ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие

Введение

Предмет теоретической механики. Основные модели материальных тел. Разделение механики на статику, кинематику и динамику • •

Основные понятия теоретической механики

Отдел первый

СТАТИКА

Глава 7. Общие сведения о силах ....'

Модель механического взаимодействия ——сила. Сила как вектор. Приложенные и скользящие векторы. Деформируемые среды и принцип затвердевания

Действие и противодействие. Метод сечений

Опорные реакции и простейшие типы опор

Глава //. Приведение пространственной совокупности си几 сходящихся в точке, к равнодействующей силе

Силовой многоугольник .

Геометрический метод решения задач

Проекции силы на оси прямоугольной системы координат ....

Уравнения равновесия твердого тела под действием сходящейся совокупности сил

Примеры

Глава Ш. Приведение несходящейся совокупности сил к простейшему виду § 11. Момент силы относительно точки как вектор. А4оментн силы относительно осей координат и их аналитические выражения ....

Пара сил и ее момент. Свойства пар. Сложение пар § 13. Приведение пространственной несходящейся совокупности сил к одной силе и одной паре. Главный вектор и главный момент совокупности сил:.

Уравнения равновесия абсолютно твердого тела под действием несходящейся совокупности сил

Равновесие тела с двумя закрепленными точками

Примеры

『лава /Y. Приведение пространственной несходящейся совокупности сил к динаме

Влияние изменения центра приведения на главный момент .... § 18. Приведение несходящейся совокупности сил к динаме § 19. Аналитические выражения элементов динамы § 20. Приведение пространственной несходящейся совокупности сил к двум непересекающимся силам

Г лава V. Равновесие при наличии со трения §21. Трение скольжения и трение верчения § 22. Трение качения

Ыекоторые случаи равновесия тел приналичиитрения80

Примеры84

Глава VI. Центр параллельных сил и центр тяжести.89

Центр параллельных сил89

Центры тяжести объема, поверхности,линии91

Методы определения координат центратяжести94

Центры тяжести некоторых линий, Плоских фигурител . ... 97

Глава VII. Распределение сил в сплошной среде. Напряжения103

Сплошная среда. Объемные и поверхностные силы. Напряжения 103

Равенства Коши106

Взаимность касательных напряжений109

Г лава V///. Элементы тензорне” алгебры112

Поле физической величины. Условия физической объективности аналитического определения вектора 112

Линейная вектор-функция. Тензор второго ранга. Условия его физической объективности. Простейшие операции над тензорами. Перемножение тензора и вектора. Диада и диадное представление тензора115

Разложение тензора второго ранга на симметричную и антисимметричную части. Сопутствующий антисимметричному тензору вектор. Инварианты. Сферическая и девиаторная части тензора120

Главные оси и главные значения симметричного тензора . . . .125

Глава IX. Тензор напряжений. Необходимые условия равновесия сплошной среды 129

Тензор напряжений129

Фор мулй Гаусса 7~ Остроградского .133

Уравнения статики сплошной среды《в напряжениях»137

Отдел второйкинематика

Глава X. Уравнения движения точки 142

Введение. Основные особенности кинематического описания движения 142

Уравнения движения точки. Траектория. Примеры прямолинейных движений. Графики движений144

Криволинейные движения точки.Примеры154

Глава XI. Кинематические элементыдвиженияточки161

Скорость и ускорение161

Скорость и ускорениев прямолинейном движении168

Скорость и ускорениев криволинейном движении174

Натуральный триэдр(естественный трехгранник)траектории..180

Разложение ускоренияпо осям натурального триэдратраектории187

Глава XII. Кинематика точки в криволинейных координатах . .... 195

Криволинейные координаты точки195

Проекции скорости и ускорения на оси криволинейных координат 199

Глава XIII, Простейшие движения абсолютно твердого тела 207

Поступательное движение твердого тела207

Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси. Угловая скорость. Угловое ускорение209

Скорости и ускорения точек твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси216

Векторные формулы скорости и ускорения точек твердого тела, вращающегося вокруг неподвижнойоси222

Глава XIV. Плоское движение твердоготела 227

Уравнения плоского движения227

Перемещение плоской фигуры233

Поле скоростей точек плоской фигуры236

Мгновенный центр скоростей240

Центроиды 248

Поле ускорений плоской фигуры. Мгновенный центр ускорений . • 252

Глава XV. Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки . . . . 262

Определение положения твердого тела, имеющего неподвижную точку. Эйлеровы углы262

Перемещение твердого тела, имеющего неподвижную точку . . . 269

Поле скоростей в твердом теле, вращающемся вокруг неподвижной точки 271

Мгновенная ось вращения твердого тела; аксоиды274

Поле ускорений в твердом теле, вращающемся вокруг неподвижной точки276

Глава XVI. Общий случай движения абсолютна твердого тела .... 281

Определение положения твердого тела в пространстве. Основная теорема о перемещенииабсолютнотвердого тела281

Поля скоростей и ускорений в общем случае движения твердого тела283

Винтовая ось. Винтовыеаксоиды289

7 7 2 6 3 8 49 9 0 0 1122 2 3 по 3 3 37 7 2 6 3 8 49 9 0 0 1122 2 3 по 3 3 3Глава XVII. Относительное движение

7 7 2 6 3 8 4

9 9 0 0 112

2 2 3 по 3 3 3

7 7 2 6 3 8 4

9 9 0 0 112

2 2 3 по 3 3 3

Абсолютное, относительное и переносное движения

Сложение скоростей

Сложение ускорений

Сложение вращений твердого тела вокруг параллельных осей .

Сложение вращений вокруг пересекающихся осей

Общая задача об относительном движении твердого тела ...

Глава XVIII. Основы кинематики сплошной среды 329

Определение положения и движения сплошной среды. Переменные Лагранжа и Эйлера 329

Перемещения, скорости и ускорения точек сплошной среды в переменны к Лагранжа331

Дифференциальные операцииполя332

Ускорение точек среды в переменных Эйлера. Локальное и конвективное ускорения336

Теорема Гельмгольцаобесконечно малом перемещении элементар

ного объема сплошной среды. Квазитвердое перемещение . . . . 338

Тензоры деформаций и скоростей деформаций. Кинематический смысл их компонент341

Предметный указатель 346

ПРЕДИСЛОВИЕ

Настоящее издание выходит в свет после длительного, более чем двадцатилетнего перерыва. Возросший в настоящее время интерес к механике сплошных сред побудил авторов к расширению традиционного предмета теоретической механики в этом направлении. Некоторые первоначальные представления статики и кинематики сплошных сред содержатся в главах VII—IX и XVIII. Ознакомление с этими главами облегчит учащемуся усвоение материала последующих курсов учебного плана технических вузов: сопротивления материалов и гидравлики (технической механики жидкости).

Новое издание первого тома курса, помимо только что указанных глав, содержит еще ряд других дополнений. Так, в отделе статики изложен классический вопрос о приведении произвольной совокупности сил к двум непересекающимся силам, дано несколько новых примеров. В отделе кинематики расширено представление о возможных системах эйлеровых углов.

Моему дорогому другу и соавтору Анатолию Исаковичу Лурье не было дано судьбой принять участие в работе над новым изданием нашего курса. Не может быть сомнения в том, как велик был бы его вклад в это дело.

Г. Ю. Степанов взял на себя труд прочтения рукописи и сделал ряд ценных замечаний. И. Л. Лойцянская оказала автору большую помощь в методической работе над курсом и в подготовке рукописи к изданию. Автор приносит указанным лицам свою глубокую благодарность.

〃.Г. Лойцянский

ВВЕДЕНИЕ

§ 1. Предмет теоретической механики.Основные модели материальных тел.

Разделение механики на статику, кинематику и динамику

Предметом теоретической механики являются материальные тела, представленные своими простейшими моделями и рассматриваемые в связи с изменением их взаимного расположения в пространстве и времени. Такое «внешнее» движение моделей тел, рассматриваемое в отвлечении от «внутренних», молекулярных, атомных и других подобных «скрытых» движений материи в действительных телах, называют «механическим движением» и противополагают общим движениям материи (тепловым, электрическим, магнитным и другим), изучаемым в физике.

Теоретическая механика занимается общими закономерностями механических движений материальных тел и механических (силовых) взаимодействий между ними, а также взаимодействий тел с физическими (тяготения, электромагнитными) полями.

В механике используются следующие модели материальных тел: 1) материальная точка и дискретная совокупность (система) материальных точек, 2) сплошная среда, в частности абсолютно твердое м деформируемое твердое тело, текучие твердые, аморфные, сыпучие, жидкие и газообразные тела,

Основным разделом теоретической механики, изучающим движения материальных тел в тесной связи с силовыми взаимодействиями их между собой, а также с физическими полями, является динамика.

По классическому определению Ньютона, динамика должна «по явлениям движения распознать силы природы, а затем по этим силам изъяснить остальные движения». Этот тезис Ньютона лежит в основе динамики; его методическое значение будет подробно разъяснено в начале второго тома настоящего курса.

В какой-то степени вспомогательными по отношению к динамике служат статика и кинематика, которые по установившемуся порядку принято выделять в самостоятельные отделы теоретической механики.

Первый из них — статика ——представляет собой общее учение о совокупности сил, приложенных к материальным телам, и об основных операциях над силами, позволяющих приводить совокупности их к наиболее простому виду. Вместе с тем в статике выводятся условия равновесия материальных тел, на- ходящихся под действием заданной совокупности сил. В дальнейшем под равновесием материального тела подразумевается его покой относительно некоторой выбранной системы отсчета, т. е. рассматриваются относительные равновесие и покой. Так, тело, покоящееся относительно Земли, на самом деле совершает вместе с нею далеко не простые движения относительно так называемой 《неподвижной》 системы координат, связанной с удаленными звездами.

Только в случае самой простой модели ——материальной точки ——понятие равновесия, т. е. изолированности от действия сил, связывают с ее прямолинейным равномерным «движением по инерции》 относительно данной системы отсчета, включая сюда и ее покой относительно этой системы. Движение твердо- го тела «по инерции», т. е. в отсутствие приложенных к нему извне сил, может быть также названо равновесным, но оно оказывается настолько сложным, что в этом случае под рав- новесием понимают только покой тела относительно рассматриваемой системы отсчета.

В кинематике изучаются способы количественного описания существующих движений материального тела в отрыве от силовых взаимодействий его с другими телами или физическими полями. Недаром кинематику называют иногда «геометрией движения», включающей, конечно, понятие времени. Основными характеристиками движений в кинематике являются: траектория, пройденный путь, скорость и ускорение движения.

Велико разнообразие изучаемых теоретической механикой движений. Это ——орбитальные движения небесных тел, искусственных «спутников» Земли, ракет, колебательные движения (вибрации) в широком их диапазоне —от вибраций в машинах и фундаментах, качки кораблей на волнении, колебаний самолетов в воздухе, тепловозов, электровозов, вагонов и других транспортных средств, до колебаний в приборах управления. Все эти и многие другие встречающиеся в природе и технике движения образуют широкое поле практических применений механики. Как уже указывалось в предисловии, в курсе ведется подготовка учащегося к изучению равновесия и движе- ния не только абсолютно твердых тел, но и сплошных деформируемых сред. С этой целью в первый отдел ——статику,——наряду с традиционными методами статики абсолютно твердого тела, введено изложение основ статики сплошной деформируемой среды.

В главе VII, как естественное расширение понятия о внут- ренних силах, вводятся представления о напряжениях в сплошной среде и об их основных свойствах, выражаемых равенствами Коши и теоремой о взаимности касательных напряжений. В главе IX, после изложения элементарных сведений из области тензорной алгебры (глава VIII), вводится понятие о тензоре напряжений как единой, физически объективной величине, характеризующей напряженное состояние среды, дается тензорная форма равенств Коши и уравнений равновесия сплошной среды 《в напряжениях». Из тех же соображений вто・ рой отдел настоящего тома, посвященный в основном кинематике точки и абсолютно твердого тела, заканчивается (гла* ва XVIII) обобщением теоремы о перемещении (движении) абсолютно твердого тела — этого простейшего примера сплош* ной среды ——на случай элементарного объема деформируемой сплошной среды. Это приводит к рассмотрению тензоров деформаций и скоростей деформаций, сопровождаемому описанием кинематического смысла их компонент.

Изложение указанных только что вопросов связано с применением основ векторного и тензорного исчислений, которые, быть может несколько бегло, но в достаточном для пользования ими виде, излагаются в §§ 37 и 75.

Настоящий курс посвящается изложению основных раздел лов классической механики Ньютона. Что же касается более общей, релятивистской механики Эйнштейна, содержащей в себе как частный случай классическую механику движений с малыми скоростями, по сравнению со скоростью света, и в малых, по сравнению с космическими масштабами, областях, то некоторые сведения об этой замечательной области естествознания будут даны во втором томе курса ——динамике.

§ 2, Основные понятия теоретической механики

Механика Ньютона покоится на трех основных законах Ньютона: законе инерции, законе связи между силой, приложенной к материальной точке, и сообщаемым ею ускорением, и законе действия и противодействия. Последовательное изложение этих законов и их следствий в случае любого движения материальной точки илп системы материальных точек будет дано в начале второго тома при изложении основ динамики. В статике учащийся встретится с несколько ограниченными их применениями. Для кинематики имеют значения лишь общие ньютоновские представления о пространстве и времени.

Предполагая, что учащийся уже осведомлен в какой-то мере об основных понятиях механики из курса физики, остановимся вкратце на тех из них, которые имеют непосредственное

отношение к отделам настоящего первого тома курса: статике и кинематике.

Основной количественной мерой механического взаимодействия тел, характеризующей интенсивность и направление этого взаимодействия, является сила. Понятие силы, зародившееся из опытных представлений о давлении одного тела на другое при непосредственном их соприкасании, о приведении тела в движение при помощи каната и т. п., было в дальнейшем обобщено на силы, возникающие при упругой деформации тел, на взаимное притяжение небесных тел, взаимодействие электрически заряженных частиц.

Различают две формы силового взаимодействия материаль* ных тел: близкодействие и дальнодействие. Под первым понимают взаимодействие, осуществляемое путем непосредственного контакта тел, под вторым ——результат взаимодействия тел с физическими полями (тяжести, тяготения, электрическими и магнитными), по отношению к которым находятся в равновесии или движутся материальные тела.

Наряду с понятием силы, совершенно достаточным для отдела статики, и классическими представлениями о пространстве и времени, в кинематике, в динамике возникает дополнительная потребность количественного описания инерционных свойств материальных тел, характеризуемых понятиями массы и моментов инерции.

Движения материи развиваются в пространстве и времени, представляющих собой неотъемлемые атрибуты движения материи, а следовательно и всех явлений мира. В порядке допустимого отвлечения от действительности можно себе представить существование чисто геометрического «абсолютного» пространства и протекающего в нем не зависящего нн дт каких физических условий «абсолютного» времени. Такого рода абстракцию допускает классическая механика Ньютона ——Галилея, которая пользуется понятием о пространстве как о некоторой абсолютно неизменяемой, безгранично во все стороны распространяющейся сплошной совокупности точек, аналогичной по схеме абсолютно твердому телу. По отношению к таким системам ——их иногда называют «системами отсчета» ——и рассматриваются перемещения тел в их механическом движении. Эти системы отсчета могут быть либо неподвижными по отношению к одной основной системе, принимаемой условно за абсолютно неподвижную, либо двигаться произвольным образом по отношению к ней.

Измерение протяженности тел и определение их положения в таком пространстве производится приемами, устанавливаемыми геометрией пространства, отражающей с той или иной степенью отвлечения действительные свойства материального

пространства. В классической механике такой геометрией, еди- ной для всех систем отсчета, служит евклидова геометрия, В механике космических объектов геометрические свойства пространства связываются с особенностями распределения в нем материи. Законы геометрии такого пространства отличны от геометрии Евклида.

Классическая механика принимает в качестве времени одно «абсолютное время», одинаковое для всех систем отсчета, как бы они ни двигались по отношению друг к другу. Таким образом, в соответствии с принятой степенью отвлечения, в классической механике не учитывается связь свойств пространства и времени с распределением материи. Это приводит к тому, что выводы классической механики являются приближенными. Как уже упоминалось, они тем более точны, чем меньше скорости рассматриваемых движений по сравнению со скоростью света и чем ограниченнее масштабы движений по сравнению с космическими.

Выбор единиц длины и времени предполагается известным из общего курса физики. О некоторых особенностях процессов измерения длин и промежутков времени в релятивистской механике будет упомянуто в разделе динамики.

Отдел первый

СТАТИКА

Глава /

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О СИЛАХ

Модель механического взаимодействия ——сила.Сила как вектор. Приложенные

и скользящие векторы. Деформируемые средыи принцип затвердевания

Повседневный опыт говорит о наличии механического взаи* модействия между материальными телами и их взаимодействия с физическими полями. При этом даже такое простейшее взаимодействие двух тел, как прямой контакт между ними, имеет далеко не простую природу и до сих пор привлекает внимание физиков. В частности, это относится к явлению трения между поверхностями соприкасающихся тел. Еще более сложны явления взаимодействия тел с физическими полями. До сих пор не существует общепризнанной теории тяготения, которая объяснила бы физическую природу этого явления. Между тем так называемый четвертый закон Ньютона о всемирном тяготении имеет простое количественное выражение, которым широка пользуются.

Трудно поэтому переоценить историческую заслугу Ньютона, положившего в основу своей механики количественные за* коны сил, независимо от того, ясна ли их природа. Основные стороны такой, не претендующей на глубокое понимание физического механизма явления, модели силы изложены в его классическом труде «Математические начала натуральной философии» (русский перевод А. Н. Крылова в издании Морской академии, относящийся к 1915 г.).

Модель силы, по второму закону Ньютона, определяется тремя главными количественными сторонами: величиной (интенсивностью), направлением действия и точкой приложения. Такому определению силы полностью отвечает образ вектора〉 равного по длине выраженной в масштабе величине силы, приложенного в данной точке и направленного в сторону действия силы.

Силы, равные по величине, одинаковые по направлению и имеющие одну и ту же точ)<у приложения, признаются равными

между собой, т. е. могут быть заменены одна другой. Говоря о равенстве двух физических величин, мы подразумеваем не абсолютное их равенство во всех отношениях — тождество, а лишь некоторое относительное равенство в смысле выбранных признаков сравнения. Так, называя две силы равными, мы не утверждаем тождественности их (например, силы тяжести и силы давления от соприкосновения двух тел). Очевидно, что двум равным силам соответствуют «тождественные» в геометрическом смысле векторы.

Рассмотрение совокупного действия нескольких сил основывается на следующем положении:

Совокупность нескольких сил, приложенных в одной и той же т.очке, может быть заменена одной ctuioii; наоборот, одна сила может быть разложена на совокупность нескольких сил, приложенных в той же точке.

Две совокупности сил, обладающие тем свойством, что при замене одной совокупности другою относительный покой (равновесие) тела нлп системы тел не нарушится, считаются статически эквивалентными. Указанная ранее возможность замены совокупности сходящихся в точке сил одной силой представляет простейший пример замены данной совокупности сил ей статически эквивалентной.

В дальнейшем под понятием эквивалентности двух совокупностей сил будет всегда подразумеваться статическая их эквивалентность, но для краткости термин «статическая» иногда будет опускаться.

Из общего курса математики известны правила сложения векторов, приложенных в одной точке. Это ——правила параллелограмма в случае двух векторов, параллелепипеда в случае трех и векторного многоугольника в случае любого числа векторов. Эти же правила сохраняются и для сходящейся системы сил.

При рассмотрении совокупности сил, приложенных к различным точкам данного тела пли системы тел, физические свойства этих тел становятся существенными.

Из всего возможного многообразия физических свойств тел для нас пока достаточно остановиться на простейшем — деформируемости тела. Все физические тела под влиянием приложенных сил изменяют свою форму, причем величина деформации зависит от различных условий: материала тела, формы его, величины и направлений приложенных сил. Некоторые тела, например жидкости и газы, легко деформируются； твердые тела (например, металлы, дерево и др.), наоборот, обычно получают незначительные деформации.

В строительном деле, в машиностроении и других областях техники тела и нагрузки выбирают так, чтобы возможные

деформации не выходили ja ограниченные, наперед заданные пределы. В таких случаях в первом приближении можно пренебречь влиянием деформируемости и этим значительно упростить решение задач статики, сводя их к рассмотрению тел недефор- мируемых. Таким путем мы приходим к естественной абстракции —абсолютно твердому телу, как «жесткой» системе точек, т. е. такой, в которой взаимное расположение отдельных точек не изменяется.

Рассматривая действие заданной совокупности сил на дан* ное твердое тело, будем пока предполагать, что это тело является свободным, т. е. не подверженным никаким другим воздействиям со стороны окружающих его тел или полей, кроме включенных в число заданных.

Следующее свойство модели свободного абсолютно твердого тела является основным:

Свободное абсолютно твердое тело под действием двух сил будет находиться 8 равновесии только в том случае, когда эти силы равны по величине и направлены вдоль одной и той же прямой 8 противоположные стороны.

Стержень под действием такой совокупности сил будет испытывать сжатие, если силы приложены к концам стержня н направлены внутрь стержня, и, наоборот, растяжение, если силы направлены вовне. Абсолютно твердый стержень недефор- мируем, п в этих условиях никакого изменения в его состоянии не произойдет. Только что указанная совокупность двух сил, равных по величине и направленных вдоль одной и той же пря^ мой в противоположные стороны, является для абсолютно твердого тела эквивалентной нулю.

Основываясь на приведенном свойстве модели абсолютно твердого тела, докажем, что, не нарушая равновесия твердого тела, можно точку приложения силы переносить вдоль линииу по которой расположена сила.

Предположим, что в точке М тела (рис. 1) приложена сила F. Возьмем на прямой линии, вдоль которой направлена эта сила, произвольную точку ^; не нарушая состояния тела, можно приложить в точке ^ две равные друг другу и противоположно направленные вдоль той же прямой силы 尸'и 尸〃，каждая из которых по величине равна F. Тогда получим совокупность трех сил 戶，尸'，尸〃，эквивалентную одной силе 尸.Эквивалентную нулю совокупность сил F и 尸〃 можно опустить; тогда останется сила F', равная по величине и одинаково направленная с силой F, но имеющая точку приложения ^. Итак, в абсолютно твердом теле точка приложения перестает быть характерным элементом силы и приобретает значение лишь прямая линия, вдоль которой направлена сила,——так называем мая «линия действия силы».

Векторы, обозначающие силы, в этом случае теряют свое

наименование «приложенных» и становятся «скользящими». Название это отражает возможность силы, приложенной к аб

солютно твердому телу, произвольно менять точку приложения вдоль линии ее действия. Заметим, что далее излагаемые методы приведения совокупности сил к простейшему виду относятся в одинаковой степени ко всем «скользящим» векторам.

Итак, в статике абсолютно твердого тела определяющими элементами силы являются: численная величина (интенсивность) силы, линия действия ее и сторона, в которую направлена сила вдоль своей линии действия. Учет наличия точки приложения силы иногда все же необходим, как, например, это бу

дет иметь место в учении о центре параллельных сил (§ 25) и центре тяжести (§ 26).

Указанное различие между абсолют* но твердым и деформируемым телами не означает полного отсутствия связи между статикой этих тел. Далеко не полные, но вместе с тем все же существенные сведения о равновесии деформируемых тел можно получить, применяя следующий принцип затвердевания:

Если деформируемое тело находится в равновесии, то замена его или отдель

ных его частей соответствующими ему телами в абсолютно твердом состоянии равновесия не нарушит.

Полезна еще следующая формулировка принципа затвердевания: в число условий равновесия деформируемого тела входят и условия равновесия того абсолютно твердого тела, которое образуется из данного деформируемого тела при его затвердевании.

При такой формулировке становится ясным, что условия равновесия жесткой системы являются необходимыми^ но не достаточными условиями равновесия деформируемой системы. Принцип затвердевания позволит в дальнейшем решать простейшие задачи статики деформируемых тел (ремень, цепь, нить и др.), применяя к ним - приемы статики твердого тела.

Действие и противодействие. Метод сечений

Отметим важный случай взаимодействия двух материальных точек А н В. Будем говорить, что точка В действует на точку А, а точка 4 противодействует ей. Обе эти силы, действие 〃 противодействие, имеют общую линию действия^ равны, между собою по величине и противоположны по направлению.

Эта закономерность составляет содержание третьего закона Ньютона)、сформулированного им как общий механический закон, одинаково справедливый как для материальных точек, находящихся в относительном покое, так и при любом их взаимном движении.

Очень важно подчеркнуть, что, хотя действие равно и противоположно по направлению противодействию, они не уравновешиваются, так как приложены к разным материальным точкам.

В природе не существует одностороннего действия сил. Материальные тела могут только взаимодействовать, причем, благодаря наличию этого взаимодействия, при учете сил, действующих в системе, мы всегда будем иметь четное число сил, так как всякому действию всегда будет соответствовать равное ему по величине и противоположное по направлению противодействие. Выделяя в системе какое-нибудь одно тело и ставя

仰

Рис. 2.

вопрос о его равновесии или вообще о действии сил на него, мы должны разграничить приложенные к выделенному свободному телу действия других тел от противодействий рассматриваемого тела, приложенных к этим телам. Так, например, рассматривая груз, висящий на цепи, мы можем различать по отдельности следующие совокупности сил: 1) действия веса груза и натяжения цепи, приложенные непосредственно к грузу, 2) противодействие цепи, приложенное к крюку, на котором висит груз, и действие на крюк силы, приложенной к нему со стороны потолка, в который крюк ввинчен.

Все эти силы, как действия, так и противодействия, приведены на рис. 2, причем указываются также силы G', приложен

ные к полу, и сила №、приложенная к потолку со стороны крюка.

Практически необходимо сосредоточить свое внимание на одном из тел и учитывать лишь силы, приложенные к этому телу (в рассмотренном примере — к грузу). В некоторых задачах рассмотрением одного тела обойтись нельзя; в этом случае после рассмотрения сил, приложенных к данному телу, мы переходим к рассмотрению сил, приложенных к следующему телу; естественно, что при этом некоторые силы окажутся теми же по величине, что и прежде, но направленными в противоположную сторону. Таким образом, выбирая только те тела, которые действительно имеют значение для данной задачи, и рассматривая лишь те силы, которые приложе- 专 Jg纟—上

ны к этим телам, мы наиболее просто поставим и 石 人СZ

решим задачу. Итак, при°^

изучении условий равно-рис, 3.

весия данного тела рассматриваем его как свободное, для чего мысленно выделяем его из общей цепи взаимодействующих тел и сосредоточиваем все внимание на силах, приложенных 及 этому телу.

Такой прием может быть применен не только в случае отдельных тел, но и в случае непрерывных систем (упругих, жидких и газообразных тел). Пусть, например, требуется определить силы взаимодействия частиц в некоторой точке С натянутой проволоки или стержня (рис. 3). Для этого, сосредоточив свое внимание на отрезке АС, выделим его из всего куска АВ и отметим силу Гс, с которой часть СВ действует на рассматриваемый отрезок АС. При этом в наше рассуждение войдет сила Тс, которая представит натяжение проволоки или стержня в точке С. Этот прием выделения сил взаимодействия между частицами непрерывной среды ——внутренних сил ——называют методом сечений.

Метод сечений используется не только в указанном простейшем случае линейного тела, то и вообще при изучении внутренних сил в сплошных средах, в том числе и в абсолютно твердом теле, когда вместо одной силы ——натяжения — вознн- кас: система напряжений. Этому вопросу будет в дальнейшем посвящена глава VII.

Опорные реакции и простейшие типы опор

Тело, условия равновесия которого изучаются, в подавляющем большинстве случаев находится в непосредственном взаимодействии с другими окружающими его телами, ограничиваю' Щи ми свободу данного тела. В статике рассматриваются условия

равновесия свободного твердого тела; поэтому мы должны в число приложенных к телу сил включать и все воздействия на это тело со стороны окружающих его тел, после чего уже рассматривать тело как свободное. Этот прием будет обобщен в динамике и составит содержание принципа освобождаемости.

Тела, ограничивающие свободу данного тела, являются по отношению к нему связями, воздействия связей на тело — реак

циями связей. Подробное рассмотрение связей приводится в динамике.

Простейшим примером реакций связей служит опора, осуществленная непосредственным соприкосновением поверхностей тел (рис. 4). Реакция опорной плоскости, на которой покоится тело М, подверженное действию веса G и тяги Р, складывается из нормальной реакции NA, направленной по нормали к обеим поверхностям в точке 4 в плоскости соприкосновения их п обусловленной давлением одного тела на другое, и из касательной реакции Гд, зависящей от шероховатости поверхности. Сила Fa называется силой трения.

Если поверхности взаимно соприкасающихся тел хорошо отполированы и смазаны, то сила трения мала. В этом случае можно с достаточной степенью приближения говорить об идеально гладких поверхностях и принимать силу трения равной нулю.

Такая идеальная опора будет характеризоваться одной нормальной реакцией.

Примером может служить применяемая в мостовых и других конструкциях опора на каток (рис. 5, а). Подвижность катка настолько велика, что можно пренебречь трением ив сравнению с другими приложенными силами и при расчете опорную реакцию считать нормальной.

При определении направления нормальной реакции следует руководствоваться геометрическим расположением поверхностей в точке соприкосновения и строить общую нормаль к обеим поверхностям в этой течке (рис. 5,6). В некоторых случаях.

однако, направление этой нормали может оказаться неопределенным. Примером может служить опора ребром или верши^ ной угла (рис. 6); в этом случае нормальная реакция направ

ОдоипаОдоипа

Одоипа

Одоипа

лена по перпендикуляру к той из поверхностей, к которой про

ведение перпендикуляра представляет операцию определенную.

В случае заделки одного тела в другое (рис. 7) реакция опоры ^ становится неопределенной и, кроме того, не единст

венным фактором взаимодействия между телами. Кроме силы N с проекциями Nk V 0, Ny > 0, реакцию определяет еще пара сил с мо- ментом m (см. § 12). Эта совокупность силы и пары сил зависит от условий работы опоры и должна определяться из общих уравнений равновесия тела, опирающегося в

заделку.

Подшипник, или цилиндрический шарнир (рис. 8). По самой своей конструкции этот весьма распространенный вид опоры таков, что в зависимости от системы сил, приложенной

к телу, вал или «палец» могут прижиматься к самым различным точкам обоймы； ввиду этого даже при отсутствии трения реакция такого шарнира неизвестна по направлению; можно лишь утверждать, что реакция цилиндрического шарнира лежит

в плоскости, перпендикулярной к оси шарнира, если в осевом направлении трение в шарнире ничтожно. Если можно пренебречь трением в шарнире, то реакция пересекает ось шарнира (этот случай изображен на рис. 8).

Сферический шарнир (рис. 9, а) и подпятник (рис. 9,6). Реакция такой опоры неизвестна по направлению. Она прохо- дит через центр сферического шарнира, если трение в шарнире пренебрежимо мало.

Другого типа опорами являются опоры, осуществленные через промежуточные тела. Такой случай мы имеем при подвешивании тела при помощи гибкой нити или цепи. Реакция при этом будет направлена вдоль нити или цепи от подвешенного тела к точке подвеса. Само промежуточное тело, осуше

Рис. 9.Рис. 9.

Рис. 9.

Рис. 9.

ствляющее подвешивание (нить, цепь), при этом будет растя* )?уто; растягивающие силы мы условимся в дальнейшем обозначать буквой Т, отмечая буквой, поставленной в индексе, точки

приложения этих сил (например, на рис. 10 — силы Та, Т» и т. д.). На рис. 10, а показан подвес на двух цепях. Другим примером такого типа опоры может служить подвешивание или подпирание лрн помощи жестких стержней (рис. 10,б). Реак* ним идеальных (лишенных трения) шарниров в случае невесо-

ОПОРНЫЕ РЕАКЦИИ И ПРОСТЕПП1ИЕ ТИПЫ ОПОР 21 мого абсолютно твердого стержня направлены вдоль стержня; действительно, по предыдущему невесомый стержень под действием двух сил (реакций шарниров) может быть в равновесии лишь в том случае, когда реакции направлены вдоль одной прямой (оси стержня); при этом реакции будут играть роль сжимающих или растягивающих сил. Сжимающее усилие обозначим буквой S, причем, как и ранее, подстрочная буква будет обозначать точку приложения силы (S^, Sg и т. д.). Роль стержня может играть и изогнутый рычаг (рис. 10, в); в этом случае реакции также направлены по прямой, соединяюшей шарниры.

Глава //ПРИВЕДЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ СОВОКУПНОСТИ СИЛ,СХОДЯЩИХСЯ В ТОЧКЕ, К РАВНОДЕЙСТВУЮЩЕЯ СИЛЕ

Силовой многоугольник

Предположим, что к некоторому абсолютно твердому телу и точках Mi, М2, М〃 (рис. 11) приложены силы А,尸2,... ...,Fn (на рисунке показаны четыре силы), причем линии действия этих сил пересекаются в одной точке О. Такую совокупность сил будем называть сходящейся.

По свойству абсолютно твердого тела силы могут быть перенесены вдоль линии действия в точку О, так что сходящаяся совокупность сил эквивалентна совокупности сил, приложенных в одной точке (§ 3).

Эта сходящаяся совокупность сил может быть приведена к одной силе R — равнодействующей, приложенной в той же точке О.

Для определения величины и направления равнодействующей будем последовательно складывать силы по правилу силового треугольника. Чтобы не загромождать рисунка, проделаем это в стороне, построив векторную диаграмму — силовой многоугольник.

Напомним известный из общего курса физики порядок построения. Из произвольной точки О' откладываем вектор Ff, геометрически равный 尸卜 т. е. равный по величине, параллельный и направленный в ту же сторону； из конца его отклады Баем вектор 尸2, геометрически равный F2 *)• Соединив О' с концом этого второго вектора, мы найдем вектор ", геомет* рически равный равнодействующей Ri сил 尸i и 尸2・ Построение такого треугольника полностью определяет вектор R； и делает излишним построение затемняющего рисунок параллело* грамма сил.

Продолжая построение» откладываем на диаграмме из конца Fg или, что то же, из конца " вектор F； геометрически рав・ ный силе Р*з・ Снова соединяя начало О' диаграммы с концом

этого вектора, получим вектор, геометрически равный равнодействующей Ri и Гз, или равнодействующей трех сил 尸" 月，爲.

Продолжая таким же образом, сложим сколько угодно сил (на рисунке — четыре силы) и получим вектор R', геометрически равный равнодействующей R заданной совокупности сил.

Совершив построение, замечаем, что проведение промежуточных векторов 死,R； было излишним; можно было, отложив.

на диаграмме вектор F；, к концу его приложить начало вектора К，затем к концу F； —начало F； к концу F^ — начало Г； и т. д., после этого начало О' первого вектора соединить вектором R' с концом последнего вектора F；, направив R' на* встречу последней силе. Этот вектор « и даст нам величину и направление равнодействующей.

Будем называть векторы 尸；,尸；,•・• составляющими, вектор R', соединяющий начало первой составляющей с концом последней и направленный ей навстречу,— замыкающим.

Итак, равнодействующая сходящейся совокупности сил равна векторной (геометрической) сумме слагаемых сил：

R = M+F2+・・・+E=X 几 (1>

и определяется замыкающей стороной силового многоугольника, построенного на слагаемых силах как на составляющих; точка приложения равнодействующей совпадает с точкой пересечения линий действия слагаемых сил.

В формуле (1) символ £ («сигма») обозначает суммирований стоящих справа от него, отмеченных индексом j величин повеем последовательным значениям этого индекса от / = 1 до i =九一

尸1 +尸2++及=e先=0.Z== 1尸1 +尸2++及=e先=0.Z== 1⑵⑵

尸1 +尸2++及=e先=0.

Z== 1

尸1 +尸2++及=e先=0.

Z== 1

⑵

⑵

Построение силового многоугольника в частном случае плоской совокупности сходящихся сил может быть использовано для определения равнодействующей чисто графическим путем. Для этого необходимо только следить за тем, чтобы векторы на диаграмме достаточно точно изображали в принятом масштабе приложенные к телу силы. Равнодействующая при этом может быть непосредственно снята с рисунка, ее величина определится в том же масштабе.

В случае пространственной совокупности сил указанное графическое построение непосредственно невыполнимо; в этом случае разыскание равнодействующей приходится проводить аналитически.

Поскольку сходящаяся совекуп- ность сил может быть заменена одной

силой — равнодействующей, необходимым “ достаточным условием равновесия тела под действием сходящейся совокупности сил является равенство нулю этой равнодействующей.

Итак, условием равновесия сходящейся совокупности' сил fi,尸2, •••, Fn служит следующее векторное равенство:

Геометрически это условие выражается требованием, чтобы конец последнего вектора совпадал с началом первого, т. е. чтобы приложенные силы сами по себе образовывали на векторной диаграмме замкнутый многоугольник. Подчеркнем, что в замкнутом силовом многоугольнике стрелки векторов определяют направление обхода периметра этого многоугольника.

В частном случае трех уравновешивающихся сходящихся сил силовой многоугольник сводится к силовому треугольнику. Решение задач на равновесие в этом случае требует нахожде* ния неизвестных элементов треугольника с помощью тригонометрических формул.

При решении задач полезно иметь в виду следующую тео* рему о тр ех с и л а х:

Если тело находится в равновесии под действием трех непараллельных сил, лежащих 6 одной плоскости, то линии действия зт〃* сил обязательно пересекаются в одной точке, т. &. силы образуют сходящуюся систему.

Для доказательства теоремы сложим какие-нибудь две из приложенных сил, например Fi и F2 (рис. 12), в одну равнодействующую /?1； тогда, для того чтобы тело было в равнове* сии, необходимо и достаточно, чтобы сила F3 уравновесила силу

R, а это возможно лишь в том случае, если 吊 имеет общую линию действия с Ri, равна ей по величине и противоположна по направлению. Отсюда следует необходимость пересечения линий действия трех сил в одной точке.

Доказанная теорема в своей формулировке требовала, чтобы рассматриваемая совокупность трех сил была плоской (компланарной). Как это непосредственно видно из рис. 12, при равновесии трех сил они должны образовывать компланарную совокупность сил, так как по условию равновесия сила 尸3 должна лежать в плоскости первых двух сил (см. конец § 20).

Геометрический метод решения задач

Непосредственное использование многоугольника сил при решении задач статики приводит к геометрическим построениям с последующим определением неизвестных элементов с помощью тригонометрических формул. В отличие от аналитических методов, излагаемых далее, эти приемы решения задач можно назвать геометрическими. В большинстве случаев задача сводится к составлению и последующему решению одного или нескольких силовых треугольников, чем и определяются число и характер необходимых исходных данных.

Пример 1. Один конец веревки длины 2/ неподвижно закреплен в точке С дне. 13), другой, D, находится в руке у человека на одном уровне

Рис. 13.

с точкой С. В середине веревки в точке Л прикреплен груз веса Р. Определить, как будет изменяться в зависимости от угла а наклона веревки к горизонту усилие Q, испытываемое рукой.

Прежде всего заметим, что искомое усилие Q равно по величине натяжению веревки Тясно, далее, что вследствие симметрии 7〔《=方.Чтобы найти связь между Г； и Р, рассмотрим узел Л и составим условие его равновесия: треугольник, построенный на приложенных к узлу силах Р, 普 и Т% должен быть замкнутым. Начинаем построение силового треугольника с Заданной силы, в данном случае Р. Через начало и конец силы Р (рис. 13, справа) проведем лучи, параллельные направлениям сил Т； н Тд

иа- пе-иа- пе-(левой и правой ветви веревки), и отметим точку пересечения их. Получен* аый при этом треугольник и будет искомым силовым треугольником *); правление сил показано на рисунке. Оно находится по правилу обхода

иа- пе-

иа- пе-

риметра треугольника в сторону, указываемую заданной силон Р.

Остается определить величину Г】； сразу видно, что

no*no*42 sin a *

no*

no*

Вместо угла наклона веревки можно ввести стрелу провисания ее 力; лучим

Из формулы видно, что чем меньше стрела провисания А (или угол а), тем большее усилие надо приложить к свободнрму концу веревки, чтобы удержать груз в равновесии. При малых углах а усилие Q становится очень большим. Например, при a = 5°, sin a = 0,0875, Q = 5,75P; при a = 1° Q = 28,6P и т. д. При a->0 Q->oo； это означает, что при наличии нагрузки веревка не может быть вытянута в одну прямую.

Пример 2. Определить опорные реакции в шарнирах стержневой си* ©темы АВС (рис. 14) пренебрежимо малого веса, один из стержней которой

нагружен посредине силой Р = 2 кН; стержни равны aa длине и наклонены « горизонту под углом a = 30°.

Рассмотрим сначала равновесие ненагруженного стержня 8c. На стержень действуют только две сжимающие его силы Sb и Sc； они равны ио величине и противоположны по направлению; сила, с которой стержень ВС действует на точку С стержня 4С, т. е. реакция АГс, будет поэтому направ< лена вдоль ВС. Это позволяет найти линию действия реакции в точке 4. По теореме о трех силах ищем точку О пересечения линий действия сил Р и №с и проводим линию действия силы Na через точки 4 и О. Строим теперь силовой треугольник и отмечаем его углы. По теореме синусов 以 一 火 「 p

sin (90° — a) sin (ф + a — 90°) sin (180° — q>)， или

cos a cos (q> + a) 一 sin <p *

♦) Отложив силу P, можно было бы вслед за нею вместо силы Т】нанести силу Т：・ При этом мы получили бы силовой треугольник, показанный на рис. 13 пунктиром. Такая возможность имеет место во всех случаях построения силовых треугольников; это не отражается на решении задали.

sin<psin<pопоры, но с реакциями, так же неопредеопоры, но с реакциями, так же неопреде

sin<p

sin<p

опоры, но с реакциями, так же неопреде

опоры, но с реакциями, так же неопреде

272717. геометрический метод решения задач

27

27

Для определения тригонометрических функций неизвестного угла 屮 обратимся к рассмотрению 4CDE и АД CD. Замечая, что ACDE равнобедренный и, следовательно, £>С = l/i ЛС, из △4CD находим ^^=—--—*丄(佻土")

I откуда ctgcp к ——; при а = 30© ctg 屮《== 0,屮=90е; получаеи

7掃線■灯斤而丁 н 尸'откуда ^ «2 cos 30° в 1,73 кН, Nc «■ 1 кН.

Рассмотренная задача эквивалентна задаче об опорных реакциях двухарочной фермы (рис. 15), если здесь положить

42/1

tg а 0 н ・

К тому же типу задач относятся и задачи, в которых вместо шарниров

могут быть другие по характеру

ленными по направлению, как и в шарнире (врубленная балка» балка, опирающаяся в угол между двумя плоскостями, м т. д.). Такова, например, задача об опорных реакциях бал- кн, показанной на рис. 16.

Пример 3. Зная величину и направление усилия Р, приложенного к пальцу В кривошипа АВ (рис. 17) шарнирного четырехзвенника ABCD, найти уравновешивающее усилие Q, приложенное к пальцу С коромысла CD, действующее в

данном направлении.

В шарнире 8 заданная сила Р уравновешивается реакциями NB и SBf направленными вдоль стержней АВ и ВС； составив силовой треугольник^ находим эти реакции; их направления определятся обходом периметра тре

угольника в сторону, указываемую силой Р. Поскольку NB и S® представляют собой силы, приложенные к шарниру В, то согласно закону действия и противодействия к стержням АВ и ВС в точке В приложены силы, направленные внутрь стержней, так что последние будут сжаты.

К шарниру С приложены сила Sc, равная по величине силе S&, но направленная в противоположную сторону, а также сила ЛГс, направленная вдоль стержня CD, и сила Q, направление которой задано. Начиная построение силового треугольника с силы Sc, которая уже имеется на рисунке, проводим через ее начало и конец линии, параллельные стержню CD и заданному направлению силы Q.

Пользуясь обозначениями углов, показанными на рис. 17, получаем по теореме синусов

w _pSin(a + Y)qо sin (В + 6)

% ——%Q sin (В 十哂，

откуда (S& = Sc)

ОР sE 9 + Y)sin (В + <р)

4 sin (а — ф) ski (Р + д) *

Пример 4. Груз веса Q (рис. 18) подвешен в точке О соединения двух брусьев 08 и ОС одинаковой длины, удерживаемых тросом 04, за・ крепленным в точке Д, равноотстоящей от точек В и С. Определить усилия в брусьях и тросе при указанном на рис. 18 расположении.

Узел О находится в равновесии под действием пространственной совокупности сходящихся сил: усилий St н 62 в брусьях, натяжения троса Г и

Рис. 18.Рис. 18.

Рис. 18.

Рис. 18.

веса груза G. Вследствие симметрии Si s= S2 и их равнодействующая S, направленная по биссектрисе угла 80С, будет лежать в одной плоскости с силами G н Т. Таким образом, рассмотрение пространственной совокупности сил сводится к рассмотрению двух плоских совокупностей G, S, Т н S, Sb S2.

77На рис. 18 показано построение треугольника сил G, S, Т. Из этого тре* угольника находим

7

7

G

sin 60^ sin 46° sin i尹'

откуда имеем

S = 3,36Q, Г =» 2,74Q・

ейейна натяжениях Та,на натяжениях Та,

ей

ей

на натяжениях Та,

на натяжениях Та,

Из рассмотрения ромба, построенного на силах Si и Sz, находим

Si = S2 = 5&^l1,93G.

Пример 5. Три точки Л, В, С (рис. 19) невесомой твердой пластинки П соединены нитями с неподвижной точкой О. Нити находятся в натяну

том состоянии, так как в некоторой точке М пластинки приложена сила Р. Доказать, что если за направление линии действия силы Р принять диагональ параллелепипеда, построенного на отрезках 04, ОВ, ОС, то натяжения нитей будут пропорциональны их длинам, а линия действия растягивающей силы пересечет плоскость пластинки в точке пересечения медиан треугольника АВС.

По теореме о равновесии тела (в данном случае пластинки П) под дей-

ствием двух сил растягивающая сила Р должна быть равна по величине

равнодействующей R сил натяжения нитей Тд, Тв и Тс, противоположна по направлению и иметь с ней общую линию действия. Равнодействующая

Направлена по диагонали параллелепипеда, построенного TBi Тс, а с другой стороны, по условию — по диагонали параллелепипеда, построенного на отрезках 04, ОВ и ОС. Эти два параллелепипеда, построенные на отрезках одинакового направления (натяжения нитей направлены вдоль нитей) и имеющие общее направление диагонали, подобны между собой; следовательно, стороны параллелепипеда сил действительно пропорциональны длинам нитей.

Равнодействующая Тав двух сил Та и Тв, про- порциональных по величине отрезкам ОА и ОВ, про-厶 ходит через середину отрезка АВ； добавляя к ТАВ силу Тс, найдем общую равнодействующую R трех натяжений, которая будет лежать в плоскости, проходящей через ОС и медиану стороны АВ треугольника АВС. Равнодействующая R пересечет плоскость пластинки П в некоторой точке медианы. Повторяя аналогичное рассуждение в отношении сил Тв и Тс или Тс и Та, убедимся, что точка М действительно лежит на пересечении медиан треугольника АВС.

Пример 6. Однородная треугольная пластинка АВС веса G подвешена к неподвижной точке О на

трех нитях, закрепленных в углах пластинки. Найти натяжения нитей (рис. 20). Предполагается известным, что вес пластинки приложен в ее цент

ре тяжести, находящемся на пересечении медиан треугольника.

По теореме о» двух силах равнодействующая натяжений нитей, приложенная в точке О, должна быть равна по величине силе G, противоположна По направлению и иметь с нею общую линию действия, проходящую через Центр тяжести М -треугольника АВС, т. е. через точку пересечения медиан треугольника. По доказанному в предыдущем примере натяжения нитей Т心

Тс будут по величине пропорциональны длинам нитей 04 « Гд, ОВ = н %, т. е. можно положить

~ =-3，厶=一九% % = -%，

где X — неизвестный положительный скалярный множитель, а гд, г%『с — векторы ОЛ,殖 ОС; знак минус выражает тот факт, что реакции нитей направлены к точке О. По условию равновесия

^^А + Гв + ГС)"с：Х (〃 + % + %) в &

Докажем, что

~ + % + %вЗ“，

где вектор гм ^ ОМ определяет положение центра тяжести треугольника на вертикали, проходящей через точку О. Имеем

(О^ 4- ОС) « OD = 55 + ЯЬ,

где D — середина отрезка ВС. Таким образом,

俞=皆(ОВ + ОС) - ol

н, далее,

ОМ = ОА + з AD = з (ОЛ 4~ 05 十 ОС) *== ~ (/•力十 “ + ’с)”

Проекции силы иа оси прямоугольной системы координат

Изложенный ранее способ задания' силы ее величиной, линией действия и направлением вдоль линии действия не является единственным способом задания силы. В некоторых случаях этому геометрическому способу задания силы следует предпо* честь другой способ — аналитический.

Аналитический метод задания силы заключается в том, что, выбрав совершенно произвольно некоторую прямоугольную систему координатных осей Oxyz (рис. 21), задают: 1) проекции силы F на координатные оси 戸%,户打 & и 2) координаты точки А приложения силы.

Для получения проекций силы поместим в точку А приложения силы (рис, 21) начала трех осей Дх\ Ау\ Az\ параллельных заданным осям 0%, Оу, Oz. Тогда, проводя через конец В вектора три плоскости, перпендикулярные к координатным осям и, следовательно, параллельные координатным плоскостям, отсечем этими плоскостями на осях проекции 尸％,尸川 Fx.

Обозначим через а, р, у углы, образованные направлением силы F с направлениями осей координат. Тогда, вспоминая, что проекция ап любого вектора а на ось ON определяется ng фор

мулеап — а cos ср, (3)мулеап — а cos ср, (3)где ф — угол между вектором и выбранным на оси ON положительным направлением, будем иметь

муле

ап — а cos ср, (3)

муле

ап — а cos ср, (3)

尸？=尸 cosy. (4)尸？=尸 cosy. (4)Fх = F cos a, Fу = F cos р,

尸？=尸 cosy. (4)

尸？=尸 cosy. (4)

尸—""号十岁尸—""号十岁_y乔哨用._y乔哨用.⑹⑹

尸—""号十岁

尸—""号十岁

_y乔哨用.

_y乔哨用.

⑹

⑹

С другой стороны, по известному свойству диагонали пря моугольного параллелепипеда

e="片+ %*從，(5)

причем берется, конечно, арифметическое значение корня. Из формул (4) и (5) можем найти выражения косинусов

углов силы с осями координат:

尸%Fx

八 О /If 一』一乜 и^—I ■a. I ■ I »■ I ■ e !■■ r，T・i・m・・i" ■■ ”I・・.

Формулы (4) определяют проекции силы по заданной ее величине и направлению действия,

формулы (5) и (6), наоборот, определяют величину и направление силы по заданным проекциям силы. На рис. 22 показан другой прием получения проекций сил на оси координат:

сначала сила проектируется на координатную плоскость, содержащую выбранную ось проекций, например Оу (AfBf = =пр. 4В на плоскость ху или А"'В"' = пр. АВ на плоскость “), затем полученный отрезок повторно проектируется на ось, лежащую в этой плоскости {A,fBn = пр. AfB' на ось Оу или А〃В〃 = пр. £〃В'〃 на ось Од). Этот прием бывает часто более удобным.

Пусть 尸1,尸2, • • •, F〃 представляют собой сходящуюся совокупность сил. В таком случае по формуле (1) их равнодействующая R равна их геометрической сумме, и по известной теореме о проекции геометрической суммы векторов проекции R на оси координат Ох,。协 Oz будут равны

Rx = Е Ry=£ Fty,兄^工尸如⑺

Таким образом, проекции равнодействующей сходящейся совокупности сил на оси координат равны алгебраическим суммам проекций составляющих сил на эти оси.

Формулы (7) дают аналитические выражения проекций равнодействующей на оси координат. Зная проекции слагаемых сил 尸е,尸必，Fiz (/ = 1, 2, ..., и), по формулам (7) находим проекции равнодействующей R%, Ry, Rz, а затем по (5) и (6)— величину и направление равнодействующей:

R = “此 + 周+ &，

Rx%必⑻

cosa = -^-, cos В =贽， cos у = ^*

Формулы (7) и (8) полностью решают задачу об аналитическом определении равнодействующей по заданным составляющим силам.

Уравнения равновесия твердого телапод действием сходящейся совокупности сил

Если тело под действием данной сходящейся совокупности сил находится в равновесии, то R = 0 н, следовательно, Rx = О, Ry = 0, Rz = 0, и по (7) получаем следующие уравнения равновесия тела под действием сходящейся совокупности сил：

И

R% = £ Fix =尸1% + 尸2尤 + • • • + 尸〃* — о,

п

E 尸灯=尸3 + 尸2^ + • •・ + Fny = °,(9)

и

兄=X Piz =尸12 + 尸2Z + •・• + 尸〃N = °-

В случае сходящейся плоской совокупности сил можно при* нять плоскость, в которой расположены силы, за плоскость хОу； тогда проекция любой силы на ось % будет равна нулю, третье уравнение равновесия будет выполнено тождественно и условия равновесия плоской совокупности сходящихся сил све-

£j“=o, £js=o・£j“=o, £js=o・(Ю)(Ю)дутся к двум уравнениям: п

£j“=o, £js=o・

£j“=o, £js=o・

(Ю)

(Ю)

Итак, необходимые и достаточные условия равновесия твердого тела, находящегося под действием совокупности сходящихся сил, сводятся к равенству нулю алгебраических сумм проекций на оси координат всех приложенных сил. Число уравнений равновесия равно трем в случае простран- ственнои совокупности сил и двум — для V |/

плоской совокупности.\ 力 /

Число неизвестных, подлежащих опре-\ I /

делению при решении задач о равновесии汇\ |

тела, подверженного действию совокупно- сти сходящихся сил, не должно превосхо-芷

дить числа уравнений, т. е. двух для пло-Ы

ской и трех для пространственной системы.J

Поэтому в тех задачах, где число неизвестных превышает число уравнений равнове- Рис. 23. сия, методы статики твердого тела оказываются недостаточными для определения неизвестных. Так, например, если груз подвешен на трех лежащих в одной плоскости канатах (рис. 23), то из двух уравнений статики нельзя найти натяжений канатов.

Предположим сначала, что груз подвешен на двух канатах. Присоединение третьего каната, который для простоты предположим вертикальным, существенно изменяет распределение нагрузки на канаты; даже малое отклонение длйны третьего каната от той длины Л, которая определяет расстояние узла С от потолка, может привести или к полной разгрузке боковых канатов (если взятая длина несколько меньше, чем й), или же к сохранению прежнего распределения нагрузки боковых канатов, причем вертикальный канат окажется незагруженным вовсе (если его длина превысит Л). Эти случаи являются крайними. Будем предполагать, что вес груза окажется распределенным между всеми канатами. Натяжения канатов можно определить, лишь использовав дополнительные данные о сопротивляемости канатов растяжению. Поэтому рассматриваемая задача станет определенной, если к уравнениям статики твер^ до го тела присоединить уравнение, вытекающее из рассмотрев ния деформаций канатов.

Задачи такого рода называются статически неопределен^ ными; другим примером статически неопределенной задачи является разыскание натяжений в четырех поддерживающих груз, не расположенных в одной плоскости канатах.

Рассмотрим примеры применения уравнений статики.

2 Л. Г. Лойцянский, А. И. Лурье

§ 10. Примеры

Пример 7. Груз G = 20 кН (рис. 24) поднимается лебедкой при помощи каната, перекинутого через неподвижный блок в точке В, Пренебрегая прением в блоке, определить натяжение Т бруса АВ и усилие S в брусе СВ.

Рис. 24.Рис. 24.

Рис. 24.

Рис. 24.

Выбрав оси координат, как показано на рисунке, будем иметь следующие два уравнения равновесия:

уравнение проекций на ось Вх:

S cos 30。一 Т 一 Q cos 60° = 0;

уравнение проекций на ось By:

—S cos 60° + Q cos 30° + G = 0.

Замечая, что по свойству идеального блока ) Q = G = 20 кН, находим S = 74,64 кН, Т = 54,63 кН.

Пример 8. Определить натяжения Г4, 「2, 7з (рис. 25) проволок ОС, ОА и ОВ, если узел О нагружен гирей веса G. Плоскость проволок ОА и ОВ наклонена к вертикали под углом р и перпендикулярна к вертикальной плоскости, проходящей через ось проволоки ОС. Сами проволоки расположены симметрично относительно указанной плоскости и образуют с нею углы а.

Выбираем оси: 0% — по линии пересечения плоскости проволок АО В с проходящей через точку О горизонтальной плоскостью, Оу ——по проволсь ке ОС, Oz — по вертикали вверх. Составляем затем уравнения равновесия:

уравнение проекций на ось Ох:

7\ sin а — Т3 sin а = 0;

уравнение проекций на ось Оу:

А —「2 cos a sin В — Тз cos a sin р = 0,

уравнение проекций на ось Ог:

72 cos a cos § + Тз cos a cos § — G = 0.

При проектировании сил Т2 и 北 на ось Оу вместо того, чтобы разыскивать углы между Т2 и Оу, гораздо проще воспользоваться ранее указанным приемом: сначала спроектировать силу Т? на плоскость yOz, что даст Т2 cos а, а уже потом этот отрезок спроектировать на ось Оу.

Аналогично проектируем силы 72 и Т3 на ось Oz. Из уравнения а) следует

Т2 = 7з,

нения в) найдемнения в) найдемо чем можно было догадаться и сразу из соображений симметрии. Из урав

нения в) найдем

нения в) найдем

G

2 cos a cos §

Наконец, из уравнения б) получим

Т1 = 2Т2 cos a sin р « G tg §・

Глава IIIПРИВЕДЕНИЕ НЕСХОДЯЩЕИСЯ СОВОКУПНОСТИ СИЛК ПРОСТЕЙШЕМУ ВИДУ

Момент силы относительно точки как вектор.Моменты силы относительно осей координати их аналитические выражения

В постановке задачи о приведении несходящейся совокупности сил к простейшему виду важное значение приобретают два основных понятия статики: момент силы относительно точки и момент силы относительно оси. Понятия эти исторически возникли в учении Архимеда о равновесии рычагов и впоследствии были обобщены на любые пространственные совокупности сил.

Напомним, что в этом учении момент силы относительно точки рассматривался в плоскости, проходящей через линию действия силы и точку, называемую «центром момента», и определялся алгебраической величиной произведения величины силы на плечо, т. е. кратчайшее расстояние линии действия силы от центра момента； эта величина бралась со знаком плюс либо минус в зависимости от того, в какую сторону стремилась повернуть тело' приложенная к нему сила.

При переходе к пространственной совокупности сил, с произвольным расположением их в пространстве, такое алгебраическое определение момента силы становится недостаточным. Появляется необходимость учесть различные возможные направления плоскостей, проходящих через линии действия сил совокупности и общий для них центр моментов.'

Направление плоскости в пространстве, как известно, может быть задано перпендикуляром к этой плоскости. Чтобы одновременно определить величину момента силы относительно точки и направление плоскости, проходящей через линию действия силы и центр момента, естественно рассматривать момент силы /и。(尸)относительно точки О (рис. 26) как вектор, приложенный в этой точке, равный по абсолютной величине произведению величины силы 尸 на кратчайшее расстояние Л линии действия силы от центра момента, т. е. плечо, и направленный по перпендикуляру к плоскости, содержащей линию действия

силы и центр момента, в ту или другую сторону, в зависимости от того, в каком направлении будет стремиться приложенная к телу сила повернуть его вокруг центра момента.

Чтобы единым образом определить сторону направления вектора mo (F), вспомним, что в выборе положительных направлений осей координат Ox, Оу, Oz имеется произвол, который может привести как к правой (в верхней части рис. 26),

так и к левой (в нижней части рис. 26) системам координат.

Выберем одинаковое для обеих систем координат определение положительного поворота, как поворота оси Ох к оси Оу я а угол л/2, если смотреть вдоль оси Oz, Иными словами, против вращения часовой стрелки, если смотреть с положительного направления оси z, в правой системе или по часовой стрелке — в левой.

Такой выбор положительного поворота приводит к следующей единой для обеих систем координат формулировке понятия вектора момента силы относительно точки.

Моментом силы относительно точки (центра момента) назовем вектор, равный по величине произведению силы на кратчайшее расстояние линии • действия ее

Рис. 26.Рис. 26.6。центра момента (плечо силы) и направленный по перпендикуляру к плоскости, содержащей силу и центр момента, в ту сторону, чтобы для наблюдателя, смотрящего вдоль указанного стрелкой направления вектора момента или с его конца, поворот тела приложенной к нему силой был положительным.

Рис. 26.

Рис. 26.

В дальнейшем будем пользоваться только правой системой координат. Это позволяет применять широко принятое «правило буравчика», согласно которому положительным поворотом я% ляется поворот, вызывающий внедрение буравчика в материал.

Вышеприведенное определение, являясь более общим, т. е. справедливым безотносительно к тому, будет ли принятая система координат правой или левой, содержит в себе полезное с принципиальной стороны следующее дополнительное сообра^ жение. Как известно, истинный физический вектор, как, например, сила, скорость, ускорение, ни по величине, ни по направ*

лению не может зависеть от выбора системы координат, при помощи которой он аналитически выражен (об этом см. далее § 32 гл. VIII). Вектор момента силы относительно точки, как это непосредственно следует из верхнего и нижнего рис. 26, такому условию не удовлетворяет. При переходе от правой системы координат к левой или наоборот вектор т0(Г), сохраняя величину, меняет направление на противоположное. Такие векторы называют «псевдовекторами», иногда «аксиальными векторами». В дальнейшем мы будем часто встречаться с такого рода векторами. К ним относятся, в частности, векторы угловой скорости, углового ускорения и др.

Легко видеть (рис. 26), что по численной величине момент силы относительно точки равен удвоенной площади 2S тре

угольника, построенного на силе как на основании и с вершиной в центре момента. Вместо удвоенной площади треугольника можно взять площадь параллелограмма со сторонами, равными силе и отрезку 厶 соединяющему центр моментов с точкой приложения силы, так что

[m0(F) \ — Fr sin а. (1)

Если сила не равна нулю, то момент ее может обратиться в нуль только тогда, когда плечо равно нулю, т. е. когда линия de»CT6〃兄 силы проходит через центр момента.

Если заданы величина и направление силы F и ее момент ш0 (F) относительно центра О, то этим вполне определяется линия действия силы.

Действительно, проведя через точку О плоскость П (рис. 27), перпендикулярную к вектору m0(F)t мы найдем в этой плоско* сти искомую линию действия силы, если проведем от точки О ,|m°(F)|

на расстоянии, равном h = —, линию, параллельную си

ле F; из двух возможных положений линии (LL и L/L) выбираем такое (LL)t чтобы сила F, направленная вдоль нее, давала вектор момента заданного направления.

Рассматривая величину вектора момента mo (F), определяемую по формуле (1), и принимая во внимание его направление, приходим к заключению, что ' вектор момента m0(F} представляет собой векторное произведение:

m°(F) = rXF,(2)

в котором первый сомножитель, г, есть вектор-радиус ОА (рис. 26) точки Л приложения силы относительно центра моментов О. Действительно, по величине вектор г X ^ равен

произведению rF sin а = hF, а по направлению совпадает с направлением перпендикуляра к плоскости векторов г и F в ту сторону, чтобы, смотря вдоль него, видеть вращение г к F на наименьший угол в положительном направлении.

Итак, момент силы относительно некоторого центра равен векторному произведению вектор-радиуса точки приложения силы на вектор силы.

Известное свойство распределительности векторного произ* ведения, заключающееся в том, что

аХЗ + с+ ・・・)= (аХЬ) + (аХс)+ …， выражает в применении к пространственной совокупности сходящихся сил теорему Вариньона:

точки равен вектор-точки равен вектор-Рис. 28.Рис. 28.Момент равнодействующей пространственной сходящейся совокупности сил относительно произвольной ной сумме моментов слагаемых сил относительно той же точки.

точки равен вектор-

точки равен вектор-

Рис. 28.

Рис. 28.

Действительно (рис. 28), если совокупность сил 尸 1,尸2, ..., Fn сходится в точке Л, то ее равнодействующая представляется силой

r=鸟十f2++及=£几

приложенной в той же точке А.

Возьмем какую-нибудь точку О и обозначим через г вектор-радиус точки

Д относительно точки О. Тогда по определению момента равнодействующей и свойству распределительности найдем

т0(/?) = гХ/? = гХ(Л+Р2+ ... +Fn) =

= (rXF!)+ (rXF2)+ +(rXFJ =

=m0 (?) + m0 (尸2)+ ... + m0 (尸九)，(3)

что и доказывает теорему.

Подчеркнем, что теорема Вариньона верна только для сходящейся совокупности сил, а также, как далее будет показано (§ 25), и для совокупности сил с параллельными друг другу линиями действия. Последний случай можно рассматривать как предельный, соответствующий удалению точки Л пересечения линий действия на бесконечность.

В случае несходящейся совокупности сил, как это станет ясным из последующего, само представление о равнодействующей несходящейся совокупности сил будет лишено смысла и заменится более общим понятием главного вектора. Для дальнейшего полезно подчеркнуть, что присоединение к заданной

сходящейся совокупности сил дополнительной силы 尸'(на рис. 28 показанной пунктиром) с линией действия, проходящей через центр моментов Л, момент равнодействующей не изменяет.

Вектор момента силы относительно точки может быть спроектирован на оси координат. Покажем, что этим проекциям

Рис. 29.Рис. 29.

Рис. 29.

Рис. 29.

можно придать более простой смысл моментов силы относительно оси.

Введем сначала векторное представление о составляющей вектора ио плоскости.

Чтобы получить составляющую вектора силы F по плоскости П (рис. 29), опустим из начала Л и конца В вектора 尸 перпендикуляры АА^ и В⑶ на плоскость П; определенному таким образом отрезку 4'В сообщим направление от 4 к В\ соответствующее направлению вектора Г. Вектор Fn, лежащий в плоскости П, и будет искомой составляющей силы F по цлоско- сти П.

Введем теперь в плоскости П момент силы 尸口 относительна центра О, определенный алгебраически как произведение величины Fn на плечо /г со знаком плюс либо минус в зависимости от направления вращения тела силой 尸口.

Алгебраическую величину момента составляющей силы 尸и по плоскости П относительно точки пересечения оси Ох с плоскостью П, взятую со знаком плюс либо минус в зависимости от того, будет ли поворот тела вокруг оси Ох составляющей силой Fu по плоскости П положительным или отрицательным^ назовем моментом силы относительно оси Ох и будем обозначать символом mx(F) (аналогично вводятся 团“(尸)，тг(Г)).

Из определения момента силы относительно оси следует, что он может быть равным нулю в двух случаях: 1) если линия действия силы, пересекается с осью и 2) если линия действия

силы параллельна ос〃, т. е. если сила и ось лежат в одной плоскости.

Приняв указанное определение момента силы относительно сси, легко показать, что проекция - вектора момента силы, относительно некоторой точки на ось, проходящую через точку, равна моменту силы относительно этой оси.

Для доказательства заметим, что проекция Шох (尸)вектора момента mo (F) силы 尸 относительно точки О (рис. 29) на некоторую ось Ох равна

тох (尸)=I ш0 (尸)I cos а = 2 пл. △ О АВ cos а = ± 2 пл/А ОА'В，), так как угол а между вектором /и。(尸)и осью % равен углу между плоскостью △.45 и плоскостью П, а площадь АО А'В， есть проекция площади △045； вместе с тем согласно опреде^ лению момента силы относительно оси

土 2 пл. △ OAfBr = тх (F) и, следовательно,

团0尢(F)=加％ (F),(4)

что и требовалось доказать.

Если сила 尸 задана аналитически, т. е. своими проекциями 尸％,尸у, Fz и координатами х, у, г точки приложения, то по формулам (2) и (4) имеем

mх (f)=他＞х (f)=(^ X F)Х.

Вспоминая выражение проекций векторного произведения на оси координат, найдем следующие аналитические выражения моментов силы относительно осей координат:

mx (F) = yFz — nF у, my (F) = zFx ——xFz,

加2 (F) = xF у — yF %•⑸

Вводя единичные векторы (орты) осей координат /, /, fe, можно переписать систему равенств (5) в форме одного векторного равенства:

m0(F) = rXP= х У 2 •(6)

F* Ру Fz

Раскладывая этот определитель по элементам первой строки, получим

m。(F) = i{yFz — zFy) + j{zFx — % 尸 J + ft (xFy — yF^

что эквивалентно системе равенств (5).

Формулы (5) можно было бы получить также, замен515r силу 尸 ее составляющими по осям координат Fb F2, ?з (рис. 30). Воспользовавшись теоремой Вариньона о моменте равнодействующей сходящейся системы сил, получим

тх (F) = mOx (F) = тОх (口)+ тОх (玛)+ 加。％ (尸з)=

=тх (К) + тх (尸2)+ 他 Фз) = 0 — 2尸у + yPz = yPz —之尸》

и аналогично для моментов относительно осей у и z.

Составим еще выражение для момента силы относительна оси OL любого направления, проходящей через начало координат. Направление оси OL зададим единичным вектором /; проекции / на оси координат представляют собой косинусы углов между OL и координатными осями:

/% = cos а, 1у = cosP, /г = cos у.

Согласно только что доказанной теореме момент силы относительно оси OL равен проекции на эту ось вектора момента силы от

носительно точки на оси, т. е. по определению скалярного произведения

mL (F) = I m0 (F) I cos d = Z • т0 (F),

где б ——угол между осью OL и вектором m0(F),

Вспоминая, что скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений их одноименных проекций на оси координат:

а • b = ахЬх + ауЬу + azbz> будем иметь

mL (尸)=тОх (尸)cos а + тОу (F) cos 3 + mOz (F) cos у,

или, по формулам (4) и (5),

mL (尸)=тх (F) cos а + m^ (F) cos ^ + тг (尸)cos у =

=("z — 2%) cos а + (zFx — xFJ cos P + (xFy — yFx) cos y. (7)

Это выражение можно также представить в виде определителя: cos a cos 0 cos у

团l(尸)=%У2•(8)

FxFy&

§ 12. Пара сил и ее момент. Свойства пар. Сложение пар

Парой сил называют совокупность двух равных по величине сил, имеющих параллельные линии действия, но направленных в разные стороны. Плоскость, проведенная через линии действия сил пары, образует плоскость пары.

Рассмотрим в плоскости пары П (рис. 31) две равные по величине, параллельные, но противоположные по направлению силы Р и Q, образующие пару. Сумму векторов моментов этих сил относительно произвольного центра О, равную (Q =——Р; г

Рис. 31.Рис. 31.и 门一вектор-радиусы точек Л и В приложения сил Р и Q)

Рис. 31.

Рис. 31.

mo(P) + ^o (Q) =

= ТХР) + (门 XQ) ==уХР—门ХР=

взаимное расположение точек А и В,взаимное расположение точек А и В,= (у — У1)ХР = е, (9) не зависящую от выбора центра моментов О, а только от вектора В А = =г ——ri, определяющего

взаимное расположение точек А и В,

взаимное расположение точек А и В,

назовем моментом пары сил и обозначим через т.

Согласно определению момента пары (9), длина этого вектора равна (рис. 31)

m = P|r~r1|sina = P* АВ • sin a = Ph,

где кратчайшее расстояние h между линиями действия сил пары называется плечом пары. Момент пары m направлен по перпендикуляру к плоскости пары П, причем так, чтобы, смотря вдоль указанного стрелкой направления его, увидеть поворот тела парой сил положительным, т. е. при пользовании правой системой координат, вектор m направлен по ходу винта с правой нарезкой.

Момент пары вполне определяет статическое действие пары на абсолютно твердое тело. Иными словами, две пары с одинаковыми по величине, направлению и стороне поворота моментами статически эквивалентны.

Эту почти очевидную теорему докажем по частям.

1°. Не нарушая действия пары на абсолютно твердое тело, ее можно повернуть е своей плоскости на произвольный угол.

Пусть к твердому телу приложена пара сил (рис. 32) (Р, Q) с плечом АВ = h, стремящаяся для наблюдателя, смотрящего на рисунок, повернуть тело против часовой стрелки. Проведем

через точку В отрезок AfBb равный по величине АВ = й, и в точках，' н 3 приложим эквивалентную нулю совокупность сил Р'. Р〃, QI Q", не изменяющую действие пары. Сложим по правилу параллелограмма силы Р и Р〃, перенесенные вдоль линий своего действия в точку С, в одну равнодействующую R и аналогично поступим с силами Q и @〃, приводящимися к одной равнодействующей R'. Силы R и R', очевидно, уравновешиваются, и к твердому телу остается приложенной лишь пара сил (Р‘，Q') с плечом А^В = й, т. е. пара (Р, Q) статически эквивалентна паре (Р‘，Q'), повернутой по отношению к паре (Р, Q)

на произвольный угол. Моменты этих двух пар равны друг

другу. Поворачивая пару и перемещая силы пары вдоль их линий действия, сможем, не нарушая ее действия, переносить пару е любое место е ее плоскости.

2°. Не изменяя действия 几ар”》 можно менять величину вхо。凡щей в нее силы и длину плеча, но так> чтобы их произведение — абсо- /йотна凡 величина момента — сохранялось.

силы (Р‘，Р〃)и ность шести силсилы (Р‘，Р〃)и ность шести силПусть дана пара (Р, Q) (рис. 33) с плечом АВ = h. Отложим от середины плеча О в обе стороны равные отрезки ОС и OD и в точках С и Z> по две взаимно уравновешивающиеся

силы (Р‘，Р〃)и ность шести сил

силы (Р‘，Р〃)и ность шести сил

(Q‘，Q〃)・ Полученная таким образом совокуп- Р, Q, Р‘，Q', Р〃，Q" статически эквивалентна паре сил (Р, Q). Равнодействующая двух неравных, параллельных друг другу и направленных в ту же сторону сил, как известно из курса физики, равна по величине их сумме» направлена в ту же сторону, что и складываемые силы, причем точка приложения равнодействующей лежит на отрезке, соединяющем

точки приложения слагаемых сил, и делит этот отрезок обратно пропорционально величинам ела*

гаемых сил.

Сложим силы Р и Q〃 (рис. 33). Равнодействующая их R бу-* дет равна сумме R = P + Q〃, направлена параллельно им в ту же сторону, а точка приложения равнодействующей окажется в точке О, так как по условию Р • О А = Qz, • OD. Аналогично^ складывая силы Q и Р〃, получим равнодействующую R', равную сумме тех же по величине сил, совпадающую по линии

Рис. 34.векторы называют свободны-Рис. 34.векторы называют свободны-

Рис. 34.

векторы называют свободны-

Рис. 34.

векторы называют свободны-

действия с силой R, но направленную, по сравнению с R, в противоположную сторону. Силы R н R' взаимно уничтожаются, и остается лишь пара сил (Р‘, Q'), статически эквивалентная паре сил (P,Q), что и доказывает вышевысказанное положение.

Аналогичным приемом доказывается и необходимое для дальнейшего последнее свойство пар сил.

3°. Не изм^еняя действия пары на абсолютно твердое тело, можно меня/гь плоскость пары на любую параллельную ей

плоскость.

Пусть в плоскости П (рис. 34) задана пара сил (Р, Q) с плечом АВ. В любой другой, но параллельной П плоскости IT проведем отрезок А'В', равный и параллельный отрезку 4В, и в точках Аг и Вг отложим, как и в предыдущем пункте, взаимно

друг друга уравновешивающую совокупность четырех параллельных Р и Q сил Р‘，Р〃，Q‘，Q〃. Полученная таким образом совокупность шести сил Р, Q, Р‘，QI Р〃，Q〃 статически эквивалентна заданной паре (Р, Q). Складывая теперь по отдельности параллельные силы Р и Q" и Q и Р〃，придем, очевидно.

к двум уравновешивающим друг друга равнодействующим R и R', так что остающаяся пара сил (Pz, Q') соответствует образу

пары сил (PQ), перенесенной из плоскости П в параллельную ей плоскость IT.

Изложенные в пп. 1°, 2° и 3° свойства пар приводят к заключению, что единственной, полностью определяющей ее действие количественной характеристикой пары является ранее введенный вектор m момента пары. Вектор ш не имеет ни определенной точки приложения, ни линии действия, т. е. не является ни приложенным, ни скользящим вектором, а задается лишь своей величиной и направлением. Такие

ми векторами.

Докажем следующую теорему о сложении пар:

Совокупность пар, как угодно расположенных е пространстве, статически эквивалентна одной паре с моментом, равным векторной сумме моментов слагаемых пар.

Сложим две пары (Pi, Qi) и (Р2, Q2) (рис. 35) с моментами М и ш2. Для этого, предполагая, что в общем случае плоскости пар П и Пх не параллельны, отметим линию пересечения их LL, отложим на ней отрезок АВ и приведем, на основании п. 2°, обе пары к одному плечу АВ = h. При этом силы Рь Р^

и силы Qi, Q2 будут, соответственно, приложены в точках 4 и В. Складывая эти силы по правилу параллелограмма, придем к равнодействующей паре сил (R, R'). По теореме Вариньона (§11) моменты силы R и силы R，относительно любой точки О будут равны сумме моментов слагаемых сил, т. е.

m。(R) = т0 (Pi) + т0 (Р2),то(Ю = то^) + то^()

а искомый момент т равнодействующей пары (R, R') по формуле (9) будет равен сумме моментов:

m = ш0 (R) + т0 (&') = m0 (Р) + m0 (Q】)+

+ m0(P2) + т0 Q)=叫 + m2.(11)

Таким образом, теорема о сложении пар доказана. В случаях пар сил с параллельными плоскостями, а следовательно.

и моментами сложение векторов моментов упрощается и сводится к сложению векторов тх и ш2, расположенных вдоль одной прямой и направленных в одну или разные стороны. Сложение многих пар сил производится по правилу векторного многоугольника (§ 6) их моментов.

§ 13. Приведение пространственной несходящейся совокупности сил к одной силе и одной паре. Главный вектор

и главный момент совокупности сил

Как уже упоминалось, основной задачей статики, а следовательно и ее применений в динамике, является приведение заданной несхоЗя!цеИс凡 совокупности сил к простейшему виду. Остановимся на общепринятом методе Пуансо («Элементы статики», русский перев., 1864 г.) приведения несходящейся совокупности сил к одной силе и одной паре сил. Метод этот ос-

нован на изложенных в § 12 свойствах пространственных пар сил и операции сложения или разложения их.

Предположим, что к абсолютно твердому телу в точках 厶卜 Д2, ..., Ап (рис. 36) приложена пространственная несходя- щаяся система сил 尸卜 F2, ..., Fn. Возьмем произвольную, принадлежащую телу или условно к нему жестко присоединенную точку О и назовем ее центром привеЗения. Применим следующий лежащий в основе метода ГТуансо общий прием переноса сил с точками приложения Аь А2) ..., Ап в одну точку — центр

приведения О. Приложим в точке О две взаимно уравновешивающие друг друга силы F； и F] равные по абсолютной величине силе 尸1, параллельные 尸卜 но направленные в разные стороны. Затем аналогичную операцию произведем над силой 尸2, приложив к центру приведения О две друг друга уравно* вешивающие силы 尸；и F(, и т. д.

Силу F； можно рассматривать как силу 尸卜 перенесенную аз точки 41 е точку О, а совокупность двух равных, параллельных, но направленных в противоположные стороны сил (尸1,尸7)— как «присоединенную» пару сил с моментом mb Точно так же сила 氏 может быть перенесена из точки Д2 в точку О, а пара сил (У7?,尸，) с моментом т2 будет служить «присоединенной» парой сил и т. д. Продолжая идти тем же путем, приведем

заданную произвольную несходящуюся совокупность сил 尸 1,尸2,...,尸九 к эквивалентной ей сходящейся совокупности сил Fp FJ ・・.,F： в точке О и к совокупности пар с моментами mi, т2, ..., mn, являющимися свободными векторами (§ 12).

Сходящаяся совокупность сил f；, FJ ...,尸；эквивалентна одной силе, равной сумме

V = F； + K+・・・+%

или, что все равно с точки зрения построения силового многоугольника,

V=吊+尸2+几П2巴. (12) i==i

Вектор, полученный геометрическим сложением совокупности векторов, т. е. вектор, определяемый замыкающей стороной многоугольника, будем называть главным вектором совокупности векторов. Главный вектор не заменяет физически действия совокупности векторов, суммированием которых он получен. Говоря, что вектор V есть главный вектор совокупности сил 尸 1,尸2,...,尸％ а не равнодействующая той же совокупности сил, мы подчеркиваем, что сила V не может заменить действия совокупности сил 尸 1,尸2， •••，尸九，т. е. не эквивалентна этой совокупности сил. Сила V является равнодействующей совокупности сил Fp F；, ..., F；, а не заданной совокупности сил F1,f2, 尸小

Особенно отчетливо сказывается разница между понятиями главного вектора и равнодействующей в случае совокупности сил, приложенных к различным телам. В этом случае понятие равнодействующей вообще не имеет смысла, так как нельзя складывать силы, приложенные к различным телам； главный же вектор такой совокупности можно построить.

Итак, полученный вектор V, приложенный в выбранном по произволу центре приведения О, является главным вектором приложенных к телу сил.

Рассмотрим теперь совокупность присоединенных пар; по теореме, доказанной в § 12, эта совокупность пар эквивалентна одной паре с моментом ш, равным геометрической сумме моментов слагаемых пар:

ш = ш, + т2 + ... + шп. (13)

Вспоминая, что момент пары всегда можно рассматривать как сумму моментов входящих в пару сил относительно произвольной точки (§ 12), имеем, например, для пары сил Fb F,

/=mo (f1) + m。(Ff)=加 。 (尸 J，

так как линия действия силы 尸［проходит через точку О; иными словами, момент присоединенной пары равен моменту приложенной к телу силы относительно выбранного центра приведения.

