Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
ПРЕДИСЛОВИЕ
Нелинейные задачи теории колебаний привлекают внимание ученых в области механики, физиков, а также инженеров в различных областях техники. •
К системам нелинейных дифференциальных уравнений, не допускающих линеаризацию, приводят многие задачи радиоэлектроники, автоматического регулирования, ракетодинамики и др.
Исследование нелинейных систем непосредственным интегрированием соответствующих дифференциальных уравнений, к сожалению, в общих случаях невозможно.
В сочинении Ляпунова «Общая задача об устойчивости движения», а также в исследованиях Четаева заложены основы прямого метода решения задачи устойчивости, который позволяет обойтись без интегрирования дифференциальных уравнений. Главные трудности в этом методе заключаются в отсутствии вычислительных алгоритмов для построения функций Ляпунова и Четаева.
В настоящей работе делается попытка построения этих функций для нелинейных систем дифференциальных уравнений достаточно широкого класса.
Следует заметить, что в развитие работ Ляпунова и Четаева к настоящему времени опубликовано весьма большое число глубоких исследований. Дать хотя бы краткий обзор всей литературы, относящейся к этой теме, не входило в задачу автора.
Г. Каменков
ВВЕДЕНИЕ
Термину «устойчивость» в настоящее время приписываются различные понятия и даются различные определения. В своих исследованиях я буду пользоваться двумя определениями устойчивости в зависимости от характера решаемых задач.
Первое определение устойчивых и неустойчивых движений, ставшее классическим, дано Ляпуновым в сочинении «Общая задача об устойчивости Движения» [Ч. Второе определение в общих чертах изложено Пуанкаре в третьем мемуаре его монографии «О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями» [2].
Если термину «устойчивость» приписывать значение, которое дано Ляпуновым, то поставленные задачи сводятся к исследованию интегралов систем дифференциальных уравнений возмущенного движения вида
dXidtdXidti> •••>i> •••>dt ~ пdt ~ п(0.1)(0.1)
dXidt
dXidt
i> •••>
i> •••>
dt ~ п
dt ~ п
(0.1)
(0.1)
В этих уравнениях величины хи ..., хк представляют собой возмущения некоторых известных функций, зависящих от координат и скоростей, в каком-нибудь определенном движении материальной системы, устойчивость которого исследуется. Величины Хъ ..., Хп являются известными голоморфными функциями вещественных переменных хг, ..., xn, i, обращающимися в нуль при хг =... = хк = 0.
Математическое определение устойчивости, данное Ляпуновым, формулируется следующим образом.
Пусть Лх,..., Лп— суть произвольно задаваемые числа. Если при всяких As (s = 1, ..., и), как бы малы они ни были, могут быть выбираемы положительные числа Х^ ..., Хп так, чтобы при всяких вещественных х10, удовлетворяющих условиям
I ^sO I ^з (® — 1, •. •, Л)
и при всех 1, превосходящих начальное значение /0, выполнялись неравенства
I I ^3(S '— Е • • ■ , ^)
то невозмущенное движение хх = ... = хп = 0 по отношению к величинам jcs устойчиво; в противном случае — неустойчиво.
Под Xso подразумеваются значения функций х6$ при t = t0.
Не искажая смысла, вложенного Ляпуновым в определение устойчивости, Четаев дает иную, более удобную запись определения устойчивости: если при всяком произвольно заданном числе Л, как бы оно мало ни было,
7
может быть выбираемо положительное число X так, чтобы при всяких возмущениях х10, .... хпо, удовлетворяющих условию
^ю2 + -+*по2^
и при всяком t, превосходящем /0, выполнялось неравенство
Х^+.-.+^СД
то невозмущенное движение устойчиво; в противном случае — неустойчиво.
Это определение устойчивости положено в основу решения большинства задач, исследуемых в данной работе.
Ляпунов исследовал задачу об устойчивости движения для достаточно малых возмущений, определяя малость любой величины х неравенством |х| >|x|1+“jV, где а и N— любые положительные числа. Что касается чисел А и X, то в определении, данном Ляпуновым, эти числа не ограничены снизу, и, следовательно, предельное значение этих чисел в общем случае есть нуль. Хотя последнее обстоятельство и ограничивает область применения результатов Ляпунова, но метод, им разработанный, позволяет решать задачи более широкого класса, чем те, которые рассматривал Ляпунов.
Определение устойчивости, данное Пуанкаре, отлично от определения Ляпунова.
Рассматривая переменные х8 в системе уравнений (0.1) как координаты движущейся точки и предполагая, что правые части системы явно не зависят от времени t, Пуанкаре [2] вводит понятие об устойчивости и неустойчивости траекторий этой точки: «Мы скажем, что траектория подвижной точки устойчива, если, сколь бы мал ни был радиус г окружности (сферы), описанной вокруг начальной точки, подвижная точка, выйдя из этой окружности (или сферы), вновь войдет в нее бесконечное множество раз.
Траектория будет неустойчива, если, выйдя из этой окружности или сферы, подвижная точка уже больше в нее не вернется».
Далее Пуанкаре замечает: «Определенная таким образом устойчивость имеет лишь теоретическую важность. Для приложений следовало бы определить ту часть пространства, из которой не выходит подвижная точка».
В дальнейшем я буду в некоторых случаях пользоваться вышеприведенными соображениями Пуанкаре. Математическая формулировка устойчивости, основанная на этих соображениях, будет дана в главе IX.
Возвращаясь к системе уравнений (0.1), я буду предполагать, что правые части их в области, достаточно близкой к началу координат, разлагаются в абсолютно сходящиеся ряды по целым положительным степеням переменных хгхп. В задачах нелинейных колебаний эту область буду считать конечной.
Многие задачи механики приводятся к исследованию таких систем дифференциальных уравнений возмущенного движения, в которых коэффициенты разложения правых частей являются или постоянными величинами, или периодическими функциями времени t с некоторым общим периодом со. В этих предположениях преимущественно и будут вестись дальнейшие исследования.,
Чаще всего вопрос об устойчивости различного рода систем решается рассмотрением так называемых уравнений первого приближения, т. е. тех уравнений, которые получены из системы (0.1), когда в правых частях ее отбрасываются члены выше первого порядка и рассматриваются системы уравнений в виде
^, = Psixi + - + PsnX (s=ln)(0.2)
где psh — вещественные непрерывные и ограниченные функции времени t при t ?0.
Однако прием этот не всегда приводит к правильному решению, и во многих, весьма важных, с точки зрения приложений, случаях рассмотрение лишь уравнений первого приближения задачи об устойчивости не решает. Такие случаи относятся к особенным или критическим.
Для установившихся движений они характеризуются тем, что определяющее (характеристическое) уравнение, соответствующее системе (0.2),
О(х) = |р8й—68кх| = 0
где р8к — постоянные коэффициенты, кроме корней с отрицательными вещественными частями, имеет нулевые и чисто мнимые корни.
Несмотря на внешнюю частность этих задач, решение их представляет весьма большой интерес как с точки зрения общей теории устойчивости, так и с точки зрения приложений к задачам механики.
Необходимость решения проблемы устойчивости движения и нелинейных колебаний в особенных или критических случаях следует уже из того, что любая задача об устойчивости консервативных систем приводится к исследованию системы дифференциальных уравнений, определяющее уравнение которой имеет нулевые и чисто мнимые корни.
Придавая исключительно большое значение этой проблеме, Ляпунов в «Общей задаче об устойчивости движения» рассмотрел два критических случая устойчивости установившихся движений: 1) определяющее уравнение с одним, равным нулю корнем, 2) определяющее уравнение с двумя чисто мнимыми корнями.
Рассматривая уравнения с периодическими коэффициентами, Ляпунов дал решение аналогичных задач в случаях:
характеристичное уравнение с одним равным единице корнем,
два мнимых корня с модулями, равными единице.
Необходимо отметить, что из перечисленных четырех задач только первая задача, соответствующая одному нулевому корню, является независимой. Остальные три задачи, как будет видно из содержания главы I, с помощью преобразования переменных, не изменяющих задачи устойчивости, приводятся к первой задаче.
В более поздней работе «Исследование одного из особенных случаев задачи об устойчивости движения» I1] Ляпунов ставит задачу о двух нулевых корнях определяющего уравнения, при п остальных с отрицательными вещественными частями, намереваясь ограничить свое исследование тем случаем, когда этим двум нулевым корням отвечает одна группа решений. При этом условии задача, поставленная Ляпуновым, приводится к исследованию системы дифференциальных уравнений следующего вида:
- = t/ + X(x, у, хъ ...,хп\^- = Y(x, у, х1г ...,хп)
atat
^к=р.хХ14...+рихп+Х{(х, у,ххх^ =
В вышеуказанной работе дается решение этой задачи лишь в том случае, когда п = 0, т. е. когда исследуемая система является системой второго порядка. Решение задачи при п 4=0 также дано Ляпуновым I3], но стало известно и опубликовано лишь в 1963 г. Хотя Ляпунов и ограничился этими частными случаями, но метод, который он разработал, позволяет решить более общие задачи. Истоки этого метода, по признанию Ляпунова, находятся в монографии Пуанкаре «О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями».
. Непреодолимые трудности решения задач устойчивости, связанные с интегрированием линейных уравнений с переменными коэффициентами или с интегрированием нелинейных систем уравнений с постоянными коэффициентами, обусловили создание нового метода, который, как уже указывалось в-
предисловии, не связан с интегрированием соответствующих уравнений. Этот метод в настоящее время именуется прямым методом. В основании этого метода лежат знаменитые теоремы Ляпунова об устойчивости и Четаева о неустойчивости.
Исследование устойчивости движения с помощью этих теорем заключается в отыскании вещественных функций V вещественных переменных хг, .... хп, t, которые вместе со своими полными производными по времени, вычисленными в соответствии с уравнениями (0.1), обладают некоторыми специальными свойствами. Остановимся подробнее на функциях прямого метода.
Пусть V представляет собой непрерывную и однозначную функцию переменных t, хг, ..., хп для всех значений этих переменных, находящихся в области
t>t», \х8\^Н (0.3)
и обращающихся в нуль при Ху = ... = хп = 0.
Функция V называется знакопостоянной, если в области (0.3) она принимает кроме нулевых значений значения какого-либо одного знака. Функция V, не зависящая явно от t, называется знакоопределенной в области (0.3), если она знакопостоянна и обращается в нуль только при Ху ... = хп = 0.
Функция V, зависящая явно от t, называется знакоопределенной в области (0.3), если она в этой области удовлетворяет условиям
V > W, V< — W
где W — не зависящая от t знакоопределенная положительная функция.
Всякая функция V, для которой постоянная Н может быть выбрана настолько малой, чтобы для числовых значений этой функции при условии (0.3) существовал некоторый высший предел, называется ограниченной.
Ограниченная функция может быть такова, что для всякого положительного е, как бы оно мало ни было, найдется такое отличное от нуля число к, при котором для всех значений переменных, удовлетворяющих условиям
t > t0, | х81 ^ к
будем иметь
В этом случае считают, что V допускает бесконечно малый высший предел.
При решении задач устойчивости прямым методом одновременно с функциями V рассматривают выражение
J^v-^+^Xydtdt дхуJ^v-^+^Xydtdt дхудУ дхгдУ дхгх2+...+-^х,дхпх2+...+-^х,дхп
J^v-^+^Xydtdt дху
J^v-^+^Xydtdt дху
дУ дхг
дУ дхг
х2+...+-^х,дхп
х2+...+-^х,дхп
представляющее собой полную производную функцию V по t, взятую в предположении, что Ху, ..., хп удовлетворяют системе уравнений (0.1). Это выражение, так же как и функция V, является функцией переменных Хухп, t, обладающей всеми свойствами, присущими функции V.
Теорема Ляпунова об устойчивости формулируется следующим образом.
Если дифференциальные уравнения возмущенного движения таковы, что возможно найти знакоопределенную функцию V, производная которой V' в силу этих уравнений была бы или знакопостоянной функцией противоположного знака с V, или тождественно равной нулю, то невозмущенное движение устойчиво.
Если функция V, удовлетворяющая условиям теоремы, допускает бесконечно малый высший предел, а производная ее представляет знакоопре- 10
деленную функцию, то всякое возмущенное движение, достаточно близкое к невозмущенному, будет приближаться к нему асимптотически. Функции V, удовлетворяющие теореме Ляпунова, называются функциями Ляпунова.
Теорема о неустойчивости, доказанная Четаевым, имеет следующую формулировку I4].
Если дифференциальные уравнения возмущенного движения таковы, что
для некоторой допускающей бесконечно малый высший предел функции V существует область, где VE'>0;
если для некоторых значений величин ха, численно сколь угодно малых, в этой области (VV' > 0) возможно выделить область, где некоторая функция 1У > 0, на границе которой (№ = 0) значение полной производной по времени W суть одного какого-либо знака;
производная V', рассматриваемая как функция времени, в области (№ > е) имеет точный низший предел, отличный от нуля, то невозмущенное движение неустойчиво.
Следствие. Если рассматриваемая в теореме область W' ограничена поверхностью V = 0 и при этом V ~> 0, то за функцию IT теоремы возможно взять функцию V.
Функций, удовлетворяющие этой теореме, называются функциями Че- таева. Кроме этих двух теорем я в дальнейшем буду часто ссылаться на теоремы Ляпунова из сочинения «Общая задача об устойчивости движения», формулировки которых считаю целесообразным здесь привести, не приводя их доказательства. Эти теоремы являются вычислительным аппаратом для отыскания функций Ляпунова и Четаева.
Рассмотрим следующую задачу {19}.
Дано уравнение с частными производными
2(Psi*i+- + psnO~ =xV(0.4)
s=l
в котором х означает некоторую постоянную. Требуется найти все значения последней, при которых этому уравнению можно удовлетворить (не равными нулю тождественно) целыми однородными функциями V данной степени т величин хг, ..., хп.
Легко составить алгебраическое уравнение, которому должны удовлетворять искомые значения х. Функция V заключает в себе
^._п(п4-1)...(п4-ш — 1) _ (m+1) (т4-2)... (т + п— 1)
123. ..т~123...(п— 1)
коэффициентов. Таково же будет и число уравнений, линейных и однородных относительно последних, которые получим, приравнивая коэффициенты при одинаковых произведениях вида х^х^ ... хптп в обеих частях уравнения (0.4). Исключая из этих уравнений коэффициенты функции V, получим алгебраическое уравнение следующего вида:
Цп— х а12.. .й\м ■
^21^22• • -dlN — Л
O-N\ QN2 • • -O-NN—И
где а,, — известные линейные формы коэффициентов psk. Уравнение это будет, следовательно, N-й степени.
Определитель, представляющий первую часть его, обозначим через Dm(x).
Рассматривая всевозможные числа т, получим ряд определителей: О1(х),О2(х), £)3(х)/,..., из которых первый не будет отличаться от того, который мы обозначили через О(х) и который в дальнейшем будем называть, основным. Все остальные называются производными, так что Dm(x) будет (т — 1)-м производным определителем.
Зная все корни определяющего уравнения, легко найти и все корни уравнения Dm(x) = 0, ибо можно доказать следующее предложение.
Теорема {19}. Если хъ ..., х„ суть все корни определяющего уравнения, то все корни уравнения Dm(x) = 0 найдутся по формуле
х = т1х1+... +тпхп (0.5)
когда числам тп ..., тпбудем давать всевозможные целые неотрицательные значения, удовлетворяющие соотношению тх + ... + тп = т так, чтобы одна и та же система значений не встречалась более одного раза.
Когда определяющее уравнение не имеет кратных корней, а также когда в случае существования таких корней каждый из них обращает в нуль все миноры основного определителя о наивысшего возможного при кратности этого корня порядка, тем же свойством обладает и каждый кратный корень уравнения Dm(x) = 0 по отношению к минорам определителя Dm(x).
Теорема I {20}. Когда корни хи ..., хп определяющего уравнения таковы, что при данном целом положительном т для них невозможны никакие соотношения вида
ЩуХ^ ...+mnxn = 0
в которых все ms были бы целыми неотрицательными числами, дающими в сумме т, то всегда можно найти — и притом только одну целую однородную функцию V степени т величин xs, удовлетворяющую уравнению
2 (Psi *1 + Ра ^2 + ... + psn Хп) = U (0.6)
при произвольно заданной целойоднородной функции U величин xs той же степени т.
Теорема II {20}. Когда вещественные части всех корней xs отрицательны и когда в уравнении (0.6) функция U есть знакоопределенная форма какой- либо четной степени т, то удовлетворяющая этому уравнению форма т-й степени V будет также знакоопределенной и притом противоположной по знаку с U.
Теорема III {20}. Если между корнями xs находятся такие, вещественные части которых положительны, и если при данном четном т корни эти удовлетворяют условию теоремы I {20}, то всякий раз, когда в уравнении (0.6) U есть знакоопределенная форма m-й степени, удовлетворяющая этому уравнению, форма той же степени V, наверное, не будет знакопостоянной противоположного знака с U.
Теорема I {24}. Когда определяющее уравнение, соответствующее системе дифференциальных уравнений возмущенного движения, имеет только корни с отрицательными вещественными частями, невозмущенное движение устойчиво и притом так, что всякое возмущенное движение, для которого возмущения достаточно малы, будет асимптотически приближаться к невозмущенному.
Теорема III {24}. Когда между корнями определяющего уравнения находятся такие, вещественные части которых положительны, невозмущенное движение неустойчиво.
12
Теорема [30}. Пусть дана система уравнений с частными производными вида
(/=1к)(0.7)(/=1к)(0.7)S^sl^l + ••• +Psnxn + ^s) ~^Чп zi+ ••• +9Уа2й + ^з
(/=1к)
(0.7)
(/=1к)
(0.7)
S—10Х8
где Xp ..., Xn, Zv ..., Zk суть голоморфные функции переменных хи ..., xw гъ .... 2к, обращающиеся в нуль, когда все эти переменные делаются нулями; притом функции Xs не содержат в своих разложениях членов ниже второго порядка, а функции Z, если и содержат члены первого порядка, то только не зависящие от величин zlt ..., zh. Коэффициенты psi, рц суть некоторые постоянные.
Тогда, если хи .... х„ суть корни уравнения
рп—х
Р12•■• Pin
А(х) =
Р21
Р22%••• р2п _Q
1. . .. ^к
D^ =
Рп1Рп2.“Рпп ^
— корниуравнения
Ри —VРи...Р1к
Р21Р22—v••• Ч2к_
Чк1Чк2••• Чкк v
■если притом вещественные части х8 отличны от нуля и одного и того же знака и если между величинами xs и v;- не существует никаких соотношений вида
m1x1 + .„ + mnxn = vj (j = iй)(0.8)
где все ms были бы целыми неотрицательными числами, удовлетворяющими условию Sms > 0, то всегда найдется одна определенная система голоморфных функций гъ ..., гк переменных xv ..., хп, удовлетворяющих уравнениям (0.7) и обращающихся в нуль при хг = ... = хп = 0.
Примечание I. Определение величин гг,..., 2к в виде рядов, формально удовлетворяющих уравнениям (0.7), можно осуществить лишь при условии (0.8), не налагая дополнительных условий на корни уравнения А(х) = 0.
Примечание //. Заметим также, что теорема имеет место для систем с периодическими ограниченными коэффициентами.
Все перечисленные теоремы в значительной степени облегчают отыскание функций прямого метода.
В предлагаемой работе даны решения задач устойчивости в различных критических по Ляпунову случаях, полученные мною за период 1934— 1966 гг.; исследованы задачи об устойчивости движения в случаях, близких к критическим. В последних рассматриваются системы дифференциальных уравнений, определяющее уравнение которых имеет по крайней мере один малый вещественный корень или пару комплексных корней с малой вещественной частью. При этом я был вынужден отказаться от классического определения устойчивости, данного Ляпуновым, и пользоваться новым определением, которое вытекает из соображений Пуанкаре.
Рассмотрены также различные вопросы теории нелинейных колебаний.
Приведу краткое содержание настоящей работы. Первые десять глав посвящены исследованию различных задач устойчивости движения. Последние две главы посвящены вопросам нелинейных колебаний.
В главе 1 излагается решение задач в критических случаях, разобранных Ляпуновым, и в этой части она дублирует материал, изложенный им в «Общей задаче об устойчивости движения». Несмотря на это, я счел целесообразным изложить решение этих задач, подходя к построению функций прямого метода приемом, несколько отличным от того, которым пользовался Ляпунов.
В главе II исследуется проблема двух нулевых корней определяющего уравнения с одной группой решений, рассмотренная Ляпуновым. Исследуя эту задачу, я отказался от введения специальных функций, которыми пользовался Ляпунов, ограничившись применением обычных sin и cos.
В главе III доказываются основные теоремы общей задачи устойчивости в критических случаях. Формулируется так называемый «принцип сведения» по функциям Ляпунова и Четаева. Дается способ приведения задачи устойчивости в критическом случае т нулевых и q пар чисто мнимых корней к критическому случаю кратного нулевого корня. Обобщается теорема Ляпунова {30}. Показывается, что в случаях, несущественно особенных от исследования устойчивости периодических движений, всегда можно перейти к исследованию устойчивости равновесия.
В главе IV исследуется общий случай задачи двух нулевых корней с двумя группами решений.
Глава V посвящена решению задачи одного нулевого и пары чисто мнимых корней определяющего уравнения при п остальных с отрицательными, вещественными частями.
В главе VI решается задача двух пар чисто мнимых корней для системы- (п + 4)-го порядка.
Глава VII посвящена общему случаю, когда определяющее уравнение имеет т нулевых корней, q пар чисто мнимых и р корней с отрицательными вещественными частями.
В главе VIII рассмотрены вопросы устойчивости канонических систем.
В главе IX решается задача об устойчивости установившихся движений в случаях, близких к критическим.
В главе X рассмотрен случай неустановившихся движений. В этой главе- вводится определение устойчивости движения на конечном интервале времени и даются необходимые и достаточные условия устойчивости по первому приближению.
В главе XI рассмотрены колебания автономных систем, в главе XII — неавтономных систем.
ГЛABA I
КРИТИЧЕСКИЕ СЛУЧАИ, ИССЛЕДОВАННЫЕ ЛЯПУНОВЫМ
В этой главе рассматриваются системы дифференциальных уравнений вида
^s2 4sh ^h+^s (^и О(s,i = lП.1)(LI),
6=1
где qsh — или постоянные величины, или непрерывные и периодические функции t с общим вещественным периодом со. Функции Zs для малых значений гхzn, разлагаются в абсолютно сходящиеся степенные ряды по, этим переменным, не содержащие членов первого порядка. Коэффициенты этих рядов обладают свойствами коэффициентов qSk-
§ 1. Один нулевой корень определяющего уравнения. Предположим, что система (1.1) автономна и среди корней уравнения \qSk— 6S6 х | = 0. имеется один нулевой корень и п корней с отрицательными вещественными частями (п = пт — 1). Линейной подстановкой у = ад-т ... + an+1 zn+i преобразуем систему (1.1) к виду
у = ¥*(у,г(), zs- = 2pshzk + p8y+Z*(y,zt) (s,i=l,...,n) (1.2)
Вводя замену zs = у8 + и, (у), из (1.2) получим
У= = ^РвкУкА- ^р8кик + РвУ+Z* (у, У1 + «1Уп + ип) —
6=16=1
—^-учу.уа-дуп+ип)(Lay
ay
Совокупности членов, не зависящих от угуп, в правых частях этих, уравнений определятся выражениями
НЛУ^ = З/^+РзУ+^ОаЩ)
Определим функции Us^ из уравнений Hs^ = 0. Эти уравнения можно формально удовлетворить рядами
us = csi y+cs2у2+ ... +cS6 У16 + •••(1-4У
Такое определение и8 всегда возможно. Эти ряды в большинстве случаев будут расходящимися.
Принимая за функции и8 многочлены вида
«s = Csly+Cs2y2 + ...+Cs6-l У^1(5=1л)
и считая число к достаточно большим, мы в результате подстановки us в выражения Н8^ будем иметь
tfs(l/) = ^s01A + ^S1'A+1+ •••(s= 1П)
где та ^ к.
Подставим в правую часть первого уравнения (1.2)
Zs = ys + csiy + cs2^2 + ... + cs6_i у*-1($=1п)
Обозначим в полученном выражении совокупность членов, не зависящих от г1( .... гп, через
H(y^ = goy,n-Vgiym+1 + ...
Относительно числа т мы можем сделать два предположения: 1) m < i и 2) т > к.
Первое предположение характеризует общий случай, второе возможно при наличии бесконечного числа известных соотношений между коэффициентами правых частей системы (1.2). В этом случае задача об устойчивости может быть решена лишь при рассмотрении всей правой части уравнений возмущенного движения. Такие случаи в дальнейшем будем называть существенно особенными.
Легко убедиться, что ряды (1.4) во втором случае будут определяться из уравнений
2 Psh Uk + Рsly + Z** ^’ Ud = °(S, i = \П)
6=1
и при достаточно малых значениях у будут абсолютно сходящимися (см. теорему §19).
Если в первом случае будем иметь т = к, то, обрывая ряд (1.4) на члене ctbyk, мы получим т8 ^- т + 1.
В результате преобразований мы придем к системе
y = gol/n+giym+1 + -+У(у, у^
У. = 2Рзь1/ь + £зо1/т8+&11/т«+1 + ...+Е^^ Уд
6=1/1
(s, i = I,..., п; ms > « +1)(Ео)
Функции Y и Ys обращаются в нуль при yi = ... = уп = 0.
Во втором случае всеgv иgs^ (s = 1n;v = 0,1,2, ...) обратятся в нули.
Представим функции У (у, уг) и Ys (у, уд (s = 1, ..., п) в виде
Y кУ- Уд = У1Р1 + -+УпРп+У1 to, Уд
Ys to. Уд = У1Р81+ ...+УпРзп + YS1 (у,у^($,» = !,..., п)
где YT и Ysl обращаются в нуль при ух = ... = уп = 0 и не содержат линейных членов в отношении этих переменных. Коэффициенты Ра и Psh представляются голоморфными функциями у, обращающимися в нуль при у = 0.
Преобразуем систему (1.5), положив
х = у—хк У!— х2у2 — ...—xnYn, ys = xa (s=ln)(1.6)
подразумевая под ys голоморфные функции у, подлежащие определению.
Нетрудно убедиться, что если эти функции определить из уравнений
2и«(р81 + Рзд = Р1
S=l пп
2 МР5г+Рзд = Р»...., ^з(Рзп + Рзп) = Рп(1.7)
5=15=1
то первое уравнение системы (1.5) будет содержать линейные члены в отношении х1( .... хп только с множителями х в степени не ниже т, а члены, не зависящие от х^ ..., хп, своего значения не изменят. Остальные п уравнений сохранят прежнюю структуру.
В результате преобразования получим
х- = g0хт +giх^1 +... +х™Qm + х^1 Qm+1 +... +Х(х, х^
х,- = ^PsnXh + gsOxm^+gslxm»+i + ...Л-Х^х, Xi)(s, i = l n) (1.8)
6=1
В этой системе Qm, Qm+i, ... являются линейными формами от переменных хъ .... хп. Функции X и X, обращаются в нуль при хг = ... = хп = О и, кроме того, функция X не содержит линейных членов в отношении этих переменных.
Преобразования системы (1.1) к виду (1.8) таковы, что решение задачи об устойчивости в переменных г„ эквивалентно решению той же задачи в переменных х8. Однако структура правых частей системы уравнений (1.8) значительно облегчает построение функции Ляпунова.
В случае четного т функцию Ляпунова, отвечающую системе (1.8), можно взять в виде V = х + Vu подразумевая под Ki квадратичную форму, удовлетворяющую уравнению
2^Hgo^lH-.’ + V^(1.9)
S=1 0Х8
Производную функции V по t в силу уравнений (1.8) можно представить в виде
^^goC^+V + .-.+VH 5 xv4v(x1(...,xn) +
V=m+1
n n
+ 2 2 Х.Х^^Х.Хц ...,xn)(1.10)
S=1 6=1
Правая часть этого уравнения представляет знакоопределенную функцию от х, хп ..., хп одинакового знака с g0. Соответствующим выбором переменных х,хг,..., хп знак функции V можно сделать совпадающим со знаком g0. Для этого достаточно положить хх = ... = хп = 0, а знак х выбрать одинаковым со знаком g0. Следовательно, невозмущенное движение неустойчиво (16). Если т — нечетное, то функцию V выберем в виде
У-^ + Ух
Производной этой функции по t можно придать вид
-^^got^+' + V + .-.+VH 2 ^^(xi, ...,xn) +
“‘v=m+i
+ 2 2^^Фзб(^ Xixn)
S=1 6=1
npHg0>0 dV/dt будет определенно-положительной функцией от х, xv ... ..., х„.Функцию Vсоответствующим выбором переменных x,xv ..., хп можно сделать также положительной. Отсюда следует неустойчивость невозмущенного движения.
Если g0 < 0, то Уп определяемая уравнением (1.9), будет определенноположительной функцией переменных хп ..., хп, а функция V—определенноположительной от переменных х, xv .... хп.
17172 Г. В. Каменков, т. II.
17
17
Так как dV/dt при g0 < О является определенно-отрицательной функцией, то невозмущенное движение асимптотически устойчиво.
Рассмотрим теперь второй случай, когда в системе (1.5)
go = gl=-=gsO = g51=- = °(s = l")
Если систему (1.5) при этом предположении преобразовать согласно замене (1.6) и функции уь ..., уп определить из уравнений (1.7), то система (1.8) примет вид
х- = Х^х, xt), ха- = ^pskxk+Xa(x, xt)(s,i = in) (1.11)
6=1
В этой системе функция Х(х, xt) не содержит линейных членов в отношении хгхп и обращается в нуль при хг = ... = хп = 0. Функции Xs(x, xt) могут содержать линейные члены в отношении xn ..., хп, но они также должны обращаться в нуль, когда все эти переменные равны нулю.
Функцию Ляпунова, отвечающую системе (1.11), можно взять в виде
V = x2 + Vi
определяя функцию Уг из уравнения (1.9), если в нем положить g0 = —1.
Производную функции V по t в силу уравнений (1.11) можно записать в виде
avп п
— = —(V + --+V) + 2 S^Xfe^^.X!xn)
“‘s=l 6=1
гДе 'Фай обращается в нуль при х = хг = ... = хп = 0.
Следовательно, dVIdt представляет постоянно-отрицательную функцию переменныхх, Хц ..., хп. Функция же У является определенно-положительной. Отсюда следует, что невозмущенное движение устойчиво.
Примечание 1, Заключения об устойчивости и неустойчивости невозмущенного движения по уравнениям (1.8) и (1.11) останутся в силе и в том случае, когда функции Х(х, xt) и Xa(x, xt) в своих разложениях имеют коэффициенты, зависящие от t. Коэффициенты форм Qm, Qm+1, ...и коэффициенты gu gn ••■> gso, gaii ••• могут также являться функциями времени. Эти функции должны удовлетворять условиям непрерывности и ограниченности по t.
Примечание 2. Преобразование системы (1.5) согласно формулам (1.6) не изменяет коэффициента g0. Это преобразование было введено нами для упрощения построения функции Ляпунова. Поэтому при решении задач достаточно произвести преобразования системы (1.1) в систему (1.5).
Система (1.2) может быть приведена к виду (1.5) способом, указанным Ляпуновым (28).
§ 2. Один корень характеристичного уравнения, равный единице. Рассмотрим систему уравнений (1.1), предполагая, что коэффициенты gah, а также и коэффициенты разложений функций Za по степеням гхг„ являются вещественными, непрерывными и периодическими функциями 7 с общим периодом 2л.
Предположим, что один из корней характеристичного уравнения этой системы равен единице, а остальные п корней имеют модули, меньшие единицы (п = п^ — 1).
В этом случае систему (1.1) линейной подстановкой с вещественными и периодическими коэффициентами можно преобразовать к виду
х- = Х^х, xt, t), xa-= ^pskxk + Xa(x,Xi,t) (S,i = \n) (1.12) 6=i
где psh — постоянные величины, а функции X, Xs обладают свойствами функций Zs,
18
Обозначим через Х(0> (х, f) и Х^ (х, f) совокупности членов выше первого порядка в правых частях этих уравнений, не зависящие от хи ..., хп. Представим
х(о) (х, о = 5 aw х\ xs(o) (х, о=5 A=w хк к>2к>2
где Д<6) и Д^1 — периодические функции t с периодом 2л.
Преобразуем систему (1.12), положив xs — ya+ua(x, t) (s = 1n)(1.13)
Переменные ya будут удовлетворять уравнениям пди
У s' = 2 Psh (Уб + Мб) +^s (х, У1 + м1, Уп + ип> 0—
6=1
—^Х(х, Уг+UiУп+«п, 0($=1,....п)(1.14)
ОХ
Совокупности членов в правых частях этой системы, не зависящие от
У1, •••> Уп, будут иметь вид
Y^ = 2 Рзк uh +Х8 (х,(х, иь 0
।v* ОХ
(S, 1 = 1п)(1.15)
Уравнениям У^ = 0 можно удовлетворить по крайней мере формально рядами1
и^^А^х* (s = lл)Х (Мб)
к>2
где а^ 0) — вещественные, непрерывные и периодические функции / с периодом 2л.
Относительно функций Х(х, ut, t) можно сделать два предположения: 1) Х(х, и„ 0 = 0,2) Х(х, иь 0 ф 0.
Первый случай является частным случаем, так как возможен при наличии бесчисленного множества известных числовых соотношений между коэффициентами разложений функций Z8.
Для этого случая функции и8 определятся из уравнений
У^=^р8кик + Ха(х,иъ1)-^._0(s,i = i„.„n)(1.17)
6=191
и будут представлять собой ряды вида (1.16), абсолютно сходящиеся по крайней мере для достаточно малых значений |х| и для любых вещественных значений / (теорема § 21 главы III).
Систему уравнений (1.12) для переменных х, ух, ..., уп можно записать в виде п
Х' = ^ykPk(x,t)+X^(x,yitt) 6=1
Уз- = 5 РвкУк + ^УьРзкМ+У^Цх, yb t) (s, 1 = 1П) (1.18) 6=i6=i
где Ph(x, /) и Pah (х, t) — голоморфные функции х с коэффициентами, обладающими свойствами коэффициентов gs^t). Функции Х^ и У^5 обра-
щаются в нуль при уг = ... = уп = 0 и не содержат в своих разложениях членов ниже второго порядка по отношению к этим переменным.
Рассмотрим частный случай, который может представить система (1.18).
Предположим, что все функции Рд(х, О = 0. При этом предположении вопрос об устойчивости будет решаться так же, как и в случае одного нулевого корня. Функцию Ляпунова возьмем в виде
где Vx — квадратичная форма от угуп, определяемая из уравнения (1.9), если в нем положить g0 = —1.
Производную функции V можно представить в виде
V' = — 2 У^ + 2 2 ф8ь У8 Ун
S=1S= 1 6=1
Функции фаА (х, ух, ..., уп) обращаются в нуль при х = уг = ... =уп = 0.
Отсюда видно, что V' будет определенно-отрицательной функцией уг ..., уп и постоянно-отрицательной функцией х, yt, .... уп.
Следовательно, невозмущенное движение устойчиво.
Покажем, что к этому частному случаю приводится любой другой, представляемый системой (1.18).
Пусть Ph(x, t) ф 0. Преобразуем систему (1.18), положив
х=у+ 2^ys(^, 0
8=1
Функции у5 (х, 0 определим так, чтобы в правой части первого уравнения системы (1.18) после преобразования отсутствовали линейные члены относительно Ух, ..., уп.
Новая переменная у будет удовлетворять уравнению
у + 2 у» Кг+(2 уМх, t) +х(2) (х, Уь о) 1 +
8=101 ох \6=1/ .
+ 2 У8 Iх* 0 UPsl + ^81) У1 + (Рб2 + ^2) У» + --- + (РзП + Лп) Уп + 8=1
+ rs(2)(x, уь 0] = ^yhPh(x, НХ^х, уь Ц
6=1
Представим совокупность членов в этом уравнении, содержащих
Ун •••• Уп в первой степени, в виде
Yw=^y8QAx, 0 s=*l
где
Qs(X, 0 = — dVspt— ^pk3vh- 2PasUa + ^8 (s = 1n) 6=16=1
Из уравнений Qs(x, t) = 0 функции vs определятся в виде рядов с периодическими коэффициентами вида
уs (х> 0 = 2 bsW (0 хк
которые будут абсолютно сходящимися по крайней мере для достаточно малых значений |х| и для любых вещественных значений / (теорема § 21 главы III).
Следовательно, решение задачи об устойчивости в переменных х, ух,.... Уп эквивалентно решению той же задачи в переменных у, ух, .... уп- Но пре- 20
образованная система по структуре ничем не отличается от системы (1.18), если в последней положить Рк =0 (^ = 1п), а этот случай нами уже
разобран.
Отметим, что система (1.18) имеет решение х = с, yt = ... = уп = 0, а система (1.12) при условии Х(х, уь 0=0 имеет периодическое решение вида х = с, х8 = и8 (с, f).
Рассмотрим случай Х(х, uh Оф 0.
Ряды (1.16) при этом предположении в большинстве случаев оказывают
ся расходящимися. Возьмем вместо функции и, вида (1.16) функции
и*= 2^w(0^
и произведем замену
Xg = ys + Us*(_X, 0
Функции Х(х, ut*, 0 и Xs(x, Ui*, 0 при таком определении и8* можно представить в виде
X^.u^.n^^aW^x11,Ха^х,и*,0 = 2 aW^xfe
к>тk^N-VX
(s = lл) (1.19)
где /и > 2.
Преобразованную систему можно записать в виде
х- = а^^хт+ ... + Х(‘)(х, уi.O
Уз = 2 P»h У к+“з(т+Н 1 * (О хт+к+ Н-фУ^Цх, уь0
к=Х(s=lл)(1.20)
где к — сколь угодно большое число (к = N — /и), а функции Х<’>, У<4 обращаются в нуль при уг = ... = уп = 0.
Преобразуем систему (1.20), положив
х=у+ 2* ур^хР(L21)
р=т
Переменная у будет удовлетворять уравнению
у = — у^" — —"у vp (О рхР-1 [а<т> хт +... + a<m+*) xm+fe + р=т dt р=т
+ ... + Х( 1 \х, У1, 0] + «^ хт + ... + а<т+*> хт+к +... 4- Х( 1 ’ (х, yt, 0
Коэффициент при хт в правой части этого уравнения будет иметь вид
_^2. + a(m)=g at
Коэффициент при xm+6 можно записать следующим образом:
_ ^L» a(m+6) _]_ рт+6 (Vmym+6_!) = gm+e
где Fm+6 — многочлен от тех ир, у которых р ^ т + 6 — 1*
Определим периодические функции ир(/) так, чтобы все gp(p — т, т + 4-1т + k) были постоянными величинами. Для этого необходимо и достаточно числа gp определить из уравнений
f(a(m)— g^dt^O,^m+^—g,n+6-yF,n+^dt = 0 (6=1к)
bb
Тогда все функции vp (р = т, т + 1т + к) будут периодическими с периодом 2л
^^l^S^^ gr^di О
Vm+6 =f (a<m+8> — gm+6 4- Fm+b) dt
О
В дальнейшем при решении задачи могут представиться два случая: 1) все gm^ = 0 (6 = 0, 1 К);2) gm+s Ф 0 по крайней мере для
одного значения 6 к.
Второй случай является общим, а первый — возможен при наличии известных числовых соотношений между коэффициентами разложения функций Z,.
Рассмотрим вначале второй случай.
Пусть первый коэффициент gm+б, отличный от нуля, соответствует 6 ^ к. Тогда систему уравнений (1.20) в переменных у, yv ..., уп можно представить в виде
1/---=^+б1/т+б + ...+ ^укР^у, 0+^ Чу. Уь 0
6=1
Уз = ^РзкУк-Уаз^^Ч^ tf"wv +••• + ^УкРьзкУ. 0 + 6=16=1
W^y^(М = 1,...,п)(1.22)
где Рк и Рк8 — голоморфные функции у с периодическими коэффициентами, разложение которых по степеням у может начинаться с линейных членов. Функции У<2) и Уа(2) обращаются в нуль при ух = ... = уп = 0 и не содержат в своих разложениях членов ниже второго порядка по отношению К У1. ••■> Уп-
Если окажется, что разложение функций Рк не содержит у в степени ниже т 4* 6, то вопрос об устойчивости будет решаться знаком числа gmA-6 и числом т 4~ 6 (§ 1, примечание 1). В случае gm+e > 0 невозмущенное движение неустойчиво при любом числе т + 6. В случае gm+s < 0 невозмущенное движение асимптотически устойчиво при нечетном т 4- 6 и неустойчиво — при четном m 4- 6-
Легко убедиться, что к этому частному случаю приводится любая система (1.22). Действительно, полагая
У=г + ^Уи ик(У. 0 6=1
и определяя функции ик из уравнений
^и8\рк8 + Рк8(у,т+Рк(У,П = О(6 = 1„)
в виде рядов, которые будут абсолютно сходящимися для достаточно малых значений |z/| и для любых действительных значений t (теорема §21 главы III), мы в результате преобразования получим новую систему, аналогичную системе (1.22), в которой функции, играющие рольРй, не будут содержать в своих разложениях переменную г в степени ниже т + 6. А этот случай нами уже разобран.
Отметим, что последнее преобразование не изменяет числа gm+ь и при решении конкретных задач это преобразование проводить не следует.
Нам осталось рассмотреть тот частный случай, когда все gm+б = О для всех 6 < т + к + 1, как бы велико число к мы ни брали.
Если систему (1.12) преобразовать с помощью замены (1.13), подразумевая под и8 формальные ряды (1.16), то в результате преобразования мы получим систему
х-=а^^хт-\-...А-Х^ (х, yb t)
п
У. =’^Р.кУк+У^Цх» Уи t) 1м=ХП)(1.23)
6=1
в которой функции АС) и У/ч обращаются в нуль при yv = ... = уп = 0. Заменяя переменную х на переменную у согласно (1.21), мы для определения функций иет+б получим уравнения
у™=-^\а№<11'vm+(> = -^^(aX^ ^F^dt
оо.
Все эти функции будут периодическими, так как по предположению все5ет+в = 0 (6 > 0). При этом условии система уравнений (1.12) примет вид
п
tf = Y^y, у., t), ys-= ^РзнУк+У^^у, yb t)
(s, i = 1,..., n)(1-24)
в котором все функции У<]) и У/1) обращаются в нуль при уг = ... = уп = 0. Системе (1.24) можно удовлетворить решением у = с, уг = ... = уп = 0.
Следовательно, системе (1.12) можно удовлетворить, по крайней мере формально, рядами
х = с4-саи2 + с3и3 + ...,xs = cusl4-c2u62 + ...(1.25)
где и2, и3, .... usl, us2, ... — периодические функции t.
Докажем, что эти ряды являются абсолютно сходящимися для | с | достаточно малого и для любых вещественных значений t.
Обозначим через х1( х2, ..., хп корни уравнения | psh —6s&x | = 0. Систему (1.12) линейной подстановкой с постоянными коэффициентами можно преобразовать таким образом, чтобы коэффициенты Явк, играющие в преобразованной системе роль коэффициентов р8к, все были нулями, за исключением коэффициентов
<711 = и1,Ям = и2, •■•,Япп — ^п
Ям~®1>Ям = а1' ■■•'Япп—1=Оп—1
Допустим, что система (1.12) уже имеет преобразованную форму.
Подставляя ряды (1.25) в систему (1.12), мы получим для определения функций и8 и vSk (s = 1, •••, л; к = 1, 2, ...) следующую систему:
vf = Vb v{i=^vu + Vlb...
Vsi = xsusZ + as_i Us.-u-VVsi (s = 2, 3np (/ = 1,2,...)(1.26)
где Vt и Vst — многочлены от v j и ys j, для которых /. < 1 — 1. Коэффи- 23
циенты этих многочленов являются линейными формами от коэффициентов разложения функций Х(х, хг, /) и Ха(х, хг, f).
Интегрируя систему уравнений (1.26) в предположении, что все yj, v8t (1-С/< I — 1) Уже известны, будем иметь
t/
yt = ^<11, ии = ен1< ^ e-^Wvtdt О— оо
v,z = exs< ^(as-1 Us-i, z + VaZ)d/ (s = 2, 3я)(1.27)
Обозначим через F(x, x^ и F8(x, xt) те значения функций X(x, xb t) и X8(.x, xt, f), которые они примут, если в рядах, представляющих эти функции» заменить периодические коэффициенты их наибольшими модулями при изменении t в пределах от 0 до 2л, а через—кг, —к2, ..., —кп—вещественные части корней хи х2, ..., хп. Кроме того, будем считать а 3^ =1, ..., п — 1) положительными величинами.
Система уравнений (1.27), если в ней заменить ха на —к8, а в выражениях Vb V8X коэффициенты разложений функций X и Ха на коэффициенты функций F и Fs, определит нам наибольшие значения функций ух и у81 в пределах изменения t от 0 до 2л, которые обозначим wt и wsb Эти наибольшие значения определяются равенствами
©г = 2비 hi^u — ^w hs™8t = <5s-\ ^s-lz + ^z
(s=2, 3я)
где W b №al— наибольшие значения функций Vt и V8l, если в последних коэффициенты разложений X и Х8 заменить соответствующими коэффициентами разложений F и Fs, а значения vb y8j для (1 < / < / — 1) заменить через та,, w8j.
Легко убедиться, что ряды
х = с + с2 и>2+ с3 wa -f-...
xs = cayal + c2ays2 + c3tya3 + ... (s=lя)
являются решением системы уравнений
х = с + F (х, х^,кх хг = Рг (х, х^)
k8Xg = o8_xx8_x-VF8^x,x^(s=2, з я)(1.28)
и, следовательно, будут абсолютно сходящимися по крайней мере для достаточно малых значений |с|. В силу этого и ряды (1.25) будут абсолютно сходящимися для достаточно малых значений | с | и для любых вещественных значений t и представят периодическое решение системы уравнений (1.12).
Преобразуем теперь систему уравнений (1.12), положив
^ = ^ + V2^+v8^3+-. Xa=«/a+ualB + U62g2 + ...(8=1Л)
где уi и y8t — периодические функции, фигурирующие в рядах (1.25). В силу сходимости рядов (1.25) решение задачи об устойчивости в переменных х и х8 эквивалентно решению задачи об устойчивости в переменных g и у8.
В результате преобразования мы получим новую систему относительно переменных £, ух, ..., уп, которая по структуре будет аналогична системе (1.12), но правые части этой системы обращаются в нуль при ух = ... = = Уп = 0.
А этого, как мы уже убедились, достаточно для устойчивости невозмущенного движения.
24
Одна пара чисто мнимых корней определяющего уравнения. Предположим, что система (1.1) имеет два чисто мнимых корня и п корней с отрицательными вещественными частями (п = пг — 2).
Такую систему с помощью линейной подстановки с постоянными вещественными коэффициентами можно преобразовать к виду
х = — Ху+Х(х, у, yt\ y = Xx+Y(x, у, у^
y8* = i^p3h9k + V^x,y,y^ (s,i = lл)(1.29)
к=1
Следуя Ляпунову, преобразуем систему (1.29), положив
x = ^+u(iyi'),У = ч + «(Уд(1-30)
Определяя Цу^ и и^1) из уравнений
(РвхУ^-'+РепУп)- — Xv-VX^u, и, у^
3=18
2 (Pei У1+ - + Рзп У^ = Xu-VY (и, и, у^(1.31)
s=i оу»
получим систему, аналогичную системе (1.29), в которой правые части уравнений для £• и тр будут обращаться в нули при £ = т] = 0.
Будем предполагать, что над системой (1.29) преобразование (1.30) выполнено и функции X и Y обращаются в нуль при ух = ... = уп = 0.
Полагая х = г cos 6, у = г sin 6, получим
— = Х cos 6 +У sin 6,— = Х+ — (У cos 6—XsinO) (1.32)
dtdt г
Учитывая, что X и У обращаются в нуль при д^ = ... = уп = 0, запишем второе уравнение в виде
= к+F(г, yit cos 6, sinO)(1.33)
at
Функция F обращается в нуль при г = yv = ... = уп = 0.
Мы можем утверждать, что если |г|, 1^1|z/n|достаточно малы, то
6 будет являться монотонно возрастающей функцией t Следовательно, в вопросах устойчивости переменная 6 может играть роль t.
Исключая из первого уравнения системы (1.32) и из уравнений для у*8 системы (1.29) время t, получим
^- = r^r,yi.^. ^-^о.кУк+У.Дг.Уиб) ($=1л) (1.34)
UvQU Awl
Правые части этой системы являются голоморфными функциями переменных г, уг, ..., уп, коэффициентами разложения которых являются целые рациональные функции от cos 6 и sin 6.
Эта система является частным случаем системы (1.12), рассмотренной в § 2.
Два мнимых корня характеристичного уравнения с модулями, равными единице. Рассмотрим теперь систему уравнений (1.1), предполагая, что характеристичное уравнение, соответствующее этой системе, имеет два мнимых сопряженных корня, модули которых равны единице, и п кор ней с модулями, меньшими единицы (п = пх — 2).
Пусть е2ягк и е-2яг>. — корни с модулями, равными единице.
При этом предположении линейной подстановкой с вещественными периодическими коэффициентами систему уравнений (1.1) можно привести к виду
х- = —Ху + Х(х, у, yb t),у = Хх + У(х, у, yb t)
У8* = ^Р8нУкА-Уак.х, y,ybt^($ = 1п)(1-35)
6=1
где р8к — постоянные величины, причем такие, что все корни уравнения I Psk — 6айх | = 0 имеют отрицательные вещественные части. Функции X, Y и Ya имеют структуру функций Z8 системы (1.1).
Ляпунов ограничивает исследование системы (1.35) тем случаем, когда X иррационально. Это ограничение в случаях несущественно особенных позволяет свести поставленную задачу к задаче об устойчивости автономной системы (1.1), определяющее уравнение которой имеет два чисто мнимых корня.
Если же число X рационально, то исследование задачи об устойчивости тривиального решения системы (1.35) заменой t = 0т и х = £ cos ат 4+ т] sin ат, у = £ sin ат — ri cos ат приводится к задаче об устойчивости тривиального решения системы вида (1.35), в которой правые части первых двух уравнений не содержат линейных членов.
Подобного рода задачи будут рассмотрены в главе IV.
Обозначим совокупности членов, не зависящих от ухуп, в правых частях системы (1.35) через
Хо = ix6W (х, у, t), Y6 = S Y6W (x, у, t), Ys0 = S(x, y, t)
k=26=26>2
Xow= s A^W, Y6W= S BW^x^y^ (1.36)
Y^ = 2 С.^Ц^х^у11*(s = lЛ)
6,+6,=6
Если положить •
Уа = Ха+Иа{Х, у, t) (s= 1n)(1.37)
то будем иметь
х/ = -^-^(-Ху4~Х)-^(Хх4-У)4~2р8к(^4-^ dt dxdyh=i
+ Y 8^x, У, X^til, x2 + u2Xn-VM^ (S = lл) (1.38)
Совокупности членов, не зависящих от хъ .... хп1 в правых частях этих уравнений будут иметь вид
Хз0(х, у, t) = -^-^ [-Ху 4-Х (х, у, ub 01-
—[Хх+У (х, у, ub 01 + 2р3б«б+У3(х, у, ub 0
U6-1(s,i=!,...,«)(1-39)
Определим функции us из уравнений Xs0 (х, у, 0 = 0 (s = 1, ..., п). Эти уравнения можно удовлетворить рядами
“s(x, У, 0= S ад(61, 6а> (0 ^6* У61(s=i,...,«)(1-40)
6,+б.^г
где a,<6«’6i)—периодические функции t с периодом 2л. Эти ряды в большинстве случаев будут расходящимися.
26
Рассмотрим функции уа (х, у, f), представляющие суммы членов рядов (1.40) до VV-ro порядка включительно,
иа = 2 а^11 к1^ хк1 ук*(1-41)
6,+6s>2
Число N мы будем считать сколь угодно большим.
Преобразуем систему (1.35), положив
У8 = ха + иДх, у, 0(1.42)
Тогда в правых частях системы (1.38) разложения функций Ха0 будут начинаться с членов не ниже (X + 1)-го порядка.
Члены же, не зависящие от х^ ..., хп, в правых частях первых двух уравнений системы (1.35) будут иметь вид
—ly+X^x,y,vt,t), Хх + V(х, у, ut, t)
Здесь мы должны различать два возможных случая. В первом — функции X (х, у, иь /) и У (х, у, vh /) не содержат в своих разложениях членов ниже (N + 2)-го порядка при любом сколь угодно большом N.
Это частный случай; он возможен лишь при условии X (х, у, иь <) = = Y (х, у, ut, f) = 0, где utип представляются рядами (1.40). В этом случае функции и8 определятся из уравнений
^-к^у + к^х= ^pskuk + Ys(x, у, ut, t) (м=1n) (1.43) at ax ay 6=1
Эти уравнения определят функции и8 в виде абсолютно сходящихся рядов (1.40) для достаточно малых значений ] х |, | у | и для любых вещественных значений / (теорема § 21 главы III).
Система уравнений (1.35) при этом условии заменой (1.37) преобразуется к виду
п
X- = —Ху+^ХиР^х, у, ^-YP^ (х, у, Xi, t)
п
(1.44)(s= 1п)(1.44)(s= 1п)У = Хх + ^хк Qh(х, у, t) + Q<2>(х, у, Xi, t^
(1.44)
(s= 1п)
(1.44)
(s= 1п)
пп
Х8 = S Psh Хк+ S XhPsk (Х, у, t) +Ха(2)(х, у, Xi, f) 6=16=1
где Рк, Qk и Р8к — функции, обращающиеся в нуль при х = у = 0, а функции Р^, Q^, Х-‘2) не содержат в своих разложениях линейных членов относительно хъ ..., хп и обращаются в нуль при х\ = ... = хп = 0.
Таким образом, мы убеждаемся, что эта система имеет частное решение
x = ccosX(<—/0),y = csinX(<—t,),xI = ...=x„ = 0
а систему (1.35) можно удовлетворить рядами
(1.45)(1.45)ys = h а8^кР^ск^к*йО8.к1Х(1—^0)sin*aX(f—/0)
(1.45)
(1.45)
А1 “рАа 2
x = ccosX(£—f0), y = csinX(^— t^
Эти ряды при достаточно малом | с | будут абсолютно сходящимися, но они не будут периодическими, так как коэффициенты а^1 к«> (t) являются периодическими функциями времени с периодом 2л, a cos Х(^ — /0) и
27
sin X(t — Q имеют период 2л/Х, и, следовательно, при X иррациональном решения (1.45) не будут периодическими.
Возвращаясь к системе (1.44), преобразуем ее, положив
х = 5+ ^хкик(х, у, t),У = ч+ 1xkvk(x, y,t)(1.46)
4=14=1
Функции ик и ук найдем из уравнений
^Ху+^Хх=- iua(psk+Psk)-Xvk + Pk
ot ОХоуs=l
+ ^x=-^ys^PskWXukJrQk
at дх ays=i
в виде абсолютно сходящихся рядов по крайней мере для |х| и ] у | достаточно малых. Коэффициенты этих рядов будут периодическими функциями с периодом 2 л (теорема § 21 главы III).
В результате преобразования мы получим систему уравнений, аналогичную системе (1.44), в которой функции, играющие роль функций Рк и Qk, обратятся в нули.
Предполагая, что над системой (1.44) преобразование по формулам (1.46) выполнено, т. е. полагая Рк = Qk = 0, возьмем функцию Ляпунова в виде
V = ^ + l/2 + Vi^i, .-, *пГ,
Функцию V] определим из уравнения (1.9) при условии g0 = —1. Тогда производную функции V можно представить в следующей форме:
V' = — 2 х? +^sk х8 W
где ф8ь обращаются в нуль при х = у = хг = ... = хп = 0.
Так как V— определенно-положительная функция от х, у, хг, .... хп, а V — постоянно-отрицательная функция тех же переменных, то невозмущенное движение устойчиво.
Перейдем теперь к рассмотрению второго возможного случая. Будем предполагать, что результат подстановки рядов (1.40) в функции X и V приводит хотя бы к одному из неравенств
Х(х, у, иь ОфО, У (х, у, иь 0Ф0
Этот случай является общим.
Преобразуя систему уравнений (1.35) согласно (1.42), получим
х* =—Xy-V У а<***«)х*> yk*+P(x, у, хь 0
ki+Ri=m
y = Xx-V У pt6»fc»>x** yfc»+Q(x, у, xit t)(1.47)
4,4-4,=m
X8-='Zp8kXh+ 2 ^feMxfe*yfe*+Xs(x,y,xbf)
4=14,4-4,=m4-44-l
(s=l,...,n, m + k = N')
где а<*«*«>, 0(M,), ^M)—периодические функции t с периодом 2л, a Р, Q, X, — голоморфные функции х, у, хгхп, обращающиеся в нуль при xt = ... = хп = 0.
28
Полагая х + iy = z, х — iy = г, запишем первые два уравнения этой системы в виде
z" = iXz+ У д(Мя) (f) г6* zk* +2(г, г, xb f)
6t4-6,=m(1.48)
r = —ikz У ц(М.) (^) гб, 2»2 + /(г, г, xb t)
6,4-6,=m
Преобразуем эту систему, положив
г = С+ У и^1^ (Г)гк* zks ? = £ + У u^kik‘i (С) zfei гк* 6,4-6,=m6,4-6,=т
где u<fe> *•)(£),«(*« *•) (i)—периодические функции t периода 2л. Определим эти функции так, чтобы в преобразованной системе коэффициенты, играющие роль коэффициентов а<*‘*•> и а<6*й«>, были постоянными величинами £<***•> и gV^. Для этого необходимо и достаточно, чтобы «(М,) и и^М удовлетворяли уравнениям
u-(6t6,) —(-^ ^—^ + ^2 Н* 1) н'*1*2' —а^к1к*^ —Ukik^ = —g(6i6,)
Ы‘(*1*1) _|_ ^ (^ _f_£2 _[_ J) ц(6,6,) .д(6,6,) .£(6,6,) _ g(6,6,)
Функции u(*i*») и ц(*х*>) можно определить, последовательно давая ^ + &2 значения т, т + 1т + к. Для чисел кх 4- ка = т выражения L<4>*«) и L<*»*>) равны нулю, а для fcx -V ka = т -V I (I ^ к) они представляются линейными формами от тех коэффициентов а(-к1к»'>, а^к1к*> и функций «(*!*•> и и^к1к11 , для которых кх + кй ^ т + I — 1.
Легко убедиться, что все числа g(6«6г) и g^1 к«\ у которых разности индексов кх—ка4= 1,_можно принять равными нулю (X иррационально). Числа же g(***>), g'.M.') для ^ — ка = 1 необходимо определить равенствами -
2Я
j (О(6,6,) _|_.£(6,6,)gr(616,))^ = 0 О
2П ___
^ ^kM-VL^k>'i—g<.kik*^at = O(1.49)
о
В противном случае функции «(*«*.) и ^б,*,) не будут периодическими. Обозначим числа g^‘A’> , ^(4>4«>, у которых кх = ка + 1, через 52*+ь
52x+i- Тогда уравнения (1.48) в переменных t, и t, примут вид
т+б__
V = i4+ 2§2^№А-Р1^Л. xbt)
x-(m-l)/2n50)
__m+6__ , _, _
V = -i4+ 2 ^^(^r+Qx^.S, xb^ и=(т—\)/2 T
Если теперь положить
g2«+l =62x+l +t(T2x+lig2x+l =62x4-1 — 102x4-1
^ = r (cos 6 4-1 sin 6),^ = r (cos 6—t sin 6)
и отделить действительные и мнимые части, то система (1.50) и п последних уравнений системы (1.47) примут вид
— =262х+И2х+1+ 2 “i1*11 (0^* + ^(г> хь cosO, sinG, Z)
dt x=(m-l)/2kt^m-Vh
^7 = ^+2 а2х-нг2х + 2 IV^W^H-^,-Vz.cosO, sinG.Z)
“*x=(m—1)/2кх=т-\-к
'Vs' = 2 Psk Xk + 2 Vl'*0 ^* + ^sl V, xb cos 0, sin 0, Z)
Предположим, что первый коэффициент 62x4-1, отличный от нуля, имеет индекс Z = 2х + l^m + к. Представим функцию R в виде
R = ^xjRj(r, cosG, sinG,Z) + /?<2>(r, Хн cos6, sin6, Z) /=1
В общем случае функции Rj имеют вид
Rj = 2 cWM'*, V;>1(1.52)
k=Vj
Рассмотрим частный случай системы (1.51). Пусть в (1.52) Bcevy^ Z + L
Тогда функцию Ляпунова, отвечающую системе уравнений (1.51)^ при 61 < 0 можно взять в виде
У = га + Уг
где Уг определим из уравнения (1.9) для go = &ь Функция Vx, как нетрудно видеть, представляет собой определенно-положительную функцию. Производной dV/dt можно придать вид
2 ^Ы*!, cosG, sinG, Z) +
Ы \s=l /6=Z4-2
+ 2 2 Xl Xi ^ <r> xi> cos 9’ sin 6’ 0 i=l 7=1
При достаточно малых значениях г и |xg| производная dVIdt представляет определенно-отрицательную функцию переменных г, хь ..., хп.
Следовательно, невозмущенное движение при 6г<0 асимптотически устойчиво.
Если 6; > 0, то функция V\, определяемая уравнением (1.9), при gQ = = 61 > 0 представит определенно-отрицательную квадратичную форму переменных xlt .... хп. Следовательно, функция V может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Производная же функции V будет определенно-положительной.
Отсюда заключаем, что при б г > 0 невозмущенное движение неустойчиво.
Покажем теперь, что к рассмотренному частному случаю системы (1.51) приводится любой другой, ДЛЯ которого В (1.52) ХОТЯ бы ОДНО ИЗ V; < Z+ 1.
Преобразуем систему (1.51), положив
r = p+2V;Uj, U^^UjW (6, t)rfe 7=1
Определим функции UjW таким образом, чтобы в преобразованной системе все коэффициенты, играющие роль коэффициентов CjW для всех к < I, обратились в нули. Для этого достаточно определить ц№ из уравнений
+ ^- ь = - £ Р,, USW +с3^ (COS 6, sin е, 0 +
+ Ljw (cos 0, sin G, u/»,..., u/A-1), f) (fe = 2,..., I, j = l n)
где cW — формы к-й степени от cos 0 и sin 0 с периодическими относительно t коэффициентами, a Ц^ — многочлены от cos 0, sin 0 и и^\ у которых р. < к — 1.
Очевидно, что суммы CjW + Ь^ = FjW можно представить в виде
FjW= f ф. W(0e/<?e
9=—Р
где р — наивысшая из степеней cos 0 или sin 0, входящих в выражения Cjw и LjW.
Функции UjW будем отыскивать в такой же форме р
u,w = 2 fjqw^el46 q=—p
Функции fjqW (0 будут удовлетворять уравнениям
Г^ + iKqfjqw = — ^Pdf^ +(k=2, l, i=\л)
Эта система определит все f$qW в виде периодических функций с периодом 2л.
В результате преобразования уравнений (1.51) к переменнымр, х1(.... хп мы получим новую систему, которая будет иметь частный вид, только что нами исследованный.
Замена переменной г на р не изменит значения 6г, поэтому выводы об устойчивости невозмущенного движения, относящиеся к системе (1.51) для частного случая, имеют силу для любой системы этого вида.
Может оказаться, что все g^M, определяемые (1.49), обратятся в нуль для всех к-),-V кг ^, т -\- к при любом сколь угодно большом к. В этом случае систему (1.35) необходимо преобразовать согласно (1.37), определяя функции us рядами (1.40). Но эти ряды в общем случае являются расходящимися. Доказательство их сходимости при условии §•<*•*») = 0 для всех 2 ^ кх 4- кг < оо представляет задачу' весьма трудную.
Нам удалось доказать сходимость этих рядов лишь в том случае, когда результат подстановки их в выражения X (х, у, х() и Y (х, у, х^ приводит к тождеству Х(х, у, u^ = Y (х, у, ut) = 0. В этом случае система (1.35) имеет решение (1.45), которое представляется почти-периоди- ческими функциями t. В результате замены (1.37) система (1.35) будет иметь все числа g-tMs) = 0, и вопрос об устойчивости решается в положительном смысле.
Предположим, что нам каким-либо способом удалось доказать сходимость рядов (1.40) для случая, когда все числа gf*1*»), определяемые равенствами (1.49), обращаются в нули. Тогда система уравнений (1.35) с помощью этих рядов преобразовывалась бы в систему (1.47), в которой все функции ^к1к 1 для любых значений 2^^+^ < оо обратились бы в нули,
31
и эта система допускала бы решения ^ = ... = хп = О, а систему (1.35) можно было бы удовлетворить рядами
У,= 2 а^'^ ^ хк1 Ук1 (s = lл)
*i+*»>2
определяя х и у из уравнений
х* =—Ху+ 2 a<k'k^ ^хк1 ук*, у = лх4- У р(М.) ^хк1 ук*
(И >2) (1.53)
Таким путем мы могли бы свести задачу об устойчивости тривиального решения системы (1.35) (п + 2)-го порядка к задаче об устойчивости тривиального решения системы (1.53) второго порядка.
ГЛАВА II
ДВА НУЛЕВЫХ КОРНЯ С ОДНОЙ ГРУППОЙ РЕШЕНИЙ
В «Общей задаче об устойчивости движения» Ляпунов ограничил исследование нелинейных задач об устойчивости движения случаями, рассмотренными в главе I. Все четыре задачи, исследованные Ляпуновым, как мы убедились, приводятся к построению функций V для одного нелинейного уравнения
(2.1) at .
и системы п линейных уравнений.
, В главе II исследуется устойчивость тривиального решения системы дифференциальных уравнений вида (1.1) в предположении, что определяющее уравнение последней имеет п корней с отрицательными вещественными частями и два нулевых корня, которым соответствует одна группа решений.
Впервые данная задача привлекла внимание автора в 30-х годах. В то время было известно, что эта задача, поставленная Ляпуновым, решена им I1] только для случая пг = 2.
В 1935 г. автором [6] был исследован вопрос об устойчивости в общем случае для систем (п + 2)-го порядка, когда для его решения достаточно рассмотреть члены до #-го порядка включительно в преобразованной к специальному виду системе (1.1), считая N сколь угодно большим конечным числом.
Для существенно особенного случая, когда N = оо, вопрос об устойчивости движения остался открытым.
В 1963 г. стало известно о существовании работы Ляпунова [3], в которой рассмотрена задача об устойчивости в общем случае систем (п + 2)-го порядка. Для случаев несущественно особенных (N— конечное) результаты работ Ляпунова и автора совпадают.
Исследование задач устойчивости в существенно особенных случаях сводится Ляпуновым [3] к отысканию некоторой функции <р(с). Если бы эту функцию каким-либо способом удалось найти, то решение вопроса не представляло бы существенных затруднений. Но отыскание этой функции представляет задачу весьма сложную и до настоящего времени не указаны какие-либо пути для ее решения. Поэтому вопрос об устойчивости в сущест венно особенных случаях остается открытым.
В этой главе изложены результаты, полученные автором в 1935 г. с незначительными изменениями, упрощающими исследование задачи. В частности, ляпуновские функции Sn 0 и Cs 0 удалось заменить обычными sin 6 и cos 6.
Преобразования исходных уравнений. Предполагая, что определяющее уравнение системы (1.1) имеет два нулевых корня с одной группой решений при п остальных с отрицательными вещественными частями, мы можем
33333 Г. В. Каменков, т. II
33
33
линейной подстановкой с постоянными вещественными коэффициентами преобразовать систему (1.1) к виду
х* = У1 + Х(х, ух, Xi), yv = YQc, Ух, Xj)
ху = 2 PshXh+Xs(x, Ух, Xi) (s,t = i,...,n)(2.2)
A=1
где X, Y, Xs имеют структуру функций Zg системы (1.1).
Вводя новую переменную у, согласно равенству
У = УхА-Хкх, ух, xt)
систему (2.2) можно привести к виду
х* — у, y = Y0(x, y) + Yx(x, у, Xt) n(2.3)
х8- = ^Р8к Xh + ^so (х, у) +Х8х (х, у, Xi)
Функции У0(х, у) и Х80(х, у) представляют всю совокупность членов, не содержащих xlt ..., хп в разложениях правых частей системы (2.3). Вследствие этого функции Ух(х, у, Xi) и Xsl(x, у, хг) обращаются в нуль при Хх = •■• = х„ = 0.
Представим У0(х, у) и Xs0(x, у) в следующей форме:
Y0(x, У) = /о (х) + УФо (^) + У2Фо W+ •••
Х,о(х. y) = fs(x)+y<ps(x) + y2^s(x) + ...(s=l,...,«)(2.4)
подразумевая под /й, фа и фЛ (^=0, 1, ..., п) голоморфные функции переменной х вида
Фо(х) = ЬохР» + Ь1хР»+‘ + ...fs(x) = 6Z8Oxas+6Zslxas+1+-..(2.5)ФзМ^зоХ^+Сз! Х^+1 + ...(s= 1,..п)Фо(х) = ЬохР» + Ь1хР»+‘ + ...fs(x) = 6Z8Oxas+6Zslxas+1+-..(2.5)ФзМ^зоХ^+Сз! Х^+1 + ...(s= 1,..п)fo (х) = ао ха° + ах ха«+1 + ..., Фо(х) = сохУ- +<?хxy»+4- фЛ-^Ьзо^+Ьз!-^4"1 + •..,
Фо(х) = ЬохР» + Ь1хР»+‘ + ...
fs(x) = 6Z8Oxas+6Zslxas+1+-..(2.5)
ФзМ^зоХ^+Сз! Х^+1 + ...
