Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ГИРОСКОПОВ
Допущено Министерством высшего 〃 среднего специального образования СССР в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений
0
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1972
531
Л 84
УДК 531.383
Введение в теорию гироскопов.
Л у н ц Я. Л., Главная редакция физикоматематической литературы изд-ва «Наука», 1972, 296 стр.
В книге дано последовательное изложение теории гироскопов как одного из прикладных разделов теоретической механики. В нее включены следующие главы: сферическое движение твердого тела, гироскоп в кардановом подвесе, гироскопические приборы (гирокомпасы, гироприборы ракет и др.), теория сложных гироскопических систем, включая динамику гиростабилизаторов. Приводятся многочисленные примеры использования гироскопических явлений в технике.
Книга предназначена для студентов втузов, аспирантов и инженеров различных специальностей. Она является дополнением к «Курсу теоретической механики» (авторы: Н. В. Бутенин, Я. Л. Лунц, Д. Р. Меркин).
Яков Львович Лунц
Введение в теорию гироскопов
М., 1972 г., 296 стр. с илл.
Редактор И. 3・ Пирогов
Техн, редактор И. Ш. Аксельрод
Корректор И. Я. Кришталь
Сдано в набор 9/XI 1971 г. Подписано к печати 6/Ш 1972 г. Бумага 84х108/зг, тип. № 2. Физ. печ. л. 9,25. Условн. печ. л. 15.54. Уч.-изд. л. 15,29. Тираж 12 000 экз. Т-01578. Цена книги 64 коп. Заказ № 1320.
Издательство《Наука»
Главная редакция физико-математической литературы 117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие . . 5
Глава 1. Движение твердого тела с одной неподвижной точкой 7
Задание движения . . 7
Представление вектора в различных системах координат 9
Момент количеств движения и кинетическая энергия тела с одной неподвижной точкой14
Уравнения Эйлера17
Уравнения Лагранжа20
Движение свободного твердоготела23
Случай Эйлера — Пуансо27
Случай Лагранжа — Пуассона.Регулярные прецессии 32
Приближенная теория гироскопа • . 38
Устойчивость установившихся движений твердого тела с одной неподвижной точкой 42
Гироскопический момент. Приложения52
Глава 2. Гироскоп в кардановом подвесе62
Кинематика карданова подвеса62
Движение колец гироскопа относительно Земли ... 76
Дифференциальные уравнения движения гироскопа, установленного на неподвижномосновании . •.•81
Первые интегралы уравнений движения для гироскопа в кардановом подвесе85
Регулярные прецессии .•.87
Псевдорегулярные прецессии9。
Другие виды движений 92
Устойчивость регулярных прецессий94
Устойчивость вращения гироскопа при сложившихся кольцах .. 100
Нутационные колебания и неустойчивость гироскопа по углу вращения наружного кольца104
Уравнения движения гироскопа, установленного на подвижном основании113
Уравнения движения корабля . . . . 121
Свойства обобщенногогиромаятника124
Глава3. Гироскопические приборы132
Гиромаятник . 132
Вывод условий невозмущаемосги гиромаятника по методу А. Ю. Ишлинского150
5 5 68 4548 в 7521212223242526262728295 5 68 4548 в 752121222324252626272829
5 5 68 4548 в 752121222324252626272829
5 5 68 4548 в 752121222324252626272829
44ОГЛАВЛЕНИЕ
4
4
Дифференциальные уравнения движения однороторного гирокомпаса, установленного неподвижно на Земле 159
Колебания гирокомпаса около положения относительного равновесия .163
Гирокомпас на подвижном основании. Скоростная девиация 172
Условия невозмущаемости для гирогоризонткомпаса . 181
Гироскопические приборы ракет [18], [34]195
Гироскопический интегратор линейных ускорений . . . 200
Автоколебания гироинтегратора линейных ускорений . 208
Глава 4. Динамика сложных гироскопических систем ...
Уравнения движения гироскопических систем ....
Уравнения движения при действии консервативных и диссипативных сил
Принцип действия гироскопических стабилизаторов ..
Гироскоп с двумя степенями свободы на подвижном основании и его применение
Одноосный гиростабилизатор
Автоколебания гирорамы
Двухосный гиростабилизатор
Исследование устойчивости двухосного гиростабилизатора . » ..
Гироскопические вертикали. Условия невозмущаемости гироскопической рамы
Литература
ПРЕДИСЛОВИЕ
В общем курсе теоретической механики, выпущенном издательством 《Наука》(Теоретическая механика, т. I, II, Н. В. Бутенин, Я. Л. Лунц, Д. Р. Меркин) излагаются основы этой дисциплины. Книга, предлагаемая читателю, является одним из дополнений к курсу. Издание подобных дополнений связано с тем, что для ряда специализаций требуется более подробное ознакомление с некоторыми главами теоретической механики.
К серии издаваемых книг относятся учебные пособия по теории гироскопов, теории устойчивости, по аналитической механике и теории колебаний. В будущем этот перечень предполагается продолжить.
Цель настоящей книги ——ознакомить читателя с теорией гироскопов, как с одним из разделов прикладной механики. Разумеется, этим далеко не исчерпывается теория гироскопов в широком смысле этого слова.
Здесь изложены некоторые вопросы кинематики и основы динамики гироскопов. Дано объяснение работы различных гироскопических приборов. Материал расположен в порядке возрастания сложности изучаемых механических систем.
Сначала, в главе первой, излагается теория движения твердого тела с одной неподвижной точкой. Выясняются свойства такого движения в случаях Эйлера и Лагранжа. Дана прецессионная теория гироскопических явлений.
Во второй главе рассматривается теория гироскопа в кардановом подвесе. Исследуется устойчивость движения гироскопа в случае перманентного вращения и регулярной прецессии.
Третья глава посвящена теории гироскопических приборов, построенных по схеме гироскопа с тремя степенями свободы. При изложении теории постановка
задач по мере возможности не осложнялась. В частности, очень редко учитывались возмущающие воздействия от сил сухого трения, дебалансов и качки основания. Как правило, составлялись точные уравнения движения идеального прибора, из которых выводились следствия, объясняющие принцип его действия.
В четвертой главе дана теория сложных гироскопических систем. Приведены уравнения движения гироскопических систем со многими степенями свободы, даны некоторые общие теоремы об устойчивости гиросистем, в частности, теоремы Томсона и Тэта. В § 4.9 сообщены первоначальные сведения о построении инерциальных навигационных систем и получены условия невозмущае- мости гироскопической рамы. Большая часть главы посвящена изложению теории гироскопических стабилизаторов.
Естественно, что из-за небольшого объема книги трудно было осветить достаточно полно общую теорию гироскопов. Такие устройства, как вибрационные гироскопы, непосредственные гироскопические стабилизаторы и амортизаторы, торсионные гирокомпасы, оказались вне поля зрения автора. Однако имеющаяся обширная специальная литература по гироскопическим устройствам поможет легко восполнить этот пробел. Библиография, приведенная в конце книги, направит читателя к нужному источнику.
АвторАвторАвтор выражает глубокую благодарность рецензентам С. С. Ривкину, Д. М. Климову, Л. Н. Слезкину и редактору И. 3. Пирогову, внимательно просмотревшим рукопись и сделавшим ряд ценных замечаний. Они позволили в значительной степени улучшить содержание книги.
Автор
Автор
ГЛАВА 1
ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА С ОДНОЙ неподвижной тачкой
Задание движения
Рассмотрим твердое тело, закрепленное в неподвижной точке О (рис. 1.1). Такая связь может быть
осуществлена при помощи шарового шарнира, карданова подвеса, шпилевой опоры и т. п.
Для описания движения тела введем независимые параметры ——обобщенные координаты. Свяжем с точкой О инерциальную систему координат Ox\y\Z\ ), а с телом скрепим систему координат Oxyz, Введем еще одну вспомогательную систему координат Ох2у2^ Одна из осей этой системы ——ось О%2——является линией пересечения двух координатных плоскостей Х\Оу\ и хОу.
Ось О%2 называют линией узлов. Другая ось—Ог2 — совпадает с О?, а третья ось — Оу2 — составляет с остальными правую тройку.
Теперь положение тела и связанных с ним осей можно однозначно определить при помощи трех углов Эйлера — а, р, у. Угол прецессии а отсчитывается в плоскости 修。勿 от оси Охь угол нутации |3 в плоскости 乞2°Zi от оси 021 и угол собственного вращения у ——
Рис. 1,2, Представление углов Эйлера при помощи углов поворота кардановых колец.
в плоскости х20у2 от оси 0%2・ Положительные углы отсчитываются от соответствующих осей в сторону, противоположную вращению часовой стрелки при наблюдении со стороны положительного направления оси, перпендикулярной плоскости откладываемого угла.
Таким образом, последовательность поворотов а—► f В т Y переводит систему координат Ox{y{Zi в положение Oxyz.
Можно наглядно представить себе каждый из поворотов, поместив мысленно тело в карданов подвес (рис. 1.2). В начальном положении (рис. 1.2, а) наружное и внутреннее кольца сложены и ось вращения внутреннего кольца ориентирована по оси Сх「 Затем весь карданов подвес поворачивается вокруг оси Cz\ на угол а (угол прецессии). Конечное положение тела изо-
бражено на рис. 1.2,6. Следующий поворот происходит вокруг оси внутреннего кольца Ох2 на угол нутации> р (рис. 1.2,6). Система координат 0%2y2之2 жестко связана с внутренним кольцом. Оси этой системы координат называют осями Резаля. Наконец, последний поворот совершается телом вокруг оси Ог2 на угол собственного вращения у (рис. 1.2,6). Окончательное положение тела определено осями Oxyz.
Таким образом, повороты на углы Эйлера а,自 у могут быть материализова- _
Рис. 1.3. Преобразование декартовых координат вектора при повороте коор динатных осей.Рис. 1.3. Преобразование декартовых координат вектора при повороте коор динатных осей.ны при помощи карданова подвеса. Заметим, что при всех поворотах точка пересечения осей карданова подвеса оставалась неподвижной.
Рис. 1.3. Преобразование декартовых координат вектора при повороте коор динатных осей.
Рис. 1.3. Преобразование декартовых координат вектора при повороте коор динатных осей.
Представление вектора в различных системах координат
Один и тот же вектор р (рис. 1.3) может быть
представлен в двух различных декартовых системах ко ординат следующим образом:
(1.1)(1.1)р = %» + 川 + 2 瓦色=修力+物九+2/].
(1.1)
(1.1)
Выразим координаты %卜 “i, 2】через х, у, z и через косинусы углов между ортами
修=隔=% ®i) + У (川)+ 2 (月匕)，
У1 = @九=x (5) + У (//i) + 2 (匀 i)，(L2)
马=@瓦=% (面)+ у (沟)+ 2他尼J.
Построим таблицу направляющих косинусов
i ] k
匕 a“ @12 @1з&3)
/1"21 电2 a23
在 1 。31。32a33
(14)(14)Тогда формулы (1.2) примут вид %1=a2 +012"+ a132, У1 = 〃21工 + %2 沙 + @232, 21 = a31% +a32y + @33%。
(14)
(14)
Таблица, составленная из элементов apq, где р означает номер строки, a q — номер столбца, называется матрицей. Таким образом (1.3) образует матрицу пре> образования одной ортогональной системы координат в другую
С другой стороны, вектор р (х, у, z)
может
быть пред-
ставлен в виде матрицы-столбца
@= УИЛИ @]=
1 Di •
(L6)
Z1
Z1
Тогда произведением АВ называется матрица С, имеющая т строк и £ столбцов:
Каждый элемент этой матрицы %? составляется по пра
ВИЛУ 5尸 2jisbs「т. е. каждый элемент 厶百 строки
матрицы Л умножается на соответствующий элемент /-го столбца матрицы В и результаты суммируются. Таким образом, произведение имеет столько строк, сколько их у множителя А, и столько столбцов, сколько их у В, В частности, произведение квадратной матрицы (1.5) на матрицу-столбец р дает матрицу, имеющую три строки и один столбец, т. е. получится матрица-столбец или вектор. В самом деле,
的止+旬2^ +a132
= а21х + a22g + 〃23之・口31% + “32// + "зз2
Отсюда следует, что (1.4) можно переписать в виде
(1.7)(1.7)@i = 4@・
(1.7)
(1.7)
Формула (1.7) дает простое правило перехода от вектора, определенного в одной системе координат, к тому же вектору, определенному в другой системе координат. Для такого перехода необходимо только знать матрицу преобразования или, что то же, таблицу направляющих косинусов (1.3).
Если теперь необходимо перейти при помощи матрицы преобразования Л2 к вектору р2, записанному в системе координат。也货切 то очевидно, что
@2 = Ар» р2 = “24@・
Вообще для последовательности п преобразований координат 4[, А?，・・.,4冷 будет справедлива формула
(1.8)(1.8)
(1.8)
(1.8)
Применим матричную форму преобразования координат к системе поворотов, изображенной на рис. 1.2. Первый поворот на угол а вокруг оси Oz приводит к ма* трице преобразования
Il cos аsina04 ==—sinacos a01 о01Il cos аsina04 ==—sinacos a01 о01(1.9)(1.9)
Il cos а
sina
0
4 =
=—sina
cos a
0
1 о
0
1
Il cos а
sina
0
4 =
=—sina
cos a
0
1 о
0
1
(1.9)
(1.9)
Второй поворот вокруг осиВторой поворот вокруг осик матрицек матрице。％2 на угол р приводит。％2 на угол р приводит
Второй поворот вокруг оси
Второй поворот вокруг оси
к матрице
к матрице
。％2 на угол р приводит
。％2 на угол р приводит
(1.10)(1.10)1 О О
(1.10)
(1.10)
Л2 =• 0 cos р sin₽О —sin § cos р
Наконец, последний поворот вокруг оси Ог2 на угол 丫 ничем не отличается от первого поворота, и поэтому матрица преобразования аналогична (1.9)
(1.П)(1.П)hcosy sin у 0 sin у cos у 0
(1.П)
(1.П)
001
Вектор @, имеющий проекции 尤卜 у^ 目 в исходной системе координат, связанной с инерциальным пространством, может быть представлен в системе координат, связанной с телом следующим образом:
0з =(43/24) @ = c@♦ (1/2)
sin у 0
1
cos у 0
0
01
0
Icos у—sin уIcos у—sin уМатрицу С найдем, используя (1.9), (1.10), (1.11):
Icos у
—sin у
Icos у
—sin у
° ° I
cos§ sin р X
—sin§ cos р
I
cos a sin а 0
—sin а cos а 0
001
Сначала получим
1
Л2Л1 = о о
о
COS0 — sin В
0 sin В cos 0
cos а
——sin а
0
cos а
—cos 0 sin а sinpsina
sin а 0 II cos а 0 =
01
sin а
cos § cos а
—sin Р cos а
0sin рcos §
sin ysin|3cosysin Вcos 6(1.13)sin ysin|3cosysin Вcos 6(1.13)
sin ysin|3
cosysin В
cos 6
(1.13)
sin ysin|3
cosysin В
cos 6
(1.13)
Затем
I
cos Yeos a—sin Yeos 8 sin а
—sin у cos a—cos ycos® sin а sin0sina
cos Ysina+sin yeosBeosa
—，sin vsina+cosvcosPcosa
—sinBeosa
Полезно иметь в виду, что в случае перемножения трех матриц 厶，儿，4 с элементами а* 鸣)，碎/ формула для элемента матрицы-произведения легко получается, если воспользоваться правилом перемножения строк и столбцов. Сначала для элементов матрицы В = ~А2А{ получим
岛嚼吧，
а затем для элементов матрицы С=Д3В будем иметь
几ппи п
5 М唯% = 2喟^嚼咽П2 2 ^М-
Теперь легко найти координаты вектора @з в системе координат, связанной с телом:
%з = (cos у cos a — sin у cos p sin a) к +
(1.14)(1.14)+ (cos ysina + sin у cos 0 cos a) у + 之 sin у sin 0, Уз = — (sin у cos a + cos у cos 卩 sin a)x +
(1.14)
(1.14)
+ (cos у cos p cos a — sin у sin a) g + z sin у sin p, 之3 = x sin p sin a — у sin § cos a + z cos p.
В ряде случаев вместе с формулами перехода от х, р, 2 к 修，勿，& необходимо иметь формулы обратного перехода от хь 协，窃 к х, у, % Получение этих формул связано с составлением матрицы р=А^}, аналогичной (1.3). При этом матрица 4’ получается из 4 заменой соответствующих строк на столбцы.
Можно проверить, что
1 О 〃4 = 0 1
О О
?|?|(1.15)(1.15)Матрица (1.15) называется единичной и обозначается через Е. Матрица 4х, произведение которой на А\ дает
?|
?|
(1.15)
(1.15)
Рис. 1.4, Разложение угловой скорости тела по осям карда- пова подвеса.Рис. 1.4, Разложение угловой скорости тела по осям карда- пова подвеса.единичную матрицу, называет- ся матрицей, обратной для 4, и обозначается через ЛГ1» 4”4=E・
Рис. 1.4, Разложение угловой скорости тела по осям карда- пова подвеса.
Рис. 1.4, Разложение угловой скорости тела по осям карда- пова подвеса.
Таким образом, операции с матрицами аналогичны операциям с числами, так что из @i=AiP следует р = АГ1рг
Заметим, что в отличие от умножения чисел при умножении матриц сомножители нельзя менять местами, т. е., вообще говоря, АВ =# В А.
Следует также учесть, что правило образования обратной матрицы путем поворота матрицы /41 вокруг диагонали,
справедливое для преобразований координат типа по
ворота вокруг неподвижной точки, не имеет места в общем случае. В общем случае [4J элементы обратной матрицы % образуются по правилу
厶订
где А订一алгебраическое дополнение элемента а* в оп-* ределителе А квадратной матрицы А.
Момент количеств движения и кинетическая энергия тела с одной неподвижной точкой
Движение твердого тела с одной неподвижной точкой ) как было показано в § 1.1, может быть сведено к трем вращательным движениям^
Система координат Ох^^г^ (рис. 1.4) вращается вокруг оси Oz неподвижной системы с угловой скоростью 曲、система Ох2у2^2 вращается с угловой скоростью 日小 относительно Ox^y^Zi и, наконец, твердое тело вращается с угловой скоростью 勺局 относительно Ох2у2^2- Все оси вращения пересекаются в неподвижной точке О. На основании теоремы о сложении вращений относительно пересекающихся осей (том I, § 14.3) ) абсолютная угловая скорость тела равна геометрической сумме угловых скоростей переносного и относительных вращений, т. е.
s = &А + 餡 + 沖2・(1.16)
В системе координат Oxyz координаты вектора ай(0, 0, а). Следовательно, проекции его на оси, связанные с телом, можно найти по формулам (1.14)
("々)%з = & sin у sin р, (&右"=a cos у sin р, (&左工 三 & cos p.
Аналогично из рис. 1.4 имеем
(Bi% = В cos у,(餚"=一 В sin у,(簡乂 = 0.
Отсюда, учитывая (1.16), получим
s打=& sin у sin § + 0 cos 丫, 3曲=& cos 丫 sin P — 0 sin y,
①為= &cosB +仏(1.17)
Формулы (1.17) называются кинематическими уравнениями Эйлера.
Для момента количеств движения тела, имеющего одну неподвижную точку, известны выражения его проекций на оси любой прямоугольной системы координат (том II, § 13.2)
К% = /%8* —【кубу — x^z>
Ку= — 1*必 + lySy —【у®，(1」8)
Kz = 一 ^xz^x — IyzSg + 厶心.
Здесь /х, ", Iz — осевые и 1ху, /跖 /”一центробежные моменты инерции тела.
Заменяя в (1.17) индексы %з,北，г3 на 招 у, 2 и подставляя (1.17) в (1.18), получаем
Kx^=Ix(a sin у sinP + Pcos у) — /xz/(dsin р cos у — р sin у) —
—/X2(acos₽+ у)，
Ку= —/x^(dsinPsiny + Pcosy)4-/zz(dsinPcosY—Psin у)-—
—/yz(&cosp + у),
К 产—/x^(dsinpsin у + pcosy)—/^(ctsinPcos у—psiny)+
+ 4 (d cosp + y). j
(1.19)
Заметим, что формулы (1.19) значительно упрощаются, если за оси подвижной системы координат, связанной с телом, принять главные оси эллипсоида инерции в точке О. В этом случае [том П, § 13.2] Ixy=Ixz — ——/yr —-— 0, поэтому
Кх = /%8* = /% (& Sin Р sin Y + 6 cos 丫),]
Ку = /“①“ =4 (& sin В cos у — В sin Y), j (1 ・20)
Kz = I2^z = fz(^^S^+ Y).J
Перейдем к вычислению кинетической энергии. В общем случае [том II, § 13.2] имеем
т = ^к^=^(К* ①* + кт у + ка)(i.2i)
Для системы координат, связанной с главными осями эллипсоида инерции, получим
「=}(/" + /浦+ /匐，(L22)
откуда, после подстановки (1.17), придем к следующему выражению:
Т = ~-[/x(d sin psin у + ₽cos у)2 +
/^(dsinpcos у —р sin у)2 + 厶(d cos р + у)2]. (1.23)
Представляет интерес довольно распространенный частный случай Ix=Iy=IQ, Такое равенство имеет ме-
сто, когда эллипсоид инерции в точке О представляет собой эллипсоид вращения. Тогда формула (1.23) принимает вид
Т = ^~ & (必 siM р + 的 + 厶(& cos p + у)2]. (1.24)
Подобный случай является основным в теории гироскопов. Ротор гироскопа обычно выполняется в виде однородного тела вращения, и поэтому экваториальные моменты инерции равны между собой. Формула (1.24) позволяет определить кинетическую энергию ротора гироскопа.
§ 1.4. Уравнения Эйлера
Применим теорему об изменении момента количеств движения системы материальных точек для описания движения тела с одной неподвижной точкой
~^ = М (1.25)
Здесь Ко н М$ — момент количеств движения тела и главный момент внешних сил, они вычисляются относительно неподвижной точки тела.
Если систему координат связать с вращающимся телом, то теорему об изменении момента количеств движения удобно записать в виде [том II, § 14.1]
^ + <оХКо = М (L26)
где производная от момента количеств движения вычисляется относительно подвижной системы координат. Проекции Ко на оси системы координат, связанной с те・ лом, вычисляются по формулам предыдущего параграфа.
Угловая скорость тела & в проекциях на оси подвижной системы координат определяется по формулам (1.17).
Векторное равенство (1.26) эквивалентно трем скалярным:
•勺£ + S“Kz — 6zKy = Mx,
~^~ + ① zK% —①%Kz = Al；,(1-27)
■^^ + SxKy — ®уКх = Ml-
В случае произвольных осей, проекции Кх, Ку, Kz вычисляются по формулам (1.18), (1.19), а при выборе главных осей инерции в качестве осей подвижной системы координат следует воспользоваться более простыми формулами (1.20). Подставим (1.20) в (1.27)
厶噜+(厶-4)①即2 ― m2
/у ~^р + (/х — /г) Сд^й)х = М^,(1.28)
Аг + (/у — /%)①=川^・
Уравнения (1.28) были выведены Даламбером и опубликованы в 1743 году. Полную систему уравнений движения твердого тела позже дал Эйлер. Принято уравнения (1.28) называть динамическими уравнениями Эйлера.
Система трех уравнений (1.28) еще не может дать полного описания движения тела с одной неподвижной точкой. В самом деле, во-первых, моменты действующих сил относительно осей, входящие в правые части уравнений, зависят от положения тела в пространстве, т. е. являются функциями неизвестных углов а, р, у; во-вторых, даже в том случае, когда они не зависят от этих углов и уравнения (1.28) могут служить для определения сох, о)у, со?, картина движения тела остается невыясненной. Чтобы определить углы Эйлера, необходимо привлечь кинематические уравнения (1.17)
(1.29)(1.29)①％ = & sin p sin у + 8 cos y, co» = & sin p cos у — 8 sin y, co? = & cos p + Y*
(1.29)
(1.29)
Система уравнений (1.28), (1.29) полностью определяет движение тела с одной неподвижной точкой, если только к ним еще присоединить шесть начальных условий:
а (0) = а0, Р(О) = Ро，Y(O) = Yo，
а ⑼=а0» 6 (0) = ₽о> Y(0) = Yo-
Следует заметить, что дифференциальные уравнения движения (1.28), (1.29) представляют собой систему шести нелинейных дифференциальных уравнений пер* вого порядка. Найти решение такой системы уравнений в общем виде, т. е. при любых начальных условиях и моментах инерции, не представляется возможным.
Только трем знаменитым ученым 18 и 19-го столетий удалось найти такие случаи интегрируемости уравнений (1.28), (1.29), которые позволяют удовлетворить любым начальным условиям.
Первый случай интегрируемости открыт был Эйлером (1759 г.). Он рассмотрел движение тела при отсут・ ствии моментов внешних сил (Afo = 0).
Второй случай принадлежит Лагранжу (1815 г.). Им было полностью исследовано движение твердого тела в однородном поле тяготения с симметричным эллипсоидом инерции (/%=/у) и центром тяжести, расположенным на оси симметрии эллипсоида (尤с=%=0)・
Наконец, в 1888 году первая премия Парижской Академии наук была присуждена за открытие третьего случая интегрируемости. Автором премированной работы оказалась русская женщина Софья Васильевна Ковалевская (работы подавались под девизом и имена их авторов заранее не были известны). Случай С. В. Ковалевской относится к симметричному эллипсоиду инерции, для которого выполняются условия
/% = /“ = 2/2*
Кроме того, в случае Ковалевской центр тяжести тела должен быть расположен в экваториальной плоскости этого эллипсоида.
В дальнейшем Хюссон в 1906 году доказал, что не существует других интегрируемых при любых начальных
условиях случаев движения твердого тела, кроме случаев Эйлера, Лагранжа и Ковалевской. Разумеется, это утверждение не противоречит тому, что при некоторых начальных условиях удалось найти другие интегрируемые случаи движения (их находят и до сих пор), не вытекающие из классических случаев Эйлера, Лагранжа и Ковалевской.
§ 15 Уравнения Лагранжа
Уравнения движения могут быть выведены и другим способом. Воспользуемся методом Лагранжа. Напомним, что для составления уравнений Лагранжа необходимо ввести обобщенные координаты 夕卜 ^2,・・•, 4$, найти выражения для кинетической энергии Г и обобщенных сил Qj через qi и @门 а затем получить уравнения (том II, § 19.2)
В случае твердого тела с одной неподвижной точкой за обобщенные координаты мЬгут быть приняты углы а, Р，у.
Имея в виду, что кинетическая энергия тела выражается через обобщенные координаты а, §, у н их производные по формуле (1.23), получим
寨瑞=(厶-4)叫小，
两=/х (d sin y sin 卩 + 0 cos 丫) a cos Р sin 丫 +
十 Iy (d sin В cos у — psin у) d cos P cos у —
—厶(& cos P + у) d sin р;
肃—/х (d sin 6 sin 丫 + В cos у) sin p sin у +
十 /^(d sin p cos у — ₽sin y) cos 丫 sin 0 +
+ /?(& cosp + y)cos p；
дТ粛дТ粛=Ix (a sin Р sin у + В cos у) cos у —
дТ粛
дТ粛
—〃(& cos 丫 sin В — В $由 Y)sin Y；
■|^ = /z(&cosB + V)・
Уравнения движения принимают вид 方(/хох sin В sin 丫 + ly^y sE ₽cos v + 厶曳 cos B) = Qa, 方(厶①％ cos у — Iy^y sin y) — /%①次 sin ycosp +
+ Iz^z^ sin p — 1 收ya cos p cos 丫 = Qy 方(厶①z) + (/у — /%) ^X^y H Qy'
(1.30)
Рис. 1.5. К вычислению обобщенных сил в случае движения тела с одной неподвижной точкой.Рис. 1.5. К вычислению обобщенных сил в случае движения тела с одной неподвижной точкой.где, как и прежде,①* ⑴伊 со2 определены через соотношения (1.29).
Рис. 1.5. К вычислению обобщенных сил в случае движения тела с одной неподвижной точкой.
Рис. 1.5. К вычислению обобщенных сил в случае движения тела с одной неподвижной точкой.
Обобщенные силы могут быть выражены через проекции главного момента внешних сил М^, М^, М^. Для этого вычислим элементарную работу всех сил, приложенных к телу при последовательном варьировании координат а, р, у (рис. 1.5).
Следует учитывать, что точка О неподвижна и поэтому работа главного вектора внешних сил всегда
равна пулю. Остается вычислить работу составляющих главного момента М*, Mj, М^・ При варьировании а работа главного момента может быть вычислена по формуле
64 а = Q/a = Af；z； ба =
=[(Mx sin у + Mf・cos у) sin р + M^ cos р] ба. (1.31)
Для определения направляющих косинусов между векторами М* и N? здесь использован последний столбец матрицы С (1.13). Таким образом,
Qa =(М* sin у + Al； cos у) sin р + М^ cos §・(1.32) Аналогично
64 = Q^ =(歷 cos у —腸 sin у) dp, '(〔 33)
Q0 = Mx cos у — M； sin y,
(1.34)(1.34)6Д Y = Qy 6y == Mz бу, Qy =財^・
(1.34)
(1.34)
Уравнения Лагранжа (1.30) могут быть получены из уравнений Эйлера (1.28), если из последних составить линейные комбинации такого же вида, как они получены для обобщенных сил из М^, Му, М^*
Из (1.34) видно, что последние уравнения систем (1.28) и (1.30) совпадают. Легко также убедиться, что второе уравнение системы (1.30) можно получить как линейную комбинацию первого и второго уравнений (1.28):
[%'^^ 十亿一^)^^г] COSY —
—+ ^^/z)(0^lsinY==^xC0SY~ Af^sinv.
Аналогично конструируется и первое из уравнений системы (1,30). Для этого необходимо первое из уравнений (1.28) умножить на sin р sin у, второе — на sin р cos у и третье ~ на cos р, а затем все уравнения сложить.
Естественно, что уравнения Эйлера (1.28) могут быть получены из (1.30) как их линейные комбн” нации.
Применение уравнений Эйлера особенно полезно при исследовании движения изолированного твердого тела. В ряде случаев можно пренебречь массой кардановых колец и тогда гироскоп можно рассматривать как одно тело — ротор. Уравнения движения при этом проще выводятся в форме уравнений Эйлера.
Движение свободного твердого тела
Движение свободного твердого тела описывается при помощи шести обобщенных координат (том I, § 12.4), например, трех декартовых координат одной из точек
Рис. 1.6. Определение положения свободного тела.
тела (чаще всего это — координаты центра масс) и трех углов Эйлера, определяющих положение твердого тела в системе координат Сму、？％ связанной с одной из точек тела и движущейся поступательно (рис. 1.6). Разумеется, возможен выбор и других шести обобщенных координат.
Для вывода уравнений движения свободного тела используем теорему о движении центра масс
и теорему об изменении момента количеств движения системы относительно центра масс
Если подвижную систему координат с началом в центре масс скрепить с телом, то последнее уравнение примет вид
-^- + s X Кс = Мс^
Оси подвижной системы можно направить по главным центральным осям инерции тела, тогда полная система дифференциальных уравнений, описывающая движение свободного твердого тела под действием системы сил, сводится к девяти уравнением:
т^с =『，У% + (厶 一 /j s愿=Л'С '
〃用c = F 〃%+(/%-/1吗% =用；，(L35)
/& = Z。，/应+ (厶一厶)吗% =此，.
8% = & sin Psin у + ₽ cos у,]
(о^ = d sin р cos у — P sin y， j(L36)
o)z =(5c cos p + Y*J
Здесь 生，？]c, gc — координаты центра масс тела.
В первой группе уравнений (1.35) правые части—— проекции главного вектора внешних сил на оси поступательно движущейся системы координат, во второй группе проекции главного момента вычисляются относительно главных центральных осей инерции. Моменты инерции вычисляются также относительно главных центральных осей инерции.
Следует иметь в виду, что правые части уравнений (1.35) могут зависеть от времени, координат а, р, 丫，互, т)с,殳 и их производных. Такая зависимость появляется, например, при нзученпн движения тела в среде с сопротивлением.
Уравнения движения космического корабля, самолета, снаряда и т. п. имеют вид (1.35), (1.36).
Как уже отмечалось выше, обобщенные координаты могут быть выбраны не единственным образом.
При изучении движения самолета обычно пользуются системой отсчета углов, изображенной на рис. 1.7. Самолетную систему координат Cxyz связывают с центром
Рис. 1.7. Система углов, определяющая положение самолета в его движении относительно центра масс.
масс самолета. Ось Сх направлена по продольной оси самолета, ось Cz называется поперечной и ось Су —— нормальной. Положение самолета относительно некоторой базовой системы координат 0&пС) определяется следующим образом. Поперечная плоскость самолета yCz пересекается с плоскостью gQ по линии узлов С?% Угол 2 между осями Cg и Сгх называется углом рыскания. Угол О между плоскостью gCg и продольной осью самолета называется углом тангажа. Угол у между осями Cz\ и Cz называется углом крена.
В этом случае формулы (1.36) необходимо заменить другими, учитывая направление угловых скоростей
(1.37)(1.37)вращений 也 8, у, изображенных на рис. 1.7: 叫=V + j sin 仇 Sg = j cos 8 cos V + 6 sin 丫， @2 = 6 cos у — 6 cos 今 sin y.
(1.37)
(1.37)
В сущности, формулы (1.37) представляют собой разновидность кинематических уравнений Эйлера (1.36). В последних следует сделать замены углов
а =取 В =专一8, Y = Y
и осей координат 尤〜一z, z 〜х, у 〜〃 и тогда (1.36) перейдут в (1.37).
Отметим, что если оси Cxyz не главные оси инерции, то вторая группа уравнений (1.35) принимает вид
/%血% —/хубу—厶的之 + ^у (— /XZ®X —^yz^y + 厶①2)—
—5 (— /xy^x + ly^y — /yz^^ H MZ
(1.38)(1.38)-厶插х+Л/тu""/依山n +①/厶s% 一厶收g 一 Jxz^z)-
(1.38)
(1.38)
—8% (— Цг^х — /"Sy + 4^2)к 財3 一乙?百尢一/州6^+厶為+8% (一厶收% + /"①g-/yzSj - 一бу (厶8% - hy^y - /x科)=確.
Возможно составление этой группы уравнений в системе координат, не связанной с центром масс. Тогда следует воспользоваться уравнениями, выведенными ранее (том II, § 9.7):
(1.39)(1.39)令 +(о X Ка = М； — 倘% X %・
(1.39)
(1.39)
Здесь rc — радиус-вектор центра масс тела в подвижной системе координат, wA ——ускорение начала подвижной системы координат. После проектирования этого векторного равенства на подвижные оси координат левые части уравнений не будут отличаться от (1.38). В правых же частях уравнений следует в дополнительном члене положить
?с = ^ci + yd + М， 初厶=侬 J + 3〃j + 侬/4，
где /. /, k ——орты подвижных осей, связанных с телом.
Проекции ускорения точки А на неподвижные оси равны
g = Lv 叫=山，畋=北.
Они связаны с проекциями ускорения на подвижные оси равенством
Wxyz=C3自吨,
где С — матрица (1.13), вычисленная нами ранее, a wxyz и 3岳吨一матрицы-столбцы с элементами (侬％, w期,侬z) и (g, w^ g) соответственно.
Зная проекции гс и wA на подвижные оси, не представляет труда внести в правые части (1.38) дополнительные члены от слагаемого — mrc X wa-
Перейдем теперь к анализу некоторых интегрируемых случаев движения твердого тела с одной неподвижной точкой.
Случай Эйлера — Пуансо
Предположим, что на твердое тело действуют силы, главный момент которых относительно неподвижной точки равен нулю, М^ = 0・ Отсюда следует
咎=0, Ко = 0.
Введем для главных моментов инерции в точке О обозначения 1Х—А^ Iy—B, /z=C. Тогда
К% = 4(0%, Ку = В®?, Kz = Csz・ (1-40)
Постоянство момента количеств движения тела приводит к равенству
屋吒十炉⑷+ о吟=*(1.41)
Кроме того, из теоремы об изменении кинетической энергии имеем
% = № + №,(1.42)
где ^i — мощность внутренних сил, которая равна нулю, так как внутренние силы приложены к твердому телу (том II, § 10.3).
Система сил, приложенных к телу, по предположению имеет главный момент, равный нулю. Следовательно, мощность внешних сил, равная скалярному произведению угловой скорости на главный момент, равна нулю.
Таким образом, из (1.42) получаем интеграл энергии
(1.43)(1.43)7 = ； Ко(о = h
(1.43)
(1.43)
или, в развернутом виде,
/吒 + 8% + С(^ = 2瓦(1.44)
Следует отметить, что, поскольку Ко ——вектор постоянный, то равенство (1.43) означает, что проекция мгновенной угловой скорости на постоянное направление, совпадающее с Ко,——величина постоянная. Удобно
Рис. 1.8. Неподвижные оси и главные оси инерции тела.Рис. 1.8. Неподвижные оси и главные оси инерции тела.неподвижную ось 优 направить по Ко (рис. 1.8).
Рис. 1.8. Неподвижные оси и главные оси инерции тела.
Рис. 1.8. Неподвижные оси и главные оси инерции тела.
Найдем теперь плоскость, перпендикулярную вектору Ко и одновременно касательную к эллипсоиду инерции
4炉 + ^ + “= 1. (1.45)
Очевидно, что любая плоскость, касательная к (1.45), имеет уравнение
4%о (% — %о) + By。(у — //о) +
+ С?о (z — z°) = 0, (1.46)
где х0, go, No — координаты точки эллипсоида, в которой проведена касательная плоскость.
Условие перпендикулярности Ко к касательной плоскости можно представить в виде
Лх0仇/оС%
или, вспоминая, что Кх^=А^Ху /(^二口⑴打 Kz = Cg、
(147)(147)%0 =，о =之0
(147)
(147)
Зх (Оу со?
Условия (1.47) доказывают одно интересное свойство движения тела в случае Эйлера ——Пуансо: точка каса
Рис. 1 9. Определения мгновенной оси вращения при помощи эллипсоида инерции и плоскости Пуансо.Рис. 1 9. Определения мгновенной оси вращения при помощи эллипсоида инерции и плоскости Пуансо.ния эллипсоида инерции к плоскости, перпендикулярной Ко, лежит на мгновенной оси вращения тела.
Рис. 1 9. Определения мгновенной оси вращения при помощи эллипсоида инерции и плоскости Пуансо.
Рис. 1 9. Определения мгновенной оси вращения при помощи эллипсоида инерции и плоскости Пуансо.
На рис. 1.9 изображена точка касания 2 лежащая на продолжении вектора мгновенной угловой скорости ш. Найдем теперь расстояние 6 касательной плоскости П ог неподвижной точки О.
Для этого приведем (1.46) к нормальному виду и подставим х = у = z = О
6 = 词 + 8* + С*I48)
Заметим, что в силу (1.47)
?0 =?0 =%0 =九①%，У0й^九①y.
?0 =
?0 =
откуда, после подстановки в уравнение (1.45) и использования выражения (1.44), получим
(1.49)(1.49)1I
(1.49)
(1.49)
У 4з? + В 崎 + Ссо|V 2h
Поэтому равенство (1.48) принимает вид
九 U爲1+Во| + с2* -丁
Итак, касательная плоскость П отстоит во все время движения твердого тела (и связанного с ним эллипсоида) на постоянном расстоянии 6 от неподвижной точки О. Оба эти свойства позволили Пуансо дать
простую геометрическую интерпретацию движения тела в случае Эйлера.
Эллипсоид инерции, имея закрепленный центр О, катится по неподвижной плоскости /7, отстоящей от О на расстоянии 6 == У2А : а. Плоскость /7, перпендикулярная постоянному вектору момента количеств движения
Рис. МО. Полодия и герполодия для эллипсоида вращения.
тела, называется плоскостью Пуансо. Кривая, которую описывает полюс Р на поверхности эллипсоида, называется полодией, кривая же, описываемая той же точкой на неподвижной плоскости Я, называется герполодией.
Особенно просто выглядят полодии и герполодии для эллипсоида вращения (рис. 1.10). Предположим, что А=В. Тогда ось On является осью симметрии эллипсоида инерции, а полодии и герполодии представляют собой окружности. Первая образована сечением, перпендикулярным оси симметрии эллипсоида, и проведенным через точку касания эллипсоида с плоскостью Пуансо, а вторая лежит в плоскости Пуансо и имеет центр на перпендикуляре, опущенном из неподвижной точки на эту плоскость.
Легко найти в этом частном случае (А = В) и аналитическое выражение для углов Эйлера.
Направим ось 。白 неподвижной системы координат по вектору Ко, тогда две другие оси окажутся параллельными плоскости Пуансо. Положение подвижной системы координат, у которой ось Oz совпадает с осью
Рис. 1.11. К определению угловых скоростей прецессии и собственного вращения тела в случае Эйлера.Рис. 1.11. К определению угловых скоростей прецессии и собственного вращения тела в случае Эйлера.симметрии эллипсоида инерции, определяется при помощи трех углов Эйлера а, В，Y・
Рис. 1.11. К определению угловых скоростей прецессии и собственного вращения тела в случае Эйлера.
Рис. 1.11. К определению угловых скоростей прецессии и собственного вращения тела в случае Эйлера.
Прежде всего заметим, что угол р между осями Oz и 0彳 постоянен. Это следует из того, что он состоит из двух углов СОР и OQP и каждый из них в отдельности не меняется. Вычислим теперь мгновенную угловую скорость со, которая, как мы уже выяснили, направлена по прямой ОР. Для этого перепишем (1.43)
у Ко^о =九 или
as cos (応%) = 2力.
Однако угол между векторами Ко и(о, равный углу OQP, постоянен, следовательно,
со == const (卩=/ OQP).
a cos цj /
Поскольку в начальный момент положение тела и связанного с ним эллипсоида инерции должно быть задано, а также известен вектор начальной угловой скорости, то без труда строится плоскость Пуансо и определяются углы р> и р.
Для определения угловой скорости собственного вращения o)i = уг° и угловой скорости прецессии S2=&J° остается разложить вектор s по осям Oz и 0^ (рис. 1.11).
Из этого рисунка следуют очевидные соотношения:
e0 _例—0)2
sin 0 一 sin "一sin (0一卩)，
2h _ 2h tg 卩 @ sin 6一卩) 2力 a cos ц — a sin 卩， 一 sin p a cos 卩，
. sin ц. sin цоткудаоткудаY = Yo + H / cosec p tg 卩，a = a。+ g f (1 — tg 卩 ctg p).Необходимо отметить, что случай Эйлера не является исключительным при изучении движения твердого тела. Например, движение свободного тела в однородном силовом поле сводится к поступательномуY = Yo + H / cosec p tg 卩，a = a。+ g f (1 — tg 卩 ctg p).Необходимо отметить, что случай Эйлера не является исключительным при изучении движения твердого тела. Например, движение свободного тела в однородном силовом поле сводится к поступательномуодод
. sin ц
. sin ц
откуда
откуда
Y = Yo + H / cosec p tg 卩，a = a。+ g f (1 — tg 卩 ctg p).
Необходимо отметить, что случай Эйлера не является исключительным при изучении движения твердого тела. Например, движение свободного тела в однородном силовом поле сводится к поступательному
Y = Yo + H / cosec p tg 卩，a = a。+ g f (1 — tg 卩 ctg p).
Необходимо отметить, что случай Эйлера не является исключительным при изучении движения твердого тела. Например, движение свободного тела в однородном силовом поле сводится к поступательному
32 ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА С ОДНОЙ НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКОЙ {ГЛ I движению и движению относительно центра масс по случаю Эйлера. Спутник Земли вращается относительно центра масс приблизительно так же, как и в однородном поле. Правда, весьма малый момент гравитационных сил относительно центра масс спутника приводит к появлению некоторого возмущенного движения, так что в течение достаточно большого промежутка времени (сравнимого с периодом обращения спутника) характер движения существенно искажается и отходит от случая Эйлера.
Уместно также напомнить, что в статике условия прямолинейного и поступательного движения твердого тела (условия равновесия) сводились к требованию равенства пулю главного вектора и главного момента действующих на тело сил. Таким образом, эти условия были необходимыми для равновесия тела. Теперь мы видим, что они вовсе не являются достаточными. Действительно, даже при равенстве нулю главного вектора и главного момента тело может двигаться относительно центра масс, обкатывая своим эллипсоидом инерции плоскость Пуансо (случай Эйлера). Движение будет поступательным только при соблюдении дополнительного условия, а именно при равенстве нулю начальной угловой скорости вращения.
Перейдем к изучению другого важного случая движения твердого тела, описанного Лагранжем и Пуассоном.
Случай Лагранжа—Пуассона.
Регулярные прецессии
Перейдем к изучению движения твердого тела в однородном силовом поле. Предположим, что эллипсоид инерции в неподвижной точке ——эллипсоид вращения, а центр масс тела лежит на оси симметрии эллипсоида вращения (рис. 1.12). Указанным свойством обладает, например, тело, имеющее ось симметрии, проходящую через неподвижную точку.
Тяжелое твердое тело, имеющее ось симметрии 〃 вращающееся вокруг одной из точек на оси симметрии, называется гироскопом. Чаще всего в технических приложениях имеют дело с гироскопом, выполненным
в виде тела вращения, которому сообщается большая начальная угловая скорость вокруг оси симметрии.
Гироскоп называется астатическим, если его центр масс совпадает с неподвижной точкой. В противном случае будем его называть тяжелым гироскопом или волч^
потенциальная энергия ось 优 направить вер-потенциальная энергия ось 优 направить вер-ком.
потенциальная энергия ось 优 направить вер-
потенциальная энергия ось 优 направить вер-
заметим, что неподвижнуюзаметим, что неподвижнуюРис. 1.12. Эллипсоид инерции в случае Лагранжа — Пуассона.Рис. 1.12. Эллипсоид инерции в случае Лагранжа — Пуассона.Прежде всего такого тела, если тикально вверх, определяется по формуле
заметим, что неподвижную
заметим, что неподвижную
Рис. 1.12. Эллипсоид инерции в случае Лагранжа — Пуассона.
Рис. 1.12. Эллипсоид инерции в случае Лагранжа — Пуассона.
П = Ga cosp, (1.50)
Составим теперь урав-Составим теперь урав-где а — расстояние от неподвижной точки до центра масс (а ^ 0), р — угол между осью симметрии эллипсоида инерции и вертикалью, G — вес гироскопа.
Составим теперь урав-
Составим теперь урав-
нения Лагранжа в фор
ме (1.30), учитывая равенство (1.50). Предварительно
введем обозначения
/%==/у==：4,/z==C・
Учтем, что Qa QY = 0, Qp = — -^- = Ga sin р. Тогда из последнего и первого уравнений (1.30) следует
С (a cos р + у) = Я = const, 1
Ла sin2 3 + Я cos р = Aj = const. J'
Воспользуемся теоремой о сохранении энергии
T + n = h
или
4 4 (d2 sin2 р + В?) + } ^2 + Ga cos В =瓦 (1.52)
2 Я. Л. Лунц
Из равенств (1.52) и (1.51) следует
备供+ "2)=凡
分 & = ”,二^,(1.53)
где
〜 о л Ai с \ (А — z)2 1 2 AG azZ = cosp, А=号，^=\^r^^—H^
Заметим, что функция，(2)определена в промежутке (—1, 1) и на концах его имеет вертикальные асимптоты. Два циклических интеграла по а и у и интеграл энергии позволяют свести решение задачи к квадратурам.
После замены переменных
纟=—6 sin р, z2 = p2(l — г2)
можно первое уравнение (1.53) записать в виде
=之 2 = [Е-〃2)](1-22)
ИЛИ
之2 = e (1 一 之2) 一 (А 一 2)2 一挚3 2 (1 一 22).
sign 之 dzsign 之 dzОбозначая кубический полином в правой части через Ф(г), получим после разделения переменных
sign 之 dz
sign 之 dz
(1.54)
Функция sign г равна +1 при г > 0 и —1 при £ < 0. Интегрирование в правой части ведется последовательно по интервалам, в которых z сохраняет неизменным знак.
Поясним это при помощи рис. 1.13. Будем откладьь вать по оси абсцисс cos р = г. Очевидно, что —1 W W^WL По оси ординат отложим y=f(z) и у=£ Знак функции 屮(2) = (1——z^)\E — / (г)] определяется
знаком Е — f(2), и так как qp(2)= z2 ^ 0, то 2 может изменяться лишь в пределах 2i W 2 W ?2・
Абсциссы & и ?2 отвечают точкам пересечения прямой у — Е и кривой у=/(2). В этих точках R (а следовательно, и z) меняет знак.
Рис. 1.13. Определение значений 2[ и Z2, соответствующих перемене знака производной г.Рис. 1.13. Определение значений 2[ и Z2, соответствующих перемене знака производной г.Изображающая точка М на прямой у=Е движется в зависимости от начальной угловой скорости 6。 либо влево (Ро > 0), либо вправо (go V < 0), затем достигает кривой /(г) и движется в обратном направлении.
Рис. 1.13. Определение значений 2[ и Z2, соответствующих перемене знака производной г.
Рис. 1.13. Определение значений 2[ и Z2, соответствующих перемене знака производной г.
Не останавливаясь на способах вычисления эллиптического интеграла (1.54), выясним основные свойства движения твердого тела в случае Лагранжа.
Прежде всего ясно, что по координате р движение будет периодическим. Действительно, полный цикл изменения величины г, а следовательно, и 0 отвечает удво
енному промежутку времени движения изображающей точки от «г】 до г2
Характер изменения угла р изображен на рис. 1.14. Колебания оси волчка (оси фигуры, как ее часто называют) по углу р называют нутационными колебаниями.
Выясним, от чего зависит период и размах таких колебаний. Под размахом будем понимать величину разности |р2 — Pi |.
Постоянные £, А и 77 зависят от начальных условий:
"=С(%+&0 COSfo),
(1.56)(1.56)А = % (Ла0 sin2 Во + 〃 cos 饱)， ё=备褊+ f" +銀-os际
(1.56)
(1.56)
Отсюда видно, что Я и Д не зависят от Во, а следовательно, функция f (之)также не зависит от р0. Тогда при изменении в начальных условиях только одной величины Во кривая f/=f(z) не деформируется. Происходит лишь изменение величины f, а значит, и смещение интервала (гь ?2)・ При определенном значении Е=Е+ интервал стягивается в точку. Получаем движение 0 三 Р+, a=const — регулярную прецессию.
Очевидно, при этом прямая у—Е касается энергетической кривой y—f(2)в точке ее минимума (можно показать, что минимум только один). Значение Р=Р+, (之=2十)назовем центром нутации. Если такой минимум принять за начальную точку, т. е. положить р0=Р+ н 仇=0, то уравнения движения (1.53) примут вид
(1.67)(1.67)р = Р+, — а^ = -j—笋~ = const,彳+ = ^ — &+ cos P+ = const.
(1.67)
(1.67)
Найдем, используя условия минимума для функции f(z), угловую скорость регулярной прецессии &+
—sin%—sin%df (cos 6)жdf (cos 6)ж2(A-n+)2(A-n+)=о,=о,42耳符1岳+"卜642耳符1岳+"卜6(1.58)(1.58)
—sin%
—sin%
df (cos 6)ж
df (cos 6)ж
2(A-n+)
2(A-n+)
=о,
=о,
42耳符1岳+"卜6
42耳符1岳+"卜6
(1.58)
(1.58)
где \k—2AGaH^2,
Отвлекаясь пока от случая 0+=О (《спящий》 вол* чок), подставляя в уравнение (1.58)
4&+ _ a 一2+
Н 1 — N；'
получимполучим2“丛-2%2“丛-2%2AGa-к— = °，2AGa-к— = °，
получим
получим
2“丛-2%
2“丛-2%
2AGa
-к— = °，
2AGa
-к— = °，
Отсюда, заменяя
"=С ё+ + &产+) = "0 +e也产+ ("0 ^ ее+)， получим для определения угловой скорости прецессии уравнение
斗缽(4 一 С) - &+% + aG = 0・(1.59)
Решение уравнения дает два значения угловой скорости прецессии:
济『*6。)
Для существования такой прецессии необходимо и достаточно, чтобы дискриминант уравнения (1.59) не был отрицательным, т. е.
厌 >4(4-C)〃Gz+.(1.61)
Заметим, что при отрицательной правой части (1.61) неравенство всегда выполняется.
В критическом случае А = С, когда эллипсоид инерции в неподвижной точке вырождается в шар, из (1.59) имеем
т. е. существует только одна регулярная прецессия. В общем же случае будем различать быструю прецессию с угловой скоростью
U/^-4G4-C)溜斗
2%+ (4 - e)
и медленную с угловой скоростью
% - Vh^ -4(Д-С) aGz+
北十(4 - e)
Для реальных гироскопов 尤》4(4 — C)aGz^ поэтому справедливы приближенные формулы
Движения, совершающиеся без нутаций, называются регулярными прецессиями. Особым случаем регулярной прецессии является вращение гироскопа вокруг неподвижной оси (а = 0).
Из уравнений движения следует, что такое перманентное вращение возможно при условии sin р+=0, т. е. В+=0, р+=л. Для доказательства этого факта достаточно воспользоваться вторым из уравнений (1.30), подставив в его правую часть выражение для Qy Полагая в нем В = & = 0, приходим к условию sin р = 0.
Волчок, вращающийся вокруг вертикальной оси, называют «спящим». Условия устойчивости регулярных прецессий и, в частности, условия устойчивости «спящего» волчка будут выяснены в дальнейшем.
Если центр масс гироскопа совпадает с неподвижной точкой (а=0), то возможно перманентное вращение тела вокруг произвольной оси р=Ро при начальной угловой скорости: ао=О, Ро=О, % — любое. В самом деле, в этом случае
А == COS % === Z()・
Тогда
f ⑶=(% 一 方(1一22尸，E = f(z^
и прямая Е=0 касается кривой y=f(z) в точке n=z(), из (1.60) получаем а+=0.
В заключение отметим, что интересные приложения теории движения тела в случаях Эйлера и Лагранжа в прикладной теории гироскопов читатель может найти в [5] и [22].
Приближенная теория гироскопа
Приближенная теория гироскопа основана на допущении, что ротор имеет абсолютную угловую скорость вращения, направленную по его оси. Строго говоря, ротор участвует в сложном движении и его угловая ско
рость имеет составляющую, перпендикулярную оси вращения. Однако в реальных приборах ее величина составляет сотые доли процента от осевой составляющей, Ниже, на примере симметричного гироскопа, покажем
вытекающие из такого допущения следствия. Представим себе, что начальная угловая скорость собственного вращения гироскопа уо весьма велика по
Во. Это означает, что в на*Во. Это означает, что в на*функции (приближенная теория).функции (приближенная теория).сравнению с величинами а0> чальный момент мгновенная угловая скорость волчка направлена почти по его оси симметрии. Такой волчок будем называть тяжелым гироскопом. Когда центр тяжести волчка совпадает с неподвижной точкой, гироскоп называется астатическим.
Во. Это означает, что в на*
Во. Это означает, что в на*
функции (приближенная теория).
функции (приближенная теория).
Выясним характер дви-
жения оси гироскопа.
А =А =яяA1 一4&0 siM 仇 + 〃 cos %_A1 一4&0 siM 仇 + 〃 cos %_Прежде всего необходимо построить энергетическую функцию f(z), а для этого определим Ан":
А =
А =
я
я
A1 一4&0 siM 仇 + 〃 cos %_
A1 一4&0 siM 仇 + 〃 cos %_
~Н~
=cos Во + 与 &0 Sin2 Ро = 2о + -у а0 sin2 仇, Л — С (d0 cos Ро + Yo) = С#о (1 + 芻 cos %)・
Пренебрегая в правых частях величинами а0/у0 по сравнению с единицей, можно положить Н Су0, Д ^ cos р0 или А ^ 2о. Будем, кроме того, считать, что величина 卩= 24Gq方-2 также мала по сравнению с единицей.
Теперь энергетическая функция примет вид
军字.(1.64)
Интеграл энергии (1.53) можно преобразовать:
E = f(%) + %B；= :；:zg +今瞅(1.65)
Таким образом, £ < 1.
Характер энергетической функции покатан на рис. 1.15. В точке 2=备 происходит касание кривой с осью абсцисс. Очевидно, что при малом значении £ интервал нутационных колебаний (2Ь г2) также мал и содержит точку г0.
Другими словами, гироскоп должен совершать весьма малые по размаху нутационные колебания вокруг некоторого установившегося движения (прецессии) с центром р=0о.
Определим теперь угловую скорость медленной прецессии. Прежде всего заметим, что "о г+ = z(), и воспользуемся формулой (L60) предыдущего параграфа 説一(a - e).
Учитывая малость ц, представим радикал в виде 匕 一 2卩з(4 一 e)『q 1 一 卩人(4 - С) 4〕
Отсюда . 財 / 2AGa \
Таким образом, гироскоп участвует в прецессионном движении вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью
Ось фигуры гироскопа описывает конус в инерциальном пространстве.
Для астатического гироскопа а—0 и его угловая скорость прецессии равна нулю. Ось фигуры гироскопа остается неподвижной в инерциальном пространстве. В конце предыдущего параграфа было доказано строго, что такое перманентное вращение возможно лишь при равенстве нулю начальных угловых скоростей а0 и р0, т. е. допустимо лишь начальное вращение вокруг оси симметрии гироскопа.
Малое возмущение оси фигуры в инерциальном пространстве может лишь привести к небольшим дрожаниям —нутациям астатического гироскопа относительно некоторого неподвижного в пространстве яаправления.