Аналогичным образом получим

т2 = ш0 (8),…，mn = 〃"о (fn)(14)

и согласно (13) найдем

m =他0(尸1) + m0 仍2)+ •.. + / (К).(15)

Вектор ш, равный геометрической сумме моментов приложенных к телу сил относительно произвольного центра приведения, назовем главным моментом совокупности сил относи* тельно центра приведения и будем обозначать ш(°)・

Метод Пуансо приводит к следующей общей теореме статики абсолютно твердого тела:

Произвольная пространственна凡 песхоОяща兄с兄 совокупность сил, действующая на абсолютно твердое тело, статически эквивалентна одной. силе ——главному вектору, приложенному в произвольно выбранной точке тела (в центре приведения), “ одной паре с моментом^ равным главному моменту сил относи- тельно центра приведения.

В аналитических методах расчета пространственных несхо- дящихся совокупностей сил главный вектор V заменяют проекциями его Vx, Vy, Vz на выбранные оси координат, а главный момент т(°) относительно начала координат О — проекциями 〃(，)，m/,my), равными, согласно соотношениям (4) и (15),

пп

吧)=2 mOx(Pi) = 2(f)

呻)=2m制(吊)=2加八F)(16)

nn

吧)=2 щ02(pf)= £ m2 (目)・i-lgl

Алгебраическую сумму моментов всех входящих в совокупность сил относительно некоторой оси называют главным моментом совокупности сил относительно этой оси. Главные моменты относительно осей х, у、z будем обозначать

仅为，m，，^z。

Согласно этому определению и уравнениям (16) имеем

m? = m* 力俨=%,唠=m^(17)

Соответственно формулам (5) найдем теперь по формулам (16) аналитические ebipaotce凡ия 方九兄 главных моментов совокупности сил относительно осей координата

团％ =之 ^iPiz — 2/)，i == 1

n

(18>(18>^= E (^Pix — ^Pi^ t=i

(18>

(18>

^Z=X^iPiy — yiFix)-

Здесь Fix, Fty, Fiz ——проекции сил Fz на оси координат, а 修，'小 Zi — координаты точек их приложения.

Уравнения равновесия абсолютно твердого телапод действием несходящейся совокупности сил

Рассмотрим теперь условия равновесия абсолютно твердого тела под действием пространственной несходящейся совокупности сил. Подчеркнем, что под равновесием в случае твердого тела понимается его относительный покой в данной системе координат, а не движение《по инерции», которое в случае твердого тела, не подверженного действию внешних сил и пар, в. зависимости от его формы и распределения в нем массы может быть очень сложным.

Определяя так понятие равновесия абсолютно твердого тела^ получим условия равновесия в виде равенств нулю главного вектора и главного момента сил:

у = 0,加。) = 0. (19)

Очевидно, что под действием такой совокупности сил свободное твердое тело сохранит свой относительный покой. Обратно, если равновесие имеет место, то должны быть выполнены условия (19). Действительно, если бы, например, было У 崂 0, /и(о)= 0, то совокупность сил 尸1,尸2, ..., Fn привелась бы к одной силе V, приложенной в точке О, и равновесия не было бы; при Y = 0, но 加。耍 0 мы имели бы пару и равновесия также не было бы. Не будет равновесия и при V #= 0 и /п(°)У= 0, так как сила и пара не могут уравновесить друг друга. Итак, условия (19), которые согласно (12) и (15) можно также записать

в виде

(20)(20)尸1 +f2 +…十尸九=

(20)

(20)

m° (Fi)十 m。(尸2)+ • • • + mo (尸〃)=°，

представляют собой необходимые 〃 достаточные условие равно- вес”兄 свободного твердого тела, нахоОящееос凡 под действием

совокупности сил, произвольным образом расположенных е пространстве.

Два векторных условия （20） могут быть в общем случае приведены к шести алгебраическим уравнениям; для этого надо спроектировать левые части этих уравнений на три оси координат, произвольно выбранные в пространстве. Тогда, вспоминая еще, что проекция вектора момента тела на ось равна моменту относительно оси, будем иметь следующие шесть уравнений равновесия абсолютно твердого тела:

п

尸 + &% + • • • + 尸〃％ = Z［尸“=°，

尸ly十尸2y + •・・+ Fny = E尸叮=°，

P\Z + 尸2z + •・• + 尸〃z — 2 尸iz = °，

熠（21）

（尸1）十"为（尸2）+…+公（尸九）=X m* （尸）= 0,

加八尸 О + my （尸 2）+ ... +my （尸九）=£ my（Fi） = 0,

n

% （Fl） + ^z （尸2）十…+ % C） = E 恨（F j = 0,

которые выражают следующее положение:

При равновесии твердого тела под действием пространственной совокупности сил суммы проекций приложенных сил на оси координат и суммы моментов приложенных сил относительно осей координат обращаются е нуль.

В отдельных частных случаях некоторые из этих шести уравнений могут выполняться тождественно; при этом число уравнений равновесия уменьшается. Отметим важнейшие из этих частных случаев.

1°. Сходящаяся совокупность сил. Выбирая точку, в которой сходится линия действия сил, за центр моментов, заметим, что левые части последних трех уравнений （21） тождественно обратятся в нуль, так как линии действия сил пересекут оси координат. В соответствии с теорией, изложенной в § 9, число уравнений равновесия сокращается до трех уравнений проекций на оси координат.

2°. Плоская совокупность сил, т. е. такая, что все силы совокупности лежат е одной плоскости. Расположим ось z перпендикулярно к плоскости действия сил. Тогда тождественно обратятся в нуль левые части третьего уравнения （21）, так как

силы перпендикулярны к оси, и четвертого и пятого, так как линии действия сил пересекают ось моментов или параллельны ей.

Остающиеся при этом уравнения равновесия тела под действием плоской совокупности сил будут

尸1х + &х + • •・十尸仆=Z尸tx = °，

尸ly + 尸2, + • • •十尸ny= £ 尸力g = °，(22)

加2 (f1) +用(尸2)十…十色(FJ = E恨(Л) = 0・ »== 1

3°. Совокупность параллельных сил. Направим ось а параллельно линиям действия сил; тогда первые два и последнее уравнение системы (21) выполняются тождественно и уравнения

尸lz + 尸2z + • •・ + Fnz = X 尸iz = 0，

恤(尸1)十加*便2)+ ・•• + mx(Fn) = £ mx(Ff) = 0,(23)

^ (Fi) + my (F2) + ... + m^ (Fn) = £ m? (Fj = 0

будут служить уравнениями равновесия пространственной совокупности параллельных сил.

Возвращаясь к общему случаю совокупности сил, произвольно расположенных в пространстве, заметим, что задача будет статически определенной, если число неизвестных не превышает шести. Рассмотрим, какое число неизвестных вводят в задачу различные способы закрепления тела.

Неподвижное закрепление точки тела можно осуществить, например, при помощи сферического шарнира, т. е. приспособления, обеспечивающего неподвижность точки закрепления тела и допускающего возможность поворота тела вокруг любой оси^ проходящей через эту точку. Реакция неподвижно закрепленной точки не известна ни по величине, ни по направлению; в уравнения статики войдут при этом три неизвестные проекции сил.

Закрепление тела может быть осуществлено также в форме подпятника, в форме конического или полусферического углубления, в которое вставляется тело своим коническим или сфере- ческим концом, и т. д.

Реакция опоры, допускающей свободное перемещение тела вдоль некоторой оси, например реакция лишенного трения ци-

линдрического подшипника (или муфты, цилиндрического шарнира и т. п.), перпендикулярна к этой оси. В уравнения статики при наличии соединения этого рода войдут две неизвестные проекции реакции. Одну неизвестную будем иметь в случае соприкосновения гладких тел (реакция нормальна к гладкой опорной поверхности), в случае подвижной опоры на катках и т. д.

Чтобы сделать неподвижным твердое тело, достаточно закрепить три его точки, не лежащие на одной прямой линии. Если закрепления осуществить, например, при помощи трех сферических шарниров, то в уравнения статики войдут девять, неизвестных проекций реакций и задача будет статически неопределенной.

Прием придания неподвижности телу, при использовании которого задача нахождения реакций опорных закреплений оказывается статически определенной, состоит в том, что одна точка тела делается неподвижной (три неизвестные), вторая точка ставится в направляющий прямолинейный желобок и может* перемещаться по его направлению (реакция перпендикулярна к желобку ——две неизвестные), третья точка опирается на гладкую плоскость и может по ней скользить в любом направлении (реакция перпендикулярна к плоскости — одна неизвестная). Такой прием применяется в строительном деле, а также при установке физических приборов и геодезических инструментов. Он обеспечивает вполне неподвижную установку прибора всегда в одном и том же положении, а также оставляет возможность конструкции свободно расширяться при изменениях температуры.

Другой прием состоит в закреплении тела при помощи шести нерастяжимых стержней, шарнирно присоединенных концами к: телу и к опорам. Такое крепление может обеспечивать неподвижность тела при всевозможных способах загружения его.

Условия обращения в нуль главного вектора и главного момента, конечно, не обязательно формулировать аналитически в. форме уравнений (21). Чтобы обратить в нуль некоторый вектор, достаточно обратить в нуль его проекции на три любых (не* обязательно взаимно перпендикулярных) направления, не лежащих в одной плоскости. Это допускает широкий произвол в， выборе осей проекций и моментов, пользуясь которым можно максимально упростить вид уравнений статики в каждой частной задаче. Оси следует выбирать так, чтобы система шести уравнений распадалась на несколько систем, в каждую из которых входила бы только часть неизвестных.

Например, можно доказать в общем виде, что в случае тела» закрепленного шестью стержнями, реакции стержней определяются из решения трех систем уравнений, в каждую из которых входят лишь две неизвестные.

Покажем это на нескольких примерах, так как общее рассмотрение вопроса требует довольно сложных геометрических рассуждений.

В качестве первого примера рассмотрим ферму крана, под

держиваемую шестью попарно пересекающимися стержнями

(рис. 37). Желая определить усилия Г5 и Тб, мы можем составить одно уравнение моментов относительно показанной на рисунке пунктирной линии, соединяющей общие точки стержней /, 2 и 3, 4; второе уравнение моментов надо будет составить относительно линии пересечения плоскостей (/, 2) и (3, 4), определяемых указанными стержнями. Если бы эти плоскости оказались параллельными, то второе уравнение пришлось бы написать в виде уравнения проекций на направление, перпендикулярное к этим плоскостям. Аналогичным образом мы могли бы написать две системы, состоя

щие каждая из двух уравнений, для определения реакций в стержнях /, 2 и 3, 4.

Рис. 38.Рис. 38.Рис. 39.Рис. 39.На рис. 38 имеем более простую схему стержневой системы, поддерживающей плиту ОАСВ\ ход решения задачи таков:

Рис. 38.

Рис. 38.

Рис. 39.

Рис. 39.

уравнение моментов относительно оси ОА и уравнение моментов относительно оси DD' определяют Т5 и Тб；

уравнение моментов относительно оси 4'4 определяет Тз；

уравнение моментов относительно оси О'О определяет「4；

уравнение моментов относительно оси ВС и уравнение проекций всех сил на ось ОА определяют Ti и Г2.

На рис. 39 имеем три стержня, пересекающихся в одной "точке, и другие три стержня, лежащих в одной плоскости. Здесь можно определить каждую из неизвестных реакций по отдельности:

уравнение моментов относительно оси СО определяет 7\;

уравнение моментов относительно оси С'С〃， проведенной в

плоскости (4, 5, 6) параллельно стержню 5, определяет Т2;

уравнение проекций на ось АС определяет Тз；

уравнение уравнение уравнениеуравнение уравнение уравнениемоментов относительно оси АС определяет Т《； моментов относительно оси АД7 определяет Т5； моментов относительно оси АВГ определяет Т6.

уравнение уравнение уравнение

уравнение уравнение уравнение

Еще один случай представлен на рис. 40. Составив здесь

уравнение моментов относительно оси уравнение вовсе не будет содержать неизвестных реакций (стержни 2, 4

СО, убедимся, чтоСО, убедимся, чтопересекают ось, стержни /, 3, 5, 6 ей параллельны). Равновесие будет возможно, только если главный момент системы заданных нагрузок относительно указанной оси равен нулю. Если составить каким бы то ни было образом шесть уравнений статики для рассматриваемого случая, то определитель этих уравнений обратится в нуль, т. е. уравнения равновесия нс будут независимы друг от друга. Система стержней не обеспечивает равновесия при произвольной системе нагрузок, следует избегать.

СО, убедимся, что

СО, убедимся, что

этоэтои применения ееи применения ееИз приведенных рассуждений можно сделать вывод: при

это

это

и применения ее

и применения ее

пользовании уравнениями равновесия можно, сохраняя достаточное их число, менять содержание каждого из них, т. е. не придерживаться обязательно трех уравнений проекций и трех уравнений моментов. Можно, когда это приводит к уменьшению числа неизвестных в данном уравнении, увеличивать количество уравнений проекций либо уравнений моментов. Сюда же можно отнести замечание о том, что с той же целью надо стремиться применять наиболее удачный выбор направлений осей проектирования и осей, относительно которых определяются моменты, так чтобы в каждое из уравнений входило наименьшее число неизвестных сил.

Равновесие тела с двумя закрепленными точками

Предположим, что точки Он。' (рис. 41) закреплены; тогда тело будет иметь возможность поворачиваться вокруг оси ОО. Проекции на оси координат реакций в точках закрепления обозначим соответственно через М, №, № и М, М, М・

Задача будет статически неопределенной; одна неизвестная будет лишней, так как только пять из шести уравнений статики

будут содержать эти неизвестные: в уравнение моментов относительно оси z (ось вращения ОО') реакции, пересекающие эту ось, не войдут.

Обозначим через 尸卜 尸2,Рп заданные силы, приложенные к телу. Три уравнения проекций сил будут

М + М+2з% = 0,/ = 1

(24)(24)”2 + "； + Z 尸旧=°，g 1

(24)

(24)

В уравнения ко неизвестныеВ уравнения ко неизвестные"3+/+g尸L0.моментов относительно осей хну войдут толь- составляющие N\ и N； (составляющая N\ по оси г пересекает эти оси). Обозначая длину 00' через h, получим—hN\ + Е mx (Fj = О,"：(25)"3+/+g尸L0.моментов относительно осей хну войдут толь- составляющие N\ и N； (составляющая N\ по оси г пересекает эти оси). Обозначая длину 00' через h, получим—hN\ + Е mx (Fj = О,"：(25)g + g%O = 0・g + g%O = 0・Наконец, сительно оси имеет видНаконец, сительно оси имеет видуравнение моментов отно-之 не содержит реакций; оноуравнение моментов отно-之 не содержит реакций; оно2册闻=02册闻=0(26)(26)

В уравнения ко неизвестные

В уравнения ко неизвестные

"3+/+g尸L0.

моментов относительно осей хну войдут толь- составляющие N\ и N； (составляющая N\ по оси г пересекает эти оси). Обозначая длину 00' через h, получим

—hN\ + Е mx (Fj = О,"：(25)

"3+/+g尸L0.

моментов относительно осей хну войдут толь- составляющие N\ и N； (составляющая N\ по оси г пересекает эти оси). Обозначая длину 00' через h, получим

—hN\ + Е mx (Fj = О,"：(25)

g + g%O = 0・

g + g%O = 0・

Наконец, сительно оси имеет вид

Наконец, сительно оси имеет вид

уравнение моментов отно-之 не содержит реакций; оно

уравнение моментов отно-之 не содержит реакций; оно

2册闻=0

2册闻=0

(26)

(26)

и выражает условие, налагаемое на силы 尸 1,尸2,・‘•,尸％ обеспечивающее равновесие тела.

Из первых двух уравнений (24) и двух уравнений (25) опре^ .деляются четыре поперечные реакции ^1,結2，"；，"；•

Для определения двух продольных реакций ^з и ^з остается одно лишь уравнение — последнее уравнение (24). Из него находим сумму этих реакций; каждая же реакция по отдельности остается неопределимой, что естественно, так как прибавление или отбрасывание системы двух уравновешивающихся сил любой величины, направленных вдоль оси 00', ничего не изменит ：в условиях равновесия тела.

Статическая неопределимость устраняется, если предполо- _жить, что в одной из точек закрепления, например О', имеется подшипник; при отсутствии в нем трения 必=0, и Nz может <быть найдено из последнего уравнения (25).

§ 16. Примеры

В настоящем параграфе приводятся примеры решения задач как на плоские, так и на пространственные совокупности сил.

Пример 9. Реактивный самолет (рис. 42) веса Р под действием постоянной реактивной тяги Т летит поступательно, прямолинейно и равно

мерно под углом а к горизонтальной п< на рисунке размерами а, b и с, определ силы, равной сумме подъемных сил кры. сопротивлению самолета D (это отношен] самолета), а также раздельно L,U и D, выразив их через заданные вес Р и тягу 7,

Проектируя совокупность приложенных сил один раз на продольную, другой — на поперечную оси, получим

О = Т — Р sin a, L 4- Lz = Р cos а, (*) так что на первый вопрос сразу получается ответ:

жости. Распоряжаясь указанными ь отношение К полной подъемной L и стабилизатора I/, к полному называют суммарным «качеством»-

Рис. 42.

К

L + L7

Р cos аТ — Р sin а

Для раздельного определения L и L7 носительно центра тяжести G самолета:

составим уравнение моментов от-

(Т —Dlc + L^ —£д = 0.

Пользуясь уравнениями (*) и (**), найдем

a cos а + с sin а 卩 ,

b cos а — c sin аа + d

P.

Пример 10. Катер на подводных крыльях (рис. 43) движется поступательно, прямолинейно и равномерно, опираясь на крылья с центрами в точках Л (передние крылья) и В (задние крылья), расположенных на расстоя

нии h от горизонтали, проходящей через центр тяжести G катера. Считая, что движение происходит на режиме полного выхода катера над водой, определить подъемные силы передних крыльев (Li) и задних крыльев (£г), а также их сопротивления (Di и D2) по заданному весу катера Р и тяге винта Г. Пользуясь терминами (см. пример 9) «качество» крыла К для отношения подъемной силы крыла к его сопротивлению и «обратное качество» 卩=1/К, найти условие, которому должны быть подчинены «качества» передних и задних крыльев при равновесии катера, заданных Р и Г, а также при указанном на рисунке расположении линий действия сил.

Составим три. уравнения моментов приложенных сил относительно центров А, В и G (центр тяжести катера):

А:厶• 2а + 7 伍一九‘)一Ра = О,

В: - Ц • 2а + Г (h - ^) + Ра = 0,(*)

G:—厶 i(z + 厶 2a — T/i‘ + D\h + D2fl = 0.

ТУ) Т(*У)，ТУ) Т(*У)，(**)(**)Из первых двух уравнений прямо определяем подъемные силы крыльев：

ТУ) Т(*У)，

ТУ) Т(*У)，

(**)

(**)

а по определению коэффициента «качества»

方奈(р+T『)，5 =贵(*T中)，… 5T 卩 е+Т*言｝ 5 = ^М(Р- 7 厶")•

Третье равенство (уравнение моментов относительно G) после простых приведений и замены 厶="^—口，Л2 =专。2 примет вид

画(Р++ m (尸一 T—-丿= 27.(***)

Непосредственной проверкой правильности вышеприведенных равенств служат очевидные требования:

(****)(****)(****')(****')厶 + J = P,

(****)

(****)

(****')

(****')

выполняемое согласно (**), и

Di + D2 = Т.

вытекающее из (**，)и (***).

При данных Р н Т, а также определяющих конструкцию катера расстояниях между линиями действия сил (ем. рисунок) h, " н а соотношение (***) между «обратными качествами» передних и задних крыльев pit

Рис. 44.Рис. 44.и 卩2 должно выполняться как обязательное условие равновесия катера при его поступательном прямолинейном, и равномерном движении.

Рис. 44.

Рис. 44.

При выбранном одном и том же профиле крыльев «обратное качество» 卩 зависит от угла атаки, который изменяется при переходе от одного режима к другому.

Уравнение (***) можно удовлетворить, положив 卩1 = м =卩.Это будет непосредственно следовать из (***), (****) и (****'). В этом случае сопротивления определятся равенствами

0弓"(Р+Т 中)，吁^(*г『).

44)44)Пример И. Ракета (рис.Пример И. Ракета (рис.丄 х、4, движется в направлении, образующем

44)

44)

Пример И. Ракета (рис.

Пример И. Ракета (рис.

угол а с ее осью и угол у с горизонтальной плоскостью. Считая заданными

вес ракеты G и тягу двигателя Г и принимая движение ракеты за равновесное, определить подъемную силу L, лобовое сопротивление ее D, а также поперечную силу L7, сообщаемую ракете газовым рулем； сопротивлением газового руля D' и силами, сообщаемыми ракете воздушными рулями, пренебрегаем.

Для определения трех неизвестных сил L, D и Lf составляем три уравнения равновесия: одно при помощи проектирования всей совокупности сил на ось ракеты, другое — на направление движения центра тяжести ракеты С и третье — уравнение моментов приложенных сил относительно центра тяжести ракеты С.

Имеем систему уравнений относительно L, U и £>:

厶 sin а — D cos а = G sin (а + у) — Т,

I/ sin а — £) = G sin у — Г cos а,

厶•九一• / = 0.

Решение этой системы уравнений дает искомые величины:

£ =/ cos 丫д —/ sin ct丁

—/ — Л cos a / — h cos a '

L，=力 cosyg _力 sin a/

—/ —力 cos a / — h cos a '

° —九 sin (a + у) — / sin 丫 @ —力 l / cos a

— I — h cos a/ h cos a

Пример 12. На рис. 45 показана ременная трансмиссия. По заданным натяжениям т[ и Т? вертикальных ветвей ремня первого шкива и натяжению Г； одной из ветвей ремня второго шкива найти реакцию подшипников Д и В и натяжение Т? другой ветви второго шкива; ремни второго

Рис. 45.

шкива расположены в его плоскости, параллельны друг другу и составляют угол а с горизонтом.

Начинаем решение задачи с определения Т；・ Для этого составим уравнение моментов относительно оси %, в которое не войдут реакции подшипников Л и В, пересекающие эту ось. Получаем

一 7*1 + Г" 1 — Т,「2 + 7标2 = 0

и, следовательно,

Переходим к определению поперечных реакций подшипников: N^\ №夕| N屮）,"Р・ Подшипник не препятствует смещению вдоль оси х. Поэтому продольные реакции М"），М'）обращаются в нуль. Уравнение проекций на ось х удовлетворяется тождественно. В нашем распоряжении остаются еще четыре уравнения статики: два уравнения проекций на оси yuzu два уравнения моментов относительно этих осей. Начало координатной системы возьмем в центре левого подшипника 4. Получаем

-（% + ?2）cos а + ^^） + "罗=О,

一 （Г； + 方）一（8 + Т?） 5 а + /4）+ "罗=О,

（Г； +「7） а】+（7； + Т^ （I 一 а?） 8也覆 一 1啜=О,

—（7； + Т《）（I —出）cos а + IN§、= 0.

Решив эти уравнения, найдем

風8）== （1 —^） （% + T?） cos a,

"罗 R （1 一子）（笈 + %'）sin a +（7； +「7） ?, №"，子（g + T?） cos a,

冷」（1 一子）& + ^） + 5 + 喲子 sin a.

Пример 13. Подшипник двигателя установлен на кронштейне М （рис. 46）. Основанием кронштейна служит плита, имеющая форму равнобедренного треугольника （АС = ВС） с основанием / и углом при вершине а. Эта плита притянута к гладкой горизонтальной поверхности фундамента болтами в точках А и В и свободно опирается на нее в точке С. Болт 4 проходит через круглое отверстие в плите, тогда как для постановки болта В в плите сделан продолговатый паз, имеющий направление стороны 48, вдоль которого болт может свободно скользить. На подшипник, в его центре О, расположенном на высоте 厶 над основанием кронштейна, передается со стороны двигателя горизонтальное усилие Я и вертикальное Q. Считая, что точка О проектируется на плоскость основания в центр тяжести Oi （точка пересечения медиан） треугольника АСВ, определить опорные реакции в точках А, В, С. Весом кронштейна пренебрегаем.

Кроме заданных сил Н н Q, к кронштейну приложены реакции /V⑷，N（b> и N（c） в точках А, В, С. Первая из этих реакций не известна ни по величине, ни по направлению; заменим ее тремя составляющими "[“）, N^\ "У по осям %, у, z. Реакция в точке В по направлению перпендикулярна к пазу, и ее составляющая по оси % обращается в нуль； надо определить составляющие #£'）и ЛГ贤）по осям у н z. Наконец, реакция в точке С дает со* ставляющую № только по оси г.

Имеем шесть неизвестных: ^^, 2夕）,"夕）,2贤）,2豐）,喈）,для onpe. деления которых надо составить шесть уравнений статики.

Возьмем координатную уравнения проекции на эти уравнение проекций наВозьмем координатную уравнения проекции на эти уравнение проекций насистему хуг с началом в точке 4 и составим три оси: ось х:

Возьмем координатную уравнения проекции на эти уравнение проекций на

Возьмем координатную уравнения проекции на эти уравнение проекций на

“F)+〃=o；

уравнение проекций на ось у:

"夕)+ 飕)=0;

уравнение проекций на ось z содержит уже три неизвестные:

N^ + 唄 + № - Q = 0・

Чтобы упростить решение задачи, сительно осей 4В, АС и оси Az.Уравнение моментов относительно вестную N^ (все остальные реакции каются с ней):2"一我五=0.Чтобы упростить решение задачи, сительно осей 4В, АС и оси Az.Уравнение моментов относительно вестную N^ (все остальные реакции каются с ней):2"一我五=0.уравнения моментов составим отно-уравнения моментов составим отно-оси АВ содержит лишь одну неиз-оси АВ содержит лишь одну неиз-либолибоВ уравнение моментов относительно оси АС также войдет лишь одна неизвестная—必B)/cos -^ + -|-QA sin ^ + 7ZL cos ~ — 0.В уравнение моментов относительно оси АС также войдет лишь одна неизвестная—必B)/cos -^ + -|-QA sin ^ + 7ZL cos ~ — 0.Наконец, в уравнение моментов относительно оси АгНаконец, в уравнение моментов относительно оси Аг崂"一 ^五" =0войдет одна неизвестная "罗.崂"一 ^五" =0войдет одна неизвестная "罗.Остается заметить, что А = ~ Z ctg * Решая полученные уравнения, находим №『)= -〃，一 N^=."黑=«I 〃 ctg 暴招用=^ Q -与"，Остается заметить, что А = ~ Z ctg * Решая полученные уравнения, находим №『)= -〃，一 N^=."黑=«I 〃 ctg 暴招用=^ Q -与"，喫=県+喫=県+L7L7忆 ^==1q.忆 ^==1q.параллельны оси, либо Пересе-параллельны оси, либо Пересе-

Чтобы упростить решение задачи, сительно осей 4В, АС и оси Az.

Уравнение моментов относительно вестную N^ (все остальные реакции каются с ней):

2"一我五=0.

Чтобы упростить решение задачи, сительно осей 4В, АС и оси Az.

Уравнение моментов относительно вестную N^ (все остальные реакции каются с ней):

2"一我五=0.

уравнения моментов составим отно-

уравнения моментов составим отно-

оси АВ содержит лишь одну неиз-

оси АВ содержит лишь одну неиз-

либо

либо

В уравнение моментов относительно оси АС также войдет лишь одна неизвестная

—必B)/cos -^ + -|-QA sin ^ + 7ZL cos ~ — 0.

В уравнение моментов относительно оси АС также войдет лишь одна неизвестная

—必B)/cos -^ + -|-QA sin ^ + 7ZL cos ~ — 0.

Наконец, в уравнение моментов относительно оси Аг

Наконец, в уравнение моментов относительно оси Аг

崂"一 ^五" =0

войдет одна неизвестная "罗.

崂"一 ^五" =0

войдет одна неизвестная "罗.

Остается заметить, что А = ~ Z ctg * Решая полученные уравнения, находим №『)= -〃，一 N^=."黑=«I 〃 ctg 暴

招用=^ Q -与"，

Остается заметить, что А = ~ Z ctg * Решая полученные уравнения, находим №『)= -〃，一 N^=."黑=«I 〃 ctg 暴

招用=^ Q -与"，

喫=県+

喫=県+

L7

L7

忆 ^==1q.

忆 ^==1q.

параллельны оси, либо Пересе-

параллельны оси, либо Пересе-

Пример 14. Поплавок подвешен к несущей поверхности гидросамолета при помощи стержней, изображенных в трех проекциях на рис. 47, а. Определить усилия в стержнях, предполагая, что к поплавку приложена, как показано на рисунке, реакция воды Р.

Расположение стержней показано в перспективе на рис. 47,6. Рассмотрим группы стержней (/, 2), (3, 4), (5, 6). Вследствие симметрии располо* жения стержней и линии действия силы Р имеем

71 = T2, T3=T4, 75=T6.

Рис. 47.

Определяем ния пересечения

Т1 и Тг из уравнения моментов относительно оси /ГВ' (ли плоскостей； проведенных через стержни 5, 6 н 3, 4):

следовательно,

Здесь

—а(Т 1 + 7\) cos а + РЬ = 0;

厶

Pb2a cos а

Определяем Тз и 兀 из уравнения моментов относительно оси ОС：

Q 6 + Z) COSQ+ Р 伍 + 6)=0,73=74 = 一p卅吉".

Стержни 3 и 4 сжаты.

Наконец, определяем Т5 и Тб, проектируя все силы на ось ЛОг

Р

2 cos р *

(^5 + Тб) COS0 — Р = 0, 丁5 = 丁6 =

Глава IVПРИВЕДЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ НЕСХОДЯЩЕЙСЯСОВОКУПНОСТИ СИЛ К ДИНАМЕ

§ 17. Влияние изменения центра приведения на главный момент

В § 13 было показано, что совокупность сил 尸卜 尸2, 尸小 приложенных к твердому телу, статически эквивалентна одной силе V и одной паре с моментом т. Сила V — главный вектор

центра приведения О,т. е. векторной сумме моментов относительно точки О сил, вхоцентра приведения О,т. е. векторной сумме моментов относительно точки О сил, вхосовокупности сил — приложена в произвольно выбранной точке —центре приведе* йия, а по величине и направлению определяется как векторная сумма сил 尸1,尸2, .. • ...,Fn. Момент т пары равен главному моменту т(°)совокупности сил относительно

центра приведения О,

т. е. векторной сумме моментов относительно точки О сил, вхо

центра приведения О,

т. е. векторной сумме моментов относительно точки О сил, вхо

дящих в совокупность.

При переносе центра приведения из точки О в новый центр О* главный вектор сохраняет свою величину и направление; чтобы разобраться, как при этом будет изменяться главный момент, найдем связь между моментом силы 尸 относительно точки О и моментом этой силы относительно другой точки О*. Пусть (рис. 48) г — вектор-радиус точки М приложения силы 尸 относительно точки О, г0 — вектор-радиус точки О* также относительно О. Тогда

О*М = г* = г — г0

представит вектор-радиус точки М относительно точки О*. По определению момента силы относительно точки

mQ(F) = rXF = ^ + rQ)XF = ^XF) + (rQXF)J

ИЛИ

(F) = mo* (F) + (Го X 尸)・(I)

Векторное произведение & X 尸 можно рассматривать как момент силы 尸,перенесенной в точку О*, т. е. силы 尸* относительно точки О. Таким образом, получаем вместо (I)

mo(F) = mo^F) + mo(F\(2)

е. момент силы относительно некоторой точки равен моменту этой силы относительно другой точки, сложенному векторно с моментом относительно первой точки той же силы, перенесенной во вторую точку.

Пользуясь этим результатом, можно найти связь между главным моментом совокупности сил относительно точки О —— обозначим его через т^ — и главным моментом /п(。*)той же совокупности относительно точки О*; имеем

加。)=£ то (尸D = £ m0* (Fj) + S ^о (尸；)・

Первая сумма с правой стороны есть не что иное, как m(0*i вторая же по теореме Вариньона о моменте совокупности сил F〃 сходящейся в точке О*, представляет момент главного вектора V% приложенного в точке О*, относительно точки О, так что

ir^0} = ^} +⑶

е. главный момент совокупности сил относительно некоторой точки равен главному моменту этой совокупности относительно другой точки, сложенному векторно с моментом относительно первой точки главного вектора, перенесенного во вторую точку.

Спроектируем обе части равенства (3) на направление главного вектора. Тогда, замечая, что момент mo(V*) перпендикулярен к главному вектору (по определению момента), получим

пр.Fm(0) = пр.Fm(0*\(4)

е. проекция главного момента на направление главного вектора не зависит от выбора центра приведения.

Вместо проекции главного момента на направление главного вектора можно рассматривать скалярное произведение

п^0} - У

главного момента на главный вектор, отличающееся от предьь дущей проекции лишь множителем V, а именно:

Таким образом, скалярное произведение главного момента на главный вектор не зависит от выбора центра приведения. Чтобы отметить независимость этого произведения от выбора центра приведения, его называют первом инвариантом совокупности сил или первым статическим инвариантом. Вторым независимым статическим инвариантом совокупности сил является сама численная величина V главного вектора.

§ 18. Приведение несходящейся совокупности сил к динаме

Как выше было доказано, произвольную совокупность сил

можно заменить эквивалентной ей совокупностью двух векторов——силы V и момента /п(。), приложенных в точке О (рис. 49).

При изменении положения центра приведения О главный вектор V будет сохранять величину и направление, а главный момент /и(°) будет изменяться. Докажем, что если главный вектор отличен от нуля и не перпендикулярен к главному моменту, т. е.

V *0, V - т(0) Ф 0,

то за центр приведения может быть выбрана такая точка О*, что главный момент 什'°*)относительно этой точки и главный вектор расположатся на одной прямой.

Для доказательства разложим момент т° на две составляющие—одну 侦伊)，направленную вдоль главного вектора, и другую m(f} — перпендикулярную к главному вектору. Тем самым пара сил с моментом m раскладывается на две пары с моментами mv = m(^ и /п± = т^^ причем плоскость первой пары перпендикулярна к V, а плоскость второй пары П, перпендикулярная к вектору /п丄(рис. 49), содержит вектор V.

Совокупность пары с моментом m丄 и силы V образует плоскую совокупность сил, которая может быть сведена к одной равнодействующей силе. Действительно, выберем плечо пары равным h =mL/V\ тогда силы V*, Vх (рис. 50), составляющие пару, будут равны по величине У. Располагая пару так, чтобы одна из входящих в нее сил, Vх, была приложена в точке О и направлена противоположно У, сведем совокупность трех сил V, У' к одной равнодействующей силе V*, лилия действия

3 Л. Г. Лойцянский, А. И. Лурье

которой £// проходит через точку О*; момент m0* (Vz) силы 屮 относительно точки О* равен т^ и не зависит от выбора точки О* на линии LU.

Таким образом, совокупность главного вектора V и главного момента т(°)в точке О сведена к силе V* с линией действия LL\ проходящей через точку О*, и паре с моментом % (рис. 50), параллельным этой прямой, что и требовалось доказать.

Легко показать, что момент этой пары mv равен главному моменту /п(°*) рассматриваемой совокупности сил относительно точки О*. Для этой цели применим равенство (3), связывающее

Рис. 50.Рис. 50.главные моменты сил относительно разных центров приведения; будем иметь

Рис. 50.

Рис. 50.

加0)=后 。*)+ 他。(口)

откуда (рис. 49)

加(。)一т0 (У*) = /п(。一 п^ =

==m伊=m(°*)mF. (6)

Здесь за точку О* может быть принята любая точка на линии

Совокупность силы и пары, плоскость которой перпендикулярна к линии действия силы, называется динамой. Наглядное представление о динаме дает совокупность усилий, развиваемых при сверлении отверстия буравчиком. При этом прикладывают силу, направленную по оси буравчика, и пару, создающую поворот буравчика вокруг его оси. Рис. 51 дает изображение динамы в случае векторов V и mF одинакового направления;

здесь имеется совокупность усилий, развиваемых в буравчике С правой нарезкой; чтобы такой буравчик перемещался в осевом направлении вдоль V, наблюдатель, смотрящий вдоль V, должен вращать буравчик по часовой стрелке; рис. 52, на кото-

ром векторы V и mF имеют противоположные направления, соответствует буравчику с левой напезкой.

Итак, пространственная сове гупность сил, главный вектор которой не равен нулю и не перп, ндикулярен к главному моменту, может быть приведена к динаме. Линию действия силы, входящей в динаму, назовем центральной осью.

Входящие в определение динамы величины V главного вектора и проекции 加伊）главного момента ги（°）относительно произвольной точки О, принятой за центр приведения, на направление главного вектора не зависят от выбора этой точки, так как эти величины являются статическими инвариантами совокупности сил （§ 17）. В следующем параграфе будет доказано, что от выбора центра приведения О не зависит также и положение центральной оси в пространстве.

Центральную ось иногда еще называют осью минимальных моментов, так как при выборе центра приведения на ней мы всегда получим меньший главный момент, чем относительно всякой другой точки, не лежащей на центральной оси; в самом

Рис. 53.Рис. 53.деле, для любой точки О （рис. 53）, не лежащей на центральной оси, главный момент равен векторной сумме момента 呻％ равного моменту т（°*）относительно точки на центральной оси, и дополнительного слагаемого т^1, убывающего до нулевого значения при приближении к центральной оси.

Рис. 53.

Рис. 53.

Обратимся к рассмотрению частных случаев приведения совокупности сил к простейшему виду.

1°. Составляющая главного момента по направлению главного

вектора равна нулю （/и俨= 0）, т. е. главный момент перпендикулярен к главному вектору. В этом случае совокупность сил приводится к одной равнодействующей. Центральная ось превращается в линию действия равнодействующей. Для разыскивания линии действия равнодействующей применим ранее указанный прием: зная главный момент /п（°）, ищем такую ли* нию действия силы V*, чтобы имело место равенство

⑺⑺б0（y*）=加。）.

⑺

⑺

Для этого в плоскости, перпендикулярной к т^°\ откладываем перпендикулярно к V отрезок h = m^/V в такую сторону, чтобы поворот тела под действием силы V* был положительным.

Рассмотренный случай перпендикулярности главного момента и главного вектора будет иметь место при приведении к простейшему виду плоской совокупности сил, так как при этом главный вектор и равнодействующая пара будут лежать в одной плоскости и момент пары будет перпендикулярен к главному вектору. Следовательно, если главный вектор не равен нулю, то совокупность сил приведется к одной равнодействующей.

Другими примерами совокупности сил, приводящихся к одной равнодействующей, могут служить совокупность сходящихся сил и любая пространственная совокупность параллельных сил, направленных в одну сторону или в разные стороны, если совокупность не приводится к паре.

2°. Составляющая главного момента по направлению, перпендикулярному к главному вектору, равна нулю; это соответствует расположению центра приведения на центральной оси совокупности сил.

3°. Главный момент равен нулю, главный вектор не равен нулю ——центр приведения находится на линии действия равнодействующей совокупности сил; при центре приведения, не лежащем на этой линии, главный момент будет отличен от нуля, но перпендикулярен к главному вектору.

Обратимся еще раз к формуле (7): V* есть равнодействующая, к которой, по предположению, приводится рассматриваемая совокупность сил, а /п(°)——главный момент системы сил относительно произвольной точки О; поэтому, если совокупность сил приводится к одной равнодействующей, то момент этой равнодействующей относительно произвольной точки равен геометрической сумме моментов слагаемых сил относительно этой точки. Такова самая общая форма теоремы Вариньона для совокупности сил, приводящейся к одной равнодействующей.

Аналитические выражения элементов динамы

Покажем, как элементы динамы могут быть разысканы по заданным аналитически силам и координатам точек их приложения, т. е. по величинам

尸/%，尸/外尸fz； %订 Ut，N[ (/=== 1,2, •••,").

Главный вектор по величине и направлению определяется по неоднократно упоминавшимся формулам

п п п

Fix, V严工Fig,匕=Х尸奴・ ⑻

Аналитическое выражение главного вектора V (второй статический инвариант) будет

展"(如(圻(*J.⑼

Главный момент относительно начала координат О определяется формулами

加(9=2(%尸以一4%)，

加/=2(乙/九一七九)，a0)

^=Д(Х^~^х).

Зная их, можно найти первый статический инвариант — проекцию главного момента на направление главного вектора:

(Н)(12)(Н)(12)ВыражениеВыражение嗯嗫+%0%+喳吃嗯嗫+%0%+喳吃唸+吗+艺唸+吗+艺加0)• V=4■(тУ.乙+Ч0)-九+加歹.%)•

(Н)

(12)

(Н)

(12)

Выражение

Выражение

嗯嗫+%0%+喳吃

嗯嗫+%0%+喳吃

唸+吗+艺

唸+吗+艺

часто называют параметром динамы. Знание главного вектора и параметра динамы дает, как это видно из (12), возможность определить силу и пару динамы. Остается найти уравнение центральной оси в пространстве.

Для вывода уравнения центральной оси достаточно заметить, что центральная ось представляет собой геометрическое место точек О*, для которых главный момент/и(°*) параллелен главному вектору V, и написать условие параллельности этих векторов:

Вспомним, что по (3) ^^°^т0(уУ(14)

где mo(V*)——момент относительно точки О силы У* = У, действующей вдоль центральной оси, и применим формулы tn0x^) = yV2 — zVyt mOy(y*) = zVx — xV29 mOz^)^xVy-yVx.

где л, у, z — координаты текущей точки О* на центральной оси, когда за начало координат принят центр приведения О~ Тогда по (13) получим уравнения центральной оси

m^}-yV2 + zVy т^} -zVx + xVz 砂)一 ％V 十"％

Г； -(15)

Пользуясь этими уравнениями, легко доказать, что положение центральной оси в пространстве не зависит от выбора центра приведения сил. Действительно, примем за центр приведения вместо начала координат О точку % с координатами а, Ь, с; уравнения центральной оси по (15) будут

т段一匂一 Ь)乙+g 一 e) vy加份)一(z - e)乙+ (% 一0)匕

~==

①夕)(%0)%+ 匂 一b)乙

Но по (3) имеем 出用=加。)十忆(y)，

где V’一главный вектор, перенесенный в точку О, координаты которой по отношению к точке А равны ——а, ——6, ——с. Проектируя последнее равенство на оси, получим

加《)-7n师 一方吃十0九， 例夕)=团俨一 cVx + a%， 呢4)= m{o)— aVy + bVx.

Подставляя эти выражения в (16), после простых сокращений получим уравнения (15), что и доказывает независимость положения центральной оси от выбора центра приведения.

Удовольствуемся этими краткими сведениями об аналитических свойствах динамы. Пример аналитического определения динамы и уравнения центральной оси будет дан в следующем параграфе для частного случая двух сил с непересекающимися и непараллельными линиями действия ——«скрещивающихся» сил.

Приведение пространственной несходящейся совокупности сил к двум непересекающимся силам

Покажем сначала, как пространственная несходящаяся совокупность сил может быть приведена к эквивалентной совокупности трех сил.

Обозначим через О» (рис. 54) точку приложения какой-нибудь i-й силы Fi (любую точку на линии ее действия) и зафпк-

сируем одинаковые для всех сил Ft три, не лежащие на одной прямой, точки А, В и С. Разложим силу Ft по направлениям лучей О[Af OiB и ОС Соответствующие составляющие сил, приложенные в точках Д, В и С, обозначим через Гм, FiB, Fi& Повторяя аналогичное разложение для всех сил Fi (i = l, 2,... ...,п), придем к совокупности трех, вообще говоря, несходя- щихся сил:

尸尸之几4, /=£%, Pc-t Pia- (17) f = 1土 = 1

Докажем теперь, что любая пространственная несходящаяся совокупность сил может быть приведена к эквивалентной ей со

вокупности двух сил с непересекающимися и непараллельными линиями действия.

Восстановим с этой целью на рис. 55 только что найденные силы Fa, Fb, Fc в точках Д, В, С. Проведем через точку 4 две плоскости: одну, содержащую линию действия силы 尸母 а другую—линию действия силы F& На линии пересечения этих плоскостей d—d выберем произвольную точку D и соединим ее с точками В и С. Разложим силы Fb и 尸с соответственно по направлениям АВ, BD и 4С, CD. Согласно основному свойству абсолютно твердого тела, составляющие 尸；и F： можно перенести вдоль линий их действия в точку Д, а Р^ и F^ — в точку D. Тогда заданная несходящаяся совокупность сил 尸厶,尸乩 Fc сведется к двум сходящимся:尸％,尸；，尸;в точке 4 и 尸* £% в точке D. Равнодействующие каждой из этих двух совокупностей сил соответственно будут равны R& =尸▲ +尸в+尸。и 仆=尸彳 + 尸3・ Таким образом, пространственная несходящаяся совокупность сил Г/ (i = l, 2, ..., п) свелась к эквивалентной ей совокупности двух сил Ra и Rd, линии действия которых не пересекаются и не параллельны. Изложенный метод содержит довольно сложные геометрические построения и поэтому не по-

лучил практического применения. В частности, условие равновесия заданной пространственной несходящейся системы сил заключается, согласно только что изложенному методу, в совпадении линий действия сил RA и Rd, равенстве их по величине и противоположности по направлению. Этим требованиям удовлетворить при решении конкретных задач на вывод условий равновесия тела было бы крайне затруднительно; такая методика не разрабатывалась. Однако легко убедиться, что, поскольку все проведенные операции сложения и разложения сил приводили к эквивалентным совокупностям сил, главный вектор сил На и Rd равен главному вектору V сил F/ (i = 1, 2,п),

а главный момент этих сил относительно произвольного центра О будет равен главному моменту /и(°)совокупности сил 尸/ относительно центра О. В этом можно убедиться и непосредственно, сопровождая все этапы приведенного доказательства формулами сложения и разложения сил и моментов.

Пользуясь теорией, изложенной в § 19, определим элементы динамы и уравнения центральной оси несходящейся совокупности сил Ra и Rd・

Обозначим через А кратчайшее расстояние между линиями действия сил Ra и Rd. Ось 之 направим по общему перпендикуляру к этим линиям и за начало координат примем точку пересечения линии действия силы Ra с этим перпендикуляром; ось х направим по этой линии действия. Перенося силы вдоль линии действия, примем, что их точки приложения лежат на оси z.

Проекции сил на оси координат и координаты точек приложения будут ДЛЯ СИЛЫ R/： Rax = Ra. RAy =0, Raz = 0; x = 0, ^ = 0, г = 0; для силы Rd： Rdx — /?ocos a, Rg = Rd sin а,. Rdz = 0； % = 0, y = 0, z =瓦 причем а обозначает угол, обра* зованный направлением силы Rd с осью х.

Имеем

R% = R{ + R/jCosa, Ry —Rd sin a,凡=0,加y)=一力仆 sin a,加『)=九/?。cos a,加?)= 0.

По (15) уравнения центральной оси будут

—hRD sin a + 次口 sin a hRD cos a — г (R^ + RD cos a) Ra + Rd cos a —% sin a—

xRd sin a 4- I/ (R/ + Rd cos a)

откуда следует, что центральная ось лежит в плоскости, параллельной хОу и находящейся от нее на расстоянии

&胃 + 旌)+ 2R&RjD cos a

В этой плоскости центральная ось совпадает с прямой, пересекающей ось z и имеющей уравнение

Rd sin аУ — ' Ra + R。cos а，

Результат упрощается, если величины сил равны между собой:

Ra = Rd・

В этом случае будем иметь h. а

т. е. центральная ось делит отрезок ft пополам и образует одинаковые углы с направленийми сил.

Из рассмотренного следует, что совокупность двух несходя- щихся, т. е. непересекающихся （九耍 0） и непараллельных （＜х 喚6 и а 喚 л）, сил приводится к динаме с силой, равной по величине

R = “R； + 您 + 2RaRd cos а,

и с парой, проекция момента которой на направление главного вектора будет

%=% （m?R* +т%勺+吧展z）=-竺嚓 吗 .

Таким образом, тело, находящееся под действием двух не- сходящихся сил, не может ни находиться в равновесии, ни быть уравновешенным одной силой. Поэтому, если тело находится в равновесии под действием трех сил, то никакая комбинация двух из них не может быть несходящейся, т. е. все три силы должны лежать в одной плоскости （см. § 6）.

Глава V

РАВНОВЕСИЕ ПРИ НАЛИЧИИ СИЛ ТРЕНИЯ

Трение скольжения и трение верчения

Трение друг о друга двух соприкасающихся твердых тел: представляет собой сложное физическое явление, сопровождаемое нагревом трущихся тел, их электризацией, разрушением поверхностей, диффузией вещества и т. д. Явление трения можно себе представить как вдавливание, сопровождающееся сцеплением, бугорков шероховатости (иногда волнистости) поверхности одного из тел в промежутки между бугорками другого, вызывающее при взаимном движении тел деформацию, а иногда и разрушение этих бугорков. Интенсивность такого рода взаимодействия трущихся поверхностей зависит от многих обстоятельств, среди которых наибольшее значение имеют интенсивность сдавливания тел, характеризуемая нормальной составляющей реакции взаимодействия между телами, скорость их относительного перемещения, степень обработки поверхностей, наличие смазки.

Различают три основные формы взаимодействия между трущимися поверхностями тел: 1) трение скольжения, соответствующее поступательному (без вращения) движению тел друг по другу, как, например, ползуна кривошипного механизма по направляющей, 2) близкое по природе трению скольжения трение верчения (подпятник) и 3) трение качения, например, колеса по рельсу.

Трение скольжения впервые экспериментально изучалось в конце XVII в. французским физиком Амонтоном (1663—1705)* который обнаружил независимость силы трения от величины поверхности соприкосновения тел. Законы трения были сформулированы почти сто лет спустя Кулоном (1736——1806).

К телу веса G, лежащему на горизонтальном столе (рис. 56), будем прикладывать горизонтальное усилие S. Если S = 0, то тело будет в равновесии (в данном случае в покое по отношению к столу); если силу S начнем увеличивать, то тело все же будет оставаться в покое; следовательно, горизонтальная со* ставляющая реакции стола, называемая силой трения F, урав-

новещивает приложенную силу S и возрастает вместе е нею до тех пор, пока равновесие не нарушится. Это произойдет в тот момент, когда сила трения достигнет своего максимального значения. Опыты показали, что максимальное значение силы трения пропорционально нормальному давлению ^ тела на плоскость (в рассматриваемом случае, конечно, ^ = G):

尸max 7M (1)

причем коэффициент пропорциональности 力 называемый коэффициентом трения скольжения, определяется экспериментально и оказывается зависящим только от ма-川八

териала и состояния (шероховатости) поверхностей трущихся тел. Коэффици- £g

ент трения скольжения, как отношение двух сил, представляет безразмер

ную величину; значения его для различ-G"

ных материалов помещаются в справоч- рис ^

никах.' *

Наряду с коэффициентом трения f введем в рассмотрение угол трения 屮，определяя его соотношением

tg$ = f・(2)

Происхождение этого равенства и наименование «угол трения» будут объяснены ниже.

Когда F достигнет значения 尸max, наступит критический (пусковой) момент равновесия: если S останется равным 尸max, то равновесие не нарушится, но достаточно самого ничтожного приращения усилия S, чтобы тело сдвинулось с места. Можно заметить, что, как только тело сдвинется с места, сила трения сразу несколько уменьшится； опыты показали, что трение при взаимном движении тел несколько меньше трения пр〃 взаимном покое их.

Важно отметить, что до наступления критического момента, т. е. пока тело находится в покое, сила трения равна приложенному усилию:

尸=S,

и можно лишь утверждать, что

F&tN. (3)

Знак равенства относится к критическому моменту равновесия. В дальнейшем, если знак неравенства опускается, то это означает, что рассматривается равновесие в критический момент.

Направление силы трения при покое противоположно направлению силы S и меняется с изменением направления этой силы.

Наоборот, при движении тела сила трения имеет определенное направление, противоположное скорости тела, и величину,, зависящую от нормального давления N между телами и про порциональную этому давлению:

尸 ТМ(4)

причем, как указывалось,『V /. Коэффициент трения fz зависит от скорости тела, уменьшаясь для большинства мате* риалов при увеличении скорости *). Примером могут служить экспериментальные данные по трению скольжения двух чугун* ных поверхностей, показанные на рис. 57. Коэффициент трения 广 при нормальных давлениях М имеющих порядок 20 кН, и относительных скоростях скольжения по- верхностей, не превышающих 22 м/с, имеет порядок fz = 0,1. С возрастанием скорости скольжения коэффициент трения убывает (f = 0,075 при U = $9 м/с). С возрастанием нормального давления сила трения скольжения 尸 перестает определяться линейной завн- симостью (4) от нормального давления М

Соотношение (4) достаточно хорошо отвечает наблюдениям при трении сухих или слабо смазанных тел; теория трения при наличии слоя смазки, созданная Н. И Петровым и О. Рейнольдсом, представляет собой специальный раздел гидродинамики вязкой жидкости.

Угол трения, конус трения. Рассматривая трение покоя, предположим, что к телу, покоящемуся на горизонтальной шероховатой плоскости, приложена сила Q, составляющая угол а с нормалью к плоскости (рис. 58).

Сила Q может быть разложена на две силы: силу Р, прижимающую тело к поверхности, уравновешиваемую нормальной реакцией N поверхности:

^ = p = Q cos а, и силу S, стремящуюся сдвинуть тело с места и равную

S = Q sin а.

Шероховатость соприкасающихся поверхностей вызывает трение между ними, и вследствие этого на тело в направлении,

противоположном направлению силы S, действует сила тренияs =尸&尸max = fN = fQcosa・

Для того чтобы тело под действием приложенного усилия могло быть сдвинуто с места, необходимо, чтобы S было по ве、 личине больше или равно Fmax, т. е. чтобы

Q sina》/Q cos а, или

f = tg 屮 &tga, откуда

a^(p.

Следовательно, в зависимости от материала и характера поверхности трущихся тел можно по заданному коэффициенту

Рис. 59.Рис. 59.

Рис. 59.

Рис. 59.

трения f определить такой угол 屮，что если приложенная к телу сила будет наклонена к нормали на угол, меньший угла ф, то, как бы ни была велика эта сила, тело останется в равновесии. Это и объясняет наименование угла <р углом трения. Заштрихованная на рис. 59 зона представляет собой область, обладающую замечательным ‘свойством; как бы ни была велика по интенсивности сила, линия действия которой расположена внутри этой области, эта сила не приведет в движение тело, опирающееся на плоскость.

Если мы рассматриваем тело, имеющее возможность передвигаться в любом направлении вдоль плоскости, то область трения будет ограничена поверхностью конуса с углом, раствора, равным 2(р (так называемым конусом трения )). Наличием области трения объясняется, явление заклинивания, или, как го

ворят, «заедания», частей машин, когда никакой приложенной внутри конуса силой не удается сдвинуть с места соответствующую часть машины. Приложенная сила увеличивает нормальную реакцию, последняя в свою очередь вызывает возрастание силы трения, и приложенная сила оказывается недостаточной для преодоления сопротивления трения.

Трение верчения. В отличие от абсолютно твердых тел, которые могут соприкасаться в одной точке, соприкосновение прижатых друг к другу реальных тел происходит всегда по некоторой площадке. Приведению одного из тел во вращение по другому препятствуют силы трения скольжения, распределенные по площадке соприкосновения и определяющие в своей совокупности так называемое трение верчения.

Совокупность этих сил может быть приведена к паре, которая уравновешивается парой, приложенной к телу и стремящейся повернуть его вокруг оси, перпендикулярной к площадке соприкосновения.

Определение предельной величины момента пары трения верчения представляет собой сложную задачу, так как этот момент зависит от распределения давлений по площадке соприкосновения, а последние в свою очередь—от формы поверхностей и упругих свойств прижатых друг к другу тел. Предельную величину момента трения верчения М принимают пропорциональной прижимающей силе N и определяют формулой

М = |1М

здесь р.——коэффициент трения верчения, имеющий размерность длины. Этот коэффициент в свою очередь зависит от коэффициента трения скольжения f. Так, например, при соприкосновении плоского основания круглого цилиндра радиуса а с плоской поверхностью коэффициент трения верчения р, может быть определен теоретически и оказывается равным

卩=千 fa 比 0,79/a,

В более сложном случае соприкосновения тела, ограниченного поверхностью вращения, с телом, ограниченным плоской поверхностью, имеем

卩u察加比0,59fa,

где a ——радиус образующейся при соприкосновении тел круговой площадки, в свою очередь зависящий от силы, которая прижимает тела друг к другу, от радиуса кривизны поверхности вращения в точке соприкосновения ее с плоской поверхностью и от упругих постоянных ).

Трение качения

Представим себе каток веса Q и радиуса а, покоящийся на горизонтальной плоскости (рис. 60). Опыт показывает, что, если приложить к оси катка горизонтальную силу S, каток будет оставаться в покое, пока величина этой силы не достигнет некоторого значения. Чтобы объяснить этот факт, составим уравнения статики для плоской системы сил, действующих на ка

ток; этими силами являются вес Q, усилие S, нормальная реакция N и сила трения F.

Проектируя все силы на горизонтальное и вертикальное направления, получим

q = N, S = Fq = N, S = FОстается составить уравнение моментов; за центр моментов примем точку О соприкосновения контура колеса с плоскостью; имеем

q = N, S = F

q = N, S = F

т0 «?) = 0, 〃0仍)=0, m0(S)- — aS,т0 «?) = 0, 〃0仍)=0, m0(S)- — aS,и уравнение моментов дает соотношение /м。— aS.

т0 «?) = 0, 〃0仍)=0, m0(S)- — aS,

т0 «?) = 0, 〃0仍)=0, m0(S)- — aS,

Мы приходим, таким образом, к необходимости принять, что нормальная реакция N приложена не в точке О, а несколько сдвинута от нее в сторону действия силы S. Физически этот сдвиг можно объяснить наличием деформаций катка и опорной плоскости в об-Q

ласти точки О; фактически соприкоснове-

кие происходит по некоторой площадке, ( размеры которой зависят от величины/\

нормального давления, свойств материа- д、㈠山 лов и состояния поверхностей катка иуу

опорной плоскости.\/

Можно считать, что к катку прило- 尸 ° же% пара, момент которой m равен 吻凉^ то ). Момент т называется моментом трения качения. Его предельнаяРис- 60-

скость:скость:Emax === hN、Emax === hN、(5)(5)величина /Птах, как показывают опыты, пропорциональна нормальному давлению катка на пло

скость:

скость:

Emax === hN、

Emax === hN、

(5)

(5)

S = F<fN,S = F<fN,

S = F<fN,

S = F<fN,

причем имеющий размерность длины коэффициент трения качения k определяется опытным путем. Очевидно, что 々 можно рассматривать как отрезок, на который сдвинута сила ^ в направлении силы S в критический момент равновесия. Пока каток находится в покое, имеем

m = aS < mmax, т. е. SV^M С другой стороны,

где f ——коэффициент трения скольжения. Обычно 月/a значительно меньше, чем f; это значит, что нарушение покоя, которое произойдет при постепенном увеличении силы S, будет заключаться в том, что каток начнет катиться по опорной плоскости, не скользя по ней. Возникающие здесь вопросы, однако» не могут быть рассмотрены без применения средств динамики.

§ 23・ Некоторые случаи равновесия телпри наличии трения

1°. Ползун. Предположим, что рассматриваемое тело (ползун) имеет вертикальную плоскость симметрии; пусть сечение тела этой плоскостью представляет собой прямоугольник со сторонами 2a и 2h (рис. 61). К ползуну приложены вертикальная нагрузка Q и горизонтальная сила Р, линии действия которых будем считать пересекающимися в центре С прямоугольника. Реакция плоскости основания на ползун приводится к нормальной реакции N и силе трения 尸，причем линия действия N неизвестна; ее расстояние от точки С обозначим через х. Оче-

уравнения совокупно- на горизон- относитоль-уравнения совокупно- на горизон- относитоль-видно, % & а.

уравнения совокупно- на горизон- относитоль-

уравнения совокупно- на горизон- относитоль-

Nx 一尸九=0,Nx 一尸九=0,N — Q = 0, Р — F = 0,N — Q = 0, Р — F = 0,Составляем три равновесия плоской сти сил Q, Р, Nt F в виде двух уравнений проекций тальную и вертикальную оси и уравнения моментов но точки С:

Nx 一尸九=0,

Nx 一尸九=0,

N — Q = 0, Р — F = 0,

N — Q = 0, Р — F = 0,

Fh"УFh"УPhPhили

Fh"У

Fh"У

Ph

Ph

N = Q, F = Р, х = Согласно закону трения имеем

尸 VfM т. е. P&fQ,

и, как указано выше, Ph -п — а с

%т. е. yQ.

Будем пооепенно увеличивать Р. Если f V а/瓦 то равновесие будет иметь место до тех пор, пока сила трения не достигнет своей предельной величины, после чего начнется скольжение ползуна； если же f > a/h, то, как только Р станет больше, чем aQ/h, тело, раньше чем начнется скольжение, опрокинется вокруг ребра А.

2°. Наклонная плоскость. Рассмотрим ту же задачу, что и в предыдущем примере, но в предположении, что ползун положен на плоскость, наклоненную к горизонту под углом а (рис. 62). Усилие, стремящееся сдвинуть тело вдоль наклонной плоскости, равно по величине |Р — Q sin а| и направлено:

а) вверх, если Р — Q sin а > 0, б) вниз, если Р — —Q sin а < 0.

В случае а) сила трения 尸 при покое направлена противоположно Р. Уравнения равновесия дают (рис. 62, а)

Р —Qsina —尸=0, Qcosa — ^ = 0, Nx — Fh — 0.

Как и выше, находим, что при равновесии

P《Q(sina + f cos a), P &Q (sin a + ^ cosa) •

Если постепенно увеличивать силу Р от значения Q sin а, то при f V a/h равновесие будет иметь место до тех пор, пока Р не достигнет значения, даваемого первым из этих неравенств;

Рис. 62.Рис. 62.

Рис. 62.

Рис. 62.

когда это значение будет превзойдено, тело начнет скользить вверх по плоскости. Если же f > a/h и Р достигнет и превзойдет значение, даваемое вторым неравенством, то до наступле* ния скольжения тело начнет опрокидываться вокруг правого ребра В.

В случае б) сила трения будет иметь направление силы Р. Как и выше, получим (рис. 62, б)

Р》Q (sin a — f cos a), P > Q ( sin a — £ cos a) •

Если f V a/h, то при постепенном уменьшении P от значения Q sin a равновесие будет иметь место, пока будет удовлет* ворено первое неравенство (в противном случае тело станет скользить вниз по наклонной плоскости). Наконец, при f > a/h равновесие имеет место, если соблюдено второе неравенство (в противном случае произойдет опрокидывание вокруг левого ребра А).,

В итоге можно сказать, что при равновесии сила Р должна удовлетворять (при f V a/力)неравенствам

Q(sina —f cosa)MP《Q(sin a +f cos a).

Если ввести в рассмотрение угол трения <р, то эти соотно* шения можно записать еще в виде

sin (a — ф)cos фsin (a — ф)cos фsin (a + ф)cos屮sin (a + ф)cos屮

sin (a — ф)cos ф

sin (a — ф)cos ф

sin (a + ф)cos屮

sin (a + ф)cos屮

Заметим, что при а V 屮 тело будет оставаться в равновесии при любом значении Q и при отсутствии силы Р (самоторможение на наклонной плоскости).

3°. Вкладыш и цапфа. Предположим, что вкладыш подшипника неплотно облегает цапфу, т. е. радиус последней г

несколько меньше радиуса вкладыша (рис. 63). Пусть цапфа нагружена силой Q и некоторой парой, момент которой т. Вследствие наличия этой пары точка Л соприкосновения цапфы и вкладыша сместится при равновесии немного над нижней точкой вкладыша: цапфа «взбегает» по вкладышу.

Будем пренебрегать трением качения и влиянием смазки на трение скольжения. Реакция вкладыша на цапфу при равновесии должна сво-

Рнс・ 63.диться к силе R, равной по величине

Q и направленной противоположно Q (так как главный вектор всех сил, действующих на цапфу, должен равняться нулю). Но этого недостаточно; нужно еще, чтобы пара сил (Q, R) уравновешивалась приложенной па

Рис. 64.Рис. 64.рой т. Если через 2 обозначить угол, на который отклонена реакция R от общей нормали в точке Л к поверхностям вкладыша и цапфы, то получим

Рис. 64.

Рис. 64.

R — Q = 0, Rr sin -ф —优=О,

т. е. m = Qr sin -ф;

имея в виду, что 2 & 屮，где ср — угол трения, находим m^.Qr sin 屮.

Если это неравенство не соблюдено, то цапфа будет вращаться, скользя по вкладышу.

Построим круг радиуса rx = r sin ф с центром в центре цапфы (так как радиусы вкладыша и цапфы очень мало отличаются друг от друга, то за центр этого круга можно принять без большой ошибки и центр вкладыша). Это ——так называемый круг трения. При равновесии линия действия реакции R должна пересекать круг трения или касаться его.

4°. Трение каната о шкив. Предварительно рассмотрим такую задачу: определить усилие Р (рис. 64), необходимое для перетягивания через ребро В призмы АВС веревки, к другому концу которой приложено некото-

рое заданное сопротивление Q. Коэффициент трения веревки о ребро призмы равен f; внешний угол призмы равен а; трением веревки о грани АВ и ВС пренебрегаем, считая реакцию поверхности сосредоточенной в точке В. Ветви веревки растянуты силами Р н Q; точка 8 веревки находится в равновесии под действием указанных сил Р, Q и реакции ребра R. Реакция R в свою очередь может быть разложена на давление ^ ребра призмы на веревку и силу трения 尸,направленную перпендикулярно к силе ^. Если бы мы знали направление реакции N, то задачу легко было бы решить. Но в угле В нет определенной нормали к поверхности призмы, точно так же неизвестна

форма соприкасающейся с ребром веревки. Здесь мы встречаемся с задачей неопределенной; по одной заданной силе Q и направлению второй силы Р треугольник сил Р, Q, R построить нельзя. Чтобы сделать задачу определен- ной, необходимо принять какие-то дополнительные гипотезы о направлении силы N. Так, например, если принять во внимание жесткость веревки, т, е. ее сопротивление изгибу при переходе через ребро призмы, то можно себе представить, что веревка при перетягивании ее в направлении стрелки силой Р примет форму, указанную на рис. 65, и считать, что реакция N направлена перпендикулярно к грани 力8. Составляя силовой многоугольник Р, Q, Nt F, получаем

Р —尸=Q cos а, У == Q cos а.

Ограничиваясь рассмотрением критического момента равновесия, полагаем F = fN. Тогда получим

Р = Q (cos а + f sin а).

При малых а (sin а а а, cos а。1) будем приближенно иметь

P = Q(l+fa).

Применяя эту формулу к случаю многоугольной призмы с малыми внешними углами а (рис. 66), будем иметь

Q〃-i = Q〃(1 + fa) = Q (1 + fa),

q〃_2 = Q〃t (1 + fa) = Q (1 + 欣产，

Qi = Q2(l + fa) = Q(l+fa)%「

Qo =尸=Qi (1 + fa) = Q (1 + fa)% где n — число ребер, на которых происходит изгиб веревки.

Обозначая через В полный угол отклонения веревки, равный

6 = па, окончательно получим

P = Q(l + f |)П-

Эта формула позволяет решить следующую задачу: веревка навита на неподвижный горизонтальный цилиндр, и к нижнему концу ее прикреплен груз Р (рис. 67); какое усилие Q надо приложить к другому ее концу, чтобы удержать груз от падения, если угол охвата равен В, а коэффициент трения веревки о цилиндр

/ Аравен *

//"7\Эта классическая задача была решена вперl_4Jвые Эйлером.

〈Переходя к пределу в предшествующей фор-

、/муле, находим'

~P=Q lim 八 + f 旦丫 =q/B, Л->оо \ n /

Г71или

fQuPe-用，⑹

где e обозначает основание натуральных логариф- Рис. 67.мов.

Из формулы (6) следует, что уравновешивающая сила не зависит от радиуса цилиндра, а зависит лишь от коэффициента трения веревки о цилиндр и от угла охвата цилиндра веревкой. Сила Q убывает с ростом угла охвата по показательному закону; так, например, при §=2冗十手 и f = 0,2 будем иметь Q = 0,21Р.

§ 24. Примеры

Пример 15. Каковы должны быть размеры механизма, показанного на рис. 68, для того, чтобы при коэффициенте трения f = 0,6 между стенкой и ползунами Д и В механизм был самотормозящимся?

Ставим условие, чтобы линия действия силы давления стержня на ползун лежала в области трения, т. е. чтобы выполнялось неравенство

tga=-^ д//2 — ｝厶2 < о,6;

тогда, замечая, что АС > 40, после простых вычислений получим

0,5 V ^ V 0,535.

Эти неравенства определяют конструкцию.

Пример 16, Определить наименьшее расстояние х (рис. 69) центра груза от оси СС платформы Е, при котором груз с платформой (весом платформы пренебрегаем) будет в равновесии, если коэффициент трения подвижного стержня СС о направляющие стойки 4 H 8 равен f.

При равновесии линия действия силы Р должна проходить через точку пересечения линий v действия опорных реакций 世从 и Кв. Так как последние

в критический момент направлены под известными углами трения <р к горизонтали, то точку пересечения D этих реакций легко найти. Из геометриче- ских соображений получим

修пе =亍加屮+至=万+万・

Ясно, что чем меньше коэффициент трения, тем большее расстояние груза от оси стойки придется взять, чтобы сохранить равновесие. При х > %min» т. е. при

платформа будет самотормозящейся, так как при любой величине нагрузки Р платформа сохранит равновесие. На свойствах самоторможения такого рода конструкций основан ряд строительных приспособлений и других механизмов.

Рис. 69.Рис. 69.

Рис. 69.

Рис. 69.

Пример 17. Определить, в каких пределах может изменяться при равновесии клинового пресса (рис. 70) сила Р при заданной нагрузке на пресс Q. Даны коэффициенты трения f, fi и f2 (или соответствующие углы трения ф, ф1, фг) и угол клина а.

На тело (2) действуют: сила Q, реакция 火2 опоры 8 и реакция R тела (/). Каждая из этих реакций отклонена от нормали на некоторый угол, не превосходящий угла трения между соответствующими поверхностями (р & <р, Р2 W 屮2). Поскольку тело (2) находится в равновесии под действием плоской совокупности трех сил, то линии действия этих сил должны Пересе- каться в одной точке, что и показано на рисунке. На тело (/) действуют: перемещающая клин сила Р, реакция Ri опоры А и реакция R* тела (2)* также пересекающиеся в одной точке; конечно, R* =——R и pi《屮】.

Направлениям сил на рисунке соответствует случай, когда некоторое увеличение силы Р сопровождается перемещением тела (2) вверх, а тела (/)—вправо. Составим силовые треугольники для первого и второго тела; из них получим

R =(万+ Р2)р = sin (а + р + р】).

Q »п — 3+Р + р2)] A sin ^―р】)

имея в виду, что R = R*, находим теперь

sin (а + р + pi) cos р2cos (а + р + р2) cos р>

Конечно, углы р, pi, р? неизвестны. Из построения силовых треугольников можно, однако, заключить, что увеличение этих углов при фиксированных Q и а сопровождается увеличением Р ). Поэтому

' (a + ф 4- Ф2)cos q)i * < '

Рассмотрев аналогичным образом случай, когда некоторое уменьшение силы Р может сопровождаться перемещением тела (2) вниз, а тела (/)— влево, получим

р > sin (а — 屮一吶)cos ф2

1 у cos (а —- ф — ф2) cos ф( •

Этот случай отличается от предыдущего тем, что в критический момент равновесия реакции R, Ri, R2 отклонены от нормалей в стороны, противо*

положные принятым на рис. 70. Поэтому можно просто в правой части неравенства (♦) изменить знаки углов q>, qn, $2, изменив одновременно знак 吨 на знак

Итак, при равновесии клинового пресса имеем

0 sin(a —屮一(pi)cos q)2 v р v q sin (a + 屮 + qh) cos 屮 2 ” cos (a —屮一ф2) cos qu ' ' cos (a + 屮 + s) cos qpi

Пресс будет самотормозящимся (т. е. будет оставаться в равновесии при исчезновении давления на клин Р и при любом Q), если a < Ф + ф<.

Пример 18. Учитывая трение в шарнире, определить, в каких пределак может при равновесии углового прямоугольного рычага изменяться сила 匕 уравновешивающая заданную нагрузку Q. Радиус шипа г, угол трения q>* длины сторон рычага соответственно равны а и & (рис. 71).

[Гоакнмя шарнира R, очевидно, равна по величине равнодействующей 、/〃2 + Q” сил Р я Q. Построим круг трения, т. е. круг радиуса г^^ г sin ф с центром в центре шипа С (на рисунке показан пунктиром). Линия действия реакции К при равновесии рычага проходит через точку 4 пересечения линий действия сил Р н Q внутри круга трения (или в крайнем случае касается

этого круга). Иными словами, линия действия R проходит внутри (или по сторонам) угла между касательными, пройеденными из Л к кругу трения.

Поэтому уравнение моментов относительно точки С имеет один из двух видов: или

Pa = Qb-彳 “a + Q

или

Pa = Qb + rf “P2 + Q2,

причем Г| < rb г" < rP Можно убедиться, что значение Р, определяемое первым из этих равенств, убывает, когда 门 возрастает *); наоборот, Р* /7 —

определяемое вторым равенством, возрастает вместе с г^, Поэтому

Qb -门“产二"^Pa^Qb + ry 7P2 + Q2.(*>

Решение этих неравенств относительно Р приводит к сложным выражениям. Поэтому мы воспользуемся приближенным представлением ради-

кала, предложенным Понселе ); пусть % > у > 0; тогда с относительной погрешностью, не превосходящей 士4%, можно принять

V^2 + У2 = «^ + ^yt а = 0,960, 0 = 0,398,

что соответствует замене дуги окружности в пределах (0, л/4) секущей прямой с коэффициентами, определенными из условия наименьшего отклонения этой секущей (в смысле Чебышева) от дуги окружности [см. сноску на этой странице].

Пусть а > Ь, тогда Р < Q (если тренне невелико). Из неравенств (♦) получаем

Pa>Qbii(aQ + 0P), т. & P》Q

Pa^Qb + rt(aQ + 0P), т・ e. P & Q 之・

Если Р меньше, чем величина в правой части первого неравенства, то груз Q станет опускаться; если же Р превзойдет величину правой части второго неравенства, то нарушение равновесия будет >сопровождаться подъемом груза Q.

Рис. 72.Рис. 72.

Рис. 72.

Рис. 72.

§ 25. Центр параллельных сил

Предположим, что к твердому телу приложена совокупность параллельных сил 尸卜 尸2, •••, Fn (рис. 72), приводящаяся к одной равнодействующей. Будем считать точки приложения

сил Ft фиксированными, т. е. откажемся от возможности перемещать эти силы вдоль их линий действия; координаты точек приложения сил Fi назовем jg, у^ Zt.

Докажем, что при повороте всех сил на один и тот же произвольный угол так, чтобы сохранилась их параллельность и сторона, в которую они направлены, равнодействующая повернется на тот же угол вокруг некоторой точки, на-

зываемой центром парал

лельных сил.

При этом сначала сложим все силы, направленные в одну сторону; их равнодействующую обозначим через Ri； равнодействующая сил, направленных в противоположную сторону, пусть будет /?2. Величина каждой из этих равнодействующих равна сумме величин слагаемых, а направления совпадают с направлением слагаемых сил. При повороте точка приложения равнодействующей каждой из двух сил, которые мы последовательно складываем, не изменит своего положения на отрезке, соединяющем точки приложения слагаемых сил, так как положение указанной точки зависит только от отношения величин слагаемых сил и не изменяется при перемене их направления. Поэтому при повороте не изменится положение точек & и С2 приложения равнодействующих R】и R2, а следовательно, и

положение точки С приложения равнодействующей R всей совокупности сил.

Величина и направление равнодействующей определяются формулой

(о

Для последующих приложений важно иметь формулы, определяющие координаты хс, Ус, zc точки приложения равнодействующей ——центра параллельных сил.

Поскольку совокупность сил приводится к одной равнодействующей, момент равнодействующей относительно произвольной точки равен геометрической сумме моментов слагаемых сил относительно той же точки (теорема Вариньона). Поэтому момент равнодействующей относительно произвольной оси будет равен алгебраической сумме моментов слагаемых сил относительно той же оси.

Повернув все силы на одинаковый угол так, чтобы линии действия их стали параллельными оси Ог, составим выражение момента равнодействующей относительно оси Оу:

mУ(R)奇%(艮).⑵

Заметим, что после поворота

Ftx = Fty = °, Fiz = Ft(Z = 1,2, ..., /г),

где через 戶,обозначена алгебраическая величина, равная F( (величине силы), если повернутая сила направлена в положительную сторону оси 2, и равная (——尸/) в противном случае. Поэтому

R% = R? = 0, Rz = Ei 尸以=Е［尸 j •(3)

Вспоминая аналитическое выражение момента силы относительно оси и пользуясь только что указанными обозначениями, получим по (2)

Заменяя х на у и у на z, получим следующие формулы для координат центра параллельных сил：

ппп

£ xiFi£ 川冗£

L 与一，丸=与^—，在 =上^—.(5)

i = lj = li==l

Полученные формулыПолученные формулыможно рассматривать как результат

Полученные формулы

Полученные формулы

проектирования на координатные оси выражения вектор-радиу» са центра параллельных сил

⑹⑹x门冗

⑹

⑹

п

У1

где г» — вектор-радиусы точек приложения сил 尸“

§ 26. Центры тяжести объема, поверхности, линии

Предположим теперь, что параллельные силы непрерывна распределены по объему тела. Это значит, что к каждому из весьма малых (элементарных) объемов Ат», н? которые можно мысленно разбить тело, приложена сила Fi = р/ Дтъ пропорциональная по величине рассматриваемому объему； величина pi определяет силу, отнесенную к единице объема, и может быть постоянной во всех точках тела, но может и изменяться от точки к точке. В дальнейшем считаем, что все силы имеют одинаковое направление, и отбрасываем поэтому значок над бук* вой pi. Из формул (5) получаем

ппп

X 修Pi At/Е yipi Е£ 51 g

xc - ~， Уе — —— —n.(0

X Pi А/X Pi А/£ Pi g

Лi=l

Эти формулы являются приближенными, так как значения координат X/, у», Zi определяются с точностью до размеров объемов А* Чем меньше эти объемы, тем меньшую ошибку мы сделаем, определяя координаты центра параллельных сил по формулам (7). Поэтому к вполне точным выражениям координат центра параллельных сил можно прийти в результате предельного перехода, устремляя объемы Ат： к нулю, а число их п к бесконечности. Предел такого рода называется определенным интегралом.

Формулы (7) в векторном обозначении могут быть при этом переписаны так (% — вектор-радиус центра параллельных сил, г — текущий вектор-радиус):

卜рбт

= +——・(8)

\ Р 6т

Наиболее важное значение имеет случай силы тяжести. При небольших размерах тела во всех технических приложениях можно считать силы тяжести отдельных частиц тела системой практически параллельных сил ). Формулы (8) дают координаты центра параллельных сил тяжести частиц тела, или, кратко говоря, координаты центра тяжести тела. В этих фор* мулах величина р есть вес единицы объема, т. е. удельный вес тела у. В случае однородного тела величина у постоянна (не зависит от координат) и может быть вынесена за знак суммы в числителе и знаменателе, а затем сокращена. Таким образом, получаем формулы для координат центра тяжести однородного тела:

ппп

2 Xi AtzЕ У1 Ат；£ Zi Ад

хс= j ， Ус =^，〃 н ^，⑼

или в пределе и в векторном обозначении (гс — вектор-радиус центра тяжести):

Гс = 4•卜(10)

Здесь через т обозначен объем тела. Так как в последних формулах фигурируют только геометрические величины, то гово^ рят, что они определяют центр тяжести объема.

Если параллельные силы непрерывно распределены по некоторой поверхности о, то в формулах (5) надо положить 瓦=九a"， где fi ——сила, отнесенная к единице площади поверхности (напряжение), а Ао» ——элементарные площадки, на которые мысленно разбита поверхность. Получаем

пп

Xih As£ yifi As£ 2办厶勿

/=1— »==[~ —/1

—， Усn， 2c — ~

£ fi As£ fi As£ fz Aw

/=1i=li—i

Считая 力 весом единицы площади, будем иметь дело с центром тяжести тонкой плоской пластинки или с центром тяжести неплоской тонкой оболочки. При однородном материале и постоянной толщине пластинки или оболочки fi будет постоянным, и мы получаем формулы для координат центра тяжести однородной поверхности'.

ппп

У Xi A%Z У

%с = ^4—，Рс=Т『，%С=曰《一・(12)

И в этом случае суммы могут быть заменены интегралами, но уже вычисляемыми по поверхности тела, т. е. поверхностными интегралами; так, например, в случае однородной поверхности будем иметь (о — общая поверхность)

где а= 2^ Aaf — площадь поверхности. Здесь понятие центра тяжести [как и в случае формул (9)] уже имеет чисто геометрическое значение.

Сила тяжести не является единственным примером непрерывного поверхностного распределения параллельных сил. Чтобы дать другой пример, представим себе плоскую пластинку, погруженную в жидкость. Сила гидростатического давления жидкости на пластинку дает пример совокупности непрерывно распределенных параллельных сил (они перпендикулярны к пластинке), величина которых пропорциональна расстоянию от свободной поверхности жидкости до рассматриваемой точки. В этом случае центр параллельных сил называется центром давления жидкости на пластинку. Точно так же можно говорить о центре давления сыпучего тела на подпорную стенку.

Параллельные силы могут быть также непрерывно распределены вдоль некоторой линии, как, например, силы тяжести, приложенные к тонкой проволоке, ось которой представляет данную линию. Полагаем £ = 〃А厶.При однородном материале и постоянном поперечном сечении вес д, единицы длины — погонный вес — проволоки будет постоянным, и мы получаем фор- мулы для координат центра тяжести однородной линии:

ппп

攵-，九=气—，2e=上%-.(13)

где L=Z]A厶——длина линии. В случае плоской кривой, рас

положенной в плоскости ху9 получим 2с = 0. Так же как и

ранее, суммы должны заменяться на свои предельные значения —интегралы:

2

Вопрос о нахождении центра непрерывно распределенных вдоль линии параллельных сил возникает не только в случае сил веса. Речь, например, может идти о вычислении координат центра непрерывно распределенных параллельных нагрузок на балку (с прямолинейной или криволинейной осью), причем эти нагрузки могут изменяться по тому или иному закону вдоль оси балки. Во всех этих случаях следует пользоваться формулами (5), выражая 户》по данным задачи.

