Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
ПРЕДИСЛОВИЕ
В настоящей работе исследуются те свойства движения материальной системы, которые принято называть устойчивостью и неустойчивостью.
Если термину «устойчивость» приписывать значение, которое дано Ляпуновым2, то поставленная проблема сводится к исследованию интегралов систем дифференциальных уравнений возмущенного движения вида
管=%, ^=x2，…，智=x" (1)
где Xl Х2, ..., Хп — известные вещественные функции вещественных пере менных xlt ..., Хп,力 обращающиеся в нуль при 尤工= … = 今 = 0.
В дальнейшем изложении я буду предполагать, что эти функции в области, достаточно близкой к началу координат, разлагаются в ряды по целым положительным степеням переменных хх,...,今.
Многие задачи механики приводятся к исследованию таких систем дифференциальных уравнений возмущенного движения, в которых коэффициенты разложения правых частей являются или постоянными величинами, или периодическими функциями времени f с некоторым общим вещественным периодом со. В этих двух предположениях и будет вестись дальнейшее исследование.
В том случае, когда правые части системы уравнений (1) не зависят от времени, вопрос об устойчивости чаще всего решается исследованием уравнений первого приближения, т. е. тех уравнений, которые получены из системы (1), когда в правых частях ее отбрасываются члены выше первого порядка. Однако прием этот не всегда приводит к правильному решению вопроса, и во многих весьма важных, с точки зрения приложений, задачах механики исследование уравнений первого приближения задачи об устойчивости не решает. Случаи эти характеризуются тем, что определяющее (характеристическое) уравнение кроме корней с отрицательными вещественными частями имеет нулевые и чисто мнимые корни.
Несмотря на внешнюю частность этих задач, решение их представляет весьма большой интерес как с точки зрения общей теории устойчивости, так и с точки зрения приложений к механическим проблемам. Необходимость решения проблемы устойчивости движения в особенных случаях следует уже из того, что любая задача об устойчивости консервативных систем при-
водится к исследованию системы дифференциальных уравнений, определяющее уравнение которой имеет нулевые и чисто мнимые корни.
Придавая исключительно большое значение этой проблеме, Ляпунов рассмотрел и до конца решил два особенных случая задачи устойчивости движения:
определяющее уравнение с одним равным нулю корнем,
определяющее уравнение с двумя чисто мнимыми корнями.
Рассматривая уравнения с периодическими коэффициентами, Ляпунов дал решение аналогичных задач:
характеристичное уравнение с одним равным единице корнем,
два мнимых корня с модулями, равными единице.
В более поздней работе I1] Ляпунов ставит задачу о двух нулевых корнях определяющего уравнения при п остальных с отрицательными вещественными частями, намереваясь ограничить свое исследование тем случаем, когда этим нулевым корням отвечает одна группа решений.
При этом условии задача, поставленная Ляпуновым, приводится к иссле дованию системы дифференциальных уравнений следующего вида:
冬= " + X(х, 4,/，…，x")，m=у(芻 у, /,…，хП)
= Ри 尤工十• *• + Pin+ X» (力,力 1，..X^ (t — 1, ..., Л)
at
В вышеуказанной работе дается решение этой задачи лишь в том случае, когда 几=0.
Задачу устойчивости движения в случае п =/= 0 в дальнейшем будем называть задачей Ляпунова.
Хотя Ляпунов и ограничился этими частными случаями, но метод, который он применил, допускает решение более общих задач, если в основание этого метода положить две общие теоремы об устойчивости и неустойчивости.
Теорема об устойчивости, доказанная Ляпуновым {16}, формулируется так.
Теорема. Если дифференциальные уравнения возмущенного движения таковы, что возможно найти знакоопределенную функцию 匕 производная которой в силу этих уравнений была бы или знакопостоянной функцией про тивоположного знака с V, или тождественно равной нулю, то невозмущен ное движение устойчиво.
Эту теорему в дальнейшем будем называть первой теоремой Ляпунова.
Теорема о неустойчивости, доказанная Четаевым, имеет следующую формулировку [2].
Теорема. Если дифференциальные уравнения возмущенного движения таковы, что
для некоторой допускающей бесконечно малый высший предел функ ции V существует область, где W > 0,
если для некоторых значений величин xs численно сколь угодно малых, в этой области (VV7 > 0) возможно выделить область, где некоторая функция 步 > 0, на границе которой (W = 0) значение полной производной по времени Wr суть одного какого-либо знака,
производная V, рассматриваемая как функция времени, в области (步 > 8)имеет точный низший предел, отличный от нуля, то невозмущенное движение неустойчиво.
Следствие. Если рассматриваемая в теореме область W > 0 ограничена V = 0 и при этом V'》0, то за функцию W теоремы можно взять V.
Функции, удовлетворяющие этим двум теоремам, будем в дальнейшем соответственно называть функциями Ляпунова и Четаева.
Кроме этих двух теорем, я в дальнейшем буду часто ссылаться на теорему Ляпунова {30}, формулировку которой считаю необходимым здесь привести.
Пусть дана система уравнений с частными производными вида
Е(Psixi + • •. + psnхп4-Xs) —= t/дzr + ... +%卜2丸+ Z/
(j=L …，同(2)
где Xi, X2, ..., Xn, Z^ Z2, ...,7* — суть голоморфные функции переменных Xi, ..., хп, 2工,...» z齡 обращающиеся в нуль, когда все эти переменные делаются нулями; притом функции Х$ не содержат в своих разложениях членов ниже второго порядка, а функции Z『если и содержат члены первого порядка, то только независящие от величин 2工,...» г*. Коэффициенты р$о, 7;* — суть некоторые постоянные. Тогда, если 乂^, •••,期—суть корни уравнения
%一%
%2
•■ Pin
a (%)=
"21
p22-%•
•• р2п
=0
Pnl
Pn2 •
•• Рпп 冗
а 彳，Vk — корни уравнения
7и一v 712 …％a
D(v)= %1%2一"… %丸 =o
если при этом вещественные части xs отличны от нуля и одного и того же знака и если между величинами х5 и v； не существует никаких соотношений вида
т^^ ... +mnxn = v; (/ = 1，…，k) (3) где все ms были бы целыми неотрицательными числами, удовлетворяющими условию 加1 + ... + mn > 0, то всегда найдется одна определенная система голоморфных функций 4， ..., Zk переменных хп ..., хп, удовлетворяющих системе уравнений (2) и обращающихся в нуль при %i= ... =лп = 0.
Примечание, Определение величин 之工，…，” под видом рядов, формально удов л етвор я ющих уравнениям (2), можно осуществить лишь при условии (3), не налагая дополнительных условий на корни уравнения А(冗)=0.
Предпринимая настоящее исследование, я поставил перед собой цель — решить проблему устойчивости движения в особенных, по Ляпунову, случаях более общего характера.
В главе I исследуется проблема двух нулевых корней определяющего уравнения, при этом дается полное решение задачи Ляпунова и исследуются общие случаи задачи двух нулевых корней с двумя группами решений. В обоих случаях рассматривается система (п + 2)-го порядка (п，0).
Глава II посвящена решению задач с одним нулевым корнем и парой чисто мнимых корней определяющего уравнения при 九 остальных с отрицательными вещественными частями.
В главе III решается задача двух пар чисто мнимых корней, при этом рассматривается система уравнений (п + 4)-го порядка.
В главе IV рассматривается общая задача, когда определяющее уравнение имеет m нулевых корней, 2п чисто мнимых и q корней с отрицательными вещественными частями.
Вся глава V посвящена исследованию уравнений возмущенного движения с периодическими относительно f коэффициентами; при этом решаются те же случаи, что и в предыдущих главах.
Вся глава I, как уже указано было выше, посвящена проблеме устойчивости при двух нулевых корнях определяющего уравнения. Считаю необходимым остановиться здесь на этом вопросе подробнее.
Еще Ляпуновым проблема двух нулевых корней совершенно отчетливо поставлена в план его исследований, в общем случае, для систем высших порядков ([3], стр. 285). К сожалению, однако, в опубликованных трудах этого творца математической теории устойчивости движения никаких следов общего решения этой задачи не удалось обнаружить.
Мне кажется, что те трудности проблемы, на которые указывал Ляпунов ([31, стр. 283), в значительной степени устранились со времени получения Четаевым его общей теоремы о неустойчивости.
Суть этих затруднений заключалась в невозможности применения развитой Ляпуновым «второй методы» к некоторым случаям данной проблемы. Поэтому-то я и приписываю столь важное значение теореме Четаева, являющейся значительным развитием этой методы. Из главы I будет ясна невозможность в некоторых случаях построения функций Ляпунова, тогда как функция Четаева строится без всяких затруднений.
Эта проблема встала передо мной в связи с задачей динамической устойчивости самолета еще в 1931 г., но попытка получить общее решение с помощью только теорем Ляпунова успеха не имела.
Тем не менее данное исследование в основном опирается на идеи, первоначально развитые Ляпуновым, и в особенности на результаты, полученные Четаевым.
ГЛАВА I
ДВА РАВНЫХ НУЛЮ КОРНЯ
Пусть предложенная система дифференциальных уравнений возмущенного движения есть система (п + 2)-го порядка и пусть соответствующее ей определяющее уравнение имеет два нулевых корня и п корней с отрицательными вещественными частями.
Различные случаи, которые может представить система дифференциальных уравнений в этом предположении, подразделяются на два существенно различных класса в зависимости от числа групп решений, соответствующих нулевым корням. К первому классу мы будем относить те случаи, когда нулевым корням отвечает одна группа решений. Система дифференциальных уравнений в этом предположении преобразуется к виду
= У + X(X, У、尤 1，…，Xn), -~- = У (居 yt 尤I，…，％)】
dtdt(0.1)
粤= Q1*1+ …+pin[xn + Xi (x, у, *1,…，％n)a = l•…，及)
dt
Исследование на устойчивость нулевого решения этой системы представляет задачу Ляпунова, решенную им в том частном случае, когда 九=0, т. е. когда исследуемая система есть система второго порядка.
Случаи второго класса характеризуются двумя группами решений, отвечающих нулевым корням. Задача в этом предположении приводится к ис-
39
следованию на устойчивость нулевого решения системы дифференциальных уравнений вида
-成-Л-成-Л=Х(х, у, х1( ..., хп), ^ = У(х, д, хь ..., хп)
-成-Л
-成-Л
'(0.2)
=Pil 尤 1 + ••• + Pin ^п + Xj(X, у)尤工,♦• •，^n)(Z — 1, ...» Л)
В уравнениях (0.1), (0.2) под функциями X, У, Xs подразумеваются голоморфные функции переменных х, у, xlt …，хп, разложение которых по степеням этих переменных начинается с членов не ниже второго порядка.
§ 1. Допустим, что рассматриваемая задача об устойчивости приводится к исследованию уравнений (0.1). Нетрудно видеть, что, вводя вместо у новую переменную ylt задачу эту, если угодно, можно привести к исследованию уравнений того же вида, что и система (0.1), с той только разницей,, что первое уравнение этой системы преобразуется к виду
Это преобразование достигается заменой
弘= У+Х(м у,打，.・・，хп)
Представим члены высшего порядка в правых частях системы уравнений (0.1) в следующей форме:
У = У.^ У)+ 2 盼 Q№°)+ " 2 xkQ(kt^ + _ + yi I #Qf、 在=任k-左1儿=年
Xi^X^^x, y) + Xt^(x, у, *i,…，*n)(/ = 1,…，n)
где
Уо(%，У) = /оW + Wi(х) + z/2/2(х) +
Х(。)(х,》) = %“)(*) +办i")(х)+у^> (%) + …
f0(х) = а0ха» + ....“(灯=&1*5 +…и т. д.
/о(г)W = а0(г)^ао(г)+•••>/1(г)(х) = а^ ха>(() + ••• и т. д.
(/ = 1, ..., /г)
q(s,八—голоморфные функции переменных /, ...» /, Х^⑴ 一 голоморфные функции переменных х, у, xlt ..., %, обращающиеся в нуль при 尤工= =%2 =•，•=/ = 0 н содержащие в своих разложениях переменные х, у, %1, •••,修 в степени, не ниже, как во второй. Если систему уравнений (0.1) преобразовать к новым переменным %, ...» уп по формулам
Xt^yt + u^x, у)(1.1)
разумея под и《х, у) корни уравнений
Рп^+ ... +pinun+Xi (х, у, 〃工，…,〃力=0(f=L …,к) (1.2)
то для функций /0, и %"), f^i}t ... можно было бы получить иные выражения. Но нетрудно заметить, что если в результате преобразования /0(х) тождественно равна нулю, то и все функции %(')(х) тоже будут тождественно нули. Если /0(х), не обращаясь в нуль тождественно, имеет наинизшую степень разложения а0, то наинизшая степень разложения функций %")(х) будет больше а0. Допустим, что над системой уравнений (0.1) наше преобразование выполнено.
Применяя к таким образом полученной системе уравнений вторичное- преобразование по тем же самым формулам (1.1), получим для функций 底(盼 и 加⑴(х) некоторые новые выражения. Но нетрудно убедиться, что если в результате первого преобразования %(х) получилась тождественно равной нулю, то тоже будет и после второго преобразования, при этом число а】")’ будет больше а】. Если в результате первого преобразования функция /0(х), не будучи тождественно равной нулю, имела наинизшую степень разложения а0, то она такой остается (неравной нулю) и в результате второго* преобразования, причем числа а0(/) будут больше а0.
Далее, если в результате первого преобразования мы имеем неравенство' % V а0, т。в результате второго преобразования % не изменит своего значения и неравенство ах< а0 сохранится; если же в результате первого преобразования мы имели бы %》а0, то вторичное преобразование число % могло бы изменить, разумеется, с соблюдением этого неравенства.
Не исключается и тот случай, когда в результате первого преобразования функции /0(х), Д(х), /2(х)» ...обращаются тождественно в нуль.
В этом случае, очевидно, функции % ⑴(盼 станут также тождествен но * нулями. Если при этом второе преобразование нам даст /0(х)三 Д(х) 三 О, то f()(°(x), fJQ(x) будут также нулями. Нужно отметить, что второе преобразование может нарушить тождество Д(х) = f2(x)三...=0, но, как нетрудно сообразить, функция /0(х) остается тождественно равной нулю.
Если мы имеем дело с последним случаем и если, в частности, в результате второго преобразования Д(х)羊 0, то наинизшая степень ах разложения этой функции будет меньше чисел а/。и дальнейшие преобразования, аналогичные указанному, числа аг не изменят и неравенства aj') >。工 не нарушат. Может случиться, что в результате второго преобразования сохранятся тождества
А)(%) = “(％) = о
тогда, очевидно, будем также иметь
%⑴(х) = 0,“")(%) = О
Применяя к системе уравнений (0.1) указанное преобразование достаточное число раз, мы получим новую систему дифференциальных уравнений,, которая по структуре правых частей может быть отнесена к одной из трех категорий:
/о (х) = °， fi (х) ^ 0
В этом случае будем иметь
%⑷(б』。，CCi{i)>^ + K (г = 1, ...» п)
где К — произвольно заданное целое положительное число.
/oW $0
Этот случай характеризуется неравенствами
«*)>% + /<(f=l,…，％ j=0,l,…，К)
Ш. %(%)三“(X)=0,%⑴(%)三f屮)(%)=0(i=l, ..., n)
Может случиться, что в результате наших преобразований выражение- для У(х, у, xlt ..,, Хп) будет удовлетворять некоторым дополнительным условиям.
В случае I эти дополнительные условия могут принять вид
#s>ai + K (s = 0,1,…，К)(1 • 3)'
где К — произвольно заданное целое положительное число.
В случае II могут иметь место неравенства
(1.4)(1.4)^>%+К(s = o,l,…，К)
(1.4)
(1.4)
Если установлено, что правые части уравнений удовлетворяют этим дополнительным условиям, то вопрос об устойчивости, как увидим, будет решаться непосредственным рассмотрением уравнений, полученных указанными преобразованиями из уравнений (0.1). В противном случае будут необходимы некоторые дополнительные преобразования. Мы сейчас покажем, что систему уравнений (0.1) всегда можно преобразовать так, чтобы условия (1.3) или (1.4) выполнялись.
С этой целью произведем замену переменных х, у по формулам
(凤，0),无耳 j/(瓦，o)(1.5)
где Е н г) — новые переменные, a U优。，°) и 丿伍。，°)— голоморфные •функции переменных %「.... хп, подлежащие нашему определению.
Нетрудно видеть, что в преобразованной системе члены, независящие от переменных х1( ..., хп, останутся без изменения и если U伍。，°)и 丿仅。，。) .выбрать, согласно равенствам
з0)
£ ———lPa^i+ ••• +Pin x« +xi* (^i-^)1 = Q(k°' 0)
H dXi
(=1(1.6)
У —7——31 力 + …+Рм/+К* 的一—V"。，°)=0
где Xi^x^ ...,今)—— значения функций Х((х, у, %” ...,今)при х = у = 0t то число fe0 в преобразованной системе увеличится по крайней мере на единицу.
Первое уравнение системы уравнений (0.1) в результате нашего преобразования примет вид
г = 1
Если теперь произвести замену
丸=n一規声-1 yu®，r-/。£—(Xj—xq
г — 1
разумея под хи у выражения (1.5), то получим систему уравнений, в которой члены, независящие от хх, ..., хп, хотя и изменят свое значение, числа а0 или а! останутся без изменения.
Проделав указанные преобразования достаточное число раз, мы получим новую систему, аналогичную (0.1), в которой число k0 удовлетворяет неравенству
自>%+/<
в случае I или
kQ>^ + K
—в случае II.
Считая это преобразование выполненным и переходя в полученной системе к прежним обозначениям, вводим новую замену:
(1.7)(1.7)% = Е Т、办也｛/(*1. 1), у = Y] +V^° 1)
(1.7)
(1.7)
Функции U(財，1) и 卩瓦，1) выберем, согласно равенству (1.6), с заменой Q(瓦，°)на QSi，1),卩馬，°)на U(&，i).
Вновь полученная система уравнений по структуре будет отличаться от предыдущей лишь правой частью одного первого уравнения, которое запишется в следующей форме:
生=Т| —月矿无厶―1 и(ь, 1) —и 伐-i)y (х, у, хх, хп)—
一财t 丁因-乙) i 1
В правой части этого уравнения можно считать х и у выраженными через Е, г], /,хп по формуле (1.7).
Далее, если положить
41 = П—h# 炉* — ' и"】’ D —
U^^Y(x, у, xx，…，/)一"航 £—(X-Xg
то указанная структурная разница в преобразованных системах пропадет, но чи<ло 白1 увеличится по крайней мере на единицу.
Повторяя указанные преобразования достаточное число раз, мы, очевидно, будем иметь неравенство
々1>% + К
в случае I или
^l>ao + ^(1.8)
——в случае II.
Предположим теперь, что все числа 々/(j = 0, 1,・・.,R —— 1) удовлетворяют неравенству
財〉％ + К(j = 0, 1,…,R-1)
в случае I или
kj>aQ + K(j = o, 1,…，R—1)(1.9)
—в случае II.
Если теперь положить
X = l+yR x^U^R\ 4 = п+6%铀1/版吋
и в преобразованной системе переменную г] заменить на у】 по формуле
yi = ^—kRyR+l х^'1 U^^ — RyR~l x^U^'^Y —
—6^r£ ^1^ 因一XQ г =1 呢
подразумевая под V^1 “) и U^R, *) голоморфные функции переменных %1，..., 今,удовлетворяющие уравнениям (1.6), с заменой Q仅。，°) на qUR'R), то в преобразованной таким образом системе число 々氏 увеличится по крайней мере на единицу.
Применяя указанное преобразование достаточное число раз, мы получим систему уравнений, в которой число 々к будет удовлетворять неравенствам (1.9) при произвольно заданном числе К.
Полученные уравнения и послужат точкой отправления для дальнейших исследований.
Нетрудно видеть, что задача об устойчивости по отношению к новым пе^ ременным вполне эквивалентна задаче об устойчивости по отношению к прежним переменным.
Допустим, что рассматриваемая задача об устойчивости привадится к исследованию уравнений
dxdydt у dtdxdydt у dt=儿（招U）+ 2=儿（招U）+ 2/Q®o)+y £ x*Q<A-1)+ ...A = Ai/Q®o)+y £ x*Q<A-1)+ ...A = Ai^7 = Piixi+ …+р1пхп+Х^(х, 4)+Х⑴(%, у, /х„)at^7 = Piixi+ …+р1пхп+Х^(х, 4)+Х⑴(%, у, /х„)at(1-10>(1-10>
dxdy
dt у dt
dxdy
dt у dt
=儿（招U）+ 2
=儿（招U）+ 2
/Q®o)+y £ x*Q<A-1)+ ...A = Ai
/Q®o)+y £ x*Q<A-1)+ ...A = Ai
^7 = Piixi+ …+р1пхп+Х^(х, 4)+Х⑴(%, у, /х„)
at
^7 = Piixi+ …+р1пхп+Х^(х, 4)+Х⑴(%, у, /х„)
at
(1-10>
(1-10>
^s > al + ^ (в случае I), ks >a0 + /< (в случае II) (s = 0, 1, К)
Первый случай, который нам надлежит рассмотреть, характеризуется тождествами
%(%)=&а)=°，f^ w ^ f^ w=°((=i 〃)а」»
Мы увидим, что во всех случаях, которые может представить система уравнений (1.10) при условии (1.11), невозмущенное движение неустойчиво.
Рассмотрим вначале тот случай, когда разложение всех функций Q(*» °^ по степеням переменных хъ ..., / начинается с членов не ниже второго порядка.
Функция Четаева, отвечающая системе уравнений (1,10), строится весьма просто и может быть принята в виде
V = xy + Vt(xlt ...,хп)
Функцию 匕 определим из уравнения
£ (Pilxl+ …+PinXn)==Xl2+ …+xn2(L12>
По свойству корней характеристического уравнения функция Уг будет определенно-отрицательной квадратичной формой переменных 无。...» /•
Производная dV/dt в силу уравнений (1.10) будет иметь вид
^■=济 + 力2+…+%/+初 У 逑 Q("1)(%1，…,*n)+R(%, 9，x1，
где
^ = хУ0(Х, у)+х * £ 户 Q(左，2)+^ £ /QS・3)+ …+ 一 月二左8々=左8-
+ 2师因<。)(%,抄+注1)(招协/，…，Xn)]+x £ /Q出。)
Но это выражение в силу условий (1.11) и в силу того, что разложение функций Q(亂 °)начинается с членов не ниже второго порядка, можно представить в виде
R = ^2+ £ 2屮打勺修 £ =1 / = 1
если под 屮，屮"будем подразумевать некоторые голоморфные функции^ уничтожающиеся при равенстве нулю всех переменных %, у, х1( ...» /. Поэтому производная Vr будет знакопостоянной положительной функцией. 4 4
Очевидно, что область W' > 0 ограничена У — 0 и, следовательно, мы имеем дело с условием теоремы Четаева, по которой и следует неустойчивость невозмущенного движения.
Если случится, что разложения функций Q(^，°)содержат члены пер^ вого порядка, то соответствующее выражение для членов высшего порядка в производной『будет иметь вид
R=2货 + * 2 ^i>xi^+ 上匕4(%) 力=1 j= 1•f = 1
тде 屮 и 屮订 имеют тот же смысл, что и в разобранном выше случае, а。》(无)一 голоморфные функции переменной 尤,обращающиеся в нуль при % = 0・ Наличие членов 修〃(％) в выражении производной 丿 не дает права заключать о неустойчивости движения.
Мы сейчас покажем, что преобразованием, не изменяющим задачи об устойчивости, уравнения (1.10) можно привести к виду, для которого функция Четаева будет
У = ху + Уг(хъ ...,хп)
где 丿1 ——квадратичная форма, удов аетворяющая уравнению (1.12),
Запишем с этой целью уравнения (1.10) в следующем виде:
= у, 名=儿(%, у) + g zPs (灯+ n*耳收 Q他“^)
或ats = 1
察=局 1 %1 十…+pin x„ +XJ。)(招切 + S %PJ" (%)+XJ (%, y, /)
a=i,> K)
где Ps(x) и P«)(尤)——голоморфные функции переменной х, причем разложение функций Ps(x) начинается с членов не ниже а2-го порядка.
Произведем замену переменной у, положив
г/=D + S/匕⑶ / = 1
Будем иметь
"=儿卜,r)+ j£ji%)+ 2 xsPs(x) +
一士匕P〃尤1+…+Zn尤n + X严)(%,n+工尤z匕)+
+ S 爲 Ps")+XJ
S = 1-
Совокупность членов, не зависящих от переменной 刀 и содержащих .линейно переменные 无厶...,хп в полученном уравнении, будет иметь вид
工 ％Ps—工匕 РцХг+ ... +pinxn+ 2 /РМ(х)
8 = 1$s=l_S = 1_
Если определим функции Vt(x) из уравнений
Ри匕+网.％+・・・+Ли嗫=? —%PJi)-%PJ2)-…-嗫p产
то получим новую систему уравнений:
餐=n 十 е /匕(х)
Мг =i
粤=n2f2(%)+…+ S /QS，o)+ n W /Q3 1)+…(1.13)
dtk=k0k=ki
= PilX、 ++ pinXn + XtW(X, ^ + х/1)^,Т],x1，…,%n)
где 尸 2(尤)，…，QS'力，XJD(居 ％ /,…，xn) — функции той же структуры г что и в системе уравнений (1.10), причем разложение функций Q(/。) начинается с членов не ниже второго порядка, Х»(。) (х, г|)—— значение функций Х»(°)(х, у) с заменой у на г].
Функция Четаева, отвечающая системе уравнений (1.13), представится в виде
V = XX\+ ^(Л：!хп)
где 匕一квадратичная форма, удовлетворяющая уравнению (1.12).
Производная dV/dt в силу уравнений (1.13) будет иметь прежний вид:
『=1)2 + %/十…+/2十乳 2 Хг Vi^ + R^x, Г), Xixn) i = 1
где, как и в предыдущем случае, функцию R можно представить в виде
R=^d+ £ s ^i}xiX} (=1 f— 1
В силу того, что V\ ——определенно-отрицательная квадратичная форма, а У'—— знакопостоянная функция, обращающаяся в нуль лишь при условии
т]=：无1 —— •. •Хд 0
заключаем, что область Wf > 0 ограничена V — 0.
Следовательно, построенная функция V удовлетворяет всем условиям теоремы Четаева.
В силу доказанного мы можем формулировать следующее предложение.
Теорема 1. Пусть определяющее уравнение имеет два нулевых корня с одной группой решений, при п остальных с отрицательными вещественными частями.
Система дифференциальных уравнений возмущенного движения приведется тогда к виду (0.1).
Если в результате преобразования
Xi = yi + ul{x,加
где 修(х, у) — корни уравнений
Рг1 〃1 + ••• + Pi几〃П +Х» (尤,у, 〃工,〃九)=。
функции У()(х, у) и dYJdy обращаются в нуль при г/ — 0, и если при этом разложение функций Q(论，°)начинается с членов второго порядка, то невозмущенное движение неустойчиво.
Если в результате преобразования мы получим, что разложения функций Q优，°)содержат линейные члены, но при этом dXi^ldy = 0 при у = =0, то невозмущенное движение также неустойчиво.
Если dXi^ldy 声 0 при у = 0 и Q(瓦 °) содержит линейные члены, то к преобразованной системе уравнений необходимо применить указанное 46
преобразование вторично, при этом после преобразования мы должны рассмотреть два возможных случая:
Г0(х, y) = 0tдУо/ду^О при у = 0
У0(х, у) = 0,дУо/дуфО при у = 0
В первом случае мы будем иметь Х^(о)(%, у) = 0, дХ^Уду = 0 при- 9 = 0・
Во втором случае выражение дХ^/ду может и не обращаться в нуль, при у = 0. В этом последнем случае числа а^" и。工 обязаны удовлетворять, неравенству
aj"》а】十1(г = 1, ..., п)
Случай первой категории отвечает теореме 1), из которой следует неустойчивость невозмущенного движения. Случай второй категории, в котором
ЗУ о/ду I 夕=о = /\ (%)击 0
рассматривается в следующем параграфе.
§ 3. Рассмотрим второй случай, который может представить система уравнений (1.10). Этот случай характеризуется тождествами
% (%)三 0,%")(%) = 0(( = 1п)
В отличие от случая, рассмотренного в § 2, здесь
/х(х) = ахха» + ...,а】# 0
Допустим, что а】> 0.
В случае нечетного а】 число аг всегда можно считать положительным^ так как заменой х на ——х и г/ на ——у знак можно изменить.
Будем предполагать, что разложение функций Q(瓦 °) по степеням переменных %1, ..., / начинается с членов не ниже второго порядка.
Функция Четаева, отвечающая системе уравнений (1.10), в нашем предположении будет иметь вид
V = Хg + 丿1 (尤1，…，工n)
где по-прежнему функция V\ удовлетворяет уравнению (1.12) и является функцией определенно-отрицательной.
Полная производная функции V в силу уравнений (1.10) будет иметь вид
+ /“(尤)+у晒⑶ + …+ £ 妙+iqs,o)+
+ ^ S x』Q(j)+ ...+X/+ +xn2 + S
Но при наших предположениях относительно функций Q(瓦。)и X/。)， это выражение можно представить так:
V = у2+ ух^(х) + х^+ ... + 尤J + R (尤，у, хъ ...» хп)
Функция R имеет вид
(=1f=l/=l
где 屮，屮订 屮"一голоморфные функции переменных х, yt хъ …，хп, обращающиеся в нуль при х = у = х* = … = л^ = 0.
В области х > 0, у > 0, где возможно неравенство V > 0, выражение yxf^x) при а】> 0 является величиной положительной.
Следовательно, в области V > 0 производная V’ положительна и область V > 0 находится внутри области У7 > 0.
Значение V' — 0 в области 尤》О, 4》0 возможно лишь при условии у =尤1 = ••・=хп = 0. Но при этих значениях переменных будем иметь V — 0.
Таким образом, построенная функция V удовлетворяет всем условиям теоремы Четаева, следовательно, мы имеем дело с неустойчивым невозмущенным движением.
Если разложение функции Q优，°) начинается с членов первого порядка, то прежде чем строить функцию Четаева, эти члены необходимо уничтожить.
Представим с этой целью уравнения (1.10) в следующей форме:
^г = уШ+у2Ь^+ - + £/Р$+ 2 恭Q("°)+
OfS = 1月=左0
+ 4 玄 /Q(" 1)+ …(1.14)
A = Ai
1
+ i x^Q^-^ + y £ "Q(u)+…((- = l，…，n)
й = 0々=0
где Ps, Ps“)— голоморфные функции переменной х, разложение которых начинается с членов не ниже аг-го порядка. Q(瓦 0), Q№ 0). являясь функциями переменных xlt ...» 今,не содержат в своих разложениях членов первого порядка.
Введем замену
Х = ^+2( ^^Ji W.У = П+0产匕(%)(1.15)
Уравнения, которым удовлетворяют функции Е н % будут иметь вид
= Л + 工修匕一2 Sp〃n1 +…+Pin 尤n +
s $ = 1.
/П\ПОО
+卜+2/匕&")(%)+…+£居旦")+ n%国产.0)+
nn\* = 1/$ = 1a = 0
n
n
+ t/匕 /=1+ t/匕 /=1/п\ 8
+ t/匕 /=1
+ t/匕 /=1
+ n + X/匕士冲Q产，1)+…
\/=1/左=0
n+ 2 七匕)fl (%)+…+ 2 居E+ 5 步 QM°),+ / = 1/s = 1k~k0
+ (n+』勺匕］』％W' D +…一X 匕 P〃％1 +…+PinXn +
\/ = 1/ 左=左1Z = 1.
(
Л\noo'
n+2右匕х 厶匕⑴ + 2 #Q№°)+ …-
/ = 1/s= 1ft»0.
Если теперь функции U$(x) и V/(x) определить согласно равенствам
U、Pit +〃2P2t + …+UnPn/ —匕(1 —fi⑴&—fi⑶°2—…一fl⑺ 〃n) +
+Р户力+…+P产炫…。
^1Ри +^2p2i + ••• 4- Ур Pni — Pt — Vi (& — h(n V* — “⑶％—…一
一，J叫7n)+Pi⑴匕+P产)几+…+PH)乙=0
которые допускают единственное определение функций Ut (х) и Vf (х) в виде сходящихся рядов, младшие члены которых будут не ниже ^0-го порядка, то правые части уравнений (1.16) не будут содержать членов вида х(хт.
Исключая х из уравнения (1.16) с помощью первого уравнения (1.15), получим систему уравнений вида
龙8ОО
Л =т)+ ^1(В)+^2©+...+ 2 рр优，°)+ г] 2 FP(j)+ ...
窑=g(&)+d%⑶+ …+ J^^'^+ni FM・i)+…
A = AoA = Aj
(1
号=pg + …+PMn+n% ⑴(三)+ …+£ F &("。)+
+d¥R№ i)+ ・.・C = i")
где P候，°) и R(瓦 °)— голоморфные функции переменных 尤工,...» xn, разложение которых начинается с членов не ниже второго порядка.
Наинизший член разложения функции 屮式匕)будет иметь тот же вид, что и соответствующий член в разложении функции Д(х), а наинизший член функции 屮式己)будет иметь степень, большую, чем ах + 1.
Функция Четаева, отвечающая системе уравнений (1.17), будет иметь вид
У = Еп + %(%1/)
где Vi — квадратичная форма, удовлетворяющая уравнению (1.12).
Производная dV/dt в силу уравнений (1.17) будет
I/' = Г]2 + х/4-... + хп2 + |г]<Р1 Q) +1]2 z7(?, П> 打/) +
nn n
+n 2 %s&(E,%打，•••，/)+ £ 2 "产“位，n,无1，, %n)
s = 1f = 1 /= 1
где 尸，尸8,尸仃一голоморфные функции переменных В,刀，xlf ...» 今，обращающиеся в нуль при равенстве нулю этих переменных.
Если а】> 0, то в области & > 0, г] > 0, где V > 0, производная V' имеет положительные значения и обращается в нуль лишь при условии 1)= хг = ... = л^ = 0. Но при этих значениях переменных функция V также обращается в нуль.
Отсюда следует, что построенная функция удовлетворяет всем условиям теоремы Четаева, и мы снова получаем неустойчивость.
Примечание. Преобразования, связанные с уничтожением членов вида 尤 1无他 в правых частях уравнений (1.10), как мы убедились, не влияют на числа 仪1 и аъ следовательно, при решении конкретных задач эти преобразования выполнять не следует.
Рассмотрим теперь случай: ах V 0, ах — число четное.
Определим функцию 尸工(己,刀)из уравнения
[Г] + l]lpl © + П2 ^2 © + •..] + 争 h<Pi ©+п2Ф2(Ю0
На основании теоремы Коши мы можем утверждать, что функция, удовлетворяющая этому уравнению, будет голоморфной функцией, обращающейся при 己=0 в произвольно заданную голоморфную функцию одного переменного %
Определим функцию 尸式己，叫 так, чтобы при 己 = 0 было 尸式0, 叫 ==斗 4 Зек. 312649
При этом условии функция &(Е, 叫 представится в виде
尸 1(Е, п) = п+К(Е,叫
Функция 屮\(&, п) не будет содержать членов ниже второго порядка относительно переменных Е н 斗 Притом она будет такова, что младший члем функции 4rl(Е，0) будет
«1£014-1
一小1 S
Определим функцию 尸2(Е, Л)из уравнения
翁 In+nS 位)十 п 池(三)+ …]+ 譬 h2<₽2 (В)+п3 Фз Q) + •••] = —n4
и потребуем, чтобы функция 尸合隽，Л)обращалась в 唄 при & = 0. Представим функцию 尸纟& Л)в виде
尸"，n) = w0(B)+n®i (Ю+ii2 <оа (&)+ …
Из уравнения, которому должна удовлетворять функция 尸纟,следует,, что /(£) = 0. В силу того, что 尸2(。，П)=倘 имеем
81(9 =。，®2(&)= 1 +4Е +…
Здесь Лх =——2у(), а у。является первым членом разложения функции ф2 по степеням |.
В силу того же условия (F2(0, г|)= 唄)будем иметь(о3 =(о4 = ... — О при В = 0.
На основании изложенного функцию 尸？ можно представить в виде
尸2(巳叫=唄+唄中2 0，n)
где 屮2(己,П)— голоморфная функция, обращающаяся в нуль при & = О, Рассмотрим теперь функцию
匕怎 3 = FJ(Ej}+q(Ej)
где F^, т|) является постоянно-положительной функцией» обращающейся в нуль в области ^2 + г]2 ^ е2 лишь при г|—0. Функция ^2 (&, г|) при условии г] = 0 обращается в голоморфную функцию переменной 三 с младшим членом
吟 t2 a+i)
(出十I)2 S
Следовательно,丿式己,п) является знакоопределенной положительной функцией переменных г].
Функцию Ляпунова, отвечающую системе уравнений (1.17), при наших условиях можно представить в виде
и=%е, п)+/的修)
где V2(xi， ..., Хп) — квадратичная форма, удовлетворяющая уравнению
t+…+Р5%п)= —(xi2+ …+%/)
По свойству корней определяющего уравнения эта форма выйдет определенно-положительной.
Полная производная функции V по времени в силу уравнений (1.17} будет иметь вид
h=一喷+醬2阳+2m+七(三,项禁[* FP(KO)+
+唄+唄ZZFP（*,o）+" 2 yp（3i）+FP（*,o）+" 2 yp（3i）++++倩+2m+%电叫i ++倩+2m+%电叫i +2 #m.。）+2 #m.。）++n 2 ? R包 1）+…+n 2 ? R包 1）+…rm⑺e）+・・・ +rm⑺e）+・・・ +
+唄
+唄
Z
Z
FP（*,o）+" 2 yp（3i）+
FP（*,o）+" 2 yp（3i）+
+
+
+倩+2m+%电叫i +
+倩+2m+%电叫i +
2 #m.。）+
2 #m.。）+
+n 2 ? R包 1）+…
+n 2 ? R包 1）+…
rm⑺e）+・・・ +
rm⑺e）+・・・ +
+ * FR产，0）+...]_/2 _..._*/
Покажем, что это выражение представляет знакопостоянную отрицательную функцию переменных &, % хь …，今.
Рассмотрим выражение
~- П%е）= [2г1+2*2& 叫 + 唄晋小（仆啟+ •••）
Мы видим, что в области, достаточно близкой к началу координат, знак этого выражения определяется членом 2а^^, который при а】V 0 представляет отрицательную величину.
В силу того, что разложения функций Р（凯 °）и R候，°）начинаются с членов не ниже второго порядка, заключаем, что выражения
2 УР（"°）, S ¥R（A，。）
k=k0左=左0
на знак производной влиять не будут.
Не уменьшая общности задачи, мы можем предположить, что числа klt 々2,々з, 4 больше числа %• В силу этого члены
п £ рр（" 1）,唄 S fp（3 2）,哦 £ ^р（瓦 з）,唄 £ fp（d
T] S 仔 R（"l）, Y 2 FR"2）,唄 £ FR（"3）,嚟 £ 岁 R（B4）
A —左]k 左2左——也8也^^也4
на знак производной не влияют, так как в области, достаточно близкой к началу координат, выражение
~х^~...~х^ + 2а1 ri2
определяет знак независимо от вышеуказанных членов. Выражения
刀团 N 守p9,川,n现 N FR（Em） （m > 4）
не влияют на знак производной по той же причине, что член ——т]4 определяет знак производной независимо от них.
Члены
2 ^-[wi（z）© + n42（t>©+.••+ £ 孑R"，°）+
+ n £ PR产，d+…
A= *i_
могут быть представлены в виде
л л
噴％8& % Х1xn）+2 N ^tjXiXj
i—\ j=I
Здесь 0 = 0 при X] =^ ,・・=х^ == 0) а 屮炉==0 при 自=т| == х^ = .•» == =今=0. Следовательно, эти члены не изменят знака выражения
—%『一・••一％/ + 2al 唄守*
На основании изложенного знак производной определяется совокупностью членов
2。1 "2 ga* 一 Т]4 - % J -.— лпа
Отсюда заключаем, что при % V 0 н четном % производная К представляет знакопостоянную отрицательную функцию переменных 自,п，% 一・,修・
Таким образом, мы имеем знакоопределенную функцию
р /
производная которой в силу дифференциальных уравнений (1.17) является знакопостоянной функцией обратного знака с V.
Следовательно, при & V 0 н четном % невозмущенное движение устойчиво.
Нетрудно заметить, что система уравнений (1.17) имеет решение
Е = Ео, т) = Xj = ... = хп = о
Если положить
* = Е + Ео，У = П
то получим новую систему вида
—==у [1 4-^ (g0) +...] + X(X, у, XiХп)
% = {/Ч>1(М) + ・“ + У(х，9，％1，”・,尤“)
-^-=:giiXi + ...+ginxri+giy + Xl(i = 1, ..., а)
где X，匕 Х± — голоморфные функции переменных х, у, /,…，修，содержащие в своих разложениях члены не ниже второго порядка.
При достаточно малом 自。среди корней определяющего уравнения, соответствующего этой системе, найдется один корень, знак вещественной части которого определяется членом а韭产.Кроме этого корня, определяющее уравнение будет иметь п корней с отрицательными вещественными частями и один нулевой корень.
Предполагая 瓦 достаточно малым, рассмотрим вопрос об устойчивости по отношению к величинам х, у, х1(
Мы замечаем, что при 噤円 > 0 имеет место неустойчивость, а при 01gom < 0 мы встречаемся с задачей, решенной Ляпуновым, из исследований которого следует, что при этом условии имеет место устойчивость.
Изложенное в § 3 приводит нас к следующей теореме.
Теорема 2. Пусть определяющее уравнение имеет два нулевых корня с одной группой решений при п остальных с отрицательными вещественными частями.
Система дифференциальных уравнений возмущенного движения приведется тогда к виду (0.1). Если в результате преобразования
/=执+"f (%，y)
где щ(х, у) — корни уравнений
Ри^1 + ••• +Pin 〃п +Х» (%, р, Mi, ..., 〃△) =。(( = !,..., п)
мы получим систему уравнений, в которой функции %(%),%")(%) тождественно равны нулю, и если при этом имеет место условие
ос】《：СС](')(i= 1, • • • * 也)
то при нечетном % невозмущенное движение неустойчиво, прн четном % н & > 0 невозмущенное движение также неустойчиво, при четном % и & V 0 невозмущенное движение устойчиво.
Примечание 1. Если в результате преобразования мы получим %>%⑴
то к преобразованной системе необходимо применить указанное преобразование еще один раз и тогда условия
°4 W %")
будут выполняться.
Примечание 2. Преобразования, связанные с увеличением чисел 岛, 自，％，…，как мы видели, не изменяют величин 的 и 5, так как у нас сц《 《а】")； следовательно, для решения конкретных задач эти преобразования выполнять не следует.
§ 4. Переходим теперь к случаю, когда в уравнениях (1,10) %(%) неравна нулю тождественно.
Пусть
f 0 (%) = «о %" + …，°。*。
Возьмем функцию Ляпунова в виде
p=匕(尤，切+匕(尤”..，/)
Функцию Vj определим из уравнения
дхоу
и заставим ее обращаться в у при х == 0.
Функцию 卜2 определим в виде квадратичной формы из уравнения
£ 尸(Р4 % + …+ Ре /) = °。(％J + •••+ 炉n)
Производная функции V в силу уравнений (1.10) будет иметь вид
V' = a0^ + x^+ ... +V)+ %(» + *% +庐匕+ £ £ ^ijXtXj
где 4rи T2, 4r厅 являются голоморфными функциями переменных х,弘修， …，修，обращающимися в нуль при % = g = 尤工= …修 = 0. Поэтому если а0 число четное, выражение『представляет знакоопределенную функцию переменных х, у,石，хп.
Принимая во внимание, что функция V может принимать любой знак, заключаем о неустойчивости невозмущенного движения.
Рассмотрим случай: а0 — нечетное и а0 > 0.
Останавливаясь на прежнем выборе функции V2, подчиним 匕 условию уничтожаться при % = 0. Очевидно, что при этом условии dV^dy можно представить в виде
-~- =а()х[1 +〃(%, у)] ду
где 〃(％, д) — голоморфная функция, обращающаяся в нуль при х = у = 0.
53
Производная функции V в этом случае запишется в виде
V' = %(1/2 + /2 + • • • + V)+。0 xf 0 (%)+*% + Х%+ 14f2 十
+ S 2 ^iiXiXj i=l/=1
Поэтому при нечетном a0 и a0 > 0 рассматриваемая функция будет знакоопределенной. Функция же V, как и в первом случае, может принимать значения любого знака. В силу этого можно заключить, что при нечетном а0 и положительном а0 невозмущенное движение неустойчиво.
Рассмотрим случай, когда а0 — нечетное н % — отрицательное. Допустим, кроме того, что % V а0. В этом случае мы можем предположить, что числа 区 и cts⑴ удовлетворяют неравенствам
々s > а°+а】+ 1, aj‘)》a。+а^ + 1 (i= i, •・・，〃，s^ 0,1» • • • > a()+ aj. + 1)
Определим функцию 尸式爲 у) из уравнения
У +【川1 (%) + У2/г (х)+...]= 0
оу
и заставим ее обращаться в у при х = 0.
Функция 尸式乂 у) будет иметь вид
尸 1(% У)= У + ^(х, у)
причем
У(х, 0)= — -^%&+1 +…
Рассмотрим функции 0 (х) и Я(х, у), определяемые равенством
伍+ У(Х, У)ф + 皆]= е(х)+9[1 +Н(х, у)](1.18)
Младший член разложения функции 0 (х), очевидно, совпадает с младшим членом разложения функции ^(х, у).
Определим теперь функцию 尸2(х, У) из уравнения
譬 У + 票[у/1 (х) + 9% (х) +...] =。1 产+s+i —2g [1 +н (х, у)] /0 (х)
ОХду
Предположим, что 尸2(0, У) = 0. Найденная в этих предположениях функция 尸2(%，У)будет иметь вид”
尸а (%, У)==1 + U (%, g)
где t/(x, у) не содержит членов ниже (a0 + 2)-го порядка относительно переменных х, у.
Возьмем функцию Ляпунова в виде
丿=ь+中а也丿+ga，y) + V1(x1, xn)
Функцию % определим из уравнения
£(Р〃 Xi + -+Pm/) = @1 (厶* + ・••+%/)
Полная производная функции V в силу уравнений (1,10) представится так:
X = 2 [д + У (х, g)][l + ^^<]/0(х) + 誉％(х) +
+ ay+a,+i_2g(l +/7)/о(х)+[2(у 十中)十(1 +票)+ 争]х
X 3 冰Q("°)+g £ aQ® 1)++
+ S礬 PQ。) (x, g) +&⑴(x, g, xn)]
В силу равенства (1.18) выражение производной можно представить а виде
『=28(%)%(%) +a1严+5+%(冷崙+[2(9 + 中)(1 + 器)+命 X
X J x^Q^-^+y J /Q(3 " ++ai(xJ +…+%/)+
+因⑼的y) +M⑴(招у,/，…,xn)] ;=1 dxi
По предположению, ^ < а0, а функция /0 (х) dU/dy не содержит членов ниже (2а0 + 1)-го порядка относительно переменных х, у. Поэтому если предположить, что числа 岛，klt …，紘+&+1 больше, чем а0 + ах + 1, то выражение производной можно представить в виде
m = «1 ^aо + 01 + 1 - --01 % aО+%+1 +a1(%/+ …+ /2) +
+ R(X, yt /，…，xn)(1.19
где
R(x, у, хь , xn) = Q(x, у)+ 2 修屮i(爲 g)+X £ 屮'疗修打 i = lf = 1/=1
Функции Q(x, g) и Y^x, g) не содержат в своих разложениях членов ниже (а0 + ах + 2)<о порядка, а функции 4r办,зависящие в общем случае от всех переменных, обращаются в нуль при х = у = хх = ... = хп = 0.
Если теперь предположить, что а】——четное, то из выражения (1.19) можно сделать заключение о знакоопределенности функции V\
Следовательно, при 出 < 0 невозмущенное движение асимптотически устойчиво, а при а】 > 0 —— неустойчиво.
В силу доказанного, мы можем сформулировать теперь следующее.
Теорема 3. Пусть определяющее уравнение имеет два нулевых корня с одной группой решений при п остальных с отрицательными вещественными частями. Дифференциальные уравнения возмущенного движения приведутся тогда к виду (0.1).
Если в результате преобразования
Xt^yt+Ui(X, 9)
тде 〃依 у) — корни уравнений
Ри 〃1 +... +р1п ип +х； (х, 9, «!, ..., un) = 0(' = 1«)
:мн будем иметь, что
/0 (х) = а0 ха» + …丰0/1(%)=仆 *5 + …壬;0
и если
а0 — число четное, то невозмущенное движение неустойчиво;
а0 ——число нечетное и а0 > 0, то невозмущенное движение неустойчиво;
а0 — число нечетное, а0 <0, ai<a0, %—число нечетное и ^>0, то невозмущенное движение неустойчиво;
a0 — число нечетное, 00 V 0, с^ V а0,仪工 ——число нечетное н a】V О, то невозмущенное движение асимптотически устойчиво.
Примечание. Преобразования, связанные с увеличением чисел а$⑴ и 启，как мы убедились в § 1, не влияют на числа 的 и а0, а при условии aj V a0 указанные преобразования не могут изменить и чисел 耽 и а】； следовательно, при решении конкретных задач преобразования § 1 производить не следует. При решении конкретных задач необходимо произвести лишь преобразования, указанные в теореме.
5. Из всех возможных случаев нам осталось теперь рассмотреть лишь те, когда при нечетном а0 и отрицательном %, или случай, когда。卜 будучи менее aOl есть число нечетное, или случай ^^ а0. В этом предположении и будем вести дальнейшие исследования. Рассмотрим уравнение
y^^Y0{x, у)(1.20>
ах
выводимое из системы уравнений (1.10) через исключение dt при условии % 1 二: • • > %冷==0.
Постараемся удовлетворить этому уравнению решением
у = hxk + hx 冰+i +
Постоянные А, %, ...определим из тождества
(hxk + h± 冲+i + …)伏/i卄一 1 +(也 + 1)自 ％* + …]=%(X)+
+ {hxk + ^ #+】 +…)(％ xai + ...)4-(/zx* + /i1x*+1 + ...)2(a2xa2+...)+，..
Младший член левой части имеет вид
々力2%2月-1
младшим членом правой части будет являться одно из выражений
/иг】冰+%%%%
Разберем три случая, в которых построение указанного решения возможно. Случаи эти характеризуются условиями:
%)>% +右， 2) a0<ai + ^,3) %)= % + 々
Неравенства 1) и 2) предполагают, что младшим членом правой части являются выражения ha^^ или aQ^ соответственно. Из равенства 3) следует, что оба эти выражения имеют одинаковый порядок. В последнем случае мы будем предполагать, что 2右一1 — a0.
Предположения 2k — 1 > a0 и й Ц- ax = a0 приводят к известным числовым зависимостям между коэффициентами разложения функций /0(х), “(％) и в дальнейшем нас интересовать не будут. В случае 2右 —— 1 = aft коэффициент А определяется из уравнения
@1 + 1)川一d工 h — ao = O
которое имеет вещественное решение лишь при условии
%2+4(% + 1)旬》0
В случае % > % 十也 будем иметь
也=СЧ +1, h = a」G* +1)
Случай этот характеризуется неравенством
«1< («о—1)/2
Предположение a。V % + 2 ведет к равенствам
々=(а。+ 1)/2,Л = ± 從％/&()+1)
из которых следует, что вещественное значение для числа А можно получить лишь при условии а0 > 0.
Но при этом условии, как мы уже убедились, невозмущенное движение неустойчиво.
Мы сейчас рассмотрим два случая:
1)备V 2九［十］
2)曲=“。了- ,(a1+l)h2 — a1h—ao = Ota12 + 4(a1 + 1)а0>(У
В обоих сучаях уравнение (1.20) имеет голоморфный интеграл вида у = hxk + h^^-1 +...
где число 々 = % + 1 — четное (случай четного % рассмотрен в предыдущем параграфе).
Если теперь систему уравнений (1.10) преобразовать к новым переменным, положив
у = У1 + ^х^^ 1 + 厄尤％ + 2 +...(1.21)*
то получим новую систему:
=弘+用x"+ 1 +力1%% + 2 + ... dt
轡= У1&(х)+У12 f式x)+ 2 ^Q("°)+91£ /Q(" 1)+…(1.22)、
【成々=仇々=財
粤=p“尤l+… + Pin尤n+%⑴(%)+gJl⑴(尤)+… +
+ S /Q产，0)+勿 S /Q产，1)+…0'=1.")
月二0A= 0
где /п /2,…，％ ⑴，f^,…，Q(財叫 q 卅，m) — новые функции, полученные - в результате замены (1.21).
При нечетном а】 число А можно считать положительным.
Функция Д(х) в результате преобразования может изменить свой вид, но нетрудно заметить, что разложение этой функции не будет содержать - членов ниже %го порядка.
Пусть
Л (x) = box^ + b^+l + ...,₽>«!
Функции /£')(%) тоже могут изменить свое значение, но числа aj‘)， можно предполагать, как и в системе уравнений (1.10), сколь угодно большими положительными числами.
Возьмем функцию Четаева в виде
p=-(%2—%2") + 匕伝，xn)
где 匕一квадратичная форма, удовлетворяющая уравнению (1.12). По свойству корней определяющего уравнения эта форма будет определенноотрицательной.
Производная функции V в силу уравнений (1.22) примет вид
『=2N*2N- I (弘 + Si + 1 + …)一 2%卜力(X)+ 勿2 /2(х)+...+
+ £ 冰Q*，o)+ ...l+x12+... + xn8 + k — kQ-
+ 2 崇 %⑴(x)+%f产(%)+…+2 %约№。)+…
t = 1一k = 0
В области у】® V 尤2", х > 0, где возможно удовлетворить неравенству V > 0, будем иметь，> 0, если только число М будучи больше % + 1, удовлетворяет неравенству ^ > bjh.
Действительно, в области |p|V|%"| знак производной определяется совокупностью членов
% 2n+ %(2Nh—2 瓦)+%心 +…+%/
из рассмотрения которых следует, что в области V > О, У' будет тоже больше нуля и будет обращаться в нуль только в начале координат.
Следовательно, построенная функция удовлетворяет всем условиям теоремы Четаева, из которой следует, что невозмущенное движение неустойчиво.
При подсчете совокупности членов, определяющих знак V\ предполагалось, что § = %. Если бы мы имели дело с В>%, то совокупность этих членов приняла бы вид
22/1%2"+% +%/ +... +力也a
В силу доказанного мы можем сформулировать следующую теорему.
Теорема 4. Пусть определяющее уравнение системы уравнений (0.1) имеет два нулевых корня с одной группой решений при п остальных с отрицательными вещественными частями.
Если в результате замены
匕=协 + % (х, у)
где ui(xt у) — корни уравнений
раUi + .^+p^Un+Xtlx, у, «ь ..., ып) = 0(«=1,, п)
будем иметь:
а0 — нечетное, % < 0, % — нечетное и аг < (а0 — 1)/2 или
а0 — нечетное, 00 V 0, % — нечетное, % — (а0 — 1)/2 и %? + 4(% + 1)%》0, то невозмущенное движение неустойчиво.
6. Все случаи, которые осталось нам рассмотреть, относятся к предположению Оо < 0> % — нечетное, причем & и % удовлетворяют одному из условий:
&1> 門丄 ИЛИ &(%)= 0
% =, a J + 4 (а^ + 1) а。V О
Полагая а0 = 2т ——1, условия 1) и 2) можно представить в виде:
aj>m — 1 или 片(%)=0
% = /и— 1,a J + 4/na0<0
He уменьшая общности задачи, мы можем считать число % равным —1, так как к этому случаю приводится всякий другой.
Решение нашей задачи в случае 1) и 2) представим в следующей форме. •Систему уравнений (0.1) преобразуем к новым переменным по формулам, указанным в § 1, в результате чего получим систему уравнений (1.10), в которой числа а$«)и ks удовлетворяют неравенствам
%偉)>%)+К,々8>%)+К(，=「..，％ s = o, i,…，К)
Число К мы определим в дальнейшем.
Введем в рассмотрение ляпуновские функции Sn и Cs, удовлетворяющие условиям
Cs2«e + /nSn20=l,-^- = —Sn0
A^Hl = Cs2m-ie, Cso=i, sno=o
Преобразуем систему уравнений (1.10) с помощью подстановки
% = rCs8,у=—rm Sn 0}
Уравнения, которым удовлетворяют функции г и 0, запишутся так:
产1 冬=д 卜2m-l +%(x,g)+ V 步 Q№0)+
+9 2 卄Q® *> + •••
产+1型=产m一%*2m-1+九(*，g) + J XkQ^■ 0) +
+ У J /Q(" i)+… 在=也
Если в правых частях этих уравнений заменить х и z/ на г и 0, то при условии % > (а0 — 1)/2 или ^(х)三 0 получим уравнения
与=产+ 7R (Г, 8) + №+m+1 R] (г, 0, %，…，％)]
at
粤=i一1+产田",8) + №+т仇g,仇X1，…，x/(L23)
at
где 7? и 0 означают ряды, расположенные по целым положительным степеням г, причем коэффициентами разложения служат рациональные функции от Sn0 и Cs0. Эти ряды будут сходящимися при достаточно малом г для всех реальных значений переменной 9.
Функции R] и В】 представляются рядами, расположенными по целым положительным степеням переменных г, xlf ...,左,и эти ряды будут сходящимися для всех значений переменных, удовлетворяющих при достаточно малом е условию
и для всех реальных значений переменной 0.
В случае ах = (а0 — 1)/2 аналогичным путем приходим к уравнениям
-~ == ах r^ Sn2 0 Cs^-1 8+产+i [R 亿 8)+冲+加+ 】&(「，9, x1( ..., xn)]
(L24)
=(1 +a± SnOCsw0) +rw[0 (r, 8)+№+m 4 亿 0, x1( xn)] dt
где R, 9, Ri, 0i —— функции той же структуры, что и в уравнениях (1.23).
В силу условия а】？——4/n V 0 выражение 1 + aiSnBCs^B не обращается в нуль ни при каком вещественном значении 0 и является величиной положительной.
Исключая из уравнений (1.23) время 力 мы получим уравнение
登=户& +関3+ ... + №+2风⑴+典⑴+…](1.25)
где Rs представляются периодическими функциями 0, a R§⑴——голоморф* ными функциями переменных 厶，...» 今 с периодическими относительно 0 коэффициентами общего периода ([3], стр. 300):
Уравнения (1.24) нам дают
=++№+2(R()⑴ + rR丄⑴ + …)
где R$ и RJD——функции той же структуры, что и в уравнениях (1.25). Рассмотрим вначале случай ах > (а0 — 1)/2, который приводится к исследованию уравнений
£ =户旦+产R3+…+户+ 2(凡⑴+次1⑴+ ...)
譬= P“/+ …+pinxn+... +r^+^P^+rPt^+ ...) +
(1.26)
+ XJ(r, 0, Xi，…，х/
粤=产一+严田亿8) + №+m仇忆仇/一..，*30 = 1,
где Q⑺一периодические функции 0 с общим периодом 2со, а Х『一голоморфные функции переменных г, %, ...» хп, обращающиеся в нуль при %i = ... = %冷=0. При этом члены, не зависящие от г, содержат xs в степенях не ниже второй.
Мы здесь должны различать два случая. В первом — задача об устойчивости будет решаться конечным числом членов (общий случай), во втором ——задача об устойчивости решается всей правой частью системы (1.26).
Положим в первом уравнении системы (1.26) хх = х2 = ... = хп — О, в результате чего получим уравнение
^-^r^R2 + r^R3 + ...
Определим функцию 尸 в виде ряда, расположенного по степеням произвольной постоянной с:
г = с + с2и2+с3и3+
где 〃2, 〃з,…一не зависящие от с функции 0. Функции эти определяются из уравнений 噜=&，-^=7?з + 2«Л,
Допустим, что в последовательности функций 〃纟，〃з, .-.первая непериодическая функция есть
Функция эта будет иметь вид
也 N = g6~\~v
где g означает отличную от нуля постоянную, а и ——некоторую периодическую функцию 0.
Возможны два случая, характеризующиеся неравенствами:
NVK + 2
^>^+2
В случае (А) задача об устойчивости будет решаться знаком числа g, в случае (В) необходимо систему уравнений (1.10) преобразовать по формулам § 1, в результате чего число К увеличится, число N может измениться 60
лишь при некоторых числовых зависимостях между коэффициентами разложения функций
У(居 У9 ^i, ••• » %м) н Xt (х, уt, Хп)
Если такая числовая зависимость существует и если при неограниченном увеличении числа К число N будет тоже увеличиваться, оставаясь все время больше числа К、то какое бы сколь угодно высокое приближение мы ни брали, членами высшего приближения интегралы системы уравнений всегда можно сделать устойчивыми или неустойчивыми ——по желанию.
Аналогичный случай имеет место в исследованиях Ляпунова при решении задачи пары чисто мнимых корней.
В дальнейшем мы будем предполагать, что при некотором значении числа К существует неравенство (А).
Произведем замену переменной г на z по формуле
r = z+zl U2+z3U3+ …+z"-l 〃胃—1 +〃"
где %，〃з，…，辽修一1，и — известные периодические функции 0.
Переменная z будет удовлетворять уравнению
+z^+2(Zo ⑴+zZJ)+...)(1.27)
где Zj — непрерывные периодические функции 0, a Z)⑴一голоморфные функции переменных 修，...» хп, коэффициентами разложения которых являются периодические функции 0.
Не уменьшая общности задачи, мы можем переменной г, а также и переменной г приписывать только положительные значения. Это следует из того, что правые части уравнений (1.25) обращаются в нуль при 尸=О, а правые части уравнений (1.27) — при z = 0.
Построим функцию Ляпунова в виде
где 匕一квадратичная форма, удовлетворяющая уравнению
£鲁2(卩门尤1+ …+Р1пхп)^ S(xi + …+%，)(1-28)
Полная производная функции V по времени представится так:
К'=警普+g(x" -+V) +
+E 籌[宀+尼(P 丿 °)+rp^+•••)+%*]=
= g(zN + m-l +%J+ …+x“2)+S(Z, Xb ..., Xn, 0) где S представится в виде
s = z~+t + £ s у»修打 i=1 /^= i
если при 田 nW” разуметь голоморфные функции переменных z,修，...,左, обращающиеся в нуль при z = %工= … = 今 = 0. Поэтому производная dV/dt будет знакоопределенной функцией переменных z, хп ...,今 и знак ее при достаточно малых z, xs будет одинаков со знаком числа g.
Таким образом, при g V 6 функция V будет определенно-положительной, а производная ее определенно-отрицательной. Если g>0, то функцию V всегда можно будет сделать величиною любого знака, как бы ни был мал предел, которого не должны превосходить величины z и xs.
Вследствие этого приходим к заключению, что при g V0 невозмущенное движение асимптотически устойчиво, а при g > 6 — неустойчиво.
Переходим ко второму случаю, когда с^ = (а0 — 1)/2.
Уравнения возмущенного движения будут
- = rR1 + r^Ri+ …+ 产+2(凡")+ 求屮)+ 产"1)+ ...)
粤=「；1%1+ ... +pin хп+г^ (Л<0)+rP/n + ...) + at
+ X*(r, 8,(L29>
—=(1 +axSneCsm G)^-1 +rm [0(r, 0) +
+ r*+m8i(r, 0,打，…，Xj (1 = 1Л)
Рассмотрим вначале случай, когда
§ R曲=g丰о о
Как мы сейчас увидим, задача об устойчивости в этом предположении решается знаком постоянной g.
Введем замену
0
p = rexp\(g—R0 d8 о
Согласно определению постоянной g, выражение
0
§ (g— R0 d9 о
представляет периодическую функцию 6 с периодом 2s; следовательно, и задача об устойчивости по отношению к переменной р эквивалентна задаче об устойчивости по отношению к переменной г.
В результате замены мы получим систему уравнений вида
粤=8P+p2凡* + - +pe+2(Ro* + PRi* + ...)
粤=「△/+••• +pin xn + ^ + k(P^ +pP^+..^+X^(1.30)
-^- = p^1'1 (1 4-OiSn QCsm 0)exp df-^- = p^1'1 (1 4-OiSn QCsm 0)exp df00-（m-D、（g-凡）曲 +-（m-D、（g-凡）曲 +оо
-^- = p^1'1 (1 4-OiSn QCsm 0)exp df
-^- = p^1'1 (1 4-OiSn QCsm 0)exp df
0
0
-（m-D、（g-凡）曲 +
-（m-D、（g-凡）曲 +
о
о
+ Pm [9* (P, 8) + P^+m仇* (p, 8, %1, ..., /)] a = 1”)
Предполагая, как и в предыдущем случае, р > 0, построим функцию у=р + %(/, /)
где 匕一знакоопределенная квадратичная форма, удовлетворяющая уравнению/1.28).
0一 (/n— 1) \(g—R0d60一 (/n— 1) \(g—R0d6Полная производная функции V по времени в силу уравнений (1.30) примет вид
0
一 (/n— 1) \(g—R0d6
0
一 (/n— 1) \(g—R0d6
|Л = gp" (1 +。工 Sn 6 Cs" 0) exp
+ g 的* + …+%/)+S
где
s=p"+中+£ £咒看制
中，Т;； — голоморфные функции переменных р, х1г …，今，обращающиеся^ в нуль при
р = %1= ... = хп — О
В силу условия
Ci2 —4/и< О выражение
9.
(1 +ах Sn 0Csm 0)ехр —(т — igg —Ri)d8
Lо_
для всех вещественных значений 6 является величиной положительной. Поэтому производная dV/d/будет знакоопределенной функцией переменных р, Xi, ..., Хп и знак ее при достаточно малых р, х8 будет одинаков со знаком числа g.
Функция V при g V 0 будет определенно-положительной, а производная ее определенно-отрицательной.
Если 3 > 0, то функцию V всегда можно сделать величиною любого， знака, как бы ни был мал предел, которого не должны превосходить величины р и %8・ Вследствие этого приходим к заключению, что при g V 0 невозмущенное движение асимптотически устойчиво, а при g > 0 — неустойчиво.
В результате преобразования мы получили уравнения, в которых выражение 1 + «iSnOCs^O при условии а/ — 4/n V 0 положительно.
Если бы знак этого выражения заменить на обратный, то случай g V О соответствовал бы неустойчивости, а случай g > 0 — асимптотической устойчивости.
Рассмотрим теперь случай g = 0. Произведем замену
0
p = reJ^, J(O) = \RJd0 о
где J(6) представляет периодическую функцию с периодом 2(о. В результате преобразования получим систему уравнений вида
* = p3R『 + p3R*+…
醬= р〃％+ ... + pin xn + p2-+ ^(Po^ + pP^)+ ...) +Xn*
dt(L31)・
—(/и — 1)\ Ri d0 +…о .—(/и — 1)\ Ri d0 +…о .=(1 -f-OiSn 0Csm 0) exp
—(/и — 1)\ Ri d0 +…о .
—(/и — 1)\ Ri d0 +…о .
dt
(t=lrt)
Нетрудно заметить, что задача об устойчивости по отношению к переменной р эквивалентна задаче об устойчивости по отношению к переменной г.
Но уравнения (1.31) по структуре ничем не отличаются от системы уравнений (1.26), а поэтому задача наша будет решаться тем же способом^ который был указан выше.
Вышеизложенное приводит нас к следующей теореме.
Теорема 5. Пусть определяющее уравнение имеет два нулевых корня с одной группой решений при 九 остальных с отрицательными вещественными частями. Дифференциальные уравнения возмущенного движения приведутся тогда к виду (0.1).
Задавшись некоторым числом К, преобразуем систему уравнений (0.1) так, чтобы разложение функций Х『°)в преобразованной системе началось с членов не ниже (2т + 7<)-го порядка.
Проделав это преобразование и положив в первых двух уравнениях % =…=% = 0, получим
где
%(%) = %%%+…，/\(%)=а1%5 +…， a0 = 2m一1,a0<0
Производя замену
х=( — @о)—1/2 (加-1)%1，у= ( — а0)-1/2(т-1) ух
получим уравнения, в которых а0 можно принять равным —1.
Полагая далее х = г Cs 6, г/ = —iSn 0, придем к уравнениям 糸=产品+产& +(A)
思=Г& +尸2%+…[(b)
Уравнение (А) будет соответствовать случаю ах > (а0 —1)/2, а урав* ” нение (В) — случаю а工=(а0 — 1)/2, %含一4加 V 0.
В случае (А) определяем ряд функций и2» 〃好 …переменного 0 так, чтобы выражение
Г = С + C2Ua + С3и3 + ...
при произвольно заданном с удовлетворяло уравнению (А).
Пусть первая непериодическая функция 〃％ имеет вид
〃％ = g6 + и (6)
где о(6) = и(9 + 2(д).
Если N 之 К、то при g > 0 невозмущенное движение неустойчиво, а при g V 0 — асимптотически устойчиво.
В случае (В)
尸=С〃1 +炉〃2 + 度〃8 + …
—ряд, формально удовлетворяющий уравнению (В) при произвольно заданном с.
Пусть первая непериодическая функция 〃n будет
〃& = g8 + о (9)
где о(8) = и(9 + 2со).
Если ^ <： ^, то при g > 0 невозмущенное движение неустойчиво, а при g V 0 — асимптотически устойчиво.
64
Если
\&d8#0
О
то число ^ = 1, а знак числа g совпадает со знаком этого интеграла.
В заключение отметим, что задача, разобранная в последнем параграфе, включает в себя как частный случай обе задачи, решенные Ляпуновым: 1) один нулевой корень, 2) пара чисто мнимых корней.
Примечание. Преобразования, указанные в условии теоремы 5, преследующие цель — повысить наинизшую степень разложения функций Х^ до порядка 2m + К, можно провести двумя способами. Первый способ указанный в § 1, требует повторных преобразований по формулам
%=执+火(%, 9)
где 修(х, у)——корни уравнений
Ри «1 + …+р1Пип+Х^х, у, «!，...,un) = 0(i= In)
Второй способ, наиболее удобный в применении к теореме 5, сводит задачу к вычислению функций иг (х, у) из уравнений в частных производных вида
У +(%, У, 〃i, •••,辽п) = р〃〃工 + ••• Л-Pin ип +
оу
+ ^ (^, JA % …，％)(f= 1,, /г)
Этим уравнениям можно удовлетворить рядами, расположенными по целым положительным степеням переменных %, у. В большинстве случаев эти ряды будут расходящимися, поэтому при вычислении функций ui (х, у) ряды эти необходимо оборвать на членах не ниже (2/и + К”。 порядка. (Функции ^ (х, у), так определенные, уже не будут интегралами предыдущего уравнения, тем не менее могут быть использованы для поставленной цели.)
Из рассуждений § 6 следует, что если х принять за величину первого порядка, то у можно считать величиной 加-ro порядка, а выражение х电】уА2 一 величиной (б】+ mk^-ro порядка. Условие теоремы 5 предусматривает уничтожение членов (в разложении функций Х/°>), для которых 饱+ mk2 V 2加+ К・
Изложенное в §§ 1 — 6 решает полностью задачу Ляпунова о двух нулевых корнях с одной группой решений.
§ 7. Пусть предложенная система уравнений имеет вид
筹= x(%,协+e*瓦犷，Q(瓦，3)
2~ = У(х, 9)+ £>Л/，Р(瓦，储)(1.32)
粤="江/+ …+pinxn +^(х, t/) + 2^* 央R4,司 at
(i = 1, ... , %)
где суммы распространены на все целые числа 々卜 ^2,九力 п2, удовлетворяющие условиям & + 々2》0，九1 + 九2?0； Q旧，々2),尸(也i，也2), r『m,%) - голоморфные функции переменных х1( ...» 修，причем разложение Q(°，°),尸(°，°) начинается с членов не ниже второго порядка, X (х, у), У (х, у), X» (х, у) — голоморфные функции переменных х, у, не содержащие в своих разложениях членов первого порядка.
5 Зак. 3126
Представим функции X (%, у), У (х, у), Xt (х, у) в виде
Х(х, у) = Х^ (х, у) +Х(е+1)(х, у) + •••
У (х, у) = У(”)(х,у) + У^+^(х, у) + ...
Xf (х, у) = Х^ (х, у) + XfS+ " (%, у) + …
Под Х«), У"), X『')будем разуметь формы переменных х, у, /-й степени.
Покажем, что преобразованием к новым переменным, не изменяющим задачи об устойчивости, систему уравнений (1.32) можно привести к системе того же вида, в которой наименьшее из чисел 次 удовлетворяет неравенству mt> т. + N, где N — произвольно заданное число.
С этой целью рассмотрим следующую систему уравнений:
рцХх+ .... +pinxn+Xi(x, у)+^х^уп^^- ^) = 0 (1= 1П) (1.33)
Левые части этих уравнений обращаются в нуль при % = {/ = / = ...= 修 =0. Но их функциональный определитель в отношении хъ хп при этих значениях переменных отличен от нуля. Поэтому уравнения эти разрешимы относительно величин 打，…，修 единственным образом:
Х1 = «!(X, у),”2 =氏2(%,^) Хп= Un(X, у)
где «i, ..., «п — голоморфные функции переменных х, у, разложения которых по степеням х, у не содержат членов ниже второго порядка. Наинизшая степень функций 〃力...,% будет равна наименьшему числу 色.
Преобразуем систему уравнений (1.32) посредством подстановки
& = 9t + 〃t(x, S(1-34)
где yt — новые переменные.
Если в преобразованной системе через X* (х, у), У* (х, у), У；* (居 у) обозначим совокупность членов, независящих от переменных у19 ...» уп9 а через /и* — наинизшую степень разложения функций X* и У*, то наинизшая степень разложения функций У；* будет больше т*.
Значения функций "(%, у) при таком преобразовании определяются равенствами
匕*(Х, 9)= 一攀 x*-粤У* "=1,…，，")
Если в результате преобразования мы будем иметь, что X* 曰 У* м 0, то точно так же получим У产三 0.
Предполагая, что над системой уравнений (1.32) преобразования по формулам (1.34) выполнены, и сохраняя в преобразованной системе прежние обозначения, определяем новые функции 〃厶 …，/ из решения уравнений (1.33), где под Х; (х, у) н RJ%，％) разумеются новые функции, полученные в результате первого преобразования.
Разложения функций и*,…0n будут начинаться с членов не ниже (/и + 1)-го порядка
В результате новой аналогичной замены
М =协 +〃t(x, У)
мы получим новую систему, в которой формы Х(т) и yg, фигурировавшие в уравнениях (1.32), подвергнутых первому преобразованию, не изменят своего значения, а разложения функций У” в которые обратятся функции Xh не будут содержать членов ниже 2/и-го порядка.
66
Если предположить, что система уравнений （1.32） обладает указанным свойством, и если ее подвергнуть аналогичному преобразованию в третий раз, то наинизшая степень разложения функций X” полученных в результате третьего преобразования, будет больше, чем 3/и — 1, где т — наинизшая степень функций X и У, полученных в результате первого преобразования.
В результате третьего преобразования функции X н У могут изменить свое значение, но формы 貞加），X（m+】），文㈠叫 yg）,加加 У（2т）останутся теми же.
Применяя указанное преобразование достаточно большое число раз, мы получим необходимое неравенство
tn» >m + N
В дальнейшем мы будем предполагать, что система уравнений （1.32） есть система, над которой указанные преобразования уже выполнены.
Может случиться, что в результате этих преобразований все функции Q（財，*2）и 尸伍 1，也2）, для которых ki + k2 ^ т. + Nt обратятся в нуль. Тогда вопрос об устойчивости, как увидим, будет решаться непосредственно рассмотрением уравнений （1.32）. В противном случае будет необходимо некоторое дополнительное преобразование, и мы сейчас покажем, что систему уравнений （1.32） можно преобразовать в систему такого же вида, но в которой функции Q（蜀，也2） и Р伐1，也Q для всех целых положительных чисел 々1,居，удовлетворяющих условию 应】+ 庵 & 团 + М тождественно равны нулю.
В самом деле, предположим, что в системе уравнений （1.32） все функции Q^kit М） и 尸仕I，厶）， для которых 々1 + 々2 & К, тождественно нули, а те же функции при 財 + Е Ж вообще отличны от нуля.
Введем замену
% =自+ *龜/‘u（齡'也"，У = n +w为龜疗2h財，*z） 但1十府=2
где 自，刀 ——новые переменные, a U（財，也" и V（机•也"一 голоморфные функции %i,...,修,удовлетворяющие уравнениям
У — （Р，1 / + …+ Pm 4 + XJ） = Q电，^）
& Лу（^1.也2）L ,
£ ~Л（P〃％l+ …+Pi7l %n +XJ） =P「2）（瓦 + 局=长）
в которых X»* представляют совокупность членов, независящих от переменных х, у. В случае К = 0 эти функции будут иметь вид
x/ = x:（〃，0）+e〃"и"次产1e）（" н u（。，0），и=м。,0））
В силу теоремы Ляпунова {30} уравнения эти дадут для функций U（也1，也2） и V（Ai，也а） единственные решения в виде рядов, расположенных по целым положительным степеням переменных 石，..,хп.
В результате преобразования мы получим систему уравнений, которой удовлетворяют переменные &, n，xlt ...» хп:
生=x*（自，T］）+w护哦<* （瓦 dt
幺=У*& n）+W№‘睢屮*（3, В）
粤=di% + …+pin *n +xj（e, n）+W2俨&*％）
ar
（i= 1,…，明月十月〉K）
Нетрудно заметить, что в этой системе уравнений все функции Q*(財，也" и Р* (闻・В)тождественные нули не только при 自 + 力纟之 К， но и при
论I + 爲=К, а формы
(1.35)(1.35)X*《m), Х*(т+Н,…，X*(m+», y*(m)( у*(т+1)^ …，y*(m+A)
(1.35)
(1.35)
своего значения не изменят.
Если указанное преобразование проделать достаточно большое число раз, то получим систему уравнений, в которой все функции
Q(电，馬)，pSi,也2)(瓦+府工巾+n)
(^ сколь угодно большое целое число) будут тождественно нули, а указанные формы (1.35) своего значения не изменят.
Полученные уравнения и послужат точкой отправления для дальнейших исследований.