(s= 1,..п)
Фо(х) = ЬохР» + Ь1хР»+‘ + ...
fs(x) = 6Z8Oxas+6Zslxas+1+-..(2.5)
ФзМ^зоХ^+Сз! Х^+1 + ...
(s= 1,..п)
Очевидно, что ай > 2, 0ft > 1, уа >- 0 для всех значений к = 0, 1, ..., п.
Функции /0(х), <р0(х) будут играть особую роль при решении задач об устойчивости невозмущенного движения. Поэтому прежде чем перейти к непосредственному рассмотрению системы (2.3), преобразуем ее таким образом, чтобы эти функции удовлетворяли некоторым условиям.
Эти преобразования будут известным образом деформировать систему интегральных кривых, описываемых уравнениями (2.3), но, как увидим, задача об устойчивости по отношению к исходным и преобразованным уравнениям будет эквивалентна.
Функции Ляпунова и Четаева для преобразованной системы будут иметь весьма простую структуру.
С этой целью преобразуем систему уравнений (2.3) к новым переменным Ух, .... уп, положив
(2.6)(2.6)x8 = y8-Vu8(x) + yvs(x) (s = 1и)
(2.6)
(2.6)
Функции и8(х) и и8(х) подлежат определению. Правая часть второго уравнения системы (2.3) в результате замены переменных Хх, ..., хп на ух, .... уп примет вид
Y»*<x, У)+УхЧх, У, Уг)
где Уг* — функция, обращающаяся в нуль при ух = ... = уп = 0, а
Уо* (х, у) = У0 (х, у) + Y. (х, у, и^У ^+
S dUi
Если функцию У0*(х, у) разложить в ряд по степеням у, то получим
То* (х, у) = f0* (х) + yep/ (х) + У2 Фо* to + • • •
где
{оЧхМбМШх, 0, ит, ...,и„)
Фо*М = ФоМ + ^-^2SyФо*М = ФоМ + ^-^2Syп+2^У=01=1п+2^У=01=1dYt (х, у, «!un)SutdYt (х, у, «!un)Sutу=оу=о(2-7)(2-7)
Фо*М = ФоМ + ^-^2Sy
Фо*М = ФоМ + ^-^2Sy
п
+2^
У=01=1
п
+2^
У=01=1
dYt (х, у, «!un)Sut
dYt (х, у, «!un)Sut
у=о
у=о
(2-7)
(2-7)
Уравнения присоединенной системы в новых переменных примут вид
Уз1 = ~ У - У2 ~ Mfo* to + УФо* to + У2 Фо* to to• • + Л*] + dx dx
ппп
+ 2р5=у=+ Stoto+y 2Psiyi+fsto+yTsto + i=ii=ii=i
+ у2 фДх) + •••+ XS1 to 0, to 4~У [—^^-^-^ +(2.8)
i=li=lSXsi (x, y, Uiun) SuiSXsi (x, y, Uiun) Sui+ - + Хл*(х, y, y^ y=o+ - + Хл*(х, y, y^ y=o(s, i = ln)(s, i = ln)
i=l
i=l
SXsi (x, y, Uiun) Sui
SXsi (x, y, Uiun) Sui
+ - + Хл*(х, y, y^ y=o
+ - + Хл*(х, y, y^ y=o
(s, i = ln)
(s, i = ln)
ИЛИ
Уs- = Psi У1 + • • • + Pen Уп + fs* to + УЧ1* to + У2 ФЛ (x) +... + KS1 (x, y, y^
В этих уравнениях выражения У81 (х, у, yv ..., уп) обращаются в нуль при уг = ... = Уп = 0.
Функции /8*(х) и ф8*(х) определяются формулами
fs* to = Psi Ul + Ps2 U2 + ... + Psn ^n +fs (x) + XS1 (x, 0, «,) — V8 f0* (x)
ф$* to = Psi У1 +ps2 V2 + ... + Psn Un + <Ps toyto+
dxoy |^=o
^ „ dXst (x, у, иъ ..., un)2 dUi^ „ dXst (x, у, иъ ..., un)2 dUi— У,Фо*Мy = o— У,Фо*Мy = o(2.9)(2.9)
^ „ dXst (x, у, иъ ..., un)
2 dUi
^ „ dXst (x, у, иъ ..., un)
2 dUi
— У,Фо*М
y = o
— У,Фо*М
y = o
(2.9)
(2.9)
В зависимости от выбора функций us(x) и us(^ мы будем получать различные выражения для f0*to, Фо*М, fs*to и <р5*(х).
Определим функции us(x) так> чтобы наинизшая степень разложения функций fs*(x) была больше наинизшей степени разложения функций fo*to, а в случае f0*to = 0 имели бы место тождества: fs*(x) = 0 (s= 1, ... ..., /г).
Такому условию удовлетворяют функции us(x)> определяемые уравнениями
PsiЫ1 + Ps2мг+ + Psnип +fsto + Xsl (х, 0, ut) — 0(2-Ю)
(s= 1n)
Из этих уравнений можно найти функции us(x) в виде абсолютно сходя» щихся рядов, причем разложение функций и8^ по степеням х будет начи- 3*35,
наться с членов не ниже второго порядка, так как функции Xsl(xv 0, иг) не содержат линейных членов относительно х.
Следовательно,
и8(х) = Л8Х^4-Л5+1Х^+14-...(s=1я, as>2)(2.11)
Коэффициенты Л s, Л $4-!,... определятся в результате подстановки рядов (2.11) в уравнения (2.10).
Подставляя найденные значения функций us(x) в выражения (2.9), будем иметь
fs*W=—^/o*W (s=lя)
Функции и8(х) определим так, чтобы <р8*(х) = 0.
Для этого достаточно и8(х) определить из уравнений
।,,,/ \\1 dXsi (х, и, иЛ I .
PslVl+Ps2 ^2 + -- + Psn^n+<PSW — ^зфоМ— Н - ■+
dxоу |^о
+ 2^ ^хкх^мг^^ =0(5,1=1я) (2.12)
Z=1dUtу = 0
Наинизшая степень разложения по степеням х функций и8(х), удовлетворяющих этим уравнениям, будет не менее единицы.
Следовательно, наинизшая степень разложения функций /8*(х) будет по крайней мере на единицу больше наинизшей степени разложения функции кЧх1).
На основании изложенного следует, что система уравнений (2.3) всегда может быть преобразована в систему такого же вида, но в которой степень а0 будет по крайней мере на единицу меньше наинизшей степени as.
Если окажется, что /0*М = 0, то и все функции fs*(x) обратятся тождественно в нули. Функции же <ps*W всегда можно обратить тождественно в нули.
Случай /0* (х) = ф0* (х) s 0. Предположим, что в результате преобразования (2.6) функции /o*W = Фо*^) — 0. Тогда и
Ь*М = ф,*0М($=1И)
Преобразованную систему в прежних обозначениях можно представить в следующем виде:
Х" = У, У = У2^0{х) + -- + Уг(х,у,Х1)
Хз=РлХгА-...А-р8пхкЛ-У2^Лх>А-...-¥Х81Ах, у, х^(2.13)
(s, J = 1я)
Эта система уравнений является частным случаем системы (2.3), однако условия устойчивости тривиального решения системы уравнений (2.13) нельзя вывести из соответствующих условий устойчивости, которые мы получим для общего случая.
Докажем, что во всех случаях, которые может представить система уравнений (2.13), невозмущенное движение неустойчиво.
• Представим функции Уг и XS1 в виде
Л = ^XjPj(x) + Y^(x, у, хг)
X81=i^P8;(x)+X81*(x,y,x2)(2.14)
/=1
Где Р j и Р8 3 — голоморфные функции х, разложение которых начинается с членов не ниже первого порядка. Функции У^ и Xsl*, если и содержат 36
линейные члены в отношении переменных хь .... хп, то только с множителем у.
Рассмотрим вначале частный случай. Предположим, что в правых частях системы (2.13) все Р j =0.
Тогда функцию Четаева для системы (2.13) можно взять в виде
V = xy + V1(x1,...,xn)(2.15)
Функцию Vy определим из уравнения (1.9) при g0 = 1. Производную dVIdt в силу уравнений (2.13) можно представить следующим образом:
V^^+^ + .-.+V+xy^o^ + .-.+xK!*^, у, хг) +
s= 15
или, учитывая, что УЧ* может содержать линейные члены в отношении Xjхп только в произведении с у, будем иметь
V' = ya + x? + ... + хп2+у*Р(х, у, x^-Yy Цх8РДх, у, х<) + 8=1
+ 2 s Xs х, Fsj (х, у, xt)(2.16)
s=l /=1
где F, Fs и Fsj обращаются в нули при хг = ... = хп = 0.
Очевидно, что в области V ^ 0, где х ^ 0 и у ^ 0, функция V является определенно-положительной. Следовательно, функции V и V' удовлетворяют теореме Четаева о неустойчивости.
Покажем, что к этому частному случаю приводится любой другой, представляемый системой уравнений (2.13). Произведем замену
y = n + 'S*s«sW(2.17)
S=1
Функции us(x) определим из уравнений
lilPsj + PsM-Pj (/=1«у s=l
в виде степенных рядов в отношении х, обращающихся в нуль при х = 0. Такое определение всегда возможно.
В результате этого преобразования система (2.13) примет вид
х- = ч + 2 xsus(x),П, = П2ФоИ + --+^(<ть[яг)(2.18)
8=1
*/ = 1Жь^Ч^ФвМ + ---+^1*(*> п, *г)(s,/=1, ...,и)
В этой системе функция Уу*, если и содержит линейные члены в отношении xv ..., хп, то только с множителем т].
Функцию Четаева для системы (2.18) можно взять в виде (2.15). Легко убедиться, что производной этой функции в силу уравнений (2.18) можно придать вид (2.16).
Следовательно, и в общем случае при /0*(х) = Фо*М = 0 невозмущенное движение неустойчиво.
Вышеизложенное позволяет формулировать следующую теорему.
Теорема. Пусть определяющее уравнение, соответствующее системе уравнений возмущенного движения, имеет два нулевых корня с одной группой решений при п остальных с отрицательными вещественными частями.
37
Система дифференциальных уравнений возмущенного движения приведется тогда к виду (2.3).
Если в результате преобразования
х,=У8+иДх)^-ууДх) (s= !,...,„)
где и8(х) и у^х)— корни уравнений (2.10) и (2.12), функции /0*(х) и ф0*(х) обратятся тождественно в нуль, то невозмущенное движение неустойчиво.
Случай /0*(х) = /»*(.*) — ф4*(х) = 0, ф0*(х) Ф °- Система уравнений (2.3) в этом случае может быть представлена в виде
х- = у
1/‘ = УФо(^ + г/2Фо(^)+1/3ХоМ + -- + 2 2 ykx}P^(x)+Y(x, у, х^ 6=0 /=1
(2.19)
х8 = 2 PshXhVу2ФзW+y3xsW + •••+ 2 ^.y^jP^xHхАх,у,х^ 6=16=0 /=1
(s = l, .... П)
где Y и Х8 — функции, разложение которых по степеням х, у, xlf ..., хп начинается с членов не ниже второго порядка, обращающиеся в нуль при хх = ... = хп = 0 и не содержащие переменных х1; .... хп в первой степени.
Выражения Р^ и Р^ являются голоморфными функциями одной переменной х, причем PjW и Р^ обращаются в нуль при х = 0.
Не уменьшая общности задачи, мы можем считать все функции ф3(х), фигурирующие в системе (2.19), обращающимися в нуль при х = 0. Если эти функции будут отличны от нуля при х = 0, то, полагая
х8 = Уз + 18У2
и определяя 18 из уравнений
2 Psh ^h^CsO
получим систему, аналогичную (2.19), в которой функции, играющие роль функций ф8(х), будут обращаться в нуль при х = 0.
Будем предполагать, что над системой (2.19) указанное преобразование выполнено, и все фв(х) = 0 при х = 0.
Отметим, что это преобразование не изменит коэффициентов разложения функции Ф0(х).
Преобразуем систему (2.19) к переменным £, ц согласно равенствам
X = l+ ^XjUj(x), У = У\+ 'ZXjVj^x) i=li=\
Функции и j(x) и уj(x) определим так, чтобы в преобразованной системе функции, играющие роль Р^ (х), обратились тождественно в нули. Для этого достаточно и3(х) и и3(х) определить из уравнений
2 Psj Uj = Pj№ (х) + Фо (х) у,— 2Р .(°) и8 s=l3=1■
2 PsjUj = Uj(x)— ^P^U, S=1s= 1
Отметим, что функции и /х) и и 3(х) обращаются в нуль при х = 0.
Преобразованная система примет вид
00 п/кх
?• = Л+г)202 © + ..• + 2 H^^XjL^HlHX^KX.x^
6=1 /=1
'П, = ПФо(Ю + 'П2Я’о©+”-+ 2 2 116^9/6)©+^*(^ 11, xt) (2.20) fc= 1 /= 1
П00 п/ьх
V = 2 Psh xh+ Г]2 Ф, © + •••+ 2 2 ^ XjQ^ ® +XS* (L Т], xt) 6=16=0 /=1
(s=l, n)
В этой системе функции L^ , Q(/', Q^ имеют структуру функций Р^ и Р^\ но функции L1^, Ql7 тождественно равны нулю. Функции X, У* и Xs* по структуре не отличаются от У и Xs. Функция 62(?) в первом уравнении этой системы обращается в нуль при ? = 0. Совокупности членов, не зависящих от xv ..., хп в правых частях оставшихся уравнений системы (2.20), будут теми же, что и в системе (2.19), с заменой х на ?, у на т).
Рассмотрим вначале тот случай, когда младший член в разложении функции <р0(?) по степеням ? имеет коэффициент Ьо >- 0.
Отметим, что в случае 0О — нечетного коэффициент Ьо можно считать положительным, так как замена ? на —? и т] на —т] меняет знак выражения 6о^о на обратный.
Функцию Четаева для системы уравнений (2.20) возьмем в виде
У-^ + У^,...,^)
Определяем функцию Уг из уравнения (1.9) при g0 = 1.
Производную функции У по t запишем следующим образом:
У' = Я2 + *!2 + ... + xn2 + b0T]^o+i+S(^ 11, х^
Выражение S(g, rj, xt) можно представить в виде
S(^, Т1, ЛГ^П^’+'^о^ + т]2^!^, 11, ^) + 2 ^XsXjHsj^, Т],^) +
S=1 №
п
+ т12^/^©.
в котором По(?) и Pj (£) обращаются в нуль при £ = 0, а функции Ну и Hsj обращаются в нуль при ? = ц = хт = ... = хп = 0.
Так как функция У! является определенно-отрицательной квадратичной формой переменных х^ ..., хп, то функция У может принимать положительные значения только в области ? > 0 и т] > 0 или в области ? < 0 и т] < 0.
Рассмотрим область £ > 0 и ц > 0, где У > 0. В этой области У' при Ьо > 0 является определенно-положительной. Следовательно, невозмущенное движение неустойчиво.
Предположим теперь, что коэффициент Ьо < 0 и степень 0О — четная.
Рассмотрим частный случай, считая, что в системе (2.20) функции L(/' и (?) тождественно равны нулю.
Построим вначале функцию Ляпунова для первых двух уравнений системы (2.20), если в правых частях этих уравнений положить ху = ... =хп = = 0. Определим предварительно две функции F^?, т]) и F2(?, тО, удовлетворяющие уравнениям
И + Т12 02 (Ю + -1 + [Т1ФО © +П2Фо ® + ...] = 0(2.21)
or)
И + Л2 02 © + ...]+[-П2 Фо (Ю +...] = ~т|4
д£от)
Согласно теореме Коши такое определение функций всегда возможно. Оно будет единственным при условии, что функции FT и Рг при £ = О обращаются в наперед заданные функции т]. Пусть
Л (°, Л) = Л» ^2 (°, т]) = 112(2.22)
Легко убедиться, что функция F^, т]) будет иметь вид
Л = Т| + Ф1 №. Л)
причем функция ф^, т]) не содержит линейных членов, а младший член разложения функции ф^^, 0) равен
ЕРо+1
Ро + 1.
Функция Fad;, т]) в силу второго уравнения (2.21) и условия (2.22) представится в виде
Л^+тг’Фг & П)
где ф2(£, л) обращается в нуль при £ = т] = 0.
Очевидно, что выражение
м+Ф1 ©f+^g, п)
представляет определенно-положительную функцию от £, т]. Легко обнаружить, что это выражение является функцией Ляпунова для первых двух уравнений системы (2.20), если в правых их частях положить хг = ...= = хп = 0.
Функцию Ляпунова для системы уравнений (2.20), при условии L^= = Q^ г 0, Ьо<_ 0, ро — четное, возьмем в виде
V = [Ч + Ф (6, Т|)]2 + Л2 + Ч2 Фг & 11)+ ^ Uiх^
Функцию Vj определим из уравнения (1.9) при условии g0 = —1. Тогда функция V будет определенно-положительной по отношению к переменным t 4» хъ .... хп.
Производная dVldt в силу уравнений (2.20) и (2.21) примет вид
^з^фд^)])-^ 2 £пЧ-£7)©+*(^1ь+)] +
. "6 к=2 j=\.
Ф1 (В, 11)дт)Ф1 (В, 11)дт)L] [ 2 ix^/w^. и, ^)l + _ [д=2/=1.п"L] [ 2 ix^/w^. и, ^)l + _ [д=2/=1.п"+ Т12Х SS.n^/^^ + ^^il,^) ++ Т12Х SS.n^/^^ + ^^il,^) +к=2 ]=\к=2 ]=\+ f 2ч + 2чФ2 + Ч2+ f 2ч + 2чФ2 + Ч2Wo^+S Sn^^Q/^+^^.ii,^) +Wo^+S Sn^^Q/^+^^.ii,^) +к=2 /=1к=2 /=1
Ф1 (В, 11)дт)
Ф1 (В, 11)дт)
L] [ 2 ix^/w^. и, ^)l + _ [д=2/=1.
п"
L] [ 2 ix^/w^. и, ^)l + _ [д=2/=1.
п"
+ Т12Х SS.n^/^^ + ^^il,^) +
+ Т12Х SS.n^/^^ + ^^il,^) +
к=2 ]=\
к=2 ]=\
+ f 2ч + 2чФ2 + Ч2
+ f 2ч + 2чФ2 + Ч2
Wo^+S Sn^^Q/^+^^.ii,^) +
Wo^+S Sn^^Q/^+^^.ii,^) +
к=2 /=1
к=2 /=1
ппл дт/00 Я
п
п
+217 ^©+...+2 Jif^/^h^^-
А»0 /=1А»0 /=1s=i s L
А»0 /=1
А»0 /=1
— т]4—х^—х22—...—xn2
Это выражение можно представить в форме
V' = _П4-^2-...-хп2 + 260 т]2 £₽« +1]2 ^‘ Но ® +
+ Т]2 S Xj Н}^, Т|) + 2 ^XjXs Hjs (Е, -и, xt) /=1/=15=1
где Но обращается в нуль при £ = О, Я; (£, т]) — при ^ = т] = 0 и Hjs (^ Т], Xi) — при £ = Т] = Хг == Хп = 0.
Вследствие этого функция V при условии Ьо < 0 и р0 — четное представляет постоянно-отрицательную функцию переменных £, т), хт хп. Следовательно, невозмущенное движение устойчиво.
Мы предполагали, что в правых частях системы (2.20) функции L^ и Q(P тождественно равны нулю. Если окажется, что хотя бы одна из этих функций не равна тождественно нулю, то систему (2.20) всегда можно преобразовать в новую систему, в которой функции, играющие роль функций L(j’ и Q1 \\ будут тождественно равны нулю. Для этого достаточ но положить
пп
(2.23)(2.23)I = ^1 + Л 2 Xj Aj ®,.Т] = тц + Т] Д Xj Bj ©
(2.23)
(2.23)
и определить функции А /£) и В ;(У из уравнений
(2.24)(2.24)^psA = Qj^H^Qs3m®Bs S= 1S— 1
(2.24)
(2.24)
пп
^ps]As = Bj^+ SQ.i^A, i=is=i
В результате преобразования (2.23) мы получим новую систему, в правых частях которой совокупность членов, не зависящих от х^ .... хп, останется без изменения, а функции, играющие роль функций L*1/и Q^, будут тождественно равны нулю. '
Следовательно, заключение об устойчивости, полученное в предположении L^^Q^^O, остается справедливым для любых систем (2.20).
Сформулируем полученный результат в виде следующей теоремы.
Теорема. Если в результате преобразования системы (2.3) к переменным уе согласно равенствам
*,=^+<W+WW
где и8^ и о8^ — корни уравнений (2.10) и (2.12), функция /0*(х) 'обратится тождественно в нуль, а функция ф0* (х) = Ь^» + ... имеет нечетную степень р0 или при четной степени — коэффициент Ьо > 0, то невозмущенное движение неустойчиво.
Если же при четном р0 коэффициент Ьо < 0, то — устойчиво.
§ 8. Общий случай. Предположим, что система (2.3) преобразована согласно равенствам (2.6). Будем рассматривать тот случай, когда f^x) ^ О' и as > a0.
Построение функций Ляпунова и Четаева было бы значительно проще, если бы разложение функций Xs0(x, у) начиналось с членов достаточновысокого порядка.
Покажем, что систему (2.3) при условии f^x) $ 0 и as > а0 можно- всегда преобразовать так, чтобы разложение функций, играющих роль Х60 в преобразованной системе, начиналось с членов сколь угодно высокого порядка.
Положим
х, = У,Ц-и,(х, у)
Совокупность членов, не зависящих от у8, в правых частях преобразованной системы будет иметь вид
Ге0= -У-^ Ifo (х) + Wo W + - + У1 (х, у, ыг)] +
ох оу п
-V^1p8jUj+fs(xHy4ls(xW--- + Xsl(x, у, и^(2.25)
/=1
Рассмотрим уравнения У80 = 0. Эти уравнения можно удовлетворить (рядами вида (введение, примечание к теореме {30})
иа — 2 с^х^у11* (s = lп)(2.26)
6.+6г>2
Эти ряды, как правило, будут расходящимися.
Возьмем вместо рядов (2.26) многочлены
и8 = 2^>х*«ук* (г^ + ^сЛД S = 1л)(2.27)
представляющие сумму форм до N-ro порядка включительно рядов и8.
Число N можно полагать достаточно большим.
Преобразуем систему (2.3) по формулам
х8=У8+и8(х, у)(s = lп)(2.28)
В результате получим новую систему, аналогичную системе (2.3), с той только разницей, что в правых частях п последних уравнений разложения ■функций У80 будут начинаться с членов не ниже (А + 1)-го порядка.
Отметим, что младший член разложения функции /Дх), равный аоха% • останется без изменения и неравенства а8 > а0 не нарушатся, а в случае ра < а0 младший член функции ф0(х) останется также без изменения.
Сохраняя прежние обозначения, перепишем преобразованную систему в виде
х- = у
fo to +у<Ро W+- + 2 Р^^Чх^х^у^+У^х, у, х^ (2.29)
^■ = 2^^ +2 сЧ^^'я^ч 2 fVM2) to)^-y6«+
6=1A.+A.^+iб,+б2>1
+As(x, у, Xt) (s, 1 = 1, .... п)
где P^w и р^‘^2’—линейные формы переменных хг, ..... хп, а У(х, у, х,) и Х6 (х, у, xt) — функции, обращающиеся в нуль при хх = ... = хп = 0 и не содержащие линейных членов в отношении этих переменных; cP*к^ — постоянные величины.
Если окажется, что в результате преобразования линейные формы Р<М.) для всех кх + к^ <, N обратятся тождественно в нуль, то для первых двух уравнений системы (2.29) функции Ляпунова и Четаева можно строить независимо от уравнений присоединенной системы во всех случаях, когда знак производных этих функций определяется членами не выше N-ro порядка независимо от членов более высокого порядка.
Решение задачи об устойчивости в этих случаях приводится к исследованию первых двух уравнений системы (2.29) при хг = ... = хп = 0.
Предположим, что нам удалось отыскать функцию Ляпунова для первых двух уравнений. Пусть эта функция есть V^x, У)- Функцию Ляпунова У2 для присоединенной системы, если в правых ее частях положить х = у = 0, всегда можно определить в виде квадратичной формы из уравнения (1.9) с заменой g0 на +1 или —1.
Тогда функция Ляпунова для системы (2.29) будет иметь вид
У = У1(х, у)+Vato, .... хп)
Аналогичным образом мы можем строить функции Четаева.
Докажем теперь, что любую систему вида (2.29) можно преобразовать так, чтобы все ptk«k^ (хг) для кг + кг <, N обратились тождественно в -42
нуль. Это преобразование будет обладать тем свойством, что задачи об устойчивости в переменных исходной и преобразованной систем будут эквивалентны.
Предположим, что все функции Р^М (хг), для которых ^ + ^2 = = к— 1, тождественно равны нулю. Докажем, что заменой
х = £ + 5 и^Р^^х^У*1*, у = л + 2 У1*1*11 (хг)х6* ук* (2.30)
систему (2.24) можно преобразовать так, чтобы в новой системе функции, играющие роль Р^ ^(х^, для кг + к^ = к обратились тождественно в нули.
Для этого достаточно определить линейные формы и^Р и о^М из уравнений
У (Рз. ^1 + + Рзп хп) = -№ +1) у^1- к-п + р№ (хг)
S Ох»
У —7(Л1 ^1+ -4-Psn xn)= —(^1 + 1)U^-+1^.-1) +
+ ys(*i*,) (X;) (fe^fe^fe)(2.31)
Первую группу уравнений можно реэрешить относительно ufM»), определяя последовательно линейные формы и<6.°), о(^-ы) у<о,д).
Подставляя эти формы во вторую группу уравнений, мы таким же путем определим все u<*i*«>.
Давая к значения 1, ..., N, мы после каждого преобразования будем получать новые системы, в которых функции, играющие роль функций PV6^ для кг + кг = 1, &! + &2 —2кх + k2 = N, будут обращаться тождественно в нули.
Отметим, что в результате этого преобразования совокупности членов, не зависящих от хь .... хп в правых частях системы (2.30), не изменятся.
Очевидно, что задача об устойчивости в переменных новой системы эквивалентна задаче об устойчивости в переменных системы (2.29).
Системы второго порядка. Рассмотрим систему второго порядка, выводимую из системы (2.29), если в правых частях двух первых уравнений ПОЛОЖИТЬ Xj = ... = хп = 0
х- = у, y- = f0(xHyq>0(^+y2^0(xH •••(2.32)
где fo(x) = aoxa»+ ....ф0(х) = 60х^ +..., фо(я) = сох^+...
«о >2,р0>1, Уо>°
Пусть й0 #= 0, а0 — четное число и у0 = 0. Отметим, что при четном а0 коэффициент а0 можно считать положительным, так как заменой х на —х и у на —у выражение а^» меняет знак. Функция Ляпунова для системы (2.32) будет иметь вид
V = (1 + а0 х) уе~с°х— J ф0 (х) (1 + а0 х) е-с«х dx о
Производную функции V по t, вычисленную согласно уравнениям (2.32), можно записать следующим образом:
V' = [а0 у2 + (1 + а0 х^о М + У2 (1 + «о х) (ф0 — с0) + ... ] е~с»х
Так как разность фо— со при х=0 обращается в нуль, то знак V' определяется знаком выражения floy2+«oX“0 независимо от членов более высокого порядка. Отсюда видно, что V' является знакоопределенной функцией х, у, а функции V можно приписать любой знак. Следовательно, невозмущенное движение неустойчиво.
Если функция ф0(х) обращается в нуль при х=0, то функции Ляпунова следует положить со=О.
Предложим теперь, что «о > 0 и ао — нечетное. Функцию Ляпунова при этих условиях можно взять в виде
X
V = ху— ^ хср0 (x)dx о
В силу уравнений (2.32) будем иметь
V = у2+ х/0 (х) + у2 хф0 (х) +...
Эта функция при а0 > О и а0 нечетном является определенно-положительной, а функция V может принимать значения любого знака. Следовательно, при о, > 0 и а0 нечетном невозмущенное движение неустойчиво.
Исследуем случай я0 < 0 и а0 — нечетное.
Предположим вначале, что 0О< «о> Ро— четное. Следуя Ляпунову, определим функцию F^x, у) из уравнения
"Г1+™ [Фо(^) + У-Фо(^) + ...] = О(2.33)
Lox ду
и подчиним ее условию обращения в у при х = 0. Эта функция, как мы уже видели, будет иметь вид
FAx, у) = у + Ф1(х, у)
где фт (х, 0) = —х₽«+! + ...
Ро+1
Если положим
1У + Ф1(х, у)][1 + ^^] = 6(х) + у(1+//)(2.34)
разумея под Н голоморфную функцию, уничтожающуюся при х = у = 0, то младший член функции 6(х) будет равен
t Ро+ 1
Рассмотрим теперь функцию Е2(х, у), удовлетворяющую уравнению
^ + ^ [фо (х) + уф0 (х) + •..] = 6оУ ““+₽»-2 (1 + Ж W(2.35)
и обращающуюся в нуль при х = 0.
Эта функция будет иметь вид
^2 =~г х^1 + и (х, у) а0+1
где и(х, у) не содержит членов ниже (а0 4- 2)-го порядка. Функцию Ляпунова возьмем в виде
V = (У + Ф1 (х,- у)]2 + F2 (х, у)
Производная функции V по t с учетом (2.33) и (2.35) представится следующим образом:
V = 2Л ^-f0 (х) + 60y«-+P.+i —2у (1 +Н) f0 (х) + ^-f0 (х) ддду
Правую часть этого выражения, подставляя вместо Fx dFJdy его значение из (2.34), можно преобразовать к виду
V =^ ха„+р„+1 _]_ £0 у«о+Ро+1 _]_ р (х, у)
Ро+1
где Р(х, у) — голоморфная функция х, у, разложение которой по степеням этих переменных начинается с членов не ниже (а0 + Ро + 2)-го порядка.
При 60 < 0 производная V в силу того, что «о < 0 и а0 нечетное, будет «определенно-отрицательной функцией х и у, а если Ьо > 0, то —определенно-положительной. Следовательно, невозмущенное движение при Ь0<0 .асимптотически устойчиво, а при 60 > 0 неустойчиво.
Случай нечетного 0О. При 0О нечетном коэффициент Ьо можно считать положительным, так как заменой х на —х и у на —у знак выражения ^оУ^” в системе (2.32) меняется на обратный.
Преобразуем систему (2.32), положив
y = yi + /h Х0-+1 + ...
В результате будем иметь
х- = у1+/11хР-+1 4-..., yl = f (х) + У1ф(х)4-У12г|)(х)+...(2.36)
где
fM = f0(x) —[(0О + 1)/1!хР»+ ...] Ок хР«+> Ч-.-О + ^хРо+Ч-.-Ох
Хфо(х)+(А1ХРо+1 +...)8фо(*) + —(2.37)
Ф (х) = фо (х) — [(ро +1) hx хРо + ...)] + (2АХ хР°+> + ...) ф0 (х) +...
Определим коэффициенты Н^ h^hp0 + p так, чтобы разложение f(x) «не содержало членов ниже (20о + р)"г0 порядка. Будем считать, что р> 3.
Коэффициент hi в случае а0 > 20о + 1 будет равен hx = 6о/(Ро + 0» ■а при а0 = 2р0 + 1 коэффициент hx определится из уравнения
(Ро+ l)^i2 bghy ao = O
Это уравнение при условии Ь02 + 4ао(Ро + 1) > 0 и при Ьо > 0 будет иметь по крайней мере один положительный корень. Следовательно, в обоих -случаях коэффициент Ну можно считать положительным.
Отметим, что степень младшего члена разложения функции ф(х) не ниже -степени младшего члена функции ф0(х), т. е. 0 >0О.
Для решения вопроса об устойчивости возьмем функцию Четаева в виде
у = х2 + у12
Покажем, что в области D, где
ц2х2<Р-+1) — у^>0,х>0(ц<й1)
произведение VV при достаточно малом х положительно и обращается в нуль только при х = 0. Дифференцируя V по I, будем иметь
V' = 2х(у! +hiХР-+1 + ...) + 2yt [f (х) + у! ф (х) + ...]
Отсюда видно, что в области D знак V при достаточно малом х определяет- -ся одним членом 2/г1хР°+2. Следовательно, в области D произведение VV’ "> 0 «и равно нулю только при х = 0.
Внутри области D возьмем функцию
П7=х2<Ро+2) — у2
Покажем, что при № = О функция W сохраняет постоянный знак. Дифференцируя W по t, будем иметь
Г' = 2 (р0 + 2) х20"+3 (^ + h^^2у. [f (х) + Л Ф (х) + у? ф (х) +...]
Знак этого выражения при условии
Г = х2<Р«+2) —у21 = 0
определяется или членом
2ф0 + 2) /^х3^4
в случае 0 > 0О, или знаком разности двух членов
гфо + а)^^3^—260x3s»+4
если 0 = 0О. В последнем случае знак W' при W = 0 определится знаком выражения
Д = 2[(0О + 2)А1-М
Следовательно, W' при W = 0 сохраняет постоянный знак. Таким образом, функции V и W удовлетворяют теореме Четаева о неустойчивости.
Если окажется, что А = 0, то функцию W можно взять в виде
W = X2(So+3)_y2i-
Тогда соответствующее для А выражение будет иметь вид
Д = 2[(0о+3)А1-6о]#=О
Сформулируем результаты, полученные в § 9 и 10, следующей теоремой. Теорема. Если система (2.3) такова, что преобразование к переменным
^s = l/s + us(x) + yvs(x)
где us(x) и us(x) — корни уравнений (2.10) и (2.12), определяет функции /0*(х) и ф0*(х) с младшими членами разложения йох“», Ь^» и при этом а0 > 0, то невозмущенное движение неустойчиво, если же а0 < 0, 0О < ао» 0О — четное, а0 — нечетное, то в случае 60 < 0 невозмущенное движение асимптотически устойчиво, а при 60 > 0 — неустойчиво.
Если же 0О — нечетное и 0О < (а0 — 1)/2, то невозмущенное движение неустойчиво при любых а0, а0> Ьо. В случае 0О нечетного и равного (а0 — 1)/2 движение также неустойчиво, если 602 + 4йо(0о + 1)^0.
Случай ао<^20о4-1, а0—нечетное. Все случаи, которые нам осталось рассмотреть, относятся к предположению а0 С 20о + 1, а0 < О и а0— нечетное число.'
Если а0 = 20о + 1, то число 60 удовлетворяет условию
Ьо +4 (0о + 1) «о < 0
Полагая а0 = 2« — 1 (л >• 2), будем иметь 0О > п — 1.
Для исследования задачи об устойчивости в указанных случаях, Ляпунов вводит в рассмотрение специальные функции Cs 6 и Sn 0, удовлетворяющие соотношениям
Cs2" 0 + Sn2 0= 1, d Cs 0/d0 = — Sn 6, d Sn 0/d0 = Cs2"->0 и условиям Cs 0 = 1, Sn 0 = 0.
Эти функции при п = 1 обращаются в обычные sin 0 и cos 0, а при п = 2 в эллиптические функции.
Покажем, что эту задачу можно решить и не прибегая к специальным функциям Cs 0, Sn 0, используя лишь обычные sin 0 и cos 0.
46
Не уменьшая общности задачи, мы можем отрицательный коэффициент а0 принять за —1. Для этого в системе (2.32) достаточно заменить
х = (— а0) 2<"-1)^i, У = ( —«о) 2<"-1,У1
Допустим поэтому, что в системе (2.32) а0 = —1.
Преобразуем эту систему к переменным гиб
x = rcos0,у =—r"sin0(2.38)
будем иметь
fcos0— r0-sin0 = —r"sin0
—nrn~x г-sin0—rn О'cos 0 = r2"-1 (—cos2"-1 0 +
4-гй! cos2"0+ ...)—/-"+0° (60 cosP« 0 sin 0 + ...)+ ...
Отсюда после очевидных преобразований получим
f (cos2 0 +«sin20) = —rn (sin 0 cos 0—cos2"-1 0 sin 0)4+... 4-r0°+16ocos₽«0sin20+ ...
0* (cos2 0 + nsin2 0) = r"-1 (n sin2 0 4-cos2" 0)4+ ... +fP« 60 COS0«+* 0 sin 0 4-...
Эту систему можно записать в виде
r^cos20+nsin20) = r"/?o(0)+r"+1 /?!(©) + ...
0' (cos2 0 4-n sin2 0) = г"-1 Fo(0) + НFT (0) +...'
В случае Ро > п — 1 будем иметь
Ro (0) = —sin 0 cos 0 4-cos2"-1 0 sin0
Fo (0) = n sin2 0 + cos2" 0
Если же Po = n — 1, to
Ro (6)= —sin 0 cos 0+cos2"-1 0sin0 + &ocos"-> 0sin20
Fo (0) = n sin2 0 4-cos2" 0 4- b0 cos" 0 sin0
При замене функций Cs 0 и Sn 0 на обычные sin 0 и cos 0 выражение Fo так же, как и при введении специальных функций, не обращается в нуль ни при одном вещественном значении 0 как в случае р0 > п — 1, так и в ■ случае ро = п — 1. Для случая р0 > п — 1 это свойство Fo (0) очевидно. В случае р0 = п — 1 эту функцию можно представить в виде
Fo (9) = ■4—~6° - sin2 0 + (cos" 0 -f--^— sin 0 V 4\2/
из которого следует, что в интересующем нас случае (4п — 602 > 0) Функция Fo(6) не обращается в нуль ни при одном вещественном значении 0. Следовательно, роль t может играть переменная 0. Исключая dt из системы (2.39), будем иметь
^ =г/?1(0)+г2/?2(0) + „.(2.40)
где /?1(0), /?г(0)> ••• —дроби, числителями которых являются многочлены, от cos 0 и sin 0, а знаменатели — выражения, представляющие различные
■степени Го(0). Вопрос об устойчивости для уравнения типа (2.40) нами рассмотрен в § 2 главы I. Согласно результатам, полученным в этой главе, он решается следующим образом.
Уравнение (2.40) преобразуется к новой переменной р по формуле
г = ре“<9>
Функция и (6) определяется из уравнения
du п
где
г 1 2я
gi = ^\Rid6-
0
При этом значении gt функция и(0) будет периодической.
Для новой переменной р получаем уравнение
^ = gi Р + Р2 Р2 (6) + Р8Рз (О) + -.(2.41)
Если окажется, что gx < 0, то невозмущенное движение будет асимптотически устойчивым. Если же gY > 0, то — неустойчивым.
В случае gy = 0, полагаем
p = c + c2u2(0)+c3u8(6) + ...(2.42)
Подставляя значение р в (2.41) и отождествляя коэффициенты при одинаковых степенях с, будем иметь
иа- = Р2,и3- = Р3 + 2и3Р3,...
Определим последовательно функции и2, из> ■•• Первая непериодическая функция uh, определяемая из этих уравнений, будет иметь вид
uh = gk 0 + пе риодическая функци я
Тогда при gh < 0 невозмущенное движение асимптотически устойчиво, ■а при gh > 0 — неустойчиво.
Может оказаться, что все gh (k =1, .... N) обратятся в нули. Это будет указывать на то, что задача об устойчивости членами М-го порядка правой части уравнения (2.41) не решается и дальнейшее вычисление функций ик не имеет смысла.
В этом случае необходимо в системе уравнений (2.27) вместо числа N взять число NT > N, получить уравнение, аналогичное уравнению (2.41), и продолжить вычисление функций Uk до к = Nv Если в числе новых функ- дий uh (N < к «С N^ будет непериодическая, то вопрос об устойчивости решается знаком соответствующего gh.
Может оказаться, что как бы велико число Л\ мы ни брали, функции ик все будут периодическими. Этот случай, так же как случаи fQ(x') = <р0(х) s 0 и fo(x)=O, <ро(х)фО, является существенно особенным.
Если предположить, что ряды (2.26), определяющие функции ив(х, у), будут сходящимися, то в результате преобразования по формулам (2.28) в присоединенной системе уравнений (2.29) правые части будут обращаться в нуль, когда хг = ... = хп = 0. Следовательно, система (2.29) будет иметь частное решение
x = rcos0, у =—rnsin0, Х! = ... = хп = 0
где г = ре“, р определяется абсолютно-сходящимся рядом (2.42), а и — периодическая функция.
48
В этом случае система (2.3) будет иметь периодическое решение
x = rcos6, у =—г"sinO, х8 — и8(х, у')
Однако ряды, представляющие функции и8(х, у), как правило, являются расходящимися. Установление того, будут ли они сходящимися в случае и8 периодических, представляют задачу весьма трудную.
Общие выводы. Покажем теперь, как следует решать задачу об устойчивости движения, когда определяющее уравнение, соответствующее системе дифференциальных уравнений возмущенного движения, имеет два нулевых корня с одной группой решений.
Возьмем систему дифференциальных уравнений возмущенного движения в следующей форме:
У$" = 9si tii+Qsa Уа + ••• + у$п+2 Уп+2 + ^8 (Ун •••. Уп+г)
(s — 1п + 2)(2.43)
Определяющее уравнение этой системы можно представить в виде алгебраического уравнения (ц + 2)-й степени
xn+2 + Brt+1 х"+* +Впхп + ... + В1х + Во = О
Если окажется, что Во = Вг = 0, а В2 += 0, то определяющее уравнение будет иметь два нулевых корня. Если при этом хотя бы один из миноров первого порядка определителя линейной части системы (2.43) при х = 0 не обратится в нуль, то этому двойному нулевому корню будет отвечать одна группа решений. Будем далее предполагать, что уравнение
xn+Bn+lx"-1 +...+В3х + В2 = 0
имеет корни с отрицательными вещественными частями. Это свойство корней можно обнаружить непосредственно по коэффициентам Bh, не решая самого уравнения. Для этого достаточно воспользоваться критерием Гурвица или критерием Рауса, или любым другим критерием.
Если определяющее уравнение обладает указанными свойствами, то система уравнений (2.43) преобразуется к виду (2.2). Это преобразование проще всего осуществляется следующим образом. Возьмем две линейные формы с постоянными коэффициентами от переменных уь ..., уп+г:
х= Л1У1 + Л2 у2 + ••■+ Лп_|_2 Уп+2> У = Вг уг +В2 у2+ ... +Вп^-2 Уп+2
(2.44)
Определим коэффициенты А8 и Ве так, чтобы два из уравнений системы
приняли вид
х- = у + Х(у! уп+2), У = К(у1 у„+2)(2.45)
где X и Y — голоморфные функции в окрестности начала координат, разложения которых по степеням yv..., у п+2 не содержат членов ниже второго порядка. Для этого необходимо, чтобы коэффициенты Л,иВ| удов летворяли тождествам
п —|—2
5 A (Qsl У1 + ?з2 У» + ••• +?S, п+2 Уп+а) = В1 У1+ В2 у2 + ••• +Вп+2 Уп+2
S=i 1
п4-2
S Ss (^gi У1 + qS2 У2 + • • • +?$, п+2 Уп+г) = О
S= 1
4 ГВ Каменков, т. II49
Эти два тождества приводят к (2п + 4) однородным уравнениям
71s Л+ 72s А + ••• +^n+2.s Ai+2 =В8
QisBi + Qas В4 +...+qn+2, s Вп+2 = 0 (s=ln + 2)(2.46)
Полученные линейные однородные уравнения разрешимы относительно неизвестных коэффициентов 4, и Ве. Причем два из них могут иметь произвольные численные значения.
Предположим, что система (2.44) при найденных значениях 4, и В, разрешена относительно переменных уп+\ и уп+2- Тогда, заменяя в системе (2.45) и в п первых уравнениях системы (2.43) переменные уп+\ и у п + 2 из
на переменные х, у, ух, ..., уп, получим новую систему уравнений вида
х- = у + Х(х, у, уг,..., у^, y = Y(x, у, угу^
У8* = Р81У1 + - + РвпУп+Р8х+у8у+¥в(х, у, уху^ (s = l, ...,п)
Определяющее уравнение присоединенной системы D^ = 0 имеет корни только с отрицательными вещественными частями.
Полагая xs = у8 + Csx + Dsy (s = 1, ..., п) и определяя коэффициенты С8 и Ds из уравнений
Psl^l+PsS С2 + ...+р8пСп = р8
PsiDi +PS2D2 ++ PsnDn = q8 + Cs (s = 1n)
разрешимых относительно C8 и Ds, так как определитель Е>(0)#=0, заменяя у на Ух, получим систему уравнений вида (2.2). Эта система преобразованием переменной Ух к переменной у согласно уравнению
У = Ух+Х(х, ух, Хххп)
приводится к виду (2.3).
Если окажется, что все числа а8, определяющие степени младших членов разложения функций f8(x), будут больше или равняться а0 — показателю степени младшего члена разложения функции ^(х) и если при этом а0 — коэффициент младшего члена f^x) будет величиной положительной, то невозмущенное движение неустойчиво независимо от числа а0. Если окажется, что Оо < 0, но число а0 — четное, то движение будет также неустойчиво. Случай а0 < 0 и а0 — нечетное может быть разрешен без дополнительных преобразований лишь тогда, когда числа р8, определяющие степени младших членов разложения функций <ps(x), будут больше или равняться ро — показателю степени младшего члена разложения функции <р0(х) и р0 < а0. Если ро — четное, вопрос об устойчивости будет решаться знаком коэффициента младшего члена разложения <р0(х). При Ьо > О будем иметь неустойчивость, при Ьо < 0 — асимптотическую устойчивость. В случае р0 — нечетного и р0< (а0 — 1)/2 невозмущенное движение неустойчиво. Движение будет неустойчиво и в том случае, когда 0О = = (а0 — 1)/2, если V + 40о(Ро + 1) > 0.
Если уравнения (2.3) этим условиям не удовлетворяют, то их необходимо преобразовать к новым переменным. В том случае, когда хотя бы одно из чисел а8 будет меньше а0, то вначале следует вместо преобразования (2.6) рассмотреть преобразование
" *« = & + «»(*) (s = 1n)(2.47)
где u^ — корни уравнений
p,i^i + ... + p8nx„+fs(x)+Xs(x, 0, xlr...,*„) = 0 (s=iп) 50
В результате этого преобразования мы получим новую систему, аналогичную системе (2.3), но в которой все f3(x) = 0. При этом числа а0, р0, ps могут изменить свои значения. Может, в частности, оказаться, что Ш = 0.
Если число а0 в новой системе будет четным или при нечетном а0 число с0 > 0 и если при этом 0, >- р0, то невозмущенное движение неустойчиво.
В случае а0 нечетного и я0 < 0, а также в случае /0М = 0 систему уравнений (2.3) необходимо преобразовать по формулам (2.6). При решении уравнений (2.10) и (2.12) нет необходимости в точном определении функций и3(х) и us(x). В рядах, определяющих эти функции, необходимо вычислить те первые члены, которые определяют младшие члены разложения функций ^(х) и ф0(х), если последние не обращаются тождественно в нули. Вопрос об устойчивости будет решаться числами й0, ао, ^о и Ро согласно теореме § 10.
Лишь только в двух случаях, когда 1) р0 > (а0 — 1)/2 или ф0(х) = 0, 2) Ро = («о — 1)/2 и 602 + 4fio(Po + 1) < 0 и при этом а0 < 0, а0 — нечетное, младшие члены разложения функций f0W и ф0(х) вопроса об устойчивости не решают. Только в этих двух случаях систему уравнений (2.3) необходимо преобразовать по формулам (2.28). Для решения задачи в первых двух уравнениях преобразованной системы полагаем хг = ... = хп = О и рассматриваем систему второго порядка (2.32). Эту систему преобразуем к переменным г, 6 согласно (2.38). Получаем уравнение (2.40).
Вопрос об устойчивости в этих случаях будет решаться знаком
о
Если ^i < 0 — движение асимптотически устойчиво, если ^ > 0 — неустойчиво.
В случае ^ = 0 рассматриваем уравнение (2.41). Полагая
р = с + с2и2 (e)+c3u3(0) + ...
находим первую непериодическую функцию uh(6) и постоянную gh. При gh < 0 будем иметь асимптотическую устойчивость, при gh > 0 — неустойчивость, если только & ^ N. Если все «ь, как бы велико & ни было, будут получаться периодическими, вопрос об устойчивости остается открытым. Этот случай относится к существенно особенным.
В двух других существенно особенных случаях, характеризуемых тождествами 1) Цх) = ф0(х) = 0 и 2) f^x) = 0, ф0(х) ф 0, задача об устойчивости разрешается. В первом случае движение неустойчиво, во втором — движение может быть устойчиво, когда младший член разложения функции Фо(х) имеет четную степень и отрицательный коэффициент.
§ 13. Примеры. В качестве примеров рассмотрим системы дифференциальных уравнений, аналогичные тем, которые приводит Ляпунов в своих исследованиях для систем второго порядка.
Пример 1. Пусть предложенная система имеет вид
х- = у, y = B20xi+B11xy + B02ys+x1(ax + by')^ ^
хг-= — Х1 + М20 x84-Mnxy4-M02ya+x1(cx+dy)
где Ви, Мц, a, b, с, d — некоторые постоянные.
Для этой системы будем иметь:
fo(x) = B2Ox2, ф0(х)=Вих, fi(x) = A420x2, Ф1W = А4Ц х
Следовательно, если Вю =# 0, то на основании теоремы §10 можно утверждать, что невозмущенное движение неустойчиво, так как а0 = 2 — число четное.
Если же В20 = 0, то систему уравнений (2.48) необходимо преобразовать согласно (2.47). Для этого в правой части третьего уравнения полагаем у = 0 и полученное выражение приравниваем нулю
—хх 4-Л420х2+ ххсх = О
Решая это уравнение относительно хх = и(х), получим
и (х) = М20 ха + М20 сх8 + М20 с8 х4 +...
Производя замену хг = г + ы, будем иметь
х- = у,у- = {й(х) + ууа(х) + ... + г(ах + Ьу)(2.49)
?•=—г+уф^хН- + z(cx + di/) где
fo (х) = М20 а (х3 +сх4 +...)
Фо М = 5ц х + Mlo b (х2 + сх3 +...)
fito = О» Ф1 to = (^и — 2Л48о)х+М20(d—Зс)х2-|-•••
Если М20а > 0, то невозмущенное движение неустойчиво.
Движение будет так же неустойчиво и при М20 а < О, если предположить, что Ви2 + 8Л420а > 0 (теорема § 10).
Если окажется, что Л420а = 0, то /0(х) = 0. Это может иметь место или когда М20 = 0, или а = 0. В этом случае систему (2.49) необходимо преобразовать к переменной zv положив г = zx 4- уо(х).
Предположим вначале, что М20 = 0, а а 4= 0. В этом случае функцию и(х) определим так, чтобы в преобразованной системе не только /0(х) а 0, но и ср^х) = 0. Для этого необходимо удовлетворить уравнение
о(1 +Ви х—сх) —Л4цх+ао2х = 0
Решая это уравнение, получим
v = Mu х—Ми (Вп—с) х2 + Ми ЦВи—с)2—аМхх] х3+...
Преобразованная система примет вид
х- = у, у* = Ви ху+В02 у8+{гх+у [Мп х—Ми (Вп—с) х2 +...]} (ах + by)
(2.50)
Zi1 = — zx + Фх (х) у8 +... + zx (сх + dy)—zx v (х) (ах + by)
Следовательно,
fo to Е °.Фо = 5цх + аМхх х8—аМхх (Вхх—с) х3 +...
fi to = 0, Ф1М = О
Имея в виду теорему § 7, мы можем утверждать, что при Вхх ^= 0 невозмущенное движение неустойчиво, так как р0 = 1- Если Вхх = 0, но аМхх 4= 0, то на основании той же теоремы заключаем, что при аМхх > 0 невозмущенное движение неустойчиво, а при аМхх < 0 — устойчиво, так как Ро четное число, а 60 = аМхх < 0.
В случае аМхх = 0 будем иметь
1о(х) = <9<Лх) = О, ^(х) = фт(х) = 0
На основании теоремы § 6 заключаем о неустойчивости движения.
Мы рассмотрели случай, когда при В^ = 0 имеет место равенство Mtoa = 0. Причем мы полагали Л420 = 0, а 4= 0.
52
Рассмотрим теперь случай М20 =^ 0, а = 0. Система уравнений (2.49) при этом условии примет вид
X- = у,У = Впху + Во2Уа + (г + Мао х2 + М20 сх3 +...) by
z- = — г—М20 (2х + Зсх2 +. • •) У + Мп ху + М02 у2+
Ч-(г -|-Л420х2+ Л42осх3 +...)dy -\-czx(2.51)
Следовательно,
f0 (х) = 0,ф0 (х) = Впх + ЬМм х2 + 6М20 сх3 +...
fi (х) = О,Ф1 (х) = (Mu—2М20) х +...
В этом случае будем иметь: при Ви Ц= 0 — неустойчивое движение; при Ви = 0 и ЬМм < О — устойчивое движение, а при Вц = 0 и ЬМао > 0 — неустойчивое.
При Ви = 0 ЬМм = 0 в обоих случаях, т. е. при b = О М20 =/= О или при b =р О Л420 = 0, будем иметь неустойчивое движение.
Пример 2.
Пусть предложенная система имеет вид
х-=ух+ ^*20 х2+л;, хуг+л;^2
УГ = 5*0х2+ B\vxy1-(-B*o2y12+x1(ax + byO^
х/ = — хт + vW* 0 х2 + ДО}, ху^ + М*02 Ут2 + хг (сх + dy^
В отношении системы уравнений
х* = Ух + л*0 X2 + Л* 1 ХУх + Л* 2 Ут2
У1 = 5*20 ^ + 5;! хуг +в*о2 У?
Ляпунов приходит к заключению, что каковы бы ни были числа Л^. и В%, невозмущенное движение неустойчиво. В отношении системы (2.52) это утверждение в общем случае будет несправедливо.
Для решения задачи об устойчивости в этом случае мы должны поступить следующим образом.
Преобразуем вначале систему уравнений (2.52), положив
У =.У1 + -^20 ^"b^l 1 ХУ1 + ^02 У^
Откуда будем иметь
Ух = У—Ао х2—Ли ху—Л02 у2 + Л30 х3 +... где
■^20 = -^20>^11 = ^1Р■^02=-^02’^30= ^11 ^20, •••
Преобразованные уравнения примут вид
X- = у,у ‘ = В20 X2+Ви ху + В02 у2+Bso X3 +... + Xt (ax + by +. • •)
X; = — Хг + м2о X2+Миху+А402у2 + М30х3 +... + хг(сх +dy + „.) (2.53)
Коэффициенты разложения правых частей двух последних уравнений определятся через коэффициенты B*£i, M*tp .... Лг/, a, b, с, d. При этом
В2о = В*о, Вп = В*Н+2Л20,B02 = B*2+Ai
В30=Л20 Bu + ЛцВ^,....М2о = М20, Ми = МХ1
^02 = ^02*»^30 = ^11^20» ••■
Выражения функций /0(х) и ф0(х) в системе уравнений (2.52) примут следующий вид:
/о (х) = В20 х2 + В30 Xs +....Фо W = Ви х +...
^(х) = М20х24-Л1з0х3 + ...,ф1(х) = Л411х + ...
Так как а0 = 2 — число четное, то при В20 =/= 0 согласно теореме § 10 невозмущенное движение неустойчиво.
Предположим, что В20 = 0, а В30 = —Л20Ви =/= 0. Систему уравнений (2.53) необходимо преобразовать, положив
х1 = г+и1 (х)
определяя иг(х) из уравнения
—ut+Mto x2+MS0 x3 + Ui (ex+ ...) = 0
получим
«1 (х) = Л420 х2 + (Л430 + М20 с) х3 -|-...
Подставляя значение и^х) в правую часть второго уравнения системы (2.53) и располагая результат подстановки по степеням у, получим
/о W = (М^а — А^ Bu) х3+ ...,ф0 (х) = Ви х +...
fiW^O, Ф1(х) = Мих + ...
Если окажется, что а0 = (М20а — Л20Вц) >• 0, то согласно теореме § 10 невозмущенное движение неустойчиво.
При Оо < 0 вопрос об устойчивости будет решаться числами а0, Ьо, а0, ро. При различных значениях Л г/, Вц, Мц, a, b, с, d мы можем встретиться с одним из случаев, предусмотренных изложенными выше теоремами. Пример 3.
Рассмотрим систему уравнений
х* = у, у = ЛтОхт + Лт_1, iX"1-1 y-V ... + Аотут -Vxt^ax + by)
хг= — xI + BnOx° + Bn-i, Ixn-ly+...+BOnyn + x1 (cx+dy)
(п>2, т>2)(2.54)
В случае п ^ т вопрос об устойчивости решается членом AmQxm. Если т — четное или при нечетном т Лто > 0, то движение неустойчиво. Если же при т нечетном Ато <0 и Am„i,i < 0, то движение асимптотически устойчиво. В случае m нечетного Лт0 < 0, Am_i,i >0 —движение неустойчиво (теорема § 10).
Если же Лто = 0, то в системе (2.54) необходимо переменную хг заменить на новую переменную г по формуле
xr = z + u(x)(2.55)
разумея под и(х) корень уравнения
—Xt + B^хп + сх1х- 0
в отношении Хц т. е.
и(х) = ВпОх"+сВпОх'г+1 +с2Вп0х"+2 + ...(2.56)
В результате замены получим новую систему
х" = у
у = аВпОхп+1 +асВп0х"+2 + ... + Лт_и xm~v y + ... + z(ax + by) (2.57)
z*= — z + (Bn_!, i— nB^x"-1 y-j-.:+BOnyn + 2(cx + dy)
Для этой системы имеем
fo (х) = аВпОх"+1 + асВп0 х"+2 +..., <р0 W = 4»-i. i xm~l + ...
к (x) = 0, фт (x) = (B„_L i —nBn0) x"-1 +...
Следовательно, a0 = aBn0, a0 = га + 1, 60 = Лт-и, p0 = m — 1, «1 = 0, bx = (Bn-i,i — nBn0\
Поэтому, если n — нечетное или при четном п, произведение аВ по">0, то невозмущенное движение неустойчиво. Если при четном п это произведение меньше нуля, то при ₽0 четном и Лт_1,1 < 0 невозмущенное движение асимптотически устойчиво, а при р0 четном и Дщ-м > 0 — неустойчиво (теорема § 10).
Если аВп0 = 0, будем иметь
foW = °.ф0(х) = Лт_1,1 х"1-1 + „.,11^ = 0
ф1'(х) = (Вп_,, 1— пВ^х"-* + „.
Следовательно, при m четном или при нечетном т и Лщ-и > 0 невозмущенное движение неустойчиво, а при т нечетном и при Лщ-и -< 0 — устойчиво (теорема § 7).
Если Лт-и = 0, то необходимо рассмотреть члены более высокого порядка.
Мы рассмотрели случай т.
Если п< т, то в системе (2.54) необходимо переменную хх заменить на новую переменную г по формуле
X1 = 2+u(x)+yt> (х)
где и(х) определяется выражением (2.56), а функция и(х) находится из уравнения
— u + Bn-и х"-1 +ud4- vex — ——v(Am_! i xm-1 + ub + vax") =0 dx’
и равна
v(x) = (B„_i, i— nBn0)x"-4-...,
В результате такой замены мы получим новую систему
х* = у
У = аВп0 х^1 +... + Лт0 хт + ... + Лот Ут + У {iflBa^ а-апВп0-^-
+ ЬВп0)хп+ ...] + ...+z(ax + by)(2.58)
г-= —2—[(Вп_1а—/2Вп0)х"-1 +...][Лт0 хт + аВп0 хп+‘ + ...] +
+ • • • + z (ex + dy)
Для этой системы
а0 = аВп0, a0 = n + 1, Ьо = аВп_хл — апВ^ + ЬВп0, ро = «•
Следовательно, при п нечетном или при п четном и аВп0 > 0 невозму - щенное движение неустойчиво. Если при п четном аВп0 <. 0, то движение неустойчиво, когда Ьо > 0, и асимптотически устойчиво, когда 60< 0 (теорема §10).•
При аВп0 = 0 вопрос об устойчивости будет решаться членами более высокого порядка.
ГЛАВА III
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ
ОБЩЕЙ ЗАДАЧИ
УСТОЙЧИВОСТИ В КРИТИЧЕСКИХ СЛУЧАЯХ
§ 14. Теорема о сведении для установившегося движения. Предположим, что мы имеем систему уравнений
^ = 2 «зь^+^з(^1Х^(n=m + 2q + p, s=lл)(3.1)
где Х8 не содержат членов ниже второго порядка, ash — постоянные величины.
Пусть определяющее уравнение этой системы имеет т нулевых, q пар чисто мнимых и р корней с отрицательными вещественными частями. Линейной подстановкой с постоянными действительными коэффициентами эту систему всегда можно преобразовать к виду
У,= ^ЯзкУк+Уз^Ъ-’Упй 21Zp)
*='(3.2)
z‘j = ^PilZl + ZjtoiУпй Z1, .... Zp^ (s=l,...,n1; n1 = m+2q; j=lp> где уs — критические переменные, z3 — переменные присоединенной системы.
Представим
Z; = Z/<»(1/1,|..., Уп^ + Х^ЧУъ .... Упй ^...^(/ = 1р)
Функции Z^ обращаются в нуль при zx = ... = zp = О, а
к>г
Докажем, что систему уравнений (3.2) можно преобразовать в новую систему, в которой функции, играющие роль функций Z(/\ не будут содержать членов ниже (А-Н1)-го порядка. Число N можно считать сколь угодно большим.
Положим
= ^)-¥иЧУ1 Уп^ (j=l, ... , р, n1 = m + 2q)(3.3)
и определим функции и; из уравнений
V 9ui
Z ^?Vq.i У1 + --Нзп1Уп1 + У!ЛУ1 Упй «1 «р)]=
s=i(3.4)
р
= l^PnUl+Zj(yiУп;,ихUp) (/=1 р;n1 = m + 2q)
Эти уравнения определят U; в виде степенных рядов в отношении уг, ... Ут+гя» которые, как правило, будут ^расходящимися. Обозначим сумму форм этих рядов до N-то порядка включительно через v^ (у^ .... Ущ) и преобразуем систему (3.2) к переменным ^, ..., £р, положив
2; = ^ + УДУ1, ••• . Ут+2д) U=^ Р)
В результате преобразования система (3.2) примет вид
Уз* = 2 Чзк Ук"Ь^з^ЧУ1» ••• » У»1)+Уз(У1> ••• • Упй 21» ••• , £р) 6=1
р(3.5)
^;= 2 ря^+^/^’Чуь, Уп)+^о(уь••• • Упй ^ъ^р)
i=i
(S=l 1Н), U=^----» p). (”i = m + 2?)
Функции Z^^ не содержат членов ниже (N+l)-ro порядка, а функции У, и Z,o обращаются в нуль при ^ = ... = £р = 0.
Это преобразование подобно преобразованию, которым пользовался Ляпунов при исследовании особенных случаев, изложенных в главе I.
Представим У8 и Z ;0 в виде
^ = 2Рз*уЛ ... Уп?+Уз1. z^sq/w* ... y^+Zn
(s = l,..., nlt /=1 p,n1= m + 2q).(3.6)
где знак * означает индекс (&ъ .... &П1), функции Уа1 и Z д не содержат линейных членов в отношении ^£р и обращаются в нуль при ^ = ... = = £р = 0; функции Р8* nQj* представляют линейные формы от ^, ..., £р.
Предположим, что в системе (3.5) все q8h и р ^ равны нулю, за исключением
У11 = vb , yntni — ^nt, У21 = °Ь • • • »Уп1 П!—1 = Ofix—l
Р11 = Х1, ... , Ррр = Хр, Р21=6ь ... , Ppp—1 =6р—1
где va— нулевые и чисто мнимые корни, а х; имеют отрицательные вещественные части.
К такому виду систему (3.5) всегда можно преобразовать с помощью линейных подстановок.
Преобразуем теперь систему (3.5), положив £к
Уз = Пз +2 и*ух^... уп?(3.8)
где и* — линейные формы от ^, ..., £р.
Эти формы определим из уравнений
5 "^"(^^ $/—1 £/—*) = l^i vi+...+(^s—1) v3 +... +&п^П11 u3*+
/=1 1
+ as_] И*_, -(^2 + l)aiu^-x-w -
- ^ +1) a„,_i и8^ ‘Ч+1) + р* + F*
($=1 «1,^+... + ^ = 6, 1 <6<Л)(3.9)
где F^iкп1"), (^ 4- ... +&П1 = 6)— известные линейные формы ^,..., £р, коэффициентами которых являются коэффициенты разложений функций
Узь zn и тех форм и8^кП1\ у которых ^ + ... + кП1 < 6 — 1.
Для 6 = 1 все Fs* = 0.
Предположим, что все формы us* для ^ 4- ... + ^„, < б — 1 уже определены. Тогда и8* для &л + ... + А, =6 отыскиваются в следующем порядке. Определяем ^О'0--'0'6) из уравнения (3.9), в котором все члены с множителем а3 равны нулю. Представим и^'0---06^ виде
Ы1(О-.б) = аи(о-б)^ + ... + а1р(о-б)^ a
Л(° ... 6) +Л(0 ... 6) = ₽11(0 ... 6) ^ +... +р1р(0 ... 6) ^
Подставляя последние выражения в систему (3.9) при a j = 0, получим систему линейных алгебраических уравнений для определения всех коэффициентов a(i/,,,6>- Далее найдем функцию „(О’0---1^-!), g правую часть уравнения, определяющего эту функцию, кроме p^-.-’-e-D и ^(o.-.i.s-i) войдет уже найденный член (6 — 1) on,-i «<s0‘"0’6). Аналогичным образом определятся и все остальные функции и*.
Формы us*(£i£р) могут иметь комплексные коэффициенты, которые могут появиться в результате линейного преобразования, связанного с обращением в нуль коэффициентов q8h и pjt. Сделаем обратное преобразование. Тогда для выражений us*t/*‘ •••УпП1 получим вещественные значения, а система (3.5) примет вид
П1ОО
7]П1)+2p*4U...,Ул?-...
6=1*,+...+*n,=W4-1
...Лп/П* +^8(ль..., л<, £1,.... у
(3.10)
(s = l,..., nv, j=l,..., р; ni=m + 2q)
где Н8 и Еj обращаются в нуль при ^ = ... = £р = 0 и не содержат линейных членов от этих переменных.
Отметим, что преобразование (3.8) не изменяет члены, не зависящие от переменных £ь .... у Эти члены полностью определяются в результате преобразования (3.3). Следовательно, функции У8(0>(Ль •••> лУ не содержат членов ниже второго порядка, a Z^1»- ниже (N + 1)-го порядка.
Система (3.10) такова, что для нее мы можем строить функции Ляпунова и Четаева отдельно для первой группы уравнений, которую можно взять в виде
n,N
л; = 5^Лб + 5 а^-^-’л?»... лп,6"-(З.н)
6=16,+...+6Л|>2
(8 = 1,..., П^ и для второй, сохранив в ней лишь линейные члены
^—^Рн^г0=1Р)(3.12)
Такое построение всегда возможно, если знак производных от функций Ляпунова и Четаева, соответствующих первой группе уравнений, определяется формами не выше N-ro порядка, входящих в их правую часть, независимо от форм более высокого порядка. '
Пусть Уг (т]1, ..., т]П1) — определенно-положительная функция Ляпунова, отвечающая системе уравнений (3.11), и производная ее по t— определенно-отрицательная.
58
Предположим, что на знак этой производной не влияют члены выше N-ro порядка правых частей соответствующих уравнений.
Функцию. Ляпунова V2 (£1, ..., £р), отвечающую системе (3.12), можно всегда определить из уравнения
2 ^(Рл ^ + - + Pip У = -М2 (^ +... + £р2)(3.13)
7=1 0!=)
Эта функция в силу теоремы {19} будет определенно-положительной функцией переменных ^, ..., £р.
Тогда функция Ляпунова, отвечающая системе уравнений (3.10), будет иметь вид
У = 1^(41,..., InJ + ^Ci у(3.14)
и будет определенно-положительной от всех переменных т]хЛлх, £х, • Sp-
Вычислим производную dV/dt в силу системы (3.10)
и' = 2 р 2 ^Пй+^(0)(П1Лп,) +
(3.15)(3.15)5=1 ОТ]$ L *=1
(3.15)
(3.15)
+2 р,*&^лх^-ЛпЛ+ядлх.-. л».;
М-...+Л„ =^+lр1 1
р ди Г р
Tin."* Sp)Tin."* Sp)+ S^r 2 рл^+^+’ЧлхлпЗ+^Ьх.
