ОСНОВЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ

ДОПУЩЕНО

МИНИСТЕРСТВОМ

ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО

СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ СССР В КАЧЕСТВЕ УЧЕБНОГО ПОСОБИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ВУЗОВ

е

МОСКВА «ВЫСШАЯ ШКОЛА» 1976

531

Д56

УДК 531 (073)

Рецензенты:

Академик Академии наук УССР Я. 4. Кильчевский.

Кафедра теоретической механики горного института (зав. кафедрой проф. И. М. Воронков)

Добронравов В. В.

Д 56 Основы аналитической механики. Учеб, пособие для вузов. М., «Высш, школа», 1976.

264 с. с ил.

Настоящая книга, являющаяся учебным пособием по курсу аналитической механики, наряду с традиционными вопросами (вариационные принципы механики, уравнения движения механических систем, методы мх интегрирования и др.) содержит изложение методов, которые используются в научных исследованиях, но еще не вошли в учебные руководства. В частности, дается применение метода неполного интеграла к интегрированию уравнений движения неголсномных систем, исследуются основные особенности механики реономных систем, излагаются теорема Нетер и метод внешних форм в применении к механике.

Книга предназначается для студентов и аспирантов вузов, а также преподавателей и научных работников.

в 20302—320“001(01)—76в 20302—320“001(01)—7696—7696—76531531

в 20302—320“001(01)—76

в 20302—320“001(01)—76

96—76

96—76

531

531

© ИздателЕсгво «Высшая шквла», 1976 г.

ПРЕДИСЛОВИЕ

Значение аналитической механики в ряде областей современной техники, таких как теория управления движением, космическая механика, автоматическое управление и др., в настоящее время неизменно возрастает. Этим и определяется содержание настоящей книги. Она рассчитана на читателей, имеющих подготовку по теоретической механике и высшей математике в объеме учебных программ высших технических учебных заведений. Некоторые сведения по математике, выходящие за пределы программ, излагаются в соответствующих главах настоящей книги.

Книга состоит из двух частей. В первой части в объеме университетского курса излагаются основы аналитической механики, не затрагивая механики неголономных систем, которая изложена в книге автора «Основы механики неголономных систем».

Во второй части дается изложение современных исследований по некоторым разделам аналитической механики. В частности, здесь наряду с традиционными случаями интегрируемости уравнения Гамильтона——Якоби — случаями интегрируемости Лиувилля и Штекке- ля ——проводится обзор исследований в области интегрирования уравнения Гамильтона——Якоби разделением переменных; излагается метод неполного интеграла как метод построения частных решений уравнений движения голоном- ных систем и указывается применение этого метода к интегрированию уравнений движения неголономных механи* ческих систем; исследуются основные

особенности механики реономных систем; излагаются теоремы Нетер и метод внешних форм в применении к механике и некоторые другие вопросы.

В создании книги по просьбе автора приняли участие научные работники, специализирующиеся в данных областях, которыми были написаны следующие главы: главы X и XI принадлежат М. А. Чуеву, глава XII — Я. А. Болотниковой, глава XIII —— Ю. П. Суркову, глава XIV — В. Ю. Иванченко, глава XV — А. Ф. Павлову, глава XVI — В. В. Луневу, глава III — Ю. А. Гартунгу, а § 11 главы II — М. Л. Поминову.

Автор выражает глубокую благодарность академику АН УССР Н. А. Кильчевскому, профессору И. М. Воронкову и сотрудникам возглавляемой им кафедры теоретической механики МГИ за большой труд по рецензированию книги и ценные замечания.

Автор

J Часть первая

£pdq

ОБЩИЕ

ВОПРОСЫ

АНАЛИТИЧЕСКОЙ

МЕХАНИКИ

Глава

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ АНАЛИТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ

ВВЕДЕНИЕ

Рассмотрим систему из N материальных точек В；, массы которых ту； декартовы координаты х；,办马"= 1,2, ..., N）. Радиус- вектор каждой точки

Г] = х；Г+ yjj + 芍瓦где i, /, k — единичные векторы выбранной системы координат.Скорости и ускорения точек:

Силы, действующие на точки системы, обозначим 尸力 в случае необходимости каждую силу можно разложить на две: внешнюю 耳（е）и внутреннюю 豆（'）, где 下产）—равнодействующая всех внешних сил, приложенных к данной точке В；, а 尸）（"）——равнодействующая всех внутренних сил, т. е. сил, выражающих воздействие на данную точку В； всех остальных точек.

Если у всех точек системы отсутствуют механические взаимодействия, то система подчинена одним внешним силам F产）・ Могут быть материальные системы, движущиеся под влиянием одних только внутренних сил, например системы, изучаемые в небесной механике. Установим ряд определений.

Заданными силами, приложенными к точкам системы, называются силы, векторы которых являются известными по своей структуре функциями от геометрических и кинематических характеристик точек системы, от масс точек системы, от их скоростей и т. д., от времени и каких-то других параметров а; т. е.

г* j =尸）厂j, 「j, rj、…，rj, ^j» а丿•

Связями, наложенными на искомое движение данной материальной системы, называются заранее установленные условия, наложенные на изменения геометрических и кинематических и динамических характеристик системы при ее движении и выражающиеся заданными уравнениями, в частности и дифференциальными. Если условия налагаются на кинематические характеристики, то связи называются кинематическими; в аналитической механике изучаются только кинематические связи. Связи, налагаемые только на координаты, назовем геометрическими.

Условия самого общего вида, налагаемые на изменение динамических характеристик （массы, импульсы, энергия и др.）, изучаются в новой, возникшей в наше время науке, находящейся на стыке

ряда других наук, в частности аналитической механики и вариационного исчисления — в теории управления движениями и процессами.

§ L Классификация кинематических связей

Наиболее общий вид кинематической связи может выражаться дифференциальным уравнением относительно г；, их производных любого порядка и времени:

/ V 厂"厂力厂j,…，厂j，=°。

В аналитической механике рассматриваются главным образом только кинематические связи первого порядка и при этом линейные относительно скоростей, т. е. связи, выражающиеся уравнениями где а。力 bp — некоторые функции от г； или координат 无力 ^力 z『；в декартовых координатах:

2+(%)у 务 + (%)z Z) + % = 0・

Теория связей высших порядков относительно производных, а также нелинейной структуры относительно производных по времени рассматривается в механике неголономных систем [3]. В данной же книге рассматриваются голономные и неголономные связи первого порядка, линейные относительно %, у, z.

Голономными связями в механических системах называются связи, выражающиеся аналитическими или конечными (не дифференциальными) уравнениями относительно координат %; у; z и времени t, т. е. уравнениями вида

/ р(%, р；爲 ‘)=а

или же дифференциальными, но интегрируемыми уравнениями в общем виде, приводящимися к конечным соотношениям, содержащим постоянные интеграции.

Например, связь %?十 у2 —立2 = ° при движении одной материальной точки является голономной. Она показывает, что при такой связи траектория точки располагается на конической поверхности с заданным уравнением.

Связь, выражающаяся дифференциальным уравнением %% — 一 УУ — 2=0, интегрируема. Общее решение этого уравнения имеет вид

2z = %2 一货 + 仇

Оно выражает семейство гиперболических параболоидов, седлообразные точки которых находятся на оси z.

Таким образом, при голономной связи точка движется по определенной поверхности.

Неголономными называются связи, выражающиеся неинтегри- руемыми дифференциальными уравнениями. Например, связь

z 尹一у = 0(а)

——это дифференциальное уравнение, которое не нтегрируется в общем виде. Умножив его на dt, получим ех dz = dy.

Невозможно найти такое семейство поверхностей, чтобы каждая траектория точки, удовлетворяющая уравнению связи, располагалась на какой-либо поверхности одного и того же семейства. Но можно проинтегрировать уравнение частным образом, путем подбора функций времени, удовлетворяющих уравнению (а), например z = =/, % = 1п/, у 产/2. Траектория точки найдена, но утверждать, что она располагается на определенной, заранее заданной, поверхности, невозможно.

Склерономными называются связи, выражающиеся соотношениями (уравнениями), не содержащими явно времени Л Например, связь, выражаемая уравнением

炉/废+ D2/62十扌/及=1,

является склерономной ——уравнение связи не содержит явно времени t. В случае склерономной связи материальная точка остается на поверхности, которая во времени не деформируется и не перемещается.

Если же связь явно зависит от времени, то ее называют реономной. Например, связь

%2/(出尸)+ y2/b2 + 22/e2 _ J

—реономная, так как она явно зависит от времени Л Эта связь выражает следующий факт: точка в процессе движения остается на поверхности эллипсоида, одна полуось которого изменяет свою величину, т. е. точка остается на поверхности деформирующегося эллипсоида.

Связь

(Y —5力2 + 外 + z2 =R2

тоже является реономной. В данном случае центр сферы перемещается по оси % со скоростью, равной 5 единицам, и сфера увлекает с собой точку В (居 у, z), находящуюся на сфере.

В свойствах движений склерономных и реономных систем и в методах их изучения имеются существенные различия.

Двусторонними являются связи, выражающиеся уравнениями (строгими равенствами). Например, связь /(х, у, z) =0 показывает, что точка находится в каждый момент времени на определенной по

верхности и не может сойти с нее ни в какую сторону от поверхности — ни во внешнюю, ни во внутреннюю. Например, связь х2 + г/2 + г2 = 欠2 показывает, что материальная точка не может сойти со сферы ни в наружное пространство, ни во внутреннее. Материальная точка находится как бы между двумя бесконечно близкими сферами, не пускающими точку ни в ту, ни в другую сторону.

Односторонними называются связи, выражающиеся неравенствами. Таким образом, односторонняя связь показывает, что точка или находится на поверхности, или может покинуть ее, сойдя в ту или другую сторону. Например, связь х2 + z/2 + z2 <С 欠* показывает, что точка может или оставаться на сфере, или покинуть сферу во внутреннюю область сферы.

Двусторонние связи называются также удерживающими или неосвобождающими, односторонние —— неудерживающими, освобождающими.

Реакциями связей считаются силы, приложенные к материальной точке со стороны тел и поверхностей, реализующих связи. Связями в настоящее время часто считаются и сами устройства, реализующие то или иное уравнение связи. В теории управления движениями и процессами связи часто называются также программами движения или процесса.

Обобщенные координаты

Одной из отличительных особенностей аналитической механики является применение для изучения движения механических систем, так называемых «обобщенных координат». Обобщенными координатами механической системы называются некоторые целесообразно выбранные переменные, выражающие длины каких-то отрезков или величины углов и определяющие положение системы в пространстве. Такими координатами могут быть, в частности, криволинейные координаты: полярные на плоскости, цилиндрические, сферические и др.

Выразив декартовы координаты точек системы через обобщенные координаты, можно составить уравнения движения. Особенно полезным и даже необходимым является переход от декартовых координат к обобщенным координатам в случаях, когда на изучаемую механическую систему наложены связи.

Допустим, что на данную систему наложены голономные связи, выражающиеся конечными соотношениями между декартовыми координатами точек системы. Для упрощения обозначим все 3^ координат точек В. системы одним символом х；, но с тремя последовательными для каждой точки индексами (%力 巧+储尤j+2). Тогда уравнения голономных связей примут вид

fki^ji f) = 0 (/ = 1, 2,…，3tV; k = 1, ..., s). (1)

Таким образом, все 3N декартовых координат связаны s конечными соотношениями; из них можно выразить s каких-либо коор-

дин ат, например %], %2» •••，％$，через остальные 3^ ——s координат тоже в виде конечных соотношений:

%в = Фр(4, 0 »

где

6 = 1, 2,…，s;力=s + 1, s + 2,…，3N,

причем s V 3N.

Таким образом, переменные с индексами k считаются независимыми в том смысле, что принимаемые ими при движении системы числовые значения могут задаваться любыми. Число таких независимых координат равно разности между числом всех декартовых координат 3N и числом s голономных связей; обозначим это число п. Остальные же s координат следует считать зависимыми координатами в том смысле, что какие бы ни действовали на систему активные силы Fj, координаты %в(|3 = 1, 2, ..., s) должны принимать только значения, удовлетворяющие условиям связей (1).

Если бы не было связей, то все координаты %)были бы независимыми и на их числовые значения влияли бы только заданные силы Fj. Отсюда следует, что при осуществлении связей появляются какие-то дополнительные силы, заставляющие двигаться систему по программе, выражаемой уравнениями связей. Эти силы, реализующие вместе с заданными силами движение системы согласно связям, можно назвать реакциями связей или управляющими воздействиями, если движение системы связано с каким-либо техническим процессом, например, когда уравнения связей выражают программу движения, в частности полета управляемого объекта.

Движение системы с голономными связями, таким образом, полностью определяется функциями x.(Z), (i = 1, 2,・..，〃). Для их нахождения можно применить прямой метод Ньютона, т. е. составить уравнения движения системы в декартовых координатах.

Обозначим равнодействующую реакций связей, приложенных к каждой точке |3； системы Rj (/ = 1, 2,..., N). Тогда для всех точек системы динамические уравнения примут вид

的 Xj = Fjx + R* (j = 1, 2,…，3N). (2)

В систему уравнений входят 6N неизвестных функций: х;(0 и Rj*. Для их нахождения следует присоединить s уравнений связей (1), где s V 3N. Получим систему из 3N 十 s уравнений относительно 6N искомых функций.

Отметим замечательный факт: система уравнений (2) и (1) принципиально разрешима, так как число неизвестных функций больше числа уравнений. Но задача является в то же время неопределенной, что даже и необходимо, так как для решения всей системы достаточно задавать некоторые неизвестные в виде произвольных, но опре-

Время / может входить только при реономных связях.

деленных функций ft(t)[i = 6N — (3N + s)], а остальные неизвестные функции могут быть найдены после интегрирования системы.

Более того, эта неопределенность позволяет выбрать произвольные функции /.(/) таким образом, чтобы движение происходило оптимальным в каком-либо смысле. Так, полет космического летательного аппарата может управляться с различными целями: например, в смысле быстроты перелета из одной точки пространства в другую, или с требованием минимума расхода топлива. Все подобные проблемы входят в новую возникшую недавно науку «Теорию управления движениями и процессами», базирующуюся на аналитической механике и вариационном исчислении. Значение данной науки для человечества весьма велико.

Решение основной задачи управляемого движения, выражаемого уравнениями (2) в декартовых координатах, в большинстве случаев мало удобно. Выберем новые наиболее удобные переменные——обобщенные координаты q. так, чтобы их число было равно числу независимых декартовых координат х и чтобы все xk могли быть выражены конечными соотношениями (не дифференциальными) через q., т. е. посредством некоторых формул:

%在 Xh(qj, %) (i -— 1, 2, ••♦, 〃，k = 1, 〃)• (3)

Но тогда благодаря уравнениям голономных связей (1) и все остальные декартовы координаты %廿 выразятся через те же самые обобщенные координаты, а следовательно, и вообще все декартовы координаты Xj выразятся через обобщенные координаты ^.:

%/ = %/(%,.£)(/ = 1,…，3N) (4) (i — 1,…，〃).

Следовательно, и радиус-вектор г； каждой точки г； = %з)_2 i + + %3j-i j + %3j 右 выразится через все обобщенные координаты д” т. е.

办=%(%，£)•

Пространство конфигураций системы

Положение свободной механической системы N точек В力 движущихся в трехмерном пространстве, определяется 3N независимыми декартовыми координатами. Каждую совокупность 3N величин условно можно определить декартовыми координатами одной только точки В*, но в пространстве 3N измерений. Обозначим это пространство E^n. Точку В* назовем «изображающей точкой» для системы точек В；.

Следовательно, при движении точек свободной механической системы изменятся координаты точки В* ——она будет перемещаться по некоторой своей траектории.

Траектория изображающей точки в эвклидовом пространстве 3N измерений (£\v) отразит движение данной системы материальных точек. Каждому положению изображающей точки будет соответст-

вовать некоторое положение системы материальных точек в трехмерном пространстве. Поэтому пространство 邑乂 можно назвать пространством конфигураций свободной материальной системы N точек.

Если материальная система подчинена голономным связям, т. е. если все декартовы координаты выразить через 7. некоторыми формулами Xj =况乂仇，/), то изображающая точка В* будет обладать только п независимыми координатами д” но уже не в эвклидовом пространстве 3N измерений, а в некотором пространстве п измерений ——пространстве Римана. Обозначим это пространство Vn (от слова variete — многообразие). При этом можно считать, что уравнения (4) выражают отображение одного пространства в другое.

Неголономные связи

Допустим, что вследствие учета одних только голономных связей геометрическая конфигурация системы точек определяется обобщенными координатами q. (I = 1 ... п). Допустим далее, что на систему наложены еще неголономные связи, выражающиеся некоторыми нейнтегрируемыми дифференциальными уравнениями относительно обобщенных координат %. Рассматриваем, как указывалось выше, только неголономные связи первого порядка, линейные относительно 9., т. е. связи вида

£ % % + 4 =。(Р = к 2,・・・")，(5)

г=1

где коэффициенты Лр. и Лр могут быть функциями обобщенных координат q. и времени t.

После умножения на дифференциал времени dt уравнения (5) неголономных связей, учитывая, что q.dt = dqv примут вид

£ %• d% + Adt = 0・ р = 1, 2".(5‘)

Действительные и возможные изменения переменных

После того как декартовы координаты точек %； и векторы rj выразятся на основании голономных связей через обобщенные координаты д〃 изменения данных векторов будут зависеть от изменения обобщенных переменных qv Но эти переменные могут зависеть не только от времени /, но и от некоторых параметров. Это может происходить потому, что обобщенные координаты % могут находиться как функции времени, в результате интегрирования дифференциальных уравнений движения системы.

Но тогда найденные функции q. будут зависеть не только от времени /, но и от их начальных данных, т. е. от qtQ и ф0 , которые войдут в виде параметров в аналитические выражения функций qv Обозначим один из таких параметров а (другие параметры не выписываем). Тогда q = q(t, а). Если изображать

графически зависимость q от /, то придется строить бесчисленное множество линий в зависимости от значений параметра а, которым

соответствуют определенные графики; двум близким значениям а и а + da соответствуют две близкие линии (рис. 1).

Таким образом, необходимо различать два вида изменения переменного д»: изменение по времени при фиксированном a

dq =当」；:".山，или dq = qdt

и другое, мыслимое, изменение по а при фиксированном Л Последнее обозначим6^7г Оно выражает разность значений q в двух возможных зависимостях, но, конечно, можно считать, что

6g;电生7 da

Такое возможное (мыслимое) изменение переменного q назовем «вариацией» этого переменного.

Подробнее свойства вариаций рассмотрены в гл. VII.

Радиус-вектор г точки, выраженный через д： является, следовательно, тоже функцией времени и параметра а:

7= 7(力 g(a)).

Изменение г по / выражается дифференциалом dr = rdt\ изменение по а имеет вид

67 =鲁 W， где

》д = 加・(Ь)

Вариацию 6 г радиуса-вектора точки можно считать также «возможным перемещением» точки. Таким образом, возможным перемещением точки называется всякое мыслимое бесконечно малое перемещение точки из ее положения в данный момент времени, допускаемое условиями связей в этот же момент.

Допустим, что движущаяся материальная точка, согласно склерономным связям, должна находиться в каждый момент времени в какой-то точке этой поверхности. Тогда все возможные перемещения 6 厂 точки из данного положения В представятся расположенными в плоскости, касательной к поверхности в данной точке, в виде бесконечно малых векторов с общим началом в данной точке В.

Если же связь, наложенная на точку, будет реономной, т. е. в уравнение связи войдет явно время 九 то возможные перемещения точки для данного момента времени / расположатся в касательной плоскости к данной поверхности в том ее виде, в каком она представится, если в уравнение поверхности вместо t подставить его числовое значение, соответствующее данному моменту времени /х. Например, для точки, вынужденной при движении находиться на поверхности сферы с уравнением х2 + у2 + ^ — 25/2, возможные перемещения для момента / = 1 сек расположатся в плоскости, касающейся сферы радиусом г = 5, а в момент времени £ = 1,1 сек возможные перемещения будут находиться в плоскости, касающейся сферы большего радиуса, и т. д. Таким образом, понятие возможных перемещений есть вспомогательное, но как это показано ниже, понятие весьма полезное.

Действительным перемещением точки назовем фактическое, физически происходящее, бесконечно малое перемещение точки за бесконечно малый промежуток времени dt по ее траектории, выражающееся дифференциалом радиуса-вектора dr = rdt. Действительное перемещение у точки может быть только одно. Оно происходит под действием сил, в числе которых должна быть обязательно и реакция связи. Между возможными и действительными перемещениями существуют простые соотношения, очевидные уже из определения данных понятий. При этом могут быть только две возможности.

При склерономной связи очевидно, что любое возникающее в момент / действительное перемещение совпадает с одним из возможных перемещений, учтенных заранее. При реономных связях возникает другое положение: поверхность, на которой согласно условиям связи должна оставаться материальная точка, будет сама или перемещаться в пространстве, или деформироваться и при этом увлекать за собой точку.

Таким образом, у материальной точки в этом случае действительное перемещение может состоять из двух одновременных движений —возможного 6 匚 которое можно считать относительным (по отношению к связи), и переносного d/\ ——вместе со связью. Все действительное перемещение dr описывается уравнением

dr=^r+ d7P (7)

Установлен, следовательно, важный факт: при реономной связи действительное перемещение точки не совпадает ни с одним из возможных перемещений.

Степени свободы механических систем

Понятие возможных перемещений позволяет установить весьма полезное для изучения движений понятие числа степеней свободы материальной системы. Оно характеризует в некоторой мере ограничения, налагаемые связями на возможные движения.

Число степеней свободы свободной материальной точки равно трем, так как точка, на которую не наложены никакие связи, может перемещаться под действием приложенных к ней сил по трем независимым направлениям (况,у, z), а следовательно, и по любому направлению в пространстве, так как для любого значения 6 г имеем

旷0Т"舐+声у +就2.

Тогда система из N свободных материальных точек должна считаться обладающей числом степеней свободы, равным 3N. Но материальная точка, вынужденная двигаться, например, по абсолютно твердой поверхности, имеет уже не три, а две степени свободы. Колечко малых размеров, надетое на проволоку, или малых размеров шарик внутри трубки столь же малого диаметра имеет по одной степени свободы.

Таким образом, следует, что числом степеней свободы материальной системы должно называться число независимых вариаций обобщенных координат q. данной системы. Применим это понятие сначала к голономной системе.

Допустим, что на систему наложены только голономные связи, вследствие чего все декартовы координаты системы могут быть выражены через п каких-либо обобщенных координат д】,^2,... ...,qn. Тогда все действительные приращения d^. независимы между собой и, следовательно, обобщенные координаты также независимы.

Следовательно, число степеней свободы системы с голономными связями равно числу обобщенных координат системы. Обозначаем число степеней свободы системы k, а число обобщенных координат 几;для голономных систем (т. е. систем только с голономными связями) имеем

向：=".(8)

Для установления понятия числа степеней свободы при наличии неголономных связей рассмотрим сначала одно весьма существенное положение в теории связей, а именно, вывод уравнений связей в вариациях в обобщенных координатах.

Рассмотрим три случая.

На систему дополнительно наложена голономная, склерономная связь, выражаемая конечным уравнением относительно обобщенных координат, не содержащим времени /:

®) = 0.(9)

Составим полную вариацию (9). Получаем 3/(^^) = 0,

9MW ]б **"**

так как справа величина постоянная, не зависящая ни от /, ни от какого-либо параметра. Слева имеем полный дифференциал (по параметру а). Представим его в раскрытом виде:

齐W〃 = 0. (10) 0% 8qti

Появляется одно соотношение, связывающее вариации Зд， Это соотношение уменьшает число независимых вариаций, а следовательно, и число степеней свободы на единицу.

Рассмотрим голономную реономную связь:，(д“ ％) = О.Соста- вим сначала полный дифференциал этой функции при действительном перемещении:

■ ?…d% + 产…dq2 + ... 4—dqn + = 0. (11)dq2 dqn dt

Составим теперь вариацию функции /, т. е. полный дифференциал в возможном изменении / (при составлении этого дифференциала время / следует считать фиксированным). Получаем

"(%，/) = 0 или + 巽浊 + …m枕=0・(12)

О% dq2 dqn

Следовательно, в этом случае, как и в случае склерономной связи, число независимых вариаций уменьшается на единицу. Одновременно можно,сравнивая (11) и (12), отметить, что действительные изменения dq. не совпадают с вариациями67.. Но в обоих случаях уменьшается не только число степеней свободы системы, но и число самих независимых координат qv

В случае неголономных связей происходит иное. Положим, что связь неголономна, линейна относительно обобщенных скоростей и реономна, т. е.

4(% 0 % + 4 (% %) % + ••・ + 4 (% %) 9〃 + ^n+i (?г 0 = °・(13)

Умножаем обе части уравнения (13) на dt

4幽 1 + 42dg2 + …+ 4dg» + 4+工山=0. (14)

Чтобы получить соотношение между вариациями, приведем, следуя Сингу, такое рассуждение: вариации Зд^ являются мгновенными мыслимыми приращениями координат в определенный фиксированный момент времени / и, следовательно, при dt = 0. Итак, соотношение (14) приобретает вид

“击％ + АЗ% + …+ ^п8 7п — 0. (15)

Таким образом, неголономная связь тоже уменьшает число независимых вариаций обобщенных координат, но не число обобщенных координат, так как уравнение (14) не интегрируется. Это — существенное обстоят^^сТбсУ.

Следовательно, если на систему, геометрическая конфигурация которой определяется 几 независимыми обобщенными координатами, наложены еще и неголономные связи вида

Е4〃・％ + 4 =。(Р = 1,2,…，s^,

то число степеней свободы системы уменьшается на s】.

Следовательно, число степеней свободы системы с неголономны- ми связями меньше числа обобщенных координат системы на число неголономных связей:

左=/2 — S「

Следует также отметить, что возможен случай, когда, например, уравнение (15), представленное в вариациях, может быть проинтегрировано; но это не будет означать, что неголономная связь делается голономной.

Кинематическая связь, выражающаяся уравнением в действительных перемещениях, только тогда будет голономной, если проинтегрировать уравнение (14) в действительных перемещениях. Например, ввязь

%% — %% — J/ =。(16)

или в дифференциалах

%對4 - %d% —q3/出=0(17)

выразится уравнением в вариациях

%3% — %5% = 0・(18)

Нетрудно заметить, что последнее уравнение интегрируется. Интеграл (18) есть

(1/2)%2 _(1/2)%2 = е・(19)

Однако соотношение (19), полученное интегрированием уравнения в вариациях (18), не эквивалентно уравнению связи (16), в чем легко убедиться, сравнив дифференциал уравнения(19) с (17), и не может считаться новой неголономной связью.

Глава II

УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА

Вывод уравнений Лагранжа

Допустим, что на систему, состоящую из N материальных точек Bj(j = 1, ..., N) с массами rrij, действуют заданные силы Fj. Положение каждой точки определяется вектором г；(х；,川，？力 в некоторой инерциальной системе декартовых координат; %у, у^ Zj ——

декартовы координаты точек. Кинематическое состояние системы характеризуем векторами: Vj = г, (скорость точки) нЪу = Uj = =Гу (ускорение точки).

Задача ставится следующим образом: при некоторых заданных силах 尸j,T. е. силах, выражающихся известными функциями координат и скоростей (всех точек системы) и времени /:

戸j =戸J (%j У] Zj勺劣，£"),⑴

а также при заданных связях требуется найти движение системы- До пустим, что на систему наложены голономные связи, выражен

ные в декартовых координатах, позволяющие выразить все 3N декартовых координат через п каких-либо обобщенных координат %, не подчиненных никаким связывающим их соотношениям, т. е. система имеет п степеней свободы. Следовательно, при реономных связях будет:

〃=厂j(%<) (j = 1, 2,・・.，N).(2)

Требуется составить уравнения движения для нахождения переменных 7., а также для вычисления реакций связи R广

Составим сначала систему всех уравнений, выражающих движение данной материальной системы в декартовых координатах. Она сложится из системы динамических уравнений движения точек системы:

加亡=月+兄(j= 1,2, ・・・,N),(3)

где Rj — реакции связей, и системы уравнений голономных связей /р(г；, /) = 0 (р = 1,2, ..., s) (в декартовых координатах число уравнений равно + s).

Представляем уравнения (3), согласно принципу Даламбера, в виде

一mJ^ + 月 + 耳=0 (j=l,2, .•.，n).(4)

Затем составим скалярное произведение каждого из уравнений (4) на вектор б г； и просуммируем все уравнения, т. е. применим принцип Даламбера—Лагранжа. Появится уравнение

N__

£ (—+ 尸j + Rj)= 0,(5)

Ki

называемое общим уравнением динамики системы и выражающее принцип Даламбера—Лагранжа, по которому при движении материальной системы сумма элементарных работ всех си几,приложенных 玄 точкам системы, включая реакции связей и даламберовы силы инер-

щш, равна нулю на любом возможном перемещении системы из ее положения 6 каждый данный момент времени Л

Допустим, теперь, что наложенные связи идеальны, т. е. сумма элементарных работ сил реакций равна нулю на любом возможном перемещении системы из положения системы в данный момент времени /, т.е.

£R0・ = o.(6)

Тогда общее уравнение динамики упростится и примет вид

Все дальнейшее будет заключаться в преобразовании левой части уравнения (7) к виду, выраженному через обобщенные координаты системы %, обобщенные скорости %, обобщенные ускорения % и обобщенные силы Q..

При этом установим ряд положений, имеющих принципиальное значение для аналитической динамики. Сначала выразим каждое возможное перемещение через вариации обобщенных координат

Имеем

力=刁(%%).

Тогда 6г； (представляемая возможными дифференциалами по %) выразится так:

”2(8)

Подставляя (8) в (7) и меняя порядок суммирования по индексам i и /, представим (7) в виде

•• а —\ N•• а —\ N0万 а伙0万 а伙5力~ °，5力~ °，(9)(9)

•• а —\ N

•• а —\ N

0万 а伙

0万 а伙

5力~ °，

5力~ °，

(9)

(9)

Вторая сумма в квадратной скобке представляет собой обобщенную силу индекса i:

N

Gqt

Qi-

/=1

Преобразуем первую сумму внутри квадратной скобки, сначала представив каждый член этой суммы в виде

(10)

Затем выведем два соотношения, которые назовем соотношениями Лагранжа при голономности системы. Для этой цели составим выражение скорости точки v；=厂户 По правилу вычисления полной производной по Е от i^(、q 由 имеем

ааа%а%万二91万二91д г； •д г； • д г；『+…+寸〃+ kд г； •д г； • д г；『+…+寸〃+ k(И)(И)

а

а

а%

а%

万二91

万二91

д г； •д г； • д г；

『+…+寸〃+ k

д г； •д г； • д г；

『+…+寸〃+ k

(И)

(И)

Составим теперь частную производную по 外 от функции 门,т. е.

от всей правой части (11), учитывая, что аргумент д〃 по которому будем дифференцировать правую часть равенства (11), входит в эту

правую часть линейно в виде множителя при -^ . Таким образом,

(12)

Равенство (12) и есть первое соотношение Лагранжа для голо- номной системы, справедливое только при отсутствии неголономных связей.

Для вывода второго соотношения составим сначала полную про- д г；——

изводную по / от векторной функции. Поскольку 乃=〃(外力 因t

d rj

то и зависит только от 仇 и от /, но не зависит ни от какого

9%. Тогда для вычисления -|^ • следует дифференцировать по всем д〃 умножая на ^. (по правилу дифференцирования сложных функций), и еще по 力 т. е.

d а02 f , • a2 尸•a2 r •02 r

-内 4+…HQnH■"-. (13)

Теперь составим частную производную по q( от г；, т. е. от правой

части (11). В этой правой части множители

__因1因2

д rj d rj

—,—~-г зависит от 9广 При дифференцировании по д» появ- ляются вторые частные производные по q. в каждом слагаемом, т. е.

а г； д2 г； •^2 г；。2 厂 •g2 r

(14)(14)=q I +(79 + …+q„ +

(14)

(14)

a9i 0%0光 Oq2aqi因〃。外ot 8qi

Сравнивая равенства (13) и (14), замечаем, что их правые части тождественно равны между собой. Следовательно, получаем второе соотношение Лагранжа для голономных систем

dddtdt£5£5£2.师£2.师(15)(15)

d

d

dt

dt

£5

£5

£2.

师

£2.

师

(15)

(15)

Здесь нет перестановочности порядка дифференцирования по q. и по /—полное дифференцирование и частное дифференцирование не могут быть переставимы; формула (15) выводится из структуры функции н /*)(для удобства запоминания условно можно считать якобы переставимость этих операций в данном случае).

Формулы (12) и (15) позволяют провести вывод уравнений движения для голономных систем. Подставим (12) и (15) в правую часть уравнения (10), которое примет вид

二 д г；二 д г；(16)(16)

二 д г；

二 д г；

(16)

(16)

Учитывая (16), представим (9), вынося оператор дифференцирования за знак суммы, в следующем виде:

++3% =。・++3% =。・(17)(17)

++3% =。・

++3% =。・

(17)

(17)

Выясним теперь смысл каждой из оставшихся сумм в круглых скобках (17). Для этого рассмотрим кинетическую энергию системы в ее первоначальном виде:

/=12/=12

Составим теперь производную от Т сначала по qv Предварительно вспомним, что скалярное произведение векторов дифференцируется по скалярному аргументу по обычным правилам дифференцирования. Учитывая перестановочность скалярного произведения векторов, имеем

上学空°9i上学空°9i

上学空

°9i

上学空

°9i

Таким образом, производная по скалярному аргументу от скалярного квадрата вектора равна производной по тому же аргументу от квадрата модуля данного вектора и выражается правой частью (17а).

То же самое характерно и для слагаемых во второй сумме внут-

ри малых скобок в (17):

亠 д1d9

出限・(18)

因力2 dqt'

Подставляя (17a) и (18) в (17) и вынося оператор дифференцирования за знак суммы, представим равенство (17) в видеПодставляя (17a) и (18) в (17) и вынося оператор дифференцирования за знак суммы, представим равенство (17) в виде+ Qi+ Qitq^ = 0.tq^ = 0.(19)(19)

Подставляя (17a) и (18) в (17) и вынося оператор дифференцирования за знак суммы, представим равенство (17) в виде

Подставляя (17a) и (18) в (17) и вынося оператор дифференцирования за знак суммы, представим равенство (17) в виде

+ Qi

+ Qi

tq^ = 0.

tq^ = 0.

(19)

(19)

Каждая сумма по / в левой части является кинетической энергией системы материальных точек; соотношение (19) приобретет вид

d дТдТ 八 \ е с

£ --^ + —+QJ^ = o.(20)

dt dqw Gq» /

По существу равенство (20) представляет собой не что иное, как общее уравнение динамики (7), но выраженное в обобщенных координатах и обобщенных силах; множители 6q^ выражают возможные перемещения системы. Весь вывод уравнения (26) проводится для любого возможного перемещения системы, т. е. перемещения, допускаемого связями. Но все6д( между собой независимы, так как они появляются после учета голономных связей при рассмотрении системы в декартовых координатах.

Для вывода уравнений движения применим к уравнению (20) одно принципиальное существенное положение математического анализа. Для удобства и краткости назовем уравнение (20) уравнением в независимых вариациях обобщенных координат. Покажем, что это уравнение в вариациях математически эквивалентно системе уравнений, получаемой приравниванием нулю каждого из всех множителей при независимых вариациях.

Действительно, уравнение (20) справедливо для любого перемещения, характеризуемого любой совокупностью величин6 <?., являющихся независимыми, т.е. позволяющими придавать каждому из них произвольно малое числовое значение, независимо от того, какие значения будут придаваться вариациям других координат.

Применим уравнение в вариациях (20) к возможным перемещениям системы, соответствующим таким комбинациям значений вариаций^.： пусть отличной от нуля вариацией в каждой их совокупности будет только 0AHабд” а все остальные вариации равны нулям:

，％6夕2= ••• = ^7г-1 — 3%+1 — М〃 — 0.

Тогда от суммы, находящейся в левой части уравнения (20) останется только одно слагаемое:

d дТd дТдТ 、戏十Q）河=o-дТ 、戏十Q）河=o-(21)(21)

d дТ

d дТ

дТ 、

戏十Q）河=o-

дТ 、

戏十Q）河=o-

(21)

(21)

Но так какЗд；，0, то, чтобы удовлетворялось это уравнение.

необходимо, чтобы другой множитель был равен нулю, т. е.

一m3+QR 幽

Проводя такое рассуждение п раз (по числу всех независимых вариаций), увидим, что при движении системы все обобщенные координаты должны удовлетворять системе из п уравнений, каждое из которых имеет вид

* = «=1,2, ・・・，* (23) dt 邮

Уравнения (23) называются уравнениями Лагранжа второго рода движения механической голономной системы, обладающей 〃 степенями свободы. Эти уравнения находятся в основе всей аналитической механики голономных систем. В случае, когда действующие силы имеют силовую функцию U = 0(%,内，...,gj обобщенная сила, как известно, выражается через нее:

Qz =Qz =диaqtдиaqtдПдП(23а)(23а)

Qz =

Qz =

ди

aqt

ди

aqt

дП

дП

(23а)

(23а)

где П —— потенциальная энергия.

Уравнения Лагранжа с неопределенными множителями для систем с дополнительными голономными связями

Допустим, что на материальную голономную систему с п степенями свободы наложены еще некоторые дополнительные голо- номные связи, выражающиеся т конечными уравнениями относительно обобщенных координат % и, возможно, времени 力：

力(％/) = 0 (а = 1,2,…，团).(24)

Из этих уравнений непосредственно вытекают и дополнительные условия, налагаемые на обобщенные скорости(/. и их дифференциалы dq〃 а также и на вариации координат Зд». Для выявления таких дополнительных условий составим полную производную по времени от каждого из уравнений (24). Получим

п

^1%。/и)(25)

или в дифференциалах (после умножения каждого из уравнений (25) на dt)

•扌；々-d% + ^ d/ = 0 (а = 1,他).(26)

Уравнения связей в вариациях имеют вид

3qj = 0 (а = 1,…，m).3qj = 0 (а = 1,…，m).(26‘)(26‘)

3qj = 0 (а = 1,…，m).

3qj = 0 (а = 1,…，m).

(26‘)

(26‘)

Из этих m уравнений можно выразить m вариаций 5 % через остальные п — т вариаций в виде конечных соотношений. Таким образом, число независимых вариаций уменьшается на число связей и число степеней свободы равно р = 〃 ——т. Но система остается го- лономной, так как из уравнений голономных связей (24) тоже можно выразить т каких-то обобщенных координат в виде конечных соотношений через остальные п ——m координат. Независимые координаты обозначим 外(卩 — 1, ..., р = 几 一 m), зависимые — qh (Л = p + 1, ...» и). Между ними существуют зависимости вида

% =中九（％.，0% =中九（％.，0(27)(27)([丄=1, 2, ..., р)

% =中九（％.，0

% =中九（％.，0

(27)

(27)

("р + 1, р + 2, ..., п).

Дальнейшее изучение системы в данном случае можно продол- жить двумя путями. Во-первых, поскольку дополнительные связи голономны, благодаря уравнениям связей вида (24) можно выразить кинетическую энергию системы Т только через g卩，q^ и составить уравнения движения Лагранжа (23) относительно только независимых координат:

一子=0 (科=1, 2,…,р). (28)

Проинтегрировав уравнения (28) и найдя 仇丄 в функциях 力,仇人= =仇人(/), из уравнений (27) найдем и все остальные зависимые координаты q^(母 Задача будет решена полностью, за исключением вопроса о нахождении реакций связей.

Реакции связей придется выявлять другим методом: после нахождения всех обобщенных координат ^. (f = 1, ...,〃) в функциях времени, значения R/ вычисляют, воспользовавшись уравнениями (3), выражая их через найденные обобщенные координаты.

Но иногда бывает предпочтительным и другой метод вывода уравнений движения системы при наличии уравнений связей вида (24), не требующий выражения уравнений связей относительно переменных q^ и 勿.

Этот метод базируется на аксиоме классической механики, употребляемой под термином принцип освобождаемости от связей, установленным также Лагранжем [8]. Как известно, этот принцип позволяет считать механическую систему, при наложении на нее связей, формально остающейся свободной системой, но с приложенными к ней дополнительными силами-реакциями связей.

Применение этого принципа при выводе уравнений движения механической системы при наличии голономных связей, выражаемых уравнениями (24) или уравнениями тех же связей в вариациях, нач-

нем с того, что изобщего уравнения динамики (7) не будем исключать реакции связей Rj, полагая их идеальными, а используем это условие в дальнейшем при нахождении реакций связей.

Таким образом, исходим из общего уравнения динамики для механической системы в самом первоначальном виде:

£ (— mi rj + 巳 + Rj) "j = 0,(29)

где Rj — реакции от налагаемых связей (24). Затем, заменяем опять

疗j疗j22в%，в%，

疗j

疗j

2

2

в%，

в%，

подставляемое в уравнение (7). После изменения порядка суммирования вводим обобщенные силы от активных сил 尸,и обобщенные силы от сил реакций связей D. по обычным формулам:

Затем, повторяя все вышеизложенное от (7) до (20), выведем общее уравнение динамики системы в обобщенных координатах, которое имеет вид

+ Qi + R 3% = 0・ (31)

Отсюда уже на основании изложенного выше принципа эквивалентности общего уравнения динамики в независимых вариациях системы уравнений движения вытекают уравнения движения Лагранжа второго рода для системы с голономными связями (24).

Следовательно, 6 7f можно считать независимыми; уравнения движения приобретут вид

-一F = Qz + Di « = 1,/г). (32) dt 0力

Система уравнений, состоящих из уравнений связей (24) и уравнений движения (32), представляет собой систему уравнений для нахождения неизвестных функций q? « =1, ...,〃) и。乞(i = 1,...,〃). В решении задачи получается динамическая неопределенность: число искомых функций равно 2〃, а число уравнений, удовлетворяющихся данными функциями, равно п + т, где т V п. Как уже отмечалось выше, эта неопределенность, допускаемая силами природы, не только не вредна, но и полезна.

Действительно, реакции связей являются, по существу, управляющими воздействиями, необходимыми для реализации программы движения, выражаемой связями (24). Подобная неопределенность

позволяет создавать управляющие воздействия, оптимальные в том или ином смысле. В частности, если желательны управляющие воздействия с минимальной затратой энергии, то абсолютная минимальность достигается в случае идеальности связей, т. е. при условии, что сумма элементарных работ всех сил реакций связей равна нулю на любом возможном перемещении. В декартовых координатах эта идеальность выражается соотношением ^:

а в обобщенных координатах

n

e。江仇=0(зз)

t==i

при любых 3%, удовлетворяющихся уравнениями связей (24).

Условие идеальности связей, выражаемое уравнением (33), позволяет также исключить динамическую неопределенность в управлении, т.е. выразить управляющие обоб1ценные силы с помощью уравнений связей. Действительно, присоединим к уравнению (33) т уравнений связей (24); представив их в вариациях, получим систему т + 1 уравнений:

~~ Mi 4—~^ 3% + … Н—~~ ^Яп = °，^2因"

堂汨+夫…?$qn = 0,

(34)(34)dqi因 2Мп

(34)

(34)

Q］河 +。2 M2 + ••• +。/гМ〃 =。・

Умножая первые m уравнений на множители Лагранжа 入卜(k = = 1, ..., m) и вычитая последнее уравнение, имеем

Е — R + £ К ~~1 *qt =。・(35)

占L I 仅J

Получено опять уравнение в независимых вариациях 6夕广 По принципу эквивалентности эта система равносильна системе уравнений

g =1,2,…，初 (36)

三 困i

Отсюда находим искомое оптимальное управляющее воздействие:

(i =^ 1 , ... , /1).(i =^ 1 , ... , /1).(37)(37)

(i =^ 1 , ... , /1).

(i =^ 1 , ... , /1).

(37)

(37)

Подставляя D. в уравнения движения системы (32), представим их в окончательном виде:

дТдТдТдТdtdt。砖0外。砖0外= Qi+ E (i=l,…，办(38)无=1%= Qi+ E (i=l,…，办(38)无=1%

дТ

дТ

дТ

дТ

dt

dt

。砖0外

。砖0外

= Qi+ E (i=l,…，办(38)

无=1%

= Qi+ E (i=l,…，办(38)

无=1%

Теперь имеется система /г + m уравнений (38) и (24) для нахождения такого же числа неизвестных д» (i=l, ..., 〃) и %冗(々=1, m). Динамическая неопределенность исключена.

Уравнения с неопределенными множителями называются также уравнениями Лагранжа первого рода для голономных систем.

Уравнения Лагранжа с неопределенными множителями для систем с линейными неголономными связями первого порядка

Уравнения движения системы с неголономными связями первого порядка, линейными относительно обобщенных скоростей 9尸 можно вывести также, как были выведены уравнения движения механической системы при дополнительных голономных связях. Допустим, что на систему наложены неголономные связи вида t&・％ + 4=0 (р^ 1,2,(39)

i=i

где коэффициенты 4~, Лр — суть функции обобщенных координат % и времени t.

Применим принцип мгновенной склерономизации уравнений связей. Представим уравнения (39) сначала в дифференциалах

£ 4“・ dqt + & 必=0 (р = 1, 2, ... , /),(40)

азатем выводим соответствующие соотношения для мгновенно мыслимых возможных перемещений, т. е. полагаем в (40) d/ = 0, а все действительные дифференциалы dqt обобщенных координат заменим возможными дифференциалами 8qt (вариациями координат). Тогда уравнения связей в вариациях примут вид

工4小仇=0 (р-1,2,(41)

j = l

Сравнивая данные уравнения с уравнениями связей (26) в вариациях в случае системы с дополнительными голономными связями, видим, что структура уравнений в вариациях в обоих случаях совершенно одинакова. Следовательно, процесс вывода уравнений движения из общего уравнения динамики с применением аксиомы освобождаемости от связей тот же самый.

Таким образом, можно получить уравнения движения системы со связями (39), т. е. уравнения

+ (i = 1, 2,…，n).(42)

dt dqi Mi

Выражения обобщенных сил реакций связей через множители Лагранжа в данном случае можно получить по аналогии с выражениями обобщенных сил D. в уравнениях (38). Различие будет только в том, что коэффициенты dfkl(dq^ уравнений голономных связей следует заменить коэффициентом Лр^ в уравнениях неголономных связей (39).

Итак, уравнения движения при линейных неголономных связях первого порядка имеют вид

击 *-^ = Q"£m('=L2，…,n).(43)

Присоединяя к уравнениям (43) уравнения связей (39), имеем систему дифференциальных уравнений, позволяющих определить все обобщенные координаты и неопределенные множители Лагранжа как функции времени.

§ 4. Пример на интегрирование уравнений Лагранжа второго рода (задача Ленэ)

Рассмотрим движение свободной материальной точки единичной массы в сферической системе координат (г, 8,屮)в случае, когда существует силовая функция вида

U = f(「) +智U = f(「) +智用仲)r2 sin2 0用仲)r2 sin2 0(44)(44)

U = f(「) +智

U = f(「) +智

用仲)r2 sin2 0

用仲)r2 sin2 0

(44)

(44)

где 九 g и 九 ——известные функции, которые должны быть непрерывными и иметь непрерывные производные.

Применим уравнения Лагранжа:

d дТ" с ]

=Q

d дТ

(45)

d дТ дТ с

•

dt д~

1

Кинетическая энергия точки единичной массы

7 = ("2)(%2 +》十 处

(46)

—29 ——

Известно, что

х = г sin 9 cos ф, у = г sin 9 sin (р, 2 = г cos 8,(47)

где 0 — широта, отсчитываемая по меридиану от полюса, ф — долгота.

На основании (47)

% = г sin 9 cos ф + г cos 9 cos ср 9 — г sin 9 sin 屮•屮，

у = r sin 9 sin ф + r cos 9 sin ср • 9 + ^ sin 9 cos 屮•屮，

z = rcos0 — r sin 9 • 9.

Подставляя значения xt у, z в (46), получаем

T = (1 ⑵(А +尸 02 + 厂2 Sjn2 9 屮2)・

Обобщенные силы, входящие в уравнения Лагранжа (45), имеют вид

Q，=孚"'⑺^к⑼+号卜 drr8 Lsin2 0 J

尸sin3 9 J

中衣产sin2 e '

где /', gf и hf ——производные функций /, g, h соответственно по г, 9 и гр.

Найдем выражения производных, входящих в уравнения Лагранжа (45):

—-Г,— = Г26,纟=dsi 1126cp,

dr@6势

d dT .・d dT2 6 …• A

=г , = г2 9 + 2r г 9,

dt o；dt об

d

dt

-^- = r2sin2 6 屮 + 2rsin2 6 屮 r + r2sin20 屮 0,

dT =j

dr

卜(G24-sin2 9(p2),—产 sin 9 cos 6 q)2, -^- = 0.

09/

Подставляя значения обобщенных сил и значения производных в уравнения (45), получаем следующую систему дифференциальных уравнений:

sinaej

(48)

г2 0 + 2r г 6 —产 sin 9 cos 9

2九仲)cos 8 ]

产 sin2 ® 屮 + 2厂 sin2 9 q) r + r2 sin 20 (p 0 ==

勿（屮）ra sin2 0

(49)

(50)

Эта система интегрируется следующим образом. Уравнение (50) можно представить в форме

-~- (г2 sin2 9 ср)=-~- (г2 sin2 9 ср)=^ (?)^ (?)广2 sin2 0广2 sin2 0

-~- (г2 sin2 9 ср)=

-~- (г2 sin2 9 ср)=

^ (?)

^ (?)

广2 sin2 0

广2 sin2 0

Интегрируя это уравнение, получаем

(51)(51)г4(р2 sin4 9 = 2 [Л (ср) + &],

(51)

(51)

где Q ——постоянная, которая определяется из начальных условий. Уравнение (49) представим в форме

击& 2@)一产①2sE® cos 9-1- ^ (6) - —-^.(52)

Умножив (51) на cos 6/r2 sin3 9, получим

2 .八 n * о 2 h (cp) cos 0 . 2Q cos 0依。、

产 Sin 9 cos 6 cp2 =— ”・(53)

厂2 Sin3 0 产 sin3 9

Учитывая (53), уравн ение (52) можно представить следующим образом:

山 ' 丿 г2 sin3 9 产 *

Умножая обе части этого уравнения на г26, получаем

г29 — (г2 0) — 2鱼££匕 0 = g' (6) 0.

dtsin3 0

Это уравнение можно представить в следующей форме:

Г20 — &2 0) +dtГ20 — &2 0) +dtdd=备国⑼]=备国⑼]

Г20 — &2 0) +dt

Г20 — &2 0) +dt

d

d

=备国⑼]

=备国⑼]

или

+ *®2)= + [g ⑼—為 I

Интегрируя последнее уравнение, получаем

Г"=2%⑼一爲+因.(54)

Заметим, что кинетическая энергия от t явно не зависит. Следовательно, справедлив интеграл энергии

v(；2 + 产戢+ 戸 Sid 喻 T ⑺—T [g (е)+ ^^ = ^С.

Последнее равенство представим иначе:

；2 + j^ + 士迎窖 _ 2/(г) +1 + С.

га 严 Sin2 о z v д-2 L Г2 sin2 8 J T

Подставляя в это равенство значения г4 9% г4 q)2 sin4 9 из (54) и (51), получаем

г2-2/(г) —2С2/г2 + С

Следовательно, dr/dt = 士 У 2/i (г).(55)

Интегрируя (55), найдем зависимость между г, f и С3, где С3 — ——постоянная интегрирования. Разрешая получающееся соотношение относительно г, получаем

г = F(t).

Равенство (54) представим следующим образом:

尸 О2 = 2gl (9), где gi(9)= gi(9) — CjsiM 0+С2 или

at

Учитывая (55), получаем

dr ± dB

Интегрируя это равенство, найдем зависимость между г, 9 и С4 где С4 ——постоянная. Разрешая получающееся равенство от носительно 0 и учитывая, что г = 尸(f), получаем

e = G ⑴.

Представим (51) и (54) в форме

г4 sin4 0 ф2 = 2hi (ф), г4 02 = 2gl (В)

или

即 丄@ de 上M屈面

~dt — — r2 sin2 0— г2 *

——32 —

Из этих равенств получаем

—:…=士- ——./厄(?)sin2 0 /gi (9)

После интегрирования находим зависимость между ср, 6 и С5, где С5 ——постоянная. Разрешая получающееся равенство относительно 屮 и учитывая, что 9 — G(^), получаем

Ф = "«)・

Постоянные Q, С2, С3, С4, С5, С находим из начальных условий.

Структура кинетичесной энергии системы

Для составления уравнений движения Лагранжа необходимо знать выражение кинетической энергии системы как функции обобщенных скоростей %, д», обобщенных координат и в общем случае времени t. Вычислим это выражение.

Для удобства записи введем вместо декартовых координат %), у力 z)(j = 1, 2,…，N) переменные 修(丫 = 1,2,…，3N) с помощью следующих соотношений:

ri ~ %з,-2，+ /л j + x3j 力；团3/一2 = ^3j-i ~ 恤了 0 = 1, 2,…,N)・

Кинетическую энергию системы можно представить следующим образом:

7 =T2％d=1"二""(%什碎+多)=E乃斗(56)

Выразим теперь все координаты 修 через обобщенные координаты:

修=%т(/, gj (丫 = 1,…，3N).

Дифференцируя по времени, имеем

. дх1 《дх^ .

Тогда

3N3Nппт =т =дх . дх—% ч dqt 力 * dtдх . дх—% ч dqt 力 * dt

3N

3N

п

п

т =

т =

дх . дх

—% ч dqt 力 * dt

дх . дх

—% ч dqt 力 * dt

ИЛИтИЛИт

ИЛИ

т

ИЛИ

т

2工八m因?/I灭纟肮丿

+ 十£%(^).(57)

Следует помнить, что каждая частная производная от 无丁 по любому ^. в общем случае является функцией всех обобщенных координат и времени /.

Рассмотрим первую сумму в (57). Каждое слагаемое в этой сумме является квадратом многочлена. При возведении многочлена в квадрат появляются слагаемые вида

叫叫(58)(58)

叫

叫

(58)

(58)

и вида

叫 叫 ..

°% dqk

Очевидно, что и каждое слагаемое вида (58) можно представить аналогичным образом, т. е. в виде

I ex、дх^ ..

qg

2 aqtdqi

Введем обозначение

dx 丫 dx.f

Mt Oqh

Тогда первую сумму в (57) можно переписать в виде квадратичного многочлена относительно обобщенных скоростей, т. е.

=十泣Qi9小i, k—\

где

ттттdx 3Vdx 3V

т

т

т

т

dx 3V

dx 3V

Вторая сумма в (57) является линейным многочленом относительно обобщенных скоростей qr Эту сумму можно представить в виде

гдегде£ = e 九生，£ = e 九生，г = 1г = 1ЗУ7=1Наконец, третью сумму вЗУ7=1Наконец, третью сумму вдх.дх.m——7 dtm——7 dt(57), не(57), независящую от обобщенныхзависящую от обобщенных

где

где

£ = e 九生，

£ = e 九生，

г = 1

г = 1

ЗУ

7=1

Наконец, третью сумму в

ЗУ

7=1

Наконец, третью сумму в

дх.

дх.

m——

7 dt

m——

7 dt

(57), не

(57), не

зависящую от обобщенных

зависящую от обобщенных

скоростей, обозначим /, т. е.

Итак, кинетическую энергию системы можно представить в виде

У &h %

zt 々=it=i

Введем такие обозначения: квадратичный относительно обобщенных скоростей многочлен

£ aihc!i Qk^

厶1

линейный относительно обобщенных скоростей многочлен

71 = 上 瓦%

и член, не зависящий от обобщенных скоростей 7。 =厶

Следовательно,

Т =北 + * + т。.

Установим классификацию механических систем по признаку рео- номности и склерономности, имеющую большое значение для всего дальнейшего.

Из предыдущего видно, что в случае реономности связей, наложенных на систему, в формулы, выражающие декартовы координаты 修 (Y = 1,…，3N) через обобщенные координаты % (£ = 1, ..., /г), входит явно время f (хотя бы даже только для одного значения у). В выражение кинетической энергии в обобщенных координатах входят все три слагаемые. Затем предположим еще, что зависимость %丁 от 9方 и ^ такова, что коэффициенты。抓,b” / (хотя бы один) будут зависеть явно от времени t

Тогда выражение кинетической энергии Т в обобщенных координатах будет содержать время /явно. Механическую систему：в таком случае назовем вполне реономной системой, так как она реономна и в декартовых, и в обобщенных координатах.

Но может случиться, что система, будучи реономной в декартовых координатах, в обобщенных координатах окажется не зависящей явно от времени t. Такую систему можно назвать или полуреономной системой или склерономной системой 6 обобщенных координатах, хотя в выражении кинетической энергии Т находятся все три слагаемые.

Если же система в декартовых координатах склерономна, т. е. в формулы перехода к обобщенным координатам время t явно не входит, то систему можно назвать вполне склерономной или склеро-

номной системой. В этом случае выражение кинетической энергии Т содержит только квадратичный однородный многочлен относительно обобщенных скоростей 夕厂

Следовательно, выражение кинетической энергии Т в различных вышеописанных случаях имеет следующие виды:

Реономная система「二北 + 方 + 為⑺ зависит от / явно).

Полуреономная система Т = Т? + Т* + Т° (Т не зависит от / явно).

Вполне склерономная система Т = Т2 (Т не зависит от £ явно).

Структура уравнений Лагранжа

Уравнения Лагранжа, приведенные в виде

3 旦一手=Q, 0 = 1, 2,・.・，明(59)

dt苏因2

выражают порядок действий, требующийся для составления динамических дифференциальных уравнений движения материальной системы в обобщенных координатах, т. е. дифференциальных уравнений относительно искомых обобщенных координат q. (при заданных обобщенных силах Q.), или наоборот (обратная задача).

Как следует из (59), для составления дифференциальных уравнений предварительно следует составить выражения частных производных от кинетической энергии по каждой обобщенной скорости д； и по каждой обобщенной координате qv При реономности изучаемой системы кинетическая энергия имеет вид

7 =柒 + А + То,(60)

где

「2=可 е е ат % 夕友，北=E 灰 ％, г。= Z—1 々=1£=1

где коэффициенты aik9 Ь^и l являются функциями всех координат и времени /. Тогда

дТ дТ2 .<

——=—;1「= £ aih qh + 灰・

因 idqi dqt 力=1

Для вычисления dT/dq. представим соотношение (60), заменив в первой сумме индекс суммирования i на р:

7 n "

Тогда

"=丄 « V а“油 * * I v 叫 * I az

0qt 2m白因力% %十刍 aq； %十丽・

При вычислении полной^производной по времени d/(成)dTI©qj появляются вторые производные от обобщенных координат д, но они входят линейно. Обобщенные силы Q.——суть некоторые заданные функции обобщенных координат, времени и, возможно, скоростей. Обобщенные скорости(/. входят в уравнения через 0T®qj нелинейно (квадратично).

Таким образом, система уравнений Лагранжа представляет собой систему п дифференциальных уравнений второго порядка относительно qv Каждое уравнение можно представить в виде:

1 43 +2 2 В 即 qg + £ B9i %, + Q = 0.(61)

P=1P=1 k=\P=1

Здесь Лр., Bp. и BQk. —— функции от всех q、、f; D. —— функции от всех %, времени / и, возможно, %.

Вследствие линейности уравнений (61) относительно вторых производных др их можно представить в разрешенном относительно вторых производных виде:

% =九("，9瓦，f) G = 1，…，办(62)

Как известно, первым интегралом системы уравнений второго порядка называется соотношение /((/., д», /) = С, связывающее искомые функции 夕订 их производные q. и, возможно, время t, полная производная по времени от левой части которого должна равняться нулю тождественно вследствие дифференциальных уравнений, т. е.

если вместо q. подставить их выражения из дифференциальных уравнений (62).

Для общего решения системы дифференциальных уравнений необходимо и достаточно найти 2п (независимых) первых интегралов этой системы:

大(仇’仇'％) = J (? = 1, 2,..., 2п).

Тогда общее решение найдется, если из этих уравнений выразить все 7, и ^. в виде функций от / и 2〃 произвольных постоянных, т.е.

% = Ф1 (£，01，С2，…，& J Qi -屮2 (f, &,e2，…，c2/。(64)

Произвольные постоянные находят по начальным данным системы, т. е. по начальным значениям координат 夕沁 и начальным значениям обобщенных скоростей 仇°. Подставляя в (64) q汾 и q^ и полагая 方 = 0, имеем систему уравнений относительно С\, С2, ...» С2п:

屮i (0, &，e2，…，С2〃) = %0 整(。，&,С2,…，С2Л)=%0 I (65) (i = 1, 2, ..., n). ]

Из уравнений (65) найдутся все произвольные постоянные:

cj = cj (qI0, go，…，9几0； 710» %0,…9硕(/ = 1, 2,…,2"). (66)

Подставляя (66) в (64), получаем конкретное решение, т. е. уравнения движения и распределение обобщенных скоростей соответственно начальным данным.

Уравнения Лагранжа1вЗслучае потенциальных сил

? Интегрирование уравнений движения и разработка методов нахождения их первых интегралов являются главнейшей задачей аналитической механики.

Эта задача несколько облегчается, когда непосредственно приложенные к точкам материальной системы силы, заданные в декартовых координатах, обладают силовой функцией, т. е.

где величины U — функция от координат х『，у；, z” U = U(%j, 川，2力，т. e. точка движется в стационарном (U не зависит явно от /) потенциальном силовом поле.

Тогда выражение обобщенной силы, имеющей первоначальное выражение в виде

ИЛИ

приобретает вид

《(dU дх： dU dyj dU dzj \

т. е. Q. = dUldq^ так как вся сумма в предыдущих формулах представляет собой частную производную от U(Xj, у力 z》по %, выраженную через производные от промежуточных аргументов.

Большую роль в аналитической механике играет и другая функция, родственная с силовой функцией,——потенциальная энергия 〃,связанная с силовой функцией соотношением П (gj =——U(qj・ При наличии силовой функции уравнения Лагранжа принимают

вид

дТ

дТ

dU

di

(i —1 1, 2,・• •，九).

(67)

Так как силовая функция зависит только от обобщенных координат (зависимость от обобщенных скоростей в общем случае не установлена), можно выполнить следующие операции над каждым из уравнений. Перенесем dU/dqt налево е обратным знаком, затем прибавим к Т под знаком 81dqi 巾ункншо U(g), не зависящую от %.

В результате левая часть каждого уравнения в (67) примет следующий вид:

(』，2,…，心

Введем теперь в рассмотрение функцию L = Т + U, называемую функцией Лагранжа, Через эту функцию уравнения Лагранжа в случае потенциальности сил приобретают вид

———=0 (i=l,2,…，初(68)

dt dqt

Поскольку T можно представить в виде суммы трех форм 7\, 7\, То, то и L может иметь вид L = 厶 + 厶 + 备， где

L2 = Тz , L = Lo = То + U・

§_8・ Обобщенная силовая функция

В классической механике рассматриваются потенциальные силовые поля, характеризующиеся силовыми функциями, зависящими от положения точек системы, т. е. от их координат, но силовая функция U, а следовательно и потенциальная энергия системы, считается не зависящей явно от времени f. Однако по мере развития наук об электрических и магнитных явлениях и их приложениях в технике были открыты силовые поля, характеризуемые силовой функцией, зависящей не только от координат %, но и времени t и от обобщенных скоростей qv

Существуют обобщенные силы Q., выражающиеся следующим образом через силовую функцию U(%, %, f)：

ди . d au*L 因i 必dqi

Тогда, очевидно, уравнения Лагранжа примут вид

三丝也一迫乂 = 0dt dqt°力三丝也一迫乂 = 0dt dqt°力(70)(70)

三丝也一迫乂 = 0

dt dqt°力

三丝也一迫乂 = 0

dt dqt°力

(70)

(70)

Функция Лагранжа по-прежнему выразится L = Т + U, и уравнения Лагранжа сохраняют свою форму:

dtdt匹—=0 (i = 1, dqt匹—=0 (i = 1, dqt(71)(71)

dt

dt

匹—=0 (i = 1, dqt

匹—=0 (i = 1, dqt

(71)

(71)

Следует отметить, что обобщенная силовая функция U(f, g, q) зависит от q. линейно, т. е. имеет вид

U = Е 4（厶 9）% +』《，q），

так как в противном случае (т. е. если предположить, что U зависит от q. нелинейно) в (69) имели бы Q., зависящие от q..

В целях упрощения изложения в дальнейшем рассматриваются силы, не зависящие от %, т. е. силы в обобщенной силовой функции которых Л. = 0, хотя формально результаты остаются справедливыми и в общем случае, если под ^ понимать 7\ + ^A^v а под U —— функцию Л(/, д). Общий случай (4与 抬 0) отличается от частного (Л . =0), который рассматривается ниже, лишь более сложной интерпретацией получающихся результатов.

Циклические координаты и соответствующие интегралы

Первый, при этом почти очевидный, факт в области интегрирования уравнений (71) состоит в том, что если некоторая координата % не входит в состав аргументов функции L, т.е. если L не зависит явно от %, то тогда dL/dq.三 0 и уравнение Лагранжа с индексом i принимает вид

—= 0.

Отсюда вытекает первый интеграл в таком виде:

* = & или皿+皿=&・dqtSi dqt

Обращаясь к структуре функций L2 и L】，,циклический интеграл можно представить в раскрытой форме:

Циклический интеграл оказывается весьма простым — линейным относительно обобщенных скоростей.

Интеграл энергии

Для механической системы с функцией Лагранжа L = =Т + U при определенных условиях может существовать интеграл, характеризующий изменение энергии системы при ее движении. Для вывода этого интеграла применим уравнения Лагранжа:

———=0 (i= 1, 2,・・•，办(72)

уравне-уравне-dt 0% 因 z

уравне-

уравне-

Умножаем каждое уравнение (72) на % и суммируем все ния:

(73)

Каждое слагаемое под знаком первой суммы представим в виде

Тогда в уравнении (73) вынесем оператор d/dt за знак суммы и

получим

(75)(75)

(75)

(75)

Вторую сумму в (75) можно представить в виде

• , дь ••力4——%• , дь ••力4——%dLdLdtdtdLdLdtdt(76)(76)

• , дь ••力4——%

• , дь ••力4——%

dLdL

dtdt

dLdL

dtdt

(76)

(76)

Действительно, при от L, учитывая, что LДействительно, при от L, учитывая, что Lвычислении полной производной по времени = L(%, %, /), имеемвычислении полной производной по времени = L(%, %, /), имеем

Действительно, при от L, учитывая, что L

Действительно, при от L, учитывая, что L

вычислении полной производной по времени = L(%, %, /), имеем

вычислении полной производной по времени = L(%, %, /), имеем

dL * . dL ••-—Qi H—%dL * . dL ••-—Qi H—%dL dtdL dt(77)(77)Очевидно, что (76) и (77) представляютСоотношение (75) на основании (76) образом:Очевидно, что (76) и (77) представляютСоотношение (75) на основании (76) образом:одно и то же соотношение,преобразуется следующимодно и то же соотношение,преобразуется следующимd 3 0L . Id 3 0L . I0L dt0L dt(78)(78)

dL * . dL ••

-—Qi H—%

dL * . dL ••

-—Qi H—%

dL dt

dL dt

(77)

(77)

Очевидно, что (76) и (77) представляют

Соотношение (75) на основании (76) образом:

Очевидно, что (76) и (77) представляют

Соотношение (75) на основании (76) образом:

одно и то же соотношение,преобразуется следующим

одно и то же соотношение,преобразуется следующим

d 3 0L . I

d 3 0L . I

0L dt

0L dt

(78)

(78)

Функция Лагранжа L выражается через кинетическую энергию системы и силовую функцию:

L = Т + U = Т2 + Тг + То + U.(79)

Все дальнейшие рассуждения и вывод интеграла энергии разделяются на три случая.

Изучаемая механическая система является вполне склерономной, т. е. функция L не зависит явно от времени, и, кроме того, кинетическая энергия системы является однородным квадратичным многочленом от обобщенных скоростей:

Т =％

2 i,电

а следовательно,а следовательно,L = Т? + U.L = Т? + U.

а следовательно,

а следовательно,

L = Т? + U.

L = Т? + U.

(80)(80)Тогда соотношение (78) можно представить в виде d Д. ЭТ2 • d т 八

(80)

(80)

Теперь применяем известную теорему Эйлера из классического математического анализа об однородных функциях нескольких переменных. Однородной функцией от нескольких переменных 自. называется функция /(gj, удовлетворяющая следующему условию: при замене переменныхg . переменными 己［,связанными с 自乞 условиями g .=喷彳，где а — некоторый параметр, функция /(g .) выражается в переменных g% следующим образом:

八喝.)=叫®).(81)

Показатель k называется показателем степени однородности функции /(Е .). Теорема Эйлера выражает такое замечательное свойство однородных функций: сумма произведений частных производных от однородной функции по всем переменным g . на эти же переменные равняется произведению данной функции на показатель степени однородностид. е. выполняется тождественно соотношение

£書芻=繭&).(81а)

Например, / = х3 + Зу2х + у心 —,очевидно, есть однородный многочлен третьей степени:

k — 3.

Заменяя х, у, на ах, ау, имеем /(ах, ау) = а3 (х3 十 + Зу2% 十 ”2), что нетрудно проверить.

Проверим теорему Эйлера, т. е. составим выражение

粤 ％① у = (3%2 + Зу2 + 2/)х + (6" + 炉)у =

дх ду

=36 + Зу2% + 2"2 + 6“％ + 尹2 = 3%3 + 9y2% + 3井2 =

=3 (炉 + 3“％ + ух2).

(82)(82)Рассмотрим теперь соотношение (80). Применим к сумме под знаком производной dldt теорему Эйлера об однородных функциях:

(82)

(82)

Во втором слагаемом заменим L2 = Т2 + U. Тогда (80) перейдет в следующее выражение:

±(2T2)-±(T2 + U) = 0.

at

Равенство (80) после упрощения можно представить в виде

откуда появляется первый интеграл уравнений движения системы

Т — U =瓦

где Л — [постоянная величина;

Т = |U |+ •九 или Т ~\~ П = h,

где П — потенциальная энергия системы;

一e =九，

где £ ——полная энергия системы.

Таким образом, установлен основополагающий факт в классической механике, выражающий закон сохранения полной энергии, который формулируется в следующем виде: для вполне склерономной механической системы, движущейся под действием потенциальных с〃〃, не зависящих от времени, имеется классический интеграл сохранения механической энергии, по которому полная энергия системы остается постоянной величиной в процессе движения, т. е. сохраняется и не рассеивается. На основании изложенного склерономные механические системы, движущиеся в поле потенциальных сил, называются консервативными механическими системами.

Положим далее, что частная производная по времени от функции Лагранжа по-прежнему равна нулю dL/dt = 0, т.е. время / явно не входит в L, но кинетическая энергия системы не является только квадратической функцией Т2, а выражается в общем виде Т = =丁2 + 丁1 十 То (но времени явно не содержит). В этом случае Д выражается в виде

L = Т2 + Т. + То + U.

Соотношение (78) можно представить в следующих видах:

или, применяя теорему Эйлера, ^Т2 + Т) - 3(7\+ 3 + Т°+ S=0, dfdt

4(^-^-^)=0,

at

откуда окончательно

7\ — К — U =胪=const. (83)

Соотношение (83) представляет собой тоже первый интеграл уравнений Лагранжа, но оно не выражает закона сохранения энергии. Этот интеграл носит название интеграла Нкоби ——Пен- леве.

Переходим к последнему случаю, когда dL/dt 声 0, т. е. время входит явно в Т, может быть и в U. В этом случае какой-либо интеграл, выражающий изменение полной энергии во вполне реономной системе, отсутствует, что нетрудно проверить.

§ 11. Задача Бегена

Тонкая вертикальная пластинка (рис. 2) может без трения вращаться вокруг вертикальной оси Oz. По прямолинейному каналу в пластинке без трения может перемещаться частица М. Известны: момент инерции J пластинки относительно оси Oz, масса частицы т, угол а = const между каналом и вертикалью (0 < а V л/2).

Исследуем движение системы в двух случаях:

начальная угловая скорость пластинки 屮о У= 0;

пластинка вращается с заданной постоянной угловой скоростью о).

Решение 1. Начальная угловая скорость пластинки 屮о 牛 0. Система имеет две степени свободы. Связи, наложенные на систему, являются голономными, стационарными. В качестве обобщенных координат приняты: расстояние ОМ =厂 и угол 中 поворота пластинки относительно неподвижной плоскости %Oz.

Кинетическая энергия системы

Т = m(r2/2) + (J + 加/悶112a)@2 ⑵.

Потенциальная энергия системы

П = mgr cos а.

Функция Лагранжа

L = 7 — П = m(r2/2) + (J + /иТ^ахУ⑵一mgr cos a.

(84)(84)Поскольку 屮 является циклической координатой, то имеется циклический интеграл

(84)

(84)

Рф = —7 = (J + mr2 sin2 а) ф = const = ^.

Обобщенный импульс p屮 в этом случае представляет собой кинетический момент системы относительно оси Oz.

Так как на систему действуют только потенциальные силы, имеется закон сохранения механической энергии системы:

Т + 〃 =(血2)产 + (J + mr2sin2a)(^2/2) + mgrcosa = const = h. (85)

Величины К и /г могут принимать любые значения, ограниченные размерами пластинки и определяемые начальными условиями

/(0)=Г0一(0)=分，屮(0)=屮0：К = (J + mro sin2 a®,h =(加/2)资 +(J + mr| sin2 a)( %/2)+ mgrQ cos a.Из (84)/(0)=Г0一(0)=分，屮(0)=屮0：К = (J + mro sin2 a®,h =(加/2)资 +(J + mr| sin2 a)( %/2)+ mgrQ cos a.Из (84)(86)(86)J+ mr2 sin2 aJ+ mr2 sin2 aЗнак 屮 определяется знаком 《0=#。.Знак 屮 определяется знаком 《0=#。.J + sin3 a •■屮J + mr2 sin2 ajo и, кроме того, ф =#0,J + sin3 a •■屮J + mr2 sin2 ajo и, кроме того, ф =#0,(87)(87)еслиеслиПодставляя (87) в (85), после преобразования получимПодставляя (87) в (85), после преобразования получим=I2gr cos a=I2gr cos aК2К2俏(J + mr2 sin2 а)俏(J + mr2 sin2 а)= У1—у2,= У1—у2,(88)(88)

/(0)=Г0一(0)=分，屮(0)=屮0：

К = (J + mro sin2 a®,

h =(加/2)资 +(J + mr| sin2 a)( %/2)+ mgrQ cos a.

Из (84)

/(0)=Г0一(0)=分，屮(0)=屮0：

К = (J + mro sin2 a®,

h =(加/2)资 +(J + mr| sin2 a)( %/2)+ mgrQ cos a.

Из (84)

(86)

(86)

J+ mr2 sin2 a

J+ mr2 sin2 a

Знак 屮 определяется знаком 《0=#。.

Знак 屮 определяется знаком 《0=#。.

J + sin3 a •

■屮

J + mr2 sin2 a

jo и, кроме того, ф =#0,

J + sin3 a •

■屮

J + mr2 sin2 a

jo и, кроме того, ф =#0,

(87)

(87)

если

если

Подставляя (87) в (85), после преобразования получим

Подставляя (87) в (85), после преобразования получим

=I2gr cos a

=I2gr cos a

К2

К2

俏(J + mr2 sin2 а)

俏(J + mr2 sin2 а)

= У1—у2,

= У1—у2,

(88)

(88)

где

% = 2й/т — 2gr cos а,

У?=У?=个个(J + wj sin2 a)2(J + wj sin2 a)2/п (J + mr2 sin2 a) (J 4- mr2 sin2 a) m/п (J + mr2 sin2 a) (J 4- mr2 sin2 a) m%；%；

У?=

У?=

个

个

(J + wj sin2 a)2

(J + wj sin2 a)2

/п (J + mr2 sin2 a) (J 4- mr2 sin2 a) m

/п (J + mr2 sin2 a) (J 4- mr2 sin2 a) m

%；

%；

или, учитывая (86),

;什

J + m/^ sin2 a

m

Фо + 2gr° COS a

—2gr cos а—2gr cos а(89)(89)(J + 端 Sid a )2

—2gr cos а

—2gr cos а

(89)

(89)

Рис. 3Рис. 3

Рис. 3

Рис. 3

Исследуем на фазовой плоскости (г,尸)движение частицы относительно пластинки. Уравнение (88) является уравнением фазовой траектории, однако для большей наглядности построим предварительно кривую третьего порядка у?= =%(厂)И прямую Ух = =у") на одном графике (рис. 3). Точки пересечения прямой и кривой определяют нулевые значения обобщенной скорости 厂.Поскольку г2>0, то разность %— —■^2> 0, поэтому следует рассматривать точки кривой, расположенные ниже прямой. Так как при 0<а<л/2 угловой коэффициент прямой

у\ = —2gcosa = const V 0,(90)

то прямая составляет с осью Or один и тот же тупой угол независимо от начальных условий. Кроме того, у? > ° Для всех г и величина г не зависит от знака 屮о. Определим'

У‘2 = dy2/dr и %〃 = d2先/d产；

，— 2K2 厂 sin?々_2(J+加若 sin2 a)2。；广 sin2a —

2 (J + mr2 sin2 a)2(J + mr2 sin2 a)2

2(3或十用2党fe2々.

” —2K2(3№ Sin2 a 一 J) sin2 a 6(3^2 + 砲2 g 2 p *) sin2 a

%(J+w2sin2 a)3=(3r"r2P.()

Полагая у? = 0, найдем абсциссу гп точки перегиба кривой в первом квадранте (唠 У= 0):-

гп = l/sinal/J/3m = const.(92)

Величина гп не зависит от начальных условий и определяет в канале характерную для данной системы точку А &“) (рис. 2).

Подставив (92) в (91), найдем тангенс угла^наклона касательной в точке перегиба:

У2н = — (/3/2 )吹2团7/2 厂3/2 sin а = — 3K2/8mJrn.

Возможны следующие случаи взаимного расположения прямой У1 = %(г) и кривой % = %⑺ Для заданного К = Ki, позволяющие определить характер относительного движения частицы при любых начальных условиях:

Случай 1. \уг2Т1\ > |у\| (касательная «круче» прямой), и прямая пересекает кривую в трех точках ^, а2, а3. На рис. 3 штриховкой показаны значения г2 = ух — у2- Определяя 厂=±Уух——yv можно построить фазовую траекторию (нижняя часть рис. 3). Фазовая траектория представляется двумя кривыми. Например, при начальных условиях, соответствующих точке ^, частица при f = О находится ниже плоскости хОу и ей сообщается скорость по каналу вверх. Как показывает фазовая траектория, частица вначале движется вверх замедленно, в точке &2 ее скорость становится равной нулю, после чего начинается ускоренное движение вниз. Такую характеристику можно получить и из физических соображений. При начальных условиях, соответствующих точке 63, частица будет совершать колебания (нелинейные).

Если величина р =厂一厂。невелика, то колебания можно считать малыми. Выражая в (89) переменную г через р, получим следующее линеаризованное дифференциальное уравнение движения частицы:

р + 胪卩=г0 嗎 sin2 а — g cos а.

Отсюда можно определить амплитуду колебаний, положение равновесия и циклическую частоту k колебаний:

"闵］/专評 sin a.(93)

Из (93) следует, что малые колебания возможны при го > 厂几.

Случай 2. \уг2п\ > \у\\, и прямая касается кривой в точке 。4 ниже точки перегиба, пересекая кривую в точке а5. В этом случае фазовая траектория справа преобразуется в точку %, являющуюся точкой устойчивого относительного равновесия частицы (г = const). Получаем равновесие типа центра.

Случай 3. \у2п\ > Ip'/, и прямая касается кривой в точке % выше точки перегиба, пересекая кривую в точке а7. В этом случае фазовая траектория является сепаратрисой, а 匕5 ——седловой точкой (точкой неустойчивого равновесия).

На основании (88), (90), (91) и, учитывая, что

； = (1/2)(“一质),

(94)

получим необходимые и достаточные условия относительного равновесия (гр = const) частицы (точки 64 и &):

Го-4—->°>(95)

屮0 sin2 а

Го = 0.(96)

При ЭТОМ 6 = jo = const.

Из (95) следует, что гр > 0, т. е. равновесие частицы возможно во всех точках канала, где г > 0, однако на основании (90), (91) и (9Г) при гр > гп равновесие — устойчиво, а при 0 < ^《г^ равновесие — неустойчиво. Это же следует из рассмотрения фазовых траекторий.

Случай 4. \y\n\ > ly'il, и прямая пересекает кривую в одной точке —а8 или а9. Фазовые траектории —— расходящиеся.

Случаи 1, 2, 3, 4 охватывают все возможные начальные условия при \у\п\ > ly'il и составляют фазовую характеристику относительного движения точки при К = К「

Случай 5. \y\n\ < \У1\ (прямая «круче» касательной), при этом К? V К「Прямая пересекает кривую в одной точке, равновесных положений нет.

Случай 6. \yr2n I = |y'i|. Прямая пересекает кривую в одной точке, неустойчивое равновесие при г = гп.

Интересным является рассмотрение случаев: а = 0, а =冗/2, 屮о = 0, J =0.

Решение 2. Пластинка вращается с заданной постоянной угловой скоростью ш. Система имеет одну степень свободы. В качестве обобщенной координаты принято расстояние ОМ = г.

Кинетическая энергия системы

7 =厶 +「° = /и (К/2)+ ⑺产 sin2。+ J) (s2/2).

Потенциальная энергия системы

〃 =mg г cos а.

Функция Лагранжа

L = Т — /7 = /и (/*2/2)4- (mr2 sin8 а + J) (ш2/2) —mgr cos а.

Здесь интеграл энергии отсутствует, так как на систему наложена нестационарная связь (屮 =①/), однако, поскольку на систему действуют только потенциальные силы и функция L явно от времени / не зависит, то имеется интегоал Якоби — Пенлеве —— обобщенный интеграл энергии:

"=笃一TQ + П= т (戸/2)— (mr2 sin2 a + J) (o)2/2) +

+ rngr cos a = й = const.(97)

Решение этого уравнения:

生 ^(3/^00 + ^511(3"^) +生 ^(3/^00 + ^511(3"^) +g COS а(о2 sin2 аg COS а(о2 sin2 а

生 ^(3/^00 + ^511(3"^) +

生 ^(3/^00 + ^511(3"^) +

g COS а

(о2 sin2 а

g COS а

(о2 sin2 а

Отметим, что 厂 не зависит от J.

Для исследования относительного движения частицы на фазовой плоскости необходимо определить г2 из (97):

г2 = [(/^ ——co2f2 sin2 а + 2g/\)cos а) — 2gr cos а]—

—[―①2产 sin2 а]=加一％・

Рассматривая различные случаи взаимного расположения прямой у工=勿⑺ и параболы у2 = У2&), получим фазовый портрет системы. Все фазовые траектории — расходящиеся. Возможно неустойчивое равновесие частицы (седловая точка) при

gcos L>0. w2 sin2 а

Реакции связей, наложенных на частицу, следующие: ^1 ——составляющая, перпендикулярная к оси канала в плоскости пластинки; ^2 — составляющая, перпендикулярная к плоскости пластинки. Их можно найти, составляя уравнения Лагранжа с неопределенными множителями, которые при отсутствии непотенциальных сил принимают вид

或标 此此

Считаем, что система состоит из пластинки, поворачивающейся вокруг вертикальной оси, и частицы М, на которую наложены две голономные стационарные идеальные связи. В качестве обобщенных координат примем четыре величины: угол 屮 поворота пластинки и сферические координаты частицы г, ф, 0. Благодаря первой связи /1 =——0 + а = 0 частица не может выйти за пределы конической поверхности, образованной вращением канала вокруг оси Oz. Благодаря второй связи /2 =屮 —— 屮 =° частица не может выйти за пределы плоскости пластинки. Выбор этих связей является удобным, так как искомые реакции связей имеют направление внешних нормалей к поверхностям /\ = 0 и % = 0・

Функция Лагранжа системы имеет вид

L = Т — 〃= (m/2)(r2 + г2 屮2$也2 q 十 r202) + J (ф2/2) — mgr cos 6.

Приведем уравнения Лагранжа первого рода:

ddLdLddLdL 、

dt0；drdt@6@0

ddLdL) ddL" _)

山djОфdfdj。屮

С учетом уравнений связей после преобразований получим:

Г — /•屮2 sin2 a + g COS a = 0,2m〃 i sin2 a + (J 十 m产 sin2 a) Q = 0,

儿=tnr sin a ( гф2 cos a + g) = mr ctg a (厂 + g sec a),

入2 = — J^ = mr sin2 a(rj + 2/•《)= ZmK—Jrr ф2 sin2 a.

Таким образом, первые два уравнения являются дифференциальными уравнениями движения системы в независимых обобщенных координатах, а два последние дают возможность найти неопределенные множители Лагранжа и обобщенные реакции связей.

Искомые реакции связей определяются следующим образом:

Л\ = \1г, ^2 = Х2/г sin а.

Отметим, что г — 0 (точки на оси абсцисс фазовой плоскости) является необходимым и достаточным условием равенства нулю N?. Реакция связи ^1 может быть равна нулю только при 厂 V 0, причем, в зависимости от начальных условий в одной или двух точках канала, однако встречаются случаи, когда такая точка отсутствует. При определенных условиях одновременно N* = N? = 0. Реакция связи ^1 (так же, как и ускорение 厂)достигает экстремальных значений при 厂=±rn.

Ускорение 厂 становится равным нулю при 厂=&, что следует из (94). Этим случаям соответствуют касательные к фазовым траекториям, параллельные оси абсцисс Л

Глава III

УРАВНЕНИЯ НИЛЬСЕНА

Рассмотрим мыслимые (возможные) движения материальной системы ——системы с массами точек т； (/ = 1, ..., N) под действием тех же сил и с теми же связями, что и в истинном движении, но с различными кинематическими состояниями системы в тот или иной момент времени.

Кинематическое состояние системы выразим совокупностью векторов

(1)

* Задача может иметь прикладное значение, например, в теории вращающихся антенн.

Проварьируем каждое движение, сравнивая его с бесконечно близким движением, отличающимся от данного значением только

вектора г； из совокупности (1), т. е. изменим только г；, значение которого в двух сравниваемых движениях отличается на величину

бг； (изохронная вариация г, (вариации же всех остальных векторов равны нулю). Тогда получаем выражение вариационного дифференциального принципа Журдена, согласно которому во всякий момент времени истинное движение отличается от кинематически возможного тем, что в нем выполняется соотношение

2 （-吗力+戸/ +闫）冲=。，2 （-吗力+戸/ +闫）冲=。，⑵⑵

2 （-吗力+戸/ +闫）冲=。，

2 （-吗力+戸/ +闫）冲=。，

⑵

⑵

где 尸)一равнодействующая активных сил, приложенных к /-й материальной точке системы; R)——равнодействующая соответствующих сил реакций, приложенных к /-й материальной точке системы.

⑶⑶Покажем, что из принципа Журдена следуют уравнения Нильсена аналогично тому, как из принципа Даламбера—-Лагранжа получаются уравнения Лагранжа второго рода. Для вывода динамических диффер енци а л ьных уравнений Нильсена из (2) следует наложить на связи ограничения, выражающие их идеальность по Журдену:'

⑶

⑶

e哥力=0,

т. е. элементарная мощность от сил реакций связей равна нулю.

Таким образом, рассматривается механическая система с реоном- ными голономными идеальными двусторонними связями.

Других ограничений на связи не налагается. Следовательно, радиус-вектор каждой точки является функцией обобщенных координат и времени /.

Пусть число степеней свободы системы равно п. Тогда

% = %•(%,仅，…,拆;/).% = %•(%,仅，…,拆;/).(4)(4)

% = %•(%,仅，…,拆;/).

% = %•(%,仅，…,拆;/).

(4)

(4)

E（一耳）电=0.E（一耳）电=0.⑸⑸Для вывода уравнений Нильсена используем выражение принципа Журдена в форме

E（一耳）电=0.

E（一耳）电=0.

⑸

⑸

/==1

Выразим вектор ”)через обобщенные координаты и вариации обобщенных скоростей. Для этого продифференцируем (4) по времени

ГL二部仇+ kГL二部仇+ k6）6）

ГL二部仇+ k

ГL二部仇+ k

6）

6）

и найдем виртуальный дифференциал по скорости от вектора г；и найдем виртуальный дифференциал по скорости от вектора г；⑺⑺порядок суммирования, приведемпорядок суммирования, приведем£=1£=1Подставив (7) в (5) и изменив (5) к видуПодставив (7) в (5) и изменив (5) к виду+弓券)з% = 6+弓券)з% = 6(8)(8)Далее используем особые соотношения, справедливые только для голономных механических систем. От обеих частей равенства (6) последовательно возьмем частные производные по обобщенным координатам и обобщенным скоростям. ТогдаДалее используем особые соотношения, справедливые только для голономных механических систем. От обеих частей равенства (6) последовательно возьмем частные производные по обобщенным координатам и обобщенным скоростям. Тогда0" q*号此一匕dqdqi0" q*号此一匕dqdqi% +% +d斤jdtdqid斤jdtdqi(9)(9)

и найдем виртуальный дифференциал по скорости от вектора г；

и найдем виртуальный дифференциал по скорости от вектора г；

⑺

⑺

порядок суммирования, приведем

порядок суммирования, приведем

£=1

£=1

Подставив (7) в (5) и изменив (5) к виду

Подставив (7) в (5) и изменив (5) к виду

+弓券)з% = 6

+弓券)з% = 6

(8)

(8)

Далее используем особые соотношения, справедливые только для голономных механических систем. От обеих частей равенства (6) последовательно возьмем частные производные по обобщенным координатам и обобщенным скоростям. Тогда

Далее используем особые соотношения, справедливые только для голономных механических систем. От обеих частей равенства (6) последовательно возьмем частные производные по обобщенным координатам и обобщенным скоростям. Тогда

0" q*号

此一匕dqdqi

0" q*号

此一匕dqdqi

% +

% +

d斤jdtdqi

d斤jdtdqi

(9)

(9)

8qt8qt(Ю)

8qt

8qt

Представим векторное выражение для ускорения точки с индексом j, т. е. составим полную производную от вектора г/:

»=1 九k V=1

+ 2% -|•W dqidt 也洗2+ 2% -|•W dqidt 也洗2(11)(11)

+ 2% -|•

W dqidt 也洗2

+ 2% -|•

W dqidt 也洗2

(11)

(11)

От обеих частей равенства (11) возьмем частную производную по обобщенным скоростям:

二/ n 一二/ n 一吒・吒・dtdqidtdqi(12)(12)Выражение (12) с помощьюВыражение (12) с помощью(9) примет вид(9) примет вид。力。力2生因22生因2(13)(13)

二/ n 一

二/ n 一

吒・

吒・

dtdqi

dtdqi

(12)

(12)

Выражение (12) с помощью

Выражение (12) с помощью

(9) примет вид

(9) примет вид

。力

。力

2生

因2

2生

因2

(13)

(13)

二9 0斤• dri

Выражения (10) и (13) являются искомыми соотношениями.

Н^основании соотношения (10) уравнение (8) представим в форме

NN3 % = 0・3 % = 0・(И)(И)

N

N

3 % = 0・

3 % = 0・

(И)

(И)

(15)(15)Рассмотрим теперь выражение кинетической энергии системы

(15)

(15)

日

Полная производная по времени от кинетической энергии:

(16)

Составим частные пр оизводные от Г по переменным % н от Т по

也工 0先£0外也工 0先£0外(17)(17)дТOqtНа основании виддТOqtНа основании вид=2 ”j —7- j=i此соотношений (10)=2 ”j —7- j=i此соотношений (10)+ 2/=1+ 2/=1иидТдТ"У"У(18)(18)(13) выражение (18) примет(13) выражение (18) приметNN"•• 挤em万^ + 2e吗刁/=1也.*"•• 挤em万^ + 2e吗刁/=1也.*(19)(19)

也工 0先£0外

也工 0先£0外

(17)

(17)

дТ

Oqt

На основании вид

дТ

Oqt

На основании вид

=2 ”j —7- j=i此

соотношений (10)

=2 ”j —7- j=i此

соотношений (10)

+ 2

/=1

+ 2

/=1

и

и

дТ

дТ

"У

"У

(18)

(18)

(13) выражение (18) примет

(13) выражение (18) примет

N

N

"•• 挤

em万^ + 2e吗刁

/=1也.*

"•• 挤

em万^ + 2e吗刁

/=1也.*

(19)

(19)

(20)(20)Из (19) с помощью (17) получим

(20)

(20)

й 此 。幻 動

Учитывая (20), уравнение (14) изменяется следующим образом:

『1 \dqi 丿『1 \dqi 丿(21)(21)

『1 \dqi 丿

『1 \dqi 丿

(21)

(21)

где

Qi= £耳广(i= 1,2,...,力；右 dqt

Здесь Q. — обобщенные силы.

Уравнение (21) справедливо для любой совокупности величин 3夕1，3夕2，•••, 8qn- Применяя это уравнение к таким их значениям, когда только одна обобщенная скорость получает приращение, отличное от нуля, а приращения остальных скоростей равны нулю, получим п таких уравнений:

旦一2f = Qi (i= 1,2,・・•，喻(22)

Уравнения (22) и называются уравнениями Нильсена —— по имени немецкого ученого, впервые получившего их. По существу они представляют собой наряду с уравнениями Лагранжа второго рода правила составления динамических дифференциальных уравнений движения системы в обобщенных координатах.

Уравнения Нильсена представляют собой системы п обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка относительно такого же числа обобщенных координат. После интегрирования уравнений Нильсена находятся обобщенные координаты как функции времени и 2〃 произвольных постоянных:“

% — %(力，&,e2，…，С2九).(23)

Произвольные постоянные определяются по начальным данным^ т. е. по заданным значениям обобщенных координат 仇° и обобщенных скоростей q^ в начальный момент времени.

Существенное отличие уравнений Нильсена от уравнений Лагранжа второго рода состоит в появлении функции Т. Иногда приходится отдавать предпочтение именно уравнениям Нильсена, так как при составлении уравнений движения в некоторых конкретных задачах операция Нильсена быстрее приводит к цели, чем выполне- d дТ_ .

ние операции 彳 / ・

Для примера рассмотрим вывод динамических дифференциальных уравнений движения твердого тела с одной неподвижной тои- кой с помощью уравнений Нильсена.

За обобщенные координаты выберем углы Эйлера 中，0, ф.

Представим кинетическую энергию тела в виде

Т = (1/2) (Лр2 + Bq? + Сг2),

где Л, 5, С — главные моменты инерции тела; р, q, г ——проекции вектора мгновенной угловой скорости ① на оси, связанные с телом; при этом

р = 0 sin 8 sin 屮 + 0 cos ср;

q =屮 sin 9 cos cp — 0 sin cp;

r = j cos 8 + 屮.

Выполним следующие вспомогательные операции:

也=力也=力d平d平黑=-〃 V =（），号=^"=卷=°；黑=-〃 V =（），号=^"=卷=°；

也=力

也=力

d平

d平

黑=-〃 V =（），号=^"=卷=°；

黑=-〃 V =（），号=^"=卷=°；

дрдр=^cosQsincp, -^- = 6 cos 0 cos ф, 图一=—屮 sinB;08‘08

др

др

也=曲=0, 业=1；

-^- = sin 0 sin ф, -^- = sin 0 cos ср, -^- = cos 0;

djdi0屮

== cos ф,sincp, -^- = 0;

@60000

p = ф 0 cos 0 sin ф + ф ф sin Qcoscp ——0 cp sin 屮 + R】;

q =屮 8 cos 8 cos 屮一屮屮 sin 8 sin § — 0 ф cos 屮 + R2\ r = — Ф 0 sin 0 4- R3,‘

где Ri, R2, Кз 一 суть выражения, не зависящие от обобщенных скоростей 屮，屮 0;

£=q,®——p,正=0,

-^-= 9 cos 0 sin ср + Ф sin 0 cos ср; -^― = 0 cos 0 cos €p —

——(psin0sin(p;

=——0 sin 0;-^-=屮 cos 8 sin 屮一cp sin 屮；

0屮08

= 6 cos 0 COS €p — ф COS Ф； -^-=——U sin 0.

0806'

Составим следующие выражения:

更-= ЛР 包- + Bq + Сг =(4 一 В) pg;

更=4p包+ 5通+ 8也=0；,

= Ap -^- + Bq + еr = ЛР Ф c&s 9 Sin 屮 +

+ Bq^ cos 0 cos 屮一Сгф sin 9;

T = Арр + Bq q + Crr\ -^- = (A —В) pq + С r,Oy

= Ap sin 0 sin 屮+ Лр(0 cos Qsincp +

+ 屮 sin 8 cos ср) + Bq sin 0 cos cp + Bq (0 cos：8 cos 屮 ——ср sin 9 sin ф)—

—CrG sin 0 Ц-Сг cos 0;

疗

+ Bq (屮 cos 0 —屮)cos 屮一Сгф sin 0.

Составим уравнения Нильсена:

2= Ар sin 6 sin 屮 + Ар (9 cos 0 sin ср +

+(psin0 cos ср) + Bq sin 0 cos 屮 + 5q (6 cos 0 cos 屮一

—(psin0 sin ф) — Cr9 sin 0 + О cos 0 = Q屮；

崇~一2 詈=Cr + (B-A)pq = Q^

—：2= Ap cos ср + Др (ф cos 0 ——ср) sin(p — Bq sin 屮 +

08加

+ Bq (ф cos 0 ——ср) cos cp ——Сгф sin 0 — 2Лрф cos 0sin(p ——

—25g屮 cos 8 cos 屮一20屮 sin 0 = Q0,

где Q屮,Q(p, Qe — обобщенные силы, вычисляемые обычным образом.

Учитывая зависимости между обобщенными силами Q屮,@ф, Q0 и моментами внешних сил MXi Myf Mz относительно координатных осей, неизменно связанных с телом

Мх = (1/sin 8) (Q屮 sin(p + Q0 sin 0 cos (p — Q屮 cos 9 sin(p),

My = (1/sin 0) (Сф cos ф — Q^sin 0 sin <p —Q^ cos ф cos 0),

Mz = Q” дифференциальные уравнения движения твердого тела с одной неподвижной точкой преобразуем к виду

Ар + (С — В) qr = ”с Bq + (Л —С) рг = Му,

Сг + {В — Д) pq = Mz.

Глава IV

УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА

Уравнения Лагранжа представляют собой дифференциальные уравнения второго порядка относительно п неизвестных функций ^. (г = 1,2,...,〃). Но, как уже известно, такая система уравнений эквивалентна системе уравнений первого порядка с числом неизвестных функций, равным 2п. Для этой цели можно рассмотреть п новых переменных д\ при помощи соотношений

% = q » (，= 1,2,…，〃).

Но можно использовать новые дополнительные неизвестные функции таким образом, чтобы вся система уравнений имела другую, оригинальную структуру, и явилась основой новых методов изучения движений——методов, оказавших большое влияние на развитие не только аналитической механики и ее приложений, но и математического анализа, теоретической физики и других областей науки и техники. Эти новые переменные получили название обобщенных импульсов системы} они обозначаются р. и связаны с обобщенными координатами и скоростями следующим образом:

р» = dLldq» (i = 1,2,..., n).(1)

Таким образом, каждый обобщенный импульс выражается линейной диффер енци а л ьно й формой относительно обобщенных координат. Выведем систему дифференциальных уравнений относительно переменных q. и р.. Для этой цели используем функцию Гамильтона Н, имеющую следующую структуру:

" = £〃％—厶，(2)

где L — функция Лагранжа.

Для склерономных консервативных систем функция Гамильтона Н имеет простой физический смысл. Действительно, так как

£~l q» = 27

и L = T + U, в соответствии с (2) имеем

Н=2Т — (T+U)=T— и=Е=^Т + П.

Таким образом, функция Гамильтона для консервативных систем выражает полную энергию механической системы.

Для вывода уравнений, связывающих р. и q.f применим метод варьирования функции Н, рассматривая ее с двух точек зрения: как функцию переменных /, %, %, р. — на основании (2) и как функцию Н@, q, р) от переменных t, q», р^ — после исключения из

—57 •

(2) переменных qt с помощью (1). На основании (2)

3" = - e 淋一Ё 乃~ 6 % + e ^Pi^i + e P画"(3) 因 idq-L

На основании (1) второе и четвертое слагаемые в (3) взаимно уничтожаются. В соответствии же с уравнениями Лагранжа

°力и, следовательно,°力и, следовательно,dddL •-—=Pi 8qtdL •-—=Pi 8qt3"= £(—%%+ #Pt)・Составим теперь б 7/, полагая " = "(/, q, р):3"= £(—%%+ #Pt)・Составим теперь б 7/, полагая " = "(/, q, р):(4)(4)

°力

и, следовательно,

°力

и, следовательно,

d

d

dL •

-—=Pi 8qt

dL •

-—=Pi 8qt

3"= £(—%%+ #Pt)・

Составим теперь б 7/, полагая " = "(/, q, р):

3"= £(—%%+ #Pt)・

Составим теперь б 7/, полагая " = "(/, q, р):

(4)

(4)

(5)

Сравнивая (4) и (5), а также учитывая, что система голономна, а следовательно, всеб^. ибр. независимы, соотношения (4) и (5) действительны при любых значениях вариаций 5% и 8рг получаем следующую форму дифференциальных уравнений движения голономной механической системы:

；尸*' Р「—анЦ2,…,n).(6)

Уравнения (6) и называются уравнениями аналитической динамики в канонических переменных qv р. или каноническими уравнениями Гамильтона.

Покажем применение уравнений Гамильтона на примере пространственной задачи Кеплера——Ньютона (рис. 4).

Материальная точка массой т перемещается в гравитационном поле, создаваемом притягивающим центром массой М. Выведем канонические уравнения движения точки, считая притягивающий

центр неподвижным.

Как известно, при движении материальной точки под действием центральной силы ее траектория является плоской линией. Однако рассмотрим движение в пространстве, что необходимо для установления положения траектории.

Пусть х, у, z — координаты материальной точки в декартовой системе координат с началом в притягивающем центре О. Перейдем теперь к сферическим координатам г, ф, ф, где 厂——расстояние от точки до центра

притяжения, ф — широта точки, отсчитываемая от экватора по меридиану до полюса;少 一 ее долгота.

Уравнения, связывающие декартовы координаты точки с ее сферическими координатами, имеют вид

% = г cos ср cos 少， У = г cos ф sin ф, z = rsin(p.

Составим выражение кинетической энергии точки

Т = (1 ⑵/и (х2 + у2 + #)

или в сферических координатах

Т = (1/2) m ( г2 + 产屮2 + 厂2 cos2 屮屮2 )・(7)

Согласно закону Ньютона, сила притяжения

где у ——гравитационная постоянная, г*— единичный вектор радиуса-вектора г точки. ^Обозначим М^ через 世.Найдем силовую функцию силы 尸.Так как элементарная работа силы притяжения отлична от нуля только на радиальном перемещении, то

dAF=F「dr = —蚪 dr,г2

где Fr —— проекция силы на направление г0. Следовательно,

dU =—乎 dr,U =方 + C.

Полагая U = 0 при /• = 8, получаем С = 0.

Итак, силовая функция имеет вид U = цт/г, а потенциальная энергия П = —U =——[imlr.

Вычисляем импульсы, полагая 厂=%，屮 =%,屮 =%• Имеем

дТдТ 2 •ОТ22；

Р)= —г = тг, а = —г- =mrJ€p, Рз = —— = ml cos%% dr衣*

Функция Н принимает вид (в переменных q, р)

Канонические уравнения движения точки

• дН г =—, 如1

•дН

；дН

ф =

°Рз

；(9)

•дН

•дН

_дн

Р1 =;—•,

Р-2.——

，Рз =-

dr

舛

после выполнения дифференцирования

в правых

частях (9) прини-

мают окончательный вид:

厂=—卩，Pl =―p; + —~—mmr3 2 mr3 cos2 у з 厂2

*1*sin 屮 °

屮(Ю)

Интегрирование полученной системы уравнений удобнее выполнить методом Гамильтона—Якоби, что показано в § 2 гл. VI.

Глава V

ТЕОРЕМА ПУАССОНА И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ В ИНТЕГРИРОВАНИИ

УРАВНЕНИЙ ДИНАМИКИ В ПЕРЕМЕННЫХ 「АММЛЬТОНА

Условие Пуассона для первого интеграла

Выведем условие, которому должна удовлетворять функция j(q, р, t) канонических переменных для того, чтобы эта функция была левой частью первого интеграла

Е Р, t) = С(1)

канонических уравнений Гамильтона

9i = ~7~ ，Р» (% = 1,2,.・・,и).(2)

Xi°%

Для этой цели составим полную производную по времени от (1), которая по уравнениям (2) тождественно равна:

или на основании (2)

城也迦—业也(3) 北 白1°力 dPi 8Pi 0力丿

Соотношение (3) назовем условием Пуассона для первого интеграла /. Очевидно, что оно и необходимо, и достаточно.

Скобки Пуассона и их основные свойства

Сумма, находящаяся в левой части условия (3), является частным случаем общего математического выражения, составляемого посредством двух функций(p(q, р, /) и 屮(q, р, /) от каноничес-

ких переменных и времени. Назовем это выражение скобками Пуассона от двух данных функций 屮 н 屮 и обозначим

（中，中）=±缁劉・ ⑷

Следовательно, условие Пуассона （3） для первого интеграла можно представить в виде

dfldt +（/,"）= 0.（5）

Отметим основные свойства скобок Пуассона, вытекающие из непосредственного рассмотрения структуры выражения （4）.

Скобки Пуассона, подобно векторному произведению векторов, не перестановочны, т. е. при перестановке 屮 и ? в левой части （4） правая часть изменит свой знак на противоположный. Это свойство следует из того, что порядок расположения функций 屮 и ? в левой части показывает, как надо составлять правую часть （4）: в слагаемом со знаком плюс первая функция дифференцируется по ^., а вторая ——по р.. Поэтому скобка Пуассона с переставленными членами будет иметь вид

т. е.

（屮，屮）=-（屮，9）・（7）

Очевидно, что скобки Пуассона от двух тождественно одинаковых функций тождественно равны нулю:

（屮，屮）三0.（8）

Если одна из функций в скобках Пуассона является тождественной постоянной, т. е.屮 三 С, то скобка Пуассона равняется тождественно нулю:

（ф, С）三。.⑼

Постоянный множитель перед каждым членом скобки Пуассона можно выносить за знак скобки, т е.

（瓦9，局中）=自局（б中）.

Следовательно, перемена знака у одного члена скобок Пуассона влечет за собой изменение знака перед скобками или же перестановку членов в скобках:

（一屮，中）=（屮，一屮）=一（9，屮）=（% 屮）•（10）

Скобки Пуассона обладают распределительным свойством, т.

（屮，屮+ а =（屮,中）+ m/）.（id

Выведем формулу для частной производной по времени от ско» бок Пуассона. Имеем

叫 a%火叫 a%火西@2屮 д2(ра屮О% dpidt . dpidtdqi西@2屮 д2(ра屮О% dpidt . dpidtdqi+e［爲*寄-爵詣剧=（务什卜蒙•+e［爲*寄-爵詣剧=（务什卜蒙•Итак,Итак,^（5屮）=停,屮）+ （屮,訪^（5屮）=停,屮）+ （屮,訪(12)(12)

叫 a%火

叫 a%火

西@2屮 д2(ра屮

О% dpidt . dpidtdqi

西@2屮 д2(ра屮

О% dpidt . dpidtdqi

+e［爲*寄-爵詣剧=（务什卜蒙•

+e［爲*寄-爵詣剧=（务什卜蒙•

Итак,

Итак,

^（5屮）=停,屮）+ （屮,訪

^（5屮）=停,屮）+ （屮,訪

(12)

(12)

Сложные скобки Пуассона

Сложными скобками Пуассона называются скобки, один из членов которых в свою очередь выражается скобками Пуассона от двух функций. Таким образом, сложные скобки Пуассона вычисляются по схеме

（厶回屮））= £豈崙一詁与斗。3）

Так как скобки (ср, 9) выражаются через частные производные первого порядка от 屮 и ? no q и р, то после дифференцирования скобок no q и р появляются вторые частные производные от ф и ф по q и р, т. е. сложные скобки Пуассона содержат как первые, так и вторые частные производные функций 屮 и ? no q и р.

Понятие о функциях, находящихся

во взаимной инволюции

Функции fi(f, q, Р),%(力 ％ р) называются находящимися во взаимной инволюции, если скобки Пуассона от них тождественно равны нулю:

仇/)三0・，(14)

Это означает, что при вычислении скобок все слагаемые взаимно уничтожаются.

Тождество Якоби

Сложные скобки Пуассона подчиняются соотношению, носящему название тождества 兄长。6〃，которое можно сформулировать следующим образом: сумма трех сложных скобок Пуассона, полу-

ценных из одних сложных скобок от трех функций 九屮，屮 путем циклической перестановки функций, тождественно равна нулю:

(%但屮))+ (9，(少"))+ (屮,色砌三0・(15)

Доказательство можно провести методом математической индукции, проверив (15) для системы с одной степенью свободы, т. е. при двух канонических переменных %, р】；затем для двух степеней свободы, т. е. для четырех канонических переменных ^, ^2, р】,р2 и т. д.

Проверим тождество (15) для случая одной степени свободы, т. е. для случая одной координаты и одного импульса.

Составим три сложные скобки Пуассона от трех функций f(q, р) 屮(％ Р)，屮(％ Р)・

Подробно вычислим первые сложные скобки:

Но

（/，（Ф，屮））=詈

a (件" др

加

0仲，少）

08,中)

5ф @2 少

叫

630中 023

dp

dqdp др

dq 勿2

歌

dqdp dpdq

0（中，屮）

—52ф0> 丄 Оф

02屮

叫

/势 /屮

dq2 dp8q

dpdq

dpdq

dqdp dq?

(16)

,(17)

(18)

Следовательно, подставляя (17) и (18) в (16), имеем

а屮 Oqа屮 Oq仲，（/，9））=仲，（/，9））=02中dpdq02中dpdqdf /срdq dpdqdf /срdq dpdqdq [ dqdp dp dq др? dp2 dq dpdq

а屮 Oq

а屮 Oq

仲，（/，9））=

仲，（/，9））=

02中dpdq

02中dpdq

df /ср

dq dpdq

df /ср

dq dpdq

перестановки (屮 вместо /,屮

вместо

9И

/ вместо 屮).Тогда

(屮,(中 , 7))=

衣

г а2Ф df

些

叫 df

@q

dqdp др

dq

др2

0p2 Og

02f 外]_

Oy

[dq2 dp

妙

十a "

02f

dpdq др ]•

Op

dpdq

dpdq dq

dq2」

аналогично

Следующие две сложные скобки можно составить путем циклической一一.一

0?.df

dp dq

康寄+

02中02/0中

др2др2d〃

df dp

即 №屮a2cp *0中

dq dpdqdpdq dqdp

др j др [呪 dp02f/df

dpdq dq dp

Нетрудно проверить, что при сложении трех сложных скобок все члены взаимно уничтожаются. Итак, тождество Якоби для случая одной степени свободы доказано.

Проверка тождества Якоби в приведенном выше случае выявило простой метод доказательства тождества (15) в общем случае. Этот метод не требует громоздких вычислений, а основывается на приводимом ниже рассуждении.

Очевидно, что каждое слагаемое в сложных скобках Пуассона должно содержать частную производную второго порядка от одной из трех функций, входящих в сложные скобки. Но при рассмотрении каждых двух сложных скобок Пуассона, которые могут содержать вторые производные от одной и той же функции, например /, выясняется, что эти вторые производные входят в такую комбинацию с противоположными знаками так, что сумма соответствующих слагаемых тождественно равна нулю. Следовательно, сумма трех скобок, составленных из циклически расположенных трех функций, тождественно равняется нулю, что и доказывает тождество Якоби.

Теорема Пуассона о трех интегралах канонических уравнений

Переходим к доказательству одного из замечательных положений ^аналитической механики —— теоремы, высказанной Пуассоном и состоящей в следующем утверждении:

Если известны два первых интеграла канонических уравнений Гамильтона

fi(力 % Р) = c*卜"，q, p) -e2,

не находящихся во взаимной инволюции, то скобки Пуассона от этих интегралов являются тоже интегралом уравнений Гамильтона.

Для доказательства данной теоремы применим сначала условие

Пуассона для каждого из данных интегралов, т. е.

粤 + (Л，Н) = 0,替 + 仇,")=о(19)

Затем рассмотрим тождество Якоби для трех функций ",九，/2: (",(3 %)) + (厶,(反"))+ & (""))三 0.(20)

Но из[(19)

(也 H) = -dfJdt;(21)

(修片)=曹・(22)

dt

Подставляем (21) и (22) в (20):

("，(3 f/ +(厶，一普)+ 卜2, *) m 0.(23)

—64 -

Переставляя члены в первых и третьих скобках и изменяя при этом знаки перед этими сложными скобками, после умножения (23) на —1 получаем

Так как первые два слагаемых выражают частную производную по времени от скобок (%, /2), последнее тождество можно представить в следующем виде:

d/dt^ /2)+ (仇，％),切 三 0・

Если функции /1 и /2 не находятся в инволюции, то выражение (/1, /2) представляет собой некоторую третью функцию

(Л, %) —，з(力 ％ Р),

которая, таким образом, удовлетворяет условию Пуассона для первого интеграла

* + (%,") = 0・(24)

Это показывает, что /3 = С —— тоже первый интеграл канонических уравнений. Теорема Пуассона доказана.

Теорема Пуассона, казалось бы, представляет важное средство интегрирования уравнений Гамильтона. Но, к сожалению, ее до сих пор не удалось применить к решению известных классических задач механики —— задачи о движении твердого тела с одной неподвижной точкой, задачи трех тел в небесной механике и др. В этих задачах, как и в большинстве других классических задач механики, все известные интегралы находятся в инволюции и не могут быть использованы для получения новых интегралов.

Проверку теоремы Пуассона покажем на известных интегралах пространственной задачи Кеплера——Ньютона, т. е. для движения материальной точки под действием центральной силы F. В этом случае, как известно из теоремы о моменте количества движения точки, траектория точки является плоской линией. Имеем

Mo(mv) = const.

Следовательно,

г X и = С

или в проекциях на оси координат

yz — zy = C], zx ——xz = C2, xy — ух = С?.

Представим первые интегралы в переменных Гамильтона. Пусть

% = %,仇=У, % = z •

Тогда

Pi = /их, р2 = ту, Рз = тг,

где т —— масса точки, и, следовательно,

/1 = mCi = у • mz — z - ту = %Рз — %%，

% = mC2 = z • mx — x • mz = q3pi —办冉，

3 =团。3 = x ♦ ту — у • тх = qg — qg・

Применим теорему Пуассона к двум первым интегралам:

汕 dqi У汕 dqi У

汕 dqi У

汕 dqi У

」/1行2/1吼/行2/% \明齿2

■ I ^^^^^^M^*™*—-•■'■1^»™^^—^■— ■ I ■!"■ I ^"—eeee MMMWtoM ■'“■ Illi НИМ II■!■■ I ■卜. j ммнммшмW^« ^1 I ■ >

\/10Р1dpi0%/\因2勿20Р2/2 /\因30Р3

—誥-—^ = [°，71 • ?з — 0 (— Рз)1 + [Рз・° —(— 4з) • °】+

+ [(— 02)(— %) — 92Pli =力卩2 — 92Pl.

Следовательно,

(Л, /2) = /з, т. е. (%, /2) = const —— новый интеграл.

Рассмотрим теперь механическую систему, обладающую интегралом Якоби—Пенлеве, т. е. рассмотрим случай, когда функция Н явно не зависит от времени:

—-0. (25)

(26)(26)Положим, что известен первый интеграл /(/, q,p) = Со, явно зависящий от времени. Тогда функция / удовлетворяет условию Пуассона

(26)

(26)

Дифференцируя это тождество по времени, получаем

察十(厶*) +借，"尸。•(27)

Но по (25) второе слагаемое в (27) тождественно равно нулю и, следовательно,

(28)

Это показывает, что функция 吊=С\ удовлетворяет условию Пуассона для первого интеграла, т. е. является тоже первым интегралом уравнений движения системы.

Применяя это рассуждение далее, получаем следующие первые интегралы:

/一2，з…，

пока не получим интеграла, не зависящего явно от времени или же являющегося тождественным алгебраическим следствием уже известных интегралов.

Глава VI

МЕТОД ЯКОБИ ИНТЕГРИРОВАНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ГАМИЛЬТОНА (ТЕОРЕМА ГАМИЛЬТОНА - ЯКОБИ)

Этот метод состоит в том, что для выявления всех первых интегралов канонических уравнений Гамильтона достаточно проинтегрировать уравнение в частных производных первого порядка определенной структуры, т. е. найти полный интеграл этого уравнения. Тогда все интегралы уравнений Гамильтона найдем путем дифференцирований полного интеграла по независимым переменным 仇 и по постоянным, входящим в выражение полного интеграла.

§ L Основные понятия

Рассмотрим некоторую функцию S от обобщенных координат 仇，《2,…，?п механической системы и времени /, содержащую в своем выражении произвольные постоянные ах, а2, ..., ап+1, число которых равно числу всех переменных, включая время /:

S = S(91，…，％;/;,。及，％+!)•(1)

Составим частные производные от функции S по переменным 91, %，•••，«п,力 Рассмотрим систему равенств, в левой части каждого из которых находится обозначение новой переменной величины — частной производной, а в правой —— выражение этой переменной величины через %,仇，…，％；力的，饱，..., 毓+i：

dS/)

d] -qn、

dS —/、

因1

dS /,、

dq ~ 02 (力，…,9及；%；>⑵

~ = Pn (%,…，q几，/; %,・••，a〃+J dqn

Присоединяя еще равенство (1), имеем систему, состоящую "из 几 + 2 равенств. Из этой системы можно исключить все произвольные постоянные %, &，・••,。九+1， выражая их через

dtdqi

В результате исключения величин а» могут быть две возможности: или появится одно соотношение между

q dS dS /

0先 dt

выражающее зависимость между ними:

г /,о dSf Г办，…"耳S； h；г /,о dSf Г办，…"耳S； h；dS因1dS因1⑶⑶

г /,о dS

f Г办，…"耳S； h；

г /,о dS

f Г办，…"耳S； h；

dS

因1

dS

因1

⑶

⑶

или появится несколько зависимостей. В первом случае результат исключения произвольных постоянных, т. е. соотношение (3), называется дифференциальным уравнением первого порядка в частных производных относительно функции S, как фукции от 力 ％, ..., %; функция же S, выражаемая равенством (1), называется полным интегралом уравнения 6 частных производных первого порядка (3).

