ДМ①①ЕРЕННМАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

Глава XIX. Основные уравнения динамики материальной точки9

Предмет и основные задачи динамики. Пространство и время в классической механике Ньютона . . .9

Первый закон Ньютона12

Второй закон Ньютона13

Независимость действия сил.Третий закон Ньютона16

Различные формы основногоуравнения динамики точки.... 18

Две задачи динамики. Простейшие примеры первойзадачи20

Специальная постановка первой задачи динамики. Определение закона действия силы по заданному классу движений. Задача Бертрана 24

Законысил27

Втораязадачадинамики материальной точки31

Связь между первой и второй задачами динамики материальной точки .. ......38

Глава XX. Некоторые задачи динамики точки^. . 39

Вертикальное движение тяжелой точки в среде с сопротивлением, пропорциональным квадрату скорости 39

Движение снаряда в сопротивляющейся среде47

Движение снаряда по настильной траектории при сопротивлении среды, пропорциональном квадрату скорости 50

Движение точки под действием центральной силы52

Определение времени в эллиптическом движении56

Эллиптическое движение тела, брошенного с Земчи с большой начальной скоростью . . . • 58

Глава XXL Прямолинейные колебания малой амплитуды . .^63

Свободные незатухающие колебания точки под действием линейной восстанавливающей силы 63

Колебания точки под действием гармонической возмущающей силы 68

Колебания точки под действием периодической возмущающей силы76

Влияние силы сопротивления, пропорциональной первой степени скорости, насвободные колебания точки81

Влияние силы сопротивления, пропорциональной первой степени скорости, навынужденные колебания точки88

Свободные колебания точки при наличии кулоиова трения ... 98

Отдел четвертый

ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ

Глава XXII. Теорема об изменении количества движения системы материальных точек . • •・ 104

Предварительные замечания об общих теоремах динамики . • . 104

Теорема об изменении количества движения системы материальных точек106

Динамика точки переменной массы110

Теорема о движении центра масс системы материальныхточек..115

Уравнения движения центра масс одноступенчатой ракеты...123

Теорема импульсов и ее применение в теории удара131

Удар точки о преграду. Коэффициент восстановления135

Прямой удар двух тел138

Косой удар двух тел141

. Применение теоремы количества движения к сплошной среде.

Теорема Эйлера. Дифференциальные уравнения динамики сплошной среды. Распространение малых возмущений143

Глава XXIII. Теорема об изменении момента количеств движения системы материальных точек . . ..154

Теорема об изменении момента количества движения материальной точки154

Малые колебания математического маятника157

Теорема об изменении главного момента количеств движения системы материальных точек. Теорема Резаля159

Главный момент количеств движения твердого те^а, вращающегося вокруг неподвижной оси162

Вычисление моментов инерции; моменты инерции относительно параллельных осей 163

Уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси . . 172

Малые колебания физического маятника179

Влияние внешних ударов на главный момент количеств движения системы181

Главный момент количеств движения в неподвижной и в движущейся системах отсчета182

Теорема об изменении главного момента количеств движения системы относительно центра масс187

Теорема о сохранении главного момента количеств движения . . 188

Применение теоремы моментов к сплошной среде. Уравнение Эйлера теории турбомашин191

Глава XXIV. Теорема об изменении кинетической энергии196

Работа силы. Мощность196

Вычисление работы в некоторых частных случаях200

Кинетическая энергия системы материальных точек. Теорема Кёнига 206

§ 126.Кинетическая энергия абсолютно твердого тела209

§ 127.Теорема об изменении кинетической энергии212

§ 128.Потенциальная энергия силового поля218

§ 129.Потенциалы силовых полей224

§ 130.Закон сохранения механической энергии232

Механическая энергия при вынужденных колебаниях.....234

Потеря кинетической энергии при неупругом ударе. ТеоремаКарно237

Теорема об изменении кинетической энергии сплошной среды. Теоремы Бернулли и Борда ——Карно Общее дифференциальное уравнение кинетической энергии. Диссипация механической энергии . . 245

Глава XXV. Динамика плоского движения твердого тела257

Дифференциальные уравнения плоского движения твердого тела 257 § 135. Качение тяжелого цилиндра по наклонной плоскости и криволинейной поверхности262

Движение самолета в вертикальной плоскости268

Критическая угловая скорость гибкого вала272

Удар в плоском движении твердого тела276

Глава XX VI. Тензор инерции твердого тела•■ 281

Тензор инерции и его компоненты. Формула для момента инерции тела относительно произвольной оси281

Главные оси инерции285

Кинетическая энергия и главный момент количеств движения . . . 296

Отдел пятый

ДИНАМИКА НЕСВОБОДНОЙ СИСТЕМЫ

Глава XXVII. Связи. Статика несвободной системы301

Классификация связей301

Возможные перемещения системы. Число степеней свободы . . . 306 § 144. Принцип освобождаемости. Идеальные связи 314

Принцип возможных перемещений319

Применения принципа возможных перемещений324

Устойчивость равновесия системы. Теорема Лагранжа ——Дирихле

Понятие о теоремах Ляпунова336

Глава XXVIII. Кинетостатика и общее уравнение динамики345

Принцип Даламбера345

Метод кинетостатики 347

Кинетостатика плоского движения твердого тела347

Реакции оси вращающегося тела354

Реакции оси вращающегося тела при ударе. Центр удара...363

Метод кинетостатики в приближенной теории гироскопа ....367

Общее уравнение динамики376

Применение общего уравнения динамики к выводу основныхтеорем378

Применение общего уравнения динамики в теории удара ....380

Глава ХХ/Х. Уравнения Лагранжа 385

Уравнения Лагранжа первого рода для голономной системы..385

Движение точки по гладкой поверхности или кривой387

Уравнения Лагранжа второго рода394

Интеграл энергии и циклические интегралы399

Примеры применения уравнений Лагранжа второго рода...403

Уравнение движения машины415

Уравнения Лагранжа второго рода с множителями419

Отдел шестой

СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ

Г лава XXX. Динамика относительного движения •. .421

Уравнения динамики относительного движения 421

Относительное движение системы материальных точек в равномерно вращающейся системе отсчета . . 428

Относительное равновесие точки вблизи поверхности Земли . . 433 § 167 Влияние вращения Земли на падение тяжелой точки в пустоте . 435 § 168. Влияние вращения Земли на движение тяжелой точки по горизонтальной плоскости ,437

Опыты, служащие для доказательства вращения Земли .... 439

Глава XXXI. Основы механики специальной теории относительности , . 443

Принцип относительности Галилея. Преобразования Галилея. Постулаты специальной теории относительное!и Эйнштейна .... 443

§ 171 Преобразование Лоренца. Диаграмма Минковского448

§ 172. Четырехмерные векторы в пространстве Минковского .... 459

§ 173. Релятивистское обобщение второго закона Ньютона462

§ 174. Движение заряженной частицы в однородных электрическом и магнитном полях 469

§ 175. О силовых взаимодействиях в теории относительности. Проблема инерции н переход к общей теории относительности472

Глава XXXII. Свободные колебания системы с одной степенью свободы 479

§ 176. Свободные незатухающие колебания системы с одной степенью свободы479

§ 177. Движение математического маятника .493

§ 178. Колебания при нелинейной восстанавливающей силе504

§ 179. Свободные затухающие колебания системы при силе сопротивления, пропорциональной первой степени скорости. Диссипативная функция Релея509

§ 180. Колебания системы с одной степенью свободы при наличии куло- нова трения 518

§ 181. Колебания системы с одной степенью свободы при наличии силы сопротивления, пропорциональной квадрату скорости 520

Глава XXXIII. Вынужденные колебания системы с одной степенью свободы 527

§182. Общее решение уравнения вынужденных колебаний527

§183. Верхняя граница отклонения при ограниченной силе536

§184. Периодическое решение уравнения вынужденных колебаний . . . 538

Глава XXXIV. Колебания системы с двумя степенями свободы .... 547

§ 185. Дифференциальные уравнения свободных колебаний547

§ 186. Интегрирование уравнений свободных колебаний,. 550

§ 187. Главные координаты 560

§ 188 Применение коэффициентов влияния к составлению дифференциальных уравнений свободных колебаний .571

§ 189. Вынужденные колебания системы с двумя степенями свободы . . 584 § 190. Свободные колебания системы с произвольным конечным числом степеней свободы591

Глава XXXV. Некоторые задачи динамики твердого тела596

§ 191. Уравнения Эйлера динамики твердого тела596

§ 192. Вращение симметричного твердого тела вокруг неподвижной точки 598

§ 193. Регулярная прецессия симметричного тела600

§ 194. Уравнения движения гироскопа на подвижном основании , . . 605

§ 195. Гироскопы Фуко . .617

§ 196 Задача о «спящем волчке»622

§ 197. Устойчивость вращающегося снаряда627

§ 198 Гироскопический маятник. Применение уравнений Лагранжа второго рода в динамике твердого тела630

Предметный указатель638

ПРЕДИСЛОВИЕ

При работе над новым изданием второго тома, посвященного динамике, особенно остро ощущалась тяжелая утрата безвременно скончавшегося Анатолия Исааковича Лурье, роль которого как автора в создании настоящего тома курса была особенно велика. Положение несколько облегчилось тем, что еще в 1956 г. им был составлен список замечаний по переработке текста второго тома и указаны некоторые сокращения, а незадолго до кончины Анатолия Исааковича представилась возможность совместного обсуждения перечня и характера предполагаемых дополнений и изменений в содержании курса.

В связи с появлением новых задачников по теоретической механике было решено не только не увеличивать число примеров, а даже сократить те из них, сложность которых не оправ- дывалась их значением для иллюстрации теоретического материала. Было также полностью опущено учение о неголономных связях, представляющее специальный раздел аналитической механики.

Вместе с тем появились и существенные дополнения, среди которых следует отметить написанную К. А. Лурье новую (тридцать первую) главу, содержащую изложение основ специальной теории относительности. В заново написанных параграфах получили освещение вопросы полета ракеты простейшей схемы, теории колебаний систем с произвольным конечным числом степеней свободы, применения общих теорем динамики систем материальных точек к сплошным средам (теоремы Эйлера, Бернулли, Борда), а также к выводу общих дифференциальных уравнений динамики сплошных сред и выражения мощности внутренних сил в сплошной среде. Последнее в случае сред с внутренним трением позволяет глубже судить о важном для механики понятии потерь (диссипации) механической энергии при движении среды.

Осуществленное в новом издании расширение предмета механики в сторону модели сплошной среды не может, конечно, заменить изложение тех же вопросов в специальных курсах теории упругости и гицоогазодинамики. Зтесь преследуются совершенно другие цели. Главная из них ——показать учащемуся

широту и мощь охвата теоретической механикой самых различных движений материальных тел, включая сюда и сплошные среды (упругие, жидкие и газообразные). С другой стороны, это дополнение органически связывает курс теоретической механики с непосредственно следующими за ним в учебных планах втузов курсами сопротивления материалов и гидравлики (технической гидродинамики), в которых обычно изложению общих основ механики сплошных сред не уделяется должного внимания.

Чтобы не требовать от читателя обязательно изучать эти дополнительные вопросы, в первом томе они помещены в конце отделов статики и кинематики, а во втором томе в конце глав, содержащих изложение общих теорем динамики. Такая структура курса сохраняет его традиционное построение, приноровленное к действующим программам втузов. То же относится и к разделу «Специальные задачи динамики», начиная с гл. XXXI и до конца курса.

Указанные выше дополнения позволяют рекомендовать на- стоящее издание курса широкому кругу студентов, аспирантов и инженеров, а также тем читателям, которые будут изучать теоретическую механику в порядке самообразования.

С глубокой благодарностью обращаюсь я к проф. Г. Ю. Степанову, не только взявшему на себя труд рецензирования рукописи настоящего тома, но и сделавшему по ней много существенных критических замечаний, которые мной с признательностью приняты во внимание. Многим я обязан доценту кафедры теоретической механики Ленинградского политехнического института им. М. И. Калинина И. Л. Лойцянской, принявшей большое участие в нашей совместной работе над рукописью, а в дальнейшем и в чтении корректур. Я особенно благодарен Г. М. Ильичевой за ее большую высококвалифицированную работу по редактированию рукописи настоящего тома.

Л. Г» Лойцянский

Отдел третий

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯДИНАМИКИ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

Глава XIX

ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

§ 79. Предмет и основные задачи динамики.

Пространство и время в классической механике Ньютона

Предметом динамики являются те же модели материальных тел: материальная точка, система дискретных материальных точек, сплошная материальная среда (в том числе и абсолютно твердое тело), что и в предыдущих отделах ——статике и кинематике. Однако задачи у них разные.

В статике рассматривались механические силовые взаимодействия материальных тел в равновесных их состояниях. В кинематике были установлены методы изучения происходящих в пространстве и во времени механических движений материальных тел и их систем, но вне связи с механическими взаимодействиями, обусловливающими эти движения. Динамика ставит целью изучение движения материальных тел в связи с механическими взаимодействиями между ними. При этом динамика заимствует у статики законы сложения сил и приведения сложных их совокупностей к простейшему виду и пользуется принятыми в кинематике приемами описания движений. Задачей динамики является установление законов связи действующих сил с кинематическими характеристиками движений и применение этих законов к изучению частных видов движений. Лучше всего это сформулировано самим Ньютоном (1642—1726), создателем классической системы механики. Динамика должна, говорит он, «по явлениям движения распознать силы природы, а затем по этим силам изъяснить остальные явления» ). Эта формулировка точно передает сущность динамики и будет подробно разъяс* йена в дальнейшем.

Основную роль в динамике играет отсутствовавшая в статике и кинематике количественная материальная характеристика

тел ——их масса, а в случае сплошной среды ——плотность распределения массы в теле, короче именуемая просто плотностью.

Основные законы классической механики были сформулированы Ньютоном как законы движения по отношению к некоторой абсолютно неподвижной системе ——«абсолютному пространству»——или любой другой «инерциальной» или «галилеевой» системе, движущейся по отношению к «абсолютному пространству» поступательно, прямолинейно и равномерно; за время, в течение которого движение протекает, Ньютон принимал «абсолютное время》, не зависящее от движения тел и систем отсчета.

Понятия абсолютных пространства и времени относительны. Лишь в некотором (достаточном для земных применений) приближении можно вводить статистический, имеющий смысл лишь «в среднем» образ «универсальной абсолютной системы» ), относительно которой предполагаются покоящимися так называемые неподвижные звезды. При этом следует оговориться, что представление о такого рода «абсолютной» системе зависит от числа принятых во внимание «неподвижных» звезд и что, собственно говоря, нет никаких оснований считать эту систему строго неподвижной в масштабе Вселенной.

«Абсолютное» время рассматривается как одинаковое во всех взаимно движущихся системах отсчета, что находится в противоречии с конечностью скорости света, а также скорости распространения электромагнитных возмущений и радиосигналов. Вопрос о связи между отсчетами времени в двух взаимно движущихся инерциальных системах отсчета в настоящее время решается просто и наглядно благодаря использованию «радиолокационного» метода ). Об этом будет частично идти речь в гл. XXXI, посвященной основным понятиям специальной теории относительности. Сейчас, подчеркнем это еще раз, в классической механике Ньютона используется «абсолютное время》, единое во всех движущихся друг по отношению к другу системах отсчета.

В основу своей системы механики Ньютон положил следующие, приведенные в его «Началах» определения времени и пространства:

《1. Абсолютное, истинное математическое время — само по себе и по самой своей сущности, без всякого отношения к чему- либо внешнему, протекает равномерно и иначе называется длительностью.

Абсолютное пространство по самой своей сущности безотносительно к чему бы то ни было внешнему остается всегда одинаковым и неподвижным».

Внешняя форма этих определений, несмотря на наличие в них явных противоречий, вполне соответствует критическому отношению к этим определениям самого Ньютона. «Возможно», говорит Ньютон в своих «Началах», что《не существует такого равномерного движения, которым время могло бы измеряться с совершенной точностью», точно так же, как «может оказаться, что в действительности не существует покоящегося тела, к которому можно было бы относить места и движения прочих».

А. Эйнштейн (1879——1955) подверг глубокой критике представления Ньютона о пространстве и времени, но вместе с тем указал на их громадное мировоззренческое значение для того этапа научного прогресса, активным участником которого был Ньютон.

В настоящее время ясно понимается, что «...воистину трудный шаг был в свое время сделан Ньютоном и Галилеем и что трудности, которые пришлось преодолеть Эйнштейну, были значительно меньше... Эйнштейн просто вернул нас к Ньютону», и далее《...в относительности нет ничего более трудного для понимания, чем осознание ньютоновской относительности: существует множество инерциальных наблюдателей, каждый из которых ничем не лучше и не хуже остальных...» (Г. Бонди, цитированная выше брошюра).

С этой точки зрения стоит привести высказывание самого Эйнштейна: 《Ясные и широкие идеи Ньютона сохраняют свое значение фундамента, на котором построены наши современные физические представления».

Как будет выяснено в гл. XXXI, система механики Ньютона является частным случаем релятивистской механики Эйнштейна, примененной к движениям в областях, малых по масштабу по сравнению с масштабами Вселенной, и со скоростями, малыми по сравнению со скоростью распространения света в пустоте. Такое приближение совершенно достаточно для земной практики, включая и современные космические полеты ракетных аппаратов с их пока еще сравнительно малым удалением от Земли и малыми по сравнению со скоростью света скоростями.

Это позволяет нам посвятить весь настоящий курс, за исключением гл. XXXI, в которой излагаются основы специального принципа относительности, изложению классической динамики Ньютона и ее применениям к разнообразным механическим движениям.

§ 80. Первый закон Ньютона

В основе классической механики Ньютона лежат три установленные им и сформулированные в «Началах» закона движения. Подчеркнем, что законы эти предполагают существовав ние «абсолютного времени» и установлены для движений материальной точки по отношению к «абсолютно неподвижной» системе координат, а согласно принципу Галилея (см. начало гл. XXXI) — и по отношению к произвольной инерциальной (галилеевой) системе отсчета.

Первый закон Нь ю т о н а ——закон инерции ——описывает простейшее из возможных механических движений —— движение материальной точки в отвлеченных условиях полной ее изолированности от действия других материальных тел. Закон инерции в формулировке Ньютона (перевод А. Н. Крылова) гласит:《Всякое тело сохраняет состояние поко兄 или равномерного и прямолинейного движения, пока а поскольку приложенные силы не заставят его изменить это состояние》.

Термин 《тело» здесь означает «материальную точку», не имеющую размера, но обладающую массой, которая и обусловливает указанное в формулировке движение материальной точки 《по инерции». Как будет показано в следующем параграфе, масса может быть принята за меру инертности тела.

Заметим (и в дальнейшем это будет оправдано), что движение изолированного от внешних воздействий тела конечного размера также может быть названо «движением по инерции», но уже не будет столь простым, как движение по инерции материальной точки.

Закон инерции не в столь широкой обобщенной форме, как это сделал Ньютон, был установлен ранее Галилеем (1564—— 1642)) для частного случая движения тела по гладко访 горизонтальной плоскости. Приведем эту формулировку:《Когда тело движется по горизонтальной плоскости, не встречая никакого сопротивления, то движение его является равномерным и продолжалось бы бесконечно, если бы плоскость простиралась в пространстве без конца».

Чтобы досто访ннм образом оценить заслугу Галилея в открытии закона инерции, стоит вспомнить о борьбе против схоластической науки средневековья, которая выпала на его долю. Следуя Аристотелю, средневековые ученые утверждали, что материя косна, естественным ее состоянием является абсолютный покой,

а для поддержания движения тела необходимо постоянное внешнее воздействие. Велика заслуга Галилея, который ввел в механику понятие об ускорении и противопоставил прямолинейному равномерному движению по инерции неравномерное равноускоренное движение точки, свободно падающей в пустоте вблизи поверхности Земли.

Прав был Лагранж (1736—-1813), когда, сравнивая достижения Галилея в области астрономии с созданием основ динамики, писал ):

«Открытие спутников Юпитера, фаз Венеры, солнечных пятен и др. потребовало лишь наличия телескопа и известного трудолюбия, но нужен был необыкновенный гений, чтобы открыть законы природы в таких явлениях, которые всегда пребывали перед глазами, но объяснение которых тем не менее всегда ускользало от изыскания философов».

Открытие Галилеем законов свободного падения тел сыграло основополагающую роль в деле создания ньютоновской динамики и, в частности, второго закона Ньютона.

Заслуга Галилея была высоко оценена Ньютоном, который говорил, что он «далеко видел вперед, так как стоял на плечах у гигантов».

Второй закон Ньютона

Основой ньютоновской механики является «второй закон》—— фундаментальный закон естествознания.

Второй закон Ньютона устанавливает количественную связь между изменением движения, совершаемого материальной точкой и приложенной к ней силой. Формулировка второго закона (в переводе А. Н. Крылова) гласит:

«Изменение движения пропорционально приложенной движущей силе и происходит 6 направлении линии действия этой силы》、

Под «изменением движения» подразумевается отнесенное к единице времени изменение вектора скорости точки, т. е. ее ускорение. Такое понимание термина «изменения движения» можно найти, например, в классическом, относящемся к 1745 г. «Трактате по динамике》Даламбера, который называет «движением» «скорость тела с учетом ее направления», (см. русский перевод этого трактата в серии «Классики естествознания». М.——Л.: Гостехиздат, 1950, с. 108, определение). Ньютон под

14 ГЛ XIX ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ «движением» понимал то, что мы сейчас называем «количеством движения», т. е. произведение массы на вектор скорости. При ньютоновском представлении о постоянстве массы во все время движения обе трактовки совпадают. Возникающее различие разъясняется в специальном разделе курса «Динамика точки нсреуепной массы» (см. § 103).

Таким образом второй закон утверждает пропорциональность вектора ускорения точки вектору приложенной к ней силы, что можно записать в виде

Cw = F.(1)

Коэффициент пропорциональности С представляет собой величину, зависящую не от внешних характеристик движения (приложенной силы и наблюдаемого ускорения), а лишь от собственного материального свойства точки— ее вещественности. Это свойство Ньютон связывает с количеством вещества в точке —— характеристикой точки, не поддающейся ни строгому определению, ни непосредственному измерению.

Чтобы избежать эту трудность, вводят представление об инертности, понимая под ней свойство материальной точки приобретать под действием заданной по величине силы тем большее ускорение, чем меньше характеристика С ее вещественности, и, наоборот, тем меньшее ускорение, чем больше эта характеристика.

Сохраняя за константой С приписываемое ей Ньютоном качественное понятие меры «количества вещества» в теле (материальной точке), примем за количественную характеристику вещественности материальной точки ее меру инертности, назовем эту меру массой и обозначим ее ш. За единицу массы в системе СИ принимают килограмм (кг) как такую массу, которая под действием силы в 1 Н приобретает ускорение, равное 1 м/с2. В качестве более крупной единицы массы принимают тонну (т), равную 103 кг.

Окончательной формой уравнения (1), в котором можно положить С=т, будет основное уравнение динамики материальной точки

mw =尸.(2)

Рассмотрим две материальные точки с разными массами mi и 俏2, движущиеся под действием двух сил 户i и 尸2 c одним и тем же ускорением w согласно уравнениям

tn j w；—• F ], m2g —尸2“

Не нарушая движения, можем мысленно объединить эти две материальные точки в одну точку массы т. Почленно склады-

вая два предыдущих равенства, получаем

(他1 +他2)3 =尸1 +f2，

откуда следует закон аддитивности масс m =恤 + m2.

Понятие массы как меры инертности, введенное для материальной точки, применимо и к поступательно движущемуся твердому телу: все частицы такого тела (в общем случае обладающие разными массами) имеют одинаковые ускорения, и поэтому масса тела в силу закона аддитивности масс равна сумме масс его отдельных частиц.

В некоторых руководствах по механике еще можно иногда встретиться с двумя отличными от СИ системами единиц: физической и технической. Первая из них система CGS (сантиметр —— грамм секунда) отличается от CII только количественно.

В системе CGS за единицу длины принят сантиметр, равный 10~2 м, за единицу массы — грамм, равный 10~3 кг, а единицей силы служит дина, определяемая как сила, вызывающая у массы в 1 г ускорение 1 см/с2. Единица силы в системе СИ Ньютон равна

1Н = 1 кг • м/с2 = 105 г • см/с2 = 105 дин.

Техническая система единиц отличается от СИ выбором основных единиц. В технической системе основными единицами являются сила, длина и время, причем за единицу силы принят килограмм (силы), за единицу длины ——метр, за единицу времени——секунда. Единица массы в технической системе является производной и определяется как масса тела, приобретающего под действием силы в один килограмм ускорение 1 м/с2.

Чтобы установить связь между единицами силы и массы в различных системах единиц, применим формулу (2) к падению точки в пустоте вблизи земной поверхности. Обозначая силу тяжести через G, ускорение свободного падения через g, а массу через т, будем иметь

G = mg.(3)

Численная величина ускорения g изменяется в зависимости от широты пункта земного шара и его высоты над уровнем моря. Крайние значения g на полюсе и экваторе (на уровне моря) соответственно равны 9,8311 м/с2 и 9,7810 м/с2. Значения g для некоторых пунктов Советского Союза даны в табл. 1.

При дальнейшем изложении будем пользоваться общепринятым средним значением

g = 9,81 м/с2,

иногда заменяя его менее точным g=9,8 м/с2.

Таблица /

Значения ускорения g свободного падения для некоторых пунктов Советского Союза

Название города

g, М/с’

Название города

g, ^/c2

Тбилиси Одесса Киев

9,8032

9,8074

9,8108

Москва Ленинград Архангельск

9,8152

9,8193

9,8218

Из формулы (3) следует, что в физической системе единиц массе в 1 г соответствует сила тяжести

981 г • см/с2 = 981 дин.

Выражая массу в кг, длину в м, время в с, получаем, что вес тела массой в 1 кг составляет 9,81 Н или 9,81 • 105 дин.

В дальнейшем используется общепринятая система СИ.

Наряду с понятием о массе как мере инертности ——«инертной массе» ——в механике приходится иметь дело также с «тяготеющей массой», входящей в формулировку закона всемирного тяготения. Как показали многочисленные опыты и в первую очередь опыты самого Ньютона, численные величины инертной и тяготеющей массы для одного и того же тела равны между собой. Этот принцип эквивалентности инертной и тяготеющей масс был в дальнейшем обобщен и на область движений, требующих для своего рассмотрения применения специальной теории относительности (см. гл. XXXI).

Независимость действия сил. Третий закон Ньютона

Если к материальной точке приложены две или несколько сил, то ускорение, приобретаемое ею под действием равнодействующей этих сил, построенной по правилу параллелограмма, определится как векторная сумма ускорений точки под действием каждой слагаемой силы по отдельности. Это заключение является простым следствием второго закона Ньютона в принятой векторной формулировке (2). При этом используется допущение, что в лянамических условиях, так же как и в статических, приложенные к материальной точке силы действуют на нее независимо друг от друга, т. е. наличие одних сил не вызывает изменений в действии других. Это положение составляет содержание принципа независимости действия сил, позволяющего применять в динамике правило параллелограмма сил и все те операции над системами сил, которые были установлены в статике.

Ньютон излагает принцип независимости действия сил совместно с правилом параллелограмма, тем самым утверждая векторный характер силы, в первом следствии законов движения; формулировка Ньютона гласит:《При совместном действии двух сил тело описывает диагональ параллелограмма 6 то же самое время, как стороны параллелограмма при отдельном действии сил^.

В разделе статики было установлено, что действие и противодействие (сила и реакция) представляют собой две равные по величине, противоположные по направлению и имеющие общую линию действия силы. Так же как и в статике, из равенства взаимодействий по величине и противоположности их по направлению отнюдь не следует их взаимное уравновешивание, так как действие и противодействие приложены к различным телам. Этот общий механический закон имеет место как в статических, так и в динамических условиях.

Приводим формулировку третьего закона Ньютона:

Действию всегда соответствует равное ему и противополоо^сно направленное противодействие, т. е. действия двух тел друг на друга всегда равны и направленье в противоположные стороны.

В то время как первые два закона Ньютона относятся к одной материальной точке, третий закон рассматривает взаимо* действие двух материальных точек и является основой динамики системы материальных точек.

Обозначим массы двух взаимодействующих в случае мгновенного дальнодействия материальных точек через mi и m2, векторы их скорости через Ui и v2, а векторы их ускорен"只 через 叫 и д. Тогда, согласно первому и третьему законам, предполагая, что никаких других сил, кроме взаимодействия точек, нет, получим

他1 叫=—^2^2， (4) или, интегрируя,

俏 1S + m2v2 = const. (5)

Ньютон определил количество движения материальной точки как произведение ее массы на скорость. Количество движения системы точек равно геометрической сумме количеств движения отдельных точек системы. Согласно (5) количество движения системы двух взаимодействующих материальных точек во время движения сохраняется. Этот закон сохранения количества движения в своем простейшем виде был известен еще до Ньютона и применялся для изучения явления удара шаров.

Дифференцирование равенства (5) по времени приводит к равенству (4), а из последнего, согласно второму закону, выте* кает третий закон. Ньютон при установлении третьего закона использовал накопленный к его времени опыт применения

закона сохранения количества движения, о чем можно судить по пояснению, сопровождающему формулировку третьего закона, и по «Поучению», завершающему изложение основных законов динамики. Однако Ньютон придает третьему закону самостоятельное значение как общемеханическому закону, а закон сохранения количества движения системы точек выводит из него как следствие. В этом——принципиальное отличие механических воззрений Ньютона от соответствующих воззрений Декарта, считавшего «закон сохранения движения» основным физическим законом.

является основнымявляется основным§ 83. Различные формы основного уравнениядинамики точки

является основным

является основным

Равенство (2), как уже упоминалось, уравнением динамики материальной точки.

Вспоминая, что

dv d2r

где V — вектор скорости, г — вектор-радиусгде V — вектор скорости, г — вектор-радиусччРис. 234Рис. 234Сопринасающая^Сопринасающая^дать уравнению щих видов：dv □mqr = F,дать уравнению щих видов：dv □mqr = F,точки, можем при-(2) один из следую-точки, можем при-(2) один из следую-d2r团而=d2r团而=⑹⑹От векторной формы этих основных соотношений можно перейти к аналитической форме в проекциях на оси. Наиболее принятой формой в проекциях на оси декартовой системы координат будетm^ = F%, т。= F у, mz = Fz. (7)Большое значение имеют такжеОт векторной формы этих основных соотношений можно перейти к аналитической форме в проекциях на оси. Наиболее принятой формой в проекциях на оси декартовой системы координат будетm^ = F%, т。= F у, mz = Fz. (7)Большое значение имеют также

где V — вектор скорости, г — вектор-радиус

где V — вектор скорости, г — вектор-радиус

ч

ч

Рис. 234

Рис. 234

Сопринасающая^

Сопринасающая^

дать уравнению щих видов：

dv □

mqr = F,

дать уравнению щих видов：

dv □

mqr = F,

точки, можем при-(2) один из следую-

точки, можем при-(2) один из следую-

d2r

团而=

d2r

团而=

⑹

⑹

От векторной формы этих основных соотношений можно перейти к аналитической форме в проекциях на оси. Наиболее принятой формой в проекциях на оси декартовой системы координат будет

m^ = F%, т。= F у, mz = Fz. (7)

Большое значение имеют также

От векторной формы этих основных соотношений можно перейти к аналитической форме в проекциях на оси. Наиболее принятой формой в проекциях на оси декартовой системы координат будет

m^ = F%, т。= F у, mz = Fz. (7)

Большое значение имеют также

естественные уравнения движения. Эта форма уравнений динамики получается проектированием основного уравнения (2) на оси натурального триэдра (§ 46), т. е. направления касательной, нормали и бинормали к траектории (рис. 234):

⑻⑻mwx = m 穿=尸r mwn = m -~- = Fni mwb = 0 = Fb.

⑻

⑻

Из последнего уравнения следует, что сила, так же как и ускорение, лежит в соприкасающейся плоскости траектории точ-

ки. При движении по плоской траектории естественные уравнения приводятся к виду

他黑m^=&。⑼

Проектируя обе части уравнения (2) на оси любой криволинейной системы координат, получаем уравнение движения точки в криволинейных координатах

mwq. = Fqi «=1,2,3),(Ю)

где wq.——проекция ускорения на ось qt системы криволинейных координат 91, ^2, 9з, а 尸勺一проекция силы на ту же ось.

Согласно § 48 имеем

1 Г d 0(U⑵д (у2/2) I

Если ввести в рассмотрение величину

Т = ^ ту2, называемую кинетической энергией материальной точки, то уравнениям (10) можно придать вид

=(』1，2, 3),(11)

где положено для краткости

Qi = "/”(12)

Уравнения (11) представляют собой уравнения движения материальной точки в форме Лагранжа. Величины Q» носят наименование обобщенных сил; подробнее об этом будет сказано в гл. XXIX.

Так, например, в полярной системе координат, обозначая индексами г и ср проекции силы на направления радиуса г и перпендикулярное к нему направление в сторону возрастания полярного угла ср, получаем по (11) (вспомним формулы § 48)

他（产一研=吊，号為（产0）=尸中.（13）

В сферической системе координат (R, ф, 0) будем иметь по формулам того же параграфа

m(R — R@2 Sjn2 0 一 R@2)=尸&, 風(14)

登後依崎一必©2 sin 9 cos 8]=尸e.

§ 84. Две задачи динамики. Простейшие примерыпервой задачи

Имея основные динамические уравнения в одном из указанных выше видов, можно поставить и разрешить две задачи.

Дано движение материальной точки заданной массы, т. е. известны координаты точки как функции времени — кинематические уравнения движения; требуется найти силу, действующую на точку (первая задача динамики).

Дана сила, приложенная к материальной точке заданной массы; требуется найти движение точки, т. е. кинематические уравнения движения (вторая задача динамики).

Из постановки этих двух основных задач динамики непосредственно следует, что из трех переменных, входящих в формулу (2) второго закона (масса, кинематика движения, сила), задаются только две: масса и кинематические уравнения движения—в первой задаче динамики, масса и сила ——во второй. Это говорит о том, что второй закон Ньютона, выраженный векторной формулой (2) или аналитически системой (7), не является тождеством (определением понятия силы), а представляет собой уравнение с неизвестным вектором силы 尸(первая задача динамики) или вектор-радиусом r(f) (вторая задача динамики).

Решение первой задачи в приведенной постановке не составляет труда. Если заданы кинематические уравнения движения, например, в декартовой системе координат

x = fi (/), Z/q%。)，2 = /з (0(15)

и масса точки т, то сила, вызывающая это движение, будет, согласно (7), иметь проекции

Fx = mx = mfr( (/), Fy = my = tnf2 (/), Fz = /?t2 = т/з (0 (16) и, таким образом, в любой момент времени может быть найдена простым дифференцированием по времени равенств (15).

Вторая задача динамики сложнее уже хотя бы потому, что связана с необходимостью интегрирования основного дифферен-

циального уравнения (2) при заданных силе, массе и начальных условиях движения.

Поясним это простейшими примерами.

Начнем с первой задачи динамики.

Пример 73. Тело массы m спускается по прямолинейной направляю* щей, наклоненной к горизонту под углом а, с известным ускорением ш, регистрируемым специальным прибором — акселерометром. Определить силу 户 торможения.

Рассматривая тело как материальную точку, на которую действуют три силы ——сила тяжести G = mg, сила торможения 尸 и нормальная реакция АГ направляющей, составим уравнения его движения в проекциях на оси Ох и Оу, указанные на рис. 235. Будем иметь

mwx = mg sin а —尸，

mwy = 0 = — mg cos а + M

Отсюда сразу определяются сила торможения 尸=m (g sin а —侬) и нормальная реакция направляющей

^ = mg cos а.Рис. 235.

Если, подобно тому как это делалось в статике, ввести в рассмотрение- коэффициент трения движения 力 определив его отношением величины силы торможения 尸 к величине нормальной реакции ^>

f = F/M

то на основании предыдущих формул для определения этого коэффициента получим равенство

Изменяя уклон направляющей, можно найти такое значение угла а == <р, при котором тело будет спускаться равномерно, т. е. ускорение з будет равно нулю. Этот угол ср, определяемый, согласно последней формуле, равенством

tg屮=力

соответствует рассмотренному в статике углу трения (§ 21).

Решение только что рассмотренного примера можно было бы интерпретировать иначе, а именно, как решение задачи о равновесии тела под действием сил G, Ff N п дополнительной силы, определяемой вектором ——mw, где w ——ускорение спускающегося тела. Действительно, уравнения равновесия тела в проекциях, на оси Ох и Оу при этом имели бы вид

—F — mw + mg sin a == О,

^ — mg cos a = 0

22 ГЛ. XIX. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ и ничем не отличались бы от выписанных ранее уравнений движения тела.

Вообще, если основное уравнение динамики (2) переписать в тождественной форме

尸一mw = 0(17)

и ввести обозначение

—mw = S,(18)

то уравнение(17)приметвид

F+S = 0.(19)

ВекторS,равныйповеличине произведению массы точки

на ее ускорение и направленный в сторону, противоположную ускорению, называется силой инерции материальной точки и считается приложенным к этой точке. Представление о силах инерции будет расширено в гл. XXX в связи с рассмотрением динамики относительного движения. Сейчас удовольствуемся принятым формальным определением силы инерции и заметим, что в результате такого подхода уравнение динамики (2) свелось к уравнению равновесия (19) материальной точки под действием приложенной силы и силы инерции. Изложенный прием сведения задачи динамики к задаче статики лежит в основе метода кинетостатики, который будет в более общем виде изложен в гл. XXVIII. По своей сути метод этот относится к первой задаче динамики. Как выяснится из следующих примеров, данный метод особенно полезен при рассмотрении движений в естественной форме.

Проекции силы инерции на декартовы и естественные оси будут соответственно равны

Sx = ― mx, Sy = — my, S^ = — m2(20)

и

ST = — mg, Sn = — tnwn, Sh = 0.(21)

Составляющие силы инерции Sx и Sn по направлению естественных осей ——касательной и главной нормали к траектории ——называются естественно касательной и центробежной силами инерции; эти силы направлены противоположно соответствующим составляющим ускорения точки и по величине равны m\v\ и /Tw2/p・

Пример 74. Определить угол крена самолета при вираже, равный углу ср (рис. 236) между плоскостью крыльев и горизонтом, если вираж осуществляется со скоростью и в горизонтальной плоскости; радиус виража а.

Из условия равновесия силы тяжести самолета G = mgt подъемной силы L, принятой равной

где Су — коэффициент подъемной силы, принимаемый пропорциональным углу атаки, р ——массовая плотность воздуха, а — общая площадь несущих поверхностей, и центробежной силы

S九

mv2а

получим

mu 2

=Q粤。sin Ф,

mg = Су о cos(р・

Разделив эти два равенства почленно одно на другое, найдем угол крена

,V2

<P = arctg—,

а радиус виража определим из первого 2m

Рис. 236.

предыдущих равенств:

а =——方一-：.

poJg sin (p

Из этой формулы вытекает, что для совершения

малого радиуса следует увеличивать угол крена силы, т. е. вместе с углом крена увеличивать угол атаки

Аналогичный расчет проводится в следующем примере.

Пример 75. Велосипедист описывает окружность радиуса а, лежащую в горизонтальной плоскости, с постоянной по величине скоростью и (рис. 237). Какой угол а должна при этом составлять плоскость рамы велосипеда с вертикалью?

Будем предполагать силу тяжести G = mg велосипедиста и велосипеда сосредоточенной в их общем центре тяжести С, лежащем в плоскости рамы велосипеда. В этой же точке приложена и центробежная сила Sn = mi^/a. Будем считать также, что силы реакции почвы: нормальная N и боковая сила трения F, приложенные в точке пересечения линии соприкасания колес с почвой и плоскости чертежа, приводятся к одной равнодействующей R. Из условия равновесия тела под действием трех сил S〃 и " заключим, что линия действия силы R должна проходить через

виража по возможности коэффициент подъемной

Рис. 237.

точку С пересечения линий действия первых двух сил. Из ника, показанного на рис. 237 справа, сразу следует, что

силового треуголь*

tg а =

G — ga

Для движения по закруглению велосипедист должен

тем больше откло-

нять плоскость рамы от вертикальной плоскости, чем больше его скорость и чем меньше желательный радиус поворота.

Пример 76. Кузов вагона массой т совершает на рессорах гармони- иескне вертикальные колебания амплитуды а и периода Г. Определить максимальное и минимальное давление ^ кузова на рессоры.

Направив ось 0% вертикально вниз, зададим уравнение движения кузова в виде

% = a sin 宁 /.(22)

Началу координат здесь соответствует среднее положение кузова, а крайним верхнему и нижнему положениям — значения

% = — а и х== а.

К кузову приложены сила тяжести G = mg и реакция рессор N. Дифференциальное уравнение движения кузова будет

mwx = G — N = mg — N.

Дважды дифференцируя обе части уравнения движения (22) по времени, получаем

4冗2a2冗/

sin ——.

Давление кузова на рессоры будет

N = G — пиз)х = tng — mwx = 〃zg (1 + ^^ sin ^^),

В крайнем верхнем положении

N = "min = mg(l -霁力 в крайнем нижнем

N = Nmax = mg(l + 若^)・

Специальная постановка первой задачидинамики. Определение закона действия силыпо заданному классу движений.

Задача Бертрана

Первая задача динамики материальной точки окажется не столь простой, если ее обобщить, потребовав определить общий закон сил, вызывающих данный класс движений, которые отличаются друг от друга начальными условиями, т. е. начальным положением точки и начальной ее скоростью, а следовательно, и траекториями движения.

Простейшим примером такой специальной постановки первой задачи динамики может служить следующий одномерный случай.

Материальная точка массы т совершает гармоническое колебательное движение по оси Ох согласно уравнению

х = a sin (со/ + е),(23)

где, как это было выяснено в кинематике, а ——амплитуда колебания, (о ——круговая частота колебания, а 8 — начальная фаза.

Составляя выражение проекции ускорения на ось Ох

wx = 5c = — ad $也(со/ + 8)(24}

и подставляя его в формулу второго закона (7), находим

Fx = тх = — та(^ sin (о/ + е).(25)

Это служит решением первой задачи динамики. Перепишем теперь равенство (25) на основании (24) в форме

Fx = — mco2x = — сх (с = mco2).(26}

В этой форме для гармонических колебаний открывается закон пропорциональности величины силы величине отклонения точки от центра равновесия (% = 0) и направления ее в сторону этого центра. Такая сила будет действовать на материальную точку со стороны упругой нити или пружины, притягивающей точку к центру (х = 0). Входящий в правую часть (26) коэффициент с определяется только упругими свойствами пружины (об этом будет еще речь впереди) и никак не связан с начальным положением точки и начальной скоростью движения точки. Закон (26) является общим и может применяться для решения разнообразных задач, служащих для предсказания прямолинейных движений материальной точки под действием упругой силы притяжения к данному центру.

В несколько более общем случае, когда материальная точка М описывает в плоскости Оху фигуры Лиссажу (§ 41), согласно уравнениям колебания этой точки по осям Ох и Оу,

х = а{ sin (со/ + j), у— а2 sin (3 + 82)(27)

с разными амплитудами а\, “2 и начальными фазами ei, 82, но с одинаковой частотой ①，повторяя тот же анализ, находим

Fx = mwx = —- та^ sin (со/ + 5) = — т^х = — сх,

Fy = mwy =—优。2①2 sin (со/ + е2) = — ms2y = — су.

Отсюда можно заключить, что движение материальной точки по всевозможным фигурам Лиссажу, согласно уравнениям (27), будут происходить по коническим сечениям независимо от того, каковы будут значения зависящих от начальных условий движения амплитуд “1, “2 и начальных фаз 白，£2, если сила, действующая на материальную точку, будет по величине пропорциональна расстоянию точки до начала координат и направлена во все время движения к этому началу. Приложенная к движущейся точке сила, линия действия которой всегда проходит через одну н ту же неподвижную точку (в данном случае начало координат), называется центральной силой. Итак, можно заключить, "то движения точки по коническим сечениям, параметрически

заданным уравнениями (27), будут происходить под действием центральной силы (28) притяжения к началу координат, прямо пропорциональной по величине расстоянию точки от этого начала.

К такой специальной постановке первой задачи динамики материальной точки относится задача Ж. Бертрана (1832—— 1900), сформулированная им в следующих словах: «найти законы центральных сил, зависящих только от положения движущейся точки и вынуждающих ее независимо от начальных условий описывать конические сечениям,

Бертран показал, что этим условиям удовлетворяют центральные силы притяжения к неподвижной точке Fr =——卩广 и Fr =—卩/八.Первый случай был только что разобран, а второй будет рассмотрен на следующем примере, содержащем вывод закона Ньютона о всемирном тяготении из уравнений Кеплера.

Пример 77. Определить закон притяжения планет к Солнцу, считая известными законы Кеплера (§ 48).Пример 77. Определить закон притяжения планет к Солнцу, считая известными законы Кеплера (§ 48).Согласно первому закону стемы движутся по эллипсам,Согласно первому закону стемы движутся по эллипсам,Кеплера (1571——1630) планеты Солнечной си-Кеплера (1571——1630) планеты Солнечной си-ввобщем фокусе которых находится Солнце. Помещая начало координат в центр Солнца S (рис 238) и обозначая через г радиус- вектор планеты относительно Солнца, а через 屮 полярный угол, отсчитываемый от радиус-вектора SP планеты в ее наиболее близком к Солнцу расстоянии (в перигелии),общем фокусе которых находится Солнце. Помещая начало координат в центр Солнца S (рис 238) и обозначая через г радиус- вектор планеты относительно Солнца, а через 屮 полярный угол, отсчитываемый от радиус-вектора SP планеты в ее наиболее близком к Солнцу расстоянии (в перигелии),будем иметь уравнение орбиты1 + е cos 屮 где р — параметр эллипса, равныйбудем иметь уравнение орбиты1 + е cos 屮 где р — параметр эллипса, равныйпланетыпланеты(29)(29)большей полуоси а, и фокусного расстояния кПо второму законустоянна, т. е.большей полуоси а, и фокусного расстояния кПо второму законустоянна, т. е.нию квадрата е V 1 — эксцентриситет длине большей полуоси.нию квадрата е V 1 — эксцентриситет длине большей полуоси.меньшей эллипса,меньшей эллипса,полуоси bполуоси bравныйравныйотноше- к длинеотноше- к длинеотношениюотношениюКеплера секториальная скоростьКеплера секториальная скоростьпланетыпланеты(§ 48) по-(§ 48) по-产0 = c.产0 = c.(30)(30)

Пример 77. Определить закон притяжения планет к Солнцу, считая известными законы Кеплера (§ 48).

Пример 77. Определить закон притяжения планет к Солнцу, считая известными законы Кеплера (§ 48).

Согласно первому закону стемы движутся по эллипсам,

Согласно первому закону стемы движутся по эллипсам,

Кеплера (1571——1630) планеты Солнечной си-

Кеплера (1571——1630) планеты Солнечной си-

в

в

общем фокусе которых находится Солнце. Помещая начало координат в центр Солнца S (рис 238) и обозначая через г радиус- вектор планеты относительно Солнца, а через 屮 полярный угол, отсчитываемый от радиус-вектора SP планеты в ее наиболее близком к Солнцу расстоянии (в перигелии),

общем фокусе которых находится Солнце. Помещая начало координат в центр Солнца S (рис 238) и обозначая через г радиус- вектор планеты относительно Солнца, а через 屮 полярный угол, отсчитываемый от радиус-вектора SP планеты в ее наиболее близком к Солнцу расстоянии (в перигелии),

будем иметь уравнение орбиты

1 + е cos 屮 где р — параметр эллипса, равный

будем иметь уравнение орбиты

1 + е cos 屮 где р — параметр эллипса, равный

планеты

планеты

(29)

(29)

большей полуоси а, и фокусного расстояния к

По второму закону

стоянна, т. е.

большей полуоси а, и фокусного расстояния к

По второму закону

стоянна, т. е.

нию квадрата е V 1 — эксцентриситет длине большей полуоси.

нию квадрата е V 1 — эксцентриситет длине большей полуоси.

меньшей эллипса,

меньшей эллипса,

полуоси b

полуоси b

равный

равный

отноше- к длине

отноше- к длине

отношению

отношению

Кеплера секториальная скорость

Кеплера секториальная скорость

планеты

планеты

(§ 48) по-

(§ 48) по-

产0 = c.

产0 = c.

(30)

(30)

Fr = m (г —厂©В, 尸$ = 0.Fr = m (г —厂©В, 尸$ = 0.(31)(31)Вспоминая уравнения движения в полярных координатах (13), заключаем, что искомая сила 尸 притяжения планеты с массой m к Солнцу имеет проекции

Fr = m (г —厂©В, 尸$ = 0.

Fr = m (г —厂©В, 尸$ = 0.

(31)

(31)

Отсюда сразу следует, что на планету действует сила, направленная по радиус-вектору планеты ——центральная сила, а орбита (траектория)——центральная орбита.

Остается определить величину Fr и сторону, в которую направлена сила 尸.Для этого по (29) и (30) вычисляем

〃е sin (р • 0ре sin 隼С _ Се $也

(1 + ^ cos ф)2 — (1 + е cos 屮)2产一 р

Ср . Се С С2е cos (р

—cos ср • ср = cos ф • -jy =——,

после чего по первой из формул (31) с учетом (29) и (27) находим

FrFrтс?万2，тс?万2，(32)(32)откуда заключаем, что планета движется под действием силы притяжения к Солнцу, прямо пропорциональной массе планеты и обратно пропорциональной квадрату ее расстояния до Солнца.Обозначая через т период обращения планеты и вспоминая, что площадь эллипса равна лаЬ, по определению секториальной скорости находимоткуда заключаем, что планета движется под действием силы притяжения к Солнцу, прямо пропорциональной массе планеты и обратно пропорциональной квадрату ее расстояния до Солнца.Обозначая через т период обращения планеты и вспоминая, что площадь эллипса равна лаЬ, по определению секториальной скорости находим^■Сх^паЬ,^■Сх^паЬ,так чтотак чтоe24冗2出匕24冗2q3"У「2 (坟/切^7—e24冗2出匕24冗2q3"У「2 (坟/切^7—после чего вместо (32) получим-4h2a3 wf =:— • —5 •после чего вместо (32) получим-4h2a3 wf =:— • —5 •(33>(33>Согласно третьему закону Кеплера отношение «3/т2 одинаково для всех планет Солнечной системы. Предположив, что масса Солнца М аналогично массе планеты т входит в формулу для силы притяжения в виде множителя,Согласно третьему закону Кеплера отношение «3/т2 одинаково для всех планет Солнечной системы. Предположив, что масса Солнца М аналогично массе планеты т входит в формулу для силы притяжения в виде множителя,примем, чтопримем, что4冗2歩4冗2歩(34)(34)где f ——коэффициент пропорциональности, который не должен зависеть ни от массы Солнца, ни от массы притягиваемой к Солнцу планеты, т. е. быть универсальной константой. Тогда формула (33) запишется в видегде f ——коэффициент пропорциональности, который не должен зависеть ни от массы Солнца, ни от массы притягиваемой к Солнцу планеты, т. е. быть универсальной константой. Тогда формула (33) запишется в виде尸*尸*МтМт(35)(35)

Fr

Fr

тс?

万2，

тс?

万2，

(32)

(32)

откуда заключаем, что планета движется под действием силы притяжения к Солнцу, прямо пропорциональной массе планеты и обратно пропорциональной квадрату ее расстояния до Солнца.

Обозначая через т период обращения планеты и вспоминая, что площадь эллипса равна лаЬ, по определению секториальной скорости находим

откуда заключаем, что планета движется под действием силы притяжения к Солнцу, прямо пропорциональной массе планеты и обратно пропорциональной квадрату ее расстояния до Солнца.

Обозначая через т период обращения планеты и вспоминая, что площадь эллипса равна лаЬ, по определению секториальной скорости находим

^■Сх^паЬ,

^■Сх^паЬ,

так что

так что

e24冗2出匕24冗2q3

"У「2 (坟/切^7—

e24冗2出匕24冗2q3

"У「2 (坟/切^7—

после чего вместо (32) получим

-4h2a3 w

f =:— • —5 •

после чего вместо (32) получим

-4h2a3 w

f =:— • —5 •

(33>

(33>

Согласно третьему закону Кеплера отношение «3/т2 одинаково для всех планет Солнечной системы. Предположив, что масса Солнца М аналогично массе планеты т входит в формулу для силы притяжения в виде множителя,

Согласно третьему закону Кеплера отношение «3/т2 одинаково для всех планет Солнечной системы. Предположив, что масса Солнца М аналогично массе планеты т входит в формулу для силы притяжения в виде множителя,

примем, что

примем, что

4冗2歩

4冗2歩

(34)

(34)

где f ——коэффициент пропорциональности, который не должен зависеть ни от массы Солнца, ни от массы притягиваемой к Солнцу планеты, т. е. быть универсальной константой. Тогда формула (33) запишется в виде

где f ——коэффициент пропорциональности, который не должен зависеть ни от массы Солнца, ни от массы притягиваемой к Солнцу планеты, т. е. быть универсальной константой. Тогда формула (33) запишется в виде

尸*

尸*

Мт

Мт

(35)

(35)

Таков общий вид формулы закона всемирного тяготения, справедливого для любых двух тяготеющих масс.

Универсальная постоянная тяготения f, выражающая силу взаимного притяжения двух масс в 1 г каждая, находящихся друг от друга на расстоянии 1 м, была определена путем непосредственного измерения (с помощью точных крутильных весов) силы притяжения двух шаров впервые Кавендишем в 1798 г., позднее более точно Этвешем в 1912 г.; по современным данным

/ = 6,67 • 10~11 м3/(кг • с2).(36)

Законы сил

Установление закона силы может происходить путем непосредственного обобщения результатов опыта, заключающегося в определении закона силы по наблюдаемому движению. Примером может служить только что приведенный вывод закона всемирного тяготения Ньютона из экспериментально установлен- ннх Кеплером кинематических законов движения планет (§ 48).

Остановимся подробнее на рассмотрении некоторых наиболее важных законов сил.

Постоянная по величине и направлению сила. Таковы: сила тяжести, т. е. сила тяготения при движении тела в области, малой по протяженности в сравнении с размерами земного шара, действие на электрон постоянного во времени и однородного электрического поля, сила кулонова трения, действующая на тело, движущееся по наклонной плоскости. Принимая, например, вертикальное направление в данном пункте земного шара за ось г, будем иметь закон силы тяжести 尸z = 土 G, где G — вес тела, а знак зависит от того, будет ли ось г направлена вниз или вверх.

z八z八Сила, зависящая о т времени. Примером может служить сила, втягивающая (выталкивающая) намагниченный сердечник в катушку, по обмотке которой течет переменный электрический ток. Если предположить, что длина катушки велика по сравнению с ее радиусом, а смещения сердечника малы по сравнению с длиной катушки, то проекция на ось катушки силы взаимодействия сердечника с ка・ тушкой может быть представлена формулой

z八

z八

Q% = 4冗〃m, = 4nmnlQ sin 亨~,(37)

где m — магнитная масса сердечника, п—число витков проволоки на единицу длины катушки, Т — период переменного тока, /о—амплитуда величины тока.

Сила, зависящая от положения точки в пространстве (позиционная сила). Простейшим примером такого рода силы может служить натяжение F упругой нити, связывающей

(рис. 239) движущуюся точку М с некоторым центром О, который можно выбрать так, чтобы при совпадении точек М и О удлинение нити равнялось нулю. Тогда, согласно закону Гука о пропорциональности величины упругой силы относительному удлинению нити, будем иметь

F = — с . ом = — ”，(38)

где учтено, что сила упругости 尸 направлена вдоль ОМ от точки Л1 к точке О. Коэффициент пропорциональности с характеризует упругие свойства нити и численно равен силе, растягивающей нить на единицу длины.

Проекции упругой силы на оси координат будут

Аналогично можно найти проекции силы тяготения масс или притяжения (отталкивания) двух электрически женных тел. Помещая (рис. 239) в точку О массу mi, а в М массу т2, будем иметь

двухзаря-точку(40)двухзаря-точку(40)причем в этой векторной формуле учитываются как величина, так и направление силы, приложенной к точке М\ проекции той же силы на оси координат равны

двухзаря-точку

(40)

двухзаря-точку

(40)

(炉 + 严 + z2)%，

3 T运令^⑷)

Сила, зависящая от скорости точки. Примером силы, зависящей по величине и направлению только от скорости точки, может служить сила, действующая со стороны однородного магнитного поля на частицу, несущую электрический заряд (лоренцева сила). Если напряжение магнитного поля обозначить через Я, скорость частицы через и, а электрический заряд через е, то действующая на движущуюся частицу сила будет определяться по величине и направлению формулой

F = ev\H. (42)

Если для упрощения выражения проекций этой силы на оси координат принять за ось Ох направление магнитного поля, задаваемое вектором напряжения Я, то Нх = ", Ну = 0, "^ = 0, и выражения проекций силы 尸 примут вид

尸％ = 0, Fy = e"%, F『一eHby. (43)

Сила сопротивления среды движущемуся в ней поступатель^ но, прямолинейно и равномерно телу зависит от его скорости. Если f(u) обозначает численную величину силы сопротивления среды, то вектор силы сопротивления будет (по условию противоположности его направления направлению вектора скорости V)определяться формулой

D =—粤 ％ (44)

а проекции этой силы на оси координат могут быть представлены так:

Dx = - -^7^х, D产—岭^丸 2=一1^1 力 (45)

Если, например, сила сопротивления может быть принята пропорциональной первой степени скорости, т. е. /(и)=/и, где 々——коэффициент пропорциональности, зависящий от физических свойств среды и формы тела, то получим

Dx = — kx, Dy = — ky, Dz ——々纟；(46)

такова, в частности, сила сопротивления медленному движению в очень вязкой жидкости шарика, определяемая формулой Стокса (ц — коэффициент вязкости, а — радиус шарика)

。=6冗卩叫(47)

так что в этом случае 々=6呻а.

Сила, зависящая от ускорения. Если шарик радиуса а движется поступательно и прямолинейно с ускорением w в идеальной (невязкой) жидкости, то сила сопротивления жидкости (согласно ее свойству инертности) ускоренному движению шарика будет равна по величине половине произведения массы жидкости в объеме шарика на его ускорение и направлена в сторону, противоположную направлению вектора ускорения. Эта сила сопротивления D может быть выражена векторной формулой )

D= — ^ TO3pw = — Zw,(48)

где р ——плотность жидкости.

Коэффициент 九，имеющий размерность массы, носит наименование «присоединенной массы» шара. Происхождение этого наименования связано с тем, что уравнение движения шарика собственной массы m под действием силы О и другой какой-нибудь силы Р

mw = P + D = P — Kw

может быть переписано в виде

(т + K)w~ Р.

Это уравнение допускает следующую трактовку: под действием силы Р шарик в жидкости движется так, как шарик в пустоте, но с массой, увеличенной на «присоединенную массу», равную половине массы жидкости в объеме шарика. Присоединенная масса оказывает значительное влияние на движение тела в жидкости только в том случае, когда она имеет тот же порядок величины, что и собственная масса тела, т. е. когда плотность жидкости сравнима по величине с плотностью движущегося в ней тела.

В проекциях на оси координат сила сопротивления, пропорциональная ускорению, будет выражаться так:

Dx == — Лх, Dy = — А», Dz =一Лг.(49)

В дальнейшем нам придется иметь дело по преимуществу лишь с силами, зависящими от времени, положения точки в пространстве и ее скорости. При этом проекции равнодействующей силы, приложенной к движущейся точке, будут определяться как функции времени, координат и проекций скорости, так что закон силы будет выражаться формулами вида

% = F<t； х, у, z;文，», г), 乙=乙"；匕丛之；北，У,2)，(50)

九=九仁 %, у, г;冗г);

в полярной системе координат аналогично Fr = Fr (/; г, ср; г, ф), p^ = p^) (^；广，Ф；九 Ф)；

соответствующие выражения будем иметь и в других системах координат.

Вторая задача динамики материальной точки

В отличие от первой задачи динамики, решение которой позволяет найти закон силы по заданным конечным кинематическим уравнениям движения, целью второй задачи динамики является определение движения по заданному закону действия сил. Изложение методов решения этой задачи составляет, по существу, основное содержание всех разделов динамики.

Возвращаясь к основному уравнению динамики точки в декартовых координатах (7), перепишем его, согласно (50), в форме

mx = Fx(t\ %, у, а;兑，丸 z),

my = Fy (/; x, у, %;尤 у, г),(52)

mz = Fz (/; х, g, г; x, у, г).

Совокупность равенств (52) представляет собой систему трех обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка относительно трех неизвестных функций — координат точки %«)、 У«)， 2(%) — и носит наименование основных дифференциальных уравнений движения материальной точки. Для разыскания неизвестных функций необходимо выполнить интегрирование системы (52).

Общим интегралом системы дифференциальных уравнений движения (52) служит система уравнений в конечной форме

屮1(/； %, y, 2； &,c2，e3,e4，С5，06)= °,

中20； %，У, 2； &,c2，С3，°4，c5, 06)= °，(53)

中3"；尤, y, 2； &,c2，e3，e4，С5，С6)= 0,

связывающая время, координаты и соответственно числу уравнений и их порядку шесть произвольных постоянных интегрирования Ci, С2, ..., Сб・ Уравнения (53) называют вторыми интегралами уравнений движения (52).

Дифференцируя каждое из уравнений (53) по времени, получаем систему равенств вида

① 1 (‘； %, y，N；文，»,纟；&,c2,e3，e4,С5, С6)^1 °,

①2(f；居 У,之；文，y j 之；01，。2，e3，。4,05，06)= °,(54)

①за； X, У, N；文，У, Z； &,e2,e3,e4,05,С6)=0；

их называют первыми интегралами уравнений движения. В ряде случаев такого рода равенства, связывающие время, координаты, проекции скорости и в том или другом числе произвольные постоянные интегрирования, получаются путем непосредственного однократного интегрирования уравнений (52). Таковы, например, интеграл площадей и интеграл живых сил, с которыми мы познакомимся в следующем отделе.

Задавая значения координат и проекций скорости в начальный момент времени f=力(начальные условия задачи):

прн /==/() X = %о, у = Уо, 2=2(),

(55)

% = №, У = Jo, 2 = 2о

и подставляя эти начальные значения времени, координат и проекций скорости в (53) и (54), получаем систему шести уравнений с шестью неизвестными постоянными Ci, С2, ..., С6:

中 1с0；尤J，й0, 2。； &,c2，e3, &,c5,06)= °,

① 1 "0； %0，%，之0；戈0，"0，20； &，c2，С3,С4,05，^6)== 0,()

пользуясь которыми, выразим Ci, C2, ..., C6 через начальные координаты и проекции скорости (55). Подставляя эти значения постоянных в систему (53) и разрешая ее относительно координат, находим искомые конечные уравнения движения материальной точки:

X = fl(/； %о, %, No；北0, %，Со),

y = %(/：夠，玖)，20；自，仇，c0),(57)

2 = %e；%0,%，%；北0, %，20)・

Определение решения системы дифференциальных уравнений движения (52) при заданных начальных значениях координат и скоростей (55) представляет собой пример так называемой задачи Ко以〃.Эта задача, как доказывается в теории дифференциальных уравнений, при весьма общих ограничениях, накладываемых на правые части дифференциальных уравнений, имеет решение и притом единственное. В теоретической механике могут ставиться задачи и другого типа — краевые задачи. Так, например, можно задать положения точки, соответствующие двум различным моментам времени f = % и f =九；при этом система (53) также приведет к шести уравнениям с шестью неизвестными, но, в отличие от задачи Коши, такого рода краевая задача может и не иметь решения, а если будет иметь, то это решение может оказаться не единственным.

Поясним сказанное простыми примерами; более сложные задачи составляют содержание следующих глав. Начнем со случая прямолинейного движения материальной точки под действием постоянной по величине и направлению силы.

Пример 78. Тело (рис. 235) спускается под уклон в 5°; считая сопротивление трения постоянным и коэффициент трения равным 0,02. определить скорость тела через 10 с после начала движения и пройденный им к этому времени путь.

Напишем дифференциальное уравнение движения (см. пример 73) в проекции на ось Ох:

тх = mg sin а —尸=mg sin а — fmg cos а.

Ввиду малости угла а = 5° ^ 0,087 имеем sin а ^ а, cos а ^ 1, я, следовательно,

戈=9,81 (0,087 一 0,02) = 0,657 м/с.

Интегрируя, находим первый интеграл движения

х = 0,657/ + С.

В начальный момент / = 0,戈=0, так что и С = 0. Следовательно, скорость будет равна

о% === х == 0,657f м/с.

При / == 10 с найдем и% = 6,57 м/с. Повторное интегрирование определит абсциссу х движущегося тела; будем иметь второй интеграл

х = 0,3285/2 + С1.

Совмещая начало координат О с положением тела в начальный момент, т. е. полагая % = 0 при / = 0, получаем С【=0, и уравнение движения тела будет

% = 0,3285/2 м.

При f = 10 с найдем 力比 33 м.

В тех случаях, когда сила задается различными функциями времени на отдельных участках движения, интегрирование уравнений движения приходится производить раздельно по этим участкам, а затем уже, пользуясь

34 ГЛ. XIX. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ произвольными постоянными интегрирования, своими для каждого участка, сращивать полученные решения между собой на краях участков.

Пример 79. К материальной точке массы т, находящейся в покое, прикладывается в момент времени / = 0 сила, величина которой меняется по гармоническому закону

尸=尸0 cos со/.

Определить движение точки под действием этой силы.

Принимая линию действия силы 尸 за ось Ох и положение покоя точки за начало координат, проинтегрируем один раз уравнение движения

тх — F = Fq cos cot

Получим первый интеграл

х = ——-—• sin со/ + С.

Повторное интегрирование дает второй интеграл

% ^Хг cos со/ + Cf + &.

Из первого интеграла следует С = 0, так как в начальный момент точка находилась в покое и х = 0 при t = 0. Вторую постоянную Ci определим из второго интеграла, воспользовавшись условием, что % = 0 при / = 0; будем иметь

Ci =Т-.

Окончательно находим

% =乜(1 — cos co/).

Точка совершает гармоническое колебание с амплитудой FJ (加①？) около центра колебаний с абсциссой %* = Fo/ (m(o2).

Пример 80. Рассмотреть вертикальное движение материальной точки под действием земного тяготения, обратно пропорционального квадрату расстояния точки до центра Земли.

Поместив начало координат О в центр Земли, направим ось Ох по радиусу Земли, проведенному через данный пункт земной поверхности. Дифференциальное уравнение движения, если пренебречь сопротивлением воздуха и вращением Земли, будет

тх = — С/%2.(58)

Применим его к поверхности Земли, положив х = R, где R — радиус Земли в рассматриваемом пункте поверхности, а х =——g； тогда получим

С = mgR2.

Уравнение движения при этом перепишется в форме

元==-竦/炉.(59)

Для qpo интегрирования произведем замену

... dvx dvx dx dvx

x = u%, x == vx

di dx dt “ d%

Разделяя в уравнении (59) переменные, будем иметь

奴 d°x= —gR2 替.

Введя начальные условия

при / = 0% = %o》R, х = vx = ± vQi

проинтегрируем обе части предыдущего уравнения и получим следующий первый интеграл уравнения движения:

成一遂=2gR2 (^ 一 击)•(60)

Определим максимальное расстояние Н, на которое удалится тело, брошенное с поверхности Земли с заданной начальной скоростью и。. Полагая в (60)以=0, %о = R, % = Я, получаем

v°=2^2(i~i)'$(61)

Из первой формулы (61) вытекает, что начальная скорость движения, которую необходимо сообщить телу для того, чтобы оно удалилось на бесконечность (” =оо), будет равна

% = "冢.(62)

Полагая в (60) %° = 8, % = R, и0 = 0, убедимся, что с той же скоростью достигнет Земли тело, начавшее падение из бесконечно удаленной точки с нулевой начальной скоростью. Скорость »8, определенная формулой (62), представляет характерную для рассматриваемого движения величину и называется «скоростью из бесконечности». Как будет показано в следующей главе, снаряд, выпущенный с поверхности Земли с такой скоростью, не вернется на Землю независимо от того, под каким углом будет произведен выстрел. Если принять g = 9,81 м/с2 и R = 6,4・106 м, то скорость ите будет равна

。8 = д/2-9,81 -6400- 103 = 11 206 м/с Q 11,2 км/с.

В настоящее время скорость Us = t^, определенную по формуле (62), называют «второй космической скоростью».

Понятие второй космической скорости, или скорости из бесконечности, может быть обобщено на случаи притяжения к любой планете массы М и радиуса R. Согласно общему закону тяготения (40) постоянная С, стоящая в правой части (58), равна fmM. Заменяя в равенстве (62)

получим в случае притяжения к телу массы М следующее общее выражение для второй космической скорости:

02 ="受。(63)

Пример 81. Определить движение точки под действием силы, постоянной по величине и направлению.

Таким будет, например, движение тяжелой точки вблизи поверхности Земли, если отвлечься от вращения Земли и сопротивления воздуха, или движение наэлектризованной частицы в однородном электрическом поле.

Пусть на точку М массой m действует постоянная сила 尸.Дифферен* циальное уравнение движения

=尸，или r = — F

по условию постоянства вектора силы имеет первый интеграл

г = -^- Ft + С.т

Замечая, что г равно скорости, найдем, что постоянный вектор С представляет собой начальную скорость и。，и получаем

1

г = — Ft + Vo.

т

Интегрируя второй раз, будем иметь второй интеграл

(64)

где г0 — начальный вектор-радиус точки М. Это соотношение показывает, что вектор г — Го расположен в плоскости векторов 尸 н и° и, следовательно, траектория точки представляет плоскую кривую, расположенную в этой плоскости.

Примем начальное положение точки за начало координат О (г0 = О, X。= *о = 0), ось Ох направим перпендикулярно к силе 尸 так, чтобы вектор начальной скорости и。образовывал с осью Ох острый угол 0о； ось Оу будет при этом совпадать по направлению с силой 尸 или ьаправлена в противоположную сторону, так что

尸% = 0,尸g = 士尸，f2 = 0,

Vqx =。0 cos 00, Uog = Do sin 00, Uoz = 0.

Второй интеграл в проекциях на оси будет

р

x = vQt cos 00, У — ± 2^J- ^2 + vot sin 00, 2 = 0.(65)

Это — известное из кинематики (§ 44) параболическое движение. Рассматривая, например, движение снаряда в пустоте как движение материальной точки массы т = G/g под действием силы тяжести G и направляя ось у в плоскости стрельбы вертикально вверх (Fy =——G), будем иметь

X == Vot cos 00, у 2——Ь %/sin Во.(66)

Траектория этого движения — парабола

у = % tg %у = % tg %2党 cos2 002党 cos2 00(67)(67)

у = % tg %

у = % tg %

2党 cos2 00

2党 cos2 00

(67)

(67)

—была подробно изучена в кинематике (§ 44); эта парабола симметрична относительно вертикали, проходящей через ее вершину; угол падения снаряда равен углу вылета; скорости падения и вылета также равны друг другу.

Напомним формулы максимальной высоты Н снаряда над горизонтом и горизонтальной дальности L:

ЯЯ^о sin2 00^о sin2 00欣 sin 200欣 sin 200

Я

Я

^о sin2 00

^о sin2 00

欣 sin 200

欣 sin 200

Изменения, вносимые в это движение сопротивлением воздуха и удале* нием снаряда на большие расстояния от поверхности Земли, будут рассмотрены в следующей главе.

Движение, соответствующее уравнениям (65), будет совершать и частица, несущая электрический заряд 土с в однородном электрическом поле напряжения Е. В этом случае надо будет положить Г = 士еЕ.

Пример 82. Определить траекторию наэлектризованной частицы массы т и заряда е в однородном магнитном поле напряженности Я, если сила взаимодействия частицы и поля равна еи X ", где и ——скорость частицы.

Основное уравнение движения имеет вид

(69)(69)dv„

(69)

(69)

m = eu X К.

Переходя к естественным уравнениям (§ 83), и проектируя на касательную (т) и нормаль (几)к траектории, получаем

т ~^ = е (и X Н) • т, т -~- = е (и X Н) •也(70)

Замечая, что единичный вектор т параллелен и и, следовательно, перпендикулярен к вектору и X Н, находим

m =0, и = const = о。，

частицы постоянна по а вектор п параллеленчастицы постоянна по а вектор п параллелен(71)(71)，.e. касательное ускорение равно нулю и скорость величине; полное ускорение сводится к нормальному, z> X Н. Тогда из второго уравнения (70) будем иметь

частицы постоянна по а вектор п параллелен

частицы постоянна по а вектор п параллелен

(71)

(71)

т — = evQH sin (р,

где ср ——угол между вектором скорости v и вектором напряженности поля Я. Легко показать, что этот угол также постоянен. Для этого умножим обе части векторного уравнения движения (69) скалярно на единичный вектор Н/Н\ вследствие постоянства направления Я будем иметь

dvH

m — - =0, vH = % cos (p = const,

откуда следует, что 中=фо- Из уравнения (71) при ттом получим

mvQр = —.

еН sin(ро

Мы видим, что траектория имеет постоянный радиус кривизны и образует постоянный угол с магнитными линиями. Это ——винтовая линия на кру・ говом цилиндре с осью, параллельной магнитным линиям. Радиус цилиндра а (§ 46) связан с радиусом кривизны соотношением

4冗2a2.mv sin ср。

2 + 4 r 2a2"ен ，

а шаг h винтовой линии равен

§ 88. Связь между первой и второй задачамидинамики материальной точки

Как видно из только что приведенных простейших примеров, при решении второй, основной задачи динамики материальной точки приходится пользоваться как статическими законами сил (постоянная сила тяжести, упругая сила, сила тяготения), так и динамическими законами (сила сопротивления, лоренцева сила). Эти законы сил устанавливаются в результате решения частных задач и последующего обобщения этих решений на широкие классы явлений, моделирующих движения материальньк точек.

Может возникнуть мысль, что такое определение сил из уравнения динамики и обратная подстановка этих сил в то же уравнение представит собой порочный круг. Некоторые авторы курсов теоретической механики вообще не признают значения уравнения динамики как основного закона естествознания, сохраняя за ним лишь роль определения силы.

Ошибочность такого взгляда заключается в том, что не учи* тывается смысл изложенной выше специальной постановки первой задачи динамики (в частности, задачи Бертрана), определяющей не просто силу, а общий закон сил, соответствуюихий обширному классу явлений.

Здесь уместно еще и еще раз повторить слова Ньютона, так поясняющие основную задачу динамики: «по явлениям движения распознать силы природы, а затем по этим силам изъяснить остальные явления».

Согласно принципу независимости действия сил можно решить первую задачу в специальной ее постановке для различных законов сил, взятых по отдельности, а затем поставить вторую задачу динамики, т. е. найти движение материальной точки под действием совокупности законов сил. Таким образом, спениаль- ная постановка, определяя общие законы сил, позволяет предсказывать движение материальной точки при разнообразных по физической сущности силах и начальных условиях движения^ приводящих к кинематическим характеристикам движений в конкретных случаях.

Методы решения второй задачи динамики разъясняются на примерах, помещенных в следующих главах. Решение этих приМеров требует интегрирования некоторых простейших дифференциальных уравнений второго порядка, для чего достаточно первоначального знакомства с дифференциальным и интегральным исчислениями* ,

Глава XX

НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ ТОЧКИ

§ 89. Вертикальное движение тяжелой точки в средес сопротивлением, пропорциональным квадрату скорости

Примем силу сопротивления D равной по величине 入и?, где 入——постоянный коэффициент сопротивления, зависящий только от физических свойств среды, геометрической формы и размеров тела, а и — величина скорости. Направим ось Ох (рис. 240) по вертикали вниз; тогда дифференциальное уравнение движения будет иметь вид

аи^ = G + D% = G 千九尤2;(1)

заменяя G на mg и деля обе части на т, получаем

、м'9、м'9干箱2 = 冬 (受干善)，⑵

、м

'9

、м

'9

причем верхний знак относится к случаю движения точки вниз (нисходящее движение), нижний ——к случаю движения вверх (восходящее движение).

Введем обозначения для постоянных

тт⑶⑶

т

т

⑶

⑶

Рис. 240. ⑷Рис. 240. ⑷(2) примет вид ⑸(2) примет вид ⑸

Рис. 240. ⑷

Рис. 240. ⑷

(2) примет вид ⑸

(2) примет вид ⑸

и сделаем замену переменной х = и%.

Тогда дифференциальное уравнение движения

Рассмотрим отдельно случаи нисходящего и восходящего движений.

Г. Нисходящее движение. Такого рода движение возникнет, если проекция на ось Ох начальной скорости будет положительна (方％ =方>0). В этом случае уравнение (5) ин・ тегрируется так. Разделим переменные

к% = a dt>

и проинтегрируем:

£1п| 注制= + 3(б>

где 6 — постоянная интегрирования.

Отдельному рассмотрению подлежат два случая нисходя* щего движения:

а) Случай vx V с. Тогда, согласно (6), имеем

志亍=由mС用)，(7)

или

/ mcf+6) — I

%° / (acf+6) + 1 *⑻

Вводя гиперболический тангенс, связанный с показательной функцией формулами

th 2 =th 2 =片+ L片+ L穽+i '穽+i '(9>(9>

th 2 =

th 2 =

片+ L

片+ L

穽+i '

穽+i '

(9>

(9>

перепишем уравнение (7) в виде

vx = cth (act + 6).(10)

Для определения постоянной интегрирования 6 имеем начальное условие vx = и。при / = 0, так что по (10)

do = cth6.(II)

Устремив время к бесконечности, согласно (9) и (10), получими%~> с при / —> ОО.

Таким образом, определенная, согласно (3), постоянная с, равная

с= 7 嘤'(12)

имеет смысл предельной скорости, которая установилась бы по прошествии бесконечно большого времени, если бы точка продолжала падать вертикально под действием постоянной силы тяжести G в среде с сопротивлением, характеризуемым коэффициентом 入.

Гиперболический тангенс представляет собой функцию, монотонно возрастающую от —1 до +1 при возрастании аргумента от ——оо до +оо. Следовательно, по (10) и (11) заключаем, что в рассматриваемом случае скорость точки монотонно возрастает от начального значения ио V с до величины предель* ной скорости V — с.

cthz =cthz =—с?25 — 1—с?25 — 1

cthz =

cthz =

—с?25 — 1

—с?25 — 1

^L±L=e2(act+6)t(13)

или

(⑷

б) Случай и% > с. Перепишем (6) в виде

Используя гиперболический котангенс

1 =發 + 6-2

th z 熊一e~2

перепишем последнее равенство в форме

(15)(15)vx — с cth (act + 6).

(15)

(15)

В этом случае постоянная интегрирования б определится из соотношения

% = с cth 6;(16)

скорость точки будет монотонно убывать от значения % > с до

величины предельной скорости и = с.

Пользуясь таблицами гиперболических функций, по формулам (10) или (15) определим скорость в любой момент времени.

При увеличении аргумента гиперболический тангенс, так же как и котангенс, быстро стремится к единице; например, th 3 = 0,995, cth 3 = 1,005, т. е. только на 1/2% разнятся от единицы; таким образом, скорость падения стремится к предельной скорости с, практически (с ошибкой 1/2%) достигая ее уже по прошествии времени

т = • (17)

На рис. 241 показаны графики скорости в случаях а) и б). В первом случае скорость асимптотически возрастает от у0 < до значения v = с, во втором — убывает от значения vQ> с до и = с. Если с самого начала придать точке скорость и。= с, то, очевидно, эта скорость будет сохраняться во все время движения. Через точку на оси ординат, отвечающую заданному

отношению ио/c, проведем прямую, параллельную оси абсцисс, да пересечения с графиком скорости. Абсцисса точки пересечения определит значение б, т. е. значение аргумента в правых частях (И) или (16) при / = 0, начиная с которого и следует пользоваться графиком скорости (см. штриховые прямые на рис. 241)*

Найдем вторые интегралы в случаях а) и б). В случае а) будем иметь

vx = x = cth (act + d),% = с \ th (act + 6)成十 p.

Интеграл в правой части легко вычисляется следующим обра* зом:

J丿 J ch (act + 6) ас J ch (act + 6)

=-^- In ch (act + 6), гак что

% = f In ch (act + d) + p.

Для определения постоянной интегрирования 0 примем началь* ное условие

при / = 0 % = 0;

тогда

В = —— In ch d.

Для простоты остановимся на случае 6 = 0, т. е. и。= 0; тогда ch 6 = 1, р = 0 и

x — ^-inchact.(18)

Из уравнений (10) и (18) легко исключить время и найти зависимость и от высоты падения й. Из уравнения (18) имеем

ch act =戸=gg九в；

подставляя это в равенство (10), переписанное в виде

sh actVch2 act — 11

получим искомую зависимость

% = с “Г二冃毎.(19)

При малых 九,т. е. больших с, разлагая е-2^/с2 в ряд, будем иметь

1 | 2g 九2g2 九 2

% = C V 1 一 1 + 鳴 + •••=

=画"1 一警+..亠"矶1一 警）■

Сопротивляющаяся среда вносит поправку в известную формулу скорости в пустоте уп = ^2gh — происходит относительное уменьшение скорости, равное по величине

Un —и% = Г gh

В случае б) аналогично получим

sh (act + 6)sh dsh (act + 6)sh d1 [

sh (act + 6)sh d

sh (act + 6)sh d

% = — Inа

2°. Восходящее движение. Сохраняя направление оси Ох по вертикали вниз и выбор начала координат О в начальном положении движущейся точки, будем иметь при подъеме ух < 0 и Dx ==Хх2, так что в уравнении (5) следует взять нижний знак; это приведет к интегрированию дифференциального уравнения

幣=a(。2+。》 (20)

Разделяя переменные и интегрируя, получаем

\=丄 a〕ctg — = а/ + ~,

J + и； с сс

где 6 — новая постоянная интегрирования. Из последнего уравнения сразу следует

vx = ctg(act + Ь),(21)

где, согласно начальному условию (и% = —и。при £ = 0), постоянная интегрирования 3 равна

б = — arctg -у-.(22)

Повторное интегрирование (21) дает

% = с \ tg (act + 6)成=一 ^ In с。，甯^ “(23)

О

причем здесь уже учтено начальное условие % = 0 при f = 0.

Восходящее движение будет продолжаться до тех пор, пока

скорость не обратится в нуль, т. е. по (21) до момента времени

(24)(24)

(24)

(24)

При этом максимальная высота подъема Л будет, согласно (23), равна

й = I x(/t) I = — — In cosd — 2^-ln^l + *)•(25)

При малом сопротивлении, т. е. при большом по сравнению с и。значении предельной скорости с, будем иметь, разлагая правую часть (25) в ряд и довольствуясь первыми двумя членами разложения,

,1

Вспоминая принятые в начале параграфа обозначения, получии 九=鶴)；(26)

формула эта дает относительное уменьшение высоты подъема из-за сопротивления среды по сравнению с соответствующей высотой в пустоте Лп

Изложенная выше теория падения тел в среде, сила сопро* тивления которой пропорциональна квадрату скорости тела, может найти применения в расчете движения спускаемых с космических кораблей аппаратов, а также спасения самих ракет, как это имеет место, например, в случае сравнительно небольших метеорологических ракет. Однако на пути непосредственного применения этой теории стоят многие трудности.

Наименьшая из них заключается в том, что спуск ракеты тормозится системой последовательно раскрывающихся парашютов—сначала вспомогательных, служащих для раскрытия основного парашюта, а затем и куполом раскрывшегося основного парашюта. Поэтапный расчет влияния этих парашютов не вызвал бы особо больших затруднений, если бы не было значительно большей трудности ——необходимости учета влияния переменной плотности воздуха, существенно зависящей от высоты над поверхностью Земли, причем по законам, значительно различающимся между собой на разных этапах спуска в атмосфере. Так, в нижнем слое атмосферы — тропосфере (Н V < 11 •103 м) крайние значения плотности отличаются втрое, а эмпирический закон относительного изменения плотности воздуха

в тропосфере имеет вид

р"、4,256

где ро = 1,23 кг/м3 — плотность воздуха на уровне моря при / = 15℃, а Я — высота над уровнем моря в метрах.

Применение ЭВЦМ делает решение таких задач вполне выполнимыми.

Полезно на примере спасания метеорологической ракеты В-2А *), предназначенной для исследования атмосферы на высотах порядка 200-103 м, проследить за последовательными этапами спуска и соответствующими этим этапам изменениями характерных параметров движения ракеты (/ — время в с, и — вертикальная скорость снижения в м/с, Н — высота ракеты над уровнем моря в м,尸一миделевая площадь купола парашюта в м2).

f = 0, и = 200 м/с, Н = 5 4- 4 • 103 м;

выход вспомогательного вытяжного купола (尸=0,52 м2);

вытягивание основного вытяжного купола (尸=2 м2);

наполнение основного вытяжного купола, отделение вспомогательного вытяжного купола, выход парашютной камеры, выход тормозного купола (F = 5,3 м2) из парашютной камеры, наполнение тормозного купола;

отделение основного вытяжного купола от парашютной камеры: / = 24 с, и = 65,5 м/с, // = 3 + 2・ 103 м.

вытягивание основных куполов из парашютной камеры, стягивание чехлов и отделение основного вытяжного купола с чехлами от основных куполов: f = 27 с, и = 68 м/с, " = 2790 + 1790 м.

наполнение двух основных куполов с площадью 尸= = 418X2 = 836 м2, и = 6,7 м/с, " = 2660 4- 1660 м.

/ = 452 с, ^ (приземления) = 5,9 м/с, " = 0.

При малых скоростях силу сопротивления среды можно считать пропорциональной величине скорости. Именно так обстоит дело в случае падения тела в вязкой жидкости, которое рассматривается в приведенном ниже примере.

Пример 83. Стальной шарик радиуса 厂=10~3 м падает без начальной скорости в глицерине. Определить движение шарика при условии, что сила сопротивления задается формулой D = 6л|1гу; здесь 快一динамический коэффициент вязкости глицерина, при 18℃ равный 1,07 Па-с; плотность стали р = 8-103 кг/м3.

Дифференциальное уравнение падения шарика будет (см. тот же рис. 240)

тх = mg ——6л|1гх

*)，См. Королев С. П. Исследование верхних слоев атмосферы с помощью ракет дальнего действия.——В сб.: Творческое наследие академика Сергея Павловича Королева. — М.: Наука, 1980, с. 368.