Tin."* Sp)
Tin."* Sp)
7=1 VW L'=l
Отметим, что
Y^ =2ЛЛ"Ап‘ЦЛ-Пп.Ч +
Ai+- • -+^^1^2
+fл/*-^-)^....^-
i.+...+Ап^ЛГ-Ц
zsw =2в8<к1'к^ лх^-лпЛ*
*.+••.+*„t=w+i
а функции Hs и E j можно представить в виде
i=i j=iр
Ej = 2 2и^(Л1Лп.; и г=1 ;=1
Обозначим производную функции Vv вычисленную в силу уравнения (3.11) через V/. Тогда из уравнения (3.15) будем иметь
2л/*1-*'’*^?1-'.[*.+...+6ni=JV+l2л/*1-*'’*^?1-'.[*.+...+6ni=JV+ldVx
2л/*1-*'’*^?1-'.
[*.+...+6ni=JV+l
2л/*1-*'’*^?1-'.
[*.+...+6ni=JV+l
V' = V/-м» ^+... + ^р2) + 2 ^
•••^"‘+ S Р8(А*-Ап‘)П1А‘.-Пп.Ап‘ +
А. + ...+An^+l
С1 Sp) +С1 Sp) +р р
С1 Sp) +
С1 Sp) +
+ 22 ^1^Нц^1л«.;
г=1 /=1
p dV2p dV2
p dV2
p dV2
.••Чп^^.••Чп^^2В8^-кп*)Ч1к‘
.••Чп^^
.••Чп^^
^kt+...+kn=N+l
+ 2 2 №fo£p)
<=1 /=1
Представим это выражение в виде
l/'=l7/_M=(^+...+y)+ 2я*(Л1л»,;
k.+.-.+kn^N+l
^Р)Л16‘лП16п* + 2 ^ЛЛ-Дль Пн,; Si^Р) (3.16)
где R* и Li} обращаются в нуль при т^ = ... = т]п, = £i = ... = £р = О- Для достаточно малых значений т]8, £; знак производной V* определяется знаком выражения
М2(^ + ... + ^) независимо от
2 2 ^£^гДЛ1..... л<, SiU
=1 /=1
эо
Выражение же 2^*(Л1» ■••> ++ (+ •••• W Л*1 ..-Лп"1 не может
М-„.+*л=*+11
изменить знак V/. Следовательно, знак V' определяется знаком V/ + V2\ т. е. функция V, вычисленная в силу системы уравнений (3.11) и (3.12), будет являться функцией Ляпунова для системы (3.10).
Пусть теперь система (3.11) такова, что ей отвечает функция Четаева Vihi, .... Лп,)-
Тогда область ^ > 0 будет заключена внутри области V/ > 0, и это свойство функции V/ определяется формами N-ro порядка независимо от форм более высокого порядка правых частей соответствующих уравнений.
Возьмем функцию
V^VUm,-.., Л^ + ^г Sp)
где V2 (£i^р) определим из уравнения (3.12) с заменой—Л42 на М2.
Найдем производную функции V в силу уравнений (3.10). Аналогично предыдущему получим выражение (3.16), в котором —Л42 заменится на М2. В отличие от предыдущего случая функции £г ; могут и не обращаться в нуль при ти = ... = т]П1 = ^ = ... = £р = 0, так как функция Уг может содержать линейные члены.
Докажем, что выбором числа М2 производная V', вычисленная в силу уравнений (3.10), в области V/ > 0 будет определенно-положительной функцией всех переменных.
Представим выражение V' в следующем виде:
v' = i/1'+M2(^2 + ...+y)+2 2 №4
=i /=i J
+2^*(Л1л».; е1,....Ул1А,-лп/п,+
*i+...+*n,=W+l
+ 2 2ЛП1; ^...., ^
i=i i=iv
где R* и L;/1 обращаются в нуль при т]1 = ... = Лп, = £i = ... = £р = 0. 60
Определим число Л12 так, чтобы выражение
М2(У4-... + ^ + 2 2 ^ ^Lu№(3.17)
являлось определенно-положительной функцией переменных £i,...,£p.
Тогда сумма р р
i=i /=1
не изменит знака выражения (3.17), а
2^*(П1kQn?'...^,4"*
»,+•..+*П1=ЛГ+1F
не изменит знака V/. Следовательно, в области V/ > 0 функция У' представит знакоопределенную функцию всех переменных T]s, tp Так как функция У2 < 0, то область У > 0 заключена внутри области У' > 0. Таким образом, У является функцией Четаева для системы уравнений (3.10).
Таким же путем для системы (3.9) можно построить функции V и W, удовлетворяющие теореме Четаева.
Изложенное в этом параграфе доказывает следующую теорему.
Теорема. Пусть определяющее уравнение системы (3.2) имеет т нулевых корней, 2q чисто мнимых и р корней с отрицательными вещественными частями. Заменяя в правых частях первой группы этих уравнений переменные Zj на функции и} (угуп^, представляющие сумму форм до N-ro порядка включительно рядов а}, определяемых уравнениями (3.4), получим систему уравнений
У$ = ^УзкУ^А-У^ЧУг У»Л (s = l по(А)
Если для системы (А) построены функции, отвечающие теореме 1 Ляпунова, или функции, удовлетворяющие теореме Четаева о неустойчивости, причем знак производных этих функций определяется суммой форм до N-го порядка включительно правых частей системы (А) независимо от форм более высокого порядка, то для системы (3.2) функции Ляпунова и Четаева представятся суммой двух функций: Ух + У2, где Ух — функция Ляпунова или Четаева, отвечающая системе (А), а У2 определяется из уравнения (3.13).
Из этой теоремы следует, что устойчивость или неустойчивость невозмущенного движения, соответствующего системе (3.2), следует из рассмотрения лишь критической системы, полученной в результате преобразования (3.4), если только вопрос об устойчивости решается рассмотрением суммы форм до ^-гo порядка включительно этой системы.
Эта теорема для случая двух нулевых корней доказана в работе Iе], для общего случая она доказывается в работе I7].
§ 15. Приведение к случаю нулевых корней с понижением порядка. Рассмотрим теперь группу уравнений с критическими переменными, считая = ■•- = ^Р = 0,
т+2р
У5 = 2f УзкУк+Уз^Уи ••• i Ут+Zq) (s=l,..., m + 2q)(3.18)
Определяющее уравнение этой системы имеет т нулевых корней и q пар чисто мнимых.
Пусть ± iXs (s = 1, ..., q) — чисто мнимые корни. Будем предполагать, что эти корни удовлетворяют неравенству
£msW0(3.19)
S=1
при любых целых числах ms, удовлетворяющих условию
q
^\ms\^N
s—1
Линейной подстановкой с постоянными вещественными коэффициентами систему (3.18) можно преобразовать к виду
Is = — >vsT]s+Pg(iv, %, 2ц), т]д =A^e + Qe(U %. 2ц)
zj = ZX^, T)v, ?ц), 2/ =O-/_1Z/_1 +Zj(^v, T]v, 2ц,(3.20)
(s, v = l,..., q), (/ = 2,..., m), (p=l m)
ГДе Ps ~ Psf^Zp) 4* Psl(iv, %, 2ц), Qs = Qso(Zji) 4* Qsl(iv> %, 2ц).
Функции PS1 и QS1 обращаются в нуль при ^ = ... - ig = ih = ... = = ng = 0, а Р86 и Qs0 имеют вид
Ps0-SPs0W(a QsO=2QsOW^) k>2А>2
Выражения Pso' и Q^ являются формами ^-го порядка от zx, ..., гт.
Преобразуем систему (3.20) к новым переменным хк и ук, положив
is ^s 4~^s (^1> ••• > ^т)' Лз = Уз 4* уз (21, ■ •• > ^т)(^'^О
подразумевая под и8 и уд сумму форм до N-ro порядка включительно рядов, формально удовлетворяющих системе уравнений
^Zi(“i--> uq; оь ..., vq; zx zm)4- m dus
+ ^5rV$i-iZi-i+Z}(ux uq, иъ.... v; Zx zm)] = /=2 ° 4
= —Ms4-pso(zi,2m)4-Psi(“i,“g; "1.yg; zi,..., 2m)
^ZJUl Uq, V! Vq, ZX Zm) 4"
4-S2^j[O/-lZ/-14-^(Ul,..., Uq, VX,..., Vq; Zlt..., Zm)] =
= Xsus4-Qs0(z1Zm)4-Qsi(«iuq\ vx,..., V4, zx zm)
В результате этой замены мы получим новую систему, в которой функции, играющие роль функций Ps0 (zx, ..., zm) и Qs0(zx, ..., zm), не будут содержать членов ниже (N 4- 1)-го порядка.
■ . Будем, предполагать, что система (3.20) преобразована к виду (3.21) и, следовательно, разложение функций Рз0 и Qs0 по степеням гх, ..., гт начинается с членов не ниже (N + 1)-го порядка.
Преобразуем систему (3.20) при этом предположении к переменным г, и 6S, положив gs = rs cos 9g, T]g = r3 sin 9g..
62
Тогда будем иметь
r8- = 2 Rsw (rvcos9v, rvsin9v, zx zm)
rs 9; = Xs rs + 2 FSW (Tv cos ev, Tv Sin 9V, zb ..., zro)
zf = 2 ZXW (rvcos9v, rvsin9v, z,zm)(3.22)
A>2
z/ =<T/-iZ/_i + 2 ZjW (rvcos9v, rvsin9v, zx,..., zm) k>2
(/ = 2,..., m; s,v=l,..., <7) где
2 R,W = Ps cos 9S + Qs sin 9S, 2 Л(А> = Qs cos 9.—P. sin 9.
к>2к>2
R^, Fkks ; Z^ являются формами к-то порядка от переменных гхrq, zxzm с коэффициентами в виде многочленов от cos 9V и sin 9V, так что
Rsw = 2 А* (9Х,... , 9g) r?t... г/» z,"*... zm"m
^> = 2S? (9X 9q)^... r^z^ ...zmnm
F^ = £ C * (9X0g) r^ ... rg*» г,"-... zmn™
(Al + .. • + kq + ”1 + • ■ • + «m = к)
где знак * заменяет индекс (^ ... kq, пх ... п^.
Наша дальнейшая задача будет заключаться в том, чтобы систему (3.22) преобразовать к виду, в котором суммы форм до N-ro порядка включительно в R(k) и Z1^ не зависели бы от cos 9V и sin 9V.
Предположим вначале, что m-кратный корень имеет m групп решений, т. е. Ох = ... = ат_х = 0.
Пусть наинизшая из форм R^, Z^ есть Т?1^ и /^(б ^ 2).
Положим
Гз = Рз + 2 Us* (91 9g)Г?‘ • • • rqfeq Zxn-... гтптп
Zj = ^ + 2V;*(91,..., 9g)rx*- ... rg*9Zi"-...Zmnm*
где u8* и Vj* — подлежащие определению многочлены от cos 9V и sin 9V.
Система уравнений (3.22) в новых переменных будет иметь вид
Ps = 2 H,(*>(pvcos9v, pvsin9v, Si 2m) fe=d
p*0s =^Ps+Sjs^VpvCosgv, PvSin9v, 21 U)(3.24)
У = S LjW (pv cos 9V, pvsin9v, 21 ^m)
(s, v = l,..., q; 1=1,..., m)
Формы Н^ и L^ можно представить так
Н^^Ца*^...^^...^
L^^b^...^^ ...^
(s = l q; j=lm; fet + ... + feg + M1 + ...4-nm=6)
Коэффициенты a8* и b 3* определятся равенствами
а3* = Д3*-^ X,а3* = Д3*-^ X,du* tda* i<1Ло — •.. Л,1d02 250g 'du* tda* i<1Ло — •.. Л,1d02 250g ''q'q^\-...-^X,d02dOg 1^\-...-^X,d02dOg 1(3.25)(3.25)d02d02'q'q
а3* = Д3*-^ X,
а3* = Д3*-^ X,
du* tda* i
<1Ло — •.. Л,
1d02 250g '
du* tda* i
<1Ло — •.. Л,
1d02 250g '
'q
'q
^\-...-^X,d02dOg 1
^\-...-^X,d02dOg 1
(3.25)
(3.25)
d02
d02
'q
'q
В зависимости от выбора функций а3* и и/ мы будем получать различные значения а3* и Ь3*. Определим эти функции так, чтобы все а8* и b 3* были постоянными величинами.
cos 0v =cos 0v =e<ev+e-<8v2e<ev+e-<8v2Полагая в выражениях А3* и В 3*
cos 0v =
cos 0v =
e<ev+e-<8v
2
e<ev+e-<8v
2
/9ve ‘9V
sin 0V
21
будем иметь
A* = 2^^^('181+...+^9g)
B3* = 2 a#‘^ e^i 8i+-+zg 9g)(3.26)
( — 6— 1 < /14" ••• + ^g < 84* 1)
где g^v^q^ и HVy.—^q^ — постоянные величины. Здесь * также заменяет
индекс кх + ... + Ад + »1 + ... + пт.
Будем отыскивать и3* и и*/ в виде (3.26)
«,♦ = 2^WVi 8i+-+zg %)
v3*^^'g)e4'1e1+...+/g9g)(3-27)
Подставляя значения и3* и и3* в уравнения (3.25), получим
а8* = S2&'«} el Vi 8i+-+zg %)_£ а£^ i (^ Хх +... +
+ /gXg)eZ(Z‘01+‘"+,g 9g)
b^-^hVi zg)ez(zi8rb-+zg 8g) — ^p^i zg) /(/1X1 + ...+
+ /g Я,) el Vi 8i+-+zg 9g)
Определим числа a(zjzg) и p(z*zg) равенствами
'g)hVtzg)
a('i'g) =fi(/izg) =
*J (^1 Xl-|- ... -|-/g Xg)/*i (/1 ХХ-|- ... -|-/g Xg)
Тогда в правых частях каждого уравнения системы (3.25) останется по одному слагаемому, отличному от нуля, равному gr(si°"’0) и /г(/»°’"в> соответственно. Обозначая эти числа черезg8* и А /, будем иметь: as* = g8*, b5* =hj*.
Отметим, что числа g8* и к3* можно определить следующим образом. Заменяя в выражениях А8* и В 5* значения cos 6V и sin 9V через ez0v 64
и е ‘0у и вычисляя члены, не зависящие от 9V, мы получим значения коэффициентов qs* и fi*, которые будут все действительными.
Уравнение (3.24) теперь можно записать в виде
+ 2 H81(6>(pvcosev, pvsinev, Ех,... Лт) 6=64-1
ti =2^*рЛ...р/Л1П1-^Пт+
+ 5 £,!<*> (pv COS 9V, pvsin9v, 2i 2m)^3‘28^
£=64-1
ps9s ps A S fsi^ (Pvcos 9v, pvsin9v, 2i, ..., 2m) £=6
(^i + ■ ■ • + ^q + ni + ■ ■ ■ + nm = 6; s=l,..., q; j=l,..., tn)
Предположим теперь, что все формы HVi и L^? имеют постоянные коэффициенты для всех I А к — 1. Произведем замену переменных
Ps = ®s + 2«/(9i09)Рх^-р,^^...?^
£> = A+W(9i б9) рЛ-рЛ^.Л/"1
где * опять заменяет индекс кх ... kqtix...nm, но здесь уже сумма А А • •• + + kq + И1 + ••• 4- Ai" к.
Записывая систему (3.28) в новых переменных и подсчитывая коэффициенты при произведениях р*1... р^ 2? ■•• 2"Г для кх + ••• + kq + + пх + ... А пт = к, придем к равенствам, аналогичным (3.25).
Определяя числа gs* и h* по коэффициентам форм к-го порядка, мы получим систему, аналогичную (3.28), в которой все формы Я^ и L/*1 будут иметь постоянные коэффициенты.
Придавая к последовательно значения к = 2, 3, ..., N, мы после N — 2 преобразований получим систему уравнений
' А = 2 A* rxfet ... rqq ZX1 ... Z> +
lAA'^1’(rvcos0v, rvsin9v, zx, ..., zm)
V = s A* rx^... rqq z^t... zmnm +(3 29)
A^/^1 > (rvcos 0V, rv sin 9V, zx zm)
(2 < kx A ... A kq+nt A... +
A”m < N; s = l q; j=\ m)
Здесь As* и Bj* — новые постоянные, rs и z7-— новые переменные, отличные от rs и z,, фигурирующих в системе (3.22).
В тех случаях, когда задача об устойчивости решается формами не выше N-ro порядка независимо от форм более высокого порядка, уравнения, определяющие переменные 91, ..., 9^, можно не рассматривать, так как задача об устойчивости в переменных §s и r)s эквивалентна задаче об устойчивости в переменных rs.
Вышеизложенное позволяет сформулировать следующую теорему.
Теорема. Если определяющее уравнение, соответствующее системе дифференциальных уравнений возмущенного движения, имеет т нулевых и q пар чисто мнимых корней, удовлетворяющих условию S^s^s ^ 0, для всех целых чисел ms, включая нуль, для которых 21 ms I ^ ^, а /тг-крат- ному нулевому корню отвечает т групп решений, то задача об устойчивости 5 Г. В. Каменков, т. II65
в случаях несущественно особенных приводится к исследованию системы т + q уравнений, определяющее уравнение которой имеет т + q нулевых корней с tn + q группами решений.
Эта теорема доказана в работе автора [’].
Предположим теперь, что среди чисел о^ .... om+i имеется (р—1) число, равное нулю. Тогда системе (3.20) будет соответствовать щ-кратный нулевой корень с р группами решений.
Преобразуя систему (3.20) по 4»рмулам (3.21) и (3.23), мы вместо первой группы уравнений системы (3.25) получим систему
а* =Хх —... —^ X —n2 оу и8& - *«' "i-1- "2+1 - ”m)_
s s aoj 1 dog 92 1
—... — птот_1и^-кч,п1'-Пт-1”1’(3.30)
Здесь * заменяет индекс (kv..kq, пр-.п^.
Аналогичные уравнения построим и для определения функций и3*. Функции и* можно найти следующим образом. Задавшись определенными значениями чисел kp..kq (kr + ... + kq = б^, отыскиваем функции и8*, начиная с гД*1"*?’0’0,5’^ + 62 = к\ При этом все дополнительные члены с множителем os, фигурирующие в системе (3.30), будут равны нулю. Функции u(*i---*g-0’0- -6=) определятся аналогично предыдущему. Затем найдем функции yt6!--^-0’0--1^,-!), g этом СЛучае все члены с а3 обратятся в нули, за исключением уже известного нам последнего члена, равного am_i Uskl“"kq’0,06,). Объединяя этот член с коэффициентом А^1"^' о.о1,6,—о, определим функции u^^'^q'0,01.62-1)Поступая
аналогичным образом и далее, мы отыщем все функции и*, а также и
Придавая к значения 2, 3 N,мы, как и в предыдущем случае, при
ведем систему к виду
г8- = 2 А* ^^... rkq zy*.... zm"™ +
4-l?s<w+1> (rvcos 0V, rvsin 9V, zx, ..., zm)
Zf = 2^i* rx*-... rkq z^ ...z^ +
+ ZW-1) (rvcos9v, rvsin9v, zx, ...,zm)(3.31)
Zf = 01-1 Zj—1 + 2 B* 'Л • • • rq4 rf1- Zmn^ 4-
-^/^’’(гуСоэОу, rySinGv, zx,..., zm)
(2 < fex +•••+&д + ЩН + nm < N, S =
= 1,..., q; j = 2, 3 tn; v=l,..., q)
Таким образом, если определяющее уравнение, соответствующее системе дифференциальных уравнений возмущенного движения, имеет т нулевых и q пар чисто мнимых корней, удовлетворяющих условию 2 так8 0, для всех целых чисел т8, включая нуль, для которых 2J ш31 < ^r а m-кратному нулевому корню отвечает р групп решений, то задача об устойчивости в случаях несущественно особенных приводится к исследованию системы т + q уравнений, определяющее уравнение которой имеет т + q нулевых корней с q + р-группами решений.
§ 16. Периодическое движение. В следующих параграфах мы будем рассматривать системы уравнений с периодическими коэффициентами
х8 = 2 ashXk-V 2 X8U)(^Xi, t) (s, 1 = 1 n1)(3.32)
6=1i=2
где ash — непрерывные функции t с периодом со,
Х8Ю = 2Сз(а1--^)(0хЛ ...х>
С/*!-*") (/) = 2 c^-Meipf =
"Г”(3.33)
= 2cos pt -\-Ь_^г--кп) sin pt)
p=o pp
В последнем равенстве с$р‘""Ьп>— комплексные постоянные величины, а ^(*1...ап) ^ — вещественные функции вещественного аргумента t.
Линейной подстановкой с вещественными периодическими коэффициентами систему уравнений (3.32) всегда можно преобразовать к виду, в котором все коэффициенты линейных частей будут постоянными (47). Причем линейная подстановка такова, что задачи об устойчивости в переменных преобразованной и исходной систем являются эквивалентными, а периодические коэффициенты этой подстановки имеют тот же период, что и функции QskV)-
Не ограничивая общности, можно считать ш = 2л. Будем также предполагать, что над системой (3.32) указанное преобразование выполнено и все коэффициенты ash являются постоянными.
В такой постановке исследуется Ляпуновым задача об устойчивости периодических движений, если среди корней характеристичного уравнения имеются корни с модулями, равными единице. Вопрос об устойчивости периодических движений рассматривается Ляпуновым как самостоятель ная задача, отличная от задач об устойчивости равновесия или установившихся движений.
Мы сейчас покажем, что в случаях несущественно особенных задача об устойчивости периодических движений и задача об устойчивости установившегося движения являются эквивалентными.
В том случае, когда система (3.32) не содержит нелинейных членов, это предположение доказал Ляпунов, преобразовав систему линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами к системе с постоянными коэффициентами.
Рассмотрим общий случай. Предположим, что определяющее уравнение, соответствующее системе (3.32), имеет т нулевых корней, q пар чисто мнимых и р корней с отрицательными вещественными частями.
Представим систему (3.32) в виде (3.2), считая коэффициенты разложений Ys и Z j периодическими функциями t. Переменные у8 отвечают критическим корням, а г j — корням с отрицательными вещественными частями.
Преобразуем систему (3.2) при этих предположениях, положив
Zj = ^i + Uj(yi, Упо 0(/ = !,..., р, nY = m-v^(3.34)
подразумевая под и, сумму форм до N-ro порядка включительно функций uj, удовлетворяющих системе уравнений
duj ди,
-Т-+ ^-Vgsiyi4r...+gsn1ynx+Ys(y1,..., УпА иъ..., ир> 01 = at s=i oys
р
= ^Pjkuh+^J(y1 уП1, UiUp, 0
(/=!,..., p; nt = m-[-2q)(3.35)
Эта система позволяет определить функции Uj (z^, ..., уПх, t) в виде степенных рядов с периодическими коэффициентами периода 2л (см. введение). Эти ряды, как правило, будут расходящимися.
В результате преобразования получим систему (3.5), в которой коэффициенты разложений функций У,<°>, У8, Z/^+P, Z,o будут периодическими функциями / с периодом 2л.•
Представляя функции У3и Z№в виде(3.6) и считая Р8* и Q}* линейными формами переменных ^, ..., £р с периодическими коэффициентами, учитывая (3.7), сделаем преобразование
У3 = ЧзА-^и* ух^ ...уп^1(2 с Лх+... +Ani <W;s = lnJ (3.36)
где и3* — линейные формы от ^тр также с периодическими коэффициентами, удовлетворяющие уравнениям
я * Р а *
+ 2 ~ (Xj 5 —6/-1 ^/-1) = - & V, + ... + (^- 1) V, + ... +
+ hni v„ J u* + as_! uS-j -(^ +1) O1 u^^ - *2+ - • • • M
ЧМ1)°».-1«Л”Л-г1 • W)^*.}.^*(3.37)
где F* (^x + ••• + ^n, = 6) — известные линейные формы от тех us(*‘“"*n«>, у которых Ах + ... + kni ^ 6—1. Для 6 = 1 все Р8* = 0.
Определение*^* будем проводить в том же порядке, как это делают в § 14.
Положим
и3* = а,81* Ei + ... 4-asp*Ep
считая аз}* функциями t.
Подставляя значения и8* в уравнения (3.37) и отождествляя коэффициенты при ?!, ... ^р, мы получим для определения а8* систему неоднородных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. В правые части этих уравнений входят известные периодические функции t. Учитывая, что корни определяющего уравнения присоединенной системы имеют отрицательные вещественные части, а вещественные части корней критической системы равны нулю, мы можем утверждать, что полученная линейная система позволит определить все uSJ-* в виде периодических функций t с периодом 2л (см. § 19 главы III).
В результате преобразования (3.36) мы получим систему уравнений, аналогичную (3.10), в которой коэффициенты разложений функций YV0>, Z/^+b, Н8, Е} и Р8* будут периодическими функциями t.
Предположим, что наинизшая форма в разложении Ks<°> (гцт]П1, 0 имеет порядок к. Функция же Z/^+O не содержит членов ниже (N-V 1)-го порядка. Мы должны различать два возможных случая: 1) h N + 1; 2) А > М + 1 при любом сколь угодно большом N.
Второй случай возможен лишь тогда, когда функции У8(уу, ... , уП1, их, ..., мр, /) = 0. Этот случай будет существенно особенным. Система уравнений (3.35) при этом условии определит и} в виде абсолютно сходящихся степенных рядов от уг, ..., уП1 с периодическими коэффициентами (см. § 21 главы III). Если в (3.34) иj заменить на Uj, то в результате преобразования мы получим систему уравнений, аналогичную системе (3.10), в которой Y3W = Z/^+D = 0.
В этом случае невозмущенное движение будет устойчиво.
Рассмотрим теперь случай h ^ N + 1. Если имеет место равенство h = N + 1, то мы можем поступить следующим образом. Взять функции и) равными сумме форм до Nrvo порядка включительно рядов, определяющих и^Ух, ..., уП1, f), полагая Nx = N + к, где к — сколь угодно большое число. Тогда наинизшая форма У3(0), имеющая порядок h — N + 1, останется без изменения, а наинизшая формаZ/^1) будет иметь порядок ^4-1- Следовательно, порядок наинизшей формы Z/^+P в первом случае мы всегда 68
можем считать выше порядка наинизшей формы Y8W на сколь угодно большое число к.
Легко показать, что в этом случае вопрос об устойчивости системы (3.32) приводится к исследованию системы с разделенными переменными
n,N
п; = 2 §зк % +2 as^- кп^ (О ъ** • ■ • ги.4(з.з8)
4=141+...+4П1>2'
(s = l,..., п^, n1 = m + 2(?)
^ = 1^(/=1 р)(3.39)
Если каким-либо способом нам удалось бы построить функцию Уп удовлетворяющую теореме Ляпунова или Четаева для системы уравнений (3.38), то тогда фунция У для системы (3.32) определилась бы в виде суммы V = Ух + У2> гДе V2 — известная квадратичная форма от ^ ..., £р.
§ 17. Приведение к исследованию установившегося движения. Частный случай. Рассмотрим теперь систему уравнений (3.38). Докажем, что, не изменяя задачи об устойчивости, эту систему можно преобразовать в новую систему, в которой коэффициенты, играющие роль функций А^1 "кп1\€), будут постоянными величинами.
Исследование начнем с наиболее важных частных случаев.
Предположим, что определяющее уравнение системы (3.38) имеет т нулевых корней, которым соответствует т групп решений, и q пар чисто мнимых корней ± IXS, удовлетворяющих условию
^тД^Е, для 2 ^ 2 I ms N(3.40)
5=1S=1
где ms и Е — целые числа, включая нуль.
В этом случае систему (3.38) можно преобразовать к виду
*8 = ^8 Уз ~Н ^s Д{ > УЬ ^г> 0> Уз ^з ^з+^8 (xi> Уи -г> 0
£/ = ВДхь у{Лг, t) (Z, s = l,..., q; j, r=l m)(3.41)
Полагая zs = xs + iys, zs = x8 — iys, получим
zs iXsz8 + Z8 (z;, z^ ^r, z), zs iXs z8 Д-Z8^z^, ^t> ^r> ^) (342) ^■=РДгь ^i, lr, ^)(S, < = 1 q; i, r=l,..., m)
где
Zs = 5 ZE) (zt, zt, £r, ty Zs = 2 Z/O (z„ Zi, £r, t) 1=21=2
Pj = 2 p? z;, ?r, 0
1=2
a Z4\ Z.^s и P’P — формы Z-го порядка от zt, zt и gr, которые можно представить в виде
Zsw = S А* (0 г/1... Z^z^ ... г”ч ^6i .Л>
ZW = 2 A* (t)z?i ... zq4 z^ ... гчтч g/i... Cm(3 43)
Pjm= ^B^^z^.-.z^z^i ...^qV1...^‘
Д/(0 = Л/(/ + 2л)
Знак * заменяет индекс ^...к^ mx...mq, бр-.б”,).
Преобразуем систему (3.42) к переменным £s, Лз и т] у, положив
^S £$ ~b^S ^Ь ^Ь ^Г> ^)* ^ =£s + ^S ^fl ^1» ^rt ^)
^ = П/ + ^Лгг, гг, £г, О
Считая и8, и8, и j периодическими функциями t, подлежащими определению, эти функции представим следующим образом:
и:1 = Уи*1}']г^...г^г^zqmq^bi ..Л™6™(s = 1g)
Уз = ^и*^г?1 z^z^-zqmqXiV..Cm(/ = 1,..., m)
Преобразованная система будет иметь вид
с; = ^ ^+i z8Xw, х8- = -iK t + 5 zsxw, v = s h/o (3.44) (>2Z>2l>2
Функции ZV? и H^7 можно представить так:
(S = l,..., g)
Н^ = ^Ьа1ПЛ..ЛМт1_^^^^U=X,..„ m?" ’
Коэффициенты as*(f) и b8*(f) для кх + ••■ + kq + mx + ... + mq + + Sj + ••• + 6m = k определятся по формулам
as*-7i [(^—mx) Xx Ц-... + (&s— m8— 1) Xs +... 4- at
+ (^9—"U\7K* + As*(t)+F* (u8W, VjW, uW, ^ du?
b* =i [(^i—mO Xx +... + (^ — m5) Xs +... + (^ — m^ ^] v* +
+ В,*^Нф*П\ u8W, UjW, t)(3.46)
где Fs* и Ф,* —известные функции t и тех ии8, и^8\ и(Р, у которых I ^ к — 1. Для к = 2 все Fs* и Ф,* тождественно равны нулю.
Коэффициенты а8* определятся аналогичными формулами.
Из (3.46) следует, что для различных значений функций и8*, и8* и и,* мы будем получать различные значения коэффициентов а8*, a*, bj*. Определим и8*, и8* и и,* таким образом, чтобы а8*, а8* и b,* были или равны нулю, или постоянным величинам.
Предположим, что все функции и8* и и,-*, для которых кх + ... + kq + + тх-\- ... + m? + 6Х + ...4-6m = к—1, найдены из условий а8* = О, Ь* = 0 или as* = const, b,* = const.
Определим и8* и Оу* для кх + ... + kq + тх + ... + тч + St + ... + + 6т = к. Будем рассматривать совокупность чисел к8, т8 и 6;, удовлетворяющих условию
d = (^i—тх) Хх +... + (ks — т8 — 1) ^ +... + (kq—mq) Xq #= О (&1++&g + ml + .w + tflg + 6i + «.. +6т = &)
Очевидно, что для таких чисел к8, т8и 6 j функции и8* можно вычислить при любых значениях а8*. Найдем эти функции при условии а8* = 0.
Отметим, что равенство d = 0 в силу (3.40) возможно лишь при
кх = тх, к2 = та,..., ks = ms + l hq = mq ^АТ^
Коэффициенты as*, соответствующие индексу (^...^3...^, kv„ka —1...&J» определим равенствами
a* = l^A*-yF^dt о
Тогда периодические функции и8* с этим же индексом найдутся из уравнений
^ = -a*+A*+F* (s=l 9)(3.48)
at
Функции о/ будем определять следующим образом. Для чисел кв и т8, удовлетворяющих условию
dx — (&х— mJ Zx + ... + (&s—ms) As +... + (&g— mJ Xg 7^ 0
(^1 + ••• + hq "Vmi + • •• 4"mq 4*61 4-... 4*Ьт = к)
периодические функции Vj найдем при b 3* = 0.
Замечая, что равенство ^ = 0 возможно лишь при
^i = m1, fe2 = m2,..., kq = tnq(3.49)
определим коэффициенты Ь5*, соответствующие индексу lkx...kqkx...k^, равенствами
ь?=~ J \В)*-уФ3*\а1 о
а периодические функции и 5* — уравнениями
do#*
-2_ = В,*+Ф3*-Ь3*(/=1т)
Следовательно, мы можем утверждать, что в выражениях (3.45) формы ZV? будут содержать лишь те слагаемые, у которых степени к8 и т8 удовлетворяют условию (3.47), а формы Д*^ сохранят степени, удовлетворяющие условию (3.49).
Давая числу к значения 2, 3..., N, мы определим все и8* и о3*, для которых кг + ... + kq + тг + ... + mq + 6Х + ... + 6m < W.
Система уравнений (3.44) в результате преобразований примет вид
5s’ = i\ cs + U 5 а* (^ ^)й1... (^ £j^ Tj/1... р„> +
+4("+1) (5„ ^, ч„ С
^-ikts+ts^* (Ш61-.. (Ш^чЛ..^"^
+7з(ЛГ+1)(Сг. 5/, Ч„ 0(3.50)
Ч^^/ЧШ^ ..J^W’^^W"4"’’^ ^i- Чг, О
(s, i = q; j, г = 1,..., m\ 2 < 2^! -}~ • ■• 4~2йд -f-Sj -j-... -j-Sm < N)
где Z8N+n, ZsN+1) и Д(^+1) не содержат членов ниже (N + 1)-го порядка.
Исследуя динамические системы в случае иррациональных Z3 и предполагая /п = 0, Биркгоф [81 получил аналогичную систему уравнений.
Нас в дальнейшем будут интересовать действительные функции действительного переменного t.
Полагая £s = raei6s, аа* = as* + i$a*, получим
ra = rs2 as* r^i... <кч V?;... П> + R^"
ra 6s = К rs + rs 2 p8* r^ ... г2кч Vi’... r,^ +Fa^(3.51)
V=2 b3* ^ ... rq^ чЛ ...4>a-hw^
Если вопрос об устойчивости решается членами N-то порядка независимо от членов более высокого порядка, то задача приводится к исследованию системы уравнений (т + цУго порядка вида
ra =rsY as* r^ ... rq2kq ^ ... r)m6«
V = 2 bj* ^ ...rq2k4 Th6i... V”1(3.52)
(2 < 2ft14-... + 2Ag4-6i + «-1 4* 6m < ^V)•
На основании изложенного следует, что исследование устойчивости тривиального решения системы уравнений (3.32), характеристичное уравнение которой имеет п корней, по модулю меньших единицы, т корней, равных единице, и 2^ корней, по модулю равных единице (корни вида xs = = e^2TtiXsy удовлетворяющих условию
5 tns ^д Ф Е, для 22 I ms I ^ N
s=ls=l
где ma и Е — целые числа, включая нуль, приводится к исследованию устойчивости тривиального решения системы уравнений с постоянными коэффициентами, характеризуемой т + q нулевыми корнями с т + q группами решений. В случае m = 0 и при Xs/Xj — иррациональном эта задача исследована автором в работе [7].
§ 18. Приведение к исследованию установившегося движения. Общий случай. Прежде чем перейти к общему случаю, рассмотрим систему (3.38), предполагая, что определяющее уравнение ее имеет по крайней мере одну пару чисто мнимых корней ± iXt кратности г. Тогда линейной подстановкой с постоянными действительными коэффициентами эту систему можно преобразовать к виду
п,—2г
ч*,= 2 ^Пь+^Спо хм, ум, о
6=1
Х1,= ^1 Z/1+-^1 (т)ь Хм, Ух, ty У1" = ^1 Ху + ^1 (П;, Хх, Ух, О
х}’ = — Ai t/j + <T/-i Xf_i -yXj^t, Хм, Ум, t)(3.53)
УГ = КХ)А-С1-\ У1-\ +Е, (Т}г, Хм, Ух, t)
(s, i=l Щ—2г, j = 2 г; v = l,..., г)
где Х],у, — линейные формы от т] S(s = 1,..., гц). Уравнение! bah—6sftx| = = 0 имеет т нулевых и 2 (7 — г) чисто мнимых корней.
Заметим, что все величины обнесли они отличны от нуля, можно считать равными любому числу. Будем считать их равными Аг
Полагая
хг = £х cos %! t + £х sin Zx t,yx = £i sin Zx t—^cos^/(3.54)
X{ = li cos ^t + ^y sin %! t + ^/-1 cos Of-x t + ^/-1 sin Oj_t t
yj = ^i sin Xxt—^iCosXxt-y^i-x sin as_x t—^j-x cos a,-, t
будем иметь
1]s = 2 ^sk Лй + ^sl (Лг» £v, Cv> О
Ei =s1(rli, ^v, Ev, 0, Ci = Л(пг, Ev, Cv, О
E, — °i— i E/— i + aj(Ло Ev, Cv, 0(3 55V
C; =O/_1^_1+zj-(t)mCv, U 0
(s, i=l,..., n, — 2r; / = 2, 3,.,.,'r; v = lr)
Если кратному корню ± i/4 соответствует несколько групп решений, то для каждой такой группы преобразования по формулам (3.54) проводятся совершенно аналогично.
Отметим, что определяющее уравнение системы (3.55) будет иметь т + 2г нулевых корней и 2(^ — г) чисто мнимых.
Если чисто мнимым корням ± /Хх соответствует одна группа решений, т. е. все ст/_! 4= 0, то 2г дополнительным нулевым корням будут соответствовать две группы решений. Если же этим корням соответствует к групп решений, то 2г нулевых корней будут иметь 2& групп решений.
Заметим также, что в случае Xlt равного целому числу, функции Н81, Еу, Zj будут периодическими функциями / с периодом 2л. Таковыми же они будут и при Хх = Ох/Рх (а1> Pi — Целые числа). Последний случай заменой т = Рх^ приводится к случаю Хх, равного целому числу.
При иррациональном Хх задача несколько усложняется. Выражения Н81, Еу, Z j уже не будут периодическими функциями L Представим одно из них в виде1
Hsl = ЖО^1- ^^.ЛЛС1б‘...^5(3.56)
(р = »х—2г, 5 = 1,..., р)
где знак * заменяет индекс (ух, ■•■> Yp, mi. •■•, тг, 6х, ..., 6Г).
Легко обнаружить, что функции Я(0 будут линейными формами от коэффициентов Л<*‘-•■%>(/), фигурирующих в системе (3.38), умноженных на sin EjXxZ и на cos e^L Числа Ex в формах /-го порядка могут принимать значения от 1 до /.
Отсюда следует, что функции Н$ (/), у которых ух+••• + Ур +тх+•■• + + тг + 6Х + ... + 6Г = /, можно представить в виде
H*^ = HAsl*^ei8lklt(3.57)
«15
где Л sl*(0 — периодические функции / с периодом 2л. При Хх иррациональном H8*(t) будут почти-периодическими функциями t.
Такую же структуру будут иметь коэффициенты разложений Еу и Z}, фигурирующих в системе (3.55).
Аналогичные преобразования можно провести для любой пары простых или кратных чисто мнимых корней ± iXs. Следовательно, в общем случае систему (3.38) всегда можно преобразовать в новую систему, у которой все корни определяющего уравнения будут равны нулю. Эту систему можно представить в виде
xi =Хх(Хх х„, t\ х8 = crs_, xs_x + Х8(хь..., xn, /)(3.58>
(s = 1 n;n = nl)
где
^ = 5х/')(хх,..., xn, 0,Xm = 2B,W...x>
1=2
(ki4----+^n —0
Знак * заменяет индекс (йх, ..., кп\
Функции B8*(f) имеют следующую структуру:
В* (О = 2 2 (О е' ^^ ^1+е2 ^+” V);(3.59)
Знак ** заменяет индекс (ех, ..., еД. Величина р определяет число иррациональных чисто мнимых корней. Суммирование по к8 распространяется на все целые положительные числа к8, удовлетворяющие равенству кх + + . •. + кп = I, а суммирование по е/ — на все целые положительные и отрицательные числа еД/ = 1,..., р), удовлетворяющие условию 21
Функции Д^-••kn’> являются периодическими по t с периодом 2л, представляющими линейные формы с постоянными комплексными коэффициентами от А^1''”*"'(О- B8*(t) будут вещественными почти-периодическими функциями / для вещественных значений последнего. Новые переменные х1( ..., хп являются вещественными функциями вещественного переменного t.
Отметим, что задачи об устойчивости в переменных T]s исходной системы (3.38) и в переменных х8 эквивалентны.
Докажем теперь, что для случаев несущественно особенных задачу об устойчивости периодических движений, характеризуемых системой (3.38), всегда можно привести к задаче об устойчивости установившегося движения.
Будем рассматривать систему (3.58), предполагая, что каким-либо образом нам удалось преобразовать ее к виду, в котором все формы Х^ для I ^ к — 1 не зависят от времени t.
Преобразуем эту систему, положив
х8=у8А^и*^Х1к1---х>(^ + ... + ^ = 6:5 = 1 и) (3.60)
где
и* (0 = 25 и*** (0 el (ei М--+ем М ;(3.61)
6j ki
Индексы * и ** имеют прежние значения.
Из (3.60) найдем
xs = ys + '21us*V')y?1 -Упп (6,4-... + ^ >6)(3.62)
Функции у8* для кг + ... + кп = к будут равны и8*, а для кг + ... + + kn > к = I эти функции представятся в виде многочленов от тех и,*, у которых kv + ... + kn / — 1.
Из (3.60) и (3.62) будем иметь
У1-=2 W</i уп, ^У^а.-! у^+^8ЩУ1,..., уп, О (3.63)
(s = 2, 3 п; / = 2, 3...)
В этой системе формы YW {у^уп, 0 для I ^ к — 1 (s = 1и) будут равны Х^ (хъ ..., хп) с заменой х8 на у8, а формы YW (уг, ..., yn,f) будут иметь вид
YW (У1 Уп, f) = 2 а* (0 У^... У>(3.64)
(fei + ... + *n = ft; s=l,..., n)
Функции as*(f) определятся равенствами
акЧ - к^ (0=• М'- »з - к^_
dt
-k3ukkl- к‘-х-кз^х -к^ —..-кп us^- ^-i-1 - 6"+1) +
+ Bs(6i -^(t)(3.65)
(s=l,..., n; kx 4- ■ • • + kn — k)
Давая функциям и^1---6^ (/) различные значения, мы будем получать различные значения для функций а8^---кп> $. Будем определять функции U8Ovkn) таким образом, чтобы as<**---6n) обращались в нуль или в постоянные величины.
(3.66)(3.66)Очевидно, что функции u^-^ni (t) можно определять в том же порядке, как мы это делали в § 16. Приняв этот порядок определения функций, 4zs(*i - 6n), подставляя в (3.65) значение и8* из (3.61), будем иметь
(3.66)
(3.66)
— — i (Ei ^-1 ~Ь • • • + ^ц ^и) «*** + 5s** Н- 5*** = a*** dt
(s = 1 n)
где L*.. являются периодическими функциями t с периодом 2л, представляющими линейные формы от уже найденных и5,.(*1--6/-1-1-^+1---*л).
Если числа elf ец таковы, что 2 е^ч ^ 0, то периодическую функ- i = i
цию и8..*(0 можно определить, полагая а8.,* = 0.
Если же для некоторых из чисел еъ ..., ец выполняется соотношение
|Л(^!...^ )
2 еДг — 0, то «s е еп, соответствующие числам е1( ..., Вц, необ-
4=1• 1 ■ • ■ |Л
ходимо определить из равенств
2л
„Л -‘;> „2- f (В(‘>
s'ei -EH 2л J \ s'Ei-- En s'Ei---En/ о
(s = l,..., п; &!+-..+ 671 = 6)
Тогда уравнения (3.66) определят и^1"’^ (0 в виде периодических функций t с периодом 2л. Следовательно, в результате преобразования (3.60), при найденных значениях функций и8*, в системе уравнений (3.63) все формы YSW будут иметь постоянные коэффициенты. Очевидно, что структура коэффициентов форм для Y8W при / > /г будет прежней, т. е. (3.59).
Очевидно также, что задачи об устойчивости в переменных хъ ..., хп и в переменных угуп эквивалентны.
Давая числу к значения 2, 3, ..., N, мы систему (3.58) преобразуем в новую систему вида
zi =2a/'i-^z16i...z> + 2 Z^)^ г„,0(3.67)
А=м+1
.ОО 1
z$ =as-i zs_\ +2as^1,"”kn^ z^1 ... z^ + 2 230)(zi,..., zw t)
k=N+l
(s = 2, 3 и; 2 < 61 + ... + fen < N)
Изложенное в § 16—18 позволяет формулировать следующую теорему.
Теорема. Если система уравнений (3.32) такова, что отвечающее ей характеристичное уравнение имеет т корней, равных единице, q пар корней, по модулю равных единице, и р корней с модулями, меньшими единицы, то задача об устойчивости периодических движений, характеризуемых этой системой, в случаях несущественно особенных всегда приводится к задаче об устойчивости установившегося движения.
Если корни х8 = е±2тЧ модули которых равны единице, удовлетворяют условию
2 т8 Х8 ф Е для 2 < 2 I т81 < N
S=1
где ms и Е — целые числа, включая нуль, то задача об устойчивости установившегося движения, к исследованию которой приводится задача об устойчивости периодических движений, характеризуется т + q нулевыми корнями.
§ 19. К теореме Ляпунова о существовании голоморфных функций, удовлетворяющих уравнениям в частных производных. Установившееся движение. Рассмотрим систему уравнений
^ = S p8hxh-\-X8(xu ..., хп; zb..., Zp)
k='(3.68)
z) = ^gjiZi+Zj^, xn; zn .... zp).
где Psh и §л — постоянные величины, функции Xs не содержат линейных членов, а функции Z 3 могут содержать линейные члены только в отношении Xi, ..., Хп.
Найдем условия существования голоморфных функций гг, .... гр от переменных хи ..., хп, удовлетворяющих этой системе и обращающихся в нуль при Xi = ... = хп = 0.
Очевидно, что эти функции будут удовлетворять уравнениям с частными производными вида
" дг;р
2 ; (Psixi+”'+Psn xn+Xs)= 2 gji Zi+Zj(xn ... , xn;zt, ..., zp) (3.69)
S=1 OX8i=\1
U=i P)
Исследуя эту систему, Ляпунов доказал теорему (30], играющую весьма важную роль в исследовании нелинейных задач устойчивости движения.
Достаточные условия существования голоморфных функций z3 (л^, ... ...,хп), удовлетворяющих системе (3.69) и обращающихся в нуль при хг = ... = = хп = 0, заключаются в следующем:
корни уравнения
\Рзк-^\=0(3.70)
имеют отличные от нуля вещественные части и все одного и того же знака;
между корнями уравнения (3.70) и корнями уравнения
l^i—6^v| = 0'
не существует зависимостей вида
v, = m1 z1 + ...+mn х„ (/=1 р)
для всех целых положительных тг, ..., тп, включая нуль, удовлетворяющих условию
^ т8> 0
s = 1
При этих условиях Ляпунов доказывает существование функций г3(хг, ..., хп), удовлетворяющих требуемым условиям. Эти функции Ляпунов представляет в виде степенных рядов в отношении хъ ..., хпс постоянными коэффициентами. Отметим, что определение коэффициентов этих рядов можно произвести, не накладывая условия 1), а пользуясь лишь условием 2).
Условие 1) в доказательстве теоремы § 30 используется Ляпуновым для доказательства сходимости рядов z3 (хъ ..., хп).
Докажем теперь теорему о существовании голоморфных функций z 3 = = z^, ..., хп), удовлетворяющих системе (3.69) и обращающихся в нуль при Ху = ... = хп = 0, при условиях, отличных от условий теоремы § 30. 76
Теорема. Если система уравнений (3.68) такова, что
уравнение | psh — 6shx | = 0 или не имеет кратных корней, или при наличии кратных корней каждому такому корню отвечает столько групп решений, какова его кратность;
пп
v 5 4= 2 x8ms, где 2 ms ^ 1 Для любых целых положительных s= 1S= 1
т8, включая нуль;
функции Х8 [Хх, ..., xn, z^Xx, ..., хп)zp(xlt ..., хп)1 = 0, то всегда найдется одна определенная система голоморфных функцийZx(xx,.... хп),.-. .... гр(хх, ..., хп), удовлетворяющих уравнениям (3.69) и обращающихся В нуль при хх= ... = хп = 0.
Линейной подстановкой с постоянными коэффициентами систему (3.68) можно преобразовать к виду
=хД8 + ЗД^, т)г)
T]i ^х^-ЬИД^, T)r), ty =Vji3, + a/-i т]/-, +Н3^Ь т]г)(3.71)
(s, i = l п; /, г = 1,..., р)
Рассмотрим систему функций р, = лХ^х. •••, £п) (/' = 1, •••> р\ Удовлетворяющих системе уравнений с частными производными вида
2 § xs^=VxЧ1+Нх«»^-2 ^Ss
" ^Л 5П;(3.72)
2 ^ ^s = v,t)^O/-. П/^+^/о^+Я/1)^, Чг)-2йВ. V ' S=18=1
(/=2,..., p) (1=1 n)
где H}W (/ = 1, ..., p) обращаются в нуль при т]х = ... = т)р = 0, а W = ^А^^. ... Vn (/ = 1, ...,р\
Представим решение системы (3.71) в виде
T], = 5a/*i-M^i...^n(/=1 р)(3.73)
Отметим, что Es обращаются тождественно в нуль, если в их выражения подставить ряды (3.73).
Коэффициенты а^к1---кп> определятся равенствами
(
п\
5 xs£s—уЛах^1"1 *п) = Л1(*1'" M+L/6!--М
S=1/
( 2 Ms—vAa/*1 "•к^ = б1-1 a^Y" ‘Л^л/6!--- M+£/6i--6n) (3.74)
\ s= 1J
(61 + ^2 4-••■ +^n— 6> U=b 2,...)
где LAki •••kA(j=1 p)являются линейными формамиоткоэффициентов разложенияEf/1).Длякг+...+kn=1всеZ/61 ■••кА=0.Коэф
фициентами этих линейных форм будут являться многочлены различных степеней от тех а/*1 •■• кп\ у которых^ + ... + kn ^ / — 1.
Обозначим через В,- наибольшие значения величин—Uг
г 3I йХд!га — vy |
для любых значений ks, удовлетворяющих условию ^х + ••• + ^n ^ L л определим наибольшие значения | а/к1 ■■• кп> |, для которых hv + ... + hu =
= 1. Обозначим эти [ а/6*---*^ | через «/*• • • ■ *п) (&х 4- ... + kn = 1) и определим последние из уравнений
и^к1 ■■■ kn) =^ В1а1^ ■'■ k^,и3^1' к^ =
где a/fe« ••• 6п> = | Л/61 кп1 I.
Подставляя значения и^1..-ьп1 ^ 4- ... 4- kn = 1) в (3.74), считая при этом кг 4- ... + kn = 2, определим и^ к"^ (^х4-... + ^п = 2) из уравнений
M1(6f - kn) = вг [a/^6n)4_pi(fei---6n)]
и^ - к^ = Вз [| 0 3—\ | ыД- fe^ +a/6i - fe") +Р?1 - Я (3-75) (/ = 2,..., р)
где р/6* •■• кп) представляют линейные формы L/*i-"*n>, если коэффициенты этих форм заменить их модулями, а выражения а/6* ••■кп\ для которых кг 4- ... + kn = 1, заменить на и/** •■■*«) (йх 4- ... + кп = 1).
Предположим, что все и3 для кх 4- ... 4- kn ^ I — 1 найдены. Тогда из уравнений вида (3.75), где кг 4- ... + кп = к определим все и/6* •••*«) для кг + ... + кп = I.■,
Давая / значения 1, 2, ..., мы последовательно определим все и^1 ••• W.
Рассмотрим теперь систему уравнений
и^ВйР^Ч^НР^Ч^, «,.)]
и3=В3^он\ин+Р/°Ч^+Р/п^ Ыг)](3.76)
где Р/о), Р/D получены изД/0), Д/1 >соответственно в результате замены коэффициентов последних их модулями.
Представим решение системы (3.76) в виде
и3 = 1\и^-^^..Лпк"^-^
Эти ряды будут абсолютно сходящимися по крайней мере для достаточно малых значений |^-|. Легко убедиться, что коэффициенты и3^'-кп\ определяемые формулами (3.75), будут не менее | a^i ■•• кп> |, т. е. будем иметь
и^" к^>\а^Ч -*n)| (fel + ...4_*n>1: /=iр)
Следовательно, ряды (3.73) будут также абсолютно сходящимися и представят решение системы (3.72).
Возвращаясь к переменным х^ ..., хп, мы получим решения системы (3.69) z3 = г3(хъ .... хп), обращающиеся в нуль при xt = ... = хп = 0.
§ 20. Случай периодического движения. Предположим теперь, что- в системе (3.68) коэффициенты pSh и§31 — постоянные величины, а коэффициентами разложения функций Х8 и Z 3 являются периодические функции / с общим вещественным периодом 2л.
Если вещественные части корней уравнения \p8h — o8hx | = 0 не равны нулю и имеют один и тот же знак и между этими корнями и корнями уравнения \g3i — a^v] = 0 не существует соотношений
■vj = m1x14-...+mnxn(3 = 1 р)
для всех целых положительных mlf ..., тп, включая нуль, удовлетворяющих условию 2ms > 0, то можно доказать, руководствуясь соображения- 78'
ми [30], существование голоморфных функций z1(x1, ..., хп, <), • ••, zp (хг, ..... хп, t), представляемых степенными рядами с периодическими по t коэффициентами с периодом 2л. Эти функции будут удовлетворять системе уравнений с частными производными вида
dzj " dzy
"g7 + g2 ^(Psl^l + ••• +PsnXn + XJ = gjl ?1 + + gjpZp +(3.78>
+ Zj(t. Xi xn, zxzp) (/=1 P)
и обращаться в нуль при хг = ... = хп = 0 {60}.
Докажем теорему, аналогичную теореме §19 в отношении системы (3.78).
Теорема. Если система уравнений (3.78) такова, что
уравнение | psh — 6shx | = 0 или не имеет кратных корней, или при наличии кратных корней каждому такому корню отвечает столько групп решений, какова его кратность;
между корнями уравнений | psh — oshx | = 0 и | gn — оп>» | = 0 не существует зависимости
тг хг + -+тп xn — Vj = iE
где Е — любое целое число, включая нуль, а т8 — целые положительные числа, удовлетворяющие условию 2 m, > 1;
функции X8[xlt ..., хп; z^хп, t), ..., zp(xlt .... хп, t), /] = 0, то существует единственная система голоморфных функцийzу = Zj (хь... ..., хп, /) с периодическими коэффициентами, удовлетворяющих системе (3.78) и обращающихся в нуль при хг = ... = хп = 0.
Предположим, что система (3.68) приведена к виду (3.71), где Es, Hj (s = 1, .... п; j = 1, ..., р) являются периодическими функциями / с периодом 2л.
Рассмотрим систему функций т)у = rjy (£i, ..., £п, 0> удовлетворяющих системе уравнений с частными производными
Tip, 0-i?se
я я 5=1 и
d*U " дт)уv
Qt +5 5£/Л = ^Д/ + <Т/-17]/-1+#y<^ . .. ^n, 0 +
W4L In, T]!,..., rip, 9~ S^^(/ = 2, 3 p)
где
H/°)(^,..., ln, 1^^А^- к^^^..Л>
Н^ч^ln; Th,...,7b, 0 = S^(6i-6n'"i-"p)(0^...
...^п^ь.лз/р(3.80>
H(1) (/ = 1, .... p) обращаются в нуль при т,! = ... = т]р = 0.
Представим решения системы (3.79) в виде
ri, = Sa/Ai-6n)(0^i...^n(з.81>
где ауС6*---^) (0 — периодические функции t с периодом 2л, подлежащие определению.
Отметим, что в результате подстановки т)у (3.81) в выражения Ss последние обращаются тождественно в нуль.
Подставляя значения т]у (3.81) в систему (3.79) и отождествляя коэффициенты при одинаковых выражениях У4 ..Лпкп, получим линейные диф- -ференциальные уравнения для определения коэффициентов а3*
a\*+h1*a1* = A1*+P1*, а, * +h3* а,* = о/_1 а*_х + А3* +?* (3.82)
ЦчР... + kn-l; 1 = 1. 2)(/=2 р)
где знак * заменяет индекс (^...^п), а /г/ = к^ + к2хг + ... + кпхп—v3.
Выражения Р 3* будут представлять многочлены от коэффициентов Д У61-"6"'"1" "р) (/) и различных степеней тех а3*, у которых кх + ... + + &п ^/ — 1-
Руководствуясь соображениями Ляпунова, изложенными в {35, 42}, докажем сходимость рядов (3.81).
е-к'* ЧА^+P^dtе-к'* ЧА^+P^dtОпределим функции а3* для всех значений къ ..., кп, удовлетворяющих условию кг + ... + кп = I, считая, что все а3*, у которых кг + ... + kn ^ ^/ — 1 известны, в виде
е-к'* ЧА^+P^dt
е-к'* ЧА^+P^dt
e-W_\
А .* t (+2л
f ^*<(^-i«/-i*+V+^*)^(3.83)
e 3—1 J
(/ = 2 p)
Пусть В3 есть наибольшие значения величин 1/ l^xx + ... + кпхп — v 31, для всех значений ks, удовлетворяющих условию кг + ... + kn >- 1, а величины Их*, и2*, •••, «р* представляют наибольшие значения модулей тех аг*, ..., ар*, для которых кг + ... + kn ^ / — 1. Обозначим наибольшие значения модулей A 3*(t) через а 3*, а через р/ наибольшие значения модулей выражений Р 3*, если в последних заменить значения А ^к1"лп' ni-nPi ^ наибольшими значениями их модулей, а а3* для к3 + ... + кп ^/— 1 на и/.
Из выражений (3.83) получим наибольшие значения модулей тех а3*, у которых кг + ... + кп = I, в виде
«х^ВНа^ + рх*),и3* = ВД\ом }«/_,*+«/ + ?,•*)(3.84)
(/ — 2р)
Очевидно, что
и3^1-fen')>\aj^i-кп^(й1 + „. + й„=/; /=1р)(3.85)
Давая / значения 1,2,3,..., мы определим наибольшие значения модулей всех коэффициентов, входящих в ряды (3.81).
Рассмотрим теперь систему уравнений
С1 = Вх [Вх<°) (^хuw^i,'..., ^; *^Р)1
e^B^lay-il^+F/o)^ U+^'’^..-Л ^п; £1,..., U1 (3.86) (/ = 2р)
где F3W (^,^n), р/1) (gi, ..., ^\ ^х, .... Ср) (/ = 1, .... р) получены из
H3W (^хL, О И Д/D (СхL; С1, .... ^р, t) заменой A 3^-W (t) и ^^(6,...6n, п,...пр) ^ наибольшими значениями их модулей.
80
Решение этих уравнений представим в виде рядов
^ = 1,^^-^^...^и=1 р) (fe1 + ... + fen>i) (3.87)
абсолютно сходящихся по крайней мере для значений | £г I достаточно малых.
Легко обнаружить, что коэффициенты и^—М определятся по формулам (3.84).
На основании условий (3.85) можно утверждать, что ряды (3.81) являются абсолютно сходящимися по крайней мере для достаточно малых значений |
Обобщение теоремы Врио и Буке. В дальнейших исследованиях нам будет необходима следующая теорема.
Теорема. Пусть дана система дифференциальных уравнений вида
x^=Yt(x, У1у^ (. = 1 п)(3.88)
ах
где Yt — голоморфные функции переменных х, уг, ..., уп, обращающиеся в нуль, когда все переменные делаются нулями.
Тогда, если уравнение
6l7=l при i = j, 6гу = 0 при г =# /(ё, /=1,..., п)
не имеет целых положительных корней, то всегда найдется одна определенная система голоморфных функций уи ..., у^ переменной х, удовлетворяющих системе (3.88) и обращающихся в нуль при х = 0.
Доказательство. Построим для величин уъ .... уп ряды, формально удовлетворяющие системе уравнений (3.88)
yi = с/^ х+ c2(i) х +... (i = l,..., п)(3.89)
Коэффициенты chW однозначно определяются в результатате подстановки этих рядов в систему (3.88) из уравнений
п
hckW-^PljchW = PbW(3.90)
/=i
где PhW — известные полиномы от коэффициентов разложения функций Y} и коэффициентов с^\, ..., с^х (] = 1, ..., ri).
Из уравнений (3.90) находим
ch№ =^(/) ^Р^' + D^ ^PkW + - +°nW ЮPkWA
D (fe)
Здесь определитель D(k) = | 6г ^ — p, j ^ в силу условий теоремы не равен нулю. О^\к) — алгебраические дополнения элементов (6^& — рц) определителя D(k).
Отношения D^ (&)/D(&) стремятся к нулю, когда к, оставаясь целым положительным числом, стремится к бесконечности.
Возьмем п2 чисел р*)1, удовлетворяющих неравенствам
p/O>|D/O(^)/D(^)| у, /=1„.„ п)
для всех целых положительных чисел А, и рассмотрим систему уравнений
gn Ут -Vgn У» + • • • +^п Уп = Y*(3-91)
где Yt* получены из функций Yt заменой коэффициентов в последних их модулями, а коэффициенты gt j таковы, что выполняются неравенства (—1)W Д(Р / Д> р(Р в предположении, что Д = | gi} [^ =/= 0, а Д(Р — миноры этого определителя для элементов gjt.
На основании теоремы существования неявных функций можно утверждать, что система уравнений (3.91) однозначно определит п функций yt = У^, голоморфных в области начала координат и обращающихся в нуль при х = 0. Эти функции можно представить так:
у^С^х+С^х^-Ь.. (Z = l,.„, п)(3.92)
Нетрудно заметить, что коэффициенты этих сходящихся рядов удовлетворяют неравенствам
C^>\chW\
Следовательно, ряды (3.89) будут также сходящимися и представят искомую систему голоморфных функций.
Если определитель О(А) равен нулю при целом положительном к и при этом полиномы, стоящие в правых частях уравнений (3.90), будут отличны от нуля, то голоморфного интеграла, представляемого рядами (3.89), не существует. В этом случае систему уравнений (3.88) можно удовлетворить функциями, голоморфными в отношении х и х In х, причем эти функции будут также обращаться в нуль при х = 0.
Если окажется, что указанные полиномы равны нулю при D(k) = 0, то систему уравнений (3.88) можно удовлетворить системой голоморфных в отношении х функций, обращающихся в нуль при х = 0, при этом определение этих функций будет неоднозначно, так как в их разложения будут входить произвольные постоянные.
В случае п = 1 отсюда вытекает известная теорема Врио и Буке.
Основная теорема об устойчивости неустановившихся движений в критических случаях. В § 14 было показано, что от исследования устойчивости установившегося движения, описываемого системой (/и + 2^ + р)-го порядка с tn + 2q критическими переменными, в случаях несущественно особенных всегда можно перейти к исследованию системы (/и + 2^)-го порядка и по этой системе судить об асимптотической устойчивости или неустойчивости невозмущенного движения всей системы.
Эта же теорема, как следует из дальнейших рассуждений, имеет место и для периодических движений.
В данном параграфе результаты по сведению распространяются на системы уравнений вида
У) =УпУ1 + -+У/рУр + УДх1 хп; У1 ур; I)
х8" = Рдх^... +р8П хп+ХДхъ ..., хп; уг ур; t)
У = 1,..., р; s=l,..., п)(3.93)
В этой системе qjt и psh — непрерывные ограниченные функции t в интервале 0 ^ / ^ оо. Функции Y j и Х8 имеют структуру
Yj = Yзо^Нуъ > УР> Й + ••• +YjOt-N'1 ^ь..., ур; <) + ••• +
+ W*1^^хп; t)y^...ypkP+Yjr
Х^Х^ЧутУр, O+.-.+S^1Wiхп; ^...у^А-Х»
где У/o’ и Х^’ — формы /-й степени от yv ..., ур, Q/ *кр\Р8 *р*— линейные формы от хь ..., хп. Коэффициенты этих форм являются ограниченными и непрерывными функциями t.
Функции У л и Ха1 не содержат в своих разложениях линейных членов в отношении хъ ..., хп и обращаются в нуль при хг = ... = хп = 0.
Будем предполагать, что для первой группы уравнений (3.93) вопрос об устойчивости не решается первым приближением, а уравнения
Х8" = Psi Х1 + ••• + Psn!xn
допускают существование знакоопределенной квадратичной формы, удовлетворяющей теореме Ляпунова об асимптотической устойчивости.
Основываясь на теореме Перрона {•], можно утверждать, что, не уменьшая общности задачи, можно считать р8к и q)t равными нулю, если к >з и t > /, т. е. форма линейных частей треугольная.
Докажем, что, не изменяя задачи об устойчивости, систему уравнений (3.93) можно преобразовать так, чтобы выполнялись условия
л3>Х + 1 (Л),^ + ...+Ар>Х + 1 (В)
если только модуль выражения
при любых / >0 и при любых целых к^ ..., кр, удовлетворяющих условию &i + ... + кр ^ N.
Предположим, что все формы Xs(ns>, у которых п8 ^ к — 1, тождественно равны нулю.
Введем замену
Xs-^A-uAyi,..., УР, 0($=1п)
где и8— формы к-й степени, подлежащие определению. Если эти формы найти из уравнений
(3.95)(3.95)7^ + S ^ ^ ^ + "• "^Ч^У^ — Рб!11!"^ ■•• +Pss«s +
(3.95)
(3.95)
Н-Х^^ ур;f)
то в преобразованной системе все функции, играющие роль функций X8W, обратятся тождественно в нуль.
Представим формы и8 в виде
и8 = 1^^Н^у^-.у^Р(^ + ... + ^ = 6)
Определение коэффициентов с8(,к«кР^ (О можно вести в следующем порядке.
Вначале определяются все коэффициенты с<°°-6)из системы уравнений
cs*- = Р81 Ci* +... Wss—kqPP) с* + Ла*(3.96)
где Л a* — соответствующий коэффициент формы
XW = УЛ8(4‘у^ ... урр
Затем определяются коэффициенты с<®°,!.*—D и т. д. Для определения коэффициентов с^кр^ при фиксированных £ь ..., кр получим уравнения
с^с^•к^= рлсх^^+...+•к^= рлсх^^+...+рРвв ^ kiPti./=1рРвв ^ kiPti./=1С.^С.^’ Ар)_|__Дя(61’ ••• • кр)(3.97)’ Ар)_|__Дя(61’ ••• • кр)(3.97)
с^
с^
•к^= рлсх^^+...+
•к^= рлсх^^+...+
р
Рвв ^ kiPti
./=1
р
Рвв ^ kiPti
./=1
С.^
С.^
’ Ар)_|__Дя(61’ ••• • кр)
(3.97)
’ Ар)_|__Дя(61’ ••• • кр)
(3.97)
При условии (3.94) уравнения (3.96) и (3.97) определят коэффициенты с/4*кр^ (кх + ... + кр = к") в виде непрерывных и ограниченных функций t.
Придавая к значения к = 1, 2, ..., N, получим систему, для которой условие (Л) выполняется.
Для того чтобы система (3.93) удовлетворяла условию (В), преобразуем ее, положив
У, = 11/+2«ЛкрЧч хп; Wi...ypkP(3.98)
Предположим, что все линейные формы Q/*1кр^ тождественно равны нулю для кх -V ... + кр^.к — 1.
Полагая, что сумма, фигурирующая в (3.98), распространяется на все к8, удовлетворяющие условию кх + ... + кр = к, определим формы и^1кР^ таким образом, чтобы в преобразованной системе исчезли линейные формы, аналогичные Q/4*кр') для кх + ... + кр = к.
Формы и/414Р) можно определять в следующем порядке. Вначале
определяются формы и/0°’4>из уравнений
аилоо.4)" du/°°- 4>
‘ ——т.Vkqppu^°-4> + 5 z(Psi^i + -+Pss х^
ats=i oxs
— Рд «i(0°’к^ +••• + <Д/“/°°’к^ +Q/0°’ ^
Затем определяются формы «/о,.... o,i. б-n и Т- д для определения форм и/к14р) получим уравнения
ди,ЦЧкр^ Лk , "диЛк1кр)
— V^kjqaU^v ' ^+2 д(Psixi+-”+Pssxs)— atj=\s=i oxs
= qnu^kp) + ...+q.jU^ki*p)+ Q/ikp^ (3.99)
Представляя формы u/64P> в виде и* = cv*xx + ... + cn*xn и подставляя эти выражения в (3.99), получим уравнения для определения коэффициентов с8*. Эти уравнения при условии (3.94) представят ограниченные и непрерывные решения для cs*.
Давая числу к значения от 0 до N, получим в результате ЛА-кратного преобразования новую систему, удовлетворяющую условию (В).
Относительно преобразованной системы справедлива теорема, аналогичная сформулированной в § 14.