В случае плоской фигуры (ее плоскость примем за плоскость ху) координаты центра тяжести будут

/гп

хс =1 а , Ус =1 а •(15)

Числители этих выражений называются статическими моментами площади относительно осей у и х:

му= Xi\(yh 此=eD厶(^.(16)

Вообще, статическим моментом площади относительно оси называется сумма произведений элементарных площадок, на которые разбита площадь^ на расстояние каждой площадки до оси. Знание статического момента площади относительно некоторой оси позволяет определить расстояние от оси центра тяже* сти площади согласно формулам

МуМуМхМх%e=/一，Уe = -%e=/一，Уe = -(17)(17)

Му

Му

Мх

Мх

%e=/一，Уe = -

%e=/一，Уe = -

(17)

(17)

§ 27. Методы определения координат центра тяжести

Фактическое разыскание координат центра тяжести объема, поверхности или линии требует применения методов интегрального исчисления. В практических приложениях часто приходится иметь дело с телами, составленными из нескольких тел, имеющих правильную геометрическую форму, положение центров тяжести которых известно. Для таких тел положение центра тяжести может быть определено без вычисления интегралов.

1°. Пусть однородное тело имеет плоскость симметрии, ко торую примем за плоскость ху. Это значит, что каждому элн менту объема Дт/ с координатами 修，协，％? будет соответство*

вать равный по величине элемент объема с координатами %/, у^

—Zi. Поэтому

2 々Aq = о, i»1

откуда

т. е. центр тяжести лежит в плоскости симметрии.

При наличии двух плоскостей симметрии центр тяжести будет находиться на прямой их пересечения； в частности, при наличии оси симметрии центр тяжести расположен на этой оси. Наконец, в случае трех плоскостей симметрии центр тяжести совпадает с точкой пересечения этих плоскостей.

В случае симметричной плоской фигуры центр тяжести будет лежать в плоскости этой фигуры на ее оси симметрии, а в случае наличия двух осей симметрии — совпадать с точкой их пересечения.

2°. Представим себе, что однородный объем т может быть разбит на несколько объемов л, т2,...,〈俏,координаты центров тяжести которых известны. Тогда нетрудно найти и коор* динаты центра тяжести объема т. В самом деле, имеем

откуда следует:откуда следует:

откуда следует:

откуда следует:

к ・ ％с = £ “А/ + 2 修+ ... + £ 巧 Aq.⑴（％）Cm）

Но, называя через %^） координату по оси % центра тяжести объема 七尼,получим

（%） и, следовательно,

r -хс =巧儿）+ 3您）+…+ "旷=E 孔

Имеем mmm

%=^ZS咽 ％=32%缪，％н^2%咽（18）

ka\fe=lAh=1

Аналогичные формулы могут быть нацисаны в случае поверхности плоской фигуры, а также и для неоднородных тел, поверхностей и линий.

В случае, если для составления объема т некоторые из слагаемых объемов нужно вычесть （тело с отверстиями）, можно

пользоваться теми же формулами (18), если условиться ела гаемые, соответствующие отбрасываемым объемам, брать с отрицательными знаками.

Для плоской фигуры соответствующие формулы будут иметь вид mm

旳婚(19)

Лв1片!=1

или, если воспользоваться понятием статического момента площади,

mт

Схс =此=£ ^k^C = £ ^у\

кI(20)

Gyc = М% = 2 о/' = £ М目.

々==1

3°. Определение центров тяжести линий и площадей во многих случаях может быть облегчено, если пользоваться теоремами Паппа — Гульдина*).

Эти теоремы гласят:

Боковая поверхность тела вращения, описанного дугой плоской кривой, вращающейся вокруг оси. расположенной в плоскости кривой и ее не пересекающей, равна длине дуги, умноженной на длину окружности, описываемой центром тяжести дуги. Это — первая теорема.

Объем тела вращения, описанного плоской фигурой, вращающейся вокруг ос以 расположенной в плоскости фигуры и не пересекающей ее контура, равен произведению площади фигуры на длину пути, описанного ее центром тяжести. Это ——вторая теорема.

Действительно, согласно рис. 73, элемент боковой поверхности тела вращения, описанного дугой АВ вокруг оси у, будет равен 2nxi А//. Поэтому вся боковая поверхность будет

尸=2r工Xi д/b

причем суммирование ведется по всем элементам дуги АВ = L. Но по формулам (13)

2 Nil = LXg i=»l

и, следовательно, 尸=2以%厶。(21)

Точно так же, обращаясь к рис. 74, видим, что объем элементарного кольца, описываемого площадкой Аи± вокруг оси у, равен 2лх/ До*. Получаем

т = 2л £ 修 А” = 2冗尤(22)

Формулы Паппа — Гульдина позволяют определять положение центра тяжести линии и плоской фигуры в тех случаях, когда известны поверхность или объем тела, полученного вращением этой линии или фигуры вокруг оси.

§ 28. Центры тяжести некоторых линий,плоских фигур и тел

Центр тяжести площади треугольника находится в точке пересечения медиан треугольника. Это легко получить из таких соображений. Разбиваем треугольник прямыми, параллельными основанию, на бесконечно тонкие полоски. Центр тяжести каждой такой полоски находится в ее середине; но середины всех прямых, параллельных основанию треугольника, лежат на медиане этого основания; поэтому центр тяжести этого треугольника должен лежать на этой медиане; так как аналогичное рассуждение применимо и к медиане другой стороны треугольника, то искомый центр тяжести должен лежать в точке пересечения медиан. Отсюда следует также, что центр тяжести треугольника находится на расстоянии, равном одной трети высоты треугольника, от соответствующего основания.

Центр тяжести четырехугольника. Зная центр тяжести треугольника, можно найти центр тяжести произвольного многоугольника, разбивая его на треугольники и пользуясь далее приемом, изложенным в п. 2° § 27.

В частности, для произвольного четырехугольника (рис. 75) построение производится так. Разбиваем четырехугольник

4 Л. Г. Лойцянский, А. И. Лурье

ABED диагональю BD на два треугольника и отмечаем их центры тяжести G, &• Центр тяжести четырехугольника находится на отрезке CiC2. Точно так же, проведя диагональ А£,

наметим положение центров тяжести С3 и & треугольников ADE и АВЕ. Искомый центр тяжести С находится на пересечении прямых CiC2 и С3С4, так как центр тяжести двух материальных точек лежит на прямой, их соединяющей.

Центр тяжести трапеции можно найти также, применяя следующий прием. Повторяя рассуж

дение, приведенное для треугольника, убедимся, что центр тяжести трапеции должен лежать на прямой MNt соединяющей середины параллельных сторон (рис. 76). Чтобы найти высоту hc центра тяжести над нижним основанием, разбиваем трапецию на два треугольника ABG и BGD.

В формуле [см. (19)]

где индексы 《1» и 《2》относятся соответственно к треугольникам ABG и BGD, имеем

6尸^泌，a2 = ЬЛ,川)=扌瓦 У^ - ^h

и, следовательно,

• h(a + 2b)

Из этой формулы вытекает следующее построение: на про* должениях параллельных сторон откладываем BE = a, GF = Ь. Центр тяжести С находим в пересечении прямых MN и FE.

Центр тяжести дуги окружности радиуса R с центральным углом 2а. В силу симметрии центр тяжести лежит на биссектрисе центрального угла, которую примем за ось у, так что %с = 0.

Для определения координаты ус следует обратиться к формуле (13). Разбиваем дугу L = АВ (рис. 77) на весьма боль* шое число дуг А%. Имеем

^с = тЕ "к = ^ 2 "^7 № cos 也 в

=丄 2 R А%± = — ^ А巧=也• АВ = R "4^ = R ・厶LLAB

В частности, для полуокружности (а = л/2) находим

Ус == 0,637/?.

Центр тяжести площади кругового сектора (рис. 78). Разбиваем сектор на элементарные секторы с центральными

углами Дф/. Центр тяжести каждого такого сектора (его можно рассматривать как треугольник с высотой R и основанием R А(р,) лежит на расстоянии 不& от центра круга. Остается найти центр тяжести дуги круга радиуса у R; по п. г) находим

2 n sin а

В частности, для площади полукруга получим

么=祭=仇424/?，

Этот же результат легко получается по второй теореме Паппа —Гульдина.

Центр тяжести многогранной пирамиды, лежит на прямой, соединяющей вершину О (рис. 79) с центром тяжести Со площади основания. Докажем, что искомый центр тяжести возвышается над плоскостью основания на ｝儿 где h — высота

пирамиды. Направляя ось Ог вниз, имеем выражение элементарного объема:

g =吊必0/=今)，

где Fi — площадь сечения пирамиды плоскостью, параллельной

основанию и отстоящей от вершины О на расстоянии зл По нз« вестной теореме о площадях подобных фигур

尸,Z:尸0 2

元=庐，или

где 尸о—площадь основания. По формуле (9) имеем

% =；纟2小巧二眷纟势Az，・mi・l

Вычисление предела полученной суммы при п-> оо сводится к нахождению определенного интеграла:

пл

lim 222 Az/z'dz =='!■九*

/■iо

Таким образом, получим

Замечая, что т = ~ Fo^> найдем

3 /% =不小

откуда и следует сказанное выше.

Из хода вывода видно, что результат не зависит от формы фигуры, лежащей в основании, и от наклона пирамиды. Поэ« тому центр тяжести любого наклонного конуса также располагается на расстоянии одной четверти высоты конуса от плоскости основания.

В справочных изданиях приводятся формулы для координат центров тяжести других геометрических фигур и тел.

Пример 19. Определить центры тяжести плоских фигур, изображенных на рис. 80 и 31»

Рис. 80.Рис. 80.Рис, 81.Рис, 81.

Рис. 80.

Рис. 80.

Рис, 81.

Рис, 81.

Координату ус проще всего получить, воспользовавшись теоремой Пап* па — Гульдина. Для случая рис. 80 находим по формуле (22)

^炉一在(О3 T扌続一 ^ " (£)12"" откуда

14

По формуле (19) находим xcs

ЛГ2 一冗产 38~*Tr5

xc ="2 冗严 в W几

В случае рис. 81 найдем

Пример 20. Определить положение центра тяжести С площади поперечного сечения однородного штампа, размеры которого показаны на рис. 82.

Проведем вдоль вертикальной оси симметрии сечения ось Оу (рис. 83), а перпендикулярно к ней по основанию сечения ось Ох.

Определение положения центра тяжести сводится к вычислению лишь координаты ус (%с g 0).

Вспомогательной линией PS разобьем площадь сечения на три одинаковых прямоугольника с центрами тяжести С「С2 и С3 (рис. 83, а). Используя формулу (15), найдем

4а2 • За + 4a2 • За + 4а2 • ~

% —з .《а*а 2,17а .

Центр тяжести площади сечения находится в точке С с координатами хс и Q、ус ■ 2」7a.

Эту же задачу можно решить иначе, проведя вспомогательную прямую KL (рис. 83,6) и представив площадь сечения штампа в виде разности площадей двух прямоугольников ABDE и KLMN с центрами тяжести соответственно Ci и G.

Используя опять формулу (15), вновь получим (*с п 0)

4a • 5а • 2,5@ — 2а • 4а • 3q n

У s_ « 2,17a .

。 4a • 5a — 2a • 4q

Глава У〃

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СИЛ В СПЛОШНОЙ СРЕДЕ. НАПРЯЖЕНИЯ

Сплошная среда. Объемныеи поверхностные силы. Напряжения

Систему материальных точек в том случае, когда число их очень велико и они расположены плотно друг по отношению к другу, можно приближенно заменить моделью сплошной среды, с непрерывным распределением вещества, его физических свойств (плотности, вязкости, тепло- и электропроводности и др.), а также общих механических характеристик движения среды (перемещений, скоростей, ускорений, сил и др.).

Как известно из общего курса физики, материальные тела обладают сложной молекулярной структурой, причем молекулы среды совершают «тепловые» движения: хаотичные в газах, более или менее упорядоченные в жидкостях и аморфных телах и колебательные в кристаллических решетках твердых тел. Эти внутренние движения определяют физические свойства тел, которые в модели сплошной среды задаются наперед основными «феноменологическими» закономерностями (например, законы Бойля — Мариотта, Клапейрона ——в газах, законы вязкости —— в ньютоновских и неныотоновских жидкостях, закон Гука — в твердых телах).

Простейшим примером сплошной среды служит рассмотренная в предыдущих главах модель абсолютно твердого тела. Характерная особенность статики абсолютно твердого тела заключается 'в отсутствии сколько-нибудь значительного внимания к вопросу о внутренних силах в такого рода телах. В § 4 коротко говорилось о принципе затвердевания, который устанавливает необходимые условия равновесия деформируемых сред, сводящиеся к уравнениям равновесия соответствующих, выделенных в них, «затвердевших» объемов под действием приложенной совокупности внешних сил. Понятие о внутренних силах вводилось в том же § 4 в связи с применением метода сечений, идея которого сохраняет свою силу и в статике сплошной деформируемой среды. Именно в механике сплошных сред понятие о внутренних силах раскрывается во всей своей глубине,

и это способствует расширению кругозора в направлении общего учения о силах, каковым является статика.

Для описания движения и, в частности, равновесия сплошной среды приходится переходить от сосредоточенных в отдельных точках среды значений физических величин к их непрерывным распределениям по среде и количественно характеризовать эти распределения плотностью распределения физической величанье по сплошной среде.

Простейшим примером, выходящим за границы статики, но хорошо известным из общего курса физики, является понятие о плотности среды, кратко выражающего, собственно говоря> слова: плотность распределения массы в сплошной среде.

Поскольку понятие плотности распределения физической величины получает дальнейшие применения, осветим несколько подробнее его содержание.

Напомним, что средняя плотность рСр распределения массы в объеме т определяется отношением массы среды m в этом объеме к величине объема t и выражается в кг/м3:

Рср=《・

Стягивая поверхность, окружающую выделенный объем среды, в данную точку, получим плотность распределения массы, т. е. просто плотность среды р в этой точке:

р = hm —

или, вводя для бесконечно малых масс и объемов обозначения бт и 6G

p =警. ⑵

Поясним, что здесь и в дальнейшем под символом б пони^ мается произвольная бесконечно малая величина в пространстве; она не должна смешиваться с понятием дифференциала d ——бесконечно малого приращения некоторой величины в зависимости от бесконечно малого приращения (дифференциала) времени 〃

Из равенства (2) непосредственно следует выражение бесконечно малой, будем говорить элементарной, массы 6加 через плотность среды р и элементарный объем 6т:

бт = р 6т. (3)

Аналогично, под средней плотностью распределения сил, приложенных в точках сплошной среды, будем понимать отношение главного вектора сил V, приложенных в точках объема среды т> к массе объема m = рсрт и назовем это отношение средней объ-

емной силой. Сохраним для этой, имеющей размерность [Н/кг], т. е. [м/с2], величины обычное обозначение вектора 尸.

Средняя объемная сила определится равенством

⑷

я объемная сила в данной точке — пределом

V 6УV 6Уgo Рертgo Рертр дт 'р дт '⑹⑹

V 6У

V 6У

go Рерт

go Рерт

р дт '

р дт '

⑹

⑹

откуда следует выражение главного вектора сил в данной точке:

⑹⑹6V = pF6T.

⑹

⑹

Так, например, объемной силой для сил тяжести будет служить вектор ускорения g свободного падения тел, для инерционной, центробежной силы — центробежное ускорение ^rt где <о — угловая скорость вращения системы отсчета, г — вектор, направленный по кратчайшему расстоянию от точки приложения центробежной силы до оси в сторону от оси.

Объемные силы, действие которых не проникает сколько-нибудь глубоко внутрь сплошной среды, как, например, силу трения между отдельными слоями среды или силу давления, приложенную в областях контакта между двумя средами, заменяют предельным понятием поверхностных сил, определяемых плотностью распределения их по геометрической поверхности, раз- ^раничивающей области взаимодействующих сред.

Среднюю плотность распределения поверхностных сил определяют как отношение главного вектора %ов поверхностных сил к площади о поверхности, на которой эти силы действуют, и называют средним напряжением-.

⑺⑺„ Уцов

⑺

⑺

^Р = —

Напряжение имеет размерность [Н/м2] и выражается в «паскалях» (Па). Переходя к пределу путем стягивания площадки а в данную точку поверхности, получим вектор напряжения в этой

точке, равный

Нта-»0Нта-»0оо6 о6 о(8)(8)

Нт

а-»0

Нт

а-»0

о

о

6 о

6 о

(8)

(8)

Произведение ба напряжения р в данной точке на элементарную площадку Ьо определит поверхностную силу, приложенную к элементарной площадке Зи в данной точке сплошной среды; будем ее называть элементарной поверхностной силой.

Главные векторы объемных и поверхностных сил, приложенных к конечным объемам т или к конечным площадям поверхностей а, определяют суммированием элементарных объемных

или поверхностных сил соответственно по объему т или поверхности а. В сплошной среде с непрерывными распределениями объемных и поверхностных сил такие суммарные силы определяются объемными или поверхностными интегралами.

Напряжения в сплошной среде находятся тем же методом сечений, о котором в случае линейного тела (о натяжении в проволоке) была уже речь ранее, в § 4. В общем случае в каждой точке сплошной среды можно провести бесчисленное множество бесконечно малых, будем говорить «элементарных», плоских сечений, различно ориентированных в пространстве. От- / брасывая мысленно с одной стороны данного се- 〃卜 / чения сплошную среду, но учитывая действие от- \брошенной части на сохраненную ее часть, найдем

\ / “ внутреннюю поверхностную силу, приложенную к сечению со стороны отброшенной части среды. От- неся эту, подчеркнем, внутреннюю силу к площади сечения, определим плотность распределения по- верхностной силы по сечению, т. е. напряжение в Г рп- ^Рп“анн°й точке среды.Напряжение,по самому его

/"определению, является вектором.Специфической

/чертой напряженияслужит зависимость его не

Рнс. 84.только, от положенияданной точкисреды, но и от

ориентации сечения 8 пространстве.

Определим ориентацию элементарной площадки 6а в точке М единичным вектором (ортом) нормали п к плоскости площадки (рис. 84). У площадки имеются две стороны. Ту из них, к которой приложен орт л (на рис. 84 заштрихована), назовем лицевой и вектор напряжения, приложенный к лицевой стороне, обозначим через р% Тогда, по закону действия и противодействия, напряжение, приложенное к другой, скажем тыльной, стороне площадки, будет равно Р： = —— Р疗 Выбор одной из сторон площадки за лицевую, конечно, произволен, но наличием орта нормали лицевая сторона площадки фиксируется, и в дальнейшем рассуждении это наименование за ней сохраняется.

Равенства Коши

Выделим мысленно в сплошной среде бесконечно малый объем в форме тетраэдра (пирамиды) 〃〃1財2附3 (рис. 85), боковые грани которого М\ММ2, М\ММ^ М2ММ^ лежат, соответственно, в координатных плоскостях ху, xz, yz, а ориентация наклонной грани М{М2М3 определяется единичным вектором п нормали к ней. Чтобы не вводить новых обозначений, воспользуемся в качестве ортов нормалей к боковым граням ортами осей координат i, /,良 Обозначим бесконечно малые площадки, ограничивающие тетраэдр, через 6о», 6(7办 бо?, 6。〃, причем заме-

тим, что в силу выбора ортов нормалей к боковым граням внешние по отношению к объему тетраэдра стороны граней бах, боу, 6。2 будут тыльными, а наклонная грань 6о〃 一лицевой.

Применяя метод сечений, отнимем окружающую тетраэдр

сплошную среду и заменим ее действие силами ——"* 5о%, —ру Во办 —"zb®, р〃6о小 Знаки минус у первых трех сил показывают, что они приложены к тыльным сторонам боковых граней; знак плюс у последней силы выражает тот факт, что сила рпбпп приложена к лицевой грани тетраэдра. Индексы х, у, z, п у напряжений служат указанием направлений нормалей к площадкам.

Выделенный в среде объем тетраэдра 6т находится в равновесии под действием силы pF 6т, где объемная сила, и четырех только что указанных сил, приложенных к четырем граням тетраэдра.

Согласно принципу затвердевания (§ 3), условия равновесия тетраэдра выражаются равенствами нулю главного вектора и главного момента приложенных к нему сил. Обратим внимание на то, что эти силы имеют различный порядок малости, а именно: силы, приложенные к граням тетраэдра, содержащие множители 6о%, 6(Уу, 5応,— второй порядок малости, а сила pF 6т из-за наличия множителя 6т—— третий порядок малости. Отсюда следует, что в условиях равен

ства нулю главного вектора и главного момента сил, приложенных к тетраэдру, последняя сила, как величина более высокого порядка малости, может быть опущена.

Равенство нулю главного вектора сил, приложенных к элементарному тетраэдру, может быть записано в виде

Рп 6% = Рх 6% + Ру 6% + Pz 6久，⑼

или, замечая, что площадки 5о%, бо^, 6oz служат проекциями площадки bo% на координатные плоскости, и обозначая косинусы углов между ортом п нормали к наклонной площадке и осями координат, представляющими нормали к координатным площадкам, через пх, %у,几z, получим

6ах == пх 6оп, би у = пу бап, 6сг2 == п2 6аЛ. (10)

Подставляя эти значения Зо*, bo，，6oz в правую часть (9) и сокращая на 6о〃, получим искомое равенство, связывающее ра и р%. Pg, р&

Переходя, для удобства, к цифровой индексации, т. е. пола- га 只 %1 =%，%2 = ?, Х3 = Z；九1=孔尤，几2 = ^y,九3 =几г； pl - Px, P2 = py, "3 = pz, получим указанное равенство в виде

Рп = %Р1 + 敢？＞2 + 九 зРз・ (П)

Векторы напряжений рь р2, рз, приложенные к координатным площадкам, не имеют объективного физического смысла, так как зависят от выбора системы координат, по отношению к которой они определены. Такие величины — подробнее об этом говорится в начале следующей главы — не могут быть причислены к истинным физическим векторам, а носят наименование «квазивекторов》. Заметим, что к ним можно применять все операции, применимые к физическим векторам, в частности^ проектировать их на оси координат.

Проектируя обе части (11) на оси координат, придем к системе трех равенств:

Ри1 = ^1Р11 + 〃2卩21 + 〃зРз1，

Р〃2 =々Р12 + 九 2P22 + 九 3P32, (12)

РnЗ = 〃歩13 + 几 2P23 + "3033・

В этих равенствах, в полном соответствии с принятыми обозначениями, первый индекс при р отмечает принадлежность напряжения к площадке, перпендикулярной к данной оси координат, второй ——ось проекций. Так, например, рз1 обозначает проекцию на ось Xi напряжения, приложенного к площадке, перпендикулярной к оси Охз.

Равенства (12) или, что то же, (11) носят имя Коши, опубликовавшего их в 1827 г. Они выражают напряжение, приложенное к любой элементарной площадке в сплошной среде, через напряжения, приложенные к трем взаимно перпендикулярным площадкам в той же точке среды.

Отдельные слагаемые в правой части равенства (11) зависят от выбора направлений осей координат, их можно было бы в этом смысле назвать «квазивекторами», но их совокупность, определяемая суммированием, является физическим вектором, определяющим вектор напряжения, приложенный к любой элементарной площадке. Отметим одну существенную особенность физических векторов напряжения рп ——они не образуют поля, так как в каждой точке сплошной среды имеется бесчисленное множество напряжений, зависящих от ориентации в простран- стве площадки, к которой они приложены. Напряжения р^ не представляют собой вектор-функции точки.

Величины с разными индексами: pi2, Р】з, Р21, /Ъз, Рзь Р32 — называют касательными напрязюсниями. так как, согласно принятому правилу обозначений, соответствующие им проекции

вектора напряжения расположены б координатных плоскостях. Величины с одинаковыми индексами: 9ц, ,22， рзз — представляют собой проекции на нормали к координатным плоскостям и называются нормальными напряжениями. К первым относятся, например, напряжения трения, ко вторым — напряжения давления в сплошной среде.

В технических курсах принимают следующие обозначения для нормальных и касательных напряжений:

Ри — аЬ 022 = 02,「33 =。3；Р12 = Т12,023 = 03 и Т・ Д.,

а иногда еще

Zl = X%,卩22 = Уу，Рззн%^； Р12 = Ху, р23 H У% Н Т. Д.

§ 31. Взаимность касательных напряжений

Обратимся ко второму к равенству нулю главного кающему из принципа затвердевания (§ 3).

Пользуясь малостью площадок граней тетраэдра, можем считать распределения напряжений по этим площадкам однородными и сосредоточенными в геометрических центрах граней, т. е. в точках пересечения медиан треугольников (§ 28, п. а). Обозначим вектор-ра- диусы этих точек пересечения (рис. 86) так:

MN^rt MN^r^, 疝2 = i, MN3^r^.

условию равновесия тетраэдра — момента приложенных сил, выте-условию равновесия тетраэдра — момента приложенных сил, выте-Чтобы не затемнять чертежа, на рис. 86 нанесены лишь век- тор-радиусы точек N и 加з. Уравнение моментов в цифровой индексации будет

условию равновесия тетраэдра — момента приложенных сил, выте-

условию равновесия тетраэдра — момента приложенных сил, выте-

， X рп 6。" = /•⑴义 p1 6。1 +，⑵ X Р2 6。2 + 了⑶ X p3 6。3，(13)

Заменяя рп его разложением (И) и принимая во внимание равенство (13), получим

G — 了⑴)х Pg + (r — 了⑵)X p2九2 +(Г —夕向)X Рз的=0.(14)

Точка ^з пересечения медиан треугольника М\ММ2 является проекцией соответствующей точки N пересечения медиан в треугольнике МММ на плоскость х/.

11 А

Направленный отрезок N3N равен

而Н部一而8 = ? _ №

и как проектирующий точку N на плоскость %i%2 перпендикулярен к этой плоскости и параллелен оси М%з・ Следовательно, его направление совпадает с направлением единичного вектора /з. Аналогично покажем, что векторы г — f(D и г —『戏)параллельны единичным векторам 九 и 为・ Введя пока не определенные скаляры 几⑴，九⑵，入⑻，Можем написать, что

r 一?⑴=九⑴g, r - г⑵=九%, r —е3)^ 九(3%(15)

Подставляя эти значения разностей векторов в (14), получим

九⑴枕1仕X Pl) +九⑵几2 (% X p2) +A⑶色(力3 X p3) = 0.(16)

Остается найти значения скаляров 厶(D, V2), Х(3). Для этого продлим направленные отрезки MN、, MN2) MN3 (на рис. 86 показан только отрезок MN^) до пересечения их в точках ^p ^2» N；, с плоскостью М\М2Мз. Полученные при этом векторы MN[, MN；, MN^ согласно известной теореме о положении точки пересечения медиан в треугольнике, будут, соответственно, равны

研 =4•病《4Г⑴，砒 =4Г⑵，MN^^r^\

Поскольку концы векторов MN；、MN[、MN[、так же как m冰, лежат в наклонной плоскости М\М2М^ проекции их на нормаль л к плоскости М\М2М3 будут равны одной и той же величине расстояния й точки М до плоскости М\М2М^ так что

I•"⑴.九)= ■!(?⑵. 几)=^ (『⑶•用=九(17)

Умножая обе части каждого из равенств (15) скалярно на я, получим по (17)

(г — r(1)) п = г п — /*⑴ ' n — h — -|-Л= у/г =九⑴〃[

и аналогичные выражения для других разностей.

Отсюда следует, что

九⑴〃1 =九⑵ 〃2 =九"％ = ^/г.(18)

Подставляя эти значения 入⑴，九⑵，九⑶ в равенство (16) и сокращая обе части полученного равенства на 九，придем к следующему соотношению:

/1Хр1 + /2Хр2 + /зХРз = 0. (19)

Проектируя обе части этого равенства на оси координат и пользуясь известными формулами проекций векторного произведения на те же оси, окончательно получим систему равенств

Р12 = Р21， 023 =卩32, 031 =「13， (20)

выражающих следующую теорему о взаимности касательных напряжений:

Если через какую-нибудь точку, среды провести три взаимно перпендикулярные бесконечно малые (элементарные) площадки, то для каждых двух из них проекции вектора напряжения, приложенного к площадке, на нормаль к другой равны между собой.

Совокупность девяти величин pki (財 / = 1, 2, 3) при выполнении некоторых условий, о которых пойдет речь в следующей главе, образует тензор второго порядка, именуемый тензором напряжений.

Глава VIII

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕНЗОРНОЙ АЛГЕБРЫ

Поле физической величины. Условия физическойобъективности аналитического определения вектора

В отличие от механики системы дискретных материальных точек и механики абсолютно твердого тела, требующих лишь знакомства с операциями векторного исчисления, механика сплошных сред не может обойтись без основных сведений из области тензорного исчисления. В дальнейшем предполагается, что основы векторной алгебры известны, что же касается начальных представлений тензорной алгебры, то они излагаются в ближайших параграфах.

Напомним, что в векторном исчислении*приходилось иметь дело с физическими величинами, представимыми либо одной величиной ——скаляром, либо тремя алгебраическими величинами——вектором. Требование физической объективности существования величин в том смысле, что по самой своей сущности они не могут зависеть от расположения в пространстве той или другой системы координат, при помощи которых эти физические величины определяются, приводит к специальным ограничениям, налагаемым на аналитические их представления.

Имея в виду дальнейшие приложения в механике сплошных сред, будем считать, что все рассматриваемые физические величины непрерывно распределены в пространстве, занимаемом сплошной средой, причем в каждой точке этого пространства однозначно определены значения физических величин как непрерывных функций координат точек пространства, или, как иногда говорят, функций точек пространства.

Такая совокупность значений физической величины, однозначно сопоставляема^ точкам пространства в некоторой области, определяет поле физической величины.

Поле задаётся функциями координат в области определения физической величины, а в общем случае — и времени, причем на эти функции накладываются ограничения непрерывности и существования производных по координатам и времени такого порядка, который необходим для проводимого исследования.

В отдельных специальных случаях в пространстве, где задано поле, могут существовать точки, кривые или поверхности разрыва непрерывности величины, описываемой полем. Такие точки, кривые и поверхности, соответственно, образуют особые точки, кривые и поверхности поля.

Рассмотрим сначала поле скалярной величины, например температурное поле. Оно задается одной функцией ф(х, у, z; /) координат точек поля и времени, представляющей температуру среды. Значение этой функции должно быть одним и тем же независимо от того, в какой координатной системе функция определена. В этой инвариантности функции, задающей поле скалярной величины, т. е. независимости от выбора системы координат, заключается условие физической объективности поля скалярной величины. Это требование распространяется на все скалярные величины.

Сложнее обстоит дело с понятием физической объективности вектора и соответствующего ему векторного поля. Три его проекции на оси координат зависят от выбора направления этих осей в пространстве; проекции вектора в этом смысле вариантны, но длина вектора, выражающая в выбранном масштабе абсолютное значение физической величины, не может зависеть от произвольного выбора координатной системы. Эта инвариантность длины вектора налагает на функции координат, представляющие его проекции, определенные ограничения.

Воспользуемся ранее введенной числовой индексацией координат (%1, %2, %з) и проекций вектора а на соответствующие оси (。卜 @2, • Косинусы углов между《старыми》и отмечаемыми штрихами «новыми» осями будем обозначать буквой а с двумя индексами, поясняющими, о каких осях идет речь. Так, например, a2i обозначает косинус угла между первой осью «старой» системы 0尤1 и второй осью Ох6《новой» системы. Начало координат у обеих систем возьмем общее, так как параллельный перенос осей на проекциях вектора сказываться не будет.

Формулы связи между «старыми» и «новыми» координатами легко выписываются, если воспользоваться следующей таблицей:

и разлагать любую из координат по другим, применяя в качестве коэффициентог в этих разложениях те косинусы, которые расположена в строках (при разложении л/ по %) или в столбцах (при разложении % по л/, согласно принятой таблице).

В развернутом виде формулы преобразования координат бу

дут иметь вид

匕=%/1+。12%2 + %3%3,

⑴⑴⑵⑵*2 =a21巧 +a22*2 +a23"3,

⑴

⑴

⑵

⑵

%3 =а31%1 +。32%2 +。33"3,

а для обратного преобразования

%]=%]%1 +a21%2 +a31%3,

*2 = %/；+a22%;+a32弘

%з ~。1з"； + %з%2 + азз^з*

Следует обратить внимание на разницу в порядке индексов при а в случаях перехода от xf к х^ и от %； к 马.Предыдущую группу формул можно записать в виде

зз

北=S脸匕，九=2

или, пользуясь общепринятым приемом опускания знака суммыу когда подразумевается суммирование по дважды повторяюще' муся индексу от 1 до 3 в суммируемых одночленах, короче так:

鶴=。加/罹(加=1,2,3), хп = amnx^ (n = 1,2, 3). ⑶

Дважды повторяющиеся индексы, по которым предполагается суммирование, называют «немыми» в знак того, что наименование их совершенно произвольно и может в процессе вычислений изменяться, а после выполнения суммирования они исчезают. Сохраняющиеся в процессе суммирования индексы носят наименование «свободных». Например, в первой формуле (3) безразлично, писать ли атпхп или атрхр и т. п., так как индекс п ——《немой》. Индекс т — «свободный»; он определяет координату «новой» системы, которая выражается через «старые» координаты; во второй формуле (3), наоборот, индекс т — «немой》，а п — «свободный». Указанный прием опускания символа суммирования значительно упрощает выкладки, особенно если приходится перемножать суммы одночленов.

Формулы (3) сохранят свою силу и в применении к проекциям вектора а^ и ап в сравниваемых координатных системах: «новой》， отмечаемой штрихом, и 《старой》——без штриха. Это вытекает из того, что проекция вектора на ось равна разности

координат конца и начала вектора. Применив формулы (3) один раз к концу вектора а, а в другой раз ——к началу и вычтя почленно эти равенства одно из другого, получим “

а' =а а , а =а о/ .

m m" м' п шпГ'т、н，

Покажем, что эти формулы выражают условие физичности, или, как иногда говорят, объективности, вектора а в том смысле, что при переходе от одной системы координат к другой, неподвижной по отношению к ней системе величина вектора а не меняется (например, скорость самолета по отношению к Земле не зависит от того, в какой неподвижно связанной с Землей системе координат мы рассматриваем скорость самолета). Для этого заметим, что сумма квадратов проекций вектора на оси координат не меняется при переходе от одних осей координат к другим и, таким образом квадрат длины вектора, т. е. квадрат абсолютного значения вектора, является инвариантом по отношению к изменению системы координат.

Для доказательства вычислим сумму квадратов проекций вектора а, которую для сохранения возможности использования краткой записи формул представим согласно (4) так (здесь все индексы «немые»):

а& = %ra^fis = %产$4・(5)

Как известно из курса аналитической геометрии, сумма произведений aprCtps по повторяющемуся индексу р представляет собой косинус угла между r-й и s-й осями координат и, следовательно, будет равна единице, если г = s, или нулю, если г ^= si

4

1,если r = s，

О, если г=#5.

Равенство (5) при этом переходит в следующее (суммирование по р слева и по 5 справа):

* = 4%⑺

что и доказывает инвариантность суммы квадратов проекций вектора, т. е. квадрата его длины.

Линейная вектор-функция. Тензор второго ранга.Условия его физической объективности. Простейшиеоперации над тензорами. Перемножение тензора и вектора.

Диада и диадное представление тензора

В статике и кинематике сплошной среды важную роль играет операция перехода от одного вектора а к другому &, задаваемая линейным преобразованием

(8)(8)b = L%

(8)

(8)

в проекциях выражаемым трем只 линейными функциями:

九-厶1"1+厶2a2 + 7曲3, 方 2 =为1。1 + 为必2 + 4з^3，(9)

^3 — ^31^1 + 厶2。2 + /зз^з,

или, в принятом выше кратком обозначении, 勿=%№(Р= Ь2,3).(10)

Пример такого преобразования мы имели в § 30. Это — равенства Коши (12) гл. VII, в которых единичный вектор п преобразуется в вектор напряжений р小

Если в результате преобразования (9) физический вектор а переходит также в физический вектор 6, то совокупность коэффициентов преобразования lpq имеет объективный физический смысл, определяемый процессом перехода вектора а в вектор Ь. Совокупность коэффициентов линейного преобразования (9)

/ А1 /12 厶3、

Zai %2 % I ,(11)

преобразующего физический вектор также в физический, определяет тензор второго (по числу индексов при /) ранга Л, а таблица (И) представляет собой матрицу тензора L.

Тензоры в дальнейшем обозначаются заглавными буквами. Элементы их матриц называют компонентами тензора и иногда для упрощения письма обозначают соответствующими заглавной букве строчными буквами.

По числу компонент — в случае вектора .это три его проекции на оси координат ——вектор можно рассматривать как тен- зор первого ранга, скаляр — как тензор нулевого ранга.

В дальнейшем нам придется иметь дело с тензорами только второго ранга, в связи с чем указание ранга тензора будет опускаться.

Подчеркнем с самого начала, что, так же как в случае вектора, компоненты тензора 厶 являются функциями координат, определяющими поле тензора L. Компоненты тензора вариант- hw, т. е. зависят от выбора координатной системы, в которой они записаны, но совокупность компонент в целом определяет единую физическую величину, имеющую вполне конкретный объективный смысл и, как все физические величины, не зависящую от выбора направлений осей координат.

Для того чтобы тензор имел объективный, не зависящий от выбранной системы координат смысл, т. е. был физическим тен・ вором, компоненты его, в полной аналогии с вектором, должны

подчиняться некоторым ограничениям, следующим из наличия линейной связи (9) между двумя физическими векторами.

Используя (4) и (10), получим

% = %qbq, bq = *%”％《・

Из этой цепочки равенств следует

Ь'р = %ql q「％ = %ql qRr%

но в новой системе координат (со штрихами) должно быть 匕 lpsas*

Из сравнения с предыдущим равенством получим формулу преобразования компонент тензора L

厶=%凡丿/(p,s= 1,2,3)(12)

и обратного преобразования

Цг = ^iq^sr^ts(^№=1,2, 3).(13)

Равенства (12), (13) выражают тот факт, что компоненты физического тензора при переходе от одной системы координат к другой преобразуются, как произведения координат при том же переходе. Это положение можно было бы принять за определение тензора, эквивалентное ранее данному его определению как совокупности коэффициентов линейной связи (10) между проекциями двух физических векторов.

Отметим два примера линейных преобразований вектора в вектор, совокупности коэффициентов которых образуют тензоры. Это, как уже упоминалось, равенства Коши (12) гл. VII, в которых коэффициенты представляют собой нормальные и касательные напряжения. Эта совокупность образует тензор напряжений Р с компонентами рм (々，/= 1, 2, 3).

Вторым примером служит совокупность равенств (1) или (2), которые можно рассматривать как преобразования, переводящие вектор-радиусы точек пространства из《старого》в《но- вое》положение, т. е. как поворот абсолютно твердого тела, связанного с координатными системами. Тензор, матрицей которого служит таблица косинусов углов между《старь^ми》и «новыми» осями, называется тензором поворота.

Операции сложения и вычитания тензоров, а также умножения их на скаляр те же, что и у векторов:

(Р 土 Q 士 .. ^ks — Pks =Ь Qks ± ・・・，(14)

(XP)^ = №S = AP,S 优=1,2,3; s= 1,2,3).(15}

Введем операцию умножения тензора Р на вектор а《сира- 8〃》，обозначаемую как Ра и определяемую вектором 6 с

проекциями

玩=(Р* =尸尼1。1 + Р尼2a2 + Р在з&з = 4$% (й = 1,2, 3).(16)

Аналогично, назовем произведением вектора а на тензор Р или произведением тензора на вектор слева вектор с = аР с проекциями

% = (aP)k = a{Pik + a2P2汽 + a3P3k = asPsk (々=1,2, 3). (17)

Введенная операция определяет векторы бис как линейные вектор-функции вектора а с коэффициентами, равными компонентам тензора Р.

Отметим, что определение произведения тензора на вектор или вектора на тензор соответствует операции перемножения матрицы И pks II тензора Р на матрицу \а} а2 аз[ или || as || вектора а.

Операции умножения тензора на вектор и вектора на тензор отличаются порядком индексов у тензора.

Условимся в дальнейшем тензору Р приписывать матрицу его компонент

/ PH Pl2 Р】3、

I 021 Р2* 卩23(18)

' 031032 РЗЗ /

в которой первый индекс у компонент показывает номер строки. а второй — столбца.

Тензор с матрицей

/ Ри 021 Рз1 \

I Pl2 Р22 卩32 ) ,(19)

' Р】3023033 /

отличающейся от матрицы тензора (18) порядком индексов, называют тензором, «сопряженным» с данным, или, иначе, «транспонированным» тензором и обозначают через Р*, так что

% = Psr (s/= 1,2,3).(20)

Пользуясь понятием о сопряженном тензоре и равенствами

(21)(21)(16), (17), найдем

(21)

(21)

Ра = аР\ PZ = aP・

Введем в рассмотрение так называемый мультипликативный тензор, или диаду, как тензор с компонентами, равными попарным произведениям проекций двух физических векторов а и Ь. .Матрицей такого тензора будет служить таблица

/01瓦0也2 01}3 I02 仇a262 "2 匕 3 \ a861 a3匕2 a383

Обозначается диада при помощи рядом поставленных векторов ab без каких-либо знаков между ними. Диаду можно рассматривать как третью операцию умножения вектора на вектор —— диадное произведение двух векторов, приводящее, в отличие от скалярного и векторного произведений, к тензору.

Убедимся в том, что если векторы а и 6 являются физическими векторами, то составленная из них диад^ будет физическим тензором. Вспоминая условия физичности вектора (4), будем иметь

ар = аряая^ % =。$也・

Составляя произведение

哈;=%产"%乙 9, s = 1,2, 3)

и сравнивая эти равенства с определением физического тензора (12), убедимся, что компоненты диады apbs в 《новой》системе выражаются через компоненты диады в 《старой》системе aqbr по определяющим физичность тензора диады формулам, составленным как проекции двух физических векторов. Из единичных векторов (ортов) осей координат ii, i2, »з, соединяя их попарно в диадные произведения ipiq (p,g= 1,2,3), можно составить девять «координатных диад». Составим матрицу какой-нибудь из них. Замечая, что компоненты матрицы равны

（%加=（小刀&・八），

где справа стоит обычное произведение двух скалярных произведений ортов осей, удовлетворяющих равенствам

.(1,еслиr = p,.・ f 1,еслиs = g,

“(0,еслиr^p,( 0,еслиs，％

заключаем, что в каждой из матриц (не будем их выписывать) элемент, находящийся на пересечении р-й строки и gro столбца,, будет равен единице, а все остальные равны нулю. Такой тензор носит наименование «тензорной единицы» и обозначается заглавной буквой Е.

Не будем останавливаться на деталях различных применений диад и, в частности, «координатных диад»; отметим лишь следующее. Аналогично тому, как вектор а может быть представлен суммой

а = а"】+ “2% + 的％ = aptp,

так и тензор Р с компонентами р〃 допускает разложение

Р = Р“％г(23>

по диадам iql^

Разложение тензора второго ранга на симметричнуюи антисимметричную части. Сопутствующий антисимметричномутензору вектор. Инварианты. Сферическая и девиаторная частитензора

Тензор Р, компоненты которого не зависят от порядка индексов, так что

Р = Р, Р；，= "б,(24)

называется самосопряженным или симметричным тензором. Последнее наименование оправдывается тем, что согласно (24) в матрице самосопряженного тензора Р компоненты, зеркально расположенные по отношению к главной диагонали матрицы, одинаковы:

P[2 = P2I，Р23 np32, P3l = Р13.

У симметричного тензора различных компонент будет только шесть. Простейшим примером симметричного тензора может служить «тензорная единица» £, компоненты которой условимся, как это принято, обозначать через %. Тензор Е = 6 определяется равенством

£^ = @Е = а,(25)

что поясняет его наименование.

1, если0, если1, если0, если(26)(26)Из определения (25) следуют значения компонент тензорной единицы *):

1, если

0, если

1, если

0, если

(26)

(26)

=

так что матрица тензорной единицы имеет вид

Приняв за определение тензора Е задание его компонент (26), необходимо убедиться, что компоненты удовлетворяют равенствам (26) в любой системе координат. Имеем по определению тензора £

% = %%“§, или по (26)

% = %产"・(28)

Сумма 仪卩心“，стоящая в правой части равенств (28), согласно (6) равна нулю, если q 生 р, к единице, если 夕=» р, т. е.

а это и означает, что матрица (27) сохранит свой вид в любой системе координат (свойство изотропии тензорной единицы).

Пользуясь ранее отмеченным свойством матриц координатных диад, разложим по ним тензорную единицу. Будем, очевидно, иметь

Е = "1 + 力2% + % 力 з = 6 阿％g・(29)

Наряду с симметричными тензорами рассматриваются еще антисимметричные, или кососимметричные, тензоры Q, обладающие свойством

Q* = — Q, Qrs = — Q$n

т. е. такие, что при изменении порядка индексов знак компоненты меняется на противоположный:

Q12 = — Q2b Q23 = — Q32, Qai = — Q13,(30)

причем, очевидно,

Qu == Q22 = Q33 = 0.(31)

Среди возможных видов матрицы антисимметричного тензора выделим тот, в котором будут фигурировать только компоненты Q12, Q23, Q31 с индексами, имеющими порядок круговых перестановок индексов 1, 2, 3. Матрица будет иметь вид

/ 0Q12 — Q31、

I — Ql20Q23 !•(32}

' Qai — С?280 /

Различных компонент у антисимметричного тензора — три. Докажем, что из взятых в порядке

f I = Q23, C2 = Q31, С3 = Q12(33>

компонент антисимметричного тензора Q с подстрочными индексами, образующими круговую перестановку, можно образовать физический вектор с. Примером такого вектора может служить угловая скорость, о чем будет речь в конце настоящего тома курса.

Для доказательства воспользуемся условием (12) физично- сти тензора Q, причем в целях простоты выпишем в развернутом виде выражение одной из компонент, например Q%==c；, в «новой» системе координат (《2》и《3》一свободные, г, s — немые индексы):

Q:3 = 4 =a2凡28 = (a21a32Q12 +a22。3&21) +

+ (a23a32Q32 +。22。33、23)+ (a21a33Q13 + a23a31Q13)r

в этом равенстве учтено, что Qu = Q22 = Q33 = 0. Замечая, что по (30) и (31) Q32 = —С?2з = —Ci, Q】3 = —Qai = —&, Q21 =

=—Q12 = —&, перепишем предыдущее равенство в виде

q = (0^2a33 一 tt23a32)% + (a23%1 -a21a33)С2 + (a21a32 - %2a31)03，(")

Возведем определитель матрицы (таблицы) косинусов углов между осями координат (см. стр. 113) в квадрат. Членами полученного при этом нового определителя будут суммы произведений apraqri равные согласно (6) единице при р = ^ и нулю при р * q、что соответствует диагональным и недиагональным членам определителя. Квадрат определителя равен единице, а следовательно, будет равен взятой со знаком плюс либо минус единице и определитель матрицы косинусов углов между осями «старой» и «новой» систем координат (вертикальные черты обозначают определитель)

=士 1,=士 1,а“ а(г «1зI ^rs I === а21 «22 а?з«з( аз? «зз

=士 1,

=士 1,

причем верхний знак в правой части выражает то, что《старая» и «новая» системы координат сонаправаень、т. е. обе правые или обе левые, нижний знак соответствует случаю разнонаправленных координатных систем.

По свойству взаимности определителя можно приравнять элементы его первой строки алгебраическим их дополнениям, т. е. положить

«n - 土(a22a?3 -a23a32),a氏-± (023«31 一 «21а33)»

d[3 = ± (a2田32 -a22a3[).

При этом равенство (34) перепишется в виде

с； = ± ( %[% + а%% + ai3f3)»

и к нему можно присоединить аналогичные равенства для других компонент с в «новых» координатах:

% = ± (a2i^l + a22c2 +。23°3)，

4 = ± (a31f I +a32c2 +a33%)，

Полученные выражения проекций вектора с； в «новых» координатах через «старые» cs запишутся в краткой форме так:

с； = ± %% (г = 1, 2, 3).(35)

Вектор с с компонентами Q23, Q31, Q12 носит наименование «сопутствующего» антисимметричному тензору Q. При помощи этого сопутствующего вектора можно доказать, что произведение антисимметричного тензора на вектор справа или слева приводит к векторному произведению, сомножителями в котором

служат данный и сопутствующий антисимметричному тензору векторы. Действительно, имеем для произведения на вектор справа

(Qq)1 = Q11@1 + Qi2a2 + Q13&3 = Q12&2 — Qai^3 = &。2 —。2。3,

(Qa)2 = Q21@l + Q22Q2 + Q23^3 h 一 Q12@l + Q23&3 =白的 一。3费1，

(Qa)3 = Q31al + Q32a2 + Q33% = Q31al — Q23a2 = c2al 一。心2

и для произведения на вектор слева

他Q)1 n %Qu + &Q21 +。3、31 u — Q12@2 + Q31^3 u。2。3 — &&,

(QQ)2 n ^1Q12 + 电Q22 + 03Q32 === Ql2al 一Q2303 ==e3"1 -01a3,

(QQ)3 = ^1Q13 + Q2Q23 + @3Q33 =、23。2 — Q31al E C]°2 —。2°1・

Эти равенства эквивалентны следующим векторным:

Qq =。X с, aQ = с X а,(36}

в которых порядок сомножителей в левой и правой частях различен.

Если обозначить через с* ® —с сопутствующий вектор для сопряженного с Q антисимметричного тензора Q*, то можно предыдущие равенства переписать еще в виде

Qa = 0Q* =，Xa, 1 aQ = Q*a = q X。\ j сохраняющем порядок сомножителей слева и справа.

Наличие двух знаков в правой части (35) говорит о том, что при разнонаправленности «старой» и «новой» координатных систем переход от одной из них к другой сопровождается изменением направления вектора на противоположное. Векторы, обла- дающие этим свойством, «объективны» по величине и линии действия, но не по стороне, в которую они направлены. Это характерное отличие лишает их права полностью считаться истинными, физическими векторами; их называют псевдовекторами, иногда аксиальными векторами.

Примерами таких псевдовекторов могут служить, как мы только что видели, векторное произведение двух физических векторов, а следовательно, вектор момента силы относительно точки, момент пары сил, вектор угловой скорости вращения абсолютно твердого тела.

Покажем, что всякий (асимметричный) тензор Р можно представить в виде суммы двух тензоров; симметричного S “ антисимметричного А.

Пользуясь определенными ранее операциями сложения тензоров и умножения их на скаляр, составим тождество

Pw；(P + P*) + ^(P-F).(38)

В первой скобке стоит симметричный тензор, так как от за* мены Р на Р* н Р* на Р значение этой скобки не изменится, вторая скобка содержит антисимметричный тензор, так как при замене Р на Р* и Р* на Р изменится знак заключенной в этой скобке величины. Таким образом, вводя обозначения

S = } (Р + F); 4 = ^ (Р — Р)(39)

получим

P^S + A.(40)

Это разложение будет иметь важное значение при рассмотрении в отделе кинематики вопроса о бесконечно малом перемещении, а также о движении элементарного объема деформируемой сплошной среды, в частности жидкости.

В связи с применениями тензорной алгебры в механике сплошных сред, необходимо познакомиться со свойством инвариантности, т. е. независимости от выбора системы координат, некоторых скалярных совокупностей компонент тензоров второго ранга, именуемых инвариантами тензора.

Физический скаляр представляет, как уже было ранее пояснено, сам по себе инвариант. Физический вектор имеет один инвариант; это — его длина, т； е. абсолютное значение изображаемой вектором физической величины. Тензору второго ранга соответствуют следующие три, являющиеся скалярами, инварианта:

линейный инвариант 厶,равный сумме диагональных компонент тензора Р:

/] = "U +「22 + Рзз == Pm(41)

называемый «следом» тензора.

Квадратичный инвариант J2, равный сумме попарно взя・ тых произведений всех компонент тензора:

Л — PrsPrs，(42)

служащий аналогом квадрата длины ад вектора а.

Кубический инвариант /3, равный определителю матрицы тензора:

Ри Pl2 Pl3

Л = P21 Р22 Р23 = det prs.(43)

P3I Рз2 Рзз

Не будем останавливаться на доказательствах инвариантности /1, 了2,」з・ Доказательства эти основываются на условиях физичности (12) или (13) тензора Р.

Пользуясь первым инвариантом 厶，можем получить разложение тензора второго ранга на сферическую (шаровую) и

девиаторную части. Имеем тождество

Pn§LE + (P_^J, Е)三内)+ Р 由.(44)

Первое слагаемое P^s\ как произведение скаляра (l/3)/i на тензорную единицу Е, обладает тем же свойством изотропии. что и Е. Компоненты тензора Р(§) не зависят от изменения си^ стемы координат, т. е. от поворота осей; они удовлетворяют условию сферической симметрии, и поэтому тензор Р“)называется «сферическим» или «шаровым». Тензор Р(“)представляет собой отклонение (девиацию) тензора Р от сферической части и носит наименование «девиатора» тензора Р.

Главные оси и главные значениясимметричного тензора

Пусть задан симметричный тензор S и некоторое, пока неопределенное, направление с единичным вектором е. Выясним, существуют ли для данного тензора S такие направления, соответствующие вектору е, чтобы в результате умножения тензора S на вектор е получился вектор того же направления, скажем 九％ где X ——пока неизвестный скаляр. Для исследования такой возможности запишем требуемое условие в виде равенства (Е — тензорная единица)

Se =九％ или (S — ХЕ) е==0.(45)

Проектируя это векторное равенство на оси координат и выражая тензоры через их компоненты, получим три равенства:

(5ц —九)《1 + $12^2 十 S13& = О,

512^1 +(S22 —九)後 + $23。3 = 0,(46)

S13?i + S2羽2 +(S33 -九)备-0, которые можно рассматривать как однородную систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных 也，&, Сз. Система эта имеет тривиальное решение е( = е2 = е3 = 0, которое, однако, противоречит очевидному условию

£； + % +考=1・(47)

Условие того, чтобы однородная система уравнений (46) имела решения, отличные от нуля, заключается, как известно, в равенстве нулю определителя системы:

«11 一 九 S【2$13

帛12 北2— A $23= 0,(48)

Sl3$23$33 —九

а это приводит к необходимости решения относительно X алгебраического уравнения третьей степени, называемого «характеристическим».

Остановимся на общем случае трех неравных корней уравнения (48), которые обозначим 厶(D, А(2), А(з)； подчеркнем, что это три скаляра. Система уравнений (46) при выполнении условия (48) позволит определить три единичных, соответствующих каждому из корней A/卩)(р == 1, 2, 3) вектора е(。)(р = 1, 2, 3) и тем самым три различных направления в пространстве. Докажем, что эти три направления взаимно ортогональны. Для доказательства составим уравнения (45) для двух каких-нибудь значений 入⑴，九⑵ и соответствующих им е⑴，е⑵.Будем иметь

(S — 九⑴ £) е ⑴=0, (S - %(2)Е) е(2)= 0.

В левых частях этих равенств стоят произведения тензоров на векторы, т. е. векторы. Умножим обе части этих равенств скалярно на е^ и e(D. Найдем

"2). Se⑴=A产⑴•評),<?(1)• Se(2)=A2*)• №)■(49)

Заметим, что, в силу симметричности тензора S, будет

е⑵・ se⑴=甯)(spqe^)=齊(％嚕)=©⑴• S№), так что, вычитая почленно одну из другой обе части равенств (49), получим

0 = (#!)-А(2))©⑴・"2),

откуда, в силу предположенного неравенства корней характеристического уравнения (Х(1) #= ^(2))» следует

е⑴•鼠2} = о(50)

Аналогично доказываются и равенства е⑶・е⑶=0 и е(з)・е(1)= о, Что подтверждает взаимную ортогональность единичных векторов e(D,纟⑶，е⑶，а следовательно, и осей, по которым они направлены.

Можно убедиться, что три не равные друг другу корня 九⑴, 入(2)и Х(3) должны быть вещественны. Действительно, пусть, например, корни A/D и Х(2) — комплексные и, следовательно, сопряженные величины, тогда таковыми же будут и проекции

齊=、+ V» 嚟=% — v>

сумма произведений которых будет равна (суммирование по Р= 1,2)

Скалярное произведение е(п・е(2), равное этой величине, не могло бы быть, по только что доказанному, равным нулю, что и дока-

зывает вещественность не равных между собой корней характеристического уравнения （48）.

Три взаимно ортогональных направления, соответствующих единичным векторам е⑴，е⑵，©⑶，определяют главные оси симметричного тензора. Докажем, что если принять за оси координат главные оси, то диагональные компоненты симметричного тензора S будут равны корням характеристического уравнения Х/D,九（2）,九（з）, а недиагональные равны нулю; диагональные компоненты называются главными значениями симметричного тензора.

Действительно, из равенства （45） следует, что （по р не суммировать!）

Se（"）= #p）dp）;

тогда

Se^ • e（s = А/"）е（р）・ e（q）=九（卩论吋

九（叫 если q = р,О, если q#p.九（叫 если q = р,О, если q#p.Обозначим штрихом компоненты тензора S в главных осях; тогда из последнего равенства будет следовать

九（叫 если q = р,

О, если q#p.

九（叫 если q = р,

О, если q#p.

（51）

（52）（52）что и доказывает ранее высказанное положение. Матрица симметричного тензора в главных осях будет иметь вид

（52）

（52）

入⑴

0

0

0

九⑵

0

0

0

九⑶

В случае кратности корней, например М〔）=九（*, только третья главная ось будет иметь определенное направление в пространстве, характеризуемое единичным вектором е（з）. Остальные главные оси будут расположены в перпендикулярной к о（з） плоскости, и положение их будет определяться с точностью до произвольного поворота вокруг третьей главной оси с ортом е（з）. Не будем останавливаться на доказательстве этого положения.

В случае равенства между собой трех корней характеристического уравнения （Х（1）=九（？）= Х（3） = 1） все направления в пространстве являются главными. Такой тензор S обладает свойством изотропии и называется, по предыдущему, шаровым или сферическим. У этого тензора все компоненты равны X, так что

S =九 £,

или, в матричной форме,

/X 0 0\ / 1 о 0\（0X0 ） = 010）.\0 О Л / \0 0 1/

Выражение для компонент Spq тензора S в произвольных осях координат через главные компоненты s(D = MR 鼠汾=М?* s(3)=九⑶ по общим формулам связи компонент в двух системах координат (12) будет иметь вид

Spg = ар1%1 九⑴ + ctp2aq2 九⑵ + арз<М 九⑶， (53) где главные оси приняты за «старые》； краткая форма этой записи в данном случае непригодна, так как индексы 1, 2, 3, по которым производится суммирование в правой части, повторяются в каждом слагаемом не два, а три раза.

Тензор S в главных осях имеет диадное представление

S =九⑴е⑴е⑴+ аЯe(%⑵+%(呢⑶e" (54)

Проекции вектора, равного произведению вектора а на тензор S или, что в случае симметричного тензора одно и то же, тензора S на вектор а, на главные оси будут по определению (16) равны (по р не суммировать!)

(Sa% = ^ар (р=1,2,3). (55)

Глава IX

ТЕНЗОР НАПРЯЖЕНИЙ. НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯРАВНОВЕСИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ

Тензор напряжений

Равенства Коши (12) гл. VII можно рассматривать как линейную векторную связь между физическими векторами рп и п, а коэффициенты р”，р21 и т. д.— как компоненты физического тензора, который, как уже упоминалось в § 30, называется тензором напряжений и будет обозначаться заглавной буквой Р. Название это объясняется тем, что компонентами тензора Р являются касательные и нормальные напряжения в данной точке среды.

Тензор 7\ как единая физическая величина, характеризует напряженное состояние сплошной среды в данной ее точке. В отличие от вектора напряжения "% тензор напряжений Р является однозначной функцией точки и, следовательно, образует поле.

Матрица коэффициентов при пь п2,九з в системе равенств (12) гл. VII

/ Ри"21Р31、

I "12"22032 )(1)

\Р13Р23РЗЗ 丿

соответствует сопряженному тензору Р*, так как первый индекс относится к столбцу, а второй — к строке, но, как было показано в конце § 28, касательные напряжения обладают свойством взаимности, а следовательно, тензор напряжений симметричен, так что Р = Р* н матрица (1) может быть переписана в обычном стандартном виде:

/Р11 Р12 "13、

I P2I "22「23 I •⑵

' "31「32 "ЗЗ /

Правые части равенств Коши (12) гл. VII можно рассматривать как проекции произведения, в данном случае благодаря симметрии тензора напряжений, безразлично тензора на

5 Л. Г. Лойцянекий, А. И. Лурье

вектор или вектора на тензор!

рп = Рп = пР. (3)

Преимущество формулы (3) перед аналитической формой тех же равенств (12) гл. VII заключается в том, что в ней напряжение, приложенное к любой площадке в сплошной среде, прямо выражается через произведение двух основных факторов: напряженности в данной точке среды и ориентации пло^ щадки в ней. Формула (3) имеет объективный характер, не зависящий от выбора направлений осей координатной системы.

Линейный инвариант [(41), гл. VIII] тензора напряжений равен сумме нормальных напряжений:

‘1 = Ри + Р22 + Рзз, (4) а взятое с обратным знаком среднее арифметическое трех нормальных напряжений принимают за давление р в данной точке среды, полагая

р = — ("“ + />22 + Рзз)=工 扌厶， ⑸ так что, разлагая тензор напряжений на сферический тензор и девиатор, будем иметь, согласно (44) предыдущей главы,

Р^-рЕ+(Р + рЕ). (6)

В главных осях тензора напряжений Р недиагональные компоненты его матрицы — касательные напряжения — равны нулю, а диагональные — нормальные напряжения ——главным напряжениям, которые обозначим через "С>, р(2\ р®》

Выражения компонент prs тензора напряжений Р в любой системе координат через главные напряжения /?(】)，"以)，р(з)бу* дут, согласно (53) предыдущей главы, иметь вид

Prs = %№1Р⑴ + %2as2P⑵ + а「з%з"⑶(r, s = 1,2, 3). ⑺

В системе главных осей тензора напряжений Р равенства Коши (12) гл. VII примут вид

pа1 = p⑴小，0割2 =酬"⑵，р«э = p⑶叫 (8) где n《n, ri。)，п(з> — косинусы углов между нормалью я к площадке, к которой приложен вектор напряжения 卩办 и главными осями.

Проиллюстрируем изложенные представления на некоторых простейших примерах напряженного состояния сплошной среды в условиях ее относительного покоя.

В качестве первого примера рассмотрим равновесие идеала но текучей среды, т. е. такой, в которой при ее относительном покое отсутствуют касательные напряжения. К такого рода

средам принадлежат все газы и большинство жидкостей (вода, спирт и др.), не обладающих специальной молекулярной структурой. Исключением являются масляные краски, глинистые растворы и другие так называемые вязкопластичные жидкости. В такого рода реологических жидкостях при равновесии их касательные напряжения (например, трение) отличны от нуля и обладают некоторым «предельным» значением.

Из условия отсутствия касательных напряжений при равновесии идеально текучей среды следуют равенства

Р12 == Р21 — Р23 = Р32 == Р31 ― Р13 = 0,(9)

и, кроме того, из того же условия на наклонной площадке следует, что

Рп = РпП.(Ю)

Таким образом, равенства Коши (12) гл. VII сведутся к следующим:

РМ =加〃1，儿拉2 = Р^ Р〃〃з = Рзз^з-

Произведя очевидные сокращения, найдем

Ри = Р22 = Рзз = 〃л・(11)

Отсюда следует, что при равновесии идеально текучей среды нормальные напряжения не зависят от ориентации сечения в среде. Общую для всех площадок в данной точке среды величину рп обозначим, через —р, а саму величину р назовем гидростатическим давлением в данной точке среды.

Гидростатическое давление представляет собой скалярную, инвариантную величину, измеряемую в ньютонах на квадратный метр [Н/м2] или, что то же, в паскалях (Па).

Таблица тензора напряжений в случае равновесия идеально текучей среды принимает вид

—роо\/1оо\

о—ро) = —01о 1(12)

оо\оо1 /

или, согласно определению тензорной единицы Е,

Р = — рЕ・(13)

Отмеченная только что изотропия тензора напряжений в находящейся в равновесии идеально текучей среде, т. е. независимость величины нормального напряжения от ориентации площадки, к которой оно приложено, составляет содержание известного закона Паскаля.

Другим также простым примером может служить плоское напряженное состояние, соответствующее чистому сдвигу среды. Будем считать, что сдвиг осуществлен в плоскостях,

параллельных плоскости чертежа xix2, так что третья ось х3 перпендикулярна к этой плоскости (рис. 87). Опуская пока вопрос о деформации тела в этом случае — об этом пойдет речь в конце следующего отдела, — заметим, что при чистом сдвиге отсутствуют напряжения, приложенные к площадкам, перпендикулярным к оси Хз, т. е.

Р13 = Р23 = Рзз = °；

кроме того, равны нулю и нормальные напряжения рн и /?22・кроме того, равны нулю и нормальные напряжения рн и /?22・Остаются ^лишь касательное напряжение pi2 и равное ему ргьОстаются ^лишь касательное напряжение pi2 и равное ему ргьРис. 87.Рис. 87.Диадное представление тензораДиадное представление тензоражений, согласно (23) предыдущей будет иметь виджений, согласно (23) предыдущей будет иметь видР = Р12(汕+ Ul)・Р = Р12(汕+ Ul)・Найдем главные оси и главныеНайдем главные оси и главныенапря- главы.напря- главы.(14)(14)напря-напря-жения тензора Р. Для этого составим характеристическое уравнение. При равенстве нулю всех нормальных напряжений и нали-жения тензора Р. Для этого составим характеристическое уравнение. При равенстве нулю всех нормальных напряжений и нали-4ии только двух касательных pi2 и 「21 характеристическое уравнение примет форму4ии только двух касательных pi2 и 「21 характеристическое уравнение примет форму—РР12Р21 — Р оо—РР12Р21 — Р ооОО = — Р (р2 — 呢)=0,ОО = — Р (р2 — 呢)=0,(15)(15)

кроме того, равны нулю и нормальные напряжения рн и /?22・

кроме того, равны нулю и нормальные напряжения рн и /?22・

Остаются ^лишь касательное напряжение pi2 и равное ему ргь

Остаются ^лишь касательное напряжение pi2 и равное ему ргь

Рис. 87.

Рис. 87.

Диадное представление тензора

Диадное представление тензора

жений, согласно (23) предыдущей будет иметь вид

жений, согласно (23) предыдущей будет иметь вид

Р = Р12(汕+ Ul)・

Р = Р12(汕+ Ul)・

Найдем главные оси и главные

Найдем главные оси и главные

напря- главы.

напря- главы.

(14)

(14)

напря-

напря-

жения тензора Р. Для этого составим характеристическое уравнение. При равенстве нулю всех нормальных напряжений и нали-

жения тензора Р. Для этого составим характеристическое уравнение. При равенстве нулю всех нормальных напряжений и нали-

4ии только двух касательных pi2 и 「21 характеристическое уравнение примет форму

4ии только двух касательных pi2 и 「21 характеристическое уравнение примет форму

—РР12

Р21 — Р оо

—РР12

Р21 — Р оо

О

О = — Р (р2 — 呢)=0,

О

О = — Р (р2 — 呢)=0,

(15)

(15)

а главные напряжения будут равны

61)=p⑵ p⑵=0, p ⑶=-р[2・(16)

Чтобы указать направление главных осей тензора Р, применим систему уравнений (46) и дополнительное условие (47)' предыдущей главы к проекциям единичных векторов (ортов) главных направлений ^⑴，е⑵，е(з)на оси 修，х2, %з・ Тогда получим систему уравнений

-p^ + 円2*=°，&吧一p12明=0，

-р^ = 0, 4尸 + е£)‘ + eg)‘ = 1.()

Согласно известному условию нетривиальности (не равенства нулю) корней однородной системы уравнений одно из пре* дыдущих уравнений должно быть следствием других. Это положение оправдывается тем, что второе уравнение повторяет

первое. Решая остающуюся систему уравнений, найдем

碎）=國）=土,齊=О,

42）=嚟=0, 噌=士 1,外$ =—磴）=土 •—=-, 穹）=0.

Сопоставляя полученные значения проекций единичных векторов e（i）, е（2）, е（з）, убедимся, что главные оси e（D и е（з）будут направлены （рис. 87） по диагоналям квадрата, стороны которого параллельны осям координат %i и х2» а орт главной оси е（з）будет перпендикулярен к плоскости сдвига, т. е. направлен по »з・

§ 37. Формула Гаусса — Остроградского

Для вывода уравнений равновесия сплошной среды нам по* надобится общая формула векторного анализа, носящая наименование интегральной формулы Гаусса — Остроградского.

Эта формула связывает интеграл, взятый по замкнутой поверхности, с интегралом по объему, ограниченному этой поверхностью.

Остановимся сначала на выводе формулы Гаусса — Остроградского в ее простейшем применении к скалярной функции Ф（хь 尤2, %з） и ее производной по координате х，

В дальнейшем условимся различать дифференциалы, выражающие приращения некоторой' величины вследствие бесконечно малого изменения времени, и сохраним для таких дифференциалов обычное обозначение буквой d, а для дифференциалов, определяющих произвольные малые величины в пространстве в данный фиксированный момент времени, например бесконечно малые отрезки, площадки, объемы и т. п., будем применять символ 6.

В рассматриваемом простейшем случае формула Гаусса — Остроградского имеет вид

屮拉I。。' （18） 卡 a

где слева стоит интеграл, вычисляемый по некоторому объему %—объемный интеграл от частной производной функции <р по хь а справа — интеграл, вычисляемый по поверхности о, ограничивающей объем т,— поверхностный интеграл от значений функции ф, умноженных на косинус угла между единичным вектором внешней нормали л к поверхности о и осью %ь Интегралы представляют суммы бесконечно малых величин -^-6т

по элементарным объемам — в объемном интеграле и ^П\6а — по элементам поверхности — в поверхностном интеграле. Мы тотчас будем производить непосредственное вычисление этих сумм, что поможет выяснению смысла введенных в (18) интегралов,

С этой целью разобьем объем t (рис. 88) на тонкие цилиндрические трубки вдоль оси 打 (на рис. 88 они показаны пунктиром), ограниченные по краям, в точках М в N, малыми площадка- ② ми AED и Ао(2)・ Для простоты бу- 弓 дем считать поверхность о выпуклой, т. е. такой, что ось Мх\ цилиндрической трубки будет пересекать поверхность а только в двух точках М и М Разделим отрезок 而на力 равных малых частей й и

（誥〉（誥〉<Ps + l — $s<Ps + l — $sчерез точки деления проведем равные между собой нормальные сечения А ст. Объем трубки разобьется на малые объемы Дт = =九 Ао. Производную д^/дх\ можно приближенно выразить как (^ ——знак приближенного равенства)

（誥〉

（誥〉

<Ps + l — $s

<Ps + l — $s

где индекс s обозначает номер сечения, а 屮$ ——значения функции 屮 в этом сечении.

Часть объемного интеграла, стоящего в левой части равенства (18), вычисленную по длине выделенной трубки, можно приближенно представить суммой

亠一~L а0 •九十 - J「4 Ao •九 + .., T——山z——- Act •九=

=(屮2 -①「+①3 一①2 + • • • +屮e+1-屮々)A0 или, после очевидных сокращений, в форме только двух крайних слагаемых:

—(PiAo + 5+iAo.(19)

Для крайних значений функции 屮 на поверхности о введем обозначения ^1)и 屮(?)； кроме того, обозначим через До(1), Ао(2) малые площадки, образующиеся в пересечении поверхности цилиндрической трубки с поверхностью о, а через 几^)и л<2)— орты внешних нормалей к этим площадкам. Легко видеть, что сечения Да являются проекциями площадки Да(1) или Да<2)на плоскости, перпендикулярные к оси %ь так что*, принимая во внимание отрицательный знак косинуса тупого угла между 九°) и осью %ь получим

Ао = — 缉)АМ)= n^ ^.(20)

(21)(21)Это позволит переписать выражение (19) в виде ①⑴/i?AW)+(p ⑵九 0А^2),

(21)

(21)

представляющем собой сумму двух элементов поверхностного интеграла, стоящего в правой части равенства (18), относящихся к краям трубки.

Суммируя теперь элементы объемного интеграла в цилиндрической трубке для всех трубок, составляющих объем * и элементы поверхностного интеграла (21) по поверхности о и затем переходя к пределу, соответствующему убыванию величин интервалов дробления объема т и поверхности о до нуля, докажем справедливость формулы (18).

Аналогично (18), для осей, параллельных х2 и х3, получим

татат о (22)

та

та

Умножая почленно обе части равенств (18) и (22) на орты осей координат &, /2, »з и складывая, получим

\ (~^Г “ + ^^"" + ~^" %)。電=\(“1" + 做"+ 九3tз) Ф Sa. (23)

Вектор с проекциями d^fdx^ d(p/dx2i 5ф/<?х3 носит 'наимено^ вание градиента скалярной функции qp и обозначается символом grad ср. Подробнее о градиенте см. в начале § 75, спе^ циально посвященного дифференциальным операциям поля. Формуле (23) можно придать вид

\ grad ср бт = ^ пф Scr,(24)

являющийся векторным представлением формулы Гаусса — Остроградского для операции градиента над скалярной функцией.

Применим широко распространенный в векторном анализе символический прием, полезный для запоминания последней и следующих формул. Введем дифференциальный оператор V как условный вектор с проекциями V/ = d/dxi (i = 1} 2, 3), так что, например,-только что введенный вектор градиента grad ср будет символически выражаться как произведение V(p. Тогда предыдущая формула Гаусса — Остроградского примет символический вид

?(рбт=： ^ л(р ба, (25)

который легко запоминается, если заметить, что оператору V в объемном интеграле слева соответствует единичный вектор п нормали к поверхности от в поверхностном интеграле справа.

Равенству (25) можно придать символическую операторную форму

\ V …6т = , /г ・• • 6о,(26)

где вместо многоточий, стоящих в обеих частях этого равенства, можно подставлять любую, как скалярную, что будет соответствовать символическому равенству (25), так и вектор- ную либо тензорную, функцию. Для доказательства только что указанной общности символической формулы (26) достаточно применить равенства (18) или (22) сначала к проекциям вектора или компонентам тензора, а затем объединить полученные результаты в соответствующие векторные илн тензорные формулы. Покажем это на непосредственно нужной для дальнейшего тензорной функции Ф.

Объединяя формулы (18) и (22) в применении к алгебраическим величинам компонент ①在/ (々，2=1, 2, 3) тензора Ф, будем иметь (й — «немой» индекс суммирования)

!醤』!拉网 60(/=1,2,3),

или, согласно принятой символике,

\ 弘①^ 6t = \ 曲①^ Sa (/=1,2,3).(27)

%о

Вспоминая введенное в гл. VIII определение операции умножения вектора на тензор, получим вместо (27)

,(V①)/6t=\g①)冷。(/=1,2,3),

или, умножая последовательно обе части этих равенств на 力【и складывая их между собой,

УФ6т= ^пФба.(28)

Вектор V① с проекциями (суммирование по k)

(▽①)z = 7也1 =еr

называют дивергенцией тензора и обозначают символом Div Ф.

(для за-(для за-Проекции вектора Div Ф на оси координат будут поминания их полезно подробно выписать)

(для за-

(для за-

(Div ①)i = (V ①)尸

(Div ①)2 = (V①)2

(Div ①)3 = (V ①)з =

°①"丄°①21上°①31

dxi dx^*~ ~3汇3，

ЭФ12 I 。① 22 I d ① 32

0%1十3%2十0%3了

0① 13 1 3①23 I 0①33 .

Oxi'芯*d同 *

(29)

или, в краткой форме (суммирование по й), (Div ①)尸総Q = 1,2,3).

Равенство (28) принимает свой обычный вид: \ Div ① 6t = \ пФ 6о, Iо

(30)

(31)

где под знаком поверхностного интеграла стоит произведение вектора п на тензор Ф слева.

Тензорная форма формулы Гаусса — Остроградского (31) получает применение в следующем параграфе при выводе уравнений равновесия сплошной среды.

§ 38. Уравнения статики сплошной среды《в напряжениях»

Согласно изложенному в § 3 принципу затвердевания, в число необходимых условий равновесия деформируемого тела

входят уравнения равновесия абсолютно ветствующего «затвердевшему» деформируемому телу, под действием внешних сил. Эти условия являются необходимыми, но не достаточными условиями равновесия деформируемого тела.

Составим еще одно, также только необходимое условие равновесия деформируемого тела, но, в отличие от предыдущего, учитывающее взаимодействие внутренних сил в сплошной среде.

Для получения необходимых и достаточных условий равновесия надо при，

твердого

тела, соот-

нять во внимание физические свойства сплошной среды гость), без чего система уравнений равновесия сплошной

(упру-среды

сохраняет свой неопределенный характер, а задача о равновесии остается статически неопределенной.

Выделим в сплошной среде произвольный объем т (рис. 89)； ограниченный поверхностью а. К элементу объема 6т приложена

сила pF 6т, где F — ранее упомянутая объемная сила, а к элементарной площадке 6а, ориентированной согласно единичному вектору нормали 〃 к поверхности о, — сила pnSa, где рп—лектор напряжения в точке ^ поверхности о.

Запишем необходимое, согласно принципу затвердевания, условие равенства нулю главного вектора приложенной к объему т 〃 & ограничивающей его поверхности о совокупности сил. Будем иметь

\ % 6о 十 \ pF 6т = 0,(32)

от

где первый интеграл, взятый по поверхности о, представляет собой главный вектор внешних поверхностных сил р„6а, приложенных к элементам поверхности и, а второй — сумму (главный вектор) сил pF6r, приложенных к элементам объема t.

Применяя равенство Коши в форме (3), приведем уравнение равновесия (32) к виду

\пР6о+\ pF 6т = 0,(33)

Перейдем от поверхностного интеграла к объемному его эквиваленту, использовав для этого формулу (30). Будем иметь

лР6а= DivP6%

и уравнение равновесия (32) приведется к виду

\(DivP + ")M = 0・(34)

Пользуясь произволом в выборе объема т, применим равенство (33) к элементарному объему 6т. Тогда интеграл, стоящий в левой части, сведется к одному слагаемому, так что вместо (34) получим равенство

(DivP + pF)dT = 0.

Замечая, что 6t представляет собой произвольную бесконечно малую величину, но не равную нулю, разделим обе части предыдущего равенства на 5T и получим искомое уравнение статики «в напряжениях^:

Div|P + pF = 0,(35)

которое, в проекциях на оси координат 工卜 亢2, #з, согласно (29) приведется к системе трех дифференциальных уравнений в ча^

стных производных относительно неизвестных зора напряжений:

компонент тен-компонент тен-* dx2 * 0%3 汕 3 I 方23 I 0p3з* dx2 * 0%3 汕 3 I 方23 I 0p3зЬ Р尸2 = 0,Ь Р尸2 = 0,+ pF3 = 0.+ pF3 = 0.(36)(36)+~Р尸 1=0,

компонент тен-

компонент тен-

* dx2 * 0%3 汕 3 I 方23 I 0p3з

* dx2 * 0%3 汕 3 I 方23 I 0p3з

Ь Р尸2 = 0,

Ь Р尸2 = 0,

+ pF3 = 0.

+ pF3 = 0.

(36)

(36)

По ранее доказанному свойству симметрииПо ранее доказанному свойству симметриитензора напря^ жений касательные напряжения, отличающиеся порядком ин-« дексов, равны между собой:

По ранее доказанному свойству симметрии

По ранее доказанному свойству симметрии

Р12 = Р21, 023 = Рз2, Рз1 = Р13・

Система трех уравнений равновесия заключает в себе шесть неизвестных компонент тензора напряжений, что делает ее не^ достаточной для определения этих шести неизвестных.

Как уже ранее упоминалось, такой статической неопределен*' ности можно избежать, только вводя дополнительные допущен ния о физических свойствах сплошной среды, например о ее уп^ ругости, подчиняющейся закону Гука о пропорциональности тензора напряжений тензору деформаций. Об этом тензоре пойдет речь в конце второго отдела настоящего курса, посвященного кинематике.

Задачи равновесия упругой среды рассматриваются в кур-» сах сопротивления материалов и теории упругости.

Наиболее прост вопрос о равновесии идеально текучей среды (§ 32), в которой касательные напряжения отсутствуют, а нормальные определяются сферическим тензором —рЕ, где р — гидростатическое давление.

В этом случае, как легко видеть,

DivP = — grad ",

и уравнение равновесия в векторной форме примет вид

pF = gradp,(37)

или, в проекциях на оси координат,

=券，p% =黑，p 尸 3 =黑，(38)

Уравнения (38) носят наименование уравнений Эйлера гидростатики.

Интегрирование этих уравнений для различных заданий ой>емных сил 尸 и представляющих практический интерес форм границ жидкости рассматривается в разделах гидростатики

курсов теоретической и технической гидродинамики, а также гидравлики.

Уравнения (38) легко интегрируются для случая объемной силы тяжести, равной, как мы уже знаем,尸=g. Жидкость, подверженную силе тяжести, в отличие от «невесомой» называют «тяжелой» жидкостью. В этом случае уравнение (37) примет вид

Pg = grad ".(39)

Направляя ось Ох3 вертикально вниз, будем иметь gi = u g2 = 0, g3 = g, и уравнения (38) сведутся к одному такому:

pg =器(40)

Отсюда следует закон гидростатического давления в тяжелой жидкости:

р = pg%3 + const,

или, если ввести удельный вес у = pg, р — ух3 + const.(41)

Для определения константы поместим начало координат в точку на поверхности жидкости и обозначим давление в этой точке через % (обычно это атмосферное давление). Тогда, вводя за определение давления в жидкости величину

Р‘ = Р —Ра，

т. е. превышение гидростатического давления р над давлением на поверхности жидкости, запишем гидростатический закон (41) в форме

р' = уХз，(42)

Погрузим в тяжелую жидкость с удельным весом у твердое тело объема тис поверхностью о. Главный вектор R сил давления жидкости на поверхность тела, согласно равенству Гаусса —Остроградского, будет равен

/? = — ^ пр ба = — , grad р бт.ат

Но по (39)

gradp = pg = pg・《J« = pg 寻，

где G — вектор силы тяжести жидкости s объеме т, так что

R =—等、pg От = — G・(43)

В этом заключается известный закон Архимеда： тело, погруженное в .жидкость, теряет в своем весе столько, сколько весит жидкость в объеме погруженного тела. Главный вектор R называют архимедовой силой йли гидростатической подъемной силой в знак того, что она стремится вытолкнуть тело из окружающей его жидкости.

Легко вычисляется также момент сил давления тяжелой жидкости на поверхность погруженного в нее тела. Имеем по той же формуле Гаусса — Остроградского [см. (24) § 75] 七=—卜 X 〃р 6о =,九 X S 6。= \ V X ^Р Sr = ^ rot (рг) бт. (44) аатт

Замечая, что по известной формуле векторного исчисления, по (39) и очевидному тождеству rot г 三 О

rot (“)= protr + grad pXr = —г X grad p== — rX9g, перепишем (44) в форме

г X grad pdx = — ^ г X pg 6т.(45)

Вводя выражение вектор-радиуса гс центра тяжести вытесненного телом объема жидкости (§ 26)

Гс=Т ,尸 6т =2 卜pg6%

убедимся, что момент L можно представить как

七=—击卜pg 6т X G = — ^с X G,

или, по (43),

L = rcXR.(46)

Отсюда следует, что линия действия главного вектора сил давления жидкости на погруженное в нее тело проходит через центр тяжести вытесненного телом объема жидкости.

За деталями применения закона Архимеда к явлению плавания тел отсылаем к разделам гидростатики курсов гидравлики, а также теоретической и технической гидродинамики.

Во втором томе нашего «Курса теоретической механики», посвященном изложению динамики, основываясь на тех же представлениях, что и в настоящем параграфе, но обобщенных на случай движения сплошной среды, выведем уравнения 0〃< намики сплошной среды «в напряжениях».

Отдел второй

КИНЕМАТИКА

Глава X

УРАВНЕНИЯ Д&ИЖЕНИЯ ТОЧКИ

Введение. Основные особенности кинематическогоописания движения

Все движения материи происходят 6 пространстве и во времени. Это фундаментальное положение естествознания, относящееся к наиболее общему представлению о движении материи, в механике отражается только той своей частью, которая относится к механическому движению, заключающемуся в изменении во времени взаимного расположения материальных тел 6 пространстве.

В отличие от статики, в настоящем отделе, посвященном кинематике, отвлекаются от силовых взаимодействий между материальными телами и влияния на них силовых полей, а рассматривают механические движения тел в отрыве от того, какие силы создают и поддерживают их движения.

В связи с этим в отделе кинематики полностью отсутствуют такие физические понятия, как сила и масса. Принятая степень абстракции сближает кинематику с геометрией, но отличается от нее своей связью с изменением времени.

В отделе кинематики мы будем пользоваться представлением об «абсолютном пространстве», сопоставляя ему образ безграничного абсолютно твердого тела, чисто геометрические свойства которого не зависят ни от размещения в нем, ни от движения по отношению к нему материальных тел. В этом пространстве выбирается начало координат и три взаимно перпендикулярные координатные оси, служащие для определения положения отдельных точек тел.

Абсолютное пространство рассматривается как евклидово, т. е. все геометрические построения в нем отвечают основным положениям геометрии Евклида. Так, применение теоремы Пифагора позволяет определить квадрат расстояния между двумя точками как сумму квадратов разностей соответствующих координат точек и т. п.

Наряду с абсолютным пространством в классической кинематике используется понятие «абсолютного времени», одина-

§ 39. ВВЕДЕНИЁ. КИНЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЙ ДВИЖЕНИЯ 143 ково и равномерно текущего во всех точках абсолютного про* странства.

Такие абсолютные представления о пространстве и времени характерны для классической механики Ньютона, но противоречат современным взглядам на эти основные атрибуты мате* рии в релятивистской механике Эйнштейна. Этому вопросу будет посвящена отдельная глава во втором томе курса; заметим лишь, что все выводы классической механики с достаточной для практики точностью справедливы, если скорости движения малы по сравнению со скоростью распространения света, а размеры областей пространства, в которых происходит движение, далеки от космических расстояний.

Существенной особенностью содержания кинематики служит то, что движения тел происходят в системах координат (системах отсчета), движущихся друг по отношению к другу. В кинематике переход от одной системы координат к другой, дви^ жущейся по отношению к первой, приобретает самостоятельное и важное значение. Это служит основанием теории относитель* ных движений, в которой устанавливаются связи между кнне- матическими характеристиками' движений (траекториями, скоростями и ускорениями) в двух произвольно движущихся друг по отношению к другу системах координат. В этой теории одна какая-то координатная система принимается условно за «абсо^ лютно неподвижную», а другие — за движущиеся по отнотет нию к ней «относительные» системы координат. В отличие от динамики, абсолютная неподвижность какой-то одной, положенной в основу рассуждений системы отсчета не имеет объективного значения. Только в динамике стремление к установлению такой «абсолютно неподвижной» системы приобретает смысл. Так, среди всех возможных систем координат выделяют ее^ю центрическую систему с центром в Солнце, а осями координат^ ориентированными на так называемые «неподвижные» звезды. В динамике рассматриваются также «инерциальные», или «галилеевы», системы координат, движущиеся поступательно, пря^ молинейно и равномерно по отношению к системе, выбранной за «абсолютно неподвижную», а следовательно, и друг по отношению к другу.

«Подвижными», «относительными» системами при этом явятся, например, «земные», т. е. жестко связанные с вращающейся Землей, «лабораторные^ системы координат, а также различные «планетные» системы.

Требование объективности физических величин, упомянутое в гл. VII, заключалось в независимости их от произвольно выб-* ранных, но неподвижных друг по отношению к другу систем координат. В кинематике это требование, конечно, сохраняется, но не относится к изменяющим во времени свое положение в

пространстве подвижным системам. Так, например, вектор скорости по отношению к различным инерциальным системам координат будет иметь разные значения, хотя, как это будет разъяснено в начале следующего тома, динамические процессы во всех инерциальных системах будут одинаковы.

Предметом изучения кинематики служат те же модели материальных тел, что и принятые в статике. Это — материальная точка и система материальных точек, сплошная среда и ее частный вид — абсолютно твердое тело, но, конечно, в той степени абстракции от физических свойств, которая присуща геометрическим образам кинематики, о чем уже была речь выше.

Как уже подчеркивалось во введении, в отличие от большинства традиционных курсов теоретической механики, в заключительной части настоящего отдела уделяется внимание основам кинематики сплошных деформируемых сред. В частности, излагается расширение основной теоремы кинематики абсолютно твердого тела об общем случае перемещения и движения тела в пространстве на случай деформируемой среды и проводится выяснение кинематического смысла компонент тензоров деформаций и скоростей деформаций.

Уравнения движения точки. Траектория. Примерыпрямолинейных движений. Графики движений

Положение точки в пространстве будем определять ее век- тор-радиусом г относительно начала координатной системы Oxyz. Как уже известно из отдела статики, проекции вектор-ра- диуса на оси координат равны координатам точки:

г% =居 г? = У, ^2 = ^*»(1)

причем длина вектора г равна

г = “户 + р2 十 %2,(2)

а косинусы его углов с осями декартовых координат определяются формулами

8s(公)="/ + 支 + /,

cos (爲)="炉+% + ；，⑶

COS (Г, Z)-"'”

7炉+ ?2 +炉

При движении точки в пространстве координаты ее изменяются с течением времени. По закону изменения этих координат можно судить о характере движения точки. Предположим,

что нам заданы координаты точки в функции времени, т. е. Заданы уравнения

% = fi(/), y = fi (0» n = %(/)・ ⑷

Эти уравнения называют уравнениями движения точки в де* картовых координатах. Вместо декартовых координат х, у, г можно взять какие угодно другие координаты: полярные, сферические, цилиндрические и др. Выраженные в функции времени, они дадут уравнения движения точки в соответствующей системе координат.

Линия, описываемая движущейся точкой в пространстве, называется траекторией точки.

Уравнения движения (4), определяющие координаты точки в любой момент времени, могут рассматриваться как параметр рические уравнения траектории. При переходе от параметрических уравнений кривой линии к уравнениям, связывающим координаты точки, исключают параметр; так же поступают и в кинематике, исключая время из уравнений движения. Итак, для получения уравнений траектории необходимо из уравнений движения исключить время.

Рассмотрим сначала простейший случай движения точки —• прямолинейное движение, когда траекторией служит прямая линия.

В случае прямолинейного движения можно принять прямую, по которой движется точка, за одну из координатных осей, например за ось х. Положение точки на этой оси вполне определяется ее абсциссой х, и уравнение движения точки (в этом случае одно) будет

х = f (/)• ⑸

Чтобы сделать эту зависимость более наглядной, прибегают к построению графиков движения, т. е. изображают закон движения графически в виде соответствующей ему кривой, откладывая по горизонтальной оси время f, а по вертикальной — абсциссу X.

Примером прямолинейного движения является равнопеременное движение, заключающее в себе как частный случай равномерное прямолинейное движение. Направим ось Ох так, чтобы она совпала с направлением движения точки в начальный момент, и пусть начальная абсцисса х0 для определенности положительна. В отличие от равномерного движения, которое описывается линейной функцией:

⑹⑹% = %о + с 厶

⑹

⑹

линейное гармоническоелинейное гармоническое(8)(8)

линейное гармоническое

линейное гармоническое

(8)

(8)

равнопеременное движение описывается квадратичной функ

цией времени;

⑺⑺х = х^ + ct ±а^.

⑺

⑺

Здесь, как известно из общего курса физики, а — положитель

ная величина, определяющая ускорение, с — скорость в началь

ный момент (с>0). Характер дви< жения зависит от знака плюс либо минус в уравнении движения (7). Знаку плюс соответствует ускоренное движение, знаку минус — замедленное. Графики движения показаны на рис. 90. Это — параболы.

Для сравнения на рисунке приведена прямая линия, представляющая график равномерного движения с той же начальной абсциссой %。и скоростью с. Очевидно, tg а ■— с.

Примером широко распространенного прямолинейного неравно-

мерного движения служит прямо- колебательное движение, уравнение

которого имеет один из следующих видов:

х = a sin (①/ + а),х = а cos (of + Р),

причем второе уравнение получается из первого заменой а на т + Р-

Выясним значение постоянных величин а,① и а. Если увеличить время / на такую постоянную 7, чтобы аргумент функции синус или косинус увеличился на 2л, т. е. определить Т из условия

① « + Т) + а =竝 + а + 2п,

то уравнение движения вследствие периодичности функций синус и косинус не изменится. Иными словами, начиная с мо* мента t + Т точка будет двигаться точно так же, как она двигалась в интервале (/, t + Г). Таким образом, вообще, в интервалах (力+丁，» + 2Т), « + 2Т, 力 + ЗГ) и т. д. движение будет тождественно движению в интервале времени (/, / + Т). За время (f J + Т) точка совершит полное колебание. Интервал времени, в течение которого происходит полное колебание, на* зывается периодом колебания. Из предыдущего равенства

следует, чтоследует, что2л2л(О =(О =2л2лТ・Т・⑼⑼

следует, что

следует, что

2л

2л

(О =

(О =

2л

2л

Т・

Т・

⑼

⑼

Величина со называется круговой частотой колебательного движения в отличие от более краткого термина частота^ под которой обычно понимают величину v = 1/Т・ Происхождение термина «круговая частота» вскоре станет понятным. В дальнейшем круговая частота ① будет называться для краткости просто частотой. Частота v может быть выражена или в величинах, обратных секунде (1/с), или в герцах (Гц). Единица частоты 1 Гц соответствует частоте, при которой одно полное колебание совершается в течение одной секунды.

Абсцисса в гармоническом колебательном движении, представленном уравнением (8), меняется от —а до а, а движущаяся точка отклоняется симметрично в обе стороны от некоторого центра колебания на расстояния, равные по абсолютной величине а. Согласно уравнению (8) центр колебания находится в начале координат (% = 0).

Максимальное отклонение точки от центра колебания называется амплитудой колебания, расстояние между крайними положениями колеблющейся точки ——размахом колебания. Наконец, постоянная а (или В) характеризует начальное положение точки при / = 0 и называется начальной фазой колебания, а выражение со/ + а (или sf + 0) — фазой колебания.

Формулам (8) можно придать комплексную форму. Введем в рассмотрение известную из курса высшей математики фор- мулу Эйлера (ф — действительная величина)

级①=cos ф + / sin ф (f — “一])

и примем обычное обозначение Re z = Re(光 + t屮)=^ для действительной части (partie reelle) комплексной величины 2 = х + ^ф- Тогда вторую из формул (8) можно выразить в комплексной форме так:

x==Re [ае1 ®'+В)] = Re (ае'В • е加')=Re (4е心')・

Комплексная величина

Л = ае'В = а (соэ В + / sin В)

носит наименование комплексной амплитуды гармонического колебания. Комплексная амплитуда, в отличие от обычной, действительной амплитуды а, является функцией амплитуды а и фазы а.

Метод комплексных амплитуд общепринят для рассмотрения гармонических колебаний в линейных электрических цепях.

ского колебательногоского колебательного

ского колебательного

ского колебательного

Прямолинейное гармоническое колебательное движение со вершает, в частности, проекция точки, движущейся с постоянной скоростью по окружности, на диаметр этой окружности. Таково будет, например, движение рамки КК кулисного механизма, представленного на рис. 91, если кривошип ОМ вращается равномерно, а стержень LL, жестко соединенный с рамкой, может скользить в направляющих SS. Рамка снабжена прорезью, вдоль которой движется ползунок М, шарнирно сое

диненный с кривошипом. Угол ср, образованный кривошипом ОМ с осью Ох, будет изменяться по закону

Ф = ®/ + Р,

где постоянный коэффициент со определяет угол, описываемый кривошипом в 1 с (угловая скорость кривошипа), а постоянная р равна значению угла в начальный момент времени f = 0. Абсцисса рамки х, как непосредственно видно из рисунка, равна

х = ОМ cos ф = a cos (о/ + р),

где а — амплитуда, равная длине кривошипа. Это и есть уравнение гармониче- движения. Период колебаний, очевидно,

совпадает с продолжительностью полного оборота кривошипа.

Совпадение частоты колебаний со с угловой скоростью кривошипа объясняет происхождение термина «круговая частота». Угол ср между кривошипом и осью Ох является фазой колебания, начальное его значение при / = 0, т. е. р, определяет начальную фазу колебания.

Примеров гармонического прямолинейного колебания можно привести очень много. При качании длинных маятников с малыми углами отклонения от вертикали нижний конец маятника совершает гармонические колебания, причем ввиду большой длины маятника можно дугу круга принимать за прямолинейный отрезок. Точно так же, если закрепить один ко* нец упругой пластинки и привести в движение другой, то пос-* ледний при малых отклонениях будет совершать гармоническое колебательное движение, тем больше приближающееся к пря« молинейному, чем длиннее пластинка или чем меньше размахи ее колебания.

Воспользовавшись определением гармонического колебания как проекции равномерного движения точки по окружности на диаметр, построим график этого движения — синусоиду или косинусоиду.

Проведя окружность радиуса а (рис. 92), отложим на ней дугу ОМ。с центральным углом а и через точку Мо проведем горизонтальную прямую до пересечения с осью Ох； это даст

начальную точку кривой, соответствующей моменту / = 0 (%о = = asina). Для построения всей кривой разметим прежде всего шкалу времени. Примем некоторый отрезок на оси f за период колебания Т = 2л/со и разделим его на 8, 16, 32,..・(или другое число 2") равных частей. На чертеже период разделен на

восемь частей; аналогично этому и дугу полной окружности, начиная от точки М^ разделим тоже на восемь частей. Через эти точки проведем горизонтальные прямые до пересечения с перпендикулярами, восставленными из точек деления периода Г, имеющих соответствующие номера. Тогда в пересечении получатся точки искомой кривой 匕 2' и т. д. Горизонтальные прямые, проведенные через точки А и В окружности, дадут верхнюю и нижнюю границы кривой.

Пример 21. Колеблющийся на пружине груз в начальный момент касается пола; при наивысшем положении высота его над полом равна 0,1 м. Продолжительность 10 размахов равна 15 с. Составить уравнение движения груза, считая колебание груза

гармоническим.

Выберем за ось координат Ох (рис. 93) вертикальную прямую, направленную вниз, и поместим начало координат в точку на оси, соответствующую центру колебаний, находящуюся над полом на половине размаха, т. е. на высоте 0,05 м. Период колебания равен 15/5 = 3 с, следовательно# 2卅

частота будет -у- 1/с. Искомое уравнение имеет вид

х = 0,05 sin (*^~ + а) м・

Для определения начальной фазы полагаем здесь / = 0； будем иметь хо = 0,05 sfn а м,

тогда как по условию 力о = 0,05 м; следовательно, а = л/2, и уравнение движения примет вид

х = 0,05 sin ("^ f + 千)=0r05 cos «^ t м.

В дальнейшем часто придется встречаться с уравнениями движения, правая часть которых представляет сумму нескольких гармонических колебаний одинаковой или разной частоты. Отдельные слагаемые такой суммы называют гармониками.

Докажем, что сумма нескольких, гармоник одинаковой частоты дает уравнение гармонического колебательного движения той же частоты.

Достаточно доказать это для двух гармоник; пусть общая их частота равна ①,амплитуды их а】и а2, фазы ai и а2; тогда уравнение движения будет иметь вид

х = а{ sin (®f 十 ％) +。2 sin (®/ + a2).(10)

Приведем составное колебательное движение (10) к одному колебанию с амплитудой а и начальной фазой а. Воспользовавшись формулой для синуса суммы углов, получим

% =。1 cosa】 sin со/ + а{ sin a{ cos®/ 十他©。，®^ sin ®£ +

+ & sin 电 cos &t = a sin (®/ + a),

где для краткости введены новые постоянные ana:

ai cos% +出 cos 02 = a cos a,

% sin at + «2 sin ag = a sin a.

Постоянную a, т. e. амплитуду результирующего колебания, находим, взяв сумму квадратов левых и правых частей уравнений (11); получим

a =弋仿：+ 碣 + 2a&ss (% 一%).(12)

Начальную фазу а результирующего колебания можно опре* делять по формуле

f(⑶

匕cos ai + @2 cos a》''

принимая во внимание при определении а знаки sin а и cos a, совпадающие по (11) со знаками числителя и знаменателя в формуле (13).

Рассмотрим теперь случай сложения гармоник разной qa・ стоты.

Покажем, что если частоты ала периоды слагаемых гармоник соизмеримы, то движение будет периодическим^ 6 противном случае — непериодическим.

Пусть движение задается уравнением

% = @1 sin (s J + а) + 饱 sin (耽方 + %)=

=% sin (^* / + a) + 的 sin ('^~ f + a2)，(14)

и пусть периоды гармоник соизмеримы. Это значит, что отно шение периодов представляет рациональное число, т. е.

也2 '

где 〃1 и 九2 — целые числа, причем, не нарушая общности, можно считать, что числа 几1 и п2 взаимно простые. При этом

T === *2T 1 ===几 1T2

и будет искомым периодом, так как ни прошествии времени Т повторится наименыпее целое число периодов слагаемых гармоник; оба слагаемых и сумма их вернутся к прежним значениям. Если, например, период одной гармоники 7\ = 2 с, а второй 『2 = 5 с, то период сложного движения будет Г = 10 с; действительно, за 10 с повторится пять раз полное колебание первой гармоники и два раза — второй, и, поскольку пройдет целое число периодов, .движение точки начнет повторяться.

Обращаясь к частотам, видим, что частота результирующего колебания выражается следующим образом:

2л 2л 2л

т. е.

国 = " =些.

Особый интерес представляет случай сложения колебаний с мало отличающимися друг от друга периодами. При этом

Рис, 94.

получается результирующее колебание большого периода. Например, если периоды разнятся на 1 с, одип из периодов слагаемых колебаний равен ?i = 5 с, а другой Т2 = 6 с, то период результирующего колебания будет равен Т = 30 с.

На рис. 94 показаны графики слагаемых колебаний и результирующего колебания (жирная линия), отвечающие указанному отношению периодов.”

Такое периодическое колебание носит наименование биения. При несоизмеримых периодах слагаемых колебаний результирующее движение будет непериодическим, так как не существует такого промежутка времени Т, который был бы целым кратным двух несоизмеримых друг с другом периодов Ti, Т2 слагаемых колебаний.

Пример 22. Кривошипно-ползунный механизм. Составим уравнение прямолинейного движения ползуна ^ кривошипно-ползунного механизма ОАК (рис. 95), предполагая, что кривошип вращается равномерно с угловой скоростью з и что отношение X длины кривошипа а к длине шатуна 2 мало.

Механизм состоит из кривошипа О А, вращающегося вокруг оси О, и шатуна АК, шарнирно соединенного с кривошипом в пальце кривошипа Д и с ползуном К, движущимся взад и вперед по направляющей линейке В. При заданном угле 屮 кривошипа с осью Ох определим положение ползуна К его абсциссой %.

Из треугольника О/К имеем

% = a cos ср + / cos 2； с другой стороны,

sin i|)== — sin ф = Л sin ①， cos 屮=“1 — Л2 sin2 屮,

н, следовательно,

% = a cos 屮 + / “] — М sin?①；

причем радикалу приписываются лишь положительные значения, так как W V л/2 и cos 屮 > 6.

По условию задачи кривошип вращается равномерно, т.е. угол ф растет пропорционально времени; полагая 屮=з/ (где s ——угловая скорость вращения кривошипа), будем иметь

% = a cos(о/ + / д/1 —九2 sin2 ①f .

Движение ползуна, очевидно, колебательное, так как при возрастании времени косинус и синус будут возвращаться к прежним значениям; ползун будет ходить влево и вправо по линейке между крайними своими положениями

= / — а,min' max 1'

соответствующими горизонтальным расположениям кривошипа. Движение будет периодическим. Найдем его период. Для этого заметим, что sin2®/ = =亨(1 — cos 2(of) имеет период —, a cos(о/ имеет период, в два раза боль-

ший, т. е. последний период заключает в себе предыдущий, так что общий период движения будет равен Т = т. е. времени оборота вала. Периодическое колебание ползуна не является гармоническим; действительно, оно состоит из гармонического члена, представленного первым слагаемым в правой части уравнения движения, и дополнительного слагаемого ——квадратного корня, которое нарушает гармоничность колебания.

Всякое периодическое движение частоты з может быть представлено в общем случае бесконечной (а в частных случаях или в допустимом приближении конечной) суммой гармонических колебаний с частотами, кратными основной частоте з. Такое представление осуществляется с помощью приемов гармонического анализа; в рассматриваемом случае можно с вполне удовлетворительной точностью представить уравнение движения ползуна в виде суммы двух гармоник.

Для этого заметим, что по условию отношение длины кривошипа к длине шатуна X = а/l мало. При таком предположении уравнение движения может быть упрощено. Именно, разлагая радикал в ряд

V i —九2 sin2 ЗЕ = (I —九2 sjn2 ①f) 1/2 =

=1 —^" '2 sin2 з/ + ... = 1 一 彳 ％? Н—^~ 九2 cos 2©/ + ...

•и пренебрегая членами порядка 入‘ ввиду их малости, получим

力=/ (1 —今 + 九 cos cof + } cos 2sf)

Колебание представлено в форме суммы постоянного члена

Piic. 96.Piic. 96.от которого можно освободиться переносом начала координат в точку с абс-циссои / II J, и двух гармоник с частотами со и 2со.

Piic. 96.

Piic. 96.

Положим, что 九=1/5 и что вал делает 100 об/мин. Тогда время полного оборота вала Т == 60/100 с; следовательно,

(о = -^ = ~|~ • 100 ^ 10,5 1/с.

Уравнение движения принимает вид

-у- = Э.99 + 0,2 cos 10,5/ + 0,01 cos 21f.

Желая вычертить график, заметим, что на чертеже надо показать величину порядка единицы (первое слагаемое) и величину порядка одной сотой (третье слагаемое). Величины эти настолько различны, что откладывать их на чертеже в одном и том же масштабе невозможно. Для избежания этого неудобства поместим начало координат не в точку х = 0, а в точку % = / (рис. 96); тогда первое слагаемое изобразится в виде прямой, параллельной оси времени и показанной на рисунке пунктиром. Нанеся два гармонических слагаемых и складывая их по ординатам, получим искомую кривую (жирная линия).

Криволинейные движения точки. Примеры

Число уравнений движения в криволинейном движении равно двум, если движение плоское, а траектория ——плоская кривая, или трем в общем пространственном случае, когда траектория —— Кривая двоякой кривизны.

Рассмотрим сначала некоторые частные примеры криволинейного движения.

Если координаты точки изменяются по закону

% = aisin(3j + ai),b = & sin(32/+a2),

т. е. если проекции движущейся точки на оси координат совершают простые гармонические колебания, то сама точка описывает в плоскости хОу кривые, называемые фигурами Лиссажу.

В зависимости от соотношения амплитуд, частот и начальных фаз этих колебаний получаются те или другие кривые. Отсюда вытекают практические применения этих кривых в акустике, оптике, электротехнике и механике для изучения колебательных движений. Проектируя след «зайчика» или вообще колеблющуюся прямолинейно точку на фотопластинку, совершающую в свою очередь определенное гармоническое колебание в перпендикулярном направлении, анализируют полученную фигуру Лиссажу и по ней определяют амплитуды, частоты и фазы составляющих взаимно перпендикулярных гармонических колебаний. Таково, например, применение фигур Лиссажу в катодном осциллографе и других приборах.

Рассмотрим уравнение фигур Лиссажу, причем сначала остановимся на простейшем случае равных частот взаимно перпендикулярных колебаний.

Случай одинаковых частот взаимно перпендикулярных колебаний. Уравнения движения будут иметь вид

% = & sin (s/ + а)у = а2 sin (з/ + а2).

Для нахождения траектории будем исключать время из уравнений движения. Проще всего это сделать так. Представив синус суммы по известной формуле тригонометрии, получим уравнения движения в виде

% = % cos a】 sin з/ + % sin g cos ①f,у = a2 cos a2 sin co/ + a2 sin a2 cos з/・

Определим отсюда sins/ и cos со/ как две неизвестные из двух-

#傲 sin a? — y«i sin a【 ag (cos ai sin a2 — cos a2 sin ai)#傲 sin a? — y«i sin a【 ag (cos ai sin a2 — cos a2 sin ai)уравнений. Получим sin ①/ =

#傲 sin a? — y«i sin a【 ag (cos ai sin a2 — cos a2 sin ai)

#傲 sin a? — y«i sin a【 ag (cos ai sin a2 — cos a2 sin ai)

/cos ai — xa2 cos аг

C0S 3’ = ад (cosoh sin a2 — cos a? sin aj *

Возведя эти выражения в квадрат и сложив результаты, полу* чим уравнение траектории в виде

■—— 2 -——~ cos (a【一a?) = sin2 (а【一。2)・(16)

勺 的 a1a2

Это ——уравнение эллипса, имеющего центр в начале коордиЭто ——уравнение эллипса, имеющего центр в начале координат, с осями симметрии, наклоненныминат, с осями симметрии, наклоненныминекоторым углом. Исследуем этот эллипс. Заметим прежде всего, что форма и расположение эллипса зависят (как это видно из его уравнения) не от значений фаз а】и 竄2 в отдельности, а от сдвига фаз ai — g, который обозначим через 0.Вычертим фигуру Лиссажу в предположении, чтонекоторым углом. Исследуем этот эллипс. Заметим прежде всего, что форма и расположение эллипса зависят (как это видно из его уравнения) не от значений фаз а】и 竄2 в отдельности, а от сдвига фаз ai — g, который обозначим через 0.Вычертим фигуру Лиссажу в предположении, чток осям координат подк осям координат подо】=& = о, т. е. чтоо】=& = о, т. е. чтоамплитуды слагаемых колебаний одинаковы. Уравнениеамплитуды слагаемых колебаний одинаковы. Уравнение(16) перепишется тогда в виде(16) перепишется тогда в виде

Это ——уравнение эллипса, имеющего центр в начале коорди

Это ——уравнение эллипса, имеющего центр в начале коорди

нат, с осями симметрии, наклоненными

нат, с осями симметрии, наклоненными

некоторым углом. Исследуем этот эллипс. Заметим прежде всего, что форма и расположение эллипса зависят (как это видно из его уравнения) не от значений фаз а】и 竄2 в отдельности, а от сдвига фаз ai — g, который обозначим через 0.

Вычертим фигуру Лиссажу в предположении, что

некоторым углом. Исследуем этот эллипс. Заметим прежде всего, что форма и расположение эллипса зависят (как это видно из его уравнения) не от значений фаз а】и 竄2 в отдельности, а от сдвига фаз ai — g, который обозначим через 0.

Вычертим фигуру Лиссажу в предположении, что

к осям координат под

к осям координат под

о】=& = о, т. е. что

о】=& = о, т. е. что

амплитуды слагаемых колебаний одинаковы. Уравнение

амплитуды слагаемых колебаний одинаковы. Уравнение

(16) перепишется тогда в виде

(16) перепишется тогда в виде

炉 + У — 2沙 cos 8 =出 sin? 6.

При 8 = 0 эллипс вырождается в отрезок прямой% — D = О,

именно в диагональ квадрата со стороной 2a (рис. 97, а); при 。V 9 V я/2 получим эллипс, большая ось которого наклонена под острым углом к оси х (рис. 97, б); при В =冗/2 получим окружность %2 + у2 = 〃2 (рИС 97,6)； при л/2 < 0 < л будем иметь снова эллипс (рис. 97,г), но с большой осью, расположенной уже во II и IV квадрантах, и, наконец, при 0 = л снова получаем отрезок прямой (рис. 97,3) % + р = 6. На всех рисунках стрелки показывают направления движения точки. При изменении 0 от л до 2冗 получатся те же фигуры.

Для примера был взят случай а^ = а2= о; при ai 干。2 фигуры Лиссажу были бы те же, только в случае 9 = л/2 имели бы не окружность, а эллипс, оси симметрии которого совпадали бы с осями координат.

Как легко видеть из уравнений движения, абсолютные значения х и у не превосходят соответственно 〃i и а2. Отсюда следует, что все фигуры Лиссажу ограничены прямоугольником со сторонами 2al и 2做(у нас на рисунке они все вписаны в квадрат со стороной 2а).

Из только что приведенного примера видно, что при исключении времени теряются некоторые необходимые сведения о траектории. Например, в случае 0 = 0 и G = л получаем уравнения

"Р = 0, % + у = о,

т. е. уравнения бесконечных прямых, а на самом деле траекториями служат лишь отрезки этих прямых, заключенные в квадрате со стороной 2a. Из уравнений движения это ясно видно, из уравнений же траекторий это не следует.

Случай различных частот взаимно перпендикулярных колебаний. Определим кривые Лиссажу в случае не равных между собой частот взаимно перпендикулярных колебаний. Рассмотрим для простоты частный случай, когда частота одного из колебаний в два раза больше частоты другого, а начальные фазы и амплитуды одинаковы.

Равенство начальных фаз не является ограничительным условием, так как всегда можно так изменить начало отсчета времени, что фазы станут одинаковыми. Такое выравнивание фаз возможно, конечно, при разных частотах.

Уравнения движения имеют вид

% = a sin (2со/ — а), у = а sin (М — а).

Здесь исключение времени приведет к уравнению алгебраической кривой четвертого порядка. Чтобы вычертить траекторию, проще нанести на рисунке точки М(х, у) при разных значениях / и потом их соединить плавной кривой. При этом получатся кривые, показанные на рис. 98.

3=08=啰 а=匹 6迎 a=N4243=08=啰 а=匹 6迎 a=N424Рис. 98.Рис. 98.

3=08=啰 а=匹 6迎 a=N

424

3=08=啰 а=匹 6迎 a=N

424

Рис. 98.

Рис. 98.

При значениях со от л до 2л получим фигуры, симметричные вычерченным относительно вертикали.

В случае а =冗/2 траекторией будет служить отрезок параболы, заключенной, как и все фигуры Лиссажу, в квадрат со

стороной 2a. Действительно, в этом случае уравнения движениястороной 2a. Действительно, в этом случае уравнения движенияпринимают вид% = а sinпринимают вид% = а sinу = а sinу = а sin(2з/ — -—^ = — a cos 2з厶 (血—号)=—а cos of.(2з/ — -—^ = — a cos 2з厶 (血—号)=—а cos of.

стороной 2a. Действительно, в этом случае уравнения движения

стороной 2a. Действительно, в этом случае уравнения движения

принимают вид

% = а sin

принимают вид

% = а sin

у = а sin

у = а sin

(2з/ — -—^ = — a cos 2з厶 (血—号)=—а cos of.

(2з/ — -—^ = — a cos 2з厶 (血—号)=—а cos of.

Из этих двух уравнений время t легко исключается, так какх = а (sin2 з/ — cos2 з/) = а (1 — 2 cos2 со/) = а (1 —,

и, следовательно,и, следовательно,2 a2 a2 a2 a

и, следовательно,

и, следовательно,

2 a2 a

2 a2 a

a это есть уравнение параболы с вершиной в точке (а, 0) и осью Ох, служащей осью симметрии.

Отметим следующее свойство кривых Лиссажу: если частоты (или периоды) колебаний соизмеримы, то движение будет пе

периодами перпендикулярныхпериодами перпендикулярныхриодическим и кривые будут замкнутыми, т. е. точка будет описывать одну и ту же кривую, повторяя ее; если же периоды несоизмеримы, то точка никогда не попадет на старое место; оставаясь в границах квадрата или прямоугольника и делая все новые и новые петли, фигура Лиссажу никогда не замкнется.

периодами перпендикулярных

периодами перпендикулярных

Действительно, если между

колебаний Т\ и Г2 существует соотношение

& =山

где п\ и 几2 — целые взаимно простые числа, то за время Т = =n2Ti = П1Т2 повторяется целое число периодов Т\ и Г2, т. е. хну вернутся к прежним положениям, и кривая замкнется. После этого движение начнет повторяться. Если же периоды несоизмеримы, то такого значения Т нельзя будет указать и точка никогда не вернется в прежнее положение.

Пример 23. Кривошипно-ползунный механизм. По заданному закону вращения кривошипа составим уравнения движения точек ша- туна кривошипно-ползунного механизма и определим траектории этих точек.

Возьмем какую-нибудь точку М шатуна (рис. 99), находящуюся на расстоянии h от пальца кривошипа Л. Обозначая абсциссы и ординаты точек Л, М В соответствующими значками, можем написать

*М 一以二二也 иm-Уa 力

Ув-Уа^ 1

Замечая, что

хд == г cos ср, yA = rsin ср,

хв =忏 cos ф + V* —尸 siM 中,Ув = О,

получим, опуская при хну значки, относящиеся к точке М:

% =厂 cos ср +，“С —产 sin2 ср , У = 0Ог sin ф. (17)

Подставляя сюда вместо ф функцию времени, определяющую заданный закон вращения кривошипа, получим искомые уравнения движения точки М шатуна. В частности, предполагая вращение кривошипа равномерным, положим 屮=з/; тогда будем иметь

% =厂 cos ①/ + ； д/停一产 sin?①片，у = (1 — 广 sin ①/. (18)

Для разыскания траектории нет необходимости знать закон вращения кривошипа,- так как зависимость между координатами % и у получается из уравнений (17) путем исключения угла ф. Это ясно и из того простого соображения, что вид траекторий точек механизма зависит от конструкции механизма, а не от того, как будет вращаться кривошип.

Из второго уравнения (17) имеем

产 sW(p = 7r^Г,…L产一^^

Подставляя эти значения в первое из уравнений (17) и избавляясь от радикалов, получим

(%2 一告外十户一出了 = 4炉卜一(19)

Траектория представляет собой алгебраическую кривую четвертого порядка, имеющую форму овала. Она, в отличие от эллипса, не имеет вертикальной оси симметрии. Рассмотрим некоторые частные случаи.

А = 0, т. е. движение пальца кривошипа А. В этом случае уравнение (19) переходит в такое:

“2 + 外-尸)2 = °,

т. е. в уравнение окружности.

h — I, т, е. движение ползуна В. В этом случае из второго уравнения (17) следует

У = О, что ясно из рисунка.

г = Z. В 3ToM случае из уравнений (17) имеем непосредственно

откуда получимоткуда получим% = (Z + 力)cos ф, у = (Z —— 九)sin qp,

откуда получим

откуда получим

"十力）2 丁 a一比）2

Это ——уравнение эллипса с осями симметрии, расположенными по осям Ох и Оу. Полуоси эллипса равны / + 九 и / ——А. Точка Ай (рис. 100), лежащая на шатуне АВ (无 > 0), опишет эллипс С〔，горизонтальная полуось которого больше вертикальной; точка М2, взятая на продолжении шатуна выше пальца кривошипа Л (ZiVO), опишет эллипс С2 с большей вертикальной полуосью. Точка D, для которой Л =——/, т. е. AD = АВ, описывает отрезок оси Оу, и поэтому в нее может быть помещен ползунок, перемещающийся

по оси Оу, а кривошип отброшен. Такой механизм называется эллипсогра^ фом. Все точки линейки BD описывают эллипсы, вырождающиеся в окружность для точки Лив прямые линии для точек PhD.

При г = I уравнение (19) распадается на два уравнения:

(Z - Л)2 X2 + (/ + ")2 疗 一(/ + Л)2 (/ - Л)2 = 0, %2 十 у2 — (Z —力)2 = 0.

Первое соответствует ранее указанному эллипсу, второе — окружности, описываемой точкой 痴，когда кривошип и шатун сливаются в одну линию, что возможно при 厂=/.

Пример 24. Движение по (рис. 101) движущейся точки М на % = a ss з/,Пример 24. Движение по (рис. 101) движущейся точки М на % = a ss з/,винтовой лини и. Проекция ЛГ плоскость хОу совершает движениеу = a sin ①/,винтовой лини и. Проекция ЛГ плоскость хОу совершает движениеу = a sin ①/,

Пример 24. Движение по (рис. 101) движущейся точки М на % = a ss з/,

Пример 24. Движение по (рис. 101) движущейся точки М на % = a ss з/,

винтовой лини и. Проекция ЛГ плоскость хОу совершает движение

у = a sin ①/,

винтовой лини и. Проекция ЛГ плоскость хОу совершает движение

у = a sin ①/,

а проекция ее М" на ось Ог движется равномерно по оси согласно уравнен нию 2 = ct. Найдем траекторию пространственного движения точки.

Для разыскания траектории исключим время из уравнений движения

% = a cos з/, у = a sin ①/,z = ct.(20)

Из последнего уравнения определим t и подставим в первые два. Будем иметь уравнения траектории

х = a cos — г, у — a sm — ^(21)

Из первых двух уравнений движения следует, что проекция движущейся точки на плоскость хОу описывает полную окружность за время 2л/(о с. За это же время проекция точки на ось Oz перемещается на отрезок

,2冗с

h =.

Движение точки, проекция которой на некоторую плоскость совершает равномерное круговое движение, а на ось, перпендикулярную к этой плоско* стн,——равномерное прямолинейное движение, называется винтовым движем &〃ем, а соответствующая траектория ——винтовой линией. Винтовая линия вьется по поверхности цилиндра радиуса а; расстояние h между двумя вит» ками, взятое по образующей цилиндра, называется шагом винтовой линии<

Таков будет след неподвижного резца на равномерно вращающемся и равномерно перемещающемся вдоль своей оси цилиндре.

Уравнения (21) могут быть переписаны так:

% = a cos 2л 号, У = а sin 2冗■—.

Каждое из этих уравнений в отдельности представляет собой уравнение цилиндрической поверхности: 1) с образующей, параллельной оси Оу, и направляющей косинусоидой в плоскости %z и 2) с образующей, параллельной оси О%, и направляющей синусоидой в плоскости yz. Пересечение этих двух цилиндрических поверхностей определяет винтовую линию. Проекциями винтовой линии на плоскости xOz и yOz служат косинусоида и синусоида.

Исключив из первых двух уравнений (20) время, получим уравнение прямого кругового цилиндра

=出

с образующими, параллельными оси Oz, и направляющим кругом радиуса а с центром в начале координат, лежащим в плоскости ху. Пересечение этого цилиндра с любой из предыдущих цилиндрических поверхностей определит винтовую линию.

Глава XI

КИНЕМАТИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ

§ 42. Скорость и ускорение

Основными характеристиками движения точки по траектории являются пройденный путь, скорость и ускорение.

Предположим, что точка М. движется по заданной криволинейной траектории и в различные моменты времени t = «,介， 友,...занимает соответственно положения Мо,府卜 ТИ2, ... Чтобы определить эти положения точки на траектории, примем произвольную точку О за начало отсчета дуг и каждому положению точки М. сопоставим свою дуговую координату о, подобно тому как на прямолинейной оси каждой точке сопоставляется абсцисса. Тогда точкам 7И0, М, М2, ... будут соответствовать дуговые координаты о。,。卜。2, • • •, положительные или отрицательные в зависимости от направления отсчета дуг.

Зададим движение точки М по траектории уравнением

0=尸(/).⑴

Найдем дифференциал дуги

加=尸(/)山；(2)

этот дифференциал может быть положительным при возраста* нии дуговой координаты, т. е. при движении в сторону возрастания дуг, и отрицательным в противоположном случае. Приращение пути ds будем считать всегда положительным и равным

ds = \da\ = \F^t)\dt.⑶

Пройденный путь sOi за некоторый интервал времени (/0, Л) можно определить как сумму дифференциалов пройденного пути за этот промежуток времени, т. е. как интеграл

soi=卜尸丿⑴岡⑷

6 Л. Г. Лойцянский, А. И. Лурье

Если движение задано в декартовых прямоугольных коорди-* натах уравнениями

% = fl(/), 4 = %(/), 2 = %"),⑸

то по известной формуле геометрии

Id。I=厶=vw+W+W=«片(/)ЧЛ?а)+ 疗(°山，⑹ а пройденный путь найдется как определенный интеграл!

s。尸 、 u尸(/)+ 疗(f)+疗")一出.(7)

Обозначая через s текущее значение пройденного пути к моменту времени f, будем иметь уравнение пройденного пути

s=①⑴=\ UflWTWWW 山. (8)

График функции Ф(/) даст график пути. Отличительная черта этого графика заключается в том, что функция Ф(/) монотонно возрастает, а кривая на графике пути поднимается вверх и только при остановках точки превращается в прямую, параллельную оси времени. Приводим (рис. 102) для сравнения график пре立- Qденного пути и график движе-

材ния в случае простого гармо-

物нического колебательного дви- /\ жения.

2э- Перейдем к выяснению поня- 产 тия скорости движения.

" Подобно тому как понятие движения заключает в себе по-

Рис. 102.нятие развития вообще, т. е. яв

ляется основным при изучении всякого явления природы, так же и понятие скорости в механике является частным случаем более общего представления ——6卜卜 строты, или темпа развития.

В кинематике рассматривают быстроту роста пути, проходи* мого точкой, с течением времени, и эту величину называют скоростью точки; быстрота изменения угла поворота твердого тела со временем определяет угловую скорость вращения тела; бы* строта изменения скорости точки с течением времени, так сказать, «скорость скорости»? называется ускорением точки и т. д.

Если изменению времени / на А/ соответствует увеличение пройденного пути s на As, то отношение As : А/ характеризует среднюю быстроту изменения пути со временем за интервал времени (/,匕 + A/j, или среднюю скорость движения за интервал времени (i, / + Д/):

⑼⑼As

⑼

⑼

Чем меньше интервал времени Л/, тем. точнее подходит величина (9) к описанию скорости движения в момент Л Предел средней скорости за интервал времени (/, / + Д/) при Д/, стремящемся к нулю, называется серостью в данный момент t. Условимся точкой, поставленной над буквой, в дальнейшем обозначать производную по времени. По определению производной функции имеем следующее выражение скорости и в данный момент (точка над буквой — производная по /):

V = lim = lim 弟=察=瓦 (1。)

Итак, величина скорости равна производной пройденного пути по времени.

Зная уравнение пройденного пути (8), легко найдем скорость в данный момент по формуле

0 = 6 =①’(/). (11)

Из определения следует, что скорость представляет собой физическую величину, измеряемую в единицах длины, деленных на единицы времени, т. е. едршицей скорости служит величина 1 м/с.

Уравнение пройденного пути позволяет определить скорость движения, но оно ничего не говорит о направлении движения. Желая одновременно знать и величину скорости движения и направление движения, введем понятие вектора скорости, Для этого будем определять положение движущейся по траектории точки М вектор-радиусом ее г. Каждому моменту времени соответствует свой вектор г; по аналогии с обычным понятием функции можно назвать вектор г вектор-функцией аргумента / и обозначить через г(/).

Для наглядного представления об изменении вектор-функции служит следующее геометрическое построение. Отложив от некоторого произвольно выбранного полюса векторы, соответствующие последовательным значениям аргумента, отметим кривую, образованную концами этих векторов. Эту кривую называют годографом вектор-функции. Очевидно, что траектория точки является годографом переменного вектор-радиуса ?(/) этой точки.

Пусть М и М' — два положения движущейся точки в моменты времени f и 看 + А/. Вектор (рис. 103)

p=加r=夕(/ +加)一了(/),(12)

соединяющий начальное и конечное положения точки, называется перемещением точки за промежуток времени А/. Взяв отношение

丄—r(t + M)-r (/)

л7= А? ，

получим вектор, имеющий направление р и характеризующий среднюю быстроту перемещения. Этот вектор называется векто

ром средней скорости за промежуток времени А/ и обозначается через vcp. Чем меньше величина промежутка времени А/, тем более точно представит средняя скорость быстроту перемещения. Естественно поэтому перейти к пределу и назвать вектором скорости и движущейся точки в данный момент вре

мени предел отношения вектора перемещения р к промежутку времени А/, в течение которого перемещение происходило, когда этот промежуток стремится к нулю:

u= lim vcp =△ 20u= lim vcp =△ 20lim g === limAQOАЗlim g === limAQOАЗ” + Af) — У (f)” + Af) — У (f)(13)(13)

u= lim vcp =△ 20

u= lim vcp =△ 20

lim g === lim

AQOАЗ

lim g === lim

AQOАЗ

” + Af) — У (f)

” + Af) — У (f)

(13)

(13)

Выражение, стоящее с правой стороны, напоминает обычную производную, так как, подобно последней, это выражение представляет собой предел отношения приращения (векторного) век- тор-функции (вектор-радиуса точки) к приращению аргумента (времени), когда это приращение стремится к нулю. По аналогии с дифференциальным исчислением будем этот предел называть векторной производной вектор-функции по ее аргументу и сохраним для векторной производной обычной обозначение. Согласно (13) имеем

и = % = “，) = ；・ (14)

Итак, вектор скорости точки равен векторной производной вектор-радиуса точки по времени. Из (13) следует, что направление вектора скорости является предельным для направления вектора перемещения р при стремлении А/ к нулю. Вектор р на^ правлен по секущей, предельным положением которой служит касательная к траектории; поэтому вектор скорости направлен по касательной к траектории 6 сторону движения точки.

Величина вектора скорости определяется равенством

.. Idr\ leg.. Idr\ legdsds

.. Idr\ leg

.. Idr\ leg

ds

ds

что совпадает с (11).

В общем случае движение точки происходит с переменной по величине и по направлению скоростью. Желая охарактеризовать изменение скорости, вводят меру быстроты этого изменения со временем — ускорение^ которое должно учитывать векторное

(геометрическое) изменение скорости, т. е. изменение ее по величине и по направлению.

Пусть в момент времени / движущаяся точка, находясь в положении М (рис. 104, а), имела скорость, величина и направление которой определяются вектором и. В момент f + Af эта точка заняла положение М\ имея скорость v‘. Таким образом, за промежуток времени Af скорость получила геометрическое приращение

Аи = ?' — и.

Вектор Av можно построить, перенеся и' в точку М и найдя геометрическую разность и' и и. Составив отношение приращения Av к промежутку времени А/, получим вектор, имеющий то же направление, что и Av. Обозначим его через шср и будем называть средним ускорением за промежуток времени ДЛ Имеем

(15)

Таким образом, среднее ускорение характеризует среднее изменение вектора скорости, отнесенное к единице времени.

Чтобы перейти теперь к определению истинного ускорения, или ускорения в данный момент, остается, уменьшая промежуток времени А/, найти предел, к которому стремится отношение △и/А/ при Д/. стремящемся к нулю. По определению производной вектор-функции этот предел равен производной вектора

скорости V по времени. Итак, вектор ускорения равен векторной производной вектора скорости по времени:

w = limД/->0w = limД/->0Ах»后'Ах»后'duNTduNT(16)(16)

w = lim

Д/->0

w = lim

Д/->0

Ах»后'

Ах»后'

du

NT

du

NT

(16)

(16)

(17)(17)v = vxi + vyl + %瓦出=з"十^yi + g也v = vxi + vyl + %瓦出=з"十^yi + g也(21)(21)

(17)

(17)

v = vxi + vyl + %瓦出=з"十^yi + g也

v = vxi + vyl + %瓦出=з"十^yi + g也

(21)

(21)

Вспоминая, что сам вектор скорости равен производной по времени от вектор-радиуса движущейся точки, найдем

dv d2r

初= 2? ="

Как следует из определения, ускорение измеряется в единицах, равных отношению единиц скорости к единицам времени. Таким образом, единицей ускорения служит 1 м/с2.

На практике, чтобы нагляднее оценить величину наблюдаемого ускорения, иногда выражают его в частях ускорения g свободного падения тел в пустоте, равного приблизительно 9,81 м/с2.

На отдельной диаграмме рис. 104,6 смежные значения вектора скорости и и и' отложены от общего полюса О. Концы этих векторов N и ^, располагаются на годографе скорости. Геометрическая разность и'——V — Av имеет направление секущей к годографу скорости. При стремлении Af к нулю вектор др поворачивается вокруг точки ^ и в пределе занимает положение касательной к годографу. Отсюда следует, что вектор ускорения направлен по касательной к годографу скорости.

Для вычисления скорости и ускорения по заданным уравнениям движения в декартовых координатах

— Л (0> У = %(/), 2 =/з (/) (18)

представим в формулах (14) и (17) вектор-радиус в виде его разложения по единичным векторам i, /,良，направленным по осям неподвижной системы координат х, у, г;

г — xi + yj + zk. (19)

Дифференцируя обе части этого равенства по времени и учитывая, что векторы i, /, k постоянны по величине и направлению, будем по правилам дифференцирования суммы произведений иметь....

V = г = xi + yj + zkf

初= ? = ? = " +yj

Замечая, что, с другой стороны, векторы v и w могут быть представлены в виде

где через и*, ?..,侬%, ... обозначены проекции векторов скорости и ускорения на координатные оси, получим, сравнивая (20) и (21):

%= %(/), % = » = %(/), % =之=%(/),(22)

wx = vx = x =斤(/), % =力^ = g = fj (/), wz = vz = z = %’ (/).

(23) Итак,

проекции вектора скорости на неподвижные оси координат равны производным по времени от соответствующих координат;

проекции вектора ускорения на неподвижные оси координат равны производным по времени от соответствующих проекций скорости или вторым производным от соответствующих координат.

Вектор скорости и вполне определяется заданием его проекций; величина вектора скорости равна

V = V^T+^= «产 + 毋+ 力；(24)

направление вектора скорости может быть определено косинусами углов, составляемых им с осями координат:

cose, %)=胃=习中

cos (и, г/) = —= -7===- р(25)

COS-・

V“尤2十/2十22

Точно так же определяется величина вектора ускорения:

侬 ="党:十切力十гг^ =、/产十犷十22 .(26)

Направление вектора w задается косинусами углов, составляемых им с осями координат:

' ш "产+产+刁'

cos (叫 у) =，= F*(27)

cos (/^)=-=一.侬 “产十产十22

Формулы (22) можно рассматривать как параметрические уравнения кривой, описываемой концом N вектора и (рис. 104,6), ёсли начало этого вектора помещено в некоторой точке

(полюсе) О. Действительно, тогда и%, vy, vz могут быть рассматриваемы как координаты точки ^, и уравнения (22) представляют параметрические уравнения траектории точки N, т. е. го* дографа вектора скорости. Точно так же уравнения (23) представляют параметрические уравнения годографа вектора ускорения.

Считая vx, vy, vz координатами точки N ——конца вектора скорости, можно согласно (23) рассматривать вектор ускорения как скорость конца вектора скорости, т. е. точки N при движении ее по годографу скорости. Отсюда вновь следует, что вектор ускорения направлен по касательной к годографу скорости в сторону движения конца вектора скорости.

§ 43. Скорость и ускорение в прямолинейном движении

В частном случае прямолинейного движения можно выбрать прямую, по которой движется точка, за ось Ох. Тогда положение точки будет определяться одной координатой (абсциссой) х, скорость — проекцией 厶，ускорение — проекцией wx.

Если точка движется в положительном направлении оси %, то vx > 0, причем в случае ускоренного движения wx = dvx/dt>Q, а в случае замедленного wx < 0.

Если точка движется в отрицательном направлении оси х, vx < 0, то в случае ускоренного движения vx ——отрицательная и возрастающая по модулю, т. е. убывающая, функция времени и wx = dvx/dt V 0; если же движение замедленное, то % как убывающая по модулю отрицательная функция, является возрастающей функцией и, следовательно, wx > 0.

Отсюда можно вывести такой общий признак: если в данный момент времени знаки vx и wx совпадают, движение ускоренное; если знаки vx и Wx различны, движение замедленное.

Рассмотрим равнопеременное прямолинейное движение. По определению проекция ускорения wx есть величина постоянная. Направим ось Ох в сторону вектора начальной скорости v0. Тогда уОх = и。> 0, а 侬％ = 士а, где а > 0 и знак плюс соответствует ускорению, направленному в ту же сторону, что и начальная скорость, знак минус —в сторону, противоположную начальной скорости.

Интегрируя равенство

получим

% = С 士 af・

В начальный момент / = 0 скорость равна и。； поэтому С = и。н

= и。士 а九(28)

Для определения абсциссы х напишем, что

警=VQ±at9

и проинтегрируем это равенство по %. Будем иметь

% = & +孙±岑.

Для определения постоянной Ci положим, что при / = 0 точка занимала начальное положение с координатой х = х0； тогда Ci = %о и окончательно

х == xQ + vQt ±•(29)

Если начало координат выбрать в начальном положении точки, то %о = 0 и последняя формула принимает вид

% =如土 岑.(30)

Если вектор ускорения w направлен в ту же сторону, что и начальная скорость, т. е. wx > 0, то во всех формулах следует; взять знак плюс, и из (28) вытекает, что движение ускоренное. Если 侬％ < 0, то в (28) надо выбрать знак минус; тогда при 0 W 力 V Uo/a, Ух > 0 знаки vx и wx различны и движение замедленное. При / > Uo/а, Ух < 0 знак vx совпадает со знаком wx, и движение становится вновь ускоренным.

Полученные формулы связывают абсциссу, скорость и время. Исключая из них время, можно найти формулу, связывающую абсциссу и скорость:

% =± 一 2а。•(31)

Рассмотрим, например, вертикальное движение тяжелого тела вблизи поверхности Земли, пренебрегая сопротивлением воздуха. Ускорение а в данном случае равно ускорению силы тяжести g = 9,81 м/с2.

При падении без начальной скорости с высоты h будем иметь, полагая в (31) %。= 0, % =无，а = g, у0 = 0, хорошо известную формулу

V = ^2gh.

Наоборот, зная q можем найти высоту, с которой тело упало, по формуле

“ 2g *

По формуле (31) находится также высота, на которую поднимается тело, имеющее начальную скорость и。. Направим ось

Ох вертикально вверх и выберем начало координат в начальном положении точки. Сохраняя в формуле (31)нижний знак, заметим, что в тот момент, когда тело займет наивысшее положение, скорость V обратится в нуль, так что, подставляя в (31) х = h, ，=0, 〃 = g, = 0, найдем

Итак, при отсутствии сопротивления высота, на которую поднимается тяжелое тело, брошенное вверх с вертикальной на- 力чальной скоростью, равна той высоте, упав с которой тело

ттРис. 105.Рис. 105.приобретает ту же скорость.

т

т

Рис. 105.

Рис. 105.

Исследуем вопрос о скорости и ускорении в прямолинейном гармоническом колебательном движении. Дифференцируя по времени обе части уравнения движения

х —a sin (①/ + а),(32)

найдем

vx = асо cos ®/ + а),(33)

侬％ = — ad $Е з 十 а). (34)

Обращаясь к уравнению движения, видим, что ускорение может быть представлено еще так:

wx = —炉尤 (35)

Отсюда следует, что при гармонических колебаниях точки ускорение по величине пропорционально расстоянию от центра колебания, причем точка движется ускоренно, приближаясь к центру, и замедленно, удаляясь от него. В самом деле, при приближении к центру со стороны отрицательных абсцисс vx > 0, % V 0 н 5% > 0, т. е. движение ускоренное; при % > 0 приближение к центру совершается при vx < 0, при этом wx < 0 — проекции скорости и ускорения имеют опять одинаковый знак и движение ускоренное. Точно так же можно показать, что при удалении точки от центра движение будет замедленным.

На рис. 105 представлен график ускорения в колебательном движении совместно с графиками движения и скорости. Из графика видно, что в тот момент, когда % принимает максимальное значение, vx = 0 и wx достигает минимума, будучи отрицательным; по абсолютной величине оно имеет максимальное значение. После этого точка движется с убывающим по абсолютной величине ускорением и растущей по абсолютной величине ско-

ростью. В центре колебания х = 0 скорость имеет по абсолют- ной величине максимальное значение, но так как vx V 0, то и* будет иметь минимум; ускорение при этом равно нулю вместе с %. При дальнейшем движении х становится отрицательным, скорость убывает с удалением от центра, ускорение, наоборот, возрастает, и при х = %min скорость опять равна нулю, а уско・ рение достигает максимума.

В качестве примера вычисления скорости и ускорения при гармоническом колебательном движении найдем максимальные значения скорости и ускорения средней точки рессоры, если амплитуда ее колебаний а = 4 мм, а период Т = 0,1 с. По форч мулам (33) и (34) имеем

Umax = в。= "^" а = Q25 м/с,

侬max =炉。=(亨а = 15,8 м/с2.

Рассмотрим затухающие колебания точки в некоторой среде, которая тормозит движение, заставляя колебания затухать. Уравнение движения задается в виде

% = ae~pt sin (碗 + а),(36)

где q, р и со — положительные постоянные, р ——коэффициент, или фактор, затухания, а и (о, как и раньше, — амплитуда и частота колебания, а — начальная фаза.

Исследуем рассматриваемое движение. Найдем его скорость：

Vx = x = ae~pt [со cos (①/ + а)——р sin (①/ + а)]・(37)

Приравнивая скорость нулю, найдем моменты времени, соответствующие максимальным и минимальным значениям абсциссы %, т. е. крайним положениям точки; приходим к уравнению

со cos (①/ + а) — р sin (з/ 十 а) = 0;.

оно может быть переписано так:

tg ®/ + а) = *

отсюда

sZ + а = arctg -у + пл,

где предполагается, что для arctg (о)/р) взято его наименьшее положительное значение и 〃 = 0, 1, 2, .., Обозначая 〃-й корень этого уравнения через tn и замечая, что

C0/04-a = arctgy, будем иметь

Итак, моменты обращения скорости в нуль, т. е. моменты, соответствующие крайним положениям точки, образуют арифметическую прогрессию с разностью 冗/①.

Найдем закон убывания амплитуд. Для этого определим абсциссы крайних положений точки. Подставив в уравнение (36) tn вместо f, будем иметь

%〃=ае 一"〃 sin (①〃 + a) = аез sin (①% + a + 拉冗)=

=(-1)%一"。sin (①f()+ a)es=(一［广%0ew .

Замечая, что амплитуда ап равна |х〃|, окончательно найдем

-рп —ап — а^ °.

Таким образом, амплитуды затухающего колебания убывают

в геометрической прогрессии со знаменателем е % отношение двух последовательных амплитуд равно

―—=е ° ・

Эта величина меньше единицы, причем чем больше р, тем скорее происходит затухание амплитуд; р называется фактором затухания.

Вместо фактора затухания обычно рассматривают натуральный логарифм отношения двух последовательных амплитуд:

Эта безразмерная величина называется логарифмическим декрементом. Логарифмический декремент пропорционален фактору затухания.

Дифференцируя (37) еще один раз по времени, найдем

侬％ = _ рае-р'6 cos (о/ + a) — а^е* sin (①/ + a) +

+ apPe~pt sin (矶 + a) — ар^е~^ cos (co/ + a),

или, после простых преобразований,

(38)(38)侬％ = — (р2 + со2) х — 2р%.

(38)

(38)

Ускорение складывается из двух слагаемых: одного, пропорционального отклонению точки от центра колебания, и другого, пропорционального скорости.

Пример 25. Определим скорость и ускорение ползуна кривошипно-пол- вунного механизма, шатун которого имеет длину / ■» I М; отношеииа длины кривошипа к длине шатуна 九 «=« 1/5; вал делает 100 об/миш

Приближенное уравнение движения ползуна имеет вид (§ 40, пример 22)

х = 0,99 + 0,2 cos 10,5/ + 0,01 cos 2".

Дифференцируя по времени, найдем

и% = — 2,1 sin 10,5/ — 0,21 sin 21/,

5% = — 22 cos 10,5/ — 4,41 cos 2".

На этом примере видно, что в случае сложных колебаний, составленных из нескольких гармонических, скорость и ускорение суммарного колебания складываются из скоростей и ускорений составляющих колебаний.

Пример 26. Рассмотрим затухающее колебательное движение точки5 尤=10е~° 7f sin з,927f.

На рис. 10b отдельно вычерчены кривые:

X1 = 10 sin 3,927/,=

% =尤1 •尤2 = 10。-°'" sin 3,927f.

Период движения равен Т =^ 1,6 с.

Фактор затухания и логарифмический декремент равны р = 0,7 ~-, д == 0,7 • -^- = 0,56.

Скорость только что рассмотренного колебания будет равна их = х = е"°"£ (39,27 cos 3,927f — 7 sin 3,927f)・

Полагая 39,27 = Д sin a, 7 = Л cos a, найдем:

A = д/39,272 + 72 #39,9,a = arctg 5,61 = 79°53, ^ 1,39,u% = — 39,“-°，7f sin(3,927/ — 1,39).

Скорость и ускорение в криволинейном движении

Начнем с рассмотрения криволинейного движения с постоянным по величине и направлению ускорением. Такое движение будет совершать тяжелое тело вблизи поверхности Земли под действием силы веса, если пренебречь сопротивлением воздуха. В этом случае ускорение равно по величине g = 9,81 м/с2 и направлено вертикально вниз. Заряженная частица, движущаяся в однородном электрическом поле (между пластинами плоского

Рис. 107.Рис. 107.конденсатора), также будет иметь постоянное ускорение, перпендикулярное к поверхности пластин.Величину ускорения обозначим через а и выберем направление осей так, чтобы оси Ог и Ох были расположены в плоскости, перпендикулярной к вектору ускорения, а ось Оу была направлена в сторону, противоположную ускорению. Тогда будем иметь、w% = 0, wy = — a, g = 0.(39)конденсатора), также будет иметь постоянное ускорение, перпендикулярное к поверхности пластин.Величину ускорения обозначим через а и выберем направление осей так, чтобы оси Ог и Ох были расположены в плоскости, перпендикулярной к вектору ускорения, а ось Оу была направлена в сторону, противоположную ускорению. Тогда будем иметь、w% = 0, wy = — a, g = 0.(39)Найдем ИмеемНайдем Имеемскорость, уравнения движения и траекторию точки.скорость, уравнения движения и траекторию точки.dvzdtdvzdt0,0,откудаоткудаи% = &, % = — а \ d/= — / + &, %==&・и% = &, % = — а \ d/= — / + &, %==&・(40)(40)Произвольные постоянные интегрирования Сь С2 и С3 мо17T быть выражены через начальные условия, т. е. величину и направление скорости в начальный момент времени; пусть при / = 0 V = у0, причем начальная скорость v0 лежит в плоскости 犬g и составляет острый угол а с осью % (рис. 107). В таком случае проекции начальной скорости на оси будут равныПроизвольные постоянные интегрирования Сь С2 и С3 мо17T быть выражены через начальные условия, т. е. величину и направление скорости в начальный момент времени; пусть при / = 0 V = у0, причем начальная скорость v0 лежит в плоскости 犬g и составляет острый угол а с осью % (рис. 107). В таком случае проекции начальной скорости на оси будут равны^о№ ^а003^ Uog = UoSina, vo«==O.^о№ ^а003^ Uog = UoSina, vo«==O.

Рис. 107.

Рис. 107.

конденсатора), также будет иметь постоянное ускорение, перпендикулярное к поверхности пластин.

Величину ускорения обозначим через а и выберем направление осей так, чтобы оси Ог и Ох были расположены в плоскости, перпендикулярной к вектору ускорения, а ось Оу была направлена в сторону, противоположную ускорению. Тогда будем иметь、

w% = 0, wy = — a, g = 0.(39)

конденсатора), также будет иметь постоянное ускорение, перпендикулярное к поверхности пластин.

Величину ускорения обозначим через а и выберем направление осей так, чтобы оси Ог и Ох были расположены в плоскости, перпендикулярной к вектору ускорения, а ось Оу была направлена в сторону, противоположную ускорению. Тогда будем иметь、

w% = 0, wy = — a, g = 0.(39)

Найдем Имеем

Найдем Имеем

скорость, уравнения движения и траекторию точки.

скорость, уравнения движения и траекторию точки.

dvzdt

dvzdt

0,

0,

откуда

откуда

и% = &, % = — а \ d/= — / + &, %==&・

и% = &, % = — а \ d/= — / + &, %==&・

(40)

(40)

Произвольные постоянные интегрирования Сь С2 и С3 мо17T быть выражены через начальные условия, т. е. величину и направление скорости в начальный момент времени; пусть при / = 0 V = у0, причем начальная скорость v0 лежит в плоскости 犬g и составляет острый угол а с осью % (рис. 107). В таком случае проекции начальной скорости на оси будут равны

Произвольные постоянные интегрирования Сь С2 и С3 мо17T быть выражены через начальные условия, т. е. величину и направление скорости в начальный момент времени; пусть при / = 0 V = у0, причем начальная скорость v0 лежит в плоскости 犬g и составляет острый угол а с осью % (рис. 107). В таком случае проекции начальной скорости на оси будут равны

^о№ ^а003^ Uog = UoSina, vo«==O.

^о№ ^а003^ Uog = UoSina, vo«==O.

Но по (40) проекция скорости на Ох постоянна в течение всего времени движения и, следовательно, остается равной своему начальному значению. Итак,

о% = и° cos а = Ср

Аналогично получим, чтд

叫=С*з = О,

т. е. вектор скорости и будет в течение всего движения расположен в плоскости ху, а траектория точки будет плоской кривой.

Остается определить С2. Подставляя в выражение (40) для vy вместо t нуль, получим

(u/t = o =。2・

Но при f = О

Vy = vQy = Оо sin а, следовательно,

С? ~~ и。, == Vq sin а и по (40)

Vy = — at + Vq sin а.(41)

Перейдем к выводу уравнений движения в плоскости ху. Имеем

vx == ^- = Vq cos а, vy—^~- —— at-^Vo sin а, (42)

откуда следует, что

dx = и。cos а dt, dy = (—〃/ + 方 sin a) dt.

Интегрируя, найдем

* =卜0 cos а 成=目“ cos а + С4,

у = , (— а/ + и。sin а) d/ = — а , / 成 + и。sin a, dt =

=—* +。。/ sin а + Q,

Результат интегрирования содержит две произвольные постоян- ные С4, С5. Для определения их используем значения х и // в начальный момент движения, т. е. начальное положение движу* щейся точки.

Возьмем начало координат в начальном положении движущейся точки. Это дает условия:

при/ = 0 х = 0, у~0.

Подставляя в выражения для хну их начальные значения. & вместо t нуль,, получим

о = с4, о = Q.

Окончательно найдем

(43)(43)х = и°/ cos а, у = v0/ sin а声・

(43)

(43)

Это и будут уравнения движения. Очевидно, что х всегда положительно, так как а — острый угол.

Чтобы получить траекторию, нужно исключить время из уравнений движения; из первого уравнения (43) находим

/ =——.

Jo cos а '

подставляя во второе уравнение, получим

—;(44)

2и0 cos а траектория движущейся точки ——парабола.

Найдем точки пересечения кривой с осью абсцисс. Полагая в уравнении траектории у = 0, получим

откуда найдем

х = 0 или % = —sin 2а.

Первый корень соответствует началу координат (% = О, у = 0), т. е. начальному положению точки. Второй корень соответствует точке пересечения кривой с осью %, если 0 V а V л/2, т. е. sin 2a > 0, так как 尤 должно быть положительным. Если же ——n/2 V а V 0, то траектория располагается целиком под осью 尤(рис. 107, б) и точки пересечения с осью Ох в области % > 0 не существует.

При а > 0 абсцисса L точки пересечения траектории с осью х, равная

А = — sin 2а,

называется дальностью полета.

При заданном и。 максимальное значение дальности достигается при sin 2а = 1, т. е. при а =冗/4; при этом Lmax = v^a. Заметим, что одна и та же дальность достигается при двух различных значениях угла а, ибо sin 2а принимает одинаковое значение при а = а。м а = л/2 — а。.

Найдем вершину кривой. Для этого достаточно заметить, что р достигает максимального значения в момент, когда vy обращается в нуль, так как в этот момент времени скорость и, еле-

довательно, касательная к траектории параллельны оси Ох. Приравнивая vy нулю, получаем

Vq sin а — а/ = 0, т. е. / == -у- sin а.

Найдем положение вершины. Подставив в уравнения движения полученное значение t, будем иметь

W . L W ・ 2

X = — Sin a COS а = -у * Ушах = ^ siY а.

На рис. 107, а построены траектории для двух значений угла а, дополняющих друг друга до 90°. Употребляя принятую в бал

Рис. 108.Рис. 108.и0 саз аи0 саз алистике терминологию, назовем параболу, соответствую

Рис. 108.

Рис. 108.

и0 саз а

и0 саз а

щую меньшему значению угла а, настильной, а большему а ——навесной траекторией (пунктирная кривая).

Для иллюстрации произведем следующий расчет.

Струя воды выбрасывается

пожарным рукавом под углом 30° к горизонту. Рукав поддерживается на высоте 1,5 м от

земли, и струя падает на

землю на расстоянии 25 м от места выхода. По этим данным определим начальную скорость частиц воды. Для этого подставляем в уравнение (44): а = 30°, % = 25 м, у = — 1,5 м, а = g = 9,81 м/с2; получаем

1 к С9,81252/

—1,5 = 25 ; и° ^ 16 м/с.

32吟 3/4 и /

Построим годограф скорости в движении с постоянным ускорением. Так как

и% = 5 cos а = const,

то годографом скорости служит прямая, параллельная оси иу и находящаяся на расстоянии и。cos а от начала координат (рис. 108). Чтобы найти скорость движущейся точки в тот момент, когда точка занимает положение М на своей траектории,

■ a

нужно через полюс О* годографа провести вектор О*М* параллельный касательной к траектории в точке М. При движении по восходящей ветви параболы конец вектора скорости описывает отрезок M\N* годографа, при движении по нисходящей ветви описывается отрезок N*M；・

Пример 27. Криволинейное движение задается уравнениями № a cos kt, у = а sin kt.

Траектория представляет собой окружность радиуса q (рис. 109); проекции скорости и ускорения будут равны

z)x =文=—ah sin ktt vy = у =^ ak cos kt,侬％ =戈=—ak2 cos 々f, wy ^= у = — ak2 sin kt.

Теперь находим величины скорости и ускорения:

о = У 匕 + 号=ah = const,о = У 匕 + 号=ah = const,+崎+崎=诚2 = const.=诚2 = const.

о = У 匕 + 号=ah = const,

о = У 匕 + 号=ah = const,

+崎

+崎

=诚2 = const.

=诚2 = const.

Направление скорости определяется косинусами углов:

coscossin kttsin kttcoscos(^Ф)=(^Ф)=cos 左/.cos 左/.

cos

cos

sin ktt

sin ktt

cos

cos

(^Ф)=

(^Ф)=

cos 左/.

cos 左/.

Вектор скорости перпендикулярен к вектор-радиусу ОМ точки М и направ- лен в сторону, показанную на рисунке. Направление ускорения определим, используя равенства

侬％ = — ak2 cos 々f =—左2%, wy — — ak2 sin 々f = — k2y,

указывающие на то, что проекции 如 противоположны по знаку и пропорциональны по величине координатам, т. е. проекциям вектор-радиуса г дви* ткущейся точки. Таким образом,

w ==—左 2у,

т. е. ускорение направлено к центру круга (рис. 109).т. е. ускорение направлено к центру круга (рис. 109).В рассмотренном примере, несмотря на постоянство величины скорости, ”в нуль. Это объясняется тем, что движение про-В рассмотренном примере, несмотря на постоянство величины скорости, ”в нуль. Это объясняется тем, что движение про-ускорение не обращаетсяускорение не обращаетсяисходит по криволинейной траектории и скорость все время изменяет свое направление.Пример 28. Определим скорость и ускоре-исходит по криволинейной траектории и скорость все время изменяет свое направление.Пример 28. Определим скорость и ускоре-ние середины ханизма при (рис. 99).ние середины ханизма при (рис. 99).шатуна кривошипно-шатунного ме-равномерном вращении кривошипашатуна кривошипно-шатунного ме-равномерном вращении кривошипаРазлагая радикал ряд по степеням А =Разлагая радикал ряд по степеням А =в уравненияхв уравнениях〃Z и〃Z и(17) § 41 в(17) § 41 вшатуна h = //2, получим середины шатуна в видех = a cos 十万(1 ■шатуна h = //2, получим середины шатуна в видех = a cos 十万(1 ■полагая для середины уравнения движенияполагая для середины уравнения движения-}入2 sin2 of),-}入2 sin2 of),у = } 〃 sin st.у = } 〃 sin st.

т. е. ускорение направлено к центру круга (рис. 109).

т. е. ускорение направлено к центру круга (рис. 109).

В рассмотренном примере, несмотря на постоянство величины скорости, ”в нуль. Это объясняется тем, что движение про-

В рассмотренном примере, несмотря на постоянство величины скорости, ”в нуль. Это объясняется тем, что движение про-

ускорение не обращается

ускорение не обращается

исходит по криволинейной траектории и скорость все время изменяет свое направление.

Пример 28. Определим скорость и ускоре-

исходит по криволинейной траектории и скорость все время изменяет свое направление.

Пример 28. Определим скорость и ускоре-

ние середины ханизма при (рис. 99).

ние середины ханизма при (рис. 99).

шатуна кривошипно-шатунного ме-равномерном вращении кривошипа

шатуна кривошипно-шатунного ме-равномерном вращении кривошипа

Разлагая радикал ряд по степеням А =

Разлагая радикал ряд по степеням А =

в уравнениях

в уравнениях

〃Z и

〃Z и

(17) § 41 в

(17) § 41 в

шатуна h = //2, получим середины шатуна в виде

х = a cos 十万(1 ■

шатуна h = //2, получим середины шатуна в виде

х = a cos 十万(1 ■

полагая для середины уравнения движения

полагая для середины уравнения движения

-}入2 sin2 of),

-}入2 sin2 of),

у = } 〃 sin st.

у = } 〃 sin st.

Дифференцируя эти выражения по времени, получим проекции скорости^

g=于 as cos①九g=于 as cos①九и% =戈=—а①(sin ①f + 金 sin2①f),

g=于 as cos①九

g=于 as cos①九

При переходе механизма через «мертвые положения» о/ = 0 или з/ = п % = 0,勿=万 as, т. е. скорость равна половине скорости пальца кривошипа qco и направлена перпендикулярно к шатуну.

При cof =力/2 и со/ = Зл/2 проекция скорости vy обращается в нуль, Т. е. траектория имеет касательную, параллельную оси Ох. В эти моменты

川=千аз, т. е. скорость равна по величине скорости пальца кривошипа. Чтобы найти уравнение годографа скорости, нужно исключить время из выражений для vx и vy. Имеем

%/ 1、〜 1

=——I 1 + COSsin ①/,~~— == — cos cot

Отсюда получаем

慧П干，1-4(黑)(1+大為)，

или

彘)=[l~4(i)](l + Ai) •

по сравнению с еди-по сравнению с еди-Если в первом приближении пренебречь членом А *^- ницей, то уравнение годографа приобретает вид

по сравнению с еди-

по сравнению с еди-

Наличие добавочных члеНаличие добавочных члеЭто — уравнение эллипса с полуосями аз и уао.

Наличие добавочных чле

Наличие добавочных чле

нов искажает форму этого эллипса.

Дифференцируя по времени выражения проекции скорости* получим проекции ускорения:

^ = - у ad se з/.^ = - у ad se з/.侬％ = — Q&2(COS (Of 十-^•九 COS

^ = - у ad se з/.

^ = - у ad se з/.

Пример 29. Определим скорость и ускорение при равномерном движении точки по винтовой линии (рис. ПО, а)."

Уравнения движения были даны в примере 24 § 41. Дифференцируя Выражения координат по времени, найдем проекции вектора скорости:

и* = — аз sin ①力 vy == а(о cos з/, vz = с.

Проекция движущейся точки на плоскость ху описывает окружность CG скоростью

7改+ « = а0

в направлении против движения часовой стрелки, если смотреть вдоль оси Oz^ Вместе с тем точка перемещается вдоль оси Oz со скоростью с. Полная величина скорости равна

и = д// + 吋 + ^ == V/з? + с? •

Направление скорости, т. е. касательной к винтовой линии, определяется формулами

а со sin sfа(о cos sf

cos (v, %)=广=・匸：-二「= , cos (v, у) = —т==-,

Vq2g)2 十 c2V絞①？ + с2

COS (0, N)= -/:二亠一一.

«а2co2 + c2

Годограф скорости представляет собой окружность радиуса as с цен^ тром на оси v2 в точке 力 = с; его уравнения:

Отрезки образующих прямого кругового конуса с вершиной в начале координат, имеющего в основании годограф, дают направление и величину скорости в различных положениях движущейся точки (рис. НО, б).

Определим величину и направление ускорения в рассматриваемом движении. Имеем

№л = х = — а(о2 cos ©/, а/д =步==—as? sin з/, w2= г = О,cos (訳噴)=—cos 叫 cos (£^) = — sin of, cos (/二)=0.

Ускорение направлено по перпендикуляру, опущенному из движущейся точки на ось цилиндра.

§ 45. Натуральный триэдр(естественный трехгранник) траектории

Прежде всего несколько разовьем ранее сказанное о вектор- функции и ее производной. Пусть 4(〃)一непрерывная вектор- функция скалярного аргумента 〃, геометрически изображаемая своим годографом, т. е. траекторией конца ^ векторов 4 при непрерывно изменяющихся значениях аргумента и, когда начало этих векторов откладывается от некоторого полюса О (рис. 111). Производная 4，(〃) определяется как предел

£(〃)=需=臨^ + 北-4也 (45)

и представляет собой вектор., имеющий направление касательной к годографу, проведенной в сторону, соответствующую возрастанию аргумента и. Вектор А' (и) характеризует быстроту

изменения по величине и направлению вектора 4(〃)с измене

нием аргумента и.

Величину, или модуль, производной 4'(“) будем обозначать через |4'(〃) |. Так как буквой Л обозначается величина вектора Д, то А' (и) будет производной величины А, ,

вектора А. Величина производной вектора не равна абсолютному значению производи ной его величины'.

\А\и)Ш Л^) |.(46)

В самом деле, с одной стороны, речь идет / о величине вектора А，(и), с другой — об / 力仞 абсолютном значении производной скаляра А(и)./7*

Покажем это на примере. Пусть А— Рис. 111.

вектор постоянной длины, при всех измене

ниях остающийся в некоторой плоскости. Годографом его является дуга окружности (рис. 112). Касательная к ней, оче

видно, перпендикулярна к вектор-радиусу, проведенному в точ<

ку касания. Итак, если А = const, то

лярен к А(〃). Вместе с тем, так

вектор А7 (и) перпендику

как А(и) изменяет свое направле-

ние, то геометрическая разность

ДА = 4(〃 + Aw) — А (〃)

не равна нулю; не равно нулю и от

ношение

4(〃 + А〃)一 А (〃)

Ди

так же и его предел, т. е. А，(〃)・ Производная же от Л, как производная постоянной величины, равна нулю.

При дифференцировании векторов сохраняются те же правила, что и при дифференцировании функций. Производная геометрической суммы равна геометрической сумме производных. Точно так же сохраняется и правило дифференцирования произведения скалярной функции 九(а) на вектор 4(〃)：

言仇4)=黑4+九需・

(47)

Как одно из применений рассмотрим производную вектора постоянного направления. Всякий вектор А может быть представлен как произведение его величины Л на единичный вектор ei

(48)(48)Л = /е.

(48)

(48)

Если вектор А имеет постоянное направление, то е является постоянным вектором; тогда

dede=0,=0,и, применяя формулу (47), получими, применяя формулу (47), получимdA _ dA d" — d"dA _ dA d" — d"(49)(49)Если dA/du > 0, т. е. Л возрастает при возрастании 〃, то произведение е на положительное число dA/du имеет то же направление, что и е, т. е. направление век- , тора А; в случае же dA/du V 0 произведе- 八 ние е на отрицательное число dA/du имеет направление, противоположное А. Итак,Если dA/du > 0, т. е. Л возрастает при возрастании 〃, то произведение е на положительное число dA/du имеет то же направление, что и е, т. е. направление век- , тора А; в случае же dA/du V 0 произведе- 八 ние е на отрицательное число dA/du имеет направление, противоположное А. Итак,dA dudA duРис. ИЗ.Рис. ИЗ.производная вектора постоянного направления имеет то же направление, что и дифференцируемый вектор, если величина последнего возрастает при возрастании аргумента, и противоположное направление, если величина дифференцируемого вектора с возрастанием аргумента убывает (рис. 113).Правило дифференцирования скалярного и векторного произведений двух вектопроизводная вектора постоянного направления имеет то же направление, что и дифференцируемый вектор, если величина последнего возрастает при возрастании аргумента, и противоположное направление, если величина дифференцируемого вектора с возрастанием аргумента убывает (рис. 113).Правило дифференцирования скалярного и векторного произведений двух векторов также ничем не отличается от соответствующего правила в случае произведения функций. Инымиров также ничем не отличается от соответствующего правила в случае произведения функций. Инымисловами,словами,d% '7 du 1 d%d% '7 du 1 d%(50)(50)

de

de

=0,

=0,

и, применяя формулу (47), получим

и, применяя формулу (47), получим

dA _ dA d" — d"

dA _ dA d" — d"

(49)

(49)

Если dA/du > 0, т. е. Л возрастает при возрастании 〃, то произведение е на положительное число dA/du имеет то же направление, что и е, т. е. направление век- , тора А; в случае же dA/du V 0 произведе- 八 ние е на отрицательное число dA/du имеет направление, противоположное А. Итак,

Если dA/du > 0, т. е. Л возрастает при возрастании 〃, то произведение е на положительное число dA/du имеет то же направление, что и е, т. е. направление век- , тора А; в случае же dA/du V 0 произведе- 八 ние е на отрицательное число dA/du имеет направление, противоположное А. Итак,

dA du

dA du

Рис. ИЗ.

Рис. ИЗ.

производная вектора постоянного направления имеет то же направление, что и дифференцируемый вектор, если величина последнего возрастает при возрастании аргумента, и противоположное направление, если величина дифференцируемого вектора с возрастанием аргумента убывает (рис. 113).

Правило дифференцирования скалярного и векторного произведений двух векто

производная вектора постоянного направления имеет то же направление, что и дифференцируемый вектор, если величина последнего возрастает при возрастании аргумента, и противоположное направление, если величина дифференцируемого вектора с возрастанием аргумента убывает (рис. 113).

Правило дифференцирования скалярного и векторного произведений двух векто

ров также ничем не отличается от соответствующего правила в случае произведения функций. Иными

ров также ничем не отличается от соответствующего правила в случае произведения функций. Иными

словами,

словами,

d% '7 du 1 d%

d% '7 du 1 d%

(50)

(50)

^■(4X5)=警 ХЗ + 4Х 需.(51)

Докажем, что производная вектора постоянной длины перпендикулярна к самому вектору. Для этого заметим, что

ddA2 С

―：—(A • A) = — = 0,d〃 '7 da '

так как по условию А = const. По формуле (50) находим теперь

M dA с

и, следовательно, А・-^- = 0, что и выражает условие перпендикулярности векторов А и dA/du.

К этому же результату можно было прийти из простого геометрического соображения: годограф вектора А постоянной величины представляет собой кривую, все точки которой одина-

ково отстоят от полюса годографа, т. е. кривую на сфере. Производная dA/du, будучи направлена по касательной к годографу, лежит в касательной плоскости к сфере и, следовательно, перпендикулярна к радиусу ее, т. е. к вектору А.

Ранее на примере вектор-радиуса г было показано, что проекции его производной по времени, т. е. вектора скорости и, на оси неизменного направления равны производным по времени от проекций вектор-радиуса на те же оси. Точно так же проекции ускорения 如 на неподвижные оси равны производным от проекции скорости на те же оси. Вообще, если вектор-функция Д (и) задана своим разложением по единичным векторам неподвижных осей:

А (и) = Ах (w) i + Ау (и) 1 + 儿(〃)瓦 то

dA dAv dAn dAy .

в =++ к 瓦

Следовательно,

Q

d%%(dA、 dAyd"z

Итак, проекции производной вектора на оси постоянного направления равны производным от проекций дифференцируемого вектора на те же оси ).

Замечая, что величина вектора 4 выражается через его проекции по формуле

Л = V^x + Л^ + Лг ,

а величина производной равна

開="(争门(翳У+(

сразу видим, что величина производной не равна dA/du, так как, дифференцируя выражение Л, получили бы*

dAv

肃—“幾+ G + &'・

Понятия вектор-функции и ее производной облегчают рас* смотрение основных геометрических свойств траектории, необходимых для дальнейшего развития представления об ускорении.

Рассмотрим некоторую кривую, не лежащую, вообще говоря, в одной плоскости (кривую двоякой кривизны). Установим на 9Tой кривой начало тИо и положительное направление отсчета дуг о (рис. 114, а). Возьмем какую-нибудь текущую точку М, положение которой определим либо дугой о, либо вектор-ра* диусом г* относительно некоторой неподвижной точки О. Через

точку М проведем касательную к кривой; направление касательной в сторону возрастающих значений о зададим единичным вектором касательной т.

Возьмем на кривой весьма близкую к М точку М\\ пусть положение ее определяется значением дуги о + Да, причем Да > 0, т. е. Mi лежит за М в сторону положительного отсчета дуги. Единичный вектор касательной в точке Mi обозначим через ri. Проведем через т плоскость П (рис. 114,6), параллельную ri； чтобы построить ее, достаточно перенести 口 в точку М; два вектора т и ri, имеющие начало в точке М, определяют положение П. При изменении положения Мх плоскость П, очевидно, также изменяет свое положение, вращаясь вокруг т; если будем приближать Mi к М, уменьшая Да до нуля, то эта плоскость будет приближаться к некоторому предельному положе* нию По, называемому соприкасающейся плоскостью (рис. 114,6).

В точке М проведем плоскость М), перпендикулярную к каса-, тельной. Эта плоскость называется нормальной плоскостью кривой. Любая прямая, проведенная в этой плоскости через точку,

М будет перпендикулярна к т, т. е. будет нормальна кривой; линия пересечения нормальной и соприкасающейся плоскостей определяет главную нормаль кривой. Иными словами, главной нормалью называется нормаль, лежащая в соприкасающейся плоскости. Нормаль, перпендикулярная к главной нормали, называется бинормалью кривой.

Если, в частности, кривая — плоская, то соприкасающейся плоскостью будет плоскость, в которой расположена кривая, а главной нормалью ——нормаль кривой, лежащая в этой плоскости.

Совокупность трех взаимно перпендикулярных осей: 1) касательной, направленной в сторону возрастания дуги, 2) главной нормали, направленной в сторону вогнутости кривой, и 3) бинормали, направленной по отношению к касательной и главной нормали так же, как ось Oz расположена по отношению к осям 0% и Оу, образует так называемый натуральный триэдр (естественный трехгранник) кривой.

Единичные векторы этих осей обозначим соответственно через т, я и Ь. Найдем выражения этих трех единичных векторов натурального триэдра через вектор-радиус точки на кривой, заданный как вектор-функция дуги:

г = г (о). (52)

Найдем прежде всего т. По определению векторной производной вектор iy/do направлен по касательной к годографу вектора г в сторону возрастающих о. С другой стороны, численная величина производной равна

dr I |"1 1

Таким образом, векторная производная представляет собой искомый единичный вектор касательной:

Для определения единичного вектора главной нормали п обратимся к рис. 114,6. Рассмотрим равнобедренный треугольник, образованный векторами т и ti в плоскости П. Если точка Mi взята на весьма малом расстоянии Да от точки М, то угол 8 между касательными т и ti в смежных точках кривой — его называют углом смежности — будет также мал и вектор Дт с тем меньшей ошибкой, чем меньше Да, можно считать перпендикулярным к т и, следовательно, параллельным вектору нормали ”, лежащему с Ат в одной и той же плоскости П. По величине | Дг|, как основание равнобедренного треугольника с малым углом е при вершине и боковыми сторонами, равными

единице, будет равен

I Ат | = 2| т I sin ~ ^ 2 • 1 • -| = е.

илиилиОтсюда найдем (с точностью до малых высших порядков) Ат =

или

или

,1 А Аг Да

л = — Ат = — •—・

& Ла 8

Будем приближать Да к нулю, тогда точка Afi будет стремиться к М, плоскость П, как уже упоминалось, — к соприкасающейся Плоскости По, единичный вектор нормали nz ——к искомому единичному вектору 几，и мы будем иметь

(54)(54)(55)(55)п= lim 工一• lim — &

(54)

(54)

(55)

(55)

△о>0 а。 дп->о е

Первый предел равен векторной производной

Jrd / dr、d2r

dordo I dcr 丿do2 *

(56)(56)нт。же касается второго предела, то заметим, что отношение е/Да, определяющее среднюю скорость поворота касательной к кривой при переходе от данной точки к смежной, характери- зует среднюю кривизну кривой на участке (о, и*Ао), а величина

(56)

(56)

определяет кривизну кривой в данной точке.

Таким образом, имеем следующее выражение единичного вектора главной нормали:

1 dt1 dt(57)(57)

1 dt

1 dt

(57)

(57)

Величину 1/К = р, имеющую размерность длины, называют радиусом кривизны кривой в данной точке. Происхождение ггого понятия станет ясным, если рассмотреть кривизну окружности; в этом случае угол смежности 8 равен центральному углу между радиусами, проведенными в точки касания, а соответствующая дуга равна произведению этого угла на радиус, так что отношение е/Да, характеризующее кривизну окружности, равно единице, деленной на радиус окружности, а обратная кривизне величина есть радиус окружности.

В слу^аб произвольной кривой через данную ее точку и две емежные с нею точки можно провести круг, который при стрем- леНнН смежных точек к данной рассматриваемой будет стре-

миться к некоторому предельному кругу, называемому соприка^ сающимся кругом или кругом кривизны. Радиус этого круга будет радиусом кривизны кривой, центр круга С （рис. 114,а）— центром кривизны кривой. Очевидно, круг кривизны лежит в соприкасающейся плоскости, центр кривизны С ——на главной нормали со стороны вогнутости кривой

Введя радиус кривизны р, получим

" ==（58）

Теперь уже не составляет труда найти и единичный вектор бинормали. Из условия выбора положительного направления на бинормали следует:

& = "" = 4'（爲＞＜慕）=р（黑＞＜需）。（59）

§ 46. Разложение ускоренияпо осям натурального триэдра траектории

Применяя полученные выражения единичных векторов осей натурального триэдра траектории, найдем составляющие вектора ускорения по этим осям.

Обозначим через % проекцию вектора скорости на направление касательной к траектории. Очевидно, что vx по абсолютной величине равно численной величине скорости и; что же касается знака ут, то vx положительно, если направление движения в данный момент совпадает с направлением положительного отсчета дуг о по траектории, и отрицательно в противоположном случае. Будем иметь

и = %t・（60）

Заметим, что

%=万=±万=±0，（61）

так как do = ds, когда do ＞ 0, и do = —ds, если do V 0, где s ——пройденный путь.

Вспомнив, что вектор ускорения есть производная по времени от вектора скорости, получим по （60）

初=黑=方（0尸）=替Р + %穿， （62） Далее, имеем

dv — dr .

dt — dor df '

согласно формулам （57） и （61） найдем

Подставив полученное выражение в равенство (62), будем иметь

нt端+*'(63)

где и： заменено на равное ему М.

Равенство (63) представляет собой разложение вектора ускорения по осям натурального триэдра.

Обозначим коэффициенты при единичных векторах т, л и 6 в разложении (63), т. е. проекции ускорения на оси натурального триэдра, соответственно через 耽，wn и Wb； тогда будем иметь

w =叫 т + wnn + wbb9(64)

причем из (63) следует, что

dvx d2a炉/

叫==wn = —, ^ = 0.(65)

Последнее равенство говорит о том, что вектор ускорения перпендикулярен к бинормали, т. е. ускорение лежит а соприкасающейся плоскости.

Первое слагаемое в разложении (64), wxTt дает касательную (тангенциальную) составляющую ускорения, второе, wm,— нормальную составляющую ускорения. Иногда для краткости их называют просто касательным и нормальным ускорениями.

В случае ускоренного движения знаки w% и 外 одинаковы, в случае замедленного движения ——противоположны, т. е. при ускоренном движении касательное ускорение направлено в ту же сторону, что и вектор скорости, а при замедленном движении имеет направление, противоположное скорости (рис. 115).

Нормальное ускорение всегда совпадает по направлению с главной нормалью, так как wn = ^2/р ——существенно положительная величина. Вспоминая ранее сказанное о направлении п, видим, что нормальное ускорение направлено к центру кривизны траектории (нормальное ускорение иногда еще называют поэтому центростремительным), т. е. по главной нормали к

траектории в сторону ее вогнутости. Отсюда вытекает свойство ускорения: вектор ускорения направлен в сторону вогнутости траектории.

Итак, вектор ускорения 6 криволинейном движении может быть представлен как геометрическая сумма двух ускорений: касательного и нормального.

Величина ускорения может быть представлена так:

=(66)

а направление задано косинусами углов, составляемых им с касательной и главной нормалью к траектории:

cos (^) = -^-, cos(£Ji) = ^-.(67)

Отметим два частных случая.

Случай равномерного движения; величина скорости постоянна, так что

dvx 八и2

侬= 0 初=也-.

工p

Величина ускорения w равна в этом случае 侬九：

и2

w = wn= — t

Случай прямолинейного движения; кривизна прямой линии равна нулю, и, следовательно,

Из сопоставления этих двух случаев следует, что 6 равномерном прямолинейном движении ускорение равно нулю.

В общем случае движения касательное ускорение обращается в нуль в тех точках траектории, где скорость принимает максимальное или минимальное значение (0i = 0). Нормальное ускорение равно нулю в точках перегиба траектории (i/p = 0), а также в тех точках траектории, где меняется направление движения, т. е. скорость обращается в нуль.

Отметим, что не следует смешивать \dv/dt\ и \dv/dt\, так как первое выражение определяет величину полного ускорения, а второе ——абсолютное значение лишь одной его касательной составляющей. На различие этих величин указывалось уже Bbime [формула (46)].

Разложение ускорения на касательную и нормальную части имеет простое кинематическое значение. Вектор ускорения, определяющий быстроту изменения вектора скорости по величине и направлению, представляется суммой касательного

ускорения, характеризующего изменение величины скорости, Ж нормального, характеризующего изменение ее по направлению^ В прямолинейном движении направление скорости не изменяется и нормальное ускорение отсутствует; в движении равное мерном не изменяется величина скорости и отсутствует касательное ускорение.

При движении точки по плоской траектории можно дать формулу, выражающую непосредственную связь нормального ускорения со скоростью изменения направления касательной к Траектории. Для этого введем в рассмотрение угол 屮(рлс. 116)

Рис. 116.

касательной с неизменным направлением, например с осью Ох. Тогда в обоих показанных на рисунке случаях будем иметь

p I dor I I dt I ds и * 'и выражение нормального ускорения wn можно записать в виде叫г = ^ = &丨中1・(68)

Если движение точки задано уравнениями в декартовых координатах, то для вычисления проекций ускорения на касательную и главную нормаль к траектории нет необходимости в вычислении кривизны траектории. Замечая, что единичный вектор касательной может быть представлен формулой г = и/^т, напишем:

wx = w - г = w • -^ = -^ {хх + уу + гг),

叫=丨如＞＜口 = ^丨如＞＜01=

。 14〈滔一狗)2 + (辰一応)2 + (我一之牙,(69)

a = ± 0( «= д/北2十/2十22 .

Значения этих выражений непосредственно определяются дифференцированием по времени уравнений движения (5).

Пример 30. Вагон движется по закруглению ABCD (рис. 117, а) с постоянной по величине скоростью о; определим ускорение вагона, если участки АВ и CD прямолинейны, а участок ВС представляет собой дугу круга радиуса р с центральным углом а.

[0 на w = wn = ｛絞/p на[0 на w = wn = ｛絞/p наотрезке ЛВ, отрезке ВС,отрезке ЛВ, отрезке ВС,Касательное ускорение wx повсюду равно нулю, так как скорость по величине постоянна; следовательно, ускорение сводится к нормальному, равному

[0 на w = wn = ｛絞/p на

[0 на w = wn = ｛絞/p на

отрезке ЛВ, отрезке ВС,

отрезке ЛВ, отрезке ВС,

0 на отрезке CD

График ускорения получается разрывным (рис. 117, 6).

Если скорость материальной точки имеет в некоторый момент времени разрыв, т. е. ее величина или направление резко изменяется, то говорят, что

Рис. 117.Рис. 117.

Рис. 117.

Рис. 117.

материальная точка испытывает жесткий удар; если скорость изменяется непрерывно, а ускорение претерпевает разрыв, то такое явление называют мягким ударом. Таким образом, при входе и сходе вагона с окружности имеет место мягкий удар. Во избежание мягкого удара совершают переход от АВ и CD к дуге ВС не сразу, а постепенно, по какой-нибудь кривой, радиус кривизны которой изменяется непрерывно от бесконечности до требуемой величины р. При этом график приобретает вид, показанный ' на рис. 117,8.

Пример 31. Определить радиус кривизны винтовой линии по заданному ее шагу h и радиусу кругового цилиндра а, на который она навита.

Предположим, что рассматриваемая винтовая линия является траекторией в равномерном движении точки. Тогда, как уже известно (пример 29 § 44),

у2 = «2О2 + С2, W = ДО)2.

а2(о2 + с2а2(о2 + с2а о)2 =а о)2 =FIocKOv4bKy движение принято(,равномерным, шг = 0 и w =» wn ==—； следовательно,

а2(о2 + с2

а2(о2 + с2

а о)2 =

а о)2 =

Отсюда находим

тельнотельноВспоминая, что шаг винтовой линии h равен 2л(с/со)2, получим оконча

тельно

тельно

鳥)•

неподвижному прямому рельсу.неподвижному прямому рельсу.Пример 32. Колесо радиуса а (рис. 118) катится без скольжения по

неподвижному прямому рельсу.

неподвижному прямому рельсу.

Определить радиус кривизны траектории (циклоиды), описываемой какой-нибудь точкой обода колеса.

Рассмотрим движение точки М

Отложим от точки касания ^ в сторону, противоположную движению колеса, отрезок NO — NM и примем точку О за начало координат. Угол MCN обозначим через ср.

Из рис. 118 имеем x = OK = ON — CS =

=NM — CS = а (<р — sin 屮)

у = МК = MS + SK = а (1 — cos ф).

s =方/; если движение происходит без скольжения, то s =。儿=а(р и a(p = и". Обозначая еще vQ/a =电 получимs =方/; если движение происходит без скольжения, то s =。儿=а(р и a(p = и". Обозначая еще vQ/a =电 получимТак как траектория не зависит от скорости движения, то можно принять скорость центра колеса постоянной и равной и。. Пройденный им путь будет

s =方/; если движение происходит без скольжения, то s =。儿=а(р и a(p = и". Обозначая еще vQ/a =电 получим

s =方/; если движение происходит без скольжения, то s =。儿=а(р и a(p = и". Обозначая еще vQ/a =电 получим

屮=々力， х = a (kt — sin kt), p = a (1 — cos 々f).

Найдем проекции скорости точки М:

vx = a/? (1 — cos 々f), Vy = ak sin ktt

и величину скорости:

и = У°К + 吟==ak “2 (1 — cos kt) = 2ak | sin -~-1.

Таким образом,

2ak sin — при 0式亚久2зт,4冗久亚 久6冗и т. д.,

—2ak sin -g- при 2冗& 々f & 4л, 6冗《比 & 8冗 и т. д.

Проекция ускорения и величина ускорения будут равны

侬％ = 0% =。庐 sin 々/, wy = a庐 cos 々f, 侬=д/ti^ + 侬^ = a庐.

Находим (в данном случае и。= о)

dv时而=dv时而=a/ cos — при О V 亚 V 2几，4冗 V 亚 V 6冗 и т. д.,

dv

时而=

dv

时而=

—。胪 cos — при 2冗 V Ef V 4л,6冗 V 亚 < 8冗 и т. д.,

Wn = Уg2 —诚=@庐I S也牛卜

Разрыв в выражении для wt при 々/ = 0, 2л, 4л, ... объясняется наличием точек возврата траектории на оси Ох.

Радиус кривизны равен р == 4a sin

侬几 I 2

Отсюда получается простое правило для построения центра кривизны Ц циклоиды: соединив рассматриваемую точку М с точкой соприкосновения М катящегося круга с рельсом, продолжаем отрезок MN на расстояние NU = MN. Точка Ц будет центром кривизны; в самом деле,

Л^^ = 2a| sin — I, MZZ = 2MN = р.

Пример 33. Движение точки М в пространстве задано в функции от времени величиной скорости точки 。и углами 屮 н 屮(рис. 119). Найдем уравне* ния движения точки в декартовой системе координат, касательное и нормальное ускорения, а также радиус кривизны траектории.

Имеем

и% =尤=и cos 屮 cos ф, Vy = у = v cos 2 sin ф, % =之=и sin 屮.

Интегрируя, будем иметь

х0 + \ и cos -ф cos ф dt.

У — Уо+ ) и cos 2 sin <р dt, о

t

z = 2о + \ о sin 屮 dt.

о

Взяв производную по времениВзяв производную по времениот проекций скрости, получимот проекций скрости, получим

Взяв производную по времени

Взяв производную по времени

от проекций скрости, получим

от проекций скрости, получим

х = V cos 屮 cos qp — Dip sin *ф cos <p — иф cos *ф sin ф.

g = 0 cos 2 sin <p — °6 sin i|)sin ф + уф cos 2 cos qp,

£ == 0 sin 屮 + m|)cos 2・

Составляем выражения

xy 一 ух == у2ф cos2 也

yz — zy = t?2@ sin ①一и2ф sin -ф cos -ф cos ф,

zx — xz =—标0 cos 屮一Мф cos 2 sin 屮 sin <p.

Возводим их bi квадрат и складываем, тогда по второй из формул (69) получим

3fг“(土方一*盼2 + 匂乏一之g)2 + (次一元2产 =

=—д/ V4 (*Ф2 + Ф2 COS2 *ф) = и “小2 + ©2 COS?屮•

7 Л. Г. Лойцянский, А. И. Лурье

Вспоминая, что wn = ^2/р, найдем

РР«@2 + ф2 COS2 2«@2 + ф2 COS2 2V2о

Р

Р

«@2 + ф2 COS2 2

«@2 + ф2 COS2 2

Касательное ускорение равно

d и

В частном случае движения точки в плоскости хОу вновь получаем @ =《=0, cos 屮=1 и выражение нормального ускорения приобретает вид (68貝.

Wti = V J ф I.

Глава XII

КИНЕМАТИКА ТОЧКИ В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ

§ 47. Криволинейные координаты точки

Всякие три числа, однозначно определяющие положение точки в пространстве трех измерений, могут рассматриваться как координаты этой точки. Установив закон выбора этих чисел для любой точки, мы тем самым выберем определенную систему координат, которую, в отличие от прямолинейной декартовой системы, условимся называть криволинейной.

Обозначим через ⑺，^2, ,з криволинейные координаты точки М имеющей вектор-радиус г по отношению к точке О, выбранной произвольно за начало. Тогда в силу однозначного соответствия между определением положения точки М при помощи вектор-радиуса г и определением ее положения при помощи совокупности чисел (夕卜夕2,夕3) можно написать

r = r(qh %，禽)，(1)

т. е. утверждать, что вектор-радиус точки М есть вектор-функция трех криволинейных координат этой точки.

Кривую, которую вычертит точка М, если изменять одну только координату 伙，а двум другим дать некоторые фиксированные значения, будем называть координатной линией (/), так что кривая

r = r{qb 夕20,禽о),

где индекс 《0》обозначает частное, фиксированное значение координат 夕2 =夕20 и дз = дзо, дает координатную линию (力) и т. д.

Через каждую точку Mo(qio,夕20, ^зо) можно провести три} координатные линии:

линия Si): у = /*(91, %о, 4зо),

ЛИНИЯ (g2)： r = r(910,%，禽0),линия Q): г = г(9ю, &о,禽)・

Касательные к координатным линиям в данной точке Мо, направленные в сторону возрастания соответствующих координат, будем называть координатными осями jgi], [72],」«з]： в данной точке.

Направление этих осей зададим единичными векторами 々1,局，无з.

Если изменять сразу две координаты, а оставшуюся одну фиксировать, то получим поверхности, заданные следующими уравнениями:

поверхность поверхность поверхностьповерхность поверхность поверхность（g闻2）：戸=y（力，例, Ы， （32备）：y=y（力0,方，方）, （备力）：r = r（q{i g20,禽）•

поверхность поверхность поверхность

поверхность поверхность поверхность

Эти поверхности будем называть координатными поверхностями, а касательные плоскости к ним в точке М^ — координатными плоскостями.

Из определения ясно, что координатные линии (⑺)и (夕2) лежат на координатной поверхности (qi^2), линии (^2) и (夕з)——

на поверхности (仇柒)и линии (柒)и (力)一на поверхности (夕3夕1). Точно так же координатные оси лежат в соответствующих координатных плоскостях.

Рассмотрим для иллюстрации введенных понятий несколько частных систем криволинейных координат.

Декартова прямоугольная система (%i,%2, %з)・ В этом случае (рис. 120) координатные линии и оси совпадают. Это — прямые, параллельные осям координат, проведенным через точку О, и одинаково с ними направленные. Точно так же и координатные поверхности совпадают с координатными пло* скостями, параллельными координатным плоскостям, проходящим через начало О.

Цилиндрическая система координат (р, ср, г). Изменяя одну лишь координату р, получим (рис. 121) прямую, пересекающую ось On под прямым углом; это одновременно и координатная линия (р), и координатная ось [р]. Изменяя ср, полу-

чим окружность радиуса р, лежащую в плоскости, перпендикулярной к оси Oz и находящейся на расстоянии г от плоскости Оху. Эта окружность является координатной линией (ср), касательная к ней в сторону возрастания угла ср — координатной осью [ср]; наконец, прямая, параллельная оси Oz, будет одновременно координатной линией (г) и координатной осью [г].

Координатными поверхностями будут следующие поверхности: поверхность (рср), соответствующая заданному значению

Рис. 122.Рис. 122.г,— плоскость, перпендикулярная к оси Oz; поверхность (屮 2), соответствующая заданному значению р, — цилиндрическая поверхность радиуса р с осью Oz и, наконец, поверхность (гр)——плоскость, проходящая через ось Oz и взятую точку М и соответствующая заданному значению ср.

Рис. 122.

Рис. 122.

Сферическая система координат (г, 0, ср) (рис. 122). Линией (г) и осью [[г] будет служить прямая,

выходящая из начала координат и проходящая через взятую точку; линией (0) — окружность большого круга, осью [0]——касательная к этой окружности в сторону возрастания угла 0 и, наконец, линией (ср) будет окружность параллельного круга радиуса г sin 0, осью [ср]——касательная к ней в сторону возраста

ния угла ф.

Координатными поверхностями будут: сфера (г = const), коническая поверхность (0 = const) с осью Oz в качестве оси симметрии и с углом раствора 20 и плоскость (ср = const), проходящая через ось Oz и взятую точку М. Координатные плоскости найдем как касательные плоскости к этим координатным поверхностям.

Для определения единичных векторов координатных осей вспомним, что координатная ось [qt] направлена по касательной к координатной линии (⑦)，соответствующей возрастанию координаты 仇.На основании известного свойства векторной производной можно утверждать, что единичный вектор ki имеет направление вектора dr/dqi. Если эту производную разделить на ее численную величину

岛卜"（蜀了+（瑞户瑞六""⑵

где "，——так называемые коэффициенты Ляме, то получим

瓦=亡 舒 Q= 1,2,3).(3)

Пользуясь формулой (3), легко найти косинусы углов криволинейных координатных осей с осями декартовых координат. В самом деле, например (не суммировать по，!)，

1 dr1 дхг

и, вообще (не суммировать по /!),

1 дх,cos (瓦，,•)= %/・

'Таким образом, получим таблицу косинусов углов между осями криволинейных и декартовых координат:

5]

[农]

例］

1

1 3打

[ dxt

1 0修

Hl dq^

"2歯2

Я3歯3

1d%2

1 дх2

%机

"2因2

”3歯3

1d%3

10尤3

10%3

1%з]

石丽

"2042

石丽

Если в любой точке пространства координатные оси взаимно перпендикулярны, то система криволинейных координат называется ортогональной.

Условие ортогональности имеет вид

財•財=0« * /),

или по (3)

dxi дх｛丄 дх2 дх2 丄 дх3 дх3 —仆(冃、

В дальнейшем будем рассматривать лишь ортогональные системы; в ортогональной системе координат единичные векторы ki определяют не только направление координатной оси [%], но вместе с тем и координатную плоскость, перпендику* лярную к этой оси.

Легко вывести формулу дифференциала дуги произвольной кривой в заданной системе криволинейных координат. Для этого возьмем общее выражение произвольного бесконечно ма< лого перемещения

亲對1 +訳歯2 +^歯3

и определим квадрат дифференциала дуги как квадрат величины этого перемещения:

ds? = w F I+ 寨歯2 + 瓷 dq^.

Производя скалярное перемножение, по (2) и (5) получим выражение дифференциала дуги в ортогональной криволинейной системе:

ds = ЯГ dq. + "3 d$ + Hl dql(6)

Из этой формулы вытекает простой прием определения коэффициентов Ляме: полагая поочередно, что изменяется лишь одна координата, а две другие фиксированы, находим диффе* ренциалы дуг координатных линий:

ds] — НJ dqI, ds? — Н2 dg?, ds3 —1Н3 d(j^»(7)

Отсюда следует, что коэффициенты Ляме представляют со« бой множители при дифференциалах координат в выражениях дифференциалов дуг соответствующих координатных линий.

Определим этим путем коэффициенты Ляме в цилиндрической и сферической системах координат.

В цилиндрической системе

ds[ — dp, ds? — р d(p, d$3 — dz, следовательно,

"p = l, "e = p, H2= 1.⑻

В частности, в полярной системе координат (р, ср) на 口〃о скости имеют место первые две из этих формул.

В сферической системе

dsi = dr, ds2 = г 曲,d$3 = r sinB dtp, следовательно,

办=1, 〃6 =厂，Яф = г sin0.(9)

§ 48. Проекции скорости и ускоренияна оси криволинейных координат

Для разыскания проекций скорости точки на координатные оси проще всего поступить так: напишем производную вектор、 радиуса г точки по времени, т. е. вектор скорости, в виде

V = Г ==仇 + 仇 +О3；(10)

тогда по формулам (3) получим

V ="向/i + н 2gh2 + H3q3k3.(11)

Это равенство можно рассматривать как разложение вектора скорости по единичным векторам осей криволинейных координат; для проекций скорости на координатные оси будем иметь 叫・=力仇・(Z= 1,2,3).(12)

Квадрат величины скорости равен

^ = H\q\ + Hlc^ + Hlql(⑶

в полном соответствии с равенством (6) и формулой

Для определения проекций ускорения представим их в виде

叫•瓦=0

откуда

弘з尸:•奇'=与（0 .粉）—5分器-（⑷

Из равенства (10) непосредственно следует

Кроме того, по определению полной производной

dt dq. — dq{ dqt ^1 十 dq2 dq.例十 dq3 dqt 备，

но это же выражение получим, если возьмем от обеих частей (10) частную производную по %; действительно, так как @1， ^2，Оз зависят только от времени, а не от 夕卜 夕2,，з, то

du —02r.02r.丄 02r..

瓦一dq.dq^力十瓦瓦％十^. ^3禽，

таким образом, имеем'

(16)равенство(17)(16)равенство(17)d ” _ dudt dq. — d% •

(16)

равенство

(17)

(16)

равенство

(17)

0и — д V • V — 0 V20и — д V • V — 0 V2Подставляя значения >^ по (15) и 亲-^ тю (16) в (14), получим

0и — д V • V — 0 V2

0и — д V • V — 0 V2

Замечая еще, что

dv — d v • v — d 虻

0 • d% — dq. 2 — 0% 2

на основании (17) окончательно получим выражение проекций ускорения на оси криволинейной системы координат:

叫=音倩器一舒）（18）

где для краткости введено обозначение

Т = ^2-1-(Н^ + 〃露 + 〃諸)・(19)

Итак, для разыскания проекций ускорения на координатную ось ［次］следует найти выражение квадрата скорости. Тогда по формуле (18) дифференцированием получим проекции ускорения на ось.

Скорость и ускорение 6 цилиндрической системе координат. В этой системе координат по формулам (8) и (12) имеем

затем по (19)затем по (19)и° = 0, Оф = рф, vz z\(20)

затем по (19)

затем по (19)

7=4(02 +P游 + 之2)；⑵)

отсюда по (18) определим проекции ускорения: d ОТ дТ ... и

铀=x备器一黑告(唸)，(22)

d дТ дТ

Первые две формулы дают выражения для проекций ускорения на оси полярной системы координат.

Скорость и ускорение s сферической системе координат. В сферической системе координат получим

vr = г, Ое = г0, уф = ^Ф sin0.(23)

Составляем величину Т:

Т = ~^ (产 + 产У + 产@2 sin?®)；(24)

проекции ускорения будут иметь вид

^ =•备祭 一 £ =〜毋 一 * sin2 e

一号户十传（即 i^siWose］，一号户十传（即 i^siWose］，(25)(25)

一号户十传（即 i^siWose］，

一号户十传（即 i^siWose］，

(25)

(25)

%=vir (方器一器)=击' 4 (唸siM 0).

Применим формулы ускорений в полярных координатах к определению ускорения планеты, считая известными следующие три закона Кеплера:

Планеты обращаются вокруг Солнца по эллипсам, в од- ном из фокусов которых находится Солнце.

Площади, описываемые радиус-векторами планеты, пропорциональны времени.

Квадраты времен обращения относятся как кубы средних расстояний планет до Солнца, или как кубы больших полуосей.

По первому закону Кеплера уравнение траектории планеты имеет вид

Р = i + ；占而，(26)

b2e 7 一匕4

где Р =-^— параметр, е = z =」~ эксцентриситет,

Рис. 123.Рис. 123.а и b — большая и малая полуоси эллипса.

Рис. 123.

Рис. 123.

Как легко видеть из рис. 123, приращение площади S, описываемой радиус- вектором ОМ, можно определить по формуле

AS = ур(р + Др)Аф р -^-р2Д(р.

Отсюда получим

嘗= ^Р%・(27)

Эта величина, характеризующая быстроту изменения площади, описываемой радиус-вектором точки, называется секториальной скоростью.

По второму закону Кеплера секториальная скорость постоянна, т. е.

р2ф = С(28)

По третьему закону Кеплера

(29)(29)Q3 l

(29)

(29)

где а — большая полуось, т — время обращения планеты вокруг Солнца и А — постоянная, одинаковая для всех планет.

Пользуясь этими соотношениями, определим проекции ускорения планеты на оси полярных координат.

Прежде всего по второму закону Кеплера (28) и по второй из формул (22) получим

铀)= 0；

следовательно, остается найти лишь проекцию ускорения пла-

неты Wp； по первой формуле (22) и первому и второму законам Кеплера будем иметь

. dp .sin С Се sin ф

О = ф = 丁三• г =—,

『 &屮 *(1 + ecQs 屮)2 p2p

и, следовательно,

“ Ce cqs ср . C2e cos op

P = —E一 屮=~pp2~ ・

Таким образом, находим

侬p = 0 一 pФ?=-亲靑，(30)

Если планета сделает полный оборот, то по определению секториальной скорости

Ст = nab, откуда

С2 — 4h2a2ь2 _. 4Л2仪3

р —2 b2—，

" t2 一

а следовательно, по третьему закону Кеплера (29)

^ = 4歩历

Окончательно будемОкончательно будемиметь по формуле (30)иметь по формуле (30)

Окончательно будем

Окончательно будем

иметь по формуле (30)

иметь по формуле (30)

叫叫4冗2々4冗2々(31)(31)

叫

叫

4冗2々

4冗2々

(31)

(31)

т. е. ускорение планет обратно пропорционально квадрату и火 расстояния от Солнца и направлено от планеты к Солнцу — закон, открытый впервые Ньютоном и положенный в основу знаменитого закона всемирного тяготения.

Пример 34. Найти годограф скорости точки, движущейся по кониче< скому сечению с постоянной секториальной скоростью.

Уравнение конических сечений имеет вид (26), причем е V 1 в случай эллипса, е = 1 для параболы и е > 1 для гиперболы. Напомним, что началу системы полярных координат при этом взято в фокусе конического сечения#

Учитывая условие (28) постоянства секториальной скорости, получим

.Се .

〃产 Р = — sm ф.

I + е cos ср р2I + е cos ср р2——(1 + е cos (р), Р——(1 + е cos (р), Р

I + е cos ср р2

I + е cos ср р2

——(1 + е cos (р), Р

——(1 + е cos (р), Р

Переходя к проекциям vx, vy в декартовой системе, получим= ^Р COS ф — Оф Sin ф = Sin ф,Vy = Up sin ф + fф cos фПереходя к проекциям vx, vy в декартовой системе, получим= ^Р COS ф — Оф Sin ф = Sin ф,Vy = Up sin ф + fф cos фррррCOS ф.COS ф.

Переходя к проекциям vx, vy в декартовой системе, получим

= ^Р COS ф — Оф Sin ф = Sin ф,

Vy = Up sin ф + fф cos ф

Переходя к проекциям vx, vy в декартовой системе, получим

= ^Р COS ф — Оф Sin ф = Sin ф,

Vy = Up sin ф + fф cos ф

р

р

р

р

COS ф.

COS ф.

Из последних двух уравнений следует уравнение годографа

Это — окружность круга с центром на оси Ovy в точке Ог с ординатой Се/р и радиусом а = С/р. Если е = 1, что соответствует параболе, окружность касается оси Ои%; если eV 1 (эллипс), то а > Се/р — окружность пересечет ось О〃； если е> 1 (гипербола), то а < Се/р — окружность расположится выше оси Ovx. На рис. 124, а, б, в показано расположение траекторий и годографов скорости. Отрезки Ото,。团【，。团2 и т. д., не показанные

на рисунках, чтобы их не затемнять, соответственно определяют векторы скоростей в точках Мо,此，於 и т. д.

Пример 35. Движение точки н а сфере под постоянным углом к меридиану. Угол а между направлением вектора ско- jocTH и меридианом места можно найти по формуле

— —出r01 dB c ga — m ——и屮 —— 广 sin 9ф — sin 0 dcp *

Отсюда следует дифференциальное уравнение траектории в сферических координатах

de ,

sin 0*

Интегрируя, получим

In tg — = т^ + In С,или, освобождаясь от логарифмов,tg^ = Ce 师.

Здесь С ——постоянная, которая является положительной, так как 0 заключено в промежутке (0, л).

Пусть m > 0, тогда при стремлении ср к бесконечности угол 0 будет стремиться к л； иными словами, траекторией будет служить сферическая кривая, спиралью закручивающаяся вокруг Южного полюса (предполагаем, что ось Oz своей положительной стороной проходит через Северный полюс Земли). Если m V 0, то при ср, стремящемся к бесконечности, угол 0 будет стремиться к нулю, т. е. кривая будет завиваться вокруг Северного полюса.

В проекции Меркатора, при которой меридианы переходят в параллельные прямые, а параллели ——в перпендикулярные к ним прямые, траекторией точки будет служить прямая, расположенная под углом a = arctg(l/m) к прямым, изображающим меридианы.

лель. При m = оо, и屮лель. При m = оо, и屮О ср будет по、О ср будет по、Полученная в настоящем примере спиральная траектория на сфере носит наименование локсодромии. По такой кривой двигался бы корабль на сферическом земном шаре, если бы курс корабля был неизменен по отношению к меридианам. В частном случае m = О, ^е = ° угол 0 будет постоянным, т. е. локсодромия вырождается в парал-

лель. При m = оо, и屮

лель. При m = оо, и屮

О ср будет по、

О ср будет по、

стоянным, т. е. движение будет происходить по меридиану.

На рис. 125 показан вид локсодромии в проекции на плоскость, перпендикулярную к оси Земли.

Пример 36. Луч прожектора OL (рис. 126) следит за самолетом ”, движущимся с постоянной скоростью V по прямой КК. Поставим перед собой задачу вычислить первые и вторые производные по времени от углов ср и @« задающих направление луча в пространстве; через эти производные выражаются угловая скорость и угловое ускорение следящего приспособления прожектора.

Через прямую КК проведем вертикальную плоскость П и обозначим через 九 двугранный угол плоскостей П и гОх; направление КК в плоскости П определим углом 卩，образуемым этой линией с вертикалью On. Положение точки М определим ее сферическими координатами г, 0, ср.

Составим по формулам (23) выражения проекций скорости точки на оси сферической системы координат:

力=『=и cos (iC^),

(32)(32)vq — rB = v cos(0,左е),

(32)

(32)

Уф = гф sin 0 = у cos (v, Лф),

где 儿г, ^е, Лф — единичные векторы координатных осей сферической системы (рис. 127).

Для определения косинусов, входящих в выражения (32), воспользуемся основной формулой сферической тригонометрии (см. далее § 59). Замечая, что вектор и имеет направление ОК и что сферические координаты точки К суть zK =卩，％R = X, из сферического треугольника KLz получим

cos (0, kr) = cos KL = cos 0 cos pi + sin Osin pi cos (九一ф).(33)

Аналогично из сферического треугольника KPz получимАналогично из сферического треугольника KPz получимcos (^7^) == cos ^Р = cos (今 + 8)cos 卩 + sin (今 + B)sin 卩 cos (九一屮)=

Аналогично из сферического треугольника KPz получим

Аналогично из сферического треугольника KPz получим

=—sin 0 cos 卩 + cos H sin 卩 cos (九一ср). (34)

На рис. 127 для ясности показан вектор — имеющий направление, Противоположное вектору Лф. Поэтому из сферического треугольника KNР имеем

—cos (厂焉)н cos KN = cos ^^ cos^^ + sin К sin NR cos ~>

=cos=cos卩卩+九一中），+九一中），и, следовательно,После подстановкии, следовательно,После подстановкиcos (vTXp) = sin 卩 sin (九—ср).(35)

=cos

=cos

卩

卩

+九一中），

+九一中），

и, следовательно,

После подстановки

и, следовательно,

После подстановки

полученных значений косинусов в (32) будем иметь

f — V (cos 0 cos 卩 + sin е sin 卩 cos a),

(36)(36)0 = у- (-- sin 0 cos 卩 + cos 9 sin 卩 cos a),

(36)

(36)

ф ：~"Sin LX sin a,

* r sin 0 尸 ' где

q = X — ф(37)

представляет собой двугранный угол между вертикальными плоскостями П и zOL (рис. 126).

Последние две формулы (36) решают первую часть задачи. Для определения вторых производных 0 и ср составим выражения проекций ускорения точки Af на оси [0] и [ф] сферических координат и приравняем их нулю, так как точка М движется равномерно и прямолинейно. Будем иметь 0 = ф2 81п 0 cos 0 — 2 у 0, ф = — 2ф ^~ + 0 ctg 0^.(38)

В правые части этих выражений надо подставить значения г, б ф по (36). Тогда вторые производные 0, ф выразятся через сферические координаты точки М и величины, определяющие вектор скорости точки М,

Глава XIII

ПРОСТЕЙШИЕ ДВИЖЕНИЯ АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА

§ 49. Поступательное движение твердого тела

Начальные сведения о простейших движениях твердого тела】 поступательном и вращательном вокруг неподвижной оси из* вестны из школьных курсов физики.

В настоящей главе будут изложены основные представления о движении твердого тела и даны характеристики этого движения.

Под поступательным движением абсолютно твердого тела понимают такое его движение, при котором прямая, проведенная через любые две точки тела и жестко с ним связанная, остается во все время движения параллельной самой себе. В этом определении подчеркнуто, что требование сохранения параллельности относится к любой прямой, жестко связанной с телом. Так, например, в случае вращения тела вокруг неподвижной оси прямые, проведенные в теле параллельно оси вращения, будут вращаться вокруг оси, оставаясь параллельными самим себе, но это относится только к прямым, параллельным оси вращения тела. Прямые, наклоненные к оси вращения, уже не будут перемещаться, сохраняя параллельность.

Понятие «вращения» в дальнейшем сохраняется только для твердых тел и частей сплошной среды, но не будет применяться к материальным точкам, движущимся по круговым траекториям. Нельзя при этом говорить, что точки «вращаются^ во^ круг центров окружностей. К точкам не применимы термины поступательного или вращательного движений. Можно говорить лишь о прямолинейном или криволинейном их движении.

Точки поступательно движущегося тела могут описывать любые криволинейные траектории, в частности окружности, но движение тела сохраняет свой поступательный характер.

Докажем, что при поступательном движении твердого тела все его точки описывают одинаковые траектории и в любой момент времени имеют одинаковые скорости и ускорения.

Для доказательства рассмотрим в данный момент / какие- нибудь две точки тела Л и В (рис. 128^г которые в момент / + △£

займут положения Л\ В\ По определению поступательного движения жесткие отрезки АВ и АВ，будут равны и параллельны друг другу. Следовательно, фигура АВВ^^ является параллелограммом и отрезки //' и ВВ，равны и параллельны. Отсюда следует, что векторы бесконечно малых перемещений 篇, и равны между собой. Одинаковость во всех точках

бесконечно малых перемещений означает, что при поступательном движении тела всеми точками будут описываться одинаковые траектории и будут одинаковы векторы скорости и ускорения.

К тому же результату можно прийти, если определять положение любой точки М твердого тела вектор-радиусом г\ проведенным из некоторой точки О\ также при* надлежащей телу (рис. 129). Если движем ние поступательное, то по определению вектор У остается параллельным самому себе. Величина вектора rz (厂，=О'М) не

изменяется, так как тело твердое. Итак, г' является постоян

ным вектором.

Обозначим через г0 вектор-радиус точки О' относительно некоторой неподвижной точки О. Равенство

у = Уо + Ь(1)

показывает, что траектория точки М получается из траектории точки О' путем параллельного перенесения ее на постоянный по величине и направлению вектор у'. Следовательно, траектории точек твердого тела, движущегося поступательно, пред

ставляют собой конгруэнтные кривые, получающиеся друг из друга путем параллельного переноса.

Дифференцируя обе части формулы (1) по времени и замечая, что производная постоянного вектора у' равна нулю, получим

"_小

dt — df '

мли, вспоминая определение вектора ско

рости,рости,0 = %,0 = %,Рис. 129. ⑵Рис. 129. ⑵

рости,

рости,

0 = %,

0 = %,

Рис. 129. ⑵

Рис. 129. ⑵

т. е. скорости всех точек твердого тела, движущегося поступательно, 6 любой момент времени друг другу равны как по величине, так и 孔。направлению.

Дифференцируя обе части (2) еще раз по времени, получаем

⑶⑶w = w0,

⑶

⑶

т. е. ускорения всех точек поступательно движущегося твердого тела 6 любой момент времени одинаковы.

Из доказанного следует, что поступательное движение твердого тела вполне определяется движением какой-нибудь одной из его точек; следовательно, для изучения поступательного движения тела достаточно знания кинематики точки.

§ 50. Вращение твердого тела вокругнеподвижной оси. Угловая скорость. Угловое ускорение

Рассмотрим движение твердого тела, при котором две точки его остаются неподвижными; такое движение представляет собой вращение тела вокруг проходящей через неподвижные точки прямой, называемой осью вращения.

Пусть ось вращения тела совпадает с осью Oz. Чтобы определить положение тела, проведем через ось Oz две полуплоскости: подвижную Q, твердо связанную с вращающимся телом, и неподвижную Р (рис. 130). Заданием двугранного угла 屮 между этими полуплоскостями положение твердого тела вполне

определяется. Например, углом поворота визирной трубы вокруг вертикальной оси Ог является не угол а между двумя положениями оси трубы ТТ и ТТ (рис. 131), а линейный угол двугранного угла между плоскостями, проведенными через ось вращения Oz и ось трубы в двух положениях последней; этот угол ф и отсчитывается по лимбу ЛЛ、

Численное значение угла поворота будем выражать в радиа< нах, т. е. в частях угла, длина дуги которого равна радиусу. Углы в радианах выражаются безразмерными числами. Окружность содержит 2л радиан; один радиан эквивалентен углу 警= 57°17'44,8",

выраженному в градусах.

Часто угол поворота выражают числом оборотов N. Оче-> видно, что угол ср в радианах, соответствующий ^ оборотам, равен

中=2冗2.(4)

Положительное направление отсчета углов уже было опре* Делено в § 11.

Движение твердого тела, имеющего неподвижную ось вра* щёния, определяется заданием угла ср в функции времени:

(р = /(力(5)

Это уравнение называется уравнением вращения тела.

При изучении вращательного движения вокруг неподвижной оси вводится в рассмотрение величина, учитывающая быстроту изменения угла поворота со временем. Эта величина называется угловой скоростью тела или частотой его вращения.

Остановимся сначала на случае равномерного вращения, при котором за одинаковые промежутки времени тело повора^ чивается на одинаковые углы. Угол поворота за единицу времени будет в этом случае численно равен угловой скорости. Последнюю будем обозначать буквой со. Согласно определению

⑹⑹9 =

⑹

⑹

%2 —九

где(pi и 屮2 ——значения угла поворота ср в моменты 九 и /?♦

Если за единицу угла принять 1 радиан, а за единицу времени 1 секунду, то единицей угловой скорости будет являться 1/с. В технике угловую скорость вала машины обычно характеризуют числом оборотов в минуту и обозначают буквой 〃・ Замечая, что п об/мин соответствует 許 об/с и что 1 оборот соответствует 2л радианам, получим

8 =而 1/&

Например, угловая скорость маховика, совершающего 500 об/мин, выраженная в 1/с, будет равна

6 =需= 52,36 ]/&

Угловая скорость вращения Земли, выраженная в 1/с, будет равна

8 = ^^1/0 = 0,0000726 1/с.

Для ориентировки полезно запомнить, что в грубом приближении угловая скорость, выраженная в об/мин, в 10 раз больше, чем угловая скорость, выраженная в 1/с. Действительно,

Из определения угловой скорости как отношения приращения угла к приращению времени следует, что s может быть положительно и отрицательно. Если угол поворота возрастает (ф2 > ф1), т. е. тело вращается в положительном направлении, то (о > 0; если же угол поворота убывает (①2 V 屮i), то тело вращается в отрицательном направлении и (о < 0. Сохраняя обозначение з для абсолютного значения угловой скорости, условимся обозначать алгебраическую величину угловой скорости символом со». Конечно, |® | = со.

Если вращение неравномерно, то отношение приращения угла поворота Д(р к интервалу времени Д/, в течение которого это приращение произошло, определит лишь некоторую среднюю угловую скорость за время А% = /2 —九：

~①2 — ф1Аф

Желая перейти от средней угловой скорости за некоторый промежуток времени к истинной угловой скорости в данный момент, будем стремить интервал времени А/ к нулю. По определению производной угловая скорость G в данный момент будет равна

6 = lim Gcp = lim= Ф・(7)

Пользуясь этой формулой, по заданному уравнению (5) вращения тела получим

6 = @ = f' (/).

Если угол ср в данный момент возрастает, 5 > 0; если угол ф убывает, со < 0. Знак со говорит о направлении вращения тела, если принято определенное правило положительного (вспомнить определение положительного поворота тела в § 11) и от・ рицательного отсчета углов поворота вокруг заданной оси вращения тела. Если 5 в данный момент обращается в нуль и меняет знак, то угол поворота ф достигает своего максимального или минимального значения, а тело меняет направление вращения.

За меру быстроты изменения угловой скорости с течением времени примем отношение приращения угловой скорости Аб к промежутку времени Д/, в течение которого это приращение произошло. Такое отношение назовем средним угловым ускорь нием за промежуток времени А/ и обозначим

Д(О 0)2 — 3[=/2 - 九 ,

Конечно, 8ср может быть как положительной (&2>^。，так и отрицательной (后2 V Gi) величиной, что и отмечено «тильдой» над буквой 8.

£・£・⑻⑼⑻⑼Угловое ускорение в данный момент определится как предел отношения 人后/Af при Д/, стремящемся к нулю, т. е.

£・

£・

⑻

⑼

⑻

⑼

8 = lim 8cd = lim =A20 P д^о Af df

Из формулы (7) будет также следовать

£ =訴=屮•

Подобно тому как знак ю определяет, вращается ли тело вокруг заданной оси в положительную или отрицательную сторону, точно так же знак 8 дает суждение о том, является ли вращение тела в данный момент ускоренным или замедленным. В самом деле, если знаки й и 8 совпадают, то или: 1) G> О и 8 > 0, т. е. о положительно и возрастает, или 2)后 V О, ©V О, т. е. о отрицательно и убывает. И в том и в другом случае б по абсолютной величине возрастает, т. е. вращение ускоренное; аналогичное рассуждение показывает, что если знаки со и е различны, то вращение замедленное.

Угловое ускорение равно нулю при равномерном вращении тела. Условие е = 0 в данный момент времени может говорить о максимуме или минимуме угловой скорости в этот момент.

Рассмотрим случай равнопеременного вращения. Так называется вращательное движение с постоянным угловым ускоре* нием. Переписывая формулу (8) в виде

dm —— £ df,

можем в этом случае при интегрировании вынести 5, как по стоянную, за знак интеграла. Получим

(Ю)(Ю)G =或+亂;

(Ю)

(Ю)

постоянная интегрирования »° есть значение G при / = 0, т. е. угловая скорость в момент, принимаемый за начало отсчета времени.

Решая уравнение (10), найдем

〜 СО — Сйо

e=7—

Отсюда следует, что за единицу углового ускорения надо принять угловое ускорение такого равнопеременного вращения, в котором в каждую единицу времени угловая скорость возрастает на единицу угловой скорости.

Если за единицу угла принять 1 радиан, а за единицу времени 1 секунду, то единицей углового ускорения будет 1/с2; если же за единицу угла принять 1 оборот и за единицу времени 1 минуту, то единица углового ускорения будет 1 об/мин2.

Вопрос о переходе от одних единиц к другим поясним на примерах.

Выразим в 1/с2 угловое ускорение, равное 10 об/мин2^ Имеем

10 об/мин2 = 10 •爵 1/с2 = -у^- 1/с2.

Выразим в об/мин2 угловое ускорение л 1/с2. Имеем л 1/с2 = л •若》об/мин2 = 1800 об/мин2.

Из формул (7) и (10) имеем

d(p = @0 а/ + 8/ dt. Интегрируя, найдем

屮=①0+氟/ +导.(n)

Заметим, что приведенные здесь формулы аналогичны формулам равноускоренного прямолинейного движения точки, если сопоставить 屮一>%, ф —> у, ©—> 血.

Постоянная интегрирования(р0 есть значение угла поворота при / = 0. Формулы (11) и (10) аналогичны соответствующим формулам равнопеременного прямолинейного движения (§ 43).

Исключая время из (10) и (И), получим (при 屮。=0) формулу

аналогичную выражению пройденного пути через скорость и ускорение. Выведенные формулы часто применяются при решении задач о пуске в ход и остановке машины в предположении, что угловое ускорение (замедление) машины остается постоянным. В динамике будет доказано, что это предположение справедливо при допущении постоянства вращающего момента.

Пример 37. Угловая скорость вала двигателя, равная 1200 об/мий, вследствие увеличения нагрузки падает в течение 90 с до 800 об/мин. Вычислим угловое ускорение, считая его постоянным, и число оборотов, совершенных двигателем за указанный промежуток времени.

Имеем

①о = 1200 об/мин, з = (1200 + £/) об/мин;

при / = 90 а з = 800 об/мин, что дает

~800 - 1200400 「,22

& =—=—- об/мин2 = — 267 об/мин .

Далее получим

Ф = 1200/ —= 1200 • 1,5 一 绊;亨-=1500 об.

К этому же результату можно прийти, подставляя найденное значе- йие ё в формулу (12).

Пример 38. Стрелка гальванометра совершает колебания амплитуды фо = 15° и периода Г = 4 с. Считая колебания гармоническими, написать уравнение вращения, найти угловую скорость и угловое ускорение стрелки.

Вопрос о гармоническом колебании в прямолинейном движении подробно разбирался в § 40. Особенность настоящего случая лишь в том, что величиной, изменяющейся по гармоническому закону, является не абсцисса движущейся точки, а угол поворота тела. Имеем

①=@о sin (kt + а),

где k ——частота, связанная с периодом формулой k = 2л/Т, (ро ——амплитуда, а ——начальная фаза.

При заданных численных значениях получим

= —= — ^ 1,57 1/с;

амплитуда, выраженная в радианах, будет равна л • 15° л

Итак,

中=*也(^ +a).

Для определения начальной фазы предположим, что отсчет времени ведется от того момента, когда конец стрелки занимал крайнее правое положение на шкале. Тогда при / = 0 <р = <ро； следовательно а =冗/2, т. е.

屮=屮о sin (々f + ^) =(ро cos kt == ~~ cos^ ・

Угловая скорость стрелки и ее угловое ускорение соответственно равны ~ л2 . л/л3 nt

Пример 39. Средняя угловая скорость четырехтактного одноцилиндрового двигателя равна 300 об/мин; коэффициент неравномерности хода 6 = 0,03. Найдем закон изменения угловой скорости, считая, что разность со ——①俏 ее мгновенного и среднего значений изменяется в течение периода по гармоническому закону.

При установившемся движении, когда отдаваемая двигателем мощность равна потребляемой】 двигатель или идет равномерно (паровые турбины), или

имеет периодическую неравномерность хода (поршневые машины); в последнем случае угловая скорость изменяется периодически, возвращаясь к первоначальному значению через определенный период. Этот период равен времени, в течение которого происходит рабочий цикл в двигателе. Например, в случае двухтактного одноцилиндрового двигателя он равен времени одного оборота главного вала, для четырехтактного одноцилиндрового двигателя — времени двух оборотов и т. д.

Величина периодической неравномерности хода характеризуется так на- аываемым коэффициентом неравномерности 6:

6 = Smax — <^min

где сотах — максимальное, ©min — минимальное, Зт — среднее значение угловой скорости:

8加=万(①max +①min)■

Решая эти уравнения относительно Зтах и SmE, найдем

%х=Сдт(1 + ^)'①тЕ = °^ (1Т)・

По условию разность ①一①伊 изменяется в течение периода по гармоническому закону

s —①加=a sin (亚 + а);

остается определить амплитуду а и частоту 左；величина начальной фазы может быть принята равной нулю.

Для определения амплитуды а заметим, что s = (Отах при sin 无/ = 1・ Это дает условие

max т

заменяя сотах его значением, получаем

8/п (1 + j-^ —①加=а,

е.

a =彳①%

В случае одноцилиндрового четырехтактного двигателя период равен времени двух оборотов вала (2Т) и

. 2л 1

Получаем

8 - 0加=①m万Sin -2—, или

з = ©m (1 + "^ sin "*).

□300 • 2冗[с 一

В рассматриваемом численном примере 6仙=———=10冗 1/с, 6 = 0,03； находим

со = 10冗(1 + 0,015 sin 5冗f) 1/c.

Дифференцируя, найдем угловое ускорение:

ё = 0/5冗2 cos 5л/ * 7、4 cos 5л/ 1/с2<

§ 51. Скорости и ускорения точек твердого тела,вращающегося вокруг неподвижной оси

Траекторией любой точки М твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, является окружность (рис. 130), расположенная в плоскости, проведенной через М перпендикулярно к оси вращения; центр этой окружности находится в пересечении только что упомянутой плоскости и оси вращения; радиус окружности равен расстоянию 九 точки М от оси вращения. Дуга о, отсчитанная от начального положения Mq точки до положения ее 7И в момент 玄 соответствующая углу поворота Ф, равна

а = А(р. (13)

Направление положительного отсчета дуг окружности о соответствует направлению положительного отсчета углов поворота ср.

Направляя, как всегда, касательную к траектории точки, в данном случае к окружности, в сторону возрастания дуги о, определим скорость в проекции ее на касательную:

(14)

величина 九 вынесена за знак производной по времени, как расстояние точки до оси, не изменяющееся при вращении твердого тела.

Численная величина скорости будет равна

и = со 九， (15)

т. е. скорость любой точки тела, вращающегося вокруг неподвижной ос〃， равна произведению угловой скорости тела на расстояние точки до оси вращения.

Чтобы подчеркнуть отличие угловой скорости тела от скорости какой-либо его точки, последнюю называют часто линейной скоростью, а иногда окружной скоростью.

Скорости различных точек твердого тела в данный момент времени будут различаться лишь множителем h, так как угловая скорость з для всех точек тела в данный момент времени одна и та же и определяется законом изменения угла поворота тела во времени.

Направление вектора скорости и определится касательной к окружности, по которой движется точка, или, что все равно, перпендикуляром к плоскости, проходящей через ось вращения и данную точку, проведенным в сторону вращения тела.

Таким образом, можно установить следующий закон распределения скоростей в теле, вращающемся вокруг неподвижной оси: в данный момент времени скорости различных точек тела

пропорциональны их расстояниям от оси вращения и направо лены 6 сторону вращения тела перпендикулярно к плоскостям, проходящим через ось вращения и рассматриваемые точки.

При вычислении линейных скоростей точек вращающегося тела по формуле (15) необходимо помнить, что угловая скорость должна быть выражена в 1/с, 1/мин и др., а не в об/с или об/мин, так как только тогда будет правильно соблюдена размерность скорости.

Перейдем к рассмотрению ускорений точек тела, вращающегося вокруг неподвижной оси. Воспользуемся для этого формулами проекций ускорения на касательную и главную нормаль к траектории ——в данном случае к окружности радиуса h,— выведенными ранее в § 46:

叫=警=方®用=°瓦叫г = 瓦 (16)

В рассматриваемом случае вращения тела касательную и нормальную составляющие ускорения принято называть соответственно вращательной и осестремительной составляющими вектора ускорения или кратко вращательным и осестремительным ускорениями и обозначать ш(в) и 如(℃). Для проекций этих составляющих на касательную и главную нормаль к траектория примем обозначения

w(b)= e%, w(oc)=炉瓦 (17)

При вычислениях по этим формулам 8 и (о следует выражать в 1 /с2 и 1/с, а не в об/мин2 и об/мин.

Проекция осестремительного ускорения на главную нормаль к траектории, как это видно из последней формулы, всегда положительна, т. е. осестремительное ускорение w®) — w^n всегда направлено по радиусу окружности от точки к оси вращения, почему его и называют осестремительным ускорением. Что же касается вращательной составляющей 如⑴)=^(в)т, то она направлена по касательной в сторону положительного отсчета углов (и дуг), если ё > 0, и в противоположную сторону при ё < 0. Если вспомнить, что направление и = им =九GE определяется знаком G, то можно прийти к следующему легко запоминаемому правилу: вращательное ускорение направлено 8 ту же сторону, что и скорость、если вращение тела ускоренное, и в сторону, противоположную скорости, если вращение замедленное.

На рис. 132 и 133 показано взаимное расположение вращательного и осестремительного ускорений и скорости при одном и том же направлении вращения тела. Рис. 132 относится к ускоренному, рис. 133 ——к замедленному вращению. Чтобы

не затемнять чертеж, само тело опущено и нарисована траектория (окружность) в том виде, как она представится наблюдателю, смотрящему вдоль оси вращения ясла.

Пользуясь формулами проекций ускорения (17), найдем полное ускорение точки вращающегося тела ):

= */[侬(в)}2 十 ®(QC)]2 二^ 九勺/戌 + &4.(18)

В также и острый угол а, образованный вектором ускорения з (рис. 132, 133) в направлением нормали МО к траектории:

= =(19)

В данный момент времени для всех точек вращающегося тела 8 и со одинаковы; следовательно, полные ускорения по величине будут различаться лишь множителем А, характеризую

щим расстояние рассматриваемой точки от оси вращения; угол, образованный вектором ускорения с соответствующим радиусом вращения точки, будет в данный момент времени одним и тем же для всех точек.

Таким образом, приходим к следующему закону распределения ускорений в твердом теле, вращающемся вокруг неподвижной оси: 6 данный момент времени ускорения точек тела пропорциональны расстояниям точек от оси вращения и наклонены под одинаковыми углами к радиусам вращения.

Обратим внимание на следующие частные случаи.

Если тело вращается равномерно, то е= 0 и, следовательно, во все время движения вращательное ускорение точек тела равно нулю; ускорение сводится к осестремительному.

Рис, 134.Рис, 134.

Рис, 134.

Рис, 134.

Если в некоторый момент времени угловая скорость 6 тела достигает максимального или минимального значения, то dG/d£ в этот момент обращается в нуль и вращательное уско^ рение всех точек тела также обращается в нуль.

Если в некоторый момент угол поворота достигает максгь мального или минимального значения, то (6 = d^/dt обра^ щается в нуль и осестремительное ускорение в этот момент для всех точек тела равно нулю.

Последние два случая наблюдаются, например, при колебав тельных вращениях тела.

Пример 40. Сравним скорости и ускорения на ободе маховика парен вой машины, имеющего диаметр D == 1,5 м и вращающегося с угловой скоростью п = 240 об/мин, и турбинного диска, имеющего диаметр 0,7 м и со* вершающего 18 000 об/мин.

В первом случае

8 л 1/с, /г = ^ = 0,75м

и, следовательно,

V = 0,75 • 8л = 18,85 м/с, w =侬(°° = 0,75 • (8л)2 = 473 м/с'

Окружная скорость и осестремительное ускорение точки обода турбий^ кого диска будут равны

w — и/。。=也6 = 0,35 • бОО?冗2 = 1,24 • 10^ м/с?.

Ускорение частиц на ободе диска в 126 000 раз превосходит ускорение силы тяжести g = 9,81 м/с2.

Пример 41. Колесо / вращается с угловой скоростью o)i вокруг не* подвижной оси 01 и находится в зацеплении с колесом //, вращающимся вокруг неподвижной оси О2 (рис. 134). Радиусы окружностей, в точках которых про- исходит соприкосновение колес, равны со- ответственно 门 и г2. Найдем угловую ско- / рость колеса //./\\

При отсутствии скольжения между по- [疗 丫 5I

верхностями колес линейная скорость \一一I

точки соприкосновения одна и та же, будем \/ '〃‘/

ли считать эту точку принадлежащей пер* \ вому колесу или второму, т. е.

广1(0] = r2^2*

Обозначая через zx и 之2 числа зубьев

первого и второго колеса, а через f — шаг

зацепления, т. е. расстояние между какими-

нибудь соответствующими друг другу точками двух смежных зубьев, изме《 ренное по начальной окружности, имеем

2冗门 = Zi/, 2冗厂2 = 22九

В паре сцепляющихся колес шаги должны быть равны друг другу» Hqu лучаем

①I _ r2 _ г2

т. е. угловые скорости колес обратно пропорциональны числам зубьев или радиусам начальных окружностей.

В случае внешнего зацепления направления вращения колес противоположны, в случае внутреннего зацепления ——одинаковы. Желая отметить это, введем вместо абсолютных значений g)i и (о2 их алгебраические значения oi й 总2・ Тогда последняя формула примет вид

-^— = 士 = ± ,

①2门 N1

где верхний знак относится к внутреннему зацеплению, нему.где верхний знак относится к внутреннему зацеплению, нему.нижний — к внеш-нижний — к внеш-Последняя формула применима не только к случаю круглых колес, ноПоследняя формула применима не только к случаю круглых колес, нок другому при по-к другому при по-и к любому случаю передачи вращения от одного вала …_мощи колес любых очертаний. Разница состоит в том, что в общем случае отношение r2/ri переменно, и при по-и к любому случаю передачи вращения от одного вала …_мощи колес любых очертаний. Разница состоит в том, что в общем случае отношение r2/ri переменно, и при по-££、^I г、^I г%:開；册；識№%:開；册；識№；眦喝甜吃IIINUI:；眦喝甜吃IIINUI:ddРис. 135.Рис. 135.стоянной угловой скорости (01 первого колеса угловая скорость ①？ второго колеса получается переменной.Пример 42. Лобовая передача. Ведущий валик II (рис. 135) лобовой передачи вращается с угловой скоростью 600 об/мин.В начальный момент времени расстояние d плоскости ведущего колеса от оси вращения ведомого колеса (диска) / было равно 0,1 м и валик начал передвигаться вдоль своей оси со скоростью 0,004 м/с так,стоянной угловой скорости (01 первого колеса угловая скорость ①？ второго колеса получается переменной.Пример 42. Лобовая передача. Ведущий валик II (рис. 135) лобовой передачи вращается с угловой скоростью 600 об/мин.В начальный момент времени расстояние d плоскости ведущего колеса от оси вращения ведомого колеса (диска) / было равно 0,1 м и валик начал передвигаться вдоль своей оси со скоростью 0,004 м/с так,что расстояние d стало уменьшаться. Пренебрегая скольжением между поверхностями ведущего валика II и ди- q<a /, определить угловую скорость и угловое ускорение ведомого диска, если радиус ведущего колеса г равен 0,02 м.Из условия отсутствия скольжения между колесами в плоскости ведущего колеса следует равенство окружных скоростей точек соприкосновения ведущего и ведомого колес:что расстояние d стало уменьшаться. Пренебрегая скольжением между поверхностями ведущего валика II и ди- q<a /, определить угловую скорость и угловое ускорение ведомого диска, если радиус ведущего колеса г равен 0,02 м.Из условия отсутствия скольжения между колесами в плоскости ведущего колеса следует равенство окружных скоростей точек соприкосновения ведущего и ведомого колес:31d = gr.31d = gr.

где верхний знак относится к внутреннему зацеплению, нему.

где верхний знак относится к внутреннему зацеплению, нему.

нижний — к внеш-

нижний — к внеш-

Последняя формула применима не только к случаю круглых колес, но

Последняя формула применима не только к случаю круглых колес, но

к другому при по-

к другому при по-

и к любому случаю передачи вращения от одного вала …_

мощи колес любых очертаний. Разница состоит в том, что в общем случае отношение r2/ri переменно, и при по-

и к любому случаю передачи вращения от одного вала …_

мощи колес любых очертаний. Разница состоит в том, что в общем случае отношение r2/ri переменно, и при по-

£

£

、^I г

、^I г

%:開；册；識№

%:開；册；識№

；眦喝甜吃IIINUI:

；眦喝甜吃IIINUI:

d

d

Рис. 135.

Рис. 135.

стоянной угловой скорости (01 первого колеса угловая скорость ①？ второго колеса получается переменной.

Пример 42. Лобовая передача. Ведущий валик II (рис. 135) лобовой передачи вращается с угловой скоростью 600 об/мин.

В начальный момент времени расстояние d плоскости ведущего колеса от оси вращения ведомого колеса (диска) / было равно 0,1 м и валик начал передвигаться вдоль своей оси со скоростью 0,004 м/с так,

стоянной угловой скорости (01 первого колеса угловая скорость ①？ второго колеса получается переменной.

Пример 42. Лобовая передача. Ведущий валик II (рис. 135) лобовой передачи вращается с угловой скоростью 600 об/мин.

В начальный момент времени расстояние d плоскости ведущего колеса от оси вращения ведомого колеса (диска) / было равно 0,1 м и валик начал передвигаться вдоль своей оси со скоростью 0,004 м/с так,

что расстояние d стало уменьшаться. Пренебрегая скольжением между поверхностями ведущего валика II и ди- q<a /, определить угловую скорость и угловое ускорение ведомого диска, если радиус ведущего колеса г равен 0,02 м.

Из условия отсутствия скольжения между колесами в плоскости ведущего колеса следует равенство окружных скоростей точек соприкосновения ведущего и ведомого колес:

что расстояние d стало уменьшаться. Пренебрегая скольжением между поверхностями ведущего валика II и ди- q<a /, определить угловую скорость и угловое ускорение ведомого диска, если радиус ведущего колеса г равен 0,02 м.

Из условия отсутствия скольжения между колесами в плоскости ведущего колеса следует равенство окружных скоростей точек соприкосновения ведущего и ведомого колес:

31d = gr.

31d = gr.

Закон изменения расстояния d со временем имеет вид

40л.1 八i0 _ 0,4? 1/以40л.1 八i0 _ 0,4? 1/以d= 10 —0,4f; следовательно, г2 • 6002冗

40л.1 八

i0 _ 0,4? 1/以

40л.1 八

i0 _ 0,4? 1/以

①尸 ％ S = jo 一 0,4/ •而=

Отсюда дифференцированием по времени найдем угловое ускорение ведомого колеса:

eiei16л—(10 —0,4/)2 1/с *16л—(10 —0,4/)2 1/с *

ei

ei

16л—

(10 —0,4/)2 1/с *

16л—

(10 —0,4/)2 1/с *

Пример 43. Эллиптические колеса. Передача вращения между осями Of и °2 осуществлена при помощи двух равных эллиптических колес (рис. 136). Оси О〔 и О2 проходят через фокусы эллипсов. По заданной постоянной угловой скорости(01 первого колеса найдем угловую скорость о)2

и угловое ускорение е2 второго колеса. Большая полуось эллипсов равна а, малая Ь, расстояние между осями О1О2 == 2а, расстояние между фокусами О】。：=。2。； — 2 д/а?—庐=2c.

Имеем, поскольку зацепление внешнее （см. пример 41）,

Найдем сначала максимальную и минимальную по абсолютным значе* ниям величины（о2. Первая будет иметь место при максимальном 广】и мини

мальном 广2, т. е. когда в соприкосновение вступят точки Afi и М2:

= а +— =а + с，

02M2 =广2 mln = а 一 “"2 —产=а — С.

Следовательно,

а + с w2 max = " _

Точно так же найдем

Рис. 136.

°2 mln = а + с ®，

Несколько сложнее получить закон передачи рез ф угол поворота первого колеса. Заметим, что

вращения. Обозначим 晚

так как

r2 = 02M ^0:m,

Г1 + г2== °i°2 u^ 2a

и по свойству эллипса сумма

+0的

также равна 2a. Из △ 0{М0[ имеем

（0的）2 =广^ =广：+ 4c2 - 4"[ cos Ф；

HO

广2 = 2a — rb

и, следовательно,

（2a — г）? = 4d — 4a「i + 广；=广；+ 4c? — 4crl cos ф,

a — c cos 屮'

ca2 — 2ac cos+ c2

广 2 = 2a 一гI =—

a — c cos ф

Получаем

a2 — 2ac cos ф + c2 ①立

При <р = 0 и (р =冗 получаем результат, уже найденный выше. На рис. 137 Дан график —МЕ в зависимости от угла поворота ср при с/а = 2/3.

Дифференцируя «2 при постоянном (Di и имея Лучим угловое ускорение второго колеса:

в виду, что ф = он, по-

~ — 2ас (а2 — с2) sin 屮 2

*2 ^ (а2 - Час cos(₽ + с2)2 吗，

График изменения е2 представлен на рис. 138; при 屮=0 и ср =冗 имеем & = 0, как и должно быть, так как в этих положениях 丛2 имеет экстремальные значения.

Векторные формулы скорости и ускорения точек твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси

В дальнейшем при рассмотрении общих случаев движения твердых тел придется иметь дело с вращениями вокруг подвижных осей, меняющих свое направление в пространстве. В этих случаях уже нельзя довольствоваться рассмотрением угловой скорости и углового ускорения как алгебраических величин, а становится необходимым связывать их с ориентацией в пространстве. Это достигается, если ввести угловые скорости м ускорения как векторы и в связи с этим для векторов линейных скоростей и ускорений установить векторные формулы, представляющие эти величины как по величине, так и по направлению.

Введем в рассмотрение вектор угловой скорости, который будем обозначать через ш.

Величиной вектора угловой скорости(о является

Направление вектора угловой скорости естественно связать с осью вращения твердого тела. Необходимо указать, в какую сторону по оси вращения откладывать вектор <о.

Выбрав положительное направление оси вращения, условимся относительно направления положительного отсчета углов поворота тела, связывая его с направлением поворота оси О尤 к оси Оу на л/2, если смотреть с положительной стороны оси Oz (§ И). Такое условие позволяет сохранить одинаковое опре* деление положительного поворота как в правой, так и в левой системе координат, хотя положительный поворот в правой си

стеме происходит в сторону, противоположную положительному повороту в левой системе; при этом все аналитические формулы (т. е. формулы, заключающие проекции на оси координат) сохраняют одинаковый вид как в правой, так и в левой системе координат.

Условимся направлять вектор угловой скорости о по оси вращения так, чтобы наблюдатель, смотрящий с конца вектора s, видел вращение тела в положительном направлении, т. е. против часовой стрелки при правой системе коор^ динат (рис. 139).

Так, например, при правой сист

вой скорости вращения Земли направлен к Северному полюсу.

Направление вектора угловой скорости совпадает с направо лением осевого движения правого винта при ввинчивании его в неподвижную гайку.

Вектор о)можно расположить в любом месте на оси вра* щения. Такие векторы, как мы уже знаем, называют скользи щими в отличие от закрепленных векторов, какими являются, например, скорость и ускорение точек. Напомним, что вектор силы, приложенный к абсолютно твердому телу, также был скользящим вектором. В этом случае роль прямой, вдоль ко торой допускалось скольжение вектора, играла линия действия силы.

Векторы силы, скорости, ускорения и т. д. имеют опреде* ленное направление, не зависящее от выбора правой или левой системы координатных осей. Иначе обстоит дело с вектором угловой скорости. При замене левой системы координат на пра・ вую вектор угловой скорости твердого тела, вращающегося в определенном направлении, будет менять свое направление на противоположное. То же самое можно сказать о векторе мо мента силы относительно точки или о моменте пары皇

Векторы, направление которых остается неизменным при переходе от одной (правой или левой) системы осей к другой (левой или правой) и определяется направлением той физической величины, которая ими описывается, называют истинными векторами-, в противоположность им векторы, направление которых приходится менять на противоположное при замене левой системы осей на правую (или правой на левую), называются псевдовекторами.

Существуют также и скалярные величины, обладающие свойством менять свой знак при переходе от правой системы координат к левой. Простейшим примером 习诊служит скалярное произведение истинного

tвектора на псевдовектор. Такие скаляры

называют псевдоскалярами.

Псевдовектор з угловой скорости вра- гщения абсолютно твердого тела получает

применение и в случае вращения элементарного объема любой деформируемой сплошной среды. Вектор о является «сопутствующим» вектором (§ 34) дифференциального тензора поля скоростей, кото- ]||рый обозначается символом Grad V (см.

далее § 76). В § 34 было показано, что

Рис. 140.«сопутствующий» вектор любого антисим

метричного тензора при переходе от правой системы координат к левой или наоборот меняет направление на противоположное, т. е. ведет себя как псевдовектор. Свойство псевдовекторности является общим для всех векторов (о, эквивалентных антисимметричной части асимметричного тензора второго ранга (см. далее § 76).

Откладывая вектор о по оси вращения, можно определить вектор линейной скорости ” любой точки М как векторное произведение вектора угловой скорости на вектор-радиус этой точки относительно любой точки оси вращения (рис. 140):

а = о Ху.(20)

В самом деле, величина векторного произведения (20) равна

(21)(21)V = cor sin а = з/г,

(21)

(21)

т. е. величине скорости; пусть, далее, принята правая система осей, тогда при показанном стрелкой направлении вращения вектор угловой скорости должен быть отложен по оси вращения вверх (рис. 140). Векторное произведение о Ху перпендикулярно к (о и г и направлено так, чтобы, смотря с его конца, видеть поворот от о к г на наименьший угол против часовой стрелки; но это и будет направление скорости v.

К равенству (20) можно прийти также, рассматривая величину вектора скорости в по (21) как величину момента вектора угловой скорости о относительно центра М. По определению момента будем иметь

а = тм (s)=产乂 s,

где г，= —г есть вектор-радиус точки О относительно М. Отсюда по известному свойству векторного произведения следует

а = — уХ@ = @Ху・

Формула (20) является основной формулой кинематики твердого те几а; как увидим далее, она сохраняет свой вид не только в случае вращения вокруг неподвижной оси, но и в случае вращения тела вокруг неподвижной точки.

Проектируя обе части (20) на координатные оси, найдем проекции скорости. Если принять ось вращения за ось On, то проекции вектора(о будут равны

з% = 0, з» = 0, з^ = £ = ф.

По известным формулам проекций векторного произведения получим

и%= —Gy, vy = &х, % = 0,(22)

где хну (г не входит в эти формулы) —координаты точки М.

Если координатные оси ориентированы произвольно, то, обозначая через з%, Зу, з^ проекции на них вектора (о, получим формулы Эйлера'.

u% = 3庐_吗巩 vy =吗% _ 3病，% = ^xy - %%.(23)

Формулам Эйлера (23) можно придать удобннй для запоминания вид определителя:

Выведем теперь векторную формулу ускорения. Для этого возьмем векторную производную по времени от обеих частей равенства (20); будем иметь

次=存=方(@Хг)=謂 XisX*・ (24)

Производную по времени от вектора угловой скорости ю назовем вектором углового ускорения. Так как в рассматриваемом случае о является вектором постоянного направления (ось вращения неподвижна), то, согласно сказанному в начале § 45, величина углового ускорения будет равна абсолютному значению производной от величины угловой скорости, а направление

8 Л. Г. Лойцянский, А. И. Лурье

его или совпадает, или противоположно о сообразно тому, воз・ растает или убывает с течением времени величина угловой скорости (рис. 141). Называя вектор углового ускорения в согласии с ранее введенным обозначением е и замечая еще, что по определению скорости dr/dt = v, приведем (24) к виду

W = 8Xr +(dX^« (25)

Первое слагаемое, е X ^, представляет собой вращательную составляющую ускорения. Действительно, оно равно по вели чине er sin (е, г) = е/г, а по направлению совпадает со скоростью V = ю X ^, если векторы ш и е сонаправлены, и противоположно скорости, если(о и е разнонаправлены; первое будет иметь место в ускоренном, а второе — в замедленном вращении.

Второе слагаемое в формуле (25) представляет собой осестремительное ускорение. Его величина равна соу sin((o, v) = со2Ая так как векторы(о и и взаимно перпендикулярны, а и = з力.

Направление векторного произведения о X v перпендикуляр^ но к оси вращения (вектору(о) и скорости и, т. е. идет по радиусу круга, описываемого точкой, к его центру. Итак, дей^ ствительно,

缈(в) = £ X 乙 缈(ос) = @ X 次 (26)

Расположение этих векторов при ускоренном и замедленном вращении показано на рис. 141.

Формулы (20) и (26) представляют собой векторные обоб^ щения формул (15) и (17).

§ 53・ Уравнения плоского движения

Следующим в порядке сложности движения абсолютно твердого тела будет плоское движение, при котором ось вращения остается во все время движения параллельной самой себе, но движется поступательно в пространстве. Определим

плоское движение как такое, при котором все точки твердого тела, расположенные в плоскостях, параллельных некоторой неподвижной плоскости, во все время движения остаются в тех же плоскостях. Если разбить мысленно тело на плоские сечения, параллельные заданной плоскости, то эти сечения будут оставаться каждое в своей плоскости.

Этот случай движения имеет большое техническое значение: механизмы, встречающиеся в технике, за немногочисленными исключениями, представляют собой системы твердых тел, совершающих плоское движение. Плоское движение совершают механизмы для вычерчивания разных кривых (эллипсограф, конхоидограф), всевозможные кулисные механизмы, эпицикли^ ческие механизмы, применяемые в редукторах скоростей, и т. д.

Пусть тело А (рис. 142) совершает движение, параллельное плоскости П. Проведем мысленно в теле ряд плоскостей ГТ, П〃, ..., параллельных П. Тело разобьется на ряд плоских фин гур S', S〃, ... Все точки, принадлежащие какой-нибудь фигу^

ре, движутся в плоскости фигуры, и, следовательно, фигура в целом движется в своей плоскости. Движение одной такой плоской фигуры вполне определяет движение всего твердого тела, так как плоскости, которыми мы разбили твердое тело, друг с другом неизменно связаны и не могут двигаться друг по отношению к другу.

Если мы возьмем в какой-нибудь фигуре S' точку М‘ н восставим в ней перпендикуляр к плоскости фигуры S', то точки М' и Л1〃 фигур S' и S〃，лежащие на этом перпендикуляре, будут иметь одинаковое движение, т. е. будут описывать одинаковые траектории, иметь одинаковые скорости, одинаковые ускорения.

Таким образом, можно значительно упростить изучение плоского движения твердого тела ——достаточно изучить движение одной плоской фигуры в ее плоскости.

Возьмем две системы осей в пло-

“岳 скости движения фигуры: одну си

стему Оху—неподвижную, другую— Рис. 143.。‘％'/, неизменно связанную с дви

жущейся фигурой (рис. 143). Положение точки М фигуры в неподвижной плоскости будем определять вектор-радиусом г, проведенным из начала О неподвижной системы осей; выбор рассматриваемой точки фигуры определяется указанием вектора 尸，проведенного из начала Ол подвижной системы. Вектор-радиус начала О' относительно О обозначим через г。. Проекциями вектора г на оси х и у будут декартовы координаты х и у в неподвижной системе осей; при движении фигуры координаты х и у изменяются со временем; в противоположность этому проекции вектора У на подвижные оси, т. с. декартовы координаты %’ и у' точки М в системе подвижных осей, остаются постоянными, как расстояния точек твердой фигуры до проведенных на ней прямых.

Всякой точке фигуры соответствует определенная пара чисел / и у'. В частности, точке О', началу подвижной системы, соответствуют значения л/ и у', равные нулю; значения координат х и у для этой точки обозначим через хо и у。 (проекции вектора 气).

Чтобы определить положение подвижной системы осей относительно неподвижной, достаточно задать: 1) положение начала О', т. е. координаты хо и у。или, что то же, вектор-радиус Го； 2) угол одной из подвижных осей с одной из неподвижных, например угол 屮 оси х с осью Z. Последнее требует некоторого уточнения. Условимся считать, что перпендикулярная к плен

скости фигуры ось 2 направлена так, что оси xyz и f у'М составляют правые системы. Это определит положительное направление отсчета угла 屮：смотря с конца оси г(/), наблюдатель должен видеть поворот оси 尤 к оси %’ происходящим против часовой стрелки. В изображенном на рисунке расположении осей ось г направлена к читателю.

Заданием трех величин х°, уо и ф положение системы подвижных осей вполне определяется. Вместе с тем по этим данным определяется и положение плоской фигуры. Поэтому движение плоской фигуры следует считать известным, если в любой момент времени известны значения величин х(), у°, ср или, что то же самое, заданы значения их в функции времени.

Назовем начало О' подвижной системы основной точкой или полюсом^ угол ср будет в таком случае углом поворота вокруг полюса.

Плоское движение твердого тела определяется:

уравнениями движения основной точки

%0 = fl(/)，Уо =『2 (/)；⑴

уравнением вращения фигуры вокруг полюса

屮=0(/).(2)

Чтобы получить уравнения движения любой точки плоской фигуры, спроектируем на неподвижные оси хну очевидное геометрическое равенство

У = Q + У ・(3)

Получим (см. рис. 143)

% = %о + / соз 屮一у' sin qp,

U = % + / sE ⑶ + 犷 cos qp.⑷

Здесь Ло, Уз ср ——заданные функции времени. Уравнения (4) представляют собой уравнения движения точки М или, что то же самое, параметрические уравнения ее траектории. Исклю^ чая из них время, получим уравнение траектории.

Поясним сказанное несколькими примерами, иллюстрирую^ щими отмеченную в начале отдела связь кинематики с геомет- рией кривых, которые рассматриваются как траектории точек плоской фигуры.

Пример 44. Эллипсограф. Составить уравнение траектории любой точки М (рис 144) плоской фигуры S, неизменно связанной с линейкой АВ длины 2/, концы которой А и В скользят по двум взаимно перпендикулярным осям Ох и Оу.

Примем за полюс середину линейки О' и обозначим через %’ и yf координаты точки М в системе осей 。'％'夕，неизменно связанной с движущейся плоской фигурой. Составим уравнения движения полюса:

Хо = / sin ф, Уо = / cos ср.

Угол ф является только об определенииУгол ф является только об определениинекоторой функцией траектории, вид этойнекоторой функцией траектории, вид этойвремени. Поскольку речь идет функциональной зависимости невремени. Поскольку речь идет функциональной зависимости неSSфигурыфигурыимеет значения. Все точкиимеет значения. Все точкитории независимо от того, Уравнения (4) даюттории независимо от того, Уравнения (4) даютописывают вполне определенные траек-описывают вполне определенные траек-по какому закону изменяется во времени угол qp.по какому закону изменяется во времени угол qp.

Угол ф является только об определении

Угол ф является только об определении

некоторой функцией траектории, вид этой

некоторой функцией траектории, вид этой

времени. Поскольку речь идет функциональной зависимости не

времени. Поскольку речь идет функциональной зависимости не

S

S

фигуры

фигуры

имеет значения. Все точки

имеет значения. Все точки

тории независимо от того, Уравнения (4) дают

тории независимо от того, Уравнения (4) дают

описывают вполне определенные траек-

описывают вполне определенные траек-

по какому закону изменяется во времени угол qp.

по какому закону изменяется во времени угол qp.

х =s / sin ф + %’ cos 屮 ——у' sin 屮=(/ — у') sin 屮 + а/ cos ф, г/ « Z cos ф + xz sin qp + У’ cos 屮=(/ + y‘)cos 屮 + %’ sin (p.

Решая эти уравнения относительно sin ср и cos ср, получим

sin ср =sin ср =%% - (/ + У)尤%% - (/ + У)尤Х,2 + У? — /2Х,2 + У? — /2COS фCOS ф/% — (/ — У)乡/% — (/ — У)乡X，2+yf2-l2X，2+yf2-l2

sin ср =

sin ср =

%% - (/ + У)尤

%% - (/ + У)尤

Х,2 + У? — /2

Х,2 + У? — /2

COS ф

COS ф

/% — (/ — У)乡

/% — (/ — У)乡

X，2+yf2-l2

X，2+yf2-l2

Исключая теперь 屮 при помощи соотношения cos2 屮 + sin2 屮=L получим [尤/ 一(/ + /)%卩 + [/% 一 (/ -У)у]2 =(/2 + 了2 一 分)2； это уравнение может быть приведено к виду

Ax2 + By2 — 2Cxy = Dt где

4 =/2+(/ + 外2, В = /2+(/ — у)2, с = 2x7, D = (xz2 + ^z2 - Z2)% Полученная кривая второго порядка является эллипсом^ так как коэффи< Циен ты %, В, С удовлетворяют условию

e2 一 48 =一(公2 + y2 一 (2)2 V 0.

а это, как известно из аналитической геометрии, характеризует эллипс. Рас* смотренный механизм поэтому называют эллипсографом, а движение ——эл» липтическим. Модель такого механизма показана на рис. 145. Центр эллипса находится в начале координат, так как уравнение его не содержит членов первой степени относительно % и[协

Если, в частности, точка взята на линейке (%' = 0), то уравнение эллипса перейдет в следующее:

(/ + /)2 X2 + (/ - У)? У? = (В — у'2)2.

или по упрощении:или по упрощении:%2 I У?(/-旷产+ U +尸%2 I У?(/-旷产+ U +尸

или по упрощении:

или по упрощении:

%2 I У?

(/-旷产+ U +尸

%2 I У?

(/-旷产+ U +尸

В этом частном случае осями симметрии эллипса являются координатные оси.

Рассмотрим другой частный случай, когда точка М лежит на окружности С радиуса / с центром в О'. В этом случае / и yf связаны уравнением окружности н, следовательно,

门宀产，

4 = /2 + у2 + ,2 + 2匂'=2/ (/ + У), В = 2/ (/ — у),С = 2// = 2/ “/2 一 旷｛。= 0.

Уравнение эллипса приобретает вид

(/ + У) х2 + (/ -力 у? 一 2 “/2-у 2- 初=о,

откуда

(“/ 十旷 % — — 7 у)? = о, или

%y

〃/ —旷 ^1 + у'

мых, проходящих через начало координат.мых, проходящих через начало координат.Таким образом, точки, лежащие на круге С[ описывают отрезки пря

мых, проходящих через начало координат.

мых, проходящих через начало координат.

Этим свойством можно воспользоваться для построения осей эллипса.

описываемого произвольной точкой М. Нужно через эту точку провести диаметр круга С'; прямые OL и ОК, прове

денные через точку О и концы L и К этого диаметра, будут искомыми осями эллипса. Чтобы убедиться в этом, достаточно заметить, что траекториями точек L и К являются прямые OL и ОК, и, следовательно, LK можно рассматривать как линейку эллипсографа, скользящую вдоль двух взаимно перпендикулярных прямых OL и ОК.

Пример 45. Обращенное эл - липтическое движение. Движение плоской фигуры Si (рис. 146) происходит так, что связанные с этой

фигурой две взаимно перпендикулярные прямые 0% и Оу проходят через неподвижные точки А и В (это можно осуществить, заставляя стержни Ох и Оу проходить внутри направляющих трубочек, вращающихся вокруг осей 4 и В). Определим траектории любой точки фигуры S】на неподвижной плоскости 0勿夕.

Вернемся к предыдущему примеру. Любая точка движущейся плоскости 乂(Уу\ связанной с линейкой эллипсографа, описывает эллипс: карандаш, неизменно связанный с ней (л/ и уг ——постоянные), вычертит эллипс на листе бумаги, скрепленном с плоскостью хОу. Представим себе теперь, что карандаш неизменно связан с плоскостью хОу (% и у постоянные), а л^ст

бумаги скреплен с плоскостью хгО'уг. При этом осуществляется обращенное эллиптическое движение^ рассматриваемое в настоящей задаче.

Уравнения предыдущего примера, устанавливающие связь между координатами точки М в системах хОу и /О'，，очевидно, имеют место и в рассматриваемом случае, так как геометрическая картина рис. 146 ничем не отличается от той, которая была раньше на рис. 144. Разница лишь в том, что прежде / и уг были постоянными, а % н ^ переменными координатами, в обращенном же движении постоянными будут % и у, а переменными %’ и уг. Уравнение траектории в обращенном движении представляется, как и в предыдущем примере, в форме

也/ -x(/ + y)卩 + [%/ — у (/ 一 /产 _ (%，2 + У2 - /2月

однако теперь %’ и уг — текущие координаты, ахи у — постоянные числа. Полученное уравнение алгебраической кривой четвертого порядка представляет собой конхоиду круга ). В частном случае % = у = 0 уравнение упрощается и принимает вид

/2 + 旷 2 = /2,

т. е. вершина прямого угла О (начало координат) описывает окружность, что, впрочем, было непосредственно ясно геометрически. Для построения конхоиды круга можно использовать следующий механизм. В точках Л и В (рис. 147), находящихся на неподвижном устое, помещены два поворачивающихся ползуна. На них надет диск D с крестообразной прорезью, в которой ползуны могут скользить. Точка О, т. е. центр диска, описывает окружность радиуса О。' = /, а точка Р на кресте ——конхоиду круга. Если прикрепить к диску лист материала и поднести к нему во время движения неподвижный резец, то он вырежет из материала эллипс. В самом деле, резец, будучи неподвижен, принадлежит устою, т. е. линейке АВ. Следовательно, по отношению к движущемуся диску D резец выполняет ранее рассмотренное эллиптическое движение.

Пример иллюстрирует «принцип обращения механизмов》，имеющий много приложений в кинематике механизмов.

Пример 46. Конхоидограф. Определим траекторию точки М (АМ = d) стержня АМ (рис. 148), проходящего через трубку, вращающуюся

вокруг неподвижной оси неподвижной прямой Ох.Примем точку Л за видвокруг неподвижной оси неподвижной прямой Ох.Примем точку Л за вид^ (ON = d). Конец 4 стержня скользит^ (ON = d). Конец 4 стержня скользитполюс. Уравнения движения полюса будутполюс. Уравнения движения полюса будутО А = %о = f (力)，Уо = О, причем, поскольку речь идет только об определении траектории, вид циональной зависимости хо от f не играет роли. Уравнение вращения чим, замечая, чтоО А = %о = f (力)，Уо = О, причем, поскольку речь идет только об определении траектории, вид циональной зависимости хо от f не играет роли. Уравнение вращения чим, замечая, чтовдольвдольиметьиметьфунк- полу-функ- полу-

вокруг неподвижной оси неподвижной прямой Ох.

Примем точку Л за вид

вокруг неподвижной оси неподвижной прямой Ох.

Примем точку Л за вид

^ (ON = d). Конец 4 стержня скользит

^ (ON = d). Конец 4 стержня скользит

полюс. Уравнения движения полюса будут

полюс. Уравнения движения полюса будут

О А = %о = f (力)，Уо = О, причем, поскольку речь идет только об определении траектории, вид циональной зависимости хо от f не играет роли. Уравнение вращения чим, замечая, что

О А = %о = f (力)，Уо = О, причем, поскольку речь идет только об определении траектории, вид циональной зависимости хо от f не играет роли. Уравнение вращения чим, замечая, что

вдоль

вдоль

иметь

иметь

функ- полу-

функ- полу-

tg<P = —•

По формулам (4) получим (а/ .= —d, уг = 0)х = Xq — d cos <р, у = — d sin (p.

Исключим из этих уравнений 屮 и хо. Получим

илиили% = d (ctg 屮 ——cos 屮)=——d (1 + ^) cos 屮， cos ф =— Пользуясь соотношением cos2 ф + sin2 ф = 1, найдсм%2y2 + у2 (у + d)2 = Q2 (у + 砌2,%2y2 = (J2 — y2) (d + у)2.% = d (ctg 屮 ——cos 屮)=——d (1 + ^) cos 屮， cos ф =— Пользуясь соотношением cos2 ф + sin2 ф = 1, найдсм%2y2 + у2 (у + d)2 = Q2 (у + 砌2,%2y2 = (J2 — y2) (d + у)2.d m + у) •d m + у) •

или

или

% = d (ctg 屮 ——cos 屮)=——d (1 + ^) cos 屮， cos ф =— Пользуясь соотношением cos2 ф + sin2 ф = 1, найдсм

%2y2 + у2 (у + d)2 = Q2 (у + 砌2,

%2y2 = (J2 — y2) (d + у)2.

% = d (ctg 屮 ——cos 屮)=——d (1 + ^) cos 屮， cos ф =— Пользуясь соотношением cos2 ф + sin2 ф = 1, найдсм

%2y2 + у2 (у + d)2 = Q2 (у + 砌2,

%2y2 = (J2 — y2) (d + у)2.

d m + у) •

d m + у) •

Это ——уравнение конхоиды прямой; легко построить кривую по точкам, вычерчивая ряд положений прямой АМ. На рис. 148 показаны конхоиды, соответствующие траекториям различных точек линейки: М, М* М2, Мз. При 厶М = d кривая имеет угловую точку, при АМ^ > d — петлю, при АМ2 V d кривая не имеет особых точек, так же как и в том случае, когда точка Мз расположена по другую сторону от ползуна А.

§ 54. Перемещение плоской фигуры

Положение плоской фигуры может быть задано положением двух ее точек О' и 麻 или положением отрезка OfM (рис. 149).

Пусть фигура О'М переместилась из положения / в положение 〃.Разобьем переход на две части. Сначала переместим фигуру поступательно в положение Г, причем все точки ее получат перемещения, геометрически равные перемещению OG полюса О, а затем повернем фигуру на N Mf0iMx вокруг оси, проходящей через точку 0】перпендикулярно к плоскости фигуры.

Заметим, что вектор поступательного перемещения зависит от выбора полюса (основной точки), а угол поворота не зависит от этого выбора. В самом деле, тот же переход из по^ ложения / в положение // можно осуществить, приняв за полюс точку М и переместив сначала фигуру в положение /" (рис. 150), причем все точки фигуры получат перемещения, геометрически равные MMi и отличные от。'。1, а затем повернув

фигуру на ^O^MiOi вокруг осн, проходящей через М\. Но по

°■・， А А

свойству поступательного перемещения O〃Mi параллелен О'М и точно так же OxMf параллелен О'М. Следовательно, O〃Afi и OiMf параллельны между собой и NO〃MiOi = NATOiMi. Вме* сте с тем поворот вокруг точек 0】и Mi в том и другом случае

происходит в одну и ту же сторону (на нашем рисунке по ча^ совой стрелке). Окончательное положение фигуры не зависит от того, будет ли сначала совершаться поступательное перемещение или поворот.

Таким образом, приходим к выводу: всякое перемещение плоской фигуры в своей плоскости, а следовательно, и всякое плоское перемещение твердого тела можно себе представить как совокупность двух перемещений: 1) поступательного перемещения, зависящего от выбора полюса, и 2) вращательного перемещения вокруг полюса^ угол и направление поворота от выбора полюса не зависят.

Теорема доказана для любого конечного перемещения. Для частного случая бесконечно малого перемещения дадим векторную формулу. Для этого, возвращаясь к рис. 149, обозначим перемещение полюса О' через р0, а перемещение точки М через р; тогда

p = pQ + M7Mi. (5)

Здесь М7М{ представляет собой перемещение течки М при повороте фигуры вокруг полюса. Обозначая угол поворота через 0, будем иметь из треугольника 0xMiMf

AOfi = OM・2sin^・

Принимая поворот бесконечно малым, можно заменить синус его аргументом; тогда величина вектора М'М будет равна

Чтобы указать направление вектора WMV, введем в ра<> смотрение вектор-радиус гл точки М относительно полюса и вектор бесконечно малого поворота 6, определив последний следующим образом： 1) величина вектора поворота равна величине угла поворота, 2) вектор 8 перпендикулярен к плоскости перемещения, причем направлен в ту сторону, откуда п а ворот фигуры виден происходящим в положительном напраз- лении.

Введя вектор 0, можем представить MfM{ в виде

Действительно, это векторное произведение имеет величину0/ sin (ёТ^)=旷

и в предельном случае бесконечно малого перемещения направлено так же, как и MfMx (т. е. перпендикулярно к г' в сторону поворота фигуры).

Формула (5) дает

Р = Ро +。X Г(6)

Естественно возникает вопрос, нельзя ли, используя произвольность в выборе полюса, осуществить заданное перемещен ние тела одним поворотом, без поступательного перемещени>Ь1

На этот вопрос дает ответ теоремаЭйлера):

Всякое непоступательное перемещение плоской фигуры в ее плоскости может быть осуществлено одним поворотом вокруг некоторого центра.

Пусть фигура переместилась из положения / в положение // (рис. 151).

Восставим из середин перемещений точек Л и В, т. е. из середин отрезков ААГ и ВВ\ перпендикуляры и найдем пересечение их в точке С.

Докажем, что фигура / может быть переведена в положение II поворотом вокруг центра С на ZACA7 = ZВСВ\ В сл~ мом деле, треугольники АВС и AfCBf равны между собой? так как АВ = NB' в силу неизменяемости фигуры и AC = A'Ct ВС = BfC по построению. Следовательно,

прибавляя к обеим частям этого равенства по одинаковому

углу ВСА\ найдем, что

/ АСА! = / ВСВ<

Повернем теперь фигуру / на угол АСА7, тогда АС совместится с А'С, ВС — с В'С, так как углы равны, и АВ совместится с AfB\ что и доказывает теорему. Точка С называется центром поворота.

Только что указанное построение не дает результата в двух случаях: 1) если перпендикуляры, восставленные из середин перемещений, сливаются в одну линию (рис. 152), но в этом случае центр поворота лежит на пересечении продолжений отрез、 ков АВ и А'В'; 2) если перпендикуляры параллельны между собой, что имеет место при поступательном перемещении; этот случай соответствует положению центра поворота в бесконечном удалении.

§ 55. Поле скоростей точек плоской фигуры

Основываясь на формуле плоского перемещения и определении скорости как предела при AZ~>0 отношения бесконечно малого перемещения р к промежутку времени А/, в течение кото рого это перемещение произошло (§ 42):

получим по (6)получим по (6)5也。需虱^Х")・5也。需虱^Х")・⑺(8)⑺(8)

получим по (6)

получим по (6)

5也。需虱^Х")・

5也。需虱^Х")・

⑺

(8)

⑺

(8)

Первое слагаемое, lim 岩，представляет собой скорость основной точки:

0。=抬。处0。=抬。处⑼

0。=抬。处

0。=抬。处

Вектор lim — назовем вектором угловой скорости враще- ния фигуры:

s=也。鲁(1。)

Направление о совпадает с направлением 0; поэтому вектор (о перпендикулярен к плоскости движения, и если смотреть вдоль него, то вращение фигуры должно представиться про исходящим в положительном направлении. Величина о равна абсолютному значению производной угла поворота ф по времени. Действительно, если назвать значения угла 屮 в моменты t н f + Af соответственно через ф и ф + Д(р, то 0 = | А(р | и, сле・ довательно,

Нт ? = Нт~^^ = | ф]・

Как и выше, в тех случаях, когда возможны недоразумения, будем отличать со = |ф | от G = ф.

Отметим еще, что вектор угловой скорости о не изменяется при перемене полюса, так как 0 от выбора полюса не зависит. Это дало право назвать (о вектором угловой скорости фигуры.

Вернемся к формуле (8). Подставляя вместо

lim 察，lim —

АЗО △才 Af->0 Af

их значения (9) и (10), получим поле скоростей точек в плоском движении фигуры

0 = 0o + sXk・(Н)

Рассмотрим два частных случая.

Поступательное движение: со = 0; формула (11) дает

0 = 5,

е. скорости всех точек одинаковы и равны скорости полюса, 2. Вращение вокруг неподвижной оси: и。= 0; получаем

0 = 0 X У,

е. уже известный нам закон распределения скоростей при вращении тела вокруг неподвижной оси.

В общем случае плоского движения тела скорость любой точки складывается из скорости, которую имели бы все точки тела при поступательном движении тела со скоростью v0 по* люса О', и вращательной скорости s><k точки М вокруг по* люса О' (рис. 153).

Говоря о вращении тела вокруг какой-либо точки, необхо* димо указать систему отсчета, по отношению к которой вра1Це<

ние рассматривается. С этой целью соединим с полюсом О' (рис. 154) систему координат O'xi^i, оси которой во время движения остаются параллельными осям неподвижной системы координат Оху. Движение системы координат Ofx\t/\ будет пен ступательным, определяемым движением полюса О'. Эта система и является системой отсчета, относительно которой рассматривается вращение тела вокруг полюса О'.

Назовем движение плоской фигуры по отношению к непо^ движной системе Оху абсолютным движением, движение той

Рис. 153.Рис. 153.Рис. 154.Рис. 154.

Рис. 153.

Рис. 153.

Рис. 154.

Рис. 154.

же фигуры по отношению к подвижной системе O'xi^i — относительным движением и, наконец, поступательное движение самой системы координат (Ух、？、по отношению к неподвижной системе Оху ——переносным движением ).

Пользуясь понятиями абсолютного, переносного и относительного движения, можно сказать, что абсолютное движение плоской фигуры складывается из переносного ——поступатель^ ного, определяемого движением полюса, и относительного —— вращательного движения вокруг полюса. При этом вращатель^ ная скорость точки М плоской фигуры есть не что иное, как относительная скорость точки по отношению к системе координат O’Xi^i, а поступательная скорость и°, общая всем точкам системы О^^у^ — переносная скорость.

Отметим важное следствие формулы (11). Дифференцируя по времени уравнение (3) § 53, получим

но первое слагаемое представляет собой скорость полюса и, следовательно,

-^- = а — ®о = s X у',(12)

т. е. вращательная скорость вокруг полюса равна производной вектор-радиуса гл по времени.

В дальнейшем будем часто пользоваться другими обозна- чениями — вектор скорости будем снабжать индексом внизу.

указывающим точку, скорость которой рассматривается; например, гм, vB и т. д. будут обозначать скорости точек 4 В и т. д. Вектор-радиус точки В, если за начало его принята точка Л, будем обозначать у；в； наконец, вращательную скорость точки В, когда за полюс принята точка Л, обозначим через Vab>

Формула распределения скоростей примет при этом вид (рис. 155)

^в = ^л + vABi (1Г) причем

04B = S><<1B，

т. е. вращательная скорость Vab равна по величине т-АВ и направлена перпендикулярно к АВ в сторону вращения фигуры.

Составим формулы для проекций скорости точек плоской фигуры. Проектируя обе части основной формулы (11) на неподвижные оси Ох и Оу, найдем по формулам для проекций векторного произведения

^х = ^0х — <0 (^ — ^/о), Vy = VQy + G(x —向)，(13)

так как проекции гЛ на оси Ох и Оу в данном случае равны х ——％о и 乡——Уо, а вектор угловой скорости имеет проекции (0, 0,й).

Если движение плоской фигуры известно, т. е. хо, у。，ф заданы в функции времени, то по этим заданиям вычисляются

и。％ =北о, и°у = %, 3 = ф>

и скорость любой точки может быть определена по формулам (13) и (4). Проекции скорости на оси подвижной системы получим, проектируя равенство (И) на оси этой системы:

Vv = Vo^ —心旷=Vqx cos Ф + VOy sin Ф — &yf,

V/ = Sy + G%' = — VOX sin Ф + UOy COS Ф + &八 ' '

В заключение укажем на одну часто применяемую теорему: Проекции скоростей концов отрезка на направление отрезка равны между собой.

По формуле (1 /) будем иметь, проектируя обе ее части на направление отрезка АВ:

пР«дв^в = пР-лв^л + пр-лв^лв^

но вектор vAB перпендикулярен к направлению отрезка АВ, еле* довательно, пр. vAb = 0, и окончательно получим (рис. 155)

^Р'АВ^В =叩・ 0』，

что и доказывает теорему.

§ 56. Мгновенный центр скоростей

В предыдущем параграфе формула распределения скоростей в плоском движении была получена из представления о перемещении точки плоской фигуры в виде геометрической

Рис. 156,Рис. 156,суммы перемещения полюса и перемещения поворота вокруг полюса. Упрощение картины распределения скоростей в плоском движении можно получить, основываясь на представлении перемещения плоской фигуры по теореме Эйлера (§ 54).

Рис. 156,

Рис. 156,

Докажем следующую теорему:

При всяком непоступательном движении плоской фигуры существует точка фигуры, скорость которой в данный момент равна нулю.

Для доказательства (рис. 156) восставим из точки Л плоской фигуры перпендикуляр AN к направлению скорости vA так, чтобы угол л/2 между vA и

линией AN был отсчитан в сторону вращения фигуры. Тогда по предыдущему вектор скорости любой точки М на этом перпендикуляре будет равен

=%+ s X加=办+办m，

а величина скорости

^м = и/ —①• AM.

Изменяя расстояние точки М от тонки А, можно при со #= 0 найти такую точку Р, чтобы v4P = — v^; тогда

V Л

4Р = *；

при этом будем иметь

V д

Ор == Оа — з • АР = Уд — з • -^- = 0.

Точка Р плоской фигуры, скорость которой в данный момент времени равна нулю, называется мгновенным центром скоростей фигуры.

Для любых точек фигуры будем иметь, принимая Р за полюс (up = 0):

办=Up + s X PA = о X 尸4

Ub = Up + <o X PB = <o X PB, так что скорости точек плоской фигуры можно рассматривать как вращательные скорости их вокруг мгновенного центра скоростей, а сам мгновенный центр ——как мгновенный центр вращения плоской фигуры.

Отсюда можно сделать следующий общий вывод: поле ско* ростей в фигуре, совершающей плоское движение, в каждый момент таково, как будто фигура вращается вокруг неподвижного мгновенного центра. При этом скорость любой точки плоской фигуры перпендикулярна к вектор-радиусу, соединяющему эту точку с мгновенным центром, и направлена в сторону вращения фигуры, а по величине пропорциональна расстоянию точки до мгновенного центра (рис. 157).

В отличие от рассмотренного ранее случая вращения твердого тела вокруг неподвижной оси, где ось вращения была жестко связана с вращающимся телом и сохраняла одно и то

Рис. 157.Рис. 158.

же положение в неподвижном пространстве, относительно которого вращение происходило, в плоском движении мгновенный центр в каждый новый момент времени занимает другое положение как в движущейся фигуре, так и в неподвижной пло скости.

Рассмотрим качение без скольжения жесткого контура С' (рис. 158) по неподвижному жесткому контуру С; будем понимать под этим такое движение, при котором контуры соприкасаются только в одной точке, а длины дуг, проходимых точкой соприкасания по обоим контурам, равны между собой： 而尸矶

Докажем, что точка Р соприкосновения контуров служит мгновенным центром движения фигуры, связанной с подвиж* ным контуром С7, т. е. что скорость той точки фигуры Р, которая в данный момент совпадает с точкой соприкосновения контуров, равна нулю. С этой целью вблизи точки соприкосновения Р возьмем на контурах точки Р〔 и Р；, служившие некоторое малое время Д/ тому назад общей точкой Pi соприкосновения контуров. За время А/ точка Р； совершила перемещение Р]Р；・ По определению качения без скольжения малый треугольник Р\РР； будет равнобедренным, так как его стороны РР{ и 尸尸；на малые высших порядков отличаются от равных между собой дуг РРХ и РР{. Отсюда следует, что отрезок Р{Р[ перпендикулярен к общей касательной к кривым в точке Р и представляет собой, таким образом, расстояние между двумя смежными с точкой касания точками кривых. Это расстояние, как известно, является малой величиной второго или более вьь сокого порядка (в зависимости от порядка соприкасания кри-

дуги кривой, так чтодуги кривой, так чтоР подвижного контурР подвижного контурвых) по сравнению с малой величиной hm = 0.

дуги кривой, так что

дуги кривой, так что

Р подвижного контур

Р подвижного контур

Заметим теперь, что скорость точки pa С' может быть определена как предел

㈣曾РСР㈣曾РСР:lim ■limPfPAt->0:lim ■limPfPAt->0^1к；^1к；

㈣曾

РСР

㈣曾

РСР

:lim ■lim

PfPAt->0

:lim ■lim

PfPAt->0

^1

к；

^1

к；

первый предел в правой части равен нулю, а второй представляет собой конечную величину, равную скорости движения точки соприкосновения по контурам. Таким образом, скорость точки 尸 действительно равна нулю, т. е. эта точка фигуры, связанной с контуром С", служит мгновенным центром скорот стей. Все остальные точки фигуры С' в данный момент времени имеют скорости, соответствующие вращению этих точек вокруг мгновенного центра. При движении фигуры все новые и новые точки контура С' будут приходить в соприкосновение с контуром С, причем это соприкасание будет происходить в

точке, перемещающейся по контуру С. Таким образом, мгновенный центр занимает различные положения в движущейся фигуре и на неподвижной плоскости.

Если известны направления скоростей двух каких-нибудь точек фигуры в данный момент, то, восставляя в этих точках перпендикуляры к направлениям скоростей, в пересечении найдем искомый мгновенный центр. Указанное построение следует из ранее отмеченного свойства мгновенного центра скоростей быть центром мгновенного вращения плоской фигуры (рис. 154).

Пользуясь понятием мгновенного центра, легко получить решение такой задачи: по заданным величине и направлению скорости одной точки фигуры и по направлению скорости другой ее точки найти распределение /\

скоростей в движущейся фигуре. К этой задаче % 丁% ) часто сводится вопрос об исследовании скоро- / [ 布丿 стей точек звеньев механизма.

Пусть Va ——известная по величине и направ- 八] лению скорость точки 4 (рис. 159), MBMi — ли- у ния, вдоль которой направлена скорость точки \. 丿 В. Мгновенный центр, как было указано, должен лежать на пересечении перпендикуляров к Рис. 159. Va и ММ\, проведенных через точки Л и В. Предполагая, что эти перпендикуляры пересекаются, найдем положение мгновенного центра. Чтобы найти распределение скоростей, нужно знать еще величину угловой скорости и направление вращения. Последнее определяется по заданному направлению скорости vA; что же касается величины со, то, зная vA, находим

После этого уже не составляет труда определить скорости других точек плоской фигуры.

Рассмотрим некоторые частные случаи этой задачи, когда указанный способ определения скоростей не приводит к цели.

В том случае, когда скорость vA параллельна линии ВМ, причем точка В не лежит на перпендикуляре, проведенном через А к vA (рис. 160,4), вышеуказанные перпендикуляры не пересекаются, т. е. мгновенного центра скоростей в данный момент не существует (АР = оо) и вращение отсутствует. Распределение скоростей в этот момент такое же, как если бы фигура совершала поступательное движение. В этом случае движение называется мгновенно-поступательным^ скорости всех точек фигуры в рассматриваемый момент одинаковы.

Возможен еще случай, когда вектор vA параллелен ВМ, примем точка В лежит на перпейдикуляре, проведенном к vA через

точку Л (рис. 160,6). Имеющихся данных в этом случае недостаточно для определения распределения скоростей. Необходимо знать скорость и^ точки 8 не только по направлению, но и по величине. Положение мгновенного центра и угловая ско* рость фигуры определяются из условий

"^务=-^分=8, D4 干 p8 = 43, (15)

причем верхний знак соответствует одинаковому направлению скоростей vA и vb (рис. 160,6), а нижний — противоположному (рис. 160,8). Из равенств (15) следует, что геометрическим

местом концов векторов скоростей точек прямой АВ является прямая, соединяющая конец вектора vA с мгновенным центром скоростей Р.

Наконец, если в рассматриваемом случае Va = 0丛 то опять имеем мгновенное поступательное движение фигуры (рис. 160, г).

Найдем координаты мгновенного центра скоростей. Для этой цели воспользуемся формулами (13) и, подставив в правые части вместо % и у координаты мгновенного центра хР и у₽, приравняем левые части нулю, так как скорость той точки фигуры, которая в данный момент времени играет роль мгновенного центра, равна нулю. Буддм иметь уравнения

%% — & (Up — Уо) = 0,方乡 + о (%р — %。) = 0, откуда найдем

*р = %о ^* Ур = %Н- -^ •(16)

Аналогично по (14) найдем координаты Хр и yfp мгновенного центра в подвижной системе:

4 = Т &% sin Ф 一 甸 cos ф),弘=春(％ cos Ф + u°g sin ф).

(16丿)

В заданном плоском движении %。，ро, Ф, а следовательно, и их производные VoXf Voy, й суть известные функции времени.

Иными словами, уравнения (16) и наты мгновенного центра в любой момент времени.

К этим же результатам можно прийти также, решая векторное уравнение

% = % + s X % = 0.

Умножая обе части векторно на о, получим

®><% + @><(sX〃)= 0, (17) или, раскрывая двойное векторное произведение по известному правилу векторной алгебры:

(16‘)определяют коорди(16‘)определяют коордиРис. 161.Рис. 161.s х 3 х %)= °> з ・ ^р) 一 Гр(о ・ о),

(16‘)определяют коорди

(16‘)определяют коорди

Рис. 161.

Рис. 161.

и замечая, что вследствие перпендикулярности векторов (о и Гр

(о • Гр = 0, получаем

s х 3 х f = — ^2г'р.

S X 00①2S X 00①2(18)(18)После подстановки в (17) найдем вектор-радиус мгновенного центра в подвижной плоскости:

S X 00①2

S X 00①2

(18)

(18)

В неподвижной плоскости будем иметь

Т = % + ^ = % + £ ^2”・•(18，)

Проектируя векторные равенства (18，)и (18) на оси координат, получим вышеприведенные формулы (16) и (16‘).

В качестве примера рассмотрим эллиптическое движение плоской фигуры (рис. 161), при котором две точки фигуры Л и В, находящиеся на расстоянии АВ = / друг от друга, движутся по двум взаимно перпендикулярным осям Ох и Оу. Вьь брав за полюс фигуры точку А и обозначив ее скорость через % найдем

xA = l sin ср, уА==0,

^Лх —' ^А —' / COS ①•①-~" I COS ф • CO, ^Ay —' 0,

откуда по формулам (16) найдем координаты мгновенного центра в неподвижной системе координат:

Хр = хл = О А, Ур =靑 и%% = % cos qp = 03,

а по формулам (16‘)一 в подвижной:

%；=煮 vAx sin qp = / sin qp cos qp, Ур — ^ vAx cos qp = I cos2(p・

Положение мгновенного центра можно было бы определить и чисто геометрически, восставив в точках А и В перпендикуляры к направлениям движения этих точек.

Пример 47. Найдем скорость любой точки окружности колеса, катящегося без скольжения по неподвижному рельсу, по заданной скорости о。 центра колеса (рис. 162).

Обозначим через а радиус колеса. Так как колесо катится без скольжения, то мгновенный центр находится в точке соприкосновения Р колеса с рельсом; получаем

со =.

Q

Скорость любой точки М на окружности колеса перпендикулярна к РМ и, следовательно, проходит через противоположный точке Р конец ^ диаметра колеса. Ее величина будет равна

0〃 =①• PM = 2a cos ср •号=2и° cos (p.

Из всех точек колеса наибольшую скорость имеет точка N.

Пример 48. Конец Л линейки эллипсографа движется со скоростью уд В отрицательную сторону оси х. Определим скорость конца В и угловую скорость линейки АВ = / (рис. 163).

По теореме о проекциях скоростей концов отрезка находим для скоро* стей точек 力 и В линейки АВ

Далее】 имеемДалее】 имеем”А cos(р = ив sin ф, т. е. vB = ид ctg ф.

Далее】 имеем

Далее】 имеем

, VAVA

%A = s/=r 二,т. е. (о =『.一• sin ф/ sin 屮

Те же результаты легко получить путем построения мгновенного центра линейки Р.

Пример 49. Найдем мгновенный центр и угловую скорость шатуна, а также линейную скорость ползуна кривошипно-ползунного механизма по заданной угловой скорости вращения кривошипа ① и радиусу кривошипа ОА = а （рис. 164）.

со • О Асо • О ААР — АРАР — АРпропорциональна расстоянию ее отпропорциональна расстоянию ее отПредставим себе, что с шатуном АВ неизменно связана плоская фигура S. Скорость точки 4 по величине равна Va — （а-ОА и направлена перпендикулярно к О А. Скорость точки В направлена по прямой ОВ. Мгновенный центр Р находим на пересечении перпендикуляров к скоростям, т. е. на пересечении перпендикуляра ВР к ОВ и продолжения радиуса ОА. Угловую скорость шатуна найдем по формуле

со • О А

со • О А

АР — АР

АР — АР

пропорциональна расстоянию ее от

пропорциональна расстоянию ее от

При движении механизма мгновенный центр Р, как видно из построения, перемещается, занимая различные положения в плоскости S и на неподвиж* ной плоскости. В частности, при ср = О и ср = л, т. е. в мертвых положениях механизма, Р совпадает с точкой В, как это и должно быть, так как при переходе через мертвое положение ползун имеет скорость, равную нулю. В эти моменты скорость любой точки шатуна

ползуна. При 屮=冗/2 скорость vA параллельна v5 и движение шатуна мгновенно-поступательное: все точки его имеют одинаковые скорости, равные скорости точки А.

О/% =①]• РВ =①-др- • РВОбращаясь к рис. 164, находимО/% =①]• РВ =①-др- • РВОбращаясь к рис. 164, находимPBPBsin （＜р + 屮）sin （＜р + 屮）SE传一8)SE传一8)Определим еще скорость ползуна В в функции угла ср. Имеем

О/

% =①]• РВ =①-др- • РВ

Обращаясь к рис. 164, находим

О/

% =①]• РВ =①-др- • РВ

Обращаясь к рис. 164, находим

PB

PB

sin （＜р + 屮）

sin （＜р + 屮）

SE传一8)

SE传一8)

=vA （cos 屮 tg 屮 + sin ф）,

,, 九 sin ф

g 屮一"「二入2 sir127cp

A cos ср 、.Пример 50. Коромысло О/ （рис. 165）, качаясь вверх и вниз вокруг оси 01, при посредстве шатуна АВ передает движение кривошипу ОВ, свободно сидящему на оси О. На этой же оси сидит колесо /, дру- сA cos ср 、.Пример 50. Коромысло О/ （рис. 165）, качаясь вверх и вниз вокруг оси 01, при посредстве шатуна АВ передает движение кривошипу ОВ, свободно сидящему на оси О. На этой же оси сидит колесо /, дру- сгде 7. — all — отношение длины кривошипа к длине шатуна. Получим

A cos ср 、.

Пример 50. Коромысло О/ （рис. 165）, качаясь вверх и вниз вокруг оси 01, при посредстве шатуна АВ передает движение кривошипу ОВ, свободно сидящему на оси О. На этой же оси сидит колесо /, дру- с

A cos ср 、.

Пример 50. Коромысло О/ （рис. 165）, качаясь вверх и вниз вокруг оси 01, при посредстве шатуна АВ передает движение кривошипу ОВ, свободно сидящему на оси О. На этой же оси сидит колесо /, дру- с

гое колесо II наглухо соединено

шатуном АВ и сочленено с кривоши-гис,丄°°'

пом ОВ с помощью шарнира В. Радиусы колес / и 77 одинаковы （fj =『2 =厂）, ОВ = 2r. Угловая скорость кривошипа ОВ равна со. Найдем угловую ско* рость 31 колеса /.-

Мгновенный центр Р плоской фигуры, состоящей из шатуна АВ и колеса //, найдем в пересечении 4。［ и ОВ. Угловая скорость этой фигуры равна

Чтобы перейти к определению угловой скорости колеса /, нужно записать, что скорость точки соприкосновения С колес / и // останется одной и той же, будем ли считать ее принадлежащей колесу I или колесу //:

^q^ ^2* PC =① 1几

ОтсюдаОтсюдаPC QPC ° PCPC QPC ° PC

Отсюда

Отсюда

PC QPC ° PC

PC QPC ° PC

(знак плюс соответствует положению, изображенному на рисунке). Если PC значительно больше г, то приближенно можно считать

-———q 2①.

1±乐

§ 57. Центроиды

При движении плоской фигуры в ее плоскости мгновенный центр перемещается от одной точки фигуры к другой. Точно так же и в неподвижной плоскости мгновенный центр занимает все новые и новые положения. Таким образом, следует отличать точку плоской фигуры, которая в данный момент времени совпадает с мгновенным центром и имеет скорость, равную нулю, от самого мгновенного центра, перемещающегося по фигуре и имеющего как по отношению к ней, так и по отношению к неподвижной плоскости скорости, вообще говоря, отличные от нуля и геометрически равные между собой. Последнее сразу следует из того, что мгновенный центр проходит в данный момент через точку, которую вследствие ее мгновенной неподвижности можно одинаково считать принадлежащей как плоской фигуре, так и неподвижной плоскости.

Траектория мгновенного центра в плоскости, связанной с движущейся фигурой, образует кривую, называемую подвижной центроидой; точно так же траектория мгновенного центра в неподвижной плоскости называется неподвижной центроидой.

Так, в указанном ранее примере качения без скольжения круглого колеса по прямолинейному рельсу (рис. 162) все точки контура С7 колеса при различных положениях его будут служить мгновенными центрами скоростей, следовательно, окружность С' является подвижной центроидой. Точки рельса С будут служить мгновенными центрами в неподвижной плоскости, а прямая С представит собой неподвижную центроиду.

Подвижная и неподвижная центроиды имеют в каждый момент времени общую точку — мгновенный центр, траекториями

которого они служат. Вектор скорости мгновенного центра, одинаковый, по предыдущему, как по отношению к неподвижной, так и подвижной плоскости, направлен по касательной к траектории мгновенного центра; следовательно, касательная — одна и та же для обеих центроид, т. е. центроиды соприкасаются. Наконец, из равенства по ве

личине скоростей мгновенного центра по центроидам вытекает равенство путей, проходимых мгновенным центром по подвижной и неподвижной центроидам за один и тот же бесконечно малый промежуток времени, т. е. равенство элементарных дуг центроид между соответствующими друг

другу смежными положениями на них мгновенного центра.

Отсюда, согласно определению качения без скольжения, следует, что при движении плоской фигуры в своей плоскости подвижная центроида катится без скольжения по неподвижной.

Пусть С и С" (рис. 166) представляют собой неподвижную и подвижную центроиды, соприкасающиеся в данный момент £ в мгновенном центре Р. Точки Pi, Р2 и т. д. определяют положения мгновенного центра в неподвижной плоскости в последующие моменты времени 九，力2, ..., точки ・..,Р—, P-i — в предыдущие моменты. Аналогично, точки Р：, Р； и т. д. отмечают положения мгновенного центра в подвижной плоскости в те же моменты времени 九，％2,・•• точки ..., 尸二?，尸二1一 в предыдущие моменты. Дуги ЛР[ н^Р^^Р^ и и т. д. по предыдущему равны между собой; в момент времени Л точка Р； придет в точ<

ку Pi, а точка Р； займет положение Р?. В момент времени %

точка Р； совпадает с точкой 尸2 и т. д. Такое последовательное совпадение концов равных между собой по длине дуг подвижной и неподвижной кривых возможно лишь при отсутствии скольже

ния; поскольку при этом кривые соприкасаются, описанное движение является качением без скольжения подвижной центроида по неподвижной.

Пример 51. Две параллельные рейки движутся в противоположные стороны со скоростями а】и @2・ Между ними находится диск радиуса а, который катится по ним без скольжения. Определим скорость а。 центра диска О, угловую скорость о)и мгновенный центр диска, а также центроиды (рис. 167).

Принимая точку О за полюс, имеем

仃=5 + %/，& = % + ^о^

S + 022aS + 022a5—^2 с /、 力十a，"5—^2 с /、 力十a，"

S + 022a

S + 022a

5—^2 с /、 力十a，"

5—^2 с /、 力十a，"

Вращение диска происходит по часовой стрелке. Проектируя написанные выше геометрические равенства на направление скорости 5, получим

^i == Уо + SQ, — 02 = ?о — SQ・

Из последних уравнений находим

5 = ^(S -後)，s =击(S +。2).

Если Vi = % то центр диска останется неподвижным.

Эту же задачу можно решить, отыскивая мгновенный центр диска. По формулам (15) имеем

言Г=^-=з，PM + P〃2 = MM2 = 2q・ г М 1 г М2

Составив производную пропорцию, получим

^! + v2 — PMi + РМ2 — 2a

?2— РМ2 — РМ2

и, следовательно,

叫П吊？。吟-叫

Скорость центра колеса v0 определим из соотношения

и0 — w • ОРи0 — w • ОРS +02 У1 一 ^2— ?1 -02

и0 — w • ОР

и0 — w • ОР

2a s十勿 一 2

которое совпадает с полученным выше результатом; мгновенный центр Р находится на постоянном расстоянии 。尸,определяемом по формуле (*), от центра колеса О. Следовательно, геометрическое место точек колеса, с которыми в процессе движения совпадает мгновенный центр, т. е. подвижная центроида С', есть окружность радиуса ОР, концентрическая с колесом.

Неподвижная центроида С, т. е. геометрическое место мгновенных центров в неподвижной плоскости, есть прямая, находящаяся на расстоянии ОР от центра колеса.

Если насадить на ось колеса концентрически с ним диск радиуса

ОРОР5 — и?S十後"5 — и?S十後"

ОР

ОР

5 — и?

S十後"

5 — и?

S十後"

и покатить его без скольжения по прямой С, сообщив центру диска скорость

加=万（S一匹）,

то рейки, соприкасающиеся с колесом в точках А4( и М2, придут в движение со скоростями @1 и v2, направленными в противоположные стороны. Движение диска Сх по прямой С кинематически эквивалентно рассматриваемому движению колеса между двумя рейками.

Пример 52. Центроиды эллипсографа. В изображенном на рис. 168 положении линейки эллипсографа мгновенный центр занимает поло-

линейка эллипсографа?линейка эллипсографа?жение Р. Очевидно, что ОР = ЛВ; иными словами, каково бы ни было по< ложение линейки, мгновенный центр Р всегда находится на постоянном рас* стоянии АВ = 2/ от начала координат 。неподвижной системы осей, т. е. не« подвижная центроида представляет собой окружность С радиуса 2Z с центром в О. С дру-

линейка эллипсографа?

линейка эллипсографа?

гой стороны, О'Р = у ОР = / также постоянно и мгновенный центр находится на одном и том же расстоянии от принадлежащей фигуре и движущейся вместе с ней точки О'. Это значит, что подвижной центроидой является окружность радиуса I с центром в О'.

Качение подвижной центроиды по неподвижной можно осуществить, заменив, напри* мер, окружности С' и С подвижным и неподвижным зубчатыми колесами и покатив первое по второму с помощью рукоятки ОО\ Любой диаметр колеса Сг будет при этом со

Пример 53. Центроиды в обращенном эллиптическомПример 53. Центроиды в обращенном эллиптическомдвижении. Скорости тех точек сторон движущегося прямого угла, которые в данный момент проходят через оси вращения трубок Л и В, направ* лены вдоль прямых ОА и ОВ (рис. 169). Следовательно, мгновенный центр к АО и ВО вдвижении. Скорости тех точек сторон движущегося прямого угла, которые в данный момент проходят через оси вращения трубок Л и В, направ* лены вдоль прямых ОА и ОВ (рис. 169). Следовательно, мгновенный центр к АО и ВО ввершать то же самое движение, которое совершала любая точка его будет описывать эллипс.

Пример 53. Центроиды в обращенном эллиптическом

Пример 53. Центроиды в обращенном эллиптическом

движении. Скорости тех точек сторон движущегося прямого угла, которые в данный момент проходят через оси вращения трубок Л и В, направ* лены вдоль прямых ОА и ОВ (рис. 169). Следовательно, мгновенный центр к АО и ВО в

движении. Скорости тех точек сторон движущегося прямого угла, которые в данный момент проходят через оси вращения трубок Л и В, направ* лены вдоль прямых ОА и ОВ (рис. 169). Следовательно, мгновенный центр к АО и ВО в

находится на пересечении перпендикуляров, восставленных точках А и В. По построению АОВР — прямоугольник, т. е. ОР = АВ = 2Z. Точка Р находится на постоянном расстоянии 22 от вершины подвижного прямого угла, т. е. подвижной центроидой С' является окружность радиуса 22 с центром в О. Неподвижная центроида С — окружность вдвое меньшего радиуса I с центром в О'. Сравнивая этот результат со случаем эллиптического движения, видим, что подвижные и неподвижные центроиды поменялись ролями: если покатить большой круг по малому, то полученное движение будет кинематически эквивалентно обращенному эллиптическому движению. Вообще, меняя роль центроид, т. е. делая подвижную центроиду неподвижной, а неподвижную — подвижной, получим движение, называемое об-

ращенным по отношению к первоначальному.

Пример 54. Определим центроиды шатуна 5Е механизма антипарал* лелограмма, изображенного на рис. 170 (ЛВ = ED = 2а, BE = AD = 2G а > с).

В плоском движении, совершаемом звеном BE, известны траектории двух точек В и Е; это — окружности радиусов АВ и ED. Мгновенный центр лежит на пересечении перпендикуляров к скоростям точек 8 и Е, т. е. в точке Р пересечения прямых АВ и ED.

Имеем: 4АВЕ = AADE, так как AD = BE, АВ = ED и АЕ — общая сторона. Следовательно, КАВЕ = ^ADE. Но ZAPD = NEPB、что при ра、. венстве AD = BE дает

AAPD =厶 ЕРВ^

Отсюда получаем и поэтому Точно так жеОтсюда получаем и поэтому Точно так женых точекAD = ЕВ.ных точекAD = ЕВ.А иА иВ, аВ, а

Отсюда получаем и поэтому Точно так же

Отсюда получаем и поэтому Точно так же

ных точекAD = ЕВ.

ных точекAD = ЕВ.

А и

А и

В, а

В, а

АР = РЕ, BP = PD,AP + PD = AP + PB== 2a.ЕР+ РВ = ЕР + PD=- 2a.

расстояний мгновенного центра Р от двух неподвижных точек 4 и Q есть величина постоянная. Следовательно, неподвижной центроидой С является эллипс с фокусами в точках Л и D, с большой полу* осью а и малой b — у а2 — с2. Подвижная центроида Сг ——также эллипс с полуосями той же величины и с фокусами в 5 и Е

Движение, при котором эллипс С' катится без скольжения по неподвижному эллипсу С, кинематически эквивалентно движению звена BE антипараллелограмма. Точню так же можно доказать, что центроидами звена ED при неподвижном звене АВ (когда звено AD освобождено) служат две одинаковые гиперболы. Достаточно убедиться, что в этом случае разность расстояний мгновенного центра (точки пересечения линий BE и AD) до неподвиж-

также до точек D и Е остается неизменной и равной

Поле ускорений плоской фигуры. Мгновенныйцентр ускорений

Для определения ускорения любой точки плоской фигуры найдем производную по времени от вектора скорости этой точки.

Имеем согласно (11)

0 = и。+ s X * и, следовательно,

dv, d ,、/八I1八e、

号+ 万®=+(19)

Первое слагаемое 吋需(20)

одинаковое для всех точек фигуры и равное ускорению полюса О', называется поступательным ускорением.

Второе слагаемое — обозначим его через 初⑻，一равное

初(в)=嘗 X У = & X 旷，(21)

называется вращательным ускорением. Здесь вектор

представляет собой вектор углового ускорения. Вектор т(в)перпендикулярен к г' и направлен в ту же сторону, что и вращательная скорость о ХУ точки плоской фигуры вокруг полюса, или в противоположную, сообразно тому, будет ли вращение фигуры ускоренным или замедленным; величина 初⑴)равна

加в) = 8rz sin (个7) =(22)

Третье слагаемое, которое обозначим М℃), равно

(23)

Подставив сюда вместо drr/dt его значение (12), получим 初(ос) = s х ® X У),

или по известной формуле разложения двойного векторного произведения:

孙ос) = ф (о • г7) — г (о . о).

Но в плоском движении векторы з и 产 взаимно перпендикулярны, так что

(о . у，= 0, кроме того,

о . ф = со2, следовательно,

初(ос) — — о)2у.(24)

Эта составляющая ускорения, направленная от рассматриваемой точки к полюсу и равная по величине со2^, называется осе* стремительным ускорением.

Итак, имеем

初=W + ze/в)+ 30с)= g + & * У — co2rz,(25)

т. е. ускорение любой точки в плоском движении может быть представлено как геометрическая сумма поступательного ускорения, равного ускорению полюса, вращательного ускорения вокруг полюса 〃 осестремительного ускорения к полюсу.

Заметим, что поступательное ускорение 叫)равно нулю, если полюс движется равномерно и прямолинейно;初⑴)=0, когда в = 0, т. е. когда движение фигуры происходит с постоянной угловой скоростью, или в моменты времени, когда угловая скорость имеет экстремальные значения; наконец, М。。)= 0 при со = 0, т. е. при мгновенно-поступательном движении.

Составим формулы для проекций ускорения на неподвижные оси х, у. Замечая, что

найдем, проектируя обе части равенства (25) на неподвижные оси х и у:

侬％ =戈о — ©(D —勿)一@2 (% — %о),

吗=岁0 + © (% — %0)— 02 匂一％)•

Аналогично найдем проекции ускорения на подвижные оси:

侬%,=侬0£ — @* - @2%，， 侬了=叫У + @/ 一 02夕,(27)

где uw и way обозначают проекции ускорения полюса на подвижные оси координат %',旷；они могут быть легко вычислены по формулам перехода от одной системы координат к другой.

Ускоренное вращениеУскоренное вращение

Ускоренное вращение

Ускоренное вращение

Рис. 171.

Если плоское движение задано, то координаты полюса х0 丑 уо, а также угол поворота ср известны в функции времени, так что все величины в правых частях этих формул могут быть вычислены.

Условимся в дальнейшем снабжать обозначение ускорения индексом, указывающим точку, ускорение которой рассматривается: например,叫，wB и т. д. будут обозначать ускорение точек А, В и т. д.; геометрическую сумму вращательного и центростремительного ускорений точки В, когда за полюс принята точка 4, обозначим через Wab、т. е. положим

叫产8x%-32厶. (28)

Здесь вектор Wab есть ускорение точки В по отношению к точке 'Л, т. е. ускорение по отношению к системе координат, имеющей начало в точке / и движущейся вместе с этой точкой поступательно. Отдельные слагаемые этого вектора — вращательное ускорение вокруг полюса и осестремительное ускорение к полюсу—будем обозначать так:

见矗=2><匕炉 唠@ = 一炉吸声 (29)

Формула (25) примет вид

初В = ^4 + WAB = ^л + 初鼎 + WAB-(30)

Построение отдельных слагаемых показано на рис. 171. Замечая, что 初第 и 初噺)взаимно перпендикулярны, получим

WAB =厂/B Vе2 + °4 •WAB =厂/B Vе2 + °4 •(31)(31)

WAB =厂/B Vе2 + °4 •

WAB =厂/B Vе2 + °4 •

(31)

(31)

Обозначим через я — а тупой угол, образуемый векторами у；в и wab* Аналогично по формуле (19) § 50, а также и непосредственно из рис. 171 найдем

(32)

Заметим, что при ускоренном вращении (рис. 171,。)угол я ——а отсчитывается от ггАВ в сторону вращения фигуры

и в противоположную сторону — при замедленном вращении (рис. 171,6). В каждый данный момент времени угол а одинаков для всех точек фигуры.

Докажем, что в любой момент времени существует точка плоской фигуры — назовем ее мгновенным центром ускорен ний, — ускорение которой в этот момент равно нулю. Чтобы убедиться в существовании мгновенного центра ускорений, проведем через какую-нибудь точку А полупрямую XL

(рис. 172, а, 6) под углом а, определяемым по формуле (32)； к вектору 初总,отсчитывая а от ^л в сторону вращения фигуры или противоположно ему, сообразно тому, будет ли вращение ускоренным или замедленным. Отложим на AL отрезок

Конец Q этого отрезка и будет мгновенным центром ускорений. В самом деле, согласно формуле (31) имеем

WAQ = rAQ “後十炉=4・

С другой стороны, по построению вектор Waq противоположен wA по направлению, т. е.

叫4Q = 一吗i.

Отсюда на основании (30) заключаем, что

叫=0,

т. е. Q — мгновенный центр ускорений.

Рис. 173.Рис. 173.Построение мгновенного центра ускорений на основании сказанного требует знания ускорения wA какой-либо точки фигуры и угла а. Покажем, как построить мгновенный центр ускорений, имея ускорения двух точек фигуры. Заметим для этого, что, зная wA и Wb、тем самым можем определить на основании формулы (30)

Рис. 173.

Рис. 173.

初/в = Wb — wA,

и, следовательно, угол а будет вполне определен. Теперь мо

жем (рис. 173) построить луч ЛА, на котором лежит мгновенный центр ускорений Q. Нет надобности вычислять положение точки Q по формуле (33), так как можно построить ее графически, проведя еще луч ВМ под углом а к 如历 Пересечение лучей AL и ВМ определит точку Q. Построение произведено на рис. 173. По заданным 叫4 и wB найдена их разность Wab = wB —叫.Это определяет угол 冗一а, отсчитываемый от г^в к ^А3. В этом же направлении отсчета отложен угол а от направлений Wa и 也 и проведены лучи AL и ВМ. Их пересечение и дает нам точку Q.

Имея мгновенный центр ускорений, получаем весьма наглядную картину распределения ускорений в плоской фигуре. Действительно, применяя формулу (30) в предположении, что за полюс А принят мгновенной центр ускорений Q, и замечая, что по определению Wq = 0, получим

% = Wqb =嘰匕 + 沙^ = £ X у/ — "為.(34)

Первое слагаемое в правой части — вращательное ускорение 初舫——направлено по перпендикуляру к вектор-радиусу, соединяющему центр ускорений с рассматриваемой точкой, в ту сто-

рону, куда происходит вращение, или смотря по тому, является ли вращение медленным.Второе слагаемое — осестремительное правлено всегда от точки к мгновенномурону, куда происходит вращение, или смотря по тому, является ли вращение медленным.Второе слагаемое — осестремительное правлено всегда от точки к мгновенномув противоположную, ускоренным или за-в противоположную, ускоренным или за-ускорение 叫瓶)一на- центру ускорений.ускорение 叫瓶)一на- центру ускорений.Расположение этих слагаемых показано на рис. 174.Расположение этих слагаемых показано на рис. 174.По веПо величине они равныличине они равны鱷b=崂）=8%中嗨=噌=w&，鱷b=崂）=8%中嗨=噌=w&，(35)(36)(35)(36)

рону, куда происходит вращение, или смотря по тому, является ли вращение медленным.

Второе слагаемое — осестремительное правлено всегда от точки к мгновенному

рону, куда происходит вращение, или смотря по тому, является ли вращение медленным.

Второе слагаемое — осестремительное правлено всегда от точки к мгновенному

в противоположную, ускоренным или за-

в противоположную, ускоренным или за-

ускорение 叫瓶)一на- центру ускорений.

ускорение 叫瓶)一на- центру ускорений.

Расположение этих слагаемых показано на рис. 174.

Расположение этих слагаемых показано на рис. 174.

По ве

По ве

личине они равны

личине они равны

鱷b=崂）=8%中嗨=噌=w&，

鱷b=崂）=8%中嗨=噌=w&，

(35)

(36)

(35)

(36)

Их геометрическая сумма wB по величине равна

% = rQB "好 + ①久(37)

Рис. 176.Рис. 176.Таким образом, полное ускорение любой точки фигуры по величине пропорционально ее расстоянию от мгновенного центра ускорений и направлено под одинаковым для всех точек фигуры углом 及 вектор-радиусу, соединяющему рассматриваемую точку с мгновенным центром ускорений.

Рис. 176.

Рис. 176.

Рис. 174.

Не следует смешивать вращательное ускорение w^ £ касо- тельной составляющей ускорения, а осестремительное 缈^㈠— с нормальной составляющей. В самом деле, касательное wr и нормальное ускорения 初〃 направлены по касательной и главной нормали к траектории, т. е. по перпендикуляру к вектор- радиусу ГрВ, соединяющему рассматриваемую точку с мгновенным центром скоростей 戶，и вдоль этого векюр-радиуса, в то время как 初^)и 初^® направлены перпендикулярно и вдоль вектор-радиуса 心口 (рис. 175).

Легко получить вектор-радиусы rQ и /$ центра ускорения в неподвижной и подвижной системах координат; для этого решим векторное уравнение

初q = % + е X % —炉％ = 0. (38)

9 Л. Г. Лойцянсмий, А. И. Лурье

С этой целью умножим (36) векторно на е:

е X w0 4- е X (е X гq) — о2 (е X %) = О,

и раскроем двойное векторное произведение; тогда получим

8 X % + €(8 • %) — %(8 • в) — СО2(8 X 啕=о.

Заметим, что в плоском движении е • г^ == 0; далее, е • е = е2, а по (38) е X % ==炉% — ^о- Подставляя в (38), получим

£ X % — (/ + (d4) Fq + ①2叫=0,

£ X t&>0 +(p2畋£ X t&>0 +(p2畋• (39)• (39)или, разрешая уравнение относительно % е X wo +国恤亠I j 亠

£ X t&>0 +(p2畋

£ X t&>0 +(p2畋

• (39)

• (39)

rQ=—~，% = %+% = %

Проектируя первое равенство на подвижные оси координат х‘，％ а второе — на неподвижные оси %, у、получим формулы координат мгновенного центра ускорений:

(40)(41)(40)(41)в подвижной системе осей

(40)

(41)

(40)

(41)

“Q=&+炉，%=@2 + H ；

в неподвижной системе осей

%Q一%0 十 $2 +(04， Bq 一 %H声b一

Пример 55. Найдем ускорение любой точки обода колеса радиуса а, катящегося без скольжения по прямолинейному рельсу, если центр колеса имеет постоянную скорость и。. Мгно-Пример 55. Найдем ускорение любой точки обода колеса радиуса а, катящегося без скольжения по прямолинейному рельсу, если центр колеса имеет постоянную скорость и。. Мгно-скорости точки М и ее полное ускоскорости точки М и ее полное ускорение (рис. 176), легко найдем касательную и нормальную составляющие:рение (рис. 176), легко найдем касательную и нормальную составляющие:

Пример 55. Найдем ускорение любой точки обода колеса радиуса а, катящегося без скольжения по прямолинейному рельсу, если центр колеса имеет постоянную скорость и。. Мгно-

Пример 55. Найдем ускорение любой точки обода колеса радиуса а, катящегося без скольжения по прямолинейному рельсу, если центр колеса имеет постоянную скорость и。. Мгно-

скорости точки М и ее полное уско

скорости точки М и ее полное уско

рение (рис. 176), легко найдем касательную и нормальную составляющие:

рение (рис. 176), легко найдем касательную и нормальную составляющие:

^к^Е屮 u^sin明 ^ = .соз<р«4созф.

Замечая, что скорость точки М равна

и —(о • МР =» 2as cos ф = 2и0 cos ф, находим радиус кривизны траектории точки Л1 (циклоиды):

о = 4a cos ф = 2Mp.

Пример 56. Ускорение при внешнем и внутреннем зацеплении колес. На палец 4 (рис. 177, а, 6) кривошипа ОД, вращающегося вокруг оси О с постоянной угловой скорое? ю (о, свободно на» сажено зубчатое колесо 〃 радиуса г?. При вращении кривошипа оно катится без скольжения по неподвижному зубчатому колесу / радиуса 门，имеющему центр на оси О. Найдем ускорения точек В и С колеса 7/, а также его мгновенный центр ускорений.

Определим угловую скорость со? колеса //. Так как точка С является его мгновенным центром скоростей, то

tt)2 * С4 =①• ОЛ,

верхний знак относится к случаю внешнего (рис. 177, а), а нижний ——внутреннего (рис. 177,6) зацепления. Так как ю? постоянно, то е2 = 0.

Переходим к рассмотрению ускорений. За полюс примем точку 4; его ускорение направлено от 4 к О и по величине равно

J4=s2(Гl 土 「2)・

Очевидно, что вращательное ускорение любой точки второго колеса w(b)= 0; далее, имеем (г7 ——вектор-радиус любой точки колеса // относительно точки Л)

/)= 一脸上一①2上三注/

Останавливаясь сначала на случае внешнего зацепления, найдем ускорения точек В и С. Для точки В имеем

厂2

и ш(ос) направлено от 8 к 4, т. е. так же, как и ускорение 叫.Полное ускорение будет равно“

%=分6+Г2)+①2包.芬/ =炉9士2；(门+?2).

Точно так же для точки С получим

t^C =①2 '」+ ①2 (「1 + 厂2)= (О2 (门 + /"2)"У~«

Ускорения Wb и Зс направлены к центру колеса.

尹

Найдем еще мгновенный центр ускорений колеса И. В этой точке «Д℃)= —и/д, так как вращательное ускорение отсутствует (сог »= const), а точка Л принята за полюс; следовательно, мгновенный центр ускорений Q

должен лежать на радиусе АС, так как для точек этого радиуса 初(℃) направлено противоположно w,4. Расстояние「$ мгновенного центра ускорений от точки 4 определится из уравнения

откудаоткуда川("4)2 % = ^6+3,

откуда

откуда

'Q = 7TT7?

Так как в рассматриваемом случае вращательное ускорение отсутствует, то ускорение любой точки М направлено к мгновенному центру ускорений Q.

В случае внутреннего зацепления

⑦I n包二空一炉（门一啕I=炉g二3」口七生I

При ri > 2r2 вектор wB направлен к точке Л, при 「1 « 2г2 (в этом случае точка 8 совпадает с О) wB — 0, наконец, при 门 V 2rz вектор We направлен в ту же сторону, что и им. Мгновенный центр ускорений находится на ра< диусе АВ, причем расстояние его г' от центра колеса II определится из уравнения

炉,(「,必г产-0« (门一小)=0,

откуда найдем

г 1 — Гг

Пример 57. Ускорения точек линейки эллипсографа. Пусть точка А линейки эллипсографа движется с постоянной скоростью гм в отрицательную сторону оси х (рис. 178). Найдем ускорение любой точкн линейки (АВ =я 2/).

Так как движение точки А равномерное и прямолинейное, то она яв

ляется центром ускорений. Имеем

丄.

РА 2/ cos ф *

по формуле осестремительтого уско、 рения

и, следовательно, 噌 吟

в cos ф 2Z cos3 ф

Рис. 178.Рис. 178.Ускорение Wb направлено по оси у к началу координат, его осестремительная составляющая идет от В к Л.

Рис. 178.

Рис. 178.

На основании свойств центра ускорений ускорения всех прочих точек линейки пропорциональны расстоянию до точки А и имеют то же направление, что и w3. Если соединить конец вектора w3 с мгновенным центром ускорений прямой линией, то на ней расположатся концы векторов, изображающих ускорения точек линейки.

§ 59. Определение положения твердого тела, имеющегонеподвижную точку. Эйлеровы углы

Обратимся к рассмотрению вращательного движения абсолютно твердого тела вокруг неподвижной точки. Вопрос этот имеет большое практическое значение, так как лежит в основе теории гироскопических явлений, ди

намики корабля, самолета, ракеты, а также движений небесных тел.

Предположим, что рассматриваемое твердое тело имеет неподвижную точку (центр) О (рис. 179) и может как угодно вращаться вокруг этой точки. Выясним прежде всего число величин, которое надо задать для определения положения твердого тела в пространстве. Для этого проведем через центр О ось OL, жестко связанную с телом; положение этой оси

в пространстве определится двумя величинами: углами аир этой оси с осями Ох и Оу неподвижной системы координат. Но этих двух величин еще недостаточно для определения положения твердого тела, так как тело может вращаться около взятой оси. Задавая еще одну величину —— угол ф поворота тела вокруг оси,——полностью фиксируем положение тела в пространстве.

Итак, три величины должны быть заданы для определение положения тела, имеющего неподвижную точку. Условимся число независимых величин (параметров), определяющих положение твердого тела в пространстве, называть числом степеней свободы его; твердое тело, вращающееся около нэподвиж- ного центра, имеет три степени свободы. Подробнее о степенях свободы системы тел будет сказано в отделе динамики.

Приведенный выбор трех углов а, 0 и 中(рис. 179) поясняет наличие трех степеней свободы у твердого тела, имеющего

одну закрепленную точку, но, однако, непригоден для определения положения (координат) точек твердого тела, скоростей и ускорений в этих точках. Один из наиболее практически удобных выборов трех углов был указан Эйлером, что привело к наименованию всех возможных систем такого рода углов эйлеровыми углами. Мн опишем далее общие принципы выбора систем эйлеровых углов и остановимся на конкретных выборах двух систем. Первая из них по

лучила применение в задачах астрономии и гироскопии, вторая—в теории корабля.

Соединим жестко с вращающимся телом «подвижную» систему координат Ox'y’N’ (рис. 180) и будем рассматривать вращение этой системы по отношению к «неподвижной», в условном смысле этого слова, систе

ме Oxyz. В отделе первом уже применялась таблица обозначений косинусов углов между осями координат (буквами обозначены не углы, а их косинусы);

введем ее и здесь:

У

z

а”

J al2

S3

。21 J

J。22

«23

2，

。31 J

J аз?

азз

Отметим линию ON пересечения плоскостей хОу и xfOyf (рис. 180) и назовем ее, как это принято в астрономических приложениях, линией узлов. Выберем на этой линии положительное направление ON так, чтобы, смотря с него, видеть вращение оси Oz к оси Ozf на наименьший угол в положительном направлении (т. е. в правой системе осей — против часовой стрелки) ； как легко видеть, плоскость zOzf перпендикулярна к оси ON.

Первый эйлеров угол ——угол прецессии 屮，или прецессионный угол, — образован в плоскости хОу линией узлов с неподвижной осью Ох; отсчитывается угол ф в • положительном на* правлении (по часовой стрелке) от оси Ох к оси ON, если смотреть с оси On.

Второй угол ——угол нутации 0 ——расположен в плоскости zQz! и отсчитывается от оси Oz к оси ОУ в положительном

направлении (против часовой стрелки), если смотреть с поло* жительного направления линии узлов, т. е. оси ОМ

Третий угол — угол чистого вращения ф — расположен в плоскости х'Оу\ причем отсчитывается от линии узлов ON до оси Ох' в положительном направлении.

Для установления зависимостей между косинусами углов осей координат и эйлеровыми углами применим следующий прием. Введем, кроме единичных векторов осей координат i,厶 k,，，『，配，на рис. 181 опущенных, еще единичные векторы следующих осей (рис. 181), п — линии узлов ON; п\ — оси O^l, пер* цей в плоскости хОу, л,——

оси ON{f перпендикулярной к оси ON и лежащей в плоскости xzO/.

Направление оси ON\ выберем так, чтобы оси ONN\z образовали триэдр, сонаправленный (т. е. правый) с системой осей Oxyz\ направление оси 0“ выберем так, чтобы оси ONN；z' образовали сонаправленный триэдр с системой Ox'g'z', а следовательно, и с системой Oxyz. Легко видеть, что угол между осями О К； и 0N{ представляет собой линейный угол двугранного угла между плоскостями х'Оу' и хОу, т. е. угол 0. Тогда, замечая еще, что единичные векторы i, / и У,『легко могут быть выражены через единичные векторы л, п{ и л[ в форме за

висимостей, получаемых из разложения одних единичных векто

ров по другим:

i — n cos 2 — /г】 sin 2,

Y =九 cos 屮 + * sin ф,j = n sin 屮 + % cos 2,

yz = — n sin ф + nJ cos q),

найдем

a” = i •，= (n cos 屮一％ sin 2)• (n cos 屮 + % sin <p)= =(n • n) cos 屮 cos 屮 十(〃・ %) cos 屮 sin 屮一(％ • n) sin 屮 cos 屮一

一（"「献）SE巾sin屮.

Имеем

я • п= 1, п* п\ —0, п{ - п — 09 "[・/i； = cgs8, откуда

ап — cos 屮 cos ①一sin 屮 sin q> cos 9.

Аналогично получим остальные косинусы:

<х21 = i • f = (n cos ^― n{ sin 屮)• (一 n sin qp + rt； cos qp)=

=—cos i|)sin qp — sin 屮 cos ф cos 0,

a3| = i • fe^ = (n cos 屮一衝 sin ^) • 1^ = — п{ • kf sin 屮=

=—sin 屮 cos (90° + 0) = sin ф sin 9,

5? = j ・ У = (% sin 屮 + % cos 屮)• (n cos ф + ^ sin qp)—

=sin 屮 cos qp + cos 屮 sin <p cos 0,

%2 =/•/，= (% sin 2 + % cos 屮)• (一 /i sin qp + л^ cos <p)=

=—sin 2 sin <p + cos ф cos <p cos 9,

«32 = / • ^ = S sin 屮 + /11 cos ^) *kf — n{* £ cos 屮=

=cos 2 cos (90° + 6) = — cos 屮 sin 0,

a|3 = й Uz = ft • (n cos ф + я[ sin <p) = Л • n^ sin ф =

=sin ф cos (90° — 0) = sin Ф sin &

載 23 =力・ У =斤・(一万 sin Ф + К cos <p)=

— к*п{ cos ф = cos ф sin 0, a33 = fe • й^ = cos 8.

Выделим полуденную группу формул:

соз (^7^‘)= ан = cos 屮 cos ф — sin 屮 sin ф cos 0,

cos (хТ^Э =。21 = — cos 屮 sin ф — sin ® cos ф с эз в,

cos (x, z‘)— a31 = sin ф sin 9,

coscoscoscos(i^') = «12— sin A|) COS Ф + cos 屮 sin Ф cos 0,

cos

cos

cos

cos

(У, У’) = a?? = — sin 屮 sin qp + cos 屮 cos 屮 cos 0,

cos (^7^‘)= аз? = — cos 屮 sin 9, cos (^^7) = a13 = sin 屮 sin 0, cos (^7^9 = a23 = cgs ф sin 6, cos (a. z ) ~^ а^з ^3 cos 8.

Для установления зависимостей между косинусами углов, образованных осями подвижной системы (связанной с твердым телом) с осями неподвижной системы, и эйлеровыми углами можно воспользоваться также формулами сферической тригонометрии. Опишем вокруг точки О сферу единичного радиуса и отметим на поверхности сферы точки пересечения ее с осями координат и линией узлов (рис. 182). Соединяя эти точки дугами больших кругов, получаем сферические треугольники, решая которые находим искомые соотношения между косинусами углов, образуемых координатными осямн, и тригонометрическими функциями эйлеровых углов.

Используем основную формулу сферической тригонометрии

cos а = cos 6 cos с + sin b sin c cos Л,(3)

где дуги а, Ь, с являются сторонами сферического треугольника, а А обозначает двугранный угол, противолежащий одноименной стороне (рис. 183).

Чтобы найти, например, cos (%, %'), нужно (рис. 182) точки В и С пересечения осей Ох и О%' с единичной сферой соединить с точкой А пересечения

линий узлов с этой сферой. Из сферического треугольника АВС по приве* денной только что формуле сферической тригонометрии следует

cos (х, Xх) = cos 屮 cos tp + sin 屮 sin <p cos (180° —- 0)==

=cos 2 cos qp — sin 2 sin tp cos 乳

Аналогично из сферического треугольника ADE найдем

cos (E^z) = cos (90° — ф) cos (90° + <р)十 sin (90° —屮)sin (90° + <p) cos 6 =

=—sin 巾 sin ф + cos -ф cos <p cos 8.

Сферический треугольник ЛЕС дает

cos (хГ^/) = cos ф cos (90° + ф) + sin ф sin (90° + ф) cos (180° — 0)=

=—cos 屮 sin ф — sin ф cos ф cos 6

и т. д.,

Таким путем непосредственно получаются искомые соотношения в любой системе эйлеровых углов.

В теории малых колебаний твердого тела (например, в теории корабля) является существенным требование, чтобы при малых отклонениях координатного триэдра Ox'y'z7 от Oxyz эйлеровы углы оставались малыми. Предыдущая система эйлеровых углов этому условию не удовлетворяет. Действительно, из первого равенства совокупности (2) следует, что при малых 9 правая часть близка к cos (屮+(р), а следовательно, если ось Ох' мало отклонилась от оси Ох、т. е. дуга х£ близка к нулю,

то и сумма 巾+ 屮 мала, но слагаемые 屮 и ср по отдельности могут и не быть малыми.

Укажем систему выбора эйлеровых углов, лишенную этого недостатка.

Отметим прежде всего три основных принципа обеспечения правильного выбора эйлеровых углов:

Выбираются две ^основные» оси, принадлежащие к системам осей Oxyz и Ох'у'Х. Это могут быть как одноименные, так и разноименные оси. Если оси одноименные, как

это было в только что рас

смотренном случае, то угол между ними обозначается через 9 (угол нутации), если разноименные, то угол полагается равным п/2 土 0.

Плоскости, перпендикулярные к основным осям, называются также «основными». В пересечении они дают прямую линию, а сообщив этой прямой положительную сторону отсчета, получим линию узлов. Углы между основными осями

будем отсчитывать в положительном направлении вокруг ли

нии узлов。

В системах Oxyz и Ок、'，наряду с «основными», выбираются еще «отсчетные осн》. Угол между отсчетной осью системы Oxyz и линией узлов, отсчитанный в положительном направлении около основной оси системы Oxyz, обозначим через 中(угол прецессии). Угол между линией узлов и второй отсчетной осью, отсчитанный в положительную сторону вокруг основной оси системы Oxyz, обозначим буквой 屮(угол чистого вращения).

Пользуясь этими замечаниями, можно указать целый ряд способов выбора эйлеровых углов. Легко убедиться, что ранее изложенный способ согласуется с перечисленными только что принципами.

Примем за «основные» оси Ох и Ог7 (рис. 184). Угол между ними по общему правилу обозначим через л/2 + 0. «Основными» плоскостями будут плоскости х,Оу, и yOz\ следовательно, линия узлов ON будет лежать в плоскости yOz, т. е. в плоскости рисунка. Линию узлов ON направим в ту сторону» чтобы вращение оси Ох к оси Oz‘ на наименьший угол происходило в положительном направлении вокруг ОМ Углы и ср выберем, положив yON =屮，yfON =屮.Когда угол 6 будет стремиться к нулю, так что угол xOz' будет стремиться к 冗/2, то линия узлов ON окажется мало отклоненной от оси Оу и углы 屮 и <р будут также малы. Таким образом, условие одновременной малости всех углов Эйлера при малом отклонении системы Oxfyfzf от системы Oxyz будет выполнено.

Для составления выражений косинусов углов между осями системы координат Oxyz и Ox'y'z', обозначенными в таблице (см. стр. 263) через ars (г = 1, 2, 3; s = l, 2, 3), укажем легче всего приводящий к результатам метод сферической тригонометрии, основанный на применении формулы (3).

В сферических треугольниках за одну из вершин всегда 6у- 人？м принимать точку N пересечения линии узлов со сферой единичного радиуса (рис. 184). Чтобы не затемнять чертежа, на рисунке показаны не все сферические треугольники.

Приведем формулы зависимости косинусов ars от эйлеровых углов, отмечая в скобках, из каких сферических треугольников они получены:

(XfNx) au = COS (尤'，X)= COS Ф cos 0,

(по определению 0) “Ny)(по определению 0) “Ny)Ctgj ^― COSCtgj ^― COSC12 COSC12 COS(^T^) = sin ф cos 0, (zT^x) — — sin 6,(A?d/) = — sin 屮 cos 屮 +(^T^) = sin ф cos 0, (zT^x) — — sin 6,(A?d/) = — sin 屮 cos 屮 +

(по определению 0) “Ny)

(по определению 0) “Ny)

Ctgj ^― COS

Ctgj ^― COS

C12 COS

C12 COS

(^T^) = sin ф cos 0, (zT^x) — — sin 6,

(A?d/) = — sin 屮 cos 屮 +

(^T^) = sin ф cos 0, (zT^x) — — sin 6,

(A?d/) = — sin 屮 cos 屮 +

+ cos qp sin 屮 sin 仇

(YNy) a22 = cos (/, y) = cos 屮 cos 2 +

+ sin <p sin 屮 sinO,

侬汽力 a32 = cos (W1) = sin 屮 cos 6,

(%'Nz)山3 == cos 0??^) = sin ф sin 4)+

+ cos ф cos 屮 sin 仇

WN對 «23 = COS (//C^) = — sin W CG3 Ф +

+ cos 屮 sin 屮 sin 0,

3心)u33 = ccs(2/, г) = cos ^ cos 0.

§ 60. Перемещение твердого тела, имеющегонеподвижную точку

Докажем следующую теорему Эйлера:

Любое перемещение тела, имеющего одну неподвижную топку, можно осуществить поворотом вокруг ос〃， проходящей через эту точку.

Проведем из центра О (рис. 185), вокруг которого вращается тело, сферу S произвольного радиуса. Эта сфера пересечет твердое тело по сферической фигуре Г; при движении

Рис. 186.Рис. 186.

Рис. 186.

Рис. 186.

тела вокруг центра фигура Г будет скользить по сфере S. Всякому положению фигуры Г соответствует вполне определенное положение твердого тела, и, наоборот, всякому положению тела соответствует определенное положение фигуры Г на сфере S. Поэтому, применяя метод, аналогичный методу замены плоского движения тела движением плоской фигуры по ее плоскости, можно свести изучение перемещений тела вокруг центра к вопросу о перемещениях сферической фигуры по сфере. Положение сферической фигуры на сфере однозначно связано с положением отрезка дуги большого круга, проходящего через точки А и В. Поэтому будем изучать перемещения дуги по сфере.

Для доказательства теоремы Эйлера рассмотрим два каких-нибудь положения одной и той же дуги большого круга (рис. 186): АВ и 4'В‘，а вместе с тем, следовательно, и два

положения сферической фигуры и самого перемещающегося твердого тела. Пользуясь в точности тем же рассуждением, что и при доказательстве теоремы Зйлера для плоской фигуры, соединим концы отрезков дугами больших кругов ЛДХ и ^\ отметим их середины Л1 и Bi и через них проведем перпендикулярные к предыдущим дугам большие круги. Такие круги

всегда пересекутся; обозначим точку пересечения их через С. Из равенства сферических треугольников АСВ и A/CBf (АВ = =АГВ, по построению, АС = А/С и ВС = ^С, как сферические наклонные, одинаково удаленные от оснований сферических перпендикуляров) следует, что треугольник АСВ может быть совмещен с треугольником 4cВ' одним поворотом на угол ACAf вокруг центра С; отсюда следует, что и сферический отре- зок АВ совместится с отрезком 4В‘. Так как при таком пере-

мещении останутся мая ОС останетсямещении останутся мая ОС останетсянеподвижными две точки О и С, то и пря- неподвижной: эта прямая будет служить осью поворота тела, что и доказывает тео~ рему Эйлера. Можно заметить, что приведенное на рис. 186 построение на сфере, где роль прямых играют дуги больших кругов, совершенно аналогично построению центра поворота в случае плоского движения.

мещении останутся мая ОС останется

мещении останутся мая ОС останется

Предположим, что тело совершило малый поворот. Введем в рассмотрение вектор малого поворота 0, равный по величине углу поворота тела 9 и направленный по оси поворота в такую сторону, чтобы с конца вектора 0 вращение представлялось происходящим в положительную сторону.

Малое перемещение точки М твердого тела с вектор-радиу- 』■■・А

сом ОМ = г с точностью до малых высшего порядка определится вектором

=@ X /•・

Действительно (рис. 187), величина этого векторного произведения равна р = 0г sina = hQ, т. е. величине перемещения, а направление совпадает с перпендикуляром к плоскости, содержащей векторы ❷ н г, в сторону поворота тела.

Пусть тело сначала совершило малый поворот Эь затем также малый поворот 02； согласно теореме Эйлера эта сово

одним поворо- вектор резуль- точку М тела перейдет в по-одним поворо- вектор резуль- точку М тела перейдет в по-положение М〃положение М〃купность двух поворотов может быть заменена том с вектором поворота 0. Чтобы определить тирующего поворота 0, возьмем какую-нибудь с вектор-радиусом г, которая после поворота ©i ложение с вектор-радиусом

одним поворо- вектор резуль- точку М тела перейдет в по-

одним поворо- вектор резуль- точку М тела перейдет в по-

положение М〃

положение М〃

『=г + Р = р + ⑼ X г)；

при втором повороте 02 точка Mf переходит в с вектор-радиусом

X / 十 / = У + (®2 Хг/)==г + (О】X 打 + 出 X

X卜十(®iXr)] = r + K®i + ®2)XH + %X(8iXr)・

Пренебрегая последним слагаемым, как малым вектором второго порядка (произведением двух малых векторов первого порядка 01 и ®2), будем иметь

'+ [(©! + @2)X г].

Написав формулу результирующего поворота

г-= r + (QX г)

и сравнивая ее с предыдущим выражением, вследствие произвольности вектора г получим

6 = 01 + ®2・(5)

Если бы сначала был совершен поворот 02, а потом ©i, то было бы

/*〃 = г + (®2 X 戸)+ ®1 Х 卜 + (®2 X **)]=

=г + [ (02 + ®i) X ^*] + малые второго порядка.

Итак, приходим к результату: два последовательных малых поворота тела могут быть заменены одним результирующим поворотом с вектором поворота, равным геометрической сумме слагаемых векторов поворота; от перемены порядка поворотов результирующий поворот не меняется,

§ 61. Поле скоростей в твердом теле, вращающемсявокруг неподвижной точки

Уравнениями движения тела, вращающегося вокруг неподвижной точки, являются уравнения, связывающие параметры (эйлеровы углы), определяющие положение тела, со временем:

屮=f 1 (/), е =『2«), 9 = %(/)•⑹

Определяя скорость в как предел при Д/-> 0 отношения малого перемещения р к промежутку времени А/ и основываясь на формуле (4), найдем

智=用木=lim

△ f今0 ~A£今丿丿

Вводя вектор угловой скорости

<0= lim -^г,⑺

Д/-»0 АТ получим

v==co X г.(8)

Вектор угловой скорости направлен по предельному положению оси того поворота, который тело совершает за

рассматриваемый бесконечно малый промежуток времени. Ось эта в отличие от неподвижной оси вращения называется мгновенной осью. Что касается величины вектора 明 то уже нельзя, как раньше, определять ее производной от некоторого угла по времени; при вращении твердого тела вокруг неподвижного центра, так же как и в общем случае пространственного движения твердого тела, такого угла не существует. Иными словами, угол бесконечно малого поворота тела не является дифференциалом некоторого угла.

Из формулы (8), в полной аналогии со случаем вращения вокруг неподвижной оси, следует, что величина скорости равна произ- у ведению величины угловой скорости на кратчайшее расстояние точки от мгновенной оси:

ес. loo.вектор скорости направлен

по перпендикуляру к плоскости, проведенной через мгновенную ось и рассматриваемую точку, в сторону вращения тела.

Согласно известным правилам проектирования векторного произведения получим из (8) выражения скорости в проекциях на неподвижные и подвижные оси (формулы Эйлера):

% =e(0/ 一叫у,vxf =①屮,y _ mzfy\

%%十一吗2, %, R 吗* 一 6/‘,(9)

%=叫“_V; %，

Покажем, как вычисляется угловая скорость по заданным уравнениям движения тела (6). Для этого заметим, что согласно теореме о сложении малых поворотов (§ 60) всякий малый поворот тела можно представить в виде геометрической суммы трех составляющих поворотов:

8 = &+®2 + 4,

а следовательно, деля обе части последнего равенства на малый промежуток времени и переходя к пределу, вектор угловой скорости этого поворота можно представить в виде суммы трех уг・ ловых скоростей составляющих поворотов:

О)=硒 + О)2 + (О3.

Разложим вектор угловой скорости (» (рис. 188) на еле* дующие векторы:

@i — угловая скорость поворота тела вокруг оси Ог,

&2 — угловая скорость поворота тела вокруг линии узлов, о)з — угловая скорость поворота тела вокруг оси Oz'.

Каждый из этих поворотов соответствует изменению лишь одного из эйлеровых углов, а именно:

о】一изменению ф,

(% —- изменению 仇

@з ——изменению qp.

Отсюда сразу следует, что

曲1=0，击2 = S,必3 = @(10)

и, кроме того,

(О = $力 + 加 + 0".(11)

Пользуясь этим представлением вектора ®, легко найдем его проекции на неподвижные оси Oxyz\

(о* = 0 cos 屮 + фа31, s« = 0 sin *ф + ©恤?, g = Q + @犠зз・

или, пользуясь (2),

s* =巾 sin 屮 sin 9 + § cos ф,

州=—0 cos 2 sin 8 + 6 sin 屮，(12)

色=5 cos 8 +《.

Аналогично получим и проекции угловой скорости на подвижные оси, проектируя равенство (11) на оси координат Ок'у'а', связанные с движущимся телом:

s%，= а|)sin 0 sin ф + 0 cos 屮，

❿勿—ij> sin9cos(p — 0 sin 明(13)

s〃 = 0 cos 9 + ф.

Из выведенных только что формул следует

(о?=《2 + ф2 + 群 + 2®ф cos 肌(14)

Система равенств (2) вместе с формулами (12) и (13) ре~ тает вопрос о распределении скоростей в твердом теле, вращающемся около неподвижного центра.

Проекции угловой скорости можно выразить также и через направляющие косинусы системы осей, связанной с вращающимся телом. Для этого прежде всего найдем производные по

времени от единичных скоростям концов этих писатьвремени от единичных скоростям концов этих писатьвекторов подвижной системы, равные векторов. По формуле (8) можем на-

времени от единичных скоростям концов этих писать

времени от единичных скоростям концов этих писать

% = 8х几弯T = ® 乂心 (15)

разложим вектор со по тем же единичным векторам: s = %j + %/ + 32K

и подставим в предыдущую систему равенств; тогда, вспоминая формулы для векторных произведений единичных векторов, будем иметь

亲= %/-у,

=V — ^zfi\=V — ^zfi\(15)

=V — ^zfi\

=V — ^zfi\

Отсюда, умножая скалярно обе части равенств (15х) соответственно на『，论，，получим

仔 ％ dkf仔 ％ dkf•匕•匕Lk т =-НLk т =-Н•К•К

仔 ％ dkf

仔 ％ dkf

•匕

•匕

Lk т =-Н

Lk т =-Н

•К

•К

» dt 'dt

или, выражая скалярные произведения через проекции сомножителей в системе координат Oxyz,

%，= 42alз + 力22a2з + %азз = - (%% + «22а23 + «32йзз),

%/ = &23a21 + &33а31 + 4 3aH = - (a23&21 +a33&31 + a1а1),(16)

吗, = %а32 + 4]%2 + d21a22 = 一 (a3色2 + %向2 +a2色2).

Мгновенная ось вращения твердого тела; аксоиды

Мгновенная ось была выше определена как ось бесконечно малого поворота тела. Мгновенную ось можно также определить как геометрическое место точек тела, имеющих в данный момент нулевую скорость. Если обозначить вектор-радиус какой-нибудь точки М глгновенной оси через 匸 то из условия ра- -венства нулю скорости этой точки получим

@Хр = 0・(17>

Уравнение (17) представляет собой уравнение мгновенной оси; оно выражает тот факт, что векторы о и г параллельны; оба вектора имеют общее начало в точке О и, следовательно, расположены по одной прямой ——мгновенной оси вращения тела.

Проектируя векторное уравнение (17) на неподвижные и подвижные оси координат, получим уравнения мгновенной оси:

(18)(19)(18)(19)в неподвижной системе координат

(18)

(19)

(18)

(19)

в подвижной системе координат

X у' ?'

Проекции угловой скорости будут меняться с течением времени. Мгновенная ось будет в разные моменты времени зани

мать различные положения как в неподвижном пространстве

Рис. 189.Рис. 189.теле — подвижным аксоидом. Исключая время из уравненийтеле — подвижным аксоидом. Исключая время из уравненийOxyz, так и в самом теле, т. е. в системе Ox^V. Перемещаясь в неподвижном пространстве и во вращающемся теле, мгновенная ось опишет в них некоторые линейчатые поверхности. Так как образующая эти линейчатые поверхности мгновенная ось всегда проходит через неподвижную точку О, то поверхности будут коническими с вершиной в точке О. Поверхность, образованную движением мгновенной оси в неподвижном пространстве, будем называть неподзижным аксоидом, а во вращающемся

Рис. 189.

Рис. 189.

теле — подвижным аксоидом. Исключая время из уравнений

теле — подвижным аксоидом. Исключая время из уравнений

(18), получим уравнение неподвижного аксоида, исключая время из уравнений (19), получим уравнение подвижного

аксоида.

Докажем следующую теорему:

При вращении тела вокруг неподвижного центра подвижный аксоид катится без скольжения по неподвижному.

Поверхности аксоидов в каждый момент времени имеют общую прямую ОС (рис. 189) — мгновенную ось. Пересечем оба аксоида плоскостью, проходящей через точку С перпендикулярно

к мгновенной оси, и отметим те точки " и М, принадлежащие подвижному и неподвижному аксоидам, которые в момент f + df будут находиться на новой мгновенной оси и, таким образом, совпадут. Перемещение точки №、т. е. вектор ATM, будет равно по уравнению (8)

而1 =(0由义子=s由X 6IP = @ X (元 + 次)由=gX而出, так как

(0x灵=0.

Из предыдущего равенства следует, что вектор MfM по длине представляет собой малую величину второго порядка, если считать малыми величинами первого порядка промежуток времени dt и дугу MfC. Это доказывает, что подвижный аксоид касается неподвижного по общей образующей, т. е. катится по неподвижном^^. Остается заметить, что качение происходит без скольжения. Для этого достаточно вспомнить, что любая точка тела, находящаяся в данный момент на мгновенной оси, имеет скорость, равную нулю; следовательно, скольжения на оси быть не может.

Доказанная теорема о качении аксоидов представляет собой обобщение ранее выведенной в главе о плоском движении теоремы о качении без скольжения подвижной центроиды по неподвижной. Собственно говоря, и в случае плоского движения приходится иметь дело с качением аксоидов, но аксоидов цилиндрических. Сводя задачу к плоской, естественно вместо аксоидов брать следы их пересечения с плоскостью движения — центроиды.

Поле ускорений в твердом теле, вращающемсявокруг неподвижной точки

Для определения ускорения точки М с всктор-рапиусом г продифференцируем по времени обе части формулы распределения скоростей (8). Тогда получим

w=等=需XisXm.(20)

Производная по времени от вектора угловой скорости определяет вектор углового ускорения

По величине и направлению этот вектор совпадает со скоростью движения конца вектора g угловой скорости по его годографу.

Замечая, что по предыдущему

dr

—=<у = соХг,

получимполучимw = eX** + 0)X^ = eXr + <dX(<dX^)-w = eX** + 0)X^ = eXr + <dX(<dX^)-(22}(22}Первое слагаемоеПервое слагаемоеw B} == е X гw B} == е X г(23》(23》

получим

получим

w = eX** + 0)X^ = eXr + <dX(<dX^)-

w = eX** + 0)X^ = eXr + <dX(<dX^)-

(22}

(22}

Первое слагаемое

Первое слагаемое

w B} == е X г

w B} == е X г

(23》

(23》

через вектор угловогочерез вектор углового

через вектор углового

через вектор углового

представляет собой вращательное ускорение; это ——вектор, пер

пендикулярный к плоскости, проходящей ускорения и вектор-радиус взятой точки тела (рис. 190). В отличие от случая вращения вокруг неподвижной оси, вектор углового ускорения не лежрп на той же прямой, что и вектор угловой скорости, а направлен по некоторой прямой, проходящей через неподвижную точку; эту прямую будем называть осью углового ускорения.

Эта ось, как уже указывалось, параллельна скорости конца вектора (о. Поэтому здесь вектор вращательного ускорения перпендикулярен не радиусу вращения 力，а отрезку 1г\ пред-

ставляющему собой кратчайшее расстояние от точки М до оси углового ускорения. По величине вращательное ускорение равно

侬间=e力'. (24) Второе слагаемое

JQ = дХ2 = @Х (❿ Х「) (25) определяет осестремительное ускорение. Оно направлено перпендикулярно к плоскости, содержащей <о и и, т. е. ло кратчайшему расстоянию между точкой М и мгновенной осью, причем всегда в ту сторону, откуда вращение ® к и на наименьший угол видно положительным; из рис. 190 видно, что w(oc)направ- лено к оси (о. По величине осестремительное ускорение равно

(26)(26)W^ == (Ou sin ~ == (d • (d/| = ®2力

(26)

(26)

Возвращаясь к формуле (22), получаем теорему:

Ускорение точек твердого тела, вращающегося вокруг неподвижного центра, складывается геометрически из вращательной и осестремительной составляющих,

Ускорение w легче всего в каждом случае определять по указанным составляющим. В некоторых случаях, однако, может представиться необходимым вычислить проекции ускорения на неподвижные и подвижные оси. Чтобы получить выражения этих проекций, напишем равенство （22） в форме

（27）（27）切= 8Х/* + @（（й・/*） — G02r.

（27）

（27）

Проектируя равенство （27） по общим правилам векторной алгебры, получим

^х = %? — 74 + ①乃（4% + %У + 吗2）—炉％,

5 y = егх — %z + ①八⑦好 + %У + 吗2）— dy,（28）

助* = %a-£/ + 必（8%% + （дуу + 吗2）- 3?2；

吗，=%々’ _%，y’ + %，（%，/ + °\/ 十吗，廿）一3气‘，

%，工 %/' — %*，+ 8“ （曳，/ + 气也‘ + 8z，2‘） — d/，（29）

吗，=%у’ _ %x + 0v （叫川 + %" + △*'）_①吻’・

Для определения проекций углового ускорения на неподвижные оси заметим, что

ds%ds“dsz

так что, дифференцируя по времени обе части равенств （12）, получим выражения проекций углового ускорения на неподвижные оси через эйлеровы углы и их производные.

Что касается проекций на подвижные оси, то, вообще говоря, нельзя утверждать, что проекция производной на подвижное направление равна производной от проекции на то же направление; однако в случае дифференцирования вектора о и проектирования его на оси координат, связанные с телом, т. е. на систему осей, вращающуюся с той же угловой скоростью, что и твердое тело, производная от проекции совпадает с проекцией производной. Действительно, согласно формулам （15） имеем

ds ddi' ds%，ds /

却=r"=^7-（（O-/ ）-0）.-^ = -^8.（8>0）= 一^

и аналогично для других проекций. Таким образом, для определения проекций углового ускорения на подвижные оси следует вычислить производные по времени от проекций угловой скорости, приведенных в системе равенств （13）.

Пример 58. Регулярная прецессия. При движении называемом регулярной прецессией, тело вращается с постоянной угловой скоростью 卩 вокруг своей оси On' (рис. 191), а эта ось в свою очередь вращается вокруг оси Oz с постоянной угловой скоростью V, описывая коническую поверхность с постоянным углом раствора 20 = 2a.

Рис. 191.Рис. 191.Разметим эйлеровы углы, как показано на рис. 191. Уравнения регулярной прецессии согласно определению будут иметь вид

Рис. 191.

Рис. 191.

•ф = %£, 0 == const = а, ф ==快f. (30

Прежде всего определим проекции вектора угловой скорости на неподвижные и подвижные оси; по формулам (12) и (13) найдем

со% =卩 sin a sin ”/,

(о勿=w sin а sin 快f, % =—卩 sin a cos v/, ①У = " Sm a cos 卩f,

①2’ = А + 夕 cos а.

Угловая скорость по величине постоянна и равна согласно формуле (14) о == V И2 + V2 + 2g cos а ；

по направлению она совпадает с диагональю параллелограмма, построенного на угловых скоростях (§ 61) ©i = фЛ ="瓦 ®3 = фЛл =卩忘'. Эта диагональ определит направление мгновенной оси.

Мгновенная ось описывает конусы в теле и в неподвижном пространстве. Уравнения этих конусов проще вего написать в декартовой системе; по формулам (18) и (19) получим уравнения мгновенной оси:

а) в неподвижной системе

р, sin a sin v/ 一卩 sin a cos v/ v + H cos а '

в) в подвижной системе

—X = y ;二一2‘v sin a sin ц/ v sin a cos ц/ ц -f- v cos а *

Исключив из этих пропорций время, получим уравнения аксоидов:

неподвижного

炉+川?2。

卩2 sin2 a (w + 卩 cos a)2 ^ *

подвижного

v2 sin2 а (ц + v cos a)2 — *

Это — прямые круговые конусы.

Для определения углов у и у[ равных половине углов раствора атях конусов (рис. 192), проще всего исходить из формул

Получим

V ,

—+ cos а

sin а

—Г~■ + ctg % р, sin а & '

—+ cos а

".X

—：F ctg а.

v sin а

Если вектор оъ образует острый угол с вектором <Оз, то прецессия называется прямой, в противном случае — обратной.

Для определения вектора углового ускорения воспользуемся определен

скорости движения конца вектора угловой скорости со по его

нием его как

годографу. В данном случае вследствие постоянства величины вектора угловой скорости о искомая скорость конца его онре- делится как скорость точки (с вектор-ра- Диусом (о) твердого тела, вращающегося с угловой скоростью 硒，т. е.

8 =硒 X ®

Замечая, что по формуле (11) в слу* чае регулярной прецессии (0 = 0) будет

® =硒+❿s,

найдем

£ =硒 X (®i + @з) = ®iX®3.(31)

Отсюда следует, что вектор е направлен по перпендикуляру к плоскости 之Oz', т. е. по линии узлов, в ту сторону, откуда вращение вектора <й4 к <о$ на наименьший угол представляется положительным. В случае прямой прецессии вектор углового ускорения совпадает с положительным направлением

линии узлов.

Величина

в случае обратной — с противоположным направлением, вектора углового ускорения равна

е = ®1@з sin (б^Т^з) = N" sin а.

же результату можно прийти, дифференцируя по времени вн-

К этому : х .,...

ражения проекций угловой скорости. Будем иметь

8尤=p,v sin a cos vf,e%/ = jiv sin a cos 卩务

% = jiv sin a s0 vf,Byf н — jrv sin a sin 世力

2 = 0；

% ^ °-

■Отсюда получим величину углового ускорен。貝：

е = У 吸 + 8； + 磋=“眩 + 8力 + 吸=HV sin a.

Для определения направления е заметим, что

cos (G?) = ~- = cos v/ = cos -ф,cos (；^5 = ~ = sin у, = sin 电

cos (e^^) = cos 中,

cos (^7^) == — sia ф,

cos (С^) = &

Отсюда вновь следует, что вектор е направлен по линии узлов.

§ 64. Определение положения твердого телав пространстве. Основная теорема о перемещенииабсолютно твердого тела

Чтобы определить положение твердого тела в пространстве, зададим прежде всего положение какой-нибудь одной его «основной точки》, или полюса О' (рис. 193), при помощи вектор-

радиуса Го этой точки или ее координат (%。, //о, ^о). Тело может вращаться около фиксированного положения полюса О', поэтому для определения положения тела в пространстве нужно еще задать три эйлеровых угла тела по отношению к системе О笺刀匕,оси которой параллельны неподвижным осям Oxyz, а начало находится в полюсе.

Итак, твердое тело в пространстве имеет шесть степеней свободы, характеризуемых величинами

%,物，备； 也0, ф.

Уравнения движения твердого тела будут иметь вид

%0 = /1«), Уо =/2(Z), 2() = /з(/), ^ ~ /4 (0> 9 =，5"),屮= %(f)•

Имея заданными эти шесть величин, легко составить и уравнения движения любой точки М тела. Из основного равенства

г=心十产

проектированием его на оси неподвижной системы получим

% =向 + Si%，+ 内2旷 + а",

У = % +a21%' + a22y +a2321(2)

2 = & 十 a31xz + аз2y + азз2‘・

Здесь направляющие косинусы — обозначения их приняты согласно таблице, помещенной в начале предыдущей главы,—— могут быть выражены через эйлеровы углы согласно формулам (2) предыдущей главы, а углы являются заданными функциями

Рис. 194.Рис. 194.Рис, 195.Рис, 195.

Рис. 194.

Рис. 194.

Рис, 195.

Рис, 195.

времени по (1); величины л/, % 2/ — заданные постоянные, определяющие выбор точки, движение которой разыскивается, Хо, 1/о, 2。— заданные функции времени по (1). Таким образом, лри заданных уравнениях движения тела (1) уравнения (2) дают уравнения движения точек тела.

Рассмотрение общего случая перемещения тела можно свести к изучению перемещений жесткого треугольника (рис. 194), имеющего в вершинах какие-нибудь три точки тела Mi, M2f Мз・ Положение такого треугольника однозначно связано с положением твердого тела.

Докажем прежде всего следующую основную теорему кинематики твердого тела:

Всякое перемещение тела е пространстве может быть осуществлено поступательным перемещением вместе с полюсом и одним поворотом вокруг ос〃, проходящей через полюс.

Для доказательства этой теоремы предположим, что за полюс выбрана точка Л тела (рис. 195). Чтобы перейти из положения / в 〃，совершим сначала поступательное перемещение 京, переводящее тело из положения / в положение /'. Перемещение тела из положения /' в положение II является перемещением тела вокруг неподвижного центра 4, следовательно, оно может быть по теореме Эйлера произведено одним враще-

нием вокруг оси 力丿，проходящей через точку Ль что и доказывает теорему.

В дополнение к этой теореме докажем еще, что: 1) вектор поворота 〃е зависит от выбора полюса, т. е. при перемене полюса будет меняться только поступательное перемещение, а ось, угол и направление поворота не будут изменяться, и 2) проекции поступательных перемещений (при различных полюсах) на общее направление оси поворота равны между собой.

Для доказательства обратим внимание на то, что в промежуточных положениях треугольников A\BfCf и А"В С' стороны их соответственно параллельны друг другу, а следовательно, как легко видеть из чертежа, для перехода их в положение AiBiCi нужно совершить повороты вокруг параллельных осей на одинаковые углы и в одинаковом направлении. Далее,

丽=俞+后硝I=万才 1 +炉百i；

но по определению вектора поворота проекция вектора BfB\ на ось Л1/ или, что все равно, на ось BJ равна нулю, и, следовательно, проекции векторов ВВ^ и ЛАХ на это направление равны друг другу.

Переход тела из одного положения в смежное может быть совершен при помощи различных поступательных перемещений, зависящих от выбора той точки тела (полюса), перемещение которой определяет поступательное перемещение. Все эти поступательные перемещения будут различаться между собой как по величине, так и по направлению, но проекции их на ось поворота будут одинаковы. Можно выбрать полюс таким образом, чтобы перемещение его было наименьшим, т. е. равнялось по величине общей проекции перемещений всех остальных точек. Такая точка должна иметь перемещение, направленное параллельно оси поворота (перемещение будет при этом равно своей проекции). Совокупность поступательного перемещения и вращательного вокруг ос〃，параллельной поступательному перемещению, называется винтовым перемещением тела. Происхождение этого наименования следует из рассмотрения совокупности поступательных и вращательных перемещений винта, ввинчивающегося в гайку.

§ 65. Поля скоростей и ускоренийв общем случае движения твердого тела

Перемещение любой точки тела, как было показано, складывается из поступательного перемещения, равного перемещению полюса, и вращательного вокруг оси, проходящей через

Рнс. 196.Рнс. 196.

Рнс. 196.

Рнс. 196.

полюс. Если рассматривать только бесконечно малые перемещения тела, соответствующие переходу тела из данного положения в бесконечно близкое, то с точностью до бесконечно ма

лых высших порядков можно представить вращательное пере* мещение как векторное произведение вектора бесконечно малого поворота 8 = gdf на вектор-радиус г*' рассматриваемой точки по отношению к полюсу.

Обозначим (рис. 196) через р вектор перемещения любой точки тела, через rz — вектор-радиус ее относительно полюса

и через ро — вектор перемещения полюса; тогда на основании только что доказанной в § 64 теоремы о перемещениях будем иметь

Р = Ро +❷ ХС ⑶ или, после деления на df, V = Vq + ^> X ^z =

=硏)+①(f -仆).(4)

Эта основная формула кинематики твердого тела дает закон распределения скоростей в твердом теле в общем случае его движения. Слагаемое и。 определяет

поступательную составляющую скорости, равную скорости полюса, второе слагаемое, о> X г\ представляет собой вращатель^ ную составляющую скорости тела вокруг полюса О'.

Дадим другой вывод той же формулы. Продифференцируем по времен обе части равенства

г == Г0 -|- fZ = Го + KrV + “' + 2%'； 6у&ем иметь

По формулам (15) предыдущей главы

先= ®ХУ, %н®Х匕需= sXK

Следовательно,

^~ =尤'今~ + 旷 2P + “ ^~ = ® X (尤Z + "『+ zrkr) = б> X **r>

так что окончательно

и =办 + s X г',

т. е. вновь получаем формулу (4).

Зная движение полюса и закон вращения тела вокруг полюса, т. е. имея уравнения движения, можем по формулам (4) определить скорость любой точки тела. Проекции скорости на оси получим по общим правилам проектирования векторнык выражений. Выпишем проекции скорости на неподвижные оси:

uм = &〃 + s产-吗у,

vy = vQy + 奥尤一①姆，(6)

% = Uoz + ®хУ — %%

и на подвижные оси:

%，=九，+ 3’ 一 ％〃’

%，=u0" + 吗*一汽*1⑺

%，=

Здесь.

и。％ = -Gb ^Оу =步。，00? н 林；

что касается проекций скорости полюса на оси подвижных координат, то их приходится определять по проекциям на неподвижные оси при помощи формул перехода

= %q% +。2卫万 + J%,

%少=出2%« + a/® + %%,

“+ A% + %з%

В формулах (7) х‘，р', zr — постоянные координаты выбранной в теле точки; координаты той же точки в неподвижной сн~ стеме х, g, z будут выражаться через х\ у\ 2’ по формулам перехода (2). В последних формулах направляющие косинусы «и, ai2, ... выражаются известным уже нам образом через эйлеровы углы, заданные в функции от времени.

Переходим к рассмотрению вопроса о распределении ускорений. Для этого продифференцируем левую и правую части (4) по времени; получим

dt — dt dtdt 4

или согласно равенству (5)

з = * + еХг' + <»Х®Х 产)・(8)

Первое слагаемое, 3狐 определяет поступательное ускорение, равное ускорению полюса, а второе и третье, з(в)==еХ产

и 初(ос)= дХ(дХг'), — вращательную и осестремительную составляющие ускорения вращения тела вокруг полюса. Численные величины и направления последних двух слагаемых уже были исследованы при рассмотрении движения тела вокруг не> подвижного центра (рис. 197).

Таким образом, получаем теорему:

Ускорение точки твердого тела в общем случае его движения складывается из трех составляющих: 1) поступательного

ускорения, одинакового в данный момент для всех точек тела 屁 равного ускорению полюса; 2) вращательного ускорения вокруг полюса, равного по величине произведению углового ускорения на кратчайшее расстояние точки до оси вектора углового ускорения и направленного перпендикулярно к плоскости, проходящей через ось вектора углового ускорения 〃 данную точку, в ту сторону, откуда вращение вектора углового ускорения к векгор-радиусу точки на наименьший угол будет видно положительным, и, наконец, 3) осестремительного ускорения, равного по величине произведению квадрата угловой скорости на кратчайшее расстояние точки до мгновенной оси вращения, проведенной через полюс, и направленного перпендикулярно к мгновенной оси от точки в сторону этой оси.

Пример 59. Две концентрические сферические поверхности радиусов а и & вращаются с угловыми скоростями s и(о2 вокруг диаметров, составляющих между собой угол а. Между сферами помещен шар, касающийся обеих поверхностей в точках Л и В и катящийся без скольжения. Определим скорость vc центра С катящегося шара и его угловую скорость w.

Вектор-радиусы точек Л, В, С относительно неподвижного центра О сфер будут равны

гА == ае, % = 〃％ гс=-^ (а + Ь) е, (9)

где через е обозначен единичный вектор нормали к сферам, проходящий через точки соприкосновения 4 HB. Принимая центр С катящегося шара за полюс, найдем по формуле (4) скорости точек Л и В шара:

% = % + 8 X (以一 Г/ ^в == vc + <*> X (гв — Q)・ НО)

Составляя сумму этих выражений, получим

以 + U3 = 2% + о X (〃 + гв- 2гс).

По третьему равенству (9) выражение в скобках обращается в нуль, так что

%=万织+喝.⑴)

Разность тех же выражений дает

以-&В = ®Х(L -打)・(12)

По условию отсутствия скольжения скорости Оа и ив должны быть соответственно равны скоростям точек Л и В, принадлежащих вращающимся сферам, так что

@4 = о】义 Гд = а(0] X % &в ^3 ®2 X ^в =з b®2 X ©•

Подставив эти величины в равенства (11) и (12), получим

% = ^" (口叫 + Ь®2)X е, (аб)[—匕®2)X е 匸(а — Ь)❾ X б・ (⑶

Введем в рассмотрение постоянный по величине и направлению вектор 0, определив его выражением

С а© + b®2в b*

Тогда, очевидно, искомую скорость vc можно представить в виде 气==QX%・

Таким образом, вектор-радиус 「с описывает прямой круговой конус, ось которого имеет направление вектора Q; траекторией центра шара С будет параллельный круг, образуемый пересечением этого конуса со сферой радиуса (а + Ь)/2. Обозначая через 20 угол раствора конуса, найдем величину скорости:

% = Q% sin 9 === -i ,Лй；% = Q% sin 9 === -i ,Лй；+ 匕2(q^ + 2а6(о1о>2 cos a sin 9.

% = Q% sin 9 === -i ,Лй；

% = Q% sin 9 === -i ,Лй；

Из второго равенства (13) угловая скорость s шара может быть найдена с точностью до слагаемого, параллельного вектору е:

a(0i — b&2 .ао ；Н Ав.

Здесь Хе определяет угловую скорость «верчения», т. е. составляющую угловой скорости по общей нормали к сферам в точках соприкосновения с шаром.•

Пример 60. Качение диска п о плоскости. Диск радиуса a катится без скольжения по горизонтальной плоскости Н (рис. 198). Выразим скорость центра диска через эйлеровы углы и их производные по времени.

Свяжем с диском систему осей О'Wу'z‘ с началом в центре диска О' и с осью OV, перпендикулярной, к плоскости..щкка. В той же точке, О' отметим ййправлейия оС6访少鸠 Ory, ^ z^ параллельных^ неподвижным осям, причем "бсь Urz йайравлена по вертикали ввер«. Линией узлов O7N является прямая, лежащая в плоско^и диска и перпендикулярная к плоскости zfOrz. Эйлеровы углы 屮，0,屮 показаны на рис. 180.

Вектор-радиус гр = О Р точки с(трикосиовения диска с плоскостью расположен в вертикальной плоскости z'O'z перпендикулярно к оси O'z';

с другой стороны, будучи расположен в указанной плоскости, он будет перпендикулярен к линии узлов O'N. Отсюда следует, что

Гр = an X ^\(14)

где л ——единичный вектор линии узлов.

Используя условие отсутствия скольжения в точке Р, напишем для точки Р, принадлежащей диску:

Vр=== а。，+ s X гр 33 0.

Отсюда, вспомнив формулу разложения (И) § 61 вектора со, получим

v0, = Гр X ® == a (n X У) X (祕 + 6л + М‘)・(15)

Применяя известное правило представления двойного векторного произведения, получим

(门 X 肥)X 儿=» 6 •左)一也(左'•左)=一也 cos 9,(п X ^ ) X л — ^z (л • «) — n (ftz • n) = К

S X 肥)X 勿=加 S • 3) -n(k^ M) = — %

после чего равенство (15) дает искомое выражение скорости центра диска: v0/ =品无‘ —а (^ cos 9 + ф) п.(16)

Таким образом, вектор скорости центра диска, как и следовало ожидать, расположен в плоскости, содержащей ось диска OV и линию узлов, т. е. перпендикулярен к вектору-радиусу О'Р.

Пусть р обозначает радиус кривизны О'С проекции на плоскость Н траектории центра диска; тогда составляющая вектора скорости точки по линии

узлов будет равна и из равенства (16) следует, что

—а (j cos 9 + @) = pG, или

(р + а cos 8) Q + а© = 0.

Величина р -卜 а cos 0 представляет собой радиус кривизны траекторий точки соприкосновения диска с неподвижной плоскостью Н.

§ 66. Винтовая ось. Винтовые аксоиды

Перемещение твердого тела в пространстве в общем случае может быть представлено как совокупность некоторого посту

пательного перемещения и поворота вокруг оси, параллельной этому перемещению. Такую совокупность перемещений, как было отмечено в конце § 64, называют винтовым перемещением.

Переход от конечных перемещений к бесконечно малым перемещениям, а следовательно и к скоростям, значительно упрощает рассмотрение вопроса и позволяет дать ему простое аналитическое решение.

Докажем прежде всего, что угловая

скорость вращения тела не зависит от вы

бора полюса. Перейдем от полюса О' к новому полюсу О* (рис. 199) и предположим, что при новом полюсе угловая скорость будет уже не s, а а/. Тогда

v = vof + ^Xrr = %〃 +(У X "・

Замечая, что

0。〃 == и。，+ s X，о,(17)

перепишем предыдущее равенство после очевидных приведений в виде

s X (к — г0) = “ X “

или

®-М)Х“ = 0.

Из последнего равенства вследствие произвольности вектора г〃 следует

s = с/,

что и доказывает утверждение об одинаковости векторов угловой скорости тела при различных полюсах.

Докажем далее также, что проекция поступательной скорее ста на направление оси вращения не зависит от выбора полюса. Умножим обе части равенства (17) скалярно на ш, тогда

10 Л. Г. Лойцянский, А. И. Лурье

получим、

так как

①• (°Х^о) = 0,

Формула (18) доказывает вышеуказанное предложение.

Принимая различные точки тела за полюс, будем иметь различные поступательные скорости. Все эти скорости имеют общую проекцию на направление оси вращения, одинаковой по направлению для всех полюсов. Те точки тела, которые будут иметь скорости направленными параллельно оси вращения, будут вместе с тем иметь и наименьшие скорости. Все остальные точки будут иметь скорости большие, так как их проекции равны скоростям предыдущих точек. Докажем прежде всего, что 8 теле существует в каждый момент времени ось, все точки которой имеют скорости, направленные параллельно угловой скорости.

Вместо того чтобы основываться на теореме о винтовом перемещении, изложенной в § 64, проще вывести непосредственно уравнение этой оси из последнего ее определения, пользуясь основной формулой распределения скоростей (4).

Поставим сначала вопрос, можно ли разыскать хотя бы одну такую точку С с вектор-радиусом 厶 чтобы скорость ее

%=%+®Х小

была параллельна вектору(о, т. е. чтобы выполнялось равенствозХЕ + ®Х〃)] = 0・

Раскрывая произведение, получим

9 X % + з X ® X 〃) = @ X % + ❿ 3 •咐一rfc^ = 0;(19)

этому уравнению можно удовлетворить, если положить о • г^ = =0, т. е. за точку С принять основание перпендикуляра, опущенного из полюса О на искомую ось; тогда согласно соотношению (19) найдем

% — -—

Одну точку мы, таким образом, определили: ее вектор-радиус относительно неподвижного начала О будет равен

%=分+〃=%+%=分+〃=%+® X vo .~Р~，® X vo .~Р~，(21)(21)

%=分+〃=%+

%=分+〃=%+

® X vo .

~Р~，

® X vo .

~Р~，

(21)

(21)

но легко видеть, что и все точки с вектор-радиусамиг7 = г^ + Мо,

где X ——произвольный скаляр, также удовлетворяют уравнению (19), а это означает, что геометрическое место точек, скорости которых параллельны вектору угловой скорости, представляет собой прямую линию с уравнением

(V— 〃)Х® = 0, (22) или, переходя к вектор-радиусам по отношению к неподвижной системе,

(у — Гс)Х(о = 0・ (23)

Если принять за полюс какую-нибудь точку на этой оси, то в данный момент времени движение тела можно будет представить разложенным на поступательное движение вдоль этой оси и вращательное вокруг нее, т. е. заданное движение можно рассматривать как винтовое. Такую совокупность движений иногда характеризуют термином «кинематический винт». Аналогия его с «динамой» очевидна. И в статике, и в кинематике общим является метод приведения совокупности векторов к простейшему виду.

Общую для всех точек тела поступательную составляющую скорости назовем скоростью скольжения, Поскольку направление скорости скольжения дается винтовой осью, причем эта скорость может быть направлена как в ту же сторону, что и вектор угловой скорости, так и в противоположную сторону, будем определять скорость скольжения алгебраической величиной с, равной по (18)

e = /e。•❿)=^(先疼* + 方g％ + tW°) (24)

где v0 — скорость произвольно выбранного в теле полюса.

Итак, всякое движение твердого тела можно рассматривать как винтовое, т. е. как совокупность поступательного движения и движения вращательного вокруг оси, параллельной направлению поступательного движения. Ось, вокруг которой тело в данный момент поворачивается и параллельно которой перемещается поступательно, называется мгновенной винтовой осью.

Уравнения этой оси в векторном виде по отношению к подвижным и неподвижным осям представлены равенствами (22) и (23) совместно с (20) и (21). Переходя к проекциям на подвижные и неподвижные оси, получим соответственно следующие уравнения:

X _%с = и —Ус =之一飞

①〃s“®2/ ，(25)

% — %с = У - Ус — "%

S*Sg(02

где координаты точки С определяются по (20) и (21) так:

4 = i (%%，一 吗g")，Ус = ^ (叫

左=亨(吗心。"-8厂。力)；

%0= *0 + 亲(小0()2 - @200/，уe = % + 肃(叫：00* - 0%иОг),

1(27)

立=NO + 守(％%g — %% J

Как уже упоминалось, точка С выбрана на винтовой оси так, чтобы вектор-радиус г} по отношению к полюсу О' был перпендикулярен к винтовой оси, т. е. чтобы длина вектора г； определяла кратчайшее расстояние от полюса до винтовой оси.

В отличие от мгновенной оси вращения тела, имеющего неподвижную точку, винтовая ось не проходит через одну и ту же неподвижную точку в разные моменты времени. Как видно из уравнений (26) и (27), точка С меняет свое расположение в пространстве с течением времени； поэтому, исключая время из уравнений (25), мы не получим конических поверхностей.

Линейчатые поверхности, образованные движением винтовой оси в неподвижном пространстве и в движущемся теле, будем называть соответственно неподвижным и подвижным аксоидами винтовых осей.•

Подобно тому как это было доказано для аксоидов мгновенных осей, можно было бы доказать, что при движении тела подвижный аксоид винтовых осей катится по неподвижному и скользит по нему вдоль общей образующей — винтовой оси.

Пример 61. Полюс О' тела описывает в плоскости хОу (рис. 200) окружность радиуса а с центром в начале координат О; само тело вращается около этого полюса, совершая регулярное прецессионное движение, причем угловая скорость обращения полюса О' вокруг точки О равна угловой скорости V прецессии. Определим вектор угловой скорости, положение винтовой оси и уравнения винтовых аксоидов. .

Уравнения движения будут (угловую скорость ф чистого вращения обозначим Av)

#о = a cos vf, % = а sin v/, No = 0,

•ф = v/, <р = Avf, 0 = 0q.

По формулам (12) § 61 найдем проекции угловой скорости на неподвижные оси:

©х = ^v sin v/ sin 0o, Sy =—々v cos vf sin В。， ®2 = v (1 + /г cos 0o).

По равенствам (13) § 61 определим проекции вектора угловой скорости на подвижные оси:

%/ = V sin k、t sin 00, %, = v cos kvt sin 0O, %/ = v0 + cos 0O).

По формуле (14) § 61 находим величину угловой скорости:

о = у V ^2 + 2/г cos Оо + 1 •

Чтобы составить уравнения винтовой оси, определим прежде всего координаты точки С, лежащей на пересечении винтовой оси с перпендикуляром, опущенным на нее из подвижного начала О'.

Для применения формул (27) предварительно вычисляемз

и。％ =戈о = — av sin vf, vQy = уо = av cos v/, vQz = io = 0;

тогда после простых сокращений получим

ak (k + cos 0o)/ak (k + cos 0O). . л

Xc = Aj2 + 2Aj cos 0o+ 1 C°S V/, % =胪 + 2々 cos 仇 + 1 师力^。.

После этого согласно (25) можно написать уравнение винтовой оси в неподвижной системе в виде

% — A cos vfу — A sin vf — z

k sin 90 sin vf — •— k sin 0O cos vf 一 1 + ^ cos 0O F'

где для краткости положено

九— ak (k + cos 0o)依+ 2々cos仇+ 1 ・

Обозначая общую величину отношений (28) через 卩，будем иметь

х = X cos v/ -|-卩汽 sin 0o sin vf,

у = A sin vf — \ik sin 0o cos v/,

2 = ц (1 + ^ cos 0o), % следовательно,

炉 + R =炉 + 片炉 sin2 0О==Л2 + 必 sin2 00 g£s 嬴.

Уравнение неподвижного аксоида переписывается так: 炉+疗_”=

где введено новое обозначение

а 1 + ^ cos 6о - 人 I _ ' ■ г • <\ 九*

k sin So

т. е. неподвижным винтовым аксоидом служит однополостный гиперболоид вращения с осью симметрии, расположенной по оси Oz.

в осях, связанных с телом, будетв осях, связанных с телом, будетАналогичным путем можно показать, что подвижным винтовым аксоидом будет служить также однополостный гиперболоид вращения с осью сим-

в осях, связанных с телом, будет

в осях, связанных с телом, будет

父21父21метрик О'， Уравнение этого аксоида иметь вид

父21

父21

/2 + 旷 2

где введены обозначения

а (1 + 力 cos 包) а (1 + 力 cos 包)k2 + 2々 cos Oo + 1 *k2 + 2々 cos Oo + 1 */г + cos 仇 / sin 00 a/г + cos 仇 / sin 00 a

а (1 + 力 cos 包)

а (1 + 力 cos 包)

k2 + 2々 cos Oo + 1 *

k2 + 2々 cos Oo + 1 *

/г + cos 仇 / sin 00 a

/г + cos 仇 / sin 00 a

рис. 201.рис. 201.соидов показано насоидов показано наakv sin Эоakv sin Эо

рис. 201.

рис. 201.

соидов показано на

соидов показано на

akv sin Эо

akv sin Эо

Заметим, что

% _ а (1 + 归 cos Во)优 + cos 仇) —九/1一 (k2 + 2k cos Oo + 1) sin 0q 15

т. e. у обоих гиперболоидов одинаковые мнимые полуоси. Расположение ак-

Подвижный аксоид катится по неподвижному и скользит по нему вдоль образующей со скоростью с, определяемой согласно формуле (24). Вычисление показывает, что в данном случае скорость скольжения равна по величине

^/ k2 + 2k cos 仇十 1

Она постоянна и при прочих равных условиях тем меньше, чем меньше угол Оо между осями гиперболоидов. Благодаря наличию этой скорости скольжения подвижный гиперболоид, накатываясь на неподвижный, имеет возможность сохранять свой центр О' постоянно в плоскости хОу.

Угол между осями гиперболоидов сохраняется постоянным; расстояние 00’ между осями тоже постоянно и равняется а. В силу этих геометрических свойств такие два гиперболоидальных колеса могут служить для передачи вращения между двумя непересекающимися осями. Закрепим оси Oz и 0‘2‘； тогда оба гиперболоида будут вращаться около этих осей, и если их сцепить при помощи зубьев, то они смогут служить для передачи вращения между осями.

Пример 62. Движение натурального триэдра траектории точки. Во многих вопросах механики оказывается полезным рас-

смотрение движения твердого тела по отношению к системе координат, совпадающей с натуральным триэдром траектории одной из точек тела. В связи с этим необходимо знать движение самого натурального триэдра в пространстве. Задача ставится так: точка Л1 совершает заданное движение вдоль траектории со скоростью и; требуется найти, с какой угловой скоростью будет при этом вращаться натуральный триэдр осей т, я, Ъ траектории. В дальнейшем будем предполагать, что движение происходит в одну сторону и в эту сторону направлен вектор т.

Обозначим через со искомый вектор угловой скорости и представим ею в форме разложения по единичным векторам натурального триэдра:

(о = о—+(о 献в +(0匕瓦(29)

Аналогично формулам (15) можно написать

不=о X r，® X л> -^р =① х 8(30)

или, вводя величину скорости вершины триэдра и = ds[dt>

黑= ^®XG 黑= ^(®XG ^ = ^®>O)・⑶)

Подставляя сюда вместо 6> его разложение (29), будем иметь

^" = "I"侬小 + ①八"+ ⑪储)X T = —■ (~ б/^ + s“)，

dn dsdbdn dsdb扌(Spt + G>nrt +(0疝)X Л = —- (— G)bt + Spb),扌(Spt + G>nrt +(0疝)X Л = —- (— G)bt + Spb),(32)(32)ds — иds — и(SpT + 8仙 + 恤b) X & = £ (— Sp几 + S^T).(SpT + 8仙 + 恤b) X & = £ (— Sp几 + S^T).

dn ds

db

dn ds

db

扌(Spt + G>nrt +(0疝)X Л = —- (— G)bt + Spb),

扌(Spt + G>nrt +(0疝)X Л = —- (— G)bt + Spb),

(32)

(32)

ds — и

ds — и

(SpT + 8仙 + 恤b) X & = £ (— Sp几 + S^T).

(SpT + 8仙 + 恤b) X & = £ (— Sp几 + S^T).

(33)(33)По предыдущему (§ 46) имеем Jt 1

(33)

(33)

и сравнение с первой формулой (32) показывает, что

(34)(34)8九=°,(0方=-U.

(34)

(34)

Р

Последняя формула (32) после этого принимает вид

dbdsdbds^。内^。内(35)(35)

db

ds

db

ds

^。内

^。内

(35)

(35)

Эта формула аналогична (33), с той разницей, что абсолютная величина |dt/ds|, равная отношению бесконечно малого угла поворота касательноИ (угла смежности) к дифференциалу дуги траектории, определяет кривизну 1/р траектории, тогда как абсолютная величина \dbjds\ равна отношению бесконечно малого угла поворота бинормали к тому же дифференциалу дуги. Это отношение называют кручением кривой и обозначают через 1/к, где к — радиус кручения. В отличие от кривизны круиенне может быть как положительным, так и отрицательным в зависимости от того, будет ли кривая закручиваться вокруг своей касательной подобно правому или левому винту, так что знак кручения будет совпадать со знаком (о^. Итак, по формуле (35) имеем

и, значит,

db

~ds

(37)

Подстановка в (29) дает искомое значение вектора угловой скорости натурального триэдра (вектора Дарбу):

<й^Ч'J+■p)•(з8)

Формулы (32) принимают при этом вид

dn dsdn ds(39)(39)

dn ds

dn ds

(39)

(39)

Это — основные формулы дифференциальной геометрии кривых (формулы Френе).

Дифференцируя вектор <о по времени и используя вновь формулы (39), после простых выкладок получим угловое ускорение натурального триэдра:

8 = 6 = (^ 一号警)Т+ (1： 一^ 塞)瓦 (40)

Из последней формулы видно, что как вектор углового ускорения, так и вектор угловой скорости лежат в спрямляющей плоскости.

Покажем, что величины р н % определяются по заданному уравнению траектории г = r(s). Для этого вспомним, что

и следовательно, по (33)и следовательно, по (33)-ds-dsdr d2r 丿dr d2r 丿(41)(42)(41)(42)

и следовательно, по (33)

и следовательно, по (33)

-ds

-ds

dr d2r 丿

dr d2r 丿

(41)

(42)

(41)

(42)

Переписывая второе равенство (39) на основании формулы (33) в виде

絆尹糸（p宾）=戸関寨+р发絆尹糸（p宾）=戸関寨+р发—+ &- n + pk p p—+ &- n + pk p p

絆尹糸（p宾）=戸関寨+р发

絆尹糸（p宾）=戸関寨+р发

—+ &- n + pk p p

—+ &- n + pk p p

и умножая обе части его скалярно на Ь, получим

•^ = pb •产〃 =р (т х 九)х у" = р2 в х И-旷〃・

С другой стороны, согласно формулам (42) имеем

1 _ ” X *) •*’7 =\г^1 _ ” X *) •*’7 =\г^

1 _ ” X *) •*’

7 =\г^

1 _ ” X *) •*’

7 =\г^

(43)

Рассмотренный только что пример служит еще одним подтверждением тесной связи кинематики с геометрией, в данном случае с дифференциальной геометрией (теорией кривых двоякой кривизны).

§ 67. Абсолютное, относительное и переносное движения

Общая постановка задачи об относительном движении такова: движение точки определяется наблюдателями, связанными с двумя различными координатными системами (системами отсчета), причем эти системы движутся заданным образом друг по отношению к другу. Каждый наблюдатель определяет кинематические элементы движения: траекторию, скорость и ускорение в своей системе отсчета.

Ставится задача: зная движение одной системы отсчета по отношению к другой, найти связь между кинематическими элементами движения точки по отношению к каждой системе в отдельности.

Рассматривая одно и то же движение точки в различных координатных системах, заметим, что в одной системе (Л) движение может представиться более сложным, чем в другой (В). Если движение системы (В) по отношению к системе (Л) несложно, то можно сказать, что сложное по отношению к системе (Л) движение точки распадается на два более простых: одно по отношению к (В) и другое, связанное с движением системы (В) по отношению к (Л). Тогда можно сначала определить кинематические элементы этих простых движений, а затем уже по общим формулам теории относительного движения, изложенной в настоящей главе, перейти и к элементам сложного, или, как говорят, составного, движения. В этой возможности разлагать сложное движение точки на более простые и заключается основное значение метода относительного движения.

Например, в равномерном движении ползуна по вращающемуся с постоянной угловой скоростью прямолинейному пазу траекторией ползуна по отношению к неподвижной плоскости служит архимедова спираль. В то же время это движение может быть разложено на два простейших движения: равномерное прямолинейное движение ползуна по пазу и равномерное вращение твердой линейки, в которой прорезан паз, вокруг неподвижной оси. Точно так же точки шатуна кривошипного

механизма совершают сложное движение по отношению к фундаменту машины. Но если рассмотреть движение точек шатуна по отношению к системе отсчета, движущейся поступательно с пальцем кривошипа, то это будет простое вращение их вокруг пальца; в свою очередь движение системы координат, связанной с пальцем, тоже очень просто — это поступательное круговое движение. Таким образом, сложное движение точек шатуна можно рассматривать как составное из двух простых: вращения вокруг пальца кривошипа и поступательного кругового движения системы координат, связанной с пальцем. Элементы этих движений разыскиваются без труда, а по ним уже определяются и элементы составного движения точек шатуна по отношению к фундаменту машины. На той же идее было основано разложение общего движения твердого тела на поступательное движение и вращение по отношению к системе координат, поступательно движущейся вместе с полюсом.

Предположим, что движение точки М в пространстве рассматривается в двух движущихся друг по отношению к другу системах координат: Oxyz, О'к'у'У.

В зависимости от содержания стоящей перед нами задачи одну из этих систем, Oxyz, примем за основную и назовем абсолютной системой координат, а движение по отношению к ней и все кинематические элементы его — абсолютными. Другую систему, O^^^z^ назовем относительной и соответственно движение по отношению к этой системе, а также его кинематические элементы — относительными. Термины «абсолютный» и «относительный» имеют здесь условное значение; при рассмотрении движений может оказаться целесообразным то одну, то другую систему принимать за абсолютную.

Элементы абсолютного движения будем обозначать подстрочным индексом «а》,а относительного — индексом 《「»・ Например, va, wa будут обозначать абсолютные скорость и ускорение, 办，Wr — соответственно относительные скорость и ускорение.

Введем понятие переносного движения, элементы которого будем обозначать подстрочным индексом《е》(например, ”, 叫 и т. д.).

Переносным движением точки будем называть движение (по отношению к абсолютной системе) того пункта относительной системы^ через который 6 рассматриваемый момент времени проходит движущаяся точка.

Скорость, ускорение и другие кинематические элементы переносного движения будем называть переносной скоростью, переносным ускорением и т. д.

Понятие переносного движения нуждается в пояснении. Необходимо четко различать точку, абсолютное и относительное

движение которой рассматривается, от той, неизменно связанной с относительной системой точки, через которую в данный момент проходит движущаяся точка. На рис. 202 та и другая точки обозначены одной буквой М, так как рисунок не передает

движения; на самом деле это ——две различные точки, движу

щиеся друг по отношению к другу.

Остановимся на двух иллюстрациях понятия переносного движения. Если человек идет по движущейся платформе, то

можно рассматривать, во-первых, «абсолютное» движение человека по отношению к Земле, во-вторых, «относительное» его движение по платформе. Переносным движением при этом будет являться движение по отношению к Земле того места платформы, по которому проходит в данный момент человек.

являетсяв данныйявляетсяв данныйдвиже-моментдвиже-моментВ качестве второго примера рассмотрим движение жидкости вдоль трубки, вращающейся вокруг некоторой оси. В этом случае

являетсяв данный

являетсяв данный

движе-момент

движе-момент

переносным движением частицы жидкости ние той точки сечения трубки, через которую

проходит частица жидкости.

Возвращаясь к рис. 202, найдем зависимость между вектор- радиусами точки М в разных системах координат. Если обозначить вектор-радиусы точки М через г в абсолютной системе Oxyz н 产 в относительной* системе О'д/у'У, а вектор-радиус точки О' по отношению к системе Oxyz через 飞，то

⑴⑴г = г0 +产・

⑴

⑴

По этой формуле можно, зная уравнения относительного движения точки

%’ = 91 (/), yf = $2 ⑺，2’ =屮3 (/)⑵

и уравнения движения относительной системы по отношению к абсолютной, найти уравнения абсолютного движения точки. Для этого достаточно составить известные зависимости между координатами точки М в системах координат Oxyz и Ofxfyfz\

x = xQ + а“ + а12/ + aQ

У = У^ +a2区 +。22夕 +a23"0)

2=20 +a31%‘ +a32 鼠 +a33*

Принципиальное отличие равенств (3) от имеющих тот же внешний вид уравнений движения твердого тела (3) гл. XVI

заключается в том, что в данной главе л/, у', %' уже не постоянные величины, определяющие выбор точки твердого тела, а функции времени, заданные равенствами (2) и характеризующие относительное движение точки М・

Уравнения переносного движения получим, фиксируя в равенствах (2) величины х\ у', %'・ При этом поскольку координаты полюса Хо, %, No известны как функции времени, а направляющие косинусы ап, ai2, ... выражаются согласно формулам (2) гл. XIII через эйлеровы углы, которые в свою очередь также заданы как функции времени, то уравнения переносного движения сведутся к уравнениям движения твердого тела.

Таким образом, правые части уравнений (3) при заданных относительном и переносном движениях будут известными функциями времени, т. е. уравнения (3) будут представлять собой уравнения абсолютного движения.

Исключая по общему правилу из уравнений абсолютного движения время, получим абсолютную траекторию — след движения точки М в абсолютной системе координат; точно так же, исключая время из уравнений относительного движения, получим относительную траекторию.

Интересно отметить, что одна и та же точка описывает две различные кривые; благодаря движению относительной координатной системы точка движется различно по отношению к абсолютной и относительной системам и при этом, естественно, описывает разные траектории. Так, например, в плоском движении мгновенный центр образовывал две различные центроиды: неподвижную и подвижную.

Уравнения (3) упрощаются в случае плоского движения. Если обозначить через <р угол между положительными направлениями осей Ох и О^, то формулы (3) перейдут в такие:

x = xQ + xf cos qp — sin <p,J/ = % + %’ sin qp + yf cos ф.

В частном случае поступательного плоского движения систем друг по отношению к другу можно выбрать оси так, чтобы <р равнялось нулю. При этом формулы (4) переходят в такие:

Х = %о + К у = № + /. (5)

В случае вращения относительной системы вокруг неподвижной оси будем иметь, помещая начало координат на оси вращения:

⑹⑹尤=/ cos ①一у' sin ф,у = х' sin ср + yr cos ср.

⑹

⑹

Пример 63. Лента самописца движется с постоянной скоростью с, перематываясь с правого барабана на левый (рис. 203). Самописец регистрирует вертикальные колебания пера М, уравнения движения которого даны в виде

х == 0, у = a sin (со/ + а).

Найдем уравнения движения пера по отношению к движущейся ленте и уравнение вычерчиваемой пером на ленте кривой (относительной траектории).

Система Ofxryr движется по отношению к системе Оху поступательно, так что по формулам (5)

Рис. 203.Рис. 203.0 = %。+ %', a sin ((о/ + а) = у。十 у'.

Рис. 203.

Рис. 203.

В данном случае

Xq == О。' == *~ cf, у о ^= 0;

следовательно, имеем

/ = cf, 旷=a sin (со/ + а). Относительной траекторией на ленте является синусоида

у，= a sin Iha I.

Из выведенного уравнения траектории видно, как надо обрабатывать запись на ленте. Амплитуда записываемого колебания и фаза его передаются без искажений; что же касается частоты со колебания, то она связлна с дли* ной волны L синусоиды на ленте самописца соотношением

Пример 64. Найдем кривую, вычерчиваемую пишущим штифтом, дви* жущимся (рис. 204) по оси Ох согласно уравнению х = f(/), на диске, вращающемся равномерно с угловой скоростью со вокруг оси О.

Рис. 204.Рис. 204.

Рис. 204.

Рис. 204.

Применим уравнения (6), приняв во внимание, что у = 0; тогда, разрешая эти уравнения относительно V, у\ найдем

л/ =尤 cos 屮=/ (/) cos со/, у' = — x sin 屮=—/ (f) sin cot

координат. Длякоординат. Для⑺а в абсолютной от вектора а по⑺а в абсолютной от вектора а поda — daxf “ | dayf R =飞т十da — daxf “ | dayf R =飞т十也力田十也力田十+ %" + % 万+ %" + % 万dkf/°、а» В •(8)dkf/°、а» В •(8)

координат. Для

координат. Для

⑺

а в абсолютной от вектора а по

⑺

а в абсолютной от вектора а по

da — daxf “ | dayf R =飞т十

da — daxf “ | dayf R =飞т十

也力田十

也力田十

+ %" + % 万

+ %" + % 万

dkf/°、

а» В •(8)

dkf/°、

а» В •(8)

В данном случае проще применить полярную систему координат 产，q/; будем иметь

，/ = V х，2 + у'2 = х = f (0,中'=—屮=—sf.

Траектория будет иметь вид

(Т)；

равномерному движению точки М по оси Ох будет соответствовать архиме・ дова спираль на диске. При колебании точки с амплитудой а и частотой, равной угловой скорости диска, получим

г' = a cos со/, 屮'=—sf

и, следовательно,

г' = a cos ①'，

т. е. полярное уравнение круга диаметра а. На рис. 205 показано расположение этого круга на диске. За время полного колебания точка М два раза опишет на диске окружность диаметра а.

§ 68. Сложение скоростей

Рассмотрим некоторую вектор-функцию а(/), проекции которой в относительной системе координат。％八。沙，。力 являются заданными функциями времени, и сравним между собой векторные производные от этой функции, вычисленные наблюдате

лями в абсолютной и относительной системах этого, замечая, что

Q = а/' + а“『+ /М

составим производную по времени от вектора системе координат ——абсолютную производную времени'.

Векторное выражение, стоящее в первой строке правой части равенства (8), является производной от вектора а, вычисленной в предположении неизменности направления единичных векторов осей относительной системы координат, как это представится наблюдателю, соединенному с этой системой. Такое выражение естественно назвать относительной производной. В отличие от абсолютной производной da/dt обозначим относительную производную через d'a/df, так что

警旷+券К警旷+券К⑼⑼

警旷+券К

警旷+券К

⑼

⑼

Для преобразования векторного выражения, стоящего во второй строке равенства (8), вспомним формулы (15) гл. XV,

выражающие производные по времени единичных векторов подвижной системы координат:

备= 8ХУ, % = sXK 吟= 8><К(1。)

где(о обозначает вектор угловой скорости вращения относительной системы координат Orxryfzf\ получим

s X (%/' + %/ + a2fkf) = s X a. (11)

(12)(12)Таким образом, равенство (8) приобретает вид da d'a .

(12)

(12)

—=—+ oXa,

и мы приходим к следующей весьма важной для дальнейшего лемме:

Абсолютная производная по времени от вектора равна геометрической сумме относительной производной того же вектора и векторного произведения вектора угловой скорости вращения относительной системы координат на дифференцируемый вектор..

Обращаясь к формуле (9), видим, что проекции относительной производной d'a/df на оси относительной системы координат равны производным от проекций дифференцируемого вектора на эти оси, так как для наблюдателя, связанного с относительной системой координат, оси этой системы представляются неизменными по направлению. Таким образом, da〃da г (d'a、 daz,

丿"丿(⑶

Проектируя на те же оси абсолютную производную, будем иметь согласно равенству (12)

偿)*,=т+V

(.¥)yf = 等 +吗衣'一吗忆(14)

Применим доказанную лемму для вывода теоремы о сложен нии скоростей. С этой целью вычислим абсолютную производи ную по времени от обеих частей равенства (1):

г = а + 产；

будем иметь

dr — drQ .

R = 十"ТГ

(15)

по времени от вектор-радиуса г

Здесь абсолютная производная , представляет собой, очевидно, абсолютную скорость %, dr0/dt

есть вектор скорости и。начала

О' относительной системы коор-

динат. Второе слагаемое справа — абсолютная производная по времени от относительного вектор-радиуса—по формуле (12) будет равно

dr' d'r' .

丁=丁 + 6><， (16)

Первое слагаемое в правой части — относительная производная по времени от относительного вектор- радиуса—представляет собой относительную скорость точки vr. Подставляя (16) в (15), по-

лучим

% =")+ 9 X 产 + %

(17)

Но сумма первых двух слагаемых справа по известной формуле для скоростей точек твердого тела в общем случае его движения представляет собой скорость той неизменно связанной с относительной системой координат точки, через которую в данный момент проходит движущаяся точка. Это по определению—переносная скорость и&, равная

(18)(18)”е = ”0 + S X У・

(18)

(18)

Итак, окончательно получим

% = % + % (19) что приводит к следующей теореме о сложении скоростей:

Абсолютная скорость точки равна геометрической сумме переносной и относительной скоростей.

Полученная теорема носит еще наименование правила параллелограмма или треугольника скоростей. Происхождение этих названий ясно из рис. 206, представляющего диаграмму сложения векторов относительной и переносной скоростей.

Пример 65 Воздушный поток набегает на вращающуюся лопасть ветряного двигателя с абсолютной скоростью va = 10 м/с (рис. 207). Угол атаки а, образованный направлением вектора абсолютной скорости иа с хордой сечения К лопасти, переменен по ее размаху (лопасть закручена) и равен ао = 30° в среднем сечении лопасти, находящемся на расстоянии 「0 = 2 м от оси вращения. Считая, что относительная скорость частиц воз-

Рис. 207.Рис. 207.Рис. 208.Рис. 208.

Рис. 207.

Рис. 207.

Рис. 208.

Рис. 208.

духа направлена вдоль хорды сечений лопасти, найдем угловую скорость вращения лопасти и зависимость угла атаки а от расстояния г до оси вращения лопасти.

Сечение К (рис. 207), находящееся от оси вращения лопасти на расстоянии г, имеет окружную скорость, равную по величине

% =① г.

Из треугольника скоростей, изображенного на рис. 207, получаем

% = % tg а, следовательно,

①=号tg а.

Из условия в среднем сечении находим значение угловой скорости:

①=—tg а。=課 tg 30° a 2,9 1/с.

Го2

Искомая зависимость между углом закрутки и радиусом вращения находится из соотношения

tg а =元 tg а0.

Пример 66. На рис. 208 схематически представлен механизм мальтийского креста, применяемый в кинопроекционных аппаратах. Пока зуб М ведущего колеса О4 не вошел в прорезь, крест неподвижен (рис. 208, а); в

момент входа угловая скорость креста ©2 равна нулю； затем крест приходит во вращение (рис. 208, б); при расположении, указанном на рис. 208,6, крест имеет максимальную угловую скорость и т. д. Найдем закон изменения угловой скорости креста при заданной постоянной угловой скорости(Oi ведущего колеса.

Так как движение креста не должно сопровождаться ударами, то в момент входа в прорезь скорость зуба должна быть направлена вдоль прорези. Иными словами, в положении о) угол 02Moi должен быть прямым. По истечении четверти оборота ведущего колеса Q крест в течение последующих трех четвертей оборота будет оставаться неподвижным. В начале следующего оборота зуб М должен войти в следующую прорезь, которая теперь должна занимать в точности то же положение, какое раньше занимала первая прорезь. Отсюда нетрудно заключить, что в положении а) /МО?。】п =NMOiOz = 45°. Пусть OiM = г; в силу сказанного найдем 0^2 == г V 2 •

Обращаясь к схематическому рис. 209, на котором пунктиром показано начальное положение о), имеем

со广硒 cos В

Ve =. tt>2 = Uq COS p = ГС01 COS p, C02 = —о M 仁.

Далее находим

ИЛИ—(02М尸=八 + 2产一2户 " 2 cos (45° 一中)=八(3 - 2 cos 屮一2 sin ①).ИЛИ—(02М尸=八 + 2产一2户 " 2 cos (45° 一中)=八(3 - 2 cos 屮一2 sin ①).(02m)2 = (0M)2 + (。102)2 - 20M •0102 COS (45° 一 ф),

ИЛИ—

(02М尸=八 + 2产一2户 " 2 cos (45° 一中)=八(3 - 2 cos 屮一2 sin ①).

ИЛИ—

(02М尸=八 + 2产一2户 " 2 cos (45° 一中)=八(3 - 2 cos 屮一2 sin ①).

Проектируя теперь стороны треугольника OzMOi на направление О【М, получим

г V^* cos (45° — <р) — 02M cos 0 = г, или

О2М cos р = г (cos ф + sin ф — 1),и, следовательно,cos ф + sin ф — 1(02 = ——Г—：——г S・

3 — 2 (cos sin ф)

Таков закон изменения угловой скорости при О V у V л/2. При л/2 V <р V 2冗 крест неподвижен, т. е. о)2 = 0. График угловой скорости креста показан на рис. 210.

§ 69. Сложение ускорений

Чтобы перейти к ускорениям, вычислим абсолютную производную по времени от обеих частей соотношения (17), выражающего теорему сложения скоростей. Получим

鲁П若+穿■ +器ХГ' + 8*塞鲁П若+穿■ +器ХГ' + 8*塞(20)(20)

鲁П若+穿■ +器ХГ' + 8*塞

鲁П若+穿■ +器ХГ' + 8*塞

(20)

(20)

Преобразуем это равенство так, чтобы производные от векторов брались в той системе координат, к которой дифференцируемый вектор отнесен; так, dva/dt берется в абсолютной системе Оху/ так как va есть скорость по отношению к этой системе; dvr/dt необходимо преобразовать к такому виду, чтобы выделилась относительная производная d'u/df, так как 勿 есть вектор скорости по отношению к системе Orxfyf/, Точно так же drf/dt следует выразить через d!rf/di. Замечая, что на основа-

нии леммы предыдущего параграфа

dvr d’Pr I" d'r' I ,

и что, кроме того,

dva广dvod'f'do л

b =叫'k =叫'B =叫，F = 4T = £' перепишем (20) в виде

叫^ =吗+叫)+ e X产+ s X ® X产)+ 2®义％・(21)

Здесь wa — абсолютное ускорение точки, wf ——ее относительное ускорение; совокупность второго, третьего и четвертого слагаемых определяет по формуле (8) § 65 ускорение точки твердого тела с вектор-радиусом г7, т. е. ускорение того пункта системы координат О'х'у% через который проходит в данный момент движущаяся точка; это будет переносное ускорение

叫=叫 + £ X 产 + 8 х(8 X У)；(22)

последнее слагаемое

叫=2(о X 办(23)

называют поворотным ускорением или (по имени французского ученого XIX столетия Кориолиса) кориолисовым ускорением.

Как видно из хода вывода, поворотное ускорение составилось из двух одинаковых слагаемых ш X ^г- Первое из них появилось при вычислении абсолютной производной от вектора относительной скорости и выражает изменение вектора относительной скорости, обусловленное поворотом этого вектора вместе с относительной системой координат. Второе возникло при вычислении абсолютной производной от переносной скорости за счет изменения во времени относительного вектор-радиуса точки.

Итак, имеем

wa = wr + we + wc.(24)

Формула (24) представляет собой теорему сложения ускорений:

Абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме относительного, переносного и поворотного ускорений.

Относительное ускорение wr определяется в относительной системе координат по правилам кинематики точки; его проекции на оси этой системы определяются как первые производные по времени проекций относительной скорости на те же оси или как вторые производные относительных координат а/, у', %'. Можно также для вычисления относительного ускорения wr

пользоваться разложением его по осям натурального триэдра относительной траектории.

Переносное ускорение вычисляется методами кинематики твердого тела. Если относительная система О^х^^^ движется поступательно или вращается вокруг неподвижной оси, то применяются простые приемы гл. XIII, в случае плоского движения относительной системы — приемы гл. XIV и, наконец, для более сложных случаев вращения вокруг неподвижного центра и общего движения относительной системы придется использовать методы, изложенные в гл. XV и XVI.

Остановимся специально на определении третьего слагаемого в формуле сложения ускорений — поворотного (кориолисова) ускорения. Как непосредственно следует из (23), величина этого ускорения находится по формуле

g = 2叫 sin (ш, %),(25)

а направление — по общему правилу векторного умножения: поворотное ускорение направлено по перпендикуляру к плоскости, содержащей о и vf, в ту сторону, откуда вращение о к vr на наименьший угол будет видно положительные; если о и vr не лежат в одной плоскости, то можно перенести их параллельно самим себе так, чтобы они пере

секлись, и уже восставлять перпендикуляр к плоскости, определенной их пересечением.

Укажем другой часто употребляемый способ (рис. 211): отложим от некоторой точки О вектор 2g), параллельный вектору угловой скорости вращения относительной системы, и от этой же точки — вектор, равный и параллельный вектору и，относительной скорости точки.

Если вращать вектор s с угловой скоростью 2(о, то окруж* ная скорость конца вектора vr будет равна

2s X勿

т. е. как раз представляет собой вектор wc поворотного уско* рения.

Отметим некоторые частные случаи определения поворотного ускорения:

Поворотное ускорение равно нулю, если:

(о = 0, т. е. в случае поступательного движения относительной системы;

вектор 0r параллелен со, т. е. если точка в относительном ее движении перемещается параллельно оси вращения системы.

Поворотное ускорение по величине равно 2(оуг, если точка движется в плоскости, перпендикулярной к оси вращения системы.

Наличием поворотного ускорения объясняются многочисленные явления, происходящие на поверхности Земли вследствие ее вращения. Рассмотрим точку М (рис. /1£, и), двх^жущуюся со скоростью vr по отношению к Земле (в дальнейшем индекс г может быть опущен). Направим ось М% по касательной к па- раллели на восток, ось Му по касательной к меридиану на север; тогда в правой системе координат ось Мг будет направлена по вертикали вверх. Вектор угловой скорости Земли (д

Рис. 212.

направлен по оси ее вращения к северу. Направление относительной скорости зададим углом 卩(рис. 212, б) вектора и с горизонтальной плоскостью хМу и углом 九 проекции скорости и на эту плоскость с осью %; широту места точки М обозначим через 2・

Для определения поворотного ускорения wc найдем его проекции на выбранные оси по формулам проекций векторного произведения:

^сх ^^ 2 ("у% 8№“)，

如0 = 2(吗%一8%。) (26)

叫z = 2(8*。“一％%).

В рассматриваемом случае имеем

叫=0, % = s cos 也 ог = о sin 41,

и* = и cos 卩 cos Л, vy = v cos 卩 sin X, vz = v sin 卩,

так что проекции поворотного ускорения, вызванного вращением Земли, будут

wcx = 2su (ccs 屮 sin 卩一sin ф cos 卩 sin 九)，

wcy = 2(ou sin 2 cos 卩 cos 九，(27)

wcz = — 2ttш cos 州 cos 卩 cos A.

Так, например, легко убедиться, что составляющая в горизонтальной плоскости поворотного ускорения wch частиц воды в реках направлена поперек течения реки к левому берегу в Северном полушарии и к правому берегу в Южном полушарии. Действительно, в этом случае ц = 0, так что проекции wch на оси хну будут равны

wcx = — 2сои sin 2 sin 九=2<o sin 2 • и cos (-^ + A),

wcy = 2su sin 屮 cos Л = 2co sin -ф • у sin + 九)・

Замечая, что v cos (专 + A) и и sin (皆 + 厶) являются проекциями вектора, получаемого при повороте вектора относительной скорости V на угол 冗/2 влево (от оси х к оси у), если смотреть вдоль направления вектора, заключаем, что направление поворотного ускорения можно найти путем поворота вектора относительной скорости на угол л/2 влево при *ф > ° (Северное полушарие) и на угол п/2 вправо при г|)V 0 (Южное полушарие).

В динамике будет показано, что в относительном движении на поверхности Земли поворотному ускорению соответствует поворотная, или кориолисова, сила, направленная в сторону, противоположную этому ускорению. Кориолисова сила вызывает дополнительные движения частиц воды: к правому берегу 6 Северном полушарии и к левому берегу 6 Южном полушарии. В этом заключается известный закон Бэра. Наблюдающееся в Северном полушарии преимущественное истирание правого рельса двухколейных железных дорог также объясняется действием кориолисовой силы.

В случае вертикально движущегося тела (樣=土冗/2) поворотное ускорение согласно (26) будет иметь лишь проекцию на ось х, равную

wcx = 土 2(0。cos 屮.

Соответствующая кориолисова сила независимо от того, будет ли движение совершаться в Северном или Южном полушарии, действует на тело, движущееся вверх, в западном направлении, а на движущееся вниз — в восточном.

Пример 67； Найдем абсолютное ускорение точек М и N (рис. 213) колеса Ct радиуса г, катящегося без скольжения по неподвижному колесу С радиуса А, если рукоятка 00】вращается равномерно с угловой скоростью з.

Рис. 213.Рис. 213.

Рис. 213.

Рис. 213.

Свяжем относительную систему 0亡夕 с вращающейся рукояткой и, за* мечая, что угловая скорость колеса Ci по отнашению к рукоятке 00】равна —со, найдем:

для точки М

Рис. 214.Рис. 214.

Рис. 214.

Рис. 214.

для точки ^

A2

Wr = ―~—,we = 6)2 (R + 2r), wc = 2tt)2R.

Направления соответствующих ускорений показаны на рис. 213,6. Все ускорения располагаются по одной прямой； поэтому абсолютное ускорение определится как алгебраическая сумма состав

ляющих:

для точки М абсолютное ускорение равно

@а = 2co2R + 岑心—@R == WR0+9

и направлено от М к ^;

для точки ^ абсолютное ускорение равно

wa = -~- со2 + со? (R + 2г) + 2со2/?=

=s欢(3 +登• + ^)

и направлено от ^ к М.

%L6仄%L6仄Если радиусы R н，одинаковы, то waM ^ ^^ri

%L6仄

%L6仄

Пример 68. Найдем ускорения точек обода колеса в случае внутреннего зацепления при отношении диаметров внешнего и внутреннего колес 2:1 (рис. 214).

Замечая, что в этом случае угловая скорость малого колеса по отношению к рукоятке в два раза больше угловой скорости рукоятки, будем иметь

Wr == (2со)2 г = 4<о2г, 侬© =炉.о ”， оус = 2® • 2(ог — 4со2г.

Направления этих ускорений показаны на рисунке. Как видно, в любой Точке М обода поворотное ускорение равно по величине относительному ускорению точки и противоположно ему по направлению, так что абсолютное ускорение 叫 сводится к ускорению переносного движения. Таким образом, имеем

^а = ®2 • OMt

причем ускорение всегда имеет направление к центру 6. Это ——ускорение прямолинейного гармонического колебания точки М по прямой, указанной на рисунке пунктиром, с периодом, равным периоду полного оборота рукоятки.

J* Пример 69. Пользуясь теорией относительного движения, найдем проекции скорости и ускорения точки на оси полярной системы координат.

Движение точки М по траектории КК (рис. 215) разложим на два движения: 1) относительное движение точки по вектор-радиусу ОМ и 2) переносное движение, т. е. движение той точки на вектор-радиусе, которую проходит движущаяся точка 曲.

Относительная скорость, направленная вдоль вектор-радиуса ОМ, называется радиальной скоростью и обозначается через ур; она равна ско- рости прямолинейного движения точки вдоль ра・ X диуса, так что

叩=令=0.(28)

ь, направленную перпендикулярно к радиусу в сто

рону возрастания угла ср, обозначим через v ①；очевидно, что

и$ = рф.(29)

Таким образом, величина абсолютной скорости, т. е. скорость точки, определится из равенства

м = 02 + р2@2.(30)

Легко сообразить, что в данном случае 叫=0. Что касается переносного ускорения, то оно складывается из двух: вращательного 侬^)и осестремительного 吸С, равных

限)=РФ,或℃)= рф2.

Кориолисово ускорение будет равно

wc = 2фр.

Из рис. 216 получим проекции 侬р и 侬$ ускорения на направление радиуса и перпендикулярное к нему:

^р = Р — РФ2,^р = Р — РФ2,缈屮=Р© + 2©0 = ^■条(р2@).缈屮=Р© + 2©0 = ^■条(р2@).(31)(31)

^р = Р — РФ2,

^р = Р — РФ2,

缈屮=Р© + 2©0 = ^■条(р2@).

缈屮=Р© + 2©0 = ^■条(р2@).

(31)

(31)

Формулы эти были получены ранее [см. (22) § 48] из общих выражений для проекций ускорения в криволинейных координатах.

§ 70. Сложение вращений твердого телавокруг параллельных осей

Предположим, что твердое тело вращается вокруг некоторой оси, которая в свою очередь вращается вокруг другой, неподвижной оси, ей параллельной. Зная угловую скорость враще

ния тела вокруг подвижной оси и угловую скорость вращения самой оси вокруг неподвижной оси, определим абсолютное движение тела.

Относительным движением в данном случае является вращение твердого тела вокруг оси (УН (рис. 217) по отношению к системе координат Ofxryfz, в свою очередь вращающейся вокруг оси Oz неподвижной (абсолютной) системы координат Oxyz; вектор угловой скорости вращения тела вокруг оси О'， направленный вдоль этой оси, обозначим через 佃 и назовем

относительной угловой скоростью. Вращение самой системы координат O'x'y'z' по отношению к системе Oxyz будет переносным движением; вектор угловой скорости этого вращения, направленный по оси Oz, обозначим через юе и назовем переносной угловой скоростью.

Заметим прежде всего, что по условию параллельности векторов юг и(Ое все точки тела как в относительном, так и в переносном движении остаются в плоскостях, перпендикулярных к этим векторам, т. е. в параллельных между собой плоскостях; следовательно, абсолютное движение тела будет плоским; располагая оси так, чтобы плоскости О'х'У и Оху сливались, сведем задачу к рассмотрению плоского движения фигуры F по отношению к системам координат Orxfyf и Оху. Точка М этой плоской фигуры, имеющая вектор-радиус к по отношению к О' и вектор-радиус г по отношению к О, будет двигаться с абсо лютной скоростью Ua> равной геометрической сумме относитель*

ной скорости vr = ^r\rf = а)г % (г — г0) и пергносной скорости % = △><，・

Соединяя члены с г н г。，получим

% =办+ % = 叫 X⑴一%)+ 铀 X，=(5 + %) X产一叫 X小.

(32)

С другой стороны, рассматриваемое плоское движение

можно представить как мгновенное вращение около оси, прохо

дящей через мгновенный центр и перпендикулярной к плоскости

Рис. 218.Рис. 218.движения. Чтобы найти положение этой оси, обозначим вектор- радиус мгновенного центра Р через Гр и напишем условие, что абсолютная скорость точки плоской. фигуры Р равна нулю. Полагая в равенстве (32) г = Гр, % = S» = 0, найдем

Рис. 218.

Рис. 218.

О =(5 + 叫 Х>р — ® X г0. (33)

Умножим обе части этого равенства векторно на единичный вектор 无 оси On; тогда, раскры

вая двойное векторное произведение и пользуясь перпендикулярностью векторов Гр и г0 к единичному вектору й, получим

(鎧 + ©г) rр = %%,

где &е и ©г согласно принятым обозначениям представляют собой алгебраические величины угловых скоростей (знак «плюс», если вращение положительно для наблюдателя, смотрящего с положительного направления оси Oz или O'z', знак «минус»——в противоположном случае). Итак, при 企纟 + 心，*。

/(34)

Из последнего равенства видно, что при любых зависимостях между бв и Or мгновенный центр Р находится на линии ОСИ (рис. 218).

Чтобы найти угловую скорость вращения вокруг мгновенного центра, вычтем (33) из (32); получим

% = (& + 叫)X (у — гР).(35)

Это — формула вращательной скорости фигуры 尸 вокруг точки Р с абсолютной угловой скоростью, равной

®а = ®е + 吗。(36)

Рис. 219.Рис. 219.ОР = ТрОР = Тр鼻 Q，°。鼻 Q，°。

Рис. 219.

Рис. 219.

ОР = Тр

ОР = Тр

鼻 Q，°。

鼻 Q，°。

Итак, рассматриваемое абсолютное движение твердого тела эквивалентно вращению вокруг мгновенной оси, проходящей через мгновенный центр 尸，с абсолютной угловой скоростью, равной геометрической сумме переносной и относительной уг~ ловых скоростей.

Отметим возможные случаи расположения мгновенной оси.

Направление вращений одинаково, т. е. ®г и 而 © имеют один и тот же знак, например положительный (рис. 218). В этом случае из уравнения (34)z木

видно, что точка Р лежит между[

центрами О и 0х на расстояниях,

обратно пропорциональных вели-L 幺>纺

чинам угловых скоростей, т. е.戶& ।

ОР ： О'Р =①？ ： Se・

Абсолютная угловая скорость вращения вокруг оси, проходящей через точку 2 по (36) равна сумме

觴=Se + °r

и направлена в ту же сторону.

Направление вращений различно, т. е. d「и йе имеют различные знаки, например,(5е > О, а ®г < 0, причем положим для определенности, что сое > 叫.В этом случае из формулы (34) следует

Точка Р, следовательно, лежит за точкой О (рис. 219). Расстояние OfP равно сумме длин г。и г₽:

так что опять, как и в предыдущем случае,

0p ： 0‘p =叫：@,

т. е. мгновенная ось расположена вне отрезка ОО', со стороны большей угловой скорости, на расстояниях от точек О и О', обратно пропорциональных величинам угловых скоростей сое и(ог.

Если бы Зе было меньше 叫，то было бы

Точка Р при этом оказалась бы вне отрезка 00\ но уже за точкой О'. Легко заметить, что и в этом случае мгновенная ось опять расположится на расстояниях, обратно пропорциональных величинам угловых скоростей g и сог.

И в том и в другом случае величина ①q оказывается равной 觴=1%一叫I,

причем вектор <о@ направлен в сторону большей угловой скорости.

Направления вращений различны, но угловые скорости их равны по величине (д? = —шг).

Этот случай представляет некоторую особенность, так как векторы (0е и о, образуют пару векторов (рис. 220). Обращаясь

к формуле (32), видим, что все точки тела будут иметь одну и ту же абсолютную скорость

va = — ®г X ГО = Ше X Г0,

равную скорости полюса О'; в этом случае имеет место мгновенно-поступательное движение тела.

Объединяя все три случая, приходим к следующему результату: при сложении вращений вокруг параллельных осей угло- вые скорости складываются так же, как параллельные силы в статике.

При проведении этой аналогии переносная и относительная угловые скорости рассматриваются как слагаемые силы, а абсолютная угловая скорость соответствует равнодействующей силе.

В качестве приложения рассмотрим вопрос об определении угловых скоростей в эпициклическом зацеплении зубчатых колес.

Обычно эпициклическим или планетарным механизмом называют сцепление двух или нескольких колес, из которых одно вращается около неподвижной оси, другие — около осей, за* крепленных на подвижной рукоятке (рис. 221), причем зацепление может быть как внешним, так и внутренним. Колеса, соединенные с вращающейся рукояткой, называют сателлитами.

Выведем общее соотношение между угловыми скоростями колес и рукоятки по отношению к основанию механизма в случаях внешнего и внутреннего зацепления. На рисунке все угловые скорости показаны в направлении по часовой стрелке; знак в дальнейшем покажет истинное направление вращений. Угловая скорость рукоятки обозначена через Q.

Придадим механизму в целом вращение с угловой скоростью ——◎, равной по величине угловой скорости рукоятки, но противоположной ей по направлению. Тогда по теореме о сложении угловых скоростей основание механизма станет подвижным звеном, имеющим угловую скорость —Й, а рукоятка, наоборот, станет неподвижной и будет играть роль основания механизма. Механизм с перемещающимися осями превратится при этом в систему зубчатых колес с неподвижными осями, но угловые скорости колес будут уже равны соответственно б — Й и й — Й.

Тогда, пользуясь известным соотношением между угловыми скоростями и радиусами, найдем

(37)(37)近一Q = Rб I — Qг

(37)

(37)

для внешнего зацепления и

(38)(38)近一Q R Gi — Q г

(38)

(38)

боль-боль-для внутреннего.

боль-

боль-

Пример 70. Для получения ших угловых скоростей применяют следующий механизм (рис. 222). Рукояткар^с 222

/ V вращается вокруг неподвижного'*

центра О и несет на своем конце Oi колесо 〃，сцепленное с неподвижной обоймой ///. Полученное таким образом вращение колесо 11 передает колесу Z, свободно насаженному на ось О. Найти связь между угловыми скоростями рукоятки и колеса /.

Дадим основанию механизма вращение, обратное вращению рукоятки, с угловой скоростью, равной угловой скорости рукоятки. Тогда обойма будет иметь угловую скорость (—рукоятка станет неподвижной, а колесо / получит угловую скорость Gi—о4. При таком рассмотрении оси О и Q неподвижны, а колесо II становится паразитным, не влияющим на абсолютное значение передаточного числа, но влияющим на его знак. В данном случае благодаря паразитному колесу передаточное число отрицательно, и по формуле зависимости между угловыми скоростями и радиусами сцепленных колес будем иметь

Рис. 223.Рис. 223.В данном случаеВ данном случаеva = vr +办・% = % X 乙va = vr +办・% = % X 乙(39)⑷)(39)⑷)

Рис. 223.

Рис. 223.

В данном случае

В данном случае

va = vr +办・

% = % X 乙

va = vr +办・

% = % X 乙

(39)

⑷)

(39)

⑷)

Отсюда

~ 门+厂3 ~

①I =…--g.

门

Взяв, например,「з = 9гь будем иметь

(01 = 10tt)4,

т. е. колесо / получает угловую скорость в 10 раз большую, чем скорость приводящей его в движение рукоятки.

§ 71. Сложение вращений вокруг пересекающихся осей

Пусть относительное вращение тела с относительной угловой Скоростью 叫 происходит вокруг оси О?' (рис. 223), а переносным движением является вращение системы Ох'С с перенос-

НОЙ угловой скоростью (Ое ВОКруГ неподвижной оси 0乙 пересекающейся с осью Oz' в точке О. Абсолютным движением будет движение тела по отношению к системе координат Oxyz. Рассматриваемое абсолютное движение тела является вращением вокруг неподвижного центра О.

Всякое вращение тела вокруг неподвижного центра можно представить как вращение вокруг некоторой мгновенной оси. Определим направление мгновенной оси и найдем вектор абсолютной угловой

скорости вращения тела.

Для этого возьмем какую-нибудь точку М тела с вектор-ра-

диусом г и напишем по теореме о сложении скоростей

где @а — искомая абсолютная угловая скорость тела; относительная скорость vr равна

0r =叫义＞,(41)

а переносная скорость .

% = 5 X г・(42)

По (39) получим после соединения двух произведений в одно

«а X Г = (юг + 5)X Г.(43)

Отсюда в силу произвольности г следует, что

% =叫 + 8е・(44)

Таким образом, приходим к следующей теореме: абсолютная угловая скорость равна геометрической сумме относительной и переносной угловых скоростей.

Для иллюстрации этой теоремы рассмотрим планетарное коническое зацепление (рис. 224, а) и, задаваясь углами раствора

конусов 2a и 20, определим абсолютную угловую скорость (0а вращения колеса II по неподвижному колесу /, рсли переносная угловая скорость (0е вращения оси Ozf вокруг On задана.

Замечая, что в рассматриваемом случае абсолютная угловая скорость(оа направлена по мгновенной оси ОС, строим треугольник угловых скоростей (рис. 224, б) по заданной ве

личиной и направлением переносной угловой скорости <ое и из* вестным направлениям абсолютной(оа и относительной Or угло

вых скоростей.

sin (а + В) sin 0sin (а + В) sin 0Из треугольника найдем

sin (а + В) sin 0

sin (а + В) sin 0

В предположении, что (0е постоянно по величине, нетрудно найти абсолютное угловое ускорение еа колеса //; его можно определить как скорость конца вектора(оа при вращении мгно венной оси ОС с угловой скоростью(0е・ Так как ша по величине постоянно, то будем иметь

8а = ^е X ®а = <*>е X (& + 叫)=(戛 X 吗.

sin а sin (а + 0)sin Вsin а sin (а + 0)sin ВУскорение £а равно по величине

sin а sin (а + 0)sin В

sin а sin (а + 0)sin В

% = Q 4 $也(« + Р)=吟

и направлено перпендикулярно к плоскости zOz' в сторону вращения оси Oz\

Пример 71. Дифференциальное зацепление. Рамка ВВ (рис. 225) вращается вокруг оси хх с угловой скоростью Q и увлекает с собой ось АА. На эту ось надета шестерня (сателлит), состоящая из двух наглухо скрепленных между собой колес радиусов 门 и 力 н свободно вращающаяся на оси АЛ. Колеса эти спарены с двумя колесами радиусов Ri и Rz, имеющими ту же ось вращения, что и рамка ВВ, но ничем с нею не связанными. Обозначая угловые скорости, как показано на рисунке, найдем завися* мости между угловыми скоростями колес и рамки.

Дадим основанию механизма вращение, противоположное вращению рамки и равное ему по величине. Тогда рамка станет неподвижной, угловые скорости ©1 и $2 станут равными й4 ——Q и ©2 ——Q； что касается угловой скорости сателлита относительно рамки, то обозначим ее через б. При остановившейся рамке будем иметь для верхнего колеса

近 I — Q — г 1

и для нижнего

В последней формуле выбран знак минус, потому что колеса радиусов Ri и 兄 вращаются в противоположных направлениях.

Разделив первое соотношение на второе, получим

с / R 丄 &、~ Ri 1 ~ R2“к、

Q I h —- ) = Si Ь 侬2 —-.(45)

Полагая в этой формуле г4 = г2 и 7?i =» R2, т. е. беря сателлит не двойным, а одинарным, получим механизм автомобильного дифференциала.

В этом случае будем иметь

a=-^®i + $2),g=-^"®i — ©г)»(46)

Схема автомобильного дифференциала видна из рис. 226. Вращение от оси мотора передается на коническое колесо ЛЛ, жестко соединенное с ко-

Ось колесаОсь колесаРис. 226.Рис. 226.

Ось колеса

Ось колеса

Рис. 226.

Рис. 226.

жухом дифференциала ВВ. Кожух, вращаясь вокруг той же оси, около которой вращаются автомобильные колеса, увлекает оси СС с насаженными на них сателлитами S S Сателлиты сцеплены с колесами R, R, жестко связанными с задними колесами автомобиля.

Первое условие (46) показывает, что угловые скорости ©i и йг каждая в отдельности произвольны, но их среднее арифметическое должно давать угловую скорость кожуха. Этим свойстве м дифференциала и пользуются. На прямолинейном пути угловые ск，у ости колес автомобиля одинаковы: &]=近2 и 6 =后1 =后2； при этом 6 = 0, т. е. сателлиты не вращаются вокруг осей СС.

На поворотах колеса описывают окружности разных радиусов и имеют разные угловые скорости, й^йг； Q может оставаться прежней, лишь бы полусумма $1 и 电 сохраняла свою величину. При движении на поворотах сателлиты приходят во вращение.

一 Предположим, что автомобиль описал на повороте колею шириной d; радиус внешней окружности колеи р, скорость центра тяжести автомобиля а Зная, что радиус задних колес автомобиля равен а, определим угловую скорость кожуха дифференциала и скорости вращения сателлитов.

Сначала определяем угловые скорости колес автомобиля, а следовательно, и угловые скорости жестко связанных с ними шестерен R (рис. 226). Для внешнего и внутреннего колес получим сооответственно

Угловую скорость сателлитов и угловую скорость кожуха получим в виде

(® — о)2)R — uRd(® — о)2)R — uRd2нрг *2нрг *

(® — о)2)R — uRd

(® — о)2)R — uRd

2нрг *

2нрг *

угловой скоростью, и О[ — относиугловой скоростью, и О[ — относи

угловой скоростью, и О[ — относи

угловой скоростью, и О[ — относи

Пример 72. Шарнир Гука. Для передачи вращения с одного вала на другой применяют специальное соединение валов-—шарнир Гука. Устройство этого соединения видно из рисунков. К концам валов /, 11 (рис. 227), оси которых пересекаются под заданным углом а, жестко при

соединены вилки 〃/ и /V, несущие подшипники, в которых могут вращаться взаимно перпендикулярные валики 4,4’ и ВВ\ образующие жесткую крестовину. При вращении валов крестовина совершает сложное вращательное движение вокруг неподвижного центра О; при этом передаточное число между валами / и // меняется в зависимости от углов поворота валов.

Примем вал / за ведущий, вал 〃一за ведомый и обозначим векторы угловых скоростей валов соответственно через Ю] и б)2. Плоскость, в которой расположены валы, совместим с плоскостью рисунка. Условимся от этой пло

скости отсчитывать угол 入 поворо

та ведущего вала, определяемый как двугранный угол между подвижной плоскостью вилки /// и плоскостью рисунка. На рисунке пунктиром показано начальное положение валиков крестовины: До^о 一 в плоскости рисунка, b% - перпендикулярно к плоскости рисунка.

Поставим сначала задачу об определении передаточного числа о?/® в функции от угла поворота ведущего вала X при заданном угле а между осями валов. Для решения применим основную теорему о сложении вращений. Представим себе вектор (да угловой скорости крестовины в ее абсолютном движении двояким образом: с одной стороны, как геометрическую сумму вектора 砌 угловой скорости вилки 7//, яв

ляющейся для крестовины переносной

тельной угловой скорости вращения крестовины вокруг оси АА\ с другой сто-

11 Л. Г. Лойцянский, А. И. Лурье

роны, каж ге(жет?рическую су ту веклпзра 电 угловой скоркшш вжиш IV и относителъгго-й угловой скорости1 咸 крестовины вокруг оси 心牙：

(47)

Замечая, что, согласно кожгтрукпдж соединения, некторм сь и ❸; ◎； и 〔》； и ©2 взаимно перпендикулярны, будем иметь

<»1 • о： = 0, ®| •吗=Q & • % = 0.(48)

Если умножить скалярно обе части основного равенства (47) один раз 靈а 4，дфугай — на 小 за вследешние (48) полупим

(0： = (Dj .吗，(0； . (О? = (dj —吗.(02.(4“

Чтобы ввести в рассмотрение угол поворота ведущего вала 九，составим теперь скалярное произведение двух векторов: 1) вектора g>i X ®2, перпен- жкуляртог©» 翼 шешксйпж рисунка, и 2) вектора ^ X 曲； перпендикулярного к плосессти ведущей вклкн W. Косинус угла между этнда векторам будет, очевид^©, ра/ен cos 九；получим

(G] X %广(叫 * ®0=铀g sin ® •吗△ sin 9@° cm Jt ==若(》；«^，S比@ c©s 土 (50)

С другой ^шроо^ и® MsawTHoft форкгуле векторной алгебры

(®1 X ®2)* (叫 X 呵)Нe®1 X 0圆 X。不•%=

=[臂效一 4仰•①苏®J & =谨(%• g0 - ®i •卽)(% •叫) вли по《4&)

®1 X 吗)(<01 X U)=依:®•❿»⑸)

Приравнивая это в^ажение предыдущему, найдем

® 1 * ®2 =①:吗 sin a cos X,(52)

после чего из первого равенства системы (4⑺ следует

①；=①2 sin a cos 九，《53)

а из первого и в^орог® равенств той же системы

о： = ffi^siu? ® cos2 Я =磁一❿酰 cos a,

откуда нетрудно уже по喲таиъ искомое передаточное число:

側 ^COS 图

"ST — 1 — sin2 a cos® % •()

При заданном угле а между осями это отнешенн® б^ег машзшо弦ньгм; когда знаменатель будет минимальным, т. е. при； со^% == Т, чичв^в^отвостжует совпадению плоскост» ведущей вилки с плоскостью, зд^заащ^Ь ®сй вжюв» Вто максимальное значение равно

人硒 /max 土 — siMa — eos a '

Аналогичным образом удостоверимся, что минимальное значение пере*, даточного числа равно

==ces а in==ces а in

==ces а in

==ces а in

и достигается при перп-ендрпкутряр'ности плоскости ведущей вилки к плоскости, содержащей оси валов.

Коэффициент нерашю魄ержхпж шфедаш 5 определим как разность

臭 / 32、2、 sin2 а臭 / 32、2、 sin2 а(55)(55)

臭 / 32、2、 sin2 а

臭 / 32、2、 sin2 а

(55)

(55)

Из этого равенства следует, что тольк-о при малых а коэффициент не- равномертоетн буд^т невелик. С возрастам峻м а кпэффаыжнт неравномерности резко увеличивается; при а = л/2 движение мехнизма невозможно.

Пользуясь нолучеиныэди фа^жулаади, легко ©пр^жяить также величину абсолютной угл^во'й евдэроети >кф>еетовины 叫 и м：а<ир®®яение мгиювеиной оси вращения, соответствующие данному углу 九 поворота ведущего- вада. Действительно, по условию перпендикулярности ①】и ①】будем иметь

++

+

+

а Ш)формулам (53) и (54)

з； Ю1 °2 sin a cos A cos @

I — isi 口* а с 能我兀' eio2 @ <е^ a cos2 К

или, после простых пркеедеяЛ,

99492

1 — sin a cos Л — sin а sin Л cos л

1 +

(1 — sin2 a cos2 л)2

Ta-ким образом, имеем

V1 — sin2 a cos2 九一sin4 a sin2 九 cos2 % 国а = ® I J"" -「 'y -一 步q

1 — sin2 a cos^ л

(56)

Посколы^у вектор ©)а всегда ртоголожен в 亶額豌кости ведутей вилки направление мгновенной оси шжно ®пф>«детйть по формуле косинусов:

〃/,

1 — sin2 a cos2 九

V1 一 siia2® еоУ 九一疝"@ шп2 虱 &妃 2

cos (0编 *)=

创 з« V 1 — sin2 а соУ 厶—$j打4 « sin-2 A cos2 九

《57)

Если угол а мцу ведущим и ведоадым валами мал, мо^,шз, пренебрегая четвер1ыми степенями sin а, получить более простые приближенные

формулы:

cos (©а, fi)i) «COS (^Х) аcos (©а, fi)i) «COS (^Х) а(58)(58)

cos (©а, fi)i) «

COS (^Х) а

cos (©а, fi)i) «

COS (^Х) а

(58)

(58)

V1 — sin2 а cos2 九'

V1 — sin^ acos2 Л ,sin a cos a cos %

V1 — sin2 a cos2 九

Возвращаясь к точным формулам (56) и( 57), убедимся, что: 1) при 1 = 0, л,...

т. е. при этом кого вала //,

мгновенная ось вращения крестовины совпадает с осью ведо-

а угловая скорость ее ——с угловой скоростью этого вала;

2) при %

л Зл

万，于

©а = ®р

COS

т. е. мгновенная ось совпадает с осью ведущего вала 7, а угловая скорость —с ®i.

При работе шарнира Гука мгновенная ось крестовины, вращаясь вместе с плоскостью ведущей вилки, совершает колебания внутри конуса с верши-

Рис. 228.Рис. 228.

Рис. 228.

Рис. 228.

ной в точке О, углом раствора 2a и осью /. Неподвижным аксоидом будет являться некоторая коническая поверхность, заключенная внутри только что указанного конуса.

Кинематическая модель шарнира Гука показана на рис. 228.

§ 72. Общая задача об относительном движениитвердого тела

Рассмотрим следующую задачу в общей постановке. Твердое тело совершает произвольное движение по отношению к системе координат 0%у2 (рис. 229), которая в свою очередь произвольным образом движется по отношению к неподвижной системе координат Oxyz. Требуется определить абсолютное движение твердого тела, т. е. движение по отношению к системе координат Oxyz.

Движение тела по отношению к системе O'x'y'z' определим относитель^ ной скорО^Ъю ”0“ его полюса О" и вектором относительной угловой скорости &г вращения вокруг мгновенной оси, проходящей через полюс О〃・

Переносное движение, т. е. движение системы。％以’ по отношению к Oxyz, зададим абсолютной скоростью vOf полюса О' и вектором угловой скорости Юе вращения вокруг мгновенной оси, проходящей через Ог. Определению подлежат абсолютная скорость（Уо^а полюса О" и абсолютная угловая скорость тела Ша.

Для произвольной точки М тела, положение которой можно определить в самом теле вектор-радиусом O〃Af = г", в относительной системе — вектор*

Рис. 229.

радиусом 0^=^ и, наконец, в абсолютной системе — вектор-радиусом ОМ = г, по теореме сложения скоростей имеем

0a = % + 力=vOf + 曳 X k + 00〃 + 叫 X 匕（59）

причем два первых слагаемых дают в сумме переносную скорость ve точки 関 а два последних — ее относительную скорость 0r. Замечая, что （рис. 229）

产=丿0" +产，

будем иметь

% = %，+ 曳 X %" + 曳 X 产 + 0。" + 叫 X 产=

=00， + 兔 X %〃 + 0 0〃 + （兔 + 叫）X 产.（60）

Первые два слагаемых представляют собой переносную скорость полкь са 0〃：

00， + 86 X %" =（"。"）少

которая в сумме с относительной скоростью 0。〃 того же полюса даст абсо* лют ную скорость этого полюса:

（@0"）а = @0, + 曳 X %〃 + V。".（61）

Подстановка в （60） дает

% = е0" + （久 + 叫）X 产・（62）

С другой стороны, согласно определению абсолютного движенцд ско* рость точки М может быть представлена по формуле （4） гл. XVI так】

% = （%〃%+小义产•価）

(64)(64)Сравнивая выражения (62) и (63), вследствие произвольности выбора вектора 产 получим‘

(64)

(64)

Итак, приходим к следующей теореме сложения движений твердого тела:

〃 относительной скоростей полюса, и абсолютной угловой〃 относительной скоростей полюса, и абсолютной угловойсумме переноснойсумме переноснойРаспределение скоростей в абсолютном движении твердого тела определяется заданием абсолютной скорости полюса чела、равной геометрической

〃 относительной скоростей полюса, и абсолютной угловой

〃 относительной скоростей полюса, и абсолютной угловой

сумме переносной

сумме переносной

скорости тела, равной геометрической сумме переносной и относительной угловых скоростей тела.

Рассмотренная выше задача об определении элементов абсолютного движения твердого тела по заданным его относительному и переносному движениям может быть сформулирована также как задача о сложении винтовых движений, т. е. об определении элементов абсолютного винтового движения по известным винтовому относительному и винтовому переносному движениям.

стеме О'х'у'У (рис. 230), и подвижной оси Ог. Угловыестеме О'х'у'У (рис. 230), и подвижной оси Ог. УгловыеОстановимся на определении элементов абсолютного винтового движения, представляющего результат сложения относительного вращения тела вокруг оси О'%', принадлежащей си- переносного вращения этой системы вокруг нескор ости относительного и переносного враще-

стеме О'х'у'У (рис. 230), и подвижной оси Ог. Угловые

стеме О'х'у'У (рис. 230), и подвижной оси Ог. Угловые

ний задаются векторами &，и ог.

Кратчайшее расстояние между осями назовем 卩 к введем в рассмотрение вектор р, направленный вдоль общего перпендикуляра LU к осям Ог и Q'z' от неподвижной оси к подвижной. Определение элементов винтового движения может быть значительно упрощено, если за начало неподвижной системы принять точку L, а за полюс тела принять конец Z/ вектора р. Тогда абсолютная скорость полюса I/ будет равна

&Z =弊 X *.(65)

Скорость скольжения определим по формуле (24) гл. XVI：

С == — 0 + S)•⑭е 义 Р)・(66)

Замечая, что

оr •(必 ХР) =(оr X ❿e)中，0 • (% X Р) = 3 получим

С =圭(①г X &) • Р,(67)

где (да определяется очевидным равенством

% == “磋 + 磅 十 2®戸е COS 0 ,(68)

а через а обозначен угол между ос5гми.

Для определения положения винтовой оси найдем вектор гс, направленный по перпендикуляру, опущенному из полюса L' на винтовую ось и пере-

секающему ее в точке С. Воспользуемся для этого формулой (20) гл. XVI:

/% X 叨 1

(69)(69)г е и^=-声明IX (% X p).

(69)

(69)

Раскроем произведение векторов; будем иметь

❿ аХ (&Х")=Зе®а・р) — Р ®а • ®е) = 一 Р ®а，3),

так как по условию вектор р перпендикулярен к векторам 明 и 明，а следовательно, и к их геометрической сумме ❹* Подстановка в (69) дает

Вектор Ус, определяющий иолажеиие то^ки С по отношению к неподвижной точке L, будет по (21) гл. XVI раво>

气="+气="+尸 GdU-®e)尸 GdU-®e)

气="+

气="+

尸 GdU-®e)

尸 GdU-®e)

или окончательно

(71)

Таким образом, искомая точка С лежит на общем перпендикуляре LU к осям отвосителытео яг кер^йоснсжо вращения. Нетрудно проверить* что доказанные в § 70 теоремы слоясения вращений вокруг пар^аж«льных осей получаются из формул (64), (70) и (71), если считать, что векторы 明 и cv параллельны друг другу.

В заключение остается показать, как по заданным векторам б)е и(ог слагаемых вращений и вектор-радиусу г0 полюса О' по отношению к началу координат системы Oxyz определяются направление, величина и положение вектора р. Согласно рис. 230 имеем

LL^OO^ 5Л/ 一 宓 или

" = /*0 + 九’0Г一九5,(72)

где X и 入'一неизвестные скалярные величины. Для их определения умножим скалярно обе части соотношения (72) на (ог и соответственно на <йе; тогда вследствие перпендикулярности вектора р к векторам @「 и &е получим систему уравнений

- /m + Mo•叫，

" 一(73)

一入曳•叫 +九线=几•①夕

Решив эту систему уравнений, найдем

"(h 吗)(曳•叫)一亿)•叫)磋

一 崂♦崂一(久•叫『，

(小.曳)M-(小•叫)•(吗•叫)

—崂吟一(兔.明2，

что можно также представить в виде

〃 _ "о X 毎)• ®е Х>г) л (Го X ®г) • (®е X ®г)八

|ОеХ*2 ，А麻义❿厂产—•(74)

Для определения вектора р умножаем обе части (72) скалярно на вектор (de X 叫.Получим

р • (®е X ®г) == г о • (®е X ®г)«(75)

р и (ое X &г) параллельны друг другу, можноР Н (®е X ®г)./*0 •(电 X ®г)□I5X 叫2 'р и (ое X &г) параллельны друг другу, можноР Н (®е X ®г)./*0 •(电 X ®г)□I5X 叫2 'Но, поскольку векторы ваписать

р и (ое X &г) параллельны друг другу, можно

Р Н (®е X ®г).

/*0 •(电 X ®г)

□I5X 叫2 '

р и (ое X &г) параллельны друг другу, можно

Р Н (®е X ®г).

/*0 •(电 X ®г)

□I5X 叫2 '

и искомый вектор р равени искомый вектор р равенГо •(5 X ®г)1sxM2Го •(5 X ®г)1sxM2(5 X о)(5 X о)Следовательно, по (75)

и искомый вектор р равен

и искомый вектор р равен

Го •(5 X ®г)1sxM2

Го •(5 X ®г)1sxM2

(5 X о)

(5 X о)

Если ввести единичный вектор s, направленный по общему перпендикуляру к осям вращения, положив его равным

5 X❿r

то выражение (76) вектора р примет простой вид:

р = (а • &) &,(77)

показывающий, что величина вектора р равна проекции вектора Го на направление общего перпендикуляра к осям вращения.

Определение положения и движения сплошной среды.Переменные Лагранжа и Эйлера

Своеобразие модели сплошной среды как бесконечного множества точек, непрерывно заполняющих некоторую область пространства, вынуждает особо подходить к способу задания ее положения в данный момент времени, а также ее движения во времени.

Для этой цели можно воспользоваться обычным для кинематики точки приемом задания в функции от времени t координат (хь 尤2, %з) отдельных точек сплошной среды, но, чтобы индивидуализировать такие уравнения для различных точек среды, необходимо как-то выделить данную точку среды из остальных. Следуя Лагранжу, в качестве определяющих выбор точки параметров можно принять ее декартовы или, вообще говоря, любые криволинейные координаты а^ аг, аз в некоторый начальный момент / = /о. Тогда уравнениями движения любой точки среды будут служить выражения

%月 = /[(a/);/]优=1,2,3); (1) величина (а() здесь и далее будет обозначать совокупность всех значений а/ (/ = 1, 2, 3).

Уравнения (1) отвечают на вопрос, где будет находиться точка с начальными координатами (а» в произвольно заданный момент времени /.

Подчиним выбор координат условию взаимно однозначной связи между (а。 и (%兑),т. е. потребуем, чтобы уравнение (1) однозначно разрешалось относительно переменных (砌・ Тогда будем иметь

а】=а/ [(办)，4 (/ = 1,2,3). (2)

Эти уравнения дают информацию о том, где находилась в начальный момент / = fо точка, текущие координаты которой равны (/). Можно сказать, что уравнения (2) позволяют судить об《истории》точки (%々)・

Совокупность значений (s) и / носит наименование переменных Лагранжа и применяется повсюду, где приходится иметь дело с малыми смещениями частиц сплошной среды (например, в теории упругости, теории волн малой амплитуды, некоторых вопросах теории турбулентных движений жидкости).

Более широкое применение имеют переменные Эйлера, определяющие проекции перемещений (pk) или скоростей (1//г) в данной фиксированной в пространстве точке 打 при заданном /:

乙=乙[伯)，4 优=1,2,3). (3)

Такое представление определяет поле скоростей в данной области пространства в любой момент времени. Поле,, зависящее от времени, называют нестационарным, не зависящее от времени ——стационарным.

Метод Эйлера более соответствует практическим требованиям, чем метод Лагранжа, так как экспериментальное изм.ере- Н02 скоростей в данной точке пространства легко осуществляется существующими, приборами, в то время как задание начальных координат отдельных точек среды должно быть отнесено скорее к «мысленному эксперименту».

Совокупность значений. (YQ и J а, иногда (%Q я / привдс- ляют к переменным Эйлера.

Установим связь между тем или другим образом определенными переменными Лагранжа и Эйлера, По определению проекций скорости имеем

乙=醬=唳 3, а』；° 伐=L 2, 3), (4) что представляет собо併 систему трех обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка относительно (X/).

В результате интегр и ро«.а н и я уравнений (4) появятся три постоянные интегрирования Ci, С2, С3 и интегралы представятся в виде

/ = / С； 。2, Сз)(々 = 1,2,3). (Я

Рассматривая переменные Лагранжа (а" как значения (м) при f = %, получим систему уравнений

@[=&z(f°； а,, с?,。3) а 1,2夕 з»,

разрешая которую относительно (G) можно выразить Ci, С2, С3 через 〃在,после чего уравнение (5) примут вид (1). Подставляя эти значения (爲)в равенства (4), найдем выражение проекций скоростей через переменные Лагранжа 3) и /, что и будет служить искомой связью между эйлеровыми и лагранжевыми переменными.

В дальнейшем, не преимуществу, будем пользоваться эйлеровыми переменными.

Перемещения, скорости и ускорения точек сплошнойсреды в переменных Лагранжа

Напомним, что перемещением 卩 точки М из некоторого начального положения Мо с вектор-радиусом г0 в текущее положение М с вектор-радиусом г называют вектор

р = г — Го； 殊=马一№丸 (々 = 1,2,3).(6)

Натальный вектор-радиус г0 выражается через переменные Лагранжа:

% = a#i +色为 + "3»3,(7)

конечный г — через переменные Эйлера (%Q :

Г =尤 Z + %2亍2 + %3»3・(8)

Обычно проекции перемещений ("丸)частиц среды рассматривают как функции координат (а走)начальных их положений. Тогда по (6)

修=訣 + %(%, 02, 〃з；『)(々=1,2, 3).(9)

Эти уравнения можно разрешить относительно 〃力,считая р在 функциями (光/)：

=—Pfe^b ^ ^ 0 优=1,2,3)・(1Q)

卷盜z卷盜zУсловием разрешимости уравнений (9) относительно а总 будет требование отлитая от нуля определителя

卷盜z

卷盜z

加1 0傲

d(аь — а£ 0@2

называемого якобианом.

Скорости V и ускорения V в лагранжевых переменных будут непосредственно определяться путем частного дифференцирования по / вектор-радиуса г:

где г предполагается выраженным в функции от а左 и /.

В переменных Зйнера скорость будет выражаться как dr/dt, где г определяется равенством (8).

Ускорение в переменных Эйлера выражается через один >из дйфференцмльныд операторов поли скоростей, О такого рода операторах поля будет сказано в следующем параграфе.

Дифференциальные операции поля

В § 37 уже было дано понятие о векторе-градиенте скалярной функции. Для понимания основ кинематики сплошной среды, в частности для определения ускорения в переменных Эйлера, необходимо углубить представление о градиенте скалярной функции, связав его с понятием о производной в пространстве …по любому направлению, причем не

Рис. 231.Рис. 231.только от скалярной, но и от векторной функции.

Рис. 231.

Рис. 231.

Поле скалярной функции ф (хь х2, %з； /)： можно расслоить семейством замкнутых поверхностей уровня функции в данный момент времени, определив их как геометрические места точек пространства, занятого полем, в которых функция <р имеет одни и те же значения. Уравнением семейства поверхностей уровня будет служить

Ф U1, -^2, А：з； /) = ф (г； /) = const, (12) где const может принимать различные значения, каждое из которых определяет

одну из поверхностей уровня. Переход от одной поверхности уровня к другой будет сопровождаться возрастанием или убыванием значения константы, входящей в определение поверхностей уровня (12).

В отличие от обычных представлений о внешней и внутренней областях пространства по отношению к данной замкнутой поверхности, условимся называть внешней областью по отношению к поверхности уровня ту, в которой расположены семейства поверхностей уровня с возрастающими значениями констант, внутренней — с убывающими их значениями. Нормаль к поверхности уровня, направленную во внешнюю область, будем считать внешней нормалью, а нормаль, направленную во внутреннюю область, — внутренней нормалью,

В предположениях о непрерывности возрастания функции 屮 при переходе от одной поверхности уровня к смежной и о существовании производной d^/dn от функции 屮 по направлению внешней нормали определим градиент функции ф, положив

grad(p = ~Jn,(13)

где, по определению внешней нормали, производная d^/dn 〃о・ 40州ительна, так что абсолютная величина градиента равна производной функции по внешней нормали, направление градиента

совпадает с направлением единичного вектора (орта) п внешней нормали.

Так как (рис. 231) малый вектор MN、направленный по внешней нормали л к поверхности уровня 屮=С, по длине Дп = MN короче всякого другого наклоненного под углом а к нормали отрезка А/ = MN% соединяющего две близкие точки М и ^l смежных поверхностей уровня <р = С и <р = С + ДС, то величина производной по нормали будет больше, чем производная по какому-нибудь другому направлению (д^/дп>д^/д1)9 где обе производные д^/dl и。屮/Оп определяются обычным способом как пределы (предполагается, что пределы существуют)

也=нm屮(г +а〃)-①К) 而—An->0"

d(pd(pdldlAZOAZO屮(，+ AZ) -①⑺А/屮(，+ AZ) -①⑺А/

d(p

d(p

dl

dl

AZO

AZO

屮(，+ AZ) -①⑺А/

屮(，+ AZ) -①⑺А/

причем, по определению поверхности уровня, Ф (г + AZ) = Ф (г + Ап).

Отсюда следует, что

也=Hm $(r + AZ) -①⑺=［加」<P⑴+ A九)一①⑺ 0/ AZOА/Д/г-»0 L М

—粤攀 cos а = I • grad ф, (14) dn dl Oti&\ /

где a — угол между направлениями Z и п. Таким образом, производная от функции 屮 по любому направлению равна проекции вектора-градиента на это направление, что лишний раз подтверждает ранее указанное превышение величины производной по внешней нормали к поверхности уровня над производными по другим направлениям.

Вводя в прямоугольной декартовой системе координат символический оператор V (о нем уже была речь в § 37) как вектор с проекциями

言，V 产昂’Vz=*(15)

или, в цифровой индексации,

% =證(^=1,2,3),(16)

можно градиент функции ф определить в символической форме произведением векторного оператора V на скалярную функцию ф：

(17)(17)grad ф ■= V(p,

(17)

(17)

а пр©иаводаук> по любому жашр^тжшю，, оогласно (14), лред- ставить в виде

雾=$ • |叩=Z - g『adf),(18)

скалзфмое 冲сжз^едан^е < • У, ^а^гое 口在—«ж (4,必》]

^^^1^^1^+1^^^^'(19)

выражает символвг^ски ©тгера鼠賞ю 3乩权卜2/&崂岬q&mui乳 т @/о- бому 軸出凡叩帝儿电祖触iq. В частаости, полагая тжждаэаателъно I равным единичным векторам осей коорддяат *焉 сбудем мметь

так что проекции гр^диент^а ^жции 屮砒а оси координат будут равны производным от ср по соответствующим координатам:

(grad(p)% = ^(々=1,2,3).(20)

Операцию 17 = д[01 можно производить 賣в только над скалярными, его и над векторными и теязорньши функциями, что можно представить равенствами

芻=g •%& %—「(21)

Б дальнейшем 嵯盘сто придется нметь 疑驗э с оае^ац^й

&▽№，

где 也 и 6 — дае ве^торны-е функции 氯◎呻丛班寶③牙灯，х2,心.Переписывая эту операцию в тождественной форме

gf6=0($v"

и замечая, что a/а является единичным вектором, отределяю- щим направление вектора а, и, кроме того, вспоминая (19), придем к заключению, что

m・ V)b =噜，(22)

где символ db/да обозначает производную вектора 6 по направлению вектора а.

Пользуясь символическим вектором-оператором V и соединяя его скалярным и векторным произведениями с вектор-функ- цией координат а(хь %2, %з), получим еще две следующие операции пространственного дифференцирования;

дивергенция вектора 佻 выражаемая- символом

(23)(23)div @=V • a = V网=

(23)

(23)

(суммирование по 左 от Г де 3),, и

&ихръ (ротор) вектора а, обозначя^емый* статодюм rot# и определяемый символической формулой и проекциями на оси координат:

函(24) 0%2 .函(24) 0%2 .rata = V X 包；

函(24) 0%2 .

函(24) 0%2 .

向1a =舍"一熱Г小：=豎-薪E小=欝

Можно было бы еще ввести следующее тензорное определение rot@ (суммирование от 1 д@ S по трем дважда повторяю- вдшся индекса 慣)：

向0 ="醬，

где Gpqr — тензор третьего ранга, носящий имя Леви-Чивита, задаваемый системой равенств

<0, если хоть два индекса одинаковы,

если р辛q唳г взяты в порядке круговой

1—1, если p^q^r, но нарушена круговая подстановка.

Пояснение физического смысла величин diva и rota в частном случае поля скоростей будет дан© в последних даух и а-pa-» графах (§§ 77 и 78) настоящего тома курса.

Присоединим it сказанному еще символическую операцию диадного умножения (§ 33) оператора V на вектор а, определив ее формулами

D = V© =片％ 詼彳(25)

и матрицей

:d仪La砲

da3 一 ]

e%i

dxi

dxi

D

加2 d%2

扣3 дх2

(26)

@02

&俘

、°%з

Зхз

_д”з .

с компонентами.

Этот тензор; п® внешней аналогии е градиентчж скалярной фунхжи grad* яа^явзют араО^енто林 еектерной функции н

обозначают символом Grad а, в котором, в отличие от обозначения grad, первая буква — заглавная:

D = Grad а.(27)

^ ^a2-xl备-xl е о d -о е о^ ^a2-xl备-xl е о d -о е оСопряженный с D тензор £)* условно обозначается как производная вектора а по вектору г, т. е. da/drt и имеет матрицу да\ да\ ' дх3

^ ^a2-xl备-xl е о d -о е о

^ ^a2-xl备-xl е о d -о е о

dxz 0%з

Полный дифференциал da вектора а можно представить как произведение тензора D* на вектор dr справа или D на вектор dr слева:

da = D^ dr — dr = drD = dr Grad a,(29)

с проекциями (суммирование no q)

dap = -^~- dxq (p= 1,2,3).(30)

Напомним еще (§ 37), что произведение оператора V на тензор Г определяет вектор дивергенции тензора Т:

VT = DivT,(31)

с проекциями (суммирование по q)

(Div7% = ^(р= 1,2,3).(32)

Ускорение точек среды в переменных Эйлера.Локальное и конвективное ускорения

Пользуясь введенной в предыдущем параграфе операцией дифференцирования вектора по направлению другого вектора, найдем выражение вектора ускорения V в эйлеровых переменных.

Рассмотрим движение частицы сплошной среды, которой приписана некоторая, безразлично ——скалярная, векторная или тензорная, величина Ф.

При определении полного изменения величины Ф за время dt надо обратить внимание на два обстоятельства, лежащие в основе этого изменения.

Первое связано с тем, что, если бы даже частица не двигалась в поле, а совпадала с некоторой фиксированной точкой

вели- поля,вели- поля,пространства, относительно которого поле физической чины Ф определено, все равно, в силу нестационарности

вели- поля,

вели- поля,

d①d①величина Ф получила бы за время dt изменение ^-dt. Это изменение назовем локальным (местным), а отношение его к промежутку времени dt — локальной производной функции Ф по времени /, что и отметим в обозначении ①/用〃。％ Итак, имеем

d①

d①

(33)

Второе обстоятельство заключается в том, что частица движется по отношению к полю величины Ф, занимая в нем последовательно разные положения. Такое движение называют конвективным. За время df частица совершит перемещение V dt п перейдет в новое положение, в котором функция Ф будет отличаться от своего исходного значения на величину, равную произведению производной по направлению перемещения, т. е. по направлению вектора V, на длину перемещения V dt.

Вспоминая определение производной по направлению данного вектора (22), получим значение конвективного изменения б?конвФ на перемещении U df:

б/КонвФ = (3 • V)①丿山=” • V)① dt,

или, относя его к единице времени, следующее выражение для конвективной производной функции Ф по времени:

(4)конвф=(^^)ф-Принимая во внимание оба эти обстоятельства, найдем дующее выражение для полной производной функции Ф как суммы локальной и конвективной производных:需=(方)“°к Ф + (詛 к°нв ①=察 + " Г)6Если Ф — скалярная функция, то ее можно подвести скобку и, вспоминая, что VO = grad Ф, получитьB = b + P・grad ①.(4)конвф=(^^)ф-Принимая во внимание оба эти обстоятельства, найдем дующее выражение для полной производной функции Ф как суммы локальной и конвективной производных:需=(方)“°к Ф + (詛 к°нв ①=察 + " Г)6Если Ф — скалярная функция, то ее можно подвести скобку и, вспоминая, что VO = grad Ф, получитьB = b + P・grad ①.(34)(34)сле-по fсле-по f(35)(35)подпод(36)(36)

(4)конвф=(^^)ф-

Принимая во внимание оба эти обстоятельства, найдем дующее выражение для полной производной функции Ф как суммы локальной и конвективной производных:

需=(方)“°к Ф + (詛 к°нв ①=察 + " Г)6

Если Ф — скалярная функция, то ее можно подвести скобку и, вспоминая, что VO = grad Ф, получить

B = b + P・grad ①.

(4)конвф=(^^)ф-

Принимая во внимание оба эти обстоятельства, найдем дующее выражение для полной производной функции Ф как суммы локальной и конвективной производных:

需=(方)“°к Ф + (詛 к°нв ①=察 + " Г)6

Если Ф — скалярная функция, то ее можно подвести скобку и, вспоминая, что VO = grad Ф, получить

B = b + P・grad ①.

(34)

(34)

сле-по f

сле-по f

(35)

(35)

под

под

(36)

(36)

В случае векторной функции Ф = а равенство (35) сохранит свою форму:、

黑=需 +(3)0，(37)

Можно получить векторный аналог скалярного равенства (36), если заметить, что по (25) и (27)

(y.^)a=V (Va) = V Grad %(38)

и записать это в форме аналогии or ❷《36} равенства:

>=# + FGrad«>(39)

где, комета©, последний члеи в 口网指0曼 ч^сти обозначает вфо из ведение тензора €Ьга4в на вектор V «елевая.

Полагая в равенстве (36) а = ¥, найдем выражение ускорения в переменных Эйлера:

%=#=零+僅7)r(4°)

Первый член в правой части этого равенства называют локальным ускорением, второй ——конвективным.

Полное ускорение частицы сплошной среды складывается из локального 〃 конвективного ускорений.

Полное ускорение V вычислялось при условия наблюдения за движением индив идеальной чястиды средн (су бет алии и); поэтому полное уоюреиие ¥ называют ещ« иногда： инди&идуг- a4b从ым или： субстанциональным. Вообще, полную нроиаводн^ ю от скалярной, векторной кли текзорк©施 @ун氐щий также называют индивидуальной (субстанционамно^ производной,, вводя для нее обозначения: D/Dt, иногда £)/〃£. Сохраним для индивидуальной производной то же обозначение 〃圖，что и для полной производной, но будем помнить определение

Проектируя обе части векторного равенства (40) на оси неподвижной системы координат,, будем» иметь

%=公+%号' 但=厶,2班(41)

Наличие в 9Tой сумме конвективной части делает выражение ускорения нелинейным, с чем связаны большие трудности в интегрировании уравнений дкнажики сплошной* среды.

Теорема Гельмгольца о бесконечно маломперемещении элементарного объема сплошной среды.

Квазитвердое перемещение

В отличие от абсолютно твердой среды, для которой теорема о ее бесконечно малом перекгещении формулировалась безотносительно к размерам перемещающегося тела, причем составляющие перемещения: поступательное перемещение и малы# поворот тела вокруг оси — были одииаковы в данный момент времени для всех точек тел5% в более общем случае сплошной

дефо^^рцешй среды такая теорема №жет гбшъ установлена лишь для бесконечно малого (элементарндао) объема среды, т. е. имеет локальный характер.

Выделим в сплошной среде (рис. 232) элементарный объем 6t и изучим распределение бесконечно малых перемещений в отдельных его точках. Рааст»отрим какие- нибудь две смежные точта в объеме: точку М с вектор-радиусом у относительно неподвижной точки О и точку .М⑴ с вектор- радиусом r(D относительно той же точки 0.

Векторы бесконечно малых перемещений точек М и M(D, Как обычно в настоящем отделе ), обозначим через р и 声("• Вектор-радиус точки М⑴ по отношению к точке М будет равен 6г = г^ — г, а его длину |6г| обозначим через

По определению (38) производной от р по направлению вектора，6г будем мметь 卩⑴=р 十(6r . V) р = р + 什(Vp)=

—р + 6г • D,《42)

где дод D понимается тензор с матрицей (26), в котором вместо л взят вектар 爭.

Применим выведенное в § 34 разложение любого тензора второго ранга на симметричную н антисимметричную части, доложив

D = S^A,(43)

где

S=^(D + Q*), 4 = ^(D 一 О*).(44)

Равенство (43) может быть теперь переписано в виде

* = р 4- 6г • А 4~ 6г ' S.(45)

Рассмотрим совокупность первых двух слагаемых. Согласно изложенному в § 34 [см. равенства (36) ] эту совокупность можно переписать так:

р + 6г • Д = р + <?义 &\(4 В)

где «сопутствующий» вектор с по (33) § 34 будет иметь проекции С1 = 4з, С2 = Л31, Сз = Д12-

Для вычисления этих проекций удобно применить символические изображения;

D = Vp, D* = (Vp)*, A = ^[VP^(ypy]t что даст

% = ”23 =4 幾-舍■) Т g 叫，

з = А1=т (將-醬)=Т(rot P)2，

%=л2=4 (St -體)=4(r°t %

или, в векторной форме,

с = Y rot р.(47)

(48)(48)Равенство (46) перепишется теперь так:

(48)

(48)

р + dr • Я = р + у rot р X й^«

через ркт. Итак,через ркт. Итак,Сравнивая его с формулой бесконечно малых перемещений точек абсолютно твердого тела (3) § 65, убедимся, что правая часть (48) выражает совокупность поступательного перемещения р и вращательного, соответствующего вектору бесконечно малого поворота 0 = -—rotр. Это позволяет правую часть (48) рассматривать как перемещение, которое было бы, если бы элементарный объем на мгновение затвердел. Назовем это перемещение квазитвердым («квази» — как будто) и обозначим

через ркт. Итак,

через ркт. Итак,

(49)(49)Ркт = р + ❷ X 6 乙0 = -^-rotp.

(49)

(49)

Оставшееся в равенстве (45) третье слагаемое 6，・S выражает отличие перемещения элементарного объема деформируем мой среды от перемещения того же объема абсолютно твердого тела и образует деформационное перемещение рдеф, равное по условию симметрии тензора S

рдеф ="・ S = S Н・ (50)

Таким образом, в равенстве.(45) утверждается, что перемещение любой точки элементарного объема сплошной среды складывается из квазитвердого, состоящего из поступательного и вращательного перемещений, 〃 деформационного перемещений.

В этом заключается теорема Гельмгольца о бесконечно малом перемещении элементарного объема сплошной среды.

Тензор S, входящий в определение (50) деформационного перемещения, носит наименование тензора деформаций.

Деля обе части равенства (45) на df, перейдем от бесконечно малых перемещений р к векторам скорости V, от вектора бесконечно малого поворота 0—к вектору угловой скорости ❷ вращения затвердевшего элемента, а от тензора деформаций S ——к тензору скоростей деформаций S, отличающемуся от S точкой, стоящей сверху и обозначающей производную по времени Л При этом справедливо равенство

V⑴=Кт + Гдеф = Р + s X Н + S ・”・(51)

Теорема Гельмгольца, выраженная в скоростях, формулируется так:

Скорость любой точки элементарного объема сплошной среды складывается из скорости квазитвердого движения то“е岔 объема, равной сумме поступательной и вращательной скоро- стей затвердевшего объема, и деформационной скорости. Пере、 мещения и скорости в квазитвердом движении элементарного объема были подробно изучены в гл. XVI. Деформационные перемещения и скорости нуждаются в специальном рассмотрении, чему посвящен следующий, заключительный, параграф пер- вогоюма.

Тензоры деформаций и скоростей деформаций.Кинематический смысл их компонент

Тензор деформаций S имеет матрицу

勿11 f dpi . ар2 А 2 ( ^pt I др3 \

1 ( др2 I 0"з、дх31 ( др2 I 0"з、дх3(52)(52)方г；万［а%2 十 6%；丿 ^ \ дх3 * dxi /

1 ( др2 I 0"з、

дх3

1 ( др2 I 0"з、

дх3

(52)

(52)

( dpi . др2\М

\ dx2 十0%1 丿dx2

t \ dх3 十 dх1丿 Т \ dх3 十 0尤2丿

Название тензора оправдывается тем, что, как сейчас будет показано, отдельные его компоненты представляют собой характерные для деформации элементы: относительные удлинён ния бесконечно малых координатных отрезков и скошения коор^ динатных углов (сдвиги).

Введем в рассмотрение проведенную через точки деформи# руемой сплошной среды систему координат 0%1%2%з (рис. 233“ и отложим по координатным осям бесконечно малые отрезки бп, 6了2, 6了3, проекции которых на оси координат будут соответ* ственно иметь вид (6打，0, 0), (0, 6也，0), (0, 0, 6х3).

Следуя (50) и вспомввая, что по определению бесконечно малого перемещения «рос. 233)

р — dr, 6р = 64r =Pi — р = "] — dr = d (门一r) — d ", получим, опуская индекс «деф», основное равенство

户 1 — р — ^ = S 6r =d6r.(53)

Напоминаем, что здесь и далее символом 8 обозначаются произвольные бесконечно малые приращенкя величин при переходе в данный момент от одной точки пространства к другой, а

символом rf—приращение величины во времени, т. е. (d/dt)dt. Применяя (53) к М,次2, 6q, получим

S]] 3xj —，！ 6%[, S22 6%2== d 6%2， S33 Ь%з"-™ d 6%3， (54) откуда сразу следует, что при деформ а цион ном перемещении диагональные компоненты тензора деформаций Skk равны относительным удлинениям 佻 бесконечно малых отрезков 16fM (не суммировать по 总!”

Обозначим (рис. 233) через ?制 углы между ^-й и Г-й осями косфдинат, равные до дефсфмадаи 丸/2, ,а гюсж деформации *厂 Заметим, что, в силу бесконечной малости перемещения, «оор^дмнатные ос% сохранят (с тотвосшо до откломний высшего порядка малоста) свою прямлэлижйносты

Изменения при деформации координатных угло® будут равны dyki и могут оказаться как положительными, так и отрицательными. Назовем 《скошеннямн》 координатных углов бесконечно малые в^еличмы ей = ―d^kh отличающиеся от изменений углов только знаком. Под положительным скошением' понимается уменьшение координатного угла, и, наоборот, под отрицательным скошением ——его увеличение. Вместо «скошения координатного угла» используют еще термин《сдвиг》(в соответствующей координатной плоскости).

Чтобы выразить скошения через компоненты тензора деформаций, будем исходить из очевидных соотношений

cos YL (仓•爵)=6,阮 J(3〃 "力).

Взяв от обеих частей этих равенств дифференциалы, найдем

一 sin Yh 或y^z =石尢；a^rk •&尸/)+ d (京気")6% • &〃・

Но до деформации (龙 I)

丫制=千，sm^ki~ 1, &tq”z = @, так что

-dyAz = %/ = g%•友;d 麻h• 5尸众・(56)

Вычисляя дифференциал справа，получим

ей =飞二/; S”右"力 + 8〃 • d"/), или, имея в виду (54),

"上 =右:&； m &G g + (Sg)・ 6?力.(57)

Вычисление правой части легче всего провести, задаваясь по отдельности значениями 左=1, 2, 3; / = 1, 2, 3 при h 喉 L Вспоминая, что

(бг 1)1 — дХ1, (6г 1)2 = 0, (dr !)з = 0； (дг2)! — 0, (&#2)2=0, (6&)3 = °，

(58) приведем сумму скалярных произведений в правой части (57) к виду

(SH[)2 6X2 + (S”2)lg,а затем, вычисляя проекции произведений тензора на вектор ииспользуя (58), перепишем (57) в виде

£12 = -^7^7 (S12 ^1 3%2 + S[2 3尤I 6%2)= 2s12・

углов(59)(60)углов(59)(60)&23 ==: 2s23,£31 = 2s3i・&23 ==: 2s23,£31 = 2s3i・Отсюда следуют выражения скошений координатных через компоненты тензора деформаций (52):Отсюда следуют выражения скошений координатных через компоненты тензора деформаций (52):Аналогично получим

углов

(59)

(60)

углов

(59)

(60)

&23 ==: 2s23,£31 = 2s3i・

&23 ==: 2s23,£31 = 2s3i・

Отсюда следуют выражения скошений координатных через компоненты тензора деформаций (52):

Отсюда следуют выражения скошений координатных через компоненты тензора деформаций (52):

в, следовательно,

Sa/ = ^^z(^, /= 1, 2, 3;左*/).

Таким образом, недиагональные компоненты тензора дефор- 'мацай равны половинам скошений координатных углов, или 〃о・ ловинам сдвигов е соответствующих координатных плоскостях.

Деля только что введенные элементы бесконечно малых деформаций на df, получим тензор скоростей деформаций S и его компоненты: диагональные е* — скорости относительного удлинения координатных отрезков и ©左/ — скорости скошения координатных углов, или скорости сдвига в соответствующих координатных плоскостях.

Отметим еще одну важную характеристику деформации среды — коэффициент относительного объемного расширения ", равный по определению

『空(61)

где 6т = 6%1 6x2 Sx3 ——исходный элементарный объем, имевший место до бесконечно малой деформации, 6rz — значение того же объема после деформации.

Выразим коэффициент относительного объемного расширения через компоненты тензора деформаций (52). Для этого, по определению бесконечно малой деформации, представим числитель в правой части (61) как

6Tz~6T = d(6T).(62)

Заметим, что по (54),

d (6т) = d (6%i 6%2 6x3) = d (6Xj) бх2 6x3 +

+ 6xi d (dx2) 6x3 + 6%i 6x2 d (6x3)=

=S“ 6%i 6x2 6x3 + S22 6Xj 6%2 6%3 + S33 6%i 6x2 6X3 =

=(S“ + S22 + S33) 6т. (63)

Подставляя это выражение в (62) и используя матрицу тензора S (52), получим

KhSu +$22 + 533 = ^+1^ +設，

или по (23)

仔=div р.(64)

Деля обе части на dt, найдем аналогичное выражение' для скорости относительного объемного расширения 6:

8 = divP・(65)

В разделе динамики сплошной среды второго тома настоящего курса будет использована формула

备(6т) = ^ 6т = div 7 6т,(66)

являющаяся прямым следствием равенств (63), (65) и выражающая быстроту изменения со временем элементарного объема среды (жидкости) в зависимости от заданного поля скоростей.

В главных осях тензора деформаций (скоростей деформаций) недиагональные компоненты (сдвиги, скорости сдвига) равны нулю.

Подробное и более широкое изложение основ кинематики сплошных сред можно найти в специальных руководствах:

Седов Л. И. Механика сплошных сред. — М.: Наука, 1973, т. 1, гл. 2 и 3;.

Лойцянский Л. Г. Механика жидкостей и газов. — М.: Наука, 1978, гл. II и III (см. также сводку формул векторного и тензорного исчислений в § 3);

Лурье А. И. Теория упругости. — М.: Наука, 1970, гл. I и II, приложения I—III.

В современные программы высшей математики входят элементы векторного и тензорного исчислений, однако следует рекомендовать учащемуся для углубления своих знаний в этой области обратиться к специальным руководствам:

Кочин Н. Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. — М.: Наука, 1965;

Борисенко А. И. Векторный анализ и начала тензорного исчисления. — М.: Высшая школа, 1972.

ПРЕДМЕТНЫЙ указатель

Абсолютная производная 302

Абсолютно твердое тело 14

Абсолютное время 143

—пространство 142

Аксиальные векторы 38

Аксоид неподвижный 275

винтовых осей 292

—подвижный 275

винтовых осей 292

Амплитуда колебания 147

—комплексная гармонического коле-

#ання 147

Анализ гармонический 153

Архимеда закон 140» 141

Архимедова сила 141

Биения 151, 152

Бинормаль кривой 185» 259

Близко действие 10

Блок идеальный 34

Бэра закон 310

Вариньона теорема 39

Вектор 12

—бесконечно малого поворота 235

—главный 39, 48

—Дарбу 295

— единичный бинормали 187

главной нормали 186

——касательной 185

— напряжения 105, 138

—поступательного перемещейия 233

— скорости 163—165, 167

——,сопутствующий антисимметричной части дифференциального тензора поля скоростей 224r

一，一антисимметричному тензору 122

—углового ускорения 225, 252, 253, 276

—угловой скорости 271

вращения фигуры 237

—ускорения 166, 167

в криволинейном движении 189

Вектор ускорения свободного падения 105

—физический 124

Векторная производная вектор-функции по аргументу 164

Векторное произведение 38

Вектор-радиус мгновенного центра

245

—точки 144, 163, 195

Вектор'функция 163

Векторы аксиальные 38» 123

—единичные 196

—истинные 224

— свободные 45

—скользящие 15, 223

Вихрь (ротор) вектора 335

Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси 212 и д.

ТОЧКЙ 262

Время 11

—абсолютное 11

Гармоники 150

Гаусса — Острагр адского формула 133—135

,тензорная форма )37

Главная нормаль кривой 185

Главные аиачения симметричного тензора 127

——направления в пространстве 127

——ос联 симвйетрнчного тензора 127

тензора напряжений 132

Главный вектор 39, 4 8, 63* 68, 69

объемных сил 历5, 108

поверхностных сил 105, 106

сил давления жидкости 140

——момент совокупности сил относительно начала координат 69

—осей координат 50

оси 49

точки 64

центра приведения 49, 63

Годограф вектор-функции 163

—скорости 177, 180

Градиент векторной функции 335

——скалярной функции 135, 332

График движения 145

График пути 162

Гука шарнир 321—324

Евклидова геометрия 11

Евклидово пространство 142

Давление 130

— гидростатическое 131, 139

—нормальное 75

Дальнодействие 10

Дальность полета 176

Дарбу вектор 295

Движение абсолютно твердого тела, общий случай 281 и д.

—абсолютное 238

—винтовое 159, 291

—колебательное 8

гармоническое 146

—конвективное 337

—криволинейное 154, 174

—мгновенно-поступательное 243, 316

— натурального триэдра траектории точки 294

—орбитальное 8

—относительное 238, 297

—переносное 238, 298, 299

—плоское твердого тела 227

—поступательное твердого тела 207, 208

——прямолинейное 145, 189

равномерное 145, 189

равнопеременное 146, 147, 168, 189

—регулярное прецессионное 293

—составное 297

—эллиптическое обращенное 231

Девиатор тензора 125

Действие и противодействие 15

Декартова прямоугольная система координат 196

Декремент логарифмический 172, 173

Деформируемая среда 12

Деформируемость тела 13

Диада 118, 119

——координатная 119

Диадное представление тензора 128

—произведение векторов 119, 335

Дивергенция вектора 335

—тензора 136, 13% 336

Динама 65, 66, 73, 291

Динамика 7

Дифференциал дуги 161, 198, 295

Дифференциалы во времош м s пространстве 133

Дифференциальный оператор 135

Дм^&еренцнрование по направлению

334

Жидкость тяжелая 140

определенная 33, 52

Задача статически неопределенная 33

Закон Архимеда 140, 141

—Бэра 310

—гидростатического давления в тя* желой жидкости 140

—Ньютона вто[ ой 9, 16

первый 9, 16

третий 9, )6

— Паскаля 131

Законы Кеплера 202

Затвердевания принцип 107

Зацепление внешнее 220, 221, 239.

317

—внутреннее 220, 259, 317

——дифференциальное 31g

—эпициклическое (планетарное) 3We

317

коническое 319

Идеально гладкая поверхность 18

Изотропия тензора 125, 127, 131

—тензорной единицы 121

Инвариант статический второй 69

первый 64, 65, 69

——тензора квадратичный 124

кубический 124

линейный 124

Инвариантность длины вектора ИЗ

—квадрата длины вектора 115

—функции, задающей поле скаляр

ной величины 113

Интеграл объемный 133

—поверхностный 133

Качение без скольжения 242

подвижной центроиды по яе«

подвижной 249

Кеплера законы 2Q2

Кинематика 7

— сплошной среды 329 н 風.

Колебания затухающие 1^1, 172

Конус трения 7a 77

Конхоида круга 232

—прямой 233

Конхоидограф 23工 233

Координаты криволинейные точки 195

—центра параллельных сил 91

тяжести 92, 94

,методы определения 94—97

Коши равенства 106, 108, 116, 117, 129, 130

Коэффициенты Ляме 198, 199

—неравномерности передачи 323

хода двигателя 215

—относительного объемного расширения сплошной среды 344

—трения верчения 78

скольжения 75

Кривизна кривой в данной точке 186

—траектории 295

Кривые разрыва 113

Кронекера символ 120

Круг соприкасающийся (круг кривизны) 187

—трения 82

Кручение кривой 295

Лагранжа переменные 330

Линейное преобразование векторов

115, 116

Линия винтовая 159, 160

—действия силы 14, 24, 67

—координатная 195

—узлов 263

Лиссажу фигуры 154 —156

Лобовая передача 220

Локсодромия 205

Ляме коэффициенты 198, 199

Масса 10

Материальная точка 7, 8

Материальное тело 7

,модели 7, 14

Мгновенная ось вращения твердого тела 272, 274

Мгновенный центр скоростей 240, 241

,его координаты 244, 245

ускорений 255, 256

,его координаты 258

Меркатора проекция 205

Метод Пуансо 46, 47

—сечений 17, 103

Механизм автомобильного дифференциала 320

—кривошипно-ползунный 152, 153, 157, 172

—мальтийского креста 305

—четырехзвенный 27, 28

——эпициклический (планетарный) 316

Механическое движение 7

Момент вектора угловой скорости относительно центра 225

—инерции 10

—пары сил 43

—силы относительно осей координат 41

оси 36, 40, 41

———точки 36—39, 63, 64

—трения качения 79

Наклонная плоскость 80

Напряжение 105

—среднее 105

Напряжения в сплошной среде 9

—давления 109

—касательные 108, 130

—нормальные 109, 130

—трения 109

Натуральный триэдр (естественный трехгранник) кривой 185, 294, 296

Начальные условия 174

Нормаль внешняя 332

—внутренняя 332

—главная 185

Оператор дифференциальный 135

Опора идеальная 18

Оси координат 195

Ось вращения 209

——мгновенная винтовая 291

—минимальных моментов 67

—углового ускорения 277

—центральная 66, 69

Относительная производная 302

Пара векторов угловой скорости 316

—сил 19, 43

Параметр динамы 69

Паскаля закон 131

Переменные Лагранжа 330

—Эйлера 330

Перемещение 164

—винтовое 283, 289

—деформационное 340

—квазитвердое 340

—точек сплошной среды 331

Период колебаний 146

Плоскости координатные 196

Плоскость пары сил 43

—симметрии однородного тела 94, 95

Плотность распределения массы средняя 104

сил средняя 104, 105

физической величины по сплошной среде 104

Плотность среды в точке 104

Поверхности координатные 196

—разрыва 113

Поворот положительный 37

Подпятник 19

Подшипник 19

— цилиндрический 53

Поле скоростей в плоском движении 237

•нестационарное 330

стационарное 330

—ускорений в плоском движении 253, 256, 257

в твердом теле, вращающемся вокруг неподвижной точки 276, 277

—физической величины 112

Ползун 80

Полюс 229, 233, 239, 289

Правило векторного многоугольника

13

—параллелепипеда 13

—параллелограмма 13, 304

Преобразование компонент тензора

117

обратное 117

—координат 114

обратное 114

Пресс клиновый 85

Прецессия обратная 280

—прямая 280

—регулярная 279

Принцип затвердевания 15, 107, 137, 138

—обращения механизмов 232

——освобождаемости от связей 18

Проекции скорости на оси криволинейных координат 199, 200

—ускорения на оси криволинейных координат 199, 200

Проекция вектора на ось 114, 115

—Меркатора 205

Производная конвективная 337

—локальная 337

—по направлению 333

——нормзли 333

Пространство 10

Псевдовекторы 38, 123, 224

Псевдоскаляры 224

Пуансо метод 46, 47

Путь 8, 161

—в равнопеременном прямолинейном движении 169

Равенства Кощи 106, 108, 116, 129

Равновесие абсолютно твердого сво

бодного тела 14, 15, 24

Равновесие абсолютно твердого тела 137

—деформируемого тела 137

—идеально текучей среды 130, 139, 140

—при наличии сил трения 74

—тела под действием несходящейся совокупности сил 50, 51

сходящейся совокупности сил 24, 32

с двумя закрепленными точками 55, 56

Равнодействующая сила 23

—совокупности сил 67

—сходящейся совокупности сил 23,

Радиан 209

Радиус кривизны 186

винтовой линии 191

циклоиды 192

—кручения 295

Разложение вектора скорости по единичным векторам осей криволи* нейных координат 199, 200

ускорения по осям натурального триэдра 188

Размах колебаний 147

Распределение скоростей в движущейся плоской фигуре 243 и д. твердом теле в общем случае его движения 284'

при вращении вокруг неподвижной оси 225, 237

точкй 273

—ускорений в твердом теле в об«щем случае его движения 285

Распределительность векторного произведения 39

Реакции опорные балки 27, 28

в шарнирах 26

двухарочной фермы 27

Реакция связи 18

Сателлиты 316, 320

Свободные векторы 45

Связи 18

Связь между «старыми» и《новыми» координатами 113, 122

Сдвиг среды чистый 131, 132

Семейство поверхностей уровня 332

Сила 10, 12

—архимедова (подъемная гидроста* тическая) 141

—гидростатического давления 93

—как вектрр 12

—,модель 12

Сила объемная 105, 138

— поверхностная элементарная 105

一 поворотная (кориолисова) 340

—подъемная 57, 58

— р ашодействующая 22

—трения 18, 74

Силовой миогоуголъник 22, 23

— треупэтиимк 24, 25

Силы внутренние 9, 17, 1G3, 106

—и<жерхж)стиые 1 你5

Символ Кронекера 120

Сймвдетр#ч«ость тензора напряжений

129, 139

Система координат 色&❽黑ютна究 298

гелиоце1ггрическая 143

декартова 196

криволинейная 195

ортогональная 19в

относительная 2Э8

——прэвэя 37

сферическая 197

цилиндрическая 196, 197

€«стемы отсчета 1®

Скаляр физический F24

Скорости екошенття координатных углов (скорости сдвига) 344

Скорость 8

—абсолютная 驼4

угловат 31 学

—в криволкнеймом движении 174— 17в

•прямолинейном гармоническом кояеб;атеж>ж>м доижении 170

ртвиотте ременном движении 1嬲

*сферической системе координат 硼

一——цилиндрической системе координат 201

—линейная (окружная) 216

一 относительная угловая 319

—относительного обвемнотс расширения 345

—переносная 298

угловая 313, 319

一 радиальная 312

— секториальная 虱2

—скольжения 291

— точек среды в переменных Лагранжа 331

•- — - — - Эилсрз 331

*твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси 216

— точки 1&2, >63

—угловая тела 210, 211

Слежение векторов 13

—винтовых движений 3*26

Сложение вращений твердого тела вокруг параллельных осей 313—317 *нер€сека ющихся осей

318

— гармоник одия^-ковой частоты 150 разной частоты 150, 151

—скоростей 302, 3.03

—ускорений 3的，3^7

Совокутгиоетъ сил 13

несходящаяся 71

,статическая эквивалентность 13

сходящаяся 額，51, 71

Соприкасающаяся плоскость IM

Сплошная среда, модель 103

Статжа 7, 8, 12

— абсолютно твердого тела 163

——сплошной деформируемой среды 8, 137

Статическая эквив алентностъсово-

куггности сил 13

Статический момент площади отпоен- тельно оси М, 96

Стрела провисания 26

Тензор антисимметричный (кососимметричный) 121

—второго ранга 以5, 116

—деформаций 340—342

—Леви-Чивита 335

—мультипликатившйй 1L8

— наи^яжоий 117, 129

—поворота 117

—— самоеоьаряженный (симм.етр«вдый) 120

—— скодостей деформаций 341, 344

—— сопряженный {тр.аяслхширшааяый) ИД 129

—сферический (шаровой) 125, 127

——физический 116, 117

Тензорная единица 119, 120

Теорема Вариньона 39

,общая форма 磁

—Гельмгольца 340, 341

——кинематики твердого тела основная 282

— о взаиммоста касательных к^иря- жений 111

проекции геометрической суммы векторов 32

равновесии тепа под действием двух сил 14

•трех сил 24

сложении движений твердого тела 326

скоростей 304

ускорений 307

Теорема Папиа — Гульдина 96, 97

——статики абсолютно' твердого тела

49

—Эйлера 2阻 2S9

Точка основная (полюс) 229, 233, 239,

289

Точки разрыва 1ТЗ

Траектория 8, 145, 163

—навесная 177

— наоиль»а?я 177

Трение верчения 74, 77, 78

—качения 78

—-скольжения 74, 8®, Ш

Трения 唠戸 82

Угловая сквоеп Ж2, 2Ш, 211

Угел атаки 304

—нутации 264

—поворота 2施

—прецессии 263

—смежности 185

—трения 75, 82

—чистого вращения 264

Углы Эйлера 263, 264

Удар жесткий 191

——мягкий 191

Удельный вес 140

Умножение вектора на тензор 118

—тензора на вектор 117, 118

Упругость среды 139

Уравнение вращения тела 210

—конических сечений 202, 203

—М1новенной оси 275

—статики в напряжениях 138

—характеристическое 126

—центральной оси 69, 70, 72

Уравнения движения точки 145

—переносного движения 300

—траектории 145

параметрические 145

—— Эйлера гидростатики 139

—эллипса 155

Ускорение 8, 146

—абсолютное 307

—в криволинейном движении 174— 176

прямолинейном гармоническом колебательном движении 170

■сферической системе координат 201

цилиндрической системе координат 201

一 вращательное 217, 226, 252, 257, 277, 285, 286

—индивидуальное (субстанциональное) 338

Ускорение касательное 188

—нормальное Ь88

— осестремительное 217, 226, 253, 257, 277, 285, 286

—относительное 367

—переносное 2^в

— поворетжое 307

—поступательлдаэе 252, 285, 2 86

—точек среды в переменных Лагпак- ж а 331

конвективное 338

———локалыше 338

——твердого тела, в.р ащающегося вокруг неподвижной ©^и 217, 218, 225, 226

—точки. 162, 165

—угловое 212

—центробежное 105

Условие равновесия абсолютно твердого тела 14

деформируемых тел Е5, 1Ш

вдеальн© теку^# среды 130, 131

плоской совокуттноетй сходящихся сил 33

—физической： объеютишости векторного поля IM, 1 券&

скалярного поля 113

тензорного поля 117

Фаза колебания 147

начальная 147, 150

Фактор затухания 172, 173

Фигуры Лиссажу 154—156

Формула Гаусса — Остроградского 133—135

—кинематики твердого тела основная 225, 284

—Эйлера связи показательной и три* гонометрической функций 147

Формулы Френе 296

——Эйлера распределения скоростей в твердом теле, вращающемся око* ло неподвижной оси 225 точки

272

Центр давления 93

—кривизны кривой 187

циклоиды 193

—момента 36

—параллельных сил 89, 90, 91

—поворота 236

——приведения 64

—тяжести дуги окружности 98, 99

Центр тяжести линии 91, 93, 97

объема 91, 92, 95

поверхности 91, 93, 97

тела 92, 95

трапеции 98

треугольника 97

четырехугольника 97, 98

Центральная ось 66, 69, 72

Центроида неподвижная 248

——подвижная 248

Центроиды в обращенном эллиптическом движении 251

—шатуна механизма антипараллелограмма 251

—эллипсографа 250, 251

Цилиндрическая система координат

196, 197

Частота 147

—вращения тела 210

—круговая колебательного движения

147

Число оборотов 210

Шаг винтовой линии 159

Шарнир Гука 321—324

Шарнир сферический 19, 52

—цилиндрический 19, 53

Эйлера переменные 330

—теорема о перемещении твердого тела вокруг неподвижной точки 269

плоском перемещении фигуры 235

—углы 263, 264

——уравнения гидростатики 139

—формула связи показательной и тригонометрической функций 147

一 формулы распределения скоростей в твердом теле, вращающемся около неподвижной оси 225

точки 272

Эквивалентность статическая пар 43—45

Эксцентриситет 202*

Эллипсограф 159, 229, 230, 246, 261

Эллиптические колеса 220, 221

Якобиан 331

Л. Г. ЛОЙЦЯНСКИЙ, А. И. ЛУРЬЕ

КУРСТЕОРЕТИЧЕСКОЙМЕХАНИКИ

ТОМ ПЕРВЫЙ

СТАТИКА И КИНЕМАТИКА

ИЗДАНИЕ ВОСЬМОЕ,ПЕРЕРАБОТАННОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ

Допущено Министерствомвысшего и среднего специального образования СССРв качестве учебного пособияОля высших учебных заведений

а

МОСКВА «НАУКА»ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ1982

22.21

Л 72

УДК 531

Лойцянский Л. Г., Лурье А. И. Курс теоретической механики: В 2-х томах. Т. 1. Статика и кинематика. — 8-е изд., перераб. и доп. — М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1982.——352 с.

Первый том курса теоретической механики содержит отделы «Статика» и «Кинематика» в объеме требований программ для высших учебных заведений, а также некоторый дополнительный материал.

В курсе, наряду с обычным содержанием отделов статики и кинематики точки и абсолютно твердого тела, приводится расширение предмета теоретической механики з сторону сплошных деформируемых сред, в частности, излагается введение в статику сплошных сред и обобщение теоремы о перемещении и движении абсолютно твердого тела на случай элементарного объема деформируемой и идеально текучей среды.

Курс предназначен для студентов университетов и втузов, а также для аспирантов н преподавателей.

Илл. 233.

Лев Герасимович Лойцянский,Анатолий Исакович Лурье

КУРС ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИтом первыйСТАТИКА И КИНЕМАТИКА

Редакторы 8・ А. Б рост рем, А. Г. МордвиноваТехн, редакторы Е. В. Морозова, С. Я. ШклярКорректоры £. В. Сидоркина, В. Я. Сорокина

ИБ № 12145

Сдано в набор 29.12.81. Подписано к печати 23.08.82. Формат 60 X 90〔/旧 Бумага тип. № 1. Литературная гарнитура. Высокая печать.

Условн. печ. л. 22. Уч.-изд. л. 21,77. Тиране 42 000 экз. Заказ № 18. Цена 1 р.

Издательство《Наука»

Главная редакция физико'математической литературы

117071, Москва, &71, Ленинский проспект, 15

Ленинградская типография № 2 головное предприятие ордена ТрудовогоКрасного Знамени Ленинградского объединения «Техническая книга>нм. Евгении Соколовой Союзполиграфпрома при Государственном комитетеСССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли.

198052, г. Ленинград, Л-52, Измайловский проспект, 29

„ 1703020000—126 …© Издательство «Наука».

Л ― 120-82Главная редакция

Ubo^UZ)-ozфизико-математической литературы,

1982

6 7 7 96 7 7 9222 5 72 5 722222530323422222530323436^^36^^6 0 5 74 5 5 56 0 5 74 5 5 563636568^63636568^

6 7 7 9

6 7 7 9

2

2

2 5 7

2 5 7

222225303234

222225303234

36^^

36^^

6 0 5 7

4 5 5 5

6 0 5 7

4 5 5 5

63636568^

63636568^