ценные практические этого замечательногоценные практические этого замечательногоТеперь легко понять, какие приложения можно извлечь из
ценные практические этого замечательного
ценные практические этого замечательного
свойства астатического гироскопа. Если бы удалось техническими средствами получить три неизменных и некомпланарных направления в инерциальном пространстве, то была бы решена задача об угловой ориентации любого движущегося объекта——самолета, космического аппарата, корабля, подводной лодки и т. п. Решалась бы точно так же задача стабилизации этих аппаратов в пространстве, а если иметь на борту еще и измерители составляющих ускорений по трем выбранным направлениям (ньютонометры), то можно без труда вычислить и местоположение аппарата в пространстве. Весь этот комплекс задач решает в настоящее время теория инерциальной навигации ——новая наука, получившая особенно бурное развитие в век покорения космического пространства.
В заключение заметим, что основной результат приближенной теории (1.66) может быть получен непосредственно из теоремы моментов
если только допустить, что Ко ^ Сш.
При со%《 g и со?《 o)z такое равенство справедливо. Тогда имея в виду, что М)=а >< G — вектор, лежащий в горизонтальной плоскости и перпендикулярный оси симметрии, а производная ~^^ имеет смысл скорости конца вектора Ко (теорема Резаля), можно записать
uk = aG sin^.
С другой стороны, конец вектора Ко описывает окружность с центром на вертикали и с радиусом
Р^ = Ко sin 6 = Со sin В・
Отсюда можно определить угловую скорость прецессии
dp^ = aG sin р, а =黑"=~^~ •
В элементарной теории гироскопических явлений (том II, § 15.1) теорема Резаля позволяет получить и целый ряд других результатов.
Устойчивость установившихся движений твердого тела с одной неподвижной точкой
Для Случая Эйлера непосредственно из геометрической интерпретации движения по Пуансо следует, что существуют только три взаимных положения эллипсоида инерции и плоскости Пуансо (рис. 1.9), при которых возможно перманентное вращение. Им отвечают такие начальные условия, при которых вектор Ко (напомним, что он всегда перпендикулярен плоскости П) направлен по одной из главных осей эллипсоида инерции. При таких положениях полодии и герполодии вырождаются в точки и возможно вращение тела вокруг неподвижной оси.
Этот же факт вытекает непосредственно из уравнений Эйлера. Действительно, будем искать перманентные вращения, т. е. такие движения, при которых угловая скорость постоянна. Тогда производные от ее проекций на оси, связанные с телом, равны нулю и, подставляя 6%= 6^=(Ь2=0 в (1.28), получим
⑴收纟=0, (ог(ох = 0, ^х^у — °・
Следовательно, две из трех проекций угловой скорости на главные оси инерции равны нулю. Таким образом, перманентные вращения возможны только вокруг главных осей инерции.
Разумеется, сказанное относится только к трехосным эллипсоидам инерции. При равенстве между собой двух главных моментов инерции возможны и другие перманентные вращения.
Остается выяснить, являются ли эти движения устойчивыми.
Предположим, что тело вращается вокруг оси Oz с угловой скоростью o)z=s・ Тогда для невозмущенного движения Зл；=й)и=0, coz=co. Составим уравнения возмущенного движения, полагая
6X — СО], (0g -^ G)2> S% ==① ~f~ 83，
Здесь со], о)2, 8з — малые возмущения. Уравнения Эйлера примут вид
4® + (С — В) со2 3 + д) = о,
В&2 + (Л — С) (fi) + G>3)0)! = 0,(1.67)
Сбз + (В — 4) 3仲2 ^^ 0・
После отбрасывания малых величин второго порядка получим
厶斫 + (С — В)(оо2 ― °，
В^2 + (А-С)^ = 0,(1.68)
С©3=0.」
Характеристический определитель этой линейной системы уравнений имеет вид
ЛЛ
(С — В)(о
0
D(M==
(Л — С) (D
вх
0
=
0
0
а
=С£ [48九2 —(力-© £ - в)喇.(1.69)
Определим его корни
м =0, %2,з = ± 3]/"("二'，^7 — 8)•(1.70)
Теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению [16] позволяют установить либо факт асимптотической устойчивости, либо факт неустойчивости системы.
В том случае, когда хотя бы один из корней харак* теристичсского уравнения имеет положительную вещественную часть, установившееся движение обязательно неустойчиво.
Следовательно, при (Д — С) (С — В) > 0 вращение вокруг оси Oz неустойчиво.
Из неравенства вытекает
Л>С, С>В, 2) А<С, С<В. (1.71)
Таким образом, В < С < Д либо В〉С〉4, т. е, момент инерции относительно оси Oz является средним из трех главных моментов инерции.
Полученный результат можно пояснить геометрически (рис. 1.16). Полодии в окрестностях малой и большой осей эллипсоида инерции близки к эллипсам с центрами в точках а и 6. В окрестности же точки с они удаляются от средней оси и поэтому при сколь угодно малом начальном возмущении вектора угловой скорости @ этот вектор удаляется на конечный угол от своего
невозмущеиного направления Ос
Остается доказать, что вращения вокруг осей Оа и ОЬ устойчивы.
Заметим, что поскольку один из корней характеристического уравнения (1.70) нулевой, то судить об устойчивости вращения твердого тела по первому приближению невозможно.
Здесь приходится воспользоваться вторым методом Ляпунова [16].
на Прежде всего отметим, что равномерное вра
щение вокруг оси Oz можно определить при помощи углов Эйлера следующим образом:
а -(0 == const, 0三0, Y三0.
Легко видеть, что при этом динамические уравнения Эйлера (1.28) и кинематические уравнения (1.29) удовлетворяются тождественно.
Доказательство устойчивости вращения вокруг оси Oz сводится к доказательству устойчивости движения по углу В, так как только этот угол определяет отклонение главной оси инерции, вокруг которой происходит перманентное вращение от неподвижной оси в пространстве.
Используем первые интегралы движения (1.41) и (1.44). Интеграл энергии дает
尸]=力* + 8% + С ® + %)2 ==2Л. (1.72)
Интеграл момента количеств движения имеет вид
G =屋叫 + в2®| + С2((о + ®з)2 = *(1.73)
Составим разность
р = С尸[—尸2 = 4 (С — 4)叫 + В (С — В)磅(1.74)
Вспомним кинематические формулы (1,29)
G)i = &sinpsiiiY + BcosY，]« 75)
со2 = «sinPcosy — psinу.丿
Тогда
V = Л (С — 4)(dsinpsiny + pcos у)2 +
+ 3(С — В) (a sinpcos у — psin у)2. (1.76)
Будем рассматривать V как функцию р и р. Тогда функция V(p, В) является по этим переменным знакоопределенной в окрестности р=р=О, &*0, т. е. всюду при В и В，одновременно не обращающихся в нуль, она имеет один и тот же знак, если только выполняются неравенства
1)С>4 С>В(1.77)
или
С<4, С<В.(1.78)
В самом деле, V(0, 0)=0, а при р ир, отличных от нуля, и & #= 0 имеем V(p, ₽) > 0 в случае, когда момент инерции относительно оси Oz наибольший, и V(p, В) V0, во втором случае, когда этот момент инерции наименьший.
Теперь воспользуемся первой теоремой Ляпунова об устойчивости движения [16].
Напомним ее содержание.
Если существует некоторая знакоопределенная функция V(p, В), полная производная от которой по времени 6 силу дифференциальных уравнений движения есть функция знакопостоянная, знака противоположного с V или тождественно обращается в нуль, то невозмущеннос движение устойчиво.
Из (1.74) и (1.67) следует
•^^~ = 24 (С — Л)晒6] + 2В (С — В) со?山 2 =
=—2 (С — А) (С 一 В) дед?(① + %) +
+ 2 (С 一 Д) (С — В)(0[б)2 (① + ①з) — 0.
Следовательно, условия теоремы выполнены и перманентные вращения вокруг большой и малой полуосей эллипсоида инерции устойчивы по р, р, если а =# 0.
Так же как и в случае неустойчивости, полученный результат может быть проиллюстрирован геометрически. Небольшое возмущение вращательного движения вокруг осей Оа или ОЬ (см. рис. 1.16) вызывает лишь передвижение мгновенной оси вращения по одной из полодий, окружающих точки 〃 или 6. Эти полодии не могут выходить за пределы малых окрестностей полуосей эллипсоида и поэтому невозмущенные вращения устойчивы.
Таким образом, в принципе возможно создание несимметричного гироскопа. Необходимо лишь обеспечить вращение такого тела вокруг большой или малой оси эллипсоида инерции. Однако создание несимметричных гироскопов связано с известными техническими и технологическими трудностями и поэтому такие гироскопы распространения не получили ).
Перейдем теперь к исследованию устойчивости установившихся движений в случае Лагранжа — Пуассона.
Было уже выяснено (§ 1.8), что регулярные прецессии р = const, а = р= 0 отвечают тем точкам энергетической кривой у = f (cos р), в которых 崙=0・ Для того чтобы регулярная прецессия при р = р+ была устойчивой по й, и р, необходимо и достаточно, чтобы для этого значения угла р функция f(р) имела минимум. Сначала положим, что начальные возмущения выбраны так, что А не изменяется. Напомним, что в этом случае в окрестности 0 = 0+ (рис. 1.14) все возмущенные движения представляют собой псевдорегулярные прецессии с нутационными колебаниями малой амплитуды. Следова* тельно, 6 изменяется в небольших пределах Pi ^ р ^ 限
Величины Pi и р2 можно найти с помощью рис. 1.13 по точкам пересечения энергетической кривой у = f(z) и прямой у = Е. Величина Е связана с начальными условиями соотношением, вытекающим из (1.53):
Е =备爲+ f(cos%),
и поэтому разность Е — f (cos ₽+) мала, если только Во и |Ро — ₽+| малы. Отсюда и вытекает близость Pi и рг к 0+・ При более общих начальных возмущениях получает малое приращение Д, что приведет лишь к малой деформации кривой y = f(2) и малому смещению точки минимума.
Для того чтобы убедиться, что все регулярные прецессии при р+ =# 0 и В+ =И= л устойчивы, остается вычислить вторую производную и доказать, что она положительна при § = р+, т. е. функция f имеет в этой точке минимум.
Вспоминая, что
f(N)= ^E^ + 卩2，(L79)
последовательно вычисляем
务= — si 叫卜^l + 2z+^p“(L80)
ИЛИ
畜=-sinp+ (2(0^ — 2o + |i),(1.81)
где
A 一n+
удовлетворяет уравнению
2国2十一2s +卩=0.
Следовательно,
%=2 siM 0+ (2①任二^上]>0.(1.82)
卽[ I _2+ J
Таким образом, все регулярные прецессии устойчивы по &, Р， р. Разумеется, отсюда вовсе не следует устойчивость рассматриваемых движений по ос. Более того, мож-
но показать, что по углу поворота а, характеризующему изменение направления оси симметрии волчка в плоскости горизонта, имеет место в общем случае неустойчивость (азимутальная неустойчивость). При исследовании возмущенного движения гироскопа в кардановом подвесе его азимутальная неустойчивость будет оценена. Для волчка можно получить формулу средней угловой скорости ухода как для частного случая гироскопа в
.zкардановом подвесе при массе колец,
равной нулю.
f
Перейдем к выяснению условий
устойчивости волчка, вращающегося вокруг вертикальной оси («спящего» волчка). Для него закон движения имеет вид
а = 0, рмО, § = £2・(1.83)
Необходимо задать расстояние а а'центра тяжести от неподвижной точки.
/На рис. 1.17 отрезок ОС = а отложен
②вверх. При 〃之 0 центр тяжести на-
Рис*1в^чс^ПЯЩИЙ>ходится снизу от неподвижной точки.
”•Следуя общей методике, изложен
ной выше для р =/= 0, найдем энергетическую функ< цию f (z).
Из (1.56), учитывая (1.83), получим
" = CQ, А=1.(1.84)
Поэтому
f(z) = 4"^ +卩z(^ = COSр,卩=-2驚丄)(1.85)
и, следовательно,
衆=—sin 巾一 TlWy ]・(L86)
Отсюда ясно, что р = 0 является экстремальной точкой для функции f (cos р). Остается найти условие минимума энергетической функции.
Вычислим ее вторую производную
各=一e°S0卜_7r^]一^р卜_7rllf「(1.87)
Таким образом, при 0 = 0
(1.88)(1.88)d2f 1
(1.88)
(1.88)
而=万一氏
При положительности второй производной имеет место минимум и волчок устойчив, при отрицательном значении производной ось волчка становится неустойчи
вой. Поэтому необходимым и достаточным условием устойчивости «спящего» волчка является выполнение неравенства
祭■一卩 >0 (1・89)
или, принимая во внимание значение ц,
咨 vj・ (1.90)
Если 〃 V 0, т. е. когда центр тяжести расположен ниже неподвижной точки, всегда имеет место устойчивость.
Результат этот вполне естест-
Рис. 1.18. К примеру 1.Рис. 1.18. К примеру 1.вен, он согласуется с привычным
Рис. 1.18. К примеру 1.
Рис. 1.18. К примеру 1.
представлением об устойчивости равновесия тела, подвешенного в одной точке.
При а > 0 из (1.90)При а > 0 из (1.90)и (1.84) получими (1.84) получимН2>4АСа,倒>2/筈.(1.91)
При а > 0 из (1.90)
При а > 0 из (1.90)
и (1.84) получим
и (1.84) получим
◎кр = 2]/ 醬◎кр = 2]/ 醬(1.92)(1.92)Итак, для каждого смещения центра тяжести «а》 вверх от неподвижной точки можно найти критическое значение угловой скорости вращения волчка
◎кр = 2]/ 醬
◎кр = 2]/ 醬
(1.92)
(1.92)
такое, что при больших угловых скоростях вращения верхнее положение равновесия становится устойчивым.
Пример 1. Найти критическую угловую скорость вращения диска радиуса г = 20 см, укрепленного в центре на вертикальном стержне длины / = 20 см. Другой конец стержня опирается на неподвижный шаровой шарнир. Стержень считать невесомым, а диск считать однородным (рис, 1.18).
Решение. Проведем оси координат, как изображено на рисунке. Моменты инерции диска относительно осей Oz и Ох легко вычисляются (том II, гл. XII):
Рис. 1.19. К примеру 2.Рис. 1.19. К примеру 2.C0S °《“4 一 С) Ga ・C0S °《“4 一 С) Ga ・(1.94)(1.94)
Рис. 1.19. К примеру 2.
Рис. 1.19. К примеру 2.
C0S °《“4 一 С) Ga ・
C0S °《“4 一 С) Ga ・
(1.94)
(1.94)
г л Wf2 t ,9 m(川 + 4/2)% == 4 = 丁 + 欣=—Г-•
Тогда из формулы (1.92) следует
%Р н^/ (1+4 勺■•
При г == / == 20 см
◎кр = -^- М5 • 980 • 20 = М980 = 31,3 се&т,
что соответствует приблизительно пяти оборотам в секунду.
Пример 2. Угловая скорсть собственного вращения волчка задана % = Q. Определить, при каких углах наклона оси волчка к
вертикали возможна регулярная пре* цессия. Найти угловую скорость прецессии для волчка с размерами, указанными в предыдущем примере для заданного угла 0 и при минимальной угловой скорости собственного вращения Q
Решение. Волчок в наклон* ном положении представлен на рис. 1.19.
Из условия существования регулярной прецессии (1.61) следует
С2^2> 4 (Л-С) Ga cos р. (1.93
Отсюда для угла 0 при а(4 —С)> 0 получаем неравенство
Следовательно, прецессия возможна для углов В достаточно больших
。、C2Q2
QarccosGF而.
Если же C2R2》4(4 _ c)Ga, то прецессия возможна при любых углах 0.
Таким образом, минимальная потребная угловая скорость собственного вращения Qmin связана с углом р соотношением
с2 4(4 — С) Ga cos Вс2 4(4 — С) Ga cos В(1.95)(1.95)
с2 4(4 — С) Ga cos В
с2 4(4 — С) Ga cos В
(1.95)
(1.95)
Для волчка, рассмотренного в предыдущей задаче,
Z -e=警 + 用2一 嚟=m卜 一 ?), a = /. (1.96)
При I V 厂/2 неравенство (1.61) выполняется всегда. Будем поэтому считать, что / > 厂/2. Подставляя значения (1.96) в уравнение (1.95), получим
%in = 4(4%_l)$gcosB・
Отсюда следует при / = г = 20 см
smin = 2匕。二型:萨。，cos В _ 24>2 Yeos В сек-1.
График функции Qmin(cos р) представлен на рис. 1.20.
Перейдем теперь к определению угловой скорости прецессии гироскопа. Для этого воспользуемся равенством (1.60), из которого следует
.—CQ 土 ]尸。20 — 4mga (Д —- C) cos p
2 cos 卩(А —С)'
Ограничимся определением а при Q = Qmin. Тогда подкоренное выражение в последней формуле равно нулю и, следовательно, используя равенство (1.95), получим
& = CRmin=М aG° — 2(4-C)cosB — M(4 — C)co； •
Для гироскопа принятой геометрической формы
@ ；2唁
°V(4/2 —戸)COS p *
После подстановки размеров получим
,8,08
График этой функции изображен на рис. 1.21. Из графика следует, что по мере приближения угла 0 к 冗/2 угловая скорость прецессии должна неограниченно возрастать. Отсюда, конечно, не следует, кто прецессия при горизонтальном направлении оси ОС невозможна.
В самом деле, пусть Q > Qmin, тогда для В, близких к л/2, справедливо разложение
у С脸2 一 4峻(4 一 с) са 卩=CQ /1 一 ^^ (A - C) cos p *
on Г1 2mga(4 —C)cosR 1 ^j-
Следовательно,
2(A-C) cos₽
и при р = 0 существует прецессия с конечной угловой скоростью
аа—mga—CQf—mga—CQf
а
а
—mga
—CQf
—mga
—CQf
Угловая скорость такой прецессии убывает по мере увеличения угло* вой скорости собственного вращения гироскопа Q.
Рис. 1,20, График функции Qmjn (3). Рис, 1.21. Зависимость угловой скорости прецессии от угла наклона оси гироРис. 1,20, График функции Qmjn (3). Рис, 1.21. Зависимость угловой скорости прецессии от угла наклона оси гироскопа.скопа.
Рис. 1,20, График функции Qmjn (3). Рис, 1.21. Зависимость угловой скорости прецессии от угла наклона оси гиро
Рис. 1,20, График функции Qmjn (3). Рис, 1.21. Зависимость угловой скорости прецессии от угла наклона оси гиро
скопа.
скопа.
Отметим еще один любопытный факт. Сумма угловых скоростей Qmin и а0 при р — 0 оказалась большей, чем Акр, найденное в предыдущей задаче: 24,2 + 8,08 > 31,3. Дело в том, что приближаться к положению Р == 0 можно с различными угловыми скоростями собственного вращения Q： и в зависимости от Q меняется а. Так что минимум суммы а + & при 8 = ° достигается при значении Q > > Qmin и он равен Ркр, вычисляемому по формуле (1.92).
§ 1Л1. Гироскопический момент. Приложения
Гироскопические эффекты обнаруживаются часто при исследовании взаимодействий между быстро вращающимися маховиками и подшипниками, в которых они установлены. Роторы электродвигателей, крыльчатки газовых турбин, винты самолетов, колеса различных экипажей представляют собой гироскопы, которые в отличие от свободных гироскопов имеют в относительном движении только одну степень свободы. Например, вал
с маховиком, установленный на корабле (рис. 1.22), может относительно корабля только вращаться. Его относительная угловая скорость Q направлена по прямой, соединяющей центры подшипников А и В. Абсолютная угловая скорость такого тела равна сумме угловых скоростей относительного и переносного движений. Если корабль совершает циркуляцию с угловой скоростью 叫
Рис. 1.22. Гироскопические реакции, возникающие при повороте маховика.
то абсолютная угловая скорость маховика определится из равенства
〃 =(о + Q.
Применяя теорему моментов относительно центра масс (рис. 1.22), получим
-^- = Мс-(1.97)
Если считать, что С》з, то можно пользоваться элементарной теорией гироскопа и положить
Кс—卢，(1.98)
т. е. считать, что момент количества движения направлен по оси вращения.
Уравнение (1.97) в форме теоремы Рсзаля имеет вид
Uk—Mcf
где uk — скорость конца вектора (1.98).
Легко видеть, что
〃启=о X Кс = 8 X /“Q・(1・99)
Отсюда следует, на тело, равенОтсюда следует, на тело, равенчто момент внешних сил, действующих
Отсюда следует, на тело, равен
Отсюда следует, на тело, равен
< =4 («XQ).
Следовательно, со стороны гироскопа на подшипники действует противоположный момент, он называется гн= роскопическим моментом
展= /〃QX叫展= /〃QX叫(1.100)(1.100)
展= /〃QX叫
展= /〃QX叫
(1.100)
(1.100)
Вектор Мс направлен, как это следует из (1.100), по оси Сх.
Рис. 1.23. Гироскопические реакции, действующие со стороны велосипедного колеса.Рис. 1.23. Гироскопические реакции, действующие со стороны велосипедного колеса.
Рис. 1.23. Гироскопические реакции, действующие со стороны велосипедного колеса.
Рис. 1.23. Гироскопические реакции, действующие со стороны велосипедного колеса.
Гироскопический момент действует на платформу (в данном случае на корабль) та&, что он стремится совместить ось собственного вращения гироскопа с осью вынужденной прецессии (правило Грюэ ——Жуковского).
Таким образом, вал АВ будет прижиматься кверху в подшипнике В и оказывать давление на нижнюю часть подшипника А. На подшипники будут действовать реакции Ra и Rb・ При значительных величинах угловой скорости вынужденной прецессии со и собственного вращения Q, а также больших размерах маховика (большое /у) эти силы могут разрушить подшипник, освободив быстро вращающийся маховик от связей.
Понятие гироскопического момента иногда связывают с главным моментом сил инерции. Действительно,
уравнение кинетостатики для моментов сил имеет вид
M^ + M^ = Ot
где под Мс1 понимается главный момент сил инерции (том II, § 16.1). Его можно вычислить по формуле
или М& =— 〃尼• Отсюда следует, что векторы гироскопического момента 展 и главного момента сил инерции равны между собой.
Перейдем к иллюстрации действия гироскопического момента на других примерах.
Пример 1. Быстро вращающееся велосипедное колесо (рис. 1.23). Сильно раскрученное велосипедное колесо, закрепленное на горизонтальной оси АВ, легко удержать в руках. Однако стоит начать вращать ось в горизонтальной плоскости с небольшой угловой скоростью (о, как появ*«
ляется гироскопический момент,彳〜 产 q
приложенный к рукам, стремя-纟
щийся вырвать вал из рук. Он二—/
реализуется при помощи сил RaА
н R& приложенных к кистям рук. /*“8
Требуется приложить ощутимое ( физическое усилие, чтобы удержать колесо.
Пример 2. Самолет с правым винтом совершает левый вираж (рис. 1.24). В этом случае гироско-
Рис. 1.24. Гироскопический момент,действующий при вираже самолетасо стороны винта.Рис. 1.24. Гироскопический момент,действующий при вираже самолетасо стороны винта.пический момент передается через
Рис. 1.24. Гироскопический момент,действующий при вираже самолетасо стороны винта.
Рис. 1.24. Гироскопический момент,действующий при вираже самолетасо стороны винта.
подшипники А н В на самолет и действует на него, стремясь совместить ось собственного вращения с осью вынужденной прецессии <о. Самолет стремится кабрировать. Летчик должен, как говорят «дать ручку от себя》,т. е. при помощи штурвала опустить вниз руль высоты и этим парировать аэродинамическими силами возникший гироскопический момент.
Гироскопический момент можно в данном случае подсчитать по формуле
М「= CQs.
Пусть, например, винт делает 1200 оборотов в минуту, угловая скорость виража со = 0,05 се/с-1, осевой момент инерции винта С =10 кем • се№, тогда
АГ = &L噜j2i . о,о5 == 63 кгм.
Пример 3. Вагон однорельсовой железной дороги с вертикальным гироскопом ).
Гироскоп может быть использован в качестве непосредственного стабилизатора платформы, на которой он установлен. Известны различные успокоители качки корабля, стабилизаторы вагонов одно- Орельсовой железной дороги. Рассмот-
产рим принцип работы таких стабили
Рис. 1.25. К объяснению стабилизации вагона однорельсовой железной дороги при помощи гироскопа.Рис. 1.25. К объяснению стабилизации вагона однорельсовой железной дороги при помощи гироскопа.заторов на примере стабилизатора вагона однорельсовой железной дороги (рис. 1.25). В цапфах Л и В вагона укреплена рама г. Она может свободно поворачиваться вокруг оси АВ. В раме установлен гироскоп g, быстро вращающийся вокруг вертикальной оси CD с угловой скоростью Q, его осевой момент инерции С.
Рис. 1.25. К объяснению стабилизации вагона однорельсовой железной дороги при помощи гироскопа.
Рис. 1.25. К объяснению стабилизации вагона однорельсовой железной дороги при помощи гироскопа.
Предположим, что вагон кренит^ ся вправо. Тогда вектор угловой скорости ф направлен перпендикулярно плоскости чертежа от читателя, по рельсу О. Возникает гироскопический момент
М = С%М = С%стремящийся повернуть раму вместе с гироскопом вокруг оси АВ. Вектор угловой скорости этого вращения со? направлен влево по оси АВ. возникновение такой угловой скорости приводит к появлению вторичного гироскопического момента
М = С%
М = С%
2И 门=CQ82,
реализуемого силами реакции Ra и Rb (рис. 1.25). Они стремятся повернуть вагон относительно точки О в направлении, противоположном первоначальному наклону ф. Проект подобной железной дороги был предложен П. П. Шиловским. («Проект однорельсовой гироскопической железной дороги Петроград — Гатчина системы П. П. Шиловского», Петроград, 1922 г.).
Однако осуществление подобных проектов связано с известными трудностями. Наиболее существенные из них следующие: а) незатухающие колебания вагона около вертикали, которые отрицательно сказываются на пассажирах, и б) необходимость сравнительно длинных переходных участков от прямых отрезков пути к круговым и обратно. Последнее обстоятельство связано с тем, что переход на круговых участках в естественное наклонное положение происходит довольно медленно, а это также создает неудобства для пассажиров.
Система, аналогичная рассмотренной выше, была предложена также для успокоения бортовой качки корабля (успокоитель Шлмка).
Пример 4. Гироскоп — указатель меридиана.
Гироскоп с горизонтальной осью вращения АВ (рис. 1.26,8), укрепленный в свою очередь в рамке OiABf свободно вращающейся вокруг вертикальной, оси On, может в принципе служить компасом
(гироскоп Фуко первого рода). Ось фигуры 4В, как мы сейчас пока' жем, должна совершать незатухающие колебания около линии север — юг (ркс. 1.26,6), если только пренебречь трением в поднят* нике 01.
Сначала установим это любопытное свойство, пользуясь элементарной теорией гироскопов.
Предположим, что ось фигуры отклонена от направления NS на угол д в западном направлении.
Гироскоп участвует в сложном движении. Относительно рамки он вращается с угловой скоростью Q. Переносное движение состоит из вращения Земли с угловой скоростью V (рис. 1.26, а) и вращения рамки с угловой скоростью 8k (儿一орт оси 。之)
d=u+8 比(1.101)
Разложим угловую скорость U на две составляющие 恥 (направлена по вертикали) и @2 (направлена на север), причем o)i = ~ U sin 屮，со? = U cos (р, где 屮一широта места. В проекциях на оси 0%, Оу, Oz, связанные с кольцом (рис. 1.26,6), получим
°4 = G)2COS， (0； = —С)2 Sin 6,^2 = (»!+ б. (1.102)
Гироскопические моменты от составляющих угловой скорости пре* цессии ®^ по осям Оу и Oz соответственно равны
М2 as—CR ① 2 sin 6,М« = —A®i + 8)Q
Здесь С — осевой и А ——экваториальный моменты инерции маховика.
Первый момент называется направляющим, он реализуется парой, лежащей в горизонтальной плоскости, которая стремится по« вернуть кольцо в сторону, противоположную рассогласованию 6, т. е. до совмещения вектора Q с линией север ——юг.
Второй момент реализуется парой, лежащей в плоскости осей Ох и Oz, и воспринимается подшипниками А к В, он уравновешивается реакциями подпятника. Направляющий момент Mz равен нулю лишь при совпадении оси фигуры с линией NS, т. е. когда 6 = 0. Таким образом, ось фигуры при 0 哪 0 стремится занять положение NS, проходит это положение и затем опять под действием момента, изменившего свое направление на противоположное, вновь пересекает в обратном направлении меридиан. Возникают незату« хающие колебания относительно плоскости меридиана.
Перейдем к определению периода этих колебаний. Для этого необходимо вывести уравнения движения гироскопа.
В системе координат Oxyz теорема об изменении момента количества движения дает
+ d X 凡=^с-(1-103)
Kz = /(®+ 8),Kz = /(®+ 8),Из формул (1.102) следует, что
Kz = /(®+ 8),
Kz = /(®+ 8),
К% — (g)2 cos d + Q) С, Ky = •—Лсо2 sin 6,
(1.104)(1.104)®e X & ^ ®2 cos d —<»2 sin 5 СО] + 8 К% Ку %
(1.104)
(1.104)
Заметим, что момент сил, приложенных к гироскопу в точках Л и В, в предположении отсутствия сопротивления в подшипниках ротора и подпятника, а также пренебрегая массой кольца, имеет ироекции:
Л1^ = 0, Му*0, М2 = 0. (1.105)
Используя формулы (1.104) и (1.105), получим из уравнения моментов (1.103) следующие соотношения:
£^ =0, о? cos 6 + Q =夕=const,
Лд + Cv(o2 sin 6 —百礎sin 6 cos 6 = 0.
Уравнение моментов в проекции на ось Оу не выписано, оно может служить для определения моментов сил реакции Му, действующих на рамку.
Пренебрегая малой величиной ①^ по сравнению с со?% получим
屜 + Cv①2 • sin 6 = 0.
(1.106)
Если в начальный момент угол 6 к 6 были малы, то можш доложить sin 6 ^ 6 и из уравнения (1.106) следует
Лд + Cvg)26 = Q.
Вспомним, что
о>2 = U COS ф.
Отсюда получаем, полагая v = Q + 电 cos 6 ^ Q,
ч , CQU cos ф л ло Нд~о = 0.
Таким образом, для угла 6 будем иметь
d^acos(У 券々磔且 / +，•(1.107)
Здесь айв определяются из начальных условий. В частности, при 6(0) = до, 6(0) = 0 имеем а = 6о, е = 0.
Из решения (1.107) видно, что ось фигуры гироскопа совершает гармонические колебания ~ относительно оси NS с периодом
Т = 2“/c/os(p・
Заметим, что вблизи полюса (①弋子) период колебаний Т становится очень большим и поэтому практическое использование та- кого гирокомпаса затруднительно. Если считать гироскоп выполнен- ным в виде однородного диска, у которого осевой и экваториальные моменты инерции соответственно равны
и, следовательно, 4：С = ^>, то
一2QU cos ф *一2QU cos ф *(1.108)(1.108)
一2QU cos ф *
一2QU cos ф *
(1.108)
(1.108)
Пример 5. Вычислить период собственных колебаний гирокомпаса при Q = 60 000 об/мин = 2000л се/с~1, на широте 中=45°, Д : С = 1 :2. Используя формулу (1.108), получим
Т у 7,8 сек.
Измеряя крайние положения оси фигуры гироскопа (б =仅, 6 = —а), можно определить направление меридиана. Заметим, что при учете сопротивления, неизбежно оказываемого вращению гироскопа относительно оси г, колебания становятся затухающими, и ось фигуры гироскопа устанавливается в конце концов по направлению NS или вблизи него (например, при сухом трении точного совпадения
не произойдет). Принцип использования гироскопа с двумя степенями свободы в качестве гирокомпаса был впервые предложен Фуко (1852 г.). Однако реализация этого принципа оказалась весьма затруднительной. Дело в том, что существовавшие в то время гироскопы имели малую скорость собственного вращения и довольно большой момент сил сухого трения. Это обстоятельство не позволяло осуществить построение гирокомпаса по принципу, предложенному Фуко. В дальнейшем познакомимся н с другим способом создания направляющего момента при помощи гироскопа в карда- новом подвесе.
Рис. 1.27. Определение скоростной девиации гироскопического компаса.Рис. 1.27. Определение скоростной девиации гироскопического компаса.
Рис. 1.27. Определение скоростной девиации гироскопического компаса.
Рис. 1.27. Определение скоростной девиации гироскопического компаса.
Гирокомпас Фуко, построенный по схеме гироскопа с двумя степенями свободы, или； как его называют, гироскоп Фуко первого рода, обладает рядом существенных недостатков. Малый период колебаний и большая чувствительность к маневру основания, особенно к качке, делает практически невозможным использование его на корабле, самолете или другом маневрирующем объекте. Направление на север перестает для него быть равновесным. При наклоне основания также возникают погрешности в показаниях. Практическое применение гирокомпасы Фуко первого рода получили только при использовании их на неподвижном основании. Таковы некоторые маркшейдерские и геодезические гирокомпасы.
Рассмотрим теперь, какую ошибку вносит равномерное движение основания, например, корабля. Естественно, что при движении корабля абсолютная угловая скорость палубы уже не будет равна U — угловой скорости суточного вращения Земли.
Предположим, что палуба корабля все время остается горизонтальной. Скорость корабля можно разложить на две составляющие— восточную и северную 0е, vn (рис. 1.27, а). Северной соответствует дополнительная угловая скорость вращения основания вокруг оси Е (рис. 1.27,6), направленной на запад:
где R — радиус Земли, (р — широта места. Восточная составляющая скорости Ue увеличивает угловую скорость вращения основания во-
круг оси мира на величину
Здесь X — долгота места. Полная угловая скорость вращения основания с учетом вращения Земли будет
% = U +恤+%4。.
Спроектируем Ua на горизонтальную плоскость и найдем ее проекции на оси 己 н R (рис. 1.27,6)
u砧=唯u督，a^ =仅十五柒6卜8小(1.109)
Отсюда следует, что тангенс угла между проекцией полной угловой скорости на горизонтальную плоскость и направлением на север вычисляется по формуле
tga =tga =Ua^ 一 URcos(p + %'Ua^ 一 URcos(p + %'
tga =
tga =
Ua^ 一 URcos(p + %'
Ua^ 一 URcos(p + %'
Этот угол определяет так называемую курсовую или скоростную девиацию гироскопического компаса. Для ее исключения необходимо иметь на борту корабля лаг — измеритель скорости. Отметим, что скоростная погрешность присуща и более совершенным гирокомпасам, построенным на базе гироскопа с тремя степенями свободы.
Здесь мы не касаемся других ошибок, связанных с трением в осях повдеса, колебаниями основания, инерционностью подвеса и т. п.
Пример 6. Вычислить максимальную скоростную девиацию гирокомпаса при скорости корабля 60 км/час на широте ф = 60°.
Для вычисления максимальной ошибки положим и& = 0, Un = =60 км/час：
= 4,15°.= 4,15°._60
= 4,15°.
= 4,15°.
g а = 0^6 .1600 - 0,5 *
ГЛАВА 2
ГИРОСКОП В КАРДАНОВОМ ПОДВЕСЕ
L Кинематика карданова подвеса
Рассмотрим симметричный гироскоп — вращающееся вокруг оси симметрии твердое тело, закрепленное в одной точке, для которой эллипсоид инерции представляет собой эллипсоид вращения. Центр масс тела лежит на оси симметрии (оси фигуры) эллипсоида. Как было указано ранее (§ 1.8), гироскоп называется астатическим, если его центр масс совпадает с неподвижной точкой. Астатический гироскоп с тремя степенями свободы часто называют свободным гироскопом.
Ось фигуры астатического гироскопа сохраняет неподвижное направление в инерциальном пространстве. Точнее, ось симметрии гироскопа остается все время неподвижной, если на астатический гироскоп не действуют никакие другие силы, кроме однородных сил тяжести и в начальный момент эта ось не была подвергнута возмущению.
При аналогичных условиях ось симметрии тяжелого гироскопа описывает прямой круговой конус вокруг вертикальной оси. Угловая скорость прецессии определяется формулой (1.66) и зависит от величины смещения центра тяжести вдоль оси симметрии, веса гироскопа и его кинетического момента.
Уже указывалось, что эти замечательные свойства гироскопов позволяют в принципе решить задачу определения местоположения объекта в пространстве. Для этого необходимо прежде всего уметь снимать показания с гироскопа. Задача эта становится технически довольно сложной, если гироскоп представляет собой одно тело
Рис. 2.1. Гироскоп в кардановом подвесе.Рис. 2.1. Гироскоп в кардановом подвесе.а определяет поворот внешнего кольца относительно объекта, на котором установлен гироскоп (оси OiXiijiZi связаны с объектом), угол 0 отсчитывается от оси 创/2, перпендикулярной плоскости внешнего кольца, и он определяет поворот внутреннего кольца вокруг оси Ох2.Углы а и § легко снимаются с прибора. Для этого достаточно, например, укрепить на осях。鋁 и Ох2 потенциометрические или индуктивные скреплены соответственно кольцом, а роторы ——са определяет поворот внешнего кольца относительно объекта, на котором установлен гироскоп (оси OiXiijiZi связаны с объектом), угол 0 отсчитывается от оси 创/2, перпендикулярной плоскости внешнего кольца, и он определяет поворот внутреннего кольца вокруг оси Ох2.Углы а и § легко снимаются с прибора. Для этого достаточно, например, укрепить на осях。鋁 и Ох2 потенциометрические или индуктивные скреплены соответственно кольцом, а роторы ——сдатчики, статоры которыхдатчики, статоры которых
Рис. 2.1. Гироскоп в кардановом подвесе.
Рис. 2.1. Гироскоп в кардановом подвесе.
а определяет поворот внешнего кольца относительно объекта, на котором установлен гироскоп (оси OiXiijiZi связаны с объектом), угол 0 отсчитывается от оси 创/2, перпендикулярной плоскости внешнего кольца, и он определяет поворот внутреннего кольца вокруг оси Ох2.
Углы а и § легко снимаются с прибора. Для этого достаточно, например, укрепить на осях。鋁 и Ох2 потенциометрические или индуктивные скреплены соответственно кольцом, а роторы ——с
а определяет поворот внешнего кольца относительно объекта, на котором установлен гироскоп (оси OiXiijiZi связаны с объектом), угол 0 отсчитывается от оси 创/2, перпендикулярной плоскости внешнего кольца, и он определяет поворот внутреннего кольца вокруг оси Ох2.
Углы а и § легко снимаются с прибора. Для этого достаточно, например, укрепить на осях。鋁 и Ох2 потенциометрические или индуктивные скреплены соответственно кольцом, а роторы ——с
датчики, статоры которых
датчики, статоры которых
с неподвижной точкой и его связь с объектом осуществляется, например, при помощи сферического шарнира. Хотя конструктивное выполнение такой схемы — задача не из легких, тем не менее такие шаровые гироскопы существуют.
Все же наибольшее распространение получили в настоящее время гироскопы в кардановом подвесе. Положение оси фигуры относительно объекта (рис.
определяется при помощи углов аир. Угол
с объектом и наружным наружным и внутренним кольцом. Тогда рассогласования аир между роторами и статорами могут быть преобразованы в электрические сигналы, уровни которых взаимно однозначно связаны с величинами углов аир.
Итак, углы аир будем считать известными в любой момент времени. Постараемся ответить на следующий вопрос: какую информацию о положении объекта в инерциальном пространстве содержат в себе углы поворотов кардановых колец? Разумеется, предполагаем, что ось фигуры гироскопа идеально выдерживает неподвижное направление в инерциальном пространстве.
Рассмотрим простейшие случаи движения объекта, на котором установлен гироскоп в кардановом подвесе. Свяжем с объектом систему координат OiXiy^i (рис. 2.2). Предположим сначала, что объект поворачивается вокруг оси От инерциальной системы координат O^xyz с угловой скоростью (о. Если ось наружного кольца,
а также оси。必 и 0卢 совпадают, то наблюдатель в системе координат, связанной с объектом, заметит поворот наружного кольца на угол а. При этом вращение кольца будет наблюдаться в направлении, противоположном истинному вращению объекта в инерциальном пространстве. Угол поворота объекта ai относительно инерциаль* ного пространства (рис. 2.2) и угол а поворота кольца относительно объекта связаны простым соотношением
а! = —а.
Пусть теперь вращение объекта происходит вокруг оси О】％, параллельной оси внутреннего кольца (рис. 2.2). Поскольку ось фигуры гироскопа остается неподвижной в инерциальном пространстве, то угол р поворота внутреннего кольца относительно объекта и угол 0卜 на ко-
торый поворачивается объект относительно инерциального пространства, противоположны (рис. 2.3, а)
Pi = —Р・
Рассмотрим вращение объекта относительно оси。协 совпадающей с осью фигуры (рис. 2.3,6). Оно окажется для гироскопа незамеченным, так как при таком вращении кольца гироскопа вместе с объектом движутся как одно твердое тело вокруг оси фигуры, которая неподвижна в инерциальном пространстве ).
Рис. 2.3. Гироскоп в карда новом подвесе; случай вращения вокруг оси OjX.Рис. 2.3. Гироскоп в карда новом подвесе; случай вращения вокруг оси OjX.勿勿
Рис. 2.3. Гироскоп в карда новом подвесе; случай вращения вокруг оси OjX.
Рис. 2.3. Гироскоп в карда новом подвесе; случай вращения вокруг оси OjX.
勿
勿
Для того чтобы обнаружить вращение вокруг оси Оу, достаточно иметь еще один гироскоп, который повернут относительно первого на угол 几/2. Тогда вращение вокруг оси Оу сможет быть обнаружено так же, как было ранее обнаружено вращение вокруг оси Ох.
Таким образом, между поворотами объекта и углами поворотов колец аир существует определенная связь. Мы нашли ее для простейших поворотов объекта. В действительности же объект участвует в сложном движении и ориентация связанных с ним осей меняется непрерывно во времени. Здесь можно сформулировать две задачи, имеющие кинематический смысл.
Представим себе, что с некоторым движущимся объектом (самолетом, кораблем, ракетой) связана си， стема координат. Ее положение относительно поступательно движущейся системы координат можно задать при помощи трех углов Эйлера 屮，仇 <р. Для самолета, например, это углы рыскания (屮)，тангажа (®) и крена (ср) (на рис. 1.7 угол крена обозначен через у). Так как нас будет интересовать только угловое движение объекта, то совместим начала обеих систем координат в точке
Рис. 2.4. Системы координат, связанные с движущимся объектом и гироскопом.
О (рис. 2.4). Предположим теперь, что на объекте (платформе) установлен идеальный свободный гироскоп и ось его наружного кольца совпадает с одной из координатных осей объекта. Угол поворота наружного кольца относительно платформы обозначим через а, а угол поворота внутреннего кольца относительно наружного — через р. Эти углы отсчитываются так, как указано на рис. 2.1. Поставим следующую задачу: как, зная в начальный момент времени положение платформы (*фо, ®о, Фо) и положение гироскопа на платформе (ао, Ро), определить в некоторый другой момент времени углы аир, если положение платформы в этот момент времени задано углами р, 8, ср.
Предположим теперь, что на платформе установлено два гироскопа. В начальный момент времени из-
вестно положение платформы и гироскопов, т. е. даны углы w0,仇,死,畔)，用3,唠)，段* в некоторый другой мо・ мент времени измеряют углы поворота колец гироскопов аь Вз а2, 02・ Требуется определить эйлеровы углы объекта 《，令，屮 в этот же момент времени.
Обе эти задачи имеют самостоятельный интерес. Первая позволяет определить программные значения углов аир, если запрограммировано движение объекта, т. е. заданы функции времени 2(f), 8(/), <₽(/)• Решение второй задачи связано с автономным определением положения объекта по показаниям приборов, размещенных на самом объекте.
Перейдем к решению первой задачи. Введем системы координат, позволяющие определить положение объекта и кардановых колец относительно неподвижной системы координат (рис. 2.4).
На рис. 2.4 построены следующие системы координат.
Неподвижная система координат。自曜.
Система координат Охху^г^ получающаяся из Ogq^ поворотом вокруг оси ℃ на угол 屮.
Система Ox2y2z2, получающаяся из Ox\yxz{ поворотом вокруг оси 0修 на угол 仇
Система Ох^у^з, жестко связанная с объектом, на котором установлен гироскоп, причем ось наружного кольца гироскопа направлена По 0%з・ Оси Ох3, Оуз, Oz3 получаются из О%2, Oy2i Oz? путем поворота последних вокруг оси Oz? на угол ф.
Система Ox4y4z4 связана с наружным кольцом гироскопа и получена из О^зУз之з поворотом на угол а вокруг 03. ”
Система。麹禽宾 связана с внутренним кольцом (гирокамерой) и получена из Ох^у^ путем поворота последней вокруг оси Ох4 (оси вращения внутреннего кольца) на угол р.
Ось ротора гироскопа 0義 по предположению сохраняет неизменное направление в пространстве, независимо от углов 屮，仇 ф, а, р. Свяжем с ней орт Z°. Проекции W на оси неподвижной системы координат。占吨 обозначим через /& /巾 /《.Это, очевидно, — направляющие косинусы между 2° и осями координат, так что
痘 + * + 丘=1. (2.1)
С другой стороны, проекции /° на оси Ox^y^z^ связанные с гирокамерой, равны (0, 1, 0), так как орт 2。направлен по осио義.
Для того чтобы получить проекции вектора /° на оси системы。尤1 勿之 1, необходимо воспользоваться известными формулами перехода:
修=在cos屮 + \ sin2，J
y{=—厶 sin ф + /п cos ф,I (2.2) 2l=左. I
При помощи матрицы преобразования поворота
1cos 屮 sinip О
(2.3)(2.3)—sin г|)cos” О
(2.3)
(2.3)
О 01
и матрицы-столбца
формулы (2.2) можно записать в виде
/? = Лф/°,
где Z? —> единичный вектор, имеющий проекции (办，协, %i), определяемые по формулам (2.2).
Аналогично переход от Z? к & может быть осуществлен при помощи преобразования поворота вокруг оси Ох】с матрицей
° ° I
А&= Q cos 0 sin 0 .(2.4)
О —sin 0 cos 0 И
Таким образом,
Совершив всю последовательность поворотов, получим вектор Z5 ——орт, имеющий проекции (%5, ^5, г5).
Очевидно,
Z5 =4儿4①友小儿(2.5)
где матрицы /1年，鼻切再廿 имеют вид
II coscp sin ср 0II cos a sin a Oil
Лф = —sin ср coscp 0 , Ла= —sin a cos a 0
1 00 1001
П 00 II
&= 0 cosp sinp .
0 — sinp cosp II
Уравнение (2.5) устанавливает связь между проекциями /° на оси °WnJ и Ox5y5z5i но поскольку эти проекции известны, то (2.5) связывают между собой тремя равенствами углы 心 8, ср, а, р.
Выразим аир через ф,也 ср. Для этого умножим обе части равенства (2.5) сначала на А^\ матрицу обратную Лр. Напомним, что А^ — это такая матрица, которая удовлетворяет равенству А^[А^ — Е, Е — единичная матрица
科?=4丁444用д/ или
А^хй = А^А^А^.(2.6)
Теперь умножим обе части равенства (2.6) на 4rl
А^А^й = А^А^.(2.7)
Легко видеть, что матрицы А^} и 4«1 получаются из Лр и Аа поворотом вокруг главных диагоналей:
I
I О О IIII cos a —sin а О
О cos 6 —sinp , Ла1 == sina cos а О
О sinp cosp I I 001
Й^яЯ(2.7)ЫЧНЫе П₽аВИЛа УМН°ЖеНИЯ №叩叫，口。吁
stna sinB—cosa sin6cos Вstna sinB—cosa sin6cos ВEhEhcos а —sinacosB sin а cos а cos В
stna sinB
—cosa sin6cos В
stna sinB
—cosa sin6cos В
Eh
Eh
0 sin В
II cos ф cosq)— з!пф sin屮cos0J—sin Ф cos巾—cosФ cos 0 sin*sinOsin 巾II cos ф cosq)— з!пф sin屮cos0J—sin Ф cos巾—cosФ cos 0 sin*sinOsin 巾cos (p sin 屮 + sin ① cos 屮 cos 0* sin Ф sin^
II cos ф cosq)— з!пф sin屮cos0J—sin Ф cos巾—cosФ cos 0 sin*sinOsin 巾
II cos ф cosq)— з!пф sin屮cos0J—sin Ф cos巾—cosФ cos 0 sin*sinOsin 巾
—sin(psinv|)4-cos<pcos4)cos^ cos Ф sin 0
—sinOcos©cos»
(2.8)
Сравнивая элементы матриц в левых и правых частях равенства (2.8), найдем уравнения, которым подчиняются углы а и 0:
—sin а cos р = (cos 屮 cos qp — sin 屮 sin 屮 cos 8)厶 十
(2.9)(2.9)+ (cos 屮 sin 屮 + sin qp cos 屮 cos 今)％ 十互 sin qp sin 0, cos a cos p = (—sin <p cos 2 — cos qp cos 8 sin 巾)％ + + (——sincpsinp + cosq? cos^cos^)% + h coscpsinO-, sin 0 =厶 sin 心 sin 屮一％ sin 心 cos 屮 + 左 cos 屯
(2.9)
(2.9)
Введем обозначения
Ug + 吟=d, 勺=cos 的， 乡=sin 麻；(2.10)
тогда соотношения (2.9) можно переписать в следующем виде:
sin a cos 0 = d sin qp cos О sin (屮一〃°)—
(2.11)(2.11)—d cos 屮 cos (2 — 〃o)—友 sin 屮 sin О, cos a cos В = —d cos <p cos 0 sin (巾一〃。)一
(2.11)
(2.11)
—d sin <p cos (巾一卫°) + 左 cos ① sin О,sin р = d sin 0 sin (屮一w0) + % cos 也
Постоянная /匕 связана c d равенством 1^ = УI — d2. Отсюда можно определить углы а и 0, выразив их через эйлеровы углы объекта ф, ёу ф и постоянные 〃о и d, которые связаны с направляющими косинусами углов, составляемых осью фигуры с осями неподвижной системы координат (%,片，L), равенствами (2.10). Из (2.11)
следует
dcos(pcos(W —〃o)—dsincpcos Osin (屮一〃o)+/gsE0 sin。 ) a—arctg dsintpcos(屮一〃o)+dcos<pcosesin(屮一“o)Tccos<psin。，I (2.12) P = arcsin [d sin й sin (屮一〃。)+ % cos 9]・J
Постоянные /^, /л,左 можно определить из равенств (2.9), полагая в них
Q ^^ а。， Р ^^ Во， ®===屮о，9 ^^ 仇， ф==== Фо*
После несложных преобразований получим
厶=[sin 仇 sin 仇一cos Po cos 仇 cos (a0 +(p0)J sin 通一
(2.13)(2.13)—cos 业 cos p0 sin (a0 + 亚), % = [cos po cos 2° cos (a0 -[-(p0) — sin 仇 sin 曲]cos ф0 —
(2.13)
(2.13)
—sin 2o cos po sin (a0 + 屮°), 瓦=cos p0 sin 我 cos (a0 +(p0) + sin p0 cos 齿.
Отсюда можно перейти по формулам (2.10) к постоянным 〃о и d.
Первая из поставленных выше задач решена. Определив по начальным значениям пяти углов постоянные %, %,年 по формулам (2.13) и подставив их значения в равенства (2.12), можно вычислить углы поворотов колец карданова подвеса относительно нового положения объекта.
Заметим, что уравнения (2.11) имеют два решения в интервале изменения углов а и р от 0 до 2л.
Из последнего уравнения (2.11) можно найти два значения для р： рь р2 = я — Рь Тогда для а из первых двух уравнений имеем также два значения: аь аз = =ai + я;. Оба этих решения (ai, §i) и (a】+ п, л ——₽i) отвечают различным поворотам кардановых колец, но одному и тому же направлению оси фигуры. Остальные решения уравнений (2.11) получаются из этих двух путем изменения углов на 2лт. Можно установить однозначность в определении углов а и 0, если информация об углах 屮，仇 ср поступает непрерывно. Тогда, исходя из начальных значений а0 и 0°, пользуясь непрерывностью их изменения, можно получить однозначные функции времени a(f) и §(/).
Неподвижная система координат。自嗜 во всех предыдущих рассуждениях была произвольной. Ее оси не были связаны с неподвижным вектором 1°. Основные уравнения (2.9) примут более простой вид, если одна из осей координат коллинеарна с ортом Z°.
Рассмотрим два варианта ориентации оси фигуры гироскопа при одинаковом расположении осей наружных колец. В первом случае /° совпадает с направлением оси 自，во втором — с направлением q Такое расположение гироскопов понадобится нам для решения второй кинематической задачи. В первом случае следует положить
/^ = cos (^, /°) = 1, /^ = cos (т|, 2。) = 0, £ = cos (g, Z。) — О, откуда
d = V/| 4- /?| = 1, cos〃o = l, sin uq = 0.
Следовательно, wo = O и равенства (2.11) принимают вид
sin at cos pi = sin g> cos O sin 屮一cos ① cos 取 ]
cos a】 cospi = —(cos ① cos О sin 2 + sin ① cos 2) J (2.14) sinPi =sin^sin^.J
Упростятся и равенства (2.12)
, cos ф cos ib — sin ф cos 3 sin яЬ
a. = arctg ~-r義「-千,
b Sin ф cos 屮 + cos 中 COS 8 Sin 2 *
Bi = arcsin [sinOsinp].
Предположим теперь, что орт /° направлен по Orj. Следовательно, направляющие косинусы вектора /° соответственно равны
/^ == 0,,= 1， 左=0
и поэтому
d = Mg + /* = 1, cos 〃о = 0,
Sin 〃о н 1,〃0 =万•
Подставляя эти значения постоянных в правые части равенств (2.11), получим
sin а2 cos % === —(sin 屮 cos 9 cos 屮 + cos 屮 sin 屮)，
cos а2 cosp2 = cos ① cos ® cos i|)— sinq) sin 屮， (2.15)
sin 02 = —sin^cosW.
Отсюда можно найти а2 и р2:
—. cos 屮 sin 屮 + sin qp cos C cos 屮
@2 —— 「 & sin ф sin 屮一cos <p cos О cos *ф ' p2 = —arcsin [sin 9 cos 叨.
Перейдем к решению второй кинематической задачи. Требуется при помощи информации об углах поворота кардановых колец гироскопа аир определить ориентацию осей, связанных с объектом.
Ранее уже было выяснено, что такая, обратная по отношению к предыдущей, задача не может быть реше* на при помощи одного гироскопа. Зная только углы а и 0, принципиально невозможно отличить друг от друга положения объекта, получающиеся в результате его поворота вокруг оси фигуры, т. е. вокруг направления Z0 (рис. 2.4).
углами поворота колец аь 自, и (2.15). Теперь информации решить поставленную задачууглами поворота колец аь 自, и (2.15). Теперь информации решить поставленную задачуОднако эта задача может быть легко решена, если на объекте установлено два гироскопа. В самом деле, примем для простоты, что оба гироскопа установлены так, что оси наружных колец параллельны. Они, как и рань- ше, определяют направление оси Oz^ связанной с объектом (рис. 2.4). Оси роторов гироскопов взаимно перпендикулярны и неподвижны в инерциальном пространстве. Свяжем с их направлениями оси О| и От) неподвижной системы координат. Тогда углы поворота
углами поворота колец аь 自, и (2.15). Теперь информации решить поставленную задачу
углами поворота колец аь 自, и (2.15). Теперь информации решить поставленную задачу
(2.15) имеем(2.15) имеемобъекта 屮，仆，<р связаны с “2，₽2 уравнениями (2.14) вполне достаточно, чтобы и найти углы 2,令，ср.
(2.15) имеем
(2.15) имеем
Из уравнений (2.14) и
cos а2 cos §2 — sin а】 cos Pi = (1 + cos О) cos (屮 + 屮)，
—cosa1 cos Ri — sin a2 cos p2==(l + cosO)sin (屮 + <p),
—cos a2 cos & — sin а【cos Pi = (1 — cosO) cos (屮一屮)， cos a1 cos Bi — sin a2 cos p2 = (1 — cos ") sin (屮一①).
(2.16)
Йз первой пары уравнений находим сначала cos 6: cos 分==
=M(cosa2 cos В? — sin j cos 航产 + (cos a】 cos囱 + sin q? cos 02尸—1
(2.17) или
COS 8 = V/COS2 Bi + COS? §2 + 2 COS Bl COS B2 sin (。2 — a) — 1,
после чего определяются углы 仇-ф + Ф и ф — <р: 8 = ± 5 + 2лт,
2 + 屮=arctg2 + 屮=arctg屮一(p = arctg屮一(p = arctgCOS СЦ COS Bl + sin。2 cos 卩2 sin «! cos Pi — cos a2 cos p2 sin a? cos p2 一 cos a I cos 仇 sin a! cos pi + cos a2 cos %COS СЦ COS Bl + sin。2 cos 卩2 sin «! cos Pi — cos a2 cos p2 sin a? cos p2 一 cos a I cos 仇 sin a! cos pi + cos a2 cos %+ 2冗〃 =U -卜 2ЛП,+ 2冗〃 =U -卜 2ЛП,卜2nfe =⑪+ 2冗左卜2nfe =⑪+ 2冗左
2 + 屮=arctg
2 + 屮=arctg
屮一(p = arctg
屮一(p = arctg
COS СЦ COS Bl + sin。2 cos 卩2 sin «! cos Pi — cos a2 cos p2 sin a? cos p2 一 cos a I cos 仇 sin a! cos pi + cos a2 cos %
COS СЦ COS Bl + sin。2 cos 卩2 sin «! cos Pi — cos a2 cos p2 sin a? cos p2 一 cos a I cos 仇 sin a! cos pi + cos a2 cos %
+ 2冗〃 =U -卜 2ЛП,
+ 2冗〃 =U -卜 2ЛП,
卜2nfe =⑪+ 2冗左
卜2nfe =⑪+ 2冗左
（〃，々二土 1, 土2, •・）
(2.18)
где под 01 понимается главное значение угла 抄,определяемое из (2.17). Углы у и ш берутся из интервала (О, 2л), они удовлетворяют условиям (2.16) и определяются единственным образом. Из уравнений (2.18) найдем
Ф = '2%一吃 + л (/I 一力)= 2号-巴一+ ns - 2nb,
1)) = -2h n(% + 粉=-2F 几S
(3 s = ± 1, ± 2,・・・)・
Отсюда ясно, что углы <р и гр в интервале (0, 2л) имеют по два различных значения. Теперь необходимо установить соответствие между углами 仆 и 屮.Для этого достаточно воспользоваться одним из последних уравнений систем (2.14) или (2.15), например,
sinBi =sin^sini|).