Теорема. Если укороченная система
УТ=Цц Z/i+'-'+^jI/j+E/'”^ (z/1, ..., ур; /)+-.. Ч-Е/^1 (Уг,..., ур; t)
(3.100)
Допускает существование функций Ляпунова или Четаева, причем знак производных этих функций определяется формами не выше N-ro порядка независимо от форм более высокого порядка, а уравнения
х8- = р81Хх + ...+р88х8(3.101)
допускают существование знакоопределенной квадратичной формы, удовлетворяющей теореме Ляпунова об асимптотической устойчивости, то функции Ляпунова или Четаева для полной системы определяются в виде суммы
V = VM ур; HVt(xt хп; t)
где Vi — функция Ляпунова или Четаева, отвечающая системе уравнений (3.100), a V2— функция Ляпунова для системы (3.101).
Эта теорема является обобщением результатов работы [’] для систем с постоянными и периодическими коэффициентами на системы с коэффициентами, являющимися произвольными ограниченными и непрерывными функциями времени.
Г л А В A IV
ДВА НУЛЕВЫХ КОРНЯ С ДВУМЯ ГРУППАМИ РЕШЕНИЙ
§ 23. Предварительные преобразования. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений возмущенного движения (п + 2)-го порядка
~~ — gsi Ух+ gs, п+2 Уп+2 + (У1,Уп+2)(s=l,..., п-|-2) (4.1)
at
где gsh — постоянные величины, a Ys (ух, ..., Уп+2)— голоморфные функции в окрестности точки ух = ... = уп+а = 0, разложения которых не содержат линейных членов.
Предположим, что определяющее уравнение
.*—e.ft XI = о(4.2)
имеет два нулевых корня.
В главе II мы предполагали, что по крайней мере один из миноров первого порядка определителя \gsh— 6shx | = 0 отличен от нуля при х = 0. В этом случае система уравнений (4.1) приводилась к виду (2.1).
Если все миноры первого порядка определителя \g8h— 6ahx| = 0 обращаются в нуль при х = 0, то всегда найдутся две линейные формы с постоянными действительными коэффициентами
X = Ах Ух + А2 </2 + ••• + ^п+1 Уп+\ + ^+2 Уп+2.У = ВхУх +
+ 52У2 + -" +5п4-1 Уп+\ +Вд+2 Уп+2(4.3)
удовлетворяющие уравнениям
"Хх*^дхУ^.% = Yi*^x Уп+2^(4.4)
atat
где Xj* и Ух* — голоморфные функции в окрестности нулевой точки, не содержащие линейных членов.
Предположим, что уравнения (4.3) разрешимы относительно y„+i иуп+2. Тогда, принимая за новые переменные величины х, у,ух, .... упи подставляя в первые п уравнений и в уравнения (4.4) значения уп+1 и уп+а, выраженные через х, у, ух, .... Уп. получим новую систему следующего вида:
^7 = Х* (х, у, ух...., у„),% = Y* (х, у, ух,..., у„)
atat
^ = Psxyx + -+psnyn + psx+gsy + Y*(x, у, ух у^ (4.5)
(s = 1,..., я)
где psh, р8, gs — вещественные постоянные, а X*, Y* и Fs* — голоморфные функции прежней структуры.
№
Кроме того, уравнение | psh — 6shx | = 0 имеет корни только с отрицательными вещественными частями. Заменой
xs = ys + Csx-V-D8y (s=l,..., и)
систему уравнений (4.5) всегда можно преобразовать к виду
^- = Х(х, у, хъ..., хп), ^- = Y(x,y,Xlхп) atat
dx "(4>6)
-77= 5 РвкХк-\-ХДх, у, Хх ХД ($=1 п)
at k=i
если постоянные С8 и Ds определить из уравнений
Psi Cl +Ps2C2 + ... +Psn Cn — Ps = 0
PsiDi+PsiD» + --+PenDn—g8 = 0(s=l,..., n)
Такое определение чисел C8 и D8 всегда возможно.
Представим правые части системы (4.6) в виде
Х(х, у, х^ = Х0(х, у) + Х01(х, у, х,), Y (х, у, х^ =
= Y0(x, y)+Ym(x, у, xt)
ХДх, у, xt) = X^x, t/) + Xsl(x, у, Xt) (S, i = i n)(4.7)
Функции Xqi, У01, XS1 обращаются в нуль при хг= ... = хК = 0, а Хо, Уо и Xs0 представляются рядами
ХДх, у)=^Хот^х, у), Y^x, y)=^Y^4x, у)l>2i>2
■Х^^Х^Цх, у) 1>2
где X0(Z), Xs0(Z> и y0<z> — формы /-й степени от х, у.
Преобразуем систему (4.6), положив
х8 = У, + иДх, у)(s = l,..., п)(4.8)
Переменные у8 будут удовлетворять системе уравнений
Уз = 5 Р8ьУк+У,Дх, y) + Y81(x, у, yt) (8-1 п)(4.9)
к=1
в которой
YsM у)=-^Х(х, у, Ui)-d-^Y(x, у, Ы<) +охоу
+ 5 P8buh+Xs(x, у, U{)(s, i=l П)(4.10)
.6=1
Рассмотрим уравнения
Kso = O (s=-l,..., п)
Эти уравнения можно формально удовлетворить степенными рядами us {х, у) (см. прим, к теореме (30)). Ряды и8(х, у), как правило, будут расходящимися.
В исследовании поставленной задачи мы должны различать два возможных случая:
Результат замены в выражениях Х(х, у, х^ и Y^x, у, х^ переменных х8 на и8(х, у) приводит к тождествам
Х\х, у, иДх, у)] = У[х, у, иДх, у)]=0(4.11)
В результате этой замены, по крайней мере одна из функций Х1х, у, и8(х, у)] или ¥[х, у, и8(х, у)], не обращается тождественно в нуль (общий случай).
24. Существенно особенный случай. Рассмотрим случай, характеризуемый тождествами (4.11). Этот случай относится к категории существенно особенных. Легко убедиться, что ряды и8 (х, у) при условии (4.11) будут абсолютно сходящимися, по крайней мере для достаточно малых значений |х| и |у| (см. теорему § 19 главы III).
Система уравнений (4.6) в результате преобразования (4.8) будет такова, что правые части ее обращаются тождественно в нуль при уг = ... = уп = 0. Предположим, что система (4.6) преобразована к указанному виду и правые части ее тождественно равны нулю при xY = ... = х„ = 0, т. е. в выражениях (4.7) функции Хо = Уо = Xs0 = 0.
Представим функции XOi, У01 и XS1 в виде
^01= 2 xkPh(x, уррХ^Цх, у, х,,..., х^, Y01=^xkQk(x, у) + 6=16=1
+ У0<2)(х, у, хь ..., х„)
Xsl= ^xhPsh(x, д^ХДЦх, у, хг хп)(s = l,..., л) (4.12)
где функции Ph, Qu, Р8к от х, у обращаются в нуль при х = у = 0, а Х0(2), У0<2> и Х$(2) обращаются в нуль при хт = ... = хп = 0 и не содержат в своих разложениях линейных членов в отношении хг, ..., хп.
(4.13)(4.13)Преобразуем систему (4.6), положив
(4.13)
(4.13)
х = 1+Цхкик(х, у), у = т) + 5 xkvk(x, у} 6=16=1
считая Uh и ид корнями системы уравнений
(4.U)(4.U)Phs Uh = Ps U, t/) — S Phs Uh 6=16=1
(4.U)
(4.U)
Phs Uh = Qs (x, У)— ZiPhsUh (s = 1 П)
6=1-
которая определит Uh и Vk в виде абсолютно сходящихся степенных рядов от х, у по крайней мере для |х|, \у\ достаточно малых (см. теорему § 19 главы III).
В результате преобразования получим систему уравнений
^ = 3^, П, хг хп), W = H&, т), хгх„)
Xs = 5 PshXk+ 2 XhQsh(l, T])+^sl(2)(^ 11, *1,-» хД(4.15)
6=16=1
(s = 1 ,..., n)
В этой системе функции 3, Н, Xsi(2) не содержат в своих разложениях линейных членов в отношении xv ..., хп, a QSh(l. я) обращаются в нуль при 5 = П = 0.
88
Функцию Ляпунова, отвечающую системе уравнений (4.15), можно взять в виде
V^^+^+VJx!xj
где У2— определенно-положительная квадратичная форма от хь ..., х„, удовлетворяющая уравнению
п лип
2 J-2(PslXi + ...+psnXn)= — 2 *?
s=l dxss—I
^x^Q5k-VX81wк=1.^x^Q5k-VX81wк=1.Производная V по t будет иметь вид
^x^Q5k-VX81w
к=1.
^x^Q5k-VX81w
к=1.
V' = - 2 X»+2§г +2Пл + 2 s—1s=l oxs
Правую часть этого уравнения можноПравую часть этого уравнения можнопредставить следующим образом:представить следующим образом:
Правую часть этого уравнения можно
Правую часть этого уравнения можно
представить следующим образом:
представить следующим образом:
пп п
V'= — 2 ^s2+ 2 2 xsxh^sh(x, у, хъ..., х„)(4.16)
S=1S=1
где ф5?1 обращаются в нуль при х = у = xv = ... = хп = 0.
Из (4.16) следует, что V' является постоянно-отрицательной функцией от переменных х, у, хь ..., хп.
На основании теоремы Ляпунова {16} можно утверждать, что невозмущенное движение устойчиво.
§ 25. Общий случай. Приведение к системе второго порядка. Предположим, что тождества (4.11) не существует.
Пусть
Х[х, у, и^х, у)] = Х<"0(х, у) + Х^1» (х, </) + -..
(4.17)
Y [х, у, us(x, y)] = Y^(x, у) + У<'"+1> (х, у) + .„
Определим функции us(x, у) таким образом, чтобы в выражениях У80(х, у) исчезли все формы от х, у, степень которых менее т ~V N.
Для этого в рядах us(x, у) достаточно взять сумму форм до (т + Х)-го порядка включительно. Обозначая совокупность этих форм через us(x, у) и преобразуя систему (4.6) по формулам
*8 = У8 + М*, #)(s=l,..., л)
получим новую систему вида
x- = X<m)(x, yJ+X^+'^x, у) + ...+Х*(х, у, у! у^
у = ¥^Цх. y)+Y^(x, у) + ...+У*(х, у, yv уп)
"(4.18)
УУ =- S РзкУн + Уз(т^Чх, y)+Ys<m+N+^ (х, УН- +
Й=1
+К8(Х, у, уъ .... у„) (s = l,..., п)
На основании теоремы § 14 мы можем утверждать, что в случаях несущественно особенных задача об устойчивости нулевого решения системы (4.18) эквивалентна задаче об устойчивости нулевого решения системы второго порядка, которую мы получим, полагая в первых двух уравнениях системы (4.18) yv = ... = у„ = 0.
§ 26. Теорема о неустойчивости по формам тп-го порядка. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений вида
x' = X<m>(x, у) + Х<п,+1>(х, </) + •••, y = YW(x, $/) +
4-y(m+l)(x> ^4-...(4.19)
где
Х^^^х, у) = ao<z)xz Ч-щ^х'-1 у+ ... + а/°У1
YW(x, y') = b0Wxl-^b1№xt-iy + ... + blwyl (/ = «,«+!,...) (4’20)
Исследование начнем с простейшего случая, когда вопрос об устойчивости решается формами /п-го порядка независимо от форм более высокого порядка. Этот случай был полностью исследован в работах [ба0].
Рассмотрим вначале частный случай. Предположим, что в системе (4.20) коэффициент 60<т> = 0. Система (4.19) представится тогда в виде
х* = aQw хт 4-Qiw хт-1 у +... 4-amW у* 4_Х('”+1) (х, у) + ...
y = b1Wxm-V у+.-.+Ьт^ ym + V^m+V4x, у) + -..(4-21)
Докажем, что при а0<т) >0 невозмущенное движение неустойчиво. Возьмем функцию
V = х2 + у2
Тогда
V = 2x(a0<m)xm + a1<m> хт-х у-\-...-Va^ ут + --} +
+ 2у (Ь^ Хт-1 у +... + bmW ут + „.)
Рассмотрим область D
е2х2—у2>0, х>0, где е — малая величина.
В области D будем иметь VV’ > 0. Выберем функцию
Ц7 = х2»_у2, к> 1
Очевидно, что область W > 0 заключена в области W > 0. Производная dWIdt будет иметь вид
W = 2кх2к~х [а^ хт 4-... 4-amW у™ 4- ..^—^уф^ хт-х у + ... +
-Vb^ym^...^
На границе области W > 0, где W = 0, знак W будет определяться совокупностью членов 2ka0Wx2k+m-x—2Ь1Хт'1х2к+т_х. Выберем число к из условия kaj-^^biW. Тогда знак W на границе области W > 0 будет определяться знаком выражения ka^mX — Ь1Хт’> по крайней мере для достаточно малого значения |х|. Отсюда следует, что функции V и W удовлетворяют условиям теоремы Четаева о неустойчивости невозмущенного движения.
Пусть теперь 60<т) =/= 0. Преобразуем систему (4.19), положив
х = ^ xt + Х2 уь у = Ц! Xi + ц2 yv(4.22)
Переменные хх’ и уг будут удовлетворять системе уравнений
xi Д = Л0('")х1'" + Л1<'")х1'”-1у1 + ... + Лпг('")у1т+Х1('"+1)(х1, УгН-
у\ А=В0(”)х1”+В1(т>х1”-1у1+...+В,^^^УхН- (4,23)
гдегдеД =Д =Х1Н1Х1Н1^2Рц^2Рц
где
где
Д =
Д =
Х1
Н1
Х1
Н1
^2
Рц
^2
Рц
Коэффициенты А/'> и Bjw у = 0, 1, ..., m), (I = т, т + 1, ...) определятся через коэффициенты а^ и b jW, а также через Х^, рь Х2. р2. В частности, коэффициенты
Во^ = ^ Y* (^ И1)-И1 X* (Хи pj,Д0<т> = р2 № (Хп И1)_
-X2YW(Xi, РО(4.24)
Введем в рассмотрение функции F0(x, у) и R0(x, у), определяемые выражениями
Fokx, у^хУ^Цх, у^—уХ^Цх, у),R0(x, у) =
= xXW (х, у) + yYW (х, у)
Эти функции играют весьма существенную роль в исследовании вопроса об устойчивости движения, характеризуемого системой (4.21).
Предположим, что уравнение F0(x, у) = О имеет вещественные решения, отличные от х = у = 0. Полагая у = хх, представим уравнение F^x, у) = 0 в виде
Fo (1, х) = bow xm+ 1 + (b^ml—a0(m))xm+ •••+(4.25)
W^-a^x-a^-O
Пусть хь ..., xp (p ^ m + 1) — вещественные корни этого уравнения.
Докажем следующую теорему.
Теорема. Если система (4.21) такова, что уравнение F0(x, у) = 0 имеет вещественные решения у = хрс (j = 1, ..., р) и если при этом выражение L = X^lx = Y^ly можно сделать величиной положительной по крайней мере для одного из решений у = хрс, то невозмущенное движение неустойчиво.
Очевидно, что при pi = XjX1 (j = 1, ..., р) коэффициент S0(m) = 0, а
0 XiHi
Легко убедиться, что при L > 0 выражения
Xw <Хъ^ Y™ (Xi, tii) . п
Следовательно, замена (4.22) преобразует исследуемую систему, в которой 60(т> + 0, к виду (4.23), если положить Bow = 0 и Д0<т>/Д > 0.
Условия S0<m) = 0 и Д0(т)/Д>0, как мы убедились, обеспечивают неустойчивость невозмущенного движения.
Отметим, что условие L = XW/x = Y^ly > 0 на прямых у = хрс эквивалентно условию R0(x, у) > 0 на тех же прямых.
§ 27. Случай знакоопределенности функции F0(x, j>). Предположим, что уравнение р0 = хУ^ — уХ^ = 0 не имеет вещественных решений, кроме очевидного х = у = 0. Относительно системы уравнений (4.19) при этом предположении можно доказать следующую теорему.
Теорема. Пусть правые части системы (4.19) таковы, что уравнение
Fo = xYW — yXW = O
не имеет вещественного решения, кроме очевидного х = у = 0.
Тогда вопрос об устойчивости невозмущенного движения решается знаком выражения
. С X(m) (cos 0, sin 0) cos 0 +у(т> (COS 0, sin 0) sin 0
J = rn(cos0, Sin0) I vttnY",a—”t:~—v(mYA—• nx ." a d0 (4.26) °'’ 'J У1 1 (cos 0, sin 0) cos О—X1 ' (cosO, sin 0) sin 0 v '
о
При J < 0 движение асимптотически устойчиво, а при J > 0— неустойчиво.
Действительно, преобразуем систему уравнений (ч.19) с помощью подстановки х = г cos 0, у = г sin 0.
Переменные г и 0 будут удовлетворять уравнениям
(4-27)(4-27)^ = Хсо$0 + У sin 0 = rmP(l4-r'n + 1 Pi + L.
(4-27)
(4-27)
г^=Усоз0 —Xsin0 = rmFo + r'*+I Л+ ... at
где
X = 2 Х^ (х, у), Y = 5 YW ^х, у) 1 = т1=т
а выражения Рм и F^ определяются равенствами
Рч (cos 0, sin 0) = X(m+V> (cos 0, sin 0) cos 0 + y(m+v> (cos 0, sin 0) sin 0
Fv(cos0, sin0) = y<m+v> (cos0, sin 0) cos 0—X<m+v)(cos0, sin 0) sin 0
(v=0, 1, ...)
Исключая / из уравнений (4.27), получим
(4-28)(4-28)A=rR1+w,+ ...
(4-28)
(4-28)
где Rv Ra, ... — рациональные функции от sin 0 и cos 0, знаменателями которых служат различные степени выраженияFo = Y^ cos0—X(,n) sin0не обращающегося в нуль ни при одном вещественном значении 0. Отметим, что Rx = Po/Fo.Рассмотрим сначала случай, когда2Лгде Rv Ra, ... — рациональные функции от sin 0 и cos 0, знаменателями которых служат различные степени выраженияFo = Y^ cos0—X(,n) sin0не обращающегося в нуль ни при одном вещественном значении 0. Отметим, что Rx = Po/Fo.Рассмотрим сначала случай, когда2ЛS = JоS = Jоcos 6 + Y^ sin 9cos 6 + Y^ sin 9YW cos9—X(m) sin9YW cos9—X(m) sin9d0 =t 0d0 =t 0
где Rv Ra, ... — рациональные функции от sin 0 и cos 0, знаменателями которых служат различные степени выражения
Fo = Y^ cos0—X(,n) sin0
не обращающегося в нуль ни при одном вещественном значении 0. Отметим, что Rx = Po/Fo.
Рассмотрим сначала случай, когда
2Л
где Rv Ra, ... — рациональные функции от sin 0 и cos 0, знаменателями которых служат различные степени выражения
Fo = Y^ cos0—X(,n) sin0
не обращающегося в нуль ни при одном вещественном значении 0. Отметим, что Rx = Po/Fo.
Рассмотрим сначала случай, когда
2Л
S = J
о
S = J
о
cos 6 + Y^ sin 9
cos 6 + Y^ sin 9
YW cos9—X(m) sin9
YW cos9—X(m) sin9
d0 =t 0
d0 =t 0
eгде ^ (g — R^dd представляет непрерывную периодическую функцию для овсех вещественных значений 0.Очевидно, что задача об устойчивости по отношению к переменной г эквивалентна той же задаче по отношению к переменной р.92eгде ^ (g — R^dd представляет непрерывную периодическую функцию для овсех вещественных значений 0.Очевидно, что задача об устойчивости по отношению к переменной г эквивалентна той же задаче по отношению к переменной р.92
e
где ^ (g — R^dd представляет непрерывную периодическую функцию для о
всех вещественных значений 0.
Очевидно, что задача об устойчивости по отношению к переменной г эквивалентна той же задаче по отношению к переменной р.
92
e
где ^ (g — R^dd представляет непрерывную периодическую функцию для о
всех вещественных значений 0.
Очевидно, что задача об устойчивости по отношению к переменной г эквивалентна той же задаче по отношению к переменной р.
92
Из уравнения (4.28) следует, что за исключением очевидного решения г = 0 все другие решения будут для достаточно малых г сохранять знак своего начального значения, а поэтому, не уменьшая общности задачи, переменную г можно считать положительной.
Преобразуем уравнение (4.28), положив е"
p = rexp ^g— R^M .о.
Переменная р будет удовлетворять уравнению
(4.29)(4.29)^- = gp + ^2p2+ ...
(4.29)
(4.29)
где Н4, ... — непрерывные периодические функции 6.
Функцию Ляпунова, отвечающую этому уравнению, можно взять в виде
У = р
Производная V' запишется следующим образом:
avс
pm-lpm-l99— = (gP + ^Р2 + ...)ехр — (т— 1) ^(g—R^dQ atх
pm-l
pm-l
9
9
X Fo(cos6, sin6) 1+p—exp —A(g—R^dQ + ...
L f« L о J
Нетрудно видеть, что знак производной при достаточно малом р определяется членом pmgF0(cos 6, sin 6).
Если условимся рассматривать значения р > 0, то знак V' будет тот же, что и знак произведения gF0. Функция V при этом будет определенно-положительной.
Следовательно, при gF0 > 0 невозмущенное движение неустойчиво, а ПРИ gF0 < 0 асимптотически устойчиво.
Переходим к случаю, в котором
2Л
g = R1d9 = 0 о
Преобразуем уравнение (4.28), положив
г = рехрг = рехр"0■$ Rxd9.о ."0■$ Rxd9.о .
г = рехр
г = рехр
"0■
$ Rxd9
.о .
"0■
$ Rxd9
.о .
В результате преобразования будем иметь
5 = р2 ^2 (9) + Р3 Н3 (0) + ...(4.30)
где Н4, Н3, ...—периодические функции 0.
2л
Предполагая, что \H2d6 = ^ =^ 0, вводим замену о
о
P = Pi—Р2$(^2 —§i) d9 о
Уравнение (4.30) преобразуется тогда к виду
(4.31)(4.31)5 = ^1Р12 + ^з*Р13+ ...
(4.31)
(4.31)
ОД
где Н3*, ... — новые периодические функции.
Уравнение (4.31) позволяет сделать заключение, что в случае Fogx > 0 невозмущенное движение неустойчиво, а в случае F6gY<. 0 асимптотически устойчиво.
2Л
Если J/72d0 = 0, то к уравнению необходимо применить преобразова- о
ние переменной рх по формуле
е
P1 = P2— Pl® $(^3—g^z)^
О
2л
считая, что J Z/8d0 = g2.
о
В случае g2 Ф 0, вопрос будет решаться, как и в предыдущем случае, знаком Foga. Если окажется, что ga = 0, то к уравнениям относительно р2 необходимо применить преобразование, аналогичное предыдущему. Такого рода преобразование необходимо производить до тех пор, пока одно из чисел gN окажется отличным от нуля, и тогда вопрос об устойчивости будет решаться знаком произведения FogN-
Тот же результат можно получить следующим образом.
Представим решение уравнения (4.29) в виде
р = с + с2м2 + с8ц3 + ?...
Тогда первая непериодическая функция un в ряду функций u2, и3)... будет иметь вид
uN = gN 0 + v
где и — периодическая функция 0.
Если теперь положить
p = z + z2M2+... + zjV V
то переменная z, которая в вопросе устойчивости может играть роль р или г, будет удовлетворять уравнению
(4.32)(4.32)^=gNZN + ZzN+^ ...
(4.32)
(4.32)
Функцию Ляпунова, отвечающую этому уравнению, можно определить равенством V = z.
Производная dV/dt будет иметь вид
е
V = UN 2^ + ^+* + ...) expV = UN 2^ + ^+* + ...) expz"-iE0(l+ zZ*+ ...)z"-iE0(l+ zZ*+ ...)— (т— l)^i dQо
V = UN 2^ + ^+* + ...) exp
V = UN 2^ + ^+* + ...) exp
z"-iE0(l+ zZ*+ ...)
z"-iE0(l+ zZ*+ ...)
Знак V' при достаточно малом положительном z будет определяться знаком выражения gNF0(cos 0, sin 0).
Поэтому, если gNF0 >• 0, невозмущенное движение неустойчиво, а если gNF0 <0 — асимптотически устойчиво.
Может случиться, что как бы велико число N мы ни брали, все функции и2, и3, ... будут периодическими.
Если каким-либо образом нам удалось это доказать, то ряд
р = с + с2 и2 + с3 и3 + ...
при достаточно малом с будет сходящимся для всех вещественных значений 0 и будет являться общим интегралом уравнения (4.30). На основании этого можно было бы заключить, что невозмущенное движение в этом существенно особенном случае устойчиво.
§ 28. Теорема об асимптотической устойчивости по формам т-го порядка. Все случаи, которые нам осталось исследовать в задаче двух нулевых корней с двумя группами решений, относятся к предположению, что уравнение
F6 = xYW—yXW = о
имеет вещественные решения, отличные от х = у = 0, и для всех этих вещественных решений выражение
L = XWix = Y^y
неположительно.
Докажем теорему.
Теорема. Если при всех вещественных решениях уравнения
F0 = xY^ — yXW=0
отличных от очевидного х = у = 0, отношения Х^/х = Y^My отрицательны, то невозмущенное движение асимптотически устойчиво.
Преобразуем систему уравнений (4.19) к полярным координатам
x = rcos0, i/ = rsin0. В результате получим
(4.33)(4.33)^. = ^^4-^+1^+...,=--rm-> Eo + ^Fi + ...
(4.33)
(4.33)
где
R0 = XW (cos 6, sin 6) cos 0 + ^(т) (cos 0, sin 0) sin 0
F,=YW (cos0, sin0)cos 0 — XW (cos 0, sin 0)sin 0
Если при всех вещественных значениях 0, удовлетворяющих условию Fo = 0, выражение
cos 6cos 6, _ X(m) (cos 0, sin 0) У,т) (cos 0, sin 0).. 04ч
cos 6
cos 6
sin 6
отрицательно, то Ro для этих значений 0 будет также отрицательно.
Действительно, из равенств (4.34) следует, что
X<m) (cos 0, sin 0) cos 0 = L cos2 0, YW (cos 0, sin 0) sin 0 = L sin2 0
Следовательно,
R0 = XW (cos0, sin 0)cos 0 + ^(т) (cos0, sin0) sinO =L <0
Если окажется, что Ro для любых действительных значений 0, не обращаясь в нуль, принимает только отрицательные значения, то невозмущенное движение асимптотически устойчиво согласно первому уравнению системы (4.33).
Если же Ro кроме отрицательных значений принимает и положительные значения, то в области Ro > 0 будем иметь Fo Ф 0. Возьмем функцию Ляпунова в виде
-9
(4.35)(4.35)Тогда будем иметь геТогда будем иметь ге7 = гехр ^ Ф (0)^0
(4.35)
(4.35)
Тогда будем иметь ге
Тогда будем иметь ге
Г = г^ехр $ф(0)</0 [^o(0) + ^(0)Fo(9)] + ^+i [...]+ ...
где ф (0) — непрерывная и периодическая функция 0 с периодом 2л.
Пусть 0Ь 02, ..., Од — значения 0, для которых Fo = 0 и Ro < 0. В силу непрерывности функции Ro можно утверждать, что неравенство Ro <0 существует в интервалах
(01 — еь 0! + ej, (02 — е2, 02 + е2), ..., (0ft — ек, 9h + eft)
где 6i, e2, ..., ek — отличные от нуля положительные числа.
Выберем функцию ф(0) так, чтобы удовлетворялись условия
2л
Л)/?О(0)+Ф(0)^о(0)<;о, В) $ф(0)^0 = о о
Отметим, что неравенству (Л) можно удовлетворить функцией ф(0), знак которой противоположен знаку функции Fg^ и I ф(0) | > . ■ а®^ . для тех значений 0, при которых /?о(0) ^ 0.
Для значений 0, удовлетворяющих условию Ro < 0, функцию ф(0) можно положить равной нулю или считать ее достаточно малой величиной, удовлетворяющей неравенству (Л).
Условию (В) легко удовлетворить, если Во(0) меняет знак в интервале (0, 2л).
Функцию ф(0) в этом случае можно взять в виде ф = —У(0)Во(0). предполагая, что N^) является непрерывной периодической функцией с периодом 2л, сохраняющей положительное значение для всех действительных 0 и удовлетворяющей условиям
Ro-N (0) F»2 (0) < 0,^ N (0) Fo (0) d0 = 0
о
При таком выборе функции ф(0) ее знак для любых значений 0 в интервале (0, 2л) противоположен знаку функции Во(0).
Предположим теперь, что Во(0) кроме нулевых значений принимает значения лишь одного знака. Пусть Во(0) > 0, а 0Т — значение 0, при котором Fo^ = 0.
Представим значение функции Bo(0i ± е) в виде
Во(01 ± е) = e2v (^2v +e^2v+1 + ...)(4.36)
где v > 1, а коэффициенты &2v+n имеют вид
&2v+n —&2v+n —|" (2v4-n)l|" (2v4-n)ld2v+nF0№) d02v+n 0 = 0;d2v+nF0№) d02v+n 0 = 0;
&2v+n —
&2v+n —
|" (2v4-n)l
|" (2v4-n)l
d2v+nF0№) d02v+n 0 = 0;
d2v+nF0№) d02v+n 0 = 0;
В этом случае знак функции ф(0) нельзя считать противоположным знаку Fo(9) для любых значений 0 в интервале (0,2 л), так как условие (В) для такого рода функций невыполнимо.
В случае Fq^ > 0 условие (В) представляется в виде
2Л
§ ф (0) d0 < 0 о
Определим функцию ф(0) в интервалах (0, 01 — ej, (0Х + еь 2л), считая 61 < е, так, чтобы удовлетворялось неравенство (Д). Тогда получим
91—812л
$ ф(0)^0+ $ ф(0)^0=—S2
001 + 81
Мы можем положить, не нарушая неравенства (Л), что
ф(0) = ф(2л),ф^-—6]) = ф (0x4-6]) = О
Пусть h — значение функции ip(6i). В интервале (0! — еь 0^ функцию
ф(0) определим уравнением ф = — (0—бх + еД а в интервале(0,, 0i+ei)— 81
уравнением ф =(0 — 0Т—ej. Тогда
е1
91 е,0t91+81
гChCh
\ ф (0) d0 =— (fi-01 + ei)d0_ — (0-01-e1)d0=/lE1
9^8191^8,19,81
Определим h из равенства
/тех = S2
При таком определении функции ф(0) условие (В) выполняется. Покажем, что неравенство (Л) при найденной функции ф(0) не нарушается.
Обозначим через р наименьшее значение | (7?о(0) I в интервале (0Х — elf 01 + ex). Тогда, принимая во внимание (4.36), получим
Я0 + фЕ0 ^ —Р + *$2 82v—1 [ | к^ | + e | ^2v+11 + •••]
Выбирая e достаточно малым, мы будем иметь
^от Ф^ о < 0
Функцию ф(0) в интервале ± оо определим равенством
ф(0) = ф(2л+0)
При таком выбореф(0) производная V' будет определенно-отрицательной. Следовательно, невозмущенное движение асимптотически устойчиво.
§ 29. Необходимые и достаточные условия устойчивости по формам /го-го порядка. Нам осталось рассмотреть лишь тот случай, когда при вещественных решениях уравнения Е0(х, у) = 0 форма R0(x, yY кроме отрицательных, принимает значения, равные нулю. Этот случай представляет большой интерес как с точки зрения общей теории дифференциальных уравнений, так и с точки зрения приложений к задачам механики. Исследование его сопряжено с затруднениями более существенными, чем те, которые имели место при исследовании рассмотренных нами ранее критических случаев.
Докажем, что в этом случае задача об устойчивости формами m-го порядка не решается.
Если формы Х^ (х, у") и YW (х, у") таковы, что уравнения
Ео(х,у) = хУ<”)(х,у)-уХ('”)(х,у) = О7
Но(х,у) = х№Цх,уНу¥^Чх.^ = О
имеют общие вещественные решения вида a j х + b) у= 0, то формы Х(т) (х, у) и y<m> (х, у^ также имеют эти решения.
Пусть
р
Ео = П (ajx+bjyfi F—k(x, у)
i=x(4.38)
р
Rq = П (С1; Х-\~ bj у) JR — к (х, у)^к = Vi + • •• "HVj;, р < tn + 1)
Тогда
X(m>(х, у) = П (а}х+ bj yyiX<m-^ (х, у) /=1(4.39)
У(т> (х, у)= П («ух+ bjypyim-fo (х, у)
/ = 1
Рассмотрим систему уравнений вида
х* = (й1Х+ Ьх уУ‘ X<m-Vi) (х, у), y = (aix+ Ьг уУ' y<m-vi)
Предположим, что нулевое решение этой системы устойчиво. Легко убедиться, что устойчивость может быть только неасимптотическая.
Полагая ух = ахх + ^у, получим
г = У?1 X^-v.) (х, yj, уч = у^* у^-^ (х, yt)(4.40)
Одновременно с этой системой будем рассматривать другую систему х- = у^1 Х^-^>(х, У1) + ахт+\ yy^y^Y^-^tx, у^ отличающуюся от системы (4.40) членом (т + &)-го порядка.
Для этой системы прямая yj = 0 является интегральной. Легко убедиться, что движение изображающей точки по этой прямой зависит от знака коэффициента а и показателя степени т + к. Если а > 0, то движение будет неустойчиво, если жей<0ит + ^ — нечетное, то движение устойчиво.
Отсюда заключаем, что формы /n-го порядка вопроса об устойчивости не решают и устойчивое по формам m-го порядка движение будет неустойчиво или устойчиво в зависимости от вида членов более высокого порядка.
В заключение последних четырех параграфов сформулируем необходимые и достаточные условия устойчивости по формам m-го порядка для системы уравнений (4.19).
Если формы Х<т) (х, у) и У<т> (х, у) таковы, что уравнение
F0 = xYW—yX^ = Q
имеет вещественные решения
аьх + Ьку = 0(fe=lр^ (р < m Д 1)
и если хотя бы на одной прямой а^х + bhy = 0 форма Ro = хХ<т) + уУ<т) может принимать положительные значения, то невозмущенное движение неустойчиво; если же на всех этих прямых Ro < 0, то движение асимптотически устойчиво.
Если уравнение Fo = 0 не имеет вещественных решений, отличных от х = у = 0, вопрос об устойчивости решается знаком выражения
2л
J = F0 (cos 6, sin 6) f Al££?jk^£0L ^
’ J Fo (cos 6, sin 6) о
Если J •< 0, невозмущенное движение асимптотически устойчиво, если же / > 0 — неустойчиво.
Случай J = 0 и случай, когда при Fo =0 форма Ro, кроме отрицательных значений, может обращаться в нуль на одной или нескольких прямых, являются сомнительными.
98
Отметим, что случай J = 0 не представляет каких-либо особых затруднений и он полностью исследован в § 27. Случай /?о^О при Fo = 0, как уже указывалось, может в известных случаях привести к весьма серьезным затруднениям.
§ 30. Особенные прямые. Рассмотрим систему (4.19), предполагая, что формы m-го порядка имеют вид (4.39).
Прямые а3х + b] у = 0, на которых формы Х(т) и У<т) обращаются в нуль, будем называть особенными прямыми.
Уравнения особенных прямых отыскиваются следующим образом.
Рассмотрим уравнения
ХМ (х, у) = а0<-") хт + ayW хт-i у+... + а^м ут = 0
УМЦХ, у) = Ь0^ х^Ь^ х”1-1 у+ ... + bm^ym = Q‘ '
Полагая х = у/х, получим
Х^П, x) = am('")xm + a^21xm-'+ ... + a1(m>x + a0<m> = 0
У<т>(1, x) = 6m<"»> xm + ^m2i хт-1 + ... + 61<т>х+6о(п1)=О
Каждое из этих уравнений имеет т корней.
Если уравнения (4.42) имеют общие вещественные корни хь х2, ... ...,х?, (у С т), то уравнения у = х jX(i = 1, ..., у) определят уравнения особенных прямых для форм m-го порядка.
Уравнение прямых у — х ]Х = 0 удобнее записывать в виде а^х + b jy = = 0. Тогда корню х = оо будет соответствовать bj = O.
Если все общие вещественные корни уравнений (4.42) простые, то, обозначая через к число таких корней, мы можем записать Х<т) и У<т) в виде
к
Х* = И ^хА-Ь^ХМ-^у}
i = i
к
YM = П (а}х + b^Y^-M (х, У) i—1
где Х<т-*> и у(т-4) — формы (т — &)-го порядка.
В случае т = к выражения Х(0) и У<0) обращаются в вещественные постоянные. Формы Fo и До при к < т примут вид
к
Fo^x.y^ П (аух + ^у)Е-А(х, у)
/=’(4.43)
Ro (х, у) = П («j X + bj y^R -к(х,у^ / = i
где
F_k (х, у) = х Y^-k^ (х, y^ — yX^-^ (х, у)(4 44)
R_k(.x, у^хХ^-^ (х, у) + уУ(т-*) (х, у)
и являются формами (т — к + 1)-го порядка. В случае к = т будем иметь
Fo= Й (а^ + 6,у)(а1Х —ply),Ro= П (а^+6^у)(а2х + Р2у)
/=1/=1
Если среди общих вещественных корней имеются кратные, то, обозначая через q число различных корней, а через Vy — кратность корня х j, получим
№ (х, у) = П (а, х+ Ь3 уУ) Х^-^ (х, у)
1 = 1
Y^ (х, у) = П (а, х + Ь3 y^j Y^~^ (х, у)
/ = |(4.45)
Л>= П (ajx+bjypF-fe^x, у) 1 = 1
Ro = fl (^X + bj урR-k (х, у)
= 1
Очевидно, что все вещественные корни уравнений (4.42) будут являться корнями уравнений F0(l, х) = 0 и jR0(1, х) = 0.
Кроме форм F0(x, у) и R0(x, у), F_k(x, у) и R_h(x, у) мы в дальнейшем будем встречаться с формами более высокого порядка, но имеющими ту же структуру.
Обозначим через Fa(x, у') и Ra^x, у) формы (т + а + 1)-го порядка следующего вида
Fa (X. у) = хУ <"-+“) (х, у)—уХ^+«> (х, у)-4 Л6
Ra(.X, у) = хХ^т + а'> (х, y) + t/K<m + a) (х, у)
Кроме этих форм в исследовании устойчивости движения существенную роль будут играть следующие функции
ф „=/4 471
’° ’xY<-m~А) (х, у)—уХ('т—^ (х, у)''
Значения функций
Fa(x, у), Ra(x, у), Ф—к,акх»У^ (6=1/п;а = 0, 1, ...)
при х = cos 6 и у = sin 6 будем обозначать через
Fa^, Ra^), Ф-к.а^
Очевидно, что
ф /Ы = ^(т+а) (6) Y<m-^ ^-Ytnl+^ (Q)X^m~k} (6) .
y(m-A) (Q) со$ 6_x(m-A) (Q) $.п g
F_fe№Ra№-R_fe№Fa^(л aqx
= (4Л8)
Значение функций Ф_к а (х, у) при х = 1, у — х будем обозначать Ф-к,« (1, х).
§31. Исследование устойчивости при отсутствии кратных особенных прямых. Исследование системы (4.19) при наличии особенных прямых начнем с того случая, когда вопрос об устойчивости решается формами (от + 1)-го порядка независимо от форм высших порядков. Кроме того, будем вначале предполагать, что гг = v2 = ... = vh = 1. Система (4.19) перепишется в виде
х-= П {ajx+bJy)X^m-k'>{xt y) + X<m+I>(x, у)+...
/7‘(4.49)
у = П ^ajX-Vbjy^Y^-^^, y^-VY^^V.x, y^-V ... i = i
где
4
Xw = П (a;x+6yz/)X<m-A>(x, z/) = a0(m>xm+a1(m>xm-,z/4-...4-a<^)i/m / = 1m
4
?№ = П (qjx-VbJy)Y<'n-fe4x, y) = bow x^b^x”1-! y+ ...4-bw у"» l= i
Исследуем поведение интегральных кривых в окрестности особенной прямой О1Х + Ь^у = 0. Не уменьшая общности задачи, мы можем положить 61 = — 1. (Случай bY = 0 приводится к случаю 6t #= 0 заменой х = уг, у = хР) Уравнение особенной прямой можно взять в форме — у + игх = = 0(хт = —ajbi).
Представим формы m-го порядка системы (4.49) в виде
Х^ = (— z/+xiX)X<m->) (х, у), YW = {~z/+x1x)y<m-i>(x, у^ (4.50)
Произведем замену переменной у^ = —у + xt х, тогда
х- = У1Х^т-"(х, yiWx*^x4x, УхН ...(45П
Ух=У^т~" (х, yi)-W"4-^x, yt)+ где
Х*оп+о= ^ Л^+п x^t-^y^,Y^^^B^"4'
4=04 = 0
Д(т+п (-i)6.
**“4![ dx? ~ 1 dx?
(/=-1, 1, ...)
Отметим, что
So^-» = — [K<m~!>(!, Xi)—x1X<m-1)(l,x1)] = — F-i (l^)
Будем вначале предполагать, что общий вещественный корень уравнений XW (1, х) = 0 и Ylm’> (1, х) = 0 не является корнем уравнения
F-! (1, х) = Г<'л-1>(1, х)— хХ^-^ (1, х) = 0
Тогда Бо^-"1* Ц= 0. Преобразуем систему (4.51), положив хх = х — — pz/p р = Ло/"1-1’ /Б0,('п-1).
В результате будем иметь
(4.53)(4.53)2 Bhw^ Xim+!-fe y?4=02 Bhw^ Xim+!-fe y?4=0Xi- = ухХ^~^ (хп yYWХу^»(хъ z/J + ... yv=yiY^"V4xv </1) + У1('п+1>(х1, угН ... где
(4.53)
(4.53)
2 Bhw^ Xim+!-fe y?
4=0
2 Bhw^ Xim+!-fe y?
4=0
^I(m+O= 2 лк<'”+г>х1т+l~ky1k,Y^m+^ =
л№+1)1Ат-Ц-q - glл№+1)1Ат-Ц-q - gl4 = 0
л№+1)1
Ат-Ц-q - gl
л№+1)1
Ат-Ц-q - gl
dp.4d^
лт+п 1 ^y*<m+v>^, И m + l-q g! 'd^
Отметим, что
Л0('”+1) = ф_и(1,и1),S0<m-» = — F.!^,^, Ло^-П^О
Не уменьшая общности задачи, можно коэффициенты S0(m+Z) считать равными нулю для I = 1, 2, .... N. Если эти коэффициенты не равны нулю, то заменой
Ух = г 4- аа хг2 + as -Ч3 + — + ан Xxn(4.54)
и соответствующим выбором чисел а2, а3,..., ам можно коэффициенты B0<m+h преобразованной системы обратить в нуль для I ^ N. При этом преобразовании коэффициенты форм Х^^-Ри Х^"1*^ не изменятся. Ряд
!/i(^i) = c2Xi2 + csxs1+ ...(4.55)
будет формально удовлетворять уравнению
dyi = yijV2Z!lSiiyi)±2^^^(4 56)
dxxу1Х^т-^(х1,у1) + Х1{т+1Цх1,у1)+'
Ряды (4.55) обычно расходятся.
В результате преобразований система (4.53) примет вид
х11 = 22(Л1(т-1) х1т-2 +...+ Л^711)гт-2)-М0(т+1)хГ+1 + .-- +
+ ЛЙ”zm+1 + 2 2 Hh(m+n Ххт^1~кгк
1 = 2 6 = 0
21 = 2 (В0<т-1> Х+-1 + ... + В^1Г|П Zm-*) +^‘^
+ 2 IL Ек^-+Пх т+1-к гк 1 = 1 6 = 0
Отметим, что Е0^т+^ = 0 для I < N.
Для этой системы можно построить функции V и W, удовлетворяющие теореме Четаева. Положим
y = X12 + z2.
тогда будем иметь
У'=2хг г2(Ах<т-^ Xx^^.-. + A^-i^ ^-^-vAq^+^Xx"1*^ ... +
оо т^-1
+ A{^i"zm+' +22 Н^п Х1т*1-к гк
1 = 2 6 = 0
— 2z z (B0(m-1)x1m~1 +... + B^J)1’zm-1) +
оо m-H
+ 22 Ek^^xvm^l-kzk 1=1 6 = 0
В области (D), определяемой неравенствами х^— z2>0, хг > 0, знак V' определяется знаком выражения 2Л0(т+1> Xim+2 = 2 Ф_п(1,Xi)x1m+2, который совпадает со знаком Ф_ i i(l, xj.
Предположим, что Ф_и(1, хх) > 0, тогда в области (D) будем иметь VV > 0.
За функцию W теоремы Четаева возьмем функцию
W=Xx2k—гй (fe>2)
Очевидно, что для достаточно малых | ^ | область W > 0 находится внутри области W' > 0. Легко убедиться, что знак W' на границе области W> > 0, на которой W = 0, определяется знаком выражения — В^-^Хх01-1, сохраняющим знак при хх > 0.
Следовательно, нулевое решение уравнений возмущенного движения вида (4.49) будет неустойчиво, если хотя бы один общий вещественный корень уравнений X<m) (1, х) = 0, У(т) (1, х) = 0 не является корнем уравнения У7—1(1, х) = 0 и на прямой у = хх функция Ф_и(х, у) принимает положительное значение.
Предположим теперь, что на всех прямых у = х рс функция Ф_п(х, у^ принимает только отрицательные значения, а уравнение F_Д1, х) = 0 или не имеет вещественных корней, или вещественные корни этого уравнения не совпадают с общими вещественными корнями уравнений Х^ (1, х) = 0 и Y^ (1, х) = 0.
Рассмотрим вначале случай, когда уравнение Г-Д!, х) = 0 не имеет вещественных корней.
Преобразуем систему (4.49), положив х = г cos 9, у = rsin 6. Тогда
к
г- = гт R-к^ П (x;cos9 — sin9)4-rm+17?1(9)+ ... / = 1
к
б" = rm-1 F-к (9) П (х,-cos 9 —sin 9)+rm ^1(9) + ...
Rt—. Xl-m+t'> (cos 9, sin 9) cos 9 4-y(m+o (cos 9, sin 9) sin 9
F^ytmph (cos 9, sin 9) cos 9 — X<m+Z) (cos 9, sin 9) sin 9
(/=—/;, 1, 2, ...)
Функцию Ляпунова для этой системы возьмем в виде (4.35), определяя функцию ф(9) из уравнения
к
R_k + tyF_k = — /1 (9) П (ху cos 9—sin 9)(4.59)
/ = i
считая /г(9) непрерывной, ограниченной, положительной и периодической функцией 9 с периодом 2л, не обращающейся в нуль ни при одном вещественном значении 9.
Для обеспечения периодичности функции ф(9) на функцию /г(9) наложим условие
2Лк2л
f ^ П (х;cos 9—sin 9) d9 = — f —~* ^ d9
J F-k^J F-k^
0Z-10
-еV' = гт ехр § ф (9) Д0.о-еV' = гт ехр § ф (9) Д0.оПроизводная V' при таком определении функции ф(9) будет иметь вид
-е
V' = гт ехр § ф (9) Д0
.о
-е
V' = гт ехр § ф (9) Д0
.о
к
— /l(9) П (x,cos9 — sin9)2 +
/ = 1
г Г*1
-—— F_kRi—R-kFx — F_\h п (xycos9 —sin9) + „.
F-kV3) L ./ = 1
Для значений 9, отличных от значений 9 ;, определяемых уравнениями Xjcos9 — sin9 = 0, производная V' принимает только отрицательные зна-
103
чения. Для значений 9 = 0^ знак второго члена, стоящего в квадратных скобках, совпадает со знаком выражения
F_ftRx—R_feF1^(”14-1) у(т— к) y(m+1) ^(m—6)
“У<т-*> cos 0— X(m-A> sin 6
которое по условию отрицательно для значений 0 = 0X/ = 1, .... &). Следовательно, V' — определенно-отрицательная функция г для любых значений 6. Отсюда следует асимптотическая устойчивость невозмущенного движения.
Предположим, что уравнение E_ft(l, х) = О имеет вещественные корни, отличные от общих вещественных корней уравнений X<m) (1, х) = 0 и У<т>(1, х) = 0. Пусть эти корни имеют значения ps (s = 1, ..., q).
Тогда выражение
к
Ro = R-k П (х^cos 6—sin 6) / = 1
будет отрицательным для значений 0, определяемых уравнениями pscos0 — —sin0=O. В противном случае невозмущенное движение будет неустойчиво.
Определим теперь функцию ф(0) в интервале (0, 2л), а следовательно, и для любых вещественных значений 0 из уравнения (4.59) следующим образом: положим ф(0) s 0 в интервалах 0S — е ^ 0 ^ 0S + е, считая е малой величиной. Для этого достаточно h (0) определить из уравнения
к
R^k = —h(B) П (Ху COS 0—sin 0) /= i
Такое определение А(0) возможно в силу условия Ro < 0 их ^cos0 — —sin0 ^= 0 в интервалах 03 — е ^ 0 ^ 03 + е. На функцию А(0) наложим условие, чтобы
2л
$ Ф(0)Й0 = О о
которому всегда можно удовлетворить, предполагая, что А(0) = А(2л).
При таком выборе функции ф(0) производная V' будет определенноотрицательной для всех вещественных значений 0.
Следовательно, невозмущенное движение асимптотически устойчиво.
Изложенное в этом параграфе позволяет формулировать следующую теорему.
Теорема. Если система уравнений (4.19) такова, что
уравнения X<m> (1, х) = О, Y^ (1, х) = 0 имеют общие вещественные корни хь х2, ..., xft,
уравнение E_fc(l, x)=y<m-fc)(l, х)—xX<m-^ (1, х)=0 или не имеет вещественных корней, или вещественные корни его не равны хь .... xft,
формы R^x, у)<0 при условии F0(x, у) = 0, то невозмущенное движение будет неустойчиво, если по крайней мере на одной из прямых у = = х jx функция Ф-и (х, у) может принимать' положительные значения. Если же на всех прямых у = Xjxy = 1, .... 6) функция Ф-^ < 0, то невозмущенное движение асимптотически устойчиво.
Предположим теперь, что по крайней мере один общий вещественный корень уравнений Х^ (1, х) = 0, Yt-m'> (1, х) = 0 является корнем уравнения E-^l, х) = 0. Эту задачу ввиду ее частности не будем исследовать со всеми подробностями, а ограничимся наиболее общими случаями, которые она может представить. 104
1) Пусть общий вещественный корень хт уравненийХ^О, х) = 0,Г<т)(1,х) = 0,F_,(l,x) = 0не обращает в нуль выраженийУ<т+|>(1, %1) — x1X<m+1)(l, xj1) Пусть общий вещественный корень хт уравненийХ^О, х) = 0,Г<т)(1,х) = 0,F_,(l,x) = 0не обращает в нуль выраженийУ<т+|>(1, %1) — x1X<m+1)(l, xj3№-i>(l,x1) — 23№-i>(l,x1) — 2'dY^-^ (1,'dY^-^ (1,dxidxixt) v dX(m-»(l, xt)X1 d^xt) v dX(m-»(l, xt)X1 d^(4.60)(4.60)
1) Пусть общий вещественный корень хт уравнений
Х^О, х) = 0,Г<т)(1,х) = 0,F_,(l,x) = 0
не обращает в нуль выражений
У<т+|>(1, %1) — x1X<m+1)(l, xj
1) Пусть общий вещественный корень хт уравнений
Х^О, х) = 0,Г<т)(1,х) = 0,F_,(l,x) = 0
не обращает в нуль выражений
У<т+|>(1, %1) — x1X<m+1)(l, xj
3№-i>(l,x1) — 2
3№-i>(l,x1) — 2
'dY^-^ (1,
'dY^-^ (1,
dxi
dxi
xt) v dX(m-»(l, xt)
X1 d^
xt) v dX(m-»(l, xt)
X1 d^
(4.60)
(4.60)
а если и обращает, то одновременно.
Докажем, что нулевое решение системы (4.19) при этих условиях всегда неустойчиво.
Представляя формы XW (х, у) и У<т) (х, у) в виде (4.50) и производя замену ух = —у + хх х, получим систему (4.51), в которой коэффициент В(^г*) = —F-^l, Xj) =0, а коэффициент А^г^ 4= 0. Коэффициент Л^,-1) может обратиться в нуль лишь в том случае, когда vx > 2.
Из системы (4.51) получим дифференциальное уравнение
dyi = th^B^l^Z!^^(л 6П
dx yi^-^xm-4...+A^ Vim-X) + A0^+^xm+4’
Это уравнение заменой yv = (z + Л) х’^! приводится к виду dz—
х— = az + Ф1 (х, z) 4-х2 ф2 (х, z)(4.62)
dx
” /^s^+o” /^s^+oесли число h. определить из уравнения
” /^s^+o
” /^s^+o
(4.63)(4.63)" 3 д (m—1)D (т—
(4.63)
(4.63)
” Л0*п1*
Вещественное решение для h мы можем получить в том случае, если знак разности, стоящей в квадратных скобках, совпадает со знаком В^Л1’ Для любой системы этого можно добиться заменой х на —х в случае четного т и заменой х на —х и у на —у в случае нечетного т.
Если же корень хх обращает в нуль выражения (4.60), то уравнение (4.63) удовлетворяется при любых значениях Н.
Докажем, что уравнение (4.62) имеет интеграл, голоморфный относительно хи х1^2, если число а 4 к и а=}= к + Чг, где к — целое положительное число.
Полагая £ = х‘/« и рассматривая функцию z(x, |), удовлетворяющую уравнению (4.62), получим
х=z) + £<p2(x, г)
дх 2 5g
(4.64)(4.64)На основании теоремы {30} мы можем утверждать, что при а 4 к и а 4 к + 1/2, где к — целое положительное число, это уравнение имеет голоморфный интеграл z = z(x, Н), обращающийся в нуль при х = £ = 0. Очевидно, что интегралу z = z(x, Н) можно придать вид
(4.64)
(4.64)
z(x) = 2 cftx* + x>/2 ^Dhxk fe=i4=0
Частное решение уравнения (4.61) можно представить следующим образом:
!/i = lz(x) + hl х3/2
Подставляя это решение в первое уравнение (4.51), будем иметь
^ = А^т-хЧхт^12^хт^Нх, х^(4.65)
dt
Если число h выберем таким образом, чтобы A^-^h было величиной положительной, то из (4.65) будет следовать, что невозмущенное движение неустойчиво. В случае а, равного целому положительному числу к или а = = к + 1/2, интеграл z(x) будет голоморфным в отношении х, х*7*, хУ1 1пх, xlnx, и невозмущенное движение также неустойчивым.
Сформулируем полученные результаты.
Теорема. Если система уравнений (4.19) такова, что по крайней мере один общий вещественный корень уравнений XW (1, х) = 0 и У(т) (1, х) = = 0 является корнем уравнения E_ft(l, х) = 0, и если этот корень не обращает в нуль ни одно из выражений (4.60) или обращает их в нуль одновременно, то невозмущенное движение неустойчиво.
Рассмотрим теперь случай, когда общий вещественный корень хх уравнений
Х(т>(1, х) = 0,У<т>(1,х) = 0, F_,(l,x) = 0(4.66)
обращает в нуль только первое выражение (4.60), т. е.
У(т+»(1, xj—x1X<m+i)(l, хх) = 0(4.67)
Эту задачу будем решать, предполагая, что
(2Д0^т+1) —В^+'^Д^Ло^-1* —В^-1^^^^ > 0(4.68)
Отметим, что при наличии условия (4.67) коэффициент Во*+1) (l,Xi) = 0. Возвращаясь к уравнению (4.61) и полагая yY = (г + к)х2, получим
х ^- = аг + ф (х, г)(4.69)
если число h определим из уравнения
/г2 (вАт- ‘’-глГ - ”) +А (В1Г+ П-2ДГ+ ”) + в0Г+2) = о которое при условии (4.68) имеет вещественное решение.
Уравнение (4.69) при а, отличном от целого положительного числа, будет иметь голоморфный интеграл г = z(x), обращающийся в нуль при х = = 0. В случае а, равного целому положительному числу, этот интеграл будет голоморфным относительно х и xlnx и также обращающимся в нуль при х = 0.
Следовательно, уравнение (4.61) при выполнении условий (4.67) и (4.68) будет иметь интеграл
Ух = hx2 + х2г(х)
Подставляя значение ух в первое уравнение системы (4.51), получим
= ^"1 > h + Д^ 4 1 >) хт +1 4- Хт +1 ф (х)(4.70)
at
Отсюда следует, чть при нечетном m невозмущенное движение неустойчиво.
Неустойчивость будет иметь место и при четном т, если только выражение (A^~nh + Л^+,)) > 0.
Невозмущенное движение при четном т будет неустойчиво независимо от знака выражения (Ло*-1) h + ЛЙ+1)), если только вещественный ко- 106
рень уравнения F_2(l, х) = О, где F_2(l, х) = F0(l, х)/(х—хх)2 не является общим вещественным корнем уравнений Х(т)(1, х) = О, Y^ (1, х) =0.
В этом случае неустойчивость можно обнаружить из рассмотрения форм m-го порядка. Действительно, в случае четного т уравнение F0(l, х) = 0 имеет нечетную степень, равную т + 1, и это уравнение в рассматриваемом случае можно представить в виде
F0(l, х) = (х—Xx)2F_2(l, х) = 0
Отсюда следует, что уравнение F0(l, х) = 0 кроме корня хх имеет еще хотя бы один вещественный корень, который по условию не является общим вещественным корнем уравнений
Х^ (1, х) = 0, YW (1, х) = 0
Пусть этот корень равен х2. Тогда на прямой у = х2х будем иметь
R0(x, y) = xm+i R0(l, х2)
Это выражение при Ro (1, х2) 4= 0 соответствующим выбором х можно сделать положительным, откуда следует неустойчивость невозмущенного движения.
Отметим, что равенство 7?0(1, х2) = 0 при условии F0(l, х2) = 0 возможно лишь в том случае, когда XW (1, х2) = YW (1, х2) = 0.
§ 32. Исследование устойчивости при наличии кратных особенных прямых. В предыдущих параграфах этой главы рассмотрена задача об устойчивости системы уравнений (4.19) в тех случаях, когда для ее решения достаточно рассмотреть формы m-то и (т + 1)-го порядка, когда общий вещественный корень уравнений Х^ (1, х) = 0 и Y'-m'1 (1, х) = 0 является простым.
Предположим теперь, что эти уравнения имеют общий вещественный корень кратности v ^ 2. Системе уравнений (4.49) в этом случае можно придать вид
х- = (—z/ + xix)vX("--v)(x, z/) + X<m + D(x,y) + ...(4 71)
у=(—у+^х^У^-^Цх, y) + Y^m+^(,x, у)+ ...
Полагая ух = — у + Хх*, получим
х-^Ух'-Х^'”-*)^, У1)+Х#('”+1)(х,Ух) + ...(4 72)
yV = yi,Y^,n-'!4x1yiWY*''mJrX4x, У1) + ...
где коэффициенты форм Х*а), У*а) (а = т — v, т + 1, ...) определятся равенствами (4.52).
Рассмотрим случай, когда корень хт не является корнем уравнения
F_v = y*(m-V)(l, х)—xX#<m-v)(l, х)=0(4.73)
т. е. когда коэффициент Bo*-v) =—F_v(l, Xj) #= 0.
Произведем замену
Хх = х-ИУх, ^ДГ^/С’^
В результате получим систему уравнений
х< = yiv+l Ux("-V) xV""^ +... + Л^> у^-1) +
+ Л0<т+1>Ххт + 1 + ...(4.74)
yv = U^ (B^-^xV^ + .-.^B^y^+ ...
Коэффициенты Akw и В^ (k = 0, 1, .... /; I = т — v, т + 1, ...) определяются формулами (4.53).
Рассмотрим уравнение
dxxyiv+1 (^i(m—v) xm—v+ ...)+^0<",+ *> xim+1 +
Это уравнение можно удовлетворить рядом
z/1(x1) = /iiXi1 + ,/v+/i2a:i1 + 2/v+ ... +/zftx11+*/v + ...(4.75)
Коэффициент hY определится из уравнения
B^-v) A1v4-Bo(m+1, = O
которое всегда имеет решение, так как в случае четного v при замене Xi на —хг в системе (4.74) знак одного из коэффициентов B0<m-v) илиВ0<т+1) меняется на обратный. Коэффициенты/is(s = 2, 3, ...) определятся в виде дробей, знаменателями которых являются различные степени коэффициента /ц.
Обозначим через у^х^ сумму 6 первых членов ряда (4.75) и произведем замену у = г + У^ХгУ В результате замены получим систему уравнений
Л0(т+1)х1т+1 + Л1<"1—v>x^+^vv-i-... 4.
+ z{[4<«+’)+(v + l)A1vA(m-v)]x1m+ ...}+ ...
z- = z (B0<m-v) vh^-1 x^-^v + ...) + z2 ^axvm-> - w 4....) 4.
4_Co(m + a) Xim + a4_Ci(m+a) ^ + 04-1/24.
При достаточно большом к число а можно считать достаточно большим. Для этой системы возьмем функцию Четаева вида
V = X12 4_Z2
Производная этой функции
V' = 2Л0(,”+ >> х/”+2 4- 2 [Л/"^1) 4- (v 4-1) h^ X1<m-V)]zx1m+ 1 +... +
4-2z2B0(m-v) vh^-1 х^-Пх 4-...
в области (D), определяемой неравенствами х-^ — z2 > 0, xY > 0, будет положительна при Л0<т+*) > 0. За функцию W теоремы Четаева возьмем функцию W = xt« — z2. Область W > 0 при достаточно малых |хг| и [z| заключена в области (О'). Знак производной W' при W = 0 определяется выражением — 2z2Xim+6-1/v B0(m-v) v/г^-1, сохраняющим знак при хт > 0. Следовательно, невозмущенное движение при Л0<т+1)>0 неустойчиво. Из формул (4.53) следует, что знак Л0<т+1) определяется знаком Ф-м (х, у) на прямой у = хгх.
Мы рассмотрели случай, когда уравнения X<m) (1, х) = 0, У(т) (1,х) = = 0 имеют один кратный корень хх кратности v. Очевидно, что выводы будут справедливы и в том случае, когда эти уравнения имеют несколько кратных корней, если выражение Ф-м^х, у) хотя бы на одной из прямых у = х/х положительно.
Отметим, что если уравнение Т7-^!, х) = 0 не имеет вещественных корней и все числа vtvp четные, то движение может быть устойчиво лишь в случае, когда Ф-м = Она прямых у = х,x(j = 1, .... р). Если Ф-и =4= 0 хотя бы на одной из указанных прямых, то движение будет неустойчиво, так как функцию Ф-и (х, у) при этих условиях можно сделать положительной.
108
Перейдем к рассмотрению того случая, когда уравнения X<m> (1, х) = О, YW (1, х) = 0 имеют несколько общих кратных корней хь ..., хр, а функция Ф—^х, у) на всех прямых у = х,х(/ = 1р) отрицательна. Будем предполагать, что уравнение ^-^(l, х) = 0 или не имеет вещественных корней, или корни его отличны от х1( ..., хр.
Систему (4.19) в рассматриваемом случае можно представить в виде
х = П +...
Z = i
рv(4.76)
У = П (-у + ^х^У^-^Цх, yHY(m+v4x, УН- /=1‘
(vi + ... +Vp = fe; Vj > 2) или, полагая х = г cos 6, у = г sin 6, в виде
г = г"1 П (Ху cos 6 — sin 0)v/ R_k (cos 0, sin 0) + / = i1
4-^ + * ^(cosO, sin 0) + ...^
0. _rm-l pj (xyCOSG — sin 0)v>F_*(cos0, sin 6) +
/=1
4-rm FY (cos 0, sin0) + ...
Пусть уравнение F—^X, x) = 0 не имеет вещественных корней, тогда среди чисел vу(/ = 1, ..., р) имеется хотя бы одно нечетное.
В этом случае функцию Ляпунова V для системы (4.77) выберем в виде (4.35), определяя функцию ф (9) из уравнения
R-h +^F_fe= — /г (0) fl (xycos0 — sin0) J(4.78)
/ = i
считая A(0) ограниченной, непрерывной, положительной и периодической функцией 0 с периодом 2л, не обращающейся в нуль ни при одном вещественном значении 0.
Функция ф(6) будет периодической, если на h^ наложим условие
2лр2л
f ^J”! (xycos 0 — sin ^idd = — f ——d9
J F_k / = 1J f_ft(6)
которому всегда можно удовлетворить, так как среди чисел v у имеется нечетное.
Производная V' будет иметь вид
V' = rm exp [J ф (0) d0] | — h ($ Г1 (Xy cos 0 — sin 0)2 v^ +
Ri-Ri-R_kFi-VFih П (xycos 6—sin 6)V^'/ = 1F-kR_kFi-VFih П (xycos 6—sin 6)V^'/ = 1F-k(4-79)(4-79)
Ri-
Ri-
R_kFi-VFih П (xycos 6—sin 6)V^'
/ = 1
F-k
R_kFi-VFih П (xycos 6—sin 6)V^'
/ = 1
F-k
(4-79)
(4-79)
Для значений 0, отличных от значений 0 у, определяемых уравнениями х ycosO — sin6 = 0, производная V' принимает только отрицательные значения. Для значений 0 = Оу знак второго члена, стоящего в квадратных скобках, совпадает со знаком функции Ф_м, которая по условию отрицательна. Следовательно, V* — определенно-отрицательная функция г для
109
любых вещественных значений 6, и невозмущенное движение асимптотически устойчиво.
Предположим теперь, что уравнение E-^l, х) = О имеет вещественные корни pi, ..., рд, отличные от корней хь ..., хр. Здесь мы должны различать два случая: 1) среди чисел vb ..., vp имеется по крайней мере одно нечетное; 2) вёе v^ (/ = 1, ..., р) — четные. Выберем функцию Ляпунова V в виде (4.35).
В первом случае функции ф(0) и А(0) определяются аналогично тому, как это делалось в § 31. Функцию ф(0) положим равной нулю в интервалах 0S — е < 6 <0s + е (s=2, ..., qY В интервале [0Х — е, 0j + е] выделим интервал [0! — еь 0! + 611, где 8Т <2 е, в котором функцию ф(0) будем также считать равной нулю. Предположим, что
6,-82Л
$ ф(0)й0+ ^ Ф(0)^0 = Л1
О61 + 8
Пусть Л4 < 0. Если окажется, что Р_^г — ej > 0, то Е_Л(0! + ej < < 0. В этом случае функцию ф(0) в интервале [0Т — в, 0!—Bi) положим равной нулю. Функцию А(0) в интервале [0! + еь 0Х + е] выберем так, чтобы
‘р8 Я_б + /г П (x;cos0 —sinO)^
— JЩd0= — М
, + si^—6
Тогда будем иметь
2л
5 ф(0)й0=О о
Если окажется, что Е.йЮх — ех) < 0, то ^^(©i + е^ > 0. В этом случае функцию ф(0) выберем равной нулю в интервале [0Т — еи 0Х + в]. Функцию Л(0) в интервале [0! — е, 0!—ej выберем так, чтобы
р81 R_fe-\-h П (x^cos0—sin6)Vy
— J 1=1d0= — M
61—8^—k
т. e. опять будем иметь
2л
$ ф(0)й0 = О
"о
В случае М "> 0 функции ф(0) и А(0) выбираются аналогичным образом.
На всем интервале (0, 2л) функцию Л(0) выберем так, чтобы удовлетворялось равенство (4.78) при А(0) > 0.
При таком выборе функций А(0) и ф(0) мы можем утверждать, что определенно-положительная функция V (4.35) будет иметь определенноотрицательную производную, если функция Ф^ <0 на всех прямых y = UjX(j = 1,...,р). Следовательно, невозмущенное движение будет асимптотически устойчиво.
Сформулируем полученный результат в виде следующей теоремы.
Теорема. Если система дифференциальных уравнений (4.19) такова, что 1) уравнения Х<”> (1, х) = 0, У<т) (1, х) = 0 имеют общие кратные вещественные корни Utt..., хр(р <_ т + 1) любых кратностей vn ... :.^p^i + ... + v;j = к\, ПО
уравнение F_k(l, х) = y(m~*) (1, х) — xX<m-A> (1, х) = О не имеет корней, равных хъ х2, ..., хр,
функция Ф_&1(х, у) принимает положительные значения хотя бы на одной из прямых у = х }ХЦ = 1, ..., р), то невозмущенное движение неустойчиво. Если же на всех прямых у = х jx(j = 1, ..., р) функция Ф_м(х, у) <. < 0, то невозмущенное движение асимптотически устойчиво.
Рассмотрим теперь тот случай, когда уравнение F_ft(l, х) = 0 имеет корень хп равный по крайней мере одному из общих кратных вещественных корней кратности v уравнений X<m> (1, х) = 0, У<т> (1, х) = 0. Будем предполагать, что этот корень не обращает в нуль выражения
а = (v + 2)(1, х)-(v+1) [^2Z4^ _ и dX^^.^
fe = y(m+l)(1> x)_xX<m+D (1, x)
а если и обращает, то одновременно.