Итак, предложенная система дифференциальных уравнений возмущенного движения имеет вид
贵=¥砌的协十X(m+l)(*,j/)十... +X(m+2)(%,协十
+…+2х瓦yKQgZ
鸟=У⑺乂元勿+Hm+D①勿+…+F(m+W)(%,协+
+ ..・+W/yp(s*)'(L36)
^- = PilX1+ ...+"inXn+X产 +"+1)(%, J/) +
+ X产+2+2) (%, у) + ... +Xf (x, у, /，…，x„)
(f == 1, ..., %,左 1 + 局 > /и + N)
где X"), КЗ Х『‘)一формы /-й степени, X» — голоморфные функции переменных х, у, хп ..., %п, уничтожающиеся при 力=融=…=& = О, разложения которых по степеням этих переменных начинаются с членов не ниже второго порядка; Q(財，纟)и P<k^ В)——голоморфные функции тех же переменных, обращающиеся в нуль при тех же условиях; ^ — сколь угодно большое целое число. Кроме того, все корни уравнения
"и — X %…Pin
Psi Р22 — 乂…Pan =0
Pnl Pn2 …Рпп 乂
по предположению, имеют отрицательные вещественные части.
Рассмотрим сначала плоскую задачу, которая приводится к исследованию системы дифференциальных уравнений вида
登=Х(叫X, у)+Х^+^(х, У)+ ...
如(1.37)
^ = У(砌(％, у) + У5 + 1)(х, у)十…
Относительно этой системы можно установить следующее.
Теорема 6. Если: 1) уравнение F = хУ^) — уХ^ имеет вещественное решение, отличное от нулевого, и 2) Х(т)/% или Y^ly можно сделать вели- чиной положительной при условии 尸=0, то невозмущенное движение неустойчиво. Действительно, линейной подстановкой с постоянными вещественными коэффициентами
% =入1 %i +入2%，J/ = Hi %工+出含У1
уравнения (1.37) можно преобразовать к виду
粤=；(4% 严+4 勿 +…+ату^+х^+^ + ...
at A
(1.38)(1.38)= ^-{Вйх^ + Bx x^~ > + ... +Bmy^)+Y^+^ + ...
(1.38)
(1.38)
dt A
Д ==
Коэффициенты До, В。，当 имеют значения
4 = WaX(m)_ 斯 y(s,Вй = xYW —yX^
口 / dY^ ax(m) \/ ax(”)0Y(M)、
где вместо хну следует подставить 儿 и 闷.
В силу условия 1) теоремы 6 Xj и |лх всегда можно выбрать так, чтобы & обращалось в нуль. В силу второго условия коэффициент До/Д можно сделать величиной положительной.
Предполагая, что 入】и 卩工 выбраны указанным способом, рассмотрим уравнение
dyi ； Big%m-1+ …+Bmgm+Yi(m+1)屮… d% ~ A. x^ +At у .x^-1 ++Ату^ + Х^т+1Ч...
Заменой у* = zxr оно преобразуется к виду
(1.39)(1.39)/贵=以+6/+中的，z)
(1.39)
(1.39)
где 屮(％工,z)——голоморфная функция переменных хь z, разложение которой начинается с членов не ниже второго порядка.
Если коэффициент а =——1 + BJAq неравен целому положительному числу, то уравнение (1,39) имеет голоморфный интеграл, обращающийся в нуль при = 0, вида
Z = С^ + %厶2 + ...
а следовательно,
У1 (尤 i) = Ci 打 2+0/3 + …
Если а — целое положительное число, то голоморфного интеграла в отношении Xi может и не существовать, но интеграл, голоморфный по отношению к %i и %Jn 尤1 и обращающийся в нуль при %】= 0, при этом условии существует.
Обозначая его через z =屮(修，力 1口 石)，получим
如(%工)=%i屮(力，力1口%1)
Преобразуем систему уравнений (1.38) к новым переменным, положив
У1 = У + У1 (^1)» /=%
В преобразованной системе правая часть второго уравнения будет обращаться в нуль при у = 0. Коэффициенты До, Ль ..., Ат, 8H …，Вт своего значения не изменят.
Преобразованную систему уравнений можно записать так:
警++ ... + ”,+x*(х, у)
(1-40)
普=今/…+ 个严+"*(%, y)
где X*, yY^, представляют члены высшего порядка. В случае, когда а = =—14-81/儿一целое положительное число, эти функции удовлетворяют неравенствам
тт— 1
IIV М (炉 + ”)2 % 1口 ％, I У* I < Л4 (%3 + I/3) 2 % In х.
Функцию Четаева, отвечающую системе уравнений (1.40), можно представить в виде
p =炉為-J/2
Производная dV/dt в силу уравнений (1.40) представится так: k'= 2々*21(-^3 + 杂"*1+ ... +勺夕+ X*) 一
—2/ (坛％1 +^^-2 + …+ Al^-1 +у*)
Рассмотрим область D : %》0, |у| 《％电.В этой области, очевидно, V ^ 0. Если число 々 выбрать так, чтобы выражение (Мо — &)/△ было больше нуля, то производная dV/dt в области D будет величиной положительной, за исключением точки % = “ = 0, где она будет нулем.
Действительно, в области D знак производной определяется членом
也若。一Bi %2也+ m-l
A
а последний при (Mo — 80/А > 0 представляет положительную величину.
Таким образом, построенная функция V удовлетворяет всем условиям теоремы Четаева, из которой следует, что невозмущенное движение неустойчиво.
Теорема 7. Пусть правые части уравнений (1.37) таковы, что уравнение
尸=X仆)一/旧)=0
не имеет вещественного решения, кроме очевидного % = у = 0.
Тогда вопрос об устойчивости невозмущенного движения решается знаком выражения
/==尸(cos6, sinG)/==尸(cos6, sinG)X^m^ (cos 9, sin 6) cos 6 + У(т)(cos 6, sin 6) sin 9 ^q
/==尸(cos6, sinG)
/==尸(cos6, sinG)
У (加)(cos 6, sin 9) cos 9 — X^ (cos 9, sin 9) sin 9
Именно: при J V 0 движение асимптотически устойчиво, а при J > 0 — неустойчиво.
Действительно, преобразуем систему уравнений (1.37) с помощью подстановки % = rcos Qt у = rsin 0.
Переменные гиб будут удовлетворять уравнениям
—=Xcos9 + ysin0 = rm Р0 + гт+'Р1 + ... dt
г — == У cos 0—Xsin9 = rm Qo + i+i Qi + …(1.41)
где для сокращения письма положено
X=X(m)+Xg+1)+…， f = f向)+y(叫1)+…
исключая f из уравнений (1.41) получим
察=水1+产& +…(1.42)
где Ri, R2t ... — рациональные функции от sin 0 и cos 0, знаменателями которых служат различные степени выражения
F = Y^ (cos0, sin 0) cos 0—X(m)(cos 0, sin 0) sin 9
не обращающегося в нуль ни при одном вещественном значении 0.
Рассмотрим сначала случай, предусмотренный теоремой 7, когда
f* Х^ (cos 9, sin 8) cos 8 +(cos 8, sin 9) sin 9 厶,八
g = ] —-—-uu 力 U
J Y^ (cos 9, sin 9) cos 9—(cos 9, sin 9) sin 9 о
Уравнение (1.42) показывает, что за исключением очевидного решения г = 6 все другие решения будут для достаточно малых г сохранять знак своего начального значения, а поэтому, не уменьшая общности задачи, переменную г можно считать положительной.
Преобразуем уравнение (1.42) с помощью подстановки
О
где J】(0) представляет непрерывную периодическую функцию для всех вещественных значений 0.
Очевидно, что задача об устойчивости по отношению к переменной г эквивалентна той же задаче по отношению к переменной р.
Переменная р будет удовлетворять уравнению
^=gp+H2(e)p2 + ・・.(1-43)
где Н2(9), ... — непрерывные периодические функции 0.
Функция Ляпунова, отвечающая этому уравнению, будет иметь вид
Р = р
Производная dV/dt запишется так
■ е-
卜‘= ®р+Н2 P? +…);exp (m—1)\(&—g)d8 p^-1 F(cosO, sin 0) x о J
'e"
义1+p喈6冲，低1-g) d8 +…
Нетрудно видеть, что знак производной при достаточно малом р определяется членом
pmgF(cos8, sin 0)
Если условимся рассматривать значения р >0, то знак V' будет тот же, что и знак произведения g户.Функция же V при этом будет определенноположительной. Следовательно, при g尸 >0 невозмущенное движение неустойчиво, а при gF V。— асимптотически устойчиво.
Переходим к случаю, в котором
2л
g= f Rid8 = 0 b
Производя замену p = rexp (-、rd"
из уравнения (1.42) получим
^- = р2Я2(9) + Р3Яз(0) + ...(1.44)
где Я2» "з,…一непрерывные периодические функции 0 для всех вещественных значений последнего.
Задача в этом случае будет решаться тем же способом, который был изложен в § 6.
Будем искать решение уравнения (1.44) в виде ряда
p = c+c2u2 + c3us + ・..
Первая непериодическая функция и^ в ряду функций 〃2, 〃з, ••• будет иметь вид
%i = gi8 + u
где V — периодическая функция 0.
Если теперь положить
p = 2 + z2u2 + ...
то переменная z, которая в вопросе устойчивости может играть роль р или г, будет удовлетворять уравнению
^ = glz^ + ZZ^+...(1.45)
Функция Ляпунова, как и в предыдущем случае, будет иметь вид
Производная dV/dt в силу уравнений (1.45) и (1.41) запишется так:
『=(gi 2"+2"+1 + …)exp (加-1)\&加 2*i尸(cos8, sin 0) x о J
丫(1+〃* + ・.・)
Знак Р‘ будет определяться членом
gi F (cos 0, sinO) 2m(1.46)
При достаточно малом значении |z| знаки z, р н г одинаковы. Поэтому в силу сделанного предположения относительно г переменную z мы должны считать положительной. Но при этом условии знак выражения (1.46) будет определяться знаком произведения gF
Следовательно, если grF > 0, невозмущенное движение неустойчиво, если :же gi 尸 V 0 — асимптотически устойчиво.
Может случиться, что как бы велико число 卩 мы ни брали все функции 〃2，〃8，... будут периодическими. Если каким-нибудь образом удалось это доказать и если вычисление ведется так, чтобы при некотором вещественном значении 0 все функции us уничтожались, то ряд
p = е +С 电 2 +炉〃8 + …
при достаточно малом с будет сходящимся равномерно для всех вещественных значений 0 и будет являться общим интегралом уравнения (1.44).
На основании этого можно заключить, что невозмущенное движение в этом существенно особенном случае устойчиво.
§ И. Все случаи, которые нам осталось исследовать в задаче двух нулевых корней с двумя группами решений, относятся к предположению, что уравнение
尸=%У(т)— yX(m)= О
имеет вещественное решение, отличное от 尤=у = 0, н для этого решения отношения Х(т)/% = У(т)/у неположительны.
Теорема 8. Если при всех вещественных решениях уравнения
F = xYW—yX^ = Q
отличных от очевидного х = у = 0, отношения Х(т)/% = У(т)/у отрицательны, то невозмущенное движение асимптотически устойчиво.
Преобразуем систему уравнений (1.37) с помощью подстанбвки 尤= =г cos 仇 у = rsin 0, в результате которой получим уравнения
^ =鹏。+ 产+1& + ...,^ = i-Qo + iQ] + ...(1.47)
где
^Q = X<m^ (cos 0, sin0)cos0 + y(m) (cos0, sin0) sin0
Qo = F(cose, sin0) = y(m) (cos0, sin 0) cos 0—X(m)(cos 仇 sin0) sin 0
Если при всех вещественных значениях 0, удовлетворяющих уравнению Q。= 0, отношения
X(m)j(cose, sin 0)/cosO = F<m> (cos0, sin0)/sin 0
отрицательны, то для тех же значений 0 будет иметь место неравенство /?о <0.
Возьмем функцию
У =产 exp (—、屮(9) d"
где 屮(0)——ограниченная периодическая функция с периодом 2л, удовлетворяющая условию
2л
J 屮⑼ de = 0(1.48).
о
При условии (1.48) функция V будет ограниченной и определенно-положительной. Производная dV/dt в силу уравнений (1.47) запишется в виде
X =产* (2R。一WQJexp ^―^dej +小十2 S2 + ...
где S2, ... — периодические функции 0.
Покажем, что, не нарушая условия (1.48), выбором функции 屮(8) выражение
2R()—2Qo
можно сделать отрицательным для всех вещественных значений переменной 0.
Пусть В】,02, ..., Qk — значения 0, для которых Qo = 0. Не уменьшая общности задачи, можно положить одно из этих значений 0Z равным нулю (для этого уравнения (1.37) нужно преобразовать к виду (1,40), где коэффициент Во = 0). Из условия теоремы следует, что функция ^0 для этих значений 0г будет отрицательной величиной. Обозначим через 工 наименьшее значение модуля функции Q。для всех значений 0, при которых R。> 0. В силу условия теоремы это значение будет отличным от нуля.
Выберем функцию *ф (0) так, чтобы в области положительных значений Rq выполнялось неравенство
2Ro—WQoV。(1.49>
Для этого достаточно предположить, что в области R。> 0 знак 屮 совладает со знаком Qo и, кроме того, |屮| >• 2Romax/L. Будем далее предполагать, что знак функции 屮 совпадает со знаком Qo для всех значений 0, лежащих в интервалах (0, е) и (2л—е, 2л), и что е ——достаточно малая величина.
Пусть, кроме этого,屮(е)= 屮(2п —— е) = 0. При таком выборе функции 屮 выражение
2R()— 2Qo
в интервале (е, 2冗一е) будет отрицательным.
Функции ± в интервале (е, 2л — е) можно придать вид
2 = N2(e)Qo
где № (0) > 2R()max/L в области R。 > 0. Мы можем, кроме того, предположить, что
N (е) ~ ^ (2л—е) = 0
В интервалах (0, 8)и (2л——е, 2л) функцию 屮 определим следующим образом:
a) 15 V2风*1/k|
2л—ее2a
В) \ №Qod8 = \*ф d8 + \ Wd8 е02л—е
Y)2(0)=屮(2冗)，2⑻=2 (2n一e) = 0
где |Ro*| — наименьшее значение модуля Ro в вышеуказанных интервалах. Если
2л
\ Qo d6 = 0 о
то роль функции 2 может играть функция №Q0, где ^ —— постоянная величина, удовлетворяющая неравенству ^2 > 2Aomax/L・
При этом условии функция V примет вид
展产 exp(一叫 Qode)
и вместе со своей производной
『=严+1 exp (―%2 g QodO )(2Ro—N2Qo)+，m+2s2+
будет удовлетворять первой теореме Ляпунова,
Если
2л
\ Q°de，O(1.50)
о
но функция Qq знакопеременная, то функцию 屮 в интервале (0,2л) можно определить равенством
i|? = №(0)Qo
предполагая при этом, что ^ (0) удовлетворяет условию
\№(8)Q()de = 0 о
Если при условии (1.50) функция Qo знакопостоянная, то, очевидно, в интервалах (0, е) и (2л——е, 2л) при достаточно малом е она должна удовлетворять неравенству
I Qo I V 既 2
где k —— отличная от нуля постоянная.
В силу этого условия неравенство (а) можно переписать так:
a) 121V2风*1/现 2
Очевидно, что неравенства (а), (§), (?) или (а‘)，(§), (?) будут удовлетворяться, если положить
5 =5 =55С cos 9 С cos еe + sin 0 e + sin eC cos 9 C cos £e + sin0e + sin eС cos 9 С cos еe + sin 0 e + sin eC cos 9 C cos £e + sin0e + sin eв интервале (0, е)в интервале (0, е)в интервале (2л——е, 2л)в интервале (2л——е, 2л)
5 =
5 =
5
5
С cos 9 С cos еe + sin 0 e + sin e
C cos 9 C cos £e + sin0e + sin e
С cos 9 С cos еe + sin 0 e + sin e
C cos 9 C cos £e + sin0e + sin e
в интервале (0, е)
в интервале (0, е)
в интервале (2л——е, 2л)
в интервале (2л——е, 2л)
предполагая, что числа Сие удовлетворяют условиям:
6) [С|&^^6) [С|&^^]COS £1 +&—1 Sin 8]COS £1 +&—1 Sin 8—I—I6，)C*[ln(g6，)C*[ln(gsin 8sin 8cos еcos ее 丿 1 +e—I sin8е 丿 1 +e—I sin8
6) [С|&^^
6) [С|&^^
]COS £
1 +&—1 Sin 8
]COS £
1 +&—1 Sin 8
—I
—I
6，)C*[ln(g
6，)C*[ln(g
sin 8
sin 8
cos е
cos е
е 丿 1 +e—I sin8
е 丿 1 +e—I sin8
В последнем равенстве под числом М. можно понимать значение интеграла 2я—е
J №(e)Q°(e)de е
Условия, которым должна удовлетворять функция N (0), позволяют считать число М ограниченным. В силу этого неравенство (6) и равенство (5‘)при достаточно малом е будут совместны. Таким образом, мы определили непрерывную функцию 屮 в интервале (0, 2л) как состоящую из трех частей:
2 = 21(8) в интервале (0, е)
-ф = № (0) Qo в интервале (&, 2л—е)
2 =屮2(8) в интервале (2л—е, 2л)
Эта функция в указанных интервалах удовлетворяет условиям
2R()—2QoV。(1*51)
\w(e)de = o(1.52)
о
Значение функции 屮 в интервале (—оо, +8)определим равенством
屮(8)=2(2冗 + 8)(1.53)
В силу условий (1.52) и (1.53), функция
V = г2 ехр (—、屮(8)d8 \ о
будет определенно-положительной функцией переменного г.
Из неравенства (1.51) следует, что ее производная будет определенноотрицательной. Следовательно, на основании первой теоремы Ляпунова можно заключить, что невозмущенное движение асимптотически устойчиво.
75
Все случаи, которые нам осталось рассмотреть, характеризуются условиями:
уравнение
F=^xY^—yX^
имеет вещественные решения, отличные от очевидного 无 = у = 0.
отношения X(mVx, Y{m)/y для некоторых вещественных решений уравнения 尸 = 0 обращаются в нуль, а при всех остальных — являются величинами отрицательными.
Условия 1) и 2) могут иметь место лишь в том случае, когда функции Х(т)и У(т)имеют общий множитель вида
Р(х, У)= ау + Ьх
где а и & — реальные числа.
Уравнения (1.37) при этом условии можно преобразовать к виду
学=УгХ^ +XM+D + …=%(%, У1)
:(1-54)
挈=必匕(I)+УМ+1)+...=匕(%, У1) at
где положено
У，= ау + Ьх
В уравнениях (1.54) под функциями Xi(" и 匕⑷ нужно понимать формы /-й степени, которые получаются в результате преобразования уравнений (1.37).
Исследование уравнений (1.54) начнем с простейшего случая, когда правая часть второго уравнения обращается в нуль при ^工=0, а правую часть первого уравнения при этом условии можно сделать величиной положительной.
Пусть наинизшая форма XJ^+a), отличная от нуля при уг = 0, имеет вид
Х1("+а)= Д)(т+а)%т+а + ^ig+cQy’xm+a-l + …+ 厶娥G 以加+а
Мы, следовательно, должны предполагать, что выражение А^т^ х^+а соответствующим выбором сколь угодно малого значения % можно сделать величиной положительной. Этому условию можно удовлетворить всякий раз, когда (/и + а)— четное или когда при нечетном (т + а) коэффициент до(^+а) больше нуля.
Возьмем функцию
]/ =炉 + %2
Производная этой функции в силу уравнений (1.54) будет иметь вид
『=2% М Х1(тТ) + 弘 XJ (向 + ... +XJm+a) + …]+
十2弘2 [匕(Al) + FJ⑺)+…] где положено
%(')=弘XJ(I), У\и)= У1 FJ(I)
/》tn +1
В области D, где 尤2" — у^ > 0, % > 0, соответствующим выбором целого положительного числа ^ значение производной можно сделать величиной положительной. Для этого достаточно положить ^ > а + 2.
76
Знак производной V’ в области D при этом условии будет определяться знаком выражения А^т+^ 尤m+a+i, которое, по условию, при достаточно малом х можно сделать величиной положительной.
Мы можем считать, что область D находится внутри области Р > О, следовательно, в области D значение VV больше нуля.
Возьмем функцию
W = x^^ — y^
Производная этой функции будет иметь вид
IF = 2M%2Nl(y]XJmT)+4iXJ (⑺十…+%XJ(m+a-2)+
+ XJm+a)+…)_2勿乂匕(a1)+匕* 6)+…)
Пусть наинизшая из форм Y^^1^ отличная от нуля при 弘=0, есть
匕* (m+6)(招 0) = BJm+6) %研6
Целое положительное число ^1 определим неравенствами
1) М>М (2) М>6 + 1
Если 6 > а — 1, то знак производной W на границе области IF > 0 (где у】？ = %2N】) при 无 достаточно малом определяется знаком выражения 勿A\4(m+a) %2N]+m+a-i. которому можно приписать определенный знак (мы можем рассматривать одну часть области W > 0).
Если 6 < а — 1, то знак производной в указанной области определится знаком выражения
一 28产+6)%2N*+m+6
которое этот знак будет сохранять для всех значений х, лежащих на границе области W = 0.
В случае 6 == а — 1, знак Wr определится знаком члена
(N1 _Д0(^+а)— Bl(加+6))x2^14-m4-а-I
Мы можем предположить, что N-^^^B^+^/Aq^^. Тогда знак этого члена будет определенным для всех значений х, лежащих на одной из границ области W = 0.
На основании изложенного можно утверждать, что построенные функции V и W удовлетворяют всем условиям теоремы Четаева, по которой можно заключить, что невозмущенное движение неустойчиво.
Рассмотрим теперь случай Y^x, 0) =/= 0. Пусть
匕伪，О) = Во(Е”+в+в产+в+з+в+1 +…
Xi(X, 0) = А^т+^ 尤用+a +4(m+a+l) 严+a+l 十…
Будем, как и в предыдущем случае, предполагать, что при достаточно •малом 无 значение Х^ (х, 0) можно сделать величиной положительной (этому условию нельзя удовлетворить лишь в том случае, когда (т + а) — число нечетное и Я0(т+а)<0. Во всех других случаях число 4(网+。)можно ■считать положительным). Исследуем случай р > a, Y^m~^ (%, 0)丰 0・
Положим
V =炉 + У/
•тогда
Р' = 2% [弘 XJA1)+ 弘ХУ(⑴ +... +X](用+。)+ …]+
+ 2弘跳匕5-])+必匕*(⑴+…+匕g+6)+…]
В области D, где
W =吟2 (а+2)_弘2 >0,х>0
значение Vх при достаточно малом |%] можно сделать величиной положительной. Следовательно, в области D W > 0.
Производная dW/dt в силу уравнений （1.54） будет иметь вид
%=*2（а+2）%2（а+2）-1 也]Х1（т-1）+У1Х1*（т）+・.・+Х1（На）+ ...
— 2уу [уг У】（*1）+ ,^+Y^y + …1
При условиях yjm-i）（%, 0） =/= 0, В > а + 1 на границе области D, где у]2 = 卩2%2（°十2）,尤 > 0, производную dW/dt можно записать так:
Wf = -2卩2B[（m-1）%2 （a4-2）4-m-1 ± 及%2 （叶2）十m 土 g尤2 （（1+2）十m+1 _|_
где Lo, Li…一известные постоянные.
При х достаточно малом знак этого выражения определяется одним первым членом, который на границе области D знака не меняет.
Следовательно, построенные функции V и W удовлетворяют условиям теоремы Четаева, по которой можно заключить, что невозмущенное движение неустойчиво.
Если при 匕（т-D （%,0）=/=0 будем иметь, что р — а + 1, то Wr примет вид
Wf =（ — 2^8^-^ 土 2мВо（т+а+1））%2（а+2）+т—1 土 厶0 尤2 （。十2）+网十 … где 厶口 厶，… имеют прежний смысл.
Число м определим неравенством
N>|Bo（m+a+l）|/|Bi（m—1）|
При этом условии 取'на границе области D сохраняет знак, следовательно, движение опять неустойчиво.
Рассмотрим отдельно случай 卩 >2а.
Пусть
0） = FJ （叫％ ,0）i・ =
=y/⑺+6t）（%, 0）=0,匕*（m+6）（居 0）^0
Если 6 > а — 1 и р > 2а + 1, то производную dW/dt на границе области D можно представить в виде
Wf = 2炉（а+2） 4<т+а） X（а+1）+п 土 厶炉（а+D+m+l 十…
В случае 6 < а — 1 будем иметь
Wf — -2n281（加+6）%2 （a+2）+m+0 ± 工0%2 （a+2）+;B+6+1 +
При 6 > а — 1, р = 2а + 1 получим
Wf = [2卩2Q+2）4（m+a）±2NBo（m+2a+l）]%3 （叶l）+m 土 及％3 （а+D+^+l _p ...
Если 6 = а — 1, р = 2а + 1, то
Wf = [2卢（a + 2） 4（т+а）_ 2炉8产+J1）土 2^^^1）] х3（吁1）十m ±
士 Lo%3（a+l）+m+I + …
наконец в случае б = а — 1, р >• 2а + 1 получим
Wf = [2р,2 （а+ 2） А^т+а> — г^В/^^1）]尤з （а+D+m ± цхз 9十1）+加+1 十.…
0, а именно:弘— +n力中,0, а именно:弘— +n力中,Если （а + 2）4产十。）=/= В^+а—* то соответствующим выбором числа р, во всех возможных случаях значение Wf на границе области D можно
0, а именно:弘— +n力中,
0, а именно:弘— +n力中,
сделать величиной какого-нибудь одного знака. Следовательно, невозмущенное движение неустойчиво.
Если при 6 = а — 1 будем иметь
(а + 2) Л0(т+а)= ВМ+ат)
то за W можно взять функцию
Ц7 = м2%2а+3 —%2
область D ограничить кривой у/ =卩2无2。+3, а переменной 尤 приписывать положительные значения.
Значение 取'на границе области D при условии 6 = а—1, §戸2仪 + 1 определится равенством
Wf = [р,2 (2а+ 3) AJ<m^—2^В^т+^-Щ 尤за+т+2 土
±l0%3(1+/叶2+1/2十…
и при достаточно малом 尤 Wr будет сохранять определенный знак. Вышеизложенное приводит нас к теореме.
Теорема 9. Если правые части уравнений
也=gX(mT)+уХ(е)+ …+yX(m+a-2)+Х(т+а)+ …
:(1.55>
丝=уУ(А1) + "g + ... + 亦6+6-2) + у(т丄В)十… dt
удовлетворяют условиям: 1) или R>2a, или У(х, 0)三0; 2) X(m+a)(х, 0) можно для достаточно малого 尤 сделать величиной положительной, то невозмущенное движение неустойчиво.
Если при условии 2) и при р > а будем иметь, что『(吁1)(居 0)声 举 0, то невозмущенное движение также неустойчиво.
Рассмотрим теперь случай: § & а.
Если в уравнениях (1.55) положить
修=% + Ну, у工=у,
то получим новую систему, в которой
а = 0
Число Н можно выбрать так, чтобы значение Х(т + В)(%, 0) было положительно для достаточно малых положительных значений х.
Система уравнений (1.55) примет вид
察=协 X]g)+gX*)+ …+力 X1S+B-2)+Х[(М) + ...
:(1.56}
吧=У1 Y^-^ + У1 %(⑷ + ...十力 yjm+B-2) +У](т+В) + … dt
He уменьшая общности задачи, мы можем предположить, что 匕(m + в)的,0) > 0 при 尤1 > 0.
В самом деле, если мы имели Y^m+^ (хх, 0) < 0 при хх >0, то заменой у】 на —у система уравнений могла бы быть преобразована к новому виду, в котором Y^m^ (хь 0) сменило бы знак.
Итак, мы можем считать
Х1(т+В)(/, 0)>0,匕(…的 0)>0
при 尤1 > 0.
Предположим теперь, что при 尤】 > 0
Х1(*】3, 0)>0,"7)(/, 0)<0
Возьмем функцию V в виде
V = x^+y^
тогда
『=2/ [У1 X]g）+弘 X]（m）+ …+弘 XJMT） +
+ X]（m+B）+…]+2弘弘匕（吁1）+...+%（计6）+…]
В области D, где
取=么（8%1 一弘）>0,/>0,%>0
а е ——достаточно малая величина, значение производной V' будет положительно.
Производная dW/dt в силу уравнений （1.56） запишется так:
Wf =取[% XI*】）+... + ху+в） +...] +
+ （&/_2协）[弘匕（ml）+…+F】（m+B）+…]
На границе области D, т. е. при % = 0 н при 力 =ех^ она, таким образом, сохраняет постоянный знак.
Следовательно, функции V и W удовлетворяют теореме Четаева, по которой заключаем, что невозмущенное движение неустойчиво.
На основании вышеизложенного можно сформулировать следующую теорему.
Теорема J0. Если уравнения （1.55） преобразованы к виду （1.56）, где XJm+В）（尤1, 0） > 0, Y^m+^ （尤1, 0） > 0 при Xi > 0, и если значения Xjm-i）（尤и 0）>0, a Y^m~^ （尤i,0） V0 при 尤i > 0, то невозмущенное движение неустойчиво.
Примечание. Мы исследовали поведение интегральных кривых системы уравнений （1.37） вблизи прямой ах + by = 0, предполагая, что в точках этой прямой первое приближение правых частей обращается в нуль Если кроме общего множителя ах + by члены первого приближения имеют другой множитель %% + Ь^у, то, полагая 弘=的尤 + %у, мы получили бы новую систему, для которой теоремы 9 и 10 будут также справедливы.
Рассмотрим теперь задачу об устойчивости в случае двух нулевых корней с двумя группами решений л с присоединенной системой.
Предположим, что система уравнений возмущенного движения преобразована к виду, указанному в § 7.
Относительно этой системы можно доказать теоремы, аналогичные тем, которые были доказаны для системы второго порядка.
Теорема 6а. Если: 1） уравнение 尸=xY^ — уХ^ = 0 имеет вещесг- венное решение, отличное от очевидного % = у = 0, 2） Х^/х или YEy можно сделать величиной положительной при условии 尸=0, то невозмущенное движение неустойчиво.
Для доказательства этой теоремы положим в первых двух уравнениях системы （1.36） %i — ... = Хп = 0, в результате чего получим систему уравнений, аналогичную системе （1.37）.
Выполняя преобразования, указанные в § 9, мы получим систему уравнений （1.40）.
В результате этих же преобразований система уравнений （1.36） преобразуется к виду
警也出警也出= 含%酬+鲁у%mт +…十个y/n + x* （%, у） +工%鱼收Q（瓦，e）
警也出
警也出
=今次1+…+野兴+ Уу*（х, У）+（1.57）
+ 2%瓦户р（也也）（自+局〉N）
В случае, когда —1 + 8丿4 не есть целое положительное число, все функции, входящие в эту систему, будут голоморфными, причем разложение функции X*, z/У* будет начинаться с членов не ниже (т + 1)-го порядка. Что касается функций Q住】也)， р(拓也)， то в данном случае их можно считать голоморфными функциями переменных хх, ..., хп, уничтожающимися при хх = ... == 0.,
Если —1 + B^Aq — целое положительное число, то функции X*, V* в области, близкой к началу координат, и при %>0 будут удовлетворять неравенствам
IX* (х, у)\<М(х2+у2)т^х\пх I У* (х, у)|<М(х2+№1)/2^1пх
а функции £冲iyAQ(H，M)и £井叩卜2P(КМ) 一 неравенствам
I 2 %也/Q回也叫V M (炉+ J/2严+N)/2
I 2 X也严2 p(自'般)I V M (x2 +，2)(m+n)/2
где М —— некоторое положительное число.
Функция Четаева, отвечающая системе уравнений (1.57), будет иметь вид
V = %2也一疗
где число k удовлетворяет неравенству Ыо ——В]к > 0.
Производная dV/dt в силу уравнений (1.57) запишется так:
屮=2々炉厶一1 [鲁хm+今 "еt +…+^* +
+X* (x, y)+工%財/ Q(以，爲)]—2， [今 уХт-У +... +
+架产+少*(%, {/) + £也收P回 叫
Преобразования, указанные в § 7, позволяют считать, что число N >2к, а при этом условии знак V в области 无2右 ——у?戸 0 определяется знаком одного члена:
& X2计m一1
д
который при х > 0 является величиной положительной.
Отсюда заключаем, что функции V и V удовлетворяют теореме Четаева и, следовательно, невозмущенное движение неустойчиво.
Теорема 7а. Пусть правые части уравнений (1.36) таковы, что уравнение
F^xY^—yX^ = Q
не имеет вещественных решений, кроме очевидного х — у = 0. Тогда вопрос об устойчивости решается знаком выражения
2Л
J =尸(cosе, sin6)Гх”(с。泣.旭堂。se+yg (sine, cose?sjnf 如
J У(卅)(cos 8, sin 0) cos 0—X^ (cos 0, sin 0) sin 0
0.
Именно, при J V 0 движение асимптотически устойчиво, а при J > 0 — неустойчиво.
Выполняя преобразования, указанные в'§ 10, над системой уравнений (1.36), получим
6 Зак. 312681
= gp + Р2Я2 (9) + • • • + рт^н(р, 0, Xn)
(1.58)(1.58)^" = Pa %； + Ч~Ргп Хп + pm+"Rz +Xj(Р，0, xlt , Xn) at
(1.58)
(1.58)
(i = l,л)
где H н № — голоморфные функции переменных р, /, ...» хп с периодическими относительно 0 коэффициентами,儿，方з,…一периодические функции переменной 0, Х^ — голоморфные функции переменных р, хп
%, обращающиеся в нуль при хг = ... = ^ ~ 0.
Функция Ляпунова, отвечающая системе уравнений (1.58), будет иметь вид
展р + К(/ хп)
Здесь 匕一квадратичная форма, удовлетворяющая уравнению 工皆(Рп/ +…+PinXn) = a(xJ + …+%J)
где а — постоянное число, знак которого совпадает со знаком выражения Производная dVIdt в силу уравнений (1.58) будет иметь вид
- ё-
1 +1 +V' =「卅一1 (gp + p2% +…)exp (团一l)\(Ri—g) d8 F(cos6, sin0)
1 +
1 +
e-
+ P *exp \ (Ri—g) d8 + …+a(Xi2 + …+ xj) +
+ 工鄂p"a+X"p, 0. /，…，x)
В области, достаточно близкой к началу координат, и при условии р > 0 функция，является знакоопределенной, одинакового знака с gF. Функция V при gF >4 может принимать значения любого знака, а при gF V。 она будет знакоопределенной и противоположной по знаку с gF. Таким образом, при gF > 0 невозмущенное движение неустойчиво, а при g/7 V О асимптотически устойчиво.
Если §• = 0, то систему уравнений (1.36) можно привести к виду
"=p2儿(8) + …+pm+NH(p, 0, Xi %/
= Рп Хг + - +pin xn + pm+NRi +^i (р, 0, ХЬ ... , X/
(i = 1,л)
Построим ряд
р = С^С?и2 +。电3 + ・・・ +"+«Т Um+^-l
где функции и2, «з,...будем определять так же, как было указано в § 10. Если окажется, что в ряду этих функций имеются непериодические, то первая такая функция будет иметь вид
以卩=gi8 + u(6)
где V (6) — периодическая функция.
Повторяя рассуждения § 10, мы приходим к заключению, что если g^^ >0, то невозмущенное движение неустойчиво, а при grF V 0 ——асимптотически устойчиво. Если окажется, что все' функции и2, и3, …，〃切+^т являются периодическими, то к системе уравнений (1.36) необходимо при- 82
менять преобразования § 7, в результате чего получим новые числа ^ и 卩*.
В случае 卩* < N задача об устойчивости будет решаться так же, как и в предыдущем случае.
Если задача об устойчивости решается конечным числом членов, то в результате повторных преобразований по формулам § 7 мы в конце концов придем к неравенству 卩 < М
Теорема 8а. Если при всех вещественных решениях уравнения
F^xY^~yX^m^0
отличных от очевидного 无=у = 0, X(?Vx = У《т)/у<；0,то невозмущенное движение асимптотически устойчиво.
Применяя к системе уравнений (1.36) преобразования § 11 и беря функцию Ляпунова в виде
У =Г2eXр (—g2(8)d"+ %(%1，xn)
где 匕一квадратичная форма, удовлетворяющая уравнению
W曾0" "1 +…+0"I方n) = 一(xi2 +…+无D
а *ф (0)——функция, найденная в § 11, получим
夕=м+1 ехр ( — 卜(9) de) (2Ro—2Qo)—3J + ••■ + V) +
+ 产+W*(几 0, Xi，...,无n)+£W订修勺
где W*(J 0,无i,…，无п) и 屮打—— голоморфные функции переменных г,打， 今 с периодическими относительно 0 коэффициентами.
Построенные функции V н V’ удовлетворяют теореме Ляпунова, на основании которой можно утверждать, что невозмущенное движение асимптотически устойчиво.
Примечание, При решении конкретных задач нет необходимости проделывать все преобразования, указанные в § 7. Для определения форм Х《н), у^т\ фигурирующих в условиях теорем 6а, 7а, 8а, нужно проделать одно преобразование системы уравнений (1.32) по формулам
Xt^yi+Щ (х, у)
где /(居 у) — корни уравнений
Рц 〃1 + *•• + Pin 〃n +Xj (% ", 11],…,Wn) = О
Дальнейшие преобразования, связанные с увеличением числа ^, на функции Х(т) и Y^ не влияют.
Переходим теперь к случаям, когда задача об устойчивости членами т-го порядка не решается.
Система уравнений (1.36) в этом случае преобразуется к виду
竇=уХ(*1) + уХ^У + ... +yX(m+a-2) +Х(т+<х)十…十工 ％自收 Q旧,8)
也="⑺-1)+"(т)+...+уу(т+в-2)+у(т+в)+...+ух 瓦兴 p(A»,)
(1.59)
財 + 居〉tn-\-NI
Будем предполагать, что число М удовлетворяет неравенству
М > 3 (а +1)
Случай, в котором этому неравенству нельзя удовлетворить» влечет за собой бесчисленное множество известных числовых зависимостей между
6*83
коэффициентами разложения правых частей системы уравнений (1.36). Эти зависимости можно установить с помощью преобразований § 7.
Принимая во внимание неравенство ^1 > 3(а + 1), мы можем без труда доказать следующие теоремы.
Теорема %. Если в уравнениях (1.59): 1) 0 > 2а или У(х, 0) = 0, 2) Х(卅+必)(х, 0) можно сделать выбором % величиной положительной, то невозмущенное движение неустойчиво.
Если при условии 2) и при В > а будем иметь, что У(т-1) (х, 0)丰 0, то невозмущенное движение также неустойчиво.
Если а < р, то известным преобразованием систему уравнений можно преобразовать к виду, в котором а — р и при достаточно малых положительных значениях 尢 функции Х(1n+В)(居 0) и Y^m^ (х, 0) будут принимать только положительные значения.
Предполагая, что над системой (1.59) указанные преобразования выполнены, мы можем сформулировать следующую теорему.
Теорема /0а. Если в преобразованных уравнениях функции Х(т—и(居 0), У(тт)(%, 0) удовлетворяют неравенствам X(m—н (х, 0) > 0, Y(m~^ (х, 0) < 0 при % > 0, то невозмущенное движение неустойчиво.
Ввиду полной аналогии доказательства этих теорем с доказательством теорем 9 и 10 мы его здесь приводить не будем.
ГЛАВА II
ОДИН НУЛЕВОЙ
И ДВА ЧИСТО МНИМЫХ КОРНЯ
§ 15. Пусть предположенная система дифференциальных уравнений возмущенного движения есть система (п + 3)-го порядка и пусть соответствующее ей определяющее уравнение имеет один нулевой корень, два чисто мнимых и п корней с отрицательными вещественными частями.
Линейной подстановкой с постоянными вещественными коэффициентами систему уравнений возмущенного движения в этом случае можно привести к виду
-=X(X,场)+ 工尸(財/£，同)城1%/2/3
dt
争=-北弘+ X1(招％,弘)+ 2q(瓦，版，爲)%瓦x代4户 at
皆=品 + 丫1(%, /, У1) + 2^(**' ^•*>)х*>х1*! у?»(2.1)
^=PslZ「j.+ps/n+Zs(%, /, y^+Z*{x, %1，川，Z1Zn) at
(s ^ !,••■> 几)
где суммирование распространяется на все целые неотрицательные числа 々1，归а,々з, удовлетворяющие условию
后1 +自+后3》。
Под функциями X, Хх, У1( Zs следует понимать совокупность членов, независящих от переменных гх, ...» zn и не содержащих в своих разложениях членов ниже второго порядка.
p(*.,左毒自) Q(也1,也2,右8),R(々1，^2 » ^3)
являются голоморфными функциями переменных 2工,...,гп, уничтожающимися при 4 = … ==27t = 0. Функции Z обращаются в нуль при 々 =...= z^ = 0 и не содержат в своих разложениях членов ниже второго порядка. Коэффициенты р§」таковы, что все корни уравнения
Р11~ХР12…Pin
А(к)=С】Р22—*••• Pan=0
PnlРп2…Рпп — X
имеют отрицательные вещественные части.
Построение функций Ляпунова и Четаева значительно упрощается, если система уравнений (2.1) преобразована к такому виду, в котором разложение функций Z§ начинается с членов сколь угодно высокого порядка.
Преобразование системы уравнений (2.1) к указанному виду достигается заменой
Zs = ^s+«s(X, /,协)
где 〃式居 /,弘)определяем из уравнений*
У^ [X (X, xх,弘)+三p(以，爲，爲)城1修点£弘甸+
+ 咨一期+Х1(х, /, y^ + 2 Q(&,' *21 *3)Х^ х^ у^] +
+喧[入打+乙(招力)+e R(a，A，储)亦1无1牆%甸=
=卩虹以1 + …+p8n 〃n+Z$(%, %i, g^ + Zg*(s=l,…，л) (2.2)
следующим образом: определим 以〃 ...,un в виде рядов, формально удовлетворяющих этим уравнениям (такое определение функций 也 возможно в силу тех условий, которые мы наложили на корни уравнения А(%) = 0)> и оборвем эти ряды на членах N・ro порядка.
Полученную таким образом сумму членов до Nro порядка включительно мы и примем за функции卜
Если теперь систему уравнений (2.1) преобразовать к переменным 互, ...» &п, то совокупность членов, независящих от переменных gn ...,匕冷 в присоединенной системе не будет содержать членов ниже (N + 1)-го порядка.
Совокупность членов, не зависящих от переменных &,…,嬴 в системе, соответствующей нулевым и чисто мнимым корням, в результате нашего преобразования изменит свое значение, и мы должны различать здесь два случая. К первому будем относить те уравнения, когда разложения функций Х(х, /,弘)，ХК居 хх, у) Ух(х, хх, z/i) в преобразованной системе будут начинаться с членов ниже (" + 1)-го порядка, во втором же случае эти разложения будут начинаться с членов не ниже (^ + 1)-го порядка, каково бы значение N мы ни брали.
Последний случай потребует бесчисленного множества известных числовых зависимостей между коэффициентами разложения правых частей системы уравнений (2.1).
Исключая из рассмотрения этот существенно особенный случай, мы можем считать, что в результате нашего преобразования уравнения возмущенного движения будут иметь вид
包=Х(卅)(％, хх,弘)+X(m+i)(%, %i,力)4+NP(財，坛/з)城〔％卢у卢 dt
"=-^l+Xi（m）（%, /,弘）+X］（m+l）（招 /,如）+ …+
（2.3）（2.3）+ W Q（E-*2, 拓）X比方）2 yjs
（2.3）
（2.3）
学= ^1+У产）（居弘）+ У产+火招先）+…+ at
+ e R（拓，匾，也3）痰1 %j2弘也3
粤=飼 4 +Z“ +Zg+N，> +Z产+М+» + ... +
+Z§*zn）
（S = l,…，％ /n + M=N+l； ^i + ^ + Ag > 0）
где новые переменные обозначены прежними буквами, X"）, X】⑴，匕⑺, Z$"）― формы 厶立 степени, а функции Р, Q、R, ZJ имеют прежнюю структуру.
Может случиться, что в результате преобразования числа klf k2t k3 будут удовлетворять неравенству kx + k2 + k3> т + Nlt тогда вопрос об устойчивости будет решаться непосредственным рассмотрением системы уравнений （2.3）.
В противном случае будут необходимы некоторые дополнительные преобразования. Покажем, что систему уравнений （2.3） к указанному виду всегда можно привести.
§ 16. В самом деле, рассмотрим преобразование переменных х, 冷，比 по формулам
% = E+eU（"u k^鳥）%財又同gjs,无1 = £ + e"⑸'也，瓦）Х財无卢弘爲
% = % + 2%恤朋，息）/%产f/?3（总+局+々3 = k）（2.4）
где U、4, % — функции переменных 次，...» 次.Эти функции определим из уравнений
2 訴（Psl zl + -^+PsnZn+ 2S1）=
s=l
=Xf/^n 电+1 'm一1）（局 + 1） 入U（瓦，右2-1, *3+l）（备 + I） +p（財，也2,也3）
: 粉2%1 Z1+…+% Zn+%） = W/产,……电+1）一 s= 1
-%G（"，厶一1，岛+D （鳥 +1）一九匕（电，自，^）+Q出，屁，^）（2.5）
2 礬"” 2"‘（% Z］+…+厶" z.+ZQ = W产，T.-他+1）-
—入品一1，兑з+Н （々3 + ］） + 入U］（財“生2, *»）+ R（论I, fea. fea）
（论1 +h2+々3 =K）
где Z§i — значение функций Z§* при х = xY = уг = 0.
Число уравнений, представляемое этой системой, когда числа йъ й2> й3 принимают целые положительные значения, будет
3 К（К+1）（К+2）
Таково же будет и число неизвестных функций
U（hl，h2,也 3）, U］（'j ^? f 在3） ykl,h2,用 3）
Определители А(х) и Q(v), соответствующие системе уравнений (2.5), можно записать так:
Рп — % …Pin
А (х)=
Pnl …Pnn
D (v) = Dk (v) Dk (v —认)Dk (v + Л)
где Dk(v) означает (й ——1)-й производный определитель от основного определителя
Известно (Fl, стр. 77), что корни производного определителя выражаются через корни основного по формуле
% = т、v1+m2 v2
где пц, т2 ——целые неотрицательные числа, сумма которых равна К・
Что касается корней % н v2, то их можно определить непосредственным решением уравнения О«) = 0.
Получаем 1Vl —次，％ =—儿
Отсюда следует, что корни уравнения D(y) = 0 будут нулевыми или чисто мнимыми.
На основании изложенного можно утверждать, что между корнями уравнений А(х) = 0 и D(y) = 0 не существует зависимости вида
% m1 + x2\m2 + ...+nnmn = vj
где 恤，g, ..., rrin — целые неотрицательные числа.
Последнее условие, которому удовлетворяет система уравнений (2.5), позволяет построить одну определенную систему функций
U(月，財，①)，и1(耳，財V1sl，也2,自)
в виде рядов, расположенных по целым положительным степеням переменных г1? ..., 2п и обращающихся в нуль при 々= ••・=/ = 0・ При условии, что корни уравнения А(х) = 0 имеют отрицательные вещественные части, ряды эти будут сходящимися, по крайней мере в области, достаточно близкой к началу координат.
В силу этого новые переменные 己，互，％ в вопросах устойчивости могут играть роль переменных х, хх, %.
Некоторую особенность при уничтожении членов, не зависящих от переменных х, хх, ylt предоставляет случай, когда &i + &2 + ^з — 0・ При этих условиях в системе уравнений (2.5) под функциями Zlx, Z21, ..., Znl нужно понимать значение функций Z】*, Z^*, ...,厶* с заменой переменных х,无工,У] на U(°，"°), Ui(°，°，°), Vj/o，。，。).
Если систему уравнений (2.3) преобразовать к новым переменным Е, 占и %, т。получим новую систему, аналогичную предыдущей, в которой формы Х(‘)，Х(%, Y^ для всех / & /тг + М останутся без изменения, а так率е останутся без изменения функции, представляемые суммами: ep(財，а，城 1 %卢工Q"' 也2' 拓)%"’主l储 I/产，WR"''在2,爲)X*1 %撈 у^л
для всех Лх, fe2, fe3, сумма которых менее К. Давая К различные значения от 0 до т -\- Nr и производя каждый раз преобразования по соответствующим формулам (2.4), мы получим новую систему, аналогичную (2.3), в которой числа йх, й2, ^3 будут удовлетворять неравенству
自+焉+爲＞^ + n1*
В результате этих последовательных преобразований члены, не зависящие от переменных 々，…，今，изменят свое значение, но формы
ХЕ), XS+1), ..・，X(m+N】)，Xi(向，Xi⑺+1),…，xw+м),
YJ卅)，У】(卅+D, • •, У】(卅+N】)
останутся без изменения.
Не уменьшая общности задачи, мы можем считать, что формы Х^ и Y^ обращаются в нуль при 无i = 〃i = 0 для всех / ^ m + N” где К】一 сколь угодно большое число.
Если этому условию система уравнений (2.3) не удовлетворяет, то ее необходимо преобразовать по формулам
%1 =自1 + 无](Х), У1 -Л14~!/1 W
где хх(х) и У1(лг) корни уравнений
—九弘+ Xl(卅)+XI⑺+l) + …вO,Kx^Y^ +Уг<т+^ + „. = 0
Если в системе уравнений (2.3) наинизшие формы XW и 匕⑴，отличные от нуля при хх = ух = 0, имели степень К, то в преобразованной системе это число К увеличится по крайней мере на единицу. Применяя указанное преобразование N раз, мы получим новую систему, в которой все формы X^l\ yj‘)при /& ^ будут обращаться в нуль при х1~у1 = 0. При этом в случаях, несущественно особенных, наинизшая форма Х(% неравная нулю при /=% = 0, будет иметь некоторую степень m + а, на которую мы можем наложить условие ^ > m + а.
§ 17. Предполагая это преобразование выполненным, введем замену
%i = fcos8, pi = Fsin6(2.6)
Система уравнений (2.3) в результате этой замены^преобразуется к виду 警=х(⑺(х, г, 0)+Х(«+»(х, г, е)+…+X*(Z],…，Zn，x, Г, 0) at
■^=Rm)3 r, 8)+Rm+D(x, r, e)+…+R*(Z],…，zn, X, r, 0) at
「器=也用(叫X, r, 8)+讯宀(招 г, 0)+...+ 0* (21，…，zn, X, ，, 0)(2•7)
T=PslZi+…+ psnZ“+Zs(N+l>(X, Г, 8)+…+ Zs* ⑵，…，Zn, % Г, 0)
(s= 1,…，n)
где X"), R«>, e〃)， Z^ ——формы 厶й степени от переменных %,广 с не- риодическими относительно 0 коэффициентами (целыми рациональными относительно cos 0 и sin 0), X*, R*, 0* — голоморфные функции переменных гъ ..., Зп, х, г, разложение которых по степеням переменных %, г начинается с членов (N + 1)-го порядка (преобразования § 16 позволяют считать число N сколь угодно большим), Z^ — голоморфные функции переменных /, ...»%, г, обращающиеся в нуль при / =…=г„ = 0 н не
содержащие в своих разложениях членов ниже второго порядка.
Формы Х(") (х, г, 0) получаются из соответствующих форм X")(尢》 Xi，%), фигурирующих в уравнениях (2.3), с помощью замены (2.6).
Формы R(?) и 8(/) определяются равенствами
^(0=Х1(0(х> rcosQ, rsin 0) cos 0+^1(° (х, rcosO, r sin 0)sin 0
8(。= У\⑴(无，r cos 8, r sin 8) cos 8—X】⑴(招 “os8, r sin 0) sin 9
В силу того, что формы Х1（‘），Y^ обращаются в нуль при 打= =J/i = ° для всех / & N、можно утверждать, что 8"）и R"） обращаются в нуль при /• = 0 точно так же для всех / & М
Если окажется, что в результате преобразования формы Х«） и R«> выйдут не зависящими от 0, где, как и прежде, / принимает целые положительные значения, меньшие или равные ^, то задача об устойчивости в этом случае будет аналогична задаче двух нулевых корней с двумя группами решений и все теоремы, которые были нами доказаны в главе I, к таким образом полученным уравнениям можно применять.
В противном случае будут необходимы некоторые дополнительные преобразования. Докажем, что, не изменяя задачи об устойчивости, систему уравнений （2.7） можно привести к такому виду, в котором все коэффициенты форм XU）и R3 （/ < N） будут постоянными.
Представим вышеуказанные формы в следующем виде:
R"）= EQSi，/）/1хй）= £p（" 厶）无也产 2（財+局=2）
где Р（瓦，也J и Q（財，包）——некоторые периодические функции 0, и произведем замену переменных % н г но формулам
x=l + ^U^-k^x^ rk^广= p + W V（財，也2）%同尸財（瓦+ & = K） （2.8）
（Если число К меньше М то, согласно вышеуказанному преобразованию! будем иметь
Q（K・ о）=о, р（к, о）= const
На основании этого мы можем считать, что в формулах （2.8） число ^2 будет больше или равно единице.
Функции U（同，瓦） и R（財，也工） определим из уравнений
川"（比，比）^U（瓦，左2）
X -= p出，①）一4（拓，后），X —= Q（/，%）—B（也，也1 （2.9）
числа /仅1，財） и 8（也i，EQ подберем так, чтобы
2л2 л
[[p（电，局）—4（耳，私）]d8 = 0,J [Q（/，&）—b（瓦，届〃 de = O （2.10>
оо
В силу периодичности функций 尸（也，左？）и Q（£g такое определение чисел 力（財，*2）и В（財，財）возможно.
При условии （2.10） система уравнений （2.9） позволяет определить все 〃（也，厶） и 丫仅*，財） в виде непрерывных функций 0 с общим периодом 2л.
Преобразование системы уравнений （2.7） по формулам （2.8） не изменяет формы X"）и R（3 для которых / VK； 4юрмы же 文*（?）и R*（?）в преобразованной системе будут иметь вид
X*（° = e 4后，焉）城]战，r*（o =n8仅1，%）х也收（財+局=k）
Полагая К = 2, 3,…，N н обозначая новые переменные, которые вводятся в результате преобразований, прежними буквами х и г, а также сохраняя прежние обозначения, мы получим систему уравнений, аналогичную （2.7）, в которой формы X⑴ и R⑴（I V ^） не будут зависеть от 0. При этом новые переменные в вопросах устойчивости могут играть роль прежних переменных.
Следовательно, в случаях несущественно особенных задача приводится к исследованию уравнений
芸=X(叫居 Г)+ …+Х(〃+М)(х, Г)+Х(х, Г, 0,召，…，Zn) at
^ = Rg(%,r) + ...+Rg+NJ(x,r) + R(x,r, 0, Zi,…，Zn)
dt(2.11)
H = PsJ,Zi + ... +Psn Zn+Zs^m+N^(x, r, O)+£z№j 必/=1
(s= 1,, n; m^Nx—N)
где X, R, ZJ" — в области, достаточно близкой к началу координат, удовлетворяют неравенствам
加+加+ Ni
|X|VM(炉+ 产)2 ,\R\<M(x2 + r^ 2 ,
\Z^'>\<M(x2 + r2)~r~
а функции 屮5」обращаются в нуль при х = г = гх = … = ^ = 0.
Из вышеизложенного следует, что построение функций Ляпунова и Четаева для системы уравнений (2.11) в том случае, когда задача об устойчивости решается членами не выше Мго порядка, приводится к задаче более простой, а именно: функция Четаева, отвечающая системе уравнений (2.11), будет иметь тот же вид, что и та же функция, отвечающая системе уравнений второго порядка вида
业=Х6)(Х, Г)+Х(т+1)(х, г)+ …+X(m+M力(招 г)
dt(2.12)
—=Rg)(%, r) +R(m+D (居 r) + …+ R(m+M) 3 " dt
а функция Ляпунова, отвечающая системе уравнений (2.11) и удовлетворяющая первой теореме Ляпунова, будет строиться по уравнениям
也=х(向(х, r)+X5+D (居 Г)+ …+X(m+NC(%, г)
dt(2.13)
@=Rg) (%, r)+R(m+l) (%, r) + ... + R(m+Ni)(x,「)
= Psi г1 + 4~Psn Zn(s = l,..., n)
Таким образом, мы убеждаемся, что задача об устойчивости при одном нулевом и двух чисто мнимых корнях в случаях, несущественно особенных, приводится к исследованию уравнений с двумя нулевыми корнями.
На основании изложенного мы можем руководствоваться при решении нашего вопроса следующим правилом.
§ 18. Составляем систему дифференциальных уравнений в частных производных (2.2), определяющую величины и3 в виде рядов, расположенных по целым положительным степеням х, %力 у*. Задавшись некоторым числом N, обрываем полученные ряды на членах N-ro порядка, в результате чего получаем систему функций
% (%,/，Pi), 如(招 /，%),…， 以办 (招/，力)
С помощью этой системы преобразуем систему уравнений (2.1) по формулам
厶=g§ + 以 8(%,无I, У1)
и в первых трех уравнениях преобразованной системы полагаем ^ =...— =Сп = о.
В результате этого получаем новую систему:
萼= Х（т）（%, %],勿） + ...+Х（т+М）（芻 X], %） +…
~~~ =—入f/i +X]（m）（X,修，уг） + …+Xi（m+M）（X,打，％） + …（2.14）
挈=脑+%（叫招打，勾+…+匕⑺十m）（招修，%）+…
Эту систему преобразуем так, чтобы формы XJ" и 匕⑷ обращались в нуль при X] = у、= 0. Преобразование это можно провести двумя способами. Один из этих способов изложен в настоящей главе （стр. 88）.
Другой способ заключается в следующем. Строим ряды для функций 〃（х） и d（x） согласно уравнениям
—X （х, 〃，口）=—入口+Х]（т）（居 / v） 4-X1（m+I）（х, и, и） +… dx
-Х（%, u, D）=入〃 + %（向（居 u,D）+1产+1）（%, u, u） + … dx
где X（x, u, v） означает всю правую часть первого уравнения системы （2.14）.
Полученные таким образом ряды обрываем на членах （/и + МН。порядка и производим замену переменных
%1 = £ + 〃 （%）,% = % + 叫（%）
В результате этой замены мы получим новую систему, в которой соответствующие формы Х]*（/）（%, Ei, %） и Y^^x, Ei, %） будут обращаться в нуль при Ei = % = 0 для всех / С /и +
Предполагая, что над системой уравнений （2.1） это преобразование выполнено, производим замену х = rcos G, у = rsin 0.
В результате этой замены получим систему уравнений с периодическими относительно 0 коэффициентами следующего вида
生=Х（т）（х, Г, 9） +…+Х（т+М）（х, г, 9）+ …
^L = ^m）^Xt r）e）+…+R（m+M）（x, r, 8） +…
，黑=衍 + 9（叫招'，9）+…+ e（m+M）（x, Г, о）+ ...（2.15）
Полагаем
х = Е + WU（& 舟力％4 卢2,r — p-^^ytki.ki）亦1 №纟
（財+局=加）
Определяем числа /«叙，也）,8（自，左力 согласно равенствам （2.10）. Преобразовывая систему уравений （2.15） к переменным Е и р, получим новую систему, в которой соответствующие формы Х*（т（Е, р） и R*（m）（Е, р） не будут зависеть от переменной 0.
Если задача об устойчивости решается членами /n-го порядка независимо от членов высшего порядка, то эти формы будут удовлетворять одной из теорем главы I*.
Если задача об устойчивости членами /и-го порядка не решается, то эту систему необходимо преобразовать к уравнениям с постоянными коэффициентами вида （2.12）. Если при этом окажется, что наинизшая форма X"）, неравная нулю при /1 = 0, будет четного порядка или при нечетном
Теоремы 6, 7, 8.
I коэффициент при W будет положительным, то на основании теоремы 9 главы I можно заключить о неустойчивости невозмущенного движения.
В последнем случае степень I и коэффициент при х1 можно определить так, как это делает Ляпунов в случае одного нулевого корня, а именно: решаем систему уравнений
—阪+X](%, x1%)+2(?(虱，也2，也33«产勿也8 = 0
Kx1+Y1 (х, xn %)+W R(財，也3,瓦)/1 %丿2 疗§ = 0(2.16)
Psi гх+ ...+psn zn+Z& (x,/,%)+ zj(居 xn 弘,4,2办)=0
относительно 修，％, %, которые выражаем в функции х, и производим замену переменных в системе уравнений (2.1) по формулам
修=Ei+修(尤)， 勿=% + У1 (%), 2s = Ss + 2s W
(s —- 1 , ..., /I)
где %!(%), %(%), 2s(x) — корни уравнений (2.16).
В результате этого преобразования получаем новую систему, в которой наинизшая степень разложения функции Х(%, 0, 0) и определит число / и коэффициент при ”•
ГЛАВА Ш
ДВЕ ПАРЫ ЧИСТО МНИМЫХ КОРНЕЙ
§ 19. Пусть рассматриваемая система дифференциальных уравнений воз* мущенного движения есть система (п + 4)-го порядка и пусть среди корней характеристического уравнения, соответствующего этой системе, имеются две пары чисто мнимых и п остальных с отрицательными вещественными частями.
Система дифференциальных уравнений с помощью линейной подстановки с постоянными действительными коэффициентами приводится к следующему виду:
~—^i У1+ ^i>~~=%%i + 匕
arat
~ ~—入2У2+Х2，~=^2-^2 + ^2CD
atat
~77 = Psi г1 + ••• +Psn гп +^s(s=l,n)
at
где X], Ylt X2, K2> Zi,…，Zn — суть голоморфные функции переменных 尤I，Di，％2, У2，21，・••，4，разложение которых начинается членами не ниже второго порядка.
При этом все корни уравнения
Ри —乂 〃2…Pin
Р21022 — 乂…Р2n =0
Pnl Pn2 •*' Pnn 乂
имеют отрицательные вещественные части.
Такое преобразование можно произвести всякий раз, когда мнимые корни простые.
92
В случае кратных мнимых корней систему уравнений можно привести к виду (3.1) лишь тогда, когда кратный корень обращает в нуль все миноры первого порядка основного определителя, соответствующего данной системе.
Система уравнений (3.1) обладает тем свойством, что в первом приближении критические переменные xn yi，尤2, Уа не влияют на переменные присоединенной системы 万，…，Зц, и обратно: переменные присоединенной системы в первом приближении не влияют на критические переменные.
Это свойство системы дифференциальных уравнений позволяет строить функции Ляпунова и Четаева, соответствующие первому приближению, изолированно для каждой группы уравнений.
Дальнейшие преобразования, которые мы будем производить над системой уравнений (3.1), преследуют ту цель, чтобы это свойство распространить на члены более высокого порядка.
§ 20. Прежде всего покажем, что, не меняя задачи об устойчивости, систему уравнений (3.1) можно преобразовать к такому виду, в котором разложения функций ZJ°),工纟出)，...,2n(°), в которые обращаются функции Z，Z2，…，纵，при условии % = … = % = 0 по степеням переменных хп у19 х2> У2 будут начинаться с членов сколь угодно высокого порядка.
С этой целью рассмотрим систему уравнений в частных производных
"(一入 1弘 +Xi) + 礬(% / +乙)+ j^(—入 2 у 2 +^2)+ 6勿 дх2
+ т^ (^2 Х2 +^2)=Psl ^1 + •■• +Psn zn +^s (s=l,孔) (3.2) 勿2 ,
Если функции z§ искать в виде рядов, расположенных по целым положительным степеням 修，％, /，Уз» то уравнения, которые получатся между коэффициентами при определении форм некоторого ^-го порядка, позволят единственным образом определить эти коэффициенты: через коэффициенты разложения функций Х】，Уь Х2, У2, Z§ и через коэффициенты форм ниже Л-го порядка.
Таким образом, будут построены ряды, формально удовлетворяющие системе уравнений (3.2):
4 = 2°*'乐厶’")*№ У^ %炉 У® (s=l，…，п; ^+й2+й3+й4> 2)
Пусть 盡，Q,…，竄 представляют собой функции, полученные из формальных рядов через отбрасывание членов выше некоторого ^-гo порядка.
Если систему уравнений (3.1) преобразовать по формулам
4 = 〃$ + 白s(%i，勿，％2, %) (s = 1, ... , п) (3.3) то в полученной таким образом системе уравнений относительно переменных 以 1，...» 0n функции 4% …，么⑻，в которые обращаются 几 …,〃 при 〃i =…=Un = 0, в своих разложениях не будут содержать членов ниже (Л^+1)-го порядка.
Обозначая новые переменные 〃】,...» 0n прежними буквами %, ..., гп, а также сохраняя прежние обозначения для правых частей, мы получим новую систему уравнений, аналогичную системе (3.1), в которой разложения функций Z^}, ..., Zn^ будут начинаться с членов выше Nro порядка, а разложения функций XJ。)，У"。* Xz(S, У2")，в которые обращаются функции Xi,匕，Х2, % при % = … =Зц = 0, будут начинаться с членов некоторого пг-го порядка (пг》2).
Предполагая число ^ достаточно большим, мы можем считать что N > т. Это неравенство будет иметь место всякий раз, когда задача об устойчивости является несущественно особенной.
Если каким-нибудь образом удастся установить, что при сколь угодно большом ^ имеет место неравенство JV < /и, то задача об устойчивости будет решаться всей правой частью системы уравнений （3.1）.
В дальнейшем мы будем предполагать, что над системой （3.1） вышеуказанное преобразование выполнено и неравенство N > т имеет место.
§ 21. Представим функции Хъ Ух, X?, У2 в следующем виде:
Xj = Xj（）（Xi,勿，％, Q + £Р2,11a力х占婚*х户婚，
Yj = Yio^,弘，/,必 +EQ2・岂,M,hj хб у 广 x户婚'
（/=1, 2；网 +殳+庵+左4》0）（3.4）
где X% и У/о — значения функций X）и У/ при % =…=z九=О, Pj（E,也,，拓，储）,Qj（论° 拓，也з,々J — голоморфные функции переменных z^..., /.
Покажем, что преобразованием, не изменяющим задачи об устойчивости систему уравнений （3.1） можно преобразовать к такому виду, в котором целые положительные числа 自，局，k3f 瓦 будут удовлетворять неравенству I + 局 + Аз + 4 > М где N наперед заданное сколь угодно большое число.
Для этого предположим, что все функции Р）伍小也九瓦，&）, q『（也，爲，“> 也力， у которых
瓦+局 + 々3 + 々4 WK-1（к—1 < ^）
—тождественные нули, и произведем замену
Xj = e/ + 2 Uj（自，电，也 3,储）修也 y^z %2*з %々4
Ю — Л； + 2 ^7"）%!*1 勿*2 %2爲 ％也4
（/ = 1, 2；瓦 +趨 + 左з + &4 = К）（3-5）-
где U№，*2'岛‘ *4） иl/j（也，*8. *з.也4）— голоморфные функции переменных Z],z九,удовлетворяющие уравнениям
2 —~ [PslZi+ ... +р5п^п+^^｝（г1,…，Zn）]=
s=l通
=Uj（也+1，左2 一 1, *3. *4）%I （自+1）—-[7产 1-1，电+1, *3. 也4）入 1 （月+ 1） +
+ 4（拓，*2. *3+1 . *4—0 %2（^3+1）-Uj（也一 *2,也3-1,自+1）入2电+1）—
入 j |//（生1，^2 » 佗 3,左 4）—j— Pj（^l，也2，也 8> 左 4）
3 0У严h也，左3,也4）（3.6方
二一2— [psi ^+ps2 z2 + ... +psn z^+ZJ*） （4=
=Uj（也+1，也2-1,也3, *4）%（々1 + 1）- l/j（月一1，也2+1，也，B）%1（自+1） +
+/（也,也2, *34-1. *4-1）入2电+1） — U严D电，也1,左-1）%2电+1） +
-I— 2vj U j（^l 1 电 2’ ^3 1 左4）—j— Q j（&l■"也2，也3，也 4 ）
（j=l, 2；々1 + 归2+也3+*4 = К）
где ZJ*）— значения функций Z§ при хг = уг = х2 = у2 = 0.
Число уравнений, представляемое системой （3.6）, равно
公 4（К+1） （К+2）（К+З）
-1-2-3
Таким же будет и число неизвестных функций U/Ап 电，瓦，也力,. V产，кЦП, фигурирующих в формулах （3.5）.
94
Покажем, что из системы уравнений (3.6) можно определить все неизвестные Uj(財，馬，拓，也，) и V/Ait 2. a,( *4) ПОд видом рядов, расположенных по целым положительным степеням переменных г1? ...» zn, и что эти ряды будут сходящимися в области, достаточно близкой к точке % =...= =2д = 0.
Для этого достаточно показать, что между корнями уравнений А(х)= —0 и D(v)=0*, соответствующих системе (3.6), не существует зависимостей
(3.7)(3.7)』加$ % = Vj
(3.7)
(3.7)
где mlt …，俑——целые неотрицательные числа, и что вещественные части корней xs отличны от нуля и все имеют один и тот же знак.
Последнее условие выполняется по той же причине, что уравнения А(х) = 0 является характеристическим для присоединенной системы уравнений, а все корни последнего, по предположению, имеют отрицательные вещественные части.
Покажем теперь, что между корнями уравнений Д(х) = 0 и D(v) = 0 не существует зависимости (3.7).
Определитель 0(»), соответствующий системе уравнений (3.6), можно представить в следующей форме:
£>(”) =£>(”) =4 (р)4 (р)% о ... о0入1…0% о ... о0入1…0入］ о入］ о0…%…0…%…о оо оооо…—%о…—%оо与⑺与⑺
£>(”) =
£>(”) =
4 (р)
4 (р)
% о ... о
0入1…0
% о ... о
0入1…0
入］ о
入］ о
0…
%…
0…
%…
о о
о о
о
о
о…—%
о…—%
о
о
与⑺
与⑺
О оО о
О о
О о
2⑺2⑺—入 20 ...0 — Х2 ...—入 20 ...0 — Х2 ...о оо о
2⑺
2⑺
—入 20 ...
0 — Х2 ...
—入 20 ...
0 — Х2 ...
о о
о о
О 0 ...—入 2
оо九2 0 ... О0入2…0九2 0 ... О0入2…02W)2W)
о
о
九2 0 ... О
0入2…0
九2 0 ... О
0入2…0
2W)
2W)
О 0 ...入 2
где
/1 - V%2…%九
£)自⑺=&1a22 - V…&九
ah1a"2…a"九--v
является 尼-м производным определителем от основного определителя
-V -入 100
А（V）=
% — v00
00- V一入2
00入 2—V
Следовательно, значение определителя D(v) можно представить так: 0(V)= Da(V + 认 1) Da (v — i%) Dk (v + Д2) Dh (v—z'X2)
Из последнего выражения следует, что корни уравнения D(v) = О будут или чисто мнимые, или равные нулю L
Из вышеизложенного следует, что между корнями х5 и v7 не существует зависимости (3.7).
Основываясь на теореме Ляпунова {30}, можно утверждать, что система уравнений (3.6) представляет единственное определение функций U« *i, *2. *з. *4)и */々1，В，也&，般)в виде указанных рядов.
Если теперь систему уравнений (3.1) преобразовать к новым переменным Ei, Y|lt 自2,刀2，то получим новую систему, в которой роль функций Xi, 匕，文2, 乙 будут играть функции
日了 =日卅)(Ei, 小,扇，小)+WPj*出/2“8"一自产%也吒2尼‘小n
H尸为⑼風h &2,小)+
+ ±Qj* (也，也2,包，也4)费也%也吒卢刀产(/=1, 2)
где суммы будут распространяться на все целые положительные числа 々^ 々2,々з,々4， удовлетворяющие условию 2】+ 々2 + 々з + 々4 > К・ Давая ^ значения 0, 1,2, .,., ^ и производя каждый раз преобразования по формулам (3.5), мы в результате получим систему уравнений, аналогичную системе (3.1), в которой числа 月，財，々з, & будут удовлетворять неравенству 自 + +局+々3 +々4〉М
Если над системой уравнений (3.1) преобразования, указанные в § 20, выполнены, то последнее преобразование может изменить значение функций Хю, У10, Х20, У20 лишь в членах выше N、ro порядка, члены же 片-ro л низшего порядка останутся теми же, что и в системе уравнений (3.1).
§ 22. Преобразованную систему можно представить в следующей форме
竺= 一 ％ У1 + Хю (巧，弘，％2, %) +Х РУ” **• *»• **> %产 9产％2& у/* at
孕=Ml +%0(Х1, У1, %2, %) +』Q1 优" ft,,4)X声纤，X六%"
/Q O\
学=-斯%+x20(Х1,%修，纷 + еp 心，".*, hjxW、y 卜 X戶时，"
■^ = Х2х2+У20(х1.弘，％2, y^+^iQ^'-*!1 ft>1 ft<)X^y^x^y^ at
^T = Psi ^1 + ••• + PSn zn +^s0(Xx, yu %2, I/2)+ at
+ 2凡(％，％，％，* x^y^x^y^ (s== 1n;瓦十局 +
+ ^з+&4〉М 也l + ^z +办+%》0)
где P, Q, R — голоморфные функции переменных 马，…，马，обращающиеся в нуль при 4 ==左=0.
См. теорему Ляпунова {19} ([3], стр. 77).
96
Функции Хю,匕о, Х20, %о можно представить так:
Х% = Х 产+%（з）+…+Х 产）+ ・・・，Y^ = Y^ +
+号3）+…+匕2）+...（/=1, 2）
где X* и У* — формы /-й степени относительно переменных хп у”
Функции Zso будут иметь вид
厶0 =4（N+1）+厶（N + 2）+…
где Z^ —формы /-й степени относительно тех же переменных хь %, х2, %.
В тех случаях, когда задача об устойчивости решается конечным числом членов и когда знак функций У, Wt Н, W\ фигурирующих в условиях теоремы Ляпунова и Четаева, определяется членами некоторого пг-го порядка （m《N） независимо от членов высшего порядка, задача построе ния функций Ляпунова и Четаева, отвечающих системе уравнений （3.8）, сводится к задаче построения тех же функций, отвечающих системе уравнений
■~"= -% 力 +x1（2）+х上⑶ +...=一入 1 场 + X1的，%,/，後） at
孕=% / +%（2） +匕⑶+…=%玄+%（巧，%, %, %）
~~ =—入2y2 + x2⑶ +X2⑶ + ... = 一m我 + X式%, %, %2, %）
=入2%2+ %⑶ + 外⑶ + …=入2%2 + %（%1, f/l> %2, %） аг
где для сокращения письма Х”, Ую，Х20, ^20 заменены на Хъ У\, Х^, У^・ Может случиться, что в результате преобразований § 20 формы 文工⑺, 厶⑴，X'）, Y^ будут удовлетворять условиям
Х«）（0, 0, /, У2）-匕⑴（0, 0,陋,У》=XW）（融,弘,0, 0）=
=%⑷（修，弘，о,о）= о（3.10
для всех /ЕМ Тогда вопрос об устойчивости будет решаться непосредственно рассмотрением системы уравнений （3.9）. В противном случае систему уравнений нужно преобразовать так, чтобы условие （3.10） выполнялось.
§ 23. Условие （3.10）, фигурирующее в предыдущем параграфе, выполняется для / = 1. Если мы предположим, что оно выполняется для всех /&々—— 1, и докажем, что, не изменяя задачи об устойчивости, систему уравнений （3.9） можно преобразовать к виду, в котором условие （3.10） будет выполняться для всех /《 々,то отсюда будет следовать, что в резуль тате последовательных преобразований система уравнений （3.9） примет нужный нам вид.
Представим функции Х^ 匕，Х2,九 в виде
X] = Х]0 （尤2, %） + X]* （修，％, %2，У2）,^1¥10（*2, {/2） +
+ W （%1，弘，％2, %）
X2 = X2（j（Xi, f/i）十 Х2*（/, %, “ 1/2），乙=厶0（修，弘）+
+ >‘2* （%1，f/15 %2，%）
где Xi* и У】* обращаются в нуль при 尤i =力=0, а X?* и У2* при %2n етУз = 0.
Произведем замену переменных 修，ylt /, У2 口。формулам
%i = Ei+ U"）（尤2,叁），%2 =自2 + 4（也）（石，州（3 11）
У\ = % + %⑷⑸ ％）,% = % + V/k}（修,％）'
7 Зак. 31269 7
где и#% 匕"* 厶阳，匕(同一формы fe-й степени от соответствующих пе* ременных, удовлетворяющие уравнениям
一笳у2 + к /=一儿力回+X"(*)
(3.12>(3.12>一% %+%/ =а им+匕尸)
(3.12>
(3.12>
f •弘4-%般■ % = %%*)+九№)
На числа 入工 и 入纟 наложим условия
(3.13>(3.13>入1 (m1~m2)^^ %,^2 (^1 加2)^1 %I
(3.13>
(3.13>
для всех целых положительных чисел %, /и2, сумма которых (т1 + mJ & ^^. При условии (3.13) система уравнений (3.12) представит единственнбе определение форм Ug,吟优)，0护,%(初
Если теперь систему уравнений (3.9) преобразовать по формулам (3.11), то получим новую систему уравнений, аналогичную системе (3.9), в которой соответствующие формы ^-й степени обратятся в нуль, при этом члены ниже Л-го порядка останутся без изменения. Давая числу k различные значения от 2 до ^ и производя каждый раз преобразования по формулам (3.11)> мы получим систему уравнений, для которой условие (3.10) будет выполняться.
Примечание. Условие (3.13), достаточное для определения форм и^9 V\(幻,U^k\ V%(衿,не является необходимым. Определение этих форм в некоторых случаях возможно и тогда, когда условие (3.13) не удовлетворяется. В этих случаях на коэффициенты форм Х10, У10, Х2о» Ум иеобхо димо наложить некоторые (известные) числовые зависимости.
§ 24. Предположим, что над системой уравнений (3.9) преобразования,, указанные в предыдущем параграфе, выполнены, введем замену
力1гjCos 8工，у】гisin
Переменные 厶,Qu х2> Pz будут удовлетворять уравнениям
色L = X] cos & + 匕 sin 又=£ 4瓦自，r j %卢 y2Ai
厶 半=%Ji + У1 cos 仇一Xi sin 0 = ^^+^^**- **•*>> n* % 卢 у/*
d(3.14》
粤=一儿坎+ X"* (/，绢+ 2 e("耳，E) Y疗，婚*
皆=筛加+ %*闷%) + X0(耳*•> rj/*，婚，
где под 4, В, C, D разумеются периодические функции от 0 с общим периодом 2л. Суммы, стоящие в правых частях этих уравнений, распространяются на все целые положительные числа kt k19 饱，удов летвор я ющие условикх 左 + 尼1 + 鳥》m》2, Причем для тех чисел ft,自，左酊 сумма которых меньше или равна ^, число 尼 отлично от нуля.