Полагая 仆=也，в соответствии со знаком sin ^ выбирается одно из двух значений 屮 в интервале (0, 2л). Обозначим его через 屮卜 Ему отвечает определенное значение Si, а следовательно, определяется и угол фь Путем
подбора числа k можно всегда обеспечить попадание угла ф1 в интервал (0, 2л). Полагая теперь 仆=——仆i, получим второе значение для гр, равное 屮2・ Очевидно, что “2 = 21 士 冗,так как знак sin $ меняется на противоположный. Тогда S2 = Si ± 1 и угол 屮2 =屮1 土 冗・ Итак, получаем два решения уравнений (2.14), (2.15):
(2.19)(2.19)仆=2» 屮= 2i，ф = фр
(2.19)
(2.19)
82 =一合1，22 = 2i 土 豆，$2 = $1 ± ^-
Знак плюс или минус выбирается в соответствии с требованием попадания углов j и § в интервал (0, 2п).
Легко видеть, что трехгранники 0%з4з?з, связанные с платформой, построенные по углам 仇，屮i,(р〔 и 行2,屮2, 屮2, в системе координат О^^ (рис. 2.4) совпадают. Для устранения многозначности при определении этих углов достаточно задать их начальное значение, а также использовать непрерывную информацию об углах a】, Pi, а2, 饱・ В этом случае углы Эйлера 屮，也 屮 определяются однозначно.'
Связь между относительными углами поворотов колец карданова подвеса гироскопа и углами Эйлера (2.11) сохраняется, конечно, и для других стабилизированных в инерциальном пространстве направлений. Они могут создаваться оптическими осями телескопов, нормалями стабилизируемых в пространстве платформ и т. п.
Пример. Роторы двух гироскопов ориентированы по осям。自 и О г) (рис. 2.4)・ В начальный момент собственные оси объекта 0%з и Оуз совпадали с инерциальными осями 0三 и От)- Оси вращения наружных колец параллельны Oz3. Определить угловое положение объекта, если кольца гироскопов движутся по закону
«1 =₽1 =/(/),。2 =。，₽2 = 0.
Другими словами, второй гироскоп неподвижен относительно объекта, а в первом вращается только внутреннее кольцо.
Из (2.17) получаем
cos 8 = cos М， % = — М，仇=Bi・
Из (2.16) следует
cos(\|)+(p)=l, sin (ф + ф) = 0, cos (ф — ф) — — 1, sin (i|)— Ф)^ О, откуда
+ ① =2冗"， 中-屮=几 + 2/.
Следовательно,
ф = ~ + ns, ф = — ^ + ns + 2п 近
Из равенства sin 仇=sin О sin 屮 имеем два решения:
6e= 一 同，21=万，中1=万，
02 = Pb 业=万， ①2 = - У•
Полагаем в начальный момент 业=», тогда объект движется в соответствии с законом
8 = _/(/), 2=万冗， ①=万，
он вращается вокруг оси 斗
Движение колец гироскопа относительно Земли
установленным на Земле,установленным на Земле,можно, используя соотношения,можно, используя соотношения,Располагая идеальным гироскопом,
установленным на Земле,
установленным на Земле,
можно, используя соотношения,
можно, используя соотношения,
полученные в предыдущем параграфе, решать навигационные задачи. Рассмотрим некоторые из них.
Прежде всего введем систему координат О^^ с началом в центре Земли (рис. 2.5). Ось О匕 направим по оси вращения Земли NS, оси Og и 0n ей перпендикулярны. Система координат 0匕唯 движется поступательно относительно инерциального пространства. С Землей свяжем систему Oxyz. Ось Oz направим по истинной вертикали (т. е. параллельно линии отвеса в точке М), ось Ох
параллельна прямой Afxb проведенной в некоторой Точке Земли М и направленной на восток. Предполагаем, что имеется компас или другой прибор, позволяющий найти это направление.
Ось Оу составляет с остальными осями правую тройку (она параллельна линии Му^ направленной на север).
Предположим, что ось вращения наружного кольца гироскопа направлена по истинной вертикали места, т. е. по линии Alzi.
Попытаемся определить географическую широту места или дополнительный к ней угол 仆 между осями О匕 н On ).
Предположим, что в начальный момент времени ось гироскопа была направлена на восток и совпадала с осью M%i, параллельной оси Ох подвижной системы координат, связанной с Землей. Направление оси Ох совпадало в начальный момент времени с осью 。自. Углы Эйлера 叩，也屮 в любой момент времени можно вычислить по формулам
^ = U tt ф = О, О =询=const.(2.20)
Здесь U — угловая скорость Земли, / — время, прошедшее с начального момента. Угол (р равен нулю, так как плоскости хОу и 自。匚 пересекаются по оси Ох и, следовательно, угол собственного вращения (рис. 2.4) /%]0%з = 0.
Итак, вектор /°, совпадающий по направлению с осью фигуры гироскопа, коллинеарен с ортом $。оси Og (рис. 2.5).
В начальный момент угол а между плоскостью наружного кольца и осью Ох подвижной системы координат равен ——冗/2 (в этот момент ось Q/5, изображенная на рис. 2.4, совпадает с осью 0%i). Таким образом, в начальный момент времени
«о —Во = О・(2.2【)
Поскольку /° совладает с 自°, то мы имеем дело с первым частным случаем, разобранным в предыдущем параграфе, и поэтому можем воспользоваться уравнениями (2.14) и следствиями; имея в виду условия (2.20), получим
sin & = sin Оо sin 中，]
⑵ 22)
ECOS 仇J
Отсюда исключим 屮 и найдем cos О。. После несложных выкладок придем к следующему результату:
cos % = 丁ЗМ迤乌—一(2.23)
/ctg2 al + sin2 ₽!
Разумеется, в начальный момент времени, когда Pi = 0 и а】= ―——冗/2, этой формулой воспользоваться нельзя, получается неопре- 0 с
деленность вида 石• Однако через некоторое время, когда углы «1 и Pi изменятся, из (2.23) можно найти 8°, а следовательно,- и ши- роту места 彳一齿.
Изменение углов ai и Pi связано с вращением Земли. Видимое движение оси фигуры /° можно наглядно пояснить следующим образом. Пусть вектор /° направлен произвольным образом относительно Земли. На рис. 2.6 2° лежит в плоскости меридиана и составляет в начальный момент угол Во с направлением юг ——север. Наблюдатель, находящийся на Земле, не замечает ее вращения. Для него все неподвижные в инерциальном пространстве предметы кажутся вращающимися в сторону, противоположную истинному
вращению Земли, т. е. с востока на запад. В частности, луч ОА (рис. 2.6), параллельный /° и направленный из центра Земли на звезду /1, кажется для наблюдателя вращающимся с угловой скоростью ——U вокруг полярной оси SN («оси мира》).
Следовательно, /°, двигаясь относительно Земли, описывает прямой круговой конус с осью SN. Вот это движение и видит наблюдатель, следящий в точке М на поверхности Земли за главной осью гироскопа. Уравнения (2.22), в сущности, являются уравнениями конической поверхности, заданной параметрически в земной системе
Рис. 2.6. Видимое движение вектора, неподвижного в инерциальном пространстве, относительно Земли.Рис. 2.6. Видимое движение вектора, неподвижного в инерциальном пространстве, относительно Земли.Рис. 2.7. Видимое движение вектора, ориентированного параллельно экваториальной плоскости.Рис. 2.7. Видимое движение вектора, ориентированного параллельно экваториальной плоскости.
Рис. 2.6. Видимое движение вектора, неподвижного в инерциальном пространстве, относительно Земли.
Рис. 2.6. Видимое движение вектора, неподвижного в инерциальном пространстве, относительно Земли.
Рис. 2.7. Видимое движение вектора, ориентированного параллельно экваториальной плоскости.
Рис. 2.7. Видимое движение вектора, ориентированного параллельно экваториальной плоскости.
координат. Случай, рассмотренный ранее (орт /° направлен парал- v^eльнo экваториальной плоскости), является вырожденным (рис. 2.7), конус превратился в круг с центром в М, плоскость которого параллельна экваториальной плоскости.
Выше было показано, что идеальный гироскоп, установленный на Земле, может измерять широту места. Правда, для этого требуется знать линию отвеса и направление меридиана (или линию восток ——запад). Покажем теперь, что в принципе можно обойтись без компаса для того, чтобы определить широту и направление восток ——запад.
Предположим, что истинная вертикаль 八/之：в точке М (рис. 2.8) известна точно, а линия восток — запад приблизительно. Во всяком случае известно, что эта линия M^i v^eжит в плоскости, перпендикулярной Mzi. Расположим ось наружного кольца карданова подвеса по Mzi, а ось фигуры ——перпендикулярно к ней (Во = °) приблизительно на восток.
Неизвестный угол между осью фигуры Мх^ и касательной к параллели М& обозначим через g Будем для определенности считать, что начальное отклонение 屮 было дано в сторону севера (рис. 2,8). Свяжем подвижную систему координат Oxyz с вращающейся Зем-
лей. Начало ее выберем в точке О, а оси направим параллельно осям Мм, M%i и Mgi. При этом ось М修 в начальный момент имела то же направление, что и ось фигуры гироскопа.
Таким образом, плоскость хОу, параллельная плоскости горизонта 修乂4卜 будет вращаться вместе с Землей вокруг линии 。备 а
Рис. 2.8. Системы координат, связанные с Землей, Охух и Мх^у^ч МК — направление на восток.
угол <р между осью Ох и линией О&, параллельной линии запад — восток Algi, будет оставаться постоянным. Поскольку линия 0±2 лежит одновременно и в экваториальной плоскости и в плоскости хОу, параллельной горизонту, то она является линией узлов.
Рис. 2.9. К определению положения линии запад-восток по видимому движению оси фигуры гироскопа.
Введем теперь неподвижную систему координат. Ось 0匕 направим по линии юг — север, ось О& направим параллельно линии запад — восток в начальном положении точки М. Будем теперь считать, что на рис. 2.8 подвижная система координат Oxyz изображена в некоторый момент времени /. Тогда ясно, что угол 2 между О& и 。占 пропорционален времени, т. е. t|)= Ш, где U — угловая скорость вращения Земли. Напомним, однако, что для наблюдателя на Земле положение неподвижной системы координат °ЕпС иеиз-
вестно. Он не знает расположения экваториальной плоскости, а следовательно, не знает, в какой плоскости следует откладывать угол ■ф, он не знает угла (р (рис. 2.9) между некоторым произвольно выбранным в горизонтальной плоскости азимутом Ох и линией запад —восток и не знает угла 今 между линией отвеса и осью мира (угол 2。白).Все эти сведения должен дать гироскоп. Точнее говоря, необходимо измерять относительные углы поворота его колец аир и отсчитывать на точных часах время.
Прежде всего определим по формулам (2.13) значения постоянных /^, /刀,/^. Для этого заметим, что в начальном положении ось 。自2 совпадала с осью OJ, т. е. = 0,屮=фо, Во = 0. Угол ао, когда ось фигуры направлена по оси О% в соответствии с рис. 2.4, отрицателен (а。= —冗/2). Подставляя эти данные в равенства (2.13), получим
Подставляя 年，/巾々 из (2 24) в (2.9), найдем зависимости между известными (измеряемыми) углами а, 0,屮=Ut и постоянными неизвестными 仆о, фо-
Опуская промежуточные выкладки, придем к уравнениям
—sin a cos В = cos \|)+ (1 — cos 2) sin2 ①。sin2 ^0,
cos a cos § = — sin \|)cos 今q + sin 屮。cos(p0 sin2 仆° (1 — cos 2), sin P ~ sin ф sin 今° cos(p0 + sin(p0 cos 仔° sin 9° (1 — cos p).
(2.25)
Два последних уравнения можно преобразовать к виду
.„ аф a cos a cos Р
sin2 8о sin2 фо ctg фо — ctg% cos v0 =,
(2.26)(2.26)22 sin2-|
(2.26)
(2.26)
ctg —- sin 仇 sin фо ctg фо + sin 1>0 sin qp0 cos 仇 ~
2 sin2 $
Из первого уравнения системы (2.25) найдем
(2.27)(2.27)
(2.27)
(2.27)
предпопредпоЗнак перед корнем выбран положительным, так как по
предпо
предпо
ложению фо > 0 (северо-восточная начальная выставка гироскопа).
Подставляя (2.27) в уравнения (2.26), найдем
cos仇cos仇сгЬa sin В — cos a cos р ctg —1 — sin а cos ВсгЬa sin В — cos a cos р ctg —1 — sin а cos Вctg Фо =ctg Фо =sin р ctg ^~ + а cos а cos Ва (1 — sin а cos 0)sin р ctg ^~ + а cos а cos Ва (1 — sin а cos 0)(2.28)(2.28)
cos仇
cos仇
сгЬ
a sin В — cos a cos р ctg —
1 — sin а cos В
сгЬ
a sin В — cos a cos р ctg —
1 — sin а cos В
ctg Фо =
ctg Фо =
sin р ctg ^~ + а cos а cos Ва (1 — sin а cos 0)
sin р ctg ^~ + а cos а cos Ва (1 — sin а cos 0)
(2.28)
(2.28)
В эти равенства следует подставить 屮=UE и найти Во и 屮о・ Таким образом могут быть определены широта места и направление запад — восток.
Использование гироскопа в кардановом подвесе в качестве измерителя широты и гирокомпаса было бы реальным, если бы ось фигуры гироскопа действительно удерживала неподвижное направление в инерциальном пространстве. Однако, как будет показано ниже, существует ряд причин, приводящих к дрейфу оси гироскопа. В настоящее время нашли применение гирокомпасы, основанные на принципе прецессии тяжелого гироскопа. Их теория будет рассмотрена в дальнейшем.
Дифференциальные уравнения движения гироскопа, установленного на неподвижном основании
Перейдем к выводу дифференциальных уравнений движения гироскопа в кардановом подвесе. Введем следующие системы координат (рис. 2.10), Неподвижная система О^г^г, системы координат 0\Х\у\2\ и Ох^у^^ связанные с наружным кольцом, причем Oz\ и Ох】 направлены по осям вращения наружного и внутреннего кольца; оси Oxyz связаны с внутренним кольцом (оси Резаля), причем ось Оу направлена по оси вращения ротора. Угол поворота наружного кольца а отсчитывается в плоскости 5%2f/2, как указано на рисунке. Угол поворота внутреннего кольца р также указан на рисунке. Наконец, угол поворота ротора относительно гирокамеры ——у. Центр тяжести ротора предполагается смещенным вдоль оси фигуры йа расстояние а = ОС от точки пересечения осей карданова подвеса.
Представим кинетическую энергию гироскопа как сумму кинетических энергий наружного кольца Т2, внутреннего—* и ротора「о：
Т = 7о + Т] +「2・
где А и 乙 орты осей О& и ОхьСпроектируем угловую скорость внутреннего кольцагде А и 乙 орты осей О& и ОхьСпроектируем угловую скорость внутреннего кольца
где А и 乙 орты осей О& и Охь
Спроектируем угловую скорость внутреннего кольца
где А и 乙 орты осей О& и Охь
Спроектируем угловую скорость внутреннего кольца
Наружное кольцо вращается вокруг оси Oz2 с угловой скоростью а. Внутреннее кольцо (гирокамера) участвует в переносном движении вместе с наружным кольцом и относительном движении с угловой скоростью В относительно наружного кольца, поэтому его угловая скорость
®i = &左2 + 務， (2.29)
на оси Резаля. В соответствии с формулой (2.29) имеем
Pi = ®1" = В， % = ®i" = &sinp,
r{ = (®i)2i = a cos р. (2.30)
Угловая скорость ротора отличается от угловой скорости гирокамеры на вектор у/ — относительную угловую скорость вращения ротора по отношению к гирокамере. Таким образом, угловая скорость ротора
з = ®[ + р/ =
= aE + Bii + W (2.31)
и, следовательно, ее проекции на оси Резаля имеют вид р = ^x = ^t ^ = со^ = d sinp + у, г =①纟=& cosр. (2・32) Введем следующие обозначения:
А, В, С — главные моменты инерции ротора относительно точки О;
4, Bi, С] — главные моменты инерции гирокамеры для точки О;
А2}台2,。2 — то же для наружного кольца.
В дальнейшем полагаем, что ротор симметричен относительно своей оси вращения и его экваториальные
моменты инерции равны А = В, С — момент инерции относительно оси Оу. Примем также для простоты, что главные оси инерции гирокамеры направлены по осям Резаля, т. е. по осям %, у, z.
Тогда удвоенная кинетическая энергия системы трех тел — ротора, гирокамеры и наружного кольца — в соответствии с известными формулами (том II, гл. X) примет вид
2T = С2а2 + & 诉 + 8 畐 + Cj； + 4 ("2 + 产)+ Cq 工(2.33)
или, подставляя выражения (2.30) и (2.32), придем к формуле
2T = [С2 + 修 sin2 В + (4 + &) cos2 р] а2 +
+ И+ X^^ + C^sinP + y)2. (2.34)
Перейдем к вычислению обобщенных сил. Предположим, что, кроме силы тяжести G, приложенной в точке С, действуют силы сопротивления в осях подвеса. Они приводятся к парам с моментами М^ и МХе Первая из них действует на наружное кольцо со стороны подшипников оси bzi, вторая ― на гирокамеру со стороны подшипников, в которых вращается ось。修.Моменты пар являются функциями угловых скоростей, так что
姓尸 MzG), MXl = MXi (₽).
На ротор гиродвигателя действуют электромагнитный момент со стороны статора электромотора и момент сил сопротивления. Суммарный момент, действующий на ротор, можно считать зависящим от угла поворота у н угловой скорости у. Обозначим его через Му ), тогда
Му^Му(Y，Y)-
Для вычисления обобщенных сил сообщим последо* вательно перемещения наружному кольцу, гирокамере и ротору и вычислим для каждого такого поворота возможную работу.
При повороте наружного кольца на 6а
дЛа == MZi (d) 6а.
При повороте гирокамеры на бр
дЛр = — aG cosРбр + ^х, (6)63.
При повороте ротора на 6丫
64y = %(» 弋)5Y.
Отсюда получим обобщенные силы
Qa = MZx (d), Qe = — aG cos p + MXl ⑹，Qy = My (y, y).
(2.35)
Используя выражения для кинетической энергии (2.34) и для обобщенных сил (2.35), легко составить уравнения Лагранжа.
Предварительно найдем
需^О,窮■ =(&-"&)sEBcos 眦 +
+ C(dsin₽ + Y)dcos₽,芻=0,
~^[C2+ В】sid 卩 + (A + &) cos2 用 d+C sin ₽(d sin ₽+v)r
* = (4+ 4)8，~^- = C(dsinp + y).
op@y
Введем обозначения
C2 + Bt sin2 p + U + CO cos2 ₽ = P (₽), 4 + 4=Q•⑵ 36)
Тогда уравнения Лагранжа примут вид
^[Р(p)d + C(y + dsinР)sinр] = Ж. (а),
QB — (8[ — 4 — &) sin В cos В&2 — C (a sin В + у) a cos р===
=—aG cos 0 + MXl (₽), 。鳥(&sin|3 ++) = My(Y，V)-
(2.37)
Заметим, что моменты сил 人4引 и МХх в правых частях уравнений (2.37) могут иметь различный вид в зависимости от характера трения. Так, например, при вязком трении в осях подвеса обычно принимают
Мг】(а)=—历&, МХ( (В) = — Ь^.
При так называемом《сухом》трении
Мг】(&) = — м sign d,Л1A l (В) = — “2 sign р.
Функция sign% принимает значение +1 при х > 0 н —1 при % V 0. Что касается зависимости 恤(Y，у), то она может иметь различный вид для синхронных и асинхронных гиромоторов. В дальнейшем будем полагать, что электромагнитный момент, приложенный к ротору гиромотора, уравновешивается моментом сил сопротивления. Такое предположение вполне приемлемо, если рассматривать работу гироскопа на номинальных числах оборотов ротора. Разумеется, во время разгона или торможения (выбега) ротора подобное предположение недопустимо и необходимо учитывать зависимость M/(Y，Y)-
Первые интегралы уравнений движения для гироскопа в кардановом подвесе
Предположим, что моменты сил сопротивления в осях карданова подвеса равны нулю, а моменты сил, действующих на ротор, уравновешены. В этом случае координаты а и 丫 становятся циклическими и, следовательно, имеют место тождества
С (V + & sin р) = 〃 = const,)
Р(Р) d +//sinp = A = const. J (2.38)
Сила тяжести G является консервативной силой. Потенциальная энергия для нее
П = aG sinp.
Кинетическая энергия, выражение для которой было получено ранее (формула (2.34)) в соответствии с
принятыми обозначениями и в силу циклических интегралов (2.38) примет вид
2T^P^)a2 + Q^ +^.
Для консервативной системы имеет место интеграл энергии
Т + 〃 = const.
После использования соотношений для П нТ получим
•色號(請-*亡 + 扌 Q₽2 + aG sin 6 = £ = const.
Величина e включает постоянную — H2/2C.
Введем обозначение
Ф(₽, А, Я) = (А - Я sin р)2 + aG sin₽. (2.39)
Тогда
|QP2 + <P(P，A, H) = e・(2.40)
Постоянные H, A, e можно найти из начальных условий. Примем, что при / = 0: В = 0о, В = 6о，а = а0, Y== Уо，тогда
"= C(Vo + &()sin6o),
А = Р (ро) &о + 〃 sin %.(2.41)
e = gQ^ + <P(B。，Д, Я).
Таким образом, по четырем начальным параметрам р0, Во，&о，Уо можно всегда найти Н, А, е, а затем проинтегрировать уравнение (2.40) и найти его частное решение. Можно поступить и другим образом: задать р0, ”，А, £ н найти решение того же уравнения. В дальнейшем мы часто будем пользоваться последним набором параметров, заменяя ими начальные условия.
Заметим, что уравнение (2.40) — интеграл энергии является следствием системы дифференциальных уравнений (2.37), поэтому нет гарантии, что это уравнение содержит все решения системы (2.37).
Преобразуем второе из уравнений системы (2.37), используя интегралы движения (2.38). Сначала получим
—(В】一А—&) sin § cos р&2—с (& sinp+y) & cosp+〃G cosB= f 詔Az»?Аг争亜з叶
+ aG cos₽ h-^I".
Второе уравнение системы (2.37) принимает теперь вид
QB + U(P，А, 〃) = 0・(2.42)
Штрих означает дифференцирование по 0.
Регулярные прецессии
Аналогично тому как это имело место для симметричного гироскопа (случай Лагранжа) и для гироскопа в кардановом подвесе, можно найти начальные условия, при которых возможна регулярная прецессия.
Для этого положим в (2.42) р 三 ро. Из уравнения следует, что регулярная прецессия возможна, если
q/他，А, //) = 0・(2.43)
Используя выражение (2.39), получим
aG cos |3° — 4^(A — Я sin匐一
一僦，A-"sin 饱)2 = o・(2.44)
Кроме того, из второго уравнения (2.38) имеем
&。= 37詳圆，(2.45)
откуда после подстановки (2.45) в (2.44) получим уравнение для определения угловой скорости прецессии [28], [3i]
aG cos % — " cos Mo — g P (Po) % = 0.(2.46)
Следовательно, прецессия |3 = p0 возможна, если можно найти такое &(), при котором удовлетворяется
уравнение (2.46). Заметим, однако, что величина Н также зависит от &о：
Н =С (уо + «osinpo).
Кроме того, из (2.36) следует
p，(|3) = (8]-4-&)sin 2 Po.
Поэтому уравнение (2.46) принимает вид
(А + С] — В】一С) d2sin2|30 — 2Cd0y0cos |30 + 2aG cos Po=O.
(2・47丿
Введем обозначения
4 + & - & - С = R, С”。=(2.48)
Последнюю величину (Но) можно назвать собственным кинетическим моментом. Уравнение (2.47) удовлетворяется при р= ± у.
Для существования действительного решения уравнения (2.47) при В。* ± ^ необходимо и достаточно, чтобы дискрр!минант квадратного уравнения был положителен
Hl cos2130 — 2aRG cos 生 sin 2|30 > 0.(2.49)
Таким образом, для каждого 0° можно подобрать такой собственный кинетический момент "о (т. е., в конечном счете, угловую скорость собственного вращения %), что регулярная прецессия станет возможной. Для //0 из неравенства (2.49) получим
〃^》4aGRsinBo・(2.50)
Для определенности будем считать, что R > 0 (для большинства гироскопов это условие выполняется). Тогда, если a sin 聞 V 0 (знаки а й 圆 противоположны), неравенство (2.50) выполняется при любом "о. Из рис. 2.10 видно, что при различных знаках а и р0 центр тяжести ротора лежит ниже неподвижной точки О. Заметим, что при R V 0 центр тяжести должен лежать выше О.
Если же правая часть неравенства (2.50) положительна, то можно найти достаточно большую угловую
скорость собственного вращения ротора, при которой также возможна регулярная прецессия. Из (2.50) следует, что
yQ>-^VaGRsin% . (2.51)
Наконец, условии, чтоИз (2.47) лучимНаконец, условии, чтоИз (2.47) лучимнайдем угловую скорость прецессии при неравенство (2.50) выполнено.
Наконец, условии, что
Из (2.47) лучим
Наконец, условии, что
Из (2.47) лучим
(a0)1,2 =(a0)1,2 =% 土 ]/7^ - 4〃GR sin В。% 土 ]/7^ - 4〃GR sin В。2Rsin0()2Rsin0()(2.52)(2.52)с учетом принятых обозначений (2.48) по-
(a0)1,2 =
(a0)1,2 =
% 土 ]/7^ - 4〃GR sin В。
% 土 ]/7^ - 4〃GR sin В。
2Rsin0()
2Rsin0()
(2.52)
(2.52)
Таким образом, возможны две прецессии с различными 5тловыми скоростями. Одну из них назовем быстрой _ "о +，除- 4aGR sin р0 =2R sin Во
другую ——медленной
_ % - уЪ^ - 4aGR sin 自；也=2加而氏
Если величину Яо считать достаточно большой по сравнению с 4aGR sin р0, то можно положить
М婚一4〃GRsinBo ^ "°
и тогда вместо (2.53) и (2.54) получим
32=-署・(2・55)
Наконец, остался нерассмотренным еще один частный случай, когда 0о = 士н/2. Ему отвечает особое положение гироскопа, когда кольца карданова подвеса сложены (рис. 2.10) и точка С расположена сверху или снизу на одной вертикали с точкой О.
Из уравнения (2.47) следует, что при cos |30 = 0 оно удовлетворяется при любых &о. Другими словами, могут существовать прецессии с любыми угловыми скоростями вращения рамок.
Во всех приведенных выше рассуждениях не обсуждался вопрос об устойчивости найденных регулярных прецессий. Его предстоит решить в дальнейшем.
Для астатического гироскопа (а = 0) возможны наряду с регулярными прецессиями (d0=# 0), когда ось фигуры описывает в пространстве конус, также и перманентные вращения ао = 0, ро #= ±я/2.
Заметим, что в случае невесомости колец карданова подвеса 氏=& = 0 и уравнение (2.47) переходит в (1.93), если только учесть, что В+ = ^ —Ро・
Псевдорегулярные прецессии
Характер движения оси фигуры гироскопа определяется начальными условиями.
По заданным начальным условиям можно определить, используя формулы (2.41), параметры ", А н £ н проинтегрировать уравнение (2.40). Перепишем его в виде
В2="【е —(Р(В，А，")]•(2.56)
Построим сначала график функции(р(р, Л, Я), которая играет основную роль в анализе движения гироскопа. Для этого в соответствии с (2.39) и принятыми обозначениями представим ее в виде
/У?— sin
屮偉，Д, Н) = 2 b4 + С】+。2 —(4 + & -当)siM 田 + aG Sin 仇
(2.57)
Введем обозначения
Л + Cj-Bj2aG(4 + Cj + C2)
Л + С, + СГ 6卞，
♦=鲁[4 + & + & —(』+ & —吕)sin? 匐+sin Bo=2o， (2.58)
2 = sin В，
Тогда (2.57) можно представить в виде
№ Д, ")=2儲 +£ +e2)[ £ 一 ；"十同•(2.59)
Заметим, что всегда 才 + & —以 V 总 + & + G и поэтому р V L Следовательно, в области изменения z(—1&2W1) величина 1 — рг2 > 0 и функция <р не терпит разрывов. График этой функции имеет вид, представленный на рис. 2.11,а. На рис. 2.11,6 график перестроен для аргумента § — угла поворота внутреннего кольца гироскопа.
Рис. 2.11 Графики энергетической функции Ф： а) аргументом функции является z = sin 6； б) аргументом служит 0.
Вернемся к уравнению (2.56) и проанализируем различные возможные варианты движений гироскопа. Прежде всего заметим, что постоянные Я и А не зависят от }о ——начальной угловой скорости гирокамеры относительно наружного кольца. Поэтому функция 屮(0, А, Н) при различных р0 одна и та же. Числитель правой части уравнения (2.56) зависит от е
в = } Qpo + ф (Ро, Д> Н).
При фиксированных значениях 限 А, " он в конечном счете зависит от |Во|・
Поэтому для каждого |6о| можно отложить 8 на оси ординат (рис. 2.11,6) и провести прямую АВ, параллельную оси абсцисс. Рассмотрим сначала случай, когда прямая АВ пересекает энергетическую кривую <р в двух точках.
Рассуждая совершенно аналогично тому, как это было сделано для случая симметричного гироскопа (гл. 1), приходим к выводу, что при ро > 0 движение изображающей точки на плоскости (е, |3) начнется от AU вправо и при р2, определяемом из уравнения
9(02，А，") = Е,
числитель (2.56) обратится в нуль, значит, р2 = 0. Изображающая точка достигла точки В на кривой. Дальнейшее движение будет происходить влево до точки Л и обратно. Таким образом, для гироскопа в кардановом подвесе, так же как для симметричного гироскопа, возможны периодические движения по углу 0 ——нутационные колебания. Из второго циклического интеграла движения (2.38) следует, что
" = 9二摞叩.(2，60)
Следовательно, и угловая скорость вращения наружного кольца ——периодическая функция времени. Отсюда, конечно, не следует, что сам угол а будет также периодической функцией времени. Нутационные колебания сопровождаются, как правило, прецессионным движением гироскопа.
к уравнениюк уравнению,полу-,полу-Период нутационных колебаний можно найти, удвоив время, необходимое для перемещения изображающей точки из Л в В.
к уравнению
к уравнению
,полу-
,полу-
чим
(2.61)(2.61)d^d^匕2 [ё 一 屮偉，A, ")J匕2 [ё 一 屮偉，A, ")Jdt
(2.61)
(2.61)
d^
d^
匕2 [ё 一 屮偉，A, ")J
匕2 [ё 一 屮偉，A, ")J
откуда имеем
7 = 27 入(2.62)
где Pi и §2 находятся как корни уравнения
ф(₽, А, ") = £•(2.63)
Движение рассмотренного вида называется псевдо- регулярной прецессией.
Другие виды движений
Предположим теперь, что начальная угловая скорость Во такова, что уравнение (2.63) имеет два корня, причем Pi >—п/2, §2 = п/2 (точки А^ и Bi на рис. 2.12). Тогда изображающая точка, двигаясь вправо, будет асимптотически приб«11ижаться к точке 8力 что соответ-
ствует замедляющемуся вращению внутреннего кольца. При этом плоскость внутреннего кольца асимптотически стремится совпасть с плоскостью наружного кольца. В этом особом случае угловая скорость вращения наружного кольца в соответствии с формулой (2.60) имеет предельное значение (р = п/2)
В другом случае, когда е = 82, имеется только одна точка пересечения прямой, параллельной оси абсцисс, с
Р/с. 2.12. Различные виды движения гироскопа в зависимости от энергетического уровня е.
энергетической кривой. Здесь любое движение изображающей точки после достижения Д2 (а при Во > 0 с самого начала движения) переходит в неограниченное удаление от точки % вправо. Такому движению соответствует вращение внутреннего кольца в одну сторону (₽о>О).
Если £ = * (рис. 2.12), то при начальной скорости Во > 0 движение совпадает с рассмотренным выше. При Во V 0 движение аналогично случаю £ = &匚 внутреннее кольцо стремится сложиться с наружным и (3 — ———л/2. Угловая скорость прецессии в пределе равна
•
Наконец, при еще более высокой кинетической энергии, сообщенной внутреннему кольцу, когда £ =臥 и
уравнение (2.63) корней не имеет, при любом направлении начального толчка гирокамере сообщается неограниченное вращение в одном направлении.
Найдем условие существования такого вращения. Ограничимся для простоты случаем а0 = 0, т. е. предполагаем, что наружному кольцу начальное возмущение не сообщается. Тогда, согласно (2.58) и (2.59), имеем
芝о = sinPo =々J
qp 偉,Д, Я)= 2(4 +21 + С?) ['；-；2 + 同， 吋9(Т，А，〃) =而4Я-]，
(р(Ро, Д, Я) =2(4：尤：* С?) *
Из двух значений ф1 и ф2 следует выбрать наибольшее: 屮max = max {а，收}，
и тогда условием существования движений типа 84 является выполнение неравенства 8 > фтах, или, учитывая, что
^^Q^ + ^(^ A, ")=4QB^ + i77<fW， получим
2<Ртах 財％
QG4 + & + С?) •
Устойчивость регулярных прецессий
Исследование устойчивости прецессионных движений гироскопа в кардановом подвесе проводится совершенно аналогично гироскопу без колец — симметричному гироскопу.
Основой является анализ возмущенных движений около движения 0 三聞.
Как следует из уравнения (2.43), регулярным прецессиям отвечают точки экстремума функции ф(р, А» Я). В наиболее типичном случае медленной прецессии, ко-
гда |do| < I уо[, величина zo, определяемая одной из формул (2.58), близка к г0, так как член
向1川 + & +e2-(4+& 一 &)加2匐1
C|Yo + «o sin Pol
Кроме того, I 卩I также мало, так что при 卩=0 характер функции ф(р, Д, Н) определяется первым слагаемым в формуле (2.59)
①佃 А ”)^ 2 (4 +2；¥ 5；% — pN)， (2SQ
где z = sin B，No = sin 削 ^ 五o・
Эта функция имеет один минимум в промежутке ——冗/2 V В V к/2. График функции <р изображен на рис. 2.13. При 卩 #=0 график несколько деформируется, принимая вид, изображенный на рис. 2.11, б. Для быстрых прецессий нельзя полагать * и No близкими друг
Другу.
Отыскивая экстремум вводя обозначение
N^n^fE誤，(2.65)
получим
1(2)=
_2(w —2o)(l-pz次)с
(1 - р”)2U・
(2.66)
Если 1?о|<1,то един- гироскопа<
ственным экстремумом будет точка z =药 и это будет всегда минимум. Характер изменения ф уже был показан на рис. 2.13. Если же |乞。| > 1, то единственным экстремумом может быть точка з = 1 /р?о. Однако для этого
должно выполняться условие
誌или I备I)击.⑵67)
Не следует забывать, что р V 1.
Здесь возможны следующие случаи:
а) 1 V|£o| V 1/|р|. В области допустимых значений z = sin В экстремумов нет. Функция ср ведет себя
один минимум.б) 1 /1 р I < IzoI и р > 0. Существует экстремум приодин минимум.б) 1 /1 р I < IzoI и р > 0. Существует экстремум при2 = 1/pZo и это — минимум2 = 1/pZo и это — минимумРис. 2.14. Различные виды экстремумов функции Ф в зависимости от й»; a) IV备<6； 6)击 V 修1(。>0);Рис. 2.14. Различные виды экстремумов функции Ф в зависимости от й»; a) IV备<6； 6)击 V 修1(。>0);
один минимум.
б) 1 /1 р I < IzoI и р > 0. Существует экстремум при
один минимум.
б) 1 /1 р I < IzoI и р > 0. Существует экстремум при
2 = 1/pZo и это — минимум
2 = 1/pZo и это — минимум
Рис. 2.14. Различные виды экстремумов функции Ф в зависимости от й»; a) IV备<6； 6)击 V 修1(。>0);
Рис. 2.14. Различные виды экстремумов функции Ф в зависимости от й»; a) IV备<6； 6)击 V 修1(。>0);
монотонно (рис. 2.14, а)—регулярных прецессий в интервале —п/2 < |3 < л/2 нет; при |3 = ± л/2 один максимум и
(рис. 2.14,6). При р = —±冗/2— два максимума.
в) 1/|р| V |z0| и р < < 0. При 2 = l/pzo функция f имеет максимум. При ® = 士冗/2— два минимума (рис. 2.14,6). Для точек экстремума q/((3o, А, 〃)= 0 возможно существование регулярных прецессий р 三 Ро.
Возмущенное движение в окрестности регулярной прецессии можно найти, представляя начальные условия в виде
Yo = То (1 + О
师=% С+З, ： (2.68) Во =办，
6）击＜闾（”。）.8。 = 0。（1 +£4），
где 8i, 82, е3, 64 ——малые величины. Исследуем устойчивость регулярной прецессии по углу р и производным а, р. Полагаем, что при е； = 0 выполняется необходимое условие существования прецессии (2.43).
В силу непрерывной зависимости А и // от начальных условий (см. формулы (2.41)) при малом варьировании начальных условий в соответствии с (2.68) мало изменяются А и ". Функция 屮((3, А, 〃) непрерывно зависит от Д и // и поэтому, при малом изменении начальных условий, ее изменение также мало. Следовательно, если некоторая точка |3 = (Зо была экстремумом для функции ф, то при варьировании начальных условий положение экстремума сместится мало, т. е.
Во = Во (1 + е5)*
Малая величина е5 стремится к нулю, когда все остальные eg стремятся к нулю.
Для регулярной прецессии (₽ = 0) постоянная £, определяемая по формулам (2.41), равна значению функции ф при р = Ро, т. е. е == ф(ро, А,").
После варьирования начальных условий имеет место неравенство
€ =4 Q百2 +①(в，a,方))中(篇A，方).(2.69)
где Во ——значение 0 для нового экстремума ф.
Другими словами, в случае регулярной прецессии прямая ф = 8 касается графика <р =(р(р0, А, Я), а в возмущенном движении она проходит выше касательной (прямая АВ на рис. 2.15, а). Однако из-за малости
угловой скорости р величина смещения прямой £ ——е также мала. Это видно из зависимости (2.69).
Если экстремум соответствовал минимуму функции ф(р, Д, Н), то после варьирования начальных условий прямая е = const пересечет график функции ф(р, Д, Н) в двух точках Л и В, появятся нутационные колебания с размахомр2 ~~ Pi- Эта величина стремится к нулю вместе
со всеми б{, при этом 82 fBi f0o・ Следовательно, по координате р регулярная прецессия устойчива. Из формулы (2.60) для определения угловой скорости поворота наружного кольца а следует, что устойчивость по р достаточна для устойчивости по а. В самом деле, знаменатель в формуле (2.60) Р(В)>0 и вся дробь непрерывно зависит от начальных условий. Что же касается устойчивости по угловой скорости В, то она следует непосредственно из формулы (2.69). Величина £—屮(百&/7) стремится к нулю вместе со всеми & и поэтому 便= =2[е ——ф(р, Л, H)]Q^ также стремится к нулю.
Если в точке В = ро имеет место максимум (рис. 2.15,б), то при сколь угодно малом варьировании начальных условий прямая АВ(&= const) не пересекает график функции ф(р, А, Я) в окрестности новой точки максимума и, следовательно, отклонения гироскопа |6 — ро| не будут малыми величинами. Гироскоп теряет устойчивость.
Таким образом, необходимыми и достаточными условиями устойчивости регулярной прецессии р = р0 являются два требования:
q/他，А, ") = 0,①〃偉°, А, ")>0・(2.70)
Воспользуемся формулой (2.59) и напишем условия устойчивости. Первое условие приводит к уравнению ⑵47)
вычислениявычисленияcos ро (R(i： sin Во — С%&0 + aG) = 0・(2.71)
вычисления
вычисления
Второе — требует предварительного 屮〃(6, А, Я).
Обозначим
ТогдаТогда柜詳+ К N)・柜詳+ К N)・(2.72)(2.72)Ф(Р，А,")=Ф(Р，А,")=H2f(sin р)2(А + С. + С2)H2f(sin р)2(А + С. + С2)
Тогда
Тогда
柜詳+ К N)・
柜詳+ К N)・
(2.72)
(2.72)
Ф(Р，А,")=
Ф(Р，А,")=
H2f(sin р)2(А + С. + С2)
H2f(sin р)2(А + С. + С2)
и условие(р〃 > 0 эквивалентно условию f" > 0.
Имеем последовательно
(2.73)
塞=—Xsin6 +产 cosp,(2.74)
где штрихи означают дифференцирование по 2 = sin р. Далее, имеем
(2.75)(2.75)
(2.75)
(2.75)
价—2 I 8P2(Z -备).8P222 (z 一 為)2 2P(2 一备)2
—丁二育十(1 -р^2)2 十 (J - p22)3 L (l—pz2)2.
(2.76)
Вспомним, что в соответствии с (2.58)
2。= ° 十多土'" (I - Р喲 «о + 2()・
Вводя обозначение
}(% + & +。2)«о = <о,
Получим
Тогда для z = zQ из (2.75) получим
产(％) = 2рг0ю2 — 2со + 卩，(2.77)
产(z。) = Т^^ 一4p/s + p(l + 3p%)叫，(2.78)
Условия (2.70) теперь примут вид
cos В。(2р%о(д2 — 2(o + 卩)=0,(2.79)
—^о(2Р2о°2 — 2s + 卩)+
+ ^| [1 - 4p%s + p (1 + Зр喲叫 > 0. (2.80)
Сначала рассмотрим прецессию при cosp。*。，т. е. Р#= 土万.Для ее существования необходимо, чтобы уравнение
2р2()82 — 2со + 卩=0 (2.81)
имело действительные корни.
»
Следовательно, дискриминант уравнения должен быть положительным или равным нулю:
4 -8р20 卩》0,叩%《g.(2.82)
Кроме того, должно выполняться неравенство (2.80), которое в силу (2.81) принимает вид
1 一 4р%(о + р (1 + Зр咏)со2 > 0.(2.83)
Это условие было получено В. Н. Скимелем [31].
Удобнее в условиях устойчивости перейти от о)и ц к угловой скорости собственного вращения 仇.Прежде всего, сделаем замены
—2aG (/ + & + С2) 八 _(4 + & + Q) &0
0(% +—e(而 + &0縛•
Тогда уравнение (2.79) принимает вид (2.47) и первое условие устойчивости совпадает с (2.50)
О 毬》4oRGsin|3o.(2.84)
Условие (2.83) можно привести к виду
(1 一 2р%(о)2 + р (1 — р喲 0)2 > (J.
Это условие для р > 0 выполняется при любых о), так как р V 1.
Таким образом, как быстрые, так и медленные прецессии при р > 0 существуют и устойчивы, если только соблюдается неравенство (2.84).
Устойчивость вращения гироскопа при сложившихся кольцах
При сложившихся кольцах |3 = 士冗/2 и, значит, из выражения (2.73) следует, что
2(不占；斗幺)cos"1=0, т. е. возможна регулярная прецессия при любой начальной угловой скорости вращения ротора и наружного кольца. В данном случае прецессия представляет собой
перманентное вращение ротора вокруг вертикальной оси. Как было показано ранее, в гл. 1, такое вращение для гироскопа-волчка не всегда устойчиво. Естественно ожидать, что и для гироскопа в кардановом подвесе вращение вокруг вертикали при сложившихся кольцах также не всегда устойчиво. Для проверки устойчивости положим в формуле (2.74) (3 = ±н/2 и потребуем положительности второй производной (точки (3 = 土冗/2 на рис. 2.14 должны соответствовать минимуму функции $). Имеем
-sin(士卸/(土 1)>0・(2.85)
Из выражения для fz (2.77) следует
Г(±1) = ± 2р(о2-2(о + н
и, значит, при (3 = л/2 должно удовлетворяться неравенство
2рз； — 2@[ + ji V 0,(2.86)
а для [3 = —л/2
2p% + 2tt)2-NV0・(2.87)
Неравенства (2.86), (2.87) были получены В. В. Румянцевым [28] и К. Магнусом 門
Рассмотрим уравновешенный гироскоп р, — 0. Подставляя вместо со
@0(4 + &斗02)
~С (帀 土 &о)，
получим ДЛЯ Р = у
S出一C&VV0(2.88)
и для (3 = —扌
Sd2 + Cdy<0,(2.89)
где S = 4 + & — В] — С.
Во всех неравенствах величину у считаем положительной в соответствии с принятым положительным на* правлением оси Оу.
Рассмотрим сначала случай S > 0. Из неравенства (2.88) имеем, что условием устойчивости при |30= у является
0<d<-~y(2.90)
и при Во = —
--у y<d<0.(2.91)
Другими словами, угловая скорость вращения наружного кольца должна быть не слишком велика по сравнению с угловой скоростью ротора и направление вращений кольца и ротора должны совпадать. Полученный
99勿勿Рис. 2.16. К элементарному объяснению условий устойчивости гироскопа при сложившихся кольцах; а) случай «вытянутого» гироскопа; б) случай «сплюснутого» гироскопа.Рис. 2.16. К элементарному объяснению условий устойчивости гироскопа при сложившихся кольцах; а) случай «вытянутого» гироскопа; б) случай «сплюснутого» гироскопа.
9
9
勿
勿
Рис. 2.16. К элементарному объяснению условий устойчивости гироскопа при сложившихся кольцах; а) случай «вытянутого» гироскопа; б) случай «сплюснутого» гироскопа.
Рис. 2.16. К элементарному объяснению условий устойчивости гироскопа при сложившихся кольцах; а) случай «вытянутого» гироскопа; б) случай «сплюснутого» гироскопа.
результат можно объяснить, пользуясь элементарными соображениями. Условие S > 0 означает, что сумма моментов инерции внутреннего кольца и ротора относительно оси вращения кольца больше, чем относительно оси фигуры. Такой гироскоп будем называть «вытянутым» (рис. 2.16,а).
При повороте такого гироскопа на угол бр появляется гироскопический момент, стремящийся вернуть кольцо в исходное положение. С другой стороны, из-за вращения наружного кольца возникает дестабилизирующий мо-
мент центробежных сил инерции (в системе координат, связанной с наружным кольцом), который при значительной величине угловой скорости а может привести к потере устойчивости гироскопа.
Для «сплюснутого» гироскопа (рис. 2.16, б) S <0 и решение неравенств (2.88) и (2.89) соответственно дает
а> 0 либо
<i V 0 либо а > —^^ •
Смысл этих неравенств следующий. Вращение наружного кольца в ту же сторону, что и ротора, достаточно для стабилизации гироскопа. Для сплюснутого гироскопа момент центробежных сил инерции действует стабилизирующим образом, поэтому даже при обратном направлении вращения наружного кольца можно все- таки подобрать такую достаточно большую угловую скорость вращения d y|, при которой стабилизирующий момент центробежных сил инерции будет превалировать над дестабилизирующим гироскопическим моментом и внутреннее кольцо окажется устойчивым.
Для ц =/= 0, т. е. для тяжелого гироскопа, неравенства (2.88) и (2.89) принимают вид
Sd2 —Cdy + aG<0,S&2 + Cdy — 〃G < 0.
Корни трехчленов соответственно равны
嚼=表(一/±行/1 +鬻^).
Если считать, как это имеет место для реальных гироскопов, что 4aGS《С2V2, то можно получить приближенные значения корней:
代导一需， 碱*瑞，
В соответствии с этим условия (2.90), (2.91) перейдут в измененные:
攻V@ V型一吆(i = m
3 &。& S Су \Ро 2 丿，
-^ + ^<«<-W例=—計
Аналогично для S < 0 (для сплюснутого гироскопа) получим
0 > 百" либо а < 丁一呑，
./ aG 广 .Су . aG
硏 либ° аА-丁 + 讦-
Условия устойчивости, полученные выше, позволяют лишь судить об устойчивости регулярных прецессий гироскопа по углу р и угловым скоростям а, р, у.
Однако гироскопы нашли применение как прецизионные навигационные приборы благодаря их устойчивости по углам поворота обоих кардановнх колец. Между тем остался нерешенным вопрос об устойчивости гироскопа по углу поворота наружного кольца, т. е. по а. Ниже будет показано, что идеальный гироскоп по циклической координате а неустойчив.
Нутационные колебания и неустойчивосгь гироскопа по углу вращения наружного кольца
Ограничимся доказательством неустойчивости перманентных вращений астатического, т. е. уравновешенного, гироскопа (о = 0).
Легко видеть, что решением уравнения (2.42) является а 三 0, р = ро. Действительно, при этом из (2.41) имеем
Hq = Суд, А。= "о sin Во
и, полагая в уравнении (2.44) о = 0, получим
①'(Во，厶0‘ "о) = О・
Следовательно, уравнение (2.42) удовлетворяется.
Сообщим теперь внутреннему и наружному кольцу малые начальные угловые скорости ао и Рэ-
Движение гироскопа подчинено теперь уравнению
|Qp2 +(p(p, А, 〃) = £,(2.92)
где
A = //sinp0 + Р(ро)«о»
Н = С (у0 + d0 sin Ро) = ^о + Cd0 sin ₽0,
E = ：Q解+叫生，Д, ")•
Измененным значениям параметров Ан" соответствует и новая координата р+, при значении которой функция (р(р, А, Н) достигает минимума. В этой точке при нулевых начальных условиях (& = В=°) имеет
Рис. 2.17. Деформация энергетической кривой при изменении начальных ус* ловий.Рис. 2.17. Деформация энергетической кривой при изменении начальных ус* ловий.место перманентное вращение 0+ = const
Рис. 2.17. Деформация энергетической кривой при изменении начальных ус* ловий.
Рис. 2.17. Деформация энергетической кривой при изменении начальных ус* ловий.
На рис. 2.17 изображен график функции(р = =(р(р, Д, Н) и отмечены координаты 00 и р+ Соседних перманентных вращений. Пунктиром изображена энергетическая кривая для невозмущенного
движения.
Ранее уже было показано, что малые начальные возмущения гироскопа вызывают малые при любом 力 возмущения координаты В и угловых скоростей d, 8, у. Другими словами, гироскоп устойчив по нециклической координате 0 и всем угловым скоростям. Отсюда, конечно, не следует его устойчивость по циклическим ко ординатам а, у. Перейдем к оценке неустойчивости гироскопа по углу поворота наружного кольца сс
По заданным Ан" можно, решая уравнение
В®, А, ") = 0,В®, А, ") = 0,(2.94)(2.94)
В®, А, ") = 0,
В®, А, ") = 0,
(2.94)
(2.94)
найти р+. Это уравнение можно получить из (2.44), полагая в последнем а = 0:
(А-Я sin р+)[2Я cos Р+Р 偉+) — 0 (Р+) (А - " cos ₽+)] = 0.
Отсюда получим
sinB+=}.(2.95)
Напомним, что для невозмущенного перманентного вращения Ао/〃 = sin |3о. Следовательно, при малых начальных возмущениях, когда | Д — До|, \Н ——"о| достаточно малы, sin 8+ — sin |3о также мало.
Итак, 8+ определено. По |3+ можно найти В+, используя для этого уравнение (2.92):
v2^y QBj = £ —屮(§+，A, 〃).(2.96)
Поясним смысл введенной постоянной v2.
Если в плоскости (р, ф) на рис. 2.17- провести прямую Ф = е, то она пересечет график функции <р(0, А, ") в двух точках А и В. Разность ординат точек на прямой АВ и на графике равна е ——ф(р, А, 〃). В точке р = =В+ эта разность максимальна и равна v2.
Вычтем из обеих частей уравнения (2.92) qp(p+, А, Н):
|<?p2 + ф(Р, д,切一屮е+，а, ")=e-9偉+, a, ").
Воспользуемся теперь введенной постоянной v2 и получим
警=± /等 yV—WdB, А, 〃)一<Р®, А,硕.(2.97)
Кроме того, из (2.36) следует
(2.98)(2.98)da — А — Н sin 6万=-~
(2.98)
(2.98)
Размах нутационных колебаний (0夂，р2) определяется из решения уравнения ~^ = 0， или
屮偉，А, ") —qp(B+，А, ") = У.
Корни его соответствуют точкам пересечения прямой ф == V2 +(р(Р+, А, Я) с графиком функции <р(р, Д, Н) (рис. 2.17). Из (2.97) и (2.98) следует
也=±亙——厂A-厶吋—(2.99)
邙 У 2 P (₽) Kv2 - <p (₽, Д, //) + ф (₽+, Д, 7/) '
За период нутационных колебаний изображающая точка движется от 4 до В и обратно (рис. 2.17). При движении вправо 6>0и в правой части уравнения (2.97) следует взять знак плюс, при движении в обратном направлении —знак минус. Следовательно, приращение угла а за период нутационных колебаний можно представить в виде
02BlPt
5a= J尸偉)祁一 J尸(B)dB = 2 J尸偉)卽.(2.100) Pi仇Bi
Здесь для краткости через 尸(0) обозначена правая часть уравнения (2.99).
Если окажется, что за период нутационных колебаний угол а получает приращение, т. е. ба =/= 0, то гироскоп неустойчив. Действительно, за каждый следующий период это приращение будет таким же и отклонения будут накапливаться. Перепишем формулу (2.100) в виде
6a=]// ((，厶出 Р)唯一.⑵ 0])
у J Р (6) УМ-(9-9+)、 J
Pl
Здесь через(р+ обозначено(р(р+, Д, Я).
Для того чтобы вычислить интеграл, необходимо найти 01 и 02 как функции V2 Для этого представим разность ф —(р+, в виде разложения
Ф(Р，А, ^) —ф(₽+，А，Н)=
=Ф；(₽-₽+) + 4•唯(В-В+У + 4 叫"Т+)з + ... (2.102)
Прежде всего вспомним, что из определения 0+ (точка минимума функции <р) следует, что <р； = 0・
Таким образом, для отыскания pi и р2 необходимо решить уравнение
|ф；(₽ - ₽+)2 + |ф?(₽ ~ ₽+)3 + ?.--=优(2.ЮЗ)
Корни этого уравнения — аналитические функции от v2 и их можно представить в виде
E = B+ + aw + a2V2 + ・・・
Подставим 0 в (2.103) и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях v в левых и правых частях уравнения
y唯硏=1，中工"g+"i叫在=0,...
Отсюда получим два решения:
///777
Ф+丿一 屮+
и, следовательно,
или сокращенно
Pi, 2 n B+ 干 aw + bv2 + ...
(2.104)(2.105)(2.106)(2.104)(2.105)(2.106)Перейдем к вычислению интеграла (2.101).
(2.104)
(2.105)
(2.106)
(2.104)
(2.105)
(2.106)
После замены переменных
В =嗝鱼 + 匣尹 sin 〃(2.107)
и использования разложений (2.106) получим
р = В++ avsin 〃 + DU + •・.(2.108)
5a = ]/^ (02 — Pi) J5a = ]/^ (02 — Pi) J[А — 〃 sin 0 (〃)] cos 〃 d〃[А — 〃 sin 0 (〃)] cos 〃 d〃Р（6）142-（屮一屮+）Р（6）142-（屮一屮+）・(2.109)・(2.109)Заметим, что при р = 仇 〃=—冗/2; р = 氏 〃 = л/2. Отсюда (2.101) принимает вид
5a = ]/^ (02 — Pi) J
5a = ]/^ (02 — Pi) J
[А — 〃 sin 0 (〃)] cos 〃 d〃
[А — 〃 sin 0 (〃)] cos 〃 d〃
Р（6）142-（屮一屮+）
Р（6）142-（屮一屮+）
・(2.109)
・(2.109)
Заметим также, что 彳(02一Bi) = av 十 ... Введем обозначение
A —Hsin В
-万⑹-—3P丿
и заметим, что в силу равенства (2.95) С(0+) = 0. Удержим в разложении С (р) по степеням v члены до v2 включительно
。偉)=С】(6 — 6+) + } М (6 - “У + …=
=С] (av sin 〃 + 力М) + 扌 С工出山2 sin2 и +
Кроме того, используя разложение (2.102), имеем
"2 —(屮—中+)="2 (1 + 子^ V sin ") cos2〃 +
Таким образом,
2 w公一(①一中+) \6(p+/
C(B)(62-M)COS〃 =
2 j/ v2 — (<p — ф+)
sin u+v2 [c^ + g M -言 C；)壮 SiM 〃)+
(2.111)
Подставляя (2.111) в (2+109) после интегрирования, по- лучим
6а = алУ2Q\с^Ь + — ^— С^. — С^.~77~j ^ +=6а = алУ2Q\с^Ь + — ^— С^. — С^.~77~j ^ +=
6а = алУ2Q\с^Ь + — ^— С^. — С^.~77~j ^ +=
6а = алУ2Q\с^Ь + — ^— С^. — С^.~77~j ^ +=
При необходимости можно найти и последующие члены разложения аналитической относительно v функции ба.
Аналогично можно вычислить и период нутационных колебаний. Для этого воспользуемся формулой (2.62) и заменой (2.107)
仇Л/2
金k"w一") 丄2岭2一(①一①+)
(2.113)
Подставляя в подынтегральное выражение разложение (2.110) и выполняя интегрирование получим
Т = а /2Q л + v2O(V)=+ v2O (v), (2.114)
где O(v) — ограниченная функция от v.
