось вращения его; все же другие постоянные оси вращения, которых в этом случае будет бесчисленное множество, будут осями неустойчивого вращения.
Обращаясь теперь к окончательному интегрированию уравнений (94), рассмотрим предварительно некоторые простейшие частные случаи.
Когда А = В = С, т. е. когда эллипсоид инерции, соответствующий неподвижной точке, есть сфера, эти уравнения дают og = const, con = = const и og = const. Поэтому в этом случае твердое тело всегда вращается равномерно вокруг некоторой оси неизменного направления.
Когда А = В, т. е. когда эллипсоид инерции есть эллипсоид вращения, уравнения (94) дают
cog = п, А = (Л — С) псо^, А -~- = — (Л — С) ш^^ где п — произвольная постоянная. Отсюда находим
(0g = Е cos —=-^- п (/ + т), сот, = Е sin С д -п (/ + т), где Е и т — две новые произвольные постоянные, причем Е с постоянными п, ft2 и h связано следующими уравнениями:
ЛЕ2 + Сп2 = 2ft, Л2Е2 + C2n2 = ft2.
Таким образом, в рассматриваемом случае движение тела приводится к равномерному вращению с угловой скоростью р^Е2 + п2 вокруг мгновен- £д
ной оси, описывающей в теле равномерно с угловой скоростью-д- п круговой конус, ось которого совпадает с геометрической осью вращения эллипсоида инерции. Если через эту последнюю ось и мгновенную ось провести плоскость, то в этой плоскости будет заключаться направление главного момента количеств движения, ибо оно должно быть перпендикулярно к плоскости, касающейся эллипсоида инерции в точке пересечения его мгновенной осью. При том вследствие постоянства угловой скорости угол, составляемый мгновенной осью с этим направлением, будет оставаться постоянным. Поэтому мгновенная ось будет также описывать круговой конус и в пространстве. Осью этого конуса будет служить неизменное направление главного момента количества движения.
Переходим к рассмотрению общего случая, когда О В > А. Полагая (Ot 4“ со^ -р o)g = Q ,
решим это уравнение в связи с уравнениями (95) и (96) относительно og, со^, ®?. Мы найдем
где ш| = a2 (Q2 — Л^), ^ = p2(X2-Q2), ®^ = V2(Q2-M>(105}
2ВСq2СА2АВ
“ = (В-Д) (С-Д) ’ Р = (С-В)(В-Д) ’ V = (С-Д)(С-В) -
„ (Юо) . _ 2h(B + Q —^ Л _ 2А(С + Л)—^ . _ 2к(А + В) — кг v ' М —вс » *2 —сл , Л3 —дв.
Таким образом, а2, р2 и у2 — положительные величины, а из найденного выше неравенства 2/iC > &2 в связи с неравенством А + В > С (которое следует из самого определения величин Л, В и С) следует, что и А*, Х2, Х3 — положительные величины. Далее, замечая, что
(B — A)(2hC—^)1^ (С —В)(£2 —2Ы)
Л2 — - две , Ч — - две ’
л л (С — А)^ — 2hB)- две ’
мы приходим к заключению, что Х2 — наибольшая из трех величин Хь Х2, Х3 и что %х > Х3, если fe2 > 2hB и А^ < Х3, если &2 с 2hB. Поэтому формулы (105) показывают, что Q2 во все время движения тела остается между пределами А1 и Х2, когда &2 > 2hB и между Х3 и Х2, когда &2 <. 2hB.
(0g(0-(0^
Умножая уравнения (94) соответственно наи затем
складывая результаты почленно, найдем
/ В —С , С —А , А —В \
dt “ \ А + В + С / ^А-
Поэтому, с учетом формул (105) и (106) имеем
т = ± VW^W^m^^(107)
откуда t выражается эллиптическим интегралом в функции Q2.
Чтобы выразить все искомые величины в функциях времени, рассмотрим все случаи, которые могут представиться.
^ <2hB.
При этом
X2>Q2>X3.
Поэтому можно положить
Q2 = Х2 cos2 Ф + Х3 sin2 ср, откуда
-^— = — 2 (Х2 — Х3) sin ф cos ф -^-, Q2 — Хх = Х2 — Xi — (Х2 — Х3) sin2 ф,
Х2 — Q2 = (Х2 — Х3) sin2 ф, Q2 — Х3 = (Х2 — Х3) cos2 ф. (Ю8)
Вследствие этого уравнение (107) принимает вид
-^L = ± 8^1 —Х25Ш2ф,(109)
где в = КХ2 — Хь х2 = -^^ *
Так как Х3 > Хх, то х2 будет положительной правильной дробью, а потому в силу последнего уравнения -^- всегда будет сохранять один и тот же знак — знак своего начального значения ^-^ ■). Поэтому, если ф0 (начальное значение ф) мы подчиним условию, чтобы sin 2ф0 (знак которого произволен) имел знак противоположный (“^~)0, то по уравнению (108) найдем (“^")0 > 0 и, следовательно, должны будем положить
= е У 1 — х2 sin2 ф.
Если
ф
f = и,
J У1 — х2 sin2 ф
то ф есть функция от и. называемая амплитудой при модуле х. Это изображают равенством
Ф = ат (и, х)
или, когда нет надобности обращать внимание на модуль — проще
Ф = ат и.
Мы укажем здесь на некоторые свойства этой функции. Так как ф—ф
С б/ф С 6?ф J У"1 — х2 sin2 ф о ^1 — х2 s*n2 ’
то ат и = — ат (—и^ т. е. амплитуда есть нечетная функция. Так как
= У 1 — х2 sin2 ф, du т
то= ]/ 1 — х2 sin2 am и = Лат и,
du г’
где Л ат и — принятое в теории эллиптических функций обозначение радикала
V1 — х2 sin2 am и.
Так как этот радикал для вещественного ат и. а следовательно, и и предполагается положительным, то, следовательно, ат и есть возрастающая функция и. Далее, легко убедиться, что для всякого целого числа п
ф+плФ л
JУ1 — х2 sin2 ФкJ
огтоо
и что л л2
С^ф= 2 С—
J У1 — х2 sin2 ф J У1 — х2 sin2 ф
Поэтому если положим л 2 ( ,= к,
J V1 — х2 sin2 q> то будем иметь
ат (ы + 2пК) = ат и + пл.(НО)
Из этой формулы между прочим видно, что 2К есть период функции Д ат и, а 4К — период sin ат и и cos ат и. Возвращаясь теперь к уравнению (109), интегрированием его находим
Ф = am е (/ + т),
где т — произвольная постоянная. Поэтому по формулам (105) найдем (of = а2е2А2 ат е (< + т),
0)2 = р2х2е2 sin2 am е (/ + т), ®£ = у2х2е2 cos2 am е (/ + т), откуда
о); = ± asA am е (/ + т),
(111)
®n — ± Рхе sin am 8 (/ + т), го^ = yxs cos am е (t + т).''
Здесь в последнем уравнении по извлечении корня взят знак плюс вследствие произвольности постоянной т. В самом деле, если бы мы положили
®£ = — Тхе cos am 8 (/ + т).
то стоило бы только ввести вместото стоило бы только ввести вместот другую постоянную ть полагаят другую постоянную ть полагая
то стоило бы только ввести вместо
то стоило бы только ввести вместо
т другую постоянную ть полагая
т другую постоянную ть полагая
т = ^ + -^ К,чтобы привести это выражение со^ к предыдущему виду: по формуле (ПО)am е (^ + т) = ат е (^ + тх) + л,а потому
со- = ухе cos am 8 (Z + тг).
должно быть возрастающейдолжно быть возрастающейДалее, припоминая, что (с. 508) отношение
должно быть возрастающей
должно быть возрастающей
или убывающей функцией времени, в зависимости от того, положительно или отрицательно со^ и учитывая, что ат м, а, следовательно, и tg am и есть возрастающая функция и» мы приходим к заключению, что в формулах (111) должны быть одновременно или верхние, или нижние знаки. К этим формулам
необходимо присоединить выражения
2 _ кВ-А) к^С-к^ 2 кС-В) kk*-2hA)— АВС ’кВ — АЦ2НС — к2) е
№>2hB.
В этом случае X2>Q2>Xle
Поэтому можно положить
Q2 = Х2 cos2 ф + Xj sin2 ф.
При этом, предполагая по-прежнему, что знак зт2ф0 противоположен знаку j по уравнению (107) найдем
= 8 И I — х2 sin2 ф ,atт
где 8 = К^2 — ^з. х2 = 12 —I1 •
Таким образом,
Ф = ате(/ + т), (О
а потому, учитывая, что —~ должно быть возрастающей или убывающей
функцией времени, в зависимости от того положительно или отрицательно со*, по формулам (105), найдем
ок = axe cos am s (/ + т), сол = ± Рхе sin am 8 (Z + т),
й)£ = + ysA am s (f + т),^
гдегде82 =82 =кс—В) кк^ — 2НА)АВСкс—В) кк^ — 2НА)АВС2 кВ —A) k^hC — ^2)Х ~ кС— B)kk2 — 2hA)2 кВ —A) k^hC — ^2)Х ~ кС— B)kk2 — 2hA)
где
где
82 =
82 =
кс—В) кк^ — 2НА)АВС
кс—В) кк^ — 2НА)АВС
2 кВ —A) k^hC — ^2)
Х ~ кС— B)kk2 — 2hA)
2 кВ —A) k^hC — ^2)
Х ~ кС— B)kk2 — 2hA)
и где нужно брать одновременно или верхние или нижние знаки. Как формулы (111), так и формулы (112) показывают, что о);, ®п и ®£ изменяются в течение времени периодически. Периодом изменения их служит величина
Л
2
у 4 4 С ^ф
88 J ^ 1 — х2 sin2 ф
№ = 2НВ.
К этому случаю, когда
^ а 2/г^2/1 (Л + С — В)
— в >,
можно перейти от предыдущих формул, полагая в них х = 1. Но проще будет рассмотреть его самостоятельно. Полагая
13 2
— Я
и замечая, что по формулам (106)
11 а -х 2^ Ч2
Л2 — Л2 Л3 — 02#pF »
из уравнений (105) находим
(ИЗ) откуда
.. 22,. В Я2 —
Ю^£ = ±-pi- (<72 — (%) = ± С_А р—-.
Вследствие этого второе из уравнений (94) принимает вид
dt — р
и дает
Г 2^ "I
ехр ± —- (t + т) — 1
^п ~ 7^,(114)
ехр ± —— У + т) 4-1L Р J
где т — произвольная постоянная. Внося эту величину со^ в формулы (113), найдем (о$ и со^. Формула (114) показывает, что с беспредельным возрастанием /, (оп приближается к пределу ±д, а формулы (113),— что ©^ и со^ приближаются при этом к нулю. Таким образом, в рассматриваемом случае мгновенная ось асимптотически приближается к направлению оси среднего момента инерции. Период Т в этом случае бесконечно велик. Имея выражения в функциях времени для со^, сол и со^ найдем углы гр, У*, ф интегрированием уравнений (84). Чтобы упростить это интегрирование, примем за ось г направление главного момента количеств движения, которое, как мы знаем во время движения остается неизменным. При этом мы будем иметь
Лсо^ = к (г, £), Вю^ = к ^z. т]), Ссо^ = к (z, £).
Поэтому по формулам (3) (с. 47) найдем
Л(о^ = —к sin У cos ф, В<ол = к sin У sin ф, C(o^ = &cosy (Н5) и, следовательно, углы У и ф определятся без новых интегрирований. Для определения же угла гр поступим следующим образом: исключая из двух
первых уравнений (84) -^, найдем . л dip
sin V = (0Л Sin ф — Oh COS ф.
Умножая это уравнение на shift и пользуясь уравнениями (115), получим
/С2^ \ dip ^w| + ^ю?|
откуда
dip _ А Л(0^ + Вй)2 ^ 2/i —Cg)^"dF” А^ + 520)2 “ к k^ — C^ *
Отсюда, если воспользоваться предыдущими формулами, найдем ф в функции от ат в (/ + т) при помощи эллиптического интеграла третьего рода.
Движение свободного твердого тела в пустоте под действием силы тяжести. Движение свободного твердого тела определяется совокупностью уравнений (74), (83) и (84). При этом в уравнениях (83) Л, В и С — главные центральные моменты инерции, a L^ L^ L^ — проекции на направления центральных осей инерции главного момента вокруг центра инерции всех действующих сил.
Рассмотрим случай, когда твердое тело находится под действием только силы тяжести. Принимая направление действия этой силы за ось г мы будем иметь
SX = 2У = О, 2Z = Mg, кроме того
L^ = L^ = L^ = О, потому что главный момент вокруг центра инерции для силы тяжести равен, как известно, нулю.
Вследствие этого уравнения (74) примут вид
Хс = о, у'с = 0, Zc = g а уравнения (83) приведутся к виду уравнений (94).
Отсюда мы заключаем, что центр инерции будет двигаться, как тяжелая материальная точка, описывая в вертикальной плоскости параболу.
В то же время твердое тело будет вращаться вокруг него по тому же закону, по какому оно вращалось бы вокруг неподвижной точки, будучи изолировано от действия всяких сил, т. е. относительное по отношению к центру инерции движение твердого тела будет обладать характером вращения по инерции. Это движение будет состоять в катании без скольжения центрального эллипсоида инерции по плоскости, находящейся на постоянном расстоянии от центра инерции и перпендикулярной к неизменному направлению главного момента вокруг центра инерции количеств движения.
Формулы, относящиеся к этому относительному движению, будут те же, что и в предыдущем случае, разница будет состоять только в значении величин Л, В и С: в рассматриваемом случае эти величины будут представлять главные центральные моменты инерции, между тем как в предыдущем случае они изображали главные моменты инерции, соответствующие неподвижной точке.
О ДЕЙСТВИИ МГНОВЕННЫХ СИЛ
НА СИСТЕМЫ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК
В динамике материальной точки уже было дано понятие о мгновенных силах и об их действии на материальную точку. Там же было дано понятие об импульсах, рассмотрением которых в теории мгновенных сил впол-
не заменяется рассмотрение самих сил. Поэтому, переходя теперь к рассмотрению действия мгновенных сил на системы точек, мы будем эти понятия предполагать известными.
Результат действия мгновенной силы на материальную точку состоит, как известно, в мгновенном изменении величины и направления ее скорости без изменения ее положения в пространстве. Таков же и результат действия мгновенных сил на какую-либо систему, подчиненную каким угодно связям. Но при определении его необходимо иметь в виду, что приложение мгновенных сил к системе точек вообще должно вызывать развитие мгновенных сил реакций связей, так что изменение скорости каждой точки системы определяется не только импульсом приложенной к ней мгновенной силы, а также и импульсами мгновенно развивающихся реакций связей, которым она подчинена. Эти последние импульсы a priori не известны и определяются вместе с изменениями скоростей точек системы.
Случай мгновенных сил рассматривается в теоретической механике, как предельный, к которому переходят, предполагая, что промежуток времени действия сил есть величина бесконечно малая, между тем как силы бесконечно велики. Притом порядки этих величин предполагаются такими, чтобы скорости точек системы получили конечные изменения. Вследствие этого последнего обстоятельства и оказывается, что в результате действия мгновенных сил на какую-либо систему точки ее не получат перемещений; ибо, если в течение бесконечно малого промежутка времени fl скорость точки всегда остается конечной, то перемещение, получаемое точкой за этот промежуток времени, будет бесконечно малой величиной одного (или даже более высокого) порядка с fl*.
Из сказанного следует, что для составления уравнений, определяющих результат действия мгновенных сил на какую-либо систему точек, надо взять дифференциальные уравнения движения этой системы и, применив их к промежутку времени действия сил, составить из них надлежащие предельные уравнения. Мы составим здесь такие уравнения, ограничиваясь случаем, когда система точек подчинена удерживающим связям.
Пусть рассматриваемая система п точек подчинена к постоянным или переменным связям
А = о, /2 = о, .... ffe = o.
Пусть Х^ Pv, ZC— проекции на координатные оси силы, действующей на точку mv (xv, У^ 2V) системы, и %*, %2, ..., Х£ — лагранжевы множители. Тогда дифференциальные уравнения движения в первой лагранжевой форме будут
„ ^ ^v у» . л * dft , .. 5/ 2.। л * dfh
Пусть t — момент начала, a t* — момент окончания действия сил. Умножая наши уравнения на dt и интегрируя в пределах от t до <*, получаем
t*t*t*
Шх (Ух — Ух) = С Кxdt + С X* dt 4- • • • 4~ X* / dt,
t*t*t*
m,x (Zx — 2v) = C Z^dt + C Xi ■ dt + • • • + f dt
(v= 1, 2,, n),
,,,,*,*,*
где xv, ух» zN и xv , yN , zv — проекции скорости точки nix в моменты / и t*. Положим для сокращения
Хх — Хх = ух — Ух = Ux» ?х — zv = wv (v = 1, 2, ..., л)
и перейдем к пределу для t* ->- t. Полагая t*t*t*t*
lim J X*sdt = Xv, lim J Y’^dt - YNl lim J Z^t = Zv, lim J Mdi = Xb tttt
причем / = 1, 2, ..., к, и замечая, что
lim f X/ 4^-d/ = X,4^-и их1 дх
t
и т. д., вследствие того, что координаты точек во время действия мгновенных сил не изменяются, получим
mvHv = Xv + Хг + Х2 + • • • +,
№ = Уу + Х1-^- + Х2-^-+(1)
rrixWx = Zx 4- Xi -~—p X2 -^—P * * • + ^ ”d~~ (v = 1, 2, ... , n).
Величины Хх» Yx» ZN, входящие в эти уравнения, являются проекциями на координатные оси импульса мгновенной силы, приложенной к точке пц, a uN. vv, уух — проекции геометрического приращения скорости этой точки за время действия мгновенных сил. Мы будем эти геометрические приращения скоростей называть скоростями, сообщаемыми точкам системы импульсами {Xv, Yx» Zv). Это и есть тс величины, разыскание которых (по данный импульсам) составляет главную задачу в теории мгновенных сил. Что касается значения множителей Х1Э Х2,..., Хь входящих в уравнения (1), то, учитывая способ получения их из лагранжевых множителей Xi, Х2,..., Х^, придем к заключению, что
^4^-. Ki4r- (/= 1, 2, .v= 1, 2n)
есть проекции на координатные оси импульса мгновенно развивающейся реакции связи
А = о на точку тv.
К уравнениям (1) должно присоединить еще уравнения, вытекающие из того, что каждая связь /; = 0 поставляет для скоростей (xv, z/v, Zv) и (xv , 518
Уч , 2V ) условия
У / 9^ V -к dh ' । 9h /\ , 9h £ l^7v + ^7yv ++’
Из этих уравнений получаем к следующих п
Sti^+^ + lH-0 (/ = 1, 2, .... к\ (2)
Когда даны импульсы {Xv, Kv, Zv} и известно положение системы в момент / приложения импульсов, то Зп уравнений (1) в связи с к уравнениями (2) и определят Зп + к входящих в них неизвестных иъ vn wu и^ и2, ш2,...
Uni Х)П1 Wni Х^, Х2, Хд.
Таким образом, определение движения сообщаемого системе данными импульсами, приводится к решению некоторой системы уравнений первой степени, в которой число уравнений равно числу неизвестных.
Легко показать, что эта система уравнений всегда (т. е. для всяких связей) решима. Подставим выражения и^э vv, Шу, следующие из уравнений (1) в уравнение (2). Полагая
у 1 / а/гdfs, dhdfs, dhд ,
^ mv ( dx4dxv dyvdyv dzvdz^ ) - т$
^ dxv v 1 dy^ 4 ' dz4 VJ 1 x ’’ ’’
получим после этой подстановки к следующих уравнений:
^11^1 4“ ^12^2 + • • • + А^Дк = Ви
^2i^i + А22Х2 + • • • + АгДк = В2»/о\
^Д1 + Л^г + • • • + АкДк — Вк.
Но эти уравнения отличаются только вторыми частями равенств от тех, которые служат для определения лагранжевых множителей в дифференциальных уравнениях движения, а по поводу этого определения было показано, что уравнения связей всегда можно предположить приведенными к такому виду, для которого определитель уравнений (3) нулем быть не может. Поэтому к уравнений (3) всегда будут решимы относительно к величин X, а найдя эти величины, по уравнениям (1) найдем и все иъ иъ w^ и2, и2, w2) ..., ип, vn, wn.
Когда величины wv, Vv, Wy будут найдены, то по данным {xv, yv, 2V) скоростям точек в момент начала действия мгновенных сил найдутся и ско- ,*,*,*
рости {xv , уv , 2V } тотчас по окончании их действия.
Следует обратить внимание на то обстоятельство, что в уравнения, определяющие величины mv, Vv, w^, не входят xv, yv, 2V, а потому движение, сообщаемое системе данными импульсами, не зависит от того, в каком состоянии движения система находилась в момент приложения их.
Если кроме мгновенных сил на систему действовали также конечные силы, то они нисколько не изменят результата действия первых, ибо импульсы их за время действия мгновенных сил равны нулю.
Найдем приращение, которое получает живая сила системы вследствие действия данных импульсов. Пусть То и Т — живые силы системы до начала и тотчас по окончании действия мгновенных сил, так что
Д,2,2,2
Tq = ^v (xv 4* У v 4* ^v )
V—1 и
д2д2
Г = 4-2+ ^v +zv ).
V=1
Умножим уравнения (1) соответственно на
-^-(xv + Xv), ~2~(yv + yv), ~2~ (2v + 2v)>
результаты сложим почленно и затем просуммируем по всем значениям v от 1 до п. Тогда, принимая в расчет те уравнения, которые реализуются для скоростей {xv, у^ 2v} и {xv , yv , 2V } связями, найдем
т — Tq =5 [^v (-Vv + Х^ + Yv {yv + у^ + Zv (2v + ZV)1 —
v=l
Л dfl A 5/2A dfk,,X
Таково искомое приращение. Когда система точек подчинена только постоянным связям, это выражение значительно упрощается: в нем пропадают члены, зависящие от множителей X.
Можно найти еще другое выражение для того же приращения. Для этого обратимся к дифференциальным уравнениям движения, из которых были получены уравнения (1). Применяя эти дифференциальные уравнения к какому-нибудь моменту, промежуточному между t и /*, умножаем их соответственно на xv, yv, 2V, складываем и суммируем по всем значениям v от 1 до л. Тогда вследствие условий, которым должны удовлетворять скорости Xv, yv, zv, найдем
2 "^ (*v + уV + Zv ) = 2 (^vXv + Y^y^ + ZVZV) —
v=lv=l
v 5/i a* a/2^ dfk
Умножая это уравнение на dt, интегрируя его в пределах от t до t* и затем переходя к пределу для /, найдем
Т — То = £ lira №ч + Y^ + Z^) dt — v=l Г
л5/1 л 5/ 2 a dfkdt dt * * * dt е
Сравнивая два выражения, найденных для Т — То, находим
У lim j (-Xv^v 4“ YуУу 4™ ZvZv) dt =
= —n~ 2j [Xv (xv 4“ x^ 4- Y^ ^y.y 4“ yv) 4* ^v (^v 4~ Zv)]« 2 V=1
Но первая часть этого равенства представляет, очевидно, работу мгновенных сил за время их действия. Таким образом, оказывается, что работа мгновенных сил может быть выражена в виде линейной функции проекций импульсов, в которой коэффициенты суть полусуммы соответственных проекций скоростей до начала и тотчас по окончании действия мгновенных сил.
Мы теперь покажем, что система уравнений (1) может быть заменена одним уравнением, аналогичным вариационному уравнению динамики, из которого получаются все дифференциальные уравнения движения. Для этого введем в рассмотрение возможные вариации координат точек системы, т. е* величины 6хь 6t/n 6zn бх2, ..., удовлетворяющие к уравнениям
2(-<7^ + ^7б». + -|7б^-0(/=1,26).(5)
Умножая уравнения (1) соответственно на 6xv, 6yv, 6zv, складывая результаты и суммируя по всем значениям v от 1 до и, вследствие уравнений (5) получим
0=2 [(/Му^у — Х^ Ьх^ + (/ПуЦу — Kv) 6z/v + ^m^w^ — Zv) 6zv].(6)
Таким образом, уравнение (6) есть следствие уравнений (1).
Можно показать, что и обратно — уравнения (1) есть следствия уравнения (6). Для этого надо только воспользоваться рядом рассуждений, совершенно подобных тем, при помощи которых выводятся из вариационного уравнения динамики дифференциальные уравнения движения в первой лагранжевой форме. Поэтому одно уравнение (6) мы можем рассматривать, как равносильное Зи уравнениям (1).
Следует заметить, что уравнения (5), которым должны удовлетворять вариации 6xv, 6yv, 6zv — те же самые, что и уравнения (2), которым должны удовлетворять скорости {wv, Цу, ^у}. Поэтому в числе значений, возможных для 6xv, 6yv, 6zv, существуют значения, пропорциональные величинам и^ Цу, w^. К потому уравнение (6) будет справедливо и после замены в нем величин 6xv, 6yv, 6zv величинами «у, Цу, wv. Делая же эту замену, получаем из него следующее выражение для живой силы Г движения, сообщаемого системе данными импульсами
Г* == ~й~ 2 ^у (^v 4~ Цу 4~ ^v) =2 kX^ 4~ YvVy 4“ Zv^v)- (7)
zz V=1
Мы теперь воспользуемся уравнениями (6) и (7) для вывода некоторых общих свойств движения, сообщаемого системе данными импульсами.
ТеоремаБертрана. Если при сравнении движения, сообщаемого системе данными импульсами, с движением, которое сообщили бы ей те же импульсы после прибавления к ее связям некоторых новых связей, эти движения оказываются различными, то живая сила первого движения всегда больше живой силы второго.
Пусть {wv, yv, z^ и Г — скорости и живая сила движения, сообщаемого системе данными импульсами {Xv, Уу, Z^ и пусть {mv, uv, Шу} и Г — скорости и живая сила того движения, которое сообщили бы системе те же импульсы, если бы к связям системы
/1 = 0, /2 = 0,/6 = 0
были прибавлены еще некоторые новые связи. Мы будем иметь
Г =2 mv (^у 4" Цу 4" ^v), г =2 ^у (^у 4" ^v 4“ ^v)>
=1Z У=1
и рассматриваемая теорема состоит в том, что, если все величины wv, Vv, ^v одновременно не равны соответственным величинам mv> vv, wv, то
Г>Г.
Для доказательства мы замечаем, что величины wv, Vv, ^v непременно удовлетворяют уравнениям (2), потому что для второго из рассматриваемых движений в числе связей системы находятся
/1 = 0, /2 = 0,/6 = 0.
Вследствие этого система величин wv, vv, есть одна из возможных систем значений для 6xv, 6z/v, 8zv, а потому уравнение (6) должно иметь место и после замены в нем последних первыми. Поэтому мы получаем
п~~~п ~~
, /Иу (z/yZ/y ~F Py^v "F ^y^y) == ^ <X^ -F YyVy -F Z^.
v=lV=1
Но, с другой стороны, применяя уравнение (7) ко второму из рассматриваемых движений, находим
Г = — 5 (Xv«v + Y^ + Zxw^
Z V—1 и, следовательно,
2 ГПл? (uvuv + UVUV + ^V^v) = 2Г.
Вследствие же этого последнего равенства получается следующее легко проверяемое равенство
Г — Г = — У, т^ [(mv — u^ + (vv — Vv)2 + (t^v — ^v)2], 2 V=1
которое и др называет теорему, ибо вторая часть его есть величина вообще положительная, которая может быть нулем не иначе, как при условиях
ZZy *— ^v, ^v — ^v, W^ == W^
для всякого v. Итак живая сила движения, сообщаемого системе данными импульсами, превосходит живую силу движения, которое сообщили бы ей те же импульсы после введения еще новых связей, на величину живой силы того движения, в котором скорости являются геометрическими разностями между соответственными скоростями обоих движений.
Таким образом, по теореме Бертрана живая сила сообщаемого системе данными импульсами движения при известных условиях есть максимум или минимум. Она есть максимум, если ее сравнивать с живыми силами движений, сообщаемых теми же импульсами после прибавления к имеющимся связям новых, и минимум при сравнении с живыми силами сообщаемых системе этими импульсами движений после уничтожения одной или нескольких связей ее.
Таким образом наибольшая величина живой силы получится при уничтожении всех связей. В этом случае система точек будет свободной и, следовательно, движение, сообщаемое ей импульсами {Xv, Y^ Zv}, будет определяться уравнениями
tnvuv J^y, triyVy — Yy, m^w^ —— Zy9
где v = 1, 2, ..., п. Поэтому величина
2 1^7 ^ + у v +
v=l V
представляет высший предел для живой силы движения, сообщаемого данными импульсами
(Xv, Kv, Zv} (v=l, 2, n)
системе п точек тх, т^ ..., тп.
Теорема Томсона. Если {wv, Vv, &М есть система скоростей в движении, сообщаемом системе точек данными импульсами {Av, Kv, Zv}, то живая сила Г этого движения всегда меньше живой силы Г всякого возможного для системы приращения движения , в котором скорости {r/v, vv, t^v} удовлетворяют условию
У (XV^v + ¥vVv 4" Zv^v) == 5j (Av^v "Ь ^V^V 4“ ZV^V).(8)
V=1V=1
Для доказательства мы замечаем, что скорости {wv, Vv, ^v}, как скорости приращения движения возможного для системы, удовлетворяют уравнениям (2). Поэтому между возможными значениями для 6xv, 6z/v, 62v существуют значения, пропорциональные величинам и^, vVt wVt а, следовательно, в уравнении (6) первые можно заменить последними, в результате получим
, т^ ^и^ + UVUV + ^v^v) = S (Av«v + KvUv + Zv^v). v=lv=l
Если же принять в расчет равенства (8) и (7), то отсюда найдем
п~~-
5 гп^ (и^ + vvuv + tyvtyv) = 2Г.
V=1
На основании же этого последнего уравнения находим
Г — Г =2 ^v [(^v — U^ 4“ (^v — Vv)2 4“ (^v — ^v)2],
2 V=1
откуда и следует справедливость теоремы, ибо вторая часть этого равенства положительна и может обратиться в нуль не иначе, как при условиях
U^ == ^v, Vv == У^1 W-v = Ю-у
ДЛЯ ВСЯКОГО v = 1, 2, ..., п.
Сравнивая между собой теоремы Бертрана и Томсона, мы приходим к заключению, что доказательства их основываются (кроме уравнения (6)) на двух обстоятельствах: 1) скорости ^щ, vv, ^v} должны удовлетворять уравнениям (2), т. е. должны быть скоростями возможного для системы приращения движения; 2) в теореме Бертрана эти скорости должны удовлетворять уравнению
п ~~~П ___
У т^ (и^ 4“ ^v 4" ^v) = У (Av^v 4" YvUv 4“ Zvt^v), v=lv=l
а в теореме Томсона — уравнению
^ (Xv^V Ч” Y^О1^ -j- Zv^v) с= Н, V=1
где Н — постоянная, значение которой равно удвоенной живой силе движения, сообщаемого системе данными импульсами {Xv, Kv, Zv}.
Вследствие этого в теореме Бертрана получается уравнение п*~~
5 /^V (^v^v + ^v + ^v^v) = 2Г, V=1
а в теореме Томсона — уравнение
5 ТП^ (uvMv + Vv^v + t^Wv) = 2Г,
из которых непосредственно следует справедливость теорем.
Из этого сравнения видно, что обе теоремы могут быть представлены в следующей аналогичной форме:
Теорема Бертрана. Если сравнивать между собой все возможные для системы приращения движения, в которых скорости ^и^ vv, ^v} удовлетворяют условию
^ Z72v ^U^ 4“ t^v Ч” ^’v) === S (Xv^v Ч~ ^v^v Ч- Zy^y),(9)
v=lv=l
то живая сила движения, сообщаемого импульсами {Xv, Kv, Zv) есть максимум.
Теорема Томсона. Если сравнивать между собой все возможные для системы приращения движения, в которых скорости ^и^ vVi ayv) удовлетворяют условию
^ (XyZ/y Ч” V^yUy 4“ Zy^y) — Н,(Ю)
V=1
где Н — постоянная, равная удвоенной живой силе движения, сообщаемого импульсами (Xv, Kv, Zv}, то эта живая сила есть минимум.
На основании этих теорем, как будет показано в следующем параграфе, могут быть решены различные вопросы, представляющиеся в теории мгновенных сил.
§5. Задача!. К данным точкам системы приложены данные импульсы. Определить сообщаемое ими движение.
Решение. Если Xv, Kv, Zv — данные проекции импульса, приложенного к точке mv (Ху, у^ zv), то для определения искомого движения следует найти величины ult vlf wlt и2, о2, w2, ..., ип, иП) шт обращающие выражение
4-S <4+4+^оо
V=1
в максимум при условиях (2) и (9), или — в минимум при условиях (2) и (10), где Н — постоянная, значение которой должно быть определено по окончании операции разыскания минимума выражения (11) из условия (9). Найденные величины {uv, ov, &yv} и будут скорости в искомом движении.
Пример. Определить движение, сообщаемое твердому телу данными импульсами {Xv yv, Zv} (и = 1, 2, ..., nY
Примем за начало координат центр инерции тела, а за оси координат — направления центральных осей инерции. Уравнениям (2) можно удовлетворить, как известно, самым общим образом, полагая
Uy = и + toyZv — <0^, Ov = V + <OZXV — toxZv, ^=[£/+<0^ — 0)^(v = 1, 2, .... л),
где и, и, w — проекции скорости центра инерции, а сох, coz/, coz — проекции угловой скорости вращения в искомом движении тела.
При этом обозначая через М массу тела, а через А, В, С — его главные центральные моменты инерции, найдем, что выражение (11) приведется к виду
-L-yM^ + ^ + ^ + A^+B^ + Cti)^(12)
а условие (10), если положим
SAV = A, 2FV = F, 2ZV = Z, 2 (yvZv- zvKv) = Lx,
2 (zvXv -tvZv) — By, S (xvKv y^X^ = Lz, приводится к виду
Xu -J- Y v 4— Zw 4~ Lxtox 4~ Lytoy 4— -Lzcoz == H•(13)
Разыскивая по известным правилам дифференциального исчисления величины и, о, w, tox, toy, (02, обращающие выражения (12) в минимум при условии (13), получим для определения йх уравнения
Ми = кХ, Mv~kY, Mw — kZ, Atox — kLx, Btoy = kLy, Ctoz = kLz, (14) в которых неопределенный множитель к должен быть определен в функции Н по уравнению (13). Но в последнем Н должно быть найдено из условия (9). А потому проще будет определить к непосредственно из условия (9). Для этого умножая уравнения (14) соответственно на и, и, w, tox, toy, to2 и складывая результаты, находим
М (и2 + у2 4- w2) + Ato^ + Btoy + Ссо^ =
— к ^Хи 4~ Yу 4- Zw 4* Lxtox 4~ Lytoy Ч- Lzto^), откуда, в силу условия (9), для к получается значение, равное единице. Таким образом, искомое движение тела найдется из уравнений
Ми = X, Mu=Y, Mw = Z, Atox = Lx, Btoy = Ly, Ctoz = Lz.(15)
Вторые части этих уравнений являются проекциями на координатные оси вектора и главного момента вокруг центра инерции данных импульсов.
а д а ч а 2. К некоторым данным точкам системы приложены неизвестные импульсы, сообщающие этим точкам данные скорости. Предполагая, что к остальным точкам не приложено никаких импульсов, нужно определить сообщаемое системе движение. Понятно, что для возможности задачи данные скорости не должны противоречить условиям (2).
Решение. Скорости \и^, uv, &yv} искомого движения найдутся из условия минимума выражение (11), в котором и^, yv, w^ должны удовлетворять уравнениям (2) и для точек приложения импульсов иметь данные значения. В самом деле, пусть импульсы приложены только к q точкам системы т^ т^, ..., mq-, к остальным же не приложено никаких импульсов, так что получаемое ими движение должно обусловливаться только связями. Пусть
Ui = at, Vt = Pi, Wi = чь
где i = 1,2, ..., q — данные скорости точек приложения импульсов. Положим пq
5 (Av«v + rvyv + zvtyv) = 2 (X,az 4- Yipi + Z^ = H.
V=1£=1
По теореме Томсона живая сила движения, сообщаемого системе импульсами \Х{, Yь Z^, имеет наименьшее значение между живыми силами всех возможных приращений движения, в которых скорости удовлетворяют условию
пq
£ (Av«v + Y^ + Z^ = ^ kXiUi + Y№ + Z№) = H.
V=1
Но в числе всех таких приращений движения, очевидно, заключаются все возможные приращения движения, для которых
Ui = a£, vt = pi, Wi = ^i (i=l, 2, . . . , q), а, следовательно, живая сила искомого движения есть наименьшая и между живыми силами этих последних приращений движения.
Пример. К данной точке твердого тела приложен импульс, сообщающий этой точке данную скорость. Определить движение, сообщаемое телу, предполагая, что к остальным точкам его не приложено импульсов.
Примем по-прежнему за начало координат центр инерции тела, а за оси координат — направления центральных осей инерции. Условиям (2) мы удовлетворим, полагая по-прежнему
«у = “ + toyZ^ — (02Z/v, Uv = U + COZXV — OXZV, W^ = W + toxy^ — toyX^
(v = 1, 2, . . . , n),
после чего, удерживая прежние обозначения, приведем выражение (11) к виду (12). Пусть о, Ь, с — данные координаты точки приложения импульса, а а, £, у — данные проекции на координатные оси ее скорости. Мы будем иметь
a = u + toyc— to2b, P = v4-toza— toxc, у = йу + со^ — toya.(16)
Разыскивая величины и, и, w, cox, со^, toz, обращающие выражение (12) в минимум при условиях 16), получим для определения их уравнения
Ми = X, Ми — ц, Мну = х, Atox = Ьх — ф, Btoy = сХ — ах, Ctoz = аул — ЬХ, где X, ух, х — неопределенные множители, которые определятся, если воспользуемся уравнениями (16). Сравнивая полученное решение е уравнениями (15), приходим к заключению, что X, ух, х — проекции на координатные оси импульса, сообщаемого движение. Таким образом, и искомое движение и неизвестный импульс, сообщающий его, определяются одновременно.
а д а ч а 3. К некоторым данным точкам системы приложены импульсы, направления которых даны, величины же неизвестны. Определить сообщаемое ими движение, зная проекции на направления импульсов, сообщаемых ими скоростей точек их приложения и зная, что к остальным точкам системы не приложено импульсов. Для возможности задачи заданные проекции скоростей не должны противоречить условиям (2).
Решение. Скорости [hv> yv> ^j искомого движения определятся по условию минимума выражения (11), в котором и^ Uv Wv должны удовлетворять уравнениям (2) и для точек приложения импульсов — уравнениям
U&i + ^W + w^ = рь
где pt — данные величины проекций скоростей, а ^, T]z, ^ — данные косинусы углов с координатными осями направлений импульсов. В самом деле, пусть импульсы приложены только к q точкам системы пгг, т^, ..., mq. Положим
г q
J/^+^ + Z^P,.(,= 1. 2, ... , q) и 5 PiPi^H.
t=l
Очевидно, что в числе всех возможных приращений движения, в которых скорости {uv, uv, ^vj удовлетворяют условию
пq
5 (Xv«v + y^ + z^ = 5 (Xtut 4- Ym + zm) = h,
V=1t—1
заключаются все возможные приращения движения, в которых скорости удовлетворяют условиям
Ч& + "mi + ^ = Pi (< = 1,29),
а потому, по теореме Томсона, между живыми силами этих последних приращений движения наименьшей будет живая сила искомого движения.
Пример. Плоскость, движущаяся с данной нормальной скоростью р, приходит в соприкосновение в одной точке с поверхностью свободного твердого тела, находившегося в покое. Требуется определить сообщаемое ею телу движение, предполагая, что тело и плоскость лишены трения и неупруги.
Примечание. Условие отсутствия трения равносильно тому, что в момент соприкосновения плоскости с поверхностью тела к последнему прилагается в точке соприкосновения импульс по направлению нормали к плоскости. Условие же неупругости равносильно тому, что эта точка тела получает такую скорость, проекция которой на направление этой нормали равна нормальной скорости плоскости, т. е. равна р.
Отнесем точки тела к прежней системе координат и обозначим через а, Ь, с координаты точки соприкосновения поверхности тела с плоскостью, а через g, Т], g косинусы углов с координатными осями направления нормальной скорости плоскости. Остальные обозначения оставим прежними. Скорость, сообщаемая плоскостью той точке тела, в которой она приходит в соприкосновение с его поверхностью, будет иметь следующие проекции на координатные оси
и + toyC — to2b, v + to2a — toxc, w 4- toxb — toya,
а потому задача приводится к разысканию величин и, v, w, tox, toy, to2, обращающих в минимум выражение (12) при условии
(и + toyC — to2b) g + (и -J- toza — toxc) т] + (^ + toxb — toy a) ^ = p.(17)
Поступая по известным правилам дифференциального исчисления, получим уравнения
Ми = Xg, Ми = лт], Mw = Ц, Лсох = X (6g — ст]),
Btoy = X (eg — aQ, Стг = X (ат) — 6g), в которых неопределенный множитель X найдется из условия (17). Сравнивая полученные уравнения с уравнением (15), приходим к заключению, что X есть величина импульса, приводящего тело в движение.