или после деления на mгдеили после деления на mгде北 + %土 = g,北 + %土 = g,(28)(28)6叩广tn6叩广tnблцг4/зМрблцг4/зМра 600 1/c.а 600 1/c.

или после деления на m

где

или после деления на m

где

北 + %土 = g,

北 + %土 = g,

(28)

(28)

6叩广tn

6叩广tn

блцг4/зМр

блцг4/зМр

а 600 1/c.

а 600 1/c.

Рассматривая уравнение (28) как неоднородное линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, представим решение как сумму общего интеграла

Xi =Ci + C2e~Kt

соответствующего однородного уравнения и частного решения 丫 _ gt

неоднородного уравнения. Общий интеграл уравнения (28), т. е. второй интеграл уравнения движения, равен

%=^/十e1+e2e一生(29)

Дифференцируя по времени, находим первый интеграл уравнения движения:

尤="£-М?2产".(30)

Начальные условия будут

при / = 0 х = 0, х = 0.(31)

Подставляя эти значения в первый и второй интегралы, получаем

у-九e2 = 0, Ci + е2 = 0?

откуда

Таким образом, согласно (29), имеем конечное уравнение движения

% = 京一含(1一产f)(32)

и формулу для скорости

土 = и =今(1 一产f).(з3)

Так же как и в случае квадратичного сопротивления, существует пре^ дельная скорость

с =今，(34)

к которой с точностью до 1/2% этой скорости точка приближается по прошествии времени

5,3

пройдя при этом, согласно (32), путь

А = 4,3•@6)

При принятом значении 入=600 1/с, получим

с «; 1,6 • 10~"2 м/с, т «? 0,01 с, А « 10~4 м.

Как следует из этого расчета, предельная скорость шарика невелика и достигается за малый промежуток времени на коротком пути.

§ 90. Движение снаряда в сопротивляющейся среде

Изучением движения снаряда в воздухе занимается внешняя баллистика. В настоящем параграфе мы рассмотрим основную задачу внешней баллистики в схематизированной и упрощенной постановке. Отвлекаясь от влияния формы снаряда и его вра

щения, от изменения плотности воздуха с высотой полета снаряда, от влияния вращения Земли, скорости ветра и многих других факторов, рассматриваемых во внешней баллистике, примем снаряд за материальную точку М массы т, совершающую движение под действием двух сил (рис. 242): силы тяжести G = mg и силы сопротивления воздуха D, направленной по ка

сательной к траектории снаряда в сторону, противоположную движению, и являющейся заданной функцией скорости и; эту функцию обозначим через 川(и). Естественные уравнения дви

жения снаряда будут иметь вид

т~^ = — mf(V)— mg sin 0, m -~- = mg cos 0,(37)

где 0 — угол вектора скорости с осью Ох (горизонтом). Замечая, что бесконечно малый угол dB представляет собой угол между касательными в двух смежных точках кривой, т. е. угол смежности, найдем

丄6丄6dedodedo_丄史 v di_丄史 v di(38)(38)

丄

6

丄

6

de

do

de

do

_丄史 v di

_丄史 v di

(38)

(38)

(знак минус взят потому, что 0 убывает с возрастанием дуги о); при этом уравнения (37) перепишутся в виде

黑=T(S - g sin 也需=一 -^.(39)

Исключая из этих уравнений 山，найдем

dv jedv jeuf ®)g cos 0uf ®)g cos 0+- у tg0,+- у tg0,(40)(40)

dv je

dv je

uf ®)g cos 0

uf ®)g cos 0

+- у tg0,

+- у tg0,

(40)

(40)

что можно переписать также в виде

(41)(41)d (и cos 0) — vf (у)~Не~

(41)

(41)

Предположим, что удалось найти решение уравнения (40), удовлетворяющее начальным условиям задачи (при 0 = 0О и = и。). Пусть это решение, дающее связь между величиной скорости и углом наклона ее к горизонту, т. е. уравнение годографа скорости в полярных координатах, имеет вид

и =屮(0).(42)

Из второго уравнения (39) найдем

成=一",(43)

g cos В

и, следовательно, поскольку при / = 0 0 = 00,

/ = _ 吗的(44)

J g cos 8

Далее, в силу (42) и (43) имеем

dx = vxdt = v cos 8 由=—十状(0)的(45)

dy = vy dt = V sinQdt = — ^ 炉(0) tg0的(46)

Помещая начало координат в начальном положении движущейся точки (х = 0, у = 0 при 0 = 0о), находим

ее

% = 一善\炉⑼°9，У = — £ \w2(9)tg8d9・(47)

006о

Формулы (44) и (47) решают поставленную задачу в предположении, что известно решение (42) дифференциального уравнения (40); это уравнение приводится к квадратурам лишь при некоторых частных предположениях о виде функции /(и), например, в следующих случаях: f(u)=au, f(v) = bv2, f(v) = =av + bv2 (Ньютон, Эйлер), f(v) = cvn (И. Бернулли), f(v)= =a + bvn (Даламбер) и др. Во внешней баллистике уравнение (40) обычно интегрируют численными методами.

Отметим некоторые общие свойства траектории снаряда, которые можно установить на основании выведенных уравнений движения.

Г. Переписав уравнение (41) в виде d〃 = du% df =叭 и) °

и замечая, что dB/dt V 0, находим dvx/dt V 0, т. е. горизонталь^ ная составляющая скорости все время убывает. В силу (46) далее имеем

晉=毋=一= —ddtg28); (48) интегрируя это выражение для восходящей ветви траектории по у от 0 до 九(у = h соответствует вершине кривой) и, следова* тельно, по 0 от 0о до 0, получим

о *

Если через 01 обозначить угол падения снаряда, то, интегри* руя (48) по нисходящей ветви, находим

второй интеграл больше первого, так как знаменатель подынтегрального выражения, согласно только что доказанной закономерности убывания горизонтальной проекции скорости vXf меньше, чем в первом интеграле. Итак, tg2 0i > tg2 0О, т. е. 01 > 0о — угол падения снаряда больше угла вылета.

2°. Умножая первое уравнение (39) на и, получаем равенство V * = — of (и) — go sin 9

или, вспоминая, что

v sin8 = Uy = %,

равенстворавенствоd (｝注)=—'(°)udt — g dy.d (｝注)=—'(°)udt — g dy.

равенство

равенство

d (｝注)=—'(°)udt — g dy.

d (｝注)=—'(°)udt — g dy.

Интегрируя, получаем

f (и) udt — gy.f (и) udt — gy.

f (и) udt — gy.

f (и) udt — gy.

В частности, при / =厶,где 九一момент падения снаряда на Землю, имеем у = 0, v = v\ (скорость падения) и предыдущее соотношение дает

у (比一喲=—\ uf (и) dt < 0,

о

т. е. скорость падения снаряда меньше скорости вылета.

3°. Угол 0 с течением времени уменьшается от начального значения 0О, обращаясь в вершине траектории в нуль и прини-

мая отрицательные значения на нисходящей ветви. При 0-> ——冗/2 из (44) получаем /-> оо. При этом %, согласно (47), стремится к величине

00

%* = £ \絞花，

-Л/2

которая вследствие ограниченности скорости падения снаряда в сопротивляющейся среде остается конечной. Это показывает, что траектория снаряда в сопротивляющейся среде имеет вертикальную асимптоту (рис. 243).

§ 91. Движение снаряда по настильной траекториипри сопротивлении среды, пропорциональном квадрату скорости

В случае сопротивления, пропорционального квадрату ско・ рости снаряда, примем

(49)(49)D = mf ®) = mbv2.

(49)

(49)

Уравнение (41) приводится к виду

d 9 COS 8)=色 8

или после деленияили после деления(50)(50)обеих частей на cos3 Оd (и cos 8) — b dO

или после деления

или после деления

(50)

(50)

(0 COS 0)3 — g cos3 0

Для стрельбы по хорошо видимым объектам, допускающим прямую наводку, используют пологую, образующую малые углы (обычно не более 15°) с горизонтом траекторию, называемую настильной. В этом случае уравнение (50) допускает простое приближенное интегрирование. Пользуясь тем, что cos 0 слабо изменяется (обычно в пределах 0,9664- 1), положим в знаменателе в правой части cos30 ^ cos 0О cos2 0 и перепишем уравнение (50) в виде

d (и cos 8) b d8、

(и cos О)3g cos Оо cos2 0 *()

откуда следует

d8 — g cos 备 d (u cos 8)cos2 0 — b (u cos 0)3，

н, согласно (45),

v2(° cos 8)2 d8cos 0o d (u cos G)

их =尸== — —г— ■ 7с—.

gg cos2 0b и cos 8

После интегрирования получим

COS Oo J，UoCOsBo、 или

(52)(53)(52)(53)v cos 0 = Vo cos0oe~\ где

(52)

(53)

(52)

(53)

Возвращаясь к равенству (51), подставим в него вместо ucose его выражение (52); тогда будем иметь

1 d(ef = ь d8

Vq cos2 0о е~奘 g cos Oo cos2 0

что после интегрирования дает

tgO = tgOotgO = tgOo(54)(54)

tgO = tgOo

tgO = tgOo

(54)

(54)

Заменяя tg0 на dy/dx и интегрируя еще раз, получаем приближенное уравнение траектории снаряда

В = % tg 9。一 謚^ (穽 一 2g — 1).(55)

Чтобы сравнить траекторию в сопротивляющейся среде с траекторией в пустоте, разложим е2^ в ряд по степеням 自 и после очевидных сокращений получим

У = % tg8oУ = % tg8og%2gb%32若 cos2 Oo 3t>Q cos2 Oog%2gb%32若 cos2 Oo 3t>Q cos2 Oo(56}(56}

У = % tg8o

У = % tg8o

g%2gb%3

2若 cos2 Oo 3t>Q cos2 Oo

g%2gb%3

2若 cos2 Oo 3t>Q cos2 Oo

(56}

(56}

Совокупность первых двух членов, не зависящих от коэффи* циента сопротивления 6, совпадает с уравнением траектории снаряда в пустоте, третий член дает поправку, обусловленную влиянием сопротивления; как видно из уравнения (56), действительная траектория располагается ниже параболы (рис. 243).

§ 92. Движение точки под действием центральной силы

Рассмотрим движение точки М массы т, подверженной действию силы 尸，линия действия которой во все время движения проходит через неподвижный центр О; такая сила называется центральной (§ 85, пример 77). Заметим, что траектория будет расположена в плоскости П (рис. 244), проходящей через- начальный вектор-радиус г0 и вектор начальной скорости а。. Доказательство того, что траектория движения под действием центральной силы является плоской кривой, будет дано ниже.

Составим уравнения движения в полярных координатах (г, ф) в плоскости 〃, проведя полярную ось через центр притяжения О и начальное положение точки Мо (рис. 245); будем иметь

m (户 一 Гф2)=%，子 ^ (产中) = 0. (57>

Начальные условия таковы:

(58>(58>при / = 0 г = Го, ф = 0,г = r0 = у0 cos а, г。©。= и。sin а.

(58>

(58>

Из второго уравнения системы (57) сразу следует первый интеграл уравнений движения, который запишем в форме

(59>(59>产 @ = 2С;

(59>

(59>

здесь С — постоянная интегрирования, равная, как известно из кинематики (§ 48), векториальной скорости S, т. е. производной по времени от площади S, описываемой радиус-вектором. Пользуясь начальными условиями, определим величину этой постоянной

(60)(60)yr0^0 sin а,yr0^0 sin а,S = С = ^~ /*офо =

(60)

(60)

yr0^0 sin а,

yr0^0 sin а,

после чего (59) может быть переписано так:

产ф = royo sin а.(61)

Этот первый интеграл уравнений движения носит наименование интеграла площадей.

Выведем дифференциальное уравнение траекторий движения материальной точки в плоскости под действием центральной силы. С этой целью исключим время из системы (57), используя интеграл площадей (59). Имеем

. dr . 2c drd / 1 \

丽

..dr .4c2 d2 / I

丁 — d(p © —г2 dq)2 V r J *

Подставляя полученное значение г в первое равенство (57) и снова используя (59), получим искомое дифференциальное уравнение траекторий в форме, указанной Бине,

為 6)+；=—4^・(63)

Вектор ускорения, а следовательно, по второму закону Ньютона и сила всегда направлены в сторону вогнутости траектории. В рассматриваемом сейчас движении под действием центральной силы можно заключить, что в случае притяжения (戶г V 0) траектория обращена вогнутостью к полюсу (центру притяжения), а в случае отталкивания (尸「＞ 0)——выпуклостью к полюсу (центру отталкивания). Траектория в центральном движении может иметь точку перегиба только в той точке пространства, где сила обращается в нуль.

Из уравнения Бине сразу при этом вытекает следующий известный из дифференциальной геометрии признак; если выражение

положительно, то кривая обращена к полюсу вогнутостью, в противном случае ——выпуклостью.

Обратимся теперь к рассмотрению частного случая ——движения точки под действием тяготения к центральному телу, массу которого 恤 будем считать сосредоточенной в центре О. В этом

случае будем иметьслучае будем иметь— f 翠L.Уравнение Бине (63) примет вид 遵 / 1、」1 fm0 _ 1— f 翠L.Уравнение Бине (63) примет вид 遵 / 1、」1 fm0 _ 1(64)(64)(65)(65)

случае будем иметь

случае будем иметь

— f 翠L.

Уравнение Бине (63) примет вид 遵 / 1、」1 fm0 _ 1

— f 翠L.

Уравнение Бине (63) примет вид 遵 / 1、」1 fm0 _ 1

(64)

(64)

(65)

(65)

Введенная для краткости величина р, имеющая размерность длины, может быть выражена через начальные данные движения при помощи выражения (60) и введенного выше [формула (63) гл. XIX] понятия 《скорости из бесконечности» Ug. Используя указанные формулы, получаем

丁需"⑶2 Sр а；丁需"⑶2 Sр а；(66)(66)

丁需"⑶2 Sр а；

丁需"⑶2 Sр а；

(66)

(66)

геометрический смысл величины р будет сейчас выяснен.

Общее решение уравнения (65) складывается из общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения; составив характеристическое уравнение, убедимся, что корнями его будут 土厶 так что

(67)(67)-1 == Ci cos ср + С2 sin ср + ~.

(67)

(67)

Это — второй интеграл уравнения (65); первый интеграл получим дифференцированием:

(68)(68)击(；) = —* 舒& sin ф + С2 cos ф.

(68)

(68)

Для определения произвольных постоянных G и С2 подставим во второй и первый интегралы начальные условия (58) и найдем

Го1 Го р

РавенствоРавенство厂1 Гоe2 =F「=iго Фо(67) принимает вид；=^~"^) COS ф厂1 Гоe2 =F「=iго Фо(67) принимает вид；=^~"^) COS фГоГоctga 宀 к 11—Sin(p + y.ctga 宀 к 11—Sin(p + y.(69)(69)

Равенство

Равенство

厂1 Го

e2 =F「=i

го Фо

(67) принимает вид

；=^~"^) COS ф

厂1 Го

e2 =F「=i

го Фо

(67) принимает вид

；=^~"^) COS ф

Го

Го

ctga 宀 к 11

—Sin(p + y.

ctga 宀 к 11

—Sin(p + y.

(69)

(69)

ВведемВведемв рассмотрение новые постоянные 6 и 8, положивв рассмотрение новые постоянные 6 и 8, положив

Введем

Введем

в рассмотрение новые постоянные 6 и 8, положив

в рассмотрение новые постоянные 6 и 8, положив

так чтотак чтоS =S ==S COS 8 , Го P=S COS 8 , Го P11S sin 8,S sin 8,(70)(70)e = arctg^Je = arctg^J2林’(71)2林’(71)

так что

так что

S =

S =

=S COS 8 , Го P

=S COS 8 , Го P

1

1

S sin 8,

S sin 8,

(70)

(70)

e = arctg^J

e = arctg^J

2

林’(71)

2

林’(71)

Уравнение (69) может быть теперь переписано в виде

；=6cos(屮一е) + ^;

(66)(72)(66)(72)если ввести новую постоянную е = рб, равную, согласно

(66)

(72)

(66)

(72)

ё="1-4（診）［1一（計）2卜也2%ё="1-4（診）［1一（計）2卜也2%И (71),

ё="1-4（診）［1一（計）2卜也2%

ё="1-4（診）［1一（計）2卜也2%

(73)(73)(74)(74)то предыдущее равенство приведется к уравнению конического сечения в каноническом виде

(73)

(73)

(74)

(74)

1 + е cos з

где введен новый угол

W = ф ~ 8,

Как следует из (73),Как следует из (73),носящий наименование истинной аномалии.

Как следует из (73),

Как следует из (73),

величины р и е служат основными параметрами, определяющими форму конического сечения. Таким образом: а) если начальная скорость и。меньше «скорости из бесконечности» уоо, то е V 1 и траекторией будет служить эллипс; б) если и。= =Us, то е = 1 и точка полетит по параболе; наконец, в) если и。> у ос, то е > 1 и траекторией будет служить гипербола.

Имея выражение е н р через на

чальные данные и «скорость из бес

конечности», можем по известным формулам геометрии опреде-

лить полуоси эллипса:

Р — го

(75}(75}(76>(76>2口-(瞰8)2]，

(75}

(75}

(76>

(76>

Р ― %(%/%) Sina

и-他/%产

а также и расстояние между фокусами, равное

2c = 2ае =2c = 2ае =「0 “1 一 4 (歐00)2 [1 — «о/%)2] Sin2 (X

2c = 2ае =

2c = 2ае =

1 一(％/%)2

Точка Р (рис. 246) на эллиптической орбите, находящаяся на наименьшем расстоянии от притягивающего центра О, назы*

вается перигелием, наиболее удаленная от центра О точка 4 — афелием. При прохождении точки М через перигелий Р

в афелии 4в афелии 4(77)(78)(77)(78)

в афелии 4

в афелии 4

(77)

(78)

(77)

(78)

b/a; площадь какой-либо части круга, умноженной на b/a:b/a; площадь какой-либо части круга, умноженной на b/a:

b/a; площадь какой-либо части круга, умноженной на b/a:

b/a; площадь какой-либо части круга, умноженной на b/a:

§ 93. Определение времени в эллиптическом движении

Обозначим через 電 момент прохождения планеты через перигелий. Со* гласно уравнению (60) имеем (рис. 246)

(79)(79)S = С (f — t) = -^^- (f 一 t) = ^» ab&

(79)

(79)

где S — площадь сектора РОМ, отсчитываемая от вектор-радиуса перигелия, 7 — период полного обращения точки, т. е. время, за которое вектор-радиус опишет площадь эллипса nab. Через * равное

■T"一g, (80)

обозначен угол, на который повернулся бы за время t — т вектор-радиус точки, описывающей окружность с постоянной угловой скоростью и периодом обращения Т. Угол 匚 называется средней аномалией.

Вычисление времени сводится к нахо-

ж дению площади сектора РОМ. Для этого вводят в рассмотрение еще один угол 〃, называемый эксцентрической аномалией. На большой оси эллипса, как на диаметре, строим окружность 厶(рис. 247) и продолжаем ординату эллипса в точке М до пересечения с этой окружностью в точке Л1ь Эксцентрической аномалией и будет служить угол Р0{М{ между вектор-радиу- сом точки Mi, проведенным из центра эллипса 01, и большой осью эллипса. Эллипс можно рассматривать как проекцию круга 厶 плоскость которого наклонена к плоскости эллипса на угол с косинусом, равным эллипса равна площади соответственной части

S = пл. РОМ = 2 пл. РОМ[ == • (пл. РО[М[ — пл. 01Ali0%aa

Заметив, что

пл. POiMi =} а?”，пл. 0\М{0 = g ca sin 〃 = % a2c sin %

получим

S

叫

и соотношение (79) после сокращения на общий множитель i/?ab приводит К уравнению Кеплера, связывающему эксцентрическую и среднюю аномалии:

(81)(81)

(81)

(81)

Выражение истинной аномалии w через эксцентрическую найдем, рассматривая отрезок ON, равный

ON = — г cos w == OOi — OiN = с — a cos 〃 = ае — a cos 〃，

откуда, воспользовавшись уравнением эллипса, получим

,р COS g ,

г cos 陋 + ае = -7—7h ae = a cos u.

Замечая, чтоЗамечая, чтобудем иметьбудем иметьP "12P "121 + e cos g

Замечая, что

Замечая, что

будем иметь

будем иметь

P "12

P "12

(82)(82)e + cos a>cos “ =

(82)

(82)

1 + e cos w

Если выразить косинус через тангенс половинного угла, то это соотношение приведется к виду

tg 导=Д^ ；兰 tg «^ ；(83)

перед корнем взят знак плюс, так как углы 酬/2 и 〃/2 всегда лежат в одном и том же квадранте.

Для решения уравнения Кеплера (81) было предложено большое число методов. Наиболее совершенный из них был дан в 1824 г. астрономом В. Бесселем (1784—1846). Из уравнения Кеплера следует, что разность функций 〃——С представляет собой периодическую функцию от 匕，обращающуюся в нуль в точках Р н 4, т. е. при значениях g, кратных л. Поэтому ее можно представить в виде ряда Фурье по синусам кратных углов

〃—之=X 4 sin R ,

й== 1

и дело сведется к вычислению коэффициентов Ak по формулам, определяющим коэффициенты ряда Фурье:

4 = ^ 卜〃-G) sin 左匕 d*

о

Интегрируя по частям, получаем

✓л

訂［(〃 一 £) cos 喇 一 J cos 牝(du 一 ％ 卜

==崇 \ cos 証 cos и d〃 ="^ I , cos (就 + 〃)d〃+、cos 伊占一〃)d〃 I»

0оJ

или после замены g его выражением по уравнению Кеплера (81)

ял

4 н 嗑"\ cos I，' sin и — (k+ I) u]du + *-，cos [ke sin 〃-信-1) и] du» оо

Оба интеграла в правой части этого равенства имеют вид л

—\ cos (х sin и — du.

о

Функция от х и л, представляемая этим интегралом, называется бесселевой функцией п-го порядка и обозначается /〃(％). Именно таким образом Бессель и ввел впервые в рассмотрение функции, впоследствии названные его именем. Итак,

4= *【厶+i (砧一厶т (А)】仇=1, 2,.・.)・

В теории бесселевых функций доказывается рекуррентное соотношение

On〃+1 (%) — //z-l(x) = Jtl (%),

позволяющее записать выражение коэффициента А* в форме

2

4月=7■/在他2).

Решение уравнения Кеплера принимает окончательный вид

и = ^ +2 ^й (^ s^n^ S-(84)

Согласно уравнению Кеплера имеем также

2 L 1sin и = ~ 5 — Jk 优е) sin 就.(85)

k= 1

Полученные ряды сходятся при любых значениях параметра е, как меньших, так и равных или больших единицы, что соответствует движениям по эллиптическим, параболическим и гиперболическим орбитам.

Определив по (84) эксцентрическую аномалию и как функцию средней аномалии 匚，пропорциональной времени, вернемся к соотношению (83) и найдем зависимость от g истинной аномалии ш а затем по уравнению траектории (73) и радиус-вектор г.

Эллиптическое движение тела, брошенного с Земли с большой начальной скоростью

Изложенная теория (§ 92), имеющая основное приложение в небесной механике (движение планет), может быть применена также к иследованию движения тел, бросаемых с большой начальной скоростью с поверхности земного шара. В этом слу-

1 - 41 - 41 —cos2 Л. (86)1 —cos2 Л. (86)значение emin легкозначение emin легко«min === Sin 九«min === Sin 九При % = ^|r = VgR・При % = ^|r = VgR・(87)(87)

1 - 4

1 - 4

1 —cos2 Л. (86)

1 —cos2 Л. (86)

значение emin легко

значение emin легко

«min === Sin 九

«min === Sin 九

При % = ^|r = VgR・

При % = ^|r = VgR・

(87)

(87)

чае «скорость из бесконечности» равна % = V2gR・ Вместо угла а между направлением начальной скорости и начальным радиусом-вектором, т. е. вертикалью данного пункта поверхности Земли, удобнее ввести 《угол бросания» % (рис. 248) между вектором начальной скорости и горизонтальной плоскостью. Основной формулой, связывающей начальную скорость Уо и эксцентриситет эллипса е, является равенство (72), которое может быть переписано в виде

Будем менять начальную скорость g от нуля до максимального ее значения ио max = %, при котором, как уже ранее было выяснено, траектория перестает быть замкнутой (при у0 = % имеем параболу, при и。＞。8 — гиперболу). В интервале О W и。0 % эксцентриситет е убывает от значения е = 1 до некоторого минимального значения emin и затем вновь возрастает до е=1. Минимальное определяется и оказывается равным

Максимальная скорость Уо = ^ь которая определяется вторым равенством (87) и при превышении которой траектория перестает быть замкнутой, называется «первой космической скоростью». В земных условиях она равна

V[ = “9,81 • 6400 • 103 = 7925 м/с 7,9 км/с.

Если угол бросания X = 0, то при этом emin = 0.

При малых и。траекториями тела служат эллипсы, близкие к параболе, что вполне соответствует ранее изученному параболическому движению в однородном поле тяжести, которое является, таким образом, первым приближением к действительному движению в поле тяготения. Наиболее удаленный фокус этих эллипсов находится в центре Земли, ближайший ——близ поверхности Земли. При возрастании начальной скорости и。 эксцентриситет уменьшается, что соответствует удалению ближайшего фокуса от поверхности Земли вглубь. Если начальный угол бросания X выбрать равным нулю, то е при и0 = V^^ станет равным нулю и траектория превратится в окружность;

тело, брошенное горизонтально с начальной скоростью и。= =“gR , будет описывать круговую орбиту с постоянной скоростью и0 вокруг Земли, став тем самым ее спутником. Если же X > 0, то, достигнув своего минимального значения (87), е начнет вновь возрастать вместе с начальной скоростью, пока не достигнет значения единицы, эллипс превратится в параболу и далее при е > 1 — в гиперболу.

Рассмотрим случай эллиптического движения тела несколько детальнее. Пусть тело М (рис. 248) брошено из точки Mq земной поверхности с начальной скоростью и。V Voo, образующей с горизонтом угол 九.Поверхность Земли показана на рисунке штриховкой, траектория тела — сплошной линией, остальная часть эллипса ——штриховой линией. Поставим задачу: по данным ио и X определить максимальную высоту траектории Н над поверхностью Земли, а также горизонтальную дальность, отсчитанную по дуге круга М^М{ и по хорде MQMt.

Высоту Н определим как разность

Н=ОЛГ-К = с + а —R = a(l +e)-R,

равную по (75)

L 1 _ (%/%)2 i」R _ —1-(％/%)2 — R(88)

В случае малых скоростей vq/Voo《1. Разлагая радикал (86) в ряд по степеням малой величины (vQ/voo)2 и отбрасывая величины в степенях выше четвертой, получаем

e={l~4(^[l ~(Ocos2T=

= 1—2(券у COS2九 + 2(詐JC0S2九 sin2九.

Подставляя эту величину е в равенство (88) и используя малость (0g/u8)2 в знаменателе, находим

"=(/沁也2 屮 +(^.)2соsn][1 +(言 Ж

(1 + COS2 矶,(1 + COS2 矶,=寸公也2空+=寸公也2空+

(1 + COS2 矶,

(1 + COS2 矶,

=寸公也2空+

=寸公也2空+

или, заменяя иМ его выражением v^ = 2gR9

”1 + 議(1 + c°s2^)] = W + 謁(I + cos2 A) sinU.

(89)

Первое слагаемое соответствует максимальной высоте подъема тела в параболической теории [первая формула (68) гл. XXIX] движения в однородном поле силы тяжести. Учтя уменьшение силы притяжения с удалением от центра Земли, мы, естественно, пришли к увеличению высоты подъема; второе слагаемое дает соответствующую поправку.

Для определения максимальной дальности по дуге круга MoMi, заметим, что, сравнивая рис. 245, 246 и 248, в принятых раньше обозначениях будем иметь

/МоОР = е, а = ^ +儿

и, следовательно, обозначая угол М^ОМГ = со, получим, согласно (70),

sin со = sin (п — е) = sin е = "^"=总/*

или по (66)

sin со =；(券J sin 2九.

Отсюда находим

(90)В ряд(91)(90)В ряд(91)М^МХ = R • 2①=2R arcsin ["|■(券 j sin 2九]・

(90)

В ряд

(91)

(90)

В ряд

(91)

При малых Уо/^оо, пользуясь разложением арксинуса и отбрасывая члены, содержащие (^о/^оо)6, будем иметь

Вспоминая разложение величины е, заключим, что с той же точностью

尸宅^ 口+2(河 ss2斗(92)

Сравнивая этот результат с параболической теорией [вторая формула (68) гл. XIX], убеждаемся, что за счет уменьшения силы тяжести с высотой горизонтальная дальность несколько увеличивается.

Заметим, что расстояние МоМ^ отсчитанное по хорде, будет равно

..• 2Rg *sin2% ^o sin2Л/

MqM] = 2R sin s = —2,(93)

% egeg

т. е. совпадает с приближенным выражением (91). Как показывает последнее выражение, кратчайшее расстояние между точкой вылета и падения тела на Земле только множителем 1/а отличается от известной величины горизонтальной дальности в параболической теории движения тела в однородном поле тяжести.

Рассмотренное эллиптическое движение материальной точки под действием земного тяготения совпадает с движением центра масс ракеты на пассивном участке ее траектории, где отсутствует тяга двигателя, а сопротивлением разреженного воздуха на больших высотах полета можно пренебречь. В этом случае начальное положение центра масс ракеты и начальная скорость этого центра определяются их значениями, соответствующими концу активного участка полета ракеты и исчезновению сопро* тивления воздуха. Этому вопросу, а также некоторым начальным представлениям о динамике ракеты будет далее посвящен специальный параграф (§ 105),

Глава XXI

ПРЯМОЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ МАЛОЙ АМПЛИТУДЫ

§ 95. Свободные незатухающие колебания точкипод действием линейной восстанавливающей силы

Колебания представляют собой один из наиболее распространенных видов движений. Изучение свойств колебательных движений необходимо для понимания многих физических и механических явлений, но особенно велика роль теории колебаний в инженерном деле. Движение машин, транспортных средств, приборов и механизмов всегда сопровождается колебаниями, или, как еще говорят, вибрациями. Возрастание интенсивности колебаний выше допустимой нормы грозит катастрофой; в задачи теории колебаний и ее разнообразных приложений в технических науках входит указание причин этих опасных явлений, например резонанса, и мер борьбы с ними. Колебания с успехом используют и как полезный процесс в вибромашинах: дробилках, упрочнителях, обогащающих руду ситах и т. п.

В настоящей главе рассматривается лишь простейший вид колебательного процесса в механике ——прямолинейные колебания материальной точки. Более сложные задачи будут рассмо- g ・““,：

трены в гл. XXXII—XXXIV.〃

Рассмотрим (рис. 249) пря-Рис. 249.

молинейное движение материальной точки М массы т под действием силы Р, направленной к неподвижному центру О и пропорциональной первой степени расстояния ОМ точки М от центра О:

р =—”；⑴

здесь с ——положительный коэффициент пропорциональности, а знак минус показывает, что сила всегда направлена в сторону, противоположную вектору-радиусу г, т. е. к центру О, соответствующему равновесному положению точки.

Силу, стремящуюся вернуть точку в положение равновесия, называют восстанавливающей. Примерами восстанавливающей силы могут служить силы разнообразной природы. Такова

реакция растянутой пружины. При колебаниях маятника в вертикальной плоскости роль восстанавливающей силы, стремящейся вернуть маятник в равновесное вертикальное положение, играет составляющая силы веса по направлению касательной к траектории центра тяжести маятника. При колебаниях жидкости в U-образной трубке восстанавливающей силой служит вес столба жидкости, возвышающейся в одной части трубки над уровнем во второй.

Отклоним точку М из положения равновесия и отпустим без начальной скорости или с начальной скоростью, направленной по прямой Ох, проходящей через начальное положение точки и центр О. Ускоряясь, если скорость направлена в ту же сторону, что и сила, т. е. к центру О, и замедляясь в противном случае, точка по инерции будет проходить мимо центра О, совершая около него прямолинейное колебательное движение. Если кроме восстанавливающей силы других сил, в частности сопротивлений движению, нет, то такие движения носят наименование свободных или собственных незатухающих колебаний точки; восстанавливающую силу, пропорциональную первой степени отклонения точки от равновесного положения, назовем линейной восстанавливающей силой, сами колебания — линейными.

Принимая прямую, вдоль которой происходит движение, за ось Ох и помещая начало координат в центр равновесия О, составим основное дифференциальное уравнение свободных незатухающих колебаний точки; согласно равенству (1) настоящей главы будем иметь

俏北= —с%. (2)

⑶⑶⑷⑷Разделив обе части на m и обозначив через й2 отношение — = k\

⑶

⑶

⑷

⑷

приведем уравнение (2) к виду

х + й2х = 0.

Это линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами легко решается обычным приемом составления характеристического уравнения. Замечая, что корни характеристического уравнения в данном случае будут чисто мнимыми и равными ±左力，заключаем, что общее решение (второй интеграл) уравнения движения (4) будет

х = & cos 々f + С2 sin 左厶(5)

Подставляя начальные условия

при t — 0 %1— %。，х=== %。(6)

во второй интеграл (5) и в первый интеграл

⑺⑺х = — С/ sin kt + C2k cos 財,

⑺

⑺

получаемый из второго интеграла (5) путем дифференцирования, находим постоянные интегрирования:

%0 = &, 今=e2•

Таким образом, конечное уравнение движения будет

x = Xq cos 也 + 普 sin 班.(8)

Вводя амплитуду а и начальную фазу а, напишем

% = asin(E + a),(9)

где

.(Ю)

sin。=з:萨'e。Say 詳丽.

Итак, рассматриваемое прямолинейное движение точки под действием линейной восстанавливающей силы представляет собой гармоническое колебательное движение с 〃勿 частотой k и периодом Т, равными4

仆仆Рис. 250.Рис. 250.也=“^， Т = ^ = 2"7^， (11) не зависящими от начальных условий, а зависящими только от коэффициента пропорциональности в линейном законе восстанавливающей силы и массы колеблющейся точки. Условимся в дальнейшем такую частоту называть собственной частотой колеблющейся точки или частотой свободных колебаний ее. Амплитуда и фаза колебания определяются по формулам (10) и зависят от начальных условий

仆

仆

Рис. 250.

Рис. 250.

движения.

Свойство независимости частоты или периода колебаний от начальных условий (свойство изохронности колебаний) связано с линейностью восстанавливающей силы (оно было открыто Галилеем). В случае нелинейной восстанавливающей силы свойство изохронности не имеет места.

Подвесим на пружине (рис. 250) груз М массы т. Положение равновесия груза примем за начало координат О оси Ох

3 Ла Г* Лойцянский, А. И. Лурье

(отнесенной на рисунке для удобства влево от прямой, на которой происходит колебание). Если АМ\ обозначает длину нерастянутой пружины, то отрезок ОМ\ представляет статическое удлинение бст пружины под нагрузкой G = mg. По закону Гука о пропорциональности нагрузки и деформации будем иметь

бст = mg/% (12)

mg бстmg бстгде коэффициент с (жесткость пружины) равен отношению нагрузки к статическому удлинению

mg бст

mg бст

(13)

или, что то же самое, нагрузке, вызывающей деформацию, равную единице длины. Отклоним груз из положения равновесия О до положения М^ и сообщим ему некоторую начальную ско* рость. Груз придет в движение около состояния равновесия и будет совершать свободные (собственные) колебания.

Дифференциальное уравнение движения груза, висящего на пружине, при выбранном направлении оси будет иметь вид

тх = mg + Рх,

где Рх представляет собой проекцию на ось Ох реакции пружины при длине ее АМ, соответствующей текущему положению груза М. Имеем по (13)

Р% = — с (% + SCT) = — с% — ебст =—。无一mg;

таким образом, предыдущее дифференциальное уравнение при* нимает вид

欣=—сх,

соответствующий общему уравнению (2). По формуле (3) за* ключим, что частота и период свободных колебаний груза на пружине равны

々="曲="泰' (14)

Т = 2л /^/-у = 2冗 ％^^・(15)

Число колебаний в секунду определяется как

Величина f измеряется в герцах (Гц). Число колебаний в минуту п составляет

〃 = 60/ = ^(16)

Те же формулы справедливы и для вертикальных колебаний груза, расположенного на горизонтальной упругой балке или рессоре. При этом, если / — пролет балки, / — момент инерции поперечного сечения и Е — модуль упругости материала, то статический прогиб под действием груза при различных способах закрепления концов балки и расположения груза вычисляется по следующим формулам, которые выводятся в курсах сопротивления материалов:

оба конца заделаны, груз находится на середине балки:

оба конца оперты, груз находится на середине балки:

к 1 GN

один конец заделан, груз находится на свободном конце:

к _ 1 GN

ст = 3"Н・

Пример 84. Тележка двадцатитонного четырехосного пассажирского вагона имеет сложную систему рессор. Статический прогиб всего рессорного устройства равен 0,24 м. Определить число колебаний в минуту такого ва* гона на рессорах.

По формуле (16) имеем

30工

п =—尸二—а 61 колеб. в мин.,“0,240

т. е. пассажирские вагоны имеют плавные колебания с периодом 7, приблизительно равным 1 с. Товарные вагоны имеют более жесткие рессоры: у них бет около 0,03 м, так что

30

п = —==- 4 173 колеб. в мин.,“0,03

а период 7 равен 0,35 с, т. е. почти в три раза меньше, чем у пассажирских вагонов.

Пример 85. При испытании упругой рессоры на удар на ее середину падает с высоты 1 м груз. Зная, что статический прогиб рессоры под тем же грузом, сосредоточенным на ее середине, равен 10~3 м, найти уравнение колебания рессоры с грузом, после того как груз упадет и будет двигаться совместно с рессорой; массой рессоры пренебрегаем; ось % направлена верти* кально вниз.

В этом случае начальные условия движения таковы:

при / = 0 х = 0, 戈= оо = “筠石 Q 4,4 м/с.

Частоту колебаний найдем по формуле (14)з

昨"矯—99 1/с.

Частота в герцах f будет равна

j石？ = 15 fц.

Уравнение движения, согласно (8), будет

% = 4,44 • 10~2 sin 99f.

По первой из формул (10) амплитуда колебаний равна

а == д/ f т + 患冗 ^» 比 4,4 • 10-2 м

(ввиду относительной малости 6СТ). Обратим внимание на большую разницу в данном случае между амплитудой колебаний и статическим прогибом рессоры. Амплитуда колебаний почти в 45 раз превосходит статическую деформацию рес- ± соры.

，差 。专Пример 86. Определить отношение пе-

'至2至риодов колебаний груза, висящего на двух

д千одинаковых пружинах с жесткостями и и

夕 с? при последовательном (рис. 251, а) и параллельном (рис. 251,6) соединении пру- I *нн.

Если G — вес груза, то в первом случае статическое удлинение 瓦 будет равно сумме статических удлинений первой и второй пружину

Рие. 251.5 =不 + 不；

во втором случае статическое удлинение 62 равно удлинению каждой из пру- 1кин по отдельности:

где ^, и N" — натяжения пружин при статическом равновесии; очевидно, что^, + N〃 = G

и

Cl + С2 *

Согласно второй из формул (13) отношение соответствующих периодов колебаний будет

В частном случае, когда с^ = с2 = с, находим Т【=2Г2.

§ 96. Колебания точки под действием гармоническойвозмущающей силы

Предположим, что наряду с восстанавливающей силой на точку действует еще возмущающая сила, являющаяся заданной функцией времени. Рассмотрим сначала наиболее простой случай периодической возмущающей силы 尸(/), меняющейся по гармоническому закону:

尸(/) = Hsin (加 + 6),

где Н — амплитуда, р ——частота, 6 — начальная фаза возмущающей силы. Не нарушая общности, будем всегда считать "> 0, так как в противном случае этого всегда можно добиться изменением фазы 6. При наличии возмущающей силы дифференциальное уравнение движения будет иметь вид

тх + сх — Н sin (р/ + 6),

или, если разделить обе части на т, х-\- k^x = h sin (pf + б),(17)

где, как и раньше, Е = д/с/т — частота свободных колебаний, з 九=Н[т.

Общий интеграл дифференциального уравнения (17), как известно, является суммой общего интеграла %i, соответствующего однородного уравнения, т. е. уравнения свободных колебаний (4), и какого-либо частного решения %2 уравнения (17)

无=М + %2，

причем, согласно (5),

%i = & cos kt + С2 sin kt.

Частное решение %2 ищем в виде

必=a sin (pt + 6).(18)

Подстановка х2 в (17) приводит к соотношению

a (炉——p2) = ft,

откуда при 左* р находим а= 2・(19)

胪一标' /

Следовательно, общий интеграл будет

х — С{ cos kt + 金 sin kt + -论2”&r sin (p/ + 6).(20)

Правая часть этого равенства представляет собой результат наложения свободных колебаний на колебания, происходящие с частотой возмущающей силы и называемые вынужденными колебаниями, Если 左 > р, т. е. частота собственных колебаний больше частоты возмущающей силы, то а > 0 и, согласно (18), вынужденные колебания имеют ту же фазу, что и возмущающая сила; если же fe < р, т. е. частота собственных колебаний меньше частоты возмущающей силы, то а < 0 и из формулы (18) Для вынужденных колебаний получим, согласно формуле (19),

%2 = 一了丄必 sin (加 + 5)=戸自必 sin (p/ + 6 + n).

Таким образом, при h V р вынужденные колебания сдвинуты по фазе относительно возмущающей силы на 冗.Отметим*, что по формуле (19) амплитуда вынужденных колебаний не зависит от начальных условий движения.

Как будет выяснено в дальнейшем, силы сопротивления, которые здесь не учитывались, гасят свободные колебания и почти не изменяют амплитуд вынужденных колебаний, если частота р возмущающей силы значительно отличается от частоты k свободных колебаний. Поэтому при указанном условии для определения движения точки по истечении достаточно большого промежутка времени от начала движения ——установившегося режима движения — можно ограничиться рассмотрением только вынужденных колебаний, сохранив в выражении (20) лишь последнее слагаемое.

Для изучения начальных режимов движения или режимов, переходных к установившемуся движению, необходимо рассматривать полностью общее решение (20). Зададимся вновь на* чальными условиями

ПрИ / — 0 X — %о,% — Хд — U()jc

и подставим их во второй интеграл (20) уравнения движения (17) и в первый интеграл

北=—kCx sin kt + kC2 cos kt + 卜史评 cos (pf + 6), который получим дифференцированием второго интеграла.

Тогда постоянные интегрирования выразятся через началь* ные данные так:

CI — Xq ——5 sin d, C2 =等一工COS ё

и равенство (20) приведется к окончательному виду

X = %(1)+ %(2)+ Х^ = %о cos 班 + 今 sin kt —

——必纟庐• (sin 6 cos kt + ~ cos 6 sin 々f) + 忌，卩2 sin (р/ + 6).

(21>

Движение, представленное равенством (21), можно рассма* тривать как результат сложения: 1) свободных колебаний точки, которые возникли бы при отсутствии возмущающей силы> если точку вывести из равновесия,

%。)= 向cos就 + 令 sin就，

вызванных возмущающей силой колебаний с собственной частотой

声(sin 6 cos kt + ^ cos 6 sin 玩)

и, наконец, 3) вынужденных колебаний

尤(з)=依刍声 sin (0 + 6),совпадающих по частоте с частотой возмущающей силы.

Если частота возмущающей силы р совпадает по величине с частотой собственных колебаний 左，то возникает явление резонанса. При резонансе возмущающая сила действует 《в такт» с собственными колебаниями точки, что приводит к особенно интенсивному раскачиванию точки. При резонансе колебания нарастают, в чем можно убедиться следующим образом. Устремим в равенстве (21) р к 左；при этом совокупность двух последних колебаний, описываемая выражением

」2、I .」з\ 一 九【一•(sin 6 cos 阻 + (p/盼 cos 6 sin 阻)+ sin (pf + 6)】

% 十%=A2 -户，

при p = k представляет собой неопределенность вида 0/0. Раскрывая эту неопределенность по известному правилу (заменяя числитель и знаменатель их производными по р), находим

г .с、】/「一(1/А) cos 6 sin 就 + f cos + 6) 1

拉⑵+%((№=九[ Jp^=

=盜-[cos 6 sin kt — kt cos (玩 + 6)].

Итак, в случае резонанса (р =左)движение точки опреде-* ляется уравнением

х = х0 cos 左/十 碧 sin kt + -^r [cos 6 sin kt ——kt cos (kt + 6)],

(22)

содержащим в числе составляющих колебаний характерное для резонанса слагаемое

-费 cos (玩 + 6),

в котором время £ стоит множителем перед косинусом. Благодаря наличию этого множителя абсцисса х точки, переходя от положительных значений к отрицательным, будет вместе с тем неограниченно возрастать. Если коэффициент при косинусе в последнем выражении условно принять за амплитуду и отвлечься

от остальных сравнительно малых членов в (22), то можно ска* зать, что колебания при резонансе происходят с возрастающей пропорционально времени амплитудой. В частном случае 6 = 0> %о = 0,北о = О график резонансного колебания показан на рис. 252. При неизбежном наличии сопротивлений (или нелинейности восстанавливающей силы) 加I~ вынужденные колебания не увели

чивают безгранично свою амплиту- \ДУ(§ 99).

\ J ]尸 Явление резонанса, сопровож- \ / 力 дающееся колебаниями нарастаю- ущей амплитуды, может служить

"причиной разрушения конструкции 1или создавать в ней опасные напря-

Рис. 252.жения. Поэтому важной задачей яв

ляется избежание возможности возникновения резонанса. Для этого частоты возмущающих сил, которые мы можем предвидеть в сооружении или машине, должны быть по возможности далеки от частот собственных колебаний.

Представим амплитуду вынужденных колебаний (18)_ hа= I 胪一р2「

как произведение двух сомножителей

° =京•、一9*)2] *(23)

Заметим, что первый множитель представляет статическое смещение точки под действием постоянной силы Н. Действительно,, согласно (3) и (12) имеем

h Н Н

Назовем коэффициентом динамичности величину 入,опреде* ляемую отношением амплитуды вынужденных колебаний А к тому статическому смещению 九/力2, которое имело бы место, если бы возмущающая сила была постоянной величиной Н. Отношение 2 = p/k назовем коэффициентом расстройки. Тогда в новых обозначениях равенство (23) примет вид

(24>(24>1

(24>

(24>

I i — * j •

Зависимость 九 от z представлена графически на рис. 253 (см. также два первых столбца табл. 3 § 99). При z = 0 имеем 久=1; при z=l, что соответствует резонансу, Х = оо. Надо>

однако, иметь в виду, что в области частот возмущающей силы, близких к частоте свободных колебаний, нельзя рассматривать только вынужденные колебания и отбрасывать свободные, так

как при взаимодействии свободных и вынужденных колебаний при р = k возникает движение с возрастающими пропорционально времени отклонениями; резонанс представляет явление наложения движений, а не «вынужденное колебание с бесконечно большой амплитудой». Отметим еще, что 九0 при zfoo, т. е. при весьма большой частоте возмущающей силы вынужденные колебания весьма малы.

Пример 87. Индикатор. Явление вынужденных колебаний пока* жем на примере движения поршня индикатора ——прибора, служащего для записи переменных давлений в цилиндрах поршневых двигателей. Устройство индикатора схематически показано на рис. 254. Цилиндр индикатора / сообщается при помощи патрубка 2 с цилиндром двигателя. В цилиндре / ходит плотно притертый поршень 3, к которому прикреплены штанга 4 и нижний

0“0“конец пружины 5, верхний конец которой упирается в крышку цилиндра. Движение, получаемое поршнем под действием изменяющегося давления p(f), записывается в увеличенном масштабе на барабан, вращающийся с угловой скоростью, пропорциональной угловой скорости главного вала машины.

0“

0“

Положим

Р «) = ро + Pi «),

где ро — среднее давление, отнесенное к моменту / = 0. Пусть в положении равновесия пружина под действием веса поршня и среднего давления р0 изменила свою длину на 6СТ. Если с — жесткость пружины, m — масса поршня ио — его площадь, то

ебст = mg — оро.

Направим ось 0% вверх, взяв начало отсчета в положе- 尸 *'

нии равновесия поршня. Тогда уравнение движения поршня, абсциссу которого обозначим через х, будет (пренебрегаем массами пружины и стержней пишущего механизма)

тх = —с (х — дст) — mg + ар0 + erpi (f),

или, принимая во внимание предыдущее равенство,

戈 + 必％ = ^Р1 (О,

где 论=U&tn — частота свободных колебаний поршня индикатора.

Рассмотрим простейший случай:

Pi = a sin of, р = ро + а sin(о/,где(о ——частота колебаний давления в цилиндре.

Уравнение движения будет

х + k2x = sin(оЛ

т

Полагая, что х = 0 и х = 0 при / = 0, найдем по (21)

X =专庐三俞(sinS/一书sin и)=筝茧与■ (sin 3/-帯sin К).

(25)

Перемещения поршня абсолютно точного индикатора должны в каждый момент определяться по формуле

% =% =sin of,sin of,

% =

% =

sin of,

sin of,

что соответствовало бы статической деформации пружины под действием силы op】. Разность между этим значением и полученным выше дает погрет* ность индикатора

ППsinsin=号1一為彳（f Sin就一* Sin吟•=号1一為彳（f Sin就一* Sin吟•(26>(26>

П

П

sin

sin

=号1一為彳（f Sin就一* Sin吟•

=号1一為彳（f Sin就一* Sin吟•

(26>

(26>

индикансо (проиндикансо (провозмущающей силы,возмущающей силы,частотойчастотойЭта погрешность будет мала, если тора k весьма велика по сравнению сЭта погрешность будет мала, если тора k весьма велика по сравнению сао 々2e 左2 一炉ао 々2e 左2 一炉

индикансо (про

индикансо (про

возмущающей силы,

возмущающей силы,

частотой

частотой

Эта погрешность будет мала, если тора k весьма велика по сравнению с

Эта погрешность будет мала, если тора k весьма велика по сравнению с

ао 々2

e 左2 一炉

ао 々2

e 左2 一炉

частота свободных колебаний

порционалъной vr/овой ско* рости двигателя).

В качестве примера для случая 木/з = 20 на рис 255 построен график движе* ния поршня индикатора, согласно уравнению (25), причем масштабный множитель

принят за единицу длины. На том же графике штриховой линией показана полу* волна синусоиды, построенной по ординатам, пропорциональным действительному изменению давления Pi(f). Кривые дают наглядное представление о погрешности, вносимой свободными колебаниями индикатора в его показания. Благодаря сопротивлению, которое бу*

дет гасить свободные колебания, отклонения значений х от значений, соответ*

ствующих кривой давления, будут на самом деле еще меньше.

Пример 88. Виброграф. В качестве другого примера разберем теорию вибрографа, служащего для записи вертикальных колебаний фундаментов машин, перекрытий зданий и других сооружений.

Задача о регистрации вертикальных колебаний могла бы быть разрешена принципиально весьма просто, если бы, жестко соединив с колеблющимся телом пишущее приспособление, мы могли бы регистрировать колебания на ленте барабана, не связанного с колеблющимся телом. При записи сотрясений почвы, вибраций корабля или фундамента больших размеров мы не можем воспользоваться этим приемом, так как неподвижного предмета, на котором можно было бы установить барабан, не имеется. Приближенно можно решить задачу записи колебаний так, как это схематически показано на рис. 256. Груз М подвешен к пружине, другой конец которой жестко связан с платформой П. Очевидно, что чем тяжелее груз и чем слабее его связь с колеблющейся платформой, или, иными словами, чем мягче пружина, тем менее 历’ груз принимает участие в движении 1 платформы, т. е. с тем большим приближением пишущее приспособление К, жестко связанное с грузом, можно считать точкой, неподвижной относительно Земли. Обратно, при абсолютно жесткой пружине груз будет воспроизводить то же движение, что и платформа, т. е. оставаться относительно нее неподвижным, и на барабане, установленном на платформе, записи колебаний не будет.

Из этих соображений вытекает основное требование, предъявляемое к приборам для записи колебаний: частота свободных колебаний такого прибора должна быть весьма малой (большая масса, малая жесткость) по сравнению с частотой колебаний платформы.

Составим дифференциальное уравнение движения груза в проекции на неподвижную вертикальную ось 。三(на рисунке ось опущена). Если через х обозначить смещение груза относительно платформы, совершающей относительно неподвижной среды, например Земли, вертикальное гармоническое колебание

自П =0sin pt, то абсолютное смещение груза относительно Земли будет равно 自=х 4- 士口； при этом проекция на ось Og абсолютного ускорения груза 侬三 будет

5Е = Е = ^ + £п = ^ —卩出 sin pt.

Силами, действующими на груз, являются сила тяжести G = mg (m — масса груза) и реакция пружины N； направляя ось 0g вертикально вниз и пренебрегая силами сопро^вления, получаем

mw| = mg + ^|.

Но по предыдущему "&=—，(％ + %) = —сх — mg, где с — жесткость пружины. Таким образом, из предыдущих равенств находим

тх + сх = map2 sin р/, или

х + k2x = ар2 sin pf,где h = 7с]т — частота свободных колебаний груза на пружине.

Рассмотрим установившийся режим колебаний. Как уже ранее указывалось, колебания с частотой свободных колебаний при наличии сопротивлений

быстро затухают. Обратимся поэтому к вынужденным колебаниям. Согласно (18) и (19) уравнение этих колебаний имеет вид

* =Q营*Sin"=一 。 т二足yr sin"(*

Движение это записывается с некоторым изменением масштаба, так что за* пись на барабане будет характеризоваться уравнением

_ а £

где А — масштабный коэффициент. Искажение, вносимое прибором, определяется множителем

А

1 _ (左/р)2 •

Этот множитель, помимо постоянных прибора (А и k), зависит еще от частоты возмущающей силы р. Однако влияние последней будет невелико^ если отношение k/p мало. Например, при k/p = 0,2 найдем

-(论/р)2 =~〔МА’

т. е. ошибка, даваемая прибором, не превзойдет 4%. Таким образом, приборы, предназначенные для записи колебательных движений, -- вибрографы и сейсмографы ——должны иметь частоту свободных колебаний, весьма малую по сравнению с частотой регистрируемых ими колебаний; как было показано перед этим, приборы, измеряющие колеблющиеся усилия (индикаторы, динамометры), наоборот, характеризуются высокими отношениями частота собственных колебаний к частоте изменения измеряемой силы.

§ 97. Колебания точки под действием периодическойвозмущающей силы

Если возмущающая сила 尸(/) является произвольной периодической функцией времени с периодом t = 2л/р, то при весьма общих предположениях (выполнении условий Дирихле) функция 尸(/) может быть представлена тригонометрическим рядом вида

尸(/) = ^ а° + а【cos pt + a? cos 2р/ + ・•・ + Os cos sp/ + • •・

...+ &i sin р/ + 62 sin 2p/ + ... + 厶 sin spt + ...(28}

(рядом Фурье). Коэффициенты этого ряда определяются формулами

as = ^^ F (t) cos spt dt (s = 0, 1, 2,...),

о

bs = ^^ F (t) sin spt dt (s = 1, 2,...).

о

Если ввести обозначения

儿="溪+応,

sin & =COS 6s = "^,

то ряд (28) можно представить в виде

尸⑴=^ Qo + £ % sin (spt + б)(29)

s = 1

Отдельные члены этого ряда называются гармоникамщ значениям s = 1, 2, 3 и т. д. соответствуют гармоники первого, второго, третьего и т. д. порядков.

Дифференциальное уравнение движения (17) принимает вид

尤 + 々2% =九° + £ 几 sin (spf + 6s),(30)

s = l

где

九 0 =，力 s H 3^ •

и 2m § m

Частное решение, соответствующее постоянному свободному члену, представляет постоянное отклонение Л0Д2； оно несущественно, и в дальнейшем мы будем предполагать, что 用。=0.

Общий интеграл уравнения (30) будет

х =%оcosЕ/ +今sin А/——2s=lх =%оcosЕ/ +今sin А/——2s=l^sin6scos^ + ^-cos65sin 既)十^sin6scos^ + ^-cos65sin 既)十

х =%оcosЕ/ +今sin А/——2

s=l

х =%оcosЕ/ +今sin А/——2

s=l

^sin6scos^ + ^-cos65sin 既)十

^sin6scos^ + ^-cos65sin 既)十

+ W^^sin(spf + 6s)・(31)

s = 1

Как и выше, мы получили: 1) свободные колебания, обусловленные наличием начальных отклонений и скоростей:

%")= х0 cos 瓦 +£ sin 玩，

колебания, происходящие вследствие наличия возмущающих, сил, но имеющие собственную частоту:

%(2) = — £ s = l%(2) = — £ s = lk2 — s2p:k2 — s2p:(sin & cos kt + -^ cos 6s sin E),(sin & cos kt + -^ cos 6s sin E),

%(2) = — £ s = l

%(2) = — £ s = l

k2 — s2p:

k2 — s2p:

(sin & cos kt + -^ cos 6s sin E),

(sin & cos kt + -^ cos 6s sin E),

(32}(32}и 3) вынужденные колебания с частотами, кратными р:h е ,贬二力2 sin (spt +田).

(32}

(32}

Свободные колебания %(】)+ 尤仪)даже при малом сопротивлении быстро становятся пренебрежимо малыми, так что во многих случаях можно ограничиться рассмотрением только вынужденных колебаний %(з).

Если частота собственных колебаний равна целому кратному частоты возмущающей силы А = пр, где и — целое число, то возникает резонанс п-го порядка.

Члены разложения (31) с номером s^n сохраняют свой вид, что же касается членов с номером s =九,то они, аналогично изложенному в предыдущем параграфе, приводят к неопределенности вида 0/0 и после раскрытия неопределенности дают

-佘 / cos (近 + dn) + ^- cos 6九 sin 衽，

так что в случае резонанса n-го порядка будем иметь решение

x = Xq cos kt + ~ sin 々f + -—- cos 6n sin kt ——

一强 f COS (衽 + 6n)-十忌色评(sin 6s cos kt + 变cos6s sin 月2)十

+ 三‘庐色2不- sin ($0 + 6s),(33)

S = 1

где штрих при знаке суммы указывает, что при суммировании следует опустить член, соответствующий s — п. При достаточно большом t всеми членами, в которых / входит только под знаком тригонометрических функций, можно пренебречь, и мы получим

' = cos (“ + 6n),

т. e. x возрастает здесь неограниченно вместе с Л В общем случае периодической силы колебания точки представляют собой результат наложения колебаний, соответствующих каждой гармонической составляющей возмущающей силы по отдельности; резонанс имеет место при k = пр (九=1, 2, ...), т. е. при равенстве частоты свободных колебаний целому кратному частоты возмущающей силы.

Если в разложении периодической силы в ряд Фурье отсутствует гармоника одного из порядков, то соответствующего ей резонанса не будет. Пусть, например,尸(/) разлагается в ряд, в котором отсутствуют все четные гармоники; резонанс будет иметь место при Е = р, Зр, 5P и т. д., но не при А == 2р, 4P и т. д.

Вернемся к рассмотренным в примере 88 предыдущего параграфа колебаниям вибрографа с грузом на пружине. Если пред-

положить, что платформа совершает вертикальные колебания:

自口 = @[ sin pt + 〃2 sin 2р/ + ..., то дифференциальное уравнение колебаний груза по отношению к платформе будет

тх + сх — — т^п = тахр2 sin pt + 4加a2P? sin 2pf + ・・•, или

北 + k2x = %户 sin pt + 402P2 sin 2p/ 十・・・

Согласно (30) и (32) уравнение вынужденных колебаний за* пишется в виде

* =1 一 (力2 sin pt — 1 -[危刀戸 sin 2"—・• •

Из этого равенства видно, что гармоники высших порядков записываются на ленту вибрографа с тем меньшим искажением, чем выше их номер. Если, исходя из высказанного в предыдущем параграфе соображения, выбрать отношение k/p настолько малым, чтобы погрешность записи первой гармоники не выходила за заданные тесные пределы, то относительная погрешность записи второй гармоники будет в четыре, третьей — в девять и т. д. раз меньше, чем первой.

Не всегда возмущающие силы представляют непрерывные функции времени. Часто приходится иметь дело с кусочно-непрерывными возмущающими силами, задаваемыми различными непрерывными функциями в следующих друг за другом интервалах времени. Примером этого может служить постоянная по величине, но периодически меняющая свое направление возмущающая сила. Возмущающая сила может представлять также ряд периодических толчков, сообщаемых движущейся точке.

Пример 89. Определить вынужденные колебания материальной точки массы m под действием постоянных по величине и направлению периодически повторяющихся через промежутки времени т импульсов S, если частота собственных колебаний равна 々.

Как известно, импульсом постоянной по величине и направлению силы называют произведение силы на время ее действия. В данном случае к точке прикладываются мгновенные толчки (удары), продолжительность действия которых ничтожна, а сила соответственно настолько велика, что произведение величины силы на промежуток времени ее действия, т. е. импульс, конечно и задается величиной S. Мгновенно приложенный к точке импульс не успевает за время своего действия вызвать заметное изменение в положении точки, но приводит к резкому изменению ее количества движения, по величине и направлению равному приложенному импульсу:

S = mA®.(34)

Теорема о связи между изменением количества движения точки и пр«я ложенным к ней импульсом, выражаемая формулой (34), будет доказана в следующей главе.

Вынужденные колебания под действием периодических импульсов можно рассматривать как установившийся в интервале времени (%, % + т) режим колебаний при наличии восстанавливающей силы —mk^x и с периодически повторяющимися начальными условиями

при f = fo х = Хо, 戈=Хо,(35)

причем, нисколько не нарушая общности, можно считать начальный момент 力 этого интервала равным нулю.

Согласно условиям задачи мы знаем величину S и период т повторяющихся импульсов, но ничего не можем сказать заранее о том, какова будет начальная абсцисса к。и начальная скорость 尤-,в установившемся режиме колебаний. Для определения этих величин рассмотрим бесконечно малый интервал времени (г — 8, i + e), в течение которого точка претерпевает толчок. Как уже было указано, за этот интервал времени абсцисса точки не успевает измениться и, следовательно,

X (т + 8)= X (т — 8)：

скорость же изменится, согласно (34), на величину

Используя периодичность процесса и переходя к пределу при £ = 0 со стороны положительных е, перепишем последние два условия в виде

х (0) = х (т), Хо (0) 一主(т) =(36)

где хо(О) —скорость в момент, следующий за сообщением импульса, а 戈(т) — скорость в момент, предшествующий последующему импульсу.

Решение уравнения колебаний

х + k2x = 0

при начальных условиях (35) будет, по предыдущему, иметь вид

Х = Х0 COS kt + 岑 sin 就.(37)

Используя условия (36), получим систему двух уравнений для определения неизвестных х0 и £о：

%о = %о cos kx + 夕 sin At,

S

£q + kxo sin kx — io cos kx =—,

решения которой будут

S sin At—S sin 论т—

%。一 mk [(1 — cos kx}2 4- sin2 kx] 2mk (1 — cos kx) 一

—2s sin (论t/2) cos (左t/2) — S 配

=4团龙 sin?(左t/2)Ctg

.S (1 — cos Arc)S

X° m [(1 — cos k%]1 + sin2 — 2m *

Таким образом, уравнение (37) принимает окончательный вид

х ⑺=f sin kt 4- ctg 空 cos /гЛ =

=ьХн 7今；cos k(t —•(38)

2mh sin (々t/2)\2 7

Резонанс имеет место при ^т/2 == лп (“一целое число), т. е. при совпадении собственной частоты с целым кратным частоты прикладываемых импульсов. Полученное выражение годно для промежутка 0 & f V t； чтобы найти х(/) в любой момент времени, вследствие периодичности решения следует повторить график функции x(f), построенный в интервале (0, т), в соответствующем интервале (т, 2т), (2т, Зт) и т. д.

Пример 90. Каков должен быть статический прогиб рессор железнодорожных вагонов для того, чтобы при скорости и = 16,7 м/с (приблизительно 60 км/час) и длине / каждого рельса в 12 м вагон не попадал в резонанс с толчками на стыках?

Период возмущающей силы в данном случае будет

т =丄比 0,7 с.и

Резонанс будет иметь место при

,2冗〃g2冗%/ 1eо 、

左или7 飞—=^—(% = 1, 2, 3. ...)，

откуда получим

к 132

Ост ==―2"・м.

Во избежание резонанса необходимо подобрать рессоры так, чтоб盘 Зет > 13-Ю-2 м.

§ 98. Влияние силы сопротивления, пропорциональнойпервой степени скорости, на свободные колебанияточки

При наличии силы сопротивления D, пропорциональной первой степени скорости, к уравнению свободных колебаний (2) в правой его части добавится еще член

(39)(39)Ох = — ₽х,

(39)

(39)

где р — коэффициент сопротивления, а знак минус означает, что сила сопротивления всегда направлена в сторону, противоположную движению точки. Дифференциальное уравнение движения точки будет

欣=—с% — рх, (40)

или после деления обеих частей уравнения на массу точки т и переноса всех членов в левую часть

(41)(41)х + 2пх + 々2% = 0,

(41)

(41)

где, кроме ранее введенного обозначения величины k2 = с/т9 положено

2y 丄.(42)

т

Обращаясь к интегрированию уравнения (41), составим характеристическое уравнение

s2 + 2ns + fe2 = О,

корнями которого будут величины

51,2= —〃士 〃及2 —々2.(43)

Естественно рассмотреть отдельно следующие три случая движения.

3 атухающее колебательное движение (n<fe). Если n < ft, то корни характеристического уравнения (43) представятся так:

& =——〃 + i "炉——及2, S2 =-及——i、/々2 一出，

и, следовательно, общий интеграл уравнения (41) будет

X = ?5‘ (& COS "公一出 / 十e2 sin "胪一济 /).(44)

Составим первую производную по времени

х = ?+“(一 nCi 十“胪一/г? C2) cos V胪—n2/ +

+ (一 “胪—枕2 & — nC2) sin д/胪一/ /],(45}

и используем для определения постоянных интегрирования начальные условия

при / = 0 х = х0, х = х0.

Подставляя эти значения координаты и проекции скорости в (44) и (45), находим

так что интеграл (44) уравнения движения (41) принимает вид % = (xQ cos "胪一/г? / 十 丁° + 空.sin д/胪一济 ,(46)

или после выделения амплитуды

х = ae^nt sin (д/fe2 — n2 / + a),(47}

где для краткости положено

У 心+ ^i, g^^^.(48>

Из уравнения движения в конечном виде (47) следует, что % периодически меняет знак, так что движение точки имеет колебательный характер. Период колебания равен

Т =—丄“一…=_2巴= —.一 (49)

"层一九2 左 小 一(%法)2"1 - (%/力)2 '

где То = 2冗/々——период свободных колебаний точки при отсутствии сил сопротивления. Если отношение n/k мало, то

Т = То[1 +4(т)2 +

и относительное увеличение периода свободных колебаний за счет сопротивления будет иметь порядок квадрата малого отношения n/k, т. е. очень мало.

Абсолютные величины а】,а2,・・.максимальных отклонений от центра колебаний образуют, как было выяснено уже в кинематике (§ 43), геометрическую прогрессию со знаменателем

П = —-— = е 九"2,

иногда называемым фактором затухания колебаний.

Натуральный логарифм отношения двух последовательных амплитуд носит наименование логарифмического декремента^ он равен

д = 1пп = п —=(50)

Сравнивая последнее равенство с (49), найдем выражение периода колебания через логарифмический декремент

备=,1+*・(51)

Зависимость между п и Т/То изображена на рис. 257. Например, Т/То = 1,024 при п = 2, т. е. введение сопротивления, при котором каждый последующий размах вдвое меньше предыдущего, изменяет период колебания только на 2,4%.

Увеличение периода на 10% будет иметь место при X = 4,2; при этом по истечении, например, двух перио

дов отклонение станет в 4,24 = 311 раз меньше первоначального, т. е. точка практически остановится. Таким образом, небольшое

сопротивление весьма мало изменяет период, но интенсивно га- снт свободные колебания. Это позволяет, с одной стороны, при

вычислении периода свободных колебаний пренебрегать силами сопротивления, с другой стороны, считать свободные колебания по истечении достаточно большого промежутка времени от начала движения при установившемся режиме практически исчезнувшими. Первое соображение имеет важное значение, так как расчет периода свободных колебаний с учетом влияния сопротивления был бы весьма неопределенной задачей, поскольку почти никогда заранее ничего нельзя сказать о величине коэффициента сопротивления 0. Второе позволяет в теории вынужденных колебаний не усложнять рассмотрения вопроса введением членов, соответствующих свободным колебаниям.

Апериодическое движение (п> k). При достаточно большом сопротивлении, когда п2 ——k2 > 0, общий интеграл уравнения (41) будет_

х =(& ch、/〃2 —左2 / + с? sh д// —月2 /).(52)

Движение не будет носить колебательный характер (оно называется апериодическим). При большом / имеем [〜——знак асимптотического (при /~> оо) равенства]

ch Vn2 - fe2 f 〜sh д/〃2 -炉 / ~ 火出一胪，

и, следовательно,

% 〜^ (& + &) с」S 一 *

Так как п —* д/^2 — й2 > 0, то при /-> оо х-> 0. Вследствие быстрого убывания показательной функции величина х будет весьма мала уже при небольших /, и систему можно практически считать вернувшейся в положение равновесия.

Характер движения зависит от начальных условий. Пусть при / =0 х = х0, х = х0. Тогда, аналогично предыдущему случаю, получим

х = е~^ch д/^2 —炉 / + "汁 写 sh “必一廖

X = 6一加(备 ch 7^=^ / 一 *冷 sh V^=^ /).

Из последнего уравнения следует, что 北 обращается в нуль, т. е. точка достигает максимального отклонения от положения равновесия в момент времени /т, определяемый из уравнения

th J；?』/ =》。必 Л-=二®叫一(54>

причем в этот момент времени значение х будет

хm == ё ""的(1 +:爲駕爲)一)ch7他一衿7.

Будем считать х0 > 0. Так как при 0 & z W сю функция th г монотонно возрастает от 0 до 1, то уравнение (54) может иметь положительный корень tm (и только один) лишь при выполнении

неравенстванеравенства0<0<"1 一仇同2]1 + »%о/(〃£о) К"1 一仇同2]1 + »%о/(〃£о) К(55)(55)

неравенства

неравенства

0<

0<

"1 一仇同2]

1 + »%о/(〃£о) К

"1 一仇同2]

1 + »%о/(〃£о) К

(55)

(55)

Рис. 258.Рис. 258.V1 _(打 тV1 _(打 т央%0/ nxQ V央%0/ nxQ Vт. е.т. е.I 戈о I V %о(〃 + “/ —炉)，I 戈о I V %о(〃 + “/ —炉)，

Рис. 258.

Рис. 258.

V1 _(打 т

V1 _(打 т

央%0/ nxQ V

央%0/ nxQ V

т. е.

т. е.

I 戈о I V %о(〃 + “/ —炉)，

I 戈о I V %о(〃 + “/ —炉)，

В дальнейшем различаем три случая.

Неравенство (55) соблюдается при 戈 > 0. Тогда хт также положительно и характер движения можно изобразить графиком на рис. 258, а: точка сначала 5cA

отклоняется до некоторого максимума Хщ > %о， а затем постепенно начинает приближаться к положению равновесия, не достигая его.

Если 戈 V 0 н притом

т. е.

1A)[ > %0 (〃 + "〃2 一 依)，

то неравенство (55) также имеет место; при этом 修и V 0 и график движения имеет характер, представленный на рис. 258,6: точка проходит один раз через по-

ложение равновесия и, удалив

шись от него в отрицательную сторону на %加，в дальнейшем движении приближается к положению равновесия.

Если х < 0 и притом

то неравенство (55) не имеет места; % монотонно уменьшается, т. е. точка приближается к положению равновесия, не достигая его; этот случай движения изображен на рис. 258, в.

Случаи а) и б) соответствуют апериодическому движению первого рода, случай в)—апериодическому движению второго рода.

Предельное апериодическое движение (枕=论). Общий интеграл уравнения (41) в этом случае будет иметь вид

(56)(56)% = е" (&/ + С2).

(56)

(56)

Очевидно, что х->0 при £->8, т. е. точка постепенно (практически весьма быстро) возвращается в положение равновесия^ Примем следующие начальные условия: при t = 0 х=х0>0, 尤=北0.Получим

(57)(57)% = е-叫%о + (戈о + пх0) /], х = e~nt [х0 — п (х0 + 枕％о) 4；

(57)

(57)

尤 обратится в нуль при

m n (%o + nxo)

соответствующее значение координаты x будет

e~ntm

Km = —^― (%%o + %)・

Если при этом 文о > 0, то tm > 0, а также хт > 0. Соответствующее движение (первый случай предельного апериодического движения первого рода) изображено на рис. 258, а. Другой случай предельного апериодического движения первого рода (рис. 258,6) имеем при х0 < 0, но | х01 > их0 и, следовательно, tm >0, хт < 0. Наконец, при Хо < 0 и I 北o|Vm%o имеем предельное апериодическое движение второго рода (tm V 0) (рис. 258,6).

Рис. 259.Рис. 259.Пример 91. Гидр авлический демпфер. Разберем движение груза, подвешенного на пружине, при наличии тормозящего приспособления ——демпфера； или катаракта. Демпфирование может осуществляться различными механическими, в частности гидравлическими, электромагнитными (например, вихревыми токами Фуко) и другими способами. Гидравлический демпфер (рис. 259) представляет соббй закрытый цилиндр С с поршнем Р, соединенным жестким стержнем S с телом М. В цилиндр налита вязкая жидкость; при движении груза и связанного с ним поршня жидкость перетекает из одной части цилиндра в другую через перепускные трубки Л (которых может быть несколько) или непосредственно через просверленные в поршне отверстия.

Рис. 259.

Рис. 259.

Обозначим, как и ранее, через х вертикальное смещение тела (груза со стержнем и поршнем) из положения

(58)(58)равновесия. Поскольку жидкость практически несжимаема, объем ее, прошедший сквозь перепускные трубки К за время dt, в течение которого поршень сместится на расстояние dx, будет равен odx (о — площадь поршня); следовательно, секунднкй объемный расход Q через трубки равен

(58)

(58)

С другой стороны, секундный объемный расход q через одну трубку или отверстие в поршне может быть выражен через разность давлений Ар на кон-

цах трубки (или отверстия) и динамический коэффициент вязкости 卩 жидкости по известной формуле Пуазейля )

(59)(59)nd’ Ар128M

(59)

(59)

где d — внутренний диаметр трубки (или отверстия), I — ее длина; коэффициент вязкости 卩 в системе СИ выражается в паскаль-секундах: 1 Па с = =1 кг/(м-с). Предполагается, что движение вязкой жидкости в трубке происходит квазистационарно (как бы с постоянной скоростью в каждый момент времени) и ламинарно. Это предположение справедливо, если длина трубки или отверстия во много раз превосходит диаметр сечения.

Если а ——число перепускных трубок (отверстий), то Q = zg, и, сравнивая (59) и (58), получаем

1如=e(60)

Эта же разность давлений будет иметь место между объемами цилиндра, разделенными поршнем. Силу А, действующую на поршень, определим как произведение Ар на площадь поршня о. Замечая, что направление этой силы противоположно направлению движения поршня, находим искомое выраже^ ние проекции силы сопротивления жидкости движению поршня в виде

R*R*1284/021284/02(61)(61)

R*

R*

1284/02

1284/02

(61)

(61)

или, вспоминая определение (39)или, вспоминая определение (39)коэффициента сопротивления 0,коэффициента сопротивления 0,

или, вспоминая определение (39)

или, вспоминая определение (39)

коэффициента сопротивления 0,

коэффициента сопротивления 0,

(62>(62>а — 128 卩 d

(62>

(62>

Р = nd% .

Если через т обозначить массу движущегося тела, включая сюда груз М, стержень S и поршень Р, то, согласно (42), будем иметь

(63}(63}=В「64= 4呻/

(63}

(63}

—2m 一 л md^z — mz \ d ) *

здесь d* ——диаметр поршня; в случае наличия отверстий в поршне уменьшением площади поршня за счет этих отверстий пренебрегаем.

Из формулы (63) вытекает, что основное значение для изменения коэффициента п имеет отношение диаметра поршня к диаметру перепускных трубок или отверстий. Пользуясь формулой (63), можно рассчитать конструкцию демпфера и выбрать жидкость для его заполнения под заданное торможение. Пусть, например, число перепускных трубок у демпфера 2=10, длина каждой из них / = 5-10~2 м, отношение 力*/d примем равным 10. Из жидкостей, имеющих сравнительно малую вязкость, выберем толуол с коэффициентом вязкости, приблизительно равным 0,0613-10~2 Па с при 18 ℃ (вязкость воды при 18 ℃ равна 0,105-10-2 Па-с).

Подставляя эти числа, получаем

几 ® 9°。熒.1/с,论= 31,3 1/с.

Если, например, m = 10~* кг, дст = 10~2 м, то k = 31,3 1/с, а л =э =0,365 1/с; движение будет колебательным. Затухание амплитуд определится логарифмическим декрементом (50)

a =亠?8冗R ом.

“313 一 0,3652

§ 99. Влияние силы сопротивления, пропорциональнойпервой степени скорости, на вынужденные колебания точки

Пренебрегая влиянием сил сопротивления, мы пришли к выводу, что при резонансе амплитуды вынужденных колебаний растут пропорционально времени, вследствие чего должно было бы наступить разрушение системы, как бы ни была мала амплитуда попавшей в резонанс гармоники возмущающей силы. Это противоречие с опытом может быть устранено, если учесть влияние сил сопротивления; ограничимся рассмотрением сопротивления, пропорционального первой степени скорости.

Остановимся сначала на случае гармонической возмущающей силы

F (/) = //sin (р/ + б).

Добавляя в левую часть дифференциального уравнения (17) член 2пх, соответствующий силе сопротивления, пропорциональной первой степени скорости, получаем

х + 2пх + k2x = h sin (р/ + б),(64)

где, как и ранее, Л = Н/т.

Общее решение этого уравнения представим в виде суммы общего решения %i соответствующего однородного уравнения и частного решения %2 неоднородного уравнения; %i при k> п представляет свободное затухающее колебание, а при 々 & 九一 апериодическое движение. Займемся поисками частного реше* ния %2； положим

尤2 =。sin (pf + 6) + £ cos (р/ + б),

х2 = р [D cos (pf + 6) — Е sin (р/ + б)],

х2 = — р2 [D sin (р/ + 6) + Е cos (р/ + 6)].

Подстановка в дифференциальное уравнение (64) дает

优2。一 p2D — 2npE) sin (用 + 6) +

+ (胪七一p2f 十 2npD) cos (pt + 6) = Л sin (pf + 6), откуда находим два уравнения, определяющих неизвестные D и Е:

(好-Р2,0- 2пре = Л, 2叩0+ (胪一們 e = 0.

Решив эти уравнения, получим 也（职一力）2几p五

—（论2 — 口2）2 + 4〃2p5，心一一（々2 - "2）2 + 4〃2P2，

и, следовательно,

"2 =（依二"j复 4紋綻［（胪一炉）sin （加 + 0 一 2〃p cos （加 + 6）］.

Полагая k2 — p22np.〃

‘—,：■：.• = COS 8, …尸==二=^=不"= SIH 8,

"（胪一綻）2 + 4〃2P2"优2 -户）2 + 4紋p2

т・е.

tg£ =播W卢,（66）

получаем

x2 = a sin （р/ + 6 — £）,（67>

где амплитуда а определяется формулой

V（胪一"2）2 + 4〃2P2

В случае малого сопротивления （А > л） общий интеграл будет

X = «-卅（& COS д/胪一〃2 f +。2 sin Vfe2 — n2 /） + Q SIH （〃 + 6 — 8）,

и если при f = 0 x = xq, х = х0» to, определив произвольные постоянные С】и С2, найдем

x — e~nt ^x0 cos «松一車 t、x — e~nt ^x0 cos «松一車 t、〃%0+尤。〃%0+尤。sin "胪一九2f) 一sin "胪一九2f) 一

x — e~nt ^x0 cos «松一車 t、

x — e~nt ^x0 cos «松一車 t、

〃%0+尤。

〃%0+尤。

sin "胪一九2f) 一

sin "胪一九2f) 一

—ае~" ［sin （6 — 8）cos д/胪一％2 / +

卜 pcos e 二^主春生®二包 sin "出一"2 q + a sin （" + 6 - 8）. （69）

Первое слагаемое в этом выражении

е—м(№С05"庐二《2/ +舞嘗е—м(№С05"庐二《2/ +舞嘗sin "月2 一冷2 fsin "月2 一冷2 f

е—м(№С05"庐二《2/ +舞嘗

е—м(№С05"庐二《2/ +舞嘗

sin "月2 一冷2 f

sin "月2 一冷2 f

представляет затухающие свободные колебания, происходящие вследствие начального отклонения системы от положения равновесия и сообщения ей начальной скорости. Частота этих колебаний меньше собственной частоты.

д/胪一 n2/j

представляет затухающие колебания той же частоты, что и свободные, но возникающие вследствие наличия возмущающей силы./

Наконец, третье слагаемое

a sin (р/ + 6 — 8)

представляет вынужденные колебания, имеющие частоту возмущающей силы. Эти колебания происходят с постоянной амплитудой, не зависящей от времени, тогда как амплитуды колебаний, соответствующих первым двум слагаемым, вследствие наличия показательного множителя e~nt будут более или менее быстро затухать. Поэтому, ограничиваясь рассмотрением установившегося режима, т. е. рассматривая движение, установившееся по истечении достаточно большого промежутка времени от момента / = 0, к которому отнесено начало движения, мы можем пренебречь первыми двумя слагаемыми в формуле (69). Конечно, сказанное относится и к случаю большого сопротивления (п^ k).

Итак, при установившемся режиме

% = a sin (pf + 6 — 8),(70)

т. е. движение происходит с частотой возмущающей силы и с некоторым сдвигом относительно силы по фазе.

Займемся исследованием зависимости амплитуды а устано вившегося режима от частоты р возмущающей силы. Имеем

a = "(勿—Р2)2 /再2 —犷."n 一(p/粉2] 2 + 4 (%/盼2 (万旗 ,

Назовем, как и ранее, отношение

a。"п 一(p/盼2] 2 + 4(必田2 s优)2' '

коэффициентом динамичности (а0 = ЛД2一отклонение системы от положения равновесия под действием постоянной силы "), Обозначив отношения

无T = V, получим

Л = /・(72)

7(1 -炉)2 十 4yz2' 丿

Считая V постоянным параметром, построим график зависимости 入 от z в области

Максимуму X соответствует минимум подкоренного выражения в знаменателе

у = (1 — ?2)2 + 4V2*

Вычисляем производные у по z:

*=-42(1 —22)+ 8V22, у" = - 4 + 12炉 + 8v2.

Находим, что у' = 0 при z = 0 и при z = zm — ^J\ ——2v2. Если 1 — 2v2 > 0, v < 1/д/20,707, т. е. nW 0,707А, то второй ко

рень действителен; если же n > 0,707fe, то 2俏一мнимое число и у при г > 0 является монотонно возрастающей, а % ——монотонно убывающей функцией г. Подставляя 2^ = 1 ——2v2 в выражение для у〃, находим

у" = —4 十 12(1 -2v2) + 8v2 = 8(1 - 2v2) > 0;

так как у" > 0, то 2^ = 1 — 2v2 соответствует минимуму у и, следовательно, максимуму 九.Вычислив этот максимум, получим

入 max = ^7^T・(73)

Максимальное значение амплитуды колебаний установившегося режима получается не при резонансе, а при 2 =之俏= =д/1 ——2V2; под резонансом здесь можно понимать как случай z= 1, т. е. совпадение частот возмущающей силы и свободных колебаний при отсутствии сопротивления, так и случай 2 = =“1 — У, соответствующий совпадению частоты р с частотой 7出一桔= h«\ — v2 свободных колебаний при наличии сопротивления. Следуя установившейся терминологии, сохраним наименование «резонанс» за первым случаем. Значения коэффициента динамичности % при %=1 и г = д/1 ~ ^2 соответственно будут

Аг =九(])Н 丄， Л* = Яг — V2) = T=L==r ；

V 7 2v V1 - 3v2/4

конечно, %r и %* меньше, чем %max； иными словами, при наличии силы сопротивления имеет место сдвиг максимума амплитуды в сторону меньшего значения р. Надо, впрочем, отметить, что при малых сопротивлениях этот сдвиг максимума амплитуды, равно как и разности 九max —九г и Xmax —九* невелики, как пока* зано в табл. 2.

Габлица 2

Влияние сопротивления на характерные значения коэффициента динамичности

V

zm == «1 — 2v2

*max

九，

乂

0,05

0,9975

10,013

10,000

10,010

0,10

0,9899

5,025

5,000

5,019

0,15

0,9772

3,371

3,333

3,362

，0,20

0,9695

2,552

2,500

2,538

0,25

0,9357

2,065

2,000

2,049

0,30

0,9055

1,747

1,667

1,726

0,40

0,8246

1,366

1,250

1,333

0,50

0,7071

1,155

1,000

1,102

0,707

0

1,000

0,707

0,894

Отметим еще, что независимо от значения v 九(0) = 1, V(0)= =0 при z = 0; Х(оо) = 0 при zf оо.

После сказанного нетрудно отдать себе отчет в характере зависимости 九 от z:

если V2 > 1/2, то % монотонно убывает от значения Х(0) = =1 до Х(оо) = 0 (рис. 260).

если V2 V 1/2, то % имеет максимум при 之=之加=、/1 — 2v2, выраженный тем более резко, чем меньше v. При 0 之 z V z^

(область «малых» частот возмущающей силы) X возрастает от %(0) = 1 до 九max = l/(2v “1 — v2), а при zM < z < оо (область «больших» частот) убывает ОТ 入max до нуля (рис. 261).

Сдвиг фаз 8 между колебанием при установившемся режиме и возмущающей силой определяется формулой

е =胪 一 р2 = Т=^2 •

При г = 1 имеем tge = оо, е = л/2, т. е. при резонансе сдвиг фаз равен к/2; при 2 = 0 и 2=8 также независимо от v

находим £(0) = 0, е(оо) = л. Вычислив производную 患=2v 炉(1+%2),

убеждаемся, что она положительна при любых z н v; £ монотонно возрастает при частотах возмущающей силы, соответствующих z < 1, от нуля до н/2 и при г > 1 — от л/2 до 冗.При V = 0 8 представляет собой разрывную функцию от z, причем е — 0 при z V 1 и 6 = л при г > 1. В табл. 3 даны значения X и 8 при различных v и г.