Определим среднюю угловую скорость вращения наружного кольца за период нутационных колебаний
〈&〉=毕.
Используя выражения (2.112) и (2.114), имеем
3〉= ^(》)‘宙+ …(2.115)
Здесь удержан только первый член разложения в ряд Тейлора аналитической по v функции 〈&〉. Однако не представляет труда найти и последующие члены разложения, чтобы получить более точное значение угловой скорости прецессии ).
Выразим теперь правую часть (2.115) через параметры гироскопа. Вспомним, что
A —"sinP+ = O,
С= pW^^778^^ 屮= ^^(A — "sin0)2.
Отсюда получим
с+ (%) = °，М = 一 湍+) cos 却哪= ^j["P(6+)sEB+-2〃(R + C)cosB+siii2P+],
Ф(6) = 4"С(А —"ship), Ф (₽+)== о, и(в+)= о,屮"(₽+) = — НС] cos ₽+,旷‘ (h) = ^Н®+ sin % - ％ cos 时
Ограничиваясь первым членом разложения (2.115), получим
⑷=晶(0嘗-m喲=
—г g + 3i)sinB+ /9 “А、
— Я cos2 Р+ [С2 + В! + (А + Cj ~ ВО cos2 р+] *
Вспомним, что в соответствии с формулой (2.96) параметр V2 выражается через угловую скорость внутреннего кольца в момент прохождения точки минимума энергетической кривой (рис. 2.17)
У = g QB： = } (% + 4)冷
Таким образом, имеем окончательно
(5 + &)(4 + 4)風邙+(薛)21、
з 2〃cos2B+ 储2 + & + (4 + С】一 5JCOS2 0+]…"
Эта формула приближенным методом была выведена Магнусом [35], Плеймелем и Гудстейном [36] в 1955 г. Она позволяет установить не только сам факт неустойчивости гироскопа по углу поворота наружного кольца, но и оценить величину средней угловой скорости псевдорегул яр- ной прецессии, сопровождающей возмущенное движение гироскопа. Лишь при р+ = 0 (плоскости колец взаимно перпендикулярны) прецессия отсутствует.
Появление систематического ухода вызывается неко・ торыми особенностями нутационных колебаний. Они связаны с инерционностью колец. Момент сил реакций, приложенных к оси наружного кольца, перпендикулярен
этой оси. Он имеет составляющую, параллельную оси внутреннего кольца, которая заставляет вращаться кинетический момент гироскопа вокруг оси наружного кольца. Изменение составляющей за период нутационных колебаний несимметрично — преобладает момент одного направления. В результате этого наружное кольцо не возвращается в начальное положение, происходит медленное вращение гироскопа вокруг оси наружного кольца.
Разумеется, результат К. Магнуса не противоречит доказанной в гл. 1 теореме об устойчивости перманентного вращения симметричного уравновешенного твердого тела с неподвижной точкой при его вращении вокруг оси симметрии.
У такого тела нет карданова подвеса и поэтому 4 = =ВI == С, -—-。2 ~— 0, следов я тел ьно,〈а〉0.
Неустойчивость консервативных механических систем по циклическим координатам является, как оказывается, правилом, а не исключением [13]. Так что доказанная нами неустойчивость по циклической координате а ——углу поворота наружного кольца гироскопа — естественный результат. Кстати, гироскоп неустойчив и по углу собственного вращения ротора у. Однако эта неустойчивость практического интереса не представляет, малое изменение угловой скорости собственного вращения ротора не влияет на положение его оси в инерциальном пространстве. Неустойчивыми по а оказываются и регулярные прецессии тяжелого гироскопа. Доказательство неустойчивости и вывод формулы для оценки дополнительной угловой скорости наружного кольца мало чем отличаются от приведенного выше для астатического гироскопа [13].
Пример. Подсчитать среднюю угловую скорость азимутального ухода астатического гироскопа, если кожуху сообщена угловая скорость В+ = 0,5 се&т. Угол В+ ^ 冗/6, параметры гироскопа следующие:
Н = 2000 Г * см* сек2, А = 0,55 Г • см * сек2.
Л1 = В| = 0,46 Г • см • се№,& = 0,58 Г • см- сек2, С2 = \^ Г * см сек2.
Подставляя в (2.117) значения параметров, получим
⑻=-⑻=-2,39 • 1,01 • 0,5 • 0,252,39 • 1,01 • 0,5 • 0,252 • 2000 • 0,75 (2,39 + 0,75 • 0,67)2 • 2000 • 0,75 (2,39 + 0,75 • 0,67)=—3,5 • 10 5 сек,=—3,5 • 10 5 сек,
⑻=-
⑻=-
2,39 • 1,01 • 0,5 • 0,25
2,39 • 1,01 • 0,5 • 0,25
2 • 2000 • 0,75 (2,39 + 0,75 • 0,67)
2 • 2000 • 0,75 (2,39 + 0,75 • 0,67)
=—3,5 • 10 5 сек,
=—3,5 • 10 5 сек,
что соответствует уходу 7,2 град/ч.
В заключение отметим, что при введении демпфирования в осях подвеса колец гироскоп становится устойчивым [12]. Однако тот же гироскоп, установленный на подвижном основании (например, колеблющемся), не удерживает заданного направления. Ось фигуры медленно прецессирует в инерциальном пространстве. Эффекты, связанные с инерционностью колец, обнаруживаются и в более сложных гироскопических устройствах [12], [24], [25]. Их анализ выходит за рамки этой книги.
Уравнения движения гироскопа, установленного на подвижном основании
В большинстве случаев гироскопический прибор устанавливается на подвижном основании. Даже тогда, когда гироскоп установлен на Земле, он все же движется в инерциальном пространстве, увлекаемый вращением Земли. В более сложном движении участвует прибор, установленный на движущемся самолете, ракете, корабле. Выведем уравнения движения гироскопа, установленного на подвижном основании.
Прежде всего введем системы координат (рис. 2.18). Начало всех сйстем координат совместим с точкой пересечения осей карданова подвеса ——точкой О. Пусть °ЕпС — система, поступательно движущаяся относительно инерциального пространства. С основанием, на котором расположен гироскоп, связана система Oxyz, причем ось Oz совпадает с осью наружного кольца гироскопа. Положение этой системы относительно О±пС определяется углами Эйлера ”, 9, ф, а угловая скорость ——вектором
(0 =做。+ 加。+ @2。， (2.118)
где 九°—орт, направленный полинии узлов О^2 (рис. 2.18). С наружным кольцом связана система 0%専义卜 Ее положение задается одним углом а, и, следовательно, угловая скорость кольца относительно основания
叫=S0. (2.119)
Система OX2P2N2 связана с гирокамерой (внутренним кольцом), и ее положение определяет угол 0 — угол
поворота гирокамеры относительно наружного кольца. Относительная угловая скорость гирокамеры равна
(2.120)
Угол поворота ротора относительно гирокамеры обозначим
Рис. 2.18. Системы координат: O^t)t -*инерциальная, С戈yz — связанная с основанием* Ox^iZi—связанная с наружным коль цом, OxtUtZi <— связанная с внутренним кольцом.Рис. 2.18. Системы координат: O^t)t -*инерциальная, С戈yz — связанная с основанием* Ox^iZi—связанная с наружным коль цом, OxtUtZi <— связанная с внутренним кольцом.
Рис. 2.18. Системы координат: O^t)t -*инерциальная, С戈yz — связанная с основанием* Ox^iZi—связанная с наружным коль цом, OxtUtZi <— связанная с внутренним кольцом.
Рис. 2.18. Системы координат: O^t)t -*инерциальная, С戈yz — связанная с основанием* Ox^iZi—связанная с наружным коль цом, OxtUtZi <— связанная с внутренним кольцом.
через у, а его относительная угловая скорость будет
0)3 =V瑞.(2.121)
Гироскоп представляет собой систему трех тел. Найдем абсолютные угловые скорости каждого из них. Для наружного кольца
Qi = со + 叫=®go + 贏。+ (ф + d) 2°・(2.122)
Для внутреннего кольца
如=s + % + 吗=施° + 8及 + (@ + &)z° + 6斗，(2.123)
Для ротора
%=8 + 吗 + 82 + 83 = 03° + 6淤 + @+&)2°+8号 + *骋■
(2.124)
Имея в виду составление в дальнейшем уравнений Лагранжа для гироскопа, установленного на подвижном основании, найдем проекции угловых скоростей на оси Резаля 0%2禽22.
Проекции угловой скорости основания на связанные с ним оси Oxyz будут соответственно равны
р = 6 cos <р + j sin 行 sin <p,
g = —G sin <p+@ sin 分 coscp, (2.125) 厂= @ +《cos仇
Проекции угловой скорости наружного кольца на связанные с ним оси
Qi% = р cosa + gsina, Qlz/ = ^cosa —psina, Q* =厂 + a.
(2.126)
Проекции угловой скорости гирокамеры на оси Резаля
Q2x = Q& + В = "cos a + g sin a + B，
。2« =。1« cos В + Qu sin В =
=(g cos a — p sin a) cos P + (r + a) sin p, (2.127)
Й2г = Qiz cos p — Q[y sin В =
=(r + a) cos 6 — (g cos a — p sin a) sin p.
Проекции угловой скорости ротора отличаются от (2.127) только величиной Q3?：
◎зу = %р + у.(2.128)
Перейдем теперь к составлению кинетической энергии гироскопа, участвующего в сложном движении вместе с системой и относительно этой системы.
Заметим, что в этом случае кинетическая энергия может быть подсчитана по формуле (том II, § 10.1)
Т=Тг +'* + MvouCi(2.129)
где Тг — кинетическая энергия при движении гироскопа относительно системы координат 0自刀& ?о — скорость начала координат относительно инерциальной системы координат, ис—относительная скорость центра масс гироскопа в системе。占嘀 М — масса гироскопа.
Примем следующие допущения: 1) центр масс наружного кольца находится на его оси вращения; 2) центр масс гирокамеры расположен в плоскости, содержащей ось ротора и наружного кольца, и неподвижен относительно гирокамеры.
При таких упрощающих предположениях кинетическую энергию гироскопа можно разделить на две части: одну — зависящую от обобщенных координат а, |3, у, другую — от них не зависящую. Сначала выделим в общей сумме (2.129) кинетическую энергию наружного кольца Т(н)и гирокамеры 7(门
М(%2
Т(н)= 〃н)+ _+ М(н&吟)，
小)=〃r) + + M^VQU^.
Легко видеть, что 咽 не зависит от углов поворота наружного и внутреннего колец а и |3. В самом деле, мы предположили, что центр масс наружного кольца расположен на его оси вращения, поэтому естественно, что его скорость зависит только от закона движения основания. Скорость движения начала координат 目。также не зависит от углов поворота колец.
Таким образом, часть кинетической энергии, зависящая от обобщенных координат, может быть представлена в виде
厂咽， (2.130)
где, напоминаем, Тг — кинетическая энергия гироскопа относительно поступательно движущейся системы координат 0自陪
В дальнейшем опустим в обозначениях верхние индексы, не забывая, однако, что символы М и ис относятся к гирокамере.
Уравнения Лагранжа, если воспользоваться формулой (2.130), могут быть представлены в виде
dt \ дд. у 0% 1 [ dt dq. dq. 屮
Заметим, что скорость 办 начала координат подвижной системы 。自刀^ не зависит от обобщенных координат
и обобщенных скоростей, поэтому ее можно выносить за знак частной производной. Введем обозначение
о%о%0优%)0优%)
о%
о%
0优%)
0优%)
=m叫需+ m0。信箒一舞）■
Однако выражение, стоящее в последних скобках, тождественно равно нулю ), следовательно,
дисдгс
Ц = MwQ^~- === MwQ-j^-.
Таким образом, уравнения Лагранжа принимают вид
4 (*)一亲；=Ql MW *. ⑵⑶)
дис% . V 喫.11i=i " /дис% . V 喫.11i=i " /Второе слагаемое в правой части представляет собой обобщенную переносную силу инерции.
дис% . V 喫.
11i=i " /
дис% . V 喫.
11i=i " /
Перейдем к вычислению величин Тп £〃 Кинетическая энергия наружного кольца
2 力"=也甯力 + B^^iy + Сгй?2 =
=Л2(р cos а + g sin а)2 + В2(? cos а — р sin а)2 + С2(г + а)2.
(2.132)
Аналогично для гирокамеры вместе с ротором 2Т? = (4 + 4) ◎£ + В{^у + (& + 4)唸 + С (Q2y + y)2> или, с учетом (2.127), получим
27，" = (4 + А)(р cos а + g sin а + ₽)2 +
+ Bi [(г + а) sin |3 + (g cos а ——р sin а) cos Р?十
+ (Ci + Л) [(г + а) cos |3 —(9 cos а — р sin а) sin 呼 +
+ C[(gcosa — psina) cosP + (r + a)sin₽ + y]2. (2.133) Здесь C——осевой и A ——экваториальный моменты инерции ротора.
При выводе формулы (2.133) были использованы соотношения (2.126) — (2.128), устанавливающие связь между углами Эйлера и проекциями угловой скорости тела на собственные оси.
Кинетическая энергия относительного движения гироскопа Тг = Т%# + Т^ является функцией углов Эйлера 2"),令(％), <р(0 и их производных, а также обобщенных координат и скоростей а, р, а, р, у. Углы Эйлера р = 2(f), <& = -&(/), ф = ф(/) играют роль трех нестационарных связей, наложенных на гироскоп.
Перейдем к вычислению 〃?• Предполагаем, что центр тяжести гироблока расположен в плоскости Оу^ тогда %=%羽+%吟
В осях OxitjiZi, повернутых на угол 0 относительно Ох2, получим
гс =仇 cos В — % sE В) У? + 仇 sin В + % cos ①吟
Следующий поворот вокруг оси 。窃 на угол a + ф (рис. 2.18) приводит к осям с ортами 九°, т°, z°:
rc = — (ус cos 6 ——％с sin |3) sin (a + <р) n° +
+ (% cos р — % sin 6) cos (a + 屮)т° + (yc sin В + % cos В)研・
Далее, перейдем к осям O^niJi，совершив поворот на угол 4 вокруг оси О&:
，с = — (Ус cos В —立 sin В) sin (а + 屮)紋 +
+ ^ус cos В — 2g sin В) cos (а + 屮)cos 今一
—(% sinp + 2c cos В) sin 可喟 + [(% sin § + 2c cos P) cos О 4- + (% cos P — % sin P) cos (a + qp) sin 吋 g?・
Наконец, поворотом вокруг оси О* перейдем к основным осям0自吨
гс= — {(ус cos Р —立 sin ₽) sin (а + qp) cos t|)+ + [(ус cos В — Zc sin p) cos (a + 屮)cos 今一
—Uc sin В + 〃 cos p) sin th] sin t|)} §° +
+ ^Ус cos P — % sin B) cos (a + qp) cos 仆一
—(4 c sin р + гс cos Р) sin 6] cos 2 —
—(% cos P — Nc sin P) sin (a + <p) sin 电"。++ {匂C sin0 + Zc cos P) cos О +
+ (Ус cos В — 2c sin p)cos(a + qp) sin fr} S°.(2.134)
Используя выражение (2.134), вычислим обобщенные переносные силы инерции dr
—La = — М侬。-^ = МUc cos в — 2с sinp) х
X {[cos (а + ф) cos 屮一sin (a + 屮)cos 0 s也电 陋自 +
+ [sin (a + ф) cos О cos 2 + cos (a + qp) sin 叨 ⑪寸 +
+ sin (a + T)sin ®%}, (2.135)
—% = — MwQ 簪=M {[[(2c sin ^ —yc cos p) sin 仆一
—(yc sin В 十 Nc cos В) cos (a + qp) cos 9] sin 屮一
—(yc sin § + %с cos В) sin (а + qp) cos 2]侬己 +
+ [[(yc sin P + Nc cos ₽) cos (a + 屮)cos 行 ++ (Ус cos В — 2c sill P) sin 8] cos 巾一
—仇 sin Р 十立 cos P) sin (а + qp) sin 咱 шя —
—[(yc cos P — 〃 sin ₽) cos 仆一
—(4c sin В 十 〃 cos В) cos (а + ①)sin О] %}・(2.136)
Выражения (2.135) и (2.136) в дальнейшем будут использованы для составления уравнений движения неуравновешенного гироскопа.
Продолжим вывод уравнений движения гироскопа. Используя формулы (2.132) и (2.133), получим
•^-=(^2— 32)Ql%Qly + (4 + ^l)^2x^ly 一
—31。2渣?1% COS P + (Cl + Л) Q2z^\x sin 6 —
—C(Q2y + Y)Q【x cos P;
■~- = C^Xz + B^^r/Sinp + (^ + Л)й2гcos₽+ ©〔в?, +0饵2" +V)sinp；
•^• =e((%+ V)q22一(& + 4 - 8)Q2露2z；
祟= 5+4)2%，学=0,礬= c(Q2p+V)・
op0Y Oy"
Имея в виду, что в дальнейшем будет предполагаться отсутствие сил, зависящих от угла собственного вращения ротора, т. е. QY = 0, получим первый интеграл движения
4 (需)=& 需=° ®2g + V)=儿(2.138) где "——кинетический момент гироскопа ——некоторая постоянная величина.
Перейдем к составлению уравнений (2.131).
Используя выражения (2.135)——(2.138), получим после некоторых преобразований
(。2 + 3)(& + 户)+ (& + 4 — 3)賜 cos Р +
+ (吕 + & - 4) &Mg + (8 + Q“) X
X [Я cos ₽ - (Л + A^ Q^ - (^ + Д - BJ Q22] =139)
= Qa—a， •
m + 4)(B + °E)+
+。22 K& + 4 — B|)。2乡 一 〃]=Q|3 —厶6，
Обобщенные силы Qa и Qb необходимо вычислять исходя из конкретных условий работы гироприбора.
В большинстве случаев их удается разделить на диссипативные силы вида
Q： = —九"，Q3 = — b/
(в случае вязкого трения) или
Q« = — ^Q sign &， Q& =—恤 sign В
(в случае сухого трения) и консервативные силы видаQ^f, («，^ Qf=%(a，臥
Уравнения движения корабля
I СЕ噸 и системыI СЕ噸 и системыРис. 2.19. Инерциальная геоцентрическая Oxyz координат.Рис. 2.19. Инерциальная геоцентрическая Oxyz координат.Рассмотрим движение корабля, палуба которого остается горизонтальной. Поверхность Земли будем считать сферичной. Разумеется, в действительности фигура Земли несколько отличается от сферы й при разработке точных инерциальных корабельных систем требуется вводить поправки, учитывающие несфе- ричность Земли. Однако для выявления основных особенно-，
I СЕ噸 и системы
I СЕ噸 и системы
Рис. 2.19. Инерциальная геоцентрическая Oxyz координат.
Рис. 2.19. Инерциальная геоцентрическая Oxyz координат.
стей поведения гироскопа, установленного на подвижном основании, эти поправки значения не имеют.
ось On вось On виизенитзенитВведем геоцентрические оси координат Oxyz, связанные в одной точке с кораблем. Оси Ох и Оу направлены соответственно на восток и север
ось On в
ось On в
и
и
зенит
зенит
(рис. 2.19). Скорость корабля относительно Земли и лежит в касательной плоскости и может быть разложена
на две составляющие vE ——восточную и vN —- северную. Найдем проекции угловой скорости корабля на оси геоцентрической системы координат.
Движение корабля можно представить как сложное: вращение вместе с Землей вокруг оси С^ неподвижной системы отсчета 。自刀匕 с угловой скоростью U и движение относительно Земли.
Разложим в свою очередь последнее движение на совокупность двух движений: вдоль параллели с мгновенной скоростью точки О, равной ?% и вдоль меридиана со скоростью и“. При этом не следует забывать, что палуба корабля остается всегда в плоскости хОу, Представим абсолютную угловую скорость корабля как сумму двух угловых скоростей
и —U + 明
где U — угловая скорость вращения Земли относительно инерциального пространства (U'= 7,29-10~5 рад/сек),
入入ДД(о——угловая скорость относительного вращения корабля.
入
入
Д
Д
叱—R cos qp，叱—R cos qp，Из рис. 2.19 ясно, что движение корабля вдоль параллели аналогично дополнительному вращению Земли вокруг оси ОС с угловой 7 скоростью
叱—R cos qp，
叱—R cos qp，
- nгде 屮一широта места.
Рис. 2.20. Введение трехгранника…
Дарбу Oxyz и курса корабля К.ДВИЖСНИС ВДОЛЬ МерИ
диана вызывает вращение корабля вокруг оси, параллельной Ох и проходящей через центр Земли. Угловая скорость этого вращения будет
Изменение курса корабля ) — угла К (рис. 2.20) между скоростью и и направлением на север соответствует его вращению вокруг оси Oz с угловой скоростью —Аг。.
Таким образом, абсолютная угловая скорость корабля может быть представлена в виде 〃=重。+鳥一矍"。-%。.
Отсюда не представляет труда найти проекции угловой скорости на оси трехгранника Охуг (рис. 2.19)
(2.140)(2.140)〃％ =» tiy=U cos ф H—瓦，
(2.140)
(2.140)
uz=U sin <p + * tg <p — R.
В некоторых случаях вместо геоцентрических осей вводят трехгранник Дарбу, связанный с траекторией движения корабля. Тогда ось Ох направляется по сферической нормали к траектории движения корабля, ось Оу — по касательной и Ог — в зенит (рис, 2.20). Обычно ось Оу направляют по вектору скорости.
Как и выше, разложим движение корабля на два составляющих движения: переносное движение с Землей и относительное по поверхности Земли
u = U +(d. (2.141)
Для получения проекций угловой скорости корабля (〃i, 〃2, 〃з) на связанные оси достаточно заметить, что связанная система может быть получена из геоцентрической путем поворота последней по часовой стрелке на угол К (рис. 2 20) вокруг оси Oz.
Следовательно, имеем
“]=их cos К — %sin К = — U cos <рsin К —为
(2.142)(2.142)〃2 = иу cos К + 以 sin К = U cos <р cos ^, 〃3 =以=Using)+ "^!~^~^tg(p — K・
(2.142)
(2.142)
Здесь мы воспользовались очевидными соотношениями и七=и sin К,vN~v cos К.
При расчетах радиус Земли можно принимать равным 6371 км. В частном случае движения по ортодромии—дуге большого круга АО (рис. 2.20) имеют место упрощения.
Из сферической тригонометрии известно:
—sin 屮 sin К一 sin у—sin 屮 sin К一 sin уCOS s = cos 九 COS Ф，COS s = cos 九 COS Ф，
—sin 屮 sin К
一 sin у
—sin 屮 sin К
一 sin у
COS s = cos 九 COS Ф，
COS s = cos 九 COS Ф，
где 九 ——долгота, ф ——широта и s ——центральный угол, опирающийся на дугу О А. Продифференцировав первые два равенства по времени, получим
s cos ss cos sCOS ф .-..工①sin y *COS ф .-..工①sin y *X cos 九X cos 九sin 丫sin 丫(Ф cos <p sin К + К sin ср cos K)・(Ф cos <p sin К + К sin ср cos K)・
s cos s
s cos s
COS ф .
-..工①
sin y *
COS ф .
-..工①
sin y *
X cos 九
X cos 九
sin 丫
sin 丫
(Ф cos <p sin К + К sin ср cos K)・
(Ф cos <p sin К + К sin ср cos K)・
Если теперь воспользоваться тем, что 九, уR cos 屮，
ф = A cos /^, 6 =常，то получим K = %sinKtg(p и
〃з — 〃z U sin ф»
Свойства обобщенного гиромаятника
Гироскоп с тремя степенями свободы и смещенным относительно точки пересечения осей карданова подвеса центром тяжести называют обобщенным гиромаятником.
Гиромаятник в зависимости от того, в каком направлении смещен центр тяжести гироблока и как расположена ось вращения наружного кольца, может служить прибором, указывающим некоторое фиксированное относительно Земли направление. Ниже будет показано, что гиромаятники могут указывать вертикаль места (гировертикали), направление север — юг (гирокомпасы) и широту места (гирошироты).
Предположим, что основание прибора неподвижно относительно Земли. Свйжем с основанием геоцентрическую систему координат. Сначала рассмотрим такое положение гироскопа, когда ось вращения наружного кольца располагается по радиусу Земли.
Тогда из формул (2.140) получим
〃尤三 р = 0, uy = q = U cosqp, uz=^ г — U sinф. (2.143)
Прежде чем воспользоваться уравнениями движения (2.139), вычислим угловые скорости Qix, Qiu，Qiz, 02心 $如，§%• Используя выражения (2.127), (2.126) и (2.143),
придем к формулам
Qi* = U cos ф sin a, Q]y = U cos ① cos а,
Qiz = U sincp + &,
(2.144)(2.144)仇尤=U cos qpsin а + p,
(2.144)
(2.144)
◎2y = U cos qp cos a cos |3 + (U sin 屮 + d) sin (3, 。22 =(U sinqp + d) cosP — U cos qp cos a sin |3.
При вертикальном расположении оси наружного кольца обобщенные силы имеют вид
Qa = o，Qb = -^・
Потенциальная энергия в случае смещения центра тяжести в плоскости симметрии гироскопа будет
n = P{ycsin^ + zc cosp) и, следовательно,
Qp = Р d sin В — у。cos Р).
Введем для коэффициентов уравнений (2.139) обозначения
(2.145)(2.145)J + 修=Q，& + 4 — 3 = R,^1 H" ^2^2^^ A + 4 = S
(2.145)
(2.145)
и найдем В = const,и найдем В = const,решения уравнений (2.139) типа а = const, т. е. определим положения равновесия гиро-
и найдем В = const,
и найдем В = const,
скопа относительно Земли.
Заметим, что во всех уравнениях необходимо принять a = 0 = Qix = 02z = 0. Кроме того, пренебрежем силами инерции переносного движения Земли. Уравнения для определения положения равновесия гиромаятника после подстановки этих условий в систему (2.139) принимают вид
DU' cos2 ф sin a cos a +
+ U cos qp sin а [H cos 自一BU cos qp cos а —
(2.146)(2.146)—RU (sin <p cos p — cos qp cos a sin P)] = 0, U (sin qp cos B — cos ф cos a sin p) X
(2.146)
(2.146)
X [RU (cos ① cos a cos ₽ + sina sin ₽) — //] =
=P (〃 sin ^ — yc cos 0)・
Рис. 2.2L Случай использования гироскопа в качестве гироширота.Рис. 2.2L Случай использования гироскопа в качестве гироширота.
Рис. 2.2L Случай использования гироскопа в качестве гироширота.
Рис. 2.2L Случай использования гироскопа в качестве гироширота.
Из первого уравнения следует, что
U sin a cos ср [/7 cos Р — (/ (S cos ① cos а + R sin ① cos P — ——R cos ① cos a sin В ——Q cos ① cos a)] = 0.
Квадратная скобка, если только не рассматривать такие положения гироскопа, когда кольца почти сложились (р a 冗⑵，не может быть равна нулю. Член "cos。гораздо больше остальных слагаемых. Отсюда вытекает, что в положении равновесия ao=O и тогда второе уравнение может служить для отыскания 限
Подставляя в него a = 0, получим
U sin (ф — 0) (RU cos qp cos 0 —
—Н) = Р & sin В — ус cos р).
(2.147)
Рассмотрим два частных случая.
Центр тяжести совпадает с неподвижной точкой, т. е.
Ус ~ ^с ~。・
Тогда из уравнения (2.147) следует, что
sin (ф — р) = 0, р = <р.
Из рис. 2.21 ясно, что в этом случае ось фигуры гироскопа сохраняет неизменное относительно Земли направление и она направлена параллельно оси мира.
Если известен горизонт в данной точке Земли, то угол наклона оси фигуры к горизонту определяет широту места.
Гироскоп, способный указывать широту места, называют гироширотом.
Центр тяжести лежит в плоскости, содержащей ось наружного кольца и ось фигуры, и находится на перпендикуляре к оси фигуры ниже точки пересечения осей карданова подвеса. Другими словами, ус = 0, 2с =—厶
нии относительного равновесия.нии относительного равновесия.=U sincp.=U sincp.
нии относительного равновесия.
нии относительного равновесия.
=U sincp.
=U sincp.
Покажем, что прибор этого типа может служить указа- телем направления север — юг (гирокомпас).
Прежде всего, из уравнения (2.147) можно найти 0. Приближенно, используя малость угла ₽, получим
U (sin ф — ₽ cos ср) (Я — RU cos ср) = Р/0.
Кроме того, воспользуемся тем, что Н》RU、тогда
Qt/sinqp
=•
务+Ucos(p
Величина 々=斤 в реальных гирокомпасах значительно больше Ut поэтому
Во А -^厂 sm(p
——малый угол. Эта формула позволяет дать элементар* ное объяснение основного свойства гирокомпаса — спо
собности удерживать направление север — юг. Поясним это свойство, используя рис. 2.22. Сила Р вызывает момент относительно оси внутреннего кольца
Мх = — Р/ft)= — HU sin ф.
Момент этот направлен по касательной к параллели на запад и по теореме Резаля вызывает прецессию гироскопа вокруг оси 2 с угловой скоростью
Это ——угловая скорость вращения гироскопа относительно инерциального пространства. Точно такую же величину имеет вертикальная составляющая угловой скорости вращения Земли (рис. 2.23). Поэтому ось фигуры гироскопа сохраняет неизменное относительно
Земли направление на север. Момент Мх иногда называют восстанавливающим моментом гирокомпаса.
В § 1.11, исходя из элементарной теории, было уже показано, что при отклонении оси фигуры гироскопа на угол а от меридиана возникает направляющий момент Mz =——HU cos ф sin а, который возвращает гирокомпас в меридиан. Более строго вопрос об устой
чивости равновесного положения гирокомпаса будет рассмотрен ниже.
2.23. Разложение утло2.23. Разложение утловой скорости Земли на две '“ “°。°i up помпсоставляющие.тальна и расположена В ПЛОСКОвой скорости Земли на две '“ “°。°i up помпсоставляющие.тальна и расположена В ПЛОСКОСТИ меридиана.СТИ меридиана.Перейдем к «простому» гиромаятнику, т. е. гироскопу с горизонтальным расположением оси наружного кольца и смещенным вниз центром тяжести гироблока (рис. 2.24). Положим для простоты, что ось 2 (рис. 2.24) горизон-
2.23. Разложение утло
2.23. Разложение утло
вой скорости Земли на две '“ “°。°i up помп
составляющие.тальна и расположена В ПЛОСКО
вой скорости Земли на две '“ “°。°i up помп
составляющие.тальна и расположена В ПЛОСКО
СТИ меридиана.
СТИ меридиана.
В этом случае необходимо пересчитать формулы для проекций угловых скоростей на оси систем координат, связанных с Землей и кольцами. Из рис. 2.24 следует
〃х = р = 0, 〃y = g = Usinqp, uz — r = U cos <р, после чего получим
О】％ = U sin qp sin a, Q^ = t/ sinqp cos a,
Ql2 = t/cos(p + a,
dy = U sincpcos acosR + (U cos<p+&)sinR,'''
。2之=(U cos ф + a) cos ₽ — t7 sinqp cos a sin p.
Потенциальная энергия для гиромаятника со смещенным вниз по оси фигуры центром тяжести может быть подсчитана по формуле
П — —Plcos a cosР・П — —Plcos a cosР・(2.149)(2.149)
П — —Plcos a cosР・
П — —Plcos a cosР・
(2.149)
(2.149)
Ее легко получить, определив работу силы тяжести, приложенной в точке С (рис. 2.25), при перемещении гиромаятника из произвольного положения, определяемого углами поворотов колец а и р, в положение a = О, Р = 0.
Подставляя (2.148) и (2.149) в (2.139), найдем реше* ния а = const, [3 = const из уравнений
DU2 sin2 qp sin a cos а +
+ U sin(psina[7/cosP — BU sin qpcos а —
—RU (cos ① cos P — sin ф cos a sin p)]=
(2.150)(2.150)=—Р/ sin a cos |3,
(2.150)
(2.150)
U (cos qpcosP — sin(p cos a sin|3) X
X [RU (sin qp cos a cos p + sin a sin 0 — H]=
=—cos a sin p.
уравнение тогда примет вид
U cos (qp + Р) [RU sin qp cos 0 — 〃] = — Р/ sin &
Pl
Учитывая, как и выше, что 万》U, получим приближенное уравнение для определения Во
U/7 (cos <р—丽 sin qp) = Р偏，
откуда имеемоткуда имеемU cos ф UH cos фР°~用—U cos ф UH cos фР°~用—+- (/ sin Ф+- (/ sin Ф
откуда имеем
откуда имеем
U cos ф UH cos ф
Р°~用—
U cos ф UH cos ф
Р°~用—
+- (/ sin Ф
+- (/ sin Ф
5 9, л. Лунц
Ось гироскопа отклонена от вертикали к северу на угол Ро.
Как и в случае гирокомпаса, может быть найден момент, который обеспечивает стабилизацию оси фигу* ры около вертикали
Мх = — Р/|30 = — U Н cos ф.
Соответствующая угловая скорость вращения кинетического момента Н вокруг оси Oz (рис. 2.25) определяется по теореме Резаля
й)2 === ~"" -у^ -— U COS ф, что совпадает с горизонтальной составляющей угловой скорости вращения Земли (рис. 2.23). Это означает, что гиромаятник сохраняет свое положение относительно плоскости меридиана неизменным. Ось гироскопа отклонена к северу на угол 聞 и следит за вертикалью места. Этот угол представляет скоростную погрешность гиромаятника, которая обусловлена вращением Земли.
Приведенные выше примеры обобщенных гиромаятников показывают, что гиромаятники могут быть в принципе использованы как указатели вертикали (простой гиромаятник), указатели меридиана (гирокомпас) и указатели широты места (гироширот). Следует однако иметь в виду, что от открытия принципиальной возможности использования гироскопа в качестве навигационного прибора до создания работоспособных систем прошло много десятков лет. Некоторые схемы (например, гироширот) до сих пор не реализованы. Ниже, при изучении динамических свойств приборов, будет показано, что основные трудности, возникающие при использовании гироскопов в качестве точных приборов, установленных па движущихся объектах (кораблях, самолетах, ракетах), связаны с воздействием инерционных сил на неуравновешенные гироскопы. Поле ускорений платформы, на котором установлен гироприбор, или лучше сказать поле сил инерции, накладывает серьезные искажения на поле тяготения. Таким образом, к центру масс обобщенного гиромаятника вместо силы тяготения оказывается приложенной некоторая суммарная сила. В результате — существенные ошибки гироприбора.
В настоящее время разработаны методы компенсации такого рода ошибок. Однако реализация условий не- возмущаемости весьма затруднительна. По существу, пока удалось создать лишь прецизионные гирокомпасы, имеющие при маневрировании приемлемую точность. Что касается гироширотов и гировертикалей, то они не способны эффективно работать в условиях маневрирования. Созданию современных прецизионных гироприборов мы обязаны в большой степени остроумным находкам изобретательных инженеров. Не имея возмож* ности в этой книге останавливаться на детальном описании существующих конструктивных решений для различных приборов, мы отсылаем интересующихся читателей к многочисленным источникам, достаточно полно отражающим современное состояние дел （см., напри- мер,以門,門）.
ГЛАВА 3
ГИРОСКОПИЧЕСКИЕ ПРИБОРЫ
§ 3.1. Гиромаятник
В первых двух главах были установлены основные свойства гироскопа. Прецизионные гироприборы, построенные по схеме гироскопа с тремя степенями свободы, получили большое распространение. Они используются в качестве измерителей углов и линейных ускорений (гировертикант, гирогоризонт, интегратор линейных ускорений), как указатели вертикали, горизонта, курса, (гировертикали, гироскопы направления, гирокомпасы), а также как дифференцирующие и у^ интегрирующие устройства. В
><этой главе будут изложены осно-
/\вы теории простейших гиропри-
/—боров. Все они построены по схе-
匕匕2z ме обобщенного гиромаятника,
——т. е. гироскопа со смещенным, во-
Рнс. 3.1 Трехгранник Дарбу. обще ГОВОрЯ, ПО ОТНОШеНИЮ К Неподвижной точке центром масс.
В предыдущем параграфе была показана возможность использования гиромаятников в качестве измерителей различных навигационных параметров (широта, вертикаль, курс). При этом предполагалось, что объект неподвижен относительно Земли. Теория подобного рода приборов будет дана в этой главе. Здесь будут рассмотрены динамические эффекты, возникающие вследствие движения основания, так называемые скоростные и баллистические девиации.
Изложение начнем с теории простого гиромаятника. Этот прибор не получил пока практического применения.
Основной его недостаток — значительные ошибки при маневрировании основания. Попытаемся вскрыть причины их появления и указать на некоторые возможности их устранения. Аналогичная теория с некоторыми изменениями применима и для других гироприборов.
Составим уравнения движения гиромаятника, установленного на движущемся объекте.
Рис. 32 Простой гиромаятник. Оадг^г — система координат, связанная с наружным кольцом, Oxyz — трехгранник Дарбу.
Предположим, что ось On (рис. 3.1) направлена параллельно вектору относительной скорости платформы, ось Оу — по вертикали места и ось Ох составляет с остальными осями правую ортогональную тройку. С наружным кольцом связаны оси 0%2y2N2 (рис. 3.2). Ось。之2 совпадает с осью Oz, а ось 0%2 направлена по оси вра* щения внутреннего кольца. Угол поворота наружного кольца относительно трехгранника Дарбу обозначим через а, а угол поворота внутреннего кольца относительно наружного ——через 0. Имея в виду переименование осей по сравнению с рис. 2.20, при помощи которого были выведены формулы (2.142), получим проекции угловой скорости объекта на оси Oxyz:
р = — 〃] = U cos <р sin К + 专，
g = 〃3=Usin(p + 方sinKtgcp —К, ⑶】) 厂=〃2 = U cos ф cos К，
Напомним, что К — угол, составляемый вектором ? и направлением на север.
Используем формулы (2.127) и (2.128) и найдем угловые скорости наружного и внутреннего кольца
cos а +cos а +Qiy =sinqp + 专 sin К tg<p ——К) cos а ——Qiy =sinqp + 专 sin К tg<p ——К) cos а ——□1х =(U cos <р sin К + 靑)
cos а +
cos а +
Qiy =sinqp + 专 sin К tg<p ——К) cos а ——
Qiy =sinqp + 专 sin К tg<p ——К) cos а ——
(3.2)(3.2)□u = U cos ср cos К + &,
(3.2)
(3.2)
2" = [(° sE 屮 + £ sin К tg <p — K)cos а —
—(。cos 屮 sin К + 罰 sin a] cos ₽ +
+ (U cos ср cos ^ + d) sin 0， °2z = (U cos ф cos К + &) cos В —
—[(U sin(p + + sin К tg(p —— K)cosa ——
—(U cosфsin ^ + 专)since] sinp.
Уравнения движения, принимая во внимание (2.139) и обозначения (2.145), можно записать следующим образом:
Q (& + 亨)+ R02z cos В + DQix£J^ +
+ (В + *1%) [” cos0 —SQiy — /?。2以=Qa — La，(3.3)
S (6 + Qi%) + С" (R。2y — 〃) = Qr —上旷
Кроме того, в соответствии с формулой (2.149) для потенциальной энергии гиромаятника имеем
Qa =—需=—Р/ sin a cos P, Qp = — Pl cos a sin p.
Сначала рассмотрим поведение гиромаятника, расположенного на неподвижной сфере, Из (3.3) следуют про-
стейшие соотношения для гиромаятника^ установленного на неподвижном в инерциальном пространстве основании. В этом случае полагаем [7 = 0, у = 0, ^ = 0 и поэтому
Q]x = Qjу = р -~— g 家匸 г —■ Z?a:—* 厶° — 0,Q2g —- a sin |3, 。22 а cos |3.
Уравнения (3.3) принимают вид
(Q + R cos2 В) & — R&B sin Р cos р + Я§ cos Р ~ R&B cos (3 =
=—Р/ sin a cos|3,
Sp — На cos § + R&2 sin 0 cos ^~ — Pl cos a sin p.
Считая углы а и 0 малыми и оставляя в левых частях главные члены, содержащие кинетический момент гироскопа Я, получим уравнения возмущенного движения
• р/р/
В + ~^~。= °，&^г- р = О,
откуда
6 + (酱『В ==0, & + (央『а = 0.
Следовательно, гиромаятник совершает свободные гармонические колебания с частотой k и периодом Т, соответственно равными
Сравним эти колебания с колебаниями математического маятника длины h Как известно, период колебаний такого маятника равен Т = 2冗联^-丫. Приведенной длиной гиромаятника называется длина такого математического маятника, у которого период колебаний совпадает с периодом колебаний данного гиромаятника. Таким образом,
2"丿"^ = 2"名喝)
Примечательно, что с ростом кинетического момента Н при ограниченности статического момента Р1 величина /о быстро растет. Для современных гиромаятников
/о исчисляется километрами, поэтому период их собственных колебаний весьма велик, он имеет порядок 10— 20 мин.
Найдем так называемые скоростные погрешности гиромаятника, связанные с вращением Земли и равномерным движением объекта по ортодромии — дуге большого круга. Положим в формулах (3.1) и (3.2) K = £sinK tg(p, и = const.
Положение равновесия а = const, р = const представляется как решение уравнений (3.3) при сделанных допущениях
DQ2xQ2y + 出尤(〃 cos0 — SQ2g — RQiz) = —Р/sin a cos 6， Qi/RQig — 〃)= —Р/ cos a sin p.
Для их приближенного решения положим, что углы а и р малы, и в левых частях уравнений удержим только главные члены, содержащие величину Н:
=—々a，—//Ql2 =—P/p,
где
Q2x U cos 屮 sin К + 常 + aU sin <p,
Й1г = U cos qp cos К — |3t/ sin ф.
Отсюда имеем
(/ cos ф sin /С + -—a。=
(3.4)(3.4)Во =Во =U cos <р cos К 普 + UsingU cos <р cos К 普 + Using方 + Using)
(3.4)
(3.4)
Во =
Во =
U cos <р cos К 普 + Using
U cos <р cos К 普 + Using
Так как обычно 々=万》U sin(p, то эти формулы мо・ гут быть упрощены:
a0=—~(U cos <р sin К + %),% = } U cos ср cos К・(3.5)
Полученный результат говорит сем, что ось фигуры гиромаятника не совпадает с вертакшгью. Отклонение
оси фигуры от вертикали зависит от широты места, курса и скорости движущегося объекта. Эта ошибка носит название скоростной девиации.
Пример ), Подсчитать скоростную девиацию гиромаятника с параметрами
Н = 2 • 105Г • см • сек, Р = 5 к/\ / = 0,2 см
на широте <р = 0, при скорости самолета о = 200 м/сек и курсе К = 45°.
Определим 々：
厶 Pl 5000 • 0,2 u k =—— = 5 • 10 \/сек.
Подставляя в формулы (3.5) U=7t3 • IO-5 I/сек nR=6371 • 103 л<» получим
a0=. 10-5.0,71 + —- •. 10-5)=] 66 . 10-2=_57,81
3(，6-3.71/
Ро=—Ц7r 73 10-5.0,71 = 1,04- 10~2 = 35,6；
5 • 10
Таким образом, скоростная девиация может быть источником значительной ошибки при определении вертикали места. Она может быть исключена или значи* тельно уменьшена, если на борту объекта имеется возможность измерять скорость, широту и курс и, следовательно, учитывать по формулам (3.5) ошибку вертикали.
Заметим попутно,, что знак ошибок зависит от знака величины А = 尸〃〃 Или от знака Н. Таким образом, в принципе скоростная девиация может быть исключена, если использовать два гироскопа с противоположными кинетическими моментами.
Очевидно, что среднее направление между осями гироскопов (биссектриса угла между ними) укажет вертикаль места.
Более подробно с этой идеей можно ознакомиться в монографии Б. В. Булгакова [2]. До сих пор были рассмотрены статические эффекты для гиромаятника. Перейдем теперь к исследованию динамических явлений, связанных с движением основания.
Прежде всего необходимо определить абсолютное ускорение платформы, несущей прибор. Эта величина должна быть учтена при составлении уравнений движения в форме (3.3). Она входит в обобщенные инерционные силы Lq и 厶自 в правой части этих уравнений.
В предыдущих рассуждениях форма Земли принималась сферической, а вертикаль места предполагалась направленной по радиусу Земли. В действительности же
Рис. 3.3. К определению направления лннн什 отвеса.Рис. 3.3. К определению направления лннн什 отвеса.вертикаль определяют как направление линии отвеса в данной точке. Она отличается от направления к центру Земли (см. том II, § 6.3). Поясним сказанное, используя рис. 3.3. Вес или силу реакции точки на опору (в частности, на нить, удерживающую груз в равновесии) обозначим через Р. Сила, действующая со стороны
Рис. 3.3. К определению направления лннн什 отвеса.
Рис. 3.3. К определению направления лннн什 отвеса.
опоры на материальную точку S, равна по модулю и противоположна Р. Во вращающейся системе отсчета для составления условий относительного равновесия необходимо к точке приложить, помимо действующих сил S и /ng。 (силы тяготения), еще переносную силу инерции, в данном случае центробежную силу 九=тЗр, где U — угловая скорость Земли и р — радиус параллели. Из условия равновесия
mgo + S + 丄=О
следует, что проекция всех сил на ось, перпендикуляр* ную вертикали, равна нулю, поэтому
mgosin(qp1 — qp) = mC72psin фи
./、 U2R cos ф . U?R sin 2(p(3.6)
Здесь введены углы q)i и 屮(рис. 3.3). Первый называют географической широтой места, второй геоцентрической широтой. Отсюда ясно, что разность 屮【——ср достигает
максимального значения при 中=彳
/、 U2R 7,32- 10~10.6,37- 106 u，ua〃
max (例一中)=市=丽=5缶6 J
Если Землю принять за сплюснутый у полюсов эллипсоид вращения, то эта разность приблизительно удваивается. Географическая широта места(pi, как видно из рис. 3.3 и формулы (3.6), всегда несколько больше гео* центрической широты <р. Уравнение (3.6) дает однозначную зависимость между ср и 5
Рис 3.4. Разложение относительного ускорения на составляющие.
В дальнейшем будем считать, что ось Оу (рис. 3.1) ориентирована по линии отвеса, а в силу, действующую на гиромаятник, будем включать, помимо силы тяготения, центробежную силу инерции. Другими словами, на центр масс гиромаятника действует сила Р, изображенная на рис. 3.3.
Переходя теперь к определению ускорений объекта при перемещении его поземной поверхности, необходимо найти его относительное и кориолисово ускорение, появляющееся вследствие вращения Земли. Переносное ускорение определять не будем, так как соответствующую ему силу инерции (центробежную силу) мы условились рассматривать как составляющую силы Р.
Относительное движение точки по сфере (рис. 3.4) можно рассматривать также как сложное: переносное от вращения системы координат, связанной с плоско^ стью меридиана, с угловой скоростью
и движение вдоль меридиана с линейной скоростью vNt Заметим, что если К — курс, то vE—v sin К, vn = v cos 氏 Переносное ускорение первого движения раскладывается
на осестремительное
ту ОС ''
1 R cos ф
и вращательное dco cos <р + sin ф • ф
若 p = eRcos<P，е = Н =ет^
tg ф. осей(3.7)tg ф. осей(3.7)Вспомним, ЧТО @ = ~^，поэтому 叫Р = °еЧ—^^
tg ф. осей
(3.7)
tg ф. осей
(3.7)
В соответствии с выбранными направлениями (рис. 3.4) имеем
Ue^/V^ е
%=-%%=-%-^~tgq), wiy=—w^ cos(Р,学一歹,
%=-%
%=-%
侬;csE(P] ^耳 tg(p.
При движении по меридиану со скоростью vN получим касательную и нормальную составляющие
叫吗=不-■
Первая направлена по касательной к меридиану, вторая——по радиусу Земли.
Проекции относительного ускорения на географические оси равны
w2x = 0, w2y =—叫 cos А + 侬^ sin A,
w2z = w； cos A + 侬豎 sin A,
где A =(pi ——ф ——малый угол, который в приближенной теории можно положить равным нулю. Тогда
52* = °，侬2^=(3.8)
Кориолисово ускорение, связанное с движением точки вдоль, меридиана, вычислим по формуле
叫= 2s><0n・
Оно направлено по оси Ох и, следовательно,
wrCx — 2wrCx — 2(3.9)(3.9)
wrCx — 2
wrCx — 2
(3.9)
(3.9)
Таким образом, проекции относительного ускорения на оси трехгранника Дарбу находятся как сумма соответствующих членов в формулах (3.7), (3.8) и (3.9)
4 + 4公
(3.10)(3.10)吗=L = 一页,
(3.10)
(3.10)
叱=耳tg9+ %.
Кориолисово ускорение, появляющееся при вращении Земли и движении точки по ее поверхности, имеет вид
wc = 217 X а
где ? — скорость точки относительно Земли. Разлагая ее на северную и восточную составляющие, получим
wc^2UX(vn + ve) = 2UXvn + 2UX ^.
Первый вектор направлен перпендикулярно плоскости меридиана, второй — по радиусу параллели. От・ сюда следует, что
wCx = 2Uvn sin ф, wCy = —2UvE cos q)i— 2UvE cos qp,
wCz = 2UvEsin^i 2UvEsin<p.
(3.11)
Складывая соответствующие одинаковым осям про* екции ускорений в формулах (3.10) и (3.11), получим необходимые для дальнейшего проекции абсолютного ускорения платформы, за вычетом переносного ускорения Земли:
% = —% + ^^ tg屮 + 2UvN sin qp,
切产切产丄亍△ —2Uue cosqp,丄亍△ —2Uue cosqp,(3.12)(3.12)
切产
切产
丄亍△ —2Uue cosqp,
丄亍△ —2Uue cosqp,
(3.12)
(3.12)
吗Z = ~y tg 屮 + On 十 2U0£ sin ф.
Формулы (3.12) выведены для движения объекта по земной сфере. Их можно применять и при движении вблизи поверхности Земли, если vy = vy = 0.
Отсюда легко перейти к проекциям ускорения на оси, связанные с платформой. Для этого достаточно
Рис. 3.5. Переход от географических осей к осям, связанным с платформой.Рис. 3.5. Переход от географических осей к осям, связанным с платформой.
Рис. 3.5. Переход от географических осей к осям, связанным с платформой.
Рис. 3.5. Переход от географических осей к осям, связанным с платформой.
повернуть географические оси Oxyz на угол К вокруг оси Оу (рис. 3.5). Тогда получим
w& = wx cos К + 侬z sin К, 侬品=w2 cos К 一 叫 sin К
или, в развернутом виде,
如占=(―必 + -^^ tg 屮 + 2U@n sin <P)cosK +
+ 修 tg qp + On + 2U% sin J sin К =
(3.13)(3.13)=—vK + 2Uv sin(p + 方 tgcpsinK,
(3.13)
(3.13)
吗/尸一-^——2Uv cos <p sin K,
”Z]=(若 tg(p+ vN + 2Uve sin qp I cos 7< +
+ ^£ ——号瓦 tg 屮一2。〃“ sin(pj sin К = 0.
Здесь использованы очевидные равенства v£sin К + иn cos К = и, % cos К — % sin К = 0.
Если движение происходит по ортодромии, то следует помнить, что К = £-tgqpsinK.
Воспользуемся теперь формулами (2J36) и найдем обобщенные инерционные силы, действующие на гиромаятник. В этих формулах необходимо положить
Ф=== 0, 2c —^ 0) Ус ===—厶 ф ^^ 0, 0 ^^ 0»
Тогда получим
—La = —М缈о -^- = —Ml cos В (侬％I cos a + ⑪曲 sin a),
=Ml[wXx sin § sin a —⑪^ sin p cos a + 侬夠 cos Р].
(3.14)
Имея в виду, что в дальнейшем будем рассматривать малые возмущения гиромаятника в окрестности положения равновесия, положим cos a ^ 1, cos 0a 1, sin ^ a, sin p ^ p. Тогда из (3.14) получим приближенные формулы:
(3.15)(3.15)-及=-Ml(®$ + a 侬矶),
(3.15)
(3.15)
—L^ = Ml(wZi — P 吗J.
Эти выражения следует подставить в правые части уравнений (3.3). В прецессионной теории гироскопов ограни
чиваются рассмотрением главных членов в левых частях уравнений (3.3), т. е. слагаемых, содержащих множитель Н *). Тогда в случае движения по ортодромии из (3.3) следует
〃(В + U cos <р sin К + £ + aU sin ①)=
(3.16)(3.16)=—Pla ——(侬不 + a@g),
(3.16)
(3.16)
—〃(& + U cos qp cos К — BU sin qp)=
——"В + 普® / — В 侬 р)
Прежде всего оценим встречающиеся в правых частях уравнений (3.16) члены
“а。+千｝Р/р(1 +^l).(3.17)
Из выражений (3.13) следует, что отношение
-号= (* + 2。。 cos <р sin/<^ у
в реальных случаях имеет модуль, значительно меньший единицы. В самом деле, допустим, что скорость основания и = 200 м/сек, тогда
gg4- Ю46371 • 1034- Ю46371 • 103+ 2 ・ 200 • 7,3 • IL5］弋 3,6 • 10一3.+ 2 ・ 200 • 7,3 • IL5］弋 3,6 • 10一3.
g
g
4- Ю4
6371 • 103
4- Ю4
6371 • 103
+ 2 ・ 200 • 7,3 • IL5］弋 3,6 • 10一3.
+ 2 ・ 200 • 7,3 • IL5］弋 3,6 • 10一3.
Отбрасывая эти величины в слагаемых (3.17), получим из (3.16)
^ + U cos(psinK+ 戸 + 額(醫 + U sinqp)=—諧侬%】，
(3.18)(3.18)& + U cos qp cos К — В 借 + U sin qp)=—务 恥广
(3.18)
(3.18)
Из формул (3.13) для случая движения по ортодромии следует
侬修= 2Uu sinqp, wZx == v.(3.19)
Здесь использовано условие движения по дуге большого круга К = £ tgqpsinK.
Перейдем в уравнениях (3.18) к отсчету углов а и |3 от положения равновесия при равномерном движении основания. Для этого введем баллистические отклонения
⑷=a — %, В】=6 — р0.
Если воспользоваться выражениями (3.4) для ао и (30, то уравнения (3.18) преобразуются к виду
Р/.)
Pi +財S =一丽I —凯，I
%I (3.20)
5 -自Bi =—薪侬2］一 &0，j
Pl
где 自=万 + U sin 中.
Ранее мы уже указывали на то, что Pl/H》Using) и поэтому ki ^ k = Pl/H. Таким образом, уравнения (3.20) для вычисления баллистических девиаций можно записать так:
Pl + 尼@1 = —M 少拓一ро-Pl + 尼@1 = —M 少拓一ро-(3.21)(3.21)
Pl + 尼@1 = —M 少拓一ро-
Pl + 尼@1 = —M 少拓一ро-
(3.21)
(3.21)
Следовательно, дополнительные ошибки, появляющиеся при движении объекта по ортодромии, зависят от величины продольной составляющей ускорения 侬肖 и поперечной составляющей wXl.
Заметим, что величины ао и Во, определяющие скоро* стные ошибки гиромаятника, являются переменными величинами. Меняются скорость, широта и курс К. Поэтому производные d0 и р0 отличны от нуля.
Исключим поочередно из уравнений (3.21) R и ai, тогда придем к системе
Заметим, что из формул (3.5) и (3.19) следуетЗаметим, что из формул (3.5) и (3.19) следует(3.22)(3.22)
Заметим, что из формул (3.5) и (3.19) следует
Заметим, что из формул (3.5) и (3.19) следует
(3.22)
(3.22)
庇修= 2U0sinq)+ 2Uu@ cos(p =
(3.23)(3.23)=2U(0 sin 屮 + % cos cp cos K), ...V A Uv .
(3.23)
(3.23)
5引=0， do = -^^ , po =^ sin Ф，
聞=—丽 sm $ — -^F COS qpcosA.
Подставляя эти соотношения в уравнения (3.22), по
лучим уравнения возмущенного движения
苍]十 fe2ai===(^--~-~) v + -|-vsinq)(l --^
(3.24)(3.24)Bi + 炉 Bi = (--—专)力 +
(3.24)
(3.24)
+ 姦esin<p + $cosq)CQsK)(l — ^0・
Ъ = 1Ъ = 1灰，灰，(3 25)(3 25)
Ъ = 1
Ъ = 1
灰，
灰，
(3 25)
(3 25)
Из уравнений (3.24) видно, что баллистические ошиб
величинывеличиныки существенно зависят от
величины
величины
которую иногда называют коэффициентом баллистической погрешности [26]. Покажем, что при 6 = 0 баллистические ошибки могут быть значительно уменьшены. Прежде всего, выполнение этого условия возможно, если частота собственных колебаний гиромаятника равна
k = У 靑=1,241 • 10-3呢&-1.(3.26)
В этом слуиае период колебаний должен составлять
Т = м = 5064 сек = 84,4 мин.
Такой же период колебаний имел бы математический маятннк, подвешенный на нити, длина которой равна радиусу Земли. Это условие невозмущаемости было сформулировано М. Шулером в 1923 году. Однако применительно к гиромаятнику даже в частном случае движения основания по ортодромии полной компенсации ошибок не произойдет. В самом деле, если предположить что условие (3.26) соблюдено (технически добиться этого весьма сложно), то в уравнениях (3.24) пропадают только первые члены в правых частях и мы получим
(3.27)(3.27)«! + 赍 а】=—% и sin <р,
(3.27)
(3.27)
瓦 + 登 Bi =—费卜 sin ср + -~ cos qp cos K)・
При vUv .При vUv .=200 м/сек, 0= 1 м!се^ имеем=200 м/сек, 0= 1 м!се^ имеемUvIF _UvIF _7,3 • 10-5.2006370- 1037,3 • IO'7,3 • 10-5.2006370- 1037,3 • IO'^0,23- 10~8 ceL^0,23- 10~8 ceL6370- 103- 1,241 • В6370- 103- 1,241 • В% 0,92 ・ KF® ce&-2% 0,92 ・ KF® ce&-2
При v
Uv .