Во втором случае, когда в результате исключения всех пронз- вольных постоянных появляется несколько соотношений между функцией S и ее частными производными, можно считать, что не существует такого одного диффер енци а л ьно го уравнения, для которого заданная функция S могла бы быть полным интегралом.

В качестве примера рассмотрим такое уравнение в частных производных:

Полный интеграл этого уравнения имеет вид

S = %力 + &% + 1/"届十 ^2 «3 +。3，(5)

что нетрудно проверить непосредственно. Действительно,

Подставляя (6) в (4), получим тождество.

Нетрудно представить и вид дифференциального уравнения и его полного интеграла, частным случаем которых являются (4) и (5), а именно: уравнение

OSOS

OS

OS

где / ——некоторая произвольная функция от dS/dq^ Полный интеграл этого уравнения имеет вид

S = ^i?i + &% + • • • + %_№г1T + Cqn + 書+力

где С определяется из соотношения

/ (а“"〃t，°) ~ °・

Представляет интерес и уравнение Кдеро:

dS . dS .. OS [ J OS dS \ c n

因I0%d9〃\ 因1 函〃 /

Полный интеграл этого уравнения имеет вид

S =a1% +a202 +…+ ^n^n + /(a1，,(8)

где / — та же функция, что и в (7).

Сравнивая полные интегралы в обоих примерах, можно отметить следующую особенность: в первом случае одна из произвольных постоянных, входящих в выражение полного интеграла, находится в нем в аддитивном виде, т. е. не является коэффициентом при какой- либо функции 屮(q) от аргументов %.

Во втором же случае, в уравнении Клеро, в его полном интеграле нет ни одной аддитивной постоянной, каждая из них является множителем при одном из qv Это соответствует тому, что в первом примере в дифференциальном уравнении отсутствует искомая функция S. В уравнении же Клеро функция S входит в дифференциальное уравнение. Это характерно и для общего случая, т. е. если уравнение в частных производных первого порядка имеет вид

(уравнение не зависит явно от функции S), то в его полном интеграле одна из постоянных является аддитивной:

S — S (/; q“ …，q〃； а” …，а) + a〃+i・(10)

Рассмотрим теперь подробнее, какой вид примет уравнение в частных производных первого порядка (9) в этом случае. Очевидно, что из уравнений (2) нельзя найти все постоянные а。а2, ..., ап+1, однако п постоянных аъ а2, ..., ап можно найти из п последних уравнений (2). Исключая их из правой части первого из уравнений (2), получим уравнение в частных производных первого порядка вида

dS ./dS\

а/ \dqt dqn /

Функция S, определенная формулой (10), является полным интегралом последнего уравнения. Именно уравнения такого типа имеют большое значение в аналитической механике.

§ 2. Теорема Гамильтона —Якоби

Как известно из общей теории дифференциальных уравнений в част 1ых производных первого порядка, каждому уравнению соответствует некоторая система обыкновенных дифференциальных уравнений и задачи решения уравнения в частных производных, с одной стороны, и соответствующей системы обыкновенных дифференциальных уравнений, с другой ——взаимосвязаны.

Для системы канонических дифференциальных уравнений Гамильтона тоже существует такое уравнение в частных производных и называется оно уравнением Гамильтона——兄ко6〃. Применение этого уравнения к интегрированию уравнений аналитической механики в канонических переменных и составляет содержание так называемого метода Якоби (точнее — метода Гамильтона — Якоби).

Пусть "(/,夕，р)——функция Гамильтона механической системы.

Рассмотрим теперь функцию

S (7г» ^> аг) + а/г+1>

удовлетворяющую такому уравнению в частных производных

os Ias ds \ n/「с、

Of \Si 册丿

т.е. для составления этого уравнения в выражении функции Гамильтона все импульсы р. надо заменить частными произвэдными от S до % и составить уравнение (Па). Уравнение (Па) и носит название уравнения Гамильтона——Якоби.

Теорема Гамильтона——Якоби формулируется так: если известен полный интеграл урлзнения (11а) в виде определенной функции S (% a, t)t то все 2п первых интегралов дифференциальных уравнений

力=р» =— G = 1,2,..., n)(12)

汕dqi

—70 —

имеют следующий вид:

^-=比(i= 1,2, ・•・，％),^-=比(i= 1,2, ・•・，％),(13)(13)dSdS~ Pi (i = 1,2, ... , п),~ Pi (i = 1,2, ... , п),(14)(14)

^-=比(i= 1,2, ・•・，％),

^-=比(i= 1,2, ・•・，％),

(13)

(13)

dS

dS

~ Pi (i = 1,2, ... , п),

~ Pi (i = 1,2, ... , п),

(14)

(14)

где p. — новые произвольные постоянные.

Для доказательства того, что каждое из соотношений (13) и (14) является интегралом дифференциальных уравнений (12), достаточно выполнить соответс!вующую проверку, для чего необходимо продифференцировать каждое соотношение по времени и убедиться в том, что на основании уравнений (12) результат дифференцирования представляет собой тождественный нуль.、

Рассмотрим сначала соотношения (13). Левая часть (13) может зависеть от времени двояким образом. Во-первых, время / может вхо- dS+

(15)(15)дить в выражение 我 явно; во-вторых, от времени Г зависят координаты ^.. Следовательно, в результате дифференцирования соотношения (13) получим

(15)

(15)

da/f 己 d^dqk

Каждое qk заменим теперь из уравнений (12), но с учетом того, что все pk надо заменить их выражениями из (14). Следовательно, (15) представим в виде

62$daLdt62$daLdt+ 2+ 2左=1左=1①=о・ 0出函在①=о・ 0出函在(16)(16)

62$daLdt

62$daLdt

+ 2

+ 2

左=1

左=1

①=о・ 0出函在

①=о・ 0出函在

(16)

(16)

Необходимо доказать, что (16) есть тождество. Для этой цели подставим в уравнение (11а) вместо S найденный полный интеграл S. Согласно смыслу полного интеграла, в результате подстановки появляется тождество.

dt \ dq /dt \ dq /(17)(17)

dt \ dq /

dt \ dq /

(17)

(17)

Дифференцирование тождества по любому входящему в его структуру аргументу приводит тоже к тождеству. Пр одиффер енци р у ем тождество (17) по а.. Данный аргумент входит и в функцию S, и в частные производные

of dqh

После дифференцирования тождества (17) по а. появляется такое тождество:

btd% 含 0 /病) dq^dcci —btd% 含 0 /病) dq^dcci —(18)(18)

btd% 含 0 /病) dq^dcci —

btd% 含 0 /病) dq^dcci —

(18)

(18)

Очевидно, что равенство (16) является тождеством, так как оно совпадает с тождеством (18). Итак, существование интегралов (13) доказано.

Аналогичным путем проведем доказательство для интегралов (14). С этой целью продифференцируем каждое соотношение в (14) по времени, учитывая тот факт, что время входит в правую часть (14) как явно, так и через переменные ^.. Следовательно,

Pi = У 勿. (9) dqidt 乱 dqtdqk

Функции qk можно представить следующим образом:

Следовательно, равенство (19) примет вид

—Pi +—Pi +02sdqLdt02sdqLdt=0.=0.（20）（20）

—Pi +

—Pi +

02sdqLdt

02sdqLdt

=0.

=0.

（20）

（20）

Для доказательства тождественности (20) рассмотрим опять тождество (17). Дифференцируя его по q» получим следующее тождество:

НоНо爲:+”・⑵)爲:+”・⑵)

Но

Но

爲:+”・⑵)

爲:+”・⑵)

Следовательно, соотношение (20) есть тоже тождество, так как оно совпадает с тождеством (21).

Итак, теорема Гамильтона——Якоби доказана.

Применим теорему Гамильтона—Якоби к интегрированию уравнений движения в пространственной задаче Кеплера——Ньютона, рассмотренной в гл. IV, где за обобщенные координаты в ыбраны сферические координаты точки

% =г，02 =屮，93 =屮。

Функция Гамильтона Н задачи имеет вид

Я - — f р2 + — р2 !——3 •(22)

2mr2 C0S2 ? / 丿广'’

Тогда уравнение Гамильтона—Якоби представим следующим образом:

dt 2m _\ dr / г2 \ д^ J г2 cos2 ср

Уравнение (23) не зависит явно от времени /. Во всех таких случаях уравнение Гамильтона——Якоби упрощается путем следующей замены искомого полного интеграла S:

S = ht + 取(%，…，q〃； %,…，a〃.［； Л),(24)

где h ——постоянная, W ——функция*, не зависящая явно от времени 力

Тогда

as 厶 ds ar

dtdqi dqi

и, следовательно, (23) примет вид

(25)(25)丄ГЖ2 +丄—L_

(25)

(25)

2m |_\ dr / г2 \ Эср / r2 cos2 中

Найдем полный интеграл этого уравнения методом разделения переменных, т. е. в виде

取=R十①+ Q,(26)

где R — функция от г, ф —— функция от ср и Q — функция от 屮. Для нахождения этих функций подставим W из (26) в уравнение (25). Тогда должно удовлетворяться соотношение

-J- — ф TQ =-|—力.

厂2厂2 cos2中J广

Выделим в этом уравнении члены, зависящие только от г, т. е. представим его в виде

—Ф,2 + —?— ^ ^^т (^ + h(27)

厂2Г2 COS2 ф\ Г/

Функция W называется характеристической функцией Гамильтона.

илиили212①‘ + —а，=COS2 Ср212①‘ + —а，=COS2 Ср2m广2 (户 +力)—次： (28)2m广2 (户 +力)—次： (28)

или

или

212

①‘ + —а，=

COS2 Ср

212

①‘ + —а，=

COS2 Ср

2m广2 (户 +力)—次： (28)

2m广2 (户 +力)—次： (28)

(29)(30)(31)(29)(30)(31)Последнее соотношение должно удовлетворяться тождественно, так как оно есть результат проверки решения вида (26) для уравнения (25). Но для того чтобы (28) было тождеством, необходимо и достаточно, чтобы выражения, находящиеся по разные стороны знака равенства в (28) и выраженные через различные независимые переменные, были равны одной и той же постоянной величине, которую обозначим 部.Следовательно,

(29)

(30)

(31)

(29)

(30)

(31)

Q，2 =(必—①J) COS2

2/п+ 九)一与 dr + C\・2/п+ 九)一与 dr + C\・Из (29) функция R(r) находится квадратурой

2/п+ 九)一与 dr + C\・

2/п+ 九)一与 dr + C\・

Далее, применим аналогичное рассуждение к уравнению (30). Оно может удовлетвориться тогда и только тогда, когда левая и правая части, зависящие от разных аргументов, равняются одной и той：же постоянной величине, которую обозначим 戶,т# е.

Q『=/2,①户=胪匕•(32)

COS2 ср

Из (32)

a =?少+С2,①= f 胪-含 dcp + е3.(33)

Аддитивные постоянные после квадратур можно опустить, так как функция W входит в уравнение (25) только в виде производных.

Итак, функция W имеет вид

(34)(34)

(34)

(34)

Подставляя (34) в (24), находим функцию S:

(35)

Теперь составляем первую серию интегралов, приравнивая частные Производные от S по постоянным Л, ^, / другим постоянным /о, Ь,屮о：

или

Движение системы найдено, так как из (36), (37), (38) все координаты 几屮，屮 можно выразить в функциях времени t.

Нетрудно составить, используя (35), и вторую серию интегралов:

asasdSdSdSdS

as

as

dS

dS

dS

dS

Исследование траектории по этому решению можно найти в руководствах по небесной механике.

Глава VII

ВАРИАЦИИ ПЕРЕМЕННЫХ, ФУНКЦИЙ И ИНТЕГРАЛОВ ОТ НИХ

§ L Варьирование движений

Обобщенные координаты ^, ^2, •••, ?п, скорости %, q?,…，qn, у скорения «1, «2，•••, ?п, импульсы pi, р2, ...,рп и их производные по времени 九 р2, ..., рп рассматриваются в механике как функции времени /и постоянных интегрирования, или как функции времени f и начальных значений %。и 仇° обобщенных координат и скоростей; эти величины, включая время /, можно считать переменными аргументами функций.

Под динамическими функциями будем понимать функции, зависящие от времени /, обобщенных координат и их первых производных по времени или функции, зависящие от времени 厶 обобщенных координат и импульссв, характеризующие движение механической

системы. К динамическим функциям относятся, например, кинетическая энергия Т, функция Лагранжа L, функция Гамильтона Н, полная энергия системы £, силовая функция U и др.

Основным методом аналитической механики является анализ всех возможных движений системы при данных силах и заданных уравнениях связей. На этом, как видно из всего предыдущего, базируется вывод динамических дифференциальных уравнений движения. Когда дифференциальные уравнения движения проинтегрированы, то необходимо изучить зависимость найденного движения системы от значений начальных данных.

Для наглядности считаем обобщенные координаты q. и скорости q. механической системы координатами точки (изображающей точки) в пространстве 2〃 измерений (фазовом пространстве). Совокупность {%, %} обобщенных координат и скоростей системы выражает кинематическое состояние системы в какой-то текущий момент времени. Все эти состояния зависят от начального состояния {^.0, ^.0}.

Обозначим положения системы на условной траектории изображающей точки в пространстве 2〃 измерений точками 8(f). Начальное состояние обозначим Во(/о). Каждому начальному состоянию 8° системы соответствует некоторая определенная траектория дальнейших положений движущейся системы.

Применим опять принцип исследования всех возможных движений этой системы на основе найденных интегралов ее движения. Мысленно представим все возможные движения данной системы, т. е. будем изменять начальные значения q^, д^ по какому-либо закону. .

Рассмотрим простейший закон изменения: пусть все qiQ и %。изменяются в зависимости только от некоторого (одного) параметра а, т. е. положим

%0 = ФгО (а)> %0 =屮iO (а)> ‘0 = ‘0 (а)・

Тогда изменятся и траектории системы; они будут начинаться в разных точках 2〃-мерного пространства и в разные начальные моменты времени.

Отметим такое существенное обстоятельство: можно изменять только начальные значения координат qiQ и скоростей q^, а время /0 не изменять. Тогда траектории системы будут иметь различные начальные точки, но движение по каждой из них начнется в один и тот же момент /0, т. е. % не будет зависеть от параметра а. Такое изменение начальных данных назовем изохронным, а изменение движения системы в этом случае——изохронным варьированием движения.

Положим, что закон изменения начальных данных таков, что все начальные точки Во окажутся расположенными на некотором замкнутом контуре в 2%мерном пространстве. Траектории же системы в этом случае расположатся на некоторой поверхности (на трубке). Назовем эту поверхность трубкой возможных (мыслимых) траекторий.

При изохронном варьировании движения на всех траекториях начинаются в один и тот же момент времени. Все начальные положения \истемы располагаются на контуре начальных положений системы ,\но дальнейшие движения системы по траекториям под действием данных сил различны. В каждый дальнейший момент времени тоже можно представить контур из точек, выражающих положения системы,\однако этот контур, сравнительно с начальным, может иметь уже другой вид.

Если начальный контур имеет малый размер, то контуры дальнейших одновременных состояний системы на трубке траекторий могут сохранять размер того же порядка малости, как и в начальный момент времени. В этом случае назовем движение системы виртуально-устойчивым. Если же контур дальнейших положений расширяется по поверхности трубки, то движение системы называем виртуально-неустойчивым.

Предположим теперь, что и начальный момент времени /о изменяется по какому-либо закону:

/о = /о(а)・

Понятие трубки траекторий сохраняется и в этом случае, однако на различных траекториях движение начинается в различные моменты времени.

В этом случае увеличивается возможность более значительной деформации этого контура на трубке. Такое варьированное движение системы назовем неизохронным или полным.

Изохроннсе варьирование переменных

Рассмотрим на трубке траекторий две бесконечно близкие траектории, соответствующие близким значениям параметра а: а и а + da. Координаты точек В и Вг обозначим q и д', причем они соответствуют данному моменту времени и значениям параметра а и a + da, т. е.

q = q(f, a), qr =式/, a + da)・

• Разность значений величин q‘ в q назовем изохронной вариацией переменной q и обозначим эту разность 6 ^：

3q = q«, a + da) — q(力 a)・(1)

Разложим q(力 a + da) в ряд Маклорена по степеням da, ограничившись членом, линейным относительно da, т. е.

q (/, a + da) = q (/, a)十•竺色 叱 da.(2)

da

Подставляя (2) в (1), имеем следующее выражение изохронной вариации q:

8q =也厶f da.(3)

da

Аналогичные выражения получаем и для изохронных вариаций переменных q и р:

6g = da, Зр = 厶，

да0a

при ЭТОМ

Изохронное варьирование обладает существенным для дальнейшего свойством: переместимостью (коммутативностью) операций дифференцирования по времени / и варьирования, т.е.

倍).⑷

Для доказательства выполним все операции в обеих частях равенства (4). Имеем

да

Следовательно,

旦 3g = 0■宜旦 da(5)

・ dt 7 dadt' '

и также

6 (也)=B《 =匹(曲(4夕)da = 迎」工④.da. (6) \dt )да \ dt /dadt—

Сравнивая правые части (5) и (6), убеждаемся в справедливое- ти (4).

Полное варьирование переменных

Рассмотрим опять две точки В и В' двух бесконечно близких траекторий, вышедшие из разных начальных положений и в различные моменты времени. В некоторый текущий момент времени их координаты д(/, а) и д'(力 а), но-время / является тоже функцией параметра a

t = *a),

а 7, следовательно, есть сложная функция от a

q = q【*a), а].

Составим теперь полную вариацию косрдина!Ы «, которая является дифференциалом по а, но с учетом того, что q зависит от a

как\явно, так и через время /• Обозначая полную вариацию через △ q, црлучаем

Aq =图項。)，可厶+因上(吃马包厶.⑺

dadt На

Первое слагаемое в (7) равно изохронной вариации 6 ^； а второе слагаемо^ можно выразить через △力 где

Д/ = daда

——вариация времени по а. Окончательно имеем

Aq =6夕+g△力(8)

Варьирование функций

Рассмотрим функцию / от аргументов % и L Составим сначала выражение изохронной вариации /. Для этого выражение / берем в виде

/ = /[%Q, f), /】•

Тогда

— da.da

Но

и, следовательно,

白此泓 W dq・t力

Итак,

(9)

Для полной же вариации функции / получится следующее выражение: .

饵=勺丝图L厶+ /竺d%(10)

где / ——полная производная от / по /, вычисляемая по общим правилам.

Первое слагаемое в правой части (10) представляет собой изохронную вариацию 6 / функции /, а коэффициент при / естьД /. Сле-

—79 —

довательно, полная вариация функции / окончательно приме/ вид

А/ =6/ +/Д/.(Н)

Из хода предыдущего доказательства нетрудно установить, что формулу (11) можно обобщить на случай вычисления полной вариации функции вида

Fiq^,办，％(а, /), /】・

В этом случае в выражении (10) появятся дополнительно члены (благодаря присутствию аргументов qj, аналогичные членам, относящимся к qr Окончательный же результат будет такой, как и в (И).

В即наинн определенных интегралов от динамических функций

Рассмотрим интеграл в пределах (九 /2) вдоль некоторой траектории системы, подынтегральная функция которого зависит от /, %,办.Пусть в свою очередь эти переменные являются функциями параметра а, от которого зависит положение траектории на трубке траекторий, т. е. интеграл вида

J = j F [t (a),外(/(a), a), q^Q ⑺,a)] d/・(12)

Величина этого интеграла, таким образом, зависит от значения параметра а.

Положим, что имеется необходимость сравнить величину этого интеграла с его величиной по траектории, бесконечно близкой к данной траектории. Для этого необходимо вычислить приращение величины интеграла при переходе от одной траектории к другой, т. е. вычислить вариацию данного интеграла:

眼=喙*办.(13)

Применим правила интегрального исчисления, согласно которым операция дифференцирования интеграла по параметру выполняется соответственно тому, зависит или нет переменное /, а следовательно, и пределы & и 勾 от параметра а.

Рассмотрим сначала случай, когда /х и 为 не зависят от параметра а. Это означает, что V является изохронной вариацией интеграла.

Подынтегральная функция представляет собой при заданных функциях %(f, a), %(f, а) некоторую функцию /(/, а). Следовательно,

J = f f (九 a) d/・

Тогда, согласно известной теореме интегрального исчисления^ производная по параметру а от определенного интеграла должна равняться интегралу в тех же пределах от производной по параметру от подынтегральной функции, т.е. в этом случае (13) примет вид

{ °〃九生山.(14)

J &

В случае, когда пределы интегрирования зависят от параметра а* при дифференцировании по параметру получаем следующую формулу:

—=(5ad〃/2 (a), a］也竺—

da JdaOa

G(a)

一,必(a),叫乎.(15)

На основании (14) и (15) нетрудно составить выражения вариаций интеграла J в обоих случаях. Используя первоначальные обозначения, имеем

浦=j ^^«^ dt da = 3 j 尸必；

AJ = 3J + F(7i，Z2) —^ —戶(力，幻 "a.

_даda 」

Формулу для полной вариации интеграла можно преобразовать, учитывая что

些 da = А/ (，= 1,2).

da

Следовательно,

AJ = A \Fdt = 3『尸山 + FM |2.(16)

「лава VIII

ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ

§ 1, Общие понятия

Общее фазовое состояние механической системы при ее движении под действием некоторых сил определяется в каждый момент времени совокупностью величин: времени /, масс точек системы

Sj, заданных сил 尸刀 реакций связей R), радиусов-векторов /точек —二二/ 一

г；, скоростей точек г^ ускорений точек г； и производных от г по времени t до некоторого порядка 依 рассмотрение которых при движении системы вызывается теми или иными причинами. В подобную совокупность входят некоторые массы и моменты инерции, обобщенные координаты q. и их производные по времени до порядка 々：q., (4) 伍)1 9尹 7., 7., ..., 7. и время t. В состоянии покоя системы значения всех производных по времени считаются равными нулю.

Представим совокупность бесконечно близких движений материальной системы, различающихся между собой тем, что каждое движение характеризуется каким-то определенным соотношением между всеми элементами фазового пространства; в частности и соотношениями между силами, массами и кинематическими элементами. Тогда можно доказать, что фактическое (истинное) движение, удовлетворяющее второму закону Ньютона

加力=尸j + Rj 0 = L 2,・・・,N), отличается от всех смежных, сравниваемых по некоторому признаку тем, что в процессе истинного движения некоторая динамическая функция от всех элементов

G《；-у-； 7; R

достигает стационарного значения, т. е. вариация этой функции, соответствующая выбранному признаку сравнения движений, для истинного движения равняется нулю

5G=0.(1)

Вариационные принципы разделяются на два основных вида согласно следующему критерию: если функция G есть непосредственно функция всех явно входящих в ее выражение переменных, то соотношение (1) называется дифференциальным вариационным принципом. Если же G ——функционал, т. е. функция G является определенным интегралом, например по времени /, от некоторой другой динамической функции

то соотношение

70出=0

выражает интегральный вариационный принцип.

Дифференциальные вариационные принципы

、Все известные дифференциа льные вариационные принципы принад^жат к одному виду: сравниваемые движения различаются только одним элементом из всей совокупности элементов 厂力厂厶••“

...,zj. Функция же 6G имеет структуру следующего вида:

6G = e (吗.几.-尸)5歹=0,(2)

j=i

где ^ ——число материальных точек системы, k — порядок производной от г； по времени.

Принцип возможных перемещений Лагранжа

Первым дифференциальным вариационным принципом является принцип возможных перемещений Лагранжа, выражающий условие равновесия материальной системы, т. е. состояние, при котором все производные от г； по времени имеют нулевые значения. Как известно, этот принцип формулируется следующим образом: для равновесия системы в некотором ее положении (т. е. при некот。- рых конкретных значениях г” и (尸力。 = 0,…八厂丿= 0) необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ всех активных сил (при идеальных связях) равнялась нулю при любом возможном перемещении системы из предполагаемого положения равновесия:

2牙方=°-⑶

Условие идеальности связей в этом случае имеет вид

Таким образом, положение равновесия по (3) отличается от смеж_ ных положений, характеризующихся другими векторами г； (близ, кими к г；) и теми же силами, приложенными в близких точках, и теми же связями.

Например, для материальной точки, вынужденной оставаться на гладкой поверхности, равновесие может быть только в тех точках поверхности, в которых направление нормали к ней, а следовательно и направление реакции связи, совпадает с направлением силы 巳；во всех других точках поверхности равновесие при тех же самых силах невозможно.

Применение принципа Лагранжа к теории вириала

Принцип возможных перемещений можно сформулировать также, применяя понятие вириала системы сил. Вириалом системы сил назовем выражение

Vi「= £Z・％⑶)

/=i

Составим вариацию вириала, изменяя точки приложения сил, т. е. варьируя только векторы г； при неизменных силах (б Fj = 0). Тогда из (3)

"Vir) = e 尸".⑷

В положении равновесия системы правая часть (4) равна нулю. Следовательно,

6(Vir) = 0.

Итак, в положении равновесия материальной системы вириал системы приложенных сил принимает стационарное значение. Так как максимум вириала может быть только при бесконечно больших силах или радиусах, то, следовательно, вириал системы сил в положении равновесия достигает локального минимума.

Понятие вириала находит применение в динамике и термодинамике.

Принцип Даламбера

При изучении движущихся материальных систем удобно применять некоторые уравнения, получающиеся из уравнений движения системы путем простой операции, а именно: уравнение движения каждой материальной точки в форме Ньютона

m^^Fj + Rj (j= 1,2,・..，N)(5)

преобразуем в форме уравнения равновесия точки, т. е. к виду

—nijГу -|-尸j + Rj = 0 (/ = 1» 2,..., N).

Подобное соотношение, формально напоминающее уравнение равновесия точки под действием трех сил, получило название прин

ципа Даламбера, а вектор — m/j, который можно тоже для краткости обозначить в виде некоторой силы фу, т. е.

二 def -

— rn^j =①户

де 6(iobo def над знаком равенства показывает, что это равенство выражает обозначение согласно определению, а не физическое соотношение.

Вектор ①j называется силой инерции Даламбера. Но, конечно, даламберова сила инерции не является реальной силой, которая могла бы физически уравновесить силу 戸^ + 瓦 и перевести движущуюся точку в прямолинейное равномерное движение. Во избежание смешения понятий сил инерции в принципе Даламбера и сил инерции в динамике относительного движения материальной точки, рассмотрим этот вопрос более подробно.

Согласно динамической теореме Кориолиса, уравнение движения материальной точки по отношению к подвижной системе отсчета S' выражается (тоже для удобства формулировки) в виде

таг =戸+通+戸〃

где а「——относительное ускорение точки, F ——равнодействующая непосредственно приложенных сил, а векторы Fe и Fki как известно, называются переносной силой инерции и силой инерции Кориолиса соответственно и выражаются следующим образом:

冗=-：点с冗：=一砲.

где ае— переносное ускорение точки, ak — ускорение Кориолиса.

Представим теперь уравнение относительного движения точки по принципу Даламбера:

币+天+冗+冗=0，

где

①=—таг.

В этом случае сила инерции Даламбера равна произведению массы точки на вектор, противоположный вектору ускорения точки в данной системе отсчета, т. е. в системе отсчета, в которой составлены динамические уравнения движения точки.

Переносная и кориолисова силы инерции, следовательно, имеют другое происхождение. Они наблюдаются только в подвижной системе отсчета и даже кажутся реальными.

Действительно, допустим, что Земля вращалась бы вокруг своей оси не равномерно, а с некоторым угловым ускорением з. Тогда и весь наблюдаемый небесный свод казался бы жителям Земли вращающимся с угловым ускорением ——е, т. е. в противоположную сторону. Трудно даже представить, какие осложнения появились бы тогда в нашей жизни.

Даламберова сила же инерции ф для подвижного наблюдателя является такой же условной силой, как и даламберова сила инерции в абсолютном движении.

Принцип Даламбера —Лагранжа

Нетрудно объединить оба принципа: Лагранжа (возможных перемещений)——принцип аналитической статики и принцип Даламбера, являющийся принципом так называемой кинетостатики.

В соответствии с этим в движущейся материальной системе все заданные силы, приложенные к ее точкам, силы реакций связей и силы инерции удовлетворяют условиям равновесия, т. е. главный вектор всех перечисленных сил и главный их момент относительно любого центра равны нулю:

(戶/, Q,①j) оэ 0.

Но если движущаяся система считается находящейся в равновесии (хотя и условном), то, следовательно, применим принцип Лагранжа, при этом в следующей формулировке: при движении системы в каждый текущий момент времени t все силы (как непосредственно приложенные ^ точкам системы активные силы F； и силы реакций связей R；, так и даламберовы силы инерцииф ；) удовлетворяют условию равновесия, т. е. сумма элементарных работ всех перечисленных сил равна нулю на любом возможном перемещении системы из ее положения в данный момент времени:

2_

Е(耳+&+®・)阮・=о,(6)

где

①j = — fTljCljf

или в проекциях на оси декартовой системы координат

e1(尸拉+ Rjx +①衣)^xj + (尸"+ Qy +①")汕+

+ Sjz + Rjz + Dz)3zjl = o・

Следует отметить, что из уравнения (6), называемого также общим уравнением динамики, можно вывести все теоремы динамики, излагаемые в теоретической механике. Оно удобно для решения многих задач и примеров учебного характера и является одним из основных уравнений в аналитической механике.

Принцип Журдена

Принцип Журдена выражается уравнением, выводимым из уравнений движения системы, представляемых в виде

当+冃+(一吗・力=0 0=1,2,...,N)

—86 —

путем умножения каждого уравнения на вариацию скорости 6 г； и суммирования*

£ (戶j一勺・Г— °・⑺

Положим, что сравниваемые движения различаются только скоростями точек, при одних и тех же г^ 厂〃 m；,尸力 вариации которых считаем равными нулю: Вг/ = 0, 8rj = 0, 5团)= 0, 6尸/ = 0. Тогда в каждом слагаемом уравнении (7) можно внести скобку под знак варьирования б , и всю левую часть уравнения (7) представить в виде

/=1

В этом уравнении каждое слагаемое выражает мощность силы, состоящей из активной силы Fj и силы инерции Даламбера. Всю сумму под знаком варьирования б можно назвать суммарной мощностью всех активных сил и сил инерции Даламбера. Обозначим эту мощность W. Тогда уравнение (8) можно представить в виде 6 IF'= = 0, а принцип Журдена сформулировать так: из всех движений отличающихся только скоростями, функция Wf достигает стационарного значения только 8 некотором одном, истинном движении, происходящем по закону Ньютона, согласно которому

Не может быть нескольких истинных движений со скоростями, изменяющимися в виде различных функций времени, но с одним и тем же ускорением.

Принцип Журдена имеет практическое применение к изучению движений, в частности при нелинейных неголономных связях первого порядка, исходя из его вида (7).

Принцип Гаусса

Принцип Гаусса выражается уравнением, выводимым из уравнений движения системы, представляемых в виде

& +月•+(—%£•) = 0 0=1,2,・・・，М.

* При этом предполагается, что связи идеальны в смысле Журдена, т. е. что

乎髙=0.

/=1

путем умножения каждого уравнения на вариацию ускорения fir； и суммирования:

e伉一*)*•=。.⑼

В таком виде принцип можно сформулировать следующим образом. Из всех возможных движений, различающихся ускорениями (при неварьируемых r^ г； Fj, т), соотношение (9) удовлетворяется только в истинном движении.

Соотношение, выражающее принцип Гаусса, допускает весьма интересную физическую интерпретацию. Заметим, что вектор г} выражает истинное ускорение точки под действием силы Fj и реакций связей R j. Это ускорение обозначим г； =。力 Тогда соотношение (9) примет вид

±(耳一*阪=0.(10)

Поскольку приложенные силы 尸j и массы т； заданы и не могут варьироваться, вариацию ба； можно представить в виде

Вынося множитель т； за скобку в выражении (10), имеем

Левую часть под знаком суммы можно представить в виде

Соотношение (11) можно представить теперь в виде

Содержание каждой малой скобки можно трактовать следующим образом: величина Fj/m = а/ представляет собой ускорение, которое имела бы точка под действием активных сил 尸力 если бы на нее не были наложены связи. Тогда выражение в круглой скобке представляет собой разность между ускорением свободного движения и ускорением действительного движения.

Поэтому Гаусс назвал «принуждением (Zwang)» величину, находящуюся под знаком вариации в (12):

Zw= £ т｝丄F―- ,(12а)

точнее мерой принуждения движения и сформулировал содержание соотношения (12) в виде принципа наименьшего принуждения: движение, осуществляющееся в действительности, таково, что величина Zw принимает значение, наименьшее из всех возможных значений при движениях, совместных с данными кинематическими связями.

Пример. Два тела массами 恤 и тг прикреплены к концам нерастяжимой нити, перекинутой через блок. Найти движение системы. Трением пренебрегаем.

Координаты тел zx и Z2 подчинены связям

Zl + ?2 + nr = const；

4 + 々=0； 22 = — 4,^2 = — Z],

т. е.

出=一ai •

Если бы не было связи, то оба тела имели бы ускорения

О] =。2 = g・

При наличии же связей ускорения имеют вид

21 И — ZX.

Составим принуждения Z侬 по Гауссу, имеем .

〃 S(g —а)? , т2 (g + а^

Zw = +•

2 T 2

Ускорения должны быть такими, чтобы вариация принуждения была равна нулю:

BZ 侬=0, т, е.

dZw

——=0. даг

Составляем производную от + 亠~— по 的 и при

равняем ее нулю:

—九1 (g — %) + % (g +。1) = 0;

—89 -

отсюдаотсюдаСледовательно,Следовательно,g (加2 一 恤)+ al (加1 +加2)= °・g (加2 一 恤)+ al (加1 +加2)= °・^i—m2 g恤+m2^i—m2 g恤+m2

отсюда

отсюда

Следовательно,

Следовательно,

g (加2 一 恤)+ al (加1 +加2)= °・

g (加2 一 恤)+ al (加1 +加2)= °・

^i—m2 g

恤+m2

^i—m2 g

恤+m2

Принцип прямейшего пути Герца

Из принципа Гаусса непосредственно вытекает следствие, являющееся тоже принципом. Приведем его вывод на примере движения одной материальной точки. Положим, что материальная точка В массой т движется при отсутствии активных сил, под влиянием только реакции связи (идеальной). Физически можно представить материальный шарик, входящий в состав какой-либо системы оборудования космического корабля и вынужденный двигаться по гладкой поверхности в условиях невесомости. Таким образом, на точку действует только сила реакции связи R, направленная по нормали к поверхности. Движение происходит вследствие начальной скорости ио вдоль поверхности и дальнейшего действия силы R.

Для данного движения применим принцип Гаусса, согласно которому истинное движение материальной точки проходит по такой траектории, вдоль которой «принуждение» Гаусса является минимальным.

Вычислим принуждение Zw = (m/2)(a* — а)2. Вектор а* —— ускорение, которое имелось бы у точки при отсутствии связи. Очевидно, что это ускорение надо считать равным нулю, так как, если бы не было связи, а значит и реакции связи, на точку не действовало бы никакой силы, и вследствие начальной скорости точка продолжала бы двигаться равномерно по прямой линии в пространстве. Ускорение же точки под влиянием связи в ее истинном движении обозначим а. Разложим это ускорение на касательное и нормальное ускорения:

а = % + ап.

Так как связь идеальна, то проекция силы R на касательную к траектории равна нулю, потому что R направлена по нормали к поверхности, и динамическое уравнение движения вдоль касательной к траектории примет вид

Таким образом, точка обладает только нормальным ускорением

где р — радиус кривизны траектории.

Принуждение имеет вид

=min,

2

так как 。弋=0 или о^ = min, т. е.

и*р2 = тЕ.(13)

По теореме сохранения полной энергии имеем

Т -\- П — h = const.

Но П =0, так как активных сил нет и, следовательно,

Т = т^/2 = const, т. е. и = const.

Тогда левая часть в (13) может иметь минимум только в случае, €сли р2 достигает максимума, т. е. еслир достигает максимума сравнительно с его значениями во всех других смежных движениях.

Таким образом, истинное движение точки происходит по траектории с наибольшим радиусом кривизны, т. е. точка движется по прямейшему пути.

Принцип прямейшего пути, выведенный из принципа Гаусса, был впервые сформулирован Г. Герцем и теперь носит его имя.

Интегральные вариационные принципы

Согласно интегральному вариационному принципу, в истинном движении определенный интеграл от некоторой динамической функции на некотором отрезке времени принимает стационарное значение, сравнительно со значениями того же интеграла на всех близких движениях, различающихся варьированием тех или иных переменных, входящих в аргументы подынтегральной динамической функции; в другой формулировке: только для истинного движения вариация данного интеграла равна нулю.

Наиболее известными интегральными вариационными принципами в аналитической механике являются следующие:

принцип наименьшего действия Гамильтона ——Остроградского;

принцип наименьшего действия Лагранжа.

Принцип наименьшего действия 「амильтона — Остроградского

Действием по Гамильтону, которое обозначим S, называется определенный интеграл

S = , Ldt,(14)

九

где L — функция Лагранжа.

М. В. Остроградский (1802——1862)

В принципе Гамильтона ——Остроградского сравниваются близкие движения, переводящие данную материальную систему из ее начального положения в момент времени /г в конечное положение в момент времени ^2- При этом указывается, какие условия налагаются на все сравниваемые движения, состоящие в том, что некоторые характеристики всех движений являются общими, а некоторые различными. Имеются три следующих общих признака движений:

Система голономна. ；言方

Все сравниваемые движения начинаются в один и тот же момент времени 友 и завершаются в один и тот же момент времени /2- Следовательно, сравниваемые движения совершаются за один и тот же промежуток времени 为一友・ Закон изменения времени во всех движениях один и тот же, т. е. время / не варьируется: A f 三 0. Следовательно, вариации всех переменных являются изохронными, обозначаемыми 6.

Поскольку все сравниваемые движения начинаются из одной и той же точки Вх в один и тот же момент времени 左 и оканчиваются в одной и той же точке В2 в один и тот же момент времени 为，т. е. значения всех обобщенных координат % в эти моменты времени равны между собой, то, следовательно, изохронные вариации обобщен-

ных координат в этих крайних значениях тождественно равны нулям:

三 0, eq，』％ 三 ° (i= 1,2,…，〃)・(15)

Для наглядности рассуждений изобразим движение системы траекторией некоторой точки в пространстве координат q. « = 1,2,...

п) системы. Таким обарзом, два сравниваемых движения изображаются двумя линиями, имеющими общее начало в точке Вх и общий конец в точке В2. Положения системы на них в какой-то момент времени изображаются точками В'(%) и Mf(qf^ причем q\ = q» +

Так как в сравниваемых движениях система проходит за один и тот же промежуток времени различные расстояния, то обобщенные скорости % и q'j в соответствующие моменты времени различны, а следовательно, и числовые значения кинетической энергии в этих движениях в соответствующие моменты времени тоже различны Т 方 Т'. Значения же потенциальной энергии, зависящей от координат 4» и q'j различны вследствие предполагаемой однозначности и непрерывности потенциальной энергии.

При всех перечисленных условиях, налагаемых на сравниваемые движения, принцип Гамильтона ——Остроградского формулируется так: при указанных условиях действие по Гамильтону в истинном движении достигает стационарного значения сравнительно со значениями на всех близких движениях, или: только в истинном движении изохронная вариация действия по Гамильтону равняется нулю:

6s =0・(16)

Покажем, что из условия б S = 0 и принятых допущениях относительно вариаций обобщенных координат q. в начальной и конечной точках движения можно установить, что движение системы должно описываться уравнениями Лагранжа второго рода относительно координат %.

Для вывода этих уравнений составим выражение 6s в раскрытой форме. Имеем

S =］厶岗 3s = da,или1>(17)

bS=—［ f Ldt］厶・

Необходимо, следовательно, продифференцировать интеграл I。 параметру а. Так как пределы 力 и /2 интеграла не зависят от а, то сравниваемые движения начинаются в одной и той же точке и в один и тот же момент времени 友；таким же образом они оказываются в одной и той же точке при /2.

Но в математическом анализе доказывается, что производная по некоторому параметру от определенного интеграла в случае нез ависимости пределов интеграла от данного параметра равна мнтег-

ралу в тех же пределах & и 勾 от производной по параметру от подын-

тегральной функции.Следовательно,

出=J （辽）dt.出=J （辽）dt.6s6s(18)

出=J （辽）dt.

出=J （辽）dt.

6s

6s

6s6s3力 + ~^~ 3 % ) dt. 3%/3力 + ~^~ 3 % ) dt. 3%/(19)(19)Составим выражение 6L. Так как L — функция от ^. и qv а время / не варьируется, то

6s

6s

3力 + ~^~ 3 % ) dt. 3%/

3力 + ~^~ 3 % ) dt. 3%/

(19)

(19)

Применяем перестановочность операций изохронного варьирования и дифференцирования по времени, т. е.

m =总浊.(20)

Подставляем (20) в (19):

Второе слагаемое представим в виде

Подставляем (22) в (21):Подставляем (22) в (21):Второй интеграл в (23) вычисляется и принимает видВторой интеграл в (23) вычисляется и принимает видdf.(23)df.(23)(24)(24)

Подставляем (22) в (21):

Подставляем (22) в (21):

Второй интеграл в (23) вычисляется и принимает вид

Второй интеграл в (23) вычисляется и принимает вид

df.

(23)

df.

(23)

(24)

(24)

Но обе суммы в (23) равняются тождественно нулю, так как каждый множитель 6 <у. в точках 友 и /2 равен нулю по начальным и конечным условиям (15) движения.

Таким образом, условие б 5 = 0 приводит к условию

山=0.山=0.(25)(25)

山=0.

山=0.

(25)

(25)

Последнее равенство действительно на любом интервале интегрирования, т. е. при любых пределах 友 и 勾・

В математическом анализе доказывается, что равенство нулю определенного интеграла при любых пределах интегрирования воз-

3% = °・3% = °・п2 t=iп2 t=id dL _ dL dt dqi °%d dL _ dL dt dqi °%(i — 1, 2,... , m).(i — 1, 2,... , m).(27)(27)

3% = °・

3% = °・

п

2 t=i

п

2 t=i

d dL _ dL dt dqi °%

d dL _ dL dt dqi °%

(i — 1, 2,... , m).

(i — 1, 2,... , m).

(27)

(27)

можно только тогда, когда подынтегральная функция равна нулю. Следовательно,

(26)

Но так как движущаяся система голономна и все 5q” следовательно, независимы, то каждая скобка в (26) должна равняться нулю, т. е. получатся уравнения Лагранжа:

Можно доказать и обратную теорему: на основании (27) доказать равенство нулю вариации действия по Гамильтону, т. е.

6s = 0・

Но соответствующий ход рассуждения будет изложен ниже при рассмотрении другого интегрального вариационного принципа —— принципа наименьшего действия Лагранжа; там из условия, что движение системы описывается уравнениями Лагранжа, будет доказано, что вариация интеграла, выражающего действие по Лагранжу, должна быть равна нулю.

§ 12. Кинетические фокусы динамических систем и их применение к исследованию действия по Гамильтону на максимум и минимум

Принцип Гамильтона ——Остро гр адского гласит, что действие по Гамильтону принимает в истинном движении стационарное значение сравнительно со значениями в варьированных движениях, сравниваемых с истинным при определенных условиях; но что при этом достигается ——минимум или максимум ——данный вопрос требует дополнительного исследования.

Для выяснения этого установлено понятие взаимно сопряженных точек в пространстве конфигураций q^i =「..，〃)механической системы. Такими точками Во и В* называются точки, через каждую из которых одновременно (в момент /о для одной и £* для другой) проходят траектории двух бесконечно близких движений, у каждого из которых вариации координат в данных точках равны нулю, т. е.

3%儿=(汕)%=0，(28)

Каждая из “ьух сопряженных точек называется кинетическим фокусом системы по отношению к другой точке.

Для нахождения сопряженных точек из уравнений, выражающих движение системы и являющихся общим решением уравнений Лагранжа, т. е. из уравнений'

% —q2(/,01,С2，…，c271)(i=1, 2,…，m),

—95 —

произвольные постоянные ck следует выразить через начальные данные системы, т. е. найти зависимости

e々=e々 Go，7ю» q20，…，9及0； 910, g20，…，0〃0)(厶=1,2'2力

2〃(4)/0= 0,e爲)/3众=0.(29)2〃(4)/0= 0,e爲)/3众=0.(29)к найти такое частное решение, при котором вариации координат при t = to и t = t^ равнялись бы нулю, т. е. удовлетворялись бы уравнения (28), или в развернутом виде:

2〃

(4)/0= 0,e爲)/3众=0.(29)

2〃

(4)/0= 0,e爲)/3众=0.(29)

2 (>).

Следовательно, уравнения (29) представляют систему линейных однородных уравнений относительно 2〃 неизвестных.

Для существования нетривиального решения этой системы необходимо и достаточно, чтобы детерминант системы равнялся нулю:

Из уравнения (30) можно найти / при заданной /о, а следовательно, определить положение точки 月*, являющейся кинетическим ■фокусом относительно точки Во. Методами вариационного исчисления доказывается следующая теорема (при этом в качестве критерия привлекается вторая вариация 62s действия по Гамильтону):

Теорема. Если в выражении действия S = f Ldt

верхний предел /2 численно меньше 爆,т. е. конечное положение достигается системой ранее того момента, который требуется для системы в варьированном движении, то функция S достигает минимума на интервале (友，/2) (в частности на любом малом интервале). Если же % совпадает с /* или превышает его, то на таком интервале функции S не принимает ни максимума, ни минимума*.

§ 13. Принцип「амнльтона—Остр!ирадс|{(ио (примеры)^

Рассмотрим одномерное движение материальной точки единичной массой в потенциальном поле с силовой функцией U(x). Дифференциальное уравнение движения имеет вид

•• dU

X = —.

dx

Пусть %(/) — действительное движение, для которого x(h) = =хо, x(t±) = %!,匕 —— 力 > 0. Пусть x'(t)——движение, сравниваемое с действительным и удовлетворяющее тем же условиям. Следовательно,

/⑺=x(t) + a⑺，

где а — любая функция, для которой а(/о) = а(^) — 0.

Обозначив действие по Гамильтону для действительного и сравниваемого движений S и S', соответственно, кинетическую энергию Т и V, силовую функцию U и Uft имеем

—S = j {(Г+ ^) —(т + t/)} dt =

=c {1/2(% + a)2 — 1/2%2 + [/(%十a)一u(%)}山.(31)

Так как

g 仙r1 dU (x)力

J a xdt = Xd — J ax df = — ) a —广^ dt9

£qtQ

TO

S' —S = j {1/2 a2 + t/(x + a) —t/(x) —a ^^p/.

Используя формулу Тейлора для силовой функции, имеем

S' —S= 1/2 f {(? + a2 d”^^"'}山,0v8Vl. (32)

Следовательно, если во всем поле d2。/" > О, то подынтегральная функция положительна и действие по Гамильтону для действительного движения имеет минимум по сравнению со всеми другими движениями.

* Приводимые примеры заимствованы из статьи О. Bottema.

Это справедливо, в частности, для прямолинейного движения в однородном поле силы тяжести (dzU/dx? = 0) и в поле отталкивающей центральной силы, являющейся монотонно неубывающей функцией расстояния (например, U = а2х2, dPUIdx^ = 2а2 > 0).

Эти рассуждения можно легко распространить и на простые движения со многими степенями свободы. Пусть, например, х, у —— прямоугольные декартовы координаты в плоском поле силы тяжести, х = —g,y = 0 ——дифференциальные уравнения движения, %' = % + 5, yf == у + а2 — сравниваемое движение. Тогда

S' —S=(l⑵ f (а： + ^) df>0・

Исследуем теперь применение принципа Гамильтона —— Остро- градского для гармонического движения. Пусть % = 0 ——положение равновесия, % =——а?% — дифференциальное уравнение движения (следовательно, U = ——(1/2)А2 — силовая функция). При этом

d2U/dx2 = —а2 < 0.

Уравнение (32) принимает вид

及一S = (l ⑵ f (々2_а2a2)"

Введем новую переменную, применяя соотношение т = 6(力 ——％)• Тогда

(33)(33)

(33)

(33)

где b = —— > 0, причем а (0) = а (冗)=0. /1 — /о

Если а(——т) = —а(т), то определенную на интервале [——冗,冗] нечетную функцию а можно разложить в ряд Фурье по синусам:

а = £ Сп sin пт.

Подставляя в (33), имеем

S' —S= (1/4)кЬS' —S= (1/4)кЬс\с\

S' —S= (1/4)кЬ

S' —S= (1/4)кЬ

с\

с\

Следовательно, S' —— S > 0 для любого а только тогда, когда а2/62 < 1, т. е. в случае

& —力0 V 7a = (1/2)7\

—98 —

где Т ——период колебания. Если же это условие не выполнено, то достаточно взять q = 1, g = о « 寸=lj ° тем самым построить функцию а, для которой У' ——S V 0. Действие по Гамильтону для действительного движения имеет минимум по сравнению со всеми другими движениями только тогда, когда временной интервал меньше (1/2)7.

Теорию кинетических фокусов можно применить к изучению движения математического маятника в общем (нелинейном) случае.

§ 14. Принцип наименьшего действия Лагранжа

В этом принципе движения сравниваются при следующих условиях: движения по заданной траектории и траектории сравнения происходят с одним и тем же числовым значением постоянной энергии, т. е. вариация постоянной полной энергии h = Т + П должна равняться нулю. Но тогда сравниваемые движения должны считаться протекающими за различные промежутки времени 为—— 友, так как изменения 7 и Л по отдельности связаны этим условием.

Например, если в некоторой точке одной из сравниваемых траекторий потенциальная энергия больше, чем в соответствующей точке другой траектории, то кинетическая энергия на первой траектории соответственно уменьшается, т. е. скорости точек системы уменьшатся, что приведет к замедлению движения и к увеличению общего времени движения между заданными конечными точками обеих траекторий.

Таким образом, время при изучении заданных движений варьируется, а следовательно, вариации всех переменных и функций, характеризующих эти движения, должны быть уже не изохронными, а полными. В частности, и начальные и конечные моменты времени в одном движении уже не будут совпадать с соответствующими моментами на другой траектории. При начале движения одной системы другая система, начавшая движение раньше, может находиться в точке, не совпадающей с точкой, из которой начинается движение запоздавшей системы. Поэтому условия на концах сравниваемых траекторий не могут выражаться равенством нулю изохронных вариаций обобщенных координат. Принимается другое условие: полные вариации координат на концах должны быть равны нулю:

(Aq)l = 0 (Ag)f = 0.

К этим условиям присоединяется вышеустановленное условие неизменности числового значения постоянной энергии в обоих движениях, т. е. полная вариация полной энергии системы должна быть равной нулю: А" = 0・ Остаются, следовательно, еще уловия потенциальности действующих на систему активных сил, склероном- ности и идеальности связей, наложенных на систему, и отсутствия неголономных связей. При всех данных условиях принцип наимень-

шего действия Лагранжа выражает следующее положение: полная вариация интеграла

4 = J 27山(34)

в истинном движении системы равна нулю.

Этот интеграл называется действием по Лагранжу и обозначается А (от слова action ——действие).

Тогда принцип Лагранжа выразится следующим образом:

ДЛ = 0.(35)

Для доказательства этого соотношения покажем, что оно вытекает из уравнений Лагранжа. Для этой цели следует вычислить левую часть (35). Предварительно представим подынтегральную функцию (34) в других видах. Вследствие того, что данная механическая система вполне склерономна, кинетическая энергия Т выражается однородной относительно обобщенных скоростей q. квадратичной формой Т = У? н，следовательно, можно применить формулу Эйлера для однородных функций, т. е. соотношение (82) (гл. 1, § 10):

£= 2Т・

Но —^-= р” где р» ——обобщенный импульс системы, т. е.

п •

2T = £ Pi4i*

Рассмотрим функции Лагранжа L и Гамильтона Н. Они связаны соотношением (2) (гл. IV):

" = £〃％—£，откуда ±ра = L+ Н. £=1i=l

Тогда действие по Лагранжу представится в виде

4 = J (L + H)dt.

Но так как на основании интеграла энергии Н = h = const, а постоянная полной энергии во всех сравниваемых движениях имеет одно и то же числовое значение, то вариация Д// = 0.

Теперь вычислим вариацию действия по Лагранжу:

или

АЛ = ДАЛ = ДHdt.Hdt.

АЛ = Д

АЛ = Д

Hdt.

Hdt.

Но Н — постоянная величина. Следовательно,

N \ Hdt = H、\ dt = "А «2 — 乙)=阳 А%：,(36)

где скобки означают символ двойной подстановки. Следовательно,

А/ = A J Ldt + [W]^(36z)

Теперь применяем формулу для полной вариации определенного интеграла см. (16) гл. VII, § 5]:

Aj Ldf = b^Ldt + {L\t^.Aj Ldf = b^Ldt + {L\t^.(37)(37)

Aj Ldf = b^Ldt + {L\t^.

Aj Ldf = b^Ldt + {L\t^.

(37)

(37)

Затем

3『厶也=f辽f V (也+ *dt.

七 2~ £ 、。仇 ё% 丿

Но вследствие переместимости дифференцирования по времени и изохронного варьирования

3% =3% =* 3%・at* 3%・at

3% =

3% =

* 3%・

at

* 3%・

at

Кроме того, из уравнений Лагранжа, которым по предположению должна удовлетворять д〃 вытекает, что

dL — d dL

因j也0方

и, следовательно,

илиили88LdtLdtdd

или

или

8

8

Ldt

Ldt

d

d

Теперь на основании (8) (гл. VII) заменяем6qt =△% — %А£ Кроме того, dL/dq. = %• Тогда

3 L山=3 L山=i=lf. Z=1厶i=lf. Z=1厶(38)(38)

3 L山=

3 L山=

i=lf. Z=1厶

i=lf. Z=1厶

(38)

(38)

Но по условиям варьирования на концах отрезка траектории 0qjh = (△qj%, и первая сумма в (38) исчезает. Следовательно,

(39)(39)%几.

(39)

(39)

Г Ldt = — ^Piq^thi=l

Подставляя (39) в (37), получаем

卜弋 Ldt = ( — £ 〃 ％Af + 厶•(40)

Полная вариация всего действия 4 в (37) на основании (36') и

примет вид

А4 = ( — £ 〃 ％ 十 L 十")А/ •

\ i=l/

Заменяем его импульс выражением р. = dTIdq. Тогда

Поскольку LПоскольку L= т + и,н = Т += т + и,н = Т +"，" =_U,"，" =_U,ЛАЛА=(-2Т + Т + U +=(-2Т + Т + U +т — и让 t •т — и让 t •то(41)то(41)

Поскольку L

Поскольку L

= т + и,н = Т +

= т + и,н = Т +

"，" =_U,

"，" =_U,

ЛА

ЛА

=(-2Т + Т + U +

=(-2Т + Т + U +

т — и让 t •

т — и让 t •

то

(41)

то

(41)

Содержимое в круглых скобках равно тождественно нулю. Следовательно, АЛ = 0, что и требовалось доказать.

Таким образом, принцип наименьшего действия Лагранжа доказан.

Выполняя в обратном порядке все операции, можно доказать и обратное предположение: для того чтобы движение системы удовлетворяло условиюДД = 0 на отрезке траектории при всех принятых допущениях, необходимо, чтобы обобщенные координаты q. удовлетворяли уравнениям Лагранжа второго рода:

dL『0・dL『0・

dL

『0・

dL

『0・

Глава IX

КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ГАМИЛЬТОНОВЫХ ПЕРЕМЕННЫХ

Понятие о наноничесном преобразовании переменных

Одним из существенных свойств канонических переменных аналитической механики является также и то, что они допускают преобразование переменных q” р., связанных с первоначальной функцией Гамильтона H(qv р., Z), вгдругие переменные Q.,匕,связанные с другой функцией Гамильтона К (Qz, В， /)： При этом канонические уравнения движения в переменных %, р., т.е. уравнения

• дН •沔 1、

%= --— , р. =— (z = 1> 2,...,九)

dpidqL

переходят в канонические уравнения

в других переменных. Это обстоятельство имеет большое значение, например, потому, что уравнения в других переменных Q., Р( могут проще интегрироваться, чем в прежних переменных %, рг Представляет интерес и способ преобразования, иллюстрирующий еще раз преимущество методов аналитической механики.

Производящая функция

Для вывода канонических преобразований предварительно заменим подынтегральную функцию L в выражении действия по Гамильтону S, а именно: выразим функцию L через функцию Гамильтона (см. (2), гл. IV):'

п •

L=2内外-"(%，а)

Найдем формулы перехода от переменных q「р七 к переменным Q., Р., т. е. определим такие соотношения q. = /.(Q., Р», /), р. = <p.(Q., Рv %) и соответственно "(%, pv /) выразим через 庆(G，匕，/), чтобы канонические уравнения в переменных q” р были эквивалентны каноническим уравнениям в переменных Q., Р». Это означает, что переменные Q〃 н Р? должны удовлетворять принципу Гамильтона — Остроградского так же, как и переменные q.

В / 厶山=0,8 [ L*qt = О,

где 厶 и L* — функции Лагранжа соответственно в переменных (?Р pj и (Q., Р.). Для дальнейшего удобно выразить функции Лаг-

—• 103 —

ранжа через соответствующие функции Гамильтона "(д〃 pv 0 и K(Q『 Pf, 0 на основании соотношения (1), т. е.

厶(％,〃，о = £ ""»—”(％，〃，/)

и ,

厶* @ 修，/)= £в@-кд»,匕，/).

Рассмотрим еще некоторую функцию F от всех аргументов: %，％，Qp 户t，力 尸 = 尸(％, pf, Q” 匕，/), а также полную производную от нее по времени /, учитывая, что переменные qv р〃 Q., Р» являются функциями времени, выражающими движение данной механической системы. Следовательно, функция 尸，ее производная по времени F = ^尸(％, p.,Q.,P., f) являются в конечном счете некоторыми функциями времени /.

Рассмотрим также определенный интеграл по времени 厶 от функции F в некоторых пределах от 友 до 勾，т. е.

f=尸"=户(/2)一尸(幻=仇

где b — определенное постоянное число, не зависящее ни от времени, ни от каких-либо параметров.

Рассмотрим также еще два интеграла, выражающие действие по Гамильтону, в переменных %, р. и Q., Р.:

L = j Ldt = J ^ptqi — H^^ pi9 /) d/,

j2=口*出=(еР凡-к@в,f)山.

