ПРЕДИСЛОВИЕ

Настоящий курс лекций по теоретической механике был разработан в 1974 г. профессором Московского государственного университета Михаилом Львовичем Лидовым (1926-1993 гг.) и в течение ряда лет читался им студентам механико-математического факультета. Отличительной особенностью предлагаемого читателю нетрадиционного курса, рассчитанного на два семестра, является удачное сочетание математической строгости изложения материала с физической интерпретацией результатов. Большое место в лекциях уделено разъяснению специальных механических эффектов и приложений к задачам небесной механики. Это та область, которой профессор М.Л. Лидов посвятил всю свою жизнь и в которой достиг блестящих научных результатов. Он стал лидером направления, связанного с теоретическими и прикладными задачами баллистического проектирования и управления полетом космических аппаратов.

Научное наследие М.Л. Лидова составляет гордость Института прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН, в котором он трудился всю свою творческую жизнь. Здесь пришло к нему официальное признание - ученая степень доктора физико-математических наук, присужденная, минуя степень кандидата, звание лауреата Ленинской премии, орден Трудового Красного Знамени. Эта трудовая награда встала в один ряд с воинскими наградами М.Л. Лидова, который, уйдя добровольцем на фронт в 1944 г., закончил войну в победном 1945-м.

Помимо повседневной научно-производственной работы в институте М.Л. Лидов вел большую педагогическую работу в качестве профессора кафедры теоретической механики механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова (с 1966 по 1976 г.) и профессора факультета повышения квалификации МИРЭА* (с 1982 по 1991 г.). Он воспитал многих кандидатов и докторов наук. Круг его научных интересов был очень широк и охватывал многие разделы математики и механики, астрономии и космогонии, теории управления и дифференциальных игр. Многие его работы стали классическими.

Московский государственный институт радиотехники, электроники и автоматики. Ныне - Московский государственный институт радиотехники, электроники и автоматики (технический университет).

М.Л. Лидов - автор 120 научных трудов, и в каждом из них глубина теоретического анализа органически сочетается с исчерпывающими практическими приложениями.

М.Л. Лидов был членом Российского национального комитета по теоретической и прикладной механике. Его доклады на самых представительных конференциях были всегда в центре внимания специалистов.

Много сил и времени М.Л. Лидов отдавал неформальной редакторской работе в академических журналах «Космические исследования» и «Письма в астрономический журнал», был научным редактором раздела «Динамика полета» энциклопедии «Космонавтика».

Все, что успел сделать Михаил Львович Лидов в своей жизни, несет отпечаток его неповторимого таланта и самоотверженного труда.

Оригинальный курс лекций представляет собой фундаментальный труд общим объемом около шестисот машинописных страниц и при жизни М.Л. Лидова не издавался. Можно с уверенностью сказать, что «Лекции по теоретической механике» М.Л. Лидова принесут несомненную пользу студентам, аспирантам, преподавателям, специалистам-механикам, являя собой достойную память этому выдающемуся ученому.

После первого прочтения курса в 1974 г. текст лекций был записан и обработан доцентом кафедры теоретической механики МГУ И.Л. Антоновым, который совместно с М.Л. Лидовым осуществил их начальное редактирование.

Издание настоящей книги было бы невозможным без организационной поддержки руководства Института прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН - в первую очередь академика Д.Е. Охоцимского и профессора Э.Л. Акима.

Большое содействие и активную помощь в подготовке рукописи к набору на различных этапах оказали коллеги и ученики М.Л. Лидова: член-корреспондент РАН В.В. Белецкий, доктор физико-математических наук М.А. Вашковьяк, кандидаты физико-математических наук Г.Б. Ефимов, Р.К. Казакова, Н.М. Тесленко, а также В.А. Ляхова, Т.Н. Круглова и Н.П. Денисова.

Коллеги М.Л. Лидова, готовившие лекции к изданию, редактор и издатель сочли возможным сохранить в основном не только терминологию и стиль автора, но также структуру построения материала.

ВВЕДЕНИЕ

Теоретическая механика - это наука, которая изучает основные закономерности движения (механического движения) материальных тел с помощью математических моделей.

К этому определению следует сделать несколько пояснений.

Обычно в курсах теоретической механики рассматриваются наиболее общие закономерности с ограниченной степенью детализации. Методы теоретической механики являются основой для большинства разделов физики и техники.

В теоретической механике изучается поведение системы, которое обычно описывается сравнительно небольшим числом функций времени. Эти функции удовлетворяют обыкновенным дифференциальным уравнениям. Это одна из границ, которая отделяет теоретическую механику от механики сплошной среды, где поведение системы описывается функциями многих переменных и основным средством описания является аппарат уравнений в частных производных.

Математические модели в теоретической механике служат для описания закономерностей реальных процессов как природы, так и техники. Наиболее существенно, что изучение модели позволяет предсказать качественные или количественные следствия этих процессов.

Всякая модель отражает свойство мира лишь приближенно. Пригодность данной модели для данного круга явлений проверяется экспериментом и оценивается запросами практики. Иногда даже сильно упрощенные (по сравнению с реальным явлением) модели позволяют выявить в результате их анализа некоторые основные закономерности.

Значительное по объему место в курсах теоретической механики занимают методы исследования обыкновенных дифференциальных уравнений. Однако это не вся теоретическая механика. Равноправное по важности место занимает проблема конструирования

математической модели, пригодной для описания данного явления. Это не формальная часть. Для приобретения элементарных навыков в этой области необходимо развивать геометрическую и физическую интуицию. В учебном процессе с книгой и с помощью лекций и упражнений эту интуицию можно приобрести путем разбора и решения некоторых типичных задач. Перевод неформального описания задачи, данного, например, с помощью чертежа и некоторых пояснений на языке формул, заменяет в учебном процессе физические наблюдения или эксперименты.

Глава 1

Введение в динамикусистемы материальных точек без связей

Формальное описание динамической моделизамкнутой системы материальных точек

Задано одномерное пространство R вещественных чисел L Элементы этого пространства t называются моментами времени t е R. Интервал этого пространства будем обозначать Jt и называть интервалом времени.

Задано трехмерное линейное вещественное евклидово пространство R (рис. 1). Элементы этого пространства будем обозначать г и называть радиусами-векторами точки (или векторами положения точки) г е R3. Это пространство R3 будем называть абсолютным пространством.

Производная по времени dv/dt от г (г) называется вектором скорости в момент времени t. Вектор скорости будем обозначать N^tY

v r(t4-h)-r(t)v(0 = hm ——

Сходимость понимается по норме R3.

В координатном представлении

VXOVXO40 = v2(t) , и\^ = ^-, dt40 = v2(t) , и\^ = ^-, dt22veR3.veR3.V3(0V3(0

VXO

VXO

40 = v2(t) , и\^ = ^-, dt

40 = v2(t) , и\^ = ^-, dt

2

2

veR3.

veR3.

V3(0

V3(0

Производная по времени от вектора скорости y(t) называется вектором ускорения в момент времени t. Вектор ускорения в момент времени t будем обозначать буквой w:

w(0 =w(0 =w(t) = limw(t) = limw (0 w2(r)w (0 w2(r)v(r+ /z)-v(r)v(r+ /z)-v(r)wl(t) =wl(t) =hhdu1 dtdu1 dtd2?dt2 ’d2?dt2 ’w e R3.w e R3.

w(0 =

w(0 =

w(t) = lim

w(t) = lim

w (0 w2(r)

w (0 w2(r)

v(r+ /z)-v(r)

v(r+ /z)-v(r)

wl(t) =

wl(t) =

h

h

du1 dt

du1 dt

d2?

dt2 ’

d2?

dt2 ’

w e R3.

w e R3.

Материальной точкой называется пара (г, m), где т - действительное положительное число, называемое массой материальной точки, г - вектор R3, называемый радиусом-вектором материальной точки. В нашей модели масса материальной точки не зависит от момента времени.

Движением материальной точки называется пара (r(/), т), где т - масса точки, г = гД - отображение Jt^ R3. Движение материальной точки определяет вектор скорости, вектор ускорения и ее траекторию.

Мы будем изучать движение системы, состоящей из п материальных точек, занумерованных отрезком натурального ряда: 1, 2, ..., п. Массу ^-й материальной точки будем обозначать через ть ее радиус-вектор - г^. Отображение Jt —> R3 - через r^ = гкД; вектор скорости - yk(tY вектор ускорения - w^Z).

Произведение массы ^-й материальной точки на ее вектор скорости называется вектором количества движения k-й точки (или ее вектором импульса\ Вектор импульса ^-й материальной точки будем обозначать Р^:

(1.1.1)(1.1.1)1‘ = т^к.

(1.1.1)

(1.1.1)

Динамические характеристики модели

Для формального описания модели определим вектор-функ- ции специального вида. Позже мы докажем, что такой вид этих функций может быть получен как следствие достаточно общих экспериментально установленных законов природы.

Рассмотрим функцию ¥у следующего вида:

¥у=(г,-гХ(^^^(1.1.2)

где

(х, у) - скалярное произведение векторов х, у е R3,

1x1 = д/(х,х) - длина вектора х,

/у - скалярная функция трех указанных аргументов, удовлетворяющих условию

fy^M^M^MY(1.1.3)

Определение. Если rz, vz и r^ Nj - радиусы-векторы и векторы скорости z-й и j-й материальных точек, то вектор-функции ¥у вида (2) будем называть функциями типа парного взаимодействия. Из определения ¥ф согласно (2), непосредственно вытекают ее свойства:

I.F^g R3.

Вектор ¥у коллинеарен вектору rz - гу

Ty^r^rj^i^j^

Будем говорить, что определена динамическая модель замкнутой системы п материальных точек без связей, если задана система функций ¥у(1 ^ j) типа парных взаимодействий для i = 1, 2, ..., n;j = 1, 2, ..., п, и движение материальных точек удовлетворяет следующей системе уравнений:

п

т^ = ^^ к =(1.1.4)

J*k

В этом случае мы будем использовать следующие определения:

систему уравнений (4) будем называть уравнениями движения;

вектор-функцию ¥kj будем называть силой, действующей на (материальную) точку к со стороны (материальной) точки j;

сумму F^. = / ¥kj будем называть результирующей силой, 7=1

действующей на материальную точку к;

так как mkd^Yk / dr = mkdxk I dt = dPk / dt, уравнения движе

ния (4) можно записать в следующем виде:

dt

что эквивалентно формулировке:

производная по времени от вектора количества движения k-й материальной точки равна результирующей силе, действующей на эту точку.

Это второй закон Ньютона.

Понятие о моделях незамкнутых систем.Теорема о движении центра масс

Прежде чем начать обсуждение модели динамики замкнутой системы п материальных точек, предварительно обсудим постановку задачи для незамкнутых систем.

Рассмотрим систему п взаимодействующих материальных точек, которые можно разбить на две подсистемы (рис. 3). Будем

называть их системой I и системой II. Пусть системе I принадлежат точки с номерами 1, 2,..., ср а системе II - с номерами q + 1, q + 2, ..., п. Движение этих точек определяется уравнениями

mk^ = vp^\ k = \,2,...,q,(1.2.1)

гдеF« = J Fy, F« = £ Fy;

7=17=4+1

т—^ = F(,) + F(e), s = q + l, q + 2,...,n,(1.2.2)

гдеFf= FSJ, Fy = ^ Fsj.

j=qw7=1

Здесь Fp^ - результирующая сила, действующая на точку к, которая принадлежит системе I (символически к е I), со стороны остальных точек системы I;

F^e) - результирующая сила на точку к е I со стороны всех точек системы II;

F^ - результирующая сила на точку s е II со стороны всех точек системы II;

F^ - результирующая сила на точку s е II со стороны всех точек системы I.

Определения.

Силы парных взаимодействий F^- в системе I (к ^ q, j ^ q) называются внутренними силами для системы I q материальных точек; F^z) - результирующая внутренних сил, действующих на точку к.

Силы ¥kj (к ^ q, j > q\ действующие на точки системы I со стороны точек системы II, называются внешними силами для материальных точек системы I; F^e) - результирующая внешних сил на точку к системы I. Аналогично F^ - результирующая внутренних сил для системы II; F^ - результирующая внешних сил для системы II.

В более общем случае систему п материальных точек можно разбить не на две, а на большее число подсистем. В этом случае внутренними силами называются силы, действующие на точку данной подсистемы со стороны других точек той же подсистемы. Все остальные силы взаимодействий называются внешними для данной подсистемы.

Предположим теперь, что система I - это сравнительно небольшое число материальных точек, движением которых мы интересуемся, а система II, образно говоря, «остальной мир». Из системы уравнений (1) и (2) следует, что движение всех точек обеих систем, вообще говоря, взаимосвязано. И это на самом деле так. Однако в такой общей постановке мы бы не могли решить ни одной задачи механики. Эффективное решение задач достигается за счет того, что в разумно построенной механиче-

М.Л. Лидов

ской модели, во-первых, можно (с точки зрения приближенного описания) пренебречь влиянием точек системы I на «остальной мир» (систему II) и принять

FW=0, S = q*V.,n,

т.е. закономерности движения в системе II могут быть определены заранее независимо от решения задачи о движении q материальных точек в системе I, а во-вторых (с точки зрения возможности решения задачи о движении точек системы I), нас и не интересуют подробности движения в системе II.

Единственное, что нам необходимо, это знать результирующие силы

F« = F«(r„v^), к =

с которыми «остальной мир» действует на точки системы I.

Вид этих сил может быть определен с помощью предварительного решения системы уравнений (2) при F^ = 0 или установлен экспериментально на основе физических наблюдений и сформирован как закон природы.

Так мы приходим к модели, описываемой системой дифференциальных уравнений

т^ = ¥к^\ к = \Л,...Л,(1.2.3)

где Е^ - заданные силы, определяющие влияние «остального мира» на точки системы I. Так как точки системы II могут с течением времени изменять свое положение в пространстве, то в общем случае силы Е^ могут явно зависеть от времени:

Определение. Системы материальных точек с внешними силами называются незамкнутыми.

Если мы рассмотрим замкнутую систему, состоящую из одной точки (г, т), то уравнения движения для такой «системы» имеют вид

т^ = 0.(1.2.4)

dt

Точке (г, т) не с чем взаимодействовать. Решение (4) имеет вид

d\drz х

= o^v = vo — = v0 ^r = v0(r-r0) + r0,(1.2.5)

dtdt

где r0, v0 - постоянные векторы.

В координатном представлении решение (5) имеет вид

г1 = v ^(t-^о) + Го, / = 1,2,3.

Это - уравнение прямой в R3 в параметрическом виде (параметр t). Мы получили, что изолированная материальная точка движется прямолинейно и равномерно (vl0 = const, i = 1,2,3).

Для незамкнутой системы (3) задача о движении одной материальной точки (г, т) более содержательна. Этой задаче соответствует следующая система дифференциальных уравнений:

m =FW(r,v,O,(1.2.6)

dt

где F(e) - результирующая внешних сил, действующих на точку (г, т). В случае незамкнутой системы на точку (г, т) действует «остальной мир».

Для пояснения сформулируем простейшую задачу о движении материальной точки вблизи поверхности Земли под действием внешней силы.

Еще Галилеем был открыт закон, который в наших терминах формулируется следующим образом. На материальную точку массой т вблизи поверхности Земли в окрестности фиксированной точки О действует постоянная сила, направленная примерно перпендикулярно поверхности Земли и пропорциональная массе точки (рис. 4). В векторной записи

F^=-mgn°,(1.2.7)

§ = 9,8 м/с2 - постоянная (коэффициент

пропорциональности), п° - единичный век-рИс. 4

тор, направленный по внешней нормали к поверхности Земли.

Уравнения движения материальной точки массой т в этом случае имеют вид

(1.2.8)(1.2.8)d2v о

(1.2.8)

(1.2.8)

dVd2r2dV )

т —5- = т —5- = U,т —5- = -mg .

dt2dt2dt2

Формула (7) дает приближенное выражение результирующей для сил гравитационного взаимодействия рассматриваемой материальной точки (г, т) с материальными точками, из которых состоит Земля. Позже мы получим более общее выражение для этой силы.

Следует подчеркнуть, что формальная картина с учетом всех взаимодействий более сложна. Не только Земля оказывает влияние на движение материальной точки, но и точка (г, т) оказывает влияние на движение Земли. Однако изменение координат и вектора скорости Земли за счет влияния малой массы т ничтожно, оно не обнаруживается при экспериментах и не учтено в (7) и (8).

Введение в механические модели внешних сил существенно расширяет возможности описания различных процессов. Внешние силы могут быть практически любыми функциями времени. Для примера укажем на одну из моделей с внешней силой. Материальной точке (г, т) «внешний мир» с помощью «ниточки» сообщает ускорение F^^^/m, где F^(t) - заданная вектор-функция времени (рис. 5). Модели такого типа тоже описывают некоторые реальные движения.

Теорема о движении центра масс системы материальных точек.

Определение. Пусть (rz, mz), i = 1, 2,..., s - некоторая система выделенных материальных точек.

Радиусом-вектором центра масс этой системы называется вектор г*, вычисляемый по следующей формуле:

(1.2.9)(1.2.9)*1 V

(1.2.9)

(1.2.9)

Г =— > т^т и

где т* = / mz - сумма масс этих точек.

/ = 1

Точка R3, определяемая радиусом-вектором г*, называется центром масс системы

Пусть (гь т^ k = 1, 2,..., п - система материальных точек, находящихся под действием сил парных взаимодействий друг с другом и внешних сил F^\ к = 1, 2,..., п. Уравнения движения

такой системы имеют вид

^=^^е\ к = \Л,...,п.^=^^е\ к = \Л,...,п.(1.2.10)(1.2.10)

^=^^е\ к = \Л,...,п.

^=^^е\ к = \Л,...,п.

(1.2.10)

(1.2.10)

Лемма 1. Сумма внутренних сил, действующих на все точки системы, равна нулю.

Доказательство.

(1.2.11)(1.2.11)f(,)=E С=Х 2 гу=0-

(1.2.11)

(1.2.11)

^=1^ = 1 7=1

j*k

Последнее равенство следует из условий: ¥kj = -¥jk.

Теорема о движении центра масс системы. Центр масс системы п материальных точек движется как двигалась бы материальная точка массой т*, равной сумме масс всех точек системы, расположенная в центре масс системы, под воздействием суммы внешних сил, действующих на все точки системы.

Доказательство. Просуммируем (10) по к от 1 до п*.

ткткd\k dt1d\k dt1_ d1 dt^ ш ^=1_ d1 dt^ ш ^=1ткГк=^2^т*Гд =ткГк=^2^т*Гд =

тк

тк

d\k dt1

d\k dt1

_ d1 dt^ ш ^=1

_ d1 dt^ ш ^=1

ткГк=^2^т*Гд =

ткГк=^2^т*Гд =

И * пп

Так как ^ ¥^ = 0, то

k=i

(1.2.12)

dt

где ¥^ ="^ ¥^.

k-i

Определение. Сумму внешних сил F(e) называют результирующей силой, действующей на систему.

Теорема о движении центра массы замкнутой системы. Центр масс замкнутой системы движется равномерно и прямолинейно.

Доказательство. Для замкнутой системы F^ = 0; k = 1, 2,...,п. Поэтому

^ ®* /л dlf *** /\ о 0.

— = 0 —>= V = const —> Г = V Ц - tА ) + г , г = const.

d? dt°

Несмотря на тривиальность доказательства, это чрезвычайно важные для механики теоремы. Позже мы докажем еще несколько столь же общих теорем. Теорема о движении центра масс системы приведена здесь для пояснения сути разделения сил на внутренние и внешние. Эта же теорема, как мы покажем позже, важна для уточнения физического содержания абстрактного понятия материальной точки.

Системы координат.Инерциальные системы координат

Для механики существенны две интерпретации трехмерного линейного евклидова пространства R3: геометрическая и арифметическая. Пусть О - фиксированная точка абсолютного пространства (рис. 6). Положение произвольной точки М в этом же

Рис. 6Рис. 6пространстве при геометрической интерпретации R3 определяется направленным отрез

Рис. 6

Рис. 6

ком г = ОМ, называемым вектором. Три исходящие из точки О взаимно ортогональные и одинаковой длины направленные отрезка еь е2, е3 образуют в R3 ортонормированный репер. Длина векторов ez принимается за единицу длины.

Совокупность Е = (еь е2, е3) называется орто нор мир о ванным репером (или просто репером), координатным репером декарто

вой системы координат. Векторы ez называются координат

ными ортами (или просто ортами).

Как известно, произвольный вектор г е R3 можно разложить

по векторам репера:

(1.3.1)(1.3.1)г = г^ + г2е2 + г3е3,

(1.3.1)

(1.3.1)

где г1, г2, г3 - вещественные числа, называемые координатами

вектора г относительно репера Е, г1 = (г, ez) - проекция вектора г на орт еь

Упорядоченная совокупность трех координат г1, г2, г3 вектора г образует вектор арифметического евклидова пространства R3. Этот вектор мы будем обозначать буквой г и называть координатным вектором (или иногда просто координатами).

Обычно координатный вектор г мы будем записывать в виде матрицы размера 3x1 (матрицы с тремя строками и одним столбцом):

г

г= г2 .(1.3.2)

И

Используя знак транспонирования матриц «т», можно вектор г представить записанным в строчку, как матрицу размера 1x3:

гт = (г* ,г2 ,г3).

Такая запись занимает меньше места, и мы будем иногда ее использовать.

Предполагается, что читатель знаком со всеми основными понятиями обеих интерпретаций R3.

Положение точки М можно задать относительно другой системы координат, другого репера.

Поскольку все основные операции в дальнейшем будут производиться с координатными векторами (числами), то необходимо установить соответствие между геометрическими преобразованиями репера и изменением координат вектора, определяющего положение фиксированной в абсолютном пространстве произвольной точки М относительно преобразованного репера.

Преобразование поворота

Пусть Е = (ё, ё2,ё3) - другой ортонормированный репер, начало которого О совпадает с началом репера Е. Сформулируем некоторые утверждения, доказательство которых предполагается известным.

Положение репера Е относительно репера Е может быть задано квадратной матрицей А размера 3x3:

А =А =А1А*А1А*А2 АА2 АААЧЧЧЧА АА А3 1233 123АААА= (АА= (АА(1.3.3)(1.3.3)

А =

А =

А1

А*

А1

А*

А2 А

А2 А

А

А

Ч

Ч

Ч

Ч

А А

А А

3 12

3

3 12

3

А

А

А

А

= (АА

= (АА

(1.3.3)

(1.3.3)

где j - номер столбца, i - номер строки.

Элементы z-й строки определяют координаты орта ё- репера Е относительно репера Е:

ё,=^Уер / = 1,2,3, У =<ё^\(1.3.4)

7=1

Матрица А - ортогональная матрица:

ААТ=АТА = 1,(1.3.5)

где Ат - транспонированная матрица А,

а о (А

/=010/=010- единичная матрица размера 3x3.

/=010

/=010

10 0 U

(1.3.6)(1.3.6)Координаты

(1.3.6)

(1.3.6)

гт = (г1,г2 А3)

вектора г относительно репера Е связаны с координатами г относительно репера Е формулами

г=Аг, г = А'г(1.3.7)

(Аг - произведение матрицы А размера 3 х 3 на матрицу г размера 3 х 1), или в более подробной записи

_33_

г7 = ^ A'jr , f7 ~ ^ A’rJ.(1.3.8)

Z=1Z=1

Для любых векторов х, у е R3

(Ах, Ау) = (х, у).

Для ортогональной матрицы

detA = ±l.(1.3.9)

При detA = +1 реперы Е и Е называются ориентированными одинаково, а преобразование реперов Е—^-^Е называется преобразованием поворота (или собственным преобразованием}. Матрицу А в этом случае будем называть матрицей поворота.

Преобразование поворота при А - I называется тождественным (или единичным?) преобразованием. При detA = -I преобразование называется несобственным.

Рассмотрим однопараметрическое семейство ортогональных преобразований, определяемых ортогональными матрицами

А(т) = (А/(т)), те[а,Р],(1.3.10)

причем

А(а) - I - единичное преобразование, А(|3) = А - заданное ортогональное преобразование.

Справедливы следующие теоремы:

если А - несобственное преобразование, то среди функций А](т), (т е [а, |3]) имеются разрывные;

всякое преобразование поворота А может быть получено непрерывным (и даже гладким) изменением из единичного; при этом гладкость преобразования определяется минимальным числом производных по т элементов матрицы А(т).

Произведение преобразований поворота есть снова преобразование поворота.

Пусть г - координаты вектора {г} е R3 относительно репера Е.

Рассмотрим соотношение

г' = Вг,(1.3.11)

где В - квадратная матрица размера 3x3.

Мы можем рассматривать г' как координаты вектора {г'} относительно Е. Тогда (11) задаст линейное преобразование R3 —> R3 векторов. При этом В - матрица этого преобразования.

Перейдем к другому реперу Е =(ё^ё2Аз)^ определяемому относительно Е матрицей А. Обозначим через г' и г координаты векторов г' и г относительно репера Е.

Так как

г' = А/ и г = Аг,(1.3.12)

то

г' = АВг, г' =АВА^г.(1.3.13)

Формула (13) определяет то же самое линейное преобразование векторов относительно репера Е. При этом матрица этого преобразования X вычисляется по формуле

Х-АВА^.(1.3.14)

Пусть В - произвольная квадратная матрица, А - ортогональная матрица того же порядка.

Рассмотрим матрицу X = АВХ.(1.3.15)

Следом (Sp) произвольной квадратной матрицы называется сумма ее диагональных элементов.

1,i = к.0,i к.1,i = к.0,i к.Утверждение. След матрицы X равен следу матрицы В. Докажем это утверждение. Распишем подробно условие (5) АТА = Г.

1,i = к.

0,i к.

1,i = к.

0,i к.

7=17=1

Запишем теперь выражение для следа матрицы X: пп п п

z=lz=l 7=1 k=l

=£ 15)t w=t t BkAk=t вк=^в- d--16)

7=1 k=l z=l7=1 k=lk=l

Определение. Если матрица поворота А изменяется с течением времени А = А (г), то будем говорить, что репер Е вращается относительно репера Е.

направления ортов (рис. 7). Обозначим

через а вектор ОО*. Обозначим новый репер Еа = (еь е2, е3). Это преобразование будем называть параллельным переносом репера, определяемым вектором а.

Из рисунка легко получить, что координатный вектор г точки М относи

тельно репера Еа связан с координатным вектором г той же самой точки М относительно репера Е простым соотношением

г = г - а,г = г - а,(1.3.17)

г = г - а,

г = г - а,

где а - координаты вектора {а {относительно репера Е (или ЕА- В подробной записи:

-111-222-333

г -а, г = г -ос , г = г -ос ,

где (а1, а2, а3) = ат.

Определение. Если вектор а является функцией времени a(Z), то будем говорить, что репер Еа перемещается поступательно относительно репера Е.

Инерциальные системы координат

Пусть репер Е^ получен из репера Е путем последовательных преобразований поворота с матрицей А и параллельного переноса на вектор а:

Пусть г - координаты произвольной точки М относительно Е, г - координаты точки М относительно Еа (проекции г -

- а на орты репера Е^^

cl - координаты вектора а относительно Еа (проекции а на орты репера Еа\

Теорема. 1) координатные векторы гиг связаны соотношением

г = Аг-а;(1.3.18)

соотношение (18) остается справедливым при изменении порядка преобразований.

Докажем второе утверждение. Рассмотрим суперпозицию преобразований

Обозначим через а координаты вектора относительно исходного репераЕ.

После первого преобразования получим:

г' = г - а, г' - координаты точки М относительно Еа.

После второго преобразования:

г = Аг' = Аг - Аа.

Но А а = а - координаты вектора а относительно репера Е^. Следовательно, доказано, что

г = Аг- а.

В общем случае, который мы будем рассматривать позже, матрица поворота А и вектор а могут быть достаточно сложными функциями времени.

Сейчас мы рассмотрим специальное семейство реперов, которое описывает так называемые инерциальные системы координат.

Определение. Пусть репер Е определяет абсолютную систему координат в R3.

Будем говорить, что репер Е^ определяет инерциальную систему координат, если:

матрица А преобразования поворота Е—^-^Е нс зависит от времени:

— = 0;(1.3.19)

dt

ускорение

^ = 0.(1.3.20)

dt

Из определения следует:

doc/dt = Vq - постоянный вектор, а = v0G - t^ + а0, °C - постоянный вектор, или в подробной записи

a1 =Vo(r-zo) + ao,...,ao =Vo(t-t0) + a30.

Иначе говоря, система координат Еа движется, во-первых, поступательно, а во-вторых, равномерно и прямолинейно относительно Е.

Теорема. Уравнения движения замкнутой системы материальных точек нс изменяются при описании движения в любой из инерциальных систем координат Е^.

Доказательство. Уравнения движения имеют вид

п

^^kp ^ = 1,2,...,и,(1.3.21)

7=1

^kj ^k Yj Mkj ^Dkj ^kj ^kj )’

^ =irk-rj b 4kj =i^k-vj k C=<rk -^k ~vd-

Пусть

rk = Ark - a, Yj = Ayv - a, dot / dt = v0 = const,

_ drk .__ dr _

vk=-r = Avk"^ vj=-T = Avj-vo- dtdt

Так как матрица А ортогональная, то для любых векторов х и у имеет место равенство скалярных произведений:

(Ах, Ау) = & у).

Поэтому

1^-г,. 1=1 A(r^-r.)|= ^кр|=|A(v^-vy)|=

<^ - yp vk= {АЦк - г.), A(vk - vy )> = ^kj.

Умножим (21) на матрицу A (detA ^ 0) и воспользуемся условиями

^ = 0. ^ = 0.

dt dt2

d1^ d^Ark d2d2rk

mkA—Hr = mk —72 = mk ~n^Ark ~o0 = mk —f-,k dt2 k dt2 k dt2 k k dt2

АЦк-г^ = ^к-Гр

В результате получим

п

тк^ = 11^к-гр/к^кг1^(1.3.22)

4. Однородность и изотропность пространства

Пусть (Г/, mz), i = 1, 2,..., п - все материальные точки нашей замкнутой системы, rz - координатные векторы, mi - массы точек. Применим ко всем координатным векторам преобразование поворота с матрицей А и преобразование параллельного переноса на вектор а, причем dA/dt = 0, doc/dt = 0. Тогда

r=Arz-a,(1.3.23)

Теперь соотношению (23) дадим другую интерпретацию.

Под г мы можем понимать координаты точек системы относительно исходного репера Е, если все радиусы-векторы точек повернуть вокруг начала координат и сдвинуть на постоянный вектор -а.

Рассмотрим движение системы с координатами точек rk(f) и скоростями yk(f) и движение системы с координатами точек rfc У) и скорости Nky\ Мы знаем, что преобразование (23) нс изменяет уравнений движения. Следовательно,

Так как уравнения движения обеих систем одинаковы, то во все время движения

Таким образом, относительное движение точек в обеих системах протекает совершенно одинаково, хотя в этих двух процессах оно происходит в различных областях абсолютного пространства.

Это свойство определяет изотропность пространства (независимость от переноса всей системы в другую область пространства путем поворота) и однородность пространства (независимость процесса от параллельного переноса всей системы).

Основные законы механикии принцип относительности Галилеяв модели замкнутой системы материальных точек

Чтобы не разрывать основную тему лекции, докажем сначала два вспомогательных утверждения, которыми будем пользоваться.

Лемма 1. Пусть/(х, у) - скалярная функция двух векторных аргументов х, у g R3, удовлетворяющая равенству

/(х,у)=/(Ах, Ау)

при произвольной матрице поворота А.

Тогда Дх,у) = /(| х |,| у |,(х,у», где / - векторная скалярная функция указанных аргументов.

Доказательство. Матрица А определяет преобразование координатных векторов при преобразовании реперов

Е = (е],е2,е3)—= (е1?е2,е3).

Выберем репер Е так, чтобы орт ^ был коллинеарен и одинаково направлен с вектором х, а орт ё2 лежал в плоскости вектора х и у. В этом случае

х = Ах =х = Ах =У = Ау =У = Ау =

х = Ах =

х = Ах =

У = Ау =

У = Ау =

где х =| х |9 у1 = <у9 х> / | х | - проекция вектора у на орт ер у - Vl У |2 “(у1)2 “ проекция вектора у на орт ё2.

Из вида х1, у1 и у2 следует, что

F(x, у) = f (V, у1, у2) = f (| х |,| у |,(х, у)).

Теорема. О структуре функций, инвариантных относительно преобразований Галилея. Пусть/(хь х2, уь у2) - скалярная функция четырех векторных аргументов xb х2, yb у2 е R3.

Предположим, что равенство

Ж, х2, У], у 2) = КАхх + а, Ах2 + а, Ау, + и, Ау2 + и)

выполняется при произвольных векторах а g R, u е R3 и произвольной матрице поворота А.

Тогда

/ = /(I X, - Х2 I, | у, - у2 |, <х, - х2, У! - у2 »,

где / - некоторая скалярная функция трех указанных скалярных аргументов.

Доказательство. Положим а = Ахъ и = -Ау2. Тогда Ж, хъ уь у2) = /(А(Х! - х2), 0, А(у! - у2), 0), где А - произвольная матрица поворота. Согласно лемме 1,

/(А^ -х2),0,А(У1 -У2),О) = /(I х, -х2 |,| ^ -у2 |,(х, -х2,у, -у2».

Основное содержание модели замкнутой системы материальных точек заключено в структуре уравнений движения

п

т.л=^г»=г*'<L4J)

^=lrl-r,|.^.A,=.f,^ (1.4.2)

Сейчас мы докажем, что вид уравнений (1), (2) (структура правых частей) может быть получен, исходя из некоторых общих экспериментальных законов: принципа относительности Галилея и принципа детерминированности.

системы:

rT =(r11,r12,r13,r21,...,r„3),

vT ^г^2^3^--.^)’ ui=^S (L4-3) at

y^R3”, neR3”, R3n = R^Rb^x^t-

Принцип детерминированности (ПД)

Начальное состояние системы однозначно определяет дальнейшее ее поведение.

Лемма 2. Из принципа относительности и принципа детерминированности следует, что ускорение любой точки системы в любой момент времени зависит от состояния системы и нс зависит от момента времени.

Доказательство. Из принципа детерминированности следует существование однозначных всктор-функций

х df zх

r=f(Z-Z0,r0,V0), v = — (Z-Z0,r0,v0), ot

f(O,ro,vo) = ro, —=v0,

t=t0

зависящих от момента времени t и состояния системы r0, v0 в начальный момент времени t0.

Дважды дифференцируя функции f по времени, получаем

t/2r d2fхZ1 „

-Т2=Зл=ф<1-^гоЛо\(1.4.4)

at ot

d2v dt2d2v dt2Запишем соотношение (4) при t=t0:

d2v dt2

d2v dt2

= Ф(г0,У0Х(1-4.5)

где

Ф(го,Уо) = Ф(О,го,уо).

Соотношение (5) определяет ускорение точек системы в момент времени t в зависимости от состояния системы в момент

М.Л. Лидов

времени t0. Но законы природы, согласно принципу относительности, нс зависят от момента времени. Отсюда следует справедливость (5) для произвольного момента времени:

—— = Ф(г, v).dt

Представим последнее векторное уравнение для г е Rn как систему векторных уравнений для движений отдельных точек системы:

^2Г

-^ = Ф(г1,г2,...,гп,¥1,У2,---Л„),(1.4.6)

^ = 1,2,...,и, rk,vkeR3, ФкеГ.

Полученный вид системы уравнений (6) и доказывает утверждение леммы 2.

Сформулируем теперь следующие эмпирические законы (аксиомы), которые называются основными законами механики.

Первый основной закон (1-3) (закон инерции).

Всякое ускорение материальной точки определяется действием других материальных точек.

Второй основной закон (П-З).

Две материальные точки сообщают друг другу ускорения, направленные вдоль прямой, их соединяющей.

Третий основной закон (Ш-З) (закон действия и противодействия).

Для двух произвольных материальных точек произведение массы первой точки на ускорение, сообщаемое ей второй точкой, равно по величине и противоположно по направлению произведению массы второй точки на ускорение, сообщаемое ей первой точкой.

Четвертый основной закон (IV-3).

Ускорение, сообщаемое материальной точке (r7, т7) всеми другими точками системы, равно векторной сумме ускорений, сообщаемых отдельными точками системы. При этом ускорение, сообщаемое каждой отдельной точкой, нс зависит от ускорений, сообщаемых другими точками системы.

Для дальнейшего анализа возьмем в качестве исходного выражение (6) ускорения ^-й точки системы.

Обозначим через

%=^Yk’YPNk^O(1.4.7)

ускорение, сообщаемое точке к точкой j.

Из (1-3) и (IV-3) следует, что

_А = ф^=^фу, к = \Л,--Л.(1.4.8)

Первый закон гарантирует, что никаких других членов, кроме Фкр сумма нс содержит.

Из (IV-3) также следует, что если мы оставим в системе только две точки к и j (сохранив значения гь уь r7, v7), а остальные точки исключим из системы (иногда говорят: удалим их на бесконечность), то значения функций Ф^, Ф^не изменятся.

Рассмотрим систему, состоящую из двух точек к и j. В этом случае

^2Г

^ = фкМ^Лк,^У(1.4.9)

Согласно (П-З), ускорение Ф^ может быть представлено в следующем виде:

^2Г-

-^ = фк^к"Т)ЖТк^к^(1.4.10)

где fkj - скалярная функция. Множитель (г^ - г7) определяет прямую действия ускорения.

Согласно ПО, законы природы и, в частности, ускорение точки к в системе двух точек к и j должны быть одной и той же функцией состояния системы независимо от того, в какой из инерциальных систем координат описывается движение.

Перейдем к описанию задачи в некоторой другой инерциальной системе координат.

Обозначим:

г^ и г., у.- координатные векторы положения и вектор скорости точек к и j относительно новой системы координат.

Как мы знаем, они связаны с гь..., Nj соотношениями

rfc = AYk + a, Tj = Ayv + а, Nk = Ank + u, Nj = An. + u,

(1.4.11)

где а и u = doc/dt - произвольные векторы (мы рассматриваем все векторы в один момент времени), А - любая матрица поворота

dA _ du _ q

dt dt

Подставим соотношения (11) в (10). В результате получим

d^Y __ -____

А-^АСг.-гдуАг.+а. Ar-+а, Av^+u, Av+u), dt

(1.4.12)

или, так как detA Ф 0,

~T = f ~rj)fkj(Ark +«,...,Av. + u).(1.4.13)

dtJ

Согласно ПО, необходимо, чтобы значение правой части (13) при Yk =Yk. Yj = y^ Nk = Nk. Nj = n- совпадало co значением правой части (10).

To есть необходимо, чтобы

МАМ^--->А^^ =(1.4.14)

Используя (1.1.2), получим, что функция fkj должна иметь следующий вид:

fkj Г ’ rj= ^kj ’ У Лу),(1.4.15)

где

^'=1^-гуЬ Пу =|vt-vj, ^=(гк-г},Ук-^}>,

и ускорение точки к представимо в виде

-^A = <Xk-^kj^kjMkj^kd-

Теперь воспользуемся (Ш-З). Запишем его содержание с помощью уравнения

тМ-Vj^kj^kjMkj^kd^^j^j-rk^kj^kjMkj^P- (1.4.16)

Мы воспользовались равенствами

I Yk-Yj I = I r7-rj ИТ.Д.

Из последнего соотношения следует

тк«?к^, П, 0 = т/р7Д, П, 0-(1.4.17)

Обозначим:

^М^ПЛ)=ЛД,1ЪО-(1.4.18)

Из (17) следует, что fkj —

Вернемся к системе уравнений (8). Умножим левую и правую части (8) на тк и воспользуемся установленной структурой функции Ф^. В результате получим

где к = 1,2,...,п, fkj=fjk.

Таким образом, доказана следующая теорема. Для замкнутой системы п материальных точек вид уравнений движения (1), (2) и в том числе структура правых частей уравнений (сил), определяются общими законами природы, установленными на основании физических наблюдений и экспериментов:

Принципом относительности Галилея.

Принципом детерминированности.

Основными законами механики.

Фазовое пространство

Уравнения динамики замкнутой системы п материальных точек можно записать в следующем виде:

— = F(r,v),(1.5.1а)

dt

dr

— = v,(1.5.16)

dt

где

rT = (r11,r12,...,r„3), vT = (v ,v

vj=1lLneb?».

' dt

Такой же вид будут иметь уравнения и незамкнутой системы, если внешние силы явно нс зависят от времени.

Определение 1. Пространство R3n, элементами которого являются векторы г, называется конфигурационным пространством.

Рис. 8Рис. 8Определение 2. Пространство №п = R3n х R3n, элементами которого являются векторы состояния системы (у, г), называется фазовым пространством (рис. 8), а совокупность 6п координат (у, г) - фазовыми координатами.

Рис. 8

Рис. 8

Рис. 9

Мы будем предполагать, что правые части (силы) таковы, что на интервале времени Jt справедливы утверждения теоремы существования и единственности для системы дифференциальных уравнений. Согласно этой теореме, если в момент времени t0 g Jt заданы начальные условия r0, у0 то уравнения (1) определяют единственным образом значения г, у для достаточно близкого момента времени Г. t е Jp г = r(t -t0, r0, v0), у = y(r -t0, r0, v0). Решение системы (1) определяет отображение Т: Jt —> R6n, которое можно интерпретировать как движение точки фазового пространства r(/), v(r). Образ интервала Jt в R6n называется фазовой траекторией. В силу единственности решения фазовые траектории нс пересекаются.

Понятие фазового пространства - это общее понятие для систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

Введение самостоятельного понятия о конфигурационном пространстве в механике связано со спецификой правых частей уравнений (16).

Координатную часть движения г (г) можно рассматривать как движение точки в конфигурационном пространстве R3n. Образ Jt в R3n будем называть траекторией движения в конфигурационном пространстве.

Траектории в конфигурационном пространстве уже могут пересекаться (рис. 9). Однако исследование характеристик траектории только в конфигурационном пространстве представляет часто самостоятельный интерес при изучении различных явле-

ний. Если внешние силы явно зависят от времени, то уравнения движения имеют вид (2):

— = ¥(глА(1.5.2а)

dt

^ = n,(1.5.26)

dt

где правые части явно зависят от времени.

В этом случае можно применить искусственный прием, записав уравнения (2) в следующем эквивалентном виде:

^7~Fr‘V,T’ - = v, - = 1.(1.5.3)

и использовать утверждения теоремы о единственности решений применительно к системе (3).

В случае, когда правые части явно зависят от времени, теорема единственности решения верна только в пространстве 6п + 1 измерения, в так называемом расширенном фазовом пространстве.

Определение 3. Прямое произведение фазового пространства и вещественной оси R времени t

R6n+l_R6n xR

называется расширенным фазовым пространством.

Определение 4. Расширенным конфигурационным пространством R?n*x называется прямое произведение конфигурационного пространства и вещественной оси R времени t

R3-+l=R3n xR

О движениях в подпространствах

Рассмотрим систему уравнений динамики точек в случае сил парных взаимодействий, записанную покомпонентно:

тк^ = ^1Гк-ГМр< = 1,2,3,

Этой системе уравнений, в частности, удовлетворяет некоторое решение, у которого для всех £=1,2,..., п на интервале

времени Jt:

rk(t) = vk(z) — 0 и в общем случае

гДг)^О, ^(0^0 ПРИ z - L 2.

Такое движение происходит в плоскости г3 = 0 и называется плоским или двумерным.

В случае плоского движения необходимо, чтобы в начальный момент времени t0

= к = \,2,-,п.

В силу теоремы единственности решения системы дифференциальных уравнений этих условий и достаточно, чтобы движение было плоским.

Плоскость движения нс обязательно должна совпадать с плоскостью г3 = 0.

Если в начальный момент все векторы г^(Г0) и v^0) принадлежат некоторой плоскости, то можно с помощью преобразования поворота гк = Агк, vk = А^к перейти к системе координат, в которой fk(t0) =vk (tQ) = 0 (это упражнение).

Аналогично вводится понятие об одномерных движениях. Если в начальный момент времени для к = 1, 2,..., п и i = 2, 3 rk(t0)=vk(t0) = 0 и, вообще, говоря, rk(to)^O, vk(to)^O, то движение системы будет происходить вдоль прямой г2 = г3 = 0 (оси Or1).

Пояснения к физическому содержаниюнекоторых понятий

Лучший способ объяснения физического смысла введенных при описании модели понятий - это четко объяснить процедуру их измерения (точнее, с удовлетворительной степенью приближения).

Однако это очень сложно и на начальном этапе изучения механики сделать это без существенных упрощений невозможно. Дело в том, что методы измерения очень больших или очень малых интервалов времени, больших расстояний, масс и сил связаны, в частности, с решением некоторых, достаточно сложных задач механики и используют при этом ее постулаты. Поэтому обсуждение этих вопросов лучше отложить до того, как будут рассмотрены следствия, вытекающие из анализа механических моделей.

Однако самые грубые пояснения для начальных представлений дать необходимо.

Время

Пока можно принять обыденное представление о времени как о величине, небольшие интервалы которой можно измерять с помощью исправных часов (или хронометра), и, таким образом, попытаться представить себе некоторые идеальные часы, позволяющие измерять большие отрезки времени.

Надо понимать, что время (интервал времени) - это объективная характеристика, а не только вспомогательный параметр, который служит независимой переменной в дифференциальных уравнениях движения.

Пусть процесс описывается дифференциальными уравнениями

J2r( dv\

—- = Ф г,— , где г,— - состояние системы.

Л2 I dt) V dt)

Если при наблюдениях этого процесса пользоваться в качестве часов прибором, который показывает не время t, а некоторую величину т(Г), то по отношению к т движение системы будет описываться уже другими уравнениями:

11J2r drх < Jr „ . .

1

1

■^Г + ^7^(Т) = Ф Г^Л(^) dtdt\dt

ri / x г f x d тdT

dtdt

и закономерности движения будут другими, если dv/dT и dh/dx1 интерпретировать по-прежнему как скорость и ускорение.

Еще одно предварительное пояснение. В классической (ньютоновской) механике предполагается, что никакие процессы не влияют на работу идеальных часов. В этом смысле говорят, что «время в ньютоновской механике абсолютно».

Абсолютный (инерциальный) репер

Здесь необходимо пояснить два вопроса.

Для начала можно принять, что, находясь на Земле, мы построим декартову систему координат, орты которой параллельны ортам некоторой инерциальной системы координат, если они взаимно ортогональны и сохраняют неизменную ориентацию относительно далеких звезд. Если представить, что ось телескопа определяет направление орта ez этой системы координат, то телескоп необходимо вращать относительно Земли так, чтобы звезды в поле зрения телескопа (на пластинке) не смещались.

Не всегда возможно указать, в какую точку надо поместить начало этой системы координат, чтобы она была заведомо неподвижной или двигалась равномерно и прямолинейно относительно абсолютной. Мы знаем, что система, связанная с Землей, заведомо не инерциальна, хотя часто этим можно пренебречь.

Как мы поясним позже, инерциальные (абсолютные) системы координат - это удобное понятие для постановки задач механики. Однако нас интересует движение тел друг относительно друга, а не относительно некоторой гипотетической абсолютной системы координат. Оказывается, что эту задачу (описание относительного движения) можно решить, либо не выясняя, какая из систем инерциальна, либо в процессе решения задачи найти точку, которая, с точки зрения модели и с точностью самой модели движется равномерно и прямолинейно относительно инерциальной системы координат.

Масса

Если мы будем описывать любой предмет, то мы можем указать много его характеристик. Размеры, форму, вес в данном месте Земли, материал, из которого он сделан, его температуру в данное время и т.д.

Одной из таких наиболее важных для механики характеристик является свойство каждого предмета (тела) обладать массой.

Из уравнений движения следует, что ускорение - это сила, деленная на массу:

d^v / dt1 = ¥k /тк.

Если сила задана и фиксирована, то ускорение тела с большей массой меньше. Так как свойство тела в отсутствие сил двигаться равномерно и прямолинейно (без ускорения) называется инерцией тела, то говорят, что масса есть мера инерции тела.

В основных моделях классической (ньютоновской) механики масса тела не изменяется со временем, не зависит от характеристики движения - это константа данного тела.

Если два тела, имеющие массы тх и тъ мы объединим в одно, то его масса т будет равна сумме масс: т-тх + т^.

Из школьного курса физики известно, что массу небольших тел можно измерять (сравнивать) по весу тела в данном месте на Земле. Но не следует путать массу тела и вес тела. Наиболее строгое содержание понятия массы в классической механике следует из формального рассмотрения масс неизменяемых тел как некоторых постоянных, входящих в уравнение движения, и которые, как потом поясним, можно определить из наблюдения за механическим процессом, в котором участвует данное тело.

Материальные точки

Иногда оказывается, что при рассмотрении системы взаимодействующих тел, при изучении основных закономерностей их движения можно пренебречь протяженностью этих тел (или, как мы покажем позже, следить за движением только одной точки тела, например его центра масс), но нельзя пренебречь массой, содержащейся в теле. Идеализируя эту ситуацию, можно иногда считать, что вся масса тела сосредоточена в точке. Так в механике приходят к наиболее простой модели точечного объекта.

При этом существенно протяженные тела оказывается удобным описывать в моделях как систему материальных точек. На этом мы тоже остановимся в дальнейшем. Возможность для описания данной физической задачи использовать модель материальной точки должна подтверждаться анализом задачи.

О размерности физических величин

Указать значение физической величины - это значит, сказать во сколько раз данная величина больше или меньше другой аналогичной величины, принятой за единицу.

Например, длины векторов в R3 мы определяем в долях длины I ez I ортов е •.

Можно было бы договориться всегда во всех задачах принимать в качестве ортов направленные отрезки, длина которых равна определенному эталону длины. Так же, как мы договорились, что система координат в R3 ортонормированная. Тогда фраза «длина I г I вектора г равна 5» была бы общепонятной: вдоль вектора г можно последовательно 5 раз отложить длину основного эталона.

Однако это не всегда удобно. Поэтому, вообще говоря, при указании, например, числа г1 - координаты вектора г мы должны указывать величину L, определяющую длину ортов I ez I, и писать rzL.

При указании интервала времени t - t0 мы должны, строго говоря, писать

где Т - эталонный отрезок времени, по отношении к которому определяются интервалы времени.

Аналогично при указании массы мы должны писать

тМ,

где М- масса эталона, принятого за единицу измерения массы.

Введенные три масштаба L, Т, М являются основными для механики.

Как правило, в качестве L принимают масштабы 1 сантиметр, 1 метр,..., в качестве Т - 1 секунду, 1 год,..., в качестве М - 1 грамм, 1 килограмм и т.д.

Обычно в аналитических соотношениях не указываются масштабы. Это можно делать только в случае, если принять (договориться), что все величины, производные от основных, измеряются в соответствующем масштабе, который вытекает из соотношения, определяющего данную величину.

Пример. Обозначим через [v] - масштаб для координат вектора скорости, а через v - координаты вектора скорости, измеренные в этом масштабе. Тогда

d(tT) dt

Если мы примем

[v^LT"1,(1.6.1)

то соотношение

v = dv/dt

будет верно всегда при любом выборе масштабов длины и времени.

Условие (1) можно прочитать следующим образом: размерность скорости равна размерности длины, умноженной на обратную величину размерности времени.

Аналогично легко получить, что размерность [w] ускорения w равна:

[w] = иг2.

Размерность силы относительно основных масштабов вытекает из уравнений движения:

[Е] =[Е] == MLT~\= MLT~\t/2r

[Е] =

[Е] =

= MLT~\

= MLT~\

m—5-d?

При таком выборе масштабов производных величин уравнения, имеющие механический смысл, будут справедливы при любом выборе основных масштабов.

Заметим, что отношение двух величин одинаковой размерности есть величина безразмерная.

Пример. Отношение длин двух векторов:

Сравнивать можно только величины одинаковой размерности, так как для величин разной размерности справедливость неравенств «больше» («меньше») зависит от основных масштабов.

Исходные данные часто задают в различных единицах измерения. При решении задач прежде всего следует привести все исходные данные к единой системы единиц измерения L, Т, М. После этого можно решать задачу, не следя за размерностью, и написать размерность только в ответе.

Если некоторое соотношение, имеющее физический смысл, есть сумма нескольких слагаемых jq + х2 + ... + хи, то размерность каждого слагаемого должна быть одинаковой. Это можно использовать для контроля формул.

О силах парного взаимодействия

Многие общие свойства движения механической системы можно получить, только исходя из того, что действующие силы имеют вид сил парных взаимодействий

Гу = <Ч-t№rTj 1’1 vk ~VJ \М-Г^к-^Л

или из рассмотрения тоже достаточно широкого (и наиболее часто встречающегося в приложениях) класса сил, когда Д не зависят от векторов скоростей точек:

¥kj=(rk-YMM-YjV>

при произвольных//^). В природе, однако, силы взаимодействия (функции Д) имеют вполне конкретный вид. Вид сил устанавливается из физических наблюдений и формулируется как общий закон природы. Иногда тоже из наблюдений и эксперимента устанавливается закон для сил, имеющий более частный характер.

Одним из наиболее важных для механики в наиболее универсальных является закон всемирного тяготения. Этот закон был установлен Ньютоном на основе изучения движения Луны и планет.

Закон гравитационного взаимодействия

Любая материальная точка (Гр mj) притягивает материальную точку (гь т^ с силой, величина которой пропорциональна произведению масс точек и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними, и направленной по прямой, их соединяющей.

Эта формулировка в векторном виде записывается следующей формулой:

(1.6.2)

где/- коэффициент пропорциональности, называемый гравитационной постоянной. Его размерность определяется соотношением (2):

При L = 1 см, Г = 1 с, М = 1 г

/ = 6,67 10 8.

Существенные следствия, полученные из закона всемирного тяготения, опираются на следующие его уточнение:

Никакие тела или поля не нарушают взаимодействие точек по закону (2).

Упругие силы

Другой пример сил парных взаимодействий носит существенно более частный характер.

Рассмотрим одномерное движение точек вдоль прямой, определяемой ортом в! (рис. 10):

—*-'• WA* Ш - - - -лЬМ^Мг»

т тгт^ тп

Рис. 10

Ту=Ькугк-гу 1-Ту=Ькугк-гу 1-Предположим, что точки соединены пружинами, массой которых можно пренебречь. В моделях такого типа часто для описания движения точек предполагают, что силы подчиняются закону упругого взаимодействия. При этом силы упругого взаимодействия определяются следующими формулами:

Ту=Ькугк-гу 1-

Ту=Ькугк-гу 1-

(1.6.3)

для (k -jy = 1

и

¥kj = 0

для (k-j^> 1,

где bkj = bjk > 0 и akj = ajk > 0 - постоянные величины, характеризующие свойства пружин.

Можно показать, что уравнения движения точек под влиянием сил упругого взаимодействия есть система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Задача п тел. Солнечная система

Уравнения движения и состояние исследования

Рассмотрим замкнутую систему п материальных точек, взаимодействующих по закону всемирного тяготения.

Уравнения движения такой системы имеют вид

тк~ГГ = ЪАпкт) I3 = F7 k = l,2,...,n.(1.7.1)

Это Зп уравнений второго порядка.

Общее решение этой системы уравнений в виде аналитических формул можно получить только при /7 = 2. Это знаменитая задача двух тел. Ее решение является основой небесной механики, динамики космического полета и некоторых физических теорий. В этом курсе мы рассмотрим данную задачу достаточно подробно.

При п-3 задача называется задачей трех тел. Эта задача на протяжении нескольких столетий привлекала и привлекает внимание известных математиков и механиков мира. В задаче трех тел привлекательна простота постановки, важность ее для объяснения закономерностей движения небесных тел и некоторых проблем микромира и ее сложность, которая выявлена в процессе многих исследований. С помощью качественного анализа и вспомогательных вычислений получено много результатов. Однако и в настоящее время про задачу трех тел нельзя сказать, что она полностью исследована, хотя о ней написаны многие тома.

При п > 3 об общих свойствах решений уравнений (1) известно мало. При этом в зависимости от начальных условий и соотношений между массами материальных точек можно различать более сложные и более простые случаи движения точек в этой задаче.

В сложных случаях (изучение таких случаев необходимо для описания закономерностей в звездной динамике) точки примерно одинаковых масс (масс звезд или галактик) движутся неупорядоченным образом.

В более простых случаях (к счастью для человечества, к ним относится задача, которая моделирует движение планет в Сол-

нечной системе) движение сравнительно упорядочено. Решение задачи п тел с высокой точностью описывает движение центров масс планет и их спутников относительно Солнца.

Движение планет в Солнечной системе

Траектория движения каждой планеты (ее орбита) приближенно представляет собой эллипс (рис. 11), в одном из фокусов которого расположено Солнце (точнее, центр масс Солнца). В таблице собраны не//х. которые характеристики планет и их орбит:

/I массы планет т, их характерные радиусы

I с / (все планеты по форме близки к сферам) и 7 их средние расстояния от Солнца а. При этом массы планет будем измерять в долях РИС пмассы Земли т©, радиус в долях характер

ного радиуса Земли R^, а среднее расстояние в долях среднего расстояния а© Земли от Солнца. В привычных нам абсолютных единицах измерения:

т© = 6-1027 г, /? = 6378 км, а© = 150-106 км.

Дополнительно в таблице указаны приближенные значения масс и радиусов Солнца, Луны и среднее расстояние Луны от Земли.

Эксцентриситеты е невелики; для большинства планет они не превосходят 0,1 (для Меркурия е = 0,2; для Плутона е = 0,25).

За исключением Меркурия и Плутона плоскости соответствующих эллипсов составляют с плоскостью орбиты Земли угол, не превосходящий 3°,5.

Таблица

Масса

Радиус

Среднее расстояние

Меркурий

0,05

0,38

0,39

Венера

0,81

0,95

0,72

Земля

1

1

1

Марс

0,11

0,53

1,52

Юпитер

318

~11

5,2

Сатурн

95

~9

9,5

Уран

14,6

~4

19,2

Нептун

17,2

~4

30,1

Плутон

0,03-0,2

0,34

39,4

Солнце

333000

100

0

Луна

0,012

0,27

384000 км

(от Земли)

Следует подчеркнуть, что планеты только приближенно движутся по эллипсам. В более точном описании их движение существенно сложнее, эксцентриситеты аппроксимирующих траекторию планет эллипсов, наклоны их плоскостей и другие параметры очень медленно, но изменяются с течением времени.

Планеты имеют естественные спутники, которые обращаются около своей планеты, как планеты обращаются вокруг Солнца. Массы спутников обычно много меньше масс их планеты. Луна - это относительно самый большой спутник.

Специфика задачи п тел в случае Солнечной системы

Сравнительная простота решения задачи п тел при описании движения планет (это достаточно сложная задача, изучением которой занимается небесная механика) связана с тем, что: 1) масса одной точки - Солнца - в 1000 раз превосходит самую большую из остальных масс - Юпитер, 2) в процессе движения планеты не сближаются друг с другом. Оказывается, что при приближенном описании можно в правых частях уравнений движения ^-й планеты учитывать только ее взаимодействие с Солнцем и пренебрегать влиянием на нее остальных планет. Тем самым в первом приближении задача сводится к задаче двух тел Солнце - планета, которую, как было отмечено, умеют решать аналитически. Так и делают. Но такое упрощение может дать лишь грубое описание движения. Для более точного решения задачи используют методы теории возмущений. В теории возмущений разработаны методы, с помощью которых последовательно уточняют решение задачи на ограниченных интервалах времени (порядка сотни лет). Сейчас мы можем предсказывать положение планет относительно Солнца с точностью порядка 1 угловой секунды (-1/200000 расстояния).

В последнее время с появлением больших электронно-вычислительных машин движение планет вычисляют и с помощью численного интегрирования системы уравнений, описывающих их движение.

Об относительном движении системы материальных точек

Докажем сначала одну лемму. Пусть на материальную точку (гь т^) действует внешняя сила гравитационного притяжения

F‘'l=/'”*'”k^lL7-2)

со стороны материальной точки массой т, удаленной на очень большое расстояние I г I от начала координат.

М.Л. Лидов

Получим формулу для асимптотического представления силы (2).Лемма. Пусть I Yk 1/1 г I = £, где £ > 0 - достаточно малая величина. Тогда справедливо представлениеПолучим формулу для асимптотического представления силы (2).Лемма. Пусть I Yk 1/1 г I = £, где £ > 0 - достаточно малая величина. Тогда справедливо представлениегдеГ^^о+^+а),(1.7.4)ггдеГ^^о+^+а),(1.7.4)г^=mk¥k,(1.7.3)^=mk¥k,(1.7.3)(1.7.5)(1.7.5)Гf0 =единичный вектор,Гf0 =единичный вектор,fifi(1.7.6)(1.7.6)гдегде|fj |=О(£), oi = o^yДоказательство.Очевидно,|fj |=О(£), oi = o^yДоказательство.Очевидно,_зЧ Г3= (IГI2 -2<г,г^)+1ГI2) 2 =| г Г3_зЧ Г3= (IГI2 -2<г,г^)+1ГI2) 2 =| г Г31-2/-L 2И+М1-2/-L 2И+М=|г | 311 + 3( —\ + аI \1 г| |г|/=|г | 311 + 3( —\ + аI \1 г| |г|/«1 = О(е2).Подставим (8) в (2) и получим«1 = О(е2).Подставим (8) в (2) и получим(1.7.7)(1.7.7)3232(1.7.8)(1.7.8)

Получим формулу для асимптотического представления силы (2).

Лемма. Пусть I Yk 1/1 г I = £, где £ > 0 - достаточно малая величина. Тогда справедливо представление

Получим формулу для асимптотического представления силы (2).

Лемма. Пусть I Yk 1/1 г I = £, где £ > 0 - достаточно малая величина. Тогда справедливо представление

где

Г^^о+^+а),(1.7.4)

г

где

Г^^о+^+а),(1.7.4)

г

^=mk¥k,(1.7.3)

^=mk¥k,(1.7.3)

(1.7.5)

(1.7.5)

Г

f0 =единичный вектор,

Г

f0 =единичный вектор,

fi

fi

(1.7.6)

(1.7.6)

где

где

|fj |=О(£), oi = o^y

Доказательство.

Очевидно,

|fj |=О(£), oi = o^y

Доказательство.

Очевидно,

_з

Ч Г3= (IГI2 -2<г,г^)+1ГI2) 2 =| г Г3

_з

Ч Г3= (IГI2 -2<г,г^)+1ГI2) 2 =| г Г3

1-2/-L 2И+М

1-2/-L 2И+М

=|г | 311 + 3( —\ + аI \1 г| |г|/

=|г | 311 + 3( —\ + аI \1 г| |г|/

«1 = О(е2).

Подставим (8) в (2) и получим

«1 = О(е2).

Подставим (8) в (2) и получим

(1.7.7)

(1.7.7)

3

2

3

2

(1.7.8)

(1.7.8)

После перемножения выражений в скобках получим формулу для F^e) в виде (3), (4).

Замечание. Сила F^ может быть и не мала, так как масса может быть очень большой.

Следствие. Пусть материальные точки (rfe т^, к = = 1, 2, ... , и, находятся в окрестности начала координат внутри сферы радиуса R.

(R А

Рассмотрим теперь случай, когда I г I —> °о> О I m —> °о

VI г I )

так, что остается конечной величиной. Тогда

F,(e) fm г

.(1.7.9)

тк |г| |г|

Мы получили, что предел ускорения, вызываемого бесконечно удаленной гравитирующей точкой (г, т) бесконечно большой массы, одинаков для всех материальных точек, расположенных внутри сферы радиуса R, и не зависит от их положения и скорости.

Рассмотрим теперь систему уравнений, описывающих движение и материальных точек относительно инерциальной системы координат Е под действием гравитационных сил парного взаимодействия и внешних сил F^ :

^^^М^^^+^С(1.7.10)

Предположим, что внешние силы F^ представимы в виде

где ускорение F не зависит ни от координат, ни от скоростей точек системы. В случае таких внешних сил говорят, что на систему действует однородное поле сил.

Перейдем к описанию движения системы материальных точек относительно репера Еа = (еь еъ е3), начало которого сдвинуто на вектор а, а орты параллельны ортам исходного репера Е.

При этом координаты материальных точек гк относительно репера Е^ будут определяться формулами

r^r^-a, r^r^+а, к = 1,2,...,и.

Выберем теперь вектор а так, чтобы начало репера совпадало постоянно с точкой (гь тх), т.е. положим а = гР

В этом случае

^ =0, гк = гк-г1? к = 2Д....п.

Разделим уравнение (9) на тк и подставим гк = гк + гР В результате получим

dt2 dt2J|r7-rj3 ’” ’ ’'7

гдегдег,г,^Z2r1

где

где

г,

г,

^2Г

Подставим ^ 2' в (11). После несложных преобразований бу-

дем иметь

Полученные уравнения будем называть уравнениями относительного движения задачи п тел.

Сформулируем некоторые выводы.

Система уравнений (12) относительного движения замкнута - число уравнений совпадает с числом неизвестных.

Число переменных на 6 единиц меньше, чем в исходной задаче (не входят r^Z), v^O).

Система уравнений (12) полностью описывает движение п - 1 материальных точек относительно произвольной точки системы (в качестве последней мы выбрали точку (rb тО). Если известны фазовые координаты vk3k, к = 2, 3,..., п на момент времени ^, то решение системы (12) позволяет однозначно определить фазовые координаты в произвольный (по крайней мере, достаточно близкий к t^ момент времени L

Относительная система координат не инерциальна, ее орты параллельны ортам некоторой инерциальной системы координат, но начало движется относительно инерциальной системы координат достаточно сложным образом, а не равномерно и прямолинейно.

Правые части системы уравнений (12), кроме сил парных взаимодействий, содержат дополнительные члены, обусловленные неинерциальностью системы координат. Эти члены получены в результате формальных преобразований.

Относительное движение не зависит от ускорения F (напомним, что оно одинаково для всех точек), которое сообщают внешние силы точкам системы. В частности, отсюда следует, что из наблюдений за относительным движением материальных точек нельзя определить их движение относительно инерциальной системы координат, так как движение относительно инерциальной системы координат зависит от величины и направления вектора F.

Пусть (гь тд - материальная точка, моделирующая

Солнце, a (r7, my)s j = 2, 3,..., п - планеты. Так как тх > ть то члены, стоящие в (12) под знаком суммы, оказываются существенно меньше первого члена в правой части (12). Используя данные, приведенные в таблице 1, можно формально оценить отношение модулей этих членов. Для планетной системы оказывается, что это отношение имеет величину порядка КГ3.

Поэтому движение £-й планеты относительно Солнца в первом приближении описывается уравнениями d4kА

—^ = - f (т, + т, ) —^.

d? JV 1 |rj3

Эти уравнения называются уравнениями относительного движения в задаче двух тел (Солнце - ^-я планета).

d4k г Гкd4k г ГкЕсли тх > ть то

d4k г Гк

d4k г Гк

ткт1 F1= |3 Ч"ткт1 F1= |3 Ч"^Vkили т. —vк d?

ткт1 F

1= |3 Ч"

ткт1 F

1= |3 Ч"

Тем самым приближенно систему ЕГ1 можно считать инерциальной.

Прямая и обратная задачи динамики.

Определение начальных данных и масс планет

Будем рассматривать планетную систему как систему гравитационно взаимодействующих материальных точек. Пусть известны массы планет и Солнца mb m2, ... , тп, относительные координаты гк и компоненты векторов скорости v2 = dr2 / dt..... Nn = dxn/dt в момент времени t0. Для определенности можно считать, что начало координат связано с центром масс Солнца. Этих данных достаточно для однозначного определения относительных координат и компонентов вектора скорости в произвольные достаточно близкие к t0 моменты времени L Для этого можно использовать приближенные методы определения решения системы уравнений (12), о которых говорилось выше, или, например, методы численного интегрирования.

Определение 1. Определение фазовых координат в момент времени t при заданных массах, силах и начальных условиях называется прямой задачей динамики.

Определение 2. Обратной задачей динамики называется задача определения начального состояния системы, вида сил (или их уточнение) по наблюдениям за движением системы.

Поясним последнее определение на примере задачи о движении планет. Предположим, что мы не сомневаемся в справедливости закона всемирного тяготения, но не знаем начальных условий для движения планет и не знаем масс планет. То есть мы

не знаем 7п - 6 постоянных: 3(п - 1) относительных координат планет, 3(п - 1) компонентов их векторов скорости в какой-либо фиксированный момент в ремени tQ и п значений масс планет и Солнца.

Находясь на Земле, с помощью телескопов можно измерять угловое положение планет относительно звезд. Несколько упрощая задачу, будем считать, что в моменты времени tb i = 1,2,..., N, мы измеряем компоненты единичных векторов

= (1.7.13)

где г^ - координаты центра масс £-й планеты, г@ - координаты центра масс Земли (напомним, что система координат связана с центром масс Солнца).

В современных условиях с помощью средств радиолокации можно измерять и расстояние от Земли до некоторых планет

(Ш)=1^-гф|. (1.7.14)

Если мы зададим массы планет ть k = 1, 2,..., п, и состояние планетной системы на момент t0: r^° = rk(t0\yk = уДгД то, решая уравнения движения с помощью методов, о которых говорилось выше, мы можем вычислить значения координат планет в произвольный достаточно близкий момент времени t

гк(0 = гк(1-^лГ--ГпХ^ (1.7.15) и определить разности расчетных а^рас(^), Р^рас(А) и измеренных «^изм(А), Р^изм(А) значений параметров а^У рМУ

4 ^рас^Ь^измО-

Эти разности будут зависеть от того, какие значения при расчете были приняты для начальных данных и масс планет.

Можно решить задачу о выборе таких начальных данных rf, v° и таких значений масс ть чтобы разности А^А^. были в определенном смысле наименьшими.

Так как обычно число измерений N много больше числа неизвестных параметров 7п - 6, а с другой стороны, все измерения производятся со случайными ошибками, то для решения такой задачи используются статистические методы обработки наблюдений.

Если отвлечься от существенных для решения задачи, но не принципиальных для ее понимания деталей, то можно утверждать, что именно таким путем и были определены массы планет и начальные условия их движения. Пусть эта задача решена.

Даже в самом полном решении поставленной задачи рассогласования А^А^. не будут равны нулю. Этому мешают случайные ошибки измерений. Методы математической статистики поз

воляют путем предварительного анализа задачи указать интервалы, которым с определенной (большой) вероятностью должны

принадлежать средние значения А^1.

предположении, что наша динамическая модель, описывающая движение, правильная.

Если А^А^., полученные в результате решения задачи, попадают в предвычисленные интервалы, то это является практическим подтверждением правильности динамической модели.

Если, наоборот, фактически рассогласования (их средние характеристики) существенно больше ожидаемых, то это является сигналом о неточности механической модели, которую мы использовали при решении задачи.

Это случается довольно часто в процессе различных исследований. В большинстве случаев оказывается, что необходимо уточнить модель, учесть некоторые силы, которыми при описании модели пренебрегали. И обычно такое уточнение модели приводит к разумным результатам.

Но иногда (это случается чрезвычайно редко) оказывается, что надо пересмотреть основные предположения, заложенные в модель движения. Такие уточнения модели являются великими открытиями. Невозможность согласования результатов измерений со значением измеряемых величин, предсказанных с помощью модели классической механики, в некоторых экспериментах привела к созданию специльной и общей теории относительности и совершенно новой механики микромира - квантовой механики.

Задача о пассивном полете космического аппарата

Рассмотрим систему уравнений, описывающую движение Солнца, планет и их спутников:

тк = ткт jтк = ткт j(1.7.16)(1.7.16)

тк = ткт j

тк = ткт j

(1.7.16)

(1.7.16)

где Yk - координаты центра масс ^-го тела:

Предположим, что нас интересует движение космического аппарата массой т, выведенного на траекторию полета, например, Земля - Марс. Пусть это движение совершается только под действием гравитационного притяжения. То есть у нас появляется (п + 1)-я материальная точка. Обозначим через г радиус- вектор космического аппарата.

Если действовать формально, то мы должны в правую часть уравнений (16) прибавить силы ipk притяжения ^-й планеты космическим аппаратом

Vk = jmmk Г \

lr-rJ

и написать дополнительно уравнения движения космического аппарата под действием притяжения планет

d2r V f ri ~rмп апл

=р.(1.7.17)

dt , = i |rv-r|

Однако, так как масса космического аппарата очень мала по сравнению с массами планет, заранее ясно, что влиянием космического аппарата на движение планет можно пренебречь и положить

<рк = 0, k = 1,2,..., п.

Можно и формально оценить ошибки в ускорении ^-й планеты за счет такой операции. Они окажутся ничтожными. То есть ситуация, которая сейчас описывается на конкретном примере, полностью повторяет рассуждения, которые мы проводили при определении незамкнутых систем.

При <р^ = О, к = 1,2,..., п. решение системы (16), описывающее движение планет и Солнца, может быть получено независимо от движения космического аппарата.

В настоящее время эта задача решена, и мы можем считать Y^t\ j - 1,2, ..., п, известными функциями времени.

Тогда для решения задачи о движении космического аппарата необходимо решить три уравнения (17) второго порядка. Мы пришли к задаче о движении одной точки под действием внешней силы F^(r, г), где через F^ мы обозначили правую часть уравнений (2). Явная зависимость от времени входит в правую часть после подстановки вектор-функций ry (z), j = 1, 2, ..., п, определяющих радиусы-векторы планет.

Следует отметить, что и в настоящее время движение планет уточняется.

Потенциал. Консервативные системы

Замечание о векторной записи производных от скалярной функции по векторному аргументу.

Пусть /(х) скалярная функция векторного аргумента хт = = (xj, х^..... хп). Через Э//Э х будем обозначать вектор-строку:

Эх у Эх1 ’ ^х1 ^хп )

Соответствующий вектор-столбец будем обозначать так:

Эх1Эх1

Эх1

Эх1

Используя задачи о движении планет и движении космического аппарата, поясним некоторые важные для всего курса механики понятия.

Рассмотрим скалярную функцию

(1.7.18)(1.7.18)

(1.7.18)

(1.7.18)

где Yk е R3, к = 1, 2, ..., п.

Дифференцируя U по г^, получим

JJ(1.7.19)(1.7.19)

J

J

(1.7.19)

(1.7.19)

Упражнение. Вывести формулу (19), вычисляяУпражнение. Вывести формулу (19), вычисляяткткd\dt"d\dt"■А,■А,к = 1,2,..., п.к = 1,2,..., п.(1.7.20)(1.7.20)

Упражнение. Вывести формулу (19), вычисляя

Упражнение. Вывести формулу (19), вычисляя

тк

тк

d\dt"

d\dt"

■А,

■А,

к = 1,2,..., п.

к = 1,2,..., п.

(1.7.20)

(1.7.20)

dU dU dU .дгк ’ N ’ ^гк ’

Из сравнения (19) с правой частью уравнений движения п тел видно, что система уравнений задачи п может быть записана в следующем виде:

Рассмотрим теперь скалярную функцию

где Yj (t) - известные функции времени. Дифференцируя Ux по г, получим

ЭцУdr JЭцУdr J= ^ymmy7 = 1= ^ymmy7 = 1|Г-ГЛ)|3|Г-ГЛ)|3

ЭцУdr J

ЭцУdr J

= ^ymmy

7 = 1

= ^ymmy

7 = 1

|Г-ГЛ)|3

|Г-ГЛ)|3

и уравнения движения космического аппарата могут быть записаны в следующем виде:

(1.7.21)(1.7.21)d\ _ <d ^ Ydt" \ dr J

(1.7.21)

(1.7.21)

В общем случае движение незамкнутой системы п материальных точек описывается системой уравнений

т2

+ F^, k =

dt

где F^ - результирующая сила, действующая на точку к со стороны остальных точек системы; F^ = F^ (rfc, Nk. t} - результирующая внешних сил, действующих на к-ю точку.

Определение 1. Если существует скалярная функция U^ = = с/*^, r2,..., ги),зависящая только от координат точек системы (и не зависящая от их скоростей), такая, что результирующие внутренних сил представимы в виде

и°=-и°=-. dr, ,. dr, ,^ = 1,2,..., и,^ = 1,2,..., и,(1.7.22)(1.7.22)

и°=-

и°=-

. dr, ,

. dr, ,

^ = 1,2,..., и,

^ = 1,2,..., и,

(1.7.22)

(1.7.22)

то говорят, что внутренние силы системы п материальных точек имеют потенциал U^V

Определение 2. Если все внешние силы F^ могут быть пред

ставлены как

Fw =Fw ="d£^y< Brk V"d£^y< Brk Vк 1,2,..., 7i,к 1,2,..., 7i,(1.7.23)(1.7.23)

Fw =

Fw =

"d£^y

< Brk V

"d£^y

< Brk V

к 1,2,..., 7i,

к 1,2,..., 7i,

(1.7.23)

(1.7.23)

где U^ = [/^(г^, г2,..., гй) - скалярная функция только координат точек системы и времени, то говорят, что внешние силы имеют потенциал U .

Определение 3. Если существует потенциал и для внутренних, и для внешних сил, то система называется потенциальной.

Определение 4. Если система потенциальна и потенциал внешних сил явно не зависит от времени, то система называется консервативной.

Как мы показали в начале параграфа, задача о движении п тел консервативна. Задача о движении космического аппарата потенциальна, но не консервативна.

Теорема. Для того чтобы внутренние силы F^ системы п материальных точек имели потенциал, достаточно, чтобы все силы парных взаимодействий F^ не зависели от скоростей точек системы.

Доказательство. Если все силы ¥kj не зависят от скоростей точек системы, то

7 = 1

fkj = fjk "" скалярная функция. Рассмотрим функцию

(1.7.24)(1.7.24)п п I Г7 I

(1.7.24)

(1.7.24)

j = 1 т > jо

Используя несложно доказываемое равенство

путем непосредственного дифференцирования (24) получим k j=l

j

Следствие. Если система замкнута и силы парных взаимодействий не зависят от скоростей точек системы, то система консервативна.

Элементы теории притяженияи некоторые оценки гравитационных ускорений

Гравитационное взаимодействие тел

Диаметр Солнца 1,4 млн. км. Диаметр Земли около 13 тыс. км. Следует объяснить, почему эти тела в динамической модели можно рассматривать как материальные точки и при этом получать хорошее согласие теоретических предсказаний с наблюдениями.

Для этого необходимо познакомиться с некоторыми результатами теории притяжения. В частности, наше рассмотрение поможет уяснить и физический смысл абстрактного понятия материальной точки.

О протяженных телах

До настоящего времени основным объектом механической модели была материальная точка. Сейчас необходимо ввести понятие о протяженных телах.

Рис. 12Рис. 12Будем говорить, что в ограниченной области (рис. 12) V е R3

Рис. 12

Рис. 12

Рис. 13

расположено тело с непрерывным распределением массы, если: 1) существует ограниченная интегрируемая функция р(г), [ р(г) ^ 0 при г g V, р(г) = 0 при г £ V]; 2) масса m(U), содержащаяся в любой подобласти U <zV, определяется интегралом

тф^ = JjJp(r)dV,итф^ = JjJp(r)dV,и(1.8.1)(1.8.1)

тф^ = JjJp(r)dV,и

тф^ = JjJp(r)dV,и

(1.8.1)

(1.8.1)

где dV = drxdr3dr3 - элементарный объем в R3.

Функция р(г) называется плотностью распределения массы (или просто плотностью). Из интегрального исчисления известно, что интеграл (1) со сколь угодно малой погрешностью можно аппроксимировать суммой (рис. 13)

mpV ^р(г,.)|А^ | + 0 тах|АХ- |Ч (1-8-2)

где | AVJ | - объем Al<, Al< n ZWj = 0 при i ^ j, r- e ZWt. Тем самым распределение массы в теле, расположенном в области V, можно с любой степенью точности аппроксимировать системой конечного числа материальных точек (г-, Ат-), где

г- е ^, \mt = р(г-)| А1< |.

Такая аппроксимация в свою очередь позволяет различные понятия, определенные для системы материальных точек, перенести на случай тел с непрерывным распределением массы. Если некоторая величина Ф определяется для произвольной системы п материальных точек в виде суммы

ф = ^/^’^’-И’

Z =1

то для случая непрерывного распределения массы

V

Этим мы будем часто пользоваться. Заметим, что p(r)^ZV будем иногда обозначать dm и называть элементарной массой.

Если плотность р(г) известна, то для вычисления массы тела т необходимо вычислить интеграл

т = JJJ dm = J|Jp(r)^V,(1.8.3)

VV

где dV- элементарный объем так же, как и в (1).

Аналогично нетрудно получить координаты г* центра масс тела, т.е. центра масс системы материальных точек, образующих {аппроксимирующих} тело:

г* = — У rdml = — fffrp(r)t/V.(1.8.4)

т 1 т •'•'•'

Притяжение материальной точки телом

Пусть вне области V (рис. 14) расположена материальная точка (^ ,тгУ По закону всемирного тяготения сила притяжения материальной точки (r^mj со стороны элементарной массы

(г, dm) равна

d F = /т1 dm ——^-у .

Результирующая сила гравитационного притяжения точки (^, т1) со сторо

ны всех элементарных точек (г, dm), образующих тело, опреде

VV IIVV IIdV.dV.(1.8.5)(1.8.5)ляется интегралом

VV II

VV II

dV.

dV.

(1.8.5)

(1.8.5)

(1.8.6')(1.8.6')

(1.8.6')

(1.8.6')

В общем случае интегралы (5) нельзя выразить через элементарные функции. Сейчас мы укажем один частный, но важный случай.

Теорема 1. Масса т, распределенная в шаре со сферически- симметричной функцией плотности, притягивает материальную точку (r^mj, расположенную вне шара (рис. 15), как ма

териальная точка массой т, расположенная в центре шара г*.

Обозначим ^ = r-r , i^eR3, где г* - радиус-вектор центра шара. Для сфериче- ски-симметричной функции плотности рт.ш =

-м Л/ Г‘+Гг'р^и-1^.

1^||г +6-^1

(1.8.6) Индексом «т.ш» мы отмечаем, что рас

сматривается сила, действующая на материальную точку со стороны шара. Последний интеграл можно вычислить. В результате

получим

Ir "ri|

Упражнение 1. Вычислить интеграл (6).

Указание. Из соображения симметрии очевидно, что

FTm = (г* - rj/(r\ rj, где/- скалярная функция.

Упражнение 2. Доказать, что центр масс шара со сферически-симметрич- ным распределением плотности совпадает с центром шара, т.е. доказать, что

V

Указание. Использовать соображение симметрии.

О гравитационном потенциале тела

(1.8.7)(1.8.7)(1.8.8)(1.8.8)Из интегрального представления (5) силы F притяжения телом материальной точки (r^mj, расположенной вне тела, следует, что силу F можно представить как производную по вектору ^ от следующей скалярной функции:

(1.8.7)

(1.8.7)

(1.8.8)

(1.8.8)

v lr"ril

/_ XT

F = - m.F = - m.du

F = - m.

F = - m.

<drl.

Последнее соотношение проверяется дифференцированием (5) по под знаком интеграла.

Функция [/(г^ называется гравитационным потенциалом тела во внешней точке.

В частности, гравитационный потенциал шара со сфериче- ски-симметричным распределением плотности имеет вид

(1.8.9)(1.8.9)Ут

(1.8.9)

(1.8.9)

lri-г Г

Упражнение. Докажите это утверждение.

Теорема 2. Об асимтотике потенциала тела на больших рас

стояниях. Обозначим: г* - радиус-вектор центра масс О тела (рис. 16), R - минимальный радиус сферы с центром в О, содержащей внутри себя тело. Радиус-вектор г произвольной точки тела представим в ви

де суммы

Г = Г* +£.

Запишем потенциал в следующем виде:

и = - / JJJdV. (1.8.10)

v |r ri +ё|

Согласно определению R, | ^ | ^ R.

Утверждение. При г = , ^—г< 1 потенциал U отли-

чается от потенциала материальной точки с массой тела и помещенной в его центре масс на величину порядка гп, где и 2:

Доказательство. Имеем:

П7^= (г -Г1+^ Г -Г1+£ |r -r^) хх

Г -Г

-Г-Г—У + а(ё) ,"г1| J—У + а(ё) ,"г1| J(1.8.11)(1.8.11)

-Г

-Г

—У + а(ё) ,"г1| J

—У + а(ё) ,"г1| J

(1.8.11)

(1.8.11)

где

Подставляя последнее выражение в (10), получаем

и =и =S, +S, +fS3fS3

и =

и =

S, +

S, +

fS3

fS3

где = Шр®^ = т - масса тела, 52 = /Дер®^ = о.

VV

Последний интеграл определяет радиус-вектор центра масс относительно центра масс О. Поэтому 52 = 0. Для интеграла S3 справедлива оценка

т.т.1ах|а(У|

т.

т.

Эти соотношения доказывают сформулированное утверждение.

Из доказанного утверждения следует, что отличие гравитационного потенциала тела от потенциала U® материальной

“A U-U® А

точки, помещенной в его центре масс, А = —^— убывает не

медленнее, чем обратно пропорционально квадрату расстояния между центром масс тела г* и точками пространства ^.

В качестве примера приведем формулу для потенциала Зем

ли, полученную в результате теоретического рассмотрения и

э кспериментов:

^©(ri)_^©(ri)_/^©н/^©нI |2I |2-202-202-3^—^ + 2 + а . (1.8.12)-3^—^ + 2 + а . (1.8.12)

^©(ri)_

^©(ri)_

/^©н

/^©н

I |2

I |2

-20

2

-20

2

-3^—^ + 2 + а . (1.8.12)

-3^—^ + 2 + а . (1.8.12)

В этой формуле: т@- масса Земли, R^ - экваториальный радиус Земли, г = - /у, /у - радиус-вектор центра масс Земли, ^ - радиус-вектор произвольной точки вне Земли, п° - единичный вектор, направленный по оси вращения Земли, С20 ~ 10“3 - безразмерный коэффициент, а - другие члены потенциала, а < а*, а - 10 5 -10 6.

Формула (12) дает аппроксимацию потенциала вплоть до поверхности Земли.

Из (12) следует, что потенциал Земли вблизи ее поверхности (| г | ~ R^ отличается от потенциала материальной точки, распо

(R 1 )Jrl б0>(R 1 )Jrl б0>это отличиеэто отличиеложенной в ее центре масс, на величины порядка 10 3 (0,1%). С увеличением расстояния это отличие убывает как Так, И

(R 1 )

Jrl б0>

(R 1 )

Jrl б0>

это отличие

это отличие

например, на расстоянии орбиты Луны уже составляет 0,3 • 10“6 (0,3 • 10 4%).

Взаимодействие двух шаров

делением плотности притягивает материальную точку так же,делением плотности притягивает материальную точку так же,Мы показали, что шар со сферически-симметричным распре

делением плотности притягивает материальную точку так же,

делением плотности притягивает материальную точку так же,

как материальная точка с массой этого шара т и расположенная в его центре масс г*.

Сейчас мы рассмотрим другую, но очень похожую задачу. Рассмотрим шар Vx (рис. 17) с центром гД массой тх и со сферически-симметричным распределением плотности р1 (^). Определим результирующую силу, действующую на

5. М.Л. Лидов

все точки этого шара со стороны материальной точки т, положение которой определяется радиусом-вектором г*. Результирующая сила F равна сумме сил парных взаимодействий d F элементарных масс dmx. составляющих тело, с точкой (r*,m):

Ш

р, (rjfr, - г*)

Результирующая сила (13) равна по величине и противоположна по знаку силе притяжения материальной точки (r*,m) со стороны шара Vx (закон равенства и противодействия!).

Эту силу мы умеем вычислить:

(1.8.14)

|ri "Г |

Таким образом, мы доказали следующую теорему.

Результирующая сила гравитационного взаимодействия двух непересекающихся шаров со сферически-симметричными распределениями плотности равна силе взаимодействия двух материальных точек с массой этих шаров и расположенных в их центре масс.

С другой стороны, если мы рассмотрим шар как систему материальных точек, то мы можем применить теорему о движении центра масс системы материальных точек (см. § 1.2).

Согласно этой теореме, центр масс шара должен двигаться как материальная точка с массой шара под действием суммы внешних (по отношению к точкам шара) сил.

Тем самым оказывается, что движение центров масс шаров со сферически-симметричным распределением плотности при гравитационном взаимодействии точно описывается движением соответствующих материальных точек, помещенных в их центре масс.

Так как все планеты по структуре близки к шарам со сферически-симметричным распределением плотности и их расстояние друг от друга много больше их радиусов (вспомните, как убывает отличие потенциала тела от потенциала шара с уве-

личением расстояния между телом и точкой), то модель гравитационно взаимодействующих шаров, а следовательно, и модель материальных точек хорошо описывают движение центров масс планет.

Гравитационные ускорения вблизи поверхности Земли

Запишем уравнения относительного движения материальных точек

Пусть точка 7, с которой связано начало системы координат, помещена в центре масс Земли.

Пусть (r2,m2) - частица малой массы (пробная частица), ускорением которой мы интересуемся. Будем предполагать, что эта частица находится вблизи поверхности Земли:

| г2 | ^ 7?@ - РаДиУс Земли.

В этой модели мы предполагаем, что Земля есть сфера со сферически-симметричным распределением плотности, и рассматриваем ее (с точки зрения гравитационного влияния) как материальную точку.

Первый член в правой части (15) при £ = 2 определяет относительное ускорение точки (r2,m2), вызванное гравитационным взаимодействием с Землей. При этом g = -fmx r2/| r2 |3 - часть ускорения, обусловленная притяжением точки Землей, а а = - /т2 г2 /| г213 - часть ускорения, обусловленная притяжением Земли со стороны материальной точки (r2,m2). Для небольших тел отношение |a|/|g|~m2/m1 пренебрежимо мало. Если мы подставим в выражение для | g | значения гравитационной постоянной /, массы Земли m2 = т@ и | r2 | = R (значения этих величин приведены в табл. § 1.7), то найдем

|g| == 9,8-Ю2 см/с2.(1.8.16)

Это известная величина для ускорения силы тяжести вблизи поверхности Земли. Пользуясь последней формулой, можно ре-

шить и обратную задачу. Зная | g | и радиус Земли R^. определить произведение ее массы на гравитационную постоянную:

Цф = ^иф = 7?ф |g | = 4 ■ 105 км3/с2.

Мы описываем движение точки относительно системы координат Е^. начало которой связано с центром масс Земли и двигается вместе с ним сложным образом, а орты L^ все время сохраняют ориентацию относительно некоторой абсолютной (инерциальной) системы координат (наша система координат не вращается). Мы можем оценить величину ускорения точки (r2,m2) относительно Е^. вызываемого Солнцем, Луной и планетами. Необходимо оценить модуль векторов Фу:

Так как при | r21 ~ R@Так как при | r21 ~ R@то мы можем для оценок восто мы можем для оценок вос

Так как при | r21 ~ R@

Так как при | r21 ~ R@

то мы можем для оценок вос

то мы можем для оценок вос

пользоваться полученным ранее (см. (1.7.4)) асимптотическим представлением:

гдегде(f„ +f, +О(е2)),(f„ +f, +О(е2)),(1.8.18)(1.8.18)r; r2 =1l^-M" 1?-|2r; r2 =1l^-M" 1?-|2Yj Г2 \ _ Г2 Ы'Ы/ lF-TYj Г2 \ _ Г2 Ы'Ы/ lF-T

где

где

(f„ +f, +О(е2)),

(f„ +f, +О(е2)),

(1.8.18)

(1.8.18)

r; r2 =1

l^-M" 1?-|2

r; r2 =1

l^-M" 1?-|2

Yj Г2 \ _ Г2 Ы'Ы/ lF-T

Yj Г2 \ _ Г2 Ы'Ы/ lF-T

После подстановки (18) в (17) первый член f0 сократится и мы получим следующую формулу:

ф. =ф. =

ф. =

ф. =

Для | ^ | легко получить оценку

lf,l<4lf,l<4riri

lf,l<4

lf,l<4

ri

ri

Г2Г2Таким образом, пренебрегая членами порядка £2, получим

Г2

Г2

(1.8.19)

В круглых скобках мы выделили множитель, примерно равный абсолютному ускорению точки (r2 ,т2) за счет притяжения телом (гр т^. Относительное ускорение (ускорение относительно Е^ оказывается в £ раз меньше.

В заключение приведем численные оценки для абсолютного и относительного ускорений точки (r2, т2), находящейся вблизи поверхности Земли за счет Луны (/ = 3) и Солнца (/ = 4). Приведем эти величины в долях ускорения | g |:

Ф =Ф =fmi 1Ы2|е|fmi 1Ы2|е|4^7Г21ы2Igl4^7Г21ы2IglF =F =

Ф =

Ф =

fmi 1

Ы2|е|

fmi 1

Ы2|е|

4^7

Г2

1

ы2

Igl

4^7

Г2

1

ы2

Igl

F =

F =

Для Луны <р = 3,5 • 10-5, F = 2 • КН.

Для Солнца <р = 6 • КН, F = КН.

Доля планет в гравитационном ускорении d^^jdt1 точки, находящейся вблизи поверхности Земли, еще существенно меньше.

Если мы пренебрежем влиянием Солнца и планет на относительное движение материальной точки (r2, т2) вблизи Земли, то уравнения движения (15) (к = 2) будут иметь вид

d^vг

—T = -/(mi+т2)—(1.8.15')

dtы

Мы получили, что относительное движение материальных точек вблизи Земли описывается уравнениями относительного движения в задаче двух тел (Земля - материальная точка). В частности, уравнения (15') описывают движение искусственных спутников Земли.

Аналогично оценки можно провести для относительного движения материальной точки (малого тела) вблизи Луны или другой планеты. В этом случае тх - масса Луны (планеты). Для достаточно близких к планете материальных точек всегда оказывается, что члены в правой части (15), стоящие под знаком суммы, по модулю много меньше первого члена. Поэтому в глав-

ном (первом) приближении движение тел (материальных точек) вблизи планеты и, в частности, точки (r2,m2) вблизи Земли описывается уравнениями (15').

Силы гравитационного притяжениядвух соприкасающихся шаров

Рассмотрим два соприкасающихся шара (рис. 18). Обозначим через 7^, р1, R^. р2 - радиусы и плотности первого и второго ша-

Рис. 18Рис. 18ров соответственно. Для упрощения будем считать, что плотности шаров постоянны. Определим силу гравитационного воздействия

Рис. 18

Рис. 18

lFl= (1 820) №+^2)

IFI

Эта сила вызывает ускорение j—1 шара 2:

т2

IF L ^im2 (7?1+7?2)2'

При постоянной плотности первого шара 4

т = j л рх Rx и, следовательно,Щ = |тгр1Л13//(Л1+Л2)2.

Для обычных твердых тел плотность вещества составляет величину порядка 0,5-10 г/см3. Например, средняя плотность Земли равна 5, средняя плотность Солнца - 1,3 г/см3. Оценим I FI

грубый порядок величины ускорения J—L Положим р] = 1 г/см3. т2

Подставим это значение р1 и значение f= 6,7 • 10 s см3/г • с2:

Щ = 2,5-10’71/с2

т2(Я1+Я2)

Если Rx> R2, то

Щ = 2,5-10 7 1/с2 Rx.

m2

Примеры.

Пусть шар (/?19mJ моделирует гору. Примем его радиус равным 1 км = 105 см. Тогда на поверхности горы

Щ = 2,5-10’2 см/с2 =2,5-IO"5 |g L m2

где | g | = 980 см/с2 - ускорение силы тяжести на поверхности Земли.

Пусть шар ^Rx, mJ - космический корабль. Тогда

7?! = 5102 см, Щ = 12,5 -10"5 см/с2 =12,5-КГ8 |g I.

m2

Приведенные оценки показывают, что гравитационное притяжение тел может сообщить ускорения, сравнимые с ускорением гравитационного притяжения тел Землей, если только радиусы тел сравнимы с радиусом Земли.

На человека и приборы на Земле действует сила гравитационного притяжения всех тел на Земле, в частности все предметы в аудитории и все люди гравитационно взаимодействуют друг с другом. Однако ускорение, которое сообщают эти силы, как показывают оценки, чрезвычайно мало по сравнению с ускорением, вызываемым гравитационным притяжением Земли (с ускорением силы тяжести | g |).

6. О гравитационном полеоколо свободно летящего космического корабля.

Невесомость

Запишем снова уравнения относительного движения в задаче п тел

^=-/К+т])^ +

dtЫ

Напомним, что эти уравнения описывают движение тел (£ = = 2, 3, ..., и) относительно невращающейся системы координат Ev которая совпадает с точкой (^, mJ.

Предположим теперь, что (r^mj- космический корабль (^ - центр масс космического корабля), (r2, т2) - человек в космическом корабле или прибор, a (r^,тк^ к>2- Земля и другие

планеты.

Первый член в уравнении (21) при к = 2 определяет гравитационные ускорения прибора (человека) относительно репера Ех. Как мы оценили, эта величина даже для корабля с харак-

5 м, наполненного водой (р = 1 г/см3), очень

терным размеромтерным размеромПусть космический корабль находится на орбите близкого к Земле спутника. Пусть (r3, т3) - Земля (рис. 19). Для близких спутников |г3|^7?@ - радиусу Земли. Так как I ^2 |/| г3 | < 1, то мы можем воспользоваться полученной выше формулой (19) для оценки ускорения прибора относительно репера Ех

терным размером

терным размером

Чг3Чг3= 4|gM= 4|gMпод влиянием притяжения Земли:

Ч

г3

Ч

г3

= 4|gM

= 4|gM

где | g | - ускорение силы тяжести на поверхности Земли.

Подставляя значения | г2 | = 5 • 102 см, | r3 | ~ R^ ~ 6,4 • 108 см, получим оценку

|F3|<4.10-6|g|.

Таким образом, ускорение прибора относительно невращаю- щегося репера Ev начало которого совпадает с центром масс космического корабля, связанное с гравитационным притяжением Земли на расстоянии 5 м от центра масс корабля, на шесть порядков меньше силы тяжести на Земле.

Наше рассмотрение показывает, что, находясь в свободно летящем космическом корабле, приборы (человек) практически не испытывают относительного ускорения. На небольших интервалах времени оно практически не проявляется. В отличие от земных условий, когда свободный предмет падает на Землю, в космическом корабле свободный предмет относительно систе-

мы координат, начало которой связано с центром масс корабля, а орты параллельны ортам абсолютной системы координат, движется практически без ускорения, т.е. равномерно и прямолинейно. Это явление называют невесомостью.

Формальная суть этого явления в том, что сила гравитационного притяжения Земли при | г2 |/| г3 | —> О сообщает примерно одинаковое ускорение как космическому кораблю, так и прибору (человеку) и относительное ускорение близко к нулю. (Оно точно равно нулю в пределе при г2 = 0).

С явлением невесомости связано много непривычных для земного жителя физических эффектов. Некоторое пояснение, возможно, дает описание следующего опыта. На рис. 20 штриховкой обозначена поверхность Земли.

^777777777777777777^Рис. 20^777777777777777777^Рис. 20Свободная материальная точка массой т под действием гравитационной силы F = т g, направленной вниз, испытывает ускорение g и падает на поверхность Земли. Если мы между

^777777777777777777^

Рис. 20

^777777777777777777^

Рис. 20

поверхностью Земли и точкой расположим пружину, то, чтобы точка т находилась в покое относительно Земли, необходимо, чтобы в результате сжатия пружины на точку т со стороны пружины стала действовать сила ^ равная по модулю F и направленная вверх.

Этот пример показывает, что в результате действия гравитационной силы, вызывающей ускорение точки т относительно Земли, возникают другие силы взаимодействия: силы взаимодействия этой точки с телами, ее окружающими (пружиной).

В аналогичном эксперименте, проведенном на космическом корабле (теперь надо вообразить, что штриховкой на рисунке обозначен корпус космического корабля), так как относительное ускорение | g | ~ 0, то и для сохранения равновесия точки т относительно космического корабля не требуется деформации пружины. С отсутствием относительного гравитационного ускорения как следствие связано отсутствие и сил взаимодействия между точкой т и телами, с которыми она находится в контакте.

В этом случае главную роль начинают играть другие силы, которые на Земле малы по сравнению с силой тяжести, и поэтому мало заметны, например силы поверхностного натяжения.

Кроме того, с явлением невесомости связано много физиологических эффектов. Организм человека приспособлен к постоянно действующему ускорению g и ’’сжатию соответствующих пружинок”.

Глава 2

Кинематика твердого телаи относительное движение точки

. Кососимметрические матрицыи векторные произведения

Г. Определение. Квадратная матрица Q = (Q/) называется кососимметрической, если выполнено матричное равенство

QT=-Q,(2.1.1)

где Q1 - транспонированная матрица Q.

2°. Из (1) следует

^=-^, ij = 1,2,...Л.(2.1.2)

В частности,

Q^ =0,(2.1.3)

3°. Пусть Q - вещественная кососимметрическая матрица размера 3 х 3. В общем случае ее можно записать в следующем виде:

Г о

-со3

со2 '

Q =

со3

0

-со1

,(2.1.4)

(О1

0)

где ОУ - действительные числа. Расстановка индексов и знаков в (4) выбрана для удобства дальнейшего использования.

Мы можем рассматривать тройку чисел coz как вектор арифметического пространства R3:

со =со =(2.1.5)(2.1.5)

со =

со =

(2.1.5)

(2.1.5)

Вектор со будем называть вектором, соответствующим кососимметрической матрице Q размера 3x3: со ^ Q.

4°. Пусть х и у - два вектора арифметрического пространства R3. Двум таким векторам можно поставить в соответствие матрицу размера 3x3, которая получается в результате произведения матрицы х размера 3 х 1 и матрицы ут размера 1x3. Эту

матрицу будем обозначать хут и называть диадой;

хуху(у1, у2,у3) =(у1, у2,у3) =2 2х у3 22 2х у3 2.1 2.1 2

ху

ху

(у1, у2,у3) =

(у1, у2,у3) =

2 2

х у

3 2

2 2

х у

3 2

.1 2

.1 2

Воспользуемся введенным понятием и обозначением для получения удобной записи квадрата кососимметрической матрицы Q размера 3x3:

со со-(со3)2-(со1)2со со-(со3)2-(со1)2со'со3СО2СО3-(со1)2-(со2)2со'со3СО2СО3-(со1)2-(со2)2

со со

-(со3)2-(со1)2

со со

-(со3)2-(со1)2

со'со3

СО2СО3

-(со1)2-(со2)2

со'со3

СО2СО3

-(со1)2-(со2)2

Несложно показать, что Q2 можно представить в следующем виде, более удобном для запоминания:

Q2 = -|<o|27 + okot,(2.1.6)

где I - единичная матрица 3-го порядка, сосот - диада.

Ниже нам потребуется выражение для следа матрицы Q2:

SpQ2 = -2|<о|2 = -2KW1)2 +(ю2)2 + (ю3)2].(2.1.7)

5°. Пусть г - координаты вектора относительно репера Е. Рассмотрим матрицу q размера 3x1 (вектор-столбец), определяемую равенством

q = Qr.(2.1.8)

Набор трех чисел q можно рассматривать как координаты вектора q е R3 относительно репера Е:

q = ^1е1 + д2е2 + q3e3.

В этом случае (8) определяет линейное преобразование векторов г—^q.(2.1.9)

Матрица Q - матрица оператора этого преобразования.

6°. Пусть Е—^^Е - преобразование реперов, где А - матрица поворота. Матрицу преобразования (9) г —> q относительно нового базиса Е обозначим Q. Как известно,

Q = AQA\(2.1.10)

Матрица Q - кососимметрическая.

Доказательство. Применим к (10) операцию транспонирования:

QT = AffA" = —AQAT = -Q.

7°. Пусть co - вектор, соответствующий матрице Q : со ^ Q.

Теорема. Векторы со (со ^ Q) и со (со ^ Q) связаны соотношением

со = Асо.(2.1.11)

Доказательство.

Непосредственным умножением матрицы Q на вектор со найдем

Qco = 0,(2.1.12)

т.е. со - собственный вектор матрицы Q с нулевым собственным значением.

Так как при Icol ^ 0 ранг Q равен 2 (из (4) непосредственно видно, что существуют миноры второго порядка, равные (со*)2, i = 1,2,3), то все собственные векторы х матрицы Q с нулевым собственным значением имеют вид

х = цсо, ц -вещественное числ о.

Так как со - собственный вектор Q то

Qco = 0 AQA ' co = 0 А ' со - собственный векторQ

—> А ' со = цсосо = цАсо.

Из последнего сотношения следует, что

|со|2 = Ц2|со|2 (А - матрица поворота).

Рассмотрим квадрат матрицы П, определяемый формулой (Ю):_

ft2 = AQATAQAT = AQ2AT.

Так как А - матрица поворота, то

SpO2 = SpQ2.

Из (7) следует, что

|<о|2 = |<о|2 ц2 = 1, <о = ±А<о.(2.1.13)

Если А - матрица поворота (det А = 1), то в (13) возможен только первый знак.

Доказательство. Если А - матрица поворота, то существует семейство ортогональных матриц А(т), непрерывно зависящее от параметра т е [а, |3] и удовлетворяющее условиям:

А(а) = I - единичная матрица, А(Р) - заданная матрица поворота.

При т=а имеем А (а) = I и Q = Q ^ со (а) = со ^ ц(а) = 1. При т = Р

со = ц(Р)А(Р)со.

Если ц(Р) = -1, то необходимо (ц2 = 1) существует значение т = т* е [а, р]. удовлетворяющее условию

ц(т*-0) =-ц(т*+0).

Так как А - непрерывная функция т, отсюда следует: со(т* - 0) = -со(т* + 0).

Так как |со|^0 (|со| = |со|)9 то, следовательно, функция со(т) должна при т = Т иметь разрыв. Этого не может быть, так как элементы матрицы Q(t) = А(т)ОАт(т) непрерывные функции т. Следовательно, ц(Р) = 1.

8°. Доказанную теорему можно сформулировать следующим образом.

Если кососимметрическая матрица Q размера 3x3 определяет преобразование векторов R3, заданное относительно репера Е, то компоненты соответствующего Q вектора со при задании того же преобразования относительно репера Е преобразуются, как координаты ОУ вектора

со = со^ + со2е2 + со3е3.

То есть вектор со арифметического пространства R3 можно рассматривать как направленный отрезок со в геометрическом представлении R3. Имеется одно исключение. Если вместо матрицы поворота взять матрицу (-А) (det (-А) = -1), то координаты г любого вектора г изменят знак. В то же время элементы матрицы Q, согласно (10), (и, следовательно, компоненты со) не изменяются.

Поэтому вектор со называют не вектором, а псевдовектором. Однако если при преобразованиях реперов ограничиться только преобразованиями поворота, то отличие псевдовектора от вектора никак не проявляется.

9°. Обычно преобразование координат (8) вектора г кососимметрической матрицей Q записывают в следующем виде:

q = Qr = [со,г],(2.1.14)

где со - вектор, соответствующий Q.

При этом q называют векторным произведением векторов со и г. Согласно 8°, при det А = 1 будем иметь q = [со, г].

10°. Свойства векторного произведения

а)

q =q =q q2 q3q q2 q3®V -mV mV-mV®V -mV mV-mV(2.1.15)(2.1.15)

q =

q =

q q2 q3

q q2 q3

®V -mV mV-mV

®V -mV mV-mV

(2.1.15)

(2.1.15)

Следует обратить внимание на циклическую перестановку индексов в выражениях для компонентов q4

Формула (15) получается умножением матрицы Q (4) на координатный вектор г.

Для любых х, у е R3 и а, Р е R

[ах + Ру, z] = а[х, z] + Р[у, z],(2.1.16)

[х, х] = 0.

Для любых со, г е R3

[со,г] = -[г,со].(2.1.17)

Свойства б) и в) очевидно следуют из ((15).

Вектор q ортогонален векторами со и г:

(co,q) = (r,q) = 0.(2.1.18)

Доказательство. Исходя из равенств

(со, [со, г]) = (co,Qr) = (QTco,r) = -(Qco,r) = 0 (Qco = 0),

находим

<r,[to,r]> = -(r,[r,to]> = 0

(co и г входят в (15) симметричным образом)

СО со2 со3СО со2 со32323Для произвольного вектора хт = (х1, х2, х3)

СО со2 со3

СО со2 со3

2

3

2

3

(х, q) = (х, [со, г]) = det х2

3

Выражение (х, [со, г]) называется смешанным произведением трех векторов х, со, г (порядок важен). Модуль смешанного произведения равен объему параллелепипеда, построенного на векторах х, со, г.

Из свойства определителей по отношению к перестановке столбцов следуют равенства:

для четных перестановок

(х,[со,г]) = (г,[х,со]) = (со,[г,х]);

для нечетных перестановок

(x,[to,r]> = <х,[г,го]) = <to,[x,r]> = <r,[w,x]).

11°. Теорема. Пусть Cj и 82 - два единичных взаимно ортогональных вектора R3;

|®1| = |®2, = Ь <Ei,E2) = 0.

Пусть 83 = [еь 82 ]. Тогда тройка 8 = (еь 82, 83) образует ор- тонормированный репер, ориентированный одинаково с исходным репером Е.

Доказательство.

Вектор 8 ортогонален векторам 8! и 82 (см. 10°, г)).

Рассмотрим определитель

D = detD = detEi62Ei626|62616|62616162£26162£2

D = det

D = det

Ei

62

Ei

62

6|

62

61

6|

62

61

61

62

£2

61

62

£2

Разлагая по элементам третьей строки, получим

D =

= (Eg)2 +(е|)2 +(Ед)2 > 0 (ориентация правильная).

Модуль вектора не изменяется при ортогональном преобразовании. Выберем систему координат Е так, чтобы

8]= Ае^ 0 , е2 08]= Ае^ 0 , е2 0= А82 = 1 .= А82 = 1 .ОО

8]= Ае^ 0 , е2 0

8]= Ае^ 0 , е2 0

= А82 = 1 .

= А82 = 1 .

О

О

Подставляя компоненты 81,82 в формулу (15) (со = 8^ г = 82), найдем ^ = 0 . Откуда |^| = |83| = 1.

1

Геометрические свойства векторного произведения

Вектор q ортогонален плоскости Пюг векторов со и г (рис. 21).

Поворотом со на угол меньший или равный 180° в плоскости Пюг против часовой стрелки (если смотреть со стороны

стрелки q) он может быть направлен по лучу, определяемому вектором г.

Модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на векторах со и г.

Для доказательства свойств 2) и 3) выберем репер так, чтобы

орт в! был направлен по со, а орт е2 принадлежал плоскости векторов со и г (рис. 22). В этом случае

со = |со|со = |со|г = Иг = Иcos 9Л sin 9

со = |со|

со = |со|

г = И

г = И

I 0 J

0vsin90vsin9Согласно (15), q = [со, г] = |со||г|

0vsin9

0vsin9

Из последней формулы следует

|q| = |со| |r||sin9| = 5,sgn g3=sgnsin9 (sgn а-знака).

§ 2.2. Твердое тело

До сих пор мы занимались простейшими механическими объектами - материальными точками. Напомним, что материальная точка в нашей модели это пара (г, т), где т - масса материальной точки, are R3 - ее радиус-вектор. Движение материальной точки полностью описывалось тремя функциями времени

г(0 = (г‘(г),г2(г),г3(0)-

Сейчас мы на основе уже известных нам понятий определим новый объект.

Определение. Твердым телом называется система материальных точек (r0, т0), (гь т^, .... (г^, т^ таких, что расстояние между любыми двумя не изменяется с течением времени.

Обозначим через |г- -r7-| = s^ расстояние между точками i и j. Из определения твердого тела

ds^

—2. = о -> Sy = const; iJ = 0,V-,N-(2.2.1)

at

Условия типа (1) являются частным случаем рассматриваемых в механических моделях условий, ограничивающих возможное изменение координат материальных точек системы. Такие условия называются связями. Движением твердого тела называется совокупность движений (r^f), /л,), / = 0, 1, 2,...,/V материальных точек, составляющих твердое тело. При этом движение точек во все моменты времени t е Jt должны удовлетворять связям

I^CO-r/t)^^ = const; k,j = 0,l,...,N.(2.2.2)

Модель твердого тела (рис. 23) можно представить как систему материальных точек ть соединенных стержнями, массой и деформацией которых можно пренебречь.

Модель твердого тела с успехом используется для описания закономерностей вращения спутников, дви- г жения частей человеческого тела, вращения планет.

Любое реальное тело лишь приближенно можно рассматривать как твердое. Как и для всех моделей,Рис 23

возможность использования для описания данного физического процесса модели твердого тела зависит от конкретных условий исследуемой задачи.

Теорема. Пусть (r0, m0), (гь mO, (r2, т2) - три точки твердого тела, не лежащие на одной прямой. Тогда с точкой г0 можно связать такой репер Е^^Д^ДДр одинаково ориентированный относительно абсолютного репера Е, что координаты произвольной точки твердого тела (r7, т7) относительно репера Е не изменяются при любом непрерывном движении твердого тела.

Доказательство. Определим орты

ё, = ё2 =ё3 = [ё15ё2],(2.2.3)

d

где s10 = |r1-r0|, d = |[^,r2-r0]|.

М.Л. Лидов

Очевидно:

|ё1| = |ё2| = 1, <ё1?ё2> = 0.

Согласно доказанной выше теореме (см. 11°), Е^ = (ё1?ё2,ё3) образуют репер, ориентированный одинаково с абсолютным репером.

Для завершения доказательства необходимо показать, что проекции векторов г7 - г0 на орты ё-

(г,.-^.), ; = 1,2,...ЛГ; i = w,(2.2.4)

в силу условий (1) не изменяются при любом движении твердого тела. Эту часть доказательства следует рассматривать как упражнение.

Углы Эйлера

Рассмотрим два одинаково ориентированных репера Е =

= (еь е2, е3) и Е1 = (ej,e2,e3) с началом в одной точке О. Пусть орт е3 совпадает с ортом е3 (рис. 24). Обозначим через у угол между векторами е} и еь отсчитываемый от направления вектора ej против часовой стрелки, если смотреть с конца вектора е3. Матрицу преобразования Е —> Ех обозначим П(3, у). Число 3 и буква у указывают, что репер Е1 получается из репера Е поворотом вокруг орта е3 против часовой стрелки на угол

у. Запишем матрицу этого преобразования в явном виде

sin у (Г cosy 00 1Jsin у (Г cosy 00 1J(2.3.1)(2.3.1)cosy

sin у (Г cosy 0

0 1J

sin у (Г cosy 0

0 1J

(2.3.1)

(2.3.1)

П(3,у)= -sin у 0

Аналогично введем в рассмотрение матрицу преобразования поворота вокруг орта ej (рис. 25) на угол у (против часовой стрелки)

Г1

0

0 А

П(1,у) =

0

cosy

sin у

.(2.3.2)

(о

-sin у

cosyv

Нетрудно проверить, что det П(г, у) = 1 и, следовательно, мат-

рицы П(/, у) суть матрицы поворота. Преобразования реперов с неизменным одним ортом будем называть простым поворотом.

Рассмотрим теперь призвольный репер E^Q^^^Y одинаково ориентированный с репером Е.

Сейчас мы укажем один конкретный способ вычисления матрицы преобразования Е —> Е (рис. 26). Введем два вспомогательных репера:

Репер Е2 = (е2,е|,е|), орт е| которого совпадает с ортом е3 репера Е, а орт ех принадлежит плоскости векторов еь е2 репера Е.

Так как орты е| и ё3 совпадают, то репер Е может быть получен из репера Е2 простым вращением вокруг третьего орта на некоторый угол, который мы обозначим ф. Отсюда следует, что матрица преобразования Е2 -э Е есть матрица простого поворота П(3, ф).

Репер Е1 = (e^e2,e3) выберем так, чтобы орт е3 совпадал с ортом е3 репера Е, а орт е} совпадал с ортом е2 репера Е2. Так как е3 = е3, то преобразование Е -э Е1 есть простой поворот и матрица этого преобразования имеет вид П(3, ф), где через ф обозначен угол, на который надо повернуть репер Е, чтобы орт е} совпал с ортом е2

Так как орты е} и е2 совпадают, то преобразование Е1 -э -э Е1 есть простой поворот на угол 9, определяемый углом между е3 и е|.

б*

Матрица этого преобразования имеет вид П(1, 9). Таким образом, искомое преобразование Е —^—> Е можно представить как суперпозицию простых поворотов:

^Щ3,у) > ^Л П(1,9) > ^2П(3,(р) > ^

Отсюда непосредственно следует, что искомая матрица А преобразования Е —^—> Е имеет вид

А = П(3,ф)П(1,9)П(3,у).

Так как каждая из составляющих матриц есть матрица поворота, то и матрица А есть матрица поворота, т.е. ортогональная матрица с det А = +1. Для получения явного вида элементов матрицы А надо произвести перемножение трех простых матриц. Углы ф, 9, \|/, однозначно определяющие положение репера Е относительно репера Е, называются углами Эйлера.

Они имеют наименования:

ф - угол прецессии, ф - угол вращения (собственного вращения), 9 - угол нутации.

Линия пересечения плоскостей (еь е2) и (ё1?ё2) называется линией узлов.

Напомним, что множество матриц поворота At размера 3 х 3, det Az =+1, образует мультипликативную группу, которую называют трехмерной группой вращений и обозначают SO (3).

1.Из Ах е SO (3) и А2 е SO (3) -> АХА2 е g SO (3), det A^2 = 1

At g SO (3) -> A?1 = AJ g SO (3).

Единичная матрица I размера 3x3 является единицей в SO (3). Произвольная матрица по

ворота А определяет репер Е. Из построения эйлеровых углов следует, что если е3 ^±ё3, то для любого Е, ориентированного одинаково с Е, мы однозначно определяем углы ф, 9, \|/ из параллелепипеда (рис. 27).

U: {9<9<л, 9^ф<2л, 9^у<2л}.(2.3.3)

Верно и обратное: каждому набору ф, 9, \|/ из U соответствует матрица поворота А.

Таким образом, соотношение (3) определяет взаимно однозначное отображение области U евклидова пространства R3;

U: {9<9<л, 9<ф<2л, 9 < ф < 2л} bSO (3).

Иначе говоря, отображение (3) U -э SO (3) задает локальные координаты (карту) на гладком многообразии SO (3). По ф и \|/ можно продолжить это отображение на всю плоскость (ф, \|/), отождествляя точки плоскости с координатами ф и \|/ с точками плоскости с координатами \|/ + 2л^, ф + 2лт для любых целых к нт.

Значения 9 = 0 и 6 = л являются особыми. При 9 = 0 и 9 = = л (е3 = ± ё3) отображение (3) перестает быть взаимно однозначным (по реперу Е можно определить ф + V ПРИ 6 = 0 или \|/ - ф при 9 = л, но нельзя определить отдельно каждый угол). Из-за этого иногда для описания движения твердого тела необходимо в SO (3) вводить другие локальные координаты (не углы Эйлера) или вводить множество карт.

Дадим теперь абстрактное определение твердого тела, аналогичное нашему определению материальной точки. Это определение не подменяет исходного, более наглядного, а раскрывает его как следствие.

Твердым телом называется тройка

(гАР\

где г е R3 - радиус-вектор выделенной точки твердого тела О,

А - матрица поворота от абсолютного репера Е к реперу Ег, жестко связанному с твердым телом, начало которого расположено в точке О,

Р-не зависящее от времени распределение масс (гк,тк\ к = 1,2, ..., N, относительно репера Ег.

Движением твердого тела называется отображение

Ф:7, ^/?3xSO (3)

интервала времени в прямое произведение пространства R3 и трехмерной группы вращения SO (3).

Это отображение задается функциями

г = yQY А = A^t\ t eJt.

(Мы употребляем, как обычно, ту же букву для отображения и образа.)

Так как матрица А определяется тремя параметрами, например ф, 9, \|/, и вектор г е R3, то, следовательно, пространство положений твердого тела (его конфигурационное пространство) - шестимерное.

Основные формулы кинематики твердого телаи относительного движения точки

Кинематика - это раздел механики, в котором изучают движение материальных тел вне зависимости от причин, вызывающих это движение. Так, например, траектория движения, скорость и ускорение материальной точки есть понятия кинематики движения точки. Все кинематические понятия для материальной точки не зависят от величины массы точки, а определяются только движением точки: отображением Jt —^—>R3. Аналогично при рассмотрении кинематики движения твердого тела мы можем отвлечься от распределения масс Р относительно репера Е^, жестко связанного с твердым телом, и изучать движение точек, неизменно связанных с репером Ег. Иначе говоря, изучать движение репера, значит, изучать отображение Ф: Jt^ R3 х SO (3), определяемое функциями

Го = го(О и А = A(t).

В механике часто оказывается необходимым не только изучать движение твердого тела, но и уметь описывать, например, движение материальных точек относительно твердого тела, которое само совершает (возможно достаточно сложное) движение относительно какой-либо абсолютной (инерциальной) системы координат. В частности, если мы описываем движение тел (точек) относительно Земли и для описания этого движения вводим систему координат, орты которой ориентированы по неподвижным относительно Земли предметам, то эта система координат совершает сложное движение, связанное с суточным вращением Земли, ее движением по орбите вокруг Солнца и т.д. В дальнейшем мы кратко рассмотрим некоторые вопросы кинематики твердого тела и относительного движения.

Можно указать две задачи, порождающие необходимость в кинематическом анализе.

Уравнения движения материальной точки в исходной постановке о движении системы материальных точек (§ 1.1) определяют связь абсолютного ускорения (ускорения относительно абсолютного репера) и действующих на данную точку сил. Мы показали, что уравнения имеют тот же вид при описании движения относительно произвольной инерциальной системы координат. В то же время часто (в частности, как мы показали выше на примере относительного движения системы N гравитирующих точек) мы вообще не можем определить абсолютное движение или непосредственно можем наблюдать толь-

ко движение относительно системы координат (Земли), совершающей сложное движение относительно инерциальной системы координат.

Часто очень сложное результирующее движение материальных точек (тел) относительно абсолютной системы координат является суперпозицией простых относительных движений реперов (точек) друг относительно друга. В такой ситуации изучение относительных движений может помочь в анализе и описании результирующего движения.

Докажем вначале два вспомогательных утверждения.

Лемма 1. Пусть элементы ортогональной матрицы А размера 3x3 зависят от времени. Обозначим

— A = Q.(2.4.1)

dt

Утверждение^ - кососимметрическая матрица.

Доказательство. Из ортогональности А следует

АТА = Ц(2.4.2)

где I - единичная матрица.

Дифференцируя (2) по времени, получим

A = -A— = dtA = -A— = dt(dAT ДAv dt v(dAT ДAv dt vdA"ATdA n dA"

A = -A— = dt

A = -A— = dt

(dAT Д

Av dt v

(dAT Д

Av dt v

A + A— = 0—>dt dt dt

Следовательно, Q - кососимметрическая матрица размера 3x3. Соответствующий ей вектор обозначим со:

г0

-0)

со2 '

СО =

со2

, Q = со3

0

—о1

.(2.4.3)

к2

(О1

0 J

С течением времени компоненты ОУ в общем случае изменяются, т.е. со = со(Г). Если матрица A(t) определяет вращение репера Е относительно Е = (еь е2, е3), то вектор

123

<о = 0) е, + ю е2 + ю е3

будем называть вектором угловой скорости вращения Е относительно Е, а порождающую координатный вектор со матрицу Q будем называть матрицей угловой скорости.

Лемма 2. В обозначениях леммы 1 справедливо соотношение

(2.4.4)(2.4.4)d4T . dQ.dt dt

(2.4.4)

(2.4.4)

Доказательство. Продифференцируем соотношение (1) по времени:

rf2AT а dAT dA d&

dt dt dt dt

Воспользуемся тождествами

^L — = ^L ДД T — = QQT = -Q2.dt dt dt dt

Напомним, что формула для Q2 приведена в (2.1.16) и dQJdt - кососимметрическая матрица размера 3x3; соответствующий ей вектор будем обозначать dwklf.

dt

.(2.4.5)

dt dtdto3

v dt 7

Пусть репер E определяет абсолютную систему координат (рис. 28).

Начало репера ЕГо (точка О) определяется вектором г0, а координаты его ортов относительно репера Е матрицей А:

Обозначения и определения

Рассмотрим движение произвольной точки М, положение которой относительно репера Е определяется вектором г.

Обозначим:

г - координаты точки М относительно Е (проекции г на орты репера Е);

drX-

v = — - координаты вектора абсолютной скорости точки dt

М (проекции v на орты репера Е);

dv d^r

— = —- координаты вектора абсолютного ускорения точ- dt dt

ки М (ускорения точки М относительно Е, т.е. проекции w на орты репера Е);

г0 - координаты точки О относительно Е (проекции на орты репера Е);

у0 - координаты вектора скорости точки О относительно Е (проекции на орты репера Е);

Wo - координаты вектора ускорения точки О относительно Е (проекции на орты репера Е).

Положение точки М относительно репера ЕГо определяется вектором г - г0.

Обозначим:

г - координаты точки М относительно ЕГо (проекции г - г0 на орты репера ЕГо);

_ drv

v = — - координаты вектора относительной скорости dt

(скорости движения точки М относительно ЕГо, т.е. проекции вектора относительной скорости на орты репера ЕГо);

_ dN d^r

w=—=—у- - координаты вектора относительного ускорения, dt dt

(ускорения точки М относительно Е^, т.е. проекции на орты репера Е ).

Наблюдатель, жестко связанный с репером ЕГо, м о ж е т непосредственно измерить только г,у, w.

Координатные векторы r,v,w можно спроектировать на орты репера Е. Обозначим эти проекции г - г0, уг, wr:

г - г0 = А ' г - координаты вектора относительного положения точки М в проекциях на орты репера Е;

уг = Ату - координаты вектора относительной скорости точки М в проекциях на орты репера Е;

wr = Ат w - координаты вектора относительного ускорения точки М в проекциях на орты репера Е.

В качестве исходного для дальнейших преобразований возьмем соотношение, связывающее абсолютные координаты г точки М в проекциях на орты репера Е и относительные координаты г той же точки в проекциях на орты репера ЕГо:

г = Атг + г0.(2.4.6)

Предположим теперь, что репер Е^ совершает движение относительно репера Е, т.е. рассмотрим отображение Jt —> R3 х х SO (3), определяемое вектор-функцией r0 = r0(t) и матрицей А = = А (г), элементы которой зависят от времени. Рассмотрим, как связаны кинематические характеристики движения произвольной точки М (скорость, ускорение) при описании ее движения относительно абсолютного репера Е и подвижного репера ЕГо.

Продифференцируем соотношение (6) по времени:

dr dAT _ dvu Л— = у =r + —- + Аdr dAT _ dvu Л— = у =r + —- + Аdtdtdt dtdt dtdr dtdr dt(2.4.7)(2.4.7)

dr dAT _ dvu Л

— = у =r + —- + А

dr dAT _ dvu Л

— = у =r + —- + А

dt

dt

dt dt

dt dt

dr dt

dr dt

(2.4.7)

(2.4.7)

Используя тождестваг =AATr и введенные выше обоз- dt dt

начения

^Ат ._ .т_dr0 dr _ .т_

А = £2, А г = г-г0, —- = у0, — = V, А у = у, dt0 dt ° dt1

получим(I)получим(I)v = Q(r-r0) + v0+vrv = Q(r-r0) + v0+vr(2.4.8)(2.4.8)

получим

(I)

получим

(I)

v = Q(r-r0) + v0+vr

v = Q(r-r0) + v0+vr

(2.4.8)

(2.4.8)

или, так как, согласно лемме 1, Q - кососимметрическая матрица, элементы которой образуют вектор со:

(П(Пv = [<o,r-r0] + v0 +vr.v = [<o,r-r0] + v0 +vr.(2.4.9)(2.4.9)

(П

(П

v = [<o,r-r0] + v0 +vr.

v = [<o,r-r0] + v0 +vr.

(2.4.9)

(2.4.9)

Продифференцируем теперь соотношение (7) по времени. В результате получим

d2r dt2d2r dt2dv dtdv dt= СО == СО =Jj4 drJj4 dr—^ + 2 dt—^ + 2 dtdAT dr dt dtdAT dr dt dt+ AT+ ATd2r dr "d2r dr "(2.4.10)(2.4.10)

d2r dt2

d2r dt2

dv dt

dv dt

= СО =

= СО =

Jj4 dr

Jj4 dr

—^ + 2 dt

—^ + 2 dt

dAT dr dt dt

dAT dr dt dt

+ AT

+ AT

d2r dr "

d2r dr "

(2.4.10)

(2.4.10)

Преобразуем (10), используя тождества и введенные обозначения:

d4'_Г = d?d4'_Г = d?</2А*т_ </2ат л jq о

d4'_

Г = d?

d4'_

Г = d?

^АА г, ~ Л =+ Q ,dtdt dt

dA" dr dt dtdA" dr dt dtA r = r"r" ^=w0’

dA" dr dt dt

dA" dr dt dt

= —AAT — = ^lATv = ^r. AT^- = ATw = wr. dt dtdt

При этом (10) можно записать в следующем виде:

(П)(П)(2.4.11)(2.4.11)w =(r-r0) + Q (r-r0) +w0+2Qvr + wr.

(П)

(П)

(2.4.11)

(2.4.11)

dt

СПСПdmW= — ,r-r0L dtdmW= — ,r-r0L dtТак как ddldt и Q - кососимметрические матрицы, элементы которых образуют векторы d^ldt и со, то (11) можно записать через векторные произведения:

СП

СП

dm

W= — ,r-r0L dt

dm

W= — ,r-r0L dt

+ [<o,[co,r -r0]] + w0 + 2[<o,yJ +wr.

(2.4.12)

Соотношения 1(1) и 11 (11) являются основными соотношениями для кинематики твердого тела и относительного движения точки.

Ниже мы рассмотрим следствия, вытекающие из этих соотношений.

Кинематика твердого тела

Предположим, что репер Е^ жестко связан с твердым телом. Пусть точка М - произвольная точка того же твердого тела. В этом случае относительные скорость и ускорение точки М равны нулю:

у = w = vr = wr =0.

Соотношения 1(1) и 11 (1Г) в этом случае имеют вид

(III)

v = Q(r-r0) + v0, v = [w,r-r0] + v0;

(2.5.1)

w =

dQ. ..-2zX

—(r-r0) + Q (r-r0) + w0, т.е. dt

(IV)

w =

dto

Гск^”1^-

+ [<o,[<o,r-r0]] + w0.

(2.5.2)

Соотношение III определяет распределение абсолютных скоростей точек твердого тела в зависимости от их положения г - г0 и является основным соотношением кинематики твердого тела.

Определение. Вектор со называется вектором мгновенной угловой скорости твердого тела.

Введем несколько понятий, используемых при описании движения твердого тела.

Определения'.

Если на интервале времени Jt

v0 = 0 и со = 0, то говорят, что твердое тело на этом интервале находится в покое относительно абсолютного репера Е;

v0 0 и со = 0, то говорят, что твердое тело совершает поступательное движение (перемещается поступательно) относительноЕ;

v0 = 0 и со ^ 0, то говорят, что твердое тело вращается вокруг неподвижной точки О, определяемой радиусом-вектором г0;

у0 = 0, deficit = О, I со I ^ О (со0 = co/l со I - единичный вектор в направлении со), то говорят, что твердое тело вращается вокруг неизменной оси, проходящей через точку О.

Замечание 1. В случае поступательного перемещения со = О (dAldt = 0), т.е. орты репера ЕГо сохраняют ориентацию относительно репера Е. При этом поступательное движение может быть достаточно сложным (рис. 29, 30).

При поступательном движении все точки твердого тела в каждый момент времени t имеют одинаковую скорость v = v0.

Замечание 2. В случае 4) множество точек, лежащих на прямой, проходящей через точку О параллельно вектору со:

г = г0+Х<о°(2.5.3)

(X - произвольное вещественное число) имеет нулевую скорость относительно Е. Действительно, при у0 = О

v = [со,г -г0] = [со,Хсо°] = | со | Х[со°,со°] = 0.(2.5.4)

Эта прямая называется осью вращения твердого тела.

Если условия, входящие в определения 1)-3), выполняются только в один момент времени t — t*, то говорят, что твердое тело

находится в мгновенном покое относительно Е, если при t = t v0 = 0 и со = 0;

совершает мгновенно поступательное движение, если при t- Г у0 0 и со = 0;

совершает мгновенно вращательное движение, если при t= t* у0 = 0 и со 0.

В последнем случае скорости точек, лежащих на прямой г = г0 + + Хсо (X - произвольное вещественное число), при t - Г равны нулю. Эта прямая называется мгновенной осью вращения.

Утверждения.

В случае мгновенно поступательного движения все точки твердого тела (репера Е^) при t - Г имеют одинаковые скорости, равные у0.

В случае мгновенно вращательного движения скорости всех точек при t — Г направлены ортогонально вектору со (оси вращения) и вектору г - г0, т.е. у = [со, г - г0]. Так как

|v| = |co||r-r0|| sin 91 = | со | Л,(2.5.5)

где /г = I г — r0 I I sin 0 I — расстояние точки от оси вращения, то

Рис. 31Рис. 31модуль вектора у равен произведению модуля вектора угловой скорости со и расстояния h точки от оси вращения (рис. 31).

Рис. 31

Рис. 31

Из формулы

v = [w,r-r0] + v0

следует, что произвольное мгновенное движение твердого тела складывается из двух движений: мгновенно поступательного движения со скоростью у0 начала ре-

пера ЕГо и мгновенно вращательного движения с угловой скоростью со относительно оси, проходящей через начало репера в направлении, определяемом вектором со.

Рис. 32Рис. 32Теорема. Мгновенная угловая скорость твердого тела со не изменяется при переходе к другому реперу, жестко связанному с твердым телом.

Рис. 32

Рис. 32

Рассмотрим (рис. 32) наряду с реперами Е и ЕГо репер ЕГ1, так же, как и репер Е^, жестко связанный с твердым телом. Обозначим через г координаты точки М твердого тела относительно репера Е ;

г - координаты вектора rj - г0 относительно ЕГо в проек

циях на орты ЕГо. Пусть В - ортогональная матрица преобразования

г в уЕ

^г0^Г1*

Очевидно, справедливы соотношения

г = Атг+ г0, г = ВТг + гР

Подставим г из второго соотношения в первое. Получим

г = А'В'Г + А^+Го.

Продифференцируем последнее соотношение по времени, учитывая, что

dBT _ ^ dr _ drx _ уdt dt dt

dr dA'= dA" _ dr.

=В Г +Fj +—-.dtdt dtdt

Используя тождества

—STr = -^A4TSTr = QAT(r-r1) = Q(r-r1) = [<o,r-r1],

dAT_ dA" . ,T_. r n

-—r1=—-A4 r, =Q(r1-r0) = [to,r1-r0], dt dt

получим

v = [со,г -FJ + v1?(2.5.6)

V] = [<o,r1-r0] + v0.(2.5.7)

О мгновенно винтовом движении

Пусть I со I ^ 0. Пусть точка rj определяется следующей формулой:

[co,v0] Лг1=го+п—+|со|

где X - произвольное число. Тогда, подставляя ^ - г0 в (2.5.7), получим

112

\ =-—^[w,[<o,v0]] + v0 =^а^ V0+V0 =

1“||<о|

, .,2 , ТА(“Ло)<“Ло)

= -—Н-М / + ww )v0+v0 =-v0+w-—^ + v0=to-—^.

I CO II CO II CO I

(2.5.8)

Таким образом, можно найти такую точку гь что поступательная составляющая скорости будет коллинеарна вектору угловой скорости. Такое движение называется мгновенно винтовым движением. Прямая, проходящая через точку rj параллельно вектору со, называется мгновенной винтовой осью. Мы доказали, что в каждый момент времени t в твердом теле можно указать такую прямую, что если начало системы координат, жестко связанной с твердым телом, принадлежит этой прямой, то движение твердого тела является мгновенно винтовым.

О распределении ускорений в твердом теле

Из соотношений (IV) следует, что мгновенное ускорение точек твердого тела складывается из трех составляющих:

ускорения начала подвижной системы координат w0; эта составляющая ускорения одинакова для всех точек твердого тела и называется поступательным ускорением;

ускорения wB = Yd^ldt, г - г0], связанного с изменением вектора угловой скорости; эту составляющую ускорения называют вращательным ускорением;

ускорения woc = [со, [со, г - г0]], называемого осестреми- телъным ускорением:

woc = ^2(г-го) = (-1w I2 7 + wwT)(r-r0) =

= -|ы|2 (r-r0) + <o(w,r-r0).

(2.5.9)

ПредставимПредставим

Представим

Представим

(2.5.10)(2.5.10)г - г0 = Хсо + р,

(2.5.10)

(2.5.10)

где XI со I - проекция г - г0 на направление вектора со, а р - составляющая г - г0, ортогональная со (рис. 33).

Подставив (10) в (9), получим

Woc = - И2 р.

Осестремительное ускорение ортогонально вектору со, направлено от точки М к мгновенной оси вращения, а его величина равна произведению квадрата модуля угловой скорости на расстояние точки М от оси вращения.

Замечание 3. Если тело совершает посту

пательное движение (со = 0 при t = J^, то ускорение всех точек твердого тела одинаково и равно w0. В случае мгновенно поступательного движения (со = 0 при Г = Г) в общем случае это уже не так. Вращательное ускорение, вообще говоря, не равно нулю. Следовательно, ускорение точек твердого тела при мгновенно поступательном движении зависит от координат точек.

Скорости и ускорения в относительном движении

Рассмотрим теперь вновь движение точки М. Связь абсолютной и относительной скоростей движения, абсолютного и относительного ускорений определяется полученными выше соотношениями 1(1), П(1Г) (2.4.8)-(2.4.12)).