При v
Uv .
=200 м/сек, 0= 1 м!се^ имеем
=200 м/сек, 0= 1 м!се^ имеем
Uv
IF _
Uv
IF _
7,3 • 10-5.2006370- 103
7,3 • IO'
7,3 • 10-5.2006370- 103
7,3 • IO'
^0,23- 10~8 ceL
^0,23- 10~8 ceL
6370- 103- 1,241 • В
6370- 103- 1,241 • В
% 0,92 ・ KF® ce&-2
% 0,92 ・ KF® ce&-2
U О? ccc 8 4 • 10^ clc < л ~ 10 —24r2 - ^3 0,92 • 10 6370 • io3 * °S8 • 10 сек (
Для сравнения оценим первый член во втором урав нении (3.24) при 々=5・ 10-з：
25- 10-61о 1Л~6-2
Ю 6370 • 103 н 2,34 • 10 се” ‘
Таким образом, при отсутствии шулеровской компенсации баллистических ошибок величина правой части второго уравнения (3.27) увеличилась в нашем примере более чем в 250 раз.
Выполнение условия М. Шулера, как теперь видно, существенно уменьшает баллистические погрешности гиромаятника.
Определим длину плеча гиромаятника с периодом М. Шулера по данным предыдущей задачи: Р = 5 к「，" = 2-105 Г• см• сек 归=嘗=1?41 ・ 10-3 сек-i, / = ^ • 1,241 ・ 1O-3 = 0Q5 см.
Отсюда ясно, что обеспечить точность такой балансировки гиромаятника —задача далеко не простая.
Вернемся к общему случаю и определим возмущенное движение гиромаятника около положения равновесия.
Учитывая порядок членов, входящих в уравнения (3.24), правые части можно несколько упростить:
(3.28)(3.28)&1 + 星eq =-匕 уЙ,瓦+昨i=£"・
(3.28)
(3.28)
Если же вернуться к исходной системе (3.21), то получим при тех же предположениях
Bi + 初=0.Bi + 初=0.(3.29)(3.29)
Bi + 初=0.
Bi + 初=0.
(3.29)
(3.29)
Общее решение системы уравнений (3.29) можно представить как сумму частного решения неоднородной системы и общего решения соответствующей однородной
системы. Запишем решение в следующем виде:
(3.30)(3.30)Bi = a sin (fe/ + 8)4- — J й sin 々(/ — t) dp,о
(3.30)
(3.30)
t
а尸—a cos (fe/ + e) — — J 行 cos 々(/ — t) dr,
где а и e — произвольные постоянные, определяемые из начальных условий.
Примем, что в начальный момент отклонения ai и 仇 были равны нулю. Другими словами, гиромаятник имел в начальный момент только скоростную девиацию.
Частное решение, удовлетворяющее этим начальным условиям, можно получить из (3.30), положив a = 0:
自=sin k(t — x) dr,о自=sin k(t — x) dr,о(3.31)(3.31)
自=sin k(t — x) dr,
о
自=sin k(t — x) dr,
о
(3.31)
(3.31)
aj = —~ J v(т)cosk(t — т)%• о
При равноускоренном движении платформы 户= ==const из (3.31) имеем
Pi = ^ (1 — cos 亚)，cq = — ^ sin Е/・(3.32)
Таким образом, происходят колебания оси фигуры гиромаятника по углу а около положения равновесия, несколько сдвинутого от вертикали места из-за скоростной погрешности. Период колебаний 7 = -^-. В приведенном выше примере, когда fe = 5 • 10~3 сек—* период равен 1256 сек = 20 мин 56 сек. Большой период колебаний —характерная особенность гиромаятников, отличающая их от физических маятников. Получение таких больших периодов колебаний для физических маятников-— задача практически невыполнимая. Однако полу-
чение периода порядка 10—20 мин для гиромаятников —— задача вполне технически осуществимая. Даже при та* ком периоде колебаний баллистические погрешности значительно уменьшаются. Подобные гиромаятники иногда применяются, например, в секстантах.
Колебания по углу 0, т. е. в плоскости движения платформы (в плоскости большого круга, по которому
ном движении точки подвеса.ном движении точки подвеса.Рис. 3.7. Движение изображающей точки (апекса) гиромаятника при равномерном движении основания.Рис. 3.7. Движение изображающей точки (апекса) гиромаятника при равномерном движении основания.
ном движении точки подвеса.
ном движении точки подвеса.
Рис. 3.7. Движение изображающей точки (апекса) гиромаятника при равномерном движении основания.
Рис. 3.7. Движение изображающей точки (апекса) гиромаятника при равномерном движении основания.
движется объект), как это видно из (3.32), будут происходить около направления, отклоненного от вертикали на угол
Ро =Ро =6。Т6。Т(3.33)(3.33)
Ро =
Ро =
6。
Т
6。
Т
(3.33)
(3.33)
Заметим, что при аналогичных обстоятельствах, т. е. при равноускоренном движении основания, математический маятник должен отклоняться от вертикали на угол Ро, определяемый согласно условиям равновесия из рис. 3.6:
瓦弋3竺=2. (3.34)
Любопытно, что в отличие от математического маятника баллистическая погрешность гиромаятника может быть уменьшена. В самом деле,聞 не зависит от длины математического маятника, в то время как для гиромаятника р0 зависит от коэффициента баллистической
погрешности Ь, который при выборе соответствующего плеча гиромаятника^может оказаться равным нулю. В этом случае 汽匸/'贽 и выполняется условие М. Шулера.
Из решения уравнений (3.29) следует^ что при отсутствии ускорений объекта ось фигуры гиромаятника должна двигаться по закону, следующему из (3.30).
При 方=0 имеем
«! = —a cos (就 + в), ^=а sin (kt + е). (3.35)
В плоскости (ai, Pi) изображающая точка должна двигаться по окружности радиуса а (рис. 3.7). Величины а и в определяются из начальных условий. Период такого конического движения оси фигуры, как мы видели, довольно велик и при выполнении условия М. Шулера достигает 84,4 мин.
§ 3.2, Вывод условий невозмущаемости гиромаятника по методу А. К). Ишлинского
В статье А. Ю. Ишлинского《К теории гирогоризонт- компаса» [9] был развит метод, позволяющий получать условия невозмущаемости типа шулеровских соотношений, не прибегая к многочисленным допущениям по ходу решения системы уравнений (3.16). Идея этого метода основана на составлении так называемых уравнений прецессионного движения гироскопа в системе координат, не участвующей во вращательном движении Земли.
Прежде всего напомним (гл. 1), что прецессионная теория гироскопа является приближенной теорией движения этого прибора, основанной на предположении, что массы колец карданова подвеса равны нулю, а кинетический момент направлен по оси симметрии ротора.
Будем рассматривать движение точки подвеса О гиромаятника по сфере радиуса R (рис. 3.8). Введем следующие системы координат.
Система координат 0营限匕* с началом в центре Земли предполагается инерциальной. Ее оси направлены на неподвижные звезды, а ускорением начала координат из-за движения Земли по орбите вокруг Солнца в дальнейшем пренебрегаем.
Система координат Oxyz имеет начало в точке подвеса (точке пересечения осей карданова подвеса) и се оси параллельны осям инерциальной системы 。先*"竺*.
Рис. 3.8. Системы координат: оа*“*С* — инерциальная, Oxyz — движущаяся поступательно вместе с точкой подвеса, О^Т}^ — трехгранник Дарбу.Рис. 3.8. Системы координат: оа*“*С* — инерциальная, Oxyz — движущаяся поступательно вместе с точкой подвеса, О^Т}^ — трехгранник Дарбу.Предполагаем, что точка подвеса О движется по некоторой неподвижной сфере, окружающей Землю. Разумеется, истинное движение точки подвеса, если только предположить, что Земля —— сфера, является именно таким движением. Оно может быть разложено на переносное движение вместе с вращающейся Землей и относительное движение по поверхности Земли.
Рис. 3.8. Системы координат: оа*“*С* — инерциальная, Oxyz — движущаяся поступательно вместе с точкой подвеса, О^Т}^ — трехгранник Дарбу.
Рис. 3.8. Системы координат: оа*“*С* — инерциальная, Oxyz — движущаяся поступательно вместе с точкой подвеса, О^Т}^ — трехгранник Дарбу.
Наконец, введем еще трехгранник Дарбу。自唸 У которого ось Og направлена вдоль вектора абсолютной скорости точки подвеса 匕， 0白——по радиусу Земли.
движения системы. Ее сле-движения системы. Ее сле-В системе отсчета Oxyz справедлива теорема об нз・ менении момента количества дует записать в виде
движения системы. Ее сле-
движения системы. Ее сле-
^ = rcXF-MrcX(3.36)
Здесь 尸——сила тяготения, она направлена по радиусу Земли 尸=—mgg°. Происхождение второго члена в правой части уравнения связано с введением переносных сил инерции в поступательно движущейся системе отсчета Oxyz (том II, стр. 186). Массы колец равны нулю и поэтому силы реакции отсутствуют.
Воспользуемся теперь связью между производной ог вектора К в поступательно движущейся системе Oxyz и вращающейся относительно нее системе 。三г)С・ В соответствии с формулой (1.26) § 1.4 имеем
醬=甞(3.37)
где(о ——угловая скорость вращения трехгранника Дарбу.
В проекциях на оси координат получим
^— -h Kg; — Kgg,^— -h Kg; — Kgg,
^— -h Kg; — Kgg,
^— -h Kg; — Kgg,
Рис. 3.9. К вычислению скорости точки подвесз гиромаятника.Рис. 3.9. К вычислению скорости точки подвесз гиромаятника.то ускорение относительното ускорение относительно
Рис. 3.9. К вычислению скорости точки подвесз гиромаятника.
Рис. 3.9. К вычислению скорости точки подвесз гиромаятника.
то ускорение относительно
то ускорение относительно
Вычислим скорость точки подвеса %• Введем вспомогательную систему координат 0*&п& (рис. 3.9) с осями,
параллельными осям трехгранника Дарбу, и с началом в центре Земли. Эта система координат, в которой точка О* неподвижна, вращается с угловой скоростью о вокруг неподвижной точки О*. Отсюда следует, что
匕= q)XRC
и поэтому
几= <%R， bn = —sgR,
几=0・(3.38)
Однако при построенииОднако при построениитрехгранника Дарбу ось О&
Однако при построении
Однако при построении
направляется по вектору скорости, т. е. У” = 0, и поэтому sg = 0.
Перейдем к вычислению ускорения т°.
Так как Уо— абсолютная скорость точки, т. е. скорость
относительно осей。吒％《*, тех же осей будет
dV0叫=寸.
Аналогично формуле (3.37), устанавливающей связь между производными от вектора, отложенного в неподвижной и вращающейся системе координат, можно записать для ускорения
初。醬""^ + ” X匕・ (3・39)
по оси。自 и(о* = О,по оси。自 и(о* = О,Заметим, что из (3.38) также следует, чтоЗаметим, что из (3.38) также следует, что(3.40)(3.40)поэтомупоэтому叭=у叭=у叫=со”，哪=叫=со”，哪=
по оси。自 и(о* = О,
по оси。自 и(о* = О,
Заметим, что из (3.38) также следует, что
Заметим, что из (3.38) также следует, что
(3.40)
(3.40)
поэтому
поэтому
叭=у
叭=у
叫=со”，哪=
叫=со”，哪=
Поскольку скорость % направлена имеем
до ”0 go 叫=頂°+ 。 5j Sg
POU
Рис. 3.10. К вычислению координат центра масс гиромаятника.Рис. 3.10. К вычислению координат центра масс гиромаятника.
Рис. 3.10. К вычислению координат центра масс гиромаятника.
Рис. 3.10. К вычислению координат центра масс гиромаятника.
Найдем теперь проекции радиуса-вектора центра масс маятника на оси Дарбу.
В произвольное положение С (рис. 3.10) маятник может быть приведен при помощи двух поворотов: вокруг оси Og на угол а и вокруг оси On на угол 0. Отсюда
легко получить
?c=TsinB，I
т)с = / cos В sin а,| (3.41)
生=—/cos р cos а.]
Вектор момента количеств движения колинеарен вектору Гс, но противоположен ему по направлению, по-
этому проекции К выражаются аналогичным образом:
К^~ Н sin р, Кл = —〃cos § sin а, 勺=〃 cos а cos р.
(3.42)
В элементарной теории гироскопов величина И считается постоянной.
Перейдем к проектированию основного векторного равенства (3.36) на оси координат О^пС. Используя (3.37) и все последующие формулы, получим
Н (В sin a sin р — & cos a cos В + 碗 sin р)=
—tngl sin р + т/ d sin § + U cos а cos р)
и
"(В cos В + ^ cos а cos Р + 做 sin а cos 6)=
=—mgl sin a cos В + m/ (§- sin a cos 0 — з" cos a cos p)・
Полагая здесь аир малыми, получим после линеари^ зации и элементарных преобразований
ml万卩稣ml万卩稣&一6麻+*(g 一分卜一券
ml
万卩稣
ml
万卩稣
в + a [我 + 学(g -%)]=一— ■
После замены переменной
«1 = а — а0,а0=—-京 N«1 = а — а0,а0=—-京 N(3.43)(3.43)
«1 = а — а0,а0=—-京 N
«1 = а — а0,а0=—-京 N
(3.43)
(3.43)
придем к системе
33(3.44)(3.44)仇一В [з；十 券(g —普j] = о, В + а】[з； + 岑(g —^]=
3
3
(3.44)
(3.44)
Система уравнений (3.44) описывает возмущенное движение оси фигуры гиромаятника около положения, отклоненного от вертикали на угол а0 =——~粤 V.
Эту систему можно решить. Полагая
碗+普(g_*)='(')，[嘿-(g一书)—+]u=中(小
(3.45)(3.45)придем вместо (3.44) к системе 必一f(/)B = O， I
(3.45)
(3.45)
8 + f(/)ai =(p(/)・ j
Умножим второе уравнение к а / и сложим оба уравнения
方 3 + Ф)+ 订 С)® + /р) = i(p(0«
(3.46)(3.46)Обозначая а】+/0 = 2(/), получим 旁 + 炉(f) z = Лр(/)・
(3.46)
(3.46)
Введем функцию
р (0 = J f (/) а/ == J [叫 + 冷(g — %)] "/・ оо
Тогда решение уравнения (3.46) можно представить в виде
z(t) = i j ф(т)е"Р⑺」(切 dt + 2(0)е‘"(&(3.47)
о
Постоянная z(0) находится из начальных условий
Отделяя вещественную и мнимую часть в уравнении (3.47), получимОтделяя вещественную и мнимую часть в уравнении (3.47), получим+ (% + 普几)cos "(')+ % sin P(')，+ (% + 普几)cos "(')+ % sin P(')，2(0) = % +警几+ 用0・(3.48)
Отделяя вещественную и мнимую часть в уравнении (3.47), получим
Отделяя вещественную и мнимую часть в уравнении (3.47), получим
+ (% + 普几)cos "(')+ % sin P(')，
+ (% + 普几)cos "(')+ % sin P(')，
(3.49)
P (0 = J <P (r) cos [p (t) — p (/)] dt —
0
—(а。+ 器 &卜in " (0 + Ро cos р (力
Заметим, что при специальных начальных условиях
ао = 京几，Во = 0
в правых частях (3.49) остаются только интегральные члены. Они определяют баллистические ошибки (девиации) гиромаятника и зависят от 《истории》 движения объекта, от скорости V{t) и угловой скорости вращения
трехгранника Дарбу(о^(/)- Для ликвидации этих ошибок достаточно потребовать, чтобы(p(f)wO：
窑(g-掾)=о・(3-50)
Однако это уравнение не может быть удовлетворено тождественно, так как V является функцией времени, а остальные величины постоянны.
Все же для таких движений, для которых выполняется неравенство
т. е. при скоростях, значительно меньших первой космической скорости (7,9 км!сек), можно приближенно удовлетворить условию (3.50), положив
В этом случае частота свободных колебаний гиромаятника при 3q = 0 (движение по ортодромии) удовлетворяет условию М. Шулера и период его колебаний Т = =2/ = 84,4 мин.
Заметим, что при этом остается скоростная ошибка: центр тяжести маятника отклоняется вправо от вектора абсолютной скорости на угол
5=-哈V"). (3.52)
Таким образом, при выполнении условия М. Шулера (3.51) ошибка гиромаятника зависит только от абсолютной скорости движения аппарата (скоростная ошибка).
Найдем выражение для скоростной девиации в геоцентрических осях и в осях трехгранника Дарбу, связанного с относительной скоростью объекта ).
На рис. 3.11 представлены три системы координат, расположенные в касательной плоскости к поверхности
земной сферы: 0制加一 геоцентрическая система; О^т)— система координат, связанная с абсолютной скоростью; 0&小一система, связанная с относительной скоростью (少曰 и ve — северная и восточная составляющие относительной скорости).
В соответствии с формулой (3.52) координаты центра тяжести С в системе 典刀：
Ео = 0, По = /«о =—贵卜(/)•
Тогда в геоцентрической системе
0. ml2V .'
碼=—% sin ц = —sin 卩，
欣 2P(3.53)
曲=WCOS 卩=—~j- COS 卩，
Угол ц между вектором абсолютной скорости и параллелью определен соотношениями
0也卩=乎，cos 卩==；(Ur + UR cosqp). (3.54)
Здесь U ——угловая скорость вращения Земли, R -~ радиус Земли,屮—геоцентрическая широта места.
Подставляя выражения (3.54) в формулы (3.53), получим
х% =晋 и N，У^ =—警国е + URcos&)・ (3.55)
Примем за положительное направление вращения оси фигуры вокруг OyN такое, которое видно против хода часовой стрелки при наблюдении с положительного направления этой оси. Аналогичное правило установим и для вращения вокруг оси ОхЕ. Имея в виду, что центр тяжести С находится ниже точки О по вертикали, для углов поворота вокруг осей OyN и ОхЕ получим соответственно
л 心ml0； = 7=方(% + UR cos(p).л 心ml0； = 7=方(% + UR cos(p).
л 心ml
0； = 7=方(% + UR cos(p).
л 心ml
0； = 7=方(% + UR cos(p).
Формулы (3.56) позволяют вычислить скоростные девиации в геоцентрических осях координат.
Аналогично найдем скоростную ошибку в осях О&П1 (рис. 3.11). Введем курс К — угол между направлением вектора относительной скорости и и осью OyN. Тогда координаты центра масс в системе。自办 будут
=方"(％ + UR cos 屮)cos^ — Vn sin /С],=方"(％ + UR cos 屮)cos^ — Vn sin /С],；77 /2；77 /2(cos К sin ц+sin К cos ц)=(cos К sin ц+sin К cos ц)=
=方"(％ + UR cos 屮)cos^ — Vn sin /С],
=方"(％ + UR cos 屮)cos^ — Vn sin /С],
；77 /2
；77 /2
(cos К sin ц+sin К cos ц)=
(cos К sin ц+sin К cos ц)=
——^- [vN cos К + 仇 + UR cos <p) sin K}・
(3.57)
Замечая, что vN = v cos K, vE—v sin К, где v — модуль относительной скорости объекта, получим 自;=—^^ UR cos 屮 cos К, 哨=——^®+URcos(psinK)・
Отсюда углы поворота оси фигуры относительно осей Ogi и O)]i соответственно равны
(3.58)(3.58)а^ = — = — — (у + t//? cos <р sin К), 0g =, =F UR cos 屮 cos К.
(3.58)
(3.58)
Заметим, что при выполнении условия М. Шулера скоростные ошибки выражаются общими формулами типа (3.52), (3.56), (3.58), независимо от характера маневра.
При невыполнении условия М. Шулера отклонение гиромаятника зависит от характера маневра. В качестве примера рассмотрим равномерное движение основания по ортодромии — дуге большого круга. В этом случае в уравнениях (3.44) следует положить ①匕=О, у ― const. Кроме того, будем считать, что g》V2/R. Тогда частное решение системы (3.44) имеет вид
Учитывая (3.43), получим
Подставляя в формулы (3.57) новое значение 小：小 н/ан =—HV]niRg, получим вместо (3.58) следующие выражения для скоростной ошибки:
(3.59)(3.59)a? = -备传+u『S也« 黑 nZyUcoscpcos K・
(3.59)
(3.59)
Сравнивая (3.59) с (3.58), можно заметить, что при выполнении условия М. Шулера углы а и Р в обеих формулах совпадают.
Из вида этих формул также следует, что изменение направления кинетического момента гироскопа приводит к изменению знака скоростной ошибки. Это обстоятельство позволяет использовать в качестве указателя вертикали гироскопический прибор, в котором объединены два гиромаятника с одинаковыми параметрами, но про* тивоположными кинетическими моментами. При маневре каждая из осей гироскопов отклоняется от вертикали на один и тот же угол, но в противоположные стороны от вертикали. Таким образом, биссектриса угла между осями указывает истинное направление геоцентрической вертикали.
Дифференциальные уравнения движения однороторного гирокомпаса, установленного неподвижно на Земле
При изучении свойств обобщенного гиромаятника (§ 2.13) мы уже отмечали, что если ось наружного кольца направлена по геоцентрической вертикали, а центр тяжести гирокамеры находится в плоскости, содержащей ось наружного кольца и ось ротора, и
расположен ниже точки пересечения осей карданова подвеса (рис. 2.22), то такой прибор может быть нспользе
ван в качестве указателя меридиана.
Было показано, что в положений относительного рав
новесия ось фигуры гирокомпаса лежит в плоскости меридиана и несколько приподнята над горизонтом (в се-
Рис. 3・12・ Геоцентрическая система координат.Рис. 3・12・ Геоцентрическая система координат.верном полушарии), что обеспечивает благодаря маятниковости прибора создание так называемого восстанавливающего момента. В сущности, ось фигуры гироскопа благодаря этому моменту прецессирует в инерциальном пространстве, описывая коническую поверхность с осью, направленной параллельно земной оси, с угловой скоростью,
Рис. 3・12・ Геоцентрическая система координат.
Рис. 3・12・ Геоцентрическая система координат.
в точности равной угловой скорости Земли. В результате относительная угловая скорость оси ротора равна нулю. Все сказанное отно
сится к идеальным начальным условиям, когда ось ги
роскопа установлена строго в плоскости меридиана и наклонена под заданным углом 0 к горизонту. Этот угол можно определить по формуле (2.13). Однако такой случай ориентации гирокомпаса мало интересен. Прибор как раз предназначен для того, чтобы отыскивать направление юг — север, поэтому его точная установка по меридиану в начальный момент может быть только случайностью. Возникают вопросы: как будет вести себя гирокомпас при произвольной начальной ориентации оси фигуры? будет ли ориентация оси фигуры по линии юг ——север соответствовать устойчивому положению равновесия?
Ответить на поставленные вопросы можно, лишь проанализировав уравнения движения гирокомпаса. При выводе уравнений воспользуемся общими уравнениями движения в форме (2.139).
Направим оси геоцентрической системы координат Охуг (рис, 3.12) с центром в точке пересечения осей
карданова подвеса следующим образом: ось 0之—по радиусу земной сферы, ось Оу ——на север и ось Ох — на восток. Ось вращения наружного кольца направлена по геоцентрической вертикали Ог. Тогда проекции угловой скорости трехгранника Oxyz, участвующего вместе с Землей во вращении вокруг полярной оси с угловой скоростью U, будут
их = р = 0, uy = q = U cos ф, uz = r = U sinqp.
Поэтому проекции угловых скоростей наружного и внутреннего колец в соответствии с формулами перехода (2.126) и (2.127) принимают вид
Qlx = U cos ф sin a, Q]“ = U cos а cos qp,
(3.60)(3.60)Q12 = [7 sinqp + а,
(3.60)
(3.60)
◎2% = U cos qpsina + B，
Q2y = U cos a cos В cos qp + (U sin qp + a) sin p, Й2г = (〃 sin ф + ct) cos ^— U cos a sin 0 cos qp.
В правых частях уравнений (2.139) необходимо вычислить обобщенные силы Qa, Qp и обобщенные силы инерции ——厶《，一厶0・ Для их опреде
Рис. 3.13. К определению проекций ускорения точки подвеса на оси геоцентрической системы коорди нат.Рис. 3.13. К определению проекций ускорения точки подвеса на оси геоцентрической системы коорди нат.ления воспользуемся выражением потенциальной энергии силы тяготения
Рис. 3.13. К определению проекций ускорения точки подвеса на оси геоцентрической системы коорди нат.
Рис. 3.13. К определению проекций ускорения точки подвеса на оси геоцентрической системы коорди нат.
77 = mg (ус sin Р + 2С cos р) (3.61) и формулами для обобщенных сил инерции (2.135), (2.136).
Совместим в данный момент инерциальные оси с геоцентрическими и
положим, как это следует для рассматриваемой схемы гироскопа,
Ус = 0, Zq = — /, Ф = 0,
行=0, р = 0.(3.62)
Здесь через Ф обозначен угол Эйлера, именовавшийся в § 2.11 ср.
Ускорение точки О направлено к оси вращения Земли (рис. 3.13) и равно по модулю
ш = U2r cos ф.
6 Я. Л. Лунц
Следовательно, проекции ускорения на оси координат соответственно равны
wx = 0, шу = rt/2 sin ф cos ср, wz = rU2 cos qp. (3.63)
Подставляя (3.62) и (3.63) в формулы (2.135), (2.136), получим обобщенные силы инерции
} (3.64)} (3.64)—厶=rnlrU2 sin a sin 0 sin <p cos qp,
} (3.64)
} (3.64)
—Lp = mlrU2 cos qp (cos qpsin p — sin <p cos a cos P).
Используя выражение для потенциальной энергии, найдем обобщенные силы, связанные с действием силы тяжести на гиромаятник:
Qa = —黑Q3 = — mg-Z sin р. (3.65)
Подготовительные операции, связанные с вычислением входящих в систему дифференциальных уравнений (2.139) ВвЛИЧИН Qsx» Q2“，02z, Qlx, Qly, Qiz，Qa, Q。，厶a，七6， закончены. Остается полученные зависимости (3.60), (3.64), (3.65) подставить в уравнения (2.139). Воспользуемся также сокращенными обозначениями (2.145) для различных комбинаций моментов инерции, а также заменим mg через Р. Тогда уравнения движения гирокомпаса, установленного неподвижно на Земле, примут вид
(Q 十 R cos2 6) & + R cos В {&U sin a sin p cos p —
—В [U cos a cos В cos qp + (U sin qp + a) sin P]} +
十 DU2 cos2 qp sin a cos a +
+ (6 + U cos <p sin a) {H cos 0 — SU cosacosq? +
十[U cos a cos qpsinp — (U sin q> + Q) cos p] R}= p/r
=U2 sin a sin P sin qp cos qp. (3.66)
S (6 + &U cos a cos qp) +
+ [(U sin qp + a) cos P — (/ cos a cos 屮 sin P] X
X {R [U cos a cos В cos qp + (U sin <p + &) sin p] — 7/}=
=—Р/ sin 0 + -^- U2 cos ф (cos qpsinp — sin (p cos a cos P).
(3.67)
Исследование решений этой довольно сложной системы нелинейных дифференциальных уравнений представляет собой задачу не легкую. Разумеется, применение современных цифровых вычислительных машин позволяет проинтегрировать эту систему при конкретных значениях параметров. Для выяснения же общих свойств решений уравнений (3.66), (3.67) целесообразно упростить эту систему, удерживая в ней наиболее существенные члены.
Колебания гирокомпаса около положения относительного равновесия
Прежде всего установим, исходя из точных уравнений движения, возможность существования относительного равновесия гирокомпаса. Будем искать решение системы (3.66), (3.67), удовлетворяющее условиям а三О, Bwconst Такое решение отвечает ориентации оси фигуры гирокомпаса вдоль меридиана и некоторому отклонению маятника на угол р* от вертикали. Подставляя указанные значения а и р* в уравнения, замечаем, что первое из этих уравнений удовлетворяется при любых 0, а второе позволяет определить р*
U (sin <р cos Р* — cos ① sin В*) X
X [RU (cos ф cos p* + sin ф sin 片)一切=
p/r
=—Р/ sin p* + -j- U2 cos qp (sinp* cos <p —- sinqp cos p*) или
U (sin <p — cos ф tg 0*) [UR cos 3 — ₽*)—切=
=—Р/ tg В* + -^ и? cos <p (tg P* cos ф — sin qp)・ (3.68)
Из этого уравнения можно, в частности, определить направление линии отвеса для физического и математического маятников. Полагая в (3.68) "=0, р*=р0 и обозначая ф — (Зо=Фь получим
RU2 sin ф] cos ^ — ― Pl sin p0 —U2 cos ф sin 屮卜
Отсюда
имеем
—sinP()= U2 sin 6 (夸 cos <Pi + ^ cos <pj.
Заметим, что при отсутствии ротора, когда гироскоп превращается в маятник, величина R становится равной разности осевых моментов гирокамеры относительно осей On и Оу, /? = & —邑.
Обычно 《 ？• В частности, для математического маятника с расположением точечной массы по
Рис, 3.14, Отклонение маятника из-за вращения Земли.Рис, 3.14, Отклонение маятника из-за вращения Земли.
Рис, 3.14, Отклонение маятника из-за вращения Земли.
Рис, 3.14, Отклонение маятника из-за вращения Земли.
оси Oz (рис. 3.14) имеем &=0, Вх = ^-Р и -^- = ~, так что неравенство l/g《厂/g очевидно (длина маятника, конечно, гораздо меньше радиуса земной сферы). Таким образом, линия отвеса отклонена на угол
(ро==р*) от линии О\О (рис. 3.14). Он определяется из равенства
—sin р0 == —^- sin(Pi cos <p.
Величина в правой части мала, поэтому мал и угол 限 следовательно, q)i=(p —— 0。^ 屮(угол q)i ——географическая широта места). Тогда можно принять
Ро — sin ф cos <р.(3.69)
Эта формула совпадает с (3.6). Знак минус указывает на то, что линия отвеса в северном полушарии отклоняется к югу от оси Oz.
Найдем теперь отклонение оси фигуры гироскопа от горизонта.
Заметим, что всегда Н》UR, так как угловая скорость вращения ротора гораздо больше угловой скорости вращения Земли, т. е.
CQ》UR.
Решая уравнение (3.68) относительно tg р*, найдем
Л PlrU \
Uri SIH ф I 1ту- COS ф J
tg В* =J % 丿.(3.70)
U〃 cos ф + Р/ 1— cos2
Следует отметить, что обычно параметры гирокомпаса таковы, что L/H cos ①《Р1. Так, например, один из гирокомпасов Сперри имеет следующие параметры [2]:
〃 = 2,76・ 109^^, Р2 = 7,25 • 1071^.
се&сек2
Тогда на широте(р = 60° имеем
U"cos(p=105 空% 变胪=1,39.10-3
* сек2 ， Р/ ，
Кроме того,
rU2 _ 6370 • 103 - 4[
9,8 - 242 - 36002《L
Поэтому формула (3.70) может быть представлена в виде
a UH sin фU2r sin ф cos ф
В силу малости величин, входящих в правую часть (3.70), стало возможным перейти от tg р* к р*.
Заметим, что величина
а и2T •
Ро==— sin ф cos ф,
как это следует из формулы (3.69), представляет собой отклонение линии отвеса от радиуса Земли (оси 0目)， появляющееся вследствие вращения Земли.
Таким образом, отклонение плеча гиройаятника в положении относительного равновесия гирокомпаса от
географической вертикали (линии отвеса) определяется из соотношения
萨-(3.71)
Как уже выше отмечалось, это отклонение и создает восстанавливающий момент гирокомпаса, заставляющий ось фигуры прецессировать относительно инерциального пространства с угловой скоростью, равной угловой скорости суточного вращения Земли.
Перейдем теперь к анализу возмущенного движения гирокомпаса относительно положения равновесия, определяемого углами а = 0, р = р*.
Линеаризуем уравнения движения (3.66) и (3.67) в окрестности равновесного положения. Это означает, что во всех выражениях, содержащих углы аир, следует ограничиться разложениями до линейных членов включительно. В частности,
sina = a+ ..., cos а = 1 + ..., sin р = sin р* + (Р — р*) cos Р* + ・・・, cos 6 = cos р* — sin р* (р — 6*) + ・・・
Пренебрегая произведениями малых величин а, В】= =В — р* и их производных, а также заменяя cos^*^ 1 и sin р* ^ 牝 получим линейные дифференциальные уравнения, описывающие возмущенное движение гирокомпаса около положения равновесия:
(Q + R) & - UR^{ cos ср + DU2a COs2 (p +
(3.72)(3.72)+ (6i + Uacosqp)(" — SU cos(p— URsinqp) = 0, S (Bi + d[7 cos qp) + (& — l/pcos(p)(URcos・(p — //)+
(3.72)
(3.72)
+ KU sin2 屮也=一尸峪 + 筝 и2 cos2 ф. В】.
Замечая, что Н》UR, Н》DU、Н》SU,等《L получим упрощенные уравнения возмущенного движе* ния гирокомпаса:
(3.73)(3.73)(Q + R)也 + 〃 (瓦 + Ua cos 哂=О,SPi — Н (& — UR cos ф) + Р/0] = 0.
(3.73)
(3.73)
Здесь всюду а и pi означают угловые отклонения оси фигуры гирокомпаса от положения равновесия, другими словами, это — вариации углов поворота наружного и внутреннего колец (а=а — 0, pi = p — р*). Наконец, можно воспользоваться тем, что обычно, как мы уже выше отмечали, имеет место неравенство UH《Р/, и тогда второе из уравнений (3.73) принимает вид
S^ — Ha + Pl^^O.
Отсюда следует
也 = *61 + 券自，
Дифференцируя первое из уравнений (3.73) и подставляя а, получим
P川丿十" dt2十
,4- UH cos (p (方" 山2 I / Pi) =3。 или
鵠+ 2力鵠+胪同=о,(3.74)
где введены обозначения
_ Р/ ,〃2 UH cos ① 卜2 _ HPIU cos 屮
=丁十 S(Q + R)十 Q + R ' & = S(Q + R)~，
Аналогичное уравнение можно получить и для угла а: 霊~ + 2h衆+圆=也(3.75)
Решения уравнений (3.74), (3.75) ищем в виде а = е»%0 = е认乙
Соответствующие характеристические уравнения одинаковы:
儿4-2也炉+炉=0.
Отсюда
九,2, 3, 4 = 土 К% ± 胪.
Выражение для Л довольно сложно, однако с доста точной точностью можно положить, имея в виду боль шой вес среднего члена в формуле для 力，что
严
” 2s(Q + R) •
Подставляя Л под знак радикала, можно получить следующие два значения для частот колебаний прибора:
У 2s(Q + R)十 У 4s2(q + r)2s(Q + R)，
n _ 1/^" 屮 UHPl 京
2 у 2s(Q + R) — И 4s2(Q + R)2 — S(Q + R)',
Выражение
JHU Pl cos(p _
~ И 4s2(Q + R)2 — s (Q + R)=
TP4S(Q + R)PIU cos(p'
=2s (Q + R) P 1炉
можно разложить в ряд
卩 ^Т^ТЖ【1 —备 2s (Q+ R)PIU cos <pj + ...
и тогда получим
Нт / РШ cos Ф
Us( q』R)，2 у и
Отсюда следует, что гирокомпас имеет два периода собственных колебаний:
м=2#№广")，^ = 2n/=^. (3.76)
Первый из них соответствует быстрым нутационным колебаниям, второй — медленной прецессии. Движение оси фигуры представляет собой наложение двух колебаний с различными частотами. Они происходят около положения равновесия а=0, В=В*・
Общее решение уравнений (3.73) можно представить в виде
а = a cos (/г"十 J)+ b sin (九2f + е2),
(3.77)(3.77)自=а ("^^ 加-3窘 Ф ) sin(九"+ 5)+
(3.77)
(3.77)
+ b (^^ - ^^"2)cos (/V + e2).
Заметим, что имеют место легко доказываемые неравенства ):
Q + R d U
(3.78)(3.78)—Щ » —cosqp,и cos <р、Q + R “
(3.78)
(3.78)
〃2》—^出
и, следовательно,
₽1 * 〃/^4^" si“z/ + 5)+b |/^^^cos(/V + £2)・ (3.79)
Величины а,仇 ％ и 出 можно найти из начальных условий.
Примем следующие начальные условия:
а (0) = 0, р! (0) = 0, &1 (0) = а0, ® (°) = ₽о-
Они соответствуют сообщению начальной угловой скорости кольцам гирокомпаса, установленного в положении равновесия (а=0, р=р*).
Используя первое из уравнений (3.77) и уравнение (3.79), получим
a cose】+ b sine2 == 0,
〃 /旦与"sin 片 + b /-^p cos ф cos e2 = 0,
(3.80)(3.80)—an{ sin E] + 6傲 cos 82 = d0, 〃/ "^"^%cosgi ——b |/*^- cos ф ^2 sin e2 = p0.
(3.80)
(3.80)
Отсюда можно найти выражения для амплитуд колебаний с нутационной частотой /г】и прецессионной и2. Они соответственно равны
а US(Q + R)&； + S2B*
b = W(Q + R)2^7 磋+ S 瑞.
Заметим, что обычно
(Q + ")2t^U》s(q + r)，
так как уже ранее указывалось на имеющее место для гирокомпасов соотношение Pl > UH cos ср.
Таким образом, отношение амплитуды прецессионных колебаний к амплитуде нутационных колебаний
/"(Q + R)2 P 崎；。2A 2/ U〃cos(p 十 > РоУ s(q + r)^ + s2^
близко к единице лишь при малых по сравнению с | р01 величинах | <х0|, в остальных случаях 匕/a》1. Другими словами, только в том случае, когда оси ротора гирокомпаса сообщается начальная угловая скорость, перпендикулярная плоскости меридиана, и, следовательно, колебания оси фигуры происходят в плоскости меридиана, в формулах (3.77), (3.79) нельзя пренебрегать нутационными колебаниями. Если же колебания оси фигуры сопровождаются отклонениями от плоскости меридиана, то допустимо пренебречь нутационными колеба-
ниями по сравнению с прецессионными и тогда из (3.77) и (3.79) имеем
а =匕 sin (п2/ + 喻
В = В* + 匕 / 也器里 cos(n2f + e2).(3,81)
Отсюда видно, что на картинной плоскости (а, ₽) годограф апекса оси фигуры представляет собой эллипс
(рис. 3.15) с центром, сдвинутым по оси 0 на величину р*, и с отношением полуосей, равным
£ = /譌7，М2)
Период таких колебаний (период медленной прецессии) равен
Т2 = 2п/ 威肃.(3.83)
Заметим, что период прецессионных колебаний изменяется вместе с широтой места.
Пример. Определить отношение полуосей эллипса, описываю* щего медленное прецессионное движение гирокомпаса, а также пе* риоды нутационных и прецессионных колебаний для гирокомпаса, установленного на широте ф = 60°, при следующих значениях его параметров:
Q + R = 4,07 ТО» %Q + R = 4,07 ТО» %Н = 2,76• 109 г• см2 сек-* Р1 = 7,25 • 107 г • см2 сек^\
Q + R = 4,07 ТО» %
Q + R = 4,07 ТО» %
S = 2,71 • 10б г ♦ см2»
Подставляя эти данные в формулы (3.76) и (3.82), получим
& =誉 MS(Q + R) = ^^М2,71 • 4,07 106 = 7,6• 10~3 c^,
「2 = 2冗 1/= 2冗弓方？： r = 6440 сек = 107 мин,
У Plu cos ф У 7,25 • 7,29 • 0,5，
仇一m—7,25. 103—
石=?亏〃cos6= У 276.'7：29.0,5 =2仇8・
Таким образом, период колебаний гирокомпаса около направления юг ——север оказался весьма большим— 1,8 ч. В отличие от него период нутационных колебаний имеет порядок тысячных долей секунды. Амплитуда колебаний наружного кольца, как и следовало ожидать, во много раз больше амплитуды колебаний внутреннего кольца.
от урав- которых в：(3.84)от урав- которых в：(3.84)При изучении возмущенного движения гирокомпаса можно в дальнейшем ограничиться изучением медленных прецессионных 、движений. Пренебрежение нутационными колебаниями эквивалентно переходу нений (3.73) к прецессионным уравнениям, в отсутствуют вторые производные от углов а и
от урав- которых в：
(3.84)
от урав- которых в：
(3.84)
В】+ а[7 cosqp==0,a 一受自=0
или
а + 吧沪匕 а = 0, 瓦 + .赞① Pi = 0. (3.85)
Легко убедиться в том, что решение этих уравнений имеет вид (3.81) и описывает прецессионное движение
гирокомпаса с частотой k—y —^-cqsф.
Гирокомпас на подвижном основании. Скоростная девиация
Перейдем к изучению движения гирокомпаса, уста* новленного на поступательно перемещающемся по Земле объекте. При этом дальнейшие выводы будут основьь ваться на прецессионной теории. Выше было показансц что это приближение дает довольно хорошее совпадение с точной теорией.
Следуя А. Ю. Ишлинскому, разложим абсолютную скорость движения аппарата на две составляющие: северную VN и восточную VE (рис. 3.16, а). В последнюю, разумеется, входит и переносная скорость вращения Земли, так что
Ve — ve+ UR cos 啮 °, (3.86)
где vE — восточная составляющая скорости относительно Земли. Трехгранник 0自吨 ориентирован в геоцентрической системе координат.
90
Рис. 3.16, Разложение абсолютной скорости точки подвеса гироком*паса на составляющие.
Ранее уже было установлено, что при VN=0 ось фигуры гирокомпаса направлена в положении равновесия на север. Следует поэтому ожидать, что в общем случае, когда скорость V составляет с параллелью угол а*, ось фигуры должна указывать направление 0$ (рис. 3.16,б), отклоненное от северной оси 0n также на угол а*. При этом
VVV
tg а* =, cosa* = -^, sin а* ==-у^, (3.87)
где V = VVe + V^= V(URcos(p + ve/ + vjf (Vn~vn).
Уравнение движения оси фигуры можно получить, использовав теорему об изменении момента количеств движения относительно точки пересечения осей карда- нова Подвеса — точки О (рис. 3.16, а)
卷 + 〃 XKo =「cXm(g— w0).(3.88)
Рис. 3.17. Системы координат: OSi^i^i-трехгранник Дарбу, 。&期怎一связанная с наружным кольцом, 0&似3 —связанная с внутренним кольцом.Рис. 3.17. Системы координат: OSi^i^i-трехгранник Дарбу, 。&期怎一связанная с наружным кольцом, 0&似3 —связанная с внутренним кольцом.(3.90)(3.90)斤斤(3.91)(3.91)
Рис. 3.17. Системы координат: OSi^i^i-трехгранник Дарбу, 。&期怎一связанная с наружным кольцом, 0&似3 —связанная с внутренним кольцом.
Рис. 3.17. Системы координат: OSi^i^i-трехгранник Дарбу, 。&期怎一связанная с наружным кольцом, 0&似3 —связанная с внутренним кольцом.
(3.90)
(3.90)
斤
斤
(3.91)
(3.91)
Найдем проекции векторов Ко, “, w0 на оси трехгранника Дарбу OgiT)i?i.
Положение оси гироскопа относительно этого трех
гранника можно определить двумя углами: углом поворота наружного кольца а относительно оси О& (рис. 3.17) и углом поворота внутреннего кольца 0 относительно оси。自2・ На рис. 3.17 0&， °Пз，。迄 совпадают с осями Резаля.
Предполагая, что момент количеств движения направлен по оси гироскопа, получим следующие выражения для его проекций на оси трехгранника:
Км = _" cos § sin а, ' К% = Н cos а cos р, (3.89) KC1 = //sin₽,-
где Н — кинетический момент гироскопа. Он предполагается в дальнейшем постоянным.
Угловую скорость трехгранника。自1巾« получим, огь
ределив предварительно угловую скорость геоцентриче* ского трехгранника。自吨(рис. 3.16, а). Движение последнего можно рассматривать как сложное: вращение вместе с меридиональной плоскостью вокруг полярной оси 0屮 с переносной угловой скоростью
е R COS ср
и относительное вращение вокруг оси, перпендикулярной меридиональной плоскости, с угловой скоростью^
Таким образом, абсолютная угловая скорость геоцентрического трехгранника выражается формулой
В проекциях на оси трехгранника 0&nG получим
(3.93)(3.93)现=一5 =Q ,% =&COS(P =苛，
(3.93)
(3.93)
哄= 5Sin(p = —|"tg ф.
Отсюда легко получить проекции абсолютной угловой скорости трехгранника。贏似1, повернутого вокруг оси 0匕 на переменный угол а*.
Заметим прежде всего, что абсолютная угловая скорость трехгранника。自⑺心 и может быть вычислена по формуле
и^& + ^9 (3.94)
Используя выражение для угла а* (3.87) и соотношения (3.93), получим проекции угловой скорости 〃卜 〃2, 〃з на оси трехгранника 0氤巾备：
〃]=cog cos а* + % sin а* =
(3.95)(3.95)7
(3.95)
(3.95)
w2 = 0n cos a —cog sin а =肝 +麻■=帀
«3 = ^ + d* = --^-tg(p + а\
Продолжим определение величин, входящих в основное ^уравнение (3.88).
Центр масс гирокамеры смещен в изучаемом приборе по оси, перпендикулярной плоскости внутреннего кольца. На рис. 3.17 его изображает точка С, лежащая на отрицательном направлении оси 0當 на расстоянии 2 от точки О. Найдем координаты точки С в системе О51Л151-
Из рис. 3.17 сначала находим
?С1 = — Z cos р, t]c2 = ZsinB，|С2 = 0,(3.96)
после чего получим искомые проекции в виде
Eci = — / sin р sin a, “ci = / sin 0 cos а, 生】=—/ cos g.
(3.97)
Следовательно, вектор гс, входящий в правую часть уравнения (3.88), определен.
Переходим к вычислению последнего из векторов, входящих в выражение (3.88),——ускорения точки подвеса w0. Эта задача была уже нами решена ранее, когда
必必гирокомпаса.гирокомпаса.Рис. 3.18. ускоренияРис. 3.18. ускоренияК определению точки подвесаК определению точки подвесав § 3.1 определялось ускорение объекта при его перемещении по поверхности Земли. На рис. 3.18 изображены оси трехгранника Дарбу OEnU и составляющие полного ускорения. Сравнивая с расположением осей на рис. 3.4, легко найти соответствие осей 。之 н О” с осями Оу и Oz, оси 0占 и Ох противоположно направлены. Отсюда следует, что проекции ускорения точки О на оси О§, 0% 0g соответственно равны
必
必
гирокомпаса.
гирокомпаса.
Рис. 3.18. ускорения
Рис. 3.18. ускорения
К определению точки подвеса
К определению точки подвеса
侬Е =-侬* 侬n =侬2,侬Е =-侬* 侬n =侬2,(3.98)(3.98)где через wXt wy, wz обозначены проекции ускорения, вычисленные в § 3.1. В соответствии с формулами (3.10)
侬Е =-侬* 侬n =侬2,
侬Е =-侬* 侬n =侬2,
(3.98)
(3.98)
имеем
. V V2V V
吗=缪'_叫 ="e 方从 tg9打'tg ЧР =
(3.99)(3.99)=^一/Ф，
(3.99)
(3.99)
侬n =з:+ 侬:c sin ф = pn + 又 tg 0，
吸 吸 V2
®口 = _侬^ COS Ф 一侬:=可=五.
Переход к проекциям ускорения на оси трехгранника 5&ть& производится при помощи известных формул
преобразования поворота
吗=侬匕cos а* + % sin а* =
+ (卩n + 粤tgjsin a* =普, w^ = 5n cos a* —侬己 sin a* =+ (卩n + 粤tgjsin a* =普, w^ = 5n cos a* —侬己 sin a* ==仅Е — -^^ tg<p) cos а* +
+ (卩n + 粤tgjsin a* =普, w^ = 5n cos a* —侬己 sin a* =
+ (卩n + 粤tgjsin a* =普, w^ = 5n cos a* —侬己 sin a* =
(3.100)
Используя основные формулы (3.88), (3.89), (3.95), (3.97) и (3.100), представим
К。= — 〃 cos р sin 碍 + Н cos a cos 眦 + Н sin 隅e? 哨 寻
〃XKo= 0页tg qp + а* > (3.101)
—sin a cos P cos a cos psinp
好 畤 寻
^cX(g —臾 J = l —sin В sin a cos a sin В — cosp .
一 %]一吗B_g一% .
(3.102)
Кроме того,
•^1 = " (8 sin asinP — a cos a cos0増—
—// (6 cos a sin В + & sin a cos P)"? + "B cos B3?・ (3.103)
Спроектируем основное векторное уравнение (3.88) на оси ОЗ】и 。备.Используя соотношения (3.102) и
(ЗЛОЗ), получим
Н (6 sin а sinp — d cos а cos Р)十
+ " В sin § — ("^ tg ① + &*) cos а cos §]=
—ml^g —£-) cos a sin 0 +
+ COS В+ COS В]/2\Н—* tg Фу cos а* —]/2\Н—* tg Фу cos а* —
+ COS В
+ COS В
]/2\
Н—* tg Фу cos а* —
]/2\
Н—* tg Фу cos а* —
(3.104)(3.104)-他一"^^tg(p)sin а*]),
(3.104)
(3.104)
ЯР cos Р + Я -^ sin а cos р =
=欣｛[Rn + 号"tgjcosа* —
—[уЕ——^^tg(p)sin a*] sin a sinp +
+ K^e1方旦 tg ф) cos а* 4
+ (腺 + *tg(p)sin a* cos аsinp j.
Найдем условия, при которых уравнения (3.104) допускают тривиальное решение а 三 0, § 三 0. В этом случае направление оси фигуры гирокомпаса, совпадающее с направлением момента количеств движения Ко, отклонено от направления на север на угол а*. Значение угла а* зависит только от направления вектора абсолютной скорости точки подвеса, расположенной в касательной плоскости к земной сфере (рис. 3.16). Заметим, что из формул (3.87) следует
十=訊arctg 囲= %『％•(3.105)
Подставляя значения a*, cos а*, sin а*, а=В=0 в уравнения (3.104), убедимся в том, что второе уравнение
удовлетворяется тождественно, а первое приводится к равенству
Оно может быть удовлетворено при условии
H = mlV или
H = ml K(UR cos(p + / + У乳(3.106)
Оставляя пока в стороне вопрос о возможности реализации такого соотношения между параметрами гирокомпаса, укажем, что равенство (3.106), полученное В. Г. Железновым и А. Ю. Ишлинским [9] для гирогори- зонткомпаса (см. § 3.6), может быть названо уточненным условием М. Шулера. При соблюдении равенства (3.106) и начальных условий ао=О, ₽о=О ошибка гирокомпаса зависит только от текущих значений скорости и определяется формулой
РV
£ = arctg ^ = arctg ®麻*^孑％ ・(3.107)
Таким образом, точное направление на север удается определить только при условии, что на борту аппарата имеются приборы, измеряющие его скорость относительно Земли, и известна широта места. Разумеется, мы здесь не касаемся вопросов, связанных с учетом не- сферичности Земли и неоднородности поля земного тяготения.
Ошибка, определяемая формулой (3.107), носит на* звание скоростной ошибки, или девиации.
Перейдем к составлению уравнений возмущенного движения гирокомпаса около положения относительного равновесия, определяемого значениями а=0 и р=0.
Удерживая в уравнениях (3.104) члены первого порядка малости относительно аир, получим уравнения
в вариациях
(3.108)(3.108)—〃& + 〃{0 =—欣(g — £)в,〃8 + 〃{a = m 必.
(3.108)
(3.108)
Здесь мы воспользовались очевидным равенством
V£ cos а* + Vу sin а* =箒 (И = Vv^ + Vy),
&一鲁 0 = 0，6 + }а =啥依&一鲁 0 = 0，6 + }а =啥依(3.109)(3.109)а также условием М. Шулера (3.106). Заметим, что Н ^ —ml ^― F и в силу соотношения (3.106) получим из (3.108)
&一鲁 0 = 0，
6 + }а =啥依
&一鲁 0 = 0，
6 + }а =啥依
(3.109)
(3.109)
Отсюда, после нахождения р из первого уравнения
8 =空=也(3.110)
Y rnlg g\/
и подстановки его во второе уравнение, найдем уравнение для а
aV . aV . V &沙 miv
Однако ^^^=1, поэтому имеем
(3.111)(3.111)it + -~а = 0.
(3.111)
(3.111)
Таким образом, колебания гирокомпаса около положения относительного равновесия происходят с периодом М. Шулера
Т = 2пТ = 2п=5064 сек — 84 мин 24 сек.=5064 сек — 84 мин 24 сек.
Т = 2п
Т = 2п
=5064 сек — 84 мин 24 сек.
=5064 сек — 84 мин 24 сек.
С таким же периодом, как это следует из равенства (3.40), происходят колебания гирокамеры вокруг оси Ogt (рис, 3.17)<
Вопрос об устойчивости положения относительного равновесия гирокомпаса в рамках прецессионной теории не может быть решен. Требуется более детальное исследование точных уравнений движения, выходящее за рамки настоящей книги.
Условия невозмущаемости для гирогоризонткомпаса
Обобщенное условие М. Шулера, выведенное в предыдущем параграфе, H=mlV в однороторцом гирокомпасе трудно реализуемо. Дело в том, что скорость V является переменной и для соблюдения условия (3.106) нужно мейять либо длину гиромаятника 厶 либо кинетический момент ",в строгом соответствии с изменением модуля скорости. Такого рода вмешательство весьма затруднительно и может привести к появлению дополнительных ошибок.
Избежать подобных рис. 3.19. Схема гирогоризонткомпаса. затруднений можно в ги- рогоризонткомпасе, представляющем собой двухроторный гироприбор с параллельными осями прецессии гироблоков, он изображен на рис. 3.19 в виде сверху. Кожухи гироскопов могут поворачиваться вокруг осей прецессии U и 5 на равные углы в разные стороны благодаря существующей между ними связи в виде антипараллелограмма OiOCO2. Звенья OJ3 и О2С жестко связаны с кожухами соответствующих гироскопов.
Оси вращения гирокамер жестко укреплены внутри сферы /, которая свободно плавает в сферической полости //, заполненной жидкостью. Такой жидкостный подвес гиросферы обладает ничтожным моментом сил трения, что увеличивает точность показаний гирогоризонткомпаса по сравнению с рассмотренным выше одцо- роторным гирокомпасом.
Общий центр тяжести гиросферы вместе с чувствительными элементами смещен от точки подвеса О (рис. 3.19) вниз параллельно осям прецессии на расстояние /. Пружина /// соединяет звено антипараллелограмма CD с оболочкой гиросферы.
Принимая в соответствии с прецессионной теорией, что момент количеств движения гиросферы равен суммарному моменту количеств движения роторов гироскопов, получим
Ко = 5—5"・(3.112)
Свяжем с гиросферой систему координат О自т)К Направим ось 0匕 параллельно осям прецессий гироскопов, а ось Oq по биссектрисе угла 2е (рис. 3.19) между осями роторов гироскопов. Тогда направление оси 0g определяется однозначно.
Полагая, что кинетические моменты гироскопов по модулю одинаковы, получим в соответствии с рис. 3.19 общий кинетический момент чувствительного элемента
"=23 cos &(3 =夕=8〃).(3.113)
Проекции кинетического момента на оси трехгранника Одт]^ выражаются весьма просто
勺=0, Kn = 2Bcos& = H, ^ = 0.(3.114)
Отсюда видно, что суммарный кинетический момент является переменной величиной, зависящей от е.
Следуя методу, изложенному в монографии А. Ю. Ишлинского [9], составим уравнения движения гироприбора в осях, связанных с гиросферой. Заметим, что эта механическая система имеет четыре степени свободы: три степени свободы имеет гиросфера и одну степень свободы относительно гиросферы, связанные между собой кожухи гироскопов. При этом еще предполагается, что роторы гироскопов вращаются с постоянной угловой скоростью, в противном случае система имела бы еще две степени свободы.
В системе координат, связанной с гиросферой, уравнение моментов принимает вид
樂+ sXKo = Afo,(3.115)
где Alo ——момент сил, действующих на гиросферу относительно ее центра О, включая и силы инерции. В проекциях на оси системы координат О^т]?, учитывая (3.114), получим
т吋攸，將=%[ (3.116) H(ss^ — M^
Четвертое уравнение получим, применяя теорему моментов для каждого из двух гироскопов (рис. 3.20). Отбросим звено CD параллелограмма и пружину и заменим их действие силами Ти Т2, 7з. Пренебрегая массой звена и трением в шарнирах, можно считать, что 7\ = —「2 и что эти силы действуют по одной прямой.
Уравнение (3.115) в проекции на ось Og для каждого из гироскопов дает
学+ %缘一%弊=g(%)， (3」⑺
琶+找"一%空=慢(з)+也(T^
Заметим, что из рис. (3.20) следует
瓦= j?£ = 0, В| = В sin е, В^ = В cos е,
В% = — В sin е,財=5 cos е,после чего уравнения (3.117) принимают вид
Bgcos е — В8TlsЙ1£ = 乂匕(北)，]
8383e + 5(0戸т£ =岷(t2)+ 岷(T3)・)(3・118)
Учитывая, что М^{Т(} = М^(Т^, получим после образования разности двух уравнений (3.118)
25(0n sin £ = 也 (北).(3.119)
Момент силы натяжения пружины относительно оси прецессии гироскопа Mg (Т3) является функцией угла е. Введем поэтому обозначение
岷(「з) = Ме)・
Таким образом, систему уравнений, описывающую движение гирогоризонткомпаса, можно записать в виде
—23 叫 cos е = Mg, 2В3 cos e = Mg, 房(2b cos e) = %2b(0n sin e = N ⑻，(3.120)
где Mj Л1л, M^ — проекции суммы моментов внешних сил и сил инерции.