Для сил немгновенных было показано, каким условиям должны удовлетворять связи для того, чтобы в движении системы точек имели место уравнения, называемые уравнениями движения центра инерции и уравнениями моментов. Подобные же уравнения при тех же самых условиях относительно связей будут иметь место и в случае действия мгновенных сил. Эти последние уравнения можно получить из первых интегрированием их в пределах времени действия мгновенных сил. Но можно также их получить непосредственно из уравнений (1) или (6), принимая в расчет условия, которым должны удовлетворять связи.
Так, когда связи системы таковы, что соответствующим им в рассматриваемый момент постоянные связи (т. е. те связи, уравнения которых получаются из уравнений связей системы заменой переменной t постоянной величиной, соответствующей рассматриваемому моменту) допускают произвольное поступательное перемещение системы по направлению одной, двух или трех координатных осей, то будут иметь место одно, два или три следующих уравнения:
Ми — ^Х^, Mv = SYV, Mw = 2Zv,(18)
где М = тх + т^ + ... + тп — масса всей системы, а и, и, w — проекции на координатные оси скорости центра инерции в движении, сообщаемом системе данными импульсами.
Когда связи системы таковы, что соответствующие им в рассматриваемый момент постоянные связи допускают произвольное вращение системы вокруг одной или двух (а, следовательно, и трех) координатных осей, то будут иметь место одно или три следующих уравнения:
S/71-у (f/v^v — Z^Uv) == 2 ^\Z^Z^Yу),
Smv (z^ — x^w^ = 5 (zvXv — xvZv),(19)
S/7Zv (Xv^v — //v^v) == ^ (X^Kv — yVXv).
Так, например, для свободного твердого тела будут иметь место все шесть уравнений (18) и (19), как это мы уже видели выше. В случае твердого тела, имеющего неподвижную точку в начале координат, будут иметь место только три уравнения (19). Наконец, в случае твердого тела, имеющего неподвижную ось, совпадающую с осью z, будет иметь место только одно последнее из уравнений (19). Очевидно, что в каждом из этих трех случаев вопрос о действии мгновенных сил на твердое тело вполне решается указанными уравнениями.
Далее мы рассмотрим некоторые простейшие случаи действия мгновенных сил на твердое тело.
Чтобы получить наиболее простые формулы для определения результата действия данных импульсов на свободное твердое тело, примем за начало координат центр инерции тела, а за оси координат центральные оси инерции.. Тогда, обозначая главные центральные моменты инерции через А, В, Си проекции на координатные оси угловой скорости сообщаемого телу движения — через о)х, toy, toz, найдем, что первые части уравнений (19), представляющие проекции на координатные оси главного момента количеств движения, представятся в виде
Д(ох, Btoy, Ctoz.
Поэтому, называя вторые части равенств, представляющих проекции на координатные оси главного момента импульсов через Lx, Lyi Lz, будем иметь следующие уравнения:
До)х = LX1 Btog = Lg. C(oz = Lz.(20)
Уравнение (18) определят величину и направление скорости центра инерции. Уравнения же (20) — величину и направление угловой скорости.
Следует обратить внимание на то обстоятельство, что в силу уравнений (20) отношения
__ LgL2
tox toytoz
положительны, так что направление угловой скорости всегда составляет острый угол с направлением главного момента импульсов.
Из уравнений (20) можно вывести весьма простой Способ для построения направления угловой скорости. Для этого рассмотрим центральный эллипсоид инерции
Лх2 + Ву^ + Cz2 = х2, где х — произвольная постоянная. Проводим к этому эллипсоиду касательную плоскость, перпендикулярную к направлению главного момента импульсов и с той стороны от центра, чтобы направление, проведенное из центра в точку касания, составляло острый угол с направлением главного момента импульсов. Тогда это направление (от центра к точке касания) и представит направление угловой скорости.
В самом деле, если хъ уъ гг — координаты точки касания, то уравнение касательной плоскости будет
Ахгх + Вугу + Сггг = х2 и так как эта плоскость должна быть перпендикулярна к направлению главного момента импульсов, то мы должны иметь
Ахг Вуг СгхLzLyLz
или в силу уравнений (20)
xi _
^Х toy coz е
Отсюда же, принимая в расчет, что по условию
XiLx + yxLg + zvLz положительно, заключаем о справедливости сказанного.
Результат действия данных импульсов на твердое тело, имеющее неподвижную точку, также найдется из уравнений (20), если только изменить надлежащим образом значение входящих в них величин, а именно, в этом случае нужно принять за начало координат не центр инерции, а неподвижную точку; за направления же координатных осей — направления осей инерции, соответствующих неподвижной точке и под А, В, С понимать главные моменты инерции, соответствующие этой точке. При таком изменении значений всех рассматриваемых величин, для твердого тела, имеющего неподвижную точку, будет справедливо и только что показанное построение направления угловой скорости.
Показанное построение делается наиболее простым в случае, когда к твердому телу приложен один только импульс. Так как направление его момента относительно начала координат, находящегося в центре эллипсоида инерции, перпендикулярно к плоскости, проходящей через центр и направле-
ние импульса, то мы можем утверждать, что в этом случае направление угловой скорости есть направление сопряженное с диаметральной плоскостью эллипсоида инерции, содержащей направление импульса.
Рассмотрим ближе случай действия одного импульса на свободное твердое тело. Пусть X, У, Z — проекции на координатные оси импульса, а х, у, г — координаты точки его приложения. Мы будем иметь уравнения
Ми = Х. Мо = У» Mw = Z,(21)
Аюх = yZ — zY, Bwg = zX — xZ, C(oz = xY — yX.(22)
Из этих уравнений видно, что движение, сообщаемое свободному твердому телу одним импульсом, не вполне произвольно, ибо из уравнений (21) и (22) исключаются все элементы, характеризующие импульс, доставляя уравнение Л<ох« + Ва^о + Ctozw = 0.(23)
Таким образом, один импульс может сообщить свободному твердому телу только такое движение, для которого удовлетворено уравнение (23). Это уравнение выражает перпендикулярность между направлениями главного момента количеств движения вокруг центра инерции и скорости последнего. Если по прекращении действия мгновенной силы твердое тело остается изолированным от действия всяких сил, то, как известно, оба эти направления, а следовательно, и угол между ними, будут оставаться неизменными во все время последующего движения. Поэтому, если твердое тело приведено в движение одним только импульсом и затем изолировано от действия сил, то во все время движения его будет удовлетворено условие (23).
Если движение твердого тела не удовлетворяет условию (23), то оно нс может быть остановлено приложением одного только импульса. Напротив, когда это условие выполнено, то всегда можно найти такой импульс, который один, будучи приложен к надлежащей точке тела, остановит все движение. Если X, Y, Z — величины, удовлетворяющие уравнениям (21), то этот импульс должен иметь проекциями на координатные оси величины — X, —У, —Z; точка же приложения его должна лежать где-нибудь на прямой, определяемой уравнениями (22) (в силу условия (23) эти три уравнения приводятся к двум и, следовательно, определяют некоторую прямую).
Вообще движение, сообщаемое телу данным импульсом, есть винтовое. Но при известных условиях оно может быть, по крайней мере, в первый момент по прекращении действия импульса, параллельным некоторой плоскости и, следовательно, вращательным вокруг некоторой оси (мы рассматриваем здесь мгновенное поступательное движение как предельный случай вращательного вокруг бесконечно удаленной оси). Для этого необходимо и достаточно, чтобы проекция на направление мгновенной оси скорости какой- либо точки тела была равна нулю, т. е. чтобы имело место равенство
toxu + (оуи + ^2w = 0.(24)
Подставляя сюда вместо и, и, w, тХ) wy, wz их величины, следующие из уравнений (21) и (22), мы приведем это равенство после некоторых преобразований к виду
А (В — С) xYZ + В (С —A) yZX + С(А — В) zXY = 0.(25)
Таково условие, которому должны удовлетворять импульс и точка его приложения для того, чтобы сообщаемое им движение было вращательным вокруг некоторой оси.
Следует заметить, что условие (25) всегда будет удовлетворено, когда центральный эллипсоид инерции есть сфера. В этом случае всякий импульс сообщает телу вращательное движение вокруг некоторой оси.
Предполагая условие (25) или (24) удовлетворенным, найдем уравнения мгновенной оси. Выражая, что скорость точки (£, Л, у равна нулю, получим уравнения
и + (о^ — (02т) = О, у + со2£ — (0,5 = О, w + со^т] — (о^ = 0.(26)
В силу условия (24) эти уравнения приводятся к двум, а потому, если понимать под 5, т], £ переменные координаты, уравнения (26) и будут уравнениями мгновенной оси.
Из уравнений (26) находим
zz£ + уЛ + tw£ = О
или в силу уравнений (21)
Х£+Ул+/£ = 0,
откуда видно, что мгновенная ось находится в плоскости, проведенной через центр инерции перпендикулярно к направлению импульса. Результат этот, впрочем, можно было предвидеть, ибо скорость центра инерции, как скорость всякой точки твердого тела, мгновенное движение которого есть вращательное вокруг некоторой оси, должна быть перпендикулярна к плоскости, проходящей через мгновенную ось и центр инерции, а с другой стороны, эта скорость должна иметь направление одинаковое с направлением импульса.
Всякому импульсу, удовлетворяющему условию (25), будет соответствовать некоторая мгновенная ось. Точно также и обратно — всякой оси, удовлетворяющей некоторому условию, соответствует импульс, сообщающий телу вращательное движение вокруг этой оси.
Чтобы найти это условие, положим, что
I = at + Р, т] = bt + q(27)
есть уравнения оси. Для того чтобы эта ось могла служить осью вращения в движении сообщаемом телу одним импульсом, необходимо и достаточно, чтобы уравнения (26), в которых и, v, w, сох, й)у, со2 — величины, удовлетворяющие уравнениям (23) и (24), могли быть приведены к виду (27). Для этого же необходимо и достаточно, чтобы возможно было удовлетворить уравнениям
toytoy,ии
(28)(28)= а, —^ = Ь,= р, toz(0гto2r Ю2
(28)
(28)
Но уравнения (23) и (24) по исключении w дают
(29)(29)(Л — С) юхи 4- (В — С) юуу = О,откуда в силу уравнений (28) находимpbА —С
(29)
(29)
qaВ — С '
что и представляет искомое условие.
Таким образом, прямая (27) может служить осью вращения в движении, сообщаемом телу одним импульсом, только когда коэффициенты a, b, р, q удовлетворяют условию (29). Когда же условие (29) удовлетворено, то из уравнений (28) найдем
(Од = а<о2, (о^ = 6оэ2, и = q^2, у = — рсо2,после чего как уравнение (23), так и уравнение (24) дадутw = фр — aq) со2.
Подставляя же эти величины и, у, w, юх, <йу в уравнения (21) и (22) найдем
X = Mw2q, V = — Mto2p, Z = Мо>2 фр — aqY
yZ — zY = Ааю21 zX — xZ — ВЬ<аг, xY — yX = Cco2
и отсюда получаются следующие уравнения прямой, Р по которой должен быть направлен импульс
(bp — aq)y + pz _ qz — (bp — aq) x _ px + ЧУ AaBbC *
Таким образом, каждой оси (27), удовлетворяющей^
условию (29), соответствует импульс, который должен быть направлен по прямой (30). Величина жеРис 42
этого импульса может быть произвольна.* *
Условие (29) можно представить в несколько иной форме. Для этого примем в расчет, что в силу уравнений (19) главный момент количеств движения, сообщенного телу импульсом, относительно всякой точки должен быть геометрически равен моменту импульса относительно той же точки. Но если импульс сообщает телу вращательное движение вокруг некоторой оси и за точку, относительно которой берутся моменты, принята точка пересечения этой оси с перпендикулярной к ней плоскостью, проходящей через направление импульса, то момент последнего будет направлен вдоль этой оси. Такое же направление должен иметь и главный момент количеств движения тела. Поэтому, принимая рассматриваемую ось за ось 2, а точку, относительно которой берутся моменты, за начало координат, мы должны иметь
Smv (z^u^ — х^ wv) = 0 и У^ (^/v^v — 2vvv) = 0.
Но при вращательном движении тела вокруг оси z должно быть
mv = — у A ^v = xvQ, w-v = 0 (v = 1, 2,..., n), где Q — угловая скорость вращения. Вследствие же этого наши равенства обращаются в
Ут^у^ = 0, 2mv2vXv = 0,(31)
а эти равенства, как известно, выражают, что ось z есть одна из осей инерции тела для начала координат.
Таким образом, мгновенной осью в движении, сообщаемом телу одним импульсом, может служить только одна из осей инерции, соответствующая какой-либо точке.
Отсюда следует, что условие (29) заключает в себе условие, что прямая (27) есть одна из осей инерции тела. Можно доказать непосредственно, что условие (29) равносильно этому последнему условию. Но мы этого делать не будем, а покажем только, что когда данная ось есть одна из осей инерции тела для какой-либо точки, то всегда можно найти такой импульс, который, будучи приложен к некоторой точке тела, сообщит ему движение вращательное вокруг этой оси.
Мы видели, что направление импульса, сообщающего телу вращательное движение вокруг данной оси, должно быть перпендикулярно к плоскости, содержащей центр инерции и эту ось. Теперь мы покажем, что если данная ось удовлетворяет только что сказанному условию, то в плоскости, проходящей через нее и центр инерции, всегда может быть найдена такая точка, называемая центром удара, соответствующим данной оси, что всякий импульс, направление которого перпендикулярно к этой плоскости и пересекает ее в этой точке, сообщит телу вращательное движение вокруг данной оси.
Пусть ОР есть данная ось и О та точка ее, для которой она служит одной из осей инерции тела. Пусть далее С — центр инерции тела и J — искомый центр удара, которые лежат в одной плоскости с ОР. Из условий (31) (если припомним сделанный для их вывода выбор начала координат) видно, что
мгновенная ось должна быть одной из осей инерции для той точки, в которой она пересекается с перпендикулярной к ней плоскостью, проходящей через направление импульса. Отсюда следует, что точка J должна лежать на перпендикуляре к ОР, восставленном из точки О.
Пусть OJ = / и а есть расстояние центра инерции от оси ОР. Предполагая, что к телу приложен импульс F, направление которого перпендикулярно к плоскости СОР и пересекает ее в точке J, мы должны выразить, что сообщаемое им телу движение есть вращательное вокруг оси ОР. Но если Q — угловая скорость этого движения, aS — момент инерции тела относительно оси ОР, то SQ представит, как известно, проекцию на эту ось главного момента количеств движения тела относительно какой-либо точки оси ОР. Если же этот момент брать относительно точки О, то, как мы уже знаем, он будет направлен по оси ОР и притом одинаково с угловой скоростью. Выражение SQ будет, следовательно, представлять величину этого момента. Такие же величину и направление должен иметь и момент импульса относительно точки О. Поэтому мы должны иметь
Fl = SQ. (32)
Если же примем в расчет, что скорость центра инерции в сообщаемом телу Р
движении должна быть равна -^-, то получим еще уравнение
F = М£а. (33) Из уравнений (32) и (33) находим
1=-Ж' (34) чем определяется расстояние точки J от оси ОР. Что же касается стороны, с которой относительно оси ОР должна лежать точка J, то она определяется из сопоставления двух условий: 1) направление момента импульса относительно точки О должно быть одинаково с направлением угловой скорости и 2) направление скорости центра инерции должно быть одинаково с направлением импульса. Этим же двум условиям можно удовлетворить только предположением, что точка J находится с той стороны относительно оси ОР, с которой находится точка С.
Очевидно, что всякий импульс, направление которого, будучи перпендикулярным к плоскости СОР, пересекает ее в найденной точке J, сообщит телу вращательное движение вокруг оси ОР.
Таким образом, необходимым и достаточным условием для существования центра удара, соответствующего данной оси, служит то, чтобы эта ось была одной из осей инерции тела.
Когда данная ось удовлетворяет этому условию, то соответствующий ей центр удара находится при помощи следующего построения: в плоскости, проходящей через данную ось и центр инерции тела, из той точки оси, для которой она служит одной из осей инерции тела, проводим перпендикуляр к этой оси в ту сторону, с которой находится центр инерции и на этом перпендикуляре берем точку, находящуюся от оси на расстоянии, определяемом формулой (34), т. е. на таком расстоянии, чтобы плечо инерции тела относительно этой оси было средним геометрическим между этим расстоянием и расстоянием центра инерции от оси. Найденная таким образом точка и будет центром удара.
Следует заметить, что когда данная ось проходит через центр инерции, соответствующий ей центр удара находится в бесконечности.
Из всего сказанного следует, что центр удара, соответствующий данной оси, находится в той же плоскости, на то-м же расстоянии и с той же стороны от этой оси, как и соответствующий ей центр качаний.
Обе эти точки совпадают, когда прямая, проходящая через центры удара и инерции, перпендикулярна к мгновенной оси,— и только при этом условии. Это же условие равносильно тому, чтобы мгновенная ось была перпендикулярна к плоскости, проходящей через центр инерции и направление импульса. Но мы видели, что направление угловой скорости есть направление, сопряженное с этой плоскостью по отношению к центральному эллипсоиду инерции, а потому такая перпендикулярность возможна только тогда, когда мгновенная ось параллельна одной из центральных осей инерции тела.
Итак, центр удара совпадает с центром качаний, только когда ось вращения параллельна одной из центральных осей инерции тела и, следовательно, когда направление импульса заключается в плоскости двух центральных осей инерции.
Вопрос об отыскании условий существования и положения центра удара может быть поставлен несколько иначе.
Положим, что твердое тело может вращаться только вокруг некоторой оси, имея две неподвижные точки (опорные точки). Действие всякого данного импульса на такое тело может быть определено при помощи тех же уравнений, которые служат и для определения действия импульсов на свободное твердое тело, если только кроме данного импульса ввести в рассмотрение два неизвестных импульса, с которыми опорные точки действуют на тело, или тело действует на опорные точки. Если затем искать условия, при которых данный импульс не вызывает этих последних импульсов, то, очевидности условия должны оказаться теми же самыми, что и найденные выше условия, при которых данный импульс, приложенный к свободному твердому телу, сообщает ему вращательное движение.
Принимая неподвижную ось за ось 2, обозначим через h^ и h^ координаты 2 опорных точек, а через Хь Уь Zx и Х2, У2, ^2 — проекции на координатные оси неизвестных импульсов, с которыми эти точки действуют на тело. Если затем проекции данного импульса обозначим через X, У, Z, а координаты точки его приложения — через х, у, 2, то уравнения (18) и (19) примут вид
Ми = Х+ X, + Х2, Ми = У + У, + У2,(35)
О = Z + Zx + Z2,(36)
■— 2 Ul^Z^V^ = tjZ2УhxY ^^2^ 2> 5 "Mv^y === ^X xZ -f- № ~{" ^2^2»
(37)
2 (xvvv — yv^v) = xY — yX,(38)
так как для всех точек тела
w^ = 0 (v = 1, 2,..., п).
Из этих уравнений (38) определит сообщаемое телу движение, после чего уравнения (35) и (37) дадут величины Хь Уъ Х2, У2, а уравнение (36) даст сумму Zx + Z2. Что же касается каждой из величин Zx и Z2 в отдельности, то они останутся неопределенными, как это и следовало ожидать.
Будем теперь искать условия, при которых импульсы давлений опорных точек равны нулю. Пусть
Хх = Х2 = Yx = У2 = Zx + Z2 = 0.
Далее примем за плоскость zx ту, которая проходит через центр инерции и предположим ось х направленной таким образом, чтобы координата х центра инерции была положительна. Эта координата представит расстояние центра инерции от оси вращения. Обозначая его через а и через Q положительно или отрицательно взятую угловую скорость тела, в зависимости оттого имеет ли она направление оси 2 или прямо противоположное ей, найдем
и = 0, и = ай.
Вследствие этого уравнения (35) и (36) обратятся в
X = О, 2 = 0,(39)
Y = Май.(40)
Если же примем в расчет, что
и^= — Qyv, vv = &vv (v = 1, 2,..., и),то уравнения (37) и (38) приведем к виду
й^т^х^ = zY,(41)
2^v2vZ/v = 0,(42)
QS = xY,(43)
где S — момент инерции тела относительно оси вращения.
До сих пор мы предполагали положение начала координат на оси вращения совершенно произвольным. Выберем его теперь таким образом, чтобы точка приложения импульса находилась в плоскости ху. Тогда будет
2 = 0 и уравнение (41) дает
^j tTL^Z^Xy — 0,
Это же равенство вместе с (42) выражает, что ось z есть одна из осей инерции тела для начала координат.
Итак, действие импульса на твердое тело, имеющее неподвижную ось, может не вызывать импульсов давлений опорных точек только при условии, что эта ось одна из осей инерции тела. Когда ось удовлетворяет этому условию, то импульс, как показывают уравнения (39), должен быть перпендикулярен к плоскости, проходящей через ось и центр инерции, при том он должен заключаться в плоскости, перпендикулярной к оси и проходящей через ту точку ее, для которой она есть одна из осей инерции. Из уравнений же (40) и (43) следует
х =,
Ма ’
чем определяется окончательно положение той прямой, по которой должен быть направлен импульс: эта прямая должна пересекать плоскость, проходящую через ось вращения и центр инерции, в точке, которую мы назвали выше центром удара.
10. Рассмотрим теперь некоторые обстоятельства удара системы точек о связь.
Рассмотрим систему п точек, подчиненную к удерживающим связям
/1 = 0, /2 = 0,....,Д = 0 и одной неудерживающей
/>0.
Положим, что эта система находилась в движении под действием каких-либо сил и что до момента времени t последняя связь не действовала (т. е. выражалась неравенством / > 0), а в этот момент точки пришли в такие положения, для которых функция / обратилась в нуль. Очевидно, что скорости, с которыми точки приходят в эти положения, могут быть только таковы, для которых удовлетворяется одно из двух следующих условий: или
ИЛИV( 9f r'-L 9f ,Z -U 9f v\-X- ^zл л\
L VK xv + -^7 yv + zv ) 4- — < 0.(44)
v=l v
Если имеет место первое, то не произойдет ничего особенного: если для последующего движения системы принять за начальный рассматриваемый момент /, то начальными данными в нем будут служить те положения и скорости, с которыми точки системы вступили в связь / = 0.
Если же имеет место второе, то в момент t должно произойти мгновенное изменение скоростей точек системы, ибо со скоростями, удовлетворяющими условию (44), система не может двигаться, выходя из положения, для которого f = 0, и не нарушая условия, поставляемого связью / ^ 0. Итак, в этом случае точки системы должны мгновенно изменить свои скорости из ^, у^ z^ в некоторые другие {xv, yv> z^, удовлетворяющие условию
S("d7"Xv+^7^+^7^) + ^Г>°>(45)
что может обусловливаться только развитием в момент t некоторых импульсов, с которыми связь / = 0 (а, следовательно, и остальные связи) начинает действовать на точки системы. Процесс развития этих импульсов, обусловливающий мгновенное изменение скоростей точек системы, и составляет явление, называемое ударом системы о связь.
Найдя скорости {xv, yV z^, мы в состоянии будем определить и последующее движение системы, ибо эти скорости вместе с положениями системы в момент t (которые за время удара остаются неизменными) и будут начальными данными для этого движения. Но прежде чем изложить общий принцип, на основании которого решается вопрос об определении этих скоростей, мы рассмотрим один частный случай удара.
. Пусть имеем два однородных твердых шара, массы которых обозначим через Мг и ТИ2. Положим, что им сообщены поступательные движения, так что центры их движутся по одной и той же прямой линии и что в известный момент происходит столкновение шаров. Требуется определить скорости, с которыми они начнут двигаться после удара, сопровождающего это столкновение.
Пусть ^ и и2 — скорости шаров Мг и ТИ2, с которыми они сталкиваются, а иг и и2 — скорости, с которыми они начинают двигаться тотчас по окончании удара. Скорость их мы предположим направленной от Мх к М2 и будем ее рассматривать как положительную величину. Остальные же скорости будем рассматривать как положительные или отрицательные величины в зависимости от того имеют ли они одинаковые или прямо противоположные направления с иР Вследствие этого разность иТ — и2, представляющая относительную скорость шара Мх по отношению к шару М2 до удара, должна быть положительной величиной. Напротив, разность их — и2, представляющая относительную скорость того же шара тотчас по окончании удара, может быть только нулем, или отрицательной величиной.
Принимая в расчет, что импульсы, с которыми во время удара шары действуют друг на друга, по закону равенства действия и противодействия равны и прямо противоположны, будучи притом направлены по прямой, соединяющей центры шаров, мы приходим к заключению, что вследствие удара скорость центра инерции обоих шаров не должна меняться. А потому мы будем иметь уравнение
+ М2и2 = М1и1 + М2и2.(46)
Это же уравнение может быть, впрочем, получено и непосредственно из уравне-
ний (18), если их применить ко всей рассматриваемой нами системе, состоящей из двух твердых шаров, и учесть, что импульсы {Xv, Y^ Zv) в данном случае равны нулю.
Для определения иг и м2 мы должны иметь кроме (46) еще одно уравнение. Но такое уравнение нельзя составить, исходя из одних только общих принципов динамики. Взамен уравнения мы имеем только условие вида
^1 — w2 ^ 0.
Поэтому рассматриваемая нами задача останется неопределенной, пока не будет принято какого-либо нового принципа.
Для установления этого принципа был произведен ряд опытов еще Ньютоном, которые показали, что относительная скорость одного из соударяющихся шаров по отношению к другому тотчас после удара находится для каждой пары шаров в постоянном отношении к той относительной скорости, с которой происходит столкновение. Притом это отношение, которое не зависит ни от масс сталкивающихся шаров, ни от скоростей, при которых происходит столкновение, а только от упругих свойств материи, составляющей шары, всегда есть некоторая правильная дробь. Так, Ньютон нашел, что для железных шаров 55
это отношение равно $, для стеклянных j^. Позднейшие опыты подтвердили этот закон Ньютона.
Рассматриваемое отношение называется коэффициентом восстановления. Коэффициент этот тем больше, чем больше упругость ударяющихся шаров. Он всегда заключается между 0 и 1, в действительности никогда не достигая этих пределов. Равенство его нулю могло бы иметь место только в случае вполне неупругих шаров, а равенство единице — только в случае вполне упругих шаров. Хотя в природе ни тот, ни другой из этих предельных случаев не встречается, в теоретической механике они рассматриваются как возможные, потому что существуют тела, для которых коэффициент восстановления весьма близок к 0 или к 1.
Обозначая коэффициент восстановления через е, будем иметь
м2 —^i = 8^ — и2).(47)
Из уравнений (46) и (47) находим
М« (1 + е) z х. Му (1 + е) / х
"1 = у1- У^ “2 = V2 +(48)
Обратим внимание на некоторые частные случаи. Если шары вполне неупруги, то после удара они начнут двигаться с общей скоростью
М-^ + М^
Му + М2 •
Если массы шаров равны и если притом шары вполне упруги, то
их = и2 и и2 = ць т. е. вследствие удара шары меняются своими скоростями.
Если масса одного из шаров бесконечно велика сравнительно с массой другого, то скорость его вследствие удара не меняется.
Рассмотрим, как изменяется вследствие удара живая сила движения шаров. Из уравнений (48) находим
+ М2и2 = MYu\ + М2и\ +(«1 - У2)2.
Отсюда видно, что вследствие удара живая сила вообще уменьшается. Наибольшая потеря живой силы соответствует удару вполне неупругих шаров. Потери живой силы не происходит только при ударе вполне упругих шаров.
Во время удара относительная скорость шара Мх по отношению к шару М2 изменяется из положительной величины их — и2 в отрицательную иг — и2. Поэтому мы можем весь процесс удара рассматривать, как состоящий из двух периодов, разделенных тем моментом, в который эта относительная скорость обращается в нуль. Первый период можно назвать периодом потери относительной скорости, второй — периодом восстановления ее. Если величины импульсов, действующих на каждый шар в течение первого и второго периодов, обозначим соответственно Jt и J2, а через и обозначим абсолютную скорость, которой обладают оба шара в момент, разделяющий эти периоды, то будем иметь
Л = М. (vx — v) = М2 (v — v2), J2 = Mx (и — иг) = М2 ^и2 — и), откуда
Мг^М2 ’
и ^2 = У —=
Л О!—иМ2(У1 —У2)
или вследствие (46) и (47)
-7Г=е-(49)
Таким образом, для каждой пары шаров импульс, соответствующий второму периоду удара, находится в постоянном отношении к импульсу, соответствующему первому периоду, которое равно коэффициенту восстановления.
Этот результат, представляющий непосредственное следствие опытного закона Ньютона, на котором основывались предыдущие вычисления, может быть сам принят за основной принцип при решении вопросов об ударе, если его обобщить надлежащим образом.
В заключение разбора рассматриваемого нами частного случая приведем формулу для вычисления импульса, соответствующего всему времени удара шаров. Обозначая этот импульс через <7, будем иметь J = Jx + J2l а потому по предыдущим формулам найдем
(50)
Возвращаемся теперь к общему случаю. Вследствие удара системы точек о связь / ^ 0, скорости точек ее изменяются из {xv, z/v, 2^, удовлетворяющих условию (44), в {xv, yV 2^, удовлетворяющие условию (45), в котором вообще должен быть взят знак неравенства. Поэтому мы можем весь процесс удара рассматривать как состоящий из двух периодов, разделенных тем моментом, когда эти скорости обращаются в {xvo, z/vo, 2vo), удовлетворяющие уравнению
/ df , . df ., df , \ , df A
5 (~dx7 Xv0 + Уч° + ~Sz7 Zv0) + ir — 01(51)
Соответственно этому полный импульс реакции связи / ^ 0, с которым она действует на каждую из точек системы, можно рассматривать как сумму двух импульсов: 1) соответствующего первому периоду и изменяющего скорости из {xv, z/v, 2^ в {xvo, z/vo, 2vo} и 2) соответствующего второму периоду и изменяющего скорости из {xvo, z/vo, 2vo} в {.Xv, z/v, 2v}. Что касается первого из этих импульсов, то, как мы покажем далее, он легко может быть определен. Что же касается второго, то нам известно только, что отношение его к первому имеет одинаковую величину для всех точек системы; величина же эта остается неопределенной, пока не принято какого-либо общего принципа для решения вопросов об ударе.
Согласно с ньютоновым законом, выведенным из наблюдений над ударом твердых шаров, за такой принцип принимается следующее положение.
Отношение импульса второго периода удара к импульсу первого периода есть постоянная величина для данных связей, т. е. величина, не зависящая ни от положений точек системы во время удара, ни от скоростей, с которыми происходит удар, а только — от свойств того механизма, который изображается данными связями. Притом эта постоянная величина, называемая коэффициентом восстановления, есть правильная дробь. Когда она достигает одного из своих крайних пределов 0 или 1, то связи называются в первом случае неупругими, во втором — вполне упругими.
Пусть е есть коэффициент восстановления, соответствующий данным связям. Обозначая через Л величину импульса реакции связи / = 0 на точку (xv, у^ г^ за первый период удара, мы найдем, что 8</v будет величина импульса реакции той же связи на ту же точку за второй период удара, а
(1 +8) Л (v= 1, 2,..., и)
величина импульса за все время удара. Нам известно, что
где X одинаково для всех точек системы, и что направления импульсов
J^ sJ^ (1 + 8) Л (V = 1, 2,. .., n)
одинаковы с направлением дифференциального параметра первого порядка функции / относительно точки (xv, z/v, 2V). Поэтому, если через Xv, Y^ Z^ обозначим проекции на координатные оси полного импульса реакции связи / = 0 на точку (xv, z/v, 2V), то будем иметь
X.-fl+el^.r.-tl+e)!^. Z, = (l +=)X^(v-l,2n),
а потому, полагая по-прежнему
Xv — Xv = ZZv, Z/v — Z/v == Vv, 2v — 2v == ^v (v = 1,2, . . . , П)
согласно с уравнениями (1) будем иметь
m»u, = tl+^X-gL + X1^- + >.2-^+
w = (1+e)xJL + x1J^ + X=^ + ...+11-|&-,(52)
+е)Х^ + х1^+Х!^+...+^(» = Ь^*
Если все импульсы Jv известны, или — что то же — если X известно, то из этих Зп уравнений вместе с & уравнениями (2) найдутся все и^, uv, Wv, а, следовательно, ПО данным скоростям (xv, Z/v, 2v} найдутся скорости {xv, z/v, 2v}, чем и решится вопрос об ударе. Нам остается, следовательно, только показать, как находится величина X.
Уравнения (52) определяют изменение движения системы за все время удара. Составим подобные же уравнения, определяющие изменения движения за первый период удара. Уравнения эти, очевидно, будут следующего вида:
mv(x' — х\ = & Л-+х; 43- +...+i,' v0 v/ dxv 11 дх^ 12 дх^ 11 dx^ ’
У ='--а'г(53)
Положим по-прежнему
у 1 / dh df, dfi , d/s dh \4 , л
2j mv ( dxv dx^ dy^ dyv дг^ дг^ ) s ls>
2j mv ( 6xv dx^ + dy^ dy^ dzv dzv ) Os s0 v=l
Кроме того, введем еще следующее обозначение:
\ dx^ v dy^ ^4 • dzv 2v у ‘ Qt
Величины Asi и Q будут, следовательно, известными. Притом вследствие (44) Q есть положительная величина.
Далее, примем в расчет, что
2 \т (xvo - ^v) + -^ (У»о-^) + 4b {Z^~ 24 = 0 (s = 1, 2, ... , A)
(54) (так как все связи А = 0, f2 = 0, ..., ^ = О удерживающие и, следовательно, во все время удара скорости точек системы должны удовлетворять известным уравнениям, поставляемым этими связями) и что вследствие (51)
У|4^(^-х*)+^(^-^) + -^Ко-г;)]=^(55)
J
Исключая из Зп + к + 1 уравнений (53), (54), (55) все Зп разностей xvo — ^v, yvo — у^ 2vo — 2v, получим следующую систему к + 1 уравнений
Лоо^ + Ло!^ + Лог\ + • • • + ЛоД^ = Q,
ЛюХ + Лц^ -|- Л12^2 + . . . 4* А1к Х^ = О,
АмХ + Акх'Кх + Л^2 + ... + Акк^к ~ ®»
из которых и найдутся к + 1 только К которое будетиз которых и найдутся к + 1 только К которое будет^ = q4-» д ,^ = q4-» д ,(56)(56)гдегде△ =△ =Лоо Лю Л 20Лоо Лю Л 20Ло1 Ли Л21Ло1 Ли Л21Л02 • • • Аок Лю ... Aik Л22 • •. А^кЛ02 • • • Аок Лю ... Aik Л22 • •. А^квеличин X, Xi, Хг, ..., Хк. Нам необходимо иметь
из которых и найдутся к + 1 только К которое будет
из которых и найдутся к + 1 только К которое будет
^ = q4-» д ,
^ = q4-» д ,
(56)
(56)
где
где
△ =
△ =
Лоо Лю Л 20
Лоо Лю Л 20
Ло1 Ли Л21
Ло1 Ли Л21
Л02 • • • Аок Лю ... Aik Л22 • •. А^к
Л02 • • • Аок Лю ... Aik Л22 • •. А^к
Ако Ак\ Ak2 •.. Акк
д1 =д1 =Ли Л21 Л31Ли Л21 Л31Л12 Л13Л22 Л23Л32 ЛззЛ12 Л13Л22 Л23Л32 ЛззА\и А^кА^кА\и А^кА^к
д1 =
д1 =
Ли Л21 Л31
Ли Л21 Л31
Л12 Л13
Л22 Л23
Л32 Лзз
Л12 Л13
Л22 Л23
Л32 Лзз
А\и А^к
А^к
А\и А^к
А^к
Ак\ Акч Ам ... Акк
Определители А и Аь как нам известно, представляют существенно положительные величины. Поэтому полученное выражение для X, как это и следовало ожидать, положительно.
Формулы (52) и (56) и решают вопрос об ударе.
Рассмотрим теперь, как изменяется вследствие удара живая сила системы. Полагая
т = 4
И /Т*1^-^/ z2z2Z2x
1 о = "2"+ Z/v + Zv ) ,
воспользуемся формулой (4), в которой, согласно с рассматриваемым нами случаем, положим
^ = (1+»)^.2. = (1+«)1 Д- (v = 1, 2,..., п).
Таким образом, найдем
т-т0 = (1 + е)4 2 [44&+х^ + Л-(у; + у^л--^^ + ^ -
1 6ti 1д^21 6fk
—4—t• • • —(57)
Если же положим
S
I df , df . df \ с
\v 1 dzv’
то найдем
4 S (44(Xv+-^+44 ^+y^+"4" (Zv+zv)]=4~s—Q—4“ •
Из уравнений же (52) находим
S = (1 + е) ХЛоо + ЛоАх + Ло2^2 Н” • • * 4~ АокК^, а если исключим из уравнений (52) и (2) величины и^ yv, w^ то получим еще к уравнений
О = (1 + s) ХЛю + Лц^ + ... + А\кКк,
О = (1 + 8) ХЛ20 + Л21Хх + . . . + А^кК^
О = (1 -}- s) ХЛ&0 + Л^1Хх 4-... 4- Akk^kt при помощи которых предыдущее выражение S легко приводим к виду
S = (l +е)Х^ = (1 +e)Q.
Вследствие всего этого формула (57) обращается в следующую:
7' — То = (1 + е) X [-g- (1 + е) Q Q^-jXj —^... Хк —^-
или вследствие (56)
(58) Таково искомое изменение живой силы.
Рассмотрим частный случай, когда все связи системы постоянны, т. е. когда
JL_ dfk _п
di dt dt —— di *
В этом случае
T-T0 = -4-(l-e^)Q2 А-
и, следовательно, представляет отрицательную величину.
Таким образом, при ударе системы точек с постоянными связями о постоянную связь вообще происходит потеря живой силы. Притом наибольшая потеря имеет место в случае неупругих связей и только при связях вполне упругих живая сила вследствие удара не меняется.
Эти последние результаты, относящиеся к неупругим или к вполне упругим связям, составляют так называемые теоремы Карно.
Переходим теперь к последнему вопросу теории мгновенных сил: рассмотрим некоторые обстоятельства мгновенного уничтожения одной из связей системы.
Положим, что система, подчиненная k + 1 удерживающим связям,
/ = о, А = о, /2 = о,..., Л = о
находится в движении под действием каких-либо конечных сил и что в некоторый момент t происходит мгновенное уничтожение одной из связей, например / = 0, без участия каких-либо импульсов, не происходящих от реакций связей.
Такое уничтожение связи f = 0 вообще будет сопровождаться мгновенными изменениями скоростей точек системы и в этом случае представляет явление, называемое взрывом. Когда же мгновенные изменения скоростей не происходят, то рассматриваемое явление мы будем называть мгновенным уничтожением связи без взрыва.
Положим, что процесс уничтожения связи / = О сопровождается мгновенным изменением скоростей из {xv, у^ 2V} в (xv, у^ 2^. Тогда, полагая по-преж нему
и^ — Xv — Xv , Uv = У^ — У^, Wv — Zy — 2V (v = 1, 2, . . . , ft), мы будем иметь уравнения
OTvVv = X -Д- + Xi -А- +4- Xfc
mvyv = X-A-4-X1-A-4-...4-Xft-A_,(59)
/nvtyv = X -Д- 4. Xi -^- 4- ... + (v = 1, 2,/г).
Притом нужно иметь в виду, что величины uv, vV) tyv должны удовлетворять к уравнениям (2).
Далее, полагая
vi Qt у х 9f 7/ 1 ^ а I ^ -S
2Д dxv Xv+ ду^ yv + *v Zv) + dt 5
и замечая, что
у / д? х I ^ 7 I ^ 2’\ I df _ о
H^7Zv + ^7yv+ ^7 zJ + ^r-0’
найдем S/ д/df , df \ с
(^7^ + -^7^+-^7^) = 5.(60)
Учитывая это и пользуясь прежними обозначениями, мы составляем известным способом к + 1 следующих уравнений:
vloo^ 4- ^oAj + Л02X2 + ... + АокХ^ = 5,
Л10% + Лц^! + Л12^2 + . . . + Лц^ = 0,
(61)
Л/гО^ + Л/г!^! + А^Х^ + . . . + A^kXk = 0.
Из этих уравнений мы можем найти X, Хп Х2, ..., Хк в функциях 5 и, между прочим, находим
X = s4r-
(62)(62)А
(62)
(62)
Если же полученные величины для X, 2^ и т. д. внесем в уравнения (59), то для всех и^ vv, w^ получим выражения, которые не будут заключать в себе никаких других неизвестных величин кроме 5. Поэтому изменения скоростей, производимые взрывом, будут известны, как только будет дано 5 или (вследствие уравнения (62)),— коль скоро будет дано X.