Функции Х?*, У2* представляют совокупность членов, не зависящих от переменной 尸工.
Может случиться, что коэффициенты a^ н，在力，C(斩后，月丿，0(瓦咼，月)， фигурирующие в уравнениях (3.14), будут постоянными величинами», по крайней мере для всех 財 尼i, й2» удов л етвор я ющи х условию R + 2工 + 98
+&2&M В этом частном случае задача об устойчивости будет решаться тем же способом, который был указан в главе II (один нулевой и пара чисто мнимых корней).
Дальнейшие преобразования будут преследовать цель свести общую задачу к указанному сейчас частному случаю. Предположим, что все коэффициенты 4出瓦，储)，e出也，也*)0№也，也"，для которых 2 +自+22《k— —1 (К — 1 V N) являются постоянными.
Произведем замену
ri = Pi+S^i(Atftn 也)г/%2也〃臼
*2 =寂+ W u2也"'庵"г产%2仇4*(3.15)
^2 = %+2%!(統也"""%2儿^2偽信+ 財+ kz = K，也 >1)
где U19 〃2， V2 — функции переменной 0, удовлетворяющие уравнениям
n W，：'*')=U№ 析+1»工一1)入2(% + 1)_
一u1伍，也一1，々2+1)入2他2+1)+4仅，乱，电)一85，电，也)
% dU也m力=U№ 4, +1，*，一 1)福(自 + 1)_"(耳①_ 1，*，+1)X
X 及 电 + 1)一% %("**•坛)+C(3 ①，自)—C出 项，*•)
% 川产竺*)=%(斬 *, + 1. A2-1)X2(^ + 1)_^(A.A.-l.A.+ D *
X入2偽+ 1) + % U产拓，^+D^>厶，^-d^也，島)
Число уравнений, представляемое системой (3.16), когда числа 尼,Лп 为2 принимают целые положительные значения, удовлетворяющие условию 尼 + 月 + 々2 = К，равно
九= з[(К+；).,+2) _(К + 1)]
Таким же будет и число неизвестных функций UJ"丸，龜)，U№ ®，財)， у2(л» 耳，龜)
Докажем, что соответствующим выбором чисел g(在，在“也А, №* 左】，在*), d(在，*!•々2)эти функции можно сделать периодическими с общим периодом 2л. Система уравнений (3.16) распадается на две группы. К первой группе относятся уравнения, содержащие функции U№ 也】，А«), ко второй 一 уравнения, содержащие функции Ug 电，左*) и V^k,也‘也立 Каждая из этих двух групп распадается в свою очередь на ^ групп. Эти группы уравнений можно получить следующим образом. Будем давать А различные значения от 1 до К, а для каждого А числам 2工 и ^2 будем давать различные значения, удовлетворяющие условию k± + k2 = К — k.
Характеристическое уравнение, соответствующее уравнениям каждой из подгрупп первой группы, когда числу ^ приписано определенное значение, представится в виде
£>х-а(^) = 0(3.17)
где。骚_以乂)является (К — А)-м производным определителем от
x -%
入2-Y
Характеристическое уравнение, соответствующее какой-то из подгрупп второй группы уравнений для некоторого заданного числа К, представится так
(3.18)99(3.18)99Ок—也 3 + 认 2)Dk—式乂—认 2)— 0
(3.18)
99
(3.18)
99
где, как и в предыдущем случае, под Dk-a (х) подразумевается (К — Л)-й производный определитель от 力工(乂).
По свойству корней производных определителей следует, что корни уравнения (3.17) определяются по формуле
Y = i 入2 (团1—m^(3.19)
где mlt /и2 — целые неотрицательные числа, удовлетворяющие равенству
/И] + k —々
а корни уравнений (3.18) определяются формулой
Y =认2(加 1 —加2 土 1)(3.20)
Из равенств (3.19) и (3.20) следует, что корни уравнений (3.17) и (3.18) все чисто мнимые или нулевые. Кроме того, из равенства (3.19) следует, что уравнение (3.17) не имеет кратных корней. Среди корней, определенных равенством (3.20), находятся корни двойной кратности. Но нетрудно заметить, что двукратный корень обращает в нуль все миноры первого порядка соответствующего определителя.
На основании всего этого можно утверждать, что систему уравнений (3.16) с помощью линейной подстановки с постоянными действительными коэффициентами можно преобразовать к виду
% =—х(т Т(т + 4т+а(т,■ _ ■ = ха S(j + B(j + Р(т
dUi
-- = Dj + 8}(a=l，…，M; /=1, .... Ah; 2M+M, = /i)
где Ta> S(j, (/炉一линейные формы с постоянными действительными коэффициентами от неизвестных функций Ug А° *2\ 1}小齡也，也*), 廿乂稿 &，在也 а Аа + а09 Ва + pa, D j + 6『一линейные формы (с теми же ко9ффициентами) от величин /仅，也/*) — g(在，®，旬，e(仇耳.左力一 —0(在，Ai, e), d(在，編，統)-d(左，月1，*i).
Уравнения (3.21) позволяют определить числа % 限 6； так, чтобы функции Sb, Та и Uj были периодическими с общим периодом, равным 2я. Зная эти величины, можно определить значения функций U卅，仇，左力, Uj在，*i. E), 几(瓦厶，舟*), а также значения постоянных g^ 瓦，左力， C(在，在 1,在*), d(® 在々3).
Производя преобразование системы уравнений (ЗЛ4) по формулам (3.15) и обозначая новые переменные прежними буквами, мы получим новую систему уравнений, аналогичную системе (3.14), в которой коэффициенты 4他，耳，论*), с(左，& в),。(也，齡区) будут постоянными для всех значений k, klt 々2, удовлетворяющих условию 々 + 自 + 尼纟 & "• Нетрудно усмотреть, что преобразование системы уравнений (3.14) по формулам (3.15) не изменяет значения функций Х2* (х2> Уг) и У2*(х2> У2)，а также остаются без изменения члены, порядок которых ниже к.
Коэффициенты формы К-го порядка будут иметь значения g("电，統)， cS・厶・在力,小新论1，々J. Давая числу К различные значения от 1 до N, мы получим систему уравнений следующего вида:
白=У gS/，，*2）rj %2坛 ％" + RW1，61，*2, %）
礬=一儿%+4*的,囚+ e c（E瓦，厶）rJ %臼У^ +
+ %（",%小,力）值•22）
誉=% *2 + У* （%2, “2）+ £ "（4 &，屁）Г/ /М %“ + 匕（厶，％, *2,勿）
（2《4 +也+右2《N）
где R。X?, У? — голоморфные функции переменных гх, х2,力，разложение которых по степеням этих переменных начинается с членов не ниже （N + 1）-го порядка. Коэффициентами разложения этих функций служат некоторые ограниченные периодические функции от 4・
Если теперь положить х2 = r^cos 02, “纟=尸2sin @2 и произвести преобразования, указанные в главе II, § 17, то получим систему уравнений 粤=£42"）不№+0&/2,% 62） at т
礬=£8（瓦/"/"2"+R2&1，厶，01, 02）（2 4e + /2《N）
где 』（厶，々I, В（瓦，厶）一постоянные величины, из которых /（°，*） и В（。，々）будут равны нулю для всех k, меньших или равных ^> а R】 и R2 — голоморфные функции от гх, г? с периодическими относительно ®1 и 02 коэффициентами. Разложение этих функций будет начинаться с членов не ниже （^ + 1）-го порядка.
Примечание. Систему уравнений （3.14） можно привести к виду （3.23） несколько иным путем.
Произведя одновременно замену всех переменных по формулам
尤 1 =尸1cos %,у】==л 1 sin 9],%2==尸2 cos ®2,У2==广2 sin 0g （3.24）
получим систему уравнений
曹=e Rl（A，B） Г产中，醬 =e &（/'自）Г卢r捫
彳票=%" + EQ出i”J"2&,г2^ = Л2г2+2Qz（財,爲）厶財r/*
где Ri, R2, Qi，Q2 имеют вид полиномов от sin %, cos &, sin 62, и cos 02.
Преобразование этих уравнений в уравнения с постоянными коэффициентами до некоторого порядка ^ достигается заменой переменных по формулам
a = p1 + №电'財）尸/"2庵，Q =p2 +工卩財'財）尸/"卢 （a+^2=k）
Формы U仅「尼J, У（財，施）от sin 4, cos &, sin 02, cos 02 подбираем так, чтобы в преобразованной системе форма К-й степени имела постоянные коэффициенты. Такое определение форм U（蜀，尼" и У（財，*外 возможно в силу условия （3.13）, которому удовлетворяют корни »九力 Л2.
§ 25. Уравнения （3.23） отличаются от уравнений, рассмотренных в в главе I, лишь членами выше Л^-го порядка. Предполагая, что число ^ достаточно большое, мы можем при решении вопроса об устойчивости воспользоваться теоремами, доказанными в главе I （теоремы 6——10）.
При решении конкретных задач нет надобности проделывать все преобразования, указанные в этой главе. При решении вопроса мы можем руководствоваться следующим правилом.
оставляем уравнения в частных производных (3.2), определяющие величины Z], ..., Zn в виде рядов, расположенных по целым положительным степеням переменных 修,уъ 修，
Задавшись некоторым числом ^, обрываем эти ряды на членах N-ro порядка и производим замену переменных
Z[ = 〃i+Ci，…，2也=〃禍+ gn
где С, представляют ряды, оборванные на членах ^го порядка.
Полагаем в первых четырех уравнениях 〃工=...=% = 0, получаем систему уравнений (3.9).
Эту систему преобразовываем по формулам (3.11), в результате чего получаем новую систему, аналогичную (3.9), в которой формы %(% У*) обращаются в нуль при 修=% = 0, а формы XJ'), Y^ при 尤纟=У? = О для 1&N、
Полагая в первых двух уравнениях х^ = у? = 0> получаем систему второго порядка
粤=-%弘 + %(%1,%)，警= %/ + У1(%,勿)
Определяем число gi по правилу, указанному Ляпуновым. Это число будет соответствовать числу』(切，°)в системе (3.23) (предполагается, что числа Л(т1>°)при /Hi < m равны нулю). Если окажется, что ^ > О, то невозмущенное движение будет неустойчиво.
Если Ni V 0, то, полагая в двух последних уравнениях 尤工=у】=О, получим также систему второго порядка
醬=—%%+及(%，％),学=%2%2+%(%2, %)
at
Если окажется, что число 且纟，соответствующее этой системе, больше нуля, то будем иметь также неустойчивость.
В том случае, когда gi < 0 н g? < 0, необходимо к системе уравнений (3.9} применить преобразования, указанные в §24, и заключение об устойчивости делать на основании теорем главы I.
ГЛАВА IV
СЛУЧАЙ m НУЛЕВЫХ КОРНЕЙ,
2 孤 ЧИСТО МНИМЫХ И g КОРНЕЙ
С ОТРИЦАТЕЛЬНЫМИ ВЕЩЕСТВЕННЫМИ ЧАСТЯМИ
§ 26. Пусть предложенная система дифференциальных уравнений возмущенного движения есть система (т + 2п + g)・ro порядка и пусть характеристическое уравнение, соответствующее этой системе, имеет т нулевых корней, 2п чисто мнимых и q корней с отрицательными вещественными частями.
Будем предполагать, что /и нулевым корням соответствуют /и групп решений и что чисто мнимые корни удовлетворяют условию
2Z加s Ms *山
Me jxs и |ij — чисто мнимые корни, me — целые неотрицательные числа, а штрих у суммы означает, что суммирование распространяется на все индексы s, за исключением индекса /.
Систему дифференциальных уравнений возмущенного движения в этом случае можно привести к виду
-工'=Uj (〃i,〃m； *1，…，*?i； HitУ nt 2工，…，Zg)
2(4.1)
~H入 8 У& +X$(〃1，…，〃m； *1，…，％П； У1* •••» У nt 21,…，Zg)
at
':;=入8 *s + У$ (“1，•••» 〃m； *工，…，*71； Уъ Уп； 4,…，Zg)
乂" = Prl “I + …+ Prq % +Z「(〃工，…，〃m； *1,…，尤 n； У1* •••» У nt “l,…，％) (j=l, m; s= 1, n; r = l,…，g)
где Uj, X$, У$, Z「一 голоморфные функции переменных и19 ..., um; xlf...
х„; Ji, ・.., %;乞工,...» Zg, разложение которых по степеням этих переменных начинается с членов не ниже второго порядка.
Система уравнений (4.1) обладает тем свойством, что в первом приближении критические переменные 〃工，・•・，〃m；打，…，今；玄，…，Уп и переменные присоединенной системы z】,...,z@ не оказывают взаимного влияния. Поэтому функции Ляпунова и Четаева для уравнений первого приближения можно строить изолированно для каждой группы переменных.
Дальнейшие преобразования, которые мы будем производить над системой уравнений (4.1), преследуют цель распространить это свойство на -члены более высокого порядка.
Докажем, что, не изменяя задачи об устойчивости, систему уравнений (4.1) можно преобразовать так, что разложения функций Z「°, в которые обратятся функции Z「при условии 勿=...—zq = 0t будут начинаться с членов сколь угодно высокого порядка ^.
Введем с этой целью замену переменных
^г =白广 +%「* (〃1，…，〃m；尤 1，…，尤n； 1/1» •••» Уп)(г =】，…，g)(4・2)
где 禽一новые переменные, а 斗* представляют собой сумму форм по ^-гo порядка включительно формальных рядов, удовлетворяющих системе уравнений в частных производных вида
£ t -- (-%% 十 х8)+ £ "^(儿/+匕)=
= Prl Zl* + …+PpZ(7* +
+Z「(〃工，…，“m；尤1,…,％n； f/i> •••» %； zj,・♦・,zj) (/■ = 1,…,g) (4.3)
Основываясь на примечании к теореме {30}*, можно утверждать, что построение формальных рядов, удовлетворяющих системе (4.3), возможно и что эти ряды будут единственными.
Если систему уравнений (4.1) преобразовать к новым переменным ¥「и перейти к старым обозначениям, то получим новую систему, аналогичную (4.1), в которой новые функции Z^ в своих разложениях не будут содержать членов ниже (^ + 1)-го порядка
Предполагая это преобразование выполненным, представим функции U), Xs, Vs в следующей форме:
Uj = a•("+e 4* "产…"/m*出…*「”力'"+1 ••• Уп2п
% = Х/о)+》В/〃产…umkmX1it ... %宀公”+1 ... “2”
匕=匕(°)+》a*"产…"/m*"…X^y^n+l ... %%”
См. предисловие на стр. 38.
где суммирование распространяется на все целые положительные числа 自，…，尼m，厶，…，1次，удовлетворяющие условию 自 + …+ 尼m + 厶 + + …+ 厶71 2 0"
Знак * заменяет индекс (自,・.・,km,厶,…,/加)・ Коэффициенты А^*, Б3*, Св* являются голоморфными функциями переменных 〃, ...» z? обращающимися в нуль при 4 = ... = Zg = O, а функции Uj(°), Х，°), К(°)представляют совокупность членов, не зависящих от этих переменных.
Дальнейшее преобразование преследует цель привести систему уравнений (4.1) к виду, в котором числа 尼” ...» kmt 厶，...,/^ удовлетворяют условию 网 + …4~ 々щ + 4 + …+ & > М Это достигается в результате повторных преобразований по формулам
4/ =巧.+》「*"中…"Jmх出…XnG〃"+l…yn%n
爲= Ws+£ 匕* М瓦…41km %Н …К”％ %%+' ... уп1^(4.4)
弘=% +工呼$*〃№••• Um^xJ，... %nG%'n+l …“2n
(瓦+ …十&m + /i+ …+^2п =Л)
Функции 7)*, Vs*, W^1 удовлетворяют уравнениям
E "^-(Prl 4 + …+ Prq % +Z“)=
n
=—E Tj(%-・r km' 4…5+什 1…屮 z2n) X,.隔 + 上 + 1) +
+ E 0(%一'” 尼m，左li+^ "" zn + /-b ■■■> z2n) % (/. + 1)+4*
£ ^~ ("“％ +…+"”Zg+Z“) = n
=—E y^*!1 左m"p …/一 L 5 + i+ 1&) % 隔+，+ 1) +(4.5)
+ E 丿/，…" km< zr ll+ 1，"，厶+ L L，"，%n) X.(4+1)一%吃*+及*
£ 黑；("rlZl + ・・・ + "rg%+Z“)=
=_e 呼8(分Am> zi> Zi"1> …，J + i+b …%n)儿 &+ё. + 1)+
+ e 呼卅勿 + 1一屮 5+j_ 1，u Gn)%j @+ 1)+儿 %*+e8*
где Z“ ——значение функций Zr при 〃】==〃加=尤工==xn ==y* =... =Уп =
Число уравнений, представляемое этой системой, есть
吏十】)(К+2)…(К+т + 2〃一1)
1-2(加+ 2几一1)''
Таким же будет и число неизвестных функций, представляемое формулами (4.4).
104
Определители А(乂) и D(v), соответствующие системе уравнений (4.5)>. будут иметь вид
А(х) =
ри一 乂
Р21
Р12'
PZ2 - 乂 .
• Pzg
=0
Pq2 •
. Pgg - 乂
D（V）= £\（V）£\（V + 认）厶（V—认）
где Dk(y) является Ам производным определителем от основного
-V
入工
0
0
0
… 0
0
-%]
—V
0
0
0
...0
0
0
0
-V
入2
0
...0
0
Di W)=
0
0
-%2
--V
0
0
0
0
0
0
0
0
...—V
統
0
0
0
0
0
一 一4n
-V
Так как все корни уравнения Л(х) = 0 имеют отрицательные вещественные части, а корни уравнения D(v) = 0 — нулевые или чисто мнимые, то на основании теоремы Ляпунова (30) можно утверждать, что система уравнений (4.5) даст единственное определение функций Т/, 匕*,吃* в виде рядов, расположенных по целым положительным степеням переменных /, ...,2g и что ряды эти в области, достаточно близкой к началу координат, будут сходящимися.
Давая числу К значения 0, 1, ..., ^ и производя каждый раз преобразования по формулам (4.4), мы получим новую систему уравнений, аналогичную системе (4.1), в которой числа 尼“ ...» 尼皿，厶，•••，^ будут удовлетворять неравенству
自+…+尼小+厶+…+ %n 2n+1
Необходимо отметить, что, если в результате преобразования по формулам (4.2) совокупность членов, не зависящих от переменных 乞工,...,2@ в системе уравнений (4.1), имеет вид
S(o)= Uj(a)+ u严+i)+…+ 0产)+…
XJ°)= X$(a)+XF+D +…+XJ")+…
匕⑼=匕⑺+匕他+"+…+匕例+…0=1,…，加；s=l…a<^*)
где и*, X(/)$, Y^ — формы /-й степени от переменных и* …，um; 力工,.••,修；у】, •・•,％, то в результате преобразования по формулам (4.4) формы U/а>, U卜、、Х$(а),XJN);匕⑷，…，匕(％)останутся без изменения.
Предполагая, что над системой (4.1) указанные преобразования выполнены, мы можем строить функции Ляпунова и Четаева для критических переменных ulf um; х1? ...» 左；у* …,уп отдельно от присоединенных1.
Таким образом, при решении вопроса об устойчивости в случаях несущественно особенных задача приводится к исследованию уравнений
喧=S(a) + (7卅+1)+ ...+U/(a+” + …=U〃
*=一爲勿+ Х,(а)+4(a+1)+ ...+а(a+№) +... = %1依.6)
樂=3相十匕⑷ + yja+ 1) + ... +%(а+М) +...=匕］
(/= 1, 加；5=1, n; a+^=^)
(m + 2м)-г。порядки
В этой системе (//"), XJ‘)， Y^ являются формами /-й степени от переменных "工，…，"m； %工，…，玲；y19 ••', %.
Не изменяя задачи об устойчивости, систему уравнений (4.6) можно преобразовать к виду, в котором формы 火/')и Y^ обращаются в нуль при *工-^ %2 ^= ■ * • == Хд -— у】—...—у九 ^= 0 для всех / ^^ ct + N工.
Это преобразование достигается с помощью замены
爲=Е$ +』s (〃工，…，〃m)，% = П$+В$(〃1，…〃m)(S== 1, >••* Л) (4.7)
где под функциями As и 8$ подразумевается сумма форм до (а + ^)-го порядка формальных рядов, удовлетворяющих уравнениям
m ад
丫 Uj*= —Bn)
/内1=人84+匕1(〃1,...，Bn) (5= i,n)
В дальнейшем будем предполагать, что над системой уравнений (4.6) преобразование по формулам (4.7) выполнено.
Производя замену х$ — rscos 6S, у3 = resin 6, (s= 1, ..., п) и применяя прием, изложенный в главе II, мы придем к системе уравнений (т + п)-го порядка следующего вида:
粵=/(a)因，…，^； PiPn)+ …+胃(a + M)(费,…，孔；Pipn) + + 已)1 (El，…，Em； Pl，…，Pn> ®1> ••• ®n)
孝=几g⑤…,Em； PlPn) +…+匕^+m嗎，…,歸Pl，…,Pn) +
+ Psi (El,…，Em； Р1» …，Pn； ®1»®n)
Ps = %s Ps + Qs (El，"m； Pl'…，Pti； ®1> •••> ®n)
(j — 1 j • • • > 加；s —~ 1, • ♦ •,孔)
где £,…，乩；Pi> …，Pn — новые переменные, которые в вопросах устойчивости могут играть роль переменных 〃” ...» 〃皿；％и …，今,％，・••，％, функции 日/(", Ps^ являются формами Z-й степени от переменных ?х> •••> ?mJ Pi・•••, Pn, а Зд и Р31一 голоморфными функциями тех же переменных с периодическими относительно 0Х, •・.,6П коэффициентами, и разложение этих функций начинается с членов не ниже (а 4-"工 + 1)-го порядка.
Таким образом, задача построения функций Ляпунова и Четаева, отвечающих системе уравнений (4.1), в тех случаях, когда з^ак этих функций и их производных определяется конечным числом членов2, приводится к задаче построения тех же функций, отвечающих системе уравнений (т + п)-го порядка следующего вида:
Число ^1 так же, как и число N, можно считать сколь угодно большим.
Это как раз те случаи, когда вторая «метода» дает эффективные решения.
106
鲁=Ej(a)隔,..., Em； Pl，…,P”) + ... +日产+n1)隔，…,Em； Pl.-... Pn) 孝=PJS 总歸 PlPn) + …+PF + M)隔歸 P1，…,Pn)(4,9)
(/= 1, ...» m; s = 1, ...» n)
Из предыдущего следует, что поставленная задача об устойчивости в случае m нулевых корней, 2п чисто мнимых и q корней с отрицательными вещественными частями в смысле построения функций Ляпунова и Четаева приводится к задаче (т + п) нулевых корней с (tn + п) группами решений.
При решении этой задачи будем пользоваться следующей теоремой.
Теорема 1. Пусть дана система дифференциальных уравнений вида
尤 d ?=匕（*，JAl ‘ …〉У）尤 d ?=匕（*，JAl ‘ …〉У）(l^l, .... n)(l^l, .... n)(4.Ю)(4.Ю)
尤 d ?=匕（*，JAl ‘ …〉У）
尤 d ?=匕（*，JAl ‘ …〉У）
(l^l, .... n)
(l^l, .... n)
(4.Ю)
(4.Ю)
тде Yi — голоморфные функции переменных обращающиеся
：в нуль, когда все эти переменные делаются нулями. Тогда, если уравнение
。％/°弘一尼 дУг/ду2... dYt/dyn
D(尼)=°匕/® dYz/dy2—k ... dY2/dyn =0
dYn/dy1dYJdy2... dYJdyn — k
田 котором положено х = у* =… =% = 0, не имеет целых положительных корней, то всегда найдется одна определенная система голоморфных функций ylt ..., уп переменной %, удовлетворяющих системе уравнений (4.10) и обращающихся в нуль при % = 0.
Построим для величин ylt ..., уп ряды, формально удовлетворяющие •системе уравнений (4.10), в виде
(4.П)(4.П)玖=cj" x+e^炉+…
(4.П)
(4.П)
也(4.12)也(4.12)Коэффициенты с* однозначно определяются в результате подстановки этих рядов в систему уравнений (4.10) из уравнений
也(4.12)
也(4.12)
s=l yi 0L °91 \0yN …0Уп 71 0
где P^ ——известные полиномы от коэффициентов разложения функций У)н коэффициентов c^t …，43, знак «0» указывает на то, что производные вычисляются в точке х — ух = ... = уп = 0.
Из уравнений (4.12) находим
以⑴=鳥 IQ⑴Ph⑴+ 5⑴P*) +…+%⑴Ph(“〃(i = l，…，n)
р.(0/м
0(尼)* 0 для целых положительных чисел 尼,а отношения 庆苏」- стремятся к нулю, когда k, оставаясь целым положительным числом, стремится 咏 бесконечности.
Возьмем 九合 чисел |Xj"), удовлетворяющих неравенствам
因⑴>|4⑴依)/0(切
для всех целых положительных чисел 尼,и рассмотрим систему уравнений
(4.13)107(4.13)107ёпУ1~г-*' ~i~§in Уп == ^a (i = l, ..., п)
(4.13)
107
(4.13)
107
где Y〃 ——усиливающие функции по отношению к функциям Y” коэффициенты g〃 удовлетворяют условию
(一1)+我一>對)
в предположении, что
gllgl2 …gin
A= g21g22 ••• Sin *o
gnl gn2 …Snn
a A,")——миноры этого определителя в отношении элемента g〃.
Из уравнений (4.13) можно однозначно определить п функций yt = yg, голоморфных в области начала кооординат и обращающихся в нуль при * = 0. Эти функции можно представить так:
协=&⑴尤+ CW)炉+…(4 Л 4}
Нетрудно усмотреть, что коэффициенты этих сходящихся рядов удовлетворяют неравенствам
еа» 7⑴|
Следовательно, ряды, представляемые формулами (4.11), будут также сходящимися и представят искомую систему голоморфных функций.
Если уравнение!)^) = 0 имеет целый положительный корень 尼 и при этом полиномы, стоящие в правых частях уравнений (4.12), будут отличны от нуля, то голоморфного интеграла, представляемого рядами (4.11), не существует. В этом случае системе уравнений (4.10) можно удовлетворить системой функций, голоморфных в отношении х и х In х, причем эти функции будут также обращаться в нуль при % = 0.
Если окажется, что указанные полиномы равны нулю, то, несмотря на присутствие целого положительного корня kt системе уравнений (4.10} можно удовлетворить системой голоморфных функций, обращающихся в нуль при % = 0, при этом определение этих функций будет неоднозначно^ так как в разложения их будут входить произвольные постоянные.
В случае n = 1 отсюда вытекает известная теорема Врио и Буке.
Пусть предложенная система дифференциальных уравнений возмущенного движения имеет вид
_L = Xi(m)(Xi,…，/)+ х产+1)(//) + •••G=1，…，")(4.15)
df
где XJ‘)一 форма /-й степени.
Относительно этой системы можно доказать следующее предложение.
Теорема 2. Если система дифференциальных уравнений возмущенного движения такова, что
уравнения
Fik = xk X'm) —巧芻g)=0 (i = i, й-1,论+1,…，n) (4.16>
имеют действительные решения относительно хъ ..., Ха-i,尤尼+匕 ..., 今 хотя бы при одном значении 尼；
отношение Xk/xk соответствующим выбором xk можно сделать положительным, не нарушая условия (4.16), то невозмущенное движение неустойчиво.
При условии 1) система дифференциальных уравнений (4.15) заменой
x—C^Xk + yi xk
приводится к виду (4.10), причем коэффициенты С。")определятся из уравнений (4.16), если в последних положить xk = 1.
Величины yt в случае, когда уравнение D(fe) = 0 не имеет целых положительных корней, представятся в виде
Hi — &")xk +。2(" xfe2 + …
Следовательно, в этом случае одна из интегральных кривых системы) (4.15) запишется уравнением
看=Со«)/+&")尤丸2 + …(i=l, ..., ^—1, ^+1, п)(4.17)
Если теперь положить
修=马 + Со(^ d + Ci⑴&2 + …，xk = xk (t=l,・—，尼一1, k+ 1, ..., n то новые переменные гг, которые в вопросах устойчивости могут играть роль %», будут удовлетворять уравнениям
~. = fk (%丸)+ X丸1 (尤丸，^1» •••, 2丸一1，2左+1，…，^n)
X(4.18)
,,=Zj (十月，4,…，马-1, “+1，…，^n)(i = l,…，论"一1 * 论+1,…，八)
где 九(/) =g/№ + …；X^i，Zf — голоморфные функции переменных xk, 2工, …,Zjfe_i, %+h ...» zn, обращающиеся в нуль при 厶 =...= ^-i = =^4-i =— 2^ =0, и разложения которых начинаются с членов не ниже /n-го порядка.
В силу условия 2) число gk можно считать положительным.
Функция Четаева, отвечающая системе уравнений (4.18), будет иметь вид
V - 冲 2" —zj -z2" -…-％- 1 -Z?+ 1 —…-zj
Производная dVIdt в силу уравнений (4.18) запишется так:
R = 2N/2N- 1 (gA %т + ... + XQ —2 R] Z, Zj
Выражение £Z = Zj можно представить следующим образом: пп л
ZiZ^X^-1^2)23 + ^^％)Z产…ZnF
-/ = 1j= 1 s= 1
(加1+…+加尼—1 +加尼+1 +…+mn》3)
где』〃 н A(mi团浦 一 известные функции xk.
Если через L обозначить наибольшее значение, которое может принимать функция
п п
£' ХЕ/ /«1 S=1
при xk V в, то будем иметь 1 п п
£] S^ ^jszJ ze &L (zj +…+z^—I +z^+i + …+zj)
В области V > 0 будет выполняться неравенство п п
^ AjsZ}Za《L/2N ./=1 S = 1
Число ^ определим следующим образом: ^ > L > 2. Тогда в той же области (У 戸 0) производная dV/dt будет величиной положительной и будет обращаться в нуль лишь при условии xk = zx =...—磔一 1 — 2*4-1 — ===• > ■ == 2^ == 0*
Таким образом, область W > 0 ограничена областью У^О и, следовательно, V и V удовлетворяют условиям теоремы Четаева, на основании которой заключаем, что движение неустойчиво.
Мы установили, что при условии 1) и предположении, что уравнение D(归)==0 не имеет целых положительных корней, система уравнений (4.15、 приводится к виду (4.10).
Если окажется, что уравнение D(fe) == 0 имеет такие корни, то вместо формул (4.17) будем иметь
Xi= Со") xh+xh КМ，Xh In%)
где 屮上——голоморфные функции в отношении 马 и xk In 尤丸.
Полагая
尤尸& +%⑴xk-{-xkxPi (xk1\xk Inxft)
冲=%(i=l,…，论一1*论+1,…，九)
получим систему уравнений, аналогичную (4.18), для которой функция Четаева будет иметь прежний вид.
Пусть предложенная система дифференциальных уравнений возмущенного движения имеет вид
一/"=Xj (%],…，%办；fZ上у0)
d 川(4.19)
"^ = РЛ 1/1 + …+ pjq % + Yj (尤 1,…，*71；%)
(i= 1,…，n; /=1,…，g)
Определяющее уравнение, соответствующее этой системе, имеет 九 нулевых корней и q корней с отрицательными вещественными частями.
Если систему уравнений (4.19) преобразовать по формулам
yj = uj + yi*(x1，…，X”)(/ = 1，…，g)
p азумея под у广(％, ...,』)корни уравнений
川1以* +…+Р%%* + 匕(%1%；力*%*) = oG=1，…，g)
то получим новую систему, которую можно представить следующим образом:
3•=м。(叫%，…,ХП) + Х,.。(m + 1)的，…,/)+…+
duj(4.20)
―^ = "〃 〃1 ++ %務+ Ujo(m+" (%i,…，Xn) + …+
+ 2ВЛ一…飞)〃 i%.・.〃Jg
(1= 1, .... n /== 1g;財 + …+ %》1；孔1+ …十囱》1)
Относительно этой системы можно доказать следующее.
Теорема 2a. Если система дифференциальных уравнений (4,20) таковаг что
уравнения
冲 Хщ⑺)一看 Х^т^ = 0(i = 1, ..., k— 1, ^ + 1, n)(4.21)
имеют действительное решение относительно %, ...» 力一1,修+ь …,事， хотя бы при одном значении kt
отношение Xk/xk соответствующим выбором xk можно сделать положительным, не нарушая условия (4.21), то невозмущенное движение- неустойчиво.
Если систему уравнений (4.20) преобразовать согласно формулам,, указанным в § 26, то получим новую систему следующего вида:
学=Х№ +х*+1)+ …+24伊-…統«Л ... 〃Jg
— ^PiiUi + ^.+piqU + U^m+N^ (xj，…，&)+...+(4.22),
at
+ £Bj(因n?)u^ ... «/<?
(i = l, ... n； /=1,…* g;瓦+ …+ 储》m+^; 打l + …+囱》1)
где ^1 — наперед заданное сколь угодно большое число.
Рассмотрим теперь систему уравнений
叁=Xjm) + Х-п+ »+，.，+ Xg+ М)(,• = 1，.…n)
которая с помощью преобразования, изложенного в § 27, приводится к виду- (4.18). Система (4.22) в результате того же преобразования будет иметь вид,
= At(&)+Х&1 (冲，％i，1, 〃 + i,％/ +
+ X月(冲，21，…，2九；〃1，…，％)
(4.23)(4.23)■^- = Рл «1 +... + pjq«9 + U^m+N^ (xh,马，…，ZJ + ...+
(4.23)
(4.23)
+24(" ％)〃* ... и*
」j = Zj (冲，N],…，N月 -工，〃+i，…，N/i) +
+ Zf工(/, %I,N^—1，N丸+ i，Nn； 〃1，〃g)
где функции XJ н Z〃 удовлетворяют неравенствам
m + Wt
(4.24)-(4.24)-I xj I w M (川2 +zF +... + 或T + 或+1 + ... +2/)-^~
(4.24)-
(4.24)-
m + N[
I Z〃 I &Л1 (办2 + zj + …+W_ 1 +宕+1 + …+ zj)
а функции fk(x^9 Xkl1 Zf имеют прежнюю структуру.
Функция Четаева, отвечающая системе (4.23), имеет вид
V - 42"—Nj2—...-^a— 1 —23-1 —…—nJ + %("好…，%)
число N определяется так же, как было указано в § 28.
Примечание. Теорема 2а будет также справедлива и в том случае, когда функции XJ и Z〃，удовлетворяя неравенствам (4.24), зависят от време- мени f.
Может случиться, что при выполнении условия 1) теоремы 2 отношение Xk/Xk при любом значении xk равно нулю. Тогда заменой
%= 以+с0⑴冲
система уравнений (4.15) преобразуется в систему того же вида, в которой •формы m-ro порядка будут обращаться в нуль при
y* = … =yh一工=输+'=… =1/元 = 0
(случай gh = 0).
Предполагая, что это преобразование выполнено, рассмотрим случай более общий. Предположим, что система уравнений (4.15) приводится к ВИДУ
肃=x产)+ •••+XН + aт)+X产+a)+ …
dy.(4.25)
寸= Xj-l @1弘 +…+a，“经)+ 工冲*乜(/)+
+ У产+1)+…+Y严+6-1)+%5 + 0)+…
где формы Xd* …，Х*+ат* 匕(团+〔)，…，уЛт^ обращаются в нуль при У1 = ... = у^_1 = у左+1 = ... = % = 0, a U№ — формы /-й степени от переменных у*, .... ^左一卜 yk+ь ..., %•
Относительно этой системы можно доказать следующее.
Теорема 3. Если система уравнений (4.25) такова, что 1) первую отличную от нуля форму X(R+a) При условии yt = 0(f 力 左)соответствующим подбором 冲 можно сделать величиной положительной
Р > 2а и
корни уравнения
^и—VMg ... %п
&1&2—у …&n —о(4.26)
имеют отличную от нуля вещественную часть и все одного какого-либо знака, то невозмущенное движение неустойчиво.
Возьмем функцию
У = /2 + * + …+就—1 +痂+t + ••• +i/n2
Производная этой функции в области
力2"—Z/J—…一加—1 + 就+1 —…一Уп >0,N > а +1(4.27)
будет величиной положительной.
В этой области определим функцию
犷 н /2" U(Z/1)• • • > Z/&—1, Z/&+1,…，Z/n)
где U — квадратичная форма, удовлетворяющая уравнению
e ^- (ah У1 + +ain уП) = ±%(%2+...+號_1 + 奖+1 + …+%2)
знак плюс отвечает тому случаю, когда корни уравнения (4.26) имеют положительные вещественные части, а минус — отрицательные. Форма U при этих условиях будет определенно-положительной. Число а2 можно подобрать так, чтобы область 历》0 находилась внутри области (4.27), где " > 0.
Нетрудно убедиться, что на границе области М》0 (где 犷=0) значение dW/dt имеет постоянный знак.
Примечание /. Если бы задача об устойчивости приводилась к исследованию уравнений (4.22), в которых N工》0, то теорема 3 в отношении этой ■системы была бы также справедлива.
112
Примечание 2. Если характеристическое уравнение исследуемой системы имеет 2n чисто мнимых корней, то с помощью преобразований, указанных в § 26, эту систему можно преобразовать к виду
蓼=B(m)(pi,р”)+ ..•+「严 +№)(р],…，р“) +
+ 匕(m + Ni + l)(pi，…，p"，01%)+…
и тогда условие 1) теоремы 2 будет выполняться.
Числа gh в этом случае определятся по формулам
Если одно из этих чисел будет больше нуля, то будет иметь место теорема 2.
В случае g& = 0 условие 2) теоремы 3 будет выполняться; если при этом числа
g№)= P^^^lp厂+а 尻=…=%+1 N.-ijo
будут положительны, а корни уравнения (4.26), соотаетствующего этой системе, будут иметь отличную от нуля вещественную часть одного какого- либо знака, то будет иметь место теорема 3.
ГЛАВА V
ИССЛЕДОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ
С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
§ 31. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений возмущенного движения в обычной форме
dx.“.
~7" — Pil-^l + ••• +Pin Xn + ^iа = 1,…，П)(5.1)
at
где X» ——функции переменных хг,...,今,разлагающиеся в ряды по целым положительным степеням последних и не содержащие в своих разложениях членов ниже второго порядка.
В дальнейшем будем предполагать, что коэффициенты "仃,а также ко* эффициенты разложения функций X» являются вещественными непрерывными и' периодическими функциями t с общим вещественным периодом 2(о
В этих предложениях вопрос об устойчивости исследовался Ляпуновым, который дал необходимые и достаточные условия устойчивости по первому приближению, а также указал те случаи, когда первое приближение задачи об устойчивости не решает.
Из теорем, доказанных Ляпуновым, следует, что сомнительными по отношению к устойчивости остаются те случаи, когда характеристичное уравнение, не имея корней с модулями, большими 1, имеет корни с модулями, равными 1.
Несмотря на то, что Ляпунов придавал исключительно большое значение вопросам устойчивости в особенных случаях, он был вынужден огра- читься исследованием двух простейших задач: 1) когда характеристичное уравнение имеет один равный 1 корень при остальных корнях с модулями, меньшими 1, и 2) когда уравнение это имеет два мнимых корня с модулями, равными 1, а остальные все, как и в первой задаче, с модулями, меньшими 1・ 8 Зак. 312)113
Принципиальные затруднения, остановившие решение задач более общего характера, по-видимому, заключаются в том, что теоремы Ляпунова о неустойчивости носят частный характер и не охватывают всех случаев неустойчивости.
§ 32. Дальнейшая по степени трудности задача будет характеризоваться двумя корнями, равными 1. В этом случае система дифференциальных уравнений (5.1) с помощью линейной подстановки с периодическими коэффициентами приводится или к исследованию уравнений вида
-^- = у+X(х, у,以，…，*,；0，黑=y(*，у> 以，…，力4； 0
dy
<,=仇上 У1 + …+ %% Ум + У» (力，У > У it * • < > Упп f)(i = 1,…，勺)
где пг — п ——2, %j ——постоянные, а X, 匕 匕 ——голоморфные функции переменных х, у, %, ...» уп1 с периодическими относительно f коэффициентами, причем все корни уравнения
%1 — К %2...%%
Д (х)=Д (х)=仅1 %2 - Y …9м =0
Д (х)=
Д (х)=
?n1 10/2 …拆］% 一 乂
имеют отрицательную вещественную часть, или к уравнениям
穿=X (%, у,м，…，以,；/),? = Y (х, у,弘勿,；f)
atat
M(5.3)
应 =％ …+ 仇力坎，+у% (%, у, у it • • ■»以，'0 а=1,几 i)
Первый случай характеризуется тем, что двукратному корню, модуль которого равен 1, соответствует одна группа решений, а второй две группы решений.
Мы сейчас увидим, что в случаях несущественно особенных поставленная задача сводится к задаче, рассмотренной в главе I.
Представим с этой целью функции X, 匕 匕 в следующем виде:
X = X(°) (х, у, f) +Хp(瓦，论力力也卢，
У =卩。)(％ yt t) + ^Q^^力比 у"(5.4)
Yi = Yi^(x, у, t) +^^^<k^ xk> yk> (財+坛>0； i = l，…，a)
где P, Q, Qt — голоморфные функции переменных ylt ...» уП1 с периодическими относительно t коэффициентами общего периода 2(о.
Если теперь систему уравнений (5.2) преобразовать к новым переменным по формулам
где Uf(x, у, /) представляют сумму форм до ^-гo порядка включительно формальных рядов, удовлетворяющих уравнениям
du.ди.
—也 + Xfx, у,以1,Y(x, у, wni) +
珈勿(5.5)
ди.
то в преобразованной системе функции Z»⑼，которые будут играть роль функций Y^\ не будут содержать в своих разложениях членов ниже (N + -|-1)-го прядка, и, кроме того, задача об устойчивости по отношению к пе- 114
ременным 々 будет эквивалентна задаче об устойчивости по отношению к переменным у;.
Обозначая новые переменные прежними буквами, мы можем считать, что преобразованная система имеет вид (5.2), в котором разложение функций Y^ начинается с членов не ниже (N + 1)-го порядка, а разложение функций Х^ и Y^ с членов некоторого m-го порядка, причем в случаях несущественно особенных будет иметь место неравенство N > т, так как число N мы можем взять сколь угодно большим.
Аналогичные преобразования мы можем выполнить и над системой уравнений (5.3), определив функции /(%, у, t) из уравнений
ди.ди.
&ду(5.6)
ди.
"i+…+9加1"％+%(力，y1,…，〃方；0a=1,…，勺)
Эта система так же, как и система (5.5), определит величины 〃依 协 Е) в виде форм с периодическими относительно t коэффициентами, периодом которых будет служить число 2(о.
Нетрудно убедиться, что преобразованием, не изменяющим задачи об устойчивости, систему уравнений (5.2) можно привести к виду, в котором все коэффициенты 尸(齡，軌)，Q^' 韜)，〃«】，&), для которых 左i + 左2 V N тождественно нули, а члены, не зависящие от переменных %, y2t ...» уП1, могут изменить свое значение, лишь начиная с членов (N +1)-го порядка.
Пусть первые отличные от ьуля функции Р也，"* Q(同，点* Q*£，外> имеют индексы 自 и 局，удорлетюряющие условию 自 } 备 = К. Полагая
% =自+±&財"‘)%齡疗-"^"+w卩""佗，方也/，依1 +局=k) (5.7)
и разумея под [/(自，瓦)и V^1*&2) функции переменных ylt …, Уз удорлетворяюшие уравнениям
〉[g〃 力 + …+%% f/rti + У J°)(0, 0, ylt...» i/nj] +
AТ/(左h在2).
+ *？ = [/(財，&) +RM,也)—(月+ 1)U(也1+L 色lD
"(5.8)
2—"—j-弘十…+力办以1 %⑼(0, 0,…+
+ £}；； /=Q(也，*"-(比 + 1) y出+L 左I)(財 + 也2 =К)
приходим к уравнениям, аналогичным (5.2), в которых соответствующие функции РШ 々&) и Q出，財) при условии 左1 + 左2 = К равны нулю тождественно.
Давая числу К различные значения 0, 1, ..., ^ и производя каждый раз преобразования по формулам (5.7), мы получим новую систему, в которой числа 々1,左2 будут удовлетворять неравенству 尼】4■左纟〉N・
Если исследуемая система имеет вид (5.3), то функции U(M»“ и ]/(丸，財厶 фигурирующие в формулах (5.7), нужно определить из уравнений
У —…+匕(0, 0,+
dt
.
? [9门先+，■•+仇/物1+г工(0, 0, Z/1, ...»以)]+
+- = QS"")(① +后=R
Следовательно, в тех случаях, когда вопрос об устойчивости решается конечным числом членов (когда члены выше ^-гo порядка можно отбросить), задача об устойчивости приводится к исследованию уравнений
^- = у + Х(х, у, 0，普=〕%,%£)(5.9)
atdr
В первом случае и к уравнениям
^ = ^{Х, y,t), = У(х, 4,/)(5.10)
—во втором.
Представим функции Х(х, у, Е) и У(招 у, f) следующим образом:
Х = Хб)+Х6+1)+・・・， Y = yg)+FE+D +…
где XW)и Р(")— формы /-й степени по отношению к переменным xt у с периодическими коэффициентами
XU） = x小年1,九）/1火，Y^ =工8（也,左2）城1央（h +局=/）（5.11）
Наша задача теперь заключается ◎ том, чтобы эту систему преобразовать в систему с постоянными коэффициентами.
Введем с этой целью замену
% = E + EU(a，左力 х*1 у*2,Р = П +工 V<Ai* 相)冰1 火(財+也2=K > 2)
Функции U(軌，左J и I/伍-左力 определим согласно равенствам*
办2, = y(同，在力+/(也，")+ а^а)
^：'同)=8(瓦，厶)+ 6注,，m)(5.12)
определ им так, чтобы\ [8出，在*) + Ь(也，色J]成=0 оопредел им так, чтобы\ [8出，在*) + Ь(也，色J]成=0 оа постоянные величины а（瓦，左工） и b伍】，在力
определ им так, чтобы
\ [8出，在*) + Ь(也，色J]成=0 о
определ им так, чтобы
\ [8出，在*) + Ь(也，色J]成=0 о
2(0
§ [У(*х.魁)+』(在*,饱J _|_д(А1, AS)J 或=0, 0
При этих условиях функции U®、м】и ]/(也，左2) будут периодическими с общим периодом, равным 2о).
Если теперь числу К давать различные значения от 2 до ^ и каждый раз производить преобразования по формулам (5.11), то получим новую систему, аналогичную (5.9), в которой новые формы 攵⑴ и У«)будут иметь вид
X")=工а^ 品)巾1 /%?⑴=2瓜齡，爲)尤也疗%
(/= М+ 局 < до(5.13)
где 球瓦・龜) н 从瓦，佗力—найденные выше постоянные.
Таким образом, в тех случаях, когда вопрос об устойчивости решается членами ^-гo порядка независимо от членов более высокого порядка, задача наша приводится к случаю, рассмотренному нами в главе I.
Если исследуемая задача приводится к уравнениям (5.10), то аналогичной заменой по формулам (5.11), предполагая, что функции (/(瓦，晶) и V^' A«J определяются у равнениями
jy(Ai. As)jy(Ai. As)= B（E，自力+b（片i,丸）= B（E，自力+b（片i,丸）(& + h=R(& + h=R(5.14)(5.14)
jy(Ai. As)
jy(Ai. As)
= B（E，自力+b（片i,丸）
= B（E，自力+b（片i,丸）
(& + h=R
(& + h=R
(5.14)
(5.14)
а числа 々便-吊)и Ь(仇 л — равенствами
2®•2(0
\(д(й,. *>)4-a(A'»A«>]df = 0,\ [B(A1.A.)4-b(A,,ft.)]d/ = o
00
система уравнений (5.10) приводится к уравнениям, в которых формы Х(", Y^ имеют вид (5.13) для всех / & М
Эта задача ничем не отличается от той, которая была рассмотрена в главе I.
§ 33. Указанный метод исследования применим также и для более общих случаев.
Нетрудно убедиться в том, что, если характеристичное уравнение имеет один корень, равный 1, и два мнимых сопряженных корня, модули которых равны 1, то задача об устойчивости приводится к уравнениям, рассмотренным в главе II.
В том случае, когда характеристичное ураннение имеет две пары сопряженных мнимых корней вида
g2 入 1(о У—1, ^―2 入*и)У—1, g2 入,и)У*—1, g —2 餘(оУ—1
и когда числа Т~，Т— и несоизмеримы, вопрос об устойчивости приводится к исследованию уравнений, рассмотренных в главе III (случай двух тйр чисто мнимых корней).
Если характеристичное уравнение имеет т корней, равных 1, 2п мнимых сопряженных корней с модулями, равными 1, н g корней по модулю, меньших 1, и если т нулевым корням отвечает т групп решений, а мнимые корни
(S == 1 , •■ • у 打)(S == 1 , •■ • у 打)
(S == 1 , •■ • у 打)
(S == 1 , •■ • у 打)
удовлетворяют условиям: 1)入^①/冗—несоизмеримые числа, 2) £'т儿， .s== 1
=Ху для всех целых чисел т8, то задача об устойчивости приводится к случаю, рассмотренному в главе IV.
Изложенное в этом параграфе, конечно, относится только к тем случаям, когда вопрос об устойчивости решается конечным числом членов.
Литература
А. М. Ляпунов. Исследование одного из особенных случаев задачи об устойчивости движения. Матем. сб., 1893, т. XVII, вып. 2.
Н. Г. Четаев. Одна теорема о неустойчивости. ДАН СССР, 1934, № 9.
А. М. Ляпунов. Общая задача об устойчивости движения. ОНТИ, 1935.
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ НА КОНЕЧНОМ ИНТЕРВАЛЕ ВРЕМЕНИ
§；L В фундаментальном сочинении Ляпунова I1] дано определение устойчивых и неустойчивых движений любой материальной системы. В этом сочинении решение задачи об устойчивости приводится к исследованию интегралов уравнений возмущенного движения вида
券=X]，…， (1.1)
где Xi, ..., Хп — известные вещественные функции вещественных переменных «г» ...,尤门,обращающиеся в нуль при хх = ... = хп = 0.
Функции эти в области, достаточно близкой к началу координат, разлагаются в ряды по целым положительным степеням Переменных xlt ... ...,хл с вещественными, ограниченными и непрерывными по отношению к / коэффициентами. Математическое определение устойчивости, данное Ляпуновым для возмущений 力..., xnt формулируется так.
Пусть Дь ..., Дп суть произвольно задаваемые числа. Если при всяких Ль как бы малы они ни были, могут быть выбираемы положительные числа Х1(...(九孔 так, чтобы при всяких вещественных Х/о, удовлетворяющих условиям
|%о1&% (i = l,п) (L2) и при всех /, превосходящих %, выполнялись неравенства
|修|<4 (I =^ 1,..., п) (1.3)
то невозмущенное движение по отношению к величинам х； устойчиво； в противном случае — неустойчиво. Под х；0 подразумевается значение функций %»(/) при / =
Геометрический смысл определения устойчивости, данного Ляпуновым, заключается в следующем.
Построим в n-мерном пространстве параллелепипед с центром в начале координат и с гранями, параллельными координатным плоскостям. Величину граней этого параллелепипеда определим числами 2АЪ ..., 2Ап.
Если для данного параллелепипеда возможно построить-новый параллелепипед и выбрать величину граней его так, чтобы для значений времени / > /о функции хг(0 оставались внутри первого параллелепипеда, если только значения х10 находились внутри второго параллелепипеда, то невозмущенное движение по отношению к величинам х^ устойчиво.
Не искажая смысла, вложенного Ляпуновым в определение устойчивости, Н. Г. Четаев [а] дает иную, более удобную запись определения устойчивости: если при всяком произвольно заданном числе А, как бы оно
мало ни было, может быть выбираемо положительное число X так, чтобы при есяких возмущениях х10, ..., хп0, удовлетворяющих условию
%彳0 +... +忌0 w入
и при всяком /, превосходящем %, выполнялось неравенство
%F + …+ %/ V /
то невозмущенное движение устойчиво; в противном случае ——неустойчйво.
Геометрический смысл определения устойчивости Четаева аналогичен изложенному выше, с той только разницей, что вместо двух n-мерных параллелепипедов берутся две n-мерные сферы с радиусами Л и X.
Замечание Совершенно ясно, что, не уменьшая общности задачи и не искажая смысла определения устойчивости, можно было бы вместо двух n-мерных сфер взять две любые лг-мерные поверхности, определенным образом построенные. Например, можно было бы взять два л-мерных соос^ ных эллипсоида вида
4 %]2 +…+471%/ = 4儿1 %；0 +…+入几京0 =*
В более общем виде эти два соосных эллипсоида можно записать уравнениями
Z/F +…+р/ = 4练 +…+ 呢L入(I-4)
где
% ~ 4i %i + …+ ^sn "n，• * • •声 0
an1 ••• ^nn
Определение устойчивости движения, сформулированное Ляпуновым, подразумевает изменение интегралов системы уравнений (1.1) в интервале времени от ^0 дЬ оо, причем величина % может быть сколь угодно большой. На начальные возмущения х；0 Ляпунов накладывает условие, ограничивающее изменение их сверху гранями параллелепипеда со сколь угодно малыми ребрами 儿，выбираемыми по нашему усмотрению в зависимости от заданных значений А. Таким образом, х；0 ничем не ограничиваются снизу.
Решение математической задачи относительно изменения функций 修(f) в интервале времени от /0 до оо в известной степени будет характеризовать невозмущенное движение, определяя его качество в смысле прочности или неподатливости к действию возмущений. Это механическое свойство движения Ляпунов называет устойчивостью.
Сохраняя механический смысл понятия устойчивости и неустойчивости, которое вкладывает в него Ляпунов, поставим задачу отыскать такие невозмущенные движения, которые являлись бы устойчивыми на конечном интервале времени, начиная с того момента времени, при котором рассматриваемые элементы движения получили возмущения.
Очевидно, что любое движение, не обладающее механической устойчивостью, будет удовлетворять условиям (1.2) и (1 3) на конечном интервале времени, причем этот интервал времени соответствующим выбором чисел Д и X можно сделать сколь угодно большим. Поэтому, сохраняя механический смысл понятия устойчивости и неустойчивости, вытекающей из определения Ляпунова, определение устойчивости и неустойчивости на конечном интервале времени дадим в несколько иной форме.
Предположим, что задача об устойчивости движения некоторой материальной системы приведена к исследованию «-функций %»(£), удовлетворяющих системе уравнений возмущенного движения вида (1.1).
Определение, Если дифференциальные уравнения возмущенного движения таковы, что при достаточно малом положительном числе / величины %&, рассматриваемые как функции времени, удовлетворяют условию
(2.1)(2.1)2 (a8iXi +аа2ха +... +а,пх^< А
(2.1)
(2.1)
на конечном)интервале времени [/0, /0 + т], если только начальные значения этих функцй! 力扣 удовлетворяют условию
all …％n...* RO°nl '•• °ПЛall …％n...* RO°nl '•• °ПЛ(2-2)(2-2)п
all …％n
...* RO
°nl '•• °ПЛ
all …％n
...* RO
°nl '•• °ПЛ
(2-2)
(2-2)
£ (&I % +…+ «sn М W 4
s= 1
то невозмущенное движение будет устойчиво на интервале времени т, в противном случае — неустойчиво, т. е. т = 0. Здесь следует отметить, что в отличие от определения Ляпунова числа Д и X равны между собой.
Геометрический смысл определения устойчивости на конечном интервале времени имеет следующую интерпретацию. Пусть в некоторый момент времени / = /0 система получила некоторые отличные от нуля произвольно малые возмущения х10, ..., хп0. Если эти возмущения в момент времени /0 находились внутри или на поверхности лг-мерного эллипсоида
2 (asi /о +... + &п хп^ = Л
и если затем функции 修(^ оставались внутри области, ограниченной этим эллипсоидом, по крайней мере до значения / = ^, то движение устойчиво в интервале [/0,友];в противном случае — неустойчиво.
Запишем систему дифференциальных уравнений возмущенного движения в виде
=Р〃 力1 + …+pin %几 +Х» (%i,…，Xn, t) (£ = 1,…,?l) (2.3)
где функции Xi имеют ту же структуру, что и функции, фигурирующие в системе уравнений (1.1), с той только разницей, что разложение их по целым положительным степеням %力 начинается с членов не ниже второго порядка. Величины 卩館 представляют собой вещественные, непрерывные и ограниченные функции времени 力 Задача заключается в том, чтобы, не интегрируя систему уравнений (2.3), определить:
необходимые и достаточные условия устойчивости по первому приближению, т. е. условия, когда в исследуемых дифференциальных уравнениях можно отбросить все члены выше первого порядка относительно величин Xt и вместо первоначальных уравнений рассматривать полученную таким путем систему линейных дифференциальных уравнений;
интервал времени т, на котором имеет место устойчивость невозмущенного движения.
3. Рассмотрим основные теоремы об устойчивости и неустойчивости на конечном интервале времени. Пусть система дифференциальных уравнений возмущенного движения имеет вид (2.3).
Предположим, что невозмущенное движение в момент времени % получило возмущения хХ0, ..., хп0, удовлетворяющие условию
(。81 "io + *•• + 4п ^по)а &』
Запишем систему уравнений (2.3) в виде
= Р〃 Со) %1 + ••• +Pin (4) %R + 厶。〃⑴尤1 + …+ APin (0 Xn +
+ X± (%i,…，今，f) (i=ln)(3・1>
где
Ptj ⑴=Pa (f。) + APtj ⑴，厶卩廿(4) = О
a。幫(4)——значения функций р^(0 ПРИ，= "•
Эту систему уравнений линейным преобразованием с постоянными вещественными коэффициентами
Ui== а〃 ％i + …+。5 ^п(i = 1,…，〃),Ui== а〃 ％i + …+。5 ^п(i = 1,…，〃),011 …alna九1 ••' ^nn011 …alna九1 ••' ^nn耍о耍о(3.2)，(3.2)，
Ui== а〃 ％i + …+。5 ^п(i = 1,…，〃),
Ui== а〃 ％i + …+。5 ^п(i = 1,…，〃),
011 …aln
a九1 ••' ^nn
011 …aln
a九1 ••' ^nn
耍о
耍о
(3.2)，
(3.2)，
можно привести к системе уравнений, линейные члены которой будут удовлетворять некоторым дополнительным условиям. Если уравнение
Ри (^о)—乂 … Pin (%)
=0(3・3>
PnlCo) …Pnn (^0)— 乂
которое в дальнейшем изложении будем называть характеристическим, не имеет кратных корней, то система уравнений (3.1) может быть приведена к виду
тоо
= % 协 + 工 ^Ри Уj + X AU：?〃j+ 2 АР；?力• +
dr/=1J=I/=1
+ Yi (Уь q, %，0
* =%以一%%+工 AQs,力+ 2 ^)и) +
°/=1/=I(3.4>
+ S Vj + us(yj, uB,力,o
moo
"^■=%%+卩$%+ 2 ^sj Уз + 』Аu!?"了+N a噂)力+ j=I/—I/=1
+ 匕(切，〃8, %，f)(i = l,…，/и; s=«l,…，о; т + 2а = л)
где АР“，AQ$j, AR$j, NU仃,ЛУв/ представляются линейными формами от Ар” и, следовательно, все они равны нулю при t = /0. Функции 匕⑨, 〃8, %，A， Us®, %, q, /), Vs (yj, %，内，2) таковы, что разложения их по степеням переменных уь us, vs начинаются с членов не ниже второго порядка. В уравнениях (3.4) m равно числу вещественных корней, а 2а ——числу комплексных корней. Величины ив и ds, так же как и 乡扑 являются линейными формами переменных 尤厶 …，％门 с постоянными коэффициентами. Относительно системы уравнений (3.1) можно доказать следующую теорему.
Теорема 1. Если характеристическое уравнение, соответствующее системе дифференциальных уравнений возмущенного движения при t = /0, не имея кратных корней, имеет только отрицательные корни или комплексные с отрицательными вещественными частями, то невозмущенное движение- обладает устойчивостью на некотором конечном интервале времени т.
Для доказательства этой теоремы рассмотрим изменение величины mо
戸=2次+ 2他2+喈) i— 1 s = 1
во времени, подразумевая под у», и8, va линейные формы от хь ..., хп с постоянными коэффициентами, удовлетворяющие уравнениям (3.4).
Дифференцируя 产 по /, получим тст
工%少+ 工%(uj + vj) + di i = \S=1
m mamam
+ 22 ^PtjyiUi+ 2 工 au：7〃冷力从 + j=l Z= 1j=lZ= 1/= Ii« 1
m aaоaо
+ 2 XAQt必协 + 工 EAU：?〃j%+ 工工 ау，)ом + / = 1 Z= 1/ = 1 t=l/ = 1 »==1
m оq оQ о
+ 22 厶&」分虫+ 2 2 Ujv(- + 2 工 АУ：?。/— / = 1 i—\/== I / = 1j=l Z = 1
+ s(九・・・，ub Ua； 6,・••，％； 0(3.5)
тде S(y」，〃8，^8，9 представляет собой голоморфную функцию переменных ^力 〃&, и$, разложение которой по степеням этих переменных начинается с членов не ниже третьего порядка.
Все двойные суммы в выражении (3.5) обращаются в нуль при t = /0, так как все функции АР〃，AQtj, ^Rib Аи仃,AI/仃 являются линейными формами от Ар〃, последние же обращаются в нуль при t = /0.
Докажем, что знак производной от 产 по / определяется совокупностью членов,
mо
2 %“j+ 工 %(吟+%3)
.для всех значений времени в интервале /()《/《友，причем разность 友—— —/о = т является величиной, по крайней мере, конечной.
г ~~ & 2 修 uj + X 九§ (〃『+叮)+К /=1Shiг ~~ & 2 修 uj + X 九§ (〃『+叮)+К /=1ShiДействительно, из уравнения (3.5) следует, что то"
г ~~ & 2 修 uj + X 九§ (〃『+叮)+
К /=1Shi
г ~~ & 2 修 uj + X 九§ (〃『+叮)+
К /=1Shi
2 у^+ 2 («?+«?) х =1S = I
m mоmо m
х 工 S I ^Pa I + 2 £|AQtj|+ 2 工 |ARt/ + Jnl/s=li=]j==lW=lj=l
moо оо о
+ 工 S|ACI+ 2 >AU『|+X 2|ДС1 + Z = I /=1i=lj=l£=lj=I
moо оо о"
+ 工 2|дС1+ 2 »"関+ 2 S Iд^'I +i= 1 /= 1『=1I2=1 j=l_
+ S(91, ..., ут\ un ...» Uo；。1, ..., %; f)(3.6)
В силу тех свойств, которыми обладают все функции АР, AQ, AU, А匕 сложно утверждать, что здесь выражение в скобках, содержащее двойные -суммы, представляет собой некоторую положительную и непрерывную ^функцию Н(/)，обращающуюся в нуль при t = tQ.
122
На основании изложенного неравенства (3.6) можно записать в форме m о
0 2%+h ⑴也 2+ 三风+"(切(時 + %2)+ 5(%,%,%,£)(3.7) 内 /=1 S=1
Очевидно, что в силу условий, наложенных на корни характеристического уравнения и на значения хго> правая часть выражения (3.7) будет отрицательной независимо от S по крайней мере до того момента времени, когда одно из выражений 修 + H(f) или ks + H(ff не обратится в нуль. Пусть наименьшее из чисел х； и 4s есть величина корня ха, тогда, определяя & из уравнения
Ха + Н (&) = О
получим момент времени, когда знак d产Idt может, измениться и принять положительное значение.
В силу непрерывности функции H(f} этот момент времени будет таков, что величина т = ^ — t0 будет иметь по крайней мере конечное значение. Таким образом, теорему можно считать доказанной. -
Теорема 2. Если среди корней характеристического уравнения имеется но крайней мере один положительный корень или два с положительными вещественными частями, то невозмущенное движение не обладает устойчивостью на конечном интервале времени, т. е. т = 0.
Для доказательства теоремы рассмотрим знак производной от 产 по 乙 Пусть положительным корнем характеристического уравнения является корень 乂1・ Тогда, обозначая сумму двойных сумм, фигурирующих в правых частях уравнения (3.5), через £, запишем уравнение (3.5) в виде
г ~ = xi У12 + 工 ％ 9『+ 工儿(〃『+喈)+ L + S (3.8) 必 6=2 s=I
川(3.9)川(3.9)подразумевая под L квадратичную форму переменных р»,以§, 0& с ограниченными и непрерывными относительно f коэффициентами, обращающимися в нуль при / = /0. Из равенства (3.8) получим
川(3.9)
川(3.9)
2、工 ％У『+ 2 底(〃/+%2) + L+S
У。 f=2 I
Пользуясь возможностью произвольного выбора начальных значений, подберем их согласно равенству
У1^ = А, %0 = ~ = ^小0 = 0, Mo =…=〃ао = 0, d10=： .,. = ^^0 =0
Тогда знак величины подынтегральной функции в окрестности выбранной точки определяется знаком выражения Xif/J. Из (3.9) получаем неравенство 产 > / , которое и доказывает теорему 2.
Аналогичным приемом можно доказать, что если характеристическое уравнение имеет хотя бы два корня с положительной вещественной частью, то движение также неустойчиво. Нам остается теперь рассмотреть случаи, когда среди корней характеристического уравнения имеются нулевые, чисто мнимые и кратные корни.
В теореме 1 дано условие, при котором решение вопроса об устойчивости не зависит от членов выше первого порядка. При этом доказывается только достаточность приведенного условия; докажем теперь его необходимость.
Теорема 3. Если среди корней характеристического уравнения имеется по крайней мере один нулевой или два чисто мнимых корня при остальных отрицательных или комплексных с отрицательными вещественными Частями, то невозмущенное движение может не обладать устойчивостью на конечном интервале времени.
Положим в уравнениях (3.4) % = О
匕=а2 协 3,%=…= 1^ = 0,Ui = ... = U(j==o，*=...==%=0
При этих условиях производная г2 по f будет иметь вид mо
^ = 2 %刃+ 2 W + v^ + L + ^y^(З.ю>
где 丄，как и в предыдущей теореме, представляет собой квадратичную форму переменных 协，ust vs с непрерывными и ограниченными коэффициентами, обращающимися в нуль при t = }
Из уравнения (3.10) находим
产= %2ехр 2 5(2^ и； г/Л + S К(«s2 + fs2) +L + ау^) ^-(3.11}
Пользуясь произвольным выбором начальных значений величин 弘， 〃s, %, наложим на них условие
弘 о? н 力， У^о= ••< = ymQ= 0, “io =…="о。= °, So=・••==%()= °
Тогда можно утверждать, что подынтегральная функция в уравнении (3.11) при t~tQ принимает значение, которое является величиной положительной.
В силу непрерывности интегралов 协，〃$, vs системы уравнений (3.4) и коэффициентов правых частей этих уравнений можно утверждать, что значение подынтегральной функции будет положительное для значений 力 близких к /().
Следовательно,产 > 4 для всех 友 > f > t0.
Последнее неравенство служит доказательством теоремы 3 и одновременно доказывает, что условие, сформулированное в теореме 1, является не только достаточным, но и необходимым.
Рассмотрим теперь систему уравнений (3.1) в предположении, что ее характеристическое уравнение имеет кратные корни.
В этом случае всегда найдется линейная подстановка с постоянными вещественными коэффициентами, преобразующая систему уравнений (3.1} В такую, которая распадается на несколько групп уравнений вида
~7 — х1 Z/1+^i + ^i»粤=% 协十玖-1 +当+匕
或at
(i = 2, 3,…，々i)
'?} = x2块1+1 +七爲+1 +匕,+1弟=&协+勿一1 +耳+匕
端f+ldi端f+ldi"=々1+ 2,后+局)
端f+ldi
端f+ldi
#=Xa乩+协T +吕+匕 粤=储-卩1 S +丛 + S,~ =% 101+ 卩1 "1+ Ki+ 匕,d%+i— — = %2 以Г [+1 一卩 2 %+「#=Xa乩+协T +吕+匕 粤=储-卩1 S +丛 + S,~ =% 101+ 卩1 "1+ Ki+ 匕,d%+i— — = %2 以Г [+1 一卩 2 %+「*а У tn—左 a+1 I Efn*—汽 a+【г I Ут—*a+】
#=Xa乩+协T +吕+匕 粤=储-卩1 S +丛 + S,
~ =% 101+ 卩1 "1+ Ki+ 匕,
d%+i
— — = %2 以Г [+1 一卩 2 %+「
#=Xa乩+协T +吕+匕 粤=储-卩1 S +丛 + S,
~ =% 101+ 卩1 "1+ Ki+ 匕,
d%+i
— — = %2 以Г [+1 一卩 2 %+「
仁加一3+2,加)
df
~+卩I几
df
(s — 2, 3, .». , г】)
上(3・12)
dvr +i
―^—=入2 "1+1 + 囱〃 q+1 +Kq+1 +V r^
(S =「i + 2, Г1+3,, Г1 + Г2)
竺=%48-卩2 % +"s-1 +% +и8，野=入2 % + 卩2 〃3 + %- 1 +
d%-「0+1d%-「0+1+ Ks+ 匕
d%-「0+1
d%-「0+1
入0〃口_半+1—卩в Ua-rp+i 4~^o-rp+l +^o-rp4-l
d%_「+]
成—-^=入0U(y —「6+1 + 卩8〃(j—■rp+l + K。一rp+1 + 丿。一rp+【
学=九6 4 s—卩в+%+a
df
嘗=入8 q + 卩В % +5-1 + K& + 匕 (s = a —Гр4-2,, a)
где аир равны числу групп уравнений, соответствующих действительным и комплексным корням. Числа 左匕 ^2» •••, 々а, &,•・•，г§ определяют порядок кратности каждого корня.
Может случиться, что некоторые вещественные корни или комплексные корни
入1 土卩1 m - 1» 入2 士n2 J - 1,,入a ±卩0 У" - 1
равны между собой.
Все величины Е, Я, К представляются линейными формами переменных yit 〃§, va с коэффициентами, зависящими линейно от Лрг；.
Относительно системы уравнений (3.1) можно доказать следующую теорему.
Теорема 4 Если характеристическое уравнение системы уравнений (3.1), не имея положительных корней или комплексных с положительными вещественными частями, имеет кратные вещественные отрицательные корни Q и кратные комплексные корни с отрицательными вещественными частями % и если при этом все диагональные миноры определителей
—x^ —1/20... 00
D的)=
—1/2—况上 —i/z …00
(『=1, ... , a)
000…一'I/2 —修
— %—1/20 ... 00
(3.13)
— % —% —1/2 ... 00
D (%)=
(s = 1 > ■ • • » P)
000…—1/z —入 S
будут больше нуля, то невозмущенное движение устойчиво на конечном интервале времени независимо от членов высших порядков.
В том случае, когда хотя бы один диагональный минор окажется отрицательным, невозмущенное движение будет неустойчиво независимо от членов высших порядков. Числа 自 и г& указывают на порядок определителей 0(乂0 И0(入 J.
Для доказательства теоремы исследуем изменение величины 产 с течением времени, принимая за 产 величину
产=』少+ X (喈+噌 i=ls=l
Из этого выражения и при помощи системы уравнений (3.12) получаем 产=4ехр(— 2 $ (H—L—S)^)
где
右1右1 +右2小
一2 uJ一uJ-…-一£=1i=&i+li—tn—々a+l
riL+fa
入1 N (〃/+%2)-入2》(〃J + %2)-…一入6*("/+喈)一
s=ls=r*+ls=o—「б+1
~У1 у2-…-以「I力］一以pH我1+2 -…一板2+1勿2 -…一Уm-\ уm —
乩1 "2 一的 "8—…—4r］一1 "( -^г^\ "г］+2 —…—"r厂］"G 一 •"—
〃a—1 〃a —厶 S—I 0°
При условии положительности всех диагональных миноров определителей О(х^) и £>(九8)квадратичную часть функции 2Н, состоящую из членов, коэффициенты которых не зависят от /, при помощи линейного преобразования можно привести к сумме квадратов, коэффициенты при которых будут положительные.
Функцию 2(〃 一 L — S) после преобразования можно записать в виде
2［(W—L — 5)=。拉12+〃2 ^22 + • • ■ + anl 2n + ^-1 (2i > С + ^1 »(2i > С
Здесь £式々，/) является квадратичной формой с непрерывными коэффициентами, обращающимися в нуль при / — /0, через Si обозначена голоморфная функция, разложение которой по степеням 々 начинается с членов не ниже третьего порядка; переменные 马 являются линейными формами от У t\ 〃8, ^8'
Очевидно, что для значений t, близких к /0> знак функции 2(Н —— L —— —S) определяется совокупностью членов а^ + ^з2 + ••• + а^п независимо от выражений 厶 и Si.
На основании изложенного можно утверждать, что 产V力 до некоторого момента 九 причем разность 友 ——/()= т является величиной, по меньшей мере конечной. Это неравенство доказывает первую часть теоремы 4.
Если предположить, что хотя бы один диагональный минор определителей D(zJ или £>(入J является величиной отрицательной, то одно из чисел а$ будет также отрицательным. Пусть это число будет 的.Воспользовавшись возможностью произвольного выбора начальных значений yiOt us0, %。， подберем начальное значение 勿。такнм образом, чтобы 马。=%8о =…= ^zno=O, и, проведя рассуждения, аналогичные тем, которые были изложены в теореме 2, можно утверждать, что невозмущенное движение неустойчиво.
Для того чтобы доказать необходимость условий, сформулированных в данной теореме, можно предположить, что одно из чисел。騎 например а^ обращается в нуль. Тогда всегда можно подобрать члены высшего порядка таким образом, чтобы S】=az^y которые превратят устойчивое движение в неустойчивое.
Таким образом, мы доказали необходимость сформулированных условий.
126
§ 4. При доказательстве необходимых и достаточных условий устойчивости движений по первому приближению на конечном интервале вре， мени мы не интересовались величиной этого интервала. В приложениях же эта величина играет существенную роль, поэтому необходимо дать способ-- определения интервала времени, гарантирующего устойчивость, т. е. необходимо определить разность 友一％ = т или величину несколько меньше ее, при которой была бы справедлива доказанная теорема об устойчивости.
Для решения этой задачи обратимся к системе уравнений (3.1) и к выражению (3.5), которое запишем в несколько иной форме:
<V(4・А
=2 X/ Ui + 2 ^ («в2 + У»2) + ^ (Уi，«S. fe> 0 + 5 (yt, us, oe, О i=ls=l
где Цу” 〃&, ^8, 0 является квадратичной формой с непрерывными по отношению к t коэффициентами, обращающимися в нуль при t = /0.
В дальнейшем для удобства записи обозначим переменные иа и »в. буквами 协，пронумеровав их в следующем порядке：
〃丄=^机+1,Ug = ym-^2f ••• >Uq — Ут+о
S — Ут+o+l,弘=Um+(r+2，…,^o — Jm+2a
Тогда выражение (4.1) можно записать в следующей форме:
m小+оn л
г~ = 2\ %(Уг2 + У^о) + Е £ АС"У* % + S
где A&j равны нулю при t = b
Заменив три первые суммы, фигурирующие в правой части, через //,. получим
产= 4ехр(—2 \ (Н—S)^)(4.2>
где Н — квадратичная форма переменных 力，…，％.
п л"=工工 Q j Ui у} 2n 1 /= IQi = —*i — A&i曝=一%8一AC8Sп л"=工工 Q j Ui у} 2n 1 /= IQi = —*i — A&i曝=一%8一AC8SD (хь 入 J =D (хь 入 J =Для определения интервала времени, гарантирующего устойчивость* невозмущенного движения, составим определитель, являющийся дискриминантом формы Я：5
п л
"=工工 Q j Ui у} 2n 1 /= I
Qi = —*i — A&i
曝=一%8一AC8S
п л
"=工工 Q j Ui у} 2n 1 /= I
Qi = —*i — A&i
曝=一%8一AC8S
D (хь 入 J =
D (хь 入 J =
(f = 1, ... , m),Cs+o,叶a=—入8—АС$+б s+(y
(s = m+l, a) Qj = C/t
C2n
Квадратичная форма H будет определять знак подынтегральной функции Н—S независимо от S в том случае, когда в результате преобразования ее к сумме квадратов все коэффициенты при квадратах переменных^, являющиеся функциями времени, будут отличны от нуля и иметь одинаковые знаки на всем интервале времени т = 友 一 t0.
Из уравнения (4.2) следует, что для устойчивости невозмущенного движения необходимо, чтобы Н была определенно-положительной формой для всех значений времени, заключающихся в интервале т = ^ — %. Зто* условие будет выполняться в том случае, если все диагональные миноры
127'
определителя Q(x” 入J являются положительными, т. е. будут иметь место неравенства>
&=Cii>0,% = 1' 12 >0,…， A?i = Q(修，％) > 0(4.3)
С21 С22
В том случае, когда хотя бы один из миноров меняет знак, квадратичная форма Н перестает быть определенно-положительной.
Предположим, что для некоторых значений времени Дп обращается в нуль:
А“ = 0(4.4)
Из этого уравнения мы можем определить несколько моментов времени 厶,勾，• ••» /&・ Пусть 4 является наименьшей величиной из всех 友, 友，••■ ...» 加・ Тогда разность 友一^0=т будет тем интервалом времени, на котором гарантируется устойчивость невозмущенного движения. Может случиться, что неравенства (4.3) справедливы для всех значений времени t > ", тогда будет гарантирована устойчивость невозмущенного движения на интервале времени (4, оо).
Замечание. Необходимо отметить, что равенства (4.4) не определяют максимального значения времени t, гарантирующего соблюдение неравенства
X (a〃% +0»2%2+…+ 的П%也)2 V4(4.5)
Очевидно, это значение времени будет больше 友，так как 友 определяет значение времени, начиная с которого величина т2, будучи менее Л, для значений /, близких 友，может возрастать, оставаясь меньше А.
Задача, связанная с определением максимального значения времени, обеспечивающего соблюдение неравенства (4.5), представляет большой интерес с точки зрения приложений к решению прикладных задач.
Л：н тература
5. М. Ляпунов. Общая задача об устойчивости движения. Гостехиздат, 1950.
Н. Г. Четаев. Об устойчивости движения. Гостехиздат, 1948.
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ
В СЛУЧАЯХ, БЛИЗКИХ
К критическим1
§ 1. Критическими случаями задачи об устойчивости установившихся дви・ жений А. М. Ляпунов называет2 случаи, когда характеристическое урав* нение
Ри—X Pl2 —Pin
PnI Pn2 Pnn一X соответствующее системе обыкновенных дифференциальных уравнений вида п
~ = ^ 〃t尤i+Х&(尤I,…，％/(s = l,..., n)(1.2)
df
кроме корней с отрицательными вещественными частями, имеет нулевые и чисто мнимые корни.
В системе (1.2) pat — постоянные величины, Xs(xlf ...» 今) 一голоморфные функции вблизи начала координат, разложение которых по переменным 尤1, ••” Хп начинается с членов не ниже второго порядка.
Случаи, когда характеристическое уравнение (1.1) наряду с корнями с отрицательными вещественными частями имеет по крайней мере один корень с малой положительной или отрицательной вещественной частью, или малый положительный или отрицательный корень, будем называть случаями, близкими к критическим.
Заметим, что наличие корня с положительной вещественной частью является достаточным условием неустойчивости движения независимо от членов Х/н …，Хц). Очевидно также, что наличие только отрицательных корней и корней с отрицательными вещественными частями обеспечивает асимптотическую устойчивость невозмущенного движения. Эти две замечательные теоремы Ляпунова, лежащие в основе всей теории линейных колебаний механических систем и устойчивости их движений, получены им при весьма жестких ограничениях, налагаемых на начальные возмущения х10, ...» хп0-
Определяя устойчивость движения, Ляпунов предполагает, что все %| могут быть сделаны менее любого наперед заданного числа. Таким образом, предельное значение начальных возмущений есть нуль.
В дальнейшем мы будем определять устойчивость невозмущеннога движения следующим образом©
Работа опубликована в сб. <Тр. Ун-та дружбы народов им. П. Лумумбы», сер. теор. механ., 1963, т* 1, вып. 1.
А. М. Ляпунов. Общая задача об устойчивости движения. Гостехиздат, 1950.
1291299 Зак. 3126
129
129
Определение. Если в пространстве %卜...,修 можно указать замкнутую область G, обладающую тем свойством, что возмущения %打...» 今,рассматриваемые как функции времени, удовлетворяющие уравнениям возмущенного движения (1.2), не выходят за эту область для любых значений /》/о，если только их начальные значения х10, ...,今° находились внутри или на границе этой области, то невозмущенное движение устойчиво; в противном случае оно неустойчиво.
Примечание. Может оказаться, и это общий случай, что внутри области G существует другая замкнутая область Gi, По отношению к которой движение может оказаться неустойчивым. Не исключаются и те случаи, когда таких областей будет несколько, причем эти области могут быть включены одна в другую.
Поясним это определение примером. Предположим, что уравнения возмущенного движения имеют вид
空=“х + 4 + gX(炉 + /, 鲁= "4-x+g"(炉+讲 (1.3) at
где 卩 н g — постоянные величины. В полярных координатах % = —rcos 仇 у = rsin 0 будем иметь
■^=m + 夕3, 粤=1 (1.4) at
Рассмотрим различные случаи, представляемые этой системой.
Пусть 卩之 0, g V 0. Тогда круг любого радиуса может играть роль области Gh устойчивость невозмущенного движения будет иметь место для любых значений х0 н %•
Пусть |Л ^ 0 и ^ > 0. В этом случае области G не существует.
Пусть м > 0 н g < 0. Тогда для значений 尢о и %, лежащих внутри окружности,
炉+"2=-卩/g
движение будет неустойчиво, а для любых значений х0 и %, лежащих вне этой окружности, движение будет устойчиво, т. е. за область G мы можем опять принять круг сколь угодно большого радиуса. В этом случае областью G] может являться любой круг радиуса
R&M-p7g
Пусть 卩 < 0, g> 0* Тогда для возмущений %。，％, находящихся внутри или на самой окружности радиуса R, движение будет устойчивым, а для1 любых возмущений, внешних по отношению к этой окружности, оно будет неустойчиво. В этом случае областью G является круг радиуса R. Области1 G] в этом случае не существует.
Если величина |卩応| достаточно мала, то мы можем рассматривать устойчивость и неустойчивость в области, сколь угодно близкой к точке- х у == 0.
Изложенное определение не нарушает механического смысла, заложенного Ляпуновым в определении устойчивости движения, но исключает весьма жесткие требования» предъявляемые к начальным возмущениям определением Ляпунова.
Данное определение по своему смыслу также близко к пониманию ус* тойчивости, высказанному Пуанкаре в третьем мемуаре его монографии? «О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями».
В приложениях помимо решения принципиального вопроса об устойчи* вости несомненный практический интерес представляет отыскание самой области G.
Заметим, что в разобранном примере роль области G (или G0 играет предельный цикл, радиус которого R стягивается в точку при 卩 f 0. Как показано, этот предельный цикл может быть устойчивым или неустойчивым.
Таким образом, для систем второго порядка отыскание области G можно свести к отысканию в системе предельных циклов.
*§ 2. Рассмотрим систему второго порядка в более общем виде
穿—(х% + ₽1/+^о(招乡)+ КХ，(х,(/)+ ...
dt
.(2.1)
^ = W/一限+九(居9)+卩匕(%4)+… dt
где 卩 н § постоянные величины.
Функции Хо, Xlt ...» У。, Уь ... разлагаются в абсолютло сходящиеся ряды по переменным xt у в круге конечного радиуса.
Исследования системы (2.1) начнем с решения следующих задач.
Найти необходимые и достаточные условия, которым должны удов летворять функции Х0(х, у) и У0(х, у), чтобы система уравнений (2.1) имела предельный цикл, стягивающийся в точку при 卩=0 независимо от вида функций Xlt X?,…，Уг, У2 …
Решить вопрос об устойчивости предельного цикла, если он сущест* вует.
Указать способы определения первого предельного цикла в тех случаях, когда ХоИ Yq не решают задачу о существовании предельного цикла, стягивающегося в точку.
Система уравнений (2.1) при 卩=0 переходит в систему, рассмотренную Ляпуновым (случай пары чисто мнимых корней)1. В случае Хо = Уо = 0 и отсутствии членов 卩尤 и 卩у эта система переходит в систему, исследованную Пуанкаре (случай малого параметра).
Система уравнений (2.1) в полярных координатах
х=—rcos0, y = r sin 0
будет иметь вид
=m+小凡g(0) +"+1 rQ+1)(9) +…+卩/亿0,卩)
修(2.2)
鲁=p+产 tq 产)(e)+"Qo(m+i)(e)+…+卩Qi&,e,卩)(m>2)'
at
где R。仅)и Qo(左)определяются формами
&伍)(0) = —X炉)cos 0 + %(对 sin 0,Qo^ (0) = X°(幻 sin 0 + Y«)cos 0.
Функции Ri и Qi определяются аналогичными формулами
Ri = —X] cos Н + 匕 sin 仇Qi = X] sin 8 + 匕 cos 0
Может случиться, что задача о существовании предельного цикла, стягивающегося в точку при 卩 = 0, или его отсутствии решается укороченной системой уравнений вида
^=“+/-RM)(e),鲁=р(2.3)
atat
Покажем, что это будет иметь место лишь в том случае, когда
2л
\ RM)(e)dey=o О
2 См. сноску 2 на стр. 129*
Если же этот интеграл обращается в нуль, то для решения поставленной задачи необходимо рассматривать формы более высокого порядка. Рассмотрим с этой целью функцию Ляпунова, определяемую из уравнения
Г=Р+宀т(»(2.4)
в
где um(e)= l \(凡(砌一g)de Р о
Число g определим из условия периодичности функции um(0), т. е. из равенства
2Л
$ (Ro^-g)dd = O(2.5)
О
При этом условии производная функции У по / будет иметь вид
(1+加ит)当=幽+gi+v^F. (V, 0)+以Н尸2 (匕e,卩) at
где 戶i(V, 0) и 戶2(P, б» 卩)—голоморфные функции V с периодическими относительно 0 коэффициентами.
Рассмотрим все случаи, которые может представить система уравнений (2.1).
Пусть /и — нечетное, g V 0・ Полагая —卩依=а^т и P = za, будем иметь
(1 + inzm^{ ат-1 〃团)—=auz Г1 —2吁1—^― Fr (г, а, 6) 一 或g
-a* (统，0, a)]
Так как при 卩 > 0 я g V 0 число а положительно, то знак производной при а достаточно малом определяется двучленом 1—2加一1. Если мы положим 2团-1 = 1 — 8, то получим dVldt > 0, если же z^-i = =1 + £, то будем иметь dV/dt V 0.
Отсюда следует, что как бы ни было мало число 8, мы всегда можем выбрать число
настолько малым, чтобы в интервале (1 —е^, 1 + £0 изменения V производная меняла знак.
Следовательно, для значений 匕=а(1 —е0 будем иметь dV/dt > 0, а для У2 = а(1 + “) будем иметь dV/dt < 0, как бы мало число % = =——^―7 е + ^力一2M2 + ни было. На основании этого мы можем 他一12(他一1)21
утверждать, что невозмущенное движение для начальных возмущений 几 и 0О, удовлетворяющих условию % — (1 + %)а — (1 + 勺严 am um (00)> 〉0, — устойчиво, а для возмущений 小一(1 — “)а — (1 —彳产“俏 X X um(0o) V 0 неустойчиво.
Уравнение (2.3) значениями V\ и V2 определяет два, не имеющих общих точек семейства замкнутых циклов, которые для интегральных кривых, соответствующих системе (2.2), являются циклами без контакта.
Уравнения этих циклов имеют вид
r = (l +s0a + (l +81)татит (0),г = (1 — ej а + (1 — ^т ат«т(0)
(2.6)
Первое семейство замкнутых циклов пересекается интегральными кривыми уравнения (2.3) с его внешней стороны во внутреннюю, а второе — с внутренней стороны во внешнюю, если считать внешней стороной ту область, которая соответствует росту функции V. Знак производной dV/dt, как мы убедились, для сколь угодно малых а = ；/—卩/g определяется знаком величины 1 —
Если бы мы пожелали определить достаточный верхний предел численного значения а, при котором dV/dt имеет отрицательное значение, то мы должны были бы рассмотреть знак выражения
tn 1
s=—8—a2g(1 十£严+i %(a,E,6)—cc(1 + e产一】F2(8,a,6) (2.7)
Это выражение при a достаточно малом будет всегда отрицательным, но оно может быть отрицательным и для всех a & a0, если под а0 подразумевать максимально возможное значение а, удовлетворяющее уравнению s = 0 для любых значений 8 и для всех значений 0 в интервале 0^0=^ 《2冗.
Если мы пожелаем определить для достаточно малого значения a уравнение предельного цикла с точностью до величины первого порядка малости в отношении а, то мы должны найти по заданному числу а минимальное значение е из уравнения s = 0 для любых значений 0 & 6 & 2冗・ Затем по найденному числу е определить значение %. Этими двумя значениями ej и a мы определим два замкнутых цикла, представляемых уравнениями
внутри которых находится предельный цикл.
Радиус этого предельного цикла с точностью до а в первой степени определяется неравенством (1 — £i)a V 厂 V (1 + e^a.
Легко убедиться, что при 卩 > 0 н g > 0 уравнения (2.2) не допускают существования предельного цикла, стягивающегося в точку при 卩=0.
Можно также убедиться, что при 卩 V 0 и §• > 0 предельный цикл, стягивающийся в точку, существует, но он неустойчив. И, наконец, при 卩 V 0 н g V 0 предельного цикла, обладающего вышеуказанным свойством, также не существует.
Таким образом, сомнительным случаем является тот, когда g = 0. Этот случай нельзя считать исключительно частным. Действительно, в случае четного /и форма Rg)(cos 0, sin 0) будет формой от sin 0 и cos 6 (/и + 1)-го порядка. Следовательно, равенство (2.5) нам всегда представляет число g = 0.
В этом случае формы ХМ)и Y^m} не решают вопроса о существовании предельного цикла, стягивающегося в точку при 卩=0. Для решения этого вопроса нам необходимо рассмотреть формы более высокого порядка.
Возвращаясь к системе (2.2), поставим здесь задачу в более общей форме. Определим, какому условию должны удовлетворять формы
RM),r!T+d，…，R^+k\ Q。(向，Q"Z …，QST+"
для того, чтобы уравнения (2.2) допускали существование предельного цикла, стягивающегося в точку при 卩 = 0, независимо от членов &(5m),…，QoM+7 …，NR,闻1.
Для решения этого вопроса возьмем функцию Ляпунова из уравнения
r=V+Vm以m + i+l以加+1+…+小+"…
в котором функции us(0) подлежат дальнейшему определению.
Произвводная dV/dt в силу уравнений (2.2) примет вид
[1 +mVm~~lum+ ••• + (加 +团 i+Ji ит^ ^ =
1曲丁 <fe
+ UM 餐М 犀 + (U + 宀m + + Vm+k 〃i)M Q。+
+ …+ 闯 J +и(7 + Уотит+... + 丿叶尼 um+^ +(V+Vmum +
+ ... + V^ Um+^ mRo + _+(y+Vm 〃m +…+
+ um+后 Um+^ R俨+㈠+咪1 (匕G,卩)
Раскрывая скобки и приводя подобные члены в отношении различных степеней У, не содержащих множителей ц, и приравнивая коэффициенты при различных степенях V к постоянным величинам g, &, g2, ..., ^, получим 传 + 1) уравнение для определения функций um, ит^\, …,以团+私 Эти уравнения будут иметь вид
8警=凡阿一g，В缕^=研"+"-傲+尸1(凡(叫"eg)
P 编=R"» f+&(R。叫 R"“，…
» R。 ，以m，…，以m+左，g, gl，…,gh—1)
В этих уравнениях F*, F2, ..., Fk представляются в виде многочленов от различных степеней sin 0 и cos 0 с коэффициентами, зависящими от коэффициентов форм
凡(叫・・・，QM),Q"幻
и функций um,以团+1, ..., Um+h с верхним индексом у форм R и Q, на единицу меньшим индекса определяемой функции us (0).
Таким образом, все функции us(0) будут последовательно определены.
Если числа g, gi, ^2, ..., gk определить из равенств
2Л2л
$【凡⑺(8)+用能=0,$ Ws)(0)-^-m+^-m(e)]rf0 = o
оо
(s = m+1, m + 2,,加 +舟
то функцииum(0),〃加+1(8), ...,um^k (9)определятсямногочленами от
различных степеней sin0 и cos 0. Предположим, что все числа g = g^ = =...™ gk-\ =0, a gh Ф 0. Тогда dV/dt будет удовлетворять уравнению
[1 + /И Р"Т 〃т+ ... +(加十团 Vm+k~l um+k]当=
-nv+^ i+左+仆+i 储(匕e)+卩个尸2 (匕0,")
Определяя знак производной dV/dt в окрестности начала координат при различных предположениях относительно знаков 卩 и g, мн придем к тем же результатам, к которым пришли в предыдущем параграфе, так как правая часть уравнения, определяющего знак dVIdt, принимает прежний вид, если положить m + 々= 加].Множитель же при dVldt в силу малости V на знак производной не влияет.
Таким образом, мы рассмотрели все возможные случаи, которые может представить система уравнений (2.2) в случае поставленной нами задачи, за исключением случая, когда все gk = 0, как бы велико число 々 ни было.
134
Мы здесь можем утверждать, что если система (2.2) при 卩=0 является канонической, т. е.
X。(%, у)=— дН/ду, У。(%, у) = дН/дх
Где Н ——голоморфная функция, разложение которой по степеням %, у начинается с членов не ниже 3-го порядкд, то все числа ^, как бы велико число k ни было, будут равны нулю.
В том случае, когда система (2.2) допускает существование знакоопределенного интеграла, не зависящего от /, все числа gk, так же как и в случае канонической системы, обратятся в нуль. Если нам каким-либо способом удалось обнаружить, что все числа g^ = 0, то тогда бесконечный ряд
r=v+v^um(e)+ p^+i 〃加+1 @)+
в -котором все 以加+左(0) будут периодическими функциями 0 с периодом 2л, будет абсолютно сходящимся для достаточно малых значений У.
Рассмотрим теперь функцию V как новую переменную, мы вместо уравнений (2.3) получим новую систему вида
(1 + m^m-i Um + ...)当=М + “R1 (匕 0, fl)
普=p+ 1 Q°(m)(匕 e)++wQM 匕 о,卩) at
Из первого уравнения следует, что при 卩 > 0 система (2.2) не имеет предельного цикла, стягивающегося в точку, и, следовательно, в области, «близкой к началу координат, невозмущенное движение будет неустойчиво.
В случае 卩 V 0 движение будет асимптотически устойчиво. В этом случае устойчивость и неустойчивость понимаются в классическом смысле.
Переходим к исследованию задач, связанных с устойчивостью движения, когда рассматриваемая область не стягивается в точку при 卩 = 0. Предположим, что Х0(х, у) и У0(х, у) в системе (2.1) вопроса о существовании предельного цикла, стягивающегося в точку, не решают.
Мы ограничим свое исследование тем случаем, когда Х0(х, у)= = Уо(%, у) = 0. Но метод, который будет изложен, применим также и к тому случаю, когда система (2.1) допускает при 卩=0 периодические решения.
Мы будем рассматривать систему уравнений следующего вида:
—= p,x+Pz/4-[x^i + fx2^(X, у, м)
.(4.1)
告="//—伊叶м匕+m2 y (%, у, h) at
в предположении, что функции X】и ¥\ представляются многочленами вида
% (%, У) = X】(m)(X, у) +X(}+D(X, у) + …+Х(Г+© (%, у)
Yr (х, у) = У№)(% 勿 + у尸+1)(%,%) + ... + y^U)(%, у)
где k сколь угодно большое число, а функции Х"" и ^(^ представляют собой формы /-й степени от х и у. Будем предполагать, что X и У являются голоморфными функциями, не содержащими в своих разложениях членов ниже первого порядка. Прежде всего найдем условия существования предельного цикла, минимальный радиус которого отличен от нуля и обращается в конечную величину при 卩=0.
Преобразуя систему (4.1) к полярным координатам х = —г cos 8, ^ = rsin0, получим
=(xr + H(f R() +产+i 当+...+i+也&)+"味&,仇卩)(4.2)
賢=p + 卩(m-1 Q。+ 严 Q1++ m+l QJ + 川 Q 亿 0,卩)
В этой системе
R$= —X^ cos8 + У(§)sin 0, Qs = X(s)sin8 + У(§)cosQ
(s = 0, t k)
с заменой в функциях X】")и Y^s^ переменных x, у на—cos0 и sin 9 соответственно, a
R = — X cos 0 + У sin 0, Q = X sin 8 + У cos 0
если в функциях X и У заменить % =——г cos 0 и у = rsin 0. Следовательно, функции R$ и Qs представляются формами (/п+ 1)-го порядка от cos 0 и sin 0.
Возьмем функцию Ляпунова, отвечающую системе (4.2), из уравнения r=V + ^(ymuQ + W1 〃1 + …+ V^+A 欤)(4.3>
Производная функции V по / в силу уравнений (4.2) будет иметь вид ^=^[1+^0 +曲 Р"-2 + …+g片pn+ЬТ}十
+ liH (V,us,dus/dt,Q，ii)(4.4>
при условии, что функции 以о, Ui, ...,以片 определены из уравнений
р — = R§—g$(s=0,1,, k)
2л
а члены go, gi, .... gh — из равенств J (凡一gj曲=0.
о
Нетрудно заметить, что все g^, у которых s — четное, выйдут равными нулю. Таким образом, вопрос о существовании предельного цикла или периодического решения системы (4.2) при наших предположениях сводится к анализу корней уравнения
gh 小+也一 +gл WA~2 + …+ g。P"T + 1=0(4.5>
Это уравнение будет содержать только четные степени и вследствие этого будет иметь столько положительных корней, сколько отрицательных. Мы условимся рассматривать только положительные корни У, относя отрицательные к разряду мнимых. Разумеется, можно было бы поступить и наоборот.
Предположим, что уравнение (4.5) имеет р положительных корней. Это уравнение можно представить в виде
(у1 一 Q (%_Q …(/一 丿)中(y) = 0(4.6>
где Yi, Vg，•••，Рр — корни уравнения (4.5), расположенные в возрастающем порядке, среди которых могут быть и кратные.
Функция <p(V) такова, что уравнение(р(У) = 0 не имеет положительных корней, и, следовательно, она будет сохранять при У > 0 какой-нибудь определенный знак. Предположим, что(р(У) > 0 при У > 0. Уравнение (4.4} в новых обозначениях можно переписать в виде
^ =旷屮⑺[(匕一Q (%_U)...(%_ У)+产歌耳(4.7>
Предположим вначале, что 卩 ——сколь угодно малое положительное число. Так как Н представляется голоморфной функцией У и 肘 с периодиче* скими относительно 0 коэффициентами, то для заданных значений V и 卩, находящихся в области голоморфности, она должна иметь некоторый мак* 136
симум "max・ Функция же ф (V) для У> 0 имеет некоторый минимум(pmIn. Положим "max/屮min = М. Тогда знак производной dV/dt при условии 卩 > 0 будет определяться выражением
S =屮(吩 W1 — U) (%—Q ... (Vp-V)+^1 (4.8)
Рассмотрим наименьший корень 匕 и возьмем замкнутый цикл, определяемый равенством V = Vx + 8< V2. Тогда dV/dt в силу малости 卩 будет положительной величиной, если 屮(У) V 0, и отрицательной, если 屮(户)> >0, а для цикла для 7=^—е знак dV/dt изменится на обратный. Следовательно, в первом случае (<р < 0) в интервале (^ ——8, Ух + е) будет находиться неустойчивый предельный цикл, а во втором ——устойчивый (когда(p(V)>0). Переходя к следующему корню V2, мы получим предельный цикл в интервале (У2 — 8, V2 + 8), но этот предельный цикл будет устойчив при ф < 0 и неустойчив при 屮 > 0, если только корень V^ простой или кратность его нечетная. В случае четной кратности предельный цикл будет неустойчив.
Аналогичные рассуждения можно провести относительно и других корней.
Иных предельных циклов конечного радиуса, кроме тех, которые определяет уравнение (4.6), система уравнений (4.2) иметь не может, если число 卩 бесконечно мало.
При доказательстве существования предельных циклов мы давали оценку функций Н и ср, предполагая, что число 卩 можно сделать сколь угодно малым, как это обычно делается в квазилинейной теории или в методе малого параметра. Но мы можем поступить иначе. Рассмотрим знак производной dV/dt в окрестности цикла V = 丫工・ Мы видим, что при соответствующем выборе числа е производная dV/dt имеет постоянный знак на цикле У = 丫工 + £ для достаточно малых значений ц. Но знак dV/dt будет сохранять свое значение не только для ц достаточно малых, но и для всех 卩「 удовлетворяющих условию
S (%一匕一叫..(乙一匕一 e) +卩2 0 中(%+8)
при всех значениях 0.
Это условие определит такое значение ц0, что для всех 卩 V Ro предельные циклы будут существовать. Грубым приближением будет то значение |л0, которое определяется равенством
e(九一吟一e)."(几一匕一e)+ m1 (吟+ e，卩)=0
Доказав существование предельных циклов для 卩 V No с ограниченным радиусом, мы тем самым доказали ограниченность периодических решений уравнения (4.1) для всех значений 卩 V 卩о・
Аналогичное рассуждение можно провести относительно любого корня уравнения (4.5) и для каждого периодического решения, соответствующего этому корню, определить его область сходимости по 卩.Может, конечно, случиться, что все числа ^0, g^, •••, gh обратятся в нули, как бы велико число k ни было. Это обстоятельство покажет, что функции Х^х, у), Y-^x.y) вопроса о существовании предельного цикла не решают. Бесконечные ряды, в которые обращаются при этом многочлены (4.3), будут сходящимися> а уравнения
^ = ру+Х1(%,/ 罂=_р%+У1(х,у) 力 at
будут допускать периодическое решение.
Примечание. Настоящая статья представляет часть доклада автора на Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике (Москва» январь-февраль I960).
К ЗАДАЧЕ ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ
В КРИТИЧЕСКИХ СЛУЧАЯХ
Исследуется устойчивость движения, описываемого системой уравнений возмущенного движения
%s = 九$ У$ +Х$ （%1，…，％р； У1，…，％, t）（0 [）
Us =九 8 %$ + У$ （%工，…，“р；У1，…，У pt T）（S == 1,р）
где Xs и Ys — голоморфные функции переменных %厶...,%卩,у19 ..., у?, разложение которых начинается с членов не ниже второго порядка. Коэффициентами разложения Х$ и Ys являются периодические функции с общим вещественным периодом со.
В случае р = 1 я иррационального 入①/ат задача об устойчивости разрешена Ляпуновым I1].
Ниже решается задача Ляпунова для рациональных 入①/ат. Исследуется случай канонических систем; результаты распространяются на системы высших порядков.
Исследование задачи Ляпунова для рациональных X©/Jt.
Рассмотрим систему второго порядка
—7^ + 12 Х（0（х> У' т）> 驴=£%+^£ У（"（х，У，т） （L1） Р Р』2Р Р /=2
где
X（‘）= е a（耳，"）（七） %瓦 学", У（/）= 2 b（耳，左 J 0%网户
а（В，財）（t）=工（aonf A1） cosht+ a^' ft,）sinnr） n=0
从也1,施）（t）=n（从漑，"cos"+b方也）sium） л=0
a а и § — целые положительные числа.
Полагая т = р/ и переходя к переменным и т]
% = Е cos af + n sin а 力y~l sin at—n cos at
получим
•= 2 P^^,t）,T]- = 5 Q（i）（^n,0
p（，）（W,T],f） = X（/）cosaf+y（/）sinat= £ ^k^（t） ^^
自+財=!
<iw （?, n. О = ^w sin at—Y^ cos at = £ B^>k^ （0 ^^（1-2）
/⑴=/（/+2冗） В⑴=8（/+2冗）
Преобразуем систему （1.2）, положив
Здесь 以（也，左2）⑴ и 次瓦，厶）（/）— периодические функции f, подлежащие определению. В результате преобразования будем иметь
』XJO （%],弘,力勿，=W 弘,f）（1*3）
/=2/=2
тде xj/）= n m施，同）%/1%3y^= £ 跳忆施）"I%/
论l+A*=/左 1+財=/
a（勺,旬=4（瓦，瓦）+中（勺，統+ 吗"）（1.4）
f回甸=3回旬+屮（勺，同）+电与f.
Для значений ^ + ^2 = 2 функции 屮（為，施）и 屮（电，&）равны нулю, а для значений 々工 + 々2 = />2 они будут известными функциями от 以伍】，瓦）, 次电,也），/（&.瓦）,b（а》也у которых龙1 + e V厶
Определим периодические функции 口（弘，也）и и（也，瓦）так, чтобы величины a（E"Q и §伍】，瓦）были постоянны. Для этого необходимо и достаточно определить эти величины равенствами
2л
a（公，施）=丄f [/（£/） +屮（а，施）]d厶p（Al. *2）=
2л
=—f [B^k^ +^k^>] dt（1.5）
Тогда функции 以伍〔，瓦） и и仅】，瓦） определятся так: 〃伊 1，左2）= 、 [a（k *2）- /（左 1, A2）—屮（勺,*2）]或
U（占,42）= \ [6（'1，A2）一 8（&，А2）-屮（左1，A2）] dt
В результате будем иметь
打• = X#加）（％,弘）+XJm+D （修,弘）+ …+ Xjm+N） （/, %） +
+ Xi…+i）的勿,f）
孤Н匕⑺（八,%）+ 匕 <-+0 的,％） ++FW+N）（%],%）+ （IS） + 匕（计n+1）（%1,场,方）
Здесь m》2, m + N = Ыг и равно сколь угодно большому числу. Очевидно, что задачи об устойчивости в отношении переменных %i, ^ и х, у эквивалентны. В дальнейшем в системе （1.6） нижний индекс 1 опускается.
Следовательно, задача Ляпунова для рациональных 入①/ат в общем случае приводится к задаче об устойчивости автономной системы q двумя нулевыми корнями, если только вопрос об устойчивости решается конечным 139
числом членов правых частей системы (1.6). Эта система была рассмотрена в статье [2] и в статье [8].
В указанных работах формулируются необходимые и достаточные условия устойчивости и неустойчивости интегралов системы (1.6) в простейшем случае, когда вопрос решается формами /п-го порядка.
Приведем формулировку этих условий. Если формы 欠(加)и Y^ таковы, что уравнение
尸产%у(m) —/(加)=0
имеет вещественные решения
ahx + bhy = 0但=1,…，р) p</n+ 1
и если хотя бы на одной прямой akx + b^y — 0 форма RQ = хХ^ + +yY^ может принимать положительные значения, то невозмущенное движение неустойчиво； если же на всех этих прямых R。V 0, то движение асимптотически устойчиво.
Если уравнение Fo = 0 не имеет вещественных решений, отличных от % = у = 0, вопрос об устойчивости решается знаком выражения
2л
g =尸0(cos0, sin 0) [R。(cos°，sin®)曲
J Fo (cos 0, sin 0)
Если g V 0, невозмущенное движение асимптотически устойчиво, если же g > 0 — неустойчиво.
Случай^ = 0 и случай, когда при Fo=O форма RQt кроме отрицательных значений, может обращаться в нуль на одной или нескольких прямых, являются сомнительными. Решение задачи в случае g = 0 не представляет особых затруднений, и он полностью исследован в статьях [2-3].
Возвращаясь к системе (1.6) и применяя к ней сформулированные критерии об устойчивости, убеждаемся, что задача Ляпунова решается в двух случаях.
Когда вопрос об устойчивости решается формами т~го порядка независимо от форм более высокого порядка.
Когда форма Fo = xY^ — уХ^т)——знакоопределенная.
Если же форма Fo не является знакоопределенной и если при Fo =0 форма R。& 0, то решение вопроса об устойчивости связано с исследова* нием форм выше /n-го порядка.
2. Критерии устойчивости по формам (т + 1)-го порядка. Обращение в нуль форм Fq и R。на прямых а^х + bky = 0 возможно лишь в том случае, когда формы Хб)и 卩加)имеют общий множитель akx + Ь^. Следовательно, в сомнительном случае 尸о = 0 я Ro & 0 эти формы можно представить в виде
Х(。)= п (ajX + b}у)，Х(1) /=1
= П (а7х+ bjyyiY(m~k}(vi + ...+vP = fe)(2.1)
Здесь Х(тт) и ygj) —формы (/и —々)-го порядка, не имеющие общих вещественных множителей вида ах + by.
Функции Fq и Rq будут иметь вид
尸尸 П [ajx + bjy^i F-k(x,y), Ro= П (а；х + bjy)viR-k(х,у) /=1J=1
(2.2>
F_h = xY^m^ — gX(mT),R_h = xX(1n-к) _J_^y(m-A)
Если общие вещественные корни уравнений Х(热)(1, х) = 0 и У(向(1, к) = 0 обозначить через хь …，х„, то общие^множители а/ + Ь^у будут иметь вид — у + 乂/, (х> = —&%»・
Исследуем вначале систему (1.6), предполагая, что в (2.1)
Vi = v2 = ,,, = vp = 1, Г—* (х>) =И= 0(/ = 1,... ,р)
Составим для каждой прямой ——g 十 乂/ = 0 функцию
Условия устойчивости по членам (m + 1)-го порядка в этом случае можно формулировать так. Если хотя бы на одной из прямых — g + х,% = =0 (/ — 1, ..., р) функция Ф； принимает положительные значения, то невозмущенное движение неустойчиво. Если же на всех прямых Ф/< 0, т'о невозмущенное движение асимптотически устойчиво.
Предположим, что ①工〉0. Представляя систему (1.6) в виде
尤• =(—у+щ^Х^^^ +Х(т+" + ・・.
矿=(—у+ % %)У5-】)+ У(т+1)+ —
и полагая ^工=——у + 乂工％, будем иметь
犷=У1 X*g- i)(X,力)+ X*(m+ 】)(％,%)+-
久=% У*<2)(x，%) + У jm+" 3, %) + •••(2.4)
X*g+/) = 2 / Jm+’M+f 纤，У*("+“ = £ B^+h X"+I У1к
尼=0A=0
4 g+，)一(-№#*») (1>X1) ^
8(p+/)= (_1产+】 产 Y(m+‘)(1,网) ％ УХ(т+，)3&).
*自 一 ~^1 ^?
(/=-1,1,2,...)
Отметим, что
в***" = — [У(т—1 )(1,出)一％X(m-i)(1, %)]声 0
Преобразуем систему (2.4), положив
/ = x一期，卩=4出7)/8北7
В результате будем иметь
%「= У1 X]g)(力,弘)+XW+1)(%,协)+
(2.5)(2.5)勿=91 匕 g-1)的，弘)+ W(m+1)的,//!)+ •••
(2.5)
(2.5)
X](m+Z) = 2А^+г)X严+Ь切J, УМ+，)= ^Bh<m+^ %严+/—* yj
dqx*(m+z)(“，l) 卩 d«y*g+%“，l)岷d”
В節纟=丄"乃上？3川В節纟=丄"乃上？3川
В節纟=丄"乃上？3川
В節纟=丄"乃上？3川
Отметим, что
4(m+D =①](1,%),筑(吁 1)=一 尸一Ml,/),4”D = 0・
Не уменьшая общности задачи, можно положить Вд^+П — о для Z= 1,...
…，М Если эти коэффициенты не равны нулю, то заменой
% = z+。纟 ％/+ +aN
и соответствующим выбором чисел й2» •••» а% можно коэффициенты 8(/加+1' преобразованной системы обратить в нуль для /&М При этом преобразовании коэффициенты форм Xjmi) и XJ^+D не изменятся. Ряд
勿(修)= & %? + q /3 + …(2.6)
будет формально удовлетворять уравнению, выведенному из системы (2.5) при помощи исключения времени 力 Эти ряды обычно расходятся.
В результате преобразований система (1.6) примет вид
= г2(А^т-^ х^-2 + ... +4^"zm-2)+4("+i)彳严+i + …
+ A^l} z^+i +22 "产+')x严+'T#(2.7)
1=2 A—0
Z*=Z(8ogT)Xi"T +...+8佑1%тт) + £ £ £fe(m+Z) xm+l-k z4 /=1 k—Q
Для этой системы можно построить функции V я 闪，удовлетворяющие теореме Четаева [4]. Положим V = %J + * В области %/ — ” > О, Xj > 0 будем иметь V' > 0.
За функцию W теоремы Четаева возьмем функцию W =尤产一z2A 々〉2. Область 闪〉0 находится внутри области VVZ 〉 0. Легко убедиться, что знак W на границе области 必〉0, на которой W = 0, определяется знаком выражения — 2B0<m~I>z2x1(zn~1\ знак которого при />0 постоянен. Следовательно, невозмущенное движение, описываемое системой (1.6), в случае ①上〉0 неустойчиво.
Выше рассмотрена прямая — у + 乂工％ = 0; аналогичным образом можно рассмотреть любую другую прямую — у + х./Х == 0.
Докажем теперь, что если на всех прямых а/ + b『у функция Ф『(％, у) V О (j = 1, ...» р), то невозмущенное движение асимптотически устойчиво.
Переходя в (1.6) к полярным координатам, будем иметь
Г' = rm R-k П (х> cos 6 — sinG)十产+i R工+…
8・=严-1尸_尼门(jocose—siгI8)+严尸上 + …(2.8>
Rj = X(m+?)(COS 0, sin 0) COS 6 + Y(m+【)(cos 6, sin 6) sin 6
F^ = Y^m^ (cos 0, sin 6)cos 6—X(m+Z)(cos6, sin 0) sin 0(/=—々，1,2, ...)
Рассмотрим вначале случай, когда 尸一以1, х) не имеет вещественных корней. Функцию Ляпунова, отвечающую системе (2.8), можно взять в виде
0
V = r exp J 屮(6) d6(2.9)
о
определяя функцию 屮(0) из уравнения
R_"屮尸т=—九(8) fl (xycos0—sinO)(2Л0>
считая 九(6) ограниченной, непрерывной, положительной и периодической функцией 0 с периодом 2л, не обращающейся в нуль ни при одном вещественном значении 0.
Для обеспечения периодичности функции 屮(6) на функцию 九(8) наложим условие
262л
⑻ Н ("/cose—sine)de = —) г d(i
Производная 丿 будет иметь вид
Vz = М ехр、屮(В) dB I — h (0) П (х^ cos 0—sin 9)2 + о(j=l
+...+...+ —— F-k Ri — R~k Pi~Pj h f7(X； cos 0~sin 0)
+...
+...
Для значений 0, отличных от значений 0/, определяемых уравнениями х； cos 0 — sin 9 = 0, производная Vz принимает только отрицательные значения. Для значений 0 = 0S знак второго члена, стоящего в квадратных, скобках, совпадает со знаком выражения
F k Rw—R—h 尸 1x(m+D y(m-» —y(”+D Х(吁左)
尸 Tcos o"mf)—sin 8X(my)
которое по условию отрицательно. Следовательно, Vf — определенно отрицательная функция 尸 для любых значений 0. Отсюда следует асимптотическая устойчивость невозмущенного движения.
Предположим, что уравнение 尸一左(1, х) = 0 имеет вещественные корни, отличные от общих вещественных корней уравнений Х(т)(1, х) = 0 и У<叫 1, х) = 0. Пусть эти корни имеют значения ц3 (s = 1, ..., gj.
Тогда выражение
Ro = R_尼 口 (%； cos 0——sin 0)
будет отрицательным для значений 0, определяемых уравнениями 网 cos 0 — sin 0 = 0. В противном случае будем иметь неустойчивые интегральные кривые.
Определим теперь функцию 屮(8) в интервале (0, 2л), а следовательно,, и для любых вещественных значений 0 из уравнения (2.10) следующим образом: положим 屮三 0 в интервалах 0Цв — е & В & 吼 + е. Для этого, достаточно й(0) определить из уравнения
Rt =—九(В) П (х； cosQ—sin 6)
Такое определение 九(В) возможно в силу условия R。V 0 в интервалах. 8Hs 一 & & 8 & 8% + 6* На функцию й(0) в интервале (0, 2л) наложим условие, чтобы
［屮⑼曲=0 о
которому всегда можно удовлетворить, предполагая 九(0)=用(2打)・
При таком выборе функции 屮 производная V’ будет определенно-от* рицательной для вещественных значений 0. Следовательно, невозмущенное движение асимптотически устойчиво.
Рассмотрим случай, когда v^ ^ 1 (/ = 1, ..., р). Это может иметь место力 когда уравнения Х(，1, х) = 0 и 貝叫 1, х) = 0 имеют общие кратные вещественные корни. Приведем формулировку условий устойчивости по формам (т + 1)<о порядка для этого случая.
Невозмущенное движение асимптотически устойчиво при любых vlt...» vp> если формы (2.1) таковы, что
уравнение 尸一式1, х) = 0 или не имеют вещественных корней, или его вещественные корни отличны от общих вещественных корней уравнений Х(2(1, х) = 0, ”叫1, х) = 0,
функция ①j V 0 на всех прямых у = 乂丁 ％ (j = 1, 2, ...» р).
Невозмущенное движение неустойчиво, если при сохранении условия
функция ①j〉0 по крайней мере на одной из прямых у — к^х.
Доказательство устойчивости проводится аналогично вышеизложенному.
Чтобы обнаружить неустойчивость движения, рассмотрим систему уравнений (2.5), которая в случае кратного корня будет иметь вид
Xf = у^ (А^-^ X严-V—1 + …+ 4忙V) g/—v—1) +/产+1)%№+【)+...
(2.H)
弘•=У^(B0<m-v>/Av+...十8合)力*V)+筑(m+1)X严+i +
+ ..., (Vv)=#o)
Исключая из этой системы df, получим
dg J (稣gr)+…)+B产+1)/什1 +… d^~ y^(A^m-^ /"11 + 一.)+ 人(m+1)为严+1+
Этому уравнению можно формально удовлетворить рядом
勿(修) = 航%J+1/V +色%"2/"+…+ 九炉J+S +…(2.12)
Коэффициент 九工 определится из уравнения
B/m-v)九]V+凡(m+1)= 0
которое всегда имеет вещественное решение, так как в случае четного V при замене %工 на —尤工^ системе (2.11) знак одного из коэффициентов B0(ffI~v или 8()(加+1)меняется на обратный. Коэффициенты hs определятся в виде дробей, знаменателями которых являются различные степени коэффициента B0(^-v)e
Обозначая через g虱%上)сумму k первых членов ряда (2.12) и производя замену % = z + ”(%) получим
Xf = Д/m+D a：工m+1 + 九(v+D /Jm-v) %严+1 + 1/V+
+ …+2{[/产+1)+3+ i)VA(m~v)] %严 + ...} + …
+ …+z(B(/av)WlJ-l%F-l/v + …)十…
Число а можно считать достаточно большим.
Функции Четаева для этой системы можно взять в виде V = %/ + У2 K 闪=尤"—2а. Легко убедиться, что в области (С)%/ —— —№ > 0, % > 0 производная V’ при условии Л0<т+п = Ф；(1, 乂)〉О положительна. При достаточно малых х и z область 闪〉0 заключена в области (Q) и знак Wf на границе W = 0 является постоянным.
Следовательно, невозмущенное движение неустойчиво.
Критерии устойчивости по формам высших порядков. Рассмотрим сомнительный случай, когда Ф； = 0 на прямых — у + х/ = 0 (/ = 1,... ...» pj, а на прямых (/ = pi + 1, ...» р) принимает отрицательные значения (% =七2 =・•• = "р = 1).
Формулировать критерии устойчивости по структуре правых частей уравнений (1.6) весьма сложно. Поэтому в дальнейшем формулировки будут относиться к системе (2.7).
Отметим, что для любого преобразования 川=—у + кjx будем получать системы, аналогичные (2.7). Предположим, что в одной из таких систем Фу — 0, а первый отличный от нуля коэффициент Н^т^ имеет индекс / = ау < ^. Докажем, что в случае //()⑺+屮 > 0 невозмущенное движение неустойчиво. Возьмем функцию Четаева в виде V = %工纟 + z®. 144
Знак производной ее в области z2 + 尤工2尼 > 0,工丄 > 0 при 2々=3 + а определяется знаком выражения Hq^^^x^01^^ которое при Xj > О является величиной положительной. Следовательно, в выбранной области будем иметь W'〉0.
В области W' >0 возьмем функцию W = —z2 + 尤工纵尼+"・ Производная этой функции при W = Q сохраняет постоянный знак. Это доказывает неустойчивость невозмущенного движения.
Если окажется, что на прямых — у + х^х = 0 (/ = 1, ...» р), на которых Ф； = 0, коэффициенты Н^т^а^ < 0, то невозмущенное движение асимптотически устойчиво. Доказательство этого предложения в основном совпадает с доказательством, изложенным в § 2, поэтому приводить его не будем.
Может случиться, что как бы ни было велико число ^, коэффициенты Hqg+n, отличные от нуля, будут иметь индекс I > N. Этот случай будет существенно особенным, и если каким-нибудь образом это удастся установить для одной из прямых, например,——у + 制工％ = 0, то ряд (2.6) будет сходящимся и представит корень уравнения
У,У^ (修，力)+Y(m+i)(%,也)+ …=о
Система (2.5) заменой ух = z + &%J + &%『 十... приведется к виду
修・=z [Х^)(厶,z) +X*w+i)(%工,z) +x*g+2)(%, z) + ・••}
Z* =ZZ*(AD(%1, Z)+>%g+l)(修,z) + y*(m+2) (/，冷 + …]
Эту систему можно исследовать аналогичным путем, учитывая, что z = 0 является особенной линией.
Отметим, что в случае знакоопределенности формы 尸_工 интегралы этой системы всегда устойчивы, но неасимптотически.
Исследование случая Х^ (1,мг) = 0, Pm)(l, xJ — 0, F„ft(l,x1) =0. Рассмотрим теперь случай, когда общий вещественный корень уравнений Х<от)(1, 乂工)=0, Y(m^ (1, Xj) = 0 является корнем уравнения 尸_式1, 乂0= =0. Этот случай ввиду его частности здесь не будем исследовать со всеми подробностями, а ограничимся предположением, что общий вещественный корень
Х(Е；(1,々)=0, Y^ (1 ,%0 = 0, 尸~ (1,制工)=0
не является корнем уравнений
yg+D (1, 乂)一乂¥团+1)(1, х) = 0
3X("-1)(1, К) — 2 鹏二；。'")X dX(„l叫=С
Докажем, что интегралы системы уравнений (1.6) при этих предположениях всегда неустойчивы.
Полагая в системе 勿 = —у + %%, получим систему (2.4), в которой B*o(ad = о, 4JA1)#= 0. Равенство А^т^ = 0 может иметь место в случае %》2・ Исключая из системы (2.4) dtt получим уравнение
坐二 *(BWT)xA2+…+в虐：；)疗一2)+в伊■l)xm+l+…
Это уравнение заменой yt = [z(%) + Л] х3/« приводится к виду
% 鲁=3z + % (х, z) + №/>(р2 (х, z)(4.2)
ах
если число h определить из уравнения ^/iA^-B^] № = 5^+1)
1 о Зак. 3126145
Вещественное решение для h можем получить в том случае» если знак разности, стоящей в квадратных скобках, совпадает со знаком 8*0（制+1）. Для любой системы этого можно добиться заменой % на —% в случае четного т, и заменой х на —х и г/ на —у в случае нечетного т.
Легко показать, что уравнение （4.2） при 3 声 財 3 声论 + 】/纟，если 论 равно целому положительному числу, имеет голоморфный интеграл
Z （%）=氐 Ck Х*+X*/.餐 Dh 炉（4.3）
Подставляя значение 勿=[z（x） + h]无％ в первое уравнение системы
будем иметь
帯=/Ц1）з中/叶炉+1 f（x,仆）（4.4）
Если число Л выберем таким образом, чтобы A^m~l）h было величиной положительной, то из （4.4） будет следовать, что невозмущенное движение неустойчиво. В случае 6 = Л, 6 == ^ + х/2 интеграл （4.3） будет голоморфным в отношении х,炉/纟 и х In х. Выводы останутся прежними.
」В заключение рассмотрим случай Го = 0. Это тождество возможно лишь тогда, когда ХЕ）=尤Х（吁丿（％,办 НЕ = уХ^1\х9 у）. Если форма Х（«-О（х> у） может принимать положительные значения, то невозмущенное движение неустойчиво, так как R =（炉 + d）X（吁】）（х,办
Следовательно, устойчивость может иметь место, когда форма X（m^l）（x, у） определенно-отрицательная, или когда она имеет вид
Х（"Т）（х, г/）=— fl （aix + bj少v/
Этот случай нами уже рассмотрен.
Если Х（热—1）（х. у） — определенно-отрицательная, то невозмущенное движение будет асимптотически устойчиво независимо от форм высших порядков. Функцию Ляпунова для таких систем можно взять в виде V = х2 + г/2.
Изложенное в § 2"«^4 решает задачу Ляпунова в более общих случаях.
§ 5・ Канонические системы. В качестве приложения исследуем устойчивость колебаний гамильтоновой системы с функцией
// = =（胪+ 疗）+；丄[（а（з,0）%8+4（2,i）炉У + 0",2）%g2 + a（0,3）夕 + 2₽В
+Н ⑴（%,协 т）+…]（5.1）
где
а（& 龜）=工（fin（A#»*i）cos nt+уп《М&）sin пт）,
H«）=£ a^*^x^yk*
6n他"“， Yj&d—вещественные постоянные.
Частные случаи этой задачи рассматривались в работах [в~7].
Система уравнений с функцией Гамильтона вида （5.1） представится в следующем виде:
# = —ау—а（2"）х，一2a（1，2）*д—3а（о,з）у*—迎）G,y,f）=
'ду
（5.2）（5.2）驴=06% + 3球3,3炉+2球2,1）秒+川剧十+ 0H⑷；：'%0 +…
（5.2）
（5.2）
（т="）
Преобразовывая эту систему согласно § 1, получим
/ ・ = a（2，。）xF+ad，l』贝 + a（。，2）4+Xl⑶的,％）+…+X产）（力加+ + X尸+l）（/,贝川 + …，
勿=沁。）xJ+al,l）修比+в（。,2）兴+匕（Зk,协）+…+yм也,弘）+
+ Y^n （打，以，分 +…（5.3）
Постоянные а（月，坛）и 卩的，论*）（论i + 爲 =2） в силу каноничности системы （5.2） будут удовлетворять условиям
р（ы）= —2а（2'°\а（1」）= —20（*2）
a（2，0）=%（—3%（3,0）+ 378（3,0）-378（1,2）+Y］（1,2）一
-6］（2,1） -36J2,D -36 ］（0,3）+ 36f,3））
P（0,2）= i/8（_361（3,0）+368（3*°J—6/Ь2）—36JI,2）—丫工（2,1）+
+ 3y（2,】）一 3%（"3）_3y/0闾）（5.4）
口（0，2） = 3/8 （37I（3,0） 一Y3（3,0）+%（1,2）+ Y3（1,2） -3］（2,1）+
+ йе（2,1）_36!（0>3）_63（0,3））
P（2,0）==3/8（_g8（310）_3Si（3,0）_5i（l,2）+g8（l,2）_V1（2,O_
_у8（2Л）_3?1（0（3）+7з（0,3））
Согласно критериям устойчивости по формам /п-го порядка интегралы системы （5.3） при X"）= У⑴三 0 （/》3） в общем случае могут быть устойчивы» если
a出，財）= 0%，%）=0 ?（电十々2 = 2）
формы второго порядка имеют общий множитель вида ах + byt и форма 尸_工（居 у） знакоопределенна.
Во всех других случаях движение неустойчиво. Легко убедиться, что для канонических систем в силу условий §а，1）=—2a⑵。）и a"・D=—2卩（°，2） второй случай не имеет места.
Первый случай может представиться, если 6 > За или когда （5.4） при отличных от нуля 3工⑷，％）, 丫上（厶，爲），§3（Ai. *i）f 丫«*,点1） приводят к равенствам а®】，％）= 卩出，龜）= 0. В этом случае вопрос об устойчивости будет решаться формами более высокого порядка. Предположим, что наи- низшие формы, не равные тождественно нулю, есть Х（热）и Y^mK Тогда устойчивость по формам /п-го порядка возможна лишь в двух случаях:
Г） форма Rq = 0 при Г0（х, у） = 0,
2°） функция 尸о（%, ^） знакоопределенная и
现=尸№好叫^^能=。
Случай R。& 0 при F0（x, у） = 0 н случай g V 0 для канонических систем не имеет места, так как приводит к асимптотически устойчивым интегралам, что противоречит теореме Лиувилля.
Если же форма Ro при F0（x, g） = 0 принимает положительные значения, а также если^ > 0 при знакоопределенной функции F^9 у）, то невозмущенное движение неустойчиво.
Для исследования случаев 1°） и 2°） необходимо привлечь к рассмотрению формы высших порядков. Рассмотрим формы （/п + 1）-го порядка.
Применяя критерий устойчивости, можно убедиться, что для канонических систем устойчивость в случае 1°） возможна только тогда, когда при 尸о（%, У）= ° функции Фу также обращаются в нуль. В противном случае получим только неустойчивость, так как случай асимптотической устойчи-
10*147
вости для канонических систем невозможен. К такому же заключению придем, рассматривая случай 2°).
Рассматривая формы выше (т + 1)-го порядка, например формы (/n + ft)-ro порядка, придем к аналогичным заключениям, т. е. будем получать или неустойчивость, или встретимся опять с сомнительным случаем, когда формы (т + 论)・го порядка вопроса об устойчивости не решают. Таким образом как для рациональных X, так и для иррациональных X устойчивость может иметь место лишь в существенно особенных случаях.
§ 6. Системы высших порядков. Рассмотрим систему (0.1), предполагая, что все 九$ иррациональны и между ними не существует соотношения
2 т3\ = 0 ；для 21znsК^(4)
s=l
где — целые числа. _
Полагая 马=々 + iya, z$ =修一%號 получим
Zj = iXsZs+Zs(21я ... f Zp, Zb ... , Np, t)g2g* = —Лв Zs +
+ Z$ (勺,…，Zp, Z】,…，2p, T )(6.1)
Здесь
1=21=2
Z/*==£4s**(T)z/*..・z^p，1ni …；Jp
Z 严=2 4** (工)2Q •• Z'p z/1 …z/p
4**⑺=4** (工+ 2n)(电+…+耳+ 勺 +…+勺》2)
Здесь и дальше одна звездочка означает верхний индекс (財，・••，论丿，две звездочки ——верхний индекс (自，二.，论卩，九卜.... np).
Переходя к переменным 图 и 图
嘉=Z$ + W〃 J*(T)Zj* ・• • ZJp Z^... Zpnp
_ ____(6.2)
ts = Zs + 2 弘**《)z卢...ZJp 4% ・・・ Z Jp''
определим функции 〃$**«) и ив**(т) так, чтобы в правой части преобразованной системы 2M + 1 первых форм не содержало явно 嘗.
Такое определение функций и3**(т) и 〃严(т) всегда возможно, причем эти функции будут непрерывными и периодическими с периодом 2л. В результате получим
Z：=汎К十备 工 С/ (G, 3卢…&к Jp +
+Ps(%，…，J,3，…,Em*
В этой системе Cs* ——постоянные, a Ps — голоморфные функции 装 и 窘, не содержащие в своих разложениях членов ниже (2^ + 2)-го порядка; коэффициентами разложения этих функций будут непрерывные периодические функции т с периодом 2л. Число ^ можно взять достаточно большим» Полагая
Cs = £ + i%， С* = %*+»£* получим
N
ё:=-%% + £2&2+"卢…位叶/恥一
一 小 2 m沪…(E J恥+
+кS 位1, …，еР,几па, t)(6.3)
%・ = %Es+Es £ K(F + % 沪…(寸+M 海 +
N
+ % 工％* 隔2 + %2户…居 J + Пр2)*р +
пр, t)
где Ks и 厶 не содержат членов ниже (2N + 2)-го порядка. Полагая Е$ ^ С cos 0S, % = G sin 0S, будем иметь
『$• = r$E%* 厶2以…г/尼「+ R$(G，…,Гр, &,…6р, т)(6 4)
r$ е/ = Xs rs+rs EBs* "2財rJAp + &…仇，…，г)
(2 & 耳 +…+M 1,..., р)
В тех случаях, когда вопрос об устойчивости решается конечным числом членов правых частей системы уравнений (6.4), исследование устойчивости ее интегралов сводится к задаче об устойчивости систем р-го порядка с р нулевыми корнями, представляемой первой группой уравнений этой системы. Этот случай рассмотрен в работе [8].
Рассмотрим теперь случай рациональных % = asl/psl (asl, ₽sl — целые положительные числа). Пусть число ₽—наименьшее кратное всех р$「 Полагая т = р/ и переходя к переменным^ и % по формулам
鳩=Eg cos % / + n$ sin % f,ys = ±8 sin as f—% cos % t
(as = pasl/pel)(6.5) получим
E& =尸2P$")(Bi> >Ер; пр,О
%•= £ Q$")偽Ep；n”・・，M，D(s=i,…р)(6.6)
1=2
Производя замену
% = Е$ + 2^s** 玩拓…Врлр % 力…п
弘1 = % + 2^s** (0 &卢…EJp П严…П Jp(2&自 + …+ & +
+% + .・•+ zip W 2)
Определим функции 〃$ и %, так, чтобы в преобразованной системе N первых форм имели постоянные коэффициенты.
Такое определение функций us и vs всегда возможно. В результате будем иметь
• = Х$ J (хц,, Xpi； //и»»Ур1) + …
…+ X!i +)(%11，…，无Р1；У119 •••»f/pi) +
+х!т+"+"(хп,, %pi； f/и,…，％i, /)+ …
弘1.=y!) (%1上，…，无pi； Уu^ •,•»分1)+…(6.7)
…+ 1rzs 1 +)(%11,…,%pl，f/n» ••• » %1)+
+ У S[(^11» • • • I %pl； ^/ц» • • • » У ph ') + ■••(/и》2, s=l, ・..，")
Таким образом, исследование системы (6.1) в случае рациональных % приводится к исследованию системы 2P уравнений с 2р нулевыми корнями, причем формы X$jn и 0$工(力 для /《 m 工 N могут иметь любые постоянные коэффициенты.
Примечание /. Если система (6.1) имеет 卜 пар чисто мнимых корней с иррациональными Xs и v пар с рациональными (卩 + v = р), то, комбинируя преобразования (6.2) и (6.6), всегда можно эту систему преобразовать к системе (卩 + 2v)-ro порядка с 卩 + 幺v нулевыми корнями, если иррациональные 爲 удовлетворяют условию (4).
Примечание 2. Задача Ляпунова и задача об устойчивости в случае р пар чисто мнимых корней рассматриваются здесь только для случая одних критических переменных. Легко убедиться, что выводы остаются справедливыми и для более общего случая, когда система (6.1) кроме р пар чисто мнимых корней имеет еще п корней с отрицательными вещественными частями.
Отметим, что задача об устойчивости в случае иррациональных 儿 в общем случае допускает значительные упрощения и в случае р==1 приводится к исследованию одного уравнения, которое получается из (6.3) заменой Ei = г cos 9, th = г sin 9. Эго уравнение имеет вид г* = а(т,厂(例)+ .... Число ат соответствует числу ^, фигурирующему в методе Ляпунова 口L В случае рациональных Xs зацача значительно усложняется. Эти усложнения, как видно из § 2—4, не исчезают и в случае р = 1, так как исследование системы (1.6) сопряжено с большими затруднениями.
Если для систем второго порядка (1.6) удалось сформулировать необходимые и достаточные условия устойчивости по формам второго порядка и разобрать наиболее общие случаи устойчивости по формам высших порядков, то для системы (6.7) таких общих условий устойчивости и неустойчивости найти не удается.
Один критерий неустойчивости по формам m-ro порядка для систем (6.7) был получен автором в работе [8]. Приведем его формулировку.
Если система уравнений
=Х$(е)(/,...,今)+XJm+l)K%i，... J%) +…(6.8)
(s == 1,2,..・，л) такова, что формы
при лю50M фиксированном 々 и при s = 1, 2 ... k — 1, A + 1, ...» 几 имеют вещественные реления, отличные от %工=%2 = ••• = %几=0, и если форма
R = $…%几)
где 尸m = 0 может принимать положительные значения, то невозмущенное движение неустойчиво.
Следовательно, при наличии вещественных корней у системы уравнений F&k = 0 устойчивость может иметь место только тогда, когда при всех значениях хь ..., хп, удовлетворяющих условию Fsh = 0, выражение R《0・
В случае % иррациональных система (6.1) приводится к системе (6.4), у которой формы 文Jm) таковы, чго уравнения Fsk = 0 принимают вил
尸* = %区(R产т "-R产т)) = О
а(ет)=еa*г12*;..гр2%(2自+2 月+ ...+2岛=加一1)
Система этих уравнений всегда имеет вещественные решения, отличные ОТ Г] =「2 =…=Гр = 0.
В случае 九$ рациональных такие решения будут при любых четных т. В случае нечетных т система уравнений Fak = 0 может и не иметь вещественных решений, кроме === %%=0・
150
Из приведенного критерия неустойчивости по формам m-го порядка следует, что формы Fsk и R играют весьма существенную роль в вопросах устойчивости интегралов системы (6.8). Поэтому представляет интерес получить новую форму уравнений возмущенного движения, в правые части которой входили бы формы F8k и R непосредственно. Преобразуем с этой целью систему (6.8), положив xs = rys (s = 1, 2, ...» п). Пусть gj 十 … 十 y^ = i. Тогда % J + …+ %J 冃 г2.
Дифференцируя последнее равенство по f и определяя производные от Уъ •••» Уп по ^ в силу уравнений (6.8), получим новую систему вида 兽=严凡+内+1%+'
曾=…(必尸G。)十%&豊+…+%几产)+严纟故凡&⑴+…
(s—1,, n) (6.9)
£%'=i，R，= S у^^ЧУиУи-^ ,y^(/=o, 1,2,...)£%'=i，R，= S у^^ЧУиУи-^ ,y^(/=o, 1,2,...)6=16=1s==ls==l
£%'=i，R，= S у^^ЧУиУи-^ ,y^(/=o, 1,2,...)
£%'=i，R，= S у^^ЧУиУи-^ ,y^(/=o, 1,2,...)
6=1
6=1
s==l
s==l
V) =%xg+n九…，%)一弘/(z)(f/j..，源)
Отметим, что
%⑴三0，f8*=一&产
Перепишем теперь первую группу уравнений (6.4) в виде
rs^rsR^ + r6R^ + ...(R\)=跟+ & =产*厶叫"产 p)
Полагая
% =尸弘，Zg ^ 弘2, p =严=2 rs2»zn = 2归 + 1
и учитывая, что
F$h = Гв% (凡一^h) = rsrh R$h
будем иметь
务=2р屮凡㈢，…,Zp)+2p/+2R；(Zi，...?Zp)+...
嘗=2p*Z ⑵凡卅)+ z,凡屮)+ …+ZpR“。)) + …Q】+ ... + Zp = 1/
(6.10)
Для системы (6.10) функцию Ляпунова можно взять в виде V = рг*№, где и — непрерывная и ограниченная функция 厶,・・.,々.Производная этой функции по / в силу уравнений (6.10) будет иметь вид
『=2р*可■"“ {[ R。一 N £ (許一詳):ZZ，R〃。)] +
+ P [%-N£ (誥-計卜&*)]+...}
Если окажется, что функцию и можно выбрать из уравнений
dz$ dzh
где Psk — положительные, непрерывные и ограниченные функции, не обращающиеся в нуль, или постоянные величины, то
『=2P计I /N^Ro—NEP色(R8k^z8zk]+...
Предположим, что такая функция и найдена. Тогда необходимые условия асимптотической устойчивости по формам m-го порядка (R。V 0 при Fs^ = 0) будут достаточными. Ограничимся исследованием простейшего случая р = 2, т. е. когда (6.1) является системой четвертого порядка.
В этом случае функция и определяется уравнением
= &(%("瓦+ 局)
аг2k
Функцию и можно взять в виде формы
"=』/51，*2)4也&尼2 他+ 1 =自+囱)
В результате подстановки определим все коэффициенты A^k^ через коэффициенты а注"厶).
Возвращаясь к производной V\ которая в случае р = 2 имеет вид
『=2「左+1 е—a% \Rq — N (Rd%2a &] +...
приходим к заключению, что если при Л12 = 4&Ri2(°)= 0 форма R。V 0, то невозмущенное движение асимптотически устойчиво. Этот результат был получен в [8]. Рассматривая формы более высокого порядка и принимая за функцию
V = ре—""】+ р^ е“2 + …+ ра е"а
можно получить критерии устойчивости по формам выше m-го порядка. Но на этих вопросах останавливаться не будем. Отметим, что новая форма уравнений возмущенного движения вида (6.9), облегчая построение функций Ляпунова для систем (6.8), не преодолевает всех трудностей, связанных с их определением, если р ^ 9. В этих случаях можем встретиться с весьма серьезными затруднениями.
7. Канонические системы. Пусть система уравнений (6.7) получена из системы (0.1) в предположении, что ей соответствует функция Гамильтона в виде
h = £*(х/十弘2)十 ^ £"("(/，一，4；以，…，%，①(7.1)
s=l /р§P 2=3
Здесь
Н")н ^0 a**(T)xi*x -^pkPy^ ...урпР
а** (т) = ± (6n** cos пт + у『活 sin пт)
(自+局+…+尼P + /:上+几2 +…+ % = ?)
Несмотря на частный характер правых частей полученной системы исследование ее сопряжено с весьма большими затруднениями. Дело в том что канонические системы относятся к тем особенным системам, когда вопрос об устойчивости не решается конечным числом форм правых частей систем (6.4) и (6.7). Эти системы хотя и содержат N первых форм .с коэффициентами, не зависящими от времени, но это обстоятельство не упрощает исследование вопроса, так как эти формы могут определить или неустойчивость, или неасимптотическую устойчивость. Положим N — оо, тогда можно получить автономную систему для форм любого порядка, и решение вопроса не представляло бы таких затруднений, если бы при этом преобразовании ряды (6.2), (6.6) были сходящимися. Но ряды эти в общем случае расходятся, а исследование их сходимости даже для случая р — 1 представляет весьма трудную задачу.
Обходя трудности, связанные с исследованием устойчивости этих систем, рассмотрим те канонические системы, у которых неустойчивость невозмущенного движения может быть обнаружена рассмотрением ^ первых форм правых частей системы уравнений возмущенного движения. При этом необходимо ограничить исследования рациональными As，так как в случае иррациональных 九§ невозмущенное движение будет устойчиво, на каком бы большом конечном числе ^ ни пришлось остановиться.
Предположим, что в результате преобразования наинизшие формы XJZ)и k/z\ входящие в систему (6.7), имеют индекс / = 2.
Рассмотрим систему алгебраических уравнений
XJ2)(入 1 f ... t 入生一1,1,入生+1 > • • •,入口，卩 1,"2' •"•，Np) 22:20('s "6/*月，Ns ==弘/уk)
у/2)(入i,…，大6一1,1,入б +1 > •• •, Ap, Hi * 卩2，…，Hp) 0 (s1，p)(7⑵
и систему уравнений
XJ2)& ,…，大口，卩1，…，卩左一1 , 1 ,卩左+1，…，%) — 0 (% =//"月，卩8 = ysi"月)
У/2)仏 1,Ар,卩上卩左一1,1,卩左 +1 > • • •)卩р) 0 (s = l,, р) (7.3)
Для каждого значения k будем иметь две системы уравнений 2р-го порядка с 2P—1 неизвестными. Если для какого-нибудь фиксированного А по крайней мере одна из этих систем не имеет общих вещественных корней, то невозмущенное движение, определяемое функцией Гамильтона (7.1), неустойчиво.
Если эти системы для любых значений k имеют общие корни, но уравнения Fsk = 0, составленные для системы (6.7), имеют корни, отличные от общих корней систем (7.2) и (7.3), то невозмущенное движение также неустойчиво.
Если окажется, что формы Х$") и Y^l) для Z = 2, 3,..., т—1 обращаются тождественно в нули, а формы Х}т) и Y^m) отличны от нуля, то, применяя к такого рода системам критерий неустойчивости, придем к аналогичным результатам в случае четного т.
В случае нечетного т надо рассмотреть 2п ——1 систему алгебраических уравнений Л5Ь = 0 с 2P——1 неизвестным. Если окажется, что для одного из А система уравнений имеет вещественные решения и при Fsh = 0 форма
R^^8^m) + ^ysys{tn)
может принимать положительные значения, то невозмущенное движение неустойчиво.
. Случай двух равных единице корней характеристичного уравнения. Исследуем теперь систему вида
х,=—入" +』0(瓦，瓦)工也Уз驴=?b他1,а2)/1严2 (財+局)2).(8.1)
Здесь 。(厶-舟J и b(舟-左2) имеют структуру (1.1) Эта система также относится к системам Ляпунова; ей соответствует два корня характеристич* ного уравнения, равных единице. Эту задачу можно разрешить, не накладывая никаких ограничений на вещественную постоянную X.
Положим
/ = %+2 卫向，左2)⑴工仇yе, "] = "+ еu他/?)(1)欢欢
2W比+%&N20高+左zWN
будем иметь
х「= —М1+1s а(А1' k^x^ t/?s+^i(/v+1) (Xj i/j.t) + •■•
У1= S 阱“ ^)x卢兴工+%(n+1)(Х1,91,叫+…(8.2)
Коэффициенты а（м&*）,卩（总i,M）（瓦 + 瓦二加）определятся равенствами 0（电龜）=b（*i,月）%（论上 +1）次**+l同一n + |ф（*1，**）+ b（&:**） a（/n，在* = "，（*一 *J—%（耳 +1） "伍，+1，总2-1） +中（*“ A,）+ 0的，龜）^^ftx,
где q）（ft»*A*> и 屮（&・協）一известные функции от 〃伐，，在* 瓜丽，*”），©（%&■* 6（輻，在*）, для которых 瓦 + 归2Vm Функции 〃饱，в）и и（м，*力（瓦 + 瓦== = m > 2） выберем так, чтобы 。（*入店*）и P（A1-k^ были постоянными величинами. Такой выбор функций всегда возможен, причем эти функции будут периодическими с периодом 2л.
Постоянные §（^-*，*）определятся равенствами
р（т—А, Л） = ™— J {Ь（т—飢店）+ 2（тТ麻）—^旧一计1,左一1）}力
0
а функции
O（wi—A, fe） —, ^ {p（mT,阳—b（m—*, A） _-ф（т—А,'Л）十
十入（m—归+1） u（ a计匕&T）}力
Определив 次瓦，齡），мы в том же порядке определим функции 〃（爲"也
Система （8.2） заменой
П == —/1 +』а 伍，岳）卜产 р产 +XM+D （*/%У）+ … преобразуется к виду
2W&+屋&N'
Эта система, если в ней положить Y^.（xlt т）, т） = 0, исследована Ляпуновым. Система （п + 2）-го порядка рассмотрена в работе [9].
Этим приемом можно решить вопрос об устойчивости в том случае, когда уравнения возмущенного движения имеют каноническую форму с функцией Гамильтона
Я = /2 +Н（叫（居〃匂 +HE+D （%,弘 т） + ...
Функция Н будет иметь такой вид, если разложение силовой функции {/（居 т） по х не содержит линейных и квадратичных членов.
Исследованием систем уравнений （8.1） полностью решается задача Ляпунова об устойчивости в случае двух характеристичных чисел, равных единице.
Литература
Л. М. Ляпунов. Общая задача об устойчивости движения. ОНТИ, 1935.
Г. В. Каменков. Исследование одного особенного, по Ляпунову, случая задачи устойчивости движения. Сб. «Тр. Казанск. авиац. ин-та», 1935, № 3.
Г. В. Каменков. Исследование одного особенного случая задачи об устойчивости движения. Сб. «Тр. Казанск. авиац. ин-та>, 1936, № 5.
Я. Г. Четаев, Устойчивость движения. Работы по аналитической механике. Изд-во АН СССР, 1962.
Т. Levi—Ctviia. Sorpa alcuni ctiteri di instabilita. Ann. Mat. Рига ed AppL, ser. Ill, 1901, vol. 5.
C. L. Siegel. Vorlesungen fiber Himftielsmechanik. Springer-Verlag, Berlin — Gottingen—Heidelberg, 1956 （русск. перев. Зигель К. Л. Лекции по небесной механике, 1959）.
Г. А. Мерман. О неустойчивости периодического решения канонической системы с одной степенью свободы в случае главного резонанса. Сб. «Проблемы движения искусственных небесных тел». Изд-во АН СССР, 1963.
Г. В. Каменков, Об устойчивости движения. Сб. «Тр. Казанск. авиац. ин-та», 1939, № 9.
Г. В. Каменков. Об устойчивости движения в одном особенном случае. Сб. <Тр. Казанск. авиац. ин-та», 1935, № 4.
ИССЛЕДОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ КОЛЕБАНИЙ С ПОМОЩЬЮ ФУНКЦИЙ ЛЯПУНОВА1
В главе I исследуются периодические колебания, описываемые системами дифференциальных уравнений
* = 一彻 + ^(居9,卩)，^ = 标 + 1!У(%,9，1х)(0.1)
arat
где 卩—малый параметр, а Х(х, у,卩)и Р(%, у,卩)представляются рядами в отношении параметра 卩.Коэффициентами при различных степенях 卩 служат многочлены 0T % н у сколь угодно высокой степени.
Исследуются также периодические решения систем дифференциальных уравнений, которые при 卩=0 не обращаются в линейные
4?=—匐+Х()(%, у) + 卩X](居 у,卩)
广(OZ
熒=版+%(X, 9)+"匕(%, 9,卜)
at
И
备=9 + Ml (%, у, [X),普=?。(居* +%(X，9，国(0-3)
Предполагается при этом, что системы (0.2) и (0.3) при 卩=0 допускают существование не зависящего от / знакоопределенного интеграла.
Рассматриваются также системы (九 + 2)-го порядка вида
穿=—% + |хХ(х,9, гь ..., гп, р.)
at
=+У, zxZn，H) (S=ln)
祟=E Psh%+Ms(X，9，Zi, .J,Z»,卩) dt
Для систем (0.1—0.3) получены необходимые и достаточные условия существования периодических решений по членам первого порядка в отношении 卩 независимо от членов более высокого порядка.
Определяется значение 卩,при котором и менее которого эти периодические решения существуют. Решается вопрос об устойчивости этих периодических решений. Дается способ построения периодических решений *в виде ряда, расположенного по различным степеням параметра 卩,и при заданном значении параметра ц определяется величина погрешности, которую дает Ае приближение.
Работа опубликована в сб. «Тр. Ун-та дружбы народов им. П. Лумумбы», сер. теор. механ., 1966, т. 15, вып. 3.
Исследуется также процесс становления периодического решения (переходный процесс).
В главе II исследуются нелинейные колебания, описываемые системой уравнений
学=一% ys + n^si (xi» ••• > %71； %，…，％, 0 +
+ 炉Х$2(X],…，Хп； Р1,…，％； £) + …+fso (•) + 卩厶1 (*) + …/Л .
d〃(0.4)
+ 卩 2 匕2(%1，…，工冷；％,…，Уп； f)+…+ ФвО (0+ НФ si (0 + …
(s= lt..., n)
Выводятся необходимые и достаточные условия существования ограниченных колебаний системы как периодических, так и непериодических по членам первого порядка в отношении 卩 и исследуется эта же задача в том случае, когда членами первого порядка вопрос не решается, но решается конечным числом членов в отношении 卩.
Решается вопрос об устойчивости ограниченных колебаний. Исследуются переходные процессы, или процессы становления ограниченных колебаний. Под ограниченными колебаниями подразумеваются те колебания, у которых координаты xs и ys при f f 8 не стремятся ни к нулю, ни к бесконечности и ни к какому определенному числу. Такие колебания в дальнейшем называются стационарными.
ГЛАВА I
АВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ
§ 1. Исследование начнем с рассмотрения системы двух уравнений, обращающейся в линейную при равенстве параметра нулю
~ =—入卩Xi (х, у) + |х Х2 (х, г/) +
0」)
■^ 二版+计匕(X, 4)十卩2 % (%, ?/)+…
где 卩一параметр, Хл(х, у) и Yh(xt у)(々=1, 2, ...) — многочлены от 爲 у любой степени mki обращающиеся в нуль при % = у = 0. Здесь тк —— степень наивысшей из форм, входящих в многочлены X虱％, у) и Y^x, у).
Будем предп олагать, что правые части имеют только одну особую точку х = у = 0 и являются абсолютно сходящимися рядами в исследуемой области изменения переменных х, у и параметра 卩.
В отличие от метода Пуанкаре мы будем отыскивать условия существования периодических решений, не привлекая к рассмотрению так называемые порождающие решения.
Исследование задачи удобнее вести в полярных координатах. Полагая х == г cos 0, у = г sin 0, будем иметь
■^ = М1(г,е)+М&(г,е)+...
dt(1.2)
吟=九十世f1(，,8) +"2f2 (г,8)十…
где
Rh(r, О) = ХЬ (г cos0, г sin 0) cos 6 +У& (г cos 9, г sin 0) sinO
Fk (г, 9) = — [Уь (г cos 9, г sin 9) cos0—Xk (r cos 0, r sin 0) sin 0](1.3)
Следовательно, Rh и 尸卜 определяются многочленами в отношении г с коэффициентами, являющимися формами от sin 9 и cos 9,
& (r,e)=r%⑴(9)+产区⑶(9)+…+严А&g⑼
Fh(r, Q) = F^(Q) + rF^(d)+ ... +rfnk-lFk^-l'>^)
Решим вначале следующую задачу. Определим необходимые и достаточные условия существования периодических решений системы (1.1) или (1.2), когда этот вопрос полностью решается членами первого порядка в отношении 科 независимо от членов более высокого порядка.
Рассмотрим с этой целью функцию Ляпунова, определяемую уравнением
г = y +卩(p〃]⑴+户〃1(2)+ … +ymt u^)(1.5)
где 优i(店)(8) (^ — 1, ..., mJ — подлежащие определению непрерывные периодические функции с периодом 2л.
Функцию V определим из уравнения (1.5) через г и 9. При достаточно малом значении ц она будет определенно-положительной в отношении г для любых его положительных значений и при любых вещественных значениях 0. Наибольшее значение 卩 мы определим после отыскания функций 〃工3). Отметим, что два замкнутых цикла V = Ct и V = С2, определяемые равенством (1.5), не имеют общих точек, и если С2 > &, то цикл V — Сг будет целиком находиться внутри цикла V = С3, каковы бы ни были С* и С3. Для этого достаточно предположить, что 科 мало.
Производная функции V по < будет иметь вид
= fx[VP1(»(0)+y2p1(2)；(e)+ ... +v^p^^)] + at
十卩吗(匕仇卩)(1.6)
Такое представление dV/dt возможно для значений 卩，удовлетворяющих условию
Н = 1+卩(〃£)+2У〃工⑶ + ... +/П1 Vm^~l u^m^)z>0
В уравнении (1.6) коэффициенты 7\(同(k = 1,…，/nJ определяются равенствами
Рm⑼=一儿需+ R产(也= 1,2，…，恤)
Функция 尸2(Р, 6,卩)представляется рядом по степеням V с коэффициентами, зависящими от sin 9, cos 9 и ；л.
В зависимости от выбора функций 〃{*)будем получать различные значения Р^. Подберем эти функции так, чтобы все Р^ были постоянными величинами. Обозначим эти постоянные через^^), тогда функции и^ определятся из уравнений
〃产=-^[R.W^-g^dQ+C^ (fe=l, 2，…，恤)
Числа g^ выберем так, чтобы все функции 〃工(店)вышли периодическими. Для этого необходимо и достаточно обращения в нуль интегралов
S [R1 肉⑼一g产]加=0 (fe=i, ...,啕
О
Константы С豊 определим так, чтобы все функции “J*)обращались в нуль при каком-нибудь определенном значении Оо, например при Оо = 0.
Производная функции У no f при найденных значениях 〃т(*)примет вид "嘗=卩好"+8产H+…+8产，w恤)+附式匕仇卩) (1.7>
Рассмотрим все случаи, которые может представить это равенство. Предположим, что алгебраическое уравнение [L^Vj^^^+g^vi+g^y^-^Q
имеет mVm工 различных положительных корней.
Тогда его можно представить в виде
I 厶W)u抬•(%一了产(%一了)"...(%一V)为4(了) = 0:(1.8)
где Ах(У) — многочлен, степень которого равна тг —鳥一网一財一...— —々т； Для всех значений V > 0 он будет сохранять постоянный знак.
Докажем, что каждому положительному корню V)нечетной кратности соответствует по крайней мере одно периодическое решение. Пусть 0 V 匕 V У2 V …之 Vm. Выберем два положительных числа % и е2 согласно неравенствам
" V y/+1 一匕，加 V V/一Vj—Ь
Рассмотрим два замкнутых цикла, определяемых уравнением (1.5), если в него подставить V=Rj+e1H V=Vj — е2. Очевидно, что цикл " = 匕一 —ег будет находиться внутри цикла V = Vj + zv Покажем, что все интегральные кривые, определяемые уравнениями (1.1), пересекают циклы 卜=丫」十8工 и V ^ Vj— е2 в разных направлениях.
Для цикла У = У/ + е工 при условии, если kj— нечетное, будем иметь
=иj/H(匕—匕—电卢…(y^^Vj—^^i-^i^ —
!一匕一叫打+i…(厶一匕一吟%4(%+21)] +
+ "叩3(% + %,8,也)(1.9)
Для цикла V = Vj— % получим.
叫 i [еЛ d。(匕一匕 + %/...(匕一一匕 + e//-li(f/+,-
[_%+ %)*/+1 ...%一%+ %)%4(%一崂]+
+mp"(匕一%,e,m(1/0)
Очевидно, что при достаточно малом 卩 знак производных dV/dt как в (1.9), так и в (1.10) определяется первым членом, стоящим в квадратных скобках, независимо от членов
m2(匕+ 电，仇卩)，^P2(Vj~^ 6,卩)
Если окажется, что dV7df V 0 для цикла V — V； + Вх» то тогда для цикла V = Vj— еа будем иметь dV/d/>0. Следовательно, интегральные кривые пересекают оба цикла согласно фигуре.
Если окажется, что для цикла V = Rj + 彳 значение производной dV/dt>0, то, заменяя в уравнениях (1.1) / на —力 мы знак производной dV/dt изменим на обратный.
На основании теоремы Бендиксона можно утверждать, что внутри кольца, образованного циклами V = V； + ех и V = У；— е2, заключается по крайней мере один предельный цикл, которому соответствует периодическое решение системы (1.1).
Таким образом мы установили, что достаточное условие существования периодических решений системы уравнений (1.1) по членам первого порядка независимо от старших членов заключается в том, что уравнение ^(У) — О имеет по крайней мере один положительный корень нечетной кратности.
Докажем теперь необходимость этого условия.
Предположим, что положительный корень уравнения 丄式丫) = 0 имеет четную кратность. Наше предложение будет доказано, если мы установим, что выбором членов, порядок которых в отношении 卩 выше первого, периодическое решение нарушится или сохранится по нашему желанию,
Рассмотрим с этой целью уравнения первого приближения
==—М+^Х1g у), 寥=%% 十卩У《(% 附) (1Л1) at at
допускающие периодическое решение. Предположим, что уравнение L式廿)=0, соответствующее этой системе, имеет положительный корень четной кратности, равный У。. Тогда многочлен L^V) можно представить в виде Li(V) = (V —匕产 Hi(V). Многочлен A^V) будет иметь степень Ш! — 2財 Для него можно указать интервал У。一 ％ V У V У。+ ”，где он сохраняет постоянный знак.
Рассмотрим теперь уравнения
^_ =—初 + 以1 (х, g) + 炉Зх (%з + у2)
.、(1.12)
者=%х + 財 1 (х, у) + ^?Ву (炉+*)
где В — постоянное число.
В полярных координатах эта система будет иметь вид
^■=n(次1(1)十...+…%(恤))+卩晒产
(1.13) 也=%+"(尸 1(0)+"1 ⑴ +...+宀一1f产，一1))
Если функцию Ляпунова определить из уравнения (1*5), то будем[иметь я~ = Р (V-Vo)24 А(У) + ^ [ВР + Q (V, 0)]十卩明(匕 е,卩)
Если Hi(V0) > 0, то число В > 0 выберем согласно неравенствам
8(% + %)8+Q：(匕+ 4,е)>：0,S(V0-82)»+Q(V0-e2, 0)>0[(1.14)
для всех вещественных значений 0.
При таком выборе числа В выражение dV/dt будет сохранять поло::，】・ тельные значения в окрестности цикла V = У。, что указывает на отсутствие периодического решения для системы (1.12), несмотря на то, что члены первого порядка такое решение допускают.
В случае Лг(У0) V 0 число'В необходимо взять отрицательным с соблюдением неравенств, обратных (1.14).
Для того чтобы периодическое решение системы (1.12) сохранилось, необходимо знак достаточно большого числа В взять обратным знаку А/%).
В заключение можно сформулировать следующую теорему.
Т е о р е м а /• Если система уравнений (1.1) такова, 4加。соответ^ ствующее ей уравнение
厶 1М)=丄 \ [Xx(Vcose, У sin 8) cos е + 2л; 0
+ ?i (V cos 6, V sin 0) sin 0] d0 = О
6 отношении V имеет k положительных корней нечетной кратности, то каждому из этих корней будет соответствовать по крайней мере один предельный цикл и каждому из этих предельных циклов соответствует периодическое решение этой системы. Если 宛е уравнение L^V) = 0 имеет положительные вещественные корни четной кратности, то вопрос。существовании периодических решений, соответствующих этим корням, членами первого порядка в отношении 卩 не решается.
Рассмотрим теперь вопрос об устойчивости колебаний, описываемых указанными периодическими решениями. В том случае, когда положительный корень уравнения 厶i(V) = 0 является простым, вопрос об устойчивости решается теоремой Андронова и Витта I1]. Если же корень уравне- нения Li(V) = 0 является кратным, т. е. dL工(V)/dV = 0 при V = 1/力 то среди характеристичных чисел, соответствующих решениям уравнений в вариациях, могут оказаться два характеристичных числа, равных 1. Это обстоятельство приводит к весьма существенным затруднениям.
Исследуем устойчивость невозмущенного движения, не привлекая к рассмотрению уравнения в вариациях.
Предположим вначале, что уравнение G(V) = 0 имеет корень 7 — V； нечетной кратности kj. Пусть этому корню соответствует единственное периодическое решение. Представим уравнения (1.9) и (1.10) в виде
生出w不生出w不=一%2后一尸1 (%+比)+炉p2 (%+q，8, И)
生出w不
生出w不
(2.1) =^k~1 Pi (И；—e2) + ^Р2 (Иj— e2, 6,科) (2Л = Ej).
Можно утверждать, что при Pi(Vj) > 0 периодическое решение устойчиво, а при Pi(P/) V 0 ——неустойчиво. Эти условия можно сформулировать следующей теоремой.
Теорема 2. Если система уравнений (1.1), такова, что соответ- твующее этой системе уравнение LX(V) = 0 имеет корень V —V^ нечетной ратности, равной 2k — 1, 〃 если
V。при用匕(2.2)
mo периодические колебания, отвечающие корню V = V；, устойчивы, если же 岂設粤>0при(2.3)
то — неустойчивы
При k = 1 эта теорема совпадает с теоремой Андронова и Витта.
Если окажется, что корню V = Vj соответствует несколько периодических решений и если при этом 科 достаточно^мало, то имеет смысл ввести понятие устойчивости по отношению к области, ограниченной циклами V = =V/ + ^! и V = V； — е2. Можно утверждать, что эту область выбором чисел % и 82 можно сделать сколь угодно малой, т. е. расстояние между точ- 160
ками внутреннего и внешнего цикла, измеренное по радиусу, будет сколь угодно^мало, если 卩 достаточно малая величина и стремится к нулю вместе c
МьГможем положить ех = е2 =卩久 у = 5/(2论一1), 5 Vl. Тогда уравнения (2.1) можно представить в виде
H % = 一m +6 [p1 (匕 + 炉)一m一6 Р3 (匕 + 炉,出 6)1
“(2・4)
"^ =4+"R(%一炉)+ 仅一6p2(匕一因阳 6)1
При 卩 достаточно малом и при условии (2.2) будем иметь устойчивые ко лебания по отношению к области, ограниченной циклами V = У； + р и V ~ Vj—— р, а при условии (2.3) — неустойчивые. Расстояние между циклами, определяемое из (1.5) для V = 办 +炉 и V = Vj — 卩К будет стремиться к нулю при 卩->0・
Предположим теперь, что корень Vj четной кратности 月)=2月.Легко убедиться, что область, ограниченная циклами V = Vj + 卩丫^卩 = У；— р, будет неустойчивой, так как dV/dt для обоих циклов будет сохранять постоянный знак.
На основании изложенного можно формулировать теорему.
Теорема 3. Если система уравнений (1.1) такова^ что уравнение 丄式卩)=0 имеет корень V = Vj четной кратности. 2论，то область существования периодических решений будет неустойчивой, причем 6 случае
d^Ly (V)W2ft<0 при У = У/
область будет устойчивой для внешних возмущений и неустойчивой для внутренних; если же знак в этом неравенстве будет обратный, то область существования периодических решений будет устойчивой для внутренних возмущений и неустойчивой, для внешних.
Мы предполагали, что в системе уравнений (1.1) параметр 卩 является достаточно малой величиной.
Очевидно, представляет существенный интерес следующая задача: определить то значение 卩,при котором и менее которого периодические решения системы (1.1) продолжают существовать, если эта система имеет их при достаточно малых значениях 卩.
Исследуем вначале случай, когда кратность корня уравнения £式丫)=0 нечетная. Предположим, что в формулах (2.1) выражение 尸式％) более нуля, тогда будем иметь
Р1(% + %)>0,Pi(匕一&2)>0
Для существования периодического решения необходимо
一ё产7 р](匕+%)+ "n%+玩，仇卩)V 0(3.1)
喈论-中式匕一崂+好2"丿一%,仇以)>0(3.2)
Эти неравенства всегда имеют место при 卩 достаточно малом, но они могут существовать и для конечных значений 卩 и даже для очень больших его значений. Чтобы определить искомое значение 卩,мы можем поступить следующим образом.
Заменим в (3.1) выражение Р^У^ + £丄，6,卩)наибольшим значением, которое оно может принимать при любых значениях 0 & 8《 2л. Обозначим этот максимум через P^(Vj + 5,卩)и рассмотрим уравнение
一 8产7 В (% + 81) + 卩P2* (匕 + 厶，卩)Н о
Из этого уравнения мы можем определить значение^ ==卩(£0・ Обозначим наибольшее значение щ определяемое этим равенством, через 卩】в предположении, что " V 匕+1 一
Далее находим наименьшее значение Р^з — %, 6> 卩)для любых значений 0《 6《 2л. Пусть это наименьшее значение^есть P2**(V/ — 右纟,卩)・ Из равенства
е产-1 Pi(匕^_喲-Р|хР2** (Vj—е2» 卩)==О
определяем 卩=卩⑸)и находим наибольшее ^ значение 卩 при условии % V Vj — 匕т・ Пусть этот максимум 卩 равен 阿.
Если окажется, что максимумов 卩】и р.2 будет несколько, то мы должны взять наименьший из них.
Выбираем теперь число 卩°, меньшее 网 и р.2 на сколь угодно малую величину. Очевидно, что при 卩=卩。неравенства (3.1) и (3.2) соблюдаются.
Число 卩о будет искомым числом, если для всех 0 & 8 & 2冗 выполняются неравенства
i+MU(i)(e)+丿必 2)(8)+ …+рп-~мс(е)]>0
1+卩 ％⑴(6)+2 丿必2)(8)+ … +mi у^и^Це^Х)(°
при V == V； + ех* и V = Vj — е2*， где ех* и е*2 те значения ех и е2, которые определяют максимальные значения 卩(^)』：卩(％)・ Если же одно из этих неравенств обращается в нуль, хотя бы при одном|значении^0^ 6 & 2л, то тогда за искомое значение 卩 необходимо взять число 卩 V 卩。такое, чтобы неравенства (3.3) имели место.
Исследуем теперь задачу, когда члены первого порядка вопроса о существовании предельных циклов не решают. Это имеет место, когда, например,
Хх(х, д) = —дН(х9 y)ldyt Ух(х, у) = дЯ(х, у)1дх
где Я(х, у)——определенно-положительная функция для значений х, у, принадлежащих к области исследования.
Может также оказаться, что уравнение L^V) = 0 обращается в тождество. Это уравнение будет обязательно обращаться в тождество, если многочлены Х](х, у} и Ух(х, у) содержат только четные степени выражений ”卜耍, т. е.自+局=2瓦
В дальнейшем будем предполагать, что вопрос о существовании пре» дельных циклов решается конечным числом членов правых частей системы уравнений (1.1).
Для исследования поставленной задачи определим функцию Ляпунова из уравнения
г = и + W № (%")+ у%⑶ + ... +宀“啕)(4.1)
Число а равно степени 卩,определяющей существование предельного цикла независимо от членов, Порядок которых выше а. 〃£?—— непрерывные периодические функции 6, подлежащие определению?
Это уравнение при достаточно малом 卩 представляет определенно-поло* жительную функцию V для любых положительных значений г и для любых вещественных значений 6.
Производная функции V по / в силу уравнений (1.2) будет иметь вид
%察二与"『》Р卅⑼+…+沙Р册)(明+
+炉+I&+1 (匕 е,卩)(4.2)
Такая запись производной возможна9 если параметр 卩 удовлетворяет условию
片нa
匕=1+2 ^(ик^ + 2Уи^+ ... +tnkVm^~l u^)>Q(4.3)
В правой части выражения (4.2) функции Р£)(0) имеют вид
р屮)(е)= 一吟 +&(s)(®)+Qw)⑻
3 = 1,…，a; s = l, m*)(4.4)
Функции Qf)(6) тождественно равны нулю, а функции Q£)(k = 2, 3,...»а) представляются многочленами от различных степеней sine0, cos 6 и от функций 〃，", у которых / ^ ^ — 1.
Эти функции являются также многочленами от различных степеней sin 8, cos 6.
В зависимости от выбора функций 時)мы будем получать различные вначения Р£)・ Подберем функции 瓦£)так, чтобы все Р^ были постоянными величинами. Обозначим эти постоянные через 或)и определим их из равенств
2я
§ [&(s)(0)+Q屮)(e)_gA(s)] de = о(4.5)
О
тогда функции 〃£' определятся из уравнений
*)=牙 阳s)(e)+Q 尸(e)—g心)]de+ca)(4.6)
Константы (?£)определим так, чтобы все функции 成” обращались в нуль при 0 «= 0. Производная функции У по / примет вид
& ^ = *g J”A (Ь + 呼+1 Ра+1 (匕仇卩)(4.7)
где
厶 W)=g”W+gA⑵片 + ... + 以g)y%(4.8)
Очевидно, что выражение
S心(Q
представится многочленом относительно V с коэффициентами, являющимися также многочленами относительно 卩.Обозначим этот многочлен L«*)(V)» тогда
*Ь?)(Ю = ^аЛ+В.1 V2+ +Ba”M (4.9)
где п — наивысшая из степеней многочленов LA(V)- Числа В■也 являются многочленами от 卩.
Может случиться, что^все многочлены £月(% обращаются тождественно в нуль для любых сколь угодно больших значений а. Тогда система уравнений (1.1) будет иметь бесчисленное множество периодических решений. Этот случай может иметь' место, например, для системы
d* ".，..改（力，必闻d* ".，..改（力，必闻dydy=% +卩=% +卩0H (%, У,闻дх0H (%, У,闻дх
d* ".，..改（力，必闻
d* ".，..改（力，必闻
dy
dy
=% +卩
=% +卩
0H (%, У,闻дх
0H (%, У,闻дх
где Я(х, у, |х) — определенно-положительная функция при любых вещественных значениях х, у.
Пусть первый многочлен L£V), не обращающийся тождественно в нуль, имеет индекс р, т. е. LP(V) 0, 1 < р < а. Может оказаться, что уравнение Lp(V) = 6 не имеет вещественных корней. Тогда, очевидно, система уравнений (1.1) при достаточно малом 卩 не имеет периодических решений, кроме решений, соответствующих р. == 0.
Предположим, что уравнение L^(V) = 0 имеет т^ т^ положительных корней 0 V V1Vlz2 V ・・• V V) V ••・ < Vm. Найдем условие существования периодических решений, отвечающих одному из корней. Пусть этот корень равен V3. Многочлен Ь^У) можно представить в виде
^(Ю = (^-ЮУМр(Ю
Предположим вначале, что L^^V^) *0. Полагая а — р + 1, |мы можем выражение (4.7) представить в виде |
"1^ = / (^- y)ve Лр (У) + Н₽+1 Ьр+1 (И) + И₽+2 Рр+2 (У, 0, и) (4.10)
Рассмотрим уравнение
(4.И)(4.И)(%一唄 & #)+ 心+1(7)= 0
(4.И)
(4.И)
Это уравнение имеет единственный вещественный положительный корень при 丫6 нечетном независимо от величин
4(%) и Lp+1(yj
Этот корень при 卩 = 0 примет значение Vj.
Если 诈 четное, то уравнение (4.11) имеет два положительных вещественных корня, стремящихся к 匕 при 卩=0, если 夕+〔(匕)/& (匕)V 0, и не имеет вещественных корней в случае £计1”»/4(//) S> 6.
В случае ур нечетного выражение этого корня будет иметь вид
叮=匕+ М + "% +… где
v=/%,卜
При 7р четном получим
%j=乙+"1+*仇+…，%2*=% + VCi+" 2c2+…
,「"+《，)「/Рз+1(^)Г^
61 = L^TJ ，一 ［卞Г〕
Очевидно, что эти корни будут простые.
Если ?р — нечетное, то (4.10) можно представить в виде
(匕* 一 b 4* 3)+М+2 P2 (匕 е(|х)
at
Из этого уравнения следует, что корню 卩产 соответствует единственное периодическое решение системы (1.1).
В случае ур четного выражение (4.10) представится в виде
%多=卢(%1*一了)(/2*-u)4*(q+m+2P式匕仇")
at
Отсюда можно заключить, что система (1.1) имеет два периодических решения. Оба эти решения при 卩0 сливаются в одно.
164
Вопрос ob устойчивости колебаний, описываемых системой (1.1), при этих предположен и я х решается способом, изложенным в § 2. Предположим, что многочлен
й+1(^) = 0
Пусть
L6+1 (匕)= 4 + 2 (%)=…="-1 (%) = 0, La(K/)¥=0
Полиномы Lk(V) можно представить в виде
£^(Р) = (Р—匕产4")(" = В，В+1,…,a—l)
Вопрос о существовании периодических колебаний при этом предположении приводится к задаче определения простых положительных корней алгебраического уравнения
А(а) (И = jx₽ (V- ^-)V3 Л3 (И + И3+ 1 (У - ^/3+ > Лр+, (У) + ... +
+ |Х«-'(^_у.)*а-1Ла_1(у) + и«£а(у)= о(4.12)
Искомые корни обращаются в Vj при 卩=0.
Число § может принимать одно из значений р == 1, 2, ..., а— 1, В том случае, когда 昨=1, мы получим единственный вещественный корень уравнения (4.12), обращающийся в Vj при 卩 =0. В случае 诈》立 каждому корню У『уравнения L^(V) = 0 может соответствовать несколько вещественных корней уравнения (4.12), обращающихся в Vj при 卩=0.
Эти корни могут оказаться простыми, но может случиться, что в числе их находятся кратные корни, кратность которых менее ¥р. Если мы будем иметь дело с последним случаем, то тогда функцию Ляпунова, определяемую уравнением (4.1), возьмем из того же уравнения с заменой числа а на % > а.
Число % выберем так, чтобы уравнение
)(q= 2 旷厶 3) = 0
не имело кратных корней. Этот случай является общим.
Может, однако, случиться, что какое бы большое число а】 мы ни брали, корень Vj будет являться корнем для всех многочленов Lft(V), (k = 1, 2, ••・,aj, а следовательно, и для многочлена 厶(。力(У).
Обнаружить эю свойство многочленов Lk(V) указанным выше способом вообще, конечно, нельзя. Но если каким-либо другим способом нам это удалось доказать, то тогда можно утверждать, что корню V； будет соответствовать единственное периодическое решение независимо от кратности корня. '
В качестве примера рассмотрим систему уравнений
= — 4+ £—у)
dt饱=1
」00
=х + 2 И* (а2 — х2 — у2)п^ yfh (х, у) k= 1
полагая х — г cos 0, у = г sin 0, будем иметь
/(力一戸卢小(г cose, г sin 9),= J
dtk ss 1d£
Если все 九冗》1, то уравнения 尤=〃 cos (/ + %), у— asm (/ + %) представят периодическое решение исходной системы. Это решение будет существовать и в том случае, если в функции 九(尤,у) входит явно 力
165
Исключая из рассмотрения эти частные случаи и определяя функцию V указанным выше способом, мы можем утверждать, что первые а членов многочлена L^ (V) останутся без изменения. В этом случае вместо (4.12) будем иметь уравнение
〃％)#)= №#—匕卢卷*)+泌+1 ”一匕е+Мв+1(у)+ ... 4
+ иа-1 (у _ V^»-1 Ла_, (V) + JX« La (V) + ... +
+ И°. £в1 (П = 0(4.13)
Докажем теперь, что каждому простому положительному корню этого уравнения соответствует одно периодическое решение системы уравнений (1.1).
Для этого достаточно показать, что каждому простому положительному корню уравнения (4.13) соответствует предельный цикл. Представим корни этого уравнения в виде V = Vj + \^z9 где новая неизвестная z(卩)не обращается в нуль при 卩=0.
Подставляя значение V в (4.13) и сокращая на 卩6, будем иметь
广 ^043)+/+叫+尸0+1為+1~)+ ... +
+『7-1 + 叭一1 zYa-l 4一 (p) +
十尸一6%(了)+ ... +严一B几W) = 0(4.14)
Очевидно, что сумма членов, содержащих наинизшие степени 同 равна левой части этого уравнения с заменой V на У〃 Из рассмотрения этих членов мы приходим к заключению, что степень а может определяться одним из уравнений
叫=а—р,р + о*+р = а—р
р + о*+р = М+о%+〃，ат₽=^ + ат3+р
где р "1 — любые целые числа от 1 до a —卩一1.
Первое и второе уравнения соответственно дают
a = (a —р)/73,a = (a—р—р)/у3+р
При этом наибольшие значения о из первого и второго уравнений, а также из третьего и четвертого соответственно будут
Gm. = % (а—P)，l^mt = а—р — 1,Qmt = а—0—2,
“я* = а—р— 1
Отсюда заключаем, что наинизший член разложения корня уравнения (4.13) по дробным степеням 卩 по крайней мере на единицу ниже степени 卩, стоящего перед многочленом Le(V).
Предположим, что корню 匕，кратность которого 诈，соответствует 6 простых положительных корней (6 & 诈)・ Тогда^будем иметь
..."一匕°)8(匕卩)+ at
+ 严+ 】Pa,+l(匕仇 JX)(4.15)
где V% — простые корни уравнения (4.14).
Будем считать Уд < V/2 V …V R/ ・ Многочлен В(匕卩)не обращается в нуль для 匕л V У V 匕计i・
Докажем, что каждому корню У% (也=1, 2, ..., 6) соответствует предельный цикл. Возьмем произвольный корень 丿病 н два замкнутых цикла, соответствующих значениям V =匕卜 + 卩口-B-i+厶 и V =丿％ —卩口-H+匕 где h — достаточно малое положительное число.
166
Подставляя первое выражение V в (4.15), будем иметь
H^ = ^Q (匕А + 严…+А) + 咿+1РJ+! (УЛ, 0,卩)(4.16)
Для второго цикла получим
儿 = 一心 Q(匕卜—呼一""厶)+2a + 1 р0：+m匕h, 0, и)(4.17)
Выражения Q(Vjk + [хв-Р-Ч-л) и Q”％ —卩а-p-i+h)имеют одинаковые знаки, так как оба цикла заключены внутри кольца, ограниченного циклами V = У/й-1 и V = V^+i・ Функция Q(V) для значений V, принадлежащих интервалу V\m-i W 声 V 丿弗+九 сохраняет постоянный знак.
Число т не может превышать числа В + 6(а — 0 — 1) + h. Если теперь число % выберем согласно неравенству
% +1 >■ В + 6 (а—р — 1) + /i
то знак производных будет определяться первым членом выражений (4.16) и (4.17).
Очевидно, знак производной dV/dtt определяемой уравнением (4.16), обратный знаку производной (4.17). Следовательно, интегральные кривые пересекают исследуемые замкнутые кривые в разных направлениях.
На основании теоремы Бендиксона мы можем утверждать, что внутри кольца, ограниченного циклами
丿=匕h+出口-8+九一1 и и=丿川—卩a-8+九一
находится один предельный цикл системы (1.1). Этому циклу будут соответствовать периодические колебания, описываемые этой системой.
Устойчивость этих колебаний исследуется способом, изложенным в § 2, т. е・，если
dL^(y)/dV<0 при 丿=匕在
то колебания, определяемые этим корнем, устойчивы; если же знак неравенства обратный, то колебания неустойчивы.
Уравнения предельных циклов системы (1.1) можно получить следующим образом.
В результате исключения dt из системы (1.2) получим уравнение
£ 冲[叫⑴(в)+戸Ph(2)(e)+ …+严1P(%)⑼](5.1)
Числа nk могут быть более соответствующих чисел mki но 孔* =加*.
В дальнейшем исследовании мы будем предполагать параметр 卩 таким, что выражение
九+М1(「，е)+"2&(г, о)+ —
фигурирующее в (1.2), сохраняет знак для 0 & 6 & 2л и для значений г, принадлежащих области исследования. При этом условии правая часть (5.1) будет голоморфной функцией от г и 卩 для любых значений 6 & 6 & 2л.
Для нахождения уравнений предельных циклов, с точностью до порядка а, возьмем функцию Ляпунова из уравнения
r = P+&il]炉卜狐⑴(»+ …+ vn^ u^ (6)](5.2)
где 〃儿")(6) — непрерывные периодические функции с периодом 2л.
Производная функции V по 6 будет иметь вид, аналогичный (4.2)
£ 产МА屮)(е)+ …+vn^J^(e)i+H°+1Pa+i(K, е, и)(5.з) Оо А^ I
Функции 尸*屮)(8) имеют вид
р*屮)(0)=—嗒+Pa)(8)+Qw)⑻(『1, , , a, S=1，…，咽(5.4)
Функции QI" тождественно равны нулю, а функции Qk(s> (月=2, 3, ..., а) представляются многочленами от различных степеней sin 6, cos 0 и от функций 〃_/§), у которых индекс j * 月—— 1.
Определяя функции 〃儿⑴(9) и константы Ck^s\ согласно формулам (4.5) и (4.6), будем иметь
負=玄犷(У&⑴+ …+и“^("А))+ма+1Ра+@,ез)(5.5)
Выберем число a так, чтобы положительные корни уравнения
厶^冲卜欧⑴+ - +片Ag卅硏=0(5.6)
были простыми. Если требуется большая точность, то число а можно заменить на число % > а.
Предположим, что уравнение (5.6) имеет т положительных корней V\, V2, ...» Vm. Подставляя эти значения Vh в выражение (5.2), мы получим для каждого Vk уравнение предельного цикла в полярных координатах с точностью до членов порядка а в отношении 卩・
Если найденное значение г подставить в выражения х = г cos 6 и g = г sin 9, то получим параметрическое уравнение периодических решений системы (1.1).
Подставляя значение г из (5.2) во второе уравнение (1.2), получим
赍=九+哈(е)+М%(е)+ ... +^fa(е)+ ...(5.7)
Это уравнение определяет значение 0 как функцию от 力
Ограничиваясь членами a-го порядка в правой части уравнения (5.7), разделяя переменные и интегрируя, будем иметь
JA+""(8)十…十卩°h位)
Это выражение определяет период колебаний системы.
В § 3 мы определили значение р,0, при котором и менее которого система (1.1) имеет периодические решения. Дополнительным условием существования решения в форме (5.2) является ограничение, которое мы наложим на правую часть второго уравнения системы (1.2). Это ограничение при 入> 0 имеет вид
入+ 内尸1(匕 е)+卩2尸2(г, е)+ ... > о(5.8)
для значений г, определяемых равенством (5.2), если в последнее поставить значения 匕，У2> Vm-
Неравенство (5,8) налагает еще одно ограничение на параметр 卩.Может оказаться, что наибольшее значение 卩,удов летвор яющее неравенству (5.8), менее(х0, которое определено в § 3. При этом условии, несмотря на существование периодического решения для значения параметра, равного 卩°, ана-
литическое выражение этого решения может отличаться от выражения (5.2). В этом случае найдется такое значение параметра 卩*, при котором аналитическое выражение периодического решения изменяется, и оно может принять структуру, отличную от (5.2).
Этот случай имеет место, например, в уравнении Ван-дер-Поля.
'Если мы будем рассматривать предельный цикл, соответствующий одному из периодических решений, то неравенство (5.8) имеет простое геометрическое представление. Очевидно, что пр и условии (5.8) радиус-вектор, выходящий из начала координат, пересекает предельный цикл только в одной точке и нигде не касается его.
Если же неравенство (5.8) при некоторых значениях г и 0 обращается в нуль, а затем меняется на обратное, то радиус-вектор касается предельного цикла и будет пересекать его в одной или нескольких точках.
Очевидно, что вышеизложенный анализ к такого рода задачам неприменим.
Рассмотрим подробнее случай простых корней амплитудного уравнения, соответствующего уравнению (5.1). Полагая
г = Р +卩(％ ⑴ + ... +卩饱〃宀(6.1)
и определяя функции 〃{§)согласно формулам (4.5) и (4.6), получим
^ =卩(期1"+&(2)片+ ... +gM，"m，) + jX2P2(匕 8,卩)(6.2)
Рассмотрим один из положительных корней уравнения
&(p)= gj" + gj2)p2+ …+g](呐)p叨=0.(6.3)
Пусть этот корень равен %
Если уравнение (6.3) имеет другие положительные корни, то ближайший корень, меньший 声力 обозначим через 卩/一匕 а больший ——через V^\. Будем предполагать, что в интервале (户j+l Rj-i) уравнение (6.3) не имеет других корней, кроме корня Уу.
Представим уравнение (6.2) в виде
"(卩一乙)4 (吩+炉尸2(匕仇卩)(6.4)
Уравнение предельного цикла, отвечающего корню У； с точностью до членов первого порядка малости в отношении 卩,имеет вид
Г=匕 + 卩(匕〃[⑴十...+p产〃Jg)(6.5)
Если параметр 卩 удовлетворяет условиям существования периодических решений, то члены более высокого порядка, стоящие в правой части уравнения (6.2), не изменяют качественной картины поведения интеграль» ных кривых и не нарушают существования предельного цикла.
До сих пор мы рассматривали величину V как функцию Ляпунова, но эту величину можно рассматривать как новую переменную, вводимую вместо переменной г. Рассматривая уравнение (6.1) с этой точки зрения, мы можем отыскать новую переменную в виде многочлена, расположенного по возрастающим степеням параметра 卩,и получить второй способ построения предельных циклов.
Построим этот многочлен в предположении, что исследуемый корень уравнения (6.3) является простым, вследствие чего ему будет отвечать единственное периодическое решение.
Положим
p=%)+ r匕+ m%++旷乙(6.6)
где %, 匕，％, ... — искомые функции 0.
Подставляя этот многочлен в (6.2) и приравнивая члены с одинаковы* ми степенями 卩，будем иметь
%=0,%=厶(%)
V, = vx+ v^1 > (0) + V^2) (6) + ... +Vo".p2(".)(0)
% = Vl齡+&"1…展2期
Из первого уравнения имеем Vo = Со. Подставляя значение У。во второе уравнение, из условия периодичности функции ^(б) приходим к заключению, что Со должно являться корнем уравнения (6.3), а % = С】. Подставляя значения Со и ^ в третье уравнение и приравнивая нулю интеграл от правой части, взятый в пределах от 0 до 2л, определим постоянную Cv
Функция 卩2 определяется с точностью до произвольной постоянной С纟,которая будет являться просто приданной. Подставляя значение Й2 в четвертое уравнение, мы определим константу С2 и функцию У3 и т・ д.
Таким путем мы однозначно определим все функции Р。, %, У2,..・,а следовательно, и многочлен (6.6). Подставляя значение V из (6.6) в равенство (6.1), мы найдем уравнение предельного цикла, соответствующего одному из корней уравнения (6.3), с точностью до сколь угодно высокого порядка в отношении 卩・
FЛегко убедиться, что результат подстановки этого многочлена в (5.1) и непосредственное вычисление функции Ляпунова по уравнению
尸 i+R/(k ⑴ + …+vnk и^) (6.7)
при соответствующем выборе С「дают один и тот же результат.
Изложенный способ построения периодических решений применим также к системам (п + 2)-го порядка
£ =—匂 + 卩Х1 (х, g) + |Х2Х2 (х, у) + ... + М (х, у, zs> 卩)
堂=版 + 叫(х, у) + 炉匕(%,力 + — + 旷(%, ", z$, |X)
= S Psi 2г + 歯1 (%,力 + 卩％2(X,勿 + ... + 歯(X, y, Zs，|X)
(s= 1,…，/t)(7.1)
где X, У, Z& — голоморфные функции х, у, zs в области исследования периодических решений и малого параметра 卩・
Постоянные p8i таковы, что уравнение
IPsi—esi^l = 0
не имеет корней 乂 = 士 入/л/—1, соответствующих целым действительным числам т, включая нуль.
Для вычисления периодических решений системы (7.1) вводим замену х = г cos Q, у = г sin 6, % = rys. Из полученной системы исключаем dt
В результате получим новую систему следующего вида:
黑="[向⑴(6) +…+严出产)(8)] +阳r&⑴⑼+ ... _(.
+… &(%)(0)] + ... + 咪(Г,弘,0.n)
贄=々£ P"弘+"卜匕⑴8)十..• +小匕(2(0)]+(7.2)
+M[元⑴(9)+ …+m./(八)(明+ ...+^Ys(r9y8t 0,卩)
Отыскиваем периодические решения этой системы в виде
г=Го + М1 + М「з+ ••• +卩а %, % = "%1 + ~"%з+ ... +нвг/*в (7.3)
Подставляя значения г и ys в (7.2) и отождествляя коэффициенты при одинаковых степенях 卩,получим
±l^r0R^+ ... +r^ R^
黑=厶低屮)+2%%(2)+ ... +m.r^ R^+F^r.,% 1, 9)
爵• = ；$厶也i + %匕⑴+ - +r^Y^
= T ij Psi 执2 + 凡2 (%,弘 1, 9)(7.4)
Из условия периодичности функции 〃 будем иметь
2я
\ (% R1⑴ + …+ г产 R](m,))加=о(7.5)
о
Предположим вначале, что это уравнение имеет несколько простых корней rok. Подставляя одно из этих значений в уравнения, определяющие неизвестные 厶 и ^$卜 мы определим функцию q с точностью до приданной^кон- станты G・ Определение периодических функций уА сводится к отысканию периодических решений уравнений
蜜=%% + 输(0) (7.6)
где fel(9) представляется полиномом от различных степеней sin 9 и cos 9, Ен — линейной формой от переменных у^
2яЧ-0J e~^ft^^ е2яЧ-0J e~^ft^^ еЭти решения имеют вид
2яЧ-0
J e~^ft^^ е
2яЧ-0
J e~^ft^^ е
(7.7)
Подставляя эти значения в уравнения, определяющие функции г2, ?&方 мы из условия периодичности функции г? определяем константу Си а затем и функцию 小，которая также определится с точностью до просто приданной константы С2.
Определение функций у8^ сводится к отысканию периодических решений уравнений, аналогичных (7.6).
Таким приемом мы определим все функции, входящие в многочлены (7.3), а следовательно, и периодическое решение системы (7.1), отвечающее одному из простых корней уравнения (7.5) с точностью до сколь угодно высокого порядка в отношении 卩.
До сих пор мы рассматривали такие системы, которые при 卩 = 0 обращались в линейные.
Рассмотрим теперь задачу более сложную. Предположим, что колебания системы с одной степенью свободы описываются уравнением
2 + М 炉…=卩/ (% х, Ц1)(8.1)
Это уравнение эквивалентно системе
嘗=—汽/, 粵= Wi+M(x,f/,R)(8.2)
入＞0,卩=n1/入＞0
Л (^协卩i)= “ (居У.九卩)=匕(居力+卩厶(居У)+…
При 卩=0 эта система имеет семейство периодических решений, зависящих от одной произвольной постоянной
% = cCs6,у = сп Sn 9,0 = с«-1 入/
Здесь Cs 0 и Sn 0 — ляпуновские^ функции [2], обладающие свойством Cs2"0 4-Sn20=l,1^® = _Sn9
竺粤=Cs2“-i“ CsO=l, Sn0 = 0
Эти функции при n = 1 обращаются в обычные sin 9 и cos 0.
При /г = 2 и /г = 3 они выражаются через эллиптические функции. При /г ＞ 3 они являются функциями дифференциальных биномов.
В фазовой плоскости интегральные кривые системы (8.2) при ц = 0 определят центр, который запишется уравнением
%2 孔+/гу2 = с2
Исследование системы (8.2) можно было бы вести при помощи функций Cs 0 и Sn 8, но оперировать ими весьма сложно. Поэтому мы ограничимся обычными синусами и косинусами. Положим
х = г cos 0, у = i sin 9(8.3)
Система уравнений (8.2) преобразуется к виду
rn-\(cos20 +几 sin2 9)—=九厂2门一1 (cos2n-1 0 sin0—sin 0 cos 0) +
+ pif(rcos0, Msin仇卩)sin®(8 4)
产(cos2 0 4-^ sin2 0) — = V2n~! (cos2n0 4-nsin2 0) +
+ ц/ (r cos 0, rn sin0, ц) cos0
На функцию /(x, у,卩)мы должны наложить условие, чтобы она не обращалась в нуль ни при одном значении х, у, кроме % = у = 0. Вследствие этого правые части системы (8.4) должны обращаться в нуль только при
По этой причине функция /(г cos 0, г" sin 0,卩)не должна содержать переменную г в степени ниже 2п — 1. Это требование эквивалентно тому, что разложение функции /(х, у,卩)по степеням х, у не содержит:尤 в степени ниже 2п——1, переменную у в первой степени и произведение ухА для k v^ л — 1.
Исключая dt из системы (8.4), будем иметь
空=质0(8)+r[质屮)+ ... +iR]g)]+ .(8.5)
гдегде
где
где
& (6)=& (6)=cos?"—' 6 sin 8—sin 8 cos 8 cos2n0 + nsin20
& (6)=
& (6)=
a R£)(8) представляются дробями, числителями которых будут являться многочлены от различных степеней sin 0 и cos 0, а знаменателями — различные степени выражения cos2* 0 + n sin2 0.
Полагая в (8.5)
r==pexp^7?0 d0(8.6)
о
2п
и учитывая, что ，/?“Ю = 0, получим о
冬= МрР1 ⑴ + ... +pm，P№〃 + ...(8.7)
где Р£)—— непрерывные периодические функции с общим периодом 2n. Дальнейшее исследование этого уравнения проводится согласно § 5. К такому же уравнению приводятся исследования колебаний систем, описываемых уравнениями более общего вида.
Исследуем колебания системы, описываемой уравнением
X + ^Х2п~х + & XXm =卩 J1 (% X,卩 1)
или эквивалентной ей системы
然■ = -м粤=版21 _勿%m+叫%,协卩)(九＞ 0,卩＞0) (8.8)
Эта система при m = п ——1 и 62 ——4лХ2 V 0 может иметь семейство периодических решений, зависящих от одной произвольной постоянной.
Производя замену (8.3), получим уравнение, аналогичное (8.5), в котором
R。R。(8.9)(8.9)入 со$2“一1 е 5也 ©一九 cos 8 siti 8 —力 cos"—丨 8 sin? 6九[л (sin &— ^созп0/2лХ)2 + 62 cos2n 0](62=1 —&2/4nX2)
R。
R。
(8.9)
(8.9)
Будем предполагать, что 6耍0・ Если
2л
\ R。dB 片 о о
то система (8.8) при 卩=0 не имеет периодических решений. Если же этот интеграл равен нулю, то она при ц = 0 имеет семейство периодических решений.
Если теперь в полученном уравнении заменить г на р согласно равенству (8.6), в котором значение /?0 определено уравнением (8.9), то вычисление периодических решений будет аналогично вышеизложенному.
Предположим теперь, что колебания системы описываются уравнениями
(9.1)(9.1)~ = —Ху-|-Х0(х, у) +(лХ工(乃,у) + ...
(9.1)
(9.1)
=Хх+У0(х, у)+цУ1 (х, у)+ …
где X(j(% у) и У0(х, у) не содержат линейных членов.
Предположим, что эта система при ц = 0 имеет семейство периодических решений, зависящих от одной произвольной постоянной. Наиболее общий признак существования такого рода решений заключается в том, что система (9.1) при 卩=0 допускает существование знакоопределенного голоморфного интеграла. Этот интеграл имеет вид
"2+川+尸(修加=e2(9.2>
Такой интеграл всегда будет существовать, если система (9.1), при 卩=0 консервативна, т. е. X。 = —d〃/dg, У^дШдх. а функция 1/2Х (ха+ +д») + Н — знакоопределенная.
В дальнейшем будем исследовать только такие системы (9.1), у которых интеграл (9.2) сохраняет знакоопределенность во всей области исследования периодических решений и представляет при различных значениях с замкнутые кривые. Кроме того, будем предполагать, что луч, выходящий из начала координат, пересекает любую из этих замкнутых кривых только в одной точке и не касается их ни в одной точке. Эти свойства знакоопределенных интегралов типа (9.2) при значениях с достаточно малых всегда выполняются.
При больших значениях с не все интегралы, представленные (9.2), могут обладать указанными свойствами, если при малых значениях с они ими обладали.
Полагая в уравнении (9.2) х ^ г cos 0, z/ = г sin 9, получим
严 +尸(г cos^O, rjsin 0) = с2(9.3)
При наших ограничениях, накладываемых на интеграл (9.2), уравнение (9.3) определит два значения г для заданных значений с и 0. Эти значения представятся рядом
r= ±e+ %e2±〃8笈+…(9.4)
Мы можем взять любое из этих решений, так как заменой 0 на п + 9 одно из этих решений переходит в другое [3].
Будем также предполагать, что аналитическое выражение корня уравнения (9.3), представляемое уравнением (9.4), сохраняется для значений г>Гт，где rm — наибольшее значение радиуса-вектора, принадлежащего исследуемому предельному циклу.
Преобразуем теперь систему уравнений, приняв за новые переменные полярный угол 0 и величину
р2 =户 + 尸(「；8sB7；sin 8)(9.4а)
Эчевидно, что эти .переменные будут удовлетворять уравнениям
2Pl 匿==(2х] + 噤卜卩X] + р2Х2 + ...) +
+М+需一叫+小+ •••)(95)
f2 у ="2 + 求。一以o + Z(附i +炉匕+ ...)-
-9(卩% +卩2%+…)
Мы можем утверждать/1 что выражение
入伊+方+#%-/•
не обращается в"нуль' ни в одной точке, кроме начала координат, и представляет собой определенно-положительную функцию во всей области исследования периодических решений.
174
В противном случае луч, выходящий из начала координат, является касательной к одной из замкнутых кривых, представляемых уравнением ( Полагая в уравнениях (9.5) х = г cos 9, z/ ^ г sin 9 и заменяя г на р, согласно (9.4а), получим
* = нЛ*(р, 9)+игРг*(Р>е)+ ...
或(9.6)
■^■=%+Qo(p, е)+卩Qi(p, е)+м&2(р, е)+ •••
где Qo(p, 9) — определенно-положительная функция р для любых значений, принадлежащих области исследованиях периодических решений и для любых вещественных значений 0.
Исключая из (9.6) df, мы получим уравнение
吗=*(р,е)+产Р2(Р,е)+ …
В этом уравнении функции Pi，Р^, ... можно представить бесконечными рядами, расположенными по целым положительным степеням р, с периодическими коэффициентами, период которых равен 2n.
Функцию Ляпунова для этого уравнения !нужно^определять из уравнения
p=p+n 2 нм职
Дальнейшие исследования аналогичны вышеизложенному.
Очевидно, что изложенный метод построения периодических решений системы 2-го порядка обобщается на системы (л + 2)-го порядка, если определяющее уравнение присоединенной системы не имеет корней вида 土 тК У— 1 для всех целых положительных чисел т, включая и нуль.
Этот метод легко распространяется на системы уравнений вида
—=—4+Xo(% у)+ 卩％ (% у)+ ...
2(9・7)
小=匕》(修协+財工(乃,勿+ ...
если только эта система при 卩 = 0 допускает существование знакоопределенного голоморфного интеграла, обладающего свойствами интеграла (9.2) или Когда X。二—дШду. Уо = дШдх. при условии, что %疗 + Н(х, у) является определенно-положительной функцией.
В отличие от задачи, представленной системой уравнений (9.1), система уравнений (9.7) такова, что при наличии периодических решений в случае 卩 = 0 она может не иметь голоморфного интеграла, не зависящего от f・ Нетрудно убедиться, что если нам известно периодическое решение системы (9.7) при 卩=0, то периодические решения, соответствующие этой системе при 卩长 0, отыскиваются таким же путем, как и для системы (9.1).
Исследуем теперь процесс становления периодических решений. Определим с точностью до 卩 непериодическое решение системы уравнений (1.1), которое переходит в периодическое.
С этой целью отбросим в первом уравнении системы (1.2) члены выше Л-го порядка в отношении 卩.В результате этого получим уравнение с разделенными переменными
(10.1)(10.1)^ = ИЛ(Ю+^2(Ю+ …+ 旷厶1GО
(10.1)
(10.1)
吟=大+2尸J(匕8) + MR*(匕8)+ at
Будем отыскивать становление периодического решения, соответствующего корню V；; предположим, что это периодическое решение устойчиво.
Предположим, далее, что при t = ^, V =卩。力 где Vj—i V VQj < b/+i・ При этих начальных значениях первое уравнение (10.1) определит спираль, асимптотически приближающуюся к периодическому решению, соответствующему корню Vj. Подставив данное значение V(0) во второе уравнение системы (10.1) , мы получим выражение 9 = 0 (/). Подставляя найденное значение V в уравнение для 尸,а затем значения г и 6 в уравнения л: = г cos 0, у = г sin 0, мы получим непериодическое решение, стремящееся к периодическому, которое соответствует корню V = Vj.
Если же предельный цикл неустойчив, но имеется условная устойчивость для возмущений V V Vj, или V > У^, то в первом случае при интегрировании первого уравнения системы (10.1) мы должны взять значения Vj >V0；> > У/-ь а во втором случае7v7+>%『> V；.
Для пояснения приведем пример.
Пусть
~= 一 y +卩% (尤2 +№-"1严侬+№一的产…(*2 + f/2 - а几)"71/+
+ ^Х^+у^-ЫВ(]И)
噜=% + 也/(炉+产一%严(炉+疗一a2严...(炉+夕一"户/ +
+卩2y (炉+*-b尸8
В полярных координатах х = г cos 0, у = г sin 0 будем иметь
@=m(户-%产(八一&产^—а^а^-^г^-ЬуВ
М(1L2)
—=]
Очевидно, что радиусы предельных циклов в системе (11.1) определятся из уравнения
г，—％严(产—的产... (^—a^A + Vir^^byB = G(11.3)
Пусть 0 V а〃 V an-i < ... < аъ тогда в случае В = 0 предельными циклами системы (11.1) будут являться окружности г = 0, г2 = ах, г2 = =а2, ..., г» = а〃. Эти предельные циклы будут существовать независимо от значений чисел т* тъ ...» тп для любых значений 卩 как для достаточно малых значений 卩,так и для сколь угодно больших.
При /И] нечетном предельный цикл г2 = ах будет устойчив, если Д < 0, и неустойчив при Л > 0.'
В случае четного 加工 этот цикл будет неустойчив независимо от знака числа Л. Если Л < 0, то он будет условно устойчив, т. е. для возмущений, соответствующих г2 > 口斯 он устойчив, а для г2 < ах — неустойчив. В случае Д > 0 он будет устойчив для возмущений, соответствующих г2 V ах.
Предельный цикл г2 = а2 при ть и ги2 нечетных и 4 V 0 будет неустойчив, а при 4 > 0 — устойчив. Устойчивость следующих предельных циклов определяется аналогичным образом.
Рассмотрим случай В^=0. Если А/В < 0, то каждому числу m在 будет соответствовать предельный цикл, радиус которого стремится к ]/^也 при 卩 т 0. Если тк ——четное, то система (11.1) будет иметь два предельных цикла, соответствующих m在,радиусы которььх будут стремиться к /嵐 при 卩 f 0. Если А/В > 0, то предельные циклы, соответствующие нечетным Шк сохранятся, а циклов, соответствующих четным 加也,система (11.1) иметь не будет. 176
Пусть
m1 = 1,加2 =m3=…=тП = °；九=2; A/B = -1
Тогда из (11.3) получим
(11.4)(11.4)(11.5)(11.5)•-(产—3 +卩(产一ь户=0
(11.4)
(11.4)
(11.5)
(11.5)
Уравнение (11.4) имеет корни
=2卩6 + 1/]± (1_ 2也(%+也产)
~ 2И 〈(2^+1尸—
При 卩=0 один из корней обращается в ан а другой неограниченно возрастает как 1/ц.
Пусть теперь
团1 =孔=1,山2 = ш3 = … =тп — О* А/В = — 1, a^vO, b = 0
тогда
-1+"-1+"
-1+"
-1+"
Очевидно, что при 卩 V 1, в том числе и при 卩=0, предельный цикл не существует. Он появляется только для 卩 > 1・
ГЛАВА II
НЕАВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ
1. Рассмотрим систему с л степенями свободы
无 j =% Уз + 卩X$i (%i,…，％п; у】，…，Рп，')+
+ 卩"Х$2(%i,…,％； %,…,f/n, f) + …+f$o⑴+卩％(f) + •••.j ])
Уз* =入8 *8 + 卩У$1 (无1,…,*71； У19 •••> Уп、0 +
+炉％(修，…，巾 Уъ ^ %,/)+ ... + Tso(0+№1(0+ •••
где X$i, ..., Х$在，Y\i, ..., Y8ll — многочлены сколь угодно высоких степеней с непрерывными периодическими относительно / коэффициентами общего периода, который будем считать равным 2冗；f8k(i) и q)sft(0 — непрерывные периодические функции с тем же периодом 2冗.Число 卩 является малым параметром1.
Будем предполагать, что правые части системы (1.1) представляются сходящимися рядами для достаточно малых 卩 и для любых значений xs и р^ принадлежащих области исследования.
Положительные числа Xs удовлетворяют соотношению
п
kms^E(1.2)
s= 1
где %, Е — целые положительные и отрицательные числа, включая и 0; 他 удовлетворяют условию
п
Содержание данного раздела представляет соббй доклад автора на Ц -Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике (Москва, январь-февраль 1964 г,)・
12 Зак. 3126177
Число М определяется показателями наивысших форм^ входящих в многочлены Хт Xsk, Y81f Ysk.
Полагая zs = х8 + 必$, zs = xs — iySf будем иметь
28 =认8 4 + JlZg (马，…，zn；2],…，zn, /) +
+ …+&0(/)+М$1(/)+ •••
Wj =- 次s^+卩2S(2七…，五；五，…，zn> 0+(1・3
+ …+FsO(f)+卩尸sl(f)+
Любое из этих уравнений эквивалентно соответствующим двум уравнениям системы (1.1).
Решим вначале основной вопрос нашей задачи, т. е. определим необходимые и достаточные условия существования стационарных колебаний по членам первого порядка в отношении 卩.
Положим
4=m* + %0(9+ 卩4"，2S=仔+ 原(0+ 卩"si (分
($= 1,…，力)(1.4)
Функции u8Q(f)9 〃$i(D，〃$o(f), 〃8i(f) определим так, чтобы в преобразованной системе функции, играющие роль функций FSO(Z), Fsl(f)t обратились в нуль. Для этого достаточно, чтобы функции ws0> 〃虱 удовлетворяли уравнениям
Ws0* =认8 “8。+ 尸8。(О
usl-^iKsusl + Zs(u1Qf ...» %。；区°,…，wn0, 0 + ^st(L4a>
Периодические решения этих уравнений определяются из равенств
%=一%一 ； F^e-^dx
(1.5) 内 中" ---
"si = —2冗厶~IJ [ZgQio,…，wno> "io,…，〃no,〈)+尸si (砌 ©8 d工
Преобразованная система будет иметь вид
r・ = M/J+NQF(G*-・・，U*; ??-・・『/, 0+ …+
.+2m)+..(]电
屮・=二垃/s* + MJ &*，…，M; Cl*，…，u*. /)+••• +
+ M02*(f)+
где Q$* и Qs* —многочлены, аналогичные многочленам Z$ и %$• Преобразуем эту систему, положив
▼=к十r4(ь，…,%*,已*,二,嘉*, 0. V = :3+
+卩%%*,以*,已*，…,in*, /)
Функции 〃$, us подберем так, чтобы в преобразованной системе функции,
играющие роль функций Q8* и Qs*, не зависели от времени.
Пусть
QJ= 3q,*同(У,…，以*, b，…，森*,》
A= 1
Qs*®= 2 2 Qs^a)^p-als^a p = 0 a=®0
формы Q；%二片) имеют (左——р)-й порядок и зависят от всех g在*,工在*, за исключением и
Функции us определим в виде выражений
人⑷區*，…，以*, ь，…，Fn，0= 2 S ^-^ 已*a
p= 0 a = 0
Формы w^pa) не содержат 以* и 森*.
Переменные 以 и 詳 удовлетворяют уравнениям
点 = i%%+NQs0l，…，％，e1，…，爲⑺+户 Qs2 (电，…
已•=一2工+?q侑，…,м，显…，默")+炉g2@,…•)
…,%,11,…,爲,9 + - +卢0(/)+
где Qs определяются формулами
、 一 号 + £像观吗一^力叫卜小s + Qs* = Qs(1.7a)
Очевидно, что
Q$ = Е QJ")&，…，Gn，%，…，Gn，0 Л=1
Наша задача будет заключаться в том, чтобы в эти выражения не входило /.
Определим, чему равняются Q?7+；).
Очевидно, что для произвольного 论
T Jo廿才女一言盘 20 ("/М
——*「认僞 口…右一 £ £ (p —a)匹第曰。七1牙+ vfep/p=0 a=0
A p_ Л p_(1.8)
+ 2 2 ai4^iV4/-4sa+ 2 £ Q*rc『)諸-a® + p= о a=op=o a=o
+ 风 N S u№Pa)^-4a= 2 S Q^r-pa) Ssp-a V
p= 0 a = 0p = 0 о = 0
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях 匕&-" ^, получим
E 认埼一 s#Jx闯一
dt ₽=i \ a%嶋 /
一风(p-2a-l) u^p^ + Q^-/} = Q!?W『 12*
Представим формы 以?7士『，Q：'k尸,Qsf^p \ порядок которых равен k — р = 6, в виде
QWr%G = E，4k(f)中...杀守5
Qteb0^^ 凡** (f)中器“仔|V»
(也T"后+ …+后n+gi+ ••• +0以П6, 6=0, 1, 2,…，m)
где т — порядок наивысшей из форм, входящих в многочлены Z$・
Знак ' указывает на то, что в данную форму не входят 匕$ и ^а, а знак ** здесь и далее заменяет индекс (^, ..., йп, %,・・・, д^). Подставляя эти значения в (1.8), будем иметь
-……-(自一%)儿+ ••• +
+{kn-qMu^ ^ - СЧ^ V"-
_% (р - 2а — 1) £' %*气七…С/” Ь，…己/n +
+ ^А*Ч^ ..Л>^1...1^- =
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях 坤… 中 /..警, получим<
-第一[虫」(自 f)M + 凡(р—2а_ 1) ] %** + 4** =凡** UiLy = 1J
Из последнего равенства следует, что соответствующим выбором функций 〃&** все числа Вв**, для которых &v #= qv и р =/= 2а + 1, можно обратить в нуль, а для Av = ^v и р = 2а + 1 эти величины можно выбрать постоянными.
Эти постоянные определяются равенствами
В,** = — J Лв**(0 dt о
Следовательно, выражения Q$(0, ... £п, %, ... *п, 0, стоящие в (1.7), будут содержать переменные % % только в одинаковых степенях 左丫 =办,а выражения С$ и* в виде комбинации Ss(Cs ^)а>таккак& = 2а+1.
В результате будем иметь
u = i^a+Ms £ в；“ (％ 己卢& а*...(原爲步+户(...)+ ...
Знак *** здесь и далее заменяет индекс 闻 ・・・，々п)・
Полагая Bs =偽 + ibs ; Ss = I» + «Пз. получим
^ ==一尢% +"脸еa:"匾2+nJ声-^ + 4п^n-
一 % Е6：“(守+絞卢…(箫+ 2旬+炉-
腓=%后+"原 e"***"+ 2&廿" +
+л.2^(^+ш2Л... (Sn8+rfn+na(•••)+ …
Полагая 眾=re cos 9S, qe = re sin 0e, будем иметь
* ="sEa：“"叫…％2% +炉(…)+ ...(1.9)
G - =%s乙+ "826$g叫…r/*n +炉(…)+ •'・• at
В том случае, когда правые части системы (1.1) обращаются в нуль при хх = ... = xn = z/j = ... = уп — ^^ а Х&л и Ysk представляются формами ^-го порядка, приведение уравнений к виду, аналогичному (1.9), дано в М
Определим интегралы этой системы с точностью до первого порядка в отношении 卩・ Для этого приравняем нулю коэффициенты в правых частях первых п уравнений при 卩 в первой степени
L = %WOi叫・・・rj% = 0(1.10)
Предположим, что система алгебраических уравнений (1.10) имеет вещественные положительные решения относительно rs0®. Тогда переменные Е$ н т)$ запишутся в виде
原=加85a，T)e = reoSin е.
Подставляя эти значения в выражения
屮=J + FMb,…,U*>己*，…彳J 0
и решая их в отношении |в* и т)в*, найдем
甘=rs0 cos 6в + 阳(re0 cos 仇，加 sin % f)U I °
曜=Go sin 仇 + Ms (% 8s 4, re0 sin 6S, f)•
где |e* и r)s*—действительные и мнимые части С/.
Из уравнений (1.11) и (1.4) будем иметь
乂 = % (0 + 照虱⑴ + Go cos 6S + "$ (% cos ee, rs0 sin6s, 0(] ] 2)
% = %0：伍)+卩%能)+小邮8 +財/水054，公也%, 0’
где p$o(f) и psl(0 — вещественные части функций ueo(O и “趾(。，a ge0(/) и 081(?) — коэффициенты при мнимых частях.
Выражение 0S через £ с точностью до членов первого порядка малости в отношении 卩 найдем из уравнения
署=%+d広"产…%产"
Решения (1.12) будут стационарными, но не периодическими.
Исследуем теперь устойчивость этих колебаний. Полагая в (1.9) га = Go + “$，будем иметь
丝"=N(P$1〃1+ …+Pan wn) + ^(^1> wn) 4"H2+ …
(s = 1,..., n) (2.1) где
PSk = d[rsQL8(r^9 ...» rn^)]/drk0
a f8(ult ..., un) не содержит линейных членов в отношении иь …，un.
Если окажется, что среди корней уравнения |卩消 ——6s&x | = 0 имеется хотя бы один корень с положительной вещественной частью, то решения (1.12) будут неустойчивы. Если же все корни уравнения имеют отрицательные вещественные части, то они устойчивы, но неасимптотически.
В этом случае уравнения (1.9), если в правых частях отбросить члены со степенями 卩 выше первой, представят решения, которые при достаточно
181
малом 卩 будут сколь угодно мало отличаться от решений полной системы (1.9) при изменении t в интервале 土 оо.
Докажем это утверждение.
Пусть *l ..., хп — корни уравнения \p8h — 68h х| = 0. Предположим, что все хsвещественны и различны. Тогда систему (2.1) можно представить в виде
Z，s = “％Zs+“Zc(Zi, ..., Zn) + p.aZs2(Z, е, Л р.) (s=lП)
где 厶，...,之门一линейные формы от 〃力...,un.
Возьмем функцию Ляпунова в виде
片 s= 1
Тогда
卩 £ ^SZ^ + ^ S Z$Zsi + fX2 s ZsZ§21s = 1s= I
Полагая z$ = p cos(ps, будем иметь
W' = ~p2 W &cos2(ps + |ip3Hi(cos(pi,…，coscp», p) +
+ 户p”2(p, e, t, COS(P,卩)
Очевидно, что на сфере V = р = р-1~е, где 8 сколь угодно малое положительное число, произведение VK меньше нуля.
Отсюда следует, что все |us| V ^~е для любых f в интервале 士 8, если только us (/0) удовлетворяли этому условию.
Аналогичные рассуждения можно провести для случая кратных и комплексных корней.
Может оказаться, что уравнения 仆厶(厂/电，...,г产п ) = 0 имеют только единственное решение rs0 = 0 (s = 1,…，п). Тогда многочлены 厶s(r/也，..., rn2ftn) сохраняют определенный знак для любых значений г^., …，rn. Это обстоятельство будет указывать на то, что система (1.9) не имеет ограниченных колебаний типа (1.12).
Если уравнение |psfe — б^丸乂| = 0 имеет корни с нулевыми вещественными частями, то, как было уже сказано, вопрос о существовании стационарных колебаний членами первого порядка в отношении 卩 не решается. В этом случае систему (1.3) необходимо преобразовать по формулам
г8 = ^s* + «8о + H«si + H2«sa + …+“&"$&
—_—— )
Zs = J* + 4o +卩"si + l"s2 + …+~а%а
разумея под u8k и usk непрерывные периодические функции, определяющиеся формулами, аналогичными (1.5). В уравнениях (1.6) в результате замены исчезнут все функции Ф^* (/) и Ф^*(/) до ^ ^ а.
Производя замену
^* = ^ + ^1(^1*. ^лг, -м ^*,0 + …+
+ ^%а&!\ …，CJ, 1А …；「，0(3.2)
и определяя функции 以&丸 при 1 & А《 а, как это было указано в § 1, мы получим систему уравнений
182
整="/厶1g产，…，rЛ+и^в2^!2，…，Г/) + …+
=儿+卩Q1(后2,…，r/)+闻82(Г*Г/)+…+
+ NaTQsa(ri2,・・・"J)]+NQ+l(・・・)+ …
Стационарные колебания определяются из решения алгебраических уравнений
厶=% (卩厶1+1厶82 + …+^^«0) = 0
Дальнейшее исследование этих решений ведется согласно § 2.
Решения rs0 (s = 1, ..., п), найденные из уравнений Ls = 0, будут отличаться от интегралов системы (3.3) на величину порядка малости р?-8 для любых значений t в интервале 土 оо. Доказательство этого утверждения аналогично доказательству, изложенному в § 2.
Рассмотрим теперь систему (1.1), предполагая 明虱。=厶丸⑴ 三 О для k = 1, 2, ...» а %(£) и 屮§0(。не равны тождественно нулю. Если Xs не равны целым числам, то система (1.1) имеет только одно периодическое решение с периодом 2л, обращающееся в порождающее при 卩=0・
Возникает вопрос, при каких условиях система (1.1) имеет другие стационарные ограничения решения, а также решения сколь угодно близкие к периодическим, почти-период которых сколь угодно мало отличается от 2л, и не обращж>щиеся в порождающие при 卩=0.
、Для решения этого вопроса составим уравнения возмущенного движения, приняв за ведущее движение периодическое решение системы (1.1).
Это решение будет иметь вид
焉(f) = *0(分 + 卩/(/)+ … 7s (/)=%(/)+以力⑴+ …(4.1)
Полагая % = %(%) + 風*, 9s = 4s(%) + %*, будем иметь
最*・=一儿%*+卩x51*(自1*，…，V，n1*>加*, t)+
+ 陷Q*(守，…，EJ, Th*，…，nJ,(42)
%*. =%£* + 卩匕1*(费*tA %*,…，%*, /) +
Если в правых частях этих уравнений сохранить только члены первого порядка в отношении 己 J и %*, т。они представят уравнения в вариациях Пуанкаре, которые позволяют исследовать общее решение в окрестности, сколь угодно близкой к решению xs(Z) и 弘⑴.
Если же начальные вариации |s0* и t)s0* считать произвольными, в том числе и сколь угодно большими, то пренебрегать членами выше первого порядка мы уже не имеем оснований.
Есе» «хлал^всп, '«а р^тенне *8《今状？8«) kq^qto&hhqo ооглэхшо ypasud ниям в вариациях, то возникает вопрос, будут ли некоторые или все величины £*,刀『 стремится к бесконечности при f-> 8 или все &/, r]s* будут стремиться при / -> оо к некоторым новым ограниченным (стационарным) колебаниям. Аналогичный вопрос возникает и в том случае, когда решения %s(/), %(/) будут устойчивы для возмущений gs0* и t)s0* достаточно малых.
Для выяснения этих вопросов преобразуем систему (4.2) к виду (1,9). Такое преобразование возможно, если функции XJ и ysl* удовлетворяют некоторым известным условиям. Правые части этой системы будут обращаться в нуль при 勺=“ =...=% = 0. В том случае, когда вопросы решают- 183
ся членами первого приближения в отношении 卩,нам необходимо исследовать алгебраические уравнения
А厶1 (rj,…，г/) = 0 (s = l, ...t л)(4・3>
Если окажется, что эта система уравнений не имеет вещественных корней, кроме 勺=& =…=% = °，то, очевидно, система (1.1) не имеет стационарных колебаний, кроме тех, которые описываются периодическим решением. Если же система имеет вещественные корни Гю,..., гпо и если при этом корни определяющего уравнения, соответствующего системе (2.1), имеют отрицательные вещественные части, то указанные стационарные решения существуют и они будут устойчивы.
Очевидно, к этим колебаниям будут стремиться возмущенные периодические колебания xs(0 и %(/), если последним соответствуют специально подобранные, достаточно большие, начальные возмущения |в0* и т)з0*. Процесс перехода от периодического решения к стационарному с точностью до членов первого порядка в отношении 卩 определяется из уравнений
空=%" б, •••, Г/),蹩=儿 + 闯si (吟,../J)
Если окажется, что система уравнений (4.3) допускает не одно, а несколько положительных решений r^k\ 厂20(制，… rn^ (^ = 1, …,и), то каждому "му решению будут соответствовать свои стационарные коле* бания. В тех случаях, когда вопрос об устойчивости стационарных колебаний членами первого порядка не решается, необходимо исследовать систему (3.3), ограничив правые части членами 卩。.
Все вышеизложенное остается справедливым при условии, нто числа %$ не удовлетворяют соотношению (1.2).
Исследуем теперь случай, когда такие собтношения имеют место.
Предположим, что для совокупности чисел k19 ...» knt д»..., qn имеют место выражения
』(財—qj^*y + (p—2a—1) Xs = My(5.1 У
Здесь nv равно целому числу.
Отметим, что каждому целому числу nv будет соответствовать число —nv. В том случае, когда среди чисел Xs (s=l, ..., п) встречаются целые,, соотношения (5.1) всегда имеют место.
Будем предполагать, что, несмотря на наличие целых значений %» система (1.1) при 九虱。=屮 §虱/)三 0 (力=1, 2,…)имеет единственное периодическое решение с периодом 2л, стремящееся к порождающему при 卩 f 0. В этом случае ее можно преобразовать к виду (4.2). Дальнейшее преобразование этой системы к виду (3.3) сопряжено с некоторыми затруд. нениями, вызываемыми наличием соотношения (5.1).
Мы увидим, что система (4.2) при условии (5.1) не всегда преобразуется к указанной форме. Полагая GJ = |s* + гт)5*, gj =己广一i%*, будем иметь
L = &b+闯一二,U% 寻…• JJ, 0 +
已%^一的讣+卩臨y中,…,b,仔，…片7A#)+''
+评aye/，
Правые части этой системы обращаются в нуль при JJ = &* = 0.
Заменяя J* и 詳* по формулам
图* =j+"41值*，…，к*,己*,二，爲*, 0 +
+"乜2區*，…，諸，守，…,邑*,/)++
+ ~а%а&*，…,Z J, fi*, •，北*, f)
b=已+应1 @*,…,%*忑*,二,日Д 0 +
+ 出% &*，…,CJ&*，…，£*,/)++
+呼成a(£*，…，以*,b，…，V, 0
и руководствуясь соображениями, изложенными в § 1, мы для определения функций u8k получим систему уравнений (1.7а).-
Нам необходимо рассмотреть только те уравнения, у которых выраже* ния, стоящие в квадратных скобках, равны целому числу г1V.
Запишем эти уравнения в виде
-Ё^ + 恤]%严 +4严《) = %**(/)(5.3).
В уравнениях (5.3) функции 4产 являются коэффициентами многочле» нов Qsl*. Пусть наивысшая из форм, встречающаяся в этих многочленах, равна Ml тогда мы должны рассматривать только те целые значения nvl> которые определяются совокупностью значений (klt ..., knf 外，..,, ^п), удовлетворяющих неравенству
As=i $«=1/
Представим функции 4严(/) рядами Фурье
4i**(f)= S A^,ke1^
Л = —8
До сих пор мы не накладывали никаких ограничений на постоянные- А819к**- Предположим теперь, что коэффициенты, отвечающие индексам k = nvl, равны нулю.
Тогда система (5.3) будет иметь непрерывные периодические решения с периодом 2л при значении 8$严=0
4i**=_j yz JlLLetkt +Ha^vi')emvli(5毋
饱。8后一%1
Здесь Hsl(n^—произвольные постоянные.
Знак ' указывает на то, что члены с индексами k — 九网 отсутствуют.
Функции ws2** определяются из уравнений
_-^l+Mv2 42**+4а**(£)+ 厶***(%[**, t) = Bs^(5.5}
где Лв2**(0 一 коэффициенты многочленов Qe2*, a Le2**(wsi**, f) 一 известные коэффициенты, появляющиеся в выражениях при 卩久 Эти коэффи* циенты зависят от произвольных постоянных Н8^^.
Предствим выражения А82** + Ls2** рядами Фурье
4，** (/) + 厶严(%**, /)=生eё С絃 田^(5.6>
Коэффициенты Ce2，h** зависят от произвольных постоянных Hsl(nvi), Определим эти произвольные постоянные из уравнений
(5.7>185(5.7>185第” =0
(5.7>
185
(5.7>
185
Будем полагать, что уравнения (5.7) позволяют определить все /О Отметим, что в некоторых случаях определение постоянных Hs^nv{^ не представляется возможным. Такие случаи имеют место, когда некоторые из уравнений (5.7) обращаются в тождества.
Определив постоянные Я81(Пу1^из уравнений (5.7), мы можем найти функции ws2, соответствующие всем числам nv2, при значениях &产=О в виде
Необходимо отаетить, что в общем случае показатель M2t определяющийся наивысшей из форм, входящих в выражения при(х2, которое равно Qs2* + 厶2, будет более М^ Поэтому мы должны учесть все целые числа, представляемые равенствами (5.1) при условии
1 w( X汽+工叁)wm2 \s = 1 s= 1/
Вследствие этого мы на коэффициенты форм Qs2* будем накладывать условия, аналогичные (5.7) для всех чисел nv2. Тогда уравнения (5.5) определят все us2** при значениях Bs2** = 0 в виде непрерывных и периодических функций с периодом 2л. Аналогичным образом мы определим все функции а『・
Преобразованная система после разделения на действительные и мнимые части и замены 扇=乙 cos 9S, % = r& sin 0S примет вид (3.3). Отае- тим, что в рассматриваемом случае правые части преобразованной системы будут обращаться в нуль при fi = г2 — ••• = гп = 0.
Определим стационарные колебания этой системы с точностью до членов 卩Z Для этого достаточно рассмотреть систему уравнений
.а
曾X能厶hG，…,Г/) at也=1
蹩=4 + t ^QSk^，…,rJ) dt
Стационарные колебания определятся из решения алгебраических уравнений
a
% 2 ^-'^(г?，…，rj) = o(5.8)
определим коэффициенты функций usk в соответствии с приемом, изложенным в § 1. Предполагая, что 〃；** не зависят от времени, мы получим систему уравнений
岑=他以+唸2瓦；*а忑户也忑)%..总爲海+ ...十
at
+W4:福飞毋卢(気№总爲冲+“a+1(...)+…
Подставляя в эту систему
自8 =扇+点%, Q = £ - '%, Ash =/ 饱 +»九在
получим
普=一%%+"/£c；*图2+%2户…g/+"/)/一
-^Ь：Г^ + %2卢…善/ + n3甸 + …+ 呼 点 w a；； * &2 +
+ %№••• &2+%2冲一%2Ь:；*(守+%2)工.(自/+小力]+ +呼+1 (...)+...
野=% £ + M/ W a;(型+%2卢…隽/ + %2户+
+痂£成"、(守+ "卢…&2+加唄M+ - +
+ 432。；：*區2+M卢…(EJ+加У” +
+ 短 W 成 * (时 + %2卢• • • &2 + %2冲 1 + 呼 + I•
Полагая 己§ = rs cos 0S, r)s = rs sin 0S, будем иметь
普=觴2a;俨…7"+…+宀na；；｝叫…，产П+
+ 呼+1 (...) + ...
rs~ =儿7 + 卩/ Wb：：*/■产，…/■『/++
at
+ 卩a 々 £ b；；* r 产a …r『J +咿+ 1 (...) +
Стационарные решения автономной системы (1.1) с точностью до членов jia определяются из уравнений (6.2).
К виду (6.2) приводится любая автономная система (1.1), если между числами Х1( ..., Лп не существует соотношений (1.2). Если такие соотношения существуют, то при известных условиях, которым должны удовлетворять выражения Х§^ и Ysk, систему (1.1) можно преобразовать к виду (6.2), в том числе, когда ls являются целыми числами.
§ 7. В заключение отметим, что способ построения периодических решений с помощью функций Ляпунова, изложенный в главе I, представляет некоторое обобщение классических методов Пуанкаре и Крылова—Боголюбова [5]. Этот метод позволяет отыскивать периодические решения, как аналитические, так и неаналитические в отношении 卩.Если исследуемая система такова, что вопрос о существовании периодических колебаний решается членами первого порядка в отношении р, в правых частях системы, т. е. амплитудное уравнение 上式卜)=0 не имеет кратных корней и не обращается в тождество, то периодические решения будут аналитическими в отношении М и результаты, полученные этим методом, в качественном отношении совпадают с результатами классических методов. В этом случае вопрос о существовании периодических колебаний решается членами первого порядка в отношении |х в правых частях системы уравнений.
При наличии кратных корнейуравнения L^V) = 0 или в случае L^V) ~ 0 метод функции Ляпунова дает возможность получить необходимые и доста-
187
точные условия существования периодических решений, неаналитических- в отношении 卩，по членам высших порядков правых частей системы уравнений и построить эти решения.
Этот метод позволяет также отыскивать периодические решения и в тех случаях, когда система уравнений при 卩=0 не обращается в линейную.
Вопрос об устойчивости периодических колебаний решается методом без привлечения уравнений в вариациях.
Метод функций Ляпунова для систем с п степенями свободы при отсутствии внутреннего резонанса （SmsXs # Е） н при условии, что уравнение I р$丸一6sftx I = 0 не имеет корней с нулевыми вещественными частями, дает результаты, в качественном отношении также совпадающие с результатами метода Крылова—Боголюбова.
Метод функций Ляпунова позволяет отыскивать стационарные одночастотные и многочастотные колебанияи при наличии такого рода корней и решать вопрос об их устойчивости. Решения в этом случае будут неаналитическими в отношении 卩.Этот метод применим и в тех случаях, когда имеется внутренний резонанс, т. е. когда SmsXe = £.
Такого рода системы рассматривались в § 5 при весьма существенных ограничениях. Мы предполагали, что в правых частях отсутствуют резонансные члены. При таких же ограничениях рассмотрена эта задача в работе [в]. Это предположение достаточно, но оно не является необходимым для определения стационарных и периодических колебаний.
Покажем, как с помощью функций Ляпунова доказывается существование стационарных колебаний, в том числе и периодических, в случае когда ^т^&=Е, а правые части системы содержат резонирующие члены.
Предположим, что ^ = 12 = ... = Xfe — X, а система уравнений имеет вид
^1* = —%% + rXu （х「…，м，у19 ..., ”，f） +
+ №x12（%1，冲,弘.%:f） + •••
%，=版 1 +H^11（^1>冲，弘，…，以，0 +
+ 评？12 （"1，…，冲，y11 •••> %, f） + …
”J =—包$ + ”一 1 爲—1 + rX^i （/,…，xkt »1,…，以，/） +（7.1）
+炉X$2 （%,…,%丸,场,…,1/a> 0 + •.■
弘，=版6 +（Js_ 1次_ 1 +ny81 （%1，…，"丸，力，…，У丸，f） +
+ n2ys2 （*1，…，%丸，P1，…，i/a» f）…
（S = 1, ...» 左）
Не уменьшая общности задачи, можно положить
O"i —— Qg ==・.В 卜—1 == X
Произведем замену
石=£ cos Xi + % sin 入力 力=久 sin W—% cos Xt
xs = ^scosM + т）вsinU + b^i cosM + 小一] sinM（7.2〉
ya —扇 sin W——1% cos %t + Es_ 1 sin %f——T|s_ I cos Xf
В результате будем иметь
Ен =（I 曰口 （Ei,…，E&, %,...,刀左，f） + •••
Л1* =卩h口 （аu…，自々，小，…，刀A，/） +…^
^8* =觴S — 1 + 卩日S1 （^1»己々，％,…，必，f） + …
Н九刀s-1 +NHsi （£，…，“小，刀丸，/）+…
Функции Bsh и Hsh для X целого будут периодическими функциями / пе« риода 2л, для X иррационального они будут почти периодическими.
Заменим переменные |в и t)s на гв и ps согласно равенствам
as = Г$ + 以% (e1，…，еa，刀 1,…，外丸，f), Л8 ~ ра + 卩и8 (El，・••，E丸，%，…，刀丸，‘) (s = l,k) (7.4)
где us и us — многочлены, коэффициенты которых подлежат определению.