Рассмотрим систему (4.72), предполагая, что F_k(l, xj = 0. Тогда 50(m-v> = B_ft(l, хх) = 0, а Л0(т-х’> (1, х)= X(m~v) (1, х) ^ 0, так как в противном случае мы будем иметь y<m-v>(l, х1)=0, т. е. хх является корнем (v 4- 1)-й кратности для уравнений X(m> (1, хх) = 0 и У(т) (1, хх) = 0.
При этих условиях система (4.72) примет вид
х- = ^(АГ-ч+ -..)+л0Г+1) хт+Ч...
У1=Ух^ №”-" xm-v-4B^ УтХ^Ч ...) +(4.81)
+вЧ^,,хт"ЧВ1*т+1)У1^т +
Из этой системы получим
dyY_y^X (С^^-ЧГ^'”^^ -ЬВ^+Ч^+Ч...
ах у,'- (a^-^x^ha^-^ у1хпг-',~1 + ...^-vA^+nxm+i ,
(4.82) у+_2
Положим ух = (г + /г) xv+1 и определим число h из уравнения
^v+1(483)
\v+ 1/■
При условиях а =/= 0, b ^ 0 это уравнение в случае v четного всегда имеет вещественное решение. Если а = b = 0, то величину h можно считать произвольной постоянной. Если v нечетное, то уравнение (4.83) имеет вещественное решение в том случае, когда разность, стоящая в скобках, одного знака со знаком коэффициента В^+Ч. Этого всегда можно добиться при v нечетном заменой в системе (4.81) переменой х на —хг.
Уравнение (4.82) в результате замены преобразуется к виду
х ^- = az+ ср xv+!, г)(4.84)
Если a =4 £х + A/(v+l), гДе ^ и А2 — целые положительные числа (^х + ^2 ^ 1), то это уравнение имеет интеграл, голоморфный в отношении х ц x4<v+4, а интеграл уравнения (4.82) запишется следующим об- у+2 v+з1
разом: y1 = hX<A-x -j-x^’^^, xv+1 ).
Если a = А+A/(v+l), то интеграл будет голоморфным относительно х, x’/hM-i), xlnx и x^ev+D 1пх.
Подставляя значение уг в первое уравнение системы (4.81), получим 1_/11\ х* = h^Ao^-^ х v+^x^+^^x, х^1, xlnx, х^ + Ипх!
В случае нечетного v коэффициент № 4o*-v> можно считать положительным. При четном v этот коэффициент можно также считать положительным, если только число т четное. В обоих случаях невозмущенное движение неустойчиво. Движение будет неустойчиво и в случае v четного, иг нечетного, если Ло^"1-v> > 0.
Рассмотрим случай, когда а =/= 0, b = 0 при х = xv Отметим, что при этом условии коэффициент В0#т+Ч = 0.
1
Уравнение (4.82) заменой yY = (z + /г)х v приводится к виду
х — =аг + ф(х, х1^, z\(4.85)
dx
если число h определить из уравнения
к^ВА”^- X-±2L a^AAA^L д^-В^(4.86)
\V/ V
которое при v нечетном всегда имеет вещественное решение. В случае v четного это уравнение имеет вещественное решение, когда знак разности, стоящей слева, совпадает со знаком правой части. Если знаки этих разностей различны, то, заменяя х на —Xi, мы вместо системы (4.81) получим новую систему, для которой уравнение (4.86) имеет вещественное решение.
Уравнение (4.85) имеет интеграл, голоморфный относительно х и x1/v при а ^ ^ + k^h. При а = £i + кй!м интеграл этого уравнения будет голоморфным относительно х, x4v, xln х и x’/vlnx.
Уравнение (4.82) при В^+Ч = 0 будет иметь интеграл
У1 =/lX(v+ЧА- _|_x(v + 2)/v ЦХ) xl/v, Х]ПХ) xl/vlnx)
Подставляя значение yY в первое уравнение системы (4.81), получим
х- = (^А^-^ + Ло^+Ч) х™+1 +х^+1 ф (х)
где ф (х) обращается в нуль при х = 0.
Из этого уравнения следует, что в случае m нечетного невозмущенное движение всегда неустойчиво. Движение будет неустойчиво и при т четном, если только выражение
^х^+д^+ч^
Проводя аналогичные рассуждения, можно было бы рассмотреть исследуемый случай более подробно. В частности, легко поддаются исследованию те системы, в которых не только В£”+Ч=о, но и последующие коэффициенты В<т+Ч = В^+Ч = ... = В^+Ч =0.
1*2*/*
Исследование устойчивости по формам высших порядков. Рассмотрим теперь систему (4.19) в случае, когда не только формы m-го, но и формы (т + 1)-го порядка вопроса об устойчивости не решают.
При исследовании этой задачи будем считать vt = ... = vp = 1.
Предположим также, что общие вещественные корни уравнений X(m> (1, х) = 0 и У(т> (1, х) = 0 не являются корнями уравнения В_к(1, х) = 0. При этих предположениях нам необходимо рассмотреть лишь те случаи, когда функция Ф_Ь1(х, у) = 0 на прямых у = xjx (j = 1,..., рх), а на прямых (/ = рг + 1,..., р) она принимает только отрицательные значения.
112
Представим систему (4.49) в виде
(4-87)(4-87)х- = (— у+ х1х)Х<т^1> (х, y)+X<m+*> (х, z/)+...+X<m+°)(x, у)+...
(4-87)
(4-87)
у = ( —У+х1х)У('”-1)(х, у) + У(т+1) (х, у)+.,. + У(т + °) (х, у) + ...
Пусть все функции Ф_1в(х, у) = 0 на прямой у = ххх (6 = 1,..., a — 1), а функция Ф-ю (х, у)фО на этой прямой. Кроме этих функций будем рассматривать многочлены Fa (1, х) (6 = 1,2, ...). Может оказаться, что ^(l, Xi) + О, н0 может представиться и тот случай, когда ^(l, хх) = = F2(l, хх) =...= F^-x (1, Xi)=0, а Fp(l, x^ + 0. Числа а и Р могут принимать любые значения a = 2, 3, ..., р = 1, 2, ...
Если систему уравнений преобразовать согласно § 32, то получим
Xi = У? W"-i) х!«-2 + Л^”-1 > уг ххт-3 + - ..) +
+ У1(Д1<т+1)Х1т + ...)+г/1(Л1('”+0-1>х1т + а-2+ ...) +
Ч-Ло^+о) х1”,+° + Л1(”,+°) z/1x1”»+°-1 + ...
Ух = У1 Wm -1 > Х!т-1 + В^т~1 > У! XV"-2 + ... + В/"1 +1) х^ +(4.88)
+В2<т+1) ^Х!”*-1 + ... + 51(т+Р-1>х1т+Р-1 + 4-В3(т+0-*> z/iX^+p-2^- ...)+В0<т+Р)х1т+е + 4-В1('"+Р)у1х1т+Р-1+ ...
Коэффициенты Л^+О, .... Л<^+а-1> обращаются в нуль в силу условия Ф-1б (1, хх) =0(6=2, 3,..., a— 1), а коэффициенты В0(т+1),..., В0(т+Р-1> В СИЛу УСЛОВИЯ Р^ (1, хх) = 0 (6 = 1, ..., р — 1).
Полагая
y1 = c1x1& + c2xi* + 1+ ...(4.89)
из системы (4.88) получим уравнения для определения постоянных ch и наинизшей степени к.
Приводя результат подстановки к общему знаменателю и приравнивая члены с одинаковыми степенями хх, получим £=Р+1, с1=В0('я+₽)/В0(т-1>. Отметим, что коэффициент В^"*-^ = В_х(1, хх) += 0.
Последующие коэффициенты ch представятся дробями, у которых числители являются многочленами от коэффициентов форм правых частей системы (4.88) и ранее определенных коэффициентов с0, cv ..., ch_v Знаменателями будут служить выражения, содержащие различные степени B0(m-D.
Ряд (4.89) будет иметь вид
У1(Х1) = с1хР+1+с2хР+2+...(4.90)
Такого рода ряды, как правило, будут расходящимися, в чем легко убедиться, положив в системе (4.88) Л0(т+°> = 1, В0(т-1> = 1, В0(т+Р) = 1. Все остальные коэффициенты положим равными нулю. Кроме того, допустим, что a = 3, Р = 4.
При этих условиях из системы (4.88) получим
dxi. xxs
Это уравнение можно удовлетворить формально рядом
ух(хх) = 2 4-6-8 ... (2га—2)х/" л = 2
который будет расходящимся при любых значениях хи кроме хх = 0.
8 Г В. Каменков, т. II113
Преобразуем систему (4.88), положив
У1 = Л+ci ХхР+* + •••+cjv ^х^(4.91>
В результате при 0 > а — 1 будем иметь
Xf = г]2 (л/т-D Х1т-2 + ...) + Т] (А/"^ » Xtm 4- ...
...-рд^т+г) х^+1 + ... 4-А1(т+а-1>х1(т+“-2> + ...) +
+ Л0<«+а> х1т+а +Л1("’+а> У1Х1т+“-1 + ...
^^^(B^-Dxi'”-1 + ... +B1<m+1)x1m+ ... +^'92^
_[_ У1<т+Р—1) х1т + Р—2 _j__[_ ^(т + Р) ^т + Р— 1 _|__|_,
-Л-с^т-.’ + Л') ^m + P + A'-l ^ . J^^fm + P- V-l) x^St-V-I _А_
В правой части первого уравнения этой системы коэффициенты форм,, порядок которых менее m + 0 + 1, останутся теми же, что и в системе (4.88). Коэффициенты форм правой части второго уравнения, порядок которых менее m + 0, также останутся без изменения. Коэффициенты c0(m+P), .... Cgtm+P+A') обратятся в нули в результате замены (4.91).
Предположим теперь, что Ф_]а(х, у) на прямой у = ххх может принимать положительное значение. Тогда можно считать А^т+а) > 0.
Докажем, что при этом условии невозмущенное движение неустойчиво.
Возьмем функцию Четаева в виде
V = х/ + т)2
В силу условия Л0<т+™)>0 мы всегда можем найти такое число N, что в области — г)2 + xt2N ^ 0 при достаточно малом Хх > 0 произведение W будет положительным. Для этого достаточно положить N = = а + 3. Функцию W возьмем в виде
W = —T]2+^i2 (а + 4)
Очевидно, что область U7 > 0 для достаточно малых хг > 0 находится внутри области — т]2 + х12<“+3> > 0, где VV' > 0.
Определим производную W при т]2 = Хх2(“+4).
№"'= 2(а + 4)Хх2о+7 [^(Дх^-^Хх™-2-^ ...) + ii (Ai<m + 1)x1m+...) +
+ Л0<т+а> Ххт+а+ ...] — 2т)2 [В0(т- » Ххт+2 + ... +
-|-Сх<т+Р) Ххт+Р—1 + ...]—2т) (с0(т+Р+“+5) Ххт+Р+Л,+1 + ■..) + ... =
= — гВо^-!) Ххт+2а+6+ ...(4.93)
Отсюда следует, что знак W' при т]2 = Хх2(“+4) и достаточно малых Хх > 0 постоянен. Следовательно, невозмущенное движение неустойчиво.
Аналогичные рассуждения можно провести в отношении любой прямой У = ^jX (j = 1, .... р).
На основании изложенного можно формулировать теорему.
Теорема. Если система уравнений (4.87) такова, что хотя бы на одной прямой у = xjX (j = 1, .... р) функции Ф_]б(х, у) = 0 для 6 = 1, .... а — 1, а Ф-1а(я, у) > 0, и если при этом многочлен В_х(1, х^) =£ 0, а многочлены Вб(1, */) = 0 для 6=1, ..., 0, 0 > а — 1, то невозмущенное движение неустойчиво.
Предположим теперь, что 0 ^ а — 1. В этом случае в результате замены (4.91) система (4.88) примет вид 114
ХГ = Т)12(А(т-” Х1т-2 + ...)+г)(Я1<т+1>Х1т+... + Я1<т + 2)Х1т+1+...+ + Д/т + А- 1>Х1т+*-2) + Я0('”+») ^^4-*^.
^•^^(fio^-l)?^-1^ ,„4-£'1(m+l)^im++ £i(m + A/-l)Xim + A/-2) +
+ E0(m+^)Xim+yv+(4.94)
Коэффициенты Д}т+т)"и E*.m+Y) определятся через коэффициенты Л/т+т), B*.m+Y) и коэффициенты ср+1с₽+й.
Отметим, что коэффициент Д0<т+*) будет в вопросе устойчивости играть роль коэффициента Л0(т+“).
В общем случае число £ < а, но в частных случаях может оказаться, что & ^ а. Не исключается и тот случай, когда к = оо. Легко показать, что при к = оо, ряд (4.89) будет абсолютно сходящимся для | х | достаточно малых. Этот ряд будет определяться уравнением
y(B0<m-1) хт-1 + ...+ Bj<"»+₽-о xm+₽-2+...) +B0(m+P>xm+P+... =0
Система (4.94) в результате преобразования
П1 = Л + ^j Ср + пХ^ (случай к = оо) п= 1
примет ви (
х< = Л И Wm~ » х^-2 + ...) + ///"•+ » х/" + ...]
Прямая 1] = 0 будет особенной для правых частей этой системы.
Для исследования системы (4.95) рассмотрим уравнения
^^Bo^-Dx^-i-i- ... +B^L""i1)T]m-1 lE/HD xim+...
Пусть для этой системы уравнение Ео*(1, х) = Е_1(1, х) = 0 не имеет вещественных корней и
2Л *
[ A. de^o
О р6
Тогда, очевидно, нулевое решение системы (4.95) будет устойчивым. Поведение интегральных кривых, определяемых системой (4.96), при наличии вещественных корней уравнения Ео*(1, х) = 0 можно исследовать ранее изложенным способом.
Предположим, что поведение интегральных кривых системы (4.96) нам известно, такую же картину в фазовой плоскости представит система (4.95). Движение изображающей точки по интегральным кривым будет для систем (4.95) и (4.96) различным. Для решения вопроса об устойчивости интегралов системы (4.95) необходимо учесть, что направление движения в верхней полуплоскости (т]>0) будет совпадать с тем направлением, которое определяется системой (4.96), а в нижней (т] < 0) оно будет обратным.
Возвращаемся к общему случаю, когда в системе (4,94) к = а. Будем предполагать, что число N в (4.91) выбрано согласно равенству N = = к + Nv, где ^1 — достаточно большое число.
Если окажется, что //0(т+а)>0 или при /70(т+“><;0 число (т+&) четное, то невозмущенное движение, определяемое системой (4.99), будет 8*115
неустойчиво. Доказательство этого положения аналогично предыдущему случаю (Р ^ а — 1).
Рассмотрим теперь системы вида (4.94), у которых (ш + К) нечетное, а Яо(т + “0 < 0. Предположим вначале, что р = 1, т. е. мы имеем единственную особенную прямую у = ихх.
Кроме того, будем предполагать, что все коэффициенты Я1(т+6) (6 = = 1, ..., k — 1) равны нулю. Полагая хх = гг cos0x, гц = rxsin0x, получим
rx- = sin2 0Х (гхт /t^ + гхт+1 RV^ + ...
0Х* =sin0x(rxm-i Fil*! + rTF^H ... + F1''’+"-2Fk%) + ф^"^11 + ...
Функцию Ляпунова возьмем в виде (4.35), тогда будем иметь
V' = ехрV' = ехр■01J ф (0Х) d0x.о■01J ф (0Х) d0x.оtntn{sin 0Х [/^i sin0x+ ф/7^ +{sin 0Х [/^i sin0x+ ф/7^ +
V' = ехр
V' = ехр
■01
J ф (0Х) d0x
.о
■01
J ф (0Х) d0x
.о
tn
tn
{sin 0Х [/^i sin0x+ ф/7^ +
{sin 0Х [/^i sin0x+ ф/7^ +
+ (Ях(О5т01 + фЛ<>))гх+... + (я2)-10т0х+ф^^+
+ (^‘) + Ф^*) sin 0X) rxa* +...}
Функцию ф определим из уравнения
R4\ sin0x+ ф/7^ = —ht (0Х) sin0x
согласно § 28. Подставляя значение ф(0х) в (4.97), получим
Г6*
Lo4
По, + ..По, + ..(4.98)(4.98)+ РЙ-1 г,»"- ’] Sina 6, +
По, + ..
По, + ..
(4.98)
(4.98)
Т у «а,^TjSill
где Р^, .... Р^-х — ограниченные и периодические функции с периодом 2л.
Отметим, что V' при достаточно малых г отрицательна для любых вещественных значений 0Х в интервале (0 4-2 л), кроме — е < 0Х < е и п — е < 0Х < л + е, где 8 — сколь угодно малая величина, отличная от нуля.
В интервалах —8 < 0Х < 8, л — в < 0Х < л + е знак производной совпадает со знаком выражения Rat• Но знак Rat в указанных интервалах определяется знаком коэффициента Ho^+^t который по условию менее нуля. Следовательно V, определяемая (4.98), представляет определенно-отрицательную функцию г при любых вещественных значениях 0Х. На основании теоремы Ляпунова мы можем утверждать, что невозмущенное движение асимптотически устойчиво.
Покажем теперь, что любую систему (4.94) при H1tm+6'>4= 0 (6 = = 1, ..., а — 1) можно преобразовать в новую, в которой коэффициенты, играющие роль Ях<т+6>, будут равны нулю. Предположим, что Ях<т+1>= = Я/«+2) = .... = ях(т+л) = О, h < а — 1, а Я/^+л+D ^ о. Полагая
5Х —хх—5Х —хх—Ях ("»+*+DВ^”»-1)Ях ("»+*+DВ^”»-1)^1Л + 1П1^1Л + 1П1(4.99)(4.99)
5Х —хх—
5Х —хх—
Ях ("»+*+DВ^”»-1)
Ях ("»+*+DВ^”»-1)
^1Л + 1П1
^1Л + 1П1
(4.99)
(4.99)
получим новую систему, аналогичную (4.94), в которой коэффициент» играющий роль коэффициента Я1(т+/1+ ”, будет равен нулю. Давая h значения 0, 1, ..., а— 2 и производя указанные преобразования (4.99), получим систему, аналогичную (4.99), в которой Я1(т+6> = 0(6= 1,..., а — 1). Отметим, что при этом преобразовании коэффициенты Во!"1-” и Я0<т+°) останутся без изменения.
Исследуем тот случай, когда имеется несколько особенных прямых, т. е. р>1. Пусть хп ..., хр—общие корни уравнений Х^ (1, х) = = Y^ (1, х) = 0, a F_p (1, х) =/= 0 при xtхр.
Представим формы т-го порядка в виде
Х^ (х, у> = (у—Ху х) П' <y—^jX^ Х^-р) (х, у) = (у— Ху х) Пу Х<'"-р>
YW (х, у) = (у—х}х) nky—^jX^Y^-p^ (х, у) = (у—х,х) Пу Y(m~p) i = \
Систему (4.87) можно представить в виде
х* = ^у—х7 х)Пу Х^-рУ (х, у) + Х(т+ ” (х, у)+ ... + Х(т+а> (х, у)+ ...
у = (у—Ху х) Пу y(m-P) (х, у) + y^+D (х, у)+ ... + y(m+a) (х, у)+ ...
(4.100)
Если эту систему подвергнуть тем же преобразованиям, что и систему (4.87), то для любого корня х у мы получим уравнения, аналогичные уравнениям (4.94), предполагая, что ^("Ч-6) = 0 (6 = 1, ..., а у — 1)
Ху' = Т]у2[ПуХ(т-Р> (ху, т]у) + Я2у('"+”ху('”-” + ...
... +//2у(т+“/-1) хт+°/-3] + Яу0(т+а? х7+а/ + ...
T]y- = T]y [ПуУ(т-р) (ху, T]y) + Eyi(",+”Xy"l + ...
... + Еу1(т+"-”хт+"-21 + Еу0<т+")ху(",+Л'> + ...(4.101)
Полагая Ху = r3 cos бу, т)у = гу sin бу, получим систему, аналогичную (4.97), где вместо верхнего индекса (1) будет стоять индекс (/), а выражения R—x'-i'* и F_\W представятся в виде
R“\ = Пу R^p, F4\ = Пу FxiV
Давая / значения 1, ..., р, получим р систем уравнений относительно гъ .... гр, бь ..., 6р.
Построим для каждой системы функцию
Vj <rb Оу) = г, ехрфу (бу) d6y-о-и определим функцию фу(бу) из уравненияR^p sin бу+ фу Р^р= — h3 (Qj) sin бу Тогда получим, dVi , dVi „Г^1 (Г^ =^r-'+^.e/=;exp J1^ ГLoJ+ Р//) (бу)Гу + Р^_, r^i-x] sin2 бу +81П/ Г1 +X1 —Р/-/1у(бу)ПЛ0/) +Vj <rb Оу) = г, ехрфу (бу) d6y-о-и определим функцию фу(бу) из уравненияR^p sin бу+ фу Р^р= — h3 (Qj) sin бу Тогда получим, dVi , dVi „Г^1 (Г^ =^r-'+^.e/=;exp J1^ ГLoJ+ Р//) (бу)Гу + Р^_, r^i-x] sin2 бу +81П/ Г1 +X1 —Р/-/1у(бу)ПЛ0/) +
Vj <rb Оу) = г, ехрфу (бу) d6y
-о-
и определим функцию фу(бу) из уравнения
R^p sin бу+ фу Р^р= — h3 (Qj) sin бу Тогда получим
, dVi , dVi „Г^1 (Г
^ =^r-'+^.e/=;exp J1^ Г
LoJ
+ Р//) (бу)Гу + Р^_, r^i-x] sin2 бу +
81П/ Г1 +
X1 —Р/
-/1у(бу)ПЛ0/) +
Vj <rb Оу) = г, ехрфу (бу) d6y
-о-
и определим функцию фу(бу) из уравнения
R^p sin бу+ фу Р^р= — h3 (Qj) sin бу Тогда получим
, dVi , dVi „Г^1 (Г
^ =^r-'+^.e/=;exp J1^ Г
LoJ
+ Р//) (бу)Гу + Р^_, r^i-x] sin2 бу +
81П/ Г1 +
X1 —Р/
-/1у(бу)ПЛ0/) +
Легко убедиться, что функция V/ будет менее нуля для всех вещественных значений 6 у, за исключением —е < 0S< е, л — е < 0S < л + + e(s = 1, .... / — 1. / + 1, ••■. р), если только R^ < 0 при sin 0у =0. Легко убедиться, что знак Ra^ совпадает со знаком выражения Н0*-т+а^ , который по условию менее нуля.
Возьмем функцию Ляпунова в виде
ТогдарV = — у ехр/ = 1ТогдарV = — у ехр/ = 1У = Ki(гъ 0t)+ V- (г2, 02) + ... + Ур (гр, 0р)
Тогда
р
V = — у ехр
/ = 1
Тогда
р
V = — у ехр
/ = 1
Г6^1
r/"sin20y +r/"sin20y +$ФЛ /1(00^(00
r/"sin20y +
r/"sin20y +
.0.
W 2 Р,(ЛГ/5т20У + 2 ^--^ТГ^П/^О; ^7 + ...
и представляет определенно-отрицательную функцию rv ..., гр для любых вещественных значений 0 у. Следовательно, невозмущенное движение асимптотически устойчиво.
Изложенное в § 33 доказывает следующую теорему.
Теорема. Если система уравнений (4.87) такова, что в результате преобразований у3 = у — и3х и х = X; + ц3у3, р3 = Ао.^-^/Во.^"1-^ И последующего преобразования
^ = ^ + с№.^ х^Т1 + c)N xN
получаем систему (4.101), в которой по крайней мере одно из чисел Н3о№+а? > 0, или при Н^+^'р < 0 число (т + ау) четное, то невозмущенное движение неустойчиво. Если же при нечетном (тп + ау) все коэффициенты Н3о<т+а? < 0, то движение асимптотически устойчиво.
Руководствуясь методом построения функций Ляпунова и Четаева, изложенным в этой главе, можно было бы рассмотреть задачи более сложные, связанные с наличием общих, кратных, вещественных корней уравнений Х<т)(1,х) = У^(1,х) = 0 при условии, что Ф^х, у) обращаются в нуль на всех прямых у = и Зх.
Такого рода задачи представляют несомненный интерес для качественной теории дифференциальных уравнений. Но ввиду их частности мы здесь на этих задачах останавливаться не будем.
§ 34. Случай F0(x, у) = 0. Легко обнаружить, что тождество Р0(1,х)=0 возможно лишь при условиях XW = xX<m-1>(x, у\ YW= уХ^-^ (х, у). Если форма Xf”-1) может принимать положительные значения, то невозмущенное движение неустойчиво, так как Ro = (х2 + у2) Х^^ может принимать положительные значения на прямых у = их (число х в этом случае произвольно). Следовательно, устойчивость может иметь место, когда форма Х(т-1> (х, у) определенно-отрицательная, или когда она имеет вид
Х<т-1) = — П (а3х+Ь3У^Х1т-1-^ (fe=2vi+„. +2Vp) / = i
где Х^т-1-^ (х, у) — определенно-положительна. Отсюда следует, что число т. должно быть нечетным.
Полагая, что х = г cos 0, у = г sin 0, будем иметь
г* = гт П (a,cos0+ 6ysin0)2v/P_&(e) + rm+1F1(O) + -(4.102)
/ = i
+F2(0) + ...
Возьмем функцию Ляпунова в виде (4.35). Тогда
V = /•'"ехрV = /•'"ехр-0■^ фс(0-О .-0■^ фс(0-О .- р
V = /•'"ехр
V = /•'"ехр
-0■
^ фс(0
-О .
-0■
^ фс(0
-О .
— П (a^cosO + 6ysin0)2vv^_6(0) +
- /=1
■+ ^i + фЕх) + ■••]
Если Ех^ + 0 на прямых a,cos0 + 6^ sin 0 = 0, то функцию ф можно выбрать так, чтобы выражение Rx + ф/7! было отрицательно для значений углов, определяемых уравнениями a,cos0 + Z^sinO = 0. В этом случае невозмущенное движение будет асимптотически устойчиво. Если Ех = 0 для этих углов, то мы должны рассмотреть лишь случай FX(Q) = 0, Rx (0) >0 для одной или нескольких прямых. Случай Rx < 0 исключается, так как число т — нечетное.
Предположим вначале, что мы имеем дело только с одной прямой. Запишем систему уравнений (4.87) в виде
x- = —ly—xxxy^Xvn-^^x,y^y-XWx^ ...(4 103)
У=~У(У—^ху^Х^-^Цх, уНУ^Цх, уН-'
Полагая ух = у — ххх, получим
х- = ух^ W"-^ ^^ ...^Г^ у^^-У
+ А^хт + ЧАх^+"ухх^
Ух = Ух2^ (50r-2v,) хт-^А-... +« ухт~^ + ВАт+1) Ух Х- + ...
Отсюда, полагая ух = (z + й)х2, (где h = B0(m+2>M0(m+*>, получим
X — = 6х+ф(х, z) dx
Обозначая через z(x) интеграл этого уравнения, который при х= 0 ■обращается в нуль, и подставляя значение ух = [z(x) + й]х2, получим
х-= Ло^’ + ^х^+Ч-х'”*1 Р(х)(4.104)
где Р(х) обращается в нуль при х = 0.
Нам необходимо рассмотреть лишь тот случай, когда т—нечетное, так как при tn четном, как указывалось, имеет место неустойчивость. При m нечетном уравнение (4.104) определит неустойчивое движение.
Если Rx = 0 на прямых a^cosO + fysinO = 0, то вопрос об устойчивости членами (т + 1)-го порядка не решается.
ГЛABA V
ОДИН НУЛЕВОЙ
И ДВА ЧИСТО МНИМЫХ КОРНЯ
§ 35. Установившееся движение. Рассмотрим теперь систему
yj^gjitii + .-. + gin+ayn+a+Yj^у„+3)(/=1«+3)(5.1)
предполагая, что g^— постоянные величины, Y ^уъ •■■. Уп+з)— голоморфные функции в окрестности точки yt = ... = у„+з = 0, разложения которых не содержат линейных членов, определяющее уравнение |g^ — —8 лх1 = 0 имеет один корень, равный нулю, два чисто мнимых корня ± IX и п корней с отрицательными вещественными частями.
Линейной подстановкой
«4-3х = 2 Aj У],/=1«4-3х = 2 Aj У],/=1«4-3у= 2 в3уь/ = 1«4-3у= 2 в3уь/ = 1«4-3z = 2 0? У1/ = 1«4-3z = 2 0? У1/ = 1
«4-3
х = 2 Aj У],/=1
«4-3
х = 2 Aj У],/=1
«4-3
у= 2 в3уь
/ = 1
«4-3
у= 2 в3уь
/ = 1
«4-3
z = 2 0? У1
/ = 1
«4-3
z = 2 0? У1
/ = 1
систему (5.1) можно преобразовать к виду
х-= —Ху-^Х* ^х, у, г, угу^, y = Xx + Y*^x, у, г, уъ ..., у„) z-=Z* (х, у, г, у!у„)
&’ = *2 р8кУк + а8х+Ьву + с8г+У*(.х, у, г, уи .... у„) (S = lп>
Полагая далее xs = у8 + asx + Psi/ + Vsz (s = Ь •••» п\ определим постоянные величины а„ ps и ys так, чтобы в присоединенной системе линейные члены не содержали переменных х, у, z.
В результате будем иметь
х- = — Ху+Х(х, у, г, хъ ..., хпZ‘ = Z (х, у, г, хи ..., хп)Xs = ^2^ Рек Х^ -)- Xg ^Х, у, Z, Х^,х- = — Ху+Х(х, у, г, хъ ..., хпZ‘ = Z (х, у, г, хи ..., хп)Xs = ^2^ Рек Х^ -)- Xg ^Х, у, Z, Х^,у- = Xx-yY (х, у, z, хху- = Xx-yY (х, у, z, хх(s= 1л)(s= 1л)(5.2)(5.2)гдеХ= 2 xw,I > 2гдеХ= 2 xw,I > 2Y= 2 YW,I > 2Y= 2 YW,I > 27=2 ZW,7=2 ZW,a XW, Y^, Z^, XgW — формы /-й степени от х, у, г, хг, ... Преобразуем систему уравнений (5.2), вводя заменух, = со8 +А,(х, у, z)a XW, Y^, Z^, XgW — формы /-й степени от х, у, г, хг, ... Преобразуем систему уравнений (5.2), вводя заменух, = со8 +А,(х, у, z)I > 2Х„.I > 2Х„.
х- = — Ху+Х(х, у, г, хъ ..., хп
Z‘ = Z (х, у, г, хи ..., хп)
Xs = ^2^ Рек Х^ -)- Xg ^Х, у, Z, Х^,
х- = — Ху+Х(х, у, г, хъ ..., хп
Z‘ = Z (х, у, г, хи ..., хп)
Xs = ^2^ Рек Х^ -)- Xg ^Х, у, Z, Х^,
у- = Xx-yY (х, у, z, хх
у- = Xx-yY (х, у, z, хх
(s= 1л)
(s= 1л)
(5.2)
(5.2)
где
Х= 2 xw,
I > 2
где
Х= 2 xw,
I > 2
Y= 2 YW,
I > 2
Y= 2 YW,
I > 2
7=2 ZW,
7=2 ZW,
a XW, Y^, Z^, XgW — формы /-й степени от х, у, г, хг, ... Преобразуем систему уравнений (5.2), вводя замену
х, = со8 +А,(х, у, z)
a XW, Y^, Z^, XgW — формы /-й степени от х, у, г, хг, ... Преобразуем систему уравнений (5.2), вводя замену
х, = со8 +А,(х, у, z)
I > 2
Х„.
I > 2
Х„.
Здесь иа (х, у, г) — многочлены, представляющие сумму форм до N-ro порядка включительно в рядах и8 (х, у, z), формально удовлетворяющих системе уравнений с частными производными
^Ц—Ху + Х^х, у, г, иь ..., «„)] + ^[Xx-f- Y (х, у, z, иг«„)] + охоу
дип '
+ Z(х, у, z, ихwn)= 2 Pskuk + Xs(x, у, z, ult ..., ип) (5.4) 026 = 1
Система (5.4) не удовлетворяет теорему Ляпунова о существовании голоморфного решения системы уравнений в частных производных {30}. А. М. Ляпунов в своем сочинении подчеркивает, что в общем случае для и8 можно- строить лишь формальные ряды. Однако расходимость рядов и8 не играет никакой роли,' поскольку в дальнейших преобразованиях в замене (5.3} берутся не ряды и8, а многочлены v8. Эта замена не меняет задачи об устойчивости, однако с ее помощью, как правило, удается добиться того, чтобы степень переменных х, у, z, входящих отдельно от ton .... соп в присоединенной системе была выше степени тех же переменных в критической системе. Последнее не удается при сколь угодно большом увеличении числа членов в многочленах и8, если
X [х, y,z, и8 (х, у, z)J = Y [х, у, z, и8 (х, у, z)] = Z [х, у, z, и8 (х, у, z)]=0 (5.5}
Когда же имеют место эти тождества, ряды и8(х, у, z) на основании теоремы § 19 будут абсолютно сходящимися и в замене (5.3) вместо многочленов иа можно брать ряды и,. Докажем, что при выполнении (5.5) невозмущенное движение устойчиво.
Система (5.2) в результате преобразования
xs = o)s + ua(x,у, z) (s = 1, .... п) примет вид
х- = —Ху+Х*(х, у, z, ^соп), y=Xx-VY^x, у, z, ^соп)
z- = Z*(x, у, г, о^соп)
®8-=(s=ln)(5.6)
*=i
Функции X*, Y*, Z*, Qa обращаются тождественно в нуль при coj =• = ••■ = “n = 0.
Представим эти функции в виде
^* = 5 ®а Да (х, у, z)+X*'(x, у, Z, 0)!соп) ' s = 1
Y* = 2 to.Qekx, У, zHY*4x, у, Z, СО]соп) S = 1
= 5 юаЯа(х, у, z) + ZV(x, у, z, агап) S=1
Па = 2 ®ьЯаЬ(х, у, z)4-Q,'(x, у, Z, соь ..., ап) ($=!,...,«)
где Р8, Q8, Р8, HSk — голоморфные функции х, у, z, обращающиеся в нуль при х = у = z — G, а X* , Y* , Z* , Й8 не содержат в своих разложениях линейных членов от соъ ..., ап и обращаются в нуль при coj = ... = соп = 0.
121
Произведем замену
* = !+ 5 со8Л$(х, у, г), у = п+ 5 ®8 Bs(х, у, z)
s=is = l(57)
Z= :+ 2 ®8С8(х, у, z)
s = 1
где функции Л8, Bs, Cs определим таким образом, чтобы в преобразованной системе функции, играющие роль Ps, Qs и Rs, обратились тождественно в нуль.
Для этого определим функции Л8, S8, Cs из уравнений
ДАа Апп
-X •y+x'^-XS.- 2 РнА- 2 H^A.+ Ps
дх дуk=i6=1
двДвПП
_} =у + Х^х=ХА3- ^рквВк- ^HksBk+Qs(5.8)
дхду6=16=1
— ^ " у-Ь^— х = — 2 Рь$Ск — 5 HksCk+Rs (s= i,n) дх ду6=i6=i
Основываясь на теореме § 19, можем утверждать, что система (5.8) определит функции Л8, Bs, С8 в виде степенных рядов от х, у, г, абсолютно сходящихся для достаточно малых значений |х|, |у|, |z|.
В результате преобразования получим систему уравнений
6* = — Х^ + В (|, 1], С, ®i®п), тр = Xg + Н (g, т], С, ®!mJ
=coj ®8- = 2 p8fto)h + Qs(^,T], ^cojcoj
6=1
(s=l,...,n) (5.9)
В правых частях этой системы все функции В, Н, Z* и Qs обращаются в нуль при 6»!= ... = соп = 0, а функции В, Н и Z* не содержат линейных членов от этих переменных.
Функцию Ляпунова, отвечающую системе (5.9), можно взять в виде
у^^^^^Юп)
где W— определенно-положительная квадратичная форма соц ..., соп, удовлетворяющая уравнению
2 ? (Psi ®1 + "ТРзп ®п) = —(®12 + ... + ®п2)
5=1,
Производную V в силу уравнений (5.9) можно представить в виде
V' = —(®12+...+®п2)+ S ЮдЮбФ^б.Т],^6)!. -,юп)(5.10)
S, А»1
где ф8б обращаются в нуль при С = Л = С = ®j = ... = соп = 0.
Из равенства (5.10) следует, что V является определенно-отрицательной функцией от соц со2, ...» ®п и постоянно отрицательной от ^, т], ^, coj, .., соп Отсюда заключаем, что невозмущенное движение устойчиво.
Заметим, что система (5.9) имеет частное решение
^CjCosX^—t^,T] = c1sinX((—<0),С = с2,o)1=... = con = O
"Следовательно, система (5.2) имеет периодическое решение вида
xs = и, [с, cos X (t—t0), сх sin X (t —10), Сг1
x = c^ cos X (t —t^,у =CxSinX(t—t^,z = c2
которое будет существовать по крайней мере для |сх| и |с2| достаточно малых.
Предположим, что тождества (5.5) не имеют места. Тогда руководствуясь преобразованиями, изложенными в § 15, можем утверждать, что исследование системы (5.2) в случаях несущественно особенных приводится к исследованию системы второго порядка, определяющее уравнение которой .имеет два нулевых корня
r = rR(fi, z) z- = Z(r2, z)(5.11)
Полагая г2 = p будем иметь
р- = 2pR (р, z),z-=Z(p,z)(5.12)
При исследовании устойчивости переменную р мы должны считать величиной положительной.
Система (5.12) впервые рассматривалась в работе [10], где приводится исследование простейшего случая, когда система (5.12) имеет вид
р- = RW (Р) z)+ Д(т+1) (р> 2) + ... , z. =Z^ (Р) Z) +Z<m+D (р, 2)+ ... и вопрос об устойчивости решается формами m-го порядка независимо от форм более высокого порядка. Результаты этих исследований приводятся также в работе [6] и в монографии р]. Более общие случаи изложены впервые в работе [и1.
Систему уравнений (5.12) в общем случае можно представить в виде
р- = р (а(2-°> р4-а(ь Dz + ai3- °) р2 + а(2а) pz + a<b 2)z2) +
+ Р 2о^-^р6--1 Z6* + ...(5.13)
kvVka=A
г- = b^- °) р +Ь<2’ °) р2 + 6(L *> pz+ b^- 2> z2 + Уb^kl-6,) p6« z*»-f- ...
*1 + ^2
Если бЧ-о) + 0, то задача об устойчивости системы (5.12) приводится к задаче двух нулевых корней с одной группой решений.
В случае &ч-о) =0 системе (5.13) соответствует два нулевых корня •с двумя группами решений.
Исследование системы (5.13) представляет некоторые затруднения лишь в том случае, когда все коэффициенты Ь^°*кЦ1г = 2, 3N) обращаются в нуль при любом как угодно большом числе N. Этот случай является существенно особенным. В этом случае члены выше N-ro порядка в правой части второго уравнения системы (5.13) могут не обращаться в нуль при р = 0.
Исследуем этот случай. Возвращаясь к системе (5.2) преобразуем ее, положив
X = ?+«(z), У = Ч+У(г), Xs = ys + us(z) (s=ln)
В результате будем иметь
£• = — Хт] +S (g, т], z,«, u,uk,ykY т]'= ^ +^(^, Л, z, и, и,и^уи)
п(5.14)
z‘ = Z*& 4,2.и, y,uh,yh), ys-= ^ pshyk+Ys^,4,z,u,y,uh,yh)
А=1
(s, h= 1n)
Совокупности членов выше первого порядка, не зависящих от g, tj, уъ ..., уп, в правых частях этой системы представятся в виде
3 (0,0, 2, u, о, uh, 0,..., 0) = —-^ (ы> у> г'ик)—Xu + Х(и, у, г,иЛ dz
Н (0, 0,2, и, и, Uk, 0, ... , 0) = '— Z (и, V, 2, Uh)-V Xv 4-Y (и, V, 2, и^dz
Z* (0, 0, г, и, v, ик, 00) —-Z (и, и, 2, и^(5.15)
Ys (0,0, 2, и, г>, ик, 00) = — —^ Z (и, и, г, ик) + 2 Psh uk+Ys(u,v,z,uk)
агк=\
Обращение в нуль коэффициентов 6>(°-й> (£ = 2,3, ..... оо) возможно лишь в том случае, когда
Z (и, V, z,uxи^ = Z* (0, 0, 2, и, V, ик, 00)s О
Определим значения функций и, и, и8 из (5.15) при условии
Z^и, и, 2, и^ = В (0, 0, г, и, о, ик, 0,..., 0) =
= Н(0,0, г, и, v, ик,0,..., 0) = Y8* (0, 0,2, и, и,ик, 0,..., 0) = 0
Мы можем утверждать, что правые части системы (5.14) обратятся тождественно в нуль, если положить ^ = ч = Ух = ••• = Уп — ®-
Применяя к системе уравнений (5.14) преобразования § 24, мы получим, систему, аналогичную (5.13), в которой вся правая часть второго уравнения будет обращаться в нуль при р = 0.
Дальнейшее исследование этой задачи аналогично случаю, рассмотренному в § 24.
В главах II и IV приводятся подробные исследования системы (5.13) как в случае df1-0) ^ 0, так и в случае 6(L0) = 0.
§ 36. Периодическое движение. Задача об устойчивости периодических движений в критическом случае двух корней характеристичного уравнения, по модулю равных единице, одного корня, равного единице, и п корней с модулями,- меньшими единицы, преобразованиями Ляпунова приводится к исследованию устойчивости системы
х* = —Ху + Х (х, у, z, хк, t),y* = 'Kx-jrY(х,у, z, хк, 0
п(5.16)
z- = Z(x,y,z,xk,t), xs‘ = 6S PSkXk + X8(x,y,z,xk,t)
(s=l")
Здесь X, Y, Z, X8 — голоморфные функции x, у, z, хъ ..., xn с периодическими коэффициентами общего вещественного периода со.
Преобразуем систему (5.16), положив
xs = y8 + 0s(x,y,z,t)($=1n)(5.17)
считая vs многочленами, представляющими сумму форм до N-ro порядка включительно в рядах и81 формально удовлетворяющих системе уравнений
% + [-Ху + Х(х, у, Z, ик, 01 + [Хх+ Y (х, у, 2, ик, 014-
dt охоу
+ -^2(х,у,г,ик,1)= £ р8кик + Х8(х,у,г,ик,^($= 1п)
ог6=1
ЕслиX [X, у, Z, ик (х, у, 2, t),t] == Y [х,у, z,u^x, у, 2, /),<] = ^, 1х, у, 2, ик (х, у, Z, t), /] = ОЕслиX [X, у, Z, ик (х, у, 2, t),t] == Y [х,у, z,u^x, у, 2, /),<] = ^, 1х, у, 2, ик (х, у, Z, t), /] = О
Если
X [X, у, Z, ик (х, у, 2, t),t] =
= Y [х,у, z,u^x, у, 2, /),<] = ^, 1х, у, 2, ик (х, у, Z, t), /] = О
Если
X [X, у, Z, ик (х, у, 2, t),t] =
= Y [х,у, z,u^x, у, 2, /),<] = ^, 1х, у, 2, ик (х, у, Z, t), /] = О
(5.19)
то система (5.18) будет удовлетворять всем условиям теоремы, доказанной в § 20. Следовательно, ряды и8 (х, у, z, f) будут абсолютно сходящимися по крайней мере для достаточно малых значений |х|, |^|, |г|.
В этом случае в результате замены
х8 = у8 + и6 (х, у, z, t) ($ = 1, ... п)
будем иметь
х =— Xy-VX^x.y, г,укЛ\ y = 'kx-VY1(,x,y,z,yk,t')^ ^
z-=Z^x, у,2,ук)1\ У8=^ РзкУк + У81(х,у,г,ук,1')
Функции Хь Уь Zlt У81 обращаются тождественно в нуль при ух = = ... = у^ = 0.
Проводя далее доказательство, подобное доказательству § 35, легко убедиться, что невозмущенное движение устойчиво.
Система (5.20) имеет частное решение
x = c1cos%(^ —Q, y = c1sinX(t—Q,г = с2,
Ут= - = Уп = 0
Следовательно, система (5.16) имеет почти-периодическое решение вида
xs =uJc1cosX(£—/0), CiSinX^—t^,1 ca,t\
*(5.21)
x = cxcosX(t—£0),y = c1sin'k(t—/0), Z = Ca
которое будет существовать по крайней мере для [ql и |с2|, достаточно малых. Решение (5.21) будет периодическим, если Хсо/л рационально.
Если тождества (5.19) не имеют места и отношение Хсо/л иррационально, то систему (5.16) с помощью преобразований, изложенных в главе III, можно преобразовать к виду
г = г 1RW ^, г) +... + RW ^, z)] + fiW) (г, г, 6, 0 +
+ ₽ (г, г, 6, yh,f)
Z- = Z(m>) (Г2, Z) + ... + 7<") (г2, 2) + Z^ 1) (г, 2, 6, 0 + Z (г, 2, 6, ук, 0
П(5.22)
Уз = 2 Рзк Ук +Y3(N+l > (г, Z, 6, 0 + Y8 (г, 2, 6, ук) f) 6=1
r^7 = ^r+F(r,z,e,yh,f) (s=ln) at
где Rw, Z^i — формы /-й степени от r2, z(l^.Ny, R^^1^, Z<jV+1), Es<jV+l) — совокупности членов выше N-ro порядка, a R, Z, Ys — обращаются в нуль при yt = ,.,.= уп = 0. Функции R и Z или не содержат
125
линейных членов в отношении у-.цп, или содержат их в произведении с Гк' & (^ + ^2 > N\
Если вопрос об устойчивости в переменных г, z решается формами RW* и ZW при условии I ^ N независимо от форм более высокого порядка,, то при исследовании устойчивости соответствующего невозмущенного движения достаточно рассмотреть систему второго порядка
r = r [R^ (г2, z) + .„ + RW (Д z)],2. = 2(«i) (г2, z) +... + ZW (г2, z)
(5.23),
Систему (5.23), полагая г2 = р, можно представить в виде (5.13). Вопросов устойчивости системы (5.13), как уже отмечалось, исследован в главах II и IV.
Остановимся лишь на том случае, когда все коэффициенты b№ (k = = 1, .... N) обращаются в нуль при любом сколь угодно большом числе N. Возвращаясь к системе (5.20), преобразуем ее, положив
x = ^ + «(z, 0, z/ = T] + y(z,/), xs=ys + us(z, /)(s= 1п)
В результате будем иметь
£' = — ^T1+S(^,T], Z, и, У, ик,ук,Г)
Tf = ^ + Н^, П, z, U, v, ик, ук, 0
z- = Z*^,x\,z,u,y,uk1yk, t)(5.24)
У в* = б2 Рек Ук + К8 & Ч.г.и, v, ик, ук, f)
(s, fe = ln)
Совокупности членов выше первого порядка, не зависящих от ?, т], Ухуп. в правых частях этой системы представятся в виде
В (0, 0, г, и, у, ик, 0,..., 0,/) = — — Z (и, и, z, ик, f)— дг
— Хи+Х (и, и, г, ик, 0—^
Н(0, 0, z, и, и, ик, 0,..., 0,1) = — — Z (и, у, z,uk, t) + дг
+ Хи+ У (и, и, г,ик,
at
(5.25)
Z* (0,0, г, и, у,ик1 O,...,O,t^ = Z (и, v, z, ик11)
Ys (0, 0, z, и, и, ик, 0,..., 0, t) = — — Z(u, у, z, ик, t) + дг
пdus
+ 2 PskUk + Ys(U,V,Z,Uk,t)—-576=1
Обращение в нуль коэффициентов 6(°’й> (& = 2, ...,оо) возможно лишь в том случае, когда
Z (и, v, г, игип, t) = Z* (0,0, г, и, у, ик, 0,..., 0, t) = 0
126
Определим значения функций и, и, us из (5.25) при условии
Z (и, у, z, ик, t) = 8 (0,0, z, и, v, ик, 00,/) =
= Н (0, 0, г, и, v, ик, О[О,<) =
= У8 (0,0,2, и, и, uk,QО, t) в О
Тогда правые части системы (5.24) будут обращаться тождественно в нуль, если положить 5 = Л = ^ = ... = уп = 0.
Если систему (5.24) преобразовать к виду (5.22), то формы Z(Z) будут обращаться в нуль при г = О для любых /, как бы велико число / ни бралось. Система второго порядка (5.23), соответствующая системе (5.24), будет такова, что прямая г = О будет особенной прямой для форм RW и Zu> любого сколь угодно высокого порядка. Исследование подобных систем представляет затруднения лишь в тех случаях, когда формы Ril> и Z(Z) при сколь угодно больших I определяют устойчивое движение. Очевидно, устойчивость может быть только неасимптотической.
Если же будет обнаружено, что невозмущенное движение неустойчиво по формам /-го порядка (/ ^ N), то нулевое решение системы (5.24) будет также неустойчивым.
Отметим, что если Хсо/л рационально, то задача об устойчивости нулевого, решения системы уравнений (5.16) способом, изложенным в главе III, приводится к анализу трех уравнений с тремя нулевыми корнями.
Г Л А В A VI
ДВЕ ПАРЫ
ЧИСТО МНИМЫХ КОРНЕЙ
§ 37. Установившееся движение. Пусть исследуемая система является системой (га + 4)-го порядка вида
У/ —5ЛУ1+••• + 5/п+4Уп+4 + ^(У1Уп+4)(j=l,..., п+4) (6.1)
где gjt — постоянные коэффициенты; Yj(ylt ..., Ул+4)— голоморфные функции ух Уп+4, обращающиеся в нуль при ух = ... = г/п+4 = 0. Разложения Yj^,..., уп+*) по степеням угУп+4 начинаются с членов не ниже второго порядка. Уравнение |^z — 6Zzx| = 0 имеет две пары чисто мнимых корней ±t'X1, ±iX2 и га корней с отрицательными вещественными частями.
Линейной подстановкой с постоянными коэффициентами
п+4п+451 = 2 А3у3,41= 2 в1Уь1=1/=1п+4п+451 = 2 А3у3,41= 2 в1Уь1=1/=1п+4п+45г = 2 C3yb 42=lliDjy3п+4п+45г = 2 C3yb 42=lliDjy3
п+4п+4
51 = 2 А3у3,41= 2 в1Уь
1=1/=1
п+4п+4
51 = 2 А3у3,41= 2 в1Уь
1=1/=1
п+4п+4
5г = 2 C3yb 42=lliDjy3
п+4п+4
5г = 2 C3yb 42=lliDjy3
систему (6.1) преобразуем к виду
5г = —Хг 41 + Вг* (^, g2, 4ь 4г, угу^
V = ^ 5г +Яг* &, ^2, 4Ъ 4г, уху^
УY = ft2 Рек УкА" as 5i + bs ?2 + cs 4i +ds 4г + Ks* (5i, 5г, 4i, 4г, УтУл)
(s = 1, ... , n; i = l,2)
Вводя далее замену
5s = ys+as 5i+0s5i +Vs 4i+6S 42(5=1n)
и определяя постоянные величины os, ps, Vs, 6s так, чтобы в присоединенной системе линейные члены не содержали переменных ^, ?2, 4i> 4г, получим
5г = —Л 4z + 2, (^, g2, 4Ь 42, ^Q
4Р = ^1 5г +Щ &, ?2, 4ь 42, ^Сп)
5$" = 2 Psh ?й 4~^s (5i, 5г, 41, 4г, 51, •••, Cn) (t = l, 2; s = l, ... , п) (6-2)
где Вг= 2 В/О, Hi= НЛ1\ Zs = 2 Zs<0
Z>2Z>2Z>2
а В/Ю, HtW, Z^1^ — формы /-й степени от gn ^2, 4Ь 42, ^, ..., Cn.
128
Такое преобразование можно провести всякий раз, когда чисто мнимые корни — простые.
В случае кратных мнимых корней систему уравнений (6.1) можно привести к виду (6.2) лишь тогда, когда кратный корень обращает в нуль все миноры первого порядка основного определителя, соответствующего данной системе.
Дальнейшие преобразования системы (6.2) преследуют цель разделения критических и некритических переменных.
Замена
5S = zs+ 4,(51, 52, ЛьЛг) (s—1n)
где vs(5i, 5г> Ль Ла) — многочлены с ограниченными коэффициентами, представляющие сумму форм до TV-го порядка включительно в рядах и, (5ь 5а> Ли Ла), формально удовлетворяющих системе уравнений с частными производными
2XZ ^i + Si ^1> ^’ Л1, Ла, “1, ••• , «п)1 +
+ 2 £2^^+ЯД^,^,Л1,Л2,«1«п)]=
2дЛг
= S Psh uh + ^S (511 5г, Ль Ла, Ы1ып)(6-3)
6=1
в большинстве случаев позволяет и для системы вида (6.2) добиться того, чтобы степень отдельно входящих критических переменных в присоединенной системе была выше степени тех же переменных в критической системе. Исключение представляет тот случай, когда
йг [511 5г, ЛьЛг, ик (511 5г1 Ль Ла)1 =Hi [51, 5г,Л1»Л2»ыб (5ь 5а, Ль Лг)]=О (6-4)
Предположим, что тождества (6.4) действительно имеют место. Тогда ряды ms(5i, 5 а, Л11 Ла) на основании теоремы § 19 будут абсолютно сходящимися по крайней мере для достаточно малых значений |5i|, | §2 Ь I Л11» [ т]3 [. Докажем, что в этом случае невозмущенное движение устойчиво.
Система (6.2) в результате преобразования
5s = zs + us (51, 5г, ЛьЛг) (s = 1«)
примет вид
• 5i' "^г Ле 4*^*1 (51, 5г, Л1> Ла» zb ••• 1 Zn)
Лг'^Мг+^шг&Л, Ль Ла, ?ь •••,£„)((=1,2; s=lл) (6.5)
zs'= 2 Psh zft + ^s* (5ь 5г, Ль Л2,21гп)
6=1
Функции Н^, H<b Zs* обращаются тождественно в нуль при zx = = ... = гп = О* *
Представим эти функции в виде
= i zsPis (51, 5г> Ль Ла) + й*ё (51, 5г, Л1 Л2, zi, zn) s=l
H*t = Jj 2S QjS (5i, 5г, Л1, Ла) "VH*i (5i, 5г> Ль Ла, zi, • • •, zn) s= 1
Z* = 2j z^ Rah(5ь 5г, Ль Лг) “b^s (5ь 5a, Л1» Ла, zi> ••• > zn)
6=1
99(s=l, ... , n; ( = 1,2)
9
9
9 Г. В. Каменков, т. II
где Pl81 Qls, Rsk — голоморфные функции ^, £2, Ль Л2. обращающиеся в нуль при ^ = ^2 = Л1 = Л 2 = 0, а В,/, Н*/, Z,s не содержат в своих разложениях линейных членов от гъ ..., zn и обращаются в нуль при zx = ... = = zn = 0.
Произведем замену
?i = Xt + 2 zs Uu, Т]г = yt + 5 zs vis(6.6)
s= 1s= 1
где Uis, Vts — функции от ^, ^2, л1( т]2, удовлетворяющие уравнениям
2 f\ ?Z ) =2 Phs UA — ^« ^zs ^Zs— 2 “^ ^hs
2 V d^5tlZ '6^1
(6.7)
— 2 (^ ^—= — 2 Phs yih + ^i Uis + Qis—2 Uik %ks
(s= 1,, n; Z= 1, 2)
Система уравнений (6.7) удовлетворяет всем условиям теоремы § 19. Следовательно, функции uis, vis определятся из этой системы в виде абсолютно сходящихся рядов от g1( ^2, гц, Лг по крайней мере для достаточно малых значений |^|, |g2|, Ы, 1Лг'1-
При таком определении uis, Vis в преобразованной системе функции, играющие роль Pis, Qis обратятся тождественно в нули.
Система уравнений (6.5) в результате преобразования (6.6) примет вид
xt* = — ^i У^Х^х^.у^, г^z„)
УС = К Xi + Yt (хь х2, уъ уа, Zy,..., z„)
ZC = 2 P&kzk + Zs{x1,xa,y1,ya,z1z^ (Z=l,2;s=ln) (6.8) h=\
где Xb Yb Zs—обращаются в нуль при z1 = ... = zn = 0, а функции Хь Yb кроме того, не содержат линейных членов в отношении z1; ..., zn.
Функцию Ляпунова для системы (6.8) возьмем в виде
v= 5 W + y^W^, ...,zn)(6.9)
Z=l, 2
Здесь W — определенно-положительная квадратичная форма zT, .... zn, удовлетворяющая уравнению
2Zl + ""+PsnZn)= —(zi2 + ...+zn2)
Производную V' в силу уравнений (6.8) можно представить в виде
V'=— (Zi24-...4-Zn2)+ 5 2 ZsZ^s^Xu уг, х2, у2, zlt .... zn) s=l 6=1
где i|)sh обращаются в нуль при хт = ха = уг = уй= гт= ... = zn = 0. Таким образом, V' представляет собой постоянно-отрицательную функцию, а V—определенно-положительную. Следовательно, невозмущенное движение устойчиво.
130
Система (6.8) имеет частное решение
%! = Ci cos Xi (/—/0),^1 = c1sinXI(/—/0),x2 = c2cosX2(/—/0)
#2 = c2sinX2(/—/0), z1 = ... = z„ = 0
а система (6.2) имеет решение вида
^“alcicosbi^—f0), ^sin^—у, c2cos X2(Z—/0), c2sinХ2(<—Го)) g1 = c1cosX1(Z—t0\T^^sin^^—/0), E2 = c2cosX2(Z—/0)
т]2 = с2 sin Х2 (/—10)
по крайней мере для | Cj | и | с21, достаточно малых.
Предположим, что тождества (6.4) не имеют места и вопрос об устойчивости системы (6.2) решается членами порядка не выше, чем N.
Пользуясь преобразованиями, изложенными в § 15, исследование устойчивости системы (6.2) при выполнении условия т^ + т2Х2 ^= 0 для всех целых чисел тх и т2, включая нуль, удовлетворяющих неравенству тг + + т2 ^ N, можно свести к эквивалентной задаче об устойчивости системы
rf = rt R^m-n+nR^+n + ...+п R^"^, RM =
=3а/*-*«) п2А* Г22А-(«=1,2; т>3; йь й2 = 0, 1п > 0)
261+2А,=«
(6.10)
которой соответствуют два нулевых корня с двумя группами решений.
Применяя к системе (6.10) критерии устойчивости, полученные в главе IV, можно судить об устойчивости и неустойчивости.
Так, например, для асимптотической устойчивости по формам третьего порядка необходимо и достаточно, чтобы на вещественных решениях уравнения
Fo = ГТ Г2 №-1) _ R^m-1)) = Г] Г2 [Г12 ((Z2( 1. 0) _ 01( 1. 0)) +
+ г22(а2<°- » — а/0- »)] = 0(т = 3)
выражение
Ко = Г1гКг(т-х)+Га»Кг1т-п = 01^^^1) + а2<ь о))+а2(о. ПГ1<
было меньше нуля.
В отличие от общего случая двух нулевых корней с двумя группами решений, когда уравнение
Го = О
может не иметь вещественных решений (Ео — знакоопределенна), в рассматриваемом случае уравнение Fo = 0 всегда имеет вещественные решения.
Так, два таких решения получим, полагая 1) гх = 0, r2 = const, 2) г2 = = 0, гг = const. Третье вещественное решение, определяемое из уравнения
чЦа^ —а/'^+г,2^0-1)—a1(°i)) = 0(6.11)
существует лишь при условии (а/0-1) — а2(°л>)/(а2(1-0)— ах*1-01) >• 0.
Используя первые два вещественных решения, получим, что для асимптотической устойчивости прежде всего необходимо, чтобы а^1-0’ < 0, а2<0Л><0.
Если существует и третье вещественное решение, то для значений г, и г2 из уравнения (6.11) выражение Ro также должно быть меньше нуля при асимптотической устойчивости по формам третьего порядка.
В том случае, когда хотя бы на одном из трех вещественных решений уравнения /70 = 0 выражение 7?0 больше нуля, имеет место неустойчивость невозмущенного движения. Если же хотя бы на одном вещественном решении уравнения /70 = О 7?0 также равно нулю, то формы третьего порядка задачи об устойчивости не решают и необходимо привлекать к рассмотрению формы более высокого порядка. При этом также можем воспользоваться критериями устойчивости по формам высших порядков, полученными в главе IV.
Мы рассмотрели случай двух пар чисто мнимых корней izX. ±t^2 при выполнении неравенства тхХх + т2Х2 Ц= 0 (mi + m2 ^ V) для любых целых mi, m2, включая нуль. Задача об устойчивости свелась к случаю двух нулевых корней с двумя группами решений. При mxXi + m2X2 = 0 (mx + -V тг<. N^ задача об устойчивости в случае двух пар чисто мнимых корней уже не может быть сведена к двум нулевым.
С помощью преобразований, изложенных в § 18, ее можно свести к задаче четырех нулевых корней.
§ 38. Периодическое движение. При исследовании устойчивости периодических движений в критическом случае четырех корней характеристичного уравнения, по модулю равных единице (корни вида е±,7'1“, е±^2“) и п корней с модулями, меньшими единицы, приходим к системе
Si" = ^i Л1 + ai (Si, S2, Ль Лг, Si, ••• , Sn, О
ЛГ = ^i Si +Нг (Bi, 1а, Лх, Л2, SiSn, О
Sg'= S Psh Sh + ^sl (S1, S2, Ль Лг, Si, ••• > Sn’ 0 (s=l,...,n, i=l,2)(6.12)
6=1
Здесь Ej, Hb Zsl — голоморфные функции ^, g2, гц, -q2, £b ..., £„ с периодическими коэффициентами общего периода, который можно считать равным 2л.
Преобразуем систему (6.12) заменой
£з = г8 + и8(£1Л,Л1,Л2.9 (s = i«)'6.13'
Ряды и„ определяемые системой
%+ 2—^iЛi + ^i(Sl, S2, Ль Лг, “1“п;01 +
dt 2
+ 2 ^^11+^а1Л2,Л1,Л2,И1,-,п„;0] =
, 2 дл>
= £ Psh“h+^si(Si,52,Л1Л2,“ь •■•,“„; О(6.14)
6=1
будут абсолютно сходящимися по крайней мере для малых значений | £х |, S21, | Лх l> I Л г |, если только имеют место тождества
Si [S1, S2, Л1, Лг, “1 (Si, S2, Ль Лг, ОUn (^, £2, т^ Лг, О, Л =
= Ht &, Е2, Л1, Лг, “i(Si,iS2, Ль Лг, О, - , “n (Si, S2, Ль Лг, О» ^1 = 0 (6.15)
В этом случае невозмущенное движение устойчиво. Доказательство этого утверждения проводится совершенно аналогично доказательству в § 37.
Если тождества (6.15) не имеют места, то ряды us, как правило, расходятся. В этом случае вместо замены (6.13) вводится следующая
^Zg+MSi.Sz, ЛьЛг.О (s=lл)(6.16)
Здесь ps(£i, g2, ih, т]2, /) — многочлены, представляющие сумму форм до vV-го порядка включительно в рядах us(£i, £2, Ль Лг, О-
Применяя далее к системе (6.12) преобразования, изложенные в главе III, исследование устойчивости этой системы в случаях несущественно особенных без наложения каких-либо ограничений на корни ±iKj Ц=^, 2) можно свести к эквивалентной задаче об устойчивости установившегося движения в критическом случае четырех нулевых корней.
Если же корни±&1( ± Л2 удовлетворяют условию
2 Ш)Х]=^Е< 2 | т, | < АЛ
1=1.2(Z—1.2)
rRemj и Е — целые числа, включая нуль, то задача об устойчивости системы (6.12) может быть сведена к эквивалентной задаче об устойчивости установившегося движения в случае двух нулевых корней с двумя группами решений (т. е. к системе вида (6.10), рассмотренной подробно в главе IV).
ГЛ AB A VII
СЛУЧАЙ m НУЛЕВЫХ И q ПАР ЧИСТО МНИМЫХ КОРНЕЙ
§ 39. Существенно особенный случай. Рассмотрим систему уравнений
хр = S aiaXo+X^Xv ...,xn.f)(/ = 1П1)(7.1)
с=1
предполагая, что aia — постоянные, и уравнение | а10 — б^Х | = 0 имеет т. нулевых корней, q пар чисто мнимых и р корней с отрицательными вещественными частями. Функции X, голоморфны в окрестности = ... = хп1 = О, не содержат линейных членов и являются непрерывными и периодическими по t для t ^ 0.
В этом общем случае систему уравнений (7.1) можно преобразовать к виду
Уз* = &2^ gsh Ук + ^s (У1л ••• > Ути 2Х> ••• > 2р! /)
Р
гр = 2 Рн Zi +2)^!y^, Zp, t)
l=A
(s=ln; n = m-V2q, j=lp)(7.2)
где g8h и p л — постоянные, а У8, Z} имеют структуру Xv
Уравнение |g8?t — 6shv | = 0 имеет корни с нулевыми вещественными частями, а уравнение | р — 6 jtx | = 0 с отрицательными.
Преобразуем систему (7.2) с помощью замены
Zj^j + Vjlyiyn;t) (/=1р,п=т^(7.3)
где v^yi, ...,yA;f) — многочлены от ух, ..., уп с периодическими коэффициентами, представляющие сумму форм до N-ro порядка включительно в рядах и j, удовлетворяющих уравнениям
п
+ '2Й^81У1 + “^зпУп+¥,(у1Уп.^Up-,t^ =
р
= 2 Pit щ +Zj (ylt..., уп; иъ..., ир; t)(7.4)
i=l
Как мы видели в главе III, преобразование (7.3) применяется для того, чтобы в присоединенной системе свободно входящие критические переменные имели степень не ниже (N + 1)-й.
134
При подстановке в критическую систему вместо z j новых переменных может представиться два случая. Первый характеризуется тем, что в результате замены переменных z;- по формулам (7.3) обращаются тождественно в нуль все формы У^ (уг, ..., уп; О для ^ ^ ^ + 1, как бы велико число N ни бралось. Это, возможно лишь в том случае, когда
Ys(.yi,...,yn;u1ир;0 = 0(7.5)
где и5 — ряды, удовлетворяющие системе (7.4). Этот случай является существенно особенным.
При исследовании этого случая будем предполагать, что уравнение IS"sb — 6sbv| = 0 или не имеет кратных корней, или при наличии кратных корней каждому такому корню отвечает столько групп решений, какова его кратность.
Введем замену
Zj^i+uMуп;^ (/=1р)(7.6)
Последняя возможна лишь тогда, когда ряды, определяемые уравнениями (7.4), являются сходящимися. При нашем предположении относительно корней v8 и х; и при выполнии (7.5) на основании § 20 ряды и j будут абсолютно сходящимися, по крайней мере для достаточно малых значений \у, |.
Система уравнений (7.2) в результате преобразования (7.6) примет вид
пР
Ms = S бзкУк + 2 Psi* (У1Уп, 0 5j + Уз* (У1Уп, £i^Р; t) 4=1/=1
4/ = .2 Ри Si + {S Qi* (У1УпМ1 + Zf (У1,..., уп; ^4Р;0
(s=l,..., п, j — 1р) (7.7)
где Psj* и Q jt*—голоморфные функции ух, ..., уп, обращающиеся в нуль при ух = ... = уп = 0, а У3* и Zj* не содержат линейных членов в отношении Si. ^р-
Линейной подстановкой с постоянными действительными коэффициентами первую группу уравнений (7.7) преобразуем к каноническому виду, тогда получим
Ss‘ = — К Лз + ^ Psi (Sb Ль Гц. 0 Cj + Ss (Sz, Ль Гц. 4ь 0
Лз "^343+ S 5sj(S/> Ль Гц. О 4j+^s (Sb Ль Гц> 4b 0
/=1(7.8)
гь'= S Яь/(Su Ль Гц, 0 &/+#к (Sb Ль Гц,4ь0
4/ = 2 Pii^i+ S Qh (S/, Л/. Гц, 0 ti +Zj(^, T]b Гц, 4b 0 4=14=1
(s,/ = 1, ... , q\ k, p,= 1nr, j,i = lp)
Положим теперь
ppp
Ss = Xs + i 41'^31. Лз= Уб ~H S 4/^s/, Гд рд -f- 2 ^j^hj /=1i=ii=t
(s=l,....q, k=l, ... , m) (7.9)
135
где xs, уе, рь — новые переменные, a usj, vsj, wh] — функции от ^и т]г, Гц и t, определяемые уравнениями
^-^^ Ч'-^) = -2 Pd-K - f 1»
■" — 5(^*^1^<—^"^Цг')™— 5 ys< Ри+Чив/И" ssj— 2у.<9^
Z=1 'и /{=1г=1
—xz^) = — whipi5+Rhj— ^mQh
1=1 '/ i=xZ=1
(s= 1,..., q, k=l, ..., m, j=l, ... , p)
Эта система уравнений удовлетворяет всем условиям теоремы § 20. Следовательно, функции usj, и8), wy определятся в виде абсолютно сходящихся рядов с периодическими коэффициентами. Система уравнений (7.8) в результате преобразований (7. 9) примет вид
V = — К Уз + X, (хг, уь Рр, ^-; 0у,- = Xs xs + Y8 (xb yb pg, ^, /)
Рь* = Рй(^.уг,рц.^.О. Er = ^РяЕ<+^*(*ь^Ри,ЕоО (7,10) (s, 1=1q; jx, k=\m; j,i=lp)
где Xs, Ys, Ph, Zj* обращаются в нуль при Ei = ••• = Ер = 0, а функции Xs, Ys, Ph, кроме того, не содержат линейных членов в отношении £х, ..., £р.