В частности, когда дано
5 = 0 уравнения (61) дадут
X = Х^ = Х2 = . •. = х^ = о,
а из уравнений (59) будет следовать
и^ = 0, vv = 0, wv = 0 (v = 1, 2,..., п\
Поэтому при 5 = 0 мы имеем случай мгновенного уничтожения связи f = 0 без взрыва. Следовательно, когда происходит взрыв, то всегда 5^0.
Рассмотрим, как изменяется вследствие взрыва живая сила системы. Это изменение может быть найдено по формуле (4), если в ней положим
y- = x<-'Z—xS7
При этом найдем
~2~ ^ ^Хv (%v 4" -^v) + ^v (f/v 4- yv) 4" Zv (^v 4" 2v) j ^ ~y ^5 X ^—
и, следовательно, получим
или вследствие (62)
'Г 'Г ^02 ^1 а ^1^11^
В частном случае, когда система подчинена только постоянным связям, мы получаем для Т — То положительную величину у S2-—1-. Таким образом, когда система подчинена только постоянным связям, то вследствие взрыва, уничтожающего одну из них, происходит увеличение живой силы системы.
В этом состоит третья теорема Карно.
Для определения движения системы после уничтожения связи f = = 0 необходимо знать скорости {xv, yv, ^» которые для этого движения будут начальными. Для этого же, как мы видели, должна быть дана величина S, которая зависит от напряженности взрыва.
В частности, когда не происходит взрыва, последующее движение системы найдется без труда. Но здесь следует обратить внимание на один вопрос, который при этом представляется. Вследствие мгновенного уничтожения одной из связей реакции остальных связей вообще мгновенно изменят свои величины и иногда встречается надобность знать эти изменения.
Когда мгновенное уничтожение связи не сопровождается взрывом, вопрос этот легко может быть решен. Для этого нужно составить две системы дифференциальных уравнений движения, из которых одна относилась бы ко времени, предшествующему тому моменту, когда уничтожается одна из связей, а другая — ко времени, последующему за этим моментом. Из каждой из этих систем мы можем известным способом получить выражения для лагранжевых множителей в зависимости от времени, координат, скоростей и данных сил. Применяя эти выражения к моменту уничтожения связи, мы получим для этого момента величины лагранжевых множителей, следующие из каждой системы дифференциальных уравнений. При этом для множителя, относящегося к каждой связи, вообще получатся различные величины, которыми и определится мгновенное изменение реакции каждой связи.
Таков общий способ решения рассматриваемого вопроса. Но различные частные случаи, конечно, допускают многие упрощения.
Пример. Однородный тяжелый стержень подвешен на двух вертикальных нитях равной длины, верхние концы которых укреплены в неподвижных точках, находящихся на одном уровне, а нижние прикреплены к концам стержня. Предполагается, что стержень находится в покое (причем он горизонтален), и требуется определить мгновенное изменение натяжения одной из нитей, когда другая будет перерезана. Пусть g — ускорение силы тяжести, М — масса стержня, & — плечо инерции его относительно перпендикулярной оси, проходящей через центр инерции, / — длина каждой нити, 2а — длина стержня.
Пока нить не была перерезана, натяжение каждой нити, очевидно, было равно -у Mg. Пусть X есть натяжение оставшейся нити после того, как перерезана другая. Примем прямую, проходящую через неподвижные точки прикрепления нитей, за ось х, а за ось у — вертикальное направление сверху вниз. Очевидно, что последующее движение стержня будет происходить в плоскости ху. Пусть ф есть угол, составляемый в какой-либо момент этого движения направлением стержня с осью х и хС1 ус — координаты центра инерции стержня. Так как последний находится в средине длины стержня, то координаты концов его будут
хс+ясо5ф, ус + a sin ф; хс—a cos ср, ус — аэшф.
Положим, что остается та из двух нитей, которая прикреплена к последнему концу. Тогда между величинами хс, уС) ф мы будем иметь уравнение
(хс — a cos ф)2 + (Ус — а sin ф)2 = /2.(63)
Составляя дифференциальные уравнения движения стержня и применяя эти уравнения к моменту уничтожения нити, получим
^ = 0’ M^^=Mg-X,М№^- = Ха.(64)
Если же продифференцируем два раза уравнение (63) и полученное уравнение применим к моменту уничтожения нити, то, учитывая, что в этот момент
dxc = dyc _ Жр _ __dt dt dt1
получим
,. d^xc , d2ycd2cp
(Хс — a) № + Ус dp — аус—д^г .
Внося теперь в это уравнение вместо d2xcd2^ d2q>
dt2 9dt2 ' di2
их величины, следующие из уравнения (64), получим X Ха2 8~ ИГ — ~МкГ* Откуда X = Mg
Но вследствие однородности стержня
га2
—а а следовательно,
Итак, вследствие уничтожения одной из нитей натяжение другой мгновенно изменяется из -^ Mg в -^ Mg, т. е. уменьшается вдвое против своей прежней величины.
Раздел четвертый [2б]
ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ДЕФОРМИРУЕМЫХ ТЕЛ И ГИДРОСТАТИКА
Все тела природы способны в более или менее значительной степени подвергаться деформациям, т. е. изменениям своей формы. Поэтому динамика неизменяемой системы дает только первое приближение в решении вопросов о движении и равновесии физически твердых тел. Второе и следующие приближения даются теорией движения деформируемых тел, основания которой будут здесь изложены.
Прежде всего нужно отметить, что теория деформируемых тел рассматривает только такие явления, для исследования которых нет необходимости вникать в рассмотрение внутреннего строения вещества. Поэтому в этой теории все тела рассматриваются как сплошные, т. е. как части пространства, сплошным образом заполненные материей. Сообразно с этим предполагается, что плотность изменяется вообще непрерывным образом при переходе от одной точки тела к другой. Это однако не мешает рассматривать и такие случаи, когда плотность претерпевает разрыв по некоторым поверхностям внутри тела, ибо в этих случаях тело можно рассматривать как состоящее из нескольких различных тел, разделенных поверхностями разрыва плотности. Разделяя тело на какие-либо элементы с тремя бесконечно малыми измерениями и рассматривая эти элементы как материальные точки, можно все тело, какова бы ни была его природа, рассматривать как систему свободных материальных точек, между которыми действуют особые взаимодействия, характерные для данного тела, называемые частичными силами. Входить в излишние гипотетические подробности относительно свойств, приписываемых этим силам, мы не будем, тем более, что для этого было бы необходимо остановиться на какой-либо гипотезе относительно внутреннего строения вещества. Обратим внимание только на те общие свойства их, которые можно рассматривать как результат непосредственного наблюдения.
Вообразим внутри тела замкнутую поверхность, выделяющую из него какую-либо часть А. Частичные силы, действующие на материальные точки этой части Л, по их происхождению могут быть разделены на два класса: одни исходят из материальных точек той же части Л, другие — из материальных точек остальной части тела. Первые представляют взаимодействия между материальными точками рассматриваемой части Л и мы назовем их внутренними силами; вторые представляют действие окружающей материи тела на рассматриваемую часть его и их назовем внешними. При этом упомянутые свойства
частичных сил могут быть выражены так: внутренние частичные силы таковы, что они взаимно уравновесились бы, если бы рассматриваемая часть тела обратилась в неизменяемую систему. Внешние же частичные силы приводятся к силам, приложенным сплошным образом к поверхности этой части тела и притом так, что силы, приложенные к какой-либо части этой поверхности, не зависят от размеров и вида остальной части поверхности.
Примечание. Когда говорят, что к некоторой поверхности сплошным образом приложены силы, то под этим подразумевают предельный случай, к которому можно перейти, предполагая, что в некоторой точке каждого элемента поверхности с двумя бесконечно малыми измерениями приложена сила, величина которой есть бесконечно малая одного порядка с этим элементом, причем как предельное направление силы, так и величина предела отношения силы к элементу поверхности изменяются непрерывным образом при переходе от одной точки поверхности к другой.
Поверхностные силы, к которым приводятся внешние частичные силы действующие на каждую часть тела, мы будем в отличие от других сил, с которыми нам придется иметь дело, называть напряжениями, рассматривая их как силы, действующие на элементы поверхности с внешней стороны по отношению к рассматриваемой части тела. Причем отношение напряжения к бесконечно малому элементу поверхности, на который оно действует, когда все точки контура этого элемента стремятся к совпадению с некоторой точкой М поверхности, называется напряжением, отнесенным к единице площади, действующим в точке М на площадку, лежащую в касательной плоскости к поверхности в этой точке. Это напряжение будет зависеть как от положения точки М, так и от направления площадки. Определяя первое прямоугольными координатами х, у, 2, а второе направлением п нормали к площадке, чтобы иметь в виду нечто вполне определенное, мы будем всегда под напряжением, действующим в точке (х, у, 2) на площадку, характеризуемую направлением п, понимать то, которое действует на нее со стороны, куда направлено п. При этом, определяя направление, отнесенное к единице площади, действующее на эту площадку, его проекциями на координатные оси, мы будем последние обозначать через Хт Y 7
Величины Хт Yni Zn, как замечено выше, будут некоторыми функциями от х, у, z, cos (и, х), cos (п, yY cos (и, 2) и мы всегда будем предполагать их непрерывными функциями этих переменных. Далее будет показано, что они всегда могут быть приведены к виду линейных функций от cos (л, х), cos (п, у), cos (п, 2), коэффициенты которых — некоторые функции от х, у, г.
Напряжение, действующее на площадку какого-либо направления, вообще может составлять какой угодно угол с направлением нормали к ней. Если его разложить на две составляющие силы, одну в плоскости площадки и другую, направленную по нормали к ней, то первая представит так называемое тангенциальное напряжение, а вторая — натяжение или давление в зависимости от того направлена ли она в ту сторону, откуда действует рассматриваемое напряжение, или в противоположную.
Под напряжением, действующим на некоторую конечную часть поверхности, понимают вектор напряжений, действующих на все элементы этой части поверхности. Проекции его на координатные оси поэтому выразятся интегралами
У Xnds, ^ ¥nds, ^ Znds
(где ds — элемент поверхности), распространенными на всю рассматриваемую часть поверхности.
На основании высказанного выше принципа можно сделать следующее замечание: так как необходимым условием уравновешивания сил, приложенных к свободной неизменяемой системе, служит равенство нулю как вектора этих сил, так и главного момента их, взятого относительно какой-либо точки, то вектор и главный момент всех частичных сил, действующих на какую-либо часть 546
тела, должны приводиться к вектору и главному моменту напряжений, действующих с внешней стороны на поверхность этой части тела.
Поэтому если п — направление внешней нормали к этой поверхности в точке (х, у, z), то проекции на координатные оси этих вектора и момента (предполагая последний взятым относительно начала координат) будут
У X„ds,
У (t/Z„ — zY ^ ds, J (zXn — xZ„) ds, ^ (xYn — yXJ ds, где интегралы распространены на всю поверхность взятой части тела.
Этим замечанием мы воспользуемся в следующем параграфе для вывода основных уравнений движения деформируемых тел.
Частичные силы действуют на тело всегда, в какие бы условия оно ни было поставлено. Вследствие этого свойства частичных сил данного тела могут служить его характерным отличием от других тел.
Но кроме этих сил на тело могут действовать еще другие, весьма различного характера, которые могут быть заданы произвольным образом и служат характерным отличием одной задачи о движении или равновесии тела от другой. Из этих сил мы будем рассматривать силы двух категорий: поверхностные, приложенные сплошным образом к поверхности, ограничивающей все тело, т. е. силы того же характера, что и определенные выше поверхностные напряжения, и объемные, приложенные сплошным образом ко всему объему тела, какова, например, сила тяжести. Случай действия этих последних сил рассматривают как предельный, к которому можно перейти, предполагая, что на каждый элемент массы тела с тремя бесконечно малыми измерениями, рассматриваемый как материальная точка, действует сила, величина которой есть бесконечно малая одного порядка с этим элементом. При этом пределы, к которым приближаются направление этой силы и величина отношения ее к объему элемента, когда все точки этого объема стремятся к совпадению с некоторой точкой М тела, представят направление и величину так называемой силы, отнесенной к единице объема, действующей в точке М. Проекции этой последней силы на координатные оси мы будем обозначать через kX, kY, kZ, понимая под к плотность тела в точке М (х, у, z}. Величины X, У, Z будут некоторыми функциями координат х, у, z.
Полезно заметить, что напряжение, отнесенное к единице площади, выражается в следующих единицах:
ед. массы (ед. плотности) (ед. длины)2(ед. длины) (ед. времени)2(ед. времени)2 ’
а сила, отнесенная к единице объема,— в следующих:
ед. массы(ед. плотности) (ед. длины) (ед. длины)2 (ед. времени)2(ед. времени)2
Переходя теперь к составлению дифференциальных уравнений движения деформируемых тел, мы будем основываться на высказанном в начале предыдущего параграфа замечании, что всякую часть тела можно рассматривать как систему свободных материальных точек, если ввести все действующие на нее частичные силы. А потому если принять в расчет эти последние силы, то для всякой части тела будут справедливы уравнения движения центра инерции и уравнения моментов. Вследствие этого замечая, что проекции на координатные оси вектора и главного момента относительно начала координат всех объемных сил, действующих на взятую часть тела, выражаются интегралами
У Xkdx, У Ykdx, $ Zkdx,
^yZ — zY) kdx, ^ (zX — xZ) kdx, ^xY—yX^kdx
(dx — элемент объема), распространенными на весь объем рассматриваемой части тела и пользуясь замечанием, высказанным в конце предыдущего параграфа, можно тотчас же составить следующую систему уравнений:
J к -^- dv = J kXdx + J Xnds,
^ k-^-dt = ^ kYdt + ^ Ynds,(1)
J к -^- dr = J kZdx + J Znds,
У -^z ~^~) Mt = ^yZ~ zY^kdT + J ^yZn — zYn^ds’
z -^x -^“j ^T = J (z^ — x^ kdx + J (z^n — x^a) ds, (2) x ^— у ^r}kdx = VxY - yX^kdx + J ^хУп ~yXn^ds*
Пользуясь надлежащим образом тем обстоятельством, что эти уравнения должны быть справедливы для всякой части тела и получим все необходимые уравнения.
Прежде всего докажем, что напряжения, действующие в какой-либо точке жидкости на площадку какого-либо направления с двух противоположных сторон ее, равны и прямопротивоположны.
Возьмем где-либо внутри тела объем, ограниченный поверхностью кругового цилиндра и двумя площадками, перпендикулярными к его образующим, и применим к этой части тела уравнения (1), а затем перейдем к пределу, предполагая высоту и радиус круга основания цилиндра, стремящимися к нулю так, чтобы все его точки приближались к совпадению с некоторой определенной точкой М тела, а образующие постоянно сохраняли бы свои направления. Пусть а есть радиус круга основания цилиндра, h —его высота, / и V — прямо противоположные направления внешних нормалей к площадкам оснований его. Мы будем предполагать, что К зависит от а таким образом, что при а бесконечно малом h есть бесконечно малая высшего порядка, так что
Так как объем этого цилиндра будет бесконечно малой одного порядка с ha? и того же порядка будут объемные интегралы, входящие в уравнения (1), то по разделении всех членов этих уравнений на а2 в пределе получим из них следующие равенства:
lim а-*0lim а-*0^Xndsа2^Xndsа2limос—>0limос—>0Vndsа2Vndsа2= о,= о,limа-*0limа-*0У Zndsа2У Zndsа2= 0.= 0.
lim а-*0
lim а-*0
^Xndsа2
^Xndsа2
lim
ос—>0
lim
ос—>0
Vnds
а2
Vnds
а2
= о,
= о,
lim
а-*0
lim
а-*0
У Zndsа2
У Zndsа2
= 0.
= 0.
Но каждый из входящих сюда поверхностных интегралов есть сумма трех интегралов, из которых один распространен на боковую поверхность и два других — на площади оснований цилиндра. Очевидно, что предел отношения первого интеграла к а? есть нуль, ибо этот интеграл есть бесконечно малая, порядок которой не ниже порядка величины боковой поверхности, равной 2л/1а. Поэтому наши предельные равенства приведутся к
lim &->0lim &->0^Xtdsа2^Xtdsа2^ Xf ds* ^а2 у^ Xf ds* ^а2 у\Ytds lim ——о— а^0\ а\Ytds lim ——о— а^0\ аj Yr ds'а2j Yr ds'а2
lim &->0
lim &->0
^Xtdsа2
^Xtdsа2
^ Xf ds* ^
а2 у
^ Xf ds* ^
а2 у
\Ytds lim ——о— а^0\ а
\Ytds lim ——о— а^0\ а
j Yr ds'а2
j Yr ds'а2
и т. д., где поверхностные интегралы распространены на площадки оснований цилиндра, а так как, очевидно,
SX*ds V 1- ^Xt'ds' V
lim -^—г— = nXb hm-i—$— = nXr
a-*0 aa->0 a
и т. д., где знаки Xb Yb Zb Xp, Yp, Zp относятся к одной и той же точке М, то получаемые отсюда равенства
Х^Хр = 0, Y^Yp = 0, Zt + Zp = 0
и доказывают справедливость теоремы.
Мы теперь покажем, что для определения напряжения, действующего на площадку какого угодно направления в данной точке тела, достаточно знать для этой точки напряжения, действующие на какие-либо три площадки.
Проще всего предположить эти три площадки взаимно перпендикулярными и мы будем проводить их перпендикулярно к координатным осям. Согласно с нашей системой обозначений проекции на координатные оси напряжений, отнесенных к единице площадки, действующих в точке (х, у, z) на эти площадки с тех сторон, в которые направлены перпендикулярные к ним оси координат, должны быть обозначены, как это показано в следующей таблице:
Нормали к площадкам
Оси проекций
Хх Ух Zx Ху Уу Zy хг уг гг
Для доказательства рассматриваемой теоремы применим уравнения (1) к бесконечно малому тетраэдру, ограниченному плоскостями, проведенными через точку (х, у, z) перпендикулярно к координатным осям, и плоскостью, перпендикулярной к некоторому направлению п, проведенной на расстоянии h от точки (х, у, z) с той стороны, куда направлено п. Эту последнюю плоскость мы будем рассматривать как плоскость основания тетраэдра и площадь основания его обозначим через s. Предполагая, что h стремится к нулю, между тем как направление п остается нормальным, найдем, что и s будет стремиться к нулю.
Применив уравнения (1) к этому тетраэдру, найдем, что входящие в них объемные интегралы будут бесконечно малыми одного порядка с объемом тетраэдра, который равен -^ ns, а так как площади сторон нашего тетраэдра равны проекциям на их плоскости площади основания s, то входящие в эти уравнения поверхностные интегралы будут отличаться на бесконечно малые высших порядков от следующих выражений:
Хп s — Хх s cos ^п, х) — Ху s cos (и, у) — Х2 s cos (п, z),Yns — Y х s cos (и, x) — YyS cos ^n, y) — Yzs cos (n, z),Zns — Zx s cos ^n, x) — Zy s cos ^n, y) — Z2s cos ^n, z).
Поэтому разделяя эти уравнения на s и переходя к пределу для h -> 0, получим Хп = Хх cos (п, х) + Ху cos ^п, у) + Х2 cos (п, z),
Yn = ^х COS (п> Х) + Yy C0S kn^ у) + ^z COS (^, 2),(3)
Zn = Zx cos ^n, x) + Zy cos (n, y) + Z2 cos (n, z).
Таким образом, зная для точки (х, у, z) девять величин Хх, Yx, Zx, Ху, Yg, Zy, Х2, Yz, Z2, мы можем по этим формулам найти Хп, Yn, Zn для всякого
направления п. Далее будет показано, что между этими девятью величинами только шесть различных.
Если в уравнения (1) вместо Хп, Yn, Zn внесем их величины (3) и затем воспользуемся известной формулой
J [f cos (га, х) + ф cos (га, у) + tp cos (га, г)] ds = j ^L + -^- + -^ dr,
в которой /, ср, ф— какие-либо однозначные и непрерывные функции координат внутри некоторого объема, п — направление внешней нормали к поверхности этого объема и интегралы распространены на эту поверхность и объем, то приведем эти уравнения к следующему виду:
d4
dp
-кХ-
dXx dx
dXu Эд
dXz dz
J d% = 0,
к -
^д
"dt^
-kY —
dY x dx
dY у dy
dY z \ dz )
| dT = 0,
к -
d“z
dt^
-kZ —
dZz dx
dZ„ dy
dZz dz )
| dT = 0.
Применив эти уравнения к какой-либо бесконечно малой части тела, все точки которой стремятся к совпадению с некоторой точкой (х, у, г), после разделения этих уравнений на объем этой части тела, в пределе найдем
. d>x
R №
= kX +
dXx dx
+ ■
9XV . dy 1
dXz dz ’
R dt^
= kY +
dYx dx
+
9Yg . dy 1
d¥2 dz ’
(4)
d2z f dZx f dZy , dZ2
Эти уравнения должны быть удовлетворены для всякой точки (х, у, г) внутри тела и представляют основные дифференциальные уравнения движения деформируемых тел.
Из этих уравнений находим
А (У Sz S-\ = KyZ — ?Л + Yz — Z„ ++
dydz *
Умножая все члены этого равенства на элемент объема dr, затем интегрируя их по всему объему какой-либо части тела и преобразуя объемные интегралы в поверхностные по формуле, которой только что пользовались, находим
^У^-г^т^ ^Z-zY)kdr + ^Yz-Zy)dr-V
+ J ^yZ, — zY^ cos (тг, x) + (yZ^ — z¥cos (и, y) + (yZz — zY cos (n, z) j ds.
Но входящий сюда поверхностный интеграл по формулам (3) приводится к виду
У ^¥п) ds,
а потому полученное равенство вследствие (1) из уравнений (2) дает
(Yz — Zs) dr = 0.
Точно также находим
$(ZX — X2)dT = 0, $ (Хд — Ух)йт = 0.
Так как эти равенства должны быть справедливы для всякой части тела, то при помощи рассуждений, которыми нам уже не раз приходилось пользоваться, находим из них следующие
¥г = Zr Zx = Хг, Хи = Ух,(5)
которые должны быть справедливы для всякой точки тела. На основании этого можно доказать следующую теорему.
Для всякой точки тела проекция на какое-либо направление I напряжения, действующего на площадку, перпендикулярную к какому-либо направлению п, равна проекции на направление п напряжения, действующего на площадку, перпендикулярную к направлению I.
В самом деле, по формулам (3) и (5) находим
Хп cos (Z, х) + Уп cos (Z, у) + Zn cos (Z, z) = 1Хх cos («, x) 4-
+ Xg cos (n, y) 4- Xz cos (n, z)) cos (Z, x) + 1Уг cos (”, ^ + У4 cos (n,t/) 4
+ Уг cos (n, z)] cos (Z, y) 4- \ZX cos (n, x) 4- Ze cos («, y) 4- Zz cos (n, z)] cos (Z, z) = = [X, cos (Z, x) 4- Xg cos (Z, y) 4- Хг cos (Z, z)] cos (n, x) + [Ух cos (Z, x) 4
Уд cos(Z, y) 4- У г cos (Z, z)] cos (n, y) 4- IZX cos (Z, x) 4- Zg cos (Z, y) 4
Zz cos (Z, z)] cos («, z) = Xt cos (re, x) 4- ^ cos (”»#) + Zt cos (n, г).
4. Кроме уравнений (4) для каждой точки (х, у, г) тела должно быть удовлетворено еще так называемое уравнение сплошности вещества. Чтобы вывести это уравнение, обозначим через и, у, ш проекции на оси х, у, г скорости какой-либо точки (х, у, z). Величины и, у, w можно рассматривать как некоторые функции х, у, z и t и в этом предположении мы будем брать от них частные ди ди дю производные
Вообразим внутри тела какую-либо замкнутую поверхность, ограничивающую такую часть тела, для которой м, v, w — в рассматриваемый момент непрерывные функции координат. Кроме того, предположим, что внутри этой поверхности не образуются пустоты (т. е. части пространства, не занятые материей), по крайней мере, в течение достаточно малого промежутка времени, следующего за рассматриваемым моментом. Предполагая эту поверхность неподвижной, найдем приращение за бесконечно малый промежуток времени di количества материи, содержащегося в ограничиваемой ею части пространства.
Пусть & есть плотность тела в точке (х, у, г). Это будет некоторая функция х, у, г, t. Если Д^- есть частная производная ее по t, взятая в этом предположении, то рассматриваемое приращение может быть выражено
dZ f-^d-r,
где интеграл распространен на все элементы du объема рассматриваемой части тела.
Но для того же приращения можно составить еще другое выражение. Если п — направление внешней нормали к нашей поверхности в одной из точек ее элемента ds, то
— dt [и cos (л, х) + и cos (и, у) + w cos ^п, z)] kdsпредставит количество вещества, входящего в течение времени dt через элементповерхности ds в ограничиваемую ею часть пространства. Поэтому выражение— dtj Yu cos (п, х) + v cos (и, у) + w cos (n, z)] kds,
в котором интегрирование распространено на всю рассматриваемую поверхность, представит приращение за промежуток времени di количества материи в этой части пространства.
Сравнивая два найденных выражения этого приращения, находим
J
dkС
-^- dt = — Ии cos (л, х) 4- и cos ^п, у) + ш cos (л, z)] kds.
Но и, v, w; к суть однозначные и по условию непрерывные функции х, у, г внутри рассматриваемого объема. Поэтому входящий сюда поверхностный интеграл может быть преобразован по известной формуле в объемный. Таким образом,
С ( dk,dku, dku,дкхм \ , Л
\Ь ~зН ~з— ^т = 0.
j \ dt1дх ду1 dz )
Предполагая теперь рассматриваемый объем бесконечно малым, так чтобы все точки его стремились к совпадению с некоторой точкой (х, у, z), после разделения обеих частей найденного равенства на этот объем, в пределе получаем
dk , dku , dku , dkw Л
—+ -дг + ^г + -^- = °-(6)
Так как и, и, w могут претерпевать разрыв только в некоторых отдельных точках, линиях или поверхностях, то это уравнение будет справедливо вообще для всякой точки тела, за исключением только что упомянутых.
Кроме того, нужно иметь в виду, что скорости точек тела должны удовлетворять еще некоторому условию на его поверхности. Чтобы вывести это условие, рассмотрим какую-либо часть поверхности тела в том положении, которое она занимает в момент t и найдем количество вещества, проходящего через эту часть поверхности в течение бесконечно малого времени dt во внешнее пространство. Если п — направление внешней нормали к поверхности тела, то это количество вещества будет
dt § Vu cos (л, х) + v cos (п, у) + w cos (л, z)] kds,
где интегрирование распространено на рассматриваемую часть поверхности. Но, с другой стороны, то же количество вещества может быть выражено интегралом
У kbnds,
в котором Ьп есть нормальное перемещение, которое получает одна из точек элемента ds поверхности тела в течение времени dt и которое считается положительным, когда имеет направление нормали п и отрицательным в противном случае.
Таким образом, находим
dt ^ Vu cos ^п, х) + и cos (л, у) + ^ cos (п, z)] kds = j k&nds.
Чтобы найти 6п положим, что / (х, у, z, t) = 0 есть уравнение поверхности тела. Если (х, у, z) — какая-либо точка этой поверхности в момент t, то (х + 6п х X cos (л, х), у + 6п cos (п, у), z -\- 8п cos (п, z)) будет точкой, находящейся на ней в момент t + dt, а потому
/ (х + 8п cos (л, х), у + 8п cos ^п, у), z + 8п cos (п, z), t + dt) = 0.
Отсюда же находим
-|~ 8п cos (л, х) + -^- 6я cos (п, у) + -^- 6п cos (л, z) + *^*dt —0
и, следовательно,
-^ cos («, х) + -^- cos («, У) + -^- cos («, г)
Далее, замечая, что
cos (п, х) cos (п, у) cos (nt z) ЗГ” ~ df ~ df ’
дхдуdz
находим
и cos (и, х) + v cos (п, у) + w cos (п, z) =
cos fa, *) + COS (n, y) + COS fa, z) dxdydz
Вследствие этого наше уравнение принимает вид
Г 4„ + 4„ + 4. + 4.
——-—%—-—IMs=°-
J -^- cos (re, х) + -^- cos (re, у) + -^- cos (re, z)
Так как это уравнение должно быть справедливым для всякой части поверхности тела, то для каждой точки этой поверхности должно быть удовлетворено условие df , df . dt . df n
-5— и + -5— v + -sr w + -57- = 0,(7)
дх 1 dy dz dtv >
которое мы и желали вывести.
Выше были найдены формулы, определяющие для каждой точки тела напряжения, действующие на площадки различных направлений. Теперь мы остановимся на выводе некоторых следствий из этих формул.
Вообще напряжение, действующее на площадку какого-либо направления, не нормально к этой площадке. Но, как мы сейчас покажем, для всякой точки тела можно найти, по крайней мере, три такие взаимно перпендикулярные площадки, на которые действуют нормальные напряжения.
Пусть п есть направление нормали к одной из таких площадок, ар — положительно или отрицательно взятая величина действующего на нее напряжения, так что
Хп = р cos (п, х), Yn = р cos (п, у), Zn = р cos (и, z).
Внося эти выражения в уравнения (3), получим
^Хх — р) cos (п, х) + Xg cos (п, у) + Хг cos(m, z) = 0.
Yx cos (и, x) + (Yg — p) cos (n, y) + Yг cos (w, z) = 0,(8>
Zx cos (w, x) + Zg cos (w, у) + (7г — p) cos (w, z) = 0.
Но этим уравнениям, очевидно, можно удовлетворить не иначе, как полагая
Хх-рхдхг
Yx Yg-p¥г
^х^г — Р
= 0.(9)
Таким образом, получаем уравнение третьей степени для определения р. Каждый вещественный корень его дает величину нормального напряжения.
которое притом будет натяжением или давлением в зависимости от того положителен или отрицателен этот корень. Внося же этот корень в уравнения (8), получим из них в связи с уравнением
cos2 (и, х) + cos2 (я, у) + cos2 (п, 2) = 1 направление нормали к той площадке, на которую действует найденное напряжение.
Показав существование площадки, на которую действует нормальное напряжение, покажем теперь, что таких площадок существует вообще три и что они взаимно перпендикулярны. Для этого замечаем, что уравнения (8) и (9) те самые, которые служат для определения направлений и величин осей поверхности второго порядка
X, х2 + К„ у2 + £г г2 + 2Уг уг + 2Z, гх + 2Х„ ху = Q,
где Q — постоянная. В самом деле, так как центр этой поверхности находится в начале координат, то разыскание ее осей приводится к разысканию наибольшего и наименьшего из радиусов-векторов ее точек. Если же г есть радиус- вектор, имеющий направление тц так что
х = г cos (и, х), у = г cos (пэ у), 2 = г cos (тг, z), то разыскивая по правилам дифференциального исчисления максимум и минимум -^-, придем к уравнениям, которые могут быть получены из предыдущих
1 заменой р через
Отсюда заключаем, что уравнение (9) имеет три вещественных корня и что направления п, соответствующие этим корням, взаимно перпендикулярны.
Если принять эти три взаимно перпендикулярных направления за координатные оси, то для рассматриваемой точки
Y, = Zy = О, Zx = Х2 = 0, Хи = Yx = О, а напряжения, действующие в этой точке на какую-либо площадку, будут определяться формулами
Хп = Xxcos(«, х), Yu = Yy cos (и, у), Zn = Z2 cos (п, 2).(10)
Эти три взаимно перпендикулярных направления называются осями упругости для рассматриваемой точки.
Если через какую-либо точку тела проводить всевозможные направления и на них откладывать длины, пропорциональные напряжениям, действующим по этим направлениям, то геометрическое место концов этих длин будет поверхностью, наглядно представляющей закон изменения напряжения в зависимости от его направления. Чтобы получить уравнение этой поверхности, примем рассматриваемую точку за начало координат, а соответствующие ей оси упругости — за оси координат. Если х, у, 2 — координаты точек этой поверхности и Q — постоянная, то
х = QXm у = QY п, 2 = QZm
а потому из уравнений (10) найдем
откуда видно, что рассматриваемая поверхность есть эллипсоид, оси которого направлены по осям упругости для рассматриваемой точки. Эта поверхность называется эллипсоидом упругости.
Эллипсоид упругости дает возможность судить об относительных величинах напряжений, действующих по различным направлениям.
Что же касается направлений площадок, на которые эти напряжения действуют, то они определяются при помощи другой поверхности второго порядка, уравнение которой в рассматриваемой системе координат имеет вид
где Р — постоянная. Когда все три величины Хх, Yg, Zz одного знака, это уравнение определяет эллипсоид. В противном случае оно принадлежит однополому или двуполому гиперболоиду.
Поверхность эта обладает тем свойством, что направление напряжения есть направление, сопряженное по отношению к ней с плоскостью той площадки, на которую оно действует.
Чтобы доказать это свойство, достаточно заметить, что касательная плоскость к нашей поверхности, проведенная в точке (х, у, 2), перпендикулярна к направлению, косинусы углов которого с координатными осями пропорциональны величинам
X у г
Хх ' Yy 1 Zz *
Поэтому если это направление есть п, то х, у, г должны быть пропорциональны, величинам
Хх cos (п, х), Yg cos (п, у), Z2cos(m, 2) илиХп, Yn, Zn,
откуда непосредственно и следует справедливость теоремы.
Чтобы приложить уравнения, выведенные в § 3, к какому-либо определенному телу, необходимо знать зависимость, в которой поверхностные напряжения находятся от состояния деформации и состояния движения тела. Но зависимость эта определяется физическими свойствами тела и для различных тел может быть весьма различна. Поэтому при общем рассмотрении деформируемых тел приходится остановиться на выводе упомянутых уравнений.
Далее мы приложим эти уравнения к жидкостям, которые можно рассматривать как предельный случай деформируемых тел, точно так же, как неизменяемая система представляет другой предельный случай этих тел. Теперь же, в заключение общих рассуждений, выведем выражение работы внутренних частичных сил, действующих на какую-либо часть тела, которое нам пригодится впоследствии.
Рассмотрим какую-либо часть тела и предположим, что точкам ее сообщены какие-либо бесконечно малые перемещения. Пусть бх, бу, 62— проекции на координатные оси перемещения точки (х, у, 2). Это будут некоторые функции х, у, 2 и единственное предположение, которое мы сделаем относительно этих перемещений, будет состоять в том, что бх, бу, 62 — непрерывные функции х, у, 2.
Разделим рассматриваемую часть тела на элементы с тремя бесконечно малыми измерениями и будем считать эти элементы материальными точками. При этом всю указанную часть тела можно рассматривать как систему свободных материальных точек, если ввести частичные силы. Из уравнений (4) видно,, что равнодействующая всех частичных сил, приложенных к материальной точке (х, у, 2), масса которой равна kdx (если dx — элемент объема), имеет проекциями на координатные оси следующие величины:
/ дХх , дХу , дХг\/дУ х, д¥у ,дУг\/ dZx , azg ,
дх + ду + dz[дх+ ду +dz[ дх + ду
Поэтому работа всех частичных сил, действующих на рассматриваемую часть тела, для данных перемещений будет
С Г /4. J^l. -и _^£_\ бх + f -^- 4- J^jl. 4- ^к_\ §о 4- (_^*_ 4- _^_ 4.
J [^ ах ду дг )ох + ах + ду az ^ °^ ^ ^ ах ду 4-^_')б2Ът,
где интеграл распространен на все элементы объема dx этой части тела. Преобразуем здесь подынтегральную функцию к виду
4т (Хх8х + Y х8у 4- Z,8z) + -^- <Хи8х 4- Yg8y + Z^z) 4- -j- (Xz8x + Yz8y +
г e x у ddx v d6y 7 d6z Y ^x V ^^7 ^z
— Ax—X x—x Lx—X X^~y 9~y ^"dF
v ддху ддуу d6z
— Лг~2^"dZ^2"дГ
и затем воспользуемся формулой известного преобразования объемного интеграла в поверхностный, принимая в расчет формулы (3) и (5). Тогда предыдущее выражение работы примет вид
J(Х„8х + Yn6y + Zn8z) ds-^Xx^ + yg^- + Zz^ + yz^ +
+4. Z, f^- + ^ 4- х /_^ 4. ^1 dx.
ду ) 1 х дх 1 дг ) 19 \ ду 1 дх yj
Но это выражение должно быть равно сумме работ внешних и внутренних частичных сил. Работа же внешних частичных сил, очевидно, равна
У (Х„6х + У п8у 4- Z„6z) ds.
Поэтому для искомой работы внутренних частичных сил получаем
с Г Г v ^дх , тг дду . у ддг ,/ дду , дбг \ . 7 ( ддг .
F = ~ j Т+ У2+
. ддх \ . I , дду \1 , 1 дг у 1 9\ду 1 дх yj
Согласно основному принципу, который послужил нам для вывода дифференциальных уравнений движения деформируемых тел, внутренние частичные силы должны взаимно уравновешиваться, если введены связи, обращающие рассматриваемую часть тела в неизменяемую систему. Поэтому работа внутренних частичных сил должна обращаться в нуль для всяких таких перемещений этой части тела, которые возможны для неизменяемой системы. Этим свойством действительно и обладает полученное выражение F, ибо если
бх = а 4- ^gZ — ^гУ, 8y = ^ + ^zx — ^у, 8z = 7 + ^ХУ — ^8х,
где а, р, у, 6Х, tig, ^z не зависят от х, у, z, то
ддх дду дбг ~ дду ддг ддг ддх ддх
дх ду дг ’ дгду 1 дхдг 1 ду
дду
дх е
УРАВНЕНИЯ ГИДРОДИНАМИКИ
Приложим выведенные общие уравнения к жидкостям. Под жидкостью мы будем понимать такое сплошное тело, для которого в состоянии покоя тангенциальные напряжения равны нулю, а нормальные могут быть только давлениями. Если сказанное имеет место не только при покое, но и при каком угодно движении жидкости, то последнюю называют идеальной.
Под это определение подходят как капельные жидкости, так и газы. Первые обыкновенно рассматриваются как несжимаемые и притом однородные, а последние — как упругие жидкости.
Посмотрим прежде всего, к какому результату приводит предположение равенства нулю тангенциальных напряжений. Так как в этом предположении ¥г = Zx = Xg = 0 для всяких направлений координатных осей, то уравнения (3) принимают вид
Хп = Хх cos (п, х), Yn = Yg cos (п, у), Zn = Zz cos (n, z).
Ho Xn, Yn, Zn — проекции напряжения, действующего на площадку, перпендикулярную к направлению п, которое должно быть давлением. Обозначая же величину этого давления, отнесенного к единице площади через р, будем иметь
Хп = —pcos(n, х), Yn = —/7 cos (л, у), Zn = — р cos (п, г\
а потому найдем
Xx=YB = Zz = —p.
Таким образом, приходим к заключению, что для всякой жидкости, находящейся в покое, во всякой точке ее давления (отнесенные к единице площади) на площадки всевозможных направлений равны между собой. Для идеальной жидкости это равенство давлений имеет место и при каком угодно движении ее. Далее мы выведем дифференциальные уравнения движения идеальных жидкостей.
Определить движение жидкости—значит получить возможность дать положение каждой точки жидкости в каждый момент времени. Для этого же необходимо иметь выражения координат точек жидкости в функциях времени и величин, определяющих точки жидкости, т. е. таких величин, которые служат для отличия одних точек жидкости от других. Проще всего за эти последние величины принять начальные координаты точек жидкости. Пусть х, у, г — координаты в момент / той точки жидкости, которая в некоторый начальный момент /0 имела координаты а, Ь, с. Движение жидкости будет определено, если для х, у, г будут найдены выражения вида
х = /1 (/, а, Ь, с), у = /2 (/, а, Ь, с), 2 = f3 (/, а, Ь, с).
Для получения этих выражений для х, у, г существуют два способа сообразно с двумя формами дифференциальных уравнений движения жидкостей, из которых одна была дана Эйлером, другая — Лагранжем.
Пусть и, и, w — проекции на координатные оси скорости точки (х, у, z). Мы будем их рассматривать как функции х, у, z, / и пусть р есть отнесенное к единице площади давление в точке (х, у, z). Это также будет некоторой функцией х, у, z, 1. Уравнения (4) в рассматриваемом случае примут вид
d^x _ у1 дрd>y
dt2к dx ’ dt2 ”
Но мы имеем d2x du ди dx dt2dtdxdt
ди , = и h *0 дх 1
у1 дрd2z „1 др
к dy ’ dt2к дг е
.диdyjдиdzди
‘дуdt*дгdt* dt
ди.ди . ди
р wр
ду1дг1 dt
Преобразуя по этому типу также -^-, -^-, приведем уравнения (11) к виду
ди.ди.ди.ди\др
дх 1 ду dz dtк дх ’
ди.ди.ди,ди1др
dxхdydzхdtкdyх7
dw, dw. dw, dw1 dp
и-*H У-^H ^ ”3H -ЗГ-= 2t~4”.
dxx dydzx dtк dz
К этим уравнениям еще нужно присоединить уравнение (6). Уравнения (12) и (6) и представляют эйлерову форму уравнений гидродинамики.