Эти коэффициенты можно определить так, что преобразованная система примет вид
□・=卩a1(厶，・・・"丸，pi，..., Р丸)+
+ 卩2 R12(R,…，r丸,Pl,…，P丸，0 +
Pl' = H^511 (^1» •••» Г丸，Pl，…，Ph) +
+ N2P12(Г1,…，Гa，pi,…，Pa，f) + …(7 5、
/"$・=入片-1+N凡1(八，…"丸，Pi,…，P0+'.'
+ 户 Rs2 (г1，…，г丸，Pl> • ••» Р丸，0 + •••
PJ =入ps-1 + 以P$1 (Г1,…，г丸，Pi» •••> р月) +
+ 卩2 Psa (^"1 > •••» ^k^ Pl，…，P丸，')+ …
Рассмотрим уравнения
R1I (г 10，…"Mb Рю» •••» Pho) = 0, Pll (r 10» •••» r丸0, Р10» "•> pfeo)=。
Ms—i, о + 卩R$i (々о,…，r丸o，Pio，…，Pao) = 0(7・6)
九p$— 1, 0 + 卩Pgl (尸10，…，尸ho> P10> Pho) = °
Из последних 2(々一1) уравнений определим rsOt ps0 (s = 1,…，k — 1) через《о, pft0. Подставляя найденные значения в первые два уравнения, получим
Rii* ("о. Pro,卩)=0,Рц* (г丸％ Р/ю» Н)~ 0
Если эти уравнения имеют вещественные корни, то, подставляя их в (7.4), определим %(/) и %о(力 Подставляя значения 三的“)и т)в0(0 в (7.2), получим решение для xs0(0 и ysO(0.
Если X целое число, то Зо(。и r)s0(/), а также xs0(/) и 勿#) будут периодическими функциями с периодом 2л.
Периодические решения для xs0(Z), ys0(0 можно получить и в случае ^ = а/0・ Для этого в системе (7.1) положим f = 0t. В результате получим новую систему, аналогичную (7.1), в которой число X заменится на целое число а, а период функций Xs； и Ysj можно считать равным 2л.
Если же X иррационально, то решения будут почти периодическими.
Руководствуясь способом построения функций Ляпунова, изложенным в § 2, можно легко показать, что для устойчивых колебаний будут иметь место неравенства
У—a|VQ-：,IPs—PsolV 叱 8
дде е—сколь угодно малое положительное число для любых значений f в интервале 丄оо. Из последних неравенств можно сделать заключения, что модули разностей
% «) —% «)丨 V 健 г,I 弘(/) — %о (川 V Q т
для любых значений f в интервале ±оо.
Последние заключения нельзя распространять на решения, полученные для автономных систем в главе I, и на стационарные решения неавтономных систем, полученные в предыдущих параграфах. Из неравенств
ke—Gol<>1-8
не следует, что модули разностей
也⑴一/0⑴I，|玖⑴一%0(川
где
Xe = rscos es, y8 = rs sin es, Xs0 = rs0cos 9s0» ys0 = rs0 sin 0^. будут менее(xi-久 Эти модули могут достигать значений 2 |xs0| и 2 \у^ сколь бы высокие приближения по 卩 мы ни брали.
Таким же свойством обладают решения, полученные классическими методами.
Мы рассмотрели резонансный случай для кратных корней 士 /Л, но метод функций Ляпунова применим также к исследованию нелинейных колебаний, описываемых системой уравнений вида
xj =左^2[ Р§丸尤左 + rX^i (%],…，尤#)+№Х§2 优 1,&i，/)'+…
(5=1, ...» %; % = ?n + 2g +期(7.7)
где p8k — постоянные величины, a X8j — многочлены сколь угодно вы* соких степеней с периодическими или почти периодическими коэффициентами.
Уравнение \p8h — 6sfex| = 0 может иметь /и нулевых корней, 2g чисто мнимых и п корней с отрицательными вещественными частями. Чисто мнимые корни могут быть целыми, рациональными и иррациональнымикак простыми, так и кратными с произвольным числом групп решений.
В этом общем случае легко доказать существование стационарных и периодических решений, если система (7.7) допускает их„ а также исследовать вопрос об устойчивости этих колебаний..
Л итература
力，力.Андронов, А. А, Витт, С.包 Хайкин. Теория колебаний. Физматгиз, 1959.
Д. М. Ляпунов. Исследование одного из особенных случаев задачи об устойчивости движения. Собр. соч,, т. II. Изд-во АН СССР, 1956.
А. М. Ляпунов. Общая задача об устойчивости движения. Собр. соч., т. II. М.、Изд- во АН СССР, 1956.
Г. В. Каменков. Об устойчивости движения. С6； «Тр・ Казанск. авиац. ин-та>г 1939, № 9.
Н. Я. Боголюбов, Ю. Л. Митр о полъский. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М., Физматгиз^ 1963.'
И. Г. Малкин. Некоторые задачи теория, нелинейных колебаний. М.» Изд-ва тех* нико-теоретич. лнт-ры, 1956.
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ
ПЕРИОДИЧЕСКИХ ДВИЖЕНИЙ
В статье исследуются на устойчивость интегралы систем дифференциальных уравнений вида
п
Xg*±%т； 0(s=l,孔)$(0.1)*
где q$百一непрерывные периодические функции f с общим вещественным периодом 2л Функции Xs представляются степенными рядами в отношении переменных %工,...,хп с периодическими коэффициентами того же периода 2зх.
Обыдно задачу об устойчивости периодических движений рассматривают как отличную от задачи устойчивости равновесия или установившихся движений. Так, в частности, трактуется этот вопрос в работах Пуанкаре и Ляпунова.
Здесь доказывается, что в случаях несущественно особенных задача об устойчиво-* сти периодических движений всегда приводится к задаче устойчивости равновесия.
В том случае, когда система (0.1) линейная, т. е. Х&(хь ...,力耳；/) = 0, это предположение доказал Ляпунов, преобразовав систему линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами к системе с постоянными коэффициен-- тами 円.
Рассмотрим общий случай, когда в системе (0.1)'
£х<), ХМ=£С*1 …％)⑺八底... к/»
еЗ(与…后") (，) =2 旬产1 …后Q e’” = £ (。3/%…/)e。$0 +
р = —сор= 0
+ 6sp(*l -*n)sin pf)
Преобразованием Ляпунова систему уравнений (0.1) всегда можно привести к виду, в котором все коэффициенты линейных частей будут постоянными I1].
Если характеристичное уравнение системы (0. 1) имело m корней, рав* ных единице, q пар сопряженных мнимых корней, равных по модулю единице (корни вида vs = е±2市％), и р корней, по модулю меньших единицы,, то определяющее уравнение преобразованной системы будет иметь т нулевых корней, 7 пар чисто мнимых (корни вида 土 iAJ и р корней с отрицательными вещественными частями. В этом общем случае систему уравнений! (0.1) можно представить в виде
У8* =也']gsk yh + y8 (%，…,уn1» 2鎔…,Zp； /)
Zj* = .У】2»+ Zj (g「Уп&； zi> Zp； t)
(s=l, ...» %; ni = m-^2q\ /=1, ...» 卩)(1.1))
Функции Yan ZjB системе уравнений (1.1) представим так
匕=匕(°)(勿9“jf) + S Л*(Z1Zp；f)%M ... Ung +
+ y81(Р丄，…，f/^i； Z1，…，Zp； /)
Zj = Z^ (yt%,；/)+ £ Qj*(Zi,…，Zp；/)%耳…Уп：м +° ⑵
+Zji(%,…，Уп^ч Zi,…，Zp； /)(к=版 ++3J
匕(”=2 Y^{yi，…，处,；/),z^= ^г^(уъ 处,；f)
Здесь Р§* и Qj* —линейные формы переменных 万，...,гр; верхний знак * в § 1, 2 заменяет индекс ^1(々％・
Уравнение |g$月一68cl =° имеет корни с нулевыми вещественными частями, а уравнение \р^ —6^ х| = 0 с отрицательными. ,
Предположим, что правые части системы (1.1) удовлетворяют следующим условиям.
Формы Z,*)三 0 для 归《М
Линейные формы
р§(闻…/J三о для 自 + ... + 瓦］&N
Формы Y^ для 々 W N имеют постоянные коэффициенты. Если при выполнении этих условий для системы
Уз = N gsh Уи + N 匕⑷(勿，…，f/%)(s=l,…，П1)(1.3)
论・1Л>2
найдена функция Ляпунова или Четаева и знак производных этих функций определяется формами не выше N-ro порядка независимо от форм более высокого порядка, то соответствующие функции для полной системы определятся в виде
展乙仇，…,Уп^ + V^, ...,zp)(1.4)
где Vi — функция Ляпунова или Четаева для системы (1.3), а У? определяется из уравнения
工皆出 Zi+ ... +PjpZp) = M(z^+ ... +zj)(1.5)
Докажем это утверждение.
Пусть V\ (рн ..»,уп) — определенно-положительная функция, отвечающая системе уравнений (1.3), и производная ее V/ определенно-отрицательная. Предположим, что на знак этой производной не влияют члены порядка более высокого, чем N. Выберем функцию 丫纟 из (1.5), считая величину М <0.
Производную функции V в силу уравнений (1.1) при выполнении условий 1), 2), 3) можно представить в виде
吟 ％'(%,…，％J + M(zJ+ ... +zj) +
+E乳享+i……+
ОО+K«?+/s*(Z1，…，Zp；f)川，ОО+K«?+/s*(Z1，…，Zp；f)川，…川切+…川切+
ОО
+K«?+/s*(Z1，…，Zp；f)川，
ОО
+K«?+/s*(Z1，…，Zp；f)川，
…川切+
…川切+
+ 2 『 匕 1 (%，…，упо Z1,…，Zp； /) +
1 °Nj%=N+1
+ к'】Qj*(Zi,Zp； f)弘 1 • ■ • %? +Z〃 ®i，Ул*； Z],Zp； f)]
(K = ©++%)(1.6)
Этому выражению можно придать вид
『=%'(弘，…，y%)+m⑵2++%2)+日⑴+日(2)
日⑴= 士 R*…
日")=£三j金马刃L打(弘，…，y%；巧,…，2p；f) (K = B+…+%J
Для достаточно малых значений у$, г； знак производной У7 определяется знаком выражения М (zj 十 …+ 2р2) независимо от 3(2\ Выражение же 日(1)не изменяет знака V^ Таким образом, знак Р' определяется знаком выражения
V^+M^+ …+г/)<0
Функция V (уь Уп】；？1, ..., Zp) (1.4) является определенно-положительной. Следовательно, интегралы системы (1.1), если правые части ее удовлетворяют условиям 1)—3), будут асимптотически устойчивы.
Пусть теперь система (1.3) такова, что ей отвечает функция Четаева 匕(У1，…，Un)* Тогда область %>0 будет заключена внутри области 匕‘>° и это свойство функции У/ определяется формами, порядок которых менее или равен N, независимо от форм более высокого порядка.
Возьмем функцию Четаева, отвечающую системе (1.1), в виде
卜=吟(弘，…，Р舟+/⑵，…，％)
Здесь У?(2i, ...» ?р) определим из уравнения (1.5) при М > 0.
Производную функции V в силу уравнений (1.1) при выполнении условий 1)—3) можно представить в виде (1.6). В отличие от предыдущего случая функции Lij могут и не обращаться в нуль при 丸=…== =?i =…=?р = 0, так как функция 吟 может содержать линейные члены. Обозначая значения функций 厶仃 при нулевых значениях ys9 引 через L^ определим число М > 0 так, чтобы выражение
и⑵，…,Zp)= M^+ ... +zj)+ 2 2 ZjZ儿屮)
I /= 1
представляло определенно-положительную квадратичную форму. Тогда
『 = %'(%，…，У%)+и(21，…，2р)+日⑴ + 日⑶
日(3)= ± N Z»Zj厶戸)(%，…，%J Z1，…，z ; Z)
2=1/=1
где 厶订<1) обращаются в нуль при 勿=...=уП1 =勿=...=zp = 0. Очевидно, что выражение Е(3)при достаточно малых yst Zj не изменяет знака U(4,…，？р), а 日⑴ не изменит знака У/. Следовательно, в области Р > 0 функция Vr представит знакоопределенную функцию всех переменных Pm Zj. Так как функция 丿纟 V 0, то область V > 0 заключена внутри обла- 13 Зак. 3126193
сти У' > 0. Таким образом, V является функцией Четаева для системы уравнений (1.1). Таким же путем путем для системы (1.1) можно построить функции V a W, удовлетворяющие теореме Четаева [а].
Докажем теперь, что любую систему вида (1.1) можно преобразовать в новую систему, правые части которой удовлетворяют условиям 1)——3). Задачи же об устойчивости по отношению к переменным системы (1.1) и переменным преобрааованной системы будут эквивалентны.
Введем замену
Zjн G, + " (%,…，д(； •)(j=l,…，Р；孔:i = m + 2g)(2J)
где и/ представляют N первых членов рядов 〃力 удовлетворяющих уравнениям
duj 7г、
—+ ^ ~~ Ign У1 + ••• +gs% Упх +匕(％,…，Рм； 〃i，…，〃卩；/)1 —
=5 Pnui + Z}(yi，…，Упй %,…，«р； 0(2.2)
Ряды Uj в общем случае будут расходящимися.
Рассмотрим два возможных случая.
В первом случае результат замены переменных zj по формулам (2.1) обращает тождественно в нуль все формы У(? (z/n ..., уп1; /) для значений 论 V N + 1, как бы велико число N не бралось.
Это возможно лишь в том случае, когда
?8 (%，•*•‘ 场〔；〃i，…，〃р； 0 ^=。(2*3)
где 〃)一 ряды, удовлетворяющие системе (2.2). Этот случай является существенно особенным. При исследовании этого случая будем рассматривать преобразование
Z, = gj + 〃/(У1$ •••> Уп^ 0 (j = 1,…，р; п^~tn-\~2q)
Это преобразование возможно лишь тогда, когда ряды, определяемые уравнениями (2.2), являются сходящимися. Докажем следующее.
Теорема /. Если система (1.1) такова, что:
уравнение |gg = 6sAv | = 0 или не имеет кратных корней, или при наличии кратных корней каждому такому корню отвечают столько групп решений, какова его кратность;
Между корнями уравнений \р^ — б^х | — 0 и \gsk— 6sfev | — 0 не существует зависимостей
士 饵已一乂i = IE,i = / — 1 (s = 1, ..., p)
где £ — любое целое число, включая нуль, а т8 — целые положительные числа, удовлетворяющие условию 加工 + ... + тПх > 1.
функции У*8【f/i,…，Уп^ 4(必，…，g%; f),…，Zp (f/工，…，Уп^ 0 /] ^= 0.
Тогда существует единственная система голоморфных функций z『=2/(^1, ・・・, у» ; f), периодических по 力 удовлетворяющих системе
4 嬴(gs%+ …+gsniyni +Уз) = РЛ^1+ …+pjp 2p+Z>
(/ = 1, .. , p)
=Ум = 0.=Ум = 0.и обращающихся в нуль при % =... 194
=Ум = 0.
=Ум = 0.
Преобразуем систему (1.1) к каноническому виду
£.=匕£ + 日5(統办，0，%' = %%+%&，Q，0
ПГ = к/ 力 + о. 1 ”一 1 +Н/ (飲，％")
(s, k -= 1,.孔i； i ~ 1,…，p; j = 2,…，p)(2.4)
Рассмотрим систему функций \ = П_/ (£,…，自％ ； %), удовлетворяющих системе
2 生 Vs £ =•) +
+ "i⑴(Ei,…，厶J п" пР； f)-〉譯日s(2.5)
~ + 2 '^•匕圆=*/用+0」-1 切-1 +Hj⑼&/1； 0 +
— 2日s(/=2, P)
修⑼&打f)=w%*(/)£%…匕加
Hj⑴(21,f)=
3i++ 论a〉• 2;自 + …+ 爲* +孔1+ …+^р > 2)(2.6)
Здесь H，D (/ = 1,…，р) обращаются в нуль при % =...= 加 = 0.
Представим решение системы (2.5) в виде
力Пёa广炉…仆"(2.7)
где of …仆J (/)—периодические функции f с периодом 2л, подлежащие определению. Отметим, что в результате подстановки 切 в выражения Bs последние обращаются тождественно в нуль.
Подставляя значения 刀丁 в систему (2.5) и отождествляя коэффициенты при одинаковых выражениях 自工点” ... g„/ni, получим линейные дифференциальные уравнения для определения коэффициентов a/kl "* kn^
a^+h^a^ = Д* +Р^(2.8)
勺+用产0/=0/-1 W-i* + 4*+Pj*
(/ = 2,…，p;以 + . • • + 也冷］=/； / = 2, 3
где * заменяет индекс 但匕..., ^П1), a h^ =自％ + ... + knivni ——允尸 Выражения A j* представляют многочлены от коэффициентов
4(飯…丽j….лр)⑺ и различных степеней тех а产，у которых 自 + ... + + 瓦1 & 2 — 1-
Руководствуясь соображениями Ляпунова, изложенными в ［】］(§ 35, §42), докажем сходимость рядов (2.7)."
Определим функции а；* для всех значений klt .,.,归冷尸 удовлетворяющих условию 自 + ... + knx — /, считая что все а；*, у которых 履 + …+ 自］& & / — 1, уже известны, в виде
f+ 2门
。】* = £? ” f 内(4*+PJ)力
i *t f+2冗
句*=了叫'二1 J戒尸("g一* +4*+p产)力
(j—2> ...» p)(2.9)
13*195
Пусть Bj есть наибольшие значения величин
l^i vi+ ... +%］%】—"/
для всех значений ^s, удовлетворяющих условию 自 + … + 々％ ^ 2, а величины 〃工*, ..., Up* представляют наибольшие значения модулей тех @i*,..., @р*, для которых 々i+・..+ kn^ / — 1. Обозначим наибольшие значения модулей А/*(/) через а；*, а через р『察 наибольшие значения модулей выражений Р^9 если в последних заменить значения А^-кп^ - пр) (/) наибольшими значениями их модулей, а а^ для ^i + ... + 归忆 & = I ——1 на 〃产
Из выражений (2.9) получим наибольшие значения модулей тех о^*, у которых 也 + …+ 瓦］==I.
〃i*=Bi(ai* + pi*),〃产=当(|“・一1 |u/_i* + a/ +p/)
(j = 2，…，p)(2.10)
Очевидно, что
"产…%,)分|a产叫⑸十…+3「4 h1.…，p)(2.11)
Давая / значения 2, 3..., определим наибольшие значения модулей всех коэффициентов, входящих в ряды (2.7).
Рассмотрим теперь систему уравнений
装=当［尸卅)图….，EQ + 凭⑴自，…，小装，…，务)］
匕=8"II引一1 +尸尸)图，…,統)+尸川偽，…,三%;备，…，鑑］
(/=2р) (2.12)
где 户？(瓦E/J;巳⑴(Ei …，*Ср) (/ = 1p) получены из H/0)(ti,..., &,；6 и Н)⑴因 ％J Ci Ср； 0 заменой Л/ (0 и %j传1 …^产…皿力⑴ наибольшим значением их модулей.
Решение этих уравнений представим в виде рядов
G =e〃/自Ji …瓜41(/= h ...» p),(以+ …+储户2)(2.13)
абсолютно сходящихся, по крайней мере, для значений 118\ достаточно малых.
Легко обнаружить, что коэффициенты 〃)* определяются по формулам (2.10).
На основании условий (2.11) можно утверждать, что ряды (2.7) являются абсолютно сходящимися, по крайней мере, для достаточно малых значений I ^з |. Переходя к исходным переменным ys, Zj, получим выражения z；= —Zj(ylt ...,乡％; /) в виде абсолютно сходящихся рядов, по крайней мере, для достаточно малых значений | уа
Возвращаясь к системе уравнений (2.2), можно утверждать, что ряды Uy Q/i,…，Ум； t) являются абсолютно сходящимися при выполнении условий доказанной теоремы.
Система уравнений (1.1) в результате преобразования
Zj =原 + 〃J(弘，…，f//； 0
примет вид
Уз* = Е Ssk Ук + 工 PJ(У1，…，Уа； 0 С/ + У&1 (弘，…’Уа；白工，…，Gp； •)
(2.14)
』Рн & +』QjJf) &+Уп^ Ci> …p； 0
где Ра/ и Q/J — голоморфные функции уъ ..., уп» обращающиеся в нуль при уг = ... = уЛ1 = 0, а У/ и Z/ не содержат линейных членов в отношении 盡,务.
Линейной подстановкой с постоянными действительными коэффициентами первую группу уравнений системы (2.14) преобразуем к каноническому виду. Получим
£• = —4ns+ 2 PSj(.^i, Пг，с，0 &■+瓦(务，а，з, G, О /=i
%•=九s&s +£ Ssj(£, П" r“, /)и + &(Е"加 Гц,废，0(2.15)
N(玩f)
S" = Jjj工力 + 了［ Qjt &£)猿+ Z/& Т］；, Гц, G，f)
(s, /=1,…，g;也，N=l,…，m； /, / = 1, ..., p) Положим теперь
ppp
Es=/+ N%Xa = p/t +』ё/9a了(2/6)
『=1/=i/=i
где xs, ySJ Ph — новые переменные, a 〃力,%力 侬储—функции от &, r)〃 Гц и f, удовлетворяющие уравнениям
篙一^ (符% "L^ %以) = 一£ usi Pii — % %+PsJ— 2 "si Q"
— 2 VsiPii+K Usi+Ssj— 2 vsi Qi)
噜■—£ (嚮2 wmQu
*(s 1, ■ ■ <, g;也—1) > • m; /== 1, • • • * p)
Эта система уравнений удовлетворяет всем условиям только что доказанной теоремы. Следовательно, функции ysy, ws；,侬冗/ определятся в виде абсолютно сходящихся рядов с периодическими коэффициентами. Система уравнений (2.15) в результате преобразований (2.16) примет вид
Xs=— % % + Xs (々,川 Pu，装，，)，& =儿爲 + 匕(々,Уь рц> Со О
.р(2.17)
Pft — Ph (xl< Уь Рц> ^г> О' С/= 2 P，i 柒+ Zjl(Х“ 协,р“,柒，/)
(=1
где Xs, Уз, Ph，ZJ обращаются в нуль при ^ = ... = ^р = 0, а функции Х§, Ys и Ph, кроме того, не содержат линейных членов в отношении перемен-
НЬ1Х К, • • • j Ср-
Функцию Ляпунова, отвечающую системе (2.17), возьмем в виде
Ст
V= s（V+f/s8）+ S PU+取值，…，务）
где W — определенно-положительная квадратичная форма, удовлетворяющая уравнению
Производную Vf можно представить в виде
рр р.
/=1/=1 /=1
где 4ffj — обращаются в нуль при х§ =锵=Ph = J = 0. Следовательно, невозмущенное движение устойчиво.
Рассмотрим теперь второй возможный случай, когда в результате замены переменных Zj по формулам (2.1)
匕(i/l* j УП^ > 〃:1,…，"/?, /)=，匕1")(f/1，…，f/n丄；£)凄。
Пусть наинизшая из форм Ysl^k\ отличная от нуля, имеет порядок h& N. Если имеет место равенство h = N ,то можно поступить следующим образом. Взять функции и/ равными сумме N + К первых членов рядов, определяющих Uj (ylt...»{/Л1； 9， считая К сколь угодно большим числом. Тогда наинизшая форма FS1(A), имеющая порядок N, останется без измене- ния,а наинизшая форма Zj^ будет иметь порядок 州+K+L Следовательно, наинизшую форму Z〃(。)во втором случае всегда можем считать более наинизшей формы У51(й)на сколь угодно большое число К・
Покажем, как преобразуется система (1.1) в новую, для которой выполняется условие 2). Предположим, что в системе (1.1) Bcegs^ и р/$ равны нулю, за исключением
gll = vl> •••)Snt Л1 = vnp Р11 = *1，…,Ppp — Xp
g21 =。工，…,g/h/ii—1 =。人一1, p21 = б】,…,Ppp—1 n 6p—1
К такому виду систему (1.1) всегда можно привести с помощью линейных подстановок.
Введем замену
勿= %+£%*弘軌…弥广图 (1 &自 + …+瓦x&M s = 1,…，孔J
(2.18)
Здесь ws* — линейные формы от zx> ..., zp с периодическими коэффициентами, удовлетворяющие уравнениям
等+t筹的=
==——［归1 *i + .•. + (电——1)v8+…+ 々人 vnJ 〃s* +^e—1 〃^-А-—(2.19)
—(^2 + 1) %〃8sLi ①+1 …/卩—…
…一(瓦i + 1)Sl1 〃出…公，一1-1/汁1)+A* +吊*
Величины 尸§* (归1 + ... + 归冷］=6) — многочлены от тех и/, у которых 自 + …+ 焼1 W 6 — 1. Для 6 = 1 все 凡* = 0.
Эти уравнения позволяют определить 〃§* в виде линейных форм от zx, .... zp с непрерывными периодическими коэффициентами периода 2л.
Функции %* (%, ..., Zp； f) могут иметь комплексные коэффициенты, которые появились в результате линейного преобразования, связанного с обращением в нуль коэффициентов g§月 и 卩丁厶 Если сделать обратное преобразование, то для выражений
人*%齡…f/Y/
получим вещественные значения. Система (1.1) в результате преобразований (2.1) и (2.18) примет вид
%N
%，= t gsA 加 + В 匕产(％“А；о +
А= 1А > 2
+ h氢/⑷他，…,伫f) +浮+户1* &…G") X
(2.20)(2.20)X小厶…小)“+凡(th 加,；装,... еР ； 0
(2.20)
(2.20)
J・=£ p力&+ 2 z#a）,加,；/）+е，（％%,；电，…G；t） （K = ki +…+论皿）
Преобразования системы (0.1) к виду (2.20) в том случае, когда % — постоянные и Ха не зависят явно от времени, изложены автором в работе (3]. Для этого, чтобы система (2.20) удовлетворяла и условию 3), ее необходимо преобразовать к виду, в котором функции, играющие роль Y5^ 隽 & N), имели бы постоянные коэффициенты.
Достаточно показать возможность такого преобразования для «укороченной» системы
%• = Е gsh5 + 2 匕1肉(％，…,1]人；/),Гв1<*> = 2Л* (On?* •••Пп/П*
论=1k>2
(2.21)
Предположим вначале, что определяющее уравнение системы (2.21) имеет т нулевых корней, которым соответствует т групп решений, и дпар чисто мнимых корней 士 iXs, удовлетворяющих условию
工加8%力£ для 2&WlwJwN(3.1)
sTal
где m8n E — целые числа, включая нуль.
В этом случае систему (2.21) можно преобразовать к виду
х/ = — % У3 + Х8(х^ 玖,t* 6%' = % % + 匕(勺，执，E” 0
gj・=3/ (x^j у厶以,f)(s, £ = 1,…* g; j" = 1,…* 加) (3.2)
Полагая z8 = x8 + 力“ zs = xe — iy^ получим
2/ = lXsZs +z§ ®, zb Er, f),Ze-=—认82§ +ZS風,乙 J” 力
lf^Pj(zitzilrt 0(s,/ = l,…，q; j"=l,…，zn)(3.3)
Здесь —_
Zs = £ Zf) (z”W,Er，% 2=2 ZF)包,&, Er,f)
p尸，PJtiE,山)
a Z'), Zs“)，Pj⑴——формы /-го порядка от 马，z$ и Е” которые можно представить в виде
4』)=24* ⑴ ^ z/nj,…司q 叮,…^m
2s")=』4*(标卢…2jqz严..._Zq%£6,…Em6m(3.4)
P^ = E8j*(/)Z卢...Zjj产…刁"q &戶…&Jm,儿* (/) = 4* «+ 2“)
Здесь и далее в этом параграфе верхний знак * заменяет индекс (汽工...
力q加1…- *6m)・_
Преобразуем систему (3.3) к переменным 以，以 и 刀力 положив
= J + и§i)>%8 == £* + 包，厶疋戸 f)
& =巾+ °j(zi,&,&r, О
считая ust us, Vj периодическими функциями /, подлежащими определению. Эти функции представим в виде
tl^^U^^Z!^ 2)ПГ …5 J唄卩…&「m
Uj = 2 Vj* (0 Z/，Zqkq Z^ ...~Zqmq £% ... ^m
(s = 1,…，q; j = 1,...,加)
Преобразованная система будет иметь вид
以=凡 £ + W Zq ⑴，a = —认上 + s 2sl<0, nr =2 力⑴(3.5)
Функции Zs^l) и %«)можно представить так:
a% = %*⑴讀 …幫"严，…七个"◎…Ть> (s=l,…，q)(3.6)
，*) = 2%*⑴?，…才江产…切g0…%6m(/=1，…，加
Коэффициенты %*(£) и &/(/) для
自+…+ % +加1 +…+加g +a+…+ 4几=/ будут иметь вид
+电一生)%]/*+4*G)+A*优⑴,"F)，u严,0
bj* =一"当^"(瓦一加I)入1 +…+ (瓦一加s)入S +…+
+(%-%)%]。产 +4*(O+Фу* 旧"),"})，。*,/)
где 尸s* и Ф* ——известные функции Z и тех 〃&(", v/^, и^1\ у которых / & 归一1. Для 归=2 все 尸 J и Ф；* тождественно равны нулю.
Коэффициенты а§* определятся аналогичными равенствами.
Из (3.7) следует, что для различных значений функций "§*, и^ и v^* будем получать различные значения коэффициентов а^, а§* и Ь*. Определим 〃s*, 〃s* и и/* таким образом, чтобы а^, а§* и Ь^ были или равны нулю, или постоянным величинам.
Предположим, что все функции %* и ⑦*, для которых
月I +…+% +加:1 +…十加g +31汁…+% =/一1
определены из условий а$* = 0, &；* =0, или а§* = const, 6产=const. Определим us* и 力* для
自+…+储+加I +…+加4 + 61 +…+ % =/
Будем рассматривать совокупность чисел ks и ms, удов летворяющих условию
d =(財一/nJ 九I + …+ 伏8—ms—- l)^s ++ (%—^j % 牛 0
(瓦+…+也g +他1+…+ /Wq + 6i +…+ 6^ =左)
Очевидно, что для таких чисел ks и ms функции 〃&* можно определить при любых значениях а^. Найдем эти функции при условии а$* = 0.
(3.8)(3.8)Отметим, что равенство d = 0 в силу (3.1) возможно лишь при
(3.8)
(3.8)
自=加1,…，电=加5 + 1,…，储=加q
Коэффициенты “J, соответствующие индексу （財…自 …％ 自…々§ — 1.. …々qbi…6） определим равенствами
2л
*+工*）出
О
Тогда периодические функции и* с этим же индексом определяются из уравнений
（3.9）（3.9）* = 一 ％* + 4 * + 尸 J仅=1,…，g）
（3.9）
（3.9）
Функции Vj будем определять следующим образом. Для чисел ks и т§> удовлетворяющих условию
心=（月-恤）九I + …+（々8-mS）也8 + …+（々4-mj % * 0 （&+ •.. + %+加1 +…+ 加g+包 + …+ 6例=左）
периодические функции 口产 найдем при условии bj = 0.
Замечая, что равенство 厶=0 возможно лишь при
k1 — mlt ... fkq = mq（3.10）'
определим %*, соответствуюитие индексу （自…％自…々抖…6Q, равенст* вами 2л
%* =*『（办*+①严击 b
а периодические функции d； из уравнений
好= &*+%* — %*（/=1，…，m）
Следовательно, можем утверждать, что в выражениях （3.6） формы Z^⑴ будут содержать лишь те слагаемые, у которых степени ks и ms удовлетворяют условию （3.8）, а формы Н/^ сохранят лишь степени, удовлетворяющие условию （3.10）.
Давая числу k значения 2,3, ..., N, определим все 辽§* и 口）*, для который ^1 + …+ 々q 上团1 + …+ mq + 6] * ... + 6m ^ Л^.
Система уравнений （3.5） в результате преобразований примет вид
® =，％ * + &£&*（*&№'•& 已Jq %门…Птб« +
* = 一凡以+七w%* （氮#，…%爲%小6,… ^+（3.11）
V =w %* 信 EJ瓦…® ^汽 n我…％% +<+'> 信％, %, 0
（s, f = 1 （..., q; /（尸=1,,加；2 & 2瓦 +... + 2闻 + б】+ ^.• + 6m《N）
где Zs（n+i）W+i）hHJn+d не содержат членов ниже （N +1）-го порядка.
Исследуя канонические системы в случае иррациональных Xs и предполагая /и = 0, Биркгоф [4] получил аналогичную систему. Полагая
^ = %е/%,&* = а$*+&*
получим
/у = % £ а,* г产、，产 ％。，... ％6他 + r”d
% 0S =儿 ％ + q £ 卩s* 々％ …％〜пЛ-Пт^ + 尸，+"（3.12）
节.=2%***..，務nЛ-V- + h""
Если вопрос об устойчивости решается членами TV-го порядка независимо от членов более высокого порядка, то задача приводится к исследованию системы уравнений (т + ^)-го порядка вида
%• = G W а* Г：£ …％% Г]/» ... Г\т6т,叮=工 bj* r^...r/kq %仇…11m%
(2《2々]+…+ 2坛+ 61 +…+ 6mW N)
(3.13)
На основании изложенного следует, что исследование системы уравнений (0.1), характеристичное уравнение которой имеет р корней, по модулю меньших единицы, т корней, равных единице, и 2q корней, по модулю равных единице (корни вида vs = &±2丸#'$), удовлетворяющих условию (3.1), приводится к исследованию устойчивости интегралов системы уравнений с постоянными коэффициентами, характеризуемой (т + Q)-ro нулевыми корнями с (/и + ^-группами решений.
Прежде чем перейти к общему случаю, рассмотрим систему (2.21), предполагая, что определяющее уравнение ее имеет, по крайней мере, одну пару чисто мнимых корней 土 zXx кратности г. Тогда, линейной подстановкой с постоянными действительными коэффициентами, эту систему можно преобразовать к виду
«1—2г
%•= 2 bskx\h + Hs(x\t,xv,yv,t)■
也=1
%i. = -% % + X] (Т)i, ХV,双,f),yг=九I /+匕(刀" %v,外,f) (4.1)
xf =—九I 死 + “一1 无/—1 +Xj(%,xv>yVi f)
УГ =尢 xj +07—I 勿一1 ~F ^/ (л；* %V，У、，f)
(s, i = l,…，勺一2片 j = 2,…，r; V = l,... г)
где х力 勿一линейные формы от % (s = 1,...,勿).Уравнение |6色一8s^y\ = = 0 имеет т нулевых и 2 (9 — г) чисто мнимых корней.
Заметим, что все величины а；_ь если они отличны от нуля, можно считать равными любому числу. Будем считать их равными 入「 Полагая
力=Ei cos % f + Ci sin 3, z/i = |i sin % f—當 cos %工 t
Xj —邑 cos % f + Cj sin % t + E/—i cos 脑 f + С.】 sin % t(4.2)
场=昼 sin 尢 f—J cos %工 f +I/-1 sin % f — g/_i cos % t
■будем иметь
nt—2r
nJ = Ri 九才必+忆工 Gb, Ev, C” f)
Ei，=母(Т)” Ev, Cv, f),Ci* = Zi (т)；, Sv» Sv, 0(4.3)
Ej・=%] 5/—1 + S/ (刀厶 E” ^v» 0»C/・=%工身一1 + ^> (ль Ev Cv, 0
(s, W=l,…，«!—2r; 7 = 2».r; v=l,..., r)
Если кратному корню 土 认工 соответствует несколько групп решений, то для каждой такой группы преобразования по формулам (4.2) проводятся совершенно аналогично.
Отметим, что определяющее уравнение системы (4.3) будет иметь лг + 2г нулевых корней и 2(д — г) чисто мнимых.
Если чисто мнимым корням 土 力九工 соответствует одна группа решений, т. е., все О/—】 》0, то дополнительным нулевым корням будут соответствовать две группы решений. Если же этим корням соответствует k групп решений, то 2r нулевых корней будут иметь 2々 групп решений.
Заметим также, что в случае 入工，равного целому числу, функции Hsl, Е ；, Zj, будут периодическими функциями t с периодом 2л. Если 入工=仪工/日, (a” Pi ——целые числа), то заменой f = §户 система приводится к виду, в котором Xt равно целому числу.
202
При иррациональном 九工 дело обстоит несколько сложнее. Выражения IIsi, Ну, Zj уже не будут периодическими функциями t. Представим одно из них в виде
Н51 = Е Hs^ (0%* …％力£叫以喝⑪…W9(4.4)
(P =几工 一2r; s = 1,p), (2 & % + …+ ?p +/И1 +
+…+mГ+ 6]+…+ 6Г式 N)
где(°)заменяет индекс (丫工…丫卩团…”力…&).
Легко обнаружить, что функции 力Л» будут линейными формами от коэффициентов 厶产…％」(/), фигурирующих в системе (2.21), умноженных на sin %%J и на cos 彳入/. Числа 彳 в формах /-го порядка могут принимать значения от 1 до /.
Отсюда следует, что функции 仇⑼(/), у которых
71 + • • • + Тр + % + …+ % + 61 + …+ 毋=/ можно представить в виде
簿⑼⑴= £41©(%)е® 3’(4.5)
81
где Л81(0)(0 — периодические функции f с периодом 2л. При %1Э иррацио нальном 丸⑼(t) будут почти периодическими функциями t.
Такую же структуру будут иметь коэффициенты разложений 宫力 и Z；, фигурирующих в системе (4.3).
Аналогичные преобразования можно провести для любой пары простых или кратных чисто мнимых корней 土 tXs. Следовательно, в общем случае систему (2.21) всегда можно преобразовать в новую систему, у которой все корни определяющего уравнения будут равны нулю. Эту систему можно представить в виде
•^1* ~ X](修，…，xnj f),%$* = Vs—1 修一1 + X$ (无工，…，％n; t)
(s=2 门=门1)(4.6)
где
%=X%⑴(/，…，%n; f),X『)=E BJ⑴力% ...x?n
/>2
(左jL + …+ 々П = ")，(S= 1 ,…，^)
Знак * заменяет индекс (自…々п)・
Функции 3J (0 имеют следующую структуру:
筑*(i) = SS川.* ⑴exp i® %1 + 电筛 + …+ ер.5(4.7)
Знак ** заменяет индекс(8工・一8以).Величина ц определяет число ирра・ циональных чисто мнимых корней. Суммирование по ks распространяется на все целые положительные числа ks, удовлетворяющие равенству ^ + ... + + 々п = /, а суммирование по 8^ — на все целые положительные и отрицав тельные числа е； (/ = 1, ..., ц), удовлетворяющие условию S|e；| & /.
Функции As^* являются периодическими по / с периодом 2л, представляющими линейные формы с постоянными комплексными коэффициентами от 4/(/). Функции Bs*(i) будут вещественными почти периодическими функциями t для вещественных значений последнего.
Новые переменные ^, ..., хп являются вещественными функциями вещественного переменного t.
Отметим, что задачи об устойчивости по отношению к переменным т)§ исходной системы (2.21) и xs эквивалентны.
Докажем теперь, что для случаев несущественно особенных задачу об устойчивости периодических движений, характеризуемых системой (2.21), всегда можно привести к задаче об устойчивости равновесия.
Будем рассматривать систему (4.6), предполагая, что каким-либо образом удалось преобразовать ее к виду, в котором все формы Х§⑴ для /《々一1 не зависят от времени А
Преобразуем эту систему, положив
% =弘+ Е辽J⑴/"…х』п(財+…+々n =財s == 1,…，гг) (5.1)
где
ws* (0 = 22唸* ⑴exp i® % + …+ 电九山■(5.2)
Индексы * и ** имеют тот же смысл, что и в формуле (4.7). Из (5.1) найдем
/=%+E/*⑴%財…!//n (瓦+…+亂》田(5.3)
Функции vs* для kt + ... + kn — k будут равны us*, а для значений 々1 + ... + 々孔〉々=/ эти функции представлятся в виде многочленов от тех us*, у которых ^ + ... + ^n Z — 1.
Из (5.1) и (5.3), принимая во внимание (4.6), будем иметь
У\ н(уif ••• > уп \~1 f/s—1 + 工 У," 痂；％)
($ = 2,..., л;/ = 2,3,...)(5.4)
В этой системе формы 匕⑴(弘，…，呢；0 для I & h — 1 (s = 1, n) будут равны XJ。(％i,…，％n) с заменой xs на ysi а формы Y^k} (уъ ..., yn\ f) будут иметь вид
匕仅)3,Уп； %) = 2 %* «) У^ - Уп^
{k^-\-kn = k\ s = n) (5.5)
Функции as* (/) определяются равенствами
as*⑴=-—(同+ 1)% ①/①一1包+1爲…統)-
-(备+ 1)% “丸"一电+1…勺)-…
…一伍n + 1)T—1 〃产…％—l&+i)+y—i 〃L +B^ (f)
(S = I,明 & +…+^n = ^)(5・6)
Давая функциям us* (/) различные значения, будем получать различные значения для функций a§*(f). Определим функции 〃§*(£) таким образом, чтобы as*(/) обращались в нуль или в постоянные величины.
Очевидно, что функции 〃*§**(/) можно определить из уравнений
(5.7)(5.7)du*
(5.7)
(5.7)
~^—i(ei^i4-*- - +ец^ц)^** +&** +以* =唸*
где L*8** являются периодическими функциями / с периодом 2л, представляющими линейные формы от уже найденных %］：…/j-L】勺+J*n).
Если числа еь ...» 8Ц таковы, что 匕九］++ е^Хц 六 0, то периодиче
скую функцию 辽*s**(Z) можно определить, полагая сс§*** = 0.
Если же для некоторых из чисел &丄,...,&乩 выполняется соотношение 垣九1 + ... + е沫九沫 = 0, то a*sj…％, соответствующие этим числам %,…,£沫, необходимо определить из равенств
2Л
，(爲I…队+以1…%)dt о
(5.8)(5.8)(S = 1 t ... , П\ 々1 ~p • • ■ ~H 々71 == h)
(5.8)
(5.8)
Тогда уравнения (5.7) определят 辽*囘…8M. (/) в виде периодических функ・ ций с периодом 2л. Следовательно, в результате преобразования (5.1) при найденных значениях функций 人* в системе уравнений (5.4) все формы 匕仅) будут иметь постоянные коэффициенты. Очевидно, что структура коэффициентов форм Ув(0 для / > k будет прежняя, т. е. (4.7).
Очевидно также, что задачи об устойчивости по отношению к переменным %i, ...» хп и уъ ..., уп эквивалентны.
Давая числу k значения 2, 3,…，М систему (4.6) преобразуем в новую систему вида
ZJ=「ai* …Z『a + T Z~)(Z1z“；f)
2^=75-! ZS_1 -\-Уа*2^ ...Znkn-\- > Zs(/)(4,…，Zn； f) /=N+l
(s = 2,..., n\ 2 & 左工 + .. + 々n & м (5.9)
Изложенное в § 3—5 позволяет формулировать следующую теорему.
Теорема 2. Если система уравнений (0.1) такова, что отвечающее ей характеристичное уравнение имеет т корней равных единице, q пар корней, по модулю равных единице, и р корней с модулями, меньшими единицы, то задача об устойчивости периодических движений, характеризуемых этой системой, в случаях несущественно особенных всегда приводится к задаче •об устойчивости равновесия.
Если корни vs = е±2"£'$, модули которых равны единице, удовлетворяют условию (3.1), то задача об устойчивости равновесия, к исследованию которой приводится задача об устойчивости периодических движений, характеризуется т + q нулевыми корнями.
В качестве приложения рассмотрим задачу об устойчивости в случае двух корней характеристичного уравнения, по модулю равных единице, одного корня, равного единице, и л корней с модулями, меньшими единицы.
Эта задача приводится к исследованию системы уравнений вида
%• = —М + Х(%,д, z, xh, 0, у = %х + У(X, у, Z, xh, i) (S=lП)
(6.1)(6-2)включи-(6.3)(6.1)(6-2)включи-(6.3)z- = Z(x,y,2,xh, i),%・s= £ pshxh + xs(x, y,z,xk, i)
(6.1)
(6-2)
включи-
(6.3)
(6.1)
(6-2)
включи-
(6.3)
Преобразуем систему (6.1), положив
鳩=%+%(居9,2, f) (s= 1n)
считая vs многочленами, представляющими сумму форм до ^го порядка тельно рядов и5, формально удовлетворяющих системе уравнений
警 + 争[—%у + Х (х, у, z, uht t)] + 仇尤 + У (%, f/> z, ukt f)] + dy
dus《
+ ^ Z(X, g,z, 〃A，f)= psh uh + Xs(x, y, z,uh,t) (S,6=l，…,a) 々=1
Если
X [x, у, z, uh (x, y, z, f), t] = Y [x, y, z, uh (%, y, z, f),订=
=Z [x, y, z, uh (x. y, z. f), f]三 0(6.4)
то система (6.3) будет удовлетворять всем условиям теоремы, доказанной в § 2. Сл до- «ательно, ряды и£(х, у, z, /) будут абсолютно сходящимися, по крайней мере для достаточно малых значений |х|, \у\, |г].
Тогда в результате замены
xs = ys + us (х, y,z, 0(s= 1n)
будем иметь
*•=—彻+ К （*, у, Z, ук, /）, у =版 + % （%, у, z, yh, /） п
z-=Z^x,y,z,yh,f）,ys'= 2 РзкУк+Уз1^,у,г,ук,Г） （s= 1，…,n） （6.5）
Функции X], Ylt Zlt Yл обращаются тождественно в нуль при у^ = ... = Уп=0・ Основываясь на выводах § 2, можно утверждать, что невозмущенное движение устойчиво.
Примечание. Система （6.5） имеет частное решение
x = ci cos А* — %）, у = % sin 入（f—f。）,z = &, pi =・・・= yn=0
Следовательно, система （6.1） имеет почти периодическое решение вида
无§ = 〃§ [с】 cos 入（f—/о）. Ci sin X （f 一fj, %, f]
x = cjcos % （f—%）, y — cr sin ^ （/—/о）, z = q'「
которое будет существовать по крайней мере для |*| и |с2| достаточно малых.
Предположим теперь, что тождества （6.4） не имеют места. Тогда в случае иррационального А систему （6.1） можно преобразовать к виду
r・ = r [R（m （戸，z） + ...+R（n）（叫 z）] + R（n+D （r, z, е, f） + R （г, г, 0, ^, О
z・=Zg，）（叫 z） + ... +Z（N）（户，z）+Z（N+】）（,，z, 0, f）+Z（r, z, 0,如，/）
n
纭.=2 P8A 如+ '/"+"（尸，z, 0, e） + 乙（尸，z, 6, Ph' 0
1（7.1>
尸山「= M + 尸（r, z，8，Ук» 0
где R“），Z"）—формы Z-й степени от 产，z （Z《N）, R（"+", Z（"+D, у§（"+1）一совокупности членов выше ^-гo порядка, a R, Z, Ys обращаются в нуль при ji= ... ~ Уп — ^* Функции R н Z или не содержат линейных членов в отношении ylt ...,乡几，или содержат их в произведении с 厂勺 吟（月 + 拠》N、.
Если вопрос об устойчивости по отношению к переменным г, z решается формами R（“ и Z“）при условии I《N независимо от форм более высокого порядка, то при исследовании устойчивости интегралов системы （7.1） достаточно рассмотреть систему второго порядка
r・=r[R（m）（戸，z） + ...+R（N）（r3,z）],z・ = Z（F）（产，z）+... +Z（N）（戸，z） （7.2）
Это утверждение доказано в работе [3]. Полагая г2 = р, будем иметь
p・=2p[R（向（p,z） +…+R（n）（p,z）],z・ = Z（%）（p,z）+…+Z（”（p,z） （7.3>
При исследовании устойчивости переменную р мы должны считать величиной положительной. Эта система рассматривалась в работе [5], где приводится исследова* ние простейшего случая, когда система （7.2） имеет вид
p・=R（m）：（p，z+R（m+l）；（p,z）+…，z・ = Z（m）（p,z） + Z（m+】）（р, z）+... （7.4}
и вопрос об устойчивости решается формами /n-го порядка независимо от форм более высокого порядка. Результаты этих исследований приводятся также в монографии F] и в работе [8].
В работе [7] исследована задача об устойчивости интегралов системы （7.4）, когда для ее решения необходимо рассмотрение форм выше /n-го порядка*
Систему уравнений （7.3） в общем случае можно представить в виде
р・ = р （ а（2・°）р+@"」）z + a（3'°）p2-|_ct（2*l）1pz +'а（1・2）产十
自+仁4/n"•»
z* = 6^I 0）p + &（2*0） ^ + b{i A} pz+b（Q,2） za+ 2 "也后Qp^i #，+・・.
Ai+^s=3
Если 6（l*°）* 0 в （7.5）, то задача об устойчивости системы （7.1） приводится к за* даче двух нулевых корней с одной группой решений.
В случае Ь“*°）= 0 системе （7.5） соответствует два нулевых корня с двумя группа* ми решений.
206
В обоих случаях переменную р необходимо считать положительной.
Исследование системы (7.5) представляет некоторые затруднения лишь в том случае, когда все коэффициенты 6(°•左)(й = 1, ...» N) обращаются в нуль при любом сколь угодно большом числе ^. В этом случае члены выше Af-ro порядка в правой части второго уравнения системы (7.5) могут не обращаться в нуль при р = 0.
Исследуем Этот случай. Возвращаясь к системе (6.1), преобразуем ее, положив
# = Е + 〃(？，f) ,рпТ) + о (?, /),/ =勿 + 以8 (即')ь (s= 1,..., zz)
В результате будем иметь
Е・ = —加 + 日(g, % z, 〃，о, 〃二，yht t),n* = ^ + ^(E，％ Z, 〃，u.固p ”, f)
z' = Z* (g, % z, u, 〃月〉乡在，f),y&・=p&h f/在 + Yg (E，"，z,〃，u,〃h，g^,(8.1>
(s,左1,..., л)
Совокупности членов выше первого порядка, не зависящих от Е,刁,у】,・”.j/n* в правых частях этой системы представятся в виде
S (0, 0t z, и, «А, 0, 0,..., 0, f)=s —Z(% и, z, 〃注,f)—
,ди
—入沙 + X (и, о, г, 〃餡£
dv
Н(0, 0, z, ％ 〃友，О,..., 0, /)==—— Z(〃，и,力 ukt f) +
dv
ar
Z* (0, 0, z, u, », uh, 0...., 0, f)==Z (u, v, z, Uh，t)(8.2)
dus
Ys (0, 0, г, u, v9 例，0…・，0, f)==—Z(u, о, г, 〃月，f) +
+ У p8月我在 + V8 (", 0, Z, 以月，f)一-^
Обращение в нуль коэффициентов 小°"比)?优”=2,・.., 8) возможно лишь в том случае, когда
Z (在,О, Z, 〃1,.・・，〃?г ； /) -^Z* (0, 0, Z, 〃‘ V > Ид, 0,..., 0> f) ^Е 0
Определим значения функций 以,и* 〃$ из (8.2) при условии
Z (〃, о, % 〃儿,f) = Е (0, 0, z, 〃, о, 〃丸,0> ・..,0, t)=H (0,0,г,у,с, «д» 0,... , 0, £)= =匕(0, 0, г. 〃，и, ukt 00, 0=0
тогда правые части системы (8.1) будут обращаться тождественно в нуль, если положить --
Если систему (8.1) преобразовать к виду (7.1), то формы Z^ будут обращаться в нуль при г = 0 для любых 厶 как бы велико число / не бралось. Система второго поряд- ка(7.4), соответствующая системе (8.1), будет такова, что прямая р = 0 будет особей- й^Ърямой для форм R “)и Z“)любогоi коль угодно высокого*порядка/Исследование подобных систем представляет затруднения лишь в тех случая х, когда формы R")и Z^ при сколь угодно больших I определяют устойчивое движение. Очевидно, что устойчивость может быть только иеасимптотической.
Если же будет обнаружено, что невозмущенное движение неустойчиво по формам 厶го порядка (Z < %), то интегралы системы (8.1) будут также неустойчивы.
Отметим, что если X рационально, то задача об устойчивости, представляемая системой уравнений (6.1), способом изложенным в $ 4, приводится к анализу трех уравнений с тремя нулевыми корнями с тремя группами решений.
Если же правые части системы (6.1) ие зависят от времени, то как при иррациональных, так и при рациональных 入 система (6.1) приводится к виду (7.1), в котором в правых частях члены*выше ^го порядка от f зависеть ие будут. В этом случае решение (6.6) будет периодическим с периодом 2冗/入。
Примечание 1. Пользуясь случаем, отметим, что метод сведения задачи об устойчивости системы (к + 2)-го порядка к системе второго порядка с одними критическими переменными был впервые применен в 1935 г. при решении задачи Ляпунова (два нулевых корня с одной группой решений) в статье [8].
В 1936 г. в статье [в] метод сведения был применен к решению задачи об устойчивости в случае двух нулевых корней с двумя группами решений. В этой статье доказывается, что устойчивость и неустойчивость полной системы (п + 2)-го порядка следует из рассмотрения укороченной системы второго порядка.
В работе 1939 г. [3] доказано общее положение, касающееся сведения систем (м 十 2g + р)-го порядка к исследованию систем (т + 2^)-го порядка только с критическими переменными для установившихся и периодических движений в случаях несущественно особенных. В этой работе система уравнений преобразуется к такому виду, что отыскание функций Ляпунова или Четаева для полной системы сводится к отысканию этих функций, для укороченной системы. Так как теоремы Ляпунова и Четаева обратимы, то формулированное утверждение эквивалентно следующему. Если укороченная система асимптотически устойчива или неустойчива и это следует из рассмотрения N первых форм укороченной системы независимо от форм более высокого порядка, то и полная система соответственно асимптотически устойчива или неустойчива.
Под «принципом сведения» здесь понимается преобразование исходной системы к виду, для которого функции Ляпунова и Четаева строятся по первым ^ формам укороченной системы, а функции Ляпунова и Четаева для полной системы имеют вид
y =/(弘…，уп)土у2⑵，…
где У\ — функция Ляпунова или Четаева, отвечающая укороченной системе, а У2 — квадратичная форма, определяемая из уравнения
Р 用 17Р
Заметим, что при исследовании критических случаев Ляпунов всегда отыскивал функции V, отвечающие полной системе. В результате чего совокупность членов, содержащих Zi,…，zp линейно, он обращал в нуль соответствующим выбором функции V, а не преобразованием уравнений. В простейших случаях одного нулевого корня и пары чисто мнимых корней принцип сведения не дает существенных преимуществ по сравнению с методом, которым пользовался Ляпунов. Но уже для случая двух нулевых корней с одной группой решений затруднения настолько возрастают, что Ляпунов вынужден был отказаться от построения функции V и перейти к решению задачи с помощью рядов [10].
В статье [п] И. Г. Малкин сделал попытку дать обобщение принципа сведения на системы (1.1), в которых р^ (f) и qsh (/) — любые непрерывные и ограниченные функции / для f > 0. Это обобщение основано иа теореме, опубликованной в статье [1а]. При доказательстве этой теоремы И. Г. Малкин допустил грубую ошибку. Утверждается, что по отношению к рядам 2丁 = Z)(无工,...,xn, f), удовлетворяющим уравнениям
曾 +二(卩社力 + …H~Psn + XJ ~ =Zj (f； X” …,xn； Z],・•., Zp)
ряды Vj = Vj(Xi, ••・, xn), определяемые системой
+ …+ %n "n + 'J2/ =%(修，…J%n； " 1,%)
(/ = 1,.,.,卩)
являются усиливающими, если YshVj получены нз Х$ н Z『в результате замены коэффициентов их разложения наивысшими модулями, а коэффициенты astT для о < s представляют верхние пределы модулей pstr Все 0ss = 仪・ Это утверждение ошибочно. Легко убедиться, что ряд и = сах2 十 с3х3 十...» удовлетворяющий уравнению
—(%+%2)=%2+%0 дх
не является усиливающим для ряда z = а^ +。台炉 + ... , определяемого из уравнения
—(—X — %2) = %2 + %z
так как а2 = —х/2； “=*[* но & = —1/в, а а3=1/2- Таким образом, теорема, на которой основано доказательство первой основной теоремы об устойчивости в критических случаях, не доказана, а следовательно, не доказана и первая основная теорема.
И. Г. Малкин при доказательстве принципа сведения необоснованно пользовался преобразованием, указанным в работе [3]. Сходимость рядов z^ = z^ (хъ ..., хп; /) И. Г. Малкиным не доказана, тогда как ряды г^ = zj (xlf ...» хЛ), фигурирующие в [3], являются абсолютно сходящимися. Учитывая логическую неполноту в рассуждениях при доказательстве этой теоремы, И. Г. Малкин в монографии [в] делает новую попытку доказать основную теорему с помощью преобразований, отличных от тех, которые применялись им в статье [iq. Доказательство, предложенное в [в], содержит грубую ошибку, обнаруженную Н. П. Еругиным [13]. Преобразование
%8 = Г Е§,— |/^f/1••• Уп±
можно применять при условии, что новые переменные 标 изменяются в интервале ±оо. При доказательстве И. Г. Малкин считает ||5|, так как же и |х|5, достаточно малыми.
Если принцип сведения понимать так, как он сформулирован в работе [8], то ре зультаты, относящиеся к системам (1.1) с постоянными и периодическими коэффициентами, легко обобщаются на системы того же вида с непрерывными и ограниченными по 力 коэффициентами.
Предположим, что в системе (1.1) коэффициенты р* = 0, q^ = 0 для t > / и А > s. Это допущение не уменьшает общности задачи [14]. Допустим, что коэффициенты Pjj и qss удовлетворяют условию
Тогда преобразованиемТогда преобразованиемN马=原+ X "产）（也,…，!/П”）N马=原+ X "产）（也,…，!/П”）<М (Л)<М (Л)
Тогда преобразованием
Тогда преобразованием
N
马=原+ X "产）（也,…，!/П”）
N
马=原+ X "产）（也,…，!/П”）
<М (Л)
<М (Л)
где Uj@)(у】，...» у%; /)—формы ^-го порядка от 乡工,・一,^应，и соответствующим выбором 9Tнх]форм систему (1.1) можно преобразовать к виду, в котором функции, играющие роль Z/紛(乡工，...» уп/ f) обратятся тождественно в нули для всех fe < ^ при ^ сколь угодно большом. Коэффициенты форм 〃/(比)при условии (Я) будут ограничены и непрерывны. Считая, что система (1.1) удовлетворяет этому условию, положим
%= %+kWi's"…(Z1, ••• ,Zp；f"戶...成T(k=瓦 + ...+風)
где",伍…"口)—линейные формы от z1( zp.
Линейные формы %(財…々几,(zn ...»zp;力)можно определить так, чтобы в преобразованной системе исчезли функции, играющие роль функций Ps^kl-,,kn^ для всех 也工,...knv удовлетворяющих условию 々工 + ... + 论打* < ^. Коэффициенты форм 〃§出…財J будут также ограничены и непрерывны.
Если система уравнений (1.1), удовлетворяя условию (4), имеет такие коэффи циенты р“，что система уравнений zj = Ри/, za = p2izi ~r Р22%，…，zp = Ppizi + +，.，+ Ppp^p допускает существование функции Ляпунова V2 в виде квадратичной фор мн, удовлетворяющей теореме об асимптотической устойчивости, то функция Ляпуно ва или Четаева для полной системы определится в виде
У =匕'(执，…，Уп^ + % (Zi'zp； f)
где Vi — функция Л япунова или Четаева для укороченной системы.
Необходимо отметить, что определение устойчивости и неустойчивости по форм ам Д^-го порядка правых .частей «укороченной» системы независимо от форм более выс о- кого порядка, предложенное И. Г. Малкиным в [в], является более общим, чем то, которое вытекает из критерия устойчивости и неустойчивости по функциям Ляпунова и,Четаева, предложенного в работе [3]. Определение И. Г. Малкина предусматривает, в "частности, неасимптотическую устойчивость. Однако И. Г. Малкин не выясняет вопроса о возможности существования систем уравнений, допускающих такое свойство движений при qs^ 三 0. Можно утверждать, что для установившихся и периодических движений системы уравнений возмущенного движения таким свойством не обладают, по крайней мере для 门工 < 2.
14 Зак. 31262°9
Пример К. П. Персидского, приведенный в Iе], относится к тем уравнениям, в ко* торых все правые части критической системы содержат линейные члены.
Примечание 2. Как уже указывалось, приведение системы уравнений (2.21) к уравнениям с постоянными коэффициентами до форм сколь угодно высокого порядка в том случае, когда ей отвечают /и нулевых корней с m группами решений, а все 九$ иррациональны и £加$入8^=0, рассмотрено в работе [3]. В монографии [б] И. Г. Мал- кии также касается этого вопроса, считая 入$ иррациональными. В [б] приведение дается без понижения порядка системы.
Литература
А, М. Ляпунов. Общая задача об устойчивости движения. Собр. соч., т. 2. Изд-ва АН СССР, 1956.
Н. Г. Четаев. Устойчивость движения. Гостехиздат, 1956.
Г. В. Каменков, Об устойчивости движения. Сб. «Тр. Казанск. авиац. ин-та»^ 1939, № 9.
Г. Биркгоф. Динамические системы. ОГИЗ, ГИТТЛ, 1941.
Г* В, Каменков. Исследование одного особенного, по Ляпунову, случая задач» устойчивости движения. Сб.《Тр. Казанск. авиац. ин-та», 1935, № 3.
И, Г. Малкин. Теория устойчивости движения. Гостехиздат, 1952.
Г. В. Каменков. К задаче об устойчивости движения в критических случаях. ПММ, 1965, т. 29, вып, 6.
Г. В. Каменков. Об устойчивости движения в одном особенном случае. Сб. «Тр. Казанск* авиац. ии-та», 1935, № 4.
Г. В. Каменков, Исследование одного особенного случая задачи об устойчивости движения. Сб. «Тр. Казаиск. авиац. ин-та», 1936, № .5
А. М. Ляпунов. Исследование одного из особенных случаев задачи об устойчивости движения. Изд. Ленингр. ун-та, 1963.
Я. Г. Малкин. Некоторые основные теоремы теории устойчивости движения в критических случаях. ПММ, 1942, т. 6, вып. 6.
Я. Г. Малкин. Об одной теореме существования Пуанкаре——Ляпунова. ДАН СССР, 1940, т. 27, № 4.
Н. Я. Еругин. Рецензия. Малкии И. Г. Теория устойчивости движения. Вест- Леиингр. ун-та, 1953, № 5.
Perron. Uber ein Matrixtran sformation. Mathem. Zeitschrift, L93Q, Bd. 32.
АЭРОДИНАМИКА
О ВИХРЕВОЙ ТЕОРИИ
ЛОБОВОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ
Об условиях устойчивости Кармана—Жуковского. В фундаментальной работе PL посвященной вопросу воздействия плоскопараллельного потока жидкости на цилиндрическое тело, автор вихревой теории лобового сопротивления Карман предложил вычислять силу лобового сопротивления, исходя из рассмотрения количества движения, сообщаемого телом вихревым шнурам. Экспериментальные исследования показали, что за движущимся в жидкости цилиндрическим телом образуются вихри, центры которых располагаются в два параллельных ряда шахматным порядком (вихревые дорожки).
Основным вопросом теории Кармана является исследование на устойчивость центров вихревых дорожек. В указанной работе дано соотношение между шириной вихревой дорожки и расстоянием между вихрями в виде соотношения
ch (пЬ/1) = У2 (1.1)
где b ——ширина вихревой дорожки, / — расстояние между вихрями. Исходя из иных предположений относительно смещения центров вихрей, Н. Е. Жуковский [] дал условие устойчивости формулой
сЬ(л6//)= У 3 (1.2)
Из доказательства следует, что устойчивость может быть или при соотношении (1.1) и ни при каком ином, или при соотношении (1.2) и ни каком ином, так что условия (1.1) и (1.2) как будто противсфечивы.
Разъяснению этого противоречия в последнее время посвящено ряд интересных исследований, решающих этот вопрос с различных точек зрения. Н. И. Ахиезер в работе [3] пытался разъяснить это противоречие и показал, что из рассматриваемых смещений в выводе Жуковского нельзя получить смещений общего вида, рассматриваемых Карманом, на основании чего делалось заключение, что теоретически правильными числами следует считать те, которые были получены Карманом.
Более подробно этот вопрос исследован В. В. Голубевым [4]. Противоречие в условиях устойчивости объясняется тем, что задачи, решенные Карманом и Жуковским, физически различны. В исследовании Кармана предполагалось, что все вихри могут перемещаться, у Жуковского решалась задача, когда может перемещаться только один вихрь, что естественно ведет к некоторым физическим ограничениям явления движения вихрей за телом.
Це^ь настоящего исследования показать:
Если к вопросу устойчивости вихревых дорог подходить с уравнениями возмущенного движения высших приближений, то противоречия в условиях устойчивости Кармана и Жуковского не будет по той причине, что оба автора решили вопрос не до конца, как условие Кармана, так и условие Жуковского не являются условиями устойчивости.
Исследовать устойчивость вихревых дорог, не рассматривая характер возмущений.
Определить циркуляцию одного из вихрей дорожки.
Карман и Жуковский решали вопрос об устойчивости вихревых дорог по первому приближению, отбрасывая в уравнениях возмущенного движения члены высших порядков; таким образом, вместо первоначальных уравнений рассматривались получаемые таким путем линейные уравнения. Законность такого упрощения при этом ничем не доказывается и по существу дело приводится к замене рассматриваемой задачи другой, с которой она может не находиться ни в какой зависимости.
Исследование устойчивости движения приводится к исследованию дифференциальных уравнений возмущенного движения вида
*=%的，…,хп，0(1.3)
где
Xi=-piiXl + ...+pinxn+^Pi(mi加脑融例…/丁
Сумма распространяется на все целые неотрицательные числа т工,/п2, .：. тп9 удовлетворяющие условию тг + т2 + ... + 加几＞ L Pt总 и Р№，m2f ：. .тп) функции времени.
Для установившихся движений они будут постоянные, что следует из получения уравнений (1.3)..
В некоторых случаях об устойчивости установившихся движений можно судить по первому приближению, т. е. рассматривать уравнения
嘗=р〃 ％1 + ... +р(п Хп
Случаи эти указаны А. М. Ляпуновым [5]. Для суждения об устойчивости движения по первому приближению необходимо, чтобы корни характеристического уравнения
Ри—х Р12 *•• Pin
Р21р22—Х ••• Pan = л
Рп1 Рп.2 •• • Рпп *
имели отрицательные вещественные части.
Если среди корней характеристического уравнения имеются нулевые или чисто мнимые, то об устойчивости по первому приближению сказать ничего нельзя и движение устойчивое по первому приближению может стать неустойчивым с учетом членов высших порядков. Случаи одного нулевого корня и двух чисто мнимых корней рассмотрены Ляпуновым в [5], случаи двух нулевых корней с одной группой решений для двух уравнений возмущенного движения в [в].
Уравнения возмущенного движения, которые получил Карман, имеют четыре чисто мнимых корня или четыре нулевых, так что об устойчивости по первому приближению сказать ничего нельзя. Вопрос в случае Кармана должен решаться уравнениями с членами высших приближений.
214
Жуковский получил систему уравнений
窑=砌， 穿=磷
dt
из которых следует, что устойчивость может быть только тогда, когда а — О, но при этом условии членами высших порядков пренебрегать нельзя, так как изменения 占 н п будут даваться уравнениями
空.=Х,@ = У
где X и Y — члены высших порядков.
Таким образом, в обоих случаях вопрос об устойчивости считать решенным нельзя.—
Покажем, что условия ch (лб//) = /5, ch(jib//) = )^ не являются условиями устойчивости.
Уравнения высших приближений в случае Жуковского. Решим задачу Жуковского, предполагая, что в нижнем ряду вихревой дорожки один из вихрей получил возмущения, а все остальные вихри закреплены. Тогда уравнения возмущенного движения для вихревой улицы Жуковского ch (冗匕//) = "К^ напишутся
今=}1譬貝+2爵如+ 譬唄X
(2.1)(2.1)界T［警"2縣自什常唄卄У界T［警"2縣自什常唄卄Уdf 2 |_ 死2龙 dr] oy|2 J
(2.1)
(2.1)
界T［警"2縣自什常唄卄У
界T［警"2縣自什常唄卄У
Производные вычисляются для 自= 0нт]=0;Хн Y — голоморфные функции переменных ^ и г], разложение которых начинается с членов не ниже третьего порядка. Линейные члены в уравнении (2.1) отсутствуют по условию а = 0. Индуцированная скорость возмущенного вихря слагается из индукции вихрей своего ряда и ряда параллельного
р 4-»厶р (1)
х • 2也 4 u^-i/zi-EF+s-n)? 2л從/—&)?+唄
您=—8ОО
Г +*) kl-l2m A士8出一讃+瞰Г +*) kl-l2m A士8出一讃+瞰吁_工 q /他一1/2) 一 自
Г +*) kl-l
2m A士8出一讃+瞰
Г +*) kl-l
2m A士8出一讃+瞰
У- 2m 后▲8["目_1/2)一号+3_1!户
Первые члены этой формулы дают индуцированную скорость всех верхних вихрей, вторые — всех нижних, знак (1) у суммы показывает на то, что в суммах член, отвечающий — 0, выпадает.
Все вторые производные от
+«(!)+8(1)
£出一押+唄'上8 "TЕ
обращаются в нуль при | = т)= 0. Между вторыми производными от первых сумм существует очевидное соотношение
@2 их * j Э2 vyЭ2 их Э2 vx @2 j
Подсчет показывает, что
=0=0г《 2 (Л/2)3/3_6加仅一1/2)/际 论2 [(也一1/2)2? + ь2]5
=0
=0
2方8一6方（也一1/2）2* ［仅一1/2）2?2 + 从］3
『ch2(jtb /) —3/8 —
следовательно, 02 %^ = -24следовательно, 02 %^ = -24/5 9Д 82% /办 加办/5 9Д 82% /办 加办
следовательно, 02 %
^ = -24
следовательно, 02 %
^ = -24
/5 9Д 82% /办 加办
/5 9Д 82% /办 加办
Уравнения возмущенного движения высших приближений будут иметь вид
(2.2)(2.2)^- = А^—А^+Х*,血=—2 確 т] + У*
(2.2)
(2.2)
d/d/
где X* и У* ——голоморфные функции вблизи начала координат, разложение которых по степеням £ н м начинается с членов не ниже третьего порядка.
Таким образом, исследование вихревых дорожек в случае Жуковского приводится к исследованию уравнений (2.2), характеристическое уравнение которых имеет два нулевых корня. Случай этот относится к тем особеннымг когда не только определитель, но и минор его при * = 0 обращаются в нуль. Чтобы сделать заключение об устойчивости интегралов этой системы, рассмотрим сначала уравнения второго приближения
逃=力守—4俏血=-24自т］逃=力守—4俏血=-24自т］(2.3)(2.3)
逃=力守—4俏血=-24自т］
逃=力守—4俏血=-24自т］
(2.3)
(2.3)
которые допускают частный интеграл вида
空=湾， n=o
из которого непосредственно следует неустойчивое изменение 自
小一1点
Для окончательного решения вопроса нужно показать, что члены высшего порядка Х(з), У(з)не могут интегралы системы уравнений (2.3) обратить в устойчивые.
Чтобы это показать, рассмотрим уравнение
的一2&п + У(з)
■^—pf+ Х(з)№
Докажем, что из уравнения (2.4) можно определить голоморфный интеграл, обращающийся в нуль при ^ = 0.
Допустим, что этот интеграл представлен под видом ряда
T] = a* l+a&+i ¥+1 + …
Введем замену, положив
刀=嗎 у(з)= н屮⑶z) Х《з)= &з屮& %)
тогда уравнение (2.4) примет вид
Е 包=—2 f —2z+g(p (&, 2)
旅1一炉+帥售,z)
Правая часть будет голоморфной функцией Е н z вблизи начала и при Е = 0, z = 0 обращается в нуль.
216
Следовательно, уравнение это примет вид
自 = -3z + q 自 + Z （自,z）
где Z（^ z） — голоморфная функция 自,z, уничтожающаяся при 自=z = 0.
Коэффициент при z в правой части не равен целому положительному|Чис* лу, а этого вполне достаточно для возможности удовлетворить уравнению* голоморфной функцией переменной Е, уничтожающейся при ^ = 0.
Пусть решение это представится в виде ряда, если сх 声 0,
7=&自+为耳+ %守+…
Тогда голоморфный интеграл уравнения （2.4） примет вид
n=瓦自2 +瓦自3 +…
Воспользовавшись этим интегралом, первое уравнение системы （2.3} можно преобразовать к виду
穿=赞+儿仔+…
Это уравнение достаточно ясно говорит о неустойчивости движения.
Таким образом, в случае, разобранном Жуковским, вопрос об устойчивости решается уравнениями высших приближений и в отрицательном смысле. При условии ch （лб//） = ]/3 вихревая дорожка неустойчива.
Решение вопроса устойчивости в случае Кармана. Уравнения возмущенного движения, которые получил Карман, имеют вид
北乂iГ+V" Six —£iX | tT写 皂Х-备儿
dt2w ,厶 （％—儿）2,2 ' 2口《 々 [（x+1/2 —X） 1 + ibV
Л=—8九=—8/Q 1 \
—F +8戶 「F 十8 （1） у уI •'
此2 乂一[r у 备*一Е + Zрy с2算一点入
F =一夯’[（m4И/》一九乂 + f6]2 十石".乙 （X -X）2/2 自^—8入=—8
где знак （1） у сумм указывает на то, что слагаемые при х = X должны быть опущены; х принимает значения от — оо до + оо и ^1к = |1К + it）1k; ?2h ="2*+询2K.
Для упрощения исследования Карман находил частный интеграл системы уравнений （3.1） под видом
известные функции от <р1известные функции от <р1卩 2 /2/2 ch2 （лб//）卩 2 /2/2 ch2 （лб//）Biz = £尹仅 偌 =小炉例у =贏瓜况+1 /2）叱小*=小e（К+1 /2）№
известные функции от <р
1
известные функции от <р
1
卩 2 /2/2 ch2 （лб//）
卩 2 /2/2 ch2 （лб//）
号徵=Ah 一陶+ егы
^* =禹+归出+%
（3.2>
~ — = —总小一iB 自工-сТц, I ar
彳^ 普=,一/*2+'"%-cе1
для определения функций £, тц, ^2, т）2 получаются уравнения
Коэффициенты А, В и С —
4（屮）=
ЗТф 1（р2 冗2
b （ф）=空 sh [（冗一屮）6/4 J 冗2 sh （屮64）
（屮）_—ch"（欣/）r-F丽而分
C ⑹=_型 ch [（冗一中）6〃] , № 由（屮64）
JT ch%ib〃） 尸万 ch?”//）
Характеристическое уравнение этой системы имеет корни 左=± （归士m^^）
Если для некоторого значения ср будем иметь, что Л2——С2>0, то среди корней характеристического уравнения будет корень с положительной вещественной частью. Поэтому для устойчивости необходимо, чтобы А2 — —— С2 С 0 для ср, изменяющегося от 0 до 2л. Этому неравенству можно удовлетворить, если положить ch (лб/Z) = ^2.
Это условие является необходимым, но недостаточным, так как корни при этом обращаются в чисто мнимые, а это, как показал Ляпунов, приводит к критическим случаям, и по первому приближению об устойчивости ничего сказать нельзя. Вопрос устойчивости для этой системы частных интегралов должен решаться уравнениями высшего приближения.
Покажем, что условие ch (лЬ//) = )/2 не является условием устойчивости.
Если некоторая система дифференциальных уравнений имеет устойчивый частный интеграл, то это еще не значит, что общий интеграл будет изменяться устойчиво; если же один из частных интегралов неустойчивый, то и общий интеграл будет тоже неустойчивым.
Докажем неустойчивость одного частного интеграла системы уравнений Кармана.
Найдем систему частных интегралов этих уравнений при следующих начальных данных:
В1Х = ?1> 自纟乂 =—我 Л?>С Л?» П?х = —^l (一OoW>cW+8
Если в начальный момент эти равенства имеют место, то и вообще в любой момент времени они будут существовать, т. е. систему интегралов можно определить под видом
自工乂 = 自工,^8乂 =-自工，n1 乂 =n1n2乂 = 一Л1
Функции 自1 и 刀1 будут удовлетворять двум дифференциальным уравнениям
2 区—2巾)2 + [候—1/2) /-2&F一m产 + 伊一1/2)2 分
回 =_工 У 伐一1/2)2-2glr R (也一1/2乂
~dt 2л 在且R (b-2Th)2 + [(场一1/2)，-2瓦]2 十"^ 用二8 旷+(也一i/2)2 *
в которые обращаются точные уравнения после их преобразования.
В раскрытом виде эти уравнения примут вид
黑= атц + X,普=嚙1 + 1
где
_a = R 2 [(l/ZM-bZ] * y(1/2)"2一从 _ 2d
~ N [方2+ 优一1/2)2一 上少 + (左一 1/2)2 "-/2 ch (2就勿)
Характеристическое уравнение этой системы
--х aОС-• X--х aОС-• X=0=0
--х a
ОС-• X
--х a
ОС-• X
=0
=0
имеет корни х1>2 = ± а, из которых один положительный, этого вполне достаточно для неустойчивости.
Таким образом всегда можно найти частную систему интегралов уравнений (3.1), удовлетворяющих некоторым начальным условиям, и эти интегралы будут неустойчивые.
Можно также доказать неустойчивость некоторых интегралов из класса, рассмотренных Карманом.
218
Полагая 屮 =0, уравнения (3.2) можно преобразовать к виду
穿=4(%一仙)+k 粤=4备t2)+У
d(3.3)
勿= 4(%—啕+x,^ = a^-^+y
atat
Из уравнений (3.3) получаем
£-自2 = q,%一小=%
следовательно,
d£/df = с&т, di]i/dt = pi
откуда
£ = a/ +自J, 小=6" + %。
В заключение можно сказать, что противоречия в условиях устойчивости, данных Карманом и Жуковским, не существует： оба условия
ch (л&//) = у 2, ch (л&//) = рЗ
не являются условиями устойчивости.
Метод, которым решали задачу Карман и Жуковский, имеет принципиальные возражения в самой основе.
При выводе уравнений возмущенного движения в обоих случаях предполагалось, что центр одного вихря или центры вихрей вихревых дорожек получили перемещения, при этом совершенно не рассмотрен вопрос о возмущающих причинах, производящих эти перемещения. Из элементарных соображений энергия возмущающих причин в обоих случаях должна быть бесконечностью. Это следует из представления вихря в идеальной жидкости, как кинематической картины движения безграничного объема жидкости с определенным полем скоростей. Кроме того, на вихревые дорожки, движущиеся за телом, нужно смотреть не как на естественное движение жидкости, а только лишь как на схему явления, которая до некоторой степени отвечает естественному движению жидкости.