Здесь под интегралами находятся функции от / и а, которые должны удовлетворять принципу Гамильтона — Остроградского, т. е. соотношениями

3l=0,(2)

浦2 = 0.(3)

В то же время интеграл J3 удовлетворяет тождественно равенству 5人=0,(4)

так как J3 — определенное число Ь, не зависящее от параметра а, содержащегося в подынтегральных выражениях в ^ и Jt.

Равенства (2)—(4) эквивалентны следующему:

8J1 — 3 J 2 — 3」з — О или

仍%一 "（仇,仍，0]-仍%一 "（仇,仍，0]-工 Р& — К& р, /)工 Р& — К& р, /)

仍%一 "（仇,仍，0]-

仍%一 "（仇,仍，0]-

工 Р& — К& р, /)

工 Р& — К& р, /)

dd（f+屮）=（f+屮）=d①~did①~di

d

d

（f+屮）=

（f+屮）=

d①~di

d①~di

(5)

Для того чтобы удовлетворялось равенство (5), необходимо и достаточно, чтобы подынтегральная функция представляла собой тоже производную по времени 屮(/) от некоторой функции 屮(/).

Приравниваем подынтегральное выражение в (5) некоторой функции d^/dt; затем перенесем d^ldt налево с обратным знаком, тогда

где

①=尸+9.

Поскольку F, а также и 屮 являются произвольными функциями от %, р” Q., Р. и /, то и ф является произвольной функцией от тех же аргументов:

①—Ф(^р р” Qj, Рj, f)・

Таким образом, чтобы удов летвор ялос ь соотношение (5), необходимо и достаточно, чтобы удовлетворялось следующее соотношение:

E 〃 % - 2 +k —"一普=°・⑹

Для решения задачи о преобразовании канонических переменных %, р. следует в общем виде решить уравнение (6) относительно функций ф и К・ Задача, таким образом, является неопределенной. Поэтому считаем одну из функций произвольной. Удобнее за такую функцию принимать функцию ф. Она называется производящей функцией (генератриссой), так как при ее посредстве находят искомые преобразования. Для выявления последних приведем выражение полной производной от ф в раскрытом виде, считая ее функцией всех %, р., Q., Р. и /. Тогда уравнение (6) примет вид

\ [Pi Qi~ ^iQi % Pi訂一QiTZ— Pi )—

白 \。仅 dpi dQzdPi /

——4- к — 〃 = 3——4- к — 〃 = 3⑺⑺

——4- к — 〃 = 3

——4- к — 〃 = 3

⑺

⑺

Для того чтобы это уравнение, которое можно назвать разрешающим, удовлетворялось, достаточно сгруппировать члены, содержащие qv Q., рр Р..Затем, приравнивая нулю коэффициенты при них и выражая К через остальные слагаемые, найдем при соответствующей структуре функции ф те или иные формулы, выражающие 外 и р. через Q., Р.; также выявится новая функция к Гамильтона. Функция же ф подбирается соответственно желаемому виду преобразований, т. е. зависимостей между q., pv с одной стороны, и Q., Р. ——с другой. Приведем наиболее простые и в то же время имеющие важное значение при изучении свойств движений механических систем четыре случая канонических преобразований переменных.

Основные виды канонических преобразований

Первый вид. Производящая функция, обозначаемая ①工，берется в виде

①1 =①式外，Qj, D.(8)

После подстановки (8) в разрешающее уравнение (7), имеем

ИЛИ

2 [®-岩卜+ 需因+К _ (" + * = °- (9)

Приравнивая соотношения:Приравнивая соотношения:Приравнивая искомую новуюПриравнивая искомую новую卩 дФ±~ dqt " 呢нулю сумму остальных слагаемых функцию Гамильтона:卩 дФ±~ dqt " 呢нулю сумму остальных слагаемых функцию Гамильтона:(1。)(1。)в (9), найдемв (9), найдемнулю коэффициенты при ^. и Q., получаем такие

Приравнивая соотношения:

Приравнивая соотношения:

Приравнивая искомую новую

Приравнивая искомую новую

卩 дФ±

~ dqt " 呢

нулю сумму остальных слагаемых функцию Гамильтона:

卩 дФ±

~ dqt " 呢

нулю сумму остальных слагаемых функцию Гамильтона:

(1。)

(1。)

в (9), найдем

в (9), найдем

(И)(И)一+*.

(И)

(И)

Покажем, что (10) выражают первоначальные координаты q『 р. через другие Q., Рv Действительно, из первой группы уравнений (1Ь) находим р. в функциях от qv Q., что можно представить в виде

Pi — Р№i、Qj・(12)

Из второй группы уравнений находим Р. = Р《q^ Q.). Но из этих уравнений получаем

% ~ %(Q〃 Р3(13)

Подставляем 7. из (13) в (12):

Pi = Pi(Q> 匕)・(14)

Равенства (13) и (14) выражают все прежние координаты 外，％ через новые Q., Р^ из этих же равенств можно получить и обратные выражения

Qz = Q»(%' %)，匕=匕(％，％)，

Канонические преобразования переменных q” р. найдены. Подставляя выражения q. и р» через Q^ и 匕 в правую часть равенства (11), получаем выражение функции Гамильтона К в новых переменных Р； Можно составить уравнения движения в новых переменных Qp Р v

Второй вид. Возьмем производящую функцию ф2 в виде п

①2 = &(%，R，/) — Е Qi Рг*

Тогда

明-=■■" З- ._^_ = 0. Nd.= 一 尸..

Mi困2 ' dpi ' OQil，

Подставляя (15) в (7), получаем

/ ^Pi 仇一Pi Qi % — (— Pi) Qi — ^"~Qi) R]_

+ K —H = o

dt

или

i=li=l*)%十他一*同一誉+ К —"=。，*)%十他一*同一誉+ К —"=。，

i=l

i=l

*)%十他一*同一誉+ К —"=。，

*)%十他一*同一誉+ К —"=。，

Отсюда тем же путем, как и в предыдущем случае, имеем

Pi = -7~， Qz =，dqidPiPi = -7~， Qz =，dqidPi(16)(16)

Pi = -7~， Qz =，

dqidPi

Pi = -7~， Qz =，

dqidPi

(16)

(16)

Докажем, что (16) выражают преобразование: из первой группы все

Р i = Р i(%' Р i'力)•(17)

Из второй группы

Из (18) находим% = q^Q.^P., /) и, подставляя его значение (17), получаем

Pi = Pi(Q” 匕，f)・

Существование преобразования доказано.

Третий вид. В третьем случае за производящую функцию примем.

①3 =尸3 (Qi，Pi，')+ 2 % Pp①3 =尸3 (Qi，Pi，')+ 2 % PpСоставляемOS °~7— = Pi»MiПодставляемСоставляемOS °~7— = Pi»MiПодставляемi=li=l0①3 _ 0尸30①3OQi OQz ' dpiэто в (7):0①3 _ 0尸30①3OQi OQz ' dpiэто в (7):Qi — °i Qi — Pi 7i — Qi PiQi — °i Qi — Pi 7i — Qi Pidtdt+ K-"+ K-"dpt=0.dpt=0.PiPiMiMiQi) —Qi) —После сокращенийПосле сокращенийимеемимеемd尸3d尸3dQidQiQi =Qi =dptdpt,К=Н+吟.dt,К=Н+吟.dtЧетвертый вЧетвертый ви д. Производящая функция: ппи д. Производящая функция: пп①4 П尸4 (Pi，尸订")+ ± % Pi - E Qi匕.Z=1i=l①4 П尸4 (Pi，尸订")+ ± % Pi - E Qi匕.Z=1i=lПроизводные:°①4°①4 _ D 0①4°力OQidpiПодставляем их в (7):冃［〃 Qi — Л Qi — Pi 7i —■Производные:°①4°①4 _ D 0①4°力OQidpiПодставляем их в (7):冃［〃 Qi — Л Qi — Pi 7i —■°Pi°Pi而一而一Qf而一而一Qf咕咕Pi - Qi Pi —(-р£ Qi)-Pi - Qi Pi —(-р£ Qi)-ОтсюдаQiОтсюдаQi訂…2訂…2吼+ К - " = 0・ dt吼+ К - " = 0・ dtaptapt,Q尸崇，"" + »>・,Q尸崇，"" + »>・

①3 =尸3 (Qi，Pi，')+ 2 % Pp

①3 =尸3 (Qi，Pi，')+ 2 % Pp

Составляем

OS °

~7— = Pi»Mi

Подставляем

Составляем

OS °

~7— = Pi»Mi

Подставляем

i=l

i=l

0①3 _ 0尸30①3

OQi OQz ' dpi

это в (7):

0①3 _ 0尸30①3

OQi OQz ' dpi

это в (7):

Qi — °i Qi — Pi 7i — Qi Pi

Qi — °i Qi — Pi 7i — Qi Pi

dt

dt

+ K-"

+ K-"

dpt

=0.

dpt

=0.

Pi

Pi

Mi

Mi

Qi) —

Qi) —

После сокращений

После сокращений

имеем

имеем

d尸3

d尸3

dQi

dQi

Qi =

Qi =

dpt

dpt

,К=Н+吟.

dt

,К=Н+吟.

dt

Четвертый в

Четвертый в

и д. Производящая функция: пп

и д. Производящая функция: пп

①4 П尸4 (Pi，尸订")+ ± % Pi - E Qi匕.

Z=1i=l

①4 П尸4 (Pi，尸订")+ ± % Pi - E Qi匕.

Z=1i=l

Производные:

°①4°①4 _ D 0①4

°力OQidpi

Подставляем их в (7):

冃［〃 Qi — Л Qi — Pi 7i —■

Производные:

°①4°①4 _ D 0①4

°力OQidpi

Подставляем их в (7):

冃［〃 Qi — Л Qi — Pi 7i —■

°Pi

°Pi

而一而一Qf

而一而一Qf

咕

咕

Pi - Qi Pi —(-р£ Qi)-

Pi - Qi Pi —(-р£ Qi)-

Отсюда

Qi

Отсюда

Qi

訂…2

訂…2

吼+ К - " = 0・ dt

吼+ К - " = 0・ dt

apt

apt

,Q尸崇，"" + »>・

,Q尸崇，"" + »>・

Примеры канонических преобразований

Рассмотрим некоторые примеры на применение производящих функций вышеприведенных видов. Предварительно отметим, что совокупность переменных %, pt механической системы по су

ществу представляет собой модифицированное состояние системы. Действительно, пространственно-кинематическое состояние системы выражается совокупностью 2п переменных — обобщенных координат q. и обобщенных скоростей %. Совокупность (%, qj определяет фазовое пространство системы, а уравнения движения % = %(')и % = qg выражают траекторию точки в этом 2/г-мер- ном пространстве.

Но обобщенные импульсы системы р. выражаются через q. линейно, правда, с коэффициентами, зависящими от qv Следовательно, и совокупность переменных (%, pj тоже выражает состояние данной системы в некоторый момент времени, но в фазовом пространстве гамильтоновых переменных ^., р.. Это пространство является отображением пространства (^., qj, так как q. можно выразить через р». Когда же производится каноническое преобразование переменных ^., р. в новые переменные Q., Рv то фазозое пространство в первоначальных переменных преобразуется в пространстве новых переменных Q., Р.. Каждой точке прежнего пространства соответствует некоторая точка другого пространства: (%, р)

(Q., Р j・ Может случиться, что это другое пространство будет более удобным для изучения свойств движения данной механической системы.

Рассмотрим пример канонического преобразования первого вида для системы с одной степенью свободы — для так называемого гармонического осциллятора, т. е. для системы, совершающей гармонические колебания (например, математический маятник или физический маятник). Обобщенная координата одна — q. Потенциальная энергия имеет вид П = С^2/2, кинетическая энергия Т = (1/2) 吋；уравнение Лагранжа

d дТ _ дП出dq 一 m

приводит к уравнению движения aq = —Cq.

Введем величину С/а = со2 и обобщенный импульс р = dTldq, т. е.

р — aq,(19)

откуда

q = р/а.

Составляем функцию Н Гамильтона, которая (в данном случае система консервативна) выражает полную энергию системы:

"=Т + 〃 = £ или H=^(l/2)aq2 + (1/2) Cq工(20)

Выражаем Н через р на основании (19):

" = р2/2а + С/2产(21)

Но С =aa>2; подставляя это значение в (21), имеем

Применяем каноническое преобразование первого вида, с производящей функцией вида

①1=尸《, Q,力).

В данном случае наиболее простая производящая функция имеет вид

居=(a/2)sg2 ctg Q.(22)

Канонические преобразования в этом случае должны выполняться по формулам (10):

р = -^丄=asq ctg Q,(23)

因

P=一旦=上工.(24)

OQ 2sin2Q'/

Из них можно получить выражения переменных q н р через другие Q и Р. Действительно, из (24) имеем

q = V (2Р/а(о) sin Q.(25)

Связь между функциями Гамильтона " и К в первоначальных координатах 7, р и новых координатах Р, Q выражается формулой (U)：

К = " +(а) dt

Функция фх в данном случае не зависит от /явно. Следовательно, 左=".

После подстановки (25) в (23) получаем

р = М2о со Р cos Q,(26)

что и требовалось найти.

Теперь выразим функцию Гамильтона К через другие переменные Q и Р, подставляя (25) и (26) в (21). Тогда

Н = sP cos2 Q + ①尸 sin2 Q =：sP= К.(27)

Как видно, применение канонического преобразования оправдано, так как функция К в других переменных является весьма простой. Так как функция Гамильтона консервативной системы выражает полную энергию системы К = Е =龙，то и импульс Р сохраняет постоянное значение Р = К/(о • Последний результат показывает значение канонических преобразований и с другой стороны выявляются другие интегралы уравнений движения.

Составим уравнения движения системы других обобщенных координатах Q и Р; они имеют вид

dQdQ(28)(28)

dQ

dQ

(28)

(28)

Из второго уравнения (28) следует, что Р = 0, так как Н согласно (27) не зависит от Q; отсюда Р = const.

Отметим, что первое дифференциальное уравнение в (28) требует учета в математическом анализе. В ряде случаев необходимо тщательно выполнять порядок последовательных математических операций. В данном случае казалось бы, что в первом уравнении (28) берется производная от постоянной величины К =瓦 口。 постоянной величине Р, т. е. операция, не имеющая смысла. В действительности же дифференцирование К no Р проводится уже в фазовом пространстве (Р, Q), в котором движение системы выражается линией, вдоль которой Р и Q——координаты точки — изменяются и К — функция от Р и Q; поэтому следует сначала продифференцировать К по Р, потом уже учитывать все соотношения, получаемые при рассмотрении всех входящих динамических переменных как функций времени.

Выполняя дифференцирование в (28), имеем Q = з； интегрируя по времени, получаем

Q =(о/ + а,

где а ——постоянная интегрирования, определяемая по начальным данным, через Qo, Ро, для чего их надо выразить из (23) и (24) через р и q. Итак, имеем уравнения движения в других переменных:

Р = /i/s = const, Q = со/ + а.(29)

Следовательно, линия, изображающая движение системы в пространстве (Р, Q), есть прямая, параллельная оси Q, и точка движется по этой линии равномерно. Траектория же изображающей точки в фазовом пространстве первоначальных координат получится, если выразить переменные дир через Q и Р; это сделано в (25) и в (26). Из (25), заменяя Р и Q из (29), имеем

а из (26) аналогично

р = 1/2Еа cos (со/ + а)・

Исключая / из полученных выражений дир, имеем фазовую траекторию в виде эллипса:

2£/аз21 2Еа

Таким образом, канонические преобразования переменных являются весьма эффективным методом для всестороннего изучения движения механических систем и часто употребляются, в частности при рассмотрении проблем небесной механики.

Рассмотрим еще один пример преобразования первого вида. За производящую функцию примем

/-1

Тогда

Pi = —— = Q 力Pi =*Pi = —— = Q 力Pi =*dQidQi=-%.=-%.

Pi = —— = Q 力Pi =*

Pi = —— = Q 力Pi =*

dQi

dQi

=-%.

=-%.

Это преобразование переводит импульсы в обобщенные координаты с одной переменой знака и наоборот. Так как при этом функ-Это преобразование переводит импульсы в обобщенные координаты с одной переменой знака и наоборот. Так как при этом функ-ция Гамильтона не изменяется в других переменных остаются уравненияхция Гамильтона не изменяется в других переменных остаются уравненияхК = ", то н уравнения движения прежними. Таким образом, если вК = ", то н уравнения движения прежними. Таким образом, если в• дН%=-Д一Opt• дН%=-Д一Opt•дНPi =7•дНPi =7(30)(30)

Это преобразование переводит импульсы в обобщенные координаты с одной переменой знака и наоборот. Так как при этом функ-

Это преобразование переводит импульсы в обобщенные координаты с одной переменой знака и наоборот. Так как при этом функ-

ция Гамильтона не изменяется в других переменных остаются уравнениях

ция Гамильтона не изменяется в других переменных остаются уравнениях

К = ", то н уравнения движения прежними. Таким образом, если в

К = ", то н уравнения движения прежними. Таким образом, если в

• дН

%=-Д一

Opt

• дН

%=-Д一

Opt

•дН

Pi =7

•дН

Pi =7

(30)

(30)

q. заменить через р： а р. — через %, то уравнения (30) не изменяют своего вида. Рассмотрим примеры преобразований II класса.

Положим сначала

п

尸2 = Е % (%，…，В・

/=1

Тогда на основании (16) преобразования примут вид

Qt ==厶(％，…，7Л» /)， Pi = V

£ dqt

Отметим, что каждая новая обобщенная координата Q. зависит только от первоначальных координат qv Такое преобразование пространства конфигураций системы может быть осуществлено и при отсутствии движения. Такие преобразования фазового пространства движущейся механической системы, когда обобщенные координаты q. и Qj связаны между собой соотношениями, не зависящими от импульсов р〃 называются точечными преобразованиями. Канонические преобразования общего вида являются рлсишрзнными точечными преобразованиями.

Бесконечно малые канонические ореобразованип

Частный случай точечного преобразования наблюдается , когда фазовое пространство движущейся механической системы остается неизменными при движении системы подобно абсолютно твердому телу. Эго может быть только тогда, когда фазовые коорди-

наты q. и р. каждой точки равны фазовым координатам преобразованного пространства.

Для этой цели производящая функция должна иметь вид

&(%,〃)= е% Л-

z = l

Действительно, уравнения преобразования в этом случае при

мут вид

Pi = ~—=尸力，Qi =_ = %•

°gdPt

Таким образом, при подобном преобразовании каждая точка фазового пространства остается неподвижной, и другие фазовые переменные Q. и Р. тождественны первоначальным переменным %, р.. Поэтому такое преобразование можно назвать «идентичным» (тождественным) преобразованием.

Используя идентичное преобразование, можно установить так называемое бесконечно малое преобразование канонических переменных, имеющее принципиальное значение в аналитической механике. Бесконечно малым преобразованием канонических переменных называется преобразование, переводящее каждую точку (^., р) фазового пространства е бесконечно близкую точку. Иначе говоря, бесконечно малое преобразование должно выражаться следующими соотношениями между исходными и преобразованными координатами:

Qi =% + $%，%=〃 + 讷・(31)

При этом вторые слагаемые в правых частях равенств (31) являются величинами первого порядка малости.

Доказательство существования такого преобразования естественно следует из того факта, что бесконечно малое преобразование является преобразованием, близким к идентичному преобразованию. Логично вытекает возможность использовать это обстоятельство, т. е. за производящую функцию искомого преобразования принять функцию 尸2‘(%，Р j，отличающуюся от производящей функции 尸2(%,匕)идентичного преобразования на бесконечно малую величину, выраженную через некоторую дополнительную функцию G(%, Р того же вида, т. е.

п

戶2(%，？)= 2 qiPi + ^G^ Л),

где £ ——бесконечно малая величина. Тогда уравнения искомого преобразования должны иметь вид (согласно второму виду)

или

仍=R +'号，Qi = % + ‘筝•(32)

Из (31) и (32) находим выражения приращений 6pz 口5% (действительных вследствии изменения всех переменных за время /):

Зр尸 Pi-Pi = 7泣,(33)

3%=(2「%=—0"；口).(34)

Но

?=内+з〃・

В правых же частях равенств (33) и (34) пренебрегаем малыми величинами порядка выше первого. Поскольку там находится малый множитель е, то, следовательно, под знаком производных можно отбросить малые величины6р. и заменить Р. через р^ Тогда уравнения (33) и (34) примут вид

Зрх _£,(35)

河=e匹需.口)..(36)

Множитель & можно принять за дифференциал времени t:

8d/.

Функция G является произвольной функцией от переменных <?. и Pj. В частности, за функцию G(%, pj можно принять функцию Гамильтона, т. е. положить G(q», р.) = "(q” р.). В результате уравнения (35) и (36) примут вид “ 1

df・df・

df・

df・

Но эти уравнения являются следствием канонических уравнений, выражающих движение механической системы под действием некоторых потенциальных сил:

• дН* дН

%一， 仍=Z-•

dpidqt

Таким образом, установлен принципиальный факт: канонические уравнения движения системы выражают бесконечно малое непрерывное преобразование фазового пространства системы.

В теории бесконечно малых преобразований показывается, что точки касания поверхностей в одном пространстве переходят в точки касания соответствующих поверхностей в другом пространстве. На этом основании подобные преобразования называются контактными (преобразованиями соприкосновения}.

J Часть вторая dpNdq

СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ

Р. Гамильтон (1805—1865)Р. Гамильтон (1805—1865)— и— и⑴⑴

Р. Гамильтон (1805—1865)

Р. Гамильтон (1805—1865)

— и

— и

⑴

⑴

Глава X ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА — ЯКОБИ

Первые работы, посвященные интегрированию уравнения Гамильтона—Якоби, были опубликованы в середине прошлого столетия Лиувиллем.

Позже этой проблемой занимался ряд известных математиков и механиков, среди которых следует отметить В. Г. Им- шенецкого, Морера, Ле- ви-Чивиту, Бур гатти, Даль-Акква, Форбата и М. С. Яров-Ярового. Благодаря их работам в

решении этой проблемы достигнуты значительные успехи. Однако в учебной литературе обычно ограничиваются изложением случаев

интегрируемости, полученных в прошлом веке, и почти не затрагивается история вопроса. Ниже кратко изложена история этого вопроса.

Случаи Лиувилля и Штеккелп

Наиболее разработанным методом интегрирования уравнения Гамильтона——Якоби является метод разделения переменных. Рассмотрим сначала наиболее простой случай, когда функция Гамильтона склерономной механической системы содержит только квадраты импульсов:

"=十 Е g" Р； — а

，=1

Тогда соответствующее уравнение Гамильтона—Якоби примет

вид

где ах — произвольная постоянная (константа энергии).

Предположим, что переменные в уравнении (1) разделяются, т. е.

ь= 1

Тогда

dWd吃 , /、也、

Pi ~= fz (%，a); /.=凭(％, a).

Widqt

Функции /. и Fj введены для краткости. В соответствии с этими обозначениями (1) можно представить в следующем виде:

t ?"修=2" + 3.⑵

Последнее уравнение при подстановке в него полного интеграла W обращается в тождество, имеющееся при произвольных значениях а. Дифференцируя в этом предположении (2) по а冗(左=1,...

〃)，получим систему п линейных уравнений относительно п функций gu (i= 1,/г):

£g”&i = 2^ 住=1,2,…，叫(3)

f*=i

где

_ f 1, Л = 1 f —叫

I 0, fe> 1M

и функции Fki введены также для краткости.

Определитель этой системы линейных неоднородных уравнений отличен от нуля. Действительно,

А = det И Fki\\^ detR 2片岩卜 2〃 • f, % • • • % • det||A||, где ни одно из значений % (i = 1, 2, ..., 〃) не может быть тождественно равно нулю, а

так как в противном случае произвольные постоянные s, a2, ..., a“ окажутся зависимыми и, следовательно, W не может быть полным интегралом. Разрешив (3) относительно g'{ получим

(4)

Тогда силовая функция U задачи, если учесть (4) и соотношения

肾舟У

(5)

примет вид

7（，j号借

»=1丄 z

⑹

Пусть а；, »2, ..., а：——некоторая система значений произвольных постоянных, при которой

А| а т а。关 0・

Для этих значений а функции Fki и (/.2——jFQ переходят в определенные функции от переменной q* т. е.

fm^^ -屮论（%）；（片-5F］九卄=屮"%）•

В соответствии с этим (4) и (6) примут вид

⑺⑺11 =； U = > 必

⑺

⑺

А 如1W А*〃

где

А = det И R% II ・

Итак, сформулируем теорему Штеккеля: если уравнение Гамильтона―Я&оба (1) допускает разделение переменных, то имеется п(п + 1) функций

中源(%)，屮m%)，(厶々=1, 2,…，n), каждая из которых зависит лишь от одной переменной, обладающих свойством, что gu и U можно представить 〃р〃 помощи соотношений (7).

Пусть теперь, наоборот, существуют п произвольных функций 中》(%) и /г? функций (Pik (%), на выбор которых наложено лишь одно ограничение

A = det||q)M 厚 0,

и пусть функции g'i и U уравнения Гамильтона——Якоби (1) могут быть представлены соотношениями (7). Докажем, что в этом случае переменные в уравнении Гамильтона——Якоби (1) разделяются.

Действительно, на основании соотношения (5)

где а?, а3, ..., ап — произвольные постоянные. Учитывая (7) и последнее соотношение, (1) можно представить в виде

=0.=0..品=i..品=i.

=0.

=0.

.品=i.

.品=i.

К.兄ко6〃 (1804—1851)К.兄ко6〃 (1804—1851)一e %⑵产0 々=1一e %⑵产0 々=1

К.兄ко6〃 (1804—1851)

К.兄ко6〃 (1804—1851)

一e %⑵产0 々=1

一e %⑵产0 々=1

Последнее уравнен ие тождественно удовлетворяется, если принять

(t =J, 2, ... , и).

Тогда

и полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби (1) принимает вид

/=1

(8)(8)=Е I V 屮》+ 2 °а 屮m d%・

(8)

(8)

i=l Jk—l

Рассмотрим частный случай теоремы Штеккеля. Пусть функции 9/ таковы, что

Ф^ 0 (t^^^ k\ k 2, 3, •••, м),

т. е. все элементы определителя

A = det I］屮注 II，

кроме элементов его главной диагонали и элементов первойГстроки и первого столбца, тождественно равны нулю.

Вычислим алгебраическое дополнение "\/(&р〃)элемента i-й строки первого столбца 屮江.

Последнее получается, как известно, путем вычеркивания в А i-й строки и первого столбца с последующим вычислением получившегося определителя (/г — 1)-го порядка и^умножением его на (—l)'+i：

屮12 Ф13 Ф14

屮2200.

° 屮33 °•

…Фн-i 0

0

Ф1/ 0

0

屮 li+1•

0.

0

•• Ф1л 0

0

ОА _

= (—1 尸

0

0

0

0

0 •

0 .

-9 I 1-1

• • 0

0

0

0

Фг+l i+1

0

...0

0

0

0 .

0

0

0

…^nn

Заметив, что в определителе минора i-й столбец содержит лишь один отличный от нуля элемент 屮匸，разложим определитель минора по элементам этого столбца:

92200 ...00...00中33；0 .00....000Ф44 <00….0000 ,Фг-l i-10...0000...0屮 i+1 M • •• 0000 .00..92200 ...00...00中33；0 .00....000Ф44 <00….0000 ,Фг-l i-10...0000...0屮 i+1 M • •• 0000 .00..

922

0

0 .

..0

0...

0

0

中33

；0 .

0

0...

.0

0

0

Ф44 <

0

0…

.0

0

0

0 ,

Фг-l i-1

0...

0

0

0

0

...0

屮 i+1 M • •

• 0

0

0

0 .

0

0..

922

0

0 .

..0

0...

0

0

中33

；0 .

0

0...

.0

0

0

Ф44 <

0

0…

.0

0

0

0 ,

Фг-l i-1

0...

0

0

0

0

...0

屮 i+1 M • •

• 0

0

0

0 .

0

0..

Выберем теперь ненулевые функции 屮沙 следующим образом: 屮it = — 4 (%)，屮滉=4(%) (，= 2, 3,…，и), Фи — 2①》4，①》=①力(％) (t — 1, 2,, и).

Тогда

— (一 l)2t+1 Tli 屮22 屮33 ••• Фг-l i-1 屮i+1 irl …^nn = Ml

—4』2…4-1 4+i …4〃’

A = E 屮〃 =24 4…丄E①i・

Если функции ф. также выбрать следующим образом: 屮2 = 2% 4，仇=Oj (仇)« = 1, 2,…，n\

то соотношения (7) примут вид

g" = 一—,u=胃—.(9)

4』①々£①々

々=i走=i

Полный интеграл уравнения Гамильтона——Якоби (1) с этими значениями g〃 и U, т. е. уравнения

4 £ 62 孤

z=1k=i力=1

можно получить из (8), заменив функции 屮汴 и Ф.. Однако найдем его непосредственно из (10). После очевидных преобразований (10) примет вид

》(；— 2al ① j = 0,

где каждое выражение, заключенное в скобки, зависит лишь от одной переменной. Последнему уравнению можно удовлетворить, если положить

(i = 1, 2, ••., п),(i = 1, 2, ••., п),

(i = 1, 2, ••., п),

(i = 1, 2, ••., п),

причем п постоянных аъ а?, ••., ап подчинены условию

® + & + …+ % = 0・ Тогда

Р» = V 24(% + а1 Фг + ai) и полный интеграл (Ю) примет вид

步=2 ($24(仇+ 5叫十生)歯广 (11)

За независимые произвольные постоянные можно выбрать, например, а】, а?, аз, ..., ап. Тогда постоянную аг в полном интеграле следует заменить ее значением

Q]=-a2 — % -…-cin •

Этот случай интегрируемости уравнений движения системы с п степенями свободы был найден Лиувиллем и известен в литературе как случай Лиувилля.

Как пример применения приведенных выше результатов найдем полный интеграл задачи движения материальной точки в однородном поле силы тяжести по поверхности гиперболического параболоида, уравнение которого в декартовых координатах

%2 — У = 2P2

(р = const). (12)

Вычислим кинетическую энергию материальной точки, принимая за обобщенные координаты % и 4：.

Ж. Лиувилль (1809—1882)Ж. Лиувилль (1809—1882)T = ^-т^ + 夕 + 势， где т — масса материальной точки. Согласно (12)

Ж. Лиувилль (1809—1882)

Ж. Лиувилль (1809—1882)

Поэтому

7 = и+詐-改近+ (1 +分中 и

U = — mgz = ——矿).

При сделанном выборе обобщенных координат переменные не разделяются. Перейдем к другим переменным ^ и ^2, связанным с декартовыми координатами соотношениями

什± 1/ЗКЕ^КЫ：； У = ±у si产二А；

Z =Z ="2"2

Z =

Z =

"2

"2

Кинетическая энергия в этих координатах имеет вид

%* 2 . 飯 • 2、%* 2 . 飯 • 2、т 团(71 + %)

%* 2 . 飯 • 2、

%* 2 . 飯 • 2、

1 =

8

а силовая функция

U =£mg(力一外)■

Найдем обобщенные импульсы:

Разрешив последние соотношения относительно qx и ^2, выведем функцию Гамильтона:

%f%m(% + %) \ q>%

Если принять①i = %；Если принять①i = %；I mg(q2 — q〕十 2I mg(q2 — q〕十 24 （ 4；—户）4 （ 4；—户）①2 =92；①2 =92；/ 一 m0224(*-犀)/ 一 m0224(*-犀)212'2 仇=--厂，212'2 仇=--厂，

Если принять

①i = %；

Если принять

①i = %；

I mg(q2 — q〕

十 2

I mg(q2 — q〕

十 2

4 （ 4；—户）

4 （ 4；—户）

①2 =92；

①2 =92；

/ 一 m02

24(*-犀)

/ 一 m02

24(*-犀)

2

12'

2 仇=--厂，

2

12'

2 仇=--厂，

то функция Гамильтона задачи получит вид (10).

a + % a①1 +①2 一 1a + % a①1 +①2 一 1Тогда полный интеграл соответствующего уравнения Гамильтона—Якоби, т. е. уравнения

a + % a

①1 +①2 一 1

a + % a

①1 +①2 一 1

2 4 (①1 + Фа)〈肮丿2 4 (①1 + Ф2) I dq2 丿

в соответствии с (11) представляется так:

r= j 1 / ц^^(тmg^ + ^^ + ^) d^ ++ ] ]/у^Р^у (- Y mS ^2 + «1 Яг + a2) dq2,

где аг + а2 = 0; ах —— постоянная энергии. Итак, искомый полный интеграл найден.

Задача Морера. Условия Морера и их обобщения Леви-Чивитой и Форбатом

Случаи интегрируемости уравнения Гамильтона——Якоби в квадратурах, изложенные выше, были получены благодаря гениальной интуиции их авторов и, естественно, не решали пробле-

мы интегрирования уравнения Гамильтона——Якоби в общем случае. Штеккель отмечал позже, что он дал только один класс дифференциальных уравнений Гамильтона——Якоби с 〃 переменными, интегрируемых в квадратурах. Поэтому продолжался поиск других случаев интегрируемости уравнения Гамильтона ——Якоби.

К концу прошлого столетия в теории интегрирования уравнения Гамильтона——Якоби методом разделения переменных сложились два направления, основоположниками которых можно считать итальянского математика Морера и русского математика В. Г. Имшенецкого.

В 1887 г. Морера (содержание этой его работы можно найти в статье Н. Салтыковой) установил, что переменные в уравнении Гамильтона——Якоби склерономной системы с двумя степенями свободы разделяются, если функция Гамильтона Н удовлетворяет условию

дН д 1дН!{дд^\ дН 0

или условию, полученному из (13) перестановкой индексов 1 и 2. Он поставил задачу ——проинтегрировать условие (13) и получить общий вид функции ", допускающей разделение переменных в соответствующем уравнении Гамильтона—Якоби.

В 1904 г. Леви-Чивита обобщил условия Морера на случай склерономной системы с произвольным числом степеней свободы 〃， а в 1944 г. Форбат распространил условия Морера——Леви-Чиви- ты на случай реономных систем. Получим эти условия.

Предположим, что переменные в уравнении Гамильтона——Якоби реономной механической системы с п степенями свободы

萼+ (14)

dt \ dq )

разделяются, т. е. что полный интеграл уравнения (14) имеет вид

S = S。(f,a)+ e呼“力,a).j=i

Тогда

dSdW I£ /、

и

(15)(15)

(15)

(15)

Из (15) находим, предполагая, что dHIdp.声 0:

班班dgzdgzдНдНd力d力"7=牝(％，a) (i = 1, 2, ..., м).opt"7=牝(％，a) (i = 1, 2, ..., м).opt

班

班

dgz

dgz

дН

дН

d力

d力

"7=牝(％，a) (i = 1, 2, ..., м).

opt

"7=牝(％，a) (i = 1, 2, ..., м).

opt

Следовательно,

(17)(18)(19)(17)(18)(19)*=0 (，干j),冬=0 & j=l,2,…，叫 呢dt

(17)

(18)

(19)

(17)

(18)

(19)

После несложных преобразований условия (17) примут вид

дН ( дН02H— дНУН ] —дН / дНд2H

gj [。勿。力。％ dqidptdqj)dqj \ dqtdpfdpj

dH 严"\ j u, dpt dqidpj J

z—z= °& J = 1，2,…，枕； dpt dqi dt dqi dpt dt

В таком виде их получил Форбат. Если Н явно от времени не зависит, то (19) тождественно удовлетворяются и имеем условия, полученные Леви-Чивитой.

Следовательно, задачу Морера (в обобщенном——в соответствии с обобщением условий ——варианте) можно сформулировать следующим образом: проинтегрировать условия Морера——Леви- Чивиты——Форбата (18)——(19) и найти общий вид функции Гамильтона ", допускающей разделение переменных в уравнении (14).

Задача эта является нелегкой. Действительно, условия (18) содержат 〃(〃 一 1)/2 различных уравнений (перестановка индексов i и / не изменяет соответствующее условие). Поэтому условия (18) и (19) содержат

М = п(п + 1)/2

различных уравнений в частных производных второго порядка относительно функции ", зависящей от 2〃 + 1 переменных ^, ^2,... …，Qn\ Pi, Р2，•••，卩九；'•

Если функцию Гамильтона

"=十 ± gij Pi Pi + 2 ^Pi+^°(20)

lt /=1i=l

подставить в условия Морера—Леви-Чивиты——Форбата (18) и (19), то они перейдут в полиномы соответственно четвертой и третьей степени относительно импульсов 卩小 р2, ..., рп. Так как независимые постоянные в р. произвольны, то условия (18) и (19) yдoв^ летворяются лишь в том случае, если коэффициенты этих полиномов равняются нулю. Очевидно, что эти коэ(|х})ициенты будут функциями g", gj, g° и их частных производных первого и второго порядков.

Таким образом, задача Морера сводится к задаче интегрирования системы дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка относительно неизвестных функций g〃； g‘， g°・

Однако интегрирование этой системы уравнений оказалось очень сложной задачей и было выполнено в случае склерономных систем для 〃=2 и 〃 =3.

Стало очевидным, что решить задачу Морера для случая реономных систем и произвольного п указанным выше путем практически невозможно. Необходимо было найти другой путь решения этой задачи.

Задача Ммшенещиио — Бургатти

В. Г. Имшенецкий (1832—1892)В. Г. Имшенецкий (1832—1892)Pi =Pi =dSdSПусть %,д2,…，％f независимых переменных, S— их неизвестная функция; pi, pz,…，Рп —— ее частные производные первого порядка, так что

В. Г. Имшенецкий (1832—1892)

В. Г. Имшенецкий (1832—1892)

Pi =

Pi =

dS

dS

При этих обозначениях общий вид уравнений в частных производных первого порядка представляется так:

尸（％，夕2，…'qп，S, Pi，02，…，Pn） ~ °・（21）

Пусть F ——некоторая заданная функция; возникает вопрос: какой должна быть зависимость между переменными q» ^2,... ....qa и их функцией S, чтобы из нее путем дифференцирования и алгебраических исключений образовать данное уравнение.

Эта задача была поставлена В. Г. Имшенецким [5] еще в 1869 г.

В 1911 г. Бургатти поставил частную по сравнению с задачей В. Г. Имшенецкого, но вместе с тем более конкретную в смысле реализации и приложений, проблему: найти все такие виды зависимостей полного интеграла S от произвольных постоянных интегрирования а, при которых исключение этих постоянных из урав-

нений

dS .dS .dt ，dt ，〃 =^ ('=1'2,…5)〃 =^ ('=1'2,…5)

dS .

dS .

dt ，

dt ，

〃 =^ ('=1'2,…5)

〃 =^ ('=1'2,…5)

позволяет получить уравнение вида

gijPiPj — U = an,(22)

Обобщая результаты, полученные Лиувиллем, Штеккелем,

Даль-Акква, Бургатти пришел к выводу, что если из уравнений

Г

Pt — ^J 屮力(％) % (i = 1, 2,…，厂；0《厂《и),(23)

0=1

/л—1

Pi =办(仇)У 2% — & + V 屮片(％) а + 2屮切(q)i +

7=叶1

+ £%(%)% (/ =r+1,厂+2,…，几)(24)

0=1

(где R» ——однородная квадратичная относительно а】,а2, ..., а， форма с коэффициентами, зависящими от координаты qj исключить все произвольные постоянные, кроме а〃, то получим уравнение вида (22). Полный интеграл уравнения (22) находится простой квадратурой:

S = — ^ + ^ I Pi dqt.

i=l J

Для склерономных систем, допускающих разделение переменных, выражения (23) и (24) оказались самыми общими; в этом был убежден и сам Бургатти, но доказать последнее утверждение ему так и не удалось.

Заметим, что 厂 в соотношениях (23)——(24) может принимать и + 1 значений: О, 1, 2, ..., п. Давая эти значения г, получим 〃 + 1 типов уравнения (22). Следовательно, для склерономной механической системы с п степенями свободы существует п 十 1 типов функции Гамильтона //, допускающей разделение переменных в соответствующем уравнении Гамильтона—Якоби. Это утверждение назовем теоремой Бургатти.

В 1963 г. М. С. Яров-Яровой [16] нашел общий вид уравнения Гамильтона——Якоби реономной механической системы, интегрируемого разделением переменных, и указал все случаи, которые после рекомендованной им замены переменных допускают разделение переменных. Из полученных М. С. Яров-Яровым результатов следует, что действительно результаты Бургатти — суть общие для случая склерономных систем и что теорема Бургатти справедлива и для реономных систем.

Метод неполного интеграла

При решении ряда задач механики голономных систем оказывается полезным предложенный Леманом-Филе метод неполного интеграла, суть которого заключается в следующем. Пусть найдена такая функция V〃，которая:

зависит от координат (не обязательно всех), некоторого числа независимых произвольных постоянных аь а2, ..., а「(厂 V %) и, возможно, времени /;

удовлетворяет (14).

Тогда функции

半口 =凸・(i= 1,2,…，广；j=l,2,…，几)(25) 3 dqj

являются интегралами уравнений движения. Последние 儿 ——г из 2〃 искомых интегралов определяются интегрированием системы уравнений

9+=(誥)3=1,2,…，几一Г)，(26)

где скобками обозначен результат исключения величин ръ р2,...

Ри； %,夕2,…，力，найденных из (25).

Полученное таким образом решение является частным, так как оно содержит лишь п + г постоянных интегрирования: а】,а2,...

а「; В】,02, •••，Вп — последние п ——г постоянных получим при интегрировании (26).

Заметим, что число независимых постоянных интегрирования, содержащихся в полученном таким образом частном решении, на % ——г постоянных меньше числа независимых постоянных, присутствующих в общем решении. Такое несоответствие чисел постоянных интегрирования в частном и общем решениях назовем перекосом постоянных.

「лава XI

МЕТОД НЕПОЛНОГО ИНТЕГРАЛА В МЕХАНИКЕ НЕГОЛОНОМНЫХ СИСТЕМ

Метод Гамильтона——Якоби является мощным средством решения задач аналитической механики. Поэтому проблема интегрирования уравнения Гамильтона——Якоби привлекала внимание выдающихся математиков и механиков; благодаря их работам достигнуты значительные успехи в применении метода Гамильтона— Якоби к решению задач механики голономных систем.

Первая попытка распространить метод Гамильтона——Якоби на неголономные системы принадлежит Кюанжелю. У нас к этой проблеме впервые проявил интерес С. А. Чаплыгин, предложив-

ший оригинальный, но довольно сложный метод ее решения. После появления работы С. А. Чаплыгина [13] в течение ряда десятилетий не было опубликовано ни одной статьи по проблеме применимости метода Г амил ьтона~Я коби в механике неголономных систем.

К этой проблеме возвратились вновь уже в наше время, в 40—— 50 годы, благодаря исследованиям В. В. Добронравова предложившего свой метод решения проблемы, отличный от методов Кюанжеля и Чаплыгина.

Из последних работ по проблеме применимости метода Гамильтона——Якоби в механике неголономных систем следует отметить труды В. С. Новоселова [10], предложившего свой метод решения проблемы, который отличается от ранее известных.

Отметим, что приведенный обзор литературы является далеко неполным; более подробно с содержанием некоторых работ по механике неголономных систем можно ознакомиться в работах В. В. Добронравова [3], [7] и Б. Н. Фрадлина.

Уравнения движения неголономных механических систем с линейными связями первого порядка

Пусть п + k — минимальное число параметров ——лагранжевых координат q^ ^2, .., qn+k, необходимое для задания геометрической конфигурации неголономной механической системы; п ——число степеней свободы этой системы; k 一一 число линейных не- голоиомных связей первого порядка;

e纥，%+4 = 0 (…1,2, •..,期.(1)

0=1

Уравнения связей (1) можно представить в разрешенном относительно зависимых обобщенных скоростей виде:

9叶尸£ %仇+么G = 1, 2,.・・"?).(2)

Уравнения движения неголономных механических систем с линейными неголономными связями (1) можно представить уравнениями Воронца:

()0 —

y b亠

dt

因2

V=1\

(i = 1, 2,

(3)

где

db ；』/

< db .

db •\

4/ =

—j b .

%，(4)

丽叶丁丿

叫，叫,f叫，, 叫 十 » I 0dt d% 纟〈因〃-k 。吼+，

а функции 0 и 0V представляют результат исключения с помощью (2) из 7'。и dT^l^q^ ) зависимых скоростей; Т。一 выражение кинетической энергии, не преобразованное с учетом (2).

Уравнения движения неголономной механической системы (3) совместно с уравнениями связей (2) и составляют полную систему дифференциальных уравнений, описывающих движение неголоном- пой механической системы с линейными связями первого порядка. Эта полная система дифференциальных уравнений состоит, следовательно, из двух групп уравнений: 〃 дифференциальных уравнений (3) второго порядка, линейных относительно независимых обобщенных ускорений %, ^2, ..., qn п k дифференциальных уравнений (2) первого порядка, линейных относительно обобщенных скоростей.

Таким образом, порядок системы диффер ей ци а л ьн ых уравнений (3), (2), описывающих движение неголономной механической системы с линейными связями, равен 2〃 十々.

Следует отметить, что уравнения (3) всегда можно разрешить относительно независимых обобщенных ускорений и с учетом (2) представить их в форме

%一二二 R：. %力 + ?&+(6)

т, j=i1=1

где R", R； , R — известные функции координат и времени.

Таким образом, полную систему дифференциальных уравнений, описывающих движение неголономной механической системы с линейными связями первого порядка можно представить системой уравнений (6) и (2).

Интегрирование полной системы дифференциальных уравнений движения неголономной системы методом неполного интеграла

Непосредственное интегрирование полной системы дифференциальных уравнений (6), (2), описывающих движение неголономной механической системы с линейными связями первого порядка, позволяет получить 2〃 + 左 произвольных постоянных, т. е. получим характерный для метода неполного интеграла

перекос постоянных. Это на первый взгляд чисто случайное сходство в действительности имеет логическую и глубокую связь.

Пусть дана неголономная механическая система с кинетической энергией Т°, непреобразованной с учетом неголономных связей (2), и уравнениями движения, приведенными к форме (6). Решим следующую задачу: данной неголономной механической системе с п степенями свободы, k уравнениями связей (2) и п уравнениями движения (6) поставить в соответствие такую условную механическую систему с 〃 一卜々 степенями свободы и функцией Лагранжа:

L-— ?&Sj+ V幻幻+⑺

для которой бы связи (2) были частными первыми интегралами, а (6)——алгебраическим следствием уравнений движения

———=0(/ = 1,2,…+ 伞)，(8)

山 dqi

для условной голономной механической системы, преобразованных с помощью этих частных первых интегралов.

Если поставленная задача будет решена, то, как показано ниже, проблема интегрирования системы дифференциальных уравнений (6), (2) сведется к проблеме построения некоторого неполного интеграла уравнения Гамильтона——Якоби условной голономной механической системы.

Пример 1. Материальная точка массой m движется в пространстве трех измерений под действием потенциальных сил, силовая функция которых и меет вид

U =厂办，广=const, п ричем на движение материальной точки наложены две неголономные связи первого порядка:

72 =广 1 41， 4з 广2 勺2，广力=const (，二二 1, 2)(9)

и за обобщенные координаты приняты величины

71 = /тх, 72 二 J^m у, q3 - | лт z, а х, у, z — декартовы координаты точки.

Назовем механическую систему, полученную из данной неголономной системы при условии, что неголономные связи игнорируются базисной голономной, а механическую систему, которая ставится в соответствие данной неголономной системе, условной голономной механической системой.

Тогда функция Лагранжа базисной голономной механической системы примет вид

厶°W°。)

Исследуемая неголономная механическая система имеет одну степень свободы. Следовательно, полная система дифференциальных уравнений,

описывающих движение материальной точки, состоит из одного дифференциального уравнения второго порядка, которое в соответствии с (3), (9) и (10) имеет вид”

91 — г = 0,(11)

и двух уравнений первого порядка ——уравнений связи (9).*

Рассмотрим теперь условную голономную механическую систему с функцией Лагранжа:

L =( "； + * + * ) +(「29з —厂闻)％ + % +

В соответствии с (8) дифференциальные уравнения движения этой условной голономной механической системы имеют вид

91 -厂-厂 1 (q2 -г 171)-。，

72 -厂0 +厂2(03 1 Г292)=。，、(12)

狐一厂292=0•

Очевидно, что система (12) допускает два частных интеграла:

% 一广 292 = °，% -г 1?1 — °。

Следовательно, для определения соответствующего частного решения системы (12) получим следующую систему уравнений:

91 - 厂=°,% 一 гMi = °, 93 -г292 — °,

которая совпадает с системой дифференциальных уравнений (11), (9), описывающих движение материальной точки.

Возвратимся теперь к поставленной задаче и укажем алгоритм построения условной голономной механической системы и метод построения соответствующего частного решения уравнений движения условной голономной механической системы.

Итак, пусть имеется неголономная механическая система с линейными связями (2). Представим ее уравнения движения в форме (6). Дифференцируя (2) по времени и исключая 夕力0= 1, 2, ..., и) с помощью (6) и 9〃+丫« = 1, 2,...,用 с помощью (2), для qn^ (v = = 1,2,..., k) получим выражения, по виду совпадающие с (6). Итак,

q：= % ^i^^ + ^^ ^+^(о=\^^..,п+^(1з)

了，/=1т=1

где R； , R； , R ——известные функции координат и времени.

Предположим теперь, что существует такая условная голоном- ная механическая система, для которой (2)——суть линейные первые интегралы, а система уравнений (6) — алгебраическое следст-

вие ее уравнений движения и частных первых интегралов (2). Тогда дифференциальные уравнения движения условной голономной механической системы (8) обратятся в тождества при замене в них

9ь (о = 1，2,…,п + k) и q%(V = 1, 2,...,舟 их значениями согласно (13) и (2). Эти тождества, очевидно, примут вид

Е '力眾 ij + £ s;仇 + s’ 三 о,(14)

где функции S； , S； , Sa — функции координат, времени, искомых функций 8疗，gj, go и их частных производных первого порядка по координатам и времени.

Тождества (14) справедливы лишь в том случае, если

S； = S； = S' =0 (о= 1, 2,…，九+依 i, j = 1, 2,и).

Итак, получим

m=("土喽土25+田

уравнений, линейных относительно искомых функций g^, gjt go и их частных производных первого порядка. Число N? искомых функций g^ , gj, go равно

N __ (九 + 论 + 1)(九 + 々 + 2)2 =2，

причем каждая из искомых функций может зависеть от 〃 + 力 + 1 переменных %,%，…，9九+月，t・

Таким образом, для определения N? функций п + k + 1 переменных имеется всего лишь А\ линейных уравнений в частных производных первого порядка, и, следовательно, поставленная задача не имеет решения лишь в случае несовместности этой системы.

Предположим, что эта система совместна и что она проинтегрирована, т. е. найдена функция Лагранжа условной голономной системы. Вычислим функцию Гамильтона " условной голономной механической системы и в уравнениях связей (2) заменим д^ через дН1©р^, так что уравнения (2) примут вид

叶々

,£4%+А = 0(у= 1,2,…，田.(15)

Найдем теперь неполный интеграл

У〃 = 丫日(％，02，…，9〃+h； J, c(2, ..., %; /),(16)

удовлетворяющий системе уравнении

嗡上+川（v=l,2….，田嗡上+川（v=l,2….，田— + Н = 0. dt

嗡上+川（v=l,2….，田

嗡上+川（v=l,2….，田

7=1

Полную систему интегралов найдем по теореме Лемана-Филе.

Пример 2. Материальная точка массой т перемещается в плоскости е%у под действием потенциальных сил, силовая функция которых имеет вид

U = г%, где г = const, % = ]Лт %,宾=Мт у.

На движение материальной точки наложена неголономная связь

% =「1 %•

Проинтегрировать систему дифференциальных уравнений, описывающих движение материальной точки, методом Гамильтона—Якоби.

Решение. Функция Лагранжа базисной голономной механической системы имеет вид

L。= (1/2)加g2+/)+ u=(1/2)(済 + %)+".(18)

Следовательно, полная система дифференциальных уравнений, описывающих движение материальной точки, состоит из уравнения связи

% =匕比(19)

и уравнения движения

%—广=0.(20)

Из (19) следует

%=广1支.(21)

Предположим, что условная голономная система существует. Пусть функция Лагранжа L этой системы имеет вид

22

厶=1/2 Е% + go・

j=l£=1

Тогда, представив уравнения движения этой условной голономной системы

в явном виде и исключив из них 夕2 «1 н g2 c помощью (19), (20) и (21), получим два квадратных относительно qi уравнения. Приравнивая нулю коэффициенты при второй, первой и нулевой степенях q^ этих многочленов, получим систему шести уравнений в частных производных первого порядка относительно шести искомых функций gn, ^2, §22, gi，gz, go, каждая из которых может быть функцией трех переменных %,仇，L Это обстоятельство позволяет выбрать некоторые из искомых функций произвольно, а остальные функции найти интегрированием системы уравнений.

Предположим, что все искомые функции не зависят от времени; и далее, что

gij = Cij = const (г, / = 1, 2).

Тогда система уравнений в частных производных примет вид

「1 С12 = 0,

(22)

гс^ + гА=

=0,

(23)

(24)

『Cl?— 0.

Из (22) следует

(25)

Из (23) — (26) находим

(26)

go = С + д@ + 1/2 片 с?? * ,

где С — произвольная постоянная.

Для завершения интегрирования системы уравнений в частных производных необходимо выбрать функции g】и g2 так, чтобы они удовлетворяли (24). Предположим, что

gi =/ (因О,

где 尸——произвольная функция координат. Тогда, интегрируя (24) по qlt находим

gz = OF I (0%)—々 с?? % + R (%), где R — произвольная функция своего аргумента.

Нас, вообще говоря, устраивает любое частное (но не тривиальное!) решение системы уравнений в частных производных. Поэтому выберем для произвольных функций и постоянных, чтобы в дальнейшем не усложнять вычислений, следующие значения:

F = R = 0, С = 0, Сц = с22 = 1.

Итак, функция Лагранжа искомой условной голономной механической системы примет вид

L = (1 /2) ( * + 出)一厂1 91 % + (彳/2 ) * +“•

Найдем обобщенные импульсы условной голономной системы:

Pl =仇，02 = % — г 1 71-

Функция Гамильтона условной голономной системы примет вид

"=(1/2)[/ + (p2 +「1 %)2] - ( Гj / 2 ) q:-尸弘，

а уравнение связи (19)— ，2 = °・

Найдем теперь неполный интеграл, удовлетворяющий системе уравнений,

(27)

Предположим, что переменные в неполном интеграле разделяются, т. е. что неполный интеграл имеет вид

^н = % (九 ai) + 匕(9l ai)+ 丿2 (%‘％).

Тогда согласно (28)

Следовательно,Следовательно,因 2d% •因 2d% •

Следовательно,

Следовательно,

因 2d% •

因 2d% •

(29)(29)dVdV

(29)

(29)

dV

dV

=匕 +

Подставив (29) в (27), после очевидных преобразований получим

Так как левая часть последнего уравнения зависит от /, а правая — от %, то необходимо, чтобы

dV0dV0% = const.% = const.

dV0

dV0

% = const.

% = const.

Тогда

二一=p2 (а — у)

и, следовательно,

VH = a# + I d% = а/ТVH = a# + I d% = а/Т4 [2 ("一铀)]% •4 [2 ("一铀)]% •

VH = a# + I d% = а/Т

VH = a# + I d% = а/Т

4 [2 ("一铀)]% •

4 [2 ("一铀)]% •

В соответствии с теоремой Лемана-Филе интегралы уравнений движения имеют вид

или в явном видеили в явном виде— Pi (i = 1, 2) dqi— Pi (i = 1, 2) dqi

или в явном виде

или в явном виде

— Pi (i = 1, 2) dqi

— Pi (i = 1, 2) dqi

(30)(30)(31)(31)

(30)

(30)

(31)

(31)

f ~ U2 (“一 aj = %,

J2 (厂仇一％) = pi； p2= 0..

Последний интеграл найдем интегрированием выражения

Разрешая первое из соотношений (30) относительно qlt получим

%=〃2/2 + C/ + G，

где вместо постоянных ах и рх введены новые независимые постоянные Q и определяемые по формулам

Ci =咽；С?=咽 / 2 — % / г.

Заменяя в (31) рг и ^ и интегрируя, получаем

% = G ("3 / 6 + С^ / 2 + С2/ + Сз),

где С3 — новая постоянная интегрирования.

Итак, по методу Гамильтона ——Якоби получаем следующий вид зависимости % и gz от времени:

比=++ G，

(32)

1 (千"з + -у C# + CJ + Сз)) •

Очевидно, что метод Гамильтона—Якоби дает тот же результат, что и непосредственное интегрирование уравнений (19) и (20).

Отметим, что предлагаемый метод интегрирования уравнений движения неголономных механических систем (мето% неполного интеграла) достаточно громоздкий. Однако он имеет и существенные положительные стороны:

активные силы, действующие на базисную голономную механическую систему, могут быть и непотенциальными;

его можно применить к интегрированию полной системы дифференциальных уравнений движения неголономной системы и в тех случаях, когда связи нелинейны относительно обобщенных скоростей;

его можно применить (после предварительных, чисто алгебраических преобразований — преобразований переобозначения) к интегрированию уравнений движения механических систем, подчиненных неголономным связям произвольной структуры и порядка, т. е. связям

.(Л)

fo (^» ^» ^» • • • > q ) 。 (у = 1,…，/) ‘

вытекающим из A-принципа Гаусса

8ш^ = 0, где

2 白 L ri % J

и имеющим вид

ash ,《叭

—才=Q, + 2 (I)大Y，

0先I dqt

где 入v — множители Лагранжа.

—соответственно k — функция Аппеля и обобщенные силы,尸了 一 активные силы, а связи принимаются идеальными в следующем

смысле:

^ 优二 2)(Л)

Е 2•晒=。；

этот метод в ряде случаев позволяет значительно уменьшить вычислительную работу, если полную систему диффер ен ци а л ьн ых уравнений, описывающих движение неголономной системы, можно разделить на две группы уравнений, одну из которых можно интегрировать независимо от другой.

Для иллюстрации последнего положения рассмотрим пример 1, где имеется следующая система уравнений:

91 =厂， «2 =厂191， 9з =厂2，2・(33)

Первые два уравнения этой системы можно интегрировать независимо от третьего уравнения. Система первых двух уравнений в примере 2 проинтегрирована методом Гамильтона—Якоби. Теперь для получения полной системы интегралов уравнений, описывающих движение материальной точки в примере 1, необходимо к интегралам (32) присоединить еще один, который получаем интегрированием третьего из уравнений (32), т. е. интеграл

9з =厂丿2 [(1/24)力 _|—^~&/з Н—^~°2 尸 + °з% + &],

где С4 ——независимая постоянная интегрирования.

Эта особенность предлагаемого метода может быть очень полезной при решении конкретных задач механики неголономных систем.

Глава XII

ТЕОРЕМА НЕТЕР И 圧 ПРНМЕНЕННЕ В МЕХАНИКЕ

Первые интегралы уравнений движения играют в механике большую роль. Даже в тех случаях, когда уравнения движения оказываются неинтегрируемыми, знание некоторых первых интегралов позволяет отчасти представить физическую картину изучаемого движения. Известные законы сохранения количества движения, кинетического момента, механической энергии системы являются первыми интегралами уравнений движения; они действительны для различных конкретных механических систем при определенных условиях, и способы нахождения их различны.

Теорема Эмми Нетер дает единый подход к получению всех законов сохранения для любой системы, уравнения движения которой можно получить из принципа Гамильтона——Остроградского. Она устанавливает связь между динамическими постоянными, т. е. первыми интегралами уравнений движения и условиями инвариантности действия относительно некоторой группы преобразований.

Группы преобразований

Рассмотрим механическую систему с 〃 степенями свободы; ее'положение в каждый момент времени t определяется обобщенными координатами %,…，qn. Движение системы рассмотрим как движение изображающей точки вдоль некоторой кривой в расширенном (〃 + 1)-мерном координатном пространстве 乙+i, где координатами являются величины ^, ..., qn и время t.

Рассмотрим в этом пространстве преобразования координат вида

(1)(1)% = /о (/, 91，…，夕〃，％,…，а「)— /о (£, % а),

(1)

(1)

% ~ / г (厶91, •••, qа，%,・••，а「) ^2^ fi (九 g, a) (i * 1,2, ..., n))

где функции /. зависят от координат 7. и г независимых параметров ^а, причем Оа являются существенными параметрами, т. е. 产 и д.* не могут быть выражены через меньшее их число. Уравнения (1) для каждой системы значений а& определяют преобразование точки Р (力 q) из Vn+1 в точку Р* (#, 7*). Предположим, что функции /. (/ =0, 1, ..., п) непрерывны относительно 力 q. и 。仪 вместе со своими производными первого и второго порядка в некоторой области определения переменных, а якобиан преобразования J =卜爲 J (乙 力=0, 1,…，п) не равняется нулю ни в одной точке области (здесь 70 = Z). В этом случае существует обратное преобразование:

⑵⑵£ =冗(产，产*

⑵

⑵

qt ="(們产 а) (i= 1, 2,…,n),

переводящее точку Р* (产，g*) в Р (力 q).

Если Р* (产，g*) — образ точки Р (/, q), соответствующий определенной системе значений。仪，то при малых изменениях аа получим точки, принадлежащие окрестности точки Р. Поэтому преобразования непрерывны. Символически преобразования (1) и (2) при системе значений al параметров aa обозначим T^q = 7*, Т* q* = 7, т. е. Та〔 является операцией, переводящей точку Р (/, q) в точку Р* (伊，7*), зависящую от Р и значений а：.

Применяя сначала преобразование 丁公,а затем Т^, получаем преобразование Та^а^ называемое их произведением. Необязательно, что произведение двух преобразований принадлежит системе (1), т. е., что существуют такие значения параметров с^, для которых преобразования 丁必 Та^ и Т«з одинаковы. Преобразование Т^ такое, что

7】乙『•

называется обратным преобразованию Та^ Преобразование £, оставляющее неподвижной каждую точку (Eq = 7), называется тождественным.

Однако среди преобразований (1) может не быть преобразования, обратного данному, или тождественного.

Под группой преобразований будем понимать совокупность преобразований (1), подчиненную следующим условиям:

Если два преобразования 丁出 и Т^ принадлежат совокупности, то их произведение Т出 7出 принадлежит данной совокупности. Для того чтобы уравнения (1) удовлетворяли этому условию, необходимо, чтобы существовала система функций

аа =屮а(4 ‘ d)，

чточтоприприпре-пре-определенных для любых систем значений а： и а；, такая, уравнения

что

что

при

при

пре-

пре-

ft [/ (Л % 叫，叫=ft (Л 9,炉)(i= 0, 1, ..., и)

являются тождествами по /, q, а1 и а2.

Выполняется ассоциативный закон

乙(％ %) = (&%)%•

Существует тождественное преобразование Т* такое, котором

'Для любого преобразования Т出 существует обратное образование TJ, такое, при котором

Если выполнены условия 1——4, то преобразования (1) образуют конечную г-параметрическую группу преобразований Gn называемую группой 力".4

Пусть набор параметров а? определяет тождественное преобразование группы

t = foV，q，叫;力="(乙 %0°) (，=1，2 …，几)..

Для упрощения положим а? = 0. ' Если?рассматривать значения а^，достаточно близкие к нулевым, то преобразования (1) можно представить в виде

产 ~ /о (%，% А。)； 9；=力(Л 7» Аа)・

Разлагая в ряд Тейлора и ограничиваясь членами, линейными относительно Л^, получаем

严=/о (/，%。) + Е 考 А" ；q；= fi (Л % 0) + Е W А”，

а=1а=1

где

"也*k"，1，…，*

Обозначая % = △%，получаем преобразование

产=/+ 2 剧 ％； %«*) = %(/)+ 2 5а，(3)

а=1а=1

которое бесконечно мало отличается от тождественного преобразования.

Формула (3) осуществляет бесконечно малое преобразование группы. Систематическое изучение строения непрерывных групп при помощи бесконечно малых преобразований впервые предпринял норвежский математик С. Ли. Можно показать, что любое конечное преобразование группы можно рассматривать как результат бесконечного числа повторений бесконечно малых преобразований. Однако, если задано бесконечно малое преобразование группы, то не всегда можно получить конечное преобразование в форме (1).

Рассмотрим примеры непрерывных групп.

Пример /. Совокупность всех возможных параллельных переносов трехмерной системы координат

f* = /； 4 = *а + а左(论=1, 2, 3),

где 办一обычные декартовы координаты, образует группу G3 параллельных переносов.

Пример 2. Совокупность всех вращений декартовой системы координат на плоскости

/* = /; х* = х cos а — у sin а; у* = — х sin а 十 у cos а образует группу G】вращений на плоскости; бесконечно малое преобразование группы имеет вид

尸=/; х* = х—еу; у* = у — ex.

Пример 3. Совокупность всех возможных переходов от одной произвольной инерциальной системы координат к другой, движущейся относительно первой с постоянной скоростью

/* = f； х& = *々 + и" (^ — 1, 2, 3), где xk — обычные декартовы координаты, образует группу Галилея.

Вычисление вариации действия

Пусть функция Лагранжа имеет вид

L = L(厶 ％,…，qn, %，…，9п) (или сокращенно L = L(力 q, g))・ Интеграл

\L(t,q,q)dt(4)

принято называть действием за промежуток времени [^,勾],где 友 н 为——произвольные моменты времени. Очевидно, каждой кривой у, заданной уравнениями

% =仇(£) (* = 1 ‘ 2, ..., п),

ставится в соответствие определенное значение /. Поэтому обозначим

/(Y)= j L© q, (j) dt.

Рассмотрим группу преобразований Gr более общего вида, чем (1), когда функции /. содержат производные обобщенных координат %.

Формулы

/* = % + М q；(产)=仇(f) + А仇(г = 1, 2, ... , и) (5) или в развернутой форме

I ，(6)

q\^ = q^+ 2 %" dg，i)

представляют бесконечно малое преобразование группы, % — бесконечно малые параметры.

Считаем, что все 8а имеют один порядок малости 8； ясно, что △ ^ и Л / величины того же порядка. Преобразование (5) переводит кривую у в близкую кривую у*, определяемую уравнениями

疝=4(严)G = 1, 2,…,и).

Вдоль каждой кривой 丫

严=/ + AZ, q；(产)=仇(/) + А% (f)・

При этом преобразовании интегралу (4) ставится в соответствие интеграл

/(Y*> = f L(f*, q*, q*) d俨,

где [&*,勾*] — интервал интегрирования, соответствующий интервалу [t^ 勾】в прежних переменных.

Теперь задача состоит в том, чтобы вычислить вариацию интеграла (4) А/, т. е. главную линейную относительно 8 часть разности

/(Y*) — /(Y)= J 4 (严,广 j*) d/* — j L &，q、力"

В первом интеграле перейдем от переменных 产，д* к переменным

По (5)

и с точностью до величин первого порядка малости

/(Y*) — /(Y)=q + A% q + AS (1

— L@, g, g)]df.

Разлагая в ряд Тейлора и ограничиваясь членами первого порядка относительно е, получаем

L(t + Л/, q + Aq, q + А^) = L(Z, д, д)+~^-А% +

i=l "Ii=l dqt

Тогда

/(Y*) — /(Y)=/(Y*) — /(Y)=l备（М+号А"l备（М+号А"А% +А% +dt +dt +(8)(8)

/(Y*) — /(Y)=

/(Y*) — /(Y)=

l备（М+号А"

l备（М+号А"

А% +

А% +

dt +

dt +

(8)

(8)

Приведенные члены представляют собой главную линейную относительно 8 часть разности, т. е. вариацию интеграла (4) А/. Преобразуем это выражение, предварительно заметив, что

△% 干 (А%) (' = 1 > 2, ..., и),

поскольку формулы (5) включают преобразование независимого переменного t.

Введем новые величины 6^р такие, что

3% =%(/)_%«),

(9)(9)(L = 1,2, ..., п)必=9； а)—%©-

(9)

(9)

Они учитывают изменения функций ^. при данном значении t. Очевидно,

з% =帯画 3(Ю)

at

Используя разложение

%(/*) = %(% + А/) = % G)+ 9； (%)А% + …

с точностью до членов первого порядка, имеем

А% =外(产)一仇⑴=9； (0 + %； (%) А% —外(%) = 3% + qi (%) A九

Учитывая (7), получим 左鼠=丄 十 …

Найдем связь между д ^. и 6^.. С точностью до малых первого порядка

4尸青£储一*% (/)= [1 一*(削)]*公(/*)一

— £%(/)= * ⑵；(/*)—%(/)】一£ Q)亲 g； a*)=

="~ (A%) (A%) -~【％ (%) + % «) △外=【3% + % (f) Af]— atat atat

亲(AZ)备g；(/) = 3% + 施Af+帯Q)血⑺一前)]=

=3% + % A九

Итак,

А% = 3% + 力a%； △%=3% + %a/.(И)

Используя (11), представим (8) в виде

F(g +atF(g +at

F(g +

at

F(g +

at

% ( LNt + £ ―— 3% +% ( LNt + £ ―— 3% +

% ( LNt + £ ―— 3% +

% ( LNt + £ ―— 3% +

или с учетом (10)

A/ = J得⑺+吟卽+ e許汨+e/总3%)山.

“%(12)

Преобразуем выражение

dL d 八、 d / dL

dqi 山dt I dqt

и, подставив его в (12), получим

d

dt

dt.

Окончательно,

А/ =А/ =池池山・(13)山・(13)

А/ =

А/ =

池

池

山・

(13)

山・

(13)

Соотношение (13) и есть основная формула для вариации действия А/. Подставляя вместо Af, А% их выражения из (6), представим (13) в виде

，詬管-总）屮・

Здесь

君=Е； — % A (i = 1,2,..., ")•

Таким образом, если даны интеграл (4) и группа преобразований Gr, причем бесконечно малое преобразование группы имеет вид (6), то вариация интеграла А/ представляется формулой (14).

Вывод уравнений движения из принципа Гамильтона — Остроградского и некоторые замечания о функции Лагранжа

Как известно, принцип Гамильтона—Остроградского предполагает вариации переменных специального вида, при которых: 1) область интегрирования не изменяется, т. е. д ^ = 0;

вариации координат равняются нулю на границе области интегрирования:

3力=0 при t = t* и f = %•

Для вариаций подобного вида из (14) следует, что

Принцип Гамильтона Остроградского требует равенства нулю вариации действия вдоль истинной траектории:

Так как область интегрирования произвольна, а вариации координат независимы между собой, то из равенства нулю интеграла

получаются уравнения движения в форме Лагранжа:

詈=° С = 1, 2,…，и).(15) 0% dqi

Для дальнейшего изложения важно заметить, что выбор функции Лагранжа L в интеграле (4), приводящей к данной системе уравнений движения, неоднозначен, т. е. существуют различные функции L(力 ％ g), приводящие к одним и тем же уравнениям движения. Покажем, что если интегралы

/ = \ L«, q, q)df н А = j &仏 ％ g) dt

приводят к одной и той же системе уравнений движения, то L и Lx должны быть связаны соотношением

"& q, q) = L & q, q) + * 入(/, q),(16)

где 入(力，q) — произвольная функция переменных t и q.. Обозначим разность функций Лагранжа 厶】 —— 厶 =屮.

Для функции ф уравнения Лагранжа (15)

一? = 0 (』1,2,…)dt dqt ° 力

должны тождественно удовлетворяться по всем переменным.

Приведем эти уравнения в развернутой форме:

^(爲)+士詮(番)％+±堂(帯)%-

—三 0 (t = 1,2,..., и).

Поскольку это — тождества, то коэффициенты при qk равны нулю, т. е.

一4\- = 0 (厶々=1,2,…，叫

поэтому функция ф должна иметь вид

9=4(力g)+2痂з(力q).

i=l

Тогда уравнения (15) переходят в соотношения

e借-器"(崇t尸。12,…)，

и поскольку они являются тождествами, то

дВ[ дВк с 08. дА n z. < л п 、 * — J = 0, —^―— = 0 (t,&= 1, 2,..., n). dqk g dt dqt

Из этих условий следует, что выражение 屮(/, q, q) df, т. e. Л (/, q) dt + ^Bi (/, q) dq“ является, полным дифференциалом некоторой функции 入=入(九 q), а поэтому

Ф = 入(厶9).

at

Соотношение (16) является не только необходимым, но и достаточным условием того, что функции 厶 и L】позволяют получить одни и те же уравнения движения, в чем легко убедиться непосредственным вычислением; для этого достаточно показать, что

=0 (t = 1,2,..., и).=0 (t = 1,2,..., и).(17)(17)d忌d忌

=0 (t = 1,2,..., и).

=0 (t = 1,2,..., и).

(17)

(17)

d

忌

d

忌

и тождество (17) доказано.

§ 4. Преобразования симметрии

Сначала ствия. Назовем еслиСначала ствия. Назовем еслисформулируем определение инвариантности дей- действне инвариантом группы преобразований Gr,

Сначала ствия. Назовем если

Сначала ствия. Назовем если

(18)(18)L (力 g, q) dt =『厶(产，g*,g*) df*

(18)

(18)

для каждого из преобразований группы. В частности, (18) также справедливо для бесконечно малого преобразования- (5) группы, конечно с точностью до членов, линейных относительно 8.

Пусть теперь 厶】一некоторая другая функция Лагранжа, такая, что для преобразования (5) с точностью до малых первого

пб^ядка выполняется условие

(19)(19)j L«, % q)d/=L^, 7*, q^ dt^.

(19)

(19)

Здесь имеется в виду не обычная инвариантность (18), поскольку в левой и правой частях (19) находятся разные функции Лагранжа (l и

Назовем преобразование (5) преобразованием симметрии, ес： ли функция Лагранжа L* определяемая условием (19), позволяет получить те же уравнения движения, что и L. Легко видеть, что если преобразование симметрии применяется к какому-либо решению системы уравнений движения, то это решение преобразуется в некоторое другое решение той же системы уравнений. Но если для двух функций L n Li получаем одни и те же уравнения движения, то они, как показано в предыдущем параграфе, должны быть связаны соотношением (16).

То же соотношение можно представить в переменных /*,产 Уравнения (19) и (16) образуют основу законов сохранения, связанных с преобразованиями симметрии. Рассмотрим бесконечно малое преобразование группы в форме (5). Используя (19) и (16), выведем условие, позволяющее выяснить, является ли данное преобразование преобразованием симметрии системы. Для этого представим (19) с учетом (16):

J [L(产,+ ±入(产,9*)]山*= J L", q、g)d/ или

г%<

「L(产，产疗)dt^-\ m厶%9)山=一 J *人(产，g*) d" (20)

力*厶Г

t

Левая часть (20) при преобразовании (5) является бесконечно малой величиной порядка 8, следовательно, и правая часть должна быть величиной того же порядка. Поэтому будем употреблять A X вместо 入.Очевидно, с точностью до малых первого порядка относительно & можно считать А入(簿 д*) = А“/, q, q).

Учитывая это и используя выражение для вариации интеграла в форме (8), приведем (20) к виду

白。%£f 0% dt 」

——J (^) ^»(21)

Но поскольку область интегрирования произвольна, имеем

~W (А/)=—吃(А入)•(22)

dt £因■占dqi山dt

Уравнение (22) применяется в качестве критерия для выяснения, является ли (5) преобразованием симметрии для данной системы. Функция Лагранжа L и вариации переменных, определяемые преобразованием (5), используются для того, чтобы вычислить левую часть (22). Если она является полной производной по времени некоторой функции △入，то (5) — преобразование симметрии, и функция ДХ определяется из (22).

Условие (22) можно представить в другом виде, воспользовавшись выражением для вариаций переменных из соотношений (6). Используя (14), представим (21) в виде

dt =dt =

dt =

dt =

где функция ДХ представлена в виде

Учитывая произвольность области интегрирования и независимость еа, получаем г уравнений:

ddtddt%+1 i=l%+1 i=ld "硯dqt=一:入a (a= 1,2,…，广).d "硯dqt=一:入a (a= 1,2,…，广).ииf=lf=l(23)(23)

ddt

ddt

%+1 i=l

%+1 i=l

d "硯dqt

=一:入a (a= 1,2,…，广).

d "硯dqt

=一:入a (a= 1,2,…，广).

и

и

f=l

f=l

(23)

(23)

Если левая часть каждого из уравнений (23) оказывается полной производной по времени некоторой функции 入“(а =1,2,..., г), то (6) является преобразованием симметрии, и 入。 определяется из (23).

В случае, когда бесконечно малое преобразование таково, что левая часть (22) [соответственно (23)] равняется нулю, то действие является инвариантом данного преобразования [в обычном смысле (18)]. Если к тому же d/d《Af) = 0, то (22) принимает вид AL =0, т. е. функция Лагранжа L является инвариантом этого преобразования.

Пример. Рассмотрим малые колебания математического маятника длиной / и массой m с функцией Лагранжа L =(团/2/2)(屮2 —胪平2), где ^2 = g//, <p — угол отклонения маятника от вертикали.

Приведем уравнение движения

Ф + 央中=0.(24)

Рассмотрим преобразование /* = / + е； ▼*(/*) = ▼(/)•(25)

С помощью уравнения (22) проверим, является ли оно преобразованием симметрии. Здесь А/ = е, А(р = 0; левая часть (22) равняется нулю, поэтому (25) — преобразование симметрии, а функция Лагранжа является инвариантом преобразования.

Преобразование

/* = /；?*(户)=?(/).+ £ не является преобразованием симметрии для данной задачи, поскольку левая часть (22) равна 8(р^2 и, очевидно, не может быть полной производной по времени какой-либо функции.

Выясним, что произойдет, если применить эти преобразования к решению уравнения (24):

у = 4 sin (kt + а), где Лиа определяются начальными условиями. Применив к этому решению преобразование а) J = 4 sin [k (f* — £)+ a], получим другое решение того же уравнения:

▼* = A sin (玩* + %), где a 1 = a —呪.

В случае преобразования б)、

ср* = 4 sin (kf* + a) + £, очевидно, это выражение не является решением уравнения (24).

Теорема Нетер

Теорема. Пусть задано бесконечно малое преобразование a=l

「(26)

0：(产)=qt (0 + 2 喈:侑% g) (i = 1,2,…，%) a=l

конечной группы Gr Если функции Лагранжа L и Li удовлетворяют условию '

J L«, q, q^dt = ^ 厶 & 9*, g*) df*

no отношению к преобразованию (26) “, кроме того, позволяют получить одни и те же уравнения движения, то существует г

линейно независимых первых интегралов уравнений Лагранжа вида

飞 + 虫^М： + ¥ = С°(—1,2, где

Доказательство теоремы Нетер вытекает из общей формулы для вариации действия в форме (14). Действительно, если интеграл (4) инвариантен в смысле (19), то его вариация, отвечающая преобразованию (26), согласно (21) удовлетворяет условию

△/ +△/ +(А入)df = O.(А入)df = O.

△/ +

△/ +

(А入)df = O.

(А入)df = O.

Затем, заменяя Д7 его выражением (14), получаем

Так как интервал интегрирования произволен, а % независимы между собой, то вдоль действительной траектории имеем

［鹏哥 + 犬］=0 (a= 1,2,…，Г) 或白dqt.

ИЛИ

пп毋+£%£+产=b (а= 1,2, ・・•，/•)・毋+£%£+产=b (а= 1,2, ・・•，/•)・(27)(27)

п

п

毋+£%£+产=b (а= 1,2, ・・•，/•)・

毋+£%£+产=b (а= 1,2, ・・•，/•)・

(27)

(27)

Таким образом, получено г линейно независимых первых интегралов (27) уравнений Лагранжа (15). Теорема Нетер доказана.

В случае г = 1 первый интеграл можно представить в виде

Ш + У —淋+厶入=AC.Ш + У —淋+厶入=AC.(28)(28)

Ш + У —淋+厶入=AC.

Ш + У —淋+厶入=AC.

(28)

(28)

Рассмотрим несколько примеров. .

Пример 1. Материальная точка массой m движется по прямой в однородном силовом поле. Функция Лагранжа имеет вид

L = (1/2) m2 + kxt

где k = const.

Бесконечно малое преобразование f* =力 х* = х + еоставляет инвариантным в смысле (19) интеграл (4), так как из уравнения (22)ё左=一三• (a入)，at

откуда ДХ =——е氈，и по теореме Нетер имеем первый интеграл вида (28), а именно:

тх — kt — С.

Пример 2. Рассмотрим одномерное движение системы, состоящей из п свободных материальных точек массами т» (i = 1,2 п)и функцией

Лагранжа

L^~ £色х： •i=l

При бесконечно малом преобразовании группы Галилея 尸=f;*；=勺 + Auf

вариации скоростей равны6xz = Ay.

Тогда

£ 恤勺 Ay = Ди V — (m闻 i=i /i=i

и уравнение (22) принимает вид

A。t 普(*=-京(a人),/=1

a入=-I ?m勺)Au.

V=1/

Здесь интеграл (4) также инвариантен в смысле (19). С помощью соотношения (28) получаем первый интеграл уравнений движения

еS勺）方一工恤勺=G.

z=i

i=l

(29)

Кроме того, в этом случае действует закон сохранения количества движения системы

п

色 Xj = сЗ.

t=l

Пусть хс — координата центра масс:

X

п

々=1

~~М~

где М = £ mk — масса всей системы.尼=1*

Тогда закон сохранения (29) принимает форму закона движения центра масс системы:

хс

М

Пример 3. Свободная материальная точка массой /п движется в трехмерном пространстве. Функция Лагранжа

1 V * 2

Здесь Xi,包 ％ — декартовы координаты.

Рассмотрим полную группу движений в трехмерном евклидовом пространстве:

尸=/；々=勺 + b^ijXj + 6%，尸=/；々=勺 + b^ijXj + 6%，(30)(30)

尸=/；々=勺 + b^ijXj + 6%，

尸=/；々=勺 + b^ijXj + 6%，

(30)

(30)

где 6(o jj являются компонентами антисимметричной матрицы, определяющей бесконечно малые вращения относительно осей декартовой системы координат:

DOба)]?— 6(012 О&3]3— 6о)23DOба)]?— 6(012 О&3]3— 6о)23-沁136⑴23О-沁136⑴23О(31)(31)

DOба)]?

— 6(012 О

&3]3— 6о)23

DOба)]?

— 6(012 О

&3]3— 6о)23

-沁136⑴23

О

-沁136⑴23

О

(31)

(31)

Обозначим 8/ =6а/ (г = 1,2,3) параметры, определяющие бесконечно малые сдвиги вдоль координатных осей; &4 = б(023, 85 =6(о13, &б = 6(о12.

Тогда преобразование (30) с учетом (31) и введенных обозначений примет вид

/* =九

(32)(32)*[ = *1 + ё1 - e5^3 + “心，

(32)

(32)

*2 = *2 + % + е4 心一£бх1»

彳;=*3 + £3 — %心 + 65*1 •

Преобразование (32), очевидно, является бесконечно малым преобразованием группы движений в трехмерном пространстве, зависящей от шести параметров. Легко проверить, что при преобразовании (32) левые части уравнений (23) равняются нулю, следовательно, X а = 0 (а = 1,2, ...,6).

По теореме Нетер имеем шесть независимых первых интегралов вида (27), а именно:

тх* = С】， т ( *2*з —心*2)= СЗтх2 = С2, m ( *з*1 — х/з )=0,тх3 = С8, т ( х/2 — *2*1) = С'・

Первые три интеграла представляют закон сохранения количества движения, а остальные три — закон сохранения кинетического момента.

Пример 4. Колебательная система с одной степенью свободы движется в среде с сопротивлением; предполагается, что сила сопротивления пропорциональна первой степени скорости: 尸=——§и, где § ——коэффициент сопротивления. Уравнение движения системы

ddtddtдТдТдТдТдхдхдП_ дТдх . дхдП_ дТдх . дх

d

dt

d

dt

дТ

дТ

дТ

дТ

дх

дх

дП_ дТдх . дх

дП_ дТдх . дх

Кинетическая энергия Т =(1/2)加％辑,потенциальная энергия 〃= (i/纟) сх2, с —— коэффициент упругости.

dдТдТд八世"T* -l + 跡 —L 一("一陷)=0•山дхдхдхdдТдТд八世"T* -l + 跡 —L 一("一陷)=0•山дхдхдхВ данном случае существует непотенциальная сила сопротивления, однако можно ввести функцию Лагранжа следующим образом: умножим обе части (33) на 卩(f)=國/ и представим (33) в в盟把

dдТдТд八

世"T* -l + 跡 —L 一("一陷)=0•

山дхдхдх

dдТдТд八

世"T* -l + 跡 —L 一("一陷)=0•

山дхдхдх

Поскольку

то, обозначив L =卩(丁 — 〃), из уравнения (33) получим уравнение движения Лагранжа (15).

Таким образом, в данном случае действие непотенциальной силы учитывается путем замены функции Лагранжа L — Т ——П другой функцией

L = “(Т — 〃)=产(l/2/nx2 — 1/2 ex?)・

Обозначив

2〃 = 3 kz = c/m\

представим L в виде

L= (1/2) (x^ — ^)^nt.

Уравнение движения системы имеет вид.

х + 2nx + k2x = 0.

Рассмотрим преобразование

/* = / + "** = * — еду.

Учитывая, что А/ =е, Ах = —епх, А% = — епх и подставляя эти значения в уравнение (22), находим

d

—-(a入)=0, ?. е.a入=0.,

dt

Из формулы (28) получаем первый интеграл

^-~- х2 +£ k2x2 + ггхх］。2山—с.

Он играет ту же роль, что и интеграл энергии для консервативной системы.

Примечание. Следует иметь в виду, что некоторые авторы в литературе называют теоремой Нетер менее общую теорему: если задано бесконечно малое преобразование конечной группы G「，оставляющее действие инвариантным 8 обычном смысле (18), то существует г линейно независимых первых интегралов.

Очевидно, что класс преобразований, рассматриваемых в этой формулировке, является частью класса преобразований симметрии.

Теорему, доказанную в этом параграфе, иногда называют обобщенной теоремой Нетер.

Вывод основных законов сохранения в механике

Пользуясь видом подынтегральной функции в интеграле (4), с помощью теоремы Нетер можно найти функции, сохраняющие постоянные значения вдоль каждой траектории системы, т. е. законы сохранения.

Закон сохранения энергии

Рассмотрим, что дает теорема Нетер в случае, когда функция Лагранжа механической системы не зависит явно от времени, т. е.厶=L(q, q) (система не обязательно склерономна). Независимость от t означает, что интеграл (4) инвариантен в обычном смысле относительно бесконечно малого преобразования:

*(34)

%(产)=% G) a= 1,2,…，n).

Действительно, левая часть (22) равняется нулю, поэтому △入=0. Из (28) получаем первый интеграл уравнений движения в виде

п _ _。Е q» — L = С.п _ _。Е q» — L = С.(35)(35)

п _ _。

Е q» — L = С.

п _ _。

Е q» — L = С.

(35)

(35)

Это соотношение, как известно, называется обобщенным интегралом энергии или интегралом Якоби.

Для склерономной системы (35) является обычным законом сохранения механической энергии.

Закон сохранения обобщенного импульса

Пусть L не зависит от координат. ^, ^2, ..., q” т. е. они являются циклическими координатами. В этом случае бесконечно малое преобразование

(36)(36)q“ = q(t + % (а = L 2,..., г)

(36)

(36)

加=仇(i = г + 1,广 4-2,..., и)

оставляет инвариантной функцию Лагранжа, так как при нем равняются нулю левые части уравнений (23), а △力=0.

Используя формулы (27), получаем г первых интегралов:

= Са или % = С“ @=1,2,…，)(37)

因аа

т. е. с помощью теоремы Нетер получили известный результат: обобщенные циклические импульсы при движении системы остаются постоянными.

Покажем теперь, что законы сохранения количества движения и кинетического момента системы могут быть получены из равенства (37) для циклических координат.

Закон сохранения количества движения

Пусть обобщенная координата qi такова, что система может перемещаться в направлении d%, как одно Целое. Например, % может быть одной из декартовых координат центра масс. Тогда, очевидно, q〔 не войдет в выражение кинетической энергии Т, поэтому dTI©q〉= 0. Уравнение Лагранжа для координаты qt имеет вид

色旦=一更(38)

山 dqi0勿

ИЛИ

肃 Pz = Qr

Здесь V — потенциальная энергия системы.

Покажем теперь, что это уравнение выражает теорему об изменении количества движения, т. е. что обобщенная сила Q^ представляет сумму проекций всех внешних сил на направление dqh a pi — проекцию количества движения на то же направление.

Обобщенная сила

где F. — внешние силы, действующие на систему. В данном случае

孚=7,dqi

где / — единичный вектор направления d%・ Следовательно,

Qz = E冗 Z

т. е. Q/——сумма проекций всех сил на направление Z Поскольку кинетическая энергия системы имеет вид

то обобщенный импульс pz можно представить (учитывая, что

Здесь р/ — проекция количества движения системы на направление I. Предположим теперь, что рассматриваемая координата д? является циклической. Тогда

Qi == О,

и получаем закон сохранения количества движения в проекции на направление I:

Pz = С・

Итак, если обобщенная координата qt такова, что допускается перемещение системы как целого в направлении dqh а сумма проекций всех внешних сил на это направление равна нулю, то согласно теореме Нетер из инвариантности L относительно бесконечно малого преобразования

I, q： = qI&

вытекает закон сохранения количества движения системы в направлении dqt в форме

4 = С

°qi

Закон сохранения кинетического момента

Аналогично можно показать, что если координата ql такова, что d% соответствует вращению системы вокруг некоторой оси, то равенство р【=С выражает закон сохранения кинетического момента системы относительно этой оси. Рассуждая так же, dt е

как и выше, делаем вывод, что и в этом случае 瓦=0, н опять получаем уравнение (38). Но, так как теперь qt является угловой координатой, то нужно показать, что обобщенная сила Q? является суммарным моментом всех сил относительно оси вращения, р?—— кинетическим моментом системы относительно той же оси.

Нетрудно показать, что в этом случае

дг j ——-

•т= / X 々，°qi

где / — единичный вектор оси вращения.

Тогда

/^—^^

i=l,»=1

И

卩=£ = »" 2 = Vm^ (7 х7)=

gXm^f).

Если угловая координата qt циклическая, то обобщенная сила Q/, являющаяся моментом всех внешних сил относительно оси /, равна нулю, и из уравнения (38)

= С

Следовательно, если координата qt такова, что dqt соответствует вращению системы вокруг некоторой оси, а сумма моментов внешних сил относительно этой оси равна нулю, то на основании теоремы Нетер из инвариантности функции Лагранжа относительно бесконечно малого преобразования

f* =/, q； = qi，，*/； q； = qI + &

следует закон сохранения кинетического момента системы относительно этой оси в форме

Mi

§ 7- Обратная теорема Нетер

Рассмотрим механическую систему с функцией Лагранжа L = L(f, q, q). Ее определитель Гесса

丨%/ = -：一"： =#0.-

GqQqj

Тогда существует матрица Н'1 = || 九⑦ || , обратная матрице Н = II hij II . Следовательно,

п

£ hkjhjt = 3々加

/==1 где•

I 1 3 = i)・

159

Выясним, можно ли, зная г линейно независимых первых интегралов уравнений движения, найти соответствующее преобразование симметрии системы.

Если бесконечно малое преобразование

(39)(39)et=l

(39)

(39)

9：（产）=%（%）+t嗔（f，9, q） （，=i,2,…，几）а=1

является преобразованием симметрии системы, то, как показано в § 4, должны выполняться условия (23). С другой стороны, согласно теореме Нетер, уравнения движения системы допускают г линейно независимых первых интегралов

(40)(40)。，,q, q) = С (^ — г), где

(40)

(40)

S 0力

Напомним, что 三；=Е； — q总.

Представим условия (23) в виде

++00

+

+

0

0

или, используя (40),

& = 0 (а — 1,2, ..., г).& = 0 (а — 1,2, ..., г).

& = 0 (а — 1,2, ..., г).

& = 0 (а — 1,2, ..., г).

Очевидно, эти соотношения тождественно выполняются вдоль любой траектории. Представим их в развернутой форме:

dt 白。％ 白 dqj £ 总〈dtdqi dqjdqt '

d%・ dqtd%・ dqt

d%・ dqt

d%・ dqt

Ясно, что вдоль любой траектории коэффициенты при всех 9) равняются нулю, т. е.

—-У —^-^^° 0 =1,2,…，几；I, 2，…⑺.

0% M 2%此1

Для каждого ^значения а получается п линейных уравнений с п неизвестными 質(i = 1, 2,…，“).Приведем решение этой системы:

九(，=1,2,…，几；a 1,2,..., г).(41)

Соотношения (41) выполняются вдоль любой траектории. Но система уравнений Лагранжа (15) является системой обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка относительно функций %(/), любое решение которой определяется начальными условиями % =%("), %。=%(/о)・ Очевидно, каждому набору начальных значений %,仇°, qi0 соответствует определенная траектория. Так как&； зависят только от 力 q и % а через любую точку пространства {/, % q} (если ее взять за начальную) проходит соответствующая траектория, то соотношения (41) выполняются в каждой точке этого пространства.

Теперь остается найти go- Из (40)

- Г-入)(a = 1,2,…,г).(42)

Если g； определяются формулами (41) однозначно, когда известны функции £И , то величину & можно найти лишь с точностью до произвольных функций 入a =入。(/, g, ^), Это значит, что взяв конкретные функции Ха (а =1,2, ...,/*), получим определенное преобразование симметрии. В частности, положив 入a =。口 = =1, 2,厂),получим

(a=l,2,・・・，r)・(43)

卜 £ Gq» lJ

Но в § 4 показано, что, когда 入。=о, преобразование (39) оставляет действие инвариантным.

Таким образом, доказана обратная теорема Нетер: если известно г линейно независимых первых интегралов уравнений движения, то бесконечно малое преобразование, определяемое формулами (39), (41) и (42), является преобразованием симметрии системы.

Еще раз подчеркнем, что это преобразование неоднозначно.

Частным случаем этой теоремы является следующая теорема: если известно г линейно независимых первых интегралов уравнений движения, то существует единственное бесконечно малое преобразование, зависящее от г параметров и определяемое формулами (39), (41) и (43), которое оставляет действие инвариантным.

Как нетрудно увидеть, эта теорема является обратной к «необобщенной» теореме Нетер (см. примечание к § 5).

-161 —

Рассмотрим два примера применения последней теоремы. Ограничимся случаем г = 1 и искомое преобразование представим в виде

%* = f + Af,(T^^q^ + Мь(44)

где

А/ =疋о； А% = 3伙 + qN、Mi =喝・

Пример 1. Рассмотрим движение материальной точки массой /и под действием центральной силы с функцией Лагранжа вида

L = (1/2) /и ( г2 + 产屮2)+ 々〃・

Здесь в качестве независимых координат % и 俏 выбраны полярные координаты г и ф, ^ =« const.

У равнения движения имеют вид

г — г 屮2 + —^― = 0;屮)=о.

mr2dt

В этом случае существует первый интеграл

加厂2 屮=с, т. е. D = тг? у.

Найдем бесконечно малое преобразование, соответствующее этому первому интегралу и оставляющее действие инвариантным. Из формулы (41)

Подставляем эти значения в (43):

е0 =(D — —e:—世一三)=L7加(/^? _ Г2у ) п 0.

I 力0中中丿

Учитывая (44), получаем искомое преобразование

f* = f,尸(户)=г«),中* a*)= 中«)+ e.

Пример 2. Для малых колебаний математического маятника длиной I и массой /и функция Лагранжа имеет вид

L= (1/2)т/2 (% —卧暇)・

Здесь в качестве независимой координаты q взят угол отклонения маятника от вертикали ф, a fea = g/l.

• Уравнение движения имеет вид

у +々2平=0.

Оно допускает первый интеграл

加2 (中2 +左2中2)= &

выражающий закон сохранения механической энергии маятника.

Здесь, очевидно,

D =欣2 (《2 +左2cp2)・

Из формул (41) и (43)

dDdDЭсрЭср=2中；=2中；

dD

dD

Эср

Эср

=2中；

=2中；

Eq = L 1 (D —"■ —：— & ] = L^ml2 («р2 + 胪喂一2 у) = — 2.

Тогда, используя (44), находим

Af = —2e, Дср = е^ +(pAf = O.

Итак, в данной задаче преобразование /* = f ——2е,(р*(/*) =(р(/) оставляет действие инвариантным.

Глава XIII

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ИНВАРИАНТЫ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Определение интегральных инвариантов

Как известно, законы сохранения (инвариантности) играют в механике большую роль. Важное значение имеют, в частности, так называемые интегральные инварианты, введенные впервые Пуанкаре [11].

Пусть имеется система обыкновенных дифференциальных уравнений

^^ Xj(X], %2，••• , %〃，/) (' ^^ 1, •••,孔)，(1)

at

которые можно рассматривать как уравнения движения точки с координатами ^, ..., хп в “-мерном пространстве. Если рассмотреть такие точки, занимающие в начальный момент 左-мерную область Do, то и в последующие моменты они будут занимать тоже 左-мерную область D. Вычисленный по этой области ^-кратный интеграл от некоторой комбинации решений системы (1) называется, согласно Пуанкаре, интегральным инвариантом порядка А, если он сохраняет свое значение для любого момента времени. Так, например, если материальная точка движется в плоскости по инерции, то дифференциальные уравнения ее движения можно представить в виде

乙，У = /，匕=0, "у = 0, а их решение

Vх = a, by = Ь, х =^ at -]- с, у = bt d^ Интеграл

/ = J [曲+汕一(唯+泞排，

Г. Пуанкаре (1854—1912)Г. Пуанкаре (1854—1912)вычисленный по отрезку кривой четырехмерного пространства %, у, 乙储, представляющему собой геометрическое место точек, занимавших в начальный момент заданный отрезок кривой, является интегральным инвариантом. Действительно, так как

Г. Пуанкаре (1854—1912)

Г. Пуанкаре (1854—1912)

3% = /За + М, 切=/ть+込，

3乙=配，泞У =池 то3乙=配，泞У =池 то—/必—於力）=k说+汕==c + d,—/必—於力）=k说+汕==c + d,т. е. величина / не зависит

3乙=配，泞У =池 то

3乙=配，泞У =池 то

—/必—於力）=k说+汕=

=c + d,

—/必—於力）=k说+汕=

=c + d,

от i (пример заимствован с некоторыми изменениями из [4]).

Если, как в рассмотренном примере, интегральный инвариант обладает свойством инвариантности для любого выбора области начальных условий, то он называется абсолютным. Если же область интегрирования должна быть замкнутой, то соответствующий интегральный инвариант называется относительным.

Пуанкаре [11] широко применял интегральные инварианты для изучения движения небесных тел, в частности для изучения устойчивости асимптотических и двояко-асимптотических движений в

задаче трех тел. Новые выводы в задаче трех тел с помощью теории интегральных инвариантов получил Шази. Важные результаты для изучения движения астероидов и комет дали исследования Виль- кенса. Интегральные инварианты нашли применение в статистической физике, в квантовой механике и в качественной теории дифференциальных уравнений. В дальнейшем ограничимся лишь линейными интегральными инвариантами.

Линейный относительный интегральный инвариант Пуанкаре первого порядка

Если интерпретировать движение системы с п степенями свободы как движение изображающей точки в 2/г-мерном пространстве состояний, то принцип Гамильтона ——Остроградского можно сформулировать следующим образом:

для истинной траектории изображающей точки

8 f Ldt = 0.

При этом сравниваются действительная и возможные траектории, имеющие те же концы, что и действительная.

Вычислим теперь вариацию действия по Гамильтону, переходя от одной действительной траектории к другой, тоже действительной. Каждую траекторию будем определять некоторым параметром а, от которого зависит начальное положение изображающей точки, т. е. начальное состояние системы, задаваемое начальными значениями обобщенных координат q и импульсов р. Время при вычислении вариации не варьируется, так как оно не зависит от а. Имеем

3 弋 Ldt 」3 弋 Ldt 」必必

3 弋 Ldt 」

3 弋 Ldt 」

必

必

Так как вариации изохронны, то для операций варьирования и дифференцирования справедливы перестановочные соотношения

ТогдаТогда》％ 二 ~dt》％ 二 ~dt

Тогда

Тогда

》％ 二 ~dt

》％ 二 ~dt

и, следовательно,

8 f Ldt - V — ^i -У —泌 +

hi=l dqi f=%，=1 °力 f=」i

d dL、= (I 1,. %)•〃 dqi Mid dL、= (I 1,. %)•〃 dqi Mi

d dL、

= (I 1,. %)•

〃 dqi Mi

d dL、

= (I 1,. %)•

〃 dqi Mi

Так как эти смежные траектории являются действительными, то при движении по ним выполняются уравнения Лагранжа, т. е.

Тогда

или, переходя к обобщенным импульсам,

/2п

t\1=1

п

/2 Z —1f — f ]

⑵

Рис. 5Рис. 5Так как оператор варьирования

Рис. 5

Рис. 5

3 二一—(也，

можно представить в виде

⑦(/, a) % 一=

ch

=ypi^Qi=ypi^Qi

=ypi^Qi

=ypi^Qi

ИЛИ

3⑦(厶 а) = £р0% —ypi^i ,(3)

i = l/=% i=lf=•厶

где

Ф (/, а)三 j Ldt.

Вообразим замкнутый контур начальных положений изображающей точки (начальных состояний системы), зависящих от параметра а, и построим для каждой совокупности начальных условий (для каждого значения а) траекторию изображающей точки.Тем самым получим некоторую трубку траекторий (рис. 5). Каждому значению времени t соответствует некоторое сечение трубки траекторий (некоторый замкнутый контур положений изображающей точки). Для того чтобы контур начальных состояний системы был замкнутым, параметр а должен быть периодической функцией другого параметра, т. е. его начальное значение аг и конечное значение а? должны совпадать:

а%・

Тогда

j 3⑦(Z, %) = f 8Ф a) = 0

Таким образом, из (3)

d) f内讪p® =(),11j=l

где I и II — контуры сечений трубки траекторий в моменты 友 и /2 соответственно. Отсюда

人=У ?卩画i = const

，=1

⑷

для любого момента времени. Полученный интеграл называется линейным относительным интегральным инвариантом Пуанкаре первого порядка или интегральным инвариантом Пуанкаре первого порядка.

§ 3. Интегральные инварианты высших порадков

Преобразуем выражение (4):

nf—1nf—1n

n

f—1

n

f—1

E 回+ PiMi).

i=l

Но

(f 3 f PiQi ™。・ ' t—1

Следовательно,

八и八и人=十 上 (即力-Qi^PiYi=l人=十 上 (即力-Qi^PiYi=l

八и

八и

人=十 上 (即力-Qi^PiYi=l

人=十 上 (即力-Qi^PiYi=l

Применив к этому интегралу известную теорему Стокса

с 尸 v (х, у) dx 十尸у (х, у) dy =с 尸 v (х, у) dx 十尸у (х, у) dy =dxdy9dxdy9

с 尸 v (х, у) dx 十尸у (х, у) dy =

с 尸 v (х, у) dx 十尸у (х, у) dy =

dxdy9

dxdy9

где ь ——любая поверхность, ограниченная замкнутым контуром С, имеем

2 VW?/- (•(5)

Последний интеграл обозначим /2 и назовем линейным абсолютным интегральным инвариантом второго порядка или интегральным инвариантом второго порядка.

Картан [6] с помощью созданного им метода внешних форм пока* зал наличие интегральных инвариантов более высокого порядка, вплоть до порядка 2〃, имеющих вид

/2尸[[…f 2 м.占仇，…，^Pi (2 = 2,・・・，П).

Инварианты нечетных порядков являются относительными, инварианты частных порядков — абсолютными. Кроме того,

‘2^ = ‘2〃l1 ⑺=1,,几),

если контур, по которому вычислен /2^—1, является границей области интегрирования для /2”.

Интегральные инварианты, определенные в этом и предыдущем параграфах, называют также универсальными интегральными инвариантами, так как они не зависят от функции Гамильтона "(f, q, р) и, следовательно, действительны для любой гамильтоновой системы.

Выражение

также является интегральным инвариантом (абсолютным), имеет большое значение в статистической физике и называется интегральным инвариантом Лиувилля. Он выражает неизменность объема фазового пространства для любого момента времени.

Канонические преобразования и интегральные инварианты

Покажем, что интегральный инвариант (5) остается инвариантным при каноническом преобразовании координат. Это утверждение составляет теорему Пуанкаре и означает также неизменность интегрального инварианта первого порядка (4) при каноническом преобразовании. Так как область интегрирования в (5) является произвольной двумерной поверхностью в фазовом пространстве, то для характеристики положения изображающей точки на ней выберем два параметра 〃 и и, так что

% 二%(小 仍，％ = p№ S，

Имеем^PfiQi = ° <"' •'» 3〃3и,

где …— якобиан, определяющий связь между элементом 9(〃，и)

площади 3〃3и и элементом площади 汕诃广 Равенство 屮ё初画尸uё服必，

QiD k

выражающее теорему Пуанкаре, можно, следовательно, представить в виде

DDG (〃，и)Dh о (〃，о)G (〃，и)Dh о (〃，о)

D

D

G (〃，и)Dh о (〃，о)

G (〃，и)Dh о (〃，о)

Так как область интегрирования D произвольна, то равенство интегралов возможно лишь при равенстве сумм якобианов:

I д (uf V) У 0(〃，и) *⑹

Рассмотрим каноническое преобразование, определяемое производящей функцией 尸Kg, Q, f）, когда

dFr

2-

3Qh

Тогда

ди 二 k

dqidqk

叩dQk dq[dQk d〃 '

dv^^

叫 因m%

dv 令

严氏dQk .

Oq©Qh dv '

Подставляя полученные выражения в левую часть （6）, разбивая каждый определитель на сумму двух и вынося в каждом столбце общие множители, получаем

、d （内，仇）=V、d （内，仇）=V-02f1 0仇，%）dq[dqk d （〃，v）-02f1 0仇，%）dq[dqk d （〃，v）@2左 d（Q为，q"OqOQh0（"，u）@2左 d（Q为，q"OqOQh0（"，u）

、d （内，仇）=V

、d （内，仇）=V

-02f1 0仇，%）dq[dqk d （〃，v）

-02f1 0仇，%）dq[dqk d （〃，v）

@2左 d（Q为，q"

OqOQh0（"，u）

@2左 d（Q为，q"

OqOQh0（"，u）

Первая сумма в правой части этого равенства равна нулю； так как она не зависит от порядка индексов f и ^, а в то же время определители, стоящие в ней, изменяют знак при перемене этих индексов местами. Итак,

d（ut v） “ eqiOQh d（〃，U）* Аналогично

i d（〃，S A dQkdqi d（〃，u） * Следовательно,

不 d（〃，s d d（〃，u） *

Таким образом, теорема Пуанкаре доказана. Идея этого доказательства заимствована у Голдстейна [4], где оно приведено для производящей функции типа 尸2句，尸，力）• Тем же способом можно рассмотреть и канонические преобразования, осуществляемые производящими функциями других типов. Перейдем теперь к примерам вычисления интегральных инвариантов.

「apMontnecHHii осциллятор

Движение гармонического осциллятора описывается уравнениемq + 叫=О,

решая которое, имеем

7 = &sinsf +。2 cos ⑴厶

где Сх и C2 — постоянные, зависящие от начальных условий.

7—689— 169 —

При вычислении интегральных инвариантов можно вводить зависимость от параметров не непосредственно начальных условий, а других величин, определяемых начальными условиями. Возьмем поэтому

(7>(7>С] —• р cos % ]С2 = bp sinaj

(7>

(7>

где р = ро при вычислении /】и изменяется от 0 до р0 при вычислении /2, b = const, а изменяется от 0 до 2л.

Рассматривая кинетическую энергию в виде Т = (1 ⑵аД найдем

р = ―= a q 0 as a cos st — C2 sin sf). 8q

Перейдем к вычислению интегральных инвариантов:

厶=i噥и厶=i噥и2t

厶=i噥и

厶=i噥и

8x = asp。f (cos a cos sf —b sin a sin s/) (b cos a cos sf—

(8)(8)—sin a sin s/) За = absp加

(8)

(8)

гдегде0(” q)d(P，а)0(” q)d(P，а)g（p，е）9（Р，а）g（p，е）9（Р，а）ЗрЗ%ЗрЗ%=bpas.=bpas.

где

где

0(” q)

d(P，а)

0(” q)

d(P，а)

g（p，е）

9（Р，а）

g（p，е）

9（Р，а）

ЗрЗ%

ЗрЗ%

=bpas.

=bpas.

Таким образом,

Ро 2n

厶= j j osbp3p3a = ab^p^.

о о

В § 4 настоящей главы доказана инвариантность интегральных инвариантов при канонических преобразованиях координат. Убедимся в этом непосредственным вычислением интегральных инвариантов для гармонического осциллятора. В качестве производящей функции возьмем

尸]= (1/2)азд2 dg q.

Тогда

尸 =— = 丄 a(oq2 _}_夕= 互L = asqctgQ.

dQ 2 号 sidQdq? z

Откуда

q=丿夫se Q，

p = ]/2。⑴尸 cos Q・

Представим функцию Гамильтона для гармонического осциллятора:

н = Т + П = ±- aq^ + ^cq^ = ± р^ + ± cq\

где с = оо)2 — коэффициент восстанавливающей силы, а также преобразованную функцию Гамильтона:

К = Н+ ^ =" =(oPcos2Q + sPsin2Q = sP・

Тогда канонические уравнения Гамильтона примут вид

°T = s，Р =°T = s，Р =дК ~~dQдК ~~dQ=°,=°,

°T = s，Р =

°T = s，Р =

дК ~~dQ

дК ~~dQ

=°,

=°,

откуда следует, что Р = const, Q = з 力 + у, причем Р = £/(о, где £ — полная энергия осциллятора. Постоянные Е иу связаны с постоянными & и С2 зависимостями

Е = (1/2)43 2(&2 + С22); у = arctg &&・

Следовательно, соотношения (7) следует заменить соотношениями

£ = (1/2)о(о2p2(cos2a + Z^sirAx)； у = arctg(btga).

Вычисляем интегральные инварианты:

1 У6133 0aabm^ —2и аналогичнор р Ро 2厶=J J №3Q = j j о о1 У6133 0aabm^ —2и аналогичнор р Ро 2厶=J J №3Q = j j о о瞪 аз* (cos2 а + Z?2 sin2 а)Ь х = I оа =J 2 (1 + b2 tg2 a) cos? а2n2[»a = at(j)p^瞪 аз* (cos2 а + Z?2 sin2 а)Ь х = I оа =J 2 (1 + b2 tg2 a) cos? а2n2[»a = at(j)p^W，Q)Bpba = a/хор2Hd (p, a)0W，Q)Bpba = a/хор2Hd (p, a)0

1 У6133 0a

abm^ —2

и аналогично

р р Ро 2

厶=J J №3Q = j j о о

1 У6133 0a

abm^ —2

и аналогично

р р Ро 2

厶=J J №3Q = j j о о

瞪 аз* (cos2 а + Z?2 sin2 а)Ь х = I оа =

J 2 (1 + b2 tg2 a) cos? а

2n2

[»a = at(j)p^

瞪 аз* (cos2 а + Z?2 sin2 а)Ь х = I оа =

J 2 (1 + b2 tg2 a) cos? а

2n2

[»a = at(j)p^

W，Q)Bpba = a/хор2Hd (p, a)0

W，Q)Bpba = a/хор2Hd (p, a)0

Зависимость E иу от параметровp и a можно взять иначе, например £ = pcosa, у = bpsina, с такими же, как и в (7), значениями а, р и &.

Тогда

“§PBQ = “*a=F 成；厅誅*=W.

Этот результат, конечно, отличается от (8), так как взят другой контур начальных условий.

Физический маятник

Дифференциальное уравнение движения физического маятника имеет вид ср +(o2sinq)= 0, где(о2 = g〃，

а I ——приведенная длина маятника.

Интегрируя это уравнение (или используя теорему об изменении кинетической энергии), получаем

(1/2) ф2 —со (cos ф — cos a) = 0,(9)

где a ——амплитудное значение угла отклонения маятника от верти* кали. Учитывая, что

cos(p = 1—2sin2(p/2, и обозначая

sin(a/2)=耳 sin (屮/2)=々sin “，

представим (9) в следующем виде:

и =о)Д/1—^2sin2u.

Решение этого уравнения найдем с помощью эллиптических функций:

〃 =ат [со (/ — /0),团.

Откуда

ср = 2arcsin{fesn [со (/ — /0), k]}9(10)

где to ——момент времени, соответствующий прохождению маятником положения равновесия, зависящий, как и 归,от начальных условий. Начальные условия, в свою очередь, зависят от 左 и 加.Вычислим обобщенный импульс, соответствующий обобщенной координате ф：

dt 1

Р = ―「= — т^&ф,

где т — масса маятника, b ——расстояние от оси подвеса маятника до его центра масс.

Зависимость начальных условий от параметров г и ф введем соотношениями

k = rcos^9 /о = *(1 + sin 屮),

где 屮 изменяется от ——冗 до л, г = /*о при вычислении 厶 и изменяется от 0 до го при вычислении /2, Y = const. Сначала вычислим

22 J0 (Г,屮)丫

НО0 i

追“ g) = 1L£L P R」必+ 色 _

d(r,屮) 0他，/о) d(r，屮)\泌山。

где

-^- = —2<о^ сп [со (/ — /0) 川.

Затем

Эср —

sn [з (/—/о), /г] + ^ сп [« (/— /0) t k] — гт [з (/ — %), k]

2^； (11)

dn【3(/ — fo),同'

-^- = 2炉左 sn 心(/ —分，团 dn [3 (/ - %),穹, 山0

Эср dk

=2s jcn [(о (/ — %), k] — ksn [(о (/ — /0), k] X

X^s(f ),《

Тогда

и

^"；] = 一 ^^2^Г2 cos 屮 a + sin 屮)

/2 =——4丁优gb j J r2 cos 屮(1 + sin 屮)6恥厂=0.

О —тс

Следовательно, и /х = 0. Но, с другой стороны,

人=j P穿蝕=丄mgb j屮

J O^ o)2J

dk . d*

林十m?

Таким образом, для вычисления /】необходимо использовать формулу дифференцирования амплитуды Якоби по модулю. Для вывода этой формулы рассмотрим эллиптический интеграл первого рода:

dxН —胪 siM хdxН —胪 siM х

dx

Н —胪 siM х

dx

Н —胪 siM х

где k — модуль, 〃 = am(z,舟 —— амплитуда; не изменяя значения, сообщим модулю и амплитуде приращения Д^ иАа. Тогда

p "_ рdx_

]У \ — k2 sin2 х JV1 ——(/г+Д/г)2 sin2 x

= ( "——%Г —……空•

У Ml —但十 A/s)2sin2x J /1 — (/г + Afe)2sin2z

Ho

f^=尸(〃» + A田.

J У1 — (/s-f-A/s)2 sin2 х

Второй из полученных интегралов преобразуем с помощью теоремы о среднем:

Т -——=

2)^1 — (/г + Д/г)2 sin2 xУ1—(k + Д/г)2 sin2 (u + 6Дw)

где

0 < 0 < 1.

Следовательно, имеем

F ("，旬=尸(4，左 + ZU) 4——А" .

/1 — (/г + А/г)2 sin2 (“ 十必〃)

Отсюда

a" =一[尸(〃，k + A左)—F (/ 初 M1 一(左 + A例2 siM (认 + 必4).

Разделив наД^ и перейдя к пределу при△力 f 0, получим по определению производной

—啤И М 1—胪SiM% ・

dkdk

Используем теперь известное (см., например, [5], стр. 921, формула 8.123.1) соотношение:

"(〃，»[~~ — kkf2"(〃，»[~~ — kkf2E色，田一丄尸（"，左）——3ew上三£?注一

"(〃，»[

~~ — kkf2

"(〃，»[

~~ — kkf2

氏"2 /1 —/s2sin2〃

где Е(〃,左) 一 эллиптический интеграл второго рода,左'=]/1—左'一 так называемый дополнительный модуль.

Подставив это соотношение в полученную формулу и учитывая,

что

и = am (n,左)，sin 〃 = sn (z,田，cos 〃 = cn (г,田,У 1 ——^2 sn2 (z, ^) = dn (z,舟，

а также соотношение

получимдат (z, k) dk~получимдат (z, k) dk~Е [аm (z,田，用=j d%2匂，舟 dy,о

получим

дат (z, k) dk~

получим

дат (z, k) dk~

=-- dn(N,舟 + 广左/sn(Z，田^^⑵ 舟 -

后小舟期

Тогда

J cos ф сп [о (/ — V ——т sin 屮)，广 cos 屮]{①丁厂 cos 2屮 cn [co (t — ^r —

-yr sin 屮)，r cos 屮]+ s (f --v) sin 屮 cn [co (/ - 了 一

++-V sin 中)，Г cos 屮]+

+

+

sin 屮-sin 屮-sn [co (t ——yr ——yr sin 屮),r cos 屮]dn [co (/ ——7г--# sin 中),r cos 屮]

sin 屮-

sin 屮-

1 — r2 cos2 Ф

cn [<o (t — v ——yr sin 屮),r cos 屮]sin 屮1 — r2 cos2 屮cn [<o (t — v ——yr sin 屮),r cos 屮]sin 屮1 — r2 cos2 屮3 (f—T「一y sin 屮)C dn2 (у,厂 cos 屮)dy} X3 (f—T「一y sin 屮)C dn2 (у,厂 cos 屮)dy} Xоо

cn [<o (t — v ——yr sin 屮),r cos 屮]sin 屮1 — r2 cos2 屮

cn [<o (t — v ——yr sin 屮),r cos 屮]sin 屮1 — r2 cos2 屮

3 (f—T「一y sin 屮)

C dn2 (у,厂 cos 屮)dy} X

3 (f—T「一y sin 屮)

C dn2 (у,厂 cos 屮)dy} X

о

о

X d屮=0.