Обозначим

[<O,r-r0] + V0 =¥,

(2.6.1)

и запишем формулу (1) в следующем виде:

У = У^ + Уг.

Обозначим

(2.6.2)

С/СОг гп

—,r-r0 + [w.[w.r-r0]] + w„ = w,

_ at_

(2.6.3)

2[со,уг] = wc(2.6.4)

и запишем формулу (11) в следующем виде:

w = we + wc + wr.(2.6.5)

Из формулы (1) следует, что вектор ve равен вектору абсолютной

скорости точки, неподвижной относительно репера Е^, положение которой в данный момент совпадает с положением точки М.

Определение 1. При рассмотрении относительного движения точки М вектор Ne называют переносной скоростью.

Используя это определение, соотношение (2) формулируют следующим образом: абсолютная скорость v точки равна сумме относительной скорости vr и переносной че.

Аналогично вектор we равен вектору абсолютного ускорения точки, неподвижной относительно репера ЕГо, положение которой в данный момент времени совпадает с положением точки М.

Определение 2. При рассмотрении относительного движения we называют переносным ускорением, а

wr = А^d2v I dt1 - относительным ускорением, которое определяет наблюдатель, неподвижный относительно репера ЕГо (в проекциях на орты репера Е\

Из (5) следует, что абсолютное ускорение содержит еще одну составляющую wc (4), которая называется кориолисовым ускорением. Как следует из этой формулы, кориолисово ускорение отсутствует, если система координат перемещается поступательно (со = 0) или относительная скорость vr точки М коллинеарна вектору угловой скорости (vr = 0). Соотношение (5) формулируется следующим образом: абсолютное ускорение точки равняется сумме переносного, относительного и кориолисова ускорений.

Все понятия, связанные с распределением скоростей и ускорений твердого тела, автоматически переносятся на распределение переносных скоростей Ne и переносных ускорений we.

Сложное относительное движениесистемы твердых тел (реперов)

Выше при описании кинематики движения твердого тела или относительного движения мы рассматривали два репера: неподвижный (абсолютный) Е и подвижный и вводили соответствующие понятия абсолютной скорости (ускорения), относительной скорости (ускорения) и т.д. Однако суть всего рассмотрения состояла в том, что было два репера и один из них двигался относительно другого. То, что Е мы называли абсолютным репером, было, вообще говоря, дополнительной конкретизацией, не влияющей на основные соотношения.

7. М.Л. Лидов

Сейчас мы рассмотрим систему одинаково ориентированных реперов Ео, Еъ .... Е№ движущихся друг относительно друга (рис. 34).

М

Рис. 34

Введем следующие обозначения:

Ак -матрица поворота, определяющая координаты ортов репера Ек относительно репера Ек_х;

Ак - матрица поворота, определяющая координаты ортов репера Ек относительно Ео (в частности, Ах =Ai);

q^. - координаты начала репера Ек относительно репера Ек_х (проекции q^ на орты репера Ек_х\ q^ = Ак_х q^ - проекции q^ на орты репера Ео (Qi - Qi)> - d4k u^ = —- - координаты вектора скорости начала репера dt

Ек относительно репера Ек_х;

и^. = Ак-^^ - проекции вектора скорости начала репера Ек относительно репера Ек_х на орты репера Ео (^ =uj;

Yk3k^k - координаты, компоненты вектора скорости и ускорения произвольной (но общей для всех £) точки М относительно репера Ек (проекции векторов на орты репера Ек);

Yk,Nk^k - проекции векторов положения точки М, ее векторов скорости и ускорения относительно репера Ек на орты репера Ео (Yk = AkYk,

— dAv —

Qz = —— Ak - матрица угловой скорости вращения репера Ек dt

относительно репера Е^;

<о^ - координатный вектор угловой скорости вращения репера Екотносительно репера Ек_х (мк соответствует матрице О.к);

тк = АкХмк - проекции вектора угловой скорости вращения репера Ек относительно репера Ек_х на орты Ео;

Qk = Ak_xQkAk_x - матрица угловой скорости, соответствующая <0^.

Получим некоторые вспомогательные соотношения.

Преобразование поворота Ео ———> Ек можно представить в виде последовательности преобразований:

Ео ЕхЕк.

Поэтому

Ак=АА-1-Л.(2-7.1)

Применяя к (1) операцию транспонирования, получим

А^А^...А^(2.7.2)

Покажем, что производную по времени dAk / dt можно

представить в следующем виде:

кк^=2 (A'-J^AA-,) А’dtL 1=1J^=2 (A'-J^AA-,) А’dtL 1=1Jкк(2.7.3)(2.7.3)

к

к

^=2 (A'-J^AA-,) А’

dt

L 1=1J

^=2 (A'-J^AA-,) А’

dt

L 1=1J

к

к

(2.7.3)

(2.7.3)

Дифференцируя (2) по времени, получим

dt ~2Согласно (2),dt ~2Согласно (2),Д'Д'т <т4 dtт <т4 dtЛт-Лт-(2.7.4)(2.7.4)(2.7.5)(2.7.5)

dt ~2

Согласно (2),

dt ~2

Согласно (2),

Д'

Д'

т <т

4 dt

т <т

4 dt

Лт-

Лт-

(2.7.4)

(2.7.4)

(2.7.5)

(2.7.5)

Согласно (1) и (2), нетрудно доказать справедливость следующего равенства:

^...^=^=74-1^.(2.7.6)

Подставим (5) и (6) в (4) и, используя обозначение Ц = = (dA^ /dt) Alполучим

Для получения (3) необходимо воспользоваться обозначением

(2.7.7)

Рассмотрим формулы преобразования координат точки М при переходе от репера Е^ к реперу Et;

(2.7.8)(2.7.8)Г0 = A'^+Q!,ri = Атг2 + q2.

(2.7.8)

(2.7.8)

Покажем, что соотношения между г0 и г^ можно представить в следующем виде:

Го^+Е^О/ (АТ=Л.(2.7.9)

7=1

Докажем справедливость (9) по индукции; такой вид имеет связь г0 и г^ при k = 1. Подставив в (9) rk = Ak+1rk+1 + q^+1, получим

к

Го = A^Ai^+i + a; qw + ^■

7=1

Так как АкАк+1 = Ак+1, то зависимость г0 от rw действительно имеет вид (9), где к заменено на к + 1. Продифференцируем (9) по времени:

da.da.dtdt(2.7.10)(2.7.10)Используя (3), получимИспользуя (3), получим

da.

da.

dt

dt

(2.7.10)

(2.7.10)

Используя (3), получим

Используя (3), получим

+ Х А-^+Л1^- (2.7.11)

7=1

Используя введенные обозначения

^-14; =4j,^Я=[“,^у],

А71п,=ир 44 =v^

запишем (4) в следующем виде:

кк мк

vo=^, [“„rJ + X X ["i’4j + S UJ+V^ (2.7.12) / = 17=1 z = l7 = 1

Последнее соотношение справедливо при любом к, в частности при к = N.

Рассмотрим специальные случаи движения реперов.

Если все реперы имеют общее начало

Qi=q2 = =ч^=°»

u, = и2 = ... = ид, =0, то

v0 =[<o,rw] + vA„(2.7.13)

где

<о = ^<о,.(2.7.14)

Z =1

Мы получили, что в рассматриваемом случае угловая скорость вращения EN относительно Ео есть сумма угловых скоростей относительных вращений Et относительно Е^ (все относительные угловые скорости проектируются на орты Ео).

Если все реперы перемещаются друг относительно друга поступательно

<01 = СО 2 — ... — со N = О,

то v0 = и + VN,

гдеu = £ 11(2.7.15)

Z =1

Скорость поступательного движения EN относительно Ео есть сумма относительных скоростей поступательных движений Е{ относительно Е^.

Аналогично можно получить формулу для ускорения точки в сложном движении. Однако она нам не потребуется.

2.8. Кинематические уравнения Эйлера

Рассмотрим два репера Е’ и Е” с общим началом (рис. 35). Пусть преобразование от репера Е’ к реперу Е” есть преобразование простого поворота П (3, у):

Предположим, что угол у изменяется с течением времени: у = = у(г), т.е. репер Е” вращается относительно Е’.

Лемма 1. Движение репера Е” относительно Е’ есть вращение вокруг постоянной оси вд = е" с угловой скоростью

= (2.8.1) dt 3

f cosy sin уf cosy sin уП(3,у) = -sin у cosyП(3,у) = -sin у cosy( 00( 00О'0ЪО'0ЪДоказательство. Матрица

f cosy sin у

f cosy sin у

П(3,у) = -sin у cosy

П(3,у) = -sin у cosy

( 00

( 00

О'

0

Ъ

О'

0

Ъ

Вычислим матрицу угловой скорости

(1; = ®^П(Зд) =dt-cosy-sin у0(1; = ®^П(Зд) =dt-cosy-sin у0- sin у Jy — cosy dt0- sin у Jy — cosy dt00V cosy0V cosy0 -sin у оД 00 -sin у оД 0sin уcosy0sin уcosy00)<0-1 0)0=^1 о 0dt1) (о о oj0)<0-1 0)0=^1 о 0dt1) (о о oj

(1; = ®^П(Зд) =dt

-cosy

-sin у

0

(1; = ®^П(Зд) =dt

-cosy

-sin у

0

- sin у Jy — cosy dt

0

- sin у Jy — cosy dt

0

0V cosy

0V cosy

0 -sin у оД 0

0 -sin у оД 0

sin уcosy0

sin уcosy0

0)<0-1 0)

0=^1 о 0

dt

1) (о о oj

0)<0-1 0)

0=^1 о 0

dt

1) (о о oj

Вектор co', соответствующий Qg, имеет вид

Последнее соотношение можно записать в следующем виде:

СОво.

dt 3

Лемма 2. В случае преобразования Е' —ЩД_^ £" и у = у(0

движение репера Е” относительно Е’ есть простое вращение с угловой скоростью

СОCi.

dt 1

(Доказательство аналогично или можно воспользоваться равноправным положением ортов репера.)

Простому повороту П(2, у) соответствует угловая скорость

со = —е9.

dt

Выше (см. § 2.3) мы показали, что произвольное преобразование поворота

£ = (е|,е2,е3)^-^£ =(ё|,ё2,ё3)

можно представить как суперпозицию трех простых поворотов:

Е = щад >£iп(1,е) >Е

и матрица А с помощью углов Эйлера и матриц простых поворотов П(/, у) представима в следующем виде:

А = П(3, ф)П(1? 9)П(3, у). (2.8.2)

Пусть репер Е жестко связан с твердым телом (рис. 36). Используя результаты параграфа (2.7) и, в частности, формулу (2.7.16), получим, что угловая скорость со вращения твердого тела (репера Е) относительно репера Е есть сумма трех угловых скоростей простых вращений:

2П(3,ф)^2П(3,ф)^СО = СО ] + СО 2 + СО3,

2П(3,ф)^

2П(3,ф)^

(2.8.3)(2.8.3)гдегдеd^ лd<p_

(2.8.3)

(2.8.3)

где

где

wi=~Te3’ со2=—е1? со3 = -—е3.dtdtdt

"О'Г СОЗХ)/^sin 9 sin \|/ Лез =0, е{ = sin\|/> ё3 =-sin 9 cosy1 0 >Vcos 9,"О'Г СОЗХ)/^sin 9 sin \|/ Лез =0, е{ = sin\|/> ё3 =-sin 9 cosy1 0 >Vcos 9,(2.8.4)(2.8.4)В проекциях на орты репера Е

"О'

Г СОЗХ)/^

sin 9 sin \|/ Л

ез =

0

, е{ = sin\|/

> ё3 =

-sin 9 cosy

1 0 >

V

cos 9,

"О'

Г СОЗХ)/^

sin 9 sin \|/ Л

ез =

0

, е{ = sin\|/

> ё3 =

-sin 9 cosy

1 0 >

V

cos 9,

(2.8.4)

(2.8.4)

В проекциях на орты репера Е

f coscp

-sincp

< o >

, e3 =

'o3

0

.(2.8.5)

ез =

^sinOsincp^ sin 9 cos ср v cos 9 v

, el =

Используя соотношения (2.8.2)-(2.8.5), получим в проекциях на орты репера Е:

! de co —— dt

cos X|/ + sin 9 sin X|/—, dt

2 de co —— dt

.. nс/ф

sin\|/-sin9cos\|/—, dt

(2.8.6)

co2

cose^

dt

dt

в проекциях на орты репера Е:

_ 1.de

со = sin9sincphcoscp—,

dtdt

—7•.de

co = sin9coscp —— — sincp—,(2.8.7)

dtdt

_ з A N dtpco = COS9 —+ —.

dt dt

Эти соотношения можно разрешить относительно d^ldt, d^/dt, de/dt. Если компоненты угловой скорости - известные (заданные) функции времени coz(Z) (или coz(O), то получим систему трех дифференциальных уравнений первого порядка для определения трех углов Эйлера ф(Г), ф(0, 6(0-

со со2 (О3со со2 (О3Несколько позже нам потребуется справедливость утверждения следующей леммы.

со со2 (О3

со со2 (О3

Лемма 3. Для любого вектора угловой скорости со =

можно указать матрицу поворота А(/), удовлетворяющую при t = = Г следующим условиям:

А(^) = I - единичная матрица;

= Q - матрица угловой скорости, соответствую

щая указанному вектору со.

Для доказательства представим преобразование реперов Е1 —^>Е, определяемое матрицей А, в виде трех последовательных преобразований простого поворота:

^1Щ1Д1) ^ ^2П(2,У2) ^ ^3 ЩЗ,у3) ^

В этом случае вектор угловой скорости со, определяемый матрицей А(7), есть сумма векторов угловой скорости трех простых вращений:

СО = СО] +со2 + со3, с/у. ;;

где со. = —Le- (е- - z-й орт z-ro репера Е1). dt

Если принять у = ОУ (г - t\i = 1, 2, 3, то

у I . =0, ^- = со', z = l,2,3;

'1'=' dt

П(4у(.)^_^ =1 - единичная матрица, z" = 1, 2, 3, и, следовательно, е- = е-, z = 1, 2, 3.

Таким образом,

со = со1^ + со2е2 + соЦ, т.е. со равняется заданному вектору со. Тем самым доказано утверждение леммы.

Глава 3

Введение в динамикусистемы материальных точек со связями.Общие теоремы динамики и их применение

Голономные и неголономные связи

Выше мы определили твердое тело как систему материальных точек (r7, т7), изменение координат которых ограничено условиями

| г;. -г^ | = sjk = const, j.k-1,2,...,и.

Такого рода условия являются частным случаем ограничений, которые вводятся при описании различных механических моделей. Введение таких ограничений (связей) существенно расширяет возможности описания реальных процессов.

Определение 1. Будем говорить, что на систему материальных точек (г7, тД,] = 1, 2, ..., п, наложены удерживающие связи, если указаны функции

// =//(ri,r2,r3,...,rn,Vi,v2,...,v„,0

(z = 1,2,...Д; к<3п)

координат точек системы, компонентов их векторов скорости и времени и задано, что движение точек системы (г^г), m7), j = = 1, 2, ..., п, удовлетворяют на рассматриваемом интервале времени (при t g J^ уравнениям связей*.

Х(г1(г),...,г,,(ОЛ1(О,-лп(О,О = о,

г=1,2,...,к; к<Ъп, у^-—■—.

dt

(Предполагается, что Д имеют все частные производные достаточно высокого порядка.)

Для сокращения записи введем векторы:

. dr1

r&R3n, veR3", v! =—-, feRk.к dt

В сокращенной записи уравнения связей имеют вид

(3.1.1)(3.1.1)f(r(O,v(?),O = O.

(3.1.1)

(3.1.1)

Специальный класс удерживающих связей определяется век- тор-функциями, не зависящими от компонентов вектора скорости:

форме

^ = itv+—=o,(3.1.3)

dt dr dt

где

X аг_ "' dr tv

vdr)

dr3dr)

- матрица размера к x Зи,

дЛЖ.

dr,2dr3)

dfdr

— =:- к-вектор, v = —.

dtdt

f(r(O,O = O.

(3.1.2)

Уравнения связей (2) можно записать в дифференциальной

Интегрируя (3), получим

f(r(O,r) = c,(3.1.4)

где с - постоянный ^-вектор.

Если рассматривается задача при заданных начальных ус-

ловиях

Z = Z0, r = r0,

то по этим условиям вектор с определяется однозначно, и связи (4) оказываются эквивалентными связям вида (3):

f(r,?)-f(ro,ro) = O.f(r,?)-f(ro,ro) = O.(3.1.5)(3.1.5)

f(r,?)-f(ro,ro) = O.

f(r,?)-f(ro,ro) = O.

(3.1.5)

(3.1.5)

Связи в виде (3) являются частным случаем связей, линейных по компонентам вектора скоро-

с т и v, которые можно записать в следующем виде:

(3.1.6)(3.1.6)Bv + P = 0,

(3.1.6)

(3.1.6)

где

в;В = №=Вх„в;В = №=Вх„В,В,о ЗиВ™о ЗиВ™- матрица размера т х Зи,- матрица размера т х Зи,— m-вектор, т<3п.— m-вектор, т<3п.

в;

В = №=

Вх„

в;

В = №=

Вх„

В,

В,

о Зи

В™

о Зи

В™

- матрица размера т х Зи,

- матрица размера т х Зи,

— m-вектор, т<3п.

— m-вектор, т<3п.

В общем случае линейных дифференциальных связей элементы матрицы В/ и компоненты Р{ являются функциями только координат точек системы и времени, т.е.

В/=В/(гД), Р^Р^А 1-\Л....т; j = V2,...,3n.

Чтобы левая часть (6) могла быть записана как полная производная по времени от некоторой вектор-функции f(r, Z), т.е. в виде (3), функции B/(r, t\ Pt{r, t) должны удовлетворять специальным условиям интегрируемости. Такие условия существуют. Если эти условия выполнены, то связи (6) будут эквивалентны (5) (при т- к).

Определение 2. Конечные связи f(r, г) = 0 или линейные по компонентам вектора скорости связи, представимые в виде (df /dr)v + df /dt = 0, называются голономными. Связи, которые в таком виде представить нельзя, называются неголономны- ми.

В дальнейшем мы будем изучать движение системы материальных точек под действием голономных связей и(или) связей, линейных по компонентам вектора скорости (голономных и неголономных). Если голономные конечные связи представить в дифференциальной форме, то всю совокупность рассматриваемых связей можно будет записать в виде (6).

Определение 3. Связи, наложенные на систему, называются независимыми, если ранг матрицы В максимален, т.е. равен т - числу условий.

При рассмотрении задач со связями будем всегда предполагать, что начальное состояние системы (Г = r0, г = r0, v = v0) удовлетворяет связям. Для голономных конечных связей f(r, г) = 0 будем говорить, что начальное состояние си-

стемы удовлетворяет связям, если

ЦгоЛ) = 0 и ^у + ^=о-

ydr Ot )t=t^ r=r^ V=VQ

Для линейных дифференциальных связей (голономных или нет) необходимо только выполнение условий

S(ro,ro)vo+P(ro,?o) = O.

Примеры задач с голономными связями

Рис. 37Рис. 37Движение материальной точки (г, т) по подвижной двумерной поверхности (рис. 37).

Рис. 37

Рис. 37

Уравнение связей:

ЖОт) = о. (3.1.7)

В частности, f(r(t)) = 0,/g R.

Движение материальной точки (г, т) по подвижной кривой

(рис. 38).

Уравнения связей:

ЖОт) = о,

(3.1.8)

Л(г(О,г) = О, £еК, / = 1,2.’

Твердое тело определяется системой материальных точек (Tj, т), j = = 1,2,..., N, и уравнениями связей

|г7-rAJ = const; 7,^ = 0,1,2,...,У. (3.1.9)Рис. 38

Твердое тело с заданным законом движений одной его точки (г0, то).

К условиям (9) добавляются три условия:

гЖИ

f(t) - заданная вектор-функция времени, f(t) е R3.

Виртуальное движение. Виртуальный вектор

В случае голономных конечных связей f(r, г) = 0 каждое из уравнений связи/Xr, 0 = 0 с геометрической точки зрения является гиперповерхностью в расширенном конфигурационном пространстве R3n х R, где R3n - пространство координат точек системы, a R - ось времени.

При каждом t пересечение к гиперповерхностей в R3nfi(r, t) =

= 0, i = 1, 2,..., к, выделяют в R3n, вообще говоря, гладкое многообразие Mt a R3n.

Пусть г = r(/), t е Jt - движение рассматриваемой системы; г (г): Jt —> R3n. Движение системы г (г), в частности, должно удовлетворять уравнениям связей, т.е. r(/) е Mt при каждом t.

Обозначим через J интервал вещественной оси (-£, г), где £ > 0 может быть сколь угодно малым числом. Точки J£ будем обозначать т. Пусть Jt по-прежнему интервал временной оси.

Рассмотрим отображение у: JtxJ£ ~^R3n - прямого произведения интервалов J£ и JtB конфигурационное пространство R3n. Это отображение определяется вектор-функцией \|/ двух переменных t и т:

г = ф(г,т).

Будем предполагать, что функции ф(Г, т) имеют необходимое число частных производных по t и т.

Предположим, что вектор-функция ф(^ т) удовлетворяет следующим двум условиям.

(3.2.1)(3.2.1)При т = 0 и любом t Е Jt

(3.2.1)

(3.2.1)

ф(г,О) = г(О,

где г(/) - координаты точек нашей системы в момент времени t, т.е. ф(Х 0) - движение системы.

При каждом фиксированном t, и всех т е /е

(3.2.2)(3.2.2)Г(ф(г,т),г) = О,

(3.2.2)

(3.2.2)

где/(г, t)-k уравнений голономных связей (3.1.2).

Определение 4. При выполнении условий 1 и 2 отображение г = ф(^ т) при любом фиксированном т е Je будем называть виртуальной кривой (или виртуальным движением). При этом г = ф(^ т) при различных т е J£ определяют множество виртуальных кривых.

Из условия 2 следует, что при фиксированном t и т е J£ вектор-функция ф(Г, т) определяет кривую на многообразии МЦг —> М^ проходящую при т = 0 через точку г = г(г) = ф(Г, 0), в которой в данный момент находится система.

Определение 5. Для случая голономных конечных связей виртуальным вектором в момент t е Jt называется вектор §(0 е R3n, определяемый формулой

(3.2.3)(3.2.3)т=От=О

(3.2.3)

(3.2.3)

т=О

т=О

где ф = ф(^ т) - множество виртуальных движений; ^(Z) - касательный вектор к кривой г(т) = ф(^ т) (Z = const) в точке г (г) = = ф(^ 0). Эта кривая расположена на многообразии Mt; тем самым §(/) - касательный вектор к Mt.

Теорема о виртуальных векторах. Чтобы вектор-функция времени ^(Z) е R3n при независимых голономных связях f(r, г) = 0 была в каждый момент времени t е Jt виртуальным вектором, необходимо и достаточно, чтобы вектор ^(Z) удовлетворял при t е Jt следующей системе уравнений:

df(r,Z)df(r,Z)drdrё(О = о,ё(О = о,(3.2.4)(3.2.4)г=г(0г=г(0

df(r,Z)

df(r,Z)

dr

dr

ё(О = о,

ё(О = о,

(3.2.4)

(3.2.4)

г=г(0

г=г(0

где r(Z) - движение системы.

Необходимость. Пусть ф(Г, т) - множество виртуальных кривых. Тогда

Цф(^т),^) = 0, tEJn teJ£.

Продифференцируем это соотношение по т и положим т = 0:

df Эф А _ dfdr dr JT=0 drdf Эф А _ dfdr dr JT=0 dr6(0 = о.6(0 = о.(3.2.5)(3.2.5)k=<t,O>r(t)k=<t,O>r(t)

df Эф А _ dfdr dr JT=0 dr

df Эф А _ dfdr dr JT=0 dr

6(0 = о.

6(0 = о.

(3.2.5)

(3.2.5)

k=<t,O>r(t)

k=<t,O>r(t)

Достаточность. Так как ранг матрицы df/dr размера к х Зп равен к, то существует отличный от нуля минор ^-го порядка. Представим: г = (гь r2), rx е Rk и r2 е R3n k. Предположим, что мы так переставили порядок следования координат, что именно det (df/dr 0 ^ 0. Нам достаточно, чтобы это условие выполнялось при т = 0 (при г = r(Z)), т.е. при значении координат г, отвечающих состоянию системы.

Рассмотрим вектор-функцию

(3.2.6)(3.2.6)Ш Т) = r(0 + £^(Z) + Т|(Г, т),

(3.2.6)

(3.2.6)

где г (г) - координаты системы, ^(Z) - произвольный вектор, удовлетворяющий (4).

Представим: т| = (гц, т|2), гц е R\ т|2 е ^п к.

Положим т|2 = 0, а т| j определим так, чтобы при t е Jt и при достаточно малом 8 и т е Je

f(r(r)+^(0+40 = 0-f(r(r)+^(0+40 = 0-(3.2.7)(3.2.7)

f(r(r)+^(0+40 = 0-

f(r(r)+^(0+40 = 0-

(3.2.7)

(3.2.7)

Докажем, что это возможно.

Уравнения (7) при фиксированных t и § суть система к уравнений относительно (к + 1)-й переменной: к координат вектора тц и переменной т.

Так какТак какdetdet' df" l^J^o' df" l^J^ov 1 Jr=r(f)+T£v 1 Jr=r(f)+T£

Так как

Так как

det

det

' df" l^J^o

' df" l^J^o

v 1 Jr=r(f)+T£

v 1 Jr=r(f)+T£

при достаточно малом гите 7е, то по теореме о неявных функциях уравнения (7) однозначно определяют вектор-функцию тц^, т), обращающую (7) в тождество и необходимо удовлетворяющую условию тц^, 0) = 0; последнее следует из условия

f(r(0,0 = 0.

При таком выборе тц^, т) и т|2 = 0 вектор-функция (6) определяет множество виртуальных кривых ф(£, т).

Продифференцируем (7) по т и положим т = 0:

df f Эт| АdA 9tJt=0df f Эт| АdA 9tJt=0dr dr^ dTdr dr^ dTdf дт)!дг1 t=0 dT T=0df дт)!дг1 t=0 dT T=0

df f Эт| А

dA 9tJt=0

df f Эт| А

dA 9tJt=0

dr dr^ dT

dr dr^ dT

df дт)!

дг1 t=0 dT T=0

df дт)!

дг1 t=0 dT T=0

Мы воспользовались условием (4) и выбором т)2 = 0. Так как

detdetdfdr,dfdr,* 0, то ■^-дт* 0, то ■^-дт= 0.= 0.

det

det

df

dr,

df

dr,

* 0, то ■^-дт

* 0, то ■^-дт

= 0.

= 0.

Используя (6), вычислим производную Э\|//дт при т = 0:

(3.2.8)(3.2.8)дф =g+2n

(3.2.8)

(3.2.8)

дт т=0 dT т=0

То есть ^(t) - действительно виртуальный вектор для построенного множества виртуальных кривых (6).

Определение 6. В общем случае линейных по скоростям связей (3.1.6) Bv + р = 0 (голономных или неголономных) виртуальным вектором, по определению, называется любой вектор ^(t) е е R3n, удовлетворяющий уравнениям

В£(0 = 0,(3.2.9)

где B(r, t) (матрица размера т х Зп) вычисляется при г = r(t\ Согласно доказанной теореме для голономных связей, определение (9) совпадает с (3) (при т = ку

Теорема. Для линейно независимых связей множество виртуальных векторов в каждый момент времени t е Jt образует в R3n подпространство Зп-т измерений, где т - число дифференциальных условий (3.1.6).

Доказательство. Так как матрица В (для общего случая дифференциальных линейных связей) имеет максимальный ранг, равный т, то строки этой матрицы образуют т линейно независимых векторов, принадлежащих R3n. Обозначим через R^ подпространство R3n, натянутое на эти векторы. Из условия В§(/) = 0 (9) следует, что § - произвольный вектор, принадлежащий ортогональному дополнению к R^. То есть § - произвольный вектор подпространства Зп-т измерений, которое будем обозначать Тг^.

В случае голономных связей на языке геометрии гладких многообразий Гг(?) - касательное пространство к многообразию Mt в точке г(0, а виртуальные векторы называются касательными векторами.

Замечание 1. О виртуальных перемещениях. В большинстве курсов механики рассматриваются не виртуальные векторы, а виртуальные перемещения, которые часто обозначают 5г. Соответствие между этими понятиями определяется формулой

5г = §5т,

где 5т - произвольная вариация т.

Замечание 2. Вектор скорости системы v = dv/dt удовлетворяет уравнениям

df df п

— уч= 0 (для г ол ономных связей),

dr dt

Bn + Р = 0 (для линейных по скоростям связей).

Чтобы в подпространстве Гг(?) виртуальных векторов существовал вектор |(0, равный вектору скорости системы у (Г), необходимо и достаточно, чтобы голономные связи явно не зависели от времени (df/dz = 0), а в случае неголономных связей Р = 0.

Замечание 3. О неудерживающих связях. В некоторых моделях условия связей задаются в виде неравенств

(г,(?),...,Г„(О,V,(0,V„(0,00, i = 1,2,...,к.

Такие связи называются неудерживающими. В дальнейшем мы будем рассматривать в основном удерживающие связи.

Определение 7. В отличие от системы со связями систему материальных точек без связей называют свободной системой.

М.Л. Лидов

Уравнения движения системыматериальных точек с идеальными связями

движение однойдвижение однойРис. 39Рис. 39Начнем с самого простого примера. Рассмотрим (рис. 39) материальной точки (г, т) под действием заданной внешней силы F(r, f). Предположим, что движение точки ограничено связями

движение одной

движение одной

Рис. 39

Рис. 39

г2 =г3 =0,(3.3.1)

т.е. связи допускают движение точки только по прямой, определяемой ортом еР Такая модель описывает, например, движение бусин

ки, надетой на натянутую проволоку. Если бы точка была свободной, то ее движение r(t) удовлетворяло бы следующей системе уравнений:

^Z2r

т — = F(rT).(3.3.2)

Однако решения (2), вообще говоря, не могут удовлетворять условиям связей (1). Даже если задать г2 = г3 = О, v3 =v3 =0 при t = Го, то, если F2(r, г) или F3(r, г) не равны тождественно нулю через сколь угодно малое время t - Го, условия (1) будут нарушены.

Однако очевидно, что в физическом эксперименте, вообще говоря, бусинка будет оставаться на проволоке и будет совершать определенное движение, в котором г2 ~ г3 0. Согласия очевидного факта и формального описания в модели можно добиться, если понять, что в реальном физическом

Рис. 40 эксперименте на бусинку действует не только внешняя сила F(e), но и определенная сила со стороны проволоки. В модели эту силу часто обозначают N и называют силой реакции связи (рис. 40).

Учитывая силу реакции связи, уравнения движения бусинки можно записать в следующем виде:

=+(3.3.2)

dr

При этом можно подобрать такую силу N, чтобы условия г2 = = г3 = 0 выполнялись в решении уравнений.

Действительно, если г2 = F = 0, z; 2 =z; 3 = 0 в начальный момент времени t = t0 и выбрать № = -F2, N3 = -F3, то на всем рассматриваемом интервале времени t ^ Jt r\f) = r3(t) = 0. Одна-

ко уже в этом примере мы видим, что условия связи будут удовлетворены при любом первом компоненте N1 силы реакции. То есть условия связей не определяют реакцию связей однозначно.

Рассмотрим систему материальных точек (rb гаД ..., (г„, ти), на которые действуют заданные силы Еь к = 1, 2, ..., п (результирующие внутренних и внешних сил на к-ю точку). Пусть движения точек ограничены линейными по скоростям связями

dr

<р(гл,0 = В — + Р = 0, (3.3.3) dt

где В - матрица размера m х Зп, Р - m-вектор, гт = ^.г^...^\ В частности, (3) может представлять и голономные связи, записанные в дифференциальной форме.

С точки зрения физического анализа, представляется очевидным, что любое изменение движения системы есть следствие действия на систему определенных сил. При этом, поскольку связи так или иначе реализуются с помощью некоторых материальных приспособлений, то кроме заданных сил, определяющих влияние на к-ю точку других точек системы или «внешнего мира», на эту точку действуют дополнительные силы Nfc со стороны связей, которые и обеспечивают удовлетворение условий связей (3). Силы N^ называют силами реакций связей.

Определение 1. В отличие от сил реакций связей заранее заданные силы Е^ (внутренние или внешние) называют активными силами.

Формально силы реакций связей вводятся в модель движения системы материальных точек со связями с помощью следующего постулата.

Движение системы материальных точек (rz, т^ i = 1, 2, ..., п, при связях (3) будет удовлетворять уравнениям движения, справедливым для свободной системы, если к результирующим активных сил Еь приложенных к каждой точке (гь т^, прибавить силу реакций связей Nb чтобы уравнения связей (3) выполнялись на всем рассматриваемом интервале времени.

Из этого постулата следует, что движение системы материальных точек описывается уравнениями

т.^ = Е.+^, £ = (3.3.4)

где Ffc е R3 - заданные внутренние и внешние силы, aN^e R3 - пока неопределенные силы реакций связей.

8*

Для сокращения записи обозначим:

Силы F, N е № образованы из упорядоченных компонентов векторов F^ и N^, М - диагональная матрица размера Зп х Зп, составленная из масс материальных точек системы. Запишем уравнения (4) в сокращенном виде:

M^V = F + N.

Jr2

Как мы уже отмечали, условия (3) не определяют однозначно силы реакций связей N и тем самым уравнения (3) и (4) не соответствуют пока еще никакой модели.

Анализ реальных механических движений системы материальных точек со связями типа (3) показал, что широкий круг таких явлений может быть приближенно описан с помощью модели, в которой связи предполагаются идеальными.

Определение 2. Связи называются идеальными, если на любом движении системы, совместимом со связями, удовлетворяется следующее условие:

<N,^ = 0, (3.3.5)

где § = ^(0 - произвольный виртуальный вектор § е R3n, (•, •) - скалярное произведение в R3n.

Для любого 5т ^ 0 соотношение (5) эквивалентно соотношению (N, §5т) = 0, где §5т - виртуальное перемещение. Скалярное произведение силы на вектор элементарного перемещения называется элементарной работой силы. Поэтому условие идеальности связей (5) часто формулируют следующим образом: «Работа сил реакций идеальных связей на произвольном виртуальном перемещении равна нулю».

Теорема. При заданных начальных условиях (f = г0, г = г0, v = v0), совместимых со связями, уравнения (3) - (5) позволяют однозначно определить движение системы и силы реакций связей на некотором интервале времени JtB окрестности t0.

Доказательство. 1. При линейно независимых связях (3) строки B^i = 1,2, ..., т) матрицы В определяют в R3n при t е е Jt т линейно независимых векторов. Подпространство векторов, натянутое на эти векторы, мы обозначили R^ cz R3n. Пространство виртуальных векторов ^(Z) мы обозначали Тг(р. Эти два подпространства образуют в R3n ортогональное дополнение друг другу. (Мы используем обозначение Тг(р и для случая неголо- номных связей. В этом случае Гг(?) не является касательным пространством.) Так как силы реакций связей N ортогональны произвольному виртуальному вектору, то, следовательно, N принадлежит R^ty Произвольный вектор R^ представим в следующем виде:

N = ВТХ,(3.3.6)

где V = (X1, X2, ..., Xm), X1 - скалярные функции. В более подробной записи

N = X*B1+X2B2+... + XmBm,

(3.3.7) в; = (в/1,в2,...,в/3"), B^eR.

Условия связей (3) должны выполняться на интервале Jt движения системы. Следовательно, в любой момент времени Г g Jt не только <р = 0 (см. (3)), но и d^klt = 0. Дифференцируя (3) по времени, получим

==(3.3.8)

dt dt

где через Ф обозначен m-мерный вектор

Ф = су+а.(з.з.9)

Здесь

С = — (Bv + Р) - матрица размера т х Зп, dr

dB ЭР.

d = — v ч m-мерныи вектор.dt dt

Условия (8) не только необходимы, но и достаточны для того, чтобы удовлетворялись условия связей.

Из уравнений движения (4) следует:

л2г

— = M-I(F + N).(3.3.10)

dt

где М-1 - матрица, обратная М.

Подставляя (10) в (8), получим

8M-1N + УМ^Е + Ф = 0.(3.3.11)

Подставляя выраженное отсюда N в (6), найдем

(8ЛГ*8Т)Х = -(Ф + 8М Т).(3.3.12)

Лемма. Если матрица В имеет максимальный ранг (равный т), то

de^BM^B^^O.(3.3.13)

Доказательство этой леммы мы дадим ниже.

Из (12) и (13) следует, что

X = -(ВМ^В^уЧФ + ВМ"1 F).(3.3.14)

Последняя формула дает однозначное определение вектора X через заданные силы F и известные функции координат и компонентов скорости. Тем самым однозначно определяются силы реакций идеальных связей (точнее, зависимость N от г, v, t);

N = N(r,v,f) = BTX,(3.3.15)

где вектор X вычисляется согласно (14).

Теперь для определения движения системы необходимо проинтегрировать систему уравнений

d2r

М—^F + N(3.3.16)

dt

при заданных начальных условиях и известных силах. Решение (16) однозначно определяет состояние системы в произвольный момент времени t е Jt. Этим заканчивается доказательство теоремы.

Замечание 1. Из условия (7) видно, что каждое отдельное условие связи

(Вру) + Ру = 0

порождает отдельное слагаемое

n(7) = a/bj

в выражении для сил реакций идеальных связей и

N = У №э.

7 = 1

В то же время множители X7 (14) зависят (нелинейным образом) от состояния системы, внешних сил и всех т условий связи.

Замечание 2. Решение системы (3.3.16) на интервале Jt при заданных начальных условиях задает отображение Jt —> R3n, определяемое вектор-функцией г = r(Z). При этом г(г) удовлетворяет как уравнениям движения, так и уравнениям связей. Это отображение называют действительным движением системы. В отличие от виртуального движения (виртуальной кривой) г = ф(Г, т), которое удовлетворяет голономным связям, но, вообще говоря, не удовлетворяет уравнениям движения. При этом ф(Г, 0) = г (г) - действительное движение.

Доказательство леммы. Обозначим через В7, j = 1, 2, ..Зщ столбцы матрицы В:

S = (B1,B2,...,B3n).

Справедливо равенство

Легко видеть, что ранг матриц В и В одинаков и равен т (числу строк). Если det ^ВМ ХВ2^ = 0, то существует нетривиальное решение системы уравнений

ВВтх = 0,

где х - /77-мерный вектор и 1x1 ^ 0.

Умножим это соотношение слева на хт - вектор-строку:

хТВВТх = 0 (Втх)т(Втх) = (Втх, Втх) = 0 Втх = 0.

Последнее условие противоречит линейной независимости строк матрицы В.

§ 3.4. Пояснения к определению идеальных связей

Обозначим через N7 силу реакций связей, действующую на j-ю точку, а через §7 - виртуальный вектор j-й точки: N7 е R3,

Условие идеальности связей можно записать в следующем

виде:

0 = <N,g) = £ (N^gp,(3.4.1)

7 = 1

где слева стоит скалярное произведение в R3n, а справа - сумма скалярных произведений в R3.

1°. О силе реакций на свободную точку. Предположим, что связи голономны и в условия голономных связей f(r, t) не входят координаты ^-й точки г^:

^ = 0.(3.4.2)

Виртуальным вектором является произвольный вектор

£ = (€1,62, • • • > €n)G Я3", ^jgr3’ удовлетворяющий условию

Если выполнено (2), то (3) будет удовлетворено при произвольном ^k е R3. С другой стороны, условие идеальности связей (1) можно записать в следующем виде:

I (N^^N^H.(3.4.4)

7=1

Так как (4) должно удовлетворяться при произвольном ^к е R3, то из (4) следует

=0.(3.4.5)

Из формального описания получен физически естественный результат: если движение точки не ограничено связями, то сила реакции на эту точку равна нулю.

Упражнение. Сформулируйте и докажите аналогичное утверждение для линейных по скоростям связям, не содержащим компонентов вектора скорости ^-й точки.

2°. Рассмотрим другой (в некотором смысле, противоположный) пример. Пусть связи определяют вектор скорости ^к точки к в момент времени V.

(3.4.6)

где f(Z) е R3 - заданная функция времени.

Соотношение (6) можно записать в виде Nk- f(Z) = 0, где

- единичная матрица 3-го порядка. Отсюда следует, что виртуальный вектор ^ удовлетворяет условию

^=0

и, таким образом,

^=0.

Тем самым условие (Nb ^ = 0 выполняется при любом N^. Мы получили, что связь (6) является идеальной при любом векторе N^. Как следует из общей процедуры, N^ можно определить из рассмотрения всей задачи в целом с внешними силами и другими связями.

Рис. 41Рис. 413°. Рассмотрим движение одной точки (г, т) по поверхности

Рис. 41

Рис. 41

ЖМО, feR.

Сила реакции идеальной связи определяется формулой

N = X — ,(3.4.7)

у dr ) где X - скалярная функция.

Мы получили, что сила реакции идеальной связи направлена по нормали к поверхности

/(г, f) = 0. Это согласуется с интуитивно очевидным представлением об идеально гладкой поверхности, которая не оказывает влияния на бесконечно малые перемещения по касательной к ней.

4°. Две точки, соединенные стержнем нулевой массой (рис. 41). Условия связей:

/ = |Г1-Г2|2-/2=О,(3.4.8)

где I - длина стержня.

Уравнения движения имеют вид

тДЛ = р +N

1 d? 11

(3.4.9)

где Fz-, Nz- е R3 - активные силы и силы реакции связей. Если связь идеальна, то

N,N,N2 = XN2 = XЭ/ Эг,Э/ Эг,где X - скалярная функция.где X - скалярная функция.

N,

N,

N2 = X

N2 = X

Э/ Эг,

Э/ Эг,

где X - скалярная функция.

где X - скалярная функция.

Дифференцируя (8), получим

N1 = 2X(r1-r2), N2=-2X(r1-r2) = -N1.(3.4.10)

Силы реакции равны по величине и противоположны по направлению и действуют вдоль стержня.

5°. Пусть система материальных точек состоит из двух подсистем:

Щ\Л\Х Щг,г2\...;

(m^r,), (m2,r2),... .

Пусть заданы линейные связи внутри каждой подсистемы, зависящие только от координат и компонентов векторов скорости каждой подсистемы отдельно. И кроме того, задана связь, ограничивающая относительное движение двух точек различных подсистем.

Примеры.

1)(3.4.11)

Первые точки подсистемы соединены стержнем длиной I (рис. 42). Повторяя рассуждения 4°, получим, что эта связь определяет дополнительное слагаемое Nj в выражении силы реакции, действующей на точку (Т^тД равное

^ = 2^-^),(3.4.12)

и слагаемое Ni в силе реакции на точку (г1? тД:

S^-N^(3.4.13)

где X - скалярная функция. То есть в самом общем случае

Рис. 43Рис. 43идеальная связь типа стержня порождает силы реакций, направленные вдоль стержня, и Nx и Nx

Рис. 43

Рис. 43

равны по величине и противоположны по направлению: «действие равно противодействию».

Г} = г1? У]=У]. Первые точки обеих систем занимают одно положение в пространстве и Vj - - Vj = 0 (рис. 43). Это три условия. Соответствую

щие этим условиям выражения для слагаемых сил реакций на первые точки формально определятся

в следующем виде:в следующем виде:X1X3X1X3N^-N,.N^-N,.(3.4.13)(3.4.13)

в следующем виде:

в следующем виде:

X1

X3

X1

X3

N^-N,.

N^-N,.

(3.4.13)

(3.4.13)

Упражнение. Получите это выражение из общего правила.

Пусть две рассматриваемые подсистемы - два твердых тела, которые в первом примере соединены стержнем, а во втором примере имеют общую точку. В технике связь второго вида реализуется с помощью шарнира, который обеспечивает соединение точек (r^mj и (r^mj, но не препятствует вращению каждого тела вокруг этой точки.

шероховатойшероховатойРис. 44Рис. 446°. Твердое тело катится по «идеально шероховатой» поверхности (рис. 44). По определению идеально поверхности, скорость в точке касания г = г в момент касания равна нулю. Согласно 2°, связь идеальна, так как виртуальный вектор этой точки удовлетворяет условию ^* = 0.

шероховатой

шероховатой

Рис. 44

Рис. 44

7°. О «неидеальных» связях. Во всех моделях со связями в механике рассматриваются только силы реакции N, удовлетворяющие условию идеальности связей (N, £) = 0.

При этом для описания реальных движений

твердых тел или материальных точек в случае, когда, например, поверхность, по которой движется точка, нельзя считать идеально гладкой и необходимо учитывать трение между точкой и поверхностью, ограничивающей ее движение, поступают следующим образом.

В правую часть уравнений движения ^-й материальной точки, кроме заданных сил F^ и сил реакции идеальных связей Nb добавляют силы трения F^Tp е R3 и записывают уравнения движения точки в следующем виде:

^2Г

m^ = F^+N^+F^ =(ЗАМ)

При этом вид сил трения определяется на основании физических наблюдений и формулируется как закон природы для данного круга явлений. Если движение системы ограничено линейными связями (3.3.3)

Bv + P = 0,

то силы реакции N = (Nb N2, ..., N„), как следует из условия идеальности связей, удовлетворяют соотношению (3.3.6)

N = ВТХ, V =(X1A2,..Am),(3.4.15)

а множители X находятся из соотношения (3.3.12)

(ВМ-1Вт)Х = 4Ф + ВМ"Ч F + FTp)), (3.4.16)

где F = (Ft, F2, ..., F„) - активные силы, FTp = (F,Tp ■..., FJP) - силы

трения. Если силы трения FTp являются заданными функциями только координат точек системы, компонентов вектора скорости и времени, то соотношения (16) сразу определяют X в виде (3.3.14), куда вместо F надо подставить F + FTp. В некоторых моделях (например, в модели «сухого трения») FTp сама зависит от величин сил реакций Nj(j = 1, 2,..., п) и, следовательно, от X.

Тогда (16) является более общим видом т уравнений относительно т переменных X, которые, вообще говоря, можно решить, найти X и тем самым определить силы реакции (15).

§ 3.5. Принцип Даламбера-Лагранжа и общие теоремыдинамики системы материальных точек со связями

1°. Принцип Даламбера-Лагранжа. Выше была описана логически ясная процедура, которая, вообще говоря, позволяет определить движение системы материальных точек при наличии линейных независимых связей и определить силы реакций идеальных связей. Однако эта процедура редко применяется, так как она не является наиболее простой ни для анализа, ни для вычислений. Для определения движения системы материальных точек при идеальных связях более эффективным является другой аппарат, с которым мы познакомимся ниже. Основная идея других подходов состоит в следующем: найти такие эквивалентные уравнения, которые описывают движение системы материальных точек, стесненных идеальными связями, с помощью минимально возможного числа переменных, или, иначе, найти движение системы, не определяя реакций связей.

При этом центральное место для различных направлений такого толка занимает так называемое основное уравнение механики или принцип Даламбера-Лагранжа.

Будем рассматривать движение системы п материальных точек, стесненных связями. Обозначим):

г = (гь г2,..., г„) = (гДгД...,ги3) - радиус-вектор системы в конфигурационном пространстве КЪп;

F = (Fb F2,..., F„) = (еДеД...,Ги3) - вектор заданных активных сил;

N = (Nb N2,..., NJ = (^,^2,...,^) - вектор сил реакций идеальных связей, действующих на материальные точки системы;

F, N е R3^

Как мы знаем, уравнения движения имеют вид

= F + N,(3.5.1)

dt

где

- диагональная матрица размера Зп х

х Зп, составленная из масс точек.

Пусть B(r, r)v + P(r, t) = О (В - матрица размера т х Зп, Р - m-вектор) - уравнения всех линейных по компонентам вектора скорости связей совместно голономных и неголономных. В частности, эти соотношения содержат и условия голономных конечных связей f(r, t), записанных в дифференциальной форме:

df df „

— v + — = 0. dr Bt

Рассмотрим на интервале времени Jt отображение Jt —> R3n, определяемое вектор-функцией rj). Будем предполагать, что кривая r(t) при всех t е Jt удовлетворяет условиям связей f(rj), Г) = 0 и В(г(Г), t)dv/dt + P(r J), Г) = 0.

В случае когда движение системы стеснено только конечными голономными связями и (или) линейными дифференциальными связями, действительное движение системы может выделяться с помощью следующего принципа.

Теорема 1. Принцип Даламбера-Лагранжа. Чтобы вектор- функция r(J, удовлетворяющая связям, определяла на интервале времени Jt действительное движение системы, необходимо и достаточно, чтобы уравнение

d2r\

§(0 =0(3.5.2)

дГ/

выполнялось при произвольной вектор-функции ^(Z) е R3n, удовлетворяющей условию

В^Ш^-О.(3.5.3)

В (2) (•, •) - скалярное произведение в R3n.

Доказательство. Необходимость. Если г (г) - действительное движение системы, то оно удовлетворяет связям и уравнениям движения (1). Умножая (1) скалярно на §(Г), получим

Э2г\

М -у-F,€(0 =<N, ^)>.at/

Для действительного движения системы произвольный вектор §(/), удовлетворяющий (3), есть виртуальный вектор. Из условия идеальности связей: (N, §) = 0 для произвольного виртуального вектора. Откуда и следует (2).

Достаточность. Обозначим M^vldt1) - F = N. Согласно (2), (N, £) = 0. Так как ^(Z) - произвольная вектор-функция, удовлетворяющая (3), то для N справедливо представление N = ВХ где X е Rm. Уравнения M^v/dt1) - F = В^Х совместно с уравнениями связей B(r(t), t^N + Р (г(Г)Г) = 0 суть уравнения действительного движения при идеальных связях. Таким образом, вектор-функция г (г) удовлетворяет связям и, как мы доказали, уравнениям движения. Следовательно, г(/) определяет действительное движение системы.

Если г^ е R3 - радиус-вектор ^-й точки, Ffc - результирующая заданных сил, действующих на эту точку, ^к - виртуальный вектор для точки к, то уравнение (2) можно записать в следующем виде:

и /\

X=0,(3.5.2)

где (•, •) - скалярное произведение в R3. Наконец, в покомпонентной записи

из /А

(3.5.2")(3.5.2")£ 2№=о.

(3.5.2")

(3.5.2")

^=i /=1 Vт 7

2°. Теорема 2. Об изменении вектора количества движения. В этом разделе рассматриваем систему материальных точек (г/, mz), i = 1, 2, ..., п, стесненную конечными голономными или линейными по скоростям идеальными связями. Напомним (см. § 1.1), что вектором количества движения (или вектором импульса) Р/ для £-й материальной точки называется произведение ее массы на ее вектор скорости:

vk=mkNk.

Определение. Вектором количества движения системы материальных точек Р называется векторная сумма импульсов всех

точек системы:

Р = ^Р{, Рб/г3.(3.5.4)

Теорема 3. Об изменении проекции вектора количества движения. Если в каждый момент времени на интервале Jt связи допускают в R3 сколь угодно малый сдвиг всей системы как твердого тела в постоянном направлении, определяемом единичным вектором а0 е R3, то производная по времени от проекции вектора количества движения системы на вектор а0 равна проекции суммы всех (активных) внешних сил на это же направление:

— (P,a°) = <F(e),a°). dt

Прежде чем приступить к доказательству теоремы, запишем формально условие: «связи допускают сдвиг системы как твердого тела в направлении а0».

Для случая голономных связей это условие означает, что при любом достаточно малом 1т1

т) = (г, (0 + а°т, г2(0 + а°т,..., r„ (О + а°т)

является виртуальным движением.

Отсюда следует, что в каждый момент времени t существует виртуальный вектор

а0,а0а0,а0а0 е R3.а0 е R3.(3.5.5)(3.5.5)

а0,а0

а0,а0

а0 е R3.

а0 е R3.

(3.5.5)

(3.5.5)

В общем случае линейных голономных или неголономных связей (By + Р = 0) допустимость указанного сдвига означает, что вектор § в виде (5) удовлетворяет условию s| ^) = 0 при t е Jt.

Доказательство. Из принципа Даламбера-Лагранжа (3.5.2) при §, определяемом согласно (5), следует

^^-Ь,«°) = о,at/^^-Ь,«°) = о,at/(3.5.6)(3.5.6)

^^-Ь,«°) = о,

at/

^^-Ь,«°) = о,

at/

(3.5.6)

(3.5.6)

где (•, •) - скалярное произведение в R3.

Последнее соотношение можно записать в следующем виде:

mkvk,a.0\-(\ F^a0 ) = 0./ \k = l/

Представим силы Е^как сумму внутренних и внешних сил: Т = F<°+F<e).

По ранее доказанной лемме сумма всех внутренних активных сил равна нулю:

X F*')=o-

Обозначим через F(e) = ^ Fp^ результирующий вектор всех ^=1

внешних активных сил, действующих на все точки системы; F(^ е R3.

Используя введенные обозначения и определение (4), из (6) получим утверждение теоремы 3:

4<P,«°) = <FM,a°X(3.5.8)

dt

где (•, •) - скалярное произведение в R3.

Напомним, что внешние активные силы F(e), в частности, могут содержать и силы трения, действующие на систему в случае негладких связей.

Как следствие из этой теоремы сформулируем еще несколько тривиально доказываемых, но важных утверждений.

Следствие 1. Если связи при t е Jt допускают сдвиг всей системы как твердого тела в произвольном постоянном направлении, то призводная по времени вектора количества движения равна сумме внешних (активных) сил, действующих на систему.

Доказательство. Из (8) следует Р-Е(И,а°\ = 0.

\dt/

Если а0 - произвольный вектор, то

— P = F(<0.(3.5.9)

dt

Следствие 2. Для свободной системы материальных точек связей нет и любое виртуальное движение возможно. Поэтому для свободной системы всегда справедливо (9).

Следствие 3. Если к внешним силам F(e), £ = 1, 2, ..., щ прибавить силы реакций идеальных связей Nb /с = 1, 2, ..., п, то систему можно считать свободной, т.е. всегда верно следующее утверждение:

Производная по времени от вектора количества движения системы равна сумме F(e) + N внешних активных сил и сил реак-

ций связей, действующих на систему:

— P = F(e)+N,(3.5.10)

dt

где

N^N.efl3.

k=l

Следствие 4. Так как

И7 ИП7 *

р = 2, mkNk =—У тЛ’Х mkrk=m г , P = m —, k=lk=lk=l

где ni = ^ mk - сумма масс точек системы, г* - радиус-вектор центра масс системы, то из (9) непосредственно следует уравнение движения центра масс свободной системы

m«d r=^e^(3.5.9)

Jr2

Это уравнение ранее было получено в § 1.2 (см. (1.2.12)) и сформулировано как теорема о движении центра масс системы материальных точек.

Следствие 5. Теорема о сохранении проекции вектора количества движения. При условиях теоремы 1, если проекция а0 суммы внешних сил, действующих на систему, равна нулю, то проекция вектора количества движения на направление а0 не изменяется с течением времени.

Доказательство непосредственно следует из (8) при <Ж а0) = 0:

<Р,а°) = С = const.(3.5.11)

Следствие 6. При условиях теоремы о сохранении проекции вектора количества движения проекция радиуса-вектора центра масс системы на направление а0 изменяется с течением времени равномерно.

Доказательство. Так как

Y = ni,(3.5.12)

dt

то из (10) следует

) = ( т ,а ) = С.

\ dt

М.Л. Лидов

Отсюда

<r*,a°) = -^(z-z0) + C0,(3.5.13)

т

где Со = const.

Следствие 7. Теорема 4. О сохранении вектора количества движения системы и движения ее центра масс. Если связи, наложенные на систему, допускают сдвиг всей системы как твердого тела в произвольном направлении и сумма внешних (активных) сил, действующих на систему, равна нулю, то:

вектор количества движения системы не изменяется с течением времени;

центр масс системы движется равномерно и прямолинейно.

Доказательство. Из (11) при произвольном а0 следует

Р = const.(3.5.14)

Используя (12), получим

^ = Лр^г*=Лр(^о) + Го>(3-5.15)

at тт

где г0* - постоянный вектор.

. Теорема 5. Об изменении момента количества движения

Определение 1. Моментом количества движения К i-й материальной точки называется вектор, равный векторному произведению радиуса-вектора точки rz на ее вектор количества движения Pz:

К, =[rz,p;.]. К, eR3.(3.5.16)

Определение 2. Моментом количества движения К системы материальных точек (или кинетическим моментом) называется векторная сумма моментов количества движения всех точек системы:

К=Х к-=1 fr^T <3-5Л7)

Z=1Z =1

Определение 3. Моментом Mz силы Fz, действующей на точку i системы, называется векторное произведение радиуса-вектора точки rz и силы Fz:

M,=[r„Fz].

Обозначим через Ми = ^ [r-,F(e)] векторную сумму момен- z=l

тов внешних активных сил, действующих на все точки системы.

Теорема 6. Об изменении проекции момента количества движения. Если на интервале Jt связи допускают сколь угодно малый поворот системы как твердого тела вокруг оси, неизменной на Jt, проходящей через начало координат и определяемой единичным вектором <о° е R3, то производная по времени от проекции момента количества движения системы на направление, определяемое вектором <о°, равна проекции на это же направление суммы моментов всех внешних активных сил, действующих на все точки системы:

— {K,w°) = {Mw,<o0).(3.5.18)

dt

(Внешние активные силы могут для случая негладких связей содержать силы трения.)

Доказательство. Определим матрицу поворота А(т) размера 3x3 так, чтобы: 1) А(0) = 1 - единичная матрица; 2) кососимметрической матрице (dA/dx) Ат при т = 0 соответствовал постоянный вектор со0. Согласно доказанной в § 2.8 лемме 3, это можно сделать. Заметим, что в этом случае

dA АТ — АdA АТ — АdAdAdTdTт=0т=0dTdTт=0т=0

dA АТ — А

dA АТ — А

dA

dA

dT

dT

т=0

т=0

dT

dT

т=0

т=0

Для случая голономных связей рассмотрим виртуальные движения

Ш т) = (АСт)^ (О, А(т)г2А(т>п (1)).(3.5.19)

По условию теоремы, при достаточно малом I т I такое виртуальное движение существует. В (19) r(t) = ф(Г, 0) - действительное движение системы. Виртуальное движение ф(£, т) получается поворотом каждого вектора г^г) с помощью матрицы А(т).

Из (19) следует, что виртуальный вектор ^(Z) определяется следующим равенством:

80 = ^Эт80 = ^Этт=0т=0dA , , —^(0,- . drdA , , —^(0,- . drdA ,; dr ,dA ,; dr ,т=0т=0

80 = ^

Эт

80 = ^

Эт

т=0

т=0

dA , , —^(0,- . dr

dA , , —^(0,- . dr

dA ,; dr ,

dA ,; dr ,

т=0

т=0

= ([<o°,r1(0],.-,[<o0,r„(0])- (3.5.20)

В случае произвольных (голономных или неголономных) линейных по скоростям связей фу + Р = 0) выполнение при каждом

9*

t ^ Jt условия #| ф) = 0 для вектор-функции ^(Z) в виде (20) следует рассматривать как формальное описание условий теоремы: связи допускают сколь угодно малый поворот системы вокруг оси <о°.

Подставим выражение виртуального вектора (20) в уравнение Даламбера-Лагранжа (3.5.2):

(3.5.21)(3.5.21)

(3.5.21)

(3.5.21)

Здесь (•, •) - скалярное произведение в R3.

Докажем две леммы.Лемма 1. Справедлива формулаДокажем две леммы.Лемма 1. Справедлива формула(3.5.22)(3.5.22)dP.dP.Используя циклическую перестановку для смешанного произведения, получим

Докажем две леммы.

Лемма 1. Справедлива формула

Докажем две леммы.

Лемма 1. Справедлива формула

(3.5.22)

(3.5.22)

dP.

dP.

(3.5.23)

Дифференцируя каждый сомножитель векторного произведения, получим

Но dYjldt = Np Р7 = m-Vj и первое слагаемое равно нулю, так как v7 и Р7- коллинеарные векторы.

Лемма 2. Запишем силы F7 в виде суммы внутренних и внешних сил:

F. = р^д +Fp\

Тогда

Утверждение. Сумма моментов внутренних сил, действующих на все точки системы, равна нулю.

Доказательство. Обозначим через Fy5 силы парных взаимодействий, тогда

Z [r,.F"'] = i7=17=1Z [r,.F"'] = i7=17=15=15=1-Z Z [гЛ’1=7=1 ^=1 s*j-Z Z [гЛ’1=7=1 ^=1 s*j

Z [r,.F"'] = i7=17=1

Z [r,.F"'] = i7=17=1

5=1

5=1

-Z Z [гЛ’1=

7=1 ^=1 s*j

-Z Z [гЛ’1=

7=1 ^=1 s*j

J=^ $>jJ=^ $>j= Z Z ([r,.F,J + [r„F,])^ Z [r,-r„F,J. (F„=-F,).

J=^ $>j

J=^ $>j

7=1 $>j

(3.5.24)

Векторные произведения, стоящие под знаками сумм, равны нулю, так как вектор (г7 - г5) коллинеарен с вектором силы парного взаимодействия F77

где^5 - скалярная функция.

Используя леммы 1 и 2, получим из (22):

0 = /<о°,£ г,—i- -^ [r ,F ]\ =

\ ^ L7 J ^ 7 7 /

= /оД —У [г,.,Р,.]-У [r^Uio0,—-М(А (3.5.25)

\ dt^ L J 7j ^ 7 }\ dt

\7=17=1/ Х'

где Ме = ^ [rz,F(e)] - сумма моментов внешних активных сил.

Записывая последнее соотношение в эквивалентном виде (со0 = = const), получим формулу, доказывающую справедливость утверждения теоремы:

— {ы0,К) = {ы°,М(7(3.5.26)

dt

Из теоремы 6 вытекает ряд следствий.

Следствие!. Если связи на интервале Jt допускают сколь угодно малый поворот всей системы как твердого тела вокруг произвольной постоянной оси, проходящей через начало координат, то производная по времени от момента количества движения равна сумме моментов всех внешних сил, действующих на систему:

— = М^.dt

При произвольном <о° формула (27) и, следовательно, доказательство утверждения непосредственно следуют из (25).

Следствие 2. Для свободной системы без связей допустимо произвольное виртуальное перемещение и, следовательно, справедлива формула (27).

Следствие 3. Если к заданным силам добавить силы реакций связей, то систему можно рассматривать как свободную. Поэтому всегда верно утверждение: производная по времени от момента количества движения системы равна сумме моментов внешних сил и сил реакций связей, действующих на систему:

^ = m^+mn,dt^ = m^+mn,dt(3.5.28)(3.5.28)

^ = m^+mn,dt

^ = m^+mn,dt

(3.5.28)

(3.5.28)

где Мд. = ^ [r7,NJ, N7 g R3 - результирующая сила реакций 7=1

связей, действующая на j-ю точку.

Следствие 4. Теорема о сохранении проекции момента количества движения системы. При условиях теоремы 2, если проекция суммы моментов активных внешних сил на направление <о° равна нулю, то проекция момента количества движения системы на это направление не изменяется с течением времени:

(<о°, К) = const.(3.5.29)

Доказательство непосредственно следует из (26) при <MW, to°> = 0.

Следствие 5. Теорема о сохранении момента количества движения системы. Если вектор со0 в теореме 2 - произвольный вектор и сумма моментов внешних сил, действующих на систему, равна нулю, то вектор момента количества движения системы не изменяется с течением времени:

К = Ко = const. (3.5.30)

Рис. 45Рис. 45Замечание. В частности, соотношение (30) всегда справедливо для свободной замкнутой системы материальных точек.

Рис. 45

Рис. 45

Следствие 6. Теорема площадей. Эта теорема вытекает из следствия 4 теоремы 2 и содержит его геометрическую интерпретацию (рис. 45). Нетрудно показать, что при Az —> О вы-

ражение AS” = — (<o°,[r7,vJ)Ar с точностью до О ((At)2) есть площадь, заметаемая за время At проекцией радиуса-вектора г7 на плоскость, ортогональную вектору со0 (AS” > 0, если проекция г7 движется против часовой стрелки, если смотреть с конца <о°, и < 0 в противоположном случае.) Так как

(К,ы°) = ^ <<о°,[г,,Р,]) = £

то

пл с1 п

<К,<о°) = 2^ т5 = 2^£ mjS7 '<3-5'31)

" J dt dt ^7=17=1

Проекция вектора кинетического момента на со0 есть удвоенная производная по времени от взвешенной массами точек суммы площадей, заметаемых проекциями радиусов-векторов точек на плоскость, ортогональную со0.

При условиях теоремы о сохранении проекции количества движения

(К, со0) = С = const.

Поэтому

5Ю° = £ mjSf = ^t + C0,(3.5.32)

где Со = const.

4°. Теоремы об изменении энергии. Пусть Е^ - сила, действующая на точку к системы (к = 1, 2, ..., п). Обозначим через drk вектор действительного перемещения к-й точки системы за бесконечно малое время dt.

Определение 1. Скалярное произведение силы Е^на элементарное перемещение drk называется элементарной работой dAk силы Е^ на элементарном перемещении drk:

dAk={Fk.drk\(3.5.33)

где (•, •) - скалярное произведение в R3.

Так как dvk/dt -Nk- вектор скорости к-й точки, то последнее соотношение можно представить в следующих эквивалентных видах:

dA

dA^^Pdt, -^ = ^к,ук\(353^

dt

Обозначим через dA элементарную работу сил, действующих на

все точки системы:

dA = ^ dA,^ <FvvJ(3-5.35)

k=lk=l

Обозначим также:

F = (F1,F2,-T„)6Z?3",

г = (г1,г2,...,гп)еЛ3", v = ^eR3n.at

Тогда формулу (34) можно записать в следующем виде:

ад

- = ФЛ(3.5.36)

dt

где (•, •) - скалярное произведение в R3n.

Рассмотрим движение системы в расширенном фазовом пространстве R6n х R координат всех точек системы, компонентов всех векторов скорости и времени. Предположим, что система движется по траектории г = r(t\ v = v(r), t = t расширенного фазового пространства и за время от tx до Г переходит из точки Qx = = (r(rO, v^), ГО в точку 02 = (r(r2)> v(M t^ (рис. 46).

Если движение системы известно, то 1мы можем вычислить работу, которую co

zy! вершают все силы на этом пути:

^2W(ri) = J (F,v)^. (3.5.37)

/ Q

1v в общем случае эта работа зависит не

Рис 46только от начальных и конечных коорди

нат точек системы, но и от траектории движения; для различных траекторий, идущих из Qx в йъ значение А^) - А(^) будет различным. Иначе говоря, в общем случае нельзя представить

А(?2 ) - А(Г]) = Ф(?2, г(?2 ), v(?2 ), 6, Г(^ ), V^))

как функцию только начальной и конечной точек траектории.

Лемма 3. Если система сил Fb & = 1, 2, ..., п, имеет потенциал и этот потенциал не зависит явно от времени, то работа этих сил при движении системы из точки Qx в точку Q2 равна разности значений потенциалов в начальной и конечной точках.

Доказательство. Если силы имеют потенциал [/(^ = [/(^^2,...,^,),

ТОТОилиили

ТО

ТО

или

или

Представим

ЛДг) dt ’ЛДг) dt ’<35.3^<35.3^

ЛДг) dt ’

ЛДг) dt ’

<35.3^

<35.3^

где справа полная производная по времени от потенциала вдоль траектории движения.

Подставляя последнее соотношение в (37), получим

A^-A^-f —dt = -U^U<txV J dt

= ^№))-^№^^(3.5.39)

Замечание. Если потенциал зависит явно от времени, то

dU । dUdt dt

и (39) неверно.

Определение 2. Кинетической энергией системы Т называется следующая квадратичная форма компонентов векторов скорости точек системы:

2 ^=1

В покомпонентной записи

Г = |Х X m3vd2-

Z k=l Z=1

Если использовать вектор vT = (vj,у^,...,v^) g R3n и матрицу M размера Зп х Зп, составленную из масс точек системы

тх О

О’

ТО

r = |vTMv.(3.5.40)

Теорема 7. Об изменении кинетической энергии системы. Если на интервале Jt связи допускают в расширенном фазовом пространстве сколь угодно малый сдвиг вдоль оси времени, то изменение кинетической энергии на отрезке времени [^, t^A С Jt равно работе активных (внутренних и внешних) сил, действующих на точки системы:

Уточним условие теоремы. В случае голономных связей f(r, г) = 0 условие теоремы означает, что если мы изменим момент t на величину т, не изменяя координат и компонентов вектора скорости действительного движения на этот момент времени, то уравнения связи будут выполнены:

f(r(r),r-T) = 0, tEJp те7е.

Полагая t - т = ^, последнее условие можно записать в следующем виде:

f(r(r1+T),z1) = O.

Или, так как tx - произвольный момент времени, а величина т сколь угодно мала, то

f(r(z + T),O = 0, tEJn teJ^.