Для жидкостей несжимаемых в них к есть известная постоянная величина, так что уравнение (6) принимает вид
j^^^^L^O.(13)
дх ду dzv 1
Для жидкостей же упругих к должно быть дано в функции от р. Так, например, для газов, следующих закону Мариотта, к = ар, где а — некоторая постоянная. Во всяком случае мы можем положить
& = »(р), где 0* — обозначение известной функции.
Учитывая это обстоятельство, мы видим, что во всех тех случаях, когда X, Y, Z даны в функциях х, у, 2, и, v, w, к, t система уравнений (12) и (6) содержит четыре уравнения с четырьмя неизвестными функциями и, и, w, р от четырех независимых переменных х, у, z, t. Если бы интегрированием этих уравнений удалось найти
и = Ф1 (х, у, z, 0» у = Ф2 (*, У» г» О» = Ф3 (я, У' z> ^Y
то затем для окончательного решения задачи осталось бы только проинтегрировать систему обыкновенных дифференциальных уравнений
dxdydz
~dT ~ Ф1’ "dF ~ ф2’ "ИГ — Фз’
Интегрирование этой системы введет три произвольных постоянных. Определив их по начальным координатам точки жидкости, получим для х, у, z искомые выражения в функциях I, а, Ь, с.
Что касается вопроса об интегрировании системы уравнений (12) и (6), то оно представляет столь большие затруднения, что не может быть и речи о существовании каких-либо общих способов для этого интегрирования. Оно может удаваться только в некоторых частных предположениях относительно характера движения и до сих пор еще весьма невелико число случаев, в которых это интегрирование было выполнено.
Во всяком случае следует иметь в виду, что при интегрировании этой системы должно войти известное число произвольных функций и для определения последних нужно задать еще некоторые предельные условия, т. е. уравнения, которые должны удовлетворяться на поверхности жидкости. Из этих предельных условий мы обратим внимание на два: 1) когда дается вид некоторой части поверхности жидкости и 2) когда дается давление в каждой точке некоторой части этой поверхности. Эти последние части поверхности называются свободными поверхностями жидкости. Чаще всего давление на свободной поверхности предполагается постоянным. Таков, например, случай когда жидкость имеет
незначительную (по сравнению с земным радиусом) поверхность соприкосновения с атмосферой. Что же касается поверхностей первого рода, то это могут быть, например, части поверхности сосуда, в котором содержится жидкость, или части поверхности твердого тела, имеющего данное движение в жидкости.
Уравнения, которые должны быть удовлетворены на этих поверхностях, получаются из уравнения (7), которому вообще должны удовлетворять скорости точек поверхности жидкости. Для части этой поверхности первого рода функция / (х, у, г, /) будет известна, а потому предельным условием для этой части поверхности и будет уравнение (7). Чтобы получить предельное условие, которое должно быть удовлетворено на свободной поверхности жидкости, положим что давление на этой поверхности должно иметь постоянную величину Р. Тогда р — Р будет уравнением свободной поверхности. Для последней функция / (х, у, z, /) будет поэтому р — Р, а, следовательно, для р = Р должно быть
др , др , др , др А
дх 1 ду 1 dz 1 dt
и это будет предельным условием для рассматриваемой свободной поверхности.
Легко составить также предельное условие, относящееся к такой свободной поверхности, на которой давление непостоянно.
Рассмотрим теперь лагранжеву форму уравнений гидродинамики. Эти уравнения служат для непосредственного определения четырех функций х, у, z, р от четырех независимых переменных t, а, Ь, с. Три из этих уравнений получаются весьма легко из уравнений (11) и имеют вид
(v d2x \ дх jd>y \ dy . /„ d4 \ dz 1 др
Ж) "da +— dP ) да"Жj На"Г "да ’
/у d4 \ дх {у d^y \ ду /у д2г \ дг _ 1 др п dP ) dbdP ) dbdP ) db — h db ’
/у d2x \ дх /у d^y \ дудЧ \ dz _ 1 др е
dP / дс ф dP ) дс ф ( dP ) дс к дс '
четвертое есть преобразование уравнения (6).
Чтобы получить это преобразование будем рассматривать а, Ь, с как функции х, у, z, t, полученные решением уравнений, дающих х, у, z как функции от а, Ь, с, I. При этом найдем
ди дида,диdb .дидс
дхдадх*dbдх "^дсдх *
Но из уравнений
dy = -^-da + -^- db + -^- de, да 1 db 1 дс ’dy = -^-da + -^- db + -^- de, да 1 db 1 дс ’dx = -^da + ~db + -|^dc,
dy = -^-da + -^- db + -^- de, да 1 db 1 дс ’
dy = -^-da + -^- db + -^- de, да 1 db 1 дс ’
да 1 db 1 дс ’
dz = -^-da-V-%-db +-^-dc
да 1 db 1 де
находим
dx
da = -L
dy
дхдх
dbдс
dgду
dbдс
dz
dzdz
dbde
» = т
где величина
D =
откуда
р да __ ду dzду дг
дх,дх
-77-ах
оадс
дааУдс
дг,дг
дадс
дхдхл
"db"dx
дуду
дадЬ^У
дгдг.
-77--77-az
оадо
дхдхдх
дадЬдс
дУдуду
дадЬдс
дгдгдг
дадЬдс
п дЬ = ду
дгду дг
дхдЬ дсдс дЬ
D^- = - дх<
и, следовательно,
ди1
дхD
Точно также найдем
до 1
”57"ТГ
И
дю 1
дгD"
’ ’дхдс
Зу дгду дг
За дЬдЬ дс
дидиди
дадЬдс
дудуду
дадЬдс
дгдгдг
дадЬдс
дхдх^х
дадЬдс
дидиди
дадЬдс
дгдгдг
дадЬдс
дхдхдх
~дадЬдс
дудуду
дадЬдс
дурдурдур
дадЬдс
дада дс
находимнаходимПоэтому с учетом известной формулы для дифференцирования определителя
находим
находим
ди.ди,dw 1dD
dxхdy'dzDdt
Но уравнение (6) может быть представлено в виде
dk . dk . dk . дк . « I du . до . dw \ А dt х dx ду ‘ dzу дх 1 dy dz j
или в виде
dk. , / du,do,dw \ A
dt1 у dxxdyxdz j 9
а при помощи только что найденной формулы приводим его к виду
dkP ~
"dT ~ U
и, следовательно, kD = С,(15)
где С — величина, независящая от времени, и, следовательно, может быть функцией только от а, Ь, с. Уравнение (15) и представляет искомое преобразование уравнения (6).
Мы докажем теперь одну весьма важную теорему относительно движения жидкостей, которая была открыта Лагранжем и затем послужила Гельмгольцу основанием его теории вихревого движения. Теорема эта состоит в следующем:
Если жидкость находится под действием сил, имеющих силовую функцию, то во всяком движении ее, в котором выражение udx + ody + wdz (рассматривая в нем t как постоянную величину) есть полный дифференциал в какой-либо момент времени, это выражение будет полным дифференциалом и во всякий другой момент времени. Другими словами, если уравнения do dw dw du du do dzdy9 dxdz’ dydx
удовлетворяются в какой-либо момент времени, то будут удовлетворяться и во всякий другой момент времени.
Пусть V есть силовая функция, так что
v dV v dV 7 dV dx 9dydz
При этом вторые части уравнений (12), если положим примут вид а потому, полагая dodw с.dwdu dudo
dzdy£’dxdz^ dydx
дифференцируя второе из уравнений (12) по 2, третье по у и вычитая последний результат из первого, находим
д£.dg,.duдо dudw dodo dodw.
dxxdyxdz x dt xdzdxdydx* dzdydydy*
, dw dodw dw ~
‘ dz dzdy dz
или
dt ' dz dx Оу дхду * dz )
Но уравнение (6) дает
du,dw ди1dk
dy'dzдхкdt
Пользуясь этим равенством, а также равенствами
ди дит dw ди .
дхдудхdz * ^!
приведем наше уравнение к виду
dt к dt дх ду ^ dz 1
Таким образом, получаем первое из трех следующих уравнений
d-|-“dTd-|-“dTди Idx кди Idx кJ21__1L л__^—2_ =л_ ____ _11dy к * dz к ’ dt dx к ' dy ккdwg, dwчI dwgdtdxк dyк dzк ’J21__1L л__^—2_ =л_ ____ _11dy к * dz к ’ dt dx к ' dy ккdwg, dwчI dwgdtdxк dyк dzк ’do £dz к ’do £dz к ’(16)(16)
d-|-
“dT
d-|-
“dT
ди I
dx к
ди I
dx к
J21__1L л__^—2_ =л_ ____ _11
dy к * dz к ’ dt dx к ' dy к
кdwg, dwчI dwg
dtdxк dyк dzк ’
J21__1L л__^—2_ =л_ ____ _11
dy к * dz к ’ dt dx к ' dy к
кdwg, dwчI dwg
dtdxк dyк dzк ’
do £
dz к ’
do £
dz к ’
(16)
(16)
из которых второе и третье получаются подобным же образом. Если будем рассматривать в этих уравнениях
du du du du dudx ’ dy ’ dz ’ dx ’ dy
и т. д. как известные функции t, то это будут обыкновенные дифференциальные £ *п £
уравнения стремя неизвестными функциями --, -~, ~- и независимой переменной I. Притом это будут уравнения линейные без последних членов. Поэтому для получения их общего интеграла достаточно найти три какие-либо различные системы частных решений их и тогда известные линейные комбинации этих частных решений с произвольными постоянными коэффициентами представят общий интеграл.
В данном случае легко найти три такие системы частных решений. Для этого замечаем, что если h есть какая-либо из величин а, Ь, с, то
du dudx.dudy , dudz
dhdxdh'dydh "•" dzdh
ИЛИ
. dx dh dudx.dudydudz
dtdxdh‘dydh'dzdh*
Точно также имеем
dh dudx.dudydudz
dtdxdh'dydh*dzdh’
d dz
dh dwdx.dwdy dwdz
dt— dxdh'dydh* dzdh *
Сравнивая эти уравнения с уравнениями (16), находим, что последним удовлет-
воряют
6._ дхЧ_ ду^_ дг
кdh* кdh* кdh *
Таким образом, получаем три следующие системы частных решений
1_ к
дх
да ’
И _ ду
_L = к
дг
да ’
к
да ’
дх
Л —
ду
с
дг
к
db ’
к
db ’
к
db '
дх
ду
_L =
дг
к
дс ’
к
дс ’
к
дс
Притом эти три системы различны, ибо необходимым и достаточным условием для того, чтобы они были различны, служит, как известно, то, чтобы их определитель
дхдудг
дадада
дхдудг
dbdbdb
дхдудг
дсдсдс
не был равен тождественно нулю; точто он не может тождественно обращать
ся в нуль, следует из того, что между функциями х, у, z не может существовать, зависимости, не содержащей а, Ь, с. Отсюда заключаем, что В, т), t, будут следующего вида:
=., / дх , Q дх , дх \, / ду , а ду , ду \
®\ да r db ' дс р 1 у да 1 до дс )
S-iK + ^ + V^<‘7>
где а, р, у — постоянные, т. е. функции от а, Ь, с, не зависящие от 1.
Применим уравнения (17) к начальному моменту времени. Так как в этот момент х = а, у = b, z = с, то
дх ду дг . дх дх ду ду дг дг ~
да db дс ’ db дс да дс да db
Вследствие этого, обозначая начальные значения |, т), £, к через £0, ц0, £0, к0, находим
Со = ^о», По = ^оР, Со = ^оТ,
а потому уравнения (17) принимают вид
с. к р дх . дх , _ дх \к ду , ду . ду \
к^" Г° да + ^о db дс)'
Из этих уравнений видно, что если Со = По = Со = 0> то и Е = г] = £ =0. Другими словами, если £, т|, £ равны нулю в какой-либо момент времени, то будут равны нулю и во всякий другой момент времени.
Отсюда же, принимая в расчет значения величин g, ц, £, заключаем о справедливости теоремы.
Рассмотрим теперь, к чему приводится определение таких движений жидкости, при которых выражение
(18)(18)udx + tidy + wdz
(18)
(18)
есть полный дифференциал, предполагая, разумеется, существование силовой функции.
Пусть ф та функция координат, полный дифференциал которой есть выражение (18). Эта функция может содержать также t. Мы будем иметь
(19)(19)дфдфдф
(19)
(19)
и = -Z -. и = , ■. w = —.dx ’dydz
Таким образом, определение движения приводится в этом случае к разысканию функции ф, которая называется потенциалом скоростей.
Вследствие уравнений (19) находим
,, 9иIп9иIтдиI — =дф д2фIдфд2фIдфд2ф 1
дх*ду'дг"1"dtдх dx1"1"дудхду*1"dzдхдг
।д2ф=5(дф■1Г/ дф \2. /дфV . /дф\21)
dxdtdx\dt2Ц dx )(^dy)dz) JJ *
Вследствие этого первое из уравнений (12) принимает вид
д( дф.1Г/дф\2/дф\2/дфув __д_Л7 —т
dxI dt+2Цdx)(dy)+dz) Jjdx
Точно также найдем, что второе и третье из уравнений (12) примут вид
9/ дф|1Пd<PV,/дф\2/дфуп _d(Vо.
дГ дф.1Г/дфу■/дф\2, /дф\21’1 _d(v _~
dz\ dt"Г"2[^dx)"I" ^dy)+ ^dz) ]j —dz1K^
Интегрируя эти три уравнения, находим
Q = y_^L_ 1 Г/_^.)2 + /_^_у + /_^Г1 + П((),(20)
dt2 Ц дх у 1 ( ду /( dz ) J 1 v пх '
где П (/) — произвольная функция от t. Так как Q есть известная функция от р, то отсюда видно, что и определение р приводится к разысканию функции ф. Уравнение (6) в рассматриваемом случае принимает вид dk . dk дф . д& дф . dk дф , ^ / д2ф , д2ф . д2ф \ _ a /q i \ dt dx dx dy dy dz dzdx2+dz/2 dz2 /
Здесь й есть известная функция от р, а потому мы можем исключить р из уравнений (20) и (21) и получить уравнение в частных производных второго порядка для определения функции ф.
Заметим, что, нисколько не нарушая общности, можно не писать функции П в уравнении (20), ибо вместо ф за потенциал скоростей может быть принята функция
Ф — j П (0 dt.
В случае несжимаемой жидкости уравнения (20) и (21) принимают более простой вид
р д(р 1 dq) V -4- ( dq) V ( аф
И
dx2 + dz/2 + dz2
Так как последнее уравнение, которому должна удовлетворять функция ф, не содержит V, то движение жидкости в рассматшваемом случае не будет зависеть от сил, действующих на ее частицы. Оно оудет определяться главным образом предельными условиями. От них же будет зависеть только величина давления в каждой точке жидкости.
Легко убедиться, что это будет справедливо и в общем случае движения несжимаемой жидкости, когда не существует потенциала скоростей, если только силы имеют силовую функцию.
ГИДРОСТАТИКА
§ 11. Переходим теперь к учению об уравновешивании действующих на жидкость сил.
Чтобы получить уравнения равновесия, стоит только в дифференциальных уравнениях движения положить ускорения равными нулю. Таким образом, получим следующие уравнения:
^- = &Х, -^- = kY, ДВ- = kZ.(24)
Эх ’ dy * dzх '
Исключив из этих уравнений р и &, получим условие равновесия, т. е. условие, которому должны удовлетворять задаваемые силы для возможности равновесия. Исключая из этих уравнений р, находим
dkZ= dkY dkX= dkZ dkY= dkX
ду dz’ dz dx’ dx ду ’
а исключая из последних &, и получаем искомое условие равновесия
\ ду dz ] 1\ dz dx ) v \ dx dy )x '
Уравнение это есть ничто иное как известное условие, при котором существует множитель, обращающий выражение
Xdx + Ydy + Zdz
в полный дифференциал, как это и можно было предвидеть, ибо уравнения (24) равносильны уравнению
dp = к (Xdx + Ydy + Zdz), которое показывает, что к — такой множитель.
В случае несжимаемой однородной жидкости, когда к — постоянная величина, или в случае упругой жидкости, когда к — известная функция от р, условие равновесия имеет конечно менее общий характер. Полагая в этом случае по-прежнему
приведем уравнения (24) к виду
9Q у dQ у dQ у dxdydz
Условие равновесия будет поэтому выражаться тремя следующими уравнениями
dz= dr дх= dz dY= дх
dy dz1 dz dx’ dx dy ’
обусловливающими существование силовой функции.
Таким образом, приходим к заключению, что как однородная несжимаемая, так и упругая жидкость может оставаться в покое только при действии на нее сил, имеющих силовую функцию.
Далее мы и будем рассматривать только такие жидкости.
Обозначая силовую функцию через V, так что
Y — dV V — dV 7 - аУ" Эх ’ Y ду ’дг '
интегрированием уравнений (24) найдем
» = V + С,(26)
где С — постоянная, которую можно определить, зная давление в какой-либо определенной точке жидкости. Тогда уравнение (26) определит давление во всех других точках жидкости.
Так как $ есть известная функция от р, то из уравнения (26) следует, что на всякой поверхности уровня силовой функции (т. е. на всякой поверхности V = = const) давление сохраняет постоянную величину, а так как плотность есть функция давления, то на каждой такой поверхности и плотность будет оставаться постоянной. Отсюда следует, что если жидкость имеет свободную поверхность, выдерживающую постоянное давление, то в случае равновесия эта поверхность должна быть одной из поверхностей уровня силовой функции и плотность на ней должна быть постоянной. Если положим, что pQ есть давление на той поверхности уровня, на которой V = Уо, то уравнение (26) можем представить в виде
р
С = у _уп
J°*
Для несжимаемых жидкостей отсюда находим
Р = k (V — Vo) + Ро-
Для газов, следующих закону Мариотта, когда & = ар, р = pQea(V~v<
Заметим, что когда несколько несжимаемых несмешивающихся между собой жидкостей различных плотностей находятся в покое, то поверхности, их разделяющие, всегда будут поверхностями уровня силовой функции. В самом деле, если имеем две жидкости, из которых одна имеет плотность къ другая — плотность &2, то давление в каждой точке одной будет определяться формулой
р = kyV + Сх, а в каждой точке другой — формулой
Р = ^2^ + С2,
где Сх и С2 — постоянные. Но в каждой точке поверхности, разделяющей жидкости, эти давления должны быть равны между собой.
Поэтому на этой поверхности должно быть
k-У + Сх = ку + С2,
откуда при кг Ф к^ находим
у —— ^i
а это есть уравнение одной из поверхностей уровня силовой функции.
Таким же приемом можно доказать справедливость подобной теоремы и для несмешивающихся упругих жидкостей, для которых зависимости между давлением и плотностью различны.
Условие существования силовой функции вместе с уравнением (26), определяющим давление в каждой точке жидкости, как мы видели, необходимы для равновесия. Но легко убедиться, что они не только необходимы, но и достаточны для равновесия. В самом деле, если давление удовлетворяет уравнению (26), то будет удовлетворять и уравнениям (24). Последние же выражают равенство нулю равнодействующей всех сил (задаваемых и частичных), действующих на каждый элемент жидкости, который мы рассматриваем, как материальную точку.
§ 12. В § 6 было получено выражение элементарной работы внутренних частичных сил, действующих между точками какой-либо части тела. Применяя это выражение к жидкостям, получим
С / д&х . д^у . d6z \ ,F = I р 5
Г J \ ^ ^У да )
Но если рассматриваемая жидкость есть однородная несжимаемая, то входящие сюда величины бх, бу, 6z должны удовлетворять некоторому условию. В самом деле, условие несжимаемости требует, чтобы одно и то же количество жидкости занимало всегда один и тот же объем. Поэтому если при рассматриваемом перемещении точка (х, у, z) жидкости переходит в положение (£, т], у (В, т), £ мы предполагаем непрерывными функциями х, у, z), то мы должны иметь
JУ j dxdydz = $$$ d^d^,(27)
где первый интеграл распространен на все значения х, у, z, определяющие различные точки какой-либо части жидкости, а второй — на все значения £, т], £, соответствующие этим значениям х, у, z. Если же в этом последнем переменные 5, ц, £ заменим переменными х, у, z, то на основании известной формулы теории преобразования переменных в кратных интегралах найдем
У У У d£dT]d£ = J У У Ddxdydz, где
дхдудг
D = длdr)дт]
дхдудг
^д^^
дхдудг
Но мы имеем
£ = X + 6х, Т] = у + бу, t = z + 6z,
Л д^ . , ддх д£ддх д£ддх дт) дду дт) . .
откуда1 +-дГ,==^Г = -дТ’ Ж = 1 +
^_ = ^) А_ = ^-, -^-=-^, -?" = 1 +4-. Поэтому
ду дг дг дх дх ду ду дг 1 дгJ
учитывая, что бх, бу, 6z, а, следовательно, и их производные -^~ , -Д—и т. д., есть бесконечно малые величины, и отбрасывая бесконечно малые высших порядков, находим
п 1 । д^х ।।
U 1 ф дх ‘ ду дг е
Вследствие этого равенство (27) даст
а так как это равенство должно иметь место для всякой части жидкости, то отсюда и получаем искомое условие
4^ + 4^ + 4^==о.(28)
дх х ду дгv '
Это условие приводит к заключению, что F = 0. Но следует иметь в виду, что для получения написанного выше выражения F было сделано предположение, что бх, бу, б? — непрерывные функции х, у, г для рассматриваемой части жидкости. Поэтому и равенство F = 0 доказано только для этого случая.
Вообще величины бх, бу, 6г могут претерпевать разрыв при переходе через некоторые поверхности внутри жидкости. Рассмотрим теперь случай, когда некоторая часть жидкости, которую обозначим через А, разделяется такой поверхностью на две части Аг и Л2. Притом будем предполагать, что бх, бу, 6г остаются непрерывными как внутри части Аъ так и внутри части А2.
Работа внутренних частичных сил для части А будет равна сумме четырех следующих работ: 1) внутренних частичных сил части Дь 2) внутренних частичных сил части А2, 3) частичных сил, действующих на часть Аг из части А2 и 4) частичных сил, действующих на часть А2 из части Л1. Но первые две из этих четырех работ по только что доказанному равны нулю. Сумма же двух последних работ равна
У р (6^ + бп2) ds, где интеграл распространен на все элементы ds разделяющей поверхности; 6nx — проекция на нормаль к этой поверхности, направленную внутрь части Аъ перемещения некоторой точки этой части, которая до перемещения находилась на этой поверхности; а бп2 — проекция на нормаль к той же поверхности, направленную внутрь части А2> перемещения той точки этой части, которая до перемещения совпадала с только что упомянутой точкой части Аг. Таким образом, в рассматриваемом случае имеем F = ^ р (6^ + бп2) ds. Если при рассматриваемых перемещениях не происходит разрыва массы жидкости поверхности, отделяющей часть Л] от части Л2, то во всех точках этой поверхности будет &пг + бп2 = 0. В противном случае для некоторых частей этой поверхности 6^ + бп2 > 0. В первом случае/7 = 0, во втором (так какр >. 0) F> 0.
Таким образом, приходим к заключению, что элементарная работа внутренних частичных сил всякой части однородной несжимаемой жидкости при всяких возможных перемещениях ее может быть только или нулем, или количеством положительным, причем последнее может иметь место только тогда, когда перемещения сопровождаются разрывом массы жидкости.
По поводу этой теоремы заметим следующее. До сих пор мы рассматривали жидкости, как и всякие другие тела, способные подвергаться деформациям, как системы свободных материальных точек, для чего кроме задаваемых объем ных и поверхностных сил мы должны были еще рассматривать силы, названные выше внутренними частичными. Но когда, в частности, имеем дело с жидкостью однородной несжимаемой, то можем рассматривать ее также и как систему несвободных материальных точек, а внутренние частичные силы—как сопротивления связей. Хотя конечные уравнения этих связей и не могут быть написаны, но мы видели, что могут быть составлены все условия, которым они подчиняют возможные перемещения точек жидкости. Условия эти состоят из уравнения (28) и условия
б^ + 6п2 ^ 0,
где б/гг и бп2 имеют вышеобъясненные значения. Последнее из этих условий показывает, что эти связи нужно рассматривать как неудерживающие, а перемещения, сопровождающиеся разрывом массы жидкости, как освобождающие (т. е. такие, при которых некоторые связи перестают действовать).
Теперь мы покажем, что связи однородной несжимаемой жидкости можно рассматривать как идеальные; другими словами — что все условия равновесия такой жидкости заключаются в начале возможных перемещений.
Так как в случае равновесия равнодействующая всех задаваемых сил, приложенных к каждой материальной точке жидкости, равна и прямопротивоположна равнодействующей всех частичных сил, действующих на эту точку, то для каждой части жидкости сумма возможных работ всех задаваемых объемных и всех частичных сил должна быть равна нулю. Но работа частичных сил состоит из двух: из работы внутренних и из работы внешних частичных сил. Если же рассматривается вся масса жидкости, то внешние частичные силы приводятся к давлениям, действующим на ее поверхность, и, следовательно, если это есть свободная поверхность жидкости, к задаваемым поверхностным силам. Итак, в случае равновесия должна быть равна нулю сумма трех следующих возможных работ: 1) объемных сил, 2) давлений, действующих на поверхность жидкости, 3) внутренних частичных сил. Отсюда же, по только что доказанному, заключаем, что сумма элементарных возможных работ задаваемых объемных сил и поверхностных давлений должна быть равна нулю или количеству отрицательному, что и представляет выражение начала возможных перемещений для рассматриваемого случая.
Чтобы составить аналитическое выражение этого начала, обозначим через Р отнесенное к единице площади давление в какой-либо точке поверхности жидкости, а через би — проекцию на направление внешней нормали к этой поверхности перемещения этой точки ее. Тогда
У (Хбх + Yby + Z6z) кйт — У Ptmds ^ 0, (29) где первый интеграл распространен на весь объем, а второй — на всю поверхность жидкости. Если п есть направление внешней нормали к поверхности жидкости, то би = бх cos (п, х) + бу cos (п, у) + 6z cos (п, z).
Заметим, что выражение (29) начала возможных перемещений заключает в себе кроме задаваемых сил еще поверхностные давления Р, которые могут быть отчасти заданы, а отчасти неизвестны a priori. Но если вся поверхность жидкости есть свободная поверхность, то условие (29) не будет заключать в себе других сил, кроме заданных. То же будет иметь место и в том случае* когда эта поверхность отчасти свободная, отчасти неизменяемая неподвижная, какова, например, поверхность сосуда, содержащего жидкость, ибо для последней поверхности бп = 0 во всех ее точках.
Полагая, что условие (29) должно удовлетворяться при всяких величинах бх, бу, 6z, подчиненных известным уравнениям и неравенствам, можно получить из него все известные уравнения и условия равновесия несжимаемой жидкости. При этом давления будут играть роль лагранжевых множителей дифференциальных уравнений движения несвободных систем.
Считаем полезным обратить внимание на этот вывод. Пусть р есть какая- либо пока неопределенная, непрерывная функция координат. Вследствие уравнения (28)
С / двх , дбу . дбг \ ЛJ м \ дх 1 ду 1 дг )
для всякой части жидкости. Применяя это равенство к такой части жидкости, внутри которой бх, бу, 6z непрерывны, пользуясь известной формулой преоб-
разования объемного интеграла в поверхностный, найдем
— ( ^х + ^У +6?) ^т + ( pbnds = 0.
J \ Ox x dy y dz / j r
Такое равенство мы можем составить для каждой части жидкости, внутри которой бх, бу, 6z непрерывны. Сложим все полученные таким образом равенства. В результате получим
— У ^^- 6х + -^- бу 4- ^- 6?) dx + J pSnds — J p №nx + 6n2) de = 0,
где первый интеграл распространен на весь объем жидкости, второй— на всю поверхность ее, третий — на те поверхности внутри жидкости, по которым при рассматриваемых перемещениях происходит разрыв массы ее. Последние два интеграла имеют неодинаковые знаки, потому что 6п есть проекция перемещения на направление внешней нормали, а бпх и бп2 по данному выше определению их суть проекции перемещений на внутренние нормали к известным поверхностям.
Складывая полученное равенство с условием (29), найдем
+ ^kZ|~) 6z j dT + J (j) — P) 8nds — J p (6nt + 6n2) do ^ 0.(30)
Положим, что это условие должно удовлетворяться при всяких возможных величинах бх, бу, dz. Рассмотрим сначала перемещения неосвобождающие, т. е. такие, при которых не происходит разрыв массы жидкости. Кроме того, предположим бх, бу, 6z непрерывными во всей массе жидкости и обращающимися в нуль на поверхности. При этом будем иметь бп = 0 и 6пг + бп2 = 0 и условие (30) примет вид
СГ(аХ^-Л&хГкУ^Лбу + Uz^-'|бг]л= 0.
JЭх /1 \ду J у ' \дг / J
Но единственное условие, которому должны удовлетворять входящие сюда величины бх, бу, 6z, есть уравнение (28), а потому все возможные значения бх, бу, 6z могут быть получены, если задавать бх и бу как совершенно произвольные функции х, у, z и каждый раз определять 6z по уравнению (28). Таким образом, мы можем рассматривать бх и бу как совершенно произвольные и между собой независимые функции координат. Поэтому если функцию р подчиним условию
kZ —^- = 0,dz ’
то из нашего уравнения необходимо будет следовать
кХ — -$-=0 и kY — -^=0дхду
для всякой точки жидкости.
Положим теперь, что бх, бу, 6z по-прежнему непрерывны, но не обращаются в нуль на поверхности жидкости. Тогда принимая в расчет только что полученные уравнения, приведем условие (30) к виду
j (р — Р) 6nds = 0.(31)
Единственное условие, которому должны удовлетворять входящие сюда величины бп, получается из уравнения (28). Умножая это уравнение на элемент
объема dx и интегрируя по всему объему жидкости, находим
f / _дб£_дбу_d&_\ dT = 01
J \ дхду дг )
Если же принимая в расчет, что бх, бу, 6г по условию непрерывны везде внутри жидкости, преобразуем объемный интеграл в поверхностный, то получим
j 6nds = 0.(32)
Чтобы равенство (31) удовлетворялось при всяких величинах б/г, соответствующих этому условию, необходимо и достаточно, чтобы р — Р было постоянным для всей поверхности тела, ибо в противном случае можно было бы выбрать постоянную С так, чтобы функция р — Р — С была положительна для одной части поверхности и отрицательна для другой и тогда равенство
У (у — Р — С) &nds = 0
или, что все равно, равенство (31) не могло бы иметь место для таких величин бп, удовлетворяющих условию (32), которые положительны в точках первой из этих частей поверхности и отрицательны в точках второй.
Таким образом, на всей поверхности тела должно быть р = Р + С. Но функция р до сих пор определялась у нас только дифференциальными уравнениями
= kX,= kZ.
дхдудг
Поэтому она может заключать в себе произвольную прибавочную постоянную. Последнюю мы определим теперь так, чтобы С = 0. Тогда во всех точках поверхности жидкости будет
р=р.
Возвращаясь теперь к перемещениям общего характера, приведем условие (30) вследствие полученных уравнений к виду
У Р к^Ч + бп2) da ^ 0
и это условие должно быть удовлетворено при всяких б^ и бп2, удовлетворяющих условию б^ + бп2 ^ 0. Отсюда же, с учетом совершенной произвольности поверхности, элементы которой обозначены через da, находим последнее условие: для каждой точки жидкости p^Q.
Таким образом, получаются из начала возможных перемещений все уравнения и условия равновесия несжимаемой жидкости.
Теперь мы будем рассматривать жидкости однородные несжимаемые, предполагая, что тяжесть есть единственная из объемных сил, действующих на жидкость. Притом, если жидкость имеет свободную поверхность, мы будем предполагать, что действующее на нее давление постоянно.
При этих условиях в случае равновесия поверхности постоянного давления, а, следовательно, и свободная поверхность жидкости будут горизонтальными плоскостями.
Обозначая через g ускорение от действия тяжести и предполагая, что за ось г принято направление ее действия, получим следующую формулу для определения гидростатического давления
р = kgz + const.
Если через Р обозначим постоянное давление на свободной поверхности и предположим, что г = h есть уравнение этой поверхности, то эта формула примет вид
Р = kg (z — h) + Р,
Формулу эту можно еще упростить, принимая за плоскость ху ту горизонтальную плоскость, для которой kgh = Р. Следующая отсюда величина h определяет толщину слоя жидкости той же плотности, что и рассматриваемая, который должен быть налит на поверхность последней, чтобы производить на нее давление Р. Плоскость ху при этом будет свободной поверхностью налитого слоя жидкости, на которой давление равно нулю.
Если остановимся на этом выборе положения плоскости ху, то наша формула примет вид
Р = kgz.
Рассмотрим давление, производимое жидкостью на какую-либо площадку, находящуюся в ней. Давление это выразится интегралом
У pds = kg У zds,
распространенным на все элементы ds площадки. Из этого выражения его видно, что давление на какую-либо наклонную площадку равно давлению на такую же горизонтальную площадку, плоскость которой проходит через центр тяжести первой. Если предположим, что рассматриваемая площадка принадлежит поверхности твердого тела, погруженного в жидкость, то можем утверждать, что производимые на нее давления будут приводиться к одной равнодействующей, ибо это силы параллельные (перпендикулярные к площадке) и одинаково направленные. Величина этой равнодействующей будет равна только что найденному полному давлению на площадку, а направление перпендикулярно к площадке. Точка приложения этой равнодействующей называется центром давлений. Положение ее определится, если выразим, что моменты равнодействующей, приложенной в этой точке, и всех давлений, действующих на площадку, относительно двух каких-либо взаимно перпендикулярных осей в плоскости площадки соответственно равны между собой.
Примем за ось х прямую пересечения плоскости ху с плоскостью площадки, а линию наибольшего ската этой последней плоскости — за ось £ и будем определять точки площадки координатами х и £. Если угол наклонения плоскости площадки к горизонтальной плоскости обозначим через а, то для всех точек этой площадки будет Z = £ sin а. Далее, обозначим величину давления на площадку через Q, а координаты центра давлений — через хТ и £Р
Выражая только что упомянутое равенство моментов относительно осей х и £, получим
QCi = J P^s, Qxx = J pxds.
Но
Q = kg J zds = kg sin a j ^ds и p = kgt, sin a.
Поэтому находим
feds ’1 ^ds ‘
Из этих формул видно, что положение центра давлений не зависит от угла наклонения площадки к горизонту. Этот центр находится на перпендикуляре к оси х, проведенном из той ее точки, для которой она служит осью инерции площадки, на расстоянии от этой оси, равном отношению момента инерции площадки относительно оси к ее статическому моменту относительно той же оси. Таким образом, центр давлений совпадает с центром удара площадки, соответствующим оси, по которой пересекается ее плоскость с той горизонтальной плоскостью, на которой давление равно нулю.
Следует заметить, что формулы (33) не применимы непосредственно к какой-либо горизонтальной площадке, потому что при a = 0 плоскость площад- 572
ки совпадает с плоскостью ху, во всех точках которой давление равно нулю. Поэтому, если нужно определить центр давлений для горизонтальной площадки, находящейся на какой-либо глубине, то вместе с уменьшением а до нуля нужно предполагать все точки контура площадки удаляющимися в бесконечность от оси х. Чтобы найти предельное положение центра давлений для этого случая, положим £ = £' + с, ^ = £i + с, где с — постоянная. При этом формулы (33) дадут
, у ^ds + с у t>fdsу x^'ds + с у xds
^ у t,'ds + с у ds ’1 у t^ds + с у ds
Предполагая, что с беспредельно возрастает, в пределе найдем
У ^dsу xds
Cl -• X1" V- ■
Таким образом, находим, что центр давлений для горизонтальной площадки совпадает с се центром тяжести, как это и следовало ожидать, потому что давления во всех точках такой площадки равны между собой.
Рассмотрим теперь давления, производимые жидкостью в равновесии на поверхность погруженного в нее твердого тела.
Пусть г = h есть свободная поверхность жидкости, выдерживающая постоянное давление Р. Мы будем предполагать, что то же постоянное давление действует и на ту часть поверхности тела, которая находится выше уровня свободной поверхности жидкости.
Покажем, что это постоянное давление вместе с давлением жидкости на твердое тело приводятся к одной равнодействующей силе. Известно, что если к твердому телу, приложены какие-либо силы, вектор которых имеет проекциями на координатные оси величины X, У, Z, а главный момент вокруг начала координат — величины L, М, N, то равенство
LX + МУ + NZ = 0(34)
служит необходимым и достаточным условием для того, чтобы эти силы приводились к одной равнодействующей и что когда это равенство удовлетворено, X, У, Z представляют проекции на координатные оси равнодействующей, а точка се приложения находится где-либо на прямой
yZ — гУ = и zX — xZ^M, xY — yX = N.
Рассмотрим вектор и главный момент давлений на поверхность тела. Если п есть направление внешней нормали к поверхности тела, то эти вектор и момент будут определяться следующими формулами:
X = — У р cos (я, х) ds, L = — ^ р \у cos (я, г) — г cos (и, у)] ds,
У = — ^ р cos (я, у) ds, М = — j р [z cos (л, х) — х cos (и, ?)] ds,
Z = — ^ р cos (п, z)ds, N = — j р [х cos (я, у) — у cos (п, x)J ds,
где интегралы распространены на всю поверхность тела и где р определяется следующими формулами:
для z > /г р = kg(z — h) + Р,
для г ^ h р = Р.
Так как определяемая этими формулами р есть непрерывная функция координат, то мы можем применить к нашим поверхностным интегралам извест-
йую формулу для преобразования их в объемные. Таким образом, найдем
= —L=
Z = — С dx9 N = — С у dT,
J dz *J \ ду у дх / ’
Где интегралы распространены на весь объем тела.
Но дх оу
др(kgдляz>»h9
и{
dz(0дляг < h.
Поэтому
X = Y = О, Z = — kg j Jt0, L = — kg ^ ydx09 M = kg ^ xdx09 N = 09 где интегралы распространены только на ту часть объема тела, которая находится ниже плоскости z = h, другими словами — на объем тела, погруженный в жидкость. Обозначая этот объем через V, а координаты х и у его центра тяжести — через х и у9 будем иметь
Х = У = 0, Z = —kgV9 L = —kgVy9 М = kgVx9 N = 0.(35)
Так как эти величины удовлетворяют условию (34), то, следовательно, существование равнодействующей давления на поверхность тела доказано. При том, из рассмотрения формул (35) мы заключаем, что эта равнодействующая равна весу жидкости, заполняющей погруженный в нее объем тела и направлена вертикально снизу вверх. Точка приложения ее должна находиться где- либо на прямой х = х, у = у.
Так как эта прямая проходит через центр тяжести погруженного в жидкость объема тела, то эту последнюю точку мы и можем принять за точку приложения р авнодействующей.
Таким образом, если твердое тело отчасти погружено в тяжелую, покоящуюся жидкость, а отчасти находится под действием постоянного давления, выдерживаемого также и свободной поверхностью жидкости, то все действующие на его поверхность давления приводятся к одной равнодействующей, равной весу вытесненной телом жидкости, направленной вертикально снизу вверх и приложенной к центру тяжести погруженного в жидкость объема. Очевидно, что то же самое будет справедливо и в случае, когда тело вполне погружено в жидкость.
Доказанная теорема заключает в себе известный закон Архимеда.
Из этой теоремы легко вывести условия равновесия погруженного в жидкость твердого тела, когда на тело и жидкость действует только тяжесть.
В самом деле, если тяжелое твердое тело погружено в тяжелую жидкость, то все действующие на него силы приведутся к двум:
равнодействующей сил тяжести, равной весу тела, направленной вертикально сверху вниз и приложенной к центру тяжести тела; 2) равнодействующей гидростатических давлений, имеющей только что сказанные величину, направление и точку приложения. Так как для уравновешивания этих двух сил необходимо и достаточно, чтобы они были равны, прямопротивоположны и при том направлены по прямой, соединяющей их точки приложения, то мы и получаем следующие условия равновесия:
вес вытесненной телом жидкости должен быть равен весу тела,
центр тяжести погруженного в жидкость объема тела должен находиться на одной вертикали с центром тяжести тела.
Отсюда видно, что только такие тела могут плавать в жидкости, средняя плотность которых не превосходит плотности жидкости. Если бы средняя плотность тела была больше плотности жидкости и если бы тело было вполне погружено в нее, то для поддержания его пришлось бы приложить к нему силу, направленную вертикально снизу вверх и равную разности между весом тела и весом вытесненной им жидкости.
Когда средняя плотность тела равна плотности жидкости, тело при равновесии должно быть вполне погружено в жидкость. Если притом центр тяжести тела совпадает с центром тяжести его объема, что будет, например, в случае однородного тела, то всякое положение его в жидкости, удовлетворяющее этому условию, будет положением равновесия. В противном случае будут возможны две серии бесчисленного множества положений равновесия: в положениях одной — центр тяжести тела ниже, а в положениях другой—выше центра тяжести его объема, с которым он всегда находится на одной вертикали. Все положения равновесия каждой серии могут быть получены из одного сообщением телу какого-либо поступательного движения, соединенного с вращательным вокруг вертикальной оси.