Функцию Ляпунова, отвечающую системе (7.10), возьмем в виде qт
v= ^(х^+у^)+ Spft2 + ^(Ei,...,Ep)(7.11)
5=16=1
где Ц7 — определенно-положительная квадратичная форма, удовлетворяющая уравнению
р
2 ^ (Рд ^i + - + Р3р Ер) = -(Ei2 +... + Ер2)
Производную V' можно представить в виде
рр р
V = - S Е/+ S ^^iMii=it=i j=i
где ф,-у обращаются в нуль при хх = ... = xq= у^. = ... = yq = рх = ... = = рт= £! = ... = ^р = 0. Функция V' является постоянно-отрицательной при V определенно-положительной. Следовательно, невозмущенное движение устойчиво.
40. Теорема о неустойчивости. Рассмотрим теперь второй возможный случай, когда в результате замены переменных z j по формулам (7.3) в системе (7.2)
В главе III доказано, что исследование устойчивости невозмущенного движения системы (7.2) в случаях несущественно особенных без каких-либо ограничений на корни уравнения | gsh — 6shv | = 0 всегда приводится 136
к исследованию устойчивости невозмущенного движения системы п-го (п = т + 2<?) порядка вида
TH* = W"*> (Т]1Лп)+-+Н1(Л°(Л1,-T1J+ ...
^• = 0^! Tis_1 + f/s(m^(ri1%) + •••(s=2,3п)(7.12)
где Hg^si (гц, ..., т]п) —формы ms-ro порядка с постоянными коэффициентами. В общем случае часть величин os-i(s = 2, ..., п) может принимать нулевые значения. Если уравнение |g-sft — 6sk v| = 0 не имеет кратных корней или если при наличии таковых каждому кратному корню отвечает столько групп решений, какова его кратность, то все os-i= 0. Рассмотрим этот случай.
Не уменьшая общности задачи, мы можем считать числа ms равными наименьшему числу тк. К такому виду приводится любая система (7.12) при os_i = 0 заменой
Л$= ^s ~Н Ль (s = 1k— l,fe + ln), 1\к=Хк
Таким образом получаем следующую систему уравнений
(7-13)(7-13)xs-<=XWxv ...,хп)+Х,№Цх1,...,хпН...
(7-13)
(7-13)
Эта система имеет л-кратный нулевой корень с п группами решений. Введем в рассмотрение функции
Fskm = xkXs^+h_Xsxkwi (/ = о,1,...)(7.14)
Для каждого фиксированного числа к будем иметь п — 1 группу функций FkkW = 0. Очевидно, что Fskw = — FksW.
Кроме этих функций будем рассматривать функции
R, = X! X^+h +... + Хп Хп№ у=0,1.....)
Докажем теорему.
Теорема1. Если система уравнений (7.13) такова, что
1) алгебраические уравнения
FekW = 0(s—1к — 1, fe+1л)
(7.15)
имеют вещественное решение хотя бы для одного к = 1, ..., п при хк N= О, 2) функция Ro может принимать положительные значения при условии Fsk = 0, то невозмущенное движение неустойчиво.
Не уменьшая общности задачи, положим к = 1. Тогда из системы уравнений (7.13) получим
dxsXs(m> + Xs(m+1>+...
— = (s = 2, ... , n)
dxt X^-VX^+^-H..
Полагая xs = (zs + /is)^i(s = 2n)
будем иметь
dzsXs*m* (1, z2 + A2> •••)+*iX/m'^ (1, za4-ha,...)-(- ...
^dx^ Zs s + X1<m>(l,z2 + /12, ...)+x1X1<m+1>(l,z2 + /i2, .) + „.
Числа /i2, ..., hn определим из уравнений
(7.16)
(7-17)
(7-18)
XW (1, ^ ..., h^-hs X^ (1, h2,..., ft„) = 0 (s = 2n)
1 Эта теорема впервые доказана автором в работе [7].
(7.19)
137
Эта система при условии 1) имеет вещественные решения, и эти решения не обращают в нуль выражение XV1"11 (1, Ав, ..., hny В противном случае выражение Р0(х1, •••, -^п) обратится тождественно в нуль при значениях jca = h^, что противоречит условию 2).
Система уравнений (7.18) при условии (7.19) примет вид
Xi^ = S6sftzft + 68^i+Ts(^i,z2, ...,zn) (s = 2n)(7.20)
Согласно теореме §21 эта система имеет решение zs = zs(xi), голоморфное относительно хг или хх и xjnxi, обращающееся в нуль при хг = 0. Под- •ставляя значения z^Xj) в (7.17), получим уравнение интегральной кривой
xt = hsXr + хх zs (хх) (s—2,3n)
которое удовлетворяет системе (7.13).
Подставляя значения xs в первое уравнение этой системы, получим
xV = XxW (1, /i2,..., hn)ХГ+ XV"Н(xV)(7.21)
где Н^х^ обращается в нуль при хх = 0.
Из этого уравнения следует, что при т четном независимо от знака XxW (1, Ав, .... hV) x^t) 5удет возрастать с увеличением t и невозмущенное движение, соответствующее системе (7.13), будет неустойчиво.
При тнечетномх^) будет возрастать при условии X(m> (l,/i2^п) >
> 0. Очевидно, что x^f) будет возрастать с ростом t, если отношение Хх(т> (^ь ■■•> х^1хх соответствующим выбором хх можно сделать величиной положительной при xs = hsxx(s = 2, ..., п). Но из условия (7.14) при ^ = 1 ■будем иметь равенства
Хх^ . хУтУ . Xnw?22)
Х1 Х2 "■ хп
Следовательно, если хотя бы одно из отношений Xs<m>/xs окажется большим нуля, то невозмущенное движение системы (7.13) будет неустойчиво.
Покажем, что при условии 2) отношение Х!<т> !хг > 0.
Из (7.22) имеем
Xs = — Хх (s = 2п)
Подставляя эти значения в выражение Ro будем иметь
7?0 = хг XVm) + ^ Х/"») +... + — Xxw > о *1хг
‘Отсюда получаем
у (т)у (т)
^_(Х12+... + Хп2)>0) т- е- <Lk_>0
Решение системы однородных уравнений Fsh = 0 всегда можно предста- витьв виде xs = hsxx (s = 2,..., п). Это решение представляет уравнения прямых, проходящих через начало координат при/18 вещественных. Если на этих прямых выражение Ro соответствующим выбором хг можно сделать величиной положительной, то невозмущенное движение неустойчиво.
Следовательно, необходимое условие для устойчивости невозмущенного движения системы (7.13) при наличии вещественных решений алгебраических уравнений Fsh = 0 заключается в том, чтобы выражение Ro при условии Fsh = 0 не принимало положительных значений на всех прямых ха = hshXh.. Доказать достаточность этого условия в общем случае удалось только для систем второго порядка (см. главу IV). Решение этой задачи при п > 2 пред- 138
ставляет затруднения весьма существенные. Если Ro хотя бы на одной прямой хв = hshxk обращается в нуль, а на остальных прямых Ro <0, то задача об устойчивости, как мы убедились в § 30, формами /n-го порядка не решается.
. Исследование устойчивости приведением системы уравнений к специальной форме. Теорема о неустойчивости, сформулированная в предыдущем параграфе, а также исследования, проведенные в главе IV, ПОЗВОЛЯЮТ утверждать, что формы FVh и Ri играют весьма существенную роль в решении задачи устойчивости. Поэтому представляет интерес вместо системы (7.13) получить новую форму уравнений возмущенного движения, в правые части которой входили бы формы F3hW и Ri непосредственно.
Положим
хв = гу3, У!2+у\ + ... + уп2=1 (s=lп)(7.23)
тогда
r^X^+.-. + Xn1'
Дифференцируя это равенство по t и определяя производные от уи ..., уп по t в силу уравнений (7.13), получим
" rm [^("О (У1,..., уп) +... +ynXnW (уи ..., ,/„)] + dt
+ г^Чу1Хг^ЧУ1».ЛУпН...+УпХп^^^Уп)1+...
^ = rm-x ^ ^ ... , у^—у, [У1 Х^ (У1Уп) +
+у» Х^ ^У1Уп)+... + Уп Хп W (У1О)+ ^ {...}+...
Для s — 1 имеем
^ = r^ [X^iy^ ...,yn)-y1(y1X1^ + yiX2^ + ... + ynXnW)] + at
+ rm [...] + ...
Вводя формы F^ = y^xT^ — ysXTw, вычислим значения
y1X2W = y2X1W-F12W, yxX.W^y^mW-F^h,... ,
У^ип+i^y^W-n-F^h
Подставляя значения yxX3W, .... ухХ^, УхХ^^, ..., ух ^т+1) в уравнение для уъ получим
= r”-> (у2 Fla<°> + ys F^^ + ... + yn Fln^)+ r-n (...) +... at
Для s = 2 имеем
= rm-1 [Xa(m) - y2 (У1 XxW + Уг Хй№ + ... + ynXnW^ + rm [...] + „.
y2Xx^ = yxX^ -F21W, y2X3^ = y3\X2(^-
-F^y»X^w = yn Xi^-F2nW
S = г—1 (^ F21«» + у3 V} + -+Уп VH г- (...) +... at
Применяя аналогичные преобразования к уравнениям для у3\ .... у„ и учитывая, что F^ = —Р$» F^ = 0, получим систему
— = ^/?о (Ух,. Уп) + Rx (У1,..., уп) + at
^ = г”-Чу2 V’+ysV’ + .-.+z^^^ysF^H...
ats=i
(-У1 Fxtw +Уз F13w+... + yn F^+r” 2 ys F2sm + ...
ats=i
^ = F"-4-yiFln№-y2FanW-. ..-y„_i^°2i,n) + at
+ F" 2 ysFnsm+...
S=I(7.24)
n
Здесь Ri(yx, ..., z/n) = 2^s^sm+Z>. Выражения Rt и F^ являются фор
мами (m + I + 1)-го порядка.
Система (7.24) имеет (n + 1)-й порядок, но легко убедиться, что выражение Ух А-... + уп2 = с1 является ее общим интегралом. При с =1 переменные ух, ...,Уп обращаются в направляющие косинусы радиуса-вектора г, а новые переменные являются сферическими координатами.
Эта новая форма уравнений возмущенного движения сводит задачу об устойчивости решения ^ = ... = х„ = 0 к эквивалентной задаче об устойчивости решения г = 0.
Форма уравнений (7.24) во многих случаях имеет несомненные преимущества по сравнению с обычной формой (7.13).
Так, например, пусть исследуется задача устойчивости при наличии q пар чисто мнимых корней, а т = 0, т. е. определяющее уравнение системы (7.1), кроме корней с отрицательными вещественными частями, имеет только чисто мнимые корни ±iXs. В случае, когда корни ±iXs удовлетворяют усло- fq
вию 2 тХ + Е Для всех 2^ 2 mg^N (ms и Е — любые целые числа, S-1S=1
включая нуль) и задача об устойчивости решается членами не выше N-ro порядка, мы можем с помощью преобразований, изложенных в главе III перейти от исследования устойчивости нулевого решения системы (7.1) к эквивалентной задаче для системы
rs- = rs R^^ +rs Rs^ +... + rs Rg^ + Rs (Гх, :.., rq, 0t6„ 0
(m = 2fe-|-l, k > 1) (7.25)
RgW =2«з^-^Г!26-...rg2*9(s=l,...,<7)
2(^1+- ..+*g) = Z
Здесь aQ1"*?) —постоянные коэффициенты, Rs включают в себя все формы не ниже (N + 1)-го порядка относительно rs. Все г8 ^ 0.
140
Полагая
q
rs = ry81 z8 = g,\ p = r2 = 2 rs2
S=1
и учитывая, что F^ = г^Н^4"21^ —R^^21^ = rsrkRVfe, будем иметь
= 2pHi Ro (Z1,..., z?) + 2р*+2 R1 ^г^ +(7.26) at
~ = 2р» z8 (zx Rsl№ + z2 Дз2<°) + -.. + z. RSI?W) +. at
R^ZxR^w-V...A-ZqRqw'1 (S = 1q, Z1 + ...4-Zg = l)
Система алгебраических уравнений F^i? = z^kR^k = 0, составленная для системы (7.26), всегда имеет хотя бы одно вещественное решение для каждого фиксированного & при zk ^ 0. Действительно, мы можем положить все z8, за исключением zk, равными нулю, a zk взять равным единице, и это, как нетрудно убедиться, будет решением системы уравнений Р^ = 0.
Если хотя бы на одном вещественном решении какой-либо системы Fs°i? = = 0 выражение Ro > 0, то невозмущенное движение неустойчиво в силу теоремы, доказанной в § 40.
Таким образом, в рассматриваемом случае устойчивость может иметь место только тогда, когда при значениях Zi, ..., zq, являющихся решениями систем алгебраических уравнений Р^ = 0, выражение Ro ^ 0.
Предположим теперь, что при всех таких значениях zx,zq выражение 7?о < 0.
Для системы (7.26) в этом случае функцию Ляпунова можно взять в виде
y = pe-jv«(7.27)
где N — достаточно большое положительное число, a u(zx, .... z9) — непрерывная и ограниченная функция гъ ..., zq.
Производная этой функции по t в силу уравнений (7.26) будет иметь вид
V' = 2pHie-^|b-^2L—-^)23zk+
ILdzk)J
+ p 2 f?) zs 4 Я8ь(1>] + J(7.28)
Если окажется, что функцию и можно выбрать из уравнений
дг8где Р8кдг8где Р8к^_9u_ = rwr
дг8
где Р8к
дг8
где Р8к
on.Sri
dzk
— положительные, непрерывные и ограниченные функции zn ...,zq,
не обращающиеся в нуль, или постоянные величины, то
V' = 2p*+i е-«“ \R0-N^P3k (Rskwy z3 zk] + ...
Предположим, что такая функция и найдена. Тогда, как легко видеть, функция V' будет определенно-отрицательной при V определенно-положительной, и, следовательно, нулевое решение системы (7.26) при Ro <. 0 для Fs^ = 0 будет асимптотически устойчивым по формам т-ro порядка.
Ограничимся исследованием простейшего случая q = 2, т. е. случаем, когда характеристическое уравнение исходной системы имеет две пары чисто мнимых корней.
В этом случае функция и определяется уравнением
^-^■ = V)(z1,z2)(7.29)
Форма ^{г1 ^-го порядка, полученная после преобразований исходной системы, может быть представлена в виде
#12(0) (zv га) = ^ а(*«- *«’ z^- z26i (£1 + ка = k)
Функцию и можно взять в виде формы /-го порядка (/ = к + 1)
u = 2?l(Z-'Hz/*?^-у=(г^1^
В результате подстановки функции и в уравнение (7.29) определим коэффициенты Л(Z*-*•> через коэффициенты a^v^ из системы
(Hl)^0’-^ 1> = a(fc-0>
кА^- 1)_2Л<*—u 2> = о(*-1- о
2A(2-ft-1> — kA(l-ft> = a(1-fe-i>
Ad-6> — (fc +1) Л(0- *+» = а(°- *>
Здесь можно Л(*+10> выбрать равным нулю, тогда все остальные коэффициенты формы и определятся однозначно.
Возвращаясь к производной V', которая в случае q = 2 имеет вид
V = 2p*+i e-Nu [Ro-N №12(0))2 zx z2] +...
приходим к заключению, что если при F^ = z1z2/?i2) = 0 форма /?0 < О, то невозмущенное движение асимптотически устойчиво, т. е. получили тот же результат, что и в предыдущей главе.
Рассматривая формы более высокого порядка и принимая за функцию И выражение
V = р exp (—Nu^ + р2 ехр'и2 +... + р“ ехр иа
где «1,... ,ыо т°й же структуры, что и и, мы могли бы получить критерии устойчивости по формам выше т-то порядка. Но на этих вопросах мы здесь оста - навливаться не будем.
Отметим, что форма уравнений возмущенного движения вида (7.26), хотя и облегчает построение функций Ляпунова, но не позволяет избежать всех трудностей, связанных с их определением, если q > 3. В этих случаях мы можем встретиться с затруднениями, весьма серьезными.
ГЛАВА VIII
КАНОНИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
§ 42. Системы второго порядка. Рассмотрим задачу об устойчивости нулевого решения канонической системы уравнений второго порядка
dx дНdy дН. х
dxду ’ dxдх
с гамильтонианом
Н = “/2₽ (х2+ ^ + */р 5 HW (х, у, т)/=3
где
НЦх, у, т)= У, а^1-й=> (т) хк1 ук* 6i+*,=Z
П=оо
а(*1.й»)(т)= 2 (6П<61’4г) cos от +Уп*6»-6«) sin л т) п=—ОО
6n<*i' й*> и уп(й*’ й*> —вещественные постоянные, а а и 0—целые положительные числа.
Частные случаи этой задачи рассматривались в работах [12-141.
Систему уравнений (8.1) можно представить в виде
dx _dHw (х, у, /) dHw (х, у, t)-
dt —“^ дуду
Ду л_ дН^Чх.у.П дН^Чх, у, /)*,R
dtдх + дх
где т = р/.
Задача об устойчивости нулевого решения системы (8.2) в случае а иррационального, рассмотренная Ляпуновым, изложена в § 4. Там же отмечено, что в случае а рационального эта задача может быть сведена к исследованию устойчивости нулевого решения системы в критическом случае двух нулевых корней с двумя группами решений. Метод сведения содержится в § 18, а само решение задачи об устойчивости приведено в главе IV.
Преобразовав эту системы согласно § 18, получим
^ = «(2- °) x^ + ad- 1) Xi У1 + a(«. 2) ^ Х1,з) (%1) у^ +... + at
+ X.W (Х1, У1) + Х/^+п (Х1, tivtW ...(8.3)
= Р<2■ 0) X? + ₽( Ь 1) X! ^+ Р(0- 2> У^ +^(3) (хъ У1) + ... +
at
+ ^1") (хь У1) +^("+1) (X!, У1, tH ...
Постоянные a<6»' йг) и р<**> й«> (^ + &2 = 2) при a/р = 1 в силу канонического характера системы (8.2) будут удовлетворять условиям
p(i. 1) =_2a(2.0), a(i. 1) = _2р(0. 2)
a(2 0) = l(_3T1(3. 0) + 3Ts(3. 0)_3Ts(l. 2) +Т1(1. 2)_61(2. 1)_
— Зб3(2- D—36/0- 3)_]_ 36s(0.3))(8 4)
р(0. 2) = 1 („Зб^З. 0)+36з(3. 0)_61(1.2)_36з(1.2)_Т1(2. 1) +
+ 3Ts(2. D —3Т1(0. 3)_37з(0. 3))
а(0.2) = 2(3Т1(3. 0)_Тз(3. 0)+?1(1. 2) + Ys( 1. 2)_6Х(2. 1)+63(2. О-Зб/0' 3)-6g(0.3))
0(2. 0) = 2 (_63(3- 0)_36х(3. 0)_бх( 1 • 2) +6з( 1. 2)_?1(2. 1)_
_Тз(2. 1)_ЗТ1(о,з) + Тз(о.з))
Согласно полученным в главе IV критериям устойчивости по формам т—го порядка нулевое решение системы (8.3) при Х^'1 = Vi<z> = 0(/ > 3) в общем случае может быть устойчивым, если:-
«(»,.»,) = 0(»1. 6,) = о (^+^ = 2)
формы второго порядка имеют общий множитель вида ах + by и форма F-^Xy, У1) знакоопределенна.
Случай 1) может представиться, когда р > 3 а или когда соотношения (8.4) при отличных от нуля 6/**- к«\ ^(*1- 6«), 63<6i> й=>, у3<61> й*> приводят к равенствам а(й«- й«> = Р(6*’йг) = 0. Легко убедиться, что для канонических систем в силу условий Р<1Л> = —2a<20>, а<1Л> = —2р(°-2) случай 2) не имеет места. Действительно, согласно условиям (8.4) систему (8.3) можно записать в виде
= Ах^ - 2ВХ1У1 + Су ^ + ...,= Dx^—2АХ1У1 + В у^ +...
atat
где постоянные А, В, С, D могут, очевидно, принимать произвольные значения.
Для того чтобы формы Х^^хх, у^ и Ух^Чхь у^ имели общий множитель вида ахх + Ьух, необходимо, чтобы уравнения
Дх2—2ВхД-С=0Ох2—2Дх-|-В=0
где х = х^ух (yi^O), имели общий вещественный корень хх. Составляя результант многочленов Х^ (х) и У/ (х) и приравнивая его нулю, получим
(ДВ —С2)а = 4(В2—ДО (Д2—BD)
что не противоречит условиям вещественности корня xt(B2 > АС и Д2 > > BD).
Составляя выражение для формы Fo по совокупности членов второго порядка Х1(2>(х) и У1(2)(х), будем иметь
Ей (х) = хУ/2) (х)—Х/2) (х) = Ох3—ЗДх2+ ЗВх—С
Теперь остается показать, что выражение
F-x (х) = Fo (х)/(х—х1)=Ох2+ (Охх—ЗД)х+ (Oxi — ЗД) х^ЗВ 144
не может быть знакоопределенным относительно х. Действительно, полагая х = хъ получим
F_ i (xj = 3 (Ох/—2 Дх! + В)=О
Во всех других случаях движение либо неустойчиво, либо вопрос об устойчивости решается рассмотрением членов более высокого порядка (как, например, в случае, когда формы Х/2> (хх, у^ и Y^Xxi, у^ имеют общий множитель вида axY + бу/.
В частности, неустойчивость всегда будет иметь место, если разложения правых частей системы (8.3) начинаются с форм четного порядка Х^^Хх, ух) и К/20^, у^ (/ > 1) и уравнение
хУ^П (и) —X/2') (х) = 0
где х = xjyx, имеет по крайней мере один вещественный корень хь не являющийся корнем уравнения
хХ/2') (х) + У1<2')(х) = 0
В этом случае форма 7?0(^i, Ух) пРи х = хх представится в виде
Ro = У121+1 К Xxw ^ + у^п (Хх)1
Очевидно, каков бы ни был знак выражения, стоящего в квадратных скобках, величину Ro всегда можно сделать положительной, следовательно, нулевое решение неустойчиво.
Предположим, что наинизшие формы, неравные тождественно нулю, есть Х/”) и У1<т>. Тогда устойчивость по формам m-го порядка возможна лишь в двух случаях:
при F0(xx, ух) = 0 форма Ro = 0;
F0(xx, ух) — функция знакоопределенная и
2 Л
g = Fo (cos 6, sin 0) f ^(eosO, sin®> rfe = 0
s 0о F» <cos e> sin °)
Случай Ro < 0 при F0(xx, у/ = 0 и случай g < 0 для канонических систем вида (8.2) не имеет места, так как приводит к асимптотической устойчивости, что противоречит теореме «Лиувилля.
Если же форма Ro при Eo(xi, ух) = 0 принимает положительные значения, а также если при F0(xx, ух) знакоопределенной g > 0, то невозмущенное движение неустойчиво.
Для исследования случаев 1) и 2) необходимо привлечь к рассмотрению формы высших порядков. Рассмотрим формы (т + 1)-го порядка. Применяя критерий устойчивости, полученный в главе IV, мы убеждаемся, что для канонических систем устойчивость в случае 1) возможна только тогда, когда при F0(xx, ух) = 0 функции Ф) также обращаются в нуль. В противном случае предложенный метод позволит выделить лишь случай неустойчивости, так как случай асимптотической устойчивости для канонических систем дифференциальных уравнений с голоморфными правыми частями невозможен. К тому же заключению мы придем и при исследовании случая 2).
Рассматривая формы выше (т + 1)-го порядка, например, формы (тп+&)-го порядка, придем к аналогичным заключениям, т. е. будем получать или неустойчивость, или встретимся опять с сомнительным случаем, когда формы (/и + б)-го порядка вопроса об устойчивости не решают.
Таким образом, в случае рациональных X устойчивость может иметь место лишь в существенно особенных случаях.
В. Каменков, т. II.145
Пользуясь результатами, полученными в главах II, III можно также решить вопрос об устойчивости для канонических систем с функцией Гамильтона вида
Н = Ху2-V-HW (х, у, т) +Д<"1+1> (х, у, т) +
где HW (х, у, т) — формы /тг-го порядка (т > 3) с периодическими относительно т коэффициентами. Функция Н будет иметь такой вид, если разложение силовой функции U(x, т) по х не содержит линейных и квадратичных членов.
Системы высших порядков. Перейдем к рассмотрению канонической системы вида
(8.5)(8.6)(8.5)(8.6)dxs _дНdys дН_
(8.5)
(8.6)
(8.5)
(8.6)
dxdysdxs дх8
с гамильтонианом
н =хр’ У1--’Ур-т)
s=l 2Psр /^3
где
HW = ^0^1’ ••• ’ *Р’ П1пр) х/1... xpkpy^ ... урпр
(^1 + ... + kp -L Пх + ... + Пр = /)
а*(т) = 2 (6n*cos/ir+yn*sinnr) п=0
6*п и у*п — вещественные постоянные, а * обозначает индекс (^, ..., кр, пъ ..., пру
Преобразованиями, указанными в главе III, систему (8.5) можно привести к виду
^~ = V> (xu, -, хр1; упУР1) +... +
+ Xs]<m+") (xuxpv, уп,..., ур1) +
+ XS1№+D (xu, ..., xpl; yuypl, /) +...(8.7)
-^ = ^si^ (хц, , хр]; ун,..., t/pi) + ...+
+ У81(^) (xnXpl; уи,...,ур1Н
+ Ysl^m+N+^ (Хн,...,хр1- уп,...,ypl,0 + -..(m>2, s = 1,... p)
где X^+"+1) и /‘7+"+” — формы (m + N + 1)-го порядка с периодическими относительно t коэффициентами.
Несмотря на частный характер правых частей полученной системы, исследование ее сопряжено с весьма большими затруднениями. Дело в том, что канонические системы относятся к тем особенным системам, для которых вопрос об устойчивости, как правило, не решается конечным числом форм правых частей системы (8.7). Если же положить N = сю , то мы могли бы получить автономную систему для форм любого порядка, и решение вопроса не представляло бы затруднений, если бы при этом преобразовании соответствующие ряды были сходящимися. Но ряды эти в общем случае расходятся, а исследование их сходимости даже для случая р = 1 представляет задачу весьма трудную.
Обходя трудности, связанные с исследованием устойчивости этих систем, рассмотрим те канонические системы, у которых неустойчивость невозмущенного движения может быть обнаружена рассмотрением N первых форм правых частей системы уравнений возмущенного движения. При этом мы вынуждены ограничить исследование рациональными Xs, так как в случае Xs иррациональных вопрос об устойчивости не решается конечным числом форм правых частей дифференциальных уравнений, на каком бы большом конечном числе N мы не остановились.
Предположим, что в результате преобразования наинизшие формы Х*? и У^х, входящие в систему (8.7), имеют индекс / = 2.
Рассмотрим систему алгебраических уравнений
(8.8)(8.8)(8.9)(8.9)X,i<2> (Хп ..., Х&-1, 1, Х&+1,..., Хр; р-х,..., рр) = О ^31(2) (^-ь ••• > ^-Ь 1, ^+1, ••• > ^р! Нь •••, Нр)=0
(8.8)
(8.8)
(8.9)
(8.9)
(Xs = xsl/xkl, Цз = Уз1/хм, й, s = lр)
и систему уравнений
*si(2) (Лх V- Hi. ••• > Нй-ь !. H*+i Нр)=0 ^si(2)(^i Ч’ Hi Нй-ь 1,Нй+ь ....НР) = °
(1з=х31/уй1, 118=Ув11Ум.М=1, ... , р)
Таким образом, для каждого значения к мы будем иметь две системы уравнений 2р-го порядка с2р-1 неизвестнымиХ1( ..., Х^.Х^+х, ..., Хр, рх, ..., р,, и Хх, ...,ХР, рх, ..., pft_x, ph+x, ...., рр соответственно.
Если для какого-нибудь фиксированного к по крайней мере одна из этих систем не имеет общих вещественных корней, то нулевое решение системы (8.7) неустойчиво.
Если системы (8.8), (8. 9) для любых значений к имеют общие корни, но уравнения
(8.10)(8.10)Fsh=0 ($=1к — 1, й-pi2р, к = 12р)
(8.10)
(8.10)
составленные для системы (8.7), имеют вещественные корни, отличные от общих корней систем (8.8) и (8.9), то невозмущенное движение также неустойчиво.
Если окажется, что формы X*? и У(/1 Для / = 2, 3т — 1 обращаются тождественно в нули, а формы Х^? и У^ отличны от нуля, то, применяя к такого рода системам критерии неустойчивости, мы придем к аналогичным результатам в случае т четного.
В случае т нечетного мы должны рассмотреть 2 р — 1 систему алгебраических уравнений (8.10) с 2 р — 1 неизвестными. Если окажется, что хотя бы для одного из к эта система уравнений имеет вещественные решения, и при условии (8.10) форма'
S= 1
может принимать положительные значения, то невозмущенное движение неустойчиво.
Г Л А В A IX
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ В СЛУЧАЯХ, БЛИЗКИХ К КРИТИЧЕСКИМ
Предварительные замечания. В этой главе мы будем исследовать случаи, близкие к критическим. Будем предполагать, что определяющее уравнение системы дифференциальных уравнений возмущенного движения кроме корней отрицательных и равных нулю, корней с отрицательными и нулевыми Вещественными частями имеет по крайней мере один корень с малой по модулю вещественной частью или малый вещественный корень.
В термин «корень с малой по модулю вещественной частью» или «малый вещественный корень» будем вкладывать то понятие, которое Пуанкаре приписывает «малому параметру», т. е. там, где это нужно, мы будем предполагать «малые корни» сколь угодно малыми с предельным значением, равным нулю.
Постановка задачи об устойчивости такого рода систем требует предварительных пояснений. Дело в том, что наличие корня с положительной вещественной частью согласно известной теореме Ляпунова {24} гарантирует ' неустойчивость невозмущенного движения независимо от старших членов. С другой стороны, наличие только отрицательных корней и корней с отрицательными вещественными частями обеспечивает асимптотическую устойчивость невозмущенного движения.
Эти две замечательные теоремы Ляпунова, лежащие в основе всей теории линейных колебаний механических систем и устойчивости их движений, получены им при весьма жестких ограничениях, налагаемых на начальные возмущения. Определяя устойчивость движения, Ляпунов предполагает, что все начальные возмущения по модулю могут быть сделаны менее любого наперед заданного числа. Таким образом, предельное значение начальных возмущений есть нуль.
Если же предположить, что модуль хотя бы одного из начальных возмущений не может быть менее некоторого, пусть очень малого положительного числа е (что имеет место в реальных условиях), то наличие положительного корня определяющего уравнения не является критерием неустойчивости движения независимо от старших членов, так же как наличие только корней с отрицательными вещественными частями не является критерием устойчивости.
Поясним это двумя примерами.
Пример 1. Рассмотрим систему двух уравнений
(9.1)(9.1)xf = p*i + gx-^, хг* = — ха
(9.1)
(9.1)
Предположим, что р > О, g < 0. Корнями определяющего уравнения этой системы являются хх = р,, х2 = —1. Допустим, что — p/g = %2 мало по сравнению с единицей. Интегрируя систему (9.1), получим
у 2у — у р(
— / v а хv а >А2 — -*2oс
12|lt I
Функция ^(0» Определяемая первым уравнением, является ограниченной на всем диапазоне /от/ = 0до/=оо и для всех значений х102 больших и меньших параметра X2. При / = оо получим Xi 2 = X2.
Кроме того, при х102 >• X2 функция x^f) является убывающей. Что касается функции x^t), то согласно второму уравнение она всегда будет убывающей.
Следовательно, для переменных системы уравнений (9.1) всегда можно установить область G, за которую они никогда не выйдут, если только их начальные значения будут находиться внутри этой области. В нашем случае эту область можно задать прямоугольником с ребрами х\0 ^ Дх и х220 ^ ^ Д2. Число Д2 ограничено снизу только максимальным значением х220, и если последнее сколь угодно мало, то и Д2 может быть выбрано сколь угодно малым. Число же Дх ограничено снизу неравенством Аг > > X2. Если по условию задачи мы будем иметь, что максимально допустимые начальные отклонения х10 удовлетворяют условию X2 ^ х210 ^ X2 + h, а функция x^f) — условию Хх2^) ^ X2 + h, в которых h — наперед заданное положительное число, то число Аг можно взять равным X2 + h.
Число h можно выбирать по нашему усмотрению, исходя из физического содержания самой задачи. В частности, его можно принять за сколь угодно малое, отличное от нуля, положительное число.
Что касается числа X2, то оно определяется параметрами правой части первого уравнения системы (9.1) и не связано с величиной допустимых возмущений.
Представляет интерес сопоставить поведение интегральных кривых системы (9.1) в области, близкой к началу координат, соответствующее линеаризованным уравнениям с той картиной, которая имеет место в действительности (т. е. при сохранении члена gx^Y
В случае р > 0 линеаризованные уравнения (9.1) дают фазовую картину, представленную на фиг. 1; а с учетом члена gx® при условии g < 0 получаем фазовый портрет, изображенный на фиг. 2.
Для р, < |^| (р > 0) отрезок BiB2 может быть сделан достаточно малым, но вполне определенным по своей величине. Если же р < 0, a g > 0, то без учета члена gXxs фазовая картина интегральных кривых будет иметь вид, представленный на фиг. 3. С учетом же члена gXi3 интегральные кривые изображены на фиг. 4.
Поведение интегральных кривых, изображенное на фиг. 1—4, наглядно представляет те качественно ошибочные выводы, к которым можно прийти без учета нелинейных членов. Очевидно, что система, удовлетворяющая условиям р > 0, g< 0, |p/gj <^ 1, предпочтительнее системы, удовлетворяющей условиям р<0, g > 0, |p-/g'|<^l, несмотря на то что в последней корни определяющего уравнения отрицательны, а в первой один корень положительный.
Рассмотрим еще один пример.
Пример 2. Предположим, что уравнения возмущенного движения имеют вид
x- = px+t/+gx(x2+t/2),у = ^у—x-Vgy^-Vy^№
г* = —г
Определяющее уравнение этой системы имеет два комплексных корня, равных р ± i, и один отрицательный корень, равный — 1. Заменой х = = —г cos 6, у = г sin 6 эта система приводится к виду
г = pr + gr3,г-=—z,0-=1(9.3)
Первые два уравнения полученной системы по внешнему виду аналогичны уравнениям (9.1) с той только разницей, что в первом уравнении переменная г имеет смысл радиуса в полярной системе координат и в силу этого перемен- 149
Т2Т2Фиг. 2Фиг. 2
Т2
Т2
Фиг. 2
Фиг. 2
ной г мы должны приписать положительный знак. Третье уравнение можно вообще отбросить, так как оно дает 6 + 60 = / + /0.
Как и в первом примере, переменные гиг определятся равенствами
г = г0 е~6г = г0 е~6
г = г0 е~6
г = г0 е~6
в которых X2 = —p/g.
Первое уравнение системы (9.3) имеет частное решение г2 = r02 = X2, указывающее на существование предельного цикла.
В случае — p/g 1 радиус этого предельного цикла будет достаточно малым, и если максимально допустимые начальные возмущения выходят за этот предел, то возникает задача об устойчивости движения для области изменения начальных возмущений, удовлетворяющих условию
^^x^ + y^^V + h
Очевидно, что при решении задач подобного рода нельзя руководствоваться одним лишь классическим определением устойчивости движения, данным Ляпуновым. Однако методы, созданные Ляпуновым, применимый к решению поставленных задач, если только ввести некоторые дополнительные условия, накладываемые на функции V и V.
Исследуем уравнения (9.1) и (9.2) прямым методом Ляпунова. Для системы уравнений (9.1) можно взять функцию Ляпунова в виде
V = x12—gx^
Производная этой функции по / в силу уравнений (9.1) будет иметь вид
V -^^g^lgX^-V хх4 А-х^
Очевидно, в случае у, > 0 и g < 0 функция V* в области х^"> —p/g является отрицательной. Следовательно, функция V в этой области будет убывающей. Отсюда мы приходим к заключению, что, несмотря на наличие положительного корня, переменные хг и х2, рассматриваемые как функции времени, определяемые уравнениями (9.1), для всех значений/> 0 будут ограничены.
Если значения хг и х2 в начальный момент времени удовлетворяли условию х2—gx22^ Л, то они его не нарушат во все время движения, если только Л > — p/g.
Для системы (9.2) функцию Ляпунова можно взять в виде
V = x2 + y2—gz2
Ее производная по t согласно уравнениям (9.3) запишется следующим образом:
V' = 2g p/g (х2 + у2) + (х2 + у2)2 + z2]
При р > 0, g < 0 функция V' является отрицательной для любых значений х, у, z, если только х2 + у2 > — p/g, а функция V вследствие этого является убывающей.
Переменные х, у, г, рассматриваемые как функции времени, определяемые уравнениями (9.2) будут ограничены и, если их значения в момент / = О удовлетворяли условию х2 + у2 —gz2 ^ Л, то они этому условию будут удовлетворять для всех значений / > О, если Л > — p/g.
Таким образом, мы пришли к тем же результатам, которые получили путем интегрирования уравнений (9.1) и (9.2).
§ 45. Определение устойчивости. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений возмущенного движения вида
us‘=2 Psk^k + U^Ui, ...,и^(s=l,...,n)(9.4)
6=i
где psh — постоянные коэффициенты, a Us — голоморфные функции в окрестности точки щ = ... = ип = 0, разложения которых не содержат членов ниже второго порядка.
Будем предполагать, что уравнение |psfe — 6sfex| = 0 имеет q корней с отрицательными вещественными частями и т нулевых корней; остальные р корней имеют малые по модулю вещественные части.
Линейной подстановкой с постоянными действительными коэффициентами систему (9.4) можно привести к виду
р
^12 ^16 ^к ~к^Ч (-^Ь ••• , Хр, Уу, ... , ут, Zy, ... , Zg)
6=1
УГ=^ bjhyh + Yj^,...,Xp,yx,...,ym-,zx,..,,zq)(9.5)
q
2 c^Zr+Z^x^xp; уъ ...,ym; Zyzg)
(i = l,...,p; / = 1m; 1 = 1,... , q; p + m + q = n)
Пусть уравнение \alh — 6ikp,| = 0 имеет p корней с модулями вещественных частей, близкими к нулю, уравнение | bjh — 6уАv| = 0 имеет т нулевых корней, уравнение |с/г — 6/Д| = 0 имеет q корней с отрицательными вещественными частями.
В дальнейшем переменные у ,-будем называть критическими, а переменные Xi — близкими к критическим.
В главе III при р = 0 задача об устойчивости системы (9.5) в случаях несущественно особенных с помощью преобразований, не изменяющих задачи об устойчивости, сводилась к исследованию системы только с критическими переменными. Преобразованиями, аналогичными изложенным в главе III, исследование системы (9.5) при р =^ 0 в случаях несущественно особенных может быть сведено к исследованию устойчивости системы, содержащей лишь критические и близкие к критическим переменные, которую в общем случае можно представить в виде
— = Из £i(s) + Si(s) (5, и, v, т], р) at
%- = Из ^<s) + «^1 ^! Ws) (5, и, V, Т], р)
а (D(9'6>
= р1г ы^н _ xlr ^(п 4. игН (g, и, и, 4, р)
■^-^ = Н1г У1(г) + ^1г +(г) + V/'’ (£, и, V, 4, р)
л„(г)
^ = Hir«»(r) —4.^<r) + P»-i^-i+^и. «. 4> И)
dv^r^
= Н1г ^ + Ч UqW-V А- 1 Vq- 1 + V „^ & Щ О, 4, р)
= Нг (g, и, У, 4, р),= уу_х Т]у_! +Hj (g, Ы, О, 4, р)
atat
(s=l, ...» g; r=l, 6, i = 2,ns, q = 2,lT) j~r, m)
где p1( ..., p6; pu±^n, •••, Hie± ^ie — все корни уравнения \aik — 6«p| = =0 в предположении, что каждый кратный корень повторяется столько раз, сколько соответствует ему групп решений; п8, 1Г означают число решений в группе; Е/$), 1/ <г), у U), Н} — голоморфные функции £i(1),..., £ni(1),..., V°\ .... ^ow, u^,..., щт,..., u^,..., щ6^, v^, .... vuW u/6) , ..., v/6<s\ Th, ...,r]m в окрестности точки g/1'=... = 4m=0, причем
Sf(s) = Sio(s) (I, и, v, 4, 0) +
+2 ^ М1... ^Bip.... Р16£>». у. л. о)
Hj = H)0(L и, V, Т], 0) +
+2hiPi ••• H£aHHp“... ^бН/р....р16^>и- и> п, о)
и^^оЧ^и.У.ч.ОН(9
+ 2 И? -На0 И^1‘ ■■■^6U<qpl ... Р16^>и< и’Т1’°)4
^’= ^о)(§, «,0,4,0) +
+2Н1‘ - Ha0Hfr ... И,>6 V^t... pie(g, и, V, Т], 0)
(s = l, .... a; i= 1, ..., ns; г = 1, .... 6; q= 1,.,,, lr;
i=i Pi+ —+рщ > 0
Прежде чем перейти к исследованию системы (9.6), необходимо установить понятие устойчивости в случаях, близких к критическим. Определим устойчивость невозмущенного движения следующим образом: если в пространстве переменных g/O, gn>(D^(a), ..., gn^f), U1(D,щ^, .., u^6\ ....
u^» Ui(1)» —» Oh’, •••» o^^^i.,. u/®\ T]lf,.., т]т можно указать замкнутую
односвязную область G, обладающую тем свойством, что возмущения £i(1) ^naW’ui(1)’ ••• ’ “ze’* vV>’”” ^б’ ’ll»-” ’Im’ рассматриваемые
как функции времени, удовлетворяющие уравнениям возмущенного движения (9.6), не выходят за эту область для любых значений t "^ t0, если только их начальные значения Бю^, .... У” У «ю(1Л •••, “zeo""’ ию(1>’ •••’ uZ6o’ т*10’ ”■’ 1lm0 нах°Дились внутри или на границе этой области, то невозмущенное движение устойчиво; в противном случае оно неустойчиво.
Может оказаться, и это будет общий случай, что внутри области G существует другая замкнутая область Gi, по отношению к которой движение может оказаться неустойчивым. Не исключаются и те случаи, когда таких областей будет несколько, причем эти области могут быть вложены одна в другую.
Поясним данное определение примером. Предположим, что уравнения возмущенного движения имеют вид
x- = px + y + gx(x2 + y2),У = ру—x + gy(x2+y2)
где р и g — постоянные величины. В полярных координатах х= —г cos 6,. у = г sin 9 будем иметь
f = pr+gr3, 9" = 1
Рассмотрим различные случаи, представляемые этой системой.
Пусть р < 0, g < 0. Тогда круг любого радиуса может играть роль области G и устойчивость невозмущенного движения будет иметь место для любых значений х0, у0.
Пусть р >• 0, g > 0. В этом случае область G не существует.
Пусть р > 0 и g < 0. В этом случае движение будет неустойчиво по отношению к любой области, представляющей собой круг радиуса R < У — p/g, и устойчиво по отношению к любой области, представляющей собой круг радиуса R > ]Л—p/g, т. е. за область G мы можем принять круг сколь угодно большого радиуса R "^У — p/g. Областью Gi может являться любой круг радиуса R < У —p/g.
Пусть р < 0, g ^ 0. Тогда для возмущений х0, у0, находящихся внутри или на самой окружности радиуса R = У — p/g, движение будет устойчивым, а для любых возмущений внешних по отношению к этой окружности, оно будет неустойчиво. В этом случае областью G является круг радиуса R, а области Gi не существует.
Приведенное определение не нарушает механического смысла, заложенного Ляпуновым в определение устойчивости движения, но исключает весьма жесткие требования, предъявляемые к начальным возмущениям.
Данное определение по своему смыслу также близко к пониманию устойчивости, высказанному Пуанкаре в третьем мемуаре его монографии «О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями».
Введем понятие устойчивой области G. Будем рассматривать только такие замкнутые области G, которые включают начало координат. Кроме того, будем предполагать, что любой луч, выходящий из начала координат, пересекает границу области G лишь в одной точке и не касается ее ни в одной точке.
Обозначим через г(/0) радиус-вектор точки ^о’, uq0^, vq0^, т],0) лежащей вне области G, через г6*— радиус-вектор точки пересечения границы области G с радиусом-вектором г(/0). Радиус-вектор точки £г<$) (/), и^ Vq^ W ЛЛО, определяемой системой (9.6) при начальных значениях ^го(5\ идо1'', и»о(г), Л jo, 4, обозначим через г(/), а через г*—радиус-вектор точки пересечения /•(/) с границей области G.
Область G будем называть устойчивой, если для заданного достаточно малого е можно определить такое число V,'что при любых значениях ^0(s), и^, '15»
Удо^Ч Л ;o, лежащих во внешней окрестности границы области G и удовлетворяющих условию г(/0) — r0*< v, будем иметь r(f) — г* ^ е для всех / ^ /0.
В противном случае область G будем называть неустойчивой. Область G будем называть асимптотически устойчивой, если г(/) — г* ->- О при / -> оо.
Наибольший интерес для приложений представляют устойчивые области G, обладающие тем свойством, что при малых по модулю вещественных частях корней уравнения |asfe — 6sfep| = 0 расстояния точек, лежащих на границе этих областей до начала координат, являются также малыми и стремятся к нулю, когда положительные вещественные части щ., ц1г стремятся к нулю.
Основная теорема. Для системы (9.6) докажем следующую теорему.
Теорема. Если система (9.6) такова, что при всех ps= ц1г = 0 допускает существование функции Ляпунова V, удовлетворяющей теореме об асимптотической устойчивости, причем уравнение V = const представляет односвязную замкнутую область для всех gsb uq^r4 uq^r4 тщ, принадлежащих области исследования, то эта система при ps, р1г, отличных от нуля, допускает существование устойчивой области G, включающей в себя начало координат. При этом наибольший радиус-вектор области G стремится к нулю, когда все положительные вещественные части щ, ц1г стремятся к нулю.
Пусть Е(^г<5>, ug(r), «д^Ч Л у) есть указанная в теореме определенноположительная функция, а У0'(^(5), и^Ч у^гЧ Л;)—ее производная, вычисленная согласно уравнениям (9.6) при ps = ц1г = 0.
Производная функции V, вычисленная в силу системы уравнений (9.6) при ps, ц1г 0 будет иметь вид
s = 1 Z = 1 u=z
6 1г
-'•2 2^[^'+2^'->«^-Х?^<9-8»
r=l д=1 uuq
6лт/
+ У у1
А(г)4Г16?Pi.--P16J
r=l q=l oyq
(/1+ ... +/6 > 1)
Правая часть этого выражения при pi = ... = Ца = Ци = ••• = Мтб = =0 принимает значение Уо'. Отметим, что для переменных g;<s>, и^Ч vq<r4 л у, удовлетворяющих условию V = с, будем иметь | Vq | > а.\с\ Очевидно, что число а не зависит от ^j ..., ц^. В силу непрерывности значение V' будет менее нуля для pi,..., цщ, достаточно малых. Следовательно, интегральные кривые, определяемые системой (9.6), пересекают замкнутую поверхность V = с снаружи во внутрь. Отсюда следует, что в некоторой окрестности начала координат можно выделить область Сдля любой точки внешней границы, которой для заданного достаточно малого 8 можно определить такое число v, что при условии r(t0) — r0* < v будут выполняться неравенства
г (^) — г* <С е
для любого / > /0.
При pi, ..., цщ, стремящихся к нулю, граница области G будет стягиваться к началу координат g/s> = и^ = Уд^ = Лу = 0-
При наличии устойчивой области G можно указать замкнутую область, из которой возмущения £г($>, ug(r>, у^Ч Л л рассматриваемые как функции 154
времени не выйдут для любого / в интервале [/0, оо], если они находились в ней при / = t6.
Таким образом, если решена задача об асимптотической устойчивости в каком-то критическом случае, можно указать область устойчивости для соответствующего близкого к нему случая, когда определяющее уравнение имеет корни с малыми положительными вещественными частями.
В дальнейшем рассмотрим подробно решение задачи в двух простейших близких к критическим случаях: одного малого положительного корня определяющего уравнения, и пары комплексных корней с малой положительной вещественной частью.
Случай одного положительного корня. В случае одного малого положительного корня определяющего уравнения система уравнений возмущенного движения с помощью линейной подстановки с постоянными вещественными коэффициентами всегда может быть преобразована к виду
х* = рх + Х(х, х1( .... х^
xs‘= PsiXi-V... + Psn хп-\-Xs(x, хъ ... х^(9.9)
В этой системе р — малый положительный корень; X, Xs — голоморфные функции переменных х, xlf ..., хп в некоторой окрестности начала координат, разложения которых начинаются с членов не ниже второго порядка. Определяющее уравнение присоединенной системы | psk — 6shx | = 0 имеет корни только с отрицательными вещественными частями.
Система уравнений (9.9) и будет являться предметом наших дальнейших исследований.
Мы видели, что при р = 0 система (9.9) не всегда допускает существование сколь угодно малой замкнутой области, за которую не выходят переменные х, х1у ..., хп.
Представим правые части системы уравнений в виде
X = f0(x)4-X*(x, хгхп), Xs = fs(x)4-Xs*(x, хь ... хп)
Функции f0(x) и Д (х) представляют собой значения функций X и Xs, когда в последних положено xv = ... = хп = 0, так как функции X* и Xs* обращаются в нуль при нулевых значениях хг, ..., хл. Запишем функции Д(х) и Д (х) в виде
fo(x)=--afcoxfc- + ..., fs(x) = ^&sx6s + ...
где ah(), ..., bks — постоянные величины.
Прежде чем перейти к исследованию интегралов системы (9.9), преобразуем ее к такому виду, чтобы любой показатель степени &s был больше показателя степени &0- С этой целью введем замену
xs = ys+us(x) = ys+Cs2x2 + ...+CsMxM(9.10)
Тогда ys будут удовлетворять уравнениям
— (2С8ах + ЗС83хг + ...+МС$мхм-х) [рх+а6 %*» + ...+
atL 0
+ **(*> uu ..., ип)+Х*(х, ух, .... уп)] +
+ Psl #1 + ... + Р5п Уч +Psl ы1 + ••• Л"Рзп Un~V Ь^' + ... +
+*/(*, ub ..., и^+Х^х, yx, ... y^ (s = 1л)
Если в правых частях этих уравнений положить ух = ... = уп = 0, то совокупность оставшихся членов определит нам функции, которые
155
в преобразованной системе будут играть роль функций Д(х). Обозначая эти' функции через Д*(х), будем иметь
f* (х) = —(2Cs2x + 3Cs3 хй + ... + МС$м хм~*) [рх-V-afegxk« +... +
+ Х*(Х, UTЫп)] +pslUi + pj2«2+--+Psn ^n +
+ 6ftsxft« + ... + Xs*(x, uv .... un)(s = lл)
Выражение, стоящее в квадратных скобках, без члена рх представляет функцию /*0(х), которая в преобразованной системе будет играть роль функции /*0(х). Эта функция имеет вид
/о* И = fo W + X* (х, иги^
с низшим показателем степени по х, равным некоторому числу М. Подставляя в выражения Д*(х) значения и6 в виде полиномов (9.10), мы получим
fs* (х) = В2х2+В3 х3 +...+Bm+JV+1 xm+JV+1 + ...
где т + N = М.
Коэффициенты В2, В3, ... определяются через Csr и через коэффициенты разложения правых частей системы (9.9).
Выберем коэффициенты Csr так, чтобы выражения В2, ...,Bm+^ обратились в нули. Тогда для определения Csr получим следующие уравнения:
(Ри — Hr) Cir + Р12 С2г +... + р1п Спг = Рг
Pnl Clr Н~Рп2 С2г ~Н... + (рпп рг) Cnr Рп
в которых Рг, .... Рп — полиномы от коэффициентов Csr с индексами ^ < < г и коэффициентов разложения правых частей системы (9.9).
Определитель \psk — 6sk рг| ^= 0, так как определяющее уравнение присоединенной системы не имеет положительных корней. Последнее неравенство позволяет определить все коэффициенты Csr при s = 1, ..., п и для всех г до т + N.
Мы здесь, как и в случае одного нулевого корня, должны различать два случая:
Первый случай характеризуется тем, что результат подстановки полиномов их,..., ип в выражение/*0(х) определит низший показатель степени т, меньший М + 1 (общий случай); а второй, когда низший показатель степени разложения такой функции будет больше М + 1, как бы велико число М мы ни брали.
Если каким-либо способам удалось установить, что имеет место второй случай, то вместо полиномов иг, ..., un определим функции «1, ..., un> удовлетворяющие системе уравнений
^"^ =Psi Wi +... -V-penun"Vbhsxfes -ф... + Х/ (х, ихип)—
~'^ [%**’ + •••+ **(*. «г«п)](s=l, .... »)
Функции и3(х) в силу теоремы, доказанной в главе III, § 19, представляются в виде абсолютно сходящихся рядов для любых значений р>0. Радиус сходимости этих рядов при р = 0 будет отличен от нуля. 156
Как в первом, так и во втором случае заменой (9.10) система уравнений (9.9) приведется к виду
^ = px + gxm + ...+У хкРк^угУг^А-ХДх, уг, ...,уп^
dtА
.(9.11)
= PsL У1 + ... + Psn Уп +gs. т+ 1 Хт+ 1 + ... +rs (X, Ухуп) at
(s = 1, ... n)
В первом случае числа g и gsk будут отличны от нуля, во втором — все эти числа обратятся в нули.
В системе уравнений (9.11) выражения Рк представляют линейные формы переменных уг, ..., уп, а функция Хг не содержит линейных членов в отношении этих переменных; Y^x, Уг» ■••, Уп) — голоморфные функции всех переменных, обращающиеся в нуль при ух =... = уп — 0 и не содержащие в своих разложениях членов ниже второго порядка.
Будем предполагать, что в правой части первого уравнения суммирование по к начинается с к = иг. В противном случае нам пришлось бы произвести преобразования, аналогичные тем, которые мы производили в главе I, рассматривая задачу одного нулевого корня.
Это преобразование не изменит р, g и gsk.
Предположим, что в результате преобразования мы получим g < 0 и т нечетное. С этого случая и начнем исследование нашей задачи.
Возьмем определенно-положительную функцию V в виде
V = x« + Vx(yxУп)
Функцию Vx определим в виде квадратичной формы, удовлетворяющей •уравнению
У (Psi У1 + --+РзпУп) = б(У12 + -+Уп2)
В случае g < 0 квадратичная форма Ух будет определенно-положитель- щой.
Производная функции V по t в силу уравнений (9.11) будет иметь вид
V' =2хV' =2х+5 (У12 + • •• + Уп2) ++5 (У12 + • •• + Уп2) +px + gxm + ...+ 2 xkPk-VXx .к = т
V' =2х
V' =2х
+5 (У12 + • •• + Уп2) +
+5 (У12 + • •• + Уп2) +
+ у ^-(^,т+1Хт+1 + ... + Ул)
Это выражение можно представить следующим образом:
V' = 2px2 + 2^xm+1 +g(y12 + ...+yn2)+xm+1 Ф (х, ух, ..., уп)+
+ 2 2у8^ф<Л^У1Уп)
z = i /=1
где функция ф(х, у1( ..., уп) содержит только линейные члены в отношении
Ух, ..., Уп и обращается в нуль при х = ух = ... = у„ = 0.
Функции ф^ могут содержать любые члены в отношении х, уг, ..., уп, но они так же, как и функция ф, обращаются в нуль при равенстве нулю этих переменных.
Задача наша будет решена, если мы докажем, что на поверхности х2 + у1 = с
при достаточно малом с производная V меньше нуля.
Очевидно, что совокупность последних членов в выражении V' не может влиять на знак выражения ^(у21 + ... + у\), а совокупность членов х/п+1ф(х, уг, ..., уп)—на знак выражения г^х^+С Следовательно, знак производной определится совокупностью членов
5 = 2ух2 + 2gxm+1 +g (z^2 +... + уп2)
Установим знак этого выражения при условии х2 + ^ = с. Подставляя значение х2 в выражение 5, получим
5 - 2g(с—V^ [y/g^c-V^-11/2) +^ (у!2 +... +yn2) =
= 2g{c—VO (p/gr + c('”-1V2)+§-(y12 + ...+y„2)—
—g(c— V^m— l)^-3)/2 Vi+F
Выражение —g(c— VJ (m — 1) c<m-3)/2 ^ не изменит знака выражения g(y\ + ... + у2п) в силу малости числа с. Функция F, зависящая от уи ..., уп не содержит членов ниже четвертого порядка и в силу этого также не изменит знака производной.
Следовательно, при g< 0 знак выражения 5, а следовательно, и V* определится членами y)g + c<m_1)/2.
Если число с выбрать согласно неравенству
с<т—1)/2> — y/gr
то V на поверхности х2 + Уг = с будет иметь только отрицательные значения. А этого вполне достаточно для решения нашей задачи. При у достаточно малом последнее неравенство всегда выполнимо.
Руководствуясь соображениями, изложенными в главе I, можно доказать, что при т четном или при т нечетном и g > 0 движение будет неустойчиво, т. е. какую бы область мы ни брали, если только с достаточно мало, функции х^, ух^, ..., уп(^), определенные уравнениями (9.11) для значений t> Т, нарушат условие х2 + у2х + ... + у2п<с, несмотря на то что их начальные значения удовлетворяли этому условию.
К такому же заключению приводит случай, когда все числа g и gsh равны нулю.
Случай одной пары комплексных корней с положительной вещественной частью. Систему дифференциальных уравнений возмущенного движения в этом случае можно привести к виду
^- = ух + ру + А(х, у, ххх„) at
^- = уу—^х + ¥<х,у,х1,...,хп)<9Л2>
^=2 Р«кХк+ХДх, у, хх, ..., х„) (S = lп)
где у, р и р8к — постоянные величины, причем определяющее уравнение присоединенной системы имеет корни только с отрицательными вещественными частями.
Функции X, Y, Xs будем считать голоморфными в некоторой конечной окрестности начала координат и не содержащими в своих разложениях чле- 158
нов ниже второго порядка; р — малая положительная вещественная часть пары комплексных корней.
В случае р = 0 система (9.12) переходит в ляпуновскую систему, отвечающую одной паре чисто мнимых корней.
Если же р мало, а функции X, Y, Xs имеют вид
X = yf(x, у, х8, р), Y = pep(х, у, xs, р) Xs = y.fs(x, у, xs, р) то такого рода системы являются предметом исследования квазилинейной теории, в основу которой положен метод «малого параметра» Пуанкаре. На этих системах мы подробно остановимся в главе XI.
В случаях несущественно особенных после соответствующих преобразований системы (9.12), ее укороченную часть можно представить в виде '
х1 = px + 0z/ + X (х, у), у = уу—0х4-У(х, у)(9.13)
Функции X и Y представим следующим образом:
Х = Х0(х, y) + pXi(x, у) + -.., Y = Y0(x, y) + yY1(x, у) + -
Если в окрестности начала координат правые части уравнений (9.13) обращаются в нуль только при х = у = 0, то, очевидно, при р > О устойчивость невозмущенного движения для малых начальных возмущений х0 и у0 возможна только в том случае, когда уравнения (9.13) имеют предельный цикл. Если этот предельный цикл будет устойчив, то он определит устойчивую область G.
Для системы (9.13) решим следующую задачу. Найдем необходимые и достаточные условия, которым должны удовлетворять функцииХ0(х,у), Y0(x,y), чтобы независимо от членов Хъ Х2, .... Y^ Y2, ... система уравнений (9.13) имела в окрестности начала координат предельный цикл, стягивающийся в точку при р = 0. Рассмотрим также вопрос об устойчивости предельного цикла, если он существует.
Запишем систему уравнений (9.13) в виде
х- = рх + Ру+Х0<"г)+Х0(т+1)(х, у) + „.+рХ*(х, у, р)
У = ЕУ—Р^ + У0<т)(х, у) + ... +рУ*(х, у, р)
Решим вначале частную задачу. Будем отыскивать условия, при которых вопрос о существовании предельного цикла, стягивающегося в точку при р = 0, решается формами Х<т>0 и У<т>0 независимо от членов более высокого порядка.
Система уравнений (9.14) в полярных координатах г и 9, где х = = —г cos 0, у = г sin 0, будет иметь вид
r = pr-Lr»iPoW(0) + r"=+l /?„('"+* )(0) + „.+р/?1(Г, 9, р)5
0- = P + rm-1Qo<'")(0)+rmQo(m+1)(O) + ...+pQ1(r, 0, р) (т>2)1
Здесь RW6 и Q(6>0 определяются выражениями
R0W (0) = —X0W cos 0 +У0<6) sin;0,Q0(6) (0) = X0<6> sin 0 + Y0W Cos 9
с подстановкой в X<6>0 и YV% вместо x и у cos 9 и sin 9 соответственно.
Функции Ry и Qt определяются аналогичными формулами
RT = —X1cos9 + E1sin9,Q1 = X1sin9 + EiCOs9
с заменой х = —г cos 9 и у = г sin 0 в Хг и Yv
Следовательно, разложение этих функций по степеням г будет начинаться с членов не ниже второго порядка.
Если вопрос о существовании предельного цикла, стягивающегося в точку при р = О, решается формами Х0<т> и У0<т>, то достаточно рассмотреть укороченную систему
г = рг + гт£0<т>(9),9- = р(9.16)
Покажем, что рассмотрения форм Х0<т^ и Yow достаточно в том случае, когда
$ Ro W (9) dO Ф О о
Если же этот интеграл обращается в нуль, то для решения поставленной задачи необходимо рассматривать формы более высокого порядка.
Рассмотрим с этой целью функцию Ляпунова, определяемую из уравнения
r = V + Vm«m(9)(9.17)
где
M6) = yJtfo(m4O)-gN6+C<m>
Число g определим из условия периодичности функции um (9), т. е. из равенства
f(/?o<m>-g)d9 = O(9.18)
о
Производная функции V по t согласно (9.15) определяется выражением
[1 + mV"-1 ит (9)] ^ = - V” ^- [Р + (V + V" и^-* Qom +
+... + Н&1 + И (V + V" ит) + (V + Vm и^ Row +
+ (V + Vmum)m+1 P0<m+1) + ...+pP1
При нашем выборе um(9) производную V по t можно представить в виде
(1 + mV""- * um) — = pV +gVm + Vm+ > Ft (V, 9) + p V2 Fa (V, 9, p), di
где F^V, 9) и Fa(V, 9, p) — голоморфные функции V с периодическими относительно 9 коэффициентами.
Рассмотрим все случаи, которые может представить система уравнений <9.14).
Пусть т нечетное, р>0, g<0. Полагая —р/5 = ат'1 и V = га, будем иметь
at
= арзГ1—zm-1 — ^— РДга, 9) — azF^za, 9, а)1
В рассматриваемом случае знак производной при а, достаточно малом, определяется двучленом / —zm-1. Если мы положим zm~x = 1 — е, то получим dVldt > 0, если же zm-1 = 1 + е, то будем иметь dVIdt < 0.
Отсюда следует, что как бы ни было мало число е, мы всегда можем вы- m—1
.брать число а = V—^8 настолько малым, чтобы производная dVIdt в интервале изменения z(l — еь 1 + ej меняла знак.
Д60
Следовательно, для значений Ух = а(1 —ej, будем иметь dV/dOO, а для У2 = а(1 + ej будем иметь dy/dt<. О, как бы мало число ех = =(^4) т 2(m—iy ••• ни был0- "а основании этого мы можем утверждать, что невозмущенное движение для начальных возмущений г0 и 90, удовлетворяющих условию г0 — (1 + ej а — (1 + е^а"1 um(90) > 0, устойчиво, а для начальных возмущений, удовлетворяющих условию г0 — (1 — ej а — — (1 — в!)т ат ит (90) < 0, неустойчиво.
Уравнение (9.17) значениями Уг и У2 определяет два не имеющих общих точек семейства замкнутых циклов, которые для интегральных кривых, соответствующих системе (9.15), являются циклами без контакта.
Уравнения этих циклов имеют вид
r = (l+e1)a + (I +e1)mamum (9),г=(1—е^ а+(1—e1)'nam«m(9) (9.19)
Первое семейство замкнутых циклов пересекается интегральными кривыми уравнений (9.15) с его внешней стороны во внутреннюю, а второе —с внутренней стороны во внешнюю, если считать внешней стороной ту область, которая соответствует росту функции У. Знак производной dVldt как мы убе- т— 1
дились, для сколь угодно малых а = ]/" — yjg определяется знаком величины 1 — 2m-1.
Если бы мы пожелали определить достаточный верхний предел численного значения а, при котором dV/dt имеет отрицательное значение, то мы должны были бы рассмотреть знак выражения
S= —е — a2g(l -|-e)m/(m+1) ЕДа, е, 9) — а(1 +е)1/(т-1> Е2(е, а, 9) (9.20)
Это выражение при а достаточно малом будет всегда отрицательным, но оно может быть отрицательным и для всех а 8^ а0, если под а0 подразумевать максимально возможное значение а, удовлетворяющее уравнению S = 0 для любых значений е и для всех значений 9 в интервале 0 ^ 9 ^ 2л.
Если мы пожелаем определить для достаточно малого значения а уравнение предельного цикла с точностью до величины первого порядка малости в отношении а, то мы должны найти по заданному числу а минимальное значение е из уравнения S = 0 для любых значений 0^0^ 2л. Затем по найденному числу в определить значение ev Этими двумя значениями ех и а мы определим два замкнутых цикла, представляемых уравнениями (9.19), внутри которых находится предельный цикл.
Радиус этого предельного цикла с точностью до а в первой степени определяется неравенством (1 — ej а< г< (1 + eja.
Легко убедиться, что при р > 0 и g > 0 уравнения (9. 15) не допускают существования предельного цикла, стягивающегося в точку при р = 0.
Можно также убедиться, что при р < 0 и g > 0 предельный цикл, стягивающийся в точку, существует, но он неустойчив. И, наконец, при р < 0 и g < 0 предельного цикла, обладающего указанным выше свойством, также не существует.
Таким образом, сомнительным случаем является тот, когда g ~ 0. Этот случай нельзя считать исключительно частным случаем. Действительно, в случае Четного т форма R^ (cos 9, sin 9) будет формой от sin 9 и cos 9 (m + 1)-го порядка. Следовательно, равенство (9.18) нам всегда представляет числом = 0.
В этом случае формы Хо"’ и Уо"’ не решают вопроса о существовании предельного цикла, стягивающегося в точку при р = 0. Для решения этого вопроса нам необходимо рассмотреть формы более высокого порядка.
Возвращаясь к системе (9.15), поставим задачу в более общей форме. Определим, какому условию должны удовлетворять формы ^о”1, ₽от+1> Ro"1*^, Qom), Qo”+1), •••. Qo”+A> Для того, чтобы уравнения (9.15) допус- 11 Г. В. Каменков, т. II161
кали существование предельного цикла, стягивающегося в точку при р = О, независимо от членов 7?о”+*+1)1 • ••, Qo”‘W"1>,^Ri, pQi-
Для решения этого вопроса возьмем функцию Ляпунова из уравнения г = V + Vm ит + У^1 um+1 + ...+ У^* ит^ь, в котором функции us(0) подлежат дальнейшему определению. Производная dVldt в силу уравнения (9.15) определяется выражением
[1 + mVm-1um + ...+(m+£) У«+»-1 Ыт+А] = at
—/ Vm ^ит I у mA-1 ^“w+1 I ут+k dum + k ] „
\ dQd6d9 )
X [p + (V + Vmum +... + Vm+kum+k)m+kQ0 +... + pQil +
+р(УЧ-У’" ит + ...+Ут+*нт+л) + (У + Утит + ...+Ут+*//,„^^ x^o+.-.+ty+y^^+.-.+y^+^m+fer+^o^+Hp^av, e, p)
Раскрывая скобки и приводя подобные члены в отношении различных степеней У, не содержащих множителей р, и приравнивая коэффициенты при различных степенях У к постоянным величинам g, gv, g2, ..., gh получим к + 1 уравнение для определения функций ит, ит+1, ..., ит+ь. Эти уравнения будут иметь вид
0^ = £o(m)-g
Р = ^+1’-?1+Л№<Л”, «т- g) du
Р = ^"^-gn + Ъ wm). V+1), ... du
... #^+*-1), итит^к, g, gt gk_x^
В этих уравнениях Р^, Рг, ..., Рк представляются в виде многочленов от различных степеней sin 0 и cos 0 с коэффициентами, зависящими от коэффициентов форм Rom\ ...,RQm+k\ Q^, ..., Q(om+i) и функций ит, ит+х, .... um+6 с верхним индексом у форм Ro и Qo, на единицу меньшим индекса определяемой функции и8(9\
Таким образом, все функции us(0) будут последовательно определены. Числа g, £х, gi, ...,gh определяются из равенств
S №>(0)-g]d0 = O $ №<m+s>-gs-УЭДсЮ = О (s=lft) оо
а функции um(0), Um+^0), ..., um+ft(0) являются многочленами от различных степеней sin 0 исоз0. Предположим, что все числа g = gi = ... =gh-\ = = 0, a gh ф О- Тогда dVldt будет удовлетворять уравнению
[1+тУ"-'ит+... +(т+/г)ут+*-1Ыт+А]^ = at
^рУ+^У^+^ + У"1**-1 ^(У, 6) + рУ2/=’2(У, 0, р)
Определяя знак производной dVldt в окрестности начала координат при различных предположениях относительно знаков р и gh, мы придем к тем же результатам, к которым пришли в предыдущем параграфе, так как правая 162
часть уравнения, определяющего знак dVIdt, принимает прежний вид, если положить т + к = mi- Множитель при dVIdt в силу малости V на знак производной не влияет.