Рис. 3.21. Условие невозмущае- мости гирокомпаса: центр масс С находится на радиусе сферы.Рис. 3.21. Условие невозмущае- мости гирокомпаса: центр масс С находится на радиусе сферы.Выясним, каковы необходимые условия того, чтобы трехгранник rOgr)^ двигался по неподвижной относительно инерциального пространства сфере, сохраняя во время движения ось Og направ* ленной по радиусу сферы (рис. 3.21).
Рис. 3.21. Условие невозмущае- мости гирокомпаса: центр масс С находится на радиусе сферы.
Рис. 3.21. Условие невозмущае- мости гирокомпаса: центр масс С находится на радиусе сферы.
также равен нулю, тактакже равен нулю, такВ момент Л4о, как уже указывалось, входит сумма моментов внешних сил и сил инерции. Пренебрежем моментом сил трения между гиросферой и жидкостью, заполняющей полость // (рис.3.19), и заметим, что момент силы тяготения :ак центр тяжести прибора ле
также равен нулю, так
также равен нулю, так
жит на оси 0g, а ось по предположению проходит через центр Земли. Остается определить момент переносной силы инерции, приложенной также в точке С. Таким образом,
Mo = — m 仇 X 叫)，(3.121)
где m — масса чувствительного элемента (гиросферы вместе со всем содержимым),万=—隽。(I = ОС) и —д—ускорение начала координат — точки О. Скорость точки О может быть определена по формуле
% =(о X R,
так как точка О принадлежит трехграннику 0意噴* вращающемуся вокруг неподвижной точки О[. Отсюда следует
几= /?%.y"=-R唯,/=0.
Тогда для ускорения точки О справедливо соотношениеao = ^+sXK
или в проекциях на оси координат
齊=R G^ + 碗8 j，如 T) = _ R (-JP _ 削碗)
% = _ R (畤 + 吗).
Отсюда следует в соответствии с формулой (3.121)
(3.122)(3.122)Л^ = — ml3n = mlR (~ 一 ①产 J, M^ = ml叭=tnlR (筹^ + зр J， Mg = 0»
(3.122)
(3.122)
Теперь основные уравнения (3.120) принимают вид
(3.123)(3.123)—2В(о^ cos е — mlR ｛飞— 2B®^ cos е = 0»
(3.123)
(3.123)
鼻(23 cos e) = mlR (醬 42B®nsine —jV(s).
Из второго уравнения следует, что sg = 0. Первое и третье уравнения (3.123),как легко видеть,будут удовлетворены, если положить
2В cos е" mlR
Подставляя 3“ в последнее из уравнений (3.123), получим
4 A2
^ (е) = 25(0n sin & =石灰 sin e cos e. (3.125)
Заметим, что при 砒=0 имеем %=0, V=V^ = R(aw т. е. скорость точки О должна быть направлена по оси Og. В этом случае условие (3.124) можно переписать так:
V — 2В cos £
R — tnlR или
mW = 2В cos е = 〃•(3.126)
Это условие в точности совпадает с выведенным в предыдущем параграфе условием М. Шулера (3.106) для однороторного гирокомпаса.
Условие, накладываемое на момент силы натяжения пружины №(е), связывает вполне конкретной зависимостью этот момент с углом 8. Соответствующим подбором параметров пружины такая зависимость в принципе может быть реализована.
Заметим, что уравнения (3.123) удовлетворяются в любой момент времени, если в начальный момент времени скорость Vo направлена по оси 0g гиросферы, ось 0匕 нормальна к земной сфере, "(&) зависит от е согласно формуле (3.125) и mlVQ—2B cos е0. В самом деле, из того, что скорость Vo направлена по оси 0g, следует, что R稣=%. Кроме того, из второго уравнения (3.123) имеем(о^=0. Тогда третье уравнение (3.123) даст после интегрирования
2В cos е — 2В cos % =团依①刀一团仇， (3.127) и поэтому первое и четвертое уравнения (3.123) обращаются в тождества, если только в начальный момент времени угол ео удовлетворяет условию
w/V0COS80 = -^y-.
Таким образом, триэдр, жестко связанный с плавающей гиросферой, движется так, что оси прецессии гиро-
скопов (0工)направлены по радиусу земной сферы, а суммарный кинетический момент гироскопов, направлен- ный по биссектрисе угла, образуемого осями гироскопов, лежит в касательной плоскости к сфере и перпендикулярен абсолютной скорости точки подвеса. Угол, состав* ляемый этим направлением с меридианом, как и в случае однороторного гирокомпаса с периодом Шулера, определяется по формуле (3.84)
Р V
tg £ =J—, (3.128) з % URcos(p + %' ' 丿
где VN — северная составляющая абсолютной скорости аппарата, vE ——восточная составляющая относительной скорости, U — угловая скорость вращения Земли, qp — геоцентрическая широта места.
Отклонение а* называется скоростной девиацией гирокомпаса. Этой ошибки в показаниях прибора можно избежать, если только на борту аппарата имеется лаг — измеритель скорости аппарата относительно Земли,
Остается еще выяснить, как ведет себя гирогоризонт- компас при нарушении начальных условий, сформулированных выше. Для этого, аналогично тому как это было сделано в предыдущем параграфе для однороторного гирокомпаса, выведем уравнения возмущенного движения прибора.
Пусть OEnJ (рис. 3.22) — трехгранник Дарбу, ориентированный по радиусу земной сферы (Og) и абсолютной
скорости аппарата (Og). Переход от этой системы координат к системе Oxyz, связанной с гиросферой, можно осуществить при помощи трех поворотов (рис. 3.22 и 3.23): поворота на угол а вокруг оси 0g, на угол р вокруг оси O^i и на угол у вокруг оси Ог|2.
Если а — вектор, заданный в системе координат。自噴 проекциями 佻，а”，а^ то его проекции в системе Oxyz имеют вид
ах =源(cos a cos у — sin а sin р sin у) +
+ an(cosacosy + cosasinpsin у) — а^ cos р sin у,
ау = — д sin a cos В + 〃刀 cos a cos р + @匕 sin Р，(3.129)
az = 〃Е (sin a sin р cos у + cos a sin у) +
+ 旬®n a sin у — cos asinpcos丫)+ 牝cospcosy.
Ранее были определены проекции вектора угловой скорости трехгранника Дарбу на его оси. В соответствии с формулами (3.95) имеем
«1 =0, 〃2 =灭，w3 = -j~ tg(p + a*.(3.130)
Угловая скорость трехгранника Oxyz может быть представлена как сумма угловых скоростей четырех поворотов
(0 = 〃 + 就。+ 能? + 存。.(3.131)
Найдем проекции вектора (о на оси Oxyzy связанные с гиросферой. При этом проекции вектора 〃 вычисляются в соответствии с формулами преобразования (3.129)
®# = {(sin a cos у + cos a sin p sin 丫)一
(3.132)(3.132)—〃з cos § sin у — & cos В sin у + В cos y, ®p = V cos a cos В + 〃з sin § + & sin 0 十 ％
(3.132)
(3.132)
S (sin a sin у — cos asinp cos y) +
+ 〃з cos P cos у + a cos p cos 丫 + 6 sin y.
Заметим, что ускорение точки подвеса О ранее было уже определено и его проекции на оси трехгранника Дарбу выражаются по формулам (3.101), которые можно записать в виде
喚=嘗，w1] = Vu3t 畋=一 %•(3.133)
Чтобы найти wXi wy, wz, необходимо воспользоваться формулами (3.129).
Наконец, радиус-вектор центра масс Гс и силу тяготения можно записать в виде
?с = — /* Р = tng = — mg^
или в проекциях на оси, связанные с гиросферой:
厶=0, т)с = 0> 殳=—4
Px = mg cos Р sin у, Р“ = —mg sin В， (3.134) Pn = — mg cos В cos 丫・
Здесь при проектировании вектора Р мы вновь воспользовались формулами (3.129).
Теперь перейдем к составлению уравнений движения гиросферы. Уравнение моментов (3.15) можно записать в виде
^ + ^XKQ = mrcX(g-w0).(3.135)
Проектируя векторное равенство (3.135) на оси 0阳2, вспомним, что в соответствии с прецессионной теорией имеют место равенства (3.114)
Kg = 0, Kn = 2Bcos£ = ", Kg = 0.
Используя выражения для ш, w0, rc, g, найденные выше, получим в результате вычисления левых и правых
частей (3.135) следующую систему уравнений:
—28 cos в ［左(sin a sin у — cos a sin 0 cos y) +
+ (a + 〃з) cos § cos 丫 十 6 sin y］=
=欣［嘗 sin a cos 6 ——
—卜〃з cos a cos В + sin P ^g)］,
(3.136)(3.136)£(28cose) =
(3.136)
(3.136)
=ml ［黑(cos a cos 丫 一 sin a sin В sin y) +
+ 丿〃3 (sin a cos у + cos a sin § sin y) +
+ (券—g卜os § sin y］,
28 cos e ［普(sin a cos у + cos a sin p sin y)—
—(〃з + a) cos p sin 丫 十 В cos 丫］ = 0.
К этой системе необходимо присоединить еще четвертое уравнение, вытекающее из (3.119):
2В sin е ［友 cos a cos Р + («3 + a) sin р + yj = A^ (e). (3.137)
Система четырех уравнений (3.136), (3.137) относительно четырех неизвестных функций a, р, у, е при законе изменения момента пружины относительно оси прецессии гироскопа согласно условию (3.125) имеет частное решение
a = P = Y = 0, cos в = ~^^^ •(3.138)
В этом можно легко убедиться, если подставить значения (3.138) в уравнения (3.136), (3.137) и воспользоваться
зависимостью (3.125)
N (е)=近百 cos е sine.
В силу единственности решения системы уравнений (3.136), (3.137), если условия (3.138) выполняются в начальный момент времени, то решение (3.138) справедливо в любой момент времени. Гирокомпас в этом случае будет иметь только скоростную девиацию, определяемую углом а* согласно формуле (3.128)
Возмущенное движение около положения, определяемого из (3.138), можно найти, полагая в уравнениях (3.136), (3.137)
а = а“ B = Bi， Y = Yi，e = u(/) + ei
и считая аз Pi, 丫力 ei малыми величинами. Величина o(f) удовлетворяет второму условию (3.138) при замене е на о. Тогда, линеаризуя исходную систему уравнений, получим
ml 色罪"—他g/氏=25加"3 sin a,
(3.139)(3.139)备(23勿 sin(y)+ml [изУщ + (勺一g)Yi] = 0,
(3.139)
(3.139)
dt 十 十 mlR 5
Система уравнений (3.139) может быть решена в квадратурах, если принять допущение, что
H《gR,
т. е. абсолютная скорость аппарата гораздо меньше первой космической скорости Vt = VgR.
Уравнения (3.139) в этом случае приводятся к виду
28引 sin a mlVgR28引 sin a mlVgR(3.140)(3.140)
28引 sin a mlVgR
28引 sin a mlVgR
(3.140)
(3.140)
但+ /亘竺喫旦=_〃3丸dt У R tnlV gR
d ( 2B包 sin q) 「飞弋 一 —〃 . ％
Умножая второе уравнение системы (3.140) на /, а второе уравнение системы (3.141) на —i и складывая почленно с первыми уравнениями, получим
醬 + /X = %У,^ + ivY =讪 зХ・(3.142)
Здесь введены обозначения
"摄+zB，吁广1^#，v = /F(3」43)
Почленно складывая и вычитая уравнения (3.142),
получим два независимых уравнения
1(х + у)+ «”一〃з)(х + у)= о,^■(Х — У) + "V + 〃з)(Х - У) = 0・
Отсюда после интегрирования найдем
Х + У = (Х° + Уо)ехрХ + У = (Х° + Уо)ехр(V + 〃з) dt(V + 〃з) dtХ-У = (Хо —У°)ехрХ-У = (Хо —У°)ехр(3.144)(3.144)
Х + У = (Х° + Уо)ехр
Х + У = (Х° + Уо)ехр
(V + 〃з) dt
(V + 〃з) dt
Х-У = (Хо —У°)ехр
Х-У = (Хо —У°)ехр
(3.144)
(3.144)
Подставляя вместо X н У выражения (3.143) и отделяя
вещественные и мнимые части, получим
十 Y?)cos[j (v —瓦3)威 +
+ （伴一
2Вб? sin а0
ml КgR
sin[j(v —〃3)df ,
Vai 7H~Yl =
—Y, cos [ J(V + 〃з) dt +
+ M+警5“ (宀3)d：,
2Ве, sin о
В1—.-=
(3.145)(3.145)Iml КgR
(3.145)
(3.145)
=*醬阴C°s[j(Vi)d/ -
01 +
[j(v —〃з) dt
2Bet sin a
他3函
2B8? sin er。、
T=— cos ш/ VgR /
(V + 〃3)dt
(v + 〃з) dt
Складывая и вычитая почленно первое равенство со вторым, а также третье с четвертым, можно получить выражения для координат ai, Pi, yi, ei, которые определяют положение чувствительного элемента гирогоризонткомпа- са относительно трехгранника Дарбу на земной сфере.
Из (3.145) следует, как и можно было ожидать, что при нулевых начальных возмущениях а? = §? = у； = е? = О
7 Я. Л. Лунц
гирогоризонткомпас ориентирован в любой момент времени по осям трехгранника Дарбу, т. е. имеет при любом законе движения (〃з(/) и R(f)—произвольные функции времени) только скоростную ошибку. Она определяется углом а* в соответствии с формулой (3.128) и зависит, следовательно, только от мгновенной скорости аппарата.
Из соотношений (3.145) также следует, что при постоянном значении величины и3 = -~- tg <р + а* (угловой скорости трехгранника Дарбу относительно оси Og, направленной в зенит) возмущенное движение представляет собой наложение двух гармонических колебаний с частотами
% = /-!■ - " 3， "2 = /登 + 〃3. (3.146)
Как видно из этих формул, периоды колебаний отличаются от периода Шулера.
Результаты, приведенные в этом параграфе для общего случая маневра аппарата, впервые были получены А. Ю. Ишлинским [9].
В заключение отметим, что гирогоризонткомпас, или пространственный гирокомпас,——прибор высоко прецизионный. В отличие от однороторного гирокомпаса он не требует непрерывного удержания наружной оси гироскопа в вертикальном положении. Вместе с тем обеспечение обобщенного условия Шулера (3.126) или, что этому эквивалентно, введение пружины с моментом 2(e), удовлетворяющим условию (3.125), оказалось весьма трудной технической задачей. Пружина с такими параметрами может оказаться недостаточно жесткой, чтобы преодолеть момент сил сухого трения в осях прецессии гироскопов. В этом случае возникают зоны застоя, что уменьшает чувствительность гирокомпаса. Подробный анализ возмущенного движения гирогоризонткомпаса, когда условие Шулера не выполняется, читатель может найти, например, в монографии Я. Н. Ройтенберга [27]. Отметим только, что в этом случае наряду со скоростными ошибками возникают еще и баллистические ошибки, зависящие не только от мгновенного значения скорости точки подвеса движущегося прибора, но и от
всего предшествующего движения. В существующих про< етранственных гирокомпасах обобщенное условие Шу* лера не соблюдается и поэтому им свойственны балли* стические ошибки.
Гироскопические приборы ракет [阴，[34J
При движении ракеты на активном участке траектории скорость ее центра масс непрерывно растет. В момент «отсечки» двигателей истинные координаты центра масс и его скорость должны廿
достаточно мало отличатьсяс
от программных значений.
Система угловой стабилиза- ции ракеты, а также системы боковой и нормальной стабилизации центра масс обе-
СПеЧИВНЮТ ДВИЖеНИе Центра Рис. 3.24. Траектория движения масс В ПЛОСКОСТИ стрельбы,центра масс ракеты,
а также соответствующее
угловое положение аппарата относительно центра масс.
Предположим, что скорость центра масс ракеты на・ правлена по ее продольной оси АВ (рис. 3.24) и соста~ вляет с плоскостью горизонта угол 0 (угол тангажа). В качестве индикаторов углового положения ракеты могут быть использованы свободные гироскопы типа «гирогоризонт» и «гировертикант». Прибор, измеряющий ско* рость Ус, представляет собой неуравновешенный гироскоп с непересекающимися осями кардановых колец. Он называется гироскопическим интегратором линейных ускорений. В качестве интегрирующих приборов могут быть использованы также поплавковые гироскопы с дву* мя степенями свободы [18], [34].
ЬГа рис. 3.25 схематически изображен гировертикант, установленный на ракете. Ось наружного кольца свобод* ного гироскопа 2 располагается в плоскости газовых рулей /, /// и перпендикулярна оси ракеты ОХ. Рули /, /// находятся в плоскости стрельбы. Кинетический момент гироскопа Я перпендикулярен плоскости стрельбы. Он сохраняет во время полета неизменное направление. Поворот ракеты в плоскости стрельбы, т. е. вокруг оси OZ, не меняет положения колец, и этот поворот не может
быть поэтому «замечен» гироскопом. Такое вращение будем называть вращением по тангажу (углом тангажа называют угол, составляемый осью ракеты с линией местного горизонта).
Поворот ракеты вокруг продольной оси ОХ называется вращением, а поворот вокруг оси ОУ, выводящий
Рис. 3.25. Расположение гировертиканта на ракете.
ее из плоскости стрельбы, называется рысканием. Гиро- вертикант предназначен для определения углов вращения и рыскания. Электрические сигналы, снимаемые с датчика угла рыскания 6 и датчика угла вращения 7, подаются через каналы стабилизации на рулевые машинки, которые поворачивают в нужном направлении все четыре руля ракеты.
Предположим, например, что программа управления ракетой предусматривает сохранение плоскости рулей / III в плоскости стрельбы. Поясним на этом примере
принцип работы гировертиканта. Пусть в результате случайного внешнего возмущения ракета отклонилась от плоскости стрельбы, повернувшись на некоторый угол рыскания 屮 вокруг оси OY (рис. 3.25). Вместе с ракетой повернулся потенциометр 6, укрепленный на основании прибора 3. Однако благодаря невозмущаемости главной оси гироскопа, направленной по Я, наружное кольцо со
хранило свое положение в пространстве, т. е. осталось в плоскости стрельбы. Таким образом, если до поворота
01 потенциометра (рис. 3.26)01 потенциометра (рис. 3.26)ракеты токосъем датчика команд рыскания 6, укрепленный на оси наружного кольца 2, находился против середины моста (рис. 3.26), то теперь потенциометр вместе с ракетой повернулся вокруг оси OY. В результате такого поворота на участке
01 потенциометра (рис. 3.26)
01 потенциометра (рис. 3.26)
образуется разность потенциалов 〃屮 определенной по
лярности, приблизительно пропорциональная углу рыскания 屮.Далее этот сигнал преобразуется в довольно сложной электрической цепи и значительно усиленный поступает на вход электродвигателей, приводящих во
вращение газовые рули.
Аналогична работа и другого канала управления ракетой — канала вращения. При повороте ракеты вокруг оси ОХ гирокамера сохраняет свое положение в пространстве. На ее оси 5 укреплен токосъем. Потенциометр 7 связан с наружным кольцом и при вращении ракеты поворачивается вместе с ней и наружным кольцом вокруг оси ОХ. На выходных клеммах датчика команд
по углу вращения появляется разность потенциалов и соответствующим образом преобразованные электрические
сигналы поступают на рулевые машинки.
Таким образом, один свободный гироскоп можег управлять двумя каналами стабилизации ракеты: по углу рыскания и углу вращения.
Для программного разворота ракеты по углу тангажа может служить другой свободный гироскоп ——гирогори* зонт Его расположение на ракете отличается от
гировертиканта только тем, что ось наружного кольца перпендикулярна плоскости стрельбы (рис. 3.27).
Прежде всего заметим, что при повороте ракеты вокруг оси ОУ, т. е. при рыскании, и при повороте вокруг оси ОХ (при вращении) наружное кольцо относительно
Рис. 3.27. Принципиальная схема гирогоризонта.
ракеты не поворачивается. При развороте ракеты в плоскости стрельбы она вращается вокруг оси OZ, а наружное кольцо вместе со своей осью / не поворачивается в пространстве.
Если бы потенциометр, укрепленный на диске 4, был жестко связан с корпусом ракеты, то на выходных клеммах потенциометра образовалась бы разность потенциалов и она бы увеличивалась по мере поворота ракеты вокруг оси тангажа. Однако диск 4 связан с ракетой через профилированный кулачок 3, которому сообщает вращение привод программного механизма 2. В некоторый заданный момент времени кулачок 3 приводится во вращение и заставляет поворачиваться диск 4 вместе с потенциометром. На выходных клеммах потенциометра образуется разность потенциалов uQ и рули II—IV (рис. 3.25) поворачиваются вокруг своих осей, при этом ракета разворачивается в плоскости стрельбы до тех пор, пока не исчезнет разность потенциалов 〃。, а средняя
(нулевая) точка моста в этот момент установится против токоснимателя. Таким образом, вращение кулачка вызывает, в конечном счете, поворот ракеты в плоскости стрельбы. Поворот происходит в соответствии с задан* ной программой. Программа передается на базу потенциометра 4 либо посредством кулачка 3, либо при помощи кодированного питания привода 2.
Разумеется, угловая стабилизация ракеты, осуществляемая двумя свободными гироскопами, гироверти- кантом и гирогоризонтом, еще не обеспечивает движение центра масс ракеты в плоскости стрельбы. В самом деле, при любом поступательном перемещении ракеты вместе с центром масс углы вращения рыскания и тангажа не меняются и, следовательно, система угловой стабилизации не будет реагировать на такое движение. Необходима, следовательно, еще система управления движением центра масс. Такая система действительно существует на современных ракетах. Ее назначение — программировать движение центра масс в плоскости стрельбы. Система боковой стабилизации (БС) фиксирует при помощи измерителя ускорений (им может быть физический маятник с пружиной) ускорения в направлении оси OZ и через датчик команд передаст соответствующие сигналы на рули. Таким образом, центр масс удерживается в плоскости стрельбы. Движение же центра масс ракеты в плоскости стрельбы контролируется и управляется системой нормальной стабилизации (НС) н системой регулирования кажущейся скорости (РКС). В качестве измерителей скорости ракеты могут служить различные типы гироскопов. В следующем параграфе мы рассмотрим работу гироскопического интегратора линейных ускорений. Следует отметить, что набор датчиков углового положения ракеты и интеграторов лн、 нейных ускорений может быть различным. В книгах [18], [34] читатель может найти описание многих таких си* стем. В качестве датчиков систем угловой стабилизации часто используются сложные гироскопические приборы—гиростабилизированные платформы (ГСП), Принципы работы ГСП будут рассмотрены в слепую- щей главе. Помимо гироскопических интеграторов линейных ускорений, применяются маятниковые акселерометры, принцип работы которых ясен из чертежа
(рис. 3.28). Маятник 04 удерживается в состоянии покоя в «нулевом» положении спиральной пружиной /7. Если точка подвеса О приобретает ускорение w, то он отклоняется до тех пор, пока момент силы инерции I относительно точки О не уравновесится моментом, создаваемым спиральной пружиной.
Имея в виду, что 1=тд, появляется возможность
шкалу акселерометра отградуировать в единицах ускорения. Для получения скорости необходимо подвергнуть
интегрированию сигнал, пропорциональный ускорению. 夕 Эту функцию выполняют специальные электрические приборы.
позволяет измерить состав-Рис. 3.28. Принцип работы маятни-一кового акселерометра.ЛЯЮЩуЮ уСКОреННЯ ТОЛЬКОпозволяет измерить состав-Рис. 3.28. Принцип работы маятни-一кового акселерометра.ЛЯЮЩуЮ уСКОреННЯ ТОЛЬКОПоскольку акселерометр
позволяет измерить состав-
Рис. 3.28. Принцип работы маятни-一
кового акселерометра.ЛЯЮЩуЮ уСКОреННЯ ТОЛЬКО
позволяет измерить состав-
Рис. 3.28. Принцип работы маятни-一
кового акселерометра.ЛЯЮЩуЮ уСКОреННЯ ТОЛЬКО
по одному направлению или, как говорят, в направлении своей оси чувствительности, то для измерения вектора ускорения необходимо на борту ракеты иметь по крайней мере три таких прибора. Они не обязательно однотипны. Часть из них выпол
няется по схеме маятникового акселерометра, другие используют свойства гироскопов.
Перейдем к анализу работы гироскопического интегратора линейных ускорений, выполненного по схеме неуравновешенного гироскопа с тремя степенями свободы.
Гироскопический интегратор линейных ускорений
Гцроинтегратор линейных ускорений, схема которого изображена на рис. 3.29, представляет собой гироскоп с тремя степенями свободы с непересекающимися осями карданоэых колец. Наружное кольцо / может вращаться в опорах А и В корпуса прибора. Оно уравновешено относительно своей оси вращения. Гирокамера 2 с гиромотором имеет ось вращения О, перпендикулярную АВ, но смещенную от нее на расстояние ОСо=/. Гирокамера с ротором балансируется так, что центр масс С гироблока отстоит от оси шарнира О также на расстоянии /. Таким образом, когда ось фигуры направлена перпендикулярно оси наружного коль-
ца АВ, центр масс оказывается на прямой АВ и точка С совпадает с точкой Со. Для удержания оси фигуры в таком положении служит система межрамочной коррекции с датчиком угла 3 и датчиком моментов 4, Последний представляет собой электродвигатель, укрепленный
Рис. 3.29, Схема гироскопического интегратор», линейных ускорений.
в корпусе прибора, он связан шестерней с осью наружного кольца. При повороте гирокамеры на угол р нарушается равновесие потенциометрического моста 5 и образуется разность потенциалов и^ между токосъемом и средней точкой моста. Ток поступает в усилитель —— преобразователь (на схеме не изображен), а затем на управляющую обмотку датчика моментов 4. Датчик передает момент на ось наружного кольца в соответствии со знаком 〃в・ В положении, представленном на схеме, стабилизирующий момент Мст должен быть направлен вниз. В этом случае по теореме Резаля скорость конца вектора Я будет направлена вниз, произойдет совмещение точки С с точкой Со. При использовании потенциометрического датчика угла характеристика стабилизирующего момента Мст получается при малых углах р
линейной (рис. 3.30, а). Однако возможна и другая характеристика момента, когда в результате поворота гирокамеры в ту или иную сторону подается команда на датчик момента и к оси АВ прикладывается момент, постоянный по модулю, но различный по направлению (рис. 3.30,6). В более общем случае характеристика момента имеет зону нечувствительности (——р0, р0)— рис. 3.30, 6.
Рис. 3.30. Характеристики стабилизирующего момента: а) линейная; 6) релейная, в) с зоной нечувствительности.
Перейдем к выводу уравнений движения гироинтегратора. При этом введем следующие системы координат (рис. 3.29).
С корпусом прибора, а следовательно, и с аппаратом свяжем систему координат Ахуг. Будем предполагать, что она движется поступательно относительно инерциального пространства. С наружным кольцом связана система Ax\y\Zx Ее положение относительно предыдущей системы может быть определено при помощи угла поворота наружного кольца а. С гирокамерой связана система О%2y2& (ось От на схеме не изображена — она проектируется в точку О). Угол |3 определяет положение гирокамеры относительно осей, связанных с наружным кольцом.
Для составления уравнений Лагранжа вычислим сначала кинетическую энергию системы.
Угловая скорость наружного кольца равна
(0] = аг0.
Угловая скорость гирокамеры и ротора соответственно равны
吗=«2° + В 吟 ％ = аг0 + В 帮 + Ф 芻
Рис. 3.31. К определению скорости центра масс гироинтегратора.Рис. 3.31. К определению скорости центра масс гироинтегратора.
Рис. 3.31. К определению скорости центра масс гироинтегратора.
Рис. 3.31. К определению скорости центра масс гироинтегратора.
или в проекциях на оси системы координат 0%2g2之2 侬2% "~~ В，s2y — a sin В， ^22:=== а cos р, 8зх = 6， ®з^ = а sinP + ф, <й3(г = d cos р.
Кинетическую энергию гироинтегратора можно представить в виде
2T = С2а2 + Д^2 + 5育 sin2 § + ° 浦 cos2 § +
+ Лр2 + В (а sin₽ + ф)2 + Са2 cos2 ₽ + 团唸，(3.147)
где m — масса гироблока, Vc — скорость его центра масс Д, В, С — моменты инерции ротора относительно
осей С%2, С^2, С^2, параллельным осям 0%2,0及,Oz2.
Аналогичный смысл имеют осевые моменты инерции 4, &, & гирокамеры. Предполагается, что оси системы CX2P2Z2 являются главными осями инерции для гирокамеры и ротора. С2一 момент инерции наружного кольца.
Скорость центра масс гироблока можно представить как сумму переносной скорости при движении вместе с наружным кольцом и относительной скорости при вращении гирокамеры относительно наружного
кольца
% =叭+吃，
Направления этих скоростей, как легко видеть (рис. 3.31), взаимно перпендикулярны, поэтому
14 = *+片.(3.148)
Точка С отстоит от оси АВ на расстоянии г— =/ — I cos р, следовательно.
Р© =厂巾=/ (1 ——cos p) d = 2Zd sin2 —•.
Аналогично
匕=庙.
После подстановки К и Vr в формулу (3.148) получим
Кс = /2(Р2 + 4d2 sin4 4).(3.149)
Теперь выражение для кинетической энергии (3.147) принимает вид
2T = [с2 + В】 sin2 6 + (& + С) cos2 р + 4m/2 sin4 ^] d2 +
+ (4 + 4 + m/2)供 + 5 3 $由 6 + ф)2.(3.150)
Введем обозначения
& + С-В尸R,G + 8 = s,
A + A^ml^Q, S + R cos2p + 4m/2sin4 | = P(₽).
(3.151)
В соответствии с принятыми обозначениями имеем 案=о,嘉=p(e)& + 5(&sine+©)sin|3,
= -1 Р7Р) а2 + В (a sin ₽ + ф) d cos р, ^ = Qp. 1 (3.152)
窮="黑= 8(&sin0 + <i)).
Предположим прежде всего, что координата <р является циклической, т. е. при вращении ротора все силы, действующие на него, уравновешиваются, и соответствующая обобщенная сила равна нулю. Тогда из уравнения Лагранжа для координаты 屮 имеем
4 (崙)=0，3 伍 sin В + 0)="・(3.153)
Величина Н — кинетический момент гироскопа. Остается выписать два уравнения Лагранжа по обобщенным координатам аир. Принимая во внимание (3.152) и (3.153), получим
尸偉)& + P(6)&8 + "BcosB = Qa，]
QB _ ｝尸'(8)&2 _cos В = Qb・ (3・ 154)
Перейдем к определению обобщенных сил Qa и Qy Прежде всего отметим, что при поступательном движении аппарата с ускорением 初 необходимо к центру масс гироблока приложить силу инерции /= — mw0. Кроме того, к центру масс приложена сила тяжести mg. Если обозначить суммарную силу через 尸，
F == mg — mw^(3.155)
а проекции этой силы на оси, связанные с корпусом прибора, через Fx? Fy, Fz, то ее проекции на оси, связанные с наружным кольцом 4%出藤1, будут иметь вид 尸/ = Fz, Рх{ — Fx cos а + ^i； sin a, Fyi = Fy cos а — Fx sin а.
Предполагая, что гироблок повернут на угол |3, найдем моменты силы 尸 относительно осей наружного и внутреннего колец
Ма =尸/(1 — cos В), М^ = 1{FZ{ cos В —尸勿 sin P),
или
Ma / (尸尤 cos а + 尸у sin а) (1 — cos p),Ma / (尸尤 cos а + 尸у sin а) (1 — cos p),Предположим, что по осям подвеса действуют еще моменты сил вязкого тренияПредположим, что по осям подвеса действуют еще моменты сил вязкого трения
Ma / (尸尤 cos а + 尸у sin а) (1 — cos p),
Ma / (尸尤 cos а + 尸у sin а) (1 — cos p),
Предположим, что по осям подвеса действуют еще моменты сил вязкого трения
Предположим, что по осям подвеса действуют еще моменты сил вязкого трения
та == _ 0а, 他8 =-内8 и обозначим момент стабилизирующего двигателя через f(B). Тогда обобщенные силы имеют вид
Qa = 2 (% cos а + 乙 sin а) / sin2 专一q& + f 偉)，
Q^ = Fzl cos p —(乙 cos a — £% sin a) Z sin 0 —程8・
Подставляя эти выражения для обобщенных сил в правые части уравнений (3.154), получим
P(₽)a + Р ⑹ dp + 〃6 cos § =
(3.156)(3.156)=2/ (尸％ cos а + 尸у sin а) sin2 ^ — с他 + f ⑹，
(3.156)
(3.156)
QB -/户⑹壮- "acosB =
= IFz cos § — (Fgcosa — Fx sin a) / sinp — c2^
Рис. 3.32. К определению проекции ка-Рис. 3.32. К определению проекции ка-жущегося ускорения на ось чувствительности гироинтегратора.жущегося ускорения на ось чувствительности гироинтегратора.
Рис. 3.32. К определению проекции ка-
Рис. 3.32. К определению проекции ка-
жущегося ускорения на ось чувствительности гироинтегратора.
жущегося ускорения на ось чувствительности гироинтегратора.
Предположим, что момент стабилизирующего двигателя межрамочной коррекции f(р) достаточно велик,
так что в результате его воздействия на ось наружного
кольца угол р остается малым. Тогда, полагая во вто
ром уравнении (3.156) Р = 0, получим
〃&=-&/・ (3.157) Здесь использовано выра- жение для Р(Р) P(8)=-Rsin 26 +
+ 8""2 sin3у cos у, откуда следует, что Р(0) = О. Принимая во внимание формулу (3.155)
для силы F, получим
& =方■(吗一g) (3.158)
Введем угол 0 между осью чувствительности гироинтегратора Az и плоскостью горизонта (рис. 3.32). Тогда для проекции ускорения g на ось г имеем
gz= — gsin®
и формула (3.158) приобретает вид
а =器(侬z + g sin 0).(3.159)
Величина w^ = w2 + g sin 0 является проекцией кажущегося ускорения wh=wQ — g на ось 4z.
Угол поворота гироинтегратора вокруг оси 4z находится простым интегрированием правой части уравнения (3.159)
а а0 = J —- (wz + g sin 0) dt.о
Имея в виду, что
dV2
吗=丁，
получим
а — 询=器必⑴一叭(0)] + 警 J g sin e dt. (3.160) о
Таким образом, если начальные значения ао и 匕(0) зафиксированы и имеется информация об изменении угла 0 во времени, то формула (3.160) дает однозначную связь между проекцией скорости на ось чувствительности и углом поворота гироинтегратора вокруг оси наружного кольца.
В случае установки гироинтегратора на ракете 0 —— угол тангажа — определяется при помощи системы угловой стабилизации, например, его может измерять гирогоризонт. При правильной работе системы угол 0 равен своему программному значению 0П. Кажущейся скоростью называется величина
t
И = У2(/)+ J gsin9df・(3.161)
о
Полагая, что в начальный момент ао=О (отсчет угла ведется от начального положения), получим в соответствии с формулами (3.160) и (3.161)
W)(f) — W>) =焉 а・
Если в начальный момент ракета вертикальна, то 呼(0) = 0 и, следовательно, для каждого момента времени существует простая связь между проекцией кажущейся скорости на ось Аг и углом поворота гироинтегратора вокруг этой оси:
次(f)=与").
Величина
u他)=紹冗(3.162)
равна кажущейся скорости, соответствующей одному полному обороту гироинтегратора.
Пример. Для гироинтегратора немецкой ракеты Фау-2 с параметрами [34] ш = 412 ?, 〃 = 196- Ю4 гсм2сек~\ / = 2,5 см имеем
196 • IO’. 2 冗/
V =—杀 -2石~ 即 ООО см/сек = 120 м/сек.
Диск скоростной шестерни 6 (рис. 3.29) и диск установки скорости 7 градуируют на достаточно большое число делений. При помощи шестерни 7 можно устанавливать прибор на нужную скорость V выключения двигателя. Выключение происходит при набегании кулачка 8 на замыкатель 9. Для передачи двух команд на выключение: предварительной, по которой тяга двигателя значительно уменьшается, и главной — на выключение двигательной установки, на диске 7 монтируют два выключателя с некоторым сдвигом по фазе.
Гироинтегратор может быть использован в качестве регулятора кажущейся скорости. Для этого необходимо привести во вращение от программного механизма установочную шестерню 7. Если непрерывно измерять рассогласование между ее углом поворота и углом поворота скоростной шестерни 6, то сигнал рассогласования может быть использован для воздействия на двигательную установку с целью увеличения или уменьшения тяги. Более подробно об этом можно прочесть в книге [34].
Автоколебания гироинтегратора линейных ускорений
Проанализируем возмущенное движение гироинтегратора при релейной характеристике (рис. 3.30, б) момента двигателя межрамочной коррекции.
Предполагаем, что боковые составляющие силы 尸 равны нулю (尸а =尸？ = 0)・ Тогда, линеаризируя уравнения (3.156), получим
P^ + H^ + c^ = f^, 1
?(3.163)
Q^Ha + c^ = Fzlt J
где А = Р (0) = S + R =。2 + & + С・
Предположим также, что по оси чувствительности прибора действует постоянная сила F2 = const.
Будем искать решения системы уравнений (3.163), отвечающие колебательным режимам. При этом ограничимся отысканием первых гармоник рядов Фурье для периодических функций аир:
(3.164)(3.164)В = Во + 6 sin ®/,
(3.164)
(3.164)
尸/
а ==京-+ а cos <of + с sin ①九
Подлежат определению коэффициенты Фурье а, Ь, с и частота периодического решения со.
Рис. 3.33г Построение характеристики корректирующего двигателя при периодическом законе изменения угла 0.Рис. 3.33г Построение характеристики корректирующего двигателя при периодическом законе изменения угла 0.
Рис. 3.33г Построение характеристики корректирующего двигателя при периодическом законе изменения угла 0.
Рис. 3.33г Построение характеристики корректирующего двигателя при периодическом законе изменения угла 0.
Прежде всего найдем разложение в ряд Фурье релейной функции f(Po + & sin со/), определяющей воздействие корректирующего двигателя на ось наружного кольца гироинтегратора. Обозначим через Т = ^- период колебаний.
На рис. 3.33 изображены зависимости p = 0(f) и f (Р) = — L sign р. В моменты времени *^Т + 灰 и Т — /0 происходит изменение знака функции f(^), что соответствует изменению направления вращения двигателя межрамочной коррекции. Свободный член разложения в ряд Фурье функции f[p(/)] находим по формуле
(3.165)(3.165)% = 4" J / [₽(0] ^ =—亨^ = —~-矶=—"~- Фо， о
(3.165)
(3.165)
где введено обозначение 欣二①必
Аналогично для коэффициентов Фурье ft и f2 при sin со/ и cos st получим
тт
^ =у- J ПР «)] sin s/ dt = ~ J / [Р (01 sin sf d (①/)= оо
「冗+sf2 л—(о/02л-|
=—^" J sin qp d(p — J sin(pd(p+ J sinqpdqp =
L 0n+(i)fo2冗一())%J
4L
= -F-cosq)o，
% =今『f [P (/)] cos 血 dt = ~ sin(p0. о
(3.166)
Подставим теперь решение в форме (3.164), а также разложение функции f [р(/)] в ряд Фурье
八В (切=—^ 伙一彳 cos % sin 成 + 今 sin(p0 cos sf
(3.167)
в уравнения (3.163). После приведения подобных в левых частях уравнений получим
(gc—P()as) sin(о/+(&//+Рос) со cos sf+ga cos ①力一鲁 /= I 2厶4厶4L!
=--qpo--cos(posin(o/ Hsin(p0 cos ①厶 j
—(Qbs? + cH) sin s/ + (6(0。2 — "。) cos(oZ + Fzl =尸J・j
(3.168)
Сравнивая коэффициенты разложений в левых и правых частях уравнений, придем к системе уравнений:
rFJct = 2Л//(р0,
(3.169)(3.169)QC — Р°аз =———cos ср。, с^а + s (ЬН + PQc)=筝 sin 屮@,
(3.169)
(3.169)
Qb(i)2 +Нс = 09с?6①一"a = 0・
Отсюда из первого уравнения имеем
ФоФо一 nFzlc\=2 厶".一 nFzlc\=2 厶".(3.170)(3.170)
Фо
Фо
一 nFzlc\
=2 厶".
一 nFzlc\
=2 厶".
(3.170)
(3.170)
Заметим, что угол(ро=(о/()связан с искомым значением |3о уравнением
B«o + g) =8。+ &sin(o(Y + %)=。・
Произведем замену sins 伶十 =—sin%, после чего получим
Bo-bsin(Po = O,饱=公由(登仍)・(3.171)
Здесь величина & остается еще неизвестной.
Перейдем к определению величин а, Ь, с, со. Найдем из второго, четвертого и пятого уравнения b и с:
4HL cos 屮0nW (c；Q + &爲)4HL cos 屮0nW (c；Q + &爲)4LQ cos(p0冗 9Q + /А)4LQ cos(p0冗 9Q + /А).(3.172).(3.172)
4HL cos 屮0nW (c；Q + &爲)
4HL cos 屮0nW (c；Q + &爲)
4LQ cos(p0
冗 9Q + /А)
4LQ cos(p0
冗 9Q + /А)
.(3.172)
.(3.172)
Подставляя величину b в пятое уравнение системы
(3.169), получим
(3.173)(3.173)4£g2 cos Фоji6(c；Q + qPo)
(3.173)
(3.173)
Наконец, подставим выражения для а и с в третье уравнение системы (3.169) и получим
一(些土竺一 sp必sin
冗(qQ + gPo)' ①и丿 Л 屮。
Отсюда следует
虻i炉=(号+若)tg①。，(3，"74)
где
Введем обозначение
(* +第 tg(Po = 2九.(3.175)
Тогда для определения частоты автоколебаний получим квадратное уравнение
со? + 2%(о —球=О, откуда
81, 2 =一入土 #*+m.
Заметим, что обычно и2》X2, так как
瑞》;傷+言)*(齢)•
Поэтому I(l>i,2| ^ Я/V^oQ» т. е. частота автоколебаний близка к частоте нутационных колебаний гироинтегратора при отсутствии сопротивления в осях подвеса (з = С2=0) и при отключенном корректирующем двигателе (f(Р) =0). Действительно, в этом случае уравнения (3.163) принимают вид
Ро& + 〃В = О,
Q^ Нa = Fzlt
откуда при постоянном моменте относительно оси чувствительности FJ получим
炉卩丄〃2 rff #а 丄"2 & _ HFzl
Решая эти уравнения относительно аир, имеем
а = ——芸~ + -^-(42 cos nt — Ax sin n/), B = 4[ cos 山 + Л2зт nt.
где ft =где ft =HFWHFWчастота нутационных колебаний, сочастота нутационных колебаний, со
где ft =
где ft =
H
FW
H
FW
частота нутационных колебаний, со
частота нутационных колебаний, со
путствующих прецессионному движению гироинтегратора вокруг оси чувствительности. Угловая скорость прецессии равна
&о =
Я・
Полагая теперь в формулах (3.172), (3.173) со ^ м, 几2 —(о2 2Zn, получим
. 2HL sin ср。 2丄 sin(p0—2L& sin(po" 一式人 PoQn ,. 2HL sin ср。 2丄 sin(p0—2L& sin(po" 一式人 PoQn ,— 2L sin 伙)₽0 = & sin(p0 = ^^T~ * J (3.176)— 2L sin 伙)₽0 = & sin(p0 = ^^T~ * J (3.176)
. 2HL sin ср。 2丄 sin(p0
—2L& sin(po
" 一式人 PoQn ,
. 2HL sin ср。 2丄 sin(p0
—2L& sin(po
" 一式人 PoQn ,
— 2L sin 伙)
₽0 = & sin(p0 = ^^T~ * J (3.176)
— 2L sin 伙)
₽0 = & sin(p0 = ^^T~ * J (3.176)
Можно считать, что угол (р0, определяемый из (3.170), весьма мал, так как cJH《1, а момент внешней силы Fzl и корректирующий момент L ——одного порядка. Поэтому в формулах (3.176) можно положить
sin % ^ 伙，sin % ^ 伙，九=3（号+岩）①。•九=3（号+岩）①。•
sin % ^ 伙，
sin % ^ 伙，
九=3（号+岩）①。•
九=3（号+岩）①。•
Следовательно, для вычисления амплитуды автоколебаний по углу р можно пользоваться приближенной формулой
力 _ 4LPqQ冗"SiQ + qP。)
Интегрируя второе из уравнений (3.164), найдем выражение для угла поворота наружного кольца вокруг оси чувствительности
а ———嚳 / + —sin(о/ — cos ①九
H * G)СО
Заметим, что отношение а/с — весьма малая величина,
и поэтому амплитуда автоколебаний по углу а может быть принята равной о = ^-粵
°лН(с^^с2Р0) И Р「 °” Ро •
Пример. Определить амплитуду автоколебаний гироинтегратора со следующими параметрами:
Q = 103 гем2, Р0==3- 103 гем2, Cj = 3 • 103 а • см2 • се%-】,
。2 = 1,5 • 103 а • см2 • се&т, L = 1,5 • 103 а • см2 • сек-2,
& I Q6 • 106 г • см2!сек.
3,9 • к “0= [ J*3,9 • к “0= [ J*о = 3,9・ к /扌о = 3,9・ к /扌рад = 0,77'.рад = 0,77'.
3,9 • к “0= [ J*
3,9 • к “0= [ J*
о = 3,9・ к /扌
о = 3,9・ к /扌
рад = 0,77'.
рад = 0,77'.
Находим сначала 仇 а затем о:
4 • 1,5 • 3 ・ 1
л - 1,96- 103(3- 1 + 1,5 - 3)
Вопрос об устойчивости автоколебаний здесь не рассматривается. Как показано в книге [26], автоколебания, определяемые формулами (3.164), оказываются устойчивыми.
ГЛАВА 4
ДИНАМИКА СЛОЖНЫХ ГИРОСКОПИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Уравнения движения гироскопических систем
Гироскопические приборы, описанные в гл. 3, основаны на использовании свойств одного быстро вращающегося симметричного тела ——ротора. В зависимости от относительного расположения точки подвеса, центра масс гироблока и оси наружного кольца карданова подвеса они могут быть использованы в качестве датчиков вертикали, датчиков неизменного направления в инерциальном пространстве, указателей меридиана, интеграторов линейных ускорений и т. п.
Развитие автоматических средств навигации потребовало дальнейшего усовершенствования гироскопических приборов. Наряду с технологическими усовершенствованиями старых гироскопических устройств (уменьшение трения в осях подвеса, увеличение кинетического момента, совершенствование гиродвигателей и т. п.) появились и принципиально новые схемы сложных гироскопических стабилизаторов. Такие устройства используются, например, для создания площадок (платформ), движущихся поступательно при всех эволюциях носителя, на котором они установлены. На кораблях, самолетах, ракетах такие стабилизированные относительно одной, двух или трех осей площадки широко используются не только для определения угловой ориентации объекта, но и для автономного исчисления его координат В этом случае стабилизированные платформы несут на себе еще акселерометры ——измерители ускорений. Подобные системы включают несколько гироскопов, установленных на платформе. Существуют разнообразные
схемы двухосных и трехосных гиростабилизаторов. С некоторыми из них мы познакомимся в дальнейшем.
Перейдем к составлению уравнений движения гироскопической системы.
Предположим, что положение системы в любой момент времени может быть определено при помощи s обобщенных координат qi и г обобщенных координат 屮久 При этом фг представляют собой углы поворотов роторов гироскопов относительно своих кожухов. Кинетическую энергию гироскопической системы можно представить в виде
Т S S。订仇％ + t bi^ +
+皆工/尼(办+工阮仇)+ & (4.1)
Если связи, наложенные на механическую систему, стационарны, то все коэффициенты в выражении (4.1) не зависят явно от времени (том II, § 19.5), хотя и за・ висят от обобщенных координат qt，При этом все Ь» = 0. В большинстве случаев обобщенные координаты, характеризующие углы поворота роторов, являются циклическими. Другими словами, обобщенные силы не зависят от этих углов поворота.
Будем считать, что через ⑦ обозначены только циклические углы поворота роторов. Тогда можно получить г циклических интегралов, вытекающих из уравнений Лагранжа (том II, § 19.2):
Они имеют вид
Принимая во внимание (4.1), получим
厶(必+且j访仇) =(4.2)
Составим теперь функцию Рауса *)
R=T—£nh
где
九=於—工阮仇•i=l
Таким образом, приходим к выражению
欠=^£2""仇力+ ^£ 尊—£%(誓一 !>%)♦
i=l j=l论=1克ul、，=1/
Здесь мы положили, что связи стационарны, так что второе и последнее слагаемые в (4.1) равны нулю.
Отбрасывая несущественную для составления уравнений движения постоянную и сохраняя прежнее обозначение для функции Рауса, получим
S SS / г\
ТЕЕ泌。/+Е (£ "々％)仇，(£3) i=l j=li=l '仁1/
Уравнения движения можно представить теперь в виде *)
方岗)-潦=Q‘2,s),(4.4)
где Qi — обобщенная сила, соответствующая i-й обобщенной координате.
Введем обозначения
£/%=” 九，
где Н = min| Hk | и, следовательно,
，啓限，R = "^2"〃仇?j + "，"办
舐=1i, /i=4
*) См. H. В. Б у т е н и н, Введение в аналитическую механику, § 4.4, «Наука», 1971.
Раскрывая выражения для производных от функции Рауса, получим
S
В соответствии с (4.4) уравнения движения принимают вид
扌向+" e置一舞)电｝+
+ 2金%仇■2要彰仇= Qi。(4・5)
Введем обозначения
Эти коэффициенты зависят только от обобщенных координат и матрица коэффициентов g沿 кососимметрическая, т. е. gih= — ghi, ^=0. Принимая во внимание принятые обозначения (4.6), перепишем уравнения (4.5)
X (а订W + 〃g订仇)+ £ 2 fik^k^j Qi (4・7) /~1/=1 々=1
(i 1, 2,s)・
Величины rf = — 2 gti^i = 2 €両 называют гнро- /=1j=i
скопическими силами.
Легко видеть, что мощность гироскопических сил всегда равна нулю. В самом деле, так как g^ = —gjif то
i=\ Ml j=l
Система уравнений (4.7) описывает движение гироскопической системы с позиционными координатами qi. Для определения циклических координат ср» необходимо присоединить к ней уравнения (4.*2).
При исследовании движения гироскопических систем часто оказывается возможным перейти от уравнений (4.7) к упрощенной системе:
Н £ gt® = Qt (/ = 1, 2, ...» s).(4.8)
j=i
Д R Меркиным [17] введено понятие «приемлемости» решения уравнений (4.8).
Обозначим через 必(f) единственное решение системы уравнений (4 8), удовлетворяющее начальным условиям
〃力(0) = %о‘
и через gt(f)——решение точной системы уравнений (4.7) при начальных условиях
外(0)=%0，%(0)=%0，
Решение 〃£(/) называется приемлемым, если для любых е > 0 й 九 > 0 можно найти такое "о, что при Н ^ Но и любом / из промежутка 0 & / W 厶 выполняются неравенства
I % (0 —匕⑺ I V е (/ = 1, 2,・・・，s).
В противном случае решение называется неприемлемые
Если обобщенные силы не зависят от обобщенных скоростей 九 то справедливо следующее утверждение: если число позиционных координат нечетное, то система упрощенных уравнений либо не имеет решений, либо решение не является единственным и поэтому решение упрощенных уравнений является неприемлемым.
Это утверждение следует из того, что кососимметрический определитель G системы линейных относительно ?? уравнений
工公/% =兽 a = 1, 2,…,s) (4.9)
при нечетном s всегда равен нулю [17].
Например,о gl2 gl30= — g[20g23 =gl2g23Ml3 — gl2g23gl'3=0
—gl3 — g23 0
Значит, на основании теории линейных алгебраических уравнений решение системы (4.9) либо не существует (если ранг матрицы, составленной из s строк и s + 1 столбцов элементов gij и правых частей уравнений (4.9) равен s), либо решение не единственно (ранг матрицы меньше s).
Расмотрим некоторые условия приемлемости решений приближенных уравнений (4.9). При этом существенную роль играет ограничение, наложенное на коэффициенты квадратичной формы а仃：все они предполагаются постоянными величинами. Тогда уравнения (4.7) принимают вид
li^ij^ + Hg^.y^Q.(4.10)
К
Для систем, на которые действуют только гироскопические силы (Qi — 0)
三(a"分 + 〃8订力)=0，(4.11)
/=1
справедливы следующие утверждения [17].
Для того чтобы положение равновесия ^/ = <7? — const была устойчивым, необходимо 〃 достаточно, чтобы определитель G, составленный из гироскопических коэффициентов gt$, не равнялся нулю.
Если определитель G не равен нулю, то решение упрощенных уравнений приемлемо в сколь угодно большом интервале времени.
Заметим, что решение упрощенных уравнений
Н 2 幻М・ = 0(4.12)
при G =^ 0 имеет вид
4j = 0, ttj == #
Таким образом, последнее утверждение означает, что, каковы бы ни были начальные скорости 心 сообщенные системе, находящейся в положении равновесия ® = *)， разность I 分(/) — е；| при достаточно большом Н может быть сколь угодно малой, если только определитель G не равен нулю. Говорят, что система при больших Н приобретает гироскопическую жесткость к толчкам и ударам. Координаты д«) получают небольшие отклонения от своих начальных значений д?・ При нечетном числе позиционных координат s определитель G равен нулю и поэтому такие гироскопические системы неустойчивы.
Следует, однако, иметь в виду, что все эти свойства относятся к таким системам, для которых aij — коэффициенты квадратичной формы — являются постоянными числами. Как правило, коэффициенты 。叮 и g* зависят от обобщенных координат и гироскопические системы указанным свойством (。仃 = const) не обладают.
При переменных коэффициентах 仅订，g门 и отсутствии обобщенных сил Qi можно также ставить вопрос об устойчивости положения равновесия и приемлемости решений приближенных уравнений (4.12).“
Точная система уравнений (4.7) при Qi = 0 имеет бесчисленное множество положений равновесия q；='碎 В этом нетрудно убедиться, подставив в левые части уравнений
3 (。订 + HgQ 0 + * * %0м=0(4.⑶
/==1/=1 辰=1
постоянные q$. Уравнения обратятся в тождества.
Составим уравнения первого приближения для возмущенного движения системы около положения равновесия 分=心
Для этого линеаризуем систему уравнений (4.13) предполагая, что величины 〃》= % (/)—從характеризующие отклонения координат при возмущенном движении от их значений в положении равновесия, и их производные — малые величины первого порядка малости.
Величины второго порядка малости будем отбрасывать. Тогда двойная сумма в (4.13) должна быть отброшена, так как величины %%• = %〃/
второго порядка малости.
Представим коэффициенты уравнений в виде разложений
g" = g》+ e(жe-喲+
где
喟=aii (G或…，鳩)，g》=g订圖成…，國)・
Система уравнений первого приближения после линеаризации уравнений (4.13) принимает вид
S 圖%/ + 〃g(J%j) = O.(4.14)
Как видим, система，уравнений имеет тот же вид, что и рассмотренная выше система с постоянными коэффициентами (4.11),
Однако устойчивость решения этой системы еще ничего не говорит об устойчивости решений исходной системы (4.13). Здесь имеет место критический случай, когда некоторые корни характеристического уравнения
就九2 + 〃g版咄九2+他般
имеют вещественные части, равные нулю. В данном случае имеется по крайней мере s нулевых корней, так как множитель % выносится из каждой строки определителя. Вопрос о приемлемости решений упрощенной системы (4.12) остается открытым.
Пример. Рассмотрим в качестве примера уравновешенный гироскоп в кардановом подвесе. Выражение для кинетической энергии гироскопа, установленного на неподвижном основании, было составлено ранее (гл. 2 формула (2.34)) и имеет вид
2T = [。2 + & sin2 В + (4 + &) cos2 p] d2 +
+(4 + 4)B2 + c(&sE6 +访 2.
Напомним, что a — угол поворота наружного кольца относительно основания; В — угол поворота внутреннего кольца относительно наружного; у — угол поворота ротора относительно внутреннего кольца; С — полярный и 4 — экваториальный моменты инерции ротора; ,41 —момент инерции гирокамеры относительно ее оси вращения; Bi — момент инерции гирокамеры относительно оси вращения ротора; С[ — момент инерции гирокамеры относительно третьей оси, перпендикулярной первым двум; & ——момент инерции наружного кольца относительно своей оси вращения.
Предполагая, что моменты сил, действующих на ротор, взаимно уравновешиваются, получим циклический интеграл
С (々 + & sin В)= 〃・
Тогда функция Рауса примет вид
R = ^ Q + & sin2 Р + (Л + &) cos2 р] а2 +
+ ^(" + 4)便 + } "^Н ("^& sin 8)・ Отбрасывая несущественную постоянную, получим
R = g [。2 + & sin2 В + (4 + &) cos2 р] a2 +
+ у(Л + 4) р2 + Н& sin р. (4.15)
Таким образом, если воспользоваться общим выражением для функции Разка
s ss
ш卜川叱+"»自力=1 /=1i=l
и положить а = 9i, р =仇，то в нашем случае имеем
«п =。2 + 3 sin2 р + (А + CJ cos? р,)“22 = 4 + 4， 瓦 н Sin р.J
Остальные коэффициенты равны нулю. Система имеет две позиционные координаты (s = 2).
Для составления уравнений движения можно воспользоваться непосредственно уравнениями Рауса (4.4) либо их окончательной формой (4.7).