Наконец, когда средняя плотность тела меньше плотности жидкости, тело при равновесии только отчасти будет погружено в нее. В этом случае может существовать несколько серий бесчисленного множества положений равновесия, причем все положения каждой серии получаются из одного сообщением телу какого-либо движения параллельно горизонтальной плотности. Мы условимся считать все положения равновесия каждой такой серии за одно.
Вопрос об определении всех положений равновесия мы рассмотрим впоследствии. Теперь же обратимся к вопросу об устойчивости равновесия.
15. Суждение об устойчивости всякого положения равновесия системы точек составляется, как известно, на основании характера движения, получаемого системой после того, как точки ее были отклонены достаточно мало от своих положений равновесия. Но может случиться, что после всяких достаточно малых отклонений системы от положения равновесия она остается в покое, если ее точкам не сообщено скоростей. Это произойдет тогда, когда всякое положение системы между известными пределами изменяемости ее координат есть положение равновесия. Такое положение равновесия называется безразличным или средним. Оно будет только относительно безразличным* если система не приходит в движение только после перемещений, удовлетворяющих известным условиям, допускающим выбор насколько угодно малых перемещений. Если же после всяких бесконечно малых отклонений от положения равновесия система приходит в движение, во время которого точки ее всегда остаются на бесконечно малых расстояниях от своих положений равновесия, то положение равновесия называется устойчивым. Напротив, если после всяких или только после некоторых бесконечно малых отклонений система приходит в движение, не удовлетворяющее этому условию, положение равновесия называется неустойчивым.
Неустойчивое положение равновесия может быть относительно устойчивым, если после бесконечно малых перемещений, удовлетворяющих некоторым условиям, система приходит в движение, во время которого точки ее остаются всегда на бесконечно малых расстояниях от своих положений равновесия. Наконец, могут быть такие случаи, когда после всяких бесконечно малых отклонений системы от положения равновесия некоторые из ее координат изменяются во все время последующего движения между пределами бесконечно мало отличающимися от значений этих координат, соответствующих положению равновесия. Таковы смешанные положения равновесия, которые относительно
устойчивы для одних перемещений и относительно безразличны для других. Но вообще это могут быть положения равновесия и не такого характера, т. е. и неустойчивые. Такие положения равновесия могут быть названы устойчивыми для некоторых координат системы.
Из сказанного следует, что всякое положение равновесия тяжелого тела, погруженного в жидкость, безразлично относительно всяких перемещений тела, совершающихся параллельно горизонтальной плоскости. Если средняя плотность тела равна плотности жидкости, то всякое положение равновесия его безразлично по отношению к каким угодно поступательным перемещениям, соединенным с какими угодно вращательными вокруг вертикальных осей. Если же при том центр тяжести тела совпадает с центром тяжести его объема, то всякое положение равновесия его вполне безразлично. Отсюда видно, что говоря об устойчивости какого-либо положения равновесия плавающего тела, под этим можно подразумевать только устойчивость для некоторых координат тела. Если направление действия тяжести примем за ось г неподвижной прямоугольной системы координат х, у, г и положение тела будем определять координатами х0, у^ z0 какой-либо его точки и известными эйлеровыми углами ф, fl, ф, то вообще всякое положение равновесия плавающего тела может быть устойчивым только для трех координат Zq,» и ф, а в случае равенства средней плотности тела и плотности жидкости только для двух fl и ф. Если же координатная система выбрана таким образом, что угол fl* для положения равновесия обращается в нуль или л, то оно может быть, очевидно, устойчиво вообще только для двух координат: 20 и А, а в последнем частном случае—только для одной fl. Из предыдущего видно, что для решения вопроса об устойчивости какого-либо положения равновесия системы необходимо исследовать характер движения ее после бесконечно малого отклонения от положения равновесия. Общие исследования этого рода составляют предмет теории бесконечно малых колебаний. Для случая когда система точек подчинена идеальным связям и находится под действием сил, зависящих только от координат и при том имеющих потенциал, в этой теории устанавливается принцип, дающий весьма простое средство для решения вопросов об устойчивости. Известно, что значения координат, определяющие все положения равновесия такой системы, находятся из тех же уравнений, которые получаются и при решении вопроса о минимуме или максимуме потенциала. Упомянутый же принцип состоит в том, что устойчивость каждого положения равновесия определяется именно тем, обращается ли для этого положения равновесия потенциал в минимум или нет. Если потенциал есть минимум — то положение равновесия устойчиво. Если бы потенциал не зависел от некоторых координат, то система имела бы бесчисленное множество положений равновесия и все они были бы безразличны по отношению к тем перемещениям, которые происходят при изменении этих координат. При том те из них, для которых потенциал минимум устойчивы для остальных координат. Все прочие неустойчивы.
Таким образом, условие минимума потенциала необходимо и достаточно, чтобы положение равновесия было устойчивым для тех координат, от которых зависит потенциал. Достаточность этого условия может быть доказана и независимо от общей теории бесконечно малых колебаний на основании уравнения живой силы, как это было показано в динамике систем точек. Мы воспользуемся этой теоремой для решения занимающего нас теперь вопроса об устойчивости равновесия плавающего тела. Приложимость ее к этому случаю видна во первых из того, что система, состоящая из несжимаемой жидкости и погруженного в нее твердого тела, есть система точек, подчиненных идеальным связям (ибо несжимаемую жидкость по § 12 можно рассматривать как такую систему точек) и, следовательно, если наша жидкость идеальная, то при решении всяких вопросов о движении и равновесии этой сложной системы на основании об-
щих принципов динамики можно принимать в расчет одни только задаваемые силы, а во вторых из того, что если эти силы зависят только от действия тяжести и постоянного давления на поверхность всей системы, то, как мы сейчас покажем, для них будет существовать потенциал. Но хотя приложимость этой теоремы к рассматриваемому случаю и может быть основана на таких соображениях, тем не менее мы считаем полезным привести самостоятельное доказательство ее, относящееся к одному случаю, ибо при общем доказательстве ее весьма важное значение имеет предположение, что потенциал зависит от конечного числа переменных, определяющих положение системы, чего не будет в случае, когда система отчасти состоит из жидкости.
Чтобы поставить вопрос более определенным образом, мы будем предполагать, что жидкость, в которую погружено твердое тело, заключается в некотором неподвижном сосуде и что свободная поверхность жидкости, равно так и часть поверхности тела, не соприкасающаяся с жидкостью, которую мы также будем называть свободной поверхностью, находятся под действием постоянного давления Р. При том будем рассматривать только такие движения этой системы, которые не сопровождаются освобождающими перемещениями, т. е. при которых внутри жидкости не образуются пустоты. Эти движения будут характеризоваться тем, что объем, ограниченный поверхностью сосуда и свободными поверхностями жидкости и тела, выдерживающими постоянное давление Р, не будет изменяться, оставаясь равным сумме объемов тела и жидкости. Поэтому если под ds понимать какой-либо из элементов этих свободных поверхностей, а под би — проекцию на направление внешней нормали к этому элементу бесконечно малого перемещения одной из его точек, то во всяком таком движении перемещения должны будут удовлетворять условию
6nds = О, где интеграл распространен на все элементы свободных поверхностей.
Прежде всего покажем, что все действующие на нашу систему силы имеют потенциал. Так как для силы тяжести существование потенциала несомненно, то остается только показать, что постоянные давления, выдерживаемые свободными поверхностями жидкости и тела, имеют потенциал, т. е. что элементарная работа этих давлений есть полный дифференциал. Но при только что сделанных обозначениях эта работа выразится интегралом
У PSnds,
который вследствие постоянства Р приводится к
Р У 8nds.
Таким образом, приходим к заключению, что эта работа равна нулю, а следовательно, рассматриваемые давления имеют потенциал, который при том оказывается количеством постоянным.
Вследствие этого при составлении потенциала всех действующих на нашу систему сил можно принимать в расчет одну только тяжесть. А потому вследствие нашего выбора направления оси z для этого потенциала может быть принято выражение
П = — gk ^ zdTt — g zodx, (36) где dxT — элемент объема жидкости; dx — элемент объема тела; о — плотность тела в какой-либо точке и интегралы распространены: первый — навесь объем жидкости, второй — на весь объем тела. Докажем, что те положения равновесия плавающего тела, для которых это выражение П есть минимум или, что все равно,— для которых общий центр тяжести тела и жидкости ниже, чем для вся-
ких других достаточно близких положений устойчивы в сказанном выше смысле. При этом рассмотрим только общий случай, когда средняя плотность тела меньше плотности жидкости. В случае равенства этих плотностей теорема дока- жется подобным же образом.
Каково бы ни было движение, сообщенное жидкости и погруженному в нее телу, для него будет иметь место уравнение живой силы
Т + П = Т0 + П0,(37)
где Т — сумма живых сил жидкости и тела, а То и По — начальные значения Т и П. Но очевидно, что при всяком данном положении тела центр тяжести жидкости будет занимать самое низшее положение, когда свободная поверхность жидкости примет вид горизонтальной плоскости. Поэтому, обозначая через U величину, в которую обращается при этом П, будем иметь
п>и
и, следовательно, (37) обратится в
Т + и^Т0 + П0.(38)
Здесь U представляет, очевидно, некоторую вполне определенную функцию величин, определяющих положение твердого тела. При том, если последнее будет определяться упомянутыми выше величинами х0, у01 z0, ф, fl и ф, то она не будет зависеть от х0, у0 и ф, ибо [7, очевидно, не меняется вследствие таких перемещений тела, которые приводятся к поступательным по какому-либо горизонтальному направлению, соединенным с вращательными вокруг вертикальных осей. Таким образом, U может и вообще будет зависеть только от трех переменных z0, А и ф (в случае равенства средней плотности тела с плотностью жидкости U будет зависеть только от fl и ф). Притом зависимость эта будет такова, что когда fl обращается в 0 или л, U перестает зависеть от ф.
Мы будем предполагать, что для рассматриваемого положения равновесия А = 0 и z0 = 0 и что при том П, а следовательно, и U, обращаются в минимум и докажем, что при этих условиях каковы бы ни были начальное отклонение от положения равновесия и начальные скорости,— лишь бы они были достаточно малы, тело и жидкость придут в такое движение, во время которого fl и z0 всегда будут оставаться по численным значениям меньшими некоторых произвольно малых пределов fl' и zq.
Пусть Um есть минимум <7, соответствующий положению равновесия. Так как он имеет место при д = 0 и 20 = 0, то для всех достаточно малых значений А и z0 значения U будут больше Um. Поэтому мы можем предполагать, что для всех значений А и z0, удовлетворяющих условиям fl* ^ fl*', — 2о ^ 20 ^ zo, U ^ Um, где знак равенства не может иметь место иначе, как при А = 0 и z0 = 0. Вследствие этого, если мы рассмотрим все значения, которые получает U при
А = A',— zo<zo<zo,(39)
или 2) А < fl',z0 = — zo,
или 3) A < fl',z0 = Zo,
то все эти значения будут больше Um. Пусть UT есть наименьшее между ними. Выберем начальное отклонение от положения равновесия настолько малым, чтобы начальные значения А и z0 по численным значениям были меньше fl' и zo и чтобы в тоже время было удовлетворено неравенство По <. Uv Последнего всегда можно достигнуть, ибо £7г > Um, а для положения равновесия П = U = Um. Если же теперь начальные скорости предположим на-
столько малыми, чтобы было То < Ut — По, то (38) приведет к следующему неравенству
T + U<UV(40)
из которого и следует справедливость теоремы. В самом деле, так как Т есть величина существенно положительная, то из этого неравенства следует, что во все время движения будет U < иъ а следовательно, во все время движения будут удовлетворены неравенства
Ф < Ф' и — го < г0 < го, ибо в начальный момент ^ и г0 по условию удовлетворяли этим неравенствам, а изменяясь непрерывным образом, они не могут перестать им удовлетворять иначе, как переходя через значения, заключающиеся в (39). Достигнуть же этих значений они не могут при U < Uv
Заметим, еще, что неравенство (40) приводит также к заключению, что живая сила всей системы во все время движения будет оставаться на сколько угодно малой, ибо из него следует Т < иг — Um.
§ 16. Обращаемся к нашей задаче
По предыдущему вопрос об устойчивости равновесия плавающего тела приводится к исследованию условий минимума П или, что все равно, минимума U, для которого мы можем принять выражение
U = — gk § zdTt — g ^ zodT,(41)
удерживая те же обозначения, что и в формуле (36), но предполагая, что свободная поверхность жидкости есть горизонтальная плоскость. Мы предположим, что для этой плоскости z = h.
Как уже было замечено, U есть некоторая функция г0, Ф, ср. Поэтому наша задача принадлежит к числу задач о минимумах и максимумах, решаемых при помощи дифференциального исчисления. Выразив, что полный дифференциал функции U обращается в нуль независимо от значений дифференциалов переменных г0, ^ и ср, получим все условия, при которых U может быть минимумом. Затем должны будем обратиться к исследованию знака второго дифференциала U.
Для тех условий, при которых этот дифференциал будет оставаться положительным независимо от значений дифференциалов г0, ^ и ср, функция U будет минимум.
Дифференциалы, зависящие от изменения величин г0, $ и ср, в отличие от других дифференциалов, которые могут встречаться в наших формулах, будем обозначать характеристикой б и будем называть их вариациями. При этом под бх, бу, бг будет всегда понимать вариации координат х, у, z точек твердого тела. Для них мы будем иметь следующие известные формулы бх = а + г02 — у03,
бу = Р + х03 — г0ь бг = у + y6i — х02,(42)
в которых а, р, у, 0Ь 02, 03 — величины независящие от х, у, z. Это линейные функции от бх0, бу0, бг0, бф, 6Ф, бср с коэффициентами, зависящими только от х0, у0, г0, $, ф и ср. Для нас важно только заметить, что при произвольности вариаций бх0, бу0 и т. д. величины а, р, 7, 6Ь 02, 03 также совершенно произвольны и между собой независимы.
Для облегчения составления вариации выражения (41) заметим одну общую формулу. Пусть / (х, у, г) какая-либо функция координат и dx0 — элемент объема той части тела, которая погружена в жидкость, т. с. той, для которой z > h. Тогда для вариации интеграла
У f (х, у, 2) dr0,
распространенного на весь этот объем, 6yj дем иметь формулу
+ ^62)dT°+ \U " <5z — 6h)dxdy, (43) где последний интеграл распространен на все элементы dxdy площади сечения тела плоскостью уровня жидкости (т. е. плоскостью 2 — К^. Эту площадь мы будем называть площадью плавания.
Чтобы показать справедливость этой формулы, положим, что АВС представляет ту часть объема тела, которая была погружена в жидкость до перемещения, а А^В^С ту, которая погружается в жидкость после перемещения. Вследствие перемещения уровень жидкости вообще повысится на величину — 6Л, а точки тела, находившиеся на прежнем уровне ее, понизятся на величину 62 (здесь повышение рассматривается как отрицательное понижение, а понижение, как отрицательное повышение). На рис. 44 Л^ представляет новый уровень жидкости, Л'В'— прежний, а АВ — ту неизменно связанную с телом плоскость, которая до перемещения совпадает с плоскостью А'В'. Очевидно, что вариация интеграла У / (х, у, 2) dxQ будет состоять из двух членов. Один представит вариацию интеграла, распространенного на объем АВС, и так как все точки этого объема переходят из положений (х, у, г) в положения (х + бх, у + бу, 2 + 62) выразится интегралом
С 6х + бу + -~- 62)^,
J \ дх 1 ду у 1°
а другой — интегралом
У f (х, у, 2) dx, распространенным на все элементы dx объема АВВгАг. Но отбрасывая бесконечно малые высших порядков, dx можем заменить через (62 — б/i) dxdy, вследствие чего этот последний интеграл обратится в
^ f (62 — 6/1) dxdy, где и интегрирование распространяется на все элементы dxdy площади АхВг. Прежде всего воспользуемся формулой (43), чтобы установить зависимость вариации б/г от вариаций величин, определяющих положение тела, от которых h будет, очевидно, некоторой функцией. Выразим неизменяемость объема жидкости, т. е. неизменяемость интеграла
Так как выражение
j ^ + У dr0 представляет объем, ограничиваемый поверхностью сосуда и плоскостью 2 — h, то, очевидно, будем иметь
б (У^Ч + У dx0) = — ASh, где А — площадь сечения сосуда плоскостью уровня жидкости. По формуле же (43) находим
6 У dx0 = j j (62 — 6Л) dxdy.
Поэтому условие
6 ^ dx1 = О
дает
Дб/i + J J (6г — 6/i) dxdy = 0.(44)
Внося сюда вместо 6г его выражение (42) и обозначая площадь плавания через а, а координаты ее центра тяжести через хъ уъ т. с. полагая
^ dxdy = а, ^ xdxdy = хга, ^ ydxdy = уга, отсюда и находим искомое
6/1 =-^^ (у + //А — хА)-(45)
Обращаемся теперь к составлению вариации U. Подобно предыдущему находим 6 (У zdTt + У zd%^ = — Ahbh, а по формуле (43)
6 У zdT0 = У 8zdT0 + Zi У У (6z — 6/i) dxdy.
Поэтому
6 У zd^Y = — У 6zdx0— h [Лб/i + У У (6z — бй) dxdy^ или вследствие (44)
У zdxY = — У 6zdT0.
Далее, если массу тела обозначим через М, а координаты его центра тяжести через хс, уС1 zc, будем иметь
У zodT = Mzc1 а потому
У zodT = M6zc.
Отсюда находим
&U = gk^ 6zdT0 — gM8zc.
Если же воспользуемся формулами (42), то окончательно найдем
6U = g^k У dT0 — Л1) V + g(& У ydx0 — Му^ 6Т — g (к У xdx0 — Мг^ 02. (46) Так как здесь у, 0т и 02 совершенно произвольны и между собой независимы, то из равенства 8U = 0 получаем следующие необходимые для минимума U условия:
ССс
к j dT0 = М, к j ydx0 = МуС1 к j л:^т0 = Мхс.(47)
Если под V, х и у понимать тс же величины, что и в § 14, то этим условиям можем дать вид_
kV = М, У = уСу х = хс,(48)
а это известные условия равновесия плавающего тела, которые были сформулированы в § 14. Обращаемся теперь к составлению второй вариации U. Так как члены этой вариации, зависящие от бу, 60т, 602, вследствие условий (47) пропадают, то находим
б2(/ = gk8 ^ dToy + g ^кб ^ ydT0 — Л46ус) 0х — g ^kd ^ xdx0 — Л4бхс) 02.
Но по формуле (43)
6 У dT0 = У У (62 — бй) dxdy,
6 У yd^Q = У буе/т0 + У У (62 — бй) dxdy,
б j хе/т0 = У 6xdx0 + У У х (62 — бй) dxdy.
Теперь остается только подставить сюда вместо бх, бу, 62 их выражения (42), а вместо 6ft выражение (45). Но для упрощения формул предположим сначала, что за ось г выбрана та вертикаль, которая при рассматриваемом положении тела проходит через центр тяжести площади плавания. Тогда хг = уг = О, а формула (45) дает
В этом предположении найдем
6 У dT0 = а (у — бй) = у,
б У ydxQ = у ф + х03— 20J + У У y^dxdyQ-^ — У У xydxdy^^
6 У xdT0 = V (а + г02— у03) + У У xydxdy^x — У У x^dxdy^^
гдеV = У б/т0, Vx =У xdx01 Vy = У ydxQl Vz = У 2Йт0,
т. е. V, х, у, г означают объеми координаты его центра тяжести для части те
ла, погруженной в жидкость. Эти выражения мы можем еще упростить выбирая надлежащим образом направления осей х и у. Если предположим эти направления параллельными центральным осям инерции площади плавания, то будем иметь
У У xydxdy — 0.
При этом
У У y^dxdy и УУ x2dxdy
будут главными центральными моментами инерции этой площади. Обозначим их соответственность через ST и S2. При этих обозначениях, принимая в расчет равенства (48), найдем
йб У ydx0 — Мвус = kV (гс — 2) 0Х + йЗ^,кв § xdT0 — Мвхс = — kV (гс — 2) 02 — kS262.Поэтому, если положим
2С — 2 — /, так что / будет представлять расстояние центра тяжести тела от центра тяжести вытесненного им объема жидкости, взятое положительным или отрицательным в зависимости от того, находится ли первый ниже или выше второго,— то окончательно получим
62(/ = gh-^f + gh (VI + SJ 0? + gk (VI + S2) 0l (49)
В случае, когда средняя плотность тела равна плотности жидкости, тело будет вполне погружено в жидкость, а следовательно, будем иметь а = 0, Зх = = S2 = 0, так что это выражение примет вид
62(/ = gMl (0? + 05).
Так как при б2[/ > 0 положение равновесия будет устойчиво, а при 62[7 < 0 — неустойчиво, то из этого последнего выражения заключаем, что в случае равенства средней плотности тела с плотностью жидкости, то положение равновесия, при котором центр тяжести тела ниже центра тяжести его объема, устойчиво, а то, при котором имеет место обратное, неустойчиво.
Обращаясь к общему случаю, видим, что коэффициент при у2 в выражении (49) всегда положителен, потому что Л > а. Что же касается коэффициентов при О? и 62, то они могут быть как положительными, так и отрицательными. Они будут всегда положительными, при I *> 0. Поэтому всякое положение равновесия тела, в котором центр тяжести его ниже или совпадает с центром тяжести погруженного в жидкость объема, устойчиво.
Если же / < 0, то положение равновесия будет несомненно устойчивым при
Si , . So
и несомненно неустойчивым, когда имеет место по крайней мере одно из неравенств
Сомнительным будет только случай, когда при S2 > £х имеет место равенство
V •
В этом случае рассмотрение второй вариации U недостаточно для суждения о минимуме U, а следовательно, и для суждения об устойчивости. Для решения вопроса об устойчивости в этом случае необходимо обратиться к вариациям U высших порядков, составлением которых мы заниматься здесь не будем.
Таким образом, мы пришли к следующему результату:
Если в положении равновесия центр тяжести тела выше центра тяжести погруженного в жидкость объема, то оно будет устойчиво, когда расстояние между этими точками меньше отношения наименьшего из центральных моментов инерции площади плавания к погруженному в жидкость объему и неустойчиво, когда это расстояние больше этого отношения.
Переходим теперь к задаче об определении всех положений равновесия плавающего тела. Эта задача, как нам уже известно, приводится к тому, чтобы провести через тело плоскость, отсекающую от него данный объем, так, чтобы прямая, соединяющая центр тяжести тела с центром тяжести отсеченного объема, была к ней перпендикулярна. Когда такая плоскость найдена, то чтобы поместить тело в положение равновесия, стоит только погрузить в жидкость отсеченный объем так, чтобы эта плоскость совпала с плоскостью уровня жидкости.
Всякую плоскость, отсекающую от тела объем данной величины, требуемой условием равновесия, будем называть плоскостью сечения. Те же из плоскостей сечения, которые соответствуют положениям равновесия, назовем плоскостями плавания. Условившись относительно этих терминов, рассмотрим две поверхности, при помощи которых значительно облегчается решение рассматриваемой задачи.
Если будем изменять положение плоскости сечения при условии постоянства отсекаемого ею объема, то она будет огибать некоторую поверхность, которая называется поверхностью плоскостей сечения. Для сокращения мы будем ее называть поверхностью сечения. Все плоскости сечения будут касательными плоскостями к этой поверхности. При сказанном изменении поло-
жения плоскости сечения, центр тяжести отсекаемого объема также будет перемещаться и геометрическое место всех положений его будет другой поверхностью, которая называется поверхностью центров. Очевидно, что обе эти поверхности будут замкнутыми и что вид и положение их в теле будут зависеть главным образом от вида поверхности тела.
Если А есть какая-либо точка поверхности сечения, а В — та точка поверхности центров, которая служит центром тяжести объема, отсекаемого от тела плоскостью, касательной к
поверхности сечения в точке А, то эти точки Л и В мы будем называть соответственными. Очевидно, что каждой точке поверхности сечения будет соответствовать в сказанном смысле только одна точ
ка поверхности центров.
Весьма важное для свойств рассматриваемых поверхностей состоит в
том, что касательные плоскости к поверхностям сечения и центров в соответственных точках параллельны.
Чтобы доказать это свойство, положим, что АВ и А'ВГ — какие-либо два положения плоскости сечения, а £ и Ег— соответствующие им центры тяжести. Положим далее что е есть центр тяжести объема ADA', е' — центр тяжести объема BDB' и F — центр тяжести объема A'DBG. Очевидно, что точка Е будет находиться между точками е и F на соединяющей их прямой, а точка Е*— между точками ^ и f на прямой e'F. При этом мы будем иметь
Ее _ ^A'Dbc E'e* _ ^А'овсEFVada» ’ E'F - VBDB, e
Но из равенства объемов Vabc и Va'B'C следует равенство объемов Yada* и Vbdb'» потому только, что составленные соотношения приводят к равенству
Ее Е'е*"ЁР — ИТ ’
из которого следует параллельность прямых ££' и ее'. Если же плоскость А'В' будем приближать к совпадению с плоскостью АВ, то прямая ее' будет приближаться к совпадению с некоторой прямой в этой плоскости, а прямая ££' — к прямой, касающейся поверхности центров в точке Е. Поэтому из только что доказанного следует, что всякая прямая, касающаяся поверхности центров в точке Е, параллельна плоскости АВ, а следовательно, будет параллельна этой плоскости и касательная плоскость к поверхности центров в точке Е.
Из доказанной теоремы следует, что задача об определении всех положений равновесия плавающего тела приводится к геометрической задаче о проведении всевозможных нормалей к поверхности центров, которые проходили бы через центр тяжести тела. Основание этих нормалей будут центрами тяжести объемов, отсекаемых от тела плоскостями плавания.
Таким образом, всякое погруженное в жидкость тело имеет столько положений равновесия, сколько из его центра тяжести можно опустить нормалей на поверхность центров. Так как на всякую замкнутую поверхность из данной точки можно опустить не меньше двух нормалей, то и число положений равновесия не может быть меньше двух.
Покажем теперь, каким образом может быть решена рассматриваемая задача аналитически, когда известны уравнения поверхностей сечения и центров.
Начнем с простейшего случая, когда тело имеет форму какого-либо цилиндра, ограниченного двумя плоскостями, перпендикулярными к образующим, и когда центр тяжести его находится где-либо в середине сечения цилиндра. Для такого тела, очевидно, возможны положения равновесия, при которых образующие центра горизонтальны, и если ограничимся рассмотрением только таких положений равновесия и будем в них обращать внимание только на положения среднего сечения цилиндра, то задача об определении этих положений равновесия будет такова же, какова была бы фиктивная задача об определении положений равновесия некоторой материальной площади, вертикально погруженной в жидкость. При этом рассмотрение поверхностей сечения и центров заменится рассмотрением линий сечения и центров» т. е. тех линий, по которым эти поверхности пересекаются с плоскостью среднего сечения цилиндра. Первая будет огибающей прямых, отсекающих от площади среднего сечения часть данной величины, а вторая геометрическим местом центров тяжести отсеченных площадей. Все положения равновесия определятся, коль скоро будут найдены все нормали, которые можно опустить из центра тяжести тела на линию центров и их будет столько же сколько будет таких нормалей, и, следовательно, во всяком случае не менее двух. Линии плавания, т. е. те прямые, по которым плоскости плавания пересекаются с плоскостью среднего сечения, будут перпендикулярны к этим нормалям и в то же время будут касаться линии сечения.
Определяя положение точек в плоскости среднего сечения прямоугольными координатами х, у, положим, что
Ж У) = 0(50)
есть уравнение линии сечения, а
Ф(х, у) = 0
— уравнение линии центров. Для определения всех положений равновесия, надо найти все положения линии плавания. Если
у^а^ + р(51)
есть уравнение этой линии, то искомыми неизвестными будут аир. Понимая под х и у координаты точки касания линии плавания с линией сечения, имеем
+ а-^ = 0.(52)
ох 1 дуv 7
Исключая из (50), (51) и (52) х и у, получаем уравнение
F^ Р) = 0,(53)
представляющее, очевидно, ничто иное, как ту зависимость, которая должна существовать между аир для того, чтобы прямая (51) отсекала от площади среднего сечения часть данной величины.
Далее, положим, что х и у — координаты центра тяжести площади, отсекаемой линией плавания. По свойству линии центров будем иметь
ф (х, у) = 0(54)
и
+(55)
а условие перпендикулярности линии плавания к прямой, соединяющей этот центр с центром тяжести тела, дает еще уравнение
ау + х = аус + хс,(56)
Исключая из (54), (55) и (56) х и у, получим
Ф (а) = 0.(57)
Уравнения (53) и (57) и решают вопрос. Но нужно иметь в виду, что не всякие вещественные решения этих уравнений могут быть приняты, ибо всех положений равновесия будет столько, сколько различных вещественных систем решений относительно х и у допускают уравнения
<р (х, у) = 0 и -^- Су — Ус) = -^- С — хс).(58)
охду
Поэтому, во-первых, из решений уравнения (57) могут быть приняты для а только те, которые соответствуют вещественным х и у, удовлетворяющим уравнению (58), и, во-вторых, из вещественных решений для р, следующих при этих величинах а из уравнения (53), могут быть приняты только те, для которых центры тяжести отсекаемых площадей имеют координаты, удовлетворяющие уравнениям (58).
Переходим теперь к решению общей задачи. Пусть
/ (х, у, z) = 0(59)
есть уравнение поверхности сечения, а
ф (х, у, г) = 0
— уравнение поверхности центров. Будем искать всевозможные положения плоскости плавания
z = ах + Рг/ + у.(60)
Если х, у, z — координаты точки касания этой плоскости с поверхностью сечения, то будем иметь
+ а^- = о, -^- + р-^- = о.(61>
дх ' дг ’ ду 1 г дгv 7
Исключая из уравнений (59), (60) и (61) х, у, и z, получим уравнение
F (a, Р, у) = 0,(62)
которое будет выражать условие постоянства объема, отсекаемого от тела плоскостью (60). Обозначая через х, у, z координаты центра тяжести объема, отсекаемого плоскостью плавания, по свойству поверхности центров будем иметь
<р(х, ys z) = 0,(63)
+ а =0 дф р дф =6
дх дг 1 ду 1 1 дгх 1
Выражая перпендикулярность прямой, соединяющей этот центр с центром тяжести тела и плоскости плавания, получим еще два уравнения
az + х = azc + хс, Pz + у = Pzc + ус-(65)
Исключая из уравнений (63), (64) и (65) х, "у и z, получим
Фх (a, Р) = 0 и Ф2 (а, р) = 0.(66)
Присоединяя к этим уравнениям найденное выше (62), будем иметь все необходимые уравнения для определения а, р и у Но подобно предыдущему, следует иметь в виду, что не всякие вещественные решения их будут свойственны задаче. Положений равновесия будет столько, сколько различных
вещественных систем решений относительно х, у, z допускают уравнения ф (х, у, z) = 0, ^- (z — zc) = -^- (х — хс), -^- (г — zc) = -^- (у — ус), ОХ02оу02
(67) получаемые исключением а и р из (63), (64) и (65). Поэтому только те решения уравнений (66) могут быть приняты для аир, которые соответствуют вещественным х, у, z, удовлетворяющим уравнениям (67), и для этих аир могут быть приняты для у только те решения уравнения (62), для которых центры тяжести отсекаемых от тела объемов имеют координаты, удовлетворяющие уравнениям (67).
Мы теперь покажем, что кривизна поверхности центров дает возможность судить об устойчивости положений равновесия плавающего тела.
Прежде всего выведем дифференциальные зависимости между параметрами плоскостей сечения и координатами поверхности центров. Пусть
г = ах + ^у + у(68)
есть уравнение плоскости сечения. Условие постоянства объема, отсекаемого от тела, требует, чтобы между параметрами а, р и у существовала некоторая зависимость. Найдем соответствующую ей зависимость между дифференциалами этих параметров. Пусть dx — какой-либо из элементов объема, отсекаемого от тела плоскостью (68). Выразим, что интеграл j dx, распространенный на все эти элементы, остается неизменным.
Пользуясь знаком вариации б для обозначения дифференциалов величин, зависящих от а, р и у, будем иметь
6 J dx = 0.(69)
Для составления выражения б У dx и других подобных ему, с которыми нам придется иметь дело далее, заметим, что вообще если имеем интеграл J / (х, у, z) dx от данной функции координат / (х, у, z), распространенный на некоторый объем, поверхность которого получает некоторую бесконечно малую деформацию, то бесконечно малое приращение, получаемое вследствие этого интегралом, или его вариация будет определяться формулой
6 J ^т = j fSnds,(70)
где второй интеграл распространен на все элементы ds поверхности, ограничивающей объем, а би — происходящие при рассматриваемой деформации перемещения точек этой поверхности по направлению внешних нормалей.
В данном случае поверхность, ограничивающая объем, отчасти состоит из поверхности тела, а отчасти из плоскости (68), и так как тело мы рассматриваем как неподвижное, то для всех точек его поверхности бп = 0. Поэтому в применении к нашему случаю интеграл второй части равенства (70) будет распространен только на все элементы ds площади сечения гела плоскостью (68). Но если положим
6z = хба + ^/6(3 + бу и обозначим через do проекцию на плоскость ху элемента ds, то, очевидно, будем иметь
5nds = ± Szdo, где верхний знак относится к случаю, когда внешняя нормаль к плоскости сечения составляет острый угол с осью z, а нижний — к противоположному случаю.
Таким образом, формула (70) принимает вид
6 У /б/т = ± J fbzda или
6 У fd% = ± (У xfdoda + У yfdo6$ + У fdaS^»(71)
где во второй части равенства интегралы распространены на все элементы проекции площади сечения на плоскость ху. Если положим
^do = а, ^ xdo = х^, У у do = угаэ
то а будет величина этой проекции, а хг и уг — координаты ее центра тяжести, или что все равно, координаты центра тяжести площади сечения. Пользуясь формулой (71) и только что сделанными обозначениями, найдем
6 У dx = ± а (х^а + z/i6P + Sy),
а равенство (69) обратится в
хт6а + ^/163 + бу = 0,(72)
что и представляет искомую дифференциальную зависимость между а, р, у. При помощи уравнения (72) легко показать, что поверхность сечения есть геометрическое место центров тяжести площадей сечения.
В самом деле, если аир будем рассматривать, как независимые переменные, а у — как их функцию, то уравнение поверхности сечения, как огибающей плоскостей сечения, получится исключением а и р из уравнений
. о .^2дг
г = ах + ^ + у, = 0,= 0,
из которых два последних приводятся к
х + -^ = 0, у + ^ = 0.
1 дадр
Но из уравнения (72) следует дуду
да ~Х1’ "др У1’
а потому последние два уравнения принимают вид
х = хъ у = уъ чем и доказывается справедливость сказанного.
Обозначая через V отсекаемый от тела объем, а через х, у, z— координаты его центра тяжести, будем иметь
Ух = У xdx, Vy =\ ydx, Vz = У zdx.
Поэтому по формуле (71) найдем
1/бх = ± j (х2ба + xz/бр + хбу) da,
V6y = ± J (хуба + у2бр + z/бу) do,(73)
Vbz = ± J (ах + to + У) (^ба + убр + бу) do.
Отсюда находим
V (бг — абх — ^Ьу) = ± у j (хба + i/бр 4* $у) do.
а потому вследствие (72)
6z = абх + рбу.(74)
Отсюда следует, что если в уравнении поверхности центров z рассматривать как функцию х и у, то
что представляет новое доказательство уже известной нам теоремы, что касательная плоскость к поверхности центров параллельна той плоскости сечения, для которой точка касания служит центром тяжести отсекаемого объема.. Полагая
| уМо = Sv J хМо = S2, j xydo = Q,
приведем уравнения (73) к виду
Vbx = dz (S26a + Q6|3 + х7бу),
V6y = ± (Q6cc + 5^3 + у^у).(75)
Уравнениями (72), (74) и (75) мы теперь воспользуемся для определения радиусов кривизны главных нормальных сечений поверхности центров. Если рассматривать z как функцию от х и у, то для этого, как известно, необходимо знать пять следующих величин:
dzdzd2zd2zd2z ,
—лт- = р,= q, —= г,= s, -г- = t.
dxdydx2дхду^у2
Но мы имеем
р = a, q = 0, откуда
da $ da dp dpdxdydx 9 dy
Для составления этих последних частных производных вносим в уравнения (15) вместо бу его величину, следующую из уравнения (72). Находим
± V&x = (S2 — xi a) 6a + (Q — х^а) бр,
± Убг/ = (Q — х^а) 6a н- (Sj — г/fa) 60.
Разрешая эти уравнения относительно 6a и бр, получим для них выражения вида
6a = Дбх + Сбу, бр = Сбх + Вбу,
их которых и найдем
da д da dp dp g dxdydxdy
Но для упрощения формул предположим сначала, что за плоскость ху принята плоскость, параллельная плоскости сечения, соответствующей рассматриваемой точке поверхности центров, что ось z имеет направление внешней нормали к плоскости сечения и проходит через центр тяжести площади сечения, и что оси х и у параллельны центральным осям инерции этой площади. При этом будем иметь
a = 0 = x1 = y1 = Q = O
и в предыдущих уравнениях из двух знаков надо будет взять верхний. Поэтому они примут вид
И6х = 326а, 76г/= 5^0,
откуда
dx S2 9 ду дх * ду $1
Таким образом, при рассматриваемом положении координатных осей
vv
р = q = о, г = -у , s = О, t = -у- .
Но равенство s = О при условии, что р = q = 0, как известно, служит признаком, что оси х и у параллельны касательным к линиям кривизны поверхности в рассматриваемой точке. Поэтому приходим к заключению, что для всякой точки поверхности центров касательные к линиям кривизны параллельны центральным осям инерции соответствующей площади сечения.
Далее, из того, что г и t оказываются положительными, заключаем, что поверхность центров в сторону положительной оси вогнута, т. е. что во всех своих точках поверхность центров выпукла в наружную сторону. Величины г и t при рассматриваемом положении координатной системы представляют, как известно, кривизны главных нормальных сечений поверхности. Поэтому, обозначая радиусы кривизны главных нормальных сечений поверхности центров через Кг и R^ будем иметь
П ^2 О
Сопоставляя этот результат с найденными в § 16 условиями устойчивости, приходим к заключению, что радиусы кривизны главных нормальных сечений поверхности центров есть те пределы, которые для устойчивости положения равновесия не должно превосходить расстояние между центрами тяжести тела и центром тяжести погруженного в жидкость объема, когда первый выше второго.
Заметим, что центры кривизны главных нормальных сечений поверхности центров носят название метацентров. Удерживая этот термин, можем условия устойчивости высказать в следующей форме:
Положение равновесия плавающего тела несомненно устойчиво, когда центр тяжести его ниже обоих метацентров, и несомненно неустойчиво, когда центр тяжести выше по крайней мере одного из них. Случай, когда центр тяжести тела совпадает с тем из метацентров, который ниже, остается сомнительным.
Приложим найденные формулы к случаю цилиндра, погруженного в жидкость так, чтобы образующие его были горизонтальны. Пусть h — высота цилиндра, и — часть площади среднего сечения, погруженная в жидкость, и р — длина секущей прямой, которой эта часть площади отсекается. При этом 5г и S2 будут главными центральными моментами инерции площади прямоугольника, стороны которого равны h и р. Будем понимать под S2 тот из них, который берется относительно оси, параллельной стороне h. Тогда
Q _ hP3 Q _ Р^- 12 ’- 12 ’
а так как V = Ни, то найдем
о = р3 Р —
12м ’12м •
Первая из этих формул определяет радиус кривизны линии центров. Таким образом, оказывается, что радиусы кривизны в различных точках линии центров пропорциональны кубам соответствующих секущих.
В заключение приведем два примера. Рассмотрим положения равновесия эллиптического цилиндра, при которых образующие его горизонтальны, предполагая разумеется, что
центр тяжести его находится в среднем сечении. Мы должны начать с составления уравнений линии сечения и линии центров. Пусть
а^ №
уравнение эллипса среднего сечения. Чтобы составить уравнение линии сечения замечаем, что это есть геометрическое место середин секущих прямых, ибо в предыдущем параграфе было показано, что поверхность сечения есть геометрическое место центров тяжести площадей сечения. Оставляя начало координат в центре эллипса, введем косоугольную систему координат, в которой ось Г] была бы параллельна какому-либо положению секущей прямой, а ось g имела бы сопряженное с ней направление. Если сопряженные полудиаметры эллипса обозначим через Л и S, то уравнение его в этой системе координат будет
Пусть g = gj есть уравнение секущей прямой им — постоянная величина отсекаемой ею площади. Обозначая через ft угол между осями g и т], будем иметь
2 -д- sin О С КЛ2 — ^ d^ = и.
Делая под знаком интеграла подстановку g = Ла и полагая = X, найдем
1
2Д5 sin ti j /1 — а2 асе = и.
X
Но известно, что
АВ sin 6 = оЬ.(76)
Поэтому наше уравнение принимает вид
1
2ab ^ р^ 1 — a2 da = и
х
или
-5X 1^1 — X2 — arcsin X = —^— ,(77)
где arcsin X заключается между —-^ л и у л. В силу этого уравнения X оказывается постоянной величиной, а так как числовое значение X представляет отношение какого-либо радиуса-вектора линии сечения к радиусу-вектору того же направления рассматриваемого эллипса, то отсюда заключаем, что линия сечения есть эллипс концентрический, подобный и подобным образом расположенный с эллипсом среднего сечения цилиндра. Уравнение его будет
Чтобы составить уравнение линии центров вводим опять систему координат g и т]. Центр тяжести отсекаемой площади будет находиться на оси g. Пусть | его координата. Тогда
— В с
«1 = 2-^-sind ^/а2 — ^с^.
Делая прежнюю подстановку g = Ла и принимая в расчет формулу (76), находим
ng = 2Aab ^ а У" 1 — а2 da,х
откуда -5- = -^( 1 —2 -^-.
Adи
Так как вторая часть этого равенства постоянна, то подобно предыдущему заключаем, что и линия центров есть эллипс концентрический, подобный и подобным образом расположенный с эллипсом среднего сечения цилиндра. Уравнение линии центров имеет вид
где
(80)
Обращаемся к составлению уравнений, определяющих все положения равновесия. Запишем
уравнение линии плавания
у = ах + р.
(81)
Согласно изложенному в § 17 для составления зависимости между а и Р нужно исключить х и у из уравнений (78), (81) и
а2 62
что дает Р2 л2 (а2а2 + 62).(82)
Далее, составим систему уравнений (54), (55) и (56):
-^- + -^-=Ц2. -^-+"^-=°> «У + * = «Ус + хс.(83)
Исключая из этой системы х и у, находим
(а^с + ^с)3 (й2а2 + Ь^ = (п2 — 62)2 р2а2.(84)
При этом два последних уравнения этой системы дают
- а3 (аус + хс) -№ ^аус + х^я
Уравнение (84) четвертой степени относительно а. Следовательно, а может иметь не более четырех различных значений. Притом каждому из этих значений а будет соответствовать вообще одна только точка поверхности центров, координаты которой определяются формулами (85). Исключение представляет только случай хе = 0, когда центр тяжести тела находится на оси у, так как в этом случае уравнение (84) допускает корень а = 0, которому соответствуют все точки поверхности центров
и
х = 0, у = yb
х = 0, у — — рб
и только при этом значении а оба значения Р, следующие из уравнения (82), могут быть приняты; при всяком же другом значении а из них только одно может соответствовать задаче, а именно то, знак которого одинаков со знаком у. При хс = 0 кроме корня а = 0, который будет двойным, уравнение (84) допускает еще два следующих
V(а2 — £2)2 ^2 — b2tj^
аус
которые будут вещественными при
9 _ „ (а2 — 62)2 <* II2
(86)
Таким образом, приходим к заключению, что число положений равновесия эллиптического цилиндра, при которых образующие его горизонтальны, не может быть больше четырех. Притом возможны только два случая: когда всех положений равновесия два или когда их четыре. Если центр тяжести тела находится на одной из осей эллипса среднего сечения, то в двух положениях равновесия эта ось будет вертикальна. Если притом возможны еще два положения равновесия, то в них эта ось будет составлять равные углы с вертикалью. Так как по (85) для этих последних
У — а2 — 62 Ус’
то в них центр тяжести тела будет выше или ниже центра эллипса, в зависимости от того, находится ли он на малой или на большой оси его.
Исследуем устойчивость рассматриваемых положений равновесия цилиндра, предполагая высоту его h настолько большой, чтобы она превосходила длины секущих р, соответствующих положениям равновесия. При этом, как показывают формулы, найденные в конце предыдущего параграфа, радиус кривизны линии центров будет наименьшим из радиусов кривизны главных нормальных сечений поверхности центров, а потому для суждения об устойчивости достаточно
знать только его. Как мы видели, он будет определяться формулой
Величина р, как длина отрезка прямой
У = ах + р между точками пересечения ее с эллипсом
а2 /?2 определяется по формуле
_ ^ab V1 4- а2 1/а2а2 + 62 — Р2
а2а2 + 62
которая вследствие (82) примет вид
_ 2а/? /1 4- а2 /1 — Х2
У а2а- 4- Ь2
Отсюда же вследствие (80) найдем
п аЧЧХ^-а2^
(a2a2 4- Ь2У»
(87)
Если центр тяжести цилиндра выше центра тяжести погруженного в жидкость объема и если
V(хс — х)2 + (ус — у)3 <
то положение равновесия будет устойчиво. Если же при этом
V(хс — х)2 + (Ус — у)2 > Rlf
то положение равновесия неустойчиво. Но вследствие последнего из уравнений (83) имеем
(хс — X)2 + (Ус — у)2 = (1 + а2) (Ус — у)2.
Поэтому, внося вместо Rt его выражение (87) и понимая под | ус— у | числовое значение этой разности, находим, что для положений равновесия, в которых центр тяжести тела выше центра тяжести погруженного в жидкость объема, условие устойчивости выражается неравенством
,-. а2Ь2 (14- а2)
(а2а2 + Ь2) ^
а условие неустойчивости — неравенством
I Ус — У\ > р
Случай же, когда
a2b2 (1 4-а2) (а2а2 4- 62)3/2
,- , a2b2 (1 4- »2)
остается сомнительным.
Приложим эти формулы к случаю, когда хс = 0. При том не нарушая общности, мы можем предположить у0 > 0. Рассмотрим сначала положения равновесия, для которых a = 0.
Для этих положений равновесия х = Рассмотрим отдельно оба случая:
0 и для одного случая у = р/?, а для другого у^ — р/?.
Ус^2'
П ^ < И2
(Я2 _ ^2)2
Ь2
В первом случае, кроме положений равновесия, для которых a =0, других существовать не будет. Во втором же будут возможны еще два положения равновесия, для которых а определяется формулой (86). При том каждый из этих случаев разобьем на два, когда а2 > Ь2 и когда а2 — Ь2.
I9(«2 —&2)2
Ус/у 55
l)a2 > /?2, таким образом,
а2 — Ъ2
^>^—ь
Положение равновесия, для которого у = рА будет всегда устойчиво, если ус ^ у,^, ибо при этом центр тяжести тела ниже или совпадает с центром тяжести погруженного в жидкость объема. Если же у г < мД то для этого положения равновесия | ус — у\ = р.Ь — ус и условие устойчивости принимает вид
иЯ2
V^b — Ус < и — 1
илиили. а2 — Ь- ^ + ^Й—. а2 — Ь- ^ + ^Й—>0>0(89)(89)
или
или
. а2 — Ь- ^ + ^Й—
. а2 — Ь- ^ + ^Й—
>0
>0
(89)
(89)
и оказывается удовлетворенным. Итак, jioложение равновесия у = pb устойчиво. Для положения равновесия у = —pb имеем ; ус — у\ = ус + pb и, следовательно, условие устойчивости, принимая вид
а2
Ус + ^Ь< И —
илиилиЯ2 Ъ2Ус<^7—Я2 Ъ2Ус<^7—(90)(90)оказывается противоречащим условию (88). Это положение равновесия поэтому неустойчиво.оказывается противоречащим условию (88). Это положение равновесия поэтому неустойчиво.а2 < Ь2, таким образом,а2 < Ь2, таким образом,Ь2 — а2Ус>Р^Ь2 — а2Ус>Р^(91)(91)Положение равновесия у = pb по-прежнему устойчиво, так как при ус < pb условие устойчивости принимает для него вид (89) и оказывается удовлетворенным вследствие (91). Положение равновесия у = —pb по-прежнему неустойчиво, потому что для него условие устойчивости приводит к неравенству (90), которое не может быть удовлетворено.Положение равновесия у = pb по-прежнему устойчиво, так как при ус < pb условие устойчивости принимает для него вид (89) и оказывается удовлетворенным вследствие (91). Положение равновесия у = —pb по-прежнему неустойчиво, потому что для него условие устойчивости приводит к неравенству (90), которое не может быть удовлетворено.II &<Н‘II &<Н‘ко2 — b2YЬ2ко2 — b2YЬ2а2 > b2, таким образом,а2 > b2, таким образом,а2 — Ь2^<^——а2 — Ь2^<^——(92)(92)
или
или
Я2 Ъ2
Ус<^7—
Я2 Ъ2
Ус<^7—
(90)
(90)
оказывается противоречащим условию (88). Это положение равновесия поэтому неустойчиво.
оказывается противоречащим условию (88). Это положение равновесия поэтому неустойчиво.
а2 < Ь2, таким образом,
а2 < Ь2, таким образом,
Ь2 — а2
Ус>Р^
Ь2 — а2
Ус>Р^
(91)
(91)
Положение равновесия у = pb по-прежнему устойчиво, так как при ус < pb условие устойчивости принимает для него вид (89) и оказывается удовлетворенным вследствие (91). Положение равновесия у = —pb по-прежнему неустойчиво, потому что для него условие устойчивости приводит к неравенству (90), которое не может быть удовлетворено.
Положение равновесия у = pb по-прежнему устойчиво, так как при ус < pb условие устойчивости принимает для него вид (89) и оказывается удовлетворенным вследствие (91). Положение равновесия у = —pb по-прежнему неустойчиво, потому что для него условие устойчивости приводит к неравенству (90), которое не может быть удовлетворено.
II &<Н‘
II &<Н‘
ко2 — b2YЬ2
ко2 — b2YЬ2
а2 > b2, таким образом,
а2 > b2, таким образом,
а2 — Ь2
^<^——
а2 — Ь2
^<^——
(92)
(92)
Так как неравенство (89) удовлетворено, то положение равновесия у = pb устойчиво. Неравенство (90) так же удовлетворено вследствие (92), а следовательно, и положение равновесия у = —pb устойчиво.
) а2 < Ь2, таким образом,
Ь2 ~ а2
Ус<Р-ь .(93)
Неравенство (89) противоречит (93). Неравенство (90) также неудовлетворяется, а следовательно, оба положения равновесия у = pb и у — —pb неустойчивы. Так как вследствие (83) ус < < рД то в этом случае не существует положений равновесия, в которых центр тяжести тела ниже центра тяжести погруженного в жидкость объема.
Таким образом, приходим к следующему заключению.
Если центр тяжести цилиндра находится на одной из осей эллипса среднего сечения, то когда других положений равновесия, кроме тех двух, в которых эта ось вертикальна, не существует, одно из них устойчиво, другое неустойчиво, а именно, устойчиво то, в котором центр тяжести цилиндра ниже центра эллипса. Когда же возможны и еще два положения равновесия, для чего центр тяжести должен быть достаточно близок к центру эллипса, то первые два будут или оба устойчивы, или оба неустойчивы; устойчивы, когда центр тяжести находится на малой оси эллипса, и неустойчивы, когда он находится на большой.
Рассмотрим теперь устойчивость этих последних положений равновесия, для которых а определяется формулой (81), предполагая по-прежнему у6 > 0. Для обоих этих положений равновесия
(а2 — Ь^р2 — b2y‘t(а2 — Ь^р2 — b2y‘tа2а2и, следовательно, в них центр тяжести цилиндра всегда будет выше центра тяжести погруженного в жидкость объема. Для обоих
(а2 — Ь^р2 — b2y‘t
(а2 — Ь^р2 — b2y‘t
а2
а2
а^с
и, следователе но,
+ «2_(а2 — Ь2) Н2 +у^
(а.а2 + б2)%aV^-b^ *
где верхний знак соответствует случаю № > Ь2, а нижний — случаю а2 < №.
При том
- ,а2ус
где верхний и нижний знаки соответствуют тем же случаям. Вследствие этого условие устойчивости их приводится, когда а2 > №, к виду
(а2 — №У\£ < Ь^-у^ а когда а2< №, — к виду
(а2 — №)2р,2 > №у2с.
Но из этих двух условий, исключающих одно другое, будет удовлетворено второе, как представляющее условие возможности рассматриваемых положений равновесия.
Отсюда заключаем, что положения равновесия (86) устойчивы, когда центр тяжести цилиндра находится на большой оси эллипса среднего сечения, и неустойчивы, когда он находится на малой.
Для второго примера рассмотрим положение равновесия эллипсоида
х2 , У2 , г2
а2 * ь2 с2 е
Чтобы найти поверхность сечения, замечаем, что это есть геометрическое место точек центров эллипсов, получаемых пересечением нашего эллипсоида плоскостями сечения. Введем систему координат £, т], £, имеющих начало в центре эллипсоида, так чтобы плоскость r]J была параллельна плоскости сечения в каком-либо ее положении и чтобы оси g, т], £ имели направления сопряженных диаметров эллипсоида. При этом ось £ пройдет через центр эллипса сечения. Если А, В, С сопряженные полудиаметры эллипсоида, то уравнение его в этой системе координат будет
I2
"Д2""Г~В2" =
ллПусть £ = £i — уравнение плоскости сечения. V — постоянная величина отсекаемого ею объема и 'О* — угол между осью g и нормалью к плоскости т]£. Угол между осями т] и £ мы предположим для простоты прямым. Находим ~
л
л
V.
Делая под знаком интеграла подстановку g = Ла и полагаяполучаем
лЛВС cos $ У (1 — a2) da = У.
Но известно, чтоНо известно, чтоABC cos $ = abc.ABC cos $ = abc.(94)(94)
Но известно, что
Но известно, что
ABC cos $ = abc.
ABC cos $ = abc.
(94)
(94)
Поэтому наше уравнение принимает вид
(95)(95)V — ЗХ + 2 =
(95)
(95)
uabc
Так как из этого уравнения следует постоянная величина для X, то принимая в расчет значение этой величины, приходим к заключению, что поверхность сечения есть эллипсоид концентрический, подобный и подобным образом расположенный с данным. Уравнение этой поверхности в прежней прямоугольной системе координат будет
(96)(96)X2 U2 22а*сд
(96)
(96)
Для разыскания поверхности центров вводим опять систему координат g, т], g. Центр тяжести отсеченного объема будет находиться на оси g. Если g есть его координата, то
-г / t2 \
^ = лВСсоз^ J g(ld^
откуда вследствие (94) находим
| каЬс „19х_
7=—''"''Ь
Так как для отношения JL, которое обозначим через ц, мы получили постоянную величину, то заключаем, что и поверхность центров есть эллипсоид концентрический подобный и подобным обоазом расположенный с данным.
Уравнение
ее будет
г? г/2?2
О2" + ~Р~ + ” = И2’
(97)
где
ц = ^^(1-*2)2.
(98)
ПустьПусть(99)(99)г = ах + ^у + у
Пусть
Пусть
(99)
(99)
есть уравнение плоскости сечения.
Исключая х, у, г из уравнений (96), (99) и следующих
Xа2Xа2с2 ’ Ь2 с2 ‘с2 ’ Ь2 с2 ‘
X
а2
X
а2
с2 ’ Ь2 с2 ‘
с2 ’ Ь2 с2 ‘
получаем уравнение
?2 = %2 (а2а2 + ь^ + с^,(100)
соответствующее (62) § 17.
(101)(101)Уравнения, соответствующие (63), (64) и (65) § 17, в данном случае будут
(101)
(101)
Я2 Т № Т ^а2 Т С2 — V. b, Т С2 — и.
аг + х = azc + хс, pz + у = ^с + Ус-
Исключая отсюда х, у, г, находим
№ - с2) (агс + хс) р = ка2 - с2) фгс + ус) а,(102)
(агс + хс)2 (а2а2 + Ь2Р2 + с2) = (а2 — с2)2р,2а2.(103)
При том имеем
- а2 (агс + хе) -6» (Ргс + уе)
О2 — С2 ' 4№—С2*
- _ (агс +_ _ с2 (ргс + ус). „
а (а2—с2) -р(62_с2) •
В общем случае, исключая из (102) и (103) Р, получим для а уравнение шестой степени. Каждому корню этого уравнения по (102) будет соответствовать одна величина Р, а по (104) каждой паре значений а и Р соответствует одна точка поверхности центров, как центр тяжести погруженного в жидкость объема и, следовательно, одно положение равновесия. Отсюда заключаем, что эллипсоид не может иметь более шести положений равновесия.
Как уже отмечалось, в общем случае каждой паре значений а и Р соответствует одна только точка поверхности центров. Но в некоторых частных случаях может соответствовать им и по две точки. Это будет тогда, когда величины (104) делаются неопределенными, что может быть только в следующих случаях: 1) когда при хс = ус = 0 а = Р = 0, 2) когда при гс = 0 а = = оо и 3) когда при zc = 0 Р = оо.
Рассмотрим случай, когда центр тяжести находится на оси z, т. е. когда хс = ус = 0. Вообще из уравнений (102) и (103) можно вывести следующее
(Ргс + Ус)2 to2a2 + д2Р2 + с2) = №2 — с2)2ц2р2.
Поэтому для рассматриваемого случая можем взять два следующих уравнения: a2Z^ (а2а2 + 62р2 4- с2) = (а2 _ с2)2(12а2>
^с (а2а2 + 62р2 + С2) = (62 _ £2)2^262.(105)
Уравнениям этим можно удовлетворить только следующими величинами: аир
1)а = р = 0; 2) а = 0, р= ±-^-К(62 —с2)2р.2—с3г2;
3) а = ± —— V(а2 — с2)2р2 — c2z^, Р = 0.
Таким образом, получаем пять различных систем решений. Из них первой а = Р = О соответствует два положения равновесия, в которых вертикальна та ось эллипсоида, на которой находится центр тяжести. Каждой же из четырех остальных, когда они вещественны, соответствует по одному положению равновесия. Эти последние положения равновесия возможны, только когда центр тяжести достаточно близок к центру эллипсоида.
Когда центр тяжести находится в центре эллипсоида, т. е. когда при хс = ус = 0 и гс = = 0 наши формулы дают следующие системы решений:
а = Р = 0, 2) а = О, Р = ± оо, 3) а = ± сю, р = 0.
Получается, следовательно, шесть положений равновесия, из которых в каждом вертикальна одна из осей эллипсоида.
В случае эллипсоида вращения вокруг оси г, когда b = а, очевидно, не нарушая общности, можно положить ус = 0. При этом же уравнение (102) дает Р = 0, а уравнение (103) обратится в следующее
(агс + хс^ (а2а2 + с2) = (а2 — с2) р2а2,
е. примет вид уравнения (84), которым определяются положения равновесия эллиптического цилиндра. Таким образом, оказывается, что эллипсоид вращения вообще не может иметь более четырех положений равновесия. Но если центр тяжести находится на его оси вращения, то будет бесчисленное множество положений равновесия, для которых а и Р удовлетворяют уравнению
2^ (я2а2 + Ь2Р2 + с2) = (а2 — с2)2р2.
Кроме же этой серии положений равновесия будет существовать, как видно из уравнений (105), еще только два, для которых а = 0 и Р = 0, т. е. в которых ось вращения вертикальна.
Для шара вообще возможны, очевидно, только два положения равновесия, в которых центр тяжести находится на одной вертикали с его центром. Если же эти точки совпадают, то будет бесчисленное множество положений равновесия.
В заключение исследуем устойчивость положений равновесия эллипсоида с тремя неравными осями, ограничиваясь простейшим случаем, когда центр тяжести совпадает с его центром. В этом случае мы имеем шесть положений равновесия, для которых
у = г = 0, х = + ра, 2) г = х = 0, у = ± рЬ, 3) х — у = 0, z = ± рс,
и которым соответствуют следующие плоскости плавания:
1) х = + #Х, 2) у = + ^Х, 3) z = + сХ.
Полуоси эллипсов, получаемых в пересечении этих плоскостей с эллипсоидом, будут
& /1 — X2, с/1 — V, 2) с /1 — X2, а/Ь^Х2, 3) а /1 — X2, b У 1 — X2.
Поэтому находим следующие величины для главных центральных моментов инерции площадей плавания:
St = -Ь л (1 — Х2)2Ь3с, S2 = -Ь л (1 — Х2)26с3,
S, = -Ь л (1 — Х2)2с3а, S2 = -Ь л (1 —Х2)2са3,
5,=^-л(1-Хг)Ш 52 = -Ьл(1— Wa№.
Условие устойчивости состоит, как известно, в том, чтобы расстояние между центром тяжести тела и центром тяжести вытесненного объема жидкости, когда первый выше второго (что и будет иметь место в рассматриваемом случае), было меньше наименьшего из отношений -^- и -^-. Отношения же эти в силу (98) в рассматриваемом случае приводятся к
Ь2 с2 m с2 а2 _ а2 Ь2
—•2) —•3)— ■
Поэтому положения равновесия, для которых х = ± ра устойчивы, если а < b и а <с, и неустойчивы, если, по крайней мере, одно из этих неравенств не удовлетворяется. Подобное же имеет место и по отношению к четырем остальным положениям равновесия.
Таким образом, оказывается, что из шести положений равновесия трехосного эллипсоида, центр тяжести которого совпадает с его центром, только два устойчивых, а именно те, в которых вертикальна наименьшая из осей его.
ТЕОРИЯ ПРИТЯЖЕНИЯ
. Ньютонов закон всемирного тяготения может быть выражен в следующей форме:
Всякая материальная точка притягивает всякую другую материальную точку с силой, направление которой совпадает с прямой, соединяющей точки, а величина зависит только от масс точек и расстояния между ними, изменяясь для одной и той же пары точек обратно пропорционально квадрату этого расстояния, а при одном и том же расстоянии для различных точек — прямо пропорционально произведению их масс.
При этом нужно иметь в виду, что под материальными точками здесь понимаются тела, размеры которых по всякому направлению бесконечно малы по сравнению с расстоянием между какими-либо точками, из которых одна принадлежит одному, а другая — другому телу. Поэтому рассматриваемый элементарный закон непосредственно применим как к телам конечных размеров, находящихся на бесконечно большом расстоянии одно от другого, так и к бесконечно малым элементам различных тел или одного и того же сплошного тела, но в последнем случае — только к таким элементам, расстояния между которыми не бесконечно малы.
Пусть т и т/ — массы двух материальных точек иг — расстояние между ними. Тогда сила, с которой точка т действует на точку т', или равная ей сила, с которой точка т' действует на точку т, может быть выражена формулой
где s — некоторая постоянная величина, т. е. величина, не зависящая ни от т, ни от т', ни от г. Притом направление первой силы идет вдоль г от т' к т, а направление второй — от т к т'.
Что касается постоянной 8, то это есть число, единица наименования которого зависит от всех трех основных единиц механики и числовое значение которой при определенном выборе этих трех основных единиц может быть выведено из известных данных наблюдения. Чтобы найти единицу наименования е, стоит только обратить внимание на то обстоятельство, что выражение (1), как представляющее некоторую силу, должно быть именованным числом, единица которого равна
(ед. длины) (ед. массы)(ед. времени)2
Отсюда заключаем, что ед 8 = (ед~ длины)3 _/2)
(ед. массы) (ед. времени)2' '
Что же касается числового значения 8, то оно может быть найдено на основании следующих соображений.
Наблюдения показывают, что в известной степени приближения можно принять, что Земля притягивает всякую внешнюю точку, как материальная точка, масса которой равна массе Земли и которая находится в центре Земли, принимаемой шарообразной. Поэтому если М есть масса Земли и jR — ее радиус, то сила, с которой Земля притягивает материальную точку массы т, Мт находящуюся на ее поверхности, может быть выражена числом е —^-. Но, с другой стороны, та же сила выражается числом mg, если g — ускоре-
ние силы тяжести. Отсюда заключаем, что
е =е =м *м *
е =
е =
м *
м *
Если среднюю плотность Земли обозначим через о, то можем этой формуле дать также следующий вид:
3g
teRa *
Для вычисления по этой формуле 8 примем следующие числовые данные:
g = 9,8 м/с2, R = 6000 верст =g = 9,8 м/с2, R = 6000 верст =90 000 0001490 000 00014м,м,
g = 9,8 м/с2, R = 6000 верст =
g = 9,8 м/с2, R = 6000 верст =
90 000 000
14
90 000 000
14
м,
м,
ОУ0^09
откуда зоо оооооо с * Далее, из наблюдений известно, что средняя плотность Земли в 5,5 раз больше плотности воды (при нормальных давлении и температуре). Поэтому принимая в расчет, что килограмм есть масса одного кубического дециметра воды (при нормальных условиях), можем положить о = 5,5 кг/дм3 = 0,0000055 кг/мм 3. По этим данным, принимая л = 3,14, находим
343мм3
8 ~ 31,4 • 55 «3 кг • с2 ’
ММ3
8 = 0,066
’ КГ * С2
Пусть т^ т^ ...» т^ ... — массы материальных точек, имеющих положения (хъ ylf z^, (х2, у^ z^, ..., (х^ уь zty ... , и пусть X, У, Z — проекции на координатные оси равнодействующей всех сил, с которыми эти точки притягивают точку (х, у, z) массы т. Полагая вообще
V— xf + (у( — у? + (z, — гр = rt (I = 1,2, ...), мы будем иметь
I\( Ул — У ।
X = гт\т1 —h т^ —Н . .. , У = em I тх 1 3 •- +
\Г1^2}\Г1
+ /и2+ ... ,
Г2)
Z. ■ ■ Z ।Zq 1 z 1\
= sm I h пц h ... .
\ Г1r2/
Поэтому если положим
то получим
VdVdV 7
X = гт , У — е/тг , Z = гтдхду ’
Величина V как функция координат х, у, z называется потенциальной функцией системы материальных точек тъ т^ ... на точку (х, у, zy Вопрос о притяжении какой-либо точки данной системой точек приводится, следовательно, к разысканию потенциальной функции, и когда она будет найдена, то, составляя ее частные производные по координатам притягиваемой точки, получим в них величины, пропорциональные проекциям притяжения на координатные оси.
Но мы видели, что числовое значение 8 зависит известным образом от выбора единицы массы, и если последнюю выбрать так, чтобы при определенных единицах длины и времени притяжение единицы массы единицей массы представляло единицу силы, то числовое значение 8 будет 1. Формула (2) показывает, что если (е) есть числовое значение 8 при прежней единице массы, то для этого необходимо за новую единицу массы принять величину, находящуюся к прежней единице массы в отношении -Д-.
Так, например, если за единицы длины и времени приняты миллиметр и секунда, то для того чтобы 8 = 1, нужно принять за единицу массы величину 1 ^° - килограмм (см. формулу (3)).
Положим же, что за единицу массы принята такая величина, при которой (8) = 1.
_dV dV dV
Тогда числовые значения -^-, -^-, будут равны числовым значениям проекций притяжения точки (х, у, z), масса которой равна единице.
Предполагая везде далее выбор единицы массы удовлетворяющим только что сказанному условию и массу притягиваемой точки, равной единице, мы можем поэтому положить
А ” дх ’ Y ду ’” dz е
Обратим внимание на некоторые свойства потенциальной функции системы материальных точек. При этом мы всегда будем предполагать, что все притягивающиеся точки находятся на конечных расстояниях от начала координат.
Потенциальная функция и частные производные ее какого угодно порядка по координатам притягиваемой точки суть непрерывные функции координат этой точки во всем бесконечном пространстве, за исключением тех точек, в которых находятся притягивающие массы. При совпадении же притягиваемой точки с одной из этих последних как потенциальная функция, так и все ее производные обращаются в бесконечность.
Далее, если р есть расстояние притягиваемой точки от начала координат, то
lim pV = 5 mt = М,(4)
Р-*ОО
где М—масса всей системы притягивающих точек. В самом деле, если г есть наименьшее, a R — наибольшее из расстояний г^ г^ ..., то
— / vм
Rг
откуда видно, что рУ всегда заключается между пределами -~Л4 и -~М. Но при беспредельном удалении притягиваемой точки от начала координат отношения-^- и -~ будут приближаться к одному и тому же пределу, равному единице, откуда и заключаем о справедливости равенства (4).
Из сказанного следует, что произведение рУ может обращаться в бесконечность только при совпадении притягиваемой точки с одной из притягивающих.
Легко убедиться, что то же самое будет справедливо и относительно произведений
В самом деле, замечая, что численное значение -—- никогда не может быть ,I I1дУ .
больше единицы, и понимая под -^-1 численное значение ~^~, найдем
I дУ /Vi пц М.
| dx ^2^"^ г»
откуда, принимая в расчет, что
lim = 1, р-юо Г“
заключаем, что р2 -^- остается конечным для бесконечно удаленных точек.
То же будет справедливо и для произведении р2 -^-, р2 -^-.
Таким образом, для беспредельно возрастающего р потенциальная функция обращается в бесконечно малую величину одного порядка с а первые производные ее по координатам притягиваемой точки — в бесконечно малые величины, порядок которых не ниже порядка -^-.
Укажем еще на одно весьма важное свойство потенциальной функции. Легко убедиться, что пока точка (х, у, z) не совпадает с точкой (xz, уь z^ имеет место следующее равенство:
д24~д24~дх2Отсюда следует, чтоЬУ =дх2Отсюда следует, чтоЬУ =»*4гду^»*4гду^W , dW , dW _ n дх2 dy^ + dz2W , dW , dW _ n дх2 dy^ + dz2(5)(5)
д24~
д24~
дх2
Отсюда следует, что
ЬУ =
дх2
Отсюда следует, что
ЬУ =
»*4гду^
»*4гду^
W , dW , dW _ n дх2 dy^ + dz2
W , dW , dW _ n дх2 dy^ + dz2
(5)
(5)
где ДУ есть сокращенное обозначение операции
д2 . д2 , д2
Эх2 + ду2 + dz2 ’
произведенной над функцией У, которым мы будем пользоваться далее (следует заметить, что ДУ называется дифференциальным параметром второго порядка функции У).
Таким образом, потенциальная функция удовлетворяет уравнению (5), называемому уравнением Л а п л а с а, во всем бесконечном пространстве, за исключением тех точек, в которых сосредоточены притягивающие массы. Для этих точек уравнение (5) не имеет места, так как для них ДУ есть величина неопределенная.
От притяжения масс, сосредоточенных в отдельных точках, нетрудно перейти к притяжению сплошных масс, распределенных по некоторым линиям, поверхностям или объемам, если только притягиваемая точка находится вне притягивающих масс. Для этого нужно массы материальных точек рассматривать как бесконечно малые элементы притягивающей массы, причем суммы, входящие в предыдущие формулы, заменятся интегралами, распространенными на те линии, поверхности или объемы, по которым распределена материя.
Везде далее мы будем рассматривать только тот случай, когда материя заполняет некоторый объем, ограниченный одной или несколькими поверхностями. При этом мы всегда будем полагать, что все точки притягивающей массы находятся на конечных расстояниях от начала координат и что плотность этой массы нигде не обращается в бесконечность.
Пусть £, т], £ суть координаты одной из точек притягивающей массы, г = ]/(£ — х)2 + (т| — у)2 + (£ — z)2 — расстояние этой точки от притягиваемой (х, у, z); к — плотность материи в точке (g, т], £) и dr — элемент объема, заполненного материей. Тогда кек — элемент притягивающей массы, которому принадлежит точка (g, т], О» и если через X, Y, Z, по-прежнему, назовем проекции на координатные оси притяжения точки (х, у, z), в которой сосредоточена масса, равная 1, то
х = у Мк^т> 7 = ^-^, z = ^A.^.dTi
где интегралы распространены на весь объем, заполненный материей. Точно также для потенциальной функции получим выражение
т, р kdx
где интеграл распространен на тот же объем.
Пока точка (х, у, z) находится вне притягивающего тела, т. е. не находится ни внутри, ни на поверхности того объема, на который распространяются интегрирования в этих выражениях X, У, Z, V, подынтегральные функции этих выражений суть непрерывные функции координат х, у, z, и так как подынтегральные функции первых трех выражений суть частные производные по х, у, z от подынтегральной функции четвертого, то отсюда заключаем, что
v ЭУЭУ7 дУ
X = -3— , V = -ч— , Z = -ч— ,/а\
дхдуdz ’
т. е. проекции на координатные оси притяжения сплошным телом всякой внешней по отношению к нему точки равны частным производным по соот- вественным координатам от потенциальной функции.
Очевидно, что все свойства, доказанные выше для потенциальной функции системы отдельных материальных точек, будут справедливы и для потенциальной функции сплошного тела на внешнюю точку. Мы можем поэтому утверждать, что потенциальная функция сплошного тела и все частные производные ее по координатам притягиваемой точки суть непрерывные функции этих координат во всем внешнем пространстве; что произведения
о dV о W 2 dV
pV, р2 , р2 , р2 -3— ,г мду dz ’
где р = ]/х2 + у2 4- ?2 во всем внешнем пространстве конечны (притом lim pV = М, если М = У kdxY р-*со
И наконец, что во всем внешнем пространстве потенциальная функция удовлетворяет уравнению (5).
Элементарный закон притяжения, высказанный в начале первого параграфа, не дает возможности находить притяжение сплошного тела в том случае, когда притягиваемая точка находится внутри или на поверхности тела, ибо в этом случае между бесконечно малыми элементами тела всегда будут такие, которые находятся на бесконечно малых расстояниях от притягиваемой точки. Поэтому, переходя теперь к случаю, когда притягиваемая точка находится внутри или на поверхности притягивающего тела, мы должны прежде всего дать определение того, что понимают под притяжением в этом случае.
Описываем сферу достаточно малым радиусом, центр которой находился бы в притягиваемой точке (х, у, z). Тогда вся притягивающая масса разделится на две части: ту, которая находится вне сферы, и ту, которая находится внутри ее. Для первой точка (х, у, z) будет внешней, и как бы ни был мал радиус сферы, мы можем найти притяжение точки (х, у, z) этой частью массы на осно-
вании упомянутого элементарного закона. Далее мы покажем, что с уменьшением радиуса сферы до нуля величина и направление этого притяжения при сделанном условии относительно конечности плотности будут приближаться к некоторым пределам. Найденное таким образом предельное притяжение и представит то, что понимают под притяжением точки (х, у, z) в рассматриваемом случае. Точно также под потенциальной функцией сплошного тела на внутреннюю точку (х, у, z) понимают предел, к которому приближается потенциальная функция на эту точку части всей массы тела, находящейся вне сферы бесконечно малого радиуса, имеющей центром точку (х, у, z).
Таким образом, приписывая X, У, Z и V прежние значения, мы можем написать
Х = ^к^\ dr, У^^^”^. dT, Z = ^^^-dT, V = ^-^,
(7) где интегралы суть пределы интегралов, распространенных на весь объем тела, за исключением той части его, которая находится внутри сферы бесконечно малого радиуса, имеющей центром точку (х, у, z). Но принимая в расчет, что подынтегральные функции в выражениях (7) обращаются в бесконечность для g = %, ц = у, ^ = 2 и что вообще, когда подынтегральная функция между пределами интегрирования обращается в бесконечность, то под интегралом понимают предел, к которому приближается интеграл от той же функции, но с такой областью распространения, внутри которой эта функция остается конечной и которая приближается к совпадению с областью распространения данного интеграла,— мы можем сказать, что интегралы (7) по- прежнему распространены на весь объем притягивающего тела.
Мы должны теперь прежде всего показать, что интегралы (7) конечны и определены, т. е. что пределы, о которых было сказано выше, действительно существуют. Чтобы показать это, выделяем из всего объема тела часть, ограниченную поверхностью сферы радиуса а с центром в точке (х, у, z) и остальной объем тела разделяем на бесконечно малые элементы посредством ряда бесконечно близких концентрических сфер с центрами в той же точке и посредством конических поверхностей с общей вершиной в этой точке. При этом элемент объема выразится
dT = г2 do dr,
где do — элемент поверхности сферы радиуса единица с центром в точке (х, у, z). Интегралы (7) представятся как пределы для а -> 0 следующих интегралов
в которых интегрирование по г должно производиться между пределами, представляющими значения г для точек пересечения какого-либо направления г с поверхностями, ограничивающими рассматриваемый объем, так что во всяком случае оно должно начинаться от г = а. Замечая, что
£ —Я Х\—У t — zг ’ г ’ г
есть косинусы углов, составляемых направлением г с координатными осями, и что к па условию везде остается конечным, мы приходим к заключению, что как бы ни было мало а подынтегральные функции в наших интегралах остаются конечными, сохраняя это свойство и для а 0.
Таким образом, мы убеждаемся, что интегралы (7) имеют конечные и определенные значения.
Исследуем теперь главнейшие свойства потенциальной функции в случае внутренней точки. Понятно, что это исследование должно быть несравненно сложнее, чем в случае внешней точки, потому что в последнем случае потенциальная функция выражалась интегрированием, в котором подынтегральная функция сохраняла конечные значения между пределами интегрирования, что не имеет места в рассматриваемом случае.
Интегралы
J
dT с Ат ~ и J "72" • распространенные на весь объем некоторого тела, в которых г есть расстояние одной из точек элемента объема dx от данной точки О, достигают при данном объеме тела своих высших пределов, когда тело есть шар с центром в точке О. Притом эти высшие пределы, с уменьшением объема до нуля сами приближаются к нулю.
Для доказательства описываем из данной точки О, как центра, сферу такого радиуса R, чтобы объем ее был равен объему тела. Поверхностью этой сферы тело разделится вообще на две части. Введем обозначения: qt —объем части тела, находящейся внутри сферы, qe — объем части тела, находящейся вне сферы, dxt и dxz — элементы этих объемов, qa — часть объема сферы, которая не принадлежит телу, dxQ — соответствующий ей элемент объема, d%6 — какой-либо элемент объема сферы (dxt или dxQy
При сделанных обозначениях будем иметь
у ^т0 у <^1| у dTg dx0 = у dTj у dxaу ^т0 у <^1| у dTg dx0 = у dTj у dxa
у ^т0 у <^1| у dTg dx0 = у dTj у dxa
у ^т0 у <^1| у dTg dx0 = у dTj у dxa
Г d.TgЧа f d.TaдаJ гR ’ J г2R^Г d.TgЧа f d.TaдаJ гR ’ J г2R^4i + Че = Ча + 4l4i + Че = Ча + 4lЧе = Ча^Че = Ча^откудаоткуда
Г d.TgЧа f d.Taда
J гR ’ J г2R^
Г d.TgЧа f d.Taда
J гR ’ J г2R^
4i + Че = Ча + 4l
4i + Че = Ча + 4l
Че = Ча^
Че = Ча^
откуда
откуда
где интегралы распространены на все те объемы, элементы которых находятся под знаками интегралов. Но в интегралах с dxt r^ R, а в интегралах с dxa r^R.
Поэтому
а так как по условию
и, следовательно,
ТО
чем и доказывается первая часть леммы.
Вторая же часть следует из того, что ,R
—^- = 4л j* rdr = 2л/?2о
,R
иj -^- = 4л у dr = 4л/?.
о
Теорема 1. Потенциальная функция и проекции притяжения суть непрерывные функции координат притягиваемой точки как внутри притягивающего тела, так и при переходе через его поверхность.
Достаточно доказать эту теорему для проекции притяжения на ось х. Для остальных проекций притяжения и для потенциальной функции она до- кажется таким же образом. Пусть X (О) есть значение X для точки О (х, у, z), а X (О') — его значение для точки О'. Мы должны доказать, что разность
Х(О')-Х(О)
может быть сделана по численному значению насколько угодно малой достаточным приближением точки О' к точке О. Из точки О, как центра, опишем сферу радиусом а. Пусть Хо есть проекция притяжения этой части массы, которая находится внутри сферы, и Хг — проекция притяжения остальной массы тела. Мы будем иметь
Х(О)^Хг(О) + Х0(О) и
X (О') = Xi (О') + Х0(О'), откуда
X (О') — X (О) = Хг (О') - Хг (О) + Хо (О') - Хо (О).
Но обозначая через К наибольшее значение плотности внутри тела и замечая, что
1^- <1, найдем, что по численному значению
| Хо (О) | < X = 4лХ«, а по только что доказанной лемме и
\Xe(O')\<K^ = toKa.
Поэтому численное значение разности
|Х0(О')-Х0(О)|
не может превосходить 8л7<а, а следовательно, обозначая вообще через | и | численное значение величины и» будем иметь
| X (О') — X (О) | < | Хх (О') — Хх (О) | + 8лХа.
Обозначая через 6 произвольно малую положительную величину, выберем а настолько малым, чтобы
8лХа < 6, а затем, выбирая точку О' внутри сферы радиуса а, возьмем ее настолько близкой к точке О, чтобы
| Xi (О') — Х1 (О) I < 6 — 8лХа.
Последнее всегда возможно сделать, так как точки О и О' находятся вне массы, проекция притяжения которой обозначена через Хь а мы знаем, что для внешней точки проекции притяжения суть непрерывные функции координат ее.
При сказанном же выборе точки О' найдем
| Х(О') — X (О) | <6, чем и доказывается теорема.
Те о р е м а 2. Проекции притяжения на координатные оси суть частные производные потенциальной функции по соответственным координатам притягиваемой точки.