Таким образом, мы рассмотрели все возможные случаи, которые может представить система уравнений (9.15) в случае поставленной нами задачи, за исключением случая, когда все gh = 0, как бы велико число к ни было.
Мы здесь можем утверждать, что если система (9.15) при р = О является канонической, т. е.
Х^Дх^-—,У0(х,у) = —
оуох
где Н — голоморфная функция, разложение которой по степеням х, у начинается с членов не ниже 3-го порядка, то все числа gh, как бы велико число к ни было, будут равны нулю.
В том случае, когда система (9.15) допускает существование знакоопределенного интеграла, не зависящего от t, все числа gh так же, как и в случае канонической системы, обратятся в нуль. Если нам каким-либо способом удалось обнаружить, что все числа gh = 0, то тогда бесконечный ряд
г ~ V + Vm ит (9) + Vm+1 ит+! (9) +
в котором все ит+д(9) будут периодическими функциями 9 с периодом 2л, будет абсолютно сходящимся для достаточно малых значений V.
Рассматривая теперь функцию V как новую переменную, мы вместо уравнений (9.15) получим новую систему вида
(i+mVm-iUm+ )^у+ Й1 (V> 6, )
аг
А = р + ym- 1 ^(т) (у, 0) + ... + ^ (у, 0> и) аг
Из первого уравнения следует, что при р > 0 система (9.15) не имеет предельного цикла, стягивающегося в точку, и, следовательно, в области, близкой к началу координат, невозмущенное движение будет неустойчиво. В случае р < О движение будет асимптотически устойчиво. В этом случае устойчивость и неустойчивость понимаются в смысле Ляпунова.
Мы рассмотрели решение вопроса об устойчивости системы (9.13), исходя из структуры функций Х0(х, у), У0(х, у) независимо от Хи Yt Найденному нами устойчивому предельному циклу соответствуют устойчивые периодические колебания системы. Таким образом, мы непосредственно подошли к вопросу об исследовании колебательных движений.
На вопросах отыскания предельных циклов, не стягивающихся в точку при р = 0, и исследования их устойчивости подробно остановимся в главе XI.
В заключение заметим, что, пользуясь результатами по исследованию критических случаев двух нулевых и двух пар чисто мнимых корней, можно отыскивать устойчивые области G в близких к ним случаях. На этих вопросах мы здесь останавливаться не будем.
Результаты данной главы легко обобщаются на системы с периодическими коэффициентами.
ГЛАВАХ
УСТОЙЧИВОСТЬ движения
НА КОНЕЧНОМ ИНТЕРВАЛЕ ВРЕМЕНИ
(ЮЛ)(ЮЛ)В данной главе исследуется устойчивость невозмущенного движения на некотором, отличном от нуля, конечном интервале времени т. Предполагается, что решение задачи об устойчивости приводится к исследованию нулевого решения уравнений возмущенного движения вида
(ЮЛ)
(ЮЛ)
^Х^Х!xn-t) (i = l, ...n)
где Xt, ..., Хп — известные вещественные функции вещественных переменных Xi, ..., хп, обращающиеся в нуль при xt = ... = хп = 0. Функции эти в области, достаточно близкой к началу координат, разлагаются в ряды по целым положительным степеням переменных хь ..., хпс вещественными и непрерывными по отношению к t коэффициентами на некотором конечном интервале.
§ 49. Определение устойчивости движения на конечном интервале времени. Во введении было приведено определение устойчивых и неустойчивых движений, данное Ляпуновым в его фундаментальном сочинении I1].
Геометрический смысл этого определения заключается в следующем.
Построим в и-мерном пространстве параллелепипед с центром в начале координат и с гранями, параллельными координатным плоскостям. Стороны этого параллелепипеда определим числами 2АЬ ...., 2АП.
Если для этого параллелепипеда со сколь угодно малыми сторонами возможно построить второй параллелепипед со сторонами 2ХЬ ..., 2ХП, такой, что все интегральные кривые системы уравнений (10.1), исходящие в момент / = /0 из второго параллелепипеда, будут оставаться внутри первого для всех (> /0, то нулевое решение этой системы устойчиво.
Геометрическая интерпретация определения устойчивости Четаева (см. введение) аналогична изложенному выше, с той только разницей, что вместо двух n-мерных параллелепипедов берутся две n-мерные сферы с радиусами Лик.
Совершенно ясно, что, не уменьшая общности задачи и не искажая смысла определения устойчивости, можно было бы вместо двух и-мерных сфер взять две любые n-мерные поверхности, определенным образом построенные. Например, можно было бы взять два n-мерных соосных эллипсоида вида
А*12 + -.. +^пхп2 — А ^1 Х102 + -.. +^пхпО2 —
(10.2)(10.2)Эти два соосных эллипсоида можно записать уравнениями
(10.2)
(10.2)
У? + •••+Уп2 = А, Ую2+ •••+Упо2 — ^
где
°11 ••• а1п°11 ••• а1пУз = а81Х1 + „. +asnxn,Уз = а81Х1 + „. +asnxn,¥=0¥=0
°11 ••• а1п
°11 ••• а1п
Уз = а81Х1 + „. +asnxn,
Уз = а81Х1 + „. +asnxn,
¥=0
¥=0
Cl— 1 • ( ( dis и
Til 7171
Определение устойчивости движения, сформулированное Ляпуновым, подразумевает изменение интегралов системы уравнений (10.1) в интервале времени от tQ до оо, причем величина /0 может быть сколь угодно большой. На начальные возмущения хго Ляпуновым накладывается условие, ограничивающее изменение их сверху гранями параллелепипеда со сколько угодно малыми сторонами Хь определяемыми в зависимости от заданных значений At. При этом Хю ничем не ограничиваются снизу.
Решение математической задачи относительно изменения функций х^ в интервале времени от /0 до оо в известной степени будет характеризовать невозмущенное движение, определяя его качество в смысле прочности или неподатливости к действию начальных возмущений. Это механическое свойство движения Ляпунов называет устойчивостью.
Сохраняя механический смысл понятия устойчивости и неустойчивости, которое вкладывает в него Ляпунов, поставим задачу отыскать условия устойчивости невозмущенного движения на конечном интервале времени, начиная с того момента времени, при котором рассматриваемые элементы движения получили возмущения.
Очевидно, что любое движение, не обладающее устойчивостью по Ляпунову, будет удовлетворять соответствующим неравенствам (см. введение) на конечном интервале времени; причем этот интервал времени соответствующим выбором чисел Л и А можно сделать сколь угодно большим. Поэтому, сохраняя механический смысл понятия устойчивости и неустойчивости, вытекающий из определения Ляпунова, определение устойчивости и неустойчивости на конечном интервале времени дадим в несколько иной форме.
Предположим, что задача об устойчивости движения некоторой материальной системы приведена к исследованию п функций x^f), удовлетворяющих системе уравнений возмущенного движения вида (10.1).
Определение. Если дифференциальные уравнения возмущенного движения таковы, что при достаточно малом положительном числе А величины х8, рассматриваемые как функции времени, удовлетворяют условию
2 (asi*i + --- + ^n'*n)2< А3 = 12 (asi*i + --- + ^n'*n)2< А3 = 1ап ... а^ап ... а^апт ••■ °.апт ••■ °.(10.3)(10.3)
2 (asi*i + --- + ^n'*n)2< А
3 = 1
2 (asi*i + --- + ^n'*n)2< А
3 = 1
ап ... а^
ап ... а^
апт ••■ °.
апт ••■ °.
(10.3)
(10.3)
на конечном интервале времени [/0, t0 + т], если только начальные значения этих функций Хю удовлетворяют условию
2
S (aslxlo + --- + asn ^по)2^-^(10'4)
S= I
то невозмущенное движение будет устойчиво на интервале времени т, в противном случае — неустойчиво, т. е. т = 0. Здесь следует отметить, что в отличие от определения Ляпунова числа А и А равны между собой.
Геометрический смысл определения устойчивости на конечном интервале времени имеет следующую интерпретацию. Пусть в некоторый момент времени t = t0 система получила некоторые отличные от нуля произвольно малые возмущения х10, ..., хп0. Если эти возмущения в момент времени /0 находились внутри или на поверхности n-мерного эллипсоида '
п
2 («31 *10 + • • • + °зп *по)2 = А 3=1
и если затем функции xt$ оставались внутри области, ограниченной этим эллипсоидом, по крайней мере до значения ^ = /0 + т, то движение устойчиво на интервале [/0, ^1; в противном случае — неустойчиво.
Запишем систему дифференциальных уравнений возмущенного движения в виде
~77" = Pil Х1 + ••• "VPln хп + ^(^1- •••» ^п! О (i = L .... п) (10.5) at
где функции Xt имеют ту же структуру, что и функции, фигурирующие в системе уравнений (10.1), с той только разницей, что разложение их по целым положительным степеням хг начинается с членов не ниже второго порядка. Величины р1} представляют собой вещественные, непрерывные и ограниченные функции времени t. Задача заключается в том, чтобы, не интегрируя систему уравнений (10.5), определить:
необходимые и достаточные условия устойчивости по первому приближению, т. е. условия, когда в исследуемых дифференциальных уравнениях можно отбросить все члены выше первого порядка относительно величин xt и вместо первоначальных уравнений рассматривать полученную таким путем систему линейных дифференциальных уравнений;
интервал времени т, на котором имеет место устойчивость невозмущенного движения.
§ 50. Основные теоремы. Пусть система дифференциальных уравнений возмущенного движения имеет вид (10.5).
Предположим, что невозмущенное движение в момент времени t0 получило возмущения х10, ..., хп0, удовлетворяющие условию
S (®sl ^10 + • • • + ®sn хп(У ^ А
S= 1
Запишем систему уравнений (10.5) в виде
dx.
= Рп Vo)xl +•■• +Pin ^о) Хп + ^Pil (0Xl + ••• +(10 6)
+ ^PinV)x„+Xt(.x1, ..., Xn, t) (/ = 1л)
где bpt) (t) = ptj^ — ри^), a Pij^ — значения функций ри (Q приt = = ^0-
Эту систему уравнений линейным преобразованием с постоянными вещественными коэффициентами
«и ... «In«и ... «Intit — ОцХг +••• +aZnx„ (/ = !,...,«),tit — ОцХг +••• +aZnx„ (/ = !,...,«),т^От^О(Ю.7)(Ю.7)
«и ... «In
«и ... «In
tit — ОцХг +••• +aZnx„ (/ = !,...,«),
tit — ОцХг +••• +aZnx„ (/ = !,...,«),
т^О
т^О
(Ю.7)
(Ю.7)
a„i ... апп
можно привести к системе уравнений, линейные члены которой будут удовлетворять некоторым дополнительным условиям. Если уравнение
Рп ('о)— * - Р1пМРп ('о)— * - Р1пМ= 0= 0(10.8)(10.8)
Рп ('о)— * - Р1пМ
Рп ('о)— * - Р1пМ
= 0
= 0
(10.8)
(10.8)
PnlM-PnnVo') — *
которое в дальнейшем изложении будем называть характеристическим, не имеет кратных корней, то система уравнений (10.6) может быть приведена к виду
166
та
^^А-^РиУ^^Ьи^^Д-
о
+ 2 А^/0)^ + Кг(у,и,М'
то
^T^KUs — + + + 2 ^Qsjyj+ 2 A^s/<,)ni +
a(10.9)
+ 2 bV^Vj+UAy.u, v, t)
mо
"*77" = ^svs + Нзыз + 2 А^з;У; + 2 A^s/2) ui +
dtj=lJ=1
a
+ 2 M^Wvj + VAy. u, v, 0 / = i
(i = 1, ..., tn; s = l, a; m + 2a = n)
где &Ptj, kQsj, ^Rsj, kUsj, &Vsj представляются линейными формами от ^ptj и, следовательно, все они равны нулю при t = /0. Функции Y^y, и, и, t), Ua(y, и, v, f), Vs(y, и, v, f) таковы, что разложения их по степеням переменных уь иа, vs начинаются с членов не ниже второго порядка. В уравнениях (10.9) т равно числу вещественных корней, а 2ст — числу комплексных корней. Величины и8 и ys так же, как и уь являются линейными формами переменных хь ..., хп с постоянными коэффициентами. Относительно системы уравнений (10.6) можно доказать следующую теорему.
Теорема 1. Если характеристическое уравнение, соответствующее системе дифференциальных уравнений возмущенного движения (10.5) при t = /0, не имея кратных корней, имеет только отрицательные корни или комплексные с отрицательными вещественными частями, то невозмущенное движение обладает устойчивостью на некотором конечном интервале времени т.
Для доказательства этой теоремы рассмотрим изменение величины
то
а= Ъу?+ 2(«з2+Уз2)
1 = 1з= 1
во времени, подразумевая под yt, us, у3 линейные формы от xlt ..., хп с постоянными коэффициентами, удовлетворяющие уравнениям (10.9).
Дифференцируя г2 по t, получим
пот т
г^-= 2 ^у^а- 2 м«з2+уз2)+2 2 ^риУ1У1+
ai Z=1s—1/=1 Z=1
ототто
+ 2 2 А^;°) ц> У7 + 2 2 А^*/) у>у< + 2 2 ^Qu yj иг+
/=1 7=1/=1 7=1/=17=1
оооото
+ 2 2^U(jUjUt-y2 2 AV^y^u^22 ^РпУ^гА-
j=l i = l/= 17 = 1j=l7=1
oooo
+ 2 2ьи^и^А2 2аг7/)^^+
J = 1 7=1/=17=1
+ 5(1/!, .... ym; uv ..., u0; vlt .... y0; 0(10.10)
167
где S(y, и, v, t) представляет собой голоморфную функцию переменных уь us, us, разложение которой по степеням этих переменных начинается с членов не ниже третьего порядка.
Все двойные суммы в выражении (10.10) обращаются в нуль при / = /0, так как все функции ДР,- h \Qt b MJib ДУ; у являются линейными формами от Дрг ь последние же обращаются в нуль при t = 1й.
Докажем, что знак производной от г2 по / определяется совокупностью членов
то
2 ^1У®+ 2 M'V + tV) i = ls=l
для всех значений времени в интервале /0 < / < tb причем разность ti — ^о = т является величиной по крайней мере конечной.
Действительно, из уравнения (10.10) следует, что
то
^У2 + 2 Mus2 + as2) + й1 1 = 1S=1
2iA(^i +/-12iA(^i +/-1
2iA(^i +
/-1
2iA(^i +
/-1
mmooo
2w+2 2K?’l+2 21д^;’1+
/=11=1 1=1i=l j = l
ooтоо о
+ 2 21^1+2 2к;>| + 2 2ICI+
;=i /=i;=i /=1;=i /=i
(10.11)
В силу тех свойств, которыми обладают все функции ДР;,, AQ,;, &Uib kVa, можно утверждать, что здесь выражение в скобках, содержащее двойные суммы, представляет собой некоторую положительную и непрерывную функцию Д(0. обращающуюся в нуль при / — /0.
На основании изложенного неравенство (10.11) можно записать в форме
т о
г^<^^+н wi у i2 + 2 [^+^ (о 1 (“»2+у*2)+s (у- “-у- о(ю.12) 41 i=l 3=1
Очевидно, что в силу условий, наложенных на корни характеристического уравнения и на значения хго, правая часть выражения (10.12), будет отрицательной независимо от S по крайней мере до того момента времени, когда одно из выражений хг + H(f) или Х8 + Н (?) не обратится в нуль. Пусть наименьшее из чисел хг и Х8 есть v; тогда, определяя 4 из уравнения
v + Н^ = 0
получим момент времени, когда знак dr^ldt может измениться и принять положительное значение.
В силу непрерывности функции Д(/) этот момент времени будет таков, что величина т = ^ — /2 будет иметь по крайней мере конечное значение. Таким образом, теорему можно считать доказанной.
Теорема 2. Если среди корней характеристического уравнения имеется по крайней мере один положительный корень или два с положительными вещественными частями, то невозмущенное движение не обладает устойчивостью на конечном интервале времени, т. е. т = 0.
Для доказательства теоремы рассмотрим знак производной от г2 по I. Пусть положительным корнем характеристического уравнения является 168
корень xv Тогда, обозначая сумму двойных сумм, фигурирующих в правых частях уравнения (10.10), через L, запишем это уравнение в виде
то
г^=х1у12 + 2 х^2+2(was)
^ts = 1
подразумевая под L квадратичную форму переменных yb и3, v3 с ограниченными и непрерывными относительно / коэффициентами, обращающимися в нуль при / = /0. Из равенства (10.13) получим
г2 = г02 ехрг2 = г02 ехрс t2$\ tQс t2$\ tQ'то'Х1У12+ 2 «г У;2+ 2 Mus2 + Us2) + £+S.. i=2«=1.'то'Х1У12+ 2 «г У;2+ 2 Mus2 + Us2) + £+S.. i=2«=1.(10.14)(10.14)
г2 = г02 ехр
г2 = г02 ехр
с t
2$
\ tQ
с t
2$
\ tQ
'то'
Х1У12+ 2 «г У;2+ 2 Mus2 + Us2) + £+S
.. i=2«=1.
'то'
Х1У12+ 2 «г У;2+ 2 Mus2 + Us2) + £+S
.. i=2«=1.
(10.14)
(10.14)
Пользуясь возможностью произвольного выбора начальных значений, подберем их согласно равенству
У102 = Л, yw = ... = ут0 = 0, Ulo = ... = Uao = 0 Ую= ••• — ^ао = 0
Тогда знак величины подынтегральной функции в окрестности выбранной точки определяется знаком выражения х^2. Из (10.14) получаем неравенство г2>А, которое и доказывает теорему 2.
Аналогичным приемом можно доказать, что если характеристическое уравнение имеет хотя бы два корня с положительной вещественной частью, то движение также неустойчиво. Нам остается теперь рассмотреть случаи, когда среди корней характеристического уравнения имеются нулевые, чисто мнимые и кратные корни.
В теореме 1 дано условие, при котором решение вопроса об устойчивости не зависит от членов выше первого порядка. При этом доказывается только достаточность приведенного условия; докажем теперь его необходимость.
Теорема 3. Если среди корней характеристического уравнения имеется по крайней мере один нулевой или два чисто мнимых корня при остальных отрицательных или комплексных с отрицательными вещественными частями, то невозмущенное движение может не обладать устойчивостью на конечном интервале времени.
Положим в уравнениях (10.9)
«1 = 0 YY = a»yY\ ¥2=... = ¥т = 0, UY = ...=
= иа = о, ¥Y = ... = ¥a = o;
При этих условиях будем иметь
то
(10.15)(10.15)^=2 ^у*+ 2 ^з^+^+г+^у? < = 2s=l
(10.15)
(10.15)
где L, как и в предыдущей теореме, представляет собой квадратичную форму переменных уь v3, и3 с непрерывными и ограниченными коэффициентами, обращающимися в нуль при t = t0.
Из уравнения (10.15) находим
(10.16)(10.16)2) 2 хгуг2+ 2 Миз2+из2)+£+аУ14) "7
(10.16)
(10.16)
t„ \i = 2s=l/ Га
Пользуясь произвольным выбором начальных значений величин yt, и„ и3 наложим на них условие
У102 = А, Уго ~ = УтО = 0,й10 = ... = пао = 0,и10 = ... = Уао = 0
Тогда можно утверждать, что подынтегральная функция в уравнении (10.16) при / = /0 принимает значение, которое является величиной положительной.
В силу непрерывности интегралов yt, иа, иа системы уравнений (10.9) и коэффициентов правых частей этих уравнений можно утверждать, что значение подынтегральной функции будет положительным для значений t, близких к /0. Следовательно, г1 7> А, для всех ^ > / > /0.
Последнее неравенство служит доказательством теоремы 3 и одновременно показывает, что условие теоремы 1 является не только достаточным, но и необходимым.
Рассмотрим теперь систему уравнений (10.6) в предположении, что ее характеристическое уравнение имеет кратные корни.
В этом случае всегда найдется линейная подстановка с постоянными вещественными коэффициентами, преобразующая систему уравнений (10.6) в такую, которая распадается на несколько групп уравнений вида
—— _ Ху Уу + £т +У1,-^Ху yt -\-yt-i + £; + У;
0=2, 3, .... kJ
Т,= х2 № + 1 Т-Екх 4- ! + Уд, + 1 at
dy •
—7= ХаУг + yi-y + Ei + Yi 0=^+26!+ ^)
at
~Ут — Aa + 1 + £-m — A>a+ 1 Т^т-/гп4-1
dt
du.
-^^XayiA-yt-i+Ei+Yt (i=m-ka + 2m) dt
777 = XyUy—p-iUy 4-Hy 4-Uy at
-—^- = %yUs— p^-J-Us-l +^s + ^s at
7-7 = ut + pi Uy 7K1 + Vy,—7 = Xi us + PiUs +
atat
+ us-i+Ks + Vs (s = 2, 3, ....r,)(10.17)
~?-+ " — ^2 “n + 1 1*2^14-1 +Wn+1 + Uri+1
—= Хй иГ14-1 +p2 Ur, 4-1 +^»4-l +Vr,+ 1 at
—7 = X4us — p2us + us-1 +HS + Us (s = ri4-2, ^4-3, ri+r2) at
77" = ^2 US +P2 U8 4~Us- 1 +KS + Vs at
d“o-r 4-1
=X^U0_ r 4-1—Pp Ua_r +i4-//a_ r 4.1 A'Ua — г 4-1
atpppp
dva_ , ]
7,= XpUa_r 4.1 +pp Ua_r +1 + Ka-r 41 +^a-r-4I «4PpPP
7-7".= Xpus—ppus+us-i +HS + US,-^- — Kpvs +
dtdt
+ ppus4-us_i+7<8 + У, (s = a-rp + 2a)
где а и р равны числу групп решений, соответствующих действительным и комплексным корням. Числа кх, ..., ка) /у, .., гр определяют кратность каждого корня.
Может случиться, что некоторые вещественные корни xv ..., ха или комплексные корни Х1±Р1К—1» ^2 ± Нг V—1> •••> ^aiHal^—1 равны между собой.
Все величины Е, Н, К представляются линейными формами переменных Уь ив, Уа с коэффициентами, зависящими линейно от &рц.
Относительно системы уравнений (10.6) можно доказать следующую теорему. .
Теорема 4. Если характеристическое уравнение системы уравнений (10.6), не имея положительных или комплексных корней с положительными вещественными частями, имеет кратные вещественные отрицательные корни хг и кратные комплексные корни с отрицательными вещественными частями Х8 и если при этом все диагональные миноры определителей
— Xj1/г
0 .
.00
0^) =
— Va —xi
— X/2
°. .°.0 = 1a)
00
0 ..
' ~1/2(10.18)
— ^s — Va
0 ..
.00
DW=
—х/г^s
-ч4..
•°00=1P)
00
0
. -X/2 -Xe
будут больше нуля, то невозмущенное движение устойчиво на конечном интервале времени независимо от членов высших порядков.
В том случае, когда хотя бы один диагональный минор окажется отрицательным, невозмущенное движение будет неустойчиво независимо от членов высших порядков.
Числа к{ и гs указывают на порядок определителей £>(хг) и D(X8).
Для доказательства теоремы исследуем изменение величины г2 с течением времени, принимая за г2 величину
тс
Г*= ^У?+^ («в2 + у,2) 1=1s=l
Из этого выражения и при помощи системы уравнений (10.17) получаем
r2 = Лехр ( —2^ (H—L—S)\toГ/гдеAiAi -f- Aj2H = — Xx 2 У,2—хг 2 ю2—> 1 = 1i = A, + 1— ^1 2 (Us2 + ys2)—^22 (Us2 + Us2s=ls = ri + !У1 Уа ••• У^-^У^ У/^ +1 Уа, + 2 -■—U^U^—U^U^—... — ЫГ1_|МГ1— ^ri4-— ... — Uq— 1 Uq— Vj Ug— ... — V(j— 1 Vqtnta . 2 У2 — i—tn—Aa +1)-..—Xp2(Ms2+ys2)-s=a-rp+iУк^хУк, "• Ут-\Ут1 Uri 4- 2- • •" ^r2 — 1 ^г2r2 = Лехр ( —2^ (H—L—S)\toГ/гдеAiAi -f- Aj2H = — Xx 2 У,2—хг 2 ю2—> 1 = 1i = A, + 1— ^1 2 (Us2 + ys2)—^22 (Us2 + Us2s=ls = ri + !У1 Уа ••• У^-^У^ У/^ +1 Уа, + 2 -■—U^U^—U^U^—... — ЫГ1_|МГ1— ^ri4-— ... — Uq— 1 Uq— Vj Ug— ... — V(j— 1 Vqtnta . 2 У2 — i—tn—Aa +1)-..—Xp2(Ms2+ys2)-s=a-rp+iУк^хУк, "• Ут-\Ут1 Uri 4- 2- • •" ^r2 — 1 ^г2
r2 = Лехр ( —2^ (H—L—S)
\toГ/
где
AiAi -f- Aj
2H = — Xx 2 У,2—хг 2 ю2—> 1 = 1i = A, + 1
— ^1 2 (Us2 + ys2)—^22 (Us2 + Us2
s=ls = ri + !
У1 Уа ••• У^-^У^ У/^ +1 Уа, + 2 -
■—U^U^—U^U^—... — ЫГ1_|МГ1— ^ri4-
— ... — Uq— 1 Uq— Vj Ug— ... — V(j— 1 Vq
tn
ta . 2 У2 — i—tn—Aa +1
)-..—Xp2(Ms2+ys2)-
s=a-rp+i
Ук^хУк, "• Ут-\Ут
1 Uri 4- 2- • •" ^r2 — 1 ^г2
r2 = Лехр ( —2^ (H—L—S)
\toГ/
где
AiAi -f- Aj
2H = — Xx 2 У,2—хг 2 ю2—> 1 = 1i = A, + 1
— ^1 2 (Us2 + ys2)—^22 (Us2 + Us2
s=ls = ri + !
У1 Уа ••• У^-^У^ У/^ +1 Уа, + 2 -
■—U^U^—U^U^—... — ЫГ1_|МГ1— ^ri4-
— ... — Uq— 1 Uq— Vj Ug— ... — V(j— 1 Vq
tn
ta . 2 У2 — i—tn—Aa +1
)-..—Xp2(Ms2+ys2)-
s=a-rp+i
Ук^хУк, "• Ут-\Ут
1 Uri 4- 2- • •" ^r2 — 1 ^г2
При условии положительности всех диагональных миноров определите- чей О(хг) и D(XS) квадратичную часть функции 2Я, состоящую из членов, коэффициенты которых не зависят от t, при помощи линейного преобразования можно привести к сумме квадратов, коэффициенты при которых будут положительными.
Функцию 2(Я — L — S) после преобразования можно записать в виде
2(Н—L—S) = ax z12 + aiz2i + ...+anzni+L1 (z, O+S^z, О
Здесь L^z, t) является квадратичной формой с непрерывными коэффициентами, обращающимися в нуль при t = /0; через Sx обозначена голоморфная функция, разложение которой по степеням zt начинается с членов не ниже третьего порядка; переменные zt являются линейными формами от Уь ч8, Не
очевидно, что для значений /, близких к /0, знак функции 2(Н — L — S) определяется совокупностью членов axzx + a2z2 + ... + anzn2 независимо от выражений Lx и Sx.
На основании изложенного можно утверждать, что г2 < Л до некоторого момента tx, причем разность tx —16 = т является величиной по меньшей мере конечной. Это неравенство доказывает первую часть теоремы 4.
Если предположить, что хотя бы один диагональный минор определителей О(хг) или D(ZS) является величиной отрицательной, то одно из чисел аг будет также отрицательным.
Пусть это число будет ах. Воспользовавшись возможностью произвольного выбора значений yt0, uto, us0, подберем начальное значение zi0 таким образом, чтобы z20 = ... = zn0 = 0, и проведя рассуждения, аналогичные тем, которые были изложены в теореме 2, можно утверждать, что невозмущенное движение неустойчиво.
Для того чтобы доказать необходимость условий теоремы 4, можно предположить, что одно из чисел а^ например ах, обращается в нуль.
Тогда можно подобрать члены высшего порядка таким образом, что невозмущенное движение станет неустойчивым (полагая, например, Sx = = azx4). Это и доказывает необходимость условий теоремы 4.
Определение интервала времени. При доказательстве необходимых и достаточных условий устойчивости движения по первому приближению на конечном интервале времени мы не интересовались величиной этого интервала. В приложениях же эта величина играет существенную роль, поэтому необходимо дать способ определения интервала времени, гарантирующего устойчивость, т. е. необходимо определить разность tx — t0 = т или величину несколько меньше ее, при которой удовлетворяется неравенство (10.3).
Для решения этой задачи обратимся к системе уравнений (10.6) и к выражению (10.10), которое запишем в несколько иной форме
1то
г!^7=Е^^2+ 2 K(42 + v2)+L(y,u,v,f)+S(y,u, v,t) (10.19) i=ls=l
где Цу, и, и, f) является квадратичной формой с непрерывными по отношению к t коэффициентами, обращающимися в нуль при t = /0.
В дальнейшем для удобства записи обозначим переменные и8 и и8 буквами у,, пронумеровав их в следующем порядке:
Ux = Ут-\-1 >Ч2 = Ут + 2> • ••> Чд = ут^.у
91 = Ут + а+1 •Uz = Ут+а+21 •••! иа = Ут-^2а
Тогда выражение (10.19) можно записать в следующей форме:
тт+ап п
г2 х^г2+ 2 м^2+Ун-а) + 2 2AC^t^+s
°* i = lt = m+lZ=1 /=1
где AC^ равны нулю при t = /0.
Обозначая сумму членов второго порядка правой части через Н, получим
/ t
(10.20)(10.20)г2 = Л exp — 2 ^H—S)-^
(10.20)
(10.20)
где Н — квадратичная форма переменных уь ..., уп.
Для определения интервала времени, гарантирующего устойчивость иевозмущенного движения, составим определитель, являющийся дискриминантом формы И:
п п
н= 2 2 СиУ1У} Cu=—xi — \cu 0 = 1m) i=l /=1
С$+а,$4-а——^s АС$ц-а, $+<т CssXs—ACSS (s = m + la), Ctj — С^
CnCn0^,^) =0^,^) =C21C21C12 ••• Clnc22 ••• C2nC12 ••• Clnc22 ••• C2n
Cn
Cn
0^,^) =
0^,^) =
C21
C21
C12 ••• Cln
c22 ••• C2n
C12 ••• Cln
c22 ••• C2n
Cnl Cn2 ••• Cnn
Квадратичная форма H 6^ дет определять знак подынтегральной функции Н — S независимо от S в том случае, когда в результате преобразования ее к сумме квадратов все коэффициенты при квадратах переменных, являющиеся функциями времени, будут отличны от нуля и будут иметь одинаковые знаки на всем интервале времени т = ^ — t0.
Из уравнения (10.20) следует, что для устойчивости невозмущенного движения достаточно, чтобы Н была определенно-положительной формой для всех значений времени, заключающихся в интервале т = ^ — /0.
Это условие будет выполняться в том случае, если все диагональные миноры определителя D(xb Xs) являются положительными, т. е. будут иметь место неравенства
Ах — си > 0,Ах — си > 0,А2 —А2 —СИ С12С21 с22СИ С12С21 с22>0>0Ап = Д(хг,Х6)>0 (10.21)Ап = Д(хг,Х6)>0 (10.21)
Ах — си > 0,
Ах — си > 0,
А2 —
А2 —
СИ С12
С21 с22
СИ С12
С21 с22
>0
>0
Ап = Д(хг,Х6)>0 (10.21)
Ап = Д(хг,Х6)>0 (10.21)
В том случае, когда хотя бы один из миноров меняет знак, квадратичная форма Н перестает быть определенно-положительной.
Предположим, что для некоторых значений времени Аг обращается в нуль:
(10.22)(10.22)А. = 0(1 = 1, ..ТГ»)
(10.22)
(10.22)
Из этих уравнений мы можем определить несколько моментов времени 4> ^2. •••> In-
Пусть 4 является наименьшей величиной из всех 4, ..., ты- Выбираем теперь момент времени 4*, меньший tx на сколь угодно малую величину. Тогда разность tx* — t0 = т будет тем интервалом времени, на котором гарантируется устойчивость невозмущенного движения. Может случиться, что неравенства (10.21) справедливы для всех значений времени f>t0, тогда будет гарантирована устойчивость невозмущенного движения на интервале времени (/0, ею ).
Замечание. Необходимо отметить, что равенства (10.22) не определяют максимального значения времени t, гарантирующего соблюдения неравенства
п
^<anx1-V...-VatTtxHY<A (10.23)
Очевидно, это значение времени будет больше найденного 4, так как tx определено из условия убывания величины г2. Но для значений t > tx величина г2 может возрастать, оставаясь на конечном интервале времени меньше Л.
Г Л AB A XI
НЕЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ АВТОНОМНЫХ СИСТЕМ
Предварительные замечания. В главе IX мы показали, что в случаях, близких к критическим, изучаемая система может допустить существование устойчивой области G, включающей начало координат. В этом случае невозмущенное движение не является состоянием равновесия, которому соответствует начало координат, а является некоторым ограниченным движением (глава XII), имеющим в общем случае колебательный характер. Если невозмущенное движение является периодическим колебательным процессом, то ему соответствует предельный цикл. Хотя задача отыскания таких предельных циклов, а в общем случае ограниченных решений в этой главе и не ставилась, тем не менее мы непосредственно подошли к вопросу об исследовании колебательных движений.
В данной главе мы специально рассмотрим колебания, описываемые следующими системами дифференциальных уравнений второго порядка
4г = ~ Ху + рХ(х, у, р),= Хх + рУ (х, у, р)(11.1)
atdt
— Ху + Х0(х, у)+рХ(х, у, р) at
^- = Хх + У0(х, у) +рУ(х,у,р)(11.2)
at
^- = у+цХ(х, у, р),-^- = У0(х, у, р)+рУ (х, у, р)
atat
а также системами (м + 2)-го порядка
— Ку + рХ (х, у, z^zn, р) at
^ = кх + у,У(х, у, zxzn, р)(1113)
п
"=2 Рзкгк + ^Дх, y,zxг„, р) (5 = 1п)
в том случае, когда их правые части, т. е. функции X, У, Хо, Уо, Z, не являются явными функциями времени t. Такие системы будем называть автономными.
При этом вместо понятия «малые корни» (глава IX) будем рассматривать некоторый «малый параметр», обозначаемый величиной р, вкладывая в него то понятие, которое приписывает ему Пуанкаре.
Условия существования периодических решений по первому приближению. Исследование начнем с рассмотрения системы двух уравнений, обращающейся в линейную при равенстве параметра нулю
-^5-= _Xy + pXi (х, у) + ^Х2 (х, у) + ...
я<1М)
-^Ьх+рУх (х, y)+y2Y2(x, уН- at
где р — параметр; Хк(х, у) и Yk(x, у) (^ = 1, 2, ...) — многочлены от х, у любой степени тк, обращающиеся в нуль при х = у = 0. Здесь тк — степень наивысшей из форм, входящих в многочлены Хк(х, у) и Yk(x, у).
Будем предполагать, что правые части имеют только одну особую точку х = у = 0 и являются абсолютно сходящимися рядами относительно р в исследуемой области изменения переменных х, у и параметра р.
В отличие от метода Пуанкаре мы будем отыскивать условия существования периодических решений, не привлекая к рассмотрению так называемые порождающие решения.
Исследование задачи удобнее вести в полярных координатах. Полагая х = г cos 6, у = г sin 6, будем иметь
А = рТ?1(г, 0) + р^2(г, 6) + ...
d(1L5)
at где
Rh (г, 0) = Хк (г cos 0, г sin 6) cos 0 + У\(г cos 0, г sin 0)sin 0
1(И.6)
F^r, 6) = 7" [^^ (rcos 0, rsin0)cos0 — Xft(rcos0, rsin0)sin0]
следовательно, Rk и Fk определяются многочленами в отношении г с коэффициентами, являющимися формами от sin 0 и cos 0
Rh (Г, 0) = rR^»(0) + г» Rkw (О) +... + r^ Rk^ (6)
Fk(r, 0) = Fkw (Q) + rFk<1 > (0) +... + rmh-1 F^"^ (0)(11.7)
Решим вначале следующую задачу.
Определим необходимые и достаточные условия существования периодических решений системы (11.4) или (11.5), когда этот вопрос полностью решается членами первого порядка в отношении р независимо от членов более высокого порядка.
Рассмотрим с этой целью функцию Ляпунова, определяемую уравнением
г = V + р (Vu/1 > + Vй u^ +... + V«« ux^(11.8)
где UyW^ (k = 1, 2, .... mx) — подлежащие определению непрерывные периодические функции с периодом 2л.
Функцию V определим из уравнения (11.8) через г и 0. При достаточно малом значении р она будет определенно-положительной в отношении г для любых его положительных значений и при любых вещественных значениях 0. Наибольшее значение р мы определим после отыскания функций их(*>(0). Отметим, что два замкнутых цикла V = Сх и V = С2, определяемые равенством (11.8), не имеют общих точек, и если С2 > Сх, то цикл V = Сх будет целиком находиться внутри цикла V = С2. Для этого достаточно предположить, что р мало. 176
Производная функции V по t будет иметь вид
и ^ = и [ W’ (6)+у2Л<2> (6) +... + У^л^е)]+ц«р2 (и, е, р) (11.9)
Такое представление dVldt возможно для значений р, удовлетворяющих условию
Н = 1 +p[u1(.1>4-2Vu1(2) + ...+/nl У'"*-1 u1<m‘)]>0
В уравнении (11.9) коэффициенты PtW (^ = 1 т^определяются
равенствами
P1W (0) = _ X ^_ + R^^ = 1mi)
P^V, 6, p) представляется степенным рядом в отношении V с коэффициентами, зависящими от sin 6, cos 6 и р.
В зависимости от выбора функций utW мы будем получать различные значения Р^1. Подберем эти функции так, чтобы все Pxw были постоянными величинами. Обозначим эти постоянные через gxw, тогда функции u^W определятся из уравнений
U1w = ±j[/?1№(6)-Sr1W]d0+C1<»)(л=1mJ(11.10)
Числа ^1(й) выберем так, чтобы все функции и^ были периодическими, для этого необходимо и достаточно обращения в нуль интегралов
2л
J [P/^-^wjde-o (fe=ima о
Константы С^ определим так, чтобы все функции «!<*> обращались в нуль при каком-нибудь определенном значении 0О, например при 60 = 0.
Производная функции V по t при найденных значениях примет вид
н = Pte/')к+... +^*> v^ +p2P2(K, е, р)(11.11)
at
Исследуем поведение интегральных кривых при различных предположениях относительно правой части этого равенства.
Предположим, что алгебраическое уравнение
U(И = V№+8^ у+...+g^ v^.-i) = о
имеет т < 'ту различных положительных корней.
Тогда его можно представить в виде
МУ) = У^-У)**^—V^* ... (Vm—У/^ЛДУ^О(11.12)
где Л^У) — многочлен, степень которого равна тх — й0 — hi — &2 — ••• — — hm; для всех значений V > 0 этот многочлен будет сохранять постоянный знак.
Докажем, что каждому положительному корню V $ нечетной кратности соответствует по крайней мере одно периодическое решение. Пусть 0 < У1 < У2 < .... < Ут. Выберем два положительных числа ё! и е2 согласно неравенствам ех < V/+1 —■ V/, е2 < Vj — У/-1- Рассмотрим два замкнутых цикла, определяемых уравнением (11.8), если в него подставить V=Vj-\-Bi и V=Vj—е2. Очевидно, что цикл V = V j — в 2 будет находиться внутри цикла У = У ^ + bv Покажем, что все интегральные кривые, определяемые уравнениями (11.4), пересекают циклы У = У^ + вх 12 Г. В. Каменков, т. II177
и V = V j — е2 в разных направлениях. Для цикла V = V j + 6i при условии, если & j нечетное, будем иметь
И = р [-еЛ Vk« (V.-Vj-e^ ...ф^- V,— е^-1 (У/+1 - at
-V$-^k^ _{ym__Vj_^mAi(y1 + ^] +
+ ^PAVj + ^A,^(ПЛЗ)
Для цикла V = Vj — e2 получим
Н^- = У [еЛ Vh” (Л-У, W ... (И-1 - V3 + e^i-1 (Vi+, - at
-v3 +e2)*H' (ym-V3^mAAVj-^ +
+ р2Р2(^-е2,6, p)(11.14)
Очевидно, что при достаточно малом р знак производных dVldt как в (11.13), так и в (11.14) определяется первым членом, стоящим в квадратных скобках, независимо от членов р2Р2(РД + е^ 0, р), р2Р2(У;— е2) 6, р).
Если окажется, что для цикла V = Vj + ех dVldt <. О, то тогда для цикла V = V j — е2 будем иметь dVldt > 0. Следовательно, интегральные кривые пересекают внешний цикл снаружи внутрь, а внутренний— изнутри наружу. Если окажется, что для цикла V = Vj + ех значение производной dVldt > 0, то, заменяя в уравнениях (11.4) t на —t, мы знак производной dVldt изменим на обратный.
На основании теоремы Бендиксона I15] мы можем утверждать, что внутри кольца, образованного циклами V = V j + eT и V = V j — е2 заключается по крайней мере один предельный цикл, которому соответствует периодическое решение системы (11.4).
Таким образом, мы установили, что достаточное условие существования периодических решений системы уравнений (11.4) по членам первого порядка независимо от старших членов заключается в том, что уравнение ЕХ(У) = = 0 имеет по крайней мере один положительный корень нечетной кратности.
Докажем теперь необходимость этого условия.
Предположим, что положительный корень уравнения £Х(У) = 0 имеет четную кратность. Наше предположение будет доказано, если мы установим, что выбором членов, порядок которых в отношении р выше первого, периодическое решение нарушится или сохранится по нашему желанию.
Рассмотрим с этой целью уравнения первого приближения
^-^-Ху + ^Дх.у),^ = %x + ^YAx,y)(11.15)
допускающие периодическое решение. Предположим, что уравнение Т^У) = = 0, соответствующее этой системе, имеет положительный корень четной кратности, равный Уо. Тогда многочлен Т^У) можно представить в виде ^(У) — (V — УоРЛ/У). Многочлен ЛДУ) будет иметь степень тх — 2k. Для него можно указать интервал Уо — е2 < V < Уо + е1( где он сохраняет постоянный знак.
Рассмотрим теперь уравнения
= — Ху + цХх (х, у)+у2Вх (х2 + у2) at
-^- = Хх + рУ1(х, уН^Ву(х2 + у4)(11.16)
at
где В — некоторая постоянная.
178
В полярных координатах эта система будет иметь вид
— = ц^Ч...-^ ^‘О+^Вг3 dt
^ = X + ^1(0)+r/?1(l) + <--+r,n1-l ^№-1))(И.17)
Если функцию Ляпунова определить из уравнения (И.8), то будем иметь
Я = ц (У— У0)2й Л, (17) + Ц2 [ВИ» + Q (И> 0)] + из Рз (V> 6> )
Если АХ(УО) > 0, то число В > 0 выберем согласно неравенствам
В(Уо + е1)3 + 5(Уо + е1,0)>ОВ(Уо-е2)3 + 5(Уо-е2,0)>О (11.18)
для всех вещественных значений 6.
При таком выборе числа В выражение dV/dt будет сохранять положительные значения в окрестности цикла V = Уо, что указывает на отсутствие периодического решения для системы (11.16), несмотря на то что члены первого порядка такое решение допускают.
В случае Л/Уо) < 0 число В необходимо взять отрицательным с соблюдением неравенств, обратных неравенствам (11.18).
Для того чтобы периодическое решение системы (11.16) сохранилось, необходимо знак достаточно большого числа В взять противоположным знаку Л^Уд).
В заключение можно сформулировать следующую теорему.
Теорема 1. Если система уравнений (11.4) такова, что соответствующее ей уравнение
2л
Ьг (У) = — f [Хх (У cos О, У sin 6) cos 0 + Vx (У cos 6, У sin 6) sin 0] d9 = 0 2л J
0
в отношении У имеет к положительных корней нечетной кратности, то каждому из этих корней будет соответствовать по крайней мере один предельный цикл и каждому из этих предельных циклов соответствует периодическое решение этой системы. Если же уравнение В^У) = 0 имеет положительные вещественные корни четной кратности, то вопрос о существовании периодических решений, соответствующих этим корням, членами первого порядка в отношении ц не решается.
§ 54. Устойчивость периодических решений. Исследуем теперь устойчивость колебаний, соответствующих найденным периодическим решениям. В том случае, когда положительный корень уравнения L^V) = 0 является простым, вопрос об устойчивости решается теоремой Андронова и Витта [1в]. Если же корень уравнения Д(У) = 0 является кратным, т. е. dL^V^dV = О при У = Vj, то среди характеристичных чисел, соответствующих решениям уравнений в вариациях, могут оказаться два характеристичных числа, равных 0. Это обстоятельство приводит к весьма существенным затруднениям.
Исследуем устойчивость невозмущенного движения, не привлекая к рассмотрению уравнений в вариациях.
Предположим вначале, что уравнение LX(V) = 0 имеет корень V = Vj нечетной кратности kj. Пусть этому корню соответствует единственное периодическое решение. Представим уравнения (11.13) и (11.14) в виде
Н — -№1*к~1 Pi (Vj + «О + И2 Р» (У, + 61, 0, р)
лу'<1М9>
Н ^ = р6г2»-‘ P^Vj-e^ + ^P^Vj-e,, 0, р) at
где 2^ — 1 = kj.
Можно утверждать, что при P^V j) >• 0 периодическое решение устойчиво, а при P^Vj) <. О — неустойчиво. Эти условия можно сформулировать следующей теоремой.
Теорема 2. Если система уравнений (11.4) такова, что соответствующее этой системе уравнение L^V) = 0 имеет корень V = V j нечетной кратности, равной 2^ — 1, и если
d^-iLJ^/dV26-* <0 при V = Vj(11.20)
то периодические колебания, отвечающие корню V= V j, устойчивы; если же
d?k-x Lx^ldV2k-x>0 при V=V,(11.21)
то неустойчивы.
При k = 1 эта теорема совпадает с теоремой Андронова и Витта.
Если окажется, что корню V = V j соответствует несколько периодических решений, и если при этом р достаточно мало, то имеет смысл ввести понятие устойчивости по отношению к области, ограниченной циклами V = = Vj + =1 И V = V j — е2. Можно утверждать, что эту область выбором чисел в2 и е.2 можно сделать сколь угодно малой, т. е. расстояние между точками внутреннего и внешнего цикла, измеренное по радиусу, будет сколь угодно мало, если р достаточно малая величина, и стремится к нулю вместе с р.
Мы можем положить е2 = е2 = pv, у = 6/(2& — 1), 6 < 1. Тогда уравнения (11.19) можно представить в виде
н^ = -Р1+6[?,(!/;Н-р^-р^б^^. + рт, и;е)1
‘(11.22)
Я ^ = р1 +6 [Рх (^-рт) +р* -» Рг (E,-pY, и, 0)j
При р достаточно малом и при условии (11.20) будем иметь устойчивые колебания по отношению к области, ограниченной циклами V = Vj + pv и V = V j — pv, а при условии (11.21) — неустойчивые. Расстояние между циклами, определяемое из (11.8) для V = V j + pv и V = V j — pv, будет стремиться к нулю при р ->0.
Предположим теперь, что корень V j четной кратности k j = 2k. Легко убедиться, что область, ограниченная циклами V = V j + pv и V = V j — pv будет неустойчивой, так как dVIdt для обоих циклов будет сохранять постоянный знак.
На основании изложенного можно формулировать теорему.
Теорема 3. Если система уравнений (11.4) такова, что уравнение L^V) имеет корень V = V j четной кратности 2^, то область существования периодических решений будет неустойчивой, причем в случае
d^L^VydVS^O при V = V,
область будет устойчивой для внешних возмущений и неустойчивой для внутренних. Если же d^LttV^dV211 > 0 при V = Vто область суще- 180
ствования периодических решений будет устойчивой для внутренних возмущений и неустойчивой для внешних.
Определение величины параметра. Мы предполагали, что в системе уравнений (11.4) параметр р является достаточно малой величиной.
Очевидно, представляет существенный интерес следующая задача: определить то значение р, при котором и менее которого периодические решения системы (11.4) продолжают существовать, если эта система имеет их при достаточно малых значениях р.
Исследуем вначале случай, когда кратность корня уравнения LT(V) = О нечетная. Предположим, что в формулах (11.19) выражение P^Vj) более нуля, тогда будем иметь
Р1(^ + е1)>0,Р1(У/-е2)>0
Для существования периодического решения необходимо
-е^-'РД^+е^+рРД^ + е!, 0, р)<0(11.23)
ег^-'РДЕу—е2)+рР2(Е,—е2, 6, р)>0(11.24)
Эти неравенства всегда имеют место при р достаточно малом, но они могут существовать и для конечных значений р и даже для очень больших его значений. Чтобы определить искомое значение р мы можем поступить следующим образом.
Заменим в (11.23) выражение Рй(У j + eb 6, р) наибольшим значением, которое оно может принимать при любых значениях 0 ^ 0 ^ 2л. Обозначим этот максимум через P^V 3 + е1( р) и рассмотрим уравнение
-e^-i P^Vj + 61) +рР2* (^ + еп р) = О
Из этого уравнения мы можем определить значение р = р(ех). Обозначим наибольшее значение р, определяемое этим равенством, через рх в предположении, что ех < V/+i — Vj.
Далее находим наименьшее значение Р2 (V/— е2, 6, р) для любых значений 0 ^ 6 ^ 2л. Пусть это наименьшее значение есть Р2** (V/ — е2, р). Из равенства
е22^- - Рг (V,—е2) + рР2** (^-е2, р) = О
определяем р = р(е2) и находим наибольшее значение р при условии е2<1/,— — V/_i. Пусть этот максимум р равен р2.
Если окажется, что максимумов рх и р2 будет несколько, то мы должны взять наименьший из них.
Выберем теперь число р0, меньшее рх и р2 на сколь угодно малую величину. Очевидно, что при р = р0 неравенства (11.23) и (11.24) соблюдаются.
Число р0 будет искомым числом, если для всех 0 < 9 ^ 2л выполняются неравенства
1 + Р l^1» (6) + Ей/2» (9) +... + ^-1 и^ (9)] > 0(1 J 25)
1 +р [и/1» (9) +2EU/2) (9) + ...+т1 Vm<~1 и^ (9)] > О
при V = V j + ех* и V = V 5 — е2*, где ех* и е2* те значения ех и е2, которые определяют максимальные значения р(ех) и р(е2). Если же одно из этих неравенств обращается в нуль, хотя бы при одном значении 0^9^ 2л, то тогда за искомое значение р необходимо взять число р < р0 такое, что-' бы неравенства (11.25) имели место.
Условия существования периодических решений по членам высших порядков. Исследуем теперь случай, когда члены первого порядка вопроса
181
о существовании предельных циклов не решают. Это имеет место, когда, например,
Xi (х, у) = -, Ух (х, у) =
дудх
где Я(х, у^ — определенно-положительная функция для значений х, у, принадлежащих к области исследования.
Может также оказаться, что уравнение L^V) = 0 обращается в тождество. Это уравнение будет обязательно обращаться в тождество, если многочлены Х^х, у) и Y^x, у) содержат только четные степени выражений х^у^, т. е. ^ + ^2 = 2/г.
В дальнейшем будем предполагать, что вопрос о существовании предельных циклов решается конечным числом членов правых частей системы уравнений (11.4).
Для решения поставленной задачи определим функцию Ляпунова из уравнения
r^y + ^s"(11.26)
А = 1
где число а равно степени р, определяющей существование предельного цикла независимо от членов, порядок которых выше а, а и^^—непрерывные периодические функции 6, подлежащие определению.
Эго уравнение при достаточно малом р представляет определенно-положи- . тельную функцию V для любых положительных значений г и для любых вещественных значений 6.
Производная функции V по t в силу уравнений (11.5) будет иметь вид
А = а
+ р" + *Ра+1(У,е, Р)(11.27)
Такая запись производной возможна, если параметр р удовлетворяет условию
б=а
Нх=1+ 2 рф^’+ЗУи^-Ь-.+т^л-'и^М^(11.28)
6= 1
В правой части выражения (11.27) функции Р^Ч^) имеют вид
Ph^ (6) = -X +Pfe^> (9) + Qft<»> (0)
(fe = l, .... a, s=lm^(Ц.29)
Функции Qx<s>(9) тождественно равны нулю, а функции Q^ (^ = 2, 3,..., а) представляются многочленами от различных степеней sin 6, cos 6 и от функций u/s), у которых / < к — 1. Эти функции являются также многочленами от различных степеней sin 6, cos 6.
В зависимости от выбора функций и^ мы будем получать различные значения Р^- Подберем функции ик<5>так, чтобы все Р^ были постоянными величинами. Обозначим эти постоянные через g^ и определим их из равенств
2л
$ [/We)-ws40)-gW6==o(н.зо)
О
тогда функции u^si определятся из уравнений
(11.31)(11.31)^=Y J I^(s) (0) Ws) (6)-^(s)l d0+cfe(s>
(11.31)
(11.31)
Постоянные С^ определим так, чтобы все функции ик^ обращались в нуль при 6 = 0. Тогда производная функции V по t примет вид
а
(11.32)(11.32)н^= 2 н^ИЮ+^+^а+Н^е.н) dt 6=1
(11.32)
(11.32)
где
Lk (Ю = gk<* > V +gk< V2 +... + gkW Vmh(11.33)
а
Очевидно, что выражение 2 РА МЮ представится многочленом относительно V с коэффициентами, являющимися также многочленами относительно р. Обозначим этот многочлен L^ (V), тогда
L(«) (V) = BQx V + Ва, V2 +... + B«n Vй(11 • 34)
где n — наивысшая из степеней многочленов L^VV Числа ВО6 являются многочленами от р.
Может случиться, что все многочлены Ьк(У) обращаются тождественно в нуль для любых сколь угодно больших значений а. Тогда система уравнений (11.4) будет иметь бесчисленное множество периодических решений. Этот случай может иметь место, например, для системы
dx _.... дЯ(х,у, р) . dy „ х „ дЯ(х,у,р)
dtоуdtдх
где Щх, у, р) — определенно-положительная функция при любых вещественных значениях х, у.
Пусть первый многочлен Lk^V\ не обращающийся тождественно в нуль, имеет индекс р, т. е. Lp(V) 0, 1^ Р ^ а. Может оказаться, что уравнение Lp(V) = 0 не имеет вещественных корней. Тогда, очевидно, система уравнений (11.4) при достаточно малом р не имеет периодических решений, кроме решений, соответствующих р = 0.
Предположим, что уравнение Ар (У) = 0 имеет т <. т^, положительных корней 0<V1<V2< ...<!/;< ... <Vm. Найдем условие существования периодических решений, отвечающих одному из корней. Пусть этот корень равен V j. Многочлен Ьр(У) можно представить в виде
W)
Предположим вначале, что Lp+i (V,) ^ 0. Полагая a = 0 + 1, мы можем выражение (11.32) представить в виде
Ht = рР (V,—K)vp Лр (V) + рР+1 Lp+1 (V) + рР+2 Рр+2 (V, 9, р) (И .35) at
Рассмотрим уравнение
(У;-Р)трЛр(Р) + рРр+1(Р) = 0(11.36)
Это уравнение имеет единственный вещественный положительный корень при ур нечетном независимо от величин Лр(1/^), Lp+i (^). Этот корень при р = 0 примет значение Vj.
Если Уд четное, то уравнение (11.26) имеет два положительных вещественных корня, стремящихся к V3, при р = 0, если Lp+i (У^)Мр (У;) < О, и не имеет вещественных корней в случае Lp+i (У^/Лр (V;) > 0.
В случае ур нечетного выражение этого корня будет иметь вид
^* = ^+Val+v2 а2+---
где v = p*/vpf ^ = + [Lp+^y^Mp (V^J^vp. При ур четном получим
Vn* = Vi+vb1 + v^b2 + ..., Vj2* = Vj + vct + ^c2 +... где
&i = [Lp+l (Ъ)Мр(У^'/тр, C1 = -[Lp+i (V^MpO'/Yp
Очевидно, что эти корни будут простые.
Если ур нечетное, то (11.35) можно представить в виде
^1(^* - Ю V (Ю+^+2 р2 (У, 9, р)
at
Из этого уравнения следует, что корню V j* соответствует единственное периодическое решение системы (11.4).
В случае ур четного выражение (11.35) представится в виде
^i -— = Ре (Vn*- V) (^2*- V) Лр** (У) + рР+2 Р2 (У, 6, р) at
Отсюда можно заключить, что система (11.4) имеет два периодических решения. Оба эти решения при р -> 0 сливаются в одно.
Вопрос об устойчивости колебаний, описываемых системой (11.4), при этих предположениях решается способом, изложенным в § 54.
Предположим, что многочлен Lp+i (V,) = 0. Пусть Lp+i ( Vj) = = Lp+2 (Vj) = ... = La_x (Vj) = 0, a Laty,} + 0. Полиномы Lh(V> (& = 0, 0 + 1 a — 1) можно представить в виде"
^«(y-Vj^A^V)
Вопрос о существовании периодических решений при этом предположении приводится к определению простых положительных корней алгебраического уравнения
LW (У) = рР1(У—y,)vp Лр](У) + pP+i (у_y^vp+i Лэ+1 (У) +
+... + р"-1 (У-y,)Ya-i| Ла_, (У) + Р" и (У) = 0(11.37}
Искомые корни обращаются в Vj при р = 0.
Число Р может принимать одно из значений 0 = 1, 2, ..., a — 1. В том случае, когда ур = 1, мы получим единственный вещественный корень уравнения (11.37), обращающийся в Vj при р = 0. В случае ур ^ 2 каждому корню Vj уравнения L^V) = 0 может соответствовать несколько вещественных корней уравнения (11.37), обращающихся в Vj, при р = 0.
Эти корни могут оказаться простыми, но может случиться, что в числе их находятся кратные корни, кратность которых менее ур. Если мы будем иметь дело с последним случаем, то тогда функцию Ляпунова, определяемую уравнением (11.26), найдем из того же уравнения с заменой числа а на аг >• а. Число аг выберем так, чтобы уравнение
№цу) = ^^иу) = о
не имело кратных корней. Этот случай является общим. 184
Может, однако, случиться, что какое бы большое число с^ мы ни брали,, корень У} будет являться корнем для всех многочленов Lk^V) (k = 1, ... ..., Ох), а следовательно, и для многочлена Ua^ (V).
Обнаружить это свойство многочленов LA(V) указанным выше способом вообще, конечно, нельзя. Но если каким-либо другим способом нам это удалось доказать, то тогда можно утверждать, что корню V j будет соответствовать единственное периодическое решение независимо от кратности корня.
В качестве примера рассмотрим систему уравнений
— = — У + 2 И* (а2—хй—УгТк xfk (х, у)
dt4=1
у = х+ 2 Ц6 (а2—ха—y2)nA yfA (х, у)
dt 6=1
Полагая х = г cos 9, у = г sin 6, будем иметь
— = 2 Н* (я2 — r2)"ft rfh (r cos 9, г sin 6)
dt 6=i
de _ !
dt
Если все пк ^ 1, выражения х = a cos (^ + /0), у = а sin (^ + /0) представят периодическое решение исходной системы. Это решение будет существовать и в том случае, если в функцию fk(x, у) входит явно t.
Исключая из рассмотрения эти частные случаи и определяя функцию V указанным выше способом, мы можем утверждать, что первые а членов многочлена L<“>>(V) останутся без изменения. В этом случае вместо (11.37) будем иметь уравнение
L^ XVW^V-ViY^m^ (У-У^ Лр+, (V) +... +
ра—1 (У _ V ,)Та-1 Л^, XV) + р“ U (V) + ... + р"« иг (К) = 0 '
(11.38)
Докажем теперь, что каждому простому положительному корню этого уравнения соответствует одно периодическое решение системы уравнений (И.4).
Для этого достаточно показать, что каждому простому положительному корню уравнения (11.37) соответствует предельный цикл. Представим корни этого уравнения в виде V = V j 4- paz, где новая неизвестная z(p) не обращается в нуль при р = 0.
Подставляя значение V в (11.38) и сокращая на рР, будем иметь
p°vp zv₽ лр (V) + p1+0VP+1zvP+1 ЛР+1 (Ю + - +
pa-p-l+ava-i Zva-1 л^ (у) + ^а-р £ц (у) + ... +
+ p“*-₽|Lai(V) = o(11.39)
Очевидно, что сумма членов, содержащих наинизшие степени р, равна левой части этого уравнения с заменой V на V j. Из рассмотрения этих членов мы приходим к заключению, что степень о может определяться одним из уравнений
ayp = a—0,р + огу0+р = а — 0
Р + стТНр = Pi + ^Ур+р,,<гТр = Р -Н оур+р
где р и рг — любые целые числа от 1 до a — 0 — 1.
Первое уравнение дает значение ст, равное (а ■— 0)/ур, наибольшее значение которого стт, = (а — 0)/2.
Определим ст из второго уравнения ст = (а — 0 — р)/ур+Р. Наибольшее значение стт,, определяемое из этого уравнения, равно от$ = а — — 0 — 1. Наибольшее значение сттз, определяемое из третьего уравнения, имеет вид стШз = а — 0 — 2. Четвертое уравнение дает стт< = а — 0 — 1.
Отсюда заключаем, что наинизший член разложения корня уравнения (11.38) по дробным степеням р по крайней мере на единицу ниже степени р, стоящего перед многочленом La(V).
Предположим, что корню Vj, кратность которого ур, соответствует 6 простых положительных корней (6 + ур). Тогда будем иметь
»Л = Р₽ (V-V^ (V-V^)... W-Vj6yB (V/p) + P-.+* Pai+1 (V, 6, p) at
(11.40)
где Vjh — простые корни уравнения (11.39).
Будем считать V ц < Vj2 < ... < У^- Многочлен B(y, р) не обращается В НуЛЬ ДЛЯ V/A-1 < V < V jk+1.
Докажем, что каждому корню Vjh, (k — 1, ..., 6) соответствует предельный цикл. Возьмем произвольный корень V jh и два замкнутых цикла, соответствующих значениям V = Vjh + р“-₽-1+Л и V = Vjk — р“-₽-1+Л, где h — достаточно малое положительное число.
Подставляя первое выражение V в (11.40), будем иметь
^1-^7 = ^Q(^+pa-p-1+,,)+iia-+1 Pa.+i GW(11.41)
at
Для второго цикла получим
НуW PS.+1 (У,к. 0, Р) (11.42)
at
Выражения Q^V ,к + р“-Р-1+й) и Q(V jh— p«-P-i+ft) имеют одинаковые знаки, так как оба цикла заключены внутри кольца, ограниченного циклами V = V^-i и V = У/е+ь Функция Q(V) для значений V, принадлежащих интервалу Vj^-i < V < У/е+ь сохраняет постоянный знак.
Число т не может превышать числа 0 + 6(а — 0—1) + h. Если теперь число ах выберем согласно неравенству
«х 4-1 >0+6 (а — 0—1) + /г
то знак производных будет определяться первым членом выражений (11.41) и (11.42).
Следовательно, знак производной dVldt, определяемой уравнением (11.41), противоположен знаку производной (11.42).
Следовательно, интегральные кривые пересекают исследуемые замкнутые кривые в разных направлениях.
На основании теоремы Бендиксона [15] мы можем утверждать, что внутри кольца, ограниченного циклами V = V jh + ца-Р+л-1 и V = V ju — — p“-P+h-1, находится один предельный цикл системы (11.4). Этому циклу будут соответствовать периодические колебания, описываемые этой системой.
Устойчивость этих колебаний исследуется способом, изложенным в § 54, т. е., если dL(a>>(V)/dIZ<:0 при V=Vjk, то колебания, определяемые этим корнем, устойчивы. Если же dL^^ldV >0 при V = V jh, то колебания неустойчивы.
Построение периодических решений. Уравнения предельных циклов системы (11.4) можно получить следующим образом.
186
В результате исключения dt из системы (11.5) получим уравнение
5 рЧ^ЧОН^ЕЧЧеН.-.+г^Ч^ЧЧ (Н.43)
d6 6=1
Числа nh могут быть более соответствующих чисел т^, но пг = mv В дальнейшем исследовании мы будем предполагать параметр р таким, что выражение X + рЧ(г, 6) + р2Е2(г, 6) + ..., фигурирующее в (11.5), сохраняет знак для 0 ^ 9 ^ 2л и для значений г, принадлежащих области исследования. При этом условии правая часть (11.43) будет голоморфной функцией от г и р для любых значений 0^6^ 2л.
Для нахождения уравнений предельных циклов с точностью до порядка а найдем функцию Ляпунова из уравнения
r=v+ 2 pW^H.-.+r^^B))(11.44)
а=1
где u4s) (6) — непрерывные периодические функции с периодом 2л.
Производная функции V по 9 будет иметь вид, аналогичный (11.27)
dV а
— = 2 рЧЕЧЧе^-.+ЧкЕч^ЧЧ+р^1^ (V, е,и) (11.45) de 6=1
Функции Рк*^Ч^) имеют вид
Ph*w (6) = -^+Р^ №Ш' (6)
(6 = 1,..., а, s=sl,...,«h)(11.46)
Функции Qi(s> тождественно равны нулю, а функции Q^ (k = 2, 3, ..., а) представляются многочленами от различных степеней sin 9, cos 9 и от функций и^, у которых индекс /— 1.
Определяя функции иЧ$>(9) и постоянные C4s) согласно формулам (11.39) и (11.31) будем иметь
dV а
— = 2 Рй №< » + ... +g^) + р“+‘ Ра+1 (V, 9, р)(И .47)
аб 6=1
Выберем число а так, чтобы положительные корни уравнения
2 ^(^Ч.-Ч^^ЧО(11.48)
6=1
были простыми. Если требуется большая точность, то число а можно заменить на число ат > а.
Предположим, что уравнение (11.48) имеет т положительных корней Ч> ••■, Vm. Подставляя эти значения Vh в выражение (11.44), мы получим для каждого Vh уравнение предельного цикла в полярных координатах с точностью до членов порядка а в отношении р.
Если найденное значение г подставить в выражения х = г cos 9, у = = г sin 9, то получим параметрическое уравнение периодических решений системы (11.4).
Подставляя значение г из (11.44) во второе уравнение (11.5), получим
= X + nf! (9) + рЧ2 (9) +... + р" f а (9) +...(11.49)
at
Это уравнение определяет значение 9 как функцию от 1.
Ограничиваясь членами порядка а в правой части уравнения (11.49), разделяя переменные и интегрируя, будем иметь
2л
= гde
J ^ + 1V1 (6) + • • • + на/а (®)
Это выражение определяет период колебаний системы.
В § 55 мы определили значение р0, при котором и менее которого система (11.4) имеет периодические решения. Дополнительным условием существования решения в форме (11.44) является ограничение, которое мы наложим на правую часть второго уравнения системы (11.5). Это ограничение при X > 0 имеет вид
Н^1(г,б)+р2Р2(г,б) + ...>0(11.50)
для значений г, определяемых равенством (11.44), если в последнее поставить значения Vx, ..., Vm.
Неравенство (11.50) налагает еще одно ограничение на параметр р.
Может оказаться, что наибольшее значение р, удовлетворяющее неравенству (11.50), менее р0, которое определено в § 55. При этом условии, несмотря на существование периодического решения для значения параметра, равного р0, аналитическое выражение этого решения может отличаться от выражения (11.44). В этом случае найдется такое значение параметра р*, при котором аналитическое выражение периодического решения изменяется, и оно может принять структуру, отличную от (11.44).
Этот случай имеет место, например, в уравнении Ван-дер-Поля.
Если мы будем рассматривать предельный цикл, соответствующий одному из периодических решений, то неравенство (11.50) имеет простое геометрическое представление.
Очевидно, что при условии (11.50) радиус-вектор, выходящий из начала координат, пересекает предельный цикл только в одной точке и нигде не касается его.