Отсюда следует, что по условию теоремы

ф = г(Г + т)(3.5.41)

- виртуальное движение. Здесь г (г) - действительное движение, а модуль I т I достаточно мал.

Множеству виртуальных движений (41) соответствует виртуальный вектор

дгдгототт=0т=0дт т=0дт т=0dr dtdr dt= ЧРт=0= ЧРт=0(3.5.42)(3.5.42)

дг

дг

от

от

т=0

т=0

дт т=0

дт т=0

dr dt

dr dt

= ЧР

т=0

= ЧР

т=0

(3.5.42)

(3.5.42)

где v(Z) - вектор скорости в действительном движении системы.

В общем случае линейных связей Bn + Р = 0 допустимость сдвига по времени по определению означает, что вектор скорости системы v является виртуальным вектором, т.е. Вгщ\ = 0.

Выше мы показали (см. § 3.2), что для того чтобы вектор скорости системы был виртуальным вектором, необходимо и достаточно, чтобы голономные связи явно не зависели от времени (df/dz = 0), а в случае линейных дифференциальных связей Р = 0.

Поэтому условие теоремы можно сформулировать следующим образом:

Если на Jt голономные связи явно не зависят от времени или в случае линейных дифференциальных связей Р = О, то ... .

Перейдем к доказательству теоремы. Подставляя g(r) = v(r) в уравнение Даламбера-Лагранжа (2), получим

/^/у\

ШF,v) = 0(3.5.43)

\ dt /

или

\ dt /

Так как

!dv \ d (1 т л A dT IM— ,v) = — — v Mn = —, \ dt I dt\2 ) dt

получим

^ = <Tv).(3.5.44)

dt

Интегрируя соотношение (44) на интервале [6, t^Y получим формулу, содержащую утверждение теоремы:

Т(?2)-Т(Г1) = А(Г2)-А(Г1).(3.5.45)

Следствие 1. Для свободной системы связей нет и, следовательно, допустимо любое виртуальное перемещение и (45) выполняется.

Следствие 2. Если к активным силам добавить силы реакций связей, то систему можно рассматривать как свободную. Таким образом, всегда верно следующее утверждение: изменение кинетической энергии равно работе всех сил - активных сил и сил реакций связей:

^(^2 ) — Т^х) — ^(^2 ) — ^(^1) ■*■ ^N ^2 ) — ^N (Л )’

Представим силы F, действующие на точки системы, в виде суммы внутренних F(/) и внешних F(d сил:

(3.5.46)(3.5.46)F = F(z) + F(e)

(3.5.46)

(3.5.46)

(^=^(0 + ^(е), k-Y2.....nY

Определение 3. Если внутренние силы имеют потенциал U^ = U^(r), то сумму кинетической энергии системы и потенциала будем называть внутренней механической энергией системы и обозначать Е^ -Т + U^.

Следствие 3. Теорема об изменении внутренней энергии системы. При условии теоремы 7, если внутренние силы имеют потенциал, то изменение внутренней механической энергии на отрезке времени [Гь r2l е X равно работе внешних активных сил, действующих на точки системы.

Доказательство. Согласно (44) и (46),

— = (F, v) = <F(0, у) + <F(e), у).(3.5.47)

dt

Согласно лемме 3, при потенциальных внутренних силах

(F(,),v) =-——.(3.5.48)

dt

Подставляя (48) в (47), получим

(3.5.49) dt dt

Из последнего соотношения следует, что

Еу\1г) - E°4tx) = Хе\1г) - Xc\tx\ (3.5.50)

где A^Qt^-A^Q^ = J (F^e\V)dt - работа внешних сил на от-

ч

резке [Гь z^].

Замечание. Мы воспользовались свойством внутренних сил: внутренние силы не зависят явно от времени.

Определение 4. Если внутренние и внешние силы имеют потенциал и потенциал внешних сил U^ не зависит явно от времени, то сумма внутренней энергии системы и потенциала внешних сил называется полной механической энергией системы Е:

Е = Е^+Е^ = Т+ +ГС\(3.5.51)

Определение 5. Если:

связи допускают сколь угодно малый сдвиг системы вдоль оси времени в расширенном фазовом пространстве;

внутренние силы имеют потенциал;

внешние силы имеют потенциал, явно не зависящий от времени, то система называется консервативной.

Следствие 4. Теорема о сохранении полной энергии системы. Полная энергия консервативной системы не изменяется с течением времени. При условиях теоремы справедливо уравнение (49)

dt

Так как силы F(e) имеют потенциал U^ ndU^/dt = 0, то

dt

Отсюда следует

dt dt или

E(r2)-E(r,) = О для любых tvt^EJr

Общие теоремы механики в относительном движении

Рис. 47Рис. 47Рассмотрим, как формулируются общие теоремы, если рассмотреть движение системы материальных точек относительно репера Еа, перемещающегося поступательно относительно абсолютного репера Е (рис. 47).

Рис. 47

Рис. 47

Будем предполагать, что орты репера Еа соответственно параллельны ортам репера Е, т.е. матрица А преобразования Е —^—> Е^ единичная. В этом случае координаты Yk е R3 точки к относительно

репера Е^ связаны с координатами г^ той же точки относительно репера Еа известными нам формулами:

г^г^+а,(3.6.1)

где а - координаты начала репера Е^ относительно Е.

Пусть Nk - координаты вектора скорости точки к, Ук = = d rk Idt - координаты относительного вектора скорости точки к. Обозначим через и скорость начала репера Еа относительно Е:

Тогда

v^v^+u.(3.6.2)

Ниже мы будем использовать следующие обозначения:

m* = ^ тк~ сумма масс точек системы,

г* - координаты радиуса-вектора центра масс системы относительно Еа:

г = ~ X тЛ-(3-6-3)

т и

v* = d^ / dt - вектор относительной скорости движения центра масс.

Будем выделять два специальных случая движения репера Е.

А) Начало репера Еа совпадает с центром масс системы: а = г*. В этом случае г * = у* = 0 и u = у* - абсолютная скорость центра масс. Такой репер будем называть репером Кёнига.

Б) Система координат Еа - инерциальна. В этом случае du/dt = 0.

1°. Вектор количества движения системы Р представим в следующем виде:

Р=Р+Р,(3.6.4)

где

Р = У = ^ЕтЛ=™^- = т*^(3.6.5)

будем называть количеством относительного движения;

Ре=тЧ.(3.6.6)

Формула (4) следует после подстановки в выражение Р = т^к формулы (2).

В случае А)

Р = 0, Р = Р^ = mu = mV.(3.6.7)

В этом случае из теорем об изменении количества движения системы следуют сформулированные выше теоремы о движении центра масс системы.

Если связи допускают сдвиг всей системы как твердого тела вдоль направления, определяемого вектором а0, то

\ dt

Читателю предлагается самостоятельно сформулировать следствия, вытекаю

щие из этого равенства.В случае Б)щие из этого равенства.В случае Б)dPc n d dPdt dt dtdPc n d dPdt dt dt(3.6.8)(3.6.8)

щие из этого равенства.

В случае Б)

щие из этого равенства.

В случае Б)

dPc n d dPdt dt dt

dPc n d dPdt dt dt

(3.6.8)

(3.6.8)

Поэтому все теоремы об изменении абсолютного количества движения системы автоматически дают законы изменения вектора Р. Если система допускает сдвиг всей системы как твердого тела вдоль направления, определяемого вектором а0, то

—-Fw,a° ) = 0, dt/—-Fw,a° ) = 0, dt/(3.6.9)(3.6.9)

—-Fw,a° ) = 0, dt/

—-Fw,a° ) = 0, dt/

(3.6.9)

(3.6.9)

где F(d - сумма внешних активных сил, действующих на систему. Если а0 произвольный вектор, то

_ у(А

dt

Если (F(e\a°) = 0, то (Р, а0) = const и т.д.

2°. Предположим теперь, что связи допускают вращение системы как твердого тела относительно оси, определяемой единичным вектором <о° и проходящей через начало репера Еа. Запишем выражение для виртуального движения в этом случае, предполагая сначала, как обычно, что связи голономны:

Ш т) = (а(0 + А(т)г1?..., а(0 + А(т)ги (0),(3.6.10)

где А - матрица поворота: А(0) = /, dA/dt = Q, кососимметрической матрице Q соответствует вектор со0. Виртуальным движениям ф(^ т) соответствует виртуальный вектор

€ = М =([(О°,Г1],...,[<О°,Г„]).(3.6.11)

т=о

Для общего случая линейных связей Bn + Р = 0 необходимо предположить, что § в виде (11) удовлетворяет условию В^ = 0.

Запишем теперь принцип Даламбера-Лагранжа (3.5.2') для данного виртуального вектора:

и /\

lt=llt=lYvmkYvmkd\k"HP” kd\k"HP” k

lt=l

lt=l

Yvmk

Yvmk

d\k

"HP” k

d\k

"HP” k

Введем следующие обозначения:

К = £ Й^Л],(3.6.13)

М = £ [r„FJ.(3.6.14)

Величину К будем называть моментом количества движения системы относительно начала репера Е^ а М - результирующим моментом активных сил, действующих на точки системы относительно начала Еа.

Повторяя доказательство лемм 1 и 2 § 3.5, легко показать, что:

dK_dtYk'mkdK_dtYk'mkdXdt2dXdt2(3.6.15)(3.6.15)M = X [r„F«] = M«, k=lM = X [r„F«] = M«, k=l(3.6.16)(3.6.16)

dK_

dtYk'mk

dK_

dtYk'mk

dXdt2

dXdt2

(3.6.15)

(3.6.15)

M = X [r„F«] = M«, k=l

M = X [r„F«] = M«, k=l

(3.6.16)

(3.6.16)

т.е. результирующий относительный момент активных сил М равен результирующему моменту М(е) только внешних сил относительно начала Еа.

Подставляя в (12) г^= г^ + а и используя (13) и (16), получим

dKVm dtdKVm dtd2^’ dtd2^’ dt= 0.= 0.

dK

Vm dt

dK

Vm dt

d2^

’ dt

d2^

’ dt

= 0.

= 0.

Отсюда следует, что как в случае А) (г* = 0), так и в случае Б) ^oddE = 0) имеет место равенство

dtdt= 0.= 0.(3.6.17)(3.6.17)

dt

dt

= 0.

= 0.

(3.6.17)

(3.6.17)

Сохранение вида законов при описании движения относительно репера Еа в случае Б) не удивительно, так как в этом случае система координат Е^ инерциальна и тем самым совершенно равноправна с Е.

Для случая А) система связана с центром масс, который, вообще говоря, движется сложным образом и заранее этот результат не очевиден. Его формулировка дается следующей теоремой:

Если связи допускают вращение системы как твердого тела относительно оси со0, проходящей через центр масс си-

стемы, то производная по времени от проекции на со0 момента количества относительного движения системы (относительно центра масс) равна проекции на это направление момента внешних активных сил относительно центра масс.

Повторяя последовательность рассуждений, проведенных в § 3.5, нетрудно получить и сформулировать все следствия, вытекающие из этой теоремы для случая, когда:

<о° - произвольный вектор, проходящий через центр масс;

<Mw,to0) =0;

Система свободна и т.д.

Формулировку этих следствий следует рассматривать как самостоятельное упражнение.

Заметим, что условия последней теоремы об изменении момента количества относительного движения другие, чем для абсолютного: векторы <о°, которые фигурируют в формулировках соответствующих утверждений, проходят через разные точки пространства.

Замечание. Введение в рассмотрение репера Кёнига часто бывает полезным и для вычисления момента количества движения относительно абсолютной системы координат.

Подставим Yk = rk + а, xk = vk + и в выражение для момента количества движения

К = Х [r^vj

В результате получим

К = Х Й+а^^+^и] = 2 [^,«^1 + ^=1^=1

+^ [a,mtvj + ^ [гЛи] + £ [a,mtu]. k=lk=lk=l

Если система координат Е^ - репер Кёнига, то

v = г = 0, a = г , u = v

и в результате получим

K = K + [r>V].(3.6.18)

Сформулируем это результат как теорему:

Абсолютный (полный) момент количества движения можно представить в виде суммы момента количества движения относительно репера Кёнига и момента абсолютного коли- 10. М.Л. Лидов

чества движения материальной точки массой, равной всей массе системы, и движущейся так же, как центр масс системы.

3°. Запишем формулу для кинетической энергии системы

z k=l

Представим

v^v,+u

и вычислим

К lMv^vJ = (v^J + 2(v/c,u)^u,u) = l v/c I2 +|u|2 + 2(^,и). Подставив последнее соотношение в формулу для кинетической энергии, получим

Т = Т + I u |2 + ^*(v*,uX

где Т =—^ mk | vk |2 - кинетическая энергия относительного k=i

движения.

В случае A) v = 0 и мы получим для кинетической энергии формулу

T = f + |m>|2.(3.6.19)

Последним соотношением записано содержание теоремы Кёнига:

Кинетическая энергия системы представима в виде суммы кинетической энергии движения относительно репера Кёнига и кинетической энергии поступательного перемещения системы со скоростью центра масс.

Формула (19) часто бывает полезной при вычислении кинетической энергии системы.

Пусть f(r, f) - голономные связи.

Предположим теперь, что связи допускают сдвиг по оси времени в расширенном относительном конфигурационном пространстве, т.е.

f (а(Г + т) + г (г), t + т) = 0.

Отсюда следует: Г(а(0 + г(г + т)д) = 0 и

ot(t) + r(t + т) = ф(^, т) - виртуальное движение.

Дифференцируя последнее равенство по т, находим

5(0 = —= v(0 - виртуальный вектор.

дт т=0

(Для линейных связей необходимо Bn = 0.) Тогда из принципа Даламбера-Лагранжа получим соотношение

0 = Х=0-

Подставляя г = г + а, получим

n V\ X / d^OL _ \

°=Х

к=1 \/ ^=1 \ш/

Повторяя преобразования, проведенные в § 3.5, будем иметь

dT X \ Jd^adt ^\dtdT X \ Jd^adt ^\dt(3.6.20)(3.6.20)

dT X \ Jd^adt ^\dt

dT X \ Jd^adt ^\dt

(3.6.20)

(3.6.20)

Последний член в правой части обращается в нуль как в случае А) (у* = 0), так и в случае Б) (d^oddt1 = 0). Отсюда следует, что в этих случаях

<F^>- <3-6-21) dt и

Это соотношение можно записать в интегральной форме:

Т{Щ-Т^ = \ ^ ^k3kW

Мы получили, что если система Еа - инерциальна или перемещается поступательно вместе с центром масс (репер Кёнига) и связи допускают сдвиг вдоль оси времени в расширенном относительном фазовом пространстве, то изменение кинетической энергии относительного движения равно работе всех активных сил на относительном движении. К активным силам надо отнести и силы трения.

Для случая Б) справедливость этого утверждения также следует из равноправия инерциальных систем координат. Для случая А) этот результат заранее не очевиден.

Следует обратить внимание на то, что требования к связям в случае рассмотрения абсолютного движения и в случае относительного движения различ- t=k/ ные.i

Пример. Рассмотрим движение точки z

(г, т) по поверхности, перемещающейся с по

стоянной скоростью (рис. 48). Уравнения свя-ис'

зей: /(г - №f) = 0, где/- скалярная функция, v° е R3, у0 = const.

ю*

В этом случае связи не допускают сдвига по времени в расширенном фазовом пространстве. Но если ввести систему координат, которая перемещается поступательно с постоянной скоростью v°: г = г + у°С тогда в относительной системе координат связи будут иметь вид /(г) = 0. Эти связи не зависят явно от времени и допускают сдвиг по оси времени в расширенном относительном фазовом пространстве.

Замечание. При формулировке закона сохранения энергии в случае потенциальных сил для относительного движения необходимо, чтобы существовал потенциал системы [/(г1?...,ги), зависящий только от координат относительного движения и не зависящий явно от времени. Если потенциал зависит от абсолютных координат и не зависит от времени, то, вообще говоря, при переходе к относительным координатам может появиться явная зависимость потенциала от времени.

О внутренних связях.

Закон равенства действия и противодействияв системах со связями

Определение. Связи называются внутренними, если они допускают произвольные виртуальные движения системы как твердого тела: сколь угодно малое поступательное перемещение в произвольном направлении и сколь угодно малый поворот относительно произвольной оси.

Связи, не удовлетворяющие этому условию, называются внешними.

Простейшие примеры внутренних связей были рассмотрены в § 3.4: система, состоящая из двух материальных точек, соединенных стержнем нулевой массой; две точки различных подсистем, соединенные стержнем или шарниром.

Еще один пример. Система состоит из твердого тела и мате риальной точки (г, т), которая в силу наложенной /•тсвязи может перемещаться только по поверхности

^ твердого тела (рис. 49). Эта связь - внутренняя для рис 49 системы, состоящей из твердого тела и материальной точки.

Рассмотрим одно уравнение связи, заданное в дифференциальной форме:

(В,у) + Р = 0,(3.7.1)

В - матрица размера 1 х Ъп, у е Р3и - вектор скорости системы,

Р - скалярная функция. Представим:

B = (b1,b2,...,b„),

v = (v1,v2,...,v„), где bz е R3, vz е R3 - вектор скорости z-й точки, и запишем (1) в следующем виде:

У <Ь^уу + Р = 0,

где (•, •) - скалярное произведение в R3. Если связь внутренняя, то она должна допускать виртуальные векторы

ё = (а°,а°,...,а0)(3.7.2)

И

£ = ([<о°, Г1], [to0, г2 ],...,[to0, г^(3.7.3)

при произвольных а0, со0 е R3.

Подставляя (2) в условие виртуальности вектора § (В§ = 0), получим

У (ьр«°)=0’ 7=1

или, так как а0 - произвольный вектор,

УЬу=0.(3.7.4)

7=1

Подставляя (3) в условие виртуальности вектора, найдем

У /b , [м°, г =/м°, У [г,\7=1/

Откуда в силу произвольности w° получим

Ё|г,АН-(3.7.5)

7=1

Так как ось вращения может проходить через произвольную точку пространства, определяемую вектором а0, а не обязательно через начало координат, то для того чтобы уравнение (1) определяло внутреннюю связь, необходимо:

1[г,-«.Ь,] = 0(3.7.6)

7=1

при произвольном а.

Это, в частности, можно получить из (5) как следствие условия Ёь,=0.

7=1

Легко видеть, что условий (4) и (6) и достаточно, чтобы связь была внутренней.

Уравнение (1) порождает составляющую сил реакций идеальных внутренних связей N, действующих на все точки системы:

N = ХВТ, X- скалярная функция.

В более подробной записи

N = (NbN2,...,Nn)

(N^ е R3 - сила реакции, действующая на Х-ю точку) получим

N7 = Xb7.(3.7.7)

Из (4), (6), (7) следует, что если связь (1) - внутренняя, то

£n,=0, £[r,-«,N,] = 0.(3.7.8)

7=17=1

То есть сумма сил реакций идеальных внутренних связей, действующих на все точки системы, и сумма всех моментов этих сил относительно произвольной точки равны нулю.

Если внутренняя идеальная связь определяет отличные от нуля силы реакции, действующие только на две точки системы jx и ]ъ то из (8) следует, что

N>i = -N>2 и [г,ъ Nyl] = -[гу2, N,2] (или [N,,, гя -г,2] = 0).

Таким образом, либо Гд -г, , либо сила реакции N^ направлена по прямой, соединяющей эти точки. Мы уже сталкивались с этим свойством сил реакций идеальных внутренних связей на примерах в § 3.4.

Предположим теперь, что движение системы ограничено ^-внутренними идеальными связями вида (1). Эти связи порождают силу реакции N^ (к = 1,2,...,п), действующую на ^-точку системы. Эту силу можно представить в виде суммы

N,=^N„ к = 1Л-.,п,(*)

5 = 1

б)

где N*. - составляющая силы реакции, обусловленная s-й (s = = 1,2,..., р) связью. Согласно рассмотрению (1)-(8), при каждом

фиксированном s

(**)(**)У Ч=°, У ^-«Д =о.

(**)

(**)

Из (*) и (**) следует

ЕУ=0 и £K-a,Nj = 0.(3.7.8)

к=1к=1

Упражнение. Получите (8), применяя теоремы об изменении количества движения системы и момента количества движения системы.

Указание. Надо обосновать справедливость (3.5.10) и (3.5.28) в двух случаях, когда к внешним силам добавляются: 1) силы реакций только идеальных внешних связей и 2) силы реакций идеальных внешних и внутренних связей.

При обсуждении проблемы «неидеальных» связей было указано, что силы трения, которые возникают при таких связях, следует учитывать в уравнениях движения наравне с внешними силами, причем их структура (вид функций) определяется при наблюдении данного круга явлений. Не уточняя полностью структуры этих сил, мы сформулируем сейчас общий закон природы, которому в модели должна удовлетворять система функций, описывающих силы трения, обусловленные внутренними связями.

Обозначим через F^p силу трения, действующую на ^-ю точку системы за счет s-й внутренней связи:

5=15=1

5=1

5=1

Сумма сил F^p по всем точкам системы и сумма моментов этих

сил равны нулю:

(***)

(3.7.9)(3.7.9)Суммируя (***) ПО S от 1 до р, получим

(3.7.9)

(3.7.9)

^=1^=1

Отсюда следует, что никакие внутренние силы - ни заданные активные силы, ни силы реакций идеальных связей, ни силы

внутреннего трения непосредственно не влияют ни на изменение количества движения системы, ни на изменение момента количества движения системы.

Этот вывод, который мы получили как следствие основных положений теоретической механики, является чрезвычайно общим и важным законом природы.

Отметим некоторые следствия. При использовании теорем об изменении количества движения и момента количества движения системы: 1) необходимо проверять допустимость определенного виртуального вектора только по отношению к внешним связям; 2) при этом для задач с трением необходимо к внешним активным силам добавлять силы трения внешних связей.

Однако при применении теоремы об изменении кинетической энергии системы следует помнить, что: 1) внутренние связи могут ограничивать возможность использования этой теоремы ((№dt) ^ 0 или Pz ^ 0); 2) силы трения, которые могут сопровождать внутренние связи, могут совершать работу и влиять непосредственно на изменение кинетической энергии.

Рассмотрим систему материальных точек (rk,mk\ к = 1,2,..., без внешних связей. Предположим, что внешние силы на систему не действуют, т.е. мы рассматриваем замкнутую систему, возможно, с внутренними связями. Обозначим через Ф^, к = 1,2,...,п, результирующие силы (активные силы, силы реакций идеальных связей и силы трения), действующие на материальную точку (гк,тк). Мысленно разобьем систему на две произвольные подсистемы, например:

I: £ = 1,2,...,д и II: q3-V..,n.

Так как для всей системы

Хф*=0’ Хк-а’ф^=0’

^=1^=1

то

qп

^n=E^=-^=-^i,

к = \k = q+l

qп

м иг=X к ~а’ф^]=- IL к ~а’ф^]=-мп,г ■fc=l^ = ^+1

Следовательно, сумма всех сил и сумма моментов всех сил, действующих на точки подсистемы I, векторно противоположны сумме сил и моментов, действующих на точки подсистемы II.

В этом и состоит закон равенства действия и противодействия для замкнутой системы.

Замечание о внешних связях. Точно такое же положение имеет место и по отношению к внешним связям. Если внешняя связь (материальная система, которая обеспечивает выполнение условий связи) действует на все точки системы с результирующей силой Ф(е) и результирующим моментом М(е\ то и система действует на внешнюю связь с такими же силой и моментом. Однако так же, как в случае, когда мы вводили в рассмотрение внешние активные силы, мы пренебрегаем влиянием этих сил на материальное приспособление, реализующее эту связь.

При анализе некоторых задач, выходящих за рамки основных задач теоретической механики, необходимо знать силу и момент силы с которыми система действует на внешнюю связь. Например, важно знать, не приведет ли слишком большая сила к физическому разрушению приспособления, реализующего эту связь. При решении таких вопросов требуется использовать справедливость утверждения о равенстве действия и противодействия по отношению к внешним связям.

Вместо сформулированного выше постулата о силах внутреннего трения мы могли бы привлечь другой постулат и получить заключение о свойствах сил внутреннего трения как следствие.

Можно принять следующую аксиому физического происхождения: все силы внутренних взаимодействий в системе суть некоторые результирующие силы парных взаимодействий между точками системы. Для парных сил взаимодействий сумма всех сил и сумма всех моментов сил равны нулю. Так как этим свойством обладают заданные внутренние активные силы и силы реакций идеальных внутренних связей, то тем самым отсюда следует справедливость (9) для сил внутреннего трения.

Следует отметить, что внутренние силы при действии на систему внешних активных сил или сил реакций внешних связей могут косвенно влиять на изменение количества движения системы Р и момента количества движения К. Не изменяя непосредственно эти величины, внутренние силы могут изменять состояние системы (г, у). Изменение состояния системы приводит, вообще говоря, к изменению результирующей внешних сил F(e) = F(e\r, у, Г) и моментов этих сил М(е) = M(e\r, v, t\ что приводит к изменению Р и К.

Человек, находившийся первоначально в покое относительно Земли, может начать бег, т.е. изменить количество движения системы. Это - следствие влияния внутренних сил через внешние

силы: силу тяжести, силу реакции связи (идеальной + силы трения), возникающей при контакте ноги и грунта. Если же на систему никакие внешние силы не действуют, то векторы Р и К остаются постоянными.

Замечание о твердом теле. Из определения твердого тела следует, что связи, обеспечивающие конструкцию твердого тела, являются внутренними связями типа стержня:

|г7.-г^| = 5д = const, /Д = 1,2,...,^

где г7- и г ^ - радиусы-векторы материальных точек j и к, образующих твердое тело. Идеальные связи такого типа, как мы показали, порождают силы реакции

N^^r.-r,), N,=-N„.

где X - скалярная функция.

Элементарная работа этих сил

dAkj = (n*p d^ + ^jk, dr^ (Nkj, d(rk -rj) = X(rk -ry, d^rk-r^

ИЛИ

^kj X d I p X dSkjdt 2 dtu Л 2 dt

To есть силы реакций внутренних связей, обеспечивающих сохранение конструкции твердого тела, не совершают работы. Кроме того, они не зависят от времени. Поэтому при применении теоремы об изменении кинетической энергии к твердому df ??

телу необходимо проверять стационарность (— = 0 или Р = 0) dt

только внешних по отношению к твердому телу связей и, возможно, учитывать работу сил трения, обусловленную тоже только внешними связями.

Задача о соударении шаров

Рассмотрим два твердых (в обыденном смысле) шара массами тх и т^ и радиусами Rx и R^. Предположим, что распределение плотности в этих шарах обладает сферической симметрией. Тогда центры шаров совпадают с центрами их масс. Мы хотим описать физический эксперимент, в котором шары сближаются друг с другом, а затем после соударения разлетаются.

Для решения этой задачи сначала надо уточнить теоретическую модель этого физического эксперимента. После уточнения постановки задачи с помощью формального изучения модели мы сможем вывести некоторые закономерности рассматриваемого процесса. При этом основные закономерности можно будет получить, опираясь только на общие теоремы механики, доказанные в предыдущих параграфах. При этом, как и всегда, вопрос о точности описания реальной задачи с помощью модели есть проблема специального физического анализа или эксперимента.

1°. В физическом эксперименте взаимодействие шаров сопровождается их деформацией и, в частности, после соударения происходит нарушение сферической симметрии в распределении массы в каждом шаре. Однако при соударениях с не очень большими скоростями, как следует из физических наблюдений, эта деформация очень мала.

Эта физическая предпосылка придает смысл следующему постулату, который мы будем использовать при формальном описании задачи соударения:

А) Распределение масс как до удара, так и после удара сохраняет сферическую симметрию, и массы и радиусы шаров не изменяются.

2°. Будем предполагать, что движение шаров происходит только под действием сил парных взаимодействий между материальными точками, образующими эти шары, т.е. предполагаем, что на систему двух шаров никакие внешние силы не действуют. Обозначим через гь г2 и vb v2 радиусы-векторы и векторы скоростей центров этих шаров относительно абсолютного репера Е. Используя теорему о движении центра масс системы материальных точек, из которых состоит первый шар, напишем уравнения движения центра масс этого шара:

at тх at

где F12 - результирующая сила, действующая на материальные точки первого шара со стороны второго. Для точек первого шара это внешняя сила.

Из физических экспериментов известно, что существенное изменение скорости Vj происходит за очень малое время At, когда | ^ -г2| ~ ^ +Т?2, т-е- когда шары сближаются и их поверхности почти соприкасаются. Будем предполагать, что это происходит

на отрезке временина отрезке времениAt - ЛЯ

на отрезке времени

на отрезке времени

‘ ^РоинтегРиРУем пеРвое

уравнение (1) на этом отрезке времени:

- Аг

V-V-(3.8.2)

V-

V-

уу_ Лг

t 2

Интегрируя второе уравнение (1) на этом отрезке времени, получим оценку

Г1Г1АгтАгтА?тА?тд,таХдЖ С3'8'3)22д,таХдЖ С3'8'3)22

Г1

Г1

Аг

т

Аг

т

А?

т

А?

т

д,таХдЖ С3'8'3)

22

д,таХдЖ С3'8'3)

22

При очень малом At существенное изменение скорости центра масс может иметь место только, если модуль силы |F12| очень велик. В теоретических моделях, описывающих задачи соударения, обычно рассматривается предельный случай, когда At —> 0, а |F121©о. В этом предельном случае изменение скорости проис

ходит мгновенно при t = i. При этом можно говорить о скорости непосредственно перед ударом у,(г-0) = limvjt-—| и ско- А?^0 у 2 )

рости непосредственно после удара ¥^ + 0)= Um^v^t-H^^. В общем случае ¥1(t-O)^¥1(t + O). В то же время, так как |¥j остается конечной величиной, из (3) следует предельное равенство

rl(F-O) = rl(F + O).

Предыдущее рассмотрение оправдывает следующие предпосылки, которые мы будем использовать в модели соударения шаров.

Б) За исключением момента времени Г = Г шары не взаимодействуют. Изменение скорости центров масс шаров происходит в один момент времени t = Г когда | - г21 = 7^ + R^.

В) Центр масс z-ro шара непосредственно перед ударом и непосредственно после удара занимает одно и то же положение в пространстве:

r-(t-O) = z;(t+0), z-l,2.

3°. Предположим, что шары - абсолютно твердые тела и силы взаимодействия между ними обусловлены силами парных

Рис. 50Рис. 50взаимодействий между материальными точками, принадлежащими различным шарам (рис. 50). Предположим, что эти силы не зависят от скоростей точек и, следовательно, согласно теореме, доказанной в § 1.7, имеют потенциал. В этом

Рис. 50

Рис. 50

случае можно показать, что результирующие

силы F12 и F21 взаимодействия между шарами будут иметь потенциал [/, не зависящий явно от времени. В силу симметрии задачи можно предположить, что этот потенциал зависит только от расстояния ^ между центрами масс шаров:

^ = 11*1 -Г2|.

Согласно предположению, силы взаимодействия проявляются только при ^ < ^ = /?] + /?2 + Е, где £ - достаточно малое расстоя

ние. Поэтому потенциал должен быть отличен от постоянной (в частности, от нуля) только при ^ < ^* (рис. 51).

Систему двух абсолютно твердых шаров можно рассматривать как консервативную систему материальных точек и записать условие сохранения полной механической энергии (3.5.52) консервативной системы:

Т(^)^и^) = Т^)^и(^ (3.8.4)

где Г^) - кинетическая энергия движения ша- Рис. 51

ров в момент времени tx. Если в качестве tx и р

взять произвольные моменты времени до соударения ^(rj- -г^)!^* и после соударения | г1(Г2)-г2(Г2)| > ^*, то в эти моменты времени U(tx) = 0, t/^) = 0, и из (4) следует закон сохранения энергии при соударении

T(t,) = T(tx).(3.8.5)

Если воспользоваться указанным выше предельным переходом Az —> 0, £ —> 0, из (5), в частности, следует предельное равенство

(3.8.6)(3.8.6)r(F + O) = r(F-O).

(3.8.6)

(3.8.6)

Эти соображения, по-видимому, могут помочь в понимании физического смысла следующего формального определения.

Определение 1. Взаимодействиешаров называется абсолютно упругим, если кинетическая энергия в системе двух шаров одинакова до и после удара.

Следует помнить, что в природе всегда справедлив закон сохранения полной энергии. Однако понятие полной энергии

является общефизическим и выходит за рамки понятий, на которых основана теоретическая механика. Полная энергия включает не только механическую энергию упорядоченного движения макроскопических тел и потенциала их взаимодействий. Макроскопические физические твердые тела состоят из молекул, которые являются носителями массы. Молекулы взаимодействуют друг с другом. В частности, кинетическая энергия движения молекул друг относительно друга и потенциал их парных взаимодействий не рассматриваются в механической модели соударения шаров. Однако в результате соударения шаров часть механической энергии поступательного движения может переходить в колебательную энергию молекул друг относительно друга или тратиться на изменение расположения молекул (деформацию шара), т.е. на изменение потенциальной энергии взаимодействия молекул. При этом с геометрической точки зрения деформация может быть несущественной, но затратами энергии на эту деформацию пренебрегать нельзя.

Для описания таких процессов в механике рассматриваются модели, в которых на макроскопическом уровне учитывают потери механической энергии, связанные с увеличением немеханических форм энергии. При этом особенности таких «неупругих» взаимодействий формулируются на основе установленных из экспериментов физических законов. Одной из таких наиболее простых моделей является модель абсолютно неупругого удара.

Определение 2. Соударение шаров называется абсолютно неупругим, если непосредственно после соударения относительные скорости шаров равны нулю. То есть после соударения шары перемещаются вместе. Такая модель, например, может описывать соударение мягких пластилиновых шариков.

При анализе задачи мы будем рассматривать эти два предельных случая: абсолютно упругого и абсолютно неупругого удара.

4°. Мы предположили, что шары как до удара, так и после удара перемещаются поступательно (не вращают- с я). Поступательное перемещение шаров до удара в физическом эксперименте реализуется с помощью подбора специальных начальных условий их движения. При этом вращение шаров после удара в эксперименте определяется характером взаимодействия при ударе и зависит, в частности, от свойств поверхностей этих шаров. Мы предполагаем такие условия эксперимента, когда при описании его в модели вращением шаров можно пренебречь.

Исследование модельной задачи соударения шаров

Каждый отдельный шар представляет собой систему материальных точек, на которую за исключением момента времени удара t = t не действуют никакие внешние силы и не наложены внешние связи. Поэтому центр масс z-го (z = 1, 2) шара при t < t согласно (3.5.15), движется прямолинейно с постоянной скоростью у 7 и после соударения при t > t также движется прямолинейно с постоянной скоростью yz+. Основная задача состоит в том, чтобы при заданных векторах у^ и v2 определить векторы v^ и ¥3. Обозначим через у* вектор скорости центра масс системы двух шаров. Так как на систему двух шаров никакие внешние силы не действуют (и внешних связей нет), то, согласно той же теореме, центр масс двух шаров движется прямолинейно с одним и тем же постоянным вектором скорости у* как до соударения, так и после него. Нетрудно показать, что справедливо следующее соотношение:

=М7)

m1 + т2

Упражнение. Докажите справедливость представления v* в виде (7).

Все дальнейшие соотношения оказываются существенно проще, если задачу рассматривать в системе координат Е связанной с центром масс системы двух шаров и перемещающейся поступательно. Так как в нашем случае Е^ - инерциальная система координат, то, с точки зрения динамики, этот репер равноправен с абсолютным репером Е. Обозначим через и 7 и uz+ (z = 1, 2) скорости центров масс шаров до и после удара относительно Е *. Предполагая, что орты Е * параллельны ортам Е, запишем кинематические соотношения

u"=y--y*, U’^v’-v*,(3.8.8)

V1+ = U1+ + v*, v^ = u^ +у\(3.8.9)

Из закона сохранения количества движения системы относительно репера Е^ вытекает справедливость следующего равенства:

=т^ + m2U2^(3.8.10)

причем m!U1 +m2u2 _ вектОр скорости центра масс относи- m1 + т2

те льно ЕТак как начало Е * помещено в центре масс си

стемы, то

т^ 3-т^щ = 0.(3.8.11)

Из (10) и (11) следует

т^ = -m2u2 т^ = -m2u2.(3.8.12)

Полученные соотношения не зависят от характера соударения шаров.

Задача об абсолютно неупругом соударении шаров

В модели абсолютно неупругого удара шары после удара имеют одинаковые скорости:

u^ = и2.(3.8.13)

Из соотношений (12) и (13) следует, что

u+ = u2 =0.(3.8.14)

То есть скорости после удара шаров относительно Е^ равны нулю. Согласно (9), после удара шары перемещаются со скоростью их общего центра масс

V^ =¥2

где v*- определено в (7).

Так как шары не вращаются, то, по теореме Кёнига (3.6.19), кинетическая энергия системы представима в следующем виде:

r = |mi|vi|2 +|Ш2Н|2(3.8.15)

(относительно абсолютного репера) или

Т*(3.8.16)

(относительно репера Е^).

Рассмотрим разность

дг = г+_г

где Т+ и Т" - кинетическая энергия после и до соударения.

Записывая эту величину для Т относительно репера Е^, получим

АГ* =-^|mi|ur|2+|m2|u2H.(3.8.17)

Здесь учтено равенство Г+ = 0, которое следует из (14). Та же разность относительно репера Е определяется формулой

Ar=2mi(lv I “ЫAr=2mi(lv I “Ы1ч—m21ч—m2(3.8.18)(3.8.18)

Ar=2mi(lv I “Ы

Ar=2mi(lv I “Ы

1

ч—m

2

1

ч—m

2

(3.8.18)

(3.8.18)

Упражение. Используя соотношения (8), докажите, что А7^ = АТ. Согласно (17) при абсолютно неупругом ударе всегда происходят потери кинетической энергии движения шаров.

Абсолютно упругое одномерное соударение шаров

Пусть при Г = 0 скорости шаров направлены по прямой, соединяющей их центры масс. Тогда движение происходит вдоль этой прямой как до соударения, так и (в силу симметрии задачи) после него. Для модели абсолютно упругого удара справедлив закон сохранения кинетической энергии:

(3.8.19)

Из (12) и (19) следует, что

НЧ^2, г = 1,2.(3.8.20)

Знаки относительных скоростей в результате удара должны измениться, иначе шары должны были бы «пройти друг сквозь друга». Поэтому из (20) для одномерной задачи следует:

н, = — и,, ut = —Unн, = — и,, ut = —Un(3.8.21)(3.8.21)

н, = — и,, ut = —Un

н, = — и,, ut = —Un

(3.8.21)

(3.8.21)

Мы получили, что относительные скорости в результате удара изменяются на противоположные. Используя (21), (8) и (9), получим формулы для абсолютных скоростей:

V] =u, +v =-U] +v = 2v -v1?

V2 = 2v* - v2.

Подставляя v*, согласно (7) получим

V] (m^ - m2 ) + 2m2 v2V] (m^ - m2 ) + 2m2 v2m1 +m2m1 +m2(3.8.22)(3.8.22)

V] (m^ - m2 ) + 2m2 v2

V] (m^ - m2 ) + 2m2 v2

m1 +m2

m1 +m2

(3.8.22)

(3.8.22)

М.Л. Лидов

М23) m1 + т2

Рассмотрим некоторые специальные случаи.

Если тх = т^ то из (22), (23) следует v^v", v2 = , т.е. при равных массах происходит «обмен скоростями».

Если—> 0, то

т2

v^ —> 2v2 - Vj", v2—>v2.

Из второго соотношения следует, что скорость шара большей массы в пределе не изменяется. Используя второе соотношение запишем первое в следующем виде:

В результате удара скорость маленького шара (точнее, шара бесконечно малой массой) относительно большого изменяется на противоположную, т.е. маленький шар отскакивает от большого с относительной скоростью, равной по величине относительной скорости их сближения, но противоположной по направлению. Этот предельный случай, в частности, описывает задачу об упругом соударении шара тх с неподвижной стенкой, которую можно считать шаром очень больших радиуса и массы.

В последнем случае v2 = v2 = 0 и v^ = -vf.

Пространственная задача об абсолютно упругом ударе

Так как шары не вращаются (каждый шар находится в покое относительно репера Кёнига, связанного с его центром масс), то для момента количества движения Kz i -го шара справедлива формула (3.6.18)

К, = [i*, mzuz],(3.8.24)

где г; - радиус-вектор центра масс z-ro шара относительно репера Е^. Поскольку на систему двух шаров никакие внешние силы не действуют и никакие внешние связи не наложены, то справедлива теорема о сохранении момента количества движения системы (3.5.30) К = К1 + К2 = const, откуда К(^) = K(t2) для произвольных моментов времени tx и Г2.

Положим Г] = Г - 0 и Z2 = t + 0, где t - момент удара, и запишем в этом предельном случае последнее равенство подробно:

[r1? тхих ] + [r2, m2U2 ] = [г1? т^] + [r2, m2U2 ].(3.8.25)

При этом мы воспользовались свойством модели г-(Г-О) = = i*(F + 0) = i*, i = 1,2. Используя (12), равенство (25) можно представить в следующем виде:

[Fj-^t^^-u-)]^.(3.8.26)

Обозначим через р° единичный вектор, направленный из центра шара 1 к центру шара 2 в момент удара:

Согласно (26),

тх\хх = mlu1~+Xp0,(3.8.27)

где X - некоторое число. Используя (12) и (27), получим

m2U2 = m2u2-Хр°.(3.8.28)

= T~.= T~.(3.8.29)(3.8.29)Так как мы рассматриваем абсолютно упругий удар, то кинетическая энергия не изменяется:

= T~.

= T~.

(3.8.29)

(3.8.29)

Т =2mi|ui| ^^Н =2mi|ui| +2m2|u2|

Подставляя (27) и (28) в (29), получим

ТТ= Г"+Х(и(= Г"+Х(и(- о\ if 11 L

Т

Т

= Г"+Х(и(

= Г"+Х(и(

«г Р ) + “ — + — ^-

Отсюда

X = 2(u2 -u(,p°)X = 2(u2 -u(,p°)пущm1 +m2пущm1 +m2(3.8.30)(3.8.30)

X = 2(u2 -u(,p°)

X = 2(u2 -u(,p°)

пущ

m1 +m2

пущ

m1 +m2

(3.8.30)

(3.8.30)

Используя (27), (28) и (30), получим выражения для скоростей после удара:

u^ = U] +2u^ = U] +2т2m1 +т2т2m1 +т2(«2(«2-иГ,р°)р°,-иГ,р°)р°,

u^ = U] +2

u^ = U] +2

т2

m1 +т2

т2

m1 +т2

(«2

(«2

-иГ,р°)р°,

-иГ,р°)р°,

(3.8.31)

У. = н 2У. = н 2тхтх З-т^тхтх З-т^(и2-и(,р°)р°.(и2-и(,р°)р°.

У. = н 2

У. = н 2

тх

тх З-т^

тх

тх З-т^

(и2-и(,р°)р°.

(и2-и(,р°)р°.

В уравнениях (31) легко перейти к абсолютным скоростям, прибавляя к каждой скорости и± скорость движения центра масс у*. В результате получим

+т2 / __ о\ о

Ч =V] +2^—(v2-v,,p )р ,

тхз-т2'

(3.8.32)

+- п т\ / -—0 \ О

v2=v2-2!—(V2-V],p )р .

т^з-т2 х'

Упражнение. Получите из (32) формулы (22), (23) для одномерной задачи.

Пример 1. Пусть первый шар первоначально находился в покое: V] = 0 (рис. 52). Чтобы шары сближались, необходимо выполнение неравенства ^у2 , р0^ < 0. Из (32) найдем

< = 2^Hv2-,p<y.

m1 + m2 х '

После удара скорость первого шара будет направлена по лучу, опреде-

/Г ляемому вектором (-р°).

)Пример 2. Пусть шар 1 до удара

+Упокоится и его масса тх много боль

ше массы т2 шара 2. В пределе при

Рис. 52— —>0 из (32) найдем v^^v^.

m2

Определим предельное значение скорости второго шара после соударения:

v^v2-2p0(v2,p°y(3.8.33)

Представим вектор v2 в следующем виде:

у2 = хр° + уе°,(3.8.34)

где 8° - единичный вектор, ортогональный р° и лежащий в плоскости векторов у2 и р°; х. у е R. Из (33) и (34) получим

У2 —>Хр° +у8°-2р°Х = -хр° +у8°.

В результате удара модуль вектора скорости не изменяется:

Н Н |ъ |=Т^+у7-

(рис. 53). Соотношение(рис. 53). Соотношениесвойствсвойствв изучениив изученииВектор скорости остается в плоскости векторов 8°, р°. При этом составляющая по вектору р° изменяется на противоположную. Шар 1 можно рассматривать как стенку. Тогда вектор р° опре

(рис. 53). Соотношение

(рис. 53). Соотношение

свойств

свойств

в изучении

в изучении

деляет направление нормали к стенке между векторами v^ и v2 согласуется с известным законом о равенстве углов падения и отражения при абсолютно упругом ударе шара о стенку.

Начиная с Пуанкаре, математики много занимались изучением так называемой задачи о бильярде. В этой математической задаче часть плоскости ограничивается выпуклой кривой, которая рассматривается как абсо-

лютно упругая стенка. Задача состоит

траекторий движения частицы, которая внутри части плоскости, ограниченной кривой, движется равномерно и прямолинейно, а при выходе на границу отражается по закону абсолютно упругого удара: модуль скорости не изменяется, а направление скорости определяется из условия равенства углов падения и отражения (рис. 54). Этой модельной задаче присущи многие особенности движений механических систем, но при ее анализе нет надобности в интегрировании дифференциальных уравнений.

Рассмотренная выше задача о движении шаров после уточнения модели решена нами на основе только теорем о сохранении основных механических характеристик движения. Существует целый класс таких задач, где законы сохранения позволяют решить или существенно упростить задачу.

Уравнения реактивного движения

Пусть в сосуде А (будем называть его ракетой) заключены частицы вещества (рис. 55). С течением времени часть этих частиц выбрасывается из сосуда. Нас интересует движение ракеты в абсолютном пространстве.

Введем следующие обозначения: m(t) - масса ракеты в момент времени t; эта масса распределена между конструкцией ракеты (в частности, ее

корпусом) и частицами, которые могут быть выброшены. Массой ракеты m(t) мы называем всю массу; v(t) - вектор скорости движения центра масс в момент времени t относительно абсолютного репера Е; m(t + At), v(t + At) - те же величины в момент времени t + At.

Мы предполагаем, что справедлив закон сохранения массы. Тем самым масса частиц Ат, выброшенных из ракеты на отрезке времени [t, t + Аг], определяется как разность

Am = m(t) - m(t + At).(3.9.1)

Пусть u(t + At) - скорость относительного движения центра масс выброшенных на отрезке времени [t, t + At] частиц (относительно центра масс ракеты, точнее относительно репера Кёнига, связанного с центром масс ракеты) в момент времени t + А. Абсолютная скорость центра масс выброшенных частиц определяется как сумма относительной и переносной скоростей:

v(t + At) + u(t + At).(3.9.2)

Рассмотрим на отрезке времени [t, t + At] движение системы материальных точек, которые в момент времени t находились в ракете. Пусть P(t) и P(t + А) - количество движения этой системы в моменты времени t и t + А. Известно, что количество движения системы материальных точек можно представить в виде произведения массы системы на скорость движения ее центра масс, т.е.

P(t) = m(t)v(t).(3.9.3)

Вектор P(t + А) можно записать в виде суммы количества движения ракеты и количества движения выброшенных за время At частиц:

P(t + At) = m(t + At)v(t + At) + Am(v(t + At) + u(t + At)). (3.9.4) В нашей задаче никаких внешних связей нет и, следовательно, справедлива теорема об изменении количества движения системы:

— P = FW,(3.9.5)

dt

где F(e) - сумма внешних сил, действующих на все точки системы.

Проинтегрируем (5) на отрезке времени [t, t + А]:

P(Z + AZ)-P(?)= J ^dt.(3.9.6)

Предположим, что m(Z), N^fp u(Z) - непрерывно дифференцируемые функции времени, a F(e\z) - непрерывная функция времени. При Az —> 0 из (1)-(6) следуют соотношения:

(3.9.7)(3.9.7)ж dm А z А хАт =Az + o(Az),dt

(3.9.7)

(3.9.7)

P(z + Az) = m(z)v(z) + Az -(v(z) + u(z))Az + o( Az), (3.9.8)

dt dt

t+At

(3.9.9)(3.9.9)j F(e)d? = Fw(0 + o(Ar).

(3.9.9)

(3.9.9)

Подставим (3), (8), (9) в (6), разделим полученное соотношение на Az и перейдем к пределу при Az —> 0. В результате получим уравнение

dmv . х dm

(v + u)= F()

dtdt

и после несложных преобразований будем иметь

(3.9.10)(3.9.10)dv u dm 1dt т dt т

(3.9.10)

(3.9.10)

Это основное уравнение, описывающее движение центра масс ракеты. Вектор скорости и определяется механизмом выброса частиц и будет рассматриваться нами как заданная функция времени u = u(Z). Если F(e) = 0, то ускорение центра масс ракеты u dm

on tat определяется величиной G =. Эта часть ускорения

р т dt

центра масс ракеты носит название реактивного ускорения; со- dmz

ответствующая сила Fp = mGp = называется (в случае ракеты) тягой двигателя.

Рассмотрим специальные случаи реактивного движения.

Ракета в свободном пространстве

Предположим, что ракета движется далеко от силовых полей или, как формулировал К.Э. Циолковский, «в свободном пространстве». В этом случае F(e) = 0. Этот случай можно использовать для приближенного описания движения центра масс раке-

|FW|

ты и при F(e) ^ 0, если q—г^1, т.е. в случае, когда модуль внеш- lFpl

ней силы много меньше модуля тяги двигателя.

Предположим также, что и - постоянный вектор. В этих предположениях уравнения (10) легко интегрируются. Обозначим через т0 и v0 массу и скорость центра масс ракеты в начальный момент времени t = 0. После интегрирования (10) получим

Av = uln—,(3.9.11)

m0

где Av = v(?) - v0.

Мы вывели знаменитую формулу Циолковского. Модуль вектора Av обозначают w. Очевидно,

w(0 = |u|ln^-.(3.9.12)

Предположим, что мы рассматриваем задачу в инерциальной системе координат, перемещающейся поступательно с постоянной скоростью v0. Тогда в начальный момент времени скорость ракеты равна нулю и кинетическая энергия системы равна нулю. Будем следить за частицами, которые при Г = 0 находились в ракете. В момент времени t полная кинетическая энергия исходной системы материальных точек представима в следующем виде:

Г = |т(0У2+АГ,

где АГ > 0 - кинетическая энергия выброшенных частиц.

В нашей задаче внешних сил нет, и работа внешних сил равна нулю. Следовательно, изменение кинетической энергии обусловлено исключительно внутренними силами.

Интересно проследить, что же происходит с законом сохранения энергии. Конечно, он выполняется, но аккуратное рассмотрение этого вопроса выводит нас за рамки моделей теоретической механики. В обычных для наших дней ракетах выбрасываемая масса является топливом, и приращение кинетической энергии движения ракеты и выброшенных частиц происходит за счет химической энергии, заключенной в топливе. При сгорании топливо превращается в газ высокой температуры и давления (химическая энергия переходит во внутреннюю (не механическую) энергию этого газа). С помощью специального устройства (сопла) внутренняя энергия газа (т.е. энергия хаотического движения молекул) преобразуется в энергию направленного движения ракеты и выброшенных частиц (т.е. в их кинетическую энер-

гию). Все очень сложно. Но для рассмотрения задач в рамках теоретической механики необходимо знать только одно число: модуль вектора и. Эту величину называют скоростью истечения. Она может, в частности, определяться экспериментально. Эта величина в ракетах, о которых мы сейчас говорим, зависит от конструкции двигателя и используемого топлива. Для ориентировки в порядке величин следует отметить, что в современных ракетах величина |и| достигает 3-4 км/с. Предел как раз и определяется общим законом сохранения энергии. Если через Ае обозначить полную химическую энергию, первоначально заключенную в выбрасываемой массе газа Ат, то справедливо неравенство

^-Am|u|2 < Ае.

Кинетическая энергия выбрасываемых частиц не может превосходить запас химической энергии, заключенной в топливе. В химических ракетах топливо одновременно играет роль и носителя массы, которую нужно выбрасывать, и носителя энергии.

Сейчас разрабатываются двигатели другого типа, в которых принципиально можно получить практически произвольные скорости истечения. В этих двигателях энергия к выбрасываемым частицам подводится от не связанного с ними источника. Для этого можно использовать атомную установку или энергию солнечного излучения. Как следует из (12), для больших |и|

т0

ту же скорость w можно достичь при меньшем ——, т.е. при

меньшем запасе выбрасываемой массы.

Вернемся к формуле Циолковского. Из этой формулы следует, что скорость, которую может набрать ракета, зависит (при u = const) только от количества выброшенной массы.

Из (12) следует, что w —> оо при т^ —> 0, т.е. достаточно малой массе можно сообщить сколь угодно большую скорость. Теоретически это верно, однако практически это реализовать нельзя. Обозначим через тк сумму масс двигательной установки и баков, в которых первоначально заключено топливо. Эту массу технически невозможно отбросить со скоростью |и|. Поэтому при сжигании всего топлива, заключенного в баках ракеты, ее масса будет равна тк. Отсюда получаем предельную скорость wnp, которую можно достичь одноступенчатой ракетой:

Так как для хранения первоначальной массы топлива тт всегда необходима пропорциональная тт масса баков, то существует предел отношения m0/mK. В лучших современных ракетах эта величина не превосходит 7-^9. Это чисто техническое ограничение (теоретически можно было предположить, что материал, из которого сделана конструкция баков, имеет сколь угодно малую массу) порождает предел кажущейся скорости, которую можно достичь одноступенчатой ракетой.

Идею многоступенчатых ракет проще всего пояснить на следующей модели. Мы не можем отбрасывать конструкцию с относительной скоростью |и|. Давайте предположим (в модели все возможно), что конструкция отбрасывается непрерывно, по мере расхода топлива, с нулевой относительной скоростью. Предположим, что из отброшенной за время At массы Ат часть Am! = (1 - а)Ат выбрасывается со скоростью и, а часть Ат2 = = осАт отбрасывается с нулевой скоростью (0 < а < 1). В этой модели мы придем к уравнению

^v = u(l-a)^M+FW (^

dt т dt

и в случае движения в свободном пространстве с постоянной скоростью истечения

w — |и|(1 — ос) In —-^—.

1 1m(0

Упражнение. Выведите уравнение (*).

Рис. 56Рис. 56Множитель (1 - ос) как бы уменьшает скорость истечения. Однако отбрасывая конструкцию, можно конечную массу m(t) сделать достаточно малой и этой достаточно малой оставшейся массе m(t) сообщить достаточно большую скорость w^tY

Рис. 56

Рис. 56

На самом деле реализация указанной идеи в современных ракетах происходит следующим дискретным образом.

Строятся ^-ступенчатые ракеты (рис. 56). После того как топливо первой ступени израсходовано, баки, в которых было заключено топливо, а часто и двигатели этой ступени, отбрасываются с нулевой относительной скоростью. В этот момент оставшиеся

ступени уже имеют начальную скорость v0 = vb а задача дальнейшего разгона, как принято говорить, сводится к предыдущей задаче, т.е. к задаче разгона (£-1)-ступенчатой ракеты.

Вертикальный подъем ракеты в однородном поле тяжести

Предположим, что ракета движется вблизи поверхности Земли. Учтем влияние силы тяжести на ракету. Мы пренебрежем изменением ускорения силы тяжести в процессе разгона ракеты, считая, что за время разгона координаты ракеты изменяются мало по сравнению с радиусом Земли. Тогда F(e) = m(Z)g, где Igl - ускорение силы тяжести, которое будем считать постоянным Igl - 9,8 м/с2.

Уравнения движения ракеты в этом случае имеют вид

(3.9.13)(3.9.13)Г3^птп^итттттгРис. 57Г3^птп^итттттгРис. 57dv u dm

(3.9.13)

(3.9.13)

Г3^птп^итттттг

Рис. 57

Г3^птп^итттттг

Рис. 57

— =+ g.

dt m dt

Предположим, что вектор u коллинеарен g (ракета поднимается вертикально с нулевой начальной скоростью) и lul = const. Запишем (13) в проекции на орт ез (рис. 57):

(3.9.14)(3.9.14)d vu \ dm . .

(3.9.14)

(3.9.14)

———1I g I •

dtт dt

Из (14) непосредственно видно, что ракета мо

жет подниматься, если только реактивное ускорение по величине больше ускорения силы тяжести:

_И^>|8|

m dt

Решение (14) имеет вид

(3.9.15)(3.9.15)|v(f)|=|u|lni-|g|f,m^t)

(3.9.15)

(3.9.15)

где t - время разгона ракеты, т0 - масса ракеты при t = 0. Из формулы (15) следует, что набранная скорость зависит не только от количества выброшенной массы, но и от времени разгона. Зафиксируем конечную скорость I у(01. Тогда если увеличивать реактивное ускорение Gp, например, за счет более интенсивного выброса массы, то время ^у| достижения скорости Ivl будет меньше и тем самым потери в скорости Igk уменьшатся, т.е. ту же конечную скорость можно будет набрать при меньшем расходе массы топлива.

Если Gp —> ©о, то t|V| —> 0, и в пределе мы придем вновь к закону набора скорости в свободном пространстве, определяемом только расходом массы.

Тензор инерции

Рассмотрим систему материальных точек (г^, т^ i= 1, 2,..., TV, положение которых относительно репера Е = (еь е2, е3) определяется координатными векторами г/ = (г/, Г^ r^Y

Радиус-вектор центра масс г* этой системы

(3.10.1)

является некоторой интегральной характеристикой распределения масс относительно репера Е. В дальнейшем нам потребуется иметь дело с другими величинами того же типа. Мы введем эти величины формально, а затем проанализируем их физический смысл.

Как известно (см. § 2.1), каждому вектору R3 можно поставить в соответствие кососимметрическую матрицу третьего порядка. Обозначим через R; такую матрицу, которая соответствует координатному вектору z-й материальной точки (rz о Rz):

(3.10.2)

Квадрат матрицы R^ - симметрическая матрица, которую можно (см. (2.1.6)) представить в следующем виде:

(3.10.3)(3.10.3)R3 = _|Г.|2/ + Г.Г.Т?

(3.10.3)

(3.10.3)

где 1 - единичная матрица размера 3x3, lrzl - длина вектора rz, а г^7 - диада:

Определение. Тензором инерции системы материальных точек относительно репера Е называется матрица третьего порядка J, определяемая следующей формулой:

N

1 = -^т}Г,(3.10.4)

Z =1где пр - масса z-й материальной точки.

Обозначим:

N

Jo =Xm<lr'|2-(3.10.5)

Z=1

Определение. Скалярную величину j0 будем называть моментом инерции системы относительно начала репера Е.

Подставляя (3) в (4), получим другое представление для тензора инерции J:

J = UD = W-b(з.ю.б)

где

j = ^miY^.(3.10.7)

Z=1

Определения.

Элементы матрицы j = (7^) при к^т называются центробежными моментами инерции системы относительно репера Е;

А. =К’ = -j"■(З.10.8)

z =1

Диагональные элементы тензора инерции Jk. к = 1, 2, 3, называются моментами инерции системы относительно к-й оси репера Е (или относительно прямой, определяемой ортом ек репера Е). Из (6) и (7) непосредственно следует:

Jk-E-Jt(3.10.9)

где jk - диагональные элементы матрицы j. Или более подробно:

^f^to2)^3)2],(3.10.10)

Z=1

А=У mi to3 )2 + Vi )2 l А=У mi К')1 )2 + ('i2 )2 ] • Z =1Z=1

хЧх = Jo I X I2 -x'jx.хЧх = Jo I X I2 -x'jx.Отметим некоторые свойства тензора инерции: 1°. 7- симметрическая матрица размера 3x3. 2°. Лемма. J- неотрицательно-определенная матрица. Доказательство. Пусть хе R3 - произвольный вектор. Согласно (6),

хЧх = Jo I X I2 -x'jx.

хЧх = Jo I X I2 -x'jx.

Используя (7), получим

NN

х^jx-"^miXIYiYix-^4mi^ Yi} ’

Z=1Z=1

где (•, •) - скалярное произведение в R3.

Воспользуемся неравенством Коши-Буняковского (х, г.)2 ^ ^| х |2| г- |2 для получения следующей оценки:

Хтух ^| х I2 |Г; |2 = | X I2 j0.

Z =1

Отсюда следует х Vx ^ 0.

Нетрудно усмотреть, что знак равенства в последнем соотношении возможен только при условии линейной зависимости вектора х с каждым вектором rz системы. Поэтому если материальные точки не лежат на одной прямой, проходящей через начало репера Е, то 7 - положительно-определенная матрица.

3°. Момент инерции относительно ^-й оси равен сумме (по всем точкам системы) произведений массы точки на квадрат ее расстояния от прямой, определяемой k-м ортом Е. Это непосредственно следует из (10).

4°. Справедливо равенство

З^Лц^р^ру(3.10.11)

Доказательство сразу следует с использованием (5) и (10).

Элементы тензора инерции определяются значениями функций

/ = /(Г1;Г2, ..„Y^

координат радиусов-векторов материальных точек системы. Поэтому тензор инерции системы зависит от того, относительно какого репера задается положение материальных точек. Проанализируем эту зависимость.

5°. Пусть репер Еа получен параллельным переносом Е на вектор а.

Обозначим: а - координаты относительно Е, г{ - координаты радиуса-вектора z-й точки относительно Еа.

В рассматриваемом случае справедливо равенство

г. +а.(3.10.12)

Подставим (12) в выражение для j0 (5):

NN

Jo =^mi |^+a|2=^m/(|^|2+2<^,a) + |a|2

Z =1Z=1

ЗдесьЗдесь11mm= 70 + 2m (r*,a) + m |a|2 .(3.10.13)

Здесь

Здесь

1

1

m

m

N

y^rimi - радиус-вектор центра масс системы

относительно репера Еа.

Аналогично вычислим j^ (2):

Jk = У^)2 = Ут^гк W)2 =

= J* + 2m W *m\dky. (3.10.14)

Предположим теперь, что начало репера Еа помещено в центре масс системы. Тогда г* = 0. Подставляя (13) и (14) (при г = 0) в (9), получим

Jkk =j0-jk+m^\a\2-(akf\ откуда

Jk=Jk+mdl,(3.10.15)

где d^ =| a |2 -(a^)2 - квадрат расстояния между прямыми, определяемыми ^-ми ортами реперов Е и Еа.

Определение. Любую прямую, проходящую через центр масс системы материальных точек, будем называть центральной осью системы.

В предыдущем анализе репер Е был произвольный. Поэтому соотношение (15) содержит доказательство утверждения теоремы Штейнера (или Гюйгенса-Штейнера):

Момент инерции относительно произвольной оси равен моменту инерции относительно параллельной ей центральной оси плюс произведение массы всей системы на квадрат расстояния между этими прямыми.

Этот результат эффективно используется при конкретных вычислениях осевых моментов инерции.

Следствие. Момент инерции системы относительно

центральной оси меньше момента инерции относительно любой другой оси, ей параллельной.

6°. Пусть теперь репер Е получается из Е с помощью поворота, определяемого с матрицей Л: Е—^>Е. Пусть rz и г; - координатные векторы z-й материальной точки относительно реперов Е и Е соответственно. Нам известно, что

(3.10.16)(3.10.16)(3.10.17)(3.10.18)(3.10.19)(3.10.17)(3.10.18)(3.10.19)г. = Атг..

(3.10.16)

(3.10.16)

(3.10.17)

(3.10.18)

(3.10.19)

(3.10.17)

(3.10.18)

(3.10.19)

Подставляя (16) в (5) и (7), получим:

j = ^m^r^A = АТ jA,

Z =1

jo = ^^,|^Г = XWM = j0-

Z=1Z=1

Подставив (17) и (16) в (6), найдем

J = io1-^ iA-

Обозначим через J тензор инерции относительно репера Е. J = = jj - j. Из (19) следует

J = AJAT. (3.10.20)

Собственно справедливость формулы (20) при любых ортогональных преобразованиях репера, определяемого матрицей А, и оправдывает название матрицы J тензором. В частности, из формулы (20) следует, что для любых векторов х, у е R3 скалярная функция - билинейная форма:

/ = хт7у = (х, 7у) = <7х, у)

инвариантна при любых ортогональных преобразованиях репера. Действительно, рассмотрим преобразование Е —^—> Е, тогда х = Атх, у = А ' у. Поэтому /= x'AJA'y = х1 J у. Таким образом, функция/имеет один и тот же вид в любой ортонормированной системе координат.

Теорема. Всегда можно с помощью преобразования поворота получить репер Е, относительно которого тензор инерции является диагональной матрицей с диагональными элементами, большими или равными нулю.

Доказательство этого утверждения основано на доказанной неотрицательной определенности тензора инерции и

известной теореме алгебры: Вещественная симметрическая матрица всегда вещественно и ортогонально подобна диагональной матрице. Неотрицательность диагональных элементов следует из неотрицательной определенности матрицы J. (Если матрица J положительно определена, то все диагональные элементы будут больше нуля.)

Определение. Если относительно репера Е тензор инерции определяется диагональной матрицей, то прямые, определяемые ортами е^ репера £, называются главными осями инерции системы для точки начала Е. Если к тому же начало репера Е помещено в центре масс системы, то его орты определяют главные центральные оси системы.

Условимся об обозначениях. Если орты репера Е расположены по главным осям инерции системы, то моменты инерции относительно z-й оси (диагональные элементы матрицы J) будем обозначать Jb Лъ J3 соответственно.

Пусть v =Пусть v =Так как в предыдущем рассмотрении начало репера было расположено в произвольной точке пространства, то тем самым для каждой точки можно указать три взаимно перпендикулярные прямые, являющиеся главными осями системы для данной точки. При этом для различных точек главные оси, вообще говоря, не параллельны. Если тензор инерции относительно Е известен, то из соотношения (20), в частности, вытекает способ вычисления момента инерции относительно произвольной оси (прямой), проходящей через начало репера Е.

Пусть v =

Пусть v =

- координаты единичного вектора (Ivl = 1),

направленного по этой прямой. Обозначим искомый момент через Jv. Без ограничения общности можем полагать, что v - координаты первого орта ёх репера Е. В этом случае первая строка матрицы А совпадает с vT. Момент инерции относительно ё1? т.е. относительно рассматриваемой оси, есть первый диаго

нальный элемент матрицы J:

(3.10.21)(3.10.22)(3.10.21)(3.10.22)Jv = J^ = vT Jv = (v, Jn\ Или, более подробно,

(3.10.21)

(3.10.22)

(3.10.21)

(3.10.22)

л =fi>vy.

k=l / = 1

Если репер E был ориентирован по главным осям, то (р = 0 при

12. М.Л. Лидов

i ^ к) нi ^ к) н

i ^ к) н

i ^ к) н

(3.10.23)(3.10.23)j« =1УУг

(3.10.23)

(3.10.23)

Замечание. Элементы тензора инерции для системы материальных точек определяются суммами следующего вида:

з

5 = ^т,Ф(^).

Z =1

Для тела с непрерывным распределением массы плотностью р (г) в области V е R3 такие характеристики (как мы уже пояснили в § 1.8) вычисляются с помощью интегралов по области V:

5 = J Ф(г)б?т = JJj^OWW-dV=dkdr2dr3

Примеры.

Г. Момент инерции однородного шара относительно его центра. Пусть М и R - масса и радиус шара. С использованием условия однородности (Эр/Эг = 0, или р = const) следующий интеграл легко вычисляется:

RZL

>о = JJJlrl2P^ = 4npJ|r|2 |г|2 б?|г| = -тгр7?5 =

о5

= — pR3—R2 = —MR2.

355

2°. Момент инерции однородного шара относительно центральной оси. В силу симметрии J^ = Д = J^. Согласно (11), J\ + + Р+Р =3р = 2j0.

Таким образом, J\Таким образом, J\22.

Таким образом, J\

Таким образом, J\

—j0=—MR2. 3 0 5

Рис. 58Рис. 583°. Момент инерции шара относительно прямой, его касающейся (рис. 58). Согласно теореме Штейнера,

Рис. 58

Рис. 58

27

Р = J1. + MR2 = -MR2 + MR2 = -MR2.

А ‘55

Упражнение. Покажите, что для однородного шара центробежные моменты инерции относительно репера, связанного с его центром, равны нулю.

L3f 2 , Р^= рх ах =Г 3L3f 2 , Р^= рх ах =Г 34°. Момент инерции однородной палочки длиной L относительно перпердикулярной оси (рис. 59). Пусть р - плотность на единицу длины. Тогда

L3

f 2 , Р^

= рх ах =

Г 3

L3

f 2 , Р^

= рх ах =

Г 3

г А Аг А А= ^Р =-мР,

г А А

г А А

23

О

Рис. 59Рис. 59где М - масса палочки.

Рис. 59

Рис. 59

Для вычисления момента инерции относительно центральной оси ВВ, параллельной АА, используем теорему Штейнера:

( т А2

JA=JB + м[^1 •

Уравнения движения твердого телаА. Свободное тело

Будем называть твердое тело свободным, если движение его материальных точек не ограничено никакими связями кроме связей, обеспечивающих сохранение его твердости (расстояние между любыми двумя точками не изменяется). Воспользуемся теоремами об изменении количества движения и момента количества движения для вывода уравнений движения свободного твердого тела.

Пусть Е - абсолютный репер, Е - репер Кёнига (репер, связанный с центром масс твердого тела, и ортами, соответственно параллельными ортам репера Е). Пусть Е - репер, жестко связанный с твердым телом, с началом в центре масс нА- матрица преобразования Е—^>Ё. Будем использовать обозначения:

т - масса твердого тела;

г*, v* - координаты радиуса-вектора и вектора скорости центра масс твердого тела относительно репера E<V =dV4dtY

r^ vi - координаты и компоненты вектора скорости твердого тела относительно репера Кёнига (3- L 2, ..., АО;

г., у. - проекции векторов r^ vi на орты репера Е:

f. = Аг^ у. = А у. (у. ^ dri / dt при dA! dt Ф 0).

Движение твердого тела будет известным, если в каждый момент времени t мы будем знать г(г) и А(^).

12*

Пусть Р - вектор количества движения твердого тела относительно репера Е:

Р = ^ ^zvz

Z =1

Так как твердое тело свободно, то можно применить теорему об изменении количества движения системы:

d»dV*d2r* м

dt dt dt

где F(e) e R3 - сумма внешних сил, действующих на материальные точки твердого тела.

Уравнение (1) определяет движение центра масс твердого тела.

Воспользуемся теперь теоремой (3.6.17) об изменении момента количества движения системы К относительно репера Кёнига. Согласно определению,

N

K = ^m,[^, V,].(3.11.2)

Z =1

Так как свободное твердое тело допускает произвольное вращение относительно репера Кёнига, то

— = MW,(3.11.3)

dt

N

где М(е) =^[^., Е^] - сумма моментов внешних сил (относи- z = l

тельно начала репера Е), действующих на материальные точки твердого тела.

Лемма 1. О представлении момента количества движения твердого тела. Обозначим через К - момент количества движения системы относительно репера Кёнига в проекциях на орты репера Е, жестко связанного с твердым телом и началом в центре масс: К =АК. Справедливо представление

со w2 w3со w2 w3к = Ж

со w2 w3

со w2 w3

где J - тензор инерции относительно репера Е, со =

проекции вектора угловой скорости твердого тела на орты репера Е.

Доказательство. Согласно основному соотношению кинематики твердого тела (2.5.1),

v,=[w, 5],

где со - угловая скорость вращения Е относительно Е (проекции на орты репера Е\ Дополнительное слагаемое отсутствует, так как начало репера Е связано с точкой твердого тела. Подставив это соотношение в (2), получим

N

К = ^ т-[^, [to, г;]].(3.11.4)

Z =1

Это - векторное равенство, и мы можем записать его в проекциях на орты репера Е. В результате будем иметь

К = ^ m,[f,., [м, г,]],(3.11.5)

Z=1

где

К = АК, со = Асо.(3.11.6)

Преобразуем двойное векторное произведение, используя представление векторного произведения в матричном виде:

[f„ [го, ?, ]] = -[?, , ft, to]] = -R,2 w,

где R{ - кососимметрическая матрица, соответствующая вектору f.. Подставив последнее равенство в (5), получим:

К =К =N>-^ тД^ со = /со,N>-^ тД^ со = /со,(3.11.7)(3.11.7)

К =

К =

N>

-^ тД^ со = /со,

N>

-^ тД^ со = /со,

(3.11.7)

(3.11.7)

(3.11.8)(3.11.9)(3.11.8)(3.11.9)

(3.11.8)

(3.11.9)

(3.11.8)

(3.11.9)

где J - тензор инерции относительно репера Е. Так как репер Е жестко связан с твердым телом, то J не изменяется с течением времени.

Проектируя (7) на орты репера Кёнига, находим

К = АтК = Ат/со.

Подставим К в виде (8) в (3):

Ж . т ~ dw dAT ~ ~ = A J+/со + М(е).

dt dt dt

Так как det А Ф 0, то мы можем получить эквивалентную систему уравнений, умножив (9) на А. В результате получим

(3.11.10)(3.11.10)~d&dA" ~ ~Ux

(3.11.10)

(3.11.10)

J + АЛо = М(),

dtdt

где М(е) = АМ(е) - координаты вектора момента внешних сил в проекциях на орты репера Е.

Воспользуемся тождеством

(3.11.11)(3.11.11). dAT . dAT . .т л л т АА= ААА = AQA = Q,dt dt

(3.11.11)

(3.11.11)

где Q - кососимметрическая матрица, соответствующая вектору со (Q со) и аналогично Q со. Представим Q./co в виде векторного произведения:

(3.11.12)(3.11.12)Q./co = |co. /Л].

(3.11.12)

(3.11.12)

Используя (11) и (12), уравнения (10) можно записать в следующем виде:

J —+ [w, Ло] = М(е).(3.11.13)

dt

Предположим, что приложенные к твердому телу внешние силы F(e) и моменты сил М(е) не зависят от ориентации твердого тела (репера Е) относительно Е. Они могут зависеть от времени и компонентов вектора угловой скорости Л и векторов положения г* и скорости у* его центра масс. В этом случае система уравнений (1)и(13)- замкнутая система трех уравнений второго порядка (1) и трех уравнений первого порядка (13). Эти уравнения при заданных начальных данных можно проинтегрировать и найти г:(0 и &(t) как функции времени. Для того чтобы определить ориентацию твердого тела (репера Е) относительно репера Е (или Е), можно воспользоваться кинематическими уравнениями Эйлера, которые мы вывели в § 2.8. Эти уравнения имеют вид

=«>Х(3.11.14)

dt

гдегде- трехмерный вектор, компоненты которого суть

где

где

углы Эйлера \|/, 9, ф.

Проинтегрировав эти уравнения, мы определим зависимость у от времени и тем самым найдем матрицу

А(Г) = П(3, ф (Г)) П (1, 9 (О)П(З, v ©)•

Если силы (или моменты сил) зависят от ориентации Е относительно Е (иначе: от матрицы А или углов Эйлера), то систему уравнений (1), (13) и (14) необходимо решать совместно.

Замечание. В приведенных выше рассуждениях мы предполагали, что твердое тело не вырождается в палочку или точку (det J Ф 0) и уравнения (13) можно разрешить относительно производных по времени:

— = ф(ю, M(e)Vdt ''

Мы не будем сейчас останавливаться на специальных случаях det J = 0, которые разберем в дальнейшем при анализе движения твердого тела.

Б. Твердое тело с закрепленной точкой

Пусть теперь одна точка О твердого тела закреплена (она неподвижна относительно £) так, что твердое тело может совершать произвольные повороты относительно этой точки. Реализация такой связи достигается с помощью специального приспособления, называемого шарниром. Можно (и удобно) считать, что начало абсолютного репера Е совпадает с точкой О. Пусть репер Е жестко связан с твердым телом и его начало также расположено в точке О (это не обязательно центр масс твердого тела). Пусть А - матрица поворота: Е—^-^Е. Так как связи допускают произвольные повороты системы как твердого тела, то справедлива теорема об изменении момента количества движения

— = М(г),(3.11.15)

dt

N

где K = ^mz.[r/9 vj - момент количества движения твердого z = l

тела относительно репера Е.

Теперь можно провести все рассуждения и всю процедуру, записанную соотношениями (2)-(13), которая приводит нас к уравнениям движения твердого тела (13). Единственное формальное отличие состоит в том, что во всех этих соотношениях

можно убрать черту над буквами, так как в рассматриваемом случае Е и Е тождественны. Тем самым уравнения движения твердого тела с закрепленной точкой есть уравнения (13). Еще раз напомним, что в случае Б начало репера совпадает с неподвижной точкой О, а не с центром масс твердого тела, как в случае А.

Уравнения Эйлера

В обоих рассмотренных случаях в большинстве задач ничто нам не мешает выбрать репер Е ориентированным по главным осям инерции центра масс. Тогда тензор инерции будет иметь вид

0

0 '

J =

0

J2

0

.(3.11.16)

,о

0

Г

При этом

( т Al А 7tC0

'(А-А)

~ 2 ~ ЗА

СО СО

7<о =

72cb2

, [со, 7со] =

(71 — 73)

со3^1

(Аю )

(72 -7^

О)1©2

В этом случае в скалярной форме уравнения (13) запишутся в следующем виде:

71 гг+_ 72 ^2“3=^i<e)’

(3.11.17)(3.11.17)72 ^Г + ^" ^ю3®1 = А^~+(А -Jd^to2 = М^\

(3.11.17)

(3.11.17)

где М^ - проекция результирующего момента сил на z-й орт репера Е.

Это знаменитые уравнения Эйлера. Заметим, что в литературе более распространены следующие обозначения:

О)1 = р, СО2 = q. 6)3 = г,

(3.11.18)

J^ — A, J2 — В, Jg — С.

Из формулы (7) в случае, когда J - диагональная матрица,

вытекают следующие формулы для проекций вектора кинетического момента К (относительно репера Кёнига или неподвижной точки) на главные оси инерции:

K^J^1, K2=J^. K3 = J3(b3 или, в более распространенных обозначениях,

К^Ар, K2=Bq. К3=Сг.

В. Вращение твердого тела вокруг неизменной оси

Рассмотрим вновь движение твердого тела. Предположим, что связи идеальны и допускают только поворот твердого тела вокруг фиксированной прямой. Для упрощения дальнейших формул предположим, что начало репера Е находится на этой прямой, а орт е3 направлен вдоль этой прямой (рис. 60).

Так как, по предположению, связи допускают ( поворот твердого тела относительно прямой, г определяемой ортом е3, то для системы мате- рис б0 риальных точек, образующих твердое тело,'

справедлива теорема об изменении проекции вектора кинетического момента:

dtdt(3.11.19)

dt

dt

где К3 и М^ - третьи компоненты вектора кинетического момента и момента внешних сил. Пусть репер Е жестко связан с твердым телом. В рассматриваемом случае удобно выбрать Е так, чтобы орт ё3 совпадал с ортом е3. Так как точки твердого тела, находящиеся на оси, не изменяют своего положения в пространстве, это возможно. В этом случае

К3 = К3 = (е3, К)=(ё3, Jw\ (3.11.20)

Рис. 61относительно ЕРис. 61относительно ЕДля получения последнего равенства надо воспользоваться формулой (7). Обозначим через у угол между ортами ej и ёх (рис. 61). В рассматриваемом случае движение репера Е

Рис. 61

относительно Е

Рис. 61

относительно Е

сводится к простому повороту вокруг общей оси е3 = ё3 = 0

Таким образом, матрица преобразования Е^ Е есть матрица простого поворота П(3, у) (см. § 2.8). Следовательно, вектор угловой скорости

= (3.11.21) dt 3

Из (20) и (21) получим

К3 = ^, Л^31 = рЗГ (3.11.22) dt dt

где Jg - момент инерции твердого тела относительно закрепленной оси. Это не обязательно главная ось инерции. Подставляя (22) в (19), получим уравнение, определяющее изменение угла у в зависимости от времени:

= (3.11.23)

Упражнение. Попробуйте составить уравнение движения твердого тела в случае, когда связи допускают поворот твердого тела вокруг постоянной оси и движение этого тела в направлении, определяемом этой осью. Эта задача требует самостоятельного анализа.

Замечание L Пусть внешние силы заданы как функции г*, у* времени t. Если мы интересуемся только движением центра масс свободного твердого тела, то нам необходимо знать только одну его характеристику - массу, несмотря на огромное разнообразие различных твердых тел (и их моделей). То есть с точки зрения изучения движения центра масс такая задача оказывается подобной задаче о движении материальной точки.

Для полного описания движения твердого тела (если моменты сил отсутствуют или заданы как функции г*, v*, t, w, (р, 9, \|/), как следует из уравнений Эйлера, необходимо знать еще три числа - моменты инерции тела относительно главных осей. То есть с точки зрения динамики свободного движения все многообразие твердых тел четырехмерно. Для задачи с одной закрепленной точкой любое конкретное твердое тело может быть охарактеризовано тремя числами.

Если мы будем, например, рассматривать движение твердого тела в ньютоновском поле какой-либо гравитирующей точки, то результирующие силы и моменты сил могут зависеть при точном формальном описании этой задачи от бесконечного числа постоянных параметров, отражающих существенные для задачи свойства данного твердого тела как системы гравитирующих точек.

Замечание 2. В этом параграфе с использованием общих теорем механики были выведены уравнения движения твердого тела. Анализ движения твердого тела будет проведен в дальнейшем.

Кинетическая энергия твердого тела

Сейчас мы получим формулы для кинетической энергии твердого тела. В дальнейшем они будут неоднократно использоваться. Как и выше, будем рассматривать два случая:

А) Движение свободного твердого тела относительно абсолютного репераЕ.

Б) Движение твердого тела с закрепленной точкой. При этом будем оперировать введенными в этом параграфе понятиями и обозначениями. Для случая А): Е - репер Кёнига, а Е - репер, жестко связанный с твердым телом. Начало реперов Е и Е совпадает с центром масс тела. В случае Б) начало реперов Е и Е находится в точке закрепления О.

Рассмотрим сначала случай А). По теореме Кёнига (см. (3.6.19)) кинетическая энергия движения твердого тела может быть представлена в следующем виде:

Г = Г + |т* |v* |2,(3.11.24)

где тп - масса твердого тела, v* - скорость его центра масс,

T^l m,. I V;. I2(3.11.25)

- кинетическая энергия движения относительно репера Кёнига.

Лемма 2. О представлении кинетической энергии твердого тела относительно репера Кёнига. Справедливо представление

Т=1<аЧм,(3.11.26)

где J - тензор инерции относительно репера Е;

Л - проекции угловой скорости относительно Е на орты репера Е.

Для доказательства воспользуемся известным представлением V-:

vz=[<o, 5].(3.11.27)

Последнее векторное равенство можно записать в проекциях на

орты репера Е, а затем представить его в виде произведения матриц:

у. = Ay. = [<о, f.] = -[r., m^-R^,(3.11.28)

где Rt - кососимметрическая матрица, соответствующая вектору г-. Отсюда

| v |2 = | yz |2 = yzTyz = ^R^R^, где

v, |2 =-ытА(2ы.(3.11.29)

Подставляя полученное представление для | у. |2 в (25), получим следующее выражение для кинетической энергии Т:

T =(3.11.26)

где J - тензор инерции относительно репера Е. Выражение для полной кинетической энергии Т в случае А) будет иметь вид

Г =-ItoVco+ -lm* | V* |2 .(3.11.30)

В случае Б) имеет место соотношение

V, =[<o, rj.(3.11.31)

Проводя все преобразования, аналогичные (27)-(30) (в формулах не будет черты), получим выражение для полной кинетической энергии

Т = Гх'1м.(3.11.32)

Если орты репера Е ориентированы по главным осям инерции, то (32) после умножения матриц примет следующий вид:

r = |[j1(w1)2+/2(w2)2+J3(w3)2](3.11.33)

или, в более распространенных обозначениях,

T = 3^Ap2 + Bq2+Cr2Y(3.11.33')

В точно такой же форме представимо выражение (26) для кинетической энергии Т относительно репера Кёнига, если репер Е ориентирован по главным осям инерции. Следует только

помнить, что в случае A) 1Ь Зъ J3 - это моменты инерции относительно главных центральных осей, проходящих через неподвижную точку О, относительно которой вращается твердое тело.

Замечание. Формулой (26) можно воспользоваться и для случая движения твердого тела вокруг фиксированной оси. Если ось

вращения определяется ортом е3 = ё3, то Фт = О 0 — .Из (26) V dt)

получим

1122(3.11.34)(3.11.34)

1

1

2

2

(3.11.34)

(3.11.34)

Глава 4

Вариационный принцип Гамильтонаи уравнения движенияв форме Лагранжа и Аппеля.

Некоторые интегрируемые задачи.Силы инерции

. Некоторые леммы вариационного исчисления

Обозначим: Jt = Д, t^) - открытый интервал вещественной прямой, Jt = [Z), Z2] - замкнутый интервал, Ф: 7? —> RN, ^ :Jt^ -^ RN - два непрерывных отображения в вещественное ^мерное евклидово пространство, осуществляемые вектор-функция- ми Ф(Г) и g(r). Будем обозначать (Ф(0? 6(0) - скалярное произведение векторов Ф(г) и ^(г) в RN. Будем писать § е С\ если отображение § имеет непрерывные производные по t порядка т включительно.

Ниже мы будем ссылаться на существование для любого 8 > 0 отображения a: Jt —> R, определяемого следующей функцией:

(рис. 62). Очевидно, что а (А г*, 5) е С°°, а (А г*, 5) > 0 при \t-t*\ < 5.

Лемма 1. Рассмотрим множество G отображений ^, удовлетворяющих условиям:

е (?(т - заданное целое число); 2) § (^) = § (Г2) = 0.

Утверждение. Если для любого § е G и любого t е Jt № = (Ф (г), g (0) = о, то Ф(0 = 0 при teL

Доказательство. Обозначим через Ф^О г-йкомпонент Ф(0. Предположим, что при некотором t* е Jt Ф^*) ^ 0. Выберем достаточно малое 5 > 0 (так, чтобы (Г ± 5) е Jt) и построим следующее отображение ^(z):

j * i, j = i-

Очевидно, § е G и

W\ W^WW\t\ 8)^0.

Мы пришли к противоречию. Из условия Ф(7) = 0 на Jt и непрерывности Ф (Г) на Jt следует: Ф(7) = 0 на 7Г

Лtx t*- 6 /*+ 6 t2Рис. 62Лtx t*- 6 /*+ 6 t2Рис. 62Лемма 2. Рассмотрим множество GD отображений ^, удовлетворяющих условиям леммы 1 и следующему дополнительному условию: при каждом t е Jt i^t)e De RN, где D - (N-камерное подпространство RN, 0 ^ к < N.

Л

tx t*- 6 /*+ 6 t2

Рис. 62

Л

tx t*- 6 /*+ 6 t2

Рис. 62

В координатном представлении это условие можно записать в следующем виде:

в№0,

где B(t) - матрица размера kxN; ранг В равен к, элементы матрицы B(t) достаточно гладкие функции.

Рассмотрим линейный функционал

«(€) = / <Ф(0,

Утверждение. Если а = 0 для любого § е G^ то (Ф(0> €(0) - 0 Для всех £> Е GD и всех t е Jt.

Доказательство. Предположим, что существует отображение § е Gd такое, что при некотором f е Jt (Ф(^*), §*(О)> 0- Тогда из непрерывности Ф(0, ^(0 следует, что существует такое 8 > 0, что (Ф(0, £*(0) > 0 при ^ - Т < 8 I.

Определим отображение ^: ^ = а(г, Г. й^^Х где а определено (1), 0 < 8*8 и f ± 8* е Jt. Очевидно, ^(t) е Gd. Рас

смотрим интеграл а при § = £,(t):

t2

а(ё) = | (Ф(0, ^)М?= J ^кХ,5*ХФ(г),ё*(0)^-

-8

Из последнего представления очевидно, что а(§)>0. Это противоречие и доказывает утверждение леммы для t е Jt. Из непрерывности (Ф(0, €(0) следует, что (Ф(0, €(0) = 0 на Jt.

Лемма 3. Рассмотрим два интервала вещественной прямой:7? = {^ teR. tx^t^t^.

Jt = ^. TeR, | т |< £, £ > 0}и дважды непрерывно дифференцируемое отображениеу: JtxJ£ ^RN

прямого произведения Jt и Je в RN, определяемое вектор-функ- цией у = у (^ т). Будем предполагать, что для рассматриваемых ниже функций у (t, т):

(ЭуА

определена сложная функция L у, —, tV задающая уЭ^у

отображение JtxJ^^RN;

функция L (у, z, г) - дважды непрерывно дифференцируема по у, z и непрерывно дифференцируема по t.

Рассмотрим интеграл

S = J L\j,^,t\dt.(4.1.2)

ч

Замечание. Здесь dyldt = byfdt. В дальнейшем при дифференцировании сложной функции времени Ф = Ф(у(^ т), z(r, т), г) будем отличать производную по явно входящему времени

ЭФ = lim Ф^М+^-ФС^г)dt ^^оh

от полной производной

dФ ЭФ Эу ЭФ dz ЭФ

dt Эу Эг dz dt dt

При фиксированном отображении у интеграл S (2) является функцией т. Вычислим частную производную Э5/Эт при т = 0.

Утверждение. Справедливо следующее представление:

ччd (ЪГ dt \ dzd (ЪГ dt \ dzdt.dt.(4.1.3)(4.1.3)

ч

ч

d (ЪГ dt \ dz

d (ЪГ dt \ dz

dt.

dt.

(4.1.3)

(4.1.3)

где

dTdTт=0т=0dtdt

dT

dT

т=0

т=0

dt

dt

Доказательство. Дифференцируя (2) по т под знаком интеграла, получим

dS (dL dy dL d f dy Y ,i

— =1 I-Н— lldt(4.1.4)

Эт J ( Эу дт dz дт V dt)) ’

где z = dy/dt. d dy d ду

Воспользуемся равенством=и проинтегрируем вто- дт dt dt дт

dLd/2 dz дт чdLd/2 dz дт чрой член в (4) по частям:

dLd/2 dz дт ч

dLd/2 dz дт ч

[d(dL^dy ,— I\^dt

J dt\ dz ) дт

4

Таким образом, мы пришли к представлению

dS _ dL dy dT dz dTdS _ dL dy dT dz dTdL d (dL^dy

dS _ dL dy dT dz dT

dS _ dL dy dT dz dT

-—- y^dt.

dy dt\dz J J dT

Полагая т = 0 и записывая подынтегральное выражение в виде скалярного произведения, получим формулу (3).

§ 4.2. Эквивалентность вариационногопринципа Гамильтонаи принципа Даламбера-Лагранжа

Будем рассматривать на отрезке времени Jt = [/), t^ движение системы материальных точек (rz, mz), i =1,2, ..., п; v(e R3. Будем использовать сокращенные обозначения

dr

dt'

где г, v, F е R3n; Fz е R3 - вектор силы, действующей на i-ю точку: ¥j=(F4 F^, F^,

13. М.Л. Лидов

ОО

О

О

- диагональная матрица размера ЗпхЗп,

т

составленная из величин масс точек mz.

Предположим, что на систему наложены идеальные независимые связи: к голономных связей

f(r, 0 = 0, fe^f(r, 0 = 0, fe^(4.2.1)(4.2.1)

f(r, 0 = 0, fe^

f(r, 0 = 0, fe^

(4.2.1)

(4.2.1)

и s неголономных линейных по скоростям связей (к + s < Зп)

Bn + Р = 0,(4.2.2)

где v = Эг/Эг, В = В(г, Г) - матрица размера s х Зп, Р = Р(г, Г) е Rs. Согласно определению независимых связей, ранг матрицы

дг(4.2.3)

равен к + s.

Замечание о связях. Связи (2) мы предполагаем неголоном- ными. Все дальнейшие выводы будут справедливы, если (2) содержат и голономные связи, записанные в дифференциальной форме. Однако при решении задач выделение всех голономных связей в соотношение вида (1) целесообразно с точки зрения упрощения анализа задачи.

Рассмотрим отображение г: Jt —> R3n, определяемое вектор- функцией х^У Будем говорить, что отображение г определяет опорную кривую, если при t е Jt функция г(/) удовлетворяет уравнениям связей:

f(r(Z), Г) = 0,(4.2.4)

В(г(0,0^ + Р(г(0,0 = 0.(4.2.5)

dt

В частности, опорной кривой является действительное движение системы, однако опорные кривые могут и не удовлетворять уравнениям движения.

Рассмотрим отображение ^: Jt^R3l\ определяемое век- тор-функцией ^(t). Будем говорить, что ^(Z) - допустимая вектор-функция для данной опорной кривой г (г), если ^(Г) на Jt

удовлетворяет следующим условиям:

dr

ё(0 = 0, г=г(0

(4.2.6)

5(г(0,гЖ0 = 0,

(4.2.7)

^) = ^2) = 0,

(4.2.8)

где r(Z) удовлетворяет (4) и (5).

Замечание 1. Все функции, рассматриваемые здесь и ниже, предполагаются дифференцируемыми достаточное число раз. Отмечая, что некоторая функция произвольна, мы будем подразумевать произвольную достаточно гладкую функцию.

Замечание 2. Если г(0 определяет действительное движение системы, то из условий (6) и (7) следует, что ^(t) - виртуальный вектор.

Лемма. Для произвольной вектор-функции £,(t) (^ER3n,

teJt,^(t)GCm), удовлетворяющей только условиям (6) и (7), можно указать допустимую вектор-функцию ^(Z), которая совпадает с £,(t) на отрезке времени Jt = [^ + 8, Z2 - 8], где 8 > 0 - сколь угодно малое число и ^(Г) g Ст.

Доказательство. Определим на Jt скалярную функцию Р(Г):

tx ^ t ^ tx + 8,tx + 8 < t < г - 8,tx ^ t ^ tx + 8,tx + 8 < t < г - 8,t^ - 8 ^ t ^ г.t^ - 8 ^ t ^ г.

tx ^ t ^ tx + 8,

tx + 8 < t < г - 8,

tx ^ t ^ tx + 8,

tx + 8 < t < г - 8,

t^ - 8 ^ t ^ г.

t^ - 8 ^ t ^ г.

Нетрудно показать, что P(Z) g Cm на J t и Р(^) = P(Z2) = 0. Представим §(/) в виде произведения: ^(Z) = p(t) ^(z). Очевидно, что § g g Cm и удовлетворяет на Jt условиям (6)-(8) и §(/) = ^(z) при tE Jt. Из этой леммы следует, что на открытом интервале Л - (^ь ^2) допустимые вектор-функции суть произвольные вектор-функции, удовлетвоярющие только условиям (6) и (7).

Пусть £ > 0. Рассмотрим интервал J£ вещественных чисел т JE = ^eR, ItI < £} и отображение х* Jt^J^^^3n прямого

произведения интервалов Jt и J£ в R3n. Обозначим через х(^ Г) вектор-функцию, которая задает это отображение. Будем говорить, что отображение х принадлежит множеству допустимых отображений D(r(t)) (х е D (r(Z))), если х(Л т) удовлетворяет следующим условиям:

1°. хР) = Ф), (4.2.9)

где r(f) - опорная кривая, т.е. вектор-функция, удовлетворяющая условиям (4) и (5);

2°.=£р\(4.2.10)

дт т=0

где ^(t) - допустимая для r(f) вектор-функция, т.е. ^(Z) удовлетворяет (6)-(8).

Мы переходим к формулировке принципа Гамильтона. Предположим, что опорная кривая r(t) фиксирована. Предположим, что силы, действующие на материальные точки, заданы как функции координат точек, компонентов вектора скорости и времени:

F = F(r,y,Z), Fe R3\(4.2.11)

Введем обозначения

F(r) = Ffr(r), ^,Л(4.2.12)

V dt )

где г(?) - фиксированная опорная кривая;

*, гНВД, г),(4.2.13)

где (•, •) - скалярное произведение в R3n.

Напомним, что кинетической энергией системы называется следующая квадратичная форма от компонентов векторов скорости точек системы:

T = |vTMv = |(v, Mv).(4.2.14)

Введем следующую скалярную функцию координат, компонентов вектора скорости и времени:

(4.2.15)(4.2.15)Z(r, v, t) = T4-(p(t, г).

(4.2.15)

(4.2.15)

Замечание 3. В дальнейшем нам потребуется вычислять частные производные от L по г и у. Важно понимать, что при этих операциях F(r) рассматривается как функция только времени t и не дифференцируется по г и у.

Рассмотрим на множестве допустимых отображений D(r(/)) функционал

5(Х)= f^^-,t\dt.(4.2.16)

J Vat J

Для каждой вектор-функции х(^ т) е D(r(r)) функционал S есть функция v. S - 5(т).

Теорема. Вариационный принцип Гамильтона. Для того чтобы опорная кривая г(/) определяла действительное движение системы, необходимо и достаточно, чтобы для любого отображения х ^ П(г(^))функционал 5(т) принимал стационарное значение при т = 0, т.е.

= 0(4.2.17)

т=0

ДЛЯ любой xU т) Е D(r(Z)).

Доказательство. Из леммы 3 вариационного исчисле-

Эх

ния (см. § 4.1) и условий (8) и (10) на ^(0-— следует, что дт т=0

Э5 интеграл — ОтЭ5 интеграл — Отd f dL dt I dvd f dL dt I dv(4.2.18)(4.2.18)представим в следующем виде:

Э5 интеграл — От

Э5 интеграл — От

d f dL dt I dv

d f dL dt I dv

(4.2.18)

(4.2.18)

где г = r(r), v =.

dt

Покажем сначала, что для выполнения (17) необходимо и достаточно, чтобы подынтегральное выражение в (18) равнялось нулю при tEJt\

/И,ё(о\=О(4.2.19)

U dr J dt^dN J

dSЭтdSЭтпри произвольной допустимой вектор-функции ^(Z). Достаточность этого условия очевидна. Так как по условиям теоремы

dS

Эт

dS

Эт

= 0 для произвольной х<Л т)е^(г(0Х а следовательно, т=0

для произвольной вектор-функции ^(?), удовлетворяющей на Jt

условиям (6)-(8), то, согласно лемме 2 вариационного исчисления, соотношение (19) необходимо следует из (17).

Из представления L (12)-(15) нетрудно получить следующие соотношения:

vdrJvdrJdф\dr )dф\dr )= F(0,= F(0,YlY<dv.YlY<dv.d (clx= Mn, — — = M—. dt\ dv ) dtd (clx= Mn, — — = M—. dt\ dv ) dt

vdrJ

vdrJ

dф\dr )

dф\dr )

= F(0,

= F(0,

YlY

<dv.

YlY

<dv.

d (clx

= Mn, — — = M—. dt\ dv ) dt

d (clx

= Mn, — — = M—. dt\ dv ) dt

d (.—№dt\ dv Id (.—№dt\ dv IИспользуя эти равенства, представим подынтегральное выражение (18) в следующем виде:

d (.

—№

dt\ dv I

d (.

—№

dt\ dv I

. dr ,. dr ,(4.2.20) dt /

. dr ,

. dr ,

Так как г(г) удовлетворяет условиям (4) и (5), a ^(Z) на открытом интервале Jt-6\^ t^ (см. лемму 1) есть произвольная вектор- функция, удовлетворяющая (6) и (7), то мы можем воспользоваться принципом Даламбера-Лагранжа (см. (3.5.2)), согласно которому обращение в нуль правой части (20) для любой §(Г), удовлетворяющей (6) и (7), есть необходимое и достаточное условие того, что г(г) - действительное движение системы. Тем самым теорема доказана.

Определение. Интеграл (16) носит название действия по Гамильтону.

Согласно доказанной теореме, мыслима следующая процедура нахождения в расширенном конфигурационном пространстве кривой r(t), которая определяет действительное движение системы. Надо найти такую кривую r(t), удовлетворяющую (4), (5), чтобы по отношению к любым допустимым кривым х(А т) (х(^ 0) = г(Г)) интеграл действия принимал стационарное значение на кривой r(t) = х(^ 0)- Такой способ выделения действительного движения носит название вариационного принципа Гамильтона.

Этот принцип приводит к эффективному методу составления уравнений для задач механики со связями (1), (2) после введения так называемых обобщенных координат. Основное достоинство вариационного принципа состоит в том, что он оперирует с такими объектами, как кривые в RN, и интегралами по этим кривым от заданной функции, т.е. с объектами, не связанными с конкретной системой координат, в которой описывается движение. И если используя какую-либо систему координат, мы найдем опорную кривую г = т^У которая является стационарной «точкой» действия на множестве D(r(r)) допустимых кривых, то

при описании задачи в любой другой системе координат найдем ту же самую кривую. Это важное замечание мы используем в дальнейшем для упрощения вывода уравнений движения в форме Лагранжа и в форме Аппеля.

Замечание о классах эквивалентных отображений. Пусть Xi (^ т) и Х2(^ т) - вектор-функции, определяющие отображения D(r^\ Тогда Х1(Л 0) = х2<Л 0) = r(t\

Определение. Отображения Х1(Л ^) и Х2<Х т) назовем эквивалентными, если

при t eJrпри t eJrdxi = 9хг9т т=0 дт

при t eJr

при t eJr

Нетрудно показать, что последнее условие действительно определяет отношение эквивалентности и тем самым разбивает множество D(r(t)) на классы эквивалентности.

Так как значение — зависит только от х(^ 0) и —, то

т=0^Т т=0

в принципе Гамильтона можно требовать стационарности действия не по отношению ко всем х ^ D(r(f)Y а только по отношению к подмножеству D(r(t)) cz D(r(t)Y содержащему представителей

всех классов эквивалентности.

В частности, можно рассматривать лишь те отображения X е D^dY которые удовлетворяют условиям

Х(?1,т) = г(г1), x(t2,T) = r(t2).(*)

При этом условия ^(^) = ^(Г2) = 0 будут выполняться автоматически. Это замечание позволяет объяснить часто приводимую геометрическую интерпретацию х^ т). При условии (*) и фиксированном т равенство г = х^ т) определяет в расширенном конфигурационном пространстве кривую, идущую из точки (г(^), ^) В точку (г(/2), ^2) (рис. 63). Множество этих кривых

обязательно содержит опорную кривую г = г(г) = х(^ 0) и удов

летворяет условиям допустимости вектор-функциилетворяет условиям допустимости вектор-функцииЭхЭхЭтЭт

летворяет условиям допустимости вектор-функции

летворяет условиям допустимости вектор-функции

Эх

Эх

Эт

Эт

§ 4.3. Обобщенные координаты. Обобщенные силы

По-прежнему будем рассматривать на отрезке времени Jt движение системы материальных точек (rz, т^ i = 1, 2, ..., п, при независимых к голономных связях

f(r, 0 = о(4.3.1)

и s неголомных линейных связях

Bn + Р = 0,(4.3.2)

где г е R3\ v = —, f е Rk, В = B(r, t) - матрица размера s х Зп, dt

Р(г, Г) е Rs.

В каждый момент времени t к условий голономных связей выделяют в R3n (Зп-к)-мерное гладкое многообразие Mt:

M, = \r, reR3n, f(r, г)}.(4.3.3)

Обозначим т = Зп-к и пусть q обозначает вектор Rm: q е Rm. В координатном представлении q7^^1, g2, ..., qm). Обозначим через U связную открытую область в Rm.

В общем случае можно построить достаточно гладкое отображение

ф-Л.хи^К3"(4.3.4)

прямого произведения отрезка времени Jt и области U в R3n, которое удовлетворяет условиям 1°-4°:

1°. Пусть г = O(q, t) - вектор-функция, задающая это отображение. Необходимо, чтобы уравнения голономных связей удовлетворялись для всех точек Jt х [/, т.е.

f(O(q, t\ 0 = 0(4.3.5)

для всех q е U и всех t eJr

w2°. Обозначим через Wt образ области U

зп57" ПРИ отображении Ф для фиксированного t;

R‘ WtcMt; Wt=Ф(U,t). Необходимо, чтобы

/^множество Wt при каждом t было открытой

1областью в Mt (рис. 64). Точнее говоря, для р сб4любой точки w0 е Wt можно указать доста

точно малое Е > 0 и такой шар 53n(w0, е) в R3n с центром w0 радиусом £, что все точки пересечения этого шара с Mt принадлежат Wt:

MtnS3n(w0, e.)cWrMtnS3n(w0, e.)cWr(4.3.6)(4.3.6)

MtnS3n(w0, e.)cWr

MtnS3n(w0, e.)cWr

(4.3.6)

(4.3.6)

3°. Отображение U —> Wt взаимно однозначно.

4°. Вектор-функции Ф^, t) имеют производные достаточно высокого порядка.

С точки зрения геометрии гладких многообразий, отображение U —> Wt задает локальные координаты на гладком многообразии Mt. Как строить такое отображение, мы поясним в дальнейшем на конкретных примерах.

Пусть отображение Ф построено. В последующем анализе мы будем, не отмечая особо, предполагать, что все рассматриваемые точки q е Rm принадлежат области [/, и для любого рассматриваемого фиксированного t eJt точки г е Mt принадлежат Wt.

Пусть q: Jt^U - произвольное отображение, определяемое вектор-функцией q(7), т.е. определена некоторая кривая в Rm.

Вектор-функция r(t) = ^(qX^), t) определяет отображение г: Jt -^> R3n (а следовательно, и отображение Jt -^R3n xR в расширенное конфигурационное пространство). По определению Ф, при каждом t точки кривой г (г) принадлежат Mt. Верно и обратное.

Лемма 1. Любой кривой г(Г) в R3n х R, которая удовлетворяет условиям голономных связей Г(гХ)д) = 0, однозначно соответствует кривая q(0 в Rm так, что г(Г) = Ф(q(^), t).

Доказательство этой леммы непосредственно следует из определения отображения Ф.

В частности, любому движению системы, совместимому со связями, соответствует некоторая кривая q(7).

Поэтому можно описывать движение системы в пространстве Rm переменных q. Если движение системы в Rm определяется вектор-функцией q(r), то движение в R3n определяется вектор- функцией r(t) = Ф(q(^), t\ При этом в Rm можно не следить за голономными связями, так как для любого движения системы q(Z) они будут удовлетворяться автоматически. В этом основное преимущество перехода к пространству Rm.

Определение. Компоненты q\ i = 1, 2,..., m, вектора q называются обобщенными координатами системы (или лагранжевыми координатами).

Замечания

Если голономные связи явно не зависят от времени, то можно ввести обобщенные координаты г = Ф(q), где Ф не зависит от времени. Как правило, но не всегда, так и поступают.

Обобщенные координаты определяются неоднозначно.

Действительно, пусть вектор-функция q = <p(q) задает взаимно однозначное и достаточно гладкое отображение области U czRm на указанную выше область U czRm ср: U ^U. Тогда, если отображение Ф удовлетворяло указанным требованиям, то и отображение Ф: U -^Wt) определяемое сложной вектор-функ- цией г = Ф(<р(5), t), тоже будет удовлетворять этим требованиям. То есть q тоже будут обобщенными координатами. Произвол в выборе обобщенных координат в механике широко используется для упрощения описания задачи.

Обобщенные координаты при каждом t определим не на всем многообразии Mt, а только на Wt. Возможна следующая ситуация. Точки траектории системы в конфигурационном пространстве R3n принадлежат Wt в каждый момент времени t < i и не принадлежат Wt при t^i. При t ^ i необходимо ввести новые обобщенные координаты, позволяющие описывать движение механической системы в отличной от Wt области конфигурационного пространства или на другом (отличном от Jt) интервале времени.

Декартовы координаты в R3n можно рассматривать как обобщенные координаты механической системы без голоном- ных связей.

Некоторые задачи без связей проще исследовать не в декартовых, а в так называемых криволинейных координатах q, определяемых вектор-функциями

г = O(q), г де q е [/ с R3n.

Криволинейные координаты для задач без связей тоже являются обобщенными координатами; они должны удовлетворять всем указанным условиям (кроме первого).

Выше при кинематическом анализе мы вводили репер Е^, движение которого относительно абсолютного репера Е определялось вектор-функцией r0(t), задающей движение начала Е^, и ортогональной матрицей А(0, определяющей координаты ортов ЕГо относительно Е. При этом радиусы-векторы точек системы rz относительно репера Е связаны с радиусами- векторами г; тех же точек относительно репера ЕГо соотношениями

г, = ^405 +го(О, г = 1, 2, п. (*)

Последние соотношения можно рассматривать как вектор-

функции Ф(д, Й. задающие обобщенные координаты:

qT =(гЛ г2т,г„т)=(Г11,гД...лЬ-

Тем самым описание задачи относительно подвижного репера является частным случаем введения обобщенных координат.

Углы Эйлера у, 0, ф - обобщенные координаты для задачи движения твердого тела с одной закрепленной точкой. Для твердого тела особенно ярко выступает преимущество обобщенных координат. Число материальных точек N, из которых состоит твердое тело, может быть огромным. Но велико и число голономных связей I ^--Гу! = ^ = const, описывающих условие его «твердости». Как мы знаем, для описания различных положений твердого тела в пространстве оказывается достаточным трех углов Эйлера. Или, если твердое тело свободно, еще трех координат его центра.

Для формулировки принципа Гамильтона в обобщенных координатах нам необходимо получить представление произвольного допустимого отображения х е ^(г(0) в обобщенных координатах. Это представление опирается на некоторые определения и утверждения, которые будут сейчас приведены.

Лемма 2. Пусть задана кривая r(t)eR3n, удовлетворяющая условиям голономных связей f (г(0? О - 0. Пусть вектор-функция £>(t) eR3n удовлетворяет условию

df drdf drё(О = о. r=r^ё(О = о. r=r^(4.3.7)(4.3.7)

df dr

df dr

ё(О = о. r=r^

ё(О = о. r=r^

(4.3.7)

(4.3.7)

Утверждение. Существует отображение ф:7е х Jt —>R3n , определяемое вектор-функцией г= ф(^, т), которая удовлетворяет условиям:

а) Г(ф(?,т),0 = 0; б) (ф(г,О) = г(0; в) ^= Ш (4.3.8)

дт т=0

Справедливость этой леммы следует из доказательства теоремы о виртуальных векторах.

Лемма 3. В каждый момент времени t множество векторов §(0, удовлетворяющих условию (7), образует m-мерное подпространство R3n. Это подпространство называется касательным пространством Тгщ к многообразию Mt в точке г(Г).

Лемма 4. Пусть Ф(д, Й - вектор-функция, задающая обобщенные координаты. Тогда:

произвольный вектор ^(Z) е Гг(?) может быть представлен в

следующем виде:

5(0 =5(0 =ЭФ dqЭФ dq5(0,4(05(0,4(0(4.3.9)(4.3.9)

5(0 =

5(0 =

ЭФ dq

ЭФ dq

5(0,

4(0

5(0,

4(0

(4.3.9)

(4.3.9)

где х<0 = Ф^(0,0, 5(0 е R”;

любой вектор § в виде (9) удовлетворяет (7).

Доказательство. Зафиксируем t и рассмотрим кривую г = ф(0 т), удовлетворяющую условиям (8). Эта кривая принадлежит Mt и, следовательно, существует отображение q = = <г(Г, г) (<г(Г, 0) = q(7)) и представление ф(Г, т) = Ф(<г(^ т), (Z). Дифференцируя последнее соотношение по т и полагая т = 0, получим

_ Л ЭФ 5(0= 3- dq_ Л ЭФ 5(0= 3- dqeRm.т=0eRm.т=0Xх д(Г

_ Л ЭФ 5(0= 3- dq

_ Л ЭФ 5(0= 3- dq

eRm.

т=0

eRm.

т=0

5(0, где 5(0 = ^-

<Адт

q^

Доказательство второго утверждения следует из соотношений

= 05 = 0.= 05 = 0.(4.3.10)(4.3.10)ЭЦФ(д,0,0

= 05 = 0.

= 05 = 0.

(4.3.10)

(4.3.10)

дт rW

q^

Лемма 5. Ранг матрицы

ЭФ dqЭФ dqОф1dg1ЭФ3"dqОф1dg1ЭФ3"dqЭФ1 ЭФ1 э?" '"э^ЭФ3" “эф3"ЭФ1 ЭФ1 э?" '"э^ЭФ3" “эф3"(4.3.11)(4.3.11)

ЭФ dq

ЭФ dq

Оф1dg1

ЭФ3"dq

Оф1dg1

ЭФ3"dq

ЭФ1 ЭФ1 э?" '"э^

ЭФ3" “эф3"

ЭФ1 ЭФ1 э?" '"э^

ЭФ3" “эф3"

(4.3.11)

(4.3.11)

максимален, т.е. равен т.

Доказательство. Пусть ^(t) (i = 1,2, ..., т) - т линейно независимых векторов касательного пространства Tr(vty Согласно лемме 4, существуют ^^ЕКт и представление ^z(0 -

дФ dqдФ dq^(0- Обозначим через S = (^(0,^(0- Обозначим через S = (^(0,..., 5m(0) матрицу раз-..., 5m(0) матрицу раз-

дФ dq

дФ dq

^(0- Обозначим через S = (^(0,

^(0- Обозначим через S = (^(0,

..., 5m(0) матрицу раз-

..., 5m(0) матрицу раз-

мера Зп х т и через Р = (^(t), .... ^(t)) матрицу размератхт. Из (*) следует матричное равенство

с _ дФdqс _ дФdqР.9(0Р.9(0

с _ дФ

dq

с _ дФ

dq

Р.

9(0

Р.

9(0

Согласно определению ^(t), ранг S равен т. Ранг произведения прямоугольных матриц не может превосходить наименьшего

и ранг Р q(t)и ранг Р q(t)ЭФ ранга сомножителей. Отсюда следует, что ранг dq

и ранг Р q(t)

и ранг Р q(t)

равны т.

Вектор скорости в обобщенных координатах

По определению,

dr । • dr3I

у = —2. .... 3n .

dt I dtJ

Подставляя r = Ф^, t), получим

(4.3.12)(4.3.12)ЭФ dq ЭФv =1.

(4.3.12)

(4.3.12)

dq dt dt

В координатном представлении ЭФ/dq - матрица (11):

ЭФdtЭФdtЭФ1 ЭФ3"dt dtЭФ1 ЭФ3"dt dt

ЭФdt

ЭФdt

ЭФ1 ЭФ3"dt dt

ЭФ1 ЭФ3"dt dt

ЭФ7 dq1 ЭФ7dq1 dt dt1, 2, ..., m. называютсяЭФ7 dq1 ЭФ7dq1 dt dt1, 2, ..., m. называются^qY dq1 dqm ), ^

ЭФ7 dq1 ЭФ7dq1 dt dt

1, 2, ..., m. называются

ЭФ7 dq1 ЭФ7dq1 dt dt

1, 2, ..., m. называются

\dt) I dt dt I

Определение. Величины dqVdt, i = обобщенными скоростями системы.

Уравнения неголономных связей в обобщенных координатах

Подставляя в (2) v согласно (12) и г = Ф(q, Й. получим условия, налагаемые неголономными связями на обобщенные координаты и скорости системы в следующем виде:

Cq + d = 0,(4.3.13)

где матрица С = C(q, Й размера s хт является произведением двух матриц:

(4.3.14)(4.3.14)(4.3.143(4.3.143dФ С(Чр = В—, 5 = 5(Ф(д(0,0), dq

(4.3.14)

(4.3.14)

(4.3.143

(4.3.143

и вектор d = d(q, t) определяется следующей формулой:

ЭФ

d = d(q,z) = S — + Р,dt

гдегде

где

где

р = р(Ф(фО,О, q = —at

О представлении кинетической энергиив обобщенных координатах

По определению кинетической энергии Т:

(4.3.15)(4.3.16)(4.3.17)(4.3.18)(4.3.15)(4.3.16)(4.3.17)(4.3.18)Т = -vTMv.

(4.3.15)

(4.3.16)

(4.3.17)

(4.3.18)

(4.3.15)

(4.3.16)

(4.3.17)

(4.3.18)

2

Подставляя в (15) представление в виде (12), получим г = г2+г1 + г0,

где

.т .(ЭФ 1(ЭФ 1

Г2 = — q Bq, В = — М — ,2 24 4 IdqJ (dqj

т. т ( эф V ( эф^

T1=b q, b =^J

2v ^t ) I J

В = B(q, t) - квадратная матрица m-го порядка; b = b(q, t) - m-вектор. В дальнейшем нам потребуется следующая лемма.

Лемма 6. S - положительно-определенная матрица.

Доказательство. Пусть хе №. Обозначим у =

= —хе/?3". ут = (у1, у2,...,у3//). Запишем подробно квадратич- dq

ную форму

тГэфУ Гэф)

х Вх = х I М\ х = у Му.

V dq J V dq J

Очевидно, утМу ^ 0, и из равенства утМу = 0 следует равенство у = 0. Поэтому хтВх ^ 0 и равенство нулю возможно только при у = 0. Так как ранг ЭФ/Эq равен т, из условия у = 0 следует х = 0. Тем самым доказано утверждение леммы.

Если обобщенные координаты вводятся с помощью функций

ЭФ

г = Ф(q), явно не зависящих от времени, то = 0 и Т = Т2 =

= ^qTs(q)<i-

Опорные кривые и допустимые вектор-функции в Rm

Рассмотрим отображение q : Jt ^ Rn\ определяемое вектор- функцией q(z).

Определение. Будем говорить, что отображение q определяет q-опорную кривую (или опорную кривую в пространстве обобщенных координат), если q(/) удовлетворяет условиям неголо- номных связей в обобщенных координатах:

C(q(O,Oq + d(q(O?O = O,(4.3.19)

где С и d определяются равенствами (14)и(14).

Лемма 7. Для того чтобы вектор-функция г(/) е 7?3и определяла опорную кривую в конфигурационном пространстве КЪп, необходимо и достаточно, чтобы имело место представление

г(г) = Ф(д(гХО,

где Ф(q, 0 - вектор-функция, задающая обобщенные координаты, a q(Z) - g-опорная кривая.

Доказательство. Пусть г (г) = Ф(q(^), t). Тогда справедливы соотношения

f(r(0,0 = ^(q(?X0,0(*)

И

S(r(0,0^- + P(r(rX t) = C(q(t\ 0^^- + d(q(O, О,(**)

atat

где С и d определяются равенствами (14) и (14). Правая часть (*) обращается в нуль для любой кривой q(r), а правая часть (**) равна нулю для любой g-опорной кривой q(z). Поэтому для g-опорной кривой q(/) левые части равенств (*), (**) обращаются в нуль. А это и есть условия (4.2.4), (4.2.5) того, что г(г) - опорная кривая. Обратно, если г (г) - опорная кривая, то f(r(r),) = 0 и. согласно лемме 1 этого раздела, справедливо представление г(г) = Ф(q(^), Г). Для опорной кривой левая часть (**) обращается в нуль, тем самым q(Z) удовлетворяет условию (19), т.е. является g-опорной кривой.

Рассмотрим отображение ^ : Jt —> Rm, определяемое вектор- функцией ^(0-

Определение. Будем говорить, что ^q(t) - q-допустимая вектор-функция для данной g-опорной кривой q(/), если ^q(t) на Jt удовлетворяет следующим условиям:

1) C(q(0? 06(0 = 0,(4.3.20)

где C(q, Г) определена в (14);

2) ^i) = ^2) = 0.2) ^i) = ^2) = 0.(4.3.21)(4.3.21)

2) ^i) = ^2) = 0.

2) ^i) = ^2) = 0.

(4.3.21)

(4.3.21)

Лемма 8. Для того чтобы ^(Z) е R3n была допустимой вектор- функцией для данной опорной кривой г(г), необходимо и достаточно, чтобы имело место представление

(4.3.22)

где q(r) - g-опорная кривая, соответствующая г (г), a ^q(f) - q-допустимая вектор-функция для q(r).

Доказательство. По определению допустимой век- тор-функции ^(i), выполняются условия (4.2.6)-(4.2.8):

а) |^ g(f) = O, б) Я(0^) = 0, в) Ш = Ш = 0-

6(0 = ^ dq6(0 = ^ dqСогласно лемме 4, представление

6(0 = ^ dq

6(0 = ^ dq

W ^ЦеКт(*)

необходимо и достаточно для выполнения условия а). Из (*) следуют равенства

ЭФ

6(0=3- dq6(0=3- dqВ\г^ = В\г^— ^(O = C(q(r),O^(O,(**)

6(0=3- dq

6(0=3- dq

^q^i^ Z=1> 2"(***)

4

Если ^q^ - g-допустимая вектор-функция, то правые части этих равенств равны нулю, а следовательно, и выполнены условия а), б) и в). Обратно, из б) и в) следует справедливость соотношений (20) и (21) и тем самым ^f) - g-допустимая вектор-функция. Для доказательства (21) следует воспользоваться леммой 5 о ранге матрицы ЭФ/dq.

Обобщенные силы

Пусть система находится в точкеПусть система находится в точкеГ(0,Г(0,dr(t)dtdr(t)dtt расширенноt расширенно

Пусть система находится в точке

Пусть система находится в точке

Г(0,

Г(0,

dr(t)dt

dr(t)dt

t расширенно

t расширенно

го фазового пространства. Зафиксируем момент времени t и

рассмотрим элементарную работу 8А, которую совершают силы F(r) при бесконечно малом перемещении 8г, совместимом с голо- номными связями:

МЦ¥(г(03^А&г\(4.3.23)

\ V dt )

где (•, •) - скалярное произведение в R3n, FT = (F^, F^.... F^ - вектор сил: F e R3n. Любой вектор г, совместимый с голономны- ми связями, может быть представлен как вектор-функция обоб

щенных координат q: г = Ф^, t). Поэтому 8r = ^^8q + O^|8q|2).

Отсюда следует

(4.3.24)(4.3.24)

(4.3.24)

(4.3.24)

где справа (•,•)- скалярное произведение в Rm.

Определение. Величина(А

Q= — F г(0,—,?(4.3.25)

I dt )

называется вектором обобщенной силы. Это m-мерный вектор

Из (25) следует, что

, ЭФ7 •

(4.3.26)

где F3 - j-й компонент вектора F:

Ft=(F!, F2, ...F3") = (F11, F^, ..., F„3).

Если силы F7 заданы, то соотношения (26) позволяют формально определять компоненты вектора Q.

Часто компоненты Qk можно определить более простым путем. Из (23) следует:

5A = <Q, 8q) + O(|5q|2).

М.Л. Лидов

Проварьируем только ^-й компонент q:

SqT = (0,0, 5/, 0,0).

Тогда

5A = Qk5qk +O(\5qk |2).

Определим соответствующую 5qk вариацию вектора 8г и вычислим работу

8A = (F, 8г).

Замечание. Следует обратить внимание, что вектор силы при вариации 8г не варьируется. Тогда

V ЬАО = lim —\М но 5qk

Пример. Две материальные точки связаны невесомой натянутой нитью (рис. 65). Точка массой т2 может перемещаться только вертикально по лучу О А, а точка массой т^ должна находиться на наклонной прямой О В, угол которой с О А, равный у(/), может изменяться с течением времени. На материальные точки действуют силы веса

|Gi \=mxg и |G2 \=m2g,а на точку т^ еще одна внешняя си-ла F(r) под углом а к наклоннойпрямой. Нетрудно видеть, что свя-

зи голономны и задача может быть описана одной обобщенной координатой, например, I - расстоянием точки т2 от вершины О. Определим работу всех сил 8А при бесконечно малом перемещении 8/, зафиксировав момент времени Г.

8A = (F, 8r1) + (G1, 8r1) + (G2, 8r2),

(F, 8^) =-| F| cosaS/,

(G1? 8^) ^-IG^ cos у (08/,

откудаоткуда<G2, 8г2)=|С2|8/,

откуда

откуда

ЗА

Qi = —- = -|F|cosa-m1gcosy(0 + m2g. о/

Если силы потенциальны

тоторФ | f—( dq J V drрФ | f—( dq J V drdU ЭФdr dqdU ЭФdr dqд(/(Ф(д,г),0. dqд(/(Ф(д,г),0. dq

то

то

рФ | f—( dq J V dr

рФ | f—( dq J V dr

dU ЭФ

dr dq

dU ЭФ

dr dq

д(/(Ф(д,г),0

. dq

д(/(Ф(д,г),0

. dq

Таким образом, для потенциальных сил вектор обобщенной силы есть градиент потенциала по обобщенным координатам.

Вывод уравнений Лагранжа и уравнений Аппеля

Рассмотрим отображение о-: JtxJt ^ Rm, определяемое вектор-функцией q = су^ т).

Определение. Будем говорить, что отображение ст принадлежит множеству g-допустимых отображений 0(q(O), если о"(^ т) удовлетворяет следующим двум условиям:

1) a(pO) = q(O,(4.4.1)

где q(Z) - g-опорная кривая в Rm, т.е. q(Z) удовлетворяет (4.3.19);

2)^= Ш(4.4.2)

т=0

где ^(0 - q-допустимая вектор-функция для g-опорной кривой q(0, т.е. ^f) удовлетворяет (4.3.20), (4.3.21).

Рассмотрим отображение х: Jtx^t^^n^ определяемое вектор-функцией

Х(г,т) = Ф(о1/,т),0,(4.4.3)

где г = Ф(q, 0 задает обобщенные координаты в рассматриваемой задаче, а а е 0(g(Z)). Рассмотрим (3) при т = 0:

Г(О = х(^0) = Ф(а(Г,0),0 = Ф(д(0,0-(*)

Согласно лемме 7 § 4.3, г (г) определяет опорную кривую в R3n, и любая опорная кривая г(г) представима в виде (*) при некоторой g-опорной кривой q(r). Зафиксируем опорную кривую r(t) и соответствующую ей д-опорную кривую q(Z): r(t) = Ф(q(^), t). Обозначим через D(r(t)) множество отображений х, определяемых формулой (3) и соответствующих различным отображениям

<г е 0(q(O):

D(r(0) = {х: x(t, т) = Ф(а(?, т), t\ <r е 0(д(О)} •

Теорема. 1. Любое отображение х ^ ^(г(0) есть допустимое отображение: х Е D(r(0). 2. Множество D(r(z)) содержит представителей всех классов эквивалентности множества D(r(r)).

Доказательство. Дифференцируя (3) по т и полагая т = 0, получим

ЭхЭтЭхЭтX ЭФ т=оdqX ЭФ т=оdqЭстт=0 дТЭстт=0 дТт=0т=0ЭФ dqЭФ dqq(t)q(t)(**)(**)

Эх

Эт

Эх

Эт

X ЭФ т=оdq

X ЭФ т=оdq

Эст

т=0 дТ

Эст

т=0 дТ

т=0

т=0

ЭФ dq

ЭФ dq

q(t)

q(t)

(**)

(**)

Так как в (**) ^(t) - ^-допустимая вектор-функция для ^-опорной кривой q(r), то, согласно лемме 8 § 4.3, ^(Z) - допустимая вектор-функция для опорной кривой r(t) = Ф(д(^), tY Следовательно, х Е DYrYtYY

Пусть ^Yb - произвольная допустимая вектор-функция для опорной кривой r(Z). Согласно той же лемме 8, найдется такая д-допустимая вектор-функция ^(Г) для g-опорной кривой q(r), соответствующей vYtY что будет выполнено (**). При этом ^-допустимой вектор-функции £>qYb соответствует некоторое отображение (г е 0(q(O) такое, что ^^= например а(Г, т) =

т=0

= q(r) + Т^).

Следствие. Напомним, что в принципе Гамильтона на множестве отображений х Е D(r(tY) рассматривается функционал

5(T) = 5(X) = J ЦглЛЖ(4.4.4)

где

L(r, v, 0 = Т + tp(r,r) = ~ vTMv + (F(0, г),

г = х(?Л), v = ^^, x(^0) = r(0> F(O = F[r(O,^Catv at

(% •) - скалярное произведение в R3n. Из замечания о классах эквивалентности множества D(r(t)) и доказанной теоремы следует, что стационарность действия S можно определять на множестве допустимых отображений х е D(r(t)Y представимых в виде (3):

x(t, Т) = ф(<т(?, т), О,

где ^Yt, т) определяет произвольное ^-допустимое отображение:

сг е 0(qO). Выразим L через обобщенные координаты:

~ЭФЭФ ~

Hr, V,Z) = L Ф(q,^),—q +—,Z =L.

V dqdt )

В обобщенных координатах

L = (q, q, 0 = T(q, q, 0 + (F(0, Ф(Ч, OX

(4.4.5)(4.4.5)где T(q, q, 0 - выражение кинетической энергии в обобщен-

(4.4.5)

(4.4.5)

ЭФ

Q(0 + q(t)Q(0 + q(t)ЭФdtЭФdt^(0 >^(0 >ных координатах (4.3.15)-(4.3.18), F(z) = F Ф(q(z), z), dq

Q(0 + q(t)

Q(0 + q(t)

ЭФ

dt

ЭФ

dt

^(0 >

^(0 >

Нетрудно показать, что для х(^ т) в виде (3) действие S определяется следующим интегралом:

(4.4.6)(4.4.6)5(т) = 5(<т) = | Uq,q,t)dt,

(4.4.6)

(4.4.6)

1* Xх • d<y(t, т)

где функция L(q, q, t) определена в (5), a q = ov, т), q =,

dt

<y(L 0) = q(r). Согласно принципу Гамильтона, чтобы опорная кривая r(t) = х(Л 0) = Ф(<г(Г, 0), t) = Ф(q(^), t) определяла действительное движение системы, необходимо и достаточно выполнения условия

д5 дтд5 дт= 0t=0= 0t=0(4.4.7)(4.4.7)

д5 дт

д5 дт

= 0

t=0

= 0

t=0

(4.4.7)

(4.4.7)

для любой х G D(r(t)), т.е. для любой <т е 0(q(z)). Используя представление (6) и лемму 3 вариационного исчисления (§ 4.1), из принципа Гамильтона получим

dSдтdSдт(4.4.8)(4.4.8)

dS

дт

dS

дт

(4.4.8)

(4.4.8)

где (•, •) - скалярное произведение в Rm, q = q(r) = (г(Г, 0),

q =q =d<r(t, 0) _ dq(Z)d<r(t, 0) _ dq(Z)dtdtdtdt, , д<т’ ОТ, , д<т’ ОТ- произвольная ^-допустимая- произвольная ^-допустимая

q =

q =

d<r(t, 0) _ dq(Z)

d<r(t, 0) _ dq(Z)

dt

dt

dt

dt

, , д<т

’ ОТ

, , д<т

’ ОТ

- произвольная ^-допустимая

- произвольная ^-допустимая

вектор-функция, т.е. вектор-функция, удовлетворяющая условиям (4.3.20), (4.3.21):

С^, Ц^Ц = О, ЗД ) = ^(Щ = 0.(4.4.9)

Из (9) следует, что ^q(t) удовлетворяет условиям леммы 2 вариационного исчисления (§ 4.1). Поэтому из (8) следует аналог уравнения Даламбера-Лагранжа в обобщенных координатах*.

1(—А -—Г—) ,Е(Д = О, (4.4.10) atydq)

где q(0-пpoизвoльнaя ^-опорная кривая, а £ДЙ - произвольная вектор-функция, удовлетворяющая (9). Тем самым доказана следующая теорема.

Теорема. Для того чтобы ^-опорная кривая q(0 при t eJt определяла действительное движение в пространстве обобщенных координат Rm, необходимо и достаточно, чтобы q(0 удовлетворяла уравнению (10) при произвольной ^-допустимой вектор- функции ^Ц).

Упражнение. При доказательстве вариационного принципа Гамильтона (см. § 4.2) было показано, что уравнение

dt ^dvdt ^dvГ = г(0.Г = г(0.dr v = —, dtdr v = —, dt(*)(*)где |(0 удовлетворяет условиямгде |(0 удовлетворяет условияма)|drа)|dr6(0 = 0, б) в|г(Об(О = о,6(0 = 0, б) в|г(Об(О = о,есть уравнение Даламбера-Лагранжа. Согласно лемме 7 и лемме 1 § 4.3, любую функцию 6(0, удовлетворяющую условиям а) и б), можно выразить через ^-допустимую вектор-функцию 6^(0-есть уравнение Даламбера-Лагранжа. Согласно лемме 7 и лемме 1 § 4.3, любую функцию 6(0, удовлетворяющую условиям а) и б), можно выразить через ^-допустимую вектор-функцию 6^(0-_ Эф ё(о=ч- dq_ Эф ё(о=ч- dqq^q^(**)(**)ПоэтомуПоэтому4 f d/h \ /(ЭФ ^ f dL т hr ’^ > = hr hr dt \ dv J dq ) I dr4 f d/h \ /(ЭФ ^ f dL т hr ’^ > = hr hr dt \ dv J dq ) I drdt\ dvdt\ dvr = r(z), q = q(0-r = r(z), q = q(0-

dt ^dv

dt ^dv

Г = г(0.

Г = г(0.

dr v = —, dt

dr v = —, dt

(*)

(*)

где |(0 удовлетворяет условиям

где |(0 удовлетворяет условиям

а)|dr

а)|dr

6(0 = 0, б) в|г(Об(О = о,

6(0 = 0, б) в|г(Об(О = о,

есть уравнение Даламбера-Лагранжа. Согласно лемме 7 и лемме 1 § 4.3, любую функцию 6(0, удовлетворяющую условиям а) и б), можно выразить через ^-допустимую вектор-функцию 6^(0-

есть уравнение Даламбера-Лагранжа. Согласно лемме 7 и лемме 1 § 4.3, любую функцию 6(0, удовлетворяющую условиям а) и б), можно выразить через ^-допустимую вектор-функцию 6^(0-

_ Эф ё(о=ч- dq

_ Эф ё(о=ч- dq

q^

q^

(**)

(**)

Поэтому

Поэтому

4 f d/h \ /(ЭФ ^ f dL т hr ’^ > = hr hr dt \ dv J dq ) I dr

4 f d/h \ /(ЭФ ^ f dL т hr ’^ > = hr hr dt \ dv J dq ) I dr

dt\ dv

dt\ dv

r = r(z), q = q(0-

r = r(z), q = q(0-

С помощью формальных преобразований покажите, что

r = r(f), q = q(f).r = r(f), q = q(f).ЭФ |1 3L |d ( dL

r = r(f), q = q(f).

r = r(f), q = q(f).

dq ) I dr I dt\ dv I (dq J dt (dq

Таким путем получается другой вывод уравнения (10).

Уравнения Лагранжа. Если неголономных связей н е т, то в (10) ^(0 - произвольная вектор-функция, удовлетворяющая только граничным условиям ^(^) = ^(t^) = 0.

В этом случае применима лемма 1 вариационного исчисления (§ 4.1), и, как следствие (10), мы получим так называемые уравнения Лагранжа второго рода

d (dL dt ydqd (dL dt ydq= 0,= 0,(4.4.11)(4.4.11)

d (dL dt ydq

d (dL dt ydq

= 0,

= 0,

(4.4.11)

(4.4.11)

которым должно удовлетворять действительное движение системы при голономных связях. Используя (5), получим

farY(дт\ ГаФ)"

ydqj ydqj ydqj ydqj V dq J ydqj

где Q = Q(q, q, Г) - вектор обобщенной силы.

d_( ЭГ dt у dqd_( ЭГ dt у dq= Q= QТем самым уравнения (11) можно записать в следующем виде:

d_( ЭГ dt у dq

d_( ЭГ dt у dq

= Q

= Q

(4.4.12)

В общем случае (см. (4.3.15)-(4.3.18)) Т = ^qTBq + bTq + T0,

где В, Ьт, Го не зависят от q. Поэтому

(4.4.13)(4.4.13)^| = Sq + b.dqj

(4.4.13)

(4.4.13)

Отсюда следует, что уравнения Лагранжа имеют вид Bq = = /(q, q, t\ где в правой части собраны все члены, не зависящие от обобщенных ускорений q. Так как det ВФ 0, то эти уравнения можно разрешить относительно вторых производных:

q = В Т(q, q, t).

Если при t = t^ задать произвольные начальные данные: m обобщенных координат q = q() и m обобщенных скоростей q = q(),

то в общем случае однозначно определяется решение уравнений Лагранжа q = q(r, t0, q0, q0). Это решение определяет положение системы как в последующие, так и в предыдущие моменты времени. При этом в декартовых координатах

г(О = Ф(д(?,?о^о,Чо),О.

d ( dL dt ydqd ( dL dt ydq— Q V— Q VЕсли на систему наложены и неголономные связи, то можно получить уравнения движения системы в обобщенных координатах с помощью введения так называемых обобщенных реакций связей, аналогично тому, как это было описано в § 3.8 в декартовых координатах. Обозначим:

d ( dL dt ydq

d ( dL dt ydq

— Q V

— Q V

(4.4.14)

Согласно (10), QA- произвольный вектор, ортогональный всем векторам ^, удовлетворяющим (9):

Будем называть Qv вектором обобщенных реакций связей.

Строчки Cz матрицы С =Строчки Cz матрицы С =образуют s линейно независиобразуют s линейно независи

Строчки Cz матрицы С =

Строчки Cz матрицы С =

образуют s линейно независи

образуют s линейно независи

J 1? ^,^5(4.4.14)J 1? ^,^5(4.4.14)

J 1? ^,^5

(4.4.14)

J 1? ^,^5

(4.4.14)

мых векторов Rm. Обозначим через Rs подпространство Rm, натянутое на эти векторы. Согласно (9), ^ - произвольный вектор, принадлежащий ортогональному дополнению к Rs. Так как вектор QA ортогонален всем векторам ^, то QA принадлежит Rs и, следовательно, может быть представлен в следующем виде:

QA=cTx,

где Хт = (X1, X2,..., Xs ) -s-вектор.

Последнее соотношение в более подробной записи имеет вид Qw = Х*С]Т +Х2С2+... + XsCJ.

d f dL^ f dL dt^dq) ydqd f dL^ f dL dt^dq) ydq= СТХ,= СТХ,Функции ^'(0, i = l,2,...,m, и s величин Xj =Xj(t), кроме уравнений

d f dL^ f dL dt^dq) ydq

d f dL^ f dL dt^dq) ydq

= СТХ,

= СТХ,

должны удовлетворять s уравнениям связей

C(q, z)q + d(q, z) = 0.(4.4.15)

Повторяя процедуру, аналогичную той, которую мы проводили в декартовых координатах (см. 3.3), можно, используя (15), исключить из уравнений (14) множители X и получить систему т = 3п-к уравнений второго порядка.

Напомним, что аналогичная процедура в декартовых координатах приводит к системе Зп уравнений второго порядка. Однако решение задачи при s неголономных связях можно свести к задаче интегрирования 2m - s уравнений первого порядка, так называемых уравнений Аппеля.

Уравнения Аппеля. В обобщенных координатах уравнения неголономных связей имеют вид

C(q, r)q + d(q, t) = О,

где С - матрица размера sxm ранга s; d - s-вектор, а допустимая вектор-функция ^q(f) есть произвольная вектор-функция, удовлетворяющая условиям:

a) C\q(t^q(p = 0, б) ^(t^ = ^(?2 ) = 0, q(f) - g-опорная кривая.

Докажем сначала несколько вспомогательных утверждений.

Лемма 1. Существует матрица Н = Н^ Й размера т х (m - s) и ранга т - s, удовлетворяющая матричному уравнению

СН=0.(4.4.16)

Доказательство. В каждый момент времени t строчки Cz матрицы С образуют в Rm s линейно независимых векторов (ранг С равен s). Обозначим через R™~s подпространство Rm, ортогональное подпространству, натянутому на векторы Cz. Пусть hz eRm (i = 1,2,...,т-s) суть (m-s) линейно независимых векторов, принадлежащих R™~s. Тогда // = (h1;h2,...,hm_5) есть искомая матрица.

Лемма 2. Рассмотрим

^(O = #(q,Ou,(4.4.17)

где Н - матрица, определенная леммой 1, а ит = (ux(t\

- произвольная вектор-функция, удовлетворяющая условиям

u(^) = u(f2) = 0.(4.4.17)

Утверждения. 1. ^q(t) в виде (17)-(17) удовлетворяет условиям а) и б). 2. Любой вектор, удовлетворяющий условиям а) и б), может быть представлен в виде (17).

Доказательство. 1. Из представления (17) и условий (17) следует

^q(ti) = H(q(ti),tj )u(?,) = 0, 1 = 1,2,

И

C^q(t) = CHu = 0u = 0.

2. С другой стороны, так как

С^=0, то ^еК^.

Следовательно, найдется такой вектор и, что будет справедливо представление

Так как hz линейно независимы, то из условий ^(гД = О следует и(Г •) = 0.

Лемма 3. Пусть q(Z) - вектор-функция, удовлетворяющая условиям неголономных связей Cq + d = Q. Тогда можно указать такую вектор-функцию X(t) е R™~s. что

q(0 = H«t\ 0M0 + h(q(0, t\(4.4.18)

где Ь(дД) eRm - произвольное решение системы уравнений

Ch + d = 0,(4.4.19)

Н - построенная выше матрица.

Доказательство. Запишем условие неголономных связей в следующем эквивалентном виде:

C(q-h + h) + d = 0.

Если h удовлетворяет (19), то из этого условия следует

C(q-h) = 0.

Повторяя рассуждения леммы 1, получим q-h = HX(r), где X(t) е R"1 s. Согласно (4.2.19), действительное движение системы удовлетворяет уравнению

dq J ^y9qj ’ q

Воспользуемся леммой 2 и представим последнее соотношение в следующем виде:

0 =0 =dL\ dqjdL\ dqjd ( dL । dt ydq )d ( dL । dt ydq )q=q(Oq=q(Od ( dL dt (dqd ( dL dt (dquu

0 =

0 =

dL\ dqj

dL\ dqj

d ( dL । dt ydq )

d ( dL । dt ydq )

q=q(O

q=q(O

d ( dL dt (dq

d ( dL dt (dq

u

u

Так как u = u(Z) - произвольная вектор-функция, удовлетворяющая только граничным условиям u(L) = u(L) = 0, то, применяя лемму 1 вариационного исчисления (§ 4.1), получим систему уравнений, которым должна удовлетворять вектор-функция q(0:

нт Af—)=о.(4.4.20)

^(dqj ydqy

Согласно (12),

dt (dq )dt (dq )dt (dqdt (dq-Q,-Q,

dt (dq )

dt (dq )

dt (dq

dt (dq

-Q,

-Q,

где T = T(q, q, r) - кинетическая энергия системы, Q = Q(q, q, r) - вектор обобщенных сил. Поэтому уравнение (20) можно записать в эквивалентном виде:

НтА|^Г| -нт| —I = HTQ. (4.4.20) dt ( dq )( dq J

Используя представление для кинетической энергии в обобщенных координатах (4.3.15)-(4.3.18) Г = ^qTBq + bTq + 7^, где В, Ь, Го не зависят от q, получим

= 8q + b.(*)

Подставляя в это соотношение q из уравнения связей (18), найдем

| — I = 8ЯХ + 8Ь + Ь.(**)

Подставим (*) и (**) в (20) и после дифференцирования подставим q = НХ +h. В результате получим

Н^ВН — = f(X,q,O,(4.4.21)

dt

где через f обозначены все члены уравнения, не зависящие от dX / dt.

Лемма 4. det ГТВН Ф 0. Отсюда следует, что уравнения (21) можно разрешить относительно производных:

— = (HTBHpf(X,q,t).(4.4.22)

dt

Совместно с уравнениями связей (18)

^ = ЯХ+Ь.(4.4.23)

dt

Эти уравнения образуют систему 2m - 5 уравнений относительно т обобщенных координат q и т - s множителей X. Из последних уравнений следует, что, задав при t= t0 произвольно m координат q и т - s множителей X, мы можем получить единственное решение (22), (23), описывающее движение системы.

Доказательство. Если detHVBH = 0, то существует xeRm~s и х'Н'ВНх = 0. Обозначив Hx = yeRm, получим утВу = 0. Так как В - положительно-определенная матрица, то последнее равенство возможно только при у = 0. Но так как ранг Н равен т -s, то из у = 0 следует х = (). Тем самым доказано, что det ГГВНфО.

Замечание 1. Обычно в литературе вместо Х(г) используют обозначения

dlC

ад=(йЧоАо,...лт"ЧО), а х'(о=л'(о=—dt

называют квазискоростями, ^-квазикоординатами. Уравнения (20) носят название уравнений Аппеля.

Замечание 2. Представим матрицу С в условиях неголоном- ных связей (15) в следующем виде: С = (Gb G^, где Gx - матрица размера sxs, G2 - матрица размера sx(m-s). Представим

Г

q е Rm в виде q = I L где

=(qs+\ qs+2qm).

При этих обозначениях условия неголономных связей (15) можно представить в следующем виде:

С]^л + С2Х + а = 0.

Если det Gx ^ 0, то

H = -G1’1G2X-G1’1d.

Последние соотношения легко представить в виде (18): q = //X + h,

здесь

Я W . f-Gi"1 d

I I J 0

- нуль-- нуль-где I - единичная матрица (m-s)-ro порядка, OeRm

- нуль-

- нуль-

вектор: 0T =вектор: 0T =0X^00X^0

вектор: 0T =

вектор: 0T =

0X^0

0X^0

Описанный здесь метод обычно и используется при решении конкретных задач. В качестве квазискоростей тг (или, что то же самое, X) выбираются какие-либо т- s обобщенных скоростей,

относительно которых легко представить неголономные связи в виде

q — /VX + h.(***)

При этом в качестве начальных данных m-s обобщенных скоростей X можно задавать произвольно, а остальные обобщенные скорости определяются уравнением (***).

Различные формы уравнений Лагранжа.Интеграл энергии и интеграл Якоби

1°. В § 4.4 была получена система уравнений, решение которой описывает движение системы материальных точек в случае голономных связей- уравнения Лагранжа второго рода

^ V dq J у Эд^ V dq J у Эд= Q= Q(4.5.1)(4.5.1)

^ V dq J у Эд

^ V dq J у Эд

= Q

= Q

(4.5.1)

(4.5.1)

где qe7?m, T = T(q,q,r) - кинетическая энергия системы в обобщенных координатах, Q - вектор обобщенных сил.

Таким образом, для решения задач механики (при голономных связях) с помощью уравнений Лагранжа необходимо:

ввести обобщенные координаты: г = O(q, Г);

выразить кинетическую энергию через обобщенные координаты q, обобщенные скорости q и время t;

определить обобщенные силы Q как функции q, q, t;

составить уравнения (1).

Эти уравнения можно разрешить относительно вторых производных q, т.е. получить систему т уравнений второго порядка:

q=f(q, q, Ц.

Введя обозначение q = u е/? , эту систему можно привести к системе 2m, вообще говоря, нелинейных уравнений первого порядка:

й = f(q. u,0?

(4.5.2) q = u.

Обычно правые части (2) таковы, что при заданных начальных данных (z^Zq, u = u0, q = q0) существует единственное решение (2)

q = qO,^o Чо иоХ(4.5.3)

которое при t-tQ удовлетворяет условиям:

q(r0,Z0,q0,u0) = q0,^(q(r,ro,qo,uo))|?=?o =q0.

В общем случае решение (3) не удается выразить через элементарные функции или даже через интегралы от элементарных функций. Поэтому общим методом приближенного решения уравнений (2) на ограниченных интервалах времени являются различные варианты метода численного интегрирования. Этот метод успешно используется в большинстве практических задач. Однако во многих задачах механики представляют интерес исследования всех возможных траекторий движения системы в обобщенных координатах. Методами численного интегрирования это сделать не удается.

Поэтому особое внимание уделяется тем задачам, в которых удается получить решение системы, записанное через элементарные функции или интегралы от них. Такие задачи называются интегрируемыми. Многие практически важные задачи оказываются в определенном смысле близкими и интегрируемыми. Опираясь на эту «близость», часто удается на основе анализа интегрируемых задач получить представление об общих свойствах решений в задачах, близких к интегрируемым.

2°. Как было показано в § 4.3, если силы, действующие на систему, имеют потенциал U = U(Y.t\ то обобщенные силы

можно представить в виде

где U = С(Ф(д, t\ t) - выражение потенциала через обобщенные координаты. В этом случае уравнения Лагранжа записываются следующим образом:

^ у dg J у Эд^ у dg J у Эдд[/Уdqj 'д[/Уdqj '(4.5.4)(4.5.4)

^ у dg J у Эд

^ у dg J у Эд

д[/У

dqj '

д[/У

dqj '

(4.5.4)

(4.5.4)

Так как ЭШдд = 0, то можно ввести в рассмотрение так называемую функцию Лагранжа

L = L^ q, 0 = Ж. q, 0 - ^Ж 0(4.5.5)

и записать (4) в более компактном виде

d ( dL dt у Эдd ( dL dt у ЭдdzA dqjdzA dqj= 0.= 0.(4.5.6)(4.5.6)

d ( dL dt у Эд

d ( dL dt у Эд

dzA dqj

dzA dqj

= 0.

= 0.

(4.5.6)

(4.5.6)

Случай голономных связей и потенциальных сил описывает лишь специальный класс механических задач. Однако этот класс достаточно широк. Более того, большинство задач теоретической физики принадлежит этому классу.

Рассмотрим функционал

s = J (Т(ч,ч,0-и(ч,е>ж(*)

чz х . d<y(t, т)д = сг(^ т), д =—,

dt

где сг - произвольное отображение JtxJt^Rm. удовлетворяющее условию

Эст _ Эст

Эт т=0 Эт т=0

t=4 t=t2

Используя леммы вариационного исчисления, нетрудно пока

зать, что из вариационного принципа —= 0 при произволь-

(дт т=0

ном сг и S в виде (*) следуют уравнения (6).

Упражнение. Проведите все необходимые рассуждения.

Таким образом, каждой задаче рассматриваемого класса соответствует некоторая функция Лагранжа L(q, q, t\ а траекториями движения являются кривые в Rm, на которых интеграл действия по Гамильтону (функционал) принимает стационарное значение по сравнению с близкими кривыми. В вариационном исчислении такие кривые называются экстремалями функционала. Это не произвольные кривые в Rm; они описываются уравнениями (6).

Можно рассматривать задачи, в которых L(q, q, t) достаточно произвольные функции указанных аргументов. Однако, как мы знаем, в задачах механики функция L(q, q, t) должна быть квадратичной функцией обобщенных скоростей q.

Определение. Системы, описываемые уравнениями Лагранжа (6), где L - квадратичная функция q, называются натуральными.

В случае потенциальных сил нет надобности специально определять обобщенные силы Q; надо только выразить потенциал Z7(r,z) через обобщенные координаты и составить функцию Лагранжа.

Предположим теперь, что мы хотим в уравнениях (6) перейти от переменных q к переменным q, т.е. провести замену переменных

q = <p(q,O, qeRm, qeRm.

Будем предполагать, что эта замена не особенная, т.е. det — ^

0. Тогда, зная q (t), мы сможем определить q(t).

Пусть обобщенные координаты вводились вектор-функция- ми г = O(q, t). Пусть L(q, q, t) - функция Лагранжа для обобщенных координат q:

.( (dr А ~

L(q,q,?)= Г — -С/(г,Г).

V V ot)Л=Ф(ч,о,-=—^+—

dt dq dt ^t

Проведем теперь рассуждения, которыми мы уже пользовались. г

Если функционал S' - J (Т - U)dt достигает на некоторой ч

кривой г(/) стационарного значения на множестве допустимых кривых, то несущественно, в каких координатах мы описываем

эту кривую и множество допустимых кривых. Если мы рассмотрим вариационную задачу, введя переменные q, то получим

г = Ф(<р(д, 0,0 = Ф(<ь О,

(Т - U\=№, = L(q, q. О = ^(q, О, ^ + ^, Д ^ = ^

Отсюда следует, что для нахождения кривых, описывающих движение механической системы, необходимо найти экстремали функционала

S = J L(q,q,O^,

-/ х — d ,. d<rq = cr(M), q=— <т(?,т), — at дт т=°-/ х — d ,. d<rq = cr(M), q=— <т(?,т), — at дт т=°doдт T=odoдт T=o= 0, <r(Z, 0) = q(?)-= 0, <r(Z, 0) = q(?)-

-/ х — d ,. d<r

q = cr(M), q=— <т(?,т), — at дт т=°

-/ х — d ,. d<r

q = cr(M), q=— <т(?,т), — at дт т=°

do

дт T=o

do

дт T=o

= 0, <r(Z, 0) = q(?)-

= 0, <r(Z, 0) = q(?)-

Этой задаче соответствуют уравнения

d Гд£^ (dL ^ V dq J dqd Гд£^ (dL ^ V dq J dq= 0.= 0.(4.5.6)(4.5.6)

d Гд£^ (dL ^ V dq J dq

d Гд£^ (dL ^ V dq J dq

= 0.

= 0.

(4.5.6)

(4.5.6)

Таким образом, в новых переменных траектории описываются уравнениями точно того же вида, только с преобразованной функцией Лагранжа

Mq.q,0 = a ^O^q+^-.q-(**)

( dq df )

Это свойство уравнений Лагранжа называют их ковариантностью.

Упражнение. Формальной заменой q = <p(q, 0 в уравнениях (6) получите уравнения (6).

3°. Предположим, что действующие активные силы представимы в виде суммы

F = Fi + F2,(4.5.7)

где F] - потенциальная составляющая сил

F1=#L(4.5.8)

( dr )

a F2 - непотенциальная составляющая. Силам Fj и F2 соответствуют обобщенные силы

01 = 4^"1 ’ ^1 = ^1(ф(Ч’ 0,0, Q2 = № f2. (4.5.9)

М.Л. Лидов

d । ^L^ dt у dqd । ^L^ dt у dq=q2.=q2.гдегдеLX = T-UX.LX = T-UX.(4.5.11)(4.5.11)

d । ^L^ dt у dq

d । ^L^ dt у dq

=q2.

=q2.

где

где

LX = T-UX.

LX = T-UX.

(4.5.11)

(4.5.11)

Легко показать, что в этом случае уравнения Лагранжа (1) могут быть представлены в следующем виде:

(4.5.10)

Сейчас мы будем рассматривать этот более общий случай.

Интеграл энергии

Назовем Ех = Т + Пх механической энергией системы. Предположим, что голономные связи f = 0 явно не зависят от времени, т.е. f = f(r), df/dr = 0. Тогда, как показано в § 3.5, справедлива теорема об изменении кинетической энергии системы:

(4.5.12)(4.5.12)dT dA х

(4.5.12)

(4.5.12)

— = —= <Г VX

dt dt

где F - вектор силы, a v - вектор скорости: F е R3n, v е R3n.

ЭФ .

В этом случае v =q и правую часть уравнения (12) можно dq

записать в следующем виде:

/ ЭФ \(ЭФ 1\(F,v)= F,—q = — F,qMQ,q).\ dq / П dq J// ЭФ \(ЭФ 1\(F,v)= F,—q = — F,qMQ,q).\ dq / П dq J/ПодставляяПодставляя+ Q2’+ Q2’получим:получим:Т,у) = -/|^-| ,q)+<Q2,q).W dq J /Т,у) = -/|^-| ,q)+<Q2,q).W dq J /Легко показать, чтоЛегко показать, чтоЭСЛ Y ,\ dU, ди.—г ,q) =—LL.dq ) dt dtЭСЛ Y ,\ dU, ди.—г ,q) =—LL.dq ) dt dt(4.5.13)(4.5.14)(4.5.15)(4.5.16)(4.5.13)(4.5.14)(4.5.15)(4.5.16)

/ ЭФ \(ЭФ 1\

(F,v)= F,—q = — F,qMQ,q).

\ dq / П dq J/

/ ЭФ \(ЭФ 1\

(F,v)= F,—q = — F,qMQ,q).

\ dq / П dq J/

Подставляя

Подставляя

+ Q2’

+ Q2’

получим:

получим:

Т,у) = -/|^-| ,q)+<Q2,q).

W dq J /

Т,у) = -/|^-| ,q)+<Q2,q).

W dq J /

Легко показать, что

Легко показать, что

ЭСЛ Y ,\ dU, ди.

—г ,q) =—LL.

dq ) dt dt

ЭСЛ Y ,\ dU, ди.

—г ,q) =—LL.

dq ) dt dt

(4.5.13)

(4.5.14)

(4.5.15)

(4.5.16)

(4.5.13)

(4.5.14)

(4.5.15)

(4.5.16)

Используя (15) и (16), уравнения (12) запишем в следующем виде:

dExdtdExdt^-+<Q2,qXat^-+<Q2,qXat

dExdt

dExdt

^-+<Q2,qXat

^-+<Q2,qXat

где производная dUJdt вычисляется при постоянных обобщенных координатах q.

Если потенциал Ux задан как функция только г: Ux = Ц(г) и не зависит явно от времени, то и выражение Ux в обобщенных координатах тоже не будет зависеть явно от времени:

Ц=Ц(Ф(д)).

В этом случае dUJdt = 0 и

^MQ2,q).(4.5.18)

dt

Если система консервативна, т.е. связи не зависят явно от времени, и все силы имеют потенциал, не зависящий явно от времени, то Q2 = 0, dEJdt = 0, и мы приходим к полученному в § 3.5 интегралу энергии

Е = ЕХ = const.(4.5.19)

Упражнение. Выведите уравнение (17), используя уравнение (10) и условие ЭФ/Э? = О.

Определение. Непотенциальные силы Q2 называются гироскопическими, если

<Q2,q> = 0,(4.5.20)

и диссипативными, если

<Q2,q)^0.(4.5.21)

Из (20) и (18) следует, что справедлива следующая теорема.

Теорема. Если голономные связи явно не зависят от времени, потенциал Ux явно не зависит от времени, а непотенциальные силы - гироскопические, то справедлив закон сохранения энергии

Ex-T-\-Ux- const.(4.5.22)

Эта теорема обобщает теорему о сохранении полной энергии. Если же на систему действуют диссипативные силы, то энер

гия Ех убывает в процессе движения: —- ^ 0.

dt

Обобщенные силы могут зависеть от обобщенных скоростей, координат и времени. Предположим, что зависимость от скоростей определяется однородной линейной функцией

Q2=oq,(4.5.23)

где о = o(q, t) - квадратная матрица m-го порядка. 15*

Лемма 1. Для того чтобы непотенциальные обобщенные силы, линейные по обобщенным скоростям, были бы гироскопическими, необходимо и достаточно, чтобы матрица о была кососимметрической.

Доказательство. Рассмотрим скаляр

(4.5.24)(4.5.25)(4.5.26)(4.5.24)(4.5.25)(4.5.26)a = <Q2,q) = qToq. Очевидно,

(4.5.24)

(4.5.25)

(4.5.26)

(4.5.24)

(4.5.25)

(4.5.26)

a' = a = qTGTq.

Сложим эти два равенства:

2a = qT(G + GT)q.

Если g = —GT (матрица кососимметрическая), то а, а следовательно, <Q2,qX равны нулю, т.е. силы гироскопические. Обратно, если a = 0 при любых q, то симметрическая матрица G + GT = 0 и, следовательно, матрица G - кососимметрическая.

Уравнения Лагранжа в виде (6) можно получить не только в случае потенциальных сил. Предположим, что обобщенные силы Q представимы в виде

(4.5.27)

где V(q, q, t) - функция обобщенных координат, обобщенных скоростей и времени.

Определение. Если обобщенные силы представимы в виде (27), то функция V называется обобщенным потенциалом систе

мы.

В этом случае уравнения (1) могут быть записаны в следующей форме:

(4.5.28)(4.5.28)d ГЭЕ^ (dL^ V dq J dq

(4.5.28)

(4.5.28)

где_

L-T-V.(4.5.29)

В задачах механики обобщенные силы не должны зависеть от ускорений q или высших производных по времени от вектора q. Поэтому из (27) следует, что функция V может только линейно зависеть от q :

V=0Tq + [/],(4.5.30)

где Ux = t/^q, Й - скалярная функция, 0т = (О1 (б/, Г),..., О'" (б/, Г)) -

m-вектор. Подставляя (30) в (27), получим

Э0 . дО dOTqQ“q + ^ dq dt dqЭ0 . дО dOTqQ“q + ^ dq dt dq

Э0 . дО dOTq

Q“q + ^ dq dt dq

Э0 . дО dOTq

Q“q + ^ dq dt dq

или

дО fdO^ Y дО (dUAdq ydqj J dt ( dq

Обозначим:

dO । dOdq (dq

Это - кососимметрическая матрица размера тхт. Если dO / dt = 0, то

Q = Qi + Q2,(4.5.31)

где Q2 = oq - гироскопические силы, Qx =| _ потен-

циальные силы.

4°. Интеграл Якоби. Рассмотрим уравнения Лагранжа (10)(11) в случае, когда на систему действуют потенциальные и непотенциальные силы:

dfdl^X (dl^ dt у dq ) у dqdfdl^X (dl^ dt у dq ) у dq=q2,=q2,L^T-U,.L^T-U,.(4.5.32)(4.5.33)(4.5.32)(4.5.33)

dfdl^X (dl^ dt у dq ) у dq

dfdl^X (dl^ dt у dq ) у dq

=q2,

=q2,

L^T-U,.

L^T-U,.

(4.5.32)

(4.5.33)

(4.5.32)

(4.5.33)

-q2-q2d dtd dt-Ц +^-(q,Q2). dt-Ц +^-(q,Q2). dt

-q2

-q2

d dt

d dt

-Ц +^-(q,Q2). dt

-Ц +^-(q,Q2). dt

Умножим (32) скалярно на q и проведем преобразования:

(. d Г dLГ dL

q,~

dt у dq ) у dq

(4.5.34)

Если

^-<ч,02>=о,

dt

то из соотношения (34) мы получаем первый интеграл уравнений движения, который носит название интеграла Якоби*.

/ fdL,T\

(q, — )-L1 = /z = const.(4.5.36)

\/

Для того чтобы условие (35) выполнялось, достаточно, чтобы:

непотенциальные силы были бы гироскопическими

(q, Q2) = 0;

кинетическая энергия Т и потенциал Ux в обобщенных координатах не зависели бы явно от времени.

Замечание 1. Если обобщенные координаты вводятся с помощью вектор-функций, не зависящих явно от времени: г = Ф(д), ЭФ/д^ = 0, то

г = г2 =^qTs(^)q-

При этом — =S(^)q, /q, —4- ) = (q, — ) = qTB(^)q = 2Г,

и интеграл Якоби (36) будет иметь вид

2T-L^ =T^Ux=h = const,(4.5.37)

т.е. в этом случае интеграл Якоби совпадает с интегралом энергии.

Замечание 2. Условие ЪТ/dt = 0 может выполняться и в том случае, когда обобщенные координаты вводятся функциями г = Ф(д, f), явно зависящими от времени.

Пример. Рассмотрим систему материальных точек (rz, m^ i = = 1, 2, ... , п. Пусть Е - подвижный репер, начало которого совпадает с абсолютным репером Е, и А(^) - матрица преобразования Е—А^ >Е. Пусть г; - радиус-вектор z-й точки в проекциях на орты репера Е. Справедливы соотношения

г- =Ат(05, z =1,2,...,щ

a г/ = (т;1,^2,^3) можно рассматривать как обобщенные координаты, qT=(^,r2T,...,rnT). В этом случае Ф(q, t) явно зависит от времени.

Из основного соотношения кинематики

V,- = [<О, Г,] + У^,

гри

где vr = А - вектор относительной скорости в проекциях на

(***)(***)орты репера Е, со - вектор угловой скорости вращения Е относительно Е. В проекциях на орты репера Е

(***)

(***)

An- = [ю,г] +—L,dt

со = Асо - проекции вектора со на орты репера Е. Используя (***), получим следующее выражение для кинетической энергии системы:

11( dr 2 dr

Т = — У т- V- = У mA —L + [со,г] 2 +2(—L,[co,r ]) . 1 12 — zl dt 1 z 1 \dt 1 \

Если co - постоянный вектор, то 3T/3t = 0.

Предположим теперь, что условие (35 выполнено. Однако

ТфТъъ Т=Т2 + Т\ + Т^ Г2 =-qTBq, =Z?Tq, ^ = 0. В этом 2dq

• ( 5Дq’lFV dq• ( 5Дq’lFV dqслучае

• ( 5Дq’lFV dq

• ( 5Дq’lFV dq

qJ / = 272+7[, Ly = Т2 + 7] + Т0 — Uy.vdqy /

В этом более общем случае интеграл Якоби (36) имеет вид Тг + Uy - Го = h = const.

Упражнение. Напишите формулы для Т^ и Tq б рассмотренном выше примере, когда rz = ATrz.

Замечание 3. Если на систему наложены еще неголономные связи Cq + d = (X то, согласно (4.4.10), движение системы в пространстве обобщенных координат удовлетворяет аналогу уравнения Даламбера-Лагранжа

d ( ЭЕ dt ydqd ( ЭЕ dt ydq(4.5.38)(4.5.38)

d ( ЭЕ dt ydq

d ( ЭЕ dt ydq

(4.5.38)

(4.5.38)

dZqdq JdZqdq J

dZq

dq J

dZq

dq J

где ^q - произвольная ^-допустимая вектор-функция. В рассматриваемом случае потенциальной и непотенциальной составляющих сил это уравнение можно написать в следующем виде:

d । dZ^ dt у dq

Если в уравнениях неголономных связей вектор d равен нулю, то Cq = 0.(4.5.40)

Используя лемму 1 § 4.2, нетрудно показать, что

^ = 3(0ф 3(0 = 1 при t е [^ + S,r2 -5] = Jt, 30i) = 3(0) = °, т.е. ^q является допустимой вектор-функцией. Тогда на интервале времени Jt из уравнений (39) и (40), в частности, следует:

Это уравнение совпадает с (34) и, следовательно, в случае неголономных связей существует интеграл Якоби, если d = 0 и выполнено соотношение (35).

5°. Определение обобщенных реакций связей. В § 4.4 мы описали способ решения задач при неголономных связях

C(qT)q + d(q,0 = 0(4.5.41)

(С - матрица размера s х т, d - s-вектор) методом введения обобщенных реакций связей. Исходя из уравнения Даламбера- Лагранжа в обобщенных координатах

тЫ " 3“ ’М = 0’ С^=о’ L = L(q,q,0,\dt\dq) yoqj

мы вывели уравнения

d f dL^ f dL dt^dq) ydqd f dL^ f dL dt^dq) ydq= Qv= Qv(4.5.42)(4.5.42)

d f dL^ f dL dt^dq) ydq

d f dL^ f dL dt^dq) ydq

= Qv

= Qv

(4.5.42)

(4.5.42)

(4.5.43)(4.5.43)(4.5.44)(4.5.44)

(4.5.43)

(4.5.43)

(4.5.44)

(4.5.44)

и показали, что обобщенные силы реакций представимы в виде Qjv = СТХ. При этом система уравнений (41) и (42) определяет q(r) и X(t\ Эта процедура, в частности, применима и в том случае, когда соотношения (41) являются голономными связями

<p(q,O = O, (tp(qpeRs, qeRm),

записанными в дифференциальной форме

дер .dtp„

Vq - V0.

dq Bt

Однако в случае, когда (41) - голономные связи, можно поступить иначе. Можно определить отображение

ф: JtRm s Rm. задаваемое вектор-функцией

д = Ф(д,0д = Ф(д,0(4.5.45)

д = Ф(д,0

д = Ф(д,0

так, что 5 условий связей (43) будут удовлетворены при любых q, принадлежащих некоторой области U cRm"s, и любых t g Jt:

<р(ф(д,О,О = О при qe[/, teJn

и будут выполнены остальные требования к обобщенным координатам.

Если неголономных связей нет, то мы приходим к задаче с функцией Лагранжа

^(q,q,O = 4^(q,O, ^Iq+t^ V dq dt^(q,q,O = 4^(q,O, ^Iq+t^ V dq dtи уравнениямии уравнениямиd [ dL dt ^qd [ dL dt ^qdL<dqdL<dq= 0.= 0.(4.5.46)(4.5.47)(4.5.46)(4.5.47)

^(q,q,O = 4^(q,O, ^Iq+t^ V dq dt

^(q,q,O = 4^(q,O, ^Iq+t^ V dq dt

и уравнениями

и уравнениями

d [ dL dt ^q

d [ dL dt ^q

dL

<dq

dL

<dq

= 0.

= 0.

(4.5.46)

(4.5.47)

(4.5.46)

(4.5.47)

Если q(z) - решение системы (47), то вектор-функция q(z) = ф(оХ/Х /■) должна удовлетворять (42). Подставляя это выражение q(Z) в левую часть (42), мы определим обобщенные силы реакций, обусловленные голономными связями (43).

Замечание. Если, в частности, q - декартовы координаты, то Q^ - обычные силы реакций связей.

§ 4.6. Первые интегралы уравнений Лагранжа

1°. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений Д/-го порядка

— = ЦхА(4.6.1)

dt

При заданных начальных условиях (t = t^ х = х0) уравнения (1) в общем случае определяют единственную интегральную кривую (или траекторию)

х = х^> О, х(х0, t^ = х0.

Пусть 9 = 9(х, г) - вещественная функция указанных аргументов. Вдоль траектории движения 9(х(х0, t\ t) = <p(t) определяет некоторую функцию времени.

Определение. Если вдоль любой траектории системы (1) функция ф равна постоянной: d^/dt =0, то 0(х, Г) называют первым интегралом системы уравнений (1) (иногда говорят короче: интеграл системы уравнений). Из определения следует:

0(x(xo, t), t) = 0(хо, z0) = ос = const.(*)

Дифференцируя последнее равенство по t, получим

—f(x,Z) + —= 0.(4.6.2)

dx Э?

Обратно: если 0(х, t) - какое-либо решение уравнения в частных производных (2), то все точки траектории (х(х0, t), t) будут принадлежать гиперповерхности 0(х, t) = 0(хо, Zo) = ос в пространстве 7?^+1 переменных х и t.

Во многих случаях оказывается, что найти первый интеграл системы уравнений (если он существует) проще, чем проинтегрировать систему (1).

Предположим, что какой-либо первый интеграл 0(х, t) найден. Рассмотрим уравнение

0(х, t) = а,(4.6.3)

где а - постоянное число.

Представим хт = (х1, ут), ут = (х2, ... , х^), у е RNi и запишем систему (1) в следующем виде:

(4.6.4)

dt

Предположим, что 00/0Х1 ^ 0. Тогда мы можем разрешить (3) относительно х1:

Xх = Х|/(ос, у, t), V е R.(4.6.5)

Если подставить х1 в виде (5) в систему уравнений (4), то получим замкнутую систему уравнений (N - 1)-го порядка:

^ = 1(>у(а,уЛуА(4.6.6)

dt

Уравнениям (6) и (5) удовлетворяют все решения уравнений (1) с начальными условиями (Го, х0), принадлежащими гиперповерхности 0(х, t) = а.

Предположим, что мы знаем к ^ Nпервых интегралов

0(х, г) = а, 0 е Rk, ос е Rk.(4.6.7)

Определение. Первые интегралы (7) называются независимыми, если ранг матрицы Э9/Эх максимален (равен ^).

Представим хт = (zT, ут), zT = (х1, х2, ... , х^), ут = (xk+i, ... , xN) и предположим, что det(d9/dz) ^ 9. Тогда из (7) можно выразить переменные z как функции у,1, a: z = ф(у, t, а) (здесь ф е Rk\ a для переменных у получится система уравнений вида (6), где в рассматриваемом случае у е RN~k, f е RN k.

Так как трудности интегрирования системы уравнений обычно существенно уменьшаются при уменьшении порядка системы, то стремятся найти максимальное число независимых первых интегралов.

Все рассуждения, проведенные выше, относятся к общим системам обыкновенных дифференциальных уравнений в виде (1). Если мы оисываем задачу механики в декартовых координатах, то можем привести уравнения движения к виду (1), полагая х = (г, у), где г е R3n - совокупность координат точек системы, v = dv/dt.

Для задач, описываемых уравнениями Лагранжа, x = (q,q), qe7?m, q = dq/dt, а для задач, в которых движение системы определяется уравнениями Аппеля, х = (q, X).

Из общих теорем механики при определенных условиях следуют теоремы о сохранении, например, проекции вектора количества движения системы, проекции вектора момента количества движения системы, полной энергии системы (см. § 3.5):

(Р, а0) = const, (К, со0) = const, Е = const.

Величины Р, К, Е являются функциями х = (г, у) и при описании задачи механики в декартовых координатах (см. § 3.5) являются первыми интегралами соответствующей системы уравнений.

В § 4.5 мы указали условия, при которых уравнения Лагранжа обладают интегралами энергии E](q,q) = Т ^Ux = const или интегралом Якоби (Э^ / dq )q - L^ = const.

Очевидно, во всех случаях, когда система уравнений механики в декартовых координатах обладает первым интегралом

9(г, у, г) = а, (**) существует соответствующий первый интеграл при описании задачи в обобщенных координатах. Если обобщенные координаты вводятся вектор-функциями

Г = O(q, t\ q е Rm, Фе R3n, то первому интегралу (**) в обобщенных координатах соответ-

ствует первый интеграл

(ЭФЭФ

(dqdtJ

Сейчас мы отметим еще некоторые случаи, когда уравнения Лагранжа имеют первые интегралы. При этом вопросы, связанные с особенностями понижения порядка системы уравнений движения в задачах механики, рассмотрим позже.

2°. Циклические координаты. Предположим, что связи голо- номны и все действующие силы имеют потенциал или обобщенный потенциал. Тогда движение механической системы описывается уравнениями Лагранжа

d f dL । dL4z

——= 0, z=l,2,...,m,(4.6.8)

^ydq J dq

где L(q,qT) - функция Лагранжа, qT = (g1,^2,...,^), qT = = (q ,q ,...,q ).

Определение. Если функция Лагранжа не зависит от обобщенной координаты q\ то такая координата называется циклической. Из (8) следует, что если ql - циклическая координата, то

d dLdL

— = 0 и —— = р• = const.(4.6.9) dt dq1dq1

Следовательно, каждой циклической координате соответствует первый интеграл уравнений Лагранжа.

3°. Теорема Э. Нётер. Пусть L(q,q,t) - функция Лагранжа (возможно и для ненатуральной системы). Вектор-функция q(t) е Rm, определяющая траекторию системы в пространстве обобщенных координат, удовлетворяет уравнениям Лагранжа

d ( dL dt ydqd ( dL dt ydqdzAdq)dzAdq)= 0.= 0.(4.6.8)(4.6.8)

d ( dL dt ydq

d ( dL dt ydq

dzA

dq)

dzA

dq)

= 0.

= 0.

(4.6.8)

(4.6.8)

Пусть q = <p(q, t, т) (I t I < e, e > 0) - однопараметрическое семейство (параметр т) вектор-функций, задающих в каждый момент времени t взаимно однозначное отображение (р: Rm —> Rm из пространства обобщенных координат q е Rm в пространство обобщенных координат q е Rm. Траектория движения q(t) соответствует траектории q(t) = (^Y^YL^Y

Будем предполагать, что отображение <р обладает следующим свойством А): при т = 0 <р есть тождественное отображение,

ИЛИА)ИЛИА)<p(q,r,O) = q.<p(q,r,O) = q.(4.6.10)(4.6.10)

ИЛИ

А)

ИЛИ

А)

<p(q,r,O) = q.

<p(q,r,O) = q.

(4.6.10)

(4.6.10)

Из А), в частности, следует, что

а)а)dtpt»t т=0dtpt»t т=0в) Аdqв) Аdq= 1 - единичная матрица m-го порядка,= 1 - единичная матрица m-го порядка,

а)

а)

dtp

t»t т=0

dtp

t»t т=0

в) А

dq

в) А

dq

= 1 - единичная матрица m-го порядка,

= 1 - единичная матрица m-го порядка,

в) ч1т=ов) ч1т=оЭ<р = [^Р^ + ^5Рdr т=0 (dq dr

в) ч1т=о

в) ч1т=о

Выразим функцию Лагранжа L через переменные q,q,r:

L(q,q,Г) = l(<p(q,Г, т), ^^’^A) й = £*(q, q т) = L*.(4.6. И)

Vdt )

Используя свойство А) и следствия а)-в), определим, что при т = 0

Б*|т=0 =£7q^0) = L(q,q,r).

Б)Б)Теорема Э. Нётер. Если для отображения <р, удовлетворяющего условию (10) (свойству А)), выполнено условие

Б)

Б)

dT

т=0

то система уравнений Лагранжа имеет первый интеграл

—£ = р = const,(4.6.12)

dq

eR".eR".где L = L(q, q, r), £ = ^q, r) = ^ dT

eR".

eR".

Замечание. Для L = T- U(q, t) очевидно dL/dq = ЭТ/dq.

Доказательство. Дифференцируя (11) по т и полагая х = 0, получим

dL*(dL dtp dL d dip A

0 = =1— +—.(***)

dx n I dq dx dq dx dt J nt=0 v/т=0

Рассматривая tp как функцию t и x (tp = <p(q(r),r,x)), находимd d^ _ d dtpdx dt dt dx ’

Из (***) следует равенство

dL х

0 = —C(q,o +

dL d dq dtdL d dq dtЦъРЦъРгде Цу, t) =где Цу, t) =d<pдт т=0d<pдт т=0Это соотношение можно преобразовать:Это соотношение можно преобразовать:dLdqdLdqd dLdt dqd dLdt dq) dt\d<x )) dt\d<x )= 0.= 0.dq

dL d dq dt

dL d dq dt

ЦъР

ЦъР

где Цу, t) =

где Цу, t) =

d<p

дт т=0

d<p

дт т=0

Это соотношение можно преобразовать:

Это соотношение можно преобразовать:

dL

dq

dL

dq

d dLdt dq

d dLdt dq

) dt\d<x )

) dt\d<x )

= 0.

= 0.

Так как q(7) удовлетворяет уравнению Лагранжа (8), то первое слагаемое равно нулю. Отсюда следуют

d ( dLЛ _

— —£(q,0 =°dtydq)

и первый интеграл (12).

Покажем, как получаются с помощью теоремы Э. Нётер первые интегралы уравнений движения в некоторых известных нам случаях.

4°. Предположим, что в рассматриваемой задаче qx - циклическая координата, т.е. функция Лагранжа не зависит от q1:

L

r / • 1• т 2 т

= L^q .....q ,q .....q dL

Рассмотрим преобразование <p, определяемое следующими формулами:

ql = Ql О 1)? ^ - ^ + т-

Непосредственно видно, что выполнены условия А) и Б): dLYdr =

= 0. Вектор £ = — дт= 0. Вектор £ = — дтимеет видимеет вид

= 0. Вектор £ = — дт

= 0. Вектор £ = — дт

имеет вид

имеет вид

с = (1,о, 0,...,0).

Первый интеграл (dL/dq) £ = а получим в виде (9)

dL

dq

5°. Предположим, что рассматривается замкнутая свободная система материальных точек (г^, т), j = 1, 2, ... , п, т.е. система материальных точек без внешних сил и связей. Предположим, что внутренние силы не зависят от скоростей точек системы. Тогда они имеют потенциал (см. (1.7.2))

U = [/(I Г! -г2 I, ... , I гп_г -Yn I),

зависящий только от расстояний между точками. Функция Лагранжа имеет вид

L = T-U,

где

Рассмотрим преобразование <р, определяемое следующими соотношениями:

Yj =Yj + а°т, у = 1,2,...,щ

где а9 е R3 - постоянный вектор, I а0 I = 1.

Легко показать, что в этом случае выполнены свойства А) и Б) и существует первый интеграл

(****)

где

dL( drA АdqV dt )dL( drA АdqV dt )Из (****) получаемИз (****) получаем(P,a°) = p,(P,a°) = p,где P = ^my —- - количество движения системы. Так как а0 - 7=1 dtпроизвольный вектор, то, рассматривая последовательногде P = ^my —- - количество движения системы. Так как а0 - 7=1 dtпроизвольный вектор, то, рассматривая последовательно(0\(0\1 , «°1 , «°чества движения:чества движения:О , получим векторный интеграл коли-О , получим векторный интеграл коли-11Р = Р = const,Р = Р = const,

dL( drA А

dqV dt )

dL( drA А

dqV dt )

Из (****) получаем

Из (****) получаем

(P,a°) = p,

(P,a°) = p,

где P = ^my —- - количество движения системы. Так как а0 - 7=1 dt

произвольный вектор, то, рассматривая последовательно

где P = ^my —- - количество движения системы. Так как а0 - 7=1 dt

произвольный вектор, то, рассматривая последовательно

(0\

(0\

1 , «°

1 , «°

чества движения:

чества движения:

О , получим векторный интеграл коли-

О , получим векторный интеграл коли-

1

1

Р = Р = const,

Р = Р = const,

Р = <Р\Р\Р3\ Рт = ф!,Р2, Р3).

6°. Упражнение. В задаче, рассмотренной в 2°, получите с помощью теоремы Э. Нётер первый интеграл проекции момента количества движения: (К, <о°) = const.

Указания. 1. Надо обосновать справедливость условий А) и Б) при

преобразовании ср:

rz = AT(r)rz,

где Ат(т) - матрица поворота, удовлетворяющая условию: Ат(0)= 1- единичная матрица третьего порядка.

Для получения первого интеграла в виде (К, со0) = const следует использовать обозначение <о° для вектора/?3, соответствующего кососимметрической

т=0т=0ЭАТ матрице дт

т=0

т=0

(4.6.13)(4.6.13)7°. Теорему Э. Нётер можно применять и в случае непотенциальных сил, если взять в качестве L(q,q,t) выражение (4.4.5)

(4.6.13)

(4.6.13)

L(q, q, z) = T(q, q, г) + <F(O, Ф(Ч, 0),

где (•, •) - скалярное произведение в R3n, г = O(q, 0 задает обобщенные координаты в системе, вектор FT(t) = (F^F^„^F^) составлен из упорядоченных компонентов векторов сил F-T = = {F^F^F^\ действующих на материальные точки системы. Вектор F(t) при дифференцировании L по q и q рассматривается как явная функция времени. Уравнения Лагранжа в этом случае имеют вид

dt у dq ) у dq )у dq J

. В результате операций, т=0. В результате операций, т=0Проведем в (13) преобразование q = tp(qV,T), удовлетворяю-

. В результате операций, т=0

. В результате операций, т=0

щее свойству А) (11), и вычислим дт

аналогичных проведенным выше, получим

ЭГдтЭГдтdr Эг Lq dq ) dt у dq )dr Эг Lq dq ) dt у dq )dtp dTdtp dT'Р*. <4.6.14)dtydq дт) 0'Р*. <4.6.14)dtydq дт) 0

ЭГдт

ЭГдт

dr Эг Lq dq ) dt у dq )

dr Эг Lq dq ) dt у dq )

dtp dT

dtp dT

'Р*. <4.6.14)

dtydq дт) 0

'Р*. <4.6.14)

dtydq дт) 0

= 0, тот=0= 0, тот=0Так как первое слагаемое в правой части (14) равно нулю в силу

= 0, то

т=0

= 0, то

т=0

уравнении Лагранжа, если выполнено условие Ь) дт

= Р = const.= Р = const.(4.6.15)(4.6.15)из (14) следует первый интеграл дГ Л д<р Л dq ( дт JT=0

= Р = const.

= Р = const.

(4.6.15)

(4.6.15)

Можно показать, что если голономные связи допускают в R3 сдвиг системы материальных точек как твердого тела в направлении, определяемом вектором a0 g R3, то в обобщенных координатах этому преобразованию соответствует некоторое преобразование q = <р(д,^т), удовлетворяющее свойству А). Чтобы при этом преобразовании производная по т от

L* = т( <p(q, t, т), |^q + ^, t | + (F(0,Ф(<p(q, t, т), 0) (dq ot )

при т = 0 обращалась в нуль, необходимо и достаточно обращение в нуль проекции на а0 суммы внешних сил: (F(e), а0) = 0. При этом вытекающий из теоремы Э. Нётер первый интеграл dL dtp

—:= р оказывается интегралом проекции вектора коли- dq dT т=о

чества движения системы

(Р, а0) = const,

записанным в обобщенных координатах.

Если же связи допускают вращение системы как твердого тела вокруг проходящий через начало координат оси со0 е R3, то повороту вокруг со0 будет соответствовать некоторое другое преобразование q = tp(qT,T), удовлетвояющее свойству А). При

этом условие Ь) = 0 будет выполнено, если проекция на

dT т=о

со0 суммы моментов внешних сил Ми, действующих на все точки системы, равна нулю. Соответствующий этому преобразова-

„dL dtp „

нию первый интеграл —;= р оказывается известным нам dq dT т=о

интегралом проекции момента количества движения (3.5.29)

(К, со0) = const.

Аккуратный вывод этих результатов требует определенной последовательности рассуждений. Мы не будем приводить его в этих лекциях, так как существование этих первых интегралов уже доказано. Отметим, что самостоятельное доказательство сформулированных положений является хорошим (но не тривиальным) упражнением.

Замечание. Теорема Э. Нётер допускает обобщение на тот случай, когда при преобразовании (р изменяется и независимая

16. М.Л. Лидов

переменная (время):

Г = ф(Ч,Г,т), q = <p(q,F,T).

Тогда из такой более общей теоремы можно получить условия, при которых существует интеграл энергии.

4.7. О дифференциальном уравнении z2 = /(z,a)

Решение некоторых задач, которые мы будем рассматривать, удается свести к решению одного дифференциального уравнения следующего вида:

z2 =/(;,«),(4.7.1)

где -eR, ct е ^-параметры задачи,/е R - достаточно гладкая функция указанных переменных. Нас будут интересовать вещественные решения. При каждом а значения z, для которых существует решение (1), определяются условием/(z, ct) > 0. Если (z, z) удовлетворяет (1), то fe-i) тоже удовлетворяет (1). Поэтому можно исследовать поведение траекторий только в полуплоскости 7^0 плоскости (z,z).

Пусть /, ct* - какое-либо решение уравнения/^, а) = 0. В его окрестности

f(^a) = a(z-z*) + ^(z-z*)2 + 8 +

+O(|6|2) + O(|Z-Z* |3)+O(|8||z-f I), где

° dz° dz1 d2.

° dz

° dz

s=3Ldas=3Lda(«-«*),(«-«*),О(И)ИО(И)Иэ 1 приэ 1 при|%Н0.|%Н0.dz

s=3L

da

s=3L

da

(«-«*),

(«-«*),

О(И)

И

О(И)

И

э 1 при

э 1 при

|%Н0.

|%Н0.

Э/ даЭ/ даНиже мы будем рассматривать случай общего положения, когда

Э/ да

Э/ да

^ 0 и а1 + Ь1 Ф 0. Специальные случаи, когда эти условия нарушаются, также могут быть исследованы, однако они нам не

потребуются.

Пусть а Ф 0. Тогда при достаточно малых I z - Z I и I 8 I поведение решений (1) приближенно описывается уравнением

j2=a(z-z*) + 5.(4.7.2)

Участки траекторий в плоскости (^z) представлены на рис. 66 для случая а > 0 и на рис. 67 для а < 0. Эти траектории пере-

Рис. 66Рис. 67Рис. 66Рис. 67

Рис. 66Рис. 67

Рис. 66Рис. 67

секают ось z = 0 под прямым углом. Через точку (z*, 0) проходит решение, соответствующее 8=0. Дифференцируя (2) по Ц получим z = a/2. откуда z = (a/2Xt -tQ\ где t0 - момент времени, когда 7 = 0. Отсюда следует, что малый участок траектории —s < z < £ (е > 0) проходится за конечное малое время Az ~ = 4e/I а I.

Б) Если а = 0, b < 0, 8 ^ 0, то в окрестности точки У, 0) траектории приближенно представляют семейство эллипсов

z2+|^|(z-z*)2 =8.z2+|^|(z-z*)2 =8.(4.7.3)(4.7.3)

z2+|^|(z-z*)2 =8.

z2+|^|(z-z*)2 =8.

(4.7.3)

(4.7.3)

При этом 8 = 0 соответствует особая траектория (точка) z = 0, z = z.

При z = 0, z = z* из (1) следует z = 0. Этой точке соответствует равновесное решение уравнения (1). По общей классификации особых точек дифференциальных уравнений - это особая точка типа центра. Малое отклонение начальных данных от этой точки приводит к решениям (3), которые остаются близкими к равновесному. В этом случае говорят об устойчивом положении равновесия.

Строгую постановку проблемы устойчивости равновесия мы рассмотрим позже. Можно показать, что при достаточно ма

лых I 8 I и I z - z I решения исходного уравнения (1) будут каче

ственно вести себя так, как показано на рис. 68.

z^bXz-z^ =8.z^bXz-z^ =8.(4.7.4)(4.7.4)Если а = 0 и b > 0, то в окрестности точки (z\ 0) траектории описываются приближенным уравнением

z^bXz-z^ =8.

z^bXz-z^ =8.

(4.7.4)

(4.7.4)

Рис. 69Рис. 69Значению 8 = 0 отвечают две траектории, «входящие» в точку (Z, 0), и две траектории, «выходящие» из нее: z = ±7F(z-z*) (рис. 69).Значениям 8 > 0 или 8 < 0 соответствуют участки гипербол. При 8 = 0 точке (z*, 0) отвечает равновесное решение уравнения (1). В этой точке не только z = 0,Значению 8 = 0 отвечают две траектории, «входящие» в точку (Z, 0), и две траектории, «выходящие» из нее: z = ±7F(z-z*) (рис. 69).Значениям 8 > 0 или 8 < 0 соответствуют участки гипербол. При 8 = 0 точке (z*, 0) отвечает равновесное решение уравнения (1). В этой точке не только z = 0,но и z — 0. По общей классификации особых точек такая точка называется особой точкой типа седла.Проинтегрируем уравнение z = 4b (z = z*) при начальных данных t = t0, z = zQ<z'.d ln(z* - z) = -4b dt,но и z — 0. По общей классификации особых точек такая точка называется особой точкой типа седла.Проинтегрируем уравнение z = 4b (z = z*) при начальных данных t = t0, z = zQ<z'.d ln(z* - z) = -4b dt,-Zo-Zoоткудаоткудаг = гЧ,-^<Но).г = гЧ,-^<Но).Рис. 70Рис. 70Двигаясь по этой траектории, можно достичь особой точки z = = z только за бесконечное время.

Рис. 69

Рис. 69

Значению 8 = 0 отвечают две траектории, «входящие» в точку (Z, 0), и две траектории, «выходящие» из нее: z = ±7F(z-z*) (рис. 69).

Значениям 8 > 0 или 8 < 0 соответствуют участки гипербол. При 8 = 0 точке (z*, 0) отвечает равновесное решение уравнения (1). В этой точке не только z = 0,

Значению 8 = 0 отвечают две траектории, «входящие» в точку (Z, 0), и две траектории, «выходящие» из нее: z = ±7F(z-z*) (рис. 69).

Значениям 8 > 0 или 8 < 0 соответствуют участки гипербол. При 8 = 0 точке (z*, 0) отвечает равновесное решение уравнения (1). В этой точке не только z = 0,

но и z — 0. По общей классификации особых точек такая точка называется особой точкой типа седла.

Проинтегрируем уравнение z = 4b (z = z*) при начальных данных t = t0, z = zQ<z'.

d ln(z* - z) = -4b dt,

но и z — 0. По общей классификации особых точек такая точка называется особой точкой типа седла.

Проинтегрируем уравнение z = 4b (z = z*) при начальных данных t = t0, z = zQ<z'.

d ln(z* - z) = -4b dt,

-Zo

-Zo

откуда

откуда

г = гЧ,-^<Но).

г = гЧ,-^<Но).

Рис. 70

Рис. 70

Зафиксируем значения параметров а. Если уравнение /(^ а) = 0 не имеет действительных корней, то, в зависимости от знака начального значения z при t = t0, z(t) будет либо монотонно

увеличиваться, либо монотонно уменьшаться (рис. 70). Никаких других решений в данном случае нет.

д/д/1) ^ >0 или 2 Д dz *dz1) ^ >0 или 2 Д dz *dzdzdzozoz22Пусть z наибольший корень. Если выполнены условия

д/

д/

1) ^ >0 или 2 Д dz *dz

1) ^ >0 или 2 Д dz *dz

dz

dz

oz

oz

2

2

то существуют траектории, показанные на рис. 71 и 72 соответственно.

Для случая, когда z - наименьший корень и выполнены условия

ozoz<0 или 4) — dz<0 или 4) — dzогог>0,>0,

oz

oz

<0 или 4) — dz

<0 или 4) — dz

ог

ог

>0,

>0,

существуют траектории, показанные на рис. 73 и 74 соответственно.

Предположим теперь, что ^ и^ (4 <^) - два соседних корня (между ними нет других корней) и выполнены следующие условия:

5)5)д/д/^4^4>0,>0,д/д/^ 4^ 4<0,<0,»> г07»> г072121= 0■ э?= 0■ э?070721218) 1078) 1072121

5)

5)

д/

д/

^4

^4

>0,

>0,

д/

д/

^ 4

^ 4

<0,

<0,

»> г

07

»> г

07

21

21

= 0

■ э?

= 0

■ э?

07

07

21

21

8) 107

8) 107

21

21

Рис. 75Рис. 75

Рис. 75

Рис. 75

Соответствующие траектории показаны на рис. 75-78.

Кроме указанных траекторий, следует отметить траектории, соответствующие устойчивому и неустойчивому положениям равновесия. Характер поведения всех траекторий уравнения

Рис. 76Рис. 77Рис. 78

т2 = Д7,О1) при фиксированном а однозначно определяется графиком/^, а). Для иллюстрации на рис. 80 показаны траектории, отвечающие графику, представленному на рис. 79.

Для того чтобы точке (z*, 0) соответствовало положение равновесия, необходимо выполнение двух условий:

/(z*,a) = 0 и ^-(z*,a) = 0.

Поэтому равновесные решения существуют лишь при особых значениях параметра а. А следовательно, и траектории, входящие (выходящие) в неустойчивую особую точку, существуют лишь при особых значениях параметра а.

§ 4.8. Задача о математическом маятнике

1°. Для решения задачи нам необходимо выразить кинетическую энергию материальной точки в цилиндрических координатах.

Пусть гт = (г1, г2, г3) - декартовы координаты точки М относительно репера Е. Цилиндрические координаты qT = (р, ф, z) в R3 вводятся соотношениями (рис. 81) г = Ф (q):

г1 — р cos ф, г2 = р sin ф, г3 = г (4.8.1)

Используя (1), нетрудно вычислить определитель

дФ det — = det

dq

dr1 dr1 dr1

= p-

др дф д/ dr2 dr2 dr2 др дф dz dr3 dr3 dr3

v др дф дг ?

Следовательно, преобразование (1) за исключением оси р = 0 не имеет особенностей.

Пусть теперь г(/) определяет траекторию движения. В координатах q эта траектория описывается функциями q(Z). Дифференцируя (1) по t, получим

г1 = рсозф-рфзтф,

г2 = р8Шф + рфсо8ф, (4.8.2)

Используя (2), получим выражение для

Рис. 81Рис. 81_ 1Т = —т_ 1Т = —т22dr 2 dtdr 2 dt= jm^r1)2 + (r2)2 + (r3)2] = ™ (p2 +р2ф2 + j2). (4.8.3)= jm^r1)2 + (r2)2 + (r3)2] = ™ (p2 +р2ф2 + j2). (4.8.3)кинетической энергии материальной точки (г, т) в цилиндрических координатах

Рис. 81

Рис. 81

_ 1

Т = —т

_ 1

Т = —т

2

2

dr 2 dt

dr 2 dt

= jm^r1)2 + (r2)2 + (r3)2] = ™ (p2 +р2ф2 + j2). (4.8.3)

= jm^r1)2 + (r2)2 + (r3)2] = ™ (p2 +р2ф2 + j2). (4.8.3)

t = -pVt = -pVр = const.р = const.(4.8.4)(4.8.4)

t = -pV

t = -pV

р = const.

р = const.

(4.8.4)

(4.8.4)

2°. Задача о маятнике. Рассмотрим движение материальной точки (г, т), ограниченное голономными связями: г3 = 0, (г1)2 + + (г2)2 = р2 = const. Предположим, что на эту точку действует активная сила тяжести F(e) = т ge^ где g > 0 - постоянная, е^ = (1,0,0). Такая задача называется задачей о математическом маятнике.

Сила F(e) потенциальна. Действительно,

(dU АJ

F • - -I , где U = -mgr .

V dr /

Удобно рассматривать эту задачу в цилиндрических координатах (1). Тогда условие голономных связей можно записать в следующем виде:

р = 0, z = 0.

Все возможные положения нашей «системы», совместимые со связями, определяются одной обобщенной координатой

ф - углом между радиусом-вектором точки (г, т) и ортом ej

(рис. 82). В рассматриваемом случае из (3) получим выражение для кинетической энергии в «обобщенных координатах»

Выразим потенциал задачи U через координату ф:

(4.8.5)(4.8.5)U = -т^рсозф.

(4.8.5)

(4.8.5)

Таким образом, мы пришли к задаче, для которой функция Лагранжа L(ф, ф) имеет вид

L = T -U = ^р2ф2 +т£рсо8ф.(4.8.6)

Составим уравнения Лагранжа:

dL 2 • dL .

—г = mp ф, — = -mgp sin ф, ЭфЭф

О —> тр2ф = -mgp sin ф.О —> тр2ф = -mgp sin ф.d dL dLdt d(j) dфВведя обозначение

О —> тр2ф = -mgp sin ф.

О —> тр2ф = -mgp sin ф.

получимполучим(О2 = —,р

получим

получим

(4.8.7)(4.8.7)•2 •

(4.8.7)

(4.8.7)

ф = — СО 81Пф.

3°. В § 3.11 мы вывели уравнения движения твердого тела в случае, когда идеальные связи допускают только вращение тела вокруг неизменной оси. Эти уравнения имеют вид (3.11.23)

733^ =м3 ^2733^ =м3 ^2(е)3 ?(е)3 ?(4.8.8)(4.8.8)

733^ =м

3 ^2

733^ =м

3 ^2

(е)

3 ?

(е)

3 ?

(4.8.8)

(4.8.8)

где J3 - момент инерции тела относительно оси вращения, у - угол между ортом ех неподвижного репера Е и ортом ех подвижного репера Е, жестко связанного с твердым телом (рис. 83). При этом орт е3 = ё3 направлен по оси вращения. М^ - проекция на е3 суммы моментов внешних сил. Предположим, что внешняя сила, действующая на тело, есть однородная сила тяжести, направленная вдоль орта еь т.е. предпо

ложим, что на каждую материальную точку

(r.,mz) i = 1,2,...,^, из которых состоит твердое тело, действует

сила F-(e) = ^ge^ g > 0 - постоянная.

Лемма. 1) Результирующая сила F(d равна произведению массы тела на ускорение силы тяжести § и направлена вдоль

орта ер

пN

F(e) = ^^^ = т§% т = ^тР

Z=1Z=1

Результирующий момент Ми сил, действующих на все точки твердого тела, равен моменту силы F(e), приложенной в центре масс твердого тела:

М(е)=[г\Е(е)].

NN

Доказательство. 1) F(e) = ^F/^ = ^m-ge1 = gmev

Z=1Z=1

Mw=£ [гг,Е,м] = ^ [т,гг,е^ = 4тг\е^ = [г\Е^

Z=1Z=1

Обозначим через г = (а,/?, с) - координаты центра масс тела относительно репера Е. Так как положение центра масс относительно Е не изменятся, то а,Ь, с- постоянные числа.

Используя введенные обозначения, получим выражение для радиуса-вектора центра масс относительно репера Е:

г* = (б/cosy-^sin 7)6, + (asiny+ Z?cosy)e2 + се3.

Определим третий компонент момента Ми:

M3e) = mg[r*,e1]3 = -mg(a sin у + b cos у)или, введя обозначенияаb .

/ 99 = cos v,/ 99 = sin v,

л]а24-Ь2л]а24-Ь2

получим

м^} = -mg^a2 + b2 sin(y + Х|/).

Если обозначить: mg^fa^-b2 9 У + ¥ = Ф, = со >

то уравнение (8) совпадает с уравнением (7):

ф = -со2 8Шф.

Замечание L Можно выбрать репер Е так, чтобы центр масс лежал в плоскости векторов ё1?ё3. В этом случае b = 0 и Х|/ = 0. То есть, ф - угол между плоскостью (е1?е3) и подвижной плоскостью, проходящей через орт е3 и центр масс тела.

Замечание 2. Мы рассмотрели задачу, в которой направление силы тяжести ортогонально оси вращения. Можно рассмотреть и более общий случай. Предположим, что сила F^2* имеет вид F-(e) = mzge, где ет=(а,0,р) - единичный вектор (а2+р2=1), а>0.

Упражнение. Покажите, что в этом случае вращение твердого тела вокруг гл mga^a^Tb^ оси описывается уравнением (7), где со =.

Задача о движении твердого тела вокруг неизменной оси в однородном поле тяжести носит название задачи о физическом маятнике. Мы показали, что задачи о математическом и физическом маятниках описываются одинаковыми уравнениями.

К уравнению (7) сводится описание еще ряда других задач в различных предельных случаях. Уравнение математического маятника - один из простейших примеров нелинейного уравнения механики. Проведем его анализ.

4°. Интеграл энергии. В задаче о математическом маятнике связи голономны и не зависят явно от времени, а силы потенциальны, и потенциал тоже не зависит явно от времени, т.е. в этой задаче должен существовать интеграл энергии Т -\- U - Е - = const. Запишем этот интеграл явно:

Ш 2-2

— р ф -mgpcosф = const.

Разделим это соотношение на ~Р2- Получим

ф2 - 2со2 созф = а.(4.8.9)

Упражнение. Получите этот интеграл из уравнения (7).

В данном случае это просто. В других более сложных случаях получение первых интегралов из общих теорем оказывается делом несравненно более легким, чем вывод из уравнений. Однако следует заметить, что общие теоремы, вообще говоря, не дают возможности всегда указать все интегралы. Поэтому, определив интегралы из общих теорем, не следует пренебрегать (при поиске первых интегралов) прямым анализом уравнений.

5°. Качественное исследование поведения интегральных кривых. Из интеграла энергии (9) следует, что решение задачи о движении маятника сводится к решению уравнения известного нам типа (см. § 4.7):

ф2 =а + 2со2со8ф = /(а,ф),(4.8.9)

где а определяется начальными условиями. Если при t = t0 ф = — ф0, ф = ф0, то а = ф2 - 2со2 со8ф0. Если (ф,ф) удовлетворяет

уравнению (9) при заданном а, то (ф, -ф), (ф + 2bt, ф), (-ф, ф) тоже удовлетворяют уравнению (9). Эта особенность задачи позволяет анализировать поведение траекторий в полуполосе П = = {ф ^ 0, 0 ^ ф ^ я} и получить картину во всей плоскости из указанной симметрии.

Из (9) следует, что вещественные решения существуют лишь при а -2со2.

При а > 2со2 величина ф2 не обращается в нуль, и на траекториях происходит монотонное возрастание (ф > 0) или уменьшение (ф < 0) угла ф.

При -2со2 <а< 2со2 из (9) следует, что на траекториях движения

Поэтому угол ф е П не может превосходить а = arccos^ <

< я. В точках ф = ±а + 2Ьг (^-целое число) выполнено условие /(ф, а) = 0. Рассмотрим случай к = 0. При ф = а производная Э//Эф = -2со28та<О, а при ф = -а производная Э//дф = = 2со2 sin а > 0. То есть (-а, 0) и (а, 0) - две точки, через которые в плоскости (ф, ф) проходит замкнутая траектория, охватывающая начало координат (0, 0).

Определим равновесные решения из условий

Да,Ф) = 0,^(а,ф) = 0.Да,Ф) = 0,^(а,ф) = 0.ЭфЭф

Да,Ф) = 0,^(а,ф) = 0.

Да,Ф) = 0,^(а,ф) = 0.

Эф

Эф

Из второго условия следует, что -2(О2 sin ф = 0, откуда ф = = ф* = кк. Подставляя ф = ф* в первое условие, получим

а + 2(о2 созф" =0.(4.8.10)

Вычислим вторую производную по ф в точке ф = ф* :

Отсюда следует, что значениям ф = ф* = 2&лОтсюда следует, что значениям ф = ф* = 2&лЭфЭф<о,<о,

Отсюда следует, что значениям ф = ф* = 2&л

Отсюда следует, что значениям ф = ф* = 2&л

Эф

Эф

<о,

<о,

= (2£ + 1)л:= (2£ + 1)л:а = -2со2 отвечают точки типа центра, а значениям ф = ф* =

= (2£ + 1)л:

= (2£ + 1)л:

точки типа седла. Для а = 2со2

точки (—к, 0) и (к, 0) являются двумя равновесными точками типа седла. Поэтому из точки (-к, 0) в точку (к, 0) идет особая траектория, которую называют сепаратрисой. Качественная картина поведения интегральных кривых в плоскости (<р9ф) представлена на рис. 84. Сепаратриса изображена штриховой линией.

Значению а = -2со2 отвечает равновесное решение (0, 0). При -2со2 < а < 2со2 траектории - замкнутые линии типа эллипса, охватывающие точку устойчивого равновесия (0, 0). На этих траекториях угол ф изменяется в ограниченных пределах: -а < ф < а, т.е. маятник совершает колебания. Величина 2а называется амплитудой колебания. При а > 2со2 угол ф постоянно увеличивается (ф>0) или уменьшается (ф<0). Такое движение маятника называется вращательным. Сепаратриса а = 2со2 отделяет область плоскости (ф,ф), заполненную траекториями колебательных движений маятника (иногда эту область называют либрационной зоной), от области траекторий вращательных движений маятника (ротационной зоны).

При движении по сепаратрисе маятник стремится за бесконечное время (см. § 4.7) достигнуть неустойчивой равновесной точки. Для реализации движения по сепаратрисе надо задать особые начальные данные: t = t^ ф = ф09 ф = ф0, Фо-2сосо8ф0 =

= 2со2. Мера этих начальных данных равна нулю. Поэтому в реальных процессах движение по сепаратрисе не реализуется. Однако это очень важное понятие, существенное для качественного анализа многих более сложных вопросов.

Замечание. Точки (ф + 2я^, ф) при всех целых к соответствуют одним и тем же значениям координат г и v фазового пространства. Поэтому взаимно однозначное соответствие между ср, ф и г, и бу-

Рис. 85Рис. 85дет иметь место, если изображать фазовые траектории не на плоскости, а на круговом цилиндре (рис. 85), который является прямым произведением окружности и прямой R.

Рис. 85

Рис. 85

dt =dt =dtpАд/а + 2со2 cos срdtpАд/а + 2со2 cos ср(4.8.11)(4.8.11)6°. Аналитическое решение. Из уравнения (9) следует

dt =

dt =

dtp

Ад/а + 2со2 cos ср

dtp

Ад/а + 2со2 cos ср

(4.8.11)

(4.8.11)

где

А = sgnф =А = sgnф =ф^О, ф < О,ф^О, ф < О,

А = sgnф =

А = sgnф =

ф^О, ф < О,

ф^О, ф < О,

sgn х - знак числа х.

а) Рассмотрим сначала случай либрационных движений

-2со2 < а < 2со2. Проведем в (11) замену переменных

sin—= £sinqz, к = л , 0<^<1.(*)

2 Y У 4со2

Справедливы цепочки равенств:

cosq) = 1 - 2sin2 ^ = 1 - 2&2 sin2 qz,

ф2 = ос + 2со2 coscp = ос + 2со2 - 4Z?co2 sin2 qz =

(**)

2| ОС + 2СО. 2|1 2 22

= 4к со - sin qz = 4к со cos qz.

( 4£2со2)

Ha либрационной кривой coscp ^у. Замена (*) не одно- 2со

значно определяет cp(qz) или qz(cp). Так как ф2 и cos qz одновременно обращаются в нуль, то доопределим эту замену условием sgn cosqz = А = sgnф. За время полного колебания маятника

угол \|/ изменяется на 2к. На рис. 86 указаны точки либрационной траектории, соответствующие значениям \|/ =

я

= & —. Дифференцируя (*) и используя

ф2

неравенство cos—>0 при а<2со , по

dtp =dtp =2^cos^\pд/l-^2 sin2 v2^cos^\pд/l-^2 sin2 v(***)(***)лучим — cos — d^ = ^cos^xp. Откуда

dtp =

dtp =

2^cos^\pд/l-^2 sin2 v

2^cos^\pд/l-^2 sin2 v

(***)

(***)

Подставляя (**) и (***) в (11), получим

dt-cosAydAy

Ato | cos v | Vl-^2 sin2 V

Так как cosy = A | cos v |, то в результате будем иметь

®dt= .d<5?.(4.8.1 Г)

д/1-&2 sinxp

В отличие от угла ф, переменная \|/ изменяется монотонно. Предположим, что ф = 0, ф > 0 в момент времени t0. Этой точке соответствует \|/ = 0. Интегрируя (1Г), получим

со(^о)=[ ..(4.8.12)

о ^l-fc^m2^

Уравнение (12) дает неявное представление зависимости угла \|/, а следовательно, и ф от времени.

Ьсли представить хр = п — + хр, где 0 хр < —, п - целое, то из

(12) следует

С0(г-?0) = и/Г(^2) + ^2,\|/).(4.8.13)

Здесь

л / 2с,

^2)= J ,2 . 2,(4.8.14)

оsinЧ

полный эллиптический интеграл первого рода,

^2,v)=Jо^2,v)=Jо-Jl-^2 sin2 ^-Jl-^2 sin2 ^(4.8.15)(4.8.15)

^2,v)=J

о

^2,v)=J

о

-Jl-^2 sin2 ^

-Jl-^2 sin2 ^

(4.8.15)

(4.8.15)

неполный эллиптический интеграл первого рода.

Параметр к носит название модуля эллиптического интеграла.

Полный оборот точки (<р9ф) в фазовой плоскости по либ- рационной кривой соответствует одному полному колебанию

\|/ = 4 — . Время\|/ = 4 — . Времямаятника. При этом угол \|/ изменяется на 2л::

\|/ = 4 — . Время

\|/ = 4 — . Время

одного колебания называется периодом т колебания маятника. Из (13) получим

49

т = — К<к У(4.8.16)

со

Когда а^2со2, либрационные кривые стягиваются к точке устойчивого равновесия. В этом случае £2 —> 0. Для малых £2 полный эллиптический интеграл хорошо аппроксимируется первыми членами ряда

_ Г /1 \2/1 q \2

К(к ) — — )1+ — к + к +...?.

2у2у(2-4)

Поэтому для траекторий, близких к точке устойчивого равновесия,

т = —(1 + О(^2)).(4.8.17)

СО

Пример. Пусть полуамплитуда колебания маятника а равна 10° ~ 1/6 рад. Отсюда следует:

1 ОС212 (л1

cos—=ос = -2со cos-^-2co 1L

62(О26 I 2-36/

£2 = а + 2®о(к") = —.

4а)24-36 150600

Таким образом, для полуамплитуды 10° период колебания маятника лишь на 1/600 отличается от периода колебания с бесконечно малой амплитудой: т0 = 2л/ со.Таким образом, для полуамплитуды 10° период колебания маятника лишь на 1/600 отличается от периода колебания с бесконечно малой амплитудой: т0 = 2л/ со.ДляДляматематического маятника со =математического маятника со =^0^0= 2л= 2л. Меняя. Меняя

Таким образом, для полуамплитуды 10° период колебания маятника лишь на 1/600 отличается от периода колебания с бесконечно малой амплитудой: т0 = 2л/ со.

Таким образом, для полуамплитуды 10° период колебания маятника лишь на 1/600 отличается от периода колебания с бесконечно малой амплитудой: т0 = 2л/ со.

Для

Для

математического маятника со =

математического маятника со =

^0

^0

= 2л

= 2л

. Меняя

. Меняя

длину р, можно получить маятник с заданным периодом колебаний. Это свойство маятника используется в некоторых конструкциях часов. Зависимость периода колебаний от ускорения силы тяжести § используется в приборах для измерения силы тяжести.

Замечание. При а —> -2со2 амплитуда колебаний 2а = = 2arccos| -^— | —> 0. Так как угол |ср| в процессе колебания ос- ( ос )

тается меньше а, то и |ср| —> 0. Для колебаний с малой амплитудой можно в уравнении математического маятника (7) заменить sin ср ~ ср и тем самым получить линейное уравнение

ф = —со2(р.(4.8.18)

Говорят, что уравнения (8) описывают задачу о линейном осцилляторе. Известно, что решение (18) можно представить в следующем виде:

ср = acos(cor + ф0)«(4.8.19)

Решение (19) описывает малые колебания математического маятника. При этом 2а > 0 - амплитуда малых колебаний.

Упражнение. Постройте картину поведения фазовых траекторий в плоскости (ф, ф) в задаче о линейном осцилляторе.

Когда либрационная кривая приближается к сепаратрисе, ос 2 со2 и £2—>1-0. Для полного эллиптического интеграла при модуле к, близком к 1, можно воспользоваться известным представлением

4(1 А2/ д 2 А п

K = ln—+ - InГ2+...,(4.8.20)

к* ( к* L2J

//22Ч-Ч- Ч-

где к = л]1 — к . При к —>1-0 имеем К ~ In —, т~— In>оо;

к' со к'

т.е. при приближении либрационной кривой к сепаратрисе период колебания маятника неограниченно возрастает. При этом основное время маятник будет находиться в окрестностях неустойчивых особых точек (±к, 0).

К сожалению, невозможно единым аналитическим выражением описать траектории движения маятника в либрационной и ротационной зонах. Этому препятствует топологическое различие поведения фазовых траекторий в этих зонах. Для получения аналитического выражения в ротационной зоне ос > 2со2

преобразуем уравнение (11):

2 z 2/,4(02. 2 ф)

а + 2со costo = (a + 2(o ) 1ysm — .

( а + 2со2 2J

Обозначая о 4со2о

к" =у, 0<к2<1(****)

а + 2о)2

и (р/2 = Д \|/, из (11) получаем

dt= 2 = .^ =.(4.8.21)

л/а + 2со2 д/1-^2 sin2 \|/

Интегрируя (21) с начальными условиям t = 10, ф = 0, находим

t-t =2 I

° д/а + 2со2 о д/1-Р sin2

к __ к

откуда для \|/ = п — + \|/, 0 \|/ < —

?-?0= / 2 ДпК<к^*Е<к\^А, (4.8.22) д/а + 2со

где п - целое. Периодом вращения маятника т называется время, за ко

торое угол (р изменяется на 2к. За это время угол \|/ изменится на к. Из (22) при п = 2 и \j7 = 0 получим

т_ 4ДА:2)л/а + 2со2

В случае быстрого вращения |фНоо,а^оо,^2 ^о,ДА:2)^л/2 и . 2л =2^^0. д/а + 2со2

Если а ^ 2со2 +0, то ротационная кривая приближается к сепаратрисе. В этом случае, как следует из (****), ^21 - 0, а

При движении по сепаратрисе а = 2со2. В этом случае уравнение (9) упрощается:

• 2 л 22 Ф

Ф =4(0 cos —.

2

М.Л. Лидов

Если ф>0, то ф = 2сосо8(ф/2). Нетрудно проверить, что решение этого уравнения определяется следующей формулой:

ф = се“(«о)_1

tg4 ~ се“(Мо)+Г

где с ——, ф0 - значение ф при t - t0. При Г имеем

tg-^ —> 1, ф л, т.е. ф стремится к седловой точке.

Определение сил реакций

Обобщенные силы реакций голономных связей Q^=(5p,

Q^Q^), согласно процедуре, описанной в § 4.5, определяются

формулами:формулами:Qa =Qa =d ( дГ dt у Эдd ( дГ dt у Эд(4.8.23)(4.8.23)

формулами:

формулами:

Qa =

Qa =

d ( дГ dt у Эд

d ( дГ dt у Эд

(4.8.23)

(4.8.23)

где L - лагранжиан задачи без учета голономных связей, q = = ф(([(/Э?О - решение, полученное с учетом голономных связей.

В задаче о маятнике qT = (р,ф,г)

L = y(p2 +р2ф2 +г2) + т^рсо8ф,(4.8.24)

и условия голономных связей определяются формулами

р = const, z = 0.(4.8.25)

Решение задачи в пространстве q (т.е. на прямой ф) описано выше (мы не ставили черту над ф). Из (23) и (24) следует:

Qp = [mp - трф2 - mg cos ф]р=0 = -тр(ф2 + со2 cos ф),

Q^ = [тр2ф + 2тррф + mg^ sinф]р=0 = mp2(ф + со2 sinф),Q^ = [m^=0 = 0.

В силу уравнений (7) Q^ = 0. Подставляя ф2 = а + 2со2 созф из (9), получим

Qp = -mp(a + Зсо2 cos ф).

Упражнение. Определите, при каком значении постоянной а выполняется условие max 12Р 1^ Р, - где р > 0 - заданная постоянная.

Ф

Замечание. Полученное нами равенство 5=0 говорит о том, что условие 7 = 0 будет выполняться автоматически, если в задаче без связи (z = 0) мы примем в качестве начальных условий 7 = 0, 7 = 0 при t = tQ.

Задача о движении материальной точки (г, т) в поле силы тяжести ¥^ ^mg^ при условии связи (г1)2 + (г2)2 + (г3)2 = const называется задачей о сферическом маятнике

(рис. 87). Для описания этой задачи введем сферические координаты г = Ф(д):

(4.8.27)(4.8.27)г*=рсо8ф, г2 = р sin ф cos X, г3 = р sin ф sin X,

(4.8.27)

(4.8.27)

р = ((г*)2+(г2)2+(г3)2)1/2.

Упражнение. Покажите, что в сферических координатах кинетическая

энергия материальной точки определяется формулой

Т = ^-ш(р2 + р2ф2 + р2 sin2 ф-Х2).(4.8.28)

В задаче о сферическом маятнике р = 0 и потенциал

U = -mgpcosq).(4.8.29)

Таким образом, функция Лангража имеет вид

L = — т(р2ф2 +р2 sin2 фХ2) + т^рсо8ф.(4.8.30)

В этой задаче справедлива теорема о сохранении механической энергии Т + U = const (голономные связи и потенциал не зависят явно от времени). Интеграл энергии можно записать в следующем виде:

ф2 - 2со2 созф + sin2 фХ2 = о^ = const,

(4.8.31)

P*

Кроме того, координата X - циклическая. Поэтому существует интеграл ЭХ/ЭХ = const, который можно записать в следующем виде:

sin2 фХ = а2 = const.(4.8.32)

Упражнение. Покажите, что существование этого первого интеграла следует из теоремы о сохранении проекции момента количества движения на орт ej.

Подставляя в (31) X, определенное из (32), получим

ос2

ф2 =а> + 2со2со8ф(4.8.33) sin ф

Если в начальный момент времени t = t0 X = 0, то а2 = 0 и из первого интеграла (32) следует, что во все время движения X = 0. То есть в задаче о сферическом маятнике существует решение, в котором движение происходит в плоскости

Х = const и ф2 = а + 2со2 созф.

Если принять X = 0, то мы приходим к рассмотренной выше задаче о движении математического маятника в плоскости (е1?е2). При X 0 это та же самая задача о математическом маятнике, только плоскость движения повернута относительно оси в! на угол X.

Если в уравнении (33) провести замену переменных х = cos ф, то в результате получим

х2 =(1-х2)(а1+ 2со2х)-а| = Р3(х,а1?а2).(4.8.34)

Решение этого уравнения определяется квадратурой:

?-г0=[, dx .(4.8.35)

Из (32) и (34) следует, что

dX _а2

dx ±(1 - х2 )^P3(x,a1?a2) Откуда

X - Хо = ± Г2 ^.(4.8.36)

J (1-х

Из интегрального исчисления известно, что квадратуры, входящие в (35) и (36), выражаются через эллиптические интегралы. Эти соотношения определяют (неявно) зависимости x(t) и X(t). Мы не будем проводить анализ этой задачи. Она частично разобрана в книге: Суслов Г.К. Теоретическая механика - М.: Гостехиздат, 1946.

Движение точки по гладкой кривой

Предположим, что голономные идеальные связи допускают движение материальной точки (г, т) только по гладкой кривой в R3, определяемой взаимно однозначным отображением Jx —> R3, где Jx = Д,Х е R^. Пусть г = Ф(Х) - параметрическое уравнение этой кривой. Предположим, что на точку (г, т) действует активная сила с потенциалом ?7(т). При этом кинетическая энергия Т «в обобщенных координатах» X имеет вид

а потенциальная энергия определяется формулой и(Ф(Х)). Чтобы не усложнять анализ, предположим, что на кривой задана ориентация, выделена некоторая точка г* и в

качестве параметра X, определяющего поло

жение точки г на кривой, выбрана длина уча-у

стка кривой, заключенного между гиг*,

То есть (рис. 88) | X | = jldr^ где интегриро- Рис 88

вание ведется вдоль кривой от г* до г. При

этом X > 0, если от г* до г надо двигаться по направлению, указанному стрелкой, и X < 0 в противоположном случае. При таком выборе X

dX = ^(dr1 )2 + (dr2 )2 + (dr3)2

Г ЭФУ ЭФ , откуда следует, что —- —- = 1.

у у ЭХ

Обозначим £/(Ф(Х)) = (/(X) ^. Таким образом, мы приходим к задаче с функцией Лагранжа

L = T-U = -X^--U(X\ Х = —

22dt

d dL dLЗаписывая уравнения Лагранжа== 0, получимdt ЭХ ЭХ

(4.9.1)(4.9.1)IdU

(4.9.1)

(4.9.1)

" 2 ЭХ’

Так как силы потенциальны и связи не зависят от времени, то должен существовать интеграл энергии Т + U = const, который можно записать в следующем виде:

X2 + U (X) = а = const,X2 + U (X) = а = const,(4.9.2)(4.9.2)

X2 + U (X) = а = const,

X2 + U (X) = а = const,

(4.9.2)

(4.9.2)

т.е. движение точкит.е. движение точкиным в § 4.7.ным в § 4.7.Рис. 90Рис. 90жат либрационной зоне, то точка всегда в ней и остается. Физики говорят, что точка находится в потенциальной яме.жат либрационной зоне, то точка всегда в ней и остается. Физики говорят, что точка находится в потенциальной яме.

т.е. движение точки

т.е. движение точки

ным в § 4.7.

ным в § 4.7.

Рис. 90

Рис. 90

жат либрационной зоне, то точка всегда в ней и остается. Физики говорят, что точка находится в потенциальной яме.

жат либрационной зоне, то точка всегда в ней и остается. Физики говорят, что точка находится в потенциальной яме.

X(Z) определяется уравнением, рассмотрен

Предположим, что [/(X) имеет вид, представленный на рис. 89. Точки локального максимума [/(X) приводят к появлению двух особых точек типа седла в фазовой плоскости (Х,Х) (рис. 90) при а = а2 и а = а3. а точка локального минимума [/(X) приводит к особой точке типа центра при а = аР Для случая, изображенного на рис. 90, одна сепаратриса возвращается в ту же особую точку и отделяет область либрационных движений. Кроме либрационных движений и движений, в которых X монотонно увеличивается (X > 0) или уменьшается (X < 0), существуют зоны, в которых траектории в плоскости (Х,Х) начинаются при X = ±оо и, достигая минимального значения |Х|, вновь уходят на ±оо. Если начальные данные принадле

Некоторые общие понятия

Для задач, описываемых уравнениями Лагранжа, совокупность обобщенных координат qT = (q\q\...,qm) и обобщенных скоростей qT = (q,q\...,qm) будем называть фазовыми переменными задачи. Пространство Rlm = Rm xRm фазовых переменных

будем называть фазовым пространством. Каждой траектории движения q = q(r) соответствует траектория (q(O?Q(O) в Фа" зовом пространстве. Эти траектории будем называть фазовыми траекториями. Если функция Лагранжа явно не зависит от времени (dL/df) = O, то уравнения Лагранжа могут быть приведены к виду q = f(q,q) или, если q = и, к виду ii = f(q, и), q = и.

В общем случае функции f(q, и) таковы, что выполнены условия теоремы существования и единственности решений для обыкновенных дифференциальных уравнений. Из этой теоремы следует, что за исключением особых точек (где и = 0 и f(q, и) = 0) фазовые траектории не могут пересекаться. Часто задача анализа поведения фазовых траекторий в фазовом пространстве является более важной и более простой задачей, чем нахождение полного решения q(Z). Это, в частности, было показано на рассмотренных примерах. При т = 1 фазовое пространство двумерно, и результат анализа можно и полезно, как это было сделано, представить в плоскости (g, q). В этом случае изображение качественной картины фазовых траекторий иногда называют фазовым портретом задачи.

Если функция Лагранжа явно зависит от времени, то траектории в фазовом пространстве, вообще говоря, пересекаются. Поэтому вводят в рассмотрение расширенное фазовое пространство Rlm xR - прямое произведение фазового пространства и оси времени. Все отмеченные здесь понятия относятся к общей теории дифференциальных уравнений, и неудивительно, что мы фактически повторно обсуждаем вопросы, о которых уже упоминали в § 1.5 в связи с уравнениями механики свободной системы в декартовых координатах.

Движение точки по поверхности вращения

Предположим, что идеальные связи допускают движение материальной точки (г, т) только по осесимметричной непрерывной поверхности, определяемой уравнением

Vc^^+Cr2)2 = v(r3), V S 0. (*)

Если мы рассмотрим эту задачу в цилиндрических координатах qT = (р, ф, z), то уравнение связи (*) можно записать в следующем виде: р = \|/(^Х ^eR-

Будем предполагать, что функция \|/(z) дифференцируема достаточное число раз. Подставим р = Х|/(^) в выражение для кине-

тической энергии в цилиндрических координатах (4.8.3):

Г=™(р2 VvW) = ^(vV+(l + 'l'J2z2), (4.10.1)

. . rf^C^) т-г

где \|/ = \|/(z), Vz =. Предположим, что никакие активные

dz

силы на точку не действуют. Тогда функция Лагранжа L = Т. Мы приходим к задаче с двумя обобщенными координатами (р и z и функцией Лагранжа (1). Эта задача имеет два первых интеграла. Действительно, связи не зависят от времени и потенциал сил равен нулю. Поэтому полная механическая энергия «системы», которая в этом примере совпадает с кинетической, не изменяется в процессе движения:

Х|/2ф2 + (1 + Vj2^2 = °Ч = const.(4.10.2)

Очевидно, а! > 0. Кроме того, координата (р - циклическая. Она не входит в функцию Лагранжа (1). Поэтому dL/d(p = а2 = const. Таким образом, существует еще один интеграл задачи:

\|/2ф2=а2.(4.10.3)

Из (3), в частности, следует, что если в начальный момент времени ф ^ 0, то знак ф не может измениться в процессе движения. В дальнейшем для определенности будем полагать а2 ^ 0, т.е. рассматривать случай «прямого» вращения. Подставляя ф из (3) в (2), получим

22

(4J04)

v (i+va

Это уравнение типа рассмотренного в § 4.7.

Если в начальный момент времени £ = £0 ф = 0, то а2 = 0 и из (3) следует, что при любом t ф = 0. В этом случае ср = ф0 = = const и движение происходит по меридиональной г-Jкривой либо в сторону монотонного увеличения z у (если при t = t0 z = z0>0, рис. 91), либо в сторону \ Амонотонного уменьшения z {z < 0).

] 77 Если при t = t0 ф = 7 = 0, то точка будет нахо

диться в равновесии. Однако это равновесие неус- Рис. 91 тойчиво. При сколь угодно малом начальном значении | z0 | ^ 0 точка будет неограниченно удаляться по z в одном направлении. (Мы предполагаем, что \|/г - ограниченная функция.) Предположим теперь, что поверхность -

Рис. 92Рис. 92эллипсоид вращения (рис. 92) и мы рассматриваем движение с начальными данными: t = t0, Ф = Ф0, z = z0, Ф = 0, z > 0. Тогда, двигаясь по меридиану ф = ф0, точка достигнет z = zmax. Из физических соображений очевидно, что, пройдя максимум, точка будет опускаться по меридиану ф = ф0 + л. Однако формально из (4) мы это получить не можем (в решении ф = ф0 = const). Этот парадокс объясняется просто. При z =

Рис. 92

Рис. 92

ЭФ

= zmax р = 0. А на оси р = 0 det= 0 и цилиндрические коор- dq

динаты не удовлетворяют условиям, которым должны удовлетворять обобщенные координаты. Получить описание движения в этом случае несложно, если ввести другие координаты. Мы обратили внимание на этот факт, чтобы подчеркнуть, что некоторые «тонкие» условия, указанные при введении обобщенных координат, оказываются необходимыми, и их нарушение иногда проявляется в виде парадоксов.

Предположим, что при t - tQ

Фо*о, z = z0, z2 = f(zo,a) = O.(**)

При этом выполнение условия

—=0(***)

необходимо и достаточно для того, чтобы z = Zo / I \ было решением уравнения (4). Нетрудно пока

зать, что условия (**) и (***) эквивалентны уело-\■)

z . «2 N _/Т\

виям V(Zo) = ^" и — =0- Следовательно,/\

a, dzV4

если z = Zo определяет экстремальное значение/।\

функции v(z), то существует решение задачи, в

котором точка движется по параллели z = Zo

(рис. 93).Рис. 93

Упражнение. Используя результаты анализа, прове

Э2уЭ2уденного в § 4.7, покажите, что точкам максимума функции \|/(z), когда

Э2у

Э2у

< 0, отвечают устойчивые движения указанного типа, а точкам мини-

мума i|/(z), когда —^-мума i|/(z), когда —^-> 0, - неустойчивые.> 0, - неустойчивые.

мума i|/(z), когда —^-

мума i|/(z), когда —^-

> 0, - неустойчивые.

> 0, - неустойчивые.

Пусть поверхность расположена между плоскостями z = а и z = b (рис. 94), причем \у(а) = \у(Ь) = 0, \|/(z) > 0 для а < г < Ь.

Рассмотрим общий случай начальных условий: ф = ф0, ж £ = £о < Ь, ф = ф0 ^ 0 (aj ^ ^ 0), z — z0 ^ 0 при t = Го- Очевидно, что существуют два соседних корня ^ь £2 уравнения Д^, ос) = 0, удовлетворяющие неравенствам а < zi < z0 < ^ < Ь.

Мы будем предполагать, что корни zb z2 простые. В этом случае на фазовой плос

кости (z,z) (рис. 95) движение точки изображается замкнутой линией (см. § 4.7), и движение по фазовой траектории является периодическим. Из уравнения z2 = /(z,oc) следует, что период

движения т(а) определяется формулой

' л/Ж«)

Замена переменных

2л г dz

91 = 191 = 1т ' л/Ж«) ’

91 = 1

91 = 1

т J ГГГр

(4.10.5)(4.10.5)(4.10.6)(4.10.6)определяет взаимно однозначное соответствие между точками фазовой траектори в плоскости (z, z) и точками окружности 0 ^ ^! < 2л (рис. 96).

(4.10.5)

(4.10.5)

(4.10.6)

(4.10.6)

Дифференцируя (6) по t и используя условие z = ±^/f^z^), найдем

^ =2л/т.(4.10.7)

То есть по окружности 0 ^ ^ < 2л изображающая точка перемещается равномерно.

В силу соотношений (6) z является 2л-периодической функцией qx\ z,(qi + 2к, а) = Ддъ ^\ Используя (7), запишем интеграл (3) ф = а2 /(\|/2(z)) в следующем виде:

= %(^па)-= %(^па)-(4.10.8)(4.10.8)d(^ _ т а2 dqx 2tc\|/2(z)

= %(^па)-

= %(^па)-

(4.10.8)

(4.10.8)

Jx(9i,a№i оJx(9i,a№i оВ силу периодичности z(^i) функция х(^ь °0 является тоже 2л-периодической функцией ср. Обозначим через

Jx(9i,a№i о

Jx(9i,a№i о

а = да = — 2л

среднее значение функции %, или, иначе, свободный член ряда

Фурье при разложении xtob °0 по sin ^ь cos ^ь Представим

%(^,а) = а + %(^,а),

где разложение ХС^!^^) в РЯД Фурье не содержит свободного члена. Обозначим

0(41,00 = J^^i^)^.

Очевидно, о(д, а) - 2л-периодическая функция ср. Интегрируя (8) и используя введенные обозначения, получим

(4.10.9)(4.10.9)ф = Фо +а(41 -4ю) + о(41,а)-о(4ю,а),

(4.10.9)

(4.10.9)

где q10 - значение qb соответствующее начальным данным zo, z0- Обозначим

42 = ф0 + a(qx - 410).(4.10.10)

Тогда

Ф = 42+о(41,а)-о(410,а).(4.10.11)

При каждом qx изменению (р на 2л соответствует изменение д2 на 2л, т.е. различным положениям точки на поверхности, отвечающим различным значениям угла ф (^ = const), соответствуют точки окружности

0 ^2 2л.

Дифференцируя (10) по времени t, определим

42 =4^ = aqx = 2л—.(4.10.12)

dtт

Таким образом, в процессе движения материальной точки по поверхности изображающая точка на окружности 0 ^ д2 ^ 2л движется равномерно.

Из проведенного рассмотрения следует, что каждой точке фазового пространства (z, 2, ср, ф), удовлетворяющей уравнениям (2) и (3) при фиксированных значениях констант интегралов а! и а2, взаимно однозначно соответствует точка двумерного тора Г2, который является прямым произведением двух окружностей: 0 qx 2л: и 0 д2 2л (рис. 97).

Каждой траектории в фазовом пространстве соответствует кривая на торе: Jt^ Р - отображение Jt в Р. Это отображение задается двумя функциями qx(t) и q^p. Как мы показали, координаты qx и д2 выбраны так, что для любой траектории ^ и д2 - постоянные величины (они зависят только от уравнений поверхности и

постоянных ^ и а2 и при фиксированных aj и а2 для всех траекторий одинаковы).

Так как траектории в фазовом пространстве не могут пересекаться, то их образы на Г2 не пересекаются. Период т и параметр а являются функциями констант интегралов aj и а2 и функционалами, зависящими от вида поверхности р = у(£). Может оказаться, что через время пт (п - целое), когда точка на торе совершит п полных оборотов по угловой переменной qx, переменная д2 изменится на 2лр (п, р - взаимно простые целые числа). То есть по д2 точка совершит р полных оборотов. Как следует из (12), для этого необходимо и достаточно, чтобы а = р/п. В этом случае каждая траектория на торе будет замкнутой линией и движение будет периодическим с периодом пт. На рис. 98 изображена такая траектория для случая п = 1, р = 2.

Рис. 99Рис. 99

Рис. 99

Рис. 99

В случае, если а - иррациональное число, то траектория никогда не замкнется, и при t ^ ^ каждая траектория будет всюду плотно (без самопересечений) заполнять поверхность тора (рис. 99). Говорят, что в этом случае отношение частот

qx _ 2л/т _ 1

^2 2лп/т арационально не соизмеримо, а движение условно-периодическое.

Если при некоторых условиях а - рациональное число и движение периодическое, то при сколь угодно малых изменениях начальных данных или уравнения поверхности а становится, вообще говоря, иррациональным числом, и движения на торе становятся условно-периодическими. Верно и обратное. Так как рациональные числа плотны на множестве вещественных чисел, сколь угодно малой вариацией начальных данных условно-периодическое движение можно сделать периодическим (возможно с очень большим периодом).

Как мы покажем в дальнейшем при анализе гамильтоновых систем уравнений, подчеркнутые особенности движений в рассматриваемой задаче суть проявление общих закономерностей в так называемых потенциальных «интегрируемых» задачах механики.

При этом отмеченная близость в пространстве начальных данных периодических и условно-периодических решений порождает специфические сложности при исследовани задач, близких к «интегрируемым».

§4.11. Движение в центральном поле сил.

Задача двух тел

1°. В этом параграфе мы рассмотрим некоторые задачи, описание которых сводится к решению дифференциального уравнения

^Т = г(Р(|г|Л (4.11.1) где (р - скалярная функция указанных аргументов. Уравнение (1) можно интерпретировать как уравнение движения свободной материальной точки единичной массой под действием силы гф(1 г I, Z), направленной по прямой, проходящей через начало координат, и величина которой зависит только от расстояния точки до начала координат и, возможно, времени. Такая сила называется центральной.

Лемма 1. Центральная сила имеет потенциал. Для доказательства этого утверждения необходимо путем непосредственного дифференцирования проверить справедливость представления

при

|г|

C/(|r|,r) = -J^,r)^,(4.11.2)

dr Jdr JdU d Г ) I ! /I ! \ Г zl I X зглКУ = -|г|ф(Н,О—= -гф(|г|,О- d|r|v dr у |r|

dr J

dr J

Уравнение (1), в частности, возникает в задачах о движении системы двух свободных материальных точек (гь т^ и (r2, т2) в случае, когда силы их парных взаимодействий не зависят от скоростей этих точек.Согласно теореме (см. (1.7.22)), в этом случае силы имеют потенциал

(4.11.3)(4.11.3)U = U(\rx-r21)

(4.11.3)

(4.11.3)

и уравнения движения имеют вид

d2^ _ fdT/Y m* d? "/dr^d2^ _ fdT/Y m* d? "/dr^d2r2т2 —v =2 d?d2r2т2 —v =2 d?dU dr,dU dr,(4.11.4)(4.11.4)

d2^ _ fdT/Y m* d? "/dr^

d2^ _ fdT/Y m* d? "/dr^

d2r2

т2 —v =2 d?

d2r2

т2 —v =2 d?

dU dr,

dU dr,

(4.11.4)

(4.11.4)

Если каждое из уравнений разделить на mz и вычесть из второго уравнения первое, то решение задачи сведется к одному уравнению

гдегдеГ = Г2 Г1Г = Г2 Г1dr dtdr dt~117/ = [/(|г|) —+ — .ут1 т^ )~117/ = [/(|г|) —+ — .ут1 т^ )(4.11.5)(4.11.6)(4.11.5)(4.11.6)

где

где

Г = Г2 Г1

Г = Г2 Г1

dr dt

dr dt

~11

7/ = [/(|г|) —+ — .

ут1 т^ )

~11

7/ = [/(|г|) —+ — .

ут1 т^ )

(4.11.5)

(4.11.6)

(4.11.5)

(4.11.6)

Укажем некоторые из таких задач.

Задача двух тел. Две материальные точки (или два тела со сферически-симметричным распределением плотности) взаимодействуют по закону всемирного тяготения. В этом случае

|Г2-Г! Г|Г2-Г! Г(4.11.7)

|Г2-Г! Г

|Г2-Г! Г

где/- гравитационная постоянная. Подставляя (7) в (6), получим

LLbU АГ

7/ = -—; - — =-ц—у, ц = /(т1+т2).(4.11.8)

г I dr 1 г

Взаимодействие двух заряженных частиц по закону Куло

на. В этом случае U = Qq^ /(| г2 -^ |), где ^ и^2- электрический заряд первой и второй частиц. Нетрудно показать, что U и ЭС/^г имеют вид (8), где

fl 1 )

Ц = -О — + — \qxqi.

\тх т^ )

В отличие от задачи двух тел, где физический смысл имеют только значения ц > 0, в этой задаче ц > 0 для зарядов разных знаков и ц < О для одноименных зарядов.

Взаимодействие двух молекул хорошо описывается потенциалом Леннард а-Джонса (рис. 100):

(/(|г|) = 4е[(о/|г|)12-(о/|г|)6],(4.11.9)

где Е, о - постоянные.

В отличие от потенциала -ц/I г I, при котором модуль силы монотонно уменьшается с расстоянием, для потенциала (9) имеем минимум при I г I = = I г* L Для I г I < I г*1 потенциал (9) приводит к силам отталкивания, а при I г I > I г*1 - к силам притяжения.

В частности, возможна равновесная конфигурация молекул при I г I =

= 1г*1. Этого нет для потенциала ~1/г. Как мы показали, уравне

ние (1) в задачах взаимодействия описывает относительное дви

жение, например, точки 2 относительно невращающейся системы координат, начало которой связано с точкой 1. Для определения абсолютных движений rjO и г2(0 можно воспользоваться теоремой о движении центра масс. Согласно этой теореме, центр масс замкнутой системы движется равномерно и прямолинейно

(4.11.10)(4.11.10)тггг + m2r2 = v° (t -10) + г0 = a(r),

(4.11.10)

(4.11.10)

где

r° ^m^0+m2r2, v° ^m^^+m2v2; Г]0, r2, v°, v2 - координаты и компоненты скоростей точек относительно абсолютной системы координат в начальный момент времени t=t0. Уравнение (10) можно записать в эквивалентных видах

(m1 -Vm^^ -Vm^r = -тд ■v(m1 +m2)r2 = a(z),(4.11.10)

где г = г2-гР

Если зависимость r(t) определена из решения уравнения (5),

то (ЮЭ определяет гДЭ и г2(Э- Кроме задач о взаимодействии двух частиц к уравнению (1) сводится еще ряд других задач.

Предположим, что распределение гравитирующей массы обладает симметрией относительно оси АА и перпендикулярной ей плоскости ПП (рис. 101). В этом случае возможно

движение точки в плоскости ПП, которое описывается уравнением (1). При этом функция ф(1 г I) может быть достаточно сложной. Такая задача, например, моделирует движение спутника в экваториальной плоскости Земли или движение звезды в поле галактики.

2°. Рассмотрим несколько общих вопросов, связанных с уравнением (1).

Лемма 2. Движение в центральном поле происходит по плоской кривой в R3. Эта плоскость проходит через начало координат.

Доказательство.

Момент силы F(e) = гф(1 г I, t) равен нулю:

Мм=[г,Ем] = ф(|г|,?)[г,г] = 0.

Движение точки не ограничено связями. Поэтому справедлива теорема об изменении момента количества движения (см. § 3.5). Так как момент внешних сил равен нулю, то, согласно следствию из этой теоремы, вектор момента количества движения не изменяется с течением времени. При m = 1 получим

К = [г, у] = с,К = [г, у] = с,(4.11.11)

К = [г, у] = с,

К = [г, у] = с,

где с - постоянный вектор, определяемый начальными данными: С = [Го, v0J.

начало координат.начало координат.Умножим (11) скалярно на г. Так как г ± [г, у], то получим (с, г) = 0 или более подробно: с1^ + с2г2 + с3г3 = 0. При постоянных с1, с2, с3 - это уравнение плоскости, проходящей через

начало координат.

начало координат.

При заданных начальных данных г0, у0 описание централь

ных движений проще проводить относительно системы координат Е = (ё1?ё2,ё3), орт ё3 которой одинаково направлен с вектором с, а орт ё1 лежит в плоскости векторов в! и е2 исходного репера Е. При этом угол между ег и ё1 обозначают Q и называют долготой восходящего узла орбиты, а угол между ортами е3 и ё3 обозначают i и называют наклонением орби

ты. При этом так же, как при введении углов Эйлера, нетрудно показать (рис. 102), что матрица А пре

образования Е —^—> Е определяется формулой

А = П(1, z) П(3, Q),А = П(1, z) П(3, Q),(4.11.12)(4.11.12)

А = П(1, z) П(3, Q),

А = П(1, z) П(3, Q),

(4.11.12)

(4.11.12)

где П(/, у), j = 1, 3, - матрицы простых поворотов. Согласно доказанной лемме, репер Е неподвижен относительно Е и поэтому совершенно равноправен с Е.

Введем теперь относительно Е цилиндрические координаты = pcos(p, г2 = рзтф, r3 =

В этих координатах выражение кинетической энергии для точки единичной массой имеет вид

Т = |(р2+р2ф2+^2).(4.11.13)

Так как движение происходит в плоскости ё3 = 0, то z = 0 и I г I = | г | = р.

Таким образом, описание различных потенциальных движений в центральном поле сил определяется функцией Лагранжа

£ = Г-£/ = |(р2+р2ф2)-[/(р,О.(*)

Координата ф - циклическая. Поэтому всегда существует первый интеграл

ЭЕ 2 •

-г- = р Ф = const, Эф

или

р2ф =| с |.(4.11.14)

Если I с I = 0, то ф = фо = const, если I с I ^ 0, то, очевидно, ф > 0 и угол ф монотонно увеличивается.

Замечание. Построение системы координат Е и соответствующих цилиндрических координат опиралось только на постоянство направления вектора с = [г, у]. Однако постоянен и его модуль. Это условие, будучи записанным в цилиндрических координатах, и определяет первый интеграл (14).

Упражнение. Докажите это. Покажите, что (1/2) р2 ф - площадь, заметаемая радиусом-вектором точки в единицу времени (эта величина называется секториалъной скоростью}. Покажите, что (14) непосредственно следует из теоремы площадей (см. § 3.5).

Предположим теперь, что потенциал не зависит явно от времени: 3U/3t = 0, т.е. система консервативна. В этом случае из

18. М.Л. Лидов

общих теорем следует, что существует интеграл энергии

™(Р2 + Р2ф2) + ^(Р) = А = const.(4.11.15)

Упражнение. Запишите уравнения Лагранжа с функцией Лагранжа, определенной (*). Вычисляя производную по времени от h (15) в силу уравнений движения, покажите, что dh/dt = 0.

Если подставить ф = I с 1/р2 в интеграл (15), то получим уравнение, описывающее закон изменения радиуса р:

р2 = 2(/г - С7(р)) - М = Др, h, I с I).(4.11.16)

Р

Тем самым для анализа или решения задачи, которая сводится к уравнению (1) при консервативной силе, определяемой потенциалом [/(I г I), необходимо качественно исследовать либо решить уравнение (16) известного нам типа (см. § 47).

(4.11.17)(4.11.17)В задаче двух тел (см. (8)) потенциал

(4.11.17)

(4.11.17)

tf(p)=-->р

где р - расстояние между точками (р = I r2 - rj I = I г I), ц =Дтх + + т2) - произведение суммы масс точек на гравитационную постоянную.

Рассмотрим сначала общий случай I с I ^ 0. Преобразуем уравнение (16), вводя в качестве искомой переменной и = 1/р и вместо времени t независимую переменную (р. При I с I 0 мы можем воспользоваться интегралом

^Д=|С|„=.

dt р

После преобразования получим

| с |2 — = 27г + 2цм—| с |2 и2.(4.11.18)

)

Обозначим через щ, и2 - корни квадратного трехчлена, стоящего в правой части (18):

> Р1(4.11.19)

1

Уравнение (18) можно записать в следующем более компактном виде:

— = -(и-игХи-и^.(4.11.20)

Если к < 0, то вещественные решения (20) заключены в пределах и2 ^ и ^ иь р! ^ р ^ р2.

При к ^ 0, так как и2 = (1/р2) ^ 0, имеем

0 ^ и ^ щ, Р1 ^ Р ^ °°-

В случае к < 0 существует особое решение при к = -ц2/(21 с I2).

В этом случае щ = и2 и существует решение (18): и = их = и2 = const (р = р] = р2).

В этом решении радиус р не изменяется: точка движется по круговой орбите р = const с постоянной угловой скоростью

• 1С1• /\

Ф = У’ Ф = <P(f - ) + Фо•

Обозначим

^ = Р,=(4.11.21)

р V ц

где 0 ^ е < 1 при к < 0 и е ^ 1 при к ^ 0. Тогда формулы (19) для иь и2 можно записать в следующем виде:

и,=—, и2=—.(4.11.22)

РР

Уравнение (20) легко интегрируется. Мы не будем проводить интегрирования, а просто проверим, что выражение

и = —(1 + ecos/)(4.11.23)

Р

(где /= ср - со, со - произвольная постоянная) удовлетворяет этому уравнению. Действительно,

du ।( е 1 . 7

— = — sm Лv c/cp Jу р )

-(и - дХи -и2) = —у (1 + ecos/ -1 - е)(1 + ecos/ -1 + е) =

= — 2 cos2 — ■ 2 sin2 — =

UJ 22

sin2 /.sin2 /.Тем самым мы указали решение уравнения (20):

sin2 /.

sin2 /.

1 + ecos /

(4.11.24)(4.11.24)Из аналитической геометрии известно, что (24) есть уравнение кривой второго порядка в полярных координатах относительно одного из ее фокусов. При к < 0 (е < 1) уравнение (24) есть уравнение эллипса (рис. 103), при к = 0 (е = 1) - уравнение

(4.11.24)

(4.11.24)

параболы, а при к > 0 (е > 1) - уравнение гиперболы (рис. 104). При/=0 имеем (р = со; из (24) следует

Р =Р =(4.11.25)(4.11.25)

Р =

Р =

(4.11.25)

(4.11.25)

Тем самым постоянная со определяется значением угла ср, при котором радиус р достигает своего минимального значения. Если к < 0, то при/= и (ср = со + к) р = р/(1 - е) = р2 и радиус достигает максимального значения. В этом случае большая полуось эллипса обозначается а:

Д_ РОР2 _ Ч Р , Р )22U + C \-е)Д_ РОР2 _ Ч Р , Р )22U + C \-е)Р1-е2Р1-е2Ц2/гЦ2/г(4.11.26)(4.11.26)

Д_ РОР2 _ Ч Р , Р )

22U + C \-е)

Д_ РОР2 _ Ч Р , Р )

22U + C \-е)

Р1-е2

Р1-е2

Ц

2/г

Ц

2/г

(4.11.26)

(4.11.26)

Здесь приняты следующие определения:

р - параметр орбиты, е - эксцентриситет орбиты, а - большая полуось орбиты. Точку, где р = рь называют перицентром орбиты, а угол со - аргументом широты перицентра. Точку, где р = р2 (7г < 0), называют апоцентром орбиты. Угол ср - аргументом широты точки, а / = ср - со - истинной аномалией точки.

Упражнение. Проведите аналогичный анализ для случая ц < О, например для задачи об относительном движении одноименно заряженных частиц.

Определение заисимости от времени.

Для определения движения в зависимости от времени необходимо определить функцию ср(/. Используя интеграл ф = I с 1/р, представление р согласно (24) и равенство ср =/+ со, получим

/ = И = И(1 + еС08/)2 =i(1 + ecos/)2. (4.11.27) Р РР

Интегрирование этого уравнения определяет зависимость f(t\ Для явного его решения в случае эллиптического движения (е < 1) вводят новую вспомогательную переменную Е с помощью следующих формул:

1 — е2 р

l-ecosE == —, sgn sin Е = sgn sin /. (4.11.28)

1 + ecos/ a

Из (28) нетрудно получить cos/ = (cos E - e)/(l - e cos E), sin / = = (л/1-е2 sinE)/(l-ecosE). Переменная E называется эксцентрической аномалией. Нетрудно показать, что при/= кк (к - целое) Е = кк. С помощью подстановки (28) получим

•1-е2•

esin ЕЕ =у esin / • /,

(4.11.29)(4.11.29)(1 + ecos/)

(4.11.29)

(4.11.29)

dE(X - ecos E) = ^^ e — dt.P

Это уравнение легко интегрируется. Пусть при f = Е / = О (Е = 0). Тогда

а3/2

t-t0 = ^(E-esinE).(4.11.30)

Это уравнение носит название уравнения Кеплера. Когда точка делает по эллипсу полный оборот (0 ^/< 2к), Е тоже изменяется на 2к. Время полного оборота т называется периодом обраЭто уравнение носит название уравнения Кеплера. Когда точка делает по эллипсу полный оборот (0 ^/< 2к), Е тоже изменяется на 2к. Время полного оборота т называется периодом обращения. . Из (30) следуетщения. . Из (30) следуетт =т =2яа3/22яа3/27р7р(4.11.31)(4.11.31)

Это уравнение носит название уравнения Кеплера. Когда точка делает по эллипсу полный оборот (0 ^/< 2к), Е тоже изменяется на 2к. Время полного оборота т называется периодом обра

Это уравнение носит название уравнения Кеплера. Когда точка делает по эллипсу полный оборот (0 ^/< 2к), Е тоже изменяется на 2к. Время полного оборота т называется периодом обра

щения. . Из (30) следует

щения. . Из (30) следует

т =

т =

2яа3/2

2яа3/2

7р

7р

(4.11.31)

(4.11.31)

Для случая гиперболических движений (е > 1) для решения

Рис. 105Рис. 105уравнения (27) используют другую замену переменных:уравнения (27) используют другую замену переменных:cos/ =cos/ =e-ch/7ech/7-1’e-ch/7ech/7-1’sin/ =sin/ =л/е2 -1 shHech/7-1 ’л/е2 -1 shHech/7-1 ’(4.11.32)(4.11.32)где ch, sh - гиперболические косинус и синус. Нетрудно проверить, что замена (32) определена корректно: sin2/ + cos2/ = 1, I cos/l 1 при -oo < < H < oo. Значению H = 0 соответствует f- 0, т.е.где ch, sh - гиперболические косинус и синус. Нетрудно проверить, что замена (32) определена корректно: sin2/ + cos2/ = 1, I cos/l 1 при -oo < < H < oo. Значению H = 0 соответствует f- 0, т.е.положение перицентра гиперболы. При Н —> ±оо Cos/—> cosf = = -1/е. При этом/1 = arccos(-Ve) определяет угол между направлением на перицентр орбиты и асимптотами гиперболы (рис. 105). Из (32) следует:положение перицентра гиперболы. При Н —> ±оо Cos/—> cosf = = -1/е. При этом/1 = arccos(-Ve) определяет угол между направлением на перицентр орбиты и асимптотами гиперболы (рис. 105). Из (32) следует:= echH-l.в cos / + 1= echH-l.в cos / + 1(4.11.33)(4.11.33)

Рис. 105

Рис. 105

уравнения (27) используют другую замену переменных:

уравнения (27) используют другую замену переменных:

cos/ =

cos/ =

e-ch/7

ech/7-1’

e-ch/7

ech/7-1’

sin/ =

sin/ =

л/е2 -1 shHech/7-1 ’

л/е2 -1 shHech/7-1 ’

(4.11.32)

(4.11.32)

где ch, sh - гиперболические косинус и синус. Нетрудно проверить, что замена (32) определена корректно: sin2/ + cos2/ = 1, I cos/l 1 при -oo < < H < oo. Значению H = 0 соответствует f- 0, т.е.

где ch, sh - гиперболические косинус и синус. Нетрудно проверить, что замена (32) определена корректно: sin2/ + cos2/ = 1, I cos/l 1 при -oo < < H < oo. Значению H = 0 соответствует f- 0, т.е.

положение перицентра гиперболы. При Н —> ±оо Cos/—> cosf = = -1/е. При этом/1 = arccos(-Ve) определяет угол между направлением на перицентр орбиты и асимптотами гиперболы (рис. 105). Из (32) следует:

положение перицентра гиперболы. При Н —> ±оо Cos/—> cosf = = -1/е. При этом/1 = arccos(-Ve) определяет угол между направлением на перицентр орбиты и асимптотами гиперболы (рис. 105). Из (32) следует:

= echH-l.

в cos / + 1

= echH-l.

в cos / + 1

(4.11.33)

(4.11.33)

Дифференцируя это соотношение по времени, получим•е2-1•

es\\H Н =yesin/ /.

(ecos/ + l)2

Используя (32) из (**) будем иметь

(4.11.34)(4.11.34)/ =— Н.

(4.11.34)

(4.11.34)

(echH-1)

Подставляя (33) и (34) в (27), найдем

dH^edxH-XV2^^ -Хр1 dt.РdH^edxH-XV2^^ -Хр1 dt.Р(***)(***)

dH^edxH-XV2^^ -Хр1 dt.Р

dH^edxH-XV2^^ -Хр1 dt.Р

(***)

(***)

Обозначая через t0 момент времени, соответствующий 7/ = 0, и интегрируя (***), получим

ГГ (4JL35)

Уравнение (35) дает неявное представление зависимости H\t\

Упражнение. Покажите, что для случая параболического движения (е = 1) решение уравнения (27) определяется формулой

tg^ + -tg3^ .(4.11.36)

2ур V 2 32)

При I с I = 0 угол (р не изменяется и, следовательно, точка в

плоскости (р, ф) должна двигаться по лучу ф = = ф0. Из (21) следует, что /7 —> 0, е —> 1 при I с I —>

. n пр l0!^ _и

—> 0. При этом а =т =5- = — не зави-

1-е2|с|2 Иг

сит от I с I. Если h < 0, то и2 - (1 - ^Р —> -А/Ц (или р2 —> -ц//г = 2а). Нетрудно понять, что при I с I —> 0 эллиптическая орбита превращается в отрезок прямой длиной 2а, один конец которого расположен в начале координат (рис. 106).

Переходя к пределу при I с I —> 0 (е —> 1) в формулах (28) и (30), получим

а3/2

р = а(1 - cos Е\ t-t.- (Е - sin Е).(4.11.37)

Эти предельные формулы определяют зависимость р(Г) в случае h < 0, е = 1. Можно показать, что при I с I = 0 и h > 0 движение происходит по лучу ф = ф0, исходящему из начала координат. При этом зависимость p(Z) определяется следующими формулами, которые также получены предельным переходом из (35) и (33):

^о=^з7т(8Н#-#Х p = ^(ch//-l).(4.11.38)

Законы Кеплера. При обработке наблюдений за движением планет Иоганн Кеплер определил закономерности их движения и сформулировал их в виде трех законов:

Первый закон. Каждая планета движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце.

Второй закон. Секториальная скорость каждой планеты относительно Солнца постоянна.

Третий закон. Отношение квадратов периодов обращения планет к кубам больших полуосей их орбит для всех планет одинаково.

(Секториальная скорость - площадь, заметаемая радиусом-вектором в единицу времени.) Именно опираясь на законы Кеплера, Ньютон открыл закон всемирного тяготения. Мы знаем, что если предположить, что Солнце и все планеты являются шарами со сферически-симметричным распределением плотности, то движение центров масс планет описывается систе-

(4.11.39)(4.11.39)мой уравнений (1.7.12)

(4.11.39)

(4.11.39)

J2rzdt1

где i = 2, 3, ..., п; /- гравитационная постоянная; г. = rz - Гх - радиус-вектор центра масс z-й планеты относительно репера Кёнига, связанного с центром масс Солнца. Для задачи п тел законы Кеплера, вообще говоря, не выполняются. Однако так как масса Солнца тх много больше массы mj любой из планет и расстояние между планетами | г • - г; | не становится в процессе их

движения очень малым, то оказывается, что члены, стоящие под знаком суммы, много меньше первых членов в правых частях (39). Поэтому движение планет можно приближенно описать (и - 1)-й системой несвязанных уравнений

(4.11.40)(4.11.40)d\ .. Кт1+т2Гdt2 |r I3 '

(4.11.40)

(4.11.40)

Это уравнения задачи двух тел и, как мы показали в этом параграфе, из решения таких уравнений следуют закономерности движения, указанные в первом и втором законах Кеплера. (Секториальная скорость - это (1/2) р2ф и, согласно (14), она остается постоянной.) Из соотношения (31) следует, что для отношения периодов обращения планет при описании их движения уравнениями (40) справедлива формула

<m1 4т; v m1 + m •<m1 4т; v m1 + m •(4.11.41)(4.11.41)

<m1 4т; v m1 + m •

<m1 4т; v m1 + m •

(4.11.41)

(4.11.41)

Для того чтобы объяснить приближенную справедливость третьего закона Кеплера, необходимо еще раз воспользоваться тем, что масса Солнца много больше масс планет: mz < ть i = 2, 3, ..., п. При этом можно в (41) принять второй сомножитель примерно равным единице, и тогда (41) будет формульной записью третьего закона Кеплера.

Об особенностях решения в задаче двух тел

Вернемся к общему случаю центральных движений. Используя уравнение (14), запишем уравнение (16) при независимой переменной (р:

dp d^dp d^у 2(/z-[/(p))-^ IРу 2(/z-[/(p))-^ IР(4.11.42)(4.11.42)

dp d^

dp d^

у 2(/z-[/(p))-^ IР

у 2(/z-[/(p))-^ IР

(4.11.42)

(4.11.42)

Рис. 107Рис. 107Из анализа эллиптических движений (Л < О или е < 1) в задаче двух тел (С7(р) ~ 1/р) следует, что независимо от начальных данных, когда ф изменяется на 2к, радиус р совершает полное колебание, например от Pi до р2 и обратно до рь т.е. значение р(ф0) совпадает с р(ф0 + 2к). Можно показать, что такой периодический характер движения существует только при [/(р) ~ 1/р и

Рис. 107

Рис. 107

[/(р) ~ р2. Во всех остальных случаях [/(р) для почти всех на

чальных данных, при которых движение остается ограниченным, период полного колебания по р не будет рационально соизмерим с 2к. Например, для потенциала [/(р) = -ц/р + г/р2, где г - малое число, в общем случае движение в конфигурационном пространстве (р, ф) происходит уже по незамкнутой кривой, типа представленной на рис. 107. Если £ достаточно мало, то движение на каждом обороте близко к движению по эллипсу, однако угол со, который определяет положение перицентра эллипса, медленно, со скоростью, пропорциональной £, изменяется с течением времени. К такому эффекту приводит учет, например, в задаче двух тел несферичности одного из тел или эффектов общей теории относительности. При этом так же, как для задачи о движении точки по поверхности (см. 4.10), для специальных начальных данных траектория движения в плоскости (р, ф) может замкнуться через п оборотов, число которых будет велико при малом £.

Силы инерции

1°. В гл. 2 мы вывели основные соотношения, связывающие кинематические характеристики движения точки М относительно абсолютного (неподвижного) репера Е и подвижного репера ETq (рис. 108). Согласно (2.6.1)-(2.6.5), эти соотношения имеют

ВИДВИДv = v,+vr,vt. =[w.r-r0] + v0v = v,+vr,vt. =[w.r-r0] + v0w = we + wc + wr,w = we + wc + wr,dm,r-dm,r-+ [w,[<o,r-r0]] + w0,+ [w,[<o,r-r0]] + w0,wc = 2[<o,vr],wc = 2[<o,vr],(4.12.1)(4.12.2)(4.12.3)(4.12.4)(4.12.5)(4.12.1)(4.12.2)(4.12.3)(4.12.4)(4.12.5)

ВИД

ВИД

v = v,+vr,vt. =[w.r-r0] + v0

v = v,+vr,vt. =[w.r-r0] + v0

w = we + wc + wr,

w = we + wc + wr,

dm

,r-

dm

,r-

+ [w,[<o,r-r0]] + w0,

+ [w,[<o,r-r0]] + w0,

wc = 2[<o,vr],

wc = 2[<o,vr],

(4.12.1)

(4.12.2)

(4.12.3)

(4.12.4)

(4.12.5)

(4.12.1)

(4.12.2)

(4.12.3)

(4.12.4)

(4.12.5)

В этих соотношениях: r0 - радиус-вектор начала репера Er, ,v0 =

= dr^dt, со - угловая скорость вращения репера ЕГо относительно Е. Вектору со е е R3 соответствует кососимметрическая матрица Q = (dAVdt) А, где А - матрица преобразования Е —^—> ETq . Наблюдатель, неизменно связанный с репером ЕГо, может определять координаты г (радиуса-вектора точки М в проекциях на орты

репера Е ^ и соответствующие координаты вектора скорости v = dr / dt и ускорения w = d\/ dt = d^r / dt^. Входящие в формулы (1)-(5) векторы г - r0, vr, wr связаны с г, v, w соотношениями

r-r0=ATr, vr = ATv, wr = ATw.(4.12.6)

Запишем уравнения движения материальной точки (г, т):

mw = F,(4.12.7)

где F - результирующая сила, действующая на точку (сумма внутренних и внешних активных сил и сил реакций связей). Спроектируем это векторное равенство на орты репера ЕГо:

mAw = F,mAw = F,(4.12.7)

mAw = F,

mAw = F,

где F = AF - проекция результирующей всех сил на орты репера ЕГо. Согласно введенным обозначениям,

Aw = w + wz. + wr.Aw = w + wz. + wr.(4.12.8)(4.12.8)

Aw = w + wz. + wr.

Aw = w + wz. + wr.

(4.12.8)

(4.12.8)

ЗдесьЗдесь _we = —,r +[to,[to,r]] + W,L dt Jwc = 2[w, v], w,=w. _we = —,r +[to,[to,r]] + W,L dt Jwc = 2[w, v], w,=w.о?о?(4.12.9)(4.12.9)dto dto to = Ato, = A, w0=Awn.dt dt 00Подставляя эти соотношения в уравнение (7), получим d^r — — mw = m^ = F + F™, d?dto dto to = Ato, = A, w0=Awn.dt dt 00Подставляя эти соотношения в уравнение (7), получим d^r — — mw = m^ = F + F™, d?(4.12.10)(4.12.10)(4.12.11)(4.12.11)

Здесь

Здесь

_

we = —,r +[to,[to,r]] + W,

L dt J

wc = 2[w, v], w,=w.

_

we = —,r +[to,[to,r]] + W,

L dt J

wc = 2[w, v], w,=w.

о?

о?

(4.12.9)

(4.12.9)

dto dto

to = Ato, = A, w0=Awn.

dt dt 00

Подставляя эти соотношения в уравнение (7), получим d^r — — mw = m^ = F + F™, d?

dto dto

to = Ato, = A, w0=Awn.

dt dt 00

Подставляя эти соотношения в уравнение (7), получим d^r — — mw = m^ = F + F™, d?

(4.12.10)

(4.12.10)

(4.12.11)

(4.12.11)

гдегдеdm _ гdm _ г= -т — _ dt= -т — _ dt- m[co, [со, г]] - mw0,- m[co, [со, г]] - mw0,(4.12.13)(4.12.13)

где

где

dm _ г

dm _ г

= -т — _ dt

= -т — _ dt

- m[co, [со, г]] - mw0,

- m[co, [со, г]] - mw0,

(4.12.13)

(4.12.13)

(4.12.14)(4.12.14)F™=-2m[co,v].

(4.12.14)

(4.12.14)

Соотношение (11) можно интерпретировать следующим образом. Движение материальной точки для наблюдателя, связанного с подвижным репером Е , можно описать такими же уравнениями, как движение относительно абсолютного репера, если к результирующей всех активных сил (и, возможно, сил реакций связей) добавить специальные силы F™. Эти дополнительные силы F™ носят название сил инерции. По аналогии с определениями, введенными (см. § 2.5, 2.6) для составляющих ускорений (3), вектор F™ (13) называется переносной силой инерции, a F™ - кориолисовой силой инерции (14). Составляющую -m[co,[co,r]] силы F™ называют центробежной силой инерции.

Для наблюдателя, связанного с репером ETq , силы инерции проявляются как причина, вызывающая ускорение материальной точки. Это ускорение не зависит от расположения и скоростей других точек системы, т.е. силы инерции проявляются как активные внешние силы. Отметим некоторые особенности этих сил.

Силы инерции - линейные функции радиуса-вектора г и вектора скорости v материальной точки. При этом только сила Кориолиса зависит от вектора относительной скорости v; в этом ее основная особенность.

Силы инерции пропорциональны массе материальной точки. В этом смысле силы инерции похожи на гравитационные силы. В обоих случаях составляющая ускорения, вызываемого этими силами, не зависит от массы точки. Эта, на первый взгляд поверхностная, аналогия явилась идейной основой для создания одной из великих современных теорий - общей теории относительности Эйнштейна.

Составляющая переносной силы Q =-m[co,[co,r]]-mw0 является потенциальной. Действительно, записывая векторное произведение [со, [со, г]] в матричном виде

[со, [со, г]] = Q2r,

где Q - кососимметричная матрица, соответствующая вектору

со, и используя представление (2.1.6) Q2 = - | со |2+со сот, получим

Q = m[| со |2 г -co(co,r)- w0],

где (•,•) - скалярное произведение в R3. Рассмотрим функцию

^ = -у[|м|2|г|2 -<<o,r)2] + m(w0,r).

Прямым дифференцированием нетрудно показать, что

и, следовательно, U -потенциал силы Q.

Сила Кориолиса Fc™ - непотенциальная сила, так как она зависит от компонентов вектора скорости v. Из равенства

(F™,y) = O,

которое вытекает из ортогональности векторов [со, у] и у, сле

дует, что силы Кориолиса F™ являются гироскопическими; они

не приводят к изменению механической энергии (равной сумме кинетической энергии и потенциала).

Нетрудно показать, что составляющая сил инерции

Q» = -Q» = -dto■ , г m,_ dt _dto■ , г m,_ dt _асо )

Q» = -

Q» = -

dto

■ , г m,

_ dt _

dto

■ , г m,

_ dt _

при ^ 0 не имеет потенциала. Действи-

dt )

тельно, эту составляющую можно записать в матричном виде: QB = -mQr, где Q - кососимметрическая матрица, соответствующая вектору dm / dt. Если бы существовала функция [/в(гД) такая, что QB = -(Э[/В/Эг)т, то скалярное произведение (QB,cZr) должно было бы быть полным дифференциалом этой функции в трехмерном пространстве векторов г (при фиксированном времени). Для выполнения этого необходимо и достаточно, чтобы dQB / dr была кососимметрической матрицей, и поэтому эта составляющая сил не может иметь потенциала.

. О весе тела. Для описания большинства задач с высокой точностью можно предполагать, что Земля равномерно вращается с угловой скоростью со. Вектор со имеет постоян-

ную величину

|со | - 0,0000729 рад/с

и сохраняет неизменное направление как относительно абсолютного репера Е, так и относительно репера Е^, жестко связан-

ного с Землей. Пусть начало репера ЕГо помещено в центре масс Земли, а его орты е1?е2,е3 параллельны ортам некоторого абсолютного репера. При этом мы можем и будем предполагать, что орт е3 одинаково направлен с вектором со.

Пусть ЕГо = (е1?е2,е3) - репер, жестко связанный с Землей, и ё3 = е3 (рис. 109). Для материальной точки, находящейся вблизи поверхности Земли, в гл. 1 были выведены уравнения ее движения относительно ЕГо. Было показано, что на такую точку действуют силы mg, обусловленные ее гравитационным взаимодействием с Землей, и силы mgB, обусловленные гравитационным взаимодействием Луны, Солн

ца и других планет с этой точкой и Землей. В частности, в силы mgB формально были включены силы инерции, возникающие при поступательном перемещении системы координат ЕГо. Бы-

NNIIIIIIIIIIIIIРис. ПОIIIIIIIIIIIIIРис. ПОла дана оценка | gB | / | g I ~ 10 7. Если мы пренебрежем величинами такого порядка, то тогда при описании процессов на Земле мы можем считать, что репер Е^ определяет инерциальную систему координат.

N

N

IIIIIIIIIIIII

Рис. ПО

IIIIIIIIIIIII

Рис. ПО

Рассмотрим теперь уравнения движения материальной точки относительно ре-

пера Е^.Так как d^ldt = 0 и w0 = 0, то уравнения движения будут

иметь видиметь видб?2г m—а?б?2г m—а?-т^ = -2m[<o,v]-m[co,[co,r]] + F.-т^ = -2m[<o,v]-m[co,[co,r]] + F.(4.12.15)(4.12.15)

иметь вид

иметь вид

б?2г m—

а?

б?2г m—

а?

-т^ = -2m[<o,v]-m[co,[co,r]] + F.

-т^ = -2m[<o,v]-m[co,[co,r]] + F.

(4.12.15)

(4.12.15)

Пусть точка находится в покое (w = v = 0) относительно Земли. Будем предполагать, что на эту точку действует результирующая сила F, которая есть сумма сил: силы ее гравитационного притяжения Землей mg и силы реакции опоры N (рис. ПО). В этом случае мы получим

-m[w, [w, г ]] + mg + N = 0.

Модуль силы N

|N| = m|[<o,[<o,r]]-|g||(4.12.16)

может быть измерен, если в качестве опоры мы возьмем, например, пружинные весы. Величина INI силы реакции опоры называется весом тела.

Из (16) следует, что вес тела пропорционален его массе. Необходимо обратить внимание, что коэффициент пропорциональности |[<o,[<o,r]]-g| зависит от вектора г, т.е. зависит от того, в каком месте на Земле производится взвешивание. При этом, так как Земля не является точно сферой со сферически-симмет- ричным распределением плотности (см. § 1.8), то при изменении места взвешивания на поверхности Земли изменяется как вектор g, так и центробежная составляющая силы N. На полюсах радиус г параллелен со и [со, [со, г]] = 0. На экваторе г перпендикулярен со, и центробежная сила оказывается направленной по радиусу г; при этом составляющая т [со, [со, г]] в формуле (16) приводит к уменьшению силы веса INI по сравнению с силой гравитационного притяжения mlgl. Полагая lgI ~ ~ 0,0098 км/с2, |г| ~ 6378 км, нетрудно определить для экваториального случая

а=1@№311 = МШ_о.ооз.

|ё||ё|

Суммарное влияние нецентральности земного гравитационного поля, влияние центробежных сил и влияние переменности расстояния от центра масс Земли до ее поверхности приводят к зависимости ускорения силы веса INI в основном от географической широты ср точки на поверхности Земли. Эта зависимость описывается приближенной формулой

^ = g0(l + 0,0053 sin2 ф),т

где g0 = 0,00978049 км/с2.

Таким образом, в системе координат, связанной с вращающейся Землей, центробежная сила проявляется как некоторая поправка к силе гравитационного притяжения. Так как обе эти силы потенциальны, то в дальнейшем их можно объединить в одну потенциальную силу mG. В астрономии угол ср между вектором G и экваториальной плоскостью Земли (еь е2) называют астрономической широтой места.

3°. О силе Кориолиса. Сила Кориолиса F™ = -2т[со, у] проявляется только тогда, когда материальные точки движутся от-

носительно вращающейся системы координат. Наиболее популярный эффект, который связан с силой Кориолиса, обусловленной вращением Земли, это разрушение правых берегов больших северных рек. В северном полушарии большие реки в основном текут в меридиональном направлении. Поэтому сила F™ = = -2т[со, у] направлена примерно перпендикулярно руслу реки в сторону ее правого берега (рис. Ill, v -

скорость течения). Эта сила и приводит к разрушению правого берега. Поэтому правые берега северных рек более крутые.

Вопрос. Какой берег разрушается у рек, текущих вдоль меридиана южного полушария?

Замечание. Указанный эффект проявляется на больших реках, у которых русло слабо искривлено. Для небольших рек, у которых русло сильно петляет, наблюдается другое явление. Высоким размытым берегом часто оказывается берег, более удаленный от центра кривизны русла.

Выберем систему координат Е так, чтобы выделенные частицы жидкости все время находились на луче, определяемом ортом ёх репера Е (рис. 112). Чтобы это условие выполнялось, ре

Рис. 112Рис. 112пер Е должен вращаться относительно Земли с угловой скоростью со*, перпендикулярной поверхности * 1 _

Рис. 112

Рис. 112

Земли, и |со |~ ।1 v |, где Ivl - скорость потока, 1р1 - радиус кривизны русла. При небольшом радиусе кривизны Ipl центробежные силы -т[со*, [<о\р]] часто превосходят си-

лы Кориолиса -2т[<о, у], обусловленные суточным вращением Земли. Таково объяснение этого явления.

Разрушение правых берегов северных рек - наиболее популярный, но не самый существенный эффект, связанный с проявлением силы Кориолиса. Силы Кориолиса во многом определяют океанические и атмосферные течения и тем самым играют важную роль в формировании всего климата на Земле.

Задача о падении камня на Земле. Камень в момент времени

t = О брошен (без начальной скорости) в шахту глубиной к, находящуюся у поверхности Земли на широте ср в северном полушарии. Используя обозначение mG для координат вектора результирующей силы центробежных сил и силы гравитационного притяжения, запишем уравнения движения камня относительно репера ЁГо:

d2r J dr

—r = G-2 <о,— .(4.12.17)

Л2 L dt \

Мы будем предполагать, что к много меньше радиуса Земли

и будем считать ускорение G постоянным. Так как

< | G |, для решения уравнений движения применим метод последовательных приближений. Представим

r = ii+r2+r3 + ...

и определим г. из цепочки уравнений

А _ сА _ с-2-2(Ёг^ _ _ dr d2r

А _ с

А _ с

-2

-2

—Ё = -2 <о,—L ,..., —у-dt2 L dt J dt2

Легко видеть, что | г;-1 = O(| <о |' 1). Из первого уравнения, полагая

drxdtdrxdt= 0, находим7=0= 0, находим7=0

drxdt

drxdt

= 0, находим

7=0

= 0, находим

7=0

— zx — zzxx G^ dr, —^(0-^(0)=——, —1 = gl2 dt

Из условия t - th при | ^(r) - ^(0) | = к находим

(*)

Второе уравнение имеет вид

—у — — 2 [со, G]f.dt

= 0, находим7=0= 0, находим7=0dr

= 0, находим

7=0

= 0, находим

7=0

Откуда, полагая г2(0) = 0, —- dt

r2(O = -|[to,G]z3.

Из (**) следует, что камень отклоняется на восток (рис. 113). При t - tk | r2 |= = (1 /3) | со || G | sin(7i/2 + ф)^. Положим ф = = 60°, I G |= 10"2 км/с2, h = 2 км, |со| = 0,72 х х 10-4. Из (*) определим th = 2,1 с и | г2 | х х|о,72-Ю_4-Ю"2-|(2О)3 «10-3 км = 1 м.

Замечание. Если мы хотим грубо опре-рис пз

делить с помощью такого эксперимента,'

например, широту места ф, то мы должны независимо определить величину и направление силы тяжести G. Это можно сделать различными способами. Направление и величину G определяет прибор типа математического маятника. При этом среднее положение маятника в процессе колебаний определяет направление G, а его период - величину | G |.

c/2rc/2r- -74 о — dr—5- = G - 2 со,— dt L dt _- -74 о — dr—5- = G - 2 со,— dt L dt _dtdt(4.12.17)(4.12.17)Маятник Фуко. Рассмотрим вновь систему уравнений (17), описывающую движение тяжелой точки на вращающейся Земле (относительно репера Е^ :

c/2r

c/2r

- -74 о — dr

—5- = G - 2 со,— dt L dt _

- -74 о — dr

—5- = G - 2 со,— dt L dt _

dt

dt

(4.12.17)

(4.12.17)

где G - постоянное ускорение. Мы вывели это уравнение, предполагая, что начало репера Е^ расположено в центре масс Земли, а орт ё3 коллинеарен с вектором со. Уравнения движения будут иметь точно такой же вид при рассмотрении движения относительно произвольного репера Е. который остается неподвижным относительно репера ЕГо. Это утверждение можно проверить формально, рассмотрев преобразование

_(da Д

г = r+a I — = О L

Vdt )

определяющее перенос начала репера, а затем преобразование поворота

г = Аг,

где А - постоянная матрица поворота: dAldt = 0. Поэтому без ограничения общности мы можем предположить, что уравнение (17) описывает движение точки относительно репера, начало

19. М.Л. Лидов

которого г0 расположено вблизи поверхности Земли, орт ^ коллинеарен вектору G, а орт ё2 направлен по земному меридиану. Из рис. 114 нетрудно видеть, что в этой системе координат векторы w и G имеют вид

сот = (-sin ср, cos ср, 0) | со |9

G т = (1, 0, 0)|G|.

Рис. 114Рис. 114

Рис. 114

Рис. 114

Введем теперь в рассмотрение систему координат Е' = (е^е^, вд), начало которой совпадает с ETq и ех = ех' (рис. 115). Будем полагать, что репер Е’ равномерно вращается относительно репера Е^ с постоянной угловой скоростью

9 = ^ = ^ei (£ = const).

Мы можем записать уравнение движения точки единичной массой относительно репера Е’. Для этого надо воспользоваться кинематическими соотношениями

^-=[e,r]+vr,dt

= wr + 2[e,vr]+[e,[e,r]], dt

где vr, wr - скорость и ускорение относительного репера Е’ в проекциях на орты репера Е^. В этих соотношениях мы учли, что начало реперов совпадает и dQ/dt = 0. Подставляя эти соотношения в уравнение (17), получим

w= G - 2[<о, [9, г]] - 2[<о, уг] - 2[9, vr] - [9, [9, г]].

Проектируя это уравнение на орты репера Е\ найдем

d2rdt2d2rdt2= G-2 w' + O', —_dt _= G-2 w' + O', —_dt _2[w',[0'?r']]-[0'?[0'?r']].2[w',[0'?r']]-[0'?[0'?r']].

d2rdt2

d2rdt2

= G-2 w' + O', —

_dt _

= G-2 w' + O', —

_dt _

2[w',[0'?r']]-[0'?[0'?r']].

2[w',[0'?r']]-[0'?[0'?r']].

Мы предположили, что модули векторов угловых скоростей | со' | и 10' I малы настолько, что можно пренебречь в правой части уравнения членами, содержащими их квадрат. В этом случае мы приходим к системе уравнений

с/2г'А2с/2г'А2= G-2= G-2со' + 0',со' + 0',dr'dtdr'dt(4.12.18)(4.12.18)

с/2г'

А2

с/2г'

А2

= G-2

= G-2

со' + 0',

со' + 0',

dr'dt

dr'dt

(4.12.18)

(4.12.18)

Теперь мы предположим, что движение материальной точки подчинено голономной связи

(4.12.20)(4.12.20)| г' | = р = const.

(4.12.20)

(4.12.20)

Предполагая, что второй член в (18) много меньше G' (| coz | и 10'1 малы), будем искать решение (18) методом последовательных приближений

г' = г^+г^ + ...

и определим г/ и г2 из следующих систем уравнений:

^ = G' + N, dt2^ = G' + N, dt2drA dN— +— r2 dt dr rdrA dN— +— r2 dt dr rс/2г2 Г ,

^ = G' + N, dt2

^ = G' + N, dt2

drA dN

— +— r2 dt dr r

drA dN

— +— r2 dt dr r

—у — —2 со + 0,dt2

где N - сила реакции связи (20).

Можно показать, что при этом сила реакции изменяется

мало, и пренебречь членоммало, и пренебречь членомdN drdN drr2r2во втором уравнении. Сисво втором уравнении. Сис

мало, и пренебречь членом

мало, и пренебречь членом

dN dr

dN dr

r2

r2

во втором уравнении. Сис

во втором уравнении. Сис

тема уравнений первого приближения при связях (20) и началь- / dr' \

ных условиях (при Г = 0 (г^вз) = 0, (—-вд) = 0) описывает плос- \ dt /

кие колебания математического маятника (в подвижной плоскости (е^е^)). Мы сейчас примем дополнительное предположение, что амплитуда а этих колебаний

мала. Тогда, если пренебречь отличием cos а от 1, ’ ф\ движение точки в первом приближении сводится к ei \ колебательному движению вдоль оси, определяе

мой ортом е2 (рис. 116), со скоростью dr(/dt = Рис. 116

= рфе2. Для этого решения уравнение следующего приближения имеет вид d2r'^! dt2 = -2фр[со' + 0',е2].

Покажем, что можно выбрать скорость ^ вращения репера Е’ относительно Е так, что и в этом, следующем приближении движение будет происходить в плоскости (е^е^). Для этого необходимо и вместе с условиями г^ = 0, ^Zr17 dt = О при Г = 0 достаточно, чтобы проекция [(о' + О'^] на орт вд равнялась нулю. Записывая это условие, получим

{[(o' + O'^Le^) = 0 = ([(о^е^е^ + ^е^^з).

Используя циклическую перестановку для смешанного произведения, найдем

([co^e^^eg) = (е^со') = — sin q) | со |,([О^Ъе^^е;)^.

Отсюда следует: для того чтобы в системе координат Е’ движение было плоским, необходимо и в рассматриваемом приближении при указанных начальных условиях достаточно, чтобы

^ = | со | sincp.

Мы вывели формулу, определяющую основной механический эффект в этой задаче. Движение маятника в рассматриваемом случае представляет следующую картину:

Маятник совершает сравнительно быстрые колебания с периодом т = 271^/ | G | (р - длина памятника, IGI - модуль вектора G). Например, при IGI = 10 м/с2 и р ~ 3,6 м период т ~ 1 с.

Плоскость колебаний маятника медленно с периодом 2л 2л 1СуТ

~ —-— поворачивается вокруг вектора G. При из-

| со | sinq) sinq)

вестном значении Icol таким путем можно достаточно точно определить широту места. Описанный выше маятник называется маятником Фуко. Можно экспериментально проверить справедливость наших выводов из наблюдений за движением маятника Фуко в Исаакиевском соборе в Санкт-Петербурге.

Невесомость. Перегрузки. Искусственная тяжесть

В гл. 1 рассматривалась задача о свободном движении космического аппарата вблизи Земли (рис. 117). Были проведены оценки гравитационных ускорений, которые испытывает материальная точка (или человек) относительно системы координат ЕГо, связанной с центром масс корабля и перемещающейся поступательно. Было показано, что в пределах корабля разме-

ром порядка 5 м модуль относительного ускорения \d1Yl dt1 | не превосходит величину порядка 4 • 10~6 g, где g = 9,8 м/с2 - ускорение силы тяжести на поверхности Земли.

Для рассматриваемой задачи мы можем воспользоваться уравнениями (11)—(14) при со = 0:

mw = т—1 dr 0

где F - внешняя сила, которая в основном есть сила притяжения материальной точки Землей. В задаче о полете космического корабля причина явления невесомости состоит в том, что F ~wiw. Вызываемые гравитационным притяжением Земли ускорения корабля (иначе - ускорение системы координат) и рассматриваемой точки примерно одинаковы. Откуда и следует, что d^Yldt1 ~0.

Рассмотрим теперь в некотором смысле противоположный эффект. Пусть космический корабль находится далеко от силовых полей. И, например, с помощью реактивных двигателей ему сообщается ускорение w0 в постоянном направлении. В этом случае уравнения движения точки относительно корабля имеют вид

d^Y _

dt1 0

Если ускорение | w0 | в к раз больше ускорения силы тяжести на Земле | w0 | = kg. то вес каждой частицы тела космонавта как бы увеличивается в к раз. Говорят, что на человека действуют перегрузки. Поскольку прочность всей «конструкции человеческого тела» осталась прежней, то большие перегрузки могут быть опасны для жизни. Поэтому в различных проектах, связанных с полетом человека, учитывают ограничения сверху на допустимые перегрузки (т.е. на ускорения корабля).

Еще некоторое время назад с опаской относились к длительному пребыванию человека в условиях невесомости. Сейчас уже проведены эксперименты, в которых человек успешно находился в таких условиях порядка 90 сут. Однако для более длительных интервалов полета проблема влияния невесомости еще не совсем ясна. Поэтому обсуждаются проекты создания кораблей с искусственной тяжестью.

В простейших вариантах космический корабль (система) состоит из двух частей А и А', связанных тросом и закрученных относительно орта е3, проходящего через центр масс (перпенди-

-[®,[®,г]]-[®,[®,г]]Рис. 118Рис. 118кулярно плоскости рисунка), с угловой скоростью со (рис. 118). В системе координат Е = (e1?e2,e3) космический корабль остается неподвижным. Однако это не инерциальная система координат. Материальная точка (человек), находящаяся в корабле А, испытывает относительное ускорение за счет сил инерции:

-[®,[®,г]]

-[®,[®,г]]

Рис. 118

Рис. 118

d2r

^ = -2[w,v]-[co,[co,r]].

Если человек (точка) находится в покое

относительно корабля (или репера Е), то кориолисово ускорение равно нулю. Если расстояние I = О А много больше размеров корабля, то центробежное ускорение примерно одинаково для всех точек внутри корабля. Полагая со = | со | ё3, г = /е1? опре

делим:

d^Y 2

2 - I W I ^ei-

at

Упражнение. Пусть / = 40 м.

С какой угловой скоростью надо закрутить корабль, чтобы ускорение |<^2г/^2 | было равно ускорению g силы тяжести на Земле? Полагая | d^r/dt2 | = 10 м/с2 ~ g, найдем:

== Рад/с’

т.е. период вращения должен равняться ~ 12 с.

Пусть человек движется внутри корабля вдоль оси ё| со скоростью 1 м/с. Чему равно ускорение Кориолиса? Имеем:

2|[w,v]| = 2|w||v| = 2-Tl = l м/с2.

Глава 5

Основной аппаратгамильтоновой механики

Система уравнений в форме Гамильтона

Г. Предположим, что движение некоторой системы описывается в обобщенных координатах уравнениями Лагранжа второго рода

dt ydq )dt ydq )=o,=o,(5.1.1)(5.1.1)

dt ydq )

dt ydq )

=o,

=o,

(5.1.1)

(5.1.1)

где L = L(q,q,t) - функция Лагранжа (лагранжиан задачи); q,q е eRm - обобщенные координаты и скорости системы.

Если (1) - уравнения голономной механической системы, в которой силы имеют потенциал U(q, t) (или обобщенный потенциал V(q,q,t)), то L = T(q,q,t)-U(q,t) (или L = T-V).

Как следует из анализа, проведенного в гл. 4, в обоих этих случаях функция L - квадратичная функция обобщенных скоростей и

Л д (dL^Э2Г

det— — =det—^-^0.(5.1.2)

dq^dqjdq

— fdql— fdqlВ следующем рассмотрении можно предполагать, что L(q, q,t) - произвольная достаточно гладкая функция указанных аргументов. Однако всегда будем полагать, что матрица dL^ d2L, d2L

— fdql

— fdql

— = невырожденная, т.е. det—у ^ 0.

dq) oqoq

2°. Вывод уравнений в форме Гамильтона. Введем в качестве искомых вместо переменных q и q переменные q и р, где

(5.1.3)(5.1.3)(BlA .। i bl

(5.1.3)

(5.1.3)

P = кт = Ф(q,q,0 \p = —ydqydq

- m-мерный вектор, рт = (р\р\...,рт\ По определению, р1 - обобщенные импульсы системы.

Из условия (2) следует, что соотношения (3) локально определяют (неявным образом) обобщенные скорости q как функ-

ции р, q^:ции р, q^:q = f(p,q,O, teRm.q = f(p,q,O, teRm.(5.1.4)(5.1.4)

ции р, q^:

ции р, q^:

q = f(p,q,O, teRm.

q = f(p,q,O, teRm.

(5.1.4)

(5.1.4)

Таким образом, система т уравнений второго порядка (1) оказывается эквивалентной системе 2m уравнений первого порядка:

^ = f(p,q,O,dt^ = f(p,q,O,dtdp ( 9lYdt Ida J.v 4 7 q=Rp,qPdp ( 9lYdt Ida J.v 4 7 q=Rp,qP(5.1.5)(5.1.5)

^ = f(p,q,O,dt

^ = f(p,q,O,dt

dp ( 9lYdt Ida J.

v 4 7 q=Rp,qP

dp ( 9lYdt Ida J.

v 4 7 q=Rp,qP

(5.1.5)

(5.1.5)

где производные dL/9q вычисляются при постоянных q и t.

Систему уравнений (5) можно записать в более красивом и удобном для анализа виде, если ввести функцию Гамильтона Н(р, q, Й, которую иногда кратко называют гамильтонианом задачи. По определению,

Я(р, q, 0 = pTf (Р, q, 0 " Щ (Р, q, t\q, t\(5.1.6)

где

pTf (p, q, 0 = (p, f) = ^ p 'f (p, q, t\

Z=1

и на место векторного аргумента q в лагранжиан L подставлено его представление (4).

Дифференцируя (6) по q и р, получим

ЭнЛ Tf df (дГА (dLA Г df dq ) t vdqJ vdq). vdqJAdqJ

(5.1.7)

Ж.dp уЖ.dp у=r+p=r+p'df vdp'df vdp

Ж

.dp у

Ж

.dp у

=r+p

=r+p

'df vdp

'df vdp

В этих соотношениях индексами внизу мы указываем переменные, которые остаются постоянными при вычислении частных производных. Члены, подчеркнутые в (7), взаимно уничтожаются (см. (3)). Откуда следует

f(p,q,O =f(p,q,O =1Э₽А/1Э₽А/f—)I dq Jf—)I dq J(5.1.8)(5.1.8)

f(p,q,O =

f(p,q,O =

1Э₽А/

1Э₽А/

f—)I dq J

f—)I dq J

(5.1.8)

(5.1.8)

Используя (8), уравнения (5) можно записать в следующем виде:

dp(dT/Ydq (дн\ ТТ тт/ .,, . ...

-Г = Н^ ’ “Г=’ Н = Щ$АЛ\ (5.1.9)

dtv yq у^ v ®р у

Уравнения (9) называются уравнениями в форме Гамильтона. Запись этих уравнений можно еще упростить, если ввести в рассмотрение составной вектор zT ^(р^.р1..... рт .q\cf .....qm) и специальную квадратную матрицу порядка 2m

^=^2m =^=^2m =Г о,VmГ о,Vm"кО"кО(5.1.10)(5.1.10)

^=^2m =

^=^2m =

Г о,

Vm

Г о,

Vm

"к

О

"к

О

(5.1.10)

(5.1.10)

которая называется симплектической единицей порядка 2m.

В (10) 1т - единичная матрица m-го порядка. Используя эти обозначения, уравнения (9) можно записать в следующем виде:

^=д/М) , Н = Н(гр, zeRlm. (5.1.11) dt у dz )

Переменные р и q, в которых уравнения имеют форму Гамильтона, называются каноническими. Пары р\ ql называются сопряженными переменными задачи. Или подробнее: импульс р1 сопряжен обобщенной координате ф. Их положение в векторе z не произвольно. Если р1 расположена на z-м месте, то ql - на (m + z)-m месте.

Введенная в рассмотрение симплектическая единица $ обладает некоторыми простыми свойствами, которые мы будем в дальнейшем использовать.

Нетрудно показать справедливость следующих соотношений:

det2F=l, У = фч = -$, &2 = -12т,(5.1.12)

где /2т - 2т-мерная единичная матрица.

Если Н(р, q, t) - гамильтониан некоторой задачи, то несложно обратно определить соответствующую функцию Лагранжа и записать уравнения Лагранжа. Действительно, согласно (8),

Если det—0, то из последнего соотношения можно опреде- др

лить вектор обобщенных импульсов как функцию q, qД :

р = Ф(д,д,0(5.1.13)

После этого, используя (6), определим

L(q, q, t) = Фт (q, q, ?)q - Я(Ф^, q, 0, q, 0-

Условие det—у ^0 выполняется одновременно с условием (2).

Действительно, дифференцируя тождество ( ^ |= р по р,

В1 L df получим —5 ^т~ единичная матрица. 1ак как, согласно (8),

Bq др

d2H df

—У = —, то условие

Вр др

detdetВ^Н2 2В^Н2 2*0*0(5.1.14)(5.1.14)

det

det

В^Н

2 2

В^Н

2 2

*0

*0

(5.1.14)

(5.1.14)

автоматически следует из det^y ^ 0.

Bq

Соотношения между переменными q,q,t и p,q,t и функциями L и Н являются частным случаем ситуации, рассматриваемой в теореме Донкина.

Пусть х е Rn, а е Rk и отображение X: Rn xRk ^ R определяется функцией

Х = Х(х,а).Х = Х(х,а).(5.1.15)

Х = Х(х,а).

Х = Х(х,а).

Здесь и ниже мы указываем отображения пространства, однако имеется в виду, вообще говоря, отображение некоторых областей в пространствах Rn и Rk. Все рассматриваемые отображения будем предполагать достаточно гладкими.

Функция (15) при каждом а порождает отображение Ф: Rn R\ определяемое вектор-функцией

у = Ф(х,а) =у = Ф(х,а) =dxYВх JdxYВх J(5.1.16)(5.1.16)

у = Ф(х,а) =

у = Ф(х,а) =

dxY

Вх J

dxY

Вх J

(5.1.16)

(5.1.16)

Теорема Донкина (или теорема о преобразовании Лежандра).

Если

(5.1.17)(5.1.17), д2Х

(5.1.17)

(5.1.17)

det —г * 0,ох

то локально:

Существует обратная (16) вектор-функция

x = f(y,a), f:R"^Rn.x = f(y,a), f:R"^Rn.(5.1.18)(5.1.18)

x = f(y,a), f:R"^Rn.

x = f(y,a), f:R"^Rn.

(5.1.18)

(5.1.18)

Существует функция

(5.1.19)(5.1.20)(5.1.21)(5.1.19)(5.1.20)(5.1.21)Y (у, а) = fт (у, а)у - X(f (у, а), а) такая, что

(5.1.19)

(5.1.20)

(5.1.21)

(5.1.19)

(5.1.20)

(5.1.21)

„ л fdrY

f(y,«)= — •

Справедливо равенство

ЭГ __ЭХ

да да ’

где правая и левая части выражены через одни и те же переменные х (или у).

Справедливо равенство

д2Х d2Y ,,Е ,

= 1п - единичная матрица,(5.1.22)

дх ду

откуда следует det—0.

ду

Вектору х и функции Х(х, а), согласно (16) и (19), мы ставим в соответствие вектор у и функцию У(у, а), т.е. определено отображение

Г ЬУ .

' (x(x,a)J (y(y,a)/

Это преобразование называется преобразованием Лежандра. При этом Л2 =Х°Л - тождественное отображение. Доказательство утверждения 1) следует из теоремы анализа об обращении отображений. Соотношения (20) и (21) получаются после дифференцирования (9) по у и а соответственно и подстановки в полученные уравнения выражения для у в виде (16). Для доказательства 4) следует продифференцировать по у тождество, которое возникает после подстановки в правую часть (16)

ГдУ¥ U А

х = — . Чтобы доказать последнее утверждение теоремы, применим оператор Л к функции У(у, а). В результате получим

- ГдУ¥

х= — = f(y,a) = х ^ у = Ф(х,а),

XY = Фт (х, at)x - У(Ф(х, at), at) =

= Фт (х, at)x - fт (Ф(х, at), а0Ф(х, at) + X(t (Ф(х, at), at), at).

Так как f и Ф взаимно обратные отображения, то Г(Ф(х,а),а) = = х и ЖУ = Х(х,а).

При выводе системы уравнений в форме Гамильтона мы использовали фактически преобразование Лежандра при следующем соответствии обозначений:

x~q, у~р, a~(q,0> Y-H.

Из соотношения (21), в частности, следует, что dL/ dt = -дН /dt, и функция Гамильтона не будет зависеть явно от времени в том и только в том случае, когда не зависит явно от времени функция Лагранжа.

Лемма. Если для потенциальной механической системы обобщенные координаты q вводятся вектор-функциями, явно не зависящими от времени (г = Ф(ф), то

H=T+U,(5.1.23)

где Т - выражение кинетической энергии системы через канонические переменные р и q, а [/ = L/(q, t) - потенциал обобщенных сил.

Следствие. Если, кроме того, U не зависит явно от времени, то Н - полная механическая энергия системы, выраженная в канонических переменных.

Доказательство. При условии, указанном в формулировке леммы 7 (см. § 4.3),

т = ^адч = Р, ь = т—и,

где 2S(q) - невырожденная симметрическая матрица размера m х m. Отсюда следует:

р = ® ^(^q^q^'^q^fteq),

т =p'^-^q)?.

Подставляя q в p, a p в (6), определим

Н = рт$чр -1 рт$"*р + и = |рт®чр + и.(5.1.24)

Замечание. Условия, сформулированные в лемме, и ее следствие часто выполняются в приложениях. Однако следует опасаться автоматически отождествлять Н с механической энергией системы.

Упражнение. Выведите формулу для гамильтониана задачи в случае, когда L = lqT®q + bTq + 7o(q,O-t/(q,0 = Г2 + Tx + Го -U,

^ = Ш5иФ b = b(q./).

Ответ:

Н = |(р - Ь)т ^-'(р - Ь) - г0 + и = г2 - г0 + и.

В соответствии с определениями, принятыми в курсах дифференциальных уравнений, в случае, если гамильтониан не зависит явно от времени Н = Н\г\ систему уравнений Гамильтона (и задачу) будем называть автономной (или обобщенно-консервативной).

Теорема. Гамильтониан автономной задачи является первым интегралом соответствующей системы уравнений в форме Гамильтона.

Доказательство. Вычисляя полную производную от функции Н^ t) по времени вдоль траектории системы (9), получим

dH^t) dp ЭН dq ^дН _

dt dp dt dq dt dt

_ днГднХ днСднХ ^дн _дндр ( dq ) dq ( др ) dt dt

Если

ЭЯ n dH(z).

= 0, то — = 0 => Я( z) = H(z0 ) = const. dtdt

Удобство гамильтоновых систем в приложениях иллюстрируется, в частности, следующим примером. Предположим, что рассматривается механическая система, у которой координата qx

является циклической, т.е. функция Лагранжа не зависит от q\

L = L^q\q\...,qm,-q\..„ qm,t\

Тогда и гамильтониан задачи не будет зависеть от q1. Уравнения в форме Гамильтона будут иметь вид

dpx _ дН _ q dqx _ дН

dt dqX ’ dt dpX ’

dp (днТ dq _(dH Ydt у dq J ’ dt у dp J ’

гдегдеpT=(p2,...,pffl), q = (^2,...,^).

где

где

Так как рх = const, a q не входит в правые части этих уравнений, то задача сводится к интегрированию 2т“2 уравнений, после чего qx(t) находится квадратурой:

^(0 = ^0 +р(0, qOV)^-

J dp х’

Таким образом, одна циклическая переменная позволяет понизить порядок системы на две единицы.

Пример. Определим гамильтониан задачи о математическом маятнике (см. § 4.8) следующими выражениями:

гр 12-2 ТТ^L ВТ 2 •

Г=—трф, U = -т^рсозф,= —- = трЦ) = р.

2Э(р Эф

Условия леммы выполнены, поэтому

1 р1

Н =у -Ш£рСО8ф,

2 тр

где р. ф - сопряженные переменные задачи. Составим уравнение в форме Гамильтона

dp ВН. б/ф ВН р

— = - —= -т£р8Шф, — = — =-.

dt офdt dp тр

Отсюда следует известное нам уравнение

^Z2ф 1 dp 2 •ГТ

у- =у — = —СО 81Пф, СО =— .dt тр dtр

Так как р лишь постоянным множителем отличается от ф, то фазовый портрет задачи в канонических переменных р, ф в данном случае совпадает с фазовым портретом в переменных ф, ф.

Примеры вычисления обобщенных импульсов.

Т = —mlr |2,2Т = —mlr |2,2Потенциальное движение материальной точки в декартовых координатах:

Т = —mlr |2,

2

Т = —mlr |2,

2

Р =Р == mr (потенциал не зависит от q).

Р =

Р =

В этом случае вектор обобщенных импульсов совпадает с обыч

ным вектором импульса (количества движения) материальной точки.

При описании движения материальной точки в цилиндрических координатах qT = = (р, ф, z) (рис. 119) имеем

Т = |т(р2 + р2ф2 +z2).

Обозначим р =Обозначим р =^рАр^рАр, где р^ - импульс, сопряженный р:, где р^ - импульс, сопряженный р:Для потенциального движения L = T -U^tY

Обозначим р =

Обозначим р =

^р

Ар

^р

Ар

, где р^ - импульс, сопряженный р:

, где р^ - импульс, сопряженный р:

^р~Р? Ар~Ф>

дт. ът ^. дТ .

P^^^W. р{= —= тр ф, р= rnz. р ЭрЭф

Таким образом, p?,pz- проекции вектора импульса материальной точки на ё и ё3, а р^ - проекция вектора на момент количества движения материальной точки на орт е3.

Симплектический диффеоморфизм

Различные упрощения задачи анализа и интегрирования системы обыкновенных дифференциальных уравнений связаны с преобразованиями переменных.

В теории гамильтоновых систем особое место занимает класс преобразований, сохраняющий гамильтонову форму уравнений, так называемых канонических преобразований. Если ограничиться лишь такими преобразованиями, то мы не только сохраняем удобную для анализа форму уравнений, но и упрощаем задачу исследования. Многие выводы можно получить из анализа одной функции - гамильтониана задачи, а не более сложного, хотя и эквивалентного, объекта - системы уравнений.

При реализации указанной программы требуется определенный алгебраический (или (и) геометрический) аппарат, вообще

говоря, имеющий значение и вне его связи с задачами механики. В этом разделе последовательно в минимальном объеме изложены основные результаты, которые будут в дальнейшем неоднократно использоваться.

1°. Симплектическое пространство. Рассмотрим ^-мерное векторное пространство Rn над полем вещественных чисел.

Пусть со определяет отображение прямого произведения пространств Rn в вещественную прямую

to\Rn xRn ^R.(5.2.1)

Определение 1. Отображение (1) будем называть внешней 2-формой на Rn, если оно удовлетворяет следующим двум условиям:

кососимметричности

со(^, л) - _ ю(ч €) Для любых §, т| е Rn,(5.2.2)

билинейности

w(£A^i +^2) = ^i4^i) + ^24^2)(5.2.3)

для любых ^ т|1, т|2 е Rn и Хг, Х2 е R.

Упражнение. Покажите, что со(^, g) = 0 для любого ^eRn.

Ниже мы будем рассматривать четномерные векторные пространства R^m.

Определение 2. Внешнюю 2-форму на четномерном векторном пространстве R^m будем называть невырожденной, если для любого ненулевого вектора § е R™ можно указать такой вектор т| е R^m, что значение со на §, т| не равно нулю:

co(g,T])^0.

Определение 3. Невырожденную 2-форму на четномерном векторном пространстве будем называть кососкалярным произведением.

Определение 4. Четномерное векторное пространство R^m, на котором задано кососкалярное произведение, называется сим- плектическим пространством. Для симплектического 2т-мер- ного пространства мы будем иногда использовать обозначение SRlm.

Обозначим через

Е2£ = (^1 ’ ^2 ?’ ^т +1 ’ ^т +2 ? ^т +к

набор 2к линейно независимых векторов SR2m. удовлетворяющих следующим условиям:

если i ^ к. j = т + Ц

«АМ?}-«АМ?}--1, если j ^ к, Ыт j.-1, если j ^ к, Ыт j.(5.2.4)(5.2.4)

«АМ?}-

«АМ?}-

-1, если j ^ к, Ыт j.

-1, если j ^ к, Ыт j.

(5.2.4)

(5.2.4)

О-в остальных случаях,

где со - кососкалярное произведение.

Определение 5. Набор е2т называется симплектическим базисом симплектического пространства SRlm.

Теорема 1. Всякое симплектическое пространство имеет симплектический базис, в котором первый орт - произвольный ненулевой вектор.

Доказательство. Примем в качестве ^ произвольный ненулевой вектор SR2m. По условию невырожденности со существует g е SRlm. для которого со (fx, g) ^ 0. Из последнего условия, в частности, следует, что fг и g линейно независимы. Определим fm + 1 =1 g. Нетрудно проверить, что и fm + 1 обра-

«Др?)

зуют набор е2 • Доказательство проведем по индукции. Пусть построен набор г2к^к<тУ При к<т существует вектор т| е SR2m. линейно независимый с набором г2к . Представим

f*+i=л+^(х, ^ +^f«+4

Z=1

где X-, ц. - пока не определенные числа. Очевидно, что вектор f^+1 линейно независим с е2к .

Нетрудно проверить, что условия со^+1, fj = 0 будут выполнены для всех fy е е2к , если мы выберем

Цу =(0(1],^), 1<у<^, kj =-to(i],fJ, m + \<j<m + k.

М.Л. Лидов

Из условия невырожденности со следует, что существует ненулевой вектор £ g SR2m. для которого со^ + 1, ^ ^ 0. Так как из представления

к + 1к

1 = ^хХ+^уГи

Z — 1Z — 1

при любых xt л.еК следует со^ + 1, ^ = 0, то вектор £ линейно независим с набором, составленным из векторов e2jl и fH1.

Определим

к + 1к

К + к + 1 = «5 +f- + Х%' fm + l ■

z = 1z = 1

Теперь нетрудно показать, что если мы выберем числа а, V-, х. из условий

а = —3,=-а<о(^.^), vjm =аю^л\

со(^ + 1,£)’j^k m + l^j^m + k + 1

то набор векторов ^2k^k + i^m+k + i образует набор е2^ + 1^. Таким путем доказывается существование набора е2т, образующего симплектический базис.

Определение б. Два вектора §, т| е SR2m называются косо- ортогоналъными, если их кососкалярное произведение равно нулю: со(§, т|) = 0.

Из определения симплектического базиса следует, что любой базисный вектор косоортогонален всем остальным векторам этого базиса, кроме одного, который называется ему сопряженным. Сопряженными являются векторы f. и fm +. (z ^m). В частности, любой вектор косоортогонален самому себе.

Упражнения. 1. Докажите следующее утверждение. Внешняя 2-форма на нечетномерном векторном пространстве R^m^ всегда вырождена, т.е. существует вектор ^ER2m^x (6^0) и co(g, тг]) = О для всех т| ER2m^x.

Определение. Подпространство Q cl SR2m называется нулевым, если любые принадлежащие ему два вектора косоортогональны.

Докажите, что максимальная размерность нулевого подпространства равна т.

Для любого нулевого m-мерного подпространства Qy <zSR^m можно указать нулевое m-мерное подпространство 02 ^SR^ такое, что

SRlm =QX +е2,

т.е. любой вектор ^ Е SR^m можно представить в виде суммы

6 = 61 +62, гДе 61 ^2ь 62 е02-

Произвольный вектор § пространства SR2m можно представить в виде его разложения по симплектическому базису:

1т

7 = 1

Набор 2m чисел zT = ^\ z2,..., z2m) образует вектор арифметического (координатного) пространства R^m. Заданное кососкалярное произведение на исходном векторном пространстве определяет кососкалярное произведение в координатном пространстве. Если

1т1т

тото7=17=17=17=1ю (ё1 ? §2) -ю (ё1 ? §2) -СОСОz+1z+1i + т i \^1^2 /*i + т i \^1^2 /*

то

то

7=17=1

7=17=1

ю (ё1 ? §2) -

ю (ё1 ? §2) -

СО

СО

z+1

z+1

i + т i \

^1^2 /*

i + т i \

^1^2 /*

Последнюю сумму можно записать короче в виде произведения матриц или, используя формальное обозначение для скалярного произведения в арифметическом пространстве R^m, в виде

£=(5-2.5)

Z+1

/ 1 2 1т \ Т_ / 1 2Im \М

гдеz2 —5— I / Q I сим-

плектическая единица. Нетрудно проверить, что форма

задает кососкалярное произведение в арифметическом пространстве R^m.

(Докажите это в качестве упражнения.)

2m2mРис. 120Рис. 120Тем самым любое арифметическое пространство R^m с заданным на нем кососкалярным произведением является симплек- тическим пространством и его можно рассматривать, как координатное пространство некоторого абстрактного симплекти- ческого пространства SRlm относительно симплектического базиса 82т. Путем фиксирования симплектического базиса е2т в абстрактном векторном пространстве устанавливается изоморфизм этого пространства с симплектическим арифметическим пространством:

2m

2m

Рис. 120

Рис. 120

Ниже мы будем в основном использовать координатное представление симплектического пространства.

Замечание. Из соотношения (5) следует, что кососкалярное произведение (^z1?z2^ векторов z1, z2 координатного пространства равно сумме ориентированных площадей 5^ параллелограммов,

построенных на проекциях векторов z1 и z2 на т плоскостей

сопряженных координат z,zm+z (рис. 120).

2°. Симплектические преобразования. Рассмотрим линейное преобразование В : SRlm —> SRlm векторов симплектического пространства.

Определение. Преобразование В назовем симплектическим, если оно сохраняет кососкалярное произведение любых векторов §, т| е Ж2т :

со(8^,8т)) = й)(^т)).

Пусть е2т = (^, f2,...,f2m) - симплектический базис.

Рассмотрим линейное преобразование базисных векторов

fz-В^.

Лемма. 1) Если В - симплектическое преобразование, то набор , f2,..., f2m) - симплектический базис.

2) Если (f1?f2, —Л^ - симплектический базис, то В - сим- ил ектическое преобразование.

Доказательство. При выполнении предположения 1)

i^m, j = т + L

®(f, ’fj)= ^С6^ ’ Sfj)= w(fi ’fj)=' -1’ J ^ m’ i = m + j,

0 - в остальных случаях.

Остается доказать, что ^,..., f2m j - набор линейно независимых

2 m

векторов. Предположим 0 = ^X^f^. Тогда

^ = 1

0 = со f0 = со fХ8 + т,если8^т, -Xs т, если s>m.Х8 + т,если8^т, -Xs т, если s>m.

0 = со f

0 = со f

Х8 + т,если8^т, -Xs т, если s>m.

Х8 + т,если8^т, -Xs т, если s>m.

Полагая s = 1, 2, ..., 2m, получим, что все Хк = 0. Тем самым первое утверждение леммы доказано.

При выполнении предположения 2) для любых векторов §, Т| е SRlm получим

©(5^^) =©(5^^) =2mсо В^^2mсо В^^2ms^n-r,J = !72ms^n-r,J = !7

©(5^^) =

©(5^^) =

2m

со В^^

2m

со В^^

2m

s^n-r,

J = !7

2m

s^n-r,

J = !7

2m 2m2m 2m

= ZE ^7 ю (6 f‘ ’ 6fv) = E E ^7 ю fc Ty) = ю (ё, л).

/=17=1/=17=1

В последних соотношениях ^Z,T|Z - координаты в разложении ^, т| по векторам исходного базиса.

Замечание. Определение симплектического базиса предусматривает упорядоченность базисных векторов. Это используется при доказательстве 2).

Вектор преобразованного базиса f• можно разложить по векторам исходного базиса

2m^ = Е6Т-7 = 1

Как и в общем случае линейных преобразований, симплектиче-

ское преобразование полностью определяется матрицей

В^у 2m

тЛр2т

^^°2т ’^2т у

i-й столбец этой матрицы определяет координаты z-ro вектора преобразованного базиса относительно исходного.

Пусть § и § - два вектора симплектического пространства, переводимые один в другой преобразованием В:

1 = В$.

Пусть z и z - координатные векторы векторов § и § относительно базиса е2т. Из равенства

2mГ 2m A 2m 2m

5=17/ = l 7=1

следует матричное равенство для координатных векторов z = Bz

(мы обозначаем одной буквой В и оператор и матрицу преобразования.)

Теорема 2. Преобразование В будет симплектическим тогда и только тогда, когда матрица преобразования удовлетворяет следующему уравнению:

В^ 9В = 9 - симплектическая единица.(5.2.6)

Доказательство вытекает из следующей цепочки равенств, справедливой для любых векторов z1, z2 арифметического симплектического пространства R^m:

(S^Zj, z2) = 1^Вгх ,Bz^ = (BT9Bzx ,z^.

Обозначим через sp(2m) множество симплектических преобразований (матриц). Справедливы следующие свойства:

Если В g sp(2m) то (detB)2 = 1.

Чт 6sp(2m).

В"1 6 sp(2m).

Если Вх g sp(2m), Ik е sp(2m), то ВХВ^ е sp(2m).

Доказательство. 1. Из (6) и (5.1.12) следует det BTdet det В = (det В^ = 1.

9 т орт -ор

Применяя к (6) операцию обращения матриц, получим

g?-1 =8"1д?"1(5т)"1 ^9 = в-'^[в~у ^в^вт =»^>(*)

=>^ 1 = (sT) '^в4 ^^ = ^^вО

(в^^^^в^ = в^^в^в^в2 =в^в2 = $.

Ассоциативность умножения матриц известна.

Тем самым мы доказали, что множество sp(2m) - группа.

Замечание 1. Можно показать, что из (6) следует более сильное утверждение: det В = +1. Мы докажем это ниже.

Замечание 2. Из соотношений (*), в частности, следует, что если В g sp(2m), то Вт е sp(2m).

Упражнение 1. Докажите свойства 2-4, не опираясь на матричное представление оператора В. Вместо свойства 1 докажите невырожденность симп- лектического преобразования В.

Упражнение 2. Докажите, что <Р - симплектическая матрица. Покажите, что применение оператора <Р к симплектическому базису сводится к взаимной перестановке всех сопряженных базисных векторов и изменению знака одного из них.

Определение. Взаимно однозначное отображение областей U czRn V czRn. t\U^V называется диффеоморфизмом, если прямое и обратное отображения непрерывно дифференцируемы.

Ниже мы будем говорить о диффеоморфизме пространств V \Rn ^Rn; при этом, вообще говоря, подразумевается диффеоморфизм некоторых областей, принадлежащих этим пространствам. Кроме того, будем предполагать, что отображение дифференцируемо столько раз, сколько необходимо.

3°. Симплектический диффеоморфизм. Рассмотрим теперь, вообще говоря, нелинейный диффеоморфизм f \SR2m —> SR2m, определяемый в координатном представлении вектор-функцией z = f(z), z, z е SR2m.

Определение. Преобразование f будем называть симплекти- ческим диффеоморфизмом (или кратко симплектическим), если матрица Якоби df/dz этого преобразования является симплекти-

ческой, т.е. df/dz е sp(2m) или

dfdzdfdz(5.2.7)(5.2.7)

df

dz

df

dz

(5.2.7)

(5.2.7)

Упражнение. Покажите, что симплектичность диффеоморфизма не зависит от выбора симплектического базиса в SR^.

Множество симплектических диффеоморфизмов SRlm

—> SRlm обозначим Э£ 2т .

Нетрудно установить следующие свойства симплектических диффеоморфизмов:

если f1e3f2m и f2e3f2m, то суперпозиция этих преобразований f2 о е Э£ 2т;

если f еЗ£ 2т, то обратное преобразование f 1 принадле- житЗ£2,„;_

тождественное преобразование z = z принадлежит Ж2т.

Доказательство. Пусть z1 = ^ (z) и z2 = f2 (z1) - два отображения З^т- Тогда если z2 =f2 (^ (z)) - сложная функция, определяющая преобразование f2 о ^, то

Так какТак какdz2dzdz2dz<dzl Jz^f^z)^2<dzl Jz^f^z)^2

Так как

Так как

dz2dz

dz2dz

<dzl Jz^f^z)^2

<dzl Jz^f^z)^2

/_ \ [ dfi ।\/_ x

<^zi ,<^zi ,e sp(2m), —L e sp(2m), to —- e sp(2m).

<^zi ,

<^zi ,

Vdz )dz

Если

fdzA / x dz ГdzA/ x

— e sp(2m), to — = — e sp(2m).

ydz)dz ydz)

Из свойств 1-3 заключаем, что справедлива следующая теорема 3. Множество преобразований 3f 2т образует группу, в которой основной операцией является суперпозиция преобразований. Группа sp(2m) является подгруппой группы Ж 2т-

Замечание. Симплектический диффеоморфизм z ^ z может зависеть от каких-либо параметров а, в частности от времени t. Например, рассмотрим при каждом t е R и а е Rk диффеомор-

физм z = f (z, a, г). При этом если dz/dz - симплектическая матрица, то множество таких преобразований при различных а и t будет принадлежать 3f2m-

Рассмотрим систему уравнений Гамильтона с независимой переменной т и гамильтонианом W(z, т), zeR2m :

(5.2.8)(5.2.8)dz ДdW — = $ —— dT у dz

(5.2.8)

(5.2.8)

где W(z, т) - достаточно гладкая функция z и т. Решения этой системы

z = z(z0,t), z(zo,O) = zo(5.2.9)

при каждом фиксированном т определяют диффеоморфизм fT : z0 —> z пространства R2m.

Теорема 4. Отображение fT - симплектический диффеоморфизм.

Доказательство. Подставляя решение (9) в (8), получим

-^г(го,т) = 9/у-Иуг(го,т),т(| ■(5.2.10)

дтydz х)

(5.2.11)(5.2.11)Обозначим через Ж = dz/dz0 матрицу преобразования (9) при фиксированном т. Дифференцируя (10) по z0, находим

(5.2.11)

(5.2.11)

dT I dz )/\

V 7z = z(zq,t)

где d2W/dz2 = (d/dz)(dW/dz)т - симметрическая матрица порядка 2m.

Применим к матричному равенству (11) операцию транспонирования:

Эd2W

— ЖТ=-ЖТ^Д.(5.2.12)

дтdz

Рассмотрим

—=(5.2.13)

дтх 7 дтдт

Подставляя в правую часть (13) дЖт/дт и дЖ/дт в виде (11)

и (12) и используя равенство ^2 = -12т получим

—= -Ж" ^3- Ж + ЗГ З?2 ^-Ж = 0.

Этv ’ dzdz

Отсюда следует, что ЖТ9?Ж = С - матрица, не зависящая от т.

При т = 0

ж =ж =<dz0 А=о<dz0 А=о

ж =

ж =

<dz0 А=о

<dz0 А=о

Поэтому

С = ГМ = $.

Тем самым мы показали, что Жт $Ш = $, т.е. Ж е sp(2m) и преобразование (9) - симплектический диффеоморфизм. Взаимная однозначность и дифференцируемость отображения следуют из соответствующих теорем для систем дифференциальных уравнений.

Следствие 1. В частности, если

(**)(**)dz (дНЛТdt V dz J ’

(**)

(**)

Н = H(^t} - рассматриваемая система уравнений Гамильтона и z = z(t, z0, Zq) - ее решения, то отображение z0 —> z при каждом t есть симплектический диффеоморфизм.

Следствие 2. Представим zT = (рт, qT), р, q е Rm. Если симплектический диффеоморфизм ро ^о^Р, q определяется

решениями уравнений (8) (или (**)), то в некоторой окрестности

т = 0 (или t = t0) не толькоdet0 и det-^-^0. Это dpodq0т = 0 Ъг1^-12т.т = 0 (или t = t0) не толькоdet0 и det-^-^0. Это dpodq0т = 0 Ъг1^-12т.1 dzdet^ 0dz01 dzdet^ 0dz0det-— = I< dzo vdet-— = I< dzo vноноследует из того, что приследует из того, что при

т = 0 (или t = t0) не только

det0 и det-^-^0. Это dpodq0

т = 0 Ъг1^-12т.

т = 0 (или t = t0) не только

det0 и det-^-^0. Это dpodq0

т = 0 Ъг1^-12т.

1 dz

det^ 0

dz0

1 dz

det^ 0

dz0

det-— = I

< dzo v

det-— = I

< dzo v

но

но

следует из того, что при

следует из того, что при

Определение. Симплектический диффеоморфизм z0 ^ z, для которого det-^-^O, будем называть стандартным.

dq0

§ 5.3. Производящая функциясимплектического диффеоморфизма

Рассмотрим квадратную матрицу Ж порядка 2т. Представим

| til 1 til о ]

Ж = 1112 L(5.3.1)

V ^21^22 У

где cty - матрицы размера тхт (т-мерные блоки матрицы Ж).

Лемма 1. Матрица Ж будет симплектической тогда и только тогда, когда выполнены следующие условия:

матрицы а^а^и. а^а^ - симметрические;

ti22tin - ti1T2ti21 =1т- единичная матрица.

Доказательство следует из условия симплектичности матрицы Ж:

«2111° -^У^П ^П0

^12 ^22) Х^т 0 J х«21 «22 J0 J

Используя правило перемножения блочных матриц, получим

ti^ti^ ti^ti^ — 0,3) ti22ti^ ^12^21 — 1 т,

тттт _(5'3'2)

^21^12 ti^ti22 — ^т ? 4) ^22^12^12^22 — ^*

Соотношениями 1) и 4) записаны указанные в формулировке леммы условия симметричности матриц. Соотношение 2) следует из 3) после применения операции транспонирования.

Упражнение. Докажите, что столбцы симплектической матрицы Ж определяют некоторый симплектический базис в арифметическом пространстве Зр1т Покажите, что из этого факта сразу следуют соотношения (2).

Представим векторы z, z е SRlm как составные:

z = lql’ z = lql; P>Q, P>Qe^ ,

и пусть диффеоморфизм f : SR2m —> SRlm определяется вектор- функциями

p = p(p q)’ q = q(p q)(5 3 3)

Рассмотрим дифференциальную форму

dto = pT6?q + qT6?p = "^^dq1 +qldp1^.(5.3.4)

Z=1

Справа форма записана в координатном виде.

Если вместо р, q подставим в (4) их выражения согласно (3), то получим ту же дифференциальную форму, записанную явно в координатах р, q:

,(_т dp) ,( т _т dp) 7о

dto = q — Jp+ р +q — dq.(5.3.5)

(dp J ( dq)

Теорема 1. О дифференциальной форме dto. Для того чтобы форма dto была полным дифференциалом некоторой функции ^(p,q)

dto = dF^. q), необходимо и достаточно, чтобы диффеоморфизм / был сим- плектическим.

Доказательство. Представим (5) в следующем виде:

dco = ATdz,(5.3.6)

где вектор-функция А = A(z) имеет вид

Как известно из анализа, для того чтобы форма (6) в некоторой области была полным дифференциалом, необходимо и достаточно, чтобы матрица dA/dz была симметрической. Это - так называемые условия интегрируемости.

Используя (7), нетрудно получить следующее представление для матрицы dA/dz:

dz2dz2(5.3.8)(5.3.8)dA _ (dp)Ydq dz I dz ) I dz

dz2

dz2

(5.3.8)

(5.3.8)

Средний член в соотношении (8) есть сумма симметрических матриц d2pj/д^, умноженных на числа q\ и, следовательно, это симметрическая матрица. Обозначим ее буквой С.

Запишем матрицу Якоби диффеоморфизма f в блочном виде:

dzd(p, q)Г^п^i2)dpdpdqdq

У6 =b aU =^12 =^21

dzd(p, q)^21)dpdqdpdq

ТогдаТогдаГ т Л<^2 vГ т Л<^2 vdq _, dz"^21’dq _, dz"^21’^22)-^22)-

Тогда

Тогда

Г т Л

<^2 v

Г т Л

<^2 v

dq _, dz"^21’

dq _, dz"^21’

^22)-

^22)-

С помощью введенных обозначений можно (8) представить следующей формулой:

^ = в + с, в = dz^ = в + с, в = dz^11^21<^2^21 + I]^11^21<^2^21 + I]^1^22^2^22 >^1^22^2^22 >(5.3.9)(5.3.9)

^ = в + с, в = dz

^ = в + с, в = dz

^11^21

<^2^21 + I]

^11^21

<^2^21 + I]

^1^22

^2^22 >

^1^22

^2^22 >

(5.3.9)

(5.3.9)

Так как С - симметрическая матрица, то для симметричности dA/dz необходимо и достаточно симметричности В, т.е.

В-Вт = 0.(5.3.10)

Если записать последнее соотношение, используя представление (9), то становится очевидным, что это соотношение будет выполнено тогда и только тогда, когда блоки а- удовлетворяют условиям (2) леммы 1. То есть необходимо и достаточно, чтобы диффеоморфизм был симплектическим. Теорема доказана.

Следствие 1. Если для диффеоморфизма f (3) форма dto = pTt/q + qTt/p является полным дифференциалом dF^. q) и, кроме того, выполнено условие

det—^0,(5.3.11)

dq

то f - стандартный симплектический диффеоморфизм. Утверждение очевидно.

Следствие 2. Если f стандартный симплектический диффеоморфизм, то дифференциальная форма

dto = pTt/q + qc/p

является полным дифференциалом в некоторой области пространства переменных q, р.

Доказательство. Так как f е 3f 2т? то, согласно теореме 1,

pTt/q + qTt/p = dF^ q).

Для стандартного симплектического диффеоморфизма

q = q(p,q), р = р(рЛ),(*)

det(dq/dq) ^ 0. Отсюда следует, что локально можно из первого

соотношения (*) определить q = Ф(д, р) и, подставляя q во второе соотношение (*), определить вектор-функцию р = ф(р, q). Тем самым

dto = б?г(ф(р, q), q) = dS^. q).

Рассмотрим теперь отображение Rm xRm —> R, определяемое достаточно гладкой функцией

5 = S(q,p), q, pe7?m.(5.3.12)

Будем полагать, что выполнено следующее условие:

detdetЭ25dpdqЭ25dpdqл t д Р4 det—др ^dq )л t д Р4 det—др ^dq )^0.^0.(5.3.13)(5.3.13)

det

det

Э25dpdq

Э25dpdq

л t д Р4 det—

др ^dq )

л t д Р4 det—

др ^dq )

^0.

^0.

(5.3.13)

(5.3.13)

Теорема 2. О производящей функции стандартного симплек- тического диффеоморфизма.

Преобразование f: р, q^p, q, определяемое соотноше

ниями

<дР><дР>(5.3.14)(5.3.14)

<дР>

<дР>

(5.3.14)

(5.3.14)

является стандартным симплектическим диффеоморфизмом.

Для любого стандартного симплектического диффеоморфизма можно указать такую функцию 5(q, р), для которой выполнено условие (13) и преобразование (р = р(р, q), q = q(p, q)) представимо в виде (14).

Доказательство. Из соотношений (13) и (14) следу

ет, что det—^0. Поэтому из второго соотношения (14) мож- dq

но локально определить q как функцию р и q : q = q(q, р). Подставляя ее в первое соотношение (14), определим р = р(р, q). Аналогично условие (13) позволяет локально однозначно разрешить первое уравнение (14) относительно р : р = р(р, q). Подставляя это выражение во второе соотношение (14), найдем q = q(p, q)

Тем самым (14) действительно определяет взаимно однозначное отображение, дифференцируемость которого обеспечивается достаточной гладкостью функции S.

Из представления (14) очевидно, что

dto = pTt/q + qTdp = dS(p, q) = 6?5(p(p, q), q) = dF(p, q),

следовательно, f - симплектический стандартный (det-^^O) dq

диффеоморфизм.

Справедливость второго утверждения непосредственно вытекает из следствия 2 теоремы 1.

Определение. Функция 5, рассматриваемая в теореме 2, называется производящей функцией стандартного симплектического диффеоморфизма (или просто производящей функцией).

Замечание 1. Теорема очевидно остается справедливой, если преобразование р, q —> р, q зависит от параметров а, например от времени t. В этом случае

p = p(p,q,O, q = q(p,q,0

и производящая функция S будет тоже параметрически зависеть от Г.

S = S(% p,t).

При этом функция S, вообще говоря, будет производящей функцией стандартного симплектического диффеоморфизма только для тех Ц для которых в рассматриваемой области q, р выполнено условие (13). То есть утверждения этой теоремы верны, вообще говоря, только локально.

Выше была доказана теорема о производящей функции стандартного симплектического диффеоморфизма. Ниже мы сформулируем и докажем более сильное утверждение.

Рассмотрим линейное преобразование Фь i = W..,n, пространства SRlm, определяемое преобразованием векторов симплектического базиса е2т по следующим формулам:

(5.3.15) для j+i и j^i+m.

В координатном представлении относительно симплектического базиса это преобразование имеет вид

рп = q\ ql = -р\

(5.3.16) p'J = pj. qj = qj для i ^ j.

Упражнение. Запишите матрицу ^j.

Определение. Преобразование ^ будем называть z-й перестановкой.

Лемма 2. Преобразование 9^ - симплектическое. Доказательство легко получается проверкой симплектичности базиса

82т= 01? ^2?^2т)‘

Произведение преобразований 9^

п=$по$12о...о$.к

есть снова симплектическое преобразование, которое будем называть симплектической перестановкой.

Пусть задан симплектический диффеоморфизм f: SR2m

—> SR2m. определяемый в координатах вектор-функцией

z = f(z), z — ₽ , z= £ .(5.3.17)

Теорема 3. Всегда можно указать симплектическую пере

dqdqП: z —> z', z'П: z —> z', z'становку

dq

dq

П: z —> z', z'

П: z —> z', z'

(5.3.18)

такую, что

(5.3.19)

Согласно утверждению этой теоремы, преобразование

zx = Hf(z) = Ф(г)zx = Hf(z) = Ф(г)(5.3.20)(5.3.20)

zx = Hf(z) = Ф(г)

zx = Hf(z) = Ф(г)

(5.3.20)

(5.3.20)

является стандартным симплектическим диффеоморфизмом.

Следствие. Всегда существует производящая функция

S = S(q',p),S = S(q',p),(5.3.21)

S = S(q',p),

S = S(q',p),

определяющая локально преобразование (20) z —> z' в следующем виде:

q =q =<дР><дР>(5.3.22)(5.3.22)

q =

q =

<дР>

<дР>

(5.3.22)

(5.3.22)

где (р'? q') - симплектическая перестановка (р, q).

Выясним алгебраический смысл теоремы 3. Пусть

28 = ^ = | 1112 | - матрица преобразования (17). Нетруд-

dz у ^21^22 /

но понять, что матрица преобразования (20)

_ а\\ ап

<^21^22 7

получается умножением Ж на матрицу перестановки:

Ж' = ПЖ.

Более конкретно: матрица Ж' получается из Ж перестановками строк 4 и m + ik для некоторых ik ^ т (и соответствующем изменении знака элементов одной из строк). При этом теорема утверждает, что для симплектической матрицы Ж таким путем можно получить матрицу Ж', у которой блок а^ невырожден, т.е. det ^22 ^ 0. Столбцы прямоугольной матрицы

соответственно определяют координаты векторов ^ь в которые отображаются базисные векторы:

Лемма 3. Векторы ^ линейно независимы и косоортогональны.

Для доказательства следует вспомнить, что преобразование Ж - невырожденное и симплектическое:

о = co(fm+/,fm+y) = O)(28fm+/,2Bfm+>) = co(£„^\ i,j<m, и использовать следующую лемму.

Лемма 4. Набор т векторов Э< ^ = (^19 ^2?—? ёт) можно дополнить набором т координатных векторов 3 = (fn,fi2,...,fim), не содержащим двух сопряженных, так что объединение 3£ = (§1? £2>—> £тЛц> f/2>—> f/m) образует базис (вообще говоря, несимплек- тический) в К2т. Если эта лемма справедлива, то доказательство теоремы получается практически сразу.

Так как набор Э не содержит сопряженных векторов, то с помощью некоторой перестановки П можно добиться, чтобы

где jvj2,...,jm - перестановка чисел 1,2,...,т. Тем самым, применяя перестановку П по всем векторам набора 3£, получим

пх = те,ng2„.„п^, Щ,, Щ2,.„,Щт).

Поскольку перестановка - невырожденное преобразование, переводящее базис в базис, то матрица П3£ - невырожденная. С другой стороны, матрица П3£ имеет вид

Отсюда получим 0 ^ det Ш{ = deta^ detX и, следовательно, det ^22 ^ 0.

В дальнейшем нам потребуется следующая лемма.

Лемма 5. О стандартном симплектическом диффеоморфизме, сохраняющем одну координату. Рассмотрим два симплектиче- ских пространства SRlm. Координатные векторы в этих пространствах обозначим через Z и Z. При этом будем использовать следующие обозначения (здесь и далее 2?, Q , 2? и Q - векторы)

где р, q, р, qeRm; h,t, h,t е R - скаляры.

Рассмотрим симплектический диффеоморфизм

OZ^Z,

определяемый вектор-функцией

Z = O(Z) (или Z = Z(Z)).

Будем говорить, что Ф сохраняет координату t, если

F = r + a,(5.3.23)

где а - некоторый постоянный параметр (не зависящий от Z). При симплектическом диффеоморфизме, сохраняющем t, справедливы следующие утверждения:

Для того чтобы отображение Ф было стандартным симплектическим диффеоморфизмом, необходимо и достаточно выполнение условия

detl^Uo.(5.3.24)

Производящая функция S стандартного симплектического

(5.3.25)(5.3.25)диффеоморфизма, сохраняющего t, имеет вид

(5.3.25)

(5.3.25)

5 = S(Q, 9>) = £(t + a) + 5(q,p,t),

а преобразование определяется следующими формулами:

q =q =(5.3.26а)(5.3.26а)

q =

q =

(5.3.26а)

(5.3.26а)

(5.3.266)(5.3.266)г 35 -

(5.3.266)

(5.3.266)

h — h + ——, t — t + ос.3f

Формулы (26a) при каждом t определяют стандартный симплектический диффеоморфизм р, q —> р, q.

Обратно. Если при каждом t задан стандартный симплектический диффеоморфизм SRlm —> SRlm (р = р(р, q, t), q = = q(P? q? OX то его можно продолжить до стандартного симплектического диффеоморфизма SR^m+^ —> SR^m+^ :

сохраняющего t.

Доказательство. 1. Чтобы отображение Ф было стандартным симплектическим диффеоморфизмом, требуется выполнение условия

det ^2. о.dQ

При условии (23) эта матрица имеет вид

dqэо 4dqэо 4^dq dq^^dq dq^ООdt1dt1

dq

эо 4

dq

эо 4

^dq dq^

^dq dq^

О

О

dt

1

dt

1

J + dQ dq

Отсюда следуют det= det — и утверждение 1.

Если S(Q , 2?) - производящая функция, то, согласно (14),

-=353/?dSИспользуя (23), получим —= = г + а, откуда

S = h(t + a.) + S(q,p,t),=0.

\dh )

Вычисляя dS/dQ и ^S!^^. получим преобразование в виде (26).~

Если S определяет стандартный симплектический диффеоморфизм, то det—ir^O, откуда det-^^O. Тем самым вы- dQdq

d2 S

полняется условие det— ^0, и функция S(q, р, t) по фор- dqdp

мулам (26а) определяет стандартный симплектический диффеоморфизм SR2m : р. q р. q.

Верно и обратное. Если р = р(р, q, t\ q = q(p, q, Г) при каждом t - стандартный симплектический диффеоморфизм, то существует его производящая функция S(q, р, t). Тогда функция S = h^t + а) + S(q, р, t) есть производящая функция стандартного диффеоморфизма

S^Q ^^,Q.

В заключение этого параграфа воспользуемся разработанным аппаратом производящих функций для доказательства следующей теоремы.

Теорема 4. Определитель симплектической матрицы Ж равен +1.

Доказательство. Представим матрицу Ж в блочном виде

Без ограничения общности можем полагать, что det а^ Ф 0. Если для Ж это условие не выполняется, то рассмотрим Ж' = ПЖ, где П - матрица симплектической перестановки. При каждой элементарной перестановке 9*1 мы меняем местами две строки матрицы Ж и изменяем знак одной из них. Поэтому det (9^ Ж) = = det Ж. Так как любая перестановка есть суперпозиция элементарных перестановок, то det Ж = det Ж'. Согласно теореме 3, выбором П можно получить матрицу Ж', у которой deta^ ^ 0.

Пусть Ж - матрица стандартного симплектического линейного диффеоморфизма

p,q,P,qeRm.(5.3.27)

Из линейности очевидно, что производящая функция этого диффеоморфизма - билинейная функция р, q :

s = | рт Д ip + рт A2q+|qT Д2д,(5.3.28)

где Ау - некоторые постоянные матрицы размера т х т. при этом

det А12 ^ О, А^ = Ап, А22 = А22.

Упражнение. Выведите выражение для S в виде (28) из (27). Докажите, что det А12 0.

Используя (28), получим:

. (dsY ЛТ_ Л

а)р= т— = A12p + A22q;

б) q = —<dPб) q = —<dP= AiP+A2q-= AiP+A2q-

б) q = —

<dP

б) q = —

<dP

= AiP+A2q-

= AiP+A2q-

Подставим а) в правую часть (27), а б) в левую часть (27). В результате будем иметь

= 28В= 28Вдля Vp,q,для Vp,q,(5.3.29)(5.3.29)

= 28В

= 28В

для Vp,q,

для Vp,q,

(5.3.29)

(5.3.29)

где

и ВДА^ А^A2J (о lm vи ВДА^ А^A2J (о lm v

и ВДА^ А^

A2J (о lm v

и ВДА^ А^

A2J (о lm v

Из (29) следует, что А = ^В => det А = detSSdetB, но detA = = det А12 = det В. Отсюда получим det 28 = +1.

Примеры симплектических преобразований

(а ЬЛ

1. Пусть А= -матрица размера 2x2. Условие d)

AT$ А =м qI влечет единственное соотношение меж

ду элементами матрицы А;

ad-bc - 1.

Тем самым преобразование z = f(z), z, zgB2 будет симплек-

тическим в том и только в том случае, если det— = 1. В част- dzности, двумерные матрицы поворота удовлетворяют этому условию. Но не только такие. В двумерном случае любое преобразование, сохраняющее площадь, является симплектическим:тическим в том и только в том случае, если det— = 1. В част- dzности, двумерные матрицы поворота удовлетворяют этому условию. Но не только такие. В двумерном случае любое преобразование, сохраняющее площадь, является симплектическим:o([/) = j dzdz = j 6?z1^?z2det|o([/) = j dzdz = j 6?z1^?z2det|иигде U - область R2, g(U) - площадь U.2. Пустьгде U - область R2, g(U) - площадь U.2. Пустьр I о z = L р, ф е Я.р I о z = L р, ф е Я.Рассмотрим преобразование р,ф—> p.qeR*.Рассмотрим преобразование р,ф—> p.qeR*.- рZ =и- рZ =иОпределим матрицу этого преобразования,81ПфОпределим матрицу этого преобразования,81ПфЭ(р,ф)Э(р,ф)11UczR\UczR\(5.3.30)(5.3.30)

тическим в том и только в том случае, если det— = 1. В част- dz

ности, двумерные матрицы поворота удовлетворяют этому условию. Но не только такие. В двумерном случае любое преобразование, сохраняющее площадь, является симплектическим:

тическим в том и только в том случае, если det— = 1. В част- dz

ности, двумерные матрицы поворота удовлетворяют этому условию. Но не только такие. В двумерном случае любое преобразование, сохраняющее площадь, является симплектическим:

o([/) = j dzdz = j 6?z1^?z2det|

o([/) = j dzdz = j 6?z1^?z2det|

и

и

где U - область R2, g(U) - площадь U.

2. Пусть

где U - область R2, g(U) - площадь U.

2. Пусть

р I о z = L р, ф е Я.

р I о z = L р, ф е Я.

Рассмотрим преобразование р,ф—> p.qeR*.

Рассмотрим преобразование р,ф—> p.qeR*.

- р

Z =

и

- р

Z =

и

Определим матрицу этого преобразования

,81Пф

Определим матрицу этого преобразования

,81Пф

Э(р,ф)

Э(р,ф)

1

1

UczR\

UczR\

(5.3.30)

(5.3.30)

Так как detB = +l, то, следовательно, преобразование (30) - симплектический диффеоморфизм.

2

Упражнение. Покажите, что S = -^-ctg(p - производящая функция этого преобразования.

Рассмотрим многомерное преобразование: геЯ2т, геЯ2т,

zT = (p\„.,pm,q\...,qm), zT =(p\...,pm,q\...,qm).

Обозначим

Р - Р

)^ J

Пусть преобразование определяется функциями вида ^ = ^(z;),

i = l,2,...,m. Тогда если для всех i

detVdetV= 1,= 1,(**)(**)

det

V

det

V

= 1,

= 1,

(**)

(**)

то преобразование f будет симплектическим.

Доказательство. Согласно (**), преобразование f сохраняет проекции площадей на каждую из плоскостей сопряженных координат. Следовательно, f сохраняет и сумму проекций площадей. Таким образом, матрица $8 = df/dz не изменяет кососкалярного произведения любых двух координатных векторов:

Поэтому Ж - симплектическая матрица.

Другое доказательство. Пусть S^q'^p1) - производящая

функция z. —> z. и det0 (непосредственно или после z-й

^pl^ql

перестановки). Тогда 5(р, q) = ^у S^q1, р1) - производящая

Z=1

функция преобразования f. При этом

ПустьПустьdpdq ^=fdpdq ^=fУз53pldqlУз53pldql^0.^0.z^p1,...^^1,..^ z^(p\_pw,q\_qmyz^p1,...^^1,..^ z^(p\_pw,q\_qmy

Пусть

Пусть

dpdq ^=f

dpdq ^=f

Уз53pldql

Уз53pldql

^0.

^0.

z^p1,...^^1,..^ z^(p\_pw,q\_qmy

z^p1,...^^1,..^ z^(p\_pw,q\_qmy

Тогда преобразование

pl = л/2р/ sin(pz, ql = --^2pz cos(pz,

z = l,2,...,m (pz>0, 0^(pz<2ji)

- симплектический диффеоморфизм.

Пусть A(t) - матрица поворота размера тхт. Рассмотрим преобразование П:

р = ^(Ор, q = ^(Oq-

Это преобразование симплектическое.

Доказательство. Рассмотрим S(q, р, Г) = рт A(t)q,

g2

det^— = detA = l. Нетрудно показать, что S - производящая dpdq

функция преобразования П:

Р = ^"1 =^ТР^Р = ^Р (ААТ = Z),

q =q =35'<dP>35'<dP>= Aq.= Aq.