Таблица 3

Зависимость коэффициента динамичности и сдвига фазы от г и v

w=o

v = 0,05

v^O, 10

v=0,15

2=0,20

v==0,25

N

九

入

e°

X

8°

儿

e°

入

£。

九

e°

0,00

1,00

1,00

0,0

1,00

0,0

1,00

0,0

1,00

0,0

1,00

00

0,10

1,01

1,01

0,6

1,01

1,3

1,01

1,9

1,01

2,5

1,01

2,9

0,20

1,04

1,04

1,2

1,04

2,4

1,04

3,6

1,04

4,7

1,04

5,9

0,30

1,10

1,10

1,9

1,10

3,7

1,10

5,6

1,09

7,5

1,09

9J

0,40

1,19

1,19

2,8

1,18

5,4

1,18

8,1

1,17

10,8

1,16

13,4

0,50

1,33

1,33

3,8

1,32

7,6

1,30

11,3

1,29

15,0

1,26

18,5

0,60

1,56

1,55

5,3

1,54

10,6

1,50

15,7

1,46

20,6

1,41

25,2

0,70

1,96

1,94

7,8

1,89

15,4

1,82

22,4

1,72

28,8

1,62

34,5

0,75

2,28

2,25

9,7

2,16

18,9

2,03

27,2

1,88

34,4

1,72

40,6

0,80

2,78

2,71

12,5

2,53

23,9

2,31

33,7

2,08

41,7

1,86

48,0

0,85

3,60

3,44

17,0

3,07

31,4

2,65

42,5

2,28

50,8

1,98

56,8

；0,90

5,26

4,76

25,3

3,82

43,5

3,03

55,0

2,46

62,2

2,05

67,2

:0,925

6,95

5,85

32,7

4,27

52,2

3,20

62,5

2,52

68,7

2,07

72,7

0,95

10,26

7,33

44,1

4,67

62,7

3,30

71,0

2,55

75,5

2,06

78,3

0,975

20,50

9,16

63,4

4,98

75,9

3,36

80,5

2,55

82,9

2,04

84,2

1,000

ОО

10,00

90,0

5,00

90,0

3,33

90,0

2,50

90,0

2,00

90,0

1,025

19,76

8,73

116,5

4,73

104,0

3,20

99,4

2,42

97,1

1,94

95,6

1,05

9,76

6,80

134,8

4,28

116,5

3,02

108,3

2,31

103,9

1,87

101 1

1,075

6,45

5,31

145,3

3,77

125,8

2,80

115,7

2,19

109,8

1,79

106,2

、1,10

4,76

4,22

152,3

3,29

133,7

2,55

122,3

2,05

115,5

1,70

110,8

1,15

3,11

2,94

160,3

2,53

144,8

2,17

133,0

1,78

125,4

1,52

119,3

:1,20

2,27

2,19

164,8

1,99

151,4

1,76

140,6

1,54

132,5

1,36

126,3

；1,25

1，Z8

1,74

167,4

1,63

156.0

1,48

146,3

1,33

138,2

1,19

132,0

彳 1,30

1,45

1,42

169,3

1,36

159,4

1,26

150,5

1,16

143,0

1,06

136,7

1,40

1,04

1,03

171,8

1,00

163,9

0,96

156,4

0,90

149,7

0,84

143,8

1,50

0,80

0,80

173,2

0,77

166,5

0,75

160,2

0,72

154,3

0,69

149,0

1,75

0,49

0,48

175,1

0,48

171,5

0,47

166,7

0,45

161,3

0,45

157,0

:2,00

0,33

0,33

176,2

0,33

172,4

0,33

168,7

0,32

165,0

0,32

161,6

2,50

0,19

0,19

177,2

0,19

174,5

0,19

171,9

0,19

169,2

0,18

166,6

3,00

0,125

0,125

177,8

0,125

175,7

0,123

173,5

0,123

171,5

0,123

169,5

.4,00

0,067

0,067

178,5

0,067

177,0

0,066

175,5

0,065

174,0

0,066

172,3

? 5,00

0,042

0,042

178,9

0,042

177,6

0,042

176,4

0,042

175,3

0,042

174,0

На рис. 262 и 263 приведены графики зависимости 九 и £ от z <ля различных v. Табл. 3 и графики показывают, что в случае

малых сопротивлений в области, достаточно удаленной от резонанса, значения X весьма мало зависят от v. Это позволяет

Во многих приложениях (см., в частности, приводимый ниже пример 92 расчета вибрографа) амплитуда Н возмущающей силы оказывается пропорциональной квадрату частоты р:

Н = Кр2.

Обозначая К]т = йь получаем для амплитуды колебаний установившегося режима вместо (71) и (72) выражение

/пр? 佇2

q = "(胪一p2“ 耳屈■ ="(1 一/户+后它*

(74)(74)Графики отношения

(74)

(74)

①1"(1 -22)2 + 4Wz2

для различных v в зависимости от z представлены на рис. 264. Числа, показанные на отдельных кривых, дают отношение двух*

8。/7808。/780DD、42г"J-4纺I笏1 1 * Y、42г"J-4纺I笏1 1 * Y7勿7勿旭7旭77仇77仇77紡7紡7况77况7ПОПО7加7加7勿7勿SOSO8〃8〃70705050万〃万〃勿勿瓦7瓦7勿勿弘弘Рис. 263.Рис. 263.3,这3,这

8。/

780

8。/

780

D

D

、42

г

"J

-4纺

I

笏

1 1 * Y

、42

г

"J

-4纺

I

笏

1 1 * Y

7勿

7勿

旭7

旭7

7仇7

7仇7

7紡

7紡

7况7

7况7

ПО

ПО

7加

7加

7勿

7勿

SO

SO

8〃

8〃

70

70

50

50

万〃

万〃

勿

勿

瓦7

瓦7

勿

勿

弘

弘

Рис. 263.

Рис. 263.

3,这

3,这

последовательных размахов при свободных колебаниях, т. е. величину, обозначенную в § 98 через п и связанную, согласно (50), с логарифмическим декрементом Д и с v соотношениями

А = 1пП

3TV

(75)

В общем случае периодической силы 尸«) представляем ее рядом Фурье

F (9 =三 Н$ sin (spt + 6$)

<8=1

и при установившемся режиме получаем

% = 2也2 "(1 一m炉产+4WS2冉% = 2也2 "(1 一m炉产+4WS2冉sin (spt + & — %)=sin (spt + & — %)=

% = 2也2 "(1 一m炉产+4WS2冉

% = 2也2 "(1 一m炉产+4WS2冉

sin (spt + & — %)=

sin (spt + & — %)=

=三鲁3也(S0 + 3 一 %), (76) s=!

2szv1 - S2名2♦2szv1 - S2名2♦tg %tg %(77)(77)где hs = Hs/m, а сдвиг фаз es s-й гармоники вынужденного колебания относительно той же гармоники возмущающей силы определяется формулой

2szv

1 - S2名2♦

2szv

1 - S2名2♦

tg %

tg %

(77)

(77)

Вычисление Xs и tg£s можно производить по приведенным выше формулам и таблицам.

При равенстве частоты свободных колебаний целому кратному sp (s = 1, 2, 3,…)частоты р возмущающей силы имеется резонанс соответствующего порядка. Амплитуда какой-либо гармоники вынужденного колебания будет максимальной не при резонансе, а при k — sp^/1 — 2v2, что при малых v, впрочем, мало отличается от sp. При большом сопротивлении (v > 0,707) понятие резонанса теряет смысл, так как все Xs (s == 1, 2,...) монотонно убывают при возрастании р.

Пример 92, Виброграф, снабженный затуханием, установлен на платформе, совершающей периодическое колебательное движение в вертикальном направлении. Определить, с каким искажением записываются отдельные гармонические составляющие колебательного движения платформы при условен, что затухание прибора доведено до границы апериодичности.

Предположим сначала, что платформа колеблется по гармоническому закону.

自口 == a sin pt.

Уравнение движения груза относительно платформы будет х + 2几戈 + k2x = ар? §也 р/

(х •— вертикальное перемещение груза относительно платформы).

При установившемся режиме по формуле (74) имеем

”2 sin (pf — g)炉

x =一户女==二:二:Jr：二：一 ==广口：:，…:："f ' ' a sin - e).

“出一标)2 + 4〃2P2V(1 — 22)2 + 4v2Z2

На границе апериодичности v = l и, следовательно,

г. e. виброграф записывает амплитуду колебаний платформы с искажением, z2 —1

匸冃=(尼/р)'+1

4 Л. Г£ Лойцянский, А. И. Лурье

и со сдвигом фазы, определяемым формулой

tgetge2z2z

tge

tge

2z

2z

В случае произвольного периодического движения платформы

Еп = £ М sin (spf + 6J

2sz1 一 s2z2 •2sz1 一 s2z2 •при установившемся движении груза и при v = 1 получим

2sz

1 一 s2z2 •

2sz

1 一 s2z2 •

X £ 同烏^^ % Sin {spt + & 一 ')tg Cs S=1

Искажение амплитуды отдельных гармоник записываемого колебательного движения здесь различно; однако если взять z достаточно большим, на- пример z = 5, то уже для второй гармоники

[^/(2p)]2+l

и искажением ее амплитуды можно пренебречь. Сдвиг фаз е$ при больших z для гармоник высших порядков мало отличается от 180е; например, при z = 5 имеем 出=180° — 11°, ез = 180° — 7° и т. д.

Здесь подтверждается указанный выше факт: для записи колебаний фундаментов, машин, платформ и т. п. при помощи упруго связанного с ними груза выгодно применение приборов с малой частотой свободных колебаний.

Свободные колебания точки при наличиикулонова трения

о f мо f м由>о近</7Рис. 265.由>о近</7Рис. 265.Рассмотрим движение тела М (рис. 265), способного перемещаться по горизонтальной шероховатой плоскости и находящегося под действием двух пружин АВ и Д1Вь При движении тела в горизонтальном направлении (вдоль оси Ох) к нему будут приложены, во-первых, восстанавливающая сила F пружин, проекция которой на ось

о f м

о f м

由>о近</7

Рис. 265.

由>о近</7

Рис. 265.

Ох равна (—сх), во-вторых, сила трения R, равная по величине произведению коэффициента трения f на нормальную реакцию плоскости N; в рассматриваемом случае реакция ^ равна силе тяжести тела G = mg. Так как сила R всегда направлена противоположно скорости (рис. 265), то, вводя для обозначения знака какой-либо величины а символ signa <signa=+l при a > 0

и sign а = —1 при а V 0), можно написать

R% = — fN sign 北=—fmg sign 北，

т. e. R% = —ftng при 北 > 0 и R% = fmg при 戈 V 0・

Уравнение движения имеет вид

тх + сх = — fmg sign х.(78)

При 戈=0 сила трения не должна превосходить предельной величины силы трения покоя 〃М где 厶一коэффициент трения покоя (f V fi).

Переходя к интегрированию уравнения движения (78), заметим, что наличие в правой его части разрывной функции, меняющей в точке х = 0 свой знак на противоположный, т. е. претерпевающей конечный скачок на величину 2/G, заставляет вести интегрирование в пределах каждого размаха отдельно. Кулоново трение представляет собой пример сопротивления с нелинейным законом зависимости от скорости движения.

Рассмотрим последовательные этапы колебаний тела М, начиная с момента / = 0, в который х = %о, а 戈=0. Движение начнется, если реакция пружин, возвращающая тело в положение равновесия, будет по величине больше силы трения покоя:

cMol>fG 1工01> 乎.(79)

Будем предполагать, что это неравенство имеет место, т. е. что тело достаточно удалено от положения равновесия. Пусть Хо > 0; движение начнется в сторону отрицательной оси Ох, sign х = —1. Уравнение движения (75) будет при этом иметь вид

тх + ex — ftng, или х + 々2% = fg,(80)

где 々2 = с/т. Интеграл этого уравнения, удовлетворяющий указанным выше начальным условиям, будет

% =售 + (%。—^") с。，々九(81)

откуда найдем

北=-々(№ -普)sin 亚.(82)

Проекция скорости 北 остается отрицательной, пока sin^f>0, т. е. при 0VfVn/N В момент 力=九=冗/々 величина 戈 обращается в нуль, меняя свой знак; в этот момент времени значе^ ние % будет

%1 = % (a)=-%0 十 2 普，

и движение не прекратится, если [см. неравенство (79)] c\xl\>flmgt т. е. с| —向 +譽|>九”

или, замечая, что mg/c = g/尼2,

I ^! I = J — х0 + 2薯I > ^F・(83)

Предположим, что это неравенство выполняется; в таком случае должно быть %i = —%о + 2fg/论2 V 0. Действительно, в противном случае мы имели бы |%i| = %i и, согласно (83),

у 1 у 一2fg /1g 丄

l^i I —-ri ——的 十 7Г" > 7r * t・ e. > 胃 十 x0 •

Если заменить здесь %o величиной, заведомо меньшей ее [см. (79)], то это неравенство усилится:

что неверно, так как 力 > Д Итак, Xi < 0, и движение в момент Zi начнется в положительную сторону оси Ок, т. е. при f > 九 в течение некоторого промежутка времени х > 0, signx = 4~Ь Уравнение движения (78) примет вид

尤 + 胪％ = — fg,(84)

причем начальные условия будут таковы: при £ =厶 х = Xi, х = 0.

Как и выше, получим

"н —普 + ("1 + 醬)cos卜@ Т1),

или, подставляя значения t\ и %i：

х = 一 冨—("^— ”。) cos kt,(85)

откуда найдем

x — k (普——％o) sin kt.(86)

Так как xi V 0, то по (83)

Y 2fgY、2fg fig

и поскольку 厶 > f, то тем более х0 — 3卜/必 > 0. Поэтому при 九 V f V 2лД будет х > 0. В момент 勾=2n/k величина sin kt, а следовательно,北 обращается в нуль. В этот момент

Движение не прекратится, если (см. выше)

I 出 I =卜° —书-1 > 々F •(88)

Если это неравенство выполняется, то, как и выше, можно доказать, что 也 > 0, а следовательно, скорость 戈 в момент t2 изменит знак и в течение некоторого промежутка времени будем иметь sign% = —1. Мы снова возвращаемся к дифференциальному уравнению (80) с новыми начальными условиями: при 工—%2 % —■尤2 ^** 0,戈===0.

Итак, максимальные по абсолютной величине последовательные отклонения от положения равновесия будут

.2fg纣 g

%0，*1 =一%0 4 京-，%2 = %0 忌-»

%3 = - + *F，.・•，%九=(-1 尸(х° -幫生)，

а соответствующие им моменты остановок тела

Каждое последующее отклонение по абсолютной величине на 2fg/也2 меньше предыдущего. Промежуток времени между моментами двух остановок по одну сторону от положения рав* новесия равен

т. е. периоду колебаний при отсутствии силы трения. Итак, сила трения не влияет на период колебания-, последовательные отклонения уменьшаются в арифметической прогрессии на величину 2fg/也2 За полупериод. При некотором п отклонение хп должно стать по абсолютной величине меньше fig/k2 и в соответствующий момент времени tn движение прекратится, так как реакция пружин окажется меньше, чем сила трения покоя. Поэтому рас* сматриваемые колебания являются останавливающимися.

В качестве примера построим график движения (рис. 266) при следующих условиях:

Г = 2 с,的=4,6 ・ КГ? м, f = 0,005, fi = 0,007.

Получим

fg fgA 0,005 • 981 • 43g

京4^2Q 0,5 ・ 10 м, -p- « 0,7 • 10 м・

За полупериод колебания амплитуды уменьшаются на 10~2 м. Находим

х0 = 4,6 ・ КГ? м,修=(-4,6 + 1). Ю~2 = — 3,6 • 10~2 м, %2 = (4,6-2)・ 10-2 = 2,6 ・ 10-2 м, %з = (—4,6+ 3)・ 10-2 =

=—1,6 • 10~2 м.

Все эти отклонения по абсолютной величине больше 0,7, поэтому движение будет продолжаться; но в момент времени

f =厶=4 с мы уже получим

/= (4,6 一 4)・ ICT? = 0,6 ・ КГ? < 脣

и движение прекратится. Назовем «мертвой зоной» заштрихо* ванную на рис. 266 область шириной 2f\g/k2. Если скорость

Рис. 266.

обращается в нуль во время прохождения «мертвой зоны», то тело останавливается и движение далее не происходит.

Согласно (81) график движения в промежутке времени 0 V f V 九 представляет собой отрезок косинусоиды амплитуды 4,1 • 10-2 м; осью косинусоиды является прямая / — 7, параллельная оси абсцисс и проведенная на расстоянии fg/k2 = =0,5・10一2 м от нее; в интервале 力 V f V %2 имеем отрезок косинусоиды амплитуды 3,1 • 10-2 м, причем осью является прямая II — //, проведенная снизу от оси абсцисс на том же расстоянии, и т. д. (рис. 266). В момент времени / = /4 = 4 с вершина соответствующей косинусоиды окажется внутри 《мертвой зоны», и

точка останется в покое, т. е. график движения при Е > £4 представляет собой прямую, параллельную оси абсцисс.

Вершины косинусоид %о, %2, %4 и т. д. должны лежать на одной прямой; если это свойство можно заметить на заснятой диаграмме свободных колебаний, то причиной уменьшения раз- махов является кулоново трение.

В настоящей главе мы имели дело с прямолинейными колебаниями материальной точки, причем такими, которые описываются линейными дифференциальными уравнениями. Такие колебания называют линейными. Они наиболее просты с математической стороны и поэтому вынесены в начало этого тома. (В некотором роде исключением является случай прямолинейных колебаний при наличии кулонова трения, которые следует отнести к нелинейным колебаниям, описываемым кусочно-линейными уравнениями.) Более сложные случаи колебаний системы материальных точек и абсолютно твердых тел, как линейных, %ак и нелинейных, будут рассмотрены в шестом отделе курса (гл. XXXII—XXXIV),

Отдел четвертый

ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ

Глава XXII

ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯСИСТЕМЫ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК

Предварительные замечания об общих теоремахдинамики

Задача об интегрировании дифференциальных уравнений движения материальной точки, представляющая даже в случае одной точки некоторые трудности, становится подчас непосильной, когда приходится иметь дело с движением системы материальных точек. Силы, приложенные к отдельным точкам системы, могут зависеть от положения и движения остальных точек системы, так что правые части дифференциальных уравнений, написанных для каждой точки в отдельности, будут содержать время, координаты и проекции скорости всех точек системы. В результате вопрос сводится к интегрированию системы дифференциальных уравнений, что далеко не просто.

Если по существу поставленной задачи необходимо изучить движение каждой точки системы в отдельности, то полное интегрирование уравнений движения системы точек, приводящее к определению координат точек системы в зависимости от времени, неизбежно. Таковы, например, задачи о движении двух, трех или нескольких тяготеющих друг к другу тел в небесной механике. В других случаях оказывается достаточным определить изменение некоторых суммарных мер движения системы в целом (количества движения, момента количества движения, кинетической энергии) в зависимости от суммарных мер действия сил (главный вектор и главный момент приложенных сил, работа сил, потенциальная энергия).

Такого рода соотношения между изменениями во времени суммарных мер движения системы материальных точек и суммарными мерами действия приложенных к точкам совокупности сил выражают общие теоремы динамики системы материальных точек, применяемые как для отдельных точек и их систем, так и для сплошных сред.

Общие теоремы динамики могут быть выведены из дифференциальных уравнений движения как в дифференциальной, так й в конечной (интегральной) формах.

К числу общих теорем динамики относятся: теорема об изменении количества движения с ее модификациями ——теоремой импульсов и теоремой о движении центра масс, теорема об изменении момента количеств движения, сводящаяся в частном случае центральных сил к теореме площадей, а также теорема об изменении кинетической энергии (теорема живых сил), при консервативности сил (см. ниже) выражающая закон сохранения механической энергии.

В основе вывода первых двух общих теорем динамики — количества движения и момента количества движения ——лежит идея выделения из всех сил, приложенных к системе, внутренних сил взаимодействия между материальными точками системы. Внутренние силы в своей совокупности не могут влиять на такие суммарные меры движения, как главный вектор и главный момент количеств движения точек системы. Только внешние силы, действующие на точки системы со стороны внешних тел, не принадлежащих к рассматриваемой системе, могут изменять главный вектор и главный момент количеств движения системы. В использовании этого свойства внутренних сил, представляющего собой одно из важнейших следствий третьего закона Ньютона, заключается главное значение двух первых общих теорем динамики.

Теорема об изменении кинетической энергии устанавливает связь между изменением основной меры движения системы материальных точек — кинетической энергии — и мерой действия сил на протяжении путей движения точек системы — работой сил; для широкого класса сил, носящих наименование консервативных, работа может быть выражена как изменение потенциальной энергии. Таким образом, в круг вопросов механики вводится понятие энергии. Значение этого понятия состоит в том, что им определяется единая физическая величина, проявляющаяся в различных физических явлениях и, таким образом, связывающая их между собой. Понятие энергии объединяет механику с термодинамикой, с учением об электрических явлениях и т. п. Преобразование механической энергии в другие формы энергии и обратное преобразование этих форм в механическую энергию представляет важную задачу современной техники.

В отличие от изменения количества движения и момента количества движения изменение кинетической энергии материальной системы зависит от работы как внешних, так и внутренних сил. Однако и в этом случае выделение класса внутренних сил оказывается полезным, так как, например, в случае движения •абсолютно твердого тела или системы абсолютно твердых тел работа внутренних сил равна нулю, а в случае сплошной среды

она позволяет судить о потерях механической энергии за счет внутреннего трения.

Применением общих теорем динамики можно удовольствоваться лишь при изучении наиболее простых движений систем или при рассмотрении лишь какой-либо одной стороны сложных движений. Исчерпывающие сведения о движении системы может дать только полное интегрирование дифференциальных уравне* ний ее движения.

Теорема об изменении количества движениясистемы материальных точек

Положение системы материальных точек Mi {i= 1, 2,..., n) будем определять вектор-радиусами 力 этих точек относительно неподвижного начала координат О; скорости и ускорения точек системы обозначим соответственно через

0/ =门 И Wi — Vi = ti.

Тела, не включаемые в рассматриваемую систему, назовем внешними по отношению к системе. Такое разделение тел на входящие в систему и не входящие в нее зависит от способа рассмотрения. Мы можем (и в дальнейшем будем так неоднократно поступать) то включать некоторые тела в данную си* стему, то исключать их из этой системы.

Таким образом, силы, приложенные к данной системе, мы разбиваем на две категории: 1) внутренние силы — силы взаи* модействия материальных точек, входящих в данную систему, и 2) внешние силы ——силы взаимодействия системы с телами, внешними по отношению к системе. Так, например, если рассматривать поезд как одну систему, то внутренними силами будут упругие силы, возникающие в тягах и в буферах, силы давления груза на пол вагона, силы трения в осях; внешними силами будут реакции рельсов, силы трения между колесами и рельсами, сопротивление воздуха.

Обозначим равнодействующую всех внешних сил, приложен* ных к точке М% через 尸厶 а всех внутренних — через 戸7; тогда дифференциальные уравнения движения системы материальных точек могут быть представлены совокупностью основных урав- нений динамики для отдельных точек системы

m^i = Л + Fz (i = 1, 2, •・.，％) (1> или в проекциях на оси неподвижной (или инерциальной) декартовой системы координат

恤兄=Fix + FiX) m^i = Fty + 尸名,加自П尸/2+尸% (z=l, 2,几j.

Проекции 尸以，Fiy, Fiz равнодействующей внешних сил, приложенных к i-й точке, так же как и проекции 尸公，尸名，尸久 равнодействующей внутренних сил, представляют собой заданные функции времени, координат и проекций скоростей не только i-й, но и в общем случае всех точек системы. Таким образом, уравнения (2) образуют систему Зп обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с 3几 неизвестными величинами %厶 屮,z厶 которые должны быть определены как функции времени. Начальные условия, необходимые для определения произвольных постоянных интегрирования, представляют совокупность начальных условий для каждой точки системы в отдельности. Оставляя пока в стороне вопрос об интегрировании уравнений (2), займемся применением этих уравнений к выводу первой основной теоремы динамики — теоремы об изменении количества движения системы.

Вывод теоремы об изменении количества движения системы, или, как ее кратко называют, теоремы количества движения, основан на идее исключения внутренних сил из дифференциальных уравнений движения системы материальных точек (1). Пользуясь третьим законом Ньютона о равенстве действия и противодействия, можно утверждать, что главный вектор внутренних сил V’ равен нулю:

『=2 № = 0・(3)

Действительно, для определения главного вектора внутренних сил мы должны сложить все силы взаимодействия между точками рассматриваемой системы. Но каждому действию, приложенному к одной точке от другой, соответствует равное по величине и противоположно направленное противодействие, приложенное ко второй точке от первой. При сложении этих действий и противодействий в один главный вектор они все попарно уничтожаются, что и приведет к равенству (3).

Просуммируем теперь уравнения (1) по всем точкам системы:

S mzwz = S Fz + Е №•⑷

i == 1i = 1i = 1

В силу уравнения (3) второе слагаемое в правой части этого равенства обращается в нуль. Векторная сумма

&к・=у(з)

представляет собой главный вектор внешних сил. Заметим, что эту сумму внешних сил, приложенных к различным точкам

системы, выражаемую одним вектором — главным вектором внешних сил, — нельзя рассматривать как равнодействующую внешних сил. В случае системы отдельных материальных точек движущихся одна относительно другой, само понятие равнодействующей лишено смысла.

Уравнение (4) на основании (3) и (5) принимает вид

£叫叫=У・(6)

i=l

Вспоминая еще, что

перепишем уравнение (6) в форме

£E加何=忆⑺

i = l

Вектор g, равный по величине произведению массы m материальной точки на вектор скорости а и имеющий направление скорости, называется количеством движения точки:

g = mv.(8)

Количество движения измеряется в кг-м-с~!.

Главный вектор Q количеств движения точек системы, рав« ный

/гп

Q = Е % = Z加何,(9)

力=1i=l

называют количеством движения системы; его проекции на оси неподвижной декартовой системы координат будут

ппп

Qx=£ 加闷 Qy=H 皿心,Qz= Zm自.(10)

Из равенств (5), (7) и (9) следует, что

察=v=i>・(①

Это соотношение выражает теорему количества движения:

Векторная производная по времени от количества движения системы равна главному вектору внешних сил, приложенных к системе.

Равенство нулю главного вектора внутренних сил приводит к заключению, что внутренние силы не могут влиять на изменение количества движения системы.

Проектируя векторное равенство (11) на неподвижные оси декартовой системы координат, получаем систему трех равенств

dQ % dQ“ dQz乙，九，k=展・ (12)

Предположим, что внешние силы, приложенные к системе, таковы, что проекция их главного вектора на одну из осей координат равна нулю. Тогда, как это сразу следует из равенств (12), проекция вектора количества движения системы на ту же ось будет во все время движения сохранять постоянную величину. Это предложение называют законом сохранения проекции количества движения системы.

Если главный вектор внешних сил равен нулю, т. е. система изолирована от воздействий внешних по отношению к ней тел, то количество движения системы будет сохраняться во времени как по величине, так и по направлению. В этом заключается закон сохранения количества движения.

Поясним закон сохранения количества движения простым примером. Рассмотрим систему «орудие — снаряд», причем для простоты будем пренебрегать массой пороховых газов, образующихся при выстреле. Пусть тело орудия имеет массу тОр, снаряд — массу т^ Будем предполагать, что конструкция лафета такова, что ствол расположен горизонтально и откат его происходит также в горизонтальном направлении. Примем ось ствола в направлении выстрела за ось 0%; тогда силы тяжести не дают проекций на эту ось, точно так же, как и опорные реакции лафета, если пренебречь трением ствола в направляющих и реакцией гидротормоза, возникающими при откате орудия. При этих условиях, применяя закон сохранения количества движения в проекции на ось Ох и обозначая соответственно через и°р и Осн абсолютные величины скоростей орудия и снаряда после выстрела, будем иметь

—Zp%p + %н%н = const.

Для определения постоянной заметим, что до выстрела и орудие и снаряд были в покое, так что

一 ^ор^ор + тсн%н = о.

Отсюда следует простое соотношение между скоростью вылета снаряда и скоростью отката орудия в момент непосредственно за выстрелом (в дальнейшем скорость отката уменьшается

благодаря трению и действию гидротормоза):

%Н • ^ор ^ор • ^СН， т. е. обратная пропорциональность этих скоростей массам орудия и снаряда.

§ 103. Динамика точки переменной массы

Под словом «точка» в дальнейшем, как и выше, понимается тело, кинематическими элементами вращательного движения которого при рассмотрении данного вопроса можно пренебречь по сравнению с кинематическими элементами его поступательного движения. Точка переменной массы — это тело, некоторая часть массы которого в процессе движения отделяется от него или, наоборот, к массе которого присоединяются новые массы. Примерами могут служить ракетный снаряд, отбрасывающий продукты сгорания топлива, самолет, сбрасывающий бомбовую нагрузку, привязной аэростат, поднимающий канат, все новые части которого включаются в движение, плавающая льдина, масса которой возрастает вследствие намерзания или убывает вследствие таяния, и многое другое.

Динамика точки переменной массы представляет собой раздел общей динамики постоянной массы. Следует заметить, что излагаемый в настоящем параграфе метод расчета реактивных движений никак не связан с изучаемым в релятивистской механике изменением массы при движении со скоростями, близкими к скоростям света (см. гл. XXXI). Являясь лишь своеобразной интерпретацией классических методов механики постоянной массы, метод механики переменной массы получил свое развитие и широкое распространение главным образом благодаря своим важным применениям к расчету реактивных движений.

Следуя одному из основоположников динамики переменной массы И. В. Мещерскому ), будем в дальнейшем предполагать, что 《...к системе непрерывно присоединяются частицы бесконечно малых масс таким образом, что скорости точек системы изменяются непрерывно, тогда как скорости частиц в момент их присоединения к системе изменяются на конечные величины».

Рассмотрим в момент времени / две точки: одну массы m(Z), имеющую абсолютную скорость и, другую массы dm(t) с абсолютной скоростью 〃； в дальнейшем принимается, что масса

m(t) представляет непрерывную дифференцируемую функцию времени. В момент времени / + 山 эти две точки образуют одну точку массы т + dm (в случае присоединяющейся массы dm>0, в случае отделяющейся массы dm V 0), скорость которой равна а + dv. Применим теорему количества движения к системе, состоящей из этих двух точек. В момент / количество движения равно

mv +и dm, а в момент / + df

(m + dm) (v + du).

Приращение количества движения за время dt будет

mdv + dm (0 —■ 〃)，

и, следовательно, переходя к производной количества движения системы по времени и обозначая через 尸 равнодействующую внешних сил,приложенных к точке с конечноймассой,получаем

^需十(0一")器=尸・(13)

Вектор

〃_0 = с(14)

представляетсобойотносительную скоростьприсоединяющейся

массы.

Вектор

назовем реактивной силой. Уравнение (13) может быть записано в виде

m穿=尸+ @.(16)

Это — основное уравнение динамики точки переменной массы. Оно выражает, что уравнение движения точки переменной массы приводится к виду уравнения движения точки постоянной массы, если к приложенным к точке силам присоединить реактивную силу ).

Если абсолютная скорость присоединяющейся массы равна нулю (и = 0), то уравнение (13) преобразуется к виду

(17)(17)普(znv)=尸.

(17)

(17)

Если обращается в нуль относительная скорость с присоединяющейся массы, то Ф = 0 и уравнение (16) принимает обычную форму уравнения движения точки постоянной массы

dv „

mqr = F・

Надо, конечно, иметь в виду, что во всех этих уравнениях т не является постоянной величиной, а зависит от времени как явно, так и неявно через посредство величин, определяющих положение или движение точки (координат, скорости). Если, например, m = f (х, х, f), то

dm dm 〕dm л【dm ..

"dF = H 十% 十 W

В качестве иллюстрации применения уравнения (16) рассмотрим поступательное движение ракетного снаряда, причем

Рис. 267.Рис. 267.отвлечемся от влияния сил тяжести и сопротивления воздуха. Обозначим через тк постоянную массу корпуса / (рис. 267), через тт переменную массу топлива II и, наконец, через М =

Рис. 267.

Рис. 267.

=—dm^/dt массовый расход газов, проходящих через выхлопное отверстие сопла Ш. Будем предполагать, что скорость истечения газов постоянна и равна с. Согласно (16) уравнение дви

жения ракеты будет

/dmT

(恤 +恤)R= c -

Проектируя на ось 0% и замечая, что vx = v, сх = —с, находим

/、dud^T

(恤 + %) н —

откуда, умножая на dt и интегрируя, получаем

и = с Inи = с In^к + а«т^к + а«т

и = с In

и = с In

^к + а«т

^к + а«т

где положено, что при f = 0 mT = /nJ и и = 0<

В конце горения тт = 0; обозначая скорость в этот момент через 6, получим первую формулу Циолковского )

Пример 93. Составить уравнение движения аэростата, поднимающегося вертикально вверх и непрерывно сбрасывающего балласт с постоянной относительной скоростью. При каком законе изменения массы балласта подъем аэростата будет равномерным?

Действующие на аэростат силы суть: сила тяжести mg, подъемная архимедова сила Q, равная весу вытесненного объема воздуха, и сила сопротивления, которую примем пропорциональной квадрату скорости. Относительная скорость с сбрасываемого балласта направлена вниз, поэтому ее проекция на направление восходящей вертикали (оси Oz) равна (——с). По основному уравнению (16) получаем

加之=-mg + q 一々之2 — С _^..

Это дифференциальное уравнение первого порядка относительно г, в котором т — функция времени (уравнение Риккати), не интегрируется элементарно. Обратимся к рассмотрению частной задачи об условиях равномерного подъема. Пусть 之=и° = const; тогда предыдущее уравнение приведется к виду

e写^ = Q 一h鳥一m卓

или c dm _或

Q —矶一mg

После интегрирования получим

In(Q —左芯一mg) == In С — -~-.

Произвольную постоянную С находим по условию: т = triQ при f = 0; будем иметь

т =、-^如(1 一 ст"') + 恤

Обозначим через М постоянную массу снаряжения, а через 卩一переменную массу балласта; предыдущее выражение примет вид

М + q = 2二〉(1 一 e-g〃c) + (М + 阿)er%.(18)

Предположим, что весь балласт будет сброшен по истечении достаточно большого промежутка времени, когда практически можно будет считать e~gf/c равным нулю (при оо 卩~> 0). Получаем соотношение

выражающее условие равновесия сил веса снаряжения, силы сопротивления воздуха и подъемной силы аэростата Условие (18) принимает вид

М + 快=М (1 — еТ"с) +(М + 卩°)e-g〃； или 卩 ^ 卩。《一审“ т. е. масса балласта должна уменьшаться по показательному закону.

Пример 94. Вывести закон движения тяжелой цепи, конец которой свешивается с горизонтального стола, тогда как не вступившая еще в движение часть цепи свернута в клубок у самого края стола. (Эта задача была рассмотрена английским математиком Кзйлн в 1857 г.)

Пусть х обозначает длину свешивающейся и движущейся части цепи; присоединяющаяся масса ——это масса того элемента цепи dx, который вступает в движение в момент /; его абсолютная скорость в момент присоединения к движущейся части цепи становится равной общей скорости х этой части, а непосредственно до этого момента была равна нулю

Итак, в данном случае (р — масса единицы длины цепи)

т = рх, 〃 = 0, F = pgx, (。一〃)-^- = р 戈2

и уравнение (13) приводится к следующему:

(19)(19)рхх + рх2 — pgx, или хх = gx — х2.

(19)

(19)

Легко найти первый интеграл этого уравнения. Имеем

2 = X2,2 = X2,dx _ dx .— Id / %1 &

2 = X2,

2 = X2,

df — dx 力—2 dx)—万 dx"

так что предыдущее уравнение становится линейным уравнением первого порядка

общий интеграл которого будет

С , 2

Примем в качестве начальных условий: при / = 0 х = 0, х = 0; тогда из последнего равенства следует, что С = 0. Получим

dx / 2dx /2

и после вторичного интегрирования найдем

илиили

или

или

Полученное решение не единственно; тем же начальным условиям и дифференциальному уравнению (19) можно удовлетворить, полагая % 曰 0. В обсуждение этого на первый взгляд парадоксального для задач динамики результата мы подробнее вдаваться не будем, укажем лишь, что полученный результат не противоречит сказанному в § 87 об единственности решения задачи типа Коши. Точка f = 0, х = 0 является особой точкой, так как в ней обращается в нуль коэффициент при старшей производной в уравнении (19). В этой точке ускорение неопределенно: нетривиальному решению х = g件/6 при / = 0 соответствует, как легко убедиться, ускорение х0 = g/З, в то время как решение х = 0 дает х0 = 0.

§ 104. Теорема о движении центра масссистемы материальных точек

Рассмотрим систему и материальных точек с вектор-радиу- сами 门 и массами тл Сумму

М = ^ т^

i == 1

назовем массой системы точек.

По аналогии с понятием о центре тяжести твердого тела (§ 26) введем в рассмотрение точку С с вектор-радиусом

i = li = lп

i = l

i = l

吃 £ Ш，(20)

или в декартовых координатах

= В 2 〜修，Ус = % £ 加回，2c = % £ 团同，(21) ，=1i=l/=1

и назовем эту точку центром масс системы материальных точек. Понятие центра масс является более общим, чем понятие центра тяжести: в отличие от понятия центра тяжести понятие центра масс не связано с наличием однородного гравитационного поля.

Взяв производную по времени от обеих частей равенства 〈20), определяющего вектор-радиус центра масс, получим

У m/i = £ 团通=Q = М^с = MvCi(22)

i=li=l

откуда следует, что количество движения системы материальных точек равно произведению массы системы на скорость движения ее центра масс, или, иными словами, количеству движения центра масс, в котором предположена сосредоточенной вся масса системы.

Дифференцируя (22) еще раз по времени и вспоминая теорему количества движения (11), будем иметь

Mwc = Mrc = У = ^ F/.(23)

Уравнение это можно рассматривать как основное уравнение динамики точки — центра масс С системы, — если в этой точке

считать сосредоточенной массу Мик ней приложенной силу V ——главный вектор внешних сил. Отсюда вытекает теорема о движении центра масс:

Центр масс системы движется ка& точка, в которой сосредоточена вся масса системы и к которой приложен главный вектор внешних сил, действующих на систему.

Из приведенной формулировки следует, что внутренние силы не влияют на движение центра масс; только внешние силы могут изменять его движение. Если система находится в покое, то внутренними силами нельзя вывести из покоя ее центр масс; вызванное внутренними силами движение системы будет происходить так, что центр масс останется неподвижным. Точно так же, если центр масс находился в движении, то внутренними силами нельзя изменить его движение.

В частном случае абсолютно твердого тела, представляющего собой неизменяемую систему материальных точек (и находящегося в однородном гравитационном поле), центр масс совпадает с центром тяжести; предыдущая теорема при этом формулируется следующим образом: центр тяжести твердого тела движется так, как будто в нем сосредоточена вся масса тела и на него действует главный вектор внешних сил, приложенные к твердому телу.

Пользуясь этой теоремой, можно трактовать материальнук> точку как центр тяж.ести твердого тела, схематически представляемого материальной точкой, безотносительно к тому, движется ли тело поступательно или вращается. Замена движуще* гося твердого тела материальной точкой допустима во всех случаях, когда вращательное движение тела не представляет интереса.

Остановимся на некоторых частных случаях движения системы.

1° Главный вектор внешних сил равен нулю. В этом случае- из уравнения (23) следует, что

^с = 0>

т. е. центр масс находится в покое или движется прямолинейно и равномерно. Будет ли иметь место покой или движение, зависит от начальных условий.

2° Проекция главного вектора внешних сил на некоторое направление равна нулю.

Пусть Vx == 0; тогда, проектируя основное уравнение (23) на эту ось, будем иметь

死=0, т. е.

xc = at + b^ %/ + 尤©о；

это означает, что проекция центра масс на ось Ох неподвижна (при vox = 0) или движется равномерно вдоль оси Ох со скоростью VOx.

Перейдем к описанию некоторых явлений, иллюстрирующих содержание теоремы движения центра масс.

Рассмотрим движение тепловоза по горизонтальному пути; внутренние силы не могут привести его в движение, так как только внешние силы создают изменение движения центра масс. Этими внешними силами являются: сила тяжести тепловоза, реакции рельсов, сопротивление воздуха и сопротивление вагонного состава. Последние два сопротивления тормозят движение тепловоза, сила тяжести по направлению вертикальна и по предыдущему не может вызвать горизонтального движения центра масс тепловоза. Остается рассмотреть реакции рельс.

Ведущее нолеооВедущее нолеооРис. 268.Рис. 268.Ведомое нолесоВедомое нолесоРеакции эти можно разложить на направления, перпендикулярное и параллельное рельсам. Первая составляющая вертикальна и горизонтального ускорения тепловоза не создает. Единственной движущей силой является горизонтальная составляющая реакции, т. е. сила трения скольжения между ведущими колесами и рельсами. Ведущие колеса сцепляются благодаря силам трения

Ведущее нолеоо

Ведущее нолеоо

Рис. 268.

Рис. 268.

Ведомое нолесо

Ведомое нолесо

скольжения с рельсами (рис. 268) и отталкиваются от них вперед силой 尸вед. Главный вектор этих ведущих сил и дает двигательную силу тепловоза.

'Ведомые колеса, наоборот, лишь тормозят движение. Сначала приводятся в движение ведущие колеса и получают двигательную силу за счет трения их о рельсы. Между колесом и рельсом развивается трение скольжения, причем, если колесо скользит по рельсу, как это бывает в первый момент приведения в ход тепловоза, то двигательная сила будет равна произведению коэффициента трения скольжения f на ту часть Gi силы тяжести тепловоза, которая приходится на оси ведущих колес. Если же ведущие колеса не скользят, а катятся по рельсам, то можно только утверждать, что равнодействующая ведущих сил 1₽вед меньше 沁，так как при отсутствии скольжения сила трения может иметь любое значение от нуля до максимального своего значения в момент начала скольжения ).

При условии

fGi> г,

где W ——полное сопротивление всего поезда, тепловоз приведет в движение поезд, в противном случае ведущие колеса будут буксовать.

Силы трения ведомых колес о рельсы при незаторможенных и хорошо смазанных осях сводятся к силам трения качения, главный момент которых можно принять равным 左G, где k—»■ коэффициент трения качения, G ——полный вес поезда с тепловозом, уменьшенный на Gi (вес, приходящийся на ведущие оси). Хотя G обычно в десять и в большее число раз превосходит Gi, но зато отношение коэффициента k к радиусу колес значительно меньше, чем 厶 За счет этой разницы и получается избыток сил, создающий ускорение при приведении поезда в движение. Обстоятельства несколько изменяются в сырую погоду, когда коэффициент / уменьшается; при этом тепловоз часто буксует. Подсыпая под колеса песок, можно довести коэффициент трения f до больших значений. Желая затормозить поезд, тормозят вращение колес, заставляют их частично скользить по рельсам и за счет появляющегося трения скольжения, значительного при большом весе поездного состава, получают большую тормозящую силу.

Человек при отсутствии трения не мог бы перемещаться по горизонтальной гладкой плоскости усилиями собственной мускулатуры. Только благодаря силам трения подошв о пол возникает горизонтальная реакция, переносящая центр масс тела в горизонтальном направлении. Человек, стоящий на абсолютно гладком горизонтальном полу, может привести себя в движение, бросая в горизонтальном направлении предметы в сторону, противоположную желательному направлению движения, и тем самым создавая реактивную силу. При этом часть массы системы перемещается, остальная часть массы системы должна переместиться в противоположном направлении так, чтобы сумма произведений масс на их абсциссы осталась прежней и центр масс сохранил свое начальное положение. И наоборот, если бы пол был идеально гладок, движущийся человек не мог бы остановиться. Но бросая предметы в сторону своего движения, человек мог бы затормозиться и при отсутствии трения.

Колебания поршней и других возвратно-поступательно движущихся масс служат источниками периодических возмущающих сил, вызывающих вибрации фундамента двигателя внутреннего сгорания. Упругие реакции грунта или балочного настила вместе с силами тяжести являются единственными внешними силами, приложенными к системе «машина — фундамент». Если сосредоточить внимание на движении только фундамента со ста-

ниной и неподвижными частями машины, а возвратно-поступательно движущиеся массы в машине отнести к числу внешних тел, то воздействия этих тел на фундамент перейдут из класса внутренних сил во внешние и станут играть роль возмущающих сил, вызывающих вынужденные колебания фундамента. Такого рода вибрации особенно велики в нестационарных двигателях, например у автомобиля. При работе мотора кузов автомобиля совершает колебания на рессорах. Взаимное движение поршней рассчитывается так, чтобы их общий центр масс при этом по возможности смещался незначительно; этим добиваются уменьшения вибраций кузова.

В непоршневых двигателях, например электромоторах, вибрации статора объясняются тем, что при недостаточной центровке ротора его центр тяжести не совпадает с осью вращения. Перемещение центра тяжести ротора вызывает вибрации статора с фундаментом и переменность опорных реакций точно так же, как и в поршневых двигателях.

Особого внимания заслуживает случай резонанса, когда период обращения вала машины (будь то поршневой двигатель^ электромотор или другой тип машины) совпадает с периодом колебаний упругой системы (стол, кронштейн, фундамент), на которой машина закреплена. В этих условиях машина, попадая в такт колебаниям фундамента, может раскачать фундамент до значительной амплитуды.

Поясним сказанное на ряде примеров.

Пример 95. Электромотор (рис. 259, а), массы статора и ротора которого соответственно равны Мит, может свободно скользить по неподвижным горизонтальным направляющим. Ось вращения ротора проходит qepe&

центр тяжести Oi статора, а центр тяжести О2 ротора (рис. 269, 6) расположен на малом расстоянии г (эксцентриситет ротора) от оси вращения. Пренебрегая силами трения между статором и направляющими, определить колебания статора и реакцию направляющих. Какова будет эта реакция, если мотор жестко прикреплен к направляющим?

Координаты центра масс С системы, состоящей из статора и ротора, будут

—M%i + тх2Myi + ту2 — 加

生=一 M + 团，уС~ 元 + 加 %，

где %i н /л = 0 — координаты центра тяжести 0】статора, а х2, р2 — координаты центра тяжести О2 ротора (рис. 269,6), причем все координаты берутся по отношению к системе координат Оху, связанной с неподвижным фундаментом.

Внешними силами, приложенными к системе, будут: сила тяжести статора Р, сила тяжести ротора 卩 и реакция R опоры.

Дифференциальные уравнения движения центра масс при незакрепленном моторе имеют вид (户=Mg, р = mg)

(Af + т) хс = О, (М + лг) % = R — Mg — mg.

Если через ① обозначить угловую скорость ротора, то координаты центра масс ротора будут

Х2 = Xi + г cos ср =修 + г cos sf,у? = г sin 屮=г sin s£;

подставляя эти значения в дифференциальные уравнения движения центра масс, получаем

Mxi + /ПХ[——mrco2 cos(»£ = О,ism sf = R — Mg — mg.

Из первого уравнения можно найти уравнение движения статора, из второго —переменное давление мотора на направляющие. Имеем

% = r^ COS sf,M + m

откуда

Xi = -TT—rs sin + C[, M + m

% =— r cos sf + & f + C2.

M +团

Замечая, что в начальный момент (до запуска мотора) статор был неподвижен, т. е. что ±1=0 при / = 0, находим С{ — 0. Помещая начало координат О в начальное положение (при (р = 0) центра масс С системы, будем иметь (индекс 0 характеризует начальный момент движения)

210 1 М тM + 团

Окончательное уравнение колебаний статора будет

т,

Xi =тт-пr cos st.

m +加

Это ——гармонические колебания с амплитудой

° — М 十 /п

и частотой, равной угловой скорости вращения ротора^

Из второго уравнения находим

R = (М + иг) g — mr®2 sin of.

Максимальное и минимальное значения опорной реакции будут

Rmax = (М + /w) g + mr®2,Rmax = (М + /w) g + mr®2,Rmin = (М + /и) g — mr®2.Rmin = (М + /и) g — mr®2.

Rmax = (М + /w) g + mr®2,

Rmax = (М + /w) g + mr®2,

Rmin = (М + /и) g — mr®2.

Rmin = (М + /и) g — mr®2.

Условие отсутствия вертикальногоУсловие отсутствия вертикальногодвижения статора будетдвижения статора будетиметь видиметь вид

Условие отсутствия вертикального

Условие отсутствия вертикального

движения статора будет

движения статора будет

иметь вид

иметь вид

М + т(1 一等)>0,

т. е. угловая скорость должна удовлетворять условию

®2<®2<Л! + m g т гЛ! + m g т г

®2<

®2<

Л! + m g т г

Л! + m g т г

Рис. 270.Рис. 270.

Рис. 270.

Рис. 270.

При невыполнении этого условия, т. е. при достаточно больших угловых скоростях, статор придет в вертикальное движение.

Если мотор закреплен в направляющих, то центр статора 0】будет неподвижен и его можно принять за начало координат (修=协=0). Опорная реакция R будет иметь в этом случае две проекции: горизонтальную & и вертикальную Ry (рис. 269).

Дифференциальные уравнения движения центра масс будут иметь вид

(М + т) хс = R%,

(М + лп) % =勺一Mg — mg, причем

“ — тх2 . — ту2

% = 乂十 m ' yC = M + m •

Из этих уравнений находим реакции

Rx = тх2 = — mra^ cos со/,

Ry = (М -]- т) g — mr^ sin со/.

Вертикальная реакция сохранила прежний вид, а за счет уничтожения горизонтальных колебаний появилась горизонтальная реакция. Реакция эта переменна по величине и направлению; максимальное ее значение по абсолютной величине равно

I Rx Imax = mre?.

Пример 96. В вертикальном одноцилиндровом дизеле (рис. 270),

имеющем частоту вращения % = 300 об/мий (с угловой скоростью вала со = =冗几/ЗО 1/с = Юл 1/с), длина кривошипа г = 10-1 м, шатуна / = 5- Ю-1 м. Масса дизеля вместе с фундаментом М = 100 т, масса дизеля без поршня М == 10 т, масса поршня т = 250 кг; массами шатуна и кривошипа пренебрегаем. Зная, что упругое основание, на котором покоится фундамент, дает под дизелем осадку 2-10~2 м, определить вынужденные колебания фундамента и максимальное и минимальное давления дизеля на фундамент.

Рассмотрим сначала движение центра масс системы, состоящей из фундамента, станины и поршня. Дифференциальное уравнение движения центра

масс по вертикальной оси составим, принимая за начало координат положение центра тяжести фундамента со станиной при неподвижном поршне. При этом в правой части уравнения силы тяжести и составляющая упругой реакции, соответствующая статической осадке фундамента, нагруженного дизелем, взаимно уничтожатся, так что будем иметь

(М + т) % =—叫，

где у】一ордината центра масс дизеля с фундаментом, с — коэффициент упругости основания, на котором покоится фундамент, определится из условия

ебст = (М + m) g.

По формуле для координаты центра масс системы двигателя, фундамента и поршня будем иметь

(m + /n)物+加y2

где у2 — ордината центра тяжести поршня, равная

У2 = У1 + / (1 —彳 + е cos of + -~- cos 2sf) + const-

здесь 8 = 〃厶 а выражение справа (вывод его дан в § 40) выписано с точностью до е2.

Подставляя это значение у2 в формулу для ус, дифференцируя ус два раза по времени и подставляя результат в дифференциальное уравнение движения центра масс всей системы, получаем

(Л1 + т) ^1 == — су\ + wro2 (cos of + 8 cos 2co/)

или, деля на коэффициент при 歹卜

贝=—々汕 + A (cos of + е cos 2©0, где

M + 加 &т'М + m •

Вынужденные колебания [формула (32) § 97] будут определяться равен* ством

У\ =~5- cos2 cos 2(ot

Подставив численные данные, получим уравнение движения фундамента ух == (— 0,050 cos 31,4f — 0,0014 cos 62,8f)・ 10~2 м

Фундамент будет совершать малые периодические колебания. Если ограничиться первым членом, то амплитуда колебаний будет равна 0,5 мм.

Перейдем к определению давления дизеля на фундамент. Для этого рассмотрим движение системы, состоящей только из дизеля и поршня, а фун« дамент будем рассматривать как внешнее тело; тогда реакция ^ фундамента будет внешней силой, и мы получим следующее уравнение движения центра масс О дизеля (с поршнем):

(Mi + m) %，=(Mi + m)g-N,

где уС/ — известная функция времени, определяемая равенством

. Ml贝+加岁2— All + m ，

a N ——искомая реакция.

Из последних двух равенств следует

N = (Mi + m) ^ — Mi贝一туг»

Подставив сюда вместо у2 его значение, а вместо у\ полученное ране^ выражение, найдем

N = (Mi + m) g + 炉「厶伊土+ тД cos со/ +

2 Г 4h (Mi + m) ] o , + £d二4k +cos 2①"

или, принимая во внимание численные значения,

N = (100,55 + 23,35 cos 31,4/ + 4,36 cos 62,8f) кН.

Отсюда имеем

"max = 100,55 + 23,35 + 4,36 = 128,26 кН,%тЕ = 100,55 一 23,35 + 4,36 = 81,56 кН.

Отметим, что в многоцилиндровом двигателе переменная (динамическая) часть реакции меньше и что задача ее уменьшения называется задачей уравновешивания динамических нагрузок (см. ниже, § 151).

Уравнения движения центра массодноступенчатой ракеты

Решение задачи динамики полета ракет представляет значительные расчетные трудности, связанные с необходимостью использования в уравнениях движения ракет эмпирических членов, количественно определяемых при испытаниях ракетных двигателей (а также по результатам опытов в натурных условиях) и задаваемых графиками или таблицами. В связи с этим уравнения динамики полета ракет приходится интегрировать численными методами с широким привлечением для этой цели электронных вычислительных машин (ЭВМ). Обработка результатов такого рода вычислений позволяет установить некоторые общие закономерности, использование которых при проектировании ракет оказывается существенным.

В настоящем курсе мы можем лишь вкратце объяснить постановку задач динамики ракет и осветить некоторые выводы из решений этих задач, полностью опуская вопросы численного интегрирования основных дифференциальных уравнений движения ракет.

Ограничимся в дальнейшем простейшим случаем одноступенчатой ракеты или — по формулировке С. П. Королева )—«нормальной баллистической схемы».

В общепринятой схеме расчета траектория полета ракеты разбивается на два основных участка: 1) «активный участок» движения ракеты под действием реактивной тяги, тяготения и взаимодействия ракеты с окружающим ее воздухом и 2) «пас

сивный участок» движения ракеты под действием только тяготения и взаимодействия с окружающей средой при выключенном двигателе (исчерпании ресурсов топлива). Пассивный участок траектории при достижении ракетой достаточно большой высоты и выхода ее из плотных слоев атмосферы соответствует тому свободному от сопротивления воздуха участку полета ракеты, который был уже рассмотрен ранее в §§ 92—94.

Для упрощения расчета принимаются следующие допущения:

на активном участке траектории полета (рис. 271) направление вектора скорости и центра масс С

сательной к траектории тельной направлена силасательной к траектории тельной направлена силасовпадает с осью ракеты и ка- в данной точке. Вдоль этой каса- тяги Р, а в противоположную сто

сательной к траектории тельной направлена сила

сательной к траектории тельной направлена сила

рону сила лобового сопротивления воздуха D движению ракеты [см. далее формулу (27)]. Вектор ускорения силы тяжести g на

активном участке считается направленным по местной вертикали;

в той части пассивного участка траектории (Р = 0), где еще заметно влияние сопротивления воздуха, коэффициент сопротивления [см. далее формулу (27)] принимается постоянным,

не зависящим от угла атаки ракеты;

пренебрегается изменением лобового сопротивления за счет поворота газовых рулей;

не учитывается влияние вращения Земли вокруг ее оси и движения ее по орбите;

секундный расход топлива на активном участке траектории полагается неизменным;

движение центра масс ракеты считается происходящим в одной и той же плоскости;

не учитывается смещение (за счет сгорания топлива) центра масс ракеты относительно ее корпуса.

В данной точке земной поверхности выберем неизменное начало координат О (рис. 271). Земные оси координат направим по местной горизонтали и местной вертикали.

Координаты центра масс ракеты С обозначим через % и у, угол касательной к траектории с местной осью Ох — через 0.

Уравнения движения центра масс ракеты в проекции на касательную к траектории на активном участке движения могут быть записаны в следующем виде (кривизна поверхности Земли не учитывается):

m 寥=р — D — mg sin 0;

〃.(24)

尤=и cos 8, -^j- — и sin 9.

Тяга в полете Р связана с тягой на Земле Р° формулой

P = Po + Sa(% — p),(25)

где Sa — площадь выходного сечения сопла, р0 — атмФсферное давление у поверхности Земли, р — давление на данной высоте. Тягу на Земле Ро в свою очередь определяют равенством

А === Ат —尸 газ，

выражающим разность между стендовой тягой самого двигателя без газовых рулей Рст и сопротивлением газовых рулей Fr^ Переменная на активном участке масса ракеты представляется разностью

团=恤一mt(26)

между начальной ее массой то (включающей и начальную массу топлива) и массовым расходом топлива к моменту / (血 обозначает секундный массовый расход).

Величину силы лобового сопротивления D выражают по принятой в аэродинамике формуле

D = C^S,(27)

учитывающей зависимость этой силы от скорости движения и ракеты и плотности р воздуха на данной высоте. Величину коэффициента сопротивления Сх принимают в некотором приближении за постоянную, зависящую от формы корпуса ракеты, S — площадь миделя ракеты.

Изменение в полете угла 0 определяется программой полета ракеты на активном участке ее траектории.

Уравнения движения ракеты на той части пассивного участка, где нельзя пренебрегать действием на ракету окружающего воздуха, в указанных земных координатах будут иметь вид

(28)(28)т = mg% 一 D%,加= mg у — Dy,dxdy

(28)

(28)

Масса ракеты m здесь уже постоянна, а проекции 〃，Dy, gXi gy определятся формулами

Dx = D * = C%Spu%

% 1(29)

Dg = Dr = »C%Sp 叫,x xR + у

где R — радиус Земли.

Последние два равенства выводятся из треугольника О'КС (рис. 271), если рассмотреть высоту центра масс ракеты над поверхностью Земли СН = й м и заметить, что

cos(g^Ox) = (УК ： (О'〃 + HC) = x：(R + й),

cos (割护=СК : (О" + ”С) = (R + у) ： (R 十 Л).

Из того же треугольника можно найти выражение высоты ракеты над поверхностью Земли й через земные координаты центра масс ракеты %, у и радиус земли R при х, у《R:

h = CH = 0y — R = 7(R + y¥ + d—RRy + ^^・

В правых частях первых двух равенств системы (29) можно выделить влияние высоты полета на плотность воздуха р, переписав их в форме (индекс 0 означает величину плотности на поверхности Земли)

4 QSpo -~- и%,万 QSpo и%,

где отношение р/ро может определяться из эмпирических данных или по таблице стандартной атмосферы.

В результате численного интегрирования систем уравнений движения ракеты на активном участке (24) и на той части пассивного участка, где должно учитываться влияние силы сопро-

случая земного тяготения,случая земного тяготения,r2-^- = const = Cbr2-^- = const = Cb(31)(31)

случая земного тяготения,

случая земного тяготения,

r2-^- = const = Cb

r2-^- = const = Cb

(31)

(31)

тивления воздуха движению ракеты, находятся координаты центра масс ракеты, а также величина и направление скорости, которые должны быть использованы как начальные условия движения ракеты в области свободного полета под действием только силы тяготения. В несколько отвлеченной, более близкой к задачам небесной механики форме, движение это было описано в §§ 92—94. Однако для приближения к вопросам дина

мики ракет повторим это решение методом, заимствованным из первой лекции С. П. Королева (см. цитированный выше сбор

ник) и не использующим классическое уравнение Бине [формула (63) § 92], а главное, дающим наглядное представление о действительных этапах прохождения ракеты по траектории. Само собою разумеется, что входить в детали этого специального вопроса ракетной динамики в настоящем общем курсе теоретической механики нет возможности. Интересующиеся этими деталями могут непосредственно ознакомиться с лекциями С. П. Королева. Вместо земных координат х, у введем полярные координаты г, ф (рис. 272) и выпишем уравнения движения центра масс ракеты в той же форме (57)

§ 92, что и ранее, но для частного

когда радиальная компонента ускорения, стоящая в правой части первого уравнения и равная (—g), может быть представлена как (—goR2"2), Где g° — ускорение свободного падения тел на поверхности Земли.

Будем иметь следующую систему уравнений:

(30)(30)糸T（黑）2 = _g = _g。等，；年（产需）=。■

(30)

(30)

Второе уравнение дает интеграл площадей (см. далее § 111)

после чего первое уравнение может быть переписано в форме

d2r/ 减2d2r/ 减2(32)(32)

d2r/ 减2

d2r/ 减2

(32)

(32)

Вместо использованного ранее приведения к уравнению Бине [формула (63) § 92] можно пойти другим путем, заметив, что последнее уравнение имеет интегрирующий множитель 2 dr/dt. Действительно, умножая обе части уравнения (32) на этот множитель, приходим к уравнению

d d 2gjR2 d (或、

или, интегрируя (С2 ——новая постоянная интегрирования),

С2 \dt) 一 一fк十С2 \dt) 一 一fк十(33)(33)

С2 \dt) 一 一fк十

С2 \dt) 一 一fк十

(33)

(33)

(34)(35)(36)(34)(35)(36)

(34)

(35)

(36)

(34)

(35)

(36)

Отсюда можно найти d力 равное 成=土"

"e2 十 2gHir - су г2и исключить его из уравнения (33), что приведет к уравнению

* I CidrСdr

” 尸 д/с2 + 2g3R2/r — C\^1 г д/— Cf + 2gQRr + C2r2

Почленное интегрирование обеих частей этого равенства не составляет труда, причем интеграл, стоящий в правой части, будет иметь обычный табличный вид и сведется к арксинусу. Выбором подходящего начала отсчета углов <р результат интегрирования предыдущего равенства можно привести к виду г=О/®。©

—1 十"I +。2 [&/(goR2)]2 cos ф *

Введем обозначения

Р =余)2и получим, как и в § 92, уравнение эллипсаp .

十 е cos ф ' если вместо <р ввести угол § (рис. 272) 屮=冗一£ то предыдущее уравнение примет форму г = __5 1 — е cos Р '

Условимся обозначать индексом нуль значения величин на выходе из активного участка, но сохраним все же обозначение

go для величины ускорения на поверхности Земли. Выразим постоянные Ci и С2, входящие в (34), через параметры движения в начальном положении ракеты на выходе ее из активного участка.

Введем отличный от предыдущего угол 0 между направлениями вектора скорости и и координатной оси г. Из рис. 272 следует, что

丿сdtp и cos 0

г d^ = v at • cos 0, или -^р =——-—,

так что постоянная Ci определится как

с1=го (需)о = voro COS0O-(37)

Постоянную С2 найдем из уравнения (33), приняв для всех входящих в него величин их значения в конце активного участка. Найдем

а по тому же рисунку на выходе из активного участка dr = %山• sin 0о,

так что окончательно

c2 =%c2 =%2goR22goR2(38)(38)

c2 =%

c2 =%

2goR2

2goR2

(38)

(38)

Введем безразмерную величину

(39)

связанную с использованным в § 92 отношением 口。/% (U8 = "2goR) очевидным равенством

С； 刷 cos? %Р =丽=FR2 “ = М cos2 伪,С； 刷 cos? %Р =丽=FR2 “ = М cos2 伪,По определению параметра эллипса р и эксцентриситета е будем иметь

С； 刷 cos? %

Р =丽=FR2 “ = М cos2 伪,

С； 刷 cos? %

Р =丽=FR2 “ = М cos2 伪,

(40)

л/1 十(т^ 2) 7^"Cos2 00 ="1 — (2 — v) V cos2 00 . (41)

5 Л. Г. Лойцянский, А. И. Лурье

Далее, исходя из уравнения эллипса (36), переписанного в

видевидеcospo = ^=^ еcospo = ^=^ е1 —…cos? 8о"о“I — (2 — v) v cos?仇1 —…cos? 8о"о“I — (2 — v) v cos?仇

виде

виде

cospo = ^=^ е

cospo = ^=^ е

1 —…cos? 8о"о“I — (2 — v) v cos?仇

1 —…cos? 8о"о“I — (2 — v) v cos?仇

выразим cos Ро через v так:

cos В。=cos В。=1 - V cos2 00

cos В。=

cos В。=

“ 1 — (2 — v) v cos2 00

или, переходя от cos р0 к tg р0,

tgBo= 1一：*%2氏•

Введем в рассмотрение угол

^о = 0о + ₽о

и после простых преобразований получим

tg М =tg М =tg6o1 - Vtg6o1 - V(42)(42)

tg М =

tg М =

tg6o

1 - V

tg6o

1 - V

(42)

(42)

Пользуясь выведенными формулами, можно решать вопросы, относящиеся к расчету свободного полета ракеты в пустоте. Так,Пользуясь выведенными формулами, можно решать вопросы, относящиеся к расчету свободного полета ракеты в пустоте. Так,Рис. 273.Рис. 273.задаваясь значением параметра v, определенного по начальным условиям в конце активного участка, найдем по (42) угол 6о, а следовательно, и угол р0, равныйзадаваясь значением параметра v, определенного по начальным условиям в конце активного участка, найдем по (42) угол 6о, а следовательно, и угол р0, равныйpэ - 60一仇.pэ - 60一仇.(43)(43)По известному углу р0 определим эл- липти叱ескую дальность полета (рис. 273)По известному углу р0 определим эл- липти叱ескую дальность полета (рис. 273)эл = 20oR,эл = 20oR,(44)(44)а затем и полную дальность L, равную сумме эллиптической дальности и дальностей /аКт на активном участке и /ИИск на нисходящей ветви траектории:厶 "акт 十 & + ^нисх* (45)а затем и полную дальность L, равную сумме эллиптической дальности и дальностей /аКт на активном участке и /ИИск на нисходящей ветви траектории:厶 "акт 十 & + ^нисх* (45)

Пользуясь выведенными формулами, можно решать вопросы, относящиеся к расчету свободного полета ракеты в пустоте. Так,

Пользуясь выведенными формулами, можно решать вопросы, относящиеся к расчету свободного полета ракеты в пустоте. Так,

Рис. 273.

Рис. 273.

задаваясь значением параметра v, определенного по начальным условиям в конце активного участка, найдем по (42) угол 6о, а следовательно, и угол р0, равный

задаваясь значением параметра v, определенного по начальным условиям в конце активного участка, найдем по (42) угол 6о, а следовательно, и угол р0, равный

pэ - 60一仇.

pэ - 60一仇.

(43)

(43)

По известному углу р0 определим эл- липти叱ескую дальность полета (рис. 273)

По известному углу р0 определим эл- липти叱ескую дальность полета (рис. 273)

эл = 20oR,

эл = 20oR,

(44)

(44)

а затем и полную дальность L, равную сумме эллиптической дальности и дальностей /аКт на активном участке и /ИИск на нисходящей ветви траектории:

厶 "акт 十 & + ^нисх* (45)

а затем и полную дальность L, равную сумме эллиптической дальности и дальностей /аКт на активном участке и /ИИск на нисходящей ветви траектории:

厶 "акт 十 & + ^нисх* (45)

МаксимальнаяМаксимальнаявенством \rmaK = (r)^ = p/(\ — е)]венством \rmaK = (r)^ = p/(\ — е)]высота "max подъема ракеты определится ра-высота "max подъема ракеты определится ра-

Максимальная

Максимальная

венством \rmaK = (r)^ = p/(\ — е)]

венством \rmaK = (r)^ = p/(\ — е)]

высота "max подъема ракеты определится ра-

высота "max подъема ракеты определится ра-

"max = Г max — R ="max = Г max — R ==尹 cos2J"=_r (46)

"max = Г max — R =

"max = Г max — R =

1 — £1 — д/1 — (2 — v) v cos8q

Как показывают расчеты, при полных дальностях, не превышающих 5 км, суммарная поправка на дальности в активном /акт и нисходящем /нисх участках траектории бу-乙 дет иметь порядок ^° /акт + /цнсх (0, 1 +。, 15) L, так что с достаточным приближением в этом £〃° случае можно считать L =左&,左=1,10+1,15.

^°

В цитированной первой лекции С. П. Королева приводится сетка кри- 2/7° вых (рис. 274), позволяющая по заданным v и 0О определять р0, т. е., согласно (44), эллиптиче- О скую, а по (45) и полную дальности. По той же сет

ке можно при заданном v

находить 0о, при котором эллиптическая дальность будет макси- мальна. Это возможно лишь при 00 V 45°. Из диаграммы на рис. 274 можно также при заданном 0О найти значение v (т. е. ио), при котором дальность будет максимальна.

Диаграмма на рис. 274 может быть использована в ориентировочных расчетах на начальной стадии проектирования ракеты.

Теорема импульсов и ее применение в теории удара

Вернемся к основному уравнению (11), выражающему теорему количества движения, и проинтегрируем обе его части по времени в пределах (厶，^)・ Получим

ИЛИ

n ，2

Q2 — Qi = £ \ 吊力.(48)

i = l fi

Векторное приращение количества движения системы точек за промежуток времени (九，/2), стоящее в левой части уравнения (48), обозначим через AQ.

5*

Предполагая в общем случае, что сила F переменна во времени, назовем бесконечно малый вектор

dS = Fdt(49)

элементарным импульсом силы, а вектор

S = ^ Fdt(50)

импульсом силы за конечный промежуток времени (介，/2).

Импульс силы характеризует эффект действия силы в зависимости от ее величины и времени действия; импульс измеряется в Н*с. Из определения понятия импульса силы сразу следует, что импульс векторной суммы сил равен векторной сумме импульсов слагаемых с〃〃，или, иначе, импульс главного вектора сил равен главному вектору импульсов сил.

Равенство (48), переписанное в виде

Q2 — Qi = AQ=XSj = S,(51)

представляет собой теорему импульсов:

Векторное приращение количества движения системы за некоторый промежуток времени равно главному вектору импульсов внешних сил, приложенных к системе.

движения системы влияют толькодвижения системы влияют толькоКак видно из приведенного вывода, на изменение количества

движения системы влияют только

движения системы влияют только

импульсы внешних сил, или, как будем для краткости в дальнейшем говорить, внешние импульсы; внутренние импульсы не могут изменять количество движения системы.

нение количества движения однойнение количества движения однойВ частном случае отдельной материальной точки имеем ту же формулу (51), но слева будет стоять изме- этой точки, а справа — им-

нение количества движения одной

нение количества движения одной

пульс равнодействующей всех приложенных к точке сил.

Обратимся к рассмотрению применений теоремы импульсов при изучении явления удара.

Если движущаяся материальная точка мгновенно изменяет

свою скорость на конечную величину, то говорят, что она претерпевает удар.

Пусть, например, материальная точка М при своем движении встречает преграду в виде неподвижной стенки АА (рис. 275).

Ударившись о нее со скоростью гч в момент 厶，точка через небольшой промежуток времени т отразится с другой скоростью 中2, причем изменение скорости представляется вектором Аи конечной величины, хотя продолжительность удара т была мала.

На рис. 275, а показан прямой удар точки о преграду. В этом случае величина Av равна сумме величин скоростей отражения &2 (несколько меньшей скорости падения) и падения 0卜 т. е.

丨 Аи 1 = 5 + U2,

л это ——величина того же порядка, что и сами скорости. Точно так же и в случае косого удара, изображенного на рис. 275, 6 величина |Аа| является конечной.

В качестве другого примера рассмотрим пулю, пробивающую доску. В первый момент пуля имеет скорость v{ (рис. 276); после

吗吗Рис. 276.Рис. 276.прохождения сквозь доску пуля в значительной мере теряет свою скорость, причем величина изменения скорости будет равна

吗

吗

Рис. 276.

Рис. 276.

I Аа ] = S — у2*

Продолжительность удара — в данном случае время прохождения пули сквозь доску —— весьма мала; между тем скачок скорости (а следовательно, и скачок количества движения) пули конечен.

Явление удара тела о неподвижную преграду или соударения двух движущихся тел между собой связано с процессом деформации

тел вблизи точки их соприкосновения и распространением волн сжатия внутри этих тел. Этот процесс не мо-

•Жет быть изучен в рамках механики абсолютно твердого тела, •отвлекающейся от действительных физических свойств тела и, в

частности, от деформируемости тел. Предметом изучения теоретической механики служит лишь сравнение движения точки

или системы точек до удара и после него; при этом явление удара рассматривается как некоторый скачкообразный процесс» продолжительность которого бесконечно мала. На самом деле продолжительность удара представляет собой хотя и очень малую, но конечную величину, зависящую от многочисленных физических факторов: упругих характеристик материала соударяющихся тел, их формы и размеров, относительной скорости •сближения и др. В качестве примера укажем, что продолжительность соударения двух латунных шариков диаметра 26-10-3 м при относительной скорости их сближения 74-10~3 м/с равна т = 2-10~4 с.

Применим теорему импульсов к точке, испытывающей удар, причем за интервал времени (/, f + t), в течение которого

вычисляется импульс, примем продолжительность удара т. По (48) будем иметь

AQ = S= \ 尸成.(52)

По ранее принятому определению удара вектор AQ (а следовательно, и импульс S за время удара равнодействующей F сил, приложенных к точке) конечен. Поскольку интервал интегрирования т бесконечно мал, это может быть только в том случае, когда интегрируемый вектор имеет по модулю порядок, обратный т, т. е. сила 尸 бесконечно велика. Отсюда следует, что во время удара в точке соприкосновения соударяющихся тел должны возникать бесконечно большие по величине, но мгновенно действующие мгновенные силы, приводящие к конечному изменению количества движения точки. Конечный импульс мгновенной силы за время удара условимся называть кратко ударом. Так, будем говорить:《к точке приложен удар», «к- системе точек приложены внешние удары» и т. п., понимая под этим, что к точке или системе точек приложены мгновенные силы с конечными импульсами за время удара.

На систему материальных точек наряду с мгновенными силами, возникающими только в процессе соударения, действуют конечные по величине силы, например сила тяжести и др.; импульсы этих сил за бесконечно малое время удара будут бесконечно малы и при наличии конечных по величине импульсов мгновенных сил могут быть опущены.

Пусть система точек с главным вектором количеств движения Q подвергается в момент времени t совокупности ударов со стороны внешних по отношению к рассматриваемой системе тел. Применяя к этой системе теорему импульсов (51) и замечая, что по предыдущему импульсы конечных по величине сил могут быть опущены, приходим к следующей формулировке теоремы о б изменении количества движения системы з а время удара:

Изменение количества движения системы материальных точек, подвергшейся в некоторый момент времени ударам со стороны внешних тел, равно главному вектору внешних ударов. Скорости точек системы в результате соударения претерпевают конечные изменения и остаются конечными по величине; следовательно, за бесконечно малое время удара точки системы могут получить лишь бесконечно малые перемещения. Таким образом, при использовании принятой схемы явления удара можно считать, что точки системы остаются неподвижными, а скорости их претерпевают скачкообразные, конечные по величине изменения, При рассмотрении движения системы материальных то-

чек, в некоторые моменты времени подвергающейся ударам, мы каждый раз, зная координаты точек системы в момент удара и определив проекции скоростей после удара, принимаем эти координаты и скорости за новые начальные условия и можем изучать последующее непрерывное движение до следующего удара и т. д. Таким путем, например, мы уже шли при рассмотрении задачи о вынужденных колебаниях точки под действием периодических импульсов (§ 97).

§ 107. Удар Точки о преграду. Коэффициент восстановления

Разберем явление удара материальной точки о преграду. Пусть в некоторый момент времени точка встречается с преградой (рис. 277), имея скорость v}, образующую с нормалью к

Рис. 277.Рис. 277.стенке угол падения а; по прошествии малого промежутка времени т точка отскакивает от стенки со скоростью 已2, причем угол отражения равен &

Рис. 277.

Рис. 277.

Возникает задача: зная направление и величину скорости падения, найти величину и направление скорости отражения, а также вектор удара.

Проведем нормальное сечение к поверхности преграды плоскостью, содержащей вектор скорости иь и отметим направления касательной f и

зормалн п к поверхности преграды

импульсов в проекции на касательную и нормаль mv2t — mu“ = Sf = 0, mv2n — mvXn = Sn.импульсов в проекции на касательную и нормаль mv2t — mu“ = Sf = 0, mv2n — mvXn = Sn.(53)(54)(53)(54)в сечении. Пренебре! ая импульсом силы трения между точкой и поверхностью преграды за время удара, будем иметь по теореме

импульсов в проекции на касательную и нормаль mv2t — mu“ = Sf = 0, mv2n — mvXn = Sn.

импульсов в проекции на касательную и нормаль mv2t — mu“ = Sf = 0, mv2n — mvXn = Sn.

(53)

(54)

(53)

(54)

Эти два уравнения содержат три неизвестных величины;卩2厶 ^2п и S〃. Чтобы сделать задачу определенной, необходимо ввести дополнительное допущение о физических свойствах ударяю- Шейся точки и преграды. Простейшим допущением, позволяющим определить нормальную составляющую скорости после Удара, является допущение, высказанное для общего случая соударения двух тел еще Ньютоном: отношение абсолютных величин проекций относительной скорости тел после удара и до удара на направление общей нормали к поверхности тел в точке соприкосновения есть постоянная величина, не зависящая ни от относительной скорости, ни от размеров тел, а лишь от их материала.

Это отношение называется коэффициентом восстановления и будет в дальнейшем обозначаться через 々.В рассматриваемом случае удара точки о преграду будем иметь

02也jsj02也jsj々，или々，или"2九=一々"""2九=一々""(55)(55)

02也jsj

02也jsj

々，или

々，или

"2九=一々""

"2九=一々""

(55)

(55)

так как по определению k ——положительная величина, a ui〃 (рис. 277) и v2n имеют разные знаки (th枕 V 0, v2n > 0).

Коэффициент восстановления k характеризует, насколько восстанавливается нормальная составляющая скорости после удара. Удар называется абсолютно упругим, если нормальная составляющая скорости сближения соударяющихся тел равна по величине нормальной составляющей скорости удаления их друг от друга после удара, т. е.々=1. Если тела после удара не отделяются друг от друга, то удар называется абсолютно неупругим и 々Для реальных физических тел

0 <fe < 1.

В табл. 4 приведены значения k для некоторых материалов, которые, как и сама гипотеза Ньютона, представляют собой весьма грубое приближение к действительным закономерностям соударения реальных тел. Значения коэффициентов восстановления существенно зависят от относительной скорости соударения тел. При малых скоростях эти значения независимо от материалов тел близки к единице. Приведенные в табл. 4 значения приближаются к асимптотическим, соответствующим большим скоростям соударения.

Таблица 4

Коэффициенты восстановления для некоторых материалов

Соударяющиеся тела

々

Дерево о резину

0,26

Деревянные шары

0,50

Стальные шары

0,56

Стеклянные шары

0,94

Для определения величины коэффициента восстановления можно использовать следующий простой опыт. С высоты 九i над горизонтальной массивной плитой из испытуемого материала, представляющей преграду, опустим без начальной скорости шарик из другого или того же самого материала и заметим высоту &2, которой достигнет шарик, отскочив от плиты. Если пре-

небречь сопротивлением воздуха, то скорости падения и отражения шарика определяются равенствами

U] = д/2g/Z] , ^2 = л/2g用2

и, следовательно, коэффициент восстановления определится отношением

左(56)

Согласно (54) и (55) найдем нормальную составляющую импульса

S〃 = —=—加0值(1 + 山)；(57)

знак минус при V\n V 0 указывает, что Sn > 0.

Коэффициенту восстановления можно придать динамическое истолкование. Разобьем продолжительность удара на два интервала: Ti — от момента первого соприкосновения до максимального сближения тел при деформации их поверхностей и т2 ——от момента максимального сближения до отделения тел друг от друга; при этом недеформированное состояние полностью или частично восстанавливается.

В интервале ti нормальная составляющая количества движения mv\n уменьшается до нуля, что соответствует нормальной составляющей импульса

S1〃= \ Fndt = — mvin\t

во втором интервале имеем

^ + Т1+Т2

^2n =\ F^dt = nW2n.

Отношение нормальных составляющих импульсов второго и первого этапов удара равно коэффициенту восстановления

尊= _j^込= _* = h.(58)

Si〃 mvin vln' '

Из равенства (53) следует, что при отсутствии мгновенного трения касательные составляющие скорости точки до уда-ра и после него равны между собой:

и“ = 02f.(59)

Найдем связь между углом падения точки а и углом отражения р. Замечая, что

tga = -詰，tgX^:(60)

из (55) и (59) получим

tgB=—7^ = Ttga・tgB=—7^ = Ttga・(61)(61)

tgB=—7^ = Ttga・

tgB=—7^ = Ttga・

(61)

(61)

В частном случае абсолютно упругого удара (^ = 1) будем иметь

，62>，62>tgB = tga,

，62>

，62>

т. е. угол падения равен углу отражения.

§ 108. Прямой удар двух тел

Прямым ударом двух тел называется такой удар, при котором точка соприкосновения тел лежит на прямой, соединяющей

их центры тяжести, а скорости центров тяжести направлены вдоль этой прямой.

Обозначим вектор скорости центра тяжести С【тела / (рис. 278) через “，массу — через т, а для тела // — соответственно и и М.

Для того чтобы удар был возможен, необходимо прежде всего, чтобы до удара относительная скорость центра тяжести одного из тел, например первого по отношению ко второму, была

(63)(63)направлена к центру тяжести второго, причем

(63)

(63)

"1% > Sx,

в противном случае тела не будут сталкиваться; условие (63) будет выполняться, если первое тело нагоняет второе (uu > 0, 5% > 0) и если тела движутся навстречу друг другу («и > 0, uixVO). Направляя соответственно ось Ох, можно считать Щх > 0.

Для определения абсолютных скоростей 〃2乂，匕‘2% после удара, а также импульсов мгновенных сил, развивающихся при ударе, применим теорему импульсов. Внешних ударов нет, поэтому количество движения системы до удара и после удара ——одно и то же; таким образом, проектируя векторы количеств движения на ось Ох, получим

mulx + Mvix= ти2х + Mv2x, (64)

В этом уравнении два неизвестных: w2x и 咏；задача останется неопределенной, если не задаться дополнительно характером удара, т. е. коэффициентом восстановления, определяемым как частное от деления относительной скорости отражения на

относительную скорость падения, т. е.

(65)

здесь знаки выбраны так, чтобы k было положительно. Из уравнений (64) и (65) находим

—(俏一kM) Mix + М (1 + /г) Vix

_ zn(l + ^)Mlx + (M-^)vuI '

2% —лГНп•

Для определения вектора удара S применим теорему импуль* сов только к первому телу; тогда внутренний удар в системе станет внешним ударом по отношению к первому телу и мы получим

^х =团(〃2% — 〃i)

откуда по (66)

S” = 一(1 + 々)辞^ (и1х 一 s)(67)

Рассмотрим частные случаи.

Абсол ютно упругий удар (^ = 1). В этом случае формулы (66) и (67) дают

—("2 — М) 〃i% + 2Л15%

(68)(68)—2^«ix + (M —俏)5%

(68)

(68)

%М + m v 1X 1X,

Если, кроме того, массы тел равны, то

〃2% = Ulx，内х="1%，

т. е. тела при ударе как бы обмениваются скоростями и количествами движения. Таким путем происходит перенос количеств движений в идеальных газах при столкновении молекул. Если второе тело было неподвижно, а первое ударилось о него, то второе тело придет в то движение, которое было у первого, а первое останется на его месте неподвижным.

Абсолютно неупругий удар (々 = 0). Уравнения (66) принимают вид

吆一一"2% 一他 + m吆一一"2% 一他 + m(69)(69)

吆一一"2% 一他 + m

吆一一"2% 一他 + m

(69)

(69)

т. е. после удара скорости тел становятся одинаковыми; тела после удара двигаются совместно. Если одно тело до удара

было неподвижно (% = 0), то после удара устанавливается скорость

т〃9 V == Vo V =〃1%・

Импульс силы при ударе равен отМ ,、

т. е. вдвое меньше, чем при абсолютно упругом ударе.

Рассмотренный в § 107 удар точки о преграду можно получить из формул (66), если положить % = 0, М = оо. Деля числитель и знаменатель на М и переходя к пределу, когда М -> оо,. получаем

〃2%= —后〃 1%，^2х = 0

в полном соответствии с изложенным выше.

Выражения (66) скоростей после удара можно привести к более наглядной форме, если ввести в рассмотрение скорость движения центра масс системы соударяющихся тел. Если все удары внутренние, т. е. возникают между телами, входящими в систему, то центр масс системы сохраняет свою скорость —— обозначим ее через с — неизменной по величине и направлению. Это позволяет интерпретировать соударение двух тел как совокупность отдельных их ударов о движущуюся со скоростью с преграду. По формуле (66) предыдущего параграфа, принимая во внимание, что в данном случае следует говорить об относительных скоростях тел по отношению к преграде, движущейся со скоростью с, и что роль нормали играет ось Ох, получим для первого и второго тела

"2% - CХ =一々(%% 一限)，02% 一点=-后(V1X - 分),(70)

откуда следует

〃2% == % + 右(С% — 〃1) 。2% === С% + 力(С% — 5%)・(71)

По определению скорости центра масс входящая сюда величина сх выражается через скорости тел до удара или после него по формулам

—+— fnu2x + Му2х

~~ — ~т + м~

Введенное понятие скорости центра масс позволяет дать динамическое истолкование коэффициенту восстановления. Рассмотрим первый этап удара от момента начального соприкосно- вения поверхностей тел до наибольшей деформации их, когда относительная скорость тел станет равной нулю, а общая их ско-

рость — равной с. Применяя теорему импульсов к этому первому этапу удара, получим

S1 % =团(〃 1 % — с %) •

Аналогично, для второго этапа удара, очевидно, получим $2% =加(с% — 〃2%)・

Составляя отношение Хгх ： Six, используя формулы (72) и сравнивая результат с кинематическим определением коэффициента восстановления, получаем

$2% С% — “2% —(团〃2% + MU2%)/(m + M) — 〃2% — Sx — 〃2% —左

S\x —— cx 一 〃1% —(团〃I% + Ms%)/(俏 + M) — Mix — Vix —.

Таким образом, коэффициент восстановления при прямом ударе двух тел с динамической точки зрения можно трактовать как отношение импульсов мгновенных сил, возникающих между телами на втором и первом этапах удара.

§ 109. Косой удар двух тел

Если абсолютные скорости центров масс тел до удара не на

эти центры, то удар на- 〃 и а векторы скоростей!эти центры, то удар на- 〃 и а векторы скоростей!правлены вдоль прямой, соединяющей зывают косым. Обозначим вновь через центров масс тел / и // (рис. 279)

эти центры, то удар на- 〃 и а векторы скоростей!

эти центры, то удар на- 〃 и а векторы скоростей!

согласно определениюсогласно определениюи через с — скорость центра масс системы; индексом п будем отмечать проекции векторов на общую нормаль п к поверхностям тел в точке их соприкосновения при ударе. Тогда, используя указанный в конце предыдущего параграфа прием рассмотрения скорости центра масс как скорости движения преграды, о которую ударяется каж

согласно определению

согласно определению

дое из рассматриваемых тел, получим, коэффициента восстановления (31),

гдегден2л = сп + k(cn — 〃i J v2n = сп + k(cn — sj (73)

где

где

(74)(74)тщп + Mvxn— m +

(74)

(74)

а индексы 1 и 2, как и ранее, относятся к движению до удара и после него.

Рассматривая изменение проекции количества движения ) одного из тел, например первого, на направление нормали и

используя формулы (54), (73) и (74), получим выражение проекции на нормаль импульса мгновенной силы, развивающейся при ударе

S〃 = т «а% — 〃g) = m[cn + k (сп —修力一〃目=

=m(1 + 左)(％ — ^irt)к — гп^м С + 粉(〃1九 一 S%)，(75)

причем условием осуществимости удара является положительность величины, стоящей в последней скобке.

Если отвлечься от разницы между составляющими скоростей

в плоскости соприкосновения тел до удара и после него, т. е.

предположить отсутствие импульса мгновенного трения, то формулы (73), (70) и (71) дают искомое решение задачи об опреде

лении скоростей центров тяжести тел после удара и импульса мгновенной снлы при ударе.

Для частного случая, когда векторы скоростей центров тяжести тел до удара лежат в одной плоскости, можно привести простое графическое построение скоростей после удара, предложенное Максвеллом в 1860 г. По за- данным 〃1 и 01 построим вектор с, для чего соединяем концы векторов и{ и и【 на диаграмме (рис. 280) и на получен-

Рис. 280.ном отрезке откладываем, согласно

(70), точку, делящую отрезок обратно пропорционально массам тел. Далее, из конца вектора и【опускаем перпендикуляр на касательную / в точке соприкасания тел и, продолжив его, отложим отрезок, который относился бы к длине перпендикуляра, как ^ : 1; конец отрезка определит конец вектора ”厶 проведенного из общего полюса скоростей О. Проведя затем через концы векторов v2 и с прямую до пересече

ния с перпендикуляром, опущенным из конца вектора 〃i на ту же ось /, получаем в точке пересечения конец вектора 〃2, начало которого также находится в полюсе диаграммы.

Правильность построения следует из того, что, во-первых, проекции Uit и и2t равны между собой, точно так же и“ =吋, так что условия сохранения касательных составляющих скоростей при ударе выполнены; во-вторых, проекции на ось п векторных разностей “2 ——сне ——“卜 а также 02 ——с и с ——0匕 относятся между собой, как й: 1, что соответствует уравнениям (73).

Указанное построение упрощается, если удар абсолютно упруг. В этом случае ^ = 1 и концы векторов 〃2 и v2 получаются зеркальным отображением концов векторов 〃】и 办 относительно оси f, проведенной через конец вектора с (рис. 281).

На рис. 282 дано построение диаграмм Максвелла для случая, когда одно тело, например тело // (см. рис. 279), до удара неподвижно и удар абсолютно упругий. Диаграмма а) относится

к случаю неравных масс, диаграмма 6) — к случаю равных масс.

Не будем сопровождать настоящую простейшую теорию соударений поступательно перемещающихся абсолютно твердых

тел, рассматриваемых как материальные точки, численными примерами. Они обычно рассматриваются в общем курсе физики. Более сложные задачи, связанные с ударом вращающихся тел, приведены в следующей главе. В дальнейшем будут рассмотрены и задачи с учетом изменения кинетической энергии при ударах.

§ ПО. Применение теоремы количества движенияк сплошной среде. Теорема Эйлера.

Дифференциальные уравнения динамикисплошной среды. Распространение малых возмущений

Рассмотрим некоторую сплошную среду, например жидкость. Выделим в ней «жидкий» л) объем т, ограниченный поверхностью о, и будем следить за движением этого объема.

Внешние силы, действующие на объем т и поверхность о со стороны остальной жидкости, а также и других внешних тел, можно разбить на две группы.

Силы массовые или объемные, т. е. такие, которые действуют на все частицы объема t как внутренние, так и находящиеся на поверхности объема; таковы, например, силы тяжести частиц.

Силы поверхностные, действующие только на частицы, лежащие на внешней поверхности объема, как, например, силы давления на поверхность о со стороны окружающей жидкости

*) То есть состоящий из частиц жидкости.

или твердых стенок, между которыми движение происходит. К этой же группе сил относятся и силы трения выделенного объема об окружающую его жидкость или твердые стенки.

Обозначим главный вектор внешних объемных сил через Уоб, а внешних поверхностных сил через %ов・

пов*пов*Если количество движения жидкого объема в данный момент равно Q, то по теореме количества движения имеем

пов*

пов*

(76)

Предположим, что жидкость течет по трубе переменного сечения (рис. 283). Рассмотрим объем т жидкости между какими-

нибудь двумя плоскими сечениями трубы oi и а2, перпендику-

Рис. 283.Рис. 283.лярными к стенкам трубы (если сечения трубы малы, то с известным приближением это всегда возможно), причем, отвлекаясь от разницы скоростей в данном сечении вблизи стенок и на оси трубы (такой приближенный подход принят в гидравлике), обозначим через s скорость жидкости в сечении 5 и через v2 — скорость жидкости в сечении а2. Скорости 5 и 02 можно представить себе как некоторые средние скорости в сечениях s и。2・ Обозначим через р плотность среды, т. е. массу единицы объема в данной точке среды; плотность в сечении сп будет рь а в сечении а2 будет р2.

Рис. 283.

Рис. 283.

Произведение рте определит массу жидкости, протекающую в единицу времени сквозь сечение аь По закону сохранения массы эта же масса будет протекать и через сечение а2, так

что

Р1у1а1 = Р-2У2а2-

Массу жидкости, протекающую в единицу времени через любое сечение трубы, обозначим через М\

m = PR Q1 =p2u2。2(77)

и будем называть секундной массой или массовым расходом 6 единицу времени.

Вычислим теперь изменение dQ количества движения выделенного объема т за время df. Для этого заметим, что за время dt частицы объема т сместятся по трубе (на рис. 283 показано штриховыми линиями) и изменят свои скорости в связи с переходом в другие сечения. Если движение установившееся, т. е. средняя скорость в данном сечении трубы не зависит от вре-

мени, то за время dt в объеме между сечениями о】и а2 останутся частицы прежнего объема т, и новое количество движения в этой части объема будет то же, что и раньше. Таким образом, изменение количества движения произойдет только за счет потери количества движения в объеме между сечениями。口 о； и прибавления количества движения в объеме между сечениями а2, о；・ Определив количество движения в бесконечно малом объеме как произведение массы на вектор скорости, получим

dQ = p2v2a2 力 办—PQRi 由 s или по (77)

dQ = M (双—zj 或.

Отсюда следует, что секундное изменение dQ/dt количества движения в выделенном объеме будет равно

号■= m(6一咐(78)

т. е. разности секундных количеств движения, переносимых через сечения трубы, ограничивающие выделенный объем.

Подставляя полученное значение изменения количества двн・ жени5{ в уравнение (76), получим

М吁 Мщ + уо5 + Упов = 0.(79)

Отсюда следует теорема Эйлера (1707—1783):

Главные векторы объемных и поверхностных сил вместе с векторами секундных количеств движения жидкости, протекающих через два каких-нибудь сечения трубы и направленных внутрь выделенного объема, образуют замкнутый многоугольник, т. е. геометрическая сумма 〃х равна нулю (рис. 284).

Пример 97. Определить величину i оризонтальной составляющей R силы динамического (дополнительЕюго к гидростатическому) давления воды на колено трубы (рис. 285) диаметром d = 0,3 м, если скорость движения

воды по трубе равна и — 2 м/с. Плотность воды принята равной р = и 1000 кг/м3.

Замечая, что по закону равенства действия и прстиводействия искомая сила равна по величине соответствующей составляющей давления стенки трубы на жидкость, по теореме Эйлера получим

Пример 98. Определить давление RПример 98. Определить давление Rиз трубы сечения о на безграничную лярна к направлен чю струи (рис. 286)из трубы сечения о на безграничную лярна к направлен чю струи (рис. 286)Рис. 286.Рис. 286.эта формула была впервые дана Даниилом Бернулли (1700—1782) в 1736 г.эта формула была впервые дана Даниилом Бернулли (1700—1782) в 1736 г.

Пример 98. Определить давление R

Пример 98. Определить давление R

из трубы сечения о на безграничную лярна к направлен чю струи (рис. 286)

из трубы сечения о на безграничную лярна к направлен чю струи (рис. 286)

Рис. 286.

Рис. 286.

эта формула была впервые дана Даниилом Бернулли (1700—1782) в 1736 г.

эта формула была впервые дана Даниилом Бернулли (1700—1782) в 1736 г.

Подставляя числовые данные, находим

R = 283 Н.

струи, вытекающей со скоростью s стенку, плоскость которой перпендику- или образует с нею угол а (рис. 287).

Применяя теорему Эйлера в проекции на ось х (ось струи), получаем при а = л/2

R = Mj| = pw^o;

Простота этого решения обусловлена тем, что стенка предполагается безграничной. В случае удара струи о пластинку конечной ширины явление усложнилось бы за счет необходимости учета обтекания ее концов. Выведенная формула Бернулли приближенно верна, если считать ширину пластинки значительно превосходящей ширину струи.

В том же допущении можно рассмотреть и косой удар струи о стенку, образующую с направлением струи угол а (рис. 287).

В этом случае будем иметь векторы секундных количеств движения MVp (一 也吗，(一此畸 и давление стенки на струю R, которое, пренебрегая трением жидкости о стенку, будем считать перпендикулярным стенке.

Проектируя сумму вышеуказанных векторов на направление нормали к стенке, находим величину реакции

R = Mv{ sin а = qw： sin а;

при а = л/2 вернемся к предыдущей формуле Бернулли. Положение точки приложения реакции R можно было бы уточнить, применяя теорему моментов; для нас это сейчас не существенно.

Проектируя ту же векторную сумму на направление стенки, можно определить секундные количества движения М2и2 и MQ； вдоль стенки. По теореме Эйлера будем иметь

Mvx cos а + М；и；—此。2 =。，

а из условия сохранения массового расхода всей струи найдемМ2+М^ = М.

В грубом приближении можно принять

т. е. считать, что различие между массовыми расходами М2 и М2 определяется лишь разницей в сечениях растекающихся струй. Тогда из предыдущих равенств будет следовать

М2 — М2 = М cos а, Л12 + М2 = М, откуда найдем

я^= м bW^ = Mcos2 а_^ 旌=乂」二广。=〃 se2_^・

Пользуясь теоремой об изменении количества движения, можно вывести и общее уравнение динамики сплошной среды —— так называемое «уравнение в напряжениях». Уравнение это служит обобщением аналогичного уравнения статики сплошной среды, которое было выведено в § 38. Приводимый далее вывод «уравнения в напряжениях» предполагает знакомство читателя с содержанием этого параграфа.

Выделим в движущейся сплошной среде произвольный объем т, ограниченный поверхностью о. Обозначим через Вт бесконечно малую часть объема т и будем называть ее элементом объема t; аналогично под 6а будем понимать элемент поверхности о. В § 29 было пояснено, что в сплошной среде вместо обычных объемных и поверхностных сил вводятся плотности их распределения соответственно в объемах и на поверхностях:户一для объемных и рп ——для поверхностных сил; в последнем случае р〃 представляет собой напряжение, приложенное к внешней стороне элементарной площадки 5о, единичный вектор нормали к которой обозначен через п.

Q = \ ри 6т.Q = \ ри 6т.Главный вектор количества движения сплошной среды Q, равный векторной сумме элементарных количеств движения V 8m = pv 6т (р ——плотность распределения массы в объеме т), будет определяться вычисленным по объему т интегралом

Q = \ ри 6т.

Q = \ ри 6т.

(80)

(81}(81}Теорема об изменении со временем количества движения среды в объеме т запишется так:

(81}

(81}

⑴(о)

Производная по времени, стоящая слева, понимается как индивидуальная (субстанциональная) производная (см. § 76), т. е. производная, которая следует за всеми изменениями со временем——локальными и конвективными (§ 76)—некоторой величины, в данном случае главного вектора количества движения среды в движущемся вместе со средой объеме т. Эту производную можно вычислить по общим правилам дифференцирования интеграла

幣=方、Р^。=%需М+卜备(Pg. (82) (т) (т) (т)

Но в силу общего закона сохранения массы р 6т движущегося элементарного объема бт и только что поясненного смысла символа d/dt будет

*(Р”) = 0・(83)

Таким образом, по (82) имеем

Согласно известным равенствам Коши (§ 30), представленным в тензорной форме (§ 36), и формулам Гаусса — Остроградского (§ 37) найдем значение последнего члена в равенстве (81) в форме интеграла по объему

рп да = ^ пР 6а = ^ Div Р 6т, (85) (о) (и) (т)

где Р ——тензор напряжений (§ 36), а символ Div представляет операцию пространственного дифференцирования в поле тензора Р, с которой уже нам приходилось иметь дело при выводе уравнений статики сплошной среды.

Подставляя в равенство (81) выражение (84) для члена в левой части и выражение (85) для второго члена в правой части и собирая все члены под знак общего интеграла по объему, получаем

\(Р需一Р尸一DivP)6т = 0・

Пользуясь произволом в выборе объема т — обычным приемом, использованным ранее в § 38, — убедимся в равенстве нулю выражения, стоящего в круглых скобках под знаком интеграла, и придем к уравнению

(86)(86)P^ = pF + DivP,

(86)

(86)

которое и представляет собой искомое уравнение динамики сплошной среды «в напряжениях». Перепишем его в аналитической форме, взяв проекции левой и правой частей равенства (86) на оси прямоугольной декартовой системы координат. Вспоминая выражения проекций ускорения в эйлеровых переменных (§ 76) и проекций вектора Div Р (§ 38), получаем

/"% , dvx dvx dvx、

「, °Р%х , °"" ] ^Pzx

(87)(87)

(87)

(87)

К уравнениям (87) нужно присоединить еще одно, также динамическое, уравнение, которое легко выводится из уравнения сохранения (83) элементарной массы 6m = р 6т. Продифференцировав обе части уравнения (83), получаем

箒 6t + Р±(6т)= 0・

В конце § 78 было показано, что скорость объемного расширения элемента объема бт при движении среды равна

拿 @с) = div и 6т,

где div и ——дивергенция вектора скорости v — символ скалярной пространственной производной (§ 75) в векторном поле вектора и. Используя последнее равенство, перепишем предыдущее в виде

С^" + Р d" и) 6т = О,

или, в силу произвольности выбора элемента объема бт, 若+ pdivD = 0・(88)

Это уравнение можно было бы записать в развернутом (вспомним § 75) виде

备 + и • grad р + р div и = 0

и, пользуясь известной формулой векторного анализа и • grad р + р div и = div (ро),

легко выводимой из символического равенства

V (ри) = и (Vp) + р (V • и), переписать так:

署 + div (ри) = 0,{89)

или, выразив оператор div в прямоугольных декартовых координатах, так:

dp , 0(Р。尤).d(P5)。8勿) с

Уравнение (88) или другие виды того же уравнения ((89), (90)) носят традиционное наименование уравнения «сплошности» или «неразрывности», хотя выражают, собственно говоря, закон сохранения массы.

Уравнения (87) и (90) не образуют замкнутой системы уравнений для определения тринадцати неизвестных: р, и*, vy, иг, Рхх、Рух, Pzxy Рху, Ру У у Pzy, Pxz、Pu’z, Pzz- ДЛЯ ЗЭМЫКЭНИЯ ЭТОЙ СИСТС- мы уравнений необходимо применять те или иные допущения о математических моделях среды: идеально упругая среда, подчиняющаяся линейному закону Гука, идеальная жидкость, лишенная внутреннего трения, вязкая жидкость, движение которой описывается законом Ньютона, и т. д. Так, например, если принять модель идеальной жидкости как жидкости, в которой нет внутреннего трения, то все касательные составляющие тензора напряжений будут равны нулю

Рху = Рух = Pyz = Pzy = Pzx = Pxz = 0,

а тогда, как это будет следовать (ср. § 38) из равенств Коши, все нормальные составляющие тензора напряжений будут равны между собой и можно положить

PxK = PyLPzz= — Р>

о(Р。%) дхо(Р。%) дхгде р ——скалярная величина, выражающая гидродинамическое давление или просто давление. Согласно принятой модели идеальной жидкости, совокупность уравнений (87) и (90) перейдет в следующую замкнутую систему уравнений:

о(Р。%) дх

о(Р。%) дх

加％ в

dvx dx

+ %

dvx .

Oy 1 ?

加尤 — = j

犧一丄 P

曳 дх '

dVy

加у

1

зр

dt

+ %

дх

+ %

h vz

Gy z

—— = J Oz

%一3

丽，

a%

+%

dvz dx

+ %

dvz .

小％

加2 dz」

丄 z P

Gp(91)

dz '

,0(Р 咽］

09力）—

P = P（P）；

здесь зависимость плотности от давления задается последним уравнением этой системы, представляющим собой уравнение баротропности движения (если р = const, то жидкость несжимаема; если ppk = const, где й — показатель адиабаты, то происходит адиабатическое движение).

Возвращаясь к векторной форме уравнений, имеем 需=黑+(?，门0 =f一grad p,

兽+ div(”) = 0,(92)

Р = Р(Р)

Это — уравнения Эйлера динамики идеальной жидкости.

Можно заметить, что при равновесии (и = 0, dp/dt = 0) уравнения (91) перейдут в ранее выведенные (§ 38) уравнения Эйлера статики идеально текучей среды.

Применим уравнения Эйлера (91) к представляющей принципиальный интерес задаче одномерного распространения малых возмущений 8 неподвижном газе.

Пусть в безграничной вдоль оси 0% цилиндрической трубе покоится (〃о = 0) газ с параметрами р。, р0. Зададим в газе малые возмущения этих параметров: давления р‘, плотности р‘, скорости а', так что

Р = Ро + Р‘， Р = Ро + р‘， vx = u = u\

Подставим эти значения в уравнения (91), предварительно заметив, что при допущении о баротропности последующего движения (заключающейся в зависимости плотности р только от давления р, но не от температуры) будет

дх — dp d% ~ k dp 丿° dx

причем, как обычно, в газах с повышением давления возрастает и плотность (dp/dp > 0), что позволяет положить

(案)广嗚(94)

Пренебрегая малыми величинами второго порядка и опуская объемную силу, приходим к линейной системе уравнений

а〃‘2Ор'

которую, исключая р', можно привести к одному уравнению

Уравнение (95) (как легко проверить непосредственным дифференцированием) имеет общий интеграл Даламбера

公=f I (% + 仅/) + % (% — а"),(96)

где 九 п % — произвольные функции.

Введем преобразование

% + 〃“ = &,%—%/ = &，(97)

обладающее простым кинематическим смыслом: ось Oigi движется в отрицательном направлении оси Ох со скоростью ——а。, а ось О2^2 — в положительном направлении оси Ох со скоростью а0. Тогда решение (96), переписанное в виде

〃=后因)+ 后偽)，(98)

будет означать сумму двух фиксированных в плоскостях (〃', gj и (/,己2)произвольно заданных кривых (шаблонов), движущихся со скоростями а。вдоль отрицательного и соответственно положительного направлений оси Ох.

Каждое из этих двух движений, взятое по отдельности, характеризует движение простой волны, а совокупность их (98) или, что то же самое, (96) — наложение двух движущихся навстречу друг другу волн с равными по абсолютной величине скоростями по каждая ). Контуры этих волн определяются видом функций fi(d) и /2(Ь) ； в частности, волны могут быть синусоидальными, описывающими колебательный процесс возмущений скорости, плотности или давления в газе. К таким процессам относится распространение звука в газе с характерной для него последовательностью повышений и понижений давле< ния в данной точке. В связи с этим принято скорость распространения малых возмущений в среде коротко называть скоростью звука. Процессами распространения звуковых волн за

нимается акустика. Для нас сейчас важен сам факт конечности скорости распространения малых возмущений в среде или скорости распространения в ней звука.

Формула (94) показывает, что скорость звука зависит от вида уравнения состояния среды р = р(р). Так, например, замечая, что скорость звука велика по сравнению со скоростью отвода тепла, образованного сжатием газа при прохождении звуковой волны через данную точку, считают процесс сжатия газа адиабатическим и используют известную из курса физики формулу

p/pfe == const.

Если, кроме того, газ является совершенным, т. е. удовлетворяет уравнению Клапейрона

dp P

где R ——газовая постоянная, a 0 ——абсолютная температура, согласно (94), получим формулу Лапласа — Пуассона

а = 7 ^ ^ — V hRS (индекс《0》при а опущен).

Таким образом, адиабатическая скорость звука в совершенном газе пропорциональна корню квадратному из абсолютной температуры газа.

Замечая, что величину d&/dp можно принять за характеристику сжимаемости среды ——роста плотности с давлением, — заключим, что чем больше сопротивляемость среды сжатию, тем больше скорость распространения звука в ней. Приведем округленные значения скорости распространения звука в разных средах: в воздухе — 340 м/с, в воде— 1500 м/с, в твердом теле — 5000 м/с (вопрос о распространении малых возмущений в твердых телах представляет особые трудности, так как требует рассмотрения уравнений динамики упругого тела с характерными для него двумя скоростями распространения возмущений). Очень малые скорости распространения звука наблюдаются в легко сжимаемых жидких пенах.

Предположение о несжимаемости среды, в частности жидкости в гидродинамике и гидравлике, оправдываемое большой скоростью распространения звука в ограниченной области течения при сравнительно малых скоростях движения среды, приводит к бесконечной скорости распространения звука

' ар 丿p=const

что может рассматриваться как допустимое в этих условиях приближение.

Глава XXIII

ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ МОМЕНТА КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК

§ 111. Теорема об изменении момента количествадвижения материальной точки

Рис. 288.Рис. 288.Напомним (§ 11), что момент силы 尸 относительно точки был определен как вектор (точнее псевдовектор), по величине и направлению равный векторному произведению вектор-ра- диуса г точки М приложения силы и вектора силы 尸(за начало вектор-радиуса принят центр момента О (рис. 288):

Рис. 288.

Рис. 288.

m0(F) = rXF. (1)

Так же, как момент силы, может “ быть определен момент вектора количества движения q = mu материальной точки. Моментом количества движения будет вектор fe, величина и направление которого определяются векторным произведением г и q:

A = rXg = rX mv. (2)

Проекции вектораПроекции вектора1ента количества движения на оси ко

Проекции вектора

Проекции вектора

ординат будут

々力= е(у% —2%), % = m&Vx — xv，电=加(％% —勿 J (3)

где х, у, г — проекции вектор-радиуса г, т. е. координаты движущейся точки, a vx = х, vy = у, vz — z ——проекции вектора скорости а этой точки.

Вспомним, что проекция на некоторую ось вектора момента силы относительно точки, взятой на оси, представляет собой момент силы относительно этой оси (§ 11); аналогично величины fex, ky, kz являются моментами количества движения точки относительно осей х, у, г.

Дифференцируя выражение (2) момента количества движения по времени, получаем

А 警xg + rx 黑；(4)

но первое слагаемое правой части равно нулю, так как сомножители параллельны:

黑Xg = ?Xmz = 0・

Далее на основании теоремы об изменении количества движения материальной точки

где F — равнодействующая сил, приложенных к точке. Итак, по (4)

需=/*义尸=m0(尸).(5)

Соотношение (5) представляет собой теорему о б изменении момента количества движения материальной точки относительно центра:

Векторная производная по времени от момента количества движения материальной точки относительно центра равна моменту равнодействующей приложенных ^ точке сил относительно того же центра.

Проектируя (5) на неподвижные оси координат, получаем dkxdkudkz

丁 =加*(f)，=尸)， -^-="乂尸)⑹

и приходим к теореме о б изменении моментов количества движения относительно осей:

Производная по времени от момента количества движения материальной точки относительно неподвижной оси равна моменту равнодействующей сил, приложенных к точке, относительно этой оси.

Теорема об изменении момента количества движения в приложении к одной материальной точке представляет собой простое следствие основного закона Ньютона. Это следствие оказывается полезным при решении некоторых задач динамики; характер этих задач подсказывается формой уравнений (5) и (6).

1°. Если сила 尸 все время остается в одной плоскости с некоторой прямой, например с осью Ох, т. е. пересекает эту ось

или ей параллельна, то момент силы относительно этой оси равен нулю, и уравнение (6) дает

才=°;

интегрируя, находим

kx = т (yUz ——zuj = const.

Применение теоремы об изменении момента количества движения относительно оси позволило получить зависимость между проекциями скорости и координатами движущейся точки, т. е. один из первых интегралов уравнений динамики [его называют (вспомним формулы (59) и (60) § 92) интегралом площадей в проекции на плоскость yz; происхождение названия станет понятным из следующего пункта].

2°. Случай центральной силы. Напомним, что центральной называется сила, линия действия которой во все время движения проходит через один и тот же неподвижный центр.

Обозначая через Fr проекцию силы 尸 на направление вектор- радиуса г = ОМ движущейся точки М и замечая, что г/г представляет собой единичный вектор направления г, мы можем написать выражение силы в виде

尸=扌吊， (7)

причем Fr положительно в случае силы отталкивания и отрицательно для силы притяжения к центру О.

Возвращаясь к теореме о моменте количества движения, в случае центральной силы получаем

第=r><尸=rx?r = 0,

и, следовательно, вектор момента количества движения сохраняет постоянное направление и имеет постоянную величину. Таким образом, векторы г и а все время остаются в неподвижной плоскости, перпендикулярной к 左，т. е. траектория движущейся точки представляет собой плоскую кривую. Это уже было использовано в § 92.

Заметим далее, что

к = гХти = тгХ%,(8)

но векторное произведение '巾 乂 dt по величине равно площади dS — x/2r\dr\ sin (f\dr) = 7 2 r2d(p (рис. 289), описываемой век- тор-радиусом г за промежуток времени df, и, следовательно,

dS/dt есть секториальная скорость (§ 48) рассматриваемой точки. Таким образом,

翁产@ =奈= c = const,(9)

откуда следует, что

S = C/ + S0,(Ю)

т. е. 6 движении под действием центральной силы площадь, опи* сываемая вектор-радиусом, изменяется пропорционально времени. Это ——закон площадей, включающий как частный случай второй закон Кеплера движения планет.

Проектируя соотношение (8) на оси координат, получаем интегралы площадей

kx = m (у% — 2%) = &,% = 〃z (叫一％%) = С2,

k^mixVy — yv^^C^

выражающие постоянство секториальной скорости проекции движущейся точки соответственно на плоскости yz, гх, ху; последние равенства дают, таким образом, три первых интеграла уравнения движения точки под действием центральной силы. При действии на точку силы, пересекающей в течение всего времени движения одну из осей координат, имеет место один первый интеграл, выражающий сохранение секториальной скорости проекции точки на плоскость, перпендикулярную к этой оси.

Малые колебания математического маятника

Применим теорему об изменении момента количества движения к составлению уравнения движения материальной точки, принужденной двигаться в поле силы тяжести по окружности, расположенной в вертикальной плоскости. Такое движение осуществляет математический маятник, т. е. тяжелый груз (рассматриваемый как материальная точка М), подвешенный при

помощи нерастяжимой и невесомой нити к неподвижной точке и движущийся в вертикальной плоскости (рис. 290).

На груз действуют сила тяжести G и реакция нити N. Вектор количества движения q по величине равен произведению массы т груза на его скорость /|ф | и имеет направление скорости; при 容возрастании угла ф, т. е. при движении

友 от оси Ох к оси Оу, когда ф > 0, \q = т®

\если же движение происходит в обрат-

М . ную сторону, то ф < 0, и величина век- тора q будет

7Тq — — ml^.

° В том и другом случаях момент количе- 勿Vства движения груза относительно пер-

рис 290.пендикулярной к плоскости чертежа оси

。2, равный произведению величины вектора q на его расстояние I до оси Oz, взятому с соответствующим знаком, будет

kz = тРф.(11)

Момент силы тяжести относительно оси Oz равен

т2 = — Gy = — GZ sin 屮=—mgl sin qp.

Момент натяжения нити ^ равен нулю; применение теоремы моментов позволяет исключить эту неизвестную силу из уравнения движения. Согласно (6) будем иметь

加2@ = 一 他g/ S也 9， или

ф + у sin qp = O.(12)

В начальный момент маятнику дается отклонение от положения равновесия и сообщается начальная скорость, что соответствует следующим начальным условиям:

при / = 0 9 = 6, ф = фо-

Рассмотрим малые колебания маятника; в этом случае в уравнении (12) можно (с точностью до малых величин порядка 屮3) заменить sin ф на ф. Тогда придем к уравнению

(13)(13)© + f(р = 0,

(13)

(13)

решение которого при указанных начальных условиях будет [§ 95, формула (8)]

Ф =(р0cos /у7^- / + д/~(posin д/f-/.(14)

Период малых колебаний маятника выражается формулой

Г = 2л“^ ,(15)

из которой следует независимость периода малых колебаний математического маятника от начальных условий: малые колебания маятника изохронны. Этот факт был экспериментально установлен еще Галилеем в 1583 г., хотя формулы, определяющей период колебаний, Галилей не дал.

Более полно задача о движении маятника будет рассмотрена далее в § 177.'

Теорема об изменении главного момента количествдвижения системы материальных точек. Теорема Резаля

Наиболее интересные приложения теоремы об изменении момента количества движения связаны с ее обобщением на случай системы материальных точек.

Пусть Mi, МР,…,М〃一точки, входящие в рассматриваемую систему. Через F, обозначим равнодействующую внешних сил, приложенных в точке М,・； равнодействующая F? внутренних сил, приложенных в этой точке, определяется векторной суммой

Fi = F；i + ^/2 + …+ Fi z-i + Fi. i+i + …+ 尸；〃 =E F'ih,

в которой Ff/? представляет воздействие на точку М( со стороны точки Ма, также включенной в систему; звездочка при знаке суммы указывает, что слагаемое, для которого 々=i, при суммировании исключается. По закону равенства действия и противодействия имеем

Fik = — Fh (/ = 1, 2, ..., п;归=1, 2,…，孔；i，归).

Согласно теореме Вариньона (§ 11) главный момент совокупности сходящихся сил относительно произвольной точки О равен моменту равнодействующей силы относительно той же точки; применяя эту теорему к точке М», получаем выражение момента внутренних сил, приложенных к этой точке,

Составим теперь геометрическую сумму моментов всех внутренних сил ип п

е то(耳)=(用)

Слагаемые этой двойной суммы будем рассматривать попарно: т0 (f ^) и т0 (F^). Эти моменты представляют собой векторы, равные по величине и противоположные по направлению, т. е. дающие равную нулю векторную сумму; сказанное следует из того, что силы Fh и Fki равны по величине и направлены в противоположные стороны по прямой, соединяющей точки Mi и Mk, Итак, векторная сумма моментов всех внутренних сил равна нулю:

£%(尸0=0.(16)

Теорема об изменении момента количества движения в применении к точке Mi, согласно уравнению (5), записывается в виде

~dT = тО (fi) + тО (f7).

Просуммировав эти уравнения по всем точкам системы и учитывая соотношение (16), получим

纟窑=2""。闿•(17)

i=1t=1

Главным моментом количеств движения системы относительно центра (или кинетическим моментом) называется векторная сумма моментов количеств движения всех входящих s систему материальных точек относительно того же центра. Обозначая главный момент количеств движения через К, т. е., полагая

к = Z 財=Z LXSS,(18)

по (17) получаем

*=加。)，(19)

где

m^=Xm0(Fi)=YtriXFi(20)

обозначает главный момент внешних сил, приложенных к системе (§ 13); при К = 0 возвращаемся к известному условию равновесия в статике ——главный момент приложенных сил равен нулю.

Формула (19) выражает теорему об изменении главного момента количеств движения системы ма” термальных точек, или, короче, теорему моментов:

Векторная производная по времени от главного момента количества движения системы равна взятому относительно того же центра главному моменту внешних сил, приложенных к системе.

Проектируя уравнение (19) на неподвижные оси, получаем 欠* =加有，kg ^2 m^、 кЗ = mzy(21)

т. е. производная по времени от главного момента количеств движения системы относительно некоторой оси неизменного направления равна главному моменту внешних сил относительно этой оси.

Если внешние силы лежат в одной плоскости, например, с осью Ох, то

(吕) = 0;

при этом

Кх = const(22)

и имеет место теорема сохранения главного м о м е н - та количеств движения системы относительно оси:

Главный момент количеств движения системы относительно оси сохраняет постоянное значение, если главный момент внешних сил относительно этой оси равен нулю.

При обращении в нуль главного момента внешних сил относительно некоторой точки главный момент количеств движения системы К относительно этой точки будет иметь постоянную величину и неизменное направление.

Теореме об изменении главного момента количеств движения можно придать геометрическую форму, если заметить, что произво/шая вектора по времени представляет собой скорость конца этого вектора на его годографе; в частности, вектор

к = *(23)

представляет собой скорость конца вектора К, если началом вектора является неподвижный центр моментов О. Теорема об изменении главного момента количеств движения, таким образом, дает

К = М°),(24)

6 Л, Г* Лойцянский, А, И. Лурье

т. о. скорость конца вектора главного момента количеств движения системы материальных точек относительно некоторого центра равна главному моменту относительно того же центра внешних сил, приложенных к системе. Теорема об изменении момента количеств движения в этой геометрической форме носит наименование теоремы Резаля (1828—1896). Отметим, что величина К, как следует из (24), имеет размерность момента силы (Н-м), так как изображает скорость конца отрезка, представляющего вектор К, т. е. величину, измеряемую в Н-м-с.

§ 114. Главный момент количеств движения твердого тела,вращающегося вокруг неподвижной оси

Рассмотрим вращение твердого тела вокруг неподвижной оси Oz (рмс. 291) и вычислим главный момент количеств движенияРассмотрим вращение твердого тела вокруг неподвижной оси Oz (рмс. 291) и вычислим главный момент количеств движенияравен алгебраическойравен алгебраическойтвердого тела относительно этой оси.Момент количества движения материальной точки массы mt относительно оси Oz будет瓦2 =瓦力 =小m山户вспоминая, что s =①瓦,где й = ф ——угловая скорость, получим&2 =而能传=^m.(*+贽).(25)Главный момент количеств движения относительно оси будет, согласно (18), сумме этих выражений для всех точектвердого тела относительно этой оси.Момент количества движения материальной точки массы mt относительно оси Oz будет瓦2 =瓦力 =小m山户вспоминая, что s =①瓦,где й = ф ——угловая скорость, получим&2 =而能传=^m.(*+贽).(25)Главный момент количеств движения относительно оси будет, согласно (18), сумме этих выражений для всех точексистемысистемыВеличинаВеличина£= £啞=而碌名=£叫啰=Г色（匿+贺）,£= £啞=而碌名=£叫啰=Г色（匿+贺）,(26)(26)(27)(27)

Рассмотрим вращение твердого тела вокруг неподвижной оси Oz (рмс. 291) и вычислим главный момент количеств движения

Рассмотрим вращение твердого тела вокруг неподвижной оси Oz (рмс. 291) и вычислим главный момент количеств движения

равен алгебраической

равен алгебраической

твердого тела относительно этой оси.

Момент количества движения материальной точки массы mt относительно оси Oz будет

瓦2 =瓦力 =小m山户

вспоминая, что s =①瓦,где й = ф ——угловая скорость, получим

&2 =而能传=^m.(*+贽).(25)

Главный момент количеств движения относительно оси будет, согласно (18), сумме этих выражений для всех точек

твердого тела относительно этой оси.

Момент количества движения материальной точки массы mt относительно оси Oz будет

瓦2 =瓦力 =小m山户

вспоминая, что s =①瓦,где й = ф ——угловая скорость, получим

&2 =而能传=^m.(*+贽).(25)

Главный момент количеств движения относительно оси будет, согласно (18), сумме этих выражений для всех точек

системы

системы

Величина

Величина

£= £啞=而碌

名=£叫啰=Г色（匿+贺）,

£= £啞=而碌

名=£叫啰=Г色（匿+贺）,

(26)

(26)

(27)

(27)

т. е. сумма произведений масс частиц тела на квадраты их расстояний от некоторой оси, называется моментом инерции тела относительно этой оси. Момент инерции зависит только от формы тела и расположения масс в нем, но не зависит от состояния движения тела.

Момент инерции тела имеет размерность массы, умноженной на квадрат длины (кг*м2), так что отношение

QM,

где М — масса тела, имеет размерность квадрата длины. Обозначим его через р2:

р2 =寺，/г = Alp2.(28)

Величина р называется радиусом инерции тела относительно оси Oz.

Возвращаясь к формуле (26), получаем

К2 = /2б,(29)

т. е. главный момент количеств движения твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, относительно этой оси ра・ вен произведению момента инерции тела относительно той 宛е оси на взятую со знаком плюс или минус угловую скорость вращения тела.

Моменты количества движения твердого тела относительно осей х и у, перпендикулярных к неподвижной оси вращения г, в общем случае не равны нулю. Поэтому было бы ошибкой считать, что вектор главного момента количеств движения К твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, направлен по этой оси.

Формулы, служащие для вычисления проекций главного момента количеств движения К твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной точки, приводятся далее в § 141. Из них, в частности, сразу же (при ①“= ①^ = 0) следуют выражения проекций К* и Ку вектора К для случая вращения вокруг неподвижной оси Ог.

§ 115. Вычисление моментов инерции; моменты инерцииотносительно параллельных осей

Вычисление моментов инерции однородных тел правильной геометрической формы производится с помощью методов интегрального исчисления. В случае тел, не имеющих правильной формы, моменты инерции определяются или экспериментально, или приближенно путем вычислений, для чего данное тело разбивают на несколько тел, имеющих правильную геометрическую форму. О способах экспериментального определения моментов инерции будет сказано ниже.

По определению момента инерции имеем

厶=2产碌

При непрерывном распределении масс следует заменить mi на dm, 也一на расстояние Л рассматриваемого элемента массы dm

(30)(30)до оси, относительно которой берется момент инерции. Сумма заменяется интегралом, распространенным по всей массе М тела

(30)

(30)

/2=)卅dm.

(М)

Обозначая плотность через 6 ), элемент объема через dt, будем иметь

dm = S dr,」z = \ Л26 dr.

тельно,/г = -~- \ Л2 dx.Рассмотрим некоторыетельно,/г = -~- \ Л2 dx.Рассмотрим некоторыеВ случае однородного тела имеем 6 = М/х = const； следова-

тельно,

/г = -~- \ Л2 dx.

Рассмотрим некоторые

тельно,

/г = -~- \ Л2 dx.

Рассмотрим некоторые

(31)

частные ……случаи.

Рис. 292.а) Момент инерции одно

родного тонкого стер жня постоянного сечения относительно оси, перпендикулярной к стержню и проходящей через его конец. Согласно формуле (31) имеем (рис. 292)

厶=? ^dr = ^^dh^-j Ml\(32)

(т)о

так как в рассматриваемом случае dt = od九，т = а/, где о — площадь поперечного сечения стержня; интегрирование по объему заменяется интегрированием по длине. По (28) радиус инерции стержня будет

р = /^/ 务=宕=0,577/.

б) Момент инерции однородного кругового цилиндра относительно его оси. За элемент объема примем цилиндрический слой, образуемый двумя коаксиальными цилиндрами радиусов h и h-{- dh (рис. 293). Получим

/z = 21井、力з dhо/z = 21井、力з dhо—tMHR4=—2Т-—tMHR4=—2Т-

/z = 21井、力з dhо

/z = 21井、力з dhо

—tMHR4

=—2Т-

—tMHR4

=—2Т-

С другой стороны,

T = nR2〃； следовательно,

/2 = |да,（33）

где R — радиус цилиндра.

Момент инерции полого цилиндра с внешним радиусом R и внутренним R。найдем как разность моментов инерции сплошных цилиндров этих же радиусов:

6*"6-g R2 一冗爲"6.^飞=^冗"6 （依一此）=

=喜冗（必一飞）h"r2 + r»

Итак, момент инерции полого цилиндра равен

/z=^M（k +飞），（34）

где М — масса полого цилиндра.

Рис. 293.Рис. 294.

в） Моменты инерции однородного тела вращения. Примем ось вращения за ось Oz и будем пользоваться цилиндрическими координатами г, г, ф. Сечение тела плоскостью меридиана, т. е. плоскостью, проходящей через ось вращения, ограничено кривой С （рис. 294）; пусть уравнение этой кривой на участке М"'№

「' = fi（2）,

а на участке №N"N\

г"=『2（2）・

Момент инерции тела относительно оси Ог равен (М — масса тела, t — объем его)

\ (х2 + у2) dm — Ъ，产 dp;

(М)(т)

в цилиндрических координатах элемент объема dt равен

d% = r dr d(p dz.

Получаем

2лz2г"Z2

厶=6\ d^\dz[Г3〃=6^\ ｛伉(喇 4 一仇⑵丹 &.

oZ1尸z(

Если известна масса тела М, то, замечая, что 6 = М/т и

2Л 22 产22

т= \dt= \ dqp\ dz ^ rdr — n , ｛伉⑵产―伉⑵卩｝dz,

(*t)0 Zi 尸N1

получаем

Z2

\ ｛仇⑶]4-d(z)]4｝dN

厶=》mw.(35)

J ｛[f2⑵产一由⑵产｝ dz

Для вычисления моментов инерции относительно осей Ох и Оу, перпендикулярных к оси вращения, заметим, что для тела вращения

\ х2 dm= \ y2dm = ｝ \ (х2 + у2｝ dm == -| /2,

(点(М)(М)

так как расположения масс относительно осей 0% и Оу не от л и- чаются друг от друга. Получаем

Jx = Jy—，(炉+ z2)dm= \ (г2 + х2)dm == , z2dfn + -^ J2. 品)(М)(К)

Остается вычислить интеграл

\ dd加=冗6 \z2 ｛伉(2)]2 一亿(明2｝曲.

Подставляя вместо 6 ее значение, находим

Z2

\炉｛/⑶卩一伉(力hdz

(36)(36)厶： = 4 = !л + m三е

(36)

(36)

( ｛也⑶卩一伉⑵]2｝女

Z1

Для тела вращения момент инерции 7г относительно оси вращения называют аксиальным моментом инерции, а момент инерции относительно оси, перпендикулярной к оси вращения и проходящей через центр тяжести тела, — экваториальным моментом

инерции.

Применим формулу (35) к случаю конуса. Имеем (рис. 295)

к = 0，г" = % 3)=乙(1 一灯’

^^ 0,& ==瓦

и вычисление по формуле (35) дает h

r^x^zlh^dz

厶=等 ^= 0,3M%

卜^(1 一2/力)2血

0

Располагая оси Ох и Оу в плоскости основания конуса, по (36) также найдем7A

tq(1 —zIH^^dz

厶= Л/ = ^Лг + М А=

\ *(1 ~ z/hf dz о

= 0,15Mr2 + 0,lW.

Рассмотрим еще случай шара (рис. 296). Применение формулы (35) привело бы к излишне сложному вычис

симметрии имеемсимметрии имеемлению; поэтому воспользуемся следующим приемом. Вследствие

симметрии имеем

симметрии имеем

и, следовательно,

、(炉+ /"加=、匂2 + z2)dm= ^ (z2 + x2)dm==^ JQt

(M)(M)(M)

где /о — полярный момент инерции

/0= \ (х2 + у2 + г2) dm = \ 产 dm.

(Al)(志

За dm можно принять элементарную массу, заключенную между двумя концентрическими сферами радиуса г и г + dr:

dm = * 4冗产dr =翼*产dr,

где М — масса, R — радиус шара. Получаем

/% =厶=厶=^■卜4 dm —^ MR2.о

Для полого шара получаем аналогично

2 R5 一皤

% g Z 5 R3 _ 瞰

где Rq — внутренний,, a R — внешний радиус.

Момент инерции однородного цилиндра или призмы произ* вольного поперечного сечения относительно оси 0%, параллельной образующим цилиндра (призмы) и перпендикулярной к его основаниям, не зависит от высоты цилиндра 九.Действительно, в этом случае выражение элемента массы dm имеет вид

dm = ? dx dy dz =亲 dz dx dy,

где S ——площадь поперечного сечения. Поэтому

h

"综\dZ 卜%2 + y2) 〃 dtj.

0(S)

Величина

卜尤2 + 們 dx dy = ys>

(S)

не зависящая от z, представляет собой полярный момент инер* ции площади поперечного сечения цилиндра (призмы), причем полюсом является точка перееечения оси Ог с плоскостью

Моменты инерции однородных тел

Таблица 5

Форма тела

Схематическое I изображение

Момент инерции /

Радиус инерции р

Стержень весьма малого поперечного сечения

М/2

= 0,577/ “3

Круглаяпластинка

весьма малой толщины

0,5 г

Прямоугольный параллелепипед (относительно оси симметрии)

у^т 萨=

2 VM

0 0,289 “^ + 振

Полый шар со стенкой весьма малой толщины

/^^-^ г = 0,816л

Круглый диск и круговой цилиндр (относительно оси)

Al#

—= 0,707г

“2

Круговой цилиндр (относительно поперечной оси)

% (a + 3产)

Шар

|^2

0,632 г

Продолжение-

Форма тела

Схематическое изображение

Момент инерции /

Радиус инерции р 1

Тор

小+岑）

0,5 “4R2 + 3「2

сечения. Эта величина имеет размерность четвертой степени длины. Итак,

厶=丽厶=丽оо(37>(37>

厶=丽

厶=丽

о

о

(37>

(37>

где ps ——полярный радиус инерции сечения. Величина Л не вхо- дит в выражение (37), что и доказывает сказанное.

Например, в случае прямоугольного параллелепипеда со сто* ронами а, 6,力 момент инерции относительно оси г, проходящей

через центр основания параллельно ребру й, равен по (37)

а/2Ь/2

厶=条S dx ) (炉+/dy =

-a/2一b/2

=У"(废+/

В табл. 5 приведены моменты инерции некоторых тел. Более подробные таблицы можно найти в справочных изданиях.

Докажем теорему о моментах инерции относительно параллельных осей (теорему Гюйгенса — Штейнера):

Момент инерции тела относительно некоторой оси равен моменту инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс тела, сложенному с произведением массы тела на квадрат расстояния между осями.

Введем две системы осей: Oxyz и С/“，причем вторая система имеет начало в центре масс С тела, а оси ее параллельны соответствующим осям первой системы. Через а, 6, с обозначим

координаты центра инерции С в системе осей Oxyz\ тогда （рис. 297）

d = “а? + "

будет расстоянием между осями Oz и Cz'. Координаты точки Mi в рассматриваемых системах осей связаны соотношениями

匕=| +a,%=% + 久 a = 2； + С.

По определению момента инерции имеем пп

厶=g乙（匿+ %=e严"（% + "y + （勿 +6再=

пппп

=Е 色（%，+ У?） + （出 + "） £ 勺 + 2〃 Е 加/ + 2b g m必

Остается заметить, что

Z]加产;=м%з=о,£严 М=м% = о,

так как началом системы осей С£у2‘ является центр масс тела. Обозначив далее

^т^М9 g т. （%? + 勿2）= &

где М — масса тела, /才—его момент инерции относительно оси СУ, придем к требуемому соотношению

厶= 〃 + Md2.（38）

Очевидным следствием доказанной теоремы является то, что момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс тела, меньше момента инерции относительно любой другой параллельной оси.

В качестве примера найдем момент инерции однородного прямоугольного параллелепипеда относительно его ребра. Имеем в этом случае

Jz^^^ + b^ d2=4（a2 + 62）

и по формуле （38） получим

人=年（m+Ь2）■

Более подробные сведения о моментах инерции будут нрн- ведены в гл. XXVI.

Рис. 298.Рис. 298.тх =тх =Иi = lИi = l(40)(40)

Рис. 298.

Рис. 298.

тх =

тх =

Иi = l

Иi = l

(40)

(40)

§ 116. Уравнение вращения твердого телавокруг неподвижной оси

Приложенные к телу заданные внешние силы обозначим че* рез Гь 尸2，^п (рис. 298). Кроме этих сил, к числу внешних принадлежат также реакции М и N2 закрепленных точек Oi и

О2； моменты этих реакций относительно оси вращения равны нулю. Поэтому в правую часть уравнения моментов количеств движения относительно оси Oz войдут только моменты заданных сил 尸九 Подставив в последнее из уравнений (21) вместо К2 выражение (29), получим (е = © — угловое ускорение тела)

厶@ — /г© = /гф = ^z~ ^ mz (Ю・ (39)

Мы получили дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси. Оно представляет полную

аналогию с дифференциальным уравнением прямолинейного

движения точки

Из сопоставления этих уравнений видно, что момент инерции в уравнении (39) вращательного движения твердого тела играет ту же роль, что масса в уравнении (40) прямолинейного движения материальной точки. Таким образом, момент инерции характеризует инертность тела при вращательном движении. Выводы и предложения, относящиеся к прямолинейному движении) точки (и поступательному прямолинейному движению тела) могут быть перенесены на случай твердого тела, вращающегося вокруг оси, если заменить:

слово

абсцисса

словами

угол поворота.

《

скорость

《

угловая скорость,

《

ускорение

《

угловое ускорение,

《

масса

《

момент инерции,

《

сила

《

момент силы.

Эта аналогия представляет собой частный случай так называемых обобщенных координат, скоростей, ускорений и др. (см. далее § 142).

Допустим теперь, что

f т2(Л) = 0;

из (39) находим со = const. Иными словами, вращение тела с постоянной угловой скоростью (мо инерции) имеет место в том случае, когда главный момент относительно оси вращения всех сил, приложенных к телу, равен нулю. Так, при равномерном вращении вала машины моменты движущих сил и сил сопротивления равны по величине. Если первый момент превосходит по величине второй, то угловая скорость машины возрастает; обратное имеет место, когда момент движущих сил меньше момента сил сопротивления, и машина замедляет ход. Вращение с постоянным угловым ускорением возможно, если вращающий момент

m2= £ mz(Fi)(41)

имеет постоянное значение.

Имея в виду указанную аналогию между движением твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, и прямолинейным движением материальной точки, не будем останавливаться на примерах, относящихся к первой задаче динамики и покажем несколько примеров решения второй задачи динамики, относящейся к вращению твердого тела вокруг неподвижной оси.

Будем искать закон вращения твердого тела при действии заданного вращающего момента и начнем с простейшей задача определения времени Та, по истечении которого твердое тело, находящееся в состоянии покоя, приобретает под действием постоянного вращающего момента 加?) заданную угловую скорость б。.

Из дифференциального уравнения вращения

сразу же получаем

好=吧九

и, следовательно,

几=帰.(42)

Примем So за угловую скорость вращения тела в некотором режиме и назовем ее номинальной угловой скоростью', Та будет

временем разгона ) до номинальной угловой скорости при действии постоянного вращающего момента /и， В общем случае действия на тело какого угодно вращающего момента тг дифференциальное уравнение вращения

/гй = тг

бывает удобно выразить в безразмерных величинах. Для этого вводят в рассмотрение относительную угловую скорость

2 =中，(43)

представляющую собой отклонение угловой скорости от номинального значения, выраженное в долях последнего; обозначим буквой 卩 относительное значение вращающего момента:

热(44)

Дифференциальное уравнение вращения примет вид

Та® = №(45)

где время разгона Та вычислено для принятых значений номинальной угловой скорости @о и вращающего момента т(?.

Пример 99. Маховое колесо приводится во вращение электромотором постоянного тока, зависимость вращающего момента которого от угловой скорости дается соотношением

М = Мо(1—為)，

где Мо — вращающий момент при © = 0, Gi ——угловая скорость холостого хода (при © = ® 1 вращающий момент М = 0 н электромотор не совершает полезной работы). Принимая момент трения в подшипниках Мтг известным, найти закон изменения угловой скорости колеса.

Главный момент всех сил относительно оси вращения маховика будет tnz = Mq (1^~) 一 Мтр = М。- Мтр - “о “^" •

За номинальное значение й0 угловой скорости примем значение ш, обращающее выражение тг в нуль, т. е.

~ Mq — Мтр

5 =硒—质-•

Тогда по (43) будем иметь

加? = (Мо — №р) (1 —= — (Mq — Мтр)屮.

Полагая

澧=% — Мтр，

получаем по (44)

卩=-电

и уравнение вращения в безразмерной форме (45) принимает вид

(46)

Его решение будет

Начальное значение угловой скорости ® примем равным нулю, тогда по (43)屮=—1 при f = 0, и мы получаем

причем время разгона определяется по (42) и будет равно

Время разгона Та в рассматриваемой задаче представляет промежуток времени, по истечении которого

屮=——^, 亩==Go (1 — е") = 0,632Go.

Угловая скорость тела по истечении времени Та станет приблизительно равной 63% от ее номинального значения.

При f-> 8 имеем 屮->0, т. е. угловая скорость приближается к номинальному значению й0, определенному выше.

Пример 100. Разгон электрического двигателя по • стоянного тока. Вращающий момент электрического двигателя постоянного тока представляется формулой

" =时叽，

где к ——величина тока в якоре двигателя, Ф ——магнитный поток, См ——постоянная величина. Обозначая через Мтр момент сопротивления на валу якоря и через J? его момент инерции относительно оси вращения, можем написать уравнение вращения якоря в форме

/2Й = М - / = %叫-%(47)

К зажимам двигателя подведено напряжение е; уравнение электрической цепи якоря может быть записано в форме

е = 写户 + Ra% + G①通(48)

выражающей, что внешнее напряжение е затрачивается на преодоление электродвижущей силы самоиндукции 厶 я 成я/出， омических потерь Кя% и обратной электродвижущей силы СеФй. Чере^ 厶力 RH, Се обозначены соответственно самоиндукция, омическое сопротивление цепи якоря и постоянный коэффициент пропорциональности в выражении обратной электродвижущей силы. В дальнейшем будем считать, что магнитный поток Ф и внешняя электродвижущая сила е сохраняют постоянные значения.

Рассмотрим сначала установившийся режим работы двигателя, в котором угловая скорость и величина тока в цепи якоря имеют постоянные значения 而° н j： и приведенные выше уравнения принимают вид

С”①匕 一 Мтр = °， е= R/； + С0М(49)

Введем в рассмотрение безразмерные величины [ср. (43)]

о ш0 , 4 一吟

Тогда, заметив, что

6 =徐松 普■==*w,g= @)(1+ 2)， % = 4(1+出，

перепишем уравнения (47) и (48) в виде

时力=%喇(1+自)一/

厶熊 + R』(1 + g) + СеФ60 (1 + 2) = е.

Свободные члены (не содержащие ф, ^ и их производные) сокращаются на основании уравнений (49), с помощью которых был определен установившийся режим. Получаем однородную систему двух линейных дифференциальных уравнений первого порядка

^г^ = Cgz•需厶然+ Rh强+ G①銖屮=0・(50)

Исключим из этих уравнений & для чего продифференцируем первое уравнение по времени и подставим в него значение g из второго уравнения; тогда получим

配f J力=一 ％①(凡凄+ Q破押)•

Заменив в этом соотношении g его значением из первого уравнения (41), будем иметь'

%j2l^ 一 4cM①⑥0屮 一 ^AJ^(51)

Введем теперь обозначения

при которых уравнение (51) примет вид

2 + 賢 = 0(53)

2 я / я

Постоянные Та и 7H имеют размерность времени. Чтобы выяснить их смысл, предположим, что двигатель заторможен, т. е. Go = 0. Из второго уравнения (50) получим

Тя 官+ а = о,

и сравнение с уравнением (46) позволяет заключить, что Тя является постоянной времени (《временем% разгона») электрической цепи якоря.

Примем, что можно пренебречь индуктивностью £я цепи якоря; тогда 7Я = 0, и уравнение (53) будет

О + в О,

2 а

Та представляет собой время разгона электродвигателя при пренебрег

жении индуктивностью электрической цепи якоря.

Интегрирование уравнения вида (53) рассмотрено в § 98, характер движения существенно зависит от соотношений между постоянными времени Та и Гя. Остановимся на предположении, что

% > 4ГЯ.

Тогда общее решение будет иметь вид

гдегде(54)(54)2 =…(G ch "紋一依 f + c2 sh “紋一左2 /),

где

где

(54)

(54)

2—击'*忐.

Угловая скорость якоря будет изменяться апериодически. Если же соблюдается неравенство противоположного знака

Та V 4ТЯ,

то угловая скорость изменяется по закону затухающих колебаний. В том и в другом случае при —8 имеем Wf 0 и ф-> 0, т. е. по первому уравнению (50) и определению величин 屮 и Е

Таким образом, установившийся режим теоретически наступает по истечении большого промежутка времени от начала движения, каковы бы ни были начальные условия. Практически состояние электродвигателя будет уже мало отличаться от установившегося по истечении конечного промежутка времени, тем меньшего, чем меньше 7\.

Пример 101. Определение момента инерции по способу крутильных колебаний Испытуемое тело подвешивается в центре масс С на проволоке к неподвижной точке。(рис. 299). Проволока закручивается на некоторый угол, после чего тело предоставляется самому себе, Предполагая, что тело будет совершать крутильные колебания вокруг оси ОА проволоки, составить дифференциальное уравнение вращения гела.

Момент силы тяжести относительно оси вращения равен нулю, так как эта ось вертикальна. Моментом

Z|Z|Рис. 299.Рис. 299.сил сопротивления воздуха, а также сил сопротивления, возникающих в материале проволоки при колебаниях пренебрегаем Не учитываем также массы проволоки. Момент упругих сил проволоки, пропорциональный углу ее закручивания, принимается равным ——с(р, причем коэффициент пропорциональности с зависит от размеров проволоки и упругих свойств ее материала.

Z|

Z|

Рис. 299.

Рис. 299.

Обозначая через 7 момент инерции тела относительно оси ОА, получаем дифференциальное уравнение гармонических колебаний

и выражение периода колебаний будет

Т = 2 兀 д/4*

Г。== 2лГ。== 2лТаким образом,Таким образом,Для определения постоянной с находят период крутильных колебаний То на той же проволоке эталонного тела с известным моментом инерции /0 относительно оси О А. Имеем

Г。== 2л

Г。== 2л

Таким образом,

Таким образом,

Т2'К

Допустим теперь, чтоДопустим теперь, чтоПример 102. Колебания магнитной стрелки в однородном магнитном поле. Поместим в однородное магнитное поле элементарный магнитный диполь, т е. воображаемый магнит, магнитные массы которого +т и —m сосредоточены в его концах, отстоящих друг ог друга на расстояние / (рис. 300); пусть ось магнита составляет угол <р с направлением магнит- ного поля. Если обозначить через Я напряженность поля, т. е. силу, действующую на единицу положительной магнитной массы, помещенной в магнитное поле, то к концам элементарного магнита будут приложены равные и противоположно направленные силы mH и —mH. Эти силы образуют пару, момент которой по величине равен mlH sin ф = МН sin ф.

Допустим теперь, что

Допустим теперь, что

Произведение ml — М называется магнитным моментом диполя. Приведенная формула имеет место и для всякого физического магнита, если под М понимать магнитный момент этого магнита,

магнитных разложитьмагнитных разложитьт. е. сумму моментов элементарных диполей, на которые можно мысленно

магнитных разложить

магнитных разложить

физический магнит.

магнит, помещенный в магнитное поле Земли, мо

жет вращаться вокруг вертикальной оси On, проходящей через центр тяжести магнита. Сила Я будет в зтом случае горизонтальной составляющей магнитного поля Земли, ее направление определит магнитный меридиан в данном

мерициана.мерициана.месте, и угол ф будет отсчитываться теперь от плоскости этого

мерициана.

мерициана.

Обозначим через /2 момент инерции магнита относительно оси вращения. Дифференциальное уравнение вращения магнита будет

/гф = — МН sin ф；

оно отличается от уравнения колебаний математического маятника (12) только заменой постоянной gll на MH]Jn・ Поэтому период малых колебаний магнита определится формулой (15):

2 窮 7 ~^Г ♦

Момент инерции /2 не может быть с достаточной точностью определен путем вычисления вследствие неоднородностей материала магнита. Поэтому J* находят опытным путем. Для этого определяют сначала период Ti малых

подвеса и прохо-подвеса и прохо-уравнение враще-уравнение враще-

подвеса и прохо-

подвеса и прохо-

уравнение враще-

уравнение враще-

колебаний магнита, а затем, присоединив к магниту эталонное тело правим ,- ной геометрической формы с известным моментом инерции /?) относительна оси вращения, находят новый период колебаний 「?. Имеем в первом и втором случаях

4也 加亿+啜

丽 ， откуда

"=(T2小)2 - 1 •

§ 117. Малые колебания физического маятника

Физический маятник представляет собой тяжелое твердое тело произвольной формы, имеющее неподвижную горизонтальную ось вращения; эта ось называется осью подвеса маятника.

Пусть плоскость чертежа (рис 301) представляет верти

кальную плоскость, перпендикулярную к оси дящую через центр тяжести С тела. Расстояние ОС центра тяжести от оси подвеса обозначим через s, угол между ОС и вертикалью Ох — через (р. Радиус инерции тела относительно оси, параллельной оси подвеса и проходящей через центр масс С, обозначим через р; тогда момент инерции относительно оси подвеса, согласно (38), будет

/ =优(р2 + s2).

Если пренебречь силами сопротивления воздуха и моментом трения в оси, то внешними силами, приложенными к телу, будут реакция оси и сила тяжести G. Но момент реакции относительно оси подвеса равен нулю, момент же силы тя

жести равен ——Gs sin (р. Дифференциальное ния тела принимает вид

© = —Т^г sin <р.

В уравнение колебаний математического маятника вместо gs/(p2*s2) входило g/l. Поэтому длина / эквивалентного по периоду математического маятника («приведенная длина физического маятника») будет

(56)(56)Р? +炉

(56)

(56)

Период малых колебаний определяется формулой

(57>

Вдоль ОС отложим от оси подвеса отрезок ОО\ =厶 Прямая, проходящая через конец Oi этого отрезка параллельно оси подвеса, называется осью качаний физического маятника.

Отметим свойство взаимности этих двух осей. Для вывода его перепишем уравнение (56) в виде

s? — /s + р2 = 0.

Обозначая корни этого квадратного уравнения через s и s', будем иметь

s + s，=厶 ss‘ = р2.(58}

Величины s и s' входят в эти соотношения симметрично. Поэтому данную длину I эквивалентного математического маятника, или, что то же, данный период колебаний Т можно полу* чить, поместив ось подвеса на расстоянии s или на расстоянии s' от центра тяжести тела; в первом случае ось качаний будет находиться на расстоянии s'= / ——s, а во втором ——на расстоянии 5 — / --s' от центра тяжести. Иными словами, ось качаний станет во втором случае осью подвеса, а ось подвеса ——осью качаний. Это свойство физического маятника используется в оборотном маятнике, служащем для определения ускорения силы тяжести g. Построение отрезка s' по известным s и р показано на рис. 301.

Теория физического маятника является исторически первой разрешенной задачей динамики системы. Интерес к этой задаче возник в связи с вопросом об усовершенствовании часов. Создание теории физического маятника на заре развития динамики принадлежит Гюйгенсу (1629—1695).

По экспериментально определенному периоду малых колебаний физического маятника можно вычислить его момент инер* ции относительно оси подвеса; этим пользуются при экспериментальном определении моментов инерции тел. Зная расстояние от оси подвеса до центра тяжести тела, найдем момент инерции JZc тела относительно оси, параллельной оси подвеса и проходящей через центр тяжести С. Вычисление проводится по формуле (57), из которой по известным Т и s находим р2, а потом

Jzc = m^ = mgs (中一д卜

§ 118. Влияние внешних ударовна главный момент количеств движения системы

Пусть на систему материальных точек начинают в момент времени % действовать мгновенные силы, прекращающие свое действие в момент f0 + t = f, где t ——весьма малый промежуток времени. Результатом действия мгновенных сил будет, как известно, резкое изменение скоростей точек системы, а следовательно, и ее главного момента количеств движения.

В течение короткого промежутка времени т действия мгновенных сил следует пренебречь действием всех прочих сил, кроме мгновенных; поэтому, записывая равенства (19) и (20) для этого промежутка времени, будем под внешними силами Ft подразумевать только мгновенные силы, а под т0 (Fz)= =Ti\Fi — моменты этих сил.

Из уравнения (19) получаем

dK= X 门 ХЗ 山，(59)，

i = 1

или, интегрируя в пределах от /0 до L

К 一 к。=2 卜，xе出，i = 1 /о

где К и Ко — значения главного момента количеств движения в моменты / и /0. Вспоминая, что за время действия мгновенных сил можно пренебречь перемещениями точек системы, иными словами, что вектор-радиусы 力 можно при интегрировании считать постоянными, получаем

，门X尸iУ i X、尸i山=力X S i,

t

где Fidt — импульс мгновенной силы F(. Таким образом, будем иметь

К 一 ％ =它乙 X & =它 m°S),(60)

i = 1i = 1

t. e. векторное приращение главного момента количеств движения системы за время удара равно векторной сумме моментов импульсов всех внешних мгновенных сил (ударов).

Если, в частности, речь идет о вращении твердого тела во* круг неподвижной оси, то, проектируя уравнение (60) на ось

вращения (ось Oz), получаем

п

/2 (6 —毓)=£ тг (SJ(61)

где 厶一момент инерции тела относительно оси вращения Oz, ш и 6)— угловые скорости его в моменты / н 纭 в правой части уравнения стоит сумма моментов импульсов внешних мгновенных сил относительно оси Oz; отметим, что к числу таких сил принадлежат и мгновенные силы реакций в подшипниках, появ

ляющиеся вследствие действияляющиеся вследствие действияРис. 302.Рис. 302.Применяя формулу (60)Применяя формулу (60)мгновенных сил; в уравнение (61) импульсы этих реакций не входят, так как их моменты относительно оси вращения равны нулю.

ляющиеся вследствие действия

ляющиеся вследствие действия

Рис. 302.

Рис. 302.

Применяя формулу (60)

Применяя формулу (60)

к вращению первого шкива, имеем /1 (Gi — 6io) = SR,к вращению первого шкива, имеем /1 (Gi — 6io) = SR,Пример 103. Два шкива вращаются в одной плоскости во・ круг своих осей с угловыми скоростями ©ю и 而2о (рис. 302). Определить угловые скорости &)и ш2 после того, как на шкивы будет накинут ремень. Радиусы шкивов равны соответственно Q и %； их моменты инерций 乙 и /2. Скольжением ремня пренебрегаем.

к вращению первого шкива, имеем /1 (Gi — 6io) = SR,

к вращению первого шкива, имеем /1 (Gi — 6io) = SR,

где S — импульс мгновенной силы натяжения ремня (помимо этого импульса, к шкиву приложен импульс мгновенной реакции оси; его момент относительно оси вращения равен нулю). Для второго шкива получим

/2 (而2 —而20)= 一 S/?2,

и так как скольжение ремня отсутствует, то

而iRl =而2^2・

Таким образом,

而2.— 而I / 1R2s10 + 厶r恤5

откуда находятся Si и 而2・

§ 119. Главный момент количеств движения в неподвижнойи в движущейся системах отсчета

В выражение главного момента количеств движения

К = £ 门 X mm(62)

входят величины, определяющие абсолютное движение точек системы, т. е. вектор-радиусы г/ и скорости V/ относительно не-

подвижной (или любой инерциальной) системы отсчета Оху по отношению к началу О которой вычислен вектор К.

Введем наряду с абсолютной системой Oxyz движущуюся систему 0,х,у,2,; вектор-радиус начала О' этой системы относительно начала О неподвижной системы обозначим через 加 скорость точки О'——через v0 = г*о； угловую скорость системы Ofxfyfzf обозначим через(о*.

Пусть г^ ——вектор-радиус некоторой точки Mj по отношению к О'. Тогда

% =小 + 匕(63)

и после подстановки в (62) выражение К разобьется на два слагаемых:

пп

К =入X X tnivi + Е <Х色％(64)

i = li — 1

В первом члене вектор Го, одинаковый для всех слагаемых, стоящих под знаком суммы, вынесен за знак этой суммы. Вспоминая определение главного вектора количеств движения

Q = X m^i = Mvc(65)

(气—скорость центра масс, М=^ nil — масса системы), получаем

к=гох<?+Е<хвд.(66)

По теореме о сложении скоростей абсолютная скорость и? точки Mi определяется соотношением

% =叫)+ 吸)=吨)+ v0 + ®* X Гр(67)

где к「——относительная скорость этой точки, т. е. ее скорость в подвижной системе Ox'y'z', а &?)——переносная скорость, т. е. скорость точки системы О'х，У с вектор-радиусом у；. Как указано в формуле (67), переносная скорость складывается из двух слагаемых: скорости и。начала О' подвижной системы и вращательной скорости (о* X г^. Остается подставить выражение скорости (67) во второе слагаемое правой части (66).

Рассмотрим частный случай, когда начало О' подвижной системы осей помещено в центр масс рассматриваемой системы

материальных точек, а подвижная система движется поступательно, т. е. @* = 0. Тогда

г0 = %，吸)=% = %，vi =吋)+ 0c(68)

О х (69)О х (69)и подстановка в (66) дает

О х (69)

О х (69)

K = %XQ+ZK = %XQ+Z% X，％ 叫 + f Е "\i«»l

K = %XQ+Z

K = %XQ+Z

В рассматриваемом случае последнее слагаемое в правой части этого равенства будет равно нулю. Это следует из определения центра масс. В самом деле, согласно этому определению и соотношению (63) имеем

Mrc = g 色乙=S tnL (r0 + %) = r.M + S ,

так что

g 他/； = M (% — ro) Mrc^(70)

где rQ — вектор-радиус центра масс относительно начала подвижной системы O'x'y'z'. Но, по предположению, гг = г0, т. е. rc = Q и, следовательно,

Z т/ = 0.

Введем еще обозначение

K' = £j；Xm 冏上(71)

Этот вектор представляет собой главный момент количеств движения системы материальных точек в их относительном движении в подвижной системе Ofxyfz\ вычисленный относительно начала (У этой системы. По (69) получаем

K = %XQ+K,(72)

т. е. главный момент количеств движения системы материальных точек относительно некоторого неподвижного центра равен век^ торной сумме момента относительно этого центра главного век,- тора количеств движения системы, помещенного в центр масс9 и главного момента относительно центра масс количеств движе^ ния материальных точек в их относительном движении 6 с〃・ стеме, поступательно движущейся вместе с центром масс.

Вернемся теперь к общему случаю. Подставив выражение (67) для скорости V/ во второе слагаемое правой части

соотношения (66), получим по (70) и (71)

Z 匕 X mivl = N 匕 X my^ + ( E 忆匕)X % 十

+ g mK x (炉 X 匕)= K，+ 4X m% + z 优元 X 3. X 匚).

Итак, при произвольно движущейся системе (Ух'у'М получаем

К =入义 Q + К + 〃义 М% + £ 加无 X (s* X г) (73)

Если, в частности, система материальных точек представляет собой твердое тело, имеющее угловую скорость ®, а система осей О'х'у'Т неизменно связана с этим телом? т. е.

8* =*(74)

то по отношению к этой системе осей твердое тело неподвижно, т. е. вектор К' = 0. Формула (72) примет вид

К =入 X Q + 乂 X м% + £ 色片 х 3 х 4)・(75)

Если при этом начало подвижной системы помещено в центр масс твердого тела, то второе слагаемое в (75) исчезает (г^ = 0) и мы получаем

k =气X Q + £九无义3 X二).(76)

Известно (§ 64), что движение твердого тела в общем случае можно рассматривать как результат сложения поступательного движения его вместе с некоторым полюсом и вращения вокруг этого полюса. Формула (76) показывает, что если за полюс принят центр масс тела, то можно разбить вектор К на два слагаемых, соответствующих этим двум движениям. Итак, главный момент количеств движения твердого тела относительно неподвижного центра равен векторной сумме момента относительно этого центра главного вектора количеств движения тела, помещенного в его центр масс, и главного момента относительно центра масс количеств движения тела в его вращении вокруг центра масс.

Пример 104. Определить главный момент количеств движения относительно неподвижной оси Oz системы, изображенной на рис. 303, состоящей из двух тел: из рамки /, вращающейся вокруг оси Oz с угловой скоростью йе и несущей подшипники оси О', и из тела //, вращающегося вокруг оси Czz с угловой скоростью йг относихельно рамки. Центр тяжести тела II расположен на оси Cz'. Расстояние между осями Oz и Czf равно с.

Имеем

Kz = @)+ K0,

тде К?)— момент количеств движения относительно оси Oz рамки 7, атде К?)— момент количеств движения относительно оси Oz рамки 7, а球)一момент относительно球)一момент относительноNN(城 e，/шмЬшж(城 e，/шмЬшж,工,工Рис. 303.Рис. 303.той же оси количеств движения тела II. По формуле (29) имеем (厶一момент инерции рамки / относительно оси Oz)К?)= /®е・Для вычисления К0 применим формулу (76); первое ее слагаемое дает(%XQ)z = C・M2CGe，так как М2с&е представляет величину вектора количества движения тела /7, равную произведению его массы М2 на величину скорости сйе центра масс [формула (26) § 102]. Проекция на ось Oz второго слагаемого в формуле (76) в рассматриваемом примере будет равна厶而=厶⑥e +而r),где J2 — момент инерции тела II относительно оси Cz\ Получаемтой же оси количеств движения тела II. По формуле (29) имеем (厶一момент инерции рамки / относительно оси Oz)К?)= /®е・Для вычисления К0 применим формулу (76); первое ее слагаемое дает(%XQ)z = C・M2CGe，так как М2с&е представляет величину вектора количества движения тела /7, равную произведению его массы М2 на величину скорости сйе центра масс [формула (26) § 102]. Проекция на ось Oz второго слагаемого в формуле (76) в рассматриваемом примере будет равна厶而=厶⑥e +而r),где J2 — момент инерции тела II относительно оси Cz\ Получаем

тде К?)— момент количеств движения относительно оси Oz рамки 7, а

тде К?)— момент количеств движения относительно оси Oz рамки 7, а

球)一момент относительно

球)一момент относительно

N

N

(城 e，/

шмЬшж

(城 e，/

шмЬшж

,工

,工

Рис. 303.

Рис. 303.

той же оси количеств движения тела II. По формуле (29) имеем (厶一момент инерции рамки / относительно оси Oz)

К?)= /®е・

Для вычисления К0 применим формулу (76); первое ее слагаемое дает

(%XQ)z = C・M2CGe，

так как М2с&е представляет величину вектора количества движения тела /7, равную произведению его массы М2 на величину скорости сйе центра масс [формула (26) § 102]. Проекция на ось Oz второго слагаемого в формуле (76) в рассматриваемом примере будет равна

厶而=厶⑥e +而r),

где J2 — момент инерции тела II относительно оси Cz\ Получаем

той же оси количеств движения тела II. По формуле (29) имеем (厶一момент инерции рамки / относительно оси Oz)

К?)= /®е・

Для вычисления К0 применим формулу (76); первое ее слагаемое дает

(%XQ)z = C・M2CGe，

так как М2с&е представляет величину вектора количества движения тела /7, равную произведению его массы М2 на величину скорости сйе центра масс [формула (26) § 102]. Проекция на ось Oz второго слагаемого в формуле (76) в рассматриваемом примере будет равна

厶而=厶⑥e +而r),

где J2 — момент инерции тела II относительно оси Cz\ Получаем

Kz =(厶+ m2c2)金+厶(鲍+硏)・(77)

Пример 105. В эпициклическом механизме (рис. 304) подвижное колесо // радиуса г2 катится без скольження по неподвижному колесу / ра-

d)="2(Г1+Г2)2后3+/2后 2,d)="2(Г1+Г2)2后3+/2后 2,

d)="2(Г1+Г2)2后3+/2后 2,

d)="2(Г1+Г2)2后3+/2后 2,

причем /2 ——момент инерции колеса II относительно оси, проходящей через точку 。2, ^2 — его масса, ©2 абсолютная угловая скорость колеса. Она оп* ределяется из соотношения

每2r2 =而3 (П+力)，

выражающего равенство линейных скоростей точки О2, если рассматривать ее как принадлежащую одновременно колесу II и кривошипу HL

Получаем

〃 =[/3 + /2 门籽 + 恤(n + 厂2尸]йз.

§ 120. Теорема об изменении главного момента количествдвижения системы относительно центра масс

В левой части выражения теоремы моментов

醬=加。(78>

заменим главный момент количеств движения К его выражением (72), а в правой части выразим главный момент т(°> внешних сил относительно неподвижного центра О через главный момент этой системы сил т(с) относительно центра масс С. Для этого используем соотношение, доказанное в статике (§ 17):

т^ = т^ + rcXV,(79)

где V ——главный вектор системы сил.

Получаем

足(北 XQ) + 幣=m^ + rcXV,(80)

Теперь заметим, что

^(rcXQ) = rcXQ+rcXQi

и воспользуемся выражением (65) главного вектора количеств движения Q, причем учтем, что fc = vc. Получим

rcXQ = rcX М，с = °・

Далее, по теореме об изменении количества движения (§ 102) имеем

Q = V.

Таким образом,

方&cXQ) = /*cX匕

и соотношение (80) дает

rcXV + Kf = m^ + rcXV;

окончательно

醬=穴=m⑹.(81)

Итак, производная по времени от главного момента количеств движения системы материальных точек относительно центра масс в их относительном движении 6 системе отсчета, движущейся поступательно вместе с центром масс, равна главному моменту внешних сил относительно центра масс.

Таким образом, теорема об изменении главного момента количеств движения сохраняет формулировку 6 относительном движении по отношению к центру масс, причем количества движения точек системы и их моменты вычисляются в системе осей, движущейся поступательно вместе с центром масс.

В том случае, когда движущаяся система материальных точек представляет собой твердое тело, можно в левой части (78) заменить К его выражением (76). Тогда, повторив проведенное выше рассуждение, снова придем к уравнению (81), если под К будем понимать второе слагаемое в (76), т. е. вектор

К' = £ miri х(®х “)， (82) равный главному моменту количеств движения твердого тела относительно его центра масс.

§ 121. Теорема о сохранении главного моментаколичеств движения

При равенстве нулю главного момента внешних сил относительно некоторой неподвижной точки (/п(°)= 0) главный момент количеств движения К относительно этой точки должен оставаться постоянным, т. е. сохранять неизменные величину и направление. То же самое на основании теоремы предшествующего параграфа может быть повторено в случае обращения в нуль главного момента внешних сил относительно центра масс системы (т(с)= 0). Тогда неизменные величину и направление будет сохранять главный момент К' количеств движения системы относительно центра масс в системе отсчета, движущейся поступательно вместе с центром масс.

Если момент внешних сил относительно неподвижной точки О (или центра масс С) не равен нулю, но обращается в нуль его проекция на ось неизменного направления Oz (или Сг), то неизменной при движении будет проекция главного момента Kz (или К2) на эту ось.

Солнечная система, т. е. Солнце, планеты и их спутники, представляет собой пример изолированной системы: силы взаимного притяжения между телами, входящими в систему, являются внутренними силами, внешние же силы, если пренебречь действием неподвижных звезд, отсутствуют. Возьмем звездную координатную систему, т. е. направим оси координат к трем

«неподвижным» звездам. Главный момент количеств движения К Солнечной системы относительно ее центра масс должен оставаться постоянным по величине и сохранять неизменное направление в звездной системе координат. Направление вектора К определяет перпендикулярную к нему плоскость, называемую неизменяемой плоскостью планетной системы. Существование этой плоскости было установлено Лапласом (1749— 1827).

Ранее уже было указано на невозможность перемещения человека по абсолютно гладкому полу. Возникает вопрос, может ли стоящий на абсолютно гладком полу человек повернуться вокруг вертикальной оси, проходящей через его центр тяжести.

Внешними силами, приложенными к человеку, являются сила его тяжести и реакция пола. Обе эти силы вертикальны, и их моменты относительно вертикальной оси Са равны нулю; по предположению, отсутствует и трение. Итак,

①2 = 0, откуда следует, что

Kz = const.

Постоянная равна нулю, так как сначала человек неподви^ жен. Предположим теперь, что человек начнет вращать над головой руку с угловой скоростью(01, описывая ею круги в горизонтальной плоскости. Если обозначить через Ji момент инерции руки относительно оси Са, то момент количества движения относительно этой оси будет 厶后1； тело человека начнет вращаться в противоположную сторону так, чтобы момент количества движения тела компенсировал момент количества движения руки. Обозначим через /2 момент инерции тела человека относительно оси Cz, через 而2 ——его угловую скорость. Получим

/1^1 + / 2^2 = О, откуда найдем

02 == — G[ ~7~ •

* J 2

Чтобы ускорить вращение тела, нужно или увеличить йь или же увеличить 了卜 для чего человек должен взять в руку какой- либо предмет, например длинный стержень или вращающееся колесо. Для иллюстрации сказанного служит опыт Жуковского. Круглая площадка может поворачиваться вокруг вертикальной оси, причем влияние трения сведено к минимуму; человек, стоящий на площадке и имеющий в руке вращающееся колесо или просто вращающий руку, будет поворачиваться вместе с площадкой в сторону, противоположную вращению колеса.

Способность кошки, падающей с большой высоты лапками вверх, переворачиваться в воздухе во время падения и становиться на землю также может быть объяснена с точки зрения теоремы сохранения момента количеств движения. Внешняя сила ——сила тяжести — не создает момента относительно центра тяжести. Быстро вращая хвостом, кошка поворачивает свое тело в противоположную сторону: момент количеств движения в относительном движении по отношению к центру тяжести остается при этом равным нулю, как и в начале падения.

Акробат, совершающий сальто, отталкиваясь от земли, сообщает своему телу угловую скорость вокруг горизонтальной осн, проходящей через центр тяжести его тела. Так как внешняя сила — сила тяжести — приложена в центре тяжести, момент количеств движения относительно этой оси сохранит постоянное значение. Акробат может изменить свою угловую скорость, поджимая ноги и руки и уменьшая тем самым момент инерции своего тела относительно горизонтальной оси, проходящей через

центр тяжести; угловая скорость при этом увеличивается, так как произведение ее на момент инерции должно оставаться постоян* ным.

рамки. Чтобы осуществить это, не。сил, в рамке имеется (не показанный на рисунке) часовой механизм, отпускающий в некоторый момент первоначально напряженную пружину. Опре-рамки. Чтобы осуществить это, не。сил, в рамке имеется (не показанный на рисунке) часовой механизм, отпускающий в некоторый момент первоначально напряженную пружину. Опре-Пример 106. Рамка АВА\ВХ мо・ жет вращаться вокруг проходящей qepea ее центр тяжести вертикальной оси Oz; в рамке симметрично относительно оси On укреплены вертикальные оси двух одинаковых дисков массы m (рис. 305). Момент инерции рамки относительно оси Oz равен 厶，момент инерции каждого диска относительно собственной оси равен /2. Сначала система находится в покое, а затем диски начинают вращаться в одну сторону с одинаковыми угловыми скоростями йг относительно вводя внешних по отношению к системе

рамки. Чтобы осуществить это, не。

сил, в рамке имеется (не показанный на рисунке) часовой механизм, отпускающий в некоторый момент первоначально напряженную пружину. Опре-

рамки. Чтобы осуществить это, не。

сил, в рамке имеется (не показанный на рисунке) часовой механизм, отпускающий в некоторый момент первоначально напряженную пружину. Опре-

делить угловую скорость рамки.

лучаемлучаемПри вычислении главного момента количеств движения системы относительно оси Oz используем результат § 119. Удваивая в формуле (77) слагаемые, определяющие главный момент количеств движения тела (//), по

лучаем

лучаем

К% = /而е + 2厶(而е + 而г) + 2mc2©e.

Заметив теперь, что главный момент количеств движения системы относи* тельно оси Oz должен оставаться постоянным и равным нулю, получим

~2/2®г

Q _ 2厶 + 厶 + 2加e2 .

Знак минус указывает, что рамка вращается в сторону, противоположную вращению дисков.

§ 122. Применение теоремы моментов к сплошной среде.Уравнение Эйлера теории турбомашин

В качестве примера применения теоремы моментов к сплошной среде приведем вывод известного уравнения Эйлера теории турбомашин, выражающего вращающий момент, сообщаемый рабочему колесу турбины протекающей сквозь него жидкостью. В дальнейшем будем предполагать, что колесо вращается с постоянной угловой скоростью ① вокруг неподвижной оси.

Применим теорему моментов к совокупности частиц жидкости, заполняющей в момент времени / один из каналов между лопастями турбин. Имеем

dKzdKz=%,=%,

dKz

dKz

=%,

=%,

где т2 — главный момент относительно оси турбины (вертигде т2 — главный момент относительно оси турбины (вертиприложенных к рассматривае-приложенных к рассматривае-Рис. 306.Рис. 306.

где т2 — главный момент относительно оси турбины (верти

где т2 — главный момент относительно оси турбины (верти

приложенных к рассматривае-

приложенных к рассматривае-

Рис. 306.

Рис. 306.

кальной оси Oz) внешних сил, мому объему жидкости. Этими внешними силами являются сила тяжести жидкости и реакции на нее стенок канала. Но момент силы тяжести относительно оси Оа равен нулю, и, следовательно, mz является моментом реакции стенок; последний же равен по величине и противоположен по знаку искомому вращающему моменту m *,отнесенному к одному каналу колеса; получаем

*dKz

加之=一mz =yr- •

Остается вычислить dKz. Жидкость, заполняющая в момент f канал abed (рис. 306) к моменту t -\- dt получит некоторое перемещение, причем частицы, находившиеся в сечении ab, займут положение a/i； частицы, занимавшие положение ed, окажутся в

Обозначим через М секундный массовый расход, т. е. массу жидкости, протекающую через канал в единицу времени.

В момент времени / главный момент количеств движения частиц жидкости в канале относительно вертикальной оси (перпендикулярной к плоскости чертежа) можно представить состоящим из двух слагаемых:

главного момента количеств движения К； жидкости в объеме abaibi；

главного момента количеств движения в объеме a\b\ed.

Если обозначить через с】 абсолютную скорость жидкости (относительно Земли, а не относительно вращающегося канала) при входе в колесо, то при обозначениях, указанных на рис. 304, получим

К'2 = М dt r^c^cos аи

В момент времени / + dt главный момент количеств движения жидкости, занимающей теперь объем axbxexd^ будет слагаться из:

главного момента количеств движения 曬 частиц жидкости в объеме ed&di：

К； = М dt 厶。2cos а2»

причем。2 — абсолютная скорость жидкости в выходном сечении канала;

главного момента количеств движения жидкости в объеме U\b\ed.

Считая угловую скорость турбины постоянной и движение установившимся, мы должны принять, что скорости и, следовательно, моменты количеств движения жидкости в объеме a^\ed одинаковы для двух рассматриваемых моментов времени / и / + d£ Поэтому приращение dKz момента количеств движения за промежуток времени dt будет обусловлено только разностью моментов количества движения объемов ede\d\ и a^〃i仇.Получаем

dKz = К； — К； = М 由(qG cos а2 — r{c{ cos %);

отсюда находим искомый вращающий момент

т* =—号1 = М &£ cos а, — r2c2 cos %)・(83)

Вращающий момент оказывается не зависящим от формы канала и обусловливается значениями величин и направлений абсолютных скоростей жидкости во входном и выходном сечениях. Формула (83) дает выражение момента, вращающего турбину, если под М подразумевать секундный массовый расход жидкости через все каналы колеса турбины.

Аналогично тому, как это было сделано в конце предыдущей главы (в конце § 110), применим теорему об изменении момента количеств движения системы к произвольному объему т, ограниченному поверхностью о. Замечая, что момент количества движения элемента объема 6т относительно некоторого центра О будет равен г X ^ б^ = r X р^ бт, где г, по предыду-

щему, вектор-радиус элемента объема 6т, будем иметь выражение главного момента количеств движения в виде суммы (интеграла)

К == (г X pv) 6т.(84}

(т)

Сохраняя обозначения F и рп для плотностей распределения внешних объемных сил по объему т, а поверхностных сил (напряжений) по поверхности, будем иметь векторное представление теоремы об изменении момента количества движения в движущемся объеме т:

^=^\^Х^^-\Г><^^+ 卜 Х"№ (86> (т) (т) (о)

Интеграл, стоящий в левой части этого равенства, в развернутом виде может быть записан так:

4 JrXpvdr==、&Хp 黑)凯 +

(т)(т)

+\黑 Xp06t+ \夕义？^3北)，

Заметим, что второй интеграл в правой части здесь равен нулю, так как dr/dt = v, а иХи = 0. Третий интеграл также равен нулю в силу равенства d(pbi:)/dt = 0, выражающего закон сохранения массы 6m = рбт.

Таким образом, получим

^ J(r Xpv)6x= \ (г Хр-^7)бт.(86)

(т)(т)

Сложнее обстоит дело с преобразованием интеграла по поверхности \ г X р九 6。 в интеграл по объему. Используя равенство (О)

Коши (§ 30), будем иметь в проекциях на оси координат с единичными векторами i, /, k

W х р〃)0о = \ т х м)* 6° н \【утр%—名 gp)j ”，

(a)(a)

7 Л. Г. Лойцянский, А. И. Лурье

или, вспоминая определение произведения вектора на тензор «слева» (§ 33),

\ (「X Рп)х 6о =

(О)

=\ [у ^xpxz + nypyz + 九zPzz) — Z SxPxy + ПуРуу + ^JPz^\ 6。=

(0)

=\ [nx (ypxz — zpQ + Пу (ypyz — zpyy} + пг(ургг — zpzy)] Sa. 9)

Применяя в правой части формулу Гаусса — Остроградского преобразования интеграла по поверхности в интеграл по объему (§ 37), перепишем предыдущее равенство в форме

\&ХР)6。=

W露卜%W露卜%=\ 後(ypxz — ^Рху) + 言(ypyz — ^Pyy) + 显(yPzz — (т)

W露卜%

W露卜%

откуда, замечая, что ду/ду = dz/dz = 1, a dy/dz = dz/dy = О, получаем

\ & Хр)6ог =

fa)

=警+警+礬)Т(符+符+符)+

+ Pyz — Pzy] 6t.

Напомним формулы проекций DivP на оси координат:

Div/Div/^Рху ^Руу . dpZy0% 十 dy 十 dz^Рху ^Руу . dpZy0% 十 dy 十 dzD1V^ = T- + -WD1V^ = T- + -W

Div/

Div/

^Рху ^Руу . dpZy0% 十 dy 十 dz

^Рху ^Руу . dpZy0% 十 dy 十 dz

D1V^ = T- + -W

D1V^ = T- + -W

Тогда предыдущее равенство приведется к виду

“夕 X Р)6。= J[(rX Div 尸)％ + pyz 一 р2у] 6т

(0)(①

и аналогично в проекциях на другие оси:

“г X pqge = \ "义 Div「％ + %* — РхЛ 6%

（。）

5(r X Pn)z 6。= \ 口 X Div P)z + pXy — p”] St. (a)(t)

Умножая обе части этих трех равенств соответственно на единичные векторы осей координат it j, k и почленно складывая результаты, находим

^(гХрп)6о =

(о)

=W X Div Р) йт+ \ [(ру, — pq i + (県—Pxz) / + (Т)(т)

+ (рху - Рух)用 6t. (87)

Вернемся к основному уравнению (85). Подставляя в него выражения (86) и (87) интегралов, стоящих в левой части и на последнем месте в правой части, получаем

止Х(Р 需— PF —DivP)]bt =

(Т)

=\ K&Z — Р”)i + (Pzx — Pxz) j + (Pxy — P”)同 6т>

Величина, стоящая в круглых скобках в левой части, обращается в нуль в силу уравнения динамики《в напряжениях» [уравнение (86) гл. XXII], так что левая часть предыдущего равенства равна нулю. В силу произвольности выбора объема t предыдущее равенство приведется к векторному равенству

{pyz — Pzy)力 + (pzx — P%z) / + (Pxy — Pyx)左=0

или к равенствам в проекциях

Pgz = Pzy> Pzx = Pxz， Рху = Pyx， (88) в которых нетрудно узнать уже знакомые нам по § 31 выражения теоремы о взаимности касательных напряжений или условия симметричности тензора напряжений, справедливые как в статике, так и в динамике сплошной среды при отсутствии, конечно, распределенных объемных пар, о чем уже упоминалось в§ 31.

Итак, теорема об изменении момента количества движения системы дала три дополнительных равенства (88). Это приводит к уменьшению числа неизвестных в уравнениях динамики 《в напряжениях» на три, что все же сохраняет его незамкнут тость, о которой шла речь в конце предыдущей главы.

Глава XXIV

ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ

§ 123. Работа силы. Мощность

Для характеристики действия силы на материальную точку на протяжении некоторого пути вводится мера этого действия, называемая работой силы.

Работа W силы 尸，имеющей постоянные величину и направление, на прямолинейном перемещении и определяется как про- Zb изведение величины 尸 силы на величину и ь перемещения и на косинус угла а между ними, т. е. (рис. 307)

W = Fu cos а.(1)

Если сила перпендикулярна к перемеще- “ нию, то а = л/2, cos а = 0 и работа равна

Рис. 307. нулю; если сила направлена по перемещению, то а = 0, cos а = 1 и работа равна произведению величины силы на величину перемещения, и, наконец, если сила направлена против движения, то cos а = —1, работа равна произведению величины силы на величину перемещения, но произведение уже берется со знаком минус. Таким образом, в определении работы учитывается зависимость эффекта действия силы от направления ее по отношению к перемещению. По определению (1) работа равна скалярному произведению век

торов силы и перемещения:

(2)(2)W = Р • и.

(2)

(2)

Измеряется работа в джоулях (Дж), равных 1 Н-м.

Отметим некоторые свойства, непосредственно следующие из определения работы как скалярного произведения силы и перемещения.

Работа постоянной по величине и направлению силы F, имеющей проекции F%, Fy, Fz на оси Oxyz, на перемещении и с проекциями “%, 〃打 иг на те же оси равна

取=F*Ux + FyUy + Fzuz.

Работа равнодействующей нескольких сил, приложенных к движущейся точке, равна сумме работ слагаемых сил на общем для них перемещении точки приложения сил. Если к точке, совершающей перемещение 〃， приложены силы 尸卜 尸2, F3, ... с равнодействующей R, то работа равнодействующей равна

11^ = /?，〃=(尸1 + f2 + 尸3+ •••)•我 =

=尸1 •〃 +f2・〃 +f3・〃 +…=吃+%+ %+・・・・

Работа силы на совокупности последовательных переме

перемещении.перемещении.щений равна работе силы на результирующем

перемещении.

перемещении.

Доказательство аналогично предыдущему.

Данное выше определение работы обобщим на случай силы, переменной по величине и направлению, и криволинейного пути. Характер этого обобщения основан на общих приемах анализа бесконечно малых.

от s, и элементарное ds определится бескоот s, и элементарное ds определится бесконечно малым векторомнечно малым векторомСначала введем в рассмотрение понятие элементарной работы. Будем определять положение точки М на кривой 〃1〃2 (рис. 308) дугой s, отсчитываемой от точки М{. Вектор-радиус г точки М будет вектор-функцией r(s) перемещение по бесконечно малой дуге

от s, и элементарное ds определится беско

от s, и элементарное ds определится беско

нечно малым вектором

нечно малым вектором

Работа силы 尸 на этом элементарном перемещении, или элементарная работа 8W, определится выражением

6W =尸•"=尸 ds cos a = Fxdx + Fydy + Fz dz. (3)

Работу силы на конечном пути MiM2 найдем как сумму элементарных работ на отдельных бесконечно малых путях, т. е. как интеграл

М2М2

步 1,2 = \ F • dr = \ 尸 cos a ds.(4)

Индексы при W показывают, что работа вычисляется на пути от положения Afi до положения М2. Интегрирование в выражении (4) производится по величинам, отнесенным к бесконечно малым дугам кривой М\М2. Интеграл (4) называется криволинейным интегралом, взятым вдоль дуги кривой от точки

AG до точки 〃2・ Он определяет циркуляцию вектора 尸几。дуге М\М2. Такие интегралы часто встречаются в различных вопросах механики, гидродинамики и электродинамики. Работа силы на криволинейном пути равна циркуляции силы по этому пути.

Заменив дугу М\М2 замкнутым контуром С, в котором точки М\ и М2 совпадают, получим работу силы 尸 на замкнутом контуре С. Она определяется контурным интегралом

W = ^F-drf(5)

с

носящим название циркуляции вектора 尸 по замкнутому контуру С (в частности, циркуляции силы по замкнутому контуру). Этот интеграл, вообще говоря, отличен от нуля. Случай равенства нулю циркуляции силы по замкнутому контуру рассматривается далее.

Покажем, что вычисление работы по формуле (5) может быть сведено к вычислению простого определенного интеграла. Для этого предположим, что движение точки задано уравнением

X = f 1 (/), у — /2 (0， 2 =『3(/),⑹

и, кроме того, задан закон изменения силы в зависимости от изменения времени, координат и скорости:

尸* =尸1(/；/У, 2；元応2),

尸？=尸2(/； X,弘 N; X, y, z),(7)

尸2 =尸3"； %, y，2； X, », z).

Тогда, написав выражение (4) элементарной работы силы через проекции силы и перемещения на оси координат

取= Fxdx + Fy dy + Fz dz⑻

и подставив всюду вместо х, у, z и х, у, 2 их выражения через время /, получим

^ = F^ %"),以力/⑴；f{^为⑺，%(川г(力由+・・・，

или, вынося dt за скобку,

6m=①⑴成，

где ①(f)——известная функция времени, равная

Ф(0 =巴[С f^^^^F2 [/"1(/)，・・・]%(/) +

Чтобы найти работу на пути М1М2, надо просуммировать значения 6呼；таким образом, будем иметь

rh2= (0听=(ф(/)л,

Mi爲

где fi и 友一моменты, соответствующие прохождению движущейся точкой положений Mi и М2. Задача свелась к вычислению определенного интеграла по аргументу t.

Обозначение элементарной работы через 8W объясняется тем, что символ dW мог бы привести к неправильному представлению об элементарной работе как дифференциале от некоторой функции W. Если бы движение происходило по прямой, например по оси О%, и сила являлась функцией одного только х, то элементарная работа

dW = Fx (х) dx действительно представляла бы дифференциал от величины

В общем же случае выражение

昕=Fx dx + Fy dy + Fz dz

не представляет собой полного дифференциала и символ 6 следует понимать только как символ бесконечно малой величины, а отнюдь не дифференциала.

В дальнейшем будет выяснено наличие частных классов сил, элементарная работа которых является полным дифференциалом некоторой функции от координат точки.

Желая охарактеризовать работу с точки зрения времени, в течение которого она производится, вводят понятие мощности как отношения произведенной работы к протекшему времени или как работы, отнесенной к единице времени. Обозначая мощность через М можем написать

"=嘗=尸•黑=尸• ^-P^x + Fyvy + Fzvz. (9)

Мощность равна скалярному произведению векторов силы и скорости.

За единицу мощности принят ватт (джоуль в секунду),

Вт= 1 Дж/с.

В случае движения системы точек работу и мощность определяют как сумму работ или мощностей сил, приложенных к отдельным точкам системы, т. е. по формулам

П

吃,2 = £ \〈FtxdKi + Ftydyt + FizdzC，

(10)

N = M(FtxViX + Fiyviy + 尸以 s)

§ 124. Вычисление работы в некоторых частных случаях

Работа силы тяжести материальной точки

и сил тяжести системы материальных точек. Вычислим работу силы тяжести G отдельной материальной точки. Пусть точка М (рис. 309) массы т переместилась по неко-

Рис. 309.Рис. 309.торой траектории L из точки Mi в точку М2. Элементарная работа на перемещение dr будет равна

Рис. 309.

Рис. 309.

6呼=G • dr = G% d% + Gg dy + Gn dz, но при выбранном направлении осей Gx = 0, Gy = 0, Gz = — G = — mg, так что элементарная работа имеет вид полного дифференциала:

dW = -d(Gz).(11)

Полная работа силы тяжести на конечном участке траектории ММ будет равна

U^lf 2 = — \ d(Gz) = G ⑵一z2) = mg (zi — г2).я

Замечая, что разность ординат Zi ——z2 определяет разность высот начального и конечного положений точки над горизонтальной плоскостью хОу (причем эта разность положительна, если точка опускается вниз), можем высказать положение:

Работа силы тяжести материальной точки равна произведению силы тяжести на разность высот начального и конечного положений точки, причем работа положительна, если конечное положение ниже начального, и отрицательна ——в противном случае. В частности, если точка вернется вновь на ту же высоту над горизонтом, то работа силы тяжести будет равна нулю.

Важно заметить, что работа силы тяжести не зависит от формы траектории, по которой точка перешла из начального

положения в конечное; работа определяется весом и начальным и конечным положениями точки. Это свойство силы тяжести оказывается характерным и для широкого класса других сил, которые в дальнейшем получат наименование потенциальных или консервативных^ отметим, что элементарная работа силы тяжести выражается полным дифференциалом некоторой функции координат, и именно поэтому работа на конечном участке оказалась не зависящей от формы траектории.

В случае системы материальных точек работу силы тяжести следует определить как сумму работ сил тяжести отдельных точек, составляющих систему, т. е.

吃二 2 = Е G 一 /2)= ( X G•i = l \i-i /1 7 = 1 /2

Здесь индексы 1 и 2 соответствуют начальному и конечному положениям системы. Вспоминая определение центра тяжести (§ 26)

X Gerrit = G% G = £ Gh i—liel

где %с — ордината центра тяжести, a G = Mg (М — общая масса системы), находим

吃,2 = GQci — 2c2)=MgQci —%2), М= 2 ® (12)

Учитывая, что в данном случае центр тяжести совпадает с центром масс, мы приходим к следующему выводу: работа сил тяжести на конечном участке пути при любом движении системы равна произведению суммарной силы тяжести системы на разность высот начального и конечного положений центра масс системы, причем работа отрицательна при поднятии центра масс и положительна при опускании его. При вычислении работы силы тяжести любую систему материальных точек, как бы ни было сложно ее движение, можно рассматривать как материальную точку, которая находится в центре масс, в которой сосредоточена вся масса системы и к которой приложена сила тяжести всей системы. Это положение еще раз подчеркивает значение понятия центра масс в динамике.

Работа сил, приложенных к абсолютно твердому телу. Пусть силы 尸i,尸2,.・.，Fn приложены к твердому телу в точках Afi, М2,Мп. Выбирая произвольную точку тела О за полюс и обозначая вектор-радиус i-й точки тела через ОМ1 =必 получаем

〃 = "о + 8Х rj,

т. е. перемещение dri точки М равно геометрической дмме перемещения полюса dr0 и перемещения поворота 8 X г： вокруг полюса (0 ——бесконечно малый вектор поворота). Элементарная работа силы 兄 будет

6叫=尸j • dr； = Ff • dr0 + 弓•(8X「；)•

Второе слагаемое, согласно свойству скалярно-векторного произведения, может быть записано в виде

尸「ЗХ4) = 8・(4Х/) = 8・/п。©);

обозначим через d(p бесконечно малый угол поворота тела вокруг его мгновенной оси, т. е. величину вектора поворота. Тогда получим

8 • т0 (用)=т0 (尸» cos (m0, 8) dqp.

Но согласно известной теореме статики проекция момента силы относительно точки на какую-либо ось, проходящую через точку, равна моменту силы относительно этой оси; поэтому предыдущее выражение представляет произведение бесконечно малого угла поворота 力屮 на момент силы 尸『относительно оси L, параллельной мгновенной оси и проходящей через полюс О. Находим

6吃=吕. dа + т0 (吊)•8=巴• dr0+ 加上(居)d(p.(13)

Элементарная работа всех сил будет

• drQ + [ап

Обозначая через V =^ Ft главный вектор совокупности

сил, через т^ ——ее главный момент относительно полюса О и через mL — главный момент относительно оси L, получим

= V • dr*。+ т^о} • 6 = V • dr0 + /n^dcp. (14)

В частном случае поступательного движения твердого тела 6呼=u."，(15)

где dr — элементарное перемещение, одинаковое для всех точек тела. При вращении тела вокруг неподвижной оси (пусть это будет ось On), выбирая за полюс точку, лежащую на оси вращения, получим dr0 = 0 и, следовательно,

6К = /п/屮.(16)

В случае плоского движения твердого тела имеем

6犷=У ・"о + /п/(р,(17)

где 俏2 ——главный момент совокупности сил относительно оси Oz, перпендикулярной к плоскости движения и проходящей через полюс О.

При вращении твердого тела вокруг неподвижной точки вектор 6 бесконечно малого поворота определяется, как следует из § 61, следующей формулой:

^ — kd^^ndb + k'd^,

где 瓦 п,肥一единичные векторы соответственно неподвижной оси On, линии узлов ON и подвижной оси On— a dtp, d®, d(p — дифференциалы углов прецессии, нутации и чистого вращения. Получаем

6取=т^ • В = mzd^ + mNd^ + mz dqp, где

mz = m(0) • fe, niN = m(。)•即 m2^ = m(0) • V (18) представляют собой главные моменты совокупности сил относительно трех указанных (не взаимно ортогональных!) осей.

В общем случае движения твердого тела получаем

6W = V • dr*。+ m2d^ + ти d® + mz^d^.(19)

Работа сил, приложенных к твердому телу, выражается через главный вектор и главный момент этих сил. Работа внутренних сил взаимодействия частиц твердого тела равна нулю, так как главный вектор и главный момент этих сил равны нулю.

Работа упругой силы. Остановимся сначала на случае прямолинейного движения, т. е. будем рассматривать схему упругой пружины (§ 95), коэффициент жесткости которой обозначим через с. Вычислим, какую работу произведут упругие силы при растяжении конца пружины на длину f из натурального (нерастянутого) состояния.

Вспоминая, что при удлинении пружины на х проекция силы упругости на ось х равна —сх, получаем

6W = Fxdx = — ex dx = d ^—^")，

и, следовательно, полная работа силы упругости при переходе конечной точки пружины из положения М\ с абсциссой Xi в по・ ложение М2 с абсциссой %2 определится интегрированием;

%2= \ 6r= \ d(一等)=}e(九一碑

Работа силы упругости пружины при переходе конца ее из натурального положения (х=0) до некоторого отклонения f будет равна

%,1 = 一等=一扌月， (20)

где через Р обозначена нагрузка, соответствующая удлинению 力

Работа упругой силы при переходе точки, к которой приложена сила упругости, из положения, соответствующего недефор- мированному состоянию, в данное деформированное оказалась пропорциональной квадрату перемещения. Работу 取о」 можно также выразить как произведение перемещения на силу, равную среднему арифметическому сил упругости до деформации и в конечный момент деформации.

Упругие постоянные материала и геометрические размеры деформируемого тела (пружины) входят в формулу (20) через коэффициент жесткости с. Последний может быть определен как отношение силы Р, приложенной к пружине, к производимому ею статическому удлинению fCT:

Рассмотрим теперь работу силы упругости при движении точки по любой кривой. Предположим, что к точке, выведенной из положения О, соответствующего отсутствию деформации, приложена сила упругости, направленная к центру О и пропорциональная удалению точки от этого центра (рис. 310). Такая сила будет действовать, например, на массу Af, закрепленную на отклоненном от положения равновесия свободном конце упругого стержня (рис. 311), другой конец которого заделан, при

условии, что моменты инерции поперечного сечения стержня относительно любой оси, расположенной в плоскости этого сечения, равны друг другу. (Таково, например, круглое сечение.) Тогда проекции силы упругой реакции изогнутого стержня на две взаимно перпендикулярные оси х, у, лежащие в плоскости поперечного сечения стержня, будут пропорциональны смещениям х, у конца оси стержня:

& = 一 с%,尸？ = — су,

причем постоянная с, одинаковая по условию для любых направлений, определится по формуле

где / — длина стержня, J — момент инерции поперечного сечения относительно оси, лежащей в этом сечении, Е ——модуль нормальной упругости.

Обозначая вектор-радиус точки М через г и коэффициент упругости через с, будем иметь

F =—“・(21)

Элементарная работа силы 尸 равна

6№ = F • dr — 一 с (г • dr) = — cd 々° = — cd %.

Подобно силе веса элементарная работа силы упругости представляется полным дифференциалом, а следовательно, работа упругости на конечном участке М\М^ легко вычисляется и оказывается равной

步i,2= \ 6取=_ $ ^^ = ^c(r\-r^(22)

Результат получается аналогичный случаю прямолинейного движения: работа силы упругости при отклонении из недефор- мированного состояния пропорциональна квадрату отклонения от этого состояния.

Как и в случае силы тяжести, работа силы упругости зависит не от траектории, а только от начального и конечного положений точки. Если начальное и конечное положения точки находятся на одном и том же расстоянии от центра, то работа на соответствующем перемещении равна нулю. При удалении от центра работа упругой силы отрицательна, при приближении к центру — положительна.

Аналогичным путем определяется работа упругих сил при кручении. Если сечение упругого вала (проволоки, нити) закру-

чено на угол ф по отношению к недеформированному сечению, то образующийся в этом сечении момент упругих сил относительно оси вала пропорционален углу кручения, т. е.

也=一询，

где коэффициент k зависит от упругих свойств тела, геометрических размеров сечения и его положения, причем знак минус показывает, что момент всегда создает вращение, противоположное закручиванию (упругие силы стремятся восстановить равновесие). Элементарную работу момента кручения найдем по формуле (16):

6К =—初 dqp,

и, следовательно, полная работа при кручении от начального угла ф! до конечного угла(р2 будет

что аналогично выражению (22).

§ 125. Кинетическая энергия системы материальных точек.Теорема Кёнига

Мера движения материальной точки, называемая кинетической энергией, определяется формулой

T^^mv\(23)

в которой через m и v обозначены соответственно масса и величина скорости рассматриваемой точки. Очень часто кинетическую энергию называют живой силой (лучше избегать этого термина, так как речь идет не о силе, а об энергии).

Кинетической энергией системы материальных точек называется сумма кинетических энергий всех входящих 6 систему точек

Тп^Е 色吟(24)

Кинетическая энергия, согласно этому определению, является существенно положительной величиной, обращающейся в нуль лишь в том случае, когда скорости всех входящих в систему точек обращаются в нуль, т. е. в случае покоя системы

Так как квадрат величины вектора может быть представлен как скалярное произведение вектора на самого себя, то формулы

и (24) могут быть переписаны в виде

Г = у mv • и(25)

в случае одной материальной точки и

т = ^^ ms • Vi(26)

в случае системы материальных точек.

Как это следует из определения (23), за единицу кинетической энергии следует принять

кг• м2/с2 = 1 (кг-м/с2) -м = 1 Н-м = 1 Дж, т. е. ту же единицу, что и для работы.

При вычислении кинетической энергии оказывается полезным прием разложения движения системы на поступательное движение ее вместе с центром масс и относительное движение вокруг центра масс. Докажем следующую теорему:

Кинетическая энергия системы материальных точек равна сумме кинетической энергии всей массы системы, мысленно сосредоточенной в ее центре масс и движущейся со скоростью центра масс, и кинетической энергии системы в ее относительном движении по отношению к поступательно движущейся с〃- стеме отсчета с началом 6 центре масс:

T = ±Mvl + Tf.(27)

Эта теорема была установлена голландским математиком С. Кёнигом (1712—1757).

В формуле (27) через М обозначена масса всей системы^ через и。— скорость ее центра масс; кинетическая энергия системы в ее относительном движении равна

7=营2色(峭2，(28)

i = 1

где 呼)一величина скорости массы т/ по отношению к снсте- ме, поступательно движущейся с центром масс.

Отбросим сначала предположение, что начало О поступательно движущейся системы 0хгуг2! взято в центре масс движущейся системы материальных точек.

Абсолютную скорость s точки системы представим как геометрическую сумму ее относительной скорости и「 в системе Ox,y,z/ и переносной скорости 叫％「е. скорости точки системы, через которую в рассматриваемый момент проходит точка М;

при поступательном движении системы скорости всех ее точек одинаковы; поэтому, обозначая через v0 скорость начала О этой системы, имеем

и£)= %(29)

и далее

4 =呼 + %•(30)

Подстановка этого выражения в (26) дает

т=$ 2 但(吸+%)・(齊)+%)=

nnn

=42^ (吸))2+Xm部。•叩+$ 2色唸

n

Теперь, заметив, что £ 色=乂，вынося за знаки сумм множи

тели, не зависящие от i, и воспользовавшись обозначением (28), получим

т R т‘ + % ・ 2 /и?) + ± м啥(31)

Преобразуем выражение суммы, стоящей во втором слагаемом в правой части этой формулы. Для этого вспомним, что по формуле (20) § 104

Л

£ 色匕=м (%-%)・(32)

С другой стороны, при поступательном движении системы Oxfyfzf

吸=%(33)

Поэтому, продифференцировав выражение (32) по времени и заметив что

гС~ ^С> Го = Vq,

где vc ——скорость центра масс, а и° ——скорость начала системы отсчета, получим

g 乙吧=м (% - %)= 〃吧，(34)

где ”^), согласно (30), представляет собой скорость центра масс по отношению к движущейся системе Ох'у%. Подстановка в

приводит теперь к соотношению

T^Tf+Mv^ 砲)+ 4М晞(35)

Это представление выражения кинетической энергии в ряде случаев может оказаться полезным, но чаще всего хледует предпочтительнее принять за начало отсчета подвижной системы осей центр масс движущейся системы; тогда

% = %，吟)==0,

и из (35) получаем теорему в вышеприведенной формулировке (27)1

Отметим, что в (35) через 7V обозначена кинетическая энергия системы в ее движении относительно поступательно движущейся системы с началом в точке О, а в (27) — такая же величина, но при условии, что началом системы отсчета является центр масс.

Кинетическая энергия абсолютно твердого тела

Ограничимся рассмотрением простейших случаев движения твердого тела. В случае поступательного движения твердого тела, обозначая через и скорость, одинаковую для всех точек тела, согласно формуле (24) находим

7=加陋匸扌合2色==千"炉，(зe)

Z« 1j = l

где M — масса тела.

В случае вращения тела вокруг неподвижной оси Oz, обозначая угловую скорость через ① и расстояние элементарной массы mi от оси вращения ——через Л/, имеем

S =叫， и формула (24) дает

7=扌2乙З也)2游2加阳=4 ,户，(37)

iTл

где /z — момент инерции тела относительно оси вращения.

В случае плоского движения твердого тела относительным движением по отношению к поступательно движущимся осям является вращение тела с его угловой скоростью ①.Поэтому, поместив начало поступательно движущейся системы в центр

масс тела С, можем применить для вычисления величины Т- входящей в выражение (27), только что полученную формулу (37):

где /，)一 момент инерции тела относительно оси, перпендикулярной к плоскости движения и проходящей через центр масс. Применив (27), найдем

7 = ^m吟 + ^/e02.(38)

Эту формулу можно преобразовать к виду, более удобному для некоторых приложений. Напомним, что

где PC — расстояние между мгновенным центром скоростей Р и центром масс С; заменив /产 на Мр{ найдем

Т =4 矶1+(济У] %(39)

где рс — радиус инерции относительно оси, перпендикулярной к плоскости движения и проходящей через центр масс.

Величина

卩с = М [1 + (系)]'(4。)

не зависящая от скоростей точек тела, называется массой, приведенной к центру масс; воображаемая масса 卩& движущаяся со скоростью центра масс, имела бы ту же кинетическую энергию, что и тело в рассматриваемом плоском движении. Так как мгновенный центр меняет в процессе движения свое положение, совпадая с различными точками фигуры, то отрезок PC изменяет свою длину, зависящую от положения фигуры, т. е.卩。не является постоянной величиной.

В некоторых случаях за начало поступательна движущейся системы осей принимают не центр масс, а какую-либо другую точку тела О, совершающего плоское движение. Тогда по (35) будем иметь

Т = }竺心2 + ^ М% + m% .吟)，(41)

где 吩一момент инерции тела относительно оси, перпендикулярной к плоскости движения и проходящей через точку О,

Рис. 312.Рис. 312.личинуличину卩о = Л1[1+("^) ±2-^ sin а]卩о = Л1[1+("^) ±2-^ sin а](44)(44)

Рис. 312.

Рис. 312.

личину

личину

卩о = Л1[1+("^) ±2-^ sin а]

卩о = Л1[1+("^) ±2-^ sin а]

(44)

(44)

Вектор v^} представляет вращательную скорость центра масс С, когда за полюс фигуры, совершающей плоское движение, принята точка О (рис. 312). Поэтому

% •吸)=% ・ 3 义 〃с) = s ^rfoc X %)・

где ГрС ——вектор-радиус точки С по отношению к полюсу О.

Предположим (рис. 312,а), что вектор и。отклонен от вектора Г0С на угол а (меньший л) в сторону вращения фигуры

(или ——во втором случае —— в сторону, противоположную этому вращению: рис. 312, б). Тогда вектор rfoc X %, равный по величине /•[e師汕 a = 0e • % sin а, будет иметь направление вектора (о (противоположное вектору (о во втором случае). Итак,

% •曉)=± ОС • a)uosin а, (42) причем верхний или нижний знак нужно выбирать в соответствии со сказанным

выше. Замечая, что ①=ирОР、где ОР — отрезок, соединяющий полюс О с мгновенным центром скоростей Р, получаем по (41)

Т = ^ Mv^\ + (-^г) ±2器 sin а], (43)

где ро — радиус инерции тела относительно оси, перпендикулярной к плоскости движения и проходящей через полюс О. Ве

можно назвать массой, приведенной к полюсу О.

При аналитическом рассмотрении плоского движения положение фигуры, как известно, задается координатами х0, у0 полюса О и углом поворота ф. Тогда

。0% = 土0, VQy = ^0， о = ф.

Обозначая, далее, через 弘 yrQ координаты центра масс в системе осей Ох'у', связанных с плоской фигурой и имеющих начало в ее полюсе О, получаем

и далее

% •吸)=© (- % Уe +00户2)；

здесь о0х, и vQ , — проекции на указанные оси скорости полюса, равные (§ 55)

%%，= % jos 屮 + vQy sin ср, 。0旷=一 % sin Ф + % cos qp.

Выражение кинетической энергии Т записывается, согласно (41), в виде

7 = *?0)炉 + ^ m (制 + 第 一 m市 (以% - 脸砲.(45)

Оно значительно упростится, если полюс О поместить в центре масс; тогда 力厶=% = 0, и мы получаем

7 = ^啰)02 +^.м (峪 + 兆).(46)

Вычисление кинетической энергии твердого тела, вращающегося вокруг неподвижного центра, а также в общем случае движения твердого тела будет дано ниже, после того как мы разовьем более подробно учение о моментах инерции.

Теорема об изменении кинетической энергии

Теорема об изменении кинетической энергии, или, как еще иногда ее называют, теорема живых сил, связывает изменение кинетической энергии системы точек с работой сил, вызывающих это изменение.

(47)(47)Для вывода этой теоремы сначала в случае одной материальной точки умножим обе части основного дифференциального уравнения динамики точки

(47)

(47)

加"=?

скалярно на элементарное перемещение точки ". Получим m^ - dr = F - dr.(48)

Замечая, что dr = v 力，находим

т 芻 *vdt = mdv*v = d^(v*v} = d 号^ ；

в правой части равенства (48) стоит выражение элементарной работы 6呼；следовательно,

(49)(49)d号-==6%

(49)

(49)

или, вспоминая определение кинетической энергии,

(50)(50)dT = 6W.

(50)

(50)

Это соотношение представляет собой теорему о б из м е нении кинетической энергии материальной точ

Рис. 313.Рис. 313.ки в дифференциальной форме:

Рис. 313.

Рис. 313.

Приращение кинетической энергии материальной точки на элементарном перемещении равно элементарной работе приложенных к точке сил на этом перемещении.

Интегрируя уравнение (49) между пределами, соответствующими начальному М】и конечному Мг положениям движущейся точки, и обозначая

соответственно через Vi и v2 скорости точки в этих положениях (рис. 313), получаем

\6步=%, 2，

Mi

ИЛИ

(51)(51)72 -71Пк 1,2,

(51)

(51)

причем через ITi,2 обозначена работа сил, действовавших на точку на перемещении М[М2.

Уравнение (51) представляет собой теорему о б изменении кинетической энергии в интегральной форме:

Приращение кинетической энергии материальной точки на конечном перемещении равно сумме работ сил, действовавших на точку на этом перемещении.

Для ряда приложений имеет значение другая формулировка доказанной теоремы:

Производная по времени от кинетической энергии материальной точки равна мощности действующих на точку сил:

嘉1 — F-v = N.(52)

Для доказательства умножим обе части уравнения (47) ска- лярно на вектор скорости и. Получим

加器• u = F • p = N;

замечая, что

d 加炉 dT

不 2 一 dt，

лриходим к (52).

Теорема об изменении кинетической энергии материальной -точки легко обобщается на случай системы материальных точек. Для этого предположим, что уравнение (49) составлено для каждой точки Mi системы

d -^— = 6%.

Суммируя эти уравнения по всем точкам, включенным в систему, и вспоминая, что кинетическая энергия системы есть сумма кинетических энергий всех ее точек

Г=4Х加觴i-l

получаем п 2 п

Здесь £ bWi представляет собой сумму элементарных работ сил, действовавших на рассматриваемом элементарном перемещении на каждую точку системы. На данную точку действуют внешние по отношению к системе силы ——воздействия на нее со стороны тел, не принадлежащих к системе, и внутренние £илы — воздействия на ту же точку со стороны точек, принад- лежащих к этой системе. Поэтому величина £ 6吃 может быть представлена как сумма двух слагаемых: элементарной работы внешних сил — обозначим ее через 8W — и элементарной работы 6IF внутренних сил. Итак, получаем теорему о б изменении кинетической энергии системы в дифференциальной форме:

dT = 6W + 6W^ (53) т. е. приращение кинетической энергии системы материальных точек на элементарном перемещении равно сумме элементарных работ внешних и внутренних сил, действовавших на систему на этом перемещении.

Интегрируя между пределами, соответствующими двум положениям системы — начальному 1 и конечному 2, — н обозначая

через Ti и ?2 кинетические энергии в этих положениях, получим теорему о б изменении кинетической энергии системы (теорему живых сил) в интегральной форме:

(2)

% — Т] == \ 6步 + \ 6旷=%, 2 + W,2,(54)

)(1)

е. приращение кинетической энергии системы на конечном перемещении равно сумме работ внешних и внутренних сил, действовавших на этом перемещении.

Теорема об изменении кинетической энергии в форме (52) также может быть обобщена на случай системы материальных точек. Получаем

箒=2 尸厂 4 + 2 Г •办="+(55>

，=】f=l

е. производная по времени от кинетической энергии системы материальных точек равна мощности внешних и внутренних силг приложенных к системе.

Пример 107. Определить кинетическую энергию снаряда при вылете из дула орудия, принимая следующие данные ): масса снаряда М = 360 кг, полукалибр R = 0,152 м, радиус инерции снаряда относительно оси вращения рс = 0,735 R, угловая скорость снаряда вокруг оси (начальная)而о = =552 1/с, скорость центра масс (в начальный момент) и。= 800 м/с.

По формуле (27) имеем

Т = 1 М^ + J "Р^硫=粵侬°2 +。，7352 • 0,1522 • 5522) = 1,16 • 108 Дж.

Кинетическая энергия вращательного движения в этом случае составляет лишь 0,6% от энергии поступательного движения.

Полученный результат дает представление об огромной разрушительной работе, которую даже неразрывающийся снаряд может произвести при ударе о препятствие. Товарный поезд в составе 50 груженых вагонов (скорость принимаем 24 км/час, масса груженого вагона 25 т) при двух тепловозах (считаем кинетическую энергию тепловоза равной удесятеренной энергии одного вагона) имеет запас кинетической энергии, равный только 38% энергии снаряда. Это объясняется громадной скоростью снаряда, в два с лишним раза большей скорости звука в воздухе; кинетическая же энергия пропорциональна квадрату скорости.

Пример 108. Груз массы М опускается на канате с постоянной скоростью и0- Определить растяжение каната при мгновенной остановке его верхнего конца, пренебрегая массой каната (рис 314).

Рассмотрим два положения: начальное ——в момент остановки верхнего конца каната — и конечное — в момент остановки груза. В начальном

положении кинетическая энергия системы, если пренебречь массой каната, равна

а в конечном положении кинетическая энергия Тг = 0.

При равномерном движении груза со скоростью и。канат растянут грузом на некоторую длину fCT (статическая деформация), определяемую соотношением

с/ст = G = Mg.

После остановки верхнего конца каната груз продолжает двигаться растягивая канат. Обозначим через у смещение груза, отсчитываемое от его положения в момент остановки верхнего конца каната, и через f〃 дополнительную деформацию каната к моменту остановки f 、 груза (динамическую часть общей деформации каната). Тогда [работа приложенной к грузу упругой реакции каната будет

УЖуравна

(『ст+ у) — С 0с"д+ В)，

/0

Работа силы тяжести G на рассматриваемом участке равна Gfn = ^§fji = с『с"д・

о Применяя теорему об изменении кинетической энергии, находим

k1 f

Рие. 314.-71 = mg&_*力_万瑞=_0*.

Подставляя начальное значение кинетической энергии, получаем

= % V 普"•

В канате возникнет дополнительное (к первоначальному статическому) напряжение, которое по известной формуле сопротивления материалов составляет

Замечая, что жесткость каната с равна

EF

получаем

/£ЛГ =

Здесь I — длина свешивающейся части каната в момент остановки верхнего конца его, Ё ——модуль Юнга материала,尸——площадь поперечного сечения каната. Из полученной формулы следует, что опасной является внезапная за-

Т1 = 0, 丁2 =万 Л®2,Т1 = 0, 丁2 =万 Л®2,начальной ско-начальной ско-SS=[е + m=[е + m3(т + 2Л4)2]d加+ зл£—」s3(т + 2Л4)2]d加+ зл£—」s

Т1 = 0, 丁2 =万 Л®2,

Т1 = 0, 丁2 =万 Л®2,

начальной ско-

начальной ско-

S

S

=[е + m

=[е + m

3(т + 2Л4)2]d加+ зл£—」s

3(т + 2Л4)2]d加+ зл£—」s

держка верхнего конца каната при малом 厶 т. е. в начальный период движения груза; вместе с тем при малом I масса каната будет невелика, и можно довольствоваться полученным приближенным результатом.

Пример 109. Копер представляет собой физический маятник (рис. 315),

состоящий из однородного стержня массы т, на конце которого закреплена тяжелая отливка массы М; длина стержня от оси вращения до центра тяже* сти отливки равна / Отливка падает с пренебрежимо малой

ростью из вертикального верхнего положения. Пренебрегая размерами отливки, определить угловую скорость копра в момент прохождения через нижнее положение равновесия и усилие в стержне в этот момент времени

Для определения угловой скорости со стержня в момент прохождения через нижнее положение равновесия применим теорему об изменении кинетической энергии. Имеем

где момент инерции /г системы относительно оси вращения слагается из момента инерции стержня Vs^Z^ и момента инерции отливки, равного M〃. Работа силы тяжести стержня и отливки равна

吃，2 = (他+ 2m)依.

Находим

6 (他 + 2М) gtn + ЗМ /

Максимальное натяжение S будет иметь место в сечении стержня, при- мыкающем к оси вращения. По теореме о движении центра масс С системы

(М + /и)叱==£ /;

z=i

проектируя это уравнение на главную нормаль к траектории в момент прохождения системой нижнего равновесного положения, получаем

(他 + М)生①2 ^-^mg-Ms + S(М = 2^^)" ")•

Отсюда имеем

S = (m + M) (g + h^

или (после подстановки приведенных выше выражений для о)2 и 九冷

Пример ПО. Цепь шахтного подъемника (рис. 316) приводится в движение воротом, находящимся на одном валу с электромотором. Определить мощность электромотора ^, принимая следующие данные: подъем груза весом Gi начинается с ускорением ⑪；достигнув значения Umax, скорость груза далее остается постоянной. Диаметр ворота 2人 диаметры блоков 2包 2门,

момент инерции ворота 厶，моменты инерции блоков /2 и /з, вес поднимаемой ©I, вес опускающейся вагонетки G2, вес единицы длины цепи д, общая длина цепи /・ Моменты инерции даны относительно осей вращения соответ-

вагонетки с грузомвагонетки с грузомРис. 316.Рис. 316.ствующих тел.

вагонетки с грузом

вагонетки с грузом

Рис. 316.

Рис. 316.

Теорема об изменении кинетической энергии, написанная в форме (55), дает

-~j- == N — (Gi — С?2)а

где второе слагаемое в правой части представляет мощность сил тяжести. При этом предполагается, что центр тяжести цепи сохраняет при ее движении неизменное положение, так что работа силы тяжести цепи равна нулю. Подставляя значение

/2/2Gi + G? + gZ . /1^ 若若Gi + G? + gZ . /1^ 若若噥尸噥尸и замечая, что 0 =叫 получаем

/2

/2

Gi + G? + gZ . /1

^ 若若

Gi + G? + gZ . /1

^ 若若

噥尸

噥尸

2 =[(色十『." + ? +

+ "^ + -^) ® + Gi — G2] и.

В период установившегося движения с постоянной скоростью и = Umax имеемtt> = 0,^ = (Gi •— Сг) Ощах。

§ 128. Потенциальная энергия силового поля

Среди сил разнообразной природы, с которыми приходится иметь дело в механике, особое место занимает класс сил, величина и направление которых зависят только от положения точки пространства, в которой находится рассматриваемая материальная точка, или от взаимного расположения взаимодействующих точек.

Примером может служить сила тяготения двух точечных масс, обратно пропорциональная квадрату расстояния между этими массами и, следовательно, зависящая от их взаимного расположения. Точно так же сила, действующая на электрически заряженную частицу в электростатическом поле, зависит лишь от положения частицы в этом поле и также принадлежит к рассматриваемому классу сил. В качестве еще одного примера можно привести упругие силы.

Если точка или система точек движется в пространстве под действием сил, однозначно определяемых положением тех точек пространства, 6 которых 6 данный момент находятся точка или система, то говорят, что точка или система движутся 6 силовом поле.

Силовое поле может быть как одинаковым в разные моменты времени, так и изменяться с течением времени. В первом случае поле называется стационарным, во втором — нестационарным. Так, например, силовое электростатическое поле вокруг заряженного тела будет стационарным, если заряд тела постоянен во времени, и нестационарным в противоположном случае. В дальнейшем будут рассматриваться лишь стационарные силовые поля.

Класс сил, зависящих от положения, принципиально отличается от сил, зависящих от скорости, каковы силы сопротивления среды движению в ней тела или сила, с которой магнитное поле действует на движущийся электрический заряд.

Это различие выражается в том, что проекции силы F, с которой силовое поле действует на движущуюся в нем материальную точку, являются наперед заданными функциями координат:

% =巳：(尤,巩 z)，Fy = Fy(x,y,z),尸2 =忆(%,协2) (56)

независимо от того, какое движение совершает материальная точка 6 этом поле.

Через точку поля М проведем вектор силы F, с которой поле действует в этом месте на данную материальную точку. Возьмем на направлении этого вектора смежную точку М‘，через нее проведем соответствующую ей силу F' и т. д. (рис. 317); получим ломаную ММ^М^ ..., которая в пределе при неограниченном сближении смежных точек М, М‘，М", ... превращается в кривую, называемую силовой линией поля. Согласно этому определению сила, действующая 8 силовом поле на точку, направлена по касательной к силовой линии, проходящей через данное положение движущейся точки.

Через каждую точку поля можно провести единственную силовую линию *), и поле можно считать заполненным силовыми линиями. По силовой линии будет двигаться в первый момент точка, если ее отпустить без начальной скорости.

Пусть в заданном равенствами (56) силовом поле движется материальная точка М, При переходе точки из положения Mq

в положение М совершается, по предыдущему, работа

мм

%"== \ F -dr = ^ (Fxdx + Fydy+ Fzdz). (57) MoMo

Криволинейный интеграл, стоящий справа, в общем случае силового поля зависит от формы траектории, по которой точка переходит из положения Мо в положение М. Но уже в § 124 было отмечено существование сил (сила тяжести, упругая сила), работа которых не зависит от траектории точки, а определяется только координатами ее конечного и начального положений.

Докажем общую теорему:

Необходимым и достаточным условием того, чтобы работа силы 尸 не зависела от формы траектории материальной точки е силовом поле, а определялась только конечным и начальным положениями точки 8 этом поле, является существование однозначной функции координат, частные производные которой по х, у, г равны проекциям силы 尸 на соответствующие оси координат.

Обозначим эту функцию через —Л (%, у, г).

Таким образом, указанные условия имеют вид

%=一*，乙=一需，也=-吟. (58)

Как известно из § 75 т. I, эта система равенств эквивалентна одному векторному равенству

Г = — gradll.(59)

Функция П(х, у, а) называется потенциалом или (происхождение второго термина станет ясным в дальнейшем) потенциальной энергией силового поля, а само силовое поле при этом —— потенциальным.

Предполагается, как указано, что функция И (%, у, z) определена единственным образом в любой точке рассматриваемой области изменения переменных %, у, z, т. е. однозначна. Так, например, из рассмотрения исключается выражающая полярный угол точки функция 屮=arctg(y/x), принимающая в любой точке, отличной от точки х = 0, г/ = 0, в которой она не определена, бесчисленное множество значений, отличающихся целым кратным 2л.

Достаточность условий (58) доказывается тем, что при соблюдении их выражение (57) работы 取°」принимает вид

мм

= - \ (靄+瑞+謂"2)= - \ dll,

MqMo

где dn ——полный дифференциал потенциальной энергии. Обозначая через %, у, г координаты точки М и через %о, f/o, No — координаты точки Mq и замечая, что интеграл от полного дифференциала функции равен разности значений ее при значениях переменных, соответствующих верхнему и нижнему пределам, получаем

^о,1 = П (%о, %, No) — П (х, у, z)・(60)

Таким образом, работа действительно оказалась зависящей не от траектории перехода точки из положения Мо в положение М, а только от координат, определяющих эти положения. Фиксируя начальное положение Мо, можно сказать, что работа является в рассматриваемом случае функцией координат х, yt z конечного положения точки.

Следствием предположения об однозначности потенциальной энергии является обращение в нуль работы при совпадении начальной и конечной точек пути интегрирования. Работа в 〃о・ тенциальном силовом поле по любому замкнутому пути равна нулю. Этот признак может быть принят за определение потенциального силового поля. Можно сказать также, что циркуляция вектора силы по замкнутому контуру в потенциальном поле равна нулю.

Для доказательства необходимости следует предположить, что

м

^0,1= \ (尸* dx + Fydy + Fz dz) = — 口 (x, у, 2)十 Л (%。，％, %), м°(61)

и доказать справедливость равенств (58).

Зафиксировав положение Мо, рассмотрим работу %, г на пути MqMM\ где Мх — точка, бесконечно близкая к Л4 и имеющая координаты (% + dx, у + dy, z + dz). По (60) будем иметь

/о,「= \ (^х ^ + Ру dy + Fz dz)=

Mo

=—口 (％ + d%, 5 + dy, a + dz) + n (的，％, w)・

Разность работ IFo, r ——步о, i представляет собой элементарную работу на пути ММ^:

dW —Fxdx + Fy dy + Fzdz =

=—口 (％ + d%,学 + d协 z + dz) + 口 (x,弓，г)

Но величина справа с точностью до малых высших порядков равна полному дифференциалу —dll:

Fxdx + Fydy + %dz = — dH =—(謂 d% + 謂 ％ + 吟dz),

(62) или

(匕 + ->)^+(^ + O dy+ (% + 吟)dz = 0.

Дифференциалы dx, dy, dz независимы друг от друга; можно, например, взять dy = 0, dz = 0, dx =/= 0, что соответствует смещению конца пути интегрирования в интеграле (60) на бесконечно малый отрезок, параллельный оси х. Тогда из преды* дущего равенства получим

(尸х +需)

отсюда, поскольку d%#=0, получаем первое из равенств (58). Аналогично приходим к двум остальным равенствам, что и доказывает теорему.

Из соотношения (60) следует, что работа силы в потенциальном силовом поле при перемещении точки из некоторого начального положения (0) в конечное (1) равна уменьшению (падению) потенциальной энергии между этими двумя положениями точки.

В выражение работы потенциальная энергия входит как разность ее значений в двух точках. Поэтому потенциальную энергию можно определять с точностью до некоторой аддитивной постоянной, значение которой совершенно произвольно. Распоряжаясь этим, выберем значение потенциальной энергии в начальном положении точки (0) равным нулю, т. е. примем

п (%о, %, No) = 0.

Тогда, переписывая (60) в виде

И(X, у, 2)= — Mo, 1 =听1, о，(63)

заключим, что потенциальная энергия в данной точке равна работе, которую совершили бы силы поля при перемещении точки из данного положения в начальное.

Элементарная работа потенциальной силы по (61) равна взятому со знаком минус полному дифференциалу функции П. Поэтому, если вычисление элементарной работы приводит к выражению, являющемуся полным дифференциалом, то сила будет потенциальной.

Вспоминая введенную в § 75 т. I операцию вихря rot а, можем на основе известного тождества

rot grad qp = O

записать условие потенциальности силового поля в форме rotF = О,

или в проекциях на оси координат d 尸〃dFz dFz dFx dFx dF^/、

dz —ду' дх— dz1 ду— дх '''

Рассмотрим однопараметрическое семейство поверхностей

П (х, у, z) = const = С.(65)

На каждой из таких поверхностей, соответствующей некоторому фиксированному значению параметра С, потенциальная энергия сохраняет одно и то же значение С. Такая поверхность называется поверхностью уровня потенциальной энергии или изопо- тенциальной поверхностью.

Возьмем какую-нибудь точку Mi с координатами %卜 勿,z】 и проведем через нее изопотенциальную поверхность. Уравнение такой поверхности будет, очевидно,

п(X, У, 2)= 口 (尤 1，У1，21)・(66)

Через каждую точку силового поля можно провести поверхность уровня потенциальной энергии, так что все поле будет заполнено поверхностями уровня. Из соотношения (60) теперь следует, что работа в потенциальном силовом поле не зависит не только от траектории, но также и от точного указания начального и конечного положений точки; для определения работы достаточно задать поверхности уровня, на которых точка находилась в начальный и конечный момент движения. Выбирая вновь значение потенциальной энергии на начальной изопотен- циальной поверхности равным нулю, заключим, что потенциальная энергия в данной точке поля равна работе сил при переводе движущейся точки с данной поверхности уровня на некоторую условно《нулевую》поверхность уровня. Таким образом, приходим к заключению, что потенциальная энергия характеризует возможность силового поля совершать работу.

Вспоминая § 75 т. I, где вектор градиента скалярной функции по направлению определен перпендикуляром (нормалью) к поверхности уровня скалярной функции, отложенным в сторону возрастания скалярной функции, а по величине ——производной скалярной функции по положительному направлению нормали (《внешней》 нормали), и принимая во внимание определяющее силу равенство (59), можем заключить, что

в потенциальном силовом поле сила направлена по нормали 内 изопотенциальной поверхности в сторону убывания потенциальной энергии и по величине равна абсолютному значению производной потенциальной энергии по нормали к изопотенциальной поверхности.

В случае системы материальных точек потенциальной энергией называется функция координат (乂，勿，&) точек системы

П (%1，У1，2], %2，У2)之2，• • •，尤九，Уп，^п)>

частные производные которой по координатам точки, взятыа со знаком минус, равны соответствующим проекциям силы, действующей на эту точку:

p 一°口 尸一°口 p —°口

При этом выражение элементарной работы будет

^W = ^ (尸以 d%“・ + Fiy dyt + Fiz d/)= i = l

=一£(疆 5+絹物+(68)

Интегрируя это выражение элементарной работы при перемещении точек системы из некоторого положения 1 в положение 2, получаем

羽 1, 2 == 口1 — 口2・(69)

Работа потенциальных сил при переходе системы из одного положения в другое определяется уменьшением (падением) потенциальной энергии от значения в начальном положении системы до значения в конечном ее положении.

Потенциалы силовых полей

Рассмотрим некоторые простейшие силовые поля.

Потенциальная энергия поля силы тяжести. Выбирая систему координат так, чтобы горизонтальная плоскость на заданном произвольно уровне была плоскостью хОу, а ось Ог была направлена вертикально вверх, будем иметь в случае одной точки веса G (и массы т)

откудаоткуда(70)(71)(70)(71)6W = — dll = — G dz = — mg dz,И = Gz = mgz.

откуда

откуда

(70)

(71)

(70)

(71)

Постоянную интегрирования можно, как было указано, выбрать совершенно произвольно, например опустить.

Потенциальную энергию системы тяжелых точек 財 с весами GI (массами 恤)и ординатами & определим интегрированием равенства 打П

= — du = X (— Gj d/) = £ (— 恤g d/), откуда

П = 2 GgZj = G2c = £ 恤g%i = MgZg(72)

*=it=i

где Zc — ордината центра масс системы, G — сумма весов отдельных точек системы (М — сумма масс этих точек).

Работу силы тяжести при переходе системы из положения 1 в положение 2 найдем по формуле (69):

% 2 = 口1 一 口2 = G (?G - 2c J = Mg (% - ％)(73)

Работа силы тяжести не зависит от траекторий точек системы; поле тяжести — потенциальное поле. Поверхностями уровня будут, очевидно, являться горизонтальные плоскости, силовыми линиями — вертикали.

Потенциальная энергия упруго деформированного тела. В случае растянутой пружины, удлинение которой из натурального (недеформированного) состояния равно х, определяя потенциальную энергию как работу, совершаемую упругими силами при возвращении пружины в неде- формированное состояние, будем иметь оо

П(х) — ^Fxdx = — с \ х dx = ^ с%2.(74)

В этом случае потенциальная энергия упруго деформированного тела пропорциональна квадрату величины, характеризующей перемещение из натурального состояния. Точно так же потенциальная энергия скрученного стержня определяется формулой 口 = ^月廿，(75)

где k ——жесткость при кручении, <р ——угол кручения между крайними сечениями стержня.

Рассмотрим точечную массу, закрепленную в точке некоторой упругой конструкции, которая может состоять из пружин, стержней, плит и т. п. Предположим, что начало координат помещено в этой точке при натуральном состоянии конструкций. При малом отклонении массы из начала координат в точку

8 Л. Г. Лойцянский, А. И. Лурье

с координатами х, у, е возникнет упругая реакция, проекции которой на оси координат, согласно закону Гука, будут линейными функциями координат:

尸% = - @1% + %2y + "132)，尸y = 一(@21% + a22у +a23z)，

Fz = — @1% + %2^ + 的3之)・(76)

Коэффициенты а” зависят от размеров элементов конструкции, упругих постоянных их материалов и выбора направлений осей взятой системы координат. Они обладают важным свойством взаимности

^12 = ^21,@23 = @32, 旬=。⑶(77)

являющимся следствием потенциальности упругих сил. Действительно, для потенциальных сил имеют место соотношения (64), первое из которых в нашем случае дает

dFxdF

—%2 =~з^ = —〃21, т. е. 。12=&1・

Аналогично получаются остальные равенства (77).

Чтобы найти выражение потенциальной энергии, проинтегрируем ее полный дифференциал:

"И = — (% dz + Fydy + Fz dz) = (аих +。训 +。経)dx 十

+ (@21% +@22y +a23%)dy + 33М +а32y +a33n)血 и получим

П = у Q1%2 + 2a12%У + 2@13%Z + a22y2 + 2a23" + ^зз^2)-(78)

Таким образом, потенциальная энергия упругой конструкции, подчиняющейся закону Гука, является однородной квадратичной формой координат точки, отсчитываемых от положения ее при недеформированном состоянии конструкции.

Принятое выше физическое допущение, что упругие силы потенциальны, является выражением свойства идеально упругого тела накоплять при постепенном нагружении потенциальную энергию и возвращать ее без потерь, когда тело вернется в исходное натуральное состояние при постепенном разгру жении.

Как пример рассмотрим стержень, нижний конец которого заделан (рис. 311). При сообщении верхнему концу малого перемещения g в направлении одной из главных осей инерции поперечного сечения *) возникает упругая реакция, направлен-

ная противоположно смещению и пропорциональная ему по величине; такое же явление будет иметь место, если сообщить концу стержня малое перемещение п в направлении второй главной оси. Таким образом, на точечную массу, закрепленную в конце стержня, при смещении ее в положение с координатами 邑 п в плоскости, перпендикулярной к оси стержня в не- деформированном состоянии, будет действовать упругая сила F, проекции которой равны

&- 3自，/ =-内斗(79)

Коэффициенты с】и C2 определяются формулами

где /л и /^ ——моменты инерции сечения относительно соответ* ствующих главных осей, I — длина стержня, £ — модуль Юнга. В общем случае, когда J& =/= /“, упругая сила 尸 не является центральной.

Потенциальная энергия изогнутого стержня равна

口 =扌(e甘+办叩)・(81)

Если оси координат х и у не совпадают с главными осями инерции, то по формулам преобразования координат имеем

自=% cos а — у sin а, “ =尤 sin а + у cos а, (82)

где а ——угол оси х с главной осью 自.Выражение потенциальной энергии принимает в соответствии с общей формулой (78) вид

п = y (的1炉+ 2a12第 +。22%2),(83)

где

®i = 3 cos2 a + & sin2 a, a22 = Q sin2 a + 的 cos2 a,%2 = (02 -01) sin a cos a.

Проекции упругой силы на оси х и у поэтому будут [ср. (76) и (77) J

尸 *= - @1%+a12力，几 = 一 (q12 无+022力(84)

Потенциальная энергия системы тяготею - Щих масс. Рассмотрим массу т, находящуюся в точке М с вектор-радиусом г в поле притяжения, создаваемом системой п масс 加〃 находящихся в точках М± с вектор-радиусами п

(рис. 318). На массу т действует совокупность сил

Fj=fmmj£」^ (/== 1, 2,・・.，п),(85)

где f — постоянная тяготения.

Элементарная работа этих сил при перемещении dr массы т равна

fw V— 一

dW = fm^乙恤=

Z = 1X 1j = l]£ I

U _ j加z恤-?加乙矶， £Р一

"吃"乌丁 (86)

Приравнивая это выражение элементарному уменьшению —dll

потенциальной энергии поля, находим

口 = 一师2"*-（87）口 = 一师2"*-（87）ке М・ По этим соображениям выражениеке М・ По этим соображениям выражениегдегдеП//= — /П//= — /m^jт»пгm^jт»пг\ri — r1\ = rn= “S —勺)2 + (勿一勿)2 + ⑵一引)2 ,\ri — r1\ = rn= “S —勺)2 + (勿一勿)2 + ⑵一引)2 ,(88)(89)(88)(89)Каждое слагаемое этой суммы представляет собой потенциальную энергию тяготения, создаваемого точкой массы mi в точке М; но таково же выражение потенциальной энергии тяготения, создаваемого массой т в точ

口 = 一师2"*-（87）

口 = 一师2"*-（87）

ке М・ По этим соображениям выражение

ке М・ По этим соображениям выражение

где

где

П//= — /

П//= — /

m^jт»пг

m^jт»пг

\ri — r1\ = rn= “S —勺)2 + (勿一勿)2 + ⑵一引)2 ,

\ri — r1\ = rn= “S —勺)2 + (勿一勿)2 + ⑵一引)2 ,

(88)

(89)

(88)

(89)

можно назвать взаимной потенциальной энергией системы двух притягивающихся масс mi и 加八 Взаимная потенциальная энергия системы п точечных масс 加卜 加2, ..., тп поэтому будет

n Н万2 2口"=一万屯(У)・(90)

л /-1I /-1 订

Множитель 1/2 нужен потому, что, раскрывая двойную сумму,

мы каждое слагаемое берем дважды (например, задавая i= 1, / = 2 и / = 1, i = 2).

Пример 111. Упругий подвес состоит из стержней OiAfo, O2M0,.,. …，О"И(), соединенных в вершине Af0 и прикрепленных с помощью сферичв- ских шарниров Оь О2, Оп к неподвижной опоре (рис. 319). В начальном состоянии стержни не напряжены и имеют длины /；, /；, /：• Требуется составить выражение потенциальной энергии системы, предполагая, что вершина Mq получила малое перемещение.

При деформации 々-й стержень OkM0 (рис. 320) приобретет удлинение f^ = MqM^ и, совершив малый поворот вокруг центра шарнира 0々，займет положение О左AL Потенциальная энергия этого стержня по (74) равна

口尼=} %或’ck =.

В треугольнике M^MMfk угол М0М^М можно (с ошибкой второго порядка малости относительно угла поворота стержня О斤М。) считать прямым; при этом отрезок M0Mk будет проекцией отрезка М0М. Обозначая через х, yt z a

проекции перемещения М^М на оси неподвижной системы координат с началом в точке Мо и через (%品 6々,丫左 косинусы углов стержня OMq с теми же осями, получаем

& = %"+ ^e+ 2立•

Выралсение потенциальной энергии примет вид

п==Хп^=Tе^ ("" + 卯在 + 2 也)4

尼=1尼《=1

и в соответствии с формулой (78) потенциальная энергия оказывается квадратичной формой координат xt у z точки М, коэффициенты которой

вычисляются по формулам

п

0н = X %哈

尼Н1

n

"12= е e也ae3"也Н1

п

a22= X %唸

@23 = 2 %庇Y 加

013 = 2 /%匕,n

“33 = £ C諸.

k= 1

Пример 112. Найдем приближенное значение потенциальной энергии поля тяготения, создаваемого системой притягивающих масс ти т2,...,加〃， в точке поля М, расположенной на весьма большом расстоянии от этих масс (рис. 321).

Надо рассмотреть выражение (87) при условии, что отношения

в ряд по степеням этого отнешения можно ограничиться небольшим числом членов. Так, сохранив только члены первой и второй степени, получим )

= 7 (1 + V"cos0f + cos2 ^ + …)

и далее найдем

ПП[〃

£ U斤 i/ 十 了 £ m内 c°s 4 一

i=\ 1“ Igl

rtn

i=li=l

Можно представить это выражение в более простой форме, заметив, что

i = l

где М — сумма масс притягивающих тел; далее имеем nмм

У miri COS%=；2 加“2 勺％ / = 1i = l/=1

Эта сумма будет равна нулю, если за начало отсчета векторов г» принять центр масс С системы притягивающих масс 加卜 m2,.・.,тп. Наконец,

n九

-} £ *+^ 2 仰 acos а)?= —z=i

=2 * - ■1 £ 勺(a sin 4)2=2 * ~ *12 色碾

f = li = li»li = l

Согласно формуле (27) § 114

£加用=JCM

представляет собой момент инерции притягивающих масс относительно прямой СМ, проходящей через центр масс и притягиваемую точку. Точно так же

п

X "/=%

力=1

можно назвать полярным моментом инерции притягивающих масс относительно центра масс С.

С указанной выше степенью точности получаем

ППтМтМm(Jc —3/г/см)Т声十m(Jc —3/г/см)Т声十

П

П

тМ

тМ

m(Jc —3/г/см)

Т声十

m(Jc —3/г/см)

Т声十

Этот результат остается справедливым и при непрерывном распределении притягивающих масс, т. е. при рассмотрении притяжения, создаваемого сплошным телом. Следует лишь при вычислении величин М, /с,】см заменить суммы соответствующими интегралами по объему тела.

В простейшем случае притяжения точки сплошной однородной сферой вследствие симметрии имеем

ппп

i = li = lf = 1

откуда следует, чтооткуда следует, что

откуда следует, что

откуда следует, что

и в выражении потенциальной энергии исчезнут слагаемые, обратно пропорциональные кубу расстояния г. Можно доказать, что в этом случае исчезнут также все последующие члены. Выражение потенциальной энергии примет вид

口

т. е, сфера массы М притягивает внешнюю точку так же, как материальная точка той же массы, помещенная в центре сферы.

§ 130. Закон сохранения механической энергии

Если все (внутренние и внешние) силы, под действием которых происходит движение системы, являются потенциальными, то. согласно равенствам (54) и (69), теорема об изменении кинетической энергии может быть записана в виде

72 一 北=口1一112.(91)

Равенство (91) показывает, что приращение кинетической энергии на некотором участке пути системы в потенциальном силовом поле равно уменьшению потенциальной энергии на том же участке.

Если в числе сил, действующих на систему, наряду с потенциальными силами имеются и непотенциальные, то вместо (91) будем иметь

% — А = 口1 — 口2 + Г1,2 + №〔 2,(92)

где 啓1,2 и 1Г〔2 — работа непотенциальных внешних и внутренних сил. В дифференциальной форме можно написать

dT = -dn + dW + 61r.(93)

Возвращаясь к движению в потенциальном поле сил, перепишем равенство (91) в форме

Л + П1 = Т2 + П2.(94)

При движении в потенциальном силовом поле сумма кинетической и потенциальной энергий системы сохраняет постоянную величину.

Сумму кинетической и потенциальной энергий системы назовем полной механической энергией системы и обозначим буквой £, так что

£ =「+ □.(95)

При этом (94) переписывается так:

£1=Е2 или вообще

Е = const,(96)

что приводит к закону сохранения механической энергии:

Если система движется под действием только потенциальных сил, то полная механическая энергия ее во время движения сохраняет свою величину.

Значение постоянной в равенстве (96) определяется заданием координат и скоростей в каком-нибудь промежуточном состоянии системы, в частности в начале движения. Помещая

систему при начале движения в определенное положение в потенциальном силовом поле и сообщая начальные скорости точкам системы, тем самым сообщают системе некоторую начальную механическую энергию; во все остальное время движения в заданном поле система сохранит сообщенную ей энергию.

Так, например, подвешивая к пружине груз и давая грузу начальный толчок, тем самым сообщают системе начальную потенциальную энергию, определяемую начальной деформацией пружины, и начальную кинетическую энергию, зависящую от приданной грузу скорости. Груз придет в колебание, причем в крайних положениях его кинетическая энергия будет равна нулю, а в среднем положении будет иметь максимальное значение. Так как полная механическая энергия постоянна, то там, где кинетическая энергия равна нулю, имеется максимум потенциальной энергии, а там, где кинетическая энергия максимальна, потенциальная энергия будет минимальной.

Важно отметить, что на основании закона сохранения энергии можно заранее указать связь между координатами любого промежуточного положения груза и его скоростью, если известна начальная энергия. Это——отличительная особенность движения в потенциальном силовом поле.

С математической точки зрения закон сохранения энергии дает один из первых интегралов уравнений движения, так как уравнение, представляющее закон сохранения энергии, содержит только координаты и скорости, т. е. первые производные от координат по времени, и не содержит ускорений (вторых производных от координат по времени); поэтому иногда выражение закона сохранения энергии называют интегралом энергии или интегралом живых сил.

Наблюдая действительно происходящие движения, можно заметить, что полная механическая энергия не остается постоянной. С одной стороны, часть энергии движения уходит на преодоление всевозможных вредных сопротивлений, так что с течением времени полная энергия системы уменьшается; с другой стороны, для поддержания движения или для его ускорения необходимо создать приток энергии, уходящей частично на компенсацию потерь энергии на преодоление вредных сопротивлений, частично на увеличение кинетической энергии системы. Таким образом, никогда не приходится наблюдать движения в потенциальных силовых полях, удовлетворяющие закону сохранения механической энергии в чистом виде, а всегда наблюдается наложение друг на друга нескольких сложных процессов, среди которых процесс движения в потенциальном поле играет более или менее значительную роль.

Этот дополнительный приток и расход энергии не всегда проявляется в виде механической энергии. В большинстве случаев

приходится иметь дело с превращением механической энергии в различные другие виды: энергия уходит в виде тепла, звука, света и электричества; обратный приток энергии может происходить также в виде тепла, электричества и других видов энергии, превращаемых в механическую энергию. Поэтому в наиболее общей форме уравнение, выражающее теорему об изменении кинетической энергии, может быть написано в виде

打=-dll + 61r - дГ,/.打=-dll + 61r - дГ,/.(97)(97)

打=-dll + 61r - дГ,/.

打=-dll + 61r - дГ,/.

(97)

(97)

Здесь dT — приращение кинетической энергии системы, —dll — уменьшение потенциальной энергии, т. е. элементарная работа потенциальных сил, 6取'—элементарная работа непотенциальных сил, совершенная за счет притекшей энергии, и, наконец, ——6W,/ — потеря энергии на преодоление вредных сопротивлений. Переходя к конечному перемещению, будем иметь

(2)(2)

(98)(98)角一£[ = \ 6ТГ — , 6昕〃 =£' 一 £〃,(i)(i)

(98)

(98)

т. е. приращение механической энергии на некотором перемещении равно разности притекшей 〃 рассеявшейся энергии. Весьма существенна возможность измерять приходящую и уходящую энергию, в каких бы видах она не проявлялась, в механических единицах.

§ 131. Механическая энергия при вынужденных колебаниях

(99)(99)В установившемся режиме вынужденных колебаний при наличии силы сопротивления (§ 99) приращение механической энергии за один период изменения возмущающей силы должно равняться нулю, так как в противном случае движение не могло бы быть установившимся. Поэтому из (98) следует, что

(99)

(99)

т. е. работа Е‘ возмущающей силы за один период ее изменения t = 2л/р равна абсолютному значению работы силы сопротивления Dx = —рх за тот же промежуток времени. Эту работу легко вычислить, зная движение точки в установившемся режиме. В случае синусоидальной возмущающей силы F = = "sin(pf + 6), воспользовавшись формулой (70) § 99, получим

Е〃 = & = — \ 倣 d% = Ba2P2 \ cos? (р/ + 6 — e)力=£ 陷2P2t.

I оо

Средняя мощность N, подвздимая для преодоления силы сопротивления, поэтому будет

N = g = ^阳2P2.(100)

При резонансе (р = /г), использовав зависимость между амплитудой колебаний а и амплитудой возмущающей силы

2mk2v2mk2v2^々几2^々几НН

2mk2v

2mk2v

2^々几

2^々几

Н

Н

получающуюся из соотношений § 99, найдем

%=奈・(101)

В общем случае периодической возмущающей силы по формуле (70) § 99 можем написать:

х= Е sp%cos(spt + 6$ — 6S),

s = l

d% = £ op% cos (o戍 + SCT — %) df,

0= 1

и подстановка в выражение Е〃 дает

=В £ £ s叩2aAy ,=В £ £ s叩2aAy ,e〃= 一\豚d% =

=В £ £ s叩2aAy ,

=В £ £ s叩2aAy ,

cos (sp/ + 6$ — %) cos {opt + 济一％) dt =

S = 1 G= 10

= yPTS S2P2隐

{% t при о = s, О при о=0= s.{% t при о = s, О при о=0= s.s=l так как

{% t при о = s, О при о=0= s.

{% t при о = s, О при о=0= s.

COS (s爾 + 6$ —殳)COS (opf + 6o — %) dt =

0

Поэтому

М = ^-^Г-У^^2А1=^М^(1。2)

S=1S=1

где Ns = V2P (spf Xs на основании формулы (100) представляет собой среднюю мощность, соответствующую s-й гармонике ча* стоты s〃

Уравнения (97) и (98) являются основными в расчетах движения систем с потерей и притоком энергии. Представляя собой обобщение закона сохранения механической энергии на случай любых видов энергии, эти уравнения расширяют круг рассмотрения явлений за пределы, которые ставятся другими теоремами механики.

Потенциальные силы, для которых справедлив закон сохранения энергии, называются иначе консервативными ) силами, все остальные ——неконсервативными. Входящие в число неконсервативных сил силы вредных сопротивлений, при наличии которых энергия системы рассеивается или диссипируется, называют диссипативными силами. С точки зрения механики диссипация механической энергии есть потеря энергии, уход ее из поля механического использования. В действительности энергия, конечно, не исчезает, а превращается в другие виды (тепловую, электрическую и др.).

Пример 113. В опыте Зоммерфельда, иллюстрирующем поглощение энергии двигателя колеблющимся фундаментом, неуравновешенный мотор установлен на столе (рис. 322), ножки которого прикреплены к полу. При

310 об/мин верхняя доска стола начинает совершать горизонтальные колебания с амплитудой 5 мм, причем число оборотов мотора остается неизменным до тех пор, пока мощность не повышается с 11 до 23 Вт. Определим по этим данным коэффициент сопротивления 0.

энергия, откуда и происходит название этого класса сил.энергия, откуда и происходит название этого класса сил.Угловая скорость 310 об/мин как раз соответствует частоте свободных горизонтальных колебаний системы; мощность, расходуемая на колебания при резонансе, равна 12 Вт. В тот момент, когда она повышается до 23 Вт, число оборотов резко увеличивается и колебания стола сразу уменьшаются, так как при изменившемся числе оборотов резонанс уже не имеет места. При 750 об/мин снова наступает резонанс с вертикальными колебаниями сгола и число оборотов мотора остается постоянным, несмотря на увеличение подво-

энергия, откуда и происходит название этого класса сил.

энергия, откуда и происходит название этого класса сил.

димой мощности (см. на рис. 322 графики изменения угловой скорости и потребляемой мощности в зависимости от величины тока).

Коэффициент сопротивления 0 может быть определен по формуле

= ■时① 2，

откуда при заданных численных значениях Nr = 12 Вт, а = 5-10-3 м,①= =310 л/30, получим

В 弋 912 кг/с.

§ 132. Потеря кинетической энергиипри неупругом ударе. Теорема Карно

Вернемся к случаю прямого центрального удара двух поступательно движущихся тел, рассмотренному в § 108. По теореме импульсов имеем

m ("2%一a1尢)=S%, M(3 - %)=-邑， (Ю3)

где 〃2%, ^2х, 〃1%, Vix — проекции скорости первого и второго тел соответственно после удара и до удара на ось х, т. е. на направление линии удара. К этим соотношениям присоединим уравнение, определяющее коэффициент восстановления при ударе 力，которое по (65) § 108 можно записать в виде

〃2% + kuXx =吆 + kv{x.(104)

Величины, стоящие в каждой из частей этого равенства, вообще говоря, отличны от нуля. Допустив противное, т. е. что

〃2% = 一 左〃 1%，^2% = — kv{xt

мы пришли бы из этих соотношений и теоремы количества движения

тщх + Mvlx = ти2х + Mv2x(105)

после сокращения на общий множитель 1 + 左 к заключению, что

muix + Mvix = 0t

т. е. что количество движения тел до удара равно нулю. Но это в общем случае не соответствует условию задачи. Итак,

〃2% + 厶"1% ==。2% +^*(106)

Умножим обе части первого соотношения (103) на отличный от нуля множитель 〃2尢 + 力〃 1%, а второго ——на равный ему множитель U2x + kv\x\ после сложения результатов, пользуясь (104), получим

团(“2% "~ 〃1х) (〃2力 + "1%) + М (吆一S%)(己2% + 归5%) === 0.(107)

Таким образом, возможны два способа исключения импульсов из уравнений (103); первый, когда эти уравнения просто складываются, приводит к теореме сохранения количества движения (105); второй — к соотношению (107), которое после алгебраических преобразований дает выражение, определяющее потерю кинетической энергии при ударе. Отметим, что соотношение (107), в противоположность теореме сохранения количества движения, содержит коэффициент восстановления при ударе и, следовательно, зависит от предположения о физических свойствах соударяющихся тел.

Для преобразования выражения (107) напишем тождества

(%% - %) %% = Т (唸一唸)+ Т (% — 〃2 J，

k ("2% 一 〃以)"1% = 4"々(磁为 - 齊 J 一 4"山(〃次 一 "2 J■

Складывая их, находим

("2%一"1%)("2%+归"1%) = ^(1 +粉("£ - "%)+^(1-々)("1%-"2%)2, и уравнение (107) принимает вид

(1 +盼[m% + m% -(川味 + m味)]+

+ 4" (1 -吩[川("1% — "2 J + "(5% - ?2%)2] = 0，

Выражения

Л=T (加味 + "%，r2=4(m% + m%，(1°8) представляют кинетические энергии системы до удара и после него, а выражение

Т = ^ 团("1% — % J + 4М (県—S J(109)

можно назвать кинетической энергией, соответствующей потерянным скоростям. Итак, соотношение (107) приводится к виду

71 - 72 = 4^口(ИО)

т. е. кинетическая энергия, теряемая при ударе, равна (1——/?)/(! + ft)——доле кинетической энергии, соответствующей потерянным скоростям. Результат, полученный здесь для частного случая центрального удара двух тел, выражает общую теорему Карно*) о потере энергии при ударе.

(1И>(1И>При абсолютно упругом ударе ft = 1 и

(1И>

(1И>

т. е. абсолютно упругий удар не сопровождается потерей энергии; другой крайний случай имеет место при абсолютно неупругом ударе, когда ^ = 0 и потеря энергии (переход механической энергии в другие формы) будет максимальной:

Т{-Т2 = Г. (112)

Соотношение (НО) является следствием равенств (104) и (105). В соединении с одним из этих равенств оно может служить для определения скоростей тел 〃2%, ^2х после удара. Для этого придется решать систему, состоящую из одного линейного уравнения и одного квадратного, а по исключении одного из неизвестных — квадратное уравнение. Из двух решений этого уравнения одно соответствует обращению в нуль величин (106), на которые производилось умножение в ходе вывода. Это решение следует отбросить. Конечно, определить скорости после удара можно непосредственно из двух линейных уравнений (104), (105), и для этой цели соотношение, выражающее теорему Карно при прямом центральном ударе двух тел, не дает ничего нового. Оно имеет, однако, существенное значение, так как выражает в отчетливой форме энергетическое соотношение при ударе тел.

В частном случае неупругого удара, когда и2х =咏，теорема Карно дает наиболее простой способ для определения общей скорости тел после удара. При составлении выражения кинетических энергий устраняется возможность сделать ошибку в знаке, которая не исключена при использовании теоремы количества движения.

Чтобы выразить потерю энергии через заданные начальные скорости тел, заметим, что, как легко вывести из уравнений (104) и (105),

_ М(1 + 盼/ 、

"，、 (113)

Кинетическая энергия, соответствующая потерянным скоростям,

поэтому будет

T*=喘將 3l%)2(114)

следовательно,

А -北=^ (I 一胪)謂% 3% — s J・ (115)

В частном случае, когда одно из тел до удара неподвижно, т, & V\x = 0, будем иметь

Т\ 一 ?2 = ｝（1-胪）磊

Т т + h2 M т限 T2 = ^ПГt^

Пользуясь этими формулами, определим в качестве примера коэффициент полезного действия молота массы т, ударяющего по наковальне массы М. В этом случае полезной является потерянная кинетическая энергия Ti——Т?, затрачиваемая на деформацию отковываемого куска; энергия Т?, сохраняющаяся после удара и определяемая скоростями, которые будут после удара иметь молот и наковальня, является бесполезной. Коэффициент полезного действия молота поэтому равен

e一% m（1-胪）

т. е. для получения высокого коэффициента полезного действия масса молота должна быть малой по сравнению с массой наковальни. К противоположному выводу придем, рассматривая случай копра с бойком массы т, забивающего сваю массы М. Теперь под коэффициентом полезного действия следует понимать отношение

—Т2 — m + k2M

так как полезным является запас механической энергии, который остается в системе, не переходя в иные формы энергии. Потерянная энергия 71 ——丁2, идущая преимущественно на деформацию сваи, должна быть по возможности уменьшена. Вес бойка должен быть велик по сравнению с весом сваи. В первом случае коэффициент полезного действия увеличивается при неупругом ударе, во втором — при упругом.

Удовольствуемся пока настоящей, простейшей трактовкой теоремы Карно для случая прямого удара двух тел. Теорема эта на самом деле имеет гораздо более общее значение в динамике систем материальных точек и твердых тел. К этому вопросу мы еще вернемся при описании применений общего уравнения динамики несвободной системы （§ 156）.

Соотношения, выведенные выше, относятся к прямому центральному удару двух поступательно движущихся тел. Они могут быть распространены на случай соударения двух тел, вращающихся вокруг неподвижных осей, при условии, что линейные скорости точек соударяющихся тел направлены по одной йряМой, являющейся нормалью к поверхностям； по которым

происходит соприкасание (рис. 323). Сказанное следует из аналогии, существующей между уравнением прямолинейного дви

уравнением вращения твердогопуравнением вращения твердогопРис. 323.Рис. 323.жения материальной точки и тела вокруг неподвижной оси (§ 116)

уравнением вращения твердого

п

уравнением вращения твердого

п

Рис. 323.

Рис. 323.

Приведем вывод, не основывающийся на указанной аналогии. Для этого составим уравнения моментов количеств движения при ударе для пеового и второго тела (§ Н7):

/1 ®1 —硒 з)=门 X S, (117)

J2 (@2 — @23)= — /*2 X S.

Здесь L,厶一моменты инерции тел относительно их осей враще-

ния,(Ою, «го — их угловые скорости до удара, ®, ®2 — угловые скорости после удара. Через S обозначен импульс, прикладываемый к первому телу со стороны второго при ударе; тогда на второе тело будет действовать импульс противоположного направления — S;门 и r2 — вектор-радиусы общей точки тел, в которой прикладывается удар, причем начала этих вектор-радиусов расположены на осях вращения соответствующих тел.

Умножая обе части первого равенства (117) скалярно на ®i + ^®ю, второго ——на <о2 + ^й)2о и складывая результаты, получаем

/1 (硒一®ю) • (®1 + 归® о) + 丿2 (®2 一 ®20)• (®2 + ^©20)=

=(®i + 々硒 °)• (и х s) —(®2 + 々@2о)• g х s)・

Применив правило преобразования скалярного произведения вектора на векторное произведение двух векторов, преобразуем правую часть к виду [(©1 + 左硒0)X Г1] • S — [(@2 + 々@20)X %] • S =

=(VI + ^V10 —力2 —々^20)• s = [(V1 — U2)十 k(V10 —。20)] • S, (118)

где Ui, @2, и】。，U20 ——линейные скорости после удара и до удара точек первого и второго тела, вступающих в соприкасание при ударе. Относительные скорости 14——и? и Vio ——^20 направлены, согласно условию, по общей нормали к поверхности соприкасания. Поэтому, по определению коэффициента восстановления, имеем подобно (104)

6 — U2 + 论(5о — ^20)= 0(119)

и по (118) получаем

厶(砌一®ю) • (®i + 々硒 о) + /2 (©г — ©го) • (®2 + 々电0)= 0.

Полагая ®i = со^ь (о2 = ©2^2, где еь е2 ■— единичные векторы, направленные по осям вращения, можем также написать

厶⑥ 1 - Gio) ($1 + 也亩 10)+ 厶(亩2 -g20)(g2 + 々亩20)=■ 0.(120)

Дальнейшее преобразование не отличается от проведенного выше. Прихо* Дим к соотношению (112), в котором теперь

"=^ (八端十/2嗚)，「2= i"(人若+，2若)(121)

—кинетические энергии системы до удара и

(122)(122)Т* 卩1 (Й1 — Ою)2 + Л (®2 — ®20)2]

(122)

(122)

—кинетическая энергия, соответствующая потерянным скоростям.

с общей жесткостью с. Пренебрегая массой пру-с общей жесткостью с. Пренебрегая массой пру-Пример 114. Груз массы М падает с высоты 九 на платформу массы т,

с общей жесткостью с. Пренебрегая массой пру-

с общей жесткостью с. Пренебрегая массой пру-

опирающуюся на пружиныопирающуюся на пружиныжин и считая удар абсолютно неупругим, определить максимальное перемещение f〃 платформы при ударе (рис. 324).

опирающуюся на пружины

опирающуюся на пружины

Кинетическая энергия системы после удара определяется по последней формуле (116); получим

В момент времени, когда платформа с грузом на ней в результате действия удара достигнет максимального отклонения /д от начального положения, кинетическая энергия системы станет равной нулю, а изменение потенциальной энергии к этому моменту станет равным

П1 — по = [у «д +『о)? — "I•用一(М + m)gfn，

причем слагаемое в квадратных скобках представляет собой приращение потенциальной энергии пружин, а второе слагаемое — уменьшение потен

циальной энергии силы тяжести груза и платформы; через % обозначено статическое сжатие пружин под действием тяжести платформы (в течение акта удара платформа не сместилась!). Применив закон сохранения механической энергии, получим

龙而Mgh =yf^ + 嗚fo — (М + 俏)g/д.(123)

_ (M + m) g _ mg/ст/о_ (M + m) g _ mg/ст/о%=/ст м；俏,%=/ст м；俏,Пусть /ст обозначает статическое сжатие пружин под действием общей силы тяжести груза и платформы; тогда

_ (M + m) g _ mg

/ст/о

_ (M + m) g _ mg

/ст/о

%=/ст м；俏,

%=/ст м；俏,

и соотношение (123) принимает вид

М + АПМ + АПMghMgh「(М + zn) g2/ст「(М + zn) g2/ст/д/д(m + 他)g/ст(m + 他)g/ст3爲3爲(M + m) g/д =(M + m) g/д =

М + АП

М + АП

Mgh

Mgh

「(М + zn) g2/ст

「(М + zn) g2/ст

/д

/д

(m + 他)g/ст

(m + 他)g/ст

3爲

3爲

(M + m) g/д =

(M + m) g/д =

Таким образом, максимальное перемещение 『入 определяется как больший корень квадратного уравнения

- 2 м +7n 4友 - 2%г (я + m) = 0, равный

厶(1 + 穹.(124)

В частности, при 九=0, т. е. при мгновенном (динамическом) присоединении массы груза М, получим

9Л4

『而В，(125)

а в случае платформы пренебрежимо малой массы (т = 0)

fn = 2fcT,(126)

т. е. перемещение верхнего конца пружины пренебрежимо малого веса при мгновенном присоединении массы М вдвое больше статического перемещения при присоединении постепенно нарастающей от нуля до М массы.Пример 115. Мишень представляет собой однородную призму массы М с квадратным основанием (сторона равна а) и высотой Ь; в центр С боковой грани, противолежащей ребру АВ, ударяет пуля массы т со скоростью v0 (рис. 325). Считая удар неупругим, определить с какой угловой скот. е. перемещение верхнего конца пружины пренебрежимо малого веса при мгновенном присоединении массы М вдвое больше статического перемещения при присоединении постепенно нарастающей от нуля до М массы.Пример 115. Мишень представляет собой однородную призму массы М с квадратным основанием (сторона равна а) и высотой Ь; в центр С боковой грани, противолежащей ребру АВ, ударяет пуля массы т со скоростью v0 (рис. 325). Считая удар неупругим, определить с какой угловой скоростью со начнет вращаться мишень вокруг ребра АВ после удара.В данном случаеростью со начнет вращаться мишень вокруг ребра АВ после удара.В данном случаетиптип1万1万mu2mu2/d _|—^/d _|—^причемпричем/ym侬+2/ym侬+2—момент инерции мишени относительно ребра АВ; скорость и пули после удара равна скорости точки мишени, в которую попадает пуля, т. е.—момент инерции мишени относительно ребра АВ; скорость и пули после удара равна скорости точки мишени, в которую попадает пуля, т. е.и =и =+不к0.+不к0.потерянным скоростям мишени.потерянным скоростям мишени.Кинетическая энергия, соответствующая равнаКинетическая энергия, соответствующая равна

т. е. перемещение верхнего конца пружины пренебрежимо малого веса при мгновенном присоединении массы М вдвое больше статического перемещения при присоединении постепенно нарастающей от нуля до М массы.

Пример 115. Мишень представляет собой однородную призму массы М с квадратным основанием (сторона равна а) и высотой Ь; в центр С боковой грани, противолежащей ребру АВ, ударяет пуля массы т со скоростью v0 (рис. 325). Считая удар неупругим, определить с какой угловой ско

т. е. перемещение верхнего конца пружины пренебрежимо малого веса при мгновенном присоединении массы М вдвое больше статического перемещения при присоединении постепенно нарастающей от нуля до М массы.

Пример 115. Мишень представляет собой однородную призму массы М с квадратным основанием (сторона равна а) и высотой Ь; в центр С боковой грани, противолежащей ребру АВ, ударяет пуля массы т со скоростью v0 (рис. 325). Считая удар неупругим, определить с какой угловой ско

ростью со начнет вращаться мишень вокруг ребра АВ после удара.

В данном случае

ростью со начнет вращаться мишень вокруг ребра АВ после удара.

В данном случае

тип

тип

1

万

1

万

mu2

mu2

/d _|—^

/d _|—^

причем

причем

/ym侬+2

/ym侬+2

—момент инерции мишени относительно ребра АВ; скорость и пули после удара равна скорости точки мишени, в которую попадает пуля, т. е.

—момент инерции мишени относительно ребра АВ; скорость и пули после удара равна скорости точки мишени, в которую попадает пуля, т. е.

и =

и =

+不к0.

+不к0.

потерянным скоростям мишени.

потерянным скоростям мишени.

Кинетическая энергия, соответствующая равна

Кинетическая энергия, соответствующая равна

так как до удара мишень находилась в покое; для пули имеем

7；П*口оУ 一啕2 +圖=号［(% - 4皿y +("旷］.

Соотношение (112), выражающее теорему Карно, дает

М (а2 +т (1、

丁一万-Цсо2 卜2 +7ь2)炉=

=心 + m(时 ^ °* + ^］, откуда находим

、—6mu0^

05 = 4M (” +匕2)十m(12壮十3厶2) ■

К этому же результату можно прийти, выразив неизменность главного момента количеств движения системы при ударе, в частности неизменность

4^е4^еего проекции на ось х:

4^е

4^е

Имеем

К目=[等(а2 + ь2) + т (/ + ~V)] S'

где величина в квадратных скобках представляет собой момент инерции относительно оси х массы мишени вместе с точечной массой пули. Итак,

т?о у = [~^~ (а? + &2) + m (d + ~^")] 8,

откуда получаем приведенное выше значение ①.

Считая, что после удара мишень и пуля движутся вместе, определим, при какой начальной скорости пули произойдет опрокидывание мишени. Для этого заметим, что кинетическая энергия системы после удара определяется равенством

1「m年+庐)庐3川経瑰

7 L 3团(丁 + a 丿」(o - 2 [(12а2 + 3分)他 + 4 32+ь2)m「

Опрокидывание мишени может иметь место при условии, что центр тяжести системы пройдет через вертикальную плоскость, проведенную через ось вращения. По теореме об изменении кинетической энергии имеем

7〃 一『=%

где Т〃 ——кинетическая энергия в момент прохождения центра тяжести системы через указанную вертикальную плоскость, Т‘ 一 начальное значение кинетической энергии, ранее обозначенное через Тъ и W — работа сил тяжести.

Центр тяжести мишени и пули находится на расстояниях

如=如=a М + 2zn5 М + zn 'a М + 2zn5 М + zn 'Nii =Nii =b_ 万b_ 万

如=

如=

a М + 2zn5 М + zn '

a М + 2zn5 М + zn '

Nii =

Nii =

b_ 万

b_ 万

от граней призмы, проходящих через ребро АВ. Поэтому в момент прохож-» дения через указанную плоскость центр тяжести поднимается на высоту

.炉 ь+ "4万.炉 ь+ "4万

.炉 ь

+ "4万

.炉 ь

+ "4万

и работа W будет равна

步=_ ^(М+⑺[7b2+( j^^l у °?—q 各

Теорема об изменении кинетической энергии дает теперь

3n^b2vl

2 [(12a2 + З^2) /и + 4 (a2 + &2) М]

「〃 =

=4* (М + т)

Отсюда находим

遂〉遂〉4M (a2 + 62) + m (12出 + 3加)W?24M (a2 + 62) + m (12出 + 3加)W?2(M + m) X(M + m) Xх["加+（皆*）2 。?一"皆х["加+（皆*）2 。?一"皆

遂〉

遂〉

4M (a2 + 62) + m (12出 + 3加)W?2

4M (a2 + 62) + m (12出 + 3加)W?2

(M + m) X

(M + m) X

х["加+（皆*）2 。?一"皆

х["加+（皆*）2 。?一"皆

однороднаоднороднаи несжи-и несжи-частичаститрубки присоеди- между сечениямитрубки присоеди- между сечениями

однородна

однородна

и несжи-

и несжи-

части

части

трубки присоеди- между сечениями

трубки присоеди- между сечениями

§ 133. Теорема об изменении кинетическойэнергии сплошной среды. Теоремы Бернуллии Борда — Карно. Общее дифференциальное уравнениекинетической энергии.

Диссипация механической энергии

Проведем в установившемся потоке (т. е. таком, что поле скоростей в нем не зависит от времени — стационарно) однородной идеальной несжимаемой жидкости бесконечно тонкую

трубку тока (рис. 326). Если жидкость маема, то плотность ее одинакова во всем потоке. Идеальная жидкость представляется такой моделью сплошной среды, в которой при ее движении полностью отсутствуют касательные напряжения (внутреннее трение). Выделим в трубке в данный момент времени / объем, заключенный между двумя ортогональными к боковой поверхности трубки сечениями Oi и аг- В смежный момент t + dt выделенный объем жидкости сместится вдоль трубки тока и займет положение, ограниченное сечениями《и《•

В установившемся движении новый объем будет отличаться от предыдущего только тем, что к верхней

нится элементарный объем, заключенный

口2 и о，, а от нижней вычтется такой же объем между сече-

ниями а и о；. Изменение кинетической энергии в рассматриваемом объеме трубки сведется к разности

(127)(127)Mdt-^--Mdt-^

(127)

(127)

где М ——секундный массовый расход жидкости, одинаковый для всех сечении трубки тока, а произведение М dt — масса жидкости, протекающая через любое сечение трубки за время dt.

Замечая, что перемещения частиц в сечениях Ui и а2 будут соответственно равны v\dt и uzdf, составим выражение

элементарной работы приложенных к сечениям ai и 02 сил дав< ления, равных по величине pi(Ji и Р2О2, в виде

PQi • S成一p202 • ^2山，

или, замечая, что по определению секундного массового расхода М = paic/i = pa2V2 (р — постоянная плотность), в виде

旦■詐М成.(128)

Работа сил давления, приложенных к боковой поверхности трубки тока, очевидно, равна нулю, так как перемещения жидкости вдоль боковой поверхности трубки тока перпендикулярны к силам давления.

Работу сил тяжести получим как уменьшение потенциала при перемещении выделенного объема жидкости из начального положения в конечное. При расчете этого уменьшения потенциала примем во внимание, что потенциал общей части началь* ного и конечного объемов при этом выпадает и работа сил тяжести будет равна

М 成・g ⑵一&)•(129)

Приравнивая, согласно теореме об изменении кинетической энергии, выражение (127) сумме выражений (128) и (129), а затем сокращая обе части полученного равенства на Mdf, получаем

整+^" + 8'1=号 + 子 +g&■(130)

Выражение

4 + f+ ^ = В(131)

называют трехчленом Бернулли. Этот трехчлен можно трактовать как отнесенную к единице массы полную механическую энергию жидкости в данной точке. Действительно, первое и третье слагаемые в левой части (131) представляют собой отнесенные к единице массы соответственно кинетическую энергию и потенциальную энергию сил тяжести. Второе слагаемое представляет собой потенциал объемной силы ——(l/p)gradp, выражающей в уравнении Эйлера (§ 38) объемное действие поверхностных сил давления. Отсюда следует, что слагаемое р/р в уравнении (131) является потенциалом этой объемной силы, так как

—(1/Р)grad р = — grad (р/р).

Таким образом, трехчлен Бернулли В действительно является суммой кинетической и потенциальной энергий тяжести и объемного действия сил давления, т, е. отнесенной к единице

массы полной механической энергией жидкости в данной точке потока.

Согласно равенству (130) полная механическая энергия В сохраняет свою величину вдоль трубки тока или — что то же самое в случае стационарного поля скоростей ——вдоль траектории. Равенство

В = -^~ + -^ + gz = const (вдоль линии тока) (132) выражает закон сохранения полной механической энергии единицы массы идеальной однородной несжимаемой жидкости вдоль трубки тока, а следовательно, и вдоль линии тока. В этом заключается простейшая формулировка классической теоремы Бернулли.

Следует еще отметить, что равенство (132) служит первым интегралом уравнений Эйлера [уравнения (91) гл. XXII при F = g (тяжелая жидкость!)], вследствие чего равенство (132) можно еще именовать интегралом Бернулли.

Разделив обе части равенства (132) на ускорение свободного падения g, преобразуем это равенство к виду 、

•^ ="=詁 + ^-+ 之=const (вдоль линии тока), (133) где у = pg ——удельный вес жидкости.

Все члены равенства (133), как легко убедиться, имеют размерность длины и им в технической гидромеханике (гидравлике), по аналогии с последним слагаемым г, приписывают термин «высоты». Так, слагаемое U/2g принято называть скоростной высотой, p/у — пьезометрической высотой, г ——нивелировочной высотой или, просто, высотой, а сумму этих высот Н —— гидравлической или полной высотой.

В частном случае движения жидкости параллельно горизонтальной плоскости потенциальная энергия сил тяжести сохраняется и может быть введена в константу. Уравнение Бернулли (132) тогда перепишется в форме

р + ^5~ = const = ро, (134)

где ро — давление в покоящейся жидкости (и = 0).

В этом случае отдельные слагаемые равенства (134) называют напорами, а именно: р ——пьезометрическим напором, pv2/2 — динамическим или скоростным напором, р0 — полным напором.

О применениях теоремы Бернулли подробно говорится в курсах технической гидромеханики; здесь мы отметим лишь роль этой теоремы в объяснении некоторых широко распространен* ных явлений.

Рассмотрим однородный горизонтальный воздушный поток, набегающий на крыло самолета, наклоненное к потоку под некоторым углом (углом атаки). Верхняя поверхность крыла при этом является выпуклой, и при ее обтекании линии тока сбли

жаются, трубки тока утоньшаются, а это при сохранении расхода воздуха вдоль трубок тока вызывает увеличение скоростей

потока вблизи верхней поверхности крыла по сравнению с потоком вблизи нижней поверхности, где трубки тока, наоборот, расширяются, а поток подтормаживается (рис. 327).

Согласно теореме Бернулли, выраженной в этом случае в форме (134), местное увеличение скорости на верхней поверхности крыла

приводит к уменьшению давления, или, что то же самое, к увеличению разрежения в потоке по сравнению с давлением вдалеке от крыла. На нижней поверхности сохранятся положительные разности давлений. За счет этой разницы давлений возникает подъемная сила крыла Р (рис. 327). Аналогичная подъемная сила образуется и на ло- патках рабочих колес турбин и насосов. Сумма моментов этих сил относительно оси вращения колеса определяет вращающий момент, приложенный к рабочему колесу турбины или насоса. Определение величины и направления подъемной силы сво

дится к нахождению главного вектора сил давления, в случае обтекания замкнутого контура идеальной жидкостью перпендикулярных к поверхности контура, что можно сделать с помощью теоремы количества движения (теорема Эйлера, § ПО) и кинетической энергии (теорема Бернулли).

Не приводя здесь соответствующего вывода, отошлем интересующихся к § 49 (с. 231—234) книги: Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. — 4-е изд. М.: Наука, 1973. Из этого вывода следует, что величина главного вектора сил давления, а вместе с тем и подъемной силы Р определяется формулой Жуковского

где Г — циркуляция скорости потока V по контуру профиля С, определяемая контурным интегралом

Г = § V • 6г,

аналогичным контурному интегралу (5), который представлял работу силы по замкнутому контуру как циркуляцию вектора силы по этому контуру; Уоо — скорость набегающего на контур потока, р — плотность жидкости. Если условно назвать «направлением циркуляции» направление такого обхода контура при интегрировании, чтобы циркуляция оказалась положительной, то по Жуковскому вектор подъемной силы Р направлен по вектору скорости набегающего потока К», повернутому на 90° в сторону, противоположную направлению циркуляции.

При плавном стекании жидкости с задней кромки крылового профиля, как это показано на рис. 327, циркуляция Г определяется формулой

Г = const • V^a sin а,

где а ——хорда крылового профиля, а ——«теоретический» угол атаки между хордой профиля и вектором Voo, причем направление хорды (направление нулевой циркуляции) выбирается так, чтобы Г = 0 при а = 0, а постоянный множитель зависит от формы крылового профиля.

В принятых в аэродинамике обозначениях величина подъемной силы, согласно только что приведенным формулам, может быть выражена так:

Ry = СУ а，

где су — коэффициент подъемной силы, в случае идеальной несжимаемой жидкости зависящий от угла атаки и формы крылового профиля. Для тонкого профиля зависимость су от а близка к линейной (су ^ 2ла) и по уклону несколько превышает опытную. За деталями отсылаем к с. 229 и др. цитированного выше курса.

Из условия перпендикулярности главного вектора сил давления к вектору скорости набегающего потока следует, что в случае плоского потока идеальной жидкости составляющая главного вектора по направлению вектора скорости набегающего потока ——сила сопротивления движению крылового профиля—независимо от его формы равна нулю. Это утверждение представляет собой частный случай более общего парадокса Даламбера.

При сужении канала рабочего колеса средние скорости в его сечениях возрастают, что, согласно теореме Бернулли, вызывает появление разрежений в местах сужения. На этом явлении основано применение трубки Вентури (1746—1822), представляющей собой сначала сужающийся, а затем расширяющийся канал. Такая трубка служит для отсасывания жидкости или воздуха через ниппель, соединенный с узким сечением канала. Так,

например, если такую трубку повесить на кран водопровода, а к ниппелю присоединить камеру, заполненную воздухом, то, пустив воду, получим водоструйный насос, откачивающий воздух из камеры. Такой прибор может использоваться как форвакуум- ный насос, создающий в камере сравнительно слабое разрежение.

Теорему Бернулли совместно с теоремой Эйлера, изложенной в § ПО, можно применить для вывода теоремы Борда (1733——1792)——Карно о потере механической энергии потока жидкости при внезапном его расширении (рис. 328). Теорема эта служит аналогом теоремы Кар

но (§ 132) и утверждает, что потеря полной механической энергии потока идеальной жидкости при внезапном его расширении равна кинетической энергии, соответствующей 《потерянном》 скоростям.

Под отнесенной к единице объема полной механической энер^ гией потока будем, согласно (134), понимать величину

Потерей отнесенной к единице объема полной механической энергии на участке внезапного расширения потока является разность

ри；р。^

Poi — Р02 = Р1 + ~2Р2厂，(135)

где индексы 1 и 2 относятся к сечениям потока / — / и 2 — 2, показанным на рис. 328 штриховыми линиями.

Докажем, что эта отнесенная к единице объема потеря равна кинетической энергии, соответствующей потерянным

скоростям, т. е. величине

¥(S — u2y.(136)

Применим теорему Эйлера (§ 110) к объему, ограниченному сечениями 1 — 1 и 2 — 2. Обозначая через oi площадь сечения потока до его расширения, а через 02 — после расширения, находим

耍2 + pgj — Р20r2 — pW% = 0・(137)

В этом равенстве первое слагаемое соответствует предположению о том, что во всем сечении 7 — 7 давление практически постоянно.

Во втором слагаемом использовано сечение 5, так как только через него переносится количество движения.

Замечая, что из условия постоянства массового расхода при р = const следует, что

SS = ^2^2，

заменим второе слагаемое в равенстве (137) равной ему величиной puiU2O2・ Будем иметь, сокращая обе части полученного равенства на а2,

Pi —P2 = PU2®2 —и).

Подставив значение pi — р2 в правую часть выражения (135), придем к искомому результату:

Poi — %2 = р^2(^2 — ^1) + "2Г"=

=^ (5 一呜 + 2呜 一 2s%) = ^ (货 + 區一 20%) = 1(V^ %)2,

(138)

доказывающему справедливость теоремы Борда — Карно.

Так же как в конце двух предыдущих глав были показаны применения теорем об изменениях количества движения и момента количества движения систем к выводу основных дифференциальных уравнений механики сплошных сред, так и в конце настоящей главы применим с этой целью теорему об изменении кинетической энергии системы.

Снова рассмотрим произвольный объем т движущейся среды, ограниченный поверхностью о, обозначим через 6т и 6а элементы объема т и соответственно поверхности о. Кинетическая энергия элементарного объема 6т будет равна У26ап-о2 или V2 ру2бт, а кинетическая энергия всего объема т определится

как сумма этих элементарных кинетических энергий, т. е. как интеграл

Т = \ "I Р"2 6т・(т)

Теорема об изменении во времени кинетической энергии движущегося объема т приведет к равенству

外=^ \ ^Р絞6— \ Р? 7凯 + \ % "60r+，МнЕ (139) ттот

где интегралы в правой части представляют суммарные мощности внешних объемных и поверхностных сил, а также, в отличие от теорем количества и момента количества движения, суммарную мощность внутренних сил, причем Nbh — мощность внутренних сил, отнесенная к единице объема среды, или, что то же самое, объемная плотность распределения мощности внутренних сил по среде. Как и в предыдущих двух главах, приведем интеграл по поверхности к интегралу по объему, но прежде всего преобразуем выражение для мощности с учетом закона сохранения элементарной массы 6m = р St

/\哈”=卜糸(^)配+\4^8阮)=

=*等(4")阮.(140)

Несколько сложнее обстоит дело с интегралом по поверхности, равным, согласно формуле Коши [формула (3) гл. IX],

，рп • и6и= \ (пР) • ибо.(141)

оа

Записав выражение подынтегральной величины в правой части в проекциях на оси координат, получим, по определению one- рации умножения вектора на тензор слева,

(пР) • V = (nP)xVx + (пР)у Vy + (/lP)z Vz =

==(九*Р%* + ^уРух + 九zPz*) "% + ^хРху + ^уРуу + 九zPn.) % +

+ (nxpxz + nypyz + nzp2^ Vz =

=nx (Pxx^x + Pxy^y + Pxz^z) + ^(Pyx^x + Pyy^y + Pyz%) +

+ tl2(pzxVx + Pz^y + Pzz%)=

=nx (Pv)x + ny (Pv)y + % (P叽=n • (Pu)・

Тогда с учетом (141) интеграл по поверхности в правой части (139) по формуле Гаусса — Остроградского (§ 37) преобразуется в интеграл по объему:

• V 6а = ^ п • (Pv) 6а = ^ div (Pv) 6т. (142) а о т

Принимая во внимание (140) и (142), перепишем (139) виде

\[р^ (三)一 Р尸• е — div(Pu) — Мн] 6т = 0,

откуда в силу произвольности выбора объема т получим искомое уравнение изменения кинетической энергии в дифференциальной форме

р4 (4) = Р尸• и + div (灰)+ Мн・(143)

Чтобы выяснить зависимость плотности распределения мощности внутренних сил ^вн от характера движения, умножим скалярно на вектор скорости v обе части уравнения динамики «в напряжениях» (86) гл. XXII и полученное уравнение

и • р~^~ =(}) = р尸• а + и • Div Р(144)

почленно вычтем из обеих частей уравнения (143). Тогда найдем Мн = & • Div Р — div (Pn)・(145)

Полученное выражение Мн можно преобразовать к более простому виду. Чтобы избежать длинных выкладок, перейдем к числовой индексации и, раскрывая векторные и тензорные символы (см. гл. VIII), получим (суммирование по Z, / = 1, 2, 3)

дрИ °дрИ дрИ°叮

Nbh =⑦一 瓦(/q.)" 两一""瓦 =

Раскладывая дифференциальный тензор dvj/dxi на симметричную Sif и антисимметричную Ai части (§§ 34, 78), будем иметь

Мн = — Р»£/ — Р,/4/・

Вспоминая, что %〃 =——%〃，а р” = р〃・，убедимся, что второе слагаемое в правой части тождественно равно нулю. Итак,

"вн = —(146)

Сумму попарно взятых компонент двух тензоров («свертку» по обеим индексам) примем за определение скалярного произведения двух тензоров и перепишем равенство (146) окончательно так:

Мн = — Р・М・(147)

Обратим внимание на некоторое сходство структуры выражения (147) с мощностью силы F [равенство (9) ], приложенной к точке, движущейся со скоростью v. В последнем случае мощность равна скалярному произведению F-v вектора силы на вектор скорости, в случае же сплошной среды плотность мощности внутренних сил равна также скалярному произведению тензора напряжений на тензор скоростей деформаций (§ 78).

В абсолютно твердом теле деформации отсутствуют, тензор скоростей деформаций равен нулю, равна нулю и отнесенная к единице объема мощность внутренних сил. Об этом было уже упомянуто ранее.

В случае движения идеальной жидкости, в которой можно положить Р = —рЕ (р — давление, £ — тензорная единица)» мощность внутренних сил (касательных напряжений нет) будет определяться формулой

Мн = — Р * S = рЕ • S.

Вспоминая, что Е〃 = 0, если Z #= J, и 1, если i = /, найдем (суммирование no i от 1 до 3)

&н = P&i = Р div v.(148)

Если жидкость, кроме того, несжимаема (div v = 0), то плотность распределения в ней мощности внутренних сил равна нулю так же, как и в абсолютно твердом теле.

Разделив обе части последнего равенства на р, т. е. перейдя к мощности %/, отнесенной к единице массы (удельной мощности), получим

AZbh = div v.(149)

Вспомним уравнение неразрывности в форме (88) гл. XXII» согласно которому

dp div V = — — р

Тогда выражению удельной мощности (149) можно придать вид

N矗=一今器=Р备行).

Величина, обратная плотности р, носит наименование удельного объема V = 1 /р. Предыдущая формула может быть записана так:

Nbh=

а элементарная работа внутренних сил за время dt [см. (9)]-— так:

N^dt = bWr = pdV.(150)

Эта формула используется в термодинамике. Вспомнив, что S dt = S представляет собой тензор деформаций (§ 78), элементарную работу внутренних сил можно записать также в следующем виде:

/н 成= 6X = -P・S・(151)

Формулы (146), (147),- (151) имеют важное значение в теории упругости, гидродинамике и других разделах механики сплошных сред. В теории упругости тензор напряжений 尸 заменяется линейной функцией тензора деформаций [обобщенный закон Гука (1635—1703)], в гидродинамике вязкой жидкости ―• также линейной функцией тензора скоростей деформаций (обобщенный закон Ньютона). Покажем это на простом примере вязкой несжимаемой жидкости.

Обобщенный закон Ньютона имеет следующий вид ):

р = 2pS - рЕ,(152)

где 卩一динамический коэффициент вязкости, а £ ——тензорная единица.

Подставив это выражение тензора напряжений Р в равенство (147), получим (по условию несжимаемости divv = 0)

Мн = — 2卩挙 一 р div и = — 2卩*2；(153)

здесь применено краткое обозначение S? для S-S, равного (суммирование по обеим индексам /, / от 1 до 3) ^=s.s=stisti = ^ + ^+^ +

+ ^(需+翳)4^(設+證У44(需十畫广(154)

В отличие от теории упругости, где при использовании вьь ражения Р по обобщенному закону Гука формула (151) дает элементарную работу упругих взаимодействий в теле и, следовательно, приводит к выражению потенциальной энергии упругого взаимодействия, которая в процессе деформирование

обратима, мощность внутренних сил вязкости (трения) в жидкости необратима ). Механическая энергия, затраченная на преодоление сил вязкости, переходит в тепловую, т. е. диссипируется в жидкости. Диссипированная мощность %Днс определяется как Мн с противоположным знаком. Она выражает отнесенную к единице объема и времени потерю механической энергии, превращающуюся в тепло и другие виды энергии. Об этих потерях в настоящей главе уже упоминалось. Судя по выражению S2 (154), представляющем собой сумму квадратов, потери исчезают только при квазитвердом движении несжимаемой вязкой жидкости, когда деформации, а следовательно, и скорости деформаций полностью отсутствуют.

Вернемся в заключение к уравнению (144), причем предположим, что: 1) жидкость идеальна, т. е. отсутствуют касательные напряжения (вязкости), 2) жидкость несжимаема, и плотность ее всюду одна и та же (р == const), 3) объемные силы имеют потенциал, т. е.尸=—gradll, причем, в частности, в случае сил тяжести И = gz (ось 2 вертикальна и направлена вверх), 4) движение стационарно, т. е.

Кроме того, по п. 1)

Р = — рЕ, Div Р = — grad р.

Уравнение (144) в этих предположениях принимает вид

или, если нить П наили, если нить П наа • grad (-^~) = — ри • grad И — а • grad р, собрать все члены под общий оператор grad и заме- gW вид

или, если нить П на

или, если нить П на

V • grad (嚟 + pgz +р) = 0.

ВводяВводясимвол d/ds для дифференцирования вдоль линии

Вводя

Вводя

тока, вспоминая определение производной по направлению как скалярного произведения градиента на единичный вектор (в данном случае v/v) этого направления и сокращая обе части равенства на pug (丫 = pg ——удельный вес), получаем

"^ (詣 + % + "^) = с。" (вдоль линии тока),

откуда следует выведенная ранее другим путем формула Бернулли (133).

Глава XXV

ДИНАМИКА ПЛОСКОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА

§ 134. Дифференциальные уравненияплоского движения твердого тела

Кинематика плоского движения абсолютно твердого тела была изложена в гл. XIV. Динамике этого сравнительно простого случая движения твердого тела посвящается настоящая

глава.

Предположим, что масса рассматриваемого твердого тела распределена симметрично относительно плоскости Оху, что все внешние силы 尸卜 尸2, . • •,尸％ приложенные к телу, действуют в этой плоскости и что начальные скорости точек тела ей параллельны. Прп этих условиях тело будет совершать плоское движение, и дХя изучения его достаточно рассмотреть движение плоской фигуры, получающейся в сечении тела плоскостью Оху (рис. 329). В последующем, если не оговорено противное, поед- полагается, что начало координат

системы осей х‘， у\ связанных с телом, помещено в центре масс С тела.

Движение плоской фигуры определяется уравнениями двк жения полюса

•^с = А (0» Ус = /2 (О»

и уравнением вращения фигуры вокруг полюса

9 = % «)•

Задачей динамики плоского движения твердого тела является нахождение этих уравнений по заданным силам (вторая задача динамики) или определение сил в заданном движении (первая задача). Очень часто встречаются также смешанные задачи, когда между величинами, определяющими положение

9 Л. Г. Лойцянский, А. И. Лурье

тела, имеются наперед известные соотношения, а действующие силы частью известны, частью должны быть определены по ходу решения задачи.

Теорема о движении центра масс дает соотношение

Mwc = V,(1)

где М — масса тела, Wc — ускорение его центра масс, V — главный вектор внешних сил, действующих на тело:

⑵

Векторное равенство (1) можно проектировать на те или иные оси. Проектируя его на оси неизменного направления х, у, получаем два уравнения

Mxc = VXi М% =乙，(3)

в которых Хс и ус обозначают координаты центра масс.

При проектировании векторного равенства (1) на оси К % связанные с телом, следует воспользоваться леммой § 68 о дифференцировании вектора по времени

Первое слагаемое в правой части этого соотношения представляет собой вектор, проекции которого на оси Z, у' равны производным по времени от проекций 0次 и %/ вектора Рс на эти оси; заметив также, что s%，=(%，== 0, о^ = G = ф, получим

侬 С/ = %/ — ^Су^ 侬 cd = ^Cyf + GUcf・

Уравнения движения центра масс принимают вид

м (九£ 一 ^Су^ = V/，М ^Cyf + Guc/) = V/.(4)

Эта форма уравнений движения центра масс используется в динамике самолета.

Часто применяют также проектирование на касательную (т) и главную нормаль (п) плоской траектории центра масс (рис. 330)!

У

Mvc = VXf М -~ = ±MvcB = Vn.⑸

Здесь р — радиус кривизны траектории центра масс, 0 •— угол между вектором скорости v = ут и неизменным направлением оси Ох; при 9 > 0 берется знак плюс, при 0 V 0 — знак минус. В первом случае угол 0 возрастает с течением времени, а во втором—убывает. При составлении уравнения движения неиз-

вестно, как с ростом времени будет изменяться 0; но это не может представить затруднения, так как предположение, что 0, например, возрастает (рис. 330, а), определяет направление единичного вектора 九 главной нормали (в сторону вогнутости траектории); при обратном предположении придется изменить знак в левой части второго уравнения (5), но при этом изменится на противоположное предполагаемое направление п (рис. 330, б) и, следовательно, знак Vn в правой части того же уравнения.

Дифференциальное уравнение вращения составим, применив теорему об изменении момента количеств движения относительно центра масс (§ 120). В случае плоского движения твердого тела относительным движением по отношению к центру масс является вращение тела с его угловой скоростью s вокруг оси z, перпендикулярной к плоскости движения и проходящей через центр масс С. Поэтому вектор К в выражении (81) § 120 определяется равенством

К = &К⑹

где /，一 момент инерции относительно указанной оси. К этому соотношению можно прийти, воспользовавшись формулой (82) § 120; действительно, при плоском движении

〃 X 3 X %)=時—4 О・吟=叱2

и, следовательно,

k = e m* X 3 X哈=%斗团//=啰心.

Получаем по формуле (81) § 120

酉厶=加？(7)

причем

加с)= £〃Х4(8)

представляет собой главный момент внешних сил относительно центра масс. Проектируя векторное равенство (7) на ось 2, получаем дифференциальное уравнение вращения плоской фигуры 厅后=亭)@ =团于=£ (此尸"一%尸况)，⑼

где Хр у； — координаты точки приложения силы f\ в системе осей Сх^у7.

Могут представиться случаи, когда при составлении уравнения вращения предпочтительно принять за полюс не центр масс С, а какую-либо другую точку О тела. При обозначениях рис. 331 получим

W(C)= S r^c X ^i = S (* —必)X Fi u m(0) — rfcXV,

что выражает известную теорему статики о переносе центра момента. Заменив V согласно равенству (1) и вспомнив формулу распределения ускорений в плоском движении (§ 58), можем написать также

m⑹=m^0)—厶 X Mwc =

=m(°)— Mrc X [w0 — аЛ*3 + ® X /*2]=

=m⑵ 一Mrc X缈0 + m川办X 力一

—Mrc X(© X %)

Замечая, что

rC ^ rc ~ ^ ，с X 3 X %) ^ &с，

получаем

т© = m⑵一Mrc X w0 — Mr^&,

и подстановка в равенство (7) дает

(严)+ mГ片)® + Mr\ X 缈о = m(0).

Остается заметить, что по теореме о моментах инерции относительно параллельных осей

以)+%2 =呼)

и, следовательно,

呼墙 + Mrc X w0== m(°)・(10)

Уравнение (10) упрощается, если за полюс О выбрать точки плоской фигуры, в данный момент времени совпадающие с мгновенными центрами скоростей Р или ускорений Q (см. §§ 56 и 58). Обозначим через vP скорость перемещения мгновенного центра 尸 по плоскости фигуры. Тогда 办=drP/dt. В силу формулы (18，) § 56 имеем

откуда

5=粵=蜜 + 3[炉(2X%) + 炉®><屯0)- ®><%)^(屮)]

Из условия параллельности е и ю следует, что е/©=(о/而，так что 吟 следний член в квадратной скобке справа преобразуется к виду

—® X %)发(@ •砌=—2 ((» X %) (® • е)=

=—2 ($Х%) (в)吟 @) = —2叫£Х%)・

Получим

%=%+$ [® х %)- е х 喇.

Выберем за полюс О ту точку Р фигуры, которая в данный момент времени совпадает с мгновенным центром скоростей Р (рис. 332); тогда и。= О, Зо = *р н предыдущее равенство примет вид

общей нормали к центрондамобщей нормали к центрондамоткуда, векторно умножая обе части на ю чаем ускорение точки фигуры, в данный момент времени совпадающей с Р,

общей нормали к центрондам

общей нормали к центрондам

^P = vpX ®.(И)

При таком выборе полюса уравнение (10) перейдет в следующее:

厅小 + Mrpc X (昨 Х®) = т{р\ (12)

или в иной форме

/^^ — М(д (fpC * vp) = m^*(13)

В частном случае, когда центр масс лежит на в точке Р,

(14)(14)(15)(15)Гре•&р = 0

(14)

(14)

(15)

(15)

и уравнение (13) имеет вид

厅）&=т（Р）・

Если за полюс О принять мгновенный центр ускорений Q, то в соотношении (10) будем иметь wo — wQ — 0, поэтому

(16)(16)朋％ =m（Q）.

(16)

(16)

Таким образом, уравнение вращения (7) сохраняет свой вид при переноса полюса из центра масс в мгновенный центр ускорений.

Два уравнения движения центра масс и уравнение враще- ния, взятые в одном из указанных выше видов, представляют полную систему дифференциальных уравнений плоского движения твердого тела. При действии потенциальных сил следует использовать соотношение, даваемое теоремой об изменении кинетической энергии и представляющее собой один из первые интегралов указанной системы дифференциальных уравнений.

§ 135. Качение тяжелого цилиндра по наклонной плоскостии криволинейной поверхности

Сначала рассмотрим сравнительно простую задачу. Однородный круговой цилиндр, ось которого горизонтальна, скатывается по неподвижной плоскости, наклонной к горизонту (рис. 333). Пренебрегая моментом сил трения качения, опреде

лим движение цилиндра: а) при отсутствии скольжения и б) при наличии скольжения. Коэффициент трения скольжения f считаем известным. Внеш- ними силами, приложенными к цилиндру, являются: сила тяжести G = =mg, нормальная реакция плоскости N и сила

трения 尸 1.

получаемполучаеми 尢==х=== ао == а(р.и 尢==х=== ао == а(р.(17)(17)В случае качения без скольжения точка Р соприкасания цилиндра и плоскости есть мгновенный центр скоростей. Обозначая угловую скорость цилиндра через G, а его радиус через а.

получаем

получаем

и 尢==х=== ао == а(р.

и 尢==х=== ао == а(р.

(17)

(17)

где vx = х — скорость центра тяжести цилиндра (и“ = 0).

Располагая неподвижные оси Ох и Оу, как указано на рис. 333, будем иметь

у = — а = const, * =歹=0, % = аф,

Vх=^ mg sin а — Fp Vy = mg cos а — Л^,加，=尸坦；

дифференциальные уравнения плоского движения (3) и (9) примут вид

maip = mg sin а — Fp 0 = mg cos а — ^, /у@ = %а・ (18)

Второе уравнение определяет нормальную реакцию； первое и третье служат для определения углового ускорения @ и силы

трения f\・ Решая эти уравнения, получаем

^ = 7fesina>

尸 1 = mg -2-^-2 sin a = ц/ng sin a;

(19)(19)(20)(20)Wx^ x = a^ —Wx^ x = a^ —P^+dP^+dg sin а = vg sin а,g sin а = vg sin а,(21)(21)ускорение центра тяжести цилиндра равно (wy = 0)

(19)

(19)

(20)

(20)

Wx^ x = a^ —

Wx^ x = a^ —

P^+d

P^+d

g sin а = vg sin а,

g sin а = vg sin а,

(21)

(21)

где

『7Г^' У""『7Г^' У""(22)(22)

『7Г^' У""

『7Г^' У""

(22)

(22)

Все сказанное относится в равной мере и к тем случаям, когда катящееся тело является не цилиндром, а шаром или колесом; в последнем случае будем считать массу колеса сосредоточенной на его ободе (обруч). Коэффициенты ц и v имеют в этих случаях значения, приведенные в табл. 6.

Таблица 6

Коэффициенты в выражениях силы трения и ускорения центра тяжести тела, скатывающегося по наклонной плоскости

Форма тела

Р2 а2

2

a。= arctg -~

f = 0,05

f n 0,10

f= 0,15

Шар

2

9

у ^ 0,29

у ^ 0,71

10°

19。20，

27°30,

Цилиндр

1 У

豆~ ^ о,зз

2 у ~ 0,67

8°3(T

16°4(У

24°10‘

Обруч

1

у = 0,50

у = 0,50

5。40，

ll°20'

16°40‘

Определим путь, пройденный центром тяжести цилиндра.

Так как ускорение wx постоянно, то, считая начальную скорость равной нулю, получаем

尢=*^2^ = 7 sin a.(23)

За то же время / тело (любой формы), скользя по абсолютно гладкой плоскости, прошло бы путь

х* = -~ g/2 sin а.

Таблица показывает, что шар проходит при чистом качении 71 % этого пути; цилиндр, двигаясь немного медленнее, сделает 67%, наконец, всего медленнее станет двигаться обруч — его путь составляет только 50% от %*.

Рассматриваемый случай чистого качения может иметь место при условии, что сила трения при качении 尸i не превосходит по величине силы трения скольжения 尸2・ Последняя же, согласно закону Кулона, определяется формулой

F? = fN = fG cos а = fmg cos а,

и вышеуказанное условие принимает вид

卩G sin а《fG cos а, откуда получаем

卩 tga《f,(24)

т. е. качение не будет сопровождаться скольжением, если угол а не превосходит некоторой величины ао, определяемой этим неравенством. Значения а。при различных / даны в приведенной выше табл. 6.

Если а > а0, то качение сопровождается скольжением и трение тела о плоскость будет трением скольжения, определяемым законом Кулона. Уравнения движения при этом будут

тх = mg sin а — F2, mp^@ =尸2°；

подставив сюда значение 尸2, получим

x = g(sina~f cos а), ф = -~- f cos a,(25)

Pc

откуда % и ср можно определить интегрированием. Разность

и： = 土 一 a@

есть скорость скольжения точки соприкосновения Р цилиндра с плоскостью. Имеем

cos acos agcosa(tga—tg%).gcosa(tga—tg%).

cos a

cos a

gcosa(tga—tg%).

gcosa(tga—tg%).

При a > a。величина в скобках положительна и скорость скольжения будет возрастать по мере опускания тела по плоскости.

f — Гу f — Гуf — Гу f — ГуРис. 334.Рис. 334.по криволинейному цилиндрическому е. известны, например, ее координаты 屮 касательной к кривой с осью х припо криволинейному цилиндрическому е. известны, например, ее координаты 屮 касательной к кривой с осью х приcoscos• ,dysin 2 = ^-.• ,dysin 2 = ^-.

f — Гу f — Гу

f — Гу f — Гу

Рис. 334.

Рис. 334.

по криволинейному цилиндрическому е. известны, например, ее координаты 屮 касательной к кривой с осью х при

по криволинейному цилиндрическому е. известны, например, ее координаты 屮 касательной к кривой с осью х при

cos

cos

• ,dy

sin 2 = ^-.

• ,dy

sin 2 = ^-.

Рассмотрим теперь задачу о качении тяжелого цилиндра по шероховатой наклонной плоскости, учитывая момент сил трения качения. В последнее уравнение (18) — уравнение вращения ——теперь следует внести слагаемое, выражающее момент трения качения, равный произведению нормального давления ^ цилиндра на плоскость на коэффициент k трения качения, имеющий размерность длины. В дальнейшем полагаем k =『а, где a — радиус цилиндра; тогда f будет безразмерным коэффициентом трения качения. Уравнения (18) после исключения ^ примут вид

таф = mg sin a —尸 口 mp 痴=(尸】—fmg cos a) a,

и вместо соотношений (20), (21) получим

尸I = mg (卩 sin a + fzv cos a), x — vg (sin a — f' cos a).

Неравенство (24), выражающее условие отсутствия скольжения, перейдет в следующее:

卩卩1 - v1 - v卩 sina + У” cos а V f соз а, или tga <

卩

卩

1 - v

1 - v

В рассматриваемом движении проекция ускорения центра тяжести цилиндра на ось % должна быть положительной (х > 0);

поэтому

У < tga, и для осуществимости скатывания по наклонной плоскости без скольжения тяжелого цилиндра при учете момента сопротивления качению должны выполняться неравенства

f <tga

Рассмотрим более общую задачу (рис. 334). Однородный круговой цилиндр с горизонтальной осью скатывается без скольжения желобу 夕()尸1； кривая 尸。尸1 задана, т. х, у как функции дуги PQP == s; угол Этом определится из соотношений

(26)

Отметим также, что

где 1/р — кривизна кривой (屮 уменьшается с ростом s). Радиус цилиндра ф[ в начальный момент движения был расположен вдоль С0Р0, где Роточка, являющаяся началом отсчета дуги s. Так как скольжение отсутствует, то s = PqP. Угол ф прямой СР〔 с неизменным направлением вертикали можно принять за угол поворота цилиндра. Поэтому

s =。(<р — 2), ф = -^ + ф. (28>

а、1 f dp百丿+丁石а、1 f dp百丿+丁石(29>(29>]=mga S也也]=mga S也也(30>(30>Внешними силами, действующими на цилиндр, являются сила тяжести G, касательная (трение при качении)尸i и нормальная N составляющие реакции. Можно сразу исключить неизвестные силы Fi и N, составив уравнение вращения в форме (15), что возможно, так как нормаль в точке Р к центроидам проходит через центр тяжести цилиндра. Замечая, что по (27)

а、1 f dp

百丿+丁石

а、1 f dp

百丿+丁石

(29>

(29>

]=mga S也也

]=mga S也也

(30>

(30>

(о = ф =——p —Х-s = — I 1L Ш =— "a ds a \ p)a

получаем, согласно (15),

度峪.仅8^+吟悌(1 一^)卄

Как уже указывалось, угол 屮 можно считать известной функцией дуги s. Кинетическая энергия цилиндра по (39) § 126 и (29) имет выражение

7==4"他佗 +q2)*(1一才,

(31>

а потенциальная энергия определяется равенством

П = mgyc = mg (a cos 屮 + у).

(32>

Работа реакций Fi и N равна нулю, так как с точностью до малых вто-

рого порядка перемещение точки их приложения в каждый момент времени обращается в нуль. Принимая, что цилиндр начал движение из

покоя, по закону сохранения механической энергии получаем

^加號+ qB* (1 - "0 +mg(。cos 屮 + у) = mgy^.

состояния

(33>

Это соотношение представляет собой первый интеграл уравнения можно проверить, определяя § из (33) дифференцированием и (26) и (27).

Реакции Fi и N находим из уравнений движения центра тяжести ме (5)2

(30), что учитывая

в фор-

—=iV — /ngcos -ф,

tnvQa2 .

=tn(j)? = АП PP

2

^e =б睜=他[(1_ ^)w + a 方黑]=一 尸1 + /ng sin 也

откуда после исключения 6 н 6 с помощью (30) и (33) получим尸 1 =卩mg sin -ф, N 0 mg [(1 + 2v —^ cos ф + 2v

где сохранены обозначения (22). Условие отсутствия скольжения принимает вид

т. е.卩 tg2Vf[(l+2v^) + 2”^^].(36)

Если, в частности, желоб представляет собой поверхность кругового цилиндра радиуса R, то, согласно рис. 335, имеем s = R(W()—屮)，и уравнение (30) приводится к виду уравнения движения математического маят* ника

Ф = — r 三 f g sin ф, (37) имеющего длину ( R - a

Пример 116. Центр тяжести кругового цилиндра радиуса а, катящегося без скольжения по внутренней поверхности неподвижного цилиндра радиуса R, расположен на расстоянии ОС—е от оси цилиндра (рис. 336). Составим уравнение движения цилиндра.

Повторив рассуждение, приведенное выше, получим

РРо = PqP = Р’Ро = S =

= a(Pi = R 屮，

Ф = Ф1 — "Ф,Рис. 336.

где ср — угол поворота цилиндра. Соотношение (14) теперь не имеет места, и уравнение движения надо записать в форме (13), причем

Up = R. = r 竺 * ф,ГрС • vp = —■ vp* PC sin a —r竺。je sin фр

Заметив также, что

疼)=/и (р^ + PC2) = m (р^ + a2 + е2 — 2ae cos 恥), 团^)= — (a sin 2 + e sin qp) mg,

получим

(pc + / + e? — 2ae cos qpj ф + ^竺鼠 Ф2 sin qpi = — g (q sin 中 + e sin qp).

причем <pi и ip связаны c qp соотношениями

屮=疋石中，恥Н天=7中・

При весьма малых отклонениях от положения равновесия уравнение движения принимает вид

[рс + (а — е产]@ = — g[рс + (а — е产]@ = — g炉 + е (R — а)R - a炉 + е (R — а)R - a

[рс + (а — е产]@ = — g

[рс + (а — е产]@ = — g

炉 + е (R — а)R - a

炉 + е (R — а)R - a

и период весьма малых колебаний будет

R — а р^ + (а — е)?

т = 2冗т = 2冗~J~ a2 + e(R — а)*

т = 2冗

т = 2冗

§ 136. Движение самолета в вертикальной плоскости

Рассмотрим плоское движение самолета, при котором траектория его центра масс расположена в некоторой фиксированной вертикальной плоскости, служащей плоскостью материальной симметрии самолета. Силами, дей・ ствующими на самолет, являются сила тяги винта Р, направленная по оси винта и составляющая с хордой крыла постоянный угол 屮，сила тяжести G

и аэродинамические силы. Совокупность последних может быть приведена к главному вектору, приложенному в центре масс С самолета, и паре с моментом Мг относительно оси Са, перпендикулярной к плоскости рисунка и проходящей через центр масс. Составляющая главного векто

ра по направлению, противоположному скорости а центра масс, представляет собой силу сопротивления D, а перпендикулярная к ней составляющая ——подъемную силу £ (рис. 337). “

Назовем углом атаки а острый угол между хордой крыла и вектором скорости центра масс

самолета а, отсчитываемый от вектора скорости против часовой стрелки для наблюдателя, смотрящего на плоскость рисунка. Угол между горизонтальной осью % и вектором скорости 0 ——угол подъема траектории центра масс ——обозначим через 0. Тогда ф = 0 + а определит угол между осью х и неизменным направлением в движущемся теле; ср называется углом тангажа. Дифференциальные уравнения движения самолета составим, пользуясь (5) и (6); это ——уравнения движения центра масс в естественной форме

£- у = р cos (а — -ф) — D — G sin 0,普 и。= Р sin (а — 2) + L — G cos В

и уравнение вращения

(39)(39)J，© =严)(0 + а) = 〃z・

(39)

(39)

Силы D и L и момент Mz определятся известными аэродинамическими соотношениями:

D = "^ pc%Su2, L = -~ peySv2,D = "^ pc%Su2, L = -~ peySv2,Mz= } 9cmzSbv2,Mz= } 9cmzSbv2,(40)(40)

D = "^ pc%Su2, L = -~ peySv2,

D = "^ pc%Su2, L = -~ peySv2,

Mz= } 9cmzSbv2,

Mz= } 9cmzSbv2,

(40)

(40)

в которых S ——площадь несущих поверхностей, Ь ——длина хорды крыла, р —— плотность в оду ха. Коэффициент сопротивления сх и коэффициент подъемной силы су являются функциями угла атаки а, а коэффпцент момента стг зависит ,еще от угла установки руля высоты, угловой скорости самолета ф ~ а + + 0 и отдельно от а. Зная еще закон изменения силы тяги, которая при заданном режиме работы двигателя зависит от скорости, мы, проинтегрировав уравнения движения самолета, могли бы найти v, 0, а как функции времени, после чего координаты центра масс были бы выражены с помощью соотношений

%С = \ и cos 8 d/, ^с = \ и sin 8 dt. (41)

Однако интегрирование системы уравнений (38), (39) представляет значительные трудности.

Ограничимся в дальнейшем рассмотрением фугоидных колебаний самолета, представляющих собой малые колебательные движения, накладывающиеся на режим поступательного равномерного прямолинейного горизонтального полета и возникающие при нарушении этого режима по какой-либо причине. Через и。обозначим величину скорости в установившемся режиме, через а0 — постоянное значение угла атаки; угол 0 при горизонтальном полете ра- вен нулю Уравнения движения (38), (39) превращаются в уравнения равновесия:

Р cos (а0 —屮)=Z)o, Р sin (а。一屮)+ Lo — G == 0, М总=。・ (42)

Из двух первых уравнений находятся значения vq и а0 при данных условиях работы двигателя, а последнее определит соответствующий угол установки руля.

” Предположим теперь, что вследствие какого-либо возмущения, например попадания самолета в поток воздуха или изменения тяги двигателя, произошло малое нарушение рассматриваемого равновесного режима. В последующем движении самолета скорость уже не имеет прежнего значения а。，а становится переменной и равной

0 = % + % (43)

причем а' — малая по сравнению с а。 величина. Угол подъема также будет отличен от нуля, но мал настолько, что можно считать sin 0 = 0, cos 0 = 1. Должно измениться также и значение угла атаки а При изменении угла атаки возникает стабилизирующий момент, стремящийся уменьшить это изменение, и если этот момент достаточно велик (самолет обладает, как говорят, значительной статической устойчивостью), а момент инерции /^) достаточно мал, то угол атаки а практически сохранит в возмущенном движении то же значение, что и в исходном невозмущенном; его малые изменения могут быть скорректированы с помощью соответствующих движений руля высоты.

Перейдем к составлению дифференциальных уравнений возмущенного движения. Для упрощения мы предположим, что угол а —屮 настолько мал, что

можно принять cos (а — 2) = 1 и пренебречь слагаемым, содержащим sin(a —-ф), во втором уравнении (38). Уравнения (38) и уравнения равновесия (42) примут вид

mvf = Р —c%pS (ио + и')? — mg&

.1(44)

加⑸ + и') © =工 p@S (Uo +『)2 — /ng,

о = Po — ^ %ps唸 0 = j p%s* — mg.(45)

Вследствие предположения о неизменности угла атаки коэффициенты сх и су в уравнениях движения имеют те же значения, что и в уравнениях равновесия. Уравнения моментов (39) выписывать не надо, поскольку было принято, что оно выполняется и в возмущенном движении. Почленно вычитая уравнения (45) из (44), отбрасывая произведения малых величин и' и 0, а также (ил)2> получаем

mvf = Р — Ро — c%pSuo『一GO,mv^ = pc^Su国'.(46)

Разность P — Po можно представить в виде

Р — Ро = Р (и。+『)—Р (и。)* ("^~)о 匕(47)

причем постоянная (dP/dv)Ql определяющая быстроту изменения силы тяги при изменении скорости установившегося режима, отрицательна, так как сила тяги при данном режиме работы двигателя уменьшается с ростом скорости. Замечая еще, что по второму уравнению равновесия pc?S = 2G/u^, приходим к уравнениям возмущенного движения самолета

- 、粤广 (48) L mg cy J %殆

Исключив из них величину 0, получим одно дифференциальное уравнение второго порядка вида

犷+ 2而'+ 翠 и'== 0,(49)

传一备(雾)。］^?(50)

причем n > 0. Общее решение этого уравнения имеет вид (§ 98)

。Псeм sin {噜^ "i - g 侍-蟲(黑)『+ e }.⑹)

Величина, стоящая в квадратных скобках под знаком радикала, всегда мала, й квадратом ее по сравнению с единицей можно пренебречь. Получаей

『и С8~М 期口 ( g^^" f + е) = &-" (& sin &^^ f + Q cos 玉^^ f). (52)

Таким образом, скорость изменяется по закону затухающих колебаний с пе

2吗2吗риодом

2吗

2吗

(53)

Интересно отметить, что длина эквивалентного математического маятника составляет Л = u^/(2g), т. е. равна высоте, на которую поднялась бы материальная точка, брошенная вертикально вверх со скоростью и0- Период колебаний, совершаемых самолетом при возмущении прямолинейного горизонтального полета, велик; это — длиннопериодические, или фугоидные, колеба^ ния. Если бы мы учли изменяемость угла атаки, то получили бы наложение на эти длиннопериодические колебания другой группы колебаний ——коротко- периодических.

Коэффициент при g/u。в выражении п (50) обычно является малой величиной (порядка 0,1). Поэтому длиннопериодические колебания затухают медленно, например, для сх == 0,027, су = 0,4 и и0 = 124 м/с при Р = 0 (в режиме планирования) имеем ): т = 56 с, п = 5,35-10~3 1/с. Время, в течение которого амплитуда колебаний уменьшится вдвое, будет равно

/2= Ю3-^- = 119 с = 2,12т.

При учете изменения угла атаки было получено для длиннопериодических колебаний Р = 65,7 с при времени уменьшения амплитуды вдвое, равном /2 ^ ^ 113,5 с; на них налагаются быстро затухающие короткопериодические колебания с периодом 4 с; амплитуда их уменьшается вдвое за 0,5 с. Таким образом, предположение о постоянстве угла атаки приводит по крайней мере к качественно верному представлению о движении, хотя и не позволяет учесть быстрозатухающих и сравнительно высокочастотных колебаний.

Имея вьтажение скорости (52), из первого уравнения (48) найдем угол подъема 0. Произвольные постоянные Ci и С2 определяются по начальным условиям. Примем, например, что самолет, двигавшийся равномерно по горизонтальной прямой со скоростью и。 относительно Земли, попадает во встречный горизонтальный равномерный поток воздуха, имеющий скорость 步；уравнения движения (48) остаются справедливыми в системе отсчета, движущейся вместе с потоком, причем скорость самолета в этой системе в момент встречи с потоком, принимаемый за начальный, будет vQ + W. Поэтому начальные условия по (43) будут

при / = 0 『=W, В = 0.(54)

С помощью первого уравнения (48), которое при введенном обозначении (50) может быть представлено в виде

8 = —^~ & + 2м『)，(55)

второе начальное условие дает

阮=—2献О.

Постоянные Ci и Сг в решении (52) будут

G = —С2 == W.(56)

onpe-onpe-Таким образом, скорость самолета относительно Земли и угол подъема

onpe-

onpe-

делятся выражениями

『=Uq —取+『=Uq —取+步e—公(cos江f —斗sin芷Л,\ UoDo 丿

『=Uq —取+

『=Uq —取+

『"宀nHf,UoUo『"宀nHf,UoUo(57)(57)

『"宀nHf,UoUo

『"宀nHf,UoUo

(57)

(57)

причем в выражении 0 множитель [1 + Ao/(2g2)] заменен единицей. Уравнения движения центра масс самолета в конечной форме получим из соотношений [см. (41)] ,

хс = ^ и dt, % = и \ 8 dt. (58) о о

Проинтегрировав, найдем

xc — v^ — Wt \ 1 — exc — v^ — Wt \ 1 — e-nt sin (g 仮例°)-nt sin (g 仮例°)(g "/。)/(g "/。)/у 区「1 _ fcos ^1 + * sin * M ・у 区「1 _ fcos ^1 + * sin * M ・(59)(59)

xc — v^ — Wt \ 1 — e

xc — v^ — Wt \ 1 — e

-nt sin (g 仮例°)

-nt sin (g 仮例°)

(g "/。)/

(g "/。)/

у 区「1 _ fcos ^1 + * sin * M ・

у 区「1 _ fcos ^1 + * sin * M ・

(59)

(59)

Заменив / в выражении ус его приближенным значением %с/% получим уравнение траектории центра масс самолета

Tv?g LTv?g L叫叫g"公g"公TV?TV?亦亦1力"2 丿」1力"2 丿」(60)(60)

Tv?

g L

Tv?

g L

叫

叫

g"公

g"公

TV?

TV?

亦

亦

1力"2 丿」

1力"2 丿」

(60)

(60)

где % = W/(2g), sin 8 弋 £ =叫/(8“2)и, как выше, множитель

заменен единицей.При значенияхзаменен единицей.При значенияххс = е/г “2 4-хс = е/г “2 4-(2左+ 1)冗(2左+ 1)冗他他А 伏=0, 1,2,...)А 伏=0, 1,2,...)(61)(61)

заменен единицей.

При значениях

заменен единицей.

При значениях

хс = е/г “2 4-

хс = е/г “2 4-

(2左+ 1)冗

(2左+ 1)冗

他

他

А 伏=0, 1,2,...)

А 伏=0, 1,2,...)

(61)

(61)

(т. e. через каждый полупериод) самолет попадает на уровень с высотой wv0/g над первоначальным и с рсстом t асимптотически приближается к этому среднему уровню, опускаясь ниже него и поднимаясь над ним.

§ 137. Критическая угловая скорость гибкого вала

Рассмотрим вращающийся вертикальный вал кругового поперечного сечения (рис. 338). При изгибе вала касательная в средней точке оси вала будет параллельна неизогнутой оси вала; при этом плоскость диска, насаженного на вал в среднем сечении перпендикулярно к его оси, не будет перекашиваться, если вал изогнется.

Рис. 339.Рис. 339.

Рис. 339.

Рис. 339.

Пусть точка С — центр тяжести диска. Через М обозначим точку пересечения оси изогнутого вала с плоскостью диска; е = МС представляет собой эксцентриситет диска. Наконец, О есть точка пересечения плоскости диска с прямой, соединяющей центры подшип

ников вала; прогиб вала в его середине равен ОМ.

Внешней силой, приложенной к диску, является реакция 尸 изогнутого вала; эта сила имеет направление от М

к О (рис. 339) и, если, как принято в дальнейшем, масса вала пренебрежимо мала по сравнению с массой диска, по величине пропорциональна прогибу ОМ:

F — — с • ОМ = — сг“(62)

Коэффициент пропорциональности с зависит от упругих свойств и размеров вала, а также от способа закрепления его концов.

Дифференциальные уравнения движения центра тяжести диска будут

тхс =尸％ = — 6%財，тус = % = — су 好，(63)

где m — масса диска.

Замечая, что

*=乙一%(64)

или

%м = %с —ec°sqp, ум = ус —e sin (р,(65)

приведем уравнения (63) к виду

хс + k2xc = ek2 cos ф, ус + k2yc = ek2 sin qp,(66)

где

Величина k представляет собой частоту свободных колебаний диска.

Остается составить дифференциальное уравнение вращения диска. Обозначая через р радиус инерции диска относительно оси С& проходящей через центр тяжести, получим

呻2© =m产仍).(63)

Предполагается, что вращающий момент уравновешивается моментом сил сопротивления. Момент 团^)(尸)представляет собой проекцию на ось Cz вектора момента силы /п(с(Е) относительно точки С; замечая, что

/О (尸)=—e><F = eX с% = е X с (% — е) = се X %,

получаем

团尸(F) = се (% cos ф — %с sin(р)・(69)

Уравнение вращения принимает вид

「2© = ^2е (у, cos ф — хс sin ф).(70)

Точное интегрирование полученной системы уравнений (66) и (70) представляет значительные трудности. Решение может быть упрощено, так как в дисках паровых турбин эксцентриситет е и отклонения хс и ус не превышают нескольких тысячных долей радиуса инерции р; поэтому отношение @/々2 имеет порядок не выше 10~5. Такой же порядок будет иметь и отношение ф/о)2, поскольку нас будут интересовать угловые скорости диска, имею* щие тот же порядок, что и k. Поэтому, если угловое ускорение сохраняло бы даже постоянную величину @/д2 в продолжение всего времени оборота диска, то возникающее при этом относительное изменение угловой скорости Асо/со имело бы порядок 2л-10~5. Это дает основание пренебречь в уравнении (70) правой частью. Тогда получим

р2@ = 0,(71)

откуда следует, что

<Р = sf + фо,(72)

где со ——угловая скорость диска; константу (р0 примем равной нулю.

Уравнения движения центра тяжести в этом приближении принимают вид

充с + k2xc =胪е cos of, ус + k2yc = k2e sin of.(73)

Общее решение этих уравнений состоит из слагаемого, соответствующего свободным колебаниям:

Xi = ci cos (kt + aj, 勿=c2 cos (kt + a2),(74)

и слагаемого, представляющего вынужденные колебания:

%2 =彦-二品・ cos st, y2 =仄匸小 sin(75)

Резонанс имеет место при

①=Зкр =归=/^^~^" •(76)

Значение ®, соответствующее резонансу, называется критической угловой скоростью. Критическая угловая скорость равна частоте свободных колебаний диска. Переходя от критической угловой скорости к частоте вращения в оборотах в минуту, получаем

300…

〃кр = об/мин,(77)

где статический прогиб вала %т должен быть выражен в сантиметрах.

Наличие сил сопротивления должно способствовать быстрому исчезновению свободных колебаний. При установившемся ходе турбины с угловой скоростью, значительно отличающейся от критической, эти колебания никакого Значения иметь не будут. Пренебрегая ими, получим хс = х2, ус = ^2, и так как sf = ф, то

々2?k2e

ХС =工2 二犷 cos Ф, УС = %二炉 sin S(78)

или

rc =左2 —炉(79)

Но в таком случае

m(c)(F) = ceX% =^^еХе = 0，

и уравнение (70) в точности удовлетворяется. Это показывает, что только при наличии значительных свободных колебаний можно ожидать изменения угловой скорости диска и что точность рассмотренного приближенного решения тем выше, чем с большим основанием можно пренебречь свободными колебаниями. Получаем

(Й20)2

гm и '"p^， ^ =］爲"二^产・(80)

Векторы гм ==Векторы гм ==(рис. 340) имеют, таким образом, оди(рис. 340) имеют, таким образом, одинаковое направление, т. е. три точки прямая вращается с угловой скоростью со вокруг точки О, т. е. центр тяжести диска, а также точка 府 описывают окружность.ЕСЛИ СО V ①кр, то гс > гм； точки О, С, М расположены так, как указано на рис. 340, а; если же ① >о)кр, то rc V Гм и эти точки располагаются, как указано на рис. 340,6. Центр тяжести диска приближается К точке О; если к тому же(d>oKP “2, то rc V е, т. е. при достаточно боль- щих угловых скоростях диск, насаженный на гибкий вал, автоматиче-наковое направление, т. е. три точки прямая вращается с угловой скоростью со вокруг точки О, т. е. центр тяжести диска, а также точка 府 описывают окружность.ЕСЛИ СО V ①кр, то гс > гм； точки О, С, М расположены так, как указано на рис. 340, а; если же ① >о)кр, то rc V Гм и эти точки располагаются, как указано на рис. 340,6. Центр тяжести диска приближается К точке О; если к тому же(d>oKP “2, то rc V е, т. е. при достаточно боль- щих угловых скоростях диск, насаженный на гибкий вал, автоматиче-Рис. 340.Рис. 340.ски центрируется; центр тяжести диска / вращения вала. Пусть, например, s = 5s】ски центрируется; центр тяжести диска / вращения вала. Пусть, например, s = 5s】приближается & геометрической оси )кр = 5А»; получимприближается & геометрической оси )кр = 5А»; получим

Векторы гм ==

Векторы гм ==

(рис. 340) имеют, таким образом, оди

(рис. 340) имеют, таким образом, оди

наковое направление, т. е. три точки прямая вращается с угловой скоростью со вокруг точки О, т. е. центр тяжести диска, а также точка 府 описывают окружность.

ЕСЛИ СО V ①кр, то гс > гм； точки О, С, М расположены так, как указано на рис. 340, а; если же ① >о)кр, то rc V Гм и эти точки располагаются, как указано на рис. 340,6. Центр тяжести диска приближается К точке О; если к тому же(d>oKP “2, то rc V е, т. е. при достаточно боль- щих угловых скоростях диск, насаженный на гибкий вал, автоматиче-

наковое направление, т. е. три точки прямая вращается с угловой скоростью со вокруг точки О, т. е. центр тяжести диска, а также точка 府 описывают окружность.

ЕСЛИ СО V ①кр, то гс > гм； точки О, С, М расположены так, как указано на рис. 340, а; если же ① >о)кр, то rc V Гм и эти точки располагаются, как указано на рис. 340,6. Центр тяжести диска приближается К точке О; если к тому же(d>oKP “2, то rc V е, т. е. при достаточно боль- щих угловых скоростях диск, насаженный на гибкий вал, автоматиче-

Рис. 340.

Рис. 340.

ски центрируется; центр тяжести диска / вращения вала. Пусть, например, s = 5s】

ски центрируется; центр тяжести диска / вращения вала. Пусть, например, s = 5s】

приближается & геометрической оси )кр = 5А»; получим

приближается & геометрической оси )кр = 5А»; получим

% = @Е戸=T =可自

т. е. погрешность в центровке диска уменьшается в 24 раза.

Явление самоцентрирования быстро вращающегося диска на гибком валу было замечено Лавалем (1845—1913). Изложенное выше объяснение этого Явления было дано А. Фепплем в 1895 г. вскоре после открытия Лаваля. Н. Е. Жуковский (1847—1921) в работе 《06 упругой оси турбины Лаваля # об осях с качающимися подшипниками» (1899) *) распространил теорию Феппля на задачу о критической скорости вала (центрифуги, веретена и т. п.), снабженного упругими подшипниками.

*) Жуковский Н.194g.*) Жуковский Н.194g.Е. Собрание сочинений. Т. L —М.: Гостехиздат,

*) Жуковский Н.

194g.

*) Жуковский Н.

194g.

§ 138. Удар в плоском движении твердого тела

Если к твердому телу, совершающему плоское движение, в некоторый момент времени прикладываются такие мгновенные силы, что в результате действия их движение остается плоским, то для определения скорости центра тяжести и угловой скорости тела после удара имеем два уравнения, выражающих теорему импульсов (§ 106): ип

m (% - %*) = £ S〃，т 仞一vQy) = £ Siyi (81>

и уравнение изменения момента количества движения в относительном движении вокруг центра тяжести при ударе (§§ 118 и 120)

乎®一瞄Н自喳)(S)(82)

Здесь Si, S2, •••, Sn — импульсы внешних мгновенных сил, и и G ——скорость центра тяжести С и угловая скорость тела после удара, и。и «о — те же величины до удара. К уравнениям (81) и (82) должны быть добавлены условия, определяющие характер удара.

Рассмотрим случай удара плоской фигуры о неподвижную преграду (рис. 341). Внешней мгновенной силой является реакция преграды, приложенная в точке О, в которой соприкасаются поверхности преграды ММ и ударяющего тела в момент удара. Импульс этой реакции обозначим через S и, выбрав начало координат в точке О, направим'

ось у по нормали к ММ внутрь тела, а ось х ——по касательной к этой поверхности. Координаты центра тяжести в этой си> стеме осей обозначим хс, Ус, а его вектор-радиус гс. Скорость точки О до удара обозначим через Уо, а после удара ——через- У; по известным формулам кинематики имеем

% = No — 5 X Ус, V = n — со X Ус,

причем знак минус объясняется тем, что вектор-радиус СО равен —г& Проектируя эти уравнения на оси х, у, получаем

К)%= и。％ + 心0%，Уоу — vQy —现 %с，

VX^VX + Gpc, 乙=% —纵c・

Нормальные к преграде составляющие скорости точки О до удара и после него связаны соотношением

Vy + kV.y = ^(84)

где k ——коэффициент восстановления.

Уравнения (81) и (82) запишем в форме

Sx

(85)(85)Vx =恥 + ~， vy — v0y + ~，

(85)

(85)

G =端2" (XcSy — Ус^х)'

Заменяя в выражениях Vx и Vy проекции скорости центра тяжести и угловую скорость этими значениями, получим

vx = vox + ^ ［修 + 礎)% 勿 SJ,

「(86)

乙=几，+曦L 邑+絞+总)S j

и соотношение (84) приведется к виду

-mp^ (1 + 粉％у = - Xc%S* + (p2 + 总)Sy. (87)

Четыре уравнения (85) и (87) содержат пять неизвестных: и%, vy, G, S%, Sy. Недостающее уравнение получим, приняв то или иное предположение о характере поверхности преграды.

Ограничимся рассмотрением двух предельных случаев.

Поверхность преграды абсолютно гладка; тогда

S% = О

и мы находим

(88)(88),_ m(1 +竹

(88)

(88)

и% = и。％，и% = и。％，vy = Uoyvy = UoyРс(1+^) p^+峪"Рс(1+^) p^+峪"(О = (Oq -f(О = (Oq -f(I + 盼 ％c ”(I + 盼 ％c ”

и% = и。％，

и% = и。％，

vy = Uoy

vy = Uoy

Рс(1+^) p^+峪"

Рс(1+^) p^+峪"

(О = (Oq -f

(О = (Oq -f

(I + 盼 ％c ”

(I + 盼 ％c ”

В этих формулах величину VQy надо заменить ее значением (83).

Поверхность преграды абсолютно шероховата, т. е. не допускает скольжения по ней ударяющего тела; тогда

叭=0,

или, согласно (86),

一 ^Рс^ох = (Рс + 峪)S% - xcycSy.(89)

Из двух уравнений (87) и (89) находим неизвестные Sx и Sy:

S 产一% 呢 + 4)vQx + d + k)xcycvQy], °(90)

Sy —當[ХсУ^^ + d+^)(P^ + 礎)％ J где

Po = Pc + xc + Ус-(91)

Очевидно, что p。 представляет собой радиус инерции тела относительно оси z, проходящей через точку соприкасания тел. Теперь, согласно уравнениям (85), получаем

% =恥一± [(Рс + 4)九 +(1 + 粉 хсУ(У^

% =- J \^сУ(У^ +(1+^)(Рс + 龔)％/，(92)

G = б。Ч—^- [(1 + 归)xcVOy — Ус^ох]* Ро

Здесь Vo% и Voy можно заменить их значениями (83); ограничимся написанием формул, относящихся к случаю неупругого удара (々=0); они легко приводятся к виду

% =-而％， ％ = &%， G = * {xcvQy 一 ycvQx + р猛°) (93)

и дают решение задачи об определении движения плоской фигуры после того, как одна ее точка О была мгновенно остановлена; фигура станет, очевидно, вращаться вокруг точки О,

причем угловая скорость ш находится из последнего уравнения (93). (См. также конец § 156.)

Пример 117. Однородный брусок длины АВ = / (рис. 342), падающий поступательно, встречает неподвижное препятствие О, отстоящее

на расстояния Zi и Z2 от 4 и В. Скорость бруска до удара равна и。. Определить скорость центра тяжести бруска и его угловую скорость после удара. Коэффициент восстановления равен %. В данном случае

“％ = 0,啲=—ио,

Go = O и ХС = — -i-(/t — z2), %^0, р* = М产.

По (83) и (92) получаем

Ен"~2^" и。(1 + 風2PoЕн"~2^" и。(1 + 風2Po^[|(/i-/2)2-^]，

Ен"~2^" и。(1 + 風2Po

Ен"~2^" и。(1 + 風2Po

где по (91)

р0 = 4 (a_ %)2+ 击产・

При /1 = (3/4)/ находим

Uy = — у (3 — 4盼 и。，& = -у* (1 + 尼)-у-.

При абсолютно неупругом ударе получаем vy =——(3/7) и。，а при абсолютно упругом vy = (1/7) и。； в последнем случае скорость центра тяжести меняет

свое направление на противоположное.

Пример 118. При падении полого шара радиуса а на землю скорость центра равна по величине и。и направлена под углом а к вертикали (рис. 343). Определить движение шара после удара о землю, если в момент падения шар имел угловую скорость ш0 вокруг оси, перпендикулярной к вертикальной плоскости, содержащей скорость v0.

Будем предполагать, что скольжение по поверхности земли отсутствует. В рассматриваемом примере имеем

%с = & Ус = а， Рс а?， vQx = u0 sin a, vQy = — uo cos a.

Выражения проекций скорости центра шара и его угловой скорости после удара по (92) и (83) будут

-у (Зи0 sin a — 2ac50), и^ — ^Uq cos a, & ^

Угол отражения шара от земли определится из соотношения

tgP = £xs= 1 (3tga vy \u0 cos a /

При условии tg В = — tg a

шар отразится по направлению падения. При абсолютно упругом ударе (^ = 1) это будет иметь место, если

~4% .

©о = -^— sin a.

Теннисный мяч, которому сообщена такая угловая скорость, отразится по направлению падения, имея скорость центра тяжести, равную по величине скорости падения и0» и угловую скорость ~ vx sin a 1 ~ (o == — 5.

a a 4 °

Пример 119. Платформа АВ массы т опирается в точках 4 и В на рессоры одинаковой жесткости с. Центр тяжести С платформы находится в середине отрезка АВ; радиус инерции платформы относительно оси, проходящей через С перпендикулярно к рисунку, равен рс； АВ = 2/. Под действием импульса S точка А приобрела скорость 矶.Определить последующие колебания платформы, считая ее отклонения от положения равновесия, весьма малыми и пренебрегая силами сопротивления (рис. 344).

Сначала определим скорость vy центра тяжести платформы и угловую скорость 6 после удара. Это даст начальные условия для последующего движения платформы. Имеем

mvy = S,mp^ 而=/S,

причем ось Оу направлена вертикально вниз, a G считается положительной при вращении против часовой стрелки. Далее имеем

^o — Vy + й/.

Из этих уравнений находим

РсI

При движении, возникающем после удара, силами, действующими на платформу, будут сила тяжести G = mg и реакция рессор. Пусть ус ——перемещение центра тяжести, <р — угол поворота платформы. Обозначая статическое укорочение рессор через fCT и замечая, что полные осадки рессор В и А при малых колебаниях платформы в произвольный момент движения соответственно равны

匕=『ст + % — 阿，(А = 'ст + Ус + 阿，

получаем уравнение движения центра тяжести тус = — % — cfA + G.

Замечая, что 2*т = mg, приведем это уравнение к виду уe +餾纪П。，

где 居=2c/m・

Составим теперь уравнение вращения платформы 〃就® = cl (fB — fA),

или

УсУс@+痂=0,@+痂=0,Остается найти решение этих уравнений при начальных условияхОстается найти решение этих уравнений при начальных условияхПолучимПолучим

Ус

Ус

@+痂=0,

@+痂=0,

Остается найти решение этих уравнений при начальных условиях

Остается найти решение этих уравнений при начальных условиях

Получим

Получим

Глава XXVI

ТЕНЗОР ИНЕРЦИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА

§ 139. Тензор инерции и его компоненты.Формула для момента инерции телаотносительно произвольной оси

В предыдущей главе при рассмотрении динамики плоского движения абсолютно твердого тела, при котором ось враще

ния тела сохраняет перпендикулярное к плоскости движения направление, можно было довольствоваться простейшим понятием момента инерции тела относительно данной оси или оси, ей параллельной, как мер инертности тела в его вращении

вокруг оси.

В специальных задачах динамики твердого тела (теория гироскопов и др.), о которых будет идти речь далее, необходимо изложить учение об инертности абсолютно твердого тела

в его вращении около неподвижного центра и в более общих случаях, включающих такое вращение как составляющую.

К = г X (® X г) dm, (М)К = г X (® X г) dm, (М)⑴⑴В § 119 была указана общая формула (62) главного момента количеств движения системы материальных точек. В случае сплошного твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной точки (центра вращения), эта формула заменяется интегральным выражением

К = г X (® X г) dm, (М)

К = г X (® X г) dm, (М)

⑴

⑴

где г (рис. 345) вектор-радиус точки N тела, со — вектор угловой скорости вращения тела вокруг неподвижного центра О, dm —— элементарная масса тела в точке ^; интеграл берется по всей массе М тела.

Раскрывая тройное произведение по известному правилу ^ X (<° X *") = <° (г • г) — г (<о • г)=产(о — (<о • у) у

и замечая, что ① одинаково по всему объему твердого тела, приведем равенство (1) к виду

К = <о 卜2 d加一(<о • г) г dm.(2)

(М)(М)

Проектируя обе части этого равенства на оси координат и собирая в каждом из полученных трех равенств члены при Шх, g и Ши, получаем

Kx = JХХ^Х - /ху^у 一 厶护2，

К? = — ^yx^x + J yy®y — ^2®z>⑶

Kz = 一 / ZX^X 一/2?% + ^22®Z>

где введены обозначения

Лх =卜矿 + 2》dm，Jyy =,(炉 + 2?)dm, Jzz = \ (炉十”川偽，

(М)(М)(М)⑷

^xy — Jyx—、工У dm, Jyz — hy= \i/2dm, Jxz—Цх—、工2dzn・

(M)(M)(M)

Совокупность равенств (3) выражает вектор К как линейную вектор-функцию от(о с коэффициентами, представленными таблицей (матрицей)

I —'ху， 】уу，一/yz(5)

Поскольку векторы Кио представляют собой объективные физические величины: главный вектор момента количеств движения твердого тела в его вращательном движении вокруг неподвижного центра 。 и вектор угловой скорости (о [точнее говоря, К и (о являются псевдовекторами (см. § 34 и указанные там примеры псевдовекторов) ], совокупность коэффициентов при(0х, бу, Sz в системе равенств (3), представленная матрицей (5), образует физический (объективный) тензор второго ранга, который мы обозначим буквой / и назовем тензором инерции тела в данной его точке.

По определению операции умножения вектора на тензор слева или справа (в данном случае это безразлично, так как тензор инерции, очевидно, симметричен) системе равенств (3) можно придать (см. § 33) тензорную форму

К = J(o.(6)

Замечая, что суммы у? + z?, х2 + z2, х2 -рУ2 представляют собой квадраты расстояний точки N соответственно от осей Ох,

Оу, On, заключим, что диагональные компоненты матрицы (5)— их для сокращения записи принято обозначать через /х,厶/, h — представляют собой моменты инерции тела относительно осей Ох, Оу и On. Недиагональные компоненты матрицы (5), взятые с положительными знаками, называют центробежными моментами инерции или произведениями инерции в соответствующих плоскостях.

Подчеркнем, что моменты инерции /%, Jy, Jz, так же как и произведения инерции 7^, Jyz, /х2, зависят от выбора в теле осей координат, но совокупность этих величин в целом представляет не зависящую от этого выбора единую физическую величину ——тензор инерции J.

Сравнивая формулу (6) с выражением вектора количества движения для поступательно движущегося тела или материальной точки q = mv, видим, что подобно массе т, характеризующей инертность тела в его поступательном движении, тензор инерции / выражает инертность абсолютно твердого тела при его вращении вокруг некоторого центра. В этом заключается физическое значение тензора инерции. Тензор инерции имеет различные значения в разных точках твердого тела; он является функцией точки, т. е. образует в твердом теле тензорное поле. Связь между тензорами инерции в разных точках твердого тела будет установлена далее.

При изложении основ тензорной алгебры (§ 33) было выяснено, что определение тензора как совокупности коэффициентов в выражении линейной связи между двумя физическими векторами не является единственным. Возможно и другое определение тензора как совокупности величин, преобразующихся при переходе от одной прямоугольной системы координат к другой по формулам преобразования произведений проекций двух векторов. Переходя от буквенной индексации к цифровой [х = хь у =尤2, z = %з, причем в следующих формулах предполагается суммирование по дважды повторяющимся в одночленах 《не- мнм》(§ 33) индексам г и s, а знак 土 принят в соответствии с матрицей (5), где плюс относится к случаю р = % а минус — к случаю р 及 q] будем иметь

―apraqs (±，rs)' Jpq = (±，rs)‘ ⑺ (p = 1, 2, 3; g = 1, 2, 3),

где 士 I/ — компоненты тензора инерции в «новой» системе координат 0%：к；%； a ±Jpq — B «старой» системе Ох\х2х^ Величины amn (m = 1, 2, 3; /г = 1, 2, 3) представляют собой косинусы углов между осями 0%； и Охп согласно следующей

⑻⑻таблице (§ 32):

⑻

⑻

для составления выражения момента инерции Jl тела относительно произвольной прямой LL (рис. 345), проведенной через точку О в теле. Для этого достаточно представить себе прямую LL как ось «новой» системы координат, например как ось Ох^. Тогда из первой формулы (7) при р — q = \ будет следовать (суммировать по г и s)

%=人=%凸$(士二),

или, если записать эту двойную сумму в развернутом виде, /厶=研丿1 + 呢‘2 + а；з'з — 2аиа12712 — 2%2alз」2з 一 2ана13/13. (9)

Если обозначить косинусы углов прямой LL с осями системы координат O%[%2%3 через а,崔 丫 и вернуться к буквенной индексации, то формула (9) примет вид

/厶=/%а2 + /у§2 + 丿2丫2 — 2/xyCtp — 2/^2py — 2/z%Ya. (10)

При помощи этой формулы момент инерции тела относительно оси, произвольно проведенной через некоторую точку тела, выражается через моменты инерции относительно трех пересекающихся в этой точке взаимно перпендикулярных осей и соответствующие этим осям центробежные моменты инерции.

Выражение (10) представляет собой однородную квадратичную функцию — квадратичную форму — от направляющих косинусов оси, относительно которой определяется момент инерции, в выбранной в данной точке оси системе осей координат. Шесть инерционных характеристик тела в рассматриваемой точке: три момента инерции относительно осей координат и три центробежных момента — образуют коэффициенты этой квадратичной формы.

§ 140. Главные оси инерции

В § 35 было показано, что симметричный тензор второго ранга в каждой точке пространства обладает тремя взаимно перпендикулярными главными осями. Если принять эти оси за оси координат, то недиагональные компоненты будут равны нулю, а три отличные от нуля диагональные компоненты образуют систему главных значений тензора. В рассматриваемом случае тензора инерции главные оси тензора инерции именуются главными осями инерции, а главные значения тензора инерции — главными моментами инерции.

Приведем здесь применительно к тензору инерции другое доказательство существования главных осей инерции, основанное на геометрическом представлении тензора инерции.

Итак, докажем, что в любой точке твердого тела существуют три взаимно перпендикулярные главные оси инерции.

Для доказательства используем

следующую геометрическую интерпре-Рис. 346.

тацию формулы (10): вдоль оси OL —

<рис. 346) отложим отрезок ON =\1、Т[・ Координаты конца этого отрезка в системе осей Oxyz будут

у = CW cos (0厶，у)у = CW cos (0厶，у)2 = ON cos(OL, 2)=2 = ON cos(OL, 2)=% = ON cos (ОА, х) = —,

у = CW cos (0厶，у)

у = CW cos (0厶，у)

2 = ON cos(OL, 2)=

2 = ON cos(OL, 2)=

откуда

0 = Км□ 6 = ^"/厶，Y = n"/厶.

Подставляя эти выражения в (10) и сокращая общий множитель 厶，получаем

Ix^ + Jyy2 + 厶之2 一 2Jxyxy — 2/gzW — 2Jzxzx = 1.(11)

Поверхность второго порядка, представляемая этим уравне- нием, дает геометрическое место концов отрезков ON при все* возможных направлениях оси OL. Вектор-радиус, проведенный из начала координат к любой точке поверхности (11), по величине обратно пропорционален квадратному корню из момента

инерции относительно оси, имеющей направление этого вектор- радиуса. Поскольку момент инерции относительно любой оси есть величина существенно положительная и не обращающаяся в нуль, поверхность (11) не имеет бесконечно удаленных точек и, следовательно, представляет собой эллипсоид. Этот эллипсоид называется эллипсоидом инерции тела в рассматриваемой точке О (рис. 346).

Изображение тензора инерции в форме эллипсоида не яв・ ляется чем-то специфическим для тензора инерции. Аналогичные интерпретации возможны и для всех других симметричных тензоров второго ранга. Так, тензору напряжений (§ 36) можно было бы сопоставить эллипсоид напряжений, тензору деформаций (§ 78) эллипсоид деформаций, тензору скоростей деформаций—эллипсоид скоростей деформаций (§ 78). Происхождение названия «сферический тензор» для тензора, обладающего изотропией, т. е. такого, что все его диагональные компоненты в данной точке равны между собой (единичный тензор, тензор напряжений в идеально текучей жидкости), связано с тем, что в геометрической интерпретации такому тензору соответствует сфера.

Уравнение эллипсоида (10) можно привести к более простому (так называемому каноническому) виду, если оси координат направить по осям эллипсоида. В новых осях координат Ох'у% вместо (11) получим

公2 У2 —a2十万2十e2 一丄，

где а, &, с — полуоси эллипсоида. Если обозначить через /〔, /2, /з моменты инерции относительно осей О%', Оу\ Oz\ то по построению эллипсоида инерции

и подстановка дает

J^ + hyf2 + h^2 = ^-

Сравнивая полученное уравнение с уравнением (11), видим, что все центробежные моменты инерции в системе осей Охгуг^ обратились в нуль. Этим доказывается существование в каждой точке твердого тела трех взаимно перпендикулярных главных осей инерции; они совпадают по направлению с осями эллипсоида инерции тела в этой точке. Моменты инерции 厶，/2, /з представляют собой главные моменты инерции.

Метод определения направлений главных осей и величин главных значений любого симметричного тензора второго ранга был уже описан ранее (§ 35), причем метод этот носил чисто

аналитический характер, не связанный с образом эллипсоида, геометрически изображающего рассматриваемый тензор.

Приведем другую постановку того же вопроса, исходящую из геометрической интерпретации тензора инерции. Направлен ниям главных осей инерции соответствуют оси симметрии эллипсоида инерции, а следовательно, экстремальные значения моментов инерции. Поэтому дело сводится к нахождению значений а, р, у, связанных соотношением

f (а, р, Y)= «2 + Р2 + Y2 - 1 = 0(12)

и сообщающих экстремальное значение однородной квадратичной форме (9)

尸(а, р, Y) = / = Jxa2 + Jy^? + 厶у_2/方"碑一2厶笫Y 一 2厶%Ya■

Эта задача на условный экстремум сводится к задаче о нахождении безусловного экстремума функции

①(а, Р，丫)=尸(а, ₽, 丫)一 浦(а, 0, у),(13)

где X — пока неопределенный множитель. Для решения последней задачи приравниваем нулю частные производные Ф по а, р, у; получаем

дФ _ dF . dfd①—" л df

一a5u,

。① dF . df п

Чтобы выяснить значение множителя X, умножим каждое из этих уравнений соответственно на а, 0, 丫 и сложим результаты; учитывая (12), получаем

Левая часть по теореме Эйлера об однородных функциях равна 2尸=2/. Таким образом, для значений а, р, % удовлетворяющих уравнениям (14), т. е. сообщающих экстремум функции 尸(а, В, у), имеем

т. е. множитель X равен искомому экстремальному значению момента инерции.

В развернутом виде уравнения (14) записываются так:

(厶一九)а — /%?В — Jzxy = 0,

—厶尹 + (/у — %) В — %zY = 0，(15)

一%以一〃?p + 亿-X) y = 0.

Эта однородная система линейных относительно а, 0, у уравнений может иметь отличные от нуля решения только в том случае, когда ее определитель равен нулю. Для определения 九 будем иметь таким образом, уравнение

/% —九—Jxy 一 Jxy /у —九 一厶 一人2/% —九—Jxy 一 Jxy /у —九 一厶 一人2—Jzx—Jyz」N —九—Jzx—Jyz」N —九=0.=0.(16)(16)

/% —九—Jxy 一 Jxy /у —九 一厶 一人2

/% —九—Jxy 一 Jxy /у —九 一厶 一人2

—Jzx

—Jyz

」N —九

—Jzx

—Jyz

」N —九

=0.

=0.

(16)

(16)

Раскрывая определитель, получаем полином третьей степени относительно 入.В § 35 было доказано, что все три его корня вещественны. Предположим, что они различны, и обозначим их, как выше, через 厶，厶，/з — это и будут искомые главные моменты инерции.

Обозначим через а», 0力，у» косинусы углов с осями координат Ох, Оу, Ог той главной оси, которой соответствует момент инерции // (индекс i может быть равен 1, 2 или 3). Для определения а/, Р/, 丫》получаем уравнения

(/% —厶)s — ММ — Gw = о,

—厶必 + 3 —厶)6i ^yz^i =0，(17)

—hx^i — Л/乱 + (厶一厶)Yi =0，

Г+ 悌+ W=L(18)

Из трех уравнений (17) одно является следствием двух других, так как 丿力 определено так, чтобы определитель (16) системы уравнений (15) обращался в нуль. Поэтому для определения трех неизвестных имеем три уравнения: уравнение (18) и два из уравнений (17).

Таким образом, путем решения кубического уравнения (16) можно определить три главных момента инерции и для каждого из них найти направление соответствующей оси. Проверим, что эти направления взаимно перпендикулярны. Для этого примем в системе (17) i = 1 и, умножив каждое из уравнений соответственно на «2, 02, 丫2, сложим результаты; получим

J%@1a2 + /你出2 + 厶Y1Y2 一 〃 (61a2 + 62a1) - Jyz (Y02 + Y2B1)-

—厶％ (丫1。2 + Y2«l)=厶(a@ + ₽1р2 + Y1Y2)-

Если проделать то же самое с системой уравнений (17) для i = 2, умножив каждое уравнение соответственно на g, 力, то слева получим то же самое выражение (это очевидно вследствие симметрии его относительно индексов 1 и 2); справа же будет стоять

」2 (a2al + Р2Р1 + 丫2»)・ Итак, получается

(J1 — Z2) (ala2 + Р1₽2 + Y1Y2) = 0,

и поскольку ПО условию /1 И」2 различны, то «1«2 + Р1₽2 + Y1Y2 = 0,

что и доказывает перпендикулярность первой и второй осей.

Если /1 = /2, то это заключение отпадает; в этом случае эллипсоид инерции представляет собой эллипсоид вращения вокруг третьей главной оси и любая прямая в плоскости, перпендикулярной к этой оси и проходящей через точку О, может быть принята за главную ось инерции. Наконец, при J{ — J2—J^ эллипсоид инерции вырождается в сферу и любая прямая, проходящая через рассматриваемую точку, является главной осью инерции.

Эллипсоид инерции с центром в центре масс тела называют центральным эллипсоидом инерции, его оси ——главными центральными осями инерции, а моменты инерции относительно этих осей — главными центральными моментами инерции. Обозначим их через

Пользуясь теоремой § 115 о моментах инерции относительно параллельных осей, легко выразить момент инерции относительно произвольной оси через главные центральные моменты инерции. Согласно упомянутой工爲

теореме, момент инерции относи-Г,

тельно произвольной оси 04■■«--—j—

(рис. 347), направление которой|

характеризуется косинусами а,仇 ( 一—闽 у углов, соетавляемых ею е глав-h

ными центральными осями инер-F ции Ску厶 будет\/

где J© — момент инерциигде J© — момент инерцииотно-отно-Рис. 347.Рис. 347.сительно оси С А, параллельной

где J© — момент инерции

где J© — момент инерции

отно-

отно-

Рис. 347.

Рис. 347.

严）=用凳+ *）『+皆）出严）=用凳+ *）『+皆）出(19)(19)041 и проходящей через центр масс тела, d — расстояние между осями, М — масса тела. Но по формуле (10)

严）=用凳+ *）『+皆）出

严）=用凳+ *）『+皆）出

(19)

(19)

J = Md2 + ^ + ^2 + J(^J = Md2 + ^ + ^2 + J(^(20)(20)

J = Md2 + ^ + ^2 + J(^

J = Md2 + ^ + ^2 + J(^

(20)

(20)

так как центробежные моменты относительно главных осей равны нулю; следовательно,

Предположим, что в точке О твердого тела определены направления главных осей Oxyz, Если перейти из точки О в другую точку М, лежащую на оси Oz на расстоянии ОМ = а, то ось z уже не останется главной осью инерции в точке AL

10 Л. Г. Лойцянский, А. И. Лурье

В самом деле, построим в точке М систему осей Мх®% параллельных главным осям в точке О (рис. 348); тогда координаты какой-либо точки тела в системе осей Mxryfzr будут равны

xf = xt 旷=В，2’ = z — а,

где х, у, z — координаты этой точки тела в системе Oxyz. Центробежные моменты инерции Jy^ и Me будут

Jyfzr = \ У‘2‘ dm =(М)

/ȣ = \ a'%' dm =

\у(2 — a)dm= yz dm — а ^ у dm,

(М)

\ Q — а) % dm = ^zx dm —

(М)

7(21)

а dm.

(М)

Но Oz есть главная ось инерции в точке О, т. е.

)zx dfn ■—； J^x—— 0, (М)

с другой стороны,

,xdm = MxCt (晶

\ yz dm = Jyz = 0; (М)

где Хс, ус — координаты центра из равенств (21) получаем

JУ产一Маус，

т. е. главная ось инерции Oz в

\ у dtn = Muc，

(М)

масс, М — масса тела. Поэтому

厶，%，= - MaxCiточке О уже не

(22)

является тако

вой в точке М. Это будет иметь место только в том случае,

Рис. 348.

когда хс = ус = 0,

когда ось On

проходит через центр масс тела. Главная центральная ось инерции является главной осью инерции во всех своих точках.

Направления главных осей инерции тела часто можно определить из соображений симметрии.

Пусть, например, тело имеет ось материальной симметрии; примем ее за ось z; на этой оси лежит центр масс тела. Легко доказать, что ось z будет главной центральной осью инерции. В самом деле, поскольку ось z является осью

материальной симметрии, для всякой точки М с координатами (%,，, 2)можно будет найти симметрично расположенную относительно оси z точку Mf с координатами (—х, —у, г), причем

массы dm, сосредоточенные в точках Л4 и А4‘, в силу предположений симметрии равны. Таким образом, в интеграле

Jyz = yz dm

(М)

каждому слагаемому yz dm будет соответствовать равное по величине и противоположное по знаку слагаемое (—yz dm); следовательно,

и аналогично 厶% = °,

т. е. ось 2 является главной центральной осью инерции тела.

Если тело имеет плоскость материальной симметрии 77, то любая прямая, перпендикулярная к этой плоскости, будет главной осью инерции в точке О пересечения ее с плоскостью П. Действительно, если принять эту прямую за ось 2 и О за начало координат, то для любой точки М с координатами х, у, z можно найти точку АГ с теми же координатами %, у и с третьей координатой (—z); массы, сосредоточенные в точках М и М\ равны, так как по предположению П ——плоскость материальной симметрии. Таким образом, интегралы

Jyz = ^ yz dm, Jzx — ^zx dm(M)(M)

и в этом случае обращаются в нуль, т. е. Oz является главной осью инерции в точке О.

Рассмотрим также однородное тело вращения с осью симметрии N. Так как ось z — ось симметрии, то она является главной центральной осью; две любые взаимно перпендикулярные прямые, перпендикулярные к оси z и пересекающие ее, могут быть приняты за главные оси инерции в какой-либо точке оси вращения тела. Действительно, для тела вращения всякая плоскость, проходящая через ось N, является плоскостью симметрии; значит, перпендикулярная к этой плоскости прямая, т. е. любая прямая, является главной осью. Эллипсоид инерции в любой точке оси z является эллипсоидом вращения. Момент инерции относительно оси вращения эллипсоида инерции называется аксиальным; моменты инерции относительно осей, перпендикулярных к оси вращения эллипсоида инерции, называются экваториальными. Очевидно, экваториальные моменты равны между собой, так как равны соответствующие полуоси эллипсоида инерции.

Для определенияДля определенияРис. 349.Рис. 349.УрУУрУ

Для определения

Для определения

Рис. 349.

Рис. 349.

УрУ

УрУ

Пусть /з обозначает аксиальный, a Ji = J2 ——экваториальные моменты инерции однородного тела вращения с осью симметрии Oni. Выразим через них моменты инерции и центробежные моменты в системе осей Oxyz, получающейся при повороте системы главных осей инерции Ox\y\Z\ на угол 9 вокруг главной оси Оу\ (рис. 349).

По формуле (10) находим

/%==/[ cos2й + J3 side, /? = /卜 Jz — Ji siMe + /3 cos2fl*.

центробежного момента Jzx заметим, что по формулам преобразования координат будет

尤=修cos分一a】 sin也 у — уь

2 =修 sin С + zx cos fl*,

и получим

Jzx — ^ zx dm =

(M)

=，(%i sin 8 + 々 cos 8) (%i cos 8—备 sin 0)=

=sin 0 cos 0、(咛一喲 dm +

(М)

+ (cos20 — sin20) \ %仔]dm.

Последний интеграл равен нулю, так как оси 厶 и 修 являются главными; далее

J ^ — ^ dm =、(貯 + 光)山и— \(2； + %*т = /з —厶

(М)(М)(М)

и, следовательно,

/z% = ^(/3-Qsin2 仇(23)

Центробежные моменты Jxy и Jyz обращаются в нуль, так как ось Оу (или О/л) является главной осью.

Пример 120. При каком отношении радиуса г прямого кругового однородного цилиндра к его высоте 九 центральный эллипсоид инерции обратится в сферу? Тот же вопрос — для прямого кругового конуса.

В случае однородного кругового цилиндра момент инерции относительно оси вращения определяется формулой

聲=扌m居

моменты инерции относительно двух других главных центральных осей будут (см. табл. 5)

个)。度)=；吩2+%財戒

Условие равенства моментов инерции 4s и /，)дает

г 1

В случае прямого кругового конуса имеем

裁П卡"产，片)=砍=青吩2 +备М庐

Центральный эллипсоид инерции будет сферой при условии

г 1

Пример 121. Тело состоит из двух одинаковых однородных круговых цилиндров с параллельными осями, вделанных в тонкую доску; серединная плоскость доски параллельна основаниям цилиндров и делит высоту цилиндров на равные части (рис. 350). Масса каждого цилиндра равна 麻，высота

Рис. 350.

2Н, радиус R, расстояние между осями цилиндров равно 2b. Определить, пренебрегая массой доски, главные центральные моменты инерции тела, а также его моменты инерции относительно системы осей Oxyz, параллельных главным центральным осям и имеющим начало в точке О, расположенной на главной центральной оси, перпендикулярной к плоскости, проходящей через оси цилиндров. Найти такое положение точки О, чтобы /% = /? = 2/г.

Система главных центральных осей Сх^у^г^ показана на рис. 350. Применив теорему о моментах инерции относительно параллельных осей, найдем

выражения главных центральных моментов инерции

/，= 2М (^ № + } R? + 庐)，

J? = 2M (^n+庐)，

)，= 2M6川+打2).

Оси системы Oxyz (причем ОС = а) также представляют собой главные оси в точке О. Это следует из того, что ось Сх является главной централь ной осью, а ось Oz перпендикулярна в точке О к плоскости симметрии тела. Снова применив упомянутую теорему, получим

Jx =般，Jy =厅)+ 2MJ, 厶=/尸 + 2М/.

Подчинив теперь выбор размеров а н b требованиям

J * =〕у = 2J 2, получим уравнения

炉 + } R2 + 核=^. R2 + 核 + 炉=^.炉 + ^. R2 + 2a2,

из которых найдем

Положительность величин а2 и 匕2 следует из очевидного условия

ь>R.

Приняв указанные значения а? и 匕2, найдем

= М/р,厶=爰 МН"

Эллипсоид инерции тела в точке О представляет собой эллипсоид вращения вокруг оси Oz с отношением полуосей 1 : 1 :“2; центр тяжести этого тела лежит в экваториальной плоскости эллипсоида инерции (в точке х = =—а, у = °)。Если в точке。поместить острие, предоставив телу возможность вращаться вокруг этого острия, то придем к реализации классического интегрируемого случая вращения твердого тела под действием силы тяжести, открытого С. В. Ковалевской (1850—1891) *).

Пример 122. Колесо ветряной мельницы состоит не п одинаковых лопастей, расположенных по кругу на одинаковых угловых расстояниях друг от друга. Масса лопасти равна m и считается равномерно распределенной по

радиусу колеса г и сосредоточенной в его средней плоскости. Убедиться, что при 九 > 2 центральный эллипсоид инерции колеса обращается в эллипсоид вращения (ось вращения перпендикулярна к плоскости колеса). Чему равно отношение осей эллипсоида? Во что вырождается эллипсоид инерции при п = 2?

Расположим оси х и(/ в средней плоскости колеса и обозначим через ао угол одной из лопастей с осью х. В таком случае другие лопасти будут составлять с этой осью углы

,2л , 4л;, 2 (n ■— 1) л

ao + -^' ao + "^-» …，ao H •

Находим

九一1Рn-1

"=嚓 2 si/ (% +讐)=嗒 n-^cos2(a0 +

fe=0Lfe=o

n-1/?="^- e COS2 (% •+n-1/?="^- e COS2 (% •+2n々n2n々n

n-1

/?="^- e COS2 (% •+

n-1

/?="^- e COS2 (% •+

2n々n

2n々n

1万1万33+嚟)々=033+嚟)々=0n-1九一1

1万

1万

33+嚟)

々=0

33+嚟)

々=0

e2ia0 £ ^nkiln + 丄2a 2 е-Ш//п.

fe=0尼=Q

суммируя эти геометрические прогрессии, получаем

д 一 ]

y cos 2fa0 + 丝)=丄 0% /二d" 一 + 丄 e-2a 1-内 .

乙十 丿2ё 1_收句十21一小4

при 几 > 2 знаменатели слагаемых дробей отличны от нуля, а числители равны нулю; поэтому

£ cos 2 (% + ^^) =0(^ = 3, 4,...).

fe=o

Итак,

1MW

% = % = =

где М = тп ——масса всех лопастей. Эллипсоид инерции ——эллипсоид вращения. Отношение осей эллипсоида равно “2.

При п = 2, направив ось х вдоль общей оси лопастей, получим

% = Q,% = Q,8Г =嚓・28Г =嚓・2М产丁'М产丁'

% = Q,

% = Q,

8Г =嚓・2

8Г =嚓・2

М产丁'

М产丁'

« эллипсоид инерции вырождается в круговой цилиндр.

§ 141. Кинетическая энергия и главный моментколичеств движения

Для вычисления кинетической энергии твердого тела в общем случае его движения представим скорость V/ любой точки тела как геометрическую сумму скоростей полюса О и вращательной скорости:

% = % + sX〃・(24>

Если за полюс принять центр тяжести С тела, то ©о = и。и по формуле (27) § 125 выражение кинетической энергии может быть представлено в виде суммы двух слагаемых:

Г = 1^ + Г,(25)

причем первое слагаемое представляет кинетическую энергию массы М тела, мысленно сосредоточенной в центре тяжести и движущейся со скоростью последнего, а второе 穴一кинетическую энергию вращательного движения с угловой скоростью о вокруг мгновенной оси, проведенной через центр тяжести. Повторив в точности вывод формулы (37) § 126, найдем

『=^严6,(26)

где /О ——момент инерции тела относительно мгновенной оси. При движении тела мгновенная ось перемещается в теле и /(°> меняется с течением времени. Желая перейти к постоянным во времени характеристикам инертности тела, свяжем с телом систему координат Cxyz, обозначим через а, р, 丫 косинусы углов мгновенной оси с этими осями и выразим момент инерции /(С> через моменты инерции и центробежные моменты инерции по формуле (10)

J© = Jxa + Jy^ + J /у? — 2/%尹6 — 2/jzPy — 2/гхуа.

Подставляя это выражение в предыдущую формулу и замечая, что

соа = (Од., сор = бу, coy = g)n, получаем

2『=/Х +乙弟+厶吗一 2/%严力% - 2厶%支一2Jz^^x^ (27)

Если, в частности, за оси координат Cxyz принять главные центральные оси инерции тела, то Jxy = Jyz = /” = 0 и выражение (27) упрощается; будем иметь

2Г = J^ + J 尸吗 + 當)％(28)

где /)0, JQ), J紀)—главные центральные моменты инерции.

Формула (27) дает также выражение полной кинетической энергии Т твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной точки О, если под /%, ..., Jzx подразумевать моменты инерции и центробежные моменты в системе осей Oxyz, связанных с телом и имеющих начало в точке О. Если, в частности, за оси Oxyz принять главные оси инерции в точке О, то придем к выражению (23), в котором /1, /2, /з (индексы С нужно опустить)— главные моменты инерции в точке О.

Возвращаясь к общему случаю движения твердого тела, по (25) и (28) находим

= } М% + 营(/(『)哽 + /р 再 + 當哨.(29)

Выразим проекции угловых скоростей в формуле кинетической энергии через производные эйлеровых углов (§ 61). Ограничимся случаем, когда тело, имеющее неподвижную точку О, представляет собой тело вращения вокруг оси 0之；кинетическая энергия Т дается формулой

7 = ^邑(磯+%)+抬>弟(30)

Так же выразится кинетическая энергия Т во вращательном движении вокруг центра тяжести; в этом случае

人=举，4=承・

Пользуясь выражениями проекции угловой скорости на оси, связанные с телом, через производные эйлеровых углов

s% = 0 sin 0 sin ф + 0 cos qp,

Sy = 0 sin 0 cos qp — 0 sin <p, 曳=0 cos 0 + ф получаем

=4 卩I ④ sin2 8 + №) + 厶(@ + j cos 6)2].(31)

Если в общем случае движения твердого тела выбрать за полюс произвольную точку тела О, то для вычисления кинетической энергии тела следует использовать выражение (35) § 125, в котором и。一 скорость полюса О, а 嘘)一скорость центра тяжести тела по отношению к системе отсчета, движущейся поступательно вместе с полюсом, т. е. в рассматриваемом случае

где(о — угловая скорость тела, rfc — вектор-радиус центра тяжести по отношению к полюсу О. Замечая, что

@о •吧=0。・(<о X 啕=乂 ・(％ X ®), получаем

T = ^Mvl + M[xc (%严 n - ％喲 + Ус (%叫 一 ％%) +

+ %也也 一%严以] +厂，(32)

где %с, ус, 2с — координаты центра тяжести С в системе осей Oxyz9 связанных с телом, со*, ^у,(0z и и。％, vQyt vQ2 — проекции на эти оси соответственно векторов & и a。； 7V вычисляется л о формуле (27) или же (28), если оси Oxyz — главные оси в точке О [причем в (28) надо опустить индексы С].

Для вычисления главного момента количеств движения твердого тела относительно неподвижного центра следует обратиться к одному из выражений (76) или (75) § 119. Остановимся сначала на формуле (76) как более простой; получим

K = rcXQ+Z^r；X(<oX<) = rcXQ + K,,(33)

где вектор К' уже был определен ранее в § 139 формулами (2) и (3). В формулах (3) § 139 моменты инерции и центробежные моменты вычисляются относительно осей, связанных с твердым телом и имеющих начало в неподвижной точке. В частности, при вращении вокруг неподвижной оси Oz имеем ох = ©^ = 0 и

Кх = — %®, Ку = — ^銀z, (=厶吗・(34)

Если за оси координат принять главные центральные оси инерции, то

к； =& = /州夕 & =承叫・(35)

В случае твердого тела, имеющего неподвижную точку О, имеем

К%===/津%, Ку^^]?®?、Kz ^^ J3sz.(36>

Здесь Oxyz — главные оси инерции тела в точке О; Кх, К% Kz — проекции на эти оси главного момента количеств движения тела относительно неподвижной точки.

Не представит труда составить по (75) § 119 формулы, дающие проекции главного момента количеств движения твердого тела относительно неподвижного центра, выбрав за полюс про* извольную точку О. Получим

К% = М (大严cz — rQzvCy) + М (ycvQz - zcvQy) +

+ /%吗 一 J%，% 一厶2д (37)

и два аналогичных выражения для проекций на оси Оу, Oz. Здесь гох,「оу, Гог, Vox, Uoy, uoz — проекции на оси Oxyz, связанные с телом и имеющие начало в полюсе О, векторов г。 (вектор-ра- диуса полюса О относительно центра момента) и 0о (скорости полюса); через vex,也，vcz обозначены проекции на те же оси вектора скорости центра тяжести тела С, а через Хс, ", Zc — координаты центра тяжести в этих осях; наконец, в трех последних слагаемых моменты инерции и центробежные моменты должны быть вычислены в указанной системе осей, связанных с телом; сох, ^у, Sz ——проекции вектора угловой скорости ш на эти оси.

Пример 123. Бегун представляет собой тяжелое тело вращения, вращающееся с угловой скоростью б)о вокруг своей оси, которая в свою очередь вращается от привода с заданной угловой скоростью (о* (рис. 351). Соста

вить выражение кинетической энергии бегуна; радиус инерции бегуна относительно оси ОС равен р, масса бегуна М углы а н 仇 указанные на рисунке, известны; ОС = с.

Кинетическая энергия поступательного движения бегуна равна

普方=年①喚2 sin2仇

Переходя к составлению выражения кинетической энергии вращательного движения бегуна, примем ось вращения ОС за ось Cz, а перпендикуляр к ней в плоскости векторов со。и (о* — за ось Су; ось Сх направим перпендикулярно к этой плоскости. Начало системы осей Cxyz помещено в центре тяжести бегуна С. Так как бегун представляет собой тело вращения, то оси системы Cxyz будут главными центральными осями инерции. Мгновенная угловая скорость бегуна (о определится как сумма угловых скоростей Шо и <о*. Имеем

①％ = 0, ш^ = со* sin О, (о2 == соо + со* cos О,

И формула (28) дает

2yB 皆)(®0+ S* COS 窃)2 + /?)(О*2 sin2 也

Считая, что мгновенная ось проходит через среднюю точку Р бегуна, из треугольника угловых скоростей находим

* sm (д — а)

① о = со*т-sin а

н, следовательно,

①о + о* cos 个=« со* sin О ctg а.

Замечая, что

получаем

Т^~-^ sin2 9(l+gctg2<x + »^»)・

Отдел пятый

ДИНАМИКА НЕСВОБОДНОЙ СИСТЕМЫ

Глава XXVII

СВЯЗИ. СТАТИКА НЕСВОБОДНОЙ СИСТЕМЫ

Классификация связей

Положение системы п материальных точек определяется совокупностью Зи декартовых координат:尤卜 у\, гь х2, 42,乞2，... ...,хл, уп, zn этих точек. Положение твердого тела задается тремя координатами %о, у。，％о одной из его точек, принятой за полюс, и тремя эйлеровыми углами гр, ф и 0 （§ 64）. Если система состоит из нескольких твердых тел, то для определения положения такой системы в пространстве достаточно задать координаты полюсов и значения эйлеровых углов для каждого из тел.

Для определения положения точки в пространстве пользуются также криволинейными координатами （§ 47）; положение твердых тел можно задавать не только эйлеровыми углами, но и другими параметрами, играющими аналогичную роль. Таким образом, для определения положения материальной системы в пространстве применяют самые разнообразные приемы. Любая совокупность параметров, достаточная для определения положения системы в пространстве, называется обобщенными координатами системы. При этом не предрешается вопрос о том, все ли координаты необходимы для указанной цели, нельзя ли определить положение системы при помощи только части этих параметров или вообще меньшего числа параметров.

Так, например, положение системы п материальных точек^ абсолютно жестко связанных между собой, может быть задана при помощи Зп декартовых координат （爲，у/, &）; с другой стороны, поскольку точки системы образуют абсолютно твердое тело, для этой цели могут служить шесть параметров: три координаты полюса （х（ъ у。，％о） и три эйлеровых угла （2, Ф，0）. При этом две совокупности координат связаны следующими соотношениями:

打=打（死，%, %； 2, ф, 0）,%=勿（的，%, %；也 ф, 6）,

;=Zi（Xo, %, &;也 <p, 8）（/= 1, 2, ..., n）.

Вообще, если положение движущейся системы п материальных точек М, с прямоугольными координатами (х/, у” 之力 в любой момент времени может быть задано при помощи какой-нибудь совокупности обобщенных координат (夕卜 ^2,.…,q], то между первой и второй совокупностями должны существовать соотношения вида

修=修(/；力，%,•・•，分)， у1 = уm:力，92, •••,分)，

2j = 2j(f;力，％,...,分) (/== 1, 2,・・・，n), (2)

в общем случае явно содержащие время.

Если материальная система не свободна, то ее обобщенные координаты gi, «2， •.・，^г, так же как и их производные по времени—обобщенные скорости @1, @2，・••， 0厂,—подчиняются ограничительным условиям, которые мы называем связями. Аналитически связи выражаются равенствами, заключающими время, координаты и их производные, иногда сопровождаемые знаками неравенств; последние указывают на возможность прекращения действия связей. Остановимся на случае связей, выражаемых равенствами.

Связи, выражаемые аналитически уравнениями вида

①а«；力，夕2, 分；仇，&,・••，仇)= 0, (3)

носят общее наименование кинематических; обобщенные скорости в соотношение (3), как правило, входят линейно.

Если время не входит явно в уравнения связей, то такие связи называют стационарными, в противном случае — нестационарными.

Кинематические связи, уравнения которых не содержат обобщенных скоростей или путем интегрирования могут быть к такому виду приведены, называют голономными или интегрируемыми f в противном случае — неголономными или неинтегрируе- мыми.

Голономные связи накладывают ограничения только на координаты точек системы, т. е. на ее положение в пространстве. Вместе с тем, будучи продифференцированы по времени, уравнения голономных связей представляют ограничения, накладываемые на скорости точек системы. В противоположность этому неголономные связи ограничивают и координаты, и скорости точек системы, так как уравнения связей не могут быть проинтегрированы и, следовательно, не существует конечных соотношений между координатами, соответствующих неголономным связям.

Примером голономной нестационарной связи может служить математический маятник переменной длины. Тяжелая точка М привешена на нити, верхний конец которой проходит через от*

верстие О, причем нить может укорачиваться по заданному закону так, что длина нити / будет известной функцией времени /(/). Уравнение связи, налагающее ограничение на координаты хну точки в вертикальной плоскости, будет

炉+ y2 = Z2(/),

или в полярной системе координат г — I (/).

Если нить не изменяет свою длину (Z = const), то мы придем к стационарной голономной связи

尤2 + у2 = /2, или r = lt

соответствующей движению несвободной точки по вертикальной окружности (математический маятник постоянной длины).

Физический маятник (§ 117) представляет собой твердое тело, подчиненное голономным связям, выражающим условия вращения тела вокруг неподвижной оси. Уравнения голономных стационарных связей в этом случае можно представить в виде

Рис. 352.Рис. 352.следующих условий, налагаемых на обобщенные координаты твердого тела:

Рис. 352.

Рис. 352.

尤 о== 0,%°, ^о=== °；

2 = о, е = о.

Вращение тела опреде- "'"〃 ляется изменением одного угла ф ——угла чистого вращения.

В качестве примера голономной несвободной системы, состоящей из нескольких тел, рассмотрим плоское движение четырехзвенного механизма О\МхМ2О2 (рис. 352). Если для заданий положений движущихся его звеньев OVM^ MiM2 и 02M2 пользоваться координатами точек Мх и M2f то уравнения связей будут (размеры звеньев указаны на рисунке)

九+光=гр (" 一尤2)2 +骋=rl (/一 xi)2 +伪一 y)?=卩・⑷ Эти уравнения связывают между собой четыре обобщенные координаты системы: %ь уь %2, У2・ Если принять за координаты системы три угла ф, 0 и гр, образованных стержнями с осью Ох, то соответствующие этим координатам уравнения связей получим, рассматривая вектор 015 как замыкающую сторону век* торного многоугольника OiMiM2O2. Проектируя на оси, находим ri cos ф + / cos 8 — г2 cos 屮=а,

门 sinq)+ Z sin 0 — r2 sin л|)= 0;()

при том и другом выборе координат число независимых координат будет равно единице.

Гладкая горизонтальная плоскость ", по которой катится идеально отполированный шар (рис. 353), дает также пример голономной связи. Положение шара в пространстве ограничено условием сохранения расстоя- zlния его центра С от плоскости

равным радиусу шара а. При 夕этом центр его может переме-

J夕 ——7_^щаться только в плоскости, па

Л / 4 раллельной ", а вектор скоро- Лсти центра шара должен ле-

Л/жать в этой плоскости. В ос-

%тальном положения и переме-

Рис. 353.щения шара произвольны: шар

может скользить по плоскости или катиться по ней с любым скольжением; единственным голо- ном ным условием будет служить равенство

%с = а.(6)

Если плоскость абсолютно шероховата, то возникает дополнительная связь ——условие отсутствия скольжения, заключающееся в том, что скорость точки М шара, которая в данный момент соприкасается с плоскостью (вектор-радиус этой точки относительно центра шара обозначаем через г), равна нулю. Это условие может быть записано в виде равенства

^с + «Хг = 0.

Здесь ос — скорость центра шара, (о — угловая скорость шара, имеющая проекции на неподвижные оси (§ 61):

со% = @ sin ip sin 0 + 0 cos 屮， (Op = — @ cos гр sin 0 + 0 sin гр, 5 = @ cos 8 + 血

а вектор г = CM имеет проекции на неподвижные оси (0, 0, —а), так что предыдущее векторное условие эквивалентно следующим трем:

хс + а (ф cos 2 sin В — 6 sin 屮)=0,

Ус + а^ sin гр sin 0+ 0 cos 2) = 0,(7)

*e =0■

Первые два дифференциальных уравнения неинтегрируемы и дают пример неголономных связей. Последнее из равенств (7) интегрируется и вновь приводит к голономному условию (6).

Аналогичный пример неголономной системы дает катящийся по абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости диск, пло

скость которого может произвольно наклоняться к горизонту. Движение такого диска было изучено в кинематике (§ 65). Не- голономная связь в этом случае выражается неинтегрируемым векторным уравнением или соответственно его проекциями на

оси координат.

Заметим, что в условиях плоского движения того же диска (рис. 354) по шероховатой плоскости, перпендикулярной к плоскости рисунка, уравнения связей

北с — а© = 0,Ус — ^

будут интегрируемыми, т. е. голономными. Интегрирование первого из них приведет к условию отсутствия скольжения Хс = а(р, второго — к ранее уже рассмотренному голономному условию Ус = а.

В дальнейшем будут рассматриваться только голономныв связи. Учение о неголономных связях и движении систем, подчиненных такого рода связям, рассматриваются в специальных курсах аналитической механики.

Как уже упоминалось, связи могут задаваться равенствами, соединенными с неравенствами. Так, например, несвободное движение тяжелой точки по сфере (сферический маятник) радиуеа 2 можно осуществить при помощи нерастяжимой нити. Такая нить не позволит движущейся точке удалиться от центра сферы на расстояние, большее 厶 но нить может «ослабнуть» и тогда точка станет свободна (это может произойти в верхней половине сферы при достаточно малой скорости точки). Желая подчеркнуть, что при некоторых условиях связь теряет свое назначение——ограничивать положение системы, — такую связь называют неудерживающей. Аналитически неудерживающие связи представляют в форме равенств, соединенных с неравенствами, показывающими, в какую именно сторону может двигаться освободившаяся от связей система. В только что рассмотренном случае тяжелой точки на нерастяжимой нити неудерживающая связь должна быть представлена так:

炉+ ^ + ”《/2.

Знак неравенства показывает, что точка может сойти со сферы внутрь ее. Если бы тяжелая точка (шарик) двигалась по внешней части сферического купола, то связь также была бы неудерживающей и аналитически представлялась в виде

炉+严+22>/2：

в этом случае неравенство говорит о возможности схода точки со сферы во внешнюю по отношению к ней часть пространства.

Неудерживающие связи могут прекращать свое действие в одном направлении и сохранять в другом, как это имеет место в только что указанном примере; поэтому их иногда называют односторонними связями в отличие от двусторонних (удерживающих) связей.

Возможные перемещения системы.Число степеней свободы

Рассмотрим бесконечно малые перемещения точек системы, совместимые со связями, наложенными на систему. В число этих перемещений системы входят, в частности, действительные перемещения точек системы, осуществляемые за данный бесконечно малый промежуток времени точками несвободной системы в их действительном движении под действием приложенных сил.

Если связи не стационарны, то бесконечно малые перемещения точек системы можно представить себе разложенными на два слагаемых: 1) совместимые со связями бесконечно малые перемещения, которые имели бы место, если бы связи на мгновение перестали изменяться (например, перемещаться в пространстве, деформироваться), и 2) перемещения, обусловленные изменением самих связей.

Для дальнейшего имеют основное значение лишь первые слагаемые. Мы назовем их возможными перемещениями системы и определим как бесконечно малые перемещения точек системы, совместимые со связями, зафиксированными s данный момент).

Выделение класса возможных перемещений из общего понятия совместимых со связями бесконечно малых перемещений системы существенно, конечно, лишь в случае наличия нестационарных связей. В случае стационарных связей возможные перемещения определяются как бесконечно малые перемещения точек системы, совместимые со связями.

Возможные перемещения представляют собой некоторый геометрический образ, не связанный ни с движением, совершаемым системой, ни с изменением самих связей. Это — совокуп^ ность бесконечно малых векторов, зависящая только от струк* туры на мгновение «затвердевших» связей.

Возможные перемещения должны удовлетворять дифференциальным соотношениям, представляемым уравнениями связей

или выводимым из них в предположении, что время является не основным аргументом, а лишь параметром, фиксируемым в данном состоянии связей.

Чтобы вывести аналитические условия, которым подчиняются возможные перемещения, рассмотрим два различных вида бесконечно малых приращений функций /(力；х, у, 2,…)от аргу・ ментов /, х, у, z,

Определяя бесконечно малое приращение функции f вследствие бесконечно малого приращения аргументов /, х, у, г, найдем выражение полного дифференциала функции

"' = %* + ^" °"十 / °"十含 °之 + … (8)

Наряду с полным дифференциалом рассмотрим другой вид бесконечно малого приращения функции, вычисляемый в предположении, что аргумент / является фиксированным параметром, а х, t/, z, ... представляют изменяющиеся независимо от аргумента f величины. Такого рода бесконечно малое изменение функции назовем вариацией и обозначим символом 6£ Согласно принятому определению будем иметь следующую формулу вариации функции:

Условимся в дальнейшем обозначать бесконечно малые перемещения точек системы символом d力，а их проекции соответственно dxi, dy〃 dz»; в обобщенных координатах эти перемещения будем определять совокупностью величин dq、、d‘2, • • •, dqr.

Согласно только что приведенному определению вариаций возможным перемещениям естественно приписать символ 6г^, а их проекциям — символы Sxz, 6у〃 62j. В обобщенных координатах возможные перемещения определяются совокупностью вариаций этих координат 6^1, 6^2, •・・,6q>

Составляя соответственно дифференциалы или вариации от обеих частей уравнений связей, получаем аналитические выражения ограничений, налагаемых связями на бесконечно малые перемещения точек несвободной системы. Рассмотрим ограничения, налагаемые на общие бесконечно малые перемещения системы голономными связями.

Если положение системы и точек М» задается их декартовыми координатами 工厶 у〃 之〃 а голономные связи — совокупностью s соотношений

① at；修，Уъ 之1, •••, ^п9 %, ^п) = 0 ((X = 1, 2, . . ., S), (Ю)

то Зи проекций перемещений (dx% dy〃 dzi) должны подчиняться ограничениям в виде дифференциальных равенств

醬力+£第3+密期+舒喲=0(II)

(<х = 1, 2, • • •, s), полученных в результате составления полного дифференциала от обеих частей равенств (10).

Возможные перемещения (бх：, бу：, 6z。 будут удовлетворять совокупности соотношений

二(舞^修 + 喘产执 + ^^也0=0(a=1, 2,s), (12)

составленных вычислением вариации от обеих частей уравнений связей (10).

Если голономные связи стационарны, т. е. время / не входит явно в уравнение (10), то соотношения (11) примут вид £(舞也 +赛d勿+需%=0 (a=l, 2,s).(⑶

Сравнивая (13) с (12), убедимся, что действительно, как уже ранее указывалось, в случае стационарных голономных связей возможные перемещения ничем не отличаются от общей совокупности бесконечно малых перемещений системы, совмести- мых со связями.

Так, например, в рассмотренном ранее случае математического маятника постоянной длины I возможные перемещения, так же как и общие, будут удовлетворять одному и тому же соотношению

хбх + у бу — 0,(14)

выражающему, что бесконечно малые перемещения тяжелой точки должны быть перпендикулярны к направлению нити, т. е. направлены по касательной к вертикальной окружности. Иное будет иметь место в случае математического маятника переменной длины /(/). Общие бесконечно малые перемещения будут в этом случае удовлетворять дифференциальному равенству

х dx + у dy — I dl = 〃由，(15)

выражающему условие нерастяжимости нити: проекция перемещения за время df тяжелой точки М на направление нити равна бесконечно малому увеличению (уменьшению) длины

нити за то же время вследствие заданного ее движения сквозь отверстие в точке О. Что касается возможных перемещений, то они будут удовлетворять тому же соотношению (14), что и в случае постоянной длины.

Предположим, что точка М с вектор-радиусом г и координатами х, у, г вынуждена двигаться по поверхности, которая может заданным образом перемещаться и деформироваться. Уравнение соответствующей голономной нестационарной связи зададим в форме

①(/； х, у, 2)= 0・ (16)

Возможные перемещения точки 6г с проекциями 6尤,бу, 6г должны удовлетворять условию

дФ =дФ =дФ А .дФ А .■чby + F— 3n — 0. ду > I Oz■чby + F— 3n — 0. ду > I Oz(17)(17)

дФ =

дФ =

дФ А .

дФ А .

■чby + F— 3n — 0. ду > I Oz

■чby + F— 3n — 0. ду > I Oz

(17)

(17)

Согласно определению градиента от скалярной функции Ф как вектора grad Ф с проекциями дф/дх, дф/ду, дФ/dz можно переписать последнее равенство в форме

gradO • 6г = 0.(18>

Вспоминая, что grad Ф представляет собой вектор, направленный по внешней нормали п к поверхности уровня (16), перепишем равенство (18) в виде

п • 6г = 0,(19)

показывающем, что при движении точки по поверхности (16) возможные перемещения представляют собой бесконечно малые векторы, лежащие в касательной плоскости к поверхности в фиксированном ее состоянии в рассматриваемый момент времени.

Согласно условию (17) из трех проекций возможных перемещений 6х, бу, 6之 произвольными являются лишь две.

Общие бесконечно малые перемещения точки М должны, по предыдущему, удовлетворять условию

■^ 力 + grad Ф • dr = ~^ dt +1 grad ① | n ・"=0,(20)

или

几・ “ =_ (M)®)df =①①川f) df

I grad Ф I«(0①/0x)2 + (д®дуУ + (8Ф/@2)2 *)

К тому же равенству (20) мы пришли бы, дифференцируя выражение (16) по времени в предположении, что точка М принадлежит поверхности. Поэтому соотношение (21) выражает, что в случае как угодно движущейся и деформирующейся

поверхности проекция бесконечно малого перемещения точки на внешнюю нормаль к поверхности равна проекции на то же направление перемещения точки поверхности, в которой находилась до перемещения движущаяся точка.

Рассмотрим бесконечно малые перемещения точки, вынужденной двигаться по кривой, в общем случае заданным образом движущейся и деформирующейся. Составим уравнения связей, определив кривую как пересечение двух поверхностей

Ф1 (/； х, у,之)=0, Ф2 (/； х, у, 2) = 0.(22)

Возможные перемещения должны в этом случае удовлетворять системе двух равенств

или, в векторных обозначениях, grad ①I •” = (),grad ①2 •” = ()•(24)

Вспоминая, что векторы grad Ф1 и grad ①2 направлены по нормалям П1 и Яг к поверхностям (22), перепишем (24) в виде

衝• 6г = 0,^2 • 6г = 0.(25)

Полученные соотношения выражают условия перпендикулярности вектора возможного перемещения и нормалей к поверхностям (22). Это означает, что возможные перемещения точки, вынужденной во время движения оставаться на заданным образом движущейся и деформирующейся кривой, направлены по касательной к кривой в данном ее мгновенном состоянии. Из (24) следует, что направление вектора 6г совпадает с направлением векторного произведения grad Ф1 X grad Ф2 и, следовательно,

К =九 grad ① 1 X grad Ф2;(26)

Здесь X — произвольный бесконечно малый скалярный множитель, который можно представить как

л —ба

Л = I grad Ф! X grad Ф21 1

где 6а — вариация дуги кривой.

Общие перемещения dr будут удовлетворять равенствам

—^Л + grad①1 • " = 0,^1 dt + grad①2 • dr = 0.(27)

Рассмотрим еще систему двух точек М\ и М2 (рис. 355), соединенных жестким стержнем длины и2. Одна из точек, например Mi, может иметь совершенно произвольное бесконечно малое перемещение, направленное как угодно в пространстве. Вторая может при этом иметь только такое перемещение, проекция которого на направление стержня равна проекции перемещения первой точки на то же направление (§ 55). Аналитически

в общем случае пространственного движения это условие мо

Рис. 355.Рис. 355.жет быть получено дифференцированием уравнения стационарной связи

Рис. 355.

Рис. 355.

(尤2 一 修)2 + (% 一 学1)2 +

+(22-%)2 =寸2

и имеет вид

(%2 -修)3%2 -妬)+

+ ®2 — У1) (d% — ^У1) +

+ (22-之1) (d之2-d之i) = 0, или

У12 . d/*] = г 12 • dr2，

где Г12 — вектор, направленный по стержню и равный по величине длине стержня. Последнее уравнение выражает равенство проекций перемещений концов стержня на его направление.

Если положение материальной системы задается г обобщен

ными координатами 夕卜 夕2, ..., qr, подчиненными s голономным связям

①а«； 91，%, • • •,分)=0 (ot = 1, 2, ..., s),(28}

то обобщенные бесконечно малые перемещения 對7 будут удовлетворять условиям

Г

号^成 + 2 嗡^d%・=0 (a= 1, 2, ..., s),(29)

а обобщенные возможные перемещения 6^； — условиям

2嗡生°分=° 3=1, 2,・・・，s)・(30>

/=1 /

Равенства (29) получены дифференцированием уравнений связей (28), а равенства (30) — варьированием тех же уравнений.

Чем больше число условий, налагаемых связями на бесконечно малые перемещения системы, тем меньше произвола остается в определении возможных перемещений. Это обстоя-

тельство характеризуют числом степеней свободы системы, которое определяется как число независимых, допускающих выбор по произволу вариаций координат системы.

Только в случае систем, подчиненных голономным связям, число степеней свободы совпадает с числом независимых обобщенных координат. Так, например, если система, состоящая из п точек, подчинена s голономным связям, то число степеней свободы такой системы, согласно (12), будет совпадать с числом независимых координат

归=Зм — s. (31)

Точка, вынужденная двигаться по заданной поверхности, будет по (17) иметь две степени свободы; точка, движущаяся по заданной пространственной кривой, будет, как это следует из (23), иметь одну степень свободы и т. д. Система, состоящая из двух точек (〃 = 2), связанных жестким стержнем (s=l), имеет 々=3・2 — 1 = 5 степеней свободы.

В тех случаях, когда положение системы определяется г обобщенными координатами q, (/ == 1, 2, ..., г), не являющимися, вообще говоря, независимыми, а подчиненными s голономным связям, число степеней свободы системы будет, согласно (31), равно

k — r — s.

т. е. опять равно числу независимых обобщенных координат системы. Так, свободное твердое тело (г = 6, s = 0) имеет шесть степеней свободы, тело, вращающееся вокруг неподвижного центра, — три степени свободы; тело, совершающее плоское движение,—также три степени свободы.

Машины и станки дают примеры весьма сложных несвобод' ных систем с голономными связями. Число степеней свободы таких систем обычно не превышает единицы. Действительно,

конструкция машины такова, что ее положение и движение

однозначно определяются положением и вращением основного ведущего вала. Угол поворота этого вала может быть принят за единственную обобщенную координату.

Пример 124. Плоская система четырех стержней (рис. 356) А£, £8, DC и CF, шарнирно соединен

ных между собой так, что фигура DCFE представляет собой параллелограмм, перемещается в своей плоскости. Доказать, что: 1) если точки А, 3, С в какой-нибудь положении системы лежат на одной прямой, то при любом другом положении они останутся на одной прямой; 2) если длины отрезков AD и DE находятся между собой

в отношении т: п, то возможное перемещение точки С выражается через возможные перемещения точек 4 и В следующим образом:

п дгл + т дгв

"с п + т *

Замечая, что

AC^AD^DC, CB = CF + FBt

составим векторное произведение

ACXCB = ADXCF + ADXFB + DCXCF + DCXFB.

Из условия параллельности векторов AD и С尸,DC и FB следует, что первое и последнее векторные произведения в правой части этого равенства обращаются в нуль, так что

(32}(32}ACXCB = ^DXFB + DCXCF = ADXFB -CFXOC＞

(32}

(32}

Пусть в каком-нибудь положении системы точки Л, В, С лежали на одной прямой; тогда из подобия треугольников можно заключить^ что

AD: CF = DC: FB ^= tn* n,

причем это соотношение сохранится при любой конфигурации системы. Принимая во внимание, что AD^CF и FB И DC,^получаем

AD^^CFt 寇=工应

Подставляя эти выражения в (32), убедимся, что в любом положении системы

Л?X 品=(?-^一1)(台＞＜屁)=0,Л?X 品=(?-^一1)(台＞＜屁)=0,(33)(33)

Л?X 品=(?-^一1)(台＞＜屁)=0,

Л?X 品=(?-^一1)(台＞＜屁)=0,

(33)

(33)

а это доказывает, что точки А, В и С расположены на одной прямой. При выполнении условия (33) имеем

или, вводя вектор-радиусы 以,「в, гс точек Л, В, С относительно какой-нибудь неподвижной точки О,

乙 一 J = ^(”-%)・

Отсюда следует, что

_ пгА + тгв— nbrA + m 6гв

% п + т ， ^с п + 加 .

Если принять п = т, то возможное перемещение точки С

будет равно среднему векторному возможных перемещений точек 4 и 8.

Система обладает четырьмя степенями свободы, причем за независимые обобщенные координаты можно было бы принять, например, координаты точек Д и В или координаты одной из этих точек и два угла: угол, образованный стержнем АЕ с каким-нибудь неподвижным направлением, и угол между стержнями DC и АЕ.

Закрепляя точку А, получим механизм с двумя степенями свободы — пантограф, служащий для увеличения или уменьшения географических карт, планов и т. п. Приведенные выше рассуждения показывают, что если точка С опишет какую-нибудь фигуру, то карандаш, помещенный в точку В, вычертит подобную ей фигуру в масштабе АВ ： АС = АЕ : AD = (m + и) ： m.

Принцип освобождаемости. Идеальные связи

Ограничивая свободу движения системы, связи действуют на точки системы посредством сил, называемых реакциями связей.

Чтобы не смешивать реакции связей с остальными силами, приложенными к точкам несвободной системы, условно назовем эти последние силы задаваемыми ) или активными. Можно сказать, что задаваемыми силами являются те из сил, приложенных к системе, которые сохраняются, если связи мгновенно исчезнут, или, как иногда говорят, «ослабнут».

Прикладывая к точкам Mi системы с массами mt, наряду с равнодействующей Fi задаваемых сил, равнодействующую реакций связей R% составим уравнения движения системы точек:

miwi=Fi + Rt. (34)

Уравнения эти показывают, что с динамической точки зрения несвободную систему можно рассматривать как свободную, движущуюся под действием задаваемых сил и реакций связей. Использование этого положения, именуемого принципом освобождаемости, оказывает большие услуги при изучении равновесия и движения несвободной системы. Напомним, что в ста* тике твердого тела мы уже пользовались этим принципом, заменяя опоры их реакциями и составляя уравнения равновесия твердого тела под действием задаваемых сил и опорных реакций так, как будто тело свободно. В предыдущих главах настоящего тома мы также часто имели дело с реакциями опор, но, не фиксируя на этом особого внимания, рассматривали реакции как любые другие приложенные силы.

В свете учения о связях смысл принципа освобождаемости становится более ясным. Применяя принцип освобождаемости, мы мысленно отбрасываем связи, заменяя их действие динамически эквивалентным действием реакций связей. При этом число

степеней свободы системы увеличивается и многообразие возможных перемещений расширяется. Поясним это на следующем простом примере. Тяжелая балка, лежащая на двух опорах (считаем связь удерживающей), не имеет свободы перемещения. Отбрасывая одну из опор и прикладывая к балке соответствующую опорную реакцию, мы этим не нарушаем равновесия балки, но балка получает свободу перемещения — вращения вокруг оставшейся опоры ——и может уже рассматриваться как система с одной степенью свободы.

Принцип освобождаемости позволяет переводить реакции связей в класс задаваемых сил, что в ряде случаев может оказаться полезным.

Известно, что чем более совершенно отполирована поверхность, по которой происходит движение тела, тем меньше касательная составляющая реакции, т. е. сила трения.

В случае идеально гладкой поверхности реакция целиком сводится к силе, нормальной к поверхности. Таким образом, если связью служит поверхность без трения, то реакция связи нормальна к связи. В этом случае элементарная работа реакции на любом возможном перемещении точки равна нулю, так как сила направлена перпендикулярно к перемещению. Подчеркнем, что по определению возможных перемещений только что сказанное верно как в случае стационарных, так и нестационарных связей. Само собой разумеется, что элементарная работа реакций на той части бесконечно малого перемещения, которая соответствует собственному перемещению связи, может быть в общем случае и не равна нулю. Точно так же в случае движения по идеальной абсолютно гладкой кривой реакция будет нормальна к кривой и работа реакции на возможном перемещении будет равна нулю. Если же поверхности или кривые не идеально гладки, то работа реакций не будет равна нулю. Аналогичное заключение относится к твердому телу, скользящему по плоскости. Если поверхности соприкасающихся тел идеально отполированы, реакция будет направлена по общей нормали к ним; при этом работа реакции на Еюбом возможном перемещении будет равна нулю.

Если абсолютно твердое тело катится по другому абсолютно твердому телу и поверхности их шероховаты, причем качение не сопровождается ни скольжением, ни деформацией катящихся поверхностей (трение качения отсутствует), то хотя тела и шероховаты и сила трения не равна нулю, все же работа реакции на любом возможном перемещении будет равна нулю, так как реакция приложена в той точке тела, которая лежит в данный момент на мгновенной оси, а перемещение этой точки есть бесконечно малая более высокого порядка, чем перемещения других точек тела. В этом случае можно с точностью до малых

величин высшего порядка принять работу реакций на любом возможном перемещении равной нулю.

В действительности не существует ни абсолютно гладких, ни абсолютно твердых тел, так что работа реакций на любом возможном перемещении отлична от нуля, но, с другой стороны, во многих практических случаях (хорошо отполированные и смазанные поверхности, колеса из хорошо закаленной стали и т. п.) работа сил трения оказывается настолько малой по сравнению с работой других приложенных сил, что в первом приближении можно пренебречь работой сил трения и говорить о «практически» гладких поверхностях.

Если точки № и № (рис. 355) связаны жестким стержнем, то возможные перемещения 6% и 6々 точек приложения реакций АГ】и 乂2 не равны нулю и не перпендикулярны к направлению реакций, как это имело место в ранее рассмотренных случаях; при этом работы отдельных реакций на возможных перемещениях точек приложения не равны нулю, но сумма работ этих реакций на любом возможном перемещении стержня все же равна нулю, так как реакции одинаковы по величине, но противоположны по направлению, а проекции возможных перемещений на направление стержня равны между собой (§ 55). Это соображение позволяет считать равной нулю сумму работ сил взаимодействия точек в абсолютно твердом теле, так как точки его можно представить себе связанными недеформируемыми стержнями.

Перечисленные случаи равенства нулю суммы работ реакций связей не единственны. Степень совершенства конструкции машины характеризуется малостью потерь мощности, затрачиваемой на преодоление вредных сопротивлений (трения частей машины, внутренней вязкости металла и материала, проявляющейся при деформации деталей, и т. д.), по сравнению с мощностью основного двигателя, приводящего машину в движение. Эти потери обусловлены работой реакции связей, определяющих конструкцию машины, и при расчете машины в первом приближении могут быть опущены.

Тот факт, что на практике постоянно приходилось встречаться со связями, сумма работ которых на любом возможном перемещении системы может быть в допустимом приближении принята равной нулю, привел к установлению важной механической абстракции идеальных связей.

Идеальными связями называют такие связи, сумма элемент тарных работ реакций которых на любом возможном перемещении системы равна нулю.

Обозначим через Ni равнодействующую реакций идеальных связей, приложенных к точке Mi системы, и через 6% вектор возможного перемещения этой точки. Тогда условие идеальности

связей будет, по предыдущему, заключаться в равенстве нулю элементарной работы 8W* реакций связей на возможном перемещении системы

6旷=它愿.g=0,(35)

или, в проекциях на оси декартовых координат, л

мг = Z МхМ + 屮山 + Mz3勺)=о. (36)

Пусть положение несвободной системы, подчиненной как голономным, так и неголономным связям, определяется при помощи 厂 обобщенных координат 夕卜 夕2, • • •, q^ в общем случае зависящих друг от друга, согласно s уравнениям голономных связей (28). Тогда, составляя по (2) вариации х/, 〃， 2»,

подставляя эти выражения проекций возможных перемещений в (36) и меняя порядок суммирования, получаем

Выражение, стоящее в квадратных скобках, обозначим через Q； и назовем обобщенной реакцией. При этом условие идеальности связей примет вид

6歹=自/:m=0,(39)

где

Q； = £ (Мх 酱 + Му * +箒).(40)

Предположим, что при выборе обобщенных координат все голономные связи были учтены, так что координаты 夕匕夕2,... ...,qr независимы, и что неголономные связи отсутствуют. Тогда обобщенные возможные перемещения bgi, 672, ..., 6g尸 будут также независимы и, следовательно, произвольны, а число их будет равно числу степеней свободы (厂=论).

Из равенства (39) при произвольности величин 6力 вытекает, что

Q； = 0 (/= 1, 2, ..., А).(41)

следовательно, если несвободная система подчинена идеальным голономным связям, то все обобщенные реакции, соответствующие независимым возможным перемещениям системы, равны нулю.

каждое из множитель лучимкаждое из множитель лучимПредположим теперь, что мы имеем дело с общим случаем, когда при выборе обобщенных координат были удовлетворены только некоторые голономные связи. При этом обобщенные координаты 夕1,夕2, •••, qr (/• > 々)зависимы, а обобщенные перемещения 6夕了 удовлетворяют системе условий (30). Умножив

каждое из множитель лучим

каждое из множитель лучим

М/ = о.М/ = о.условий (30) на некоторый пока неопределенный (—九а) и сложив результаты с равенствами (39), по

М/ = о.

М/ = о.

(42)

Подчиним пока еще неопределенные множители Ха, число которых равно s, условиям обращения в нуль выражений в каких-нибудь s круглых скобках в уравнении (42). После этого левая часть уравнения (41) будет включать k = г ——s слагаемых, каждое из которых состоит из двух множителей: 1) выражения в круглой скобке и 2) величины 6qh входящей в число оставшихся k — г ——s произвольных возможных перемещений (归一число степеней свободы). Но сумма произведений некоторых выражений на произвольные величины может быть равна нулю только в том случае, когда все эти выражения по отдельности равны нулю. Таким образом, приходим к заключению, что оставшиеся k — г ——s выражений в круглых скобках в равенстве (42) также равны нулю.

Итак, условия идеальности связей в рассматриваемом общем случае приводят к системе г соотношений

Q； = Z?a 赍 0=1，2,・•・，г).(43)

а=1/

Полученные равенства выражают обобщенные реакции через множители Ха, называемые множителями связей. Каждый из множителей Ха характеризует реакцию соответствующей ему по номеру голономной связи из числа не использованных при установлении обобщенных координат.

С другой стороны, обобщенные реакции Q/ как коэффициенты при 6^/ в формуле (38) элементарной работы 6IF* реакции связей выражаются через эти реакции. Таким образом, равенства (43) могут служить для определения зависимости между реакциями связей и множителями связей (см. следующий параграф).

Описанный выше процесс перехода от равенств (39) и (30) к равенству (42) с последующим выводом системы уравнений (43) представляет собой пример применения общего метода неопределенных множителей. Метод этот, предложенный ЛаГранжем в его «Аналитической механике», получил широкое распространение в математическом анализе и механике.

Принцип возможных перемещений

В статике твердого тела (отдел первый) были выведены уравнения равновесия твердого тела, заключающиеся в равенстве нулю сумм проекций приложенных к телу сил на оси координат и сумм моментов этих сил относительно тех же осей. При решении задач статики реакции связей не выделялись из общего числа приложенных к телу сил, что соответствовало применению принципа освобождаемое™.

Для изучения условий равновесия сложных несвободных систем, состоящих из большого числа тел, подчиненных голоном- ным связям, изложенный в статике твердого тела метод становится непригодным. Статика несвободных систем основывается на принципе возможных перемещений, использующем, как показывает само наименование принципа, представления о возможных перемещениях системы. В этом заключается отличие излагаемого в настоящем отделе метода от методов статики твердого тела, имевших, по существу, чисто геометрический характер.

Принцип возможных перемещений формулируется так:

Необходимое и достаточное условие равновесия системы, подчиненной стационарным идеальным связям, заключается в равенстве нулю суммы элементарных работ задаваемых сил на любом возможном перемещении системы из рассматриваемого положения равновесия.

Обозначим через Ft равнодействующую задаваемых сил, приложенных к какой-нибудь точке Mi системы, через 6兀一возможное перемещение этой точки и через 8取—сумму элементарных работ задаваемых сил на возможном перемещении системы. Тогда аналитическое выражение принципа возможных перемещений будет иметь одну из следующих трех форм:

6w=e戶「必=0,(44)

6Г = Е (尸“ 3 + Fiybyi + Fiz 6勺)=0,(45)

(46)(46)6W = Z Fi 6sj cos g = 0;

(46)

(46)

в последнем равенстве 6s» — длина перемещения бп, а/ — угол между силой Fi и перемещением 6力.

Чтобы доказать необходимость принципа, предположим, что несвободная система, подчиненная нестационарным связям, находится в положении равновесия. Тогда каждая ее точка находится в равновесии и по принципу освобождаемости равнодействующая заданных сил 尸厶 и реакций связи N〃 приложенная к какой-либо точке М『,должна быть равна нулю. Равна нулю будет и работа этой равнодействующей, так что

X (F, + М)・ g = 0, или лп

/»1i=l

но вторая сумма равна нулю по условию идеальности связей; следовательно, необходимость принципа доказана.

Для доказательства достаточности принципа, т. е. существования равновесия при выполнении условия (44), рассуждение ведется от обратного. Предположим, что условие (44) выполнено, а система в рассматриваемом положении все же не находится 6 равновесии. Тогда система (если в начальный момент считать ее покоящейся) под действием задаваемых сил и реакций связи придет в движение и за малый промежуток времени совершит некоторое действительное перемещение, в случае стационарных связей входящее в число возможных. Так как перемещения отдельных точек системы из состояния покоя будут направлены по равнодействующей сил F/ и №, то при этом будет совершена положительная работа

п

Z (F, + м) • о.

Разбивая на две суммы, получаем Лп

i = 1i == 1

но вторая сумма по условию идеальности связей равна нулю, следовательно,

X Fj • g > 0,

что противоречит принятому предположению (44). Таким образом, доказана достаточность принципа.

Если задаваемые' силы F； консервативны, т. е. существует потенциальная энергия П = П(%1, у】,？ь ..., х〃, уп, ?〃), то по § 128

2 吊・ 6门=2 (Fix ^i + Fiy by I + Fiz 6/)= i==l/ el

=Y(器器 M' +翡 6Z)=-6II；

при этом выражение принципа возможных перемещений (43) приведется к равенству

6口 = 0,(47)

выражающему необходимое условие экстремальности потенциальной энергии в положении равновесия системы. Следовательно, из принципа возможных перемещений вытекает, что необходимые 〃 достаточные условия равновесия несвободной системы с идеальными связями под действием консервативных задаваемых сил совпадают с необходимым (но не достаточным) условием экстремума потенциальной энергии.

Составим выражение принципа возможных перемещений в обобщенных координатах 夕卜 夕2,.…,夕七 число которых, вообще говоря, больше числа k степеней свободы системы. Подставляя в (45) значения бх；, 6屮,6zi, учитывая равенство (37) и меняя порядок суммирования, получаем

6IF=2q/6% = 0，(48)

где Q, представляет собой выражение

Q/ = £G5^ + j* + &z^) = £®・^，(49)

называемое обобщенной силой.

При вычислении обобщенных сил Q/ не рекомендуется пользоваться формулой (49); проще непосредственно составить элементарную работу 6W задаваемых сил на возможном перемещении системы, выражая ее через вариации обобщенных координат 5夕戸 Коэффициенты при соответствующих 5夕,в полученном выражении элементарной работы 6W и будут, согласно (48), обобщенными силами Q.

Если задаваемые силы консервативны, то, рассматривая потенциальную энергию П как сложную функцию обобщенных

11 Л. Г. Лойцянский, А. И. Лурье

координат 7/, по (49) получаем

(50)(50)Q,一E(許爲+訪*+^・親一崙 ”(/= 1, 2, ..г).

(50)

(50)

Выразив предварительно потенциальную энергию в обобщенных координатах, дифференцированием по координатам найдем обобщенные силы, соответствующие этим координатам.

Этим же путем найдем и обобщенные реакции Q；, составляя выражение элементарной работы 5取* реакций связей на возможном перемещении и пользуясь тем, что, согласно (39), коэффициенты при вариациях 5分 обобщенных координат в выражении 5吋 равны обобщенным реакциям Q；・

Если обобщенные координаты выбраны независимыми, т. е. все уравнения голономных связей удовлетворены, то обобщенные возможные перемещения 5勿 в числе 力，равном числу степеней свободы, будут произвольны. Тогда из равенства (48) следует, что все коэффициенты Q； при произвольных величинах 6力 должны по отдельности быть равны нулю:

Q/ = 0 0=1, 2,・・・，©. (51)

Итак, необходимое и достаточное условие равновесия несвободной системы с голономными идеальными связями заключается 8 равенстве нулю всех соответствующих независимым обобщенным координатам обобщенных сил в рассматриваемом положении равновесия системы.

Полагая в этом случае, что потенциальная энергия П задаваемых сил также выражена в независимых обобщенных координатах, будем иметь по (50) и (51) условия равновесия системы в виде

号=0 (j=l, 2,・・・，初 (52)

Эти равенства, так *@ как и (47), выражают необходимые условия экстремума потенциальной энергии в положении равновесия системы.

Обратимся, наконец, к общему случаю обобщенных координат 夕1, ‘2, •• •，夕7 (г А 力)，вариации которых подчинены условиям (30). Применим, как и в предыдущем параграфе, метод множителей к совокупности уравнений (48) и (30). Умножим каждое из равенств (30) на 氏期 после чего сложим все эти равенства с (48). Меняя порядок суммирования, получаем

謳+£大嗡)(53)

Используя произвол в выборе s множителей Ха, подчиним их условиям обращения в нуль каких-нибудь выражений в s круглых скобках из общего числ^ г входящих в левую часть (53) скобок. Тогда выражения в оставшихся 々=г — s скобках также должны обратиться в нуль, как коэффициенты при произвольных k вариациях 5力・(力——число степеней свободы) в равной нулю сумме произведений этих коэффициентов на 5力.Итак, все выражения, стоящие в круглых скобках в левой части (53), равны нулю, и мы приходим к следующим общим условиям равновесия несвободной системы, подчиненной голономным связям:

S

Q/ + E"^ = ° 0=1, 2,・・・，г).•(54)

а=1/

Здесь по предыдущему обобщенные силы Q/, так же как Фа, являются заданными функциями обобщенных координат 夕卜 02, . • •, q- Замечая, что 8W + 5取* = 0 и поэтому, согласно (39) и (48), Q/ = — Q/ (/ = 1, 2, . .., г), убеждаемся в тождествен* ности уравнений (43) и (54), а следовательно, и в тождественности величин 九 1,...,九s с множителями связей, введенными в предыдущем параграфе. Система уравнений (54) должна служить для нахождения координат q^ q%,…，q> в равновесных положениях несвободной системы и множителей Ха (а=1, 2, ..., s), определяющих обобщенные реакции. Имеем г уравнений с г + s неизвестными:

研，國，• • •，4；；4。

Присоединяя к (54) уравнения связей (29), которые в рассматриваемом случае равновесия должны быть стационарны, будем иметь наряду с (54) еще следующую систему уравнений относительно 公外，...,年

①а (匿，吟• • •，哨=。(а = 1, 2,・・・，s)・(55)

В этом случае (54) и (55) представляют собой систему г +5 уравнений с 厂 + s неизвестными: ^, %,・・•, q?、%, Л2, ..., %• Исключив из s уравнений

S

Qj +》(*)L 0Г2—)醐

s неизвестных множителей 九卜入2，・・・, As, подставим их значения в остающиеся г уравнений:

X儿爲)o = -Q/(』s+l, s + 2, ・・・, г),

①a (里心• • •，夕；)=。(ct = 1, 2, • • ., s)；

из этих г уравнений можно найти г неизвестных координат

д,, ^2，..., q^ определяющих равновесное положение системы.

Если задаваемые силы консервативны, то, согласно (50), условия равновесия системы (54) будут

и совпадут с необходимыми условиями экстремума функции координат

—И + £九a①а・

Задача об определении экстремума этой функции эквивалентна задаче нахождения относительного экстремума функции ——П при наличии добавочных условий

①a(91, %,•••,仇)=。(a = 1, 2, ..., s), представляющих собой уравнения голономных стационарных связей.

Применения принципа возможных перемещений

Пользуясь принципом возможных перемещений, выведем условия равновесия свободного твердого тела под действием произвольной заданной совокупности сил.

Заметим прежде всего, что по известной формуле кинематики бесконечно малое перемещение ЬГ[ произвольной точки Mi твердого тела с вектор-радиусом г； относительно выбранного в теле полюса О' с вектор-радиусом у。будет определяться выражением

6rf = 6r0 + ©X<>

где 0 — соответствующий вектор бесконечно малого поворота тела.

Пусть в точках М с вектор-радиусами 力 приложены задаваемые силы F/； тогда по принципу возможных перемещений

будем иметь условие равновесия

ZF「g = 0,

или по предыдущему равенству

宫尸「Но + £т・®Х〃)=О・

Пользуясь одинаковостью векторов бго и 0 для всех точек тела и известным свойством скалярно-векторного произведения, перепишем последнее равенство в виде

•0 = 0.

В силу произвольности векторов 5yo и 0 для свободного твер

дого тела получим

£，=。，/Х”。.（58）

Это ——уже известные нам из статики условия равенства нулю главного вектора и главного момента приложенных сил.

При выводе предполагалось, что твердое тело свободно, т. е. не подчинено связям. Используя принцип освобождаемое™ (§ 144), обобщим условия (58) и на случай несвободного твердого тела. Для этого достаточно, отбросив связи, принять тело

за свободное, но включить в число задаваемых сил реакции связей (реакции опор).

Приведенный только что вывод условий равновесия твердого тела (58) отличается от изложенного в первом отделе геометрического вывода Пуансо использованием кинематического представле

ния о перемещениях твердого тела и динамического понятия работы сил. Подчеркнем особенности этих двух различных подходов на простом примере определения реакций балки, лежащей на двух опорах (рис. 357).

Применяя принцип освобождаемости, отбросим правую опору, приложив к балке соответствующую реакцию М； тогде^ балка приобретет одну степень свободы — вращение около оставшейся опоры О】. Обозначая возможные перемещения точек приложения сил Р\ и Р2 через 81 и % а перемещение точки

приложения реакции ^2 через £ и применяя принцип возможных перемещений, будем иметь

-m6 +p2吻+尸问=°，

Обозначая через 6ср угол бесконечно малого поворота балки вокруг опоры 01 и замечая, что возможные перемещения будут равны (/ — расстояние между опорами,厶 и 厶 ——соответственно расстояния от опоры 01 до точек приложения сил Pt и「2)

8 = Z 6(р,81 =厶 6ф,82 = /2 бф,

подставим эти значения перемещений в предыдущее равенство и после сокращения обеих частей на 6ср получим

~W + ^i/i + p2/2 = o.

Аналогичным путем, отбрасывая левую опору, составим уравнение для определения реакции ^l. В полученных таким образом равенствах нетрудно узнать уравнения моментов относительно центров 01 и 02. В статике эти уравнения были выведены на основании теоремы Вариньона, не заключающей в себе кинематического понятия поворота тела.

Представим себе машину в виде следующей упрощенной схемы. К некоторому ее звену, которое назовем《приемником》〉 приложена сила Р или вращающий момент М от двигателя; таковы, например, поршень в цилиндре паровой машины^ основной вал станка, приводимый в движение электромотором, рукоятка ручного пресса и т. п. К «рабочему инструменту» машины ——резцу, сверлу, и т. п.——приложена сила Q или момент М〃 «полезного сопротивления», производящие полезную работу *). Между приемником и рабочим инструментом располагается кинематическая цепь звеньев, служащих для передачи рабочему инструменту энергии, сообщаемой приемнику. Эта цепь звеньев образует «передаточный* механизм». В передаточном механизме действуют реакции связей, работа которых на возможном перемещении машины сводится главным образом к сравнительно малым потерям на вредные сопротивления; элементарная работа прочих задаваемых сил (например, силы тяжести) в передаточном механизме или мала по сравнению с соответствующими работами двигательной силы и полезного сопротивления, или может быть легко учтена.

Остановимся сначала на применении принципа возможных перемещений к «идеальным» машинам, т. е. таким, в которых работой вредных сопротивлений и задаваемых сил в передаточ* ном механизме можно пренебречь.

Обозначим через Р н Q двигательную силу и полезное сопротивление, а через 6р и 5g — возможные перемещения точек их приложения. Элементарные работы этих сил на возможных перемещениях будут соответственно обозначаться так ):

дГт = Р.др, 6Wu = Q^q.(59)

Если машина идеальна, т. е. можно пренебречь элементарной работой вредных сопротивлений и элементарной работой задаваемых сил в передаточном механизме, то, согласно принципу возможных перемещений, уравнение равновесия машины в данном положении будет

дГт + 6呼〃 =Р ・ 6р + Q ・ “ =0.(60)

Пусть Р‘ > 0 представляет собой проекцию двигательной силы Р на направление перемещения 6р, a Qz — абсолютное значение проекции полезного сопротивления Q на направление 6夕；тогда будем иметь

6 取 ^ = 口6〃dWu=-Q^qi(61)

причем знак минус во втором равенстве показывает, что полезное сопротивление Q всегда направлено в сторону, противоположную возможному перемещению точкц ее приложения или, во всяком случае, образует с ним тупой угол. Уравнение равновесия (60) приводится к виду

Р‘ 6〃6/ — Uq变一6р/8/ 一函Р‘ 6〃6/ — Uq变一6р/8/ 一函р飞p = Q飞q, или, после отнесения обеих его частей к некоторому промежутку времени 5f, к виду

Р‘ 6〃6/ — Uq变一6р/8/ 一函

Р‘ 6〃6/ — Uq变一6р/8/ 一函

(62)

Согласно этому равенству приложенные к машине двигательная сила и полезное сопротивление (точнее, проекции на направления перемещения точек их приложения) обратно пропорциональны возможным скоростям точек приложения сил. В этом заключается известное «золотое правило механики», сформулированное впервые Галилеем в словах: «что выигрывается в :силе, теряется в скорости».

Известно, что простейшие машины (рычаг, наклонная плоскость, домкрат, винтовой пресс и др.) позволяют малой двигательной силой преодолеть большое полезное сопротивление. Этот выигрыш в силе получается за счет потери в скорости или в перемещении.

Чтобы учесть значение элементарной рабрты вредных сопротивлений, которую обозначим через —8Wf (знак минус ука-

зывает, что она всегда отрицательна)*), отнесем вредные со* противления к задаваемым силам и снова применим к машине принцип возможных перемещений. Уравнение равновесия машины будет

bWm 一 дГи 一 6吃=0. (63)

(64>(64>Отношение полезной работы bWu к затраченной 5呼加 называют коэффициентом, полезного действия % так что

(64>

(64>

Из уравнения (63) можно заключить, что

Т) = 1 一Т) = 1 一明6^7*明6^7*(65>(65>

Т) = 1 一

Т) = 1 一

明

6^7*

明

6^7*

(65>

(65>

Из этого коэффициентИз этого коэффициентравенства полезногоравенства полезного

Из этого коэффициент

Из этого коэффициент

равенства полезного

равенства полезного

следует, что машины должны иметь действия, меньший единицы (меньше 100%), причем чем меньше отношение элементарной работы вредных сопротивлений к элементарной работе двигательной силы, тем машина ближе к идеальной.

Приведенные формулы выражают соотношение элементарных работ двигательной силы, полезного и вредного сопротивлений в предположении, что машина находится в равновесии.

Разберем пример расчета равновесия простейшей машины — винтового пресса, схематически изображенного на рис. 358. К рукоятке пресса приложена двигательная пара с моментом М — Ph (厶——плечо пары), а к пере

мещающейся платформе ——реакция Q сжимаемого прессом тела,

играющая в данном случае роль полезного сопротивления. Предположим сначала, что пресс — идеальная машина. Тогда〉 согласно (60), напишем уравнение работ

М 6(р — Q 6之=0,

где 6(р ——бесконечно малый угол поворота винта, 6г-=гtga6(p соответствующее этому повороту бесконечно малое расстояние, на которое опустится платформа, причем г ——средний радиус винтовой нарезки, а а ——угол наклона нарезки. Подставляя в

предыдущее равенство значение 6г и сокращая обе части на бф, получаем

М = Рй = Qr tg а.(66)

Из этого равенства видно, что благодаря малым значениям отношения r/h и угла а можно, прикладывая небольшие силы Р, получать значительные сжимающие усилия Q. Вместе с тем равенство (66) подтверждает «золотое правило», так как отношение rtga/九 равно отношению шага винта к удвоенной длине окружности, описываемой концом рукоятки. Следовательно, для получения значительного выигрыша в величине отношения сил Q/P надо брать либо меньший шаг, что приведет к необходимости большего числа поворотов рукоятки, либо большую длину окружности, описываемую руками, т. е. увеличивать путь точек приложения двигательных сил.

Чтобы учесть влияние вредных сопротивлений ——в данном случае трения в винтовой нарезке (трением в направляющих пазах можно пренебречь), введем дополнительно возможное перемещение 6s винта по нарезке. Предполагая нарезку прямоугольной, как это обычно делают в ходовых винтах, и считая, что при работе пресса винт прижимается своей верхней плоскостью к нарезке, будем иметь расположение сил, указанное на рис. 359. Уравнение работ примет

M6(p-Q62 —£ 尸6s = 0,Д 户学

где знак суммы показывает, что ра-Рис. 359.

боту сил трения F = fN следует распространить на всю площадь соприкосновения винта с нарезкой.

Для нахождения £w проще всего использовать условие равенства нулю суммы проекций приложенных сил на вертикальную ось:

Q — Е N cos а + £ /W sin а = 0; отсюда найдем

=2

乙 cos а — f sin а，

я, следовательно, получим

М 6(р = Q 6? ^Я—：— 6s.

* у 1 cos а — f sin а

Соотношения между возможными перемещениями видны из треугольника перемещений, построенного на рис. 359:

62 = rS(ptga, 6s =纖广

Подставляя эти значения в предыдущее равенство, получаем

М = QrМ = Qrsin а + f cos а cos а — f sin аsin а + f cos а cos а — f sin а(67)(67)

М = Qr

М = Qr

sin а + f cos а cos а — f sin а

sin а + f cos а cos а — f sin а

(67)

(67)

или, если еще ввести угол трения 屮=arctg f,

M = Q『 tg(a +гр).(68)

Сравнивая эту формулу с полученным ранее соотношением для идеального винта (66), мы видим, что при малых а боль* шого выигрыша в моменте не получается. Интересно отметить， что при а = л/2 — -ф, чтобы привести пресс в движение, к рукоятке необходимо приложить бесконечный момент: под действием приложенного момента винт будет все сильнее прижи* маться к нарезке, но с места не сдвинется.

Коэффициент полезного действия определяется по формуле (64)

一一 M _ tg (a + 屮)・

По своему назначению винтовой пресс должен быть само- тормозящимся. Это значит, что, каково бы ни было полезное сопротивление Q при снятии с рукоятки крутящей пары (Л1 = 0), пресс не должен раскручиваться. Переходя к рассмотрению вьь полнимости этого условия, применим равенство (68) в предположении, что направление вращения винта изменилось на противоположное, что потребует изменения знака угла трения 屮 в формуле (68). Будем иметь предельное условие самоторможения винта:

tg(a —2) = 0, т. е. a = -ф.

Очевидно, что при любом a V 屮 винт будет самотормозя- щимся. Такого рода самотормозящиеся винтовые прессы должны иметь сравнительно низкие коэффициенты полезного действия. В самом деле, из условия a V 屮，согласно (69), найдем

tg(a + ”)& tg 2a 2 唱丿

и, следовательно, во всяком случае,刀 V 】/2・ Таково общее свойство машин с самоторможением.

Пример 125. На рис. 360 показана схема конструкции рычажного пресса. Предполагая, что тяга ВС горизонтальна, определить отношение ежи- мающей тело силы S к приложенной нормально к рукоятке в точке Л силе Р в зависимости от углов а, 0 и ф, если отношение О^А к О\В равно и. Размеры указаны на рисунке.

Уравнение принципа возможных перемещений дает

尸 6a — S 6d = 0;

задача сводится к определению зависимости между перемещениями Аа и 6U. Для этого вспомним, что проекции возможных перемещений концов жесткого стержня на направление самого стержня должны быть равны между собой. Таким образом, 6d и 6с связаны ра

венством

6с cos (90° — 8 —屮)=6d cos ”，

или 6c sin (6 + 屮)=6d cos 屮.

При помощи той же теоремы свяжем 6с и бЬ:•

6с cos 6 = 6b cos а,

я, кроме того, заметим, что

да = 一八66 = /г 66.

■Сравнивая эти соотношения с предыдущим, находим

灸cos 0 А

2a = nbb = п6с = cos а

cos 0 cos ib t ,

—н—/а—j к** Oct»

cos a sin (8 + 屮)

Определив отношение перемещений 6а и 6d, получим по уравнению работ нужное отношение усилий:

(70)(70)S 6а —cos 8 cos 屮九1

(70)

(70)

P —6d —cos asin (0 十屮) cos atg 8 十 tg 屮

Очевидно, что выигрыш в усилии S будет тем больше, чем меньше углы 0 н ”. При желании последнюю формулу можно выразить с помощью одного угла (механизм имеет, очевидно, одну степень свободы), если воспользоваться очевидными соотношениями (厂1 = 0出)

sin 屮=} sin 0, 门 sin a + r sin 0 = ВС — ОО[ = const.

Проиллюстрируем на этом примере метод множителей. Примем за обобщенные координаты а, 6 и 屮，а предыдущие два равенства — за уравнения связей:

①I = / sin 屮一г sin 6 = 0, Фг = ri sin a + г sin 0 = const. (71)

Составим выражение элементарной работы задаваемых сил 尸 н S на возможном перемещении пресса:

$呼=Р • OiA да — S 6d =尸拉门 6a — S3 (r cos 0 + / cos ф)=

=nPr\ da + Sr sin 8 68 + SZ sin p дф.

Обозначим обобщенные силы такими же индексами, что и координаты, к которым они относятся. Тогда, вспоминая, что обобщенные силы равны коэффициентам при соответствующих вариациях координат в выражении элементарной работы, получим

Qa = пРг\, Qe = Sr sin 0, Q^ = SI sin 屮.

Условия равновесия (54) в настоящем случае будут иметь вид

Qa + 储+ %2 “吵2- =nPr\ + %i • 0 + %2门 cos a = О,

Qe + %i='^^L + 入2 "^^2" =Sr sin 0 —入и cos 0 + %2尸 cos 6 = 0,(72>

Q® + 入 1-'^j- + %2 "^~-：=SZ sin *ф "Ь %i/ cos *ф + %2 • 0 = 0.

Первое и третье из этих равенств дают

笳=—S tg *ф,%2笳=—S tg *ф,%2пР . cos a *пР . cos a *(73>(73>

笳=—S tg *ф,%2

笳=—S tg *ф,%2

пР . cos a *

пР . cos a *

(73>

(73>

подставив во второе равенство эти значения, а также выражения для Qo> <5Ф1/(30 и 。①2/06, снова получим соотношение (70). Усилия в стержнях могут быть легко выражены через множители связей 储 и 入2・ Составим выражения обобщенных реакций Qa, Q®, Q®, соответствующих выбранным обобщенным координатам. Для этого по тому же правилу, что и для обобщенных задаваемых сил, вычислим элементарную работу bW* реакций на возможном перемещении системы:

6F* = — Nbc 6b cos a + 2“ 也 cos 0 — Ncd 6c sin (2 + 6) + Ned 6d cos 屮=

=—Nbch cos a 6a — %“ cos 0 60 + Ncd sin (2 + 6) r 68 +

+ Ncdb (厂 cos 0 + / cos 2) • cos 2 =

«= — Nbch cos a 6a + (— N^cr cos 0 + Nc^r cos 0 sin 屮)60 — Nc^ sin 屮 cos 2 6屮・

Коэффициенты при 6a, 60 и 6-ф в этом выражении определят искомые обобщенные реакции:

Q； = _ /geos a,

Q\ = — Nbcr cos 0 + Ncdr cos 0 sin 电(74)

Q；= —%解 sin 巾 cos 也

Сопоставление (74) и (72) с (43) и (54) дает

入2门 cos a = — Nbch cos a,

—%ir cos 0 + 入2r cos 0 =— “加广 cos 0 + Ncd「cos 0 sin 也% / cos 2 = — Ncdl sin 屮 cos г|).

Из первого и третьего равенств следует

Nbc = — %2Nbc = — %2пРcos aпРcos aNcd = —Ncd = —储 =S . sin -ф — cos -ф '储 =S . sin -ф — cos -ф '(75)(75)

Nbc = — %2

Nbc = — %2

пРcos a

пРcos a

Ncd = —

Ncd = —

储 =S . sin -ф — cos -ф '

储 =S . sin -ф — cos -ф '

(75)

(75)

второе равенство выполняется тождественно. Конечно, в этом простом примере реакции можно было определить, рассматривая равновесие узлов В, С и D.

Пример 126. Статика кардановой передачи (шарнир Гука——Кардана). Устройство кардановой передачи известно из курса кинематики (§ 71, пример 72) и схематически показано на рис. 361. Определим зави-

симость между моментами Mi на ведущем валу О[О и М2— на ведомом валу, а также моменты реакций в шарнирах, соединяющих крестовину AAfBBf с вилками О\ААГ и OzBB\ и в подшипниках О〕и 5 ведущего и ведомого валов.

Для установления зависимости между Afi и М2 применим уравнение принципа возможных перемещений

dIF = Afi dqp — 〃2 6屮=О,

(76)

где 6(р и 6屮一бесконечно малые повороты ведущего и ведомого валов. Отношение 5屮：6ср представляет собой так называемое передаточное число, зависимость которого от угла ср поворота ведущего вала была установлена

в примере 72. Применяя выведенную

дф

cos а

1 — sin2 а cos2 ср

и, следовательно, по (76)

М2 = М\ ( cos а +

Рис. 361.

там

формулу,

будем

иметь

cos а

cos2 а + sin2 а sin2 ср

sin2 а

cos а

sin2 屮).

6ф

(77)

(78〉

Для уравновешивания постоянного момента полезного сопротивления М2 = const необходимо к ведущему валу прикладывать различные для последовательных положений механизма моменты Мь колеблющиеся между значениями

Ml max

cos a

при

屮=万'

3冗T

Mi min = 〃2 cos a

при ср == 0, я,...,

так что коэффициент неравномерности момента /% будет равен

Ml max — М min = sin2 a

M2cos a *

Чем меньше угол a между валами, тем меньше коэффициент неравномерности. Первая часть задачи решена; обратимся к расчету реакций.

Обозначим через М{ момент сил реакций подшипника ведущего вала, через М；——момент сил реакций ведомого вала и через Л4* и (——Л4*)——моменты сил реакций в шарнирах, соединяющих крестовину с вилками. Поскольку крестовина находится в равновесии под действием этих двух моментов, то они отличаются только знакам и“

Применим метод множителей. Механизм имеет одну степень свободы: следовательно, между обобщенными координатами ф и ip существует соотношение. В дифференциальном виде оно представлено уравнением (77); что- 6bl получить его в конечной форме, надо проинтегрировать это уравнение, что даст

(79〉(79〉tg 屮=cos a tg 屮;

(79〉

(79〉

(81)(81)(82)(82)

(81)

(81)

(82)

(82)

при этом начала отсчетов углов ср и -ф выбраны так, чтобы они одновременно обращались в нуль.

Имея в виду дальнейшее, дадим непосрздстЕэнный геометрический вывод этого соотношения, для чего обратимся к рнс. 362. Вертикальная и наклонная окружности единичного радиуса представляют собой траектории

концов перекладин крестовины, полудлины которых примем равными единице. Начальное положение крестовины зададим единичными векторами ао и 瓦，причем будем считать вектор а。расположенным в плоскости пересечения валов О】。и。。2； отметим еще вспомогательный единичный вектор с°, расположенный в плоскости наклонной окружности по отношению к 瓦 так же, как расположен в плоскости вертикальной окружности вектор &о по отношению к а。.

Если ведущий вал повернется на угол 4o04i, равный ср, то ведомый вал повернется на угол BqOBi, равный W; при этом векторы ао и Ьо перейдут в новые положения а1 и 瓦.

Разложив текущие значения векторов сц и 瓦 по направлениям о。，瓦 и 维 будем иметь

(80)(80)@1 = а。cos 屮 + % sin ①,瓦=&o cos 屮 + Co sin 屮

(80)

(80)

и перемножив эти выражения скалярно, найдем

〃1 •瓦=@о •阮 cos ф cos -ф + а0 • с。cos <р sin 屮 +

+ bo • bo sin ср cos 2 + bo • с。sin ф sin ф； но

tti •6i=0, a。.阮=0, ao • Co = — cos a,

6o • bo = 1, 6o • Co = 0,

как что

—cos ф sin 2 cos a + sin 屮 cos 屮=0,

откуда непосредственно вытекает (79). Итак, имеем уравнение связи ①=tg 屮一cos a tg 屮=0,

Из уравнения (76) определяем обобщенные силы

Q(p = М, Qp =—此，

я тогда условия равновесия будут

Mi + % Д— = Mi 4— = 0,

dqpcos2 ф

п °①>,% cos а с

一m2 + %=—私Гt' = 0，

Исключив 九，получимИсключив 九，получим私=Ml私=Mlcos2 г|)cos a cos^ фcos2 г|)cos a cos^ ф0屮cos2屮

Исключив 九，получим

Исключив 九，получим

私=Ml

私=Ml

cos2 г|)cos a cos^ ф

cos2 г|)cos a cos^ ф

Соотношение это, если исключить 屮 при помощи (79), совпадает с (78). Лшо- житель 入 равен

X = — Mi cos? qp.(84)

Составим условие идеальности связей. Обозначим через “ни единичные векторы направлений осей валов; тогда условие равенства нулю суммы п】~ ментарных работ реакций связей будет

61Г* = М： • 〃 6qp + М* • 〃 6qp — М* • и 6屮 + Mg • и 6屮=0・(85)

Но моменты пар реакций идеальных подшипников перпендикулярны к их осям, т. е.

М； • и = О, М； • и = 0.

Из (85) при этом следует, что

Q* =Mi • и, Q^ = — «М* • s и по (43) и (84)

Последнее соотношение показывает, что в настоящем случае множитель X пропорционален составляющей момента М* реакций шарниров по оси ведущего вала. Сам же момент М*, так же как и моменты реакций подшипников М： и Л4；, остается пока неопределенным.

Замечая, что по условию идеальности связей момент М* перпендикулярен осям шарнирных соединений крестовины с вилками, представим его в виде

ЛГ = МЧХЬ1,(87>

так как вектор а〔 X &i имеет единичную длину. Подставляя в (86), находим величину момента М* как отношение

(88>И ПЛО*(89)(90)(88>И ПЛО*(89)(90)m* =^1 . •——=^±-

(88>

И ПЛО*

(89)

(90)

(88>

И ПЛО*

(89)

(90)

3 X 61) • « cos 0，

где 0 — угол между текущим положением плоскости крестовины AQ& скостью вертикального круга 人^氏.Согласно (80) имеем

cos В = (ai X 瓦)• 〃 = cos ср cos -ф + sin qp sin -ф cos а,

или по (79) cos 1Ь

cos 0 = cos qp cos 屮(1 + tg ф tg -ф cos а) = cos (p cos -ф (1 + tg2 屮)=&& 展•

Подставляя эго значение cos 0 в (88), получаем — “I cos(p COS 屮.

Возвращаясь к (87), в котором а】и Ь〔 можно*заменить их выражениями (80), а М* — выражением (90), находим

М* = — Mi (и cos2 qp + v sin ср cos ср tg i|)— и X v cos2 <p tg -ф),

или по (79)

M* =——Mi (“ cos2 屮 + и Т亲产—и X v sin

При ср = 0, я, ... имеем М* = —Mi〃 = —Mi, т. е. момент реакций равен по величине и противоположен по направлению задаваемому моменту М; при 中=#2, 3冗/2,согласно (83), момент пары реакций, приложенной к вилке

ведомого вала, будет равен —Al* — (Afi/cos a)v = M2v, т. e. одинаков по величине и противоположен по направлению моменту полезного сопротивления —M2v.

Чтобы вычислить моменты М； и М； реакций подшипников ведущего и ведомого валов, составим уравнения равновесия вилок

М[ + М* + М； = О, М2 — М* + М； = О и найдем

Л4； = — М] — М* = — М] sin ф ^« sin ф — V ‘ :* g” + 〃 X и cos 屮 tg а) •(92)

Далее имеем

М； = _丛2 + М* = “2卩 + М* = — М/ cos2 ф +(А& — Ml ^^) V +

+ X и sin 屮 cos ср tg a, или по (91)

Af2 == — Л1 i cos ф (« cos ф — v cos a cos ф — « X v sin 屮 tg a).(93)

Согласно полученным формулам момент М； обращается в нуль при ср = =0, л, ..., а момент М； — при 屮=冗/2, Зл/2,...

Таким образом, все моменты реакций определены как по величине, так и по направлению. Легко проверить, что условия ортогональности моментов М, М；, Л(2 соответствующим осям ОА\ и ОВЬ QO и ОО2 выполняются.

§ 147. Устойчивость равновесия системы. ТеоремаЛагранжа — Дирихле. Понятие о теоремах Ляпунова

Определение понятия устойчивости равновесия связано с рассмотрением тех движений, которые система станет совершать, будучи выведена из положения равновесия путем сообщения ее точкам весьма малых начальных отклонений от положения равновесия и весьма малых начальных скоростей. Если после нарушения равновесия система в своем последующем движении будет весьма мало отклоняться от исследуемого равновесного положения, то такое положение равновесия назызаетс:1 устойчивым.

Будем определять положение системы при помощи и?зави- симых обобщенных координат qi,夕2, ..., q* число которых равно числу степеней свободы системы.

Условимся вести отсчет обобщенных координат от рассматриваемого положения равновесия, т. е. считать, что этому положению соответствуют значения обобщенных координат 夕匕夕2, ...,夕储 равные нулю. Начальные значения обобщенных координат и скоростей (в момент / = 0) обозначим соответственно че-

рез д% @；, а их текущие значения (т. е. значения в любой момент времени /) — через qj и @/ (/ = 1, 2,...,归).Согласно данному выше определению исследуемое положение равновесия устойчиво, если при наперед выбранных положительных достаточно малых е и 81 можно указать такие зависящие от е и ei положительные числа 刀 и 巾，что при

I叫<7 I阳V%

все текущие значения координат 勿 и обобщенных скоростей qf при любом /, как бы велико оно ни было, останутся меньшими по абсолютной величине, чем е и ei：

丨%1<7丨%l<5-

Например, нижнее вертикальное положение математического маятника устойчиво, так как, произвольно задав угол отклонения маятника от вертикали ф = е и угловую скорость ф = 8Ь мы сможем указать такие не равные одновременно нулю и зависящие от 8 и 81 границы значений для начального угла отклонения фо и начальной скорости фо, что в последующем движении маятника |ф| и |ф| при любом / не превзойдут величин е и ез Наоборот, вертикальное верхнее положение маятника неустойчиво.

Лагранж установил следующее достаточное условие устойчивости равновесия голономной системы с идеальными связями в консервативном сило* в о м поле:

Если в некотором положении системы, подчиненной идеальным голономным связям и находящейся под действием консервативных сил, потенциальная знераия имеет минимум, то это положение равновесия устойчиво.

Точное доказательство этой теоремы дал Лежен Дирихле (1805—1859).

Напомним, что в положении равновесия потенциальная энергия П удовлетворяет необходимым условиям экстремальности (§ 145)

器=0 (/=1, 2,粉. (94)

Согласно теореме Лагранжа — Дирихле, если этот экстремум представляет минимум, то положение равновесия устойчиво. Так, в нижнем вертикальном положении математического маятника потенциальная энергия имеет минимум по сравнению с ее значениями в любых других положениях маятника; это положе* ние соответствует устойчивому равновесию маятника.

Не нарушая общности доказательства теоремы, можно, во-первых, как условлено выше, считать все координаты в положении

равновесия равными нулю; во-вторых, можно принять потен* циальную энергию в положении равновесия также равной нулю, подбирая соответствующим образом произвольную аддитивную постоянную, с точностью до которой определяется потенциальная энергия. Если в положении системы, определяемом значениями координат (0, 0, ..., 0), потенциальная энергия принимает минимальное свое значение, равное нулю, то по определению минимума можно вблизи положения равновесия указать такую область значений координат

I %• I V %

что внутри и на границах этой области значения потенциальной энергии будут положительны; это — так называемая область минимума функции.

Зафиксируем одну из координат, например 夕卜 на границе области минимума, положив

力=±7

а остальным координатам предоставим возможность изменяться как угодно внутри области минимума или даже достигать границ ее. Наименьшее значение потенциальной энергии при этом обозначим через Ль Это число 4] обязательно положительно. Точно так же зафиксируем вторую координату на границе области минимума и предоставим другим координатам (в том числе и первой) изменяться внутри области минимума или достигать границ ее; соответствующее минимальное значение потенциальной энергии обозначим через А2 (также положительное число). Поступив так же со всеми k обобщенными коордгь натами, получим ряд положительных чисел

#1'』2，• • • > "尼，

наименьшее из которых обозначим через А. При таком выборе числа 4 условие

П< Д(95)

будет обозначать, что ни одна из координат не достигла границ области минимума, т. е. система находится вблизи равновесного положения внутри заранее указанных границ.

Выведем систему из исследуемого положения равновесия. Пусть По — начальное значение потенциальной энергии; по заданному е можно так определить т)(£), чтобы при всех \^\<

<П(е) имело место неравенство

(96)(96)По V 4

(96)

(96)

для чего, согласно сказанному выше, достаточно выбрать начальное положение системы лежащим внутри области минимума функции П.

Если система подчинена идеальным стационарным связям, то в действительном ее движении работа реакций связей равна нулю. Следовательно, к такого рода движениям применим закон сохранения механической энергии

Г + П = Т0 + П0

и, значит, по условию существенной положительности кинетиче ской энергии

П V То + По.

Если По V 4 то всегда можно так подобрать начальные скорости, чтобы и По + Го было меньше Л; для этого достаточно положить То меньшим разности А — По, которая по условию (96) больше нуля. Следовательно, начальные скорости точек системы можно определить так, чтобы во все время движения выполнялось условие

П<Л,

а это на основании (95) означает, что система останется в ограниченной области, произвольно выбранной нами вблизи положения равновесия, т. е. что исследуемое положение является положением устойчивого равновесия.

Теорема Лагранжа — Дирихле содержит утверждение об устойчивости равновесия системы в том ее положении, где по тенциальная энергия задаваемых сил достигает минимума, но не дает никаких оснований судить о том, будет ли равновесие неустойчиво, если потенциальная энергия в этом положении системы имеет максимум. Ответ на этот важный вопрос для весьма обширного класса случаев, практически вполне исчерпывающих мыслимые приложения, содержится в теоремах Ляпунова (1857—1918). Доказательство теорем Ляпунова не может быть здесь дано; удовольствуемся их формулировкой *).

Заметим сначала, что вблизи положения равновесия системы (夕1 = 0,夕2 = 0, •. •, qk = 0) потенциальная энергия П(дь 夕2, . •・ ...,qQ может быть разложена в степенной ряд, сходимость которого в области достаточно малых 夕/ обеспечена. Принимая во внимание, что в точке (0, 0, ..., 0) потенциальная энергия принята равной нулю и что по условию экстремума равны нулю

все ее первые производные в этой точке, будем иметь следующее разложение потенциальной энергии:

Н(%“2,%Т[(誹)产+(瑞)

…+(舞)产+2(器)产+…

Однородный многочлен второй степени (квадратичная форма) будет знакоопределенным, если он сохраняет постоянный знак при вещественных значениях аргументов, обращаясь в нуль только при обращении в нуль всех аргументов. Если же этот многочлен, сохраняя знак, может обращаться в нуль при значениях аргументов, не равных одновременно нулю, то он назьь вается знакопостоянным. Так, квадратичная форма

3 (%, У)=炉 + 产

является знакоопределенной, тогда как форма

% (%, У)=炉 + 2切 + 旷=(% + у；

будет положительной знакопостоянной, так как она обращается в нуль на прямой у =——х, а не только в начале координат.

Известно, что если члены второго порядка, входящие в разложение (97), образуют знакоопределенную положительную квадратичную форму, то функция П при достаточно малых значениях аргументов остается положительной, т. е. имеет в начале координат минимум. Если же эта квадратичная форма знакопостоянна и положительна, то суждение о наличии или отсутствии минимума П нс может быть получено из рассмотрения членов второго порядка и требует привлечения членов высших порядков.

Точно так же функция П будет иметь в начале координат максимум, если члены второго порядка в ее разложении (97) образуют знакоопределенную отрицательную форму. Если же эти члены образуют знакопостоянную отрицательную форму, то суждение о наличии максимума не может быть высказано без привлечения к рассмотрению членов высших порядков.

В том случае, когда квадратичная форма в разложении (97) может принимать как положительные, так и отрицательные значения (является знакопеременной), функция П не имеет в начале координат ни максимума, ни минимума.

Приводим формулировку теорем Ляпунова.

Первая теорема Ляпунова. Равновесие неустойчиво, если отсутствие минимума потенциальной энергии узнается по членам второго порядка 8 разложении потенциальной энергии "без необходимости рассматривать члены высших порядков.

Вторая теорема Ляпунова. Равновесие неустойчиво, если потенциальная энергия имеет максимум 〃 наличие этого максимума может быть установлено из рассмотрения членов наименее высокого порядка, которые действительно имеются в разложении потенциальной энергии 6 степенной ряд.

Рассмотрим теперь частный случай, когда на систему точек Mi (i= 1, 2, ..., п) действуют постоянные по величине и одинаковые по направлению силы Fz с отличным от нуля главным вектором; тогда принимая общее направление этих сил за ось On, будем иметь следующее выражение потенциальной энергии:

口 =e(士 尸肉)=%£(士%)，

где Zc ——координата центра параллельных сил 尸

На основании принципа возможных перемещений, выраженного в форме (47), убедимся, что необходимое и достаточное условие равновесия такого рода системы совпадает с необходимым условием экстремальности координаты 2с； действительно,

В частности, если за силы F/ принять силы тяжести, пропорциональные массам точек, то последнее условие приведется к необходимому условию экстремальности высоты центра масс системы над горизонтальной плоскостью.

Теорема Лагранжа ——Дирихле приводит в этом случае к следующему положению: если центр масс системы тяжелых точек занимает наинизшее из возможных смежных положений, то это положение равновесия системы будет устойчивым. Торричелли (1608—1647) в исследованиях по статике твердых и жидких тел считал этот принцип основным и самоочевидным. Лагранж в «Аналитической механике》использовал принцип Торричелли для доказательства принципа возможных перемещений. Не останавливаясь на подробном изложении этого классического доказательства, приведем следующее простое рассуждение. Заменим приложенные к системе силы натяжениями переброшенных через 《идеальные》 блоки нитей, к концам которых привешены грузы, соответственно равные по величине приложенным к системам силам. Рассматривая полученную таким образом новую систему как эквивалентную предыдущей и принимая

Если Г/ = OiMi — вектор-радиус точки Mi относительно неЕсли Г/ = OiMi — вектор-радиус точки Mi относительно неподвижной оси Oi блока,подвижной оси Oi блока,Рис. 364.Рис. 364.причем углы ср и 屮причем углы ср и 屮

Если Г/ = OiMi — вектор-радиус точки Mi относительно не

Если Г/ = OiMi — вектор-радиус точки Mi относительно не

подвижной оси Oi блока,

подвижной оси Oi блока,

Рис. 364.

Рис. 364.

причем углы ср и 屮

причем углы ср и 屮

принцип Торричелли, составим условие равновесия системы в виде (рис. 363)

X 巳 bht = 0.

размеры которого пренебрежимо малы, а 6г/ ——возможное перемещение точки Mi системы, то

bht = - 6门=

=6s力 cos (Fh 6у0 = 6s» cos az, где 6sj = |M|, 6n = 61fiI. При этом предыдущее уравнение принимает вид

£ 尸》6s力 cos a? = 0,

тождественный с уравнением принципа возможных перемещений (46).

Приведенное доказательство отличается от классического доказательства Лагранжа тем, что в последнем вместо блоков

используется система полиспастов, вследствие чего вопрос сводится к рассмотрению равновесия лишь одного груза.

Пример 127. Груз М веса G подвешен на стержне ОМ, свободно проходящем сквозь вращающийся вокруг оси О цилиндр и шарнирно соединенном в точке 4 с коромыслом ЛО1, вращающимся около неподвижного центра & (размеры указаны на рисунке). Исследовать устойчивость вертикального положения равновесия маятника (рис. 364).

Составим выражение потенциальной энергии системы, пренебрегая весом стержней по сравнению с весом груза М:

И = — Gy с，

где ордината ус центра тяжести груза равна ^с = А — г cos ср + Zcos 也

(система имеет одну степень свободы) связаны соотно^

шением

Предполагая исследовать устойчивость системы вблизи положения, опреПредполагая исследовать устойчивость системы вблизи положения, определяемого углами(р = 0, 2=0,деляемого углами(р = 0, 2=0,sin屮Q中，тогда будем иметьsin屮Q中，тогда будем иметьsin屮aw;sin屮aw;можно считать углы ср и -ф малыми и принять coscpgl —為 cosgl-等；можно считать углы ср и -ф малыми и принять coscpgl —為 cosgl-等；2 +①h2 +①h~, w=7中， гЛ — г~, w=7中， гЛ — ги, следовательно,% =九一г 2 + ^ (B2 一 /w 2)=九一「+ 2 + ；［1 一 汲 U 万小 qAи, следовательно,% =九一г 2 + ^ (B2 一 /w 2)=九一「+ 2 + ；［1 一 汲 U 万小 qAПотенциальная энергия будет при 屮Потенциальная энергия будет при 屮г/(Л - г)2 — ］〉°，г/(Л - г)2 — ］〉°，0 иметь минимум, еслиV" > 九一г.0 иметь минимум, еслиV" > 九一г.При этом условии исследуемое положение равновесия устойчиво. Наоборот,.При этом условии исследуемое положение равновесия устойчиво. Наоборот,.приприXl V 九一гXl V 九一гоно будет неустойчивым (по первой теореме Ляпунова). Чтобы решить вопрос об устойчивости равновесия при ^/rl < h — г необходимо иметь разложение потенциальной энергии в ряд с точностью до членов по крайней мере порядка 屮4 (вследствие симметрии механизма относительно вертикальной оси нечетные степени 屮 в этом разложении отсутствуют).оно будет неустойчивым (по первой теореме Ляпунова). Чтобы решить вопрос об устойчивости равновесия при ^/rl < h — г необходимо иметь разложение потенциальной энергии в ряд с точностью до членов по крайней мере порядка 屮4 (вследствие симметрии механизма относительно вертикальной оси нечетные степени 屮 в этом разложении отсутствуют).Пример 128. Цилиндр / (рис. 365)Пример 128. Цилиндр / (рис. 365)радиуса а соприкасается с внутренней по- неподвижного цилиндра II ра-радиуса а соприкасается с внутренней по- неподвижного цилиндра II ра-верхностью диуса R и тяжести G правлениюверхностью диуса R и тяжести G правлениюнаходится под действием силы и постоянной по величине и на- силы Р, передаваемой ему принаходится под действием силы и постоянной по величине и на- силы Р, передаваемой ему припомощи вертикального штифта ///, скользящего в направляющих вдоль вертикального диаметра цилиндра 〃. Исследовать устойчивость наинизшего положения цилиндра /, пренебрегая силами трения между штифтом и поверхностью этого цилиндра.Обозначив через zc и zA координаты точек С и Л приложения сил G и Рпомощи вертикального штифта ///, скользящего в направляющих вдоль вертикального диаметра цилиндра 〃. Исследовать устойчивость наинизшего положения цилиндра /, пренебрегая силами трения между штифтом и поверхностью этого цилиндра.Обозначив через zc и zA координаты точек С и Л приложения сил G и Рк цилиндру, составим выражение потенциальной энергиик цилиндру, составим выражение потенциальной энергии口 = 一 G% - &а・口 = 一 G% - &а・Согласно рис. 365 имеем (О — след оси цилиндра //)Согласно рис. 365 имеем (О — след оси цилиндра //)% = ОВ = ОС cos 屮=(R — a) cos 屮,% = ОВ = ОС cos 屮=(R — a) cos 屮,Между углами 屮 и 入 существует соотношениеМежду углами 屮 и 入 существует соотношениеsin (2 + 九)=—sin w,sin (2 + 九)=—sin w,

Предполагая исследовать устойчивость системы вблизи положения, опре

Предполагая исследовать устойчивость системы вблизи положения, опре

деляемого углами(р = 0, 2=0,

деляемого углами(р = 0, 2=0,

sin屮Q中，

тогда будем иметь

sin屮Q中，

тогда будем иметь

sin屮aw;

sin屮aw;

можно считать углы ср и -ф малыми и принять coscpgl —為 cosgl-等；

можно считать углы ср и -ф малыми и принять coscpgl —為 cosgl-等；

2 +①

h

2 +①

h

~, w=7中， гЛ — г

~, w=7中， гЛ — г

и, следовательно,

% =九一г 2 + ^ (B2 一 /w 2)=九一「+ 2 + ；［1 一 汲 U 万小 qA

и, следовательно,

% =九一г 2 + ^ (B2 一 /w 2)=九一「+ 2 + ；［1 一 汲 U 万小 qA

Потенциальная энергия будет при 屮

Потенциальная энергия будет при 屮

г/

(Л - г)2 — ］〉°，

г/

(Л - г)2 — ］〉°，

0 иметь минимум, если

V" > 九一г.

0 иметь минимум, если

V" > 九一г.

При этом условии исследуемое положение равновесия устойчиво. Наоборот,.

При этом условии исследуемое положение равновесия устойчиво. Наоборот,.

при

при

Xl V 九一г

Xl V 九一г

оно будет неустойчивым (по первой теореме Ляпунова). Чтобы решить вопрос об устойчивости равновесия при ^/rl < h — г необходимо иметь разложение потенциальной энергии в ряд с точностью до членов по крайней мере порядка 屮4 (вследствие симметрии механизма относительно вертикальной оси нечетные степени 屮 в этом разложении отсутствуют).

оно будет неустойчивым (по первой теореме Ляпунова). Чтобы решить вопрос об устойчивости равновесия при ^/rl < h — г необходимо иметь разложение потенциальной энергии в ряд с точностью до членов по крайней мере порядка 屮4 (вследствие симметрии механизма относительно вертикальной оси нечетные степени 屮 в этом разложении отсутствуют).

Пример 128. Цилиндр / (рис. 365)

Пример 128. Цилиндр / (рис. 365)

радиуса а соприкасается с внутренней по- неподвижного цилиндра II ра-

радиуса а соприкасается с внутренней по- неподвижного цилиндра II ра-

верхностью диуса R и тяжести G правлению

верхностью диуса R и тяжести G правлению

находится под действием силы и постоянной по величине и на- силы Р, передаваемой ему при

находится под действием силы и постоянной по величине и на- силы Р, передаваемой ему при

помощи вертикального штифта ///, скользящего в направляющих вдоль вертикального диаметра цилиндра 〃. Исследовать устойчивость наинизшего положения цилиндра /, пренебрегая силами трения между штифтом и поверхностью этого цилиндра.

Обозначив через zc и zA координаты точек С и Л приложения сил G и Р

помощи вертикального штифта ///, скользящего в направляющих вдоль вертикального диаметра цилиндра 〃. Исследовать устойчивость наинизшего положения цилиндра /, пренебрегая силами трения между штифтом и поверхностью этого цилиндра.

Обозначив через zc и zA координаты точек С и Л приложения сил G и Р

к цилиндру, составим выражение потенциальной энергии

к цилиндру, составим выражение потенциальной энергии

口 = 一 G% - &а・

口 = 一 G% - &а・

Согласно рис. 365 имеем (О — след оси цилиндра //)

Согласно рис. 365 имеем (О — след оси цилиндра //)

% = ОВ = ОС cos 屮=(R — a) cos 屮,

% = ОВ = ОС cos 屮=(R — a) cos 屮,

Между углами 屮 и 入 существует соотношение

Между углами 屮 и 入 существует соотношение

sin (2 + 九)=—sin w,

sin (2 + 九)=—sin w,

которое легко получить, рассматривая треугольник О АС,

Используя малость углов хр и А в положении цилиндра, смежном с но следуемым наинизшим его положением, получаем

屮+九=气一电

% = R _ а — ^" (R — а)屮2,

之从=R — 2а — g (R — а)外 + ^ а 纣 + 九)2 =

= R_2a + ^殁二^七丄职

Опуская несущественную постоянную, получим следующее выражение потен* цпальной энергии:

n = ^(R — a)(G-片丝夕)г|А(98)

Отсюда следует, что:

если R W 2а, то исследуемое положение равновесия устойчиво при лю・ бом соотношении сил Р и G; в частности, при R = 2а сила Р не будет фигурировать в выражении потенциальной энергии (98), что и естественно, так как в этом случае точка А будет совпадать с неподвижной точкой О;

если R > 2а н

Р R — 2。

то равновесие устойчиво;

если R > 2а, не

Р R — 2а、I

то, согласно первой теореме Ляпунова, равновесие неустойчиво;

в случае

Р R —2a

требуется рассмотреть знак членов четвертого порядка малости в выражении потенциальной энергии.

Глава XXVIII

КИНЕТОСТАТИКА И ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ДИНАМИКИ

Принцип Даламбера

В истории механики принцип Даламбера получал различные трактовки. Начнем с той его формулировки, которая наиболее близка в приведенной в классическом «Трактате по динамике》 Даламбера, вышедшем в свет в издании Парижской академии в 1743 г.).

Дополняя динамику свободных тел Ньютона, Даламбер (1717—1783) рассматривает несвободные тела как окруженные действующими на них другими телами. Определяя «движение» тела как «скорость тела с учетом ее направления», т. е. как вектор скорости материальной точки, Даламбер отличает «передаваемое» телу движение от действительно «воспринимаемого^ телом движения и поясняет, что из-за действия на данное тело окружающих его тел часть движения, определяемая разностью между передаваемым и воспринимаемым, не может быть воспринята телом и является《потерянной》.

Совокупность «потерянных движений》，взятая отдельно и сообщенная несвободному телу или системе тел, как 《невоспрн- нимаемая», не может изменить состояния их движения. Эти простые соображения приводят к следующей исторически первой формулировке принципа Даламбера:

Если несвободной системе тел сообщить только потерянные движения, то эти движения взаимно уничтожатся, а тела сохранят состояние покоя.

В приведенном только что рассуждении Даламбера используется характерный для той эпохи образ мгновенной передачи точкам системы конечных скоростей, т. е. перенос движения с помощью ударов.

Рассматривая непрерывную передачу точкам системы бесконечно малых скоростей и отнеся их к бесконечно малым промежуткам времени, перейдем к формулировке принципа, использующей понятие ускорения.

Обозначим через 毗 передаваемые точкам М системы ускорения, а через Wi действительно воспринимаемые ускорения. Тогда геометрические разности

Аз, = М — Wi(1)

определят «потерянные ускорения», а величины

Pi = mt Aw/ = mi (w{—电)，(2)

равные произведению масс mi точек Mt на потерянные ускорения, могут быть названы «потерянными силами». Принцип Даламбера при этом получает следующую формулировку:

Потерянные силы, будучи приложены к точкам несвободной системы, не нарушают ее равновесия.

Принцип Даламбера сводит, таким образом, динамику несвободной системы к задаче, статики о равновесии несвободной системы под действием совокупности потерянных сил.

В приведенных выше формулировках принцип Даламбера является самостоятельным принципом динамики несвободных систем, не зависящим ни от появившегося значительно позднее понятия связи, ни от принципа освобождаемости.

Выражение потерянной силы (2) можно несколько видоизменить, если, применяя второй закон Ньютона, справедливый для свободной точки, определить произведение

miWi=Fi

как равнодействующую задаваемых сил, т. е. по предыдущему сил, которые продолжали бы действовать на систему по исчезновении связей. Потерянные силы (2) могут быть теперь представлены в виде

Pi = Fi — m^i，(3)

Другую трактовку потерянных сил можно получить, если, пользуясь принципом освобождаемости, ввести в рассмотрение равнодействующую R» реакций связей и написать уравнение движения несвободной точки М массы mi в форме

g吗=月+ R;

тогда, сравнивая с (3), будем иметь

р%・=—R,.(4)

Это равенство выражает, что потерянные силы, будучи приложены сами по себе к точкам систем”, уравновешиваются реакциями связей, или, как еще иногда говорят, уравновешиваются на связях.

В следующем параграфе приводится еще одна трактовка потерянных сил, основанная на использовании понятия сил инвр-

4〃〃. Такая трактовка приближает принцип Даламбера к известному принципу Германа ——Эйлера. В этой своей форме принцип Даламбера становится основой технических применений динамики несвободных систем, объединяемых под общим наименованием «кинетостатика».

Метод кинетостатики

Введем в рассмотрение силы инерции точек системы 8, определяя их, как это уже делалось в § 84, равенствами

Sj = 一切吗.⑸

Тогда, согласно (4), потерянная сила представится геомег* рической суммой задаваемой силы и силы инерции

P^F. + S,.⑹

Ранее приведенная формулировка принципа Даламбера может быть теперь заменена следующей: если к точкам несвободной системы наряду с задаваемыми силами приложить силы инерции, то совокупность этих сил уравновешивается реакциями связей.

Применение принципа Даламбера в только что указанной формулировке служит основанием сведения задачи динамики к задаче статики с последующим использованием принципа воз« можных перемещений (см. далее § 154). С простейшим случаем применения приема сведения задачи динамики к задаче статики мы уже имели дело в § 84, рассматривая движение отдельной материальной точки. Физическое разъяснение такого приема для указанного простейшего случая будет дано в гл. XXX, посвя« щенной динамике относительного движения. В общем случае несвободной системы материальных точек прием сведения задач динамики к задачам статики оправдывается приведенной выше формулировкой принципа Даламбера.

Только что указанная трактовка принципа Даламбера легла в основу кинетостатики ——отрасли технической механики, ста* вящей целью применение методов статики к решению «динам小 ческих задач теории машин и механизмов. Эти методы зарод氐 лись в начале XIX века и получили свое завершение в начале XX века.

Кинетостатика плоского движения твердого тела

Остановимся на основной для кинетостатики плоских меха низмов задаче о плоском движении твердого тела, уже рассмот ренной ранее (§ 134) другим способом. Пусть твердое тело со вершает плоское движение параллельно плоскости, являющейся

плоскостью симметрии тела. Обозначим через Fb F2, ..., Fn задаваемые силы, приложенные к телу и действующие в указанной плоскости симметрии. Обозначим через У главный вектор этих сил, через 加°)— их главный момент относительно некО' торого полюса О:

пп

У=х“，m^=£m0(Pz),⑺

лл

а через S и тр ——главный вектор сил инерции и главный момент сил инерции относительно того же полюса:

N“N

s = g S/ = — £ т/, ^ = ^т0 (S J(8)

где N — число частиц, на которое мысленно подразделено тело. В соответствии со сказанным выше уравнения движения тела можно написать в форме уравнений статики для плоской системы сил, добавив к приложенным силам силы инерции; поэтому получим

V + S = 0, т^ + т^ = 0.(9)

Остается составить выражения для S и т^^. По определи нию центра масс имеем (§ 104)

s = — X 忆叫=—М&с,(10)

где Wc — ускорение центра масс тела. Это выражение главного вектора сил инерции является общим для любых систем материальных точек, а не относящимся только к случаю плоского движения твердого тела. В последнем же случае (§ 58) имеем

% = - к© + е X &,(И)

где г^с — вектор-радиус центра масс относительно мгновенного центра ускорений Q. В соответствии с этим можно разложить силу инерции (10) на две:

S = S(g + S(b),(12)

где S(u)— центробежная, a S")— вращательная сила инерции:

S^ = 乂吟① S^^-МгХ &・(13)

Переходим к вычислению главного момента сил инерции тр・ За полюс О примем пока произвольную точку тела в его

§ 150. КИНЕТОСТАТИКА ПЛОСКОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА 349 плоскости симметрии. Имеем

%• = % + £ X 底一炉匕，(14)

где г； — вектор-радиус точки тела относительно полюса О.

Воспользовавшись соотношениями

Г； X < = 0, г； X (« X <)=叫2 - г；« • е) = *2,причем последнее имеет место, так как г；丄 е, получим加。(S/) = — X X 乃(w0 + е X г； —(o2r；) = w0X m.r； - em/；2.

После суммирования в соответствии со второй формулой (8) найдем, вспомнив определение центра масс и момента инерции» 加产)=—r^X М叫一Joe,(15)

где rfc — вектор-радиус центра масс Jo —- момент инерции относительногде rfc — вектор-радиус центра масс Jo —- момент инерции относительноотносительно полюса О, оси, перпендикулярнойотносительно полюса О, оси, перпендикулярнойк плоскости движения и проходящей через О.Рассмотрим два частных случая. Примем за полюс О центр масс С тела. Тогда г^= 0 и, согласно (15), будетт(с)= _ /с^ (16)Силы инерции приводятся к главному вектору S, определяемому в соответствии с (13), и паре ск плоскости движения и проходящей через О.Рассмотрим два частных случая. Примем за полюс О центр масс С тела. Тогда г^= 0 и, согласно (15), будетт(с)= _ /с^ (16)Силы инерции приводятся к главному вектору S, определяемому в соответствии с (13), и паре смоментом /л? (рис. 366). Уравнения (9) принимаютмоментом /л? (рис. 366). Уравнения (9) принимаютвидвид

где rfc — вектор-радиус центра масс Jo —- момент инерции относительно

где rfc — вектор-радиус центра масс Jo —- момент инерции относительно

относительно полюса О, оси, перпендикулярной

относительно полюса О, оси, перпендикулярной

к плоскости движения и проходящей через О.

Рассмотрим два частных случая. Примем за полюс О центр масс С тела. Тогда г^= 0 и, согласно (15), будет

т(с)= _ /с^ (16)

Силы инерции приводятся к главному вектору S, определяемому в соответствии с (13), и паре с

к плоскости движения и проходящей через О.

Рассмотрим два частных случая. Примем за полюс О центр масс С тела. Тогда г^= 0 и, согласно (15), будет

т(с)= _ /с^ (16)

Силы инерции приводятся к главному вектору S, определяемому в соответствии с (13), и паре с

моментом /л? (рис. 366). Уравнения (9) принимают

моментом /л? (рис. 366). Уравнения (9) принимают

вид

вид

(17)(17)V — Mwc = 0, /и© — /се = 0.

(17)

(17)

Примем теперь за полюс О мгновенный центр ускорения Q. Тогда w0 = 0; далее, по известной теореме о моментах инерции относительно параллельных осей (§ 115)

где рс — радиус инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс перпендикулярно к плоскости движения, a d = г^с -— расстояние от мгновенного центра ускорений дд центра масс. Из (15) находим

吋）=一 m觴+小）£.

(18)

Плоская система сил инерции S,, таким образом, приведена к силе S и паре с моментом /и冬);эту систему сил можно свести также к одной равнодействующей S*, равной S по величине и направлению м расположенной надлежащим образом. Отложим вдоль прямой, соединяющей точки Q и С, отрезок QL

длины

(19)(19).Рс + ^2

(19)

(19)

Пусть г/ — вектор-радиус конца L (рис. 367) этого отрезка относительно точки Q; тогда

QL~rQC d —「QC d2QL~rQC d —「QC d2(20)(20)

QL~rQC d —「QC d2

QL~rQC d —「QC d2

(20)

(20)

(§ 117). Нетрудно видеть, что линия действия равнодействующей S* сил инерции должна проходить через точку L. Действительно,^} = ^QLX^ = r^LXS^ ++ &XS(b)= &xS(b), так как первое слагаемое (мо(§ 117). Нетрудно видеть, что линия действия равнодействующей S* сил инерции должна проходить через точку L. Действительно,^} = ^QLX^ = r^LXS^ ++ &XS(b)= &xS(b), так как первое слагаемое (моrfQLXS^=-MrfQLXS^=-MРс + /Рс + /& X(£ X &)=& X(£ X &)=-м-мРс + *Рс + *L^QC ~~ rQC(£ •，七с)] •L^QC ~~ rQC(£ •，七с)] •

(§ 117). Нетрудно видеть, что линия действия равнодействующей S* сил инерции должна проходить через точку L. Действительно,

^} = ^QLX^ = r^LXS^ +

+ &XS(b)= &xS(b), так как первое слагаемое (мо

(§ 117). Нетрудно видеть, что линия действия равнодействующей S* сил инерции должна проходить через точку L. Действительно,

^} = ^QLX^ = r^LXS^ +

+ &XS(b)= &xS(b), так как первое слагаемое (мо

rfQLXS^=-M

rfQLXS^=-M

Рс + /

Рс + /

& X(£ X &)=

& X(£ X &)=

-м

-м

Рс + *

Рс + *

L^QC ~~ rQC(£ •，七с)] •

L^QC ~~ rQC(£ •，七с)] •

Если представить себе физический маятник, имеющий Q

осью подвеса, то точка L будет осью качаний этого маятника

мент центробежной силы инерции) обращается в нуль, поскольку г^£ X ^с = ^- Остается вычислить второе слагаемое. По (13) и (20) найдем

Второе слагаемое в скобках равно нулю (скалярное произведение взаимно перпендикулярных векторов); замечая еще, что г^с = rf2, получаем по (18)

〃厶 X $в)= — М (吟 + СТ) 8 = zn*. (21)

Таким образом, главный момент п^^ относительно точки Q плоской системы сил инерции S» равен моменту относительно той же точки главного вектора этих сил S, если за линию действия последнего принять прямую, проходящую через точку L параллельно S. Это и доказывает, что S* по величине, направ-

лению н линии действия совпадает с равнодействующей сил инерции твердого тела, совершающего плоское движение (рис. 366).

Обозначим через R* равнодействующую плоской системы приложенных сил Fi,尸2,.…，尸侬 Теперь можно получить уравнения движения, потребовав, чтобы две силы R* и S* были равны по величине, противоположны по направлению и приложены вдоль одной прямой, проходящей через ось качания во- рбражаемого физического маятника, осью подвеса которого является мгновенный центр ускорений.

В частном случае твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, перпендикулярной к плоскости симметрии тела, все выводы остаются справедливыми; за мгновенный центр ускорений в этом случае надо принять точку пересечения оси вращения с указанной плоскостью. Если в еще более частном Случае ось вращения проходит через центр масс тела (последний обязательно лежит в плоскости симметрии тела), то по (13) и (15)

S = 0, /и* = —/*， (22)

т. е. совокупность сил инерции в этом случае приводится к паре с моментом т^, равным по величине /с& и направленным в сторону, противоположную вектору углового ускорения £•

Пример 129. Рассмотреть движение системы, состоящей из барабана веса G (массы М) и радиуса R и груза веса G (масса М)，висящего на веревке, намотанной на барабан (рис. 368); массой веревки пренебрегаем. Определить движение такой системы и натяжение веревки, пренебрегая силой трения в оси барабана и считая барабан однородным сплошным цилиндром.

Обозначим угловое ускорение барабана через Е, считая Е положительным, если барабан вращается ускоренно в направлении, обратном часовой стрелке. Вводя в рассмотрение силу инерции груза, равную S = AfiRe, и вспоминая, Что по (22) силы инерции барабана статически эквивалентны паре 优田)千/°£, составляем уравнение моментов

Рис, 368.Рис, 368.относительно оси вращения:

Рис, 368.

Рис, 368.

MgR — SR —/иУ = 0, или M]gR — 〃№生一/qE = 0. (23、 Вспоминая, что /о = MR2/2, получаем

принцип освобождаемости: веревки N как задаваемую под действием силы тяже-принцип освобождаемости: веревки N как задаваемую под действием силы тяже-—(2质 + %) R

принцип освобождаемости: веревки N как задаваемую под действием силы тяже-

принцип освобождаемости: веревки N как задаваемую под действием силы тяже-

Желая найти натяжение веревки, применим рассечем веревку и приложим к грузу натяжение <?илу； тогда, написав уравнение равновесия груза сти Gi, натйженйя N и силы инерции S, найдем

G1 — ^ •— S = 0,

N = Gi — S = Mig — MlRe =聲“言""ig・

Пример 130. Центр тяжести С физического маятника (рис. 369) веса G и массы М находится на расстоянии s от оси подвеса О. Радиус инерции относительно оси, параллельной оси подвеса и проходящей через центр тяжести, равен рс. Определить реакции оси.Равнодействующая сил инерции приложена в центре качаний L маятника; ее можно разложить на центробежную и вращательную составляющие, равные= Ms@2, S® = Ms^.Пример 130. Центр тяжести С физического маятника (рис. 369) веса G и массы М находится на расстоянии s от оси подвеса О. Радиус инерции относительно оси, параллельной оси подвеса и проходящей через центр тяжести, равен рс. Определить реакции оси.Равнодействующая сил инерции приложена в центре качаний L маятника; ее можно разложить на центробежную и вращательную составляющие, равные= Ms@2, S® = Ms^.Остается рассмотреть задачу статики, т. е написать три уравнения равновесия для плоской системы сил S(b), S(R G, Т, N, где G — сила тяжести, ^, Т —составляющие реакции оси О, направления которых, принимаемые за положи-Остается рассмотреть задачу статики, т. е написать три уравнения равновесия для плоской системы сил S(b), S(R G, Т, N, где G — сила тяжести, ^, Т —составляющие реакции оси О, направления которых, принимаемые за положи-тельные, указаны на рис. 369. Получаем Т + Mg sin ф + Ms@ = 0,—N + Mg cos ф + Л1ф2 = 0тельные, указаны на рис. 369. Получаем Т + Mg sin ф + Ms@ = 0,—N + Mg cos ф + Л1ф2 = 0Ms (s + ^-) ф + Mgs sin ф = 0.Ms (s + ^-) ф + Mgs sin ф = 0.Из последнего уравнения найдемИз последнего уравнения найдемgsgsР^+$2Р^+$2sin ф,sin ф,или после интегрированияф2 -Фо= pj* (cos Ф — COS ф0),или после интегрированияф2 -Фо= pj* (cos Ф — COS ф0),(24)(25)(26)(27)(24)(25)(26)(27)где фо, (ро ——начальные значения угловой скорости и угла отклонения маятника; это соотношение можно получить также, применив теорему об изменении кинетической энергии.Получаемгде фо, (ро ——начальные значения угловой скорости и угла отклонения маятника; это соотношение можно получить также, применив теорему об изменении кинетической энергии.ПолучаемГ = —Г = —s + р^s + р^sin ср,sin ср,^ =^ =，3s2 + р^，3s2 + р^2 s22 s2

Пример 130. Центр тяжести С физического маятника (рис. 369) веса G и массы М находится на расстоянии s от оси подвеса О. Радиус инерции относительно оси, параллельной оси подвеса и проходящей через центр тяжести, равен рс. Определить реакции оси.

Равнодействующая сил инерции приложена в центре качаний L маятника; ее можно разложить на центробежную и вращательную составляющие, равные

= Ms@2, S® = Ms^.

Пример 130. Центр тяжести С физического маятника (рис. 369) веса G и массы М находится на расстоянии s от оси подвеса О. Радиус инерции относительно оси, параллельной оси подвеса и проходящей через центр тяжести, равен рс. Определить реакции оси.

Равнодействующая сил инерции приложена в центре качаний L маятника; ее можно разложить на центробежную и вращательную составляющие, равные

= Ms@2, S® = Ms^.

Остается рассмотреть задачу статики, т. е написать три уравнения равновесия для плоской системы сил S(b), S(R G, Т, N, где G — сила тяжести, ^, Т —составляющие реакции оси О, направления которых, принимаемые за положи-

Остается рассмотреть задачу статики, т. е написать три уравнения равновесия для плоской системы сил S(b), S(R G, Т, N, где G — сила тяжести, ^, Т —составляющие реакции оси О, направления которых, принимаемые за положи-

тельные, указаны на рис. 369. Получаем Т + Mg sin ф + Ms@ = 0,

—N + Mg cos ф + Л1ф2 = 0

тельные, указаны на рис. 369. Получаем Т + Mg sin ф + Ms@ = 0,

—N + Mg cos ф + Л1ф2 = 0

Ms (s + ^-) ф + Mgs sin ф = 0.

Ms (s + ^-) ф + Mgs sin ф = 0.

Из последнего уравнения найдем

Из последнего уравнения найдем

gs

gs

Р^+$2

Р^+$2

sin ф,

sin ф,

или после интегрирования

ф2 -Фо= pj* (cos Ф — COS ф0),

или после интегрирования

ф2 -Фо= pj* (cos Ф — COS ф0),

(24)

(25)

(26)

(27)

(24)

(25)

(26)

(27)

где фо, (ро ——начальные значения угловой скорости и угла отклонения маятника; это соотношение можно получить также, применив теорему об изменении кинетической энергии.

Получаем

где фо, (ро ——начальные значения угловой скорости и угла отклонения маятника; это соотношение можно получить также, применив теорему об изменении кинетической энергии.

Получаем

Г = —

Г = —

s + р^

s + р^

sin ср,

sin ср,

^ =

^ =

，3s2 + р^

，3s2 + р^

2 s2

2 s2

Пусть/ в частности, маятник представляет собой тонкий однородный стер^ жень длины Z; тогда s = 〃2, р^ = /2/12 и, следовательно,

@ =-票 sin 屮， Ф2 - Фо = -^- (cos ф 一 cos %).

Значения составляющих реакций оси будут

Т ==—五 Mg sin ф,

N

^^+(4 c°s ф I* c°s ①。)м@

Пример 131. Тонкий однородный стержень ОА веса G, массы М и длины Z совершает колебания в вертикальной плоскости вокруг горизонтальной оси, проходящей через конец стержня О. Определить продольное усилие N, поперечное усилие Т и изгибающий момент в любом сечении х стержня

(рис. 370).

Рассмотрим часть стержня БА длиной —x)/Z, ее центр тяжести С расположен на вращения, радиус инерции ее относительно проходящей через С, находится из соотношения р^ = (Z~x)2/12, положение оси качаний воображаемого физическо-

I — х； вес этой части равен G(/ — расстоянии ОС = (/十％)/2 от оси

го маятника

точки О)

CL

(вращающегося вокруг определяется отрезком

Рс 1(/ — х)2

ОС

6 / + х ■

На часть стержня ВА действуют сле-

тяжести [ (/—х)//] G,

дующие силы: сила.、,

приложенная в центре тяжести С этой

части, силы МГн пара с моментом т, представляющие действие на ВА верхней части стержня ——они и являются искомыми продольной и поперечной силами и изгибающим моментом в сече-

нии В; направления за положительные,

их, принимаемые изображены на

рис. 370 справа. Применяя метод кинетостатики, присоединим к указанным силам силы инерции рассматриваемой части стержня; они могут быть заменены

оси, параллельной оси

вращения и

Рис. 370.

т

5

одной равнодействующей S, про-

ходящей через точку L; сила S может быть разложена на центробежную составляющую 5(ц), равную по величине

Zu) 储 I — %M (〃 一 x2) .2

= M—-—-^ (Z + x)屮2 = —*

и вращательную составляющую S(b), равную

с(в) / — % 1 IAf (/2 — X2)..

Остается написать уравнения статики для части стержня. Из уравнений проекций на оси х и у найдем

v Mg (/ - X),М(/2 — %2)

N = —cos ф + —_丄 Ф2,

7 Mg (1-Х).М(/2 — %2) “

Т = -— sm Ф ——勺丄中，

а из уравнения моментов относительно точки В получим

тт_ Mg (/ ~ X)2Ma?-/)—] (/一％)2 Z—%

т

т

2Z — sm 屮2Z—+

12 Л. Г. Лойцянский, А. И. Лурье

Вместо фиф подставим их значения, приведенные в решении предыдущего примера. Получим

г Mg(l — х) л . 3 Z + х \3(/ + %)1 . М(/2 — %2)

m =-К1 +T cos9 _-cos9。」+ ——中0,

и далее

Mgx (/ - %)2 .m = — -^2sin фо.

При % = / находим Т = О, N = 0, что и должно быть, так как конец стержня 4 не нагружен; при % = 0 получаем значения Т и ^, найденные в предыдущем примере. Изгибающий момент т обращается в нуль при х = 0 и % =/； он достигает максимума, равного (GZ/27)sin ср при % = 〃3. Нетрудно проверить, что Т =——dm/dx, как это должно быть на основании известной теоремы, доказываемой в курсах сопротивления материалов.

§ 151. Реакции оси вращающегося тела

Переходя к отдельным задачам динамики твердого тела, остановимся на вопросе об определении реакций в двух точках

Рис. 371.Рис. 371.Главный вектор сил масса тела)Главный вектор сил масса тела)закрепления оси вращающегося твердого тела.

Рис. 371.

Рис. 371.

Главный вектор сил масса тела)

Главный вектор сил масса тела)

Примем ось вращения (рис. 371) за ось О® поместив начало системы осей Oixyz, связанных с телом, в закрепленной точке 01 (подпятник); в точке 02 на расстоянии OiO2 = h помещен подшипник оси вращения.

Применим метод кинетостатики; мысленно освободив тело от опорных закреплений Ot и 02 и введя в рассмотрение искомые реакции ЛИ и N% потребуем, чтобы главный вектор этих реакций, всех задаваемых сил 几 尸2,...,尸九 и сил инерции, а также их главный момент относительно некоторой точки были равны нулю.

инерции по формуле (10) равен (М —

(28)(28)S = — Mwc = — Al (e X ^c + ^ X 0c),

(28)

(28)

где(o ——вектор угловой скорости тела, е ——вектор углового ускорения, и。=(о % Ус — скорость центра масс, гс — его вектор- радиус.

Вычислим главный момент 丄 сил инерции относительно точки 01； сила инерции элементарной массы dm в точке с

вектор-радиусом г равна

dS = — (е X г + 9 X 5 dtn,

а ее момент относительно точки Oi будет

d£ = г X ^S = — [г X (8 X ^) + ^ X (® X V)] dm.

Имеем

夕 X (е X» = е产一г (е • г),

г X (® X V)=(о (г • V)— V (г • о) = —- V (г • (д),

так как скалярное произведение r-v двух взаимно перпендикулярных векторов равно нулю; следовательно,

L — ^ d£ = — е、产壮团 + ^ г (в • г) dm + ^ V (<о • г) dm. (29) (М)(М)(М)(М)

Найдем проекции момента L на оси О】％, О^у, 。1之，т. е. главные моменты сил инерции относительно этих осей. Проекции векторов, входящих в выражение (29), равны

г： (х, у,之)，

(о: (0, 0, ш),

£： (0, 0, 8),

а: (— Gy, G%, 0).

Получаем

Lx = 8 хг dm — со2 , yz dm,

(М)(М)

Ly — z \ yz dm + со? 卜% dm,

(М)(М)

厶=—岂,2 + У? + #) dm + £ \ / dm = — 8、伊 + 們 dg

(М)(М)(М)

или по формулам (4) гл. XXVI

厶% = /羨一Azz* Ly = Jy^ + Jzxi^,4=-厶ё.(30) Каждую из реакций ЛИ и №之 представим в виде суммы двух слагаемых:

М = В” + М， N； = №/)+ N2>

определив N^ и №^吟 как статические части реакций, т. е. те реакции опор, которые возникли бы, если бы тело оставалось под действием задаваемых сил в покое; слагаемые М и №

представляют собой добавки к опорным реакциям — динамические реакции, возникающие вследствие вращения тела.

Статические реакции АГ俨 и N^} могли бы быть найдены из уравнений статики

£ С% + М吃 + 妈豐=о, z Fiy + 阴訳 + N. О,

П九Н⑶)

2%+ N伊+ 2吃=0， пп

g饵0 一 ^翁)=。，二%(尸,)+ ^铝=0・

Последнего уравнения — уравнения моментов относительно оси вращения ——мы не написали; реакции в него не входят, и само это уравнение как уравнение статики не имеет места, так как вращающий момент £ mz (FJ, вообще говоря, отличен от нуля.

Составим уравнения кинетостатики, содержащие динамические добавки к реакциям; они имеют вид:

ЕЛх + N貶 + N暧 + N\x + N2x + Sx=o,

苫尸彤 + N 伊+ N馭 + Mg + N^ + Sg = 0,

£ 厶 + M^ + N紀 + N\z + 必=0, n 九(32)

24C)iN鎧一成#%=0，

x％(/) + ^盟 + 成， + 4=。，

2 % (吊)+ G = 0・

Здесь учтено, что Sz = 0. В полученной системе в силу уравнений (31) можно отбросить по три первых члена в первых трех уравнениях и по два первых члена ——в четвертом и пятом; для определения динамических добавок к опорным реакциям получаем три уравнения проекций сил

M% + N2% + S% = 0, Mg + Mg + Sy = 0, Mz + N2n = 0 (33) и два уравнения моментов

—hN 2y + L% = 0,力％2* + % = 0е(34)

Третье уравнение моментов

> mz (Fz) + 厶=0, или /2ё = £ 他(尸»(33)

представляет собой уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси; реакции в него не входят.

По (28) имеем

S% = — М* = М ®%с + ©У а), Sg = — MwCy = М (о?% — £%с), и два первых уравнения (33) принимают вид М% + М% = — М (^2хс + ёу0)9 мд + м" = 一 м (^g 一 £尤。)■)

Из уравнений (34), учитывая (30), находим

М% = _ L产一% (/薄 + 0叫，

119f38)

"2g=方l%==万(厶%£ 一/"8 )，

что в связи с (37) дает

М% == MwCx + -у (/薄 + Jz^)>

19綱)

N{у = MwCy —(Jzx^ — Jyz(^).

Продольные составляющие N\z и №z динамических реакций связаны одним соотношением — третьим уравнением (32); как и в статике, задача их нахождения не является определенной. Если трение в подшипнике пренебрежимо мало, то N^} = N2z = =0 и 乂1之=0， a N|員) находится из третьего уравнения (32). В дальнейшем примем, что N{z = "22 = 0, т. е. что силы ^l и "2 действуют в плоскостях, перпендикулярных к оси вращения.

Из (33) и (34) или (38) и (39) следует, что динамические реакции обращаются в нуль, если

S% Sy — 0, £% ~~~ Lд === 0»

Это приводит к двум системам однородных уравнений

尤с® + Ус^ = °, "© — /州炉=0, 一尤с£ + Ус^ = 0,厶册 + Jyz豆 н 0 е общим определителем, отличным от нуля:

0)4 + &2，0,

так что единственным решением будет

хс = 0, ус == 0; Jzx = 0, /yz = 0・(40)

Итак, если ось вращения является главной центральной осью инерции тела, то реакции подшипников этой оси при вращении тела не отличаются от статических реакций. В этом случае говорят, что вращающееся тело уравновешено, а ось вращения называют свободной осью.

Предположим, что тело не уравновешено и будем различать три случая:

Пусть центр тяжести лежит на оси вращения, но ось вращения не является главной осью. Из уравнений (37) следует тогда, что

М = -Л/2；(41)

дополнительное динамическое воздействие вращающегося тела на ось вращения приводится к паре сил\ величина момента этой пары определится по формуле

L = hNf 八% + 曜="区+一区 V^+^>(42)

а его проекции на оси О\Х и О\у найдутся из уравнений (38). В этом случае говорят, что тело статически уравновешено, но

динамически не уравновешено; динамическая неуравновешен* ность не может быть обнаружена путем статических испытание Примером может служить однородный диск (рис. 372), вращающийся вокруг неподвижной оси, проходящей через центр диска, но не перпендикулярной к средней плоскости диска (см. далее пример 134).

Рассмотрим теперь случай, когда центр тяжести не лежит на оси вращения, но тело имеет плоскость П материальной симметрии (рис. 373), перпендикулярную к оси вращения;

в этой плоскости, которую примем теперь за плоскость Оху, будет находиться центр тяжести С тела.

Ось вращения будет главной осью в точке О, т. е. Jzx ~ =Jy2 = 0 и уравнения моментов (34) примут вид (о = ООЬ Ъ = 0。2)

—N 2yb + Мм = 0, N2xb — Nixa = 0, t. e.

bN2 = aN{.(43)

Динамические реакции представляют собой параллельные силы, кинетостатически уравновешивающиеся с главным вектором сил инерции S, который в этом случае можно считать приложенным в центре тяжести тела. Такая неуравновешенность называется статической} ее можно обнаружить и устранить, установив путем статического испытания, что центр тяжести не лежит на оси вращения (см. ниже пример 132).

В общем случае силы ^l и ”2 должны быть определены по формулам (38) и (39); динамические реакции привод凡тс几 к силе и к паре, которые кинетостатически уравновешивают главный вектор и главный момент силы инерции.

При больших угловых скоростях наличие даже малой неуравновешенности вызывает значительные перегрузки подшипников вращающегося тела. В общем случае неуравновешенность можно устранить путем присоединения или удаления двух точечных масс в произвольно выбранных плоскостях, перпендикулярных к оси вращения. Выбор величин mi и m2 этих масс, а также их координат (%i,yi) и (%2,//2) в плоскостях г = <i и соответственно г = г2 производится по уравнениям

Мхe + т1打 + 恤 & = 0, 厶% + g%B + 恤%2& = 0,/

(44)

Мус + 优也 1 + 恤先=0, Jyz + miy[z[ + /и2y2 之 2 = 0,

выражающим, что после присоединения масс ось вращения должна стать главной центральной осью инерции. Получаем

叫

1 122 — 21

J 一 m2x2 =——,

21 -22

一Jyz - "%21 他2y2 —2「费,

Обнаружение и устранение неуравновешенности производится на специальных стендах, описываемых в литературе по уравновешиванию вращающихся масс.

Пример 132. Центр тяжести маховика массы М находится на расстоянии е от оси вращения; маховик вращается с постоянной угловой скоростью s； расстояния его плоскости симметрии от подшипников Ot и О2 составляют соответственно а и Ь. Определить реакции подшипников (рис. 374).

К статическим реакциям силы тяжести маховика (ось вращения предполагаем горизонтальной), имеющим постоянное направление (вертикально вверх), присоединяются динамические реакции; плоскость, проходящую через центр тяжести перпендикулярно к оси вращения, будем считать плоскостью материальной симметрии маховика. При

ложим в центре тяжести центробежную силу инерции

S = — Mw^ = Ма)2е,

где е——вектор-радиус центра тяжести относительно точки пересечения оси и плоскости симметрии маховика. Задача определения добавочных динамических реакций сводится к задаче статики; найдем

а + b

“2 =Md。.

а + b

Неуравновешенность в рассматриваемом случае является статической; чтобы обнаружить ее, концы оси маховика укладывают на два хорошо выверенных горизонтальных параллельных бруска. Если центр тяжести лежит на оси вращения, то маховик будет находиться в равновесии в любом положении, в противном случае он покатится, пока центр тяжести не займет наи- низшего положения.

Рассмотрим два численных примера.

Масса маховика М = 3-103 кг, е = 1 • 10~3 м, п = 300 об/мин, а = А Статические реакции будут равны

N(：T)= N” = 14,72 кН.

Добавочные динамические реакции будут

^l = ^2 = ~^ Л4ео)2 « 1,47 кН.

По сравнению со статическими динамические реакции в этом примере невелики; это объясняется малым эксцентриситетом е и сравнительно малым числом оборотов. Последний фактор имеет преобладающее значение, так как ре- акции пропорциональны квадрату числа оборотов. Это иллюстрируется следующим примером.

Масса диска М = 20 кг, п = 12 000 об/мин, е = 1 • 10~4 м. Получим %俨)=货)=98,1 Н, М = “2 = L57 кН,

т. е. динамические реакции превосходят статические в 16 раз.

Пример 133. Тонкая пластинка 尸(рис. 375) массы М вращается с постоянной угловой скоростью(о вокруг оси, расположенной в плоскости пластинки. При заданных координатах хс и ус центра тяжести С определить величину равнодействующей центробежных сил инерции и линию ее действия, а также положение добавочной массы величины иг, присоединение которой к пластинке устраняет динамические реакции подшипников.

Направим ось Оу по оси вращения, а перпендикулярную к ней ось О% — в плоскости пластинки. Центробежные силы инерции элементарных масс пластинки представляют собой плоскую систему сил, параллельных оси Ох, про-

екция равнодействующей которых на эту ось равна

S% = s2

（尸）

х dm = MoN%.

Чтобы найти ординату у。линии действия равнодействующей, вспомним, что момент равнодействующей относительно начала координат (или, что то же,

сси Oz) равен сумме моментов элементарных центробежных сил:

—yoS* = — о? \ \ %у dm = — JXy^2,(尸)

откуда следует, что

Уо

Добавочную с координатами

ху

надо поместить в ,причем

(45)

точке

тх0 + Мхс = О,

(46)

а у。 определено по (45). Действительно,

тогда равен

главный вектор центробежных сил будет 丄 нулю, так как центр масс системы (пластинка с присоединенной массой) расположен на оси вра

щения; главный момент центробежных сил при этом также будет равен нулю. При другом расположении добавочной массы, удовлетворяющем условию (46), центр масс системы находился бы на оси

вращения, но последняя не была бы главной осью инерции, и центробежные силы привелись бы к паре, момент которой L определяется соотношением

L = - У [т炉/一yQM^2xc = Мхg (/ -先)82, где у】一ордината присоединенной точечной массы.

Например, при вращении однородной пластинки, имеющей форму прямоугольного треугольника с катетами а и Ь, вокруг вертикальной оси, совпадающей со вторым катетом (рис. 376), имеем

。 b (1—х/а)

о о

Рис. 376.

и по (45) получаем у^ = Ь/4.

и Динамические реакции в точках закрепления оси вращения создаются си- л°й, равной по величине А1(о2а/3, линия действия которой проходит на высоте Во = Ь/4. Для определения реакций служат уравнения моментов относительно точек 02 Hoi

N\%b + 不 Ма>2。. ——— = о,•— Nzxb —^-例炉。• ~- = О,

откудаоткуда/2 — /з = }л1 (~^广2)/2 — /з = }л1 (~^广2)

откуда

откуда

/2 — /з = }л1 (~^广2)

/2 — /з = }л1 (~^广2)

^lx = — "^ Afao2, №% =j^* Maat2,

Пример 134. Ось симметрии C^i (рис. 377) тела вращения составляет с осью вращения Cz угол 0; центр тяжести С тела расположен на оси вращения; центральные экваториальный и аксиальный моменты инерции равны

соответственно /3 и /2. Тело вращается с постоянной угловой скоростью (о. Определить реакции точек закрепления G и 5 оси (расстояние 0102 =九).

Ось Сх системы осей Cxyz, вращающихся с телом, направим перпендикулярно к плоскости Сгг]； на рис. 377 эта плоскость совпадает с плоскостью рисунка. Оси Cx\tj\Z\—главные центральные, причем Сх и С/ совпадают по направлению. Поэтому центробежный момент J?% = 0. Центробежный момент Jyz равен [ср формулу (23) § 140]

/yz = "^ (厶一/з) sin 20.

По (37), (38) и (39) получим, предполагая, что вращение происходит с постоянной угловой скоростью со:

М% = %2% = о,

N= — =厶厂厶 со2 sin 20.

Если тело представляет собой круговой цилиндр радиуса R и высоты 厶 то

и, следовательно,

Так, в случае тонкого диска (I ^ 0) получаем (рис. 372)

1 Мг2

一 N、y = М“ =靑号-со2 sin 20.

Для стержня (г ^ 0) направления реакций изменяются:

= — %2“ = "^" co2 Sin 20.

Динамические реакции обращаются в нуль при /=г，3 ; тогда централь* ный эллипсоид инерции вырождается в сферу (пример 120 § 140) и любая ось вращения, проходящая через центр тяжести, будет свободной осью.

Реакции оси вращающегося тела при ударе.Центр удара

Исследование действия удара на твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси, которому был посвящен § 118, следует дополнить рассмотрением мгновенных импульсных реакций точек закрепления оси, а также выяснением условий, при которых приложение удара не создает таких реакций.

В некоторой точке М твердого тела (рис. 378), вращающегося вокруг неподвижной оси, приложена мгновенная сила, импульс которой равен S. Приложение этой силы вызывает появление мгновенных реакций в точках Oi и О2 закрепления оси; определим импульсы Si и S2 этих реакций.

Примем ось вращения за ось Oz, а плоскость, содержащую точку М и перпендикулярную к оси вращения, за плоскость Оху, причем ось Ох проведем через точку динаты этой точки будут

^м = °М = s, Ум = °, %м = °・

Применим теорему импульсов (§ 106) и моментов импульсов относительно точки О (§ 118):

Q — Qo = М Зс — ^ос) = S + S] + S2,(47)

К — Ко = tn0 (S) + т0 (SJ + т0 (S2).(48)

В рассматриваемом случае

=小=°,曳=G и

Ос% = — Одс> Uc“ = £%c，= °；

далее, по формулам (34) § 141

kх = - Jzx0, кР== -/派值 (=/国.

Проектируя (47) и (48) на оси, получим (а = ООЬ & = ОО3)

—Мус ⑥一而°) = SX + Si% + S2x,

M%c (而一Go) = Sy + Siy + S2yi(49)

0 =邑 + Sb + S213

-/z% ⑥一&。) = aS1y - 652勿

—丿川⑥—®o) = — aS】％ + b，* — sSZ9(50)

厶(而一Sq) = sSy.

Последнее уравнение определяет приращение угловой скорости при ударе (§ 118), после чего из прочих уравнений находятся поперечные импульсивные реакции Sg S^, S2x, S2y и сумма продольных импульсивных реакций Siz + S2z-

Поставим теперь вопрос о нахождении тех условий, при которых ось вращающегося тела не испытывает удара, т. е.

&х，Sy, S2*, $2?, $iz + S*

обращаются в нуль. Уравнения (49) и (50) при этом примут вид

(а) — Мус (о — й0) = 5Х, (б) Мхс (о — ®о) = Sy9 (в) 。= Sz,(а) — Мус (о — й0) = 5Х, (б) Мхс (о — ®о) = Sy9 (в) 。= Sz,(г)—厶％® —而 о) = О, (Д)—」pz (而一％ = 0, (е) 厶⑥一©о) = sSy.(г)—厶％® —而 о) = О, (Д)—」pz (而一％ = 0, (е) 厶⑥一©о) = sSy.

(а) — Мус (о — й0) = 5Х, (б) Мхс (о — ®о) = Sy9 (в) 。= Sz,

(а) — Мус (о — й0) = 5Х, (б) Мхс (о — ®о) = Sy9 (в) 。= Sz,

(г)—厶％® —而 о) = О, (Д)—」pz (而一％ = 0, (е) 厶⑥一©о) = sSy.

(г)—厶％® —而 о) = О, (Д)—」pz (而一％ = 0, (е) 厶⑥一©о) = sSy.

Искомые условия можно поэтому сформулировать так: согласно (в) удар должен быть направлен перпендикулярно к оси вращения;

согласно (г) и (д) Jzx 工 Jyz == 0, т. е. ось вращения Oz должна быть главной осью инерции в точке ее пересечения с плоскостью 0%у;

согласно (а) и (б) имеем XcSx + ycSy == 0; это показывает, что вектор S и вектор-радиус Тс центра тяжести должны быть ® взаимно перпендикулярны, т. е. удар должен быть направлен перпендикулярно к плоскости, проведенной через ось вращения и центр тяжести;

из (б) и (е) находим, наконец,

%с$ = 2 3sp%(51)

— Эта формула определяет положение точки — приложения удара.

Указанные условия упрощаются, если тело имеет перпендикулярную к оси враще- рис> 379.ния плоскость материальной симметрии 77.

Ось вращения будет в этом случае главной осью инерции в точке пересечения ее О с плоскостью 77; центр тяжести С тела также лежит в плоскости П. Мгновенные реакции оси обратятся в нуль при соблюдении следующих условий (рис. 379):

импульс S должен лежать в плоскости П и быть перпендикулярным к ОС;

s = ОМ =岳,s = ОМ =岳,расстояние линии действия импульса до оси вращения определяется формулой

s = ОМ =岳,

s = ОМ =岳,

(52)

где р ——радиус инерции тела относительно оси вращения; иными словами, точка приложения импульса должна совпадать с осью качаний, соответствующей оси вращения тела (§ 117).

Точка М, отвечающая вышеприведенным условиям, называется центром удара.

Замечая, что

р2 = ОС2, ом = ос + см,

можно преобразовать формулу (52) и получить

СМ=(53)

где рс — радиус инерции относительно оси, проходящей через центр тяжести тела параллельно оси вращения. На рис. 379

дано графическое построение центра удара, основанное на формуле (53). Условие (51) должно соблюдаться, например, в ручном молотке, чтобы ось вращения молотка (кистевое сочленение) не испытывала удара. При работе молотком мы инстинктивно находим на рукоятке то положение оси вращения, при котором рука не испытывает удара.

В случае тонкой пластинки, вращающейся вокруг оси OiO2, лежащей в плоскости пластинки (рис. 380), удар должен быть перпендикулярен к плоскости пластинки (в которой расположен центр ее тяжести) и приложен в определенной точке М —

центре удара. Условие (е) в этом случае удовлетворяется автоматически, так как для любой массы mt координата у» = 0 н, следовательно, Jyz — 0. Надо потребовать, чтобы /2Х также обращалось в нуль. В системе осей O^zf имеем (рис. 380)

之尸項一人，% =巧

и, следовательно, приходим к условию

九П

% = e 加总% = e 他/%一= °，

Таким образом, находим

2。=

(54)

По формуле (51) получаем также следующее выражение для расстояния центра удара от оси вращения:

Рс

В случае однородной пластинки

2 *

»=1

忆

(55)

координаты центра удара будут

(56)

где 尸 ——площадь пластинки и dF ——элемент площади.

Сравнение полученного выражения для 之。с формулой (45)

что центр удара пластинки может быть найден как точка пересечения двух прямых: прямой, параллельной оси вращения и проходящей через ось качаний физического маятника, для которого ось враще-

показывает,

z

Рис. 382.

s от оси

НИИ ось

◎ 0

ния служит осью подвеса, и перпендикулярной к ней прямой, являющейся линией действия равнодействующей центробежных сил инерции при вращении пластинки вокруг указанной оси.

Рис. 381.

Пример 135. Маятник ударной машины состоит из стального диска радиуса г = 1 • 10-1 м, толщины 6 = =5-10-2 м и стального круглого стерх - ня диаметра d == 2-10-2 м, длины / = 9-10-1 м. Найти, на каком расстоя-

вращения нужно поместить разбиваемый машиной брусок, чтобы вращения не испытывала удара (рис. 381).

Имеем

ОС

q〃2 + Q (Z +「)

沖/3 + Q (/+ r)2 + qn/2

где

g и Q — веса

стали> находим

q+Q

夕+ Q

стержня и диска; обозначая через у вес единицы объема

^ = у/ -^-, Q = улг2д, 13d2八2 + 产6 [(Z +「)2 + 产/2]〜5

0m*d2/8+闽"用°幽5 m・

Пример 136. Определить центр удара прямоугольной мишени^ для стрельбы (рис. 382).

Здесь вследствие симметрии 2о = 0; по формуле (56) находим

九

、卜2 d尸/ X2 dx

=(戶)=0= 2 厶

—他/2) / ~"3

Метод кинетостатикив приближенной теории гироскопа

Гироскопом называют тело вращения, обладающее динамической симметрией относительно некоторой оси и совершающее вращательное движение вокруг некоторой точки этой оси ). Рассмотрим движение гироскопа вокруг неподвижной точки О на его оси и обозначим через(оо вектор угловой скорости гироскопа в его собственном вращении вокруг оси симметрии, а через (о — вектор угловой скорости вращения гироскопа вокруг мгновенной оси, проходящей через неподвижную точку О. Тогда векторная разность

вращения осивращения оси(о* =(о — to。(57)

вращения оси

вращения оси

Рис. 383.Рис. 383.определит, очевидно, вектор угловой скорости гироскопа в ее вращении вокруг неподвижной оси, проходящей через ту же неподвижную точку.

Рис. 383.

Рис. 383.

Приближенная теория движения гироскопа может применяться в тех случаях, когда величина векторной разности со* мала по сравнению е величиной угловой скорости со。 собственного вращения гироскопа; это значит, что движение гироскопа мало отклоняется от основного его вращения вокруг оси, совпадающей с осью материальной симметрии гироскопа.

Найдем выражение главного момента количеств движения гироскопа К, соответствующее принятой приближенной схеме его движения.

Предположим сначала, что гироскоп вращается вокруг неподвижной оси Ог (рис. 383), так что вектор угловой скорости собственного вращения ф0 совпадает с вектором s угловой скорости движения гироскопа. Тогда w% =①扌=0, и, согласно формулам (36) § 141,

(58)(58)К = / з(О,

(58)

(58)

ного вращения(о0, в свою очередь вращается вокруг неподвижного вращения(о0, в свою очередь вращается вокруг неподвижвекторвекторК = J з(%,К = J з(%,(59)(59)

ного вращения(о0, в свою очередь вращается вокруг неподвиж

ного вращения(о0, в свою очередь вращается вокруг неподвиж

вектор

вектор

К = J з(%,

К = J з(%,

(59)

(59)

где /3 ——момент инерции гироскопа относительно его оси материальной симметрии.

Предположим теперь, что ось материальной симметрии гироскопа, имеющего весьма большую угловую скорость собствен

ной оси с угловой скоростью с*, малой по величине по сравнению с со。. Вектор(о* называется угловой скоростью прецессии.

Мгновенная ось вращения гироскопа, направленная по вектору угловой скорости «о (рис. 384), уже не будет совпадать с осью материальной симметрии гироскопа, а окажется несколько отклоненной от нее, причем отклонение это будет тем меньше, чем меньше по величине относительная разность (oV^o = (<о — о)о) /so векторов(о и о)о. Вектор главного момента количеств движения К гироскопа уже не будет направлен по оси материальной симметрии гироскопа и не будет равен /з<оо. Однако рассматриваемая сейчас

приближенная теория движения гиро

скопа пренебрегает этой разницей, а также изменением величины (оо ——угловой скорости собственного вращения гироскопа за исследуемый интервал времени. Таким образом, основное допущение приближенной теории движения гироскопа заключается в том, что при постоянной по величине угловой скорости

о)о собственного вращения гироскопа, значительно превышающей угловую скорость (о* вращения его оси, главный момент количеств движения гироскопа К можно рассматривать как

сохраняющий во время движения постоянную величину и совпадающий по направлению с движущейся осью материальной симметрии гироскопа.

Движение оси материальной симметрии гироскопа можег быть определено движением той ее точки, которая в принятом приближении совпадает с концом вектора К. Скорость и этой точки по основной формуле распределения скоростей в твердом теле, вращающемся вокруг неподвижного центра, будет равна

(60)(60)〃 =(О* х К・

(60)

(60)

С другой стороны, по теореме Резаля (см. § 113) эта скорость равна главному моменту /п(°)внешних сил, приложенных к гироскопу, относительно неподвижного центра О, т. е.

(61)(61)и = т(°)・

(61)

(61)

Сравнивая между собой (60) и (61) и принимая во внимание равенство (59), получаем

，з@* X ®о =加°)・(62)

Применяя метод кинетостатики, придадим этому уравнению движения гироскопа форму уравнения его равновесия под действием двух моментов

上 +加0) = 0,(63)

из которых первый

£ = 7з«0Х<(64)

представляющий собой главный момент сил инерции гироскопа, носит наименование гироскопического момента. Величина гироскопического момента равна

L = /з①о(о* sin 0,(65)

где 0 ——угол между векторами (о()и (о*, направленными соответственно по оси материальной симметрии гироскопа и неподвижной оси, вокруг которой вращается ось гироскопа.

содержащей векторы <oqсодержащей векторы <oqКак видно из формулы (64), гироскопический момент направлен перпендикулярно к плоскости,"

содержащей векторы <oq

содержащей векторы <oq

3 &3 &Рис. 385.Рис. 385.и(о*, причем так, что соответствующая ему пара сил стремится совместить вектор угловой скорости собственного вращения с вектором угловой скорости прецессии (правило Фуко).

3 &

3 &

Рис. 385.

Рис. 385.

Остановимся на примерах применения приближенной теории движения гироскопа. Приведем колесо (рис. 385) в быстрое вращение вокруг оси OiO2 и, взяв ось в руки в точках Q и О2, повернем ее в направлении, указанном на рисунке круговой стрелкой, так, чтобы точка О осталась неподвижной. Казалось бы, что для этого к оси в точках Oi и О2 нужно приложить усилия, на* правления которых на рисунке указаны штриховыми линиями. Однако это не так. Действительно, конец вектора К при указанном повороте колеса приобретает скорость, направленную в плоскости рисунка перпендикулярно к оси О1О2 вниз, и согласно (61) так же будет расположен вектор т(°) момента внешних сил, которые нужно приложить к колесу. Усилия рук Fi и 尸2 должны быть перпендикулярны к плоскости рисунка; желая повернуть ось вращающегося колеса, нужно приложить к ней усилия, перпендикулярные к плоскости перемещения. Рассматриваемый эффект появляется при всяком изменении направления оси быстро вращающегося тела. Давления на

подшипники, равные по величине и направленные противоположно реакциям подшипников, образуют пару, момент которойподшипники, равные по величине и направленные противоположно реакциям подшипников, образуют пару, момент которойвертикально вверх (рис.вертикально вверх (рис.

подшипники, равные по величине и направленные противоположно реакциям подшипников, образуют пару, момент которой

подшипники, равные по величине и направленные противоположно реакциям подшипников, образуют пару, момент которой

вертикально вверх (рис.

вертикально вверх (рис.

равен гироскопическом}^ моменту.

Современное судно несет большое число вращающихся тел;

это ——маховики двигателей, гребные винты с их валами, роторы динамомашин, гребные колеса колесных пароходов и т. д. Оси вращения располагаются или по продольной, или по поперечной оси корпуса судна, или вертикально. При своем движении судно может совершать колебания вокруг продольной оси (боковая

качка) или поперечной оси (килевая качка) и может поворачиваться при маневрах вокруг вертикали. Все эти движения связаны с поворотами осей вращающихся тел, установленных на судне, и сопровождаются гироскопическими явлениями.

Возьмем правую систему осей координат Oxyz, направив их соответственно по поперечной оси, по продольной оси судна от кормы к носу и 386). Если, например, ось вращения

тела расположена вдоль судна и происходит килевая качка, то в формуле (64) нужно положить

(% = Go%, = G%

и для гироскопического момента L получится выражение (九,力2, 方з — единичные векторы осей координат Oxyz)

L = J3^i2 X " = - %/3毓前，

т. е. в рассматриваемом случае этот момент направлен вертикально вверх или вниз сообразно тому, будет ли ©об* V 0 или (5ой* > 0; величина гироскопического момента равна /з(оосо*.

В качестве примера подсчитаем гироскопический момент от турбины, ось которой расположена параллельно продольной оси корпуса судна, при наличии килевой качки амплитуды 0。 и периода Т. Считая, что угол поворота корпуса (дифферент) § изменяется по гармоническому закону, имеем

6 = Во sin —у；-,

откуда ~ * A 2h6()20t/

8 = Р = —COS -у-

и максимальное значение гироскопического момента будет

lmax ―書典/3g■

Если расстояние между подшипниками равно /, то максимальные усилия Nimax и Nzmax, передаваемые им (равные и направленные противоположно), определяются по формуле

"1 max = “2 max"1 max = “2 max—_ 2лРо^з®о77~—_ 2лРо^з®о77~

"1 max = “2 max

"1 max = “2 max

—_ 2лРо^з®о

77~

—_ 2лРо^з®о

77~

Пусть масса ротора турбины Л1 = 2500 кг, его радиус инерции р = 0,9 м, со。= 1200 об/мин, / = 1,9 м,氏=6° =冗/30, Г = =6 с; тогда

М max =N? maxМ max =N? max弋 14,7 кН.弋 14,7 кН.2h•口• 2 500 • 0,92 • 1200л30-6- 1,9-30

М max =N? max

М max =N? max

弋 14,7 кН.

弋 14,7 кН.

Влиянием гироскопических моментов от вращающихся частей на движение самого судна вследствие значительной устойчивости последнего и громадного по сравнению с вращающимися частями веса можно пренебречь.

Иначе обстоит дело при движении самолета. Вес вращающихся частей составляет здесь заметную долю веса конструкции. Поворот оси мотора самолета в какой-либо плоскости вызывает в перпендикулярной плоскости гироскопическую пару сил, передающуюся через подшипники корпусу самолета. Если ось направлена вдоль корпуса, то при поворотах в горизонтальной плоскости (виражах) эта пара будет создавать колебания угла тангажа, поднимая и опуская самолет. В конструкциях, снабженных двумя винтами, вращающимися в противоположные стороны, гироскопические моменты, передаваемые корпусу самолета, уравновешиваются; эти конструкции допускают более резкие виражи, не проявляя тенденций к колебаниям угла тангажа.

Приближенная теория гироскопических явлений позволяет дать элементарное объяснение движению тяжелого гироскопа (волчка). Сообщим (рис. 387) симметричному однородному телу вращения быстрое вращение вокруг его оси. Допустим, что эта ось, будучи в исследуемом положении вертикальна, может вращаться вокруг неподвижной точки О. Если бы гироскоп не вращался, то имелось бы неустойчивое положение равновесия. Быстрое вращение сообщает гироскопу свойство устойчивости. В самом деле, дадим оси толчок в направлении, перпендикулярном к плоскости рисунка, приложив к ней в течение весьма малого промежутка времени силу 尸. Следствием этого, если оставаться в рамках элементарной теории, будет перемещение оси материальной симметрии тела (т. е. вектора К) на некоторый угол в направлении момента т(°) силы 尸 относительно неподвижной точки О, т. е. в направлении, перпендикулярном к F (новое положение оси указано на рис. 387 штриховой линией).

С прекращением действия силы 尸 исчезнет и ее момент т(0\ и вектор & (а следовательно, и ось гироскопа) дальше отклоняться не будет. Ряд толчков, сообщаемых быстро вращающемуся гироскопу, отклоняет его ось в перпендикулярном к толчкам направлении.

Учтем теперь действие момента силы тяжести относительно точки опоры (рис. 388). Наличие этого момента вызывает перемещение конца вектора К, т. е. оси гироскопа, в горизонтальном направлении, перпендикулярном к плоскости, содержащей силу тяжести и ось гироскопа; угол 0 остается при принятых допущениях постоянным, и ось описывает коническую поверхность, вращаясь с угловой скоростью(о* вокруг вертикали, проходящей через точку опоры О. Величина этой угловой скорости найдется по формуле (65). Имеем

т° = Gl sin 0 = Узд炉 sin 0,

где / = ОС. Итак,

(О* = / J = const.(66)

Такое движение гироскопа называется регулярной прецессией.

При более строгом рассмотрении оказывается, что на описанное движение оси гироскопа будут накладываться периодические изменения малой амплитуды и высокой частоты угла О и угловой скорости со* — так называемые нутационные колебания.

Рассмотрим уравновешенный гироскоп с тремя степенями свободы. В таком гироскопе неподвижной точкой является центр тяжести, так что внешние силы, действующие на гироскоп,—— сила тяжести и реакция закрепленной точки — уравновеши^

ваются. Чтобы закрепить ротор G гироскопа в центре тяжести, применяется карданов подвес (рис. 389). Ось АА\ ротора укреплена во внутреннем кольце ——в раме АВА\В\, которая может вращаться вокруг оси ВВ\. Наружное кольцо подвеса ——

рама BCBiD, которая несет подшипники внутреннего кольца 4ВА1В1, в свою очередь может вращаться вокруг оси CQ, пер-