В последнем случае необходимо предварительно найти коэффициенты а,〃 g»〃 fik. Воспользуемся уравнениями Рауса. В соответствии с формулой (4.15) имеем
R-広 R- а d а d dR-広 R- а d а d d•— = [С2 + В】 sin2 р + (Д + CJcos2 Р] а + Я sin р,
R-広 R- а d а d d
R-広 R- а d а d d
(4 + 4)0,證=-^(4 + & — 3i)sinp8s0 + 〃&cosB,
0.
Подставляя в уравнения (4.4), получим
[С2 + В】 sin2 р + (4 + CJ cos2₽]a + ^₽cosp-
—(4 + & — &)粤"Sin 2P = 0,(]⑺ (Л +ЛОР-ЯасозР + уМ + С^ВО^^-О. J
Отсюда видно, что любое положение гироскопа а = а0, Р = р0 может быть положением равновесия. Уравнения первого приближения в соответствии с формулой (4.14) имеют вид
[С2 + Bi sin2 Ро + (Л + Cj) cos2 Pol «1 + 日81 cos Во = 0,]
(4+ 4)瓦一Zf&i cos Во = 0.丿
Эти уравнения часто называют «техническими» уравнениями движения гироскопа.
Упрощенные уравнения могут быть получены из (4.18), если оставить в них только члены, содержащие множитель Я:
H₽cospQ = 0, I
Яасо8Ро==0. JI '
Сравним решение упрощенных уравнений (4.19) с решением линеаризованных (технических) уравнений (4.18).
Примем начальные условия
а (0) = %, В (0) = Ро> & (0) = &о, В (0) = Ро- (4.20)
Тогда, решая уравнения (4.19) при начальных усжгвиях а(0) — а0, Р(0) — ро, получим
а м а。，6 三 0о,
т. е. углы поворота внутреннего и наружного колец сохраняются неизменными и, следовательно, ось гироскопа сохраняет неподвижное направление в инерциальном пространстве.
Прежде чем приступить к решению системы уравнений (4.18), введем обозначения для коэффициентов
С2 + В】 sin2 Во + (4 + &) cos2 Во =尸，4 + 4 = Q.
Тогда уравнения (4.18) принимают вид
Pa.+H^cos Ро = О,[
..；(4.21)
— 〃&i cos Во = 0.丿
Проинтегрируем один раз каждое из уравнений и используем начальные условия (4.20)
P&i + 〃М cos Во = Р&о + "Во cos В。，]
••Г(4.22)
Qpi — "a】 cos po = QPo — "а。cos 餌丿
Выразим теперь &i и Pi из системы уравнений (4.21)
Q * "cos氏 р,
и подставим в уравнения (4.22)
〃駕时瓦 + 那 1 cos Po = P@o + 砾 cos Po,
PQ
H cos po
&i — Hw cos po = Q8o — Нщ cos Po.
Введем обозначение для часто встречающейся в дальнейшем величины
"2 COS2 Во — 2
~PQ= У •
Тогда получим для а】и Pi систему
&] + Ua】=v2a0 —
Pl + MR]=炉爭 0 —
i0>0, п ・в .а
ро₽0
Heosos авссс ур"A "-Q
6 2 (4.
Общее решение этих уравнений можно представить в виде
(4.24)(4.24)«1 = а0 —- Ро cos Ро + С】 cos v/ + С2 sin v/,
(4.24)
(4.24)
₽i = Po + "^^ &o cos Po + C3 cos vf + & sin vf.
Отсюда видно, что v представляет собой частоту колебаний рамок относительно некоторого среднего положения
Постоянные Ci определяются из начальных условий (4.20) и имеют вид
r _ QBo 「_ VPQ . r _ Pd0 r 「KBq 5 - "cos%，2 - "cosBo5 ；7cospo *4 - "cosBo •
Отсюда следует в соответствии с формулами (4.24), что в линейном приближении решение имеет вид
ai =«0 +(cos v/ — 1) +sin v/,
〃c°sB。竺学(4.26)
M = 8° — ^S^(c°svf—l)+ ^^sinvf.
Из вида решения (4.26) сразу следует, что при достаточно большом Н оно мало отличается от решения упрощенных уравнений а 三 а。, р 三 ₽о. Другими словами, для любого наперед заданного g > 0 можно найти такое "о, что при любом 〃 > 力0 и любом f разности |ai — ao|, |8i — Bo| удовлетворяют неравенствам
I a〔 一 a。I V е, I Pi — Po I < e.
Возникает вопрос: означает ли это, что решение упрощенных уравнений (4.19) приемлемо? На этот вопрос сразу ответить положительно нельзя. Дело в том, что по определению приемлемости решения должны удовлетворять неравенствам
I a — a01 < е, I ₽ — Ро I < е,
где а и В — решение точных уравнений (4.17). Между тем мы нашли в виде (4.26) решение приближенных, линеаризованных уравнений (4.21).
Оба утверждения, сформулированные на стр. 220 для случая постоянных коэффициентов a 订,могут оказаться несправедливыми для переменных коэффициентов ац. В самом деле, в гл. 2 (§ 2.10) мы доказали, что положение равновесия гироскопа a = a0, р == Ро оказывается неустойчивым. Имеет место, помимо нутационных колебаний, систематический уход оси фигуры гироскопа вместе
8 Я. Л. Лунц
с наружным кольцом со средней угловой скоростью, вычисляемой приближенно по формуле (2.117):
@—6"C2 + J)0 + 4)SinB。
2// cos2 ₽o [c2 + Bi+(A + Cl-BO cos2 p0] *')
Таким образом, из неравенства нулю определителя системыТаким образом, из неравенства нулю определителя системыупрощеннойупрощеннойGG0 Н cos В。—Н cosPo 00 Н cos В。—Н cosPo 0=〃2 COS2 0Q=〃2 COS2 0Q
Таким образом, из неравенства нулю определителя системы
Таким образом, из неравенства нулю определителя системы
упрощенной
упрощенной
G
G
0 Н cos В。
—Н cosPo 0
0 Н cos В。
—Н cosPo 0
=〃2 COS2 0Q
=〃2 COS2 0Q
(4.17). Тем(4.19) здесь(4.17). Тем(4.19) здесьне следует устойчивость решений нелинейной системы не менее приемлемость решений упрощенной системы
(4.17). Тем
(4.19) здесь
(4.17). Тем
(4.19) здесь
имеет место. Правда, не для бесконечного промежутка времени, В самом деле, уход по углу а определяется величиной, обратно пропорциональной кинетическому моменту Н. Из (4.27) следует, что систематическое приращение угла а за время f можно определить по формуле
где N ——некоторая постоянная, зависящая от моментов инерции гироскопа, начальной угловой скорости ро и угла ро.
Таким образом, для каждого фиксированного значения промежутка времени /о можно найти такое "о, что при 〃 > "о величина
может быть меньше наперед заданной величины е. В самом деле,
将LoVe, / =空2 ">%,
Амплитуда нутационных колебаний также обратно пропорциональна Н. Решение точных уравнений (4J7) имеет вид
а = а0 + Да + а,]
J(4・28)
Р=Ро + р, 丿
где а и В— периодические функции, определяющие нутационные колебания гироскопа. Они, как мы уже указывали, стремятся к нулю с увеличением Н.
В соответствии со всем сказанным величины |а —а。] и |0 — ро| стремятся к нулю вместе с ростом Н в каждом ограниченном Промежутке времени / W /о. Решение упрощенной системы приемлемо.
§ 4.2. Уравнения движения при действии консервативных и диссипативных сил
Предположим теперь, что обобщенные силы могут быть представлены как суммы консервативных и диссипативных сил.
Введем потенциальную энергию для консервативных сил
" = n （力,g2，.• .， qj." = n （力,g2，.• .， qj.（4.29）（4.29）
" = n （力,g2，.• .， qj.
" = n （力,g2，.• .， qj.
（4.29）
（4.29）
Тогда соответствующие индексу i обобщенные силы выражаются следующим орбазом:
Р=Т・（4-30）
Введем диссипативную функцию 尸，характеризую- щую мощность сил сопротивления:
S S
Т££6"仇仇.（4.3 D
i=l /=1
При этом bij = bji 扌 0. Диссипация называется полной, если диссипативная функция Рэлея 尸 представляет собой определенно положительную квадратичную форму. Другими словами, диссипация называется полной, если функция F ^ 0 и обращается в нуль только в том единственном случае, когда все 仇=0.
Обобщенные силы сопротивления выражаются через функцию Рэлея следующим образом:
Уравнения движения （4.7） после подстановки （4.30） и （4.32） принимают вид
sS SS
2（％%•+"g"%）+工工几汕=-需-26/%
j=ljs=l a=l'/7
ИЛИ
ss s
，[的/W + （仇了 + "g订）%]+，E ^^9/ = - 4^（4.33） /=1j=l I'
（£ =5 I, 2,・・.，s）.
Отсюда следует, что если в некотором положении системы при д,=д? потенциальная энергия имеет экстремум, т. е. выполняются равенства
то это положение является положением равновесия. В самом деле, при условии (4.34) уравнения (4.33) удовлетворяются тождественно при подстановке в них значений % мд?.
Вопрос об устойчивости положения равновесия тесно связан с изучением малых колебаний системы около этого положения.
Следуя известной методике (том II, гл. XX), разложим потенциальную энергию в окрестности положения равновесия. Для простоты полагаем, что ^ == 0. Заменой переменных q[ = q( — g? можно всегда привести общий случай к этому.
Учитывая соотношения (4.34) в окрестности положения равновесия, получим
…(4・35)
Вводя обозначения
и отбрасывая в (4.35) слагаемые более высокого порядка, чем второго, получим соответственно
〃 =} £ &・№0, В = _ 器=_ £ с订办i. j" 日
Уравнения первого приближения после линеаризации системы (4.33) принимают вид
工 taH^i + (瓦/ + 〃g“) ％ + c〃e〃 =。・(4.36)
Все коэффициенты этих уравнений ——постоянные величины (под 〃订，且订 понимаются значения этих величин в положении равновесия).
Устойчивость положения равновесия исходной нелинейной системы (4.33), как известно, тесно связана с устойчивостью линеаризованной системы. Если хотя бы один корень характеристического уравнения для системы (4.36) имеет положительную вещественную часть, то положение равновесия неустойчиво. Если все корни характеристического уравнения имеют отрицательные вещественные части, то в положении равновесия система устойчива и притом асимптотически, т. е. при / оо все qi 0.
Характеристический определитель системы (4.36) можно представить так:
А 3) = I а絞 + (&// + 〃g〃)九 + Q小 (4.37)
Этот определитель содержит s строк и s столбцов. Если его раскрыть, то легко видеть, что он представляет собой полином степени 2s следующего вида:
△(九)=从2s+ ... +e (4.38)
Коэффициенты 4 н С ——определители матриц квадратичных форм, представляющих кинетическую и потенциальную энергию, т. е. А—\^Д, С=|с〃|.
Заметим, что квадратичная форма S ^aQiQi опре* деленно положительна и поэтому ее определитель Д>0. Известно, что свободный член уравнения четной степени
М$+ +§ = 0 (4.39) равен произведению корней
—==^^2・・・入2$・ (4.40)
Поскольку коэффициенты уравнения (4.39) действительны, то все комплексные корни представляют собой попарно сопряженные комплексные числа вида
入月=а + /р, 九左+1 = а — ip,
а их произведения
——положительные числа. Следовательно, если определитель С V 0, то число отрицательных корней характеристического уравнения обязательно нечетно, так как
Л)[九2 • • ■九2s -7" V 0.
Значит, число положительных корней также нечетно, т. е. найдется хотя бы один действительный положительный корень. В этом случае говорят, что неустойчивость имеет нечетную степень. Отсюда вытекает, что система (4.36), а следовательно, и исходная нелинейная система (4.33) в положении равновесия неустойчива. Полученное заключение составляет содержание теоремы Томсона и Тэта [37]:
Если неустойчивость положения равновесия системы имеет нечетную степень (С < 0), то стабилизировать равновесие нельзя никакими гироскопическими и диссипативными силами. Заметим попутно, что консервативность линеаризованной системы здесь не использована. Имеет место теорема об устойчивости положения равновесия, принадлежащая также Томсону и Тэту [37]:
Если движение консервативной системы около изолированного положения равновесия устойчиво^ то при добавлении произвольных гироскопических и диссипативных сил устойчивость равновесия сохранится.
Приведем ее доказательство исходя из уравнений движения и для случая, когда потенциальная энергия в положении равновесия имеет минимум.
Движение системы без гироскопических и диссипативных сил описывается уравнениями Лагранжа
d (дТ \ дТ дП
где Т — кинетическая и П—потенциальная энергия системы. Напомним, что при стационарных связях кинетическая энергия — квадратичная функция обобщенных скоростей
r = (442)
Если к системе （4.41） присоединить гироскопические и диссипативные силы, то получим
d （дТ\ дТ дП dF , Р 〃 .
"（4.43）
Умножим каждое из уравнений （4.43） на qj и сложим все уравнения от /= 1 до j = s. При этом заметим, что имеют место следующие тождества:
/=i/=1j=i i=i
Последнее вытекает из того, что матрица коэффициентов gij кососимметрическая （且订・=——g*）・ Кроме того, по теореме Эйлера об однородных функциях, при уело- вии что F и Т ——квадратичные функции скоростей, имеем
S崙仇=2戶，2崙力= 27.
J=1
Таким образом,
&/亲陶一争，哥一芻-2尸.（4.44）
Преобразуем левую часть, записав ее в виде
V （ дТ \дТ V .. дТ V . дТ
2力才[瓦丿+ 2力丽-二力丽-2力丽=
/=1/=1/=1/=1
V J /. дТ \ dT d • 07、 dT
= a^F 例瓦）dt=^dt\b^ 丽丿 一z =
Подставляя этот результат в （4.44） сразу получим:
1（? + 〃）=-2Е
В окрестности изолированного положения равновесия 〃——определенно положительная функция координат, а Т — определенно положительная функция скоростей. Следовательно, У = Т + П — определенно положительная функция и скоростей и координат. Функция 尸 положительная.
Из тождества
山一
полученного в силу уравнений движения по теореме Ляпунова [16], следует, что положение равновесия остается устойчивым при добавлении произвольных гироскопических и диссипативных сил.
Рис. 4.1. Схема однорельсового скопического вагона.Рис. 4.1. Схема однорельсового скопического вагона.В заключение заметим, что если диссипативные силы обладают полной диссипацией, то в условиях предыду-» щей теоремы можно доказать, что положение равновесия становится асимптотически устойчивым.
Рис. 4.1. Схема однорельсового скопического вагона.
Рис. 4.1. Схема однорельсового скопического вагона.
Проиллюстрируем все этапы исследования ус- тойчивости на примере * однорельсового гнроск。- 、д пического вагона.
Пример. В 1909 году П. П. Шиловский ) предложил использовать гироскоп для ста-
гнро- билизации однорельсового вагона, схема которого изображена на рис. 4.1. Аналогичные предложения почти в то же время поступили от А. Шерля и Л. Бреннана. Идея использования гироскопа для стабилизации вагона в общих чертах состояла в следующем.
Статически неуравновешенная система; состоящая из вагона, центр тяжести которого, естественно, находится выше рельса, и гироскопа с центром тяжести, расположенным выше оси вращения гирокамеры Су, имеет две неустойчивые координаты, точнее говоря, такая система имеет четную степень неустойчивости. Следовательно,
можно ставить вопрос о ее стабилизации гироскопическими н дис
сипативными силами.
Предположим, что гироскоп приведен во вращение специальным гиромотором. При наклоне вагона на угол а от вертикали (рис. 4.1) ротору сообщается вынужденная прецессия вокруг оси, совпадающей с рельсом (точка О на рис. 4.2). В соответствии с правилом ГрЮэ — Жуковского ось гироскопа стремится при этом повернуться вокруг оси АВ так, чтобы кинетический момент совпал с вектором угловой скорости прецессии &1. Орт I направлен перпендикулярно плоскости
чертежа от читателя. Появляется угловая скорость прецессии ⑪卜 направленная по оси вращения гирокамеры от В к А.
Применяя еще один раз правило прецессии на этот раз ко второму вращению, заключаем, что должно появиться вращение с угловой скоростью @2 вокруг оси, совпадающей с рельсом. В результате —вагон должен возвратиться в вертикальное положение.
Эти рассуждения дают, конечно, лишь качественную картину движения. Проходя через вер-
Рис. 4.2. Вагон в положениг<, отклоненном от вертикали на угол а.Рис. 4.2. Вагон в положениг<, отклоненном от вертикали на угол а.тикальное положение, вагон имеет отличную от нуля угловую скорость и поэтому движение будет продолжаться и дальше (на чертеже влево от вертикали). Возни
Рис. 4.2. Вагон в положениг<, отклоненном от вертикали на угол а.
Рис. 4.2. Вагон в положениг<, отклоненном от вертикали на угол а.
кает гироскопический момент, действующий со стороны гироскопа на вагон, который, так же как и в первом случае, будет способствовать приведению вагона в вертикальное положение. Однако остается неясным, окажется ли такое сложное движение механической системы около положения равновесия устойчивым. Для решения этого вопроса необходимо обратиться к дифференциальным уравнениям воз-
мущеньюго движения однорельсового вагона.
Пусть М ——центр тяжести дополнительного грузика, прикрепленного к кольцу гироскопа, вес грузика будем обозначать через Q, К — центр тяжести вагона (без грузика), Р—вес вагона Необходимые размеры указаны на чертеже. Угол поворота вагона вокруг рельса—а, угол поворота гирокамеры — 0 (рис. 4.1).
Вычислим кинетическую энергию вагона, пренебрегая кинетической энергией поступательного движения вдоль рельса.
Если считать, что составляющая скорости центра масс всего вагона вдоль рельса постоянна, то такое пренебрежение вполне допу
стимо.
Кинетическая энергия вагона (без гироскопа) при вращательном движении вокруг рельса
* = } ”2&2.
Здесь 4 — момент инерции вагона вокруг оси рельса.
Введем оси Резаля, связанные с кольцом гироскопа. Ось Cz направлена вдоль оси вращения ротора по вектору собственной угловой скорости ротора; ось Су — по оси вращения кольца и ось Сх образует с первыми двумя правую ортогональную тройку. Тогда проекции угловой скорости кольца и ротора на оси Резаля имеют вид
剪=磴=ae05 0, % = e* = в， (4 45) о^ = d sin р, 曬=# + & sin 0
Кинетическую энергию кольца и ротора вычислим, используя теорему Кенига (том II, § 10 1):
Здесь М — суммарная масса кольца и ротора без грузика, Vc — абсолютная скорость начала системы координат Cxyz, Тг ——кинетическая энергия относительного движения системы кольцо ——ротор. Заметим, что Vq = «2а2.
Используя проекции абсолютной скорости на оси Резаля (4.45), получим выражение для кинетической энергии 丁储
2Т「= (4 + Л) d2 cos2 В + (В】+ В)促十 &&2 sin2p + C(y + dsin 胱, где 4 В, С, 4, В, Ci — моменты инерции ротора и кольца относительно осей Сх, Су, Cz.
Заметим, что для вычисления скорости грузика N (рис. 4.2) можно воспользоваться формулой сложения скоростей
匕V =匕: +吗X em
Легко видеть, что переносная скорость Vc и относительная 方взаимно перпендикулярны. Следовательно, кинетическая энергия грузика равна
T3 = lw(a2d2 + 62P2).
Здесь 〃z — масса грузика М
Кинетическая энергия всей системы принимает вид
2Т = К А + 4) cos? 0 + & sin2 р + % + М (м + т)] а2 +
+ (3 + 3 + mb2) р + С (у + d sin Р)2. (4.46)
Следует иметь в виду, что экваториальные моменты инерции ротора одинаковы (А = 8).
Функция Рауса может быть получена из (4.46), если воспользоваться циклическим интегралом
C(y + d sin р) = Н.
Производя стандартные преобразования, получим
R = } [(4 + 4) cos2 В + & sin2p+ Д2 + а2(М + т)] а2 +
+ 万(В + 当 + 加勿)俨 + Яа sin 6・(4.47)
Удерживая в (4.47) члены второго порядка малости относительно а, р и их производных, придем к выражению
где для сокращения введены обозначения
Aq = А + А} + А2 + а2 (М + т),
В。= В + В】+ mb2.
Отсюда легко получить линеаризованные уравнения возмущенного движения вагона
%№ +那=Qa，|(,48)
Вор — 〃& = Qp. J
Перейдем к определению обобщенных сил. Найдем потенциальную энергию силы тяжести.
Работа сил тяжести при перемещении вагона и гироскопа из произвольного положения в горизонтальное равна
П =尸九]+ Q/?2,
где, напоминаем, Р — вес вагона с гироскопом, но без грузика и Q ——вес грузика. Величины Ь и 九2 представляют собой расстояния центров тяжести К и N (рис. 4.2) от горизонтальной плоскости, проходящей через точку О. Легко видеть, что
力]=с cos a, h2 — (a + b cos Р) cos а.
Следовательно, соответствующие обобщенные силы равны
Qi =—翳.=—Р -^— Q -^^ = Pc sin а + Q (а + b cos В) sin а,
0〃0%1 dh2 с 厶.о
Q? =— = —Р —Q-^-= Qb sin P cos а.
В положении равновесия а = 0, 0 = 0 потенциальная энергия* имеет максимум.
Ограничиваясь малыми первого порядка, получим
Qi = [Pc + Q (а + b)] а =々〔a, Q2 = Q^P = ^2?»(4.49)
Положим, далее, что в осях ВС и О (рельс) существует вязкое трение, которое приводится к моментам
Q： = —L]&, Q； — —%В・(4.50)
Обращаясь к выражениям (4.48), (4.49), (4.50), получим уравнения.
(4 51)(4 51)Д)& + "6 =財 а -厶&,仇 в 一 "@ = 后0 -厶8.
(4 51)
(4 51)
Покажем, что при отсутствии гироскопических и диссипативных
членов система неустойчива, но неустойчивость имеет четную сте-
Рис. 4.3. Однорельсовый вагон со стабилизирующим двигате-Рис. 4.3. Однорельсовый вагон со стабилизирующим двигате-пень. В самом деле, полагая "=丄】=, =厶=0, получим
Рис. 4.3. Однорельсовый вагон со стабилизирующим двигате-
Рис. 4.3. Однорельсовый вагон со стабилизирующим двигате-
力0& — ^ia ==0, Зоб —局6 = 0. (4.52)
储=储=Корни характеристического уравнения имеют вид
储=
储=
Отсюда ясно, что два корня имеют положительную вещественную часть. Кон-
』ем.сервативная система, как и следовало
ожидать, неустойчива по углам а и 0. Перейдем теперь к анализу устойчивости системы с гироскопическими и диссипативными силами, описываемой уравнениями (4.51). Перепишем ее в операторной форме
(^оР2 + LiP —自)a + 〃р§ = 0, —Нра + (В0р2 + 厶 2P —々2)В = 0.
Характеристический определитель имеет вид
1儿九2+厶九一偽HN| =
I 一"九区九2 +厶九一月2丨一
Раскрывая его, получим
ЛоВоХ4 + (AqL2 + B°Li)九з + (厶厶 + "2 一 ％俐一殳財)九2 一
-(电l2 + 左2&)九 + 々122 =。.(4.53)
Для устойчивости необходимо, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения (4.53) были положительны. Как видим, это условие не выполняется, так как для диссипативных сил
-々1厶2 一々2厶VO.
Из этого положения можно выйти двумя путями.
Приложить к внутреннему кольцу достаточно большой ускоряющий момент, пропорциональный угловой скорости кольца. Тогда уравнения (4.51) примут вид
4立 + "也一自a + "6 = 0,]
BoP 一厶8 一 包p 一 "应 = 0,jj‘
где & — положительный коэффициент. Можно показать [17], что в этом случае соответствующим подбором 厶 н 〃 можно удовлетворить всем условиям Гурвица. На первый взгляд кажется парадоксальным, что для стабилизации вагона необходимо прикладывать момент, направленный на еще большее увеличение угла поворота кольца р.
Приложить к внутреннему кольцу момент, пропорциональный углу отклонения вагона от равновесного положения. Такой момент может быть создан поворотным двигателем Д (рис. 4.3), связанным с осью кольца и включающимся при появлении в потенциометре с маятником 附 рассогласования а. Если считать, что момент двигателя пропорционален углу а, то в правую часть второго из урав~ нений (4 51) войдет слагаемое Sa. Уравнения примут вид
人&十厶&-&а + 〃В = О，)
BoP + 厶8 — АР — Sa — 〃Q = 0. J
Остановимся подробнее на втором способе стабилизации вагона. Составим характеристическое уравнение для системы (4.55)
1 Л0Х2 + ЦК - k{ НК| =
I 一〃九一S殳炉+厶九一局I = U.
Раскрывая определитель, получим
4殳九4 +(40£2 + 统厶)九3 +("2 + 厶厶 一 ДA 一 区財)X2 +
+ {SH -自厶一a2厶1)九+左1々2 = 0, ИЛИ
00九 I 4-a1 九3 +a2炉 + 禽九 + % = 0.
Для уравнения четвертой степени условия Гурвица сводятся к пяти неравенствам:
%>0, 4>0, 做>0， a3>°， a4>0，
A =a[a2。3 - «oa3 - ^4 > 6
Существенными из них оказываются три：
1 ) & > О, 〃2 + &厶2 > А后2 + В/],
2)a3 > 0,S/7 > d厶 + &2L1,
А>0,H2>A0k2^B0ki-LlL2 +
I /0в0 (S" 一审 1l2 一论2L1) ] (40厶2 + в0l 1)々*2 AqL2 + BqAiSH -々1L2 一 々2厶 *
Отсюда ясно, что путем выбора достаточно большого кинетического момента Н можно удовлетворить всем трем неравенствам.
Таким образом, неустойчивая консервативная система, какой является вагон однорельсовой железной дороги без гироскопа, может быть стабилизирована при помощи гироскопа, неконсервативной силы Qj = Sa, Qa = 0 и сил вязкого трения. Подобный способ стабилизации применяется также и в гироскопических успокоителях качки активного типа.
Принцип действия гироскопических стабилизаторов
Для определения положения аппарата в инерциальном пространстве, как было показано в § 3.7, достаточно иметь комплекс приборов, состоящий из двух свободных гироскопов (гирогоризонта и гировертиканта) и трех измерителей ускорений (акселерометров). Последние должны измерять ускорения центра масс аппарата по трем некомпланарным осям, а после интегрирования —— скорость п координаты центра масс. Точность измерения углов и ускорений в значительной мере зависит от условий работы гироскопов. Если в результате маневра аппарата кольца гироскопов вынуждены вращаться друг относительно друга, а также относительно основания, то неизбежно возникают моменты сил сухого и вязкого трейия, действующие по осям кардановых подвесов. Такие моменты уводят ось фигуры гироскопа от невозмущенного, неподвижного в инерциальном пространстве направления. При длительной работе гироскопических приборов ошибки растут и могут достигать недопустимых значений. Естественно поэтому стремление конструкторов обеспечить тем или иным способом «спокойную» работу гироскопов^ Одним из способов решения указанной проблемы оказалось создание стабилизированных платформ. Принцип работы такого рода гироскопических устройств можно пояснить на примере одноосной стабилизированной платформы, изображенной на рис. 4.4.
В отличие от свободного гироскопа с тремя степенями свободы этот прибор предназначен для стабилизации площадки, а не одного направления, совпадающего с вектором кинетического момента.
Предположим, что необходимо стабилизировать площадку П (рис. 4.4), скрепленную жестко с наружным кардановым кольцом.
Будем также считать, что основание прибора, с которым связана подвижная система координат Oxyz, перемещается так, что ось Oz не изменяет своего направления в инерциальном пространстве. Другими словами, точка О может двигаться по любому закону, а плоскость хОу остается параллельной своему начальному
положению, и, следовательно, она может вращаться только вокруг оси Oz.
Если гироскоп идеально сбалансирован, то при таком движении основания единственным источником возмущения могут служить силы трения, возникающие в подшипниках О и А наружного кольца. Они проявляются при вращении основания вокруг оси Oz. Момент сил трения направлен всегда по оси Oz и, следовательно, вызывает сначала прецессию гироскопа вокруг оси внутреннего кольца, а затем и относительно оси наружного кольца. Таким образом, если не предпринять специальных мер, то подлежащая стабилизации площадка П оказалась бы участвующей вместе с наружным кольцом во вращательном движении относительно оси Oz.
Для стабилизации прибора используется стабилизирующий двигатель
Д, укрепленный на основании хОу и связанный с осью наружного кольца через редуктор Р.
Как только момент сил трения или другой возмущающий момент, действующий в направлении оси Ог, заставляет гироскоп прецессировать относительно оси Срь появляется угол рассогласования 留 фиксируемый датчиком угла ДУ. В результате нарушения равновесия потенциометрического моста сигнал рассогласования через усилитель — преобразователь У попадает на управляющую обмотку двигателя Д и его якорь приводится во вращение. Стабилизирующий момент через редуктор передается на ось наружного кольца и заставляет прецессировать гироскоп в обратном направлении. Практически весь этот процесс происходит мгновенно. Таким образом, возмущающий момент по оси Oz все время компенсируется моментом стабилизирующего двигателя,
в результате чего площадка /7 остается стабилизированной в инерциальном пространстве и вращение основания хОу вокруг оси On не приводит к появлению уводящего момента.
Ось Oz, относительно которой происходит стабилизация платформы, называется осью стабилизации. Ось вращения гирокамеры Су\ называется осью прецессии. В гиростабилизаторах такого типа используются, как мы видели, для компенсации возмущающего момента относительно оси стабилизации разгрузочные (стабилизирующие) двигатели, развивающие сравнительно большие вращающие моменты. Их называют поэтому силовыми гиростабилизаторами. Нетрудно видеть, что стабилизатор с одним гироскопом не может ликвидировать возмущающие моменты по двум другим осям. Момент, действующий по оси прецессии Q/i, вызывает только вращение гироскопа вокруг оси стабилизации 0%, и так как угол § остается при этом равным нулю, то при таком вращении стабилизирующий двигатель не включается. Продолжается беспрепятственное вращение наружного кольца с платформой. Стабилизация платформы относительно оси 爲i нарушается. Не может быть также компенсирован момент, приложенный параллельно оси Схь Он может вызвать вращение колец гироскопа вокруг оси ротора.
Рассмотренный прибор может стабилизировать вращение площадки 〃 только относительно одной оси, поэтому его называют одноосным стабилизатором или одноосной гирорамой.
Будучи установленным на горизонтальной площадке, такой прибор может быть использован как указатель курса (гироазимут).
Принцип действия описанного прибора получил название гироскопической силовой стабилизации.
В отличие от силовых гироскопических стабилизаторов, реагирующих на моменты сил, приложенных к самому гироскопу и уравновешивающих эти моменты, существуют индикаторные гиростабилизаторь^ которые фиксируют отклонение платформы от некоторого направления, задаваемого гироскопом, и управляют движением платформы. Принцип работы одноосного индикаторного гиростабилизатора поясняется на рис. 4.5.
Гироскоп с тремя степенями свободы с кинетическим моментом Н установлен на стабилизируемой платформе 〃.Вращение платформы вокруг оси Oz приводит к появлению угла рассогласования а. Датчик угла ДУ вырабатывает электрический сигнал, пропорциональный этому углу, и посылает его через усилитель У на стабилизирующий двигатель Д. Затем через редуктор Р двигатель приводит во вращение платформу так, что угол рассогласования а стремится к нулю.
Рис. 4.5. Одноосный индикаторный гиростабилизатор.
Как видно, из описания работы этого стабилизатора, гироскоп здесь не осуществляет непосредственной стабилизации площадки. Он является чувствительным элементом и лишь управляет следящим приводом, обеспечивающим стабилизацию платформы. В сущности, гироскоп может быть вынесен за пределы площадки, и, как чувствительный элемент следящей системы, он может управлять исполнительным двигателем Д. Когда площадку П необходимо стабилизировать относительно трех осей, ее заключают в карданов подвес. В этом случае каждая из осей подвеса приводится во вращение своим исполнительным двигателем. Управляющие сигналы вырабатываются специальными гироприборами, например, гировертикалью и гироскопом направления.
Ограничимся в дальнейшем описанием работы силовых гироскопических стабилизаторов. Рассмотренный выше одноосный ГС ликвидирует вращение платформы
в инерциальном пространстве только относительно одной оси — оси Oz. В навигационных системах, применяемых для стабилизации и управления полетом самолетов и ракет, встречаются чаще двухосные и трехосные ГС.
Принцип работы двухосного силового ГС поясним на схеме, изображенной на рис. 4.6. Платформа П стабилизирована относительно двух осей 0% и Оу, Ось наружного кольца Оу связана с основанием через опоры А
戶%
Рис. 4.6 Двухосный силовой гиростабилизатор.
и В. При действии на платформу возмущающего момента вокруг оси Оу она стремится повернуться, при зтом гироскоп с двумя степенями свободы 〃i начинает прецессировать. Сигнал рассогласования, снимаемый с датчика угла этого гироскопа, поступает через усилитель У1 на управляющую обмотку стабилизирующего двигателя Дь и он приводит наружное кольцо во вращение в сторону, противоположную первоначальному вращению. Рассогласование по углу прецессии первого гироскопа сводится к нулю. Аналогично стабилизируется платформа при действии момента вокруг оси Ое. На этот раз стабилизирующий момент развивается двига-
телем Дг, а датчик угла рассогласования установлен на подшипнике гироскопа Я2-
Естественно, что такая двухосная платформа не реагирует на вращение основания АВ вокруг оси Oz. Эта ось оказывается нестабилизированной.
Двухосный гиростабилизатор может быть использован для создания вертикали. В этом случае на платформе устанавливаются два маятника-корректора М2 и
Рис. 4.7. Трехосный гиростабилизатор.
Mi с осями вращения, параллельными Ох и Оу. При отклонении платформы от плоскости горизонта электрические сигналы, пропорциональные углам отклонений платформы от вертикали, преобразуются в управляющие моменты, воздействующие через датчики моментов на гироскопы Н\ и Н?.
Датчики моментов представляют собой электрические двигатели, якори которых механически связаны с осями прецессии гироскопов (на рис. 4.6 они не изображены). Так, например, при повороте платформы вокруг оси Ох на угол а создается момент относительно оси прецессии гироскопа Н2. Возникающие при этом реакции в подшипниках оси прецессии гироскопа
создают момент, направленный по оси Ох. Платформа вращается вокруг оси Ох до тех пор, пока плоскость xOz не станет вертикальной. Аналогично парируется поворот на угол р плоскости yOz относительно оси Оу.
Трехосный гиростабилизатор, изображенный на рис. 4.7, служит для создания стабилизированной относительно инерциального пространства площадки. Она стабилизируется при помощи трех гироскопов с двумя степенями свободы. Легко проверить, что гироскоп "i реагирует на вращение платформы вокруг оси Ох и управляет стабилизирующим двигателем Дь гироскопы Я2 и Н3 управляют соответственно двигателями Д2 и Д3.
Таким образом, трехосный силовой гиростабилизатор в идеальном случае сохраняет некоторую выставленную в начальный момент систему координат Oxyz. Эта система координат перемещается в инерциальном пространстве поступательно. Если на стабилизированной площадке разместить три акселерометра, измеряющих ускорения в трех некомпланарных направлениях, то легко видеть, что информация, снимаемая с показаний акселерометров и датчиков углов поворота кардановых колец, вполне достаточна для определения координат аппарата и его углового положения в некоторой инерциальной системе отсчета.
Гироскопические стабилизаторы могут рассматриваться как системы автоматического регулирования. Для таких устройств, как известно, должна быть обеспечена устойчивость их работы, а также хорошее качество переходных процессов при различных начальных возмущениях системы. Здесь большое значение имеет правильный выбор закона управления стабилизирующими двигателями, а также датчиками моментов в случае использования корректирующих средств (маятники, фото-электронные телескопы, радиолокационные системы и т. п.).
Гироскоп с двумя степенями свободы на подвижном основании и его применение
Анализируя принципиальные схемы рассмотренных выше силовых гироскопических стабилизаторов, можно сделать следующий вывод: основным чувствительным
элементом во всех этих устройствах является гироскоп с двумя степенями свободы. Прецессия такого гироскопа, порождаемая возмущением платформы, вызывает появление рассёгласования, которое регистрируется датчиком угла и в виде электрического сигнала поступает на исполнительный орган гиростабилизатора ——стабилизирующий двигатель.
В соответствии со сказанным представляет интерес, прежде чем начать изучение движения сложных гироскопических устройств, рассмотреть движение гироскопа
с двумя степенями свободы, установленного на подвижном основании.
На рис. 4.8 изображен гироскоп с двумя степенями свободы — гиротахометр Г с осью прецессии АВ. Подшипники гироскопа укреплены на платформе П. С осью прецессии гироскопа связана пружина 力р и демпфер Д. Исследование движения такого гироскопа позволит перейти затем к частным случаям, когда отсутствует либо пружина, либо демпфер, либо то и другое.
Свяжем с платформой прямоугольную систему координат Oxyz. Угловая скорость платформы может быть представлена в виде
(0 = (0^ + s J +(о 儿
где i, /, k — орты подвижной системы координат. С корпусом гирокамеры свяжем систему координат。工田必. Определим проекции угловой скорости гирокамеры на эти оси.
Из рис. 4.8, на котором изображены обе системы координат, следует
(4.56)(4.56)s修=s% COS р — (Oz sin Р， Sy、= ^ + Р，
(4.56)
(4.56)
Szi = 0)2 COS p +(0%sinB・
Здесь В ——угол поворота гирокамеры относительно платформы. Угловая скорость ротора отличается от угловой скорости гирокамеры только составляющей у/, у ——угол собственного вращения ротора.
Кинетическая энергия гироскопа принимает вид
2T =厶唠 + Iy% + /鰭 + /К + if + /°% + /。吟=
=厶(％ cos в — 叫 sin P)2 + / (①修 + Y)2 +
+ % + I^y + By + (/0 + /J (% sin ₽ + 叫 cos B)2. (4.57)
/х, Iy, Iz — осевые моменты инерции гирокамеры без ротора относительно соответствующих координатных осей; /, /0 ——полярный и экваториальные моменты инерции ротора.
Полагая, что силы, действующие на гироскоп, не зависят от угла поворота ротора у, придем к циклическому интегралу
Из выражения для кинетической энергии (4.57) следует
/(^ + у) = //.(4.58)
Функция Рауса в соответствии с общим правилом ее составления имеет вид
R = T - Н 件一 %) •
Используя циклический интеграл (4.58) при составлении функции Рауса, получим
2A = (/о + // (% + р)2 + (/04-/2)((о2 cos В + ①工 sin В)? + + /% (①％ cos В —①之 sin Bp ———+ 2"(①％ cos В —吗 sin P).
(4.59)
В последнем выражении несущественное постоянное слагаемое может быть отброшено.
Исходя из формулы (4.59), получим
箒=«о + 4) ® + В)，
箒=('о + / J °\°\ 一 乙①修吗I - "%
Поэтому дифференциальное уравнение движения гироскопа, составленное в форме Рауса,
dt、耶丿06 В принимает вид
(/о + 4) ® + 8)一仇+厶一厶)吗里+ "吗尸Qb・(4・60)
Положим, что пружина создает реакцию, пропорциональную углу р, а демпфер создает сопротивление, пропорциональное угловой скорости прецессии р. Тогда для обобщенной силы Q^ получим выражение
Qb = -cB-68，(4.61)
где с — коэффициент жесткости пружины и & — коэффициент сопротивления демпфера.
Подставляя в соотношение (4.60) величины ш^, ①厶，Qb из (4.56) и (4.61), придем к дифференциальному уравнению второго порядка относительно искомой обобщенной координаты В：
В® + Q 1(°^ —鼠)sin В cos В —(0%电 cos 2p] +
+ H (cox sin В + o)z cos P) = —BGy — bg — c0・(4.62)
Здесь введены обозначения B=Iq + ^, Q = 4 + Л —厶・ Предположим теперь, что платформа совершает вращательное движение вокруг оси Oz, т. е. (ох=(о2/=0.
Тогда при постоянном (о2=(о уравнение (4.62) имеет стационарное решение В 三Во, определяемое из соотношения
Между угловой скоростью з и углом поворота гироскопа относительно оси прецессии р0 устанавливается взаимно однозначная связь
з = Hsi%o (伏"2 cos2 Во — 2cQBo sin 2瓦—H cos 饱)・(4.64)
Так как обычно H2»2cQ, то
Мн2cos2Bo_2cQBoSin2Bo - "cosB°(l -零億警)
и из (4.64) получим
Прибор может быть отградуирован в соответствии с зависимостью (4.65), так что каждому углу р0 будет отвечать определенная угловая скорость вращения платформы относительно оси Oz. Эта ось называется осью чувствительности прибора^ а сам прибор называется гиротахометром или дифференцирующим гироскопом. Он может служить для измерения угловой скорости вращения платформы, а поскольку эта скорость равна производной от угла поворота платформы по времени, то гиротахометр вычисляет производную от этого угла, т. е. дифференцирует угол ).
Заметим, что порядок измеряемых угловых скоростей обычно известен, так что з & о)тах・ Коэффициент жесткости пружины выбирают настолько большим, чтобы угол был мал, т. е.
~^~ Smax《1 •
Это обеспечивает работу пружины в зоне линейности. В этом случае в знаменателе выражения (4.65) можно положить cos Ро= 1 и формула (4.65) упрощается:
s = — . (4.66)
Величина 力=—называется передаточным коэффициентом прибора, чем она больше, тем меньшие угловые скорости может измерять прибор.
Пример. Гиротахометр имеет параметры: кинетический момент Я = 2093 Г • см • сек, с = 12 000 Г • см. Линейность характеристики пружины сохраняется до Вшах = "^" pad = 6°. Определить верхнюю границу измеряемых угловых скоростей. Из формулы (4.66) имеем
八 с%ах л • 12001град
"2093
Передаточный коэффициент Z?=— =-画° = 1,74.
Установившееся значение угла р0 для данной угловой скорости вращения основания (о фиксируется прибором не мгновенно. В течение некоторого времени 力，называемого временем переходного процесса, происходит приближение р к В。. Процесс считается законченным, если величина относительного отклонения
достаточно мала. Ею обычно заранее задаются (например, А = 0,05, т. е. допускается отклонение, не превышающее 5% от Ро).
Чтобы описать процесс установления, достаточно в уравнении (4.62) положить
Р = Во + В1・
Тогда, учитывая уравнение (4.63), получим для величины 81 = В (%)—Во дифференциальное уравнение
8厌 + 4 Qs?⑶112В — sin 2₽o) + ①笈(cos 0 — cos p0) +
+ bBi + cPi = 0・
Для малых значений Po справедлива формула (4.66). Отсюда получим приближенное уравнение
8瓦 + QR (ф)2 + 比猛 + 匕瓦 + cR = 0. (4.67)
Здесь мы воспользовались разложениями
sin 2р = sin(2p0 + 2Bi) = sin 2Po + 2® cos 2自 + …，
cos В = cos В。 —Bi sin В。 + ...
В уравнении (4.67) содержатся малые члены, пропорциональные PqPj. Сохраняя в этом уравнении только линейные члены относительно §】и Ро, придем к уравнению
8国+邮1 +涓=0.(4.68)
Это ——известное уравнение свободных колебаний в среде с сопротивлением.
Введем обозначения
专=部，* = 2瓦
Общее решение уравнения
61 + 2隔 + 出自=0,(4.69)
эквивалентного уравнению (4.68), имеет вид
Bi =ae-"sin(V^2 — й2/ + 虱 (4.70)
Здесь one — произвольные постоянные, определяемые из начальных условий.
Декремент затухания вычисляется по формуле
2Л九
где 7 — период условно-периодических колебаний.
Найдем переходный процесс для угла р при внезапном появлении единичной угловой скорости платформы G)z — 1 •
Из формулы (4.66) следует, что
Во = —?=—々・
Начальные условия для угла р = р0 + Pi принимаем нулевыми, т. е. р (0) =0, р(0) =0, или 团(0)=—氏=財 Bi (0)=0. После несложных аыкладок с использованием
решения (4.70) получим для В
Р =一小一l(cos 1/庐一部f +
+ 7^rsin 阿』川•(4.71)
Перейдем к другому типу приборов, использующих схему интегрирующего гироскопа с двумя степенями свободы.
Схема интегрирующего гироскопа отличается от гиротахометра отсутствием пружинного устройства (рис. 4.8). Нет необходимости заново выводить уравнение движения такого гироскопа, так как оно получается из (4.62), если положить жесткость пружины равной нулю. Полагая в (4.62) с=0, получим
В₽ + Q ［(①；—①？ sin Р cos р — о%© cos 2卩］+
+ // (①％ sin В + s? cos В) + 邮=—BGy + M夕(4.72) В правую часть уравнения введен момент сил, действующих на гироскоп относительно оси Оу. Он может представлять собой момент сил сухого трения и момент, специально формируемый датчиком моментов 卩］,установленным на платформе и связанным с осью прецессии гироскопа.
Если предположить, что имеет место вращение платформы только относительно измерительной оси 0之,т. е. ①尤=о)у=0, и, кроме того, Му=0, то, учитывая малость отклонений гироскопа по оси прецессии (мало р), получим
Вр + 6₽ + Q冠§ = —Нб・ (4.73) Примем во внимание, что измеряемые угловые скорости 3z гораздо меньше угловой скорости вращения ротора Q, тогда, очевидно,
и подавно Q(ozp《"，так как прибор работоспособен только при малых углах 0. Уравнение (4.73), в соответствии со сказанным, может быть заменено приближенным более простым соотношением
Вр + 邮=—Нау^ (4.74)
Пусть а — угол поворота платформы вокруг измерительной оси Ог, т. е. д = &・ Предположим, что G=const и в начальный момент Во = 8о=°, тогда, интегрируя уравнение (4.74), получим
В + 4"В= —ga・ (4.75)
Вновь интегрируя, найдем
8 = — ?[а—^sJl—eT8 = — ?[а—^sJl—eT(4.76)(4.76)
8 = — ?[а—^sJl—eT
8 = — ?[а—^sJl—eT
(4.76)
(4.76)
Введем постоянную времени прибора р = -у. При достаточно больших значениях 玄 определяемых из условия
угол р, как это следует из (4.76), изменяется по закону8 = — ? ® — tg)・
Поскольку величина а=(о2 предполагалась постоянной, то последнюю формулу можно переписать в виде
(4・77)(4・77)
(4・77)
(4・77)
Постоянная времени выбирается весьма малой (в современных поплавковых гироскопах т=0,001 + 4- 0,002 сек), так что приближенно можно считать р=— а = —/га, где 々=方 называют передаточным коэффициентом прибора. Гироскоп называют интегрирующим, так как он интегрирует угловую скорость (о2 = а и его выходная координата В ——угол поворота гироскопа вокруг оси прецессии Оу — пропорциональна интегралу от угловой скорости.
Выше мы полагали, что угловая скорость вращения платформы постоянна. Однако можно показать, что при определенных достаточно общих условиях, налагаемых на поведение функции (о2(/), и достаточно малой постоянной времени интегрирующий гироскоп и
при переменной угловой скорости вращения платформы с достаточно малой ошибкой осуществляет интегрирование функции O)z(f)・
В самом деле, перепишем уравнение (4.75) в виде
В + !б= — ^。， (4.78) где, напоминаем, постоянная времени т = j- и передаточный коэффициент h =鼻、
Решение уравнения (4.78) при нулевом начальном условии и произвольном законе а(/) можно представить в виде
「 _上-方 L q
6=j ae^dt ・ (4.79) - 0 .
Обозначим через ап — приборное значение интегрируемого угла а, вычисляемое по формуле
Это значение угла соответствует показанию прибора. Сравним его с истинным и найдем ошибку:Это значение угла соответствует показанию прибора. Сравним его с истинным и найдем ошибку:(4.80)(4.80)
Это значение угла соответствует показанию прибора. Сравним его с истинным и найдем ошибку:
Это значение угла соответствует показанию прибора. Сравним его с истинным и найдем ошибку:
(4.80)
(4.80)
Пусть во всем диапазоне изменения угла а угловая скорость G по модулю ограничена | а | ^ сотах* Тогда из неравенства (4.80) следует
1 a —。九 I & e ®max J e dt о или
I a — % I & Smaxt (1 — e t)・
Следовательно, заведомо
Пример. Определить максимально возможную ошибку при измерении интегрирующим гироскопом угла вращения платформы, если максимальная угловая скорость вращения Smax = 1 рад!сек. Параметры гироприбора следующие:
В = 0,04 Г • см * се* 匕=20 Г * см* сек^ Zf = 10 Г • см* се&.
Находим сначала передаточный коэффициент и постоянную времени:- ь Н10
т = f = 0,002 сек,b20
По формуле (4.81) определяем ошибку
|а — att I《0,002 рад * 0,1 Г.
Большое распространение получили в настоящее время интегрирующие гироскопы поплавкового типа. Поплавковые интегрирующие гироскопы (ПИГ) представляют собой гироскопы с двумя степенями свободы, у которых гирокамера (поплавок) герметизирована и помещена в жидкость, заполняющую корпус прибора. Жидкость выполняет две функции. Во-первых, она заменяет демпфер, изображенный на рис. (4.8), и создает сопротивление, пропорциональное угловой скорости вращения гирокамеры. Во-вторых, она взвешивает гирокамеру внутри корпуса, уменьшая тем самым или совсем ликвидируя нормальные реакции и силы трения в подшипниках А и В (рис. 4.8). ПИГ обладают большой чувствительностью и точностью. Основным их недостатком являются высокие требования к выдерживанию в строгих пределах температурного режима в гирокамере. В противном случае изменяется коэффициент вязкости жидкости (величина Ь в уравнении движения) и показания прибора искажаются. ПИГ находят применение главным образом в качестве чувствительных элементов гиростабилизированных платформ (одноосных, двухосных, трехосных). Они весьма чувствительны к вращению платформы относительно входной оси (в рассмотренных примерах — оси Oz) и при появлении угла рассогласования на выходе гироскопа формируют сигнал, зависящий от этого угла. Для съема сигнала могут служить индуктивные датчики, установленные ме.-
жду неподвижной частью подшипника (Д или В на рис. 4.8) и подвижной, связанной с осью чувствительного элемента АВ. Электрический сигнал через усилитель ——преобразователь поступает на обмотку управляющего двигателя, который создает вращение платформы в сторону, противоположную возмущению. Для трехосной гиростабилизированной платформы необходимо установить три таких ПИГ с осями чувствительности, не лежащими в одной плоскости.
Наконец, заметим, что датчиками угла поворота платформы часто служат н, обыкновенные гироскопы с двумя степенями свободы на шариковых подшипниках (коэффициент вязкости & для них близок к нулю).
Они, как нетрудно видеть из уравнения (4.74), также реагируют на поворот платформы вокруг оси чувствительности и, следовательно, могут формировать управляющий сигнал, поступающий на стабилизирующие двигатели.
Подробное изложение вопросов теории и конструкции гироскопов с двумя степенями свободы читатель может найти в специальной литературе [25], [26], [32].
Одноосный гиростабилизатор
Выведем дифференциальные уравнения движения одноосного гиростабилизатора, описанного в начале § 4.3. Необходимо прежде всего установить условия устойчивости гиростабилизатора. При выводе уравнений будем предполагать, что основание, с которым связана система координат Oxyz, неподвижно (рис. 4.9). Систему CxijiNi свяжем с гирокамерой.
Положение ГС относительно неподвижного пространства полностью определяется углами а и р.
Вывод уравнений движения здесь почти ничем не отличается от аналогичной процедуры, проделанной ранее для гироскопа с тремя степенями свободы. Небольшое отличие заключается лишь в том, что при вычислении кинетической энергии рамы (наружного кольца) необходимо учесть еще кинетическую энергию вращательного движения якоря двигателя Д, а при наличии системы шестерен, передающих вращение от якоря к ведомой шестерне на оси рамы, еще и кинетическую
энергию всего редуктора. Так, например, при непосредственной передаче вращения от 〃 к Р (рис. 4.9) и передаточном числе
кинетическая энергия якоря равна
「я = £ /я (〃&)2 = у 厶彦&，
Отсюда ясно, что вид уравнений движения ГС останется таким же, как и для гироскопа с тремя степенями
Рис. 4.9. Одноосный гиростабилизатор.
свободы. Изменится лишь значение коэффициента при а, он увеличится на /я^2- В соответствии со сказанным уравнения движения ГС можно записать в виде
Л(р)а + 4(₽)а₽ 一 "Вcosf== Qa,|B^^A^i^ + На cos В = QJ
где Н — кинетический момент гироскопа, величины 4 и В выражаются через осевые моменты инерции. Напомним эти формулы:
5 = /о + £), 4⑹=/ JshTр + (А + £))cos2₽ + "+厶從 где /о — экваториальный момент инерции ротора, /?), /?* А"— осевые моменты инерции внутреннего кольца, 1^ — момент инерции наружного кольца. Что касается обобщенных сил Qa и Q^, то это ——сумма моментов сил относительно соответствующих осей.
По осям внутреннего и внешнего колец действуют моменты сил сопротивления. Предположим, что это —— моменты снл вязкого трения, тогда
Qa=—6a&， Qb = —嵯， (4.82)
Гораздо сложнее выразить момент сил, действующих со стороны якоря двигателя на ось наружного кольца. Для этого необходимо последовательно проследить преобра* зование сигнала, поступающего от датчика угла ДУ, зависящего от угла расбалансировки моста R до момента, приложенного к редуктору Р. В соответствии с рассмотренной Я. Н. Ройтенбергом [27] схемой преобразования электрического сигнала, снимаемого с ДУ, имеем следующую цепочку уравнений.
На вход усилителя У поступает напряжение, равное разнюсти потенциалов в точках С и Е, U=f(^). В случае линейной характеристики датчика сигналов имеем
U =邰. (4.83)
В усилителе входной электрический сигнал U преобразовывается согласно уравнению [26], [27]
Т(Ц + и尸 AU, (4.84)
где Т постоянная времени усилителя,力,——коэффициент усилителя, Ui — выходное напряжение усилителя.
Выходное напряжение усилителя питает обмотку возбуждения стабилизирующего двигателя Д постоянного тока. Для цепи якоря двигателя уравнение баланса напряжений принимает вид
2*+九=一。编十(4.85)
Здесь / — коэффициент самоиндукции якоря двигателя, г ——омическое сопротивление цепи якоря, сая ——проти- воэлектродвижущая сила, появляющаяся при вращении якоря стабилизирующего двигателя. Напомним, что ОСд …""ОС.
Электромеханический момент двигателя постоянного тока с независимым возбуждением, развиваемый на валу якоря, равен
МЯ = Ф/. (4.86)
Учитывая передаточное отношение, полуинм момент, приложенный к оси стабилизации,兩《 =希九'・
Теперь полная система уравнений, описывающая (без нелинейностей в электрических цепях) движение ГС, принимает вид
Л (В) d + 4 (6) dp 一 "В cos 0 = —屍& + ①位， 廓 一 ^ 屈偉)а2 + Яа cos В = -b^,
TU^U^kk^
/祭+ 〃+ M& = U1・
(4.87)
Эта система уравнений связывает между собой четыре переменных: а, р, Ui,厶
Для исследования устойчивости ГС систему уравнений (4.87) необходимо линеаризовать в окрестности положения равновесия а = ао, р~0, i=0, Lq —0.
Линеаризованная система имеет вид
(4.88)(4.88)лоа 一 "в + 九& 一 ①应=0,深 + "а +域=0,* + 5 一 砲6 = 0,/幫 + /7 + спа — U[ = 0.
(4.88)
(4.88)
Здесь 人=4 (0) =/о + А" + 寸)+ 厶川.Перейдем к операторной форме записи уравнений
(Лор + 九)& — НрВ —① Е = 0，
На^(Вр2+Ь&р^ = 0
и
-kk^ + iTp+^U^O,спа + （/р + г） i — U] = 0.
Для исследования устойчивости системы относительно d, р, z, U[ составим характеристический определитель
4" +吼
-h р
—①拉
0
4（Р）=
Н
0
Зр2 + Ь^р
—kk[
0
0
0 7р+1
・（4.89）
СП
0
tp + r
—1
В развернутом виде характеристическое уравнение имеет вид
7/炉 + {?[г + / 偿 + *）] + '” +
+卜[等 +Г偿+等）+ 总（叫 + "力+
+ Г + /偿+*）}炉+①[^^ + 為（"4 + 间 +
+ 枭 + Г偿 +等）+ 右（"/+环）卜+
+ [^^ +磊仇66 +间大+胃器"=°-
Введем обозначения
6/+环6/+环〃々々1①几A.Br =$,〃々々1①几A.Br =$,%+万=儿%+万=儿
6/+环
6/+环
〃々々1①几
A.Br =$,
〃々々1①几
A.Br =$,
%+万=儿
%+万=儿
Постоянная т равна частоте собственных колебаний ГС при отключенном двигателе и при отсутствии сопротивления в осях подвеса, 6 характеризует сопротивление в осях подвеса, в s входит множитель ~- Фп — кру-
гизна статической характеристики ГС, величина-—= т — постоянная времени в цепи якоря стабилизирующего двигателя.