Достаточно доказать, что X = -^-. Из точки О (х, у, z^ как центра, опишем сферу радиуса а. Пусть 4^- и Хо — значения для точки О производной потенциальной функции и проекции притяжения той части массы, которая находится внутри этой сферы, а -^- и Хг — значения для той же точки производной потенциальной функции и проекции притяжения остальной части тела. Мы будем иметь
дУ = дУгЗУ0
и X = X.Но мыи X = X.Но мы"Гуже знаем, что"Гуже знаем, что. = дУг1 дх. = дУг1 дхдх дхдх
и X = X.
Но мы
и X = X.
Но мы
"Г
уже знаем, что
"Г
уже знаем, что
. = дУг
1 дх
. = дУг
1 дх
потому что О есть внешняя точка по отношению к массе, проекция притяжения которой обозначена через Хг. Поэтому мы можем написать
х = ^ + х0-^.
дх и дх
Замечая теперь, что ни -~~, ни X от а не зависят, приходим к заключению, что и разность
Х1—
1 дх
не зависит от а. Это есть, следовательно, постоянная величина по отношению к а, и мы покажем, что эта постоянная не может быть отличной от нуля, для чего достаточно показать, что Хо и -^~ с приближением а к нулю сами приближаются к нулю. Но понимая под К прежнюю величину, мы имеем
и, следовательно, lim Хо = 0.
а-* 0
Нам остается поэтому только показать, что и
Пусть V (х) и V (х 4-А) — значения для точек О (х, у, z) и О' (х+А, у, z) потенциальной функции той массы, которая заключается внутри рассматриваемой сферы радиуса а. Тогда мы будем иметь
дУ0 _ У^+^-УИдх •
Из точек О и О', как центров, опишем две сферы радиуса р = Ып, где п — произвольно большое число. Тогда весь объем сферы радиуса а разобьется на три части: 1) объем сферы радиуса р с центром в О, 2) объем сферы радиуса Р с центром в (У и 3) остальной объем сферы. Назовем эти объемы соответст-
венно первым, вторым и третьим. Элементы их обозначим через йт1? dr2, d%3. Если М есть какая-либо точка внутри сферы радиуса а, будем обозначать ее индексами 1, 2, 3 в зависимости от того объема, которому она принадлежит. Сообразно с этим плотность в точке М будем обозначать через ^, &2, k3.
При этих значениях с учетом данного выше определения потенциальной функции будем иметь
Wм30м20 )
откуда (замечая, что Р = О для п = оо)
у (х + /I) — V hу (х + /I) — V h1 М3О*1 М3О*1М3О1М3О^тз। i:m / fk^dTx
у (х + /I) — V h
у (х + /I) — V h
1 М3О*
1 М3О*
1
М3О
1
М3О
нU h*MiQt
J
k2dT2 \ ~h-M2O)-
Но Л^О1 > h — р = h и М20 > П~— ^, а потому
J h-M^ < n —1 № J OT1 ~ 3 n—1/z2 P 3 n2(rc—1)
и точно также j ^^ < — л/< ^^-^ , так что оба рассматриваемые интегралы с беспредельным увеличением п (и притом как бы h мало ни было) стремятся к нулю. Таким образом, находим
У (X + /l) — У (X) _ ..с / 11 \ Мт3
h" i™ J к ^3^М3О ) h •
Но легко видеть, что
\М3О — М3О,\<П)
откудам^0 j < м^0 , м^0, ,
и, следовательно,
V (х + /г) — V (х)V (х + /г) — V (х)^з^тзМ3О - М3О*^з^тзМ3О - М3О*JkdT
V (х + /г) — V (х)
V (х + /г) — V (х)
^з^тз
М3О - М3О*
^з^тз
М3О - М3О*
МО -МО' *
Замечая далее, что
МО • МО' 2 \ МО^ МО'» ) ’ находим
V (х 4-h) — V (х)^1 j*kdTt 1 г»Ыт
h“Г JОМ^+ “2” JО'М^ *
а так как
р kdT рdTтжг»kdTv С^т
j "О№ЛJ~О№"ИJО'М^< Л JО'М» ’
и по доказанной выше лемме
J
dTГ dT ,
0rM^J иМ^
ТО
и, следовательно, и
V (х + /Q — V (я)
h
I дУ0
I дх
< 4лКа,
< 4л^а.
Отсюда же непосредственно и следует равенство
Нт-^ = 0,
v dV v дУ 7 дУ которое нужно было доказать. Итак, л = -^-, У = -^-, Z = -^- будет ли точка (х, у, z) внешней или внутренней.
Покажем теперь, каким образом можно воспользоваться изложенными свойствами потенциальной функции для определения притяжения од
нородного шара.
Рассмотрим сначала сферический слой, т. е. тело, ограниченное двумя сферическими концентрическими поверхностями. Пусть R — радиус внешней, а 7?! — радиус внутренней из этих поверхностей. Массу предположим распределенной в этом теле таким образом, чтобы плотность изменялась только при переходе от одной поверхности сферы концентрической с наружными к другой такой же, сохраняя на каждой из этих поверхностей постоянное значение. Другими словами, принимая общий центр сфер за начало координат, предположим, что к есть функция одного р, если по-прежнему р — = ]/х2 + у2 + г2.
Очевидно, что при этом и потенциальная функция V будет зависеть только от одного р. Этим обстоятельством мы и воспользуемся для ее определения во внешнем по отношению к телу пространстве.
Принимая в расчет, что во внешнем пространстве потенциальная функция удовлетворяет уравнению (5), и замечая, что если V зависит от одного только р, то
р ф ’ получим уравнение
d2V , 2 dV _ 0 dp2 "*" р dp
Общий интеграл этого уравнения имеет вид
V = — + с*.
р
Для определения постоянных С и С' нужно различать два случая: 1) когда точка (х, у, z) находится вне сферы радиуса R и 2) когда она находится внутри сферы радиуса Ro. В первом случае из условий непрерывности потенциальной функции и из того, что
Иш рУ = Мэ
находим С = М и С' = 0.
Во втором — из условия непрерывности V находим
R
С = 0, С' = 4л j кг dr.
Последнее есть значение потенциальной функции для центра сферы. Поэтому в той части внешнего пространства, которая граничит с внешней сферой
R
V = -^— = 4л Г kr^dr — ,Р J Р
Ro
т. е. потенциальная функция рассматриваемого сферического слоя, а, следовательно, притяжение его, одинаково с потенциальной функцией и притяже-
нием материальной точки, находящейся в центре сферы, масса которой равна массе слоя. В той же части внешнего пространства, которая граничит с внутренней сферой
V = 4л У krdr,
т. е. сохраняет постоянное значение, а потому притяжение в этой части пространства равно нулю.
Таким образом, сферический слой, в котором поверхности постоянной плотности есть сферы, концентрические с наружными, не оказывает притяжения на точку, помещенную где угодно в пространстве, окруженном слоем.
В случае однородного слоя имеем
или V = 2л& (/?2 — /?о).
Пользуясь этими формулами, легко найти потенциальную функцию однородной сферы и на внутреннюю точку. Для этого стоит только заметить, что эта потенциальная функция есть сумма 1) потенциальной функции однородной сферы радиуса р на одну из точек ее поверхности и 2) потенциальной функции однородного сферического слоя, в котором внутренняя сфера имеет радиус р, а внешняя R (радиус данной сферы), на одну из точек его внутренней поверхности. Первая по предыдущему будет равна
а вторая —
2л£ (Я2 —р2).
Таким образом, потенциальная функция однородного шара радиуса на внутреннюю точку равна
V = 2л&/?21- л&р2 = 2лЛ^2|- л& (х2 + У8 + z2).
а проекции притяжения ею на координатные оси суть
V 6V4,„ ЭУ4,„ дУ4,
А = -5— =— ЛЯХ,У = -5— =я- ЯКУ,Z = -т- 5- HRZ.
дх 3*ду 3*’dz 3
В случае же внешней точки мы имеем
3 р ’дх3 р3 ’
v dV 4, Я3 „ dV 4, Я3
г ==5- ля у. Z = -т— =5- ля г.
оу 3 р3dz 3 р3
Эти выражения значительно отличаются от предыдущих, но на поверхности, где р = R, они сливаются с ними, как это и должно быть в силу непрерывности потенциальной функции и ее первых производных. Что же касается вторых и высших производных потенциальной функции, то из приведенных формул видно, что они претерпевают разрыв при переходе через поверхность шара. Особенного внимания заслуживает разрыв, испытываемый выражением ДУ. Во всем внешнем пространстве оно равно нулю. Внутри же шара, как показывают предыдущие формулы,
ДУ =
дх^
d^V ду^
d^V dz2
= — 4л&.
(8)
Таким образом, внутри однородного шара потенциальная функция удовлетворяет уравнению (8), называемому уравнением Пуассона.
Мы покажем теперь, что этому уравнению удовлетворяет потенциальная функция на внутреннюю точку и в случае какого угодно тела и при каком угодно распределении плотности (при этом к в уравнении (8) есть плотность в точке (х, у, z)).
Чтобы найти значение ДИ для какой-нибудь точки внутри тела, мы преобразуем сначала к особому виду выражения первых производных потенциальной функции. При этом мы будем основываться на следующей лемме.
Если / и <р суть какие-нибудь функции координат х, у, z, непрерывные и однозначные внутри некоторого объема, то будет справедлива формула
J <Р -^- ^т = — J / Д^- dr + J <pf cos («, х) ds.(9)
Здесь интеграл первой части равенства и первый интеграл второй части равенства распространены на весь рассматриваемый объем, а второй интеграл второй части равенства, в котором ds — элемент поверхности, ограничивающей этот объем, и п — направление нормали к этой поверхности, проведенной в одной из точек элемента ds во внешнюю сторону по отношению к объему, на всю поверхность, ограничивающую объем.
Эту лемму весьма легко доказать, заменяя dx через dxdydz и затем производя интегрирование по частям в отношении х и замечая, что dydz = ± cos (я, х) ds,
где знак плюс относится к тем элементам поверхности, в которых направление, параллельное оси х, встречает эту поверхность при выходе из рассматриваемого объема, а минус — к тем, в которых это направление встречает поверхность при входе в объем.
Понятно, что кроме (9) будут справедливы еще два подобных же равенства, получаемых из него заменой х через у или через z.
Возвращаясь к нашей задаче, мы замечаем, что
dV С fc^-x) . С, ° г ,и г л
dx J г3J dxJ д^
Предположим сначала, что точка (х, у, z) есть внешняя по отношению к притягивающему телу. Кроме того, сделаем еще предположение, что плотность, которую мы до сих пор предполагали только конечной, изменяется непрерывным образом внутри тела. Тогда к и — будут две функции координат £, т), £, непрерывные и однозначные внутри тела, а потому к этим функциям может быть применено равенство (9), если в нем объемные интегралы предположить распространенными на весь объем тела, а поверхностный — на всю его поверхность. Таким образом, найдем
д/г
дУ С д^ Т С к cos (т?, х) ds(Ю)
дх J г J г *
Эта формула доказана для случая, когда точка (х, у, z) есть внешняя. Но легко убедиться, что если остается конечной внутри тела, то формула (10) будет справедлива и для случая, когда (х, у, z) есть внутренняя точка.
Для этого описываем из точки (х, у, z), как центра, сферу радиуса а. По отношению к объему, который останется в теле по выделении объема этой
сферы, точка (х, у, z) будет внешней, а потому к этому объему будет применима формула (10).
Мы будем предполагать, что точка (х, у, z) не находится на поверхности тела и радиус сферы а настолько мал, что вся поверхность сферы находится внутри тела. Тогда поверхность только что упомянутого объема будет состоять из поверхности тела и поверхности рассматриваемой сферы. Принимая это в расчет и обозначая через
... dx и ^ ... dsоо
объемный и поверхностный интегралы, относящиеся к сфере, а через — значение для точки (х, у, z) производной потенциальной функции той массы, которая находится внутри сферы, найдем, что равенство (10) в применении к рассматриваемому объему будет следующего вида:
dkа ч
дУ dVo Г dg Т С dg Т I С к cos (д, х) ds Г к cos (д, х) ds дх дх J г J г [J rJ г
.оJо'
или
дкЭк
дУ С dg Т . С к cos (д, х) ds дУ0 С ^^ Т . С к cos (д, х) ds
дх J г ‘J гдх J г J т *
оо
Но первая часть этого равенства не зависит от а. Поэтому и вторая часть должна быть постоянной величиной по отношению к а. Но эта постоянная не может быть отличной от нуля, ибо легко убедиться, что каждый из трех членов второй части равенства с уменьшением а до нуля сам приближается к нулю. По отношению к первому члену -^- это было доказано в теореме 2; по отношению ко второму — после того, как заметим, что
дк
ггд^
г
г
о
есть потенциальная функция шара радиуса а, заполненного материей с плот-
дк
ностью которая по сделанному условию конечна. Что же касается тре
тьего члена, то в нем, очевидно, г = а, а потому, замечая, что
| к cos (и, х) | < К,
найдемнайдемГ к cos (д, х) dsJ г оГ к cos (д, х) dsJ г о= 4л/(а и, следовательно,= 4л/(а и, следовательно,
найдем
найдем
Г к cos (д, х) ds
J г о
Г к cos (д, х) ds
J г о
= 4л/(а и, следовательно,
= 4л/(а и, следовательно,
к cos (д, х) ds q
о
Таким образом, убеждаемся, что если к есть непрерывная функция координат дк
внутри тела и везде остается конечной, то формула (10) будет справед-
дк
лива и для случая, когда (х, у, 2) есть внутренняя точка. Если, кроме того, -^-
дййй .дУ дУ
и -^ также конечны, то будут справедливы подобные же формулы и для ^-, -^* Мы и будем предполагать это далее.
Формула (10) дает возможность найти значение -^-, если только точка (х, у, г) не находится на поверхности тела. В самом деле, дк л р -^r-dx
есть потенциальная функция массы, заполняющей рассматриваемое тело с
плотностью 5^, которая по условию конечна. Поэтому по теореме 2 дк ,
5 f _ Г дк ^ — х ,дх Jг ”J dg r^
к cos (л, х) dsк cos (л, х) dsЧто же касается интеграла
к cos (л, х) ds
к cos (л, х) ds
то при условии, что точка (х, у, z) не находится на поверхности тела, в нем подынтегральная функция остается конечной между пределами интегрирования, а потому
_д_ у keos^ds, = J k V^ cos („ х)
Таким образом, находим
77 = З'эГ'^-^т —р-^— cos(», x)ds.
п,д^У &V
Составляя подобные же выражения, для и и замечая, что
— = cos (г, х)
и т. д., где г есть направление от (х, у, z) к (£, т), Q, получим
АТ, Г Г дк, vx . дк, х . дк , ^,1 dxf к cos (г, п) ds
ДУ = J 1"дГ^’ 9 + W С (Г’ П) + ^ C°S (Г’ Ч1 "^J""^ *
Но если прямоугольные координаты заменим сферическими с полюсом в точке (х, у, z) радиусом-вектором г и двумя известными углами, то найдем
дк f\ дк , х . дк ,дк
-^- COS (Г, g) 4- -^ cos (г, л) + -^- cos (г, С) = "5^
и, следовательно,
С дк dxС к cos (г, п) ds
J dr r2J г2 '
Предположим теперь, что наше тело есть сфера радиуса R и что точка (х, у, z) находится в центре ее. Тогда во втором интеграле
г = R, cos (г, и) = 1, ds = R^dv,
где do имеет прежнее значение. В первом же интеграле можно положить dr = rModr.
При этом равенство (11) примет вид
R
ДУ = ^ do ^ -^7 dr — J kdo.
Но
^^-ar = k-kQ,и
где к есть плотность в одной из точек поверхности, а к0 — в точке (х, у, z). Поэтому находим
ДУ = у (к — &0) do — У kdo = — к0^ da = — 4л&0.
Таким образом, уравнение (8) доказано при следующих предположениях: рассматриваемое тело есть шар, в центре которого находится точка (х, у, z), а плотность внутри шара есть непрерывная функция координат, первые производные которой конечны.
Легко теперь обобщить этот результат. Положим, что тело ограничено какой угодно поверхностью и что плотность вообще только конечна, а что в части тела, окружающей точку (х, у, z) со всех сторон, которая может иметь сколько угодно малый объем, плотность не только конечна, но и непрерывна, а производные ее конечны. При этом условии мы можем описать сферу, имеющую центром точку (х, у, z), настолько малым радиусом, что внутри этой сферы плотность везде будет непрерывной, а производные ее конечными. Пусть Уо — потенциальная функция этой сферы на точку (х, у, г), а ^ — потенциальная функция остальной части тела на ту же точку. Мы будем иметь
V = V. + Vo и точно также
ДУ = дух + ду0.
Но ДР\ = 0, так как точка (х, у, z) находится вне массы, потенциальная функция которой обозначена через Уъ а по только что доказанному ДУ0 = — — 4л&, если к — плотность в точке (х, у, z). Поэтому и ДУ = — 4л&.
Итак, уравнение (8) справедливо для всякого тела с конечной плотностью в применении к точкам, вокруг которых могут быть описаны сферы достаточно малыми радиусами — для того, чтобы внутри них плотность была непрерывной, а первые производные ее конечными. Такие сферы нельзя описывать вокруг точек поверхности тела, а потому для этих точек уравнение (8) несправедливо. Действительно, на поверхности тела AV имеет неопределенное значение. Вообще разрывность плотности может иметь место только на некоторых поверхностях, а первые производные ее могут обращаться в бесконечность только в некоторых отдельных точках, вдоль некоторых линий или на некоторых поверхностях. Поэтому уравнение (8) будет справедливо при какой угодно поверхности тела вообще везде внутри него, за исключением некоторых отдельных точек, линий или поверхностей.
Можно сказать, что внешнее пространство от внутреннего по отношению к телу отличается тем, что в нем везде плотность равна нулю. С этой точки зрения уравнение Лапласа можно рассматривать как заключающееся в уравнении Пуассона, и можно сказать, что потенциальная функция во всем бесконечном пространстве удовлетворяет уравнению ДУ = — 4л&, потому что для точек внешнего пространства к = 0 и это уравнение обращается в лапласово.
Мы нашли, что потенциальная функция сплошного тела удовлетворяет следующим условиям.
л dV dV
Потенциальная функция V и ее первые производные -^-, -^-, -^- суть непрерывные и однозначные функции координат х, у» г притягиваемой точки во всем бесконечном пространстве.
ПроизведенияПроизведенияpV,pV,о dV1 dx ’о dV1 dx ’2 dV2 dV2 dV r dz2 dV r dzгде p = Vx^ + У2 + 22, везде остаются конечными.Во всем бесконечном пространстве, за исключением некоторых отдельных точек, линий или поверхностей внутри тела (между которыми заключается и поверхность притягиваемого тела), потенциальная функция удовлетвогде p = Vx^ + У2 + 22, везде остаются конечными.Во всем бесконечном пространстве, за исключением некоторых отдельных точек, линий или поверхностей внутри тела (между которыми заключается и поверхность притягиваемого тела), потенциальная функция удовлетворяет уравнениюряет уравнениюд2Удх2д2Удх2d2Vду^ +d2Vду^ +w dz2w dz2= — 4л&,= — 4л&,
Произведения
Произведения
pV,
pV,
о dV
1 dx ’
о dV
1 dx ’
2 dV
2 dV
2 dV r dz
2 dV r dz
где p = Vx^ + У2 + 22, везде остаются конечными.
Во всем бесконечном пространстве, за исключением некоторых отдельных точек, линий или поверхностей внутри тела (между которыми заключается и поверхность притягиваемого тела), потенциальная функция удовлетво
где p = Vx^ + У2 + 22, везде остаются конечными.
Во всем бесконечном пространстве, за исключением некоторых отдельных точек, линий или поверхностей внутри тела (между которыми заключается и поверхность притягиваемого тела), потенциальная функция удовлетво
ряет уравнению
ряет уравнению
д2У
дх2
д2У
дх2
d2V
ду^ +
d2V
ду^ +
w dz2
w dz2
= — 4л&,
= — 4л&,
где к — плотность в точке (х, у, z).
При этом нужно иметь в виду, что эти свойства потенциальной функции доказаны были в предположении, что поверхность тела во всех своих точках находится на конечных расстояниях от начала координат и что плотность нигде не обращается в бесконечность. Только в этом предположении будут они вообще справедливы.
Мы покажем теперь, что эти свойства потенциальной функции вполне для нее характеристичны, так что ими она вполне определяется. Для этого достаточно показать, что функция, удовлетворяющая трем высказанным условиям, непременно есть потенциальная функция сплошного тела с плотностью к.
Докажем прежде всего одну интегральную формулу. Пусть U и W — какие-либо две функции координат х, у, z, непрерывные и однозначные вместе со своими производными внутри некоторого объема. Тогда по формуле (9), полагая / = U и <р = dWIdx и предполагая интегралы распространенными на рассматриваемый объем и ограничивающую его поверхность, найдем
С диdW дГ d^Wд ,С dW (Хд
\ —z— ат =— \ и —_ ■ :<-ат +\ и —— cos (п,х) ds.
J dxdxJ dx2*Jdxх'
Точно также найдем
dUdW,Г г7W, ,ГdW,
5— йт = — \ и ■ от + \ и -ч— cos (п, и) ds,dydyJду2Jду\'
dU dW ди ^W д . V dW, х д
от = — Хи dT -V \U — cos In, 2) ds.
dzdzJdz2Jdzv’ 7
Складывая почленно эти равенства и полагая для сокращения
dW dW f x x. x , dW , x
— = —T—cos (n, X)HT—cos(n, y}-4T—cos(n, Z),
найдемС / dt/dW dUdW dUdWJ \ dxdx' dydy' dzdzнайдемС / dt/dW dUdW dUdWJ \ dxdx' dydy' dzdzтт dW д U ——ds.dnтт dW д U ——ds.dndn dx x 2 dyx J 7 dzx ’ n
найдем
С / dt/dW dUdW dUdW
J \ dxdx' dydy' dzdz
найдем
С / dt/dW dUdW dUdW
J \ dxdx' dydy' dzdz
тт dW д U ——ds.
dn
тт dW д U ——ds.
dn
Эта формула заключает в себе так называемую теоремуГрина. Величина входящая в нее, называется производной функции W по нормали к поверхности. Легко убедиться, что это есть предел отношения, в котором числитель представляет приращение, получаемое функцией W при переходе от точки на поверхности к бесконечно близкой к ней точке, находящейся на направлении нормали п, а знаменатель — расстояние между этими точками. Положим W = U и предположим, что внутри рассматриваемого объема функция U удовлетворяет уравнению MJ = 0.
Тогда наша формула примет вид
ГdU \2 , / dU У , / dU \2] и dU дQ
I+ Нт- Нт = \U-^— ds.(12)
J L\ dx 1 \ dy 1 \ dz J J dnv 7
Возвращаясь теперь к нашей задаче, предположим, что кроме потенциальной функции V существует еще некоторая функция V, также удовлетворяющая всем трем перечисленным условиям. Полагая V — V = U, найдем, что (/ будет новой функцией, удовлетворяющей двум первым из этих условий. Вместо третьего условия мы найдем, что она будет удовлетворять уравнению MJ = 0 во всем бесконечном пространстве, за исключением некоторых отдельных точек, линий или поверхностей, находящихся внутри тела, потенциальная функция которого есть U.
Но все эти особенные места мы можем выделить посредством ряда замкнутых поверхностей: вокруг особенных точек описываем сферы с центрами в этих точках бесконечно малыми радиусами, особенные линии выделяем при помощи бесконечно тонких кольцеобразных поверхностей, образующими которых служат эти линии, особенные же поверхности можно выделить восставляя к ним во всех их точках нормали, продолженные в обе стороны, и откладывая на этих нормалях от их оснований равные между собой бесконечно малые длины; геометрические места концов этих длин и будут представлять выделяющие поверхности. Вообще все эти выделяющие поверхности можно получить одним способом: помещая центр сферы бесконечно малого радиуса а последовательно в различные всевозможные положения, принадлежащие особенным местам, и находя обертывающие поверхности последовательного ряда различных положений сферы.
Если теперь мы опишем из начала координат сферу достаточно большим радиусом R, то внутри этой сферы будут находиться все выделяющие поверхности и функция U во всем пространстве, ограниченном поверхностью этой сферы и выделяющими поверхностями, будет удовлетворять уравнению MJ = = 0. Поэтому к этому пространству будет применима формула (12) и притом как бы ни был велик радиус сферы R и как бы выделяющие поверхности ни были близки к особенным местам, т. е. как бы а ни было мало.
При этом интеграл, находящийся во второй части равенства, будет представлять сумму интегралов, из которых один будет распространен на всю поверхность сферы радиуса R, а другие — на все выделяющие поверхности. Но легко видеть, что первый будет приближаться к нулю с беспредельным возрастанием R, а последние — с приближением а к нулю. В самом деле, в первом интеграле
ds = R2axj,
поэтому его можно представить в виде
тVRUAR*^гld,,•
где интегрирование распространяется на всю поверхность сферы радиуса единица. А отсюда, вследствие того что RU и R2 -^-всегда остаются конечными, и следует справедливость сказанного. Что же касается последних интегралов, то те из них, которые распространены на поверхности сфер и на кольцеобразные поверхности, будут стремиться к нулю, потому что для а = 0 сами эти поверхности обращаются в нуль. Те же из них, которые распространены на поверхности, выделяющие особенные поверхности, будут иметь пределом нуль по следующей причине. Каждая из этих поверхностей состоит из двух распространенных по разные стороны от особенной поверхности на бесконечно малом от нее расстоянии а. Назовем точки этих поверхностей, находящиеся на одной нормали к особенной поверхности, соответственными. Это будут точки, отстоящие одна от другой на бесконечно малом расстоянии 2а. Всякой линии на одной поверхности будет соответствовать линия на другой, все точки которой соответствуют точкам первой. Элементу одной поверхности
будет соответствовать элемент другой, ограниченный линией соответствующей линии., ограничивающей первый элемент. Очевидно, что отношение соответствующих элементов этих поверхностей имеет пределом для а -> 0 единицу. Вследствие же непрерывности функции U вместе с ее первыми производными значения
и ди ди ди* дх ’ ду ’ дг
в соответственных точках будут бесконечно мало разнится между собой, а так как направления п в этих точках составляют между собой угол, бесконечно мало отличающийся от л, то значения dU/dn в соответственных точках таковы, что сумма их будет бесконечно малой величиной. Из сказанного следует, что сумма интегралов
ди .
\ U ds*
J on *
распространенных на две поверхности, выделяющие особенную поверхность, будет бесконечно малой величиной вместе с а.
Таким образом, в пределе для JR -> оо и а -> 0 равенство (12) обращается в равенство
Ш
ди Y ди Y I / 8U \а1 , п +Ш +Ы]Л=0’
где интегрирование распространено на все бесконечное пространство. А так как здесь элементы интеграла не могут быть отрицательными, то это равенство возможно только при условии, что
_ ди_ _ ди _ 0дх ду дг
во всем бесконечном пространстве за исключением некоторых отдельных точек линий или поверхностей.
оdU dU dU-
Вследствие же непрерывности -^-, -^-, -^- и таких особенных мест существовать не может. Поэтому должно быть везде
U = const
и эта постоянная вследствие непрерывности U будет везде одна и та же. Но в бесконечности U = 0, а потому и везде U = 0, т. е. V = V.
При этом доказательстве мы предполагали U, а следовательно, и V, вещественной функцией. Но легко видеть, что мнимая функция не может удовлетворять всем трем перечисленным выше условиям. В самом деле, если допустим, что V =Р + Qi (i = К — 1),
а Р и Q — вещественные функции, то из условия, что V удовлетворяет упомянутым условиям, найдем, что Q удовлетворяет двум первым условиям и что
AQ = О
во всем бесконечном пространстве, за исключением некоторых отдельных точек, линий или поверхностей. Отсюда же по предыдущему найдем Q = 0. Итак, единственная функция, удовлетворяющая трем известным условиям, есть потенциальная функция сплошного тела с плотностью к.
На этой теореме Лежен — Дирихле основал способ проверки найденного выражения потенциальной функции. Если бы в каком-либо частном случае удалось угадать вид потенциальной функции, то для доказательства, что найденная функция действительно есть потенциальная, стоило бы только показать, что она удовлетворяет трем известным условиям.
Мы видели, что вопрос об определении притяжения приводится к разысканию потенциальной функции. Пусть V есть найденное выражение потенциальной функции. Приравняв его какой-либо постоянной, мы получим уравнение поверхности, называемой поверхностью уровня потенциальной функции.
Изменяя эту постоянную, получим ряд поверхностей уровня, в котором всегда найдется одна, проходящая через данную точку (х, у, z), где бы ни находилась последняя.
дУ дУ дУ
Так как , -^-, ~^~ суть проекции на координатные оси силы^ о которой данное тело притягивает точку (х, у, z), и так как величины
дУдУдУдхдуdzдУдУдУдхдуdz
дУдУдУ
дхдуdz
дУдУдУ
дхдуdz
в которых радикал предполагается положительным, являются косинусами углов, составляемых с координатными осями тем направлением нормали к поверхности уровня, проходящей через точку (х, у, z), которое идет в сторону увеличения функции V, то для определения силы, с которой притягивается точка (х, у, z), можно поступить следующим образом.
Построив поверхность уровня потенциальной функции V, проходящую через точку (х, у, z), проводим из этой точки нормаль к этой поверхности в том направлении, в котором должна перемещаться точка для того, чтобы функция V увеличивалась. Это направление будет направлением искомой силы. Величина же этой силы будет равна дифференциальному параметру первого порядка функции V, т. е. выражению
\ дх / + dy / + k dz / •
По поводу этого следует заметить, что предел отношения приращения какой-либо функции координат точки к бесконечно малому перемещению точки» определяющему это приращение, называется производной этой функции по направлению этого перемещения и что дифференциальный параметр первого порядка функции У, а следовательно, и сила, с которой притягивается точка (х, у, z), есть производная в только что определенном смысле от потенциальной функции по рассмотренному выше направлению нормали к поверхности уровня.
В самом деле, пусть / (х, у, z) есть какая-либо функция координат. Пусть £, тц £ — бесконечно малые приращения х, у, z, соответствующие переходу от точки (х, у, z) к бесконечно близкой, находящейся на каком-либо направлении I, так что если
то -|- = cos(Z, х), Л- = cos(Z, у), -S- = cos(Z, г).
AA
Обозначая производную функции f по направлению Z через -^-, будем иметь
df —Hm f<x + £> У + 'П- г+9 — И*. У. г)
Отсюда видно, что
8f df и \ i df и \ , df n x
-^- = -4— cos (Z, x) 4- -y— cos (Z, y) 4- -4— cos (Z, г).
dl dx v ’ ' 1 dy ' ’1dz' ’ •
Таким образом, обозначая через п направление нормали к поверхности уровня функции У, идущее в сторону ее увеличения, найдем
dV dV / х , W z х ., x
= -r— COS (w, X) + COS Ul, tA 4- -z— cos (n, 2),dn dx x ’ ' ' dy xdz x ’ n
а внося сюда вместо косинусов их значения, получаем
av _ /7 w \2 / av \2 / av \2dn |/ \ dx /\ dy / "* \ dz / *
Производная -^- представляет, следовательно, величину силы.
Найдем притяжение однородного эллипсоида. Пусть
(13)(13)S2,ч2,С2
(13)
(13)
д2'^2 *Т" ^2
есть уравнение эллипсоида. Будем искать
£-2Г3£-2Г3dTdT
£-2
Г3
£-2
Г3
dT
dT
— проекцию на ось 2 силы, с которой он притягивает точку (х, у, 2).
Рассмотрим сначала случай, когда точка (х, у, 2) находится внутри эллипсоида. Примем эту точку за полюс сферической системы координат г, ср, ф, полагая
Е = х + г sin ф cos ф, т] = у + г sin ф sin ф, £ = 24- г cos ср. (14) Тогда найдем
dr = г2 sin фdфdфdr.
При этом для выполнения интегрирования по всему объему эллипсоида должно интегрировать по г в пределах 0 и гх, если ^ есть радиус-вектор поверхности эллипсоида (13), направление которого определяется углами ф и ф. Затем должно интегрировать по ф в пределах 0 и 2л и по ф в пределах Ойл. Таким образом, найдем л2л
= & j sin ф cos фdф j г^ф.(15)
оо
Для определения гх вносим величины (14) вместо £, т], £ в уравнение (13). Находим у2г/25>2
Pr» + 2Qr + ^- + ^ + -^-l =0,(16)
где для сокращения положено
Р = 4“ sin2 ф cos2 ф + 4г s™2 Ф sin2 Ф + 4" cos2 Ф и
Q = 4-A:sinфcosф + 4г У sin <Р sin ф + 4"2 cos Ф-
Так как Р > 0 и притом у2# f2
—к 1- —1 с о
а2 Т 62 Т С21 VJ,
ибо точка (х, у, г) предполагается внутренней, то один из корней этого уравнения положителен, а другой отрицателен. Положительный корень и есть гг. Отрицательный мы обозначим через г2. Желая выразить, что эти корни суть некоторые функции ф и ф, мы будем их обозначать также через гг (ф, ф) и г2 (ф, ф).
Обратим внимание на одно свойство этих функций. Если изменить ср в л — ср и гр в л + гр, то Q изменится в —Q, а Р останется без изменения. Поэтому если уравнению (16) удовлетворяет гх (ф, гр) и г2 (ср, гр), то уравнению
Рг2 —2Qr + ^-+ -4-+41 = °
будут удовлетворять
Г1 (л — ср, л + ф) и г2 (л — ф, л + гр).
Но, с другой стороны, последнему уравнению, очевидно, удовлетворяют
— Г1 (ф, Ф) И — г2 (ф, Ф),
а потому необходимо должно быть
Мл —ф, л+ Ф) = — г2(ф, ф).(17)
Возвращаясь теперь к выражению (15), преобразуем его по формуле л 2лл л
^ dtp ^ F (ф, гр) dxp = ^ dtp ^ [F (ф, гр) + F (л — ф, л + гр)] d^. 0000
Тогда, принимая в расчет равенство (17), найдем лл
= к j Sin ф COS фиф j (Гх + ^2)оо
Но уравнение (16) дает
Г! + г2 = — 2 -5-,а потомулл
дУС ., Г Q
\ sin ф cos фаф I d1^. со
Замечая теперь, что Р зависит только от квадратов sin ф и cos ф, находим л С sin2 ф cos фб/ф ~ J Р “ о
а потому, внеся вместо Q его значение, получаем л лл2л
4^- = — 2& -^ J sin ф cos2 фс/ф j -^- = — 4& -^- J sin ф cos2 фАр J -^-. оооо
Но
Р = (-^- sin2 Ф + -7г cos2 ф) cos2 ^ + (“^ sin2 Ф + "То" со$2 ф)sin2 4i7’ вследствие этого Лл
лТ
Г dip _ 2 С _ 2 С^^Ф=
J Р о ^ о °-2 s*n2 Ф с~2 с0$2 Ф + ^~2 s*n2 Ф + с~2 cos2 Ф) ^2 Ф = л [(a-2 sin2 ф + с-2 cos2 q>) (b~2 sin2 ф + c-2 cos2 ф)]-7’.
Таким образом, находим
л
дУ дгдУ дг-4nk^--4nk^-sin ф cos2 фб/фsin ф cos2 фб/фОО^(а 2 sin2 ф + с 2 cos2 ф) (Ь 2 sin2 ф + с 2 cos2 ф)^(а 2 sin2 ф + с 2 cos2 ф) (Ь 2 sin2 ф + с 2 cos2 ф)
дУ дг
дУ дг
-4nk^-
-4nk^-
sin ф cos2 фб/ф
sin ф cos2 фб/ф
О
О
^(а 2 sin2 ф + с 2 cos2 ф) (Ь 2 sin2 ф + с 2 cos2 ф)
^(а 2 sin2 ф + с 2 cos2 ф) (Ь 2 sin2 ф + с 2 cos2 ф)
Сделаем теперь подстановку
с2 tg2 ф = и,
тогда найдем
/
/_81п2ф_ cos2 Ф \ / sin2 ф COS2 ф \ __ COS2 ф ЛГ( 2. ,, 2.
а2 + с2 / \ №+ с2 / abc2 У (и + аНи + о)
., с du
И sin фйф = —-ГТ- .
(« + С2)
Пределами же интегрирования по и будут 0 и оо. Вследствие этого находим
3^ ^kabcz du
^J (с2 + и) V(«2 + и) ^ + и) (с2 4- и) *
Из этого выражения нетрудно наити -^- и —^- • Если положим для сокращения
К (а2 + и) (№ + ы) (с2 + и) = D (и),
nkabc ( ■ , „ .dux п< = A, nkabc С —= В»
J (а2 + и) D (и)’J (62 + м) D (а)’
оо
со
nkabc С' , 2 d“ п, . = С,J (с2 + и) D (я)’
О
то найдем
= — 2Ах, 4г~ = — 2Ву, -У- = —2Cz- (18)
дх’ду™дгх '
Постоянные Л, В, С выражаются посредством полных эллиптических интегралов I и II рода, модули которых зависят от а, Ь, с.
Таким образом, в случае внутренней точки (х, у, г) потенциальная функция будет вида
V = H — Лх2 — By2 — Cz\ где Н — постоянная, значение которой мы определим после. Отсюда видно, что те из поверхностей уровня потенциальной функции, которые находятся внутри эллипсоида, суть эллипсоидальные поверхности, концентрические с ним и имеющие оси тех же направлений.
Вследствие непрерывности потенциальной функции и ее первых производ- одУ дУ дУ .
ных найденные выражения V,будут справедливы и в том
случае, когда точка (х, у, z) находится на поверхности эллипсоида.
з2 . п2 ,£2 _ 1а^ + а Ь2 + а с2 + а ’з2 . п2 ,£2 _ 1а^ + а Ь2 + а с2 + а ’Перейдем теперь к случаю, когда точка (х, у, z) находится вне эллипсоида. Мы покажем, что разыскание притяжения в этом случае приводится к разысканию притяжения некоторого другого эллипсоида в случае внутренней точки. Рассмотрим два однофокусных эллипсоида
з2 . п2 ,£2 _ 1
а^ + а Ь2 + а с2 + а ’
з2 . п2 ,£2 _ 1
а^ + а Ь2 + а с2 + а ’
(19)
где а — какая-либо величина, заключающаяся между пределами — а2 и оо. Возьмем две точки Р (£, ц, О и Рг (£1? гц, gj, координаты которых связаны уравнениями
а -уа^ + а ’ ь У^+а с 7
Из этих соотношений видно, что если точка Р находится на поверхности эллипсоида (19), то точка Рг будет находиться на поверхности эллипсоида (20), и обратно, если Рг находится на поверхности (20), то Р будет находиться на поверхности (19). Эти точки Р и Рг называются соответственными точками поверхностей (19) и (20). Из соотношений (21) видно, что всякой точке Р на поверхности (19) соответствует одна только точка Рг на поверхности (20) и обратно. Поэтому если одна из соответственных точек будет занимать различные возможные положения на одном из рассматриваемых эллипсоидов, то другая займет различные всевозможные положения на другом.
Пусть М (х, у, г) есть какая-либо точка на поверхности (20), а Мг (хг, уъ zt) — соответственная ей точка на поверхности (19). Мы докажем, что расстояния РМ и РгМг равны между собой. В самом деле, в силу соотношений (21) и соотношений
= X , yt = у , zt _ zаV«2 + a ’ b УЬ^^а ’ сV с2 + а
имеем
РМй-РХ\ = (£-х)2 + ... +&-*i)2- =
УаН-а t а J.°2 )
/ а2 + ОС 1 I!/ X2 , У2 , Z2
I 1 I ? -|" • • • -j- • • • = ОС I 2—:7п—; Ч2—i
\ а2 / ь\ а2 + а 1 Ь2 + а 1 с2 + а
а2 Ь2 с2 /
Итак, расстояние между какими-либо двумя точками, из которых одна находится на поверхности одного, а другая — на поверхности другого из однофокусных эллипсоидов, равно расстоянию между соответственными с ними точками.
На основании этого докажем следующую теорему:
Теорема Айвори. Если имеем два однородных однофокусных эллипсоида Е и Ег и пару соответственных точек: М на поверхности эллипсоида Е и Мгна поверхности эллипсоида Ev то проекции на одну из осей этих эллипсоидов притяжения точки Л4 эллипсоидом Е так относится к проекции на ту же ось притяжения точки М^ эллипсоидом Ег, как произведение перпендикулярных к ней полуосей эллипсоида Е к произведению перпендикулярных к той же оси полуосей эллипсоида Ev
Эта теорема, предложенная Айвори, была доказана им для ньютоновского закона притяжения. Но Пуассон впоследствии заметил справедливость ее для какого угодно закона притяжения, что мы теперь и сделаем.