Принцип наименьшего сопротивления. Вопрос о движении твердого тела в реальной жидкости до настоящего времени не решен и даже нет методов его решения. Обычно, когда решают задачу движения тела в жидкости, предполагают жидкость идеальной, однородной, несжимаемой, движение ее непрерывным и безвихревым. Так трактуется вопрос в основных исследованиях Клебша, Томсона и Тета, Кирхгофа, Л ямба, Чаплыгина, Стеклова, Ляпунова и др. В этих глубоких исследованиях вопрос решен не только принципиально, но и во многих случаях может быть доведен до конца.
Основываясь на дифференциальных уравнениях, полученных Клебшем, Ляпунов решил вопрос об устойчивости постоянных винтовых движений, которые может иметь тело при условии, если на тело и жидкость не действует никаких сил.
Указанные фундаментальные, во многом отношении ценные исследования не могут с достаточным приближением обрисовать картину движения тела в реальной жидкости. Трудность решения этого вопроса в общем случае заставила идти по пути построения отдельных схем, которые в некоторых частных случаях решают задачу о движении тела в реальной жидкости. Так поступил Кирхгоф в струйной теории, Прандтль и Чаплыгин в теории крыла аэроплана конечного размаха, аналогично поступил и Карман, давая вихревую теорию лобового сопротивления.
В этих приемах успешное решение задачи зависит от того, насколько выбранная схема движения жидкости отвечает естественному движению ее.
219
Во многом отношении эти теории зависят от экспериментальных данных и на них основываются.
При исследовании кармановских дорожек будем предполагать, что вихри за телом расположены шахматным порядком. Это положение будем считать экспериментальным фактом. Следовательно, задача наша будет заключаться в том, чтобы из всех математически возможных шахматных вихревых дорожек выделить ту, которая наиболее отвечает естественному движению жидкости.
В основу исследования положим ясный принцип наименьшего сопротивления для установившихся движений твердого тела в сопротивляющейся среде. Предварительно установим связь этого принципа с принципами устойчивости. Будем предполагать, что тело, движущееся в жидкости, может допускать целый ряд установившихся движений, которые производятся силами, приложенными к телу, и начальными импульсами. Только в этом предположении имеет смысл ставить задачу об отыскании минимума сопротивления.
Пусть ‘и ,2，•••，9п —величины, определяющие движение тела в жидкости. Для каждого установившегося движения будем иметь систему постоянных значений ^3°,
В некоторых случаях сопротивление ищется как интеграл уравнения движения твердого тела в жидкости. В этих случаях определение устойчивых постоянных движений твердого тела сводится к отысканию минимума сопротивления.
Движение, отвечающее значениям %, %, ...» qni которые обращают сопротивления в минимум, несомненно устойчивое. Это предположение является непосредственным следствием известной теоремы Routh'a об устойчивости движения, когда один из интегралов обращается в минимум. Более простое доказательство этого положения можно дать, основываясь на первой теореме Ляпунова [5]. Если дифференциальные уравнения возмущенного движения таковы, что возможно найти знакоопределенную функцию 匕 производная которой У' в силу этих уравнений была бы или знакопостоянной функцией противоположного знака с V, или тождественно равной нулю, то невозмущенное движение устойчивое.
Пусть Q (q* ,2，•••，^п) — выражение для сопротивления, причем значения %* %。，...,猴。обращают его в минимум. Рассмотрим движение, бесконечно близкое к данному, положив 仇=%。+ 修，тогда величины 修 будут удовлетворять некоторым дифференциальным уравнениям.
Возьмем функцию
V = Qo— Q(%。+%I, %° +%2,…，9n° +Xn)
переменных 尤心 尤加％n. Функция эта будет удовлетворять всем условиям первой теоремы Ляпунова, она будет знакоопределенной, потому что при Xi = ... = хп = 0, Vo — 0, при хг #= О V < 0, так как VQ — наибольшее значение ее. Производная этой функции У' тождественно равна нулю, потому что Q по условию интеграл уравнений движения, на основании чего заключаем об устойчивости движения %°, q^, ..., 9no.
В случае, когда сопротивление не является интегралом уравнения движения, можно утверждать, что если тело в своем движении выбирает путь наименьшего сопротивления, то величины, входящие в выражение для сопротивления, определяющие движения тела, изменяются устойчивым образом.
Пусть ‘1°, ‘2°, ••■, ^п° 一 величины, дающие движение, в котором тело имеет наименьшее сопротивление
Q(?i0>?20, ...,^°) = minQ
Рассмотрим возмущенное движение, характеризующееся величинами q产 + 修・ Движение будет устойчивое, если х^ + х^ + ^- + xn2 V е2, для t 3 Т.
Рассмотрим функцию
У =- Q («1°+%, %°+修qn+x^—Q. (%。, ％°qJ)
Эта функция обращается в нуль только при / = х2 =…=хп = 0, и, следовательно, она определенно-положительная.
Если тело в движении идет по минимуму сопротивления, то функция V убывающая. Следовательно, всегда можно найти такое е, чтобы возмущения xlt %2，…，хп были внутри сферы %/ 十也合 + ... + xn2 = е2, для любого момента времени, следующего за Т.
Вот те заключения, которые можно сделать об устойчивости движения твердого тела в сопротивляющейся среде, не зная уравнений движения его, а основываясь лишь на общих законах механики и на естественных движениях тела, которые мы можем наблюдать.
Рассмотрим вихревые дорожки Кармана с этой точки зрения, определим ту из них, которая дает наименьшее сопротивление. Возьмем интеграл количества движения и найдем условие, при котором он обращается в минимальное значение
Q = pr 十 е—2〃) + р 詣(4.1)
гдер = const, Г = const н 〃 =寺 th 毕 ——скорость вихревой дорожки для случая шахматного расположения.
Уравнения dQ/dl = 0 и dQ/db = 0 дают
®—2〃)+ —+ 2/—=0®—2〃)一2b 半=0(4.2)
где
2戸 \// cha (лЬ//)2戸 \// cha (лЬ//)(4-3)(4-3)〃 =—th —, 2//
2戸 \// cha (лЬ//)
2戸 \// cha (лЬ//)
(4-3)
(4-3)
曲=Fn 1
而 ™ 2P cha (л&//)
Из уравнений (4.2)
th(nb/l) = l/2nb
решая которое в отношении Ь//, получаем Ы1 = 0,245.
При таком соотношении вихревая дорожка будет давать наименьшее сопротивление.
Если уравнение (4.1) преобразовать с помощью уравнения (4.3), то сила лобового сопротивления выразится такой простой формулой
Q = p^4
Полученная формула по структуре похожа на формулу, которую дал Жуковский для подъемной силы. Для решения задачи необходимо иметь формулу, определяющую циркуляцию Г.
В первой работе Карман приводит формулу, определяющую величину циркуляции под видом F = W, которую он получил, исходя из соображений образования вихрей, как результат существования вихревого слоя около поверхности тела единичной длины, откуда непосредственно получается Г = vL
Если воспользоваться этой формулой для определения 〃/о, то получим u/v = 0,35, что очень плохо согласуется с действительностью. Несовпадение с опытом побудило Кармана этот результат из второй работы исключить, и этот вопрос считать нерешенным.
Несовпадение с опытом формулы для циркуляции Голубев объясняет тем, что скорость на поверхности тела не является постоянной и меняется от 0 до V. Беря среднюю величину р/2, получаем приближенную формулу Г ~ 叫2. Эта формула дает значение меньше наблюдаемых.
Воспользуемся уравнением (4.2) для определения циркуляции. Произве* дя вычисления, получим
Г = cvl где
с = 4冗入/(4冗2 入2 +1),X = b/l — 0,245
Подсчитывая отношение поступательной скорости дорожки со скоростью тела, на основании этой формулы
〃历=0,29
Если подставить значение циркуляции в формулу для лобового сопротивления, то получим обычный квадратичный закон сопротивления среды
Q = сри2b
у Кармана получается
Q=|0,793^о,314 ｛十у] р*/
При исследовании вопроса воздействия потока жидкости на цилиндрическое тело предполагалось, что вихри за телом могут размещаться шахматным порядком. Карман исследовал кроме шахматного еще параллельное расположение вихрей, и при его методе исследования такие дорожки получились неустойчивые, на основании чего из дальнейшего исследования он их исключил.
Из настоящего исследования они исключены по той причине, что эксперимент такого движения не обнаруживает. Рассмотрим их вкратце с целью подтверждения метода исследования.
Для прямого расположения вихрей будем иметь
Q = pF品9—2〃) + р击',^i мА ~T
Условие (4.3) для этого случая примет вид
th nbll — nbll
Этому уравнению можно удовлетворить только одним значением Ы1 = 0, что может быть, когда & ~ 0 или / = оо, в обоих случаях вихревой дорожки не существует. На основании этого можно сделать заключение о невозможности такого движения в действительности, хотя математически оно возможно.
Литература
77е Karman. Ober den Mechanismus des Widerstandes, den ein bewegter Korper in iner Flussigkeit erfahrt. Gottinger Nachrichten, 1911, Heft 5, s 509, № 12.
H, E. Жуковский. Полное собрание ссянЯенггй, том V. Изд-во АН СССР, 1937.
Н. И. Ахиезер, К вопросу об устойчивости вихревых улиц. Матем. сб., 1927, т. 34, вып. 3—4.
В. В, Голубев. К теории вихревых дорог Кармана. Матем. сб., 1933, т. 40, вып. 1.
4 М. Ляпунов. Общая задача об устойчивости движения. ОНТИ, 1935.
А. М. Ляпунов. Исследование одного из особенных случаев задачи об устойчивости движения. Матем. сб., 1893, т. XVII, вып. 2.
НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ КРЫЛА АЭРОПЛАНА
Основные предложения и определения. Теоретические исследования динамической устойчивости самолета, а также исследования вибраций его крыльев приводят к необходимости иметь формулы, которые прежде всего определили бы подъемную силу и момент давления воздуха на крыло при произвольном его движении. Эта задача впервые решалась С. А. Чаплыгиным для крыла бесконечного размаха при условии постоянства циркуляции скорости по контуру крыла. При построении потока, обтекающего колеблющееся крыло, периоды колебаний предполагались настолько малыми, что изменением циркуляции, происходящим от колебания крыла, можно пренебрегать.
В предлагаемой работе устанавливаются структурные формулы для силы и момента давления воздуха на крыло в неустановившемся движении при переменной циркуляции. Задача решается для крыла бесконечного размаха.
Поступательное движение крыла с постоянной скоростью У。будем называть основным движением, вращение его около связанного с ним центра с угловой скоростью со, а также движение центра вращения с переменной скоростью и будем называть собственным движением крыла.
Основное предположение, которым в дальнейшем будем пользоваться сформулируем так: если в некоторый момент времени к скорости каждой частицы жидкости, вызванной основным движением крыла, прибавить скорость, вызываемую собственным движением, то в данный момент времени движение жидкости можно считать установившимся со скоростями, равными геометрической сумме скоростей от основного движения и от собственного движения крыла.
Поток от собственного движения крыла не является стационарным, поэтому при вычислении силы и момента давления его на крыло необходимо этот поток считать установившимся, что и утверждается вышеизложенным.
Задачу неустановившегося движения можно бы ставить несколько шире; именно считать, что, кроме основного и собственного движений крыла, сам поток воздуха имеет некоторые дополнительные переменные скорости; например, от порыва ветра. Это дополнительное условие вносит усложнение в решение задачи, если считать скорость ветра непостоянной во всех точках профиля; если же скорость ветра заменить средней скоростью, то ход решения останется прежним. Поставленную задачу решим для случая тонких крыльев, считая возможным заменить профиль системой вихрей, расположенных по средней линии профиля. За исключением самого профиля, поток
будем считать свободным от вихрей. Кроме того, будем предполагать воздух несжимаемым и лишенным силы вязкости. Эти предположения необходимо сделать, чтобы упростить задачу до применения формул гидродинамики.
Вывод интегрального уравнения. Пусть в плоскости дан тонкий профиль со средней линией 4В. Отнесем его к системе координат хоу, неизменно с ним связанной. Уравнение профиля по отношению к этой системе у = 贝%) представляет аналитическую функцию. Возьмем вторую систему координат неподвижную ХоУ, ось X которой направим параллельно скорости VQ основного движения в бесконечности.
Собственное движение профиля АВ слагается из 1) вращения около точки。с угловой скоростью ①，одинаковой для всех точек профиля, и 2) движения точки。со скоростями и иу (см. фигуру).
Будем предполагать, что профиль можно заменить вихревой пеленой и циркуляцию каждого отдельного вихря подберем так, чтобы результирующая скорость частиц жидкости в обращенном движении была касательной к дуге ABt т. е. Vn = 0, где Vn — проекция результирующей скорости на нормаль. Для вывода уравнения, определяющего циркуляцию в точках профиля, подсчитаем проекции скорости на оси хоу.
Проекции скорости от основного движения на оси подвижных координат имеют величины Vo cos а и —Vo sin а, постоянные для всех точек профиля.
Проекции скоростей собственного поступательного движения иж и иу — тоже постоянные для всех точек профиля, а проекции скорости вращения равны —
Кроме этих скоростей в точке N(xlt 必)будем иметь индуцированную скорость от вихревой пелены, проекции которой на оси ох и оу выражаются
%=-*jr(s,f)Fds, 冷= *«(#)守 ds 00
где r — расстояние точки ^(x1,弘)до переменной точки М(х, у) с элементом ds・
Тогда проекции на оси координат результирующей скорости обращенного движения выразятся
—Кс = %cos а +(»% + ux—圭 ^ Г(s, /)"声幺 ds b&
一％ = — %sina—3*1 +徇+ ^ Jr(s,/)^^ ds
0
По условию результирующая скорость обращенного движения должна совпадать с касательной к профилю ЛВ, следовательно,
九/囈=д' (%i)
или в раскрытом виде
—Vosin а —со%! + — yf(Xi) [V0cos а 十〃J =
=止 f 導[(%-%>)+/(Xi)(9—弘)1 ds(2.1)
о
Считая х и у выраженными через s, заключаем, что уравнение (2.1) есть уравнение Фредгольма 1-го рода с неизвестной функцией r(s, /), причем время t можно считать как параметр. Если F(s, /) определена согласно уравнению (2.1), то построить поток, обтекающий профиль, в каждый момент времени, можно таким простым способом: следует покрыть дугу массами с переменной плотностью F(s, /), определить притяжение этой кривой некоторой точки N с массой, равной единице, при законе притяжения 1/г, полученный вектор умножить на 1/2冗 и повернуть около точки N на прямой угол в сторону, обратную вращению вихрей; полученный вектор и будет скоростью в точке N, Эту задачу всегда можно решить точно или приближенно.
Решение уравнения (2.1) в частных случаях. 1) Предположим , что профиль представляет прямую линию, которая вращается с некоторой угло вой скоростью около одного из концов.
Условия плавного обтекания в этом случае, как это следует из уравнения (2,1), для малых углов атаки можно записать
^^ds = I/oa+wso(3.1)
О
Ядро интегрального уравнения (3.1) имеет полюс в интервале интегрирования, поэтому без дополнительных физических ограничений решение этого уравнения невозможно, так как интегралы такого типа математического смысла не имеют. '
Условимся вообще под интегралами такого типа понимать
ьJ X—Х0ьJ X—Х0-Хо—ЕЬ-1
ь
J X—Х0
ь
J X—Х0
ff dx
J x — ^oJ % — %oe=0
一ax0+eiJei=O
Известно, что предел этого выражения зависит от изменения gj =(р(е) и для каждой физической задачи эта зависимость должна быть определена из ее условий. В нашем случае необходимо положить(р(е) = е, что следует из представления точечного вихря в идеальной жидкости, как предельного значения вихря объемного.
Индуцированные скорости прямолинейного вихря с площадью поперечного сечения в виде круга радиуса е даются формулами
1 г
W =(г > 8),吃= 3r(rVE)
Поэтому, рассматривая действие всех вихрей на профиль, необходимо для каждого вихря отрезок длиной 2е из интервала интегрирования выкинуть по закону е = &1,.т・ е. взять главное значение интеграла.
При этих ограничениях уравнение (3.1) можно решить с точностью до произвольной постоянной, которая определится из условия плавного схода потока с задней кромки крыла
% 15 Зак 3126225
Г (/, ct) = О, I (О, cz) ~ О
Представим решение уравнения (3.1) в виде r(s,a) = coro ⑸+а口⑸
Функции ro(s) и ^(s) будут удовлетворять двум уравнениям
—rfs = s0(3.2)
J s—So 0
一广(m~包曲=兀(3.3)
o
Решение уравнения (3.3) дает циркуляцию для прямолинейного профиля в случае установившегося движения
П6) = 2几П6) = 2几
П6) = 2几
П6) = 2几
Решение уравнения (3.2) дает циркуляцию для параболического профиля в установившемся движении при нулевом угле атаки
Г。（2/]/彳+ 2//宁（1 一勺
Общее решение уравнения (3.1) представляется в виде
Г ⑸—2ali/()Г ⑸—2ali/()+ з/+ з/+ 2+ 2
Г ⑸—2ali/()
Г ⑸—2ali/()
+ з/
+ з/
+ 2
+ 2
Подъемная сила профиля определится по формуле
р = р Уо Г (s, a) ds
Выполняя интегрирование, получаем
Р = naZpV02 + 3/4(о 1/0 р/2(3.4)
Момент относительно передней кромки выразится формулой
М0 = р ^o^sf (s,'a) ds
Подсчеты даюг
M^^-pV^aP+^pV^P(3.5)
44
Центр давления найдется по обычной формуле
Первые члены формул (3.4) и (3.5) дают выражение подъемной силы и момента для прямолинейного профиля в установившемся движении. При 3 = 0 получается, как частный случай, теория плоского крыла в плоскопараллельном потоке установившегося движения.
Пусть профиль имеет среднюю линию, выраженную уравнением у = у(х), которое представляет аналитическую функцию. Предположим, что 226
профиль кроме основного движения с постоянной скоростью параллельной оси ох имеет вращение с угловой скоростью ① = da/df.
Для случая малых углов атаки и малой кривизны профиля условие плавного обтекания можно записать формулой
или
(3.6)(3.6)удов-(3.7)(3.8)удов-(3.7)(3.8)—-L. С「" °")dx = VQyf (%о) + % а + ①/ о
(3.6)
(3.6)
удов-
(3.7)
(3.8)
удов-
(3.7)
(3.8)
Решение уравнения (3.6) можно представить в виде
Г (х, а) = Го (х) + а Г1 (х) + qГ2 (х)
где rj(x) — функция, определенная уравнением (3.3), Г0(х) и Г2(х) летворяют уравнениям
2л J х— о
Решение уравнения (3.7) всегда можно найти под видом функции
Го(%) = ^о|/^~^ +1/^-/- (1—у24#
Коэффициенты Ло, Аъ Л2, ... определяются из отождествления степенных рядов левой части уравнения (3.7), полученной в результате интегрирования, и правой от разложения р'(尤о) по степеням х0.
Зная циркуляцию вихрей в каждой точке профиля, построить поток, вычислить подъемную силу и момент не представляет никакого труда. Если профиль совершает простое гармоническое колебание, то уравнение (3.6) примет вид
F("『'dx = VQyf (%) + Vo а0 sin kt + x0 a0 k cos kt(3.9)
о
где
a = a0 sin 阮， ①=da/dt = a0 ^ cos kt
В общем случае какого угодно колебания решение уравнения можно представить в виде тригонометрического ряда
Г (х, /)= £ (Гп (%) sin 欣 + Гп (» cos 加)
В данном случае
Г (х, f) =「о (%) + Г\ (х) sin kt +(%) cos kt
где Г0(х), Гх(х) и Г2(х) — функции, удовлетворяющие уравнениям
2л J х—х02л ^ х 一х0
L f Г2 .⑷ d% = 々
227227о
227
227
16 Зак. 3126
Эти уравнения всегда можно решить точно или приближенно, и решение окончательно может быть представлено в виде
Г (х, а) = Го (%) + 叫(%) + 3r2 (%)
где а и со — определенные функции времени.
§ 4. Заключение. Изложенным методом можно определить воздействие потока на крыло при произвольном его движении и скорость основного движения можно считать переменной. Последний случай представляет интерес, так как при взлете и посадке движение самолета будет неравномерное.
В изложенном методе предполагалось, что поток за крылом безвихревой, как это считал Чаплыгин в вышеуказанной работе. В действительности, за крылом будут образовываться вихри, аналогичные кармановским, влияние которых нужно было бы учесть.
Теория крыла в установившемся движении, построенная в предположении безвихревого потока за крылом, дает достаточно хорошее совпадение с опытом, хотя существование этих вихрей экспериментально подтверждено.
Будем надеяться, что полученные формулы дадут достаточно хорошее совпадение с опытом.
ТЕОРИЯ КРЫЛА
В ЗАКРИТИЧЕСКОЙ ОБЛАСТИ
Циркуляционная теория крыла, построенная Жуковским, позволяет с достаточной степенью точности определить величину подъемной силы крыла только на малых углах атаки, не превышающих критического, начиная с которого зависимость коэффициента подъемной силы от угла атаки перестает быть линейной. При углах атаки, больших критического, опытные значения подъемной силы резко отклоняются от теоретически найденных, и одновременно с этим наблюдается значительный рост лобового сопротивления, природа которого отлична от известных составляющих сопротивления, именуемых профильным и индуктивным. Эти обстоятельства вынуждают считать критический угол атаки пределом приложимости теории Жуковского.
Недопустимо большое расхождение экспериментальных и теоретических значений подъемной силы на больших углах атаки объясняется тем, что схема движения жидкости, предложенная Жуковским для представления движения реальной жидкости около профиля, не учитывает факторов, которые в закритической области являются основными, определяющими общие свойства движения реальной жидкости. Согласно представлениям Жуковского, поток идеальной жидкости, обтекающий профиль, обладает свойством потенциальности во всей внешней по отношению к профилю области. Внутри же профиля помещается вихрь, создающий циркуляцию скорости по профилю. Величина циркуляции определяется в соответствии с предположением о совмещении острой кромки профиля с точкой схода. Движение жидкости считается установившимся.
Все эти предположения в области малых углов атаки согласуются со свойствами движения реальной жидкости и весьма точно позволяют определить силовое воздействие потока на профиль.
В закритической же области картина движения жидкости резко меняется: поток, обтекающий профиль, перестает быть потенциальным: за крылом образуется область, заполненная вихрями, вследствие чего движение становится неустановившимся.
Обширный экспериментальный материал, посвященный исследованию весьма сложной картины движения жидкости за плохо обтекаемым телом, несмотря на противоречивость некоторых отдельных экспериментов, позволяет сделать заключение (общепринятое в настоящее время) относительно общих свойств движения реальной жидкости за цилиндрическими телами.
Большим числом тщательно поставленных экспериментов установлено, что на значительном диапазоне чисел Рейнольдса картина движения за телом меняется периодически. Это явление впервые было обнаружено Струхалем в 1878 г. и записано в виде известного закона о пропорциональности частоты колебаний в зависимости от скорости.
Впоследствии этот закон неоднократно проверялся в различных авторитетных лабораториях. При более тщательном исследовании была вскрыта причина периодичности движения. Удалось установить, что тело обладает способностью периодически сбрасывать с себя вихри и, что эти вихри располагаются в два параллельных ряда в шахматном порядке, (фиг. 1). Впервые эта картина была зафиксирована Бенаром в 1906
следовалась как экспериментально, так и теоретически.
Оказалось, что образование и периодическое отделение вихрей с поверхности тела являются общим свойством движения реальной жидкости около плохо обтекаемых тел на весьма значительном диапазоне чисел Рейнольдса.
В 1912 г. Карману удалось построить известную теорию лобового сопротивления, основанную на исследовании шахматных вихревых цепочек, и получить общую формулу для силы лобового сопротивления.
Имея в виду предпосылки теории Кармана, приведем краткий перечень основных работ как теоретических, так и экспериментальных, посвященных исследованию движения жидкости за плохо обтекаемыми
телами.
К серьезным работам, прямо или косвенно подтверждающим предпосылки теории Кармана, можно отнести прежде всего работы Бенара, опубли- ванные в 1908—1926—1928 гг., работу Молокка (1907 г.); исследования Рябушинского (1911 г.), проведенные с колеблющимся маятником; работы лорда Рейли, Фейджа, Бленки ——Фукса——Либерса, Туссена, Леперта, Дункина и др. -
История вопроса и описание проведенных экспериментов подробно освещены в статьях Бенара в Comtes Rendus Acad. Paris (/ 183, 1926, p. 201; f 187, 1928, p. 1028 et 1123).
Все перечисленные работы, а также работы последних лет, проводимые ЦАГИ по определению чисел Струхаля на большом диапазоне чисел Рейнольдса (до нескольких миллионов), значительно расширяют область применения схемы Кармана, и в настоящее время эта схема не может не являться основанием для удовлетворительного представления движения жидкости около плохо обтекаемых тел.
Указанная особенность движения вязкой жидкости около профиля, связанная с образованием вихрей за телами, не учитывается циркуляционной схемой Жуковского, в результате чего на больших углах атаки наблюдается резкое расхождение теоретических и экспериментальных значений подъемной силы и появляется значительная сила лобового сопротивления, совершенно не учитываемая теорией Жуковского.
Несомненно, что и на малых углах атаки, в докритической области, движение жидкости за профилем не является потенциальным и установившимся.
но в силу незначительных размеров завихренной области влиянием ее на подъемную силу можно пренебречь.
На больших же углах атаки, как видно на фиг. 2, это пренебрежение ведет к недопустимым погрешностям. Заштрихованная область определяет собой отклонение теоретической подъемной силы от экспериментальной.
При построении теории крыла в закритической области будем предполагать:
Жидкость идеальной всюду, за исключением очень тонкого пограничного слоя, прилегающего к поверхности профиля.
С поверхности профиля периодически срываются вихри, центры которых располагаются в два параллельных ряда, в шахматном порядке.
Движение обладает потенциалом скорости всюду, за исключением центров сброшенных вихрей.
Циркуляция скорости по профилю отлична от нуля.
Движение жидкости около профиля, соответствующее нашим предположениям, представлено на фиг. 1.
Если пренебречь размерами пограничного слоя, то поставленную задачу можно решать методами, принятыми в теории идеальной жидкости. Образование же вихрей и появление циркуляции скорости по профилю согласно современным воззрениям можно объяснить действием силы вязкости внутри пограничного слоя. Вследствие периодического сбрасывания вихрей с поверхности профиля, как уже упоминалось, движение жидкости является неустановившимся и все основные элементы движения будут явно зависеть от времени. Нас же интересуют средние значения этих элементов и в первую очередь средние значения подъемной силы и силы лобового сопротивления. Эти осредненные величины, являясь основными характеристиками крылового профиля, представляют наибольший интерес с точки зрения приложений.
Средние значения подъемной силы и лобового сопротивления определим интегралами
t+r叶丁
尸* =糸 j p^dt' Q*=^ j Q«)威
Аналогичным интегралом запишется среднее значение циркуляции скорости по профилю крыла
r*=+ f г (О л
В этих формулах Т — период времени, потребный на образование одной пары вихрей.
Предполагая, что вдали за телом устанавливается движение, полностью соответствующее картине, описанной Карманом (фиг. 1), и применяя к этому движению известную теорему о количестве движения, получим уравнения для определения Р и Q
Р +『pdx =
В левых частях этих уравнений интегралы вычисляются по контуру L, точки которого достаточно удалены от поверхности тела; в правых частях— по площади, ограниченной контуром L и профилем Lx (см. фиг. 1),
Уравнения (1.1) можно представить в виде
Q—泳=京 JJp(%—%)do + f p(dg + idx)(L2)
Принимая во внимание, что
* Н Р (% — %) do =专 J“ (％—ivy) do +
+ Jp(% 一切力(%由-% dx)
где d/dt означает производную, взятую в предположении, что контур L неподвижен, и заменяя давление в его точках значением, взятым из интеграла Лагранжа
Р= —~^(%2十砧一Р謂+尸⑴
получим
QTP=_ _^_JJp(%T%)do — pj 祭(dg +也)_鼾(豊『虑
厶0 L厶0 LПринимая во внимание периодичность движения и интегрируя последнюю формулу по времени в пределах от 0 доТ, приходим к известному уравнению, определяющему средние значения подъемной силы и лобового сопротивления [1]
厶0 L
厶0 L
dt
в котором z = % + iy, w = ср + ii|).
§，2・ Рассмотрим вначале поступательно-циркуляционное движение жидкости около цилиндра при наличии вихревой цепочки за цилиндром.
Комплексный потенциал, характеризующий это движение, может быть представлен в виде
k⑵=7。h + ?Ж^一吸 : 卜П土^一也个^ (2-1) n—\z — ——г―
где Г — зависящая от времени циркуляция скорости по окружности радиуса а; ДГ — циркуляция скорости по контуру, охватывающему один вихрь цепочки; % и%/——комплексные координаты центров вихрей, находящихся вне цилиндра; c^/zn и 犀/zJ —координаты центров внутренних вихрей.
Все эти координаты необходимо считать функциями времени. С помощью функции (2.1) можно записать движение жидкости около цилиндра для любого фиксированного момента времени.
Если теперь внешнюю по отношению к цилиндру область конформно отобразить с помощью известной функции 白=/(г), переводящей точки окружности в точки профиля, а внешнюю область окружности ——во внешнюю область профиля и заменить в формуле (2.1) величину г на 《,то в результате получим комплексный потенциал, характеризующий поступатель- 232
но-циркуляционный поток жидкости около профиля крыла при наличии за крылом вихревой цепочки.
Координаты гп и z^' необходимо подобрать так, чтобы в результате преобразования соответствующие точки 之九 и С九'образовали вдали за телом шах матную вихревую цепочку.
Вычисление интегралов, фигурирующих в формуле (1.3), можно про извести, не определяя движения жидкости в течение всего промежутка времени от / — 0 до t =^ Т. Эти интегралы можно вычислить, зная значение функции ср для моментов времени / = 0 и / = Т, а также подсчитав величину dW/dz Д.Л51 тех же моментов времени.
Проводя вычисления, связанные с подсчетом интегралов формулы (1.3), приходим к известным формулам, определяющим подъемную силу и лобовое сопротивление профиля 円(стр. 89—102)
Р* = ри°|ГЧ Q* = p^±L(2〃_%—^^(2 ⑵
Первое уравнение определяет величину подъемной силы и по внешнему виду ничем не отличается от известной формулы Жуковского, Второе уравнение представляет силу лобового сопротивления и тождественно с формулой Кармана.
В дальнейшем эту составляющую силу лобового сопротивления в отличие от других составляющих будем обозначать Q左.
Формулы (2.2) сводят задачу о подсчете силы воздействия потока на профиль крыла к определению величин Г, ДГ, Ли/, где / —— расстояние между соседними вихрями, а й — расстояние между цепочками.
Уравнение, определяющее силу лобового сопротивления Q左,справедливо для любых значений й и / и ничем не связано с ошибочным соотношением Кармана, дающим связь между 九 и / в виде
ch (nh/l) = )/2
Это соотношение получено Карманом из рассмотрения устойчивости вихревых цепочек обычным методом малых колебаний с помощью исследования членов первого приближения в уравнениях возмущенного движения.
Более тщательные исследования этого вопроса, учитывающие влияние членов высших порядков, привели к заключению, что при любых соотношениях между й и /, в том числе и при условии Кармана, вихревые цепочки не обладают устойчивостью в бесконечно малом, и, следовательно, условие Кармана нельзя считать обоснованным.
В дальнейшем мы будем пользоваться соотношением между 九 и /, выведенным из критерия наименьшего изменения энергии, который в применении к задаче о равномерном движении твердого тела в жидкости можно заменить критерием экстремального сопротивления (минимум или максимум Q月).
Действительно, энергия Е, затраченная в единицу времени на продвижение тела, выражается величиной
E = \Qv0\
и, следовательно, уравнение 6Е — 0 в данном случае эквивалентно уравнению
6&| = 0(2.3)
Если вариацию b\Qh\ в нашей задаче подсчитать при условии изменения й и / и при этом считать АГ величиной постоянной, то из уравнений
dQk/dh = Oi dQJdl^Q
без труда можно получить два соотношения между /1, Z и ДГ
th ло = — , АГ — с% I(2.4)
где [2]
о =力〃 =0,245, с = 4по/(1 + 4л2 а2) = 0,91
При этих условиях формулы (2.2), определяющие силовое воздействие потока на профиль крыла в закритической области, запишутся в виде
■ P* = pu0|「J, Q『p%|A门 о(2.5)
[Первая из этих формул доказывает теорему Жуковского для закритической области. Вторая формула, аналогичная первой, утверждает, что сила лобового сопротивления пропорциональна плотности, скорости в бесконечности и циркуляции скорости по контуру, охватывающему одиночный вихрь цепочки Кармана,
При этом коэффициент пропорциональности о является универсальным и равным 0.245.
Заменяя в выражении Q^ величину ДГ ее значением по формуле (2.4), получаем новое выражение для силы лобового сопротивления
Qk = cpv\h
из которого следует, что сила QA пропорциональна ширине завихренной области.
Обращаясь к уравнению (2.5), мы замечаем, что определение величин Р* и Qk сводится к подсчетам циркуляции Г* и ДГ. Эти величины своим происхождением обязаны силам вязкости, заметно действующим в пограничном слое, и вследствие этого не могут быть подсчитаны способами, применяемыми в идеальной жидкости.
Для определения этих величин необходимо было бы] обратиться к анализу уравнений вязкой жидкости. Однако при решении этой задачи с помощью уравнений вязкой жидкости возникают некоторые особые затруднения, делающие задачу весьма сложной.
Обходя трудности, связанные с анализом уравнений вязкой жидкости> мы можем получить одно соотношение между Г и ДГ, исходя из следующих соображений.
Рассмотрим процесс изменения циркуляции Г(/) и образования циркуляции ДГ за период времени Т. Обозначая через Гтах>「mm и Г* наибольшее, наименьшее и осредненное значения「(f), которые может принимать эта функция за период Т, и принимая во внимание, что циркуляция нижнего и верхнего рядов вихрей отличаются только знаком, мы на основании известной теоремы Томсона о постоянстве циркуляции можем записать
Fmax—Fmhi =厶「(3」)
Предполагая далее, что циркуляция скорости, потерянная крылом за период времени Т, равна циркуляции одиночного вихря цепочки, будем иметь
АГ = 4^noasin (« + ₽)—Г*(3.2}
Это уравнение уже не является следствием уравнений движения и нуждается в экспериментальной проверке.
Имея в виду обоснование уравнения (3.2), рассмотрим определенный случай нашей задачи. Предположим, что профиль крыла поставлен под углом атаки 90°, и для простоты будем считать его плоской пластинкой.
Решение этой задачи, предложенное Кирхгофом, как известно, приводит к значению силы лобового сопротивления, почти в два раза меньшему экспериментального. Согласно этому решению коэффициент лобового сопротивления равен [3]
Сх = л/(4 + л) = 0,44
Эту же задачу без труда можно решить с помощью уравнений (2.5) и (3.2).
Действительно, при а = 90° среднее значение подъемной силы равнс нулю, следовательно, Г* — 0, а ДГ = 4лу0а.
Подставляя это значение в выражение для Q^, получим численное значение силы лобового сопротивления
Qh = 4冗%2 apg
Коэффициент лобового сопротивления пластинки определяется формулой 盡=ла = 0,77
Эта формула указывает, что даже в предельном случае уравнение (3.2) приводит к значению лобового сопротивления, весьма близкому к экспериментальному и является косвенным подтверждением сделанного предположения о потерянной циркуляции и справедливости уравнения (3.2).
С целью дальнейшего подтверждения этого уравнения перейдем от сил Р* и Qfe к коэффициентам, положив
Р* = Су р暗 b,Q左=Ck р%2"
Обозначая отклонения теоретического коэффициента подъемной силы от экспериментального через ДСу и принимая во внимание формулы (2.5), получим уравнение, связывающее Ск и Су:
盡= оА&,(4.1)
Последнее уравнение поддается простой экспериментальной проверке. Имеется обширный экспериментальный материал по продувкам самых разнообразных профилей на большом диапазоне чисел Рейнольдса. Этот материал с успехом может быть использован для проверки уравнения (4.1).
Стандартные диаграммы, характеризующие аэродинамические свойства прямоугольных крыльев и пересчитанные обычным методом Прандтля на плоский поток, представляют значение коэффициентов Суоо и СЛОО в функции угла атаки. Кривые 0^(») и СЛ00(а), построенные указанным способом, приближенно характеризуют свойства профиля на всем диапазоне углов атаки и за отсутствием экспериментальных значений C^g и Схоо могут быть использованы для нашей цели. Если теперь дополнительно к указанным кривым присоединить теоретическую кривую, построенную по уравнению
Cy = aosin(a + ₽)
то из полученных таким образом диаграмм можно определить экспериментальные значения и ДСу.
Воспользовавшись уравнением (3.2) и вычитая из коэффициента СЛСО значение коэффициента трения Ср будем иметь
ACg = a。sin (а + В)—。产，盡=&8 — Су(4.2)
Значения коэффициентов Су и Сд уменьшены в два раза по сравнению с общепринятыми в настоящее время.
Фиг. 3. Профиль Р-П-18 (Re — 8 50 000 а0 = О= 0,233)
/ — С；： 2 —С；; 3 —C//8 = f (а); 4 —ACg=f (С力)；5 —С力(а)
Фиг. 4. Профиль ЦАГИ-В 22% (R = 3 50 000, %=—2°,九=5, а。= 2,44, Схтщ = =0,0 012, о = 0,209)
/—С；； 2 —&; 3 —С左(а)； 4—ACy=f(C力)；5 —Cg8 = f((X)
Полагая % постоянным на всем диапазоне углов атаки и принимая Сх mg за Су, мы можем построить зависимость Ck от АС^，взяв их значения из эксперимента.
Исследования, проведенные для большого числа различных профилей, неоспоримо подтверждают линейную зависимость Ск от А& и одновременно дают экспериментальное значение коэффициента о, фигурирующего в уравнении (4.1), весьма близкое к теоретически найденному по уравнению (2.4) и равному 0.245. В качестве примера на фиг. 3 и 4 приведены результаты расчетов по полученным формулам.
На фиг. 3 построена зависимость Ck от угла атаки а по уравнению (4.1). Если каждую точку этой кривой сдвинуть на величину отрезка С* то согласно нашим предположениям мы должны получить значение для соответствующих точек.
Приведенные фигуры, на которых построенные точки легли весьма близко к экспериментальным, убедительно подтверждают справедливость сделанного предположения относительно потерянной циркуляции и, таким образом, доказывают справедливость уравнения (4.1).
Уравнения (4.1) и (4.2) могут быть использованы для построения кривой Cyg. На тех же диаграммах построены кривые Суоо(а) по уравнению
&оо = % sin (а + В) — С"п
Эти кривые являются наиболее наглядными в смысле подтверждения сделанного предположения.
В заключение необходимо отметить, что уравнение, аналогичное уравнению (4.1), получено в 1924 г. Визельсбергером [4] при испытании одного крыла с различной степенью шероховатости его верхней поверхности (поверхность с пониженным давлением). Данные этих экспериментов достаточно хорошо подтверждают полученные нами формулы.
Некоторые расхождения в кривых С/а), построенных по экспериментальным данным, и кривых &8(а), построенных по уравнениям, можно объяснить тем, что, во-первых, экспериментальные кривые C“g(ct) получены с помощью пересчета продувок прямоугольных крыльев на плоский поток и вследствие этого содержат в себе все неточности, связанные с этим пересчетом, во-вторых, некоторые точки могли выпасть за счет естественной ошибки эксперимента, если при этом еще учесть, что производить отсчеты нагрузок во время эксперимента в закритической области крайне трудно в связи с наличием сильной тряски крыла.
Если сопоставить значения составляющих сопротивления Ср Сх Jn и С左, то мы заметим, что в закритической области коэффициент J составляет всего лишь 2——3%. Коэффициент Сх in, несмотря на то, что в области С^тах он достигает наибольшего своего значения, в закритической области уже не играет главенствующей роли. В этой области весьма существенную роль начинает играть сопротивление Кармана, которое составляет более 50% всего сопротивления.
На фиг. 5 и 6 приведены экспериментальные кривые, взятые из продувок двух профилей серии ЦАГИ-В.
Наибольшее расхождение экспериментальных данных с результатами, полученными по уравнениям (4.2), было отмечено для профилей серии ЦАГИ-В 8% и ЦАГИ-В 10%. Особо большое расхождение получилось в кривых Су(а) и в экспериментальной зависимости Ck = /(ДСу) от теоретически найденной. Линейная зависимость Ch от АС^ начинается на очень больших углах атаки, значительно превышающих критический. В области же Сушах ата зависимость не будет линейной. В результате этого кривые
。产=% sin (а + В) — С"о
резко отличаются от экспериментальных кривых Су(а). Аналогичная зависимость Ck = /(АС/, не имеющая ничего общего с линейной, была получена в экспериментах Бетца и Л отца [4].
Это противоречие эксперимента с теорией разъясняется следующим образом: на фиг. 6 приведены две кривые Су(а) одного и того же профиля ЦАГИ-В 10%, полученные из продувок в трубах НК-1 и Т-1 ЦАГИ. Кривые, полученные в НК-1, так же как и для 8% профиля, не дают линейной зависимости Ск от АСд и ведут к значительным расхождениям экспериментальных и теоретических кривых. Те же кривые, полученные в трубе Т-1, дают линейную зависимость Ск от АС^ с коэффициентом о = 0,222, весьма близким к теоретически найденному.
Учитывая, что эксперименты в трубе НК-1 менее надежны, чем в Т-1, мы можем отнести несоответствие в экспериментальных и теоретических кривых за счет.эксперимента в трубе НК-1. Этим можно объяснить неудачный опыт Бетца и Л отца с профилем Жуковского.
Теперь получим общие формулы, определяющие коэффициенты аэродинамических сил в функции числа Струхаля. Эти формулы могут облегчить дешение вопроса о влиянии масштабного эффекта на величину аэродинамических сил. С этой целью найдем выражение числа Струхаля в зависимости от величин, входящих в формулу для определения сил. Закон Струхаля, как известно, записывается формулой
Sh = мЬ/и = const
где м ——частота, Ь —— линейный размер, и ——скорость.
10 го 304〃 а °
Фиг. 5. Профиль ЦАГИ — В 8% (Re = 3 50 000» сх0 =—0,8°,九=5, а0^ 3,12, Cxmin = 0,0 029, 0 = 0,246)
/一吟 2-Ck (а); S — C；; 4 —%8=f«)； 5 —A%=f (喲；6-^Cy^f(Ck)
Фиг. 6. Профиль ЦАГИ—В 10%
Труба Т-1 (Re= 1 010 000； СХД1^П= 0,0056; %=2,56; o=0,250f 九=8)；
2一哈 3-吟 6-%(或))
Труба НК - 1(Re = 350 000; ^хщ1п= 0,005; % = 3,16; 0=0,222; %=эо);
/-%;4一味 5 一 厶％ = m成)；7 一 &Cy=t(CQ
Число п легко определяется через период времени Т, потребный на образование одной пары вихрей по формуле л = 1/Т. Период Т можно представить формулой Т=〃〃， где / — расстояние между соседними вихрями, и — скорость вихревых центров, определяемая известной формулой через гиперболический тангенс
и =——th—— 2//
Имея в виду формулы (2.4), можем написать
几=——%
4лЛ
Следовательно, число Струхаля можно представить в виде
(5.1)(5.1)Sh = —
(5.1)
(5.1)
4冗九
Определив из этой формулы величину 力 и подставляя ее в выражение для Qh, получим
Qk =Qk =4л Sh4л ShptVbptVbоткуда& =откуда& =4л Sh4л Sh(5.2)(5.2)
Qk =
Qk =
4л Sh
4л Sh
ptVb
ptVb
откуда
& =
откуда
& =
4л Sh
4л Sh
(5.2)
(5.2)
Таким образом, коэффициент сопротивления Кармана изменяется обратно пропорционально числу Струхаля.
Выражение коэффициента подъемной силы в функции числа Струхаля будем иметь более сложный вид
Qg = % sin (а + 0)—--—— (5.3) 4 Sh
Формулы (5.2) и (5.3), определяющие Ck и Суос в функции числа Струхаля, сводят задачу о масштабном эффекте к задаче об отыскании связи между числами Струхаля и Рейнольдса.
Формула (5.1) позволяет дать иную формулировку закона Струхаля. Согласно этой формуле условие подобия исследуемых движений имеет более ясный смысл hlb = const.
В результате вышеизложенного задача-о силовом воздействии потока на профиль сводится к определению одной величины ДГ.
Значение этой величины можно определить теоретическим путем, или привлекая уравнения вязкой жидкости, или с помощью введения нового предположения, аналогичного предположению Жуковского об острой кромке.
Первый прием приводит к весьма сложным вычислениям и к введению целого ряда интуитивных предположений, связанных с анализом уравнений вязкой жидкости. Второй прием, не являясь математически обоснованным, все же может быть использован для отыскания решения, соответствующего бесконечному Re.
Не останавливаясь на решении этого вопроса, используем уравнение (3.2) для решения основной задачи о крыле конечного размаха. Если бы нам и удалось определить ЛГ в функции угла атаки, то при решении задачи о крыле конечного размаха эту зависимость, в силу сложности выражения ДГ от а, не удалось бы использовать в решении основной задачи крыла конечного размаха.
Крыло конечного размаха с большим удлинением в закрити^еской области будем представлять известной схемой Прандтля с дополнительным вихреобразованием, аналогичным кармановскому. В отличие от плоской задачи в данном случае вихри необходимо считать замкнутыми и имеющими различную интенсивность в направлении размаха.
Считая, что в закритической области для крыльев с большим удлинением справедливы все общепринятые предположения, относящиеся к теории крыла конечного размаха, мы можем учесть влияние конечности крыла, пользуясь исходным положением этой теории о замене элемента крыла к。” нечного размаха таким же элементом крыла бесконечного размаха, поставленным под соответствующим углом атаки.
Руководствуясь этими соображениями, запишем истинный угол атаки элемента крыла конечного размаха в виде
аг = а — Да
где а ——геометрический угол атаки выбранного сечения, Аа ——угол скоса, создаваемый действием свободных вихрей, сбегающих с крыла.
Величину угла скоса можно представить известной формулой
J г—勿
т/2
еде / — размах крыла,马 一 координата выбранного сечения.
Эти формулы совместно с уравнением (3.2) приводят нас к основному интегральному уравнению нашей задачи
Г = а0 to0 sin (аг + ₽)—ДГ (аг)(6.1)
Функциональная зависимость ДГ(а) должна быть определена или при исследовании плоскопараллельного движения жидкости около профиля, или с помощью экспериментальных кривых.
Ввиду весьма сложной зависимости ДГ(а) удобнее пользоваться вторым приемом и представить ДГ в виде
ДГ — Ckvbblc или ДГ == ЛСУ bvQ
В дальнейшем мы будем определять ДГ через ДСу. Для этого необходимо иметь в распоряжении экспериментальную кривую Cgg(a) и кривую Су = а0 sin (а + 0). Величина ДСу для любого угла атаки определяется отрезком, заключенным между этими кривыми.
Уравнению (6.1) можно придать иной вид, если заменить синусоиду Су = а0 sin (а + Р) прямой Су = %(。+ 0), значение же ЛСу определять отрезком между этой прямой и экспериментальной кривой Су^(а).
В этом предположении уравнение (5.1) примет вид
Г = а0 Ьи0 (а—-~ у—) —ДГ (а — Да)(6.2)
Полученное уравнение будет основным для всех дальнейших расчетов.
Анализируя уравнение (6.2), мы видим, что в докритической области оно ничем не отличается от обычного уравнения, фигурирующего в теории крыла конечного размаха, так как в этой области ДГ = 0.
В закритической же области величина ДГ быстро увеличивается. Однако в области Су max, где расчет представляет наибольшую ценность в смысле приложений, величина ДГ значительно меньше первого члена правой части уравнения (6.2). Это обстоятельство позволяет решать уравнение (6.2) способом последовательного приближения.
240
Предполагая, что Г* представляется тригонометрическим рядом
r* = 2Л S由几 8
и производя вычисления коэффициентов ряда в точке, соответствующей 口月, где уравнение (6.2) можно еще решать обычным путем, мы по известному уравнению можем определить истинный угол атаки произвольного сечения крыла.
Переходя к большому углу атаки, в закритическую область, мы в качестве первого приближения для Аа можем взять те значения, которые получаются от изменения этих углов пропорционально Су. Здесь предполагается, что углы скоса в первом приближении изменяются пропорционально росту Су в данном сечении.
Если теперь эти значения Аа подставить в выражение АГ и графически определить ее значения, то мы получим систему уравнений для определения коэффициентов ряда Г*, по структуре ничем не отличающуюся от системы уравнений, фигурирующей в методе Глауэрта.
Решая эту систему, мы найдем распределение циркуляции по размаху. Далее определяем новые углы скоса по сечениям и, принимая их за вторые приближения, подставим в выражение АГ. В результате получаем новую систему уравнений, аналогичную первой, решение которой определит Г* по размаху.
Этот процесс можно продолжать и дальше, но при вычислении обнаружено, что третье приближение ничтожно мало отличается от второго и расхождение в значениях С„ во втором и третьем приближениях не превосходит 0,4% ・
Точно так же при вычислениях оказалось, что практически достаточную точность при решении систему уравнений (6.2) можно получить, положив в выражении
「4 sin 几8
n = 5. Разница в результатах расчета при п = 5 и п = 7 сказывается только в первом приближении, где она составляет около 1,6%, но уже во втором приближении расхождение в значениях Су не превышает 0,5%.
Подобный расчет был проведен для двух профилей: NACA 6409 и NACA 2412. За исходные кривые С^(а) были приняты экспериментальные кривые прямоугольных дужек с 九=6 указанных профилей, пересчитанные на плоский поток по формулам Прандтля.
По коэффициентам /п, полученным из решения уравнения (6.2), во втором приближении и при п = 5 для нескольких углов атаки были подсчитаны
d5
九， ri = 2v0l'ZAnsinnB
5
Aa = —-— V nXn sin п0 sin0 ▲ n
Как следует из расчетов, характер кривой Су(а) в области C^max не меняется.
Величина же С^тах уменьшается с уменьшением X. Уменьшение Cgmax ДЛЯ 九—5 СОСТЗВЛЯеТ Приблизительно 10% ПО Сравнению С Су max* Для углов атаки выше критического у прямоугольных крыльев циркуляция в середине крыла уменьшается, причем более резко у профиля с рез” ким падением кривой Су(а) за Су тах, что совпадает с экспериментальными данными.
Для трапециевидного крыла это явление не имеет места и объясняется тем, что срыв потока у трапециевидного крыла начинается не в середине крыла, как у прямоугольного, а в середине каждого полу крыл а, что опять- таки подтверждается экспериментально.
Литература
Г. Билля. Теория вихрей. ОНТИ, 1936.
Г. В. Каменков. О вихревой теории лобового сопротивления. Сб. «Тр. III конференции по аэродинамике.» Изд. Центр, аэрогидродинамич. ин-та, 1933.
万.Прандтль, О. Титьенс. Гидро- и аэромеханика, т. 2. М.—Л., ОНТИ, 1935.
Дюранд. Аэродинамика, т. IV. М.—Л., ОНТИ, 1940.■
БИОГРАФИЧЕСКИЕ
МАТЕРИАЛЫ
И КОММЕНТАРИИ
ГЕОРГИЙ ВЛАДИМИРОВИЧ КАМЕНКОВ
(Биографический очерк)
Г. В. Каменков родился 12 января 1908 г. (30 декабря 1907 г.) на станции Ночка Московско-Казанской железной дороги в семье железнодорожника.
В 1915 г. Георгий Владимирович поступил в реальное училище г. Саранска. В 1924 г, семья Каменковых переехала в Казань, где в 1926 г. Георгий Владимирович закончил двухгодичные курсы по подготовке в высшее учебное заведение.
В 1926 г. Георгий Владимирович успешно сдал вступительные экзамены в Казанский университет и был зачислен на математическое отделение физико-математического факультета. Здесь он слушал лекции профессоров Н・ Н. Парфентьева, Н. И. Порфирьева, Д. А. Гольдгаммера, Д. Н. Зейли- гера, Н. Г. Чеботарева, П. А. Широкова.
После окончания университета в 1930 г, Георгий Владимирович был оставлен в аспирантуре на кафедре теоретической механики, возглавляемой Н. Г. Четаевьш.
Георгий Владимирович был активным участником известного семинара Н. Г. Четаева (Vermutungsseminar), положившего начало Казанской школы теории устойчивости движения.
Первые работы Г. В. Каменкова по теории устойчивости движения в критических случаях, выполненные под руководством Н. Г. Четаева, были дальнейшим развитием известных результатов Ляпунова.
В 1932 г. было принято решение об организации Казанского авиационного института на базе аэродинамического отделения Казанского Государственного университета; Георгий Владимирович принимал активное участие в создании и развитии института.
После защиты в 1933 г. кандидатской диссертации по устойчивости вихревых дорожек Кармана Георгий Владимирович был назначен доцентом кафедры «Аэродинамика самолетов» Казанского авиационного института. В дальнейшем Георгий Владимирович работал в области аэродинамики, теории устойчивости движения и в 1937 г. успешно защитил докторскую диссертацию. Его работа «Об устойчивости движения» была удостоена в 1938 г. Первой премии на Всесоюзном конкурсе работ молодых ученых. С 1938 г. Г. В. каменков — профессор механики.
Научно-организационная деятельность Г. В. Каменкова непрерывно связана с развитием высшего образования в нашей стране по подготовке специалистов в области авиационной техники.
С 1937 по 1944 г. Георгий Владимирович — заместитель директора па научной и учебной работе Казанского авиационного института, а затем с 1944 по 1949 г — директор Казанского авиационного института.
В военные годы Г. В. Каменков, являясь одновременно начальником Казанского филиала Центрального аэро-гидродинамического института, 17 Зак. 3126 245
вложил много энергии и самоотверженного ?руда в дело развития авиационной техники,
С 1949 г. Г. В. Каменков работает в Московском ордена Ленина авиационном институте, сначала —— заместителем директора по научной ра・ боте, а с 1956 г. —директором института. Осуществляя руководство крупнейшим вузом страны, Г. В. Каменков продолжал интенсивно работать в области механики. В последние годы своей жизни Г. В. Каменков возглавлял кафедру аэродинамики Московского авиационного института.
С 1942 г. Г. В. Каменков ——член КПСС.
Георгий Владимирович активно участвовал в общественной жизни: был депутатом Казанского городского совета; членом Бауманского РК КПСС Казани; членом Ленинградского районного комитета КПСС Москвы, депутатом Московского Совета.
Советское правительство высоко оценило многолетнюю руководящую» научно-педагогическую и общественную деятельность Г. В. Каменкова, наградив его орденами Ленина, Трудового Красного Знамени, «Знак почета» и медалями.
Смерть Г В. Каменкова последовала в Москве 9 октября 1966 г.
Все, кто был связан с Георгием Владимировичем по работе или жизни, чувствовали его скромность, человечность, простоту, доступность и готов ность оказать помощь и поддержку.
Имя Г . В. Каменкова, как выдающегося ученого, одного из первых последователей Ляпунова в области теории устойчивости движения, сохранится в истории механики.
ОБЗОР НАУЧНЫХ РАБОТ Г. В. КАМЕНКОВА
Георгий Владимирович Каменков занимался трудными и фундаментальными вопросами аэродинамики, теории устойчивости движения и нелинейных колебаний.
Аэродинамика. Первая работа Г. В. Каменкова по аэродинамике Pl посвящена исследованию устойчивости вихревых цепочек Кармана. Более ранние исследования этого вопроса связаны с работами Кармана и Жуковского. В своей фундаментальной работе, посвященной вопросу воздействия плоскопараллельного потока жидкости на цилиндрическое тело, создатель вихревой теории лобового сопротивления Т. Карман предложил вычислять силу лобового сопротивления, исходя из рассмотрения количества движения, сообщенного телом вихревым шнурам. Основным вопросом этой теории являлось исследование на устойчивость центров вихревых дорожек. Карманом было выведено следующее соотношение между шириной вихревой дорожки b и расстоянием между вихрями /:
ch (яЬ/1)~У 2
которое должно было обеспечить устойчивость вихревого шнура.
Однако Жуковский, исходя из иных соображений относительно смещения центров вихрей, получил другую формулу:
eh (冗力//) = y3
Разъяснению этого противоречия и была посвящена работа Г. В. Ка менкова. Он показал, что несовпадение условий устойчивости Кармана и Жуковского объясняется тем, что решаемые ими задачи физически различны; причем найденные условия устойчивости неверны как в том, так и в другом случаях, так как они получены из рассмотрения уравнений возмущенного движения, взятых лишь в первом приближении.
В работе Г. В. Каменкова показано, что более тщательное исследование этого вопроса, учитывающее влияние членов высших порядков, приводит к заключению, что вихревые цепочки не обладают устойчивостью в бесконечно малом ни при каких соотношениях между bub
В работе I2] проводится оригинальное исследование неустановившихся движений крыла аэроплана. Эта задача впервые решалась Чаплыгиным для крыла бесконечного размаха в предположении постоянства циркуляции скорости по контуру крыла. Одновременно при построении потока, обтекающего крыло, периоды колебаний предполагались настолько малыми, что изменением циркуляции, происходящим от колебания крыла, можно было пренебречь.
В работе Георгия Владимировича устанавливаются структурные фор* мулы для равнодействующей и момента силы давления воздуха на крыло в
17*247
неустановившемся движении при переменной циркуляции. Заменяя профиль системой вихрей, расположенных по его средней линии, Г. В. Каменков получает для определения циркуляции уравнение Фредгольма первого рода. Для случая, когда средняя линия профиля может быть представлена аналитической функцией //(%), находится решение полученного интегрального уравнения в виде тригонометрических рядов.
Фу нда мента л ьные исследования, проведенные Г. В. Каменковым по теории крыла в за критической области, представлены в работе [7]. Как известно, циркуляционная теория крыла, построенная Н. Е. Жуковским, позволяет с достаточной точностью определить величину подъемной силы крыла только на малых углах атаки, не превышающих критического.
В закритической же области картина движения жидкости резко меняется; поток, обтекающий профиль, перестает быть потенциальным; за крылом образуется область, заполненная вихрями, вследствие чего движение становится неустановившимся.
Г. В. Каменков решает эту задачу, предполагая, что за телом устанавливается движение, соответствующее картине обтекания, описанной Карманом, и получает уравнение, определяющее силу лобового сопротивления, справедливое для любых значений b и I (смысл этих величин тот же, что в работе р])，ничем не связанных с вышеупомянутыми соотношениями Кармана. Для определения необходимой зависимости между Ь и / Г. В. Каменков пользуется критерием наименьшего изменения энергии, который в применении к задаче о равномерном движении твердого тела в жидкости можно заменить критерием экстремального сопротивления Q^. Эта зависимость между b н /, а также циркуляцией скорости по контуру, охватывающему один вихрь цепочки, получается из решения уравнений
Дальнейшие рассуждения Г. В. Каменков основывает на предположении, что циркуляция скорости, потерянная крылом за период времени 7\ равна циркуляции одиночного вихря цепочки. Весьма хорошее совпадение результатов теории с обширным экспериментальным материалом, приведенным в работе, подтвердило справедливость сделанного предположения относительно потерянной циркуляции.
В заключение Георгий Владимирович приводит общие формулы для оп* ределения коэффициентов аэродинамических сил в функции числа Струхаля 目 распространяет развитую им теорию на крыло конечного размаха.
Устойчивость движения. Работы Г. В, Каменкова по устойчивости движения можно разбить на три раздела: устойчивость в критических случаях, устойчивость движения на конечном интервале времени и устойчивость движения в случаях, близких к критическим.
Как известно, задача об устойчивости движения была поставлена во всей ее общности Ляпуновым в его докторской диссертации «Общая задача об устойчивости движения» (1892 г.). Ляпунов с предельной строгостью показал, в каких случаях первое приближение действительно решает вопрос об устойчивости, выделил так называемые особенные или критические случаи задачи устойчивости, когда необходимо для решения вопроса при* влекать к рассмбтрению нелинейные члены правых частей дйфферёнциаль- ных уравнений возмущенного движения. 1
Придавая исключительно большое значение исследованию особенных случаев задачи устойчивости движения, Ляпунов отмечает,* ^то《в каждом из них задача получает свой особый характер, так что не может быть и речи о каких-либо общих способах ее решения, которое относились бы ко всем таким случаям». '
248
Ляпунов рассмотрел в своей диссертации простейшие из особенных слу чаев: случай одного нулевого корня и пары чисто мнимых корней для установившихся движений и случай одного корня, равного единице, и двух сопряженных мнимых корней равных по модулю единице, для систем с периодическими периода со коэффициентами, в предположении, что Хсо/л есть число несоизмеримое. Несколько позже Ляпуновым был рассмотрен случай двух нулевых корней с одной группой решений.
Первые работы Г. В. Каменкова по устойчивости движения были посвящены дальнейшему развитию теории устойчивости движения в особенных случаях.
В работе [8] решается задача об устойчивости интегралов системы дифференциальных уравнений вида
х・=X (х, р), y = Y(x9 р)(1)
Здесь
X (х, у)^Х^ (х,处 +XW+1)(力,切 + …
У (% 加=У5)(% 圻 + ym+i)(居勿 + …
аналитические функции х, у, обращающиеся в нуль при х = ^ = 0.
Доказаны следующие теоремы.
Теорема /. Если дифференциальные уравнения возмущенного движения вида (1) удовлетворяют условиям:
функция /'(х, у)=力У(他)——уХ(他)знакопеременная в смысле Ляпунова;
Функция X^tx может быть сделана величиной положительной при условии F{x, у) = 0, то невозмущенное движение неустойчиво.
Теорема 2. Если дифференциальные уравнения (1), таковы, что
F(x, у) = хУ(т)— уХ(н)——функция знакопеременная,
Х(他)/xVO, yg/gVO при /(х, у) = 0,
Х(т)= 0, У(т)== 0 не имеют общих ветвей, проходящих через начале координат,
по крайней мере одно из равенств
dX（m）dX（m）—%—%dY(m)5xjdY(m)5xj=оУ(т)=оУ(т)dX(m) df(m)У ~^Х idr/dX(m) df(m)У ~^Х idr/ОХЕ)ОХЕ)
dX（m）
dX（m）
—%
—%
dY(m)5xj
dY(m)5xj
=оУ(т)
=оУ(т)
dX(m) df(m)
У ~^Х idr/
dX(m) df(m)
У ~^Х idr/
ОХЕ)
ОХЕ)
не имеет места при условии 尸(无,у) = 0 для всех а < 1, то невозмущенное движение асимптотически устойчиво.
Теорема 3. Если F(x, у) = xY^ ——уХ(他)функция знакоопределенная и при этом
f (cose, sin切『上%瞌磊电比> °⑵
0
то движение неустойчиво. Если J V 0 ——асимптотически устойчиво.
Если J = 0, то формы X(R)и YE задачи об устойчивости не решают, В формах 文(叫 yg и 尸，входящих в (2) вместо 无 н р, подставлены cos б и sin б соответственно.
При 戶一знакоопределенной и J= 0 задача решена привлечением форм более высокого порядка, чем Х^ и Y^.
В работе [4] решается вопрос об устойчивости интегралов системы
лг =弘 у* — Y (х, у у Xi，..., xn),Xs* =々斗 Psh S + X§ (招弘力,…，仆)
(s=l,..., л)
при известных предположени я х относительно правых частей. Эта задача решена Ляпуновым в случае отсутствия присоединенной системы в работе
249
«Исследование одного из особенных случаев задачи об устойчивости движения» (1893 г., Матем. сб., вып. 2, стр. 253—333). Та же задача при наличии присоединенной системы также решена А. М. Ляпуновым, но стала известна и опубликована лишь в 1963 г. Не зная о существовании решения, данного Ляпуновым, Г. В. Каменков исследует другим методом вопрос об устойчивости в случае двух нулевых корней с одной группой решений с присоединенной системой. В этой работе Г. В. Каменков при доказательстве теорем о неустойчивости широко пользуется известной теоремой Четаева, что значительно упростило исследование задачи.
Функции Ляпунова и Четаева для полной системы после разделения критических и некритических переменных Г. В. Каменков строит в виде суммы двух функций
Р(X, у, ^1к/ =匕(％, 9)+ % (%1%п)
Здесь Р\ (х, у)——функция Ляпунова или Четаева для критической системы, а %(/, ...» 力J определяется из уравнения
X (р〃 ％i + …+р»п %n) —— = 士(乂尸 + …+乂 J) /= 1
Знак плюс или минус берется в зависимости от знака V/.
Таким образом, Г. В. Каменков в работе [4] доказывает возможность сведения в случаях несущественно особенных задачи об устойчивости системы (п + 2)-го порядка к системе второго порядка.
Работа [й] посвящена исследованию устойчивости движения в особенном случае двух нулевых корней с двумя группами решений при наличии при соединенной системы.
Г. В. Каменков показывает, при помощи каких преобразований можно перейти от исследования устойчивости системы (п 十 2)-го порядка к экви* валентной задаче об устойчивости системы второго порядка. Этот переход от исследования устойчивости полной системы к исследованию лишь критической системы позднее стал называться «принципом сведения». В процессе использования принцип сведения подвергался в работах различных авторов дальнейшему развитию.
После перехода к исследованию системы второго порядка обобщаются результаты работы [3]. Доказана общая теорема об устойчивости по формам Х(他)и У]т)в случае, когда форма 尸(无,у) = xY^ — yXg ——знакопеременная.
Теорема, Если
F(xt у) =无У(他)一уХ(т) ——знакопеременная или знакопостоянная функция
Х(叫％VO, Y^ly < 0 при 尸(招 у) ~ 0, то невозмущенное движение асимптотически устойчиво.
В более поздних работах Г, В. Каменкова [10-12] условие 2) заменяется эквивалентным условием R。(爲 у) = хХ^ + yVg V 0.
Если хотя бы на одной из вещественных прямых 尸(力，у) = 0 выражение Ro(% У)= 0, то формы Х(т)и К# вопроса об устойчивости не решают и необходимо привлекать к рассмотрению формы более высокого порядка. Задача об устойчивости в этом случае чрезвычайно усложняется. Решить эту задачу Г. В. Каменкову удалось значительно позже [10].
Результаты работ [3~5] уже в тридцатых годах нашли применение при исследовании устойчивости бокового и продольного движения самолета.
В монографии [6] Г. В. Каменковым обобщены результаты работ [4>5], впервые исследована устойчивость в критических случаях нулевого и пары чисто мнимых корней и двух пар чисто мнимых корней в предположении, что чисто мнимые корни 士 认曾 土 /Х2 таковы, что сумма (т& + /и2Х2)热 0 250
для любых целых ms, удовлетворяющих условию (т1 + т2) & М где N — порядок форм в преобразованной критической системе, которыми решается вопрос об устойчивости. Ограничение (加i + m2) & N не исключает так называемого внутреннего резонанса в членах порядка выше, чем N*
Показано, что задачу об устойчивости в случае одного нулевого корня и пары чисто мнимых корней, а также в случае двух пар чисто мнимых корней при упомянутом ограничении, наложенном на чисто мнимые корни, можно свести к исследованию устойчивости двух нулевых корней с двумя группами решений.
Далее рассматривается общий случай, когда определяющее уравнение системы дифференциальных уравнений возмущенного движения имеет /n-кратный нулевой корень, которому отвечает m групп решений, 2P чисто мнимых, удовлетворяющих условию
т3九l +…+®入Р扌0 (恤+…+加尸忘N)
и 9 корней с отрицательными вещественными частями. Здесь та — целые числа, включая нуль.
Показано, что эта задача может быть сведена в случаях несущественно особенных к исследованию устойчивости системы с (т + р)-кратннм нулевым корнем, которому отвечает (т + р) групп решений.
Для систем с м-кратннм нулевым корнем, которому отвечает п групп решений, доказана очень важная теорема о неустойчивости по формам /n-го порядка.
Теорема. Если система уравнений
… (S = 1, . . . , n)
такова, что уравнения Fsk = %小$(向 一 ％&Х产)= 0 при любом фиксированном 々 и при s = 1, ...» k — 1, ^ + 1, п имеют вещественные решения, отличные от 力=修=…=%п = °， и, если форма
п
R = £/Х「(%1, ...,Хп) при 尸 sh = 0
может принимать положительные значения, то невозмущенное движение неустойчиво.
Для доказательства этой теоремы Г. В. Каменковым дано обобщение известной теоремы Врио и Буке на системы вида
%負=%(居%，уП)(i = ln) (3)
dx
где Yi —— голоморфные функции 尤,у^ ...» ynt обращающиеся в нуль, когда х = % =…=Ул = 6 Доказано, что если уравнение
6sh" =0 ДЛЯ
I0yh lx=g，=・..=gn=0
не имеет целых положительных корней, то всегда найдется одна определенная система голоморфных функций уъ ..., уп переменной х, удовлетворяющих системе (3) и обращающихся в нуль при х = 0.
В том случае, когда исследуется устойчивость систем с чисто мнимыми корнями, удовлетворяющими условию SmsZs =/= 0, уравнения Fsk = 0 всегда имеют решение, отличное от тривиального, и теорема о неустойчивости особенно важна для таких систем.
В заключительной пятой главе работы рассмотрены те особенные случаи задачи об устойчивости движения для систем с периодическими коэффициентами, исследование которых можно свести к предыдущим. Показано, 251
с помощью каких преобразований можно перейти от исследования устойчивости периодических движений к исследованию устойчивости равновесия.
Последние работы Г. В. Каменкова [10*12] по теории устойчивости в критических случаях посвящены исследованию устойчивости периодических движений. Рассматриваются системы уравнений
%s * =入 8 Уз + Х$ (%i,…，Хр ； %,..., Ур; т)
弘—As Xs + У§ (尤 1, • *• , %р； У1у •*• > Ур； Т)(S = I , ♦ . ♦ , Р)
где Х8 и Ys — голоморфные функции переменных xlf ..., 勺；уъ ..., у?» разложение которых начинается с членов не ниже второго порядка. Коэффициентами разложения Xs и Ys являются периодические функции с общим- вещественным периодом ①.
Для р = 1 н иррационального Zco/л задача об устойчивости разрешена Ляпуновым. В [10] решена задача для 入①/л рационального. Показано, что в этом случае с помощью преобразований, не изменяющих задачи об устойчивости, можно перейти к исследованию критического случая двух нулевых корней с двумя группами решений вида
犷=X(m)优 у) + ... + Xd)(%, у) +X5+N+I) (%, yt t) + _
夕= y(m)(%g) +…+ F(m+N)(%{/) + yS+N+l)a，弘 f) +…(外
гд^ tn ^ 2f tn + N = M，причем N* равно сколь угодно большому числу.
Как уже отмечалось, вопрос об устойчивости системы (4) в том случае,, когда для его решения достаточно рассмотрения форм Х(т)и У(т), был полностью исследован Г. В. Каменковым в работах |3,6, в], где, однако, отмечено, что формы Х^ и Y^ так же, как и первое приближение, не всегда решают вопрос об устойчивости и необходимо привлекать к рассмотрению- формы более высокого порядка. В этом случае задача об устойчивости представляет исключительные трудности, которые Г. В. Каменкову удалось преодолеть в работе [10] и сформулировать ряд общих теорем об устойчивости не только по формам (加 + 1)-го( но и более высокого порядка.
Применение доказанных теорем к каноническим системам дало возможность обобщить результаты Леви—Чивита, Зигеля.
Вторая часть работы [10] посвящена исследованию устойчивости движения в критических случаях р пар чисто мнимых и n-нулевых корней. Показано, что задача об устойчивости в критическом случае любого числа пар- чисто мнимых корней всегда приводится к исследованию устойчивости критического случая кратного нулевого корня. Кратность нулевого корня ir число отвечающих ему групп решений определяются характером чисто мнимых корней. Если чисто мнимые корни 土 ZAS при иррациональных Х8 удовлетворяют соотношению ^т^8 亚 0, то в результате эквивалентной по отношению к задаче устойчивости замены Г. В. Каменков приходит к системе р нулевых корней с р группами решений, понижая в этом случае^ порядок системы вдвое. Если только корни 土 Ла таковы, что Zs — аа/р^ (аа,瓦一целые числа), то в результате преобразований Г. В. Каменков получает систему с нулевыми корнями того же порядка 2р, что и исходная система.
В работе 卩°] получен новый вид дифференциальных уравнений возмущенного движения в критическом случае /г-нулевых корней с п-группами решений, для которого упрощается построение функций Ляпунова и Четаева. Сформулированы для него критерии устойчивости и неустойчивости.
Последняя работа Г. В. Каменкова [13] также посвящена исследованию устойчивости периодических движений. Доказана общая теорема” о том, что задачу об устойчивости периодических движений в случаях, несущественно особенных всегда можно свести к задаче устойчивости равновесия.
252
Теорема о существовании голоморфных функций Zj = Zj (ylt ...» у^; £卜 периодических по % удовлетворяющих системе (см. стр. 194)
■7^ + V F~ (gsl 弘十…+gs；u JM1 + Ю = Рл 21 + …+pjp Np +Z/ s= 1
позволила Г. В. Каменкову исследовать устойчивость движения и в некоторых существенно особенных случаях.
Исследование устойчивости движения на конечном интервале времени сводится прежде всего к установлению самого понятия устойчивости в этом случае, которое так же, как и определение Ляпунова, выражало бы естественное свойство движения в смысле прочности и неподатливости по отношению к начальным возмущениям, но только на конечном интервале времени.
В качестве такого определения Г. В. Каменковым в работе [8] было предложено следующее.
Если дифференциальные уравнения возмущенного движения
瑞^ = Psl(/)%l + …+Psn(/)%n+Xs(%l%n；f)(s=l")(5)，
(где psi — вещественные, непрерывные и ограниченные функции времени 2, а разложение функций Xs по целым положительным степеням х8 начинается с членов не ниже второго порядка) таковы, что при достаточно малом， положительном числе Л величины xst рассматриваемые как функции времени, удовлетворяют условию
п
на конечном интервале времени [/0, t0 + т], если только начальные значения этих функций /о удовлетворяют условию
п
m(a；%io +…+%%)2det||a^)|+ 0 仇，m=1,…，九)
то невозмущенное движение устойчиво на интервале времени т; в противном случае — неустойчиво, т. е. т = 0.
Принимая такое определение устойчивости, Георгий Владимирович формулирует и доказывает следующие фундаментал ьные теоремы [8].
Теорема /. Если характеристическое уравнение, соответствующее системе дифференциальных уравнений возмущенного движения при f = %, не- имея кратных корней, имеет только отрицательные корни или комплексные с отрицательными вещественными частями, то невозмущенное движение- обл адает устойчивостью на некотором конечном интервале времени т.
Теорема 2. Если среди корней характеристического уравнения имеется по крайней мере один положительный корень или два с положительными вещественными частями, то невозмущенное движение не обладает устойчивостью на конечном интервале времени, т. е. т = 0.
Теорема 3. Если среди корней характеристического уравнения по край* ней мере один нулевой или два чисто мнимых корня при остальных отрицательных или комплексных с отрицательными вещественными частями, то невозмущенное движение может не обладать устойчивостью на конечном интервале времени.
При доказательстве этих теорем Г. В. Каменков представляет исходную систему (5) в виде
%，= Psi (f0)为 + …+ Psn to) %n + Apsi (D / + ・••+ ApsND %n +
+ (%工，...，Xn; f)(s = 1,...,
-(где psi (/) = psi (Zo) + APsi (0, Apsid) =0, a Pst Go) — значения функций pSi(t) при / = 4) с дальнейшим преобразованием линейной части системы с постоянными коэффициентами к каноническому виду.
В работе дан также метод определения величины интервала времени т, на котором движение устойчиво.
Постановка самой задачи об устойчивости движения на конечном интервале времени и метод ее решения, данные Г. В. Каменковым, оказались исключительно плодотворными и полезными при решении прикладных задач, а сама работа Г. В. Каменкова [8] положила начало целому научному направлению в теории устойчивости движения.
Развивая общую теорию устойчивости движения в критических случаях, Г. В. Каменков в работе [8] подошел к одному из наиболее неясных вопросов —к исследованию устойчивости движения в случаях, близких к критическим, имеющих большое прикладное значение, особенно в задачах управляемого полета.
Такими называются случаи, когда характеристическое уравнение
D (х) = det Л р九艮一6九艮 х II = 0
(九，卩=1,…，门；6九u = 0 при九ф卩，6九艮-1 при%=卩) (6) -соответствующее системе обыкновенных дифференциальных уравнений возмущенного движения вида
^=^PS\ x1 + ...+psnxn + Xs (хь ... ,xj (7) наряду с корнями с отрицательными вещественными частями имеет по крайней мере один корень с малой положительной или отрицательной вещественной частью.
Постановка задачи об устойчивости движения в этом случае, данная Г. В. Каменковым в работе [9], является весьма оригинальной. Дело в том, что обычно наличие корня с положительной вещественной частью уравнения (6) является достаточным условием неустойчивости движения независимо от членов Х8 (%н ..., %п). Очевидно также, что наличие только корней с отрицательными вещественными частями обеспечивает асимптотическую устойчивость невозмущенного движения. Эти две замечательные теоремы Ляпунова лежащие в основе всей теории линейных колебаний механических систем и устойчивости их движений, получены им при весьма жестких ограничениях, налагаемых на начальные возмущения х10, х20,..., хп0. Определяя устойчивость движения, Ляпунов предполагает, что все |xs0| могут быть сделаны менее любого наперед заданного числа. Таким образом, предельное значение начальных возмущений есть нуль. Учитывая, однако, что в реальных условиях начальные возмущения могут быть ограничены снизу, Г. В. Каменков определяет устойчивость невозмущенного движения следующим образом [9].
Если в пространстве 修，...» хп можно указать замкнутую область G, обладающую тем свойством, что возмущения %ь •・・,хп, рассматриваемые как функции времени и удовлетворяющие уравнениям возмущенного движения (7), не выходят за эту область для любых значений t 扌 Zo, если только их начальные значения х10, ...,尤冷。находились внутри или на границе этой области, то невозмущенное движение устойчиво; в противном случае оно неустойчиво.
Изложенное определение устойчивости, данное Г. В. Каменковым, не нарушает механического смысла, заложенного Ляпуновым в определении устойчивости движения. Данное Г. В. Каменковым определение по своему смыслу также близко к пониманию устойчивости, высказанному Пуанкаре в третьем мемуаре его монографии «О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями».
254
Помимо решения принципиального вопроса об устойчивости, Г. В. Ка- ■менков в своей работе дал способ отыскания самой области G, что представляет практический интерес.
В этой работе Г. В. Каменков подошел к проблеме нелинейных колебаний, показав глубокую связь этой проблемы с функциями Ляпунова. Впоследствии это направление было развито в работе [п].
Нелинейные колебания. Последние несколько лет Г. В. Каменков занимался проблемами нелинейных колебаний. К числу таких проблем, рассмотренных им в работе [門，относятся: отыскание условий существования периодических решений, исследование устойчивости этих решений, отыскание форм колебаний и процессов установления.
Георгий Владимирович исследует как автономные системы типа
■dx/dt = — / + jiX(%, g, Ziz„, ц)
dy/dt =版十附(%, g, Zi,..., z“ м)
dzjdt = 2 区；马 + Ms (%, g, Zi今；M)(s = 1«)
(=1
так и неавтономные системы типа
н 爲 Us + “XnXn；弘yn ； f) +
at
+ mХ82 (尤1，…，Xn；勿，…，Ur； /) + …+/so (0 + 卩厶 1 (/) + …
JT = 4 *§ + 卩 У si (尤丄，…，*п，； У1> ••• > Уп^ ') + at
十卩2 ys2 (汇工，…，％九；f/l，…，Pn； f) + …+ ФзО (0 + H^sl (0+-**
(s = 1,..., m)
Здесь 卩 ——малый параметр; Xt Y и Z8 представляются рядами в отношении параметра ц, коэффициенты которых есть многочлены от %, у, zs сколь угодно высокой степени； Xsb Ysi ——многочлены сколь угодно высоких степеней с непрерывными периодическими относительно / коэффициентами общего периода 2л; fsi и 屮$力一непрерывные периодические функции с тем же периодом 2л..
Для указанных систем в работе f11] сформулированы и доказаны следующие основные теоремы.
Теорема /• Если система исходных уравнений такова, что соответствующее ей уравнение
Lj (V) — ^- J [Xi (Р cos 9, V sin 0) cos 8 + 匕(V cos 0, V sin 9) sin 0] d9 = 0
в отношении V имеет k положительных корней нечетной кратности, то каждому из этих корней будет соответствовать по крайней мере один предельный цикл и каждому из этих предельных циклов соответствует периодичес- ское решение этой системы. Если же уравнение L^V) = 0 имеет положительные вещественные корни четной кратности, то вопрос о существовании периодических решений, соответствующих этим корням членами первого порядка в отношении 科 не решается.
Теорема 2. Если система исходных уравнений такова, что соответствующее этой системе уравнение L^V) = 0 имеет корень V — Vj нечетной кратности, равной 2fe— 1, и если
С??"】(V)
〈° прн U = %
то периодические колебания, отвечающие корню V = Vjt устойчивы; если же
d2Iа⑺Mi > °d2Iа⑺Mi > °при V — Vjпри V — Vj
d2Iа⑺
Mi > °
d2Iа⑺
Mi > °
при V — Vj
при V — Vj
то — неустойчивы.
^НП<0dV2A^НП<0dV2Aпри V = Vjпри V = VjТеорема 3. Если система исходных уравнений такова, что уравнение L式，)=0 имеет корень V = Vj четной кратности 2財 то область существо* вания периодических решений будет неустойчивой, причем в случае
^НП<0dV2A
^НП<0dV2A
при V = Vj
при V = Vj
область устойчива для внешних возмущений и неустойчива для внутренних; если же
炉汽厶(y) 一优总炉汽厶(y) 一优总>0>0при V = V^при V = V^
炉汽厶(y) 一优总
炉汽厶(y) 一优总
>0
>0
при V = V^
при V = V^
то область существования периодических решений устойчива для внутренних возмущений и неустойчива для внешних.
Аналогичные задачи решены и для случая, когда членами первого порядка изучаемый вопрос не решается, но решается конечным числом членов в отношении ц. Далее в работе дан способ определения значения ц, при* котором и менее которого указанные периодические решения существуют^ а также дан способ построения периодических решений в ввде ряда, расположенного по различным степеням параметра ц. Исследованы также процессы^ установления найденных периодических решений (переходные процессы).
Таким образом, в работе 严 1 Г. В. Каменков излагает общий метод исследования колебаний в нелинейных системах, основанный на использовании функций Ляпунова и именуемый Георгием Владимировичем как «метод функций Ляпунова». Этот метод позволяет отыскивать периодические решения как аналитические, так и неаналитические в отношении 卩,причем и в тех случаях, когда система исходных уравнений при ц = 0 не обращается в линейную.
В последние годы своей жизни Г. В. Каменков работал над монографией «Устойчивость и колебания нелинейных систем», представляющей собой обобщение и дальнейшее развитие результатов, полученных им в пере* численных выше работах.
Г. Веретенников, 4 С. Галиуллин^.
4 Горбатенко, А. Л. Куницын
список ТРУДОВГ. В. КАМЕНКОВА
1933
О вихревой теории лобового сопротивления. Тр. III Всес. конференции по аэродинамике. Изд. Центр, аэрогидродинамич. ин-та, стр. 171 — 186.
Неустаиовившееся движение крыла аэроплана. Сб. «Тр. Казаиск. авиац. ин-та», № 1, стр. 12—17.
1935
Исследование одного особенного, по Ляпунову, случая задачи устойчивости движения. Сб. «Тр. Казанск. авиац. ин-та», № 3, стр. 24—31.
Об устойчивости движения в одном особенном случае. Сб. «Тр. Казанск. авиац. ин-та»; № 4, стр. 3—18.
1936
Исследование одного особенного случая задачи об устойчивости Движения. Сб. «Тр. Казанск. авиац. ин-та», № 5, стр. 19—28.
1939
Об устойчивости движения. Сб. «Тр. Казаиск. авиац. ии-та», № 9, стр. 3——137.
1946
Теория крыла в закритической области. Сб. «Тр. Казанск. авиац. ин-та», № 18, стр. 3—38
1953
•8. Об устойчивости движения на конечном интервале времени. ПММ, т. 17, вып. 5, стр. 529—541.
1963
Об устойчивости движения в случаях, близких к критическим. Сб. «Тр. Уи-та дружбы народов им. П. Лумумбы», серия теор. мехаи. т. 1, вып. 1, стр. 3—15.
1965
К задаче об устойчивости движения в критических случаях. ПММ, т. 29, вып. 6, стр. 1053—1070.
1966
Исследование нелинейных колебаний с помощью функций Ляпунова. Сб. «Тр. Ун-та дружбы народов им. П. Лумумбы», сер. теор. механ., т. 15, вып. 3, стр. 3—55.
Исследование устойчивости периодических движений. Сб. «Тр. Уи-та дружбы народов им. П. Лумумбы», сер. теор. механ., т. 15, вып. 3. стр* 56—81.
1967
Об устойчивости периодических движений. ПММ, т. 31, вып. 1, стр. 15—36.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Устойчивость движения. Колебания.
Исследование одного особенного, по Ляпунову, случая задачи устойчивости движения 7
Об устойчивости движения в одном особенном случае 15,
Исследование одного особенного случая задачи об устойчивости движения2&
Об устойчивостидвижения 36
Предисловие 36
Глава I.Два равныхнулю корня 39
Глава II. Один нулевой и два чисто мнимых корня 84
Глава III. Две пары чисто мнимых корней 92
Глава IV. Случай т нулевых корней, 2п чисто мнимых и q корней с отрицательными вещественными частями 102
Г л а в а V. Исследование уравнений с периодическими коэффициентами 113
Об устойчивости движения на конечном интервале времени 118
Об устойчивости движения в случаях, близких к критическим 129
К задаче об устойчивости движения в критических случаях 138
Исследование нелинейных колебаний с помощью функций Ляпунова . . . .155
Об устойчивости периодических движений 191
Аэродинамика
О вихревой теории лобового сопротивления 213
Неустановившееся движение крыла аэроплана 223-
Теория крыла в закритической области 229
Биографические материалы и комментарии
Георгий Владимирович Каменков (биографический очерк) 245
Обзор научных работ Г. В. Каменкова 247
Список трудов Г. В. Каменкова 257
Георгий Владимирович Каменков ИЗБРАННЫЕ ТРУДЫ, т. I
УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ. КОЛЕБАНИЯ* АЭРОДИНАМИКА
Утверждено к печати Институтом проблем механики
Редактор издательства Н. Н. Соколова
Художник Л. С. Эрман
Технический редактор ". Н. Жмуркина
Сдано в набор 13/VII 1971 г.
Подписано к печати 17/XI 1971 г.
Формат 70 X 108,/11. Бумага № 2. Усл. печ. л. 22,92.
Уч.-изд. л. 19,8. Тираж 2500 экз. Т-1817 2. Тип. Зак. 3126
Цена Z рдб. 70 коп.
Издательство «Наука»
Москва К-62, Подсосенский пер.» 21
Набрано в московской типографии №4 Главполиграфпрома Комитета по печати при Совете Министров СССР ■Отпечатано во 2-й типографии изд «Наука» Шубинский пер., 10.
** В случаях несущественно особенных это неравенство будет выполняться.
1 Здесь предполагается, что знак функций Ляпунова и Четаева определяется конечным* числом членов.
§ 6. Рассмотрим теперь стационарные колебания автономной системы. Будем предполагать, что правые части системы (1.1) не зависят явно от времени.
Полагая zs ~ х8 + iyst z8 = х8 — iy89 получим систему, аналогичную (1.6), с не зависящими от f правыми частями
2$・—гХ8 zs + 卩2式 Qi, ・・•，马，Zi,…，zj + …(6.1)
z$・= i% z§ + p, Z§i(Z],…，2ni Z],…，zn) + …
ПВ.НАМЕННОВ
УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ КОЛЕБАНИЯ АЭРОДИНАМИКА
ГЕОРГИЙ ВЛАДИМИРОВИЧ
КАМЕНКОВ
(1908—1966)
АКАДЕМИЯ НАУК СССР
ИНСТИТУТ ПРОБЛЕМ МЕХАНИКИ
Г. В. КАМЕНКОВ
ИЗБРАННЫЕ ТРУДЫ
В ДВУХ ТОМАХ
том 1
УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ.
КОЛЕБАНИЯ.
АЭРОДИНАМИКА
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА» Москва 19 71 г.
УДК 531.36
534.1
629.7.015:533.6
Научные исследования Георгия Владимировича Каменкова посвящены решению фундаментальных проблем механики.
В книге содержатся работы Г. В. Каменкова, которые имели значение для развития теории устойчивости движения и теории нелинейных колебаний, а также статьи ученого по аэродинамике, связанные с исследованиями обтекания крыла.
В конце книги помещены библиографические данные, а также обзор научных работ.
КОМИССИЯ ПО-ИЗДАНИЮ ТРУДОВ Г. В. КАМЕНКОВА：
А. БОГОЯВЛЕНСКИЙ, В. Г. ВЕРЕТЕННИКОВ (уч. секретарь),
А. С. ГАЛИУЛЛИН, С. А. ГОРБАТЕНКО, В. Т. ДУБАСОВ,
Н. Н. КРАСОВСКИЙ (председатель), А. Л. КУНИЦЫН, И. Ф. ОБРАЗЦОВ, И. В. ОСТОСЛАВСКИЙ, Г. К. ПО*АРИЦКИН
В. РУМЯНЦЕВ (зам. председателя), | Н. А. ТАЛИЦ1K0Х |
ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР академик Н. Н. КРАСОВСКИЙ
РЕДАКТОР
]Н. А. ТАЛИЦКИХ I
3-3-13; 2-4
511—71( 1)
УСТОЙЧИВОСТЬ
ДВИЖЕНИЯ.
КОЛЕБАНИЯ
ИССЛЕДОВАНИЕ ОДНОГО ОСОБЕННОГО, ПО ЛЯПУНОВУ, СЛУЧАЯ ЗАДАЧИ
УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ
Если характеристическое уравнение системы дифференциальных уравнений возмущенного движения
~77" = X： (%i,…，％n)(i = 1 > • • • > 〃)
имеет нулевые или чисто мнимые корни, то по первому приближению об устойчивости движения сказать ничего нельзя.
Случаи такого рода Ляпунов называет особенными. Из особенных случаев для установившихся движений Ляпуновым рассмотрены один нулевой корень, два чисто мнимых I1] и два нулевых с одной группой решений [2]. В последнем случае Ляпунов решает плоскую задачу, которая приводится к исследованию системы дифференциальных уравнений вида
嘗=д， 筹=У(%‘д)
В настоящей статье решается задача двух нулевых корней с двумя группами решений, которая приводится к исследованию системы дифференциальных уравнений
^=Х(х,у),% = Y&y)
где Х(х, у) и У的 у) —данные вещественные функции вещественных переменных х, у, уничтожающиеся при % = р = 0. При величинах 力,у достаточно малых X (х, у) и У (х, у) разлагаются в сходящиеся степенные ряды
Х=Х(⑺+XE+D+ •・・,Y^Y^ + Y^^+ ...
где XS), Y^ — формы Ай степени. Случаи, когда одно из чисел m или п равно единице, с точки зрения устойчивости полностью разобраны в работах Пуанкаре [3] и Ляпунова [2].
В дальнейшем будем предполагать m》2 и 九》2. Не уменьшая общности задачи, можно положить т = п и рассматривать систему уравнений
£= Х("»)+|Х("»+1),^- = У(я»)4-У(»»+1)(1.1)
где Xg и Y^—формы m-й степени, a XE+Z yy+D объединяют члены высшего порядка.
Относительно уравнений (1.1) можно установить следующие пред» ложения.
Теорема /. Если дифференциальные уравнения возмущенного движения вида (1.1) удовлетворяют условиям:
функция /0 ^ 求⑺)一дХ(т〉— знакопеременная в смысле Ляпунова,
функция Х(Ех может быть сделана величиной положительной при условии 吊=0, то невозмущенное движение неустойчиво.
Линейной подстановкой с постоянными действительными коэффициентами
%=脑无I+*2%,У = 阿％ + HaJ/i
уравнения (1.1) можно преобразовать к виду
第(4 %F+4勿%严一 1 + …+У1т y^ + x*g+1)
嚮=；(В。/"1+B场/严Т +... +Bm^) + f#(-+ ')
A = ” Л2 Hi
Коэффициенты Ло, В。，Bj имеют значения
B0 = xY^—yX(m\ 4 =闷*向一笳 К")
o f 0yg) ox(m)、 . / ax(⑴0yg、
при x =期, gxjh.
При условиях теоремы 九】и 卩工 всегда можно выбрать так, чтобы Во = 0. Предполагая, что 入工 и 阿 выбраны таким образом, рассмотрим уравнение
_3]尤严一1%+ …g:1m+ 儿(m+D
d*i ■40%严 + 4力%尸-1+…+ Am y^ + 爲("+ "
(2.2)(2.2)Заменой у* = zxj это уравнение преобразуется к виду 修— = az + bx1+(p 伪z)
(2.2)
(2.2)
Если a = —1 + Bx/A0 и неравно целому положительному числу, то уравнение (2.2) имеет голоморфный интеграл, обращающийся в нуль при / = 0, вида
Z —1С^%^~f~CgXj,^ —^ •«•
а следовательно,
% =С1/2+ &%『 + —
Первое из уравнений (2.1) с помощью этого интеграла преобразуется к виду
今=€%]"+%%严+1+...
Коэффициент Ло/Д при выбранных A1Hpi из условия Во = 0 равен значению функции Х(т>/九 если в ней положить % = Хь у=^ Последнее по условию теоремы может быть сделано положительным, чего вполне достаточно для неустойчивости невозмущенного движения.
8
Если в (2.2) а равна целому положительному числу для всех возможных значений 兀 и 卩“ то на основании исследований Пуанкаре [4] можно заключить, что уравнение (2.2) имеет интеграл z=^(Xi, Xj In %0, голоморфный относительно 工工 и %iln xlf следовательно, yt= %1《(工工,％iln 工。・
Первое из уравнений (2.1) при этом принимает вид
曾=毋 /" + %F Ф (%1, %1 In %1)
При %] = 0, ср = 0 и, следовательно, при %工 достаточно малом ср можно сделать сколь угодно малой.
В силу того, что Ло/Д > 0 при условии 尸° = 0, можно заключить о неустойчивости невозмущенного движения.
Следствие 1. Если m — число четное и Х^ = 0, Y(m)= о не имеют общих ветвей, проходящих через начало координат, то невозмущенное движение неустойчиво.
Следствие 2. Если при т четном Х^ и ^⑺ имеют указанные ветви, т. е. Х(т)= РХ⑺,У⑺=PY^t где Р(х, у) = 0, в нашем случае представляет систему прямых, проходящих через начало координат, но хотя бы одно из решений уравнения xY^ — уХ(幻 = 0 не обращает в нуль Р(х, у), то невозмущеннре движение неустойчиво.
Теорема //・ Если дифференциальные уравнения (1.1) таковы, что
Fq = xY^m> — у乂(”)一 функция знакопеременная,
X(m)/% V 0, Y^/y V 0 при условии Fo = О,
по крайней мере, одно из равенств
xу= оХ m , у无=oY^ дудудх дх
не имеет места при условии 凡 = 0 для всех о V 1, то невозмущенное движение асимптотически устойчиво.
Выберем £ и 阿 таким образом, чтобы Во = 0 при Ло =/= 0, что при условиях теоремы всегда сделать возможно, и рассмотрим уравнение
加｝b/严一1力+…+3m力0+匕E+D d%i4q% 严+ …+ 4/?1ylm+ X/" + "
Полагая опять уг = 次工,получим уравнение
石券=az +b无1+中（冷,2）石券=az +b无1+中（冷,2）(2.3)(2.3)
石券=az +b无1+中（冷,2）
石券=az +b无1+中（冷,2）
(2.3)
(2.3)
где 屮(工工,z) — голоморфная функция вблизи начала координат.
Условие 3) теоремы позволяет выбрать %2 и |х2 таким образом, чтобы коэффициент а был больше нуля и при этом
a = %*2 - Hi'2*0
Предполагая, что а неравно целому положительному числу, из уравнения (2.3) на основании теоремы Пуанкаре выводим интеграл
z =屮的 /@,с)
голоморфный относительно %】и %/ для всех х < е, следовательно,
% = %1屮(/,/% С)
Полученный интеграл дает уравнение всех интегральных кривых в секторе х?о—^2У1о>О при 々R0
Интегральные кривые, определяемые начальными условиями х10 = О, Ую * 0, из этого интеграла получить вообще нельзя, так как при этом произвольная постоянная с принимает бесконечно большое значение.
Докажем, что внутри сектора х102 — ^2 j/102 > 0 движение асимптотически устойчиво.
Первое из уравнений (2.1) с помощью полученного интеграла преобразуется к виду
号=3%Г+е(х,х『,с) at А
наинизший член в разложении 0 (工小 х/, с) имеет порядок выше т.
В силу условия 2) теоремы величина Ло/А при выбранных % и 卩工 будет величиной отрицательной, чего достаточно для асимптотической устойчивости движения в указанном секторе (/и — нечетное).
Рассмотрим поведение интегральных кривых, определяемых начальными значениями
无io — 0, Ую * 0
Оставляя выбранные значения для Xj и 卩厶 подберем Х2 и 卩纟，согласно условию 尸° = 0 в предположении х — Х2, у =卩2, что дает Ат = 0, и рассмотрим уравнение
d%i — "а»— 1 弘他—1 Xi ++ Ло Xjm+ Xjm + ”
из которого, заменяя хг = zy^ аналогичными вычислениями получаем
% = J/J (力，У/，с)
Этот интеграл может дать уравнения интегральных кривых для начальных значений х10 = 0, 弘о 耍 6・
Аналогично убеждаемся в устойчивости движения по этим интегральным кривым.
Условие: а неравно целому положительному числу — не существенно. В случае а равного целому положительному числу, интегралы будут голоморфными относительно х* и хх1п х1； что на характер движения по интегральным кривым влиять не будет.
Теорема III. Если дифференциальные уравнения возмущенного движения (1.1) таковы, что функция
F^^xY^ — yX^
— знакоопределенная и при этом выражение
/f xg)cose + ys)sin®n
J У 叫osO-X (叫 in®>
то невозмущенное движение неустойчиво.
ничегок виду(2.4)ничегок виду(2.4)Если J V 0 — асимптотически устойчиво.
ничего
к виду
(2.4)
ничего
к виду
(2.4)
Если J = 0, то по m-му приближению об устойчивости сказать нельзя.
Предполагается, что под знаком интеграла в функциях Xi”) и заменен на cos 0, а у — на sin 0.
Уравнения (1.1) заменой х = г cos 0, у = г sin 0 преобразуются
—=Х^ cos 0 4-У(от)sinQ + R (г, в)
，也=Y^ cos e—X(m)sin e + Q (r. 0)
ю
Не уменьшая общности задачи, можно предположить, что функция 尸0 определенно-положительная.
Из второго уравнения (2.4) заключаем, что переменная 6 будет возрастать одновременно с t, по крайней мере для всех г V г0- Следовательно, в вопросе устойчивости движения 0 может играть роль t.
Из уравнений (2.4) выводим
产兄+…(Z.5)
где
r — X(加)(cos 9, sin 0) cos Н+У(т)(cos 0, sin 0) sin 0
yg)(cos 0, sin 9) cos 0—X(m) (cos 0, sin 9) sin 9 不
Из условия знакоопределенности функции F° заключаем, что R工— непрерывная периодическая функция с периодом 2л для всех вещественных значений 0.
Что касается вида коэффициентов R2, R3, •••，то это будут рациональные функции от sin 0 и cos 0 со знаменателями, равными различным степеням функции
Y^ (cos 0, sin 0) cos0—Х(^)(cos 0, sin 0) sin 9
Корень характеристичного уравнения, соответствующий периоду 2л уравнения (2.5), имеет значение
2Л
exp J R工曲 о
и всякий раз, когда интеграл, находящийся в показателе, не нуль, вопрос об устойчивости решается знаком этого интеграла.'
Если
2Л
J /?工曲 > 0 — движение неустойчиво, о 2Л
$ Ride < 0 ——движение асимптотически устойчиво.
Предположим, что
2л
J %de = O
о
Тогда в §RdQ О
представляет функцию, периодическую с периодом 2л. На основании этого можно утверждать, что /n-е приближение уравнений (1.1) представляет интегральные кривые в виде замкнутых циклов.
Предполагая, что
2Л
J 7?工 de == 0 о
положим в уравнении (2.5) о
r=pexp、R工d8
Тогда получим
^•=р2р2(е)+рзрз(е)+
/ е \(2・6)
Ps® = Rsexp ((s—1) g ^Mj (s = 2, 3,…)
Здесь Р8 представляют периодические функции с периодом 2л.
Согласно исследованиям Ляпунова, будем искать интеграл в виде ряда, формально удовлетворяющего уравнению (2.6):
р = с+с2 以2 +с，弘з + …
где u2, и3, ... — функции 0, удовлетворяющие уравнениям
d以 z/d8 P2,du J d8 P 3 + 2〃2 戶2* * • •
Может случиться, что все функции us (s= 2, 3, ...) при этом построении получаются периодическими, ряд при этом будет сходящимся, по крайней мере при с достаточно малом. В этом случае мы, очевидно, получим консервативную устойчивость.
Если некоторая из функций us получится непериодической, то она, очевидно, будет иметь вид
% = g® + 少
где g означает отличное от нуля постоянное число, а у— периодическая функция 6. При том, если g > 0, невозмущенное движение неустойчиво, если g V 0 — асимптотически устойчиво.
Таким образом, теорема доказана [2].
Доказанные теоремы не решают задачи об устойчивости движения в том случае, когда правые части уравнений (1.1) удовлетворяют условиям:
Y^ = аХ^(а=const)
или
Х^ = Р(х, у)Х^ Y^^P(xty)Y^
и функция V = %Y(也)——уХ(点)一знакоопределенная.
Возьмем систему уравнений
毘= X(m)+X(m + 1)^=aX^ + Y(m + l)(3.1)
dtdt
Случай, когда Xw (х, у) ——функция знакоопределенная, очевидно, можно не рассматривать: движение будет неустойчивым.
Предположим, что X(°)не имеет множителя ах —— у и Х(т"х можно сделать величиной положительной при условии ах ——у = 0.
В этом случае уравнения (3.1) заменой х = х*, У = У* + ^工 могут быть преобразованы к виду
$ =4%严+4/тт%+ …+A»gF+x*g+i)
或(3.2)
讐= Ур+а (fe>i), at
Выражая из (3.2) производную dy1/dx1 и заменяя у工=zxb получим уравнение
尤工/ =-2 +力尤工+ Ф (尤工，z)(3.3)
Из уравнения (3.3) получаем голоморфный интеграл z = с^ +
Следовательно, g^ = q尤工+ c^ + •••
Первое из уравнений (3.2) после исключения % принимает вид
空=4%不+%"+1叭曲
По предположению, ХЕх можно сделать величиной положительной при условии ах — 4 = 0； следовательно, Ло можно сделать тоже положительным, а этого достаточно для неустойчивости невозмущенного движения
Предположим теперь, что при условии ох ——4 = 0, X(m)= 0. Очевидно, что в этом случае об устойчивости по m-му приближению сказать ничего нельзя. Уравнения (3.1) приводятся в этом случае к виду
^=Z/1XJ*1)+XF+W 号=匕(権+月) (b»2》i)(3.4)
atat
Выбором XJm +財), Y^m^k^ можно движение всегда сделать неустойчивым, независимо от у^Х^т~
Если т — четное число и в уравнениях (3.1) Х(^) не содержит множителем ах — у или все равно, что в уравнениях (3.4) X/加) не содержит множителем 勿，то движение неустойчиво.
Условие, что Х^ не содержит множителя ах —— у — существенное; в этом случае, как мы выше убедились, по /n-му приближению иногда можно сделать заключение о неустойчивости движения.
Если Х(") содержит множитель ах —乡,то по /n-му приближению не только об устойчивости, но и об неустойчивости сказать ничего нельзя. Уравнения (3.1), как мы видели, в этом предположении преобразуются к виду (3.4).
Соответствующим подбором XJ^ + 在力 и У*(加 + 財)интегралы уравнения (3.4) всегда можно сделать устойчивыми; для этого достаточно положить
Xjm+馬)=%Х*(т+&_1),Y^m-^k^ =——х^—1 [Х^^1^+ Х^т^~Щ
Интегральные кривые уравнений (3.4) при таком подборе X^m + k^ и 瞋”胞)образуют замкнутые циклы
十疗+}* = С
где k ——любое целое четное число, большее 2. Полученный интеграл дает устойчивое изменение 无工 и у^ при любом т.
Рассмотрим последний случай, когда Х(Е = Р(居 4)Х肉，卩加)= =Р(尤,y)Y^k\ где Р(х, 4)= 0 представляет систему прямых, проходящих через начало координат (особенные линии), и функция V =尤У(右)一 у 乂⑺ ——знакоопределенная.
Можно показать, что /п-е приближение вопроса об устойчивости и неустойчивости не решает.
Интегральные кривые, определяемые уравнениями m-го приближения, в этом случае образуют либо центр, либо фокус.
В случае центра
f X信)cos 6+ у肉 sin 6
J M cos 6— X(&)sin 产=°
В случае фокуса значение интеграла отлично от нуля. При наличии особенных линий в обоих случаях движение будет устойчиво, если рассматривать уравнения m-го приближения (члены (/и + 1)-го порядка и выше в правых частях отбросить).
Уравнения (1.1) при наших предположениях можно преобразовать к виду
号=У\Р\ X* ⑻ + ху+1),粤=乡品 У* 储)+ У*Е+1)
Чтобы интегралы этих уравнений были неустойчивыми, независимо от членов /и-го порядка, достаточно члены высшего порядка взять в виде
Х^т^1)= х^п+1 + У1 ^{т)» 2几 + 1 >/п
Рассмотрим подробнее случай центра в /n-м приближении и докажем, что членами высших порядков его можно преобразовать в узел.
Предположим, что уравнения преобразованы к виду
^ = у^РМ^ + х^+^皆=以"2屮)卄产+1)..
Функция V =尤工Y*(点)一4工Х*(点)—знакоопределенная и '
2Л、
「x*(E)cose+y*伐)sin。
J у*к)cose—x产sine
Члены высшего порядка определим таким образом:
Xjm+D =0()尤严+1+a 工% 尤严 +
y*g+i) =瓦%х严+厶%2%工优一1 +…+%+[y严+1 +8工也/现+1+…
Уравнение
dj/i У干р?у* 肉+匕g+"
质一y^P2 ^/^+^^+^
заменой у工=zx^ приводится к виду
x1— = az + bx1 +(f (尤工，z).(3.5)
Соответствующим подбором % и 匕工 коэффициент а можно сделать положительным; при этом уравнение (3.5) определит интеграл, голоморфный относительно 尤工，尤工° и произвольной постоянной с вида
2 = ф：(/,/а, С)
Все интегральные кривые, определяемые этим интегралом, проходят через начало координат, следовательно, имеем узел.
Если интеграл J，0, то аналогично можно преобразовать фокус в узел.
Литер атур а
Л. М. Ляпунов. Общая задача об устойчивости движения. Изд-во Харьковского матем. об-ва, 1892.
Л. М. Ляпунов. Исследование одного из особенных случаев задачи об устойчивости движения. Матем. сб., 1893, т. XVII, вып. 2.
Н. PoincarM Sur les courbes definies par les equations differentielles. Journal de mathematiq ues pures et appliquees, 1885, 4 serie t. I.
H. Poincar^. Note sur les propr ietes des fonctions definiespar les equations differentielles. Journal de Г ecole polutechnigue, 1878； t. XXVIII, N 45.
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ
В ОДНОМ ОСОБЕННОМ СЛУЧАЕ1
Эта задача заключается в исследовании на устойчивость интегралов системы дифференциальных уравнений, когда характеристическое уравнение, соответствующее данной системе, имеет два нулевых корня в предположении, что все остальные его корни обладают отрицательными вещественными частями.
Различные случаи, которые может представить система дифференциальных уравнений в этом предположении, подразделяются на два существенно различных класса в зависимости от числа групп решений, соответствующих нулевым корням.
К первому классу мы отнесем те случаи, когда нулевым корням отвечает одна группа решений. Система дифференциальных уравнений в этом предположении преобразуется к виду
dx _
“(1.1)
&=Pi工光工 + …+ Pin 尤7i +X$(X, yt 尤工，…，Xn) (f = I,…，n)
Исследование на устойчивость интегралов этой системы представляет задачу Ляпунова, решенную им в том частном случае, когда п = 0, т. е/ исследуемая система второго порядка I1].
Случаи второго класса характеризуются двумя группами решений, отвечающих нулевым корням. Задача в этом предположении приводится к исследованию интегралов дифференциальных уравнений вида
= X (х, y,尤工尤几), ~~ = y (居y>尤工尤П) at at
^ = Pil Х1 + •• • + Pin{xn + ^i (x> 协 /,•••，尤n) (» = 1,…，孔)
В уравнениях (1.1), (1.2) под функциями X, У, Xf подразумеваются голоморфные функции от переменных 尤,у,无^ ...,乃,разложение которых по степеням этих переменных начинается с членов не ниже второго порядка. В настоящем исследовании дается полное решение задачи Ляпунова.
Допустим, что рассматриваемая задача об устойчивости приводится к исследованию уравнений (1.1). Нетрудно видеть, что, вводя вместо у новое переменное 勿，задачу эту, если угодно, можно привести к исследованию
Работа впервые опубликована в сб. «Тр. Казанск. авиац. ии-та>, 1935, № 4.
уравнений того же вида, что и система (1.1), с той только разницей, что первое уравнение этой системы преобразуется к виду
—=й + X(х, у, Хх.... /) at
где Х(%, 4, %н •••，/) — произвольно заданная голоморфная функция, разложение которой по степеням х, у, %, ...» ^ не содержит членов ниже второго порядка. Это преобразование достигается заменой
9 = Pi + X (х, д,尤 1,…，尤几)
Представим члены высшего порядка в правых частях системы уравнений (1 Л) в следующей форме:,
У = У0(х, у) + £ /Q伍，。)千乡 £ /Q№i)+…k = k0A
— + ym^ xAQ(A-m)+ + Fx
Х^Х^х.уП 2 x>P^^ + y^ 炉匕(小)+
…+r 2 apg”)+…+%i
% (居！/) = % (%) + 疗工(尤)+ "2 % (元)+ …
乂。(芻9)= fQ^ (x)+yf^ (х)+У2 fz^) + …
% (x) = % 尤5 + …，^(X)=%" 5 +...
%(‘)(%) - %⑴х5⑴+…，f工⑴(尤)=01⑴xa^i)#
Здесь QS，力 и Pg i)—суть линейные функции переменных /, ...,хп, а У工 и Хц—голоморфные функции переменных 尤,у, хп ... хп, обращающиеся в нуль при 尤工=...=& = 0 и содержащие в своем разложении переменные хъ ..., Хп в степени, не ниже как во второй. Если систему уравнений (1.1) преобразовать к новым переменным уъ ..., уп по формулам
%=内+/(居 У) U = l,…，n)(2.1)
разумея под xf(x, у) корни уравнений
pilx1 + ...+pinxn + Xi (х,弘尤工，…，хл)(i=l,…，n)(2.Г)
то для функций %, &,•••, fh и %"), &"),-•，h⑴ могли бы получить иные выражения. Но нетрудно заметить, что если в результате преобразования %(%) вышла тождественно равной нулю, то и все функции %(')(%) тоже будут тождественно равны нулю. Если f0(x), не обращаясь в нуль тождественно, имеет наинизшую степень разложения а0, то наинизшая степень разложения функций %(')(%) будет больше а0. Допустим, что над системой уравнений (1.1) наше преобразование выполнено.
Применяя к таким образом полученной системе уравнений вторичное преобразование по тем же самым формулам (2.1), получим для функций fh(x) и Ц)3 некоторые новые выражения. Но нетрудно убедиться, что если в результате первого преобразования /0(х) получилась тождественно равной нулю, то тоже будет и после второго преобразования; при этом числа ctJQ будут больше ос工.Если в результате первого преобразования функция /0(х), не будучи тождественно равной нулю, имела наинизшую степень разложения а0, то она такой остается и в результате второго преобразования, причем числа а()(')будут больше а0.
Если, кроме того, в результате первого преобразования мы имеем неравенство ос工 V а0, то в результате второго преобразования ос工 не изменит своего значения и неравенство ах V а0 сохранится; если же в результате первого преобразования мы имели бы ос工》а0, то вторичное преобразование число ос工 могло бы изменить, разумеется, с соблюдением этого неравенства.
Не исключается и тот случай, когда в результате первого преобразования функции %(%), /i(x), %(尤)и т. д. обращаются тождественно в нуль. В этом случае, очевидно, функции %⑴(尤)выйдут тождественными нулями. Если второе преобразование нам даст %(尤)=f式尤)=0, то %⑴(尤)и /屮)(尤)выйдут тождественными нулями. Ну出но отметить, что второе преобразование может нарушить тождество f工(尤)=f2(x) = ••• = 0, но, как нетрудно сообразить, функция %(尤)остается тождественно равной нулю.
Если мы имеем дело с последним случаем и если /工(尤)^ 0, то наиниз- шая степень разложения этой функции ос工 будет меньше чисел а?) и дальнейшие преобразования, аналогичные указанному, числа 。工 не изменят и неравенства а〕。> ах не нарушат. Может случиться, что в результате второго преобразования сохраняется тождество /0(х) = /工(尤)曰 0, тогда, очевидно, и %⑴(尤)м 0 и 九⑴(尤)三 0.
Применяя к системе уравнений (1.1) указанное преобразование достаточно большое число раз, мы получим новую систему дифференциальных уравнений, которая по структуре правых частей может быть отнесена к одной из трех категорий.
%(尤)=0, 九(尤)杀0
В этом случае будем иметь
%⑴(尤)=0，网⑴>a工+力(i = l, ...» n)
где k — произвольно заданное, положительное целое число.
% (х) ^ 0.
Этот случай характеризуется неравенствами
^i}>^ + k(Z=l, .... n)
fo(x) = f1(x)^Ot%⑴(尤)=“")(尤)曰0, a2⑴>a2+月
или /0 Q) = Л(х)==；m(x) = o
%")(%) = &")(%)=…=fm(i) W^O am+i(^ >am+i +^
Может случиться, что в результате наших преобразований выражение для У(х, у,尤工,•.., &) будет удовлетворять некоторым дополнительным условиям.
В случае I эти дополнительные условия могут принять вид
月8>a工 + 月(s = 0, 1, ...» т)
где т — произвольно заданное, целое положительное число.
В случае II могут иметь место неравенства
弘 >а。+ 左 (s = 0, 1,..., m)
Если установлено, что правая часть уравнений (1.1) удовлетворяет этим дополнительным условиям, то вопрос об устойчивости, как увидим, будет решаться непосредственным рассмотрением уравнений. В противном случае будет необходимо некоторое предварительное преобразование. Мы сейчас покажем, что систему уравнений (1.1) всегда можно преобразовать так, чтобы дополнительные условия выполнялись. С этой целью произведем замену переменных х, у по формулам
尤=〃 + /• U旧，°),{/ =少+亦。卩环°)(2・2)
2 Зак. 3126"
где и и v——новые переменные, a U^'。)и V^k°^ ——суть линейные формы от переменных 尤小...» 力几，подлежащие нашему определению.
Нетрудно видеть, что в преобразованной системе члены, не зависящие* от переменных 尤工,...,хп> останутся без изменения и если линейные формы U(尼。，°)и !/(&•，°)выбрать согласно равенствам
Л 1/(^0» 0)
23工/+・・・+""n)-Q&°)= o
(2.3>
2 (Рн Хх + - +pin x^-V^ o)= 0
то число k0 в преобразованной системе увеличится по крайней мере на единицу.
Первое уравнение системы уравнений (1.1) в результате нашего преобразования примет вид
где вместо 尤 и 乡 следует подставить их выражения через и и у согласно (2.2). Если теперь произвести замену
У1 = у—k0 хА»-1 yU^"' °)—х*» Е Xt
/=1
разумея под х и у выражения (2.2), то получим систему уравнений, в которой члены, не зависящие от х1( ..., &, хотя и изменят свое значение, но числа а0 или а工 останутся без изменения.
Проделав ос工 + 々一k0 раз указанные преобразования, мы получим новую систему, аналогичную (1.1), в которой число ^0 удовлетворяет нера* венству
^o>ai + ^—в слУчае 1
耳>备 + 左一b случае II
Считая это преобразование выполненным и называя новые переменные буквами 尤 и 4, вводим новую замену:
尤=我 + 驴№1 U1ku D,4 =ь+ 9尤瓦 V^f 1)(2.4>
Линейные формы U(財，D и 匕財，丨)переменных /,…,左 выберем, согласна равенствам (2.3), с заменой Q(M。)，U(馬，。)и V{kai 0) на Q(龙「】)，U® '、 и V(尼i‘ I) соответственно.
Преобразованная система будет отличаться от системы уравнений (l.iy лишь структурой правой части одного первого уравнения, которое запи* шется в следующей форме:
半=4％冰t U(財，D—城1 f/(吼，D У (х, у,尤Ь…- at
В правой части этого уравнения можно считать 尤 и у выраженными через； и, и,尤工,...,Хп по формуле (2.4).
Если теперь положить
以=9—比谓卄и® 1)_%电 и(в，^Y—ух^УXt
то получим систему, аналогичную системе уравнений (1.1), в которой число 々1 увеличено по крайней мере на единицу.
Повторяя указанное преобразование достаточно большое число раз, мы, очевидно, будем иметь неравенства
々1 >仪工+左一в случае I(2-5)
fei > осо + fe — в случае II
Предположим, что все числа k3 (s = 0, 1, ..., т— 1) удовлетворяют неравенствам
左8>a1 + 左一в случае I
々$>а()+ 々一в случае II
Если теперь положить
х^и^ут /т U(*W т\ 4=少十 ут ХА^ V^m，3
и в преобразованной системе переменную у заменить на у】 по формуле
У1 = у—左秋，十1 х*^"1 [/(%'叫―m^m—i х%уи«м 卅)—
подразумевая под U他"向 и，尼小，от> линейные функции переменных 尤1，...» 亏，удовлетворяющие уравнениям (2.3), с заменой U(^，°), V(际 °)и Q隔，о) на U(%‘m), у^т1 т^ и q(%» ⑴ соответственно, то в преобразованной таким образом системе, число km увеличится по крайней мере на единицу.
Применяя указанное преобразование достаточно большое число раз, мы получим систему уравнений, в которой число km будет удовлетворять неравенствам (2.5) при произвольно заданном числе k.
Полученные уравнения и послужат точкой отправления для дальнейших исследований.
Нетрудно видеть, что задача об устойчивости по отношению к новым переменным вполне эквивалентна задаче об устойчивости по отношению к прежним переменным.
§ 3. При решении поставленной задачи нам придется пользоваться, кроме соображений Ляпунова, одной во многих отношениях интересной теоремой Н. Г. Четаева [2], формулировка которой следующая.
Если дифференциальные уравнения возмущенного движения таковы что:
для некоторой допускающей бесконечно малый высший предел функции V(无и ..., хп) существует область, где W > 0;
и если для некоторых значений величин хх, ...» 乃,численно сколь угодно малых в этой области (W > 0), возможно выделить область, где некоторая функция W > 0, на границе которой 刃=0 ——ее полная производная по времени суть одного какого-либо определенного знака, то невозмущенное движение неустойчиво.
Если рассматриваемая в теореме область W > 0 ограничена поверхностью V — 0 (область V > 0 лежит внутри области W》0), то за функцию W теоремы Н. Г. Четаева можно взять V. Нетрудно видеть, что общие теоремы Ляпунова о неустойчивости 卩]являются частными случаями этой теоремы.
4. Допустим, что рассматриваемая задача об устойчивости приводится к исследованию уравнений
吟=у°(х，9)+ 3 /Q(" °)+9 2 冰 Qs〃)+…
或k - k0在0点1
+ym 2 xkQ^k'm)+ ...+/!(%, у, xx今)(4」)
~7 ="〃 尤工 + …+Pjn 尤n +Хт(X, 4)+Х^工(X, 4,尤工，…，％n)(i= 1,rt)
Первый случай, который нам надлежит рассматривать, характеризуется тождествами
/о (%)=左⑴=... =加(Х)三 О, %")(х) = Л(О (х)=…=笳⑴(х)三 о
(g > 2, v > 2, £= I,…，n) (4.2)
Мы увидим, что во всех случаях, которые может представить система уравнений (4.1) при условии (4.2), невозмущенное движение неустойчиво.
Рассмотрим вначале тот случай, когда все Q(3 °) тождественно обращаются в нуль. Функция Четаева, отвечающая системе уравнений (4.1), строится весьма просто и имеет вид
V^=xy + V1(xlt хп)
Функцию 匕 определим из уравнения
2 (Ptl/ + •••+Pin/)片=Л + …+^n
По свойству корней характеристического уравнения функция % выйдет определенно-отрицательной квадратичной формой переменных %工，...，左.
Производная функции V в силу уравнений (4.1) будет иметь вид
!Л=^ +吟+…^х^п^Ху ^ /Q(j)+RQ,协尤工&) где
R^x[Y. ^у}+У^+х\у^ £ 冰 Q优，2)+…+ 严 J /Q(斩询]+ _ k=k2
+ £ 4^ [Хц)(居 4)+X〃(兀 у, xx, xn)]
Но это выражение в силу условий (4.2) и тождеств Q伍，。)三0 может быть представлено
r = 2夕+ e 2必5修% i=l s=l
если под i|), i|)〃 будем разуметь некоторые голоморфные функции, уничтожающиеся при равенстве нулю всех %, у,修，…，&. Поэтому производная У будет знакопостоянной функцией, большей нуля.
Очевидно, что область W' > 0 ограничена поверхностью V’ = 0, и, следовательно, мы имеем дело с условием теоремы Четаева, по которой следует неустойчивость невозмущенного движения.
Предположим теперь, что
Q出,0) =4%,°)%上+ 4%，0) x2 ++4俨。，0)хП
Пусть А^'。)= 6 =# 0.
Положим %i = Zi + By, %^ = q (i = 2,…，n), тогда уравнения (4.1) примут вид
dx
—=и
纟=九*+ 俨步。乡+ J /Q(M°)+ g £ %&Q*，i)+ ...
力A = A0k = kt
2 "QWm)+YJ(4.3)
-^ = Рцг1 + ... + р1пгп+^рпу+ X6 (x, g) + X"(x, y, z^，…，zn)
где по-прежнему
%(%)三 0,%(')(%)三 О
Д(х) или тождественно равна нулю, или имеет вид
/1(%)=0方 + &# + 1 +Г>鳥
У/ и Х〃* остаются голоморфными функциями переменных х,弘 zb ...» Zn, уничтожающимися вместе со своими первыми производными по перемен* НЫМ 4，…，2П.
Очевидно, что систему уравнений (4.3) можно удовлетворить решением
X = Хо, У = Z\ = z&== 2九=°
Полагая поэтому х = и + х0> У = Уъ z» = %” получим систему уравнений:
岑=(p2%0% + 无%"+1 + …)弘+ J； Х^^и^^+У,
dt-(4.4)
粤=%1%1+ …+ Qin xn +<7il 1/1 +^Zf
at
где 9订=pis + 6f5(x0), Yf и Xf — суть голоморфные функции переменных и, //丄,xlt ...tXn, разложение которых по степеням этих переменных начинается с членов не ниже второго порядка. Уравнения (4.4) в силу этих условий имеют характеристическое уравнение, у которого вещественная часть одного корня имеет знак, одинаковый со знаком выражения
俨%户+无%0坛+1
Полагая х0 сколь угодно малой положительной величиной, приходим к заключению о неустойчивости невозмущенного движения.
Рассмотрим второй случай, который может представить система уравнений (4.1). Этот случай характеризуется тождествами
%(х) = 0,%")(%) = 0 (i = l,…,")
В отличие от первого случая здесь
&(%) = 01%5 + …，a1/0.
Уравнениям (4.1) в этом предположении можно удовлетворить решением
X ^^ %о， У — %] == %2 — ... ^― %冷 ~— О
Следовательно, в результате замены х — и + х0 уравнения (4.1) примут вид
dt з
粤=(仰犷+ ...)什 £看g(〃，g) +y*(5.1)
—=qiiX1+ ... +qmxn +Qi У + ^i* at
где qis = p" + 6mx0).
Пои достаточно малом х0 среди корней характеристического уравнения, соответствующих этой системе, найдется один корень, знак вещественной части которого определяется членом а^Хо". Остальные п корней знака вещественной части не изменят.
Если предположить, что % — нечетное или при % четном аг > 0, то (п + 1)-й корень будет иметь положительную вещественную часть, а следовательно, невозмущенное движение неустойчиво. Если % — четное н % V <0, то вещественная часть (п + 1)-го корня будет отрицательная. Следова-* тельно, система уравнений (5.1) будет иметь (п + 1)-й корень с отрицательной вещественной частью и один нулевой корень.
Задача об устойчивости в случае одного нулевого корня полностью решена Ляпуновым 卩].Применяя его метод исследования к системе уравнений (5.1), приходим к заключению, что при четном аг и ах < 0 невозмущенное движение устойчиво.
Переходим теперь к случаю, когда %(х) неравна нулю тождественно. Пусть
/0(%)=a№。+ …
Предполагая, что указанные выше преобразования уже выполнены, возьмем функцию
и = /(%,{/) + %(/，…，хп)
Функцию 匕 определим из уравнения
告^ У + [匕一/о (X)J 3^ — % У2
汝оу
предполагая, что при х — 0, 匕(0, у) — у.
Функцию У? определим из уравнения
£ ~~(Piixi+ …+Pu ^n) = ^o (^i2+ …+尤％)
Ui
Производная V\ вычисленная согласно уравнениям (4.1), при указанном выборе функций % и V2 примет вид
п л
V =а0(уг + х^+ ... +x2n)+/oW+xa"i|)i + t/2i|)2+ £ 2 ^tsXiXs f = 1 s = 1
где 屮i,屮2,屮％ являются голоморфными функциями переменныхх, у, хг,...» Хд. Поэтому если а0 — число четное, полученное выражение V' представляет знакоопределенную функцию х, у, xlt ...» 修.Принимая во внимание, что функция V может принимать любой знак, заключаем о неустойчивости невозмущенного движения в этом случае.
Рассмотрим случай, когда а0 ——нечетное и а0 > 0. Останавливаясь на .прежнем выборе функции %, подчиним 匕 условию уничтожаться при х = =0. Очевидно, что при этом условии dV-Jdy можно представить как
Т =aox[l + и (х, у)]
дУ
где 4(х, у) уничтожается при х = у = 0. Поэтому при а0 нечетном и а0 >■ 0 рассматриваемая теперь функция Vх будет знакоопределенной. Функция же V, как и в первом случае, может принимать значения любого знака. В силу этого можно заключить, что при нечетном а0 и положительном а。 невозмущенное движение неустойчиво.
22
Рассмотрим случай, когда а0 一 нечетное и а0 отрицательное. Допустим кроме того, что аг V %. Строим функцию
V = Vx(xt //) + %(/,…，xn)
Функцию V2 определим из уравнения
£ *Т—?(Pilxl+ …~V Pinx7^~ Й1 (xl2 + …+尤"2)
自两
Функцию 匕 построим таким образом. Возьмем функцию 尸式尤，у) из уравнения
［У о—% (初=О［У о—% (初=О
［У о—% (初=О
［У о—% (初=О
и подчиним ее условию обращаться в у при х = 0. Очевидно, что 尸 1(%, 〃) будет иметь вид
尸 1(х, у) = у + ^(х, у)
причем
2(Х, 0) = — ^^xs + 1 + …
Рассмотрим выражение
切+ 屮(х, У)1 Г1 十峥叨］=9 (х)口+〃(х, у)1
Младший член 0 (х), очевидно, совпадает с младшим членом 屮(尤,0).
Возьмем теперь другую функцию F2, удовлетворяющую уравнению
礬 У +等［У°—%(")】 = %护' + %+'—%U+"(/ y)lfo(x)
м подчиним ее условию уничтожаться при х = 0.
Функция 尸2(爲 У)，очевидно, будет иметь вид
尸2 (% У)=——X^ + l +〃 (%, у)
々о+1
где и(х, у) не содержит членов ниже (а0+ 2)-го измерения относительно %, у. Построим функцию Ляпунова из суммы двух функций ——Vx и V^
V^F^ix, y) + F2(x, y),%(х1,…，xjp=% + %
Производная V’ примет вид
V = а1уа"+^ + 1 -%% + % + 1+a1国2+…+吟)+5(х,协/,…，x)
ОС］十 1
где
s =xa» + °*+1 屮 1 (x, у, /,...»%n) +
+ //а° + а‘+也(％也/，…，/) + £ J ^is Xt Xg
t = 1 S = 1
州i,屮2, ^ts — суть голоморфные функции переменных /, ...» хП1 х, у уничтожающиеся при / == хп = х = у = 0.
При четном аг и при условии ах V а0 функция V’ выйдет знакоопределенной того же знака, что и а^ а это значит, что при положительном а】 иевозмущенное движение неустойчиво, при отрицательном аг — устойчиво.
23
Из всех возможных случаев нам осталось рассмотреть лишь те, когда при нечетном а0 и отрицательном а0 или ах, будучи менее а0, есть число нечетное, или %》а0.
Рассмотрим уравнение
@ = ¥岂产吆)一(7.1)
dx у
выводимое из двух первых уравнений системы (4.1) с помощью исключения dt и положением хг = ... == 0.
Если а】V (а0 ——1)/2, то уравнение (7.1) имеет голоморфный интеграл, проходящий через начало координат, с младшим членом
ai+1
В случае % = (а0 — 1)/2 и а/ + 4(^ + 1)%》0 уравнение (7.1) имеет голоморфный интеграл с младшим членом 九尤％ + 1, где 九 есть корень уравнения
(% +1)胪一агН—ао = О
Полагая у = Ui + у(х), где у(х) есть указанный интеграл, мы получим систему уравнений
崇= У1 + У(х)
管=乡1 中1'(Х) +1/12 6 (%) + …+ 匕(Х, у. х1，…，%n)(7.2)
~ = Pilxl+ …+Pinxn + ^i(x> У> %1，％n) at
Имея в виду построение функции Четаева, преобразуем систему уравнений (7.2) с помощью замены
% =执+8х5+支 力> 1
Выполняя преобразование, получим
学=У2 H——也%% + —…
山a— 11
呼=% *編+…+ % (a X区+…)+九(*,勿，*1，…，*/ at
Числа 々 н g подберем так, чтобы число а0 было нечетным и а0 положительным.
Если мы имеем дело с первым случаем, т. е. %《(а0 — 1)/2, то число «1 выйдет не менее % + 1.
В случае ах = (а0 — 1)/2 число а】 будет равно а】.В этом случае число а】 будет иметь знак, одинаковый со знаком。韜 который в случае четного ах можно считать положительным.
Возьмем функцию Четаева в виде суммы двух функций
b = *%+%(®尤力
Функцию Vi определим из уравнения
£ У^("〃％1+ …+Pin ^п) = х12+ …+xn2
£ 0也
Производную от функции V можно записать в виде
Vf = x^+ ... +%J+iA + a%屮i(爲力)+
+ %x* + i +衣+1屮2(匕弘)+工办s/乙
где 屮2(修 ％) и 屮心——суть голоморфные функции переменных &,疚，х1( •… 左,обращающиеся в нуль, когда эти переменные делаются нулями. ①унк* ция *ф1(х, у2)» являясь голоморфной функцией переменных х, %，может быть представлена в виде
5(%,弘) = 4v%+4%&+ 1 + - +
+ %(8，%‘ + 瓦+1 xГ +1 + …)+ 疗(…)+ …
Коэффициент А в случае % V (а0 — 1)/2 имеет значение
В случае % = (а0 — 1)/2 будем иметь
/ =a1 + 人
где Л есть корень уравнения
(а】+1)胪—а】д—% — о
Очевидно, что в обоих случаях можно считать число Л больше нуля. Рассмотрим в области х > 0, t/2 > 0 область W》0.
Если положить
Л%+ 匕(*1*n)= g2
то производную !/' можно записать в виде
m=炉1+ ... +*/ + 4 +韻[及%+4%% +1+…+ %(8产+…)+…]+
+%%品+1 +Х而+1也(Х,弘)+工也s xi/
Из этого выражения производной можно заключить, что область VVf》О ограничена областью V == 0, а этого вполне достаточно для неустойчивости невозмущенного движения.
Все случаи, которые осталось нам рассмотреть, относятся к предположению, что 00 V 0, а0 ——нечетное, причем ах и а】 удовлетворяют од* ному из условий:
1)a1>包” или fi(x)三 0
«1 = ^^, ai2 + 4(a1+l)a0<0
Полагая а0 = 2пх — 1, условия 1) и 2) можно переписать в виде
—1 или &(х)мО
0Cj = /2] — 1,^z^^ + 4九1 Uq <C 0
He уменьшая общности задачи, можно считать а0 = —1. Введем в рассмотрение ляпуновские функции Sn и Cs 卩],удовлетворяющие условиям:
Cs2rt| 6 + пг Sn20= 1
^ = —SnO,粤旦=Cs2 m 8,CsO=l, SnO = O
Преобразуем систему уравнений (4.1) в наших предположениях с помощью подстановки x—rCs 6, у= —rn^Sn 0. После элементарных преобразований получим
(8.1)(8.1)Г2п1~! ^ = y{x2nl-l+Yo+Y1)
(8.1)
(8.1)
Г%+ 1 唯=Г2"1—%(%2",- 1 +九 + 匕)
(8.2)(8.2)Если в уравнениях (8.1) положить хг = ... = Хп = Q и исключить из полученных уравнений 厶 то получим одно уравнение, которое при условии 1) примет вид
(8.2)
(8.2)
= г® & + г* & + … а。
Если мы будем иметь делос условием 2), то из уравнений (8.1) аналогичным путем получим
(8.3)(8.3)铝质1 +，味2+… ad
(8.3)
(8.3)
Рассмотрим случай
a】 > 几 1— 1или /\ (х)三 О
Будем искать решение уравнения (8.2) под видом ряда г = с +с2и2 + с3 и3+ ...
где и2 и ^з — независящие от с функции 6, удовлетворяющие уравнениям
^ = ^2,^ = &+2〃"％
а。а。
Предположим, что первая непериодическая функция имеет индекс тъ тогда она, очевидно, будет иметь вид 因
〃/= е + u
где g — отличная от нуля постоянная, а и — некоторая периодическая функция 0.
Замечая, что задача об устойчивости по отношению к переменным %, у вполне эквивалентна задаче об устойчивости по отношению к переменной г, которую мы можем считать положительной, введем замену
r = z^z2u2~\-z3u3+ ... +z~-i 〃恤-i +#・и
Очевидно, что в смысле устойчивости переменная z может заменить переменную г.
Построим функцию
(8.4)(8.4)V = — гп» + ^(Хц ...» хп)
(8.4)
(8.4)
определив функцию 匕 из уравнения
e ^^("〃"1 +…+"5/)=8("12+ …+*J)
Производная функции V согласно уравнениям (4.1) в нашем предположении будет иметь вид
л лл л『二g(2m1+ 2 5lD+%/+ …+%/) +
л л
л л
+ z2g-i)+也屮g …，/，z, 8)+ 2 N 也8/%
Если /и】V N то задача об устойчивости будет решаться знаком g. В случае g之0 невозмущенное движение будет устойчиво, в случае g>0― неустойчиво.
Может случиться, что m^>k или все функции us выйдут периодическими. В этом случае функция Ляпунова, записанная уравнением (8.4), задачи об устойчивости не решает.
Допустим, что мы имеем дело с условием mx>k или все us—периодические функции 0.
Если к системе уравнений (4.1) в этом предположении применить преобразование §§ 2, 3, то числа 恤 н 左 изменят свое значение на 恤 и 自, причем 局 выйдет больше, чем 应.
Если в результате преобразования будем иметь /?22V 々2，то вопрос об устойчивости будет решаться знаком постоянной g; в противном случае необходимо применить указанное преобразование несколько раз до тех пор, пока не получим неравенство ms<zkst
Это неравенство будет указывать на то обстоятельство, что правые части системы уравнений (4.1) решают задачу об устойчивости членами 忘s”ro приближения, члены же выше ^5-го приближения на устойчивость влиять не будут.
Может случиться, что какое бы приближение мы ни брали, задача об устойчивости этим приближением решена быть не может. Этот случай будет характеризоваться неравенствами /и$>^, и решение задачи нас приведет к бесконечному числу действий. К аналогичной задаче пришел Ляпунов при рассмотрении уравнений с парой чисто мнимых корней и парой нулевых корней.
Рассмотрим последний случай, характеризуемый условием
ОС] = /1] ■— 1
Будем рассматривать лишь случай четного nlt так как аналогичная задача в случае нечетного пг решена в § 6.
Преобразуем уравнение (8.3) с помощью замены
в
г = ре〃е), «/(8)=、Rid8
О
где J (0) при условии четного пх представляет периодическую функцию 0.
В результате преобразования получим
^ = Р2р2 + РзрЗ+...(8.5)
Задача об устойчивости по отношению к переменной г эквивалентна задаче об устойчивости по отношению к переменной р. Но мы видим, что уравнение (8.5) имеет тот же вид, что и (8.2), поэтому задача об устойчивости в этом случае будет решаться так же, как и в предыдущем случае.
Литература
А. М. Ляпунов. Общая задача об устойчивости движения. ОНТИ, 1935.
Н. Г. Четаев. Одна теорема о неустойчивости. ДАН СССР. 1934, № 9.
ИССЛЕДОВАНИЕ ОДНОГО ОСОБЕННОГО СЛУЧАЯ ЗАДАЧИ ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ
В статье I1] была решена задача Ляпунова [- 3] об устойчивости интегралов системы дифференциальных уравнений в том случае, когда характеристическое уравнение, соответствующее данной системе, имеет два нулевых корня с одной группой решений в предположении, что все остальные корни обладают отрицательными вещественными частями.
-或的-或也出-或的-或也出В настоящей статье мы рассматриваем задачу двух нулевых корней характеристического уравнения с двумя группами решений. В этом случае система дифференциальных уравнений может быть преобразована к виду
-或的-或也出
-或的-或也出
= Хо(х,у)+Х*(х, у, хъ ..., хп)
= Уо(х，9)+ У* (% I/，/，…，％п)(0.1)
= Р；1^1+ …+ Pin хп 4-Х(.(0)(х, у) 4- Хг* (х, у, Xjхп)
(i = 1, . * ♦, л)
где X。，У。，XJ°), X*, У*, X/, — голоморфные функции своих переменных, не содержащие членов ниже второго порядка. Кроме того, функции X*, У*, Xj* обращаются в нуль лишь при %】=・..=左=0.
Докажем одно предложение, сводящее задачу построения функций Ляпунова и Четаева [4] для системы уравнений (0.1) к задаче построения функций Ляпунова и Четаева для системы второго порядка.
Представим функции Х0(х, у), У0(х, у), Х^^х, у) в следующем виде: Хо(х, у) = Х(/向(х, g) + X(/m+i)(х, g)+ ...
几(х ,У)=九g(*, y) + Y0^+1)(居玖+…
Х^(х,у) = Х^(х, y) +'X^ + >)(x> у) + ...
где XS。, y(l)Qt Х(% — суть формы /-й степени.
Можно утверждать, что преобразованием, не изменяющим задачи об устойчивости, уравнения (0.1) можно преобразовать так, что числа kt будут удовлетворять неравенствам
財 >/n + N (』1,…，n)
где ^ — произвольно заданное целое положительное число.
Этого всегда можно добиться следующим образом. Из уравнений
"〃/ +…+"5/+Х卅)(х,у)+Х/(居 у,/,…，/)=0
определим ^, ...» л^ в зависимости от %, у и произведем замену
%=次 + 看（看 У） （；-=1, n）
Нетрудно видеть, что в преобразованной системе числа 財 будут больше /и.
Если к полученной системе применить указанное преобразование вторично, то числа 々^ увеличатся еще по крайней мере на т— 1. Нетрудно видеть, что вторичное преобразование членов /и-го порядка не изменит. Применяя указанное преобразование достаточно большое число раз, мы в результате получим неравенство
財 >/n + N
Совершенно очевидно, что ^-е преобразование не изменит членов （/и + +々一1）-го порядка в 文о（х, у） и Уо（^» У）・
Предположим, что над системой уравнений （0.1） указанное преобразование выполнено.
Представим функции X* и У* в следующем виде:
Х*（х, 9, хь ..., хп） = 2xk' у^Р^ А«）+ Х<1）（х, у, %1，х“）
У*（х,协 ％1，…，/）==£%& 疗，Q（M»*）+y⑴（х, У, xY，…，"J
где 戶伍i，A）и Q（*n *«）—линейные формы от переменных х「...,左，знак S распространяется на все целые положительные числа 々】и ^2）удовлетворяющие условию
自+々2》1
Можно утверждать, что с помощью преобразования к новым переменным систему уравнений （0.1） можно привести к виду, в котором числа k* и ^а удовлетворяют неравенству
А +局 > 团+ N
Предположим, что в системе уравнений （0.1） суммирование распространяется на все целые положительные числа ^ь 々纟,удовлетворяющие условию
自+网）К
Введем замену
x = 〃 + n/1 十2 U（也，后），y П 0 + 工尤也 /2 h也，"）（k + 论2 = K）
разумея под U^u 卜力 и V（电，也）линейные формы от переменных %匕...,xn, подлежащие нашему определению. Эти формы мы подберем так, чтобы в преобразованной системе числа ^, ^2 удовлетворяли неравенству
自+ Е》К +1
Для этого достаточно определить формы （/（&，厶）и !/（版，&）из уравнений
У 31+ …+Pinxn） = P^-^
У -（加x1+…+ piEn） = Q（M"）（瓦+局=2
»=i dxt
Применяя указанное преобразование достаточно большое число раз, мы получим систему уравнений, в которой числа ^х и ^2 удовлетворяют нужному нам неравенству
kt + k2> т + N
В дальнейшем будем рассматривать систему уравнений (0.1) в предполо* жении
N、h + 卜笃'^ т* N
где ^ — произвольно заданное целое положительное число.
Предположим, что для уравнений
鲁= Х°(叫招 у) + Хо(т+1)(Х,"+ ...
…十 Xo(m + &)(%, g) + X()(m+為+1)(Х, у) + ...
黑=屮(Х,у)+Уо(т+П(Х,玖十 at
…+ yМ+^)(%,勿+ У产+為+1)的y) +…
выводимых из первых двух уравнений системы (0.1), удалось построить функцию Ляпунова Уг(х, у) со знакоопределенной производной V/, причем знакоопределенность следует из рассмотрения членов (/и + ^)-го приближения и так, что члены выше (/и + ^)-го порядка знакоопределенности функции не нарушают. Тогда задача об устойчивости по отношению к переменным х, у полностью решается уравнениями
3=XM)+X°g + 1)+ ... +Х°(т + А)
f(1.2>
冬=Y^ + 匕5+1)+ ... + 儿⑺+后) (fe < N) at
Можно предположить (и это будет общий случай), что в выражении производной члены выше некоторого ^-го порядка можно отбросить как не влияющие на знакоопределенность функции 1//.
Число ^1 можно считать меньше /и + М
Если случится, что ^ > /и + ^, то с помощью указанного преобразования число ^ можно заменить на число N籌 так, что М будет меньше т + N*，а система уравнений (1.2) при условии 々V 内 остается без изменения.
Функция Ляпунова, отвечающая системе уравнений (0.1), очевидно, будет иметь вид
U = V\(X, y)+V2 (%!，…，Xn)
где У^ъ •♦•，左)— квадратичная форма переменных 尤卜...,左,удовлетво* ряющая уравнению
У 半(仍1x1+ - +Pinx^= ± (V+ …+A)
£ dXi
Знак плюс или минус берется в зависимости от знака У/.
Указанный метод построения функций Ляпунова можно распространить- на функции Четаева.
Пусть нам удалось построить функцию Четаева для системы уравнений (1.1), причем поведение функции определяется членами (/и + ^)-го порядка при произвольно заданных значениях членов высшего порядка.
Пусть Vi и Vi —функция и ее производная, удовлетворяющие теореме Четаева [4], т. е. существует область, где 匕匕'> 0, и эта область находится внутри области V/ > 0. Если это свойство будет следовать из рассмотрения членов некоторого ^-го порядка (Л\ V 加 + %) независимо от произвольно заданных членов высшего порядка, то функция Четаева, отвечающая системе уравнений (0.1), будет иметь вид
V=匕(居力+V2(%1，％)
где V2 определяется из уравнения
£ 讐(Pil*l 十-+PinXn) = ^+ 十
Аналогичные рассуждения можно провести относительно функций V и Г.
Докажем этим методом несколько теорем.
Теорема /. Если в уравнениях
普=X°(m) (х,协 + ХМ+ 1)(Х> 协十…
+2 城田，p信“0)十x⑴(*, 4,匕，…，%)
左1 +左*》m+#+l
警=5)(*,4)十3+1)(匕切十(21)
-+2 *& 卢 Q("，")+ у⑴(%,协 *i,…，/)
尼* +电》m+N+1
~ = Pa / + …+ Pin xn + X(%)(X, y)+…+XJ (力，у,力 1，…，xn)
(团》2, ki > m + n+1, i= 1,...» n)
1)尸о =力У(/т)——“Xjm)—знакопеременная или знакопостоянная фун* кция;
Х^!х или Y^ly может быть сделано больше нуля при условии 尸о = 0, то невозмущенное движение неустойчиво.
Полагая в первых двух уравнениях системы (2.1) Xi = х2 =... — =左=0, получим
察=冗(向(招 у)+Х0^+^(Х, У)+
当=%(向(*,切+/5+1)(“)十
При условиях 1) и 2) теоремы эти уравнения с помощью линейной подстановки с постоянными коэффициентами могут быть преобразованы к ви- ду网
穿=4即+4即一飞十.，+/7nlim +日代,叫
；(2.2)
= ^->л+ ...+Bmr + ^(^ n)
При условии 2) теоремы коэффициент 力。можно сделать положительным. Из уравнений (2.2) выводим голоморфный интеграл [б] по отношению к 己 или Е и g In ^ вида 1]=三屮雋)или л =三屮(三，三 In &). Производя замену 刀=у 十 十刀信)，где i](^) — найденный интеграл, получим систему, в которой правая часть второго уравнения будет обращаться в нуль при у = 0.
Предполагая это преобразование выполненным и сохраняя прежние обозначения переменных, рассмотрим функцию
% = ¥f2
Рассмотрим область ^ > 0 и |т]| < ^А. В этой области V\》0. Докажем, что область Vi > 0 находится внутри области V/ > 0. Действитель^ но, представляя в (2.2) Н = 1]Н*(^,刀)，вычислим
匕』2磴左一"4即+4唯加一卄...+4展+B低硕一
-2ла[в1 ^m-1+ …+ %中一1+"* (三，明
Число 尼 выберем так, чтобы Мо — 3工 было больше нуля. В области 側 < У знак 匕'определяется членом 2(М0 一 3工店2左+m-i.
В силу того, что 三 > 0 имеем: 匕'> 0 всюду, где 匕 > 0. Следовательно, построенная функция удовлетворяет теореме Четаева.
Уравнения (2.1) при наших п редположен и я х могут быть преобразованы к виду
4т- = Л^+л1^-111++^^+3(^11)+.
+ S2限Ру”")+日1)化,%石，…，/)
瓦+左2》加+ # + 1
£ =当那in+…+% 喂+Н(Е,П)+(2.3)
+ 2 护限Q尸”Е)+h⑴@ 小/，…，/)
也+ 左2 > m + N+ 1
粤=Pd+ ••• +рщХп + x£i)& 叫 + Xi⑴ & n，%1，…,％n)
(m)2,財》团+n+1, 4=1, n)
где 日⑴=Н⑴=Х»⑴=0 при / = / =…=xn = 0, E⑴，H⑴, кроме того, не содержат линейно 尤工，...,хп.
Функция Четаева, отвечающая этой системе, имеет вид
丫 =瞪一刀2+%(打，…，&)
Функция V2 определяется из уравнения
£ ~^(PilXl+ …+ "5/) = %/+ …+炉71
Теорема I будет справедлива и в том случае, если ХМ и Y^ имеют общие ветви, проходящие через начало координат, т. е.
Х°(т)=РХ 伏)，yq^ = PY^
но одно из решений xY^ ——“Х(悶=0 не обращает в нуль Р(х, “)， и отношение Х^тЧх может быть сделано больше нуля при условии xY^ — “X(Q = 0.
При этих условиях уравнения (2.1), как и в предыдущем случае, приводятся к виду (2.3) и функция Четаева имеет тот же вид.
Из теоремы I следует:
если в уравнениях (2.1) m — четное и 凡⑺ и 匕/向 не имеют общих ветвей, проходящих через начало координат, то невозмущенное движение неустойчиво;
если при четном/п, Х0<т) и Y^m^ имеют указанные ветви, т. е. XQ^ = =尸Х(叫 У^^т}=尸У(叫 но хотя бы одно из решений xY^ — уХ® = 0 не обращает в нуль Р, то невозмущенное движение неустойчиво.
К разобранным случаям приводятся уравнения, в которых Y^ = аХ^ в предположении, что при у — ах отношение Х^!х может быть сделано больше нуля.
Этот случай включает в себя уравнения, в которых
Уо(т)=Уо(т+1)= ... = Уо(т + $-・1)=О
а отношение XjEx может быть сделано больше нуля при условии “ = 0・ Уравнения (2.1) в этих предположениях приводятся к виду
集=42+4宀1"+…+4央+%(宀)+ ...十
+2 х^у^Р^-^+Х^(х, у, Ххxn)
瓦+ А》т + & + 1
^^Y^^{x,y) + ...+2 x& 央 Q(…。+ У⑴(x,4,*i，…,xn)
儿 + 左,tn-\- N \
= Pil Xl + …4" Pin ^n + Xj °(X, ") + …+ X J (修 yt 修，...，Xn)
> 2, ki > m + N+\t tn)
Функция Четаева для этой системы имеет тот же вид.
Теорема II. Если
1)尸。二尤^/加)一уХ^——знакоопределенная функция;
J-Fo(cos0, sm9)J /o(m)(cQsQjs.nQ)cosQ _%o(m)(cQssin0)— dO>0
то невозмущенное движение неустойчиво.
Если при условии 1) J V 0, то невозмущенное движение асимптотически устойчиво.
В обоих случаях задача об устойчивости решается членами m-го порядка 但=0) н уравнения
(2.4)(2.4)学=xow (х,у) + Х^+^(х,у)+ ...
(2.4)
(2.4)
冬=Y^ (x, у) + Y^+ >)(x, y)+
преобразованные с помощью замены x = rcos 仇 у = rsin 9, допускают построение функции Ляпунова со знакоопределенной производной, причем знакоопределенность следует из рассмотрения членов /n-го порядка независимо от членов высшего порядка.
Если эту функцию обозначить через 匕(г, 9), то функция Ляпунова, отвечающая преобразованным уравнениям (2.1) при наших условиях, будет иметь вид
у = %(г, 8) + %(/, ・・•，/)
где Va(尤1，•••，&) определяется из уравнения
£…=±(xi2+…
знак плюс или минус берется в зависимости от знака V^ .
Рассмотрим случай J = 0.
Уравнения (2.4) в этом предположении можно разбить на два класса. К первому отнесем уравнения, в которых задача об устойчивости решается членами (т + ^)-го порядка независимо от членов высшего порядка, причем 力 V N・ Ко второму классу отнесем те уравнения, в которых 尼 > 府 или система уравнений (2.4) допускает периодическое решение.
В случае k <Z N задача решается рассмотрением уравнений (2.4), которые после замены х = г cos 0, у = г sin В преобразуются к виду
—=Хо(«)cos е + Yo^ sin0 + ...
必(2.5)
г — =У0(т)cosQ—X0(m> sin 0 + ...
33333 Зак. 3126
33
33
Исключая t из уравнений (2.5), получим
冬==「％ +产 &+ …(2.6)
где 欠工,T?2> ••• являются рациональными функциями от sin 0 и cos 0/ знаменатели которых представляются различными степенями выражения
九⑺(cos 0, sin 0) cos 0—Xo(g (cos 0, sin 0)sin 0
не обращающегося в нуль ни при одном вещественном значении 0.
Определим формальное решение уравнения (2.6) под видом ряда
r = c〃i + c2〃2+ ...
где 〃], и2, ...—функции 0, удовлетворяющие уравнениям
槊=弋"1，^ = RiU2 + R2u^
—=&〃з+ 2aI 〃2&+&〃『，..・
Если задача об устойчивости по отношению к х и у решается членами (т + ^)-го порядка при условии 々 V N, то в ряду функций ux, и2, ... функции Ui, ..., Uk~\ выйдут периодическими, а функция uh будет иметь вид
〃丸=g® + %
где Vk — периодическая функция 0.
Задача об устойчивости в этом случае будет решаться знаком выражения gFQ.
В случае gFQ V 0 движение будет асимптотически устойчиво, в случае gFQ > 0 — неустойчиво.
В обоих случаях можно построить знакоопределенную функцию Ляпунова со знакоопределенной производной, причем знакоопределенность будет следовать из рассмотрения членов (т + ^)-го порядка, независимо от произвольно заданных членов высшего порядка, а этого достаточно для решения задачи об устойчивости интегралов уравнений (2.1).
В случае h > N задача об устойчивости аналогичным способом не решается по той причине, что наличие членов
2 Х& 央 QKQ», xg) (%, у) (fe； > m + ^ + l)
左1 +左+ N + 1
в уравнениях (2.1) не дает права делать заключение о знакоопределенности производной от функции
У = % + %
В этом случае к уравнениям (2.1) необходимо применить преобразование § 1, в результате чего мы получили бы новые числа 自 и N*. В случае 也* V К* задача а будет решаться вышеизложенным способом. Случай 融 > N* потребует дополнительного преобразования.
Если задача об устойчивости решается конечным числом членов в уравнениях (2.1), то мы в конце концов придем к соотношению 々 V М
Теорема III. Если
А0(х, у) = xY^ ——yX()(m)——знакопеременная или знакопостоянная функция;
34
Х(/叫％vO и YQwly<LO при условии Fo = O, то невозмущенное движение асимптотически устойчиво.
Уравнениям (2.4) можно придать вид
^ =严仆+严+1%+…， Г 患= iQ。+i+iQi+...Q7)
Qo =尸° (cos 6, sin6), R。= xX°⑺ + yY^
с заменой x = cos 0, у = sin 0.
Если Qo — знакопеременная функция от 0, то функция Ляпунова, отвечающая системе уравнений (2.7), будет иметь вид
V = га ехр (—\ NQq d0^
Полная производная от функции V по времени в силу уравнений (2.7) запишется в форме)
『 = i+iexp(-f 政()曲卜r-畋。2)+ 依2s2 +
Функцию N (0) подберем так, чтобы
2л
\ NQ°de = O,2) 2Ro-NQ°2vO
О
Первое условие выполняется в силу знакопеременное™ функции Qo, второе условие ——в силу того, что Qo может обращаться в нуль только в области Ro V 0. Если Qo — знакопостоянная функция, то функции Ляпунова можно придать вид
展户exp(_；N (0)曲)
где N (6)—— удовлетворяет условиям
D§N(8)de = 0,2) 2Ro—QoNvO
о
Условие 2) выполняется в силу второго условия теоремы III (Qo = 0 только при Ro V 0).
Л итература
Г. В. Каменков, Об устойчивости движения в одном особенном случае. Сб. «Тр. Казанск. авиац. ин-та», 1935, № 4.
Л. М. Ляпунов. Общая задача об устойчивости движения. ОНТИ, 1935.
_Л. М. Ляпунов, Исследование одного из особенных случаев задачи об устойчивости движения. Матем. сб. 1893, т. XVII, вып. 2.
Н. Г. Четаев. Одна теорема о неустойчивости. ДАН СССР, 1934, № 9.
Г. В. Каменков. Исследование одного особенного, по Ляпунову, случая задачи устойчивости движения. Сб. «Тр. Казанск. авиац. ин-та>, 1935, № 3.
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ движения