Перепишем характеристическое уравнение, воспользовавшись новыми обозначениями:
74九5 + 卜 + t（i + W）］九4 ^［i^xb + T^H^b + 丁他2）］ v+
+ ［" + b + T优2 + T （~書 + m2）］ "2 +
+ （譽 + 加0九+ s = 0・ （4.90）
При постоянных времени усилителя и стабилизирующего двигателя равных нулю （Т=т=0） последнее уравнение принимает вид
V +（X + 6）М + （岑 + 俏 2）九 + s = 0.（4.91）
Все коэффициенты характеристического уравнения （4.91） положительны. Критерий асимптотической устойчивости Гурвица для уравнения третьей степени
“о 九 з + 〃］九 2 + 〃2九 + 〃з = 0
в этом случае сводится к одному условию
他。1 — «з^о > 0・（4.92）
Имея в виду, что а0 — I, а^и-^ Ь, 〃2 =加2 + ~~^, 〃3 = S, получим
（窑 + 他2） （乂+ b）>s.（4.93）
Если в выражении
2 丄叫—"2 + 'а幻сФп2Ь^
т 十—価гА^
удержать только главный член -彳肃,то условие устойчивости （4.93） примет вид д?г2（х + 6） > s или, в развернутом виде,
"（'^ + ^ + 等）>^^（494）
Отсюда следует, что увеличение сопротивления в опорах подвеса гирорамы （兀，匕в） способствует устойчивости системы. Однако при этом ухудшается реакция гиро*
рамы на внешние возмущения. Другой путь повышения устойчивости связан с подбором оптимального передаточного числа редуктора п. Для этого перепишем неравенство (4.94) в виде
(др* + 6а) В + 4bB(др* + 6а) В + 4bBAGnAGn> В> В恤①恤①(4.95)(4.95)
(др* + 6а) В + 4bB
(др* + 6а) В + 4bB
AGn
AGn
> В
> В
恤①
恤①
(4.95)
(4.95)
Здесь введено обозначение
Вспомним, что Ло = /о + /?)+ /9)+ /я八2. Заменяя для краткости /о 4' 4П + /^ = /%, представим левую часть неравенства (4.95) в развернутом виде
/(〃)=/(〃)=（抑2 + %）3 +匆化+ 4吟（抑2 + %）3 +匆化+ 4吟(4.96)(4.96)
/(〃)=
/(〃)=
（抑2 + %）3 +匆化+ 4吟
（抑2 + %）3 +匆化+ 4吟
(4.96)
(4.96)
Дифференцируя это выражение и приравнивая производную нулю, получим уравнение для определения экстремального значения передаточного числа 拉
(4.97)(4.97)М4 — ^у^Зр) 〃2 + р ~- = 0.
(4.97)
(4.97)
Здесь р = (BQ + Izb&) (В(р + b^I^.
В частном случае, когда р = 0, получим известную формулу [26]
При р #= 0 формула для определения 〃о несколько ус ложняется:При р #= 0 формула для определения 〃о несколько ус ложняется:(4.98)(4.98)
При р #= 0 формула для определения 〃о несколько ус ложняется:
При р #= 0 формула для определения 〃о несколько ус ложняется:
(4.98)
(4.98)
Легко показать, что формула (4.98) определяет такое значение п, при котором левая часть неравенства
имеет относительный максимум. Если имеет место неравенство
то формула (4.98) может быть заменена приближенной m却一田留•⑷99)
Она получена из (4.98) разложением радикалов в ряд Тейлора по малой величине р.
Учет постоянных времени Тит для получения условий устойчивости ГС произведен в книге [27]. Здесь мы не будем разбирать общий случай. Заметим лишь, что если пренебречь постоянной времени усилителя, а также сопротивлениями в осях подвеса, т. е. положить равными нулю Т, Ьа, ^в，то уравнение (4.90) превращается в уравнение четвертой степени
тЛ4 + 九з +(乂 + тт2)紋 + 俏2九 + $ = °.(4.100)
Все коэффициенты этого уравнения положительны. Поэтому для устойчивости ГС необходимо и достаточно выполнения одного условия Гурвица
△з = “з (%〃2 — 旬4)一 〃储 > 0・
В соответствии с уравнением (4.100)
〃0 —■ Т) 〃[ -—- 1, 〃2 === 乂 ~|~ Т/71^, 〃з ^ Л22^, 〃4 —― S.
Подставляя в условие устойчивости, получим
加2 (乂 + тт2 — rm2) — s > 0 или
m2x > s.
Любопытно, что постоянная времени цепи якоря т в условие устойчивости не вошла.
Вспомним, что
2 Я2сФп2Hhh&n
Следовательно, условие устойчивости в исходных параметрах принимает известный вид [9]
方 ＞轡-(4.101)
Это неравенство, по существу, совпадает с условием В. И. Кузнецова.
Здесь, как и в предыдущем случае, можно поставить вопрос о выборе оптимального в смысле усиления неравенства (4.101) передаточного отношения п между ше* стернями редуктора. Задача сводится к отысканию экстремума функции
Здесь мы использовали соотношение Д0=Л + ^2. Максимум достигается этой функцией при
При этом
и условие устойчивости (4.101) выражается неравен* ством
Н kkx
Рассмотрим пример.
Пример. Определить, в каком диапазоне передаточных чисел редуктора гиростабилизатор сохраняет устойчивость. Параметры ГС следующие 陶.Кинетический момент гироскопа Я = 22-104 Г• см-сек) момент инерции ротора и гирокамеры относительно оси стабилизации /о + /?)= 120 T • см • сек?; момент инерции рамы относительно той же оси /^ = 3 • W Г-см- сек2; момент инерции якоря стабилизирующего двигателя /я = 0,7 Г • см • ced; коэффициент усиления датчика сигналов k = 0,1 е/град] коэффициент усиления усилителя 々1 = 10. При работе стабилизирующего двигателя с номинальным напряжением их^ ПО в при сопротивлении цепи якоря г = 1,5 ом угловая скорость якоря равна «я = 2500 об/мин, а сила тока в цепи якоря i = 0,9 а.
(4.102)(4.102)Преобразуем неравенство (4.101) к видуn/я々財
(4.102)
(4.102)
厶 I 2>•
Для определения коэффициента противоэлектродвижущей силы воспользуемся уравнением (4.85) при i = const
,=£1rzZ£«я,=£1rzZ£«я(110- 1,5 • 0,9) 60(110- 1,5 • 0,9) 602500 • 2л2500 • 2л= 0,415= 0,4158 • се&.8 • се&.
,=£1rzZ£«я
,=£1rzZ£«я
(110- 1,5 • 0,9) 60
(110- 1,5 • 0,9) 60
2500 • 2л
2500 • 2л
= 0,415
= 0,415
8 • се&.
8 • се&.
二 3,01 ・ 104—~07二 3,01 ・ 104—~070,415 • 22 • О •冗 0,7.10 - 0,1 • 1800,415 • 22 • О •冗 0,7.10 - 0,1 • 1800,228 • 104,0,228 • 104,九=11,4 • 102,九=11,4 • 102,
二 3,01 ・ 104
—~07
二 3,01 ・ 104
—~07
0,415 • 22 • О •冗 0,7.10 - 0,1 • 180
0,415 • 22 • О •冗 0,7.10 - 0,1 • 180
0,228 • 104,
0,228 • 104,
九=11,4 • 102,
九=11,4 • 102,
Находим /%
厶=/о + 4° +/^==3- 104 + 120 = 3,01 • 104 f.cjw- сек2.
Подсчитаем величины
4,3 • 10%
Неравенство (4.102) в новых обозначениях принимает вид
^?>W〃2-2九宀《О.
Отсюда для п получаем границы 几2V几 V〃i，где
勺 2 =九土 联%2 - ^ = 11,4 • 102 zb 102 ]/11,42 - 4,3,〃1 = 2260, n2 = 18,8.
Итак, диапазон передаточных чисел редуктора, удовлетворяющих условию устойчивости, довольно широк: 19 < я < 2260. В соответствии с формулой (4.102) наибольший запас устойчивости будет при п — nQ = 207. При этом значении п левая часть неравенства (4.102) достигает максимума.
Автоколебания гирорамы
В предыдущем параграфе были определены условия асимптотической устойчивости гирорамы. Естественно, эти условия гарантируют затухание переходных процессов, если начальные возмущения достаточно малы. В действительности система дифференциальных уравнений, описывающая возмущенное движение гиростабили-
затора, отличается от (4.88), в ней присутствуют нелинейные члены. Даже в том случае, когда в окрестности равновесного положения уравнения допускают линеаризацию, устойчивость их решения не отрицает возможности появления автоколебаний ——периодических режимов возмущенного движения гиростабилизатора. Это явление может наступить, например, при резком толчке внутреннего или внешнего кольца ГС или при достаточно больших начальных возмущениях других обоб-八
щенных координат.% < 机一*
В книге [27] весьма де
тально рассмотрено влия- 一一口一*口
ние нелинейностей, появ-尸
ляющихся в результате использования в цепи уси-
лите Л Я ОДНОЙ И ДВУХ Рис. 4.10. Релейная характеристика сиг- электронных ламп. Опре-нала датчика угла.
делены амплитуды и ча
стоты автоколебаний, а также исследована устойчивость периодических режимов. Различными авторами исследовались и другие виды нелинейностей, например, типа сухого трения, люфта в редукторе, релейной характеристики датчика угла. Для иллюстрации метода определения параметров автоколебаний (периода и амплитуды) рассмотрим случай нелинейности типа релейного сигнала датчика угла.
Вместо линейной зависимости (4.83), справедливой при съеме напряжения с потенциометрического датчика угла (рис. 4.9), рассмотрим закон изменения напряжения в виде
t/ = t/osign ₽.(4.103)
Таким образом, при р > 0 U=Uq и при р < 0 U= =——Uo. Такая характеристика (рис. 4.10) называется релейной. Напряжение U поступает на вход усилителя и преобразуется в выходное в соответствии с уравнением (4.84)
* +t/尸財。
и, следовательно, учитывая (4.103), TUX + Ui =々[Uosignp.
9 Я. Л. Лунц
Если ввести обозначение EU()=o, то для малых отклонений ГС от равновесного положения получим систему дифференциальных уравнений, аналогичную системе (4.88):
人& 一，8 + 瓦Q一Фш=0,廓+ "心+婦=0，
тQ(4.104)
TUi + t/i = asignp,' 丿
Z 霄+ 〃 + c血一Ui = 0・
В дальнейшем пренебрежем сопротивлениями в осях подвеса (匕《 = ftp = 0) и примем равной нулю постоянную времени усилителя (Г = 0).
Исключая из системы уравнений (4.104) последовательно Ui, a, i, получим одно дифференциальное уравнение относительно угла поворота гироблока вокруг оси прецессии
[р (Zp + г) (AqBp1 + Н2) + сФг^Вр2] В = —апЯФ sign р.
Здесь, как и выше, р — оператор дифференцирования. Поделив обе части уравнения на А^Вг и вспоминая обозначения
к = 乂，厂關=样，(4Л05) получим
[р (тр + I)(炉 + m2) + 乂們 в = —s sign р. (4.106)
В книге [27] построено точное периодическое решение системы (4.104) при &а=Ь^ = 0. Разумеется, оно может быть построено и для более частного случая, описываемого уравнением (4.106).
Применим с целью сокращения выкладок приближенный прием отыскания периодического решения уравнения (4.106), часто называемый методом гармонической линеаризации.
Первый член ряда Фурье периодической функции 6(/) можно представить в виде
B = bsin(of・ (4.107J
Величины b н з подлежат определению. Пренебрегая остальными членами ряда Фурье для р, найдем разложение функции sign В：
sign р = «! sin со/ + ^i cos(о/ + …(4.108)
Коэффициенты Фурье находим по формулам
л
的=曰 I signB • sincof df =；,
q = * sign § • cos st dt = 0.
Таким образом, имеем
. л 4 • 4 4b sin о/4Psc、
Sign В ==五 sm 成=——•(4.109)
Подставляя (4.109) в (4.106), получим
[р(W + I)(户 + m2) + xp2 + ^] p = 0.(4. ПО)
0)(加2 -①2) = 0, j—т(о2 (m2 —(о2) — х(о2 4" ^ = 0- j ( I。0)(加2 -①2) = 0, j—т(о2 (m2 —(о2) — х(о2 4" ^ = 0- j ( I。Остается подставить (4.107) в (4.1 Ю), выполнить дифференцирование и приравнять нулю коэффициенты при cos з/ и sin з/:
0)(加2 -①2) = 0, j
—т(о2 (m2 —(о2) — х(о2 4" ^ = 0- j ( I。
0)(加2 -①2) = 0, j
—т(о2 (m2 —(о2) — х(о2 4" ^ = 0- j ( I。
6=一上П维必jtxw2 пспН6=一上П维必jtxw2 пспН(4.И2)(4.И2)Следовательно, ^ = т, т. е. частота автоколебаний совпадает с частотой нутационных колебаний гиростабилизатора с отключенным стабилизирующим двигателем. Из второго уравнения (4.111) получим амплитуду автоколебаний
6=一上П维必jtxw2 пспН
6=一上П维必jtxw2 пспН
(4.И2)
(4.И2)
В заключение рассмотрим пример.
Пример. При передаточном числе я = 200 и Uo = 0,02 в и параметрах гиростабилизатора, указанных в предыдущем примере, определить частоту и период автоколебаний. Момент инерции гирокамеры относительно оси прецессии считать равным ее моменту инерции относительно оси стабилизации.
Подсчитаем приведенный момент инерции
4 = /° + 心)+ *)+ %九2 = за . ю4 + 0,7 • 4.104 =
=5,81 • 104 Г * см* сек2. Кроме того,
+ 1^ = 10 + 碎)=120，с麻.сек2.
Найдем частоту автоколебаний
=月^ = 83,3。。…
V А^В /5,8-104-120р5,8・1,2
что соответствует т = 13,2 гц. Применяя формулу (4.112), определим амплитуду автоколебаний
рад = 2,76'・рад = 2,76'・一 4・5,81・104•2•0023
рад = 2,76'・
рад = 2,76'・
"—эт • 0,415 • 22 • 104.2000,81'10
Двухосный гиростабилизатор
Существует много схем двухосных гиростабилизаторов. Некоторые из них предназначены для стабилизации площадки относительно двух осей. На рис. 4.11 изображена схема одного из таких стабилизаторов — двухги- роскогшой центральной гировертикали (ЦГВ). Двухосная платформа предназначена для измерения углов крена и тангажа самолета [33]. Ось наружного кольца АВ направлена вдоль линии полета, поворот самолета вокруг этой оси определяет его угол крена. Перпендикулярно к ней направлена ось вращения самой платформы (ось СО), которая при отсутствии крена совпадает с поперечной осью самолета Ог. Угол поворота самолета вокруг оси Oz называется углом тангажа. При идеальной работе ЦГВ платформа устанавливается в плоскости горизонта.
Если предположить, что платформа П строго следит за местным горизонтом, то датчики углов, установленные на осях АВ и CD, могут выдавать в систему управления и стабилизации самолета точную информацию об углах тангажа и крена. Разумеется, как и всякая двух-
осная платформа, ЦГВ имеет одну нестабилизирован- ную ось. На поворот самолета вокруг вертикальной оси Оу платформа не реагирует, и этот угол без дополнительных источников информации на борту самолета оп* ределить нельзя.
Рис. 4.11. Двухгироскопная центральная гировертикаль.
На рис. 4.11 изображена принципиальная схема ЦГВ. Поясним принцип работы прибора. На платформе П установлены два гироскопа с двумя степенями свободы с кинетическими моментами % н % и осями прецессии, параллельными осям платформы и наружного кольца. Разгрузочные (стабилизирующие) двигатели Д\ и Дг предназначены для компенсации вредных моментов, действующих относительно осей CD и АВ. Слежение платформы за горизонтом осуществляется при помощи системы коррекции. Она состоит из датчиков —маятников ЛЬ и 兩q (могут быть использованы
также электролитические уровни) и корректирующих двигателей Ki и ^2, которые прикладывают моменты к осям прецессии гироскопов. Поясним работу системы коррекции. Допустим, платформа повернулась относительно горизонтальной оси CD. Тогда электрический сигнал с маятника М2, пропорциональный его углу отклонения от вертикали, поступает на коррекционный двигатель К2, который развивает момент относительно оси прецессии гироскопа %. По закону прецессии кинетический момент "2 стремится повернуться в направлении приложенного момента. Появляется гироскопический момент, приложенный к подшипникам гирокамер^>i и стремящийся повернуть платформу вокруг оси CD. Платформа возвращается в горизонтальное положение. Аналогично осуществляется стабилизация вокруг оси наружного кольца АВ.
Система разгрузки действует по такому же принципу, как и в случае одноосного гиростабилизатора. При появлении моментов внешних сил, действующих на платформу (ими могут быть, например, моменты сил трения в осях стабилизации АВ и CD), один из гироскопов или сразу оба начинают прецессировать. Датчики углов (ими могут быть потенциометрические или индуктивные датчики) посылают сигналы на включение соответствующих разгрузочных двигателей Д\ или Д2- Моменты, развиваемые двигателями относительно осей стабилизации платформы, компенсируют возмущающие моменты, приложенные к платформе.
Мы здесь не останавливаемся на некоторых деталях, связанных с преобразованием электрических сигналов, посылаемых датчиками углов, на способе ускоренного приведения к горизонту и т. п. Конструктивные особенности ЦГВ и принцип ее действия достаточно подробно изложены в литературе [24], [33].
Перейдем к составлению уравнений возмущенного движения ЦГВ относительно инерциальной системы координат. Положение платформы определим относительно инерциальной системы координат 0自刀已.Ось 。自 (рис. 4.12, а) направим по оси АВ (рис. 4.11) наружного кольца. Поворот наружного кольца относительно оси О自 определен углом а. Угловая скорость а^° направлена по оси наружного кольца. С наружным кольцом
связана система координат 0%о学()2о・ Ее ось О%。 совпадает с осью вращения платформы CD (рис. 4.11). Угол поворота платформы относительно наружного кольца обозначим через р (рис. 4.12,6). С платформой связана система координат Oxyz. Ось Oz направлена по оси вращения платформы, ось Ох при р = 0 совпадает
Рис. 4.12, Системы координат, связанные: а) с наружйым кольцом, 6) с платформой.
с осью О&. Угловая скорость поворота платформы относительно кольца 好 направлена по оси вращения платформы Oz. Таким образом, абсолютная угловая скорость платформы в соответствии с теоремой о сложении вращений [том I, § 14.3] равна
8 =浦О+ 既. (4.113)
Проекции ее на оси Oxyz, связанные с платформой, имеют вид
(0^ = a cos Р， со^ = —dsinP， со? = 8，(4.114)
Перейдем к определению угловых скоростей гироскопов. На рис. 4.13 изображены гироскопы Я2 и %, установленные на платформе. Они повернуты вокруг своих осей прецессии на углы 0 0 t. Соответствующие относительные угловые скорости вращения кожухов гироскопов равны а г0 и t%°. Принимая во внимание формулу (4.113) для абсолютной угловой скорости платформы,
легко получить абсолютные угловые скорости кожухов гироскопов
®1 = а?0 + 舐 + тх°, «2 = Qf° + Bz° + 6z°・ (4.115)
Переходя к проекциям на собственные оси Oi%iyi?i (рис. 4.13, б) и。2%2y2%2 (рис. 4.13, а), получим
<°i% = s% cos а + со^ sin а, a)iy = co^cos о — co^sina, ®z =必 + &<°i% = s% cos а + со^ sin а, a)iy = co^cos о — co^sina, ®z =必 + &&2X = S% + К (02^ = 0)^ COST + (OzSint, co22 = (oncost — со? sin t.&2X = S% + К (02^ = 0)^ COST + (OzSint, co22 = (oncost — со? sin t.(4.116)(4.116)
<°i% = s% cos а + со^ sin а, a)iy = co^cos о — co^sina, ®z =必 + &
<°i% = s% cos а + со^ sin а, a)iy = co^cos о — co^sina, ®z =必 + &
&2X = S% + К (02^ = 0)^ COST + (OzSint, co22 = (oncost — со? sin t.
&2X = S% + К (02^ = 0)^ COST + (OzSint, co22 = (oncost — со? sin t.
(4.116)
(4.116)
Угловые скорости роторов отличаются от угловых скоростей кожухов ТОЛЬКО составляющими ПО ОСЯМ О\У[ и 02y2
Qlp =晒"一@1， Q2y =吗》+ @2・ (4.117)
В невозмущенном состоянии все системы координат, введенные выше, имеют оси, параллельные осям инерциальной системы 0自1]匕.
学6)学6)Рис. 4.13. К определению угловых скоростей гироскопов.Рис. 4.13. К определению угловых скоростей гироскопов.
学6)
学6)
Рис. 4.13. К определению угловых скоростей гироскопов.
Рис. 4.13. К определению угловых скоростей гироскопов.
Будем для простоты полагать, что центр масс всего гиростабилизатора совпадает с точкой пересечения осей подвеса (осей стабилизации). Это упрощение позволит избежать вычисления кинетической энергии поступательного движения всей системы вместе с центром масс (теорема Кенига).
Кинетическую энергию гиростабилизатора, полагая, что все связанные с телами оси систем координат
являются для них главными, можно представить в виде 2T = 4&2 + 4 再 + 线州 +02 或 +
+ 4齊力 + B0^y + co^z + 4工磯* + 3 孑^ + Сам +
+ ^ + Ca)t + ^l + ^2 +
+ B(^y^^^B^2y + ^. (4.118)
Здесь через Л, В, С с различными индексами обозначены приведенные моменты инерции кольца, платформы, кожухов и роторов относительно связанных с этими телами осей Охй 0%, Oq. Так, например,
4з = 4 + 4я2*
где Ak — момент инерции кольца относительно оси вращения АВ (рис. 4.11), ЛЯ2——момент инерции якоря двигателя Дг,几i — передаточное число редуктора двигателя. Аналогично выражается С2. Следует только заметить, что в Л2 и Сг входят еще приведенные массы гироскопов. Предполагая, что гироскопы идентичны, а их центры масс лежат на оси Оу и равноудалены от оси CQ, получим
4 = 4 + 2Мр2, С2 = Сп^2М^ + Сяп1
где Ап и Сп — моменты инерции собственно платформы, М — масса каждого гироскопа, р — расстояние его центра масс до общего центра масс системы.
Предполагая, что обобщенные силы не зависят от углов собственного вращения роторов q)i и(р2 и, следовательно, эти координаты являются циклическими, составим функцию Рауса (§ 4.1).
Из циклических интегралов следует
^ = — В^у — ф^^Н^ ^- = В (со2г/ + Ф2) ^Н2,
①1 =万十8的①2 =万一S2寸
(4.119)
Подставляя (4.119) в выражение для функции Рауса
R = 7 _ [% (鲁 + © J + "2 (誓一叫)]
и отбрасывая несущественные постоянные, получим
R = /?2+Ri・(4.120)
Здесь /?2 — квадратичная форма скоростей, содержащая все члены выражения кинетической энергии (4.118), за исключением двух последних,
R ="2畋/一 "向夕(4.121)
Используя формулы (4.118), (4.120), (4.121) и выражения для угловых скоростей (4.114), (4.116), найдем функцию Рауса
2R = d2 {4 + cos2 р[Л2 + (4 + 4) cos2 а +
+ 斗 sin2 а + Д + Лт] + sin2 р [殳 + (力 + 4) sin2 а +
+ Ba cos2 о + 凡 cos21 + (С + G) sin2 т]} +
+ В? [。2 + С。+ С + В sin2T + (С + CT)cos2 т] 一
"~ а2 sin 2р sin 2。(Л + Ла 一 Ва) +
+ dp sinPsin 2т (С + Q —筑)+ (С + Q) а2 +
+ М + 4) т2 + 2ра(С + Q) + 2ат(Л + () cos р +
+ 2”2 (В sin т — а sin р cos т) + 2Hg sin 偉 + а). (4.122)
Если теперь в соответствии с общей теорией, изложенной в § 4.2, перейти к составлению уравнений возмущенного движения гиростабилизатора около положения равновесия, то в (4.122) необходимо оставить лишь члены до второго порядка малости включительно. Полагая а, р, В， сг а, т, т малыми первого порядка, а также H\ = fi2=H, получим
2R = а巾2 + 6伊 + e (a2 + 2邮)+
+ d«2 + 2ат) + 2"(舐 + &。)， (4.123)
где введены обозначения
а = 2Л + 4 + 4 + 4j + 4,
(4.124)(4.124)6 = 2С + С2 + Са + Ст, с = С + Q, d = 4 + 4・
(4.124)
(4.124)
Уравнения Рауса, учитывая выражение (4.123), принимают вид
诚+ / + "6 = Qa，c(3 + B) — "& = Qb [ f (4.125) fop + ca+Z/t^Qp, d(r+a)-H^ = Qx. J
Обобщенные силы в правых частях этих уравнений подлежат определению. Прежде всего введем моменты, приложенные со стороны разгрузочных двигателей. В отличие от ранее рассмотренной для одноосной рамы цепочки передачи сигнала от датчика угла к разгрузочному двигателю мы здесь прибегнем к упрощающему предположению, а именно, будем считать, что момент разгрузочного двигателя пропорционален углу поворота соответствующего гироскопа вокруг своей оси прецессии. Подобное предположение справедливо, если пренебречь постоянными времени усилителя в цепи якоря электродвигателя.
Таким образом, имеем
Здесь Sa и 斗一крутизны характеристик разгрузочных двигателей. Помимо моментов от разгрузочных двигателей, действуют еще моменты сил сопротивления
/Па == — %&，加8 = 一 ％В，
где га и гр — коэффициенты вязкого трения.
Следует отметить, что подобного рода моменты могут развивать и разгрузочные двигатели, если в их управляющие обмотки направлять электрические сигналы, пропорциональные углрвым скоростям вращения а и р-
Обобщенные силы Qa и Qb соответственно равны
Qa = — s* — r& Qb = — s/ — %B・(4・126)
Перейдем к определению обобщенных сил Q。 и Q,. Здесь мы также используем упрощающее предположение. Корректирующий момент, приложенный к оси гироблока, формируется по углу отклонения соответствующего маятника от средней точки потенциометрического моста, поворачивающегося вместе с платформой. Будем
предполагать, что каждый из плоских маятников Mi и М2 (рис. 4.11) мгновенно устанавливается в вертикальной плоскости. Приложенный к оси прецессии момент полагаем пропорциональным углу отклонения платформы от вертикали в соответствующей плоскости. Тогда обобщенные силы для углов а и т, если еще учесть вязкое трение в осях прецессии, имеют вид
Q。=备。—Pod, Qp = AB — pZ・ (4.127)
Легко проверить, что при таких знаках моментов разгрузочные двигатели будут работать на уменьшение углов рассогласования с вертикалью места. Подставляя (4.126) и (4.127) в уравнения движения (4.125), получим систему линеаризованных уравнений, описывающую малые колебания гироплатформы относительно равновесного положения:
(4.128)(4.128)〃宓 + dE + Нд + raa + sao = О, с (G + В) — "& — /г。。+ раа = О,
(4.128)
(4.128)
бВ + cG + Hi + 厂節 + s/ = °，dR + 宓)一"в 一 々力 + pH = 0.
Исследование устойчивости двухосного гиростабилизатора
Определим сначала характер движения платформы при отключенных двигателях разгрузки и отсутствии маятниковой коррекции. Пренебрежем также вязким трением в осях прецессии и стабилизации. Тогда в уравнениях (4.128) следует положить равными нулю коэффициенты 厂⑪ гр，力о，^т, ро, рт, Sa， s» Уравнения принимают вид
a& + df+〃6 = 0, c(G+B)-"(i = O, 6р + са+Ят = 0, d(E+0-"B = O・ (4・129)
После исключения а и т из этих уравнений получим
"話力=о，8 + тг爲…（4・1зо）
Введем обозначенияНВведем обозначенияНННMe (а — d)儿dpd (6 — с)Me (а — d)儿dpd (6 — с)孔2・孔2・
Введем обозначенияН
Введем обозначенияН
Н
Н
Me (а — d)儿dpd (6 — с)
Me (а — d)儿dpd (6 — с)
孔2・
孔2・
Заметим, что в соответствии с принятыми обозначениями (4.124) имеем
а — d = Д 4* ^2 4~ -^з 4~ Аа, Ь — с = С + С2 + Ст.
Эти величины представляют собой суммы моментов инерции всех тел, которые в равновесном положении платформы способны вращаться вокруг осей 。无 и Oz (рис. 4.11) соответственно. Обозначим поэтому 〃 一 d= =厶，b — C=/z・
Из уравнений (4.130) следует, что при малых возмущениях гиростабилизатора возникают собственные гармонические колебания платформы двух различных частот. Относительно оси Ох колебания происходят с частотой
а относительно оси Oz с частотой
Н
Нутационные колебания гироскопов вокруг осей прецессии происходят с теми же двумя частотами 孔1 и 几2・ Для определения формы колебаний достаточно подставить решения уравнений (4.130) во вторую группу уравнений (4.129) и найти out:
方t
а = J 偿 a — B)df, t = J 佇 6 — &) dt・оо
Следует отметить, что благодаря обязательно присутствующим демпфирующим моментам в осях стабилизации и прецессии нутационные колебания сравнительно быстро затухают.
Перейдем к исследованию устойчивости платформы [12]. Преобразуем сначала систему уравнений (4.128). Почленно вычитая из первого уравнения четвертое
и из второго — третье, придем к системе уравнений
(4.131)(4.131)(а — d) & + "(6 + 0) + %心 + sr + «В -pTt = 0, (b — c)R + "(i; + &) + 厂笛 + s/ + koa — pa = 0, c (d + 6) _ "& — ^aa + Pa^ = o, d R + &) - яр -屬в + рМ = 0.
(4.131)
(4.131)
Введем некоторые упрощающие предположения. Прежде всего ограничимся сначала исследованием устойчивости при отключенных каналах коррекции, т. е. положим 尼0=力i=0. Кроме того, будем считать, что отсутствует трение по осям прецессии гироблоков (ра=рт = О) и гироблоки идентичны (c=d), одинаковы коэффициенты вязкого трения по осям стабилизации (га=г^) и крутизны моментов разгрузочных двигателей (sa = s^). Тогда характеристический- определитель системы уравнений (4.131) принимает вид
乙九2 +办
九
九+ S
0
九
/л2 + 办
0
九+ s
D （九）=
一九
"九2
"炉
0
・(4.132)
р^
一九
0
"九2
Здесь введены обозначения
Г Н号，s =晉，p=% % =方，厶=夕.(4.133)
Характеристическое уравнение получим, раскрывая определитель (4.132):
九2 口丄/歆6 + р2"% + Q V + P (乙 + "2 + 乙)V +
+ Р (乙S + 2尸 + izs)九3 + (1 + 2psr — p2s2)九 2 +
+ 2Xs + s2] = 0. (4.134)
Уравнение имеет два нулевых корня. Для устойчивости решений линейной системы (4.131) необходимо, чтобы нулевым корням соответствовали простые элементарные делители характеристической матрицы. Если 九=0 подставить в матрицу с элементами (4.132), то легко видеть, что ее ранг окажется равным двум. Отсюда еле-
дует, что 九 является простым элементарным делителем [4].
Теперь остается удовлетворить условиям устойчивости для остальных шести корней характеристического уравнения (4.134).
Введем следующие обозначения:
Напомним, что частоты собственных колебаний платформы ni и 几2 определены были ранее:
Н 1 1
Характеристическое уравнение принимает вид
之6十/1+4^5+f—+—+^2И24+
+(2崂+学/三/衽+
+ (1+2"味/窑一动22 + 2/号2 +脸=。
ИЛИ
/伫+部心+部+9薦田/3+ 1)2-4 +
1+孙中昂+1+孙中昂++ 2卜%
1+孙中昂+
1+孙中昂+
+ /¥隐+ 部22+叫=0. (4.136)
Для определения границы области устойчивости воспользуемся методом D-разбиения [19]. Для того чтобы выделить область устойчивости в плоскости параметров х, у、введенных в соответствии с формулами (4.135),
положим в (4.136) z=iu и приравняем нулю вещественную и мнимую части уравнения (4.136)
\ 几1八 П2 /
一y 偿(1/可：^卜0,(4.137)
«(Л/^-,)[Й + Йм2-2] = 0-
Уравнения (4.137) определяют кривую %=%(〃), у = =у (и) в плоскости параметров х, у. Параметр и изменяется от ——оо до + оо. Однако достаточно рассмотреть
четных степеней и. Значению 〃 = 0 отвечает, как это
видно из уравнений (4.137), граница у=0, т. е. ось абсцисс (рис. 4.14). При 〃先0 имеем две ветви кривой (4.137).
а)歩=-^之，
«1 +«2
2几:(冠一喲2
"1(n? + n2)[(П1 + 局一2"敢 ^n\n2 )2 + 2Хm]m2 (后 + 喲]
Эта кривая расположена ниже оси абсцисс и при % ~>оо асимптотически приближается к оси Ох
(рис. 4.14). б)
Эта кривая пересекает ось абсцисс (рис. 4.14) в двух точках 修=(*)" и %2 = (*)" • Положим для определенности, что 色 > %i. Заметим, что^ х{ = х~3. При х~> оо она асимптотически приближается к прямой У=^-
Таким образом, в плоскости (х, у) образовался ряд областей с границами у = 0, У\=У\(х), у2=у2(х). Нас будут интересовать те из них, для которых у》0, так как в соответствии с определением этой величины она всегда положительна. Для выяснения, в какой из этих областей имеет место устойчивость, обратимся к условиям Гурвица.
Для уравнения шестой степени
〃0之6 + %25 + а^ + а^ + “«а -^ a^z -{- aQ = Q
условие для второго определителя имеет вид
%«0Оз &%«0Оз &>0,a1"2一 "0a3>0・>0,a1"2一 "0a3>0・
%«0
Оз &
%«0
Оз &
>0,a1"2一 "0a3>0・
>0,a1"2一 "0a3>0・
Используя значения коэффициентов из (4.136), получим для у = 0
+ 4)>/^ + ^/^(4.138)
Так как x2>Xj или х2>х~3, то х2> 1, х{<1. Отсюда следует, что
%] V %о V %2・
Как видно из рис. 4.14, неравенство х > х0 не выполняется в некоторых точках областей II и III. Таким образом, остается проверить устойчивость в области /, где
неравенство (4.138) выполняется. Полагая оо,
ГурвицаГурвицаАз =Аз =а{ а° Оa3 出а1&a4仰а{ а° Оa3 出а1&a4仰>0,>0,炉黑/^ +/目+。5)>0,炉黑/^ +/目+。5)>0,у~> 0, получим для третьего определителя
Гурвица
Гурвица
Аз =
Аз =
а{ а° О
a3 出а1
&a4仰
а{ а° О
a3 出а1
&a4仰
>0,
>0,
炉黑/^ +/目+。5)>0,
炉黑/^ +/目+。5)>0,
где О(у)—0 вместе с у. Таким образом, при достаточно больших х неравенство выполняется. При тех же условиях можно показать, что последующие определители Гурвица выражаются через Д3:
А4 = а4Д3 [ 1 + Oi (y)]f
А5 = a5a厶3 [ 1 +。2(y)]，
А6 =a6a5А3 [1 +。3(y)]，
и, следовательно они при достаточно больших х и малых у также положительны. Итак, в области / система устойчива *).
Заметим, что из рис. 4.14 следует, что устойчивость обеспечивается в области
х>х2,0<у<у2М
или, переходя к исходным параметрам в соответствии с (4.133) и (4.135),
%> 务 Sa，—(4.139)
Любопытно, что первое из условий устойчивости (4.139) совпадает с условием устойчивости одноосной рамы (4.95), если в последнем положить Ь^ = с=О1 что отвечает отсутствию сопротивления в оси прецессии и пропорциональному закону управления разгрузочным двигателем по углу прецессии.
Представляет интерес исследование устойчивости ЦГВ при равномерном вращении основания вокруг вертикали. При вираже самолета прибор находится в усло-
виях, близких к такому вращению. Решим эту задачу в рамках прецессионной теории. В такой постановке вместо полной функции Рауса R=R? + Ri при составлении уравнений движения используется только ее линейная часть Ri. Напомним, что в соответствии с формулой (4.121)
R1 = "2 ① 2g - "1 ① 1勿
где /Л и Н2 — кинетические моменты гироскопов (в дальнейшем мы их будем считать одинаковыми Hi = H2 = H),(oiy и (О2у — проекции абсолютной угловой скорости гироблоков на оси, коллинеарные кинетическим моментам. Эти оси изображены на рис. 4.13. Согласно формулам (4.116)
①i〃 =①в cos а —①％ sin a, 32y = s〃 cos t + ①之 sin t.
Напомним, что ①①，①沙，(^ ——проекции абсолютной угловой скорости платформы на связанные с ней оси. Если считать, что ось наружного кольца вращается в горизонтальной плоскости с угловой скоростью з, то вектор угловой скорости переносного движения ❿^二①”。 направлен по вертикали. С помощью рис. 4.12 легко находятся проекции на оси системы координат Oxyz
со； =(DCosasinP，(о^ = со cos a cosР，(о* = —cosina. (4.140)
Складывая угловую скорость переносного движения с угловой скоростью относительного движения в соответствии с формулами (4.114), получаем
(0^ = 0)cos asinp + a cosP， co^ =(o cos a cosp — dsinp,(4.141)
coz = —(o sin a + p.
Уравнения движения в форме Рауса имеют вид
4■(瑞■卜器(4・142)
где qi — обобщенные координаты и Q% — обобщенные силы. Обобщенные силы имеют тот же вид, что и при составлении уравнений (4.128).
Для составления линеаризованных уравнений движения разложим функцию Ri в ряд по малым величинам а, 6, а, В, о, т：
=Н (а)у cos t + o)z sin т —(0〃 cos а + tt>x sin а)=
=〃 (一co 击 + 呪一соат + со 宁 +(0邙 + аа + …).
более высокого поряд-более высокого поряд-(4.143)
более высокого поряд-
более высокого поряд-
Многоточием обозначены члены ка. Из формулы (4.143) следует
GRi rj GRiи dR、 rj
—ч~. = “0, —ч— = — (0/7 T,= со"。，
да ' ОаG0
符=°，-^^^^^^ + ^ + ^ 票=°，
■^ = 〃【в — 8 (а + 喇.
Теперь в соответствии с (4.142) и принимая во внимание формулы (4.126) и (4.127) для обобщенных сил, получим
(4.144)(4.144)от + сот -|—^ й -|—^ о = 0, & + со (о + 6) + "^ а —^ 6 = 0,
(4.144)
(4.144)
т —①0r Ч—^~R H—g т = О, В — со(т + а) + -^- Р —芻 t = 0.
Положим, что коэффициенты вязкого трения по двум осям стабилизации и двум осям прецессии одинаковы: га = г^ ри=рт, аналогично пусть sa=s^ k0=k^ т. е. крутизны характеристик моментов разгрузки и коррекции одинаковы по каждому из двух каналов. Введем обозначения
'а ,3Ра Рт
方=万=尸，万=方=p，
Sa — S^ ^ С 坛一备 厶万=万=S，方=方=总
Тогда характеристический определитель системы уравнений (4.144) имеет вид
гЛ
0
s +九
(0
0
从
-G)
s +%
D仇）=
九+々
CO
co — рЛ
0
(d
-仇+左）
0
0) + рЛ
или, в развернутом виде,
D 仇)=a0V + а仇з + &R + %九 + 旬(4.145)
где коэффициенты а» находятся после разложения определителя четвертого порядка:
«о = (1 + “У，® = 2 优 + s) (1 + гр),
的=(s + 々)2 + 2rp 3s — со2) + 2ks + со?(2 —产)，(4.146)
的=2 伍+ s)伍s + 哨，a4 = (^2+k2)(^ + s2)..
Условия Гурвица, определяющие критерии устойчивости системы для уравнения четвертой степени (4.145), имеют вид [16]
出>0, %>0,a4>0, 4a2% 一旬吗一a妆4>°・
Первые три неравенства всегда выполняются. Последнее неравенство после подстановки значений коэффициентов из (4.146) можно представить так:
[(s + 々У + 2гр 伍s - со2) + 2ks + со?(2 — r^ (ks + co2)-
一(1 + rp) (ks + 0)2)2一(1 + гр)(国 +胪)®2+S2)> 0. (4.147)
Исследование устойчивости по угловой скорости вращения основания (о сводится к решению квадратного неравенства
Г (г + 4р) 0)4 — [(4 —产)ks — rp (力 + s)2] G)2 —々S 3 + S)2 < 0.
Прежде всего ясно, что при (о2=О неравенство выполняется. Отсюда следует, что угловая скорость вращения должна быть ограничена сверху со2 < g)q. Здесь 畸一
Положительный корень соответствующего квадратного уравнения
= (4 —产)々s — rp (々 + s)2 .
― 2r (г + 4р) Г
丄M[(4 一产)hs - "优+ s)2]2 + 4Ms (Г+ 4p)优不于 亿1
2r(r + 4p)*(4 ・ 148)
Любопытно, что при отсутствии трения по осям прецессии (р = 0) ограничение по угловой скорости все же остается. При отсутствии же трения по осям стабилизации (г=0) платформа оказывается устойчивой при любой угловой скорости (зо=8). Формула (4.148) значительно упрощается, если в неравенстве (4.147) сделать естественное допущение
产《2
и положить
2 一产 к 2.
Тогда, как легко видеть, формула (4.148) примет вид
9 kS% — "гр *
В этом случае критерий устойчивости совпадает с найденным ранее Я. Н. Ройтенбергом [27] условием устойчивости для четырехгироскопного гирогоризонта:
со2гр < ks.
Для гирогоризонта ограничения по угловой скорости вращения основания исчезают, как только 尸=0 или р —0. Последнее неравенство в исходных параметрах принимает вид
①^аРо V ^а^а*(4.149)
Пример. Определить критическую угловую скорость виража самолета при следующих параметрах ЦГЁ:
га = гр == 2 • 106 Г • см • сек, р。= рт == 50 Г • сл/ • сек, 々о =々т = 2,2 • 104 Г • см, Sa = S0 = 104 Г • см.
Используя критерий (4.149), получим
(02.2.106.50V2,2.108,嗡=2,2,铀=1,48嘿0 84,4鬻.
4.9. Гироскопические вертикали. Условия невозмущаемости гироскопической рамы
В ряде гироскопических устройств, используемых главным образом в инерциальных навигационных системах, требуется обеспечить невозмущаемость вертикали при движении объекта вблизи поверхности Земли. Система инерциальной навигации предназначена для автономного определения местоположения объекта и управления его движением. Не останавливаясь подробно на характеристике этих систем, ограничимся перечислением их основных элементов. На стабилизированной в горизонте площадке устанавливаются измерители ускорений ——акселерометры или интеграторы линейных ускорений. В качестве площадки используется обычно гиростабилизированная платформа (например, ЦГВ), сохраняющая горизонтальное положение и неизменную в азимуте ориентацию.
Два акселерометра измеряют северную (⑪^) и восточную (We) составляющие ускорения объекта. Счетнорешающие устройства интегрируют эти составляющие и исключают переносную скорость вращения Земли. Зная vN и vEi можно найти курс Л
tgK = F・
Напомним, что К — угол, составляемый скоростью объекта с направлением на север. Широта места определяется путем интегрирования соотношения ф = vn/R
vNdt.vNdt.Ф =Ф =
vNdt.
vNdt.
Ф =
Ф =
Затем из уравнения
—Rcosqp
находится долгота места
Углы поворота объекта измеряются относительно ГСП при помощи датчиков, установленных на осях подвеса платформы. Таким образом, система включает в себя следующие основные элементы: горизонтальную площадку, акселерометры, интеграторы, счетно-решающие устройства.
Следует иметь в виду, что точность измерений местоположения объекта в значительной мере зависит от точности показаний акселерометров. Поскольку последние устанавливаются на горизонтальной площадке, то их работа существенно зависит от того, насколько точно известна вертикаль места.
Меньше всего подходит для определения вертикали физический маятник. При движении его точки подвеса вместе с объектом он неизбежно будет отклоняться от вертикали. Установленный в качестве корректора на ГСП, он также будет уводить платформу из плоскости горизонта.
Создание точных невозмущаемых построителей вертикали ——задача технически весьма сложная. Известны методы построения механической (геометрической), аналитической и гироскопической вертикали [26].
С некоторыми из способов построения гироскопической вертикали мы уже знакомы. В главе 3 рассматривалась теория гиромаятника и гирогоризонткомпаса. Были приведены условия невозмущаемости этих построителей вертикалей. Указывались трудности, возникающие при практическом удовлетворении условиям невозмущаемости. В § 4.7 изучался двухосный гиростабилизатор типа ЦГВ (рис. 4.11), который также служит для построения вертикали. Возможны схемы, основанные на применении астатического гироскопа.
На рис. 4.15 изображены принципиальные схемы двух таких вертикалей. Кинетический момент в обоих случаях перпендикулярен плоскости чертежа и направлен по вертикали. На рис. 4.15, а изображена гировертикаль с маятниковой коррекцией. Датчики сигналов ДС1 и 〃&, выполненные, например, в виде физических маятников, реагируют на поворот наружного кольца вокруг оси Оу и внутреннего вокруг оси Ох. Вырабатываемые ими сигналы поступают на датчики моментов 〃i и %. Соответствующие корректирующие моменты,
развиваемые этими датчиками, заставляют прецессировать гироскоп в направлении, обратном рассогласованиям. Ось фигуры возвращается к вертикали.
На схеме 4.15, б изображена гировертикаль с интегральной коррекцией. Чувствительными элементами здесь служат акселерометры 41 и Д2- Они укреплены на кожухе гироскопа и реагируют на кажущееся ускорение объекта wk = w — g.
Рис. 4.15. Гировертикали: а) с маятниковой коррекцией, б) с интегральной коррекцией.
Сигналы, пропорциональные составляющим кажущегося ускорения по осям Ох и Оу, интегрируются в интеграторах 〃i н 〃2 H вводите^ в датчики моментов Д1 и %. Последние развивают корректирующие моменты, заставляющие гироскоп прецессировать в направлении, обратном рассогласованию с вертикалью. Последняя схема обладает одним важным достоинством. На ней можно практически реализовать условие невозмущаемо- сти. При соответствующем подборе крутизны характеристики датчиков моментов, т. е. коэффициента пропорциональности между корректирующими моментами и кажущейся скоростью, вертикаль сохраняется даже при ускоренном движении объекта.
Покажем это свойство, исходя из элементарной (прецессионной) теории гироскопа. Очевидно, что если кинетический момент направлен вверх, то
М% = Нз 屮 Му= — На)х9 (4.150) где co% и ①沙一проекции абсолютной угловой скорости гирокамеры на оси Ох и Оу. Предположим теперь, что ось Ох направлена на восток, а ось Оу — на север.
Проекции абсолютной скорости объекта обозначим через Vx и Vy. Тогда, учитывая, что объект движется по сфере радиуса R, получим
乙Vx
s% = B 一天, ^ = a + -^--(4.151)
С другой стороны, корректирующие моменты пропорциональны кажущимся скоростям
fi
琏=J (燙一ga)阳 吟=J (Vy — gp) dt оо
и должны быть направлены так, чтобы рассогласования аир (при Vx= Vy=0) ликвидировались, т. е.
必=卩J亿一ga)因 此=-卩J (匕一gP)df. (4.152) оо
Подставляя (4.151) и (4.152) в (4.150), получим
"(&+ *)=卩 J("l ga)丸о
〃(B — ^)=卩 J(% — gB)成о
или после дифференцирования
Отсюда следует, что условием невозмущаемости инерциальной гировертикали является равенство нулю правых частей, т. е.
若=靑.(4.153)
Тогда период свободных колебаний прибора будет равен
Т = 2л/~ =2冗/普=84,4 мин.
Мы опять получили период М. Шулера.
Во всех рассмотренных нами случаях построения вертикали (гирогоризонткомпас, гиромаятник, центральная гировертикаль, гировертикаль с маятниковой коррекцией, инерциальная гировертикаль) это направление фиксировалось некоторым телом ——будем его называть несущим телом. Возникает вопрос: нельзя ли подойти к выводу критерия невозмущаемости с некоторой общей точки зрения? Это действительно можно сделать для одного класса механических систем, которые подобно гирогоризонткомпасу состоят из несущего тела, подвешенного в жидкости без трения, и носимых тел, связанных только друг с другом и несущим телом.
Условия невозмущаемости, полученные в 1956 году А. Ю. Ишлинским для гирогоризонткомпаса, обобщены Д. М. Климовым ) и Г. Д. Блюминым на эти более общие механические системы. При этом указан точный критерий невозмущаемости.
Предположим, что механическая система состоит из некоторого несущего тела А и носимых тел 4小 Например, в случае гирогоризонткомпаса (§ 3.6) несущим телом является гиросфера, а носимыми телами являются роторы и кожухи гироскопов, а также звенья антипараллелограмма. Далее, предполагаем, что, кроме сил тяготения, никакие другие внешние силы не создают момента относительно некоторой точки О несущего тела. Эту точку будем называть точкой подвеса. Равнодействующая сил тяготения направлена к центру Земли и приложена в центре тяжести всей системы. Пусть на несущем теле зафиксирована некоторая прямая, проходящая через точку подвеса. Требуется найти условия, при выполнении которых эта прямая при любом движении точки подвеса совпадает с геоцентрической вертикалью, т. е. с направлением на центр Земли. Введем три системы координат (рис. 4.16): 0*^*1]*^* — инерциальную с началом в центре Земли (ее можно считать инерциальной, если пренебречь ускорением центра Земли относительно «неподвижных» звезд); 0自吨 ——с началом в точке подвеса О и осями, параллельными инерциальным; Oxyz ——с началом в О и жестко связанную
с несущим телом. Ось Oz последней системы необходимо совместить с геоцентрической вертикалью. Найдем условия невозмущаемости оси Oz, Применим теорему об изменении момента количеств движения системы в относительном движении по отношению к поступательно движущейся системе координат О^пС с началом в точке подвеса. Воспользуемся формулой (1.39), в которой следует положить угловую скорость системы координат, равной нулю. Тогда получим
醬=麻一欣 X wo, (4.154)
где Ко момент количеств движения системы относительно точки подвеса в системе координат 。己唸 Z — вектор, имеющий начало в О и конец в центре тяжести С(1 = ОС), w0 — ускорение точки подвеса,
Mq ——главный момент внешних сил, т — масса системы. При помощи тождества
4(zXVo) = ^XVo + ZXwo
уравнение (4.154) можно привести к виду
^ (Ко + Z 义 mV^ =醵 + 令 X 加匕.(4.155)
Примем теперь, что ось On, связанная с несущим телом, направлена по ОС. Это предположение означает, что далее рассматриваются только такие механические системы, у которых центр тяжести либо неподвижен от* носительно несущего тела, либо перемещается по прямой, неподвижной относительно тела. К ним относятся гирорамы, представляющие собой сферическую оболочку, подвешенную в жидкости с размещенными внутри нее гироскопами (например, гирогоризонткомпас).
Пусть точка О движется по земной сфере, центр тяжести С считаем неподвижным относительно несущего тела. Найдем необходимые условия невозмущаемости
гирорамы. Если ось Oz направлена по радиусу Земли, то
где R радиус-вектор точки подвеса в системе О*^*т|*^*, k — коэффициент пропорциональности. Отсюда следует
—=—^ ——= — k — X — == О
dt 化 dt，R dt 人 dt
Кроме того, Ло = 0, так как равнодействующая сил тяготения направлена по ОС. Теперь уравнение (4.155) примет вид
4 (Ko + ZX叫) = 0, откуда
Ко + Z X тУ0 = const = а.(4.156)
Заметим попутно, что к такому же результату можно прийти, предполагая, что центр тяжести перемещается в соответствии с законом I———kR и точка подвеса движется произвольным образом (не обязательно по поверхности сферы).
При соответствующем выборе начальной ориентации гирорамы и расположения гироскопов можно удовлетворить условию а=0, и тогда в любой момент времени
Ко + ?Х/пУо = О.(4.157)
Имея в виду, что 1= —/z°, Pz=0, получим в проекциях на оси системы координат Oxyz три условия не- возмущаемости:
Kx + mlVy = 01 К» —加乙=0, Kz = 0・ (4.158)
При движении по поверхности Земли Vx=^yR^ Vy= =—SxR. Отсюда можно получить различные частные случаи условий невозмущаемости.
Для физического маятника, у которого оси %, у, z — главные оси инерции, имеем
I— mR1sx = 0, I у(Иу — mRlasy = 0,厶必二。.
Отсюда
I х = I у = mlR, Iz == 0,
е. маятник должен иметь период колебаний
Г = 2冗/鳥=2л]/у =84,4 мин.
Для гирогоризонткомпаса, если скорость % направлена по оси Ох, имеем
^ = 0, Ку = т 亿，Kz = 0.(4.159)
При этом Vx= V0=o)y/?, 丿u=co%R = 0. Поэтому, если оси х, у、z ——главные для несущего тела и его моменты инерции /х, /у, /2, а кинетические моменты гироскопов имеют проекции HXi Ну, Hz, то из (4.159) получим
Н х == 0, I Ay + Н у = mlR(dy, Izf^z + //г = 0. (4.160) Этим условиям можно удовлетворить, имея два гироскопа с переменными кинетическими моментами:
Hy = (fnlR — Ijsy, —
Первое условие совпадает с найденным в § 3.6 приближенным условием, если пренебречь величиной /v по сравнению с mlR. Второе условие в рамках прецессионной теории гирогоризонткомпаса не могло быть получено.
ЛИТЕРАТУРА
Арнольд Р. Н., М о н д е р Л. М., Гиродинамика и ее техническое применение. «Машиностроение», Москва, 1964.
Булгаков Б. В., Прикладная теория гироскопов. Гостехиздат, Москва, 1955.
Б у т е н и н Н. В., Л у н ц Я. Л., М е р к и н Д. Р., Теоретическая механика, т. 1—2. «Наука», Москва, 1970—1971.
Гант махер Ф. Р., Теория матриц. «Наука», Москва, 1966.
Граммель Р., Гироскоп, его теория и применение, перев. с нем., т. I и II. ИЛ, Москва, 1952.
Г удстейн Р., Решение уравнений движения гироскопа методом теории возмущений. В сб. «Механика», № 5 (63), 23—61, 1960.
Данилин В. П., Гироскопические приборы. «Высшая школа», Москва, 1965.
Д ев я н и н Е. А., Ишлинский А. Ю., Климов Д. М., Механика гироскопических и навигационных систем. В сб. «Механика в СССР за 50 лет», т. 1. «Наука», Москва, 1968.
Ишлинский А. Ю., Механика гироскопических систем. Изд-во АН СССР, Москва, 1963.
Климов Д. М., Степаненко Н. П., Об интегрировании уравнений движения гироскопа в кардановом подвесе. Механика твердого тела, № 6, 1967.
Крылов А. Н., К р у т к о в Ю. А., Общая теория гироскопов и некоторых технических их применений. Изд-во АН СССР, Ленинград, 1932.
Л у н ц Я. Л., Ошибки гироскопических приборов. Судостроение, Ленинград, 1968.
Л у н ц Я. Л., Смолицкий X. Л., Об одном классе движений консервативных систем с одной нециклической координатой. ПММ 30, вып. 4, 1966.
Лурье А. И., Аналитическая механика. Физматгиз, Москва, 1961.
Магнус К., Об устойчивости движения тяжелого симметричного гироскопа в кардановом подвесе. ПММ 22, вып. 2, 1958.
Малкин И. Г., Теория устойчивости движения, изд. 2. Гостех- издат, Москва, 1966.
М е р к и н Д. Р., Гироскопические системы. Гостехиздат, Москва, 1956.
М е р к и н Д. Р., Введение в теорию устойчивости движения, «Наука», Москва, 1971.
Назаров Б. И., Гироскоп на ракете. Воениздат, Москва, 1964.
20.21.22.23.24.25.26.27.28.29.30.31.32.33.34.35.36.37.20.21.22.23.24.25.26.27.28.29.30.31.32.33.34.35.36.37.Николаи Е. Л., Труды по механике. Гостехиздат, Москва, 1955.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
Николаи Е. Л., О движении неуравновешенного гироскопа в кардановом подвесе. ПММ 3, вып. 4, 1939.
Николаи Е. Л., Гироскоп в кардановом подвесе, изд. 2. «Наука», Москва, 1964.
Окунев Б. Н., Свободное движение гироскопа. Гостехиздат, Москва, 1951.
П е л ь п о р Д. С., Теория гироскопических стабилизаторов. «Машиностроение», Москва, 1965.
П е л ь п о р Д. С., Гироскопические приборы и автопилоты. «Машиностроение», Москва, 1965.
Ривкин С. С., Теория гироскопических устройств, ч. 1——2. Суд- промгиз, Ленинград, 1962—1964.
Ройтенберг Я. Н., Гироскопы. «Наука》，Москва, 1966.
Румянцев В. В., Об устойчивости движения гироскопа в кардановом подвесе. ПММ 22, вып. 3—4, 1958.
С и ф ф Э. Д., Э м м е р и ч К. Л., Введение в гироскопию, перев. с англ. «Машиностроение», Москва, 1965.
С к а р б о ро Дж. Б., Гироскоп, теория и применение, перев. с англ. ИЛ, Москва, 1961.
С к и м е л ь В. Н., Некоторые задачи движения и устойчивости тяжелого гироскопа. Труды Казанского авиац. ин-та, т. 38, 1958. Сломянский Г. А., Прядилов Б. Н., Поплавковые гироскопы и их применение. Оборонгиз, Москва, 1958.
Фридлендер Г. О., Козлов М. С., Авиационные гироскопические приборы. Оборонгиз, Москва, 1961.
Я г о д к и н В. В., Хлебников Г. А., Гироскопические приборы баллистических ракет. Воениздат, Москва, 1967.
Magnus К., Beitrage zur Dynamik des kraftfreien kardanisch gelagerten Kreisels. ZAMM 5, вып. 1/2, 1955.
P 1 u m a 1 В. T., Goodstein R., Nutation of Free Gyro Subjek- ted to an Impulse. Transactions of American Society of Mechanical Engineers 22 (3), 1955
Thomson W. and Tait P., Treatise on Natural Phylosophy, Cambridge University Press, 1879.
ЯЛАУНЦ
ВВЕДЕНИЕ
В ТЕОРИЮ ГИРОСКОПОВ
В линейной алгебре [4] вводится понятие произведения двух матриц А и В, При этом предполагается, что число столбцов матрицы 4 равно числу строк матрицы В. Например,
я. Л. ЛУНЦ