Пусть (19) есть уравнение эллипсоида Е, а (20) уравнение эллипсоида Ег и (х, у, z) точка М, а ( хъ уг, гх) точка Mv Если ги гг — проекции на ось z притяжений эллипсоида Е и Ег точек М и 7ИЪ то для какого угодно закона притяжения (предполагая оба эллипсоида однородными и одной и той же плотности) будем иметь
г = Ш р ^ ^^ Z1 = JJJ р <г1) ^ТГ" ^d*«
где F* (г) есть производная некоторой функции F (г),
r = W- X)2 + (П - у)2 + к - г)2 , rx = V^i -Хх? + (Щ-У1)2 + (^-гг)2 и интегрирования распространены в выражении Z на весь объем эллипсоида (19), а в выражении Zx на весь объем эллипсоида (20).
Замечая, что — = —^- , и выполняя интегрирование по £, получаем
Z = J J [F (PM) - F (PM)] dy4, ZX = ^F (РхМ^ - F (РХМХ)] d^d41,
где Р и Р — две точки поверхности (19), определяемые координатами £ и т], а Рх и Рх — две точки поверхности (20), определяемые координатами ^ и т^. Если же во втором интеграле положим
то Р, Рг и Р, Рг будут две пары соответственных точек, а следовательно, по доказанному будет
РхМг = РМ, Р^ = РМ.
Таким образом, найдем
Zi = - VT^TSET^L J у [f (рм) - F (PM)]
где интегрирования по £ и г] должны быть выполнены в тех же пределах, что и в выражении для Z. Поэтому получаем
Z ab
^1 У (а2 + а) (&2 + а)
Заметим, что на основании этой теоремы, как показал Дюгамель, может быть доказано, что ньютоновский закон притяжения есть единственный, при котором однородный сферический слой не оказывает притяжения на точку, помещенную где-либо внутри ограничивающего им пространства.
Для доказательства стоит только применить теорему Айвори к двум однородным концентрическим шарам.
Так как притяжение однородного шара всегда направлено к его центру и зависит только от расстояния между притягиваемой точкой и центром, каков бы ни был закон притяжения, то теорему Айвори в применении к рассматриваемому случаю можно высказать следующим образом.
Если имеем два однородных концентрических шара, то притяжение первым точки, находящейся на поверхности второго, так относится к притяжению вторым точки, находящейся на поверхности первого, как квадрат радиуса первого к квадрату радиуса второго.
Если же дано условие, что однородный сферический слой не оказывает притяжения на точку, находящуюся где-либо внутри пространства, ограниченного им, то притяжение внешним шаром, радиус которого R, точки, находящейся на поверхности внутреннего, радиус которого г, будет равно притяжению той же точки внутренним шаром. Обозначим это притяжение через /. Притяжение же внутренним шаром точки, находящейся на расстоянии R от центра, обозначим через F. Тогда
F = fr2— •
Но радиус внутренней сферы мы можем предположить насколько угодно малым. Эту сферу можно поэтому заменить материальной точкой. А так как /г2 не зависит от положения притягиваемой точки, то в полученной формуле будет заключаться элементарный закон притяжения, изменяющегося обратно пропорционально квадратам расстояний.
Возвращаемся к нашей задаче. Если точка (х, у, z) находится вне эллипсоида (13), то всегда можно найти такую положительную величину а, которая будет удовлетворять уравнению
^- + -^+-^=1.(22)
Эта величина а будет одним из корней уравнения третьей степени (22), все корни которого вещественны. Притом это уравнение имеет один только положительный корень, ибо первая часть равенства (22) при непрерывном возрастании а от 0 до оо непрерывно убывает от величины большей 1 до 0.
Положительная величина а, найденная решением уравнения (22), определит полуоси )/я24-а, V№ + а, Vс^ +а эллипсоида, однофокусного с (13), поверхность которого будет проходить через точку (х, у, z).
Пусть (хь уь г^ есть точка поверхности эллипсоида (13), соответственная с точкой (х, у, z). Называя через Z и Zx проекцию на ось z притяжений эллипсоидами: (13) точки (х, у, z) и рассматриваемым однофокусным в ним точки (хх, уъ zx), по теореме Айвори найдем
Z —аЬ _ /
V(«2 + a) (Z?2 + а)Р
Но по предыдущему
Zx = — 2л V(а2 + а) ^№ + а) (с2 + а) кгг X
х С du
J (с2 + ос + и) ]А(а2 + а + и) <№ + а + и) (с2 + а + м)
Поэтому заменяя интегральную переменную и через и — а и замечая, что
с
г, = —==- г,
1V с» Л-а
найдем
Z = Sitabckz ■ (с2^_м) о <uV*а
Точно также найдем
X == — ЧпаЬскх J (а2 + н) D (u) ’ Y = — Snabcky J (&a + M) D (M) 1 • (23')аа
Чтобы найти потенциальную функцию, замечаем, что вообще
(«, X, у, z)du = ^-^-du — F(a, х. у, z) аа
и что, если г*,х nabek /.х2г/2z2 \
Г (ti, X, У, Z) О(М) l^1 а^ + и ^+й с2 + « / ’
то в силу (22)
F (а, х, у, z) = 0.
Поэтому заключаем, что выражения (23) для X, Y, Z суть частные производные по х, у, г от следующей функции
11V = uabckV = uabckх-у2г2 \а2 + «62 + «с2 + и / иV№ + а) (62 + и) (с2 + и)х-у2г2 \а2 + «62 + «с2 + и / иV№ + а) (62 + и) (с2 + и)(24)(24)
1
1
V = uabck
V = uabck
х-у2г2 \
а2 + «62 + «с2 + и / и
V№ + а) (62 + и) (с2 + и)
х-у2г2 \
а2 + «62 + «с2 + и / и
V№ + а) (62 + и) (с2 + и)
(24)
(24)
и, следовательно, V 4- С
есть потенциальная функция. Но легко убедиться, что постоянная С должна быть равна нулю, ибо выражение (24) обращается в нуль, когда точка (х, у, г) удаляется в бесконечность. Чтобы убедиться в последнем, мы замечаем, что для и > а
X2а2 4- иX2а2 4- иУг62 4-«Уг62 4-«г2с2 4- “г2с2 4- “<1,<1,а потому V < nabck I ^. • Если же а < b <_ с, тоаа потому V < nabck I ^. • Если же а < b <_ с, тоаD (и) > (а2 4- и)D (и) > (а2 4- и)и, следовательно.и, следовательно.dudu2яаЬск2яаЬскJ (а2 4- «)*^У а2 4- аJ (а2 4- «)*^У а2 4- а(25)(25)т. е. lim V = 0.«-►ООт. е. lim V = 0.«-►ООИтак, выражение (24) представляет потенциальную функцию эллипсоида в случае внешней точки (х, у, г)._ т/ 517 dV dVТак как и, ——, -^~ ’ —^ непрерывные функции координат х, у, z, то выражения (23) и (24) останутся справедливыми и в случае, когда точка (х, у, г) находится на поверхности эллипсоида (13). В этом случае а = 0 иИтак, выражение (24) представляет потенциальную функцию эллипсоида в случае внешней точки (х, у, г)._ т/ 517 dV dVТак как и, ——, -^~ ’ —^ непрерывные функции координат х, у, z, то выражения (23) и (24) останутся справедливыми и в случае, когда точка (х, у, г) находится на поверхности эллипсоида (13). В этом случае а = 0 ипотомупотому11V = шгЪскV = шгЪскх2у2z2 \аНи~ № + и ~ с2 + ц /^У +и) (b^ + и) (с^ + и)х2у2z2 \аНи~ № + и ~ с2 + ц /^У +и) (b^ + и) (с^ + и)(26)(26)Сравнивая эту формулу с найденным раньше выражением V для случая внутренней точки (х, у, z), находимСравнивая эту формулу с найденным раньше выражением V для случая внутренней точки (х, у, z), находимН = паЬскН = паЬскduж-*duж-*
X2
а2 4- и
X2
а2 4- и
Уг
62 4-«
Уг
62 4-«
г2
с2 4- “
г2
с2 4- “
<1,
<1,
а потому V < nabck I ^. • Если же а < b <_ с, то
а
а потому V < nabck I ^. • Если же а < b <_ с, то
а
D (и) > (а2 4- и)
D (и) > (а2 4- и)
и, следовательно.
и, следовательно.
du
du
2яаЬск
2яаЬск
J (а2 4- «)*^У а2 4- а
J (а2 4- «)*^У а2 4- а
(25)
(25)
т. е. lim V = 0.
«-►ОО
т. е. lim V = 0.
«-►ОО
Итак, выражение (24) представляет потенциальную функцию эллипсоида в случае внешней точки (х, у, г).
_ т/ 517 dV dV
Так как и, ——, -^~ ’ —^ непрерывные функции координат х, у, z, то выражения (23) и (24) останутся справедливыми и в случае, когда точка (х, у, г) находится на поверхности эллипсоида (13). В этом случае а = 0 и
Итак, выражение (24) представляет потенциальную функцию эллипсоида в случае внешней точки (х, у, г).
_ т/ 517 dV dV
Так как и, ——, -^~ ’ —^ непрерывные функции координат х, у, z, то выражения (23) и (24) останутся справедливыми и в случае, когда точка (х, у, г) находится на поверхности эллипсоида (13). В этом случае а = 0 и
потому
потому
1
1
V = шгЪск
V = шгЪск
х2у2z2 \
аНи~ № + и ~ с2 + ц /^
У +и) (b^ + и) (с^ + и)
х2у2z2 \
аНи~ № + и ~ с2 + ц /^
У +и) (b^ + и) (с^ + и)
(26)
(26)
Сравнивая эту формулу с найденным раньше выражением V для случая внутренней точки (х, у, z), находим
Сравнивая эту формулу с найденным раньше выражением V для случая внутренней точки (х, у, z), находим
Н = паЬск
Н = паЬск
du
ж-*
du
ж-*
Таким образом, формула (26) определяет потенциальную функцию для какой угодно внутренней точки (х, у, z).
Мы теперь докажем, что выражения (26) и (25) определяют потенциальную функцию однородного эллипсоида плотности к, пользуясь методом Дирихле, изложенным в § 8. Для этого нужно только показать, что эти выражения удовлетворяют трем известным условиям.
Прежде всего покажем, что а (положительный корень уравнения (22)) есть непрерывная функция координат х, у, z и что, если
р = рГх2 + у2 + z2 9 то lim -^ —- = 1.О-*оо Р
Пусть cq есть положительный корень уравнения
а2 + о^ ~ &2 + с^ с2 + ах ’
Вычитая из этого уравнения уравнение (22), находим
a2 + oq а2 + а ‘
или
2/11\—*2
^ \ а2 + а, а2 + а / "^ а2 + а 4“•
откуда
^1~ ^У1~У2^х—^
а2 + а *” Ь2 + а * с2 + а
(а2 + аг) (а2 + а) (Ь2 + ^) (Ь2 + а) т (с2 + аг) (с2 + а)
Отсюда видно, что с приближением точки (хх, yv zT) к точке (х, у, z) разность 0^ — а приближается к нулю, т. е. а есть непрерывная функция х, у, z.
Чтобы доказать второе свойство а, замечаем, что если а < b < с, то в силу уравнения (22)
a2 + ас2 + а
с2 р2. а2
откуда 1 + — >4- > 1 + — -
Отсюда же, принимая в расчет, что с беспредельным возрастанием р, а также беспредельно возрастает, и находим
Г Р2 1
hm-^—= 1.(27)
p-*OQ
Из только что доказанных свойств следует, что выражения (24) удовлетворяют условиям 1 и 2. В самом деле, из непрерывности а следует, что эти выражения удовлетворяют условию 1. Если же примем в расчет неравенство (25), то из формулы (27) найдем
lim V < 2зшЬск.
Кроме того, обозначим -т— численное значение —ч— и будем иметь I ОХ Iох
В случае внешней точки
— ^kabc f — + *+ ■ т! 1 -Лт- +
J \ а2 + и 1 Ь2 + и 1 с2 -|- и / £) (и)‘
а
.Sukabc/ хда. уда, гда \
'D (а)\ а2 + адх’Ь2 + аду‘с2 + адг /
Поэтому замечая, что
1.1,1d i m2 dD (и)
а^ + и + 62 + и + с2 + « ~ ИГ П — “Щй) 5й
и что дифференцирование уравнения (22) дает
2хГ х2. у2. z2да ~
а2 + а[(а2 + а)2"*■ (£2 + а)2“Г(С2 + а)2 Jах“ U
и т. д., откуда
хдау да . z да ~
а2 + ос дх "*" Ь2 + ос ду с2 + а дг *
находим: в случае внутренней точки
П L С 2 dD (и),, ,
Д К = — "Z^kabc I —гтгтттрт-2™ du = — 4ля,
J (и)]2du’
о
в случае внешней точки
l к Г 2 dD («),. 4^каЬс Л
Ди = — ^kabc I —К( -^у-— du Нтттт- = °*
J \р (u)]2du1 D (а)
а
Итак, выражения (24) и (26) удовлетворяют всем трем условиям, характеризующим потенциальную функцию.
При помощи найденных выражений потенциальной функции однородного эллипсоида могут быть доказаны следующие теоремы:
Теорема Ньютона. Однородный слой, ограниченный поверхностями двух концентрических подобных и подобным образом расположенных эллипсоидов, не оказывает притяжения на точку, помещенную где-либо внутри пространства, ограничиваемого слоем.
По предыдущему потенциальная функция однородного эллипсоида
которую обозначим через V (й), на внутреннюю точку (х, у, z) будет иметь выражение
V (h) = nkh^abc J оV (h) = nkh^abc J оX2t/2z2 A
V (h) = nkh^abc J о
V (h) = nkh^abc J о
a?№ + ц ~ №№ + и — c2/i2 + u / d“
V ^h2 + u) (62h2 + u) (c2h2 + W)
Если же заменим интегральную переменную и через №и, то приведем это выражение к виду
V (/i) = nkabc
,а2-\-и Ъ2 и с2 -V и
Отсюда видно, что если точка (х, у, z) есть также внутренняя и по отношению к эллипсоиду
а^ +^2+ С2 —
то V (h^ — V (h) = лкаЬс (Ai —A2) J ^^j" ’ чт0 представит величину, неза- о
висящую отх, у, г. Этим равенством и доказывается теорема, потому что V {h^ — V (h) есть потенциальная функция рассматриваемого слоя на точку, находящуюся где-либо внутри ограничиваемого им пространства.
Теорема Маклорена. Два однородных однофокусных эллипсоида притягивают одну и ту же внешнюю точку силами, одинаково направленными и пропорциональными их массам.
По предыдущему потенциальная функция однородного эллипсоида
а2 + Х />2 + Х с2 + Х на внешнюю точку (х, у, z) выражается так:
V (X) = uh /(а2 + Х)(Ь2 + Х) (с2 +Х) X
ОО /.х2у22^\
х Г J/_j/2JJ^,
У(а^ + ^^и)(Ь2 + % + и) (с2 + X + и)
где а — единственный корень уравнения (22), превосходящий X. Заменяя интегральную переменную и через и — X, найдем
ОО ЛX222\
V ^ = л& l/(a2 + X)(62 + X)(c2 + X) f ^•
J У (а2 + и) (Ь* + и) (с2 + и)
Отсюда видно, что если точка (х, у, z) есть также внешняя и по отношению к эллипсоиду
g2 । П2। С2 «
fl2^2С2 —
то — -^^ = _ (9L , чем и доказывается теорема.
у^ + X) (62 + X) (с2 + X) abc
Заметим, что эта теорема была доказана Маклореном только для случая, когда притягиваемая точка находится на одной из осей эллипсоидов. В общем же виде эта теорема была доказана в первый раз Даламбером и затем Лаг- ранжем.
КОММЕНТАРИИ
(с. 7). Опубликовано в Изв. Акад, наук, Отд. Физ.-матем., 1930, № 1, с. 1—24.
(с. 23). Опубликовано в Изв. Рос. Акад, наук, 6-я серия, 1919,т. XIII, № 1—11,с.389—
394; то же — Матем. и астрон. сб., новая серия, 1919, П.,1922, с. 389—394;тоже —
в книге Крылов А. Н. Мои воспоминания, Изд-во АН СССР,1945, с. 461—468.
(с. 28). Раздел первый напечатан по {1з}. Первые семь главповторяют {1ж},исчерпы
вая {1ж} полностью. Заключительная часть раздела первого: «Динамика неизменяемой системы точек» полностью исчерпывает {1в}.
(с. 33). Имеется в виду модуль скорости; затем автор будет всюду (за очевидными исклю
чениями) говорить о скорости как векторе.
(с. 33). Ляпунов редко употребляет термин вектор (встречается радиус-вектор, вектор
(главный) системы сил), предпочитая говорить о направленном отрезке или о направленной длине. Иногда в литографированных изданиях поставлена черточка над векторной величиной, большей частью она отсутствует. Всюду далее в книге векторные величины обозначены прямыми полужирными буквами и в одном исключительном случае — черточкой сверху.
Р] (с. 38). Производную по / Ляпунов обозначает штрихом. Точка, поставленная над буквой, не означает знак операции, поэтому и следует понимать как новую букву, например, ио или а.
(с. 42). Согласно обозначениям Ляпунова о — вектор ускорения точки, а и — его модуль.
(с. 44). Ныне принято это направление обозначать как бинормаль.
Р] (с. 105). В первом уравнении (49) (и (51)) под и понимается алгебраическая скорость от точки, т. е. проекцию скорости с на касательную т.
(с. 114). Сама ат и не является эллиптической функцией.
Iй] (с. 115). В настоящее время для эллиптических функций Якоби: синус амплитуды и косинус амплитуды и применяются обозначения sn и и сп и; здесь сохранены обозначения, применяемые Ляпуновым.
|12] (с. 133). Ниже (с. 416—419) Ляпунов приводит доказательство Лагранжа.
(с. 157). Ляпунов называет осью инерции то, что в настоящее время именуют главной осью инерции, а центральной осью инерции то, что ныне именуется главной центральной осью инерции.
(с. 162). Вывод лагранжевых дифференциальных уравнений движения здесь остался незаконченным. Читатель найдет окончание вывода на с. 383 или с. 480.
(с. 163). Раздел второй напечатан последовательно по (1а), {16} {1м}. Отдельные фрагменты изложенного содержатся в {1л}.
(с. 183) Ляпунов образующие всюду называет производящими.
[171 (с. 212) Для этих осей, обозначенных всюду ранее OXYZ, Ляпунов употребляет в направляющих косинусах выражения £т£ относительных координат (т. е. координат в осях OXYZ\
(о. 227) Приведем ленинское определение материи «Материя есть философская категория для обозначения объективной реальности, которая дана человеку в ощущениях его, которая копируется, фотографируется, отображается нашими ощущениями, существуя независимо от них» («Ленин В. И. Соч., т. 18, с. 131). Заметим, что высказанное Ляпуновым написано за четверть века до выхода в свет «Материализм и эмпириокритицизм» Ленина.
(с. 229) Как отмечено в тексте § 1—8 {16} полностью повторяют § 1—-8 {1з} (с. 29—37 настоящего издания). Поэтому изложение начинается с § 9. Параграфы 12, 13, 14, 15, 16, 18—23, 27, 28 и 30 повторяют (с небольшими добавлениями) соответственно параграфы 10, 11, 12, 13, 14, 15—20, 22, 23 и 25 из Курса теоретической механики (раздел первый), параграфы 25 и 29 значительно расширены, а параграфы 10, 11, 17, 24, 26, 31—34 отсутствуют в Курсе теоретической механики
(с. 310). Вектором системы сил Ляпунов называет то, что ныне именуют главным вектором системы сил.
[211 (с. 338). В подлиннике в правых частях системы (63) всюду стояли противоположные знаки [221 (с. 364.) Различные обобщения и видоизменения принципа наименьшего принуждения Гаусса, а также библиографию см. в статьях Н. Г. Четаева «О принципе Гаусса» и «Одно видоизменение принципа Гаусса» {4}, с. 323—328.
(с. 377). Точнее «которое дает стационарное значение П».
(с. 379). Первое строгое доказательство обратной теоремы дано самим Ляпуновым для случаев: 1) отсутствие минимума П узнается уже по членам второго порядка в разложении П в ряд Маклорена, 2) наличие максимума П узнается по членам наименее высокого порядка, действительно имеющихся в разложении П в ряд (см. {2}, т. II, с 93—95, с. 391— 400). Существенные результаты по решению этой задачи принадлежат Н. Г. Четаеву (см. {4}, с. 217—221, с. 225—244).
(с. 385) Раздел третий печатается по {1н}. Отдельные фрагменты здесь изложенного повторяются в {1 г, д} и в «Механике систем точек» раздела второго.
(с. 545) Раздел четвертый печатается последовательно по {16} (тождественным с {1к)> и {1е} (фрагменты последнего содержатся в {1и}).
В. В. Румянцев, В. М. Старжинский
ЛИТЕРАТУРА К КОММЕНТАРИЯМ
Ляпунов А. М. Литографированные курсы лекций:
Лекции аналитической механики приват-доцента Харьков, императорского ун-та А. М. Ляпунова. Харьков, литография А. И. Деденко, 1885, 155 с., 21 рис.
Динамика материальной точки, 1886, 156 с. (без титульного листа);
Динамика неизменяемой системы точек, Харьков, 1886. 104 с. (без титульного листа);
Статика, 1887, 99 с. (без титульного листа);
О действии мгновенных сил на системы материальных точек, 1887, 75 с. (без титульного листа);
Теория притяжения, 1887, 75 с. (без титульного листа);
Курс теоретической механики, читанный в Харьков, технол. ин-те, в 1890 г., проф.
А. М. Ляпуновым, Харьков, литография Деденковой. 344 с.
Технологический институт. Курс теоретической механики. А. Ляпунов, проф. Харьков, ун-та и технол. ин-та, Харьков, 1893. 468 с.
Теория притяжения. Лекции, читанные для студентов Харьков, ун-та, Харьков, 1897.45 с.
Основание теории деформируемых тел и гидростатика. Харьков, 1899. 131 с.
Кинематика. Лекции проф. А. Ляпунова (изд. студ. В. Сиренко), 1900. 127 с.
м) Механика систем точек. 191 с. (без титульного листа);
н) Динамика систем точек (Изд. студ. А. Кацнельсона, без титульного листа.). 535 с.
Основания теории деформируемых тел и гидростатика (без титульного листа). 128 с.
Академик А. М. Ляпунов, Собрание сочинений.—М. : Изд-во АН СССР. Т. 1, 1954, 447 с., т. II, 1956, 473 с. Т. III, 1959, 375 с. Т. IV, 1959. 645 с., Т. V, 1965, 495 с.
Лукомская А. М. Александр Михайлович Ляпунов. Библиография.— М.; Л. : Изд-во АН СССР, 1953. 268 с.
Четаев Н. Г. Устойчивость движения. Работы по аналитической механике.— М. : Изд-во АН СССР, 1962. 535 с.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абсолютная скорость точки 63 — угловая скорость 67, 220 Абсолютное движение точки 63, 215
— —• фигуры 66
— ускорение точки 64
Абсолютные координаты 166
Абсолютный годограф угловой скорости 186
Айвори теорема 621
Аксиома уравновешивания сил 348
Аксоид неподвижный 57, 179
— — центральных осей 204 — подвижный 57, 179
— — центральных осей 204
Амплитуда (функция) 114, 268
— бросания 79
— колебания 114, 267
Архимеда закон 574
Бертрана теорема 521# 524
Бине формула 43 Брахистохрона 275
Вариации координат 141
Вариационные перемещения 141
Веревочный многоугольник 342, 390
Вектор (главный) системы сил 310, 386, 438
Взрыв 541
Винтовое движение тела 49, 193
Возможное перемещение 131, 351
Возможные вариации координат 351, 428
— движения 385# 425
— положения системы 346
Возмущенное движение 333
Восстановленная скорость 300
Вполне упругий удар 300
Вращательное движение вокруг оси 48, 171
— — — точки 48, 171
— ускорение точки вокруг полюса 60
Вращение по инерции вокруг неподвижной точки 158
— положительное 167
Вторые интегралы 307# 437
Гамильтона начало 382, 478
— преобразование 481
— функция 482
Гамильтоновы (канонические) уравнения 482
Гармоническое движение 31# 90# 230
Гаусса принцип наименьшего принуждения 429
— теорема 363
Геодезическая линия 121, 280
— цилиндрической поверхности 266
Геометрическая производная 40
сумма отрезков 36
функция времени 40
Гибкая нерастяжимая нить 396
Гирационный эллипсоид 492
Главная ось инерции 148, 490
— центральная ось инерции 148, 490
Главный момент инерции 148, 490
— — количества движений системы 313
— — системы сил 313, 386
— центральный момент инерции 148, 490
Годограф скорости 37
— угловой скорости 186, 212
Грина теорема 614
Гуков шарнир 181
Давление точки на линию 105, 257, 259
— — — поверхность 102, 255
Даламбера начало (принцип) 138, 350, 428
Движение 163
— абсолютное тела 67
— — точки 63, 215
— винтовое тела 49, 193
— вращательное вокруг оси 48, 171
— _ я» точки 48, 171
— гармоническое 31, 90
— относительное тела 67
— — Точки 63, 215
параллельно плоскости 48
переносное тела 67
— точки 63, 219
плоской фигуры в ее плоскости 50, 195
— поступательное 48, 171
— равномерное 32
равномерно измененное 39
— сложное тела 48
Движения составляющие 48# 65 Движущие силы 137, 349#
Дифференциальные уравнения Лагранжа второй формы 161# 383# 480
— — — первой формы 161
Дифференциальный параметр первого порядка 360
— — второго порядка 631
Живая сила вращательного движения 150# 497
— — системы точек 318, 444
— — точки 85
Жидкость 557
— идеальная 557
Задача о трех телах 333# 457
Закон Архимеда 574
всемирного тяготения Ньютона 598
движения центра инерции для несвободных систем 364
— — — .— свободных систем 310
Закон живой силы системы в относительном движении 323, 449
- — — для несвободных систем 370
свободных систем 324
инерции 69, 227
— независимости действия сил 70, 227
Ньютона при ударе 536
площадей для несвободных систем 369
— — свободных систем 313
— сохранения движения центра инерции 312, 365, 439
— — живой силы системы 319, 445
«— — площадей для системы точек 314, 440, 443
— — — — точки 84
— — энергии для системы точек 320, 446
— трения 107, 251, 261
Законы Кеплера 89, 329, 453
— основные механики 69, 227, 255
Идеальная жидкость 557
•— линия 105
— поверхность 99, 250
Идеальные связи 133, 361, 411
Импульс силы 295
Инвариант винтовых движений 223
Инертность 28
Интеграл площадей 84
Канонические (гамильтоновы) уравнения 482
Карно теоремы 541, 542, 543
Катание без скольжения 181 — сопровождаемое скольжением 205
Квадратичный момент 149
Кеплера законы 89
Кинетическая энергия системы точек 318
— — точки 85
Количество движения точки 84, '295
Консервативная система точек 320, 446, 469
Конхоида 52? 196
Координаты абсолютные 166
^ относительные 166
— полярные 34
— сферические 35
—• твердого тела 45, 47
— цилиндрические 35
— эллиптические 492
Кориолиса теорема 64
Коэффициент восстановления 300, 536, 538
— статического трения 107, 261
— трения 101, 252
Критерий устойчивости равновесия 377
Лагранжа дифференциальные уравнения второй формы 162, 383, 480
— — — первой формы 161
— прием неопределенных множителей 353
— теорема об устойчивости равновесия 377, 470
— — относительно движения жидкостей 561
Лагранжева форма уравнений гидродинамики 559, 561
— функция 481
Лапласа неизменяемая плоскость 314, 441
— уравнение 601
Линейчатая поверхность 207
Линия плавания 585
Лиувилля уравнение 78
Маклорена теорема 627
Масса 71, 228
Материальная точка 69, 227, 598
Маятник математический (простой) 113, 266
— сферический 123, 282
— физический 154, 501
— Фуко 290
— циклоидальный 117, 272
Мгновенная ось вращения 173
Мгновенные силы 294
Мгновенный центр вращения 195
— — скоростей 51
— — ускорений 62, 214
Метацентр 590
Многоугольник веревочный 342, 390
— стержневой 342, 390
— сил 395
Момент инерции квадратичный 149, 495
— — относительно оси 146, 488
— — — плоскости 149, 495
— — параллелепипеда 149, 496
— — площади прямоугольника 149, 496
— — — эллипса 149, 496
— — эллиптического цилиндра 149, 496
— — эллипсоида 149, 496
Момент количества движения точки 84
— пары 388
— силы относительно оси 83, 313
— — — точки 84, 313
Мопертюи начало наименьшего действия 477
Напряжение тангенциальное 546
Напряжения 546
Натяжение (давление) 392, 546
— нити 394,' 397
Начало возможных перемещений 132, 410
— (принцип) Даламбера 138, 350, 428
—- Гамильтона 382, 478
— наименьшего действия Мопертюи 477
— параллелограмма сил 229
Начальные данные 347, 426 — обстоятельства движения 74 Невозмущенное движение 333
Неизменяемая плоскость Лапласа 314, 441
Неопределенные множители Лагранжа 161
Неподвижная центроида 197
Неподвижный аксоид 57, 179
— — центральных осей 204
Несвободная система матери
альных точек 301 ? 341
Неудерживающая поверхность 95, 245
Неудерживающие связи 129, 342, 385
Неупругий удар 300
Неустойчивое положение рав
новесия 377, 470
Нить гибкая нерастяжимая 396
-— — — однородная 397
Нутация 179
Ньютона закон при ударе 536
Ньютона теорема 626
Ньютонов закон всемирного тяготения 598
Общее вариационное уравнение динамики 364
Объемные силы 547
Однородная нить 397
Освобождающие связи 133
Оси упругости 554
— устойчивого вращения 511
Ось винтового движения 49
— инерции 448, 490
— неустойчивого вращения 511
— пары 387
Основные законы механики 69
Относительная скорость точки 216
— угловая скорость 220
Относительное движение точки 63, 215
— — фигуры 66
Относительные координаты 166
Относительный годограф угловой скорости 186
Пара сил 387
Первые интегралы 307, 437
Переменные связи 129, 385
Перемещения вариационные 141
— возможные 131, 351
Переносная скорость точки 216
Переносное (увлекающее) движение точки 63, 219
— движение фигуры 66
Пертурбационная функция 333
Плечо инерции 150, 491, 497
— силы по отношению к оси 83
— силы относительно точки 313
Плоскость пары 387
— плавания 583
— сечения 583
Плотность 72, 228
Площадь плавания 580
Поверхностные силы 547
Поверхность идеальная 99, 250
— линейчатая 207
— неудерживающая 95, 245
— сечения 583
— Удерживающая 95, 245
— уровня потенциальной функции 617
— центров 584
Поворотное (сложное центробежное) ускорение точки 64
Подвижная центроида 197
Подвижный аксоид 57, 179 — — центральных осей 204 Полное решение 234 Полные связи 145, 344, 423 Полодия 506
Положение равновесия плавающего тела безразличное 575
—• — — — неустойчивое 575 .
*— — — — относительно устойчивое 575
— — — — смешанное 575
— — — — устойчивое 575 — — точки 106, 259
Положительное вращение 167
Полюс 189
Полярные координаты 34
Постоянные оси вращения тела 510
— связи 129, 385
Поступательное движение 48,' 171
Потенциал скоростей 564 Потенциальная функция 319, 445, 599
— энергия системы (потенциал) 320, 446
Потерянная скорость 300 Потерянные силы 137, 254, 349, 428
Предельные условия 559
Преобразование Гамильтона 481
Прецессия 179
Прием неопределенных множителей Лагранжа
— Якоби 238
Принцип (начало) Даламбера 138, 350 — связей 348 — наименьшего принуждения
Гаусса 429
Притяжение однородного шара 622
— — эллипсоида 618
Проекция скорости точки 33
Производная функции по направлению 617
Простой маятник 113,266
Пуансо теорема 58, 160, 506
Пуассона скобки 338, 484
— теорема 338
— уравнение 610
Работа силы 85
Равнодействующая сила 69, 228, 389
Равномерное движение 32
Равномерно измененное движение 39
Реакции связей 136, 359
Реакция линии 103, 25*7 — поверхности 99, 249 — стержня 391
Рулета 200
Свободная материальная точна 73, 229
— ось вращения 158, 504 — система материальных точек 301, 341
Свободные поверхности жидкости 559
Связи 129, 341
— идеальные 133, 361, 411 — неудерживающие 129, 342, 385
— переменные 129, 385
—- полные 115, 341, 129
— постоянные 129
— освобождающие 133
— удерживающие 129, 342, 385
Секториальная скорость 314# 440
Сипа 28# 69, 227
— отнесенная к единице объема 547
— трения 99# 249
— тяжести 91, 242
— центральная 82
— центробежная 91# 105, 240, 259
Силовая функция 86, 319, 445
Силы движущие 137# 349# 428 — задаваемые 98, 249,- 349# 428 — инерции 138, 349 — мгновенные 294 — объемные 547 — поверхностные 547 — потерянные 137, 254, 349, 428
— сопротивления поверхности 98, 249
— уравновешивающиеся 73, 229 — частичные 545
Система материальных точек 301, 385
— — — несвободная 301, 341, 385
— — — свободная 301, 305
Скобки Пуассона 338, 484
Скорость абсолютная точки 63 — относительного движения точки 216
переносного движения точки 216
по положительному направлению траектории 33
— равномерного движения точки 32
— секториальная 314, 440
— средняя точки 32
— точки 33
Сложное движение тела 48
Сопряженные оси 224
Составляющие движения тела 48
— скорости 37, 220
— ускорения 220
Способ изменения произвольных постоянных 333
Средняя плотность тела 72, 228
Стержневой многоугольник 342, 390
Сферические координаты 35
Сферический маятник 123, 282
Тангенциальное напряжение 546 — ускорение 45 Таутохрона 118, 273 Таутохронизм 118, 273
Твердое тело 45
Теорема Айвори 621
— Бертрана 521, 524
Гаусса 363
Грина 614
Кориолиса 64
Лагранжа об устойчивости равновесия 377, 470
— о движении жидкости 561 — Маклорена 627
*- Ньютона 626
— о катании аксоидов 58
— Пуансо 58, 160, 506
— Пуассона 338
— Томсона 523# 524
Шаля 224
— Якоби (о скобках Пуассона) 338, 485
Теоремы Карно 541, 542, 543
Томсона теорема 523, 524
Траектория точки 30
Трения закон 107, 251
— коэффициент 101, 252
Угловая скорость тела 49, 173
Угловое ускорение тела 60
Углы Эйлера 46, 167
Угол отражения 300
— падения 300
— трения 108, 262
Удар 297, 516
— вполне упругий 300
— неупругий 300
Удерживающая поверхность 95, 245
Удерживающие связи 129, 342, 385
Уравнение движения по траектории 31
— живой силы 36, 445, 469
— Лапласа 601
— Лиувилля 78
— Пуассона 610
— сплошности 553
Уравнения гидродинамики в форме Лагранжа 559, 561
— — — — Эйлера 558
— движения точки 30
— моментов 84, 366
— равновесия системы точек 136
— — точки 106, 260
— — — на линии 106# 260
— — — поверхности 106, 260, 262
— связей 130, 163
Эйлера вращательного движения 153, 500
Уравновешивающиеся силы 73, 229, 386
Ускорение абсолютное точки 64
вращательное точки вокруг полюса 60, 212
относительного движения точки 64
переносного движения точки 64, 217
поворотное (сложное центробежное) точки 64, 218
тангенциальное точки 45
точки 38
угловое тела 60
центробежное 65
-- центростремительное точки 45, 61, 212
Ускорения высших порядков 41
Условия равновесия плавающего тела 574
— — системы точек 136, 420
— — точки 106; 260
— — — на линии 107, 260, 263
— —• — — поверхности 106, 260, 262
— устойчивости равновесия плавающего тела 583
Устойчивое положение равновесия 377, 470
Физический маятник 154, 501
Форма равновесия нити 402
Формула Бине 43
Фуко маятник 290
Формулы Эйлера 171
Функция Гамильтона 482
— Лагранжева 481
— пертурбационная 333
— силовая 86, 379, 445
Центр давлений 572
— инерции (центр масс) 311, 439
— качания 155, 502
— параллельных сил 389
— привешивания 156, 502
— тяжести 339
— удара 531
Центральная ось поля скоростей 59, 191
— — инерции 148, 490
—• — системы сил 315, 387
— сила 82
Центробежная сила 91# 105, 240,
259
Центробежное ускорение 65
Центроида неподвижная 52, 197
— подвижная 52, 197
Центростремительное ускорение
Цепная линия 405
Циклоида 31
Циклоидальный маятник 117,272
Цилиндрические координаты 35
Частичные силы 545
Число степеней свободы 164# 344, 423
Шаг винтового движения 49
Шаля теорема 224
Шарнир Гуков 181
Эйлера углы 46, 167
— формулы 174
Эйлерова форма уравнений гидродинамики 558
Эйлеровы уравнения вращательного движения 153, 500
Эквивалентные системы сил 386
Элементарная возможная работа силы 410
— работа силы 85, 318, 444
Эллипсоид инерции 148, 490
— упругости 554
Эллиптические координаты 492
Эрполодия 506
Якоби прием 238 — теорема 338, 485
1 См. его доклад в Изв. АН, 1911, № 44, с. 964.
1 Изв. АН, 1915, № 5, стр. 373.
Для дальнейшего преобразования ее мы заключаем, что дифференцирова
ние по t первого из уравнений (73) (если в нем величины qls q2l ...,qm рассмат
ривать как функции t и их производные обозначить через q\. qV ..., qm) дает
# dFi * . dFf ' .. dFt ' dFt
Х‘-~д^^ + ~д^ГС12+^"d^^mY-gt-.(76)
l। dto2 i22 fdtox
3. У1 < —I. Уравнению (100) можно дать вид
когда в уравнении /z = 0 будем рассматривать координаты всех точек, за
исключением xv, у^ 2^, как постоянные величины.
Чтобы показать, какое значение могут иметь эти величины 6^, Ьуг и т. д.
в рассматриваемом случае, заметим следующее: рассмотрим какое-либо воз
можное движение нашей системы точек, в котором все неудерживающие
связи постоянно выражались бы равенствами и затем возьмем какое-либо
академия наук украинской ССР Институт математики
А. М. ЛЯПУНОВ
ЛЕКЦИИ
по ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ
МЕХАНИКЕ
КИЕВ НАУКОВА ДУМКА 1982
УДК 517.36
Лекции по теоретической механике / Ляпунов А. М.— К., «Наук, думка», 1982.— 632 с.
Курсы механики А. М. Ляпунова состоят из следующих разделов: кинематика, динамика материальной точки, статика, динамика систем материальных точек, теория притяжения, основания теории деформируемых тел и гидростатика Изложение механики осуществляется как отрасль математики, а не физики и поэтому безукоризненная строгость доказательств является главным требованием изложения. Многие результаты аналитической механики, ставшие классическими, принадлежат А. М. Ляпунову.
Лекции могут быть рекомендованы студентам, аспирантам, научным работникам, математикам и механикам, которые занимаются прикладными вопросами математики и механики и желают расширить свои знания по теоретической механике.
РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ
акад. АН УССР Ю. А. Митропольский (ответственный редактор), чл.-кор. АН СССР В. И. Зубов, акад. А. Ю. Ишлинский, акад. Н. Н. Красовский, д-р физ.-мат. наук А. А. Мартынюк (зам. ответственного редактора), чл.-кор. АН СССР Е. Ф. Мищенко, чл.-кор. АН СССР В. В. Румянцев, д-р физ. -мат. наук В. М. Старжинский
Редакция физико-математической литературы
АЛЕКСАНДР МИХАЙЛОВИЧ ЛЯПУНОВ
ЛЕКЦИИ ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ
Утверждено к печати ученым советом Института математики АН УССР
Научный редактор В. М. Старжинский. Редакторы Г. Н. Гавричкова, И. М. Маматкуло- в а. Оформление художника В. Г. Самсонова. Художественный редактор И. П. Антонюк Технический редактор Г. Р. Б о д н е р. Корректоры Т. Я. Черная, Э. Я. Белокопытова, Л. М. Тищенко.
Информ, бланк № 4738
Сдано в набор 12.10.81. Подп. в печать. 05.10,82 БФ 01808. Формат 70хЮ0/1в. Бум. тип. № 1. Лит. гарн. Выс. печ Усл. печ. л. 51,35. Усл. кр.-отт. 51,35 Уч.-изд. л. 56,57. Тираж 4800 экз. Зак. 2-365 Цена 5 руб. 40 коп
Издательство «Наукова думка». 252601, Киев, ГСП, Репина, 3.
Отпечатано с матриц Головного предприятия РПО «Полиграфкнига» на книжной фабрике «Коммунист», 310012, Харьков-12, Энгельса, 11.
1703020000-428
л М22Ц04)—82 169-82© Издательство «Наукова думка», 1982
СОДЕРЖАНИЕ
От редколлегии 5
Ляпунов Б. М. Краткий очерк жизни и деятельности А. М. Ляпунова 7
Крылов Л. Н. Памяти Александра Михайловича Ляпунова 23