Отсюда для любых значений(о, f, у и г

те О) (/—yr—yr sin Ф) . ,. . ч, 1

dM (у,dM (у,РГSin 屮 COS 屮 С%2 [з (/ 7尸—^r Sintp),厂 cos 屮]

dM (у,

dM (у,

ОО1 — Г2 СС$2 屮

О

О

г cos 屮]j(0了 cos 2屮 еМ [co (f - v - v sin 屮)，r cos 屮]+

+ s (/ - yr) sin 屮 cn [co # --Tг一yr sin 中)，Г cos 屮]+

sn [3 (/ ——V ——V sin 屮)，r COS 中]由2 [З(/ ——V —— V sin 屮)，「 cos 屮]..1

1 一，2 COS2屮SI” 屮・

Таким образом, использование интегральных инвариантов позволяет не только исследовать движение изучаемой динамической системы, но и получать новые интегральные соотношения между специальными функциями, описывающими решение динамических задач.

Системы уравнений, имеющие интегральные инварианты

В § 2 этой главы доказано, что для гамильтоновой системы уравнений действителен интегральный инвариант Пуанкаре. Докажем обратное утверждение: если система уравнений

^=Q"），第""，。）и）

имеет относительный интегральный инвариант /1? то она обязательно имеет гамильтонову форму. Действительно, если /х постоянен, то 山一0 -

Но

普=枝噜M + 竺内融i = ®£筹Mi +i=lt=lf=l

++dqtdtdqtdt

+

+

dqtdt

dqtdt

вследствие перестановочности операций дифференцирования и варьирования.

Вычислим интеграл с помощью интегрирования по частям:

=Об

J d/J at

Вследствие замкнутости контура интегрирования проинтегри рованный член равняется нулю:

или на основании уравнения （12）

®t（B3%-Qj»i） = O・

Так как контур интегрирования произволен, то подынтегральное выражение является вариацией некоторой функции —"（力 g, р）.

-176 —

ОткудаРОткудаРдН с ЗН п дН—> Qi =「Ш1И В =—=d仅汕dqtдН с ЗН п дН—> Qi =「Ш1И В =—=d仅汕dqtдНдН%=丁 讣1%=丁 讣1

Откуда

Р

Откуда

Р

дН с ЗН п дН

—> Qi =「Ш1И В =—=d仅汕dqt

дН с ЗН п дН

—> Qi =「Ш1И В =—=d仅汕dqt

дН

дН

%=丁 讣1

%=丁 讣1

что и требовалось доказать.

Теорема о единственности универсального интегрального инварианта

Теорема утверждает, что любой универсальный интегральный инвариант

4 = $ £【4 伉 q> Р)3% + В» (厶 ％ Р)冲小 л

отличается от интегрального инварианта Пуанкаре /】лишь постоянным множителем, т. е. если /\ = const, то // =。厶・

Докажем, считая для простоты 〃 = 1. Тогда условия сохране

ния 石=0 можно представить в виде

专 ^)[Л(/, %р)М + В(/, д,р)*]=О・(14)

При этом в подынтегральное выражение необходимо ввести р и % применив решение канонических уравнений движения:

q = q", %, %), Р= Р也 %, Ро)，

а вместо начальных условий 70 и р0 — функции, определяющие замкнутый контур начальных условий:

% = % (а), Ро — Ро (а)・

Дифференцируя в (14) под знаком интеграла и меняя затем порядок дифференцирования по / и варьирования, имеем

^^q + A^ +普立+風筹]=0.

Затем проинтегрируем по частям и используем замкнутость контура интегрирования, вследствие которой проинтегрированные члены равняются нулю:

Ф [+什"3需+普立 + BG警卜肌[器+Ф [+什"3需+普立 + BG警卜肌[器+ОбозначимОбозначимдЛ ОрдЛ ОрдВдВ°q°q(15)(15)

Ф [+什"3需+普立 + BG警卜肌[器+

Ф [+什"3需+普立 + BG警卜肌[器+

Обозначим

Обозначим

дЛ Ор

дЛ Ор

дВ

дВ

°q

°q

(15)

(15)

Тогда из уравнений Гамильтона

дН

困

последнее уравнение примет вид

• дН 0 =• дН 0 =д / Мz дн]=др \ dt dq /Из (15)dz32#dtdpdtпоэтому (17) преобразуем к видуд / Мz дн]=др \ dt dq /Из (15)dz32#dtdpdtпоэтому (17) преобразуем к виду击管т*)・.(17)dqdt '击管т*)・.(17)dqdt 'Так как равенство (16) справедливо для любого контура начальных условий (любого контура интегрирования), то подынтегральное выражение является вариацией некоторой функции, т. е.

• дН 0 =

• дН 0 =

д / Мz дн]=

др \ dt dq /

Из (15)

dz32#

dtdpdt

поэтому (17) преобразуем к виду

д / Мz дн]=

др \ dt dq /

Из (15)

dz32#

dtdpdt

поэтому (17) преобразуем к виду

击管т*)・.(17)

dqdt '

击管т*)・.(17)

dqdt '

dz_ 0dt др dq dq др *

Вследствие универсальности инварианта I； последнее равенство должно выполняться при любом Н. Следовательно, все частные производные функции 2 равны нулю, а сама функция постоянна, т. е. z = с.

Откуда

дА дрдА дрдВ—=e3qдВ—=e3qо (А —⑺=包 дрdqо (А —⑺=包 дрdq

дА др

дА др

дВ

—=e

3q

дВ

—=e

3q

о (А —⑺=包 дрdq

о (А —⑺=包 дрdq

Из этого условия следует существование такой функции Ф(/, q, р), что

浊=(А — cp)&q + В 6р.

.Тогда

/Вд + ВВр = с优 q + 8Ф,

поэтому

'；=夕("М + "р) = °，优9 + $ 即=c'w

что и требовалось доказать.

При n > 1 доказательство при сохранении его идеи усложняется. Ли Хуа-Чжун [18, стр. 237——247] доказал единственность как относительных, так и абсолютных универсальных интегральных инвариантов любых порядков.

Интегральный инвариант Пуанкаре —Картана

Ldt действия по ГамильLdt действия по ГамильРассмотрим полную вариациюЛ J

Ldt действия по Гамиль

Ldt действия по Гамиль

г2Д j Ldtг2Д j Ldt• Д/р• Д/ртону, сравнивая, как в§ 2, действительные траектории, отличающиеся начальными условиями, т.е. значением параметра а, от которого зависят начальные условия. Имеем

г2

Д j Ldt

г2

Д j Ldt

• Д/р

• Д/р

=J AL成+ L • Д/2 —I

f[/=^2t = t*

Так как смежные траектории являются действительными, то получим, повторяя вычисления § 2,

А，Ldt = ± (р/力 If — Pi^Qi L-_-Z1) + 4=% • № — "j • M・

h ' t=i

Используя связь между полной и изохронной вариациями

A% 卜=,々="力 Ь=/ + % (人)a"伍=1, 2),

а также выражение для функции Гамильтона " = 2р^. — L, представим предыдущее равенство в виде

^ \ Ldt =^ \ Ldt =一二 PfiQi 卜h一二 PfiQi 卜h

^ \ Ldt =

^ \ Ldt =

一二 PfiQi 卜h

一二 PfiQi 卜h

一矶刃m•

Рассматривая, наконец, зависимость фазовой траектории от параметра а при условии, что начальное а】и конечное а2 значения его совпадают, и беря интеграл от полной вариации действия по Гамильтону в пределах от ах до а2, получаем

0u (Е 〃3% "А/) — $[ (Е р囱i — "А/) = О или

$ (Е g% — "Af) = const.(18)

Полученный интеграл называется интегральным инвариантом Пуанкаре——Картана. При его вычислении рассматривается трубка траекторий в расширенном фазовом пространстве, включающем в качестве координат, кроме обобщенных координат % и обобщенных импульсов р., еще время /, а контур, по которому ведется интегрирование, не обязательно является контуром одновременных состояний,

Если же интегрирование вести по контуру одновременных состояний, то интегральный инвариант Пуанкаре——Картана (18) переходит в интегральный инвариант Пуанкаре (4).

Системы дифференциальных уравнений движения, не имеющие интегральных инвариантов

Из § 2 и 7 этой главы следует, что если движение механической системы нельзя описать с помощью канонических уравнений Гамильтона, т. е. если силы, действующие на нее, не являются консервативными, то выражение ^Spf^. не является инвариантом и зависит от времени.

Рассмотрим два примера движений подобного рода.

Пример /• Пусть движение механической системы с одной степенью свободы является затухающим колебанием и описываается, следовательно, дифференциальным уравнением

q + ?nq + k^q = 0,(19)

где & > 九 > 0. Решение этого уравнения имеет вид

q = е~п* (С* sin со/ + С2 cos з/), где з =旷兴一и2 .

Введем те же, что и в § 5, зависимости (7) постоянных интегрирования Q и С2 от параметров р и а:

Cj — р0 cos а, С2 = бро sin а.

Если по-прежнему рассматривать кинетическую энергию в виде

Т=(1/2)血2, то обобщенный импульс дТ ・

р =——=的=ae~~nt [Сх(0)cos з/ —— 九 sin ①/) — С2 ® sin з/ + 九 cos w/)].

Вычисляя теперь §p 5q, имеем

0 pbq = nabsp； e~2〃f 尾 const.(20)

Пример 2. Если же движение механической системы описывается уравнением

q —2切 +胪q = 0,(21)

где 尼 > 九 > 0, с решением

q = е〃 (Cj sin ⑴/ + C2 cos <«/) > где s = У fe2 — /?, то легко получить

0 叫—冗。匕嘅 с?"'卢 const.(22)

Результаты (20) и (22) отличаются от соответствующего результата (8) § 5 только множителем er^ht или e2nt. Таким образом, при неограниченном

возрастании времени @р6 q в примере 1 уменьшается до нуля, а в примере 2 неограниченно возрастает. Следовательно, трубка фазовых траекторий, внутри которой располагаются все возмущенные малыми изменениями начальных условий фазовые траектории, в примере 1 сужается к точке, а в примере 2 — неограниченно расширяется. Это связано с тем, что затухающее колебание в природе 1 устойчиво, в то время как колебание с возрастающей амплитудой в примере 2 представляет собой неустойчивое движение.

Последний множитель Якоби

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

dxn __ dx〃+iX/г X〃+idxn __ dx〃+iX/г X〃+i(23)(23)

dxn __ dx〃+i

X/г X〃+i

dxn __ dx〃+i

X/г X〃+i

(23)

(23)

Если

(24)(24)/ (工1， *2，•••，Xq X〃+i) = Constявляется интегралом системы (23), то уравнениеу业阳=0

(24)

(24)

叶1ляKgx* = o・叶1ляKgx* = o・(25)(25)является следствием этой системы. Для выполнения (24) необходимо и достаточно, чтобы

叶1ля

Kgx* = o・

叶1ля

Kgx* = o・

(25)

(25)

Если известны % независимых между собой интегралов системы (23) fi，/2,・• •，/п (заметим, что их значение позволяет выразить хх, х2, ...» хп в виде функций хп+1), то любая функция от них тоже является интегралом и, наоборот, любой интеграл является функцией /1，%，・••，Аг・ Или, если f — некоторый произвольный интеграл системы (23), то якобиан

。(*1，*2，. • •，^n, *"+1)。(*1，*2，. • •，^n, *"+1)(26)(26)

。(*1，*2，. • •，^n, *"+1)

。(*1，*2，. • •，^n, *"+1)

(26)

(26)

и, наоборот, если этот якобиан является функцией / и равняется нулю, то / является интегралом.

Таким образом, уравнение (25), если известна система п независимых интегралов, можно заменить уравнением (26). Обозначим алгебраическое дополнение элемента % через 4., заметив при этом,

что Л £ не зависит от /; представим (26) в виде

(27)(27)УА^ = 0.

(27)

(27)

Имея п интегралов /х, /2, ..., /п, можно построить сколь угодно много новых интегралов, беря различные произвольные функции от

一 181 —

fi，『2, •••，/п・ При этом уравнения (25) и (27) остаются справедливыми для любого интеграла /. Следовательно, можно найти такую функцию M(%i,％, /+1)，что

/» = МХ» (i= 1,2,..., и, п+ 1)(28)

или

МК (/) = —℃&&«%)—.(29)

0(X], *2’ . • •，^п > Х〃+1)

Определенная соотношением (29) функция М. называется множителем системы уравнений (23). Ясно, что множитель системы зависит от выбора интегралов /1? %,…,fn и, следовательно, не является единственным. Для вывода дифференциального уравнения множителя докажем предварительно, что

0.0.“+1

0.

0.

Рассмотрим для этой цели определитель

〃1〃2 〃〃+1

DD。打дх2 дхп+1。打дх2 дхп+1叶1i=l叶1i=l

D

D

。打дх2 дхп+1

。打дх2 дхп+1

叶1

i=l

叶1

i=l

Легко видеть, что

л dDa лdDu

Ab = •—- или Ak =——

*duk 左d (行)/(d办)

Тогда

，=1 z i=l 也=1 dxtd

так как это выражение представляет собой сумму определителей, & которой для каждого слагаемого определителя имеется парный определитель, полученный из него перестановкой двух столбцов и отличающийся от него, следовательно, только знаком. Отсюда со г* ласно (28), следует дифференциальное уравнение в частных производных для множителя

叶12j=i叶12j=idWXj) — °dxtdWXj) — °dxt

叶1

2

j=i

叶1

2

j=i

dWXj) — °dxt

dWXj) — °dxt

или

尸X2亜+ М尸些尸X2亜+ М尸些=0.=0.(31)(31)

尸X2亜+ М尸些

尸X2亜+ М尸些

=0.

=0.

(31)

(31)

Введем в систему (23) новые переменные уъ %,…，уп+1. Тогда

d?h _ОУк+ q dyhdx尸_ dyh+ у Оук Хг =

dx〃+i°*%+iдхгdx〃+i °x〃+iО*' X%+i

=丄* x，也 х〃+1 М「а〃=丄* x，也 х〃+1 М「а〃У--к (原).八九+1У--к (原).八九+1

=丄* x，也 х〃+1 М「а〃

=丄* x，也 х〃+1 М「а〃

У--к (原).

八九+1

У--к (原).

八九+1

Следовательно,」"= КЗи система (23) примет видСледовательно,」"= КЗи система (23) примет видdx〃+iX/z+idx〃+iX/z+i

Следовательно,」"= КЗ

и система (23) примет вид

Следовательно,」"= КЗ

и система (23) примет вид

dx〃+i

X/z+i

dx〃+i

X/z+i

КЗ) — К®2)КЗ) — К®2)dynК仇)dynК仇)dg〃+iК (Ум)dg〃+iК (Ум)(32)(32)

КЗ) — К®2)

КЗ) — К®2)

dyn

К仇)

dyn

К仇)

dg〃+i

К (Ум)

dg〃+i

К (Ум)

(32)

(32)

При этом К(/) остается инвариантным. Действительно,

〃+1〃+1п+1〃+1〃+1п+1讨 дугdyr dxt讨 дугdyr dxt

〃+1〃+1п+1

〃+1〃+1п+1

讨 дугdyr dxt

讨 дугdyr dxt

Следовательно, интеграл системы (23) при переходе к новым переменным остается интегралом системы (32).

Вычислим теперь, зная множитель системы (23), множитель системы (32). Умножим обе части (29) на якобиан

0 (勺，*2，. . .，*〃，Х/7+1)

0(力，//2,y〃，уп+i) *

Используя равенство

。(『，fi, • • •,『〃) a (f, fi, • • • , 3)* a (*i, • • •, *〃‘ *〃+i)

。(//1, • • •, Уп» У п+1)а (*1, • • • , ^п，*〃+1)。(//1» • • • , Уп' У〃+1)

являющееся обобщением правила дифференцирования сложной функции, получаем

М а (*1, •••‘*〃，*〃+i) к ⑺=a (f, fi, •…’f〃) d (//i, • • • > Уп, P〃+i)。(//i > //2» • • •，Уп» Ут+1)

Г Таким образом, вследствие инвариантности /<(/), множитель системы (32) имеет вид

М^ = М а(X]，…，с，*〃+])

а дифференциальное уравнение (30) заменяется уравнением

л 4-1л 4-122ам, к дмам, к дм(33)(33)力=i力=i

л 4-1

л 4-1

2

2

ам, к дм

ам, к дм

(33)

(33)

力=i

力=i

Якоби [6] показал, что множитель системы (23) можно эффективно использовать для ее интегрирования, если известны интегралы /1，『2，• • • > fn— 1 •

Перейдем к новым переменным:

/1 = Уп Л — Уг> ••• > /«-I — %т，%〃 = Уп，%〃+丄=Уп+i* (34)

Так как K(yQ = 0 值 =1, 2, ..., п — 1), то систему (23) с учетом (32) представим в виде

dy _ dy == душ = 叫几=町用dy _ dy == душ = 叫几=町用(35)(35)

dy _ dy == душ = 叫几=町用

dy _ dy == душ = 叫几=町用

(35)

(35)

где Х'п и X/2+i представляют собой Хп и X〃+i после замены в них всех переменных через уп и уп^\ согласно (34). Для завершения интегрирования необходимо найти решение уравнения

X〃d%+] — Х〃+】dyn = 0.

Эйлеров интегрирующий множитель этого уравнения удовлетворяет уравнению

° (/) + а (/+1) = °.

дупдуп+1 *

Но вследствие (33) этому уравнению удов летворяет и множитель системы (35):

М] = М е(*i' •••，*〃‘ *〃+1) = м a(*i'…，*〃」)= 。｛У1 > • • • » Уп' У п+1)^ (/1, • • • » /д-1)

=必0(/1,…'f"-T)

。(*i» • • • , *〃—i)

Таким образом, множитель системы (23) позволяет завершить ее интегрирование, поэтому он называется последним множителем Якоби.

Систему дифференциальных уравнений движения (1) можно записать в виде (23), если 也+〔 = f, X〃+i = 1. Дифференциальное уравнение последнего множителя Якоби системы (1) имеет вид

(36)(37〉(36)(37〉ам у д (МХ» = °友十4 -—

(36)

(37〉

(36)

(37〉

1=1 или

dM I R дХ» с

由白此

Если извёстны п — 1 независимых интегралов системы (1)

Л (-^i，...»хп, /) = & (f = 1 >..., м—1)(38>

и ее последний множитель 〃(/, х2, ...» %, %), то ее интегрирование заканчивается квадратурой

f 长(也—X；d/) = J где Л =,

а штрихи означают, что в функциях Хп, Л4 и Л посредством (38) % %2，・••, ^л-i заменены через хп и

Интегральные инварианты н последний множитель Якоби

Пусть система дифференциальных уравнений (1) имеет абсолютный интегральный инвариант наивысшего возможного порядка

/л = J J • • • • У Л4汝］次2 • •.次疗(39〉

Выясним условия, которым должна удовлетворять функция Мг чтобы выражение (39) было интегральным инвариантом. Введем зависимость начальных условий от параметров а1? а2, .*., ап и представим (39) так:

J J J a。几)(4U)

、w‘

Так как %, а2,…，ап не зависят от времени, то условием инвариантности является равенство

—2支，，2二二*〃)= о,(4П

dt L a(ai, а2» • • •»an) J '

что выражает независимость подынтегральной функции в (40) от L Представим (41) в различных видах:

dM d(*i,…，с) + м 眾卜…’…才‘К’…

或 。(々i, ... , а〃)。(а】,а? , • • • , ал)

必 д^, ... , ал) 白д (ап а2,, ал)”

&м a (*i, ..., *；?) j д^ °Xj * a (*i, &' • • • , *〃)° df д (у,…，％) 召 dxt 。⑸，％，…，an)

или после сокращения на якобиан в следующем виде:

坦+ m §匹也 白。管坦+ m §匹也 白。管=0.=0.

坦+ m §匹也 白。管

坦+ m §匹也 白。管

=0.

=0.

Из сравнения полученного равенства с (39) следует, что JJ...J М X

Х3%1・..6%п является интегральным инвариантом системы (1) тогда и только тогда, когда M(xlt х2,...,况九,t) — последний множитель Якоби системы (1). Если, в частности, (1) представляет собой систему канонических уравнений Гамильтона, то как следует из (3), М = 1 являтся последним множителем.

Таким образом, если известны 2〃 一 1 интегралов 九(д, р, /) = =& системы канонических уравнений Гамильтона

%= 丁，Р^ = — — 3 = 1,••・，〃),dpk弥

то последний интеграл можно найти вычислением такой, например квадратуры

где А =2Х&，丿2丿“ • •. •，『2，」) и。(91, • • • , 9〃； Pi, • • • , Pn-i)где А =2Х&，丿2丿“ • •. •，『2，」) и。(91, • • • , 9〃； Pi, • • • , Pn-i)

где А =2Х&，丿2丿“ • •. •，『2，」) и

。(91, • • • , 9〃； Pi, • • • , Pn-i)

где А =2Х&，丿2丿“ • •. •，『2，」) и

。(91, • • • , 9〃； Pi, • • • , Pn-i)

—-выражены через рл и /. 困眉

「лава XIV；

УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ РЕОНОМНЫХ СИСТЕМ

Механика реономных систем является одним из важнейших разделов аналитической механики. Существующие уравнения аналитической механики, которые можно использовать для описания движения реономных систем, имеют существенный недостаток —— они не инвариантны по отношению к группе преобразований координат, содержащей время. Уравнения Лагранжа второго рода по форме, безусловно, инвариантны по отношению к кинематическим преобразованиям координат, однако отдельные части уравнения Лагранжа не являются инвариантными величинами. Для того чтобы обойти эту трудность, использована тензорная форма записи уравнений движения механических систем*. Это позволяет, во-первых, добиться инвариантности полученных уравнений по отношению к группе преобразований координат и, во-вторых, получить наиболее компактный вид уравнений движения.

§ 1\Реономная геометрия

Для решения задачи используем геометрическое представление реономной системы как точки в деформирующемся пространстве, метрика которого определяется зависящей от времени кинетической энергией системы, подобно представлению склерономных систем в римановом пространстве конфигураций. Теорию таких деформирующихся пространств называют реономной геометрией. Все величины, образующие структуру реономной геометрии, должны быть инвариантными по отношению к группе преобразований координат, содержащей время.

%£ = %《/； /)・(1}

Для этого все величины реономной геометрии должны быть сильными тензорами. Назовем сильным (контрвариантным) вектором систему величин 仆，которые при кинематическом преобразовании

х1 = N (л/, /)

преобразуются так же, как обычный тензор при геометрическом преобразовании

W =川(л/).(2>

Иными словами

h = .空一小’дх»

как в случае преобразований (1), так и в случае преобразований (2). Полезно отметить, что d%» не является сильным вектором, так как

•d^= — dx^ + — dt.

Аналогично могут быть образованы сильные тензоры различного ранга и вида. Практически сильный тензор может быть образован следующим построением. Пусть задан сильный тензор V, зависящий от%',%' и/. Тогда производная от сильного тензора V по х1 есть также сильный тензор. Действительно, так как

=и не зависит от 炉. Поскольку V есть сильный dW dW

тензор,

Дифференцируя это равенство по 旅，получаем

дУ1 — дх1 а『dxk @/ dxk

Это свойство используем для построения структуры реономной геометрии. Метрика реономной геометрии определяется кинетической энергией системы

曲2 = 27 或 2 = aikdxldxk + 2的或 + 4d 产.(3)

Поскольку ds2 как величина механическая инвариантна по отношению к группе преобразований координат (1), дифференцируя по %’ образуем сильный ковариантный вектор

S=的以# +生.

Цифференцируя его еще раз по %匕 получаем ковариантный тензор

dv；aik = ~:~ •

Введение взаимного тензора。〃石丿九 =b 瓦/ и величины а'=冲外 позволяет определить сильный контрвариантный вектор

V1 = а% = xz + ^z

и бесконечно малый сильный контрвариантный вектор

次》= vldt = d 炉 + aldt,(4)

который назовем абсолютным элементарным смещением.

Выражение квадратичной дифференциальной формы в инвари- еЯнтных величинах примет вид

ds2 = %请m次比+ (Д —生硏d产.(5)

Подобно тому, как в римановой геометрии можно ввести поня тие абсолютного дифференциала*, в реономной геометрии вводится по- лятие сильного ковариантного дифференциала:

阴=dv1 +*/加冰+乃"或，(6)

где

厶=a"з屈тл.l-y⑨鉄无+ "a何•一 ％*⑺

в рима-в рима-「j = а"/г, j； A, i ~ ~Y ^tahj + ^jah —。仍)•(8)

в рима-

в рима-

Представив выражение сильного дифференциала в инвариантной форме, получим

М =空 В/ + r\bvh^xk + — dt+ r[vhdt —dxkhkdt九

akdt — rlhkvhakdt.

dxk

Коэффициент при 3* аналогичный римановой ковариантной производной*, назовем сильной производной по %尼：

Ох?

Коэффициент при dt

二* + 里一匕— 吗— 叫初h dtdxk dt h A

назовем сильной производной по времени

V'"=*+ '%" 一a飞出・

Это позволяет представить диффэренциал любого тензора в виде bV = ^^xk + ^tVdt.(9)

Особенностью реономного пространства является изменение его линейного элемента с течением времени. Мерой растяжения реономного пространства служит так называемый тензор растяжения, который может быть введен следующим образом. Рассмотрим скалярную функцию

屮=3 @м阮做")，

где dt = 0; »/ == 0; dx1 = —a'd力 показывающую растяжение пространственного интервала во времени.

Вычисляя 屮，получаем

屮=(dtaik — ^d}aik —。订0& —恤 j&a') Mxkdt.

Выражение в круглых скобках обозначим

2%也=(“的也—^d}aik — aijdpj — а^д^)

* Ковариантная риманоза производная； обозначаемая v^s или о厶々* имеет вид°

"S = %也=景一%叩

ve % =寿+•

и назовем тензором растяжения. Это название оправдывается тем, что в случае выбора нормальной системы координат (все а. равны нулю)

Wik = (]/2)dtaih)(Ю)

и непосредственно определяет растяжение по длине. Тензор растяжения реономного пространства может быть введен также из условия перестановочности. Перестановочными в механике называются два смещения d и d, удовлетворяющие условию

ddx = ddx.

Для реономных систем добавляется еще условие:

ddt = ddt.

Преобразуя эти условия в сильно инвариантные, при выборе нормальной системы координат, получаем

曲 / —万"=^h [^xhdt _ 舐叨/ )・(11)

Реонеголономная геометрия

Для того чтобы рассматривать более общий случай реономных и одновременно неголономных систем, все введенные понятия должны быть расширены. Рассмотрим голономную механическую систему с п степенями свободы, на которую дополнительно наложено г неголономных реономных связей вида

a9idxl+ a9 dt=O.

Здесь i = 1, 2, ..., п, где 〃 一 число обобщенных координат; р = 1, 2, •・.，г, где г -——число неголономных связей.

Такие связи, наложенные на систему, означают, что скорости всех точек уже не могут быть произвольными; п обобщенных скоростей связаны г уравнениями связей, т. е. независимых обобщенных скоростей будет лишь 〃 一 г = т. Если в качестве независимых параметров принять неголономные координаты %', ..., %а , где

底=а； / + а°, (а = 1,2,..., /и),

то все обобщенные скорости можно выразить через них следующим образом:

dxz = b^dx + b^t.(12)

Уравнение (12) задает в каждый момент времени в каждой точке пространства m-мерную поверхность, имеющую переносную скорость 〃.Это движущееся семейство m-плоскостей назовем реонего- лономной геометрией. Допустимые преобразования координат для

(13)(13)реонеголономных систем имеют вид d/ = dkd^ + s'df,

(13)

(13)

dx =状 dx + з“ dt.

Все величины реонеголономной геометрии должны быть инвариантными по отношению к группе преобразований координат (13). Все свойства реонеголономной геометрии, так же как и реономной геометрии, определяются кинетической энергией системы:

2T = а-^х^ + 2а/‘ + А.

Виртуальные перемещения (dt = 0) реонеголономных пространств задаются равенствами:

dx1 =沃 d%° ・

Совокупность этих перемещений определяет m-мерное многообразие виртуальных перемещений (X). Вектор М принадлежит этому многообразию, если он изображается в виде: и' — Ь；и“ . Выражение^ =bv дает проекцию вектора и на подпространство виртуальных перемещений, где Ь ——связующий тензор виртуального многообразия (X).

Абсолютное смещение 6 N в неголономных координатах имеет вид

■ 5/= Ad/ + (” +扭)d/・(14)

Фундаментальная квадратичная форма реонеголономной геометрии, определяемая кинетической энергией системы в неголономных координатах, имеет вид

ds2 = b^dxd^ + 2?ad£ 山 + 昵产.(15)

Преобразуем это выражение в инвариантную форму. Дифференцирование выражения (15) по %” позволяет получить сильный вектор

乡=%Т+Ва・

Вторичное дифференцирование определит сильный фундаментальный тензор Ь^в = "^""*・ Его введение позволяет рассмотреть векторы:

/а =Ра； Ч =儿館/ + Ра"，］八公、

а • а а а а(6

j = %" + Р ; ^ = d% + В d/・

Штрихи под условными знаками относят эти векторы к подпространству виртуальных перемещений. Назовем их соответствен-

но абсолютной виртуальной скоростью и абсолютным виртуальным смещением. Тогда выражение (14) можно записать в виде

6%i = Ь&У + (” +ы—ь^『)dt.(17)

Коэффициент при dt

” + 炉—?4旷=8i

есть сильный вектор. Назовем его поперечной скоростью, так как, очевидно, 8 ортогонален к X. Введенные величины используем для преобразования кинетической энергии системы в инвариантную форму

曲2 =如К" + И + 3 毋)d 产=呼抄 ° + и2.(18)

Пусть дано некоторое поле * лежащее в X. В общем случае 5" не находится в подпространстве X. Назовем X-дифференциалом выражение Sd = b8v, которое представляет проекцию обычного ковариантного дифференциала на подпространство X. Разность ковариантного дифференциала и X -диффер ен ци ал а

3 屈一初=uk^bk = u^jb1^ + u^^dt позволяет ввести два тензора вынужденного изгиба:

Н^=Ь\Ь^^ 成=Ь&М・(19)

Найденные ранее инвариантные величины реонеголономной геометрии позволяют образовать сильный вектор Sa, который назовем центробежным вектором по аналогии с центробежной силой инерции. Для этого выберем два перестановочных смещения 3 и 3 следующим образом. Пусть 3 »' = b；3 ха лежит в X. Очевидно,次' = = Bldt ортогонально к X. Рассмотрим выражение

(1/2) ^Bdt — ^(3//) = & 6%呦・(20)

Используя перестановочные отношения (11), приведем уравнение (20) к виду

(1/2) bBdt— Г (刍汕2)= (1/2)8 (Д + В田)dt —

—次喲3» — В/ (説)—BiW^dt.

Отсюда

Sa = bl (1/23И - V/Bf ~ B^hBt - WikBk). (21)

Для голономных систем

S» = (l ⑵况4(22)

Тензор растяжения реонеголономного пространства можно ввести из условий перестановочности. Рассмотрим два поля векторов

6N и Зх‘， перестановочных вдоль некоторой кривой, лежащей в X.

Продифференцировав выражение

3"=好i+8因 получим

羽 N =冷产 + ^hB^xkdt + ^^dtdt + ⑶瓦亿

Проекция этого равенства на подпространство виртуальных перемещений имеет вид

bW =受炉十 b^hB^xkdt + 哄wB^idt.

Аналогичными вычислениями можно получить

Ь^х1 = 0d + bRkB^xQt + b^^dtdt.

Разность этих выражений равна

(6 6/ -品 /)=匿(品/—8荻)+ 4 Vh8 0%"% — "#五).

Используя условие перестановочности (11), получаем

—疵严=犷 b乳胱 + VfeB9 {^dt — 5 ^dt)・

Согласно выражению (19)

b； b^^ - - 3紡废vM = - BH訪•

Таким образом, окончательно

@£ — S6xa) = (bib^ - В#計)(学办一説В成).(23)

Условие (23) определяет тензор растяжения реонеголономного пространства:

W^ = ^Wih-BtH^(24)

Инвариантные уравнения движения реономных систем

Введенные инвариантные величины реономной и реонеголо- номной геометрии позволяют составить уравнения движения механических реономных систем в инвариантной форме. Для их составления использован принцип Гамильтона, поскольку он сформулирован в такой форме, что оказывается инвариантным к люЗым, в том числе и зависящим от времени преобразованиям координат.

J[^r—Q^) dt = O.(25)

Здесь В — сильная ковариантная изохронная вариация; 3 — сильный дифференциал.

Найдем вариацию удвоенного выражения кинетической энергии:

》(2Т) = В (и2 + А)=^ ®W + 4) = 2u/U + М.

Первое слагаемое этого выражения

v^vldt =内肪仙=6 e荻)—扌曜/ —s取居Nd九

Для голономных систем 6(3旣') = 0. Тогда

bTdt =-(* +取"，丛成+ У 8/山；

8/ =仇4舐，=2s^xl.

Интеграл, выражающий принцип Гамильтона, представим в виде

j —("^取卜，+ Si + Qij ^Xldt = 0.

Для выполнения этого условия величина, стоящая в квадратных скобках, должна равняться нулю. Таким образом, уравнения движения реономных систем с голономными связями в инвариантной форме имеют вид

号+吃%・ = Si+Qi・(26)

Если на реономную голономную систему дополнительно наложены неголономные связи вида

加=炉+以(27)

уравнения движения такой системы представляются в форме

+= + +(28)

at

где R» — реакция, нормальная к виртуальному подпространству (для идеальных связей).

Вследствие уравнений связей (27)

at atatat—

Проектируя уравнения (28) на X, получаем

4号+ £(V声/+中以8+环阴+力取:(У +的=

=心si + "Qi или

等 +4(^ + V田)诡^+耳 I +¥V田+ V尸+

+ W^) = Qa.

В этом равенстве

4殆V田=-8"訪； где

H^i = b；Ь绷加.

Согласно выражению (24) тензор растяжения реонеголономных пространств

既в= b；b%W‘h — BiH 贏.

Следовательно,

〃(胱+ V声)祷炉=既城•

■ Тогда уравнения движения реономных систем с неголономными связями окончательно примут вид

空 +场%不=s° + Qa・(29)

dt

Применение л + 1 - мерного формализма к геометризации реономных систем

Сущность этого метода заключается в следующем. Время / рассматривается как дополнительная rz + 1-мерная координата. Все рассматриваемые объекты принадлежат некоторому n + 1-мерному пространству Хп+1, метрика которого определяется кинетическим потенциалом системы.

ds2 = Ldt2 = (1/2) g^dxd^ = у (gjjd/dN + 2的改成 + Adt2) (30)

a, p = 1, 2,, n + 1； i, j = 1, 2,…，％.

Уравнения движения системы можно получить методом Лагранжа и представить в виде

》+「；%》》+ 2厂；J+尸=0(31)

Эти уравнения полностью совпадают с уравнениями геодезических линий пространства Хп+1, если коэффициенты связности пространства удовлетворяют условиям

г% = 0; Г?7 =「% .(32)

Выполнение этих условий позволяет получить:

「％ = l/2g〃 (％g^ + dkqjt —Oigj)

力=l/2g" (3 円一0円 +。円 3■(33)

1/2^(2ал-а/).

Большой интерес представляет применение п + 1-мерного формализма к движению неголономных систем. Рассмотрим неголоном- ную систему координат. Для реономных систем неголономные координаты определяются соотношениями

6 = ahqk -\- а .(34)

Разрешая эти уравнения относительно q归,получаем

力=成6+风(35)

где

威从х =欧；-A优.

Пусть 屮(9j /) — функция обобщенных координат и времени. Выражение ее полного дифференциала имеет вид

dqi ? dt dqidql

曲淑=% d6 +迎d/・(36)

dt dd r dt

Здесь приняты обозначения

华=曲小王=也》• +曲.(37)

дп dqldt dql dt

Уравнения движения неголономной системы можно представить в виде

产=彳+ Г* qiqk + 2乃力十 Г = Q» + R. (38)

Обозначим 产 обобщенное ускорение в неголономных координатах

广=诡尸.(39)

По аналогии с (38) представим (39) в виде

尸="+ 人沁%Т + 2 绰 3В + A：(40)

где 入喜；Ар； А° — неизвестные коэффициенты связнссти. Для их определения подставим значения /а в (40):

о/ + ^^ + 2Ар з° + А° =広(j + 厂九力№ + 2斗"+ P),

Так как д' = Ь^ 十 炉，то

о/ + 八沁)。0/ + 2А；о)В + А。= а； Ь^ + -у— Ь? со%。+

+屮”崇^+普宀箒…阴+

+区Kb河碎%Т + 2広bibkr^a + 2a汴仍炉+陋% y#+

+ 2a犷», + 区0.(41>

Из равенства (35)

-—儿=Q. —Tb = -CL. •

dqkz dqh dt1 dt^

dbl ” да a 毗dqkdqk dqk

С помощью (42) преобразуем выражение (41):

co0 + Ag[O)%'+ 2AB(o° + A = o)° —

一①7①3 -ьк —— со8一 b唠co3 -

Р、dqkВ dqkР dqk

十十-63 —— ①p -- Ьв -r 屮 -- blbk -rг按bl -—

十

十

° dt p d嗯dqk dqi dt dt

+ а^Г^Ь^ b^a^a^ + 2a： b^bkrlj^ 十 2й/ Ь^Г1^ 十 a；b%*T；论 +

+ 2Г^+ 区「・(43)

Отсюда следуют выражения для коэффициентов связности:

(44)(44)A^i = atb^ bp rljh —広 b：石^ ,др = 碗 Ыг]к +区心г:一春忘必*一1dak 1 此 1个"2 dql 2 P 祖 2PM

(44)

(44)

гдегдеЛО =区从丛^ + 2区犷乃十г" - 6旅粵 - dql dt dt

где

где

Г}к = £ 1(%g/ + dhgjl — °igQ；

厶=у g"(djgi — 0% + ①g〃)； C = }g" ^g^d^)

представляют собой известные выражения символов Кристоффеля второго рода;且律；％; А — коэффициенты в выражении кинетической энергии системы.

Переходя к неголономной системе координат, представим выражение кинетической энергии в виде

Г = ("2) g0^ + g" + (1 ⑵ В.(45)

Коэффициенты 乌鼠；Г/; Г1 в неголономных координатах примут вид

二川 a （W或）I 丁a（4哨l0（或%]

-"一鲁+。;"醬）+（号-号）+ +（等一晉）+&网（粵十 号）+ 停T

「』^"｛（招亭-号） + &号—2g胃卜

После несложных преобразований коэффициенты 乙鼠；/у； А представим в виде

力卜=広《4耳+ у g^g"広4。；亡+

/j = £ “； + J b： 4耳 + у J°『g/j 也 +

+号）++" g"g呻4的+号）++" g"g呻4的尸=仃+区g"氏将_ _^） + 2匐*+ E d叫++ ^*/卜（箒-^）］ +片萼.

+号）++" g"g呻4的

+号）++" g"g呻4的

Найденные соотношения позволяют определить коэффициенты связности Л.

ии 1s a 1s аА” = г^ + — S g呻 Пт + 彳 g g* 丁田 +ии 1s a 1s аА” = г^ + — S g呻 Пт + 彳 g g* 丁田 +11+ Y ^ ^^4 + -

ии 1s a 1s а

А” = г^ + — S g呻 Пт + 彳 g g* 丁田 +

ии 1s a 1s а

А” = г^ + — S g呻 Пт + 彳 g g* 丁田 +

1

1

aa1Vb1 s

g g7aLp初T炉g g7aLp初T炉一 ~^g"ga0炉ь岁一 ~^g"ga0炉ь岁Лр = Гр + у g* 7vp 4- — g g肥

g g7aLp初T炉

g g7aLp初T炉

一 ~^g"ga0炉ь岁

一 ~^g"ga0炉ь岁

где *т；市一коэффициенты неголономнссти Риччи.

1 ак как ст Ь* = — be

стa1Vb16

^+- g У^+ - g 斗Ji：；

+ У产（崇一^）］一炉gR +

+ 粤+粤）—"从骂］.

L 2\ dqJ dqk /dqk _

Вследствие симметрии последних слагаемых

人=г+eТ：.

Итак, искомые коэффициенты связности Л имеют вид

Лр7 = Гр7ч-А g^g^ + у g"ga^ — у 总，

А； =「； + В g° Т：в + £ g"ga#，(46)

A° = r + g」；・

Уравнения Больцмана—Гамеля для реономных систем

Уравнения движения реономной системы в неголономных координатах имеют вид

з'+ А謳％т + 2А； £ + А’ = Q° + R°,(47)

где Q‘ = a；Q»; R‘ = a；R», коэффициенты связности заданы соотношениями (46).

Заметим, что выражение Л^со%7, вследствие симметрии по индексам。и » можно привести к виду

А沁％т = Г1^ + g%w沁9仆・(48)

Очевидно, полученные уравнения движения реономных систем в тензорной форме в неголономных координатах можно привести к уравнениям Больцмана——Гамеля:

Z 一薪+薪屮+薪Ta = Qa + &. ^)

.Для доказательства преобразуем уравнения (49). Из выражения кинетической энергии

7 = ("2)g№%。+ g炉 +(1/2)5 находим

дТ3 . дТ а ,

病=乩严+叁；林F =叁严+统；

ddдТ• 3 , °&ф 小 丁 .备認八В . °ga , J , 3ga .

d

d

蒜П&評+肃S3 +k"+謂8+b，

崇=£崇小3‘+篇户+十崇，

Уравнения (49) представим в виде

+ (祟一十景)+ g£ = Q。+R " или

g产 ++ ^vl?a) ^ Ю₽ + 2 (「5 + Y gj；a +

+ у *7 £ ) J + 4 + & К = Qa + R" (5。)

,Свернув это выражение с g", обратным gaa, получим уравнения

3。+ (耳 + g"ga死J 3臂 + 2 (「； + £ g"行》+

+ у g"gaj： W + 厂 + g’T： = Q° + & ,

эквивалентные уравнениям (47) с учетом (48).

Если в качестве неголономных скоростей взяты линейные формы, равные нулю согласно уравнениям связей, то вследствие RRk = =0 (для идеальных связей) для независимых неголономных скоростей Rt = 0; т = 1, ..., т, что позволяет исключить неизвестные реакции связей из уравнений движения.

①。+ А；产％'+ 2Aj s' + А = Q

(3 Р, Т == 1, 2,..., ш).

Движение тяжелого однородного шара во вращающейся сфере

Рассмотрим движение шара в сфере, вращающейся вокруг вертикального диаметра с постоянной скоростью Q. Уравнения движения шара составим в неголономных координатах в форме (50). В качестве обобщенных координат примем углы а и 6, определяющие положение центра тяжести шара и углы Эйлера.

q1 = a； q2 = g； дЗ =仇 q& = ср; q5 =屮.

Условие качения шара без проскальзывания по поверхности

сферы можно представить в виде

а cos gа cos gilk—00Q=0.R sin $ cos a R sin p sin a Rcosgilk—00Q=0.R sin $ cos a R sin p sin a Rcosg匕+匕+a sin'cos аa sin'cos аа sing sin аа sing sin а(51)(51)

а cos g

а cos g

ilk

—

00Q

=0.

R sin $ cos a R sin p sin a Rcosg

ilk

—

00Q

=0.

R sin $ cos a R sin p sin a Rcosg

匕+

匕+

a sin'cos а

a sin'cos а

а sing sin а

а sing sin а

(51)

(51)

Это условие равносильно двум независимым уравнениям связей:

о)4 = — г sin р sin а а + г cos р cos ос § + асоу cos ?—

(52)(52)—吗а sin ? sin а + QR sin a sin § = 0,

(52)

(52)

g)5 =厂 sin p cos аа 4- г cos p sin ар —co* a cos § +十 со^а sin § cos 鼠一QR sin § cos а = 0,

где г = R — а.

В качестве неголономных скоростей выберем проекции угловой скорости шара на неподвижные оси координат и формы ①"и со5, равные нулю вследствие уравнений связей:

Выражения квазискоростей через обобщенные скорости имеют вид

М = со* = cos ф0 + sin 9 sin 屮屮，

М =(0у = sin 屮 6 — sin 0 cos ф ф,

冗 3 = Sz=《+ cos 0(p,

汽4 = — г sin psin aa 4- г cos p cos 鼠 3 +

+ a cos psind) 0 — (a cos 8 sin 0 cos ф +.(53)

4- a sin p sin a cos 0) 9—asin§sina& +

+ QR sin a sin?;

M =广 sin 0 cos aa 4- г cos § sin 鼠 @ — a cos 0 cos 屮。+

+ a sin p cos a ф -f- (〃 sin p cos a cos 0 —

—a cos p sin 0 sin 屮)屮——QR sin p cos a.

Матрицу коэффициентов 成О ОО 或= —г sin a singМатрицу коэффициентов 成О ОО 或= —г sin a sing0cos屮0sin屮00，г cos р cos аa sin 屮 cos 00cos屮0sin屮00，г cos р cos аa sin 屮 cos 0представим в видепредставим в виде

Матрицу коэффициентов 成

О О

О 或= —г sin a sing

Матрицу коэффициентов 成

О О

О 或= —г sin a sing

0

cos屮

0

sin屮

0

0，

г cos р cos а

a sin 屮 cos 0

0

cos屮

0

sin屮

0

0，

г cos р cos а

a sin 屮 cos 0

представим в виде

представим в виде

/• sin р cos аг cos р sin а —а cos 0 cos 屮

ОО1—а sin § sinaа sin р cos аОО1—а sin § sinaа sin р cos аsin 0 sin ф

О

О

1

—а sin § sina

а sin р cos а

О

О

1

—а sin § sina

а sin р cos а

—sin 0 cos 屮

cos 0

—a sin В sin a cos 0 —

—a sin 0 cos Ф cos pa sin В cos a cos® —、

—a cos В sin 屮 sin 8)丿

Обратную матрицу % построим, непосредственно решив уравнения (53) относительно обобщенных скоростей:

а = -л1 — etg р cos а 4- к2 — etg § sin а — т：3 ггг

兀4 sin а .\ cos а . с R

kf◎-,

г sin Вг sin 3г

о ： а .а, \ cos а ,\ sin а

p =穴1 ——sin a -- COS a + 冗4[- ?:5 ,

ггr cos。r cos В .(54

0 = cos 屮 m+sin 屮《2,

sin 0sin О

屮=—sin 屮 etg 8 f + cos 屮 etg 8冗2 + 兀з.

Коэффициенты при ла определяют матрицу 6；:

—etg g cos а r

a .

—etg p sin a

a

a

г

sin a

r sin В

COS a

COS a 厂 sin p sin a

—Sina

cos a

0

г

r

Г COS В

r cos В

COS屮

sin屮

0

0

0

sin屮

cos屮

0

0

0

sin 6

sin 8

—sin 屮 etg e

cos 屮 etg 0

1

0

0

Для составления уравнений движения представим выражение кинетической энергии системы в неголономных скоростях без учета

уравнений связей:

Т = £ (r2^ + r2 a2 sin2 ₽) + у 胪(3；+sj+s；) =

=£ {к) d sin2 а 4- a2 cos2 a cos2 ? + 必)+

+ (冗2)2(废 cos2 a + a2 cos2 В sid 2 + 炉)+ ( dj(废 sjn2 0 +必)+

+ (寸(Sin2 а + "St) + ( М (鴉 + C°S2 ”) +

+ 2 兀，兀2(— 〃2 sin 仪 cos а sjn2 §) + 2т/兀з(—。2 cos a cos ? sin 0) +

+ 2%4 fa 8Ms坦1sin2 n + 2諸鳶(a gs? a cos § + a 汕)+ \COS 3/cos § /

+ 2兀2；：3(—a2 cos g sin § sin a) + 2兀2兀4 (一a cos § sin2 a — a 呢；)+

+ 2кМ si噴sin?+2A4asinasin?- \cos p 丿

—2兀3汽5a sin 3 cos a — ZdM sjn a cosa 十 2兀'a cos a cos p sin g • QR +

+ 2^a cos 3 sin a sin §QR — 2" sin2 paQR — 2兀《sin a sin gQR +

+ 2т：5 cos a sin pQT? + £22/?2 sin2 p ).(55)

Коэффициенты при квадратах неголономных скоростей в выражении кинетической энергии образуют матрицу g^ (см. стр. 205). Коэффициенты при первой степени неголономных скоростей образуют столбец:

ga =ga =a cos a cos ? sin 0QR acosgsinasingQR —sin2 ?aQR

ga =

ga =

—sinasingQR cosasin?QR

Составим выражения коэффициентов Га, входящих в уравнения движения:

Учитывая, что все g^ не зависят от времени явно,阱=QR/r; все остальные У равны нулю, В = Q2/?2sin2(3, получим следующие значения коэффициентов Га: /\ =——2(a/r) 227?2sinasinpcos^;

『2 = 2 (a") Q2R2 cos a sin § cos p; Г3 = 0.

Матрица коэффициентов при квадратах негоноломных скоростей

a2 sin2 а +

+ а2 cos2 а cos3 р + 々2

—。2 sin а cos а Sin2 R

—a2 cos a cos В sin 0

COS a Sin a sin2 卩 Q

COS В

cos2 a cos2 В -卜 sin2(

COS P

—а? sin а cos а sin2 р

。2 cos2 а +

—〃2 cos p sin p sin а

cos2 p sin2 а + cos2 а

sin2 В sin a cos а

4-。2 COS2 В sin2 а + 依

COS В

COS P

1

2

8 g耶=

1

—а2 cos а cos р sin 0

—tz3 cos В sin p sin а

q2 sin2 § + 依

a sin a sin p

—a sin p cos а

cos а sin а sin2 р

COS2 p sin2 а + COS2 а

COS2 а

ас

—а

a sin p sin а

sin2 а +厂

—sin a cos а

cos р

cos §

COS2 P

COS2 а cos2 В + sin2 a

sin2 В sin a cos а

sin2 а

ас

—ас

—a sin В cos а

—sin a cos а

——+ cos2 а

1

cos В

cos p

COS2 p

Выражения коэффициентов Га^, входящих в уравнения движения, имеют вид.

2 I 费 OY dt )2 [ Oqi。 dqi a

Учитывая, что все коэффициенты g^ явно от времени не зависят, получаем выражения коэффициентов Га?:

П,1 = а2 (R/г) Q sin a cos a sin2 р ; Гi^ =a2(R/r) Q(sin2 asin2 p—cos2^);

Г1,з = a2 (7?/r)2sinasin₽cos₽;「2」=废(R/厂)Q (cos? 0—cos2 asin2p); 「2,2 = — a2 (/?/r) £1 cos a sin a sin2p; Г2,з = —2a2(R/r)Q cos a sin p cos^, Q,i = 0; Гз,2 = a? (R") ^ cos a sin p cos p； Г3,3 = 0.

Трехиндексные коэффициенты Г^ найдем согласно выражению

一啓4

Учитывая симметрию трехиндексных символов по индексам 0 и

Y， получаем:

Г1,ц =「2,22 = Гз,зз = °； С,12 = П,21 = (ci^/r) cos a sin В COS В；С,1з=П,з1 = —◎") sin a cos a sin2 §; 口,22=32乂炉")sin^ cosp sina;n,23 = n,32 = (a3/r) (cos2 ₽ — sin2 a sin2 切；

G,33= —(1/2) (a3/r) sinasin^ cosP;「2,11 = —(1/2) (a3/r) cos a sing cos R; 「2,12 =厂2,21 =——@3") sin 0 cos 3 sin a;

「2,13 =「2,31 = (^3/r) (sin2 3 cos2 a — cos2 8);

『2,23 =「2,32=(。3/厂)sinacosasin2 0;「2,33=—(1/2) (a3/r) cosasing cosR;

「3,11 = (1/2) (a3/r) sin a cos a sin2 p；

Гз,12 =『3,21= (<^3/г) (sin2 a sin2 § — cos2 a sin2 §);

Г з,1з = Гз,з1 =(炉")sinacos? sin*「3,22 = — (1 /2) (a3/r) sina cos a sin2^; 「3,23 =『3,32 = —(Л3/г) cos a sin 0 cos g・

При вычислении трехиндексных символов неголономности Риччи —Больцман а——Гамел я

заметим, что

偽=-佈脸=°-

Для определения остальных символов у от представим их в виде

При составлении уравнений движения необходимы трехиндекс- ные символы со значениями нижних индексов только 1,2 и 3. Отличными от нуля оказываются следующие трехиндексные символы неголономнссти:

丁23 = — Т；2 = 1 ；% =—同=—8S В (а + а2/г);

侬=—嗡=—1；Y?2=—傷=sin,cosa(a + a2〃)；

丁；2=—阳=1； 俭=—偲=—cos§(a + a2/r);

危=一窗=—sin 々 sin。(а + а2/г).

Двухиндексные символы неголономности найдем из выражения

Отличными от нуля оказываются следующие двухиндексные символы:

7； = — QR (a/r) cos В; 7| = — QR (a/r) cos 3・

Перейдем к определению входящих в уравнения движения слагаемых, содержащих символы неголономности.

Слагаемые вида 做丫？ примут вид

ga 丫； = Q2R2(q/尸)sin a sin р cos В；

ga 丫各=—Q2R2(а/八 Cos а sin р cos 0;

叁г=°・

Найдем члены уравнения вида 匝丫金(0° ：

gaY^® =(废/厂)CRsiM 阿2 + sin a sin 0 cos 阿з)；

ga 丫濟° =(出/厂)CR (— sin a sin 0 cos 阿‘ + cos a sin ? cos 阿?)・

Входящие в уравнения движения слагаемые 且畔 丫;①。имеют

вид

g“ 臂皿—(出/厂)QR [― cos a sin a sin2 陇】+

+ (cos2 ? sin2 a + cos2 a) co2 — sin g cos g sin ско3];

g^ *8。= (a2/r) CR [— (cos2 a cos2 p + sin2 a) s' +

+ sin2 p sin a cos aco2 4- sin。cos p cos aco3];

g邓鹏仙=0-

Найдем группу слагаемых вида gq 丁% w3 (^ :

且呼胃炉сот =(炉/厂)[®2)2 sin a sin § cos 0 ——@3)2 sin a sin p cos p +

+(0&2 cos a sin ? cos ? — cox(o3 cos a sin a sin2 ? + 炉①？ (cos2 a cos2 ° +

+ sin2 a cos2 ? — sin2 a sin2 §)];

g“T T身s'5 =(废/厂)[®i)2 (— cos a sin g cos g) +

+ (硝2 cos a sin ? cos § —(0心2 sE a sin ? cos § +

+(o2(o3 sin a cos a sin2。干 炉炉(sjn2 ° cos2 a +

+ cos2 a cos2 § — sin2 a cos2 §);

ga[侬 3加丫 = (a3")[®i)2 sin a cos a sin2 3 — (co2)2 sin a cos a sin2 f +

+ cox(o2 (sin2 a sin2 0 — cos2 a sin2 g) +(ozco3 sin a sin § cos ?—

—(o2co3 sin В cos P cos a.

Найденные слагаемые позволяют полностью представить уравнения движения системы в форме (50):

S^ + (「j в—且忆 R) М$ + 2 J*? + gq 丫；尹 ++ ga-沙。+，+ ga^ = Qp

(a= 1, 2,, 5) G，% c = 1, 2, 3)

Значения обобщенной силы выражены соотношениями:

Qt = 6；Qi；

Qi (0; г sin pg; 0; 0; 0);

Q( = a sin a sin §g;

Q2 = — a cos a sin §g;

Q3 = 0・

—• 208 —

Окончательно, уравнения движения шара во вращающейся сфере имеют вид

(a2 sin2 а + а2 cos2 а cos2 3 4- й2) со1 + а2 sin а cos а sin2 р ш2 —

—а2 cos а cos 3 sin 3(о3 + (3/2) (а3/г) [((о2)2 sin а sin ? cos р —

—(с?)? sin a sin § cos § + 2(o1(o2 cos a sin 0 cos g ——

—2(ЛоЗ sin a cos a sin2 ^ + 2з2(1)з (Cos2 p — sin2 a sin2 0)] +

+ (“2")qr x [co1 sin a cos a sin2 3 +(o2 (2 sin2 3 — cos2 g +

+ sin2 a sin2 ?) —(o3 sin a sin 3 cos 闵一(а/厂) Q2/?2 sin a sin 0 cos?=

=ag sin a sin 3;

—a2 sin a cos a sin2 阿 1 + (a2 cos2 а + 淤 cos2 p sin2 а +

+ 力2)ю2 —废 cos 3 sin ? sin а(о3 4- (3/2) (а3/г) [(со1)2 X

X (— cos а sin 3 cos §) + (眇产 cos а sin р cos ?—

—2(Ло2 sin a sin 3 cos § + 2<o1(o3 (sin2 , cos2 а — cos2 p) +

+ 2й)2зЗ sE a cos a sin2 ^] + — QR [co1 (cos2 ? — 2 sin2 В —

—cos2 a sin23) +(02 (— cos a sin а sin2 §) — co3 4 cos a sin p cos 0)] +十(а/厂) Q2R2 cos a sin § cos ? = — ag cos a sin 3；

—a2 cos a cos § sin 阿丄一a2 cos g sin 8 sin a(o2 + (a2 sin2 3 4- fe2)(03 +

十(3/2) (a3/r) [(co1)2 sin a cos a sin2 § — ((o2)2 sin a cos a sin2 p +

+ 2s1g)2(sin2 a sin2 p — cos2 a sin2 8) 4- 2(o1co3 sin a sin p cos 0 —

—2g)2(o3 $т p cos § cos a] + (a2/r) QR [—co1 sin a sin 3 cos ^ ++ 2g)2 cos a sin p cos 8] = 0.

Полученные уравнения движения шара во вращающейся сфере могут иметь практическое применение при рассмотрении движения различных деталей приборов, имеющих форму шара, движения батискафов, устройства стабилизаторов космических кораблей.

「лава XV]

ВНЕШНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В МЕХАНИКЕ

Дифференцируемые многообразия

Наиболее общим понятием прсстранства в современной дифференциальной геометрии можно считать понятие дифференцируемо- го многообразия. Оно широко применяется и при современном изложении классической механики. Рассмотрим, например,

механическую систему, имеющую конечное число степеней свободы, например гироскоп. Положение этой системы можно определить с помощью конечного числа вещественных параметров g】,g?,・••, g九.В действительности эта система параметров весьма произвольна, и очень редко удается все положения механической системы эффективно выразить через значения конечного числа параметров. Так, например, если положение гироскопа определяется углами Эйлера, то множество положений гироскопа не имеет параметрического представления.

В действительности множество положений механической системы можно определить как абстрактное многообразие, которое в случае гироскопа является трехмерным многообразием V класса С°°. Но это многообразие является абстрактным и, естественно, не погружено в аффинное пространство. Если, например, три угла Эйлера выбирают для определения положения гироскопа, то это означает, что рассматривается частная карта, представляющая только некоторое открытое множество многообразия, являющегося множеством положений гироскопа.

Основные положения теории дифференцируемых многообразий удобно рассмотреть на примере многообразий, вложенных в евклидово пространство. Пусть “，..., /8 — непрерывные функции в открытом множестве V-евклидового пространства Еп . Эти функции определяют многообразие S в 七〃 ,которое складывается из таких точек %£匕 для которых /Х(х) = 0,...,九(％) = 0. Оно называется дифференцируемым многообразием, если функции / являются дифференцируемыми. Простыми примерами дифференцируемых многообразий являются следующие многообразия, вложенные в евклидово пространство: окружность в пространстве f2, сфера, цилиндр в пространстве Е3.

Попытаемся изучить простейшее многообразие ——окружность. Опишем, т. е. зададим, или параметризуем, отдельные точки окружности. Если окружность определена как множество точек, удовлетворяющих уравнению

%2 + у2 = 1, (1)

то каждую точку можно задать указанием ее координат % и у. Однако такое описание неудовлетворительно по двум причинам. Во-первых, излишне задавать обе координаты хи у, если % задан, то решая уравнение (1), получаем у; поэтому окружность есть «одномерный» объект и для ее описания не требуется два параметра. Во-вторых, эти коор« динаты зависят от положения окружности на плоскости. Если изучать окружность саму по себе, то нужно найти ее инвариантное описание. Однако один-единственный параметр не может удовлетворительным образом описывать всю окружность. Так, например, в случае использования полярного угла функция, сопоставляющая каждой точке соответствующий угол не непрерывна в нуле. Поэтому следует отказаться от попытки построения единого параметра, описывающего всю окружность и довольствоваться несколькими параметрами для разных кусков.

Любому открытому интервалу окружЛюбому открытому интервалу окружФактически на любом открытом интервале окружности можно пользоваться вещественным угловым параметром. Таким образом, окружность покрывается интервалами, в каждом из которых имеется соответствующий параметр или координата.

Любому открытому интервалу окруж

Любому открытому интервалу окруж

ности можно поставить во взаимно однозначное и взаимно непрерывное соответствие открытый интервал прямой в пространстве. Это соответствие дает параметрическое представление рассматриваемой части окружности, что позволяет при изучении ее геометрических свойств использовать теоремы классического анали

за в пространстве.

Рассмотрим теперь более общий случай. Пусть в пространстве Ет определено многообразие М. Обозначим Wоткрытую область этого многообразия М с центром в точке %, a U — открытое множество в пространстве Еп .

Определение 1. Картой назовем область UQEn вместе с взаимно однозначным отображением 屮：取U подмножества W множества /И на U (рис. 6).

Назовем ср (%) изображением точки x^W([M на карте U. Набор карт на многообразии М называем атласом, если области карт атласа покрывают все многообразие М\ если 6\ н U? — две области карт атласа и %€〃1£1〃2, то координаты точки % в одной из этих карт являются функциями с ненулевым якобианом от координат точки в другой карте. “

Рассмотрим для примера построение атласа для многообразия S, заданного уравнением 吟 + 吟 十 吟=】в пространстве Е.

Возьмем точку ^1 (—1,0,0). Пусть U — плоскость / = 0, 〃 =(0, 〃i, 〃2)一 точка плоскости U и ‘(〃)——точка пересечения прямой, соединяющей точку U с точкой (——1, 0, 0) сферы S2. Если %(〃)= (/,陋，％з), т。

Рис. 7Рис. 7но рассматривать как некоторое многообразие S размерности два. Глобального параметр ическо го пр едставлен и я этого многообразия, заданного в некотором открытом множестве из пространства Е2, не существует. Однако существует покрытие S системой открытых множеств, каждое из которых является образом некоторой карты. Объединение этих карт составит атлас. Каждая «страница» атласа является открытым прямоугольником из пространства Е2, каждой точке прямоугольника ставится в соответствие некоторая точка Земли, т. е. определяется отображение Ф открытого прямоугольника на некоторое открытое множество многообразия S.

Рис. 7

Рис. 7

Внешние дифференциальные формы

Формы, которые здесь рассмотрены, это — выражения, стоящие под знаком кратного интегрирования, причем в этих выражениях дифференциалы рассматриваются как переменные [6]. Например, по линейному интегралу \Adx + Bdy + Cdz получаем 1-форму о = Adx + Bdy + Cdz;

по интегралу по поверхности \\Pdydz + Qdzdx + Rdxdy получаем 2-форму а = Pdydz + Qdzdx + Rdxdy и т. д.

Рассмотрим замену переменных в кратных интегралах, считая, что интегралы всегда ориентируемы и, следовательно, что Якобиан никогда не берется по абсолютному значению, а всегда имеет знак; на таком примере рассмотрим интеграл JJ4(x, y)dxdy с заменой переменных

= х(〃，и),

= У" S；

у) dxdy = Л [х (^r V)у (а, и)]у) dxdy = Л [х (^r V)у (а, и)]О (х, у)0(〃，SО (х, у)0(〃，Sdudv,dudv,имеем

у) dxdy = Л [х (^r V)у (а, и)]

у) dxdy = Л [х (^r V)у (а, и)]

О (х, у)

0(〃，S

О (х, у)

0(〃，S

dudv,

dudv,

откуда

dxdy =

0(х,护 О (〃，и)

dudv =

дхди

ди

дх

dv

ду dv

dudv.

11Э, К ар тан (1869—/95/)Э, К ар тан (1869—/95/)k (々-формой) на множестве U назы- представляемое в видеk (々-формой) на множестве U назы- представляемое в виде

1

1

Э, К ар тан (1869—/95/)

Э, К ар тан (1869—/95/)

k (々-формой) на множестве U назы- представляемое в виде

k (々-формой) на множестве U назы- представляемое в виде

Если у = х, то определитель равен нулю, если переставить местами хну, определитель изменит знак. Это обосновывает правило умножен и я диффер енциа- лов в нашем исчислении [такое умножение назовем внешним умножением дифференциалов и введем для его обозначения знак л]:

dx/\dx = 0;

dx/\dy = — dy/\dx.

Сложение внешних дифференциальных форм, умножение на функцию

Пусть U — произвольное открытое множество в пространстве Еп . В общем, внешней дифференциальной формой степени вается выражение, формально

s (%) = е

l<ii<i2< •• • <%《«

(x) dx1 Д dx"Л••• Л 厶"，

где ⑴厶，％，…，ik (%)—вещественные функции, определенные в области U, индексы &,厶，•••, ^ имеют все возможные значения, удовлетворяющие неравенствам под знаком £. Возможен и другой вид А-формы:

Степень формы s(x) обозначается символом deg©. Функции s厶 勿(x) называют коэффициентами формы. Форму со (%), для которой 3储 ％ …4 (х)三 1, 1 V 八 V . •. V 厶《〃，а остальные коэффициенты равны нулю, обозначаем символом dx 1 /\dx'/\... Д Дй^.①ормн dx"Дdx2Д...Дd^k называют базисными внешними формами степени k.

Форму, все коэффициенты которой равны нулю, называют нулевой и обозначают символом 0. Формой нулевой степени назовем

любую функцию и: U -> R, Из определения, очевидно, следует, что любая форма(о степени п имеет вид

(о (%)= S[ 2九(％) dx1 Д^х2 Д ... /\dxn.

Каждая форма первой степени представляет собой выражение вида

①(％)= ± 吗(%)*•i=l

Пусть дана функция /：[/-> R俏,m > 1. Тогда считаем, что f^Crt где г》0 —— целое число, если функция / в случае г > 0 имеет в [/ все частные производные порядка г, причем эти производные непрерывны в пространстве U. В случае г = 0 условие f^Cr означает, что / непрерывна в U. Вместо С° в этом случае употребляем С. Пусть (о ——внешняя дифференциальная форма степени 左,определенная в U. Тогда считаем, что(о принадлежит классу С「, когда каждый из ее коэффициентов принадлежит классу С「.

Пусть даны две внешние формы со (%) и 屮(%) степени 々：

03(%)=±①.(%)dx"/\dx9/\ …/\dx";

i<G< ... <ik<n 〃’％“

屮(%) =£%, %‘• (%) d%“Ad%“A・・・A dx%・

<Zt < ... <ik< n&

Суммой их называем внешнюю форму

s (%) + 屮(%) = £ [%「小％ (%) + 屮厶，％…・，％ (%)] X

X dxl[\dx'l\... /\dxk.

Произведением внешней формы з (%) на вещественную функцию /(х) является внешняя форма

〃х) s (%) =£/ (%)①厶，％,…& (%)厶"八厶"А …A dxk ・

1Л

Отметим некоторые свойства введенных операций над внешними формами, непосредственно следующие из определения:

Множество всех внешних форм степени k образуют абелеву группу относительно операции сложения.

Пусть(о,(01, со2 — произвольные формы, причем deg ①^ = =deg%, /, Л，/2 — произвольные вещественные функции. Тогда выполняются следующие равенства: •

("+ %) з = "з 4-力①；f ® + ①2)= Mi + Л°2・

214 —

Операция умножения внешних форм

Обозначим Nr отрезок {1, 2, ..., г} натурального ряда. Перестановкой ранга г называют любое взаимно однозначное отображение a: N「f Nr. Любой перестановке а, можно сопоставить число ь(а) таким образом, что:

а(а) = 士 1 для любой перестановки а;

для любых а и 6

О (а • Р) = О (а) О ©);

если а ——такая перестановка, что существует пара индексов i, /, где i V /, для которой a(i) = /, a(J) = i, а&) = k при k 市 总 i,左 # /, то ь(а) = —1 (перестановки вида, указанного в условии 3, называют транспозициями).

Число ь(а) называют сигнатурой перестановки а. Перестановку а называют четной, если ь(а) = +1, и нечетной, если о(а) = —1.

Любая перестановка может быть получена как суперпозиция конечного числа транспозиций. Если т ——число транспозиций, которые необходимы для того, чтобы получить перестановку а, то 0(a) = (一1)叱

Каждой паре внешних дифференциальных форм ①(％) и 屮(％) степеней 々 и /, соответственно, можно сопоставить некоторую третью диффер енци а л ьн ую форму 屮 =(о Дф, называемую внешним произведением форм(о (%) и 屮(％). Определим сначала внешнее произведение для базисных форм.

Пусть ii,方2， •…，ih — любая последовательность индексов, таких, что 1《&〃i，11《£卜 W 九.Тогда симво

лом d%% /\ dx、/\ ... д dx〃 обозначим внешнюю дифференциальную форму степени 力，определенную следующим образом. Если среди чисел &, ip, •••，»儿 есть два одинаковых, то полагаем dx11 Л dx% /\ ... Д dx〃 =0; если же числа &,为,•••,力卜—попарно различны, то справедливо равенство

dx1 [\dx*/\...[\dxk = о (a) d』/\d』/\.・./\dx〃，

где а :心 + №卜 произвольная перестановка индексов 北($)=，s・ Пусть(о и ф обозначают базисные формы:

(о = dx1Д dx* ДД dxk\ ф = dx" Д dx2 Д... Л d^k.

Внешним произведением базисных форм назовем выражение

оДф = (dx1Дdx" Д ... Дd%^) Д (d%"/\・・・/\ d/女)=

=d? [\ …!\d”/\dJ[\ …d/尼.

Пусть теперь(o (%) и(р(х) — произвольные внешние формы deg(о =

=左，deg ф == /:

s(%)= Е ①厶 f i W dx1 Д dx2 [\Д dxk; (a)

屮(%) = E 屮厶/2dJ'AdlA…/\dJ・(б)

1《/1V • • • Vj/《〃

Произведением форм s (%) и 屮(%) называют форму

со(х)лф(х)= 2. 2 .叫/华)义

х 中h，厶，…，"⑴ ""ЛЛ"'"Л""ЛAd%".

Форма(о (х)Дф(х) получается, если формально перемножить выражения (а) и (б) как обычные многочлены, вычисляя произведения базисных внешних форм в соответствии с указанным выше правилом.

Пример.

з (х) = adx1 Л d" д Jx2 + bdK д dx5 A d* 勺(x) = cd" д dZ；

3 (x)人中(x) = (ad户 Л d" д dx2 + bdx，Д d№ 八 dx】)Д cdx2 A dx^ =

=acdx1 Д dK д d/ Д d# д dx3 + bcdx& A dx5 八 dx1 Д dx2 A dx3 =

=0 + be (— I)6 d*i A dx2 A dx3 A d,d 八 W = bedx1 A dx2 A d%3 д dx& Л dx5.

Из определения произведения внешних форм непосредственно вытекают следующие его свойства:

Умножение внешних форм дистрибутивно относительно сложения

«Л(Ф1 + 屮 2)= 3八屮1 + 8Д 屮2； (5 + 0)2)ЛФ = ^lA^P+^A ф, каковы бы ни были формы со , Ф1?(р2,①工，s 2； так что deg q\ = deg 屮纟= =deg (o 2 = deg (о 2

Внешнее умножение дистрибутивно относительно умножения внешней дифференциальной формы на функцию

/®a屮)=(殓)a屮=3a (师)•

Внешнее умножение ассоциативно, т. е. для любых форм (о, ср, 0

(^Лф)Л0 = о)Л(фЛ0)-

Для любых форм(о и ф выполняется равенство

а1、deg з deg 屮 А

①八中=(一1)中а0

Отметим некоторые следствия, которые вытекают из этих свойств.

Следствие 1. Пусть %,屮2,…，屮々一формы 1 первой степени, о/ N% f N卜——произвольная перестановка.

Toraa ?a(i)Ay°(2)А-.-Л %* = ”№1№2卜…Zh

Действительно, из свойства 4 следует, что для любых двух форм со и q> степени 1, ⑴八屮=—屮八①. Поэтому при перестановке любых двух со- седних сомножителей произведение ф1 ЛфгЛ ... Atp^ умножается на ——1. По известным свойствам перестановок из этого следует, что рассматриваемое равенство верно, если а — транспозиция, и, значит, оно верно для любой перестановки.

Следствие 2. Пусть сох, со2,…，——внешние формы первой степени, где < п, Фг = £ а〃・з/ ——их линейные комбинации. Тогда

% Л *2八• • .a中々=A必卜%卜…卜3h, где

Л = det II aij II .

Действительно, из определения произведения внешних форм следует k k k

*1 A*2 A • • •a中々=e 2 …± "%。2/2…"为"3厶人S，2八…人% 。 /1 = 1 >2=1〃=1

Если последовательность {九,/2, •••, /^}» где 1 《j$《左，s = 1,2, ..., k не является перестановкой последовательности {1,2, ...,归}, то среди индексов /1，/2, ..., jk есть одинаковые, откуда следует, что ⑴厶 Л ⑴厶 Л . . . Л ^^ = 0. Если же индексы /力『2, ..., jk — попарно различны, то они образуют перестановку последовательности {1, 2,...,归} и

Лз. Л ... Л w； = ст. .а)1Дз2A …Л^й»

/1 h佗 厶」2?…" "

где ст. .. —сигнатура указанной перестановки. Отсюда

?1Л?2Л ...Л?й = 2 а^^2 ••• ”厶。/；, /2, ... , 〃 31А32Д八3々).

Очевидно, сумма справа есть определитель det || а^ || —А, что и требовалось доказать.

Операция внешнего дифференцирования

Пусть /(%)——внешняя форма нулевой степени на множестве U, принадлежащая классу C*i(U), т. е. /(%) — вещественная функция класса С1, определенная в U. Дифференциалом формы /(%) назы» вают внешнюю дифференциальную форму (о(х) первой степени, определенную равенством

df (%) = s (%) = & (х) d" + £ (х) d%? н £ (%) dxn. дх10炉^хп

Предположим теперь, что(о(х)——произвольная внешняя дифференциальная форма класса С1 степени 々 > 0:

з(х)=2W ^Z1Ad?A... Ad?\

Дифференциалом формы(о (%) называется внешняя форма Ds (х) степени 左 + 1, определенная равенством

。①(%)= £血….WA^A^A-A d%“・

Справа имеется внешняя форма, получаемая из формы(о (%) заменой каждого из ее коэффициентов а%, %% его дифферен

циалом dsj], …，勿；слагаемые з厶，…，％ (%) dx".. Д dxik заменяются произведением внешних форм первой степени d^tik (х) на базисные формы d%"/\.../\dx" степени k.

Пусть ф ——произвольная базисная форма. Тогда все ее коэффициенты постоянны в U, следовательно, Оф = 0. Пусть(о (%)——форма первой степени:

(о (%) = % (х) d/; тогда

Qs (х) = d%(%)/W = > 扌善Qs (х) = d%(%)/W = > 扌善(%) W /\d£ =(%) W /\d£ =dxf ДйхЛdxf ДйхЛ

Qs (х) = d%(%)/W = > 扌善

Qs (х) = d%(%)/W = > 扌善

(%) W /\d£ =

(%) W /\d£ =

dxf ДйхЛ

dxf ДйхЛ

Свойства внешнего дифференцирования:

Для любых форм си и.(о 2 класса С1

D (со】+ ①2)= Qg + Qg.

Форму з назовем мономом, если она имеет вид з (х)= ==〃(％) dxtl/\ ... Д dx勿•

Каждая внешняя форма есть сумма конечного числа мономов.

Пусть ①一форма класса С1, / — вещественная функция класса С1. Тогда

0(血)=Of Л ① + Д)(о.

Для любых двух форм со и ф класса С

D ®八中)=о(олф + (- 1产g3(0A09.

Первая теорема Пуанкаре.

Для всякой формы со класса С2

D (Z)(o (х) = 0.

Пример. Найти внешний дифференциал внешней дифференциальной формы первой степени

xdy — ydx

D* = D H+严)人(*3 - "X)+ ^ 匸护 ° (xdy - ydx)=

—2xdx—2ydy1

=~(产展夕)2~ Л (xdy — ydx) + ：2工(厶 Л dy-dy Д dx)=

2(/ +护)dxAdy (2

=——к ах/\аи ~ 0.

(*2 + ^2)2 I x2 + 严"

Дифференциальную форму 屮(％) называют замкнутой, если。屮 = = 0. Дифференциальную форму 屮(％) называют точной, если существует диффер енци а л ьн а я форма 屮(х), такая, что 屮 =Огр. Если дифференциальная форма ф на открытом множестве U является точной, то она замкнута.

Обратное утверждение верно только при некоторых ограничениях, которые даются во второй теореме Пуанкаре. Прежде чем привести ее, введем некоторые понятия, Пусть U — открытое множество в R". Отображение f \ U -^ Rh называют диффеоморфным или диффеоморфизмом класса С「,尸》1, если / взаимно однозначно, принадлежит классу С「н в каждой точке x€U якобиан отображения / отличен от нуля. Если / диффеоморфизм класса С「, то множество V= f(U) открытое, и обратное отображение 尸：V -> U также есть диффеоморфизм того же класса.

Открытые множества UuR11b IZczT?^ называют диффеоморфными класса С「, если существует диффеоморфное отображение класса С「 одного из этих множеств на другое.

Пример. Открытый шар 6 (0,】)=次 £ R" I ] * | диффеоморфен пространству R". Отображение'*

f

1 - I * |2

осуществляет диффеоморфизм 8(0, 1) и R".

Вторая теорема Пуанкаре: пусть U открытое множество в R", (о — диффер енци а л ьн ая форма степени г W п. Тогда, если(о принадлежит классу Ck, где k = 〃 ——г + 1, область U диффеоморф- на, класса Ст, пространству R" и D^ (х) = 0 в U, то существует форма 屮СС‘，такая, что ① =。屮.

Операция внутреннего умножения

Пусть (о (%) —— произвольная внешняя дифференциальная форма степени R〉0:

s(%)=2R/，…，勿(%)"⑪卜…Nd#

1<Ч< ... <ik< п&

и пусть Z — векторное поле на многообразии U.

_ Внутренним произведением формы s по векторному полю Z назовем выражение

i(Z)s= £W X

X 二 (- 1)"" 2%(x)dx"/\ …y\d储》…人加々，

где а — перестановка； индексов 啞，i^ f2,..., /Л,...,九；знак Д над индексом означает, что соответствующий член пропущен.

Рассмотрим внешние дифференциальные формы второй степени:

п

(о (х) = Е①陋2(%) d%“ Л dx1» ・

1《％ V %《几

Для форм второй степени выражение для внутреннего произведения примет вид

i (Z)s = e ①必(% d%% — 2*%厶).

l《l[ V %2《九

Пример.

з = cos x'dd 八 d%2 + sin х4^хг Д Jx3 — x1 sin x4Jx2 A d%4；

Z = 2曲1 + Z2d%2 +？3厶3+ Zidx1}

i (Z)(o = а〉】？(?id%2 — Zzd%】)+ iO]3(Z]d%3 — z^dx^ +(oi』(Zj_d%4 — z^x1^ +十⑴23 (?2&#3 — 2з~%2) + 0^24(N2d%4 — Z^dx^ 十 w34 (^3^-^^ — Z《d%3)==cos 心 ⑵厶2 — ad") + sin %4(勺九3 —仆d炉)-

—X1 sin %4 (3〃4 - z4d%2)=戸一(?2 COS %4 + / sin %4) d%l +

+ ⑵ cos 产 十 z/i sin %4)d%2 十 Z] sin 心收—厶无 sin xMx4.

Если z = dx% то

£ (Z) з = i (th1) з = cos x^dx2 十 sin хМл，3.

Если взять внутреннее произведение формы ① на Z =-^г, то из определения внутреннего произведения следует, что можно рассматривать внутреннее умножение формы ① на Z = ~[- во внешней алгебре как аналог частного дифференцирования по d%{ причем последовательные частные производные зависят от порядка дифференцирования.

Обозначим частные производные внешней дифференциальной формы со на d“ обычными символами:

0co .@23

О (“)， д (dW) d (dx，)

и введем формальное правило для их нахождения.

Производной от формы(о на d%' назовем результат двух операций:

перенесение d%' на первое место в мономах формы;

замена 改 единицей.

Из этого определения сразу следует, что производная от монома, не содержащего d/, равна нулю.

Пример.

со = cos хМх1 Л " + sin х& Jz1 Л Jx3 — К sin x4 dx2 Д dx&;

dsds

T-—- = cos Kd# + sin KdK； —— = — cos *切户—户 sin 外山弋 力(dxi)d (d/)，

д2а)02g

=—COS=COS X《. d (d/) 0 (dxi)'0 (d") d (dx2)

Понятие касательного пространства и векторного поля на многообразии

В классическом векторном анализе понятие касательного лектора к кривой определяется непосредственным образом. Если <Р(/)=(屮'(/)•・•屮"(0)——кривая в пространстве Еп , причем 屮(0) = р, то касательный вектор к кривой 屮 в точке Р имеет вид (фг(0), ..., <р"'(0)). Две кривые 屮 и 屮 имеют один и тот же касательный вектор, если 屮厂(0)=屮‘‘(О) для всех i. Однако на многообразии нельзя представить любую кривую как набор п функций одной переменной, пока не выбрана локальная система координат. Тем не менее можно определить касательный вектор в точке Р более абстрактным образом —— как класс эквивалентности кривых, проходящих через точку Р, причем две кривые считаются эквивалентными, если в точке Р они имеют одинаковые производные в -одной, а значит и во всех системах координат, заданных вблизи Р.

Определение 1. Кривой на многообразии М, проходящей через точку 尸о, называют дифференцируемое отображение

屮：Rf/И : f f 屮(/), такое, что 屮(?о)=尸о.

Пусть F(M) — множество всех пар (尸,ср), т. е. пространство всех кривых на многообразии М. Введем в пространстве 尸(М) следующее отношение эквивалентности:

(尸，ф) ~ (Р1, ф1), если 尸=尸1 и(尸，ф) ~ (Р1, ф1), если 尸=尸1 иd (W о д)dtd (W о д)dt_d (x"。中)， f=) dt f=o_d (x"。中)， f=) dt f=o

(尸，ф) ~ (Р1, ф1), если 尸=尸1 и

(尸，ф) ~ (Р1, ф1), если 尸=尸1 и

d (W о д)dt

d (W о д)dt

_d (x"。中)， f=) dt f=o

_d (x"。中)， f=) dt f=o

где (%】, ..・,％〃)——некоторая локальная система координат вблизи точки Р.

Заметим, что если функции у'=叭К…,хп ) определяют другую систему координат вблизи R то

d(y"。叫 _ 十。员 d (N。？)df 总 dxj 山 •

Поэтому введенное отношение эквивалентности не зависит от системы координат.

Обозначим Т(М) пространство классов эквивалентности пространства 尸(Л4)・ Элемент X из Т(Л1) (т. е. класс эквивалентности пространства 尸(М)) называют касательным вектором.

Множество векторов, касательных к многообразию М в точке Р, имеет структуру линейного пространства. Это пространство называют касательным пространством к многообразию М в точке Р и обозначают ТМр.

Рассмотрим объединение касательных пространств к многообразию М во всех его точках: ТМ = UTMn. Множество ТМ имеет

естественную структуру гладкого многообразия.

Определение 2. Многообразие ТМ называют касательным расслоением многообразия М.

Существует отображение g : ТМ f М, называемое проекцией, которое сопоставляет каждому касательному вектору его начало. Прообразы точек Р ^ М при отображении q : ТМ -> М называют слоями расслоения ТМ.

Определение 3. Векторное поле и (класса с「) на многообразии М есть гладкое (класса(/) отображение и : А< -> ТМУ такое, что отображение g-v:M->M тождественное, диаграмма

V ТМ

贝J S

Е М

коммутативна.

Пусть X и У — два векторных поля на многообразии М. Производной Ли поля У по направлению поля X назовем величину Lx (У) = i(X)DY — D (i (X) Y), выражение для которой в локальной системе координат имеет вид

厶吁？仔声(а>

где X = £ X’ -Д- ——выражения векторных полей в локальных ко- 力°*' ординатах (%1, ..., хп).

У = ±/ /дх

Примечание. 1. Если вместо векторного поля У взять дифференцируемую на М функцию U, то производная Ли от функции U по направлению векторного поля X в локальных координатах имеет вид

Lx(U)= £х” —・(б)

Если вместо векторного поля У взять дифференциальную форму о на М, то производная Ли от дифференциальной формы ① по направлению векторного поля*Х примет вид Lx (з) = i (X) Dw + D (i (X) co) или в локальных координатах.

以(£牝次)=£包^ + aj dxl,(в>

" \ dx/

где co = S @幽•

Из формул (а) — (в) следует, что если X — векторное поле класса Сг, то производная Ли дифференцируемой функции, дифференциальной формы или векторного поля класса (? есть функция, форма или векторное поле класса С^1.

Следуя общепринятым обозначениям, положим [У, X] = ЬХ(У). Левая часть называется скобкой Ли (или коммутатором) векторных полей У и X.

Определение 4. Пусть X — векторное поле на многообразии Мт. Интегральной кривой поля X называют дифференцируемую кривую с : / -> Mw, такую, что для всех t L, c'(f) = =X(c(f)).

Пусть(Ui, ..., //加)一система локальных координат на открытой области UWM〃z. Если 三。；詁—локальное выражение поля X в этой карте, то интегральные кривые поля X являются решениями дифференциальных уравнений %/ =出(%),力=1,…，m.

Обозначим Т*(А1) пространство, сопряженное с касательным пространством Т(М). Пусть(о ——внешняя дифференциальная форма, элемент внешней алгебры на векторном пространстве Т*(А1). Обозначим Q* наименьшее подпространство векторного пространства Г*(/VI), такое, что ① ——элемент внешней алгебры этого пространства. Пространство Q* назовем ассоциированным пространством к внешней форме(о, а его размерность определит ранг этой формы. Обозначим Q множество векторов X С Т{М), таких, что i(X) 0 =0, 甘肾Q*.

Теорема. [10]. Условие, необходимое и достаточное для того, чтобы X € Q, есть »(Х)з = 0.

Уравнения »(Х)з = 0 называют ассоциированными к форме ①.

Приведенная теорема дает метод построения векторного пространства Q*, ассоциированного к данной внешней форме(о .

' Пусть {屮斗，i = 1,…，п ——базис пространства Т*тогда 3 = 1/例•三0匕，...，%少"a…Д少5 --выражение формы (о в этом базисе. Если X’ ——компоненты вектора X в сопряженном к W} базисе, то условие теоремы можно представить в виде

"X)"X)(О =(О =1(Р-1)!1(Р-1)!tp / д …aW =。.tp / д …aW =。.

"X)

"X)

(О =

(О =

1(Р-1)!

1(Р-1)!

tp / д …aW =。.

tp / д …aW =。.

Следовательно, компоненты вектора Х^ должны удовлетворять однородной системе уравнений ^ X1 а1г., . = 0. Ассоцииро

ванное векторное пространство Q* образовано, следовательно, внешними формами первой степени (формами Пфаффа)

6 =尹%2

Пример. 2-форма F =因2)工 F^ 屮 八屮/ , i, j =1, .., n имеет ассоциированное пространство, образованное формами ПфаффаS尸切 ранг системы

линейных форм равен рангу матрицы ||F/y||; так как ранг квадратной антисимметричной (F[j =—— 吊/) матрицы — всегда четное число, то и ранг внешней формы второй степени всегда равен четному числу; в частности, определитель матрицы (尸〃)в пространстве нечетной размерности п равен нулю, следовательно, в этом случае 2-форма всегда имеет ранг меньше %.

Рассматривая внешние дифференциальные формы deg 2, иногда удобнее пользоваться определением ассоциированной системы через частные производные формы ①.Ассоциированной системой к внешней форме з степени р назовем систему, которая получается приравниванием нулю всех частных производных порядка (р = 1) от этой формы.

Примечание. В дальнейшем знак суммы часто не применяется и суммирование обозначается повторяющимися индексами (правило суммирования Эйнштейна).

Интегральные отношения инвариантности

Пусть дана система обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка от т переменных:

(3

где функции Х.(%!，..., х^) не равняются одновременно нулю и принадлежат классу С2 в некоторой области R пространства т-изме- рений. Рассмотрим произвольную область С^р V т -измерений в пространстве R. Через каждую точку области С%)проходит одна интегральная кривая системы (1). Перемещая точки области С(о} вдоль соответствующих интегральных кривых, можно получить другую область р-измерений С(?. Обозначим ь； область (р 十 1)- измерений, которая образована трубкой интегральных кривых системы (1), заключенной между областями С(" и С(?. Обозначим символом Q внешнюю дифференциальную форму степени (р 十 1)» определенную в области 左,класса С2.

Определение 1. Внешняя дифференциальная форма Q образует для системы (1) абсолютное интегральное отношение инвариантности, если, какова бы ни была область С(о} и, следовательно, порождаемая ею область 点 справедливо равенство

J О； Q = 0. (2)

Форма Q образует относительное интегральное отношение инвариантности, если для выполнения равенства (2) область С{^ замкнута.

Дифференциальные системы типа (1) можно классифицировать по тому, какие они допускают интегральные отношения инвариантности. Ниже рассмотрены только те системы, которые удовлетворяют следующей теореме:

Теорема 1. Существует дифференциальная система (2〃 + 1) переменных, допускающая квадратичное интегральное отношение инвариантности максимального ранга.

Действительно, пусть Q ——квадратичная внешняя форма (2拉 + 1) переменных. Ранг г у этой формы четный, максимальное его значение равно г = 2〃. В этом случае форму Q можно представить в канонической форме:

Q = ^lA^ + ① зА ①4 + • • • + ®2пТ 人02力

где формы Пфаффа(о » — линейно независимы. Система, ассоциированная к форме Q, состоит, следовательно, из системы Пфаффа:

我4 = ®2 = * * * =①2/г = О,

которая эквивалентна дифференциальной системе (1) и только одна.

Связь между понятием интегрального инварианта и интегрального отношения инвариантности можно выразить с помощью следующих предложений:

Предложение!. Если форма QQ порождает интегральное отношение инвариантности для системы (1), форма Q определяет относительный интегральный инвариант, и наоборот.

Предложение 2. Если формы Q и DQ порождают интегральные отношения инвариантности для системы (1), форма Q определяет абсолютный интегральный инвариант системы (1), и наоборот.

Рассмотрим механическую систему, положение которой определяется п независимыми координатами q” q?,…、q” Уравнения движения такой системы можно представить в виде

一F=Qz；醬=% а印1,…，小 (з) 出 dqi 此dt

где Q. = Q.(^., g” t) — непотенциальные обобщенные силы. Интеграл

郎="成，(4)

как известно, называют действием по Гамильтону ——Остроградскому.

Найдем вариацию действия 3 取 в общем случае, когда начальные и конечные координаты не фиксированы, а являются функциями параметра а:

'о = 'о (а)，仇=伙(а),乙=匕(а), qt — 9,(а)・

Выполняя стандартные вычисления, получаем следующую формулу для вариации действия 3 取 в общем случае:

懇= [<0(8)],(8)]0 一 j £ (窑 賁—^ bqidt, (5)

где

3 0) =、1 Pi "% — H&t, Pi = - , " n XPt % — L ▲dqt

В случае, когда для любого а соответствующий путь является прямым, т. е. когда % = q《t, a) f С {1, ..., п} — семейство прямых путей, интеграл в правой части равенства (5) заменяем его значением согласно (3). Тогда формула (5) примет вид

№ =向(3儿-[о (3)]。~ ^ Qi ^i 必・(6)

f о

Рассмотрим расширенное фазовое (2〃 + 1)-мерное пространство, в котором координатами изображающей точки являются величины %,外，Л В этом пространстве возьмем произвольную замкнутую кривую Со. Из каждой точки кривой Со, как из начальной, проведем соответствующий прямой путь. Такой путь однозначно определяется (после задания начальной точки) из уравнений (3). Получим замкнутую трубку прямых путей. На этой трубке произвольно выберем вторую замкнутую кривую &, охватывающую трубку и имеющую с каждой образующей лишь одну общую точку. Интегрируя равенство (6) вдоль замкнутых кривых Со и Сх, получаем

j3®)_f3(B)= С (工 QM%/\d/・

Применяя теорему Стокса к левой части равенства (7), получаем

j J £ dp» Д d% — (dH + £ Qi 歯土) Д 山=0・⑹

Таким образом, согласно определению 1 настоящего параграфа, можно считать, что система (3) уравнений динамики допускает интегральное отношение инвариантности, образуемое внешней дифференциальной формой Q:

= Л d 仇一(d" + £ Qi d%) Л 山・(9)

Квадратичная внешняя диффер ен ци а л ьн ая форма Q от (2〃 + 1) переменных допускает максимальный ранг 2〃. Следовательно, существует единственная дифференциальная система (2〃 + 1) переменных, допускающая соответствующее интегральное отношение инвариантности. Для получения этой системы составим ассоциированную систему к форме Q:

т~~ = dp» +Qj dt = 0;(10 а)

d(dqD\ d先 /

上-=dqi —也 dt = 0;(Юб)

0(也・)力dPi、丿

謁=X 黑 “Pi + £ (許—Qi)吻=0. (Юв)

Легко видеть, что ассоциированная система позволяет получить систему дифференциальных уравнений

也一也+Qz乌匕(n) dt dqt У dt dPiI 丿

Итак, обобщая известный принцип Э. Картана [6], сформулируем его в следующем виде:

Движение материальной системы с голономными связями управляется дифференциальными уравнениями первого порядка, связывающими время, координаты, скорости; эти дифференциальные уравнения характеризуются тем свойством, что они допускают интегральное отношение инвариантности, образованное внешней дифференциальной квадратичной формой Q (9).

Исследуя форму Q, Ф. Галисо показал [19], что форму Q (9), образующую интегральное отношение инвариантности, можно представить в виде суммы двух внешних формй =Qc+ Qd, которые вычисляются следующим образом:

Qc——кинетическая часть внешней дифференциальной формы определяется как внешняя производная от кинетического потенциала Д, который равен

L = 2p»dqi—Hdt(12)

или, если движение описывается в декартовых координатах,

df J (匕У 8m.(12а)

Если в качестве модели материальной системы можно принять совокупность равномерно распределенных материальных точек одинаковой массой, то

L=£ (匕妬)恤一(1 ⑵df £ mf?2.(126)

Q d— динамическая часть внешней дифференциальной формы вычисляется по следующим формулам:

(13)(13а)(13)(13а)Q。= X Qz"% А 財

(13)

(13а)

(13)

(13а)

◎d = И (尸2 "i ) Д dt.

Применяя преобразования Лежандра, можно в форме Q (9) перейти от канонических переменных к переменным Лагранжа. Тогда она примет вид

Q ="(子)Д dqi~(dL + ^ Qi dq〉Л dt (14)

Рис. 8Рис. 8ИЛИИЛИ° = Ка/ ^?а А 對丿 + % d'a A dq，—

Рис. 8

Рис. 8

ИЛИ

ИЛИ

—Q d柒 Ad/ — % d% л dt, (15) где

(j 亠 ^_-• ，% ^ —：，d qa dqj(j 亠 ^_-• ，% ^ —：，d qa dqj

(j 亠 ^_-• ，% ^ —：，

d qa dqj

(j 亠 ^_-• ，% ^ —：，

d qa dqj

Пример 1. Составить форму Q для случая движения однородного диска массой 財，радиусом R в вертикальной плоскости под действием силы веса Р (рис. 8).

Решение. Положение диска на плоскости определяется координата-

ми его центра массТ)о, Со и точки в подвижной системеми его центра массТ)о, Со и точки в подвижной системеxi + yj・ Тогдаxi + yj・ Тогдакоординат г/координат г/Из формул ПуассонаИз формул Пуассона—^■ ■■ >—Аd ri = xdi-\-ydj .—^■ ■■ >—Аd ri = xdi-\-ydj .углом поворота 0. Представим радиус-вектор i-й

ми его центра массТ)о, Со и точки в подвижной системе

ми его центра массТ)о, Со и точки в подвижной системе

xi + yj・ Тогда

xi + yj・ Тогда

координат г/

координат г/

Из формул Пуассона

Из формул Пуассона

—^■ ■■ >—А

d ri = xdi-\-ydj .

—^■ ■■ >—А

d ri = xdi-\-ydj .

d "Г = (~w x~i ) dt = Q dt~/ = dB 7；

d j = ( w x j)d/= — Q dt i = — dBi

и окончательно

= — ydB 不 + л* d 9^.

Скорость t-й точки выразим в проекциях на подвижные оси: 匕=Go cos 9 + е0 sin 0 — 0 1/)7* + ( e0 cos 0 — -価 sin 0 + 6x) 丁・

Координаты i-й точки в неподвижной системе координат: i』= Fo +小；污=①+%，

где

項=猫 cos 9 — yt sin 9; е^ =猫 sin 8 + 勿 cos 0.

Находим кинетический потенциал:

L ^^CVid^mi — (dt/2)工(区)？色=』{(右 cos 0 + e0 sin 9 —

—6 先)i + (£o cos 9 —』o sin 8十 9 *J j } (— yt d 8 i + 猫 d 8 j ) m» —

一 {(山/2) (m(：*+ ^) + MK2由)} =6d8 2 (君+ 壮)恤 + 仙』"血 + + ；0 £ d【0 mt—(M T^+M^+MK^2\dt/2) = MA? G dB + M 汇办。+ M 亚％— 一m (奇 + * + К2 g)(小/2),

где A? = R2/2.

(1/2)工(区 У 皿=(M/2)(臂 + '幻 +(M/2)个 °? 一

—кинетическая энергия диска, определенная по теореме Кёнига. Кинетическая часть

% = DL = МЛ2 dG Л dB + Mdrl0 Д d q()+ Mde0 Д de。一 M (刀od% 十 e0 ae0 ++ K20病)Л必.

Динамическая часть

Qd=(Pdp) Л df = Xj 對 о Л df + Y» 公。Л dt = Mg sin idrl0 Д dt —

—Mg cos ide0 A df = Mg (sin id刀о — cos tde0) Д dt, где Х?, Yi ——проекции всех приложенных к системе сил на оси неподвижной системы координат.

Суммируя Qc и Qq получим форму Q:

。=Qc + @d = МК2 d。Л dB + Md 刀о Л ^о + MdeQ Д dsQ — M( ^dri0 +

+ e0(fe0 + Л2 6d6)八 df + Mg (sin id^。一 cos id%) Л 必.

Форма Q получена в декартовой системе координат. Рассмотрим теперь порядок получения формы Q в обобщенных координатах.

Согласно формуле (4.15) для этого сначала надо найти кинетическую энергию системы и обобщенные силы, а затем вычислить коэффициенты, входящие в выражение (15).

Если в качестве обобщенных координат взяты ^ =т)о, 92 =£о, 4з = 8, кинетическая энергия диска

7=(m/2) (* + 弱)+m/2个^.

Вычислим коэффициенты:

^ц =財,々22 =財，々33 = МК% 財2 =尼21 =瓦3 =尼31 =尼32 =论23 = °；

瓦1 = 瓦2 = b22 = b21 = b33 = b31 = b32 ~ b23 =0；

с】=М %, % = М%，禽=МКМз；

а】=—Qi = — P sin i = — Mg sin f;

@2 = — Q2 =十 P cos i = + Mg cos i;

@з = — Q3 = 0・

Подставляя полученные коэффициенты в (15), находим

Q = Md% Л dg + Mdq2 Л d% + МЛ2 dq3 Л dq3 — Mq1dq1 Л 力一

—Mq2dq2 A dt — MGq3dqз Л 山 + Mq sin i d% A df — Mq cos id% A df.

Общие вопросы изучения движения

Как показано в предыдущем параграфе, дифференциальные уравнения движения механической системы принадлежат ассоциированной системе внешней формы Q , образующей интегральное отношение инвариантности. Следовательно, исследование дифференциальных уравнений движения механической системы сводится к изучению ассоциированной системы внешней формы Q.

Для удобства последующих выкладок введем другие переменные:

护£{%,…，qп、%,…，q/}р€{1, •••, 2几 + 1}

и представим в них форму й (15):

Q = &_〃, a dg% Д dyh + b^ Л dyh—c._nt 2n+1 dy1 Д d产内一

— %2〃+M/Ad!/2*・(16)

»€{%+「・・，2n}

泌 С {1, .... n}

Прежде чем перейти к непосредственному изучению ассоциированной системы, дадим некоторые определения [11:

Определение 1. Назовем характеристическим векторным полем формы Q такое векторное поле £, компоненты которого удовлетворяют уравнениям

г (£)2 = 0.(17)

Так как форма Q имеет ранг 2/г, то характеристическое векторное поле Е определяется уравнением (17) с точностью до числового множителя, который выберем так, чтобы i(E)dt = 1.

Определение 2. Назовем первым интегралом ассоциированной системы к внешней форме Q любую форму Пфаффа, которая равняется нулю на интегральных кривых х ар актер исти ческо й системы.

Определение 3. Произвольная внешняя форма Q, степени р допускает инфинитезимальные преобразования, порождаемые векторным полем X £ Т(М), если производная Ли от формы 2 по отношению этого векторного поля равна нулю, т. е.

"Q = i(X)QQ + D(i(X)a)= 0.(18)

Определение 4. Считаем, что г элементов X',…, Х「С € Т(М), образующих инфинитезимальные преобразования для формы Q, образуют полную систему, если

因，n = Yr г,

где у ?а ——числовая функция, р , ь, т, £ (1,…，г).

Любой замкнутой форме Пфаффа л, равной нулю на интегральных кривых ассоциированной системы к форме Q, соответствует векторное поле хе Т(М), компоненты которого — решение системы уравнений

D(i(^)Q) = 0・(19)

Теорема 1. Любому векторному полю X € Т(М) соответствует форма Пфаффа % равная нулю на интегральных кривых ассоциированной системы к форме Q , обратно, любой форме Пфаффа, равной

нулю на интегральных кр ивых ассоц и ированно 立 системы, соответствует векторное поле X € Т(М). Действительно,

，(X)Q=h,i(X)i(E)Q = —i(E)i(X)Q・

Так как i(E)Q =0, то i(f)冗=0. Это показывает, что я принадлежит подпространству ассоциированных форм к Q, следовательно, форма л равна нулю на интегральных кривых ассоциированной системы.

Изучение ассоциированной системы к форме Q разбивается на два случая:

Случай первый характеризуется тем, что QQ声0.

Теорема 2. Если

С. Ли (1842—1899)С. Ли (1842—1899)X € Т(М) иX € Т(М) иX е Т(М)X е Т(М)соответствуют инфинитезимальному преобразованию и первому интегралу ассоциированной к форме Q системы, то скобки Ли

С. Ли (1842—1899)

С. Ли (1842—1899)

X € Т(М) и

X € Т(М) и

X е Т(М)

X е Т(М)

[X, X] #= 0 соответствуют другому первому интегралу ассоциированной системы, который имеет вид

i(X/\^)Q=0・

Для доказательства воспользуемся формулой

“[X, Х])Й = 4i(?)Q —i(気)％9・

Согласно определению 3, LXQ = 0, так как векторное поле X образует инфинитезимальное преобразование. Согласно определению i(X)Q =冗 Du = 0, так как векторное поле X создает первый интеграл.

Следовательно i([X, X]) Q = D(i) ХД石 Q・

Скобки Ли, элемент касательного пространства, не равны нулю. Оператор i([X, X]), приложенный к форме Q, дает, следовательно, дифференциал функции переменных д” д” Л Он вычисляется непосредственно

i (X /\ М) Q =財」• * % для q =財j 財1・ д dy\

Полученный дифференциал, равный нулю на интегральных кривых ассоциированной системы, есть новый первый интеграл.

Дальнейшее изучение производим, считая, что известна одна из полных систем векторных полей Xz, образующих инфинитезимальные преобразования для формы Q.

В качестве известной системы векторных полей, образующих инфинитезимальные преобразования, возьмем поля, предложенные С. Ли:

'x，=(2Г，矜；..，矜+1，% 尸E{1,，2九+1},

Ассоциированная система к форме Q при использовании векторных полей Ли имеет вид

i(X】)£2= &_〃, 1 dy + % 切一 &u dyh 一 气 2叶1 &产* = 0;

i (X2) Q = k._nt 2 dpi + &v2 dy — b2h dyh —旬 2/屮 d戸+1 = 0.

i (X") Q =4一", 〃 勿 + 兀切一 bnh 财一〜2计 1 d产+1 = 0;

j(X?叶 1) Q = q.f. 2〃+l ”U' — ah, 2叶1 dy" = 0.

Подставляя значения коэффициентов в полученную систему, получаем систему п уравнений Лагранжа второго рода, последнее уравнение является следствием остальных.

С помощью векторных полей Ли можно найти другие векторные поля, образующие инфинитезимальные преобразования для формы ◎・ Сначала рассмотрим метод, предложенный Ф. Галисо 1].

ЛеммаГалисо. Можно выбрать бесконечным числом способов 2〃 векторных полей х\ ..., х2п, таких, что

i (X») i (XJ) Q = i (X» /\ X/) 9 =—妆.一

Подставляя в (21) выражение для формы Q (16), получаем уравнения для нахождения векторных полей ХЗ , (3 ^ (1, ..., 2 п}:

i (* 八 X。)Q = 一忆…X； Xf + brhxrr X； - bkr X； X"

+「X； X" ^ X； X,： — % 2计I X； XLh =—尹(22)

(по повторяющемуся индексу г нет суммирования).

Так как для определения 2п + 1 компонент векторных полей X? имеем п + 1 уравнение, то п компонент можно задать произвольно. Сообщим им следующие значения:

+3一 …—八2" 一

Y€{1,…，必 2"— 1, ..., 2n+ 1}.

Тогда уравнения （22） представим в виде

i （* А X） Q =—々〃 X； Х：№ +（%“ 一 ％） X； X； + Cj,「X； X； +

+ ahrXrrXl^ar^（23）

Решая полученную систему линейных уравнений по правилу Крамера, находим искомые компоненты векторных полей:

X； =R/zV о®1,…，п+1},

где А7 — определитель системы; △!•——определитель, получаемый из определителя системы 厶了 заменой f-го столбца столбцом из свободных членов. Определитель системы имеет вид

А7А7（24）（24）0®2 一621）（仇3 一匕31）…®/г - %） - ①1b21 一 ^12。（昆3 一632）…（b2〃 -仇2）一月2

А7

А7

（24）

（24）

（% - "〃）（仇?2 - %）。一初

°1, 2〃+1 °2, 2%+1 a"+2%4, 2/1+1

Для нахождения остальных n ——2 векторных полей Ха ,а £ £{〃 十 1,…，2〃 一 2}, сообщим произвольным компонентам Х；= =—5? следующие значения п:

/€{〃+「・・，2п}.

В этом случае система уравнений （22） примет вид

МХ「Д X。） = （% — bhr） X； Х^ + с-, г X； X； + ^ X； X；-

-"Г, 2叶1 X； x2"+]=一学&一小；（25）

искомые компоненты векторных полей определят из формул

Х>А：/А\

где Да——определитель системы （25）, равный

。（b12 一b21）（“3 一b31）…（"〃 一 %）-%, 2叶1

^21 一 "2。（b23 一b32）•• -（戾"一b八2）-02, 2计1

да

（% - %） （b"2 -b2〃）。~ant 2叶1

°1, 2%+1 °2, 2%+1a* 2〃+1°

Полученные векторные поля Хт , X。позволяют получить сле-

дующую систему, ассоциированную к форме Q:

^hdy^ +^hdy^ +(26)(26)

^hdy^ +

^hdy^ +

(26)

(26)

Примером получения явного вида дифференциальных уравнений движения является составление уравнений (26) для системы с двумя степенями свободы. Определитель системы имеет вид

。(^12 -621) 一 々h

-a (-自2。15 + 財 1a25 + aе]5),-a (-自2。15 + 財 1a25 + aе]5),a =(方 21 一b12)。~" 力12

-a (-自2。15 + 財 1a25 + aе]5),

-a (-自2。15 + 財 1a25 + aе]5),

015025力5

где а = “2 — ^21-

Уравнения (26) для системы с двумя степенями свободы имеют вид

/ д!、…/ а}

dy1 + I ^15 - 自 1 自2 -^- ) dy3 + I c25 -力21

(27)

Вычисляем определители А； и А；

015 — 1 a - Bi

△；=

025° 一212

=［一 feH W5 -025 ^15 +a25 月2 (%5 -1)］；

0025C15

0%5 - 1—^11

-a025 一 自 2

-［—@5 — 1)瓦2a15 +015a25々11 + a(%5 - 1居5］。

生5 °e15

Подставим полученные значения А； и А； в первое уравнение системы (27):

dyl + "е15 —月2 015 一瓦 1 q25 +自2 购3 +(05" 一尼21 Q25 - *22 a15 + 々22［

a1a

d 员=0.d 员=0.I a25 (喝-々22砧)a 315 - 自2 "15 + ^11 025)

d 员=0.

d 员=0.

Вычисляя определители А； , А；, А： , А； , А；, А^ н подставляя

их в (27), получаем остальные уравнения:

dy2 + аС15 十瓦 1^25 —財2a15 —々11 dy3 + ( C25a + 局山25 —尼22al5 —局］

aaa

a

a

з(照二&细_)犷_ 0；

a (忆5 -瓦2a15 + w &5)/

必十必十ae15 + 自1425 -自2a15 ~- 自1 dg3 +(C25a + 他5尼2］-局2"15a\a

必十

必十

a (處一同2%)也/4 _ 0；

a 315 —財2 015 + ^11 ^25)

(aс15 + 也 1025 - 212al5)也3 - (c25a + 局 1025 一卷2a15)dy4 = 0.

Переходя от переменных ур к обобщенным координатам (у1 = =力，у2 = q^ уз ^ 力，^4 = «2， У' = f и преобразуя полученную систему, ее можно представить в следующем виде:

=dqi

aq —自2。1 一 ^11^2 ae2 -为21a2 + 尼 22al^22e1 -尼 12c2

=.(28)

財 1Q 一 ^21fl为21 一月2 ^11

Пример. Два однородных сплошных цилиндра общим весом 匕，жестко закрепленные на оси, толщиной и массой которой можно пренебречь, образуют скат, опирающийся на горизонтальные опоры. На той же оси свободно насажен тонкий стержень длиной /, несущий на конце точечный груз Л весом Рг« Определить движение системы, пренебрегая массой стержня и

Рис. 9Рис. 9предполагая, что трение в узле С отсутствует и цилиндры катят二я по опорам без скольжения (рис. 9、).

Рис. 9

Рис. 9

Решение. Рассматриваемая система имеет две степени свободы. В качестве обобщенных координат выбираем абсциссу % = % точки С и угол 72 = Ф отклонения стержня СА от вертикали. Обозначив 恤 общую массу цилиндров, а m2 массу груза 力，приведем выражение для кинетической энергии системы:

7= (1/2)[(1,5m1 + m2)h +

4-m2Z(7 ср2 + 2х ср cos ср].

Находим обобщенные силы:

Qi = o, Q2 = —^2^sincP-

Вычисляем коэффициенты, входящие в уравнения (28):

a2Tд2T

^11 = ГТ- = ( 1 , 5 ml + 团2)；々227"=团2/；

02T

为 12 ~ ^21 =：：=团2/ C0S %

帆dq2

дТ.

q = -：- =(1,5m1 + /n2) * + m2/ cos еР еР;dqi

дТ..

q = —:= m2/2 ср + m2l cos cp *;

02「02T.0「

a =-:--—:=——mJL sin ер о, аI=——Q[ = 0;

肮 0% 歯2 MldC}1

дТ--..

a?———Q? = — m?lx cp sin ср + fJizgl sin cp.

Подставляя полученные значения коэффициентов в уравнения (28), получаем

映dx

sin 屮[—m2Z cos 屮屮2 + (1,5 /л】+ m2) g] sin cp [— m2/2 屮2 _|_ m2/g cos 屮] dxdcp

[(1,5 恤 + m2)—加2 cos? cp] lx [(1,5mi + m2) — m2 cos2 cp] Zcpdt

.m2Z cos2 cp — (1,5 /л】+ 恤)2 *

Случай второй характеризуется тем, что QQ = 0.

Сравнение формул (18) и (19) показывает, что если DQ =0, то системы дифференциальных уравнений в частных производных, определяющих инфинитезимальные преобразования и векторные поля X, соответствующие первым интегралам, одинаковы. Отсюда следует теорема:

Теорема 3. Любому векторному полю X, образующему инфинитезимальные преобразования для формы Q, соответствует первый интеграл, и наоборот.

Например, пусть Q =dpj•/\dg，—dH/\dt. Инфинитезимальные преобразования для формы Q образуются векторным полем т с компонентами

i I : 一 : % = 0 他=(% + 1, 2拉)).

Тогда из формулы (18) получаем

=0.=0.4c = DQd)Q) = D}—-*df)_d

=0.

=0.

+ /° [dH —器 d“] = D [(d"—

Следовательно, D d/) = 0. Это показывает, что величина dH/dt должна быть функцией одной переменной 力；обозначим ее К(0 и тогда получим интеграл Пенлеве: Н — V(t) = h. В случае, когда dH/dt = 0, получаем классический интеграл Н = h.

Теорема 3 дает возможность по известным векторным полям, образующим инфинитезимальные преобразования для формы Q, находить первые интегралы движения механических систем.

Движение несвободных систем

В предыдущем параграфе рассмотрено применение метода внешних форм к исследованию движения свободных механических систем, т. е. систем, движение которых характеризуется только заданными силами F и начальными условиями /. Однако очень часто, кроме заданных сил, на систему накладываются еще дополнительные условия, ограничивающие свободу ее движения, которые называются связями, наложенными на механическую систему.

Для применения результатов, полученных для свободного движения, воспользуемся принципом освобождаемости от связей, который наиболее отчетливо впервые изложен у Лагранжа: каждое условное уравнение (т. е. уравнение связи) эквивалентно одной или нескольким силам, приложенным к системе по заданным направлениям. Лагранж подчеркивает, что эти силы могут заменить связи. Следует отметить, что принцип освобождаемости от связей в формулировке Лагранжа для однозначного решения задачи требует задания направления реакций связей, т. е. принцип

освобождаемости от связей неявно дополняется условием реализуемости связей, так как в зависимости от вида реализации связи выбирается заменяющая связь реакция. Для голономных систем общепринятым условием реализации является условие идеальности связей. Для неголономных систем условие реализации выбирается в зависимости от конкретных условий задачи.

Согласно принципу освобождаемости от связей, действие связи эквивалентно действию силы, приложенной к системе. Следовательно, освобожденная от связей система отличается от свободной (из которой она получена путем наложения связей) наличием дополнительной (по сравнению с исходной) системой сил. Значит форма Q , соответствующая свободной системе, и форма Q*, соответствующая несвободной системе, отличаются друг от друга только наличием дополнительных членов в динамической части, а именно:

Q* = Q + Q八

где Oi = EQtdqt /\ dt, a Q» ——обобщенные силы реакций связей.

Форме Q * соответствует х ар актер истическое векторное поле Е*. Так какй * 二 С + Qz, то и £* можно также представить как сумму Е* 二二七 4-七厶 где Е/ — характеристическое векторное поле, соответствующее реакциям связей.

Связи, наложенные на систему, определены посредством функций 九=0 на многообразии расширенного фазового пространства V2п+1. Формы Пфаффа dfh на интегральных кривых уравнений движения тождественно равны нулю. Следовательно, они принадлежат подпространству ассоциированных к форме Q * форм. Необходимым и достаточным условием для этого является i(E^dfh^ 0 или

i(E)dfk -H(EZ) <^0. (29)

Уравнение (29) можно интерпретировать с двух точек зрения:

Если известны характеристические векторные поля Е и Eh то (29) можно рассматривать как уравнение в частных производных первого порядка, определяющее /断 Оно выражает необходимое и достаточное условие для того, чтобы fk = const были первыми интегралами ассоциированных к форме Q * уравнений. Уравнение связи нельзя выбрать произвольно, оно есть частный интеграл уравнения в частных производных.

Задано подмногообразие fk ^Q многообразия У2л+1. Условие (29) линейно по отношению поля Ez. Существует бесконечное число полей Е/, у до в летво р я ющи х (29). Единственность решения определяется выбором определенной схемы реализации связей.

Большинство связей, используемых в механике, такие, что в качестве условия реализации можно принять их идеальность, т. е. условие равенства нулю элементарной работы реакций связей на возможных перемещениях механической системы, допускаемых связями.

Можно считать, что известно apriori направление силы реакции связи, т. е., что поле связи Е( имеет форму 入е поля известных на-

правлений, где е — известное векторное поле направлений реакций связей,入2——определяемая числовая функция. В этом случае уравнение (29) можно представить в виде

£%®)dfh + i(E)dfh = O・ (30)

Если i(E)df = 0, то это означает, что df принадлежит подпространству ассоциированных к форме Q* форм, т. е., что / = 0 — первый частный интеграл ассоциированной сйстемы к форме Q*. Такую, связь можно реализовать без присоединения новых сил к механической системе, так как условие (30) в этом случае удовлетворяется при 入三 0. Поэтому, если это особо не отмечается, будем считать, что на механическую систему наложена связь, когда j = 0 не есть первый частный интеграл уравнений движения, т. е., когда i(E)d/ 方 0. Поэтому уравнение (30) при i(e)d/^# 0 определяет для множителей 入历 конечные значения.

Если i(E)df月* 0, то это означает, что df принадлежит подпро^ странству ассоциированных к форме Q * форм, т. е., что / — 0 — первый частный интеграл ассоциированной системы к форме Q. Такую связь можно реализовать без присоединения новых сил к механической системе, так как условие (30) в этом случае удовлетворяется при 入三 0. Поэтому, если это особо не отмечается, будем считать, что на механическую систему наложена связь, когда j = 0 не есть первый частный интеграл уравнений движения, т. е. когда i(E)df 力 0. Поэтому уравнение (30) при i©df田 0 определяет для множителей 入九 конечные значения.

Если i(E)df田 0, a i(eh)dfk = 0, то как следует из (30), множители 入攵 принимают бесконечно большое значение, что связано уже с деформацией связей, т. е. с выходом за пределы аналитической механики. Это приводит к необходимости введения понятия о совместимости связей с рассматриваемой механической системой.

Определение. Связи, наложенные на механическую систему, называют совместимыми с ней, если выполнено условие

det/fH dfk/^Q. (31)

Дадим геометрическую интерпретацию условия совместимости связей. Рассмотрим на многообразии 厂2拉+1 расширенного фазового пространства векторное поле порядка, р, ^Ag2A •••八濟,образованное из р векторных полей е\ ... , е° касательного пространства Т к %〃+i, а также рассмотрим внешнюю форму степени р d“A明入 …Л %, образованную из р форм 九...，％ пространства 7*, дуального к 力.В точке М многообразия векторное поле и форма степени р создают соответственно р-вектор и р-форму, внутреннее произведение которых равно det / / (еЛ) dfk /.

Условие совместимости det/f (eh)dfk/ ^ 0, следовательно, влечет за собой неравенство нулю этих р-вектор а и р-формы.

Из неравенства нулю р-вектора следует, что направления реакций связей в точке М многообразия V2n^ образуют независимую р систему. Из неравенства нулю р-формы следует, что р функций, определяющих уравнения связей, независимы.

Если обозначить А матрицу, р строк которой составлены из компонент р-форм d&,…，％ относительно базиса dp： dq1.力 a Q — матрицу, р столбцов которой составлены из компонент р полей 成，…，* то произведение Z на Q определяет квадратную матрицу порядка р, определитель которой равен внутреннему произведению р-вектора и р-формы.

А =А =如1…дрп如1…дрп/1"1m，…dqn/1"1m，…dqn讨1 dt讨1 dt丽丽dfP丽dfP丽%…攻 0%，…dqn%…攻 0%，…dqndfp dtdfp dtQ =Q =

А =

А =

如1…дрп

如1…дрп

/1"1

m，…dqn

/1"1

m，…dqn

讨1 dt

讨1 dt

丽

丽

dfP丽

dfP丽

%…攻 0%，…dqn

%…攻 0%，…dqn

dfp dt

dfp dt

Q =

Q =

Компоненты Q» ,£ р-вектора образуются с помощью опреде

лителя порядка р, извлекаемого из матрицы Q. Компоненты

Лчр-формы образуются с помощью определителя порядка р, извлекаемого из матрицы А. И, следовательно,

不'"'…'%Q&，…，% = detA4Q/.

Существование р-вектора Q& ... z и р-формы А”ip

внутреннее произведение которых отлично от нуля, позволяет построить приведенную внешнюю форму Q「. Положим , dq» = =冗，(九 £{1, , р})・ Существование р-вектора Q. . позволяет вычислить р дифференциалов dql, как функций М. Положим

图"dpi + -^Й- dqt + -^- dt = о%dptdqLdt

Существование р-формы Дч”" позволяет вычислить р дифференциалов dp., как функций

Так как внутреннее произведение р-вектора и р-формы отлично от нуля, то можно выбрать систему дифференциалов dq‘, dp， которые выражаются как функции форм лл, о" произвольным образом. Для определенности будем считать, что через формы 冗厶,ь" выражены первые р пар дифференциалов dql dp” т. е.

dq» =中 dpi = yf (ал) £€{「••，/?}・

Внешнюю форму Q можно выразить с помощью 2〃 форм Пфаффа:

М, о% 九€{1,・・・，р}, <оаа€{2р+ 1, ..., 2п};

Q = kifl 6 А М) + kai (соа Л В) + % 3“ Л М) + 歸(s“ Л 疗)—

—(Аоо/ + 网о 6 + 瓦о 汽"—“小)A dt・

Уравнения движения и множителей связей определяются ас-

социированной к форме Q системой:

£ = kai В + % М + 仆 d _ 統 dt= 0;

-^-=—做 и' — % 6 一 归九о d/ + Khdt= 0；

- ^ih kЛ 一統 8" 一电0 d/ = 0,

к которой присоединяются уравнения связей fh = 0.

Приведенной формой Q г назовем форму, которая получается из формы Q, когда ь" приравнивается нулю:

Qr = % (①"Л М) + % (Т /\ Г)—(耳о ①а + &0 " — & ") Л 成；

(2九一р) первых уравнений, ассоциированных к Q「，примут вид

*=%"+%加亠%出=0,

з(32)

=—統 8° —瓶о df + 入九 d/ = 0.

Заметим, что полученная система (2〃 一 р) уравнений совпадает с первыми двумя системами уравнений, ассоциированных к форме Q , если положить в них ь' = 0. Для полноты системы (32) необходимо присоединить к уравнениям (32) р уравнений, подобных урав・ нениям ———=0.

Если форма Q выражена в переменных р»,夕‘，т. е. если

◎ = dp小dqt — dH /\ d/ + Qi歯》八山+入工：對，八dt,

то можно составить п ассоциированных к форме Q уравнений:

dq，d/ = 0.

d (dp》dPi

Так как dp» = a^ о", где det / a访/耍 0, то "^y = ^^ a泣•

Поэтому p уравнении = 0 имеют следствием ——- =0.

0 (dp。

Для получения полной системы достаточно присоединить к (32) р уравнений dq1dt = 0, в которых р величин р. заменены их значениями, вычисленными с помощью р уравнений связей fA(p., ql /) = 0. На основании вышеизложенного можно сформулировать следующее предложение:

Предложение 1. Пусть дана механическая система п переменных, на которую наложены р связей типа 力?(Р： Г，力)=。・

Можно получить дифференциальные уравнения движения и р множителей связей 入丸，присоединяя к （2п ——р） ассоциированным к форме а г уравнениям, с одной стороны, р уравнений dqt —— ^- df = 0, с другой стороны, р уравнений 乃 dq1 =冗"р пе- dPi”

ременных р» вычисляются с помощью р уравнений связей /九（科，r，f） = °・

Приведенная форма 2Г зависит, как ясно из приведенного выше, от 2（几一р）@орм соа, р-форм 冗九 и d/・ Так как М = Р）dt （Р厶——мощность сил, необходимых для реализации Л-связи РЛ = =九九 Р： ），то каждое 冗力 можно заменить на Р： df в С и получить, таким образом, форму

%=脸зa d山）+%斯д疗）一 k^ л出,

в которой не фигурируют множители связей ХЛ.

Полученную таким образом форму Q s назовем дважды приведенной формой. Ассоциированная к ней система имеет вид 爵=歸片近+%苏一%必=0.

Полученные уравнения не содержат множителей связей и, следовательно, форма Q$ может применяться для составления уравнений движения, не зависящих от множителей связи.

Для получения дважды приведенной формы С$ необходимо в форме Q заменить р пар дифференциалов dp., dq1 на их значения, вычисленные с помощью двух систем:

dfh /. dfh , ； . dah и 八

-г— dp» H—dq，Я—— dt — О,

dpidq1dt

：.疗歯£ —p：d/ = oле{1,

На основании вышеизложенного можно сформулировать сле

дующее предложение:

Предложение 2. Пусть дана механическая система п переменных, на которую наложено р совместимых связей /Л（р., 夕厶 £） = 0. Можно получить дифференциальные уравнения движения, как ассоциированные к форме & ранга 2 （п — р）, выводимой из формы Q заменой р пар дифференциалов dp^, dp1 их значениями, вычисленными для dq1 с помощью р дифференциальных уравнений связей, для dq» ——с помощью р уравнений /： dq1——Р： dt = 0; если р

р-форм dq' dptр-форм dq' dptdt = 0.dt = 0.переменных pf вычисляются с помощью р уравнений связей /Л= 0, то необходимо присоединить к ассоциированной системе к форме С$

р-форм dq' dpt

р-форм dq' dpt

dt = 0.

dt = 0.

Следовательно, для того чтобы применять результаты, приведенные в § 5, для исследования движения несвободных механичес-

ких систем, надо в качестве внешней формы Q, используемой в § 5, взять дважды приведенную внешнюю форму Q$. Получаемые при этом уравнения (26) не зависят от множителей связей и позволяют найти уравнения движения механических систем без определения реакций связей.

В случае, если форма Q выражается с помощью лагранжевых переменных q, q,力 и их дифференциалов, предложение 2 можно представить так:

Предложение 2a. Для получения дважды приведенной формы £2$ заменяем р пар дифференциалов dqv

вычисленными для dq» с помощью р дифференциальных уравнений связей, для dq.——с помощью р уравнений 小 dq» ——Р)dt = 0, n заменой р переменных q. их значениями, вычисленными с помощью р уравнений связей. Для полноты ассоциированной системы присоединяем к ней р форм dq. — q. dt = 0.

Таким образом, можно предложить следующий метод изучения движения механических систем:

Множители связей 入 определяются независимо от движения комбинированным использованием формы Q и оператора Картана. Для этого достаточно определить для свободной от этих связей системы:

характеристическое поле £*, соответствующее форме Q;

поля elf .... ер направлений реакций связей уравнений (30) вполне определяют систему реакций связей.

Дифференциальные уравнения движения всегда можно получить независимо от множителей связей с помощью ассоциированных уравнений к форме Q s.

Пример 3. Кольцо М. массой т, надетое на гладкую проволоку, изогнутую по винтовой линии, соскальзывает под действием силы тяжести. Определить уравнения движения кольца и реакцию проволоки. Винтовая линия является пересечением двух поверхтгостей, заданных уравнениями х — a cos kz, у = a sin kz.

В начальный момент кольцо М находилось в покое в положении MOi указанном на рис. 10.

Решение. В соответствии с предложенной выше методикой, рассмо- грим сначала свободную материальную точку. Кинетическая энергия ее

7=(1/2)m(* +以+/).

По формуле (15) находим внешнюю форму Q:

Q = mdx Л dx 十 mdy A dp 十 mdz Adz — mxdx ^dt —

—mydy A dt —m z dz/\dl Pdz Ndt.二

Для определения компонент характеристического векторного поля составляем уравнение, согласно (17):

i (Е)。=(Е4dx — E*dx) +(E&dy — ^dy ) + (^dz — E8dz ) +

+ (一 * )(石4山一E7dx ) + (— у ) ^E^dt — Ezdy ) +

十(—z ) (&或一E7d2 ) + P (马山一F7dz) = О,

откуда, полагая Е7 = 1, находим

Е*= пгх, Е^ = ту, Е3 = тг, & = 0, Е5 = 0, Еб = Р .

Связи, наложенные на точку, представляем в виде

f 1 = х 4- zak sin Az = 0, % = У — zah cos 々z = 0.

После направлений реакция связей определяется уравнениями связей, при принятой системе реализации связей; реакции связей должны быть направлены перпендикулярно к поверхностям, определяемым уравнениями связей. Следовательно, поля направлений реакций связей имеют следующие компоненты:

4(1, 0, ak sin kz, 0, 0, 0, 0); е2 (0, 1, —ak cos kz, 0, 0, 0, 0).

Уравнения (30) для определения множителей связей имеют вид

入"(勺)d/i 十 U (%)可]+，(£) d& = 0,]

中 (g)也+入2,(3明+ i (e)明=0. /⑴

Вычисляем:

i (勺)dfi = 1 十 a?必 sin2 Gz;

i (^2)Wi ~ —。2必 cos kz sin fez;

i (%) d% ==——。2左2 sin kz cos kz\

£ (%) % = 1 +。2归2 cos2 fez;

i (E) dfi = mz2ah2 cos kz-\- Pak sin kz\

i (E) d% = m^ak^ sin kz — Pak cos kz. Тогда из (а) находим множители связей

入1 =—入1 =—Pak sin kz1 十 a?/Pak cos kz]+ a决2 .Pak sin kz1 十 a?/Pak cos kz]+ a决2 .mz2ak2 cos fez;mz2ak2 cos fez;m步诚2 sin kz.m步诚2 sin kz.

入1 =—

入1 =—

Pak sin kz

1 十 a?/

Pak cos kz]+ a决2 .

Pak sin kz

1 十 a?/

Pak cos kz]+ a决2 .

mz2ak2 cos fez;

mz2ak2 cos fez;

m步诚2 sin kz.

m步诚2 sin kz.

Для нахождения уравнений движения найдем дважды приведенную форму С. Для этого, согласно предложению 2, выразим dx и dy из уравнений связей:

dx == — ak sin kzdz — zak sin kzdz\ *

dy = ak coskzdz ——zak sin kzdz.

Дифференциалы dx и dy находим из уравнений:

d(dz)d(dz)m (1 +。2必)dz + Pdt = ^m (1 +。2必)dz + Pdt = ^

d(dz)

d(dz)

m (1 +。2必)dz + Pdt = ^

m (1 +。2必)dz + Pdt = ^

dx +：a也 sin kzdz —

—^( % + zak sin kz) dt = 0;

dy — ak cos kzdz +

+ ( У f zah cos kz) df = 0.

Подставляя в них значения %=

=——za^sin kz, у — za^cos 论z, полученные из уравнений связей, имеем

dx = — ak sin kzdz, dy = ak cos kzdz.

.Заменяя в форме Q, x, у, dx, dy, d%, dy полученными значениями, находим дважды приведенную форму С$:

Qs = т (ak sin kz)2 dz К dz -\- т (ah cos kz)2 dz A dz {- tndz A dz —

—mz a2^2 sin2 kzdz l\dt — mza2k^ cos2 kzdz Л 山一tnzdz A df 十 Pdz A dt.

Для получения дифференциальных уравнений движения составим ассо- ииированную систему к дважды приведенной форме Q5:

—з= /и (1 + "必)dz— гт (1 + "依)df = 0. d \ dz)

Пример 4. Исследовать движение однородного 1вердого тела, имеющего форму конуса вращения, вершина которого закреплена на неподвижной плоскости, наклоненной под углом а к горизонту. Угол Р составляет половину угла при вершине конуса; масса его М, высота 九(рис. 11).

Пусть Ozrfi ——неподвижная система координат, а Ox, yz ——система координат, неизменно связанных с телом (подвижная система).

Решение. Так как в данной задаче не требуется нахождение реакций связей, то будем вычислять сразу дважды приведенную форму ◎$. Форма состоит из двух частей: кинетическая часть

Q$c ― DL;

динамическая часть

Qsd = Qidg'Adf.

При использовании подвижных осей необходимо вычислить по отношению к этим осям абсолютные дифференциалы параметров позиции и скорости. Пусть х> у, z ——координаты произвольной i-й точки конуса, неподвижной

—> —► —► относительно подвижных осей, i, j, k ——единичные векторы подвижных осей. Тогда

f —А —►■—►—►—►——h

rL^ xi -Y yj + zk , dri = xdi + ydj -^zdk.

Из формул Пуассона находим:

d j = (cos Od屮 + d^) j — (sin 6 cos +叫 + sin 中d8)面;

d / = — (cos 9d屮 + d^) t + (sin 9 sin 中叫 + cos 中dO) k ;

dk — (sin 8 cos yd屮 ——sin(pdO)，——(sin 0 sin yd屮 + cos ydB) 丁 и окончательно

d г, = (z sin 0 cos ^d^ — z sin <pd0 ——у cos 8d屮 ——yd叫 7+ (x cos 8dy + xd# —

—z sin 6 sin ^d]i — z cos yd8) j + (y sin 0 sin yd屮 4- у cos 屮成一

——x sin 0 cos yd屮 + x sin yd8) k .

Обозначим co*,①,，①z проекции угловой скорости тела на оси подвижной системы координат; тогда скорость произвольной i-й точки в проекциях на подвижные оси

■ >•■"■-А—>—卜

и = 3yZ — ^zy) i + ®x — 3%z) j + 3%y —⑴# k .

Вычислим кинетический потенциал:

L=2(加kd 了) 一 (d"2) 2 (皿硯，

где

一 Е (团》"" % ) = £ [g WyZ — з^у) (z sin 0 cos 中两—г sin 中d8 —

——у cos 8d屮 ——yd屮)+ mi (co2x ——(o%z) X (x cos 8d屮 + xdy ——г sin 9 sin <pd中一

——г cos 中d8) + mi ЗхУ ——ЗуХ)(у sin 0 sin yd屮 + у cos(pdO ——

—x sin 8 cos yd屮 + x sin ^dH)] = ^ mi (炉 + г2) X

X ( ф sin2 8 sin2 中叫 + j sin 8 sin 中 cos «6 + 8 cos 中 sin 8 sin 招屮 + 6 cos2 中d8)十 4- 2 mz (z? -p a-2) X ( ф sin2 0 cos2 中叫一0 sin ¥ sin 0 cos ydy —

—《sin 8 cos cp sin ср X rfO + 0 sin2 中d8)十 W 色(x2 + U) ( j cos2 8碑 十+《cos 6d屮 + jcosBdy + ydy) + £〃n// (…)+ ^т^х (...) +

+』m/z (...)・

Выбирая в качестве подвижных осей координат главные оси инерции конуса в точке О, получаем

厶=』色伊 + %2)=外=N mt (z2 + x2) = A;

Jz = ^^i^2 + y2)=^c；

」zy =』加咨^ = Jy* =』色"=，xz = 2 m,Lxz = 0;

£ (色 vL d7) = Л Ф sin2 6d屮 + 6d9)+ C ( ^ cos2 Bd屮十中 cos 6叫 十

* , T- j cos 8dy + ydy ).

Вторая сумма в выражении кинетического потенциала есть выражение кинетической энергии в подвижной системе координат, которая для твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной точки, для главных осей инерции имеет вид

222

или, воспользбравшись кинематическими формулами Эйлера,

=屮 sin 9 sin ср + 0 cos 中；

3y =屮 sin 0 cos cp — 0 sin 中；

w2 = ф cos 8 + 中，

получим

£ (团清)=[% (《2 sin2 8 + 百2)+ C ( j COS 9十中)2J .

Окончательное выражение для кинетического потенциала получаем в виде

L — Д ( ф sin2 Hd屮 +。血)+ C ( 0 cos2 8d屮 + 中 cos 8d屮 + Q cos 8两 + yd^)f

-^― [/ ( i2 sin2 8 + 02)+ C (屮2 cos2 a + 2 屮中 COS 6 +y)].

Тогда кинетическую часть формы Q5 найдем как внешний дифференциал от кинетического потенциала:

。宾= DL^ (A sin2 0 + С cos2 8) d 屮 А 叫十 4d 8 Д 血 + Cd 中 A d中十

+ C cos 6dy A d屮 + C cos 8d j A dy — С ф sin 6dB A dy 十(24% sin 0 cos 0 —

——2C Ф cos 0 sin 9 ——C 中 sin 8) d8 Д 叫——[4 (屮 sin2 8d j 十 *2 sin 8 cos 8d8 +

+ 0 d 6) + C (屮 cos2 Hd j — ф2 sin 6 cos 8d8 + 中 cos 8d 川十 j cos 8d 中一

—j 中 sin Hd8 + ? ^ ?)] A d/・

Вычислим теперь динамическую часть формы Q$. Внешние силы определены их мощностью:,

р = Мх(ах + МуШу + Mz^z = Mgzc sin 0 cos ср ( ф sin 0 sin cp + 0 cos 中)一

—Mgzc sin 8 sin 中(0 sin 8 cos 中一0 sin 中)， откуда

%d = Mg% sin OJO Adt, где zc — апликата центра масс конуса в подвижной системе координат. Форма Qs равна сумме форм Qsc и Q”：

% = (Д sin2 0 + С cos2 8) d 屮 А 叫 + Дб/ О Д ^9 + Cd ^ А ^? +

+ C cos 8dcp Л 叫 + C cos Hd 屮 A 碑一cj sin 8d8 A ^ +(24屮 sin 0 cos 9 —

—2c 屮 cos 8 sin 8 — Су sin 6)d8 A d屮一[4屮 sin2 0 + С ( ф cos2 0 +

+ 中 cos 6)] d j Д 必一[4» sin 0 cos 0C|2 sin 0 cos 0 — C 屮 * sin Z~

—MgZcSin б] X d^^dt — C^d^Kdt — A 0 d °Ad/— C^cosOd^A^/.

Известны четыре поля X1, X2, Хз, X4, образующих инфинитезимальные преобразования для формы С. Если переменные на многообразии V2n+1 обозначить у[=屮，鼓=屮，Уз = 8,物=%,北=屮，Уб = j, Уп = К то компоненты полей X】，X2, Хз, X* в данном базисе будут равны:

x| = 1 x； = o x； = o x； = ox| = 1 x； = o x； = o x； = oX； = o X%1 x^ = o X』X； = o X%1 x^ = o X』X： = о x^ = о X『1 х； = оX： = о x^ = о X『1 х； = оx； = o x； = o x： = o X：=lx； = o x； = o x： = o X：=lX^ = 0 x^ = o ^5 = 0 xg = оX^ = 0 x^ = o ^5 = 0 xg = оX& = 0 x^ = о X&=0 X^ = 0X& = 0 x^ = о X&=0 X^ = 0x； = oX” 0 .君=0* = O・x； = oX” 0 .君=0* = O・

x| = 1 x； = o x； = o x； = o

x| = 1 x； = o x； = o x； = o

X； = o X%1 x^ = o X』

X； = o X%1 x^ = o X』

X： = о x^ = о X『1 х； = о

X： = о x^ = о X『1 х； = о

x； = o x； = o x： = o X：=l

x； = o x； = o x： = o X：=l

X^ = 0 x^ = o ^5 = 0 xg = о

X^ = 0 x^ = o ^5 = 0 xg = о

X& = 0 x^ = о X&=0 X^ = 0

X& = 0 x^ = о X&=0 X^ = 0

x； = o

X” 0 .君=0

* = O・

x； = o

X” 0 .君=0

* = O・

Из непосредственного вычисления внешнего дифференциала формы О§ получаем DQ^ = 0. Следовательно, согласно теореме 3, § 5, полям X1, X2, Xs, X*, образующим инфинитезимальные преобразования формы Q§, соответствуют первые интегралы. Найдем их:

для поля X1

i (Xi) 2$ = — Cd 中一C cos Od屮 + C 屮 sin OJO.

Подставляя это в формулу (17), имеем

D (i (Xi)弘)=D [— С (d $+ cos 8d屮一屮'sin 6d8)] = 0;

откуда, соответствующий первый интеграл равен

С<р + С cos 0 ф = а.

Аналогично для поля X?

D (i (Х2) %) = D {— (A sin2 6 + С cos2 0)叫一С cos 6d 中一

—(2血sin 0 cos0 — 2cdcos 0 sin 0 — Cz^ sin 8) d6} = 0.

Следовательно, первый интеграл имеет вид

A sin2 0ф + СсозО(фсозО + ф) = &.

Для ПОЛЯ Х4

D (“ Х4) Q$) —D {[А ф sin2 6 + С ( 0 cos2 0 + 屮 cos 6)] d Q +

+ [4屮％ sin 0 cos0 — Оф2 sin 0 cos6 — C屮中 sin 0 — Mg2c sin 8]或 +

+ C ^d^ + 4 6 d。} = 0 и соответствующий первый интеграл

Л (》sina 0 + 6》+ с @2 cos2 8 + 2屮中 cos 0 + 衿 + 2Mgzc cos 0 — Я.

Получено три классических первых интеграла для задачи^Лагранжа движения твердого тела около неподвижной точки, которые представим в

виде

屮 + cos叫=а,(1)

Дф sin2 0 + Са cos 8 = 6,(2)

4 ( 5 siC 6 + 而)+ 2Mgzc cos 8 =厶，(3)

где''а = aJC, h^ — h — Са®.

Из (2) и (3)

• b — Ca cos 0 .

A sin2 0

@2 比一2Mgzc cos 0 (b — Ca cos 0)2

АД2 sin2 0

Дальнейшее исследование движения конуса можно произвести обычным методом (см., например, Бухгольц Н. Н. Основной курс теоретической механики, ч. 2, стр. 203——206), только необходимо учесть, что функция S = =cosO в данном случае изменяется в пределах sin(a +：о) «?S《1.

Глава* XVI

ИНТЕГРАЛЫ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ КАК УРАВНЕНИЯ СВЯЗЕЙ

Как известно, уравнения Лагранжа с неопределенными множителями применяют к решению задач механики, если на движение механической системы наложены ограничения в виде голономных связей или неголономных линейных связей первого порядка. Отличительной особенностью этих уравнений является наличие реакций связей в явном виде. После решения задачи о движении системы и вычисления неопределенных множителей Лагранжа как функции времени, можно найти выражение реакции связи как функции времени. Уравнения Лагранжа имеют вид

4=Qi+E人儿《=1,2,…,九).4=Qi+E人儿《=1,2,…,九).⑴⑴

4=Qi+E人儿《=1,2,…,九).

4=Qi+E人儿《=1,2,…,九).

⑴

⑴

⑵⑵Ниже рассмотрены только движения механических систем, на которые налагаются связи вида

⑵

⑵

% = Фр(7/+i> %+2, •••,夕〃)(Р — 1,…，0*

В этом случае уравнения (1) примут вид

% = % — ФР (力+1，仇+2,…，勿)-0.% = % — ФР (力+1，仇+2,…，勿)-0.(3)(3)

% = % — ФР (力+1，仇+2,…，勿)-0.

% = % — ФР (力+1，仇+2,…，勿)-0.

(3)

(3)

Присоединив к системе (3) уравнения связей (2), получим полную систему уравнений, в процессе решения которой находятся неизвестные ^, q?,q^ и Х1?...,入广 Компоненты реакции связей

найдем по формулам

(4)(4)У」*

(4)

(4)

p=i

Рассмотрим теперь множество голономных связей вида (2), налагаемых на движение системы. Среди них, очевидно, найдутся и такие, которые являются интегралами в задаче о движении той же механической системы с теми же активными силами, но без наложенных голономных связей (2). Движение системы без наложенных голономных связей (2) дается обычными уравнениями Лагранжа второго рода:

j(5)

山I dqt丿 Mi

Если на движение системы наложить связи (2), среди которых все являются интегралами системы (5), то такие связи не дадут реакций.

Теорема*. Для того чтобы все дополнительные голономные связи (2), наложенные на движение механической системы, оказались интегралами системы (5), необходимо и достаточно, чтобы при решении системы (3) все неопределенные множители Лагранжа ХР равнялись нулю. Теорема содержит две теоремы —— прямую и обратную.

Прямая теорема. Если все связи (2) являются анте- гралами (5), то все % равны нулю.

Обратная теорема. Если все Хр равны нулю, то все связи (2) являются интегралами (5*丿.

Приведем нестрогое доказательство обратной теоремы. Пусть при решении системы уравнений найдены такие величины %«), %(力)，…，夕九⑴，что все ХР становятся равными нулю; тогда %, %,… ...,qn удовлетворяют, очевидно, системе (5) и одновременно уравнениям связей (2); но тогда (2) являются интегралами (5).

Приведем ряд примеров, которые подтверждают теорему.

Пример /. Рассмотрим известную задачу Ньютона-Кеплера. Заданы две массы; одна М, другая т, причем М》т. Массы взаимодействуют по закону Ньютона. Силовая функция имеет вид

U =仰〃.(6)

Требуется определить движение массы т относительно М.

Решение. Поместим в начало координат массу М и рассмотрим движение т относительно М. Составим уравнения движения массы т в полярных координатах. Представим выражение кинетической энергии

Т = (1/2) ( ；2 + /) = (1/2) ( ；2 十产中2).⑺

Система уравнений Лагранжа примет вид

* Из-за сложности доказательство

прямой теоремы не приведено.

или в явном виде

f——2 = 一 7m/产—(中厂2 ) = 0 .at

⑼

Из второго уравнения системы (9)

中厂2 = С.(10)

Система (9) имеет интеграл энергии

；2+ r^ = 2klr + h,(11)

де k =7林

Интегрируя (10) и (11), находим зависимость между г и ср:

1 + У1 + d4i]№ cos 中1 + 1 cos ?

где

р = c?jh, I = У\ + c2h/k .

Выражение (12) является интегралом системы (9). Возьмем теперь уравнение (12) за связь; тогда согласно прямой теореме неопределенный множитель должен равняться нулю. Составим уравнения движения массы со связью (13). Система примет вид

Г——厂中2 = 一 744 /厂+入

дФdr

為(*)=人*,

1 + / cos у

Система уравнений (13) тоже имеет интеграл энергии (11).

Найдем частные производные 罢 и 巽 и подставим их в (13):

(13)

厂一厂嗖=-7m" +入；■(m2 )=一入一；口中 .(14)

atcos 中)2

Из уравнения связи (12) определим 厂 и подставим в интеграл энергии (11)

.2/2 sjn2 中

(1 + / COS 中)4 + (1 十 / COS 中)2

2K(1+/cosy) 一

+用，

Р

(15)

откуда

(16)(16)々/p(2 + 2/cosy + /ip/力)八

(16)

(16)

炉22 + 户 + 2户2 cosy a + 2 eos中).

Умножим (16) на г4 и учитывая, что 1 + ph/k = /2, имеем

*2 = &.(17)

Подставляя (17) во второе уравнение (14), получим

p/siny 八(1 + / COS 中)2

откуда следует, что 九 = 0.

Пример 2. Рассмотрим движение твердого тела с одной закрепленной точкой в случае Лагранжа, т. е. случай, когда / = В, С ——произвольная, а также хс = ус = 0,々次 0.*

Потенциальную и кинетическую энергии представим следующим образом:

п = МёгсЪ, Т = 1/2 [4 (户 + д2)+ “2].(18；

В качестве обобщенных координат выберем углы Эйлера

% =屮，02 = 8，9з =卩

Зададим закон движения твердого тела в виде

屮=屮о/ + 屮о, ср = ср。/ + Уо,8° = 0.(19)

Задана регулярная прецессия гироскопа Лагранжа. Рассмотрим реакции связей. Система уравнений Лагранжа имеет вид

d дТ дТдП .、

丁 一— — — = — ~ + xi-(20)

Составим уравнения, найдя все необходимые производные:

"°f - = 4 (屮о sin2 0о sin2 中 + Qo sin2 0o cos2 у) + C ( jo cos 0o + ¥e) cos 90；

=二(Лфо sin2 % + C jo cos2 0o + Oy。cos 0O ) — 0, dt 计 dt

0TдТдП

科科科

откуда 入I = 0;

-^ = 4 [川()sin 00 sin 中 cos 屮 一фо sin 0O cos 中 sin 屮]=0；

"^- = (4 — B) j； sin 0O cos 00 — %to sin 8®,дП. c

—= Mgzc sin 60.

Отсюда

入2 = (4 — С) sin 0О cos % — С фо^о sin 0о — Mgzc sin 00;

дТ / •• \ дТдП 、

―г- == С \ ф0 cos 0+ фо7> ~" = 0,— ~—== 0; Х3 = 0.

西0中西

Итак, имеем три реакции:

入 1 = 0,入 з = 0,入2 = (4—С) j 2 sin б。cos 瓦一С jo у。sin % —Mgzc sin %. (21) 0

По теореме закон движения твердого тела в виде уравнений (19) имеет место в случае Лагранжа, когда Х2 = 0. Поэтому имеем одно уравнение:

(4 — С) М sin 0о cos Oq 一 С ^офо sin 6° — Mgzc sin 瓦=0.(22)

У равнение (22) является соотношением между начальными данными, при соблюдении которого имеется регулярная прецессия в случае Лагранжа.

Упростим выражение (22):

(23)(23){(4 — С) § cos 0о 一 С срофо — Mgzj sin 00 = 0.

(23)

(23)

Выражение в фигурных скобках получено Ж. Шази другим способом.

Из теоремы получаем метод понижения порядка системы, в том случае, если система уравнений (5) имеет первые интегралы. Покажем на примере задачи, каким образом это можно сделать?

Пример 3. Рассмотрим плоский случай круговой ограниченной задачи трех тел. Заданы две массы Л10 и М】，которые вращаются вокруг общего центра масс по окружности с угловой скоростью п в плоскости 可.£; третья масса m значительно меньше MQ и Mi, и взаимодействует с MQ и М】по закону Ньютона. Требуется определить закон движения т»

Решение. Составим уравнения движения массы m. В неподвижной системе координат ЕОт] уравнения имеют вид

W = (Е —汕2 + S —喻2, " = (Е — К)2 + 5 — %尸・，

Перейдем к вращающейся системе координат хОу, выполнив преобразование координат:

E = xcosu —gsinu,)傑)

Т = х sin 少一у cos。.丿

Найдем выражение кинетической энергии и силовой функции 取：

T = (m/2)(^+^).

Так как

Е = х cos 少一х и sin и — у sin v — у и cos и,

т] = х sin 少 + х и cos о 十 у cos 少一yvsin у,

имеем

(26)(26)Т = (m/2) [ х2 + z/2 + 2n (х t/ — yx) + n2 (x2 + 夕)],v — n吟=(x -%)2 + У2，

(26)

(26)

^ = ^MQm/rQ + ^Adjm/ri 彳=(х —勺产十炉.

Уравнения Лагранжа имеют вид

d

дТ

дТ

dW .

d GTдТ

dt

дх

дх

дх

也 дудУ

一 ду

(27)

или в явном виде

x -

2з-

-/г2х =

dW

у + 2nx -九叱=

ду

(28)

* Система уравнений (28) имеет интеграл Якоби

(29)(29)以2 + » =九2(/ + 外)+ 2了 (М0/г0 + MJG + 2/1 .

(29)

(29)

Положим, что на движение массы m наложено ограничение в виде голо- номной связи у =屮(％). В этом случае система (28) примет вид

аг...dW л

x - 2пу - П2х = +入屮，(х) у + 2/!х 一九2y 入，

。％8y(30

!/ =屮(х)=0.，

Из уравнения связи

y = V(x)x.(31)

Подставляя (31) в (29), имеем

J 制侬…)+27 («•(_；)*" +声論)+2九-

(32)

Интегрируя (33), получаем

dx

J 力卜…+27%3 + Т^Э^Х

(33)(33)=/ + с.

(33)

(33)

Найдем А, используя (32) и первое уравнение системы (28):

х — 2п у —х — 2п у —dW"2* _ дхdW"2* _ дх(34)(34)

х — 2п у —

х — 2п у —

dW

"2* _ дх

dW

"2* _ дх

(34)

(34)

Исключив из (34) х и у, получим

入入1+h1+hh2（X +中V）九2 （x2+屮2）屮，屮〃h2（X +中V）九2 （x2+屮2）屮，屮〃2浊纯〃2浊纯〃MoMo(1+Г)2(1+Г)2(1 ++'2产тм а— хо)2 + 屮2(1 ++'2产тм а— хо)2 + 屮2++++мгмгМ(Х-Х])2 +屮2М(Х-Х])2 +屮22中"〃/г А +屮¥2中"〃/г А +屮¥7/ m)(х - Х0 + 网/)丄\ [(x一心产+炉产7/ m)(х - Х0 + 网/)丄\ [(x一心产+炉产++М (х —打 + 屮V)М (х —打 + 屮V)3[(Х-Х])2+ 屮 2]»3[(Х-Х])2+ 屮 2]»—2叫'X—2叫'X

入

入

1+h

1+h

h2（X +中V）九2 （x2+屮2）屮，屮〃

h2（X +中V）九2 （x2+屮2）屮，屮〃

2浊纯〃

2浊纯〃

Mo

Mo

(1+Г)2

(1+Г)2

(1 ++'2产тм а— хо)2 + 屮2

(1 ++'2产тм а— хо)2 + 屮2

+

+

+

+

мг

мг

М(Х-Х])2 +屮2

М(Х-Х])2 +屮2

2中"〃/г А +屮¥

2中"〃/г А +屮¥

7/ m)(х - Х0 + 网/)丄

\ [(x一心产+炉产

7/ m)(х - Х0 + 网/)丄

\ [(x一心产+炉产

+

+

М (х —打 + 屮V)

М (х —打 + 屮V)

3

[(Х-Х])2+ 屮 2]»

3

[(Х-Х])2+ 屮 2]»

—2叫'X

—2叫'X

X 1/" (/+外)+ 27 ( 7二二"。「:=7 + 7；：竺：=]+ 2用

V 1+屮lMa—Xo)2 十炉М(Х-Х1)2+屮2丿

-乐X + 7M0 —：~-~"9…-支 + 7Ml -•(35)

[(X - 凡)2 + 屮2]可[(X-打)2 + 屮2|万一

-254 —

66(36)(36)(37)(37)(38)(38)(39)(39)(40)(40)(41)(41)(42)(42)

6

6

(36)

(36)

(37)

(37)

(38)

(38)

(39)

(39)

(40)

(40)

(41)

(41)

(42)

(42)

По теореме, если X = 0, то функция у = ф(х) — интеграл, но в этом слу- чае интеграл (33) окончательно доводит задачу до конца. Из условия X =0 имеем уравнение относительно ф(х). Таким образом получено одно уравнение второго порядка относительно ф вида

屮〃=⑦(У,屮，з h).

Пример. Рассмотрим движение твердого тела с одной закрепленной точкой в случае 4 = 8 = С.

Кинетическая энергия и силовая функция в этом случае имеют вид

Т = (1 /2) [ 4 屮2 十 4 02 + 4 中2 + 2/中中 COS о], U = + Mg (sin 6 sin QXc + sin 0 cos ^yc + cos 82/.

Уравнения движения твердого тела

Лф + Л ср cos 6 = Сх,

ЛО + Д sin 0 ф ср = Mg (% sin 9 — cos 0 sin ^xc — cos 0 cos 屮％), Лер + 屛 cos 8 — 4 sin Оср 0 =M g sin 0 (sin 弋九—cos 結J •

Система (37) имеет интеграл энергии.

/屮2 + / 02 + 4屮2 + 2ДФ 中 cos 8 = 2Mg (sin 6 sin ^xc + sin 0 cos 屮％ ++ zc cos 6) + 2/i.

Наложим на движение тела голономную связь:

¥ = ¥о・

Уравнения движения тела со связью (39) примут вид

Лф + Лу cos 8 = &

/8 + / sin 8 0 у = Mg (立 sin 0 一 cos 0 sin 結。一cos 0 cos 中贝),

Л<р + 4，cos 6 — 4 sin ОФ 9 = Mg sin 8 (sin 中％ — cos 中xj 十入，中=中。.，

Из интеграла энергии с учетом (39) найдем 0.

2九 2 2Mg 八2Mg с

——С + —— sin 0 (sin у/c + cos у。％) + —-互 cos 0.

A 1 AA

Преобразуем третье уравнение системы (40):

-/ sin 6厶 X

2九 2 2Mg с2Mg с

XX——С + —— sin в (sin 中0壮 + cos 中0女)十一—立 cos 9

X

X

A 1 AA

——Mg sin 8 (sin ^Qyc ——cos 中。冗)=入.

Получена 九 как функция 0. По теореме связь ф = фо есть интеграл, если X = 0. Очевидно, что это возможно лишь при следующих соотношениях

между начальными данными:

(sin уо% — cos vo^c)2 >(sin уо% — cos vo^c)2 >

(sin уо% — cos vo^c)2 >

(sin уо% — cos vo^c)2 >

С? (sin %)Xc + cos中°%) = 0,С" = 0.С? (sin %)Xc + cos中°%) = 0,С" = 0.(43)(43)Из (43) вытекает два частных случая, когда Ci = 0 н С】 卢 0・ При & = 0 имеем движениеИз (43) вытекает два частных случая, когда Ci = 0 н С】 卢 0・ При & = 0 имеем движение屮=屮о, У = Уо,屮=屮о, У = Уо,

С? (sin %)Xc + cos中°%) = 0,С" = 0.

С? (sin %)Xc + cos中°%) = 0,С" = 0.

(43)

(43)

Из (43) вытекает два частных случая, когда Ci = 0 н С】 卢 0・ При & = 0 имеем движение

Из (43) вытекает два частных случая, когда Ci = 0 н С】 卢 0・ При & = 0 имеем движение

屮=屮о, У = Уо,

屮=屮о, У = Уо,

成成2Mgsin 6 (sin %〃 + cos у。％) + —— zc cos 62Mgsin 6 (sin %〃 + cos у。％) + —— zc cos 6sin ^yc 一 cos^xc = 0.sin ^yc 一 cos^xc = 0.+ %(44)+ %(44)

成

成

2Mg

sin 6 (sin %〃 + cos у。％) + —— zc cos 6

2Mg

sin 6 (sin %〃 + cos у。％) + —— zc cos 6

sin ^yc 一 cos^xc = 0.

sin ^yc 一 cos^xc = 0.

+ %

(44)

+ %

(44)

При С】壬0При С】壬0

При С】壬0

При С】壬0

屮=Уо,屮=&f + C3,屮=Уо,屮=&f + C3,sin*Nc + cos wc = 0,sin*Nc + cos wc = 0,(sin уо% —cos *0立)2,(sin уо% —cos *0立)2,% = 0.% = 0.

屮=Уо,屮=&f + C3,

屮=Уо,屮=&f + C3,

sin*Nc + cos wc = 0,

sin*Nc + cos wc = 0,

(sin уо% —cos *0立)2,

(sin уо% —cos *0立)2,

% = 0.

% = 0.

ПРИЛОЖЕНИЕ

О присоединенных интегралах дифференциальных уравнений динамических систем

Присоединенным (или условным по Д. Биркгоффу) называем интеграл, являющийся следствием других интегралов, но не тождественный им. Приведем пример: в задаче о движении твердого тела с неподвижной точкой под действием силы собственного веса движение тела описывается уравнениями Эйлера и уравнениями Пуассона относительно шести неизвестных функций: 3*，Зу，3z, 丫2, Уз-

Х^х + (Jz — Jy) = Mg (?2?С 丫3勿)，

(1)⑵⑶(4)(5)(1)⑵⑶(4)(5)JySy + (J* —」z)昨⑴力=Mg(7з*С — Н〃)’’

(1)

⑵

⑶

(4)

(5)

(1)

⑵

⑶

(4)

(5)

Jz^z + (Jy — J*) S*Sy ~ Mg(¥1% — T2*c) • ‘ 7i=wz72 — ЗуТз，72 = ЧНз — Szh， Тз + 8yh —⑴％3 }

Система (1) — (2) имеет первые интегралы:

■~ (丄总 + J严;+ Jz^ = ~Mg (XcH + У cl 2 + Зз) + Сп

厶3%71 + Jy3yT2 十 JZ^zTs = °2；

M + 右 + W = 1 •

Отсюда7i7i + 匕力 + 7з7з = °・,

Для получения четвертого интеграла применим тождество:

(71 + 72 + 7；)(厶ЗхТзТз — ЛгЗУШз — Jy%12H + AwH2l2)+

+ ( Т1Т1+ 7272 + ТзТз ) 5чЛзН — Л^Нз + 厶叫田一小К) +

+ (Jy\rh +JySyh + Jz3z73)( ll 71 —7з717з~ 727172 + 7г 卩)三°・(6)

Для проверки тождества (6) раскрываем в нем скобки, умножая слева направо, и получаем тождественный ноль. Действительно, все слагаемые попарно взаимно уничтожаются. Каждую пару таких слагаемых обозначаем одним номером ( со штрихом и без штриха):

2•2*2•2*

J" «%7з 7з — Jz"⑴zh% — J/И ⑴y¥27i + J%h 8%了2了号 + "b ⑴%了3 艺—

'12345

2•3333

-J2¥2 32 7173 - J/2 ⑴y 71 + 厶了2 8%72 + 厶73 ①尤 73- J*3 3z 71 -

'§'7'8'9'10

2222

—5з 0M2 71 + Лнз ⑴*匕 丁2 + ^Лз71 71 — ЛгЧг717з 71 +

15

+ Jy3yh 丁2 71 — Jx^xhb 71 + 4效丫2丁3力 丁2 — /%зУЫз 72 +17151?

23 •2з

+ ^У^у12 71 72 -/*3%72 了2 + 厶吗心 71 了3 -/*3*73 73 +

卜j严у73^h 73-%⑴*7372 7з + ^Л1173 71 -%4rh 7373 -厶3m 7272+

、 .I, '-_ ……- .一y - -_—▼)、-w *I ' 、_ ——▼ - -)

145，13’И4/

+ J*3%T172 71 + Jy°M2T3 h — JySyRhh 7з 一 厶⑴yb HS +

ffГГTPis7

+ Jy3y^ 卜十心廟：71 —厶3尤 71 Ъ — Jz^zlMi 72 +

7fW

+加7孟寸=0.(7)

Следовательно,

(6)==⑺三 0.

С другой стороны, в левой части равенства (6), можно принять с учетом интегралов (4) и (5):

[2 + 72 + 72 = 1 ； нь + 了272 + Тз了з = 0， 123

J*3jr71 + Jy(DyT2 + ^ZWz73 =。2 •(8)

Тогда равенство (6) перейдет в соотношение

乙3%7373 一 /%Ч2 71 - JySybh +/*3%7272 + e2 ( 7 2 7i - 73и73 -

—727172 + 727i ) = °・(9)

2

После замены в (9) производных ух, у2, уз их выражениями из уравнений Пуассона (2) уравнение (9) перейдет в соотношение между только искомыми функциями у】,丫2, Уз, з% , з.(/ ,①2 . Это соотношение и будет четвертым интегралом систем (1) и (2); оно имеет вид

九⑴ хзу73и -/*3勺372 一 厶3纟2 + Jza)z3y73 - Jy^y^zl 2 +

+ Jy喻273 + 厶吟273 一 "吟271 =。.(10)

Пользуясь найденными четырьмя интегралами, сможем выразить четыре искомых переменных из шести со%,3з ,3z , %, 丫2, Уз через другие два. Тогда система шести уравнений (1) и (2) преобразуется в систему двух уравнений, для которых обязательно найдется интегрирующий множитель. Тогда получится пятый интеграл. Благодаря этому из системы основных шести уравнений, не содержащих явно времени /, найдутся все искомые со т, со у , со г, Yi，丫2, Уз в функциях времени, т. е. вся задача будет доведена до конца в виде квад- ратур. Здесь могут иметь место как эллиптические интегралы, так и Абелевы интегралы.

Рассмотрим сначала наиболее простой случай, когда С2 — 0, т. е. рассмотрим движение тела с горизонтальным кинетическим моментом.

Характерной особенностью интеграла (10) является отсутствие у него произвольной постоянной, как и в интеграле (5). Но соотношение (10) может быть присоединено к трем интегралам (3), (4), (5).

Затем для окончательного решения задачи при наличии четырех интегралов следует поступить так, как это описано в § 11 о теории последнего множителя в гл. XIII; а также в книге Н. Н. Бухгольца «Основной курс теоретической механики», ч. II, стр. 117—119.

Можно рекомендовать выполнить все решение в два приема: систем при нулевых значениях постоянных Сх и С2 в интегралах энергии (3) и кинетического момента (4), а затем уже и в общем случае.

Примеры на теорему Пуассона

Известно, что функция Гамильтона имеет вид 〃 =%Р1 — ％〃2 — aq： + b*.

Проверить по условию Пуассона, является ли функция f вида

первым интегралом канонических уравнений, соответствующих данной функции ". Применяем условие Пуассона, согласно которому первый интеграл должен удовлетворять условию

—• + (/, ")=0.dt

В данном случае

Составляем скобку Пуассона:

6昨隗

дН dpi

dfd/h

(I)

Имеем

дН

-—=P* — 2aqM 困1

дН df дН \ 勿2 勿2 因2 /

дН

% + 2b%；

дН dpi

=%；

⑵

Подставляем (2) в (1), имеем

дН

=一 ％ •

P2—~ п

+ — — (— ^2)— — (― 02 + 2b%) [%%

или

b% . М22b% A

十 0.

%%%

Таким образом, функция f есть первый интеграл .

2. Проверить это же условие Пауссона для функций /2 = %的 И /3 = %e‘•

Если данные функции будут интегралами, то проверить теорему сона о трех интегралах.

(3)

Пуас-

ЛИТЕРАТУРА

Бухгольц Н. Н. Основной курс теоретической механики, q. II «Наука», 1966.

Добронравов В. В., Никитин Н. Н. Дворник о в А. Л. Курс теоретической механики. Изд. 3-е «Высшая школа», 1974.

Добронравов В. В. Основы механики неголономных систем. «Высшая школа», 1970.

Г олдстейн Г. Классическая механика. Пер. с англ. Гостех- издат, 1957.

ИмшенецкийВ. Г. Интегрирование дифференциальных уравнений с частными производными и порядков. Издание Московского математического общества, М., 1916.

К а р т а н Э. Интегральные инварианты. М.— Л., ОГИЗ, 1940.

Кильчевский Н. А. Курс теоретической механики, т. I. «Наука», 1972.

Лагранж Ж- Л. Аналитическая механика, т. I, II. Гостех- издат, 1950.

Лурье А. И. Аналитическая механика. Физматгиз, 1961.

Новоселов В. С. Сведение задачи неголономной механики к условной задаче механики голономных систем. Ученые записки Ленинградского университета, вып. 31 1957, № 217, стр. 28—49.

Пуанкаре А. Избранные труды, т. 2. М., «Наука», 1972.

Фиников С. П. Метод внешних форм Картана. ОГИЗ, М.—Л., 1948.

Чаплыгин С. А. К теории движения неголономных систем. Теорема о производящем множителе. В кн.: С. А. Чаплыгин. Исследования по динамике неголономных систем. М.—Л., 1949, стр. 28—38.

Чуев М. А. К вопросу аналитического метода синтеза механизмов. «Известия вузов». «Машиностроение», 1974, № 8.

Уиттекер Е. Т. Аналитическая динамика. Пер. с англ. ОНТИ, 1937.

Яро в-Я р о в о й М. С. Об интегрировании уравнения Гамильтона——Якоби методом разделения переменных. «Прикладная математика и механика» т. 27, вып. 6. 1963, стр. 973—987.

Noether Е. Invariante Variationsprobleme, Nachr. kgl. Ges. Wiss. Gotlingen, 1918.

Русский перевод: Нетер Э. Инвариантные вариационные задачи Сборник статей «Вариационные принципы механики». Под ред. Л. С. Полака, Физматгиз, 1959.

Lee Н w а — Chung. Jnvariants of Haniilton systems and applications to the theory of- canonical transformations. Proceedings of the Rog. soe. of Edinbourgh. Seet. A. v. 62. 1947.

G a 1 1 i s s о t F. Les formes exterieures en mecanique Ann. Jnst. Fourier, 1954 (1952) 4, 145—297.

Аппель П. Теоретическая механика. T. 2. Государственное издательство физико-математической литературы, М., 1960.

М а к-М и л л а н В. Д. Динамика твердого тела М., ИЛ, 1951.

Березкин Е. Н. Лекции по теоретической механике. Ч. 2. Издательство Московского университета, 1968.

Беленький И. М. Введение в аналитическую механику. М., «Высшая школа», 1964.

Беленький И. М. К теории Гамильтоновых систем. «Приклад- ная математика и механика». Т. 34, № 4, 1970.

Г антмахер Ф. Р. Лекции по аналитической механике. Физматгиз. 1960.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие 3

Часть первая. Общие вопросы аналитической механики ....5

Глава I. Основные положения аналитической механики . .7

Введение 7

Классификация кинематических связей 8

Обобщенные координаты 10

Пространствоконфигураций системы 12

Неголономныесвязи 13

Действительные и возможные изменения переменных13

Степени свободы механических систем 16

Глава II. Уравнения Лагранжа 18

Вывод уравнений Лагранжа 18

Уравнения Лагранжа с неопределенными множителями для систем с дополнительными голономными связями 24

Уравнения Лагранжа с неопределенными множителями для систем с линейными неголономными связями первого порядка. . .28

Пример на интегрирование уравнений Лагранжа второго рода (задача Ленэ) 29

Структура кинетической энергии системы 33

Структура уравнений Лагранжа 36

Уравнения Лагранжа в случае потенциальныхсил 38

Обобщенная силовая функция 39

Циклические координаты и соответствующиеинтегралы . .40

Интеграл энергии 41

Задача Бегена 44

Глава III. Уравнения Нильсена 50

Глава IV. У равнения Гамильтона 57

Глава V. Теорема /7уассона 〃 ее применение в интегрировании уравнений динамики в переменных Гамильтона 60

Условие Пуассона для первого интеграла 60

Скобки Пуассона и их основные свойства 60

Сложные скобки Пуассона 62

Понятие о функциях, находящихся во взаимнойинволюции62

Тождество Якоби 62

Теорема Пуассона о трех интегралах каноническихуравнений64

Глава VI. Метод 兄&об% интегрирования динамических уравнений Гамильтона (теорема Гамильтона—夕 кобк) 67

Основные понятия 67

Теорема Гамильтона—Якоби 70

Глава VII. Вариации переменных, функций и интегралов от них 75

Варьирование движений 75

Изохронное варьирование переменных 77

2.3.4.5.6.7.8.9.2.3.4.5.6.7.8.9.§§§§787980818183838484868687909191787980818183838484868687909191^ ^ ш^^ ^ ш^лла в а IX. Канонические преобразования гамильтоновых переменныха в а IX. Канонические преобразования гамильтоновых переменных0303L Z 工4.5.L Z 工4.5.Понятие о каноническомПонятие о каноническомПроизводящая функцияПроизводящая функцияпреобразованиипреобразованиипеременныхпеременныхОсновные виды канонических преобразований Примеры канонических преобразований .. Бесконечно малые канонические преобразованияОсновные виды канонических преобразований Примеры канонических преобразований .. Бесконечно малые канонические преобразования3 3 6 8 2 о о о юн3 3 6 8 2 о о о юн

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

§

§

§

§

787980818183838484868687909191

787980818183838484868687909191

^ ^ ш^

^ ^ ш^

л

л

а в а IX. Канонические преобразования гамильтоновых переменных

а в а IX. Канонические преобразования гамильтоновых переменных

03

03

L Z 工4.5.

L Z 工4.5.

Понятие о каноническом

Понятие о каноническом

Производящая функция

Производящая функция

преобразовании

преобразовании

переменных

переменных

Основные виды канонических преобразований Примеры канонических преобразований .. Бесконечно малые канонические преобразования

Основные виды канонических преобразований Примеры канонических преобразований .. Бесконечно малые канонические преобразования

3 3 6 8 2 о о о юн

3 3 6 8 2 о о о юн

Полное варьирование переменных

Варьирование функций

Вариации определенных интегралов от динамических функций

Глава VIII. Вариационные принципы аналитической механики

§ 1. Общие понятия

Дифференциальные вариационные принципы

Принцип возможных перемещений Лагранжа

Применение принципа Лагранжа к теории вириала . . •

Принцип Даламбера

Принцип Даламбера——Лагранжа

Принцип Журдена

Принцип Гаусса 丁

Принцип прямейшего пути Герца . . . 「

Интегральные вариационные принципы

Принцип наименьшего действия Гамильтона——Остроградского § 12. Кинетические фокусы динамических систем и их применение к исследованию действия по Гамильтону на максимум и минимум § 13. Принцип Гамильтона—Остроградского (примеры) ... § 14. Принцип наименьшего действия Лагранжа

115117117124⑵⑵115117117124⑵⑵129129303139404246485 156596363M ^ ^ ^ 「， 1* 11 11 11 11 1* 11 11 1* 1 1 1* 1 11 1*303139404246485 156596363M ^ ^ ^ 「， 1* 11 11 11 11 1* 11 11 1* 1 1 1* 1 11 1*

115117117124⑵⑵

115117117124⑵⑵

129

129

303139404246485 156596363M ^ ^ ^ 「， 1* 11 11 11 11 1* 11 11 1* 1 1 1* 1 11 1*

303139404246485 156596363M ^ ^ ^ 「， 1* 11 11 11 11 1* 11 11 1* 1 1 1* 1 11 1*

Часть вторая. Специальные вопросы аналитической механики •.・ Глава X. Интегрирование уравнения Гамильтона——Хкоби..

Случаи Лиувилля и Штеккеля

Задача Морера. Условия Морера и их обобщения Леви——Чивитой и Форбатом

Задача Имшенецкого—Бургатти.

Метод неполного интеграла

Глава XI. Метод неполного интеграла в механике неголономных систем

Уравнения движения неголономных механических систем с линейными связями первого порядка

Интегрирование полной системы дифференциальных уравнений движения неголономной системы методом неполного интеграла Глава XII. Теорема Нетер и ее применение в механике ..

Группы преобразований

Вычисление вариации действия

Вывод уравнений движения из принципа Гамильтона—Остроградского и некоторые замечания о функции Лагранжа

Преобразования симметрии

Теорема Нетер

Вывод основных законов сохранения в механике .. ..

Обратная теорема Нетер

Глава XIII. Интегральные инварианты механических систем .

Определение интегральных инвариантов

Линейный относительный интегральный инвариант Пуанкаре первого порядка

Интегральные инварианты высших порядков

Канонические преобразования и интегральные инварианты .

Гармонический осциллятор

Физический маятник ..172

Системы уравнений, имеющие интегральные инварианты '176

Теорема о единственности универсального интегрального инварианта 177

Интегральный инвариант Пуанкаре—Картана；179

Системы дифференциальных уравнений движения, не имеющие интегральных инвариантов 180

Последний множитель Якоби . 181

Интегральные инварианты и последний множитель Якоби . .185

Глава XIV. Уравнения движения реономных систем ...186

Реономная геометрия 187

Реонеголономная геометрия 190

Инвариантные уравнения движения реономных систем . .193

Применение п 十 1-мерного формализма к геометризации реономных систем 195

Уравнения Больцмана——Гамеля для реономных систем . .200

Движение тяжелого однородного шара во вращающейся сфере 201

Глава XV. Внешние дифференциальные формы в механике . .209

Дифференцируемые многообразия 209

Внешние дифференциальные формы 212

Понятие касательного пространства и векторного поля на многообразии 221

Интегральное отношение инвариантности 224

Общие вопросы изучения движения 229

Движение несвободных систем 237

Глава XVI.Интегралы уравнений движения как уравнения связей249

Приложение 257

Литература 260

Владимир Васильевич Добронравов

Основы аналитической механики

Редактор 3. Г. ОвсянниковаХудожник В. 3. КазакевичХудожественный редактор Н. К. ГуторовТехнический редактор Н. Н. БарановаКорректор Г. Н. Буханова

Сдано в набор 17/Х-75 г. Подп. к печати 21/VI-76 г. Бум. тип. № 1. Формат 60x907ie- Объем 16,5 печ. л. (Усл. п. л. 16,5). Уч.-изд. л. 14,44. Изд. № ОТ—219/73. Тираж 12 000 экз.

Цена 56 коп.

План выпуска литературы издательства«Высшая школа» (вузы и техникумы) на 1976 г. Позиция № 96.

Москва, К-51, Неглинная ул., д. 29/14,Издательство «Высшая школа»

Ярославский полиграфкомбинат Союзполиграфпрома при Государственном комитете СоветаМинистров СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли.

150014, Ярославль, ул. Свободы, 97. Зак. 689.

* В е g h i n Н. Cours de mecanique, 1948, Paris, tome I, chapitres XII — XIV, p. 455—459.

* Полагая 〉—— % +- •

丿丄 dqidt

11 W "1 + wf + «2 ，* 1 +〃; + 〃厂

В. Be ДОБРОНРАВОВ