Если же неравенство (11.50) при некоторых значениях гиб обращается в нуль, а затем меняется на обратное, то радиус-вектор касается предельного цикла и будет пересекать его в одной или нескольких точках.
Очевидно, что вышеизложенный анализ к такого рода задачам неприменим.
Рассмотрим подробнее случай простых корней амплитудного уравнения, соответствующего уравнению (11.43). Полагая
(11.51)(11.51)г = V + р (Vи/1 > + ... + V"" и^)
(11.51)
(11.51)
и определяя функции и^^ согласно формулам (11.30) и (11.31), получим
(11.52)(11.52)
(11.52)
(11.52)
Рассмотрим один из положительных корней уравнения
(11.53)(11.53)L (V) = ^d) V +gx<2) V2 +... +£fx^> Vm* = 0
(11.53)
(11.53)
Пусть этот корень равен V 3.
Если уравнение (11.53) имеет другие положительные корни, то ближайший корень, меньший V 3, обозначим через V 3_3, а больший — через V 3+v Будем предполагать, что в интервале (Ух+ь Vy-x) уравнение (11.53) не имеет других корней, кроме корня V3. 188
Представим уравнение (11.52) в виде
" MV- Ъ) А (Ю + р8 Р2 (V, 9, р)
Уравнение предельного цикла, отвечающего корню V;, с точностью до членов первого порядка малости в отношении р имеет вид
Г = Vj + р (V, и^1 > +... 4- Vjm« и^)(11.54)
Если параметр р удовлетворяет условиям существования периодических решений, то члены более высокого порядка, стоящие в правой части уравнения (11.52), не изменяют качественной картины поведения интегральных кривых и не нарушают существования предельного цикла.
До сих пор мы рассматривали величину V как функцию Ляпунова, но эту величину можно рассматривать как новую переменную, вводимую вместо переменной г. Рассматривая уравнение (11.51) с этой точки зрения, мы можем отыскать новую переменную в виде многочлена, расположенного по возрастающим степеням параметра р, и получить второй способ построения предельных циклов.
Построим этот многочлен в предположении, что исследуемый корень уравнения (11.53) является простым, вследствие чего ему будет отвечать единственное периодическое решение.
Положим
V = V0 + pV1 + p2V2 + ... + p«Va(11.55)
где Уо, 1/ь ... — искомые функции 6.
Подставляя этот многочлен в (11.52) и приравнивая члены с одинаковыми степенями р, будем иметь
Уо‘ = О
Vf-Wo)
Ve' = V1+ V0PaW (9) + v02 р2(2) (0) +... + v^ р2(п.) (0)
V^ = Vk_x ^^+Fk(y0,V1,...,Vk_2,9)
uVq
Из первого уравнения имеем У0=С0. Подставляя значение Уо во второе уравнение, из условия периодичности функции Vt (9) приходим к заключению, что Со должно являться корнем уравнения (11.53), а V1=C1. Подставляя значения Со и Сх в третье уравнение и приравнивая нулю интеграл от правой части, взятый в пределах от 0 до 2л, определим постоянную Сх. Функция V2 определяется с точностью до произвольной постоянной С2, которая будет являться просто приданной. Подставляя значение V2 в четвертое уравнение, мы определим константу С2 и функцию V3 и т. д.
Таким путем мы однозначно определим все функции Vo, Vv .., а следовательно, и многочлен (11.55). Подставляя значение V из (11.55) в равенство (11.51), мы найдем уравнение предельного цикла, соответствующего одному из корней уравнения (11.53), с точностью до сколь угодно высокого порядка в отношении р.
Легко убедиться, что результат подстановки этого многочлена в (11.48) и непосредственное вычисление функции Ляпунова по уравнению
t = V + Jj pft(Vu6(1>-b..+l/'W'1,t))(11.56)
при соответствующем выборе С^ дают один и тот же результат.
Системы (л+2)-го порядка. Изложенный способ построения периодических решений применим также к системам (л + 2)-го порядка
5 = — Ху + рХДх, y^A-^X^x, t/) + ... + pX(x, t/, 2S, р) at
^- = Хх+цУ1(х, у)+р.2У2 (х, у) + „. + р.У (х, у, zs, р.)(11.57)
dzs
-77 = 2j Psi Zi + pZsX (х, у) + p2 Zs2 (x,yH- + uZs (x, y, zs, p) dt i=l
■ (s = 1,..., n)
где X, Y, Zs — голоморфные функции своих переменных в области исследования периодических решений и малого параметра р. Постоянные pst таковы, что уравнение
IPs"6sixl =0
не имеет корней х = ±Хт]/—1, соответствующих целым действительным числам т, включая нуль.
Для вычисления периодических решений системы (11.57) вводим замену х = г cos 6, у = г sin 9, zs = г ys. Из полученной системы исключаем dt.
В результате получим новую систему следующего вида:
^ = Р №< * > (6) + - - - + rm‘ R^ > (0)] + р2 [г/?2(1 > (0) + ■ ■ ■ +
+ rm« R^ (9)] + ... + pZ? (г, ys, 9, р)
dys 1(11.58)
2 PsiPi + Mrr1<i)(9)+... + r«.r/«1)№V '
+ p2 [гГ2<') (9) + ... + r-^ y2M (9)] + ... + prs (r, ys 9, p)
Отыскиваем периодические решения этой системы в виде
г = г0 + рг1 + р2г2+... + рага, Z/s = pz/si + p2J/s2+... + Ha Psa (11.59)
Подставляя значение г и ys в (11.58) и отождествляя коэффициенты при одинаковых степенях р, получим
==r0Z?1(D + ... + r0'”. R1^
= >1 (Rt<1) + 2r0 R^2>+... + mi r0—i R^mt)) + F2 (г0, ул, 9)
dysi 1
V 2 P^ tin + Го r/1) + ... + r0«. Y^ daAZ=1
^Узг1-^i
— = v Psi tin + Fs^ra, rlt ул, 9)
UDЛi= 1
Из условия периодичности функции rt будем иметь
2л
$ (г0 R/1 > + ... + rom- Rr^) dQ = 9(11.61)
о
Предположим вначале, что это уравнение имеет несколько простых корней roh. Подставляя одно из этих значений в уравнения, определяющие неизвестные гг и уа1, мы определим функцию гг с точностью до приданной константы Cv Определение периодических функций уп сводится к отысканию периодических решений уравнений
^ = М,1 + ^(9)(11.62}
где fsl(9) представляется полиномом от различных степеней sin 6 и cos 9, а 6М — линейной формой от переменных ysl.
Эти решения имеют вид
.2Л+6
/s6 Г
^i=-^— e-Mfsl(9)d0(11.63}
е s — 1 J о
Подставляя эти значения в уравнения, определяющие функции г2, у32> мы из условия периодичности функции г2 определяем константу Съ а затем и функцию г2, которая также определится с точностью до проста приданной константы С2.
Определение функций уаг сводится к отысканию периодических решений уравнений, аналогичных (11.62).
Таким приемом мы определим все функции, входящие в многочлены (11.59), а следовательно, и периодическое решение системы (11.57), отвечающее одному из простых корней уравнения (11.61) с точностью до сколь угодно высокого порядка в отношении р.
Системы, не обращающиеся в линейные при р = 0. До сих пор мы рассматривали такие системы, которые при р=0 обращались в линейные. Рассмотрим теперь более сложные системы, не обращающиеся в линейные при р = 0.
Исследуем вначале колебания системы с одной степенью свободы, описываемые уравнением
Х" + Х2 х2"-1 = рг ^ (х, х1, pj(^>0)(11.64}
Это уравнение эквивалентно системе
^-~N,~-^2п~х + ^^У^(11-65}
где
fl (X, у, Pl) = ^ (х, у, Хр) = Yt (х, у) + рУ2 (х, у) + ...
При р = 0 эта система имеет семейство периодических решений, зависящих от одной произвольной постоянной
х =с Cs 9, у = сп Sn 9, 9 = с”-1 XI
где Cs9 и Sn9— ляпуновские^ функции I1]/ обладающие свойством
Cs2n9 + Sn2 9= 1,= _Sn 9
d0
=Cs2«-19, Cs 0 = 1, Sn0 = 0 d0
Эти функции при п = 1 обращаются в обычные sin 9 и cos 9.
При п = 2 и п = 3 они выражаются через эллиптические функции.
При п > 3 они являются функциями дифференциальных биномов.
На фазовой плоскости интегральные кривые системы (11.65) при р = О определят центр, который запишется уравнением
х2п + пу2 = с2
Исследование системы (11.65) можно было бы вести при помощи функций Cs 0 и Sn 6, но оперировать ими [весьма сложно. Поэтому мы ограничимся обычными синусами и косинусами. Положим
x = rcos6, у = rn sin 0(11.66)
Система уравнений (11.65) преобразуется к виду
rn-x (cos2 0 +п sin2 9) — = Xr2n-X (cos2"-1 0 sin 9 — dt
— sin6cos9) + pf(rcos0,rnsin0,p)sin6^ ^
r" (cos2 9 + n sin2 0) — = Xr2n-1 (cos2" 9 + n sin2 9) +
dt
+ yt kr cos 6, rn sin 9, p) cos 0
На функцию /(x, у, p) мы должны наложить условие, чтобы она не обращалась в нуль ни при одном значении х, у, кроме х=у = 0. Вследствие этого правые части системы (11.67) должны обращаться в нуль только при г = 0.
По этой причине функция f (г cos 0, r"sin0, р) не должна содержать переменную г в степени ниже 2п— 1. Это требование эквивалентно тому, что разложение функции /(х, у, р) по степеням х, у не содержит переменную х в степени ниже 2и — 1, переменную у в первой степени и произведение ухк для к < п — 1.
Исключая dt из системы (11.67), будем иметь
где/?о(0)где/?о(0)= rR0 (0) + и [г/?? » + ... + ^ /?!<«*>] +... (И .68)
где
/?о(0)
где
/?о(0)
cos2”—1 9 sin 0 — sin 0 cos 0cos2n 0 + n sin2 0
a Рд$)(9) представляются дробями, числителями которых будут являть- ■ся многочлены от различных степеней sin 9 и cos 0, а знаменателями — различные степени выражения cos2" 9 + и sin2 9.
Полагая в (11.68)
г = рехрг = рехре^Rod9.ое^Rod9.о(11.69)(11.69)
г = рехр
г = рехр
е
^Rod9
.о
е
^Rod9
.о
(11.69)
(11.69)
2л
л учитывая, что J R^Q = 0, получим о
(11.70)(11.70)^ = р [рР^ * > + ... + р^ Р^ )] + ...
(11.70)
(11.70)
где P*s> — непрерывные периодические функции с общим периодом 2л. Дальнейшее исследование этого уравнения проводится согласно § 57. К такому же уравнению приводятся исследования колебаний систем, ■описываемых уравнениями более общего вида.
192
Исследуем колебания системы, описываемой уравнением
X" + X2 х2п-1 + ^ х* хт = рх fx (х, х*, pi)(X > о^
или эквивалентной ей системы
(11.71)(11.71)^1 = _\у,^. = Хх2»-1 — byxm + pf (х, у, р)
(11.71)
(11.71)
где р. > 0.
Эта система при т = п — 1 и 62 — 4пХ2 < 0 может иметь семейство периодических решений, зависящих от одной произвольной постоянной.
Производя замену (11.66), получим уравнение, аналогичное (11.68), в котором
Ro =Ro =Xcos2” *9 sin 9—X cos 0 sin 9—6 cos” 1 9 sin2 9Xcos2” *9 sin 9—X cos 0 sin 9—6 cos” 1 9 sin2 9X nX nsin 9 ——r cos” 92nXsin 9 ——r cos” 92nX2„•+ 62 cos2” 92„•+ 62 cos2” 9(11.72)(11.72)
Ro =
Ro =
Xcos2” *9 sin 9—X cos 0 sin 9—6 cos” 1 9 sin2 9
Xcos2” *9 sin 9—X cos 0 sin 9—6 cos” 1 9 sin2 9
X n
X n
sin 9 ——r cos” 92nX
sin 9 ——r cos” 92nX
2„•
+ 62 cos2” 9
2„•
+ 62 cos2” 9
(11.72)
(11.72)
где 62 = 1 — b2/4nk2. Будем предполагать, что 6 ^= 0.
2я
Если J R^dd =^ 0, то система (11.71) при р = 0 не имеет периодиче- о।
ских решений. Если же этот интеграл равен нулю, то она при р = 0 имеет семейство периодических решений.
Если теперь в полученном уравнении заменить г на р согласно равенству (11.69), в котором значение Ro определено уравнением (11.72), то вычисление периодических решений будет аналогично изложенному выше.
Предположим теперь, что колебания системы описываются уравнениями
—тг — —^У +^о (я, У) + H^i (я, у) + ...
=Хх + У0(х, у) + рЛ(х, у) + ... аг
где Х0(х, у) и У0(х, у) не содержат линейных членов.
Предположим, что эта система при р = 0 имеет семейство периодических решений, зависящих от одной произвольной постоянной. Наиболее общий признак существования такого рода решений заключается в том, что система (11.73) при р = 0 допускает существование знакоопределенного голоморфного интеграла. Этот интеграл имеет вид
xa + ya4-F(x,y) = ca.(11.74)
Такой интеграл всегда будет существовать, если система (11.73) при р = 0 является канонической, т. е. Хо = —дШду, Y0 = dH!dx\ а функция х/2 (x2 + t/2) + Н — знакоопределенной.
В дальнейшем будем исследовать только такие системы (11.73), у которых интеграл (11.74) сохраняет знакоопределенность во всей области исследования периодических решений и представляет при различных значениях с замкнутые кривые. Кроме того, будем предполагать, что луч, выходящий из начала координат, пересекает любую из этих замкнутых кривых только в одной точке и не касается их ии в одной точке. Эти свойства знакоопределенных интегралов типа (11.74) при значениях с, достаточно малых, всегда выполняются. При больших значениях с не все интегралы, представленные выражением (11.74), могут обладать указанными свойствами, если при малых значениях с они ими обладали.
13 Г. В. Каменков, т. II193
Полагая в уравнении (11.74) х = г cos 6, у = rsin 9, получим
г2 4- F (г cos 6, г sin 0) = с2(11.75)
При наших ограничениях, накладываемых на интеграл (11.74), уравнение (11.75) определит два решения для г при заданных значениях с и 6. Эти решения представятся рядами
г=±с + «2с2 ±«3с3 +...(11.76)
Мы можем взять любое из этих решений, так как заменой 9 на л + 6 одно из этих решений переходит в другое {43].
Будем также предполагать, что аналитическое выражение корня уравнения (11.75), представляемое рядами (11.76), сохраняется для значений г > rm, где rm — наибольшее значение радиуса-вектора, принадлежащего исследуемому предельному циклу.
Преобразуем теперь систему уравнений, приняв за новые переменные полярный угол 9 и величину р, где
p2 = r2 + P(rcos9,rsin 9)(11.77)
Очевидно, что эти переменные будут удовлетворять уравнениям
2р^.= (2х + -^)№ + р2Х2 + ...) + [2у + dt \ дх /\ ду )
(11.78)
ra= V2+ хуо_ухо + х (рУх + р2 У2 + ...)-^ (рХх 4V^
at
Мы можем утверждать, что выражение Х(х2 + у^) + хУ0 — уХ0 не обращается в нуль ни в одной точке, кроме начала координат, и представляет собой определенно-положительную функцию во всей области исследования периодических решений.
В противном случае луч, выходящий из начала координат, является касательной к одной из замкнутых кривых, представляемых уравнением (11.74).
Полагая в уравнениях (11.78) х = г cos 9, у = rsin 9 и заменяя г на р согласно (11.77) получим
^- = pP1*(p,9) + p2P2*(p,0)+...
at
= х + Qo (р, 6) + р& (р, 9) + Р2 Qt(р, 9) +...(11.79)
at
где Q0(p, 6) — определенно-положительная функция р для любых значений, принадлежащих области исследования периодических решений и для любых вещественных значений 9.
Исключая из (11.79) dt, мы получим уравнение
=рР1(р,0) + р2Р2(р,О) + ...
В этом уравнении функции Рь Р2, ... можно представить бесконечными рядами, расположенными по целым положительным степеням р с периодическими коэффициентами, период которых равен 2л.
Функцию Ляпунова для этого уравнения нужно определять из уравнения
p = v+p 2 v*M6)
6=1
Дальнейшие исследования аналогичны вышеизложенному.
Очевидно, что этот метод построения периодических решений системы 2-го порядка обобщается на системы (л + 2)-го порядка, если определяющее уравнение присоединенной системы не имеет корней вида ± тХ V — 1 для всех целых положительных чисел т, включая и нуль.
Этот метод легко распространяется на системы уравнений вида
А = -у + Х0 (х, у) + 1^ (*, У) + -.= Yo (х, у) +рУ1(х, у) +...
atat
(11.80) если только эта система при р = О допускает существование знакоопределенного голоморфного интеграла, обладающего свойствами интеграла (11.74), или когда Хо = —дШду, Y0—-dHldx при условии, что Vs^^" + Н(х, у) является определенно-положительной функцией.
В отличие от задачи, представленной системой уравнений (11.73), система уравнений (11.80) такова, что при наличии периодических решений в случае р = О она может не иметь голоморфного интеграла, не зависящего от t. Нетрудно убедиться, что если иам известно периодическое решение системы (11.80) при р = 0, то периодические решения, соответствующие этой системе при р ^= 0, отыскиваются таким же путем, как и для системы (11.73).
Становление периодических колебаний. Исследуем теперь процесс становления периодических колебаний. Определим с точностью до р6 непериодическое решение системы уравнений (11.4), которое переходит в периодическое.
С этой целью отбросим в первом уравнении системы (11.5) члены выше Л-го порядка в отношении ц. В результате соответствующих преобразований получим систему уравнений
~(У) + р2+... + ^Lh^
do
-^ = ^ + Р^* (У, 6) + р2 F* (У, 0) +...(И.81)
at
Исследуем становление периодического колебания, определяющегося корнем Vj. Предположим, что соответствующее периодическое решение устойчиво.
Предположим далее, что при /= ^ V = Уоу, где Vj-t < Уоу< Уj+1. При этих начальных значениях первое уравнение (11.81) определит спираль, асимптотически приближающуюся- к периодическому решению, соответствующему корню V j. Подставив данное значение У(0) во второе уравнение системы (11.81), мы получим выражение 6 = 0(/). Подставляя найденное значение V в уравнение для г, а затем значения г и 9 в уравнения х = = г cos 0, у = г sin 0, мы получим непериодическое решение, стремящееся к периодическому, которое соответствует корню V = У;.
Если же предельный цикл неустойчив, но имеется условная устойчивость для возмущений У< У; или У> У;, то в первом случае при интегрировании первого уравнения системы (11.81) мы должны взять значения У / > Уо/ > У/-ь а во втором случае У;+1 > Уо/ > У;.
§61. Пример. Для пояснения вышеизложенного рассмотрим следующую систему
^ = — У + УУ(х2 + у2—а^ (х2 + у2—а2)т« ...(х2 + у2—
—ап)тп Л+ р2х(х2 + у2—Ь^В(11.82)
%- = х + ру (х2 + у2—а^ (х2 + у2—а^ ... (х2 + у2— at
—а^п Л + р2 у (х2 + У2—5)" В
В полярных координатах х = rcos О, у = г sin 9 будем иметь
А- = р/- (г2—а^ (г2—а^- ...(r2—an)mnA + ii2r(r2—b)nB(11.83)
de = 1
dt ~
Очевидно, что радиусы предельных циклов в системе (11.82) определятся из уравнения
г (г2 — ахУ^ (г2—а2)т*...(г2—а^п А + рг (г2—Ь)" В = 0(11.84)
Пусть 0<ап <ап-т< ... <tii, тогда в случае В = 0 предельными циклами системы (11.82) будут являться окружности г = О, г2 = аг, г2 = а2, •■• ..., г2 = ап. Эти предельные циклы будут существовать независимо от значений чисел т.хтп для любых значений р, как для достаточно малых значений у,, так и для сколь угодно больших.
При Шх нечетном предельный цикл г2 = аг будет устойчив, если А < О и неустойчив при Л > 0. В случае четного тг этот цикл будет неустойчив независимо от знака числа А. Если Л < 0, то он будет условно устойчив, т. е. для возмущений, соответствующих г2 > аг, он устойчив, а для г2 < аг неустойчив. В случае Л > 0 он будет устойчив для возмущений, соответствующих г2 < Ох. Предельный цикл г2 = сц при Шх и тй нечетных и Л < 0 будет неустойчив, а при Л > 0 устойчив. Устойчивость следующих предельных циклов определяется аналогичным образом.
Рассмотрим случай В Ф 0. Если А!В < 0, то каждому числу mh будет соответствовать предельный цикл, радиус которого стремится к ]/aft при р-> 0. Если тк четное, то система (11.82) будет иметь два предельных цикла, соответствующих mh, радиусы которых будут стремиться к ]/йа при р—>0. Если Л/В>0, то предельные циклы, соответствующие нечетным тк, сохранятся, а циклов, соответствующих четным т^, система (11.82) иметь не будет.
Пусть т-х = 1, тг = т3 = ... = тп = 0, п = 2, AIB = —1. Тогда из (11.84) получим '
—(г2 — aj + ptr2— b)2 = 0(11.85)
Уравнение (11.85) имеет корни
га = ^Н"1 Г) . / 1 _ 2р (at + pfe2)\1л 1
2р [\(2pb4-l)2/]
При р -► 0 один из корней стремится к ах, а другой неограниченно возрастает как 1/р.
Пусть теперь тг = п = 1, т2 = т3 — ... = mn = 0, А/В—1, ai < 0,
b = 0, тогда
Г2 =”“*..(11.87)
— 1 +р
Очевидно, что при р < 1, в том числе и при р = 0, предельный цикл не существует. Он появляется только для р > 1.
Г Л AB A XII
НЕЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ НЕАВТОНОМНЫХ СИСТЕМ
§ 62. Предварительные замечания. В данной главе мы продолжим исследование колебательных процессов. Рассмотрим теперь колебания, описываемые неавтономной системой, т. е. системой дифференциальных уравнений вида
у/ У
-^7=—Kys +^s (*i. - > хп; уъ- .Ути t, р)-Ш<, р) at
= Xs xs + рУ8 (xn ..., xn; yx,..., yn, Mp) + ts (t, p)<12,1)
at
(s = 1,..., n)
где p—малый параметр, а Х8(хг, ..., xn; уг, ..., yn; t, p), f8(t, p), Ys(xv ...,xn\yv... yn; t, p), ф8(7, p) представляются рядами в отношении параметра р. Коэффициентами рядов, представляющих функции Х8 и Ys, при различных степенях р являются многочлены от х и у сколь угодно высокой степени, при этом коэффициенты многочленов являются непрерывными периодическими функциями t. Коэффициенты рядов, представляющих функции /, и фв, при различных степенях р являются также непрерывными периодическими функциями t.
Система (12.1) может определять при различных условиях как периодические, так и непериодические колебания. Поэтому й общем случае мы будем исследовать ограниченные колебания, понимая под таковыми колебания, у которых координаты х8 и у8 при t-> оо не стремятся ни к нулю, ни к бесконечности и ни к какому определенному числу. Такие колебания в дальнейшем называются стационарными.
§ 63. Стационарные решения по первому приближению. Рассмотрим следующую систему уравнений
= — xs Уз + Л (*1XnVyx.y.;, уп; 0 + рХз8(хь ... at
•■■ > xnJ#i>!---> УпЛ) + ■•• + fso!(O + Hfsi W+ p2fsa М + •••(12 2)
^ = Хз xs + ^8i (*iхп; ухуп\ f) 4- Р2У32(^1хп; Ух,...
••• Уп,^-¥ ••• + Фзо (О + РФз1 (0 + р2ф«2(0 + -"(s=i ..... п)
где Xsl, Xs2, .... У si, Уз2, ••• — многочлены сколь угодно высоких степеней с непрерывными периодическими относительно t коэффициентами общего
периода, который будем считать равным 2л; /s0, /sl, ..., ф80, ф81, ... —непрерывные периодические функции с тем же периодом 2л. Число р является малым параметром.
Будем предполагать, что правые части системы (12.2) представляются сходящимися рядами для достаточно малых р и для любых значений х8 и у8, принадлежащих области исследования.
Положительные числа Х8 удовлетворяют соотношению
2 Кms=^E(12.3)
s=l
где т8 и Е — целые положительные и отрицательные числа, включая и 0; т8 удовлетворяют условию S | т81 ^ М. Число М определяется показателями наивысших форм, входящих в многочлены Х81 X8h, Y81, ...
.... Y8h._
Полагая z8 = xs + iy8, z8 = х8 — iy8, будем иметь
= iXsze + pZsl(z1, ..., zn; zlt..., zn, £) + ••• + FsQ (0 + ^si (0 + •••
иГ ------(12Л)
•^-= —t‘XsZs + pZsl (Zl ...ZnlZu ... , zn,£) + ... +/''so (0 + P ^sl (0+ •••
Любое из этих уравнений эквивалентно соответствующим двум уравнениям системы (12.2).
Решим вначале основной вопрос нашей задачи, т. е. определим необходимые и достаточные условия существования стационарных колебаний по членам первого порядка в отношении р.
Положим
Z8 = ^* + «80 (0 + Н«31 (О’ ZS = ^S* + «зо (0 + № (0
(s = lп)(12.5)
Функции uso(0, «з1(0, «зо(0> «з1(0 определим так, чтобы в преобразованной системе функции, играющие роль функций F80(f), Fsl(f), Fs0(f), ^si(0> обратились в нуль. Для этого достаточно, чтобы функции и80, и81 удовлетворяли уравнениям
" ^з Usl Н” ^sl (^Ю> •" > ^п0> ^10» •" » Wn0> 0 Н-^! (0(S = 1,..., Zl) (12.6)
Периодические решения этих уравнений определяются из равенств
««о =—— 1 Fз°We 8 dT t
t+2n
e^s* Г--
usi= •, VZ81 (u10uno, «10«no,T) +^31WJ e-1Xsx dx
Преобразованная система будет иметь вид
= iXs V + pQsi* (Ci*Cn*; Ci*Сп*,0 + - + ^2Ф82*(0 + at
^=-М*+^з1*(£Л..., Cn*; к*, ...,£n\0+...+№*(9+...(12>8) at
где Qsi* и Qsl* — многочлены, аналогичные многочленам ZS1 и Zsv Преобразуем эту систему, положив
Cs* = Cs + №(Ci*Cn*;Ci*С%,0
У = Cs + № (Ci*, • •., Cn*; Ci*Сп*, О
функции us, us подберем так, чтобы в преобразованной системе функции, играющие роль функций Qel* и Qsl*. не зависели от времени.
Пусть
Qsi* = SQ?iw(£A...,CnWV.O
Ар_
Q*iw = 2 2 QI ‘^p’a) yp-a Cs*a
p=0 a=0
формы Q* (^“,a) имеют (& — р)-й порядок и зависят от всех Са*, Са*, за исключением Сз* и Cs*.
■Функции us определим в виде выражений
ws= 2 и^ч^С; CiО)
А=1
«8 w (ci,..., С ciС 0=2 2 ^V' c*p-a cs*a
p=0a=0
Формы иЧл-р^ не содержат Сз* и Сз*. Переменные Сз и Сз удовлетворяют уравнениям
§ = i\ cs+р QS1 (ClCn; Cl, •, Cn, 0 + - +н2 Ф32 (0 +...
_(12.9)
# = - asCs+pQsi (CiC„; CiCn, 0 + + и2 Ф32 (0 + • ••
где QS1 определяются формулами
60sdt60sdtпп<-2(^'1»?в-®Л’&) +ал+й<-2(^'1»?в-®Л’&) +ал+йV = Qsx (12.10)V = Qsx (12.10)
60s
dt
60s
dt
п
п
<-2(^'1»?в-®Л’&) +ал+й
<-2(^'1»?в-®Л’&) +ал+й
V = Qsx (12.10)
V = Qsx (12.10)
Очевидно, что Qsi = 5 Qst (CiC„; Ci fen, 0- Потребуем,
A=1
чтобы в эти выражения не входило 1.
Определим, чему равняются Q$ji-pa). Для произвольного k получим
к р аМР-а. °) VI VI °~s±k—рк р аМР-а. °) VI VI °~s±k—рл * Р / я,.(Р-о, о)V 'V V I s^—Pл * Р / я,.(Р-о, о)V 'V V I s^—Pр=0 0=0р=0 0=0dtdtр=1 р=0 о=0р=1 р=0 о=0дСрдСрi^p Ср —i^p Ср —^р^р- \к РАрСр )с/-Ч“- У 5- \к РАрСр )с/-Ч“- У 5,(р-а, о),(р-а, о)* Р* Рр=0 о= ор=0 о= о6 рУ у «/Ч/-6 рУ у «/Ч/-р=оо=ор=оо=о6 р_2 2 Qs*(^p’a)csp-aCsa+ р=0 о=06 р_2 2 Qs*(^p’a)csp-aCsa+ р=0 о=0* рУ У 0!ГЙ"Ч,"-£.-* рУ У 0!ГЙ"Ч,"-£.-(12.11)(12.11)
к р аМР-а. °) VI VI °~s±k—р
к р аМР-а. °) VI VI °~s±k—р
л * Р / я,.(Р-о, о)V 'V V I s^—P
л * Р / я,.(Р-о, о)V 'V V I s^—P
р=0 0=0
р=0 0=0
dt
dt
р=1 р=0 о=0
р=1 р=0 о=0
дСр
дСр
i^p Ср —
i^p Ср —
^р
^р
- \к Р
АрСр )с/-Ч“- У 5
- \к Р
АрСр )с/-Ч“- У 5
,(р-а, о)
,(р-а, о)
* Р
* Р
р=0 о= о
р=0 о= о
6 р
У у «/Ч/-
6 р
У у «/Ч/-
р=оо=о
р=оо=о
6 р_
2 2 Qs*(^p’a)csp-aCsa+ р=0 о=0
6 р_
2 2 Qs*(^p’a)csp-aCsa+ р=0 о=0
* р
У У 0!ГЙ"Ч,"-£.-
* р
У У 0!ГЙ"Ч,"-£.-
(12.11)
(12.11)
р=0 0=0р=0 0=0р=о о=ор=о о=оПриравнивая иметьПриравнивая иметькоэффициенты при одинаковых степенях ^ ° Сз“, будемкоэффициенты при одинаковых степенях ^ ° Сз“, будем
р=0 0=0
р=0 0=0
р=о о=о
р=о о=о
Приравнивая иметь
Приравнивая иметь
коэффициенты при одинаковых степенях ^ ° Сз“, будем
коэффициенты при одинаковых степенях ^ ° Сз“, будем
dtdtР-1Р-1дСрдСрi^p Срi^p Срди(Р-о, о) и s, k—pди(Р-о, о) и s, k—p^р^р
dt
dt
Р-1
Р-1
дСр
дСр
i^p Ср
i^p Ср
ди(Р-о, о) и s, k—p
ди(Р-о, о) и s, k—p
^р
^р
-tk8 (р-2а-1) и^е' + 0Г№Ра> = Q^-p”1
Представим формы 14%-^, Q4k-p'a\ Qs%-pa\ порядок которых равен & — р = 6 в виде
Ю = S' U,^»„= ”»п> (О V' СЛ ^. ... Сп»»Q*№p' = 2' А,^ »„; 7. ^ (о£Л... СЛ Ci”... СЛQ№a) =2' В,^Ч- р,q^f)^ ^„^, ... ^п
(^i + • • •+^n+ ?i + • • •+?n = 6, 6 = 0, 1nt) где т — наивысшая из форм, входящих в многочлены Zs.
Знак ' указывает на то, что в данную форму не входят £в и £s. Подставляя эти значения в (12.11), будем иметь
-^^кХ6”: "Х’п) 5?*... Cnftn^ Vn-
-2' i \^i-qO к +... Wn-qnW us^^ q^q^ ^.„V" C/1...
... Cn^-iXs(P-2a-l)2'ti №*n; ^q^ ^*.... ^ЛС^... Cn^ +
+2' AV4*n= q*»„) C?>... Cn6» Cip-... C>n =
= 2' B8^4- qtq^V1... Cn*n Ci” - Сп’»
_ Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях ^А», ..., ^п6п. Cl”» •■•> Cn‘,n> получим
_dUs<Al1dt_dUs<Al1dt•*n:”’п»•*n:”’п»n
_dUs<Al1dt
_dUs<Al1dt
•*n:”’п»
•*n:”’п»
2 i(^y—<7?)^т"Ь LY=1
+ As(p—2a—1) «s<*>6n;»*»П>+Л8<6«кп-а‘»n> =
= BS<6«fen-qiqp)
Из последнего равенства следует, что соответствующим выбором функций Us61*п:Qn' (0 все числа jg<**--«п\ для которых
ky^=qy и р=#2а4-1, можно обратить в нуль, а для k4 = q4 и р = 2а-|-1 эти величины можно выбрать постоянными. Эти постоянные определяются равенствами
2я
В^»„> =-L J Л,<**кп.1‘ЧпЦ^сН О_
Следовательно, выражения Qsx(£i, ..., gn; ^£п,О, стоящие в (12.9),
будут содержать переменные gY, ^ только в одинаковых степенях 6Y = =q4, а выражения £, и £, в виде комбинации ?„(?,□“, так как к = 2а +1.
В результате будем иметь
^ = ^8 I,+^s 2 В^М (^ Гх?* (£2 ^.-С» № +н2 (...) +...
Полагая В^1к"'1 = о^‘*n> -f- ib^1fen\ g, = g3 + Йз, получим
^=-Мз+Н1,2аЛ^(^^...д^^
- д 2 ь,^ м (g^дт^... (gn2 + v/»] +ц2 (...) +...
^=>-з1з+н II.2ьл^ (^4-^.... (gn==+nn2)^ +
+ Пз 2 аз(*‘^ (li2+n??1 - (In2+vAl + и2(...)+
Вводя g3 = r3cos 9„ т], = rs sin 68, будем иметь
(12.12)(12.12)= Кз 2^V г^ ... г^п + р2(...) +... at
(12.12)
(12.12)
rs^=Vs + lv32^‘У Гх^..,Гп2*п+ц=(...) + ...
В том случае, когда правые части системы (12.12) обращаются в нуль при Хх = ... = хп — уг = ... — уп = 0, а Х8к и Ysh представляются формами 6-го порядка, приведение уравнений к виду, аналогичному (12.12), дано в работе автора [7]. .
Определим интегралы этой системы с точностью до первого порядка в отношении р.. Для этого приравняем нулю коэффициенты в правых частях первых п уравнений при р. в первой степени
Ls-r^a^*Д ^*...^„ = 0(12.13)
Предположим, что система алгебраических уравнений (12.13) имеет вещественные положительные решения относительно r2s0.
Тогда переменные ^8 и q8 запишутся в виде g3 = гз0 cos 6S,I]3 = r3osin63
Подставляя эти значения в выражения l3* = l3 + |to3(gx*. ...е„*,ёх*1„*Д)
и решая их в отношении g3* и t^3*, найдем
1з* = r8o COS 63 + р, Ps (r30 cos 9„ г,0 sin 03,0(12.14)
П3* = r30 sin 63 + p,G3 (r30 cos 03, гз0 sin 9„ t)'
где g3* и г|3*—действительные и мнимые части £,*.
20120114 Г. В. Каменков, т. II <
201
201
Из уравнений (12.14) и (12.5) будем иметь
^ = P3o(O + №i(O + r3ocos03 + pP3(rsoCosea,r3Osin9a,f)^2 J5
Уз = Узо (О + Msi (О +rs0 sin 03 + pGs (гз0 cos 9„ гз0 sin 0„ t)’
где psaW и PsiW — вещественные части функций uso(O и usl(f), а ^30(/) и q8i(t)— коэффициенты при мнимых частях.
Выражение 6, через t с точностью до членов первого порядка малости в отношении р. найдем из уравнения
^ = *, + н2^’ ^^...г^п
Решения (12.15) будут стационарными, но не периодическими.
Устойчивость стационарных решений. Исследуем теперь устойчивость этих колебаний. Полагая в (12.12) rs = гз0 + и„ будем иметь
^7 = Н(Рз1И1+--+Рзп«п) + н/:з(«1«п)+Р8 (••■) + •••(12.16)
at
(s = 1n) где
„ Pso Ls (^Ig2,Гno2)]
a f3(«i, .... «„) не содержит линейных членов в отношении игип.
Если окажется, что среди корней уравнения |р3ь — 6sftx [ = 0 имеется хотя бы один корень с положительной вещественной частью, то решения (12.15) будут неустойчивы. Если же все корни уравнения имеют отрицательные вещественные части, то они устойчивы, но неасимптотически.
В этом случае уравнения (12.12), если в правых частях отбросить члены со степенями ц выше первой, представят решения, которые при достаточно малом |л будут сколь угодно мало отличаться от решений полной системы (12.12) при изменении t в интервале ±оо.
Докажем это утверждение.
Пусть х1( ..., хп— корни уравнения \р8к — 63hx|=0. Предполо-. жим, что все х3 вещественны и различны. Тогда систему (12.16) можно представить в виде
+ P^si (zn... zn) + р2Z,2(Zl ..., z„, 9, t, p) at
(s = 1,..., n)
где гъ .... гп — линейные формы от игмп.
Возьмем функцию Ляпунова в виде п
Тогда
W' = ц2х8г8Ч|1 2 zsZeY + Р2 2 z,Zs2 3=13=13=1
Полагая z3 = р cos ф3, будем иметь
п
VW = Цр2 2 хз c°s2 Фз + HP3 Hl (cos фь ... , COS фп, р +
3=1
+ ц2р Н2(р, 6, t, СОЗф!, ... , COS ф„, (Л.)
Очевидно, что на сфере V = р = р1-е, где е сколь угодно малое положительное число, произведение VV* меньше нуля.
Отсюда следует, что все |us|<p1-e для любых / в интервале ± со, если только м(/0) удовлетворяли этому условию. ,
Аналогичные рассуждения можно провести для случая кратных и комплексных корней.
Может оказаться, что уравнения rsLs(ri2*’, .... Гт?к^ = 0 имеют только единственное решение гз0 = 0 (s = 1, .... /г). Тогда многочлены Ls (г?к1, • ••, /Л") сохраняют определений знак для любых значений гъ ... ..., гп. Это обстоятельство будет указывать на то, что система (12.12) не имеет ограниченных колебаний типа (12.15).
Стационарные решения по членам высших порядков. Если уравнение | psh — &зкх | = 0 имеет корни ‘с нулевыми вещественными частями, то, как было уже указано, вопрос о существовании стационарных колебаний членами первого порядка в отношении ц не решается. В этом случае систему (12.4) необходимо преобразовать по формулам
Zs = Сз* + «30 + И«з1 + И® «з2 + • • • + Н“ «за
_(12.17)
Zs = Сз* + «30 + Р-«31 + Р?ий + • •. + н“ Usa
разумея под и8к и ush непрерывные периодические функции, определяющиеся формулами, аналогичными (12.7). В уравнениях (12.8) в результате замены исчезнут все функции Фзй*(0 и Ф3ь*(0 до к ^ а.
Производя замену
е=£,+p«3i сл.... v, v,.... v, о+... +
+|ла«за(СЛ....£Л ЁЛ-ЛЛО(12.18)
и определяя функции изк при 1 ^ к ^ а, как это было указано в § 63, мы получим систему уравнений
= pr, [L31 (г/,..., гп2) + рЬз2 (гх2г^ +... + at
+ ^LSM..... rn2)] + pa+1 (..-) + .
(12.19)
^^з+Ц IQs!^2ГП2) + ^32(Г12Г„2) + ...+
at
Ч-Ц"-1^!2,.., Гп2)+|^+1 (-) + .
Стационарные колебания определяются решениями алгебраических уравнений
Ls = г3 (pL3i + p2L38 +... + ц” Lsa) = 0
Дальнейшее исследование этих решений ведется согласно § 64.
Решения гз0 (s=l, ..., п), найденные из уравнений L, = 0, будут отличаться от решений системы (12.19) на величину порядка малости ц1-8 для любых значений t в интервале ± оо. Доказательство этого утверждения аналогично доказательству, изложенному в § 64.
О стационарных решениях, не обращающихся в порождающие при р=0. Рассмотрим теперь систему (12.2), предполагая, что «?8к^ = =/3ft(/) = 0 для к = 1, 2, ..., а /з0(/) и фз0(/) не равны тождественно нулю.
Если Л3 не равны целым числам, то система (12.2) имеет только одно периодическое решение с периодом 2л, обращающееся в порождающее при р = 0. Это решение имеет вид
х,*(О = Хо(О + ^1(О + -,Ув*(0 = Уо(04-М-У1(0 + —(12.20)
14*203
Возникает вопрос, при каких условиях система (12.2) имеет другие стационарные ограниченные решения, а также решения, сколь угодно близкие к периодическим, почти период которых сколь угодно мало отличается от 2л, и не обращающиеся в порождающие при р, = 0.
Для решения этого вопроса составим уравнения возмущенного движения, приняв за невозмущенное движение периодическое решение (12.20).
Полагая х3 = x3*(f) + g3*, ys = y3*(t) + пЛ будем иметь
-^ = -М,*+Л*(Е1*V; ъ*V. 0+^32* (•••)+••• at
<l2-21>
= К V+Н V &*V; Til*Tin*, t)+И2 ^32* (...)+... at
Если в правых частях этих уравнений сохранить только члены первого порядка в отношении gs* и т]3*, то они представят уравнения в вариациях Пуанкаре, которые позволяют исследовать общее решение в окрестности, сколь угодно близкой к решению х3*(/) и y3*(t).
Если же начальные вариации £з0* и т)з0* считать произвольными, в том числе и сколь угодно большими, то пренебрегать членами выше первого порядка мы уже не имеем оснований._
Если окажется, что решение x3*(f) и y3*(t) неустойчиво согласно уравнениям в вариациях, то возникает вопрос, будут ли некоторые или все величины ^3*, г},* стремиться к бесконечности при /~>оо или все g3*, r|s* будут определять при t-*oo некоторые новые ограниченные (стационарные) колебания. Аналогичный вопрос возникает и в том случае, когда решения ^з*(0»1/з*(0 будут устойчивы для возмущений £з0* и т)з0* достаточно малых.
Для выяснения этих вопросов преобразуем систему (12.21) к виду (12.12).
Такое преобразование возможно, если функции Х31* и Ysl* удовлетворяют некоторым известным условиям (§ 63). Правые части преобразованной системы будут обращаться в нуль при rY = ... = rn = 0. В том случае, когда интересующие нас вопросы решаются членами первого приближения в отношении р, нам необходимо исследовать алгебраические уравнения
r3L3iw(r?Гп2) = 0(5=1л)(12.22)
. Если окажется, что эта система уравнений не имеет вещественных корней, кроме ri = .... = гл = 0, то, очевидно, система (12.2) не имеет стационарных колебаний, кроме тех, которые описываются периодическим решением (12.20). Если же система имеет вещественные корни г10, ..., гп0 и если при этом корни определяющего уравнения, соответствующего системе (12.6), имеют отрицательные вещественные части, то указанные стационарные решения существуют и они будут устойчивы.
Очевидно, к этим колебаниям будут стремиться возмущенные периодические колебания х,*(/) и у*^, если последним соответствуют специально подобранные, достаточно большие, начальные возмущения £*о и г]*о. Процесс перехода от периодического решения к стационарному с точностью до членов первого порядка в отношении р определяется из уравнений
^- = К, L31 ^r^ ^ = Х.+ pQ3i (г?г„2)
Если окажется, что система уравнений (12.22) допускает не одно, а несколько положительных решений г^г^о1 (& = 1о), то каждому
k-yry решению будут соответствовать свои стационарные колебания.
В тех случаях, когда вопрос об устойчивости стационарных колебаний членами первого порядка не решается, необходимо исследовать систему (12.19), ограничив правые части членами р“.
204
§ 67. Стационарные решения в резонансных случаях. Все вышеизложенное остается справедливым при условии, что числа Х8 не удовлетворяют соотношению (12.3).
Исследуем теперь случай, когда такие соотношения имеют место. Предположим, что для совокупности чисел къ ..., к^, qu .... <?п имеют место условия (§ 63)
^'(^v—^v)Xv + (p —2а —l)X3 = nv(12.23)
v=i
где п^ — целые числа.
Отметим^ что:каждому целому числу гц будет соответствовать число —nN. В том случае, когда среди чисел X3(s = l, ..., и) встречаются целые, условия (12.23): всегда имеют место.
Будем предполагать, что, несмотря на наличие целых значений Х3, система (12.2) При7зй(/) = фзл(0 = 0 (k = 1, 2, ...) имеет единственное периодическое решение с периодом 2л, стремящееся к порождающему при ц->0. В этом случае" ее можно преобразовать к виду (12.21). Дальнейшее преобразование этой системы к виду (12.19) сопряжено с некоторыми затруднениями, вызываемыми наличием условий (12.23).
Мы увидим, что система (12.21) при условиях (12.23) не всегда преобразуется к указанной форме. Полагая Сз* = ^з* + ^Пз*, Сз* = ^з* — йь*. будем иметь
^ = ^^* + ^3!*^*V, ЁЛ.... V, tH^Q»a + ... at
at*__(12-24)
-^-=—»х3ёз*+нРа*(ЁЛи*. Cl*£Л 0+i^+- at.
Правые части этой системы обращаются в нуль при Сз* = £з* = 0.
Заменяя Сз* и £3* по формулам
V = ^3 + ^з1 (ЕЛ.... ЕЛ 11*V, 0 + -.+
+ Ц“МЕЛ...,СЛЁЛ..,ЁЛ0
Ё/ = L+ ^(ЕЛ .... СЛ Ё1*ЁЛ 0 + - +
+ На«за(£Л...,£ЛЁЛ....ЁЛ0
и руководствуясь соображениями, изложенными в § 63, мь! для определения функций и8н, и8н получим систему уравнений вида (12.10).
Нам необходимо рассмотреть только те уравнения, у которых выражения, стоящие в квадратных скобках, равны целому числу п„.
Запишем эти уравнения в виде
(12.25) at
Здесь знак * заменяет индекс (кг, ..., кп; qu ..... qn). В уравнениях (12.25) функции Лз!**1 являются коэффициентами многочленов Qnl*. Пусть порядок наивысшей из форм, встречающейся в этих многочленах, равен Мг, тогда мы должны рассматривать только те целые значения гцИ которые определяются совокупностью значений (^, ..., кп; q^, .... q^, удовлетворяющих неравенству
2^3 + 2?з)<Л11\ s=! s=l /
Представим функции Л31* (/) рядами Фурье
Aslw^ = J A£VM
До сих пор мы не накладывали никаких ограничений на постоянные Asi*L Предположим теперь, что коэффициенты, отвечающие индексам к = /zV1, равны нулю.
Тогда система (12.25) будет иметь непрерывные периодические решения с периодом 2л при значении В31* = О
ОО /(*)
usl<*> = —i 2'+(12.26)
£=—ООV1
Здесь Н^ — произвольные постоянные. Знак ' указывает на то, что члены с индексами к = п^ отсутствуют.
Функции пз2(‘) определяются из уравнений
-+^= Ms2(*> + Лз2(*) (О +LS1W („,,*. t) = B,aw(12.27)
at
где Л$2(*)(0 — коэффициенты многочленов Q32*, a Вз2<*> (и31*, /) — известные коэффициенты, появляющиеся в выражениях при р2. Эти коэффициенты зависят от произвольных постоянных H^V
Представим выражения Лз2<*> + Ls4w рядами Фурье
Аз^ЧП + Ь^Ци^.Г)- f C$.ke£fet(12.28)
£=—ОО
Коэффициенты Cs2k зависят от произвольных постоянных ^"v,\ Определим эти произвольные постоянные из уравнений
(12.29)(12.29)с^.-о
(12.29)
(12.29)
Будем полагать, что уравнения (12.29) позволяют определить все Hs^nv^ .
Отметим, что в некоторых случаях определение постоянных HV^ не представляется возможным. Такие случаи имеют место, когда некоторые из уравнений (12.29) обращаются в тождества.
Определив постоянные HV^ из уравнений (12.29), мы можем найти функции ws2<*>, соответствующие всем числам п^, при значениях Вз2<*> = = 0, в виде
us4w = — i 2us4w = — i 2CWkS,CWkS,eifct + Hs^ eln^‘eifct + Hs^ eln^‘
us4w = — i 2
us4w = — i 2
CW
kS,
CW
kS,
eifct + Hs^ eln^‘
eifct + Hs^ eln^‘
Необходимо отметить, что в общем случае показатель Л12, определяющийся наивысшей из форм, входящих в выражения при р2, которое равно Q32(*) + ^-s2*> будет более Мр Поэтому мы должны учесть все целые числа, представляемые равенствами (12.23) при условии
/ пп \
1( 2 ^з + 2 Qs I ^ ^2
’ з=1s = 1/
Вследствие этого мы на коэффициенты форм Q32* будем накладывать условия, аналогичные (12.25) для всех чисел n^,. Тогда уравнения (12.27) определят все из2<*> при значениях Вз2<*> = 0 в виде непрерывных и периодических функций с периодом 2л. Аналогичным образом мы определим все функции и3^*\ Преобразованная система после разделения на действительные и мнимые части и замены g3 = r3 cos 63, т}3 = r3 sin 03 примет вид (12.19). Отметим, что в рассматриваемом случае правые части преобразованной системы будут обращаться в нуль при t\ = ... = гп = 0.
Определим стационарные колебания этой системы с точностью до членов р“. Для этого достаточно рассмотреть систему уравнений
^7 = ^^7 = ^6=1(12.30)
^7 = ^
^7 = ^
И* Qsh (ri2'Л
4=1
Стационарные колебания определятся из решения алгебраических уравнений
r,2^-1L3fe(ri2,...,rn2) = 0(12.31)
4=1
§ 68. Стационарные колебания автономных систем. Метод, развитый в данной главе, можно применить и для исследования стационарных колебаний автономных систем со многими степенями свободы. Будем предполагать, что правые части системы (12.2) не зависят явно от времени.
Полагая z8 = х8 + iy8, z8 = х8 — iy8, получим систему, аналогичную (12.8), с независящими от / правыми частями
^- = iX3z3 + pZ31(zlt ...,zn; zb ...,?„) + ...
dz ____(12.32)
-77- = — tMs + pZ3i(Zi, ...,zn; Zizn)+„.
at
Полагая
гв = ев + р«81(гь ...,zn; ^zn) + ...+ p°wsa(z1, ...,zn; zT, ..„z^
определим коэффициенты функций u8k в соответствии с приемом, изложенным в §63. Предполагая, что us4ti--.kn,.4i.--.Qn) не зависят от времени, мы получим систему уравнений-
= ixs £3 +^3з а81^+
at
WV^a1^^..(^Л+Р^^
Подставляя в эту систему
Сз = ^ + Й«> Ёз = £з—ЙЪ, A8kw = askw A-ib8hw получим
= -Мз+ Ц & £ «„<*> &2+ ПЛ^... (^ + 71п2Л- at
-Пз 2 b8Xw ^H^f... ^+пЛ6"! + - +
+ Ра [^з 2 «»«<*’ &2 + Л12)6*• • • (V + Пп2)6" -
-Пз 2 bsaw a?+П12Л- a„2+V)*"l + р“+1 (...) + -
^ = ХЛ + Р Ms 2 a81W (^ + П12)*’. Лп2 + VA +
+ ^з 2&2+ni2)ft‘... (L2+Пп2)йп1 +... +
+ Р° [1%2 а^** &2 + Л1г/*... (^2+ Пп2Л +
+^з 2 ь8а аг+тц2Л... (V+nn2/N +Ра+1 (...)+...
Полагая 5, = г, cos 9„ л» = r3 sin 9S, будем иметь
+ Ра ra 2 aj^r^^.-.r^^ + p^ (...) + ...,
(1233>
Г8 = К Г8 + цг, 2 W‘-гЛ +... +
+ Р° Г8 5 6sa(*> Г,*- ...Гп26п+|Ла+1 (...) + ...
Стационарные решения исходной автономной системы с точностью до членов р° определяются из уравнений (12.33).'
К виду (12.33) приводится любая автономная система, если между числами Xi, ..., Хп не существует соотношений (12.3). Если такие соотношения существуют, то при известных условиях, которым должны удовлетворять выражения Х8^ и Y 8н, исходную систему можно преобразовать к виду (12.33), в том числе когда Х8 являются целыми числами.
§ 69. О методе функций Ляпунова в теории нелинейных колебаний1. В заключение отметим, что метод построения периодических решений с помощью функций Ляпунова, изложенный в главах XI и XII, представляет некоторое обобщение классических методов Пуанкаре и Крылова—Боголюбова I17]. Этот метод позволяет отыскивать периодические решения как аналитические, так и неаналитические в отношении р. Если исследуемая система такова, что вопрос о существовании периодических колебаний решается членами первого порядка в отношении р в правых частях системы, т. е. амплитудное уравнение Li(K) = 0 не имеет кратных корней и не обращается в тождество, то периодические решения будут аналитическими в отношении ри результаты, полученные этим методом, в качественном отношении совпадают с результатами классических методов. В этом случае вопрос о существовании периодических колебаний решается членами первого порядка в отношении р в правых частях системы уравнений.
При наличии кратных корней уравнения L^V) = 0 или в случае Li( V) в 0 метод функций Ляпунова дает возможность получить необходимые и достаточные условия существования периодических решений, неаналитических в отношении р, по членам высших порядков правых частей системы уравнений и построить эти решения.
Этот метод позволяет также отыскивать периодические решения и в тех случаях, когда система уравнений при р = 0 не обращается в линейную.
Вопрос об устойчивости периодических колебаний решается методом без привлечения уравнений в вариациях.
Метод функций Ляпунова для систем с п степенями свободы при отсутствии внутреннего резонанса (2 т3Х8 ^ 0) и при условии, что уравнение | p3k — 6saxI = 0 не имеет корней с нулевыми вещественными частями, дает результаты, в качественном отношении также совпадающие с результатами метода Крылова—Боголюбова.
Метод функций Ляпунова позволяет отыскивать стационарные одночастотные и многочастотные колебания и при наличии такого рода корней а также решать вопрос об их устойчивости. Решения в этом случае будут неаналитическими в отношении р.
Этот метод применим и в тех случаях, когда имеется внутренний резонанс, т. е. когда 2 т3Х3 = Е.
Такого рода системы рассматривались в § 67 при весьма существенных ограничениях. Мы предполагали, что в правых частях отсутствуют резонансные члены. При таких же ограничениях рассмотрена эта задача в работе I18]. Это предположение достаточно, но оно не является необходимым для определения стационарных и периодических колебаний.
Покажем, как с помощью функций Ляпунова доказывается существование стационарных колебаний, в том числе и периодических, в случае, когда S т^8 = Е, а правые части системы содержат резонирующие члены.
Предположим, что Хт = Х2 = ... = Xft = X, а система уравнений имеет вид
—L = —Xt^-)" P-Xu (хъ .... хй, уг, ..., yh, f) 4"Р2 Х14 +... at
77 = Xxt + рУп (*iхк\ уYуй, 0 + р2 У12 +...
*(12>34)
Xl/3 4-Os_i Xs—i + p^sl> (Х1хк\ Уъ •••> Ук. 0+Р^згУ-..
77 = Xxs + os_ 1 ys_x + р. У,1 (Xi,..., Xft, Угyk,t) + P2 V81 +...
at
(s=l, 2й)
He уменьшая общности задачи, можно положить Oj =о2 = ... ой-1 = X. Произведем замену
X] = ^ cos Xt + тц sin Xt,уг — Si sin Xt — r^ cos Xt
x3 = Sscos Xf 4-T)ssin Xt+ Ss-i cosXf4-ris_i sin Xi(12.35)
Уs = S3sinX/—T]scosX/ + Ss_, sin Xt—r]3_i cos Xt
В результате будем иметь
77 = рЗц^1к; П1,.... Лк, О +... at
^- = рЯ11^^;Пъ-Лм <) + •..(12.36)
^ = Х^_х + рВ81(^, ..., ^к; щ, .... Лк, 0+ ... at
~=1 + Р^31 (61, ..., 6k! Ли Лк’ 0 + *”
at
Функции Ssft и Hsh для X целого будут периодическими функциями t периода 2л; для X иррационального они будут почти периодическими.
Заменим переменные £3 и т]3 на г3 и р, согласно равенствам
6s = g+p«3(6iU; Л1Лк. 0 л8 = р,+^у3(616Й; Л1лй.О
(12.37) где и8 и и8 — многочлены, коэффициенты которых подлежат определению.
209
Эти коэффициенты можно определить так, что преобразованная система Примет вид
~~ = Н^И (г 1, ■••• rk‘i Р1» •••> Pft) +и2 ^12 (г1> •••, г к> Р1» Ph, 0+ ••• at
^ = pPu(r1,.... rft; PiPh) + P2Pi2(riГ^ рхpft,0+-. at
^- = ^rs-v+^R8i(r1rh; Pl, ...,pft)+(12.38)
-t-P^Oi, .... rh; piPh,0 + -
^- = Xps-1+pP31(r1, ...,rk; P1pft) + at
kP^kirh; pipft,/) + ...
Рассмотрим уравнения
^n (riorho> Pio, •■•, Pho) = 0, ^n (rio> •••> rho, Pio, Pho) ~ 0
^s—1,о + р^31(Г1о, •■•, гм> Pio, •••> PhoX=O(12.39)
Xps-i,o4-pPsi(rio, -,гм; PioPho) = O
Из последних 2(6 — 1) уравнений определим r30, р3о, (s = 1, ..., 6 — 1) через гй0, Pho- Подставляя найденные значения в первые два уравнения, получим
Rn* <ГК0, Pho, Р) = 0, Рц* (Гм, Ри, р) = 0
Если эти уравнения имеют вещественные корни, то, подставляя их в (12.37), определим |з0(/) и т)з0(0- Подставляя значения £зО(0 и Л so(O в (12.35), получим решение для хз0(0 и z/so(O-
Если X целое число, то £з0(/) и г)з0(0, а также хз0(/) и ys0(f) будут периодическими функциями с периодом 2л.
Периодические решения для хз0(0, Узо(О можно получить и в случае X = а/p (а и р — целые числа). Для этого в системе (12.34) положим t = рт. В результате получим новую систему, аналогичную (12.34), в которой число X заменится на целое число а, а период функций X3j и Ysj можно считать равным 2л.
Если же X иррационально, то решения будут почти периодическими.
Руководствуясь способом построения функций Ляпунова, изложенным § 64, можно легко показать, что для устойчивых колебаний будут иметь место неравенства
к3—г30|<р1-8,lps—psol<p1_E
где е — сколь угодно малое положительное число для любых значений t в интервале ± оо. Из последних неравенств можно сделать заключения, что
кз(0—^о(О1<Р1-Е,1р»(0—Р3о(0|<Р‘-8
для любых значений t в интервале ± оо.
Последние заключения нельзя распространять на решения, полученные для автономных систем в главе XI, и на стационарные решения неавтономных систем, полученные в предыдущих параграфах. Из неравенств
к,—г^^р1-®
не следует, что модули разностей
l*s(0~M0l. ШП-у»<М
где
xs = rscosOs, ys = rs sin 0s,xs0 = rs0cos 9s0, t/sO = rsosin0sO
будут менее p‘~8. Эти модули могут достигать значений 2 |xs0| и 2 |t/s0|, сколь бы высокие приближения по р мы ни брали.
Таким же свойством обладают решения, полученные классическими методами.
Мы рассмотрели резонансный случай для кратных корней ± iX, но метод функций Ляпунова применим также к исследованию нелинейных колебаний, описываемых системой уравнений вида
2^^+^s1^1, ••■> хп> 0 + И2 -^S2 (х1< •••> хп> 0+ •••
(s = l, ...,«1, П1 = т + 2д + п)(12.40)
где psk — постоянные величины, a Xsj — многочлены сколь угодно высоких степеней с периодическими или почти периодическими коэффициентами.
Уравнение | psh — 6sftx | = 0 может иметь т. нулевых корней, ^q чисто мнимых и п корней с отрицательными вещественными частями. Чисто мнимые корни могут быть целыми, рациональными и иррациональными, как простыми, так и кратными с произвольным числом групп решений.
В этом общем случае легко доказать существование стационарных и периодических решений, если система (12.10) допускает их, а также исследовать вопрос об устойчивости этих колебаний.
ЛИТЕРАТУРА
А. М. Ляпунов. Собр соч., т. 2. Изд-во АН СССР, 1956.
А. Пуанкаре. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. Перев. . с франц. Гостехиздат, 1947.
А. М. Ляпунов. Исследование одного из особенных случаев задачи об устойчивости движения. Изд. Ленингр. ун-та, 1963.
Н. Г. Четаев. Одна теорема о неустойчивости. — ДАН СССР, 1934, т. I, № 9.
Г. В. Каменков. Об устойчивости движения в одном особенном случае. — Сб. научн. тр. Казанск. авиац. ин-та, 1935, № 4.
Г. В. Каменков. Исследование одного особенного случая задачи об устойчивости движения. — Сб. научн. тр. Казаиск. авиац. ии-та, 1936, № 5.
Г. В. Каменков. Об устойчивости движения. —Сб. научн. тр. Казаиск. авиац. ин-та, 1939, № 9.
Д. Д. Биркгоф. Динамические системы. М. — Л., ГИТТЛ, 1941.
О. Perron. Ober ein Matrixtransformation. Matem. Z., 1930, Bd. 32.
Г. В. Каменков. Исследование одного особенного, по Ляпунову, случая задачи устойчивости движения. — Сб. иаучн. тр. Казаиск. авиац. ии-та, 1935, № 3.
Г. В. Каменков. К задаче об устойчивости движения в критических случаях. — ПММ, 1965, 29, вып. 6.
Т. Levi-Civita. Sorpa alcuni criteri di instabilita. Ann. Mat. Рига ed Appl., 1901, ser III, v. 5.
C. L. Siegel. Vorlesungen fiber Himmelsmechanik, Berlin — Gottingen — Heidelberg, Springer — Verlag, 1956 (русск. перев.: Зигель К. Л. Лекции по небесной механике. ИЛ, 1959).
Г. А. Мерман. О неустойчивости периодического решения канонической системы с одной степенью свободы в случае главного резонанса. — Сб. «Пробл. движ. искусств, небесн. тел*. Изд-во АН СССР, 1963.
/. Bendixson. Sur les corbes de finies par des equations differentielles. Acta Mathem., 1901, 24.
А. А. Андронов, А. А. Витт. Об устойчивости по Ляпунову. —Жури. эксп. и теор. физики, 1933, 3, вып. 5.
Н. М. Крылов, Н. Н. Боголюбов. Введение в нелинейную механику. Киев, Изд-во АН УССР, 1937.
И. Г. Малкин. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний. М., Изд-во техн,- теор. лит., 1956.
ОГЛАВЛЕН ИЕ
Предисловие 5
Введение 7
Глава I. Критическиеслучаи,исследованныеЛяпуновым15
Один нулевой кореньопределяющегоуравнения15
Один корень характеристичного уравнения, равный единице . . . . 18
Одна пара чисто мнимых корней определяющего уравнения 25
Два мнимых корня характеристичного уравнения с модулями, равными единице25
Глава II. Два нулевых корня с одной группой решений 33
Преобразования исходныхуравнений33
Случай /q(x) = фц(х) = 036
Случай /q(x) = f*(x) = ф*(х)=0;ф*(х) ^038
Общий случай41
Системы второго порядка43
Случай нечетного р045
Случай а0 < 2р0 + 1, «о — нечетное46
Общие выводы49
Примеры51
Глава III. Основные теоремы общей задачи устойчивости в критических случаях 56
Теорема о сведении для установившегося движения56
Приведение к случаю нулевых корней с понижением порядка .'61
Периодическое движение66
Приведение к исследованию установившегося движения. Частный случай 69
Приведение к исследованию установившегося движения. Общий случай 72
К теореме Ляпунова о существовании голоморфных функций, удовлетворяющих уравнениям в частных производных. Установившееся движение 76
Случай периодического движения78
Обобщение теоремы Врио и Буке81
Основная теорема об устойчивости неустановившихся движений в критических случаях82
Глава IV. Два нулевых кория с двумя группами решений86
Предварительные преобразования86
Существенно особенный случай88
Общий случай. Приведение к системе второго порядка89
Теорема о неустойчивости по формам m-го порядка90
Случай знакоопределенности функции F^x, у)91
Теорема об асимптотической устойчивости по формам m-го порядка . . 94
Необходимые и достаточные условия устойчивости по формам m-го порядка 97
Особенные прямые99
Исследование устойчивости при отсутствии кратных особенных прямых 100
Исследование устойчивости при наличии кратных особенных прямых . . 107
Исследование устойчивости по формам высших порядков112
Случай Fo (х, у) г 0118
Глава V. Одни нулевой и два чисто миимых корня120
Установившееся движение120
Периодическое движение124
Глава VI. Две пары чисто мнимых корней128
Установившееся движение128
Периодическое движение132
Глава VII. Случай т нулевых и q пар чисто миимых корней134
Существенно особенный случай134
Теорема о неустойчивости136
Исследование устойчивости приведением системы уравнений к специальной форме139
Глава VIII. Канонические системы143
Системы второго порядка143
Системы высших порядков146
Глава IX. Об устойчивости движения в случаях, близких к критическим . . . 148
Предварительные замечания148
Определение устойчивости151
Основная теорема154
Случай одного положительного корня155
Случай одной пары комплексных корней с положительной вещественной частью158
Глава X. Устойчивость движения иа коиечиом интервале времени 164
Определение устойчивости движения на конечном интервале времени . . 164
Основные теоремы166
Определение интервала времени172
Глава XI. Нелинейные колебания автономных систем175
Предварительные замечания175
Условия существования периодических решений по первому приближению 176
Устойчивость периодических решений179
Определение величины параметра181
Условия существования периодических решений по членам высших порядков 181
Построение периодических решений186
Система (л + 2)-го порядка190
Системы, ие обращающиеся в линейные при р = 0191
Становление периодических колебаний195
Пример195
Глава XII. Нелинейные колебания иеавтоиомиых систем197
Предварительные замечания197
Стационарные решения по первому приближению197
Устойчивость стационарных решений202
Стационарные решения по членам высших порядков203
О стационарных решениях, не обращающихся в порождающие при р = 0 203
Стационарные решения в резонансных случаях205
Стационарные колебания автономных систем207
О методе функций Ляпунова в теории нелинейных колебаний208
Георгий Владимирович Каменков ИЗБРАННЫЕ ТРУДЫ, т. II
УСТОЙЧИВОСТЬ И КОЛЕБАНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
Утверждено к печати
Институтом проблем механики
Редактор издательства Соколова И. И.
Художник Л. С. Эрман
Технические редакторы И. Н. Жмуркина
Ю. В. Рилина
Сдано в набор 13/VII 1971 г. Подписано к печати 17/1 1972 г.
Формат 70х108*/и- Усл. печ. л. 18,9 Уч.-изд. л. 13,7.
Тираж 2500 виз.Тип. зак. 115
Т—01011Бумага № 2.
Цена 1 р. 21 к.
Издательство «Наука»
Москва К-62, Подсосенский пер., 21
Московская типография № 4 Главполиграфпрома
Комитета по печати при Совете Министров СССР
Б. Переяславская, 46
Отпечатано во 2-й типографии изд. «Наука»
Шубинский пер., 10.
АКАДЕМИЯ НАУК СССР
ИНСТИТУТ ПРОБЛЕМ МЕХАНИКИ
АКАДЕМИЯ НАУК СССР
ИНСТИТУТ ПРОБЛЕМ МЕХАНИКИ
Г. В. КАМЕНКОВ
ИЗБРАННЫЕ ТРУДЫ
В ДВУХ ТОМАХ
том 11
УСТОЙЧИВОСТЬ И КОЛЕБАНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА» Москва 1972 г.
УДК 531.36
534.1
629.7.015:533.6
Второй том избранных трудов содержит монографию Г. В. Каменкова, в которой обобщены результаты работ по устойчивости и колебаниям нелинейных систем. Для многих задач теории устойчивости движения в критических по Ляпунову случаях дано новое оригинальное решение. Изложен ряд новых результатов об устойчивости в критических и близких к критическим случаях. Развит новый метод исследования колебаний нелинейных систем.
КОМИССИЯ ПО ИЗДАНИЮ ТРУДОВ Г. В. КАМЕНКОВА:
А. А. БОГОЯВЛЕНСКИЙ, В. Г. ВЕРЕТЕННИКОВ (уч. секретарь),
С. ГАЛИУЛЛИН, С. А. ГОРБАТЕНКО, В. Т. ДУБАСОВ,
Н. Н. КРАСОВСКИЙ (председатель), А. Л. КУНИЦИН,
И. Ф. ОБРАЗЦОВ,) И. В. ОСТОСЛАВСКИй|, Г. К. ПОЖАРИЦКИЙ,
В, РУМЯНЦЕВ (зам. председателя), I Н. А. ТАЛИЦКИХ|
ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР академик Н. Н. КРАСОВСКИЙ
РЕДАКТОР
| Н, А. ТАЛИЦКИХ |
3-3-13; 2-4
512-71(1) .