РАЗДЕЛ I

КИНЕМАТИКА

6 621 114028384456 999^33556 621 114028384456 999^3355Глава II. Кинематика точки

6 621 11402838

4456 999^3355

6 621 11402838

4456 999^3355

Введение в кинематику

Прямолинейное движение точки

Криволинейное движение точки

Глава III. Кинематика системы и абсолютно твердого тела ...

Механическая система

Основные движения твердого тела

Плоскопараллельное движение

Движение твердого тела около неподвижной точки ....

Сложное движение твердого тела

Движение свободного твердого тела

Сложное движение точки

РАЗДЕЛ IIСТАТИКА

88306414742 6 6&$^9О12234 1111122222288306414742 6 6&$^9О12234 11111222222Глава IV. Элементарная (геометрическая) статика

88306414742 6 6&$^9О12234 11111222222

88306414742 6 6&$^9О12234 11111222222

Введение в кинетику

Определения и аксиомы статики

Система сил, приложенных в одной точке. Сходящиеся силы

Трение и связи с трением

Параллельные силы

Центр тяжести

Момент силы

Теория пар

Система сил, произвольно расположенных в пространстве .

Частные случаи систем сил

Условия равновесия систем сил • .

Основы графостатики ：：：：：：：：

Графический расчет ферм...：：：：：：

Глава V. Аналитическая статика

Работа силы

Виртуальные перемещения точки:::

Статика материальной точки

Статика системы материальных точек

О равновесии гибкой и нерастяжимой нити

РАЗДЕЛ HI

ДИНАМИКА

Глава VL Динамика точки

Дифференциальные уравнения движения и решение задач динамики точки

Общие теоремы динамики точки

Прямолинейное движение материальной точки

Прямолинейные колебания точки

Движение свободной материальной точки в однородном поле тяжести

Движение свободной материальной точки под действием центральных сил

Движение несвободной материальной точки

Относительное движение материальной точки

Уравнения движения материальной точки в обобщенных координатах (уравнения Лагранжа второго рода)

Литература

^ ^i^^ ^i^191924150559^83юз规3 ззаа 3 344 4 4 4191924150559^83юз规3 ззаа 3 344 4 4 4Пр едм етный указатель . , , . ** *

^ ^i^

^ ^i^

191924150559^83юз规

3 ззаа 3 344 4 4 4

191924150559^83юз规

3 ззаа 3 344 4 4 4

ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ

Настоящий курс имеет целью дать пособие для изучения теоретической механики студентам университетов и тех вузов, где теоретическая механика является самостоятельной дисциплиной, а также инженерам,, желающим пополнить и углуби!ь свои знания в этой области, полученные в технической школе.

Материалом для курса послужили лекции, читанные мною за последние годы в Московском государственном университете; часть этих лекций была записана и издана в литографированном виде моими учениками, которым я приношу глубокую благодарность.

При изложении я старался применять современные методы и, в частности, векторное исчисление, которое в настоящее время служит наиболее подходящим математическим аппаратом для различных отделов механики и математической физики. Необходимые сведения по векторному исчислению Помещены в главе I.

Предлагаемая книга представляет собой первую часть курса и содержит кинематику, статику и динамику точки; вторая часть курса, издание которой предполагается в скором времени, будет содержать динамику системы, динамику твердого тела и аналитическую механику.

Бухгольц Москва, 1932 г.

ПРЕДИСЛОВИЕ К ШЕСТОМУ ИЗДАНИЮ

«Основной курс теоретической механики» профессора Н. Н. Бухгольца (1880—1944) построен на материале лекций, которые он в течение многих лет читал в Московском государственном университете. Курс, выдержавший при жизни автора пять изданий, зарекомендовал себя как хороший учебник для студентов университетов и как ценное пособие для учащихся других вузов, а также для инженеров, желающих пополнить и углубить свои знания в области механики. Большой заслугой Н. Н. Бухгольца явилось то, что он в своем курсе, своеобразном как по содержанию, так и по форме

изложения, впервые в нашей стране систематически применил векторный метод, наиболее подходящий для изложения механики и ставший сейчас общепринятым.

Курс разбит на две части. Первая часть содержит кинематику* геометрическую и аналитическую статику и динамику точки. Во второй части дается динамика системы материальных точек, динамика твердого тела и аналитическая механика. При сравнительно небольшом объеме каждой из частей в них с достаточной полнотой изложены все основные разделы теоретической механики.

Однако, как бы хорошо ни был написан тот или иной курс, длительно существовать как учебник он может лишь в том случае, если будет со временем совершенствоваться и обновляться, отражать процесс развития самой данной науки и методов ее преподавания. Не случайно поэтому даже хорошие учебники обычно умирают вместе с их авторами, если такой процесс обновления прекращается.

Со времени выхода в свет последних изданий книг Н. Н. Бухгольца прошло 20 лет. Естественно, что за эти годы изменились и программы курса теоретической механики и требования, предъявляемые к самим учебникам. Поэтому, несмотря на все достоинства «Основного курса теоретической механики》， при настоящем его переиздании нельзя было ограничиться только устранением отдельных вкравшихся в текст погрешностей или опечаток; чтобы сохранить курс как учебник, оказалось необходимым переработать весь материал книги и внести в нее ряд дополнений.

Наиболее существенной переработке подвергся материал §§ 9, 17, 27 и 37, а также п. 14 в § 6, п* 2, 3 в § 8, п. 3, 5 в § 13, п. 5 в § 25, п. 4, 5, 6 в § 33. Заново написаны и. 2 в § 2, и. 9 в § 6, п. 10, 12, 13 в § 9, к. 5 в § 17, к. 4 в § 24, п. 4, 5 в § 35, п. 7, 9 в § 37, п. 13, 14 в § 38; отдельные небольшие добавления сделаны во многих других местах книги; заново сделаны многие рисунки. Кроме того, во всех параграфах добавлено большое число задач и примеров. Для удобства ссылок нумерация параграфов сделана общей во всей книге. Терминология и обозначения автора в основном сохранены, однако термин «материальная частица» заменен на принятый в первых изданиях термин «материальная точка».

В тексте книги все внесенные изменения и дополнения специально не оговариваются; это лишь мешало бы пользоваться книгой как учебником.

С. М. Тарг

ГЛАВА ПЕРВАЯ

ВВЕДЕНИЕ

Предмет теоретической механики.Законы механики

Основные понятия* Теоретическая механика есть наука об общих законах механического движения и взаимодействия материальных тел. Будучи, по существу» одним из разделов физики, теоретическая механика выделилась в отдельную дисциплину и получила широкое самостоятельное развитие благодаря своим обширным и важным приложениям в естествознании и технике, одной из основ которых она является. Беря свое начало от техники и развиваясь вместе с ней, теоретическая механика особенно тесно связана с техническими науками, в которых законы и методы механики широко используются как при обосновании ряда исходных положений, так и при проведении многочисленных конкретных инженерных расчетов.

Движение, рассматриваемое в самом общем смысле слова, есть форма существования материи и обнимает собой все происходящие во вселенной изменения и процессы. В теоретической механике изучается одна из форм движения — механическое движение, состоящее в том, что тело изменяет с течением времени свое положение в пространстве по отношению к другим телам. В дальнейшем под термином «движение» мы всегда будем понимать механическое движение.

Для учета механического взаимодействия между телами в классической, механике, основание которой положили Галилей и Ньютон, вводится понятие о сале ?). Под механическим взаимодействием понимают то действие тел друг на друга, в результате которого происходит или изменение движения этих тел или изменение взаимного положения их частиц (деформация). В качестве меры механического взаимодействия материальных тел в механике вводится величина, называемая силой.

I) Вместо силы можно взять за основное понятие энергию, как это делается в так называемой аналитической механике, В системе механики, созданной Г. Герцем, сила как основное понятие была совсем устранена.

Для данного тела сила является внешним фактором, изменяющим его движение. Кроме этого внешнего фактора, характер движения тела будет зависеть от степени податливости тела оказываемому на него внешнему воздействию или, как говорят, от степени инертности тела. Чем больше инертность тела, тем медленнее изменяется его движение под действием данной силы, и наоборот. Мерой инертности материального тела является его масса, зависящая от количества вещества тела. Таким образом, понятиями, лежащими в основе классической механики, являются: движущаяся материя (материальные тела), пространство и время как формы существования движущейся материи, масса как мера инертности материальных тел и сила как мера механического взаимодействия между телами.

Законы механики. Соотношения между основными понятиями механики определяются аксиомами или основными законами Движения (Axiomata, sive leges, motus), которые были даны Ньютоном в его《Pfincipia》1).

1-й закон. Всякое тело продолжает уОерживаться в своем состоянии покоя или равномерного « прямолинейного движения, пока « поскольку оно не понуждается приложенными силами изменять это состояние.

Первый закон заключает в себе закон инерции, а также определение силы как причины, нарушающей инерциальное состояние тела. По этому закону тело само по себе, без всяких воздействий извне, совершает простейшее, инерциальное движение, скорость которого постоянна по величине и по направлению, а ускорение (изменение скорости) равно нулю; при действии силы скорость изменяется и, следовательно, появляется ускорение.

2-й закон. Изменение количества движения пропорционально приложенной движущей силе и происходит по направлению той прямой, по которой эта сила действует.

Количество движения, по определению Ньютона, есть величина, пропорциональная произведению массы на скорость; следовательно, изменение количества движения по современной терминологии есть производная этой величины по времени, т. е.色題②. Выбрав еди* ницы для измерения массы и силы таким образом, чтобы фактор пропорциональности был равен единице, получим аналитическое выраже^ ние 2-го закона Ньютона в виде

d (/тир — „

')«Phllosophlae naturalts prlnclpla mathematical (1687). Имеется русский перевод акад. А. Н. Крылова: И. Ньютон, Математические начала натуральной философии (Собрание трудов акад. А. Н. Крылова» т. VH, изд. АН СССР, 1936). Формулировка законов Ньютона дается по этому пере* воду.

или. считая массу постоянной,

Так как 霁^ есть ускорение, то 2-й закон Ньютона может быть кратко сформулирован так: сила равна произведению массы на ускорение. Этот закон, дающий связь между силой и ускорением, является основным законом динамики.

3-й закон. Действию всегда есть равное и противоположное противодействие» иначе — взаимодействия двух тел друг на друга между собой равны и направлены в противоположные стороны^

Третьим законом устанавливается, что если на тело Л действует какая-либо сила 以，то это действие всегда оказывает некоторое тело В, на которое тело Л действует в свою очередь с силой FB, равной и противоположной силе FA, и наоборот. Если силу FA назовем действием, то 尸日 будет противодействием. Таким образом, третий закон указывает, что источником силы FA> действующей на тело Л, является тело В, на которое тело Л действует с силой 尸日， равной и противоположной силе 尼・

Аксиомы или законы движения заканчиваются следствиями из этих законов. Следствие 1-е в формулировке Ньютона гласит:《При силах совокупных тело описывает диагональ параллелограмма в то же самое время, как его стороны при действии сил порознь^. Это следствие представляет собой закон параллелограмма сил.

В такой формулировке законы механики были даны Ньютоном в 1687 г. Следуя современной терминологии в этих формулировках, надо под 《телом» понимать материальную точку, т. е. тело достаточно малых размеров (см. § 14, п. 2).

3・ Механику принято разделять на кинематику и кинетику、 В кинематике изучается движение тел с геометрической точки зрения без учета причин, вызывающих изменение этого движения, т. е. сил. По существу кинематика представляет собой геометрию движущихся пространственных образов, или геометрию четырех измерений, причем четвертым измерением является время.

Кинетика посвящена изучению движения материальных тел в зависимости от действия на них сил и разделяется на статику ——учение о равновесии тел под действием сил и динамику ——учение о движении тел под действием сил. В динамике решается наиболее общая задача теоретической механики, а именно: по данным силам, действующим на тело, определить движение этого тела и, наоборот, по данному движению тела найти силы, на него действующие.

Краткий исторический очерк развития механики

Механика, подобно геометрии, получила свое начало в глубокой древности под влиянием запросов практики; ее развитие неразрывно связано с развитием производительных сил общества. При постройке громадных сооружений, развалины которых сохранились до наших дней, постепенно накапливался опыт, обобщение которого привело к знанию некоторых законов механики; это давало возможность строить различные машины, употреблявшиеся для строительных и военных целей.

Механика как наука возникла с того времени, когда появились первые сочинения, дающие более или менее систематическое изложение накопленного опытом материала в виде общих законов. Первые дошедшие до нас сочинения по механике появились в древней Греции, где получили свое начало многие из точных наук.

Великий мыслитель и ученый древности Аристотель, ученик Платона, живший в IV веке до н. э. (384——322), касается учения о движении и силах в своих сочинениях «Физика», «Механика», «О мире и небе» и первый вводит термин《механика》，который происходит от греческого слова 卩刀为avq, что означает: изобретение, машина» сооружение. В сочинениях Аристотеля, носящих в основном философский, а не естественнонаучный характер, излагается учение о равновесии рычага и других машин, а также общее учение о движении.- Метод Аристотеля существенно отличается от современного метода точных наук и носит метафизический характер. Аристотель стремится выяснить причины явлений чисто умозрительным путем, не прибегая к наблюдению и опыту, и поэтому иногда приходит к выводам, несогласным с действительностью; так, Аристотель считал скорости падающих тел пропорциональными их весу, полагал, что тело, движущееся прямолинейно с постоянной скоростью, находится под действием постоянной силы и др. Ошибочность этих взглядов была доказана только через 2000 лет Галилеем.

Появление《Начал》Евклида (III век до н. э-) дало толчок математической мысли древности и повлекло за собой сочинения знаменитого сиракузского геометра и механика Архимеда (287—212 до- h. э.), который дал механике настоящее научное обоснование. В своих сочинениях Архимед, излагая учение о равновесии рычага и о центрах тяжести тел, дает основания геометрической статике; там же содержится учение о равновесии тел, плавающих в жидкости. Сочинения Архимеда отличаются строгостью своих выводов и изяществом метода.

Дальнейшее развитие механики в классической древности совершалось благодаря трудам греческих геометров, среди которых необходимо упомянуть Герона из Александрии (II век до н. э.), занимавшегося теорией равновесия простых машин, а также астрономов Гип-

napxa (II век до н. э.) и Птолемея (II век н. э.), которые изучали видимое движение светил на небесной сфере. Птолемей дал свою знаменитую геоцентрическую картину мира, господствовавшую в течение двенадцати веков, до Коперника.

Средние века, после падения Римской империи, не дали ничего существенного для развития механики, как и других естественных наук, вследствие причин исторического характера, а также благодаря влиянию метафизики и схоластики, которыми вообще отличалась эта эпоха.

Интенсивное развитие естественных наук, а с ними и механики, начинается в эпоху Возрождения, с XV века, сначала в Италии, а затем и в других странах. Этот подъем связан с возникновением и ростом в странах Западной и Центральной Европы буржуазных отношений, давших толчок к развитию различных ремесел, торговли, мореплавания и военного дела (распространение огнестрельного оружия).

Среди деятелей эпохи Возрождения особенно выделяется гениальный художник, геометр и инженер, итальянец Леонардо да Винчи (1452——1519), которому принадлежат исследования в области теории механизмов, трения в машинах и движения по наклонной плоскости. Кроме того, он занимался перспективой, теорией теней и строил модели летательных машин. Им построен также эллиптический токарный станок, носящий до сих пор его имя. Другой замечательный деятель этой эпохи, великий польский ученый Николай Коперник (1473—1543) создал свою гелиоцентрическую картину мира, которая, сменив геоцентрическую картину Птолемея, произвела большой переворот в научном мировоззрении и оказала огромное влияние на все последующее развитие естествознания. Благодаря работам Коперника и многочисленным наблюдениям датского астронома Тихо- Браге Иоганн Кеплер (1571 —1630) получил свои три знаменитых закона движения планет, послуживших Ньютону основанием для его закона всемирного тяготения】). Далее следует упомянуть о работах голландца Стевина (1548—1620), который исследовал законы равновесия тел на наклонной плоскости и в результате пришел к выводу основных законов статики.

Фундаментальное значение для этого периода развития механики имеют работы гениального итальянского ученого Галилея (1564——1642). До Галилея развивалась главным образом та часть механики, которая посвящена изучению законов равновесия тел, т. е. статика; что же касается законов движения тел под действием сил, т. е. динамики, то в этой области существовали довольно смутные представления,

!) Первые два закона Кеплера были опубликованы в 1609 г, в знаменитом сочинении «Astronomla nova»； третий закон был найден позднее и окончательно сформулирован в сочинении Кеплера «Harmonlees mundl» (1619 г.).

так как само явление движения благодаря влиянию господствовавших в то время метафизических теорий Аристотеля казалось весьма загадочным и объяснялось иногда довольно путаными и надуманными способами. Галилей своим мощным умом оценил важность наблюдения и опыта для изучения явлений природы и благодаря этому установил правильное понимание законов движения, положив, таким образом, начало динамике. Изучая падение тел, он показал, что в безвоздушном пространстве, вблизи поверхности земли, все тела, независимо от их веса, будут падать одинаково (равноускоренно с одним и тем же ускорением), дал законы равномерно ускоренного движения, введя при этом само понятие ускорения, исследовал движение тела по наклонной плоскости и, рассматривая предельный случай горизонтальной плоскости, открыл закон инерции; им же был открыт закон независимости действия силы от состояния тела. Исследования Галилея изложены в его сочинении 《Discofsi》(т. е. «Беседы»), написанном на итальянском языке и вышедшем в Лейдене в 1638 г. *).

Работы Галилея были продолжены голландцем Христианом Гюйгенсом (1629—1695)> который изучил движение маятника, обобщил введенное Галилеем понятие об ускорении и дал ряд теорем о центробежной силе.

Новый период развития механики начинается со времени великого английского математика и механика Исаака Ньютона (1643—1727), который завершил построение основ современной классической механики и, одновременно с Лейбницем, положил начало анализу бесконечно малых (около 1670 г.).

В своем сочинении «Philosophiae naturalis principia mathematical, которое Лагранж называет «величайшим из всех произведений человеческого ума》，Ньютон как бы подводит итоги работы всех своих предшественников и создает логически стройную, законченную систему механики.

В своих «Principia» Ньютон дает разъяснения и определения основных понятий механики: массы, времени, пространства, силы, а также устанавливает основные законы движения (аксиомы), которые были приведены в § 1. На основании этих понятий и аксиом, представляющих собой обобщение многочисленных опытов и наблюдений, логически строится с помощью математического анализа вся система механики. Кроме создания системы механики, Ньютону принадлежит открытие закона всемирного тяготения, который лег в основу теоретической астрономии и небесной механики. В своих исследованиях Ньютон не пользуется методами открытого им анализа бесконечно малых, а употребляет главным образом геометрические методы, строя изложение по образцу《Начал》Евклида.

1) Имеется русский перевод: Г а л и л е о Г а л и л е й, Беседы и математические доказательства, касающиеся двух новых отраслей науки и относящиеся к механике и местному движению, ГТТИ, М., 1934.

Одновременно с «Principia» Ньютона в 1687 г. появилось сочинение французского ученого Вариньона (1654——1722) «Проект новой механики》，в котором, на основе доказанной им теоремы о моменте равнодействующей и правил сложения и разложения сил. дается систематическое изложение статики-

После появления созданного Ньютоном и Лейбницем исчисления бесконечно малых, в XVIII веке начался быстрый рост математических наук, а с ним и механики. Период XVIII и начала XIX века может быть справедливо назван «золотым веком» математических наук» Методы механики начали быстро совершенствоваться благодаря применению мощного математического аппарата — анализа бесконечно малых — и развитие механики шло вперед вместе с развитием математики. В свою очередь некоторые новые математические методы возникали и развивались в связи с решением ряда задач механики. Различия между этими двумя науками в «золотой век» математики не существовало.

В этом периоде братья Якоб и Иоганн Бернулли, исследуя аналитически движение тяжелой точки по различным кривым, положили начало вариационному исчислению. Кроме того, Иоганну Бернулли принадлежит точная формулировка одного из основных принципов механики ——принципа виртуальных перемещений (1717 г.).

Основная заслуга в приложении методов анализа бесконечно малых к решению задач динамики принадлежит великому математику и механику Леонарду Эйлеру (1707——1783), являвшемуся с 1727 г. действительным членом молодой тогда Российской Академии наук. Эйлер разработал аналитические методы решения задач динамики путем составления и интегрирования соответствующих дифференциальных уравнений и дал аналитическую теорию движения твердого тела. Ему принадлежит первый курс механики в аналитическом изложении (Mechanica sive motus scientia), изданный в Петербурге в 1736 г.J). В 1743 г. появился труд французского энциклопедиста Даламбера (1717——1783) «Traitd de dynamique» ), в котором автор установил основной принцип механики, носящий его имя; этот принцип дает общий метод решения динамических задач для любых несвободных механических систем путем составления уравнений движения этих систем в форме уравнений статики. Аналитическое направление в развитии механики достигло наиболее широких обобщений в капитальном сочинении крупнейшего французского ученого Лагранжа (1736—1813) «M6canique analytique》, вышедшем в 1788 г.). В этом сочинении

I) См. русский перевод: Л. Эйлер, Основы динамики точки, ГОНТИ, М„ 1938.

вся механика изложена строго аналитическим методом на основе одного общего начала, без всяких чертежей.

Дальнейшее развит ие аналитической механики связано с трудами творца 《Небесно曲 механики» Лапласа, Фурье, Гаусса, Пуассона, К. Якоби, Гамильтона, Остроградского, Кирхгофа, Гельмгольца, лорда Кельвина, Герца, Ковалевской, Ляпунова, Чаплыгина и многих других выдающихся ученых.

Одновременно с аналитическими в механике продолжали развиваться и геометрические методы исследования. В 1804 г. появилось сочинение французского геометра и механика Пуансо (1777—1859) «61dments de statique» 】)，в котором излагаемся стройная система геометрической статики, причем, в отличие от Вариньона, в основу кладется разработанная Пуансо теория пар; им же была дана наглядная геометрическая картина движения твердого тела в случае, исследованном аналитически Эйлером.

Одновременно с разработкой и совершенствованием аналитических и геометрических методов исследования движений материальных частиц и твердых тел в механике под влиянием запросов практики возникает и интенсивно развивается целый ряд новых областей и направлений, таких как механика жидкостей и газов (гидромеханика, аэромеханика, газовая динамика), механика упруго и пластически деформируемых тел (теория упругости и теория пластичности), общая теория устойчивости равновесия и движения механических систем, механика тел переменной массы и др.

В середине XIX столетия в связи с быстрым ростом техники начинают развиваться различные области технической механики, целью которой является решение возможно более простыми методами соответствующих практических задач. Однако обширность и сложность задач, выдвигаемых современной техникой, требуют в настоящее время использования в технической механике не менее тонких математических методов, чем в механике теоретической.

В основе классической механики Галилея ——Ньютона, кроме понятия о движении, изучением которого механика занимается, лежит вводимое аксиомами Ньютона понятие о силе, где сила определяется как абстрактно представленная причина изменения состояния движения. Понятие о силе возникло из примитивного опыта и наглядного представления о мускульном усилии человека. Это представление, будучи распространено на все виды движений, вызвало значительные затруднения при стремлении ученых-механиков -создать логически строгую систему механики вследствие того, что понятие о силе само по себе связано с большим количеством не всегда ясных, а иногда и противоречивых опытных соотношений. Поэтому еще до работ Ньютона некоторые исследователи [как, например, Декарт (1596—1650)]

Есть русский перевод: Л. Пуансо, Начала статики, М. — П., 1920.

пытались обосновать систему механики, избегая вводить понятие о силе как внешней причине движения, а базируясь на понятии о движущейся материи. С этой, принципиально иной, точки зрения все механические явления объясняются как результат контактного взаимодействия движущихся масс. Эта точка зрения — кинетическая, в отличие от ньютонианской ——динамической, строго и последовательно проведена в системе механики Г. Герца (1857—1894), где автор высказывает много блестящих и еще далеко не использованных идей; такой же точки зрения держались Гюйгенс, Даламбер, Ломоносов, в значительной мере Эйлер и др.

В начале XX века Альберт Эйнштейн (1879—1955) создал теорию относительности, которая представляет собой после Ньютона следующий крупный шаг в развитии механики. Основанная на теории относительности релятивная механика вкладывает совершенно новое содержание в основные понятия механики о пространстве, времени, материи и в своих уравнениях учитывает взаимосвязь этих понятий; классическая ньютоновская механика является ее частным случаем и в пределе, при малых скоростях и на больших расстояниях от масс, совпадает е релятивной. Кроме того, А. Эйнштейн, введя совершенно новое представление о пространстве, создал теорию тяготения——явления, ранее не поддавшегося объяснению.

В России первые научные исследования по механике появляются после открытия в 1725 г. в Петербурге Российской Академии наук, где работали такие крупнейшие механики XVIII века, как Д, Бернулли, Л. Эйлер и др., оставившие после себя ряд даровитых учеников и последователей.

Большое влияние на развитие механики, как и всей отечественной науки, оказало многогранное творчество первого русского академика М. В. Ломоносова (1711 —1765), основоположника материалистической философии и опытной науки в России.

Со второй половины XVIII века в Академии наук, являвшейся одновременно и учебным заведением, а также в других, созданных в стране научных и учебных центрах, в том числе в основанном в 1755 т\ Московском университете, начинают свою деятельность талантливые отечественные механики-теоретики С. К. Котельников (1723—1808) — автор первого на русском языке достаточно полного учебника механики, вышедшего в 1774「.，М. Е. Головин (1756— 1790), М. И. Панкевич (1757—1812), С. Е. Гурьев (1764—1813) и др. Их деятельность способствовала быстрому распространению в стране знаний по механике, созданию оригинальных и переводных учебных руководств и дальнейшему развитию отечественной науки.

Период интенсивной творческой деятельности русских ученых- механиков начинается в Х1Х столетии трудами выдающегося исследователя М. В. Остроградского (1801 —1861), основные работы которого посвящены дальнейшему развитию и обобщению аналитических

методов и общих принципов механики. Научное наследие М. В. Остроградского оказало сильное влияние на всю последующую деятельность школы механиков-аналитиков в нашей стране.

Другим крупнейшим ученым этого периода является П. JL Чебышев (1821——1894), известный своими многочисленными математическими исследованиями и трудами по прикладной механике; он явился основоположником отечественной школы теории механизмов и машин. Большое внимание современников привлекли к себе исследования С. В. Ковалевской (1850——1891), завершившиеся решением одной из труднейших задач динамики твердого тела; до нее законченные результаты в этой области удалось получить только Эйлеру и Лагранжу. Особое значение для дальнейшего развития естествознания и техники имело творчество ученика П. Л. Чебышёва, виднейшего математика и механика А. М. Ляпунова (1857—1918), создателя основ современной теории устойчивости равновесия и движения. На основные результаты и идеи Ляпунова опираются труды большого числа его учеников и последователей, способствовавших дальнейшему развитию этой области науки.

Со второй половины XIX столетия наряду с продолжающимися строгими и изящными аналитическими исследованиями в механике под влиянием чрезвычайно быстрого роста техники возникает и все более и более интенсивно разрастается другое направление, связанное с решением реальных практических задач; при этом важным методом исследования в механике наряду с математическим анализом и геометрией становится эксперимент. Выдающимися представителями этого направления являются творец теории вращательного движения артиллерийского снаряда в воздухе Н. В. Майевский (1823—1892); основоположник гидродинамической теории трения при смазке Н. П. Петров (1836—1920); 《отец русской авиации» Н. Е. Жуковский (1847——1921); создатель основ механики тел переменной массы, нашедшей важные приложения в теории реактивного движения, И. В. Мещерский (1859——1935); известный исследователь в области ракетной техники и теории межпланетных путешествий К. Э. Циолковский (1857—1935); автор выдающихся трудов во многих областях механики, непосредственно связанных с техникой, основоположник современной теории корабля А. Н. Крылов (1863——1945); один из крупнейших отечественных ученых, автор ряда фундаментальных работ по аналитической механике и аэродинамике, создатель основ аэродинамики больших скоростей С. А. Чаплыгин (1869—1942) и многие другие 】)•

Исключительное значение для дальнейшего развития научных исследований по механике в нашей стране имело творчество Н. Е. Жуков-

')Более подробно о трудах отечественных ученых по механике см.: А. А. Космодемьянский, Очерки по истории механики, 2-е изд.. «Просвещение», М,, 1964; Я. Л. Геронимус, Очерки о работах корифеев русской механики, ГТТИ, М„ 1952

ского, которому, кроме фундаментальных трудов по устойчивости движения» динамике твердого тела и гидродинамике, принадлежит разработка основ таких новых направлений в механике, как теория гидравлического удара в трубах, подземная гидравлика, теоретическая и экспериментальная аэродинамика, динамика самолета и др. Вся деятельность Н. Е. Жуковского и созданной им научной школы была направлена на решение реальных задач механики. Жуковский значительно расширил границы механики и разработал прочную теоретическую базу для ряда разделов техники» которые его современникам казались вообще не поддающимися строгому и точному анализу, «Гигантскому уму Н. Е. Жуковского,——писал один из его ближайших учеников и последователей Л. С. Лейбензон, — впервые после Галилея удалось объять грандиозную науку ——механику во всей ее совокупности. Для него не было разделения механики на теоретическую и практическую. Перед его умственным взором стояла единая наука механика, которую он прилагал для решения проблем окружающей действительности».

Одновременно Н. Е. Жуковский, а также И. В, Мещерский, А. Н. Крылов и их последователи уделяли большое внимание постановке преподавания теоретической механики в вузах страны, повышению наглядности обучения и установлению тесной связи курса механики с прикладными науками.

Новый этап в развитии всей отечественной науки, в том числе и механики, наступает после Великой Октябрьской социалистической революции, когда наука становится важным государственным и всенародным делом. В научные исследования вместо одиночек ученых вовлекаются большие научные коллективы； в стране создаются все новые и новые научные центры с мощной экспериментальной базой и всеми современными средствами научного исследования.

В кратком очерке невозможно охарактеризовать все достижения советских ученых-механиков, сделавших ценный вклад и в дальнейшее развитие теорииJ) и в разработку методов приложения этой теории к решению разнообразных практических задач во многих областях современной техники, в том числе и в такой прославившей нашу страну области, как освоение космоса.

Творчество советских ученых, вносящих новые оригинальные идеи в развитие всех областей механики, служит целям дальнейшего прогресса народного хозяйства и культуры нашей великой Родины.

3・ Успехи физики в начале нынешнего века, ознаменовавшиеся новыми исследованиями в области электродинамики и строения материи, показали, что законы классической механики Галилея ——Ньютона применимы только к движению тел, размеры которых значительно

) Обзор работ многих советских механиков можно найти в книге «Механика в СССР за 30 лет», Гостехиздат, М„ 1950,

Н, Н. Бухгольц

больше размеров атома, а скорости — значительно меньше скорости света. Для тел очень малых размеров и для очень больших скоростей выводы классической механики теряют свою силу, и сама механика нуждается в дальнейшем развитии.

Теория относительности, созданная А. Эйнштейном, внесла довольно существенные изменения в основания механики и показала ограниченность ньютоновских представлений о пространстве, времени и материи, вследствие чего стало возможным дать простое теоретическое обоснование ряду явлений, которые не могли быть объяснены с точки зрения классической механики. Кроме того, классическая механика оказалась неприменимой к теории строения атома, и этообстоятельство явилось причиной возникновения атомной, или квантовой, механики.

Несмотря на это, классическая механика Галилея — Ньютона продолжает сохранять свою огромную ценность как мощное орудие научного исследования различных вопросов естествознания и техники, и ее законы дают при этом вполне достаточную для практики точность. Все разнообразные технические сооружения и все современные расчеты, связанные с космическими полетами, построены на основании законов классической механики и, как показывает опыт, с успехом выполняют свое назначение. Поправки и изменения, вносимые в законы классической механики теорией относительности и квантовой механикой, исчезающе малы в обычных условиях и становятся заметными только при больших скоростях, близких к скорости света, и для тел, размеры которых имеют порядок размеров атома. Поэтому классическая механика Галилея — Ньютона никогда не потеряет своего научного значения и практической ценности.

Векторы

Величины скалярные и векторные. Методы векторного ис* числения, широко применяемые в механике и других отделах физики^ имеют бельшое преимущество перед координатным методом в смысле сокращения письма, наглядности и физической картинности формул; но самым главным преимуществом этих методов является то, что векторные формулы не связаны с системой ориентировки (т. е. системой координат) и не изменяются при переходе от одной системы к другой; иными словами, векторные формулы инвариантны по отношению к преобразованиям координат. Не следует, однако, думать, что можно совершенно игнорировать координатный метод: последний иногда оказывается удобнее векторного, особенно в тех случаях, когда требуется поввстн вычисление до конца и получить конкретный численный результат.

В математической физике встречаются два типа величин: скалярные и векторные. Скалярной величиной или просто скаляром

называется величина, которая вполне определяется одним числом, выражающим отношение этой величины к соответствующей единице измерения. Для всякой скалярной величины можно установить шкалу (латинское scala), на которой для каждого значения скаляра закреплено определенное место; отсюда и происхождение термина 《скаляр». Вообще скаляр может быть представлен положительным или отрицательным действительным числом. Масса, температура, энергия, объем и много других физических величин являются скалярными величинами.

Простейшей векторной величиной, или вектором, является направленный отрезок, который вполне определяется заданием его длины (численной величины вектора), измеренной в некотором мае- &та6& и его направления в пространстве. Такие физические величины, как скорость, ускорение или сила, представляют собой величины векторные: задание этих величин получает смысл только тогда, когда, кроме их численных значений, указывается и их направление. Термин «вектор» происходит от латинского слова vehere, что означает 《влечь», «тянуть».

В зависимости от свойств изображаемой им величины вектор может быть свободным, т. е. приложенным в любой точке пространства, скользящим, т. е. приложенным в любой точке некоторой прямой, называемой основанием или линией действия вектора, и неподвижным, т. е. приложенным в некоторой фиксированной точке (подробнее об этом см. в конце параграфа, п. 13).

Мы здесь рассмотрим основы векторного исчисления для свободных векторов, так как изучение скользящих и неподвижных векторов сводится к изучению векторов свободных.

Как известно из аналитической геометрии, косинусы трех углов, образуемых направлением I какого-либо вектора с осями прямоугольных координат, связаны соотношением

COS (/^X)4-COS2 (/, y)+cos2(，：i)= 1；

приняв во свободноговектор есть числами (в творяющая в п. 5.приняв во свободноговектор есть числами (в творяющая в п. 5.следовательно, направление вектора определяется двумя числами;

приняв во свободного

вектор есть числами (в творяющая в п. 5.

приняв во свободного

вектор есть числами (в творяющая в п. 5.

внимание еще численное значение вектора, получим для вектора другое определение: свободный величина, вполне определяющаяся тремя пространстве трех измерений) и удовле- правилу сложения, изложенному ниже,力

модулем вектора. Концы Л и В отрезка АВ, изображающего вектор, называются соответственно началом и концом вектора АВ. Символом АВ обыкновенно обозначается отрезок независимо от его направления. Для обозначения вектора будем пользоваться тем же символом, но с чертой наверху. Тогда

вектор АВ = АВ;

длина отрезка АВ представит его модуль

модуль вектора АВ = | ЛВ| = АВ.

Часто вектор обозначают одной буквой с чертой над ней или буквой, напечатанной жирным шрифтом:

вектор a — a=at

а его модуль ——символом \а\ или буквой, напечатанной обыкновенным шрифтом; таким образом, |а| == а. Мы будем обозначать векторы жирными буквами.

Два вектора считаются равными, если они параллельны, напра- рону и имеют равные модули (рис. 2), т. е. если а=Ь и a\[bt то

л

При изменении направления вектора а на противоположное получим вектор, противоположный а, который будем обозначать символом —а (рис, 3), т. е. если

а = Ь и а\\Ъ, то

а = — b.

Если а||Ь, то векторы называются параллельными, или коллинеарными； они могут быть одинаково направленными и про тавоположно направленными^ Иногда первые векторы называются просто параллельными^ а вторые анти-

параллельными. Векторы, параллельные одной и той же плоскости, называются компланарными.

Вектор, по направлению своему совпадающий с направлением данного вектора и имеющий модуль, равный единице, называется единичным вектором, или ортом данного вектора. Очевидно, что длина отрезка, изображающего единичный вектор, должна быть равна единице длины. Единичный вектор будем обозначать тем же символом.

что и данный вектор, но с показателем 0, т. е. (рис. 4) единичный вектор для а = а°.

Из определения следует, что

|а°| — 1.

При помощи единичного вектора всякий вектор может быть представлен как произведение модуля на единичный вектор, т. е.

(1)(1)0=mо，淤=*

(1)

(1)

При таком представлении вектор распадается на два элемента: модуль, характеризующий численное значение вектора, и единичный вектор,, определяющий направление вектора в пространстве./

При умножении вектора на ска-/

ляр т получаем новый вектора/

b = ma = maG (2)/丿/

Вектор b, очевидно, параллелен век- / тору а (рис. 5) и направлен в ту / же или противоположную сторону, у^° в зависимости от знака скаляра т;

модуль вектора та будет:р^ 4р^с 5

\та\ — \т\ - |а| = |^| а. (3)

Если два вектора коллинеарны, то частное от их деления есть всегда скаляр, положительный или отрицательный, в зависимости от направлений этих векторов.

Проекция вектора на ось и на плоскость. Осью называется

направление отсчета.направление отсчета.прямая, на которой установлено положительное

направление отсчета.

направление отсчета.

Углом между двумя векторами (или между вектором и осью, или между двумя осями) называется наименьший угол, на который нужно повернуть один вектор (или ось), чтобы он совпал по направлению с другим вектором (осью) (рис. 6).

плюс» если перемеще- направлением оси /, rплюс» если перемеще- направлением оси /, rПроекцией вектора АВ =窑 на ось 2 (рис. 7) называется взятая с соответствующим знаком длина отрезка заключенного между проекциями начала и конца вектора АВ на эту ось (здесь и далее рассматриваются только ортогональные проекции); при этом проекция берется со знаком ние от & к 8] совпадает с положительным

плюс» если перемеще- направлением оси /, r

плюс» если перемеще- направлением оси /, r

со знаком минус, если не совпадает. Из определения следует, что

□Pi ЛВ = (43)工=土 I ЛХВХ\ = ± I AAf\ = АВ cos (ЛВ, /)(4)

или

прг (а) = а% = а cos (а/).(5)

Таким образом, проекция вектора на ось равна модулю вектора,

умноженному на косинус угла между вектором и осью проекций.

Согласно определению проекция вектора на ось есть величина скалярная, положительная или отрицательная в зависимости от того, острый или тупой угол образует проектируемый вектор с осью проекций*

Если отрезку, представляющему собой проекцию вектора на ось, дадим направление, совпадающее с направлением перемещения от проекции на

чала вектора к проекции его конца, то получим вектор, называемый ортогональной составляющей, или компонентом вектора а по оси L

Очевидно, ортогональная составляющая вектора а по оси / равна

его проекции на эту ось,его проекции на эту ось,умноженной на единичный вектор, соответствующий направлению оси, т. е.

его проекции на эту ось,

его проекции на эту ось,

饱 ai^ (6)

Проекцией вектора АВ ~ а на плоскость Р называется вектор А^, соединяющий проекции начала и конца вектора АВ на эту плоскость (рис. 8). По определению ар — = 4В[ есть вектор, так как для его задания необходимо, кроме чи' сленной величины Л^, указать

еще и направление этого отрезка

в плоскости Р. Модуль вектора ар определяется равенством

ар = I A^l = a cos 0,ар = I A^l = a cos 0,⑺⑺

ар = I A^l = a cos 0,

ар = I A^l = a cos 0,

⑺

⑺

где 0 — угол между векторами а и ар*

определяется тремя своими проекциями на оси координат; эти проекцииопределяется тремя своими проекциями на оси координат; эти проекцииДалее наДалее наcos (а, х) — ~ —cos (а, х) — ~ —了成十名+ W了成十名+ Wcos (а, у)=cos(а, n)=cos (а, у)=cos(а, n)=V或+4+WVa^ + ay+^V或+4+WVa^ + ay+^(Ю>(Ю>

определяется тремя своими проекциями на оси координат; эти проекции

определяется тремя своими проекциями на оси координат; эти проекции

Далее на

Далее на

cos (а, х) — ~ —

cos (а, х) — ~ —

了成十名+ W

了成十名+ W

cos (а, у)=

cos(а, n)=

cos (а, у)=

cos(а, n)=

V或+4+W

Va^ + ay+^

V或+4+W

Va^ + ay+^

(Ю>

(Ю>

Аналитическое задание вектора. Аналитически вектор вполне

поэтому иногда называются координатами вектора.

Если дан вектор а, т. е. даны его модуль а и его направление, которое определяется направляющими косинусами, то известны и проекции вектора на оси координат; в самом деле, на основании равенства (5) эти проекции будут (рис. 9):

ах = а cos (а, х),

ау = a cos (а, у),(8)

az = a cos (а, n).

Обратно, если даны проекции вектора на оси координат, то вектор определен. Действительно, возведя почленно в квадрат равенства (8} и складывая их, имеем:

磋+"+吟=a2，

откуда найдем модуль вектора

(9>(9>a=V*+" +咚 основании (8) и (9) получаем:

(9>

(9>

Формулы (10) дают выражения направляющих косинусов qepes проекции вектора.

В дальнейшем единичные векторы по направлению прямоугольных координатных осей будем обозначать через t, j и 论(вместо R。， J° и 2°); тогда составляющие вектора по осям координат будут:

(⑴(⑴ах — a cos (а, %) г,а =асо$(@, у)j,а2 — а cos (а, n) А.

(⑴

(⑴

На основании (1) и (И) получим выражения для компонентов

единичного вектора:

(12)(12)a? = cos(a, x)it "=cos (% у)/, a? = cos (窑，n)论

(12)

(12)

Отсюда видно, что проекции единичного вектора на оси координат равны направляющим косинусам вектора В этом смысле

ИИговорят, что «единичный вектор задает направление».

И

И

ии66Сложение и вычитание векторов. Суммой двух векторов а Ь называется вектор с — а-\-Ь, соединяющий начало вектора а

и

и

6

6

а-|- & — &-]-а,а-|- & — &-]-а,(13)(13)с концом вектора &, если вектор Ь отложен от конца вектора а (рис 10 ) Это чисто формальное определение суммы векторов имеет свое обоснование во многих законах природы, например законе параллелограмма сил, параллелограмма скоростей и др. Из рис. 10 ясно, что

а-|- & — &-]-а,

а-|- & — &-]-а,

(13)

(13)

так как 窑+b и 力 + 窑 равны одной

и той же диагонали с параллелограмма, построенного на векторах а и & Отсюда вытекает, что сложение двух векторов обладает свойством коммутативности (переместительности).

Из △ АВС имеем

©2= |@ + ь|2 = @2+加—2ab cos at

отсюда, так как а = л — (% b),

с = |a + b| = H^2+力2 + 2ab cos (窑，b).(14)

Из (14) вытекает, что если (а, &) = 0, то

если же (а, Ь) = л, то, полагая для определенности а > р, имеем:

1我+&| =a一6；

вообще же

а — b WI 窑-j—匕 IW 仪-j—氏

Сумму нескольких векторов получим последовательным применением закона сложения двух векторов, для получения суммы 九 векторов а, Ь, с> 或，…，I» т сумму двух первых векторов (а-|- &} сложим с третьим с, полученную сумму трех первых векторов (窑十力 + ©) сложим с четвертым вектором и т. д ; сложив сумму п—1 первых векторов (窑 + 力十。+ 4+.・一}-2)с последним вектором m (рис. 11), получим сумму всех к векторов

(15}(15}s —^ а —|— b ~|— с —|— d —|— • • ■ ~|— Z ~J- fit.

(15}

(15}

Таким образом, сумма нескольких векторов есть вектор, который изображается замыкающей стороной ломаной линии, составленной

из ела! аемых векторов, при этом начало каждого последующего слагаемого вектора откладывается от конца предыдущего, а замыакющий вектор направлен от начала первого слагаемого вектора к концу последнего*

Составленный таким способом многоугольник носит название векторного многоугольника, а самый метод — правила векторного многоугольника

Если ломаная линия, составленная из слагаемых векторов, замыкается сама (т. е. если конец последнего из сла

гаемых векторов совпадает с началом

первого), то сумма векторов равна нулю (вектор равен нулю, если его модуль равен нулю)

Так как при сложении любой пары векторов в равенстве (15) согласно уравнению (13) имеет место закон коммутативности, то и сумма л векторов обладает свойством коммутативности.

Непосредственно из рис 11 видно, что сумма п векторов обладает также свойством ассоциативности (со/етате^ьности% т・ е. что

$ = а —|—• b —|— с —|— d Т~ • • > —|— Z -\- /я—

=(a+ b)十С+ 4+ … +(Z+m) =

=(窑+b+6)+ (4+ ... +/) + wt

МЕД

Свойство коммутативности, позволяя сделать всевозможные перестановки слагаемых, распространяет ассоциативность на любые сочетания слагаемых, например

3 -j— ь -J- с) d -}- ... —|-(Z -j- ш)=

(16)(16)= (d+m)-^(a + l+c)+ ...十也

(16)

(16)

Свойства коммутативности и ассоциативности, в сущности, и оправдывают описанный геометрический метод сложения векторов по правилу векторнрго многоугольника. Заметим, что в общем случае этот

Рис. 12,Рис. 12,многоугольник пространственный, так как составляющие его векторы вообще не компланарны.

Рис. 12,

Рис. 12,

В случае коллинеарности слагаемых векторов (т. е. когда они лежат на одной прямой) векторное сложение сводится к алгебраическому сложению направленных отрезков.

Разностью двух векторов а и & называется вектор d, получающийся от сложения вектора а с вектором —bt противоположным b (рис. 12), т. е.

d = а — & ==窑 + (— &). (17)

Из рис. 12 видно, что сумма г = а-|- Ъ есть одна из диагоналей параллелограмма, построенного на векторах а и &, а разность d = a ——Ь есть другая его диагональ*

Разложение вектора по направлениям координатных осей. Разложение вектора на сумму нескольких векторов есть вообще задача неопределенная, но в некоторых случаях, при наличии дополнительных условий, эта задача может стать определенной. К таким случаям принадлежат: разложение вектора по трем заданным некомпланарным направлениям и разложение вектора по двум заданным направлениям, компланарным с данным вектором.

Пусть вектор а = ОМ требуется представить в виде суммы трех некомпланарных векторов, параллельных заданным прямым. Для этого через начало вектора проводим прямые О/, От и On,

параллельные заданным направлениям, и на векторе ОМ, как на диагонали, строим параллелепипед, ребра которого направлены по этим прямым (рис. 13). Тогда, как ясно из рисунка,

илигде обозначено:илигде обозначено:ам = од_|-ов+оса = аг + ат4-а„,ам = од_|-ов+оса = аг + ат4-а„,(18)(18)

или

где обозначено:

или

где обозначено:

ам = од_|-ов+оса = аг + ат4-а„,

ам = од_|-ов+оса = аг + ат4-а„,

(18)

(18)

О А = а〃 ОВ = ат, ОС = ая.

Если триэдр 1тл принять за оси косоугольной системы координат, то векторы 〃〃 〃醒，ап будут косоугольными составляющими (компонентами) вектора а по осям /, /и, п. При этом равенство (18)

можно представить в виде

a = a^^ <W*+ 源*(19)

где Z°, m°> n° суть единичные векторы, соответствующие направлениям /, /и, п. В случае прямоугольной системы xyz (рис. 14) имеем:

0 =a*+% +。2 =。/+旬/+了，(20)

где Q*, ау, аг будут уже ортогональными (прямоугольными) составляющими вектора а по осям х, у, z.

разложитьразложитьпо двум направлениям.по двум направлениям.Пусть вектор а требуется

разложить

разложить

по двум направлениям.

по двум направлениям.

аналогично предыдущему случаю.аналогично предыдущему случаю.компланарным с ним. Поступая

аналогично предыдущему случаю.

аналогично предыдущему случаю.

имеем (рис. 15):

Ц?Й=а = ^ = 5К

или

a=旬+%=a#+。浦也(21)

где az и ат будут косоугольными компонентами вектора а в осях Z, т. В случае прямоугольной плоской системы координат ху (рис. 16)

а = а* + @у = a*t + 玄 у/・(22)

Теорема о проекции суммы векторов. Аналитический способ сложения векторов. Докажем теорему: Проекция суммы век- торов на какую-либо ось равна алгебраической сумме проекций этих векторов на ту же ось.

Пусть имеем п векторов

% = &，+%/+°/(v=l, 2, .... я).(23)

Складывая эти векторы, получим:

v-nv=nv=nV-П

s = 2 av — S %/+ X %/+ 工 ％/(24)

V =1V = 1V =1v = 1

Сравнивая найденное выражение с равенством (20), видим, что скалярные суммы 2 avx, £ й и S avz суть проекции вектора $ =

VV у V

= £ @v на соответствующие оси координат, т. е.

V= лV^nV = 7l

s# 2 Sy 〃丫屮 Sz ==- 2(25)

v = 1v = Iv = I

Теорема доказана. Одновременно формулы (25) определяют проекции вектора s на оси координат. Модуль суммы s выразится тогда согласно (9) равенством

v = n

s = g[ % = Jq+%+磋—

(26)(26)P /v=n

(26)

(26)

Углы, образуемые вектором s с осями координат, найдутся по формулам, аналогичным (10).

Произведение векторов. В векторном исчислении различают

два вида умножения векторов： скалярное и векторное.

Скалярное, или внутреннее, произведение двух векторов а и b есть скалярная величина, равная произведению модулей а и b

модуля одногомодуля одногоэтих векторов, умноженному на косинус угла (а, Ь) между ними. Операция скалярного умножения обозначается обычно символом а • b [иногда (а, &) или @Ь, но мы будем всегда применять обозначение а • Ь]・ По определению

модуля одного

модуля одного

а • Ь—\а\ • |&|cos (a, d) = ab cos (а, Ь)・(27)

Скалярное произведение двух векторов

можно еще рассматривать как произведение вектора на проекцию на него другого (рис. 17),

а именно

(28)(28)а - b = aba = bab = ab cos (а, Ь).

(28)

(28)

Непосредственно из определения скалярного произведения следует, что:

скалярное произведение двух векторов обладает свойством .коммутативности, т. е.

а - Ъ — Ь а\(29)

скалярное произведение обладает свойством дистрибутивности (распределительности) относительно суммы векторов, т. е.

(@+ Ь)・ с = 〃 ・。十 Ь • с.(30)

Действительно,

(窑 + Ь) • С = С ・(窑 + Ь) = С (〃 + Ь)е = сас 4- cbc =

— с • а-|-г • Ь = а • b * с.

Кроме того, как легко видеть, та • rib = тиа • Ь;(31)

нз равенства (27) следует еще, что

(32)(32)когда 窑“力，то cos (а, Ь)=1и а • b = abt

(32)

(32)

когда 〃必 瓦 то cos (а, b) = —1 и а • & =—〃瓦

а также, что

если 窑丄 Ь, тоесли 窑丄 Ь, тоcos (窑 ％) = 0cos (窑 ％) = 0и q • b = 0,и q • b = 0,если а = Ь, то cos (а,方)=1если а = Ь, то cos (а,方)=1и а . а =х а2,и а . а =х а2,(33)(33)

если 窑丄 Ь, то

если 窑丄 Ь, то

cos (窑 ％) = 0

cos (窑 ％) = 0

и q • b = 0,

и q • b = 0,

если а = Ь, то cos (а,方)=1

если а = Ь, то cos (а,方)=1

и а . а =х а2,

и а . а =х а2,

(33)

(33)

т. е. 1) скалярное произведение двух взаимно перпендикулярных векторов равно нулю; 2) с*〃厶兄卩狂从修 квадрат вектора равен квадрату его модуля.

Для единичных векторов f, / и А формулы (33) дают:

(34)(34)»•t = /•/=论.论=1,]

(34)

(34)

J • k = k • I = i • j = 0. J

Опираясь на распределительный закон скалярного умножения (30) и на формулы (34), получим выражение скалярного произведения двух векторов через их проекции. Имеем:

〃 = 〃/+%/+ azk, b = bxi-\- byJ + Ь/, тогда

n ・ Ь = {axi + ayJ + azk). (bxi + byj + b?论)=

=a点/-$ + a点/- /+a//-论+旬好/.方 +旬ь/ • / + 十%%/，论+ a/#论•/+〃/y也• /+a也也•论=

=a/x + aQy + ◎也，(35)

Таким образом, мы находим, что скалярное произведение двух векторов равно сумме попарных произведений из одноименных (по индексу) проекций векторов на координатные оси:

a - b=^ab cos (窑鼻)=axbx + ayby 十 @/否・(36)

Отсюда имеем выражение косинуса угла между векторами а и & ss а 〃)=к=•(37>

Если вектор а перпендикулярен к вектору &, то

a也 + 叫 +0匹=0.(38>

Рассматривая выражение (5) проекции вектора а на ось 厶 видим, что аг — a cos (а, /) = а • 1 • cos (а, /) = а ♦ W, (39)

т・ е< проекция вектора на ось есть скалярное произведение вектора на единичный вектор данной оси.

Векторное, или внешнее, произведение двух векторов есть вектор, модуль которого равен произведению модулей перемножаемых векторов, умноженному на синус угла между ними, а направ* ление перпендикулярно к плоскости, проходящей через оба вектора, и выбрано так, чтобы, смотря из конца по- аВлученного вектора, мы видели вращение пер*

вого множителя для кратчайшего совмещения его со вторым против хода часовой стрелки (рис. 18)1). Операция векторного умножения ^)”、 обозначается обычно символом а X (иногда

^\®[ab] или а 八 Ь, но мы будем всегда приме-

/ нять обозначение а X ^)* По определению

Рис. 18.|ах & | = flZ-sin(a?&). (40>

В основу выбора направления векторного произведения положено, очевидно, известное правило правого винта. В винте мы имеем сочетание определенного направления с вращением в плоскости, перпендикулярной к этому направлению. Соответственно понятиям о левом (с левой нарезкой) и правом (с правой нарезкой) винтах различают также левую и правую системы координат (рис. 19). В левой системе координат кратчайшее совмещение оси х с осью у видно с конца оси n по ходу часовой стрелки, а в правой ——против хода часовой стрелки. На плоскости обычно всегда пользуются пра-

Строго говоря» векторное произведение геометрически изображается односторонней площадью параллелограмма, построенного на умножаемых векторах, а площадь параллелограмма в свою очередь ——вектором, который направлен так, чтобы, смотря из конца этого вектора, мы видели обход контура, ограничивающего площадь* против хода стрелки часов (т* е. как указано в определении). Таким образом, векторное произведение, по существу» есть не вектор, а антисимметричный тензор второго ранга.

вой системой координат %, у. Поэтому в дальнейшем мы будем пользоваться правой системой координат и для пространства, так как единообразный выбор координатных систем на плоскости и в пространстве весьма целесообразен и при рассмотрении вопросов теории и при решении практических задач.

Непосредственно из определения векторного умножения следует, что:

модуль векторного произведения двух векторов численно равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах (см. рис, 18);

векторное умножение двух векторов свойством коммутативности не обладает, потому что

QXb = 一(ь义窑)；(41)

это следует из того, что | а X ^ | — | Ь X ®|, а направления этих произведений (рис. 20) противоположны.

Кроме того, легко видеть, что

таУСпЬ — tnn (а X Ь)・(42)

Геометрически векторное произведение а X & векторов а и ^ можно найти следующим построением (рис. 21): проводим плоскость Р,

перпендикулярную к вектору а, строим ортогональную проекцию вектора b на плоскость Р, повора

чиваем эту проекцию хода часовой стрелки умножив полученный Действительно,чиваем эту проекцию хода часовой стрелки умножив полученный Действительно,в плоскости 尸 вокруг точки О на 90° против (если смотреть на плоскость с конца вектора а); вектор。/ на а, найдем вектор Q 义 Ь.

чиваем эту проекцию хода часовой стрелки умножив полученный Действительно,

чиваем эту проекцию хода часовой стрелки умножив полученный Действительно,

bp — b sin(a?&) %, (43)

после же поворота вектора Ьр на 90° модуль его останется неизменным, а единичный вектор из ор перейдет в (а X 力)。；следовательно, полученный после поворота вектор OZ будет равен

例=b sin (аГ^)(а X ^)° == — (а X Ь).

откуда а'Х Ь — а - 01. Пользуясь этим представлением векторного произведения, можно доказать, что

векторное умножение обладает свойством диетрибутивности по отношению к сумме двух векторов:

(。+ 力)Хс = @Хс + ЬХс(44)

Этот результат легко получить, если учесть, что (a+b)p=a尸+b尸.

Отметим следующие частные случаи векторного умножения:

если 窑[|Ь, то sin(aT^) —0 и аХ ^ = 0*(45)

если а = Ь, то sin (а, &) —0 и а X а = 0,(46)

если Q 丄也 то sin (а, &)= 1 и |а X &|—曲， (47) т. е. 1) если векторы коллинеарны, то их векторное произведение равно нулю, 2) векторный квадрат вектора равен нулю и 3) модуль векторного произведения двух взаимно перпендикулярных векторов равен произведению их модулей.

Для единичных векторов /, у, А формулы (46) и (47) дают:

f X W = J X j =论 х 论=0,(48)

J X Л = Л 也 x» = j，IX J = kt(49)

а также, согласно свойству (41),

й X / = — £，t 乂 к = — у,」х/ = — k. (50)

Теперь найдем выражение векторного произведения векторов а и Ъ через их проекции. Имеем:

а = а/ + ау/ 十 azk.b = Ь/+%/ + bzk.

Перемножая правые части векторно и пользуясь по с ле до вательно дистрибутивным законом(44), а также равенствами (48), (49) и (60),

получим:

а X b ==(〃/+ 〃" + 〃/) X 0/ + %」+%也)—

=%%0 X ») +纵勾($X 」) + a点名G义期+

+旬好(J X 方) +旬勾(/X J)+ 、勿(/X也)+

+ azbx(*XZ)+ a Jy (论 X /)十 a/2(尼 X 也)=

=。+。也论一a也/ -%%也 +。+ 4也方 + a^xi - "也* + 0 =

=(ay^z — /%) 土 + (。幺4 — 〃#%)丿 + (а/у — 〃"#)削

Следовательно,

илиили«X Ь =«X Ь =旬 by旬 byi J 论ax 旬 %b* by b2i J 论ax 旬 %b* by b2(51)(51)а X & =а X & =(52)(52)

или

или

«X Ь =

«X Ь =

旬 by

旬 by

i J 论

ax 旬 %

b* by b2

i J 论

ax 旬 %

b* by b2

(51)

(51)

а X & =

а X & =

(52)

(52)

Из (51) видно, что проекции векторного произведения на оси коор

динат равны

(аХ b)r=, (ах &)у=. (ах &)2 = ь %,

(53) а его модуль

I а X Ь| = “а X 吟 + (а X 咽 + (Q X 眩, (54)

где стоящие под знаком радикала величины определяются равенствами (53).

Произведения трех векторов. Комбинированные произведения из трех векторов могут иметь вид а(Ь・с), а •(匕 X с), а X (Ь 乂 с), а X (^ ■ ^)- Прежде всею замечаем, что первая комбинация есть произведение вектора а на скаляр Ъ • с; четвертая же не имеет смысла, так как нельзя векторно множить век гор а на скаляр & * г.

Произведение трех векторов типа а • (& X г) называется сметанным произведением векторов и есть, очевидно, скаляр.

Чюбы составить выражение этого произведения через проекции векторов а, Ь, с, воспользуемся сначала формулой (36), а затем (53), имеем:

а • (& X ₽) = «х(& X с)* + «у (& X % + й2 (& X 〜=

by bz

+旬

bz bx

+ «г

力by

bx

by bz

• (55)

Су Q

C# Cy

Cy %

3 Н, Н Бухгольц

Из равенства (55) вытекают следствия:

1. Если какие-либо два из входящих в состав смешанного произведения вектора равны друг другу, то все произведение равно нулю, так как при этом две строки в опреде- 不 лителе (55) будут одинаковы.

魚</ t 2. В смешанном произведении возможны

；4 j / циклические перестановки множителей

a ■ (bXc^b ■ (с У. a) = c ■ (q X b), (56) рис, 22.так как при этом определитель (55) сохранит

свою величину и знак. Другие перестановки

сомножителей уже отражаются на знаке произведения, например

а * (с X b) = b • (а X с) = с * (b X а) — — а * (& X ^)-

Численно смешанное произведение определяет объем параллелепипеда, построенного на векторах at b п с (рис. 22).

Произведение трех векторов типа а X (^ X ^) называется тройным векторным произведением и есть вектор. По формуле (52) имеем:

fJ论

〃 X (b X с)= 纵命а? ，(57)

(b X 叽(ft X с% (b X с)?

где (& X с)*, (b X с)у и (& X c)z суть проекции векторного произведения b 乂 с.

Составляя, согласно формулам (53), выражение проекции тройного векторного произведения на ось %, получим:

[а X (^ X с)1# = % (b 义叽— а2(ЬХ % =

==旬(九甸”уС*)az(bzС*九%):^ % 九0y旬包限。2勿% -f-

+ а^хсг + ах^хсх — aj/x — Ь* (。卢£ + 旬％ + 〃zG)—

—々(久好 + %% + 包％)= bxa c — cxa，玩 (58)

Проекции на две другие оси найдутся совершенно аналогично. Итак,

[а X (& X с)к = £а -с~сха- &,

[а X (& X f)]y = bya-c — суа • &,(59)

[а X (b X с)% = %窑• с — cza * &.

Умножая равенства (59) соответственно на i, / 论 н складывая их почленно, получим окончательно：

(60)(60)аХ (ЬХс) — Ь(а - с) — с (а • д).

(60)

(60)

Заканчивая краткое изложение векторной алгебры, приведем следующие простые, но важные положения и формулы, которые могут быть легко доказаны:

Два вектора а и & коллинеарны, если

а@ + ВЬ = 0,(61)

где а и 0 — некоторые отличные от нуля скаляры, и обратно.

Три вектора а, b п с компланарны, если

аа + 0Ь+ус = О,(62)

где а, В н 丫 суть некоторые, отличные от нуля скаляры, и обратно.

Имеет место равенство

(@+ Ь)? — * + 2a •ь + 旅.

Если а||&, то

(а . bp — @2炉，(63)

вообще же (а • &)2 < 炉炉，

Имеет место равенство

(а X &)2+(а ・ bp =歩2乩(64)

Момент вектора. Для неподвижного (или для скользящего)

вектора можно ввести понятие момента относительно центра и отно

в точке /И. Положение может быть определенов точке /И. Положение может быть определеносительно оси. Пусть вектор a npi точки М по отношению к осям радиусом-вектором г, проведенным из центра О в точку М (рис. 23), При этом 尸=「/+「“+%论 или, так как проекции радиуса-вектора представляют собой координаты TQ4- ки М, то

в точке /И. Положение может быть определено

в точке /И. Положение может быть определено

/•* = %, Q = y, J = N

и(65)

r = xi~i-yJ-{-2：k.

Моментом вектора а относительно центра (или точки) О называется векторное произведение г X ® радиуса-вектора г, проведенного нз центра О в точку М9 где приложен вектор а, на этот вектор (рис. 24). Обозначается момент вектора а относительно Центра О символом шот^а. Следовательно,

г 7 А

momoa = г X»= г* 「у rz ，(66)

心% J

I mom0a | = r a sin (r, a).(67)

Как всякое векторное произведение, момент вектора а относительно центра О по модулю равен площади параллелограмма, построенного на векторах г и а.

Если центр О, относительно которого берется момент, совпадает с началом координат (как на рис. 24), то момент вектора а отно-

Рис, 24.Рис, 24.сительно начала координат, согласно (65), выразится равенством

Рис, 24.

Рис, 24.

方 /论

mom0a =尸><@=% y(68)

〃* 〃y 〃?

Теорема. Проекции на ось z моментов вектора а относительно любых двух центров О и О', взятых на оси z, равны между собой, т. е.

(тотоа)г = (тото-а)^. (69)

Действительно, единичный вектор трех векторовДействительно, единичный вектор трех векторов(шошоа)г =(广 X 窑)名==(г X а) * z°, где 2° есть оси N・ Но по свойству смешанного произведения

Действительно, единичный вектор трех векторов

Действительно, единичный вектор трех векторов

Так как легко видеть, что вектор 2° Xг не зависит от положенияТак как легко видеть, что вектор 2° Xг не зависит от положения(г X а) • ^° — (z° X г) • а.

Так как легко видеть, что вектор 2° Xг не зависит от положения

Так как легко видеть, что вектор 2° Xг не зависит от положения

точки (центра) О на оси z, то тем самым справедливость равенства (69) доказана.

Формулу (69) легко получить также из геометрических соображений. Действительно, обозначая угол между вектором г X » и осью z через 丫 (рис. 25), имеем:

(momo 窑)z =(尸 X 〃％ = I 尸 X。I cos 丫= ==2 I пл. OABI cos у

или

(momo 窑)名=土 2 (пл. O^B^, (70)

где треугольник。①自 есть проекция треугольника ОАВ на плоскость л, перпендикулярную к оси N. Очевидно, что площадь этой проекции не зависит от положения точки О на оси z, откуда следует равенство (69).

На основании доказанного свойства проекции момента на какую- либо ось устанавливается следующее определение момента вектора относительно оси:

Моментом вектора относительно оси называется проекция на эту ось момента данного вектора относительно любой точки оси. Будем обозначать момент вектора а относительно оси Z символом momza. Тогда, если точка О лежит на оси /, то

momz а = (mom。а)Рmomz а = (mom。а)Р(71)(71)

momz а = (mom。а)Р

momz а = (mom。а)Р

(71)

(71)

(72)(72)к оси z, взятого относительнок оси z, взятого относительно

(72)

(72)

к оси z, взятого относительно

к оси z, взятого относительно

Моменты вектора относительно осей координат %, у, z будут равны проекциям на эти оси момента вектора относительно начала О. Следовательно, согласно (68),

mom* а = (г X 窑)* = У。？ — zar momy а = (г X а)у = zax — х%、 mom^ a = (rX^z= xay ——yax.

Из равенств (71) и (70) следует, что шош^а — ± 2 пл. О^^. Но, как видно из рис. 25,

2 пл. 54В1 = I mom仇 4Bi |,

где ｛【В] — проекция вектора 4В = а на плоскость л, перпендикулярную к оси n. Отсюда следует другое определение момента вектора относительно оси: момент вектора а относительно какой- нибудь оси n равен численной величине момента проекции вектора а

на плоскость л, перпендикулярную точки Ох пересечения оси z с этой плоскостью, т. е.

шо1п2 а — тпотО] ал. (73)

Найдем выражение момента вектора а относительно любого центра С (рис. 26), не совпадающего с началом координат. Имеем:

momc а = i X а.

Но так как 尸'=广一гс, то womca —(г — rc) X 窑=

= &X@) — &cX。)， (74)

Т・ е. момент вектора относительно произвольного центра С равен разности двух моментов относительно начала: момента данного вектора Н момента вектора, равного данному, но приложенного в точке С.

Проекции разности гт — г ——гс на оси координат оудут:尤 ——хс, У—Ус И 2 — Nc，поэтому

*/也

momc a = rf % а=尤—хс у ——yc n ——zc .(75)

ax%az

Заметим, что проекции вектора (гл X а) на оси координат дают моменты относительно осей, проходящих через начало вектора 尸'・ Поэтому (广'X а)*, (「'X а)у, (f' X а)г будут равны моментам вектора а относительно осей %', у', z!, параллельных осям х, у, z и проходящих через точку С, а не моментам относительно осей %, у, z (см. рис. 26), т. е.

(76)(76)(产 х 0% = mom*, Q = (у — Ус) az~^~z^ %，(i X @)у = moiHy, a — ^z — nJ ax —(x — xc) %,(产 X 矶=mom# a=(x — %) ay — ^y — yj %・

(76)

(76)

Моменты же вектора а относительно осей х, у* n будут по-прежнему определяться формулами (72).

1L Дифференцирование векторов по скалярному аргументу. Пусть вектор а есть непрерывная функция некоторого скалярного аргумента Л т. е.

a = a (/).(77)

При этом в общем случаеПри этом в общем случаес изменением скаляра / непрерывно изменяются и модуль и направление вектора а. Следовательно, если учесть, что a— aa° = a(f), то

При этом в общем случае

При этом в общем случае

a = а (0?△=办©.(78)

В частных случаях вектор может изменяться только по модулю

а~ а (/), a。= const (79)

или только по направлению

a° = а0 (/), а — const. (80)

Будем вектор а (/) в процессе его изменения всегда откладывать от общего

начала (полюса) О (рис. 27). Тогда в общем случае при изменении / конец вектора a (/) будет описывать некоторую определенную кривую (плоскую или пространственную), которая называется годографом вектора a (/). Если полюс О примем за начало прямо-

угольной декартовой системы координат, то параметрическое уравнение годографа будет иметь вид

х = ах (0，，= %(/), n = %«).

где a*, Qy, az — проекции вектора а на оси координат.

В частности, в случае (79) годографом вектора а будет прямая, вдоль которой направлен этот вектор, а в случае (80) — кривая на сфере радиуса а.

Заметим, что векторная (а также и скалярная) величина может быть функцией не только скалярного, но и векторного аргумента. В частности, это имеет место, когда соответствующая величина образует поле.

Полем данной скалярной или векторной величины называется область пространства, каждой точке которой однозначно соответствует определенное значение скалярной или векторной величины; в этом случае скалярные и векторные величины представляют собой функции координат точки xyz или ее радиуса-вектора г.

Перейдем теперь к рассмотрению понятия производной от переменного вектора. Если аргумент / получит приращение АЛ то вектор а получит приращение Aa = a(f-^Af)——a(f) (рис. 28). Предел отношения Да к А/ (при Д/->0), если он существует, называется производной вектора а по скалярному аргументу / (это определение совпадает с определением производной скалярной функции). Следо

вательно,S 仪夕/ \Ja

=a'(')=器。(81)Рис. 28.

На годографе (см. рис. 27) вектор Ав направлен вдоль хорды, т. е. по секущей АЬ. В пределе секущая занимает направление касательной 4т. Следовательно, так как от деления на скаляр А/ напра- „ da вление вектора не меняется, то направление производной совпадает с направлением касательной к годографу вектора а (/) в точке Д.

Если вектор выражен через его проекции на неподвижные оси, т. е. если

a(f) = axi+avj->razk, то ясно, что

cix == их (^), йу = йу (^),%= 〃z О(82)

векторы же г, / А будут постоянными и по модулю и по направлению. Поэтому

da ddaz

H = * (а/ + а/ +。的=号叶号 / + 丁 瓦(83)

т. е. производная вектора по скалярному аргументу есть вектор, проекции которого на неподвижные оси равны производным по тому же аргументу от проекции дифференцируемого вектора.

Во многих задачах механики аргументом £ является время. При этом обычно производная по времени обозначается точкой:

党=〃《)=£/+；"+乙削(84>

Тем же методом, как и для скалярной функции, можно легко доказать следующие формулы:

*(。■6)=醬，计令@(85)

方 ЗХЬ) = (嘗 Xb) +(QX 需).(86)

Покажем, что дифференциал (или производная) единичного вектора перпендикулярен к дифференцируемому вектору. Действительно, из (33) следует, что

дО . а0 — 1；

дифференцируя это равенство, мы, согласно формуле (85), получим!дифференцируя это равенство, мы, согласно формуле (85), получим!

дифференцируя это равенство, мы, согласно формуле (85), получим!

дифференцируя это равенство, мы, согласно формуле (85), получим!

или, так как дифференциал аргумента dt есть скаляр, не влияющий на направление , то

da。J_ a°.(87)

Кроме того, легко показать (рис. 29), что !)

I da。I = I 淤]dcp = d屮.

(88〉

I) Действительно, треугольник, изображенный на рис. 29, равнобедренный, ибо I a01 = I а° + Да01 — 1; из ^того треугольника имеем:

.Афsin

Отсюда, деля обе части равенства на А才 находим:

и переходя к пределу при △£->&

I da° I ―力Р и dt ™ dt

I d@Q I == d(p・

Пользуясь соотношениями (87) и (88), можно получить следующее выражение производной вектора по скалярному аргументу. Так как а — да0, то, учитывая (78), будем иметь:

(89)

Это равенство показывает, что производная от вектора по скалярному аргументу t есть вектор, равный сумме двух взаимно перпенди- da п

кулярных векторов, один из которых, -^-砂，характеризует измене

ние вектора а по модулю, а второй, 一изменение его по направлению (рис. 30). Первый вектор, как видно из формулы (89), имеет направление вектора q, а второй к нему перпендикулярен.

Второй член формулы (89) может быть представлен и иначе. Так как, согласно (88),

Рис. 30

I do° I1m

對）

то, обозначая единичный вектор по направлению da0, перпендикулярному к вектору а0, через р°, имеем:

学=穿加3。丄0。)■

Следовательно,

筹=黑0。+。需加・(89')

Из формулы (89) видно, что в общем случае \da\^= da. Равенство \da\ = da имеет, очевидно, место лишь при ~^~ =。，т. е. в случае (79), когда вектор а изменяется только по модулю.

Найдем в заключение выражение производной от ортогональной составляющей вектора а по оси /• Согласно равенствам (6) и (5),

Тогда, если ось / неподвижна (2° = const), то

dat — dax^dt~~dT

(90)

Если же направление / меняется с изменением мер, времени), то

°Й7 ddi J dl^ 〜

= Н 4 十 NT %

параметра £ (напри-

(91)

Преобразование проекций вектора. Найдем, как изменяются проекции ах, ау и az вектора а на прямоугольные оси координат (月，у, z) при переходе к другой также прямоугольной системе осей (л/, у', z')・

Если новые оси х', у' и z' параллельны прежним и имеют с ними одинаковое направление, то проекции а*，，仪歹 и а^, очевидно, будут

зуют с осями прежней системы определяются таблицейзуют с осями прежней системы определяются таблицейравны соответственно проекциям &, 〃у и az (рис, 31, а), т. е. еслих^х\ у||/, zjjz', то(92) = аг>Пусть теперь (рис. 31,6) оси новой системы (л/, у- zf) обра- (月，У，%) углы, косинусы которыхравны соответственно проекциям &, 〃у и az (рис, 31, а), т. е. еслих^х\ у||/, zjjz', то(92) = аг>Пусть теперь (рис. 31,6) оси новой системы (л/, у- zf) обра- (月，У，%) углы, косинусы которых力У2(И)(12)(13)У，(21)(22)(23)2，(31)(32)(33)力У2(И)(12)(13)У，(21)(22)(23)2，(31)(32)(33)

зуют с осями прежней системы определяются таблицей

зуют с осями прежней системы определяются таблицей

равны соответственно проекциям &, 〃у и az (рис, 31, а), т. е. если

х^х\ у||/, zjjz', то

(92) = аг>

Пусть теперь (рис. 31,6) оси новой системы (л/, у- zf) обра- (月，У，%) углы, косинусы которых

равны соответственно проекциям &, 〃у и az (рис, 31, а), т. е. если

х^х\ у||/, zjjz', то

(92) = аг>

Пусть теперь (рис. 31,6) оси новой системы (л/, у- zf) обра- (月，У，%) углы, косинусы которых

力

У

2

(И)

(12)

(13)

У，

(21)

(22)

(23)

2，

(31)

(32)

(33)

力

У

2

(И)

(12)

(13)

У，

(21)

(22)

(23)

2，

(31)

(32)

(33)

Тогда, в случае прямоугольности систем (%, у, z) и (л/, у', z‘)，эти косинусы связаны шестью условиями ортогональности:

(al) (₽ 1)4- (a2) (р2) + (a3)(р3) = 0;а ¥= Р. 1

(а1)2 + (а2> + (аЗ)2= 1(а= 1, 2, 3). J (93)

Если системы (月，у, %) и (%', у', z‘) имеют общее начало, то формулы преобразования координат имеют вид

/ = (")月+(12)y+(13)z,

У = (21) % + (22) у + (23) z,(94)

父= (31)x+(32)y+(33)z・.

Найдем теперь формулы преобразования проекций вектора а. Обозначая единичные векторы, соответствующие направлениям осей

систем (月，у, z) и (л/, у', n‘)，через », /,论 н Г, /,版 соответственно, имеем, согласно формуле (39),

ах = q • У = (a#f + Oy/十。乞右)• Z‘ = а$ •，+ ayj •，+ azk - f.

Принимая во внимание, что

г - tz = (11), j • ^ = (12),论・，=(13), получим:

a*, = (11) a* + (12) Oy+ (13) az.

Аналогично, составляя выражения для проекций 〃旷 и a^, найдем следующие три формулы преобразования проекций вектора:

ах, =а ■ Г = (11)аЛ.-|-(12)ау4-(13)аг, ■

〃у，= a • _/'= (21) а*+(22) % + (23)/，■(95)

a〃 =Q."(3—(32)ay + (33)az.

Отсюда видим, что формулы преобразования для проекций вектора те же, что и для координат, с той лишь существенной разницей, что формулы (94) имеют место в случае, когда начало координат у систем (х, у, z) и (%- у- z) является общим, а для формул (95) это ограничение отсутствует.

Классификация векторов. В зависимости от свойств физических величин, изображаемых векторами, векторы разделяются на:

свободные (или несвязанные),

скользящие (или связанные с прямой, вдоль которой направлен вектор),

неподвижные или приложенные (связанные с точкой своего приложения).

Свободный вектор изображает такую векторную величину, которая может быть отнесена к любой точке пространства, не теряя при этом своего первоначального физического смысла, т. е.

всякие два равных вектора в этом случае могут представлять ту же самую физическую величину. Так, например, скорость поступательного движения тела (рис. 32) есть свободный вектор, потому что она может быть отнесена к любой точке. Свободный вектор определяется тремя числами (своими проекциями a尤，〃у и 仪之).

Скользящий вектор изображает такую величину, которая, не теряя своего первоначального физического смысла, может быть отнесена к любой из точек, лежащих на прямой DE, вдоль которой направлен вектор, т. е. одну и ту же физическую величину могут в этом случае представлять только те векторы, которые одновременно равны друг другу и направлены вдоль одной и той же прямой; эту прямую, на которой лежит вектор, называют основанием или

линией действия вектора. Примером скользящего вектора может служить сила, приложенная к абсолютно твердому телу, или угловая скорость (рис. 33).

Геометрически скользящий вектор определяется: 1) прямой, на которой он лежит (основанием вектора), 2) длиной отрезка, изобра* жающего вектор, 3) стороной или направле- $нием действия (это направление обозначается / стрелкой на конце вектора). Аналитически а/ скользящий вектор определяется пятью чис- лами, например тремя проекциями 。尤，ау> az у^^^ вектора а и координатами хР 山 точки пересе- /^勿卷^чения прямой, вдоль которой направлен этот

/^\^^Ж^ вектор, с плоскостью 0%у.

faJ^^^/Неподвижный вектор изображает такую

Л^<^^/физическую величину, которая может быть отне-

сена лишь к одной определенной точке про- £странства и теряет свое первоначальное физи

ческое значение, будучи отнесена ко всякой Рис 33другой точке пространства. Так, скорость дви

жущейся точки представляет собой вектор, связанный с этой точкой. Неподвижный вектор, таким образом, определяется шестью числами: тремя проекциями вектора и тремя координатами точки приложения.

При операциях сложения, умножения и дифференцирования скользящие и неподвижные векторы рассматриваются как свободные.

Другая классификация векторов основана на том существенном

различии между ними, что направление одних определяется непо

направления вращения,направления вращения,средственно по физическому смыслу величин, которые этими векторами изображаются (например, сила, скорость)^ тогда как другие имеют условное направление, которое физическим смыслом изображаемых ими величин определяется лишь косвенно (например, угловая скорость, момент). Первые векторы называются полярными, а вторые ——аксиальными или осевыми.

направления вращения,

направления вращения,

тора зависит от выборатора зависит от выбораположительногоположительногоВыбор направления аксиального век-

тора зависит от выбора

тора зависит от выбора

положительного

положительного

другими словами, от выбора правой или

левой системы координат (см., например, определение векторного

произведения в п. 8 и рис. 19). Переход же от правой системы к левой (или обратно) может быть совершен простой заменой положительных направлений осей на отрицательные. Действительно, правая система 0月"(рис. 34) при замене положительных напра-

§ 3] ВЕКТОРЫ 45 влений осей на отрицательные образует показанную пунктиром левую систему координат Ол/y'z', которая никакими поворотами не может быть совмещена с правой.

Заметив это, легко сообразить, что проекции полярного вектора, сохраняющего свою ориентацию в пространстве, при замене осей на прямо противоположные изменяют свой знак, тогда как проекции осевых векторов, меняющих при этом свое направление также на противоположное, должны будут его сохранить. На основании этого можно дать другое определение полярных и аксиальных векторов. Полярным вектором называется такой ее^/пор, проекции которого при изменении направления координатных осей на прямо противоположные меняют свой знак. Аксиальным вектором называется такой вектор、 проекции которого при изменении направления координатных осей на прямо противоположные не меняют своего знака.

РАЗДЕЛ I

КИНЕМАТИКА

ГЛАВА ВТОРАЯ

КИНЕМАТИКА ТОЧКИ

§ 4. Введение в кинематику

Основные понятия. Кинематика есть раздел механики, посвященный изучению движения тел с геометрической точки зрения, без учета причин, вызывающих изменение этого движения, т. е. сил. От геометрии кинематика отличается, по существу, тем, что при рассмотрении перемещений тел (или соответствующих геометрических образов) в пространстве принимается во внимание еще и время перемещения. Поэтому кинематику иногда называют «геометрией четырех измерений», понимая под четвертым измерением время. Такое представление оказалось плодотворным в теории относительности, где при изучении движения учитывается взаимосвязь пространства и времени друг с другом и с движущейся материей (мир по терминологии Г. Минковского рассматривается как пространственно-временное многообразие четырех измерений, а событие — как точка этого многообразия).

В механике Ньютона метрические свойства пространства считаются не зависящими от движущейся в нем материи и оно рассматривается как трехмерное евклидовр пространство, однородное и изотропное по всем направлениям. Время в механике Ньютона также считается не связанным с движущейся материей, т. е. абсолютным, протекающим одинаково во всех точках пространства, на любых, как угодно движущихся друг относительно друга в пространстве телах.

Трехмерное евклидово пространство и абсолютное время отражают реальные свойства пространства и времени лишь приближенно; но это приблин<ение дает вполне достаточную для практики точность при изучении движений, рассматриваемых в механике Ньютона, т. е. движений со скоростями, малыми по сравнению со скоростью света.

Для измерений в пространстве выбирается некоторая единица длины, устанавливаемая по общему соглашению. В СССР, как и в большинстве других стран, такой единицей является метр (м)・

Измерение времени основано на его арифметизации, т. е. на установлении соответствия между последовательными моментами времени и множеством действительных чисел. Осуществляется измерение времени при помощи часов в широком смысле этого слова, т. е. при помощи какого-либо периодического процесса (процесса, многократно повторяющегося через промежутки времени, которые на основании опыта и наблюдений можно считать равными).

Обыкновенно для измерения времени используются периодические астрономические явления—вращение Земли вокруг ее оси или же движение Земли вокруг Солнца. За единицу времени принимается секунда (сел:).

Арифметизированное время представляет собой непрерывную последовательность одного измерения и графически может быть изо* бражено бесконечной прямой, называемой прямой или осью времен} последовательность точек на этой прямой соответствует последовательности момен^ , 不 тов времени.°

Отсчет времени ведется от неко-Рис. 35.

торого начального момента (/ = 0), или начала отсчета времени, о выборе которого каждый раз уславливаются. На оси времен начальному моменту соответствуем начальная точка О (рис. 35). Подобно тому как отрезок прямой определяет расстояние между двумя точками, так и отрезок на оси времен изображает «расстояние» между двумя моментами времени, т. е. промежуток времени. Далее, как и в геометрии, положение всякой точки Т на оси времен определяется ее расстоянием ОТ от начальной точки О; иначе говоря, любой момент времени t определяется промежутком времени, протекшим до него от начального момента (величину t— ОТ можно рассматривать как《координату》 момента времени). Наконец, подобно тому как координаты точек геометрической прямой имеют различные знаки в противоположных направлениях от начала, так и «координатам» моментов времени t можно придать тот или иной знак, в зависимости от того, предшествуют ли соответствующие моменты началу отсчета времени или следуют за ним. Отрицательные времена (—f) отвечают представлению 《раньте》начального момента, а положительные (+才)一представлению «позже》начального момента.

Всякое тело, движение которого изучается в механике, мы можем мыслить состоящим из очень большого числа материальных частиц ничтожно малых размеров, характер связи между которыми зависит от свойств данного тела. Эти частицы называют материальными точками. Любое тело, таким образом, представляет собой систему {совокупность) материальных точек,

В кинематике, где движение изучается с геометрической точки зрения, масса материальной точки во внимание не принимается и

поэтому материальная точка рассматривается просто как точка гео метрическая.

Неизменяемой системой называется система материальных точек» в которой расстояние между двумя любыми точками постоянно. При непрерывном распределении масс такая система дает идеальный образ твердого тела и называется абсолютно твердым телом* Абсолютно твердых тел* ни при каких условиях не изменяющих свою форму, в природе не существует. Однако во многих случаях при изучении двинсения реальных твердых тел их деформациями можно практически пренебречь и рассматривать эти тела как абсолютно твердые, что существенно упрощает все расчеты. Реальные твердые тела, способные деформироваться, а также тела жидкие и газообразные представляют собой изменяемые системы материальных точек.

Система отсчета. Относительность понятий движение и покой. Положение тела (или геометрического образа) в пространстве может быть определено только относительно произвольно выбранного другого неизменяемого тела, называемого телом или системой отсчета. Для определения положения рассматриваемого объекта с телом отсчета неподвижно связывают какую-нибудь (декартову или иную) систему координат (систему ориентировки). Обычно такую систему координат и рассматривают как систему отсчета; по существу, она представляет собой математическую абстракцию материального тела отсчета, которое можно себе представить неподвижно скрепленным с этой системой координат.

Экспериментально перемещение всякого тела устанавливается именно относительно тел отсчета. Полное отсутствие практической возможности установить какое-либо абсолютное («неподвижное») тело отсчета приводит к необходимости пользоваться относительными системами отсчета. Однако в каждом конкретном случае движение рассматривается по отношению к определенной системе отсчета, которая называется основной и должна быть точно указана.

Если положение тела (или геометрического образа) относительно выбранной системы отсчета со временем не изменяется, то мы говорим, что это тело (или геометрический образ) покоится относительно данной системы отсчета; если же тело (или геометрический образ) изменяет свое положение относительно выбранной системы отсчета, то мы говорим, что это тело, (или геометрический образ) относительно данной системы отсчета движется. Таким образом, понятия «движения» и 《покоя» являются по существу своему относительными и имеют смысл только тогда, когда указана система отсчета» относительно которой рассматривается положение тела* Более того, одно и то же движение носит совершенно различный характер, смотря по тому, к какой системе отсчета это движение будет отнесено.

Траектория. Движение по существу своему непрерывно. Поэтому точки пространства, в которых последовательно находится любая

движущаяся точка, представляют собой непрерывное многообразие одного измерения и, следовательно, образуют непрерывную кривую. Эта непрерывная кривая, описываемая точкой при ее движении, называется траекторией точки.

Термин происходит от латинского слова trajicio («перебрасываю») и первоначально обозначал путь артиллерийского снаряда, а потом стал употребляться в более широком смысле. В астрономии траектория часто называется орбитой.

Согласно определенг<ю, траектория есть непрерывная, плоская или пространственная кривая, к которой можно провести в каждой ее точке только одну касательную, за исключением, может быть, некоторого конечного числа особых точек.

Покой и движение точки, как и всякого другого геометрического образа, определяются только относительно выбранной системы отсчета. Поэтому и вид траектории точки зависит от той системы отсчета, к которой отнесено движение. Так» например( камень, брошенный вертикально вверх с палубы поступательно и равномерно движущегося парохода, будет относительно наблюдателя, находящегося на пароходе, двигаться прямолинейно, а относительно наблюдателя, стоящего на берегу, т. е. связанного с Землей, — по параболе, и т. д.

Задачи кинематики. Движение тела (или геометрического образа) по отношению к выбранной системе отсчета будет известно, если можно определить его положение относительно этой системы отсчета в любой произвольный момент времени.

Положение точки или тела относительно данной системы отсчета определяется соответствующими параметрами (координатами), а движение (или закон движения)——уравнениями, выражающими эти параметры, как функции времени.

Установление тех способов, с помощью которых может быть задано движение точек или тел по отношению к выбранной системе отсчета, является одной из задач кинематики. Основная задача кинематики состоит в том, чтобы по уравнениям, определяющим закон движения данной системы точек (тела), найти все кинематические характеристики этого движения (траектории различных точек, их скорости, ускорения и др.).

Движение любой системы точек относительно данной системы отсчета будет известно, если известно движение каждой точки относительно той же системы отсчета; следовательно, изучению движения системы точек должно предшествовать изучение движения одной точки. Поэтому кинематика распадается на два отдела: кинематику точки и кинематику системы.

Способы задания движения точки. Определить (или задать) движение точки — значит определить (задать) ее положение относительно выбранной системы отсчета в любой момент времени. Это делается одним из следующих способов.

4 Н* Н. Бухгольц

а) Естественный способ определения движения точки требует задания ее mpaetcmopuu относительно выбранной системы отсчета xyz (рис. 36). На траектории следует задать начало и положительное направление отсчета расстояний s — ОМ\ расстояние s от начала отсчета О до точки 附，измеренное вдоль дуги траектории и взятое с соответствующим знаком, будет однозначно определять zположение точки М на траектории,

а следовательно, и в системе отсчета xyz. Далее должно быть указано начало отсчета времени (начальный мо-

У/Zмент t = 0). Тогда движение точки

^^^будет определено, если для каждого

момента времени t будет известна ве- личина s, указывающая положение точки, т. е. если будет дана зависи- 七мость

Рис. 36.$ = /©•(1)

Равенство (1) называется законом движения (или конечным уравнением движения) точки.

Таким образом, при естественном способе определения движения точки должны быть заданы: 1) траектория точки; 2) начало отсчета расстояний на траектории с указанием положительного на-

Рис. 37,Рис. 37,правления отсчета и начальный момент времени; 3) закон движения точки вдоль траектории в виде s = /(/)•

Рис. 37,

Рис. 37,

По самой природе движения функция /«) должна быть:

однозначной, ибо в один и тот же момент времени движущаяся точка не может находиться в двух различных точках пространства;

непрерывной, ибо движение

непрерывно и поэтому каждому бесконечно малому изменению / соответствует бесконечно малое изменение s;

дифференцируемой, т. е. должна допускать производную. Необходимость этого требования будет вполне очевидна из рассмотрения основных положений кинематики и динамики.

Если s = c — const, то это означает, что точка относительно данной системы отсчета находится в покое.

Закон движения точки может быть задан не только аналитически, но и графически (рис. 37), т. е. в виде кривой, дающей зависимость между s к 力 Это графическое изображение закона движения со-

кращенно называют графиком движения. Кривую графика движения не следует смешивать с траекторией движения; траектория может бнть, например, прямой, а закон движения вдоль этой прямой может быть каким угодно, т. е. график движения может быть выражен любой кривой.

Координатный способ определения движения точки состоит в том, что даются: 1) какая-либо система координат (система ориентировки), связанная с телом отсчета， и 2) координаты движущейся точки, как функции времени.

Положение точки в пространстве трех измерений определяется трема числами 夕】，夕2，9з，которые вообще называются криволинейными координатами точки. Следовательно, закон движения точки будет в общем случае задаваться уравнениями

%：=9[(/),先==0?0，93 =03(")* (2)

Здесь, как и в равенстве (1), все функции должны быть однозначными, непрерывными и дифференцируемыми.

Чаще всего для определения положения точки используется прямоугольная декартова система координат ху^. В этой системе координат движение точки задается в виде

(3)(3)月=月&), у = Уа), Z = z (0«

(3)

(3)

Каждое из трех уравнений (3), взятое отдельно* определяет закон движения проекции точки на соответствующую ось; поэтому можно считать, что при этом способе задания исследуемое движение разлагается по направлениям осей координат и представляется как совокупность трех движений вдоль этих взаимно перпендикулярных осей.

Уравнения (3) представляют собой, с одной стороны, закон движения точки, так как позволяют для каждого момента времени t определить %, у н 2, а следовательно, и положение точки М; с другой стороны, эти уравнения являются уравнениями mраекто- рай точки 6 параметрической форме, причем роль параметра играет время t. Исключая из уравнений (3) параметр 九 получим одну из следующих систем двух уравнений:

①(％, у) —0,( %(%, 2) = 0 /①(％, у) —0,( %(%, 2) = 0 /“(у, 2) = 0,<р(х, у) = 0“(у, 2) = 0,<р(х, у) = 0%(К, 2) = 0, 巾(у, z) = 0%(К, 2) = 0, 巾(у, z) = 0(4)(4)

①(％, у) —0,( %(%, 2) = 0 /

①(％, у) —0,( %(%, 2) = 0 /

“(у, 2) = 0,

<р(х, у) = 0

“(у, 2) = 0,

<р(х, у) = 0

%(К, 2) = 0, 巾(у, z) = 0

%(К, 2) = 0, 巾(у, z) = 0

(4)

(4)

каждая из этих систем представляет траекторию точки как пересечение двух цилиндрических поверхностей, образующие которых параллельны осям координат (рис. 38), Если № а, у =匕，N = % где а,力 н с ——постоянные, то точка 附 относительно системы отсчета xyz находится в покое.

Кроме декартовой, в механике для изучения движения точки используются и другие системы координат, в частности сферические и цилиндрические, которые будут рассмотрены ниже (см. стр. 83).

Рис. 38.Рис. 38.FxL(f)= х«) $ + у (/) /FxL(f)= х«) $ + у (/) /(8>(8>

Рис. 38.

Рис. 38.

FxL(f)= х«) $ + у (/) /

FxL(f)= х«) $ + у (/) /

(8>

(8>

Векторный способ определения движения точки основан на задании ее положения радиусом-вектором г, проведенным из начала О выбранной системы ориентировки (см. рис. 38). Так как

то в векторной форме закон движения точки представится в виде

(5)(5)，=，«)=* «)»+у (/)/ + ?(/)瓦

(5)

(5)

Траекторией точки при векторном задании движения будет годограф радиуса-вектора г (см. стр. 38).

В случае плоского движения, т. е. когда траектория есть плоская кривая, вакон движения точки относительно какой-либо системы

координат, расположенной в плоскости движения, выразится только двумя уравнениями.

В частности, в случае плоской декартовой системы координат (лгу) будем иметь:

х — х (/), у = у (£),(6)

а в случае плоской полярной системы координат (г, ф) (см. рис. 53)

Г— г (f), ф = ф (0，(7)

где г ——полярный радиус.

Векторное выражение закона плоского движения будет

Исключая f в системах (6) или (7), получим уравнения траектории плоского движения в декартовых координатах

или в полярныхили в полярных/(х, у) = 0Ф(г, ф) = 0./(х, у) = 0Ф(г, ф) = 0.(9)(Ю)(9)(Ю)

или в полярных

или в полярных

/(х, у) = 0

Ф(г, ф) = 0.

/(х, у) = 0

Ф(г, ф) = 0.

(9)

(Ю)

(9)

(Ю)

По характеру траектории движение точки может быть прямолинейным и криволинейным, причем эти свойства траектории» конечно, зависят от выбора системы отсчета. Движение， прямолинейное относительно одной системы отсчета, может быть криволинейным относительно другой, и наоборот.

§ 5. Прямолинейное движение точки

Закон прямолинейного движения. Прямолинейным называется такое движение точки, при котором ее траектория относительно выбранной системы отсчета есть прямая линия. Положение точки на прямой определяется координатой % (рис. 39), которая представляет

собой расстояние движущейся точки Ж от произвольно выбранного начала О, и берется с положительным или отрицательным знаком в зависимости от направления отрезка 0附；величина ОМ = х есть, следовательно, величина алгебраическая. Когда точка М движется прямолинейно, то закон движения

ее выражается уравнением “ 修 丝

X—f (£)・ (1) 力二庐П 芯

Если х по абсолютной величине воз- Рис. 39.

растает, то точка М удаляется от на

чала О и движение называется прямым, в противном случае —— возвратным. Если 月=/&) за все время движения на некотором интервале времени только убывает или только возрастает, то прямолинейное движение на этом интервале называется монотонным. Если 月 от времени не зависит, то точка М не изменяет своего расстояния от начала О и, следовательно, находится в покое относительно данной системы отсчета. (По существу, положение точки М определяется вектором ОМ\ но так как все векторы ом при прямолинейном движении коллинеарны и различаются между собой, кроме длины, только стороной, куда они направлены, т. е. знаком, то в этом случае положение точки М можно определять алгебраической- величиной ОМ.)

Пусть точка М движется по прямой 0月 (см. рис. 39) и в момент времени 介 находится в положении 附口 а в момент 片——в положении 附2・ Вектор 附]附2，имеющий начало в начальном положении точки, а конец—в конечном, называется перемещением точки М за промежуток времени /2——厶. Необходимо различать между собой понятия «перемещение» и 《путь》： точка М может прийти из положения Л!】в положение М2, пройдя разные пути (например,, путь МЛГ兩2)，тогда как перемещение ее будет одно и то же, t. e.附1附2，

В случае прямолинейного движения векторы перемещений точек будут коллинеарны, и мы их можем тоже рассматривать как алгебраические величины. Понятия «перемещением и 《путь» совпадают только в том случае, если движение прямолинейно и монотонно.

Скорость в прямолинейном движении. Пусть точка движется по прямой 0月 и в момент - времени / положение точки определяется координатой %, а в момент ，一координатой л/. Тогда за промежуток времени Af =，一力 точка совершает перемещение Дх = xz — х. Отношение перемещения точки к соответствующему промежутку времени, т. е. величина

называется средней скоростью движения точки за этот промежуток времени.

Если уменьшать промежуток времени А/, устремляя его к нулю, го в пределе средняя скорость дает величину, называемую скоростью точки в момент времени /, т. е.

u=丿^н или 0 =而=/(》u=丿^н или 0 =而=/(》(3)(3)

u=丿^н или 0 =而=/(》

u=丿^н или 0 =而=/(》

(3)

(3)

Таким образом, скорость точки в данный момент времени равна первой производной от расстояния по времени.

Легко убедиться, что если на данном участке пути скорость dx

и=-^~ и координата 月 имеют одинаковые знаки, то точка удаляется от начала О и ее движение на этом участке является прямым; если же V и х имеют разные знаки, то точка приближается к началу О и ее движение будет возвратным.

Скорость может обращаться в нуль в двух существенно разных случаях: 1) Если * = -^=0 в какой-либо момент времени, то 月 в этот момент имеет стационарное значение. При этом если, в частности, 月 имеет максимум или минимум, то скорость *, переходя через нуль, меняет знак и происходит изменение движения с прямого на возвратное или наоборот. 2) Если。= 0 в течение какого-то промежутка времени, то в течение этого промежутка х = const и точка находится в покое (говорить в первом случае, что «точка находится в покое в данный момент времени», бессмысленно, так как понятия «движение» и «покой» не могут быть отнесены к моменту времени).

Скорость, как частное от деления двух именованных величин, ■есть величина нового наименования; ее размерность

г . длина L丄 J время Т

Единицами измерения скорости обычно служат см/сек, м/сек или км/час.

dx.,,-^ = f0 и ах = Vq df.dx.,,-^ = f0 и ах = Vq df.Если 1V = *о = const, т. е. если скорость точки постоянна, то движение называется равномерным. Найдем закон этого движения. Имеем:

dx.,,

-^ = f0 и ах = Vq df.

dx.,,

-^ = f0 и ах = Vq df.

Интегрируя это выражение, получим закон прямолинейного равномерного движения точки:

⑷⑷月=月0十%我

⑷

⑷

В этом случае расстояние есть линейная функция времени. Постоянная величина 月。в равенстве (4) представляет собой координату точки в начальный момент / = 0, или начальное расстояние.

Ускорение прямолинейного движения. В общем случае скорость прямолинейного движения является функцией времени. Допустим, что в момент t точка имеет скорость и, а в момент，一 скорость и'; тогда Аи = и‘ 一и есть приращение скорости за промежуток времени Af =，一 t.

Отношение приращения скорости к соответствующему промежутку времени, т. е. величина

(5)(5)一 u

(5)

(5)

吻=7二Г = 2Г，

называется средним ускорением точки за этот промежуток времени. Если уменьшать промежуток времени А/ до нуля, то среднее ускорение в пределе становится величиной, называемой ускорением точки в момент времени G т. е.

(6)(7〉(6)(7〉侬=lim =А£今0А力dt

(6)

(7〉

(6)

(7〉

или, учитывая равенство (3), dvd2x

dt或 2 •

Таким образом, ускорение точки в данный момент времени равняется первой производной от скорости или второй производной от расстояния по времени.

Ускорение получается из выражения и(£) так же, как скорость из выражения х(^), и есть как бы скорость второго порядка. Размерность ускорения будет:

I 1 — скорость — расстояние — Z. 丄」— время — время • время 一*

Единицами измерения ускорения обычно служат см/сек2 или м/сек2. Движение, ускорение которого, постоянно, носит название равно

мерно переменного. Найдем закон этого движения. Пусть w — а = =const; тогда

dv, 一

= а и du = a dt.

Интегрируя это равенство, получим:

u=% + 位，(8)

где постоянная т0 есть скорость точки в момент 方=0, т. е. начальная скорость точки. Подставляя, далее, в равенство (8) и =祭^

и интегрируя затем получившееся равенство, найдем закон равномерно переменного прямолинейного движения точки

* = g + "(/ + 与-，(9)

где л:。есть начальное расстояние точки (расстояние в момент £=0).

Заметим, что при равномерно переменном движении расстояние есть функция второй, а скорость ——первой степени относительно времен^.

Если скорость по абсолютной величине возрастает, то движение называется ускоренным, а если убывает, то замедленным^

При и > 0 движение будет ускоренным, если 需 =w > 0, и замедленным, если — w < 0； при т < 0 — наоборот. Следовательно, если ускорение будет иметь тот же знак, что и скорость, то движение будет ускоренным, а если противоположный, то замедленным.

Скорость и ускорение, как известно, являются величинами векторными. Но в случае прямолинейного движения эти векторы направлены вдоль траектории (коллинеарны) и, кроме модулей, отличаются лишь знаками; поэтому они рассматриваются как величины алгебраические 1)・

Графическое представление закона движения. Закон прямолинейного движения может быть изображен графически. Возьмем систему прямоугольных декартовых координат на плоскости и будем откладывать по оси абсцисс промежутки времени Л а по оси ординат——соответствующие расстояния х. Тогда закон движения изобразится кривой, исследование которой позволит определить все свойства данного движения. Эта кривая называется, как указывалось, графиком движения или графиком расстояния-

Чтобы получить графически среднюю скорость движения

中一А/

для промежутка времени А/ =，一九 достаточно провести секущую через точки графика, соответствующие моментам inf (рис. 40);

1) По существу, алгебраические величины ина представляют собой проекции векторов г» и w на ось 光，т. е. 0 =勿玄 恻=叫“ Однако здесь и всюду далее проекцию любого вектора а, коллинеарного оси /, на эту ось мы будем (как и модуль) обозначать символом “(同=“)？ называть, в отличие от модуля, численной или алгебраической величиной вектора а. Так как численная величина вектора может отличаться от его модуля только Знаком, то это совпадение обозначений обычно несущественно. В случаях же, когда могут возникнуть недоразумения, модуль вектора будет обозначаться •символом I и 1.

тогда искомая скорость выразится тангенсом угла наклона секущей к оси времен, ибо с точностью до масштабного коэффициента

дГдГ=tg а*.=tg а*.

дГ

дГ

=tg а*.

=tg а*.

Для построения средней скорости откладываем на оси времен отрезок 。尸，равный по масштабу 1 сек., и проводим через точку 尸 прямую 尸7, параллельную секущей; тогда отрезок ОТ, измеренный в масштабе длин, даст среднюю скорость в единицах скорости (например, в см/сек).

Скорость точки в какой-либо момент времени 育 т. е. величина V — -^-, выразится на графике движения тангенсом угла а, который

образует с осью абсцисс касательная к кривой в точке 附，соответствующей этому моменту. Ее построение выполняется так же, как и построение средней скорости и* (рис. 41). Расположение кривой расстояний относительно оси времен определяет характер изменения

Рис. 42.Рис. 42.

Рис. 42.

Рис. 42.

скорости. Из рис. 42, а и б видно, что выпуклость кривой по отношению к оси t (угол а, а следовательно, и его тангенс со временем возрастают) соответствует ускоренному, а вогнутость (тангенс убывает)— замедленному движению.

Скорость как функция времени может быть также представлена некоторой кривой, называемой графиком скорости

Пользуясь аналогией, отмеченной в п. 3, находим, что графическое построение среднего и истинного ускорений по кривой скоростей может быть выполнено так же, как и построение скорости по графику расстояний. Из рисунков видно, что с точностью до масштабного коэффициента ^* — tg р* (рис. 43, а) и ® = tgp (рис. 43,6).

Рис. 43.Рис. 43.

Рис. 43.

Рис. 43.

кривой скорости, ординатами, промежутка времени» и осьюкривой скорости, ординатами, промежутка времени» и осью

кривой скорости, ординатами, промежутка времени» и осью

кривой скорости, ординатами, промежутка времени» и осью

Путь б】?， пройденный точкой за данный промежуток времени 力2——厶，изобразится на графике скорости площадью, ограниченной

соответствующими началу и концу времен, т. е. площадью /бС%% (рис. 44), где обе заштрихованные части берутся со знаком плюс, так как

S12 = / \ v\dt

прямая, тангенс угла наклона которой к оси времен определяет

величину ускорения в данном движении.

Гармоническое колебание. Одним из часто встречающихся

в приложениях случаев прямолинейного движения является гармо*

х = a sinco^х = a sinco^(10)(10)ническое колебательное движение, закон которого дается уравнением

х = a sinco^

х = a sinco^

(10)

(10)

Скорость точки при гармоническом колебании будет:

V = -^- = 0(0 cos со/, (11) а ускорение

吻=靄~ = — a(o2sin(i)^ = — to2%.(12)

Величина а есть наибольшее отклонение движущейся точки от начала отсчета О и называется амплитудой колебаний (рис. 46); точка О называется центром колебаний, а промежуток времени,

в течение вращается с той жев течение вращается с той жекоторого точка воз- в прежнее положение скоростью, — периодом

в течение вращается с той же

в течение вращается с той же

Рис. 46.Рис. 46.•о

Рис. 46.

Рис. 46.

колебаний (Г). Период определяется из условий [см. формулы (10) и (И)]：

sin(o(^-J- Т) = sinw^ и cos 5« + 丁)= cos со力， откуда

со7 = 2п и 7 = ^.(13>

Величина, обратная периоду, т. е.

о

называется частотой колебаний. Аргумент синуса (о^ называется фазой колебаний. Величина (о = 2nv называется циклической или круговой частотой колебаний. Кривой расстояний этого движения является синусоида (рис. 47), кривой скоростей—косинусоида, а кривой ускорений ——также синусоида, но сдвинутая по фазе относительно

графика движения на л. Как видно из формулы (12), ускорение гармонического движения точки пропорционально ее отклонению от центра колебаний.

В общем случае закон гармонических колебаний дается уравнением х — a sin (to^ + а), где величина а является начальной фазой колебаний (фазой в момент 方= 0). В частности» при а=0 получаем закон (10); при а=£ закон движения будет х == a cos

6・ Примеры. При решении задач кинематики точки необходимо, как правило, вначале установить по данным задачи закон, которым определяется рассматриваемое движение. После этого все искомые характеристики движения находятся по формулам, полученным в этом параграфе.

Тело, брошенное вертикально вверх с поверхности Земли, падает обратно на Землю через Т сек после начала движения. Найтн, на какую наибольшую высоту Н поднялось тело, если его ускорение во все время движения направлено по вертикали вниз и равно постоянной величине g (пример соответствует случаю, когда сопротивлением воздуха можно пренебречь; g здесь ускорение силы тяжести).

Пренебрегая размерами тела, будем рассматривать его как точку. Так как по условиям ускорение g= const, то движение будет равномерно переменным. Считая ось Ох направленной

вертикально вверх (начало отсчета О

、в точке бросания) и учитывая, что

夕、/^^^^ускорение £ направлено вниз, будем

\ /\иметь закон движения в виде

4-^ х = -等，(а)

Д \"/г"。5 — неизвестная нам начальная

\/ скорость, полученная телом при бро-

\\<сании. В момент падения х = 0, а

^ = Г. Подставляя эти величины в /уравнение (а), находим:

Рис. 48.Рис. 48.⑹⑹

Рис. 48.

Рис. 48.

⑹

⑹

искомую высоту подъемаискомую высоту подъема炉8炉8Скорость в этом движении меняется по закону v = л = v0 ——g厶 В наивысшей точке V = 0; следовательно, время подъема Подставляя это значение 介 и величину и。 из равенства (б) в уравнение (а), найдем

искомую высоту подъема

искомую высоту подъема

炉8

炉8

На неподвижную проволочную окружность радиуса R (рис. 48) надето колечко М, Через колечко одновременно проходит стержень АВ, вращающийся вокруг оси О так, что угол DOB ==① растет пропорционально времени по закону ф = оЛ где s — заданная постоянная величина (такое вращение называется равномерным). Определить скорость и ускорение движения ^колечка М вдоль стержня.

Так как необходимо определить движение колечка относительно стержня, то основную систему отсчета Оху связываем со стержнем, направляя ось Ох вдоль стержня. Движение колечка в этой системе отсчета будет прямолинейным (вдоль оси Ох). Для решения задачи надо сначала определить закон этого движения, т. е. зависимость 尤==ОМ от времени t Из рисунка видно, что ОМ — 2R cos <р. Следовательно, закон движения будет:

尤2R cos①力

Отсюда видно, что колечко совершает вдоль стержня гармоническое колебание с амплитудой 2R. Скорость и ускорение этого движения будут [ср. с формулами (11) и (12)]:

3. щнх с жимая тоже3. щнх с жимая тожеи =а % «в — 2Rco sin ①力 w =^x ^ — 2R0)2 cos ©^ = — ®2x.

3. щнх с жимая тоже

3. щнх с жимая тоже

Ползун А движется из положения D вдоль вертикальных направляю- постоянной скоростью « (рнс. 49). Прикрепленная к ползуну нерастя- нить перекинута через блок。и несет на конце груз 瓦 который перемещается вертикально. Расстояние блока О от вертикали AD равно а. Прене-

брегая размерами блока» найтн скорость и ускорение груза В как функцию пути s, проходимого ползуном Л.

на нити)на нити)(Z — л)3 — s34- а3.(Z — л)3 — s34- а3.Движение рассматривается относительно системы отсчета Оху. Закон движения груза 6 будет известен, если будет установлена зависимость между расстоянием ОВ = х и DA = s* так как по данным задачи 用=и£ Эта зависимость дается равенством (Z — длн-

на нити)

на нити)

(Z — л)3 — s34- а3.

(Z — л)3 — s34- а3.

Дифференцируя это равенство два раза по времени, будем иметь:

—л (/ — *) к sb == su,

—х (/ — *) + 启 в & = и2.

Отсюда, учитывая равенство (а), получаем следующие значения для скорости V = л и ускорения w^x груза В:

u =尸a ，…，,, W ' 亠一 一-

1S2 +。2了S+涯尸

Знаки показывают, что груз движется вверх и притом ускоренно (перед корнем берется знак плюс, так как I—х > 0).

Криволинейное движение точки

Закон движения. Если траектория движущейся точки относительно выбранной системы отсчета есть кривая линия, то движение называется криволинейным.

Положение точки в данной системе отсчета определяется радиусом- вектором г(х» у, /% имеющим начало в начале координат (рис. 50).

При движении точки радиус-вектор меняется (в общем случае и по модулю и по направлению) как функция времени. Закон криволиней

Рис. 50. нат, или закон движенияРис. 50. нат, или закон движенияного движения точки выражается векторным уравнением

Рис. 50. нат, или закон движения

Рис. 50. нат, или закон движения

r=f[t\(1)

которое равносильно трем скалярным уравнениям:

% = /1«)‘

У =%(£)‘(2>

представляющим собой законы движения проекций точки по осям коорди- точки в осях прямоугольных декартовых

координат.

Если г = const, то точка находится относительно данной системы

отсчета в покое. Если 尸 изменяется в зависимости от времени, точка будет двигаться, описывая траекторию, которая явится годографом вектора г. Равенства (2) представляют собой одновременно уравнения траектории в параметрической форме.

Скорость в криволинейном движении. Пусть в некоторый момент времени / положение точки М (рис. 51) определяется радиу

сом-вектором г, а в момент £ —радиусом-вектором 尸‘=尸 + a/\ Тогда перемещение точки М за промежуток времени А/ = f — t будет:

附附‘=产—r - Ar.

Величина, равная отношению пере* мещения точки к соответствующему промежутку времени, т. е.

называется средней скоростью точки за промежуток времени А九

Следовательно, средняя скорость точки есть вектор, направленный по хорде в сторону движения (так как А方 есть скаляр).

Скорость точки в данный момент определяется как предел, к кото* рому стремится средняя скорость при Af —>0, т. е.

廿=hm廿=hmlim - илиА—0 АХlim - илиА—0 АХ

廿=hm

廿=hm

lim - или

А—0 АХ

lim - или

А—0 АХ

Таким образом, скорость точки в данный момент времени есть векторная величина, равная первой производной от радиуса-вектора точки по времени. Так как в пределе, при А£-> 0, направление вектора ~ совпадает с направлением касательной к траектории (см* рис. 51)* то скорость точки в данный момент времени направлена по касательной к ее траектории. Далее, так как \dr\ = \ds\l где ds есть элемент дуги траектории, то модуль скорости

Заметим, что равенство

определяет алгебраическую величину скорости или, иными словами, проекцию вектора © на касательную т, проведенную в точке М в сторону положительного отсчета расстояния s, т. е. в этом случае а = ит (см. подстрочное примечание на стр. 56).

Выражая г через его проекции на прямоугольные декартовы оси координат в виде

r — xi^yJ-]-~zkt

получим выражение скорости точки через ее проекции на те же оси:

Отсюда легко заключить, что проекции скорости точки на прямоугольные декартовы оси координат равны первым производным от координат точки по времени, т. е»

dx ~dtdx ~dt巧=前=%巧=前=%(8)(8)

dx ~dt

dx ~dt

巧=前=%

巧=前=%

(8)

(8)

Из этих равенств следует также, что проекция скорости точки на любую неподвижную относительно данной системы отсчета ось равна скорости проекции этой точки на ту же ось.

По общей формуле, выражающей модуль вектора через его проекции, из равенств (8) имеем:

中=Н磋 + 吗 + 吟 ИЛИ и == Н爰2 + /2 十 а(9)

Для направляющих косинусов скорости получим:

cos(^, х) = —( cos (©, у) = —, cos(©, 2)= —,(10}

где % % % н и определяются равенствами (8) и (9).

Формулы (8) — (10) позволяют вычислить скорость точки в любой момент времени, если движение задано уравнениями (2), т. е. координатным способом.

Скорость в круговом движении. Угловая скорость. Рассмотрим движение точки М по окружности радиуса R (рис. 52). Скорость точки М в этом случае будет иметь численное значение

u=^r=R 尤，u=^r=R 尤，Рис. 52.Рис. 52.так как ds= R d^. Величина

u=^r=R 尤，

u=^r=R 尤，

Рис. 52.

Рис. 52.

9 =质

(ii)(12)(ii)(12)называется угловой скоростью вращения радиуса ОМ = R (см. еще § 8, п. 2).

(ii)

(12)

(ii)

(12)

Таким образом, при круговом движении скорость точки будет:

•и = Rs.(13)

Направлена скорость по касательной к окружности, т. е. перпендикулярно к радиусу ОМ.

Разложение скорости на радиальную и трансверсальную составляющие. Представим радиус-вектор г точки в виде

(14)

где г° есть единичный вектор по направлению г. При движении точки вектор г меняется и по длине и по направлению, а следовательно, г0 и г суть некоторые функции времени. Дифференцируя равенство Q4) по 九 получим следующее выражение скорости точки:

Скорость, как видно из этого выражения, состоит из двух слагаемых. Первое из ник 寥内 имеет то же направление, что и радиус- вектор г, и характеризует изменение г по модулю. Чтобы выяснить смысл второго слагаемого, заметим, что |dr°| =d(p [см. формулу (88) на стр. 40], где 屮——угол поворота вектора г; следовательно, модуль второго слагаемого будет:

I dr。I — d(p尸 Н，

Направление этого слагаемого перпендикулярно к направлению г°, так как направление дифференциала единичного вектора перпенди-

кулярно к направлению самого вектора. Тогда

dr^~dFdr^~dF(16)(16)

dr^~dF

dr^~dF

(16)

(16)

где р° есть единичный вектор направления, перпендикулярного к г).

вектора 尸вектора 尸изменениеизменениеПусть точка дви-Пусть точка дви-Таким образом, второе слагаемое представляет по направлению. Окончательное выражение скорости будет:

вектора 尸

вектора 尸

изменение

изменение

Пусть точка дви-

Пусть точка дви-

и = %+ 安=%，。+г 鲁 р。. (17)

Первое слагаемое vr = г0 называется радиальной составляющей, а второе слагаемое 必р = /•芻 р°——щ рансве реальной (или поперечной) составляющей скорости (рис. 53).

б. Скорость точки в полярных координатах.

в полярных координатахв полярных координатахисется в плоскости и закон ее движения дан

в полярных координатах

в полярных координатах

уравнениями

尸=尸(£), ф = ф(^).(18)

Тогда (рис, 53)

v = vr-^vp = и/° + ^РР°>(19)

где, согласно (17),

% =乙% = /■欣(20)

Модуль скорости найдется из равенства B = Hq + d^ или О = )/^2+ 尸2*(21)

Этот же результат можно получить непосредственно, исходя из выражения элемента дуги 〃s в полярных координатах на плоскости. Рассматривая бесконечно малый криволинейный треугольник МХМ2Р (рис. 54), мы можем его, с точностью до бесконечно малых высшего порядка, считать за прямолинейный и прямоугольный (угол Р — прямой, так как РМХ есть дуга окружности радиуса г). Тогда по теореме Пифагора получим:

(叫他)2=Ф他)2 + (陷0)2.

Но MiM2 — dsi 尸財2 =打 и МгР = г d(p. Следовательно, ds2 = dr2 + г2 d(p2.

Отсюда, деля обе части равенства на d伊,получаем:

需計+卜舒 ⑵)

что совпадает с результатом, даваемым формулой (21).

Секторная скорость. Предположим, что точка М движется по закону:

X =х(0, у = у(£), N = N«),(23)

или, в векторной форме,

г— г (/).(24)

0Рис. 550Рис. 55Радиус-вектор точки, перемещаясь в пространстве, описывает конус, направляющей которого служит траектория точки. Обозначим величину площади ОМ0М боковой поверхности этого конуса, ограни-

0

Рис. 55

0

Рис. 55

ченной кривой и двумя радиусами- векторами Г&) и г (/), через а (рис. 55). Пусть в момент t точка находится в положении М, определяемом радиусом-вектором г(£), а в момент 力壬 At приходит в положение М\ определяемое радиу

высшего порядка) представитьвысшего порядка) представитьсом-вектором г =r(t~{- А£). Тогда, если А力 мало, то приращение площади а за промежуток времени А/ можно приближенно (с точностью до малых вектором, изображающим плоскую

высшего порядка) представить

высшего порядка) представить

площадку ОММ\ т. е. вектором, модуль которого равен половине площади параллелограмма» построенного на векторах г и А尸=尸'一г.

следовательно,

Аь q ОММ^ — ~(r X *)•Аь q ОММ^ — ~(r X *)•(25)(25)

Аь q ОММ^ — ~(r X *)•

Аь q ОММ^ — ~(r X *)•

(25)

(25)

Предел отношения приращения площади» описываемой радиусом- вектором, к соответствующему промежутку времени Af, при Aff О, называется секторной скоростью точки относительно центра О. Следовательно,

d<s

%= lim r или Pg = f

(26)

Чтобы найти выражение 必^ через вектор

обе части равенства (25) на

А/; получим:

скорости 必，разделим

尸X* 尸\/ Аг尸X* 尸\/ Аг2^а= Ит д/->оСледовательно,2^а= Ит д/->оСледовательно,(rX^ = rX^Q^rX^F = rXv-(rX^ = rX^Q^rX^F = rXv-2и° = 2 芻=г X и,2и° = 2 芻=г X и,(28)(28)

尸X* 尸\/ Аг

尸X* 尸\/ Аг

2^а= Ит д/->о

Следовательно,

2^а= Ит д/->о

Следовательно,

(rX^ = rX^Q^rX^F = rXv-

(rX^ = rX^Q^rX^F = rXv-

2и° = 2 芻=г X и,

2и° = 2 芻=г X и,

(28)

(28)

(27)

Переходя в выражении (27) к пределу при Д/->0, найдем на основании известных теорем о пределах:

т. е. удвоенная секторная скорость точки относительно не

которого центра равна моменту скорости этой точки от・

носителъно того же центра.

Из равенства (28) видно, что секторная скорость зависит от центра, относительно которого она определяется, и для каждого центра будет иметь свою величину; поэтому, задавая секторную скорость, необходимо указывать центр, относительно которого она берется.

Вычислим проекции *оа на оси координат. Для этого заметим, например, что проекция на ось Oz вектора 肃，перпендикулярного

к площадке do, равна проекции

площади этой площадки на плоскость ху, перпендикулярную к оси z, т. е. площадке du#y, разделенной на dt (рис. 56). Спроектируем теперь все части равенства

2% = 2 ~^~ = г X 力=х у z (29) х у z

на оси координат х, у> 2 с началом в центре О. Получим:

20g = 2 ~~ =(尸 X 办=% j — у 衰

(30)

Из равенств (30), дающих выражения, для проекций секторной скорости на оси координат, следует, что удвоенная секторная скорость проекции точки на какую-либо плоскость, проходящую через центр О, равна моменту скорости точки относительно оси, перпендикулярной к этой плоскости и проходящей через тот же центр О.

В случае плоского движения величина элемента площади может быть представлена через полярные координаты в виде (см. рис. 54) do = 0МгМ2 = -^ 产勿中，

следовательно, численное значение секторной скорости в полярных координатах выражается равенством

° ~ dt — 2 dt、° ~ dt — 2 dt、(31)(31)где ф есть полярный угол.7. Ускорение точки в криволинейном движении. Пусть точка, двигаясь по закону, выражаемому равенствами (1) или (2), в момент t находится в положении М и имеет скорость 0 =歹(£), а в момент £十厶/ приходит в положение 7И‘ и имеет скорость 必'= т =空(方 + 厶分(рис. 57). Построим вектор, равный 必'， в точке М- Тогда一= Аа,где ф есть полярный угол.7. Ускорение точки в криволинейном движении. Пусть точка, двигаясь по закону, выражаемому равенствами (1) или (2), в момент t находится в положении М и имеет скорость 0 =歹(£), а в момент £十厶/ приходит в положение 7И‘ и имеет скорость 必'= т =空(方 + 厶分(рис. 57). Построим вектор, равный 必'， в точке М- Тогда一= Аа,Рис. 57.Рис. 57.где А© есть приращение скорости за промежуток времени Af・ Разделив А力 на Af, получим векторгде А© есть приращение скорости за промежуток времени Af・ Разделив А力 на Af, получим вектор(32)(32)который называется средним ускорением точки закоторый называется средним ускорением точки запромежуток времени АЛ Перейдя к пределу, при А^->0, получим величину W, называемую ускорением точки в данный момент времени /:промежуток времени АЛ Перейдя к пределу, при А^->0, получим величину W, называемую ускорением точки в данный момент времени /:(33)(33)или, учитывая равенство (4),一 -^ d2rили, учитывая равенство (4),一 -^ d2r(34)(34)Таким образом, ускорение точки Е данный момент времени есть векторная величина, равная первой производной от вектора скорости или второй производной от радиуса-вектора точки по времени.Таким образом, ускорение точки Е данный момент времени есть векторная величина, равная первой производной от вектора скорости или второй производной от радиуса-вектора точки по времени.

° ~ dt — 2 dt、

° ~ dt — 2 dt、

(31)

(31)

где ф есть полярный угол.

7. Ускорение точки в криволинейном движении. Пусть точка, двигаясь по закону, выражаемому равенствами (1) или (2), в момент t находится в положении М и имеет скорость 0 =歹(£), а в момент £十厶/ приходит в положение 7И‘ и имеет скорость 必'= т =空(方 + 厶分(рис. 57). Построим вектор, равный 必'， в точке М- Тогда

一= Аа,

где ф есть полярный угол.

7. Ускорение точки в криволинейном движении. Пусть точка, двигаясь по закону, выражаемому равенствами (1) или (2), в момент t находится в положении М и имеет скорость 0 =歹(£), а в момент £十厶/ приходит в положение 7И‘ и имеет скорость 必'= т =空(方 + 厶分(рис. 57). Построим вектор, равный 必'， в точке М- Тогда

一= Аа,

Рис. 57.

Рис. 57.

где А© есть приращение скорости за промежуток времени Af・ Разделив А力 на Af, получим вектор

где А© есть приращение скорости за промежуток времени Af・ Разделив А力 на Af, получим вектор

(32)

(32)

который называется средним ускорением точки за

который называется средним ускорением точки за

промежуток времени АЛ Перейдя к пределу, при А^->0, получим величину W, называемую ускорением точки в данный момент времени /:

промежуток времени АЛ Перейдя к пределу, при А^->0, получим величину W, называемую ускорением точки в данный момент времени /:

(33)

(33)

или, учитывая равенство (4),

一 -^ d2r

или, учитывая равенство (4),

一 -^ d2r

(34)

(34)

Таким образом, ускорение точки Е данный момент времени есть векторная величина, равная первой производной от вектора скорости или второй производной от радиуса-вектора точки по времени.

Таким образом, ускорение точки Е данный момент времени есть векторная величина, равная первой производной от вектора скорости или второй производной от радиуса-вектора точки по времени.

Вектор W расположен по ту же сторону от касательной Мт

к траектории, что и векторы 加* или Ат; следовательно, он всегда направлен в сторону вогнутости траектории.

Предельное положение плоскости, проходящей через какие-нибудь три точки кривой, когда эти точки стремятся к точке М, или (что то же) предельное положение плоскости, проходящей через касательную Мт и точку ЛГ, когда эта точка стремится к М, определяет соприкасающеюся плоскость в точке М кривой. Для плоской кривой соприкасающаяся плоскость есть, очевидно, плоскость самой кривой.

Из равенства (33) следует, что вектор w будет лежать в той же плоскости, в которой в пределе лежит вектор т. е. в соприкасающейся плоскости. Таким образом, вектор ускорения w лежит в соприкасающейся плоскости и направлен в сторону вогнутости траектории.

Разложим вектор г по осям координат; тогда

г = %?+ yj+ zk.

Дифференцируя это выражение два раза по времени, получим:

d2r d2x 扌 I d2y . . d2z

Отсюда

(35)

(36)

Направляющие косинусы ускорения будут:

COS (TO, x) = — , cos (w, y) = —, cos(w, 2)== — , (37) где значения 吗，％,吗 н m даются равенствами (35) и (36).

Согласно (35), проекции ускорения точки на оси координат равны втррнм производным от координат этой точки по времени. Одновременно из формул (35) видно, что проекция ускорения точки на любую, неподвижную относительно данной системы отсчета ось, равна ускорению проекции этой точки на ту же ось.

Формулы (35)——(37) позволяют вычислить ускорение точки в любой момент времени, если движение задано координатным способом уравнениями (2).

Некоторые сведения из дифференциальной геометрии. 1) Естественный трехгранник. Предельное положение прямой, проходящей через точки М и Mf кривой, когда точка ЛГ стремится к /И, определяет касательную к кривой в данной точке М.

Перпендикуляр к касательной в точке М называется нормалью к кривой в этой точке. Очевидно, что в данной точке кривой можно провести бесконечное множество (пучок) нормалей, и все они будут лежать в плоскости, проходящей через точку М и перпендикулярной к касательной. Эта плоскость называется нормальной плоскостью. Нормаль, лежащая в соприкасающейся плоскости, называется главной нормалью к кривой в точке М. Таким образом,, главная нормаль есть линия пересечения нормальной и соприкасающейся плоскостей в данной точке 7И кривой!). Нормаль, перпендикулярная к соприкасающейся плоскости, называется бинормалъю.

Обозначим единичные векторы: касательной через и0, главной нормали через п° и бинормали через &° (рис. 58). Через эти векторы

проходят плоскости: (и°п°)——соприкасающаяся, (п°6°)——нормальная и (&оио) — называемая спрямляющей плоскостью.

Три взаимно перпендикулярных направления, определяемых векторами т°, п° и 6°, образуют прямоугольный триэдр с вершиной в точке М, называемый естественным, натуральным или подвижным трехгранников, причем направления и0, п° и 6° определяются так же, как направления координатных осей (по правой системе).

Кривизна кривой. В двух точках кривой М п Мг проведем единичные векторы касательных: т° и т° . Угол между этими касательными, называемый углом смежности, обозначим через А8, а длину дуги MMf—через As (рис. 59). Отношение

月* (38)

Напоминаем, что соприкасающаяся плоскость в точке М кривой определяется как предельное положение плоскости, проходящей через любые три точки кривой, когда эти точки стремятся к точке ЛА или же как предельное положение плоскости, проходящей через касательную в точке 曲 и любую точку Л1‘，когда ЛГ стремится к Л1.

называется средней кривизной кривой на отрезке ММ\ а предел этого отношения при As—>0, если он существует, т. е.

"т 券=hm"т 券=hm®01As®01Asd8 厶d8 厶(39)(39)

"т 券=hm

"т 券=hm

®01As

®01As

d8 厶

d8 厶

(39)

(39)

называется кривизной кривой в данной точке М ^.

Таким образом, кривизна кривой в данной точке равна отношению элементарного угла смежности к элементу дуги» т. е.

k =k =d8石.d8石.(40)(40)

k =

k =

d8

石.

d8

石.

(40)

(40)

, rfO dH 1, rfO dH 1(41)(41)Рис. 61.Рис. 61.

, rfO dH 1

, rfO dH 1

(41)

(41)

Рис. 61.

Рис. 61.

Найдем кривизну окружности радиуса R (рис. 60). Элемент дуги окружности MMf — ds — R dQ, где центральный угол 48 равен углу смежности* Тогда

т. е. кривизна окружности есть величина, обратная радиусу R и постоянная для всех точек; следовательно, окружность есть кривая постоянной кривизны.

Кривизна любой кривой вообще не постоянна, а меняется от точки к точке.

Если через три точки 7И, 7И「 М2 любой кривой провести окружность, то в пределе (при приближении точек М】н 7И2 K точке 7И) она будет лежать в соприкасающейся плоскости (рис. 61, а). Эта

предельная окружность называется соприкасающимся кругом или кругом кривизны. В соприкасающейся плоскости можно построить бесчисленное множество окружностей, центры которых будут лежать

Угол “8 в равенстве (39), вообще не есть дифференциал некоторой функции 0.

на главной нормали к кривой и которые будут иметь в точке М общую касательную с кривой, т. е. касаться кривой в этой точке (рис. 61,6). Из всего этого множества только соприкасающийся круг проходит через три бесконечно близкие точки кривой, т. е, находится с кривой в касании второго порядка (остальные окружности проходят через две бесконечно близкие точки кривой). Поэтому кривизна кривой в точке М равна кривизне соприкасающегося круга; отсюда термин «круг кривизны^. Центр круга кривизны называется центром кривизны, а радиус этого круга—радиусом кривизны кривой в точке М.

кривой в точке Мкривой в точке М办_ 1一一 р办_ 1一一 р(42)(42)Обозначая радиус кривизны через р, получим выражение кривизны

кривой в точке М

кривой в точке М

办_ 1

一一 р

办_ 1

一一 р

(42)

(42)

Разложение ускорения по осям естественного трехгранника.

Представим скорость точки М в виде

(43)(43)秒=%T0 =研0,

(43)

(43)

по главной нормалипо главной нормалигде о = % — проекциягде о = % — проекциявектора и на ось Л4т° (см. рис. 58). Дифференцируя равенство (43) по времени, получим:вектора и на ось Л4т° (см. рис. 58). Дифференцируя равенство (43) по времени, получим:—dv n .dt di 1—dv n .dt di 1didi(44)(44)Первое слагаемое есть вектор-^- т°, направленный по касательной т°. Найдем значение второго слагаемого. Дифференциал единичного вектора d^ перпендикулярен к т° и, как видно из рис. 62, лежит в соприкасающейся плоскости; следовательно, вектор dt° направленПервое слагаемое есть вектор-^- т°, направленный по касательной т°. Найдем значение второго слагаемого. Дифференциал единичного вектора d^ перпендикулярен к т° и, как видно из рис. 62, лежит в соприкасающейся плоскости; следовательно, вектор dt° направленугол смежности 源0=d^ иугол смежности 源0=d^ ип°. Кроме того, |rfi:0| — |т°|б/0 = dQ, где 少9 — формулу (88) на стр. 40]. Отсюда находим, чтоп°. Кроме того, |rfi:0| — |т°|б/0 = dQ, где 少9 — формулу (88) на стр. 40]. Отсюда находим, что也—空〃o也—空〃o

по главной нормали

по главной нормали

где о = % — проекция

где о = % — проекция

вектора и на ось Л4т° (см. рис. 58). Дифференцируя равенство (43) по времени, получим:

вектора и на ось Л4т° (см. рис. 58). Дифференцируя равенство (43) по времени, получим:

—dv n .

dt di 1

—dv n .

dt di 1

di

di

(44)

(44)

Первое слагаемое есть вектор-^- т°, направленный по касательной т°. Найдем значение второго слагаемого. Дифференциал единичного вектора d^ перпендикулярен к т° и, как видно из рис. 62, лежит в соприкасающейся плоскости; следовательно, вектор dt° направлен

Первое слагаемое есть вектор-^- т°, направленный по касательной т°. Найдем значение второго слагаемого. Дифференциал единичного вектора d^ перпендикулярен к т° и, как видно из рис. 62, лежит в соприкасающейся плоскости; следовательно, вектор dt° направлен

угол смежности 源0=d^ и

угол смежности 源0=d^ и

п°. Кроме того, |rfi:0| — |т°|б/0 = dQ, где 少9 — формулу (88) на стр. 40]. Отсюда находим, что

п°. Кроме того, |rfi:0| — |т°|б/0 = dQ, где 少9 — формулу (88) на стр. 40]. Отсюда находим, что

也—空〃o

也—空〃o

НоНо

Но

Но

d^ — ее ds — оdi ™' ds di '~ p

так как

dsd81

didsp

где р есть радиус кривизны кривой в точке М. Следовательно,

(45)

Подставляя найденную величину в равенство (44). получим окон

чательно:чательно:(46)(46)Таким образом, проекции ускорения на оси естественного трех гранника равны !)Таким образом, проекции ускорения на оси естественного трех гранника равны !)砌T = H = R，砌“ = E，吗=0.(47)砌T = H = R，砌“ = E，吗=0.(47)Вектор 叫=wxt° называется ной составляющей ускорения, аВектор 叫=wxt° называется ной составляющей ускорения, асоставляющей (рис. 63). Модуль рения на основании равенств (46)составляющей (рис. 63). Модуль рения на основании равенств (46)тангенциальной или касатель- вектор w^ = -wrtn° — нормальнойтангенциальной или касатель- вектор w^ = -wrtn° — нормальнойуско-будет:уско-будет:илиили砚=I/砚:十筏^砚=I/砚:十筏^(48)(48)Угол ц между вектором w и главной нормалью определяется из уравнения (см. рис. 63)tgy} (49)Угол ц между вектором w и главной нормалью определяется из уравнения (см. рис. 63)tgy} (49)По формулам (47) — (49) можно определить модуль и направление ускорения, если движение задано естественным способом, т. е. дана траектория (следовательно, известен радиус кривизны в каждой ее точке) и дан закон движения вдоль траектории в виде s = f«). Вектор т° (или ось т) направляется в этом случае в сторону положительного отсчета расстояния 5.Рассуждая так же, как в случае прямолинейного движения (стр. 56), придем к выводу, что движение будет ускоренным, когда проекции ,.dsdvвекторов р о W на ось т, т. е. величины & = - и 5 = имеют одинаковые знаки (угол между © и W острый, рис. 64, а),1) Значение wx можно еще представить в видеПо формулам (47) — (49) можно определить модуль и направление ускорения, если движение задано естественным способом, т. е. дана траектория (следовательно, известен радиус кривизны в каждой ее точке) и дан закон движения вдоль траектории в виде s = f«). Вектор т° (или ось т) направляется в этом случае в сторону положительного отсчета расстояния 5.Рассуждая так же, как в случае прямолинейного движения (стр. 56), придем к выводу, что движение будет ускоренным, когда проекции ,.dsdvвекторов р о W на ось т, т. е. величины & = - и 5 = имеют одинаковые знаки (угол между © и W острый, рис. 64, а),1) Значение wx можно еще представить в видеdvdv dsdv叫—= —；тг = n —г—т dtds dtdsdvdv dsdv叫—= —；тг = n —г—т dtds dtdsd /讲\d /讲\

чательно:

чательно:

(46)

(46)

Таким образом, проекции ускорения на оси естественного трех гранника равны !)

Таким образом, проекции ускорения на оси естественного трех гранника равны !)

砌T = H = R，砌“ = E，吗=0.(47)

砌T = H = R，砌“ = E，吗=0.(47)

Вектор 叫=wxt° называется ной составляющей ускорения, а

Вектор 叫=wxt° называется ной составляющей ускорения, а

составляющей (рис. 63). Модуль рения на основании равенств (46)

составляющей (рис. 63). Модуль рения на основании равенств (46)

тангенциальной или касатель- вектор w^ = -wrtn° — нормальной

тангенциальной или касатель- вектор w^ = -wrtn° — нормальной

уско-будет:

уско-будет:

или

или

砚=I/砚:十筏^

砚=I/砚:十筏^

(48)

(48)

Угол ц между вектором w и главной нормалью определяется из уравнения (см. рис. 63)

tgy} (49)

Угол ц между вектором w и главной нормалью определяется из уравнения (см. рис. 63)

tgy} (49)

По формулам (47) — (49) можно определить модуль и направление ускорения, если движение задано естественным способом, т. е. дана траектория (следовательно, известен радиус кривизны в каждой ее точке) и дан закон движения вдоль траектории в виде s = f«). Вектор т° (или ось т) направляется в этом случае в сторону положительного отсчета расстояния 5.

Рассуждая так же, как в случае прямолинейного движения (стр. 56), придем к выводу, что движение будет ускоренным, когда проекции ,.dsdv

векторов р о W на ось т, т. е. величины & = - и 5 = имеют одинаковые знаки (угол между © и W острый, рис. 64, а),

1) Значение wx можно еще представить в виде

По формулам (47) — (49) можно определить модуль и направление ускорения, если движение задано естественным способом, т. е. дана траектория (следовательно, известен радиус кривизны в каждой ее точке) и дан закон движения вдоль траектории в виде s = f«). Вектор т° (или ось т) направляется в этом случае в сторону положительного отсчета расстояния 5.

Рассуждая так же, как в случае прямолинейного движения (стр. 56), придем к выводу, что движение будет ускоренным, когда проекции ,.dsdv

векторов р о W на ось т, т. е. величины & = - и 5 = имеют одинаковые знаки (угол между © и W острый, рис. 64, а),

1) Значение wx можно еще представить в виде

dvdv dsdv

叫—= —；тг = n —г—

т dtds dtds

dvdv dsdv

叫—= —；тг = n —г—

т dtds dtds

d /讲\

d /讲\

(угол между а н W тупой.(угол между а н W тупой.dv„ ,-^"=叫=0 (что можетdv„ ,-^"=叫=0 (что можети замедленным, когда эти знаки разные рис. 64, 6).

(угол между а н W тупой.

(угол между а н W тупой.

dv„ ,

-^"=叫=0 (что может

dv„ ,

-^"=叫=0 (что может

величина скоростивеличина скоростидостигает максимума илидостигает максимума илииметь место, когдаиметь место, когдаЕсли в данный момент времени

величина скорости

величина скорости

достигает максимума или

достигает максимума или

иметь место, когда

иметь место, когда

минимума), то ускорение точки в этот момент направлено по главной нормали (加=叫，卩= 0)* Если же —тг = wT = 0 в течение некоторого промежутка времени, то на этом интервале времени

рис 64численная величина скорости по'стоянна (движение является равно

мерным криволинейным), а ускорение, появляющееся за счет изменения вектора © по направлению, направлено вдоль главной нор

%Т=о,%Т=о,мали к траектории 3 = ~^-*).

%Т=о,

%Т=о,

Аналогично если в данный момент времени

то вектор 询 в этот момент направлен по касательной к траектории (加=加к，卩= 90°). Такой случай может иметь место или когда в данный момент скорость точки обращается ^< в нуль (точка меняет направление своего дви- —о —жения), или же когда движущаяся точка на- /^叨 ходится в точке перегиба своей траектории,

где р = 8 (рис. 65). Если же wrt = — == О

Рис. 65.Р

в течение некоторого промежутка времени, а точка движется (и片0), то это может быть лишь в случае, когда

в течение всего промежутка времени движение прямолинейно (р == оо).

Наконец, полное ускорение точки в течение некоторого промежутка времени может быть равно нулю (w = 0), когда в течение этого промежутка и 砚「= 0 н 砚冷=0, т. е., как следует из предыдущих рассуждений, когда точка в течение этого промежутка движется относительно выбранной системы отсчета равномерно и прямолинейно.

Законы равномерного и равнопеременного криволинейного движения. 1) Если во все время движения численная величина скорости постоянна, т. е. & = в。= const, то криволинейное движение называется равномерным. Из выражения -^- — v или ds = &df, ин

(50)(50)тегрируя, найдем закон равномерного криволинейного движения:

(50)

(50)

5 —^о + ^о^

где &—начальное расстояние точки (в момент £ = 0).

Если касательное ускорение точки во все время движения постоянно, т. §・ <oft = ат = const, то криволинейное движение называется равнопеременным. Из выражения -^ = ат или dv~axdt найдем закон изменения скорости в этом движении:

в = %+%£, (51)

где в。——начальная скорость точки (в момент £ = 0)・ Отсюда, прн~ ds

нимая во внимание, что в = -^-, получим закон равнопеременного криволинейного движения в виде

а £2

s = So + %/4~,(52)

где 50——начальное расстояние. От случая прямолинейного движения [см. стр. 56, формула (9)] выражение (52) отличается тем, что в него вместо х входит 5, а вместо 仪一величина dv11. Ускорение в круговом движении. Если точка движется по окружности радиуса ОМ = R (рис. 66), то, ее будет:где 50——начальное расстояние. От случая прямолинейного движения [см. стр. 56, формула (9)] выражение (52) отличается тем, что в него вместо х входит 5, а вместо 仪一величина dv11. Ускорение в круговом движении. Если точка движется по окружности радиуса ОМ = R (рис. 66), то, ее будет:и — /?3.и — /?3.(53)(53)Дифференцируя это выражение по 力 получим тангенциальную проекцию ускоренияДифференцируя это выражение по 力 получим тангенциальную проекцию ускоренияdv сп耽=n = Rz" = "・dv сп耽=n = Rz" = "・(54)(54)Величина d①d3 =気=wВеличина d①d3 =気=w(55)(55)называется угловым ускорением вращения радиуса ОМ = R (см. еще § 8, п» 2).Нормальную проекцию ускорения, которую при круговом движении называют еще UeH.niростремительным ускорением, получим, ние, что радиус кривизны p = R, в видеи?82K2 n 2也——=—lл pRназывается угловым ускорением вращения радиуса ОМ = R (см. еще § 8, п» 2).Нормальную проекцию ускорения, которую при круговом движении называют еще UeH.niростремительным ускорением, получим, ние, что радиус кривизны p = R, в видеи?82K2 n 2也——=—lл pRпринимая вопринимая вовнима-внима-(56)(56)

где 50——начальное расстояние. От случая прямолинейного движения [см. стр. 56, формула (9)] выражение (52) отличается тем, что в него вместо х входит 5, а вместо 仪一величина dv

11. Ускорение в круговом движении. Если точка движется по окружности радиуса ОМ = R (рис. 66), то, ее будет:

где 50——начальное расстояние. От случая прямолинейного движения [см. стр. 56, формула (9)] выражение (52) отличается тем, что в него вместо х входит 5, а вместо 仪一величина dv

11. Ускорение в круговом движении. Если точка движется по окружности радиуса ОМ = R (рис. 66), то, ее будет:

и — /?3.

и — /?3.

(53)

(53)

Дифференцируя это выражение по 力 получим тангенциальную проекцию ускорения

Дифференцируя это выражение по 力 получим тангенциальную проекцию ускорения

dv сп

耽=n = Rz" = "・

dv сп

耽=n = Rz" = "・

(54)

(54)

Величина d①d

3 =気=w

Величина d①d

3 =気=w

(55)

(55)

называется угловым ускорением вращения радиуса ОМ = R (см. еще § 8, п» 2).

Нормальную проекцию ускорения, которую при круговом движении называют еще UeH.niростремительным ускорением, получим, ние, что радиус кривизны p = R, в виде

и?82K2 n 2

也——=—l

л pR

называется угловым ускорением вращения радиуса ОМ = R (см. еще § 8, п» 2).

Нормальную проекцию ускорения, которую при круговом движении называют еще UeH.niростремительным ускорением, получим, ние, что радиус кривизны p = R, в виде

и?82K2 n 2

也——=—l

л pR

принимая во

принимая во

внима-

внима-

(56)

(56)

Модуль ускорения точки в круговом движении будет:

(57)(57)w = RY ^~^а>4^

(57)

(57)

Угол ц, который образует ускорение 加 с радиусом, определяется из равенства

tg" = Z = "^・(58)

Если в = const, то ускорение в круговом движении будет направлено по радиусу, так как тангенциальное ускорение в этом случае равно нулю.

Разложение ускорения на радиальную и трансверсальную составляющие. Выражение ускорения в полярных координатах. Пусть точка движется по плоской кривой (рис. 67) по закону г— г (^). Согласно формуле (17), скорость © этого движения можно представить в виде

u=裏Г。+号曲

Дифференцируя данное равенство по Л получим:

dt 血一必十at也十at成〃十Г纸2夕十r dt成.

(59)

Найдем модуль иНайдем модуль инаправление вектора -^- , Дифференциал еди-

Найдем модуль и

Найдем модуль и

ничного вектора dp°ничного вектора dp°перпендикулярен к р° и направлен, как видно

ничного вектора dp°

ничного вектора dp°

из рисунка, противоположно г° (направление 咖。получается поворотом р° на 90° в сторону положительного отсчета угла (р); кроме того, | dp。| = ^ф. Следовательно,

*-醬 А (6。)

Г7 с5

Подставляя это значение - в равенство (59) и вынося единичные векто

ры г° и р° за скобки, получим, принимая во внимание равенство (16) и приводя подобные члены,

包 = ｛第一圈力+｛，需+2方爵｝Ро.⑸）

Формула (61) представляет собой разложение ускорения на составляющие: радиальную

叫=｛备一爆y"（62）

叫=｛Г器+2*霁｝内叫=｛Г器+2*霁｝内(63)(63)направленную по радиусу-вектору, и трансвереальную (или поперечную)

叫=｛Г器+2*霁｝内

叫=｛Г器+2*霁｝内

(63)

(63)

перпендикулярную к радиусу-вектору.

Рассмотрим отдельно члены, входящие в выражения 加 и 加口. Член есть ускорение точки вследствие ее движения по радиусу- вектору, а г ("^) есть центростремительное ускорение, происходящее вследствие вращения радиуса-вектора [см. формулу (56)]; этим же вращением вызывается тангенциальное ускорение 尸 в выражении 加卩[формула (54)]. Член 2 雾簪 представляет собой так называемое поворотное или кориолисово ускорение, которое будет рассмотрено в конце главы III.

Заметим, что величина 加？ может быть представлена еще в виде 叫=^方伫需)•(64)

Внраженне ^g 伫黑)， которое на основании (31) можно записать в виде

1 d /</(р\

называется секторным ус&оре儿〃ем.

Легко доказать, что момент ускорения относительно какого-либо центра равен удвоенному секторному ускорению относительно этого центра. Действительно, согласно равенству (28),

momo必=fx炉=2方.

Дифференцируя это равенство по времени, будем иметь:

Так как 诲-=加，а 石-=必，вследствие чего первый член левой части обращается в нуль, то окончательно получим:

ГХ什2而， или

momow = 2,(65)

что и требовалось доказать.

Если закон движения точки дан в полярных координатах уравнениями

г = г (0 И ф —ф(^),

то по этим данным легко вычислить проекции ускорения 叫 и 侬夕, так как, согласно (62) и (63),

叫а Г —尸市2, 叫=r(p + 2rq).(66)

Модуль ускорения выразится формулой

呦=У叫+呦^= V(r— r(p2)2 + (г(р4~ 2гф)2<(67)

Примеры. Как уже указывалось, для нахождения кинематических характеристик движения точки (траектории, скорости, ускорения и др.) надо знать уравнения, определяющие закон ее движения. Если уравнения движения точки непосредственно не заданы, то решение задачи обычно следует начинать с нахождения этих уравнений.

Рис. 68.Рис. 68.В механизме эллипсографа, изображенного на рис. 68. ползуны Л и В» соединенные линейкой АВ, могут перемещаться по взаимно перпендикулярным направляющим. Механизм приводится в движение кривошипом ОС (С — середина отрезка ЛВ), вращающимся с постоянной угловой скоростью (о. Найти траекторию, скорость и ускорение точки М линейки если АМ = ВМ = Ь.

Рис. 68.

Рис. 68.

Направим оси Ох и Оу основной системы отсчета вдоль направляющих ОЛ и ОВ и найдем закон движения точки М, т. е. ее координаты у, как функции времени 力 Из рисунка видно, чю х = a cos 屮，у =匕 sin <р. Но по условиям задачи <р ==(ot следовательно, уравнения движения точки М будут:

* =忆 cos ①力 у = 6 sin со厶 (a)

Для определения их в видеДля определения их в видетраектории исключим Z из уравнений (а), представив

Для определения их в виде

Для определения их в виде

—=cos~ = sin (ОС.

аb

Возводя обе части этих равенств в квадрат и складывая их почленно, найдем:

备十方=1，(6)

Таким образом, траекторией точки М будет эллипс с полуосями & и 瓦 Закрепляя с помощью простого устройства в любой точке М линейки АВ карандаш, мы получим прибор, который будет чертить эллипсы с разными полуосями а и 6; отсюда и наименование прибора — эллипсограф.

Для определения скорости точки М вычисляем проекции скорости, дифференцируй равенства (а) по t Получим:

(в)(в)и* =s * ™ —— do sin(о/| Оу — у==6⑴ cos(о^.

(в)

(в)

Отсюда модуль скорости будет:

(г)(г)и =①)/^2 Sfn2 就十匕2 cosa 血,

(г)

(г)

Если а> bt то скорость v изменяется между ее наибольшим значением V =(од, которое она имеет при х == 0» у= 土瓦 т. е. на концах малой полуоси эллипса, и наименьшим значением vmIn = ob при *= 土。，у = 0, т. е. на концах большой полуоси. Направление вектора 中 в любой момент времени определяется из равенств

COS (®ГЗх) = Т ,COS (®ГЗх) = Т ,“у cos (初 Оу)=—,“у cos (初 Оу)=—,

COS (®ГЗх) = Т ,

COS (®ГЗх) = Т ,

“у cos (初 Оу)=—,

“у cos (初 Оу)=—,

нат, находим:нат, находим:cos(i^y) = ~^ = --^.(з)cos(i^y) = ~^ = --^.(з)J华cos2近.J华cos2近.

нат, находим:

нат, находим:

cos(i^y) = ~^ = --^.(з)

cos(i^y) = ~^ = --^.(з)

J华cos2近.

J华cos2近.

где величины, стоящие справа, даются формулами (в) и (г).

Ускорение точки М также найдется по его проекциям:

wx = л = — 0)2忆 cos sf =—①2“， 削^ = у = — о2 b sin ©/ = —(o2y.(e)

Отсюда модуль ускорения будет:

w =■ G)2 УX2у2 = (0%(ж)

Следовательно, ускорение точки пропорционально ее расстоянию ОМ = г от начала координат. Для углов, образуемых вектором w с осями коорди

WxX

cos (w, 0%) = -^-=,

Так как —, ~ представляют собой направляющие косинусы радиуса-вектора г, то отсюда видно, что вектор 昵 направлен прямо противоположно вектору г, т. е, вдоль линии МО к центру О.

При малых углах отклонения груз М маятника (рис. 69) движется по окружности радиуса АМ = Z по закону 5 = л sin 论玄 где s = &Й> а величины а и k ——постоянные. Найти скорость, а также касательное и нормальное

ускорение груза и те положения, в которых эти величины обращаются в Ьули.

* В данном случае движение точки М задано, причем естественным способом, так как известны ее траектория и закон движения вдоль траектории s (Z). Тогда, пользуясь соответствующими формулами, находим:

V = s ak cos论力 如1 = 0 =-。论2 sin论力如以

Точка М совершает вдоль траектории гармоническое колебание с дуговой амплитудой а. В крайних положениях М‘ и Af", для которых дЙ' = бмг/=а, будет sin kt= ± \ и cos kt = 0. Следовательно, в этих точках скорость ч нормальное ускорение обращаются в нуль, а касательное ускорение

принимает наибольшее по модулю значение wx max = ak2. Наоборот, в начале отсчета。，где 5 = 0, будет sin 论£ = 0 н cos ^^ = 1. В этом положении wx = 0,

а и н wn имеют максимальные значения vmax = ak и wn max = —^—•

Пример подтверждает сделанный ранее общий вывод о том, что в точках, где скорость в данный момент имеет максимум (или минимум), каса*тельное ускорение % = 0, а в точках, где и = 0

(или в точках перегиба траектории), нормальное эение wn = 0.

L Закон движения точки дан уравнениями

х = R cos ot, у — Rs[n ю/, г = uZ + -^―. (а)

Найти касательное и нормальное ускорения точки и радиус кривизны ее траектории.

Возводя первые два из уравнений (а) в квадрат и складывая их почленно, найдем, что траектория точки лежит на поверхности л2 + У2 = ^2» т. е. на круговом цилиндре радиуса К, ось кото- У рого совпадает с осью 3 (рис. 70).

Точка М движется так, что ее проекция Mt на плоскость Оху описывает окружность радиуса К, а расстояние МХМ = г со временем возрастает; следовательно, точка М описывает некоторую винтовую линию. Расстояние /г, на которое

точка М поднимается за время, в течение которого ее проекция М{ описывает полную окружность, т. е. за время 7 = 2冗До, называется шагом винтовой линии. В данном случае шаг будет переменным (возрастающим). При л = 0 расстояние М^М ~ г = ut растет пропорционально времени и h = uT = 2шг/(о = const. В этом частном случае траекторией точки будет винтовая линия с постоянным шагом.

Для определения 削工 и 削〃 надо сначала по уравнениям (а) вычислить v и w. Тогда искомые величины найдутся из равенств |u»T| = | dv/dt | и 卽2 =僅弋+削^ (значение шя можно было бы найти как и2/р, вычисляя р по формулам дифференциальной геометрии, но такой путь сложнее).

и# = % = — a)R sin of,и# = % = — a)R sin of,Uy = у =①尺 cos (О力Uy = у =①尺 cos (О力% = 2 0 % + 砒,% = 2 0 % + 砒,Производя соответствующие подсчеты, получим:

и# = % = — a)R sin of,

и# = % = — a)R sin of,

Uy = у =①尺 cos (О力

Uy = у =①尺 cos (О力

% = 2 0 % + 砒,

% = 2 0 % + 砒,

w* =力=一(Й2K cos ①厶w* =力=一(Й2K cos ①厶ОтсюдаОтсюдаWy — у = — о)?/? sin ①力削％ = е = а

w* =力=一(Й2K cos ①厶

w* =力=一(Й2K cos ①厶

Отсюда

Отсюда

* =炉尺2 + (以+凉)2,蹤2 = 0)4R2 + &2 = cOnst .

Дифференцируя первое из этих выражений по времени, находим и -^~ =а (以 + at), откуда, представляя wx как функцию и, получим：

|%| =|%| =研^加一（02/?2研^加一（02/?2(В)(В)

|%| =

|%| =

研^加一（02/?2

研^加一（02/?2

(В)

(В)

(г)(г)После этого из равенства 渺^ =检？一渺^ окончательно находим:

(г)

(г)

Зная wnt легко определить радиус кривизны траектории р. Так как wn = у2/р» то, следовательно.

(д)(д)p > . =「 ^--

(д)

(д)

&R У со?"員-]-а*

Значения всех искомых величин как функции времени £ можно найти, заменяя и его значением из (б). В частном случае, когда д — 0 и точка описывает винтовую линию с постоянным тагом, будем иметь:

и = j/g)2R2 + “2, 侬仪匸检匸 欠@2,检т — о.

Точка в этом случае движется с постоянными по модулю скоростью и ускорением, причем ускорение направлено по нормали к траектории (перпендикулярно к оси Oz). Для радиуса кривизны, полагая в (口)或=0 и заменяя и его значением из (е), будем окончательно иметь:

Таким образом, радиус кривизны винтовой линии с постоянным шагом больше, чем радиус R кругового сечения цилиндра.

Точка М начинает двигаться вдоль прямой ОА из положения со скоростью м, пропорциональной расстоянию ОМ = г (рис. 71). Таким образом, м = ^г и г = г0 при ^ = 0. Сама прямая вращается вокруг центра О в плоскости рисунка с постоянной угловой скоростью ш. Найти траекторию, скорость и ускорение точки М.

Закон движения точки удобно определить, воспользовавшись полярными координатами г и <р. По условиям задачи 屮=®力 а радиальная проекция скорости vr =—=辽=死 откуда

ed£

Беря определенные интегралы слева в пределах от г0 до г, а справа от 0 до Л получим:

In — = kt или г = rQekt.го

Таким образом, уравнения движения точки в полярных координатах будут:

г =尸 0醉4<р ==(ot

Исключая из этих равенств Z, найдем уравнение траектории

6 Н, Н. Бухгольц

Следовательно, точка М описывает логарифмическую спираль. Скорость а ускорение точки подсчитаем по их радиальным и трансверсальным проекциям [формулы (20) и (66)]. Имеем из уравнений (а)

vr = r = he户—也尸， % = 而 =g,"(b)

wr =r一「屮2 =(论2 一 ①2)r( wp- r中 + 2尸①=2A(or.

Отсюда

。二^依 + 炉尸， да = У(k2 ■—о)2)2 + 4论％)2 г =(论2 + 0)2) у.(г)

Таким образом, модули скорости и ускорения точки растут пропорционально ее расстоянию г от центра О

Теперь» аналогично тому как это делалось в примере 3, легко подсчитать касательное и нормальное ускорение точки и радиус кривизны траек* тории:

% =贯=■/庐下&热=走m贬+%2г，

wn = y 渺2 - 3； = S 伏序 + S2 尸，(Д)

— g2 ■/庐斗%2

Все эти величины также растут пропорционально г,

Криволинейные координаты. Выражение скорости в криво* линейных координатах* Пусть в некоторой декартовой системе К точка М имеет координаты %, у, N. За координаты этой точки мы можем принять любые однозначные и дифференцируемые функции X, у, N：

9]=：/](%, у, 2),^2f 2 (^* У' N),% /з (%，У，2)， (68>

если только возможно из системы (68) однозначно определить:

笈=%('[, %, %),У 工^ 屮2(01' 02，％)，2 二22 屮3(0Т 02，％) (69>

(точечное преобразование пространства)- Действительно, тогда всякой системе значений (х, у, z) будет соответствовать определенная система значений (夕卜 ^2, ^3), даваемая равенствами (68), и обратно. Числа ^卜 ,2，9з называются вообще криволинейными координатами точки М.

Заметим, что уравнения (69) при каждом частном значении переменных (‘г ^2, 0з)обращаются в уравнения координатных плоскостей системы 欠

% = С[, у == с^ 2 = %；(7。)

эти плоскости параллельны основным координатным плоскостям и пересекаются в точке (с「с3)с?). В свою очередь уравнения (68) при каждом частном значении переменных (%, у, 2)представляют собой уравнения некоторых поверхностей:

公^^必 02£93 = »(71)

где а, р и Y суть некоторые постоянные, причем вид этих поверхностей зависит от вида функций 厶，/2 и /3. Действительно, подставляя в равенства (71) вместо 力，敢 и % их выражения через %, у н z, получим уравнения

RO，у, z) = a, /2(х> ” z) = 6， /з(%，У，z) = Y， (72) которые являются относительно декартовой системы координат уравнениями поверхностей.

Таким образом, если декартовы координаты %, у, z какой-нибудь точки связаны с тремя параметрами qv ^2, ,? уравнениями (68), то 41， 02， 0з можно рассматривать как координаты той же точки в некоторой системе координат, у которой роль координатных плоскостей играют поверхности, определяемые уравнениями (71) или (72); поэтому эти поверхности называются координатными поверхностями данной системы координат (，八 ^2, ^3).

Уравнения (70) представляют семейство координатных плоскостей. Каждые два уравнения из этих трех в совокупности определяют семейство координатных линий (прямых). Итак, в декартовой системе координат точка определяется пересечением или трех координатных плоскостей, или соответствующих координатных линий. Рассуждая аналогично, найдем, что в случае системы координат (^р ,2，0з) точка определяется пересечением или трех координатных поверхностей, или соответствующих им координатных линий, определяемых попарным пересечением координатных поверхностей. Так как координатные линии вообще будут кривыми, то все системы координат, имеющие произвольные координатные поверхности, называются криволинейными системами координат.

В случае декартовой системы координат все пространство можно себе представить состоящим из множества бесконечно малых параллелепипедов, ребра которых параллельны осям координат. При преобразовании координат точек этого пространства к криволинейным координатам эти параллелепипеды, исказившись, обратятся в бесконечно малые ячейки с кривыми гранями и ребрами, образуемыми координатными поверхностями и линиями. Преобразование координат точек, конечно, не изменяет метрики пространства, и последнее остается прежним евклидовым пространством.

Среди всех возможных пространственных криволинейных систем координат всего чаще употребляются сферические и цилиндрические координаты.

В сферической (или полярной) системе координат положение точки М (рис. 72) определяется длиной полярного радиуса ОМ = г, проведенного из начала координат О, углом <р, который образует полярный радиус г с плоскостью Р (плоскостью Оху), называемой полярной или экваториальной плоскостью (или углом, образуемым г с осью On, называемой полярной осью)» и двугранным углом 入,

который образует плоскость, проходящая через полярную ось и точку Mt с основной плоскостью Q (называемой иногда плоскостью первого меридиана). Так как этой системой часто пользуются в астрономии, то угол <р называют еще широтой, а 九一долготой

讶一屮卜讶一屮卜^иногда вместо широты ф употребляют полярный угол 0 = Итак, сферические координаты точки М суть:

讶一屮卜

讶一屮卜

(73)(73)г =。附， 九=乙 xOAt (p =乙 AOM.

(73)

(73)

видно, что связь между сферическими и декартовыми координатами при расположении осей %, у, 2, указанном на рисунке, будет следующая:

Непосредственно из рисункаНепосредственно из рисункаX = г cos ср cos Л, у =： г cos(p sin 九, Z — Г Sin ф.

Непосредственно из рисунка

Непосредственно из рисунка

(74〉(74〉Координатные поверхности в сферической системе координат представляются уравнениями

(74〉

(74〉

г — ct, 九=0, <р — у, (75〉 где а, Р и у—некоторые переменные параметры. Эти уравнения соответственно представляют:

尸=。一сферу, описанную радиусом а из центра О,

入=0 — плоскость, проходящую через точку М и полярнук> ось г,

(р = у — круглый конус с осью N, вершиной О и углом при вер* шине, равным 停—<р^ .

Координатные линии получаются пересечением координатных поверхностей, т. е. определяются следующими совокупностями двух уравнений из (75):

(г = а, (九=В， ( <р = у,(а)九 т (О(В)г—а

(76)(76)Они представляют собой:

(76)

(76)

(а) — окружность AMD радиуса а (или меридиан),

(б)——прямую ОМ, по которой направлен вектор г,

(в)—окружность МВСМ радиуса acosq)(или параллель).

В цилиндрической или полуполярной системе координат положение точки М (рис. 73) определяется расстоянием ее OfM = г до

оси On, проходящей через начало О, расстоянием проекции точки М на ось Oz до начала О, т. е. величиной ОО' = %, и двугранным углом ф — Д COfM, образуемым плоскостью, проходящей через точку 兩 и ось Oz, с основной плоскостью Q. Иначе положение точки М в цилиндрической системе- координат определяется расстоянием плоскости, проходящей через точку М перпендикулярно к оси On, от начала О, т. е. величиной OO' = z, и плоскими полярными коор

динатами точки в этой плоскости ОГМ = г и ^СО^М — ф.

Итак, цилиндрические координаты точки М суть:

г = 0Mf = OfMt 屮=乙 COfMf z = 00\

Непосредственно из рисунка видно, что связь между цилиндрическими и декартовыми координатами при расположении осей х, у, 2, указанном на рисунке, будет следующая:

х = гcos(p, у — rsin(pt 2 =彳・(77)

координат(78)координат(78)Координатные поверхности в цилиндрической системе даются уравнениями

координат

(78)

координат

(78)

r = ct, 屮=В， z = Y，

где а, р и у—некоторые переменные параметры. Эти уравнения соответственно представляют:

г =а ——круглый цилиндр радиуса а, ось которого совпадает С ОСЬЮ 2,

(р = В——плоскость, проходящую через ось z и точку М, z=Y ——плоскость, проходящую через точку М перпендикулярно

К ОСИ 2・

（6）|『（в）|』.（6）|『（в）|』.(79}(79}Координатные линии получатся пересечением координатных поверхностей, т. е. определятся следующими совокупностями уравнений из (78):

（6）|『（в）|』.

（6）|『（в）|』.

(79}

(79}

Они представляют собой:

- прямую 掰‘掰，

— прямую OfMt

— окружность МВСМ,

Сферические и цилиндрические системы координат обладают тем свойством, что координатные линии у них пересекаются между собой

под прямыми углами. Такие системы называются ортогональными. Прямоугольные декартовы координаты также принадлежат к ортогональным системам.

Чтобы получить выражение скорости в криволинейных координатах, проще всего воспользоваться формулой

祭)2(8。)

и найти в криволинейных координатах выражение элемента дуги ds. Пусть имеем прямоугольную декартову систему координат. Тогда

ds2 = dx2 + dy2 + ^战(81)

Найдем квадрат дифференциала дуги в произвольной системе криволинейных координат (0п 02，0з)・ Для этого вычислим дифференциалы х, у, г, рассматривая их как функции ,「 ^2, ^3 [равенства (69)], Получим:

dx = ^7d^+-d^d^ + ^d^

"y =卷/1 +殻對2 +裁對3,(82)

Подставляя эти значения dxt dy, dz в равенство (81), найдем ds2 в виде квадратичной формы от дифференциалов координат qv q?，0з (т. & в виде однородного многочлена второй степени относительно этих дифференциалов):

成2 = % 此 + а22 dql + % 踽 + 2a23 d% d% + 2a31 弥 dq、+ 3

+ 2^12 dqx dq2 та W a优收陶比，(83) где обозначено!

Если система (^^ g?， 0з) ортогональная, то коэффициенты aik из равенств (85) обращаются в нули и выражение квадрата дифферен* циала дуги в этом случае будет:

ds2 =旬 dg + a^ d礎 + % d唸 (86)

В самом деле, координатная линия ,] определяется как пересечение поверхностей ^2 = const и g3= const. Направляющие косинусы

касательной к этой линии будут пропорциональны dx, dy, dz или, как видно из равенств (82), где в этом случае d02 = d，3 = O, эти косинусы пропорциональны

@尤dz

Аналогично направляющие косинусы касательных к координатным линиям §2 н 0з будут пропорциональны соответственно

дх ду da Зх ду dz о%，

Отсюда видно, что в случае, когда система (,「0炉 0з)ортогональна, величины (85) действительно равны нулю.

Подставляя в (80) выражение элемента дуги (83), имеем! з

2 %匆吗 3з .

и』"”]办 =£ а欣京寸=\ aik^^>

откуда получаем следующее выражение модуля скорости в криволинейных координатах.

/ 2 九麻.(87)

Если система (%,兆，矗)ортогональная, то равенство (87) примет вид

u = p %您+。22磁+a33磁・(88)

В частности, сферическая и цилиндрическая системы координат ортогональны и для них и определяется формулой (88).

Для сферических координат, считая q^ = г, 0? = ^， 勃=仪 найдем из равенств (74), пользуясь формулами (84),

旬1 = (4г)2 + (黒У + (^У = COS2 ф (COS2 九 + Sin2 九)十 Sin2 屮=1,

и аналогично

仪22 = Г2 COS2 ф, 仪33 = Г2.

Следовательно, в сферических координатах, согласно (88),

и = У 产 + 产 COS2 或2 + 产而2 »(89)

Для цилиндрических координат, полагая ^ = г, q2 = ф, ,3=2, получим аналогичным образом из равенств (77)» что ап = 1,出2 =戸，

а33 — 1. Следовательно, в цилиндрических координатах, согласно (88),

u= ]/>+产@ + 22.(90)

Формулы (89) и (90) легко получить и непосредственным расчетом, подобно тому как это делалось для плоской полярной системы координат (см. стр. 65). Элементарное перемещение ds складывается в сферических координатах геометрически из элементарных перемещений вдоль координатных линий ОМ, МВ и MD (см. рис. 72); эти перемещения взаимно перпендикулярны и численно p^wibi dr, ME - d\ ~ (г cos ф) ^Л и г dg Следовательно, ds = dr2 + (г cos <р)2 dK2 + г2 d^, откуда, деля обе части этого равенства на d产，получим формулу (89),

Точно так же в цилиндрических координатах ds складывается из взаимно перпендикулярных элементарных перемещений вдоль координатных линий OrМ, MR и MfM (см. рис. 73), численно равных dr, г dtp и dz\ следовательно, 片§2 =力厂2 + 广2 力屮2 + 力之2, откуда, деля обе части этого равенства на 力阳 приходим к формуле (90).

Выражение ускорения в криволинейных координатах будет выведено в динамике точки иным методом.

Теорема о сложении скоростей. Если мы знаем движение точки относительно системы отсчета К и движение системы К отно

сительно основной (неподвижной) системы отсчета К『 то можно

определить движение точки по о— ношению к системе К】. Движение точки по отношению к под» вижной системе К называют в этом случае относительным, а по отношению к неподвижной системе К〔一сложным или, условно, абсолютным} движение самой системы К по отношению к системе К\ называют перенос^ ным движением.

Рис. 74.Пусть подвижная система зани

мает в момент времени t положение К, а движущаяся точка М находится в этот момент в положении Л (рис. 74)・ За промежуток времени А/ точка М переместится по отношению к системе К в новое положение 8, совершив относительное перемещение АВ. Величина 】)

,АВ%L，=黑!。k,АВ%L，=黑!。k(91)(91)

,АВ

%L，=黑!。k

,АВ

%L，=黑!。k

(91)

(91)

называется относительной скоростью точки М.

(92)(92)Одновременно система К за промежуток времени А/ переместится (по отношению к основной системе 7Q в другое положение К' и точка Л системы ^, где в момент t находилась точка М, придет в положение /'• Вектор AAf определяет переносное перемещение точки, а величина

(92)

(92)

называется переносной скоростью точки М・ Следовательно, переносная скорость — это скорость той, принадлежащей подвижной системе отсчета точки А, с которой в данный момент совпадает движущаяся точка М.

В результате точка М придет через промежуток времени Af в положение В' и совершит по отношению к основной системе отсчета ^1 абсолютное перемещение АВ\ Величина

3% =出К

(93)

называется абсолютной скоростью точки М или скоростью сложного движения^

Зависимость между всеми этими скоростями дается теоремой: скороешь слооюного движения точки равна геометрической сумме относительной и переносной скоросшей. Для доказатель

ства заметим, что из векторного треугольника А^В1 следует равенство АВ7 = АА^ + + 4В'. Деля обе его части на Д/ и переходя к пределу при A£f 0, получим:

lim 齊= lim

Д/->0 △£

卜 hm^-

Отсюда, замечая, что при А/—>0 положение ^/ подвижной системы неограниченно приближается к ^ и, следовательно,

. 祁‘「 Aв

hm - = hm _ == ^,

AfTO AEAD

а также учитывая (92) и (93), находим:

"абс %нн Ч~ %ер“

(94)

Равенство (94) и выражает теорему о сложении скоростей иля так называемый закон параллелограмма скоростей (рис. 75).

Последовательно применяя полученный результат к случаю, когда движущаяся точка перемещается по отношению к подвижной системе отсчета Л\, которая в свою очередь движется относительно другой

подвижной системы К? и т. д. вплоть до некоторой системы Кп^ движущейся относительно основной системы отсчета Кп, получим:

п

%6с =2 冉，(95)

где •»! — относительная скорость точки по отношению к системе К【， ^2 — первая переносная скорость, получаемая при движении системы К〔 относительно *?，智3—вторая переносная скорость, получаемая при движении системы 攵？ относительно К§, и т. д. Кратко этот резуль-

тат формулируюттат формулируютРис. 76.Рис. 76.так: скорость сложного движения равна геометрической сумме скоростей составных движений.

тат формулируют

тат формулируют

Рис. 76.

Рис. 76.

Доказанная теорема позволяет также, зная абсолютную скорость точки по отношению к основной системе отсчета К^ и движение подвижной системы отсчета К по отношению к К「 определить относительную скорость точки в системе К по вытекающей из (94) формуле (рис. 76) %тн === "абс %ер ^^ %6с + ( "пер)・ (96)

отсчета 0%у (см. рис* 53) можно рассматриватьотсчета 0%у (см. рис* 53) можно рассматриватьВ качестве простейшего примера применения формулы (94) найдем выражение скорости точки в полярных координатах. Движение точки по отношению к основной системе с f -

отсчета 0%у (см. рис* 53) можно рассматривать

отсчета 0%у (см. рис* 53) можно рассматривать

Рис. 77.Рис. 77.как относительное вдоль радиуса ОМ со скоростью v0TH = г =^vr. Переносным движением будет при этом вращение радиуса ОМ с угловой скоростью 而 и переносная скорость будет равна скорости той точки радиуса, где в данный момент находится точка М; следовательно» по формуле (11) vnep = rq? = vp, В результате при* ходим к найденным ранее равенствам (20) и (21).

Рис. 77.

Рис. 77.

Примерами применения формулы (96) служат известные из элементарной физики задачи о яа- клоиении зонта под дождем или астрономических труб для устранения влияния «аберрации». Так, например, скорость дождевой капли, падаю-

щей на землю вертикально со скоростью %配，будет относительно человека, идущего со скоростью Фпер (рис. 77), выражаться вектором ФОтн> наклоненным к вертикали под углом

.Опера = arctg ——.^абс

ГЛАВА ТРЕТЬЯ

КИНЕМАТИКА СИСТЕМЫ И АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА

Механическая система

Механическая система. Число степеней свободы системы и абсолютно твердого тела. Механической системой называется множество материальных точек, в котором движение каждой точки зависит от положения и движения остальных точек системы. Пусть п есть число точек системы. Так как положение каждой точки Mv (V — 1, 2, .. *, п) относительно выбранной системы отсчета определяется тремя ее координатами %屮,у”, 2”， то положение системы (конфигурация) известно, если известны координаты всех точек системы, т. е.

%1，У1，2], %2，3^2* 出，…т *п、Ул* ^п'(D

Зависимость между движениями точек системы существует: 1) вследствие сил взаимодействия между ними (например, движения тел солнечной системы зависят друг от друга, так как между ними действуют силы тяготения), 2) вследствие наличия связей геометрических и кинематических.

Связями называют условия, которые налагают ограничения либо только на положения, либо также и на скорости точек системы. В первом случае связь называется геометрической, или конечной^ во втором ——кинематической, или дифференциальной. Аналитически связи выражаются уравнениями, которым в любой момент движения должны удовлетворять или только координаты точек системы (геометрическая связь), или координаты и их первые производные по времени (кинематическая связь). Поэтому уравнения связей имеют вид /(%「м，...,弱；£) = 0(геометрическая связь), (2)

(4>(4>中(％1，Уп …，zn, хр уР ...» 2脑 £) = 0 (кинематическая связь). (3) Пусть на систему наложено 左 геометрических связей：

(4>

(4>

/*("1 ^1* • • • • z/ /)。 (X == 1, 2, ..., &).

Тогда из 3九 координат независимых будет только 3九一内 координат, ибо при задании каких-либо 3九——内 координат остальные определяются из уравнений связей (4). Эти независимые координаты называют также координатами системы. Число координат системы в случае существования только геометри- ческах связей называется также числом степеней свободы этой системы.

凡厂^^^/〉乂 ^Абсолютно твердым телом или не・

V ~7~/^ ' изменяемой системой называется, как

\/1^^указывалось, такая механическая система,

、/^^в которой расстояние между любыми двумя

了точками неизменно. Абсолютно твердое тело

зимеет шесть степеней свободы. В самом

Рис. 78.деле, возьмем три точки тела Мь Ж2,

附3， не лежащие на одной прямой (рис. 78). Девять координат этих точек связаны тремя соотношениями, внра- икающими неизменяемость длин трех отрезков /И2/И3, M3MV М1М2; поэтому положение трех точек определится шестью независимыми параметрами. Если добавить какую-нибудь четвертую точку /И4, то положение ее определяется еще тремя числами х4, у4, ^4, которые, однако, связаны с координатами первых трех точек тремя условиями:

掰]加4 = const, 掰 2M4 — const, M^M^ = const.

Таким образом, число независимых координат остается равным

шести.

Из этих рассуждений следует также, что положение абсолютно

твердого тела в пространстветвердого тела в пространствеРис. 79.Рис. 79.определяется положением любых трех

твердого тела в пространстве

твердого тела в пространстве

Рис. 79.

Рис. 79.

его точек, не лежащих на одной прямой.

Дополняя сказанное о движении абсолютно твердого тела, заметим, что движение тела, как абсолютно твердого, возможно только в евклидовом пространстве (а также и в неевклидовом пространстве постоянной кривизны).

Аналитическое определение положения абсолютно твердого тела. Эйлеровы углы. Покажем, каким образом можно задать шесть

независимых параметров, однозначно определяющих положение абсолютно твердого тела. Пусть 0自刀百 есть неподвижная прямоугольная система координат (основная система отсчета) и пусть абсолютно

твердое тело неизменно связано с некоторой другой, подвижной, прямоугольной системой Oxyz (рис. 79). Координаты начала О под-

вижной системы относительно неподвижной пусть будут а, Ь, с, а косинусы углов между осями систем заданы таблицей

尤 (II) у (21) 2 (31)

(12)(13)

(22)(23)

(32)(33)

Девять косинусов (/,内)связаны шестью условиями ортогональности, а именно, так как система 0自或 прямоугольна, то

(11)2+(12)2 + (13)2 = 1,

(21)2 + (22)2 + (23)2 = 1,(5)

(31)2 + (32)2 + (33)2 = 1,, а так как и система Oxyz прямоугольна, то

• (31) + (22) • (32)+ (23)・(33) = 0, (31).(11) + (32).(12) + (33) • (13) = 0,(6)

(11)・(21)十(12) • (22) + (13)・(23) = 0..

Следовательно, из девяти косинусов (А 内)независимы только три. Присоединяя сюда три числа а, Ь, с, мы и получаем шесть пара-

метров, определяющих положение твердого тела-

Предположив, что начала координат в системах Q^r)^ и Oxyz совпадают, мы можем определить положение твердого тела тремя эйлеровыми углами. Если ОК есть прямая пересечения плоскостей 0自口， Оху, называемая линией узлов, то углы эти следующие (рис. 80): 1) угол ф между ОК и Ох, 2) угол 屮 между 0g и 0K и 3) угол 9 между 况 и On. При этом все углы берутся между положительными направлениями осей. Положительное направление линии узлов вы

бирается согласно правилу правого винта, т. е. так, чтобы наблюдатель, смотрящий вдоль К。， видел поворот от ОС к Oz совершающимся против хода часовой стрелки.

По аналогии с терминами, принятыми в астрономии, иногда называют: <р——углом собственного вращения тела,叩一углом прецессии, 0 ——углом нутации.

Очевидно, что триэдр 從优 может быть приведен в совпадение с Oxyz путем трех поворотов, совершаемых в такой последова-

тельности: 1) на угол 屮 вокруг оси 0^ 2) на угол 0 вокруг линии узлов ОК, 3) на угол <р вокруг оси Oz. При этом все повороты производятся против хода стрелки часов, если соответствующая ось вращения направлена на наблюдателя.

В общем случае, когда начала обеих систем координат различны, можно определить положение твердого тела тремя числами а,力，с и эйлеровыми углами, определяющими положение подвижной системы Oxyz относительно третьей, промежуточной, системы координат Ogpl高，начало которой совпадает с началом подвижной системы, а оси параллельны осям неподвижной.

§ 8. Основные движения твердого тела)

Впоследствии мы покажем, что всякое движение твердого тела может быть сведено к двум основным движениям: поступательному и вращательному, с рассмотрения которых мы и начнем.

Поступательное движение. Поступательным движением твердого тела называется такое его движение, при котором каждая из двух не параллельных между собой прямых, неизменно связанных с телом^ перемещается параллельно самой себе, т. е. оставаясь параллельной своему начальному направлению. В этом случае параллельно самой себе перемещается любая прямая, связанная с телом. Пусть Ль 8] И 厶2， 夕2 суть положения двух точек тела для двух моментов времени tx

Рис. 81.и 力2 (рмс. 81). По определению твердого

тела <18[ = <2^2； п° определению поступательного движения. А1Вг\\А2В2. Следовательно, отрезки АхАг и BjB2 равны и параллельны, т. е.

(7)(7)4”2 = В]笈 2"

(7)

(7)

Это равенство могло бы быть принято за определение поступатель* ного движения, и тогда наше первоначальное определение получилось бы из нового как следствие.

Обозначив перемещения ЛгА = AXAV Лгв =夕1夕2， будем иметь:

§ 8] ОСНОВНЫЕ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА 95 где 厶/ =片—左 есть промежуток времени, в течение которого тело перемещается из положения 7 в положение 2. Переходя к пределу при Af->0, получим, согласно определению скорости:

玄= ^8 = 5 (8)

где к/, % суть скорости точек А и В. Так как точки Л, В были выбраны произвольно, то при поступательном движении твердого тела скорости всех точек тела в данный момент равны друг другу и выражаются одним и тем же вектором, который мы обозначили просто через 哲.

Поэтому, в отличие от скорости материальной точки или точки произвольно движущегося тела, которая есть вектор, приложенный к этой точке в данном ее положении, скорость твердого тела, движущегося поступательно, есть вектор свободный, ибо он может быть приложен к любой точке тела. Только в случае поступательного движения и можно говорить о скорости тела как целого. Траектории всех точек тела в этом случае суть конгруэнтные кривые, *г. е. такие кривые, которые при наложении совпадают всеми своими точками.

Равенство (8) имеет место в любой момент времени, т. е. представляет собой равенство функций: 智厶(£)=智丑(£) = w (£)• Поэтому, дифференцируя все части этого равенства по времени, получим:

誓= M = ИЛИз厶=з8 = 3. (9)

Таким образом, и ускорение W точек поступательно движущегося тела есть вектор свободный. Итак, при поступательном движении скорости и ускорения всех точек тела для каждого момента времени равны между собой.

Из всего предыдущего вытекает, что поступательное движение твердого тела вполне определяется движением одной из его точек.

Поступательное движение неизменяемой системы можно определить иначе» именно как движение, при котором для любого момента вре- мени все точки системы имеют равные скорости; из этого определения как следствие вытекают все остальные свойства поступательного движения. Если скорость поступательного движения постоянна, т. е. 力=const, то все точки системы движутся прямолинейно и равномерно; такое движение неизменяемой системы, на основании первого закона Ньютона, называется инерциальным. Если скорости всех точек неизменяемой системы равны между собой только для одного какого-либо момента, то из этого не следует, что система движется поступательно; в этом случае мы будем говорить, что неизменяемая система в данный момент имеет мгновенную поступательную скорость.

вращения. Если Мвращения. Если М

вращения. Если М

вращения. Если М

Вращательное движение. Угловая скорость и угловое ускорение. Если твердое тело движется так, что две его точки А и В

остаются неподвижными,остаются неподвижными,то движение тела называется вращательным, а прямая АВ ——осью вращения. При вращательном движении твердого тела траектории всех его точек суть окружности, плоскости которых перпендикулярны к оси вращения, а центры лежат на этой оси (рис, 82).

остаются неподвижными,

остаются неподвижными,

В самом деле, если М есть какая-нибудь точка тела, то в силу неизменяемости расстояний АМ и ВМ точка М должна постоянно оставаться как на поверхности сферы, описанной из А радиусом АМ, так и на поверхности сферы, описанной из 8 радиусом ВМ. Следовательно, она остается на линии пересечения обеих сфер, т. е. на окружности, плоскость которой перпендикулярна к АВ, центр лежит на этой прямой.

а радиус равен расстоянию точки от оси лежит на оси, то радиус окружности обращается

в нуль, так что точки оси вращения остаются неподвижными.

Положение вращающегося тела может быть определено взятым

с соответствующим знаком двугранным углом ф между двумя полу

плоскостями, проходящими через ось вращения, одна из которых, Q, неподвижна относительно системы отсчета, а другая, Р, неизменно связана с телом (рис. 83). Для определения знака <р совмещают с осью вращения координатную ось /N, и считают, что <р > 0, если с положительного конца оси z угол <р виден отложенным от неподвижной полуплоскости против хода стрелки часов (в правой системе отсчета).

Положение тела в любой момент времени £ определяется уравнением

中=①⑺，(10)

дающим закон вращательного движения.

Если за промежуток времени А/ угол <р получает приращение А(р, то величина

Q =謂(И)

называется средней угловой скоростью тела за данный промежуток времени. Предел, к которому стремится эта величина при А£-> 0, т. е.

з= Игл или s = §^=(p>(12)

д/->о А*

называется угловой скоростью тела в данный момент или просто угловой скоростью вращения твердого тела.

В общем случае о с течением времени изменяется» т. е.(о =(о(£). Если приращение(о за промежуток времени А/ равно А(о, то величина

называется средним угловым ускорением тела за данный промежуток времени. Предел, к которому стремится эта величина при А^—>0, т. е.

E =или е ==(о = ф,(14)

называется угловым ускорением тела в данный момент времени.

Размерности этих величин, когда угол ф измеряется в радианах, будут:

[(О] = ―—=；,同=鳥，(15)

J врел1я 7 J

а единицами измерения служат соответственно секГх и сем-2.

Состояние движения вращающегося твердого тела в данный момент характеризуют вектором (о, направленным по оси вращения (см. рис. 83). Длина этого вектора изображает в некотором масштабе модуль угловой скорости, т. е. |о|, а направление выбирается так, чтобы наблюдатель, смотрящий с конца вектора, видел вращение совершающимся против хода стрелки часов (по правилу правого винта).

Если бы правую систему координат мы заменили левой, то направление (о должно было бы быть заменено противоположным, так что со есть вектор аксиальный. Кроме того, очевидно» что со есть скользящий вектор, который можно считать приложенным в любой точке оси вращения.

Угловое ускорение вращающегося тела можно также изобразить в виде вектора г = -^, направленного вдоль оси вращения. При этом направление m совпадает с направлением (о, когда тело вращается ускоренно (т. е. так, что модуль угловой скорости со временем возрастает), и противоположно(о, когда вращение является замедленным.

Величины g и е, определяемые равенствами (12) и (14), выражают численное или алгебраическое значение угловой скорости и углового ускорения и представляют собой, по существу, проекции векторов со и s на ось, направлением которой определяется знак угла ф.

Если во все время движения (о= const, то вращение называется равномерным. Закон такого вращения, если обозначить через 屮口 начальный угол (в момент /= 0), будет:

①=例+(0九(16)

7 Н, Н Бухгольц

Если во все время движения е = const, то вращение называется равнопеременным. Закон этого вращения имеет вид

ди^ + Ц^ + Е方,ди^ + Ц^ + Е方,(17)(17)где со0—начальная угловая скорость (в момент t = 0). При этом угловая скорость вращения изменяется по закону:где со0—начальная угловая скорость (в момент t = 0). При этом угловая скорость вращения изменяется по закону:(18)(18)Формулы (16) и (17) получаются так же, как формулы (4) и (9) для прямолинейного движения точки (см. § 5).3. Скорости и ускорения точек вращающегося тела. Так как любая точка М тела совершает круговое движение, то по формуле (13) § 61yM =00m心(19)Формулы (16) и (17) получаются так же, как формулы (4) и (9) для прямолинейного движения точки (см. § 5).3. Скорости и ускорения точек вращающегося тела. Так как любая точка М тела совершает круговое движение, то по формуле (13) § 61yM =00m心(19)Из равенства (19) следует, что по модулю вектор w равен Imom^ ю|, ибо。。掰 есть плечо вектора ю относительно точки М (рис. 84). Согласно определению момента, легко установить, что w совпадаетИз равенства (19) следует, что по модулю вектор w равен Imom^ ю|, ибо。。掰 есть плечо вектора ю относительно точки М (рис. 84). Согласно определению момента, легко установить, что w совпадаетс глотаю и по направлению. Следовательно,智加=гпогпмЗ.(20)Если О есть произвольная точка оси, в которой приложен скользящий вектор ю, иг — ОМ, тос глотаю и по направлению. Следовательно,智加=гпогпмЗ.(20)Если О есть произвольная точка оси, в которой приложен скользящий вектор ю, иг — ОМ, то智川=momM(о = МО X з ==—ОМ X з = — г X w = з X 几智川=momM(о = МО X з ==—ОМ X з = — г X w = з X 几Таким образом, для всякой точки вращающегося твердого тела скорость w определяется формулой ЭйлераТаким образом, для всякой точки вращающегося твердого тела скорость w определяется формулой Эйлера田=(0 X儿田=(0 X儿(21)(21)Так как одновременно 智=第,то отсюда следует, что еслиТак как одновременно 智=第,то отсюда следует, что есливектор г изменяется(I川=const), товектор г изменяется(I川=const), тосо временем только по направлениюсо временем только по направлениюW = 3Xr,W = 3Xr,(22)(22)где (о ——угловая скорость поворота вектора. Формулой (22) часто удобно пользоваться при вычислении производной.Возьмем произвольную точку О на оси вращения за начало системы координат Oxyz и направим ось Oz вдоль оси вращениягде (о ——угловая скорость поворота вектора. Формулой (22) часто удобно пользоваться при вычислении производной.Возьмем произвольную точку О на оси вращения за начало системы координат Oxyz и направим ось Oz вдоль оси вращения

ди^ + Ц^ + Е方,

ди^ + Ц^ + Е方,

(17)

(17)

где со0—начальная угловая скорость (в момент t = 0). При этом угловая скорость вращения изменяется по закону:

где со0—начальная угловая скорость (в момент t = 0). При этом угловая скорость вращения изменяется по закону:

(18)

(18)

Формулы (16) и (17) получаются так же, как формулы (4) и (9) для прямолинейного движения точки (см. § 5).

3. Скорости и ускорения точек вращающегося тела. Так как любая точка М тела совершает круговое движение, то по формуле (13) § 6

1yM =00m心(19)

Формулы (16) и (17) получаются так же, как формулы (4) и (9) для прямолинейного движения точки (см. § 5).

3. Скорости и ускорения точек вращающегося тела. Так как любая точка М тела совершает круговое движение, то по формуле (13) § 6

1yM =00m心(19)

Из равенства (19) следует, что по модулю вектор w равен Imom^ ю|, ибо。。掰 есть плечо вектора ю относительно точки М (рис. 84). Согласно определению момента, легко установить, что w совпадает

Из равенства (19) следует, что по модулю вектор w равен Imom^ ю|, ибо。。掰 есть плечо вектора ю относительно точки М (рис. 84). Согласно определению момента, легко установить, что w совпадает

с глотаю и по направлению. Следовательно,

智加=гпогпмЗ.(20)

Если О есть произвольная точка оси, в которой приложен скользящий вектор ю, и

г — ОМ, то

с глотаю и по направлению. Следовательно,

智加=гпогпмЗ.(20)

Если О есть произвольная точка оси, в которой приложен скользящий вектор ю, и

г — ОМ, то

智川=momM(о = МО X з =

=—ОМ X з = — г X w = з X 几

智川=momM(о = МО X з =

=—ОМ X з = — г X w = з X 几

Таким образом, для всякой точки вращающегося твердого тела скорость w определяется формулой Эйлера

Таким образом, для всякой точки вращающегося твердого тела скорость w определяется формулой Эйлера

田=(0 X儿

田=(0 X儿

(21)

(21)

Так как одновременно 智=第,то отсюда следует, что если

Так как одновременно 智=第,то отсюда следует, что если

вектор г изменяется

(I川=const), то

вектор г изменяется

(I川=const), то

со временем только по направлению

со временем только по направлению

W = 3Xr,

W = 3Xr,

(22)

(22)

где (о ——угловая скорость поворота вектора. Формулой (22) часто удобно пользоваться при вычислении производной.

Возьмем произвольную точку О на оси вращения за начало системы координат Oxyz и направим ось Oz вдоль оси вращения

где (о ——угловая скорость поворота вектора. Формулой (22) часто удобно пользоваться при вычислении производной.

Возьмем произвольную точку О на оси вращения за начало системы координат Oxyz и направим ось Oz вдоль оси вращения

(см. рис. 84). Тогда s# = Gy = 0, a w^ —со, где (о—алгебраическое значение угловой скорости, и мы получим:

» j论

w =(oXl=0 0 (o(23)

X у z или

% = — зу, vy = ^x,% = 0・(24)

Равенства (24) дают проекции скорости любой точки М (х, у, z) вращающегося твердого тела на выбранные оси координат. Легко заметить при этом, что вид формул (24) не зависит от того, будут ли оси Oxyz неподвижными или же будут связаны с вращающимся телом. Следовательно, проекции скоростей ковариантны по отношению к переходу от неподвижной к подвижной системе осей (т. е. определяются в этих осях формулами одинакового вида).

Ускорение любой точки М вращающегося тела также находится по формулам кругового движения (стр. 75). Следовательно,

g — О% . е, 叫(=О0М • № 呦=о0Д4 伏£2 + ®4.(25)

Выражение для w можно еще получить из равенства (21)

*需=%® ХГ)= (需xh州务)，

ИЛИ

w = (s х r) + (<0 х ®).(26)

Из рис. 84 видно, что вектор s X г коллинеарен ю X ^ = ^^ т. е. направлен вдоль касательной к траектории, а вектор со X w направлен вдоль МО0, т. е. по главной нормали к траектории; следовательно,

е X r = wt( ®Х 筍=з3n.(27)

Из (27) и (19) находим |wt |= |е| г sin乙 О0ОМ = |е| 0%, ®% =(ои =(о20о/И, т. е. приходим к равенствам (25).

Если взять систему координатных осей Oxyz, в которой ось z направлена вдоль оси вращения, и представить wn в виде 仰％ = —(^OqM, то, согласно (26) и (27), будет:

w = (s X г) — ^O^M = О 0 е —屮。％.(28)

х у z

Отсюда получаем формулы для вычисления проекции ускорения любой точки М (х, у, z) вращающегося тела на выбранные оси координат:

叫=—gy — з2%, Wy = g% — w2y, ®z = 0・(29)

Эти формулы будут также ковариантны по отношению к переходу от неподвижной системы осей к подвижной.

Перманентная и мгновенная оси вращения. Если скорости точек тела, лежащих на оси АВ, равны нулю во все время 08〃％е・ ния» то эта ось называется перманентной или постоянной осью вращения. Изложенные выше результаты относятся именно к этому случаю. Если же скорости точек тела, лежащих на некоторой оси, равны нулю только в данный момент времени, то эта ось называется мгновенной осью вращения. Значения скоростей всех точек тела в этом случае также определяются формулой (21), где векторная величина ю, направленная по мгновенной оси вращения, называется мгновенной угловой скоростью тела. В отличие от перманентной оси, мгновенная ось вращения, а с ней и вектор мгновенной угловой скорости to непрерывно изменяют свое направление как в самом теле, так и по отношению к основной системе отсчета. Вследствие этого вектор & = -^- не будет совпадать по направлению с вектором (о и картина распределения ускорений точек тела будет отлична от изображенной на рис. 84; этот рисунок относится только к случаю, когда ось Oz перманентна (см. § 10).

§ 9・ Плоскопараллельное движение

Основные понятия. Плоскопараллельным (или плоским) дви

жением абсолютножением абсолютнотвердого тела называется такое движение, при

жением абсолютно

жением абсолютно

а перемещения АА! скости, заключаем,а перемещения АА! скости, заключаем,котором все точки тела движутся параллельно какой-нибудь неподвижной (основной) плоскости. Из геометрических соображений ясно, что при плоскопараллельном движении всякая прямая, скрепленная с телом (рис. 85) и перпендикулярная к основной плоскости, будет двигаться поступательно, т. е. параллельно самой себе (само же тело будет двигаться вообще не поступательно). В самом деле, если отрезок прямой /8, перпендикулярный к основной плоскости, за некоторый промежуток времени А£ переместится в положение А'В', то так как тело абсолютно твердое (АВ = ArBf), и 88’ должны быть параллельны основной пло- что фигура АВВ'А' — параллелограмм и ArBf^AB,

а перемещения АА! скости, заключаем,

а перемещения АА! скости, заключаем,

Отсюда следует, что движение точек тела, лежащих на прямой,

перпендикулярной к основной плоскости, определяется движением одной из этих точек, а движение всего тела ——движением параллельного основной плоскости сечения S тела в плоскости этого сечения.

Таким образом, рассмотрение плоскопараллельного движения тела

сводится к рассмотрению движения неизменяемой плоской фигуры в ее плоскости. При этом неизменяемой фигурой мы называем такую» у которой расстояние между любыми ее точками всегда остается

постоянным.

Строго говоря, рассматривая кинематически движение неизменяемой плоской фигуры в ее плоскости, мы рассматриваем движение всей плоскости, неизменно связанной с движущейся фигурой, относительно неподвижной плоскости, так что вопрос сводится к рассмотрению движения подвижной плоскости относительно неподвижной. Точно так же кинематическое рассмотрение движения абсолютно твердого тела сводится к рассмотрению движения подвижного про

Рис. 86.Рис. 86.странства, неизменно связанного с движущимся телом, относительно неподвижного.

Рис. 86.

Рис. 86.

Положение неизменяемой плоской фигуры в ее плоскости вполне определяется положением двух ее точек, или, что то же, положением отрезка прямой, соединяющей эти две точки, например отрезка АВ на рис. 86.

Основными видами движения плоской фигуры в ее плоскости являются поступательное и вращательное.

взятая в плоскости движущейсявзятая в плоскости движущейсяПоступательным движением плоской фигуры будет такое движение, при котором любая прямая.

взятая в плоскости движущейся

взятая в плоскости движущейся

фигуры, перемещается параллельно самой себе. Из этого определения следует, так же как и в случае твердого тела (см. § 8), что все точки фигуры (подвижной плоскости) в этом случае имеют равные

скорости и ускорения и описывают конгруэнтные траектории.

Вращательным движением фигуры в ее плоскости будет такое движение, при котором одна точка фигуры, называемая центром вращения, остается неподвижной. В этом движении все точки фигуры движутся по концентрическим окружностям, имеющим центр в центре вращения (см. рис. 66), причем скорости и ускорения точек пропорциональны их расстоянию до центра вращения, которое называется радиусом вращения, т. е.

vM—OM •①，(1)

wM = ОМ < у/干执(2)

где s и е — угловая скоппсть и угловое ускорений вращения. Ускорение точки фигуры 口户’ 1" мьном движении отклонено от радиуса Вращения на угол 厂 「 * для всех течек имеет одинаковую

и е, посколькуи е, посколькувеличину и зависит только от s

и е, поскольку

и е, поскольку

tgN =tgN =%%е(О2е(О2

tgN =

tgN =

%

%

е

(О2

е

(О2

Геометрическое рассмотрение движения плоской фигуры в ее плоскости. Теорема I. Всякое перемещение плоской фигуры 8 ее плоскости может быть составлено 毘з поступательного перемещения 〃 поворота около произвольного центра (полюса).

Пусть имеем два произвольных положения Пх и /7? плоской фигуры 〃，характеризуемые положениями АХВХ и А^^ отрезка ЛВ, неизменно связанного с этой фигурой (рис. 86). Поступательным движением фигуры П переместим ее из положения /7】в /73 так, чтобы точка <1 заняла положение Л2 (это перемещение определяется векто-

ром Л^з). Тогда отрезок АВ займет положение А^В^А^В^. При повороте фигуры около центра Л2 на угол В3Д2^2 отрезок Л2^з заЛ・ мет положение Л2В2, а фигура 77 — требуемое положение %*

В ходе доказательства в качестве полюса, выбор которого произволен, была взята точка А. При этом поступательное перемещение

фигуры определялось вектором АГА^ а вращательное — углом поворота Дф =乙 В3Л2В2. Если в качестве полюса взять другую точку, например В (рис. 87), то из положения /71 в И» фигура будет переведена поступательным перемещением, определяемым вектором В也 и поворотом вокруг полюса & на угол Аср^ = Д Л3В2Д2. Легко видеть, что 31^2 厘厶 1厶2， т・ е. что поступательная часть перемещения с изменением полюса меняется; угол же Аф' = Аф, так как эти углы образованы параллельными отрезками. Следовательно, вращательная часть движения фигуры от выбора полюса не зависит^ т. е. при любом полюсе, чтобы привести фигуру из положения Пх в положение 〃?，ее надо повернуть вокруг полюса на один и тот же угол Аф, равный углу между направлениями отрезков ЛД И /12^2*

Поскольку поступательная часть перемещения фигуры с изменением полюса меняется, оказывается возможным выбрать полюс так, чтобы эта часть перемещения вообще отсутствовала.

Теорема II. Всякое непоступательное перемещение плоской фигуры 8 ее плоскости может быть выполнено одним поворо-

том ее около определенного центра, называемого цент ром»

или полюсом конечного вращения.

Пусть имеем два произвольных положения Пх и 〃2 плоской фигуры П, характеризуемых положениями 儿当 и Л2В2 отрезка ДВ, неизменно связанного с этой фигурой (рис. 88), причем, согласно

0Рис. 88.0Рис. 88.условиям теоремы, ДДК^2^2* Если центр конечного вращения существует, то он должен находиться в такой точке О, которая была бы равно удалена от Ах и &, а также от Bt и %，так как должно быть 0Ах ~ ОД2 и ОВг == ОВ2. Следовательно, центр вращения должен находиться в точке О пересечения перпендику-

0

Рис. 88.

0

Рис. 88.

ляров, восставленных из сере

дин отрезков 4<2 к В】%. Докажем, что точка О действительно

есть центр вращения.

В самом деле, так как 40 = &О, BjO — В2О и 乙 40& = =乙 В^ОВ^ то при повороте фигуры на Д Л1ОЛ2 = Аср отрезок A1Bi совпадает с А2В2 и фигура из положения Пх перейдет в положение /72.

Равенство углов А1ОА2 и B^Bg легко доказать следующим образом. Из равенства соответственных сторон (А}В} — А^, ОАХ — ОД2 и ОВ[=。约)следует равенство треугольников А^В^О и Л2В2О, откуда 乙 А^ОВ^ — Д Я2ОВ2; прибавив к обеим частям последнего равенства по углу 6Q4，получим:

/_ Д]ОЛ2 乙 В]。％ = А(р.

При этом легко видеть, что угол Дер равен углу между направлениями отрезков АХВХ и А^^ т- е- остается таким же, как при повороте вокруг любого полюса по теореме I.

Доказанные теоремы касаются лишь вопроса о том, как можно переместить плоскую фигуру из какого-то одного фиксированного положения в другое. Однако, основываясь на них, можно представить и геометрическую картину движения плоской фигуры.

Всякое движение, в том числе и движение плоской фигуры в ее плоскости, непрерывно и может рассматриваться как непрерывная последовательность элементарных перемещений, которые по доказанным теоремам можно представить двумя способами.

Согласно теореме I элементарное перемещение можно получить путем бесконечно малого поступательного перемещения вместе с произвольно выбранным полюсом и поворота на бесконечно малый угол вокруг этого полюса. Отсюда вытекает, что всякое движение плоской, фигуры е ее плоскости можно рассматривать 总а*

совокупность поступательного движения, определяемого движением произвольно выбранного полюса, и вращательного движения вокруг этого полюса.

Согласно теореме II любое элементарное перемещение фигуры можно осуществить одним только поворотом на бесконечно малый угол вокруг некоторого определенного центра, называемого мгновенным центром вращения. Отсюда вытекает, что всякое непо- ступателъное движение плоской фигуры в ее плоскости можно рассматривать как непрерывную последовательность бесконечно малых поворотов вокруг мгновенных центров вращения- При этом положение мгновенного центра вращения непрерывно изменяется как в неподвижной плоскости, так и- в плоскости, связанной с движущейся фигурой.

Из доказанных теорем следует также, что поворот вокруг любого полюса или вокруг мгновенного центра происходит с одной и той же для данного момента времени угловой скоростью o)= lim Величина <о, не зависящая от выбора полюса, называется угловой скоростью фигуры в данный момент времени или мгновенной угловой скоростью.

будет в данный момент мгновенным центромбудет в данный момент мгновенным центром8・ Мгновенный центр вращения. Мгновенный центр вращения получается как предельное положение центра конечного вращения О (см. рис. 88), когда положение П2 фигуры неограниченно приближается к П^ Таким образом, этот центр представляет собой точку, элементарным поворотом вокруг которой фигура перемещается из данного положения в соседнее положение, бесконечно близкое к данному. Скорости всех точек Л1# Л2Ап плоской фигуры будут в данный момент перпендикулярны к радиусам вращения, соединяющим мгновенный центр Р с этими точками (рис. 89). Скорость точки плоской фигуры, совпадающей с центром Р, равна нулю; эту точку фигуры называют скоростей. Зная положение мгновенного

будет в данный момент мгновенным центром

будет в данный момент мгновенным центром

центра Р, можно, очевидно, найти в данный момент направление скорости любой точки плоской фигуры. Так как перпендикуляры к направлениям скоростей всех точек плоской фигуры, восставленные из этих точек, пересекаются в данный момент в центре Р, то для определения положения мгновенного центра вращения надо знать направления скоростей каких-нибудь двух точек фи,- 2y卩加；восставив из этих точек перпендикуляры к направлением их скоростей, получим в точке пересечения этих перпендикуляров мгновенный центр вращения Р.

4. Центроиды. Геометрическую картину движения плоской фигуры в ее плоскости можно еще представить с помощью так называемых центроид. Как указывалось, при движении плоской фигуры положение мгновенного центра вращения будет вообще непрерывно изме-

няться как на неподвижной плоскости, с движущейся фигурой. Геометрическое место мгновенных центров вращения на неподвижной плоскости есть, следовательно, непрерывная кривая, которая называется неподвижной цент- роидрй (или неподвижной полодией). Геометрическое место мгновенных центров вращения на подвижной плоскости, связанной с движущейся фигурой, есть также непрерывная кривая, называемая подвижной центроидой (или подвижной полодией).

Картину образования центроид можно представить себе следующим образом. Будем точки, принадлежащие неподвижной плоскости, обозначать значком (О), а подвижной — значком (X)- Пусть в некоторый момент времени 々

так и на плоскости, связанной

а)

точка (®) является

мгновенным цент-

ром вращения (рис. 90, а; эта точка обозначена знаком ® как принадлежащая одновременно и неподвижной и подвижной плоскостям). В следующий момент времени % (Рис- 90, 6),

刃

Рис, 90.

после поворота

вокруг нового мгно

венного центра, нит при этомвенного центра, нит при этомточки (О) и (X) разойдутся. Точка (О) сохра- свое положение в неподвижной плоскости Cgn，

венного центра, нит при этом

венного центра, нит при этом

а точка (X) поа точка (X) поотношению к плоскости Qgn переместится, но со-

а точка (X) по

а точка (X) по

хранит свое положение относительно подвижной плоскости; положения

нового мгновенного центра на неподвижной плоскости (О) и на под- 2 2

вижной (X) будут опять совпадать в точке (®) и т. д. Таким образом, мгновенные центры, соответствующие последовательным моментам времени (рис. 90, 8), действительно расположатся по непрерывным кривым ——центроидам, В каждый момент времени обе центроиды будут касаться друг друга в мгновенном центре вращения» соответствующем этому моменту.

После элементарного поворота фигуры вокруг данного мгновен* ного центра подвижная центроида, повернувшись вместе с фигурой^ соприкоснется с неподвижной в новой точке, которая будет мгно-

венным центром для следующего момента времени и т. д.

Следовательно, при движении фигуры подвижная центроида катится по неподвижной без скольжения (точка касания, являющаяся

для фигуры мгновеннымдля фигуры мгновеннымцентром скоростей, имеет скорость, равную

для фигуры мгновенным

для фигуры мгновенным

//еподЬижная центроида//еподЬижная центроидаПодвижная ллосность и пбабижнаа центроидаПодвижная ллосность и пбабижнаа центроидаРис 91.Рис 91.нулю). Пользуясь этой картиной, данной Пуансо, можно всякое непоступательное движение плоской фигуры в ее плоскости осуществить геометрически качением без скольжения неизменно связанной с этой фигурой подвижной центроиды по неподвижной (рис. 91).

//еподЬижная центроида

//еподЬижная центроида

Подвижная ллосность и пбабижнаа центроида

Подвижная ллосность и пбабижнаа центроида

Рис 91.

Рис 91.

Так, например, если круг D (рис. 92) катится без скольжения по прямой d, то окружность круга будет подвижной, а прямая d ——неподвижной центроидой. Мгновенный центр вращения будет в точке Р касания обеих центроид.

Чтобы представить кинематическую картину движения, надо еще в каждый

Рис. 92. момент времени задать угловую скорость фигуры, т. е. задать о(0*

Траектория какой-либо точки М фигуры по отношению к неподвижной центроиде является рулеттой (рис. 93). Рулеттой вообще называется траектория какой-либо точки плоскости, неизменно свя

занной с плоской фигурой, катящейся без скольжения по неподвижной кри* вой» называемой базой. Например, при качении одной окружности по другой рулета ами будут укороченные и растянутые эпи- или гипоциклоиды.

При решении некоторых кинематических задач можно пользоваться принципом обратимости движения, т. е. считать за основ

ную, неподвижную, плоскость — подвижную, а за подвижную—ту, которая раньше считалась неподвижной. При таком обращении движения, очевидно, подвижная и неподвижная центроиды поменяются ролями. Это бывает удобно при решении задач на нахождение центроид.

Пример. Рассмотрим движение отрезка прямой, концы которого движутся по сторонам прямого угла, так называемое карданово движение (рис. 94). Ясно, что скорости концов отрезка АВ будут направлены по сторонам прямого угла АСВ.

Поэтому мгновенным центром вращения будет точка Р пересечения перпендикуляров к этим сторонам, проведенных из точек Л и В. При движении мгновенный центр Р будет остава1ься на постоянном расстоянии от точки С, так как для любого положения отрезка АВ всегда PC — АВ = const; следовательно, неподвижной центроидой будет окружность, описанная из С, как из центра, радиусом СР. Чтобы найти подвижную центроиду, воспользуемся принципом об- мратимости и, считая отрезок АВ не-

,подвижным, найдем неподвижную цен-

Xтроиду для движения прямого угла»

?м = Ра + г-равенства по?м = Ра + г-равенства поНо так как АМ = const, тоНо так как АМ = const, товектор г изменяетсявектор г изменяетсяфигуры только по направлению. Следовательно, дляфигуры только по направлению. Следовательно, дляdrлива формула (22) § 8, т. е.不 dp аа / = % и мы получаем:drлива формула (22) § 8, т. е.不 dp аа / = % и мы получаем:при движении него справед-при движении него справед-=(о X ^* Кроме того, —^ =暫加,=(о X ^* Кроме того, —^ =暫加,

?м = Ра + г-

равенства по

?м = Ра + г-

равенства по

Но так как АМ = const, то

Но так как АМ = const, то

вектор г изменяется

вектор г изменяется

фигуры только по направлению. Следовательно, для

фигуры только по направлению. Следовательно, для

dr

лива формула (22) § 8, т. е.不 dp а

а / = % и мы получаем:

dr

лива формула (22) § 8, т. е.不 dp а

а / = % и мы получаем:

при движении него справед-

при движении него справед-

=(о X ^* Кроме того, —^ =暫加,

=(о X ^* Кроме того, —^ =暫加,

скользящего своими сторонами по концам отрезка АВ (рис. 95). Мгновенный центр Р очевидно, опишет в этом движении окружность, имеющую диаметром отрезок АВ. так как во все время движения РА J_ РВ; эта окружность, служащая для обращенного движения неподвижной центроидой, для необращенного движения явится искомой подвижной центроидой (окруж- кость с центром в С для обращенного движения будет, очевидно, подвижной центроидой).

Таким образом, карданово движение можно осуществить качением окружности, диаметр которой равен длине движущегося отрезка, по внутренней стороне окружности с диаметром, равным удвоенной длине отрезка.

Скорости точек плоской фигуры. Пусть плоская фигура движется по отношению к основной системе отсчета 0Jn (рис. 96), в которой положения полюса Л и произвольной точки М определяются соответственно радиусами-векторами рл и г” Тогда в любой момент времени между Векторами р<, р^ и

г = ЛМ имеет место соотношение Дифференцируя обе части этого времени, будем иметь:

dt — dt dt '

(4)(4)。"=办十sXr или VM = VA^-VMA.

(4)

(4)

Таким образом, в соответствии с теоремой о сложении скоростей, скорость любой точки М плоской фигуры складывается из: 1) скорости 砂』произвольно выбранного полюса Л, общей для всех точек фигуры; это скорость поступательной части движения фигуры; и 2) скорости vma — ia % rt происходящей ,,@Авследствие вращения фигуры вокруг по/ 1^люса Л (рис. 97). Вектор vMA направлен //^ки〕\ перпендикулярно к МА в сторону вра-

〈 / Jpj А \ щения фигуры, а по модулю ^д = о • АМ.

^iI 7^\ 1\ Полученный результат позволяет най-

I 乂^ ^XJkI ти скорость любой точки фигуры, если

I у<\. з^А / известны скорость какой-нибудь одной %wее точки А и угловая скорость фигуры о.

Другие способы определения скоростей

Рис. 97.точек плоской фигуры вытекают из рас

сматриваемых ниже теорем.

Теорема I. Если известны, скорость какой-либо точки фигуры й направление скорости другой ее точки, то можно определить скорость любой точка плоскости этой фигуры-

с помощью мгновенного центра вращения.

равенства% = s • РАравенства% = s • РАРис. 98,Рис. 98,Пусть даны скорость точки А и направление скорости точки В. По данным направлениям скоростей в точках 4KB (рис. 98) строим мгновенный центр вращения Р. Тогда из

равенства

% = s • РА

равенства

% = s • РА

Рис. 98,

Рис. 98,

8 = К8 = К(5)(5)находим мгновенную угловую скорость s вращения фигуры

8 = К

8 = К

(5)

(5)

皆附=S • PM = vA - 了才,皆附=S • PM = vA - 了才,⑹⑹Отсюда скорость vM произвольной точки М фигуры в этот момент будет:

皆附=S • PM = vA - 了才,

皆附=S • PM = vA - 了才,

⑹

⑹

а направление 2M перпендикулярно к РИ.

Равенство (6) показывает, что в каждый данный момент времени скорости всех точек плоской фигуры пропорциональны их расстояниям от мгновенного центра вращения.

Если направления заданных скоростей 暫厶 и 砂月 будут между собой параллельны, то доказанная теорема теряет силу. При этом может иметь место один из следующих случаев.

^л||фв, но точки % н 3 не лежат на общем перпендикуляре к vA (рис. 99). В этом случае, как видно из рисунка, мгновенный центр Р лежит в бесконечности и равенство (5) дает о = 0.

Тогда из формулы (4) следует, что скорость любой точки фигурыТогда из формулы (4) следует, что скорость любой точки фигуры暫加=暫幺，т. е. имеет место мгновенное поступательное распределение暫加=暫幺，т. е. имеет место мгновенное поступательное распределениескоростей.

Тогда из формулы (4) следует, что скорость любой точки фигуры

Тогда из формулы (4) следует, что скорость любой точки фигуры

暫加=暫幺，т. е. имеет место мгновенное поступательное распределение

暫加=暫幺，т. е. имеет место мгновенное поступательное распределение

б)办|隔，а точки А и В лежат на общем перпендикуляре к АВ (рис. 100). В этом случае перпендикуляры АР и ВР к векторам vA и "в сливаются и для определения положения точки Р надо дополнительно знать модули обеих скоростей. Тогда, согласно формуле (6), будет:

и точка Р найдется как пересечение прямой, соединяющей концы векторов, изображающих скорости 暫а и 暫в，с прямой АВ.

Следовательно, в этом случае для нахождения скорости любой точки фигуры надо знать модули и направления скоростей обеих точек Л и В.

Если, в частности, будет 暫厶二暫^, то опять имеет место мгновенное поступательное распределение скоростей и для любой точки фигуры 暫=暫4*

В заключение отметим, что если плоское

Рис. 100.Рис. 100.движение фигуры осуществляется путем качения ее без скольжения по некоторой неподвижной линии (как, например, на рис. 92), то контур фигуры и эта линия будут соответ

Рис. 100.

Рис. 100.

ственно подвижной и неподвижной центроидами и, следовательно,

точка их касания будет мгновенным центром вращения. Для определения скорости любой точки фигуры надо в этом случае знать только скорость какой-нибудь одной из ее точек.

Во всех случаях, когда мгновенный центр Р найден, угловая скорость фигуры или скорость любой ее точки вычисляются по формулам (5) и (6).

Теорема И. Проекции скоростей концов неизменяемого отрезка

на его направление равны между

собой. Пусть vA и "в суть скорости концов отрезка АВ (рис. 101). Восставив из точек А и В перпендикуляры к соответствующим ско

ростям, найдем мгновенный центр вращения Р, Если мгновенная

угловая скорость отрезка АВ равна со, то скорости точек А н 8

будут:

皆4 = S"P<，&B = S，P6,

а их проекции на отрезок АВ

АА! = (^л)лв =皆4 cos а = s，РА • cosa = s九,、

ВВ! = (^в)дв =皆в cos Р —о • РВ ・ cos 0 = s力，

где h есть длина перпендикуляра, опущенного из Р на направление отрезка /В・ Следовательно,

^°а)ав = ("вПв，

⑺⑺что и требовалось доказать.

⑺

⑺

Примеры. 1. При свободном падении середина С стержня АВ длиной 2/ движется вертикально вниз с постоянным ускорением g, а сам стержень вращается вокруг центра С с постоянной угловой скоростью ©, двигаясь в вертикальной плоскости (рис. 102). В начальный момент стержень горизонтален. Найти скорости его концов Л и В в любой момент времени £.

Рис. 103Рис. 103По формуле (4) J = % + jc，仪" ％ = g£ (вектор % вертикален), a vAC = ©Z, причем 讶力匸丄。兑・ Угол между % и 讶力© равен углу поворота стержня ф = ©t Следовательно,

Рис. 103

Рис. 103

vA = Vg2t2 + ^l2 4- 2gta)l cos <ot

Аналогично определяется скорость точки В.

4 2. Определить угловую скорость и скорости точек обода колеса радиуса 友，катящегося без скольжения по прямолинейному рельсу, зная скорость vA центра Л колеса (рис. 103).

Будем положение любой точки М на ободе определять углом МРА = о. Так как колесо катится без скольжения, то точка касания 戶 является в данный момент мгновенным центром вращения. Пользуясь результатами, выте-

кающими из теоремы L находим:

吟吟РМ — PAРМ — PA

吟

吟

РМ — PA

РМ — PA

Ho PM — РВ ■ cos а = 2 • РА ♦ cos аHo PM — РВ ■ cos а = 2 • РА ♦ cos аокончательноокончательно

Ho PM — РВ ■ cos а = 2 • РА ♦ cos а

Ho PM — РВ ■ cos а = 2 • РА ♦ cos а

окончательно

окончательно

8=不'8=不'力，=2и / cos а.力，=2и / cos а.(a)(a)

8=不'

8=不'

力，=2и / cos а.

力，=2и / cos а.

(a)

(a)

При этом 讶附丄 РМ, т. e. направление скорости любой точки обода в данный момент времени проходит через конец 8 вертикального диаметра. Наибольшую скорость % = 2% имеет точка В.

Расчет по формуле (4) оказался бы в этом случае значительно сложнее, в чем предоставляем убедиться читателю (для определения © при этом расчете надо использовать то условие, что vp — 0); теоремой II мы здесь сразу воспользоваться не можем, так как не знаем направления 讶附；однако, установив, что % 丄 PMt легко получить результат (а) и по теореме И.

Методы кинематики часто применяются к изучению движения меха~ низмов, т. е. систем попарно соединенных между собой тел (звеньев), каждое из которых имеет определенное движение по отношению к другим. Когда все звенья движутся в параллельных плоскостях, механизм называется плоским. Рассмотрим два плоских механизма: а) четырехзвенник ABCD (рис. 104), состоящий из шарнирно соединенных стержней, в котором звено AD

неподвижно, и б) кривошипно-шатунный механизм (рис. 105), состоящий из кривошипа АВ, шатуна ВС и ползуна С (шатун соединен с кривошипом и ползуном шарнирами). Механизмы имеют одну степень свободы. Покажем, что, зная скорость какой-нибудь точки К такого механизма, можно найти скорость любой другой его точки Е,

Пусть нам известна скорость % какой-либо точки К звена АВ. Тогда нам будет известна и угловая скорость ①厶石 звена АВ, так как ①4^ =竺«厶人 С другой . стороны, зная ①厶吕，мы можем найти скорость © точки В, принадлежащей одновременно звену 8С, а именно vв = ©лв • АВ и 舒石 丄"8. Одновременно нам известно направление скорости vc другой точки С

звена ВС: в случав а) % 丄 CD, так как точка С принадлежит одновременно звену CDt а в случае б) % параллельна направляющим, так как точка С принадлежит одновременно ползуну.

Восставляя в точках В и С перпендикуляры к 讶石 и %, найдем в месте их пересечения мгновенный центр вращения 戶 звена ВС Тогда по формулам (5) и (6)

Vd АВ•РЕ

юзс = ~р§~;%—pg —

Если провести отрезок Ае || Р£, то из подобия треугольников АВе и РВЕ имеем:

РЕ — Ае而h力，

и скорость vB выразится через ①力石 в внде

VE^aAB-Ae-

Аналогично найдем, что ^с = ®лв * Ас, где Лс||РС, и т. д. Таким образом, скорости различных точек звена ВС пропорциональны соответствующим отрезкам, проведенным из точки Л параллельно мгновенным радиусам вращения этих точек.

Заметим, что все доказанные выше теоремы справедливы для данного твердого тела, а в случае механизма ——для каждого данного звена механизма в отдельности. Поэтому если Р является мгновенным центром вращения звена ВС, то для любой точки этого звена ^£ = ®вс • РЕ, но, например, для точки К такое соотношение не имеет места ①长用 ^вс。「F так

как точка К принадлежит другому звену (звену ЛВ), имеющему центр вращения в точке Л, и v^ юдй ' ^^- Отметим интересный частный случай. Если в четырехзвеннике ABCD будет АВ = DC и AD = ВС, то он образует шарнирный параллелограмм (рис. 106). При этом в любой момент вре* меня ©в If ©с» а следовательно,舒в = ^с・ Звено ВС движется в этом случае поступательно.

Для кривошипно-шатунного механизма подобный случай имеет место в момент» когда /, САВ =» 90° (рис. 107), но, в отличйе от шарнирного параллелограмма, скорости всех точек звена ВС будут равны друг другу только в данный момент времени, т. е. здесь имеет место мгновенное поступательное распределение скоростей.

Рассмотрим еще пример механизма, состоящего из трех стержней длиной О А = 2г, ВС~Ц DC — г и двух шестерен радиуса г (рис. 108). Шестерня /, ось которой насажена на конец Л стержня 04, обкатывается

по неподвижной шестерне 2. Стержень ВС прикреплен в точках В и С к шестерне / н стержню DC шарнираии. Оси вращения О н D стержней ОА и DC, лежащие на одной горизонтали, неподвткны. Найдем угловые скорости(0] шестерни ! и ®BC стержня ВС в момент, когда стержни ОА и ВС горизонтальны, а стержень QC вертикален, считая угловую скорость %幺 стержня ОА в этот момент известной.Для определения угловой скорости тела надо зиать скорость какой- нибудь его точки и расстояние этой точки от центра вращения. По данным Задачи ^д = ®од • 2г. Мгновенный центр вращения шестерни /, катящейся без скольжения по шестерне 2, нако-> рдится в точке их касания Pv Следова-达 *тельно, % 丄片8・ С другой стороны,/ 丨по неподвижной шестерне 2. Стержень ВС прикреплен в точках В и С к шестерне / н стержню DC шарнираии. Оси вращения О н D стержней ОА и DC, лежащие на одной горизонтали, неподвткны. Найдем угловые скорости(0] шестерни ! и ®BC стержня ВС в момент, когда стержни ОА и ВС горизонтальны, а стержень QC вертикален, считая угловую скорость %幺 стержня ОА в этот момент известной.Для определения угловой скорости тела надо зиать скорость какой- нибудь его точки и расстояние этой точки от центра вращения. По данным Задачи ^д = ®од • 2г. Мгновенный центр вращения шестерни /, катящейся без скольжения по шестерне 2, нако-> рдится в точке их касания Pv Следова-达 *тельно, % 丄片8・ С другой стороны,/ 丨скорость ©л _L "[ а % 丄 £>С. Отсюда по теореме II находим, что % cos 45° = =d人 н 刃в cos 45° = ^с・ Таким образом,Зная направления в^ и 讶匸,строим мгновенный центр вращения Р? стержня ВС. При этом, как видно из рисунка, Р2С = Z. Окончательно находим:2r %喩= =7%，% =审=2眼.скорость ©л _L "[ а % 丄 £>С. Отсюда по теореме II находим, что % cos 45° = =d人 н 刃в cos 45° = ^с・ Таким образом,Зная направления в^ и 讶匸,строим мгновенный центр вращения Р? стержня ВС. При этом, как видно из рисунка, Р2С = Z. Окончательно находим:2r %喩= =7%，% =审=2眼.ggРис. 108.Рис. 108.券券22Заметим, что было бы ошибочно искать какой-то центр вращения, восставляя перпендикуляры к скоростям 外丛 и 讶匕，так как точки Л и С принадлежат разным телам.В этом примере, как и в предыдущих, механизм имел одну степень свободы, т. е. движение механизма определялось движением одного враща-Заметим, что было бы ошибочно искать какой-то центр вращения, восставляя перпендикуляры к скоростям 外丛 и 讶匕，так как точки Л и С принадлежат разным телам.В этом примере, как и в предыдущих, механизм имел одну степень свободы, т. е. движение механизма определялось движением одного враща-тельно (или поступательно) перемещающего механизме шестерня 2 будет вращаться вокруг оси О (независимо от стержня ОЛ), то механизм будет иметь две степени свободы. Движете такого механизма определяется заданием вращательного (или поступательного) двиисётшя двух звеньев. Пусть в данный момент будут известны угловые скорости % шестерни 2 и (»04 стержня ОА, вращающихся независимо друг от друга в одну и ту же сторону (рис. 109; стержни ВС и CD на нем нетельно (или поступательно) перемещающего механизме шестерня 2 будет вращаться вокруг оси О (независимо от стержня ОЛ), то механизм будет иметь две степени свободы. Движете такого механизма определяется заданием вращательного (или поступательного) двиисётшя двух звеньев. Пусть в данный момент будут известны угловые скорости % шестерни 2 и (»04 стержня ОА, вращающихся независимо друг от друга в одну и ту же сторону (рис. 109; стержни ВС и CD на нем незвена. Если в рассмотренномзвена. Если в рассмотренноммодули и на-модули и на-определяютсяопределяютсяпоказаны). Найдем в этот момент угловую скорость ®[ шестерни 人По условиям задачи для шестерни / ле1КО _правления скоростей двух ее точек:切长=%г (К — точка касанияи vA = ©ол ■ 2г; обе скорости параллельны. Тогда мгновенный центр вращения 修 шестерни / находится построением, аналогичным показанному на рис. 100 (в этом случае мгновенный центр уже не будет в точке К， такпоказаны). Найдем в этот момент угловую скорость ®[ шестерни 人По условиям задачи для шестерни / ле1КО _правления скоростей двух ее точек:切长=%г (К — точка касанияи vA = ©ол ■ 2г; обе скорости параллельны. Тогда мгновенный центр вращения 修 шестерни / находится построением, аналогичным показанному на рис. 100 (в этом случае мгновенный центр уже не будет в точке К， таккак шестерня 2 вращается). По формуле (5) имеем:как шестерня 2 вращается). По формуле (5) имеем:»i»iСледовательно, % — 2©одСледовательно, % — 2©одКТ в >if =修 А 二PR'—юя*КТ в >if =修 А 二PR'—юя*шестерен)шестерен)

по неподвижной шестерне 2. Стержень ВС прикреплен в точках В и С к шестерне / н стержню DC шарнираии. Оси вращения О н D стержней ОА и DC, лежащие на одной горизонтали, неподвткны. Найдем угловые скорости(0] шестерни ! и ®BC стержня ВС в момент, когда стержни ОА и ВС горизонтальны, а стержень QC вертикален, считая угловую скорость %幺 стержня ОА в этот момент известной.

Для определения угловой скорости тела надо зиать скорость какой- нибудь его точки и расстояние этой точки от центра вращения. По данным Задачи ^д = ®од • 2г. Мгновенный центр вращения шестерни /, катящейся без скольжения по шестерне 2, нако-> р

дится в точке их касания Pv Следова-达 *

тельно, % 丄片8・ С другой стороны,/ 丨

по неподвижной шестерне 2. Стержень ВС прикреплен в точках В и С к шестерне / н стержню DC шарнираии. Оси вращения О н D стержней ОА и DC, лежащие на одной горизонтали, неподвткны. Найдем угловые скорости(0] шестерни ! и ®BC стержня ВС в момент, когда стержни ОА и ВС горизонтальны, а стержень QC вертикален, считая угловую скорость %幺 стержня ОА в этот момент известной.

Для определения угловой скорости тела надо зиать скорость какой- нибудь его точки и расстояние этой точки от центра вращения. По данным Задачи ^д = ®од • 2г. Мгновенный центр вращения шестерни /, катящейся без скольжения по шестерне 2, нако-> р

дится в точке их касания Pv Следова-达 *

тельно, % 丄片8・ С другой стороны,/ 丨

скорость ©л _L "[ а % 丄 £>С. Отсюда по теореме II находим, что % cos 45° = =d人 н 刃в cos 45° = ^с・ Таким образом,

Зная направления в^ и 讶匸,строим мгновенный центр вращения Р? стержня ВС. При этом, как видно из рисунка, Р2С = Z. Окончательно находим:

2r %

喩= =7%，% =审=2眼.

скорость ©л _L "[ а % 丄 £>С. Отсюда по теореме II находим, что % cos 45° = =d人 н 刃в cos 45° = ^с・ Таким образом,

Зная направления в^ и 讶匸,строим мгновенный центр вращения Р? стержня ВС. При этом, как видно из рисунка, Р2С = Z. Окончательно находим:

2r %

喩= =7%，% =审=2眼.

g

g

Рис. 108.

Рис. 108.

券

券

2

2

Заметим, что было бы ошибочно искать какой-то центр вращения, восставляя перпендикуляры к скоростям 外丛 и 讶匕，так как точки Л и С принадлежат разным телам.

В этом примере, как и в предыдущих, механизм имел одну степень свободы, т. е. движение механизма определялось движением одного враща-

Заметим, что было бы ошибочно искать какой-то центр вращения, восставляя перпендикуляры к скоростям 外丛 и 讶匕，так как точки Л и С принадлежат разным телам.

В этом примере, как и в предыдущих, механизм имел одну степень свободы, т. е. движение механизма определялось движением одного враща-

тельно (или поступательно) перемещающего механизме шестерня 2 будет вращаться вокруг оси О (независимо от стержня ОЛ), то механизм будет иметь две степени свободы. Движете такого механизма определяется заданием вращательного (или поступательного) двиисётшя двух звеньев. Пусть в данный момент будут известны угловые скорости % шестерни 2 и (»04 стержня ОА, вращающихся независимо друг от друга в одну и ту же сторону (рис. 109; стержни ВС и CD на нем не

тельно (или поступательно) перемещающего механизме шестерня 2 будет вращаться вокруг оси О (независимо от стержня ОЛ), то механизм будет иметь две степени свободы. Движете такого механизма определяется заданием вращательного (или поступательного) двиисётшя двух звеньев. Пусть в данный момент будут известны угловые скорости % шестерни 2 и (»04 стержня ОА, вращающихся независимо друг от друга в одну и ту же сторону (рис. 109; стержни ВС и CD на нем не

звена. Если в рассмотренном

звена. Если в рассмотренном

модули и на-

модули и на-

определяются

определяются

показаны). Найдем в этот момент угловую скорость ®[ шестерни 人

По условиям задачи для шестерни / ле1КО _

правления скоростей двух ее точек:切长=%г (К — точка касания

и vA = ©ол ■ 2г; обе скорости параллельны. Тогда мгновенный центр вращения 修 шестерни / находится построением, аналогичным показанному на рис. 100 (в этом случае мгновенный центр уже не будет в точке К， так

показаны). Найдем в этот момент угловую скорость ®[ шестерни 人

По условиям задачи для шестерни / ле1КО _

правления скоростей двух ее точек:切长=%г (К — точка касания

и vA = ©ол ■ 2г; обе скорости параллельны. Тогда мгновенный центр вращения 修 шестерни / находится построением, аналогичным показанному на рис. 100 (в этом случае мгновенный центр уже не будет в точке К， так

как шестерня 2 вращается). По формуле (5) имеем:

как шестерня 2 вращается). По формуле (5) имеем:

»i

»i

Следовательно, % — 2©од

Следовательно, % — 2©од

КТ в >if =修 А 二PR'

—юя*

КТ в >if =修 А 二PR'

—юя*

шестерен)

шестерен)

8 Н. Н Бухгольц

7. дают точек

Графическое построение скоростей. Изложенные в п. 5 теоремы возможность простого графического построения скоростей любых плоской фигуры (или связанной с ней подвижной плоскости) по ско-

ростам двух точек. Начнем с построения скоростей точек отрезка.

а) Пусть скорости точек Л и В направлены перпендикулярно отрезку АВ (рис. 110). Тогда, как мы знаем, для определения скорости любой точки

Рис. 110,

(рис. 111). Разложим vA

на

и @厶2， направленную вдоль Поэтому, отложив от точки

фигуры надо знать величины vA и 刃石・ 口Р11 этом мгновенный центр вращения Р строится так, как показано на рис. 100. Скорости всех точек отрезка АВ будут также к нему перпендикулярны, а концы их лежат на прямой 厶 поскольку для произвольной точки М скорость。力,=со - РМ,

б) Если скорость 0厶 не перпендикулярна к отрезку АВ, то для определения скорости любой точки надо знать вектор % и направление ВЬ скорости % составляющие 舒厶】，перпендикулярную к АВ, АВ. По теореме II должно быть ^в2 = v^.

В

Рис. Ш.

вектор г?в2 = @厶？ н восставив из его конца перпендикуляр к ДВ до пересечения с линией ВЬ, найдем вектор ©в( а затем и

его составляющую точки М на прямой

舒 г Скорость любой АВ можно построить

как геометрическую сумму составляющей ^2，направленной вдоль АВ и одинаковой для всех точек прямой ①附？—舒雁), и составляющей ©^р перпендикулярной к

АВ.

концы векторов ^т

При этом

всех точек отрезка лежат, очевидно, на линии 々，соединяющей концы 讶川 и ©вг Так как скорость любой точки М получается от сложения 讶加]с одним и тем же для всех точек вектором 刃附？， т0 концы всех векторов 舒附 расположатся на прямой I、получающейся из 厶 параллельным смещением. Окончательно построение будет следующим. Зная 讶力 и построив 舒е， проводим через их концы прямую /. Для нахождения 舒屈

откладываем от точки А1 вектор ^2 ^ 舒厶？ и из его конца восставляем перпендикуляр к АВ до пересечения с линией I в точке т. Тогда Мт =舒附・ Скорость любой точки £ фигуры, не лежащей на отрезке АВ, определяется в обоих случаях следующим построением. Зная vA и найдя (или зная) ^в，соединяем точку Е с точками Л и В (рис. 112). Откладываем от точки 七 вектор Ее{ = Аа и вектор £& = Bbt где Аа и 瓦一соответственно ортогональные составляющие @厶 по направлению АЕ и vB по направлению BE. Восставив из е^ перпендикуляр к АЕ, а из е2 перпендикуляр к BE, найдем точку их пересечения е. Тогда Ее = ^. Справедливость этого построения следует из теоремы II.

8. План скоростей. Для графического определения скоростей точек плоской фигуры удобно пользоваться планом скоростей. Пусть даны скорость 暫厶 точки А и направление ВЬ скорости точки В8. План скоростей. Для графического определения скоростей точек плоской фигуры удобно пользоваться планом скоростей. Пусть даны скорость 暫厶 точки А и направление ВЬ скорости точки В(рис. ИЗ). Отложим от произвольной точки О в выбранном масштабе вектор。@ =办(рис. 114) и проведем луч 。瓦 параллельный Bb^ По формуле (4) должно быть 必в = "а + "в4， где ”64 J_ 厶6・ Следовательно, если из точки Q провести прямую @瓦 направленную перпендикулярно к АВ, до ее пересечения с линией ОЬ, то вектор ОЬ даст в том же масштабе скорость 暫в，а вектор ab скорости любой точки С фигуры,(рис. ИЗ). Отложим от произвольной точки О в выбранном масштабе вектор。@ =办(рис. 114) и проведем луч 。瓦 параллельный Bb^ По формуле (4) должно быть 必в = "а + "в4， где ”64 J_ 厶6・ Следовательно, если из точки Q провести прямую @瓦 направленную перпендикулярно к АВ, до ее пересечения с линией ОЬ, то вектор ОЬ даст в том же масштабе скорость 暫в，а вектор ab скорости любой точки С фигуры,будет равен ^вд. Для нахождения не лежащей на АВ, надо( очевидно,будет равен ^вд. Для нахождения не лежащей на АВ, надо( очевидно,провести из точки а прямую ас, к АС, а из точки Ь ——прямую Ьс,провести из точки а прямую ас, к АС, а из точки Ь ——прямую Ьс,ЗС, до их взаимного пересечения в точке с. той же формулы (4) заключаем, что ^с — Ос; при этом ас —^са^ Ьс = *°св・ Построенная на рис, 114 фигура и называется планом скоро- <тей.Как известно, ab = vBA — со • АВ, ас = =*^С4 = s * <С, be — Vqb = ^ • ВС; следова- Т'ельно,ab ас be zo.痴=而=砖=… =з. (8)ЗС, до их взаимного пересечения в точке с. той же формулы (4) заключаем, что ^с — Ос; при этом ас —^са^ Ьс = *°св・ Построенная на рис, 114 фигура и называется планом скоро- <тей.Как известно, ab = vBA — со • АВ, ас = =*^С4 = s * <С, be — Vqb = ^ • ВС; следова- Т'ельно,ab ас be zo.痴=而=砖=… =з. (8)направленную перпендикулярно направленную перпендикулярнонаправленную перпендикулярно направленную перпендикулярноТогда на основанииТогда на основании

8. План скоростей. Для графического определения скоростей точек плоской фигуры удобно пользоваться планом скоростей. Пусть даны скорость 暫厶 точки А и направление ВЬ скорости точки В

8. План скоростей. Для графического определения скоростей точек плоской фигуры удобно пользоваться планом скоростей. Пусть даны скорость 暫厶 точки А и направление ВЬ скорости точки В

(рис. ИЗ). Отложим от произвольной точки О в выбранном масштабе вектор。@ =办(рис. 114) и проведем луч 。瓦 параллельный Bb^ По формуле (4) должно быть 必в = "а + "в4， где ”64 J_ 厶6・ Следовательно, если из точки Q провести прямую @瓦 направленную перпендикулярно к АВ, до ее пересечения с линией ОЬ, то вектор ОЬ даст в том же масштабе скорость 暫в，а вектор ab скорости любой точки С фигуры,

(рис. ИЗ). Отложим от произвольной точки О в выбранном масштабе вектор。@ =办(рис. 114) и проведем луч 。瓦 параллельный Bb^ По формуле (4) должно быть 必в = "а + "в4， где ”64 J_ 厶6・ Следовательно, если из точки Q провести прямую @瓦 направленную перпендикулярно к АВ, до ее пересечения с линией ОЬ, то вектор ОЬ даст в том же масштабе скорость 暫в，а вектор ab скорости любой точки С фигуры,

будет равен ^вд. Для нахождения не лежащей на АВ, надо( очевидно,

будет равен ^вд. Для нахождения не лежащей на АВ, надо( очевидно,

провести из точки а прямую ас, к АС, а из точки Ь ——прямую Ьс,

провести из точки а прямую ас, к АС, а из точки Ь ——прямую Ьс,

ЗС, до их взаимного пересечения в точке с. той же формулы (4) заключаем, что ^с — Ос; при этом ас —^са^ Ьс = *°св・ Построенная на рис, 114 фигура и называется планом скоро- <тей.

Как известно, ab = vBA — со • АВ, ас = =*^С4 = s * <С, be — Vqb = ^ • ВС; следова- Т'ельно,

ab ас be zo.

痴=而=砖=… =з. (8)

ЗС, до их взаимного пересечения в точке с. той же формулы (4) заключаем, что ^с — Ос; при этом ас —^са^ Ьс = *°св・ Построенная на рис, 114 фигура и называется планом скоро- <тей.

Как известно, ab = vBA — со • АВ, ас = =*^С4 = s * <С, be — Vqb = ^ • ВС; следова- Т'ельно,

ab ас be zo.

痴=而=砖=… =з. (8)

направленную перпендикулярно направленную перпендикулярно

направленную перпендикулярно направленную перпендикулярно

Тогда на основании

Тогда на основании

Таким образом, отрезки, соединяющие концы векторов скоростей на плане скоростей, по направлению перпендикулярны отрезкам, соединяющим соответствующие точки фигуры, а по модулю пропорциональны этим отрезкам.

Отсюда следует, что скорость любой точки М, лежащей на отрезке АВ, найдется, если разделить отрезок ab в таком же отношении, в каком точка М делит отрезок АВ (_^ = '^^_)； т°гда О/п=办附・ Угловая скорость фигуры, если известен план скоростей, определяется из равенства (8) с учетом масштабных коэффициентов.

План скоростей механизма строится как совокупность планов скоростей всех его звеньев, причем все векторы скоростей откладываются от одного общего центра.

Пример. Построим план скоростей механизма, изображенного на рис. 115, считая скорость ©^ известной; шарнир С находится в середине ЯВ.

Начинаем построение со звена АВ (шатун), для которого известны скорость % и направление скорости ©в，Откладываем от произвольного центра О

Рис. 115.

направляющим (т. е. %), и линию ab, перпендикулярную к АВ, находим ^в= ОЬ. Деля затем отрезок ab пополам (так как АС = СВ), получаем вектор % 0 ОС.

Теперь, зная % и направление скорости точки £ (舒万丄 О^Е), строим план скоростей звена CDE. Проводя линию Ое 丄 О2Е и линию се 丄 С£, находим вектор Ое = %; после этого проводим cd 丄 CD н cd 丄 ED и находим вектор Od = в . Угловые скорости звеньев АВ и CDE определяются из равенств

abDE

Ускорения точек плоской фигуры. Скорость любой точки М плоской фигуры, согласно формуле (4), будет:

^м^^а + ^Х^(9)

где г = АМ — радиус-вектор, проведенный из полюса А в точку М (см. рис. 96). Дифференцируя обе части этого равенства по времени, получим:

争=叁+ &“) +(3Х粉 0。)

Величина -^- = в есть вектор углового ускорения фигуры, направленный (как и со) перпендикулярно к плоскости фигуры. Кроме того, согласно формуле (22) § 8, -^- = to X ^- Тогда, учитывая, что to J_r и (о * г = 0, будем иметь:

(О(ОX -^- =(о X (w X Н — w (w ' г)— г(ы * ы) = — о2г.

(О

(О

В результате равенство (10) даст:

wM = wA-^^ X г) — 0)2г.(11)

Введем обозначения

еХ『 = ««需а，—(02г = w^A.(12)

Векторы W^A и W^A представляют соответственно те вращательное (касательное) и центростремительное (нормальное) ускорения, которые имела бы точка М, если фигура совершала бы только вращение вокруг полюса 4 Окончательно находим:

^^^д+^д + ^д(13)

или

где 包川4 = «1編 + 询馭・ Таким образом, ускорение любой точкигде 包川4 = «1編 + 询馭・ Таким образом, ускорение любой точки®М = ^а + ®М4，(14)

где 包川4 = «1編 + 询馭・ Таким образом, ускорение любой точки

где 包川4 = «1編 + 询馭・ Таким образом, ускорение любой точки

из ускорения полюсаиз ускорения полюса绮川绮川плоской фигуры складывается геометрически и ускорения, которое точка получает при вращении фигуры вокруг полюса. Так как &丄尸 и г = АМ, то численно [ср. с формулой (25) § 8]

из ускорения полюса

из ускорения полюса

绮川

绮川

询胱— АМ • е,询脫= АМ • о2, = АМ • У 诊+(о£(15)

(16)(16)Угол 氏 который вектор WMA образует с радиусом МА, определяется из равенства

(16)

(16)

Полученные результаты позволяют построить вектор wM так, как это показано на рис. 116.

Примеры. При решении задач обычно бывает проще пользоваться равенством (13). При этом следует иметь в виду, что вектор tti馭 направлен перпендикулярно к АМ в сторону вращения фигуры, когда оно ускоренное, и против вращения — когда замедленное (рис. 117); вектор 询馭 всегда направлен вдоль МА к полюсу Л.

Центр С колеса радиуса К, катящегося без скольжения по прямолинейному рельсу, имеет в данный момент времени скорость ^с и ускорение %.

Найдем ускорения точек обода•ободе определять углом 中(рис.Найдем ускорения точек обода•ободе определять углом 中(рис.колеса. Будем положение точки М на 118). Для вычисления 吗^ по формуле (13) найдем сначала she &игуры. Так как точка касания Р является мгновенным центром вращения, токолеса. Будем положение точки М на 118). Для вычисления 吗^ по формуле (13) найдем сначала she &игуры. Так как точка касания Р является мгновенным центром вращения, то(о =(о =PC RPC RПоскольку здесь б любой момент времени PC = /?= const, то, дифференцируя обе части равенства, получим:dco 1wCx wcЪ =R =~R"Поскольку здесь б любой момент времени PC = /?= const, то, дифференцируя обе части равенства, получим:dco 1wCx wcЪ =R =~R"рис, 118.В данном случае wCx = wc, так как точка С движется прямолинейно. Направления s и £ определяются по направлениям % и wc. Зная © и е и учитывая, что СМ == К, находим по формулам (15)рис, 118.В данном случае wCx = wc, так как точка С движется прямолинейно. Направления s и £ определяются по направлениям % и wc. Зная © и е и учитывая, что СМ == К, находим по формулам (15)哪с = еА = ®С，哪с = еА = ®С，崂с = 8 R = K，崂с = 8 R = K，(В)(В)

Найдем ускорения точек обода

•ободе определять углом 中(рис.

Найдем ускорения точек обода

•ободе определять углом 中(рис.

колеса. Будем положение точки М на 118). Для вычисления 吗^ по формуле (13) найдем сначала she &игуры. Так как точка касания Р является мгновенным центром вращения, то

колеса. Будем положение точки М на 118). Для вычисления 吗^ по формуле (13) найдем сначала she &игуры. Так как точка касания Р является мгновенным центром вращения, то

(о =

(о =

PC R

PC R

Поскольку здесь б любой момент времени PC = /?= const, то, дифференцируя обе части равенства, получим:

dco 1wCx wc

Ъ =R =~R"

Поскольку здесь б любой момент времени PC = /?= const, то, дифференцируя обе части равенства, получим:

dco 1wCx wc

Ъ =R =~R"

рис, 118.В данном случае wCx = wc, так как точ

ка С движется прямолинейно. Направления s и £ определяются по направлениям % и wc. Зная © и е и учитывая, что СМ == К, находим по формулам (15)

рис, 118.В данном случае wCx = wc, так как точ

ка С движется прямолинейно. Направления s и £ определяются по направлениям % и wc. Зная © и е и учитывая, что СМ == К, находим по формулам (15)

哪с = еА = ®С，

哪с = еА = ®С，

崂с = 8 R = K，

崂с = 8 R = K，

(В)

(В)

Теперь изображаем в точке М векторы wc, «＞融 и 也駐 из которых, -согласно (13), складывается ускорение 酬附，и вычисляем проекции ⑪加 иа оси: (/), направленную вдоль МС, и (2), перпендикулярную к МС. Получаем:

3附1 =★——wc sin 中， 加m2 = 加c (I + cos 中). (г)

Интересно отметить» что для мгновенного центра вращения Р (ф s== 180°) будет wp2 = 0, wpi — -^-. Следовательно, ускорение мгновенного центра wp

выражения (а), так как расстоя-выражения (а), так как расстоя-

выражения (а), так как расстоя-

выражения (а), так как расстоя-

направлено по общей нормали PC к колесу и рельсу, т. е. к центроидам^ и не зависит от ускорения полюса С (см. п. 13).

Примененным при решении задачи способом определения е можно поль* зоваться лишь тогда, когда расстояние от мгновенного центра вращения до полюса (в нашем случае PC) постоянно.

Показать, что ускорение любой точки плоской фигуры можно определить, зная скорость и ускорение какой-нибудь одной точки фигуры и. траекторию другой ее точки.

Пусть даны векторы 讶力 и w^ скорости и ускорения точки А и траектория точки В (рис. 119). Следовательно,"

радиус кривизны р^ траектории точки В (так как дана траектория) и расстояние АВ.

Скорость % направлена по касательной 8T к заданной траектории. Восставляя перпендикуляры к 舒厶 и 刃月 в точках Л и В, находим мгновенный центр Р вращения фигуры и определяем ее угловую скорость

Расстояние РА найдется из △ АВР по теореме синусов. Заметим, что здесь не удастся найти £ дифференцированием ние Р4 со временем изменяется и закон этого изменения неизвестен. Поэтому воспользуемся другим методом решения.

Согласно равенству (13), имеем ®в =酬力 十酬編 + 加鼠・ С другой стороны, должно быть wB ^ wBt -[" wBn' Следовательно,

^Bt + ^Вп = ^а + Wfl^l + W^4-(б)

В этом равенстве нам известны величины 如小嘴=ВА・з и =

так как значение vQ можно определить или из равенств v^ —(о • РВ} или по теореме II, которая дает z^ cos р — v^ cos а.

Следовательно, проектируя обе части равенства (б) на направление ВР, перпендикулярное неизвестному вектору wBt, мы получим уравнение

wBn = — ®4 sin (Р — <₽) — W芻 COS 0 + W鼠 Sinp,

из которого найдется 加韻；если величина w鼠 получится отрицательно故 то это будет означать, что вектор w鼠 имеет направление, противоположное показанному на рисунке. Зная 加鼠，находим

Теперь величины © и е определены и, зная w^, можно вычислить ускорение любой точки фигуры. Если спроектировать обе части равенства (б) на ось ВЛ, перпендикулярную w^, то мы найдем величину wBr и по составляющим wBX и wBn сразу определим ускорение точки В

Из полученного результата следует, например, что для нахождения)гско- рения любой точки звена ВС механизмов, изображенные на рис. 104 и 105» надо знать скорость и ускорение точки В, так как траектория точки С известна.

11. Мгновенный центр ускорений. При непоступательном движении плоской фигуры в ее плоскости на фигуре (или на связанной

с ней подвижной плоскости) в каждый момент времени имеется точка, ускорение которой в этот момент равно нулю. Эта точка называется мгновенным центром ускорений. Для доказательства проделаем сле-

Рис. 120.

дующее построение. Пусть нам известны ускорение wA точки 4 а также угловая скорость s и угловое ускорение е фигуры (рис. 120). Вычислим величину 卩 из равенства tg(i =青； проведем под углом 卩 к вектору wA полупрямую, которая должна быть отклонена от 叫 в сторону вращения фигуры, если это вращение ускоренное, и против вращения, если оно замедленное. Отложим вдоль этой прямой отрезок XQ, равный

/1Q =：

W *

А

y镇+炉

(17)

Точка Q и будет мгновенным центром ускорений. В самом деле, по формулам (14) к (15)叫=吗 十叫£ где^л=Д(? 了螃 + ⑶二:叫. Кроме того, вектор ®q< должен составлять с прямой QA угол ц; следовательно, этот вектор параллелен wA и направлен в противоположную сторону, т. е. WqA — — WA. Поэтому wQ = w4 + wQA — 0.

Приведенное доказательство дает одновременно правило построения мгновенного центра ускорений.

Если точку Q принять в данный момент за полюс, то, так как 叫=0, будем, согласно формулам (14) и (15), иметь:

我九—w^q и 仪％ = MQ yV+B.(18)

Таким образом, ускорения всех точек фигуры пропорциональны в данный момент их расстояниям до мгновенного центра Q:

缈■.

MQ

WA

AQ

WB

Пример. Рассмотрим по прямолинейному рельсуПример. Рассмотрим по прямолинейному рельсуколесо радиуса R，катящееся (рис. 122). Допустим сначала,колесо радиуса R，катящееся (рис. 122). Допустим сначала,без скольжениячто скорость %без скольжениячто скорость %его центра Л, движущегося прямолинейно, постоянна. Тогда w月—0 и точка 4его центра Л, движущегося прямолинейно, постоянна. Тогда w月—0 и точка 4является мгновенным центром ускорений. Так центр вращения находится в точке касания Р, то мы сразу убеждаемся, что эти центры не совпадают. Далее имеем:является мгновенным центром ускорений. Так центр вращения находится в точке касания Р, то мы сразу убеждаемся, что эти центры не совпадают. Далее имеем:@=4@=4d①=const, e — -^- — 0,d①=const, e — -^- — 0,£tg 卩=~^ — 0.£tg 卩=~^ — 0.卩=0.卩=0.как при этом мгновенныйкак при этом мгновенныйТогда, согласно формуле (18), для любой точки Л! обода колесаПоскольку 卩=0, вектор w月 направлен вдоль МА, т. е. ускорения всех точек колеса направлены к его центру 4Тогда, согласно формуле (18), для любой точки Л! обода колесаПоскольку 卩=0, вектор w月 направлен вдоль МА, т. е. ускорения всех точек колеса направлены к его центру 4

Пример. Рассмотрим по прямолинейному рельсу

Пример. Рассмотрим по прямолинейному рельсу

колесо радиуса R，катящееся (рис. 122). Допустим сначала,

колесо радиуса R，катящееся (рис. 122). Допустим сначала,

без скольжениячто скорость %

без скольжениячто скорость %

его центра Л, движущегося прямолинейно, постоянна. Тогда w月—0 и точка 4

его центра Л, движущегося прямолинейно, постоянна. Тогда w月—0 и точка 4

является мгновенным центром ускорений. Так центр вращения находится в точке касания Р, то мы сразу убеждаемся, что эти центры не совпадают. Далее имеем:

является мгновенным центром ускорений. Так центр вращения находится в точке касания Р, то мы сразу убеждаемся, что эти центры не совпадают. Далее имеем:

@=4

@=4

d①

=const, e — -^- — 0,

d①

=const, e — -^- — 0,

£

tg 卩=~^ — 0.

£

tg 卩=~^ — 0.

卩=0.

卩=0.

как при этом мгновенный

как при этом мгновенный

Тогда, согласно формуле (18), для любой точки Л! обода колеса

Поскольку 卩=0, вектор w月 направлен вдоль МА, т. е. ускорения всех точек колеса направлены к его центру 4

Тогда, согласно формуле (18), для любой точки Л! обода колеса

Поскольку 卩=0, вектор w月 направлен вдоль МА, т. е. ускорения всех точек колеса направлены к его центру 4

Кроме того, углы, образуемые векторами ускорений с отрезками,

соединяющими соответствующие точки и центр Q, одинаковы и равны 卩(рис. 121). Следовательно, ускорения всех точек фигуры

распределены в данный момент так, как вокруг центра Q, как вокруг неподвижного.

Следует подчеркнуть, что мгновенный центр вращения Р и мгновенный центр ускорений Q ——это точки разные. Для точки фигуры, совпадающей с центром Р, Ор = 0, но ®р=А0・ Для точки же, совпадающей с центром Q> 吗=0, но % =А 0. Справедливость этих утверждений доказана ниже, в п. 13.

Если фигура совершает чисто вращательное движение, то центры Р и Q совпадают с неподвижным центром вращения фигуры.

Расчет с помощью мгновенного центра ускорений оказывается в этом случае очень простым. Отме1им в заключение, что w^ не является нормальным ускорением точки М, так как мгновенный центр вращения колеса находится не в Л, а в точке касания Р. Поэтому нормаль к траектории точки 附 направлена вдоль МР, а касательная — вдоль МВ и 3M理=^^ cos a, a ^^^wm sina-

сек~}сек~}w *w *Рассмотрим теперь случай, когда центр колеса движется неравномерно- Допустим для упрощения расчета, что /?=1 м м ато в некоторый момент времени v^ = 1 м/сек, wA = 1 м/сек2, причем оба вектора направлены

сек~}

сек~}

w *

w *

в одну сторону (рис. 123). Тогда в этот момент а = =1 “汽tg р, ж 1, р, == 45°*

Кроме того, по формуле (17)

4Q=г^=：

h2+办

偿

、、А、、АРис, 123.Рис, 123.Рис. 125.Рис. 125.ааточ-точ-00

、、А

、、А

Рис, 123.

Рис, 123.

Рис. 125.

Рис. 125.

а

а

точ-

точ-

0

0

Следовательно, в этот момент времени мгновенный центр ускорения лежит на середине гипотенузы РВ равнобедренного прямоугольного треугольника РАВ. Все точки, лежащие в вершинах этого треугольника, имеют оди-

наковые по модулю ускорения, направленные так, как показано на рисунке. Ускорение любой другой точки М колеса найдется из пропорции

"ОЛГ-"QT*

Заметим, что вычисление расстояния Q44 для произвольной точки М оказывается довольно громоздким, особенно при произвольных значениях % и %. Поэтому обычно ускорения точек плоской фигуры в подобных случаях вычисляют или по формуле (13) (см. п. 10), или же графически (п. 12).

План ускорений. Графически ускорения точек плоской фигуры можно опре-

делять путем построения так называемого плана ускорений. Пусть нам известны скорость j и ускорение wA какой-нибудь точки Л фигуры (рис. 124, векторы на нем изображены без соблюдения масштаба) и траектория другой ее точки В (см. пример 2 в п. 10); тем самым известны направления касательной Вт и нормали Вп к кривизны р^ траектории в этой точке. Покажем, что по этим данным можно построить гра-

фически ускорение любой ки фигуры.

Для этого сначала, зная ^д и направление 空笈(вдоль Вт), строим для данной фигуры план скоростей (рис. 125, о); построение ведется так, как указано в п. 8. Теперь строим план ускорений, откладывая векторы ускорений всех точек (в выбранном масштабе) от общего центра С\ и обозначая» по аналогии с планом скоростей, wA = 0}av wB = Olbl и т. д. Начнем с определения w^. Для этого исходим из равенства (13)

®в=^а+ 囑 + 嚼， (19)

а также из того, что wB можно представить как и касательной составляющих筏匕=^в« + m^・Имея план скоростей, вычисляем угловую скоростьab Ьс — cdи величину 守石= Ob. По этим данным находим:а также из того, что wB можно представить как и касательной составляющих筏匕=^в« + m^・Имея план скоростей, вычисляем угловую скоростьab Ьс — cdи величину 守石= Ob. По этим данным находим:сумму его нормальнойсумму его нормальнойфигурыфигуры(20>(20>(21>(21>嘅％ = (О2 • /3 =嘅％ = (О2 • /3 =（。炉（。炉吟吟(0炉(0炉л д，询6〃 = "7- = ~о力0pgpgл д，询6〃 = "7- = ~о力0pgpg(22)(22)

а также из того, что wB можно представить как и касательной составляющих

筏匕=^в« + m^・

Имея план скоростей, вычисляем угловую скорость

ab Ьс — cd

и величину 守石= Ob. По этим данным находим:

а также из того, что wB можно представить как и касательной составляющих

筏匕=^в« + m^・

Имея план скоростей, вычисляем угловую скорость

ab Ьс — cd

и величину 守石= Ob. По этим данным находим:

сумму его нормальной

сумму его нормальной

фигуры

фигуры

(20>

(20>

(21>

(21>

嘅％ = (О2 • /3 =

嘅％ = (О2 • /3 =

（。炉

（。炉

吟

吟

(0炉

(0炉

л д，询6〃 = "7- = ~о

力0pgpg

л д，询6〃 = "7- = ~о

力0pgpg

(22)

(22)

Теперь строим графически равенство (19). Для этого откладываем в выбранном масштабе от некоторого центра С\ (рис. 125, б) вектор О^ = =Шд, а от его конца ——вектор 〃也‘=ш鼠，модуль которого вычисляется по формуле (22), а направление совпадает с направлением ВЛ. Так как 叨鼠丄叨阻，то, восставив из точки 力‘ перпендикуляр к 。也'，заключаем, что конец 力I вектора OR — w^ должен лежать где-то на этом перпендикуляре» поскольку, согласно (19), должно быть Охаг -^-а^ + bfbv = O^i.

С другой стороны, откладывая от центра 0】вектор О*"=硬月川 модуль которого тоже вычисляется по формуле (22), а направление совпадает с Вл, и восставив из точки Z?" перпендикуляр к 。/“，заключаем на основании равенства (20), что конец 九 вектора。[外= wB должен одновременно лежать и на этом перпендикуляре,. так как, согласно (20), должно быть Otbff Ц- 十6"61 = 0[6厂 Таким образом, пересечение проведенных перпендикуляров к &/7 и О," дает точку 外——конец вектора w^. Соединяя точки О【и 力】， находим графически вектор。自—wB-

Из равенства (19) следует, что 匕'片=叨雕，где, согласно (15), w^A ^ =АВ • е. Отсюда можно определить величину углового ускорения фигуры *)

££= 7ЯВ~= 7ЯВ~(23)(23)

£

£

= 7ЯВ~

= 7ЯВ~

(23)

(23)

Одновременно, соединяя на рис. 125, б точки 的 и Ь1 вектором。瓦 получаем O^bx = Oi£Z1 -|- а^х или wB = wA + а^р Сравнивая этот результат с равенствами (14) и (15), заключаем, что 勺外=wba и

aWi = АВ У^е 4- <о4. (24)

Такое же соотношение имеет место для любых отрезков, соединяющих концы векторов ускорений точек фигуры на рис. 125, б. Следовательно, отрезки, обозначенные одинаковыми буквами, большими на рис. 124 и малыми с индексом 1 на рис. 125, б, будут пропорциональны, т. е.

需=器=舞=，，•=1/^：^ (25)

а треугольники, образованные соответствующими отрезками, будут подобны. При этом, так как каждый из векторов。】方]=物石厶，外& = 3cBобразует соответственно с 57,女,один и тот же угол 卩，то отрезки °i瓦，瓦q,.… (или треугольники aibxc1 ...) повернуты относительно отрезков 4в, ВС,... (или треугольников АВС, ...) на угол л —— 卩. Этим можно пользоваться при построении плана ускорений, а также для проверки правильности полученных результатов.

После того как вектор О® = w^ найден, ускорение любой другой точки фигуры строится следующим образом.

Если точка D лежит на отрезке АВ (рис. 124), то ADB—прямая; следовательно, и точки 。卜 4卜 仇 на рис. 125, б тоже лежат на одной прямой. С другой стороны, согласно (25), должно быть:

修纵 AD

Поэтому, деля отрезок 仪〔瓦 в данном отношении, мы найдем точку d【 и определим вектор O^j =

Если точка С не лежит на отрезке АВ (рис. 124), то, считая сначала полюсом точку А, а затем точку В, будем иметь*

%=叫+崂+嚼，叫=吗+幅+明

Пользуясь планом скоростей, вычисляем [см. первую из формул (22)]:

САСА嘴= 82“ =嗨.嘴= 82“ =嗨.

СА

СА

嘴= 82“ =嗨.

嘴= 82“ =嗨.

Теперь откладываем от точки ах вектор。。二⑪跌，направление кото

рого совпадает с С А на рис. 124, и восставляем из с' перпендикуляр к а©; затем от точки 比 откладываем вектор 々с" = m隈，направление которого совпадает с СЗ, и восставляем из точки с" перпендикуляр к 6^\ Пересечение этих перпендикуляров дает точку Ср следовательно, □1с1 = wc. Другим путем вектор。自=% можно найти, построив на отрезке 电外 треугольник ахЬ^съ подобный △ АВС на рис. 124 и повернутый относительно него на угол л ——卩(или же таким путем проверяется правильность предыдущего построения).

Полученная на рис. 125," фигура и является планом ускорений.

План ускорений механизма строится как совокупность планов ускорений всех его звеньев, причем все векторы ускорений откладываются от оощего дентра Ор

(而产 ~AK'(而产 ~AK'О/鼠=①2 4ВО/鼠=①2 4ВПример. Построим план ускорений для механизма, изображенного на рис. 126, л, где АС = СВ (план скоростей этого механизма построен на рис. 115, й). Допустим, что звено ОГА вращается с постоянной угловой скоростью а0. Тогда ускорение точки Л звена /方 будет % =唸 0'4 причем вектор 吗направлен вдоль ЛО\ Кроме того, известна траектория точки В этого звена — отрезок прямой ОГВ. Следовательно, можно построить план ускорений звена ЛВ. Откладываем от центра Ot в выбранном масштабе яектор О产]=叫(рис. 126, й). Затем вычисляем

(而产 ~AK'

(而产 ~AK'

О/鼠=①2 4В

О/鼠=①2 4В

беря значение ab с плана скоростей; откладываем от ах вектор а"'=吻版 (。1 方'个个 ВЛ) и в точке Ь1 восставляем перпендикуляр к at6\ Так как точка В движется прямолинейно, то в этом случае мы сразу знаем направление wB

Рис. 126Рис. 126

Рис. 126

Рис. 126

из Qi прямую, параллельную OfBt к а/‘> находим точку 儿，а 'следо-из Qi прямую, параллельную OfBt к а/‘> находим точку 儿，а 'следо-

из Qi прямую, параллельную OfBt к а/‘> находим точку 儿，а 'следо-

из Qi прямую, параллельную OfBt к а/‘> находим точку 儿，а 'следо-

(вдоль прямой ОГВ). Поэтому, проводя до ее пересечения с перпендикуляром вательно, и вектор О】％ = w^. Наконец, деля отрезок а^Ь^ пополам, находим точку R и ускорение % =。色

Теперь, зная ускорение точки С и траекторию точки Е (окружность радиуса О"£), строим от того же центра О{ план ускорений звена CDE. При этом ускорения точек Е и D определяются в точности так же, как ускорения точек В и С на рис. 125. Окончательный результат показан на рис 126, б.

Некоторые свойства мгновенного центра вращения и мгновенного центра ускорений. До сих пор, поскольку это не вызывало недоразумений. мы обозначали одним и тем же

символом Р и мгновенный центр вращения и ту точку фигуры, которая в данный момент совпадает с этим центром, т. е. мгновенный центр скоростей (это же относится и к символу Q). В этом пункте мы условимся обозначения Р и Q относить только к соответствующим точкам движущейся фигуры, а положения тех же центров на неподвижной плоскости обозначать через лих. Чтобы пояснить разницу в обозначениях, заметим, чтр геометрическое место точек я на неподвижной плоскости образует неподвижную центроиду, а геометрическое место положений точки 尸 на той же плоскости дает траекторию этой точки — рулетту (см. рис. 127). При этом очевидно, что в момент,

когда точки Рил совпадают, касательная к траектории точки Р направлена по нормали к центроидам (так как подвижная центроида катится по неподвижной без скольжения, то вдоль центроиды точка Р переместиться не может).

Скорость перемещения мгновенного центра вpa- ui е н и я. Пусть плоскопараллельное движение задано качением без скольжения подвижной центроиды по неподвижной, причем для каждого момента времени известна угловая скорость ① фигуры (рис. 127). Найдем скорость ⑪几 перемещения мгновенного центра вращения л вдоль центроиды *). При качении подвижной центроиды по неподвижной точка касания (Р, л), являющаяся в данный момент мгновенным центром, перейдет на этих центроидах соответственно в новые положения 尸'и nz; так как качение происходит без скольжения, то

нлинлиРp7 =嬴，

нли

нли

dS] —^ d$2 ^- ds.

Угол поворота плоскости, связанной с подвижной центроидой, равен dtp, так как после поворота нормаль Р'О、будет продолжением Ол/. Из рисунка видно, что

где d(pi и d(p2 суть центроид. Обозначаягде d(pi и d(p2 суть центроид. Обозначаяd^ = dtp】+ d 屮 2，

где d(pi и d(p2 суть центроид. Обозначая

где d(pi и d(p2 суть центроид. Обозначая

углы между соседними нормалями соответствующих через pi и р2 радиусы кривизн центроид, будем иметь:

g =pi dcpi， Следовательно,g =pi dcpi， Следовательно,d屮d屮dst"рГdst"рГd$2d$2d$2 —— P2 d屮'd$2 —— P2 d屮'Разделив левую и правую части полученного равенства на d左 найдем:dt dt \ Pi т P2 丿 или(春Отсюда получаем:Разделив левую и правую части полученного равенства на d左 найдем:dt dt \ Pi т P2 丿 или(春Отсюда получаем:

g =pi dcpi， Следовательно,

g =pi dcpi， Следовательно,

d屮

d屮

dst

"рГ

dst

"рГ

d$2

d$2

d$2 —— P2 d屮'

d$2 —— P2 d屮'

Разделив левую и правую части полученного равенства на d左 найдем:

dt dt \ Pi т P2 丿 или

(春

Отсюда получаем:

Разделив левую и правую части полученного равенства на d左 найдем:

dt dt \ Pi т P2 丿 или

(春

Отсюда получаем:

будут расположены, мгновенного центра(28)будут расположены, мгновенного центра(28)

будут расположены, мгновенного центра

(28)

будут расположены, мгновенного центра

(28)

где 々一кривизна. Легко видеть, что если центронды как показано на рис. 128, то скорость ^л перемещения будет:

“・„ Р1Р2 ®

= G> = —г—.

Я Pl — р2 «2 一 々1

Ускорение точки фнгуры, совпадающей с мгновенным центром вращения. Для этой точки Р, являющейся в данный

1) Эту скорость не следует смешивать со скоростью 外戸 точки Р плоской фигуры, которая в данный момент равна нулю (vp = 0).

момент времени мгновенным центром скоростей, будет Up = 0. Следовательно, равно нулю и ее нормальное ускорение и вектор ускорения % направлен по касательной к траектории точки Р, т. е. вдоль общей нормали РО\ к центроидам (см. рис. 127). Для определения модуля wр заметим, что х>р = 0 в данный момент Лав момент 力+ 厶力 когда мгновенный центр вращения переместится в положение я\ эта скорость будет равна (о + Да) * As, где As =尸л/ = ппг. Тогда

wpwpwPxwPxUm也+^2.竺Af—O AtUm也+^2.竺Af—O At=a lim д/->о=a lim д/->оAs2T =叫，As2T =叫，(29)(29)

wp

wp

wPx

wPx

Um也+^2.竺

Af—O At

Um也+^2.竺

Af—O At

=a lim д/->о

=a lim д/->о

As

2T =叫，

As

2T =叫，

(29)

(29)

где и几—скорость перемещения мгновенного центра вращения вдоль центроиды.

Пользуясь равенствами (27) и (28), находим окончательно:

w сw сР1Р2 = dPl ± p2 一 色 土 月IР1Р2 = dPl ± p2 一 色 土 月I(30)(30)где нижний знак соответствует расположению центроид, показанному на рнс. 128. Как видим, ускорение точки Р зависит только от угловойгде нижний знак соответствует расположению центроид, показанному на рнс. 128. Как видим, ускорение точки Р зависит только от угловойскорости фигуры и не зависит от ее углового ускорения (см. п. 10» пример 1).в) Скорость точкискорости фигуры и не зависит от ее углового ускорения (см. п. 10» пример 1).в) Скорость точкидающей с мгновеннымдающей с мгновеннымфигуры,фигуры,совпасовпацентром у с к о-центром у с к о-рений. Пусть в данный момент времени с мгновенным центром вращения совпадает точка Р фигуры, а мгновенный центр ускорений находится в точке Q (рис. 129). Тогда v^ = а • PQ. Но, с другой стороны, согласно формуле (18), должно бытьрений. Пусть в данный момент времени с мгновенным центром вращения совпадает точка Р фигуры, а мгновенный центр ускорений находится в точке Q (рис. 129). Тогда v^ = а • PQ. Но, с другой стороны, согласно формуле (18), должно бытьили,или,=QP • }^£2 -j- и4- Отсюда следует, чтои 「-Q 了产+炉 если учесть равенство (30),=QP • }^£2 -j- и4- Отсюда следует, чтои 「-Q 了产+炉 если учесть равенство (30),(31)(31)а3а3Р1Р2Р1Р2)^е2 4~(о* Pi ± р2 р&2 + 炉(左£ 土自))^е2 4~(о* Pi ± р2 р&2 + 炉(左£ 土自)• (ЗУ)• (ЗУ)в п. 11 замечаниев п. 11 замечаниеПолученные результаты подтверждают сделанноеПолученные результаты подтверждают сделанноео том, что в данный момент для точки фигуры, совпадающей с мгновенным центром вращения (т. е. для мгновенного центра скоростей), г»р = 0, a wp^0\ для точки же, являющейся мгновенным центром ускорений, w^ = 0, а %大0.о том, что в данный момент для точки фигуры, совпадающей с мгновенным центром вращения (т. е. для мгновенного центра скоростей), г»р = 0, a wp^0\ для точки же, являющейся мгновенным центром ускорений, w^ = 0, а %大0.

w с

w с

Р1Р2 = d

Pl ± p2 一 色 土 月I

Р1Р2 = d

Pl ± p2 一 色 土 月I

(30)

(30)

где нижний знак соответствует расположению центроид, показанному на рнс. 128. Как видим, ускорение точки Р зависит только от угловой

где нижний знак соответствует расположению центроид, показанному на рнс. 128. Как видим, ускорение точки Р зависит только от угловой

скорости фигуры и не зависит от ее углового ускорения (см. п. 10» пример 1).

в) Скорость точки

скорости фигуры и не зависит от ее углового ускорения (см. п. 10» пример 1).

в) Скорость точки

дающей с мгновенным

дающей с мгновенным

фигуры,

фигуры,

совпа

совпа

центром у с к о-

центром у с к о-

рений. Пусть в данный момент времени с мгновенным центром вращения совпадает точка Р фигуры, а мгновенный центр ускорений находится в точке Q (рис. 129). Тогда v^ = а • PQ. Но, с другой стороны, согласно формуле (18), должно быть

рений. Пусть в данный момент времени с мгновенным центром вращения совпадает точка Р фигуры, а мгновенный центр ускорений находится в точке Q (рис. 129). Тогда v^ = а • PQ. Но, с другой стороны, согласно формуле (18), должно быть

или,

или,

=QP • }^£2 -j- и4- Отсюда следует, что

и 「-

Q 了产+炉 если учесть равенство (30),

=QP • }^£2 -j- и4- Отсюда следует, что

и 「-

Q 了产+炉 если учесть равенство (30),

(31)

(31)

а3

а3

Р1Р2

Р1Р2

)^е2 4~(о* Pi ± р2 р&2 + 炉(左£ 土自)

)^е2 4~(о* Pi ± р2 р&2 + 炉(左£ 土自)

• (ЗУ)

• (ЗУ)

в п. 11 замечание

в п. 11 замечание

Полученные результаты подтверждают сделанное

Полученные результаты подтверждают сделанное

о том, что в данный момент для точки фигуры, совпадающей с мгновенным центром вращения (т. е. для мгновенного центра скоростей), г»р = 0, a wp^0\ для точки же, являющейся мгновенным центром ускорений, w^ = 0, а %大0.

о том, что в данный момент для точки фигуры, совпадающей с мгновенным центром вращения (т. е. для мгновенного центра скоростей), г»р = 0, a wp^0\ для точки же, являющейся мгновенным центром ускорений, w^ = 0, а %大0.

. Аналитическое рассмотрение движения плоской фигуры В ее плоскости. Пусть плоская фигура движется по отношению к основной (неподвижной) системе осей й^г| (рис. 130). Примем точку А за полюс и свяжем с фигурой подвижную систему осей Аху. Тогда положение фигуры в любой момент времени будет определено, если будут известны координаты ^д, тц полюса Л и угол ф между осями Ох и а自.Чтобы знать движение фигуры, надо знать зависимости

氧=/10 Лд = /2(£)и Ф — /з (О-(32)

Уравнения (32), определяющие закон движения плоской фигуры

в ее плоскости» называются уравнениями плоскопараллельного движения. Покажем, как, зная уравнения (32), можно чисто аналити-

ческим путем точек плоскойОбозначим жение полюса неподвижныхческим путем точек плоскойОбозначим жение полюса неподвижныхнайти все кинематические характеристики движения фигуры •

ческим путем точек плоской

Обозначим жение полюса неподвижных

ческим путем точек плоской

Обозначим жение полюса неподвижных

через рд и р радиусы-векторы, определяющие полоЛ и произвольной точки М фигуры относительно осей 繩刀，а через г — радиус-вектор, определяющий

положение той же точки М в подзиж- ных осях Аху. Все эти векторы при движении фигуры будут функциями времени

р^ = р貝⑺，р == р (0»г = Г (0 (33)

и будут в каждый момент времени связаны соотношением

р рд Ч~ 尸*(34)

Обозначим через 自，刀 координаты точки Л4 в осях й^, а через %, у —

координаты той же точки в осях Оху (% и у——величины поегоян- нне, но разные для разных точек фигуры). Тогда, проектируя обе части равенства (34) на оси 堂 и Rn，получим:

(35)(35)三=之貝十 % COS 9 -- y sin ф.

(35)

(35)

n = "4+ % sin中 十 y cos中.

Уравнения (35) определяют закон движения точки Л! относительно осей 叁己口 Время в эти уравнения входит через 己貝，тц и ф. заданные равенствами (32). Одновременно (35) дают уравнение траектории точкн М в параметрической форме; уравнение траектории в виде Ф(Н, п) = ° можно найти, исключив из (35) время 亡 Наконец, дифференцируя равенства (35) по времени, можно определить аналитически скорость и ускорение любой точки М фигуры.

Мы получим выражения для проекции скорости 外川 и ускорения wM на оси координат несколько иным путем. Из формулы (4) имеем:

"м = "а + (зХг)， (36)

или, согласно равенству (34),

"л①貝十炒 X (Р — Рд) =+ 炒 X(F — Ра)・ (37)

Вводя (37) вВводя (37) вединичные векторы неподвижных осей видеединичные векторы неподвижных осей виде歙，哦，С°» представим歙，哦，С°» представимгде(огде(оdtp ~dtdtp ~dtалгебраическаяалгебраическаяТогда проекции скорости 方两4=就=Тогда проекции скорости 方两4=就=О自一自厶О自一自厶哦о哦оп —Пап —Па；° (О О；° (О О(37『)(37『)величина угловой скорости фигуры.на неподвижные оси 自 н 刀 будут:&%@(X — Лд)>величина угловой скорости фигуры.на неподвижные оси 自 н 刀 будут:&%@(X — Лд)>%=F = %-+0 碧—逅)・%=F = %-+0 碧—逅)・(38)(38)

Вводя (37) в

Вводя (37) в

единичные векторы неподвижных осей виде

единичные векторы неподвижных осей виде

歙，哦，С°» представим

歙，哦，С°» представим

где(о

где(о

dtp ~dt

dtp ~dt

алгебраическая

алгебраическая

Тогда проекции скорости 方两

4=就=

Тогда проекции скорости 方两

4=就=

О

自一自厶

О

自一自厶

哦

о

哦

о

п —Па

п —Па

；° (О О

；° (О О

(37『)

(37『)

величина угловой скорости фигуры.

на неподвижные оси 自 н 刀 будут:

&

%@(X — Лд)>

величина угловой скорости фигуры.

на неподвижные оси 自 н 刀 будут:

&

%@(X — Лд)>

%=F = %-+0 碧—逅)・

%=F = %-+0 碧—逅)・

(38)

(38)

Теперь, вводя единичные векторы подвижных осей r°, j°, z°, представим (36) в виде

х°

и найдем проекциии найдем проекцииВходящие сюдаВходящие сюда®Л1 = ®д+ 0X®Л1 = ®д+ 0X9M на подвижные9M на подвижные00УУосиосиVAx -①"VAx -①"(0О(0Ох их иУУ(39)(39)Vy = е』*•丿величины vAx и vAy могутVy = е』*•丿величины vAx и vAy могут(40)(40)проектирования на оси Ох и Оу обеих частейпроектирования на оси Ох и Оу обеих частейбыть найдены путем равенствабыть найдены путем равенства祟敕+"*祟敕+"*

и найдем проекции

и найдем проекции

Входящие сюда

Входящие сюда

®Л1 = ®д+ 0

X

®Л1 = ®д+ 0

X

9M на подвижные

9M на подвижные

0

0

У

У

оси

оси

VAx -①"

VAx -①"

(0

О

(0

О

х и

х и

У

У

(39)

(39)

Vy = е』*•丿

величины vAx и vAy могут

Vy = е』*•丿

величины vAx и vAy могут

(40)

(40)

проектирования на оси Ох и Оу обеих частей

проектирования на оси Ох и Оу обеих частей

быть найдены путем равенства

быть найдены путем равенства

祟敕+"*

祟敕+"*

откудаоткуда(41)(41)при- (40).при- (40).(42)(42)

откуда

откуда

(41)

(41)

при- (40).

при- (40).

(42)

(42)

鲁 cos(p + ^_sin(p,[

U ЬСИ:

% -, d^AI

—-^smq)+ -^cos(p. J

Координаты мгновенного центра вращения Р найдем, если равням нулю скорость 智两 или выражения ее проекций (38) и Тогда в неподвижной системе координат получим:

-^ — s (Лр — Лд) = 0，—^р + @ (Ер —自貝)=6

где gp и %>—координаты мгновенного центра Р Отсюда

11臂厶

U•

9 Н. Н. Бухгольц

В подвижной же системе будем иметь:

vAx — соур — 0, vAy + sxp = 0, где хр и Ур—координаты центра Р Отсюда

(43)(43)

(43)

(43)

Все входящие в полученные равенства координаты 自р, “р, хр и у「 являются функциями времени, причем вид их зависимости от времени определяется равенствами (32) и (41).

Очевидно, уравнения (42) и (43) представляют собой одновременно параметрические уравнения неподвижной и подвижной центроид. Исключая из них время Д можно получить соответственно уравнения неподвижной и подвижной центроид в виде

Ф (Ер，Хр) = 0 и / (хр, Ур) = 0.(44)

Ускорение wM точки Л! получим из формулы (11) или непосредственно дифференцируя по времени VM в равенстве (36):

叫^ =才=才+衣侬XГ)=叫4 + e义'-8乙 (45)

где 書=方угловое ускорение фигуры.

Представив равенство (45) в виде d2Pd2Pd

®M = R = -^ + eX(p —pQ —NS —pQ， (46) найдем проекции 钦％ на оси 刀

唾=而=力/一曲一川)-82低一氢)， d2n d2n，。(47)

询+ £(自一生)—02(П 一 П 貝)•

Проекции wM на оси х и у найдем непосредственно из равенства (45)

(48)(48)初彳=询а彳一gy - (02X, 询 у = w^y 4-ex —(02у.

(48)

(48)

При этом wAx и 询貝у вычисляются по формулам, которые получаются аналогично формулам (41),

的貝彳=一^ C°S屮+ W# Sln屮,的貝彳=一^ C°S屮+ W# Sln屮,d2lAd2"-^/sincp + ^Acoscp.d2lAd2"-^/sincp + ^Acoscp.(49)(49)

的貝彳=一^ C°S屮+ W# Sln屮,

的貝彳=一^ C°S屮+ W# Sln屮,

d2lAd2"

-^/sincp + ^Acoscp.

d2lAd2"

-^/sincp + ^Acoscp.

(49)

(49)

Координаты мгновенного центра ускорений Q найдем, приравнивая нулю ускорение wM или выражения его проекций (47) и (48). Тогда для определения координат Eq, t]q в неподвижной системе осей получим уравнения

откудаоткуда£2 +e£2 +eЛр — ПаЛр — Па£2十仙£2十仙(50)(50)

откуда

откуда

£2 +e

£2 +e

Лр — Па

Лр — Па

£2十仙

£2十仙

(50)

(50)

|д — a sin ①力|д — a sin ①力“А = а cos st, ср = at“А = а cos st, ср = at(a)(a)

|д — a sin ①力

|д — a sin ①力

“А = а cos st, ср = at

“А = а cos st, ср = at

(a)

(a)

центрацентраускоренийускоренийСоответственно координаты xQ, % мгновенного

центра

центра

ускорений

ускорений

в подвижной системе осей найдутся из . 7 уравнений

初 Ах —еу<? —84? = °， wAy4-exQ —co2yQ = O, откуда

=е2+<а4，

_ ” +以严2% 一 e24-®4°

Пример. Рассмотрим в каче

мера карданово движение (см. пример в п. 4), т. е. движение отрезка BD, скользящего своими концами по сторонам прямого угла (рис. 131). Пусть BD = 2а. Возьмем в качестве полюса середину Л отрезка и направим оси Й^ц и Аху так, как показано на рисунке. Допустим, что при движении отрезка угол 屮 растет пропорционально времени: ф = at Тогда ^А = а sin ср, цд = a cos ср и уравнения движения (32) будут:

Для любой точки М отрезка BD координата %==0 н уравнения (35), описывающие движение этой точки, примут вид

⑹⑹e=w4 一 y з口屮=(a一 y)sin 血，外=“А + у cos 屮=(а + у) cos tot

⑹

⑹

132 КИНЕМАТИКА СИСТЕМЫ И АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА [ГЛ III Теперь с помощью полученных выше формул можно найти все характеристики движения. Определим сначала уравнение траектории точки М и уравнения центроид. Исключая из равенств (б) время 力 найдем:

(а —У)?十(& + У)2.

Следовательно, траекторией любой точки М (0, у) отрезка BD является эллипс. Далее по формулам (42) будем окончательно иметь:

Ер — 2。sin ®f, “р = 2a cos at(в)

Исключая отсюда время t、получим 三^ + “患=4。& Следовательно, неподвижная центроида есть окружность радиуса 2。с центром в начале координат Й.

Теперь по формулам (41) находим:

иcos 2иsin 2

и, подставляя эти значения в равенства (43), определим:

хр = а sin 2atУр = a cos 2(о力(д)

Исключая отсюда время Л получим х^^ у^~ ^2. Следовательно, подвижная центроида есть окружность радиуса а с центром в полюсе А.

Полученные результаты, в чем нетрудно убедиться, останутся справедливыми при любом законе вращения ср (Z). Однако вид этого закона скажется на значениях скоростей и ускорений точек отрезка.*

Найдем еще положение мгновенного центра ускорений Q. По формулам (50), учитывая, что в рассматриваемом случае е = 0, получим | = 0, 叮@ — 0. Следовательно, когда 屮 изменяется по закону 屮—(о力 мгновенный центр ускорений находится все время в начале координат Q. Ускорение любой точки М будет равно 励m=QM・s2 и направлено к центру Q.

Движение твердого тела около неподвижной точки

Теорема Эйлера — Даламбера. Рассмотрим теперь движение абсолютно твердого тела, имеющего одну неподвижную точку. Докажем, что в этом случае имеет место теорема Эйлера—Даламбера: Всякое перемещение твердого тела около неподвижной точки можно получить одним только поворотом тела 80&ру2 определенной оси, проходящей через зту точку w называемой осью конечного вращения- Доказывается эта теорема аналогично теореме II на стр. 102. Как известно, положение твердого тела в пространстве определяется положением любых трех его точек, не лежащих иа Одной прямой (§ 7, п. 1). Если точка О тела неподвижна, то его положение определится положением любых двух других точек, не лежащих на одной прямой с точкой О・ Опишем из неподвижной точки О тела, как из центра, сферу произвольного радиуса и на этой сфере возьмем две точки N 0 启(рис. 132); тогда положение тела можно определить положением дуги АВ большого круга рассматриваемой сферы.

Пусть тело переместилось так, что дуга АВ заняла положение АХВ{\ тогда, соединив точки А и Др 8 Hbi дугами большого круга и восставив из середины этих дуг С и D сферические перпендикуляры (т. е・ проведя через точки С a D дуги больших кругов, пересекающих ортогонально дуги АА} и ВВ0, получим в пересечении их на сфере

точку О[, которая будет равноудалена от точек 4 m &, 3 и ВР При этом сферические треугольники АВОХ и 455 будут равны. Повернув тело вокруг оси ОО{ на Д ^ОХАХ = Д 30tBv мы совместим дугу АВ с дугой AXBV Следовательно, перемещение тела из положения, определяемого дугой 48, в положение, определяемое дугой XjBv действительно получается одним только поворотом вокруг оси ООР

Геометрическая картина движения. Подвижный и непо- движиый аксоиды. Движение твердого тела около неподвижной точки можно рассматривать как непрерыв

ную пос ледов атель ность элемен

тарных перемещений. Согласно доказанной теореме, всякое такое элементарное перемещение можно осуществить одним только поворотом на бесконечно малый угол вокруг некоторой оси, проходящей через неподвижную точку и называемой мгновенной осью вращения. Таким образом, движение твердого тела около неподвижной точки можно рассматривать как непрерывную последовательность бесконечно малых поворотов вокруг мгновенных осей вращения, проходящих через эту точку.

Геометрическое место мгновенных осей вращения при движении тела образует в пространстве, связанном с неподвижной системой отсчета, конус, называемый неподвижным аксоидом (от слова axis — ось). Кроме того, мгновенная ось вращения при движении тела изменяет свое положение в самом теле (точнее, в пространстве, связанном с телом). Эта коническая поверхность, образуемая семейством мгновенных осей вращения в пространстве, связанном с движущимся телом, называется подвижным аксоидом.

Подвижный и неподвижный аксоиды имеют общую вершину в точке О, и в каждый данный момент времени мгновенная ось вращения будет служить общей образующей для подвижного и неподвижного аксоидов. Таким образом, подвижный аксоид при движении тела будет катиться без скольжения по неподвижному аксоиду.

Как видим, получающаяся в этом случае картина движения тела совершенно аналогична картине, данной Пуансо для плоскопараллельного движения (см. § 9), только роль мгновенного центра вращения здесь играет мгновенная ось, а роль центроид — аксоиды.

Плоскопараллельное как движение околоПлоскопараллельное как движение околодвижение твердого тела можно рассматривать неподвижной бесконечно удаленной точки; тогда

Плоскопараллельное как движение около

Плоскопараллельное как движение около

с основной плоскостьюс основной плоскостьюРис. 133.Рис. 133.аксоиды из конусов превращаются в цилиндры, пересечения которых дадут центроиды. Заметим, что теорема Эйлера ——Даламбера в этом случае переходит в теорему II для плоскопараллельного движения (стр. 102).

с основной плоскостью

с основной плоскостью

Рис. 133.

Рис. 133.

Примером может служить волчок с неподвижной точкой О (рис. 133), совершающий так называемую регулярную прецессию (волчок вращается вокруг своей оси О?, а эта ось обращается в свою очередь вокруг вертикали 0自 так, что /_ ?OJ = const). При этом движении мгновенная ось вращения волчка ОР, лежащая между осями z и g, описывает относительно неподвижного пространства неподвижный конус 7, а в самом теле ——

подвижный конус 2; при движении волчка около точки О подвижный конус (аксоид) будет катиться без скольжения по неподвижному.

Мгновенная угловая скорость и мгновенное угловое ускорение тела. Угловая скорость ад, с которой происходит элементар-

ный поворот тела вокруг мгновенной оси вращения, называется мгновен

ной угловой скоростью или угловой скоростью тела в данный момент времени. Вектор со направлен вдоль мгновенной оси вращения и может быть приложен в любойее точке, в частности в точке О, общей для всех мгновенных осей. При движении тела вектор о)в общем случае изменяется со временем и по модулю и по направлению, т. е. g = to (/). Производная от ад по времени определяет вектор

Рис 134.называемый мгновенным угловым ускоре

нием или угловым ускорением тела в данный момент времени. Направление вектора е совпадает с направлением касательной Дт к годографу вектора to (рис. 134). Вектор е будем также изображать отложенным от центра О.

Скорости точек тела, движущегося около неподвижной точки. По аналогии с плоскопараллельным движением заключаем, что распределение скоростей всех точек твердого тела будет в данный момент времени таким же, как если бы мгновенная ось враще*

ния была неподвижной. Следовательно, скорость любой точки тела в данный момент времени определяется векторной формулой Эйлера:

W = o)Xr = pqr

XуN

где r = OM ——радиус-вектор, проведенный из центра О в точку М тела; р =(о%, д=3у, г =(о2 ——проекции вектора to на какую-нибудь систему прямоугольных осей Охус, проведенных из точки О (см. рис. 134); %, у, N — координаты точки М в этой системе осей. Из векторного равенства (2) получаем:

vx — qz ——ryt %, = rx ——pzvx — qz ——ryt %, = rx ——pz% = РУ —".% = РУ —".(3)(3)

vx — qz ——ryt %, = rx ——pz

vx — qz ——ryt %, = rx ——pz

% = РУ —".

% = РУ —".

(3)

(3)

Это ——так называемые формулы Эйлера, определяющие проекции скорости любой точки М (х, у, z) тела, имеющего неподвижную точку О. Вид этих формул не зависит от того, считаем мы оси Oxyz неподвижными или же связанными с телом и вращающимися вместе с ним, т. е. эти формулы ковариантны по отношению к переходу от неподвижной к подвижной системе осей. Формулы (24) в § 8 являются их частным случаем.

Ускорение точек тела, движущегося около неподвижной точки. Теорема Ривальса. Найдем ускорение точки Л! твердого тела, движущегося около неподвижной точки О. Дифференцируя по времени обе части равенства (2), получим:

吟" = RXr+sX%(4)

г

Но здесь -^- = о =(о Xа = Поэтому

如=е X 产+⑴ X m = е X r+ w X (w X 产)，(5)

Раскрывая второй член правой части, как тройное векторное произведение, получим to X (⑴ X 产)=⑴(⑴•产)一гад2 и, следовательно,

如=eX产十s®")一产①2.(6)

Здесь вообще со не перпендикулярно к г, как это было в случае плоскопараллельного движения, и ⑴•产 方 0.

В проекциях на оси координат Oxyz (подвижные или неподвижные) равенство (6) дает:

wx = zyz — егу + Р (Р^ + ^У + rz) —(о2х, 叫,=%х — “2 + 夕(рх + » + Г?) — Wy，(7)

吗— &ух + г(Рх + 7У + г^) —

Если оси Oxyz неподвижные, то ех = р, еу = ^f ^z — r.

Выражению (6) можно придать иной вид. Заменяя 炒 через сою0 и вынося(о2 за скобки, имеем:

炒 X (з X l)=壮｛炒°(炒° • r)-产｝.

Но to0 • г = Го есть проекция вектора г на направление со (рис. 135), поэтому

to X(W X /") = W2 (гй«°—г) =(О2Й,

где h——вектор, равный разности векторов 厂①⑦。и г.Окончательное выражение ускорения, принадлежащее будет:где h——вектор, равный разности векторов 厂①⑦。и г.Окончательное выражение ускорения, принадлежащее будет:Ривальсу,Ривальсу,如=e X产+屮九如=e X产+屮九(8)(8)

где h——вектор, равный разности векторов 厂①⑦。и г.

Окончательное выражение ускорения, принадлежащее будет:

где h——вектор, равный разности векторов 厂①⑦。и г.

Окончательное выражение ускорения, принадлежащее будет:

Ривальсу,

Ривальсу,

如=e X产+屮九

如=e X产+屮九

(8)

(8)

Вектор (о2Л, направленный к мгновенной оси вращения, называется осестремительным компонентом ускорения (по аналогии с выражением R®—центростремительного компонента при /О^ч круговом движении точки). Что касается вектора ，] >l € X г, та он направлен перпендикулярно плоско- (\сти, проходящейчерез векторы 产 и е, т. е.так,

4/ 1工 方 /4как было бы направлено касательное ускорение

(\^|Ч^^ /точки 附,еслитело вращалось бы вокругоси,

\ ^l/^7* /совпадающей се. Вектор е X 产 называютеще

\^ О 丿 вращательным компонентом ускорения.

Уравнение мгновенной оси вращения.

Рис. 135 Уравнение мгновенной оси вращения найдем, исходя из того соображения, что скорости точек твердого тела, лежащих на мгновенной оси, в данный момент времени равны нулю. Возьмем две системы координат, имеющих общее начало в неподвижной точке 。： одну неподвижную (основную) ОЕ暄，а другую, Oxyzt подвижную, неизменно скрепленную с телом. Пусть проекции вектора со на неподвижные и подвижные оси будут соответственно рр %, rt и р, % г, а проекции радиуса- вектора г любой точки М тела на те же оси (т. е. координаты этой точки) — & П，С Н X, у, 2・

Заметим, что проекции мгновенной угловой скорости о) будут

функциями времен^; что же касается вектора г, то его проекции на подвижные оси, т. е. координаты 尤,у, z какой-нибудь точки тела, будут постоянны, так как оси Oxyz неизменно связаны с телом, проекции же & тр 匚 на неподвижные оси зависят от времени.

Для точек, лежащих на мгновенной оси со, будет 0 = 0 или по формуле Эйлера

(9)(9)炒 X г = 0.

(9)

(9)

Проектируя равенство (9) на подвижные и неподвижные оси или пользуясь непосредственно формулами (3), получим соответственно:

qz — ry = 0, rx — pz — 0, py — qx = Q (10) и

gK —rpi = o，r 抬一p《 = o,〃n —gR = o. (И)

Таким образом, координаты точек мгновенной оси удовлетворяют уравнениям (10) в подвижной и уравнениям (11) в неподвижной системе осей.

Из равенств (10) получаем уравнение мгновенной оси вращения для подвижной системы

土 =上=三，(12)

р q г' '

а из равенств (11)——для неподвижной

Исключая из уравнений (12) и (13) время, от которого зависят проекции р, q, г н рр 勿，г「получим уравнения подвижного и неподвижного аксоидов. Из (12) имеем:

Am(⑷

причем правые части суть функции времени. Исключая из этих равенств время, получим:

т. е. уравнение конуса, который будет подвижным аксоидом. Таким же образом получим уравнения неподвижного аксоида.

Пример. Круглый конус, высота которого равна h, а угол при вершине —2а, катится по горизонтальной плоскости без скольжения так, что его вершина О неподвижна, а центр основания С движется с постоянной по модулю скоростью % (на рис. 136 показано осевое сечение конуса вертикальной плоскостью). Найдем скорость и ускорение точки В конуса, занимающей в данный момент наивысшее положение.

При качении без скольжения скорости всех точек образующей ОА равны в данный момент нулю, следовательно, ОА является мгновенной осью вращения. Поверхность конуса будет подвижным аксоидом, а горизонтальная плоскость — неподвижным.

Так как скорости точек тела пропорциональны их расстояниям от мгновенной оси вращения, то

ВВ7= И 唯=2%("в""с)・(а)

Для определения w^ надо найти ю и в. Вектор <о направлен вдоль ОА (если точка С движется к нам), а по модулю

(б)(б)%

(б)

(б)

CCi — /г sin а

Поскольку © =：Поскольку © =：const > то вектор w изменяется только по направлению, 宀 с некоторой угловой скоростью &〔 (приconst > то вектор w изменяется только по направлению, 宀 с некоторой угловой скоростью &〔 (привращаясь вокруг вертикаливращаясь вокруг вертикалидвижении точки С на нас вектор 叫 направлен вниз). Тогда, согласно формуле (22) на стр. 98,движении точки С на нас вектор 叫 направлен вниз). Тогда, согласно формуле (22) на стр. 98,s = -^-=叫义明s = -^-=叫义明(в)(в)причем вектор s направлен перпендикулярно к плоскости zOA (к нам)."причем вектор s направлен перпендикулярно к плоскости zOA (к нам)."что о>1 丄 <о и по модулючто о>1 丄 <о и по модулюбудем иметь:будем иметь:气气ОС» h cos аОС» h cos а2呢£ =s й|й — &()■ , с 九2 Sjn 2a2呢£ =s й|й — &()■ , с 九2 Sjn 2aЗамечая^Замечая^(г)(г)(д)(д)

Поскольку © =：

Поскольку © =：

const > то вектор w изменяется только по направлению, 宀 с некоторой угловой скоростью &〔 (при

const > то вектор w изменяется только по направлению, 宀 с некоторой угловой скоростью &〔 (при

вращаясь вокруг вертикали

вращаясь вокруг вертикали

движении точки С на нас вектор 叫 направлен вниз). Тогда, согласно формуле (22) на стр. 98,

движении точки С на нас вектор 叫 направлен вниз). Тогда, согласно формуле (22) на стр. 98,

s = -^-=叫义明

s = -^-=叫义明

(в)

(в)

причем вектор s направлен перпендикулярно к плоскости zOA (к нам)."

причем вектор s направлен перпендикулярно к плоскости zOA (к нам)."

что о>1 丄 <о и по модулю

что о>1 丄 <о и по модулю

будем иметь:

будем иметь:

气

气

ОС» h cos а

ОС» h cos а

2呢

£ =s й|й — &()■ , с 九2 Sjn 2a

2呢

£ =s й|й — &()■ , с 九2 Sjn 2a

Замечая^

Замечая^

(г)

(г)

(д)

(д)

После этого находим по теореме Ривальса, что w=叫 +吗，где вектор Wi = в X ОВ направлен перпендикулярно к ОВ, а вектор w2 = и2 • ВВ{ перпендикулярен к ОА. По модулю

£ • ОВ = -г―5-^, w2 = а22 * ССг =(е)

h sin 2а cos а “1 /г sin а '丿

ними(Ж)ними(Ж)ww0 y唠 + 3； - 2^^2 cos 2a.0 y唠 + 3； - 2^^2 cos 2a.Оба вектора лежат в плоскости сечения ОАВ и угол между равен 180° — 2а; следовательно,

ними

(Ж)

ними

(Ж)

w

w

0 y唠 + 3； - 2^^2 cos 2a.

0 y唠 + 3； - 2^^2 cos 2a.

Наиболее общим случаем движения твердого тела по отношению к данной системе отсчета является произвольное движение свободного тела. Это движение будет рассмотрено в § 12 после изучения сложного движения твердого тела.

§ 11, Сложное движение твердого тела

・ Постановка задачи. Рассмотрим твердое тело, движущееся относительно системы отсчета Oxyz, которая в свою очередь перемещается по отношению к неподвижной системе Q^S- Пусть 叫川)есть скорость точки М тела в его движении относительно осей Oxyz (относительная скорость), а 暫^1)— скорость той неизменно Связанной с системой Oxyz точки пространства, в которой в данный момент находится точка Ж (переносная скорость). Допустим, что относительное движение тела и переносное движение, т. е. движение системы Oxyz

§ И] СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА 139 по отношению к системе QJ或，известны; тогда скорости 吋^ и о严 будут известны для всех точек тела в каждый данный момент времени. Скорость точки М в сложном движении (абсолютная скорость) по теореме о сложении скоростей будет:

①(m)= 研m) +方产. (1)

Настоящий параграф посвящен решению следующей задачи: в каждый данный момент времени при различных частных предположениях о характере относительного и переносного движений найти вид того результирующего сложного движения, которому соответствует распределение абсолютных скоростей точек тела в этот момент. Таким образом, здесь будет идти речь о сложении мгновенных (бесконечно малых) перемещений тела. Так как распределение скоростей точек твердого тела в данный момент зависит от его поступательной и угловой скорости в этот момент, то рассматриваемую задачу можно еще назвать задачей о сложении мгновенных поступательных и угловых скоростей тела). Заметим, что если мы имели бы в виду сложение не мгновенных, а конечных перемещений тела, то соответствующие теоремы получили бы в общем случае совершенно иную формулировку.

Из равенства (1) вытекает, что слагаемые движения коммутативны в том смысле, что мгновенное распределение скоростей результирующего движения не изменится, если относительное и переносное движения поменять ролями.

Все изложенное распространяется на случай п движений, когда тело движется относительно системы О^у^р система O^^^i — относительно системы О2х2у2г2 и т. д. и, наконец, система ^л-1хл-1Ул-1гл-1 ——относительно основной системы RWn*

V 2. Сложение поступательных скоростей. Когда все составные движения являются поступательными, то, в отличие от всех последующих случаев, теорема о сложении скоростей формулируется и доказывается одинаково как для мгновенных, так и для конечных перемещений. Пусть твердое тело движется поступательно со скоростью в】 относительно системы Оху#, которая в свою очередь движется поступательно со скоростью ①？ относительно неподвижной системы Q^rjC* Тогда абсолютная скорость каждой точки тела есть сумма относительной скорости, которая для всех точек равна т» и переносной скорости, которая в этом случае для любой точки

равна ①2・ Поэтому абсолютные скорости всех точек тела выражаются одним и тем же вектором

⑵⑵®=®1+©2-

⑵

⑵

Следовательно, результирующее движение тела будет тоже поступательным со скоростью v =

Если тело участвует одновременно в п поступательных движениях со скоростями о】，①2，...,①〃，то легко показать, что результирующее движение будет также поступательным со скоростью

1-п

(2‘)(2‘)0=01+%+...+0"=工%.

(2‘)

(2‘)

Z=I

ЗУ Сложение мгновенных угловых скоростей. Пусть твердое тело совершает мгновенное вращение относительно системы Oxyzt

которая в свою очередь совершает также мгновенное вращение по отношению к неподвижной системе Rgn* Таким образом, слагаемые движения представляют собой мгновенные вращения с некоторыми угловыми скоростями со】и со2. Рассмотрим сначала те частные случаи,

когда мгновенные оси вращения, а следовательно, и векторы top со2 пересекаются или параллельны.

Мгновенные угловые скорости пересекаются 8 одной точке. Отнесем векторы о)р со? к точке О пересечения мгновенных осей (рис. 137) и построим на них параллелограмм. Скорость конца 4 диагонали параллелограмма будет:

фд = Wj X О А 十 со?义 О А.

Модули обоих слагаемых одинаковы, так как они численно равны удвоенным площа

дям равных треугольников, на которые параллелограмм разделяется диагональю; по направлению же, как легко видеть, оба слагаемых прямо противоположны. Поэтому скорость точки 4 так же как и скорость О, равна нулю, и прямая ОД есть мгновенная ось вращения в результирующем движении.

Если обозначить направленную вдоль О А мгновенную угловую скорость через Q, то скорость какой-нибудь точки М тела должна быть:

⑶⑶(3‘)(3‘)vm = QX0M'，

⑶

⑶

(3‘)

(3‘)

с другой стороны, по формуле (1)

т* =出1 X ОМ + ①2 X ОМ = (со】十 w2) X。川・

Так как равенства (3) и (3‘)имеют место при любом ОМ, то отсюда следует, что

Q =(Oi +(()2.(4)

Следовательно, результирующее движение будет мгновенным вращением вокруг оси, проходящей через точку О, с мгновенной угловой скоростью Q = (t)i-j-со?.

Этот результат легко обобщается: если твердое тело одновременно участвует в любом числе мгновенных вращений с угловыми скоростями (Ор со?， ■ • •» 3/1 вокруг осей, пересекающихся в одной^ точке О, то результирующее движение будет также мгновенным вращением с угловой скоростью i-n

Q =(O] +(02+ • - •十％=工叫(5)

вокруг оси, проходящей через О.

Пример. Если волчок вращается вокруг своей оси Oz с угловой ско- росэью wIf а сама ось On обращается вокруг вертикальной оси Og с угловой скоростью w2 (рис. 138), то эти движения, складываясь, дают мгновенное вращение с угловой скоростью а =叫 + 叫 вокруг оси О/, направленной по диагонали параллелограмма, построенного на векторах 叫 и w2 (оси г и ^ здесь также являются мгновенными, так как ось On меняет все время свое направление по отношению к системе 徳吨，а ось 0g — по отношению к самому движущемуся телу). Совершаемое в этом случае волчком движение называется регулярной прецессией; при этом мгновенные оси Oz и 01 описывают вокруг вертикали два круговых конуса.

Обычно наряду с обращением вокруг вертикали ось волчка совершает еще весь

ма малые и частые колебания около своегоРнс. 138

среднего положения (нутация). При этом волчок будет иметь еще одну угловую скорость 叽，направленную в каждый момент перпендикулярно к плоскости 乞0& а его результирующая мгновенная угловая скорость « = «! -|- °>2 + мз будет направлена по диагонали параллелепипеда, построенного иа векторах ⑴卜 吗，wa

Мгновенные угловые скорости параллельны д направлен.^ 6 одну д ту же сторону (рис. 139). Очевидно, что в этом случае движение тела будет плоскопараллельным и скорости точек, расположенных на какой-либо прямой, параллельной мгновенным осям, будут в данный момент одинаковы; поэтому достаточно рассмотреть скорости точек, расположенных в какой-нибудь плоскости, перпендикулярной к со】н (о2. Пусть эта плоскость пересекает плоскость осей (совпадающую с плоскостью рис. 139) по прямой АВ, Скорости, которые любая точка М, лежащая на отрезке ЛВ, получает

от мгновенных вращений с угловыми скоростями (ор (о2* будут,

очевидно, противоположны по направлению; по модулю же эти скорости равны соответственно g ・ АМ и со2 • ВМ. Поэтому одна из этих

илиилиточек, а именно точка С, для которой выполняется равенство

или

или

<В[ ♦ АС =命 * 8c

(6)(6)АС — (о2

(6)

(6)

имеет скорость, равную нулю. То же са-

Рис. 139.мое имеет место и для всех точек, лежа

щих на прямой, проходящей через С и параллельной осям; эта прямая есть поэтому мгновенная ось враще

ния в результирующем движении.

Для определения мгновенной угловой скорости 0 результирующего движения удобно рассмотреть скорость одной из точек А или В. Например, для точки В мы имеем:

切月=晒♦ АВ 十(»)2 • 0 ~(0j • АВ,

а с другой стороны,

т5 = Q • СВ\

отсюда Q • СВ = «! • АВ и, следовательно,

с АВ АССВQ=si^=g—св~с АВ АССВQ=si^=g—св~(АСO1 VCB(АСO1 VCB11или, на основании (6),или, на основании (6),®1(~-+ 1)=晒十吗，®1(~-+ 1)=晒十吗，⑺⑺

с АВ АССВ

Q=si^=g—св~

с АВ АССВ

Q=si^=g—св~

(АС

O1 VCB

(АС

O1 VCB

1

1

или, на основании (6),

или, на основании (6),

®1(~-+ 1)=晒十吗，

®1(~-+ 1)=晒十吗，

⑺

⑺

Итак, результирующее движение будет мгновенным вращением с угловой скоростью Q = co1-|-co2. Мгновенная угловая скорость Q расположена в плоскости мгновенных угловых скоростей (ob з? слагаемых движений, параллельна им, направлена в ту же сторону и делит расстояние между ними внутренним образом на части, обратно пропорциональные модулям сор со2.

Мгновенные угловые скорости антипараллельны, т. е. векторы (Ор со? параллельны, но направлены в противоположные стороны (рис. 140). Так же как в предыдущем случае, построим плоскость, перпендикулярную к обеим мгновенным осям, и прямую АВ, по которой эта плоскость пересекается с плоскостью осей.

Пусть со1 =#(о2, и положим для определенности S[ >(о2. Для любой точки М, лежащей на продолжении отрезка АВ за большей мгновенной угловой скоростью <оР скорости, происходящие от мгновенных вращений с угловыми скоростями З], (о2, противо-

положны по направлению, а по модулю равны «! • МА и со2 • МВ> Тогда одна из этих точек, а именно точка С, для которой

илиили(8)(8)(0| • С А =(i)2 • СЗ

или

или

(8)

(8)

'св=^71

имеет скорость, равную нулю. Следовательно, прямая, параллельная (0р (о2 и проходящая через С, есть мгновенная ось вращения для результирующего движения. Если 0 есть мгновенная угловая скоростьимеет скорость, равную нулю. Следовательно, прямая, параллельная (0р (о2 и проходящая через С, есть мгновенная ось вращения для результирующего движения. Если 0 есть мгновенная угловая скорость

имеет скорость, равную нулю. Следовательно, прямая, параллельная (0р (о2 и проходящая через С, есть мгновенная ось вращения для результирующего движения. Если 0 есть мгновенная угловая скорость

имеет скорость, равную нулю. Следовательно, прямая, параллельная (0р (о2 и проходящая через С, есть мгновенная ось вращения для результирующего движения. Если 0 есть мгновенная угловая скорость

делит расстояние междуделит расстояние междуслучае антипараллельных результирующая угловаяслучае антипараллельных результирующая угловая

делит расстояние между

делит расстояние между

случае антипараллельных результирующая угловая

случае антипараллельных результирующая угловая

Итак, в случае, когда Sifco?， результирующее движение есть мгновенное вращение с угловой скоростью, численно равной 0 = =со】一со2; мгновенная угловая скорость Q расположена в плоскости

мгновенных угловых скоростей (ор (о2 слагаемых движений, парал

лельна им, направлена в сторону большей и ними внешним образом на части, обратно пропорциональные модулям сор со2.

Пара вращений. Совокупность двух мгновенных вращений вокруг параллельных осей с одинаковыми по модулю и противоположными по направлению угловыми скоростями образует пару мгновенных вращений или, как говорят для краткости, пару вращений. Угловые скорости со】и (о2 этих вращений, удовлетво* ряющие соотношениям

0)I - — to2) r/ 晒=S2 = 8，(10)

составляют пару мгновенных угловых скоростей (рис. 141).

Формулы (9) и (8) показывают, что в угловых скоростей в пределе при со2ftth

скорость стремится к нулю, а мгновенная ось результирующего движения уходит вместе с точкой С в бесконечность» так как в пределе

АС ->ВС. Отсюда можно заключить, что результирующее движение не является вращательным.

Покажем, что пара вращений дает мгновенное поступательное движение или, иначе, что пара мгновенных угловых скоростей эквивалентна поступательной скорости. Действительно, обозначая через Р и Q какие-нибудь две точки, взятые на мгновенных осях вращения, будем для любой точки М тела иметь (см. рис. 141):

中=3] X РМ.十 to? X Q-M = tOj X 尸附一(t)j X Q幽=

o)i X (PM ―■ Q-A4) = о»! X PQ*

Итак, скорости всех точек тела в данный момент равны друг другу. Следовательно, пара мгновенных угловых скоростей действительно эквивалентна поступательной скорости

(11)(11)中=3] X PQ.

(11)

(11)

Рис 142.Рис 142.Из (И) видно, что скорость 中 результирующего поступательного движения перпендикулярна к плоскости пары со1( (о2 и направлена так, что наблюдатель, глядящий с конца 力，видит векторы пары указывающими на вращение против хода стрелки часов. Расстояние d между мгновенными угловыми скоростями со? (о2 называется плечом пары.. Модуль и численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах со1( со?，т- е-

Рис 142.

Рис 142.

(12)(12)и = md.

(12)

(12)

Вектор 中，определяемый равенством (11), называется моментом пары', так как он может быть приложен в любой точке тела, то это вектор свободный. Следовательно, пара мгновенных угловых скоростей эквивалентна мгновенной поступательной скорости, равной моменту этой пары.

Наоборот, всякая поступательная скорость и может быть представлена в виде пары мгновенных угловых скоростей, плоскость которой перпендикулярна к 中，а плечо d и модули мгновенных угловых скоростей 晒= а)2 = б удовлетворяют равенству (12).

Укажем еще на следующий результат. Если тело имеет в данный момент мгновенное вращение с угловой скоростью со вокруг оси, проходящей через точку Л (рис. 142), то состояние движения не изменится, если в любой точке В приложить два вектора о/ =(о и —(о' = — со. Но векторы сон —屮 образуют пару, эквивалентную поступательной скорости и = со X АВ. Следовательно, мгновенное вращение тела с угловой скоростью (о вокруг оси, проходящей через точку Л, эквивалентно мгновенному вращению с такой же угловой

скоростью «>' = «> вокруг параллельной оси, проходящей через любую точку В, и поступательной скорости 中=to X АВ.

Пример. Движение велосипедной педали CD складывается из ее относительного вращения вокруг оси 8, укрепленной на кривошипе АВ, и переносного вращения кривошипа вокруг оси Л (рис. 143). Угловые скорости g и со? этих вращений по направлению противо

Рис. 143Рис. 143положны, а по модулю одинаковы, так как в любой момент времени угол поворота 屮] педали относительно кривошипа равен углу поворота ср? кривошипа. Таким образом, эти два вращения образуют пару, и в результате движение педали будет поступательным со скоростью U = fi)2"4E

Рис. 143

Рис. 143

Пример показывает, что пара вращений может быть эквивалентна не только мгновенному, но и перманентному поступательному движению.

Рис. 144Рис. 144Сложение мгновенных угловой и поступательной скоро* стей !)* Пусть теперь твердое тело совершает относительно системы Oxyz мгновенное вращение с угловой скоростью со, а сама эта система совершает по отношению к неподвижной 0三喧 поступательное движение со скоростью 0 (или наоборот, что в силу коммутативности мгновенных движений несущественно). Рассмотрим возможные частные случаи.

Рис. 144

Рис. 144

Поступательная скорость перпендикулярна к мгновенной оси вращения Аа (рис. 144). Заменим в этом случае мгновенную поступательную скорость ① парой угловых скоростей (о/, —со7), беря (о/ =(о (где со — заданная угловая скорость) и располагая пару так, как показано на рисунке; при этом, согласно (12), плечо пары d = N/co. Тогда мгновенные вращения вокруг одной и той же оси с угловыми скоростями (О и — (О’ =——(0

взаимно уничтожатся и останется только мгновенное вращение во круг мгновенной оси ВЬ с угловой скоростью (оЛ — со.

поступательное движениепоступательное движениеИтак, при сложении мгновенного вращательного движения с угловой скоростью со и поступательного движения со скоростью 刃，направленной перпендикулярно к со, результирующее движение будет мгновенным вращением с такой же (по модулю и направлению) угловой скоростью со, но вокруг мгновенной оси, смещенной в плоскости, перпендикулярной к вектору 刃，на величину d = n/co.

поступательное движение

поступательное движение

Во всех рассматриваемых ниже случаях может быть как мгновенным, так и стационарным.

10 Н. Н Бухгольц

Частный пример такого случая сложения движений дает плоскопарал* лельное движение твердого тела или движение плоской фигуры в ее пло* скости, которое слагается из поступательного движения вместе с полюсом и вращательного движения вокруг полюса и эквивалентно в каждый момент времени мгновенному вращению с той же угловой скоростью вокруг мгно* венного центра вращения.

Поступательная скорость параллельна оси вращения^ В этом случае результирующее движение тела будет или перманент*

ным, или мгновенным винтовым движением.

Винтовое движение (перманентное). Пусть движение тела

слагается из равномерного вращения с угловой скоростью (о вокруг оси постоянного направления и равномерного прямолинейного посту* пательного движения со скоростью о, параллельной(о. Результирую

щее движение тела в этом случаещее движение тела в этом случаеРис. 145.Рис. 145.называется перманентным винтовым или просто винтовым движением, а ось вращения—осы& винта.

щее движение тела в этом случае

щее движение тела в этом случае

Рис. 145.

Рис. 145.

Любая точка М тела остается во время движения на поверхности круглого цилиндра, описывая вин* товую линию (рис. 145, а). Если разрезать цилиндр по той образующей, на которой точка М находилась в момент t = %, и развернуть его поверхность на плоскость (рис. 145, 6), то в течение первого оборота положение точки М на развертке будет опре* делиться координатами

%i = rsf, У1 = к/,

где г есть расстояние точки от оси винта. Отсюда вытекает, что траектория точки М на развертке будет прямой линией, наклоненной к оси Ох под углом а = arctg (*).

Если в данный момент точка М находится на некоторой образующей, то через промежуток времени

2л<02л<0(13)

2л

<0

2л

<0

расстояниерасстояние九=иТ =九=иТ =2nv2nv(К)(К)она вновь пересечет эту образующую, переместившись вдоль нее на

расстояние

расстояние

九=иТ =

九=иТ =

2nv

2nv

(К)

(К)

Расстояние h называется шагом винта и не личину

р =—

называют параметром винта. Отметим, что для следующие соотношения:

也—2лр,tg ct7;—■ 2“ •

Скорость точки М по модулю равна

u = ]/u2+ /*2gл

зависит от г. Be-зависит от г. Be-(15)(15)винта имеют место(16)винта имеют место(16)(17)(17)а направление ее составляет угол а с плоскостью,

зависит от г. Be-

зависит от г. Be-

(15)

(15)

винта имеют место

(16)

винта имеют место

(16)

(17)

(17)

к оси винта. Ускорение точки М направлено кулярно к этой оси), а его модуль равен

® = ГСО2.® = ГСО2.(18)(18)Мгновенное винтовое движение. Если движение тела слагается из мгновенного вращения с угловой скоростью и> и поступательного движения со скоростью 中， параллельной мгновенной угловой скорости о>, то результирующее движение представляет собою мгновенное винтовое движение, а ось этого винта называется мгновенной винтовой осью. Как и мгновенная ось вращения, мгновенная винтовая ось меняет с течением времени свое положение в пространстве и в самом движущемся теле. Па-

® = ГСО2.

® = ГСО2.

(18)

(18)

перпендикулярнойперпендикулярнойоси винта (перпенди-оси винта (перпенди-Рис. 146.Рис. 146.раметр мгновенного винтового движения равен т/со и будет вообще тоже величиною переменной.

перпендикулярной

перпендикулярной

оси винта (перпенди-

оси винта (перпенди-

Рис. 146.

Рис. 146.

Поступательная скорость об разует произвольный угол а 匕 мгновенной осью вращения Аа (рис. 146). Разложим поступательную скорость 中 на составляющие 中‘,中"，направленные соответственно по заданной мгновенной угловой скорости (о и по перпендикуляру к ней. Очевидно, что

d = n cos а, "' = т sin а.

Сложение мгновенной угловой скорости со и перпендикулярной к ней поступательной скорости 刃" дает, согласно случаю 1), вращение с угловой скоростью s' = to вокруг новой мгновенной оси Bb, лежащей в плоскости, перпендикулярной к 中"；при этом расстояние между осями Аа и ВЬ будет равно

d — sin

В результате тело будет иметь мгновенную угловую скорость з' = з, направленную вдоль оси 8b, и параллельную ей поступательную скорость 中'，которые, слагаясь, дают мгновенное винтовое движение с параметром

р = — = — cos а. г

Итак, результирующее движение будет в рассмотренном случае мгновенным винтовым движением вокруг оси 分仇 параллельной(о и отстоящей от оси Аа на расстоянии &•

丫6・ Приведение системы скользящих векторов. Главный вектор и главный момент. Наиболее общим случаем сложного движения твердого тела будет тот, когда тело одновременно участвует в 论

мгновенных вращениях с угловыми скоростями (ор ы^ tdk \\ т

мгновенных поступательных движениях со скоростями ^, v2,..,,切团. Но каждую поступательную скорость можно представить как пару мгновенных угловых скоростей; следовательно, рассматриваемый общий

случай сводится к сложению одних только мгновенных угловых скоростей (Ор (о2, .. .,

Так как угловая скорость есть вектор скользящий, то этот вопрос представляет собой в свою очередь частный случай более общей задачи о приведении системы скользящих векторов к простейшим элементам. Рассмотрим эту задачу, понимая в дальнейшем под со любой

скользящий вектор.

Лемма. Всякий скользящий вектор со, приложенный 8 точке А,

можно, не изменяя егоможно, не изменяя егодействия, перенести в любую точку В,

можно, не изменяя его

можно, не изменяя его

прибавив при этом пару с моментом, равным моменту приложенного в точке Л вектора со относительно точки В* Действительно, пусть в точке Л приложен вектор со (рис. 147). Приложим в точке В два взаимно противоположных вектора о/ =(о и(о" = —to. Эти векторы в сумме дают нуль и, следовательно, не изменяют действия вектора <о.

Но полученную систему трех векторов со, о/, и»" можно рассматривать как вектор(о' =叫 приложенный в точке 8 и пару (叫 со"), момент которой будет:

(19)(19)mom (叫 со") = BA X w — momB(о.

(19)

(19)

Тем самым лемма доказана.

Рассмотрим теперь систему скользящих векторов (0° (о2, со^, расположенных как угодно в пространстве. Будем переносить эти векторы в произвольно выбранную точку О, прибавляя при этом, согласно только что доказанной лемме, соответствующие пары. Этот

процесс называется приведением системы скользящих векторов к данному центру О; точка О носит название центра приведения* Перенося какой-либо вектор(ор приложенный в точке Ait в центр О, мы получим вектор (о； =(о?, приложенный в точке О, и пару, моменг которой, согласно (19), будет равен

тот0% =乙 X toz,

где гj =。4 (рис. 148). Этот момент, как свободный вектор, мы можем приложить в той же точке О. Таким образом, после перенесения в центр О всех векторов со? мы получим в точке О две системы векторов: систему векторов 叫 и систему векторов 门 X 吗.

Складывая векторы 叫 и учитывая, что 叫=吗，получим вектор

Q = 2 吗，(20)

называемый главным вектором данной системы скользящих векторов. Складывая же векторы ri X wz, полу- г < чим вектор

ь = §СХз,),(21)/

называемый главным моментом данной/

системы скользящих векторов. Итак, в ре-

зультате приведения системы скользящиху

векторов к центру О, мы получаем следую- щие элементы приведения: один скользящий *

вектор, равный главному вектору системы Q, рис 149 и один свободный вектор, равный главному

моменту 中 системы относительно центра О (рис. 149). При этом главный вектор Q равен сумме всех векторов системы, а главный момент 街 равен сумме моментов всех векторов системы относительно центра О [формулы (20) и (21)].

，7・ Изменение центра приведения. Инварианты системы скользящих векторов. Приведем теперь рассматриваемую систему скользящих векторов со】， и>2，з修 к другому центру О， (рис. 150). Тогда, согласно равенствам (20) и (21), получим следующие элементы приведения:

» = И и = ^(г；Х 吗｝

где 尸;=О'总尸 Очевидно» что

Q' = Q.(22>

т. е. что главный вектор не изменяется при изменении центра приведения； поэтому главный вектор является инвариантом системы сколь-

^зящих векторов относительно^зящих векторов относительноперемены центра приведения.

^зящих векторов относительно

^зящих векторов относительно

Главный момент системы

к =，(％ X 吗

зависит от выбора центра приведения. В самом деле, так как у；=尸匕 ——OOf = = rl~\~O/O (см. рис. 150), то

0'=2m+^)><闻=

=2 (^х ю^+о^х U 叫；

2/

но, согласно (21) и (20),，(门 Х(о?) = 5 2奶=°，следовательно,

d =中十 б^х。，(23)

т. е. главный момент изменяется при изменении центра приведения на величину O'O X £2, которая представляет собой, очевидно, момент главного вектора Q, приложенного в точке О, относительно нового центра приведения О.

Покажем, что вторым инвариантом системы скользящих векторов будет скалярное произведение главного вектора на главный момент,

т. е. величина

w・Q = n08S(w, Q).(24)

Действительно, на основании (22) и (23) имеем: 中'• Q，=(刃 + OfO X Q) • Q =

Но так как смешанное произведение (О'О X Q) • Q = 0，то величина

не зависит от выбора центра приведения и поэтому будет инвариантна по отношению к изменению последнего.

Вследствие инвариантности Q за второй инвариант системы, как видно из (24), можно принимать величину

■у cos (*», Q),(25)

т. е. проекцию главного момента на направление главного вектора (рис. 151). Так как для любого центра приведения величина (25)

Рис. 152.Рис. 152.н, следовательно, будетн, следовательно, будетуравнение мы получим.уравнение мы получим.(26)(26)

Рис. 152.

Рис. 152.

н, следовательно, будет

н, следовательно, будет

уравнение мы получим.

уравнение мы получим.

(26)

(26)

остается неизменной, то, очевидно, главный момент системы имеет наименьшее значение в том случае, когда его направление совпадает с направлением главного вектора.

Винт. Центральная ось. Пусть данная система скользящих векторов со； приведена к центру О и для нее найдены Q н *р (рис. 152). Предположим далее, что найден такой центр приведения О*, для кото-

рого главный момент т* будет наименьшим направлен по главному вектору Q' = Q. Тогда вся система векторов при приведении к центру О* заменится скользящим вектором» равным Q, и парой с моментом %*, направленным вдоль Q・ Такая совокупность скользящего вектора Q и пары с моментом ®*, параллельным Q, называется винтом. Проходящая через точку О* прямая, вдоль которой в этом случае направлен вектор 0, называется цент ральной осью системы скользящих векторов. Очевидно, что все точки центральной оси будут обладать тем же свойством, что и точка О*.

Найдем уравнение центральной оси. Это

написав условие коллинеарности векторов Q и т*, т. е. полагая:

о*

7Г = Р，

где р есть постоянный скаляр, называемый параметром винта. Так как, согласно (23),中* =中十。*。＞＜。(см. рис. 152), то уравнение центральной оси в векторной форме будет:

•匕嘗ха=р.(27)

Вводя проекции векторов

%(%,旳，％), "00*(%*, /, n*), Q(Q*, Qy, QJ

найдем из (27) уравнение центральной оси в осях Oxyz прямоугольной декартовой системы координат

% 一 (PRz - 2*出)0у -(炉％ -炉%) vz -("国 y - y*R*)

总，(28)

где %*, у*, n* ——текущие координаты оси. Из уравнений (27) или (28) ясно, что центральная ось параллельна вектору Q・

Общий случай сложения мгновенных движений тела. Как было указано в начале п. 6, в наиболее общем случае сложного движения тела определение результирующего движения сводится к сложению мгновенных вращений вокруг произвольно расположенных осей. Пусть твердое тело участвует одновременно в 汽 таких мгновенных вращениях с угловыми скоростями (ор со?， ^я. Приводя систему скользящих векторов (of к какому-либо центру О (рис. 153), мы заменим их одной результирующей мгновенной угловой скоростью Q, равной главному вектору этой системы,

Q = 2叫

и одной поступательной скоростью ①，равной главному моменту этой системы,

笹=次〃 X 30 = В mom。to,.

Рис. 153.Складывая затем поступательную ско

рость 筈 с мгновенной угловой скоростью Q, получим (см. п. 5, рис. 146) мгновенное винтовое движение {мгновенный винт) с параметром (см. рис. 153)

и cos а

ось этого винта будет, очевидно, центральной осью системы векторов 齿订

Таким образом, самый общий случай сложного движения тела приводится к мгновенному винтовому движению около некоторой мгновенной винтовой оси. Поэтому винтовое движение есть самый общий вид движения твердого тела.

Непрерывное движение тела будет слагаться из серии мгновенных винтовых движений вокруг мгновенных винтовых осей, которые будут изменять свое направление в пространстве и в самом теле, образуя соответственно неподвижный и подвижный винтоше ал> соиды. Эти аксоиды будут неразвертывающимися линейчатыми поверхностями, которые при движении твердого тела, касаясь друг друга по образующей, будут катиться одна по другой со скольжением вдоль мгновенной винтовой оси; поэтому иногда эту ось называют мгновенной осью вращения и скольжения (см. еще § 12. п. 1).

Если параметр мгновенного винта р равен нулю (т. е. если поступательная скорость по оси вращения есть нуль), то мгновенная винтовая ось обращается в мгновенную ось вращения, а результирующее движение тела будет мгновенным вращением.

§ 12. Движение свободного твердого тела

Теорема Шаля для движения свободного твердого тела. В предыдущем параграфе рассматривалось сложное движение тела, слагавшееся из движения по отношению к одной системе отсчета, которая в свою очередь перемещалась по отношению к другой и т. д., при этом каждое из составных движений было мгновенным, вращательным или поступательным движением. Результирующее движение в самом общем случае оказалось мгновенным винтовым.

Сейчас мы рассмотрим самый общий случай движения твердого тела по отношению к одной фиксированной (основной) системе отсчета. Таким движением является движение свободного твердого тела. Это движение, оказывается, тоже будет слагаться из серии мгновенных винтовых движений. К такому выводу приводит теорема Шаля, которая по отношению к свободному телу играет ту же роль, что и теорема Эйлера —— Даламбера по отношению к твердому телу, имеющему неподвижную точку (§ 10, п. 1), и которая нами уже была рассмотрена для случая плоскопараллельного движения (§ 9, п. 2).

Теорема Шаля состоит в следующем: всякое перемещение свободного твердого тела %з одного положения в другое может быть получено посредством поступательного перемещения вместе с произвольно выбранным полюсом и поворота вокруг некоторой оси, проходящей через этот полюс.

Пусть мы имеем твердое тело, положение которого по отношению к системе отсчета *自刀百 определяется тремя точками А, В, С (рис. 154, а), и пусть это тело переместилось так, что точки Д„

С заняли положения Лр Вр С「 Нам нужно показать, что тело может быть переведено из первого положения во второе посредством поступательного перемещения и поворота. Для этого переместим сначала тело поступательно так, чтобы точка Л (полюс) совпала с точкой Др тогда треугольник АВС займет положение AxBrCf, причем AxBr^АВ, BfCr^ВС, С'4Д.С4 Остается совместить.

точки 5’ с В[ н С' с СР Но это мы можем сделать, согласно теореме Эйлера—Даламбера» посредством поворота тела вокруг некоторой оси АХР, проходящей через точку ДР Итак, любое перемещение свободного твердого тела может быть действительно осуществлено путем поступательного перемещения и вращения.

При этом, как видно из рисунка, поступательная часть перемещения зависит от выбора полюса (при полюсе Л это перемещение определяется вектором ЛЛР а при полюсе В—вектором BB^AAi и т. д.); вращательная же часть перемещения, как и в случае плоскопараллельного движения, от выбора полюса не зависит-

Проведем через полюс Л координатные оси Axyz, которые будут перемещаться вместе с полюсом поступательно (рис. 154, б). Тогда теорема Шаля, по существу, утверждает, что любое перемещение свободного тела по отношению к осям 2^т]^ слагается из вращательного перемещения вокруг точки А по отношению к осям /x'y'z' и поступательного перемещения вместе с осями Axryfzf по отношению к осям Q^nU. В § 11 было показано, что в случае мгновенных перемещений такие два движения, слагаясь, дают мгновенное винтовое движение. Можно доказать, что аналогичный результат -имеет место и для конечных перемещений. Поэтому теорема Шаля допускает еще следующую формулировку: всякое перемещение свободного твердого тела может быть осуществлено одним винтовым движением 。弘。/。 некоторой винтовой оси. называемой осью конечного винтового перемещения.

Полученные результаты позволяют представить картину движения свободного твердого тела как непрерывную последовательность элементарных перемещений одним из следующих двух способов. Из первой формулировки теоремы Шаля вытекает, что движение свободного твердого тела можно рассматривать как слагающееся из поступательного движения, определяемого движением произвольно выбранного полюса, и из вращательного движения вокруг этого полюса, как вокруг неподвижной точки. В свою очередь движение вокруг неподвижной точки представляет собой непрерывную последовательность бесконечно малых поворотов вокруг мгновенных осей вращения, проходящих через эту точку.

По второй из этих формулировок всякое элементарное перемещение тела представляет собой мгновенное винтовое движение вокруг соответствующей мгновенной винтовой оси. Поэтому движение свободного твердого тела можно еще представить как непрерывную последовательность мгновенных винтовых движений. Геометрические места мгновенных винтовых осей в пространстве, связанном с неподвижной системой отсчета, и в самом движущемся теле образуют две линейчатые поверхности, называемые соответственно неподвижным и подвижным винтовыми аксоидами; -так как две соседние (бесконечно близкие) мгновенные винтовые оси не могут

пересекаться, то эти поверхности будут неразвертывающимися. При движении тела подвижный винтовой аксоид катится по неподвижному, имея с ним в каждый данный момент времени общую образующую, являющуюся для этого момента мгновенной винтовой осью, и одновременно проскальзывает вдоль этой образующей. Такое ка-

чение с продольным скольжением и венных винтовых движений. Отсюда геометрическую картину движения тела в общем случае можно получить,

дает последовательность мгно- следует, что свободного

если жестко

связать это тело с подвижным винтовым аксо- идом и катить этот аксоид со скольжением вдоль образующих по соответствующему неподвижному аксоиду.

Примером такого качения со скольжением может служить движение однополостного гиперболоида по другому такому же неподвижному гиперболоиду при условии, что эти гиперболоиды во все время движения касаются друг друга по образующей, которая и будет мгновенной винтовой осью (рис. 155).

В соответствующих частных случаях аксоиды могут быть коническими поверхностями (при движении

Рис. 155.

тела около не*

подвижной точки) или цилиндрическими (при плоскопараллельном движении). В этих случаях качение аксоидов происходит без скольжения.

2. Скорости точек свободного твердого тела. Рассмотрим свободное твердое тело, которое движется относительно основной (непод-

вижной) системы отсчета ©自“£ Возьмем подвижную систему координат Axyz с началом в произвольной точке Л, неизменно связанную с твердым телом. Обозначим радиус-вектор ТОЧКИ А через р^(氧，тц，鼠)，ра- диус-вектор любой точки М тела относительно неподвижной системы через р (*, т], g), а относительно подвижной——через г (х, у,之) (рис. 156).

Согласно теореме Шаля, движение тела мы можем рассматривать составленным из поступательного движения вместе с полюсом А и

7

156.

движения тела около точки Л как неподвижной. Поэтому

скорость

какой-либо точки М тела будет равна сумме двух скоростей: 1) скорости от поступательного движения, равной скорости vA = d^^dt точки Л, и 2) скорости от движения около точки Л как неподвижной^

которая, согласно формуле (2) § 10, равна з X 尸，где со — мгновенная угловая скорость тела. Следовательно,

w = Wa + s х r =+ s х 匸(1)

Другим путем это равенство можно еще получить так, как это сделано в § 9, ri. 5.

Если принять во внимание, что г — р ——р&, то формулу (1) можно еще представить в виде

Обозначим проекции мгновенной угловой скорости со на подвижные и неподвижные оси соответственно через р, q, г и р「д「гР Тогда, проектируя обе части равенства (2) на оси системы Q^nW， получим проекции скорости точки М на неподвижные оси:

兽十分G -鼠)一石(n - m)，

第-л第-л-^"十г1(自一乳)一Pi(C — £)，'(3)

第-л

第-л

~^~ + Pi (Л — Лд)—处(占一^д)-

Проектируя же на оси системы Oxyz обе части равенства (1), найдем проекции скорости точки М на подвижные оси:

4 = %+" —гу，

^у^^Ау + ^ — Р2'⑷

Входящие сюда величины 切小*, N』y, vAz (проекции вектора % на оси %, у, z) могут быть вычислены по формулам:

必Г =鲁(11)十袋(12) +等(13), 办广粤(21)+学(22)十粵(23)，(5)

% =鲁(31) +警(32)+今(33),

где (£左)(Z,左=1, 2, 3) суть косинусы углов между осями подвижного и неподвижного трехгранников, определяемые таблицей на стр. 93.

3・ Ускорения точек бой точки М свободного3・ Ускорения точек бой точки М свободногоdpdi Гdpdi Г3 X，3 X，

3・ Ускорения точек бой точки М свободного

3・ Ускорения точек бой точки М свободного

dp

di Г

dp

di Г

3 X，

3 X，

свободного твердого тела. Скорость лю- твердого тела определяется формулой (1)

Дифференцируя обе части этого равенства no f н учитывая, что = з 又 т、получим (см. § 10, п. 5):

® = R =X，十3 X(S X Г)(6)

или

w=叫+箒 X r+«(« • y)-⑺

Проектируя обе части равенства (7) на оси подвижного трехгранника Axyz. получим проекции ускорения на подвижные осн】)：

®х =®Аг 十穿Z —嘗У +(Р* + дУ + ")Р—3次，

■®у = ®Ау + *х —%z +(P* + gy + rz)<7 — «6»，-(8)

Wz = ®Az + %y —將X-HPX + qy + rzH — dz，

где 加厶工,w^y, wAz — проекции вектора wA на оси х, у, z. Положив в формуле (7) г = р ——рл, получим выражение ускорения точки М в виде

加= ^г= "^-十 ^f X (р ~ рд) + « [со • (р — pQ] — «2(р — рл). (9)

Проектируя обе части этого равенства на оси неподвижного трехгранника 0占刀备 найдем проекции ускорения на неподвижные оси: d2g 壮2鼻 dq、 _ 乙 dr〔

g=胃=^"十右g-Q - 右⑴一"公十

+[Pi患一自貝)十力(n-〃)+ r 1 (U-以)1 Pi一壮患一自貝)，

*=訴=-^-+к代一氧)_-зt(и一£)+(10)

+ [Pi (自-自4)十处(П 一n4)+ q (U - Ua)1 Q! - W(n - пa), d七&弋八dp〕dq、

g = R = ~5?~ + R(T1 —以)——十

十【Pi (3 -氧)+ % 01 -以)+г 1 (U - ^a)1r 1 一 呼(C -.

1) Справедливость равенств на стр. 161.1) Справедливость равенств на стр. 161.dp ~didp ~diи т. д. обоснована в сноскеи т. д. обоснована в сноске

1) Справедливость равенств на стр. 161.

1) Справедливость равенств на стр. 161.

dp ~di

dp ~di

и т. д. обоснована в сноске

и т. д. обоснована в сноске

Уравнение мгновенной винтовой осн. Уравнение мгновенной винтовой оси получим, исходя из того, что эта ось есть геометрическое место точек, направление скоростей которых в данный мо* мент совпадает с направлением вектора со. В векторной форме условие коллинеарности г и со будет:

中= рз,(11>

где р ——скалярная величина, представляющая собой параметр мгновенного винта. Умножая числитель и знаменатель левой части предыдущего уравнения скалярно на ю, получим для р выражение

工 ® • w V cos (叫 q)

где и cos (со,刃)представляет собой, очевидно, составляющую скорости, параллельную со. Проектируя обе части равенства (И) на неподвижные оси и принимая во внимание формулы (3), получим уравнение мгновенной винтовой оси в неподвижных осях координат:

-^•十分(6 一点)一GCi 一以)_-^ + 勺e一％) -%(6 一点) .-==

-jt+a (п-Лд)-?!^-^)~

==р. (12)

Уравнение мгновенной винтовой оси относительно подвижных осей найдется аналогичным путем с помощью равенств (4) в виде

%+—/У %у + с~~а = % + ру-" = ~(13)

Исключая из уравнений (12) и (13) время, входящее через проекции векторов рл (или 刃厶)и со, получим соответственно уравнения неподвижного и подвижного аксоидов.

§ 13* Сложное движение точки

Основные понятия. Пусть точка движется относительно некоторой подвижной системы отсчета Oxyz, которая в свою очередь перемещается по отношению к основной (неподвижной) системе Q^tjC* Тогда движение, скорость и ускорение точки, рассматриваемые по отношению к системе Oxyz, называются относительными, а по отношению к системе 0&刀二——абсолютными (см. § 6, п. 15). Разумеется» что термин «абсолютный» есть лишь способ выражения, обозначающий, что соответствующие величины отнесены к системе й^т]^, являющейся основной (в этом же условном смысле основную систему называют неподвижной).

Движение подвижной системы Oxyz по отношению к неподвижной QgnU является для движущейся точки переносным движением, а скорость и ускорение той неизменно связанной с подвижной системой отсчета точки пространства, в которой в данный момент находится движущаяся точка, называются переносными. Иным образом переносную скорость и переносное ускорение можно в каждый момент времени представить себе как ту скорость и то ускорение, которые движущаяся точка имела бы в данный момент, если она начиная с этого момента оказалась бы жестко связанной с подвижной системой (т. е. не совершала относительного движения).

Для решения ряда задач механики необходимо установить зависимости между скоростями и ускорениями точки по отношению к подвижной и неподвижной системам отсчета. Для скоростей эта зависимость уже была найдена геометрически (§ 6, п. 15) и имеет вид

®а = ®г+®е-(О

Соответствующую зависимость для ускорений получим, используя понятие об относительной производной вектора.

Полная и относительная производные от вектора. Пусть подвижная Oxyz и неподвижная 0自刀^ системы отсчета имеют обшее начало 0, и пусть з — мгновенная угловая скорость подвижной системы Oxyz по отношению к неподвижной (рис. 157). Рассмотрим точку М,

совершающую движение, которое не зависит от движения триэдра Oxyz. Ее радиус-вектор г = ОМ будет, очевидно» с течением времени изменяться в каждой из систем отсчета по разным законам. Тогда за некоторый промежуток времени А/ вектор 尸 получит по отношению к осям 0自“已 и Oxyz разные приращения, которые мы соответственно обозначим через Ау и 5г.

Пределы отношений Дг н Дг к Д/ при Д^->0 дадут соответственно производные

dr - Ardr - Ardr f. Агdr f. Аг⑵⑵

dr - Ar

dr - Ar

dr f. Аг

dr f. Аг

⑵

⑵

Производную -~ будем называть «абсолютной» или «полной^, а

производную «относительной» или «локальной». Найдем зави

симость между этими производными. С этой целью обратимся к их

кинематическому смыслу. Из определений относительной 中「и абсолютной % скоростей следует» что

⑶

Но, согласно (1),中口 =中「十切&, где переносная скорость 中皆 есть скорость той неизменно связанной с триэдром Oxyz точки пространства, в которой в данный момент находится точка AL Тогда по формуле Эйлера ^е —(л X г и равенство (1) дает:

dr~didr~di■l + sXr.■l + sXr.(4)(4)

dr~di

dr~di

■l + sXr.

■l + sXr.

(4)

(4)

Так как всякий вектор а = а (^), заданный как непрерывная и дифференцируемая функция времени, можно рассматривать как радиус-вектор некоторой точки (конца этого вектора), то полная и локальная производные любого вектора 。(£) будут связаны тем же соотношением

da衣da衣da . 一衣+”厶da . 一衣+”厶(5)(5)

da衣

da衣

da . 一

衣+”厶

da . 一

衣+”厶

(5)

(5)

Если воспользоваться проекциями, то локальная производная любого вектора а относительно системы Oxyz может быть определена как вектор, проекции которого на оси этой системы равны производным от проекции вектора а на те же оси.

Дадим другое доказательство справедливости формулы (5). Пусть, как всегда, /, /,论 суть единичные координатные векторы подвижного триэдра Oxyz; тогда

0 = 0/+旬/+02 近

Дифференцируя по времени, получим:

Первые три члена справа дают локальную производную

"+整+号=n，(7)

так как они представляют собой производную вектора а при условии, что Л /, k постоянны. Производные единичных векторов суть скорости их концов, т. е. скорости точек неизменяемой системы, которой является триэдр Oxyz. Следовательно, по формуле Эйлера

备=3 х t,名=s х /，塞=s X 近 (8)

жения (6) da — da dt — dtжения (6) da — da dt — dtнаходим:находим:Равенства (8) называют еще формулами Пуассона, Тогда из выра-

жения (6) da — da dt — dt

жения (6) da — da dt — dt

находим:

находим:

■|-ал.(о X« + ay(o X/+«zw X * =

=粤 + 3 X(°/+ ay/+a$)，

или

(5‘)(5‘)da da , 一

(5‘)

(5‘)

_==_+wxa.

Заметим, что формула (5) сохраняет свой вид и в том случае, когда трехгранник Oxyz, кроме вращения вокруг точки О, совершает еще и поступательное движение, т. е. перемещается как свободное твердое тело. В самом деле, от поступательного перемещения триэдра Oxyz единичные векторы его осей Z, /,尼 не изменяются, следовательно, формулы Пуассона (8) сохраняют свой вид и равенство (6) опять приводит к соотношению (5).

Рассмотрим частные случаи.

Если система Oxyz неподвижна, то

s =。， 器=若1)■(9)

2) стеме2) стемеЕслиQ施,ЕслиQ施,вектор товектор тоQ неподвижен по. отношению к основной си-Q неподвижен по. отношению к основной си-da 八石=°，da 八石=°，3)3)ЕслиЕсливектор а неизменно亚=0dt — и，вектор а неизменно亚=0dt — и，粤=_зХа.связан с триэдром Oxyz* то粤=_зХа.связан с триэдром Oxyz* то(Ю)(Ю)z=3X%z=3X%(И)(И)

2) стеме

2) стеме

Если

Q施,

Если

Q施,

вектор то

вектор то

Q неподвижен по. отношению к основной си-

Q неподвижен по. отношению к основной си-

da 八

石=°，

da 八

石=°，

3)

3)

Если

Если

вектор а неизменно

亚=0

dt — и，

вектор а неизменно

亚=0

dt — и，

粤=_зХа.

связан с триэдром Oxyz* то

粤=_зХа.

связан с триэдром Oxyz* то

(Ю)

(Ю)

z=3X%

z=3X%

(И)

(И)

е.( как и должно быть, скорость конца о определяется в этом случае как скорость точки твердого тела, скрепленного с триэдром Oxyz,

К случаю второму относится вычисление относительных произ* водных от единичных координатных векторов §°,叮°, ,。неподвижной системы 窕吨・ По формуле (10) получим:

等= 一ЗХЕ。，窜=一3）＜咽翳= -зхо（12）

【)Равенство (9) имеет еще, очевидно, место в случае, когда а || <о.

В частности, для самого вектора w по этой причине будет

следовательно. (瓷)* = (翁)х=%нт. 4 Этотрезультат и использован

при выводе формул (8) в § 12.

11 Н. Н. Бухгольц

С помощью равенств (12) можно определить производные от косинусов углов между осями подвижного и неподвижного триэдров, которые заданы табличкой на стр. 93. По этой табличке проекции &° на оси Охуе равны (11), (21), (81); если р, д, г суть проекции со на те же оси, то

i/й

—•= —«X §° =—尸qг ・(13)

(11)⑵)(31)

Разлагая по осям системы Oxyz, получим:

(14)(14)喘l = (il) = —m (31) —Г (21)], Agll = (2，) = — [r(ll) — p(3l)], £g!l==(31)==-[p (21)-^(11)].

(14)

(14)

Из двух других равенств (12) аналогичным путем находятся формулы для производных остальных шести косинусов.

V 3. Теорема о сложении ускорений. Пусть подвижная система Oxyz движется относительно неподвижной Q&能 как свободное твердое тело. Обозначим скорость и ускорение начала (полюса) О по от-

Рис. 158.Рис. 158.ношению к осям ◎№ через % и W。，а мгновенную угловую скорость и угловое ускорение самого трехгранника Oxyz по отношению к тем же осям £2自喧 через to и е (рис. 158). Рассмотрим точку М совершающую движение, которое вообще не зависит от движения системы Oxyz, Обозначим через р и г ее абсолютный и относите ль- 7 ный радиусы-векторы, а через р0

Рис. 158.

Рис. 158.

радиус-вектор точки О. Тогда в любой момент времени

Р = Ро + г- (13)

Возьмем по времени.Возьмем по времени.от обеих частей этого равенства полную производную Учитывая формулы (5) и ⑶，будем иметь:

Возьмем по времени.

Возьмем по времени.

dpdrdr

吃= 7f = -^ + №=Vo十胃十8Хг = 0о+зХг-1-%・(16)

Но по формуле (1) § 12 %十3></" есть скорость той неизменно связанной с системой Oxyz точки, в которой в данный момент на-

ходится точка Ж, следовательно, по определению это — переносная скорость, т・ е.

00+3><Г= 4.(17)

В результате из (16) находим:

% = % + %•(18)

Таким образом, мы другим путем доказали теорему о сложении скоростей.

Беря теперь производные от обеих частей равенства (18), будем иметь:

S一 〃一现十 dt ,

или, после замены 办 его значением из (17), ddr

5 = »д + зХг)+ н = ^ + нХг + «>Х^ + ^・

Применяя здесь формулу (5) к г и 廿尸 получим:

В этом выражении

备г"ЗГ备г"ЗГ+-W х «?г+-W х «?ги его можно представить в виде

备г"ЗГ

备г"ЗГ

+-W х «?г

+-W х «?г

w = Wo + s X r +(o X ^r + w X(w Xr)4

илц, после приведения,

з=務 + g + 金 X 尸 + з X (з X 尸)+2(3 XeJ (19)

d2r 丽d2r 丽Рассмотрим, что представляют собой слагаемые, входящие в пра- вук> часть равенства (19). Величина

d2r 丽

d2r 丽

(20)

ест^ по определению относительное ускорение (как локальная про^водная от относительной скорости по времени). Иным путем в этом можно убедиться, положив в (19) з = 0, s = 0, wo = 0, т. е, считай, оси Oxyz неподвижными. Тогда полное ускорение точки М должйо совпасть с относительным и мы придем к равенству (20).

Величина

(2D(2D叫=^о + ® X r + w X (« X И

(2D

(2D

есть переносное ускорение, так как, согласно формуле (6) § 12, она равна ускорению той неизменно связанной с системой Oxyz точки, в которой в данный момент находится точка М. Иным путем это можно получить, положив в (19) q. = 0, wr — 0, т. е. считая» что точка М неизменно связана с системой Oxyz, Тогда ее полное ускорение совпадает с переносным и мы получим равенство (21).

Величина

叫=2з X廿户(22)

которая не входит ни в относительное, ни в переносное ускорения, называется поворотным или кориолисовым ускорением,

В результате получаем следующую теорему о сложении ускорений или теорему Кориолиса: абсолютное усморем^е точки при, сложном движении равно гео мет рической сумме относительного. переносного « кориолисова ускорений

wa = tvr-i-we + wc.(23)

Если переносное движение (движение подвижной системы Oxyz) является поступа тельным, то wc = 0, так как со = 0, и мы имеем：

3@ =叫+叫，(24)

Следовательно, при поступательном переносном движении абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме относительного и переносного ускорений.

Кориолисово ускорение появляется только тогда, когда подвижные оси при своем движении вращаются (отсюда термин《поворотное》 ускорение). Как видно из хода доказательства, вектор 叫 является суммой двух векторов со X 廿广 Один из них учитывает изменение вектора относительной скорости 办 при непоступательном переносном движении, а другой ——изменение переносной скорости е© при относительном перемещении точки (при изменении вектора г в относительном движении).

Если подвижная система отсчета движется поступательно, равномерно и прямолинейно, то 加。=0, со = 0, е = 0 и, как видно из (21) и (22),叫=0 и 叫=0, т. е. в этом случае относительное и абсолютное ускорения совпадают.

Отметим еще, что кориолисово ускорение может обращаться в нуль 8 данный момент времени, если в этот момент со = О, или ①尸=0, или же 暫г Н

В тех случаях, когда w© =Л 0, его модуль, согласно (22), вычисляется по формуле

叫=2叫 sin (м7^г),(25)

а направление определяется как направление векторного произведения со X г. Направление wc можно еще найти, спроектировав вектор юг на плоскость П, перпендикулярную к ад, и повернув эту проекцию на 90° в сторону переносного вращения, что видно из рис. 159, Такой способ особенно удобен в случае плоского движения, когда % уже лежитз

в плоскости, перпендикулярной к з・()

Примеры. При решении задач следует г^ иметь в виду, что относительная скорость 0r * и относительное ускорение wr вычисляются ! х.wc

обычными методами кинематики точки; при I ^~'J^т?

этом подвижная система отсчета рассматри- |

вычисляются как скорость и ускорение той «-^ 〃

точки подвижной системы отсчета, с которой

в данный момент совпадает движущаяся точка.Рис. 159.

Поскольку подвижная система движется как

абсолютно твердое тело» то вычисление @© и 酬^ производится по формулам кинематики твердого тела. Наконец, кориолисово ускорение вычисляется по формулам (22) или (25).

Шар радиуса R (рис. 160, @) вращается вокруг оси ОА по закону ф = Ф (^). Вдоль меридиана АВ из полюса 4 движется точка М по закону

川川

川

川

а)

Рис. 160.

s = s (0- Найдем абсолютные скорость и ускорение точки в произвольный момент времени 力

Абсолютная скорость точки М вычисляется по формуле (18). В данном случае численно vr = s, а направлен вектор vr по касательной Мх к относительной траектории АВ в сторону, определяемую знаком s. Переносная скорость 0© равна скорости той точки поверхности шара, с которой в данный момент совпадает движ^^щаяся точка М; следовательно, ve = Лб> = Лф» где Л ——расстояние от точки М до оси вращения в рассматриваемый момент

времени, т. е. (см. рис. 160)

А = /? sin 0 = /? sin (斎)

Направлен вектор 外已 перпендикулярно к плоскости, проходящей через ось z и точку М в сторону, определяемую знаком 而.Строя на векторах 力 и % параллелограмм, находим 0a =廿尸 + 0史 По модулю

%=P^+w+2%% cos (G).

В данном частном случае 皆尸丄 @& и последнее слагаемое под знаком радикала обращается в нуль.

Абсолютное ускорение точки М находим по формуле (23). При этом относительное ускорение вычисляем как сумму его касательной и нормальной составляющих: wr = wrT + wrn, где составляющие wrt и wrn направлены соответственно по касательной Л1т и главной нормали Мп к траектории АВ (рис. 160, б) и численно равны

dvrvf s2

здесь рг ——радиус кривизны относительной траектории АВ в той ее точке, где в данный момент находится точка М (в данном случае всюду рг = А).

Переносное ускорение вычисляем как ускорение той точки поверхности шара, в которой в данный момент находится точка М Следовательно» 叫==“т+叫山 где численно

wex == Ле = Аф, wen == Лео2 =加 2,(в)

а Л ——расстояние точки М от оси вращения, определяемое равенством (а). Направлены векторы weT и wen соответственно по касательной и нормали к окружности, которую описывает точка поверхности шара, совпадающая в данный момент с движущейся точкой М. Величина кориолисова ускорения вычисляется по формуле (25)

wc — 2(our sin (<оиг) == 2q)s cos(г)

Направление wc находится как направление векторного произведения ы X 0尸 При показанных на рис. 145, а направленных 0rH 導 вектор wc направлен так же, как вектор %.

Окончательно получаем：

现 。 = % + 叫" + % + 叫" + "•(д)

Чтобы найти модуль wat проводим через точку М какие-нибудь координатные оси Mxyz (например. МхпЪ) и вычисляем проекции всех стоящих в правой части равенства (д) векторов на эти оси. Тогда

Wa# = £wg W” = £wiy, Waz = 2 W^

В

2. Вычислим с помощью теоремы Кориолиса ускорение точки, совер-2. Вычислим с помощью теоремы Кориолиса ускорение точки, совер-

2. Вычислим с помощью теоремы Кориолиса ускорение точки, совер-

2. Вычислим с помощью теоремы Кориолиса ускорение точки, совер-

шающей плоское движение» если это динатах) уравнениями (см. § 6, п. 12)

г = г (0 и

движение задано (в полярных коор-

ч> = ч> (О-

радиуса переноснымрадиуса переноснымсамогосамогонанарадиус-вектор ОМ ирадиус-вектор ОМ иииw== wr + wet + wgn + wc.w== wr + wet + wgn + wc.радиальную и трансвер-радиальную и трансвер-

радиуса переносным

радиуса переносным

самого

самого

на

на

радиус-вектор ОМ и

радиус-вектор ОМ и

и

и

w== wr + wet + wgn + wc.

w== wr + wet + wgn + wc.

радиальную и трансвер-

радиальную и трансвер-

Будем рассматривать движение точки М как сложное, считая движение вдоль радиуса ОМ относительным, а вращение (рис. 161). Тогда будет:

wr == г. wex == г • е = гф, wen = гсо2 = г(р2, с *(а)

wc = 2 叫=2”

Так как движение является плоским, то направление wc сразу находится поворотом вектора 力尸 на 90° в сторону переносного вращения, т. е. в данном Случае против хода часовой стрелки (рисунок соответствует случаю» когда г > 0, ф > 0); направления остальных векторов показаны в предположении, что

г > 0 и ф > 0. Проектируя обе части равенства (б) перпендикулярное к нему направление Мр, найдем сальную проекции ускорения

^рад = ^-г两叫p =而+ 2；而.

(в)

РАЗДЕЛ 11

СТАТИКА

ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ (ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ) СТАТИКА

§ 14. Введение в кинетику

., Сила и масса. В то время как в кинематике движение тел изучают с геометрической точки зрения, рассматривая изменение их положения относительно определенной системы отсчета и принимая во внимание время, в течение которого это изменение происходит, вторая часть механики ——кинетика — посвящена изучению движения материальных тел в зависимости от факторов, обусловливающих характер или закон рассматриваемого движения. Эги факторы зависят как от тел, окружающих данное тело, так и от свойств самого тела.

Влияние окружающих тел заключается в том, что они взаимодействуют с данным телом, изменяя его движение (или вызывая деформации тела). Это взаимодействие может происходить как путем непосредственного соприкосновения, так и на расстоянии (с точки зрения классической механики Галилея — Ньютона); его эффект зависит от свойств взаимодействующих тел и от их расположения в пространстве. Величина, являющаяся мерой механического взаимодействия материальных тел, называется в механике силой.

Кроме внешних воздействий, т. е. сил, движение любого материального тела определяется еще его инертностью, или инерцией, являющейся одним из основных свойств материи. Это свойство проявляется в способности тела сохранять свое движение при отсутствии сил и изменять его под действием сил не сразу, а постепенно, тем медленнее, чем больше вещества (материи) содержится в телеТаким образом, чем больше вещества заключено в теле, тем больше его инерция. Величина, являющаяся мерой инерции тела, называется массой этого тела.

Сила и масса представляют собой основные понятия кинетики; поэтому величины, зависящие от силы или массы, носят название кинетических величин, тогда как величины, зависящие от расстояния, проходимого телом в пространстве, и от времени, называются кинематическими.

Понятие о силе, так же как и понятие о механическом движении, возникает из наблюдений и опыта; но существенное различие этих понятий состоит в том, что понятие о механическом движении вполне поддается математической интерпретации, тогда как понятие о силе нуждается в дальнейшей абстракции.

Когда мы говорим о силе человека или животного, то мы обыкновенно оцениваем силу с точки зрения производимого ею эффекта, который выражается в возникновении движения из состояния покоя или в изменении происходящего движения, причем масштабом для этой оценки служит субъективное чувство мускульного напряжения, которое производит тот же самый эффект. Это представление мы переносим на неживые вещи. Например, ощущая давление тела на руку, в которой мы его держим, мы говорим также о давлении, испытываемом от этого тела столом, на котором оно лежит, или о натяжении нити, на которой подвешено это тело, причем полагаем, что как стол, так и нить действуют на тело с некоторой силой, которая удерживает его от падения на Землю совершенно таким же образом, как и наша рука, в которой мы его держим. Продолжая эту абстракцию далее, мы, в конце концов, приходим к понятию о силе в универсальном смысле этого слова.

Точно так же понятие о массе тела является результатом абстракции и расширения представления о «количестве вещества, заключающегося в теле». В повседневной жизни о количестве вещества судят по весу тела. Но вес тела, как известно, меняется в зависимости от широты места и высоты над уровнем моря, а количество вещества в теле от этих факторов зависеть не может, так как оно должно зависеть только от свойств самого тела; поэтому вес нельзя принять в качестве меры количества вещества, С другой стороны, известно, что отношение веса тела к ускорению его свободного падения в безвоздушном пространстве (вблизи поверхности Земли) есть величина постоянная для данного тела и не зависит от места наблюдения, т. е. если вес тела обозначим через Р, а ускорение свободного падения обозначим g, то для данного тела

р

const. (1)

Величина т, зависящая только от свойств самого тела, называется весомой массой тела и, очевидно, может быть принята за меру количества вещества, содержащегося в теле. Ясно, что весомая масса т в одном и том же месте пропорциональна весу тела.

Далее, из опыта известно, что различные силы сообщают одному и тому же телу ускорения, пропорциональные силам. (Говоря здесь об «ускорении тела», мы считаем размеры этого тела столь малыми, что различием в движениях его частиц можно пренебречь.) Поэтому» если под действием силы тяжести Р тело движется с ускорением g.

то при действии на это тело какой-нибудь другой силы F оно получит такое ускорение 侬,что

Отсюда имеем:Отсюда имеем:Полагая эйесь, как и в равенстве (1),Полагая эйесь, как и в равенстве (1),£ =加，находим:£ =加，находим:尸=/п®・尸=/п®・⑵(3)(4)⑵(3)(4)

Отсюда имеем:

Отсюда имеем:

Полагая эйесь, как и в равенстве (1),

Полагая эйесь, как и в равенстве (1),

£ =加，находим:

£ =加，находим:

尸=/п®・

尸=/п®・

⑵

(3)

(4)

⑵

(3)

(4)

Чем больше величина /и, входящая в равенство (4), тем меньшее ускорение w получает тело под действием одной и той же силы 尸， т. е. тем медленнее под действием данной силы изменяется скорость движения тела. Таким образом, эта величина т служит мерой инерции тела и поэтому называется инертной массой, тела.

Многочисленными опытами установлено, что весомая масса и инертная масса тела совпадают. Это весьма важное и, на первый взгляд, очевидное положение носит название «принципа эквивалентности» и является одним из основных положений общей теории относительности А. Эйнштейна, из которой вытекает созданная им теория тяготения.

Из предыдущего следует, что масса, будучи мерой количества вещества тела, служит в то же время мерой его инерции; следовательно, материальность и инерция проявляются в механике как свойства эквивалентные.

2・ Аксиомы, или основные законы, механики. Основные понятия кинетики — сила и масса — вводятся в механику путем соответствующих определений, а соотношения между ними устанавливаются системой аксиом, или законов, которые кладутся в основу механики. Эти аксиомы устанавливаются в результате обобщения многочисленных наблюдений и опытов над движением материальных тел. Наиболее распространенной является классичеекая система таких аксиом, данная И. Ньютоном и опубликованная им в 1687 г. (см. главу I, § 1). В современной формулировке эти аксиомы (законы) могут быть изложены в виде следующих положений.

Будем рассматривать тело столь малых размеров, что различием в движении отдельных его точек можно пренебречь. Такое тело называется материальной точкой (или материальной частицей); его можно представлять себе в виде точки (геометрической), снабженной массой. В дальнейшем материальную точку для краткости будем часто называть просто точкой (частицей). Произведение массы м материальной точки на ее скорость е есть векторная величина, называемая количеством движения (или импульсом) точки; так как

то направление /по совпадаетто направление /по совпадаетМатериальная точка^ на силы, имеет постоянную доМатериальная точка^ на силы, имеет постоянную домасса т есть величина скалярная, с направлением скорости точки.

то направление /по совпадает

то направление /по совпадает

Материальная точка^ на силы, имеет постоянную до

Материальная точка^ на силы, имеет постоянную до

Аксиома 1 (закон инерции). которою не действуют никакие модулю и направлению скорость.

Таким образом, всякая, лишенная каких бы то ни было воздействий извне свободная материальная точка движется прямолинейно и равномерно (и = const) или, в частности, находится в покое (е=0).

Из кинематики известно, что всякое движение является по существу своему относительным и требует обязательного указания системы отсчета, по отношению к которой оно рассматривается. При этом одна и та же точка может по отношению к одной системе отсчета находиться в покое или двигаться равномерно и прямолинейно, а по отношению к другой системе совершать неравномерное криволинейное движение, и наоборот. Отсюда вытекает, что закон инерции имеет место только по отношению к некоторым определенным системам отсчета, которые называются инерциальными,^ Вопрос о том, можно ли данную систему отсчета рассматривать как инерциальную, решается опытом. Как показывает опыт, для нашей солнечной системы инерциальной можно практически считать систему отсчета, начало которой находится в центре Солнца, а оси направлены на так называемые «неподвижные» звезды. При решении многих технических задач можно с достаточной для практики точностью рассматривать в качестве инерциальной систему отсчета, связанную с Землей, или же систему, имеющую начало в центре Земли, а оси, направленные на неподвижные звезды.

Аксиома 2 (основной закон динамики). Производная по времени от количества движения материальной точки равна

действующей на нее силе, т. е.

(5)(5)d (тип)

(5)

(5)

-2厂

⑹⑹Из этого закона, справедливого также лишь по отношению к инерциальной системе отсчета, следует, что сила» действующая на материальную точку, является фактором, изменяющим ее количество движения. В классической механике масса частицы считается постоянной; поэтому основной закон динамики может быть еще представлен в виде

⑹

⑹

血才=尸

или, так какили, так какdoNF = w‘ гдеdoNF = w‘ гдеW есть ускорение точки, = ЕW есть ускорение точки, = Е⑺⑺

или, так как

или, так как

do

NF = w‘ где

do

NF = w‘ где

W есть ускорение точки, = Е

W есть ускорение точки, = Е

⑺

⑺

т. е. произведение массы вующей на точку силе.т. е. произведение массы вующей на точку силе.

т. е. произведение массы вующей на точку силе.

т. е. произведение массы вующей на точку силе.

точки на ее ускорение равно дейст- Так как масса есть величина скалярная.

то векторы W н 尸 коллинеарны, т. е. сила есть вектор, направленный по ускорению, которое получает точка от действия силы. В частности, если сила на точку не действует, т. е. если 尸=0, то mw — 0, откуда

0 или о = const.

di

Итак, эффект действия силы на материальную точку заключается в том, что точка получает ускорение; при отсутствии силы ускорение точки равно нулю, т. е. точка движется по инерции.

Основной закон динамики дает количественную связь между кинетическими факторами, обусловливающими движение точки, т・ е. между действующей силой (внешний фактор) и массой точки (внутренний фактор), с одной стороны, и кинематической величиной — ускорением, с другой. Из аналитического выражения этого закона, даваемого равенством (7), следует, что: 1) одна и та же сила сообщает различным точкам ускорения, обратно пропорциональные их массам, и 2) различные силы сообщают одной и той же точке ускорения, пропорциональные силам. Таким образом, действие силы на точку зависит от массы точки, которая поэтому и является мерой ее инерции.

А ксиома 3 (закон действия и противодействия). Две материальные 加。乜&比 действуют друг на друга с силами, равными по модулю 比 направленными, вдоль прямой, соединяющей эти, точки, в против。* положные стороны.

Эта аксиома предполагает дальнодействие, г. е. возможность действия материальных тел друг на друга на расстоянии, что характерно для классической механики Г алилея ■— Ньютона.

Если точка Л с массой тА действует на точку В с силой 尸夕，а точка В с массой тв

действует на точку А с силой FA (рис. 162), причем точки Л и В получают от действия этих сил ускорения, соответственно равные WA и 恥，т0 имеем:

尸B = 一尸4 и尸4 = FB

или

ГП仆a =用8砚8； следовательно, ускорения, сообщаемые материальным точкам силами взаимодействия, обратно пропорциональны массам точек.

Аксиома 4 (закон независимости действия сил). Если на материальную точку действует одновременно несколько сил, то каждая 比з этих сил действует независимо от других и сообщает точке ускорение, равное этой силе, деленной на массу точки. Следовательно, если на точку с массой т действует

система сил Fv F^ * * ^ ^^ w каждая сила Ft сообщит точке ускорение

叫=竺；

поэтому ускорение, получаемое точкой от действия всей системы сил, будет:

лп

0(=e叫=；2尸,，

откуда имеем:

/nw = £ 尸广(8)

Из этого равенства следует, что система нескольких сил 0 尸2吊 действует на материальную точку так же, как одна сила Е равная сумме Fv 与，%, т. е.

尸=(9)

Это следствие представляет обобщенный закон параллелограмма сил.

Системы основных единиц. Для измерения всех механических величин достаточно ввести три основные единицы измерения. Двумя из них принято считать единицы длины и времени, уже введенные в кинематике. В качестве третьей (кинетической) единицы удобнее всего выбрать единицу измерения массы или силы. Но так как сила и масса связаны между собой основным уравнением динамики:

сила — масса X ускорение, то произвольно может выбираться единица измерения только одной из кинетических величин: или массы, или силы. В зависимости от этого в механике возможно введение двух принципиально различных систем основных единиц.

Первый тип систем единиц^ В этих системах за основные принимаются единица длины, единица времени и единица массы, а сила измеряется производной единицей.

К системам такого рода относится международная система единиц измерения физических величин (СИ), в которой основными единицами измерения механических величин являются: метр (1 j/)( килограмм массы (1 кг) и секунда (1 сек)х).

В системе С〃 метр есть длина, равная 1 650 763,73 длины волны (в вакууме) излучения, соответствующего переходу между уровнями 2/?J0 и 5d5 атома криптона-86; секунда есть 1/31556925,9747 часть тропического года для 1900 г., января 0, в 12 часов эфемеридного времени; килограмм —— масса соответствующего платнно-иридиевого эталона.

Единицей измерения силы в системе СИ является производная единица, численно равная силе, которая массе в 1 кг сообщает ускорение 1 м/сел;2. Такая единица силы называется ньютоном (1 к). Следовательно,

1 н= 1 кг • 1 м]се©=\ кгм/сек^.

Другой аналогичной системой является распространенная в физике система СГС, в которой основными единицами являются сантиметр, грамм массы и cc&y&da, а сила измеряется производной единицей—диной (1 дина = 10~5 н).

Второй тип систем единиц. В этих системах за основные принимаются единица длины, единица времени и единица силы, а масса измеряется производной единицей.

К таким системам относится имеющая большое распространение в технике система МКГС (техническая система единиц), в которой основными единицами являются метр (1 м), килограмм силы (1 кГ) и секунда (1 сек). Единицей измерения массы в этой системе будет 1 —— , т. е. масса, которой сила в 1 кГ сообщает ускорение 1 Mjcet^.

Соотношение между единицами силы в системах СИ и МКГС таково: 1 кГ 9,81 н или 1 н 0,102 л;厂

Принципиальное различие между названными системами единиц состоит в том, что в одних за основную кинетическую единицу принимается единица массы, а в других — единица силы.

Система материальных точек. Совокупность (множество) материальных точек (частиц) носит название системы материальных точек (частиц). Такую систему мы можем образовать из любого множества материальных точек, выбранных нами совершенно произвольно; поэтому всякая данная точка может или принадлежать к рассматриваемой системе, или не принадлежать. Если система материальных точек обладает тем свойством, что движение каждой точки зависит от положения и движения остальных точек системы, то такая система называется механической системой материальных точек. Следовательно, для того чтобы система была механической, необходимо, чтобы точки системы были каким-либо образом связаны между собой; при этом между точками системы будут действовать силы взаимодействия (как, например, между планетами солнечной системы, если их рассматривать как материальные точки). Любое материальное тело (твердое, жидкое или газообразное) представляет собой механическую систему, состоящую из очень большого числа материальных частиц (точек), связанных между собой силами интрамолекулярного действия, которые налагают определенные ограничения на взаимные расстояния между частицами сообразно природе тела. Всякая совокупность мате-

риальных тел, так или иначе связанных между собой, также образует механическую систему (ферма, механизм, машина и т. п.).

Если точки системы или тела связаны между собой неизменно, т. е- так* что взаимное расстояние между двумя любыми точками остается постоянным, то такая система называется неизменяемой системой, а тело ——абсолютно твердым телом; в противном случав система называется изменяемой, а тело деформируемым.

Положение системы определено, если известно положение каждой из точек, составляющих систему, и наоборот; точно так же движение системы известно» если известно движение каждой точки, принадлежащей к системе, и обратно.

5・ Связи. Если каждая из точек системы может занимать произвольное положение в пространстве и иметь произвольные скорости, то система называется свободной; в противном случае система будет несвободной. Условия, которые налагают ограничения на движение системы, называются связями. Если связь налагает ограничение только на положение системы или на относительное положение точек, составляющих систему, в том смысле, что система, а следовательно» и ее элементы не могут занимать произвольного положения в пространстве, то такая связь называется геометрическ&й\ если же связь, кроме того, налагает ограничения еще и на кинематические элементы (например, на скорости), то такая связь носит название кинематической.

Геометрические связи представляются аналитически уравнениями, дающими зависимость между координатами точек системы. Для системы, состоящей из п материальных точек, положения которых определяются их декартовыми координатами хр у『zp х2> Уг* 宮2‘ уравнение геометрической связи имеет вид

/(*1，У「纟卜 ％2，»2，^2' • • • » %/р %，%/ № 0(1°)

или, сокращенно,

/(%► у, 2) = 0.(10‘)

Примечание. Отсутствие индексов в равенствах вида (10‘)означает здесь и далее, что при х, у и ж нужно подразумевать все индексы от 1 до л.

Уравнение же кинематической связи» налагающей ограничения не только на положения, но и на скорости точек системы, имеет вид

/(х, у, N, х, у, 2) = 0・(11)

Связи обычно осуществляются в виде различных тел, стесняющих свободу перемещения точек системы. Если влияние связи не может прекратиться или, другими словами, система не может освободиться от связи, то такая связь называется неосвобожЗаЮ1Ц€/ если же система может покинуть связь, то связь носит название освобождающей, Пусть, например, материальная точка принуждена

двигаться по данной поверхности; тогда эта поверхность будет по отношению к точке геометрической связью, — неосвобождающей, если точка не может оставить поверхность» и освобождающей, если точка может сойти с поверхности в какую-либо одну сторону; если же точка может сойти с поверхности в обе стороны, то поверхность уже не будет связью.

Связи, выражаемые уравнениями вида (10) или (11), являются неосвобождающими. Если связь является освобождающей (и геометрической), то она выражается неравенством вида

/(х, у, z)》0 или /(х, у, z)<；0・ (12)

Связи, не зависящие от времени, называются стационарными. или склерономными (по терминологии Больцмана). Если же связь зависит от времени, то она называется нестационарной или рео^ номной связью. Например, неподвижная поверхность или кривая, по которой принуждена двигаться точка, будет склерономной связью; если же эта поверхность или кривая движутся, то связь будет рео- номной.

Связи, выражаемые уравнениями вида (10), (11) или (12),, будут склерономными. Уравнение реономной связи (и притом геометрической, неосвобождающей) имеет вид

(13)(13)/(х, у, N, /) = 0.

(13)

(13)

Отметим, наконец, что по отношению к рассматриваемой системе связи можно разделить на внутренние и внешние. Внутренней называется такая связь, которая не препятствует перемещению всей

системы 8 целом, а налагает расположение точек системы; внешней. Таким образом, еслисистемы 8 целом, а налагает расположение точек системы; внешней. Таким образом, еслирых ниюрых ниюсоответственно равны 1А& к системе частиц Л, В, Ссоответственно равны 1А& к системе частиц Л, В, Сограничения только на относительное в противном случае связь называется связями служат тела, принадлежащие к системе, то эти связи будут внутренними, и наоборот. Систему, которая имеет только внутренние связи, также называют свободной системой.

системы 8 целом, а налагает расположение точек системы; внешней. Таким образом, если

системы 8 целом, а налагает расположение точек системы; внешней. Таким образом, если

рых нию

рых нию

соответственно равны 1А& к системе частиц Л, В, С

соответственно равны 1А& к системе частиц Л, В, С

Пример 1. Рассмотрим систему трех материальных точек 4, В, С, соединенных между собой гибкими и нерастяжимыми нитями, длины кото-

С Z/с(Р"& 163, а). Эти нити по отноше- удут внутренними связями, следовательно,

система будет свободной. Кроме того, эти связи будут геометрическими, потому что взаимные расстояния точек системы не могут быть какими угодно, а подчинены условиям:

ЛВ < 〃涼 ВС < %е； ЛС《1АС(а)

и освобождающими, потому что эти связи действуют только тогда, когда 厶В = ；лв， ВС ：= Jr /С = Jc，т・ а когда нити натянуты; если же»

например, АВ < /лв， то точка А освобождается от связи, которой служит нить АВ. Аналитически первая нз связей (а) выражается неравенством

«4 — *в)‘ + (Уд — Ув)‘ + (〜—勺)—Jy? < °-

Аналогичными неравенствами выражаются и две другие связи.

Если рассматривать систему, состоящую только из двух точек Л и В, то для этой системы нить АВ будет внутренней связью, а нити ВС и С А一 внешними, так как точка С уже ие принадлежит рассматриваемой системе. Если нити /8, ВС и СА заменим неизменяемыми стержнями (т. е. такими, длина которых не может изменяться), то система (рис. 163, б) будет свободной неизменяемой системой, а связи — неосвобождающими.

Пример 2. Пусть твердый шар находится па неподвижной шероховатой плоскости и может катиться по ней без скольжения. В данном случае плоскость будет налагать стеснение не только на перемещения шара, но и на скорости его точек» потому что скорость точки шара, в которой шар касается плоскости, должна быть равна нулю; следовательно, плоскость по отношению к шару будет кинематической связью, притом внешней и склерономной.

6. Координаты системы. Независимые между собой величины, определяющие положение или конфигурацию системы материальных точек относительно какой-либо системы отсчета, называются координатами системы. Конфигурацию системы мы можем геометрически изобразить точкой пространства, число измерений которого равно числу координат системы. Если на систему наложены только геометрические связи, то число координат системы называется числом степеней свободы этой системы.

Пусть мы имеем систему, состоящую из п материальных точек. Положение каждой точки определяется тремя декартовыми координатами (工丫， У*’ z^ 「не V есть номер точки; следовательно, положение всей системы, если на нее не наложены связи, будет определяться 3" координатами:

*¥‘ У*' “¥ (” 1' 2，' • *» ")，

и такая система будет иметь 3汽 степеней свободы.

Допустим теперь, что система подчинена 在 геометрическим связям вида (10), т. е.

/% (尤1，У1，^1* ”2，先，^2' • • •1 % п，%，Z*) =。(Х=1, 2, .. w, &)« (14)

Тогда Зп координат точек системы не будут уже между собой независимы и не могут иметь произвольных значений, а будут связаны 为 условиями (14); поэтому независимых координат будет:

2n — k,(15)

Таким образом, число координат системы, а следовательно и число степеней свободы ее, будет 3/г —左.

12 Н, Н. Бухгольц

За координаты системы можем принять в данном случае любые 3汽——左 декартовых координат 尤寸 yv, %旷，которые будем считать независимыми; тогда остальные А из этих координат будут функциями первых. Можно 3汽一k независимых декартовых координат системы преобразовать в другие посредством точечного преобразования, выразив их в функциях 3/1—总 независимых переменных 勿,^2, .... g舐一尼+ т. е. положив

%】*2^ %](力，，2，• • • )> У1 -^ У1 (%’ 夕2，，，・) НТ.Д», (16〉 где хр у» ... будут аналитическими функциями переменных д「 причем якобиан

8("]，力，，打)"介0(弘，效，•♦，)寸,

Тогда а】,02， ...у q&Rf будут координатами системы, в общем случае криволинейными. Декартовы координаты точек системы в этом случае будут функциями координат g「 д?,...,先以一少,т. е.

修，У1，％「％2，•一，％，Zj д» ^2» * ♦ •» ^Зл-fe*

степенистепениПример 1. Система двух материальных точек 硝 и т2, соединенных между собой неизменяемым стержнем длиной 厶 движется по сфере радиуса А Возьмем начало координат в центре сферы (рис. 164), и пусть координаты точек будут mi (#” 九，Z[) и т2 住挙 у2> 方).Тогда связи системы выразятся уравнениями:

степени

степени

(巧一/)2 + (% — У2)2 + 31 — @)2 —【2 = О, (а) %；+ 货 + 君一R2 = 0, (6) "f + 必 + N； — R? = 0. (в)

Таким образом, шесть координат точек системы связаны тремя уравнениями и независимых координат будет три. Следовательно, система имеет .и число координат системы (за которые можно при

нять любые три из шести координат *】，力，z】，М，Уа 司)равно трем. Связи, выражаемые уравнениями (а), (б), (в), будут геометрические, неосвобождающие и склерономные. Если точки q и т2 могут сходить со сферы во внутреннюю область, то последние две связи станут освобождающими и будут выражаться неравенствами:

+у；+“? 一 W《о,(吟

惹+状+ N； - R?《0.(夕)

Если радиус сферы изменяется пропорционально времени, т. е. R = at、 где а есть постоянный коэффициент, то равенства (б) и (в) примут вид

心+赘+ N? 一 d产В 0,(吟

岩 + / + 老一T 产=0.(6")

Связи будут уже реономными, так как в их уравнения будет явно входить время.

Пример 2. Неизменяемая система. Рассмотрим неизменяемую систему, состоящую нз л материальных точек. Возьмем три какие-либо точки: 7, 2, 3 (рис. 165), координаты которых соответственно будут:

*守 У»’ % (V = L 2» 3).

Так как эти точки связаны между собой неизменно, то девять их координат должны удовлетворять трем уравнениям связи【)：

S (々一*2)2 =急 S (*2 — "з)2 н 扇’

S (%з —々)2 ~ 片’

где /[2， ^2з» /з1 будут постоянные расстояния между

независи-независи-соответственными точками; следовательно, из девяти _ мыми будут только шесть. Присоединим четвертую точку； тогда прибавятся три координаты хь У4, z^ и три уравнения связи предыдущего типа, выражающие постоянство расстояний четвертой точки от точек /( 2, 3. Таким образом, присоединение каждой новой точкн вносит три координаты и три уравнения связи. Следовательно, Зм координат точек системы бу询т связаны 3 + 3 (/г — 3)= =Зл — 6 уравнениями связи; поэтому число независимых координат будет равно

независи-

независи-

Зм — (Зм — 6) — 6.

Итак, свободная неизменяемая система (в частности, абсолютно твердое тело) определяется шестью координатами и, следовательно, имеет шесть степеней свободы.

7. Виды сил. Материальные те- / ла могут действовать друг на дру- $

га или путем непосредственного со-Рис. 166.

прикосновения, или на расстоянии;

в зависимости от этого силы, которые служат в механике мерой 'взаимодействия тел, можно разделить на две категории.

Поверхностные силы ——силы, действующие на точки поверхности тела. Они возникают при действии одного тела на другое непосредственным соприкосновением и приложены к той части поверхности тела, в которой взаимодействующие тела касаются друг друга. Пусть тело 1 действует на тело 2, касаясь его вдоль некоторой поверхности о (рис. 166). Действующие на эту поверхность распределенные силы характеризуются их напряжением р, т. е. величиной силы,

в этих равенствах S (修一为产=(修一十2尸 + (力 ——у2)2 + (^t -司产 и Т. Д.

приходящейся на единицу площади. Если на элемент de площадиприходящейся на единицу площади. Если на элемент de площадиконтактаконтактадействует сила "*, тодействует сила "*, тоpН市.pН市.(17)(17)Величина р будет вообще функцией координат точки, определяющейВеличина р будет вообще функцией координат точки, определяющейРис. 167.Рис. 167.,上 силаположение элемента do; размерность р будет 区血廁受・Если на очень малый элемент поверхности действует конечная сила 尸,то, пренебрегая размером этого элемента, мы придем в пределе к абстрактному представлению о сосредоточенной силе, приложенной к телу 8 одной точке. С достаточной степенью точности сосредоточенной можно, например, считать силу, с которой на тело действует нить (рис. 167), прикрепленная к телу в точке А (фактически, конечно, нить прикреплена не к «точке», а к какому-то элементу поверхности тела).2) Массовые, или объемные, силы — силы, которые действуют на все частицы тела. К таким силам,上 силаположение элемента do; размерность р будет 区血廁受・Если на очень малый элемент поверхности действует конечная сила 尸,то, пренебрегая размером этого элемента, мы придем в пределе к абстрактному представлению о сосредоточенной силе, приложенной к телу 8 одной точке. С достаточной степенью точности сосредоточенной можно, например, считать силу, с которой на тело действует нить (рис. 167), прикрепленная к телу в точке А (фактически, конечно, нить прикреплена не к «точке», а к какому-то элементу поверхности тела).2) Массовые, или объемные, силы — силы, которые действуют на все частицы тела. К таким силамотносятся силы дальнодействия, такие, например, как силы тяготения или тяжести. Массовые силы характеризуются их напряжением /, т. е.относятся силы дальнодействия, такие, например, как силы тяготения или тяжести. Массовые силы характеризуются их напряжением /, т. е.величиной силы, приходящейся на единицу объема. Пусть при взаимодействии тел (?) и (2) на элемент объема dt тела 2 действует сила dF (рис. 168); тогдавеличиной силы, приходящейся на единицу объема. Пусть при взаимодействии тел (?) и (2) на элемент объема dt тела 2 действует сила dF (рис. 168); тогдаdFdF(18)(18)Величина f является вообще функцией координат точки, определяющей положение элемента объема Нт. Размерностью fВеличина f является вообще функцией координат точки, определяющей положение элемента объема Нт. Размерностью fбудет(д；：；：产• Пусть масса рассматриваемого элемента объема равна dm; тогда величинабудет(д；：；：产• Пусть масса рассматриваемого элемента объема равна dm; тогда величинаd加drd加dr=р,=р,(19)(19)

приходящейся на единицу площади. Если на элемент de площади

приходящейся на единицу площади. Если на элемент de площади

контакта

контакта

действует сила "*, то

действует сила "*, то

pН市.

pН市.

(17)

(17)

Величина р будет вообще функцией координат точки, определяющей

Величина р будет вообще функцией координат точки, определяющей

Рис. 167.

Рис. 167.

,上 сила

положение элемента do; размерность р будет 区血廁受・

Если на очень малый элемент поверхности действует конечная сила 尸,то, пренебрегая размером этого элемента, мы придем в пределе к абстрактному представлению о сосредоточенной силе, приложенной к телу 8 одной точке. С достаточной степенью точности сосредоточенной можно, например, считать силу, с которой на тело действует нить (рис. 167), прикрепленная к телу в точке А (фактически, конечно, нить прикреплена не к «точке», а к какому-то элементу поверхности тела).

2) Массовые, или объемные, силы — силы, которые действуют на все частицы тела. К таким силам

,上 сила

положение элемента do; размерность р будет 区血廁受・

Если на очень малый элемент поверхности действует конечная сила 尸,то, пренебрегая размером этого элемента, мы придем в пределе к абстрактному представлению о сосредоточенной силе, приложенной к телу 8 одной точке. С достаточной степенью точности сосредоточенной можно, например, считать силу, с которой на тело действует нить (рис. 167), прикрепленная к телу в точке А (фактически, конечно, нить прикреплена не к «точке», а к какому-то элементу поверхности тела).

2) Массовые, или объемные, силы — силы, которые действуют на все частицы тела. К таким силам

относятся силы дальнодействия, такие, например, как силы тяготения или тяжести. Массовые силы характеризуются их напряжением /, т. е.

относятся силы дальнодействия, такие, например, как силы тяготения или тяжести. Массовые силы характеризуются их напряжением /, т. е.

величиной силы, приходящейся на единицу объема. Пусть при взаимодействии тел (?) и (2) на элемент объема dt тела 2 действует сила dF (рис. 168); тогда

величиной силы, приходящейся на единицу объема. Пусть при взаимодействии тел (?) и (2) на элемент объема dt тела 2 действует сила dF (рис. 168); тогда

dF

dF

(18)

(18)

Величина f является вообще функцией координат точки, определяющей положение элемента объема Нт. Размерностью f

Величина f является вообще функцией координат точки, определяющей положение элемента объема Нт. Размерностью f

будет(д；：；：产• Пусть масса рассматриваемого элемента объема равна dm; тогда величина

будет(д；：；：产• Пусть масса рассматриваемого элемента объема равна dm; тогда величина

d加dr

d加dr

=р,

=р,

(19)

(19)

представляющая собой массу единицы объема в данной точке, называется плотностью тела в данной точке и есть, очевидно, функция

工масса 口 m

координат этой точки; размерность ее будет 期启产.Если ускорение, сообщаемое элементу объема силой dF, обозначим W, то будем иметь:

dF = dm、з = ртат・(20)

Сравнивая равенства (18) и (20), получим:

/=рм(21)

Если силу dF будем относить не к единице объема, а к единице массы, то из равенства (20) получим:

Отсюда видно, что сила, отнесенная к единице массы в данной точке тела, равна ускорению, получаемому этой точкой от действ}гющих на тело массовых сил.

Кроме деления сил на поверхностные и массовые, силы, действующие на систему, можно разделить еще на внутренние и внешние. Внутренними силами называются силы, происходящие от взаимодействия частиц (тел), принадлежащих системе； силы, происходящие от действия тел, не принадлежащих системе, называются внешними.

Реакции связей* Связи, налагаемые на точки системы, стесняют свободу движения этих точек, отклоняя их движение от того, которое они имели бы под действием тех же сил, будучи свободными от связей. Поэтому мы можем считать, это эффект действия связей такой же, как и действия сил, вследствие чего действие связей можно заменить соответствующими силами, которые называются реакциями связей (аксиома связей).

Реакции связей по природе своей несколько отличаются от всех других действующих на систему сил, не являющихся реакциями, которые принято называть активными силами. Это отличие заключается в том, что реакция связи не вполне определяется самой связью; ее модуль, а иногда и направление зависят еще от других сил, действующих на систему, и от движения системы (при отсутствии активных сил и движения реакции вообще не возникают). Модуль же и направление каждой активной силы (или их зависимость от времени, координат точки приложения силы и скорости) известны заранее и от других приложенных к системе сил не зависят. Кроме того, активные силы, действуя на покоящуюся систему, могут сообщить ей то или иное движение (отсюда и наименование «активные»)； реакции же связей этим свойством не обладают, вследствие чего их еще называют пассивными силами.

Связи осуществляются обычно в виде различных тел, стесняющих свободу движения системы. В этих случаях реакция связи представляет собой силу, приложенную в точке, в которой связь соприкасается с телом, причем направление реакции совпадает с тем направлением, по которому связь препятствует перемещению тела； если таких направлений несколько, то направление реакции, а также и напряжение ее определяются в зависимости от активных сил» действующих на тело, и от движения самого тела. Кроме того.

нужно заметить, что реакция связи есть действие связи на тело; при этом тело действует на связь с силой, равной реакции и ей противоположной, по закону действия и противодействия.

Пусть, например, твердое тело весом Р подвешено в неподвижной точке О на нерастяжимой нити, прикре- С пленной к точке А тела (рис. 169, а). \ Нить, служащая связью, дает реакцию Т, /^4 приложенную в точке А тела и на- I правленную по нити; числовое значение 1этой реакции равно в данном случае

*весу тела Р, ибо нить действует на

тело с силой 7\ а тело действует на 6) нить с силой Р・ Если же тяжелое тело весом 尸，подвешенное на нити к неподвижной точке О (рис. 169,<5), совершает колебания (маятник), то реакция нити Т будет по-прежнему направлена вдоль нити, однако ее численная величина будет зависеть не только от Р, но и от угла ф и угловой скорости -^, т. е., вообще говоря, от движения тела. Если связью служит неподвижная гладкая поверхность (рис. 170), то она дает реакцию N, приложенную в точке касания А тела к этой поверхности и направленную по нормали к ней; напряжение реакции зависит от активных сил, действующих на тело, и от движения тела. Неподвижная гладкая кривая, служащая связью (рис. 171), развивает

реакцию, приложенную в точке касания А и направленную по нормали к кривой; в этом случае реакция может иметь какое угодно напряжение и направление, лежащее в нормальной плоскости, проведенной к кривой через точку Л. Если связью является неподвижная точка О (рис. 172), то она может дать любую по напряжению и направлению реакцию У, приложенную к этой точке. Модуль и

направление реакции в последних двух случаях зависят от действую- цщх активных сил и от движения тела.

Связи, развивающие нормальную реакцию, являются идеальными связями (связями без трения}, в отличие от связей с трением, ко* торые, кроме нормальной реакции М дают еще реакцию F, лежащую в касательной плоскости (рис. 173) и возникающую благодаря трению; вследствие этого реакция связи с трением М мо-“

жет отклоняться от нормали на некоторый угол <р.工7 '

Разделение кинетики на статику и дина-| /I

мину. Кинетика, как было уже сказано, посвя-Ь/^ :

щена изучению движения и равновесия механи- 力忆 | ческой системы (в частности, материальной точки)«"感^^^CL

в зависимости от действующих на систему сил.'戈映

Обычно кинетику разделяют на статику — уче- рИс 173.

ние о равновесии механической системы под дей

ствием сил и динамику — учение о движении системы под действием сил. Если на материальную точку никакие силы не действуют, то она по отношению к инерциальной системе отсчета находится в покое или движется по инерции, т. е. прямолинейно и равномерно. Аналогично можно ввести понятие о движении по инерции и для механической системы. В частности, абсолютно твердое тело при отсутствии действующих сил может или находиться в покое, или совершать поступательное, равномерное и прямолинейное движение, также называемое движением по инерции или инерциалънымй). При действии сил движение материальной точки или системы будет вообще отличаться от инерциального. Изучение таких движений и составляет основное содержание динамики. Однако может случиться, что при действии некоторой совокупности (системы) сил материальная точка или механическая система будет оставаться в покое или двигаться инерциально, т. е. вести себя так же, как и при отсутствии сил. Про такую систему сил говорят, что она находится в равновесии* Таким образом, определение условий, при которых точка или механическая система могут находиться под действием сил в равновесии, сводится прежде всего к определению условий равновесия, действующих на точку или систему сил. Сообразно этому статику можно назвать учением об условиях равновесия сил, действующих на механическую систему.

Определения и аксиомы статики

1・ Элементарная и аналитическая статина. Статика есть часть кинетики, посвященная изучению условий равновесия механической системы под действием сил, или, иначе, условий равновесия сил,

Твердое тело может совершать спо инерции> и другого вида движения (например, равномерное вращение и т. д.); этн движения будут рассмотрены в ч. IL

действующих на механическую систему. Ее можно в свою очередь разделить на: 1) элементарную (или геометрическую) и 2) аналитическую.

Элементарная статика представляет собой в основном статику абсолютно твердого тела. В ней силы рассматривают как некоторые определенные заданные величины и изучают методы замены различных систем сил, действующих на абсолютно твердое тело, простейшими системами, а затем находят условия равновесия этих систем.

Так как сила, действующая на абсолютно твердое тело. как будет показано далее, есть вектор скользящий, то к изложению элементарной статики может быть применен богатый материал геометрии скользящих векторов, вследствие чего изложение получает геометрический характер.

Аналитическая статика представляет собой развитие одного из основных принципов механики, именно принципа виртуальных (возможных) перемещений, который дает общий критерий равновесия механической системы, вследствие чего выводы аналитической статики относятся к какой угодно механической системе* В аналити^ ческой статике имеет широкое применение математический анализ, поэтому изложение носит аналитический характер,

V2・ Сила. Понятие о силе в элементарной статике является основ- нш(. Известно, что сила, действуя на материальную точку, сообщает ей ускорение, направленное по силе; поэтому действие силы на точку зависит: 1) от направления силы и 2) от напряжения (численного значения или модуля) силы.

Направление силы есть то направление, по которому свободная материальная точка, находящаяся в покое, начинает двигаться под действием силы. Прямая, по которой направлена сила, называется линией действия силы.

Напряжение, или модуль, силы есть величина, которая равна произведению массы точки на модуль ускорения, сообщаемого ей силой, ибо, согласно второй аксиоме, F= ww.

Это — динамическое определение напряжения силы. Статическое определение напряжения силы основано на сравнении данной силы с другой,

принятой за единицу меры. Для этой цели обыкновенно пользу^ ются пружинными весами, или динамометрами. Устройство динамометра основано на свойстве сил вызывать в упругих телах исчезающие деформации, пропорциональные силам, если только эти силы невелики по сравнению с пределом упругих деформаций. Простейший динамометр представляет собой упругую пружину (рис. 174), неподвижно укрепленную в точке О и снабженную индексом Л и шкалой S На другом конце пружины находится приспособление В для приложения

измеряемой силы (крюк, ручка и т, п.). Шкала динамометра градуируется посредством последовательного подвешивания к концу В динамометра одного, двух, трех и т. д. эталонов, вес каждого из которых равен единице (например, 1 кГ), причем против стрелки индекса на шкале наносятся соответствующие значения. Принимая во внимание, что при действии равных сил пружина динамометра получает равные удлинения, мы можем по указаниям стрелки индекса определить напряжение силы F、приложенной к концу 3

пружины.

Итак, сила есть физическая величина, определяемая не только напряжением, но и направлением в пространстве; кроме того, как будет установлено, сложение сил производится по правилу параллелограмма. Следовательно, сила есть величина векторная, модулем (или численной величиной) которой является напряжение силы. Точкой приложения вектора силы будет та материальная частица, на которую сила действует.

Силы, как векторные величины, изображаются векторами, и по отношению к ним применимы все положения и операции, которые относятся к векторам вообще. Если сила действует на какое-либо

тело, которое, как известно, представляет

собой систему очень большого числа мате-丿＜斤、

риальных частиц, между собой связанных, то，\

движение тела под действием силы зависит、力 Y\

не только от направления и напряжения силы, \

но также и от точки приложения силы. Так,丿

например, сила FP приложенная в точке Л

тела, действует на тело иначе, чем равная

по напряжению и параллельная ей сила 鸟，Рис 175

приложенная в точке В (рис. 175), потому

что при действии силы 冗 движение свободного тела будет иным, чем при действии силы F2. Отсюда следует, что сила есть вектор, связанный с точкой приложения, т. е. неподвижный вектор, и что данная сила не может быть перенесена из одной точки тела в другую без изменения действия силы. Таким образом, сила, как неподвижный вектор, определяется： 1) точкой приложения, 2) направлением и 3) напряжением^

Основные определения. В основании элементарной статики лежит система определений и аксиом, посредством которых вводятся основные понятия.

Определения. 1) Совокупность сил, действующих на какую-либо механическую систему, в частности на твердое тело, называется системой сил.

Система сил, которая, действуя на свободное твердое тело, находящееся в покое, не сообщает ему никакого движения, находится в равновесии, или, иначе говоря, эквивалентна нулю.

Если направления всех сил какой-либо системы (S) изменить на противоположные, сохраняя точки их приложения, то получается система сил (S'), которая называется системой, противоположной системе (S)・ Символически это обозначается так:

(S，)=(_S).

Если две системы сил (S0 и (S2), действующие одновременно на свободное твердое тело, находятся в равновесии, то говорят, что система (S?) уравновешивает систему (S), и наоборот.

Если система сил (S0 уравновешивается системой, противоположной системе (S?)* то системы сил (S】)и (S?) называются эквивалентными. Символически это определение записывается так: если (S0 + (—S?) s 0, то (S])s(S0 (знак s есть символ эквивалентности).

Физический смысл эквивалентности двух систем сил заключается в том, что каждая из этих систем> действуя на одно и то же первоначально неподвижное свободное тело, сообщает телу одно и то же движение.

Следствие 1. Из определения 5) следует, что если система сил (S2) уравновешивает систему (S0, то система (—S2) эквивалентна системе (S0.

Следствие 2. Две системы сил (S/ и (S2), эквивалентные третьей (S), эквивалентны между собой, т. е. если (S0 со (S), (S?) s s (S), то (S[)s(S2)・

Если система сил (S) эквивалентна одной силе Е то сила F называется равнодействующей системы (S).

Из определений 5) и 6) вытекает, что если система сил (5) имеет равнодействующую 尸，то эта система (S) уравновешивается одной силой, равной —尸・

Если все силы, действующие на твердое тело, образуют систему сил, находящуюся в равновесии, то мы будем говорить, что и само тело находится в равновесии. Из последнего определения следует, что под состоянием равновесия твердого тела (а в дальнейшем и механической системы) мы будем понимать те состояния, которые тело может иметь под действием уравновешенной системы сил, т. е. состояния покоя или инерциального движения (см. § 14, п. 9); какое именно из этих состояний ммевт место, с точки зрения задач, рассматриваемых в статике, несущественно. Рассмотрение инерциальных движений, которые может совершать твердое тело, относится к задачам динамики.

Аксиомы статики. 1) Система двух взаимно противоположных сил, равных по напряжению и приложенных в одной точке, находится 8 равновесии (рис. 176).

Система двух равных по напряжению взаимно кротик。。 положных сил, приложенных 8 двух каких-либо точках абсо-

лютно твердого тела а направленных по прямой, соединяющей их точки приложения. находится в равновесии (рис. 177).

Необходимо иметь в виду, что эта аксиома имеет место только-

по отношению к абсолютно твердому телу, для которого расстояние

Рис. 176.Рис. 176.между двумя любыми точками неизменно; поэтому все выводы, основанные на этой аксиоме, применимы только к абсолютно твердому

Рис. 176.

Рис. 176.

телу.

Всякую систему сил (SJ можно, не изменяя оказываемого ею действия, заменить другой системой (52), ей эквивалентной.

Физический смысл этой аксиомы состоит в утверждении, что эквивалентные системы сил (S0 и (S2) действуют на одно и то же тело одинаково (см. определение 5).

Следствие. Если к точкам А и В абсолютно твердого тела (рис. 178) приложены равные по напряжению и взаимно противоположные силы Fj и /^, направленные по прямой АВ,

то, согласно аксиоме 2), сила & уравновешивает силу & тогда

сила ——％ противоположная 导 будет эквивалентна силе g (см. следствие из определения 5); отсюда на основании аксиомы 3) заключаем, что сила —F2, равная 吕 и приложенная в точке 3 тела, оказывает на него такое же действие, как сила 尸卜 приложенная в точке А, т. е. приходим к выводу, что всякую силу, приложенную в какой-либо точке абсолютно твердого тела, можно» не изменяя ее действия, перенести в любую другую /но耳ку* лежащую на линии действия этой силы* Таким образом» сила.

приложенная к абсолютно твердому телу, есть вектор скользящий; во всех же других случаях (например, в случае деформируемых тел) сила, как было сказано выше, есть вектор неподвижный* Отсюда следует, что для определения силы, действующей на абсолютно твердое тело, надо знать: 1) какую-либо точку, через которую проходит линия действия силы, 2) направление силы, 3) напряжение силы.

Необходимо заметить, что две равные по напряжению и параллельные силы 尸^ и 鸟，

приложенные в двух точках тела Л и В и не направленные по прямой АВ (см. рис. 175), не эквивалентны, т. е. если Ft = ^, то из этого не следует, что 戶1S&

Две системы с%», различающиеся между собой на систему сил、эквивалентную нулю, эквивалентны между собой.

Отсюда следует, что всякой системе сил можно придать или отнять от нее систему сил, находящуюся в равновесии, не изменяя действия этой системы.

Равновесие механической системы, находящейся в покое, не нарушается от наложения новых связей] в частности, равновесие механической системы не нарушится, если все частицы системы связать между собой неизменно (принцип отвердевания}.

Таким образом, если какая-либо механическая система находится в равновесии» то она останется в равновесии, если сделается абсолютно твердым телом. Отсюда, между прочим, следует, что условия, необходимые и достаточные для равновесия абсолютно твердого тела, 尸 необходимы, но недостаточны для равновесия ка- 勿 кой угодно механической системы.

『/胃7]6) Система двух сил. приложенных в одной

(// J точке, эквивалентна одной силе, приложен^

爲 / [ “оа 8 той же токке и равной геометрической /、/ I сумме этик сал (закон параллелограмма сил). /7^丿/Таким образом, если на точку А действуют

(/^J? 口ве силы 戶[и 尸2 (рис. 179), то система сил (Fp F2)

к ^\/эквивалентна силе F, тоже приложенной в точке Л,

/причем

Рие. 179.尸=尸1+&

иначе говоря, сила F есть равнодействующая системы сил (F1(鸟).

Следствие. Равнодействующая двух сил, приложенных в одной точке и направленных по одной прямой, равна алгебраической сумме этих сил и направлена по той же прямой.

Несвободное твердое тело. Аксиома связей. Всякое твердое тело, которое может занимать произвольное положение в пространстве, называется свободным; если же на тело наложены внешние связи, стесняющие свободу его перемещений, то тело становится несвободным. Выше было указано (см. § 14, п. 8), что механический эффект связей можно заменить пассивными силами, которые называются реакциями связи; поэтому на всякое несвободное тело мы можем смотреть как на свободное, освободив тело от связей и заменив действие связей их реакциями- Отсюда вытекает весьма важная аксиома связей: Всякое несвободное твердое тело можно освободить от связей, заменив действие связей их реакциями.九 рассматривать его как свободное, находящееся под действием приложенных к нему активных сил и реакций связей.

В статике связи, налагаемые на твердое тело, чаще всего встречаются в виде неподвижных поверхностей, линий и точек, а также в виде гибких нитей. Как было уже сказано, в случае идеальных связей неподвижная поверхность (см. рис. 170) дает реакцию, приложенную в точке касания и направленную по нормали к поверхности.

Когда связь осуществляется в виде некоторого тела, реакция направлена по общей нормали к поверхностям соприкасающихся тел в точке их касания (рис. 180, а); если же одна из поверхностей вырождается в точку, то реакция направлена по нормали к другой поверхности (рис. 180, б). Реакция неподвижной линии (см. рис. 171) приложена в точке касания и может иметь любое направление в нормальной плоскости, проведенной к кривой в этой точке. Примером такой связи служит цилиндрический шарнир (подшипник), в котором ось шарнира, перпендикулярная к рисунку, является неподвижной

а)а)Рис. 180.Рис. 180.

а)

а)

Рис. 180.

Рис. 180.

прямой (рис. 181, о); реакция R такого шарнира может иметь любое направление в плоскости, перпендикулярной к его оси (т. е. в плос^ кости рисунка). Неподвижная точка (см. рис. 172) может развить какую угодно по модулю и направлению реакцию. Примером такой связи служит шаровой шарнир (рис. 181 ( 6) или подпятник (подшипник с упором). Реакция гибкой нити всегда направлена по нити (см. рис. 169) и равна натяжению нити. Во всех этих случаях напряжения реакций (а для шарниров и направления) определяются в зависимости от действующих на тело активных сил (см. § 14, п. 8).

6・ Задачи элементарной статики. В элементарной статике рассматриваются различные системы сил, действующих на абсолютно твердое тело, с целью замены этих систем наиболее простыми системами, мм эквивалентными, и нахождения необходимых и достаточных условий равновесия этих систем. Процесс замены систем сил простейшими системами, в частности одной равнодействующей, называют еще процессом приведения сил. (Этот термин нельзя смешивать с термином «сложение сил», который употребляется в случае сложения сил как свободных векторов.) Операция замены одной силы системой сил, ей эквивалентной, носит название «разложения» сил.

Для решения различного рода вопросов в элементарной статике можно пользоваться или аналитическим, или геометрическим методом. При аналитическом методе данные и искомые величины определяются численно, причем векторные величины даются своими проекциями на оси координат. При геометрическом (или графическом) методе процесс нахождения исксмых величин производится с помощью

соответствующих геометрических построений. При этом все величины могут задаваться и определяться графически (рисунком)* Развитие последнего метода привело к появлению важного для техники отдела механики — графической статики, которая используется при решении некоторых инженерных задач.

В настоящем курсе мы будем держаться синтетического метода изложения и рассматривать различные системы сил, начиная с простейших и кончая самым общим случаем какой угодно системы.

§ 16. Система сил, приложенных в одной точке.Сходящиеся силы

1. Равнодействующая системы снл^ приложенных в одной точке. Предположим сначала, что на тело действуют две силы Р и Q, приложенные в одной точке 4 и образующие между собой угол />Q = y (рис. 182). Равнодействующая R этих двух сил, согласно

аксиоме о параллелограмме сил, равна геометрической сумме данных

Рис. 182.Рис. 182.сил, т. е.

Рис. 182.

Рис. 182.

K = P+Q (1)

Модуль равнодействующей можно определить из треугольника АВС\ заметив, что £АВС= 180°—(Х^), получаем:

R2 = р2 + Q2— 2PQ cos [180° — (P?Q)J или

R = У 尸2 + Q2 + 2PQ cos (А^). (2)

Найдем теперь направление равнодействующей, т・ е. определим углыа = (R, Р) и 0 = (Q, /?),

⑶⑶которые равнодействующая составляет с силами Р н Q. Применяя известную теорему тригонометрии, получим из треугольника АВС» учитывая, что sin[180°—(Р Q)]=sin(P, Q),

⑶

⑶

sin (Q^R) sin (^Ь) sin (Q^P)

Формулы (2) и (3) определяют модуль и направление равнодействующей, если известны величины составляющих сил и угол между ними.

Вектор R можно также найти, строя один из треугольников АВС или ADCt образующих параллелограмм ABCD (см. рис. 10 на стр. 24).

Задача разложения данной силы R на эквивалентные ей две силы Р и Q, которую можно считать задачей, обратной определению равнодействующей, имеет, очевидно» бесчисленное множество решений»

Для определенности надо задать дополнительно или линии действия искомых сил, или их модули, или же модуль и направление одной из сил- Первая задача сводится к построению параллелограмма, у которого известна диагональ R и направления сторон АВ и AD (см. рис. 182). Другие же две задачи сведутся к построению треугольника по трем заданным сторонам (имеет два решения) или по двум сторонам и углу между ними.

гдегдедалее.далее.（戶1，尸2）s Ли*（戶1，尸2）s Ли*&12 =尸1+f2；&12 =尸1+f2；Перейдем теперь к определению равнодействующей системы 笈 сил (尸 1，乃，吊……，代)，приложенных к телу в точке О (рис, 183), Применяя последовательно аксиому параллелограмма сил, получим：

где

где

далее.

далее.

（戶1，尸2）s Ли*

（戶1，尸2）s Ли*

&12 =尸1+f2；

&12 =尸1+f2；

где

金23 ="1+f2+吊；

и т.и т.д.д.Наконец,

и т.

и т.

д.

д.

(R123 • • - (д—1)» FQ s R,

где

k=尸1+戶2+g +

1=1

Таким образом, система сил, приложенных в одной точке, эквивалентна одной силе, т. е. имеет равнодействующую. Эта равнодействующая равна геометрической сумме всех сил системы и приложена в той же точке.

Равнодействующая R может быть получена или графически, причем сложение сил совершается по методу векторного многоугольника, или аналитически через проекции составляющих сил на оси координат. В последнем случае* применяя выведенные ранее формулы векторного исчисления, получим:

ллл

匕=e尸/% =n尸少 a=上/，心

2=11=11=1(5)

/? = ■/僧+ g+咫,

cos(/?, x) = R, cos(/?, y)=m， cos(/?, N)=天，(6)

Формулы (5) и (6), дающие модуль и направляющие косинусы равнодействующей рассматриваемой системы сил, вполне определяют ее по напряжению и по направлению.

2. Равнодействующая системы сходящихся сил. Система дей

ствующих

Рис. 184.

на абсолютно твердое тело сил (Fp & …，FJ, обладающих тем свойством, что линии действия всех сил системы пересекаются в одной точке О, называется системой сходящихся сил (рис. 184). Очевидно, что этот случай приводится к предыдущему, ибо все силы мы можем перенести по линии их действия в точку О и заменить данную систему сил системой сил, приложенных в точке О. Следовательно, система сходящихся сил имеет равнодействующую, равную сумме этих сил и проходящую через точку, в которой пересекаются линии действия сил.

3. Условия равновесия. Как мы установили, всякая система сходящихся сил (в том числе и сил, при-

ложенных в

одной точке) имеет равнодействующую;

равновесия этой системы сил необходимо и достаточно, действующая системы R была равна нулю, т. е.

/? = N Fi = 0.

г = 1

поэтому для чтобы равно-

(7)

Это — условие равновесия прямоугольные декартовы оси форме, условия равновесия.

в векторной форме. В

проекциях на

координат, т. е. в аналитической согласно (5), представляются в виде

Rx =戸 FI* — 0, Ry — 2 尸?у = 0, 此=戶 尸tz — 0-(8)

Следовательно, для равновесия системы сходящихся сил необходимо

и достаточно, чтобы сумма

проекций всех сил на каждую из осей координат была равна нулю. Для плоской системы сил будем иметь в проекциях на оси координат только два условия равновесия.

Наконец, так как при /? = 0 силовой многоугольник замкнется, т. е. конец последней силы совпадает с началом первой (см. рис. 183), получаем следующее условие равновесия сходящихся сил в геометрической форме: для равновесия системы сходящихся сил необходимо

и достаточно, чтобы ный из сил системы,

векторный (силовой) многоугольник, построен- был замкнутым.

Так, например, чтобы узнать, будет ли в равновесии система трех сил (Fp 戶2，⑸(Рис* 185), из какой-либо произвольной точки Л

проводим вектор, равный силе 尸卜 от его конца В проводим вектор, равный силе &, и от конца С этого вектора ——вектор, равный силе %. Если векторный (силовой) треугольник АВС оказывается замкнутым.

то рассматриваемая система сил находится в равновесии.

Теорема о трех силах. Если, плоская система трех не

параллельных сил находится в равновесии, то линии дей

только в том случае.только в том случае.Следовательно, линияСледовательно, линияствия этих сил пересекаются 8 одной точке.

только в том случае.

только в том случае.

Следовательно, линия

Следовательно, линия

Пусть плоская система трех сил FP 鸟，吊，приложенных в точках /» Л2> Л3> находится в равновесии (рис. 186). Предположим, что линии действия сил Fp F2 пересекаются в точке О; перенесем эти две силы Fp 尸2 по линиям их действия в точку пересечения О и по правилу параллелограмма найдем их равнодействующую /?12. Тогда

(尸1,尸2，尸3)S (/?⑵fj.

Но система двух сил находится в равновесии

если эти силы направлены по одной прямой.

действия силы 吊 должна совпасть с линией действия силы 火提，ко-

торая проходит через точку О, т. е. пройти через точку О.

Рис. 187.Рис. 187.Итак, для равновесия системы трех сил, лежащих в одной плоскости, необходимо (но недостаточно), чтобы линии действия этих сил пересекались в одной точке.

Рис. 187.

Рис. 187.

Этой теоремой иногда удобно пользоваться при решении задач на равновесие тел, находящихся под действием плоской системы трех сил, в частности для определения наперед неизвестных направлений реакций связей.

Пример. Рассмотрим однородный брус АВ весом 尸，конец Я которого закреплен шарни-

ром и который опирается на выступ в точке D

(рис. 187). На брус действуют три силы: сила тяжести Р, приложенная в центре тяжести бруса, т. е. в его середине, реакция ND опоры 力,направленная перпендикулярно к брусу, и реакция R шарнира А, направление которой неизвестно. Но так как брус находится в равновесии, а линии действия сил Р и №口 пересекаются в точке О, то по доказанной теореме и реакция R должна пройти через точку О, т. е. будет направлена вдолъ линии АО.

Задачи. Решение задач статики сводится обычно или к определению условий, при которых тело под действием данных сил можег

13 II. Н. Бухгольц

находиться в равновесии, или, когда тело заведомо находится в равновесии, к нахождению действующих на него при этом сил (в большинстве случаев реакций связей). Так как получаемые методами элементарной статики условия равновесия относятся к силам, действующим на абсолютно твердое тело, то при решении любой задачи следует прежде всего установить, равновесие какого именно тела надо рассмотреть для нахождения искомых величин. После этого, изобразив приложенные к телу активные силы, пользуются аксиомой связей, т* е. заменяют действия связей их реакциями и, рассматривая тело как свободное, составляют условия равновесия всех приложенных к телу сил (и активных и реакций связей). Из этих условий и определяются искомые величины.

В случае сходящихся сил, когда их общее число равно трем, проще пользоваться геометрическим методом решения, а при большем числе сил — аналитическим (или графическим). Если используется аналитический метод, то направления осей координат целесообразно выбирать так, чтобы проекции сил вычислялись возможно проще. Удобно также одну из осей направлять перпендикулярно к неизвестной силе; тогда соответствующее уравнение будет содержать меньше неизвестных.

Рассмотрим примеры.

Тяжелый шар весом Р подвешен на стержне АВ, прикрепленном к шару и к неподвижной точке Л шарнирами (рис. 188), и удерживается

в отклоненном положении горизонтальной силой Q. Найти, какой угол а образует стержень с вертикалью при равновесии и чему при этом равна реакция стержня. Весом стержня пренебречь.

Рассмотрим равновесие шара. На него действуют две активные силы 戶 н Q, которые нам заданы, и реакция 闡 которой мы заменяем действие связи (стержня) на шар, направленная вдоль стержня i). Эти три силы лежат в одной плоскости, и их

линии действия при равновесии пересекаются в одной точке. Следовательно, мы будем иметь для них в аналитической форме два условия равновесия. Проводя оси координат так, как

показано на рисунке, получим:

£ Ft* = Р — N cos а = О,£ Ft? = Q — TV sin а = О,

i) Стержень, если его весом пренебрегают, будет находиться в равновесии под действием только двух сил, приложенных к нему в точках Л и В со стороны шарниров. Согласно аксиоме 2), эти силы должны быть направлены вдоль ЛВ, т. е. вдоль стержня. Следовательно, и реакция со стороны стержня на шарнир В (а значит, и на шар) направлена тоже вдоль стержня (по закону действия и противодействия).

или ^sina= Q, ^ cos а = А Отсюда находим:

tga =%，声干硏

Рассмотрим теперь геометрическое решение. Так как силы Р, Q п N находятся в равновесии, то построенный из них многоугольник (в данном Случае треугольник) должен замыкаться. Начиная построение с известных сил, откладываем от произвольной точки а (рис. 189) силу Р, а от ее конца Ь ——силу Q; соединяя теперь конец с силы Q с точкой % получаем замкнутый треугольник, в котором сторона са дает искомую силу N. Из треугольника аос находим:

tga =%， N = ]/>2十战

В данном случае при геометрическом методе решения расчеты оказываются несколько проще.

Наконец, задачу можно решить графически, если при построении силового треугольника abc изображать силы Р и Q в определенном масштабе.

Рис. 190.Рис. 190.Тогда, измерив сторону са в том же масштабе, найдем напряжение силы N; угол а = N Ьас также находится непосредственным измерением.

Рис. 190.

Рис. 190.

На плоскости, наклоненной к горизонту под углом а, находится тяжелый шар весом Р, привязанный гибкой нерастяжимой нитью в точке Л, причем угол р известен (рис. 190). Определить натяжение нити и давление шара на плоскость, пренебрегая трением.

Для решения задачи рассмотрим равновесие шара. На него действуют заданная сила Р, реакция 7 нити, чис-

ленно равная искомому натяжению и

направленная вдоль нити, и реакция N плоскости, численно равная искомому давлению на плоскость и направленная по нормали к плоскости. Так как шар заведомо находится в равновесии, то построенный из этих сил треугольник должен быть замкнутым. Построение начинаем с известной силы Р, откладывая ее от произвольной точки а; через конец 6 вектора Р проводим прямую, параллельную силе N, а через начало а — прямую, параллельную 7\ Пересечение этих прямых даст точку с, являющуюся одновременно концом вектора N и началом вектора Т. Из построенного треугольника по теореме синусов находим:

7 N Р

ОтсюдаОтсюдаsina — sin В — ^in [[86。一 (a + 0)]

Отсюда

Отсюда

Г —尸 sE 口 м —尸 sin В

—sin Q+ В)，— sin (a + В)

При чисто графическом решении значения Т и N можно найти, измерив стороны Ьс и са силового треугольника в масштабе силы Р.

Искомое натяжение нити и давление на плоскость, как указывалось, численно равны Т и 7V, но имеют противоположные силам Т и 7V направления.

Задачу можно также решить аналитически, составив условия равновесия (направления осей показаны на рисунке):

工尸為= Psina—Tsin (а+р) = 0,

£ Fly = — P cos a + Г cos (a + p) 4- ^ = 0.

Из полученных уравнений найдем те же значения для Т и ^t но расчет будет несколько длиннее, чем при геометрическом методе.

держивается двумя тросами AC идерживается двумя тросами AC ипараллельно QC, ось Лу — вдольпараллельно QC, ось Лу — вдольГоризонтальный стержень АВ закреплен шарниром в точке В и под-

держивается двумя тросами AC и

держивается двумя тросами AC и

параллельно QC, ось Лу — вдоль

параллельно QC, ось Лу — вдоль

AD, образующими с горизонтальной прямой CD, перпендикулярной к стержню, углы аир (рис. 191); при этом плоскость ACD наклонена к горизонту под углом Y- В точке Л подвешен груз весом Р. Найти натяжения тросов и усилие в стержне, пренебрегая его весом.

в ели-точкив ели-точкиДля определения искомых чин рассматриваем равновесие

в ели-точки

в ели-точки

“... стержня и Az — по вертикали вверх, будем иметь (для вычисления проекций сил ^ и 7^ на оси * н у находим“... стержня и Az — по вертикали вверх, будем иметь (для вычисления проекций сил ^ и 7^ на оси * н у находим(узла) Л. На узел действует активная сила Р и реакции Т】,岂 迈 W тросов и стержня, образующие систему сходящихся сил, не лежащих в одной плоскости. В таких случаях обычно пользуются тремя условиями равновесия в аналитической форме. Проводя ось Ах

“... стержня и Az — по вертикали вверх, бу

дем иметь (для вычисления проекций сил ^ и 7^ на оси * н у находим

“... стержня и Az — по вертикали вверх, бу

дем иметь (для вычисления проекций сил ^ и 7^ на оси * н у находим

сначала их проекции на прямую /氏 лежащую в плоскости *у): 工尸以=71 cos a - T2 cos p = 0,

£ 尸zy = — T1 sin a cos у — T2 sin p cos у + N = 0,

£ Piz = Ti sin a sin y + T2 sin p sin у — P = 0.

Решая полученную систему уравнений, найдем окончательно:

тPcos ртPcosa-

— sin (a 4- ₽) sin y '2 — sin (a + 0) sin 丫 '~ ° g “

Все найденные величины положительны, следовательно, реакции связей направлены так, как показано на рисунке (тросы растягиваются, а стержень сжат).

§ 17. Трение и связи с трением

Трение скольжения. Связь, которая развивает реакцию, направленную по нормали к поверхности (или линии), служащей связью, называется идеальной связьюJ) или связью без трения. Связь с трением, кроме нормальной реакции М развивает еще тангенциальную реакцию F, лежащую в касательной плоскости, проведенной через точку А, в которой тело соприкасается с поверхностью, служащей

Это понятие будет уточнено в главе V.

связью (рис. 192); если связью служит кривая, то тангенциальная реакция 尸 направлена по касательной к этой кривой. В то время как нормальная реакция представляет собой давление св-язи на тело, тангенциальная реакция появляется благодаря силе трения-

Сила трения есть результат взаимодействия двух соприкасающихся под некоторым давлением тел. Эта сила возникает в точках соприкосновения, лежит в общей касательной плоскости к поверхностям соприкасающихся тел и препятствует скольжению одного тела относительно другого.

Трение такого рода носит название тренияу\

скольжения.у /

Трение между двумя соприкасающимися //"]

телами происходит прежде всего вследствие /II шероховатости их поверхностей и наличия (/ У

сцепления у прижатых друг к другу тел.

Несмотря на то, что трение есть одно из самых распространенных явлений природы и встречается почти во всех задачах механики, точные законы трения до сих пор не уста-/

но в лены вследствие трудностей, связанныхРис. 192.

с выявлением полной физической картины возникновения силы трения и с количественной оценкой всех факторов, от которых эта сила зависит. Поэтому практически при учете сил трения пользуются законами, которые носят в основном качественный характер и представляют собой только некоторое приближение к действительности. Эти законы были установлены в результате первых опытов над трением, проделанных Амонтоном (1699 г.)» и более, точных экспериментальных исследований Кулона (1781 г.).

Y 2・ Законы трения скольжения. При рассмотрении явления трения следует различать статическое трение, имеющее место при относительном покое соприкасающихся тел, и трение движения, которое имеет место при относительном движении тел.

Установленные экспериментально законы трения скольжения при покое можно сформулировать так:

Сила трения скольжения действует в общей касательной плоскости к поверхностям соприкасающихся тел; численно сила трения имеет всякий раз то значение, которое необходимо для предотвращения относительного скольжения тел, но не может стать больше некоторой определенной предельной величины, т. е.

尸《尸там(1)

Величина предельной силы трения зависит от природы соприкасающихся тел и от возникающей при их взаимном давленйи друг на друга нормальной реакции ^ и определяется равенством

尸 max = /W，⑵

где /0—отвлеченное число, называемое коэффициентом трения сколь-где /0—отвлеченное число, называемое коэффициентом трения сколь-жения циентжения циентпри покое (или статическим коэффициентом трения). Коэффи- /0 зависит от материала, характера обработки и состояния (влажности, температуры и др.) трущихся поверхностей и определяется опытным путем.3) Сила трения не зависит от площади контакта соприкасающихся при трениипри покое (или статическим коэффициентом трения). Коэффи- /0 зависит от материала, характера обработки и состояния (влажности, температуры и др.) трущихся поверхностей и определяется опытным путем.3) Сила трения не зависит от площади контакта соприкасающихся при трениива ова оповерхностей.Из равенствповерхностей.Из равенств(1) и (2) следует, 尸 4/оМ(1) и (2) следует, 尸 4/оМчточто(3)(3)ПредставлениеПредставлениеооследующие данные: дерево /о = О,4-т-О,7, при тренииследующие данные: дерево /о = О,4-т-О,7, при трениивеличине /0 при трении металла овеличине /0 при трении металла одают дере- металлдают дере- металл/0 = 0,15-г-0,25./0 = 0,15-г-0,25.движении сила трениядвижении сила тренияложную относительной скорости деляется равенствомложную относительной скорости деляется равенствомнаправлена внаправлена всторону, противопо-сторону, противопо-тела, а ее численная величина опре-тела, а ее численная величина опре-(4)(4)

где /0—отвлеченное число, называемое коэффициентом трения сколь-

где /0—отвлеченное число, называемое коэффициентом трения сколь-

жения циент

жения циент

при покое (или статическим коэффициентом трения). Коэффи- /0 зависит от материала, характера обработки и состояния (влажности, температуры и др.) трущихся поверхностей и определяется опытным путем.

3) Сила трения не зависит от площади контакта соприкасающихся при трении

при покое (или статическим коэффициентом трения). Коэффи- /0 зависит от материала, характера обработки и состояния (влажности, температуры и др.) трущихся поверхностей и определяется опытным путем.

3) Сила трения не зависит от площади контакта соприкасающихся при трении

ва о

ва о

поверхностей.

Из равенств

поверхностей.

Из равенств

(1) и (2) следует, 尸 4/оМ

(1) и (2) следует, 尸 4/оМ

что

что

(3)

(3)

Представление

Представление

о

о

следующие данные: дерево /о = О,4-т-О,7, при трении

следующие данные: дерево /о = О,4-т-О,7, при трении

величине /0 при трении металла о

величине /0 при трении металла о

дают дере- металл

дают дере- металл

/0 = 0,15-г-0,25.

/0 = 0,15-г-0,25.

движении сила трения

движении сила трения

ложную относительной скорости деляется равенством

ложную относительной скорости деляется равенством

направлена в

направлена в

сторону, противопо-

сторону, противопо-

тела, а ее численная величина опре-

тела, а ее численная величина опре-

(4)

(4)

где / ——коэффициент трения скольжения при движении (или динамический коэффициент трения). Он также зависит от материала» степени обработки и состояния трущихся поверхностей и, кроме того, от скорости движения. Обычно с увеличением скорости величина / сначала несколько убывает, а затем сохраняет почти посюян- ное значение (рис. 193). Исключение составляет, например, трение кожи о металл, при котором / с увеличением скорости несколько возрастает.

Пример. Пусть груз весом Р лежит на горизонтальной плоскости (рис. 194) и пусть статический коэффициент трения груза о плоскость

равен /0. В данном случае N = P. Тогда, если к грузу приложить горизонтальную силу Q, численно меньшую, чем Лтах = ДР, то груз останется в покое; при этом на него будет действовать сила трения, напряжение которой 尸==Q V Fmax- Чтобы сдвинуть груз, к нему надо приложить силу 0]=九汽==九戸. При движении с некоторой скоростью и > 0 сила трения станет равна fP V f^P (когда / < /0); поэтому если на груз будет продол* жать действовать сила Q「то он будет двигаться ускоренно. Равномерное движение груз будет совершать, если действующая сила Q = fP V Q「

Реакция связи с трением. Угол и конус трения. Полная реакция R связи с трением слагается геометрически из нормальной реакции ^ и перпендикулярной к ней силы трения F. Так как 尸《Fmax， то при данной величине ^ полная реакция может иметь

разные численные значения и образовывать разные углы с нормалью.разные численные значения и образовывать разные углы с нормалью.Наиболыпее значение /?тах полная реакция имеет (рис. 195). Образуемый при этом реакцией /?тах угол 中 с нормалью (наибольший из всех возможных углов отклонения) называется углом трения. Как видно из рисунка, Fmax = TV tg <р. Сравнивая этот результат с равенством (2), находим, чтоНаиболыпее значение /?тах полная реакция имеет (рис. 195). Образуемый при этом реакцией /?тах угол 中 с нормалью (наибольший из всех возможных углов отклонения) называется углом трения. Как видно из рисунка, Fmax = TV tg <р. Сравнивая этот результат с равенством (2), находим, чтоtg<p —tg<p —^^= /о-= /о-⑸⑸Так как поверхности,Так как поверхности,тело может перемещаться вдоль реализующей связь, по любомутело может перемещаться вдоль реализующей связь, по любомунаправлению, то связь с трением может развить реакцию по всякому направлению, лежащему внутри конуса (вообще не кругового, если структура поверхности неоднородна), осью которого служит нормаль, а угол между осью и образующей равен углу трения ср (рис. 196). Отсюда, в частности, следует, что для равновесия тела, касающегося шероховатой поверхности в точке 4 необходимо, чтобы все силы,направлению, то связь с трением может развить реакцию по всякому направлению, лежащему внутри конуса (вообще не кругового, если структура поверхности неоднородна), осью которого служит нормаль, а угол между осью и образующей равен углу трения ср (рис. 196). Отсюда, в частности, следует, что для равновесия тела, касающегося шероховатой поверхности в точке 4 необходимо, чтобы все силы,пРи F =尸mхпРи F =尸mхдействующие на тело, привелись к равнодействующей, проходящей через точку А и лежащей внутри конуса трения.

разные численные значения и образовывать разные углы с нормалью.

разные численные значения и образовывать разные углы с нормалью.

Наиболыпее значение /?тах полная реакция имеет (рис. 195). Образуемый при этом реакцией /?тах угол 中 с нормалью (наибольший из всех возможных углов отклонения) называется углом трения. Как видно из рисунка, Fmax = TV tg <р. Сравнивая этот результат с равенством (2), находим, что

Наиболыпее значение /?тах полная реакция имеет (рис. 195). Образуемый при этом реакцией /?тах угол 中 с нормалью (наибольший из всех возможных углов отклонения) называется углом трения. Как видно из рисунка, Fmax = TV tg <р. Сравнивая этот результат с равенством (2), находим, что

tg<p —

tg<p —

^

^

= /о-

= /о-

⑸

⑸

Так как поверхности,

Так как поверхности,

тело может перемещаться вдоль реализующей связь, по любому

тело может перемещаться вдоль реализующей связь, по любому

направлению, то связь с трением может развить реакцию по всякому направлению, лежащему внутри конуса (вообще не кругового, если структура поверхности неоднородна), осью которого служит нормаль, а угол между осью и образующей равен углу трения ср (рис. 196). Отсюда, в частности, следует, что для равновесия тела, касающегося шероховатой поверхности в точке 4 необходимо, чтобы все силы,

направлению, то связь с трением может развить реакцию по всякому направлению, лежащему внутри конуса (вообще не кругового, если структура поверхности неоднородна), осью которого служит нормаль, а угол между осью и образующей равен углу трения ср (рис. 196). Отсюда, в частности, следует, что для равновесия тела, касающегося шероховатой поверхности в точке 4 необходимо, чтобы все силы,

пРи F =尸mх

пРи F =尸mх

Задачи. При определении условий равновесия тел с учетом -трения можно встретиться с задачами двух типов: а) задачи, в которых рассматривается предельное положение равновесия и сила трения считается равной ее предельному значению (2); б) задачи, в которых отыскиваются все возможные положения равновесия и величина силы трения определяется неравенством (3).

В задачах второго типа решения получаются в виде неравенств, определяющих все множество значений искомых величин, при которых возможно равновесие (область равновесия).

Найти, при каком наибольшем угле наклона а (рис. 197) тяжелый груз, лежа-

условияусловиящий на наклонной плоскости, остается в равновесии, если коэффициент трения груза о плоскость равен 九

условия

условия

На груз в рассматриваемом предельном положении действуют сила тяжести Р, нормальная реакция N и предельная сила трения Fniax. Составляя равновесия в проекциях на оси л и у (см, рисунок), будем иметь:

尸 Sfn Ct 尸max = °,

(а)(6)(а)(6)N —尸 cos a = 0.

(а)

(6)

(а)

(6)

Из (б) находим ^ = P cos а. Тогда Fmax == /(^ = ДР cos a. Подставляя это значение в (а), получим Р (sin a — /0 cos a) == 0. Отсюда, согласно (5),

tg a =/о = tg 屮 или a = q).

Следовательно, наибольший угол наклона, прн котором возможно равновесие, равен углу трения.

Если мы будем искать все углы а, при которых возможно равновесие, tq тогда в уравнении (а) вместо 尸пик будет стоять 尸 и оно даст 尸=A sin a* Но в этом случае F《fN или Л < /0Р cos a и мы получим, что Psina<；/0P cos а, откуда

(В)(В)tga《/o или а<(р.

(В)

(В)

воз-воз-Следовательно, равновесие вообще

воз-

воз-

можно при любом угле наклона, меньшем угла трения или равном ему. Неравенство (в) определяет область равновесия.

К ползуну / весом Р, который может скользить вдоль вертикальных направляющих (рнс. 198), прикреплена нить, перекинутая через блок В и несущая на конце груз весом Q. Коэффициент трення ползуна о направляющие равен /0. Зная угол а, определить, при каком соотношении между Р и Q возможно равновесие. Трением в блоке пренебречь.

Рассматриваем равновесие ползуна, пренебрегая его размерами. На ползун действуют сила Р, натяжение нити Т, численно равное Q, нормальная реакция N и сила трения F、которая может быть направлена или вверх (когда Р > Q sin а), или вниз (когда 户 V Q sin а). Составляя условия равновесия в проекциях на оси л и у, будем иметь:

(а>(а>Т cos а — ^ = 0,7 sin а — Р 土尸=0.

(а>

(а>

Так как 7 = Q, то отсюда 7V == Q cos а н 尸=士 (Р — Q sin а). Ho 尸《九“ или 尸式九Q cos а. В результате приходим к двум неравенствам:

Р —■ Q sin a W f dQ cds а,

—(Р — Q sin a) W /0Q cos a,

откуда находим:

(6)(6)(sin а + /0 cos a) A g》(sin a — /0 cos a).

(6)

(6)

Так как /o = tg 中，то неравенство (б) можно еще представить в виде

sin (q ± 中)> Р、8m (a — <р)cos ф "p" cos <p '

Полученный результат показывает, в каких границах можно изменять отношение P/Q, не нарушая равновесия (т. е. определяет область равновесия). При отсутствии трения (/0 = 0) равновесие, как видно из (б), возможно* только когда Р = Q sin a.

Отметим еще, что если весом ползуна по сравнению с весом груза можно пренебречь и считать P/Q = 0, то условие равновесия (в) принимает вид

sin (a —中)《0 или a W 屮,

т. е. сводится к тому, что участок АВ нити должен лежать внутри угла трения (см. п. 3); при этом система будет в равновесии, каков бы ии был груз Q (самотормозящееся устройство).

3. Лестница опирается концами 力 и В на горизонтальный пол и вертикальную стену (рис. 199). Преие-

брепш весом лестницы,

опреде-

лнть, при каких положениях стоящего на ней человека система остается в равновесии. Углы трения 屮а н 屮3 в точках Л и В известны.

Решим задачу графически. На лестницу действуют сила тяжести Р, равная весу человека, и реакции /?貝 и /?fl в точках Л и В, которые могут иметь любые направления внутри углов тренн% При равновесии эти силы должны пересекаться в одной точке. Но реакции 欠小 и 勺 могут пересечь-

Рис. 199.

ся где угодно внутри заштрихованной

на чертеже площади. Следовательно, при равновесии линия действия силы Р должна пересекать эту площадь. Поэтому при том положении лестницы, которое показано на рисунке, человек может подняться только до точки D. Чтобы человек мог дойти до верхнего конца В лестницы, угол а, который она образует с вертикалью, должен быть ие больше угла трения 屮貝(от трения в точке В этот результат не зависит).

При отсутствии треиия реакции будут нормальными и пересекутся в точке О. Равновесие будет возможно только тогда, когда человек стоит в точке Л лестницы.

5. Трение гибкой нити о цилиндрическую поверхность. Рассмотрим нить, касающуюся поверхности кругового цилиндра вдоль дуги ADB с центральным углом а (рис. 200). Коэффициент трения нити о цилиндр равен /0. К одному концу нити приложена сила Р. Найдем, какую наименьшую силу Q надо приложить

к другому концу, чтобы сохранить равновесие. Для этого рассмотрим равновесие элемента нити DE длины ds=^ R dd, где R — радиус ци-

линдра. На него нити 7+订 и ставляя условия

действуют приложенные в точках D и Е натяжения Г, нормальная реакция dN и сила трения dR Со- равновесия в проекциях на касательную т и нор-

маль л и считая

sin ¥=丁，

cos-^-= 1, будем иметь (пренебрегая

малыми высшего порядка):

dT = dF, dN = 2T sin~= TdB.<6)

Но так как рассматриваемое положение равновесия является предельным, то dF = J^dN. Подставляя сюда значения d尸 и dN из равенств (6), получим:

dT =九丁 d9・

Так как натяжение нити в точках Л и В равно соответственно Р и Q, то, разделяя в полученном уравнении переменные и беря от обеих частей определенные интегралы в соответствующих пределах, получим:

цилиндра (катка) поцилиндра (катка) поАРис. 201.АРис. 201.происходить качениепроисходить качение

цилиндра (катка) по

цилиндра (катка) по

А

Рис. 201.

А

Рис. 201.

происходить качение

происходить качение

Формула (7), найденная Эйлером, показывает, что уравновешивающая сила Q не зависит от радиуса цилиндра и при данном % быстро убывает с увеличением а.

Пример. Прн трении пенькового каната о дерево /0 = 0,5. Если обернуть такой канат вокруг столба два раза (а = 4л), то будет Q =Ре-?％ в 0,002Р; натяжение в 1 Т можно при этом уравновесить силой в 2 кГ.

6. Трение качения. Опыт показывает, что для качения тяжелого

горизонтальной плоскости к оси цилиндра необ-

ходимо приложить некоторую горизонтальную силу Q для того, чтобы преодолеть сопротивление, возникающее при качении цилиндра. Это сопротивление носит название трения качения.

Трение качения возникает оттого, что поверхность катящегося тела и плоскость, по которой тело катится, не абсолютно тверды, а несколько деформируются вследствие давления тела на плоскость.

Допустим сначала, что цилиндр и плоскость являются абсолютно твердыми и касаются друг друга в точке 4 Чтобы могло без скольжения, их поверхности должны быть

шероховатыми. Пусть к оси цилиндра приложена горизонтальная сила Q, величина которой меньше FmdX (рис. 201). Тогда точка касания цилиндра А скользить вдоль плоскости не будет. На цилиндр при

этом будут действовать две взаимно уравновешивающиеся силы: сила тяжести Р и приложенная в точке А нормальная реакция N, и две другие силы: сила Q и препятствующая скольжению точки Л сила 尸, которые не могут уравновесить друг друга (см. аксиому 2). Под действием этих сил и началось бы качение цилиндра при любой сколь угодно малой силе Q.

В действительности картина будет иной. Вследствие деформации тел под действием сил Р и N их касание происходит не в точке, а вдоль некоторой площадки (рис. 202). При действии силы Q,

Рис. 202.Рис. 202.направленной вправо, давление у левого края убывает, а у противоположного —возрастает. При этом нормальная реакция N смещается вправо в некоторую точку В и вместе с силой трения скольжения F (см. рис. 201) дает равнодействующую NP которая проходит через ось О цилиндра и уравновешивает силы Р и Q. Как видно из соответствующего силового треугольника, с увеличением силы Q сила М，чтобы уравновесить систему, должна

Рис. 202.

Рис. 202.

образовывать все больший угол а

N должна все известный преN должна все известный прес вертикалью, т. е. точка В приложения реакции больше смещаться вправо. Но это смещение имеет

N должна все известный пре

N должна все известный пре

дел, зависящий от свойств материалов соприкасающихся тел; обозначим его через 瓦 Тогда, если Q имеет наибольшее значение Qnp,

при котором еще возможно равновесие, то АВ = h. Значение Qnp можно найти из подобия силового треугольника и △ О АВ. Считая

иметьиметьQaJP = h〔R илиQaJP = h〔R илиQl".Ql".приближенно О А = R, где R — радиус цилиндра, будем

иметь

иметь

QaJP = h〔R или

QaJP = h〔R или

Ql".

Ql".

(8)

Если Q <。叩，то цилиндр находится в покое, а при Q > Qnp начинается качение. Входящая в равенство (8) линейная величина А называется коэффициентом трения при качении. Измеряют 内 обычно в сантиметрах и определяют опытным путем. Например, при качении вагонного колеса по рельсу 内= 0,005 см, а для шариковых подшипников (закаленная сталь)内= 0,001 см.

Отношение h〔R для большинства материалов значительно меньше, чем коэффициент трения скольжения /. Поэтому в технике, когда это возможно, трение скольжения стремятся заменить трением качения (колеса, катки, шариковые подшипники и т. п.).

§ 18, Параллельные силы

1. Система двух параллельных сил, направленных в одну сторону. Рассмотрим сначала систему двух параллельных сил Р и 0， направленных в одну сторону и действующих на абсолютно твердое тело (рис, 203). Так как сила, действующая на твердое

тело, есть вектор скользящий, то достаточно знать только линию

действия каждой силы и ее напряжение, а за точку приложения

можно брать любую точку на линии действия соответствующей силы, например точку Л для силы Р и точку В для силы Q. Соединим

эти точки прямой АВ и приложим в них две численно равные силы S и S', направленные по прямой АВ

в противоположные стороны. Очевидно, система

(£ S，)s0.

Теперь, сложив силы Р, S н силы Q и S', получим их равнодействующие Ri и /?2. Система (Р, Q) s (Р, Q, S, S')» следовательно,

(Р Q) s ® /?2).

Продолжим линии действия сил /?t и /?2 до их пересечения в точке О

и перенесем %, % в эту точку. Теперь каждую силу К〔, /?2 разложим по правилу параллелограмма на составляющие силы Р a S, Q и S\ параллельные прямой АВ и силам Р н Q. Таким образом, наша система сил свелась к системе сил, приложенных в одной точке О.

Рассмотрим систему четырех сил (Р Q, S, S') в точке О. Систему сил (S, S'), как эквивалентную нулю, отбросим; остаются две силы Р и Q. Эти силы направлены в одну сторону и действуют по одной прямой» которая параллельна линиям действия сил 尸 н Q; следовательно, равнодействующая этих сил /? —Р-|- Q будет по модулю равна сумме модулей слагаемых сил, т. е.

(1)(1)и направлена параллельно данным вующих треугольников имеем:尸 Sи направлена параллельно данным вующих треугольников имеем:尸 Sсилам. Из подобия соответст-QS，"ОС = СВ •силам. Из подобия соответст-QS，"ОС = СВ •R = P + Q,

(1)

(1)

и направлена параллельно данным вующих треугольников имеем:

尸 S

и направлена параллельно данным вующих треугольников имеем:

尸 S

силам. Из подобия соответст-

QS，

"ОС = СВ •

силам. Из подобия соответст-

QS，

"ОС = СВ •

на другую, получим:на другую, получим:Разделив почленно одну пропорцию

на другую, получим:

на другую, получим:

Р СВ尸 Q

Lk °2帀=兀.

Таким образом, точка С находится на отрезке АВ и делит его внутренним образом на части, обратно пропорциональные силам. Составив из последней пропорции производную пропорцию* получим: 尸+ Q _尸Q

AC-У CB — CF — AC '

или, так как P^Q = F}, а АС-]-СВ — АВ,

(2)(2)尸_ Q _ АСВ-" АС ~ АВ *

(2)

(2)

Из равенств (2) легко определить отрезки АС и СВ, Итак, система двух параллельных сил, направленных в одну сторону,

имеет равнодействующую, которая по модулю равна сумме модулей данных сил, параллельна им и направлена в ту же сторону. Линия действия равнодействующей проходит через точку, которая делит отрезок АВ на части, обратно пропорциональные данным силам, внутренним образом.

Решим теперь задачу о разложении данной силы R на две параллельные. Такое разложение, как и в случае сходящихся сил, может быть проведено бесконечным множеством способов. Для определенности задачи недостаточно также задать только напряжения Р и Q слагаемых сил, ибо и это разложение может быть совершено бесконечным множеством_

способов, лишь бы только точки Л и В при-尸7

ложения слагаемых сил 尸 и Q удовлетворяли ( 厂"―了 только что выведенному соотношению (2).\4^ /

Задача станет вполне определенной, когда 戶 //

будут заданы или напряжение и линия дей- //

ствия одной из слагаемых сил, или линии / действия обеих слагаемых сил.

Пусть, например, требуется силу R (рис. 204), приложенную в точке С, разложитьРис. 204.

на две параллельные ей силы так, чтобы одна сила была приложена в точке Л и напряжение ее было равно Р {АС и Р заданы). Напряжение второй слагаемой силы Q и точка ее приложения В определяются тогда из соотношений

откудаоткудаR = Р + Q,Q = R — РR = Р + Q,Q = R — Рp=QСВ ~ лс уСВ = g АС,p=QСВ ~ лс уСВ = g АС,

откуда

откуда

R = Р + Q,

Q = R — Р

R = Р + Q,

Q = R — Р

p=Q

СВ ~ лс у

СВ = g АС,

p=Q

СВ ~ лс у

СВ = g АС,

р 一 р С8р 一 р С8Q=R^・Q=R^・

р 一 р С8

р 一 р С8

Q=R^・

Q=R^・

Пусть теперь силу R требуется разложить на две параллельные силы (рисунок тот же), приложенные в точках А и В (4С и СВ заданы). Тогда напряжения Р и Q определяются из соотношений

Отметим в заключение следующее. Равенства (2), очевидно, сохранятся, если силы 尸 н Q считать приложенными в точках 4] и В〔,

лежащих на общем перпендикуляре к линиям действия этих сил (рис. 205). Тогда, полагая А© = р, СВ、= q、будем иметь:

Р__ * =纟Q —— р '

откуда

Рр = Q/

(3)

Расстояние от точки С до линии действия силы называется плечом силы относительно точки С; например, р есть плечо силы Р относительно точки С. Произведение силы на плечо представляет собой

числовое значение величины, называемой

моментом силы относительно данной точки. Таким образом, формула (3) показывает, что моменты параллельных сил относительно любой точки, находящейся на линии действия их равнодействующей, равны между собой по числовому значению.

2. Система двух параллельных сил, направленных в противоположные стороны (антнпараллельных). Две параллельные силы,

направленные в противоположные стороны, называют антипараллель- ными. Пусть мы имеем систему антнпараллельных сил Р и Q, не равных по модулю и приложенных в точках 4 н В。(рис. 206).

Разложим большую которых одну (Q1),

силу P на две параллельные силы R и Q「 из равную по напряжению силе Q, приложим

Q

в точке В так, что силы Q н Q】 будут действовать по одной прямой в разные стороны. Тогда напряжение другой силы R и точка ее прило-

жения С вида (1) Qi = 0,

определятся из соотношений

и ⑵，которые, учитывая, дают:

R =尸-Q,

尸 Q — А

~ВС~~~АС ^~АВ 1

что

(4)

(5)

антнпараллельных сил Р но система (QP Q) s 0,

И

Сила /?, модуль и направление которой определяются равенствами (4), (5), и будет равнодействующей системы Q. Действительно,(尸，0 s (R, Q「Q)；

следовательно,

(Р, Q)sR・

Итак, система двух антипараллельных сил имеет равнодействующую, которая равна по модулю разности модулей этих сил, им параллельна и направлена в сторону большей силы. Линия действия равнодействующей проходит через точку, которая лежит на продолжении отрезка ВА и делит этот отрезок на части, обратно пропорциональные силам, внешним образом.

Задача разложения данной силы на две антипараллельные является опять задачей неопределенной; она становится определенной, если заданы положение и напряжение одной силы или линии действия обеих слагаемых сил. Это разложение проводится таким же способом, как и в случае параллельных сил.

Из равенств (5) легко найти, что и для антипараллельных сил имеет место соотношение (3), т. е. что моменты этих сил относительно любой точки на линии действия их равнодействующей равны по числовому значению (см. рис. 206).

Пара сил. Хотя формулы (4) и (5) получены для случая, когда 尸辛 Q, мы можем с их помощью рассмотреть, что произойдет с равнодействующей двух антипараллельных сил, если модуль одной из них, например Р, будет приближаться к Q. Из равенства (4) видно, что при PfQ будет /?-> 0. Равенство же (5), которое можно представить в виде

АС = % АВ,

показывает, что при R->0 расстояние 4С-> 8, тч е. что точка С,

где приложена равнодействующая, при Р->Q уходит в бесконеч

ность. Этот результат можно истолковать в том смыеле, что

при Р = Q две антипараллельные силы одной какой-нибудь силой заменить нельзя.

Система двух равных по модулю антипараллельных сил, действующих на абсолютно твердое тело (рис. 207), называется парей сил. Пара сил, как будет доказано, действительно не имеет равнодействующей, т. е. не может быть заменена одной эквивалентной ей силой. Поэтому пара сил является в статике таким же самостоятельным элементом, как сила. Ее

свойства будут рассмотрены отдельно в § 21.

Система многих параллельных сил. Рассмотрим две параллельные силы Р] и 戶2，приложенные в точках Л и В и направленные в одну сторону. Пусть оси выбранной системы координат будут Oxyz. Положение точек Л и В вполне определится заданием

радиусов-векторов гх и г^ проведенных из начала координат в точки Л и В (рис. 208). Проекциями этих векторов на оси координат

являются, очевидно, координатыявляются, очевидно, координатыточек А и В, т.точек А и В, т.е.е.

являются, очевидно, координаты

являются, очевидно, координаты

точек А и В, т.

точек А и В, т.

е.

е.

И (ХР %，Z》 г2 (х2, У2, &).

Определим положение точки действующая R сил Р^ и Р2>Определим положение точки действующая R сил Р^ и Р2>С, через которую проходит равно- т. е. определим радиус-вектор г0 точки С, зная радиусы-векторы 后 и г2 точек А а В. Заметим» что rt 4- АС = г0, г04-СВ = г2, откудаС, через которую проходит равно- т. е. определим радиус-вектор г0 точки С, зная радиусы-векторы 后 и г2 точек А а В. Заметим» что rt 4- АС = г0, г04-СВ = г2, откудаЛС — г0 — гр СВ = г2 —小*ЛС — г0 — гр СВ = г2 —小*С другой стороны, положение точки С определяется соотношениемС другой стороны, положение точки С определяется соотношениемАСАСС8С8илиилиАС СВАС СВ

Определим положение точки действующая R сил Р^ и Р2>

Определим положение точки действующая R сил Р^ и Р2>

С, через которую проходит равно- т. е. определим радиус-вектор г0 точки С, зная радиусы-векторы 后 и г2 точек А а В. Заметим» что rt 4- АС = г0, г04-СВ = г2, откуда

С, через которую проходит равно- т. е. определим радиус-вектор г0 точки С, зная радиусы-векторы 后 и г2 точек А а В. Заметим» что rt 4- АС = г0, г04-СВ = г2, откуда

ЛС — г0 — гр СВ = г2 —小*

ЛС — г0 — гр СВ = г2 —小*

С другой стороны, положение точки С определяется соотношением

С другой стороны, положение точки С определяется соотношением

АС

АС

С8

С8

или

или

АС СВ

АС СВ

так как векторы АС и их значения, получим:откудатак как векторы АС и их значения, получим:откудаИтак, если даны Рр Р2, положение точки С, находитсяИтак, если даны Рр Р2, положение точки С, находится

так как векторы АС и их значения, получим:

откуда

так как векторы АС и их значения, получим:

откуда

Итак, если даны Рр Р2, положение точки С, находится

Итак, если даны Рр Р2, положение точки С, находится

АВ коллинеарны. Подставляя вместо АС и СВ

「0 —「I г2 -尸0

⑹⑹r . fl 尸 1 + 尸2 尸 20—■а+а

⑹

⑹

гР г2» то вектор г0, определяющий по формуле (6). Проектируя обе части

этого векторного равенства на оси координат, получим координаты точки С:

г - Р ]*]+尸/2

“ —pyi+a%

)。一 p$a

z。一 F+a .

Перейдем теперь к системе п параллельных СИЛ Рр 戶2，尸з，. . . , Рп,

приложенных в точках А「Л2, Л3, ..., Ап и направленных в одну сторону (рис. 209). Найдем сначала точку С2, через которую проходит равнодействующая /?2 двух сил Рг и Р2> потом ючку С3( через которую проходит равнодействующая R3 сил Я2 и Рз，т- е- трех сил Р1( Р2> 戶3，н * Д- На основании формулы (6) радиус-векюр гс^

(7)(7)определяющий положение точки С2, будет:

(7)

(7)

При ЭТОМ Р1 + Р2 — /?2-

Таким же образом радиус-вектор 飞 точки С3, через которую проходит равнодействующая /?3 сил /?2 и Р3, т. е. сил Рр Р2, Р3г представится, если учесть равенство (7), в виде

з

%尸5十Р3尸3 1 片尸1+片尸2+Р3尸3’

Замечая общий закон составления выражений для радиусов-векторов» докажем по методу полной индукции переходом от 尼 сил к 月十1, что этот закон справедлив для любого числа сил. Имеем для точки С*, где приложена равнодействующая 左 сил R为，

cЙ ? +尸2 +…+"cЙ ? +尸2 +…+"(8)(8)

cЙ ? +尸2 +…+"

cЙ ? +尸2 +…+"

(8)

(8)

(9)(10)(9)(10)Подставляя лучим:Подставляя лучим:значения ггзначения гги Rk из (8) и (10) в равенство (9),и Rk из (8) и (10) в равенство (9),по-по-在+1在+1гс%+〔гс%+〔= p/1+02尸2十 一 十рС乙 +p仙1尸左十1一』= p/1+02尸2十 一 十рС乙 +p仙1尸左十1一』「牙P2+，二一RQ点+尸总+；「牙P2+，二一RQ点+尸总+；屮，Z = I屮，Z = I

(9)

(10)

(9)

(10)

Подставляя лучим:

Подставляя лучим:

значения гг

значения гг

и Rk из (8) и (10) в равенство (9),

и Rk из (8) и (10) в равенство (9),

по-

по-

在+1

在+1

гс

%+〔

гс

%+〔

= p/1+02尸2十 一 十рС乙 +p仙1尸左十1一』

= p/1+02尸2十 一 十рС乙 +p仙1尸左十1一』

「牙P2+，二一RQ点+尸总+；

「牙P2+，二一RQ点+尸总+；

屮，

Z = I

屮，

Z = I

Складываем силу Rk с силой P^+d принимая во внимание, что

C&C&+i = r%+|-r%， ^kA l^fe+1 ~ГЙ 1-1 — %々十 J будем иметь:

причем

q = A+4+%+…+修.

что и требовалось доказать. Численная величина равнодействующей равна, очевидно, сумме величин заданных сил

(И)(И)R =』巳...

(И)

(И)

14 Н Н Бухгольц

Точка, через которую проходит равнодействующая системы параллельных сил, направленных в одну сторону, определяемая по формуле

-，(12)

называется цент ром параллельных сил.

Проектируя обе части равенства (12) на оси координат, найдем выражения для координат х0, у。， ^0 центра параллельных сил:

/=^^' % = ^7Г в~^Г，(13)

£I2

где 尤е，у«, 2工一координаты точки приложения силы Рг

Если повернем данные силы на один и тот же угол, сохраняя их точки приложения, то и равнодействующая этих сил повернется на тот же угол, причем положение центра параллельных сил не изменится, так как формулы (12) или (13) показывают, что положение центра от направления сил не зависит, а зависит только от модулей данных сил и от их точек приложения.

Когда нам дана система параллельных сил, направленных в разные стороны, то мы можем разделить силы этой системы на две группы, из которых каждая включает силы, направленные только в одну сторону Находя равнодействующую каждой группы, мы приведем данную систему к системе двух антипараллельных сил, а эта система, как известно, приводится или к одной силе (равнодействующей), или к паре сил. Легко также проверить, что для определения /? и г0 (при R # 0) можно непосредственно пользоваться формулами (11) и (12) [или (13)], беря в них значения Pt для сил, направленных в какую-нибудь одну сторону, со знаком плюс, а в противоположную — со знаком минус.

Статические моменты* Для определения радиуса-вектора центра параллельных сил мы получили формулу (12). В этой формуле выражение 』Р/, носит название статического момента- z=i

системы параллельных сил относительно центра О. Этот статический момент, как видно мз (12), равен произведению радиуса-вектора центра параллельных сил на сумму всех сил, т. е.

S(14>

Е=1/=1

Точно так же входящее в равенства (13) выражение 2匕巧 носит название статического момента системы параллельных сил относительно плоскости у/ и т. д. Как видно из формул (13),

工p/，匸/n?,2 匕力 = y()Np0 2p名=&2?。(15)

§ 19. Цеятр тяж««тн

Общие понятия. Сила, с которой тело притягивается к Земле, называется силой тяжести, численная величина этой силы равна весу тела. Сила тяжести имеет направление нити, один конец которой неподвижно закреплен, а к другому привязан тяжелый груз. Это

направление называется отвесным или вертикальным, плоскость, пер

пендикулярная к вертикали, называется Iоризонтальной плоскостью.

Если разбить тело на множество элементарных частиц, то сила тяжести, действующая на каждую такую частицу, будет приложена

Рис 210Рис 210в точке, которую можно считать совпадающей с самой частицей. Когда рассматриваемое тело невелико (по сравнению с радиусом Земли), направления этих сил будут практически между собой параллельны. Равнодействующая всех сил тяжести, действующих на частицы тела, будет . численно равна весу тела, а ее линия действия будет проходить через вполне определенную точку, совпадающую с центром параллельных сил тяжести частиц тела При изменении ориентировки тела в пространстве, что соответствует изменению направлений сил относительно тела, эта точка, согласно свойству центра парал-

Рис 210

Рис 210

лельных сил, не изменяет своего положения по отношению к телу. Точка, являющаяся центром параллельных сил тяжести частиц тела, называется центром тяжести данного тела Таким образом, нахо

ждение центра тяжести сводится к нахождению центра параллельных сил

Пусть мы имеем некоторое тело (рис. 210) Разобьем его на отдельные малые частицы и обозначим через & объем всего тела, через А& ——объем какой-нибудь частицы, а через АР вес этой частицы. Величина

⑴⑴. \РdP

⑴

⑴

Y = 11 in ——=—；—

Av->0 Audo

(2)(2)называется весом единицы объема чела в данной точке (численно у равняется удельному весу), а величина

(2)

(2)

называется плотностью тела (масса единицы объема) в данной точке.

Вообще у и р суть функции координат точек тела (непрерывные или прерывные); если же тело однородно, то у и р постоянны для данного тела. Очевидно, что единицей измерения для у в технической системе единиц будет 1 кГ[^, а для р— 1 кГсе^/м4.

Из определения у и р следует, что вес любой частицы с объемом А% будет:

М尸 Y, g = gR А%

Если все силы тяжести частиц мы будем считать параллельными, то их равнодействующая будет численно равна сумме весов всех частиц, т. е. весу тела. Радиус-вектор и координаты точки приложения этой равнодействующей определятся как радиус-вектор (координаты) центра параллельных сил формулами 】)

尤о尤о£ Р，＞£ Y А"，£ Р，＞£ Y А"，2 у Ad %X 丫 А"* У2 у Ad %X 丫 А"* У£ у Au • z，Y Ad£ у Au • z，Y Ad⑶3)⑶3)

尤о

尤о

£ Р，＞£ Y А"，

£ Р，＞£ Y А"，

2 у Ad %X 丫 А"* У

2 у Ad %X 丫 А"* У

£ у Au • z，Y Ad

£ у Au • z，Y Ad

⑶

3)

⑶

3)

gR，(4)(4‘)gR，(4)(4‘)

gR，

(4)

(4‘)

gR，

(4)

(4‘)

и будут искомыми координатами центра тяжести тела.

Если теперь мы вес единицы объема у$ заменим величиной то формулы (3), (3‘)примут вид

_ ^g^-гrQ = —М；，

a

£ pg Au *— £ pg Au ■ у ? pg Au 2

Допустим, что тело достаточно мало. Тогда gt можно сократить» так как ускорение силы тяжести для всех точек тела будет в данном случае одно и то же, и формулы (4), (4‘) примут следующий вид:

工 р Ad %W Р 厶口 • У£ Р А/ 7

где，рАи есть масса всего тела.

I) Индекс суммирования / в формулах (3) — (6) и далее для упрощения записей опускаем.

Формулами (5) и (6) определяются соответственно радиус-вектор или координаты центра масс {центра инерции^ тела. Как видно из этих формул, положение центра масс зависит только от распределения масс в объеме, занимаемом телом. Понятие о центре масс является более общим, чем понятие о центре тяжести, так как оно имеет смысл не только для одного твердого тела, но и для любой механической системы; кроме того, это понятие не связано с тем, находится тело в поле тяжести или нет. Для тела, находящегося в однородном поле тяжести (в поле тяжести, где g— const), положения центра тяжести и центра масс совпадают.

Заметим, что центр тяжести (или центр масс) есть точка геометрическая, которая может не совпадать ни с одной из частиц тела (например, для кольца).

Если у н р будут непрерывными функциями координат точек тела, то входящие во все полученные формулы суммы будут в пределе представлять собой интегралы, взятые по объему тела.

Если тело однородно, то мы можем в формулах (3) и (3‘)или (5) и (6) сократить у или р; тогда получим:

(г dv I xdv I у dv I z dvro — J~ нли xQ— - , Уо= - , 2o= - ■ (7)

Эти формулы определяют координаты так называемого центра тяжести объема тела.

Мы видим, что определение положения центра тяжести (или центра масс) однородного тела является задачей чисто геометрической и сводится к отысканию центра тяжести объема этого тела.

Величины, стоящие в числителях выражений (7), называются статическими моментами, причем ^ г dv есть статический момент объема относительно начала координат О, а ^ xdv—статический момент объема относительно плоскости yz и т. д.

Иногда приходится находить центр тяжести пластинок (плоских фигур). Толщина пластинки (например, листа железа) по сравнению с двумя другими ее измерениями очень мала и всюду одинакова, поэтому мы можем находить центр тяжести не объема, а площади. В данном случае вес частицы тела будет равен у'AS, где 丫‘ ——вес единицы площади (единицей измерения величины у' будет 1 ^/л2), a AS ——элемент площади. Тогда радиус-вектор и координаты центра тяжести пластинки, расположенной в плоскости ху, будут определяться формулами

EVAS.r 2/^S.x £Y，AS・y

‘。=e丫7 И 人=wy，AS ) %=…7 .⑻

Для однородного тела у', как и в предыдущем случае, можем сократить; тогда N AS даст площадь S данной фигуры, а суммы в числителях формул (8) заменятся интегралами, взятыми по площади всей фигуры,

f rdS(xdS/ydS

产0 = ^— или ХО =—, 51о=—-(9)

Сумма 2 % AS произведений элементов площади на их координаты х называется статическим моментом площади относительно оси у, a 2 yAs ——статическим моментом площади относительно оси х.

линии,(10)• (10')линии,(10)• (10')В некоторых случаях требуется найти центр тяжести материальной линии, т. е. тела, у которого площадь поперечного сечения всюду одинакова и очень мала по сравнению с длиной (например, какой-либо фигуры, сделанной из проволоки). Пусть вес единицы длины будет у" (единицей измерения величины у" будет 1 кГ/м). Разобьем длину линии на элементы длины А/. Тогда определение центра тяжести тела сведется к определению центра тяжести положение которого найдется по формулам

линии,

(10)

• (10')

линии,

(10)

• (10')

AZ • х介А0NY'"/

ИЛИ %П = —?， У о — ―^,Nn =——

0 》y"AZ °£y"A/0 ?y"AZ

Полагая линию однородной, мы можем сократить на у". При этом суммы в равенствах (10), (10‘) заменятся интегралами, взятыми вдоль данной кривой, и мы получим:

(г dl/% d2А = j— или х0 =―.—(г dl/% d2А = j— или х0 =―.—{ у dl( z dlу0 = -^—- 3 = —；-• ⑴){ у dl( z dlу0 = -^—- 3 = —；-• ⑴)

(г dl/% d2

А = j— или х0 =―.—

(г dl/% d2

А = j— или х0 =―.—

{ у dl( z dl

у0 = -^—- 3 = —；-• ⑴)

{ у dl( z dl

у0 = -^—- 3 = —；-• ⑴)

Итак, нахождение центров тяжести однородных тел является задачей чисто геометрической и сводится к нахождению центра тяжести объемов (для тел), центра тяжести площадей (для пластин) и центра тяжести линий (для материальных линий).

Методы нахождения координат центра тяжести. 1) Метод группировки. В задачах о нахождении центра тяжести какого-нибудь тела иногда бывает легко определить центры тяжести отдельных его частей, на которые можно разбить тело. Пусть, например, мы данное тело разбили на несколько частей /, //, ///, ... (рис. 211) и

определили центр тяжести каждой такой части тела, т. е, нашлш

：(Ее力—7W：(Ее力—7W(eё叫]7W(eё叫]7Wи т. д.и т. д.(12)(12)

：(Ее力—7W

：(Ее力—7W

(eё叫]7W

(eё叫]7W

и т. д.

и т. д.

(12)

(12)

первой части тела, т. д.). Если теперьпервой части тела, т. д.). Если теперь(13)(13)разбиения имеет-разбиения имеет-

первой части тела, т. д.). Если теперь

первой части тела, т. д.). Если теперь

(13)

(13)

разбиения имеет-

разбиения имеет-

(где в сумму I входят только веса частиц в сумму II — веса частиц второй части тела и в формуле (3) сгруппировать слагаемые, относящиеся к каждой из частей тела, то она даст окончательно [с учетом равенств (12)]:

（2。J）1十（＞。尸）11+・…=

「7Vl +片1々十…

где Рр Рп, . .. суть веса соответствующих частей тела.

Приведенный здесь метод группировки или

широкое применение при решении практических задач на нахождение центров тяжести различных тел. Ясно, что в случае однородных тел веса заменяются соответствующими объемами, площадями и длинами.

Симметрия. Покажем» что если однородное тело имеет плоскость, ось или центр симметрии, то центр тяжести этого тела нахо

дится соответственно в плоскости, на оси или в центре симметрии.

Пусть тело симметрично относительно плоскости, которую

примем за плоскость ху (рис. 212). Тогда вследствие симметрии каждому элементу объема тела А& с координатами (х, у, n) будет соответствовать такой же по величине элемент объема с координатами (х, у, —n). Поэтому статический момент ?2・Аи = 0

и координата 得二且巧=0 (но х° * 0, у卄 0). Следовательно, центр тяжести тела будет лежать в плоскости симметрии 尤у.

Пусть тело симметрично относительно оси, которую примем за ось е (рис. 213). Тогда всякому элементу объема тела А& с координатами (х, у, n) будет соответствовать такой же по величине элемент объема, расположенный симметрично относительно оси z и имеющий координаты (——х, ——у, 十 г); поэтому статические моменты

2 % * Аи =。，2 У * Аи н 0 и %0 3=^= 0, Уо == 0

(но No 千 0). Следовательно, центр тяжести будет находиться на оси симметрии z.

Пусть тело имеет центр симметрии, который примем за начало координат О. Тогда всякой частице села объемом Ав, определяемой радиусом-вектором г, будет соответствовать частица такого же объема с радиусом-вектором ——尸，симметричная ей относительно центра О. Поэтому статический момент

工戸• Аи = 0 и г0 =丄」=0.

Следовательно, центр тяжести будет находиться в центре симметрии О.

Метод отрицательных масс. Этот метод является частным

случаем метода разбиения и применяется к телам, имеющим вырезы. Способ его применения пояснен

ниже, в примере 3.

Пользуясь методом разбиения и свойствами центров тяжести симметричных однородных тел, можно находить центр з тяжести сложного тела, разби

вая тело на такие части, центры тяжести которых легко определяются. Рассмотрим несколько примеров.

Пано однородное тело (рис. 214); требуется найти его центр тяжести. Будем рассматривать это тело как состоящее из трех тел: двух шаров и одного цилиндра. Данное тело имеет ось симметрии, которую

примем за ось %; поэтому нужно искать только одну координату /.

Обозначим радиус первого шара через г, второго — через R, высоту цилиндра — через 6, а его диаметр ——через 2а. Возьмем начало координат в точке О. Тогда абсцисса центра тяжести первого тела будет рав~ на г, второго (2г+ ^) и третьего (2г + й -f- R). Следовательно, абсцисса центра тяжести всего тела определится на основании принципа разбиения

仅—^- b —^- с —j— d仅—^- b —^- с —j— dРис. 215Рис. 215e彳e彳ВВРис. 217.Рис. 217.

仅—^- b —^- с —j— d

仅—^- b —^- с —j— d

Рис. 215

Рис. 215

e彳

e彳

В

В

Рис. 217.

Рис. 217.

равенством

gг十冗a2b(2/* + ^) + ^大用(2尸+b十欠)

*G =4*•

у лг + ла2b + 言 久个

Найдем центр тяжести линии, изображенной на рис. 215. Данная фигура плоская, осей симметрии не имеет. Возьмем оси координат *, у так, как указано на рисунке, тогда координаты центра тяжести этой плоской фигуры будут:

@攵—(-b * 0 + e т + deab + 方-^—J-e * 0 + d讶

a + b + c + d '

Найдем, пользуясь методой круга, в котором имеется круглое отверстие (рис. 216). Можно рассматривать отверстие как площадь с отрицательной массой. Фигура имеет ось

Симметрии, поэтому ищем только одну координату *. Взяв начало координат в центре большого круга, получим:

л刑.0 —統.сг2, сК 久

死=几(瘠一円=-7二产，

При нахождении центров тяжести тел, имею-R/ ^^^

щих полости, ^последние считаются объемами 卜 ^/^>^^亠；弋 с отрицательной массой.

направим по ОС; очевидно, центр тяжести будет лежать на оси симметрии, т. е. на оси х. Таким образом, нам нужно найти только одну координату центра тяжести х0. Соединим концы дуги с центром; пусть центральный угол равен 2a. Разобьем дугу на элементы длины dl\ тогда координата центра тяжести дуги будет:

х dl

получим:получим:то окончательно(14)то окончательно(14)Так как dl = R dtp, а % = R cos ф и I — R * 2а,

получим:

получим:

то окончательно

(14)

то окончательно

(14)

+а

A? J* cos ф dtp

— A sin а

一 a

Следовательно, координаты центра тяжести дуги суть ^~~~» О Так как

2/?sina= АВ (хорда), 2Ra = АВ (дуга),

то выражение координаты х0 можно еще представить в виде

(15)(15)尤о= К■

(15)

(15)

АВ

Рассмотрим частный случай, когда дуга равна полуокружности;

мула (14) примет видмула (14) примет видтогда угол а = ^, и, следовательно, sina=L В результате фор

мула (14) примет вид

мула (14) примет вид

27

Х0 = ^ -^ — -у ^(16)

(если считать п 弋-y-j.

Таким образом, центр тяжести дуги полуокружности удален от центра окружности на расстояние, большее половины радиуса.

Центр тяжести площади треугольника^ Дан треугольник АВС; найдем центр тяжести площади этого треугольника (рис. 218).

Разобьем треугольник на элемен

тарные полоски параллельно основанию АС, Так как эти полоски мы берем очень тонкими, то мы можем их считать за материальные отрезки прямой линии, и, следовательно, центры тяжести данных элементарных полосок будут ле

жать на их серединах*

Отсюда заключаем, что центр тяжести площади всего треугольника находится в геометрическом месте середин этих полосок, т. е. на медиане ВО треугольника АВС.

Но мы можем за основание взять и другую сторону, например А8, и разбить треугольник на элементарные площади-полоски, параллельные ЛВ; тогда найдем, что центр тяжести площади треугольника будет лежать на другой медиане СЕ. Следовательно, центр тяжести площади треугольника лежит на пересечении его медиан, ко-

торые, как известно, пересекаются в одной на расстоянии одной трети длины каждой ветственной стороны треугольника. Если мы имеем многоугольник и желаем определить центр тяжести его площади, то разбиваем многоугольник на треугольники, определяем центр тяжести площади каждого треугольника, а затем, рассматривая эти центры как материальные точки с массами, пропорциональными площадям треугольников, находим центр тяжести всего многоугольника.

3) Центр тяжести площади кругового сектора. Пусть мы имеем некоторый круговой сектор АО В (рис. 219); найдем его центр тяжести. Проведем оси координат, взяв за начало центр круга О. Разобьем данный сектор на равные элементарные секторы, т. е.

точке, расположенной из медиан от соот-

на секторы с очень малыми центральными углами, можем принять за очень малые равнобедренные

Такие секторы треугольники;

мы их

центры тяжести будут круга. Таким образом.

находиться на

расположатся элементарных

на дугесекторов

центры тяжести круга радиуса

2 с расстоянии 言 К от центра этих элементарных секторов 2 с

-у К; сосредоточивая л^ассы

в их центрах тяжести, мы сведем нахоисдение

центра тяжести площади кругового сектора к нахождению центра 2

тяжести дуги окружности радиуса 百 R с центральным углом 2а, которая равномерно покрыта массами (так как площади элементарных секторов равны) и, следовательно, однородна.

Для дуги радиуса г, согласно формуле (14), имеем:

%0 =厂.

в данном случае радиус 厂=~|凡

sin аа

следовательно, абсцисса центра

тяжести площади кругового сектора будет：

2 с а Л«=3 ^―•

(⑺

В частности, для центра тяжести полукруга будем иметь а —^> следовательно, sina= 1 и формула (17) дает:

(18)(18)4 R 14 D"。=目…成r

(18)

(18)

если считать л =если считать л =

если считать л =

если считать л =

ототТаким образом, центр тяжести площади полукруга удален

от

от

центра круга на расстояние, меньшее половины радиуса.

Центр тяжести поверхности сферического сегмента. Дана поверхность сферического сегмента AbCEF (рис. 220). Найдем центр тяжести его поверхности.

Разделим высоту Н на очень большое число равных частей А//

Рис. 220.Рис. 220.и через точки деления проведем плоскости, параллельные основанию сегмента. Тогда поверхность сегмента разделится на очень большое число поясов. Площади этих

Рис. 220.

Рис. 220.

поясов будут равны между собой, так как площадь поверхности сферического пояса равна длине окружности большого круга, умноженной на высоту пояса, а высоты всех поясов, согласно условию, одинаковы.

Так как поверхности поясов очень малы, то мы можем считать

эти пояса материальными окружностями. Центр тяжести каждой такой окружности будет находиться в геометрическом центре, а центры всех таких окружностей расположатся по высоте ".

(19)(19)Таким образом, высота Н будет равномерно покрыта материалъ- ными точками одинаковой массы; следовательно, центр тяжести поверхности сегмента будет находиться в середине отрезка DB = H・ Беря начало координат О в центре сферы и направляя ось х вдоль оси симметрии, найдем, что абсцисса центра тяжести будет:

(19)

(19)

к°= R2~ •

В частном случае, когда Н = R (поверхность полусферы), формула (19) примет вид

x0 = R-~ = ^>(20)

т. е. центр тяжести поверхности полусферы находится на середине радиуса, перпендикулярного к основанию.

положение этой точки. Проведемположение этой точки. Проведемноноследовательно»следовательно»尸0 = -i- OS = g S F.尸0 = -i- OS = g S F.

положение этой точки. Проведем

положение этой точки. Проведем

но

но

следовательно»

следовательно»

尸0 = -i- OS = g S F.

尸0 = -i- OS = g S F.

Центр тяжести объема пнрамнОы. Возьмем треугольную пирамиду (тетраэдр) SABC (рис. 221) и разделим ее на элементарные пластинки плоскостями, параллельными основанию АВС. Центры тяжести этих элементарных пластинок лежат на прямой SFt соединяющей

вершину пирамиды S с центром тяжести площади основания, который лежит на пересечении медиан треугольника 4ВС, т. е. в точке F, где EF = ^EC.

Деля затем пирамиду на бесконечно большое число элементарных пластинок плоскостями, параллельными грани SAB, мы найдем, что центры тяжести этих площадок расположатся по прямой КС, где К — центр тяжести площади треугольника ASB, причем EK ~^ES^

Итак, искомый центр тяжести лежит одновременно и на прямой КС и на прямой 5尸；следовательно, он лежит на пе

ресечении их в точке О. Определим

отрезок К尸；очевидно, К用|SC

этих треугольников находим:этих треугольников находим:и Д KOF ~ Д OSC. Из подобия

этих треугольников находим:

этих треугольников находим:

尸 О _ KF

~OS~ SC*

к尸EK — Е尸 1

'SC~~~ES~~~EC=~3 *

Окончательно имеем:

尸 O = ^SF, SO = ^S 尸尸 O = ^SF, SO = ^S 尸(21)(21)

尸 O = ^SF, SO = ^S 尸

尸 O = ^SF, SO = ^S 尸

(21)

(21)

т. e. центр тяжести объема пирамиды лежит на прямой, соединяющей центр тяжести площади ее основания с вершиной, на расстоянии -； длины этой прямой, считая от основания. То же самое справедливо для центра тяжести объема многоугольной пирамиды и объема конуса.

Центр тяжести объема сферического сектора. Пусть дан сферический сектор ОАСВ (рис. 222), вырезанный из сферы радиуса R Определим центр тяжести его объема. Разобьем сектор на элементарные пирамиды с равновеликими площадями оснований, вершины которых будут в центре сферы. Поверхность всего сегмента

3тогда 九=彳".Направляя теперь ось3тогда 九=彳".Направляя теперь осьтора и используя формулу (19), получим:тора и используя формулу (19), получим:尤0尤0з р hз р h

3

тогда 九=彳".Направляя теперь ось

3

тогда 九=彳".Направляя теперь ось

тора и используя формулу (19), получим:

тора и используя формулу (19), получим:

尤0

尤0

з р h

з р h

разобьется, таким образом, на очень большое число равных элементарных площадей.

Положение центра тяжести объема пирамиды определяется равенством (21). Поэтому центры тяжести элементарных пирамид расположатся на поверхности сегмента радиуса 耳 R，где R—радиус сферы;

сосредоточивая массы элементарных пирамид в их центрах тяжести, мы получим поверх* ность сегмента, равномерно покрытую массами, ибо объемы элементарных пирамид одинаковы. Следовательно, центр тяжести сферического сектора лежит в центре тяжести поверхности этого сегмента.

Определим центр тяжести полученного сегмента; обозначим стрелку сегмента заданного сектора через Н, а стрелку сегмента радиуса -^R через /г; Ох вдоль оси симметрии сек

Заменяя здесь 九 на 五”，найдем, что абсцисса центра тяжести объема сферического сектора будет:

(22)

В частности, для центра тяжести объема полусферы, полагая Н = R» получим:

工尸^但^『I'R(23>

Следовательно, центр тяжести объема полусферы лежит на радиусе, перпендикулярном к основанию, на расстоянии 3/8/? от центра сферы.

Теоремы Гульдена — Паппа. Теорема 1. Площадь поверхности, полученной вращением дуги плоской кривой {или ломаной линии) вокруг оси. лежащей в ее плоскости, но ее не пересекающей, равна длине этой дуги, умноженной на длину окружности, описанной ее цент ром тяжести.

произведению площадипроизведению площадиРис, 225.Рис, 225.а объем тора равена объем тора равен

произведению площади

произведению площади

Рис, 225.

Рис, 225.

а объем тора равен

а объем тора равен

Пусть дана дуга АВ некоторой кривой и ось вращения у в плоскости этой кривой (рис. 223). Разобьем дугу на элементы длины А2.

При вращении вокруг оси элемент длины А/ опишет элементарную

поверхность, площадь которой равна 2冗尤 АВ (как площадь поверхности усеченного конуса или цилиндра).

Площадь поверхности, описанная всеми элементами, будет:

S = £ 2n 尤 AZ = 2乳 У * AL

Но в соответствии с равенствами (11) 2[尤 AZ = x0Z, где 尤° есть координата центра тяжести дуги АВ. Следовательно, площадь поверхности, описанной дугой АВ, будет:

S = 2лх0/. (24)

Теорема 2. Объем тела вращения, образованного вращением плоской фигуры вокруг оси, лежащей в плоскости этой

фигуры и ее не пересекающей, равен этой фигуры на длину окружности, списанной цент ром тяжести площади фигуры.

Разобъем данную площадь на элементарные площадки А5 (рис. 224). При вращении каждая элементарная площадка образует некоторое элементарное тело, объем которого будет равен

Ат = 2賞尤 AS.

Сумма этих объемов даст полный объем

т = 2 2лх AS = 2п £ 尤 AS. (25)

Но в соответствии с равенствами (9) 工尤 AS = x0S, где 尤° есть координата центра тяжести всей площади. Следовательно, объем полученного тела вращения будет:

V = 2nx0S.

Пример. Найдем с помощью теоремы Гульдена площадь поверхности и объем тора (кольца) круглого сечения (рис. 225).

По формулам (24) и (25) получим, что площадь поверхности тора равна

и = 2冗欠♦ лг2 = 2冗少2R.и = 2冗欠♦ лг2 = 2冗少2R.S = 2л/? • 2лг = 4冗味厂，

и = 2冗欠♦ лг2 = 2冗少2R.

и = 2冗欠♦ лг2 = 2冗少2R.

линии действия силы, центра О, т. е.линии действия силы, центра О, т. е.|^X尸| =尸九|^X尸| =尸九⑵⑵момент силы относительно этого центра равен нулю (так как плечомомент силы относительно этого центра равен нулю (так как плечоравно нулю).Если сила измеряется в 代Г,равно нулю).Если сила измеряется в 代Г,а плечо в м, то момент будет измеряться в килограммометрах (кГм).Проведя через центр О какую- нибудь систему прямоугольных осей Oxyz (рис. 227), мы можем представить момент силы F относительно центра О в видеmomo (尸)=产X尸=i/Л=xуz .(3)а плечо в м, то момент будет измеряться в килограммометрах (кГм).Проведя через центр О какую- нибудь систему прямоугольных осей Oxyz (рис. 227), мы можем представить момент силы F относительно центра О в видеmomo (尸)=产X尸=i/Л=xуz .(3)

линии действия силы, центра О, т. е.

линии действия силы, центра О, т. е.

|^X尸| =尸九

|^X尸| =尸九

⑵

⑵

момент силы относительно этого центра равен нулю (так как плечо

момент силы относительно этого центра равен нулю (так как плечо

равно нулю).

Если сила измеряется в 代Г,

равно нулю).

Если сила измеряется в 代Г,

а плечо в м, то момент будет измеряться в килограммометрах (кГм).

Проведя через центр О какую- нибудь систему прямоугольных осей Oxyz (рис. 227), мы можем представить момент силы F относительно центра О в виде

momo (尸)=产X尸=

i/Л

=xуz .(3)

а плечо в м, то момент будет измеряться в килограммометрах (кГм).

Проведя через центр О какую- нибудь систему прямоугольных осей Oxyz (рис. 227), мы можем представить момент силы F относительно центра О в виде

momo (尸)=产X尸=

i/Л

=xуz .(3)

§ 20・ Момент силы

Момент силы относительно центра. Пусть даны сила F、 приложенная в точке Л какого-либо тела, и некоторый центр О (рис. 226); тогда моментом силы относительно центра (или точки) О будет называться вектор, приложенный к центру О, направленный перпендикулярно к плоскости треугольника ОАВ по правилу правого

винта (т. е. в ту сторону, откуда поворот, совершаемый силой, виден против хода стрелки часов) и численно равный удвоенной площади этого треугольника (см. § 3, п. 10); иначе говоря }

momoF=r X ^- (1)

Модуль (числовое значение) этого вектора равен, очевидно, произведению модуля силы F на расстояние 万 от центра О до

которое называется плечом силы относительно

Очевидно, что когда центр О лежит на линии действия силы, то

Формула (3) позволяет вычислить момент силы относительно начала координат, если известны проекции 尸#，尸у，尸乞 силы на оси координат и координаты х, у, z точки приложения силы.

Когда все силы лежат в одной плоскости, то векторы, изображающие моменты этих сил относительно какого-либо центра, лежащего

1) Символ mom。 здесь и далее [кроме формул (4) и (8)] обозначает вектор момента силы, в отличие от случая плоской системы силг когда этот же символ обозначает его числовую (алгебраическую) величину.

в той же плоскости, будут перпендикулярны к плоскости; поэтому в данном случае моменты сил будут различаться между собой только

числовой величиной и знаком (а не направлением, как в случае пространственной системы сил) и эти моменты можно рассматривать как величины скалярные. Условимся, придерживаясь правой системы, считать момент положительным, если сила стремится вращать тело около центра против хода часовой стрелки (рис. 228), и

отрицательным ——если по ходу часо

вой стрелки (рис. 229; плоскость сил считается совмещенной с плоскостью рисунков). Тогда в случае плоской системы сил

⑷⑷mom。（尸）=±Fh.

⑷

⑷

Рис. 231.Рис. 231.Момент системы сил относительно центра. Если мы имеем систему сил (векторов) Fp 鸟,/^Fn (рис. 230), то вектор Мо.

Рис. 231.

Рис. 231.

равный сумме моментов всех этих сил (векторов) относительно центра О, т. е.

N mom。巴=二(勺X尸3(5)

i = Ii = 1

называется главным моментом системы этих сил (векторов) относительно центра О. Если все силы (векторы) приложены к одной точке* то (рис. 231) лл

Mo=W(rXE) = rxXe.(6)

Следовательно, момент суммы сил (векторов), приложенных к одной точке, относительно какого-либо центра равен сумме моментов этих сил (векторов) относительно того же центра (теорема Вариньона).

Момент силы относительно оси. Моментом силы относительно оси называется проекция момента силы, взятого относительно любой точки оси, на эту ось, т.

mom* F=(r X 尸)*・(7)

Н* Н. Бухгольц

Докажем, что некоторой точки

проекция момента силы гО оси х, на эту ось не

взятого относительно зависит от положения

Рис. 232.

точки О на оси (рис. 232). Действительно, равен-

ство (7) можно представить

в виде

momx 戶=(?• X 尸)* = (f X ^) * X0 = (x° X r) ■ F. Выражение х° Xг» как нетрудно видеть на рисунке, есть величина постоянная, численно равная удвоенной площади треугольника с основанием х° и высотой г sin (х°, ?•) = ". Как основание, так и высота — величины постоянные, сила 尸 тоже остается постоянной; следовательно, величина (г X 尸)# не зависит от положения точки О.

Моменту силы относительно оси можно дать еще другое определение, равносильное предыдущему, а именно: момент силы 尸 относительно какой-либо оси х (рис. 233) есть момент проекции силы Р на плоскость, перпендикулярную к оси х, взятый относительно точки О】 пересе-

чения оси х проекции 尸 а

с этой плоскостью (см. § 3, п. 10). При этом момент относительно точки О] рассматривается как скалярная величина, имеющая знак плюс, если

Рис. 233.

поворот, совершаемый силой 戶再

ви-

координат (см. рис. 227) ставить в виде

ден с положительного конца оси х против хода часовой стрелки, и знак минус ——если по ходу часовой стрелки (см. п. 1). Таким образом, mom# 尸=mom% £д = 士尸』％. (8) Из предыдущего следует, что если линия действия силы 尸 пересекает ось 尤 или ей параллельна, то момент силы 戶 относительно этой оси равен нулю.

Моменты силы относительно осей какой-либо прямоугольной системы можно, пользуясь равенством (3), пред-

momx F= (F X尸)* = У尸之一 2尸屮 momy F= (r X 戶)? — N尸# ——尤尸z， mom?尸=(f X尸)z =尤尸У - у尸尸

О)

Формулы (9) определяют одновременно проекции вектора momo(F) = r X на оси координат.

Рассмотрим примеры вычисления моментов силы относительно оси<

Найдем моменты относительно осей координат силы 戶，параллельной плоскости Oxzt и силы Р, направленной вдоль AD, если AB = at ОВ = Ь, / САВ = а, / ODA = ₽ (рис. 234).

Для определения mom* (尸)проектируем силу 尸 на плоскость Oyz, перпендикулярную оси л. Числовая величина этой проекции будет Fyz = =尸 sin а. Тогда по формуле (8) с учетом знака будем иметь:

mom* (戶)=momo (尸у，= bF sin a.

При вычислении гтюгПу (戶)замечаем, что сила 尸 лежит в плоскости АВС, перпендикулярной к оси у; следовательно, F*z = F. Тогда, согласно (8), учитывая направление поворота, получим:

momy (F) = mom^ (尸)=—尸〃 sin a.

Для вычисления тотг проектируем силу 尸 на плоскость и находим. что 尸#у — F cos а. Следовательно, mom2 (尸)=mom。(尸#, = bF cos a.

Так как линия действия силы Р пересекает ось z, то momz (Р) = 0. Для нахождения двух других моментов воспользуемся формулами (9). Замечая, что в нашем случае л = а, у = 6, г = 0, a Pz=^ Р cos р, получаем:

momx (Р) — yPz = 6Р cos 0, momy (Р) = — xPz = — aP cos p.

§ 21. Теория пар

двух равных подвух равных поабсолютно твер-абсолютно твер-Момент пары. Парой сил называется система

двух равных по

двух равных по

абсолютно твер-

абсолютно твер-

напряжению антипараллельных сил, действующих на дое тело. Так, например (рис. 235), система двух сил (Е 尸')образует пару, если

尸二尸，Ff!F\

Расстояние d между линиями действия сил пары называется плечом пары; плоскость, в которой действуют силы пары, называется плоскостью действия пары. Совокупность нескольких пар, действующих на тело* называется системой пар.

Пара сил не имеет равнодействующей. Докажем это, исходя от противного: пусть пара сил (尸，尸')имеет равнодействующую R, не параллельную силам пары (рис< 236). Тогда, прибавив к системе сил (F,戶')силу К', противоположную равнодействующей &> мы получили бы систему трех сил (戶，戶'，R、, находящихся в равновесии. Но этого быть не может, так как линии действия сил 尸，戶'и /?'

не проходят через одну точку и, следовательно, не выполняется необходимое условие равновесия. Точно так же можно показать, что

пара сил не может иметь равнодействующей, параллельной силам

пары.

Пара сил, действующая на тело» стремится сообщить ему некоторое вращение. Вращательный эффект пары характеризуют величиной, называемой моментом пары. Поскольку этот эффект будет тем больше, чем больше напряжение сил, со

ставляющих пару, и чем больше ее плечо, то численно (по модулю) момент пары измеряют произведением модуля одной из сил пары на ее плечо, т- е. величиной 尸•&.

Если силы измерять в *「， а плечо — в м, то момент пары (как и момент силы) будет измеряться в килограммометрах.

Кроме числовой величины 尸d, действие пары на тело, а следовательно, и ее момент

зависят еще от того, как расположена плоскость действия пары в пространстве, и от направления, в котором пара стремится вращать тело. Поэтому момент пары обладает определенным направлением в пространстве и, следовательно, есть величина векторная.

Так как направление плоскости в пространстве определяется направлением прямой, перпендикулярной к этой плоскости, то вектор, изображающий момент пары, направляют перпендикулярно к плоскости действия пары. Длина этого вектора берется равной (в выбранном масштабе) числовой величине (модулю) момента пары (т. е. вектор

имеет столько соответствующих масштабу единиц длины, сколько единиц момента (кГм) имеет момент пары).

Сторона, в которую направлен вектор-момент пары, должна характеризовать направление вращения пары. Мы здесь имеем уже встречавшийся нам случай сопряжения направления на прямой с на-

Рис. 237.правлением вращения в плоскости,

перпендикулярной к этой прямой. Правило такого сопряжения зависит от нашего выбора и может соответствовать правому или левому винту. Как и везде ранее, мы будем следовать правилу правого винта, т. е. считать вектор-момент пары mom (尸，F) направленным в ту сторону, откуда вращение пары видно против хода стрелки часов (рис. 237).

Итак, момент пары есть вектор, перпендикулярный к пло~ скости действия пары, направленный по правилу правого винта и численно равный произведению одной из сил пары на ее плечо.

Остается невыясненным вопрос о точке приложения этого вектора. Приводимые ниже теоремы об эквивалентности пар показывают, что вектор-момент пары может быть приложен в любой точке пространства, т. е. является вектором свободным.

Если пары расположены в одной плоскости, то их векторы-моменты будут направлены перпендикулярно к этой плоскости в ту или иную сторону, в зависимости от направления вращения пары. Поэтому в данном случае моменты пар будут отличаться между собой только числовой величиной и знаком, т. е. могут рассматриваться как величины скалярные. Условимся, придерживаясь правой системы, считать момент пары, вращающей против хода стрелки часов, положительным,

mom (Е F) = ± Fd.mom (Е F) = ± Fd.(1)(1)а по ходу стрелки часов—отрицательным (рис. 238; плоскость пар считается совмещенной с плоскостью рисунка). Тогда для плоской системы пар

mom (Е F) = ± Fd.

mom (Е F) = ± Fd.

(1)

(1)

Как легко видеть, момент пары численно равен площади параллелограмма, построенного на силах пары (рис. 239); следовательно, вектор-момент пары равен векторному произведению векторов АВ и 尸，т. е.

mom(E 户)=而＞＜尸=百nX产 (2)

Докажем следующую теорему: момент пары есть сумма моментов сил пары относительно любого центра^ В самом деле, возьмем произвольный центр О (рис, 240) и проведем из него радиусы-

векторы Fi и г2 в точки Л и В* где приложены силы пары (F,尸').

Тогда АВ = г2 — /*1 и

Заменяя во втором члене 戶'через ——尸，получаем:

mom (尸，尸')=AB 乂 Ff — гx X 尸十 r2 X Р* что и требовалось доказать.

Эквивалентность пар. Теорема 1. Действие пары, на абсолютно твердое тело не изменится, если переместить пару в другое положение в плоскости ее действия^

Пусть мы имеем пару (Fp F2) (рис. 241), причем силы пары приложены к концам плеча пары Д и В. Переместим плечо АВ пары

в некоторое новое положение, например //у Приложим в точках & и 当 по две силы / 戶4 и 戶5，F6, равных силам пары и направленных в противоположные стороны перпендикулярно к Л^; тогда

(戶 1，戶2)S (戶1，戶2，尸3，尸4，戶5，戶6)，

так как (F3, F4, F5,戶$) s 0.

От пересечения линий действия сил данной пары с линиями действия сил, приложенных к точкам Лр Вр получим параллелограмм, который будет ромбом, ибо

Ркс. 241./3 = /]6]. Перенесем силы Ft и F4

в точку К пересечения линий их действия. Эти две силы, как равные по модулю, будут иметь равнодействующую, направленную по биссектрисе угла CKD, т. е, по диагонали ромба. Силы 戶2 и 戶5 перенесем в противоположную вершину ромба Z. Эти силы также дадут равнодействующую, численно равную предыдущей

Рис. 242.Рис. 242.и направленную по той же диагонали в противоположную сторону; следовательно, равнодействующие сил 戶],/^ н сил 鸟，f5 уравновесятся, т. е. система

Рис. 242.

Рис. 242.

(尸 1，%兄尸5)s0.

Таким образом, система (戶「F2) эквивалентна системе (F3,戶/, т. е. пара (Fp F2) эквивалентна паре (气,F6).

Теорема 2. Действие пары на абсолютно твердое тело не изменится, если мы плоскость ее действия будем переносить параллельно самой себе.

Пусть мы имеем пару (Fp 砲 с плечом АВ (рис. 242). Перенесем

плечо АВ параллельно самому себе в положение А}В1 и к точкам Ах

и В】 приложим направленные в противоположные стороны силы F3, F$ и 代，线，равные по напряжению силам пары (尸「乃)и параллельные им. Тогда система сил

（戶1,戶2）~ （戶「f2,戶3，戶4，尸5，尸6）"

Соединив концы плеч, получим параллелограмм. Сложив силы F2 и 鸟》 получим равнодействующую, равную 2Е которая будет приложена

в середине диагонали параллелограмма и направлена вверх. Сложив силы 尸I и 尸5, получим их равнодействующую, равную —2尸 н направленную вниз; точка приложения ее будет в середине второй диагонали параллелограмма; таким образом, обе равнодействующие имеют общую точку приложения, равны между собой и направлены в противоположные стороны, следовательно, они взаимно уравновешиваются. Отсюда вытекает, что система (R, F5, F2* FQ s 0. Поэтому система

(戶I，戶2, /，吊，尸5,尸6)〜(戶3,戶6)

и пара (鸟，线)эквивалентна nape (FP Fj.

Отсюда вытекает, что плоскость пары можно действительно переносить параллельно ей самой, не изменяя при этом оказываемого на тело действия.

Теорема 3. Действие пары на абсолютно твердое тело не изменится, если любым способом видоизменить силы- и плечо пары, сохраняя постоянным 玄尤 произведение,加》е» момент

пары.

Пусть мы имеем пару (Рр Р2) (рис. 243). Разложим силу Р2 на две силы Q и『2-Q)， приложенные в точках С и А, Силы /\ и

(% —Q) имеют равнодействующую Q', модуль которой Q'=P—(2—Q) = Q・ В результате мы получим новую пару (0, Q), плечо которой равно АС, причем для этой пары сила Q и плечо АС удовлетворяют соотношению

£ =卷 или Q-ДС=.Р2. ДВ. (4)

Но произведение Q * АС есть момент пары (Qz, Q), а Р2' АВ есть момент данной пары (Рр Р2). Таким образом, теорема доказана. Из теоремы следует,

что данную пару можно всегда привести

к данной силе или к данному плечу при условии сохранения величины ее момента, так как из равенства (4) видно, что, задаваясь силой Q произвольно, можно определить соответствующее плечо АС новой пары, и наоборот.

Из доказанных трех теорем вытекает, что: 1) вектор-момент пары может быть переносим в любую точку пространства и, следовательно, есть вектор свободный, и 2) пары, имеющие равные векторы-моменты,

эквивалентны, так как на основании доказанных теорем одна из этих пар может быть всегда преобразована в другую.

Сложение пар. Теорема. Система пар, действующих на абсолютно твердое тело, эквивалентна одной па ре, момент которой равен векторной сумме моментов этих лар.

Плоская система лар* Рассмотрим сначала случай плоской системы пар. Пусть дано несколько пар

(Q，e)，(尸2,風(尸3,项(尸0,露)，

плечи которых равны соответственно d「 d% ..., dn (рис. 244). Приведя все пары к одному плечу Dt повернем их так, чтобы плечи их совпали с произвольно выбранным отрезком AB — D; тогда D будет их общим плечом, а силами, составляющими пары, будут Qi，Qz‘ • * •，Qi，Q2，• • ♦ ■

Сложив эти силы, получим новую пару (&, Rf) с плечом D (силы /? н R' на рисунке не показаны); при этом, учитывая направления сил, показанные на рисунке, будем иметь:

R』R = Q] —Q2 —Q3H-…+Q“

Пара (/?, &') будет эквивалентна данной системе пар; момент ее будет:

mom (R, Rr) = RD — (QQ) + (— Q2^)H~ + (— Q3。) +(QQ)・(5〉

Но, согласно формуле (1) и теореме 3, QQ =尸闻I = mom (戶 1, E)，

—Q?。=—尸2d2 = mom (戶2，&)，

Рис. 244.QnD = Fndn = mom (戶必尸)

Сложив эти равенства почленно и учитывая (5), получим: л

mom (/?, &')=£mom (尸厶戶；)，(6)

т. е. плоская система пар эквивалентна одной паре, момент которой равен алгебраической сумме моментов этих пар.

Пространственная система пар. Рассмотрим систему двух пар, расположенных в пересекающихся плоскостях. Пусть дана пара(А R), лежащая в плоскости 4 и пара (% F0, лежащая в плоскости В (обе пары могут быть ориентированы в своих плоскостях любым образом). Выберем на линии пересечения плоскостей некоторый отрезок MN = d (рис. 245), который примем за плечо» и приведем обе данные пары к этому плечу, изменив соответствующим образом величины сил, составляющих пары. Тогда вместо пар (石,尸;)

и （丛，尸；）получим пары 0八 Р；） и （р，Р；），лежащие в тех же плоскостях 才 и 4, причем

（8, K）s（A К）,02, B）s（F2,或

и, следовательно,

mom（Pi，P0 = mom（Fb К）, mom（Р2» Р；） = тот （尸?，局），（7）

а по модулю

I тот（Рь Р；）|=Р& I тот（Р2*「91=2%（7‘）

Силы Р1（ Р； и 夕а，Р； будут, конечно, перпендикулярны к прямой NМ、ибо отрезок d является плечом обеих пар. Складывая

силы Рг с Р^ и Р{ с Р〔，получаем новую пару（R /?'）, эквивалентную данным. Изобразим теперь векторы-моменты пар （Рь Р；） и （Р2, А）， которые должны быть перпендикулярны соответственно к плоскостям Д и В, и построим на этих векторах-моментах параллелограмм. Этот параллелограмм подобен параллелограммам, построенным на силах, вследствие равенства углов с взаимно перпендикулярными сторонами и пропорциональности сторон, согласно равенствам （7‘）. Поэтому его диагональ перпендикулярна к плоскости пары （/?, П‘） и по длине равна Rd. Следовательно, диагональ, построенная на векторах-моментах пар（Рь К） и（Р2* Р», представляет собой момент равнодействующей пары （/?, Rr）, т. е.

mom（Pi，P；）+mom（P2，X） = mom （/?, /?'）

или, согласно равенствам （7）,

mom（Fi，E） + mom （尸2，E） = mom（/?,欠）（8）

где суммы являются, конечно» векторными.

Если дано несколько пар, то, последовательно применяя равенство (8), найдем* что вектор-момент равнодействующей пары будет равен векторной сумме векторов-моментов слагаемых пар

(9)(9)mom (/?, R)= 2 mom (尸九 Е)*

(9)

(9)

§ 22. Система сил, произвольно расположенных в пространстве

силе, приложеннойсиле, приложеннойРис. 246.Рис. 246.L Основная лемма. Всякая сила, приложенная м абсо~ лютно твердому телу в данной точке Д, эквивалентна той же в другой точке В,忆 паре, момент которой равен моменту силы, приложенной Z 6 точке А, относительно точки В,

силе, приложенной

силе, приложенной

Рис. 246.

Рис. 246.

Пусть в точке Д твердого тела приложена сила 戶幺.Приложим к точке В две взаимно противоположные силы Fb и 戶Z， равные по напряжению силе 戶再 и параллельные этой силе (рис. 246). Тогда

Ра {Ра^ 尸в，砲.

Но силы 勺 н 尸力 составляют пару, поэтому имеем;

Ра сл [Fb и пара (尸а 戶%)], причем момент пары (%, F^) будет очевидно равен моменту данной силы Fa относительно точки В, \ '^ т. е. BA X 戶』，Следовательно, лемма

号№⑵^^Еf、 доказана.

Уту 丿^ 2 Лу 2. Приведение пространствен- /Ic^Z^^^—^/ ной системы сил. Пусть мы имеем F\ /(/ произвольную систему сил 尸「鸟,

〃? /^^F3,尼，действующих на абсо-

(Y^^ 修 /лютно твердое тело (рис. 247), рас-

^4~х. ^\^7 ^/положенных как угодно в простран

стве. Выберем произвольный центр О

pHCi 247.и перенесем все силы системы в этот

центр. От перенесения каждой силы мы получим силу и пару, момент которой равен моменту переносимой силы относительно выбранного центра О. Складывая все силы в центре О (на рис. 247 эти силы не показаны), получим одну результирующую силу /?, где

Складывая моменты всех пар, получим вектор-момент результирующей пары

п

3/5

Величина /?, равная векторной сумме всех сил системы [равенство (1)], называется главным вектором системы, а величина М。， равная векторной сумме моментов всех сил системы относительно центра О [равенство (2)], называется главным моментом системы относительно этого центра.

Заметим, что так как силы системы расположены в пространстве совершенно произвольно, то главный момент М。 по отношению к главному вектору /? может быть направлен под каким угодно углом. Таким образом, любая пространственная система сил, будучи приведена к некоторому центру О, заменяется приложенной в этом центре результирующей силой, равной главному вектору системы 欠=£尸"и результирующей парой, момент которой равен главному моменту системы М。 относительно центра приведения*

Перемена центра приведения. Пусть пространственная система сил приведена к центру О и заменена результирующей силой R и парой с моментом /И。， который с направлением 丧 образует некоторый угол а (см. рис. 247). Возьмем новый центр приведения О' и приведем все силы системы к этому центру; по-飞户；

лучим в центре О' силу /?' и пару с моментом М。’.\

Но очевидно, что\

H = £Ft = R,口~у

т. е. результирующая сила, равная главному век-/П

тору системы, с изменением центра приведения не?/

изменяется. Главный же момент при этом вообще°

изменится, так как относительно нового центра Рис. 248. приведения момент каждой из сил системы станет вообще другим. Найдем это изменение. Условимся для краткости обозначать главный момент системы относительно центра О просто через М, а относительно нового центра О' через ЛГ・ Тогда

п

ЛГ = *Х5),

где 尸；——радиус-вектор точки приложения силы Fp проведенный из центра Ог (рис. 248). Но из рисунка видно, что r^ = rz — ОО'・ Заменяя 产；его выражением, получаем:

М' =，m —^)＞＜巴]=n(/X尸,)-2[历＞＜项.

В этом равенстве, как следует из (2), ^(rz X F) = M; поэтому лг = М — X (ОО7 ХЕ) = М — 6^x2 巴.

Но工死= /?, и окончательно получаем:

М^М —声 乂 R = М+ 57dx R(3)

т. e. при изменении центра приведения главный момент изменяется на величину, равную моменту результирующей силы относительно нового центра приведения (см. рис. 247).

Инварианты приведения. Мы видели» что при изменении центра приведения главный вектор R остается без изменения, поэтому он представляет собой инвариант пространственной системы сил по отношению к изменению центра приведения, т. е.

/?'=/?・(4)

Вторым инвариантом системы будет скалярное произведение главного вектора на главный момент, т. е. величина R ♦ М = =RM cos (RM)t или же проекция главного момента на направление главного вектора, т. е. величина М cos (1?Л1) (так как /? есть инвариант). Докажем это. Для центра О мы / \имеем:

уR = *” m = Nsx&).

卜^^Для центра О',согласно равенствам (4)

〃^^и (3), будет:

)а=/г, м^мч-оох/г.

Отсюда

R^M^R^M-^ OOXR) =

Рис. 249=R* M + R^O^X /?).

Но второй член правой части равен нулю вследствие того, что в смешанном произведении имеются два равных множителя; следовательно»

RJ М‘ = 1? • М = const,(5)

или же, так как R • М = RM cos (/?Л1)> a R = const, то

М cos (1?7m)= Л4‘ cos (К^МГ) = const.(6)

Таким образом, скалярное произведение главного вектора на главный момент, или же проекция главного момента на направление главного вектора (рис. 249), есть величина постоянная для данной

системы сил и не зависит от выбора центра приведения, а поэтому является вторым инвариантом системы.

Приведение системы к динаме (винту). Если центр приведения О выбран произвольно, то, как мы видели, главный вектор R

и главный момент системы М будут составлять между собой некоторый угол а, вообще отличный от нуля (рис. 250).

Разложим главный момент М на две составляющие: составляющую М*, направленную вдоль главного вектора R, и составляющую М» перпендикулярную к главному вектору; таким образом,

Вектор ЛГ, как ортогональная составляющая главного момента по направлению главного вектора» есть для данной системы величина постоянная, не зависящая от выбора центра приведения, т. е.

причем численнопричем численноЛГ = М cos (/Г?М) = ^^ЛГ = М cos (/Г?М) = ^^(7)(7)ЛГ = const,

причем численно

причем численно

ЛГ = М cos (/Г?М) = ^^

ЛГ = М cos (/Г?М) = ^^

(7)

(7)

Рис. 251.Рис. 251.ЛГЛГRMRMР = R2 ，Р = R2 ，(8)(8)

Рис. 251.

Рис. 251.

ЛГ

ЛГ

RM

RM

Р = R2 ，

Р = R2 ，

(8)

(8)

Таким образом, с изменением центра приведения будет изменяться

только перпендикулярная составляющая М「 Мы всегда можем найти

такой центр приведения О*, чтобы переменная составляющая Мг

обратилась в нуль; тогда главный момент и главный вектор будут направлены по одной прямой, т. е. будут коллинеарны, и вектор М будет иметь минимальную величину, равную ЛГ.

Совокупность силы и пары, вектор- момент которой коллинеарен силе, или, что то же, совокупность силы и пары, лежащей в плоскости, перпендикулярной к силе, носит название динамы или

динамического винта (рис. 251). Аналитически центр О*, при приведении к которому система заменяется динамой, можно определять из условия, что для этого центра ЛГ||/?, т. е.

где р — постоянная линейная величина, называемая параметром винта или динамы.

Так как, согласно равенству (3),

М* = М—历 XR,

(9)(9)то уравнение (8) можно представить в виде M—O&XR

(9)

(9)

Этому уравнению, как нетрудно видеть, удовлетворяет бесконечное множество точек, лежащих на общем направлении векторов /? и JW*. Следовательно, уравнение (9) есть уравнение прямой, которая называется центральной осью системы.

Равенство (9) выражает уравнение центральной оси в векторной форме, причем текущей координатой является вектор ОО*.

Если координаты векторов М /?, ОО* обозначить

M(Mxt Мг 加 JR(R#，R》、RJ 处(尤*，广 2*)，

то в проекциях на оси координат уравнение центральной оси примет вид

加К 一 (У*% - z*Ry)Му -(2*& — 犬&)也一(犬Ay — У*&)

(10)

Так как для всех центров приведения, лежащих на центральной оси» главный момент направлен по главному вектору, то, очевидно, для этих центров главный момент имеет наимень

шую числовую величину, определяемую равенством (7).

Итак, всякая система действующих на абсолютно твердое тело сил, для которой второй инвариант R • М не равен нулю, приводится к динаме; эту динаму образуют сила /?, направленная по центральной оси системы, и пара с моментом ЛГ・

Приведение системы к двум силам.

Покажем, что всякую систему сил, действую- Рнс 252.щих на твердое тело, для которой второй

инвариант R * М =^= Q, можно еще привести к двум силам, одна из которых проходит через заданную точку О.

Приведем систему к центру О; тогда получим для центра О резуль-

тирующ}гю силу, равную главному вектору /?, и результирующую пару с моментом, равным главному моменту М・ Представим М в виде пары сил (F,戶')， одна из которых проходит через точку О (рис. 252); тогда вся система приведется к двум силам: Q = R-\- F и 戶'，которые будут лежать в разных плоскостях, причем сила Q будет проходить через заданную точку О.

Если М 丄/?, т. е. М ' R = 0t то /? будет лежать в плоскости пары (戶，戶')，а следовательно, силы Q и 尸，будут в одной плоскости, и вся система приведется к одной силе — равнодействующей. Если же при этом /? = 0, то, очевидно, вся система приведется к паре сил.

Общие выводы. Случаи приведения. По доказанному всякая система сил (или вообще скользящих векторов) при приведении к данному центру заменяется результирующей силой R, равной главному вектору системы, и результирующей парой с моментом М» равным главному моменту системы относительно этого центра. Векторы R н М называются элементами приведения системы (или координатами системы скользящих векторов). Их значения определяются формулами (1) и (2) или вытекающими из этих формул равен* ствами

ллл

=工尸酬 Ry = X 尸iy，R? = 2 尸iz； (11)

£ = 1( = 1i = l

лnn

Mx~ 工 mom#(戶0, My = ^ гпогИу(尸J, 也=号 mom?(尸》(12) i=l/—1i=l

Равенства (12) следуют из того, что по определению [§ 20, формула (7)](门 乂戶£)# = mom* (巴)и т. д.

Главный вектор R не изменяется с изменением центра приведения и является поэтому первым инвариантом системы. Главный момент М изменяется при изменении центра приведения на величину, равную моменту главного вектора R относительно нового центра, так что если О и О'——соответственно старый и новый центр приведения, то

№ = /?, ЛГ = М+^б XR(13)

Вторым инвариантом системы будет скалярное произведение векторов 丸 н М, т. е. величина R •麻,или, так как R есть инвариант, то вторым инвариантом можно считать проекцию М на направление R, т. е. величину М cos Юи)・

В зависимости от значения инвариантов системы и элементов приведения можно различать следующие случаи приведения системы сил.

/? • М =А。・ Система приводится к динаме (винту) с параметром

—М cos (R^M) — R-M

или к двум силам, лежащим в различных плоскостях- При этом динама будет образована силой R, равной главному вектору системы и направленной вдоль центральной оси, определяемой уравнением (10), и парой с наименьшим моментом ЛГ, коллинеарным /?; числовая величина этого момента определяется равенством (7).

/? . М = 0. Здесь возможны следующие частные результаты,

Если /? =/= 0» то система сил приводится к одной силе, т. е. к равнодействующей, равной главному вектору системы,

R =工尸厂

Это вытекает из того, что при /?・М = 0 будет /? =0 и, согласно равенству (8), М* = 0; следовательно, динама вырождается в одну силу /?* = /?, т. е. равнодействующую. Линия действия этой равнодействующей совпадает с центральной осью системы, и ее уравнение дается равенствами (10), если в них положить р — 0. При этом, если одновременно М = 0, то равнодействующая будет» очевидно, проходить через центр приведения О; если же М =/= 0, то равнодействующая проходит через некоторый другой центр О*, что видно из рис. 250, если на нем считать в данном случае М* = 0, М1 = М.

Легко также убедиться, что если система сил приводится к равнодействующей, то для этой системы /? # 0, 7? • Л1 == 0. Таким образом, чтобы система сил имела равнодействующую, необходимо и достаточно выполнение двух условий: /? R 0, /?・М = 0 для любого центра приведения.

Если /? = 0, но М 片 0, то при этом, как видно из (13), М = Mf = const, т. е. главный момент не зависит от выбора центра приведения. Система приводится в этом случае к паре сил с моментом

М = §(/*£ X 戶D =工 mom。Fp

где О есть произвольный центр.

Если К = 0 и М = 0, то система сил эквивалентна нулю, т. е. находится в равновесии.

Пример. Приведем к простейшему виду систему четырех одинаковых по напряжению сил (尸=尸纟=尸з ==尸《=尸)，действующих вдоль ребер куба со стороной а (рис. 253, а).

Прежде всего заметим, что силы F3, F4 образуют пару, которую можно перенести в плоскость Оху и расположить так, как показано на рис. 253, а

откудаоткуда& = 0, 心П0,& = 0, 心П0,Ry = F?=尸, Му = О,Ry = F?=尸, Му = О,k=尸口,k=尸口,At = 2 尸 a.At = 2 尸 a.пунктиром. Отбросив после этого уравновешенные силы» 勺，鳳，находим, что заданная система эквивалентна двум силам F】н F〔 = F》причем последняя сила приложена в точке В и 08 = 2a (рис. 253, 今 Приведем эту систему сил к центру О и подсчитаем по формулам (11) и (12) проекции главного вектора R и главного момента MQ = М. Получим:

откуда

откуда

& = 0, 心П0,

& = 0, 心П0,

Ry = F?=尸, Му = О,

Ry = F?=尸, Му = О,

k=尸口,

k=尸口,

At = 2 尸 a.

At = 2 尸 a.

Теперь определяем значение второго инварианта системы

R •附=R№ + RyMv + RZMZ = 2a/4

Так как второй инвариант не равен нулю, то система приводится к динаме с минимальным моментом 44* и параметром р, определяемыми равенствами (7) и (8). Следовательно,

М* = —= aF У 2, p = a.

R 尸WR

Центральную ось системы находим по уравнению (10). Подставляя туда найденные значения R» Ry, /??, MXi Му( Mz и р, будем иметь:

—У尸 + г■尸 *尸 2й•尸-xF

Так как a #= 0, то из первого отношения следует, что — у + а = 0, а из второго находим, что х = а. Следовательно, центральная ось определяется как пересечение плоскостей

у = г и х — а,

т. е. совпадает с диагональю АС передней грани куба.

Итак, данная система сил приводится к динаме, образованной силой R = FVE, направленной вдоль линии АС, и парой с моментом М* — ару^, лежащей в плоскости, перпендикулярной к АС.

Такой же результат, конечно, получится если，尺

систему заданных четырех сил сразу приводить*

к центру О без предварительного ее упрощения./匕―尸、

Теорема Вариньона. Если с〃-/^//^*/

стема сил имеет равнодействующую, то / / момент этой равнодействующей относительно произвольного центра равен сумме моментов всех сил системы отно~ / 卄 сительно того же центра,《R

Пусть некоторая система сил 尸» F2,・・•，尸以 Рис 254 имеет равнодействующую R = £f讣 приложенную в точке О* (рнс. 254). Перенесем равнодействующую R в произвольную точку О. При этом добавится пара (/?, R) с моментом

M = momoR.

С другой стороны, М есть главный момент системы относительно центра О и равен сумме моментов всех сил относительно этого центра, т. е.

М = X momoFr

Сравнивая между собой эти два равенства, получаем теорему Вариньона:

тотоЛ == 2 тот。尸广(14)

Проектируя обе части равенства (14) на любую ось, проходящую через центр О, найдем, что теорема Вариньона справедлива и для моментов относительно оси.

Частные случаи систем сил

Плоская система сил. Система сил, расположенных в одной плоскости (плоская система), как и всякая другая, является частным случаем пространственной системы снл. Пусть мы имеем какук> угодно плоскую систему сил 尸口 F2, . .., Fn. Возьмем в плоскости действия сил произвольный центр О и приведем систему к этому центру. Тогда эта система, как и любая другая, приведется к приложенной в центре О силе, равной главному вектору системы R, и к паре с моментом, равным главному моменту Мо системы относительно центра О, где

RUNE' М。= N mom。£ =不尸£ X 戶广 (1)

Но так как в данном случае все силы 爲 и центр О лежат в одной плоскости, то сила R будет лежать в той же плоскости^ а все векторы-моменты 尸“ X Fr а следовательно, и главный момент Мо, будут перпендикулярны к этой плоскости.

Отсюда следует, во-первых, что числовое значение главного момента плоской системы сил можно вычислять как алгебраическую сумму моментов этих сил относительно центра О, т. е. если 也力—— плечи сил 尸八 то

附0 - X mom0(e)=X ±尸招厂(2)

Во-вторых, поскольку главный момент Мо плоской системы сил всегда перпендикулярен к главному вектору 灭，то второй инвариант R • М для любой плоской системы сил равен нулю, т. е.

/? • М = 0(3)

Первым инвариантом системы по-прежнему будет &=>,•

Отсюда на основании результатов, полученных в § 22, п 7, заключаем, что для любой плоской системы сил (не находящейся

в равновесии) может иметь место один из следующих двух частных случаев.

Если R #= 0, то система проводится к одной силе /?* =/?, которая будет равнодействующей данной системы сил. Линия действия этой равнодействующей есть прямая, относительно всех точек которой главный момент системы равен нулю Эта прямая будет центральной осью данной системы сил. Ее векторное уравнение получится из равенства (9) § 22, если в нем положить р = 0, н имеет вид

М。一历 XR = 0,(4)

где О* — любая точка центральной оси.

Проведя в плоскости действия сил координатные оси Оху с началом координат в центре О и обозначив координаты точки О* через х*, у*, получим уравнение центральной оси в декартовых координатах, проектируя обе части уравнения (4) на ось N, перпен*- дикулярную к плоскости Оху, в виде

Ryx^-Rx^ = Mot⑸

где Мо есть алгебраическая сумма моментов всех сил системы относительно начала координат О, вычисляемая по формуле (2) Этот же результат найдем из равенств (10) § 22, учитывая, что для плоской системы сил е* = 0, Rz = 0, Мх = Л1у = 0, Mz = Мо,

Если /? = 0, то момент результирующей пары М при перемене центра приведения не изменяется; система сил приводится в этом случае к одной паре, момент которой М будет равен сумме моментов всех сил системы относительно любой точки плоскости.

Итак, всякую плоскую систему сил, не эквивалентную нулю, можно привести или к одной силе (равнодействующей)

если R =工尸z#= 0, или к одной паре с моментом

М =工 mom。尸2， если

R = £ Е = 0.

Система параллельных сил. Пусть мы имеем систему параллельных сил 尸 1，尸2，•… 尸“，направление которых характеризуется единичным вектором р (рис. 255). Условимся в дальнейшем понимать под 巴 проекцию силы 尸士 на направление р т. е.

(6)(6)片^ Fp

(6)

(6)

Тогда выражения главного вектора и главного момента будут иметь- вид

R =工尸i =工 pF《=p 2 ^z — PR» t. e.

R = pR, где R = X尸厂(7>

Главный момент системы относительно любого центра О будет:

Л10 = S (Г/ X /=■/) = S(rt х pF^(8}

ИЛИ

m0=(e一尸t) X P,⑼

Для системы параллельных сил (так же как и для плоской

системы) второй инвариант R • М оказывается равным нулю. Дей

ствительно,

R М— pR - (2乙尸jX Р = О，

так как в смешанном произведении два множителя pR и р коллинеарны. Следовательно, система параллельных сил может также приводиться или к равнодействующей, иля к паре.

Если R 丰 S то система параллельных сил приводится к одной силе

N = pW 巳.(10>

Рис. 255.Линия действия этой силы есть прямая,

относительно всех точек О* которой главный момент системы равен нулю, т. е. центральная ось системы; уравнение ее в векторной форме есть уравнение (4). Заменяя в нем Мо его значением из равенства (9), получим уравнение центральной оси в виде

(X 尸，J Хр — 5^XpR = Q

или, деля обе части на А,

НоНо

Но

Но

где г0——радиус-вектор центра параллельных сил (см. § 18, п. 4)「 Таким образом, уравнение центральной оси примет вид

(гп~Оа)'Хр = 0-(П>

Если векторное произведение равно нулю и ни один из векторов не равен нулю, то векторы г0——ОО* и р коллинеарны; следовательно, уравнение центральной оси можно представить еще в виде

△—ОО*△—ОО*(12)(12)

△—ОО*

△—ОО*

(12)

(12)

где 左 есть скалярная величина. В проекциях на оси координат уравнение (12) будет иметь вид

(13)(13)炉一 ％0 = у* — Уо = а* — %

(13)

(13)

РхРуPz

где х*, у*, 2* суть координаты точки О* (проекции вектора ОО) а х0, у。，г0—координаты центра параллельных сил (проекции вектора Го).

Из уравнения (13) центральной оси видно, что центральная ось системы параллельных сил есть прямая, параллельная этим силам и

проходящая через центр параллельных сил. Этом вывод соответствует результатам, полученным в § 18.

Итак, при /?#= О система параллельных сил приводится к равнодействующей.

Предположим теперь, что /? = 0. Тогда

М = Х(“尸/)=

=(2 ^if^ X р = const (14)

для всех центров приведения. Система параллельных сил приводится^ в этом случае к паре, момент которой постоянен.

Наконец, когда R = 0 и М = 0 система параллельных сил эквивалентна нулю. Случай этот обладает одной особенностью, если силы рассматривать как приложенные в данных точках (а не как скользящие векторы). Из равенства (14) видно, что М = 0 в случаях, когда векторы и р коллинеарны или когда 2尸/尸0-

Тогда, если М = 0 вследствие коллинеарности векторов 2尸门 и р, то равновесие будет иметь место только при данном направлении сил 尸尸 Если же направления сил изменить (сохраняя их модули и точки приложения), то вектор ^Ptrt при этом не изменится, а направление 仍 станет другим; следовательно, векторы 2 尸Jj и 科 не будут коллинеарны и мы получим /И # 0, т. е. система повернутых сил приведется к паре. Такой результат объясняется тем» что в данном случае центры сил, параллельных и антипараллельных р, лежат в разных точках & и С2 H система приводится к двум равным

246 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ (ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ) СТАТИКА (ГЛ IV по напряжению и противоположно направленным силам /?「/?2, приложенным в этих центрах (рис. 256, &); поэтому при изменении направления сил равновесие нарушается.

Если же 7И — 0 вследствие того, что 25 = 0, то равновесие имеет место при всяком р, т. е. при всяком направлении параллельных сил (система приводится в этом случае к двум численно равным антипараллельным силам, приложенным в одной и той же точке, рис. 256, 6). Такой случай равновесия системы параллельных сил называется безразличным, или астатическим>

Условия равновесия систем сил

Условия равновесия произвольной системы сил. Так как при изменении центра приведения результирующая сила R не меняется, то для того, чтобы система была в равновесии, необходимо, чтобы R = 0. Если /? = 0, то вся система приводится к одной паре, момент которой М не изменяется при изменении центра приведения. Следовательно, для равновесия необходимо еще, чтобы было М = 0. Эти условия также и достаточны, потому что если /? = 0, то система приводится к одной паре с моментом М; если же М = 0, то система находится в равновесии (эквивалентна нулю).

Таким образом, мы имеем в векторной форме два необходимых и достаточных условия равновесия произвольной системы сил, а именно:

R三28=0，(1)

л

7И= 2 тот。/7* =0,(2)

где О—произвольный центр.

В проекциях на оси координат [см. § 22, формулы (11), (12)] число условий равновесия для пространственной системы сил будет равно шести, а именно:

2 尸= 0, 2 mom上 尸6=2(%尸儲—2/") = 0,

W 尸?y = °，21momУ尸，三 W (z,尸,"■-%:尸jz) = 0，⑶ S ptz == 0> Wmomz?M£(x/" —%尸加=0,

т. е. для равновесия произвольной пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы: 1) сумма проекций всех сил на каждую из координатных осей равнялась нулю, 2) сумма моментов всех сил относительно каждой из осей координат равнялась нулю.

Условия равновесия плоской системы сил. В случае плоской системы сил условий равновесия в векторной форме будет также два» а именно:

工爲—О,М = 2 rnomo F{ = 0.

В проекциях число условий равновесия будет три, а именно, если силы действуют в плоскости ху, то

Лх = °- 2 ЛУ = °- S momo F> S(xZiy — Vz^iJ = °- (4)

Итак, для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы: 1) сумма проекций всех сил на каждую из двух координатных осей (произвольно выбранных в плоскости действия сил) равнялась нулю и 2) сумма моментов всех сил относительно любого (произвольно взятого в той же плоскости) центра равнялась нулю.

Необходимые и достаточные условия равновесия плоской системы сил можно выразить еще в двух других формах, а именно:

Для равновесия плоской системы сил необходимо 〃 достаточно, чтобы сумма моментов всех сил относительно каждого из трех произвольных, к。 не лежащих на одной прямой центров равнялась нулю (теорема о трех моментах), т. е.

£ глот力 F( = 0,2 moiHg 尸工=0,2 тотс Ft — 0,(5)

где А, В и С——произвольные, не лежащие на одной прямой центры. Необходимость этих условий очевидна, так как при равновесии сумма моментов сил системы относительно всякого центра есть нуль. Докажем достаточность условий (5). Ранее было установлено, что если для данной плоской системы 9нл главный момент МЛ — =2 ^^а ^ ~ ^' т0 система находится в равновесии или приводится к равнодействующей, проходящей через центр А. Тогда если выполняются все условия (5), то система должна или находиться в равновесии, или приводиться к равнодействующей, проходящей одновременно через центры А, В и С. Но последнее невозможно, так как эти центры не лежат на одной прямой. Следовательно, при выполнении условий (5) имеет место равновесие.

Для равновесия плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы сумма моментов всех сил относительно двух произвольных центров и сумма проекций всех сил на произвольную ось, не перпендикулярн^ю & прямой, соединяющей эти центры, равнялись нулю, т. е.

^тотд^^О, £топ1з 尸£ = 0,工(尸)=0,(6)

где ось / не перпендикулярна к прямой АВ.

Ясно, что эти условия необходимы, так как при равновесии плоской системы сил сумма моментов всех сил относительно любого центра и сумма проекций всех сил на любое направление равны нулю. Докажем достаточность условий (6). Рассуждая как в предыдущем случае, заключаем, что при выполнении первых двух из условий (6) система должна или находиться в равновесии, или приводиться к равнодействующей R, проходящей одновременно через центры 工 н 5, т е. направленной вдоль линии АВ, Но проекция такой равнодействующей на ось I, не перпендикулярную к /В, была бы отлична от нуля. В то же время по последнему из условий (6) должно быть

a=工(尸£)! = 0.

Следовательно, при одновременном выполнении всех условий (6) система не может приводиться к равнодействующей, т. е. имеет место равновесие.

Условия равновесия системы параллельных сил. Когда силы расположены в пространстве, то, направляя ось z параллельно силам, мы найдем, что для каждой из них будет Ftx = 0, Fty = О, тогпг ^ = 0. Следовательно, первое, второе и последнее из равенств (3) обратятся в тождества вида 0 = 0 и мы получим для пространственной системы параллельных сил следующие три условия равновесия:

⑺⑺W 尸" =X momx尸,三工儿/ = °，

⑺

⑺

£ momy F( = —2 xtFlz = 0.

Если рассматривать силы как приложенные в данных точках (см § 23, п. 2), то равенства (7) будут соответствовать случаю, когда равновесие не является астатическим. Чтобы равновесие было астатическим (безразличным) должно быть 2 ^irt = ^» что в проекциях на оси координат приводит к еще одному дополнительному условию： £Zf 尸以=0*

Для плоской системы параллельных сил, направляя ось у параллельно силам, получим из (4) два условия равновесия:

X 吊у = °， S momo Ff = 2 xi^iy — °- (8)

Другая форма условий равновесия имеет вид

£ тотл 尸£ = 0, 2 тот^ 巧—0, (9) где центры 4 н 5 не лежат на прямой, параллельной силам. Справедливость этого результата доказывается так же, как для условий (6).

Системы статически определимые и неопределимые. При решении задач о равновесии несвободного твердого тела в условия равновесия входят наряду с активными силами реакции связей, вели-

чины которых наперед неизвестны. Число этих неизвестных зависит от числа и характера наложенных связей. Соответствующая задача может быть решена методами статики твердого тела лишь в том случае, если число неизвестных реакций связей будет равно числу уравнений статики, в которые эти неизвестные входят* Такие задачи называют статически определенными, а системы тел, для которых это имеет место,——статически определимыми системами.

Если же число неизвестных реакций связей будет больше числа уравнений статики, в которые эти реакции входят, то задача будет статически неопределенной, а система тел, для которой это имеет место,——статически неопределимой системой.

Рассмотрим» например, горизонтальную балку, лежащую на двух опорах Д и В и нагруженную вертикальными силами Рр Р2, .. ., Рп (рис. 257, й). Кроме этих сил, на балку действуют перпендикулярные

РисРис

Рис

Рис

к ней реакции опор NA и NB, Составляя для полученной плоской системы параллельных сил условия равновесия (9), будем иметь:

2 тотл /\ +♦ 2 = 0,2 fnom^ (匕)一N^ • Z — О

Эти два уравнения содержат две неизвестные реакции, которые отсюда легко определяются.

Пусть теперь та же балка покоится на трех опорах А, В и С (рис. 257, 6). Тогда на нее будут действовать, кроме активных сил, три реакции связей NA> NB, Nc. Но действующие силы образуют по-прежнему плоскую систему параллельных сил; следовательно, условий равновесия останется два:

2 mom力 Р± + Nв • / + М； • 口 = О,У momB Pt — Na'I — M?« — ◎) = 0・

Определить из этих двух уравнений три неизвестных нельзя

Таким образом, балка на двух опорах является статически определимой, а балка на трех (и более) опорах будет статически неопределимой.

Статическая неопределимость появляется вследствие наложение лишних связей, ненужных для обеспечения равновесия абсолютна

твердого тела. Расчет статически неопределимых систем требует учета их деформаций. Такие задачи решаются в курсах сопротивления материалов или статики сооружений.

б. Решение задач. При решении любой задачи методами геометрической статики следует, как уже указывалось, выделить тело, равновесие которого рассматривается, и изобразить все действующие на это тело активные силы и реакции связей (если направление реакции какой-либо связи наперед неизвестно, то обычно эту реакцию представляют ее составляющими вдоль осей координат). После этого для полученной системы сил составляют условия равновесия, число и вид которых зависят от характера системы сил; из получен

ных таким путем уравнений и определяют искомые в задаче величины.

Если в задаче приходится рассматривать равновесие системы

тел, соединенных

внутренними связями в виде шарниров, гибких

нитей и т. п., то

эту систему

расчленяют на отдельные тела и

составляют условия равновесия для

Рис 258

сил, действующих на каждое из тел системы в отдельности (особенности решения таких задач отмечены в примере 2).

Рассмотрим примеры.

L Горизонтальная однородная балка длины 2/ и веса Р укреплена в точке Л шарниром, а концом В опирается на гладкую плоскость, наклоненную к горизонту под углом а (рис. 258). На балке, на расстоянии а от шарнира Л покоится груз весом Q. Найти реакции шарнира и плоскости.

Для определения искомых вели

чин рассматриваем равновесие балки. На нее действуют две активные силы Р и Q, реакция N плоскости, направленная по нормали к этой плоскости, и реакция RA шарнира, которую представим ее составляющими 乙 н 匕 вдоль осей координат. При этом целесообразно направить ось х горизонтально, а у — вертикально. Для полученной плоской системы сил составляем условия равновесия в форме (4), беря моменты относительно центра Л, где пересекаются две неизвестные ^илы X/ и /д. Получаем:

W 々х 三 Хл — N sin а = 0,工尸尼у 三匕 + N as Q 一 P 一 q = о, (a)

2

тогПд Fk — 2Л7 cos а — Pl — Qa = 0.

(б)

Момент реакции N можно находить или как произведение ^ на плечо Л = 2Z cos а, или же можно представить силу N разложенной вдоль АВ и по нормали к АВ на составляющие М, *2 и искать тоШд N по теореме Вариньона: шошЛ N = mom^ ^ + mom^ N^ При этом шоШд 7VT = 0 и мы получим шоШд N = шошЛ TV2 = 2Z • ^ • cos а. Такой прием бывает особенно удобен в случаях, когда возникают затруднения с подсчетом плеча.

Решая полученную систему уравнений, находим:

N=*，3 屮 tg。'N=*，3 屮 tg。'

N=*，3 屮 tg。'

N=*，3 屮 tg。'

Найденные значения Лд и YА определяют реакцию R^ Условия равновесия можно было бы составить и в другой форме, беря, например, уравнения моментов относительно центров Л, В и С, в каждом из которых пересекаются по две неизвестные реакции. Тогда к уравнению (б), позволяющему найти ^I добавились бы два уравнения:

X moms 々三 Q ⑵一〃)十〃 一Уд • 2/= О,

£ шошс 尸尼三 • 2/ ctg a — Pl — Qa = “

которые служат для определения YА и Система уравнений (б) и (в} интересна тем, что каждое из них содержит только по одной неизвестной реакции.

Два одинаковых однородных стержня весом Р каждый соединены шарниром В и прикреплены шарнирами Л и С к неподвижным опорам так, что стержень АВ горизонтален, а стержень ВС образует с вертикалыо угол а (рис. 259, а). Определить реакции шарниров.

Для решения задачи рассматриваем равновесие каждого из стержней в отдельности. На каждый стержень (рис. 259, б) действуют сила тяжести и реакции соответствующих шарниров, которые мы представляем их составляющими вдоль осей координат. При этом, согласно закону действия и противодействия, реакции 玄,勿 шарнира 8 на стержень ВС должны быть направлены противоположно реакциям Х^ 厶 нл стержень ЛВ* По численной же величине

Xr = Х^, Y — У# (а)

Теперь составляем условия равновесия для действующих на стержни плоских систем сил [в форме (6) для АВ и в форме (4) для ВС]. Обозначая АВ = ВС = 2л, будем иметь:

для стержня АВ

S

momх F,^YD^ 2л — Ра = О,

2 momв 々三 Ра — J2a =0,(б)

e尸"三猫+『0.

для стержня ВС

2尸叮三Хс — Х% = 0,

X 尸2у 曰 Уе 一尸一魄=0,(b)

£ momc 弓三戶а sin а + 厶• 2а sin а 一XQ • 2a cos а — 0.

Заметим, что для стержня АВ нельзя составлять третье уравнение в виде 2 尸zy = 0, так как ось у перпендикулярна к АВ, Если бы, однако, мы эта сделали, то получили бы уравнение 〃 + j — Р = 0, являющееся следствием первых двух.

Учитывая равенства (а), найдем из полученных шести уравнений с шестью неизвестными:Учитывая равенства (а), найдем из полученных шести уравнений с шестью неизвестными:

Учитывая равенства (а), найдем из полученных шести уравнений с шестью неизвестными:

Учитывая равенства (а), найдем из полученных шести уравнений с шестью неизвестными:

Направления реакций Ад, X、и Хс противоположны показанным иа рисунке.

Задачу можно еще решать другим путем» рассматривая сначала равновесие всей системы (рис. 259, а). Так как внутренние силы взаимно уравновешиваются, то необходимо составить условия равновесия только внешних

Рис. 259.Рис. 259.

Рис. 259.

Рис. 259.

■сил. действующих на систему, т. е. сил тяжести и реакций RA и Rc (на рисунке не показаны). В результате получим:

X 尸以三 Х"+Хe = 0, 上 尸3=^+、一 2P = 0,

2J шогИд F. ^ — Рл — Р (2л -[- a sin а) 一 XQ • 2а cos а + ， (г) + Yq (2а + 2a sin а) = 0.

Эти три уравнения содержат четыре неизвестных. Поэтому для решения задачи надо дополнительно рассмотреть условия равновесия одного из стержней [но не обоих, так как уравнения (г) являются следствиями уравнений (а) и (б)]. Решая совместно систему уравнений (б) и (г), найдем искомые реакции.

Такой путь решения иногда бывает проще» так как уравнения вида (г), вытекающие из условий равновесия всей системы в целом, содержат меньше неизвестных (в них не входят внутренние реакции).

Из рассмотренного примера следует, что вопрос о статической определимости или неопределимости конструкции, состоящей из нескольких тел» должен решаться путем расчленения этой конструкции на отдельные тела. Если при этом общее число неизвестных реакций связей будет равно числу полученных уравнений, в которые эти реакции входят, то конструкция является статически определимой, что и имеет место в рассмотренном примере. На основании одних только уравнений (г), составленных для сил, действующих на конструкцию в целом, делать заключения о ее статической определимости или неопределимости нельзя.

Трехногнн стол, стоящий на горизонтальной плоскости, нагружен вертикальными силами, равнодействующая которых Р проходит через точку К (*， У) (рис. 260). Точки опоры 总,В н С лежат в вершинах равностороннего треугольника со стороной 2必 Найти реакции плоскости.

Рассмотрим равновесие стола, на который действуют сила Р и реакции JV , 7V ,笃.Проводя оси координат так, как показано на рисунке, соста-

вляем для полученной пространственной системы параллельных сил условия равновесия (7). Получаем:

2 %产3心n一P=0

2 mom# / 三 ^в • 2a + ^c < a —戶у == О,

2 momy Ft^Px — N^九=° (方= аМЗ)・

Отсюда находим:

魂=戶今，必=4■修一号，办=p(1一盘一勘.

Легко проверить, что если линия действия силы Р проходит внутри треугольника АВС, то все реакции положительны. В противном случае некоторые из реакций становятся отрицательными (например, при * V О, ^c < 0) и стол опрокинется.

Если при тех же условиях рассмотреть равновесие стола на четырех ножках, то неизвестных реакций будет четыре, а уравнений, содержащих эти реакции, останется три; следовательно, задача будет статически неопределенной.

Однородная прямоугольная пластина ABED весом Р со сторонами AD = а, АВ = Ь, образующая с вертикалью угол а, укреплена в точке Л

цилиндрическим» а в точке В сферическим шарнирами так, что линия АВ горизонтальна (рис. 261). Пластина удерживается в равновесии нитью DK、 лежащей в вертикальной плоскости, проходящей через линию DE, и образующей с вертикалью угол 艮 Найти реакции шарниров и нити.

Для определения искомых величин рассматриваем равновесие пластины» Проводим оси координат: Az — по вертикали вверх, Ах — вдоль линии ВЛ, 幺у ——перпендикулярно к плоскости xAz. На пластину действуют сила тяжести Р, направленная по вертикали вниз и приложенная в центре плиты С, реакция Г нити, направленная вдоль нити, и реакции шарниров. Реакция дилиндрического шарнира Л может иметь любое направление в плоскости yAz, перпендикулярной к его оси; изображаем ее двумя составляющими 匕 и ZA. Реакция сферического шарнира 8 может иметь любое направление в пространстве; ее мы изобразим тремя составляющими XQ, 厶,之占.

Для полученной пространственной системы сил составляем шесть условий равновесия (3)：

у 22

Входящие дин ат обычно

252'0m

Fix^XB-T sin₽ = °>

廿 ^ + / = 0，

尸加三 4 + Z^ — P + T CO5 6 = 0,

momy Г.三

cos 0 • a sin а —戶-^ sin а == 0,

Г sin р * а cos а — Р — + ZJ = 0,

mom 尸(曰 Т sin 0 » а sin а — Х^ • 6 — 0.

в условия равновесия моменты сил относительно осей коор- вычисляют как момент проекции силы на плоскость, перпендикулярную к соответствующей оси, относительно точки пересечения оси с этой плоскостью. Например (рис. 262)t тоши Р= тот Р = — Р •九二

Р • Y sln &，так как %% = R /ц =多 sin а. Ана-

логично находятся другие моменты.

При вычислении момента силы Т относительно оси у можно разложить эту силу на составляю^ щие: Гр направленную вдоль DE, и &，парал^ лельную оси г. Тогда по теореме Вариньона momy Г = тоту ^ + тоту Т2- Но тоту Т2 — 0, так как сила Т2 пересекает ось у. Следовательно,

momy Г= moniy 7\

Tta cos а, где 7t = Tsin p. Teh

кой прием особенно удобен в случаях, когда возник кают затруднения с определением проекций силы на плоскость, перпендикулярную к соответствующей оси. В этих случаях можно также вычислять моменты непосредственно по аналитическим формулам, представленным в уравнениях (3).

Решая полученную для определения реакций систему уравнений, найдем окончательно:

Т =总F- J = _§^tg0sina, Zl 寺专 tgBcosa, XL^tgB， % = —j Zl 寺(1 —gtg0 cosa).

Так как величина Кд получилась отрицательной, то это означает, что, составляющая Q имеет фактически направление, противоположное показанному на рис. 261. Найденные значения проекций определяют реакции 履力乂/?^.

Заметим, что если в точке Л также был бы сферический шарнир, та появилась бы дополнительная реакция Хд и первое из условий равновесия приняло бы вид

打+酶一入沁6=0. (6)

Остальные уравнения при этом не изменились бы и мы нашли бы для величин 7, Кд, Z{,匕，% те же значения, которые даны в равенствах (а)・.

Однако задача определения реакций Х^ и Xв из одного уравнения (б) оказалась бы статически неопределенной, так как, сделав шарнир Л сферическим, мы наложили на систему лишнюю связь (отсутствие скольжения вдоль оси х обеспечивается одним сферическим шарниром В).

6. Условия равновесия несвободного тела. Всякое несвободное тело можно рассматривать как свободное, отбрасывая связи и заменяя действия их реакциями (§ 15, п. 5). Условиями равновесия тела будем называть уравнения, которые связывают активные силы, дей

ствующие на тело, или параметры, определяющие положение тела, и

не содержат неизвестных реакций связей.

Число независимых перемещений, которые может иметь тело, называется числом степеней свободы тела. Свободное твердое тело, кроме трех поступательных перемещений, параллельных осям коорди

нат, может иметь еще три вращения вокруг тех же осей; следовательно, оно имеет шесть независимых перемещений. Чтобы тело не двигалось поступательно параллельно какой-нибудь оси, необходимо, чтобы сумма проекций всех сил на эту ось равнялась нулю, а чтобы тело не вращалось около какой-нибудь оси, необходимо, чтобы сумма

моментов всех сил относительно этой оси равнялась нулю. При равновесии тела действующие на него силы должны удовлетворять таким условиям, чтобы они не могли сообщить телу допускаемых связями движений; поэтому число условий равновесия тела равно числу его степеней свободы.

Равновесие рычага. Рычагом называется твердое тело которое может вращаться вокруг неподвижной оси под действием сил.

расположенных в плоскости, перпендикуляр- ■

ной к этой оси. Пусть на рычаг действуют активные силы Р「 Р2, .. ., Р加 лежащие в названной плоскости (рис. 263). Реакция оси R будет, очевидно, лежать в той же плоскости и иметь в ней произвольное направление. Проведем оси координат Оху и составим для действующей на рычаг плоской системы сил три условия равновесия в форме (4):

(10)(11)(10)(11)2p"+ %=0， WPy + Ry = 0,2 momoP = 0.

(10)

(11)

(10)

(11)

Равенства (10) дают уравнения, которые служат для определения реакции R, а равенство (И), не содержащее реакций, определяет условие равновесия рычага.

Следовательно, условие равновесия рычага заключается в том, чтобы сумма моментов всех сил относительно оси вращения равнялась нулю.

Равновесие твердого тела, имеющего одн^ неподвижную точку. Пусть мы имеем тело, закрепленное в одной точке О (сферический шарнир), на которое действуют активные силы Pv Р2, ...» Рл (рис. 264). Реакция R будет приложена в точке О и имеет произ

вольное направление в пространстве. Проведем оси координат Oxyz

с началом в точке О и составим для действующих на тело сил условия равновесия (3)：

(12)(12)(13)(13)2Р以+r工=0,£Р什勺=0,2乙+凡=0,2 mom#Pf = 0,£ ГПОГПу 修—0,2 mo叫修=&

(12)

(12)

(13)

(13)

Равенства (12) служат для определения реакции R, а равенства (13) являются условиями равновесия тела- Следовательно, условия равновесия твердого тела, имеющего неподвижную точку, состоят в том, что суммы моментов всех действующих сил относительно каждой из трех вза-

вляющие Кл, ZA ивляющие Кл, ZA иимно перпендикулярных осей, проходящих через неподвижную точку, должны равняться нулю.

вляющие Кл, ZA и

вляющие Кл, ZA и

Равновесие тела, имеющего ось вращения ——скольжения. Пусть тело имеет ось вращения, вдоль которой оно может скользить, т. е., например, закреплено с помощью двух цилиндрических шарниров (подшипников) в точках Л и В (рис. 265). Тогда реакции в точках закрепления будут нормальны к оси, т. е. (при направлениях осей, показанных на рисунке) будут иметь соста- FB, ZB. Составляя для действующих на тело

£ Pix = 0 и 工 momx Pg = 0,£ Pix = 0 и 工 momx Pg = 0,(14)(14)сил шесть условий равновесия (3), мы найдем, что из них только два, а именно

£ Pix = 0 и 工 momx Pg = 0,

£ Pix = 0 и 工 momx Pg = 0,

(14)

(14)

не содержат неизвестных реакций и являются условиями равновесия тела. Таким образом, для тела, имеющего ось вращения——скольжения, будет два условия равновесия, состоящих в том, что сумма проекций всех действующих сил на данную ось и сумма их моментов относительно этой оси должны быть равны нулю.

Равновесие тела, имеющего неподвижную ось вращения. Если один из шарниров, Л или А показанных на рис. 265, сделать сферическим» то ось вращения тела станет неподвижной; при этом

добавится еще одна составляющая реакции, направленная вдоль оси х. Следовательно, теперь только одно из равенств (14), а именно

2 гпот^Р^ ~0,(15)

не будет содержать неизвестных реакций и явится условием равновесия чела. Таким образом, для тела, имеющего неподвижную ось вращения, будет одно условие равновесия, состоящее в том, что

сумма моментов относительно этой оси всех действующих сил должна

быть равна нулю. Заметим, что, в частности, такое тело может быть рычагом (когда все силы лежат в плоскости, перпендикулярной к оси АВ).

§ 25・ Основы графостатики

Система сил, сходящихся в одной точке. Учение о графических методах решения задач статики представляет собой отдел

механики, который называется графостатикой. При графическом методе сила изображается, как

Рис. 266.Рис. 266.обычно, вектором, длина которого берегся в определенном масштабе и направление соответствует направлению силы. Рассмотрим систему сил, приложенных в одной точке. Равнодействующая их, как известно.

Рис. 266.

Рис. 266.

находится по правилу силового

сил), начиная построениесил), начиная построениеизвестным направле-известным направле-многоугольника (рис. 266). Если многоугольник замкнут, то система находится в равновесии, если же он не замкнут, то система приводится к равнодействующей, которая изображается вектором, замыкающим силовой многоугольник.

сил), начиная построение

сил), начиная построение

известным направле-

известным направле-

Рассмотрим пример (см, еще § 16, п. 5).

К отвесной стене приставлен стержень ве-

сом Р, другой конец которого упирается в угол. Найти реакции с гены н угла (рис. 267).

Реакция стены N направлена перпендикулярно к стене, направление силы тяжести Р тоже известно. Чтобы система трех сил была в равновесии, необходимо, чтобы линии действия сил пересекались в одной точке. Линии действия двух сил Р w N пересекутся в точке О, следовательно, при равновесии направление реакции угла S должно пройти через эту же точку О Для определения величины реакций 7V и 5 по данной силе

ниям реакций строим силовой треугольник (план , с силы р. Из полученного треугольника определяем Л и 5.

Метод веревочного (нитяного) многоугольника. Пусть мы

имеем некоторую силу 尸(рис. 268, а). Возьмем произвольный

17 Н, Н. Вухгопьц

полюс О, не лежащий на линии действия силы 尸，и соединим его с концами силы 尸；тогда мы можем рассматривать силу 尸 как равно- действующу!б двух сил: 0/，10 (читается: нуль — один, один — нуль), приложенных в той же точке, в которой будет приложена сила 尸.

Поэтому если мы возьмем нить АСВ, так что АС и С5 будут соответственно параллельны силам 01 и W, и закрепим концы Д и В неподвижно, а к точке С приложим ту же силу 尸，то эта сила может быть представлена как равнодействующая сил 01 и 70, приложенных к точке С (рис. 268, 6); при этом силы 01 и 10 будут, очевидно, равны натяжениям участков нити АС и СВ. Фигуры (й) и (6) обладают тем свойством, что являются взаимными [их стороны параллельны и линии, сходящиеся на одной фигуре в одной точке (точка С на рис. 268, 6), образуют на другой фигуре треугольник (△ ОаЬ на рис. 268, а)]; первая фигура называется планом сил, вторая ——нитяным или веревочным (или стержневым) многоугольником.

Определим теперь графически величину момента силы 尸,приложенной в точке D, относительно центра К (рис. 269). Для этого

от некоторой точки а откладываем вектор ab = F и, взяв произвольный центр О, строим сначала силовой треугольник ОаЬ, а затем соответствующий ему нитяный многоугольник. Для построения нитяного многоугольника проводим из произвольной точки Л луч, параллельный О/, до пересечения с линией действия силы 尸 в точке В, а от точки В — луч, параллельный 10, до произвольной точки С* Для нахождения момента силы 尸 относительно центра К проведем через К прямую, параллельную направлению силы 尸；тогда mom^ F

сечения тельно,сечения тельно,будет пропорционален отрезку т этой прямой, полученному от пере

сечения тельно,

сечения тельно,

ее с направлениями сторон нитяного треугольника. Действи- из подобия соответствующих треугольников имеем

т d

откуда Fd = mh\ следовательно, момент силы 尸 относительно центра А равен отрезку т, умноженному на полюсное расстояние h, причем отрезок т измеряется в масштабе длин, а 也一в масштабе сил.

Плоская система сил. Пусть дана плоская система сил /, 2, 3, 4, действующих на некоторое твердое тело (рис. 270,办

Строим силовой многоугольник, замыкающая которого R даст равнодействующую данной системы сил по напряжению и направлению (рис. 270, 6). Определим теперь, где эта равнодействующая приложена к телу. Для этого выберем произвольный полюс О, не лежащий на сторонах силового многоугольника или их продолжениях (см. п. 2), и соединим его с вершинами силового многоугольника лучами 0/, 72, 23, 34, 40. Тогда силу / мы можем рассматривать как равнодействующую сил 01 и /2, силу 2—как равнодействующую сил (—/2) и 23 и т. д., где (——/2) — сила, равная по модулю 12 и направленная ей противоположно.

Построим теперь на рис. 270, а для данной системы сил веревочный многоугольник. Для этого от любой точки / проводим прямую, параллельную лучу 01, до пересечения ее с линией действия силы J в точке а. Затем из а проводим прямую, параллельную лучу /2, до пересечения с линией действия силы 2 в точке и т. д. Последнюю прямую dB проводим из точки d параллельно лучу 40 до произвольной точки В. Фигура AabcdB и будет для данной системы сил веревочным или стержневым многоугольником (такую форму принимает нить, укрепленная в точках Д и В и нагруженная в точках 仪，儿 с, J силами /, 2» 3, 4, или же система жестких невесомых стержней, соединенных в точках &, b> с, d шарнирами,

прикрепленных к неподвижным точкам Л и В также с помощью шарниров и находящихся под действием сил 7, 2, 3, 4, приложенных к шарнирам). Заметим теперь, что, согласно показанному в п. 2, мы можем силу 1 заменить двумя силами 01 и /2, приложенными в точке а (на рис. 270, а эти силы показаны в уменьшенном масштабе), силу 2 можем таким же образом заменить двумя силами (—/2) и 23, приложенными в точке Ь, и т. д. При этом, как уже было указано, сила (—/2) численно равна, а по направлению противоположна силе 72 и т. д. В результате первоначальная система сил (/, 2, 3, 4) заменится другой, эквивалентной ей системой сил. Которые будут направлены по прямым /◎, ◎瓦 bc、cd, dB, причем силы, направленные по прямым ◎仇 力％ cd, как равные и противоположные, взаимно уравновешиваются. Таким образом, вся система сил приводится к двум силам, направленным по прямым Да и Bd, параллельным лучам 01 и 40.

Так как равнодействующая двух сил, лежащих в одной плоскости, проходит через точку пересечения линий действия этих сил, то равнодействующая системы сил (/, 2, 3, 4) должна пройти через точку ^ пересечения прямых Аа и dB. Проводя через точку К вектор R, найденный построением силового многоугольника, мы и получим

искомую равнодействующую. Таким образом, если силовой многоугольник не замкнут, то данная система сил проводится к равнодействующей, численная величина и направление которой определяются замыкающей стороной силового многоугольника, а линия действия проходит через точку пересечения крайних сторон вере- йочного многоугольника.

Если силовой многоугольник замыкается (рис. 271, а), то сумма сил равна нулю, но, как известно, для равновесия этого еще недостаточно* Веревочный многоугольник в этом случае обладает, оче* видно, тем свойством, что крайние стороны его Аа и сВ пара/- лельны (рис. 271, 6). Если крайние стороны не совпадают, как это имеет место на рис. 271, G, то система приводится к паре сил (3/, —3/)・

Момент этой пары равен произведению модуля силы 3/, измеренной на рис. 271, а в масштабе сил, на расстояние h между прямыми Аа и сВ, измеренное на рис. 271,6 в масштабе длин.

Если же крайние стороны Аа и сВ сливаются, то веревочный многоугольник замыкается (рис. 271, * плечо пары обращав гея в нуль и система находится в равновесии. Таким образом, необходимые и достаточные условия равновесия произвольной плоской системы сил (в геометрической или графической форме) состоят в юм.

что построенные для этой системы силовой и веревочный многоугольники должны бы гь замкнутыми.

Параллельные силы. Задача определения равнодействующей двух параллельных н направленных в одну сторону (рис. 272)

или антипараллельных сил

(рис. 273) сводится к построению соответствующего силового и веревочного многоугольников (стороны силового многоугольника в случае параллельных сил сливаются в один отрезок; на рисунках эти

отрезки для наглядности смещены). Пересечение крайних сторон 01 и 20 веревочного многоугольника дает точку, через которую проходит равнодействующая.

Аналогично находится равнодействующая любого числа параллельных сил (если только R 力 0).

Чтобы разложить данную силу 尸 на две параллельные силы, проходящие через точки А и В (рис, 274), проводим через эти точки прямые, параллельные силе 尸.На силе 尸 строим силовой треугольник. Через произвольную точку с на линии действия силы 户 проведем прямые, параллельные лучам 01 и 20, которые пересекут прямые, проходящие через точки А н В, в точках а и Z?. Из полюса О проводим прямую, параллельную ab\ она рассечет данную силу на

две силы / и 2, которые и будут искомыми силами, проходящими через точки А и В.

Разложение данной силы 尸 на две антипараллельные силы, проходящие через точки А н В, производится аналогично (рис. 275).

5・ Определение реакций опор. Допустим, что какое-нибудь твердое тело (неизменяемая конструкция) имеет в точке А неподвижную шарнирную опору, а в точке В—опору на катках (рис. 276, а).

Рис. 276.

На тело действуют заданные силы, например / и 2. Найдем графически реакции опор. Для этого изображаем на рис. 276, а, выполненном в соответствующем масштабе длин, заданные силы У, 2 и известную нам линию действия силы 3 — реакции опоры В; о силе 4 — реакции шарнира А — мы знаем лишь, что она проходит череа

точку А. Затем на рис. 276, б (в выбранном масштабе сил) строим из действующих на тело сил силовой многоугольник him, начиная с заданных сил / и 2. Построение обрывается изображением направления силы 3, так как модуль этой реакции нам неизвестен. Неизвестны также модуль и направление реакции 4, однако, так как имеет место равновесие, то конец этой силы совпадает с началом силы /. Далее выбираем произвольный полюс О (только не на сторонах силового многоугольника или их продолжениях) и соединяем его с известными нам вершинами 耳 Z,加 силового многоугольника лучами 4/, /2, 23; луч 34 мы провести не можем, так как не знаем величины силы 3, т. е. вершины п многоугольника. Чтобы найти этот луч (а тем самым и искомые силы), строим на рис. 276, а веревочный многоугольник. Построение этого многоугольника следует обязательно начинать из точки А, где приложена неизвестная по направлению реакция 4 (в противном случае мы не сумеем замкнуть веревочный многоугольник, так как никакой другой точки на линии действия силы 4 не знаем). От точки А, где приложена сила 4, пойдет луч 41 до пересечения с линией действия силы / в точке а. Из точки а проводим луч 12 до пересечения с линией действия силы 2 в точке bf а из точки b——луч 23 до пересечения с линией действия силы 3 в точке с. Замыкая теперь, согласно условиям равновесия, веревочный многоугольник линией с А, найдем направление искомого луча 34. После этого проводим из п&люса О на рис. 276, 6 луч 34, параллельный линии сА. Точка п пересечения этого луча с направлением силы 3 определяет искомую вершину силового многоугольника. Таким образом, реакция 3 дается (в выбран* ном масштабе) вектором 加办，а реакция 4 ——вектором nk.

Пример графическс^о определения реакций опор в случае параллельных сил показан на рис. 277. В этом случае построение веревочного многоугольника можно начинать из любой точки, так как

Рис. 277、

направления обеих реакций 4 н 5 наперед известны. Искомым лучом является 45.

Рис. 277 одновременно показывает, как находится равнодействующая параллельных сил /, 2, 3; линия действия этой равнодействующей проходит через точку К, где пересекаются лучи 51 и 34・

Определение наибольшего изгибающего момента. Пусть на балку, свободно лежащую на опорах, действуют вертикальные силы /, 2, 3, 4 (рис. 278, а). Отбросив опоры и приложив реакции опор 5 н 6, мы получим уравновешенную систему параллельных сил 7, 2, 3, 4, 5, 6, приложенных к балке.

Возьмем какое-нибудь сечение С балки, мысленно разрежем балку в этом месте и отбросим левую часть. Тогда действие отброшенной левой части на правую выразится силами упругости, действующими в сечении С, которые, как и всякую плоскую систему сил, можно

привести к одной результирующей силе Р, называемой поперечной силой, и к паре с моментом М, который называют изгибающим моментом. Очевидно, что

Р = 2 附匸士 m«mc £n，

где F/J( — все силы (включая реакции), действующие на левую, отброшенную часть балки (в нашем случае это силы 6、/, 2).

Определив построением силового и веревочного многоугольников реакции 5 н 6 (рис. 278), мы можем найти поперечную силу и изгибающий момент в любом сечении балки, что необходимо для ее расчета.

Графически изгибающий момент в сечении С (рис. 278, а) найдется следующим путем. Как было показано в п. 2, моменты сил 6, 7, 2 с учетом их знаков будут:

momc 6 =——DE • h, momc 1 — ЪЕ ' h, 1110111,2 = kb • h.

Следовательно, изгибающий момент M в сечении С будет:

Л4 = — й (QE — be —必)——Dk * h.

Таким образом, изгибающий момент в любом сечении балки будет

пропорционален направленным параллельно силам отрезкам, которые образуют заштрихованную на рис. 278, а область, ограниченную веревочным многоугольником. Наибольший изгибающий момент будет для рассматриваемой балки в том сечении, где приложена сила 2 (опасное сечение).

Графическое определение центра тяжести. Найдем графически центр тяжести пластинки, изображенной на рис. 279,

Разобьем данную фигуру на такие части, центры тяжести которых легко определить; в данном случае на три прямоугольника.

Рис. 279.

Приложим к центрам тяжести параллельные силы, пропорциональные площадям, и построим сначала силовой, а затем веревочный м н ог оу г о льни ки. Таким образом найдем равнодействующую R этих параллельных сил. Теперь изменим направление сил, повернув их на прямой угол, и построим новый веревочный многоугольник, стороны которого будут, очевидно, перпендикулярны к сторонам первого веревочного многоугольника; получим другую равнодействующую /?「 Точка С пересечения линий действий этих равнодействующих и даст центр тяжести фигуры. Если фигура имеет ось симметрии, то достаточно построить только один веревочный многоугольник; центр тяжести будет находиться на пересечении равнодействующей с осью симметрии,

§ 26・ Графический расчет ферм

Фермы. Графические методы удобно применять при расчете ферм. Фермой называется конструкция, составленная из стержней, концы которых соединены между собой шарнирами так, что стержни не могут иметь относительных перемещений, т. е. вся конструкция представляет собой неизменяемую систему; места соединения стержней называю!ся узлами фермы. Фермы часто употребляются в различных, сооружениях, например при постройке мостов, строил.

грузоподъемных машин и пр., и при некоторых условиях допускают простой, элементарный, расчет, не говоря уже о значительной экономии материала. Расчет фермы становится весьма простым, если под действием внешних сил стержни фермы подвергаются только продольным усилиям, т. е. растяжению и сжатию. Для этого должны иметь место следующие условия:

Стержни фермы должны быть прямолинейны и соединены своими концами шарнирами без трения.

Силы должны быть приложены в узлах фермы.

Конечно, на практике эти условия, как идеальные, осуществляются не вполне, а с возможным приближением.

Условие жесткости. Если оси стержней фермы лежат в одной плоскости, то ферма называется плоской, в противном случае — пространственной; здесь мы будем рассматривать только плоские фермы.

Найдем наименьшее число стержней, необходимое для построения фермы, образованной из треугольников и имеющей п узлов (рис. 280, а).

Рис, 280.Рис, 280.

Рис, 280.

Рис, 280.

Чтобы связать первые три узла, необходимо три стержня; для жесткого присоединения каждого из остальных (п — 3) узлов нужно по два стержня. Следовательно, для того чтобы ферма обладала жесткостью (т. е. чтобы стержни не могли иметь относительных перемещений), необходимо, чтобы число стержней было:

(1)(1)^ = 3 —|— 2 (я — 3) = 2孔—3,

(1)

(1)

Если число стержней ^ < 2а—3, то конструкция не будет обладать жесткостью, т. е. уже не будет фермой (рис. 280, 6); если же ^ > 2п — 3, то ферма будет иметь «лишние» стержни (рис. 280, в).

Равенство (1) будем называть условием жесткости.

Статическая определимость. Если ферма обладает жесткостью, то ее можно рассматривать как абсолютно твердое тело, находящееся под действием активных сил и реакций связей; будем

предполагать, что эти силы приложены в узлах фермы и, если ферма плоская, действуют в плоскости фермы. При равновесии такая система сил должна удовлетворять трем уравнениям равновесия. На каждый узел фермы будет действовать плоская система сходящихся сил, состоящая из внешних сил, действующих на ферму, и внутренних — усилий в самих стержнях, которые будут, согласно сделанным допущениям, иметь направления стержней; поэтому система сил, действующих на каждый узел, должна удовлетворять двум уравнениям равновесия. Таким образом, все действующие на ферму внешние силы (активные и реакции) и усилия в стержнях фермы должны удовлетворять 2也 уравнениям, где п ——число узлов. В число этих 2也 уравнений будут входить три уравнения, выражающие условия равновесия внешних сил, поэтому для определения усилий в стержнях фермы остается 2也——3 уравнений. Если число стержней фермы ^ = 2п—3, то эти усилия могут быть определены из уравнений статики и, следовательно, ферма будет статически определимой; если же ^ > 2п ——3, то усилия в стержнях посредством одних только уравнений статики абсолютно твердого тела определить нельзя и ферма будет статически неопределимой. Следовательно, условие жесткости (1) является для плоской фермы и условием статической определимости.

Графический расчет. Так как система внешних сил (активных и реакций связей), действующих на ферму, представляет собой плоскую систему сил, находящуюся в равновесии, то построением силового и веревочного многоугольников можно графически определить реакции внешних связей (реакции опор), если, конечно, система статически определимая (см. § 25, п. 5).

Для графического определения усилий в стержнях фермы удобно пользоваться методом «вырезания узлов》，который состоит в том, что каждый узел вырезывается из фермы и рассматривается отдельно, как находящийся в равновесии под действием приложенных к нему внешних сил и реакций разрезанных стержней, которые направлены по стержням в сторону узла, если усилие сжимающее» и в противоположную, —если усилие растягивающее. Система сил, действующих на узел, есть плоская система сходящихся сил, находящаяся в равновесии; поэтому силовой многоугольник, построенный из этих сил, должен быть замкнутым. Построение многоугольников следует начинать с узла, в котором сходятся два стержня. Так как действующие на узел внешние силы (активные и реакции опор) известны, то построением замкнутого многоугольника (треугольника) найдутся усилия в этих двух стержнях. После этого можно переходить к следующему узлу и т. д.; при этом каждый следующий узел выбирается так, чтобы в нем сходилось не более двух стержней, для которых усилия еще не найдены. Построив силовые многоугольники для всех узлов фермы, графически определим усилия в стержнях.

Направления сил, приложенных к узлу, и построенный для этого узла силовой многоугольник обладают свойством взаимности, т. е.: 1) направления соответствующих прямых параллельны и 2) прямым, сходящимся на одной фигуре в одной точке, соответствуют параллельные прямые, образующие замкнутый многоугольник на другой, и наоборот (таким же свойством взаимности обладают план сил и веревочный многоугольник, см. § 25, п. 2).

Диаграмма Максвелла — Кремоны. Поскольку любой из стержней фермы соединяет два узла, то усилия в каждом стержне будут входить в два силовых многоугольника. Эти многоугольники при определенном порядке их построения (и одинаковом масштабе) могут быть последовательно сложены друг с другом равными сторонами, так что составят одну фигуру, взаимную по отношению к фигуре, представляющей собой чертеж фермы вместе с приложенными к ней внешними силами; такая фигура, дающая полную картину усилий в стержнях фермы, называется диаграммой Максвелла ——Кремоны. Методы ее построения даны на основании теории взаимных фигур английским физиком К. Максвеллом и, независимо от него, итальянским геометром Л. Кремоной.

Чтобы построить диаграмму Максвелла ——Кремоны для данной фермы, на которую действуют заданные активные силы, прежде всего методом графической стагикн (или аналитически) определяем реакции внешних связей (реакции опор) н на плане сил строим многоугольник внешних сил, который, конечно, должен быть замкнутым; при этом векторы внешних сил на рисунке фермы располагаем вне контура фермы. Затем строим многоугольники сил для узлов фермы, начиная с того узла, где сходятся только два стержня (для простых ферм, которые могу г быть составлены из треугольников, такой узел всегда имеется), и обходя узлы фермы в такой последовательности, в которой они следуют по периферии фермы; в таком же порядке должны располагаться внешние силы при построении соогветствующего силового многоугольника. Точно так же в силовых многоугольниках, построенных для узлов, последовательность сил должна соответствовать той, в которой силы расположены вокруг рассматриваемого узла, причем направление последовательности должно быть такое же, как при обходе узлов.

Пример 1. Рассмотрим простейшую ферму, состоящую из трех стержней (рис. 281, а); в узлах этой фермы приложены заданные внешние силы /, //, ///, находящиеся в равновесии. При построении диаграммы будем пользоваться системой обозначений, предложенной Боу (Bow), а именно: части плоскости вне ферм ы, ограниченные линиями действия приложенных к узлам фермы сил, обозначим буквами 4 В, С; часть плоскости внутри фермы, т. е. в данном случае плоскость треугольника, обозначим буквой D. Тогда, векторы сил на диаграмме (рис. 281,行)будут обозначаться двумя малыми буквами, соответствующими обозначению тех областей, для которых линия действия силы или стержень является границей. Например, сила /

получит обозначение аб, сила //—be, сила /// — са, усилие в стержне /2—bd, 23一 cd и в стержне 31一 ad. Строим сначала многоугольник внешних сил abc, откладывая в нем силы в том порядке, в котором мы их встречаем при обходе контура фермы против хода часовой стрелки. К этому

многоугольнику последовательно пристраиваем силовые многоугольники (в данном случае треугольники) для узлов /, 2, 3, начиная построение для каждого узла с известных сил и О1кладывая все силы также в том порядке, в котором они встречаются при обходе узла против хода часовой стрелки. Напрнмер, на узел / действуют заданная сила / и реакции стержней /3 и /2. Сила /, т. е. аб, на рис. 281, б показана; проводя черев точку b прямую, параллельную

стержню /2 (так как при обходеРис. 281.

узла / против хода часовой

стрелки за силой / следует стержень /2), а через точку а ——прямую, параллельную стержню /3, получаем силовой треугольник abd для узла /, где bd — реакция стержня /2, a da — стержня 13.

Указанное правило построения позволяет определить по диаграмме не только величину усилия, но и установить, будет данный стержень растянут или сжат. Если реакция стержня направлена к узлу, то узел действует на стержень в противоположную сторону и, следовательно, стержень сжат;

если же реакция направлена от узла, то стержень растянут.

Например, чтобы найти усилие в стержне /2 надо рассмотреть силовой треугольник узла / или 2. Для узла / (обходя его на рис. 281, а против хода часовой стрелки!) находим, что силовым треугольником будет abda. Тогда

Рис. 282,Рис. 282,Рис. 283.Рис. 283.

Рис. 282,

Рис. 282,

Рис. 283.

Рис. 283.

реакция стержня на узел будет bd (см. диаграмму); она направлена к узлу, и, следовательно, стержень сисат. Если же рассмотреть узел 2, обходя его также против хода часовой стрелки, то для него силовой треугольник будет edbe, реакция стержня на узел будет db, т. е. опять направлена к узлу (к узлу 2).

Пример 2. Построим диаграмму усилий (Максвелла — Кремоны) для плоской фермы, изображенной на рис. 282 и нагруженной в узлах А 4, 5 соответственно силами /, //, ///• Число узлов в этой ферме равно 5, число стержней — 7; так как 2 • 5 ——3 = 7, то условия жесткости и статической

определимости (1) удовлетворены. Сле^я системе Воу, обозначаем внешние области между силами III и I через Л, между силами I и II—через В и между силами // и ///—через С и строим многоугольник внешних сил abc (рис. 283). Затем строим силовые многоугольники для узлов /, 2, 3, 4, 5, обходя их в направлении против хода часовой стрелки; для первых четырех узлов силовые многоугольники будут треугольниками, а для последнего, пятого, узла силовым многоугольником будет пятиугольник dcafed. Определяя направление сил в силовых многоугольниках, построенных для каждого узла, можно, таким же образом как и в предыдущем примере, найти, будет ли рассматриваемый стержень сжат или растянут. Например, стержень 25, усилие в котором равно (/«), будет растянут, так как, рассматривая на диаграмме (рис. 283) силовой многоугольник для узла 5, т. е. многоугольник dcafed, найдем, что сила fe имеет направление от / к «, т. е. от узла £• Стержень /5, усилие в котором равно (а/), будет сжат, так как в том же многоугольнике для узла 5 сила af направлена от а к /, т. е. к узлу 5, и т. д.

6・ Метод Риттера. Диаграмма Максвелла — Кремоны дает усилия во всех стержнях фермы путем последовательного построения связанных между собой силовых многоугольников; методом Риттера можно определить усилие для любого стержня фермы непосредственно, независимо от остальных. Этот метод состоит в том, что ферма рассекается на две части таким образом, чтобы в сечении было не более трех стержней с неизвестными усилиями; отбрасывая отсеченную часть фермы и рассматривая оставшуюся часть фермы в равновесии под действием приложенных к ней внешних сил и усилий, заменяющих действие рассеченных стержней, получим для этой части фермы три уравнения равновесия, в которые войдут три неизвестных усилия. Эти уравнения удобно брать в виде равенства нулю суммы моментов всех сил, действующих на оставшуюся часть фермы, относительно трех различных центров (см. § 24, п. 2), принимая за центры моментов те точки, в которых попарно пересекаются рассеченные стержни (или их продолжения); тогда уравнение моментов для каждого центра будет содержать только одно неизвестное, а именно усилие в том стержне, направление которого через этот центр не проходит.

Пример. Рассмотрим ферму, изображенную на рис. 284, вместе с действующими на нее внешними активными силами и реакциями опор и определим усилие S47 в стержне 47. Проведем сечение хх, пересекающее

стержни 45, 47, 78, и будем рассматривать равновесие левой части фермы под действием сил: реакции N? = P~(~Q в узле Л, силы Р в узле С и усилий в рассеченных стержнях 45, 47 и 78. При этом все усилия S45； 547, S78 направляем от соответствующих узлов (т. е. так, как они были бы направлены, если все стержни были бы растянуты). Для определения усилия S47 возьмем сумму моментов всех сил, действующих на левую отсеченную часть фермы, относительно центра В, где пересекаются направления стержней 45 и 拒；получим:

(Р + Q).(/3)—尸• ВС + S47 • /г = О, откуда

Р・ВС —(尸+Q) Q4B)

Если величина S47 получится положительной, то стержень 47 растянут, а если отрицательной, то — сжат.

Усилия S45 и S78 найдутся аналогичным образом, если составить уравнения моментов относительно центра С (узла 7) и центра D (узла 4),

При расчете линейные размеры берутся из рисунка, а моменты могут определяться или вычислением, или методами графостатики. Центры моментов В, С, D называют иногда точками Риттера. Если два из трех стержней сечения (например, сечения уу) параллельны, то одна из точек Риттера удаляется в бесконечность; тогда для определения усилия в непараллельном стержне вместо уравнения моментов можно взять сумму проекций всех сил на направление, перпендикулярное параллельным стержням. Например, для усилия S38 в стержне 38 на рис. 284 получим, так как ^2 — ^ + Q：

(尸十 Q) — P— Q + S38 sin cc = О, откуда усилие 538 = 0.

ГЛАВА ПЯТАЯ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ СТАТИКА

§ 27. Работа силы

Предварительные замечания. В элементарной статике были выведены необходимые и достаточные условия равновесия абсолютно твердого тела. Для всякой иной системы материальных точек эти условия, согласно принципу отвердевания, будут только необходимы, но недостаточны. Определение достаточных условий равновесия механической системы методами элементарной статики требует, как мы видели на частных примерах, рассмотрения условий равновесия каждого из твердых тел (или точек), входящих в систему. Расчет при этом существенно усложняется необходимостью вводить большое число новых неизвестных — реакций внутренних связей.

Аналитической статикой называют часть статики, в основе кото

рой лежит принцип виртуальных (возможных) перемещений, выража

ющий собойющий собойнеобходимое и достаточное условие равновесия для любой механической системы. При этом условия равновесия определяются методами, принципиально отличными от методов геометрической статики. Основываются эти методы на понятиях о виртуальном (возможном) перемещении си-

ющий собой

ющий собой

стемы2. Пусть щаяся шаетстемы2. Пусть щаяся шаети о работе силы.

стемы

2. Пусть щаяся шает

стемы

2. Пусть щаяся шает

Элементарная работа силы, материальная точка М, находя- под действием силы Е совер- элементарное перемещение dr

(рис. 285). Тогда элементарной работой силы F на этом перемещении называется скалярное произведение силы

на перемещение, т. е. величина

⑴(1‘)⑴(1‘)df А — F ■ dr = F ds cos (/C^r)

⑴

(1‘)

⑴

(1‘)

или

df А — R ds.

где FT — проекция силы 尸 на касательную, направленную в сторону перемещения точки.

Обозначая, как обычно, проекции силы 尸 на оси координат через 尸广 尸屮 尸а，а проекции dr через d*，dy, dz, где xt yt z — координаты точки М, можно представить элементарную работу в виде I)

d A = Fxdx-[-尸 у dy + Fz dz.⑵

Единицей измерения работы в системе СИ служит джоуль (1 дж = 1 нм), а в технической системе единиц — налограммометр

В случае, когда точка, совершающая перемещение dr, находится под действием системы сил Fv F2, ..., F^, элементарная работа

л

d'A =£Ff・dr = R，dr,

где欠Н2 FP есть равнодействующая данной системы сил; таким i = 1

образом, элементарная работа равнодействующей равняется сумме элементарных работ сил составляющих на том же перемещении.

Если же разложить перемещение " на составляющие перемещения "尸八 то тогда dr = ± drt и

i = 1

drA = F • dr = F • dr»

t, e. элементарная работа силы на данном перемещении равна сумме элементарных работ той же силы на составляющих перемещениях.

Понятие о потенциальном силовом поле. Работа потенциальной силы. Остановимся на вычислении элементарной работы потенциальных сил, т. е. сил, образующих потенциальное силовое поле. Полем сил вообще называется область пространства, в каждой точке которого на помещенную туда материальную частицу действует определенная сила, являющаяся однозначной, конечной и дифференцируемой функцией координат этой точки. Поле сил называется стационарным, если сила не зависит явно от времени; в противном случае поле называют нестационарным. В стационарном поле сила 尸 является функцией только координат точки поля, т. е,

尸，，尸y，尸z I X，y，2・

Следовательно, элементарная работа сил такого поля будет:

drА = Fx (х, у, z) £?х+ Fy (х, у, /)&，+ 尸之(*, у, z) dz^ (3)

Если дифференциальный трехчлен, стоящий в правой части равенства (3), является полным дифференциалом некоторой функции U (х, у,宕)，то эта функция носит название потенциальной или силовой функции, а поле сил, для которого такая функция существует, называется потенциальным силовым полем-

Таким образом, если

尸*(*，У，N)dx+Fy(x, у, z)dy + Fz(x, у, z) dz — dU (*, у, n) (4)

или, что то же, если

GUGU(5〉(5〉

GU

GU

(5〉

(5〉

то силовое поле является потенциальным, a U (х, у, N) есть силовая функция этого поля.

В том, что равенства (5) вытекают из (4) и наоборот, легко убедиться, если представить (4) в виде

F * dx —尸 у dy -j-尸 % dz =飞力"dx —|dy H dz

и учесть, что координаты х, у, z между собой не зависимы.

Чтобы установить, при каких условиях данное силовое поле будет потенциальным, возьмем от равенств (5) соответствующие частные производные по координатам х, у, z. Тогда, принимая во внимание, что

讲u 讲0 дх Оу 办 дх получим:

。尸У — 0尸Z 。尸Z _ dPxdFx _ "у

后г _ 石歹一， ~dx dz 'dy 一成 ，()

Таким образом, условия (6) необходимы для того, чтобы поле силы F(FX,户屮 尸J было потенциальным; можно показать, что эти условия являются и достаточными.

Вектор Е проекции которого определяются равенствами (5), называют градиентом скалярной функции U (х, у, z):

гдегде(7>(8)(7>(8)F —grad U,

где

где

(7>

(8)

(7>

(8)

т Г ди . . ди . . ди .

骐 dU = R + m +廿.

Следовательно, сила в потенциальном силовом поле является градиентом силовой функции. Такую силу называют еще потенциаль* ной силой.

Из изложенного следует, что для вычисления элементарной работыИз изложенного следует, что для вычисления элементарной работыпотенциальной силы надо знать только U(х( у. N). Тогда

Из изложенного следует, что для вычисления элементарной работы

Из изложенного следует, что для вычисления элементарной работы

d'A = dU(x, у, z).(9)

Одно из основных свойств потенциального силового поля выявляется при вычислении работы силы на конечном перемещении. Если точка, на которую действует сила Е совершает перемещение АСВ (рис. 286), то полная работа силы на этом перемещении вычисляется как сумма

потенциальную функциюпотенциальную функциюследующего криволиследующего криволисоответствующих элементарных работ в виде

потенциальную функцию

потенциальную функцию

следующего криволи

следующего криволи

нейного интеграла:

(10)(10)4 电=f(Fx ^х + Fy rfy + Fz dz).

(10)

(10)

ACB

В общем случае величина этого интеграла зависит от вида траектории АСВ и при перемещении по другой кривой АСГВ будет другой. В случае же, когда сила F является потенциальной, будем иметь:

в

』电=№=№ = 4—и“.(11)

Таким образом, работа потенциальной силы на любом конечном перемещении зависит не от вида кривой, по которой перемещается точка, а только от начального и конечного положения этой точки (при условии, что си- 珍§勿

ловая функция U однозначна).

Подробнее вопрос о вычислении работы и о свойствах потенциального силового поля^

будет рассмотрен в § 33.уу

В качестве примера потенциального силового / поля рассмотрим однородное поле тяжести. Если / вблизи поверхности Земли выделить область, раз-无 меры которой малы по сравнению с радиусом Земли, то во всех точках этой области можноРис* 况7»

считать силу тяжести Р = mg постоянной. Если сила Р = const, то поле такой силы называют однородным. Легко видеть, что для однородного поля условия (6) выполняются, следовательно, оно является потенциальным. Направим ось z вертикально вверх; тогда проекции силы тяжести, действующей на точку с массой т, будут (рис. 287):

尸 # =。，尸У=@F 名= —

dU == — mg 七dU == — mg 七следовательно,

dU == — mg 七

dU == — mg 七

откуда, интегрируя, получим силовую функцию для однородного поля тяжести:,

U =——mgz 十 const.(12)

Элементарная работа потенциальных сил, действующих на систему. Рассмотрим теперь более общий случай. Пусть имеем систему материальных точек 彼纟(С=1, 2, 3,...,也), причем на каждую точку системы действует сила, зависящая только от положения данной точки, т. е. пусть на точку mi (尤戸 j\, zz) действует сила G，проекции которой равны 尸尸у〃 Fzi> причем

尸*i，尸у，，尸z/X"%，Zj.

Предположим, что рассматриваемая нами система за элементарный промежуток времени dt как-нибудь переместилась; тогда все точки совершат бесконечно малые перемещения. Элементарная работа всех сил при этом перемещении будет:

d'A =^Ff drt = 5 (尸*, dx,・ + 尸у，j + 厶 dz0.

Если существует функция U(х「 у【,Zp х2> .,.,吃〃 уп, а/, удовлетворяющая условию

пп

dU =範修.drt = 2 (Fxi dXj + 尸yi d% + 尸zt 叱)，(13) то эта функция носит название потенциальной или силовой функции сил, действующих на систему. Когда функция U существует, то, очевидно»

尸，尸爾，j尸初'尸zc=右 0=1, 2, . . ., n). (14) Определение элементарной работы такой системы сил, как видно из (13), сводится также к вычислению дифференциала соответствующей силовой функции.

Виртуальные перемещения точки

Истинные н виртуальные перемещения, В кинематике мы рассматривали перемещения движущейся точки за некоторый промежуток времени с целью определения скорости точки или ее положения в какой-то последующий момент времени и т. д. Такие перемещения, совершаемые движущейся точкой за определенный промежуток времени м зависящие от закона ее движения, будем называть истинными. Таким образом, если точка движется по закону

г = г (^) или, в проекциях на оси,

* = Х«), у = у(", N = N«),

то ее истинное перемещение за бесконечно малый промежуток времени dt будет d^(dx, dy, dz). где

dx — х dt,dx — х dt,dy = yd儿 dz = z dt.dy = yd儿 dz = z dt.

dx — х dt,

dx — х dt,

dy = yd儿 dz = z dt.

dy = yd儿 dz = z dt.

Как мы видим, координаты точки при истинном перемещении изменяются вследствие того, что аргумент Z (время) изменяется на величину dt\ математически эти изменения выражаются дифференциалами координат. Если точка неподвижна (по отношению к рассматриваемой системе отсчета), то ее истинное перемещение равно нулю.

Однако понятию о перемещении точки можно придать несколько другой смысл и использовать его в иных целях. Рассмотрим точку (или механическую систему), на которую наложены некоторые, ограничивающие ее перемещения связи. Тогда о суммарном эффекте этих связей можно в любой момент времени судить по совокупности всех

тех элементарных перемещений, возможность совершать которые (без нарушения наложенных связей) у точки сохраняется. Эти перемещения, в отличие от истинного, не совершаются фактически за какой-то промежуток времени, а представляют собой множество

всех мыслимых перемещений, которые могли бы быть сообщены точке в данный момент времени; зависят они только от положения точки в этот момент и наложенных на нее связей. Любое элементарное перемещение, которое может быть сообщено точке из занимаемого ею в данный момент времени положения при сохранении наложенных на нее в этот момент связей, будем назы

вать виртуальным (или возможным)

перемещением !). В отличие от истинного, виртуальное перемещение точки будем обозначать через 6г (рис. 288), а его проекции на оси координат — через dx, бу, On. Виртуальным перемещением системы будем называть совокупность виртуальных перемещений всех ее точек.

')Некоторые авторы (например, Г. К. Суслов, Теоретическая механика, 1944, гл, ХХУШ) вводят еще понятие о множестве перемещений, которые точка при наложенных на нее связях могла бы совершить из данного положения за какой-то промежуток времени А£, и называют такие перемещения «возможными», сохраняя за перемегцеииями, которые точке при наложенных связях можно сообщить в данный момент времени, наименование 《виртуальные》. Суть различия между этими понятиями обнаруживается при нестационарных (изменяющихся со временем) связях и будет аналогична разлияию между векторами 6г и dr, показанными ниже иа рис. 291. Однако при изложении аналитической механики наряду с истинными существенную роль играют только виртуальные перемещения; поэтому здесь иных понятий можно не вводить, а термин «возможные», как это делают многие авторы, считать русским переводом термина «виртуальные».

Бесконечно малое изменение функции, происходящее вследствие изменения аргумента, выражается дифференциалом этой функции; если же изменение функции происходит вследствие изменения вида самой функции, то такое изменение называется вариацией функции

и обозначается символом д. Пусть, например, x=/(f) (рис. 289). Тогда, как известно, при изменении аргумента на df функция изменяется (с точностью до малых высшего порядка) на

dx^f (f) df・

Если же мы изменим вид самой функции, т. е. возьмем функцию

х = х + ei] (f),

где е есть бесконечно малое, a rj (/)——произвольная дифференцируемая функция, то изменение функции

尤一* = 5 (%) = 6х

будет вариацией этой функции. Проекции виртуального перемещения точки 6х, бу, 6n будут, следовательно, представлять собой вариации координат этой точки.

Истинное перемещение точки может принадлежать к числу виртуальных, но не всегда, как это будет показано ниже.

Условия, налагаемые геометрическими связями иа вариации координат. Связи, налагающие ограничения только на положения точек системы, называются геометрическими, а налагающие ограничения еще и на скорости этих точек—кинематическими. В статике мы будем рассматривать только геометрические связи. Эти связи могут быть в свою очередь (см. § 14, п. 5) склерономными (стационарными) или реономными (нестационарными), а также неосвобождающими или освобождающими. Для точки с координатами х, у, z уравнения соответствующих неосвобождающих геометрических связей имеют вид

/ (х, у, z) = 0 (склерономная связь), (1)

/(х, у, N, /) — 0 (реономная связь). (2)

Освобождающей будет связь, которую точка может покидать, ио только в какую-нибудь одну определенную сторону. Например, при связи /(х, у, n)》0, которую в дальнейшем условимся записывать в виде

/(х, у, z) = & (3) где с》0, точка должна находиться на поверхности /(х, у, n) = 0 11 может сходить с нее в ту сторону, для которой / (х, у,宕)〉0.

Координаты х, у, N несвободной точки должны в каждый момент

времени удовлетворять уравнению связи. Поэтому если на точку наложена одна геометрическая связь, то независимых координат будет две и, следовательно, число степеней свободы точки будет также равно двум. При двух геометрических связях точка будет иметь одну

y + W N-pbz. Так какy + W N-pbz. Так какстепень свободы, ^а при трех геометрических связях точка будет относительно данной системы отсчета неподвижна.

y + W N-pbz. Так как

y + W N-pbz. Так как

Найдем, каким условиям удовлетворяют вариации координат несвободной точки. Пусть на точку наложена склерономная и неосвобождающая связь

/(х, у, N)= 0.

Обозначим координаты точки М через х, у, N. Если дадим точке М виртуальное перемещение 44阂=6尸(рис. 290), то координаты точки М будут х^-^х,

связь неосвобождающая, то новые координаты точки должны удовле

творять уравнению связи, т. е.

/(* + 6%, у+ 6у, n + 6n) = 0・

Разлагая это выражение в ряд Тейлора, будем иметь:

工(х, у, z)+%6* +需6у +笠必 + чп. в. п. =0;

но / (х, у, n) = 0, следовательно, пренебрегая членами, содержащими, бесконечно малые высших порядков, получим:

+ 学” + 算 = 0.(4)

Итак, при наличии связи / (х, у, 2) = 0 вариации координат точки должны удовлетворять соотношению (4) и независимых вариаций будет только две.

Пусть теперь связь будет реономная и неосвобождающая, т. е.

/(х, у, N,方) = 0.

Обозначив координаты точки М через х, у, z, дадим точке виртуальное перемещение ММг=Ьг (dx, бу, 6n); тогда координаты точки Mt будут хЦ-6*, у + 6у, z-\~6z. Так как координаты точки Мх должны удовлетворять уравнению связи, то, подставляя их в это уравнение и развертывая его в ряд Тейлора, будем иметь:

y+"，n + 6z, /)=

/(х, у, z, /) + %5x + *3y+%6z + qn. в. п. =0-

Но /(х, у, n, f) = 0. Поэтому, отбрасывая члены высшего порядка малости, найдем, что вариации координат должны удовлетворять совпадающему с (4) соотношению

%8*+普" +乐2 = 0.%8*+普" +乐2 = 0.(4‘)(4‘)

%8*+普" +乐2 = 0.

%8*+普" +乐2 = 0.

(4‘)

(4‘)

Отсюда видно, что на вариации координат реономность связей никакого влияния не оказывает, потому что время при этом не варьируется.

Рассмотрим теперь истинное перемещение точки при связи /(х, у, N)= 0. Пусть в момент f координаты точки М будут (х, у, n)・ Через промежуток времени df точка придет в положение М[ с координатами x + dx, yT-dy,宕 + 也 совершив истинное перемещение ММ{ = dr. Так как координаты точки М{ должны удовлетворять уравнению связи, то

/(* + dx, y + dy，N-{-dN)=

/(х, у, z) + %dx + %"dy + %dz + qn・ в. п. =0, нм принимая во внимание, что /(х, у, n) = 0, и отбрасывая малые высшего порядка, получим:

dx +dz = 0.(5)

Следовательно, в случае связей склерономных проекций истинного перемещения удовлетворяют тому же соотношению, что и виртуального, или, что то же, истинные перемещения принадлежат к числу вмртуальннх. Если связь реономна, т. е. выражается уравнением / (х, у, n, f) = 0, то для точки 附1 будем иметь:

/(% + dx, y + dy, N + dN, £十％ =

= /(x, y, n, f) + ^dx + ^dy + /dN+-^-d/+qji. B. n. =0,

или, пренебрегая членами с бесконечно малыми высших порядков и учитывая, что / (х, у, N, £) = 0, получим:

学dx + gdy +受 dz +空必=0. (6)

В этом случае проекции истинного перемещения dx, dy, dz удовлетворяют уже другому соотношению, не совпадающему с соотношением (4‘) для вариаций 6х, бу, 6г. Это означает, что истинные перемещения в случае реономпой связи не принадлежат к числу виртуальных.

Этот результат ясен и из чисто геометрических соображений. Пусть точка вынуждена двигаться по поверхности, изменяющейся

эта поверхность занимаетв положении М (рис. 291).эта поверхность занимаетв положении М (рис. 291).со временем, и пусть в момент времени t положение /, а движущаяся точка находится

эта поверхность занимаетв положении М (рис. 291).

эта поверхность занимаетв положении М (рис. 291).

Тогда для момента времени / любое виртуальное перемещение dr =附 TH] будет лежать в касательной к поверхности / плоскости, проведенной через точку М. Истинное же перемещение dr совершается за промежуток времени dt, в течение которого поверхность придет в какое-то новое положение 〃； следовательно, вектор dr=MM\ не будет лежать в упомянутой касательной плоскости и не может совпадать ни с одним

из векторов К.

на вариации коор- видана вариации коор- видаРассмотрим теперь, какие условия налагает динат точки склерономная освобождающая связь

на вариации коор- вида

на вариации коор- вида

/ (%，У，N)^^ С >

где с》0. Дадим точке виртуальное перемещение 6r (dx, by, 6n)・ Тогда для нового положения точки будем иметь:

/(%十6%, y-pdy, n + 6n) = c + M,

причем 6с = 0, если точка не покидает связи, и 6с # 0 и имеет определенный знак, если точка покидает связь. Развертывая это выражение в ряд Тейлора, получим с точностью до бесконечно малых высшего порядка

/(*，У，^Н—^ 6х+-^-бу+-^-бг = с + де?,

или, поскольку / (-Г, у, N)= c,

黒 3*+%6У +鈿=&■黒 3*+%6У +鈿=&■(7)(7)

黒 3*+%6У +鈿=&■

黒 3*+%6У +鈿=&■

(7)

(7)

Равенство (7) и выражает условие, налагаемое освобождающей связью на вариации координат. Когда точка не покидает связи, 6с==0 и это условие совпадает с условием (4). Если же точка покидает связь, то 6с имеет определенный знак.

Аналогичный вывод получим и в случае реономных связей. Найденные результаты можно еще представить в другом виде. Принимая во внимание, что

grad/(x, у, z)=柒'十%J + *为

получим для соотношений (4) или (7), которым должны удовлетворять вариации координат 6х, бу, 6/, при наличии связей /(х, у, /) = 0 или /(х, у, 2)= с, выражения:

grad/<бг = 0,(8)

■если связь неосвобождающая, и

grad / • dr —配，(9)

если связь освобождающая, причем 6с имеет определенный знак.

§ 29・ Статика материальной точки

Принцип виртуальных перемещений для точки. Если мы имеем свободную материальную точку, то для ее равновесия необходимо и достаточно, чтобы сумма всех действующих на нее сил равнялась нулю, т. е.

2^ = 0.(1)

Дадим точке виртуальное перемещение 6г (дх, бу, 6/)・ Умножая

скалярно обе части равенства (1) на dr, получим:

л

⑵⑵У 巴.н = о,

⑵

⑵

млн, в проекциях,

2 {Fix dx 4- Fiy бу 4- Fiz дг) = 0. (2‘)

Условие (2) необходимо для равновесия точки как следствие (1); оно также и достаточно, так как при выполнении условия (2) ввиду произвольности 6г должно быть £巴=0.

Рассмотрим теперь случай, когда точка несвободна и на нее наложена связь в виде некоторой неподвижной гладкой (идеальной) поверхности. Тогда для равновесия точки необходимо и достаточно, чтобы было

(3)(3)尹+ N =。,

(3)

(3)

где F( — активные силы, a N—реакция связи, направленная по нормали к поверхности (рис. 292).

Дадим точке виртуальное перемещение dr. Если связь неосвобождающая, то перемещение dr лежит в касательной плоскости, и

поэтому N 丄 6/\ Умножая обе части равенства (3) скалярно на dr, получим:

2Fr 6r4-^.6r = 0, /=1

но ^ • dr = 0, следовательно,

2 尸厂 ” = 0,(4>

или, в проекциях,

月(尸川Х十尸,问+尸^) = 0.(4，)，

поверх-поверх-Условие (4) необходимо для равновесия точки как следствие (3). Оно также и достаточно, ибо виртуальное перемещение dr лежит в данном случае в плоскости, касательной к поверхности связи. Поэтому при выполнении условия (4) равнодействующая всех ак+ тивных сил 尸=2尸, будет перпендикулярна к ности и уравновесится развивающейся реакцией связи М

поверх-

поверх-

В случае освобождающей связи виртуальные перемещения образуют с реакцией N прямой или острый угол (рис. 293), так как точка может покидать связь только в ту сторону, куда направлена нормальная реакция М поэтому N * Ьг^ О,

Но поскольку при равновесии

2尸厂》+N・H = 0,

то условие равновесия для освобождающей связи будет иметь вид пя

W 6 . к = 2 (尸以女 + 尸,“у 十 Fiz 6z) & 0.(5>

Если связью является гладкая (идеальная) кривая, то на точку действует, кроме активной силы F=^Ft> реакция кривой М которая будет направлена по нормали к кривой. Поэтому

(=0 для связи неосвобождающей,

I 》0 для связи освобождающей；

Следовательно, условие равновесия представится в виде (4) или (5), как и в предыдущем случае.

Таким образом, для равновесия материальной точки, на которою наложены идеальные связи, необходимо “ достаточно,.

чтобы при всяком виртуальном перемещении сумма элементарных работ всех действующих на точку активных сил была ила равна нулю (в случае связей неосвобождающих), или же была равна нулю или меньше нуля (в случае связей освобождающих), т. е.

N 尸(* бГ= 2 (尸，％ 6尤 + 尸2y М + 尸Аг ") W °，(6)

Это положение носит название принципа виртуальных (возможных) перемещений. Установленный И. Бернулли, он был окончательно сформулирован Лагранжем, вследствие чего условие (6) часто называют условием Лагранжа.

Как мы видели, этот принцип вытекает как следствие из постулата, что в случае идеальных связей работа реакций связи при виртуальном перемещении или равна нулю (для неосвобождающей связи), или же равна нулю или больше нуля (для освобождающей связи).

Иногда условие Лагранжа записывают в виде

п

2 ^Z • г>г s S (Fix бх + Fh by + Fiz бг) = бл, ⑺

где

6л — 0 для неосвобождающих связей,

6п《0 для освобождающих связей.

Метод множителей Лагранжа, Наложенные на точку связи могут удерживать ее на какой-нибудь поверхности или кривой. Рассмотрим, как при этом составляются уравнения, определяющие положение равновесия точки с помощью множителей Лагранжа.

Г) Равновесие точки на поверхности, а) Пусть на точку наложена такая неосвобождающая связь, что точка все время находится на поверхности,

/(х, у, г) = 0.(8)

Если на точку действует активная сила 尸(尸*,尸у, F^), то по предыдущему условие равновесия точки будет:

分6% +乙" +匕"=0,(9)

где 6х, by, 6n суть вариации координат, удовлетворяющие условию

条 Зх + %6У +纟 6z = 0.(10)

Следовательно, из трех вариаций независимыми будут только две. Для получения уравнений, определяющих положение равновесия,

воспользуемся методом множителей Лагранжа. Умножим обе части равенства (10) на 九 н сложим его с равенством (9); тогда получим:

k* +大%)0* 十卜 У 十大%) 6y 十(尸z +九%) 6z = 0.

Примем за независимые вариации любые две (например, бу и 6n), тогда вариация 6х будет зависимой. Выберем множитель 九 так, чтобы коэффициент при 6х обратился в нуль; тогда вследствие того, что вариации бу и 6z независимы, множители при них также должны равняться нулю. Таким образом, мы получим три уравнения:

尸.+九% = 0,尸 У + %% = 0,尸 z +九% = 0，(11)

Присоединяя к ним уравнения связи

/(х, у, w) = G,(12)

получим систему четырех уравнений (11) и (12), из которых определим 九 и ”， у, N, т. е. положение точки при равновесии.

Рассмотрим теперь случай освобождающей связи

Предположим, что на точку действует активная сила 尸(尸％,尸丿 尸乞)； тогда условие равновесия можно взять в виде

尸 ％6х +尸у 6у 十尸z" =6м6л ^ 0.(13)

Вариации координат точки должны удовлетворять условию

причем 6с должно иметь определенный знак; предположим, что 6с》0・ Умножив обе части (14) на 九 и сложив с (13), получим:

依十九黑)6*十(尸у十九第)" + (尸z +大g) 62 =折+九6e. (15)

Так как в случае освобождающих связей перемещения, при которых точка не покидает связи, принадлежат к числу виртуальных, то для таких перемещений имеем:

(尸* +，先)в* + (尸у 十入*) ” +(С+九疆)〃 =о •

Считая независимыми вариациями бу и 6/, выберем 九 так, чтобы коэффициент при зависимой вариации 6х обратился в нуль. Тогда вследствие независимости вариаций бу и 6n коэффициенты при них также должны равняться нулю и мы получим:

尸f累=a々+九*=°，尸z+，%=o-(16)

Присоединяя кПрисоединяя кэтим трем уравнениям уравнение связи

Присоединяя к

Присоединяя к

(И)(И)/(х, у, z) = %

(И)

(И)

определяем из системы четырех уравнений (16) и (17) х, у, с,九* подобно тому как это делалось в случае неосвобождающей связи* Так как коэффициенты при вариациях равны нулю, то из (15) имеем:

6九 +九 6e = 0,

но, когда связь освобождает, 6л < 0, следовательно,

(18)(18)九 6с〉0.

(18)

(18)

Таким образом, множитель 九 должен иметь тот же знак, что и 6с. Отсюда видно, что при освобождающих связях положение равновесия стеснено еще добавочным условием, а именно соответствующим выбором знака множителя

Пример. Найдем положения равновесия тяжелой материальной точки на сфере.Пример. Найдем положения равновесия тяжелой материальной точки на сфере.а) Предположим сначала, что точка не может покидать сферу радиуса R (связь неосвобождающая). Возьмем начало координат в центре “(рис. 294) и ось г направим вертикальноУравнение связи будет:а) Предположим сначала, что точка не может покидать сферу радиуса R (связь неосвобождающая). Возьмем начало координат в центре “(рис. 294) и ось г направим вертикальноУравнение связи будет:сферы вверх.сферы вверх.炉+y2 + ?2 — R2 = 0.Так как проекции силы тяжести точки координат равныf* = 0, аy — 0, аг = 一 mg,炉+y2 + ?2 — R2 = 0.Так как проекции силы тяжести точки координат равныf* = 0, аy — 0, аг = 一 mg,夕 то условие Лагранжа представится в —mg 6n = 0.Варьируя уравнение связи, найдем: 2х 6х + 2у бу + 2г 5n — 0.夕 то условие Лагранжа представится в —mg 6n = 0.Варьируя уравнение связи, найдем: 2х 6х + 2у бу + 2г 5n — 0.на осина осивиде(а>виде(а>Умножив обе части равенства (б) иа 九Умножив обе части равенства (б) иа 九(6) и сло“(6) и сло“жив с (а), будем иметь:2入比 6х + 2Ху бу + (2入n — mg) 6г =s 0.Отсюда, приравнивая коэффициенты при 6х, бу, 6n нулю, получаем для опре* деления положений равновесия уравнения:жив с (а), будем иметь:2入比 6х + 2Ху бу + (2入n — mg) 6г =s 0.Отсюда, приравнивая коэффициенты при 6х, бу, 6n нулю, получаем для опре* деления положений равновесия уравнения:

Пример. Найдем положения равновесия тяжелой материальной точки на сфере.

Пример. Найдем положения равновесия тяжелой материальной точки на сфере.

а) Предположим сначала, что точка не может покидать сферу радиуса R (связь неосвобождающая). Возьмем начало координат в центре “

(рис. 294) и ось г направим вертикально

Уравнение связи будет:

а) Предположим сначала, что точка не может покидать сферу радиуса R (связь неосвобождающая). Возьмем начало координат в центре “

(рис. 294) и ось г направим вертикально

Уравнение связи будет:

сферы вверх.

сферы вверх.

炉+y2 + ?2 — R2 = 0.

Так как проекции силы тяжести точки координат равны

f* = 0, аy — 0, аг = 一 mg,

炉+y2 + ?2 — R2 = 0.

Так как проекции силы тяжести точки координат равны

f* = 0, аy — 0, аг = 一 mg,

夕 то условие Лагранжа представится в —mg 6n = 0.

Варьируя уравнение связи, найдем: 2х 6х + 2у бу + 2г 5n — 0.

夕 то условие Лагранжа представится в —mg 6n = 0.

Варьируя уравнение связи, найдем: 2х 6х + 2у бу + 2г 5n — 0.

на оси

на оси

виде

(а>

виде

(а>

Умножив обе части равенства (б) иа 九

Умножив обе части равенства (б) иа 九

(6) и сло“

(6) и сло“

жив с (а), будем иметь:

2入比 6х + 2Ху бу + (2入n — mg) 6г =s 0.

Отсюда, приравнивая коэффициенты при 6х, бу, 6n нулю, получаем для опре* деления положений равновесия уравнения:

жив с (а), будем иметь:

2入比 6х + 2Ху бу + (2入n — mg) 6г =s 0.

Отсюда, приравнивая коэффициенты при 6х, бу, 6n нулю, получаем для опре* деления положений равновесия уравнения:

2Лх = 0,

(в>(в>2入 у = 0, 2入 n = mg.

(в>

(в>

Присоединив к ним уравнение связи

*2 + у2 + ?2 — R2 = 0,(г)

получим систему четырех уравнений (в) и (г), из которых определим %, у, ?,入~ Возводя уравнения (в) почленно в квадрат и складывая их, находим:

4九2 (炉 + у2 + 之2)—加2g2 ИЛН 4雜R2 = m2g2,

откуда

Так как 入#0, то

入一 土女，

x = 0, у = 0, n = ~^^- = ± R.

Следовательно, положениями равновесия точки будут (0,0, R) и (0,0, — К),

т. е. концы Л и В вертикального диаметра сферы.

б) Предположим теперь, что связь освобождающая, т. е. что точка может сторону (рис. 295). Тогда

сходить со сферы и именно во внутреннюю уравнение связи будет:

*2 + у2 + 之2 — R2 = с.

причем

с《0,&《0.

Условие равновесия (7) для этого имеет вид

—mg 6г = 6л, 6л W 0,

случая

причем вариации координат должны творять условию

удовле-

(п)

295

Рис.

О)

У

х 6尤 + у бу + n 6n =万,6с <0. (е)

Умножив обе части уравнения (е) на % и складывая с (д), будем иметь:入方 6х + A1y бу + (入之 一 mg) 6z = 5冗 + 九-g-.

Принимая во внимание, что неосвобождающие перемещения принадлежат к числу виртуальных, получим прежние уравнения равновесия, из которых найдем:Принимая во внимание, что неосвобождающие перемещения принадлежат к числу виртуальных, получим прежние уравнения равновесия, из которых найдем:-~2R,-~2R,0,0,у = 0,у = 0,mgmg

Принимая во внимание, что неосвобождающие перемещения принадлежат к числу виртуальных, получим прежние уравнения равновесия, из которых найдем:

Принимая во внимание, что неосвобождающие перемещения принадлежат к числу виртуальных, получим прежние уравнения равновесия, из которых найдем:

-~2R,

-~2R,

0,

0,

у = 0,

у = 0,

mg

mg

Но, согласно равенству (18), когда связь освобождает,九6с > 0, следовательно, знак 九 должен совпадать со знаком 6& т. е. должно быть 入 V 0, поскольку 6с < 0. Таким образом, в данном случае

入=一霊-Н z = - R,

т, е. точка будет находиться в равновесии только в положении Л (0, 0, —R) Если предположим, что точка может сходить со сферы во внешнюю

сторону, то 6с > 0, а следовательно, Л > 0; поэтому 入=н z = R. Положением равновесия будет точка 8.

Равновесие точки на кривой, а) Рассмотрим сначала случай неосвобождающих связей. Пусть уравнения связи, т. е. уравнения поверхностей, пересечением которых является данная кривая, будут:

Если на точку действует активная сила 尸(尸％,尸у,尸?)> то условие равновесия Лагранжа будет иметь вид

尸* 5х 十尸у бу 十 F, 6n = 0.(19)

Варьируя уравнения связей, получим

-2у +・亚6z = 0,дх1ду 尸1дх °" Г一熬 6y 十 办了1■4A 6n = 0.-2у +・亚6z = 0,дх1ду 尸1дх °" Г一熬 6y 十 办了1■4A 6n = 0.(20)(20)

-2у +

・亚6z = 0,

дх1

ду 尸1

дх °" Г

一熬 6y 十 办了1

■4A 6n = 0.

-2у +

・亚6z = 0,

дх1

ду 尸1

дх °" Г

一熬 6y 十 办了1

■4A 6n = 0.

(20)

(20)

Следовательно, вариации координат dx, бу, Bn должны удовлетворять двум условиям (20), поэтому независимой будет только одна, положим 6z. Умножая тогда обе части равенства (20) соответственно на К】и 九2 н складывая их с (19), получим:

(尸*十九1袈 +大2割0"+(尸y+М 卷 +入2符)8 +

+ (乙+储^J" +入2幾■) W == 0.

Пользуясь произволом выбора множителей Лагранжа 九〔и 九中 подберем их так, чтобы коэффициенты при зависимых вариациях 8х и Зу обратились в нуль; тогда коэффициент при 6z должен быть также равен нулю и мы будем иметь:

(21)(21)尸宀心+及警=。，尸У +储符+九2卷=0,G+M 答+ М 喷=6

(21)

(21)

Присоединяя к этим трем уравнениям два уравнения связей

/1 (х, у, N)= 0,%(%，У，£) = 0,

получим систему пяти уравнений, откуда и определим величины 尤，у, /,九 1 и 九2，соответствующие положению равновесия.

Если точка может покидать кривую (т. е. если связь осбО・ бождающа^ то уравнения связи будут：

/1(Х, У，N)= g, /2 (х, у, /) = &，

причем 6cl и 63 должны иметь определенные знаки. Условие Лагранжа для этого случая будет:

尸* 6%十尸у V十£ On = Е,6宾《0.(22)

Варьируя уравнения связи, получим:

争"女 +争_6y +争 6z=M.@3)

Умножая обе части равенств (23) соответственно на 九i н 入2 H складывая их с (22), будем иметь:

(尸.+ ?г 劈+九2診)0х十(尸y 十九1符九2符)0у +

+ 仍z+ 储"^"十九2"^") 6z = 6冗+九1 g +九2次2.

Считая перемещения неосвобождающими, получим прежнюю систему уравнений, из которых определим %, у, г,九「九？，н0 к пяти ранее полученным уравнениям прибавляется еще одно условие, влияющее на выбор 九 1 и 九2，а именно:

6л +入16仆+九2 6,2 — 0・

Допустим, что точка покидает первую связь, а вторую не поки* даст; тогда д^2 = 0, и мы имеем:

6п + 九 16q = 0.

Так как, когда связь освобождает, дл < 0, то

入 16cl〉0，

следовательно, множитель 九i должен иметь тот же знак, что и 6q・ Предположив, что точка покидает вторую связь, по остается на первой, получим 6q = 0; следовательно,

6?Т ~j— 2V2 6^2О,

откуда, так как 6冗 < 0, найдем:

九2 6e20)

следовательно, знак 九2 должен быть одинаков со знаком bq.

Физический смысл множителей Лагранжа. Пусть точка находится на поверхности

/(%, у, г) —О

и на нее действует сила 尸(尸尤，尸歹 尸)Уравнения равновесия точки в этом случае будут иметь вид

尸Х十大祭=仇尸у十九* = °，G十九嘗=。■

19 Н. Н. Бухгольц

Умножая эти уравнения соответственно на it Jt k и складывая, получим:

尸/+尸/+尸з+m*，十晋/)=。 или

尸+ 九 grad / = 0.

Сравнивая с условием равновесия F+N=0, где ^ есть нормальная реакция, находим:

N =入 grad /, откуда

2 一亠 N

-Jirad/I *

Но так как

=/僂"阁，留,

TO

Таким же образом, в случае равновесия точки на кривой, умнэжая обе части каждого из уравнений (21) соответственно на А /,也 и складывая их почленно, получим следующее векторное равенство:

尸+ 九 1 grad /1 + 九 2 grad /2 =。・

Сравнивая это равенство с условием равновесия

尸+M + N2 = 0, где М н N? — соответственно нормальные реакции поверхностей % = 0 н /2 = 0, найдем, что

% grad /1 = ^1,九2 &rad /2 = №，

т. е. произведения множителя Лагранжа на соответствующие grad / суть нормальные реакции поверхностей 力=0 и /2 = 0, пересечением которых является данная кривая.

Итак, множитель Лагранжа есть скалярная величина, пропорциональная реакции соответствующей связи.

4. Метод обобщенных координат. Для определения положения равновесия, кроме метода неопределенных множителей Лагранжа, можно пользоваться методом независимых параметров (обобщенных или криволинейных координат).

Равновесие точки на поверхности. Пусть на точку, находящуюся под действием активной силы 尸(尸#,尸屮尸%)， наложена неосвобождающая связь

/(х, у, /) = 0.

Тогда из трех координат 居 у, z независимыми будут только две; следовательно, координаты точки или ее радиус-вектор можно представить как функции двух независимых параметров % и 先 любой размерности, которые можно принять за обобщенные координаты точки. Таким образом,

X = X (^р 02)' У п1 У (%，02)，/ = "(0], 02),

или так как 尸="»+ y/+ 之论，то r = r(^I,依).

Преобразуем условие равновесия (6)

(24) через(25)(26)(24) через(25)(26)F * dr = О

(24) через

(25)

(26)

(24) через

(25)

(26)

к координатам qx и ^2. Для этого выразим вариацию 6г вариации криволинейных координат; получим:

*=冬_ 6g bq

Тогда равенство (24) дает:

尸・+?6皴=0.

Выражение

Mi "网I十〃 dqx十~ 0力一%

называется аналогичноназывается аналогичнообобщенной силой, отнесенной 川 координате д«

называется аналогично

называется аналогично

(26‘)(26‘)尸.01 = F 业■ + 尸 0- + 尸 包-=0。

(26‘)

(26‘)

此 d力十眺十N两2 "2

называется обобщенной силой, отнесенной к координате 夕？”

(27)(27)В результате условие (25) примет вид

(27)

(27)

Qi Si-J-Qz602 = 0.

Так как вариации bqx и 奶 независимы, то отсюда следует, что при равновесии

Qi = О, Q? = 0-(28)

Таким образом, условия равновесия состоят в том, что обобщенные силы, отнесенные к выбранным независимым координатам, должны быть равны нулю.

Если связь освобождающая, то уравнение связи имеет вид

/(х,山 N)= с, где с имеет определенный знак. В этом случае г будет функцией координат %,先 и % т. е.

Так как освобождающее перемещение происходит при изменении с* то вариация радиуса-вектора г

6г = ^- Ml +6,2 + 亠 6с

Подставляя это выражение в условие равновесия (7) 尸.” = 6л, 6n 总 0, получим:

尸•奇？幻+尸•設匈+尸$“=m

или

Ql Ml + Q2 6夕2 = 6几一C 6%

где

C = F-- = F 生*尸业де * оe十尸y加十 ？加.

Так как неосвобождающие перемещения принадлежат к числу виртуальных, то для них бл = 0, 6с = 0, и мы имеем:

Qi = О, Q2 = 0,(28‘)

Кроме того, отсюда следует, что

М — Сбс = 0.

Так как для освобождающих перемещений дл < 0> то Сдс < 0 и, следовательно, С и 6с должны иметь различные знаки. Это условие добавляется к условиям (28) в случае освобождающих связей.

Равновесие точки на кривой. Ограничимся рассмотрением случая неосвобождающей связи. Пусть точка, на которую действует сила F(Fx，尸у,尸J, принуждена остаться на кривой

/[(%, у, 2) = 0,%(Х，У，N)= S

В этом случае только одна координата будет независимой, поэтому координаты точки могут быть представлены как функции одного независимого параметра д, т. е.

%, у,乞|夕 или г = г(^).

Тогда

Подставляя это в условие равновесия 尸♦壮产=0, будем иметь:

尸.*6g = 0 или Q6g = 0,(29)

где

Q = F •黑=々岩+ J岩+ ?强 (30)

есть обобщенная сила, отнесенная к координате q. В результате получаем следующее условие равновесия:

Q = S(31)

Из выражения (30) видно, что обобщенная сила Q пропорциональна проекции силы 尸 на касательную к кривой; следовательно, при равновесии проекция силы на касательную к кривой должна равняться нулю.

Обобщенные силы. Из предыдущего видно, что для определения условий равновесия методом обобщенных координат следует определить отнесенные к этим координатам обобщенные силы и приравнять их нулю. Обобщенные силы Q, можно вычислять по формулам (26) или (30). При этом требуется установить в явном виде зависимость декартовых координат х, у, n от обобщенных g广 Однако в ряде случаев оказывается более простым другой путь вычисления Q&・ В самом деле, из равенств (27) или (29) следует, что их левая часть представляет собой выражение элементарной работы приложенных к точке активных сил в обобщенных координатах, т. е.

54 = Q］6gi + Q2 M2или M = Q5g. (32)

Следовательно, если непосредственно вычислить выражение элементарной работы и представить его в виде (32), то коэффициенты при вариациях обобщенных координат и будут соответствующими обобщенными силами.

Заметим, что размерность обобщенной силы Q зависит от размерности соответствующей обобщенной координаты, причем, как следует из (32),

0=挤(33)

Таким образом, если q ——величина линейная, то Q имеет размерность обычной силы, если же q — угол, то размерность Q будет совпадать с размерностью момента силы и т. д.

Пример. Найдем положения равновесия тяжелой материальной точки на сфере (см, пример на стр. 286) методом обобщенных координат.

Считаем сначала связь неосвобождающей. Положение точки М на сфере можно определить широтой 入 и полярным углом 0(夕［=入［,q2 = 0). Изобразим меридиональное сечение сферы и направим из ее центра вертикально вверх ось n (рис. 296, угол 入 между этим сечением и плоскостью * на рисунке не показан). Рассматриваемая точка находится в оцнородном поле тяжести и для нее (см. § 27, п. 3) силовая функция

U = — mgz + const = — mgR cos 8 + const,

где R — радиус сферы. Следовательно, элементарная работа

64 = 5U = mgR sin 0 50.

С другой стороны, согласно (32), должно быть:

6Л = Q1 5入 + Q2 бе.

Отсюда заключаем, что

Qi=0, Q2 = mgR sin 0.

Поскольку 02 = 9 — угол, то Q2 в соответствии со сказанным выше представляет собой момент силы р— mg относительно центра О.

При равновесии Q2 = 0, i. е. sin 0 = 0, откуда находим два положения равновесия: 0( = 0, 02 = ^

Допустим теперь, что связь является освобождающей и точка может покидать сферу, например перемещаясь внутрь сферы. Тогда радиус-век* тор г точки, покинувшей сферу, и ее координата n соответственно будут (см. рис. 296).

г = /? + с.z = A cos 8 + “.

Отсюда

U — — mgR cos 0 — mgcz 十 const и

6Я = mgR sin 0 60 — mg 6сг.

Здесь опять Qi=0, Q3 == mgR sin 0 и положения равновесия соответствуют 0] ~ 0, ^士工冗. Но из этих двух положений следует отобрать то» для которого С и 6cn имеют разные знаки, где С — коэффициент при 6cz в выражении 6Л. В данном случае С = — mg < 0. Следовательно^ равновесие имеет место лишь в точке А (рис. 296), для которой 6cz > 0.

покидать сферу во внешнюю сторону, то 6q > U

в положении В, которое н будет положением равновесия.

Как видим, с помощью обобщенных координат положения равновесия определяются быстрее, чем с помощью миожителей Лагранжа. Но зато, зная множитель А, мы можем дополнительно найти реакцию сферы.

§ 30. Статика системы материальных точек

Принцип виртуальных перемещений. В применении к системе материальных точек принцип виртуальных перемещений состоит в следующем: для равновесия системы материальных точек со стационарными 〃 идеальными связями необходимо 〃 достаточно, чтобы сумма элементарных работ всех действующих на систему активных сил при всяком виртуальном перемещении системы была равна нулю (для связей неосвобождающих) или же была равна нулю или меньше нуля (для связей освобождающих), т. з соответственнох)

也=i也=i(О

也=i

也=i

】)Для освобождающих связей знак равенства в формуле (У) соответствует случаю, когда все перемещения 6尸次 являются неосвобождающими,, а знак неравенства ——случаю, когда хотя бы одно кз перемещений 6/•后 является освобождающим. Это замечание относится и ко всем остальным формулам данного параграфа, содержащим неравенства.

илиили

или

или

(1')(1')工Fk •以& 0.

(1')

(1')

<b = l

Этот принцип логически вытекает из постулата идеальных связей. согласно которому для идеальных связей сумма элементарных работ реакций этих связей при всяком виртуальном перемещении или равна нулю (если связи неосвобождающие), или же равна или больше нуля (если среди связей есть освобождающие), т. е. соответственно

пп

* 6/ = 0 или £ N^ • 6/》0.⑵

По существу, каждое из соотношений (2) служит определением идеальных связей, и в дальнейшем под идеальными связями мы будем понимать такие, для которых это соотношение выполняется-

Покажем сначала, что даваемое принципом виртуальных перемещений условие равновесия является необходимым. Пусть некоторая

механическая система, состоящая из п мате- 化 риальных точек, находится в равновесии. Рас-Рис. 297(

смотрим какую-нибудь точку Ак системы;

обозначим сумму всех действующих на нее активных сил через Fk, а сумму всех реакций связей -- через ^ (рис. 297). Так как действие всех наложенных на точку Ak связей заменено их реакциями, то точку можно рассматривагь как свободную. Если система находится в равновесии, то всякая точка системы Дй будет тоже в равновесии, поэтому для каждой из точек системы

巴 + 2次=0 (А == 1, 2,п).(3)

Дадим каждой точке Дй виртуальное перемещение 6гй. Умножив обе части равенства (3) скалярно на 6产由，будем иметь:

Fk ' ^ + ^ • ^ = 0 (々 = 1, 2,п).

Складывая эти равенства почленно, получим:

三耳・5十三№.次& = 0.⑷

Но, согласно постулату идеальных связей (здесь и далее для общности рассматриваем случай, когда среди связей имеются освобождающие), п

X Nk •匕后》0.

Тогда из равенства (4) вытекает, что если система находится в равновесии, то

玄尸(5)

也=1

или

(5‘)(5‘)£ Fk • brk = М, 也=1

(5‘)

(5‘)

где 6商《0・ Следовательно, условие (5), выражающее принцип виртуальных перемещений, необходимо.

Покажем, что это условие и достаточно, т. е. что если оно выполняется, то система будет в равновесии. Допустим, что к точкам

системы, первоначально находившейся в покое, приложили активные силы F® удовлетворяющие условию (5), и что при этом хотя бы одна из точек Ak системы пришла в движение. Тогда для нее равенство (3) выполняться не будет и силы Fk, Nk будут иметь равнодействующую %、отличную от нуля (рис. 298). Под действием этой силы точка совершит истинное перемещение dr^ которое будет неосвобождаю-

щим (так как полагается, что Vft^0) и направленным вдоль Rk (так

как движение начинается из состояния покоя). Поскольку связи ста

ционарны, то одно из неосвобождающих виртуальных перемещений 6/ совпадает с drk и для него будет 左比・ 6〃 =(修 + NQ ・ 6〃〉0. В результате вместо (4) получим:

лп

工尸々 * 6/ + 2 М » Н次 > 0.(6)

也=1也=1

Допустим, что все остальные виртуальные перемещения также являются неосвобождающими. Тогда, согласно (2), должно быть £N『6〃 = ° м неравенство (6) даст 2 尸注• 6〃 > 0. Но это противоречит первоначальному допущению о том, что силы Fk удовлетворяют условию (5) при любых виртуальных перемещениях системы. Следовательно, при выполнении условия (5) система должна оставаться в равновесии. Таким образом, условие (5) действительно выражает необходимое и достаточное условие равновесия механической системы- В декартовых координатах оно имеет вид

2 (尸&х 6办十耳“％ +尸м 6%)= 6n， 加《0. (7)

Исследование равновесия системы в декартовых коорди* натах. Метод множителей Лагранжа. Пусть имеем систему п материальных точек, на которую наложены связи: неосвобождающие

九(尤，У，z) = 0(а= 1, 2,/)

и освобождающие

@В(х，У，2) = 4(в=1, 2, …，/п),

причем бср имеют определенные знаки (отсутствие индексов у координат обозначает, что под х, у, г подразумеваются координаты всех точек системы; следовательно, /а и ф^ суть функции всех Зм координат).

Таким образом, на систему наложено (/-}- /п) геометрических связей и число независимых координат системы будет равно

[3汽一(/ -J- т}] =r.

Запишем условие равновесия системы:

4 (尸&工。4 十尸 &у6%+尸&z6z&) = M,бп^О. (7，)

должны удовлетворять ус- уравнеиия связей, а именно:должны удовлетворять ус- уравнеиия связей, а именно:Вариации координат точек системы ловиям, которые мы получим, варьируя

должны удовлетворять ус- уравнеиия связей, а именно:

должны удовлетворять ус- уравнеиия связей, а именно:

(а = 1, 2. .. .) /)

! (8)

(В = 1, 2, .... /п).

Так как Зп вариаций 6%矗，6丿次，bzk должны удовлетворять (/十廃) условиям (8), то независимых из них будет Зп ——(/-]- /п) — г, т. е. столько же, сколько независимых координат.

Умножая обе части равенств (8) соответственно на ка и 卩§ н складывая их почленно с (7‘)， получим:

Л = 1 Lа = 16=1/

十卜*у+еm餘+£即需卜%+\a=l丿

十(f^十e九a-^ + 工以日讚卜/ =6九+£此6Со (9)

\ a=xp=i /」p=i

Мы имеем (/ + /п) зависимых вариаций. Выберем множители Лагранжа 九口 и 即 таким образом, чтобы коэффициенты при зависимых вариациях обратились в нуль; тогда коэффициенты при независимых вариациях будут также равны нулю, поскольку соотношение (9) должно выполняться и в случае, когда связи не освобождают, т. е. когда 6л и все 6с₽ равны нулю. Таким образом, получим систему 3汽 уравнений:

(々=1, 2,.,.,打)(10)(々=1, 2,.,.,打)(10)

(々=1, 2,.,.,打)(10)

(々=1, 2,.,.,打)(10)

из которых необходимо найти Зл 十(/十/п) величин: 3〃 координат 尤次'у次，N力，определяющих положение равновесия системы и (/十廃) множителей 九a，h伊

Присоединяя к уравнениям (10) еще (2十例)уравнений связей

/а (х, у, 2)= 0(а = 1, 2,/),

屮В(х, у,乞)=。6(р — 1, 2,/п),(“)

будем иметь полную систему 3也 + (/ + 例)уравнений.

Эффект освобождающих связей будет влиять на выбор множителей |i伊 которые, как видно из (9) и (10), должны удовлетворять условию

Предполагая, что освобождает только первая связь, а остальные не освобождают, получим отсюда:

6冗+"1次1 = 0 или 卩1次1>0,

так как дл < 0. Следовательно, множитель “〔 должен иметь знак, одинаковый с 6с「и т. д.

Условия равновесия системы в обобщенных координатах. Обобщенные силы. Рассмотрим сначала случай неосвобождающих связей. Пусть на систему п материальных точек наложено / неосвобождающих геометрических связей

/口(х, у, /) == 0 (ct 1» 2, • > •» /)•

Тогда число назависимых координат системы будет Зп — l — rt причем декартовы координаты xk, у左，zk или векторные координаты rk точек системы можно выразить в функциях г независимых параметров (обобщенных координат)夕，^20户 т. е.

产々—fk ('], ^2* • • ■ > %)*

Отсюда

г

6/ =工醤叽 (А = 1, 2,п).

Р=1

Подставив эти выражения brk в условие равновесия

п

64 = X G = о>

k = l

получим л г

次=1 Р=1“

Введем обозначение пп

Qp=4仆喝墨+/嗡+ %瓷)，(12)

где Q@ будет обобщенная сила, отнесенная к координате 毋 Тогда получим условие равновесия в виде

64=У<?рб0р = О・(13)

Из равенства (13) видно, что обобщенные силы Qp представляют собой величины, равные коэффициентам при вариациях обобщенных координат в выражении элементарной работы. Размерность их, как уже указывалось, будет

и зависит от размерности соответствующей обобщенной координаты. Так как координаты 鲍 независимы, то из равенства (13) получаем следующие условия равновесия:

Qi = 0, Q2 = 0, .... Qr — 0* (14)

Таким образом, для равновесия системы с неосвобождающими связями (стационарными и идеальными) необходимо и достаточно, чтобы обобщенные силы, отнесенные к выбранным обобщенным координатам, были равны нулю.

Если связи освобождающие, то уравнения связей будут иметь вид /а (х, уj N)— с@ (а = 1 > 2, . *., /)>

причем О% будут иметь определенные знаки. Тогда радиусы-век* торы rk точек системы могут быть выражены в функциях Зп — 1 — r независимых параметров %, ^2, .. .. qr и величин с「 с2, .. . f с£, т. е«

产次У• • ■»分，e2，• • •» q)"

Отсюда

Подставляя эти значения drA в условие равновесия

получим;

rt Г гс一

e 2与，醤叱+£%證м。 =配，m《0.

Вводя обозначения

»「•豈=言阳鏡十尸&滥十尸&总) = Qp,

или

斗 Qp60p = 6"— S Ca6ca.(15)

Поскольку это соотношение должно выполняться и в случае» когда связи не освобождают, т. е. когда

бл = 0, "а = 0 (а = 1, 2, ...,/),

то отсюда опять приходим к условиям равновесия (14):

Qi = О, Q? = 0Qr=O.

Однако теперь к ним присоединится еще вытекающее из (15) добавочное условие:

—= о.

а=1

Рассуждая по предыдущему, находим в случае освобождающих свя* зей следующие добавочные условия равновесия: каждая из величин Са должна иметь знак, обратный знаку 6са.

Некоторые частные случаи равновесия системы.

Равновесие свободного абсолютно твердого тела. Условия равновесия абсолютно твердого тела, выведенные в элементарной статике, вытекают из общего условия равновесия (условия Лагранжа) как частный случай. Пусаь имеем свободное абсолютно твердое тело, на которое действуют силы 尸片 Тогда при равновесии эти силы должны удовлетворять условию

g尸—，(16)

где brk ——виртуальные перемещения точек тела.

зроИ мгновенной оси на тела Mk получит пере-зроИ мгновенной оси на тела Mk получит пере-Известно, что всякое элементарное перемещение абсолютно твердого тела слагается из поступательного перемещения 6&, общего для всех точек тела, и поворота около неко： угол 6中 1) (рис. 299); поэтому всякая точка мещение

зроИ мгновенной оси на тела Mk получит пере-

зроИ мгновенной оси на тела Mk получит пере-

计后=" +坪x rk,

где rk есть радиус-вектор точки. Подставляя это выражение 6/■也 в условие равновесия (16), получим:

X * ■ (6« + б? X 〃)= о，k=lилилп

64 = W 耳• W + W 尸用• g Х 乙)=0・(17)

А=1力=1

Преобразуем второй член левой части:

吊•画义/)=(/Х吊)•坤•

1) Под 6审 мы понимаем вектор, численно равный 6屮 и направленный вдоль мгновенной оси в ту сторону,'откуда поворот виден против хода часовой стрелки.

04 =(为尸J "*十04 =(为尸J "*十Тогда из (17), учитывая, что да и 6中 являются в первой и второй суммах соответственно общими множителями, получим:

04 =(为尸J "*十

04 =(为尸J "*十

2(rk х F^ •脚=0,(18)

=1_

Ввиду юго, что да и 6中 суть независимые вариации, находим отсюда:

工耳=0，

(19)

2j (/ X Fp — 0.

用=1

Равенства (19) представляют собой известные из элементарной статики условия равновесия свободного абсолютно твердого тела в векторной форме. Заметим, что условия (19) необходимы для равновесия всякой системы материальных точек, потому что, предполагая эту систему отвердевшей, мы налагаем добавочные связи и не нарушаем равновесия системы* но достаточными эти условия будут только для абсолютно твердого тела.

Равновесие твердого тела, имеющего неподвижную ось вращения. Такое тело имеет одну степень свободы ——поворот вокруг оси вращения z\ за обобщенную координату можно выбрать угол поворота ср. Если к телу приложены активные силы F» то элементарную работу этих сил можно определить из равенства (18), полагая в нем да = 0, а вектор 6干 направленным вдоль оси N. Тогда, поскольку в данном случае d(px — д(ру ~ 0, а д(рг =дф, будем иметь:

6N=[2 (/ X吊)]• g = X (/Х尸j频。

Но по определению (尸用 X 吊% = mom^ 修，т. е. представляет собой момент силы Fk относительно оси N, Введем обозначение

Мг = ^ тот?尸肥(20)

где величина Mz называется вращающим моментом. Тогда получим:

M = Mz6^t(21)

т. е. элементарная работа сил, приложенных к телу, имеюшему неподвижную ось вращения, равна вращающему моменту, умноженному на элементарный угол поворота.

Из равенства (21) следует, что соответствующая координате ф обобщенная сила Q равна вращающему моменту Mz. Следовательно, условием равновесия тела, имеющего неподвижную ось вращения, будет:

附,$ — 2 mom看 ЛА — 0.(22)

Такой же результат был найден методами геометрической ста

тики.

Равновесие системы, находящейся в однородном поле тяжести. Пусть мы имеем систему материальных точек с идеальными связями и пусть действующими на нее активными силами

являются только силы тяжести; следовательно, на каждую точку системы действует активная сила mkgt где mk — масса точки (рис. 300). Направим ось z вертикально вниз; элементарная работа силы тяжести при всяком виртуальном перемещении будет равна mkg bzk и условие равновесия системы примет вид

£ mkgbzk = 0 или 2 mk "比=°， (23)

поскольку g, как общий множитель, можно вынести за знак суммы и на него сократить. Но

где М — масса системы, zQ—координата центра масс. Тогда из (23) находим:

2 恤 о N mkzk =加= о.

少=1也=1

Отсюда, так как Al^O, имеем:

6% = 0, zQ — station.6% = 0, zQ — station.(24)(24)

6% = 0, zQ — station.

6% = 0, zQ — station.

(24)

(24)

т. е. координата центра масс при равновесии имеет стационарное значение.

Отсюда вытекает принцип Торричелли: тяжелая система материальных точек с идеальными связями находится 6 равновесии только при том условии, что высота ее центра масс имеет стационарное значение^

Сказанное можно пояснить примером, изображенным на рис. 301.

Рис. 301Рис. 301

Рис. 301

Рис. 301

Равновесие системы под действием потенциальных сил- Пусть силы, действующие на систему, имеют потенциал; связи предполагаем неосвобождающими.

В этом случае, если U(x, у, z) есть потенциальная функция, то " dU 户 一dU 户 dU .

подставляя эти значения в условие равновесия, получим:

* (尸^ 6/ + %У+ Fkz 6/)=

7黑"肾心礙…аy, z) = 0, (25)

т. е. при равновесии первая вариация потенциальной функции U должна равняться нулю, или, чго то же, система материальных точек будет находиться в равновесии тогда и только тогда, когда потенциальная фупкция U имеет стационарное значение.

Найдем выражение обобщенных Сил через потенциальную функцию U. Так как

пп

п

п

а для потенциальных сил

戶 dU— dU— dU

то, излагая 巾ункпию U выраженной через обобщенные координаты q,, т. е. считая U = U (qit 先，...t 务)，получим:

п

dU dzk \ dU

Следовательно, обобщенная сила равна производной от силовой функции по соответствующей обобщенной координате.

Условие равновесия в обобщенных координатах имеет вид

п

bN=£Qp4>=E^Mp = 6U =。’

Р=1 口

откуда

U = station,(27)

т. е. получаем тот же результат.

5・ Задачи, Для механической системы с неосвобождающими связями (идеальными и счационарными) условие равновесия (5) имеет вид

工 64 = 0,(28)

где 64兑一элементарные работы активных сил, которые можно вычислять по одной из следующих формул:

64 = %Х°办+ &у6%+”Z°%,(29)

64 = /6%cos(&〃)，(30)

6Ak = (тотг Fa) d(pA = тг ё(рА.(31)

Последняя формула (см. п. 4) относится к случаю, когда сила Fk (или пара с моментом т) действует на тело, имеющее неподвижную ось вращения N.

Если 6N力 вычисляются по формулам (30) и (31), то при этом все перемещения 6sk и 6①舟 должны быть выражены через независимые (для системы с одной степенью свободы—через одно). Если же используется формула (29), то первоначально координаты х右，у店，zk можно выразить через' любое число параметров и, проварьировав эти выражения, найти 6х^, бу总，6z兑；но затем также следует все вошедшие в выражения 65舟 вариации параметров выразить через независимые. После этого уравнения для определения искомых величин находят» приравнивая нулю коэффициенты при независимых вариациях (т. е. обобщенные силы).

Для определения реакции какой-либо связи отбрасывают эту связь и заменяют ее соответствующей реакцией, которую включают в число активных сил. При этом у системы с отброшенной связью увеличивается число степеней свободы, т. е. число независимых вариаций координат, что дает дополнительные уравнения для определения искомой реакции.

В рассматриваемых ниже примерах весами всех звеньев (если веса не заданы), а также трением пренебрегаем.

РРис 302.РРис 302.В механизме, состоящем из шарпирпо соединенных стержней, образующих п одинаковых параллелограммов (рис. 302), найти зависимость между силами Р и Q при равновесии.

Р

Рис 302.

Р

Рис 302.

Механизм имеет одну степень свободы, так как его положение полностью определяется одним углом а

Обозначая виртуальные перемещения точек /】и Ап через 6sL и 6$几, имеем следующее условие равновесия:

Р 6s以 一 Q 6» = 0.

Но при виртуальном перемещении диагонали всех параллелограммов удлиняются на одну и ту же величину 6s; следовательно, 6sL =» 6s, 6sn — n 65 и мы получим (пР — Q)bs = 0, откуда^ так как 6s 市 О, Q 0 np.

Можно также, проведя из неподвижной точки О по вертикали вниз ось Ох, представить условие равновесия в виде Q^ 6尤【+P# 6尤几=0. Вводя параметр а и обозначая сторону параллелограмма через а, имеем % — 2a cos а, хп — Ina cos а, откуда 6*【工—2а sin а 6% 6尤田=—2na sin а&а. Тогда, так

20 Н. Н Бухгольц

как Q# = — Q, Рх = Р, получим (Q — пР) 2a sin а 6а = 0, откуда опять находим 0 = пР.

В прессе, изображенном на рис. 303, ABDE есть шарнирный параллелограмм, у которого АВ = DE = л и звено АЕ неподвижно. С звеном DE

жестко связана рукоять ЕК длины 2; в точке К перпендикулярно к рукояти приложена сила 尸.Найти силу давления Q на поршень, если при данных углах а н 卩 имеет место равновесие.

Эта система также имеет одну степень свободы, так как ее положение (зная длины стержней) можно определить одним углом а.

По условию равновесия будет:

6Л (尸)+ 6Л (Q) = 0.6Л (尸)+ 6Л (Q) = 0.(а)(а)ось у. Тогда 6/(Q)==Qy6yc， бус = — (а sin а ба -}~ ^ sin § бр).ось у. Тогда 6/(Q)==Qy6yc， бус = — (а sin а ба -}~ ^ sin § бр).Если звено /6 при виртуальном перемещении повернется в сторону возрастания угла а на 6а, то звено ED параллелограмма и жестко связанная с ним рукоять- повернутся около центра Е также на угол ба; следовательно, с учетом знака

6Л (尸)+ 6Л (Q) = 0.

6Л (尸)+ 6Л (Q) = 0.

(а)

(а)

ось у. Тогда 6/(Q)==Qy6yc， бус = — (а sin а ба -}~ ^ sin § бр).

ось у. Тогда 6/(Q)==Qy6yc， бус = — (а sin а ба -}~ ^ sin § бр).

6/ (戶)——I mom£ P| ба = — Pl ба. (б)

Для определения 6Л (Q) проведем иа неподвижной точки Л вертикально вверх

где Q =lQ, ус = a cos а + 6 cos ₽ и

Но так как система имеет одну степень свободы, то углы аир должны быть связаны некоторым соотношением. Из рисунка легко видеть, что это соотношение будет b sin р — a sin а = Л — const, откуда, варьируя, находим Ь cos р бр — a cos а 6а = 0 и

其 аa cos а s

Ь cos 0

В результате будем иметь:

(«)(«)6Л (Q) = Qa (sin а + cos а tg 0) 6а,

(«)

(«)

и условие равновесия (а) принимает вид

[—Pl + Qa (sin a + cos a tg p)] 6a = 0.

Отсюда получаем

° — Pl cos 卩

V — a cos ot (tg ot + tg §) — a sin (a 4~ ₽)

Если надо дополнительно найти реакцию направляющей на поршень, тог отбрасывая эту связь, заменяем ее действие искомой реакцией М При этом система может получить дополнительное (независимое от первого) виртуальное перемещение в виде поворота стержня ВС вместе с поршнем вокруг центра В на некоторый угол 6屮(при ct== const). Сообщая системе такое перемещение и приравнивая сумму работ сил Q и ^ на этом перемещении нулю, получим:

(Nb cos § — Qb sin p) бср — 0, откуда

N=QtgB・

Четыре одинаковых соединенных шарнирами стержня расположены в вертикальной плоскости так, что /. CBD = / CDB (рис. 304); при этом конец Л первого стержня закреплен шарнирно, а конец £ последнего стержня

Рис. 304.Рис. 304.опирается на гладкую горизонтальную плоскость. В точках В, С и £> к стержням приложены три одинаковые вертикальные силы (А == А = А = Р), а в точке Е — горизонтальная сила Q. Определить углы аир при равновесии.

Рис. 304.

Рис. 304.

Конфигурация системы, при условии, что /_ CBD = / CDB, определяется двумя независимыми между собой углами а и ₽ (перемещая точку Е вдоль плоскости,

можно изменить угол а, не меняя

угла 0, и наоборот)» Следовательно, для определения искомых величин можно получить два уравнения, как для системы с двумя степенями свободы.

Проведем через неподвижную точку Л координатные оси л и у. Так как проекции сил Ръ Р2 и А на ось х и силы Q на ось у равны нулю, то условие равновесия имеет вид

р1 У ”в + /у °Ус + /у ”D + Q* ^£ = 0(а)

Обозначая длину стержня через а, имеем:

ув = уо = £z sin а, ус ^ а sin а-|- а sin р, х£ ~ 2а cos а -|- 2а cos р,

откуда

6у5 = 6yD = а cos а 6% бу^ — а (cos ot Bet + cos § 60),бх£ = — 2a (sin а 6ot + sin 卩心卩).

Кроме того, 尸【у ==尸2у ==尸зу =—尸，Q%0 — Q・ Подставляя все эти значения в равенство (а) и выделяя коэффициенты при 6а и 6§, будем иметь:

(—ЗР cos ot + 2Q sin а) а б« + (— Р cos 卩十 2Q sin 卩)а 6卩==0.(б)

Поскольку, как было указано, 6а и 60 между собой независимы, то коэффициенты при них должны быть порознь равны нулю. Отсюда находим:

3尸Р

Интересно отметить, что при любых значениях сил Р н Q углы аир будут связаны соотношением tg а == 3 tg р.

Для механизмов с одной степенью свободы часто бывает удобно ввести в условие (28) так называемые виртуальные скорости; при этом определение зависимости между силами, действующими на звенья механизма при равновесии, сводится к чисто кинематической задаче — определению зависимости между скоростями гатнх звеньев при возможном их движении (передаточного числа).

Пусть, например, на звено / механизма (ведущее), которое может совершать чисто вращательное движение, действует пара с моментом т (или сила, 20*

момент которой относительно оси вращения равен 加% а на звено 2 (ведомое), которое может совершать только поступательное движение, действует сила F (рис. 305). Тогда при равновесии

m бср + 尸 6s cos (尸，6r) = 0.

mo + Fv cos (Ft») = 0,mo + Fv cos (Ft») = 0,Но при стационарных связях истинное перемещение является одним из виртуальных. Следовательно, если при возможном движении механизма звено / будет иметь некоторую угловую скорость о, а звено 2 — поступательную скорость © (о и w называют виртуальными скоростями), то можно принять бср = о df, 6s — V dt. Тогда предыдущее равенство дает:

mo + Fv cos (Ft») = 0,

mo + Fv cos (Ft») = 0,

откуда, так как 尸 cos (尸w)=尸纟 есть проекция силы на направление виртуальной скорости 仇 находим:

(32)(32)m и

(32)

(32)

77Гй

上h 旦=弧U I 加2 I 8]上h 旦=弧U I 加2 I 8]Аналогично, если оба звена какого-либо механизма могут иметь или только поступательные, или чисто вращательные движения и на эти звенья действуют или силы 尸匕尸2, или пары с моментами т^^ то при равновесии будет:

上h 旦=弧

U I 加2 I 8]

上h 旦=弧

U I 加2 I 8]

(33>

Из полученных равенств видно, что действующие на звенья механизма при равновесии силы (или моменты пар) обратно пропорциональны соответствующим виртуальным скоростям. Это является отражением известного еще древним «Золотого правила механики» — «то, что выигрывается в силе> теряется в скорости».

Поясним изложенное двумя примерами.

Пусть в механизме, изображенном на рис. 108 (стр. 113), иа стержни ОА и DC действуют соответственно пары с моментами, равными по модулк> т0А и три Тогда по второй из формул (33) при равновесии будет:

тол „ ^РС

Но из решения рассмотренной на стр. 113 задачи следует, что у данного

OA'OA'механизма для положения, показанного на рис. 108, »DC = -^~ —十=2о(

OA'

OA'

Следовательно, при равновесии mQA = ^DC*

Применим этот метод к решению рассмотренного выше примера 2. По формуле (32) будет (см. рис. 303):

Q 二 ®ЕК

В данном случае —= Чтобы найти связь между юлп и и 卜

рассмотрим скорость точки В, По модулю и^ = %#•〃； при этом вектор 力衣

перпендикулярный к АВ, образует со стержнем ВС, как легко подсчитать^ угол, равный [90°—(戏 + 6)]・ Вектор же % образует с 8c угол 0. Тогда по известной теореме кинематики v£ cos [90° —侬十 §)] == % cos 0 или ①力8a sin (a + В)=已匸 cos 舀 откуда

% —cos В

%% asEQ + B)

О — Pl cos 6

Q — a sin (« + Р)

Рассмотренные примеры показывают, что при применении принципа виртуальных перемещений для определения условий равновесия механизма надо знать только соответствующее передаточное число, которое, в частности, можно определить экспериментально, не зная всех деталей механизма. Методами геометрической статики определить условие равновесия механизма, не зная всех его деталей, принципиально невозможно.

и нерастяжимой нитии нерастяжимой нити§ 31. О равновесии гибкой

и нерастяжимой нити

и нерастяжимой нити

1. Натяжение нити. Под гибкой подразумевать систему материальных ных по кривой, причем расстояния

нерастяжимой питью мы будем точек, непрерывно расположен-

вдоль кривой, неизменными.

остаются

Пусть имеем идеальную нить, пленную в точках (рис. 306, а), на

такую закре- Д и В

кото-

рую действуют некоторые активные силы; под действием их нить принимает вообще форму определенной кривой, являющуюся фигурой равновесия нити.

Если мы мысленно разрежем нить в

между точками системы.

считая

Рис. 306.

произвольной

точке

С

и

уда-

лим часть СВ, то для удержания оставшейся части нити в равновесии необходимо будет приложить некоторую силу 7, направленную по

касательной к нити в точке С; нити в данной точке.

2. Уравнения равновесия

эта сила называется

нити. Пусть нить

в равновесии под действием сил, которые действуют

натяжением

АВ находитсяна все точки

нити. Обозначим силу, действующую на единицу длины нити, через 尸； эта сила вообще есть функция координат точки, на которую она действует. Длину отрезка нити от начальной точки Л до некоторой произвольной точки а (рис. 306, б) будем обозначать через s. При этом за положительное направление отсчета s принимаем направление

от Л к В; таким же считаем направление вектора Т в любой точке нити.

Рассмотрим равновесие элемента нити ab — ds. Обозначим натяжение нити в точке а через 7, а в точке b через 7\ (оба эти вектора направлены по принятому условию в направлении положительного отсчета s). Тогда на элемент ab действуют следующие силы: 1) натяжение —Т в точке а, 2) натяжение 7\ в точке Ь, 3) приложенная извне сила 尸 ds.

Условие равновесия этого элемента будет:

Fds+T[+(—Т) = 0・

Так как 7\=丁+47\ то отсюда находим:

Fds + dT = Ot или

尸⑴

Равенство (1) выражает дифференциальное уравнение равновесия нити в векторной форме.

Представим это уравнение в проекциях на оси прямоугольной декартовой системы координат Oxyz. Так как косинусы углов, которые касательная к кривой в точке а(х, у, N)образует с осями координат, равны dx dy dz ds * ds * ds *

TO

ds * 7 у — ds J 1ds

Тогда, проектируя обе части равенства (1) на оси координат, будем иметь:

备（阳+尸—

备（啕+尸尸。‘

⑵

言（7宾）+尸尸。，

или

dT

dx - ™ d2x

/ = 0,

ds

ds ' ' d§2

dT ds

dy J т 壮У ds 1 rf№

|-尸 у — 0,

(3)

dl

dzт d2z

-Fz = 0.

ds

ds 1 ' ds?

Этими уравнениями обычно и пользуются при решении конкретных задач.

Найдем теперь уравнения равновесия нити в проекциях на оси построенного в точке а естественного трехгранника (см. рис. 58). Обозначим орты касательной, главной нормали и бинормали соответственно через т°, л° и Ь°, Тогда Т —Т^ и мы получим:

ds ds〈丿 ds 十 ds ' Но

d sd s П P f

где р есть радиус кривизны кривой в точке а; следовательно, dT dT п I Л°

и уравнение равновесия (1) дает:

尸+黑 №+^"°=°・(4>

Так как 尸=f\t°-|-E"° +尸匕隗 то равенство (4) можно представить в виде

*t。+ 7果=一 ％。一尸储。一尸狀

Отсюда получаем следующие уравнения равновесия нити в проекциях на оси естественного трехгранника:

dT口 T口 а С心

-d§ ——尸万一一尸匕=0.(5)

Из уравнений (5) видно, что производная от натяжения нити по дуге равна взятой с обратным знаком проекции действующей силы на касательную, а произведение натяжения нити в данной точке н± кривизну той кривой, по которой нить располагается в равновесии, равняется взятой с обратным знаком проекции силы на главную нормаль (под силой всюду понимается сила» отнесенная к единице длины нити). Из равенства же F& = 0 следует, что при равновесии нить располагается так, что проекция действующей силы на бинормаль есть нуль; другими словами, при равновесии нити действующая сила лежит в соприкасающейся плоскости кривой, по которой располагается нить.

Случай параллельных сил. Пусть силы, действующие на нить, параллельны, т. е F= FF°, где 尸° = const; следовательно, при переходе от точки к точке сила изменяется только по модулю. Дифференциальное уравнение равновесия

卜尸=0卜尸=0dsdsdT

卜尸=0

卜尸=0

ds

ds

преобразуем, умножая его векторно на единичный вектор 尸°; получим:

为X尸。十尸X尸。=0.

Второй член равен нулю, так как перемножаемые векторы коллинеарны; следовательно,

?x尸0=0ds

или, так как 戶° = const,

备(7Х 户) =。， откуда

Ту^ F^ = const.

Это означает, что нить располагается в одной плоскости, параллельной силам.

Возьмем теперь в плоскости нити направление й°. перпендикулярное к 尸"Умножив обе части равенства (6) скалярно на Л°, получим:

~^" •也。+ 尸.眇=0.

^Скалярное произведение 尸，万° = 0, так как, по условию, векторы 尸 и Л° взаимно перпендикулярны; следовательно,

Следовательно, проекция натяжения нити на ис'направление, перпендикулярное к силам, есть

величина постоянная.

Случай центральных сил. Найдем фигуру равновесия идеальной нити под действием центральных сил, т. е. таких, направление которых проходит через одну точку。(рис. 307).

Взяв начало в центре сил О, умножим основное уравнение равновесия (1) векторно на векторную координату г точки Ж нити； лолучим:

崇•></■ +尸Xf = 0，

В случае центральных сил векторы F и г коллинеарны, поэтому FXr = ^ и, следовательно,

黑 Х，= 0.(7)

Но

黒 Хг = ^(7，)—7Х^・

Так как |"| = dst то

ds — р，

где т° есть единичный вектор касательной. Поэтому, учитывая, что векторы Т и т° коллинеарны, получим:

Следовательно, условие равновесия (7) примет вид

★(7Хг) =。，

или, интегрируя, Т X у = const.

Таким образом, под действием центральных сил нить расположится по плоской кривой, плоскость которой проходит через центр сил.

Случай потенциальных сил. Пусть сила 尸 имеет потенциал^ т. е,

尸=grad Ut

где потенциальная функция U, как и сила 尸,отнесена к единице длины нити. Тогда основное уравнение (1) примет вид

■|L + gradU = 0.

Умножив абе части этого уравнения скалярно на единичный вектор касательной х°, получим:

_^_ • t° + grad U • t。= 0.(8>

Но

=血(7.吟一 7

ИЛИ

^.^=^(Т.^(9>

поскольку векторы Т — Т ^ и 4т° взаимно перпендикулярны. На основании равенства (9) условие равновесия (8) примет вид

-^•(7. 吟 + gradU.祁=0.(10)

Так как grad U =— тюgrad U・ t° =Так как grad U =— тюgrad U・ t° =dU dydU dydU A c dx …dy …dz 工万①a袒=^，+*/ + ^史dU A c dx …dy …dz 工万①a袒=^，+*/ + ^史dU dx dx dsdU dx dx dsdU dydy dsdU dydy dsdU dz _ dU dz ds — dsdU dz _ dU dz ds — ds

Так как grad U =— тю

grad U・ t° =

Так как grad U =— тю

grad U・ t° =

dU dy

dU dy

dU A c dx …dy …dz 工万①a袒=^，+*/ + ^史

dU A c dx …dy …dz 工万①a袒=^，+*/ + ^史

dU dx dx ds

dU dx dx ds

dU dydy ds

dU dydy ds

dU dz _ dU dz ds — ds

dU dz _ dU dz ds — ds

Кроме того, T • t°=T и уравнение (10) принимает вид

累■+黑=° или 好+и)= о.

откуда имеем:откуда имеем:T-\~U — const.T-\~U — const.(И)(И)

откуда имеем:

откуда имеем:

T-\~U — const.

T-\~U — const.

(И)

(И)

Равенство (11) есть интеграл уравнения (8), т. е. интеграл основного уравнения (1) при условии существования потенциала сил.

Цепная линия. Найдем форму кривой, по которой расположится однородная идеальная нить в поле тяжести (рис. 308). Пусть вес единицы длины нити равен у; так как 夕нить однородна, то у = const. Вследствие

того, что нить находится под действием па- 力раллельных сил, каковыми являются силы

^^ТГС^ тяжести, фигура равновесия нити будет пло- С忆 ской кривой» лежащей в вертикальной ”плоскости; примем эту плоскость за пло-

рис> зо8.скость ху，причем ось у направим верти

кально вверх. Тогда, поскольку в данном ■случае Fx— 0,々=—у» уравнения равновесия нити (2) примут вид

(12)

V-

Из первого уравнения следует, что

丁塞=「о = const,(13)

т. е. проекция натяжения на ось х есть величина постоянная. Из (13) имеем:

Подставляя это выражение Т во второе уравнение системы (12), получим:

d ds dy \

или

屮。*) = Yds・

Но

dS=/l +⑶2 dX.

Следовательно,

中。令尸Y/1+(需%x.(14>

Для интегрирования полагаем ^^ =尸；тогда уравнение (14) примет вид

T^dp — y У1 -|-р2dx.

Разделяя переменные, получим:

dpdp— dx, 丁。— dx, 丁。или, полагая -^или, полагая -^dp — dxdp — dx

dp

dp

— dx, 丁。

— dx, 丁。

или, полагая -^

или, полагая -^

dp — dx

dp — dx

Интегрируя, найдем

1п(р+/Г+Р) = ^-ьС1.

Положим, что при р = ~^ = 0 х = 0, т. е. проведем ось у через- ту точку кривой, где касательная параллельна оси х. При этом условии с】=0, и мы будем иметь:

р -\~У\ р2 — еа .

Для определения р возьмем обратную величину

——р + ]/" 1 + 尸2 = е 口

и вычтем из первого выражения второе. Получим:

р~^\еа — е « у =： sh

Так как 〃 = -^- = sh —, то

d^= sh 彳 dx、

откуда, интегрируя, найдем:

у = a ch w ~I- q.

Пусть при % = Q у = a; тогда, так как ch 0=1, с2 = 0 и

」％ а у = a ch — = ь / а 2」％ а у = a ch — = ь / а 2(15)(15)т\ е. однородная идеальная нить расположится в однородном полет\ е. однородная идеальная нить расположится в однородном поле"тяжести"тяжестипо цепной линии (рис. 309).по цепной линии (рис. 309).Рис. 310.Рис. 310.случае,случае,потенциалсогласно (11),「+ U = const, или т — уу=то — уа.потенциалсогласно (11),「+ U = const, или т — уу=то — уа.U = — уу,U = — уу,тотов этомв этом

」％ а у = a ch — = ь / а 2

」％ а у = a ch — = ь / а 2

(15)

(15)

т\ е. однородная идеальная нить расположится в однородном поле

т\ е. однородная идеальная нить расположится в однородном поле

"тяжести

"тяжести

по цепной линии (рис. 309).

по цепной линии (рис. 309).

Рис. 310.

Рис. 310.

случае,

случае,

потенциал

согласно (11),「+ U = const, или т — уу=то — уа.

потенциал

согласно (11),「+ U = const, или т — уу=то — уа.

U = — уу,

U = — уу,

то

то

в этом

в этом

7

(16)(16)но поскольку —^=。， то Г。一 уа = 0 и, следовательно, 7= уу.

(16)

(16)

точки.Източки.ИзИтак, натяжение в каждой точке тяжелой однородной нити равно весу отрезка той же нити, длина которого равна ординате этой

точки.

Из

точки.

Из

этого результата следует, в частности, что нить, перекинутая

через два лишенных трения блока (рис. 310), будет в равновесии

тогда,тогда,когда свободные концы ее опустятся до оси х.

тогда,

тогда,

Примечание. Галилей предполагал, что тяжелая однородная нить располагается в поле тяжести по параболе. Это предположение с известной точностью оправдывается, если х < а. В самом деле,

尸=1 _ ^+3(計一彳(守+…'

отсюда

l(eT+^-?-) = chi = 1 + 2.^2+J_(£)4+

следовательно^ уравнение цепной линии принимает вид

у = а(1 + ^@ +帀方 +

Если х < а, то, удерживая уравнение

члены до второго порядка включительно, получим

1 *2

讶丁'

а

т. е. уравнение параболы.

7. Параболическая нить. Пусть нить находится под действием непрерывной вертикальной нагрузки, равномерно распределенной по длине проекции нити на горизонтальную ось ab и приложенной

во всех точках нити. Такой случай нагрузки встречается в висячих мостах. Найдем форму кривой, по которой расположится нить при этой нагрузке (рис. 311).

Так как силы, действующие на нить, параллельны, то нить расположится в вертикальной плоскости ху. Направим ось х 工「зон- тально, а ось у вертикально вверх. Тогда на элемент нити ds будет

Рис. 3! 1.

действовать сила, равная 丫4%, где у есть нагрузка, приходящаяся на единицу длины ab. Поэтому в данном случае 尸= -^^ и урав-

нения равновесия нити

(2) примут вид

中祭)=6 屮 49—у"。.

Из первого уравнения

имеем, как и в предыдущем случае:

*ТЧ ЯЛГП.

Т 4у == 丁。二1 const,

откуда

1。£

Подставляя это значение Т во второе уравнение, получим:

中。案嘉卜

Ydx,

или

ПолагаяПолагая§ =。，§ =。，1а1абудем иметь:d2yбудем иметь:d2y

Полагая

Полагая

§ =。，

§ =。，

1

а

1

а

будем иметь:

d2y

будем иметь:

d2y

откуда, интегрируя, наймем:

У = % + Q% + &，

где с】II f2 суть постоянные интегрирования. Отсюда следует, что в этом случае нить расположится по параболе, ось которой верти* кальна.

РАЗДЕЛ Ш

ДИНАМИКА

ГЛАВА ШЕСТАЯ

ДИНАМИКА ТОЧКИ

Дифференциальные уравнения движенияи решение задач динамики точки

L Основной закон динамики. Задачи динамики точки. Динамика представляет собой часть кинетики, посвященную изучению движения материальных тел (или вообще механических систем) в зависимости от действующих на них сил. Движение тела определяется движением всех материальных точек (или частиц) его составляющих; поэтому естественно начать изучение динамики с изучения движения материальной точки. Как указывалось 】)，под материальной точкой мы понимаем тело столь малых размеров, что различием в движении его частиц можно пренебречь Материальную точку можно рассматривать как точку (геометрическую), имеюшую массу. В дальнейшем часто для краткости материальную точку будем называть просто точкой.

Основным законом динамики является второй закон Ныогона: производная по времена от количества движения материальной точки равна действующей на нее силе, т. е.

左(mO = E(1)

Считая массу постоянной, можно представить предыдущее уравнение в виде

т ^~ = F Или mW = F,(2)

где 呦 есть ускорение точки. Отсюда вторая формулировка закона: произведение массы материальной точки на ее ускорение равно действующей на точку сале. Эта формулировка второго закона Ньютона предполагает, что масса движущейся точки постоянна.

См. введение в кинетику (§ 14), являющееся одновременно введением в динамику; в этом введении рассмотрены понятия силы и массы» изложены законы (аксиомы) динамики и даны основные сведения о применяемых в механике системах единиц

Задачами динамики точки являются:

зная закон движения материальной точки, определить, под действием какой силы такое движение может происходить, и 2) зная действующие на материальную точку силы, а также ее начальное положение и начальную скорость, определить закон движения точки. Вторая задача является в динамике основной.

Рис. 312.Рис. 312.d2 r 加力d2 r 加力(3)(3)Дифференциальные уравнения движения точки. Задачи динамики точки решаются с помощью соответствующих дифференциальных уравнений, связывающих координаты движущейся точки с действующими на нее силами. Эти уравнения получаются из второго (основного) закона динамики. Представим уравнение (2), выражающее второй закон Ньютона, в виде

Рис. 312.

Рис. 312.

d2 r 加力

d2 r 加力

(3)

(3)

где г——радиус-вектор точки по отношению к инерциальной системе отсчета Oxyz (рис. 312),尸=N 尸比一равнодействующая приложенных к точке сил. Уравнение (3)

есть дифференциальное уравнение движения свободной материальной точки в векторной форме.

Проектируя обе части равенства (3) на оси Oxyz, получим дифференциальные уравнения движения свободной материальной точки в прямоугольных декартовых координатах:

(4)

Дифференциальные уравнения движения могут составляться также в любых криволинейных координатах. Такие уравнения будут рассмотрены в § 40. Иногда пользуются уравнениями в проекциях на оси естественного трехгранника. Проектируя обе части равенства (2) на касательную т, главную нормаль п и бинормаль b и учитывая, что 恥=№=-^, 网=—,где р—радиус кривизны траектории и м匕=0, будем в этих осях иметь:

d2s阳而=氏,d2s阳而=氏,

d2s

阳而=氏,

d2s

阳而=氏,

Последнее уравнение показывает, что траектория движущейся под действием силы F свободной точки такова, что соприкасающаяся плоскость всегда содержит в себе силу

Решение первой задачи динамики. Эта задача состоит в том, чтобы, зная закон движения точки, т. е. кинематические уравнения

X = X О У = У (f),2 = 2 (f),(6)

найти действующую силу, т. е. Fx,尸у, Задача, как видим, легко решается с помощью уравнений (4) и сводится к вычислению вторых производных по времени от заданных функций (6).

Пример. Пусть точка массы m движется по закону, определяемому уравнениями

л: = a sin kt, у ~ b cos 虹, z = 0・(а)

Очевидно, траекторией точки является эллипс с полуосями а и &. Из уравнений (4) находим, что проекции действующей на движущуюся точку силы равны

F* = tnx ——加收。sin kt,尸у = ту =—加冴6 cos kt, Fz = 0.

Исключая отсюда с помощью уравнений движения параметры о н 瓦 получим:

Fx — — mk2x, Fy = — nth2y или F = — mk2r.(6)

Последний результат дает закон изменения силы, под действием которой точка может описывать любой из эллипсов семейства (а). Как видим, такое движение возможно под действием центральной силы, направленной в центр эллипса и изменяющейся пропорционально расстоянию точки от этого центра.

Решение второй (основной) задачи динамики. Эта задача состоит в том, чтобы, зная действующую силу 尸，найти закон движения точки, т. е. кинематические уравнения (6). Сила 尸 может вообще зависеть от времени, от положения точки в пространстве и от скорости ее движения 】)，т. е.

Fp, г, т, а следовательно,

尸*，尸屮尸z|f，X，У，2，x, у, 2,

где %, у, 2 суть координаты точки; х, у, z ——проекции ее скорости.

На практике примером силы, зависящей от времени, может служить периодически изменяющаяся сила, вызывающая колебания' (вибрации) частей двигателя с плохо цеитрироваиным валом; примером силы, зависящей от положения точки, является ньютонова сила тяготения, или упругая сила пружины, а пример сил, зависящих от скорости движения» дают силы сопротивления среды (воздуха, воды и др.).

Поэтому дифференциальные иметь следующий вид:Поэтому дифференциальные иметь следующий вид:уравнения (4) будут в общемуравнения (4) будут в общемслучаеслучае%, у, N, X, У，2),%, у, N, X, У，2),m京~ =尸№ X，y，2，X，" 2%m京~ =尸№ X，y，2，X，" 2%(7)(7)加薪=G "'加薪=G "'х, у, г, %, у, z).х, у, г, %, у, z).

Поэтому дифференциальные иметь следующий вид:

Поэтому дифференциальные иметь следующий вид:

уравнения (4) будут в общем

уравнения (4) будут в общем

случае

случае

%, у, N, X, У，2),

%, у, N, X, У，2),

m京~ =尸№ X，y，2，X，" 2%

m京~ =尸№ X，y，2，X，" 2%

(7)

(7)

加薪=G "'

加薪=G "'

х, у, г, %, у, z).

х, у, г, %, у, z).

Правые части этих уравнений будем считать однозначными и конечными функциями указанных аргументов (за исключением, быть может, конечного числа особых точек).

Нахождение закона движения данной точки сводится к интегрированию системы (7), т. е. системы трех совместных дифференциальных уравнений второго порядка, в которых неизвестными функциями являются координаты движ}гщейся точки х, у, а аргументом —— время Л Проинтегрировав эту систему дифференциальных уравнений, получим 尤,у, ? в функциях времени и шести произвольных постоянных, т. е. найдем общее решение (общие интегралы) системы (7) в виде

⑻⑻尤—X (t, С|, С?, * * « ,匕6)， у — у (/, с】，с?, . ♦ .,。6)， Z •— - ?(£, С]，匕2，• • • > Cg)»

⑻

⑻

Наличие в правых частях уравнений (8) произвольных постоянных указывает на то, что под действием данной силы точка может совершать не какое-то вполне определенное движение, а целый класс движений, имеющих разные законы при разных значениях постоянных % c2>e6，

Физически этот результат объясняется тем, что точка, на которую начинает действовать некоторая сила, будет двигаться по-разному в зависимости от так называемых начальных условна, т. е. от начального положения и начальной скорости этой точки. Например, движение свободной материальной точки под действием силы тяжести может быть прямолинейным или криволинейных в зависимости от направления ее начальной скорости.

Чтобы сделать соответствующую задачу динамики определенной, надо, кроме действующих сил, задать начальные условия, т. е. для некоторого момента времени £ = /0 (начальный момент) задать:

начальное положение точки х — х0, у = у。，？ = ?о

и начальную скорость точки х = х0, у = у。，？=之。.

По этим начальным условиям определяются постоянные интегрирования ср с2, ..., с& Для этого, взяв производные по времени от уравнений (8), находим проекции скорости:

у=у (九 Ср с2, ...» %), ■(9)

2 -— 2 (/, c1, e2，• ■ • 1 С6).

Подставив затем в уравнения (8) и (9) начальные данные, получим шесть алгебраических уравнений, которые будут содержать слева данные величины х0, у0,之山 ％山 у。，z^ а справа ——данную величину /0 и искомые постоянные q, &‘3* Решая эту систему

уравнений, мы можем найти из нее значения постоянных интегрирования, соответствующие заданным начальным условиям, т* е. найти

% =九«о，х(р Уо» ^о» Уа 2。)(4 = 1, 2,6).(10)

Последнее следует из того, что функциональный определитель системы

А = (%。，У。，2。，焉，宓，2q)d ©, 3, c3, c4, C5, ©6)

не равен нулю, так как при А — 0 начальное положение и начальная скорость точки, друг от друга не зависящие, оказались бы связанными некоторым соотношением.

Заменив теперь в уравнениях (8) все ck их значениями из равенств (10), мы получим частное решение системы дифференциальных уравнений (7), удовлетворяющее заданным начальным условиям, в виде

(И)(И)X —^ X (f, Xq> у。，2°, Xg} у。，2。)， у == у (^, Х°, %, 2°, Х°, Уо» 2。)’ Z = Z (f, %о，у。，2°, %о，у» &)•

(И)

(И)

Уравнения (11) и определяют закон движения точки под действием заданных сил при данных начальных условиях, т. е. дают решение соответствующей задачи динамики. Конкретные примеры отыскания таких решений будут рассмотрены в §§ 34—37.

Решение основной задачи динамики можно еще свести к отысканию первых интегралов системы дифференциальных уравнений (7), т. соотношений вида

илиили①(九 X, у, 2, х, у, 2, с) = 0/(Л X, у, N, х, у, 2) = %

или

или

которые в силу уравнений (7) имеют место при любых начальных условиях и дают связь между временем, координатами точки, ее скоростью и произвольной постоянной.

Если общее решение системы (7) известно, т. е. известны уравнения (8) и (9), то, разрешая их относительно произвольных постоянных с『можно получить шесть первых интегралов уравнений движения

Д(Л х» у, z, xs у, 2)= % (й= 1, 2,6). (12‘)

Наоборот» определив каким-либо путем шесть независимых между собой первых интегралов, мы можем получить из них общее решение уравнений движения в виде (8). Отыскание первых интегралов имеет еще то важное значение, что для решения ряда конкретных задач механики оказывается достаточным найти только некоторые из этих интегралов (иногда даже один), что существенно упрощает процесс решения.

Во многих случаях первые интегралы уравнений движения могут определяться из так называемых общих теорем динамики, которые для точки являются следствием основного закона (2). К рассмотрению этих теорем мы сейчас и перейдем.

* 33. Общие теоремы динамики точки

(/1, Теорема об изменении количества движения точки. Количеством движения точки называется, как известно, величина тр, равная произведению массы точки на вектор ее скорости. Основной закон динамики можно представить в виде

(1)(1)d (т叫di~

(1)

(1)

или, в проекциях на оси координат,

d (欣6 _戸 d (加力 d (现£) '

Умножая обе части равенства (1) на 阳 получим:

d (/пт) — F dt.(2)

Величина dS = F dt называется элементарным импульсом силы. Равенство (2) выражает следующую теорему об изменении количества движения точки в дифференциальной форме: дифференциал количества движения материальной точки равен элементарному импульсу силы 】)》

Если на точку действует несколько сил, то под «силой», здесь к всюду далее будем понимать равнодействующую приложенных сил.

Проинтегрируем уравнение (2), беря при этом справа определенный интеграл от некоторого начального момента % до произвольного момента времени £; получим:

— f F dt

Примем в качестве начальных условий, что при / = /0 0 =办・ Подставляя эти условия в полученное равенство, найдем, что 匕二加空① и окончательно будем иметь:

/пи — mvQ = J F d£(3)

или

mu — m% = S,(3‘)

где величина

S = /f必(4)

называется импульсом силы за конечный промежуток времени

Равенство (3) выражает теорему об изменении количества движения точки в конечной (интегральной) форме: изменение количества движения точки за некоторый конечный промежуток времена равняется импульсу действующей силы за тот же промежуток. времени

В проекциях на оси координат равенство (3) дает три скалярных уравнения:

тх—m*Q = Sr ту — rnyQ — Syt mz — mz^ — Sv (5) где

£££

s* = / 尸* dt. Sy = /尸у at. S2 = f Fz dt(6)

——проекции импульса на оси координат.

Если сила действует в течение очень малого промежутка времени т, то т

тр — /п^0 — J F dt, о

или, по теореме о среднем значении интеграла, имеем:

"Z"——m力0 =工尸*,

где 尸* = ；/ Fdt.

О

Предположим, что при бесконечно малом т количество движения изменяется на конечную величину. Для того чтобы rF* было конечной величиной при бесконечно малом т, необходимо, чтобы сила 尸皐 была бесконечно велика ^порядка ；) . Отсюда следует, что бесконечно большая сила, действующая на материальную точку в течение бесконечно малого промежутка времени, изменяет количество движения точки на конечную величину. Такая сила называется ударной силой, а самое явление носит название удара.

Рассмотрим случай, когда теорема об изменении количества дви* жения дает первые интегралы уравнений движения точки.

Пусть 尸=0; тогда из уравнения (2) сразу находим векторный интеграл

т = с(7)

или, в проекциях на оси, три скалярных первых интеграла

х — сР у = с?，2 = %.(7‘)

Этот результат выражает тот факт, что при отсутствии силы свободная материальная точка движется равномерно и прямолинейно, т. е. по инерции (здесь, как и везде ранее, движение рассматривается по отношению к инерциальной системе отсчета).

Пусть на точку действует сила постоянного направления, например параллельная все время оси z. Тогда 尸*=0,尸^ = 0 и тео-' рема (2) дает, очевидно, два первых интеграла:

х = % у = &•(8>

Геометрически эти интегралы означают, что траекторией точки в данном случае будет плоская кривая, лежащая в плоскости, парад-* лельной оси 2, т. е. линии действия силы. В самом деле, из равенств (8) имеем ду = %х или схdy—с2dx = 0, откуда, интегрируя, найдем:

qy —у% = const.(9)

Но уравнение (9) есть уравнение плоскости, параллельной оси 2» т. е. силе. Так как координаты х и у точки все время удовлетво^ ряют этому уравнению, то, следовательно, точка действительно дви-^ жется в этой плоскости.

перпендикулярнатеорема (2) даетперпендикулярнатеорема (2) даетк какой-либо оси, на- один первый интегралк какой-либо оси, на- один первый интегралЕсли сила все время пример оси х, то 尸* = 0 и

перпендикулярнатеорема (2) дает

перпендикулярнатеорема (2) дает

к какой-либо оси, на- один первый интеграл

к какой-либо оси, на- один первый интеграл

(10)(10)х — Ср

(10)

(10)

т. е. движение точки при этом происходит так, что проекция ее скорости на ось, перпендикулярную к силе, остается величиной постоянной.

В случаях, отличных от рассмотренных, для получения из теоремы об изменении количества движения первых интегралов надо вычислить импульс S или его проекции S*, 5у, Sz. Поскольку вообще 尸=尸(尤，у, z, х, у, z, f), то, как видно из равенства (6), для вычисления импульса надо знать x(f), у (/), z (/), т. е. общее решение уравнений движения точки. Но если известно общее решение, то использоваЕше уравнений (3) или (5) для отыскания первых интегралов утрачивает смысл.

Однако если действующая сила постоянна (F — const) или зависит только от времени, т. е. F = F (/), то интеграл (4) непосредственно вычисляется и теорема даст один векторный или, в проекциях на оси координат, три скалярных первых интеграла уравнений движения точки. Эти первые интегралы выражаются равенствами (3) или (5), где стоящие справа импульсы S или S%, Sy, Sz будут (после вычисления соответствующих определенных интегралов) известными функциями времени.

Примеры 1. Рассмотрим точку, которая движется вблизи земной поверхности в безвоздушном пространстве под действ юм только силы тяжести р = mg. Так как сила 尸 постоянно направлена по вертикали вниз, то мы заключаем (согласно случаю б), что траектория точки будет плоской кривой, лежащей в вертикальной плоскости. Проводя в этой плоскости оси Оху 《0% горизонтально, Оу по вертикали вверх), будем иметь Р* = 0; следовательно, здесь имеет место интеграл (10)

X — С |>

Далее, так как Ру ~ —尸=—mg = const, то Sy=—欣纟(力一幻 и из (5) находим еще один первый интеграл

土 + Е = % 十 Ео = 3・

Заметим, наконец, что поскольку траектория точки лежит в плоскости Оху, то интегралом движения будет также г — с3. Дальнейшее решение этой задачи не вызывает затруднений (см. § 36, п. 1).

Точка массы т начинает двигаться из состояния покоя прямолинейно под действием силы, изменяющейся по закону 尸=尸。(1 ——kt). Найти скорость точки в момент, когда сила обращается в нуль, а также определить тот момент времени, отличный от начального, когда скорость точки обращается в нуль.

Направим вдоль траектории точки координатную ось * и будем обозначать vx = и, Sx = S. Тогда

尸df = F。/ (1 — Л/) dt = Fat (1—Л/j.

Оо

Подставляя это значение S в первое из уравнений (5), т. е. в уравнение mvx — mvox = Sx, и учитывая что v0 == 0, найдем отсюда

g泉g打・

Так как F = 0 в момент 力=丁，то, следовательно, в этот момент s =

2

В свою очередь v == 0 в момент /2 = — = 2/Р

Теорема об изменении момента количества движения точки (теорема моментов) и закон площадей. Возьмем основное уравнение динамики

m-dF = F-

Умножая векторно обе части этогоУмножая векторно обе части этогоРис. 313.Рис. 313.уравнения на 尸，получим: "“('X^jnrXE (Н)

Умножая векторно обе части этого

Умножая векторно обе части этого

Рис. 313.

Рис. 313.

НО

= ±&Xw)，

так как-^~X " = оХт = 0. Отсюда имеем:

叫 х%=%ухе

и уравнение (11) окончательнои уравнение (11) окончательноА(гХ m») = rXF.А(гХ m») = rXF.принимает вид

и уравнение (11) окончательно

и уравнение (11) окончательно

А(гХ m») = rXF.

А(гХ m») = rXF.

(12)

Величина 尸义尸 представляет собой, как известно, момент силы 尸 относительно центра О (рис. 313). Аналогично величина 尸义 тр является моментом количества движения /пт относительно того же центра. Таким образом, уравнение (12) выражает собой следующую теорему об изменение момента количества движения точки: производная по времени от момента количества движения точка относительно какого-либо центра равна моменту действую* щей силы относительно того же центра.

В проекциях на оси координат равенство (12) дает три скалярных уравнения:

т (yz—zy) — yFz — 三mom*/7,

不 m (zx — %z) = zPx ——xF^ = momy F,(13)

訴 m (%y — yx) = %Fy — yFx = тот^ F.

Рассмотрим случаи, когда теорема моментов дает первые интегралы.

Пусть г X F = 0; это возможно или когда сила F — 0, или же тогда, когда линия действия силы все время проходит через одну и ту же тоику °. Такая сила называется центральной силой, а точка О, через которую проходит линия действия силы,——центром силы. В этом случае имеем:

方(г X mv) = 0;

следовательно,следовательно,尸X加①=const,尸X加①=const,(14)(14)

следовательно,

следовательно,

尸X加①=const,

尸X加①=const,

(14)

(14)

т. е. момент количества движения в случае центральной силы есть величина постоянная. Равенство (14) можно еще представить в видеa…〃

尸 Хт=с(15)

или, в проекциях на оси координат»

к I (15，)

Ху — у% = % J^^Щ/J//

Таким образом, при движении под дей-<^

ствием центральной силы теорема об из-рис< 314.

менении момента количества движения

первых интеграла уравнепервых интеграла уравнедает один векторный или три скалярных

первых интеграла уравне

первых интеграла уравне

ний движения.

Этим интегралам можно дать наглядную геометрическую интерпретацию. Так как вектор 尸 X в, перпендикулярный к плоскости, проходящей через векторы 尸 и т, имеет, согласно равенству (15), постоянное направление (рис. 314), то векторы 尸 и 皆 должны все время лежать в одной плоскости, проходящей через центр О. Следовательно, траектория тонки, движущейся под действием центральной силы, есть плоская кривая. Это можно доказать еще следующим

образом. Векторный интеграл (15) дает в проекциях на оси координат три скалярных первых интеграла (15')・ Умножая равенства (15‘) соответственно на х, у, z и складывая их почленно, получим, что координаты движущейся точки будут все время удовлетворять уравнению плоскости

十 e5y 十 CGZ = 0,

проходящей через центр силы О, т. е. что траектория точки есть плоская кривая.

Далее, как было установлено в кинематике (см. § 6, п. 6), момент скорости 必 равен удвоенной секторной скорости; поэтому из (15) имеем, что

momo (и) = I 尸 X 刃 I = 2 -^ = с*(16)

(16‘)(16‘)т. е. секторная скорость в данном случае постоянна. Интегрируя уравнение (16), получим:

(16‘)

(16‘)

т. е. площади, описываемые радиусом -вектором точки, растут, пропорционально времени. Итак, в случае движения точки под действием центральной силы траектория точки есть плоская кривая, а площади, описываемые радиусом-вектором, пропорциональны временам. Этот результат выражает так называемый интеграл или зал;。兄 площадей.

Покажем справедливость обратного вывода, т. е. что если 尸 X 方=const, то сила, действующая на точку, будет центральная* Действительно, пусть 尸 X о = const. Дифференцируя это равенство г времени, получим:

*КХ 必) = 0. (17) Но*КХ 必) = 0. (17) Но

*КХ 必) = 0. (17) Но

*КХ 必) = 0. (17) Но

Умножая обе части этого равенства на /п и учитывая (17), будем иметы

，x血翼=广X尸=0・

Следовательно, если 尸 # 0, то направление силы все время должно проходить через точку О, т. е. сила является центральной.

Если момент силы относительно какой-либо оси равен нулю

<!. е. сила пересекает ось или ей параллельна), то момент скорости

относительно той же оси есть величина постоянная. Действительно, пусть

mom* 尸=О,тогда на основании уравнений (15‘) имеем:yz — zy = mom* (т) — %.(18)

Таким образом, теорема дает в этом случае один скалярный первый интеграл, который можно еще представить в виде (см. § 6, п. 6)

(18‘)

Пример, Движение планеты происходит под действием силы притяжения ее к Солнцу, т. е. силы центральной. Следовательно, это движение

находится Солнце связаны между со- перигелии Р (точке, в афелии А (точке, Солнца). Согласнонаходится Солнце связаны между со- перигелии Р (точке, в афелии А (точке, Солнца). Согласноподчинено закону площадей. Траекторией планеты является эллипс, в одном из

находится Солнце связаны между со- перигелии Р (точке, в афелии А (точке, Солнца). Согласно

находится Солнце связаны между со- перигелии Р (точке, в афелии А (точке, Солнца). Согласно

Рис. 315.Рис. 315.фокусов С которого (рис. 315). Найдем, как бой скорости планеты в ближайшей к Солнцу) и наиболее удаленной от уравнению (16), имеем:

Рис. 315.

Рис. 315.

откудаоткуда% СА% САrnomc (^р) — momc или vp-CP^vA' СА,

откуда

откуда

% СА

% СА

В перигелии скорость планеты будет наибольшей, а в афелин — наименьшей.

Теорема об изменении кинетической энергии точки. Скалярная величина ―g—, равная половине произведения массы точки на квадрат ее скорости, называется кинетической энергией (или, по старой терминологии» живой силой) точки.

Найдем, чем обусловлено при движении точки изменение ее кинетической энергии. Для этого обратимся опять к основному уравнению 加-^==尸 и умножим обе его части скалярно на Т・ Тогда будем иметь:

加空'~dt =尸• В*

Но так как масса т постоянна, а т? = т・т = * то

d^ d / m^2 \ d / mv2、 血"’NT =方=不

и окончательно получим:

dd(19)(19)

d

d

(19)

(19)

Величина 步=尸・空，т. е. равная скалярному произведению силы на скорость точки ее приложения, называется мощностью. Таким образом, мы нашли, что производная по времени от кинетической энергии точки равна мощности.

Обычно уравнение (19) представляют в ином виде, вводя вместо мощности величину, характеризующую действие силы на некотором перемещении и называемую работой силы.

момоПусть точка, на которую действует сила F, совершает элементарное перемещение dr (рис. 316). Тогда элементарной работой силы

мо

мо

называют величину, равную скалярному

Работа' силы на конечном перемеще-

Рис. 316.нии MGM определяется как сумма соответ

ствующих элементарных работ, т. е. как криволинейный интеграл от элементарной работы» взятый вдоль дуги MQM траектории

(21)(21)

(21)

(21)

Мощность и работа связаны соотношением

W = F7 = W

т. е. мощность равна работе, совершаемой в единицу времени.

Единицей измерения работы в системе СИ является джоуль (1 дж — 1 мл1), а в технической системе——1 кГм. Мощность измеряют соответственно в ваттах (1 8/п = 1 дж/сек) и в кГм)сек, В технике за единицу мощности часто принимается 1 лошадиная сила = 75 кГм/сек ^ 736 &т.

О значении символа df см. сноску на стр. 273.

Обратимся теперь к равенству (19). Умножая обе его части на dt и учитывая, что ① dt = dr, получим следующее выражение теоремы об изменении кинетической энергии точки в дифференциальной форме

(22)

т. е. дифференциал кинетической энергии материальной /по弘&汉 равен элементарной работе, действующей %。точку силы.

Если рассмотреть конечное перемещение точки из положения 附①

М. где скорость равна тМ. где скорость равна тилиили(23)(23‘)(23)(23‘)где ее скорость равна %, в положение (рис. 317), то, беря от обеих частей равенства (22) соответствующие интегралы, получим:

М. где скорость равна т

М. где скорость равна т

или

или

(23)

(23‘)

(23)

(23‘)

Равенство (23) выражает теорему об изменении кинетической энергии точки в конечной (интегральной) форме*'空3兩©・

ненае кинетической энергии точки при некотором ее перемещении равно работе дейстеующеИ силы на том же перемещении.

Для решения основной задачи динамики доказанная теорема, как

и две предыдущие, играет существенную роль в случае, когда она дает первый интеграл уравнений движения точки.

Если 尸=0, то из равенства (22) сразу находим в = с ——результат, являющийся следствием известного интеграла (7). Для получения нетривиального интеграла, даваемого теоремой, а именно интеграла энергии, надо рассмотреть ряд вопросов, связанных с теорией силового поля.

Работа силы. Силовое поле. Элементарная работа силы определяется равенствами

df А = F • dk = F d$ cos (Fdr)=尸工 ds.(24)

Если силу 尸 выразить через ее проекции 尸尸 J,尸乞 па оси координат, а перемещение "—через дифференциалы координат х, у, z точки приложения силы, то, раскрывая скалярное произведение F * df, мы представим элементарную работу в виде

Работа силы на конечном перемещении М0Мг вычисляется как криволинейный интеграл от элементарной работы, взятый вдоль дуги траектории

/尸= /尸ids(26)

AfjAfiЛТоТЙ!

ИЛИ

厶疝и尸 J (厶 dx +尸у dy + 尸z dz).(27)

В общем случае 尸*, FyJ Fz зависят от времени tt координат точки х, у, z и ее скорости х, у, 2. Следовательно, для вычисления интеграла (27) надо знать x(f), у(£), z (f), т. е. закон движения точки. Тогда, выражая все переменные через время /, получим под знаком интеграла выражение вида Ф(^) dt и

^>,= /ф(0Л(28)

где 力 и /] — моменты времени, соответствующие положениям Мо и Мх движущейся точки.1

Таким образом, в общем случае работа силы зависит не только от вида траектории движущейся точки, но и от закона движения этой точки и может быть вычислена лишь тогда, когда этот закон известен.

Для получения из теоремы об изменении кинетической энергии первого интеграла уравнений движения надо, очевидно, найти класс сил, работу которых можно вычислить, не зная закона движения точки, на которую действует сила. Из вида правой части равенства (27) следует, что к такого рода силам могут относиться так называемые позиционные силы, т. е. силы, зависящие только от координат точки, для которых 尸=尸(х, у, z) или

Fx—Fx(х, у, z),尸y=Fy(x, у, z), Fz— Fz{x. у, z). (29

Область пространства, в каждой точке которой на помещенную туда материальную часчицу действует определенная сила, являющаяся однозначной, ограниченной и дифференцируемой функцией координат этой точки, называется силовым полем. Равенства (29) при условии, что стоящие справа функции удовлетворяют указанным требованиям, определяют стационарное (не изменяющееся со временем) силовое поле.

Направление сил поля характеризуется силовыми линиями^ т. е. линиями, у которых касательная в каждой точке совпадает

с направлением силы, действующей в этой точке (рис. 318). Дифференциальное уравнение силовой линии будет:

(30)(30)dx — dy — dz

(30)

(30)

戸I (%，У，2)— ^у(^ У^ 一 Лг (”，У，2)

Пусть в силовом поле дана какая-нибудь кривая уравнениями /j (х, у 2) = 0, /2(х, у, 2) = 0. Тогда из трех координат точки, перемещающейся вдоль этой кривой, независимой будет одна. Вводя криволинейную координату д, можно найти х(д), у (^), z (д) и представить интеграл (27) в виде

4":% = / e ⑺彩+々 日)岩+G (q)岩]對=/ Q 句)dq.

■(31)

где % н % — значения и Л4Р а величина Q(g)где % н % — значения и Л4Р а величина Q(g)координатыназываетсякоординатыназываетсязом, зная Q(g), мы вычислим работу. При этом работа позиционной силы, кроме начального и конечного положения точки, будет зависеть еще и от траектории, так как с изменением траектории меняется вид функций х (д), у (^), z(g)・ Если траектория точки будет известна заранее (что, например, может иметь место при несвободном движении), то, вычислив работу, мы найдем из (23) первый интеграл уравнений движения точки.Заметим, что если известна траектория, то работу силы 尸 можно еще подсчитать в случае, когда 尸р = const; при этом мы из равенства (26) найдем, что А^ц= F^s, где s — длина дугизом, зная Q(g), мы вычислим работу. При этом работа позиционной силы, кроме начального и конечного положения точки, будет зависеть еще и от траектории, так как с изменением траектории меняется вид функций х (д), у (^), z(g)・ Если траектория точки будет известна заранее (что, например, может иметь место при несвободном движении), то, вычислив работу, мы найдем из (23) первый интеграл уравнений движения точки.Заметим, что если известна траектория, то работу силы 尸 можно еще подсчитать в случае, когда 尸р = const; при этом мы из равенства (26) найдем, что А^ц= F^s, где s — длина дугиq、соответствующие точкам 附° обобщеннойq、соответствующие точкам 附° обобщеннойперпендикулярнаперпендикулярна附°附у В частности, если к перемещению точки, то щении будет равна нулю.Однако при движении附°附у В частности, если к перемещению точки, то щении будет равна нулю.Однако при движениисила 尸 будет все времясила 尸 будет все время尸р = 0 и работа силы на любом переме-尸р = 0 и работа силы на любом переме-свободной точки ее траектория заранеесвободной точки ее траектория заранеене известна (она будет зависеть от действующих сил и начальных условий). Поэтому для свободной точки мы в рассмотренных случаях первого интеграла из уравнения (23) не получим.5. Потенциальное силовое поле. Рассмотрим такой частный вид силового поля, для которого стоящий в равенстве (27) под знаком интеграла дифференциальный трехчлен (элементарная работа) является полным дифференциалом некоторой функции U от координат точки, т. е.не известна (она будет зависеть от действующих сил и начальных условий). Поэтому для свободной точки мы в рассмотренных случаях первого интеграла из уравнения (23) не получим.5. Потенциальное силовое поле. Рассмотрим такой частный вид силового поля, для которого стоящий в равенстве (27) под знаком интеграла дифференциальный трехчлен (элементарная работа) является полным дифференциалом некоторой функции U от координат точки, т. е.

где % н % — значения и Л4Р а величина Q(g)

где % н % — значения и Л4Р а величина Q(g)

координатыназывается

координатыназывается

зом, зная Q(g), мы вычислим работу. При этом работа позиционной силы, кроме начального и конечного положения точки, будет зависеть еще и от траектории, так как с изменением траектории меняется вид функций х (д), у (^), z(g)・ Если траектория точки будет известна заранее (что, например, может иметь место при несвободном движении), то, вычислив работу, мы найдем из (23) первый интеграл уравнений движения точки.

Заметим, что если известна траектория, то работу силы 尸 можно еще подсчитать в случае, когда 尸р = const; при этом мы из равенства (26) найдем, что А^ц= F^s, где s — длина дуги

зом, зная Q(g), мы вычислим работу. При этом работа позиционной силы, кроме начального и конечного положения точки, будет зависеть еще и от траектории, так как с изменением траектории меняется вид функций х (д), у (^), z(g)・ Если траектория точки будет известна заранее (что, например, может иметь место при несвободном движении), то, вычислив работу, мы найдем из (23) первый интеграл уравнений движения точки.

Заметим, что если известна траектория, то работу силы 尸 можно еще подсчитать в случае, когда 尸р = const; при этом мы из равенства (26) найдем, что А^ц= F^s, где s — длина дуги

q、соответствующие точкам 附° обобщенной

q、соответствующие точкам 附° обобщенной

перпендикулярна

перпендикулярна

附°附у В частности, если к перемещению точки, то щении будет равна нулю.

Однако при движении

附°附у В частности, если к перемещению точки, то щении будет равна нулю.

Однако при движении

сила 尸 будет все время

сила 尸 будет все время

尸р = 0 и работа силы на любом переме-

尸р = 0 и работа силы на любом переме-

свободной точки ее траектория заранее

свободной точки ее траектория заранее

не известна (она будет зависеть от действующих сил и начальных условий). Поэтому для свободной точки мы в рассмотренных случаях первого интеграла из уравнения (23) не получим.

5. Потенциальное силовое поле. Рассмотрим такой частный вид силового поля, для которого стоящий в равенстве (27) под знаком интеграла дифференциальный трехчлен (элементарная работа) является полным дифференциалом некоторой функции U от координат точки, т. е.

не известна (она будет зависеть от действующих сил и начальных условий). Поэтому для свободной точки мы в рассмотренных случаях первого интеграла из уравнения (23) не получим.

5. Потенциальное силовое поле. Рассмотрим такой частный вид силового поля, для которого стоящий в равенстве (27) под знаком интеграла дифференциальный трехчлен (элементарная работа) является полным дифференциалом некоторой функции U от координат точки, т. е.

F• dr^Fxdx-\- Fvdy~\- Fzdz = dU(x, у, г).(32)

Функция U (х, у, 2), дифференциал которой равен элементарной работе, называется потенциальной или силовой, функцией. Сила или силовое поле, для которых существует такая функция, называются потенциальными.

Так как

dU@, у, z) = ^-dx^--^-dy + -^-dz,(33)

то, как легко видеть, соотношение (32) эквивалентно трем равенствам:

尸=也尸=也尸=也(34)

дх 'гу ду 1r^ dz 1№

устанавливающим, что в потенциальном силовом поле проекции силы равны частным производным от силовой функции по соответствующим координатам.

В самом деле, если соотношение (32) выполняется, то, заменяя в нем dU его выражением (33) и учитывая, что dx, dy, dz между собой независимы, мы придем к равенствам (34). Наоборот, если имеют место равенства (34), то из них вытекает соотношение (32), которое мы получим, заменив в выражении элементарной работы 尸* d%+尸У&у+尸2 dz проекции сил их значениями из (34) и учтя равенство (33).

Найдем, каким условиям должны удовлетворять силы поля, чтобы оно было потенциальным. Для этого возьмем от обеих частей равенств (34) частные производные по соответствующим координатам.

Тогда, учитывая, что

d2Ud2U

И Т*

получим:

дуdz5

吟一需=a(35)

дхду也 J

Отсюда следует, что условия (35) необходимы для того, чтобы силовое поле, заданное уравнениями (29), было потенциальным. Можно доказать (см., например, В. В. Степанов, Курс дифференциальных уравнений, гл. II, § 3), что эти условия являются

и достаточными.

Представим полученные результаты в терминах векторного анализа, относящихся к любым потенциальным полям. Если проекции некоторого вектора выражаются через функцию U(х, у, z) равен-

ствами вида (34), то такой вектор называют градиентом скалярнойствами вида (34), то такой вектор называют градиентом скалярнойфункции U,функции U,т. е.т. е.gradt/^—t4__gradt/^—t4__罢-U,罢-U,(36)(36)где V (набла) — дифференциальный оператор Гамильтона, вляющий собой символический операторный векторгде V (набла) — дифференциальный оператор Гамильтона, вляющий собой символический операторный векторпредста-предста-dd万十九归，万十九归，

ствами вида (34), то такой вектор называют градиентом скалярной

ствами вида (34), то такой вектор называют градиентом скалярной

функции U,

функции U,

т. е.

т. е.

gradt/^—t4__

gradt/^—t4__

罢-U,

罢-U,

(36)

(36)

где V (набла) — дифференциальный оператор Гамильтона, вляющий собой символический операторный вектор

где V (набла) — дифференциальный оператор Гамильтона, вляющий собой символический операторный вектор

предста-

предста-

d

d

万十九归，

万十九归，

(37)(37)Таким образом, в потенциальном силовом поле F —gradt/.

(37)

(37)

Далее, если левые части равенств (35) принять за проекции некоторого нового вектора, то последний будет называться ротацией вектора 尸；таким образом,

rot F =rot F =дд(38)(38)

rot F =

rot F =

д

д

(38)

(38)

или

/ OF% dFv \/ OF% dFv \дГхдГх/ 0尸V0尸用、，/ 0尸V0尸用、，

/ OF% dFv \

/ OF% dFv \

дГх

дГх

/ 0尸V0尸用、，

/ 0尸V0尸用、，

Введя это понятие,, мы можем условия (35) представить в виде totF = 0. Следовательно, чтобы векторная функция F (х, у, z) имела потенциал или, что то же, была градиентом скалярной функции U(x, у,彳)，необходимо и достаточно, чтобы ротация F равнялась нулю.

Если существование силовой функции установлено, то сама функция U (х, у, 2) определяется, как это следует из (32), с точностью до произвольной аддитивной постоянной равенством

(39)

Потенциальную функцию с фиксированной аддитивной постоянной называют еще потенциалом.

Рассмотрим некоторые свойства потенциального силового поля.

и(X, У，2)= С,и(X, У，2)= С,Поверхность

и(X, У，2)= С,

и(X, У，2)= С,

(40)

на которой потенциальная функция U имеет постоянное значение, называется эквипотенциальной поверхностью или поверхностью уровня. Для данного поля эти поверхности образуют семейство с параметром с; давая постоянному с разные значения, мы будем

22 Н, Н Бухгольц

получать разные поверхности уровня, которые в случае, когда функция U однозначна, не могут пересекаться и будут разделять силовое поле на слои (рис. 319). Соответственно этому такое поле называют ламеллярным или слоистым (пластинчатым).

Уравнение силовой линии (30), если учесть равенства (34), можно представить в виде dxdydz

дхдуdz

Так какТак какdU dU dUd* ' dy ' dzdU dU dUd* ' dy ' dzпропорциональны косинусам нормалипропорциональны косинусам нормалик поверхности U (x, y, z)=к поверхности U (x, y, z)=const, т. e. к поверхности уровня, тоconst, т. e. к поверхности уровня, то

Так как

Так как

dU dU dUd* ' dy ' dz

dU dU dUd* ' dy ' dz

пропорциональны косинусам нормали

пропорциональны косинусам нормали

к поверхности U (x, y, z)=

к поверхности U (x, y, z)=

const, т. e. к поверхности уровня, то

const, т. e. к поверхности уровня, то

отсюда следует, что силовые линии поля ортогональны к эквипотенциальным поверхностям (см. рис. 319), а сила в любой точке поля

СилоЗыеСилоЗые

СилоЗые

СилоЗые

направлена по нормали к поверхности уровня, проходящей через эту точку.

Последний результат вытекает также из соотношения (32) F ・ dr = dU, В самом деле, если рассмотреть элементарное перемещение dr = d^t направленное по касательной т к поверхности уровня в некоторой ее точке М (рис. 320), то для этого переме* щения, так как на поверхности уровня U = const, будет F' dr ~ = dU = 0. Отсюда следует, что сила F—grad U направлена перпендикулярно к dt, т. е. по нормали к поверхности уровня. С другой стороны, если рассмотреть перемещение dr = dn. направленное в сторону действия силы, то на этом перемещении F • dn > 0, а следовательно, и dU > 0, т. е. в направлении действия силы U возрастает. Итак, вектор силы 尸(или grad U) направлен в любой

точке поля по нормали к поверхности уровня, проходящей череа эту точку, в сторону возрастания потенциала U.

Найдем теперь выражение для проекции силы, действующей в точке М поля, на какое-нибудь направление s, проходящее через эту точку и характеризуемое единичным вектором s° (см. рис. 320). Так как проекции s° и силы F —grad/7 на оси координат соответственно равны

\dx f dy ' dz]' Г \ dx f dy J dz )'

TO

n n n 」—ndx . dU dy , dU dz dU

& =尸-5。=中(10.屮=而石十亏号一力右=击，

т. е.т. е.проекция силы 尸(или grad U) на некоторое направление s

т. е.

т. е.

& = grad U • @ =嚓.& = grad U • @ =嚓.(41)(41)равна производной от потенциальной функции U по этому направлению

& = grad U • @ =嚓.

& = grad U • @ =嚓.

(41)

(41)

Если взять проекцию силы (или градиента) на направление положительной нормали к соответствующей поверхности уровня (т. е. нормали, направленной в сторону возрастания U), то мы получим Fn =尸.Отсюда, согласно (41), будем иметь:

尸=|gradU|=黑， (42) т. е. в каждой точке поля модуль силы (градиента) равен производной от силовой функции по направлению положительной нормали к поверхности уровня, проходящей через эту точку.

Последние результаты можно наглядно представить геометрически, если на векторе F—grad U, как на диаметре, о пр через точку М (начало вектора) провести пучок прямых〉Тогда отсекаемые сферой отрезки этих прямых будут равны проекциям силы (градиента) на соответствующие направления или, что то же, производным от силовой функции по этим направлениям. Отсюда видно, в частности, что сила (или grad U) имеет направление быстрейшего возрастания функции U.

Пусть U = с некоторая поверхность уровня. Давая с последовательно приращения de, 2dc, ,.., получим семейство поверхностей уровня U = с, U = c + &c, U = c~\-2dct ... При переходе с любой

На рис. 321 показано сечение поверхности уровня U = const плоскостью, проходящей через нормаль Мп. Аналогичные сечения изображены на рис. 322 и 323.

из этих поверхностей на соседнюю U получает одно и то же приращение dU = de. Тогда из равенства (42) следует, что сила (или градиент) будет больше в тех точках поля, где расстояние dn между соседними поверхностями уровня меньше (рис. 322), т. е. где поверхности уровня проходят гуще (теорема Кельвина).

Здесь 夕"0少 большеЗдесь 夕"0少 больше

Здесь 夕"0少 больше

Здесь 夕"0少 больше

Работа потенциальной силы. Потенциальная энергия. Пусть мы имеем потенциальное силовое поле. Тогда элементарная работа

F- dr — dU,

а работа силы на конечном перемещении из точки MQ в точку М поля (рис. 323) будет:

f dU=^UM — иМа. (43)

Следовательно, работа потенциальной силы равна разности значений, силовой функции в конечной и начальной, точках пути; она зависит только от положения начальной и конечной точек и не зависит от вида траектории, по которой перемещается точка приложения силы [если* как мы все время предполагаем, функция U(x, у, z) однозначна]. Этот результат выражает основное свойство потенциального силового поля. Более точно можно сказать, что работа потенциальной силы зависит лишь от того, с какой поверхности уровня и на какую перемещается точка.

Если, в частности, перемещение происходит по замкнутому контуру CCjC2C, то, как видно из (43), работа потенциальной силы будет равна нулю. Криволинейный интеграл

§尸"尸

от векторной функции 尸(％, у, 2)по замкнутому контуру называется циркуляцией вектора 尸.Таким образом, когда потенциальная функ-

§ 321 ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ ТОЧКИ 341 ция однозначна, то циркуляция потенциального вектора равна нулю [вообще циркуляция будет равна нулю по любому замкнутому контуру, который можно стянуть в одну точку, не проходя при этом через особые точки функции U(x, у, n)]・

В потенциальном силовом поле можно ввести понятие о потенциальной энергии частицы как о запасе работы, которую могут совершить силы поля при перемещении частицы из занимаемого ею положения на какую-нибудь поверхность уровня, условно принимаемую за нулевую. Выберем в равенстве (39) аддитивную постоянную так, чтобы на нулевой поверхности было % = 0 (см. рис. 323). Тогда по определению потенциальная энергия V в любой точке М поля будет равна работе на перемещении МН или, согласно (43), V = 11 н——方，где U——значение силовой функции в точке М. Так как Uн = 0, то окончательно имеем:

Р(х, у, г) — — U(x, у, N), (44> т. е. величина потенциальной энергии в любой точке поля равна значению силовой функции в этой точке, взятому с обратным знаком.

Интеграл энергии. Если все действующие на материальную точку силы являются потенциальными, то F，dr = dU = — dV и уравнение (22) принимает вид

"(8) 一

откуда, интегрируя, находим:

~^V(x. у, z)=九 (45>

где Zr——постоянная интегрирования. Равенство (45) дает первый интеграл уравнений движения точки, называемый интегралом энергии, Оно выражает собой следующий закон сохранения механической энергии: при движении точки под действием потенциальные сил сумма кинетической и потенциальной энергии точки, т. е. ее полная механическая энергия, остается величиной постоянной. По этой причине потенциальное силовое поле, для которого- имеет место данный закон, называют еще консервативным (от латинского conservare—сохранять).

Значение постоянной Л определяется по начальным данным. Если в некоторой точке поля х0, у” n° частица имеет начальную скорость %, то

Л = -2!-^(^0> Уо- го)> (45') т. е. постоянная h равна начальной энергии частицы.

При решении задач или непосредственно пользуются равенством (45), или используют теорему кинетической энергии в интегральной форме (23‘)， вычисляя всякий раз по заданным силам их работу на рассматриваемом перемещении.

Из равенства (45) видно, что при движении в консервативном тюле скорость материальной точки является функцией только ее положения. В частности, точка, движущаяся в консервативном поле по замкнутому пути, будет, приходя в данное положение & (см. рис. 323) иметь в нем всегда одну и ту же скорость % сколько бы циклов (оборотов) точка ни совершила. Отсюда вытекает невозможность построения вечного двигателя (perpetuum mobile), т. е. машины, которая могла бы передавать движение другому объекту (совершать работу) вечно, без притока энергии извне.

В земных условиях на движущееся тело наряду с потенциальными силами неизбежно действуют различные непотенциальные силы в виде сил сопротивления среды, трения и др. Это приводит к тому, что полная механическая энергия точки с течением времени убывает (рассеивается), переходя в соответствии с общим физическим законом сохранения энергии в другие формы энергии, например в тепло. По этой причине указанные силы сопротивления называют еще диссипативными. Пусть, например, точка движется под действием потенциальной силы с потенциалом U в среде, оказывающей сопротивление, пропорциональное скорости точки. Тогда на точку действует еще диссипативная сила R ——尼в и по теореме (22), учитывая» что U = — V, будем иметь:

Так как v • dr—V • V dt— ^ dt, то отсюда

или

浆=一20，(46)

где Е = ~^—|-V есть полная механическая энергия точки, a 2D==kv2t Так как D〉0, то из равенства (46) видно, что полная механическая энергия точки будет в данном случае с течением времени убывать.

Функцию D (и), численно равную половине механической энергии, убывающей в единицу времени, называют диссипативной функцией или функцией рассеивания. Так как в нашем случае D —^ k^t dD ,

то отсюда=总и, т. е. величина диссипативной силы определяется

как производная от диссипативной функции по скорости.

Примеры потенциальных силовых полей. В том, что данное силовое поле является потенциальным, можно убедиться или по условиям (35), или установив непосредственно, что элементарная работа сил поля является полным дифференциалом некоторой функции координат точек поля.

) Рассмотрим силовое nog в котором проекции силы 尸 на оси координат являются функциями только соответствующей координатьи

尸х =尸х(*)?尸y =尸 y(у).尸?=尸2(n)，(47)

где, в частности, правые части могут что условия (35) в этом случае выполняются и элементарная работа Fx Jx+Fyd^-\rFzdz = dU(xt у, z), откуда

U = /F(%)d* + //(y)dy + 十 J 尸纟(z) dz + const. (48)

7 2) Рассмотрим однородное поле тяжести. Если вблизи земной поверхности выделить область, раз-

меры которой малы по сравнениюрис< 324

с радиусом Земли, то во всех точ

ках этой области можно считать силу тяжести Р — mg по модулю и направлению постоянной. Такое силовое поле называется однородным. Направляя координатную ось z вертикальновверх (рис. 324)» будем иметь:

Рх — 0,尸у = О, Pz = — mg.

Очевидно, это поле потенциально, так как является частным случаем поля (47). Для него

dU ~ Fxdx~\-尸 у dy 十尸之 dN = — mg d?.

Отсюда, интегрируя, получим:

U = — mgz + const,

или, считая U =。при n=0,

(49)(49)U = — mgw, V = mgz.

(49)

(49)

Поверхностями уровня будут плоскости z~c, т. е. горизонтальные плоскости, так как ось ? вертикальна. Силы поля направлены, как видим, по нормали к поверхностям уровня в сторону возрастания U.

Работа силы тяжести на перемещении М^М будет.

А^м = °М - °м = ms (飞一Z) = 士 mgh, (50) где h — \zQ—z I ——разность высот точек Мо и М (знак плюс в последнем равенстве соответствует случаю, когда точка Мо выше точки 附，а знак минус — когда ниже).

Если точка перемещается из положения /И。 с начальной скоростью и。， то скорость в любом положении М найдется по теореме об изменении кинетической энергии

2

mv'■"-о厂 =^ ^ м^ м现g(3"),

откуда

V = y端+2g(z0一 z) = U吸土 2g瓦

где знак плюс соответствует случаю, когда точка М ниже точки М；

Рис 325.Рис 325.幽,幽,В частности, если начальная скорость 4 = 0, то точка может двигаться только ВНИЗ (N < ?o)j и мы получим известную формулу Галилея

Рис 325.

Рис 325.

幽,

幽,

и = y^gh,

Рассмотрим поле централь^ ной силы, т. е. силы, линия действия которой проходит все время через данный центр О (рис. 325). Пусть при этом величина силы, действующей

поле точкуполе точкуна движущуюся в этом зависит только от расстояния МО — г. Тогда

поле точку

поле точку

尸.〃=尸式r) ^^ =匕(r) dr,尸.〃=尸式r) ^^ =匕(r) dr,(51)(51)где FT ——проекция силы на направление радиуса-вектора у, причем 匕=F для отталкивающей силы и 尸^ =——F для силы притягивающей. Элементарная работа силы 尸 будет:

尸.〃=尸式r) ^^ =匕(r) dr,

尸.〃=尸式r) ^^ =匕(r) dr,

(51)

(51)

так как из равенства г2 ~ г2, если его продифференцировать, следует, что г • dr ~ rdr.

Отсюда можно заключить, что для данного поля существует силовая функция U (г), так как элементарную работу можно представить в виде дифференциала такой функции

尸•"=尸「(“ dr — dU (г).

Интегрируя» найдем потенциальную функцию поля центральной силы:

U (г) = / 尸《) dr + const.(52)

Выражение U (х, у, z) можно получить, учитывая, что 广二匕^+屮十隰

Так как при г = const функция U (г) принимает постоянное значение, то поверхностями уровня в центральном силовом поле будут концентрические сферы с центром в центре сил О. Сила, как видим, здесь также направлена по нормали к поверхностям уровня в сторону возрастания U.

Рассмотрим два частных примера центрального поля.

а) Квазиупругая сила. Квазиупругой называют центральную силу, линейно зависящую от г, для которой

尸г (「)= — с (г — а),(53)

где с и а — положительные константы, причем, в частности, может быть а = 0. При г〉а квазиупругая сила будет притягивающей, а при г < а — отталкивающей.

Примером такой силы служит упругая сила пружины (пока она подчиняется закону Гука), если один конец пружины закреплен неподвижно в точке О; при этом г — а будет удлинением (сжатием} пружины, а с — так называемым коэффициентом жесткости.

Из равенства (52), так как d(r—a) = dr, найдем, что для квази- упругой силы

или, считая, что U = 0 при г — а, т. е. когда 尸=0, получим:

и =—等(г —а)2, у = ^(г —а)2.(54)

Работа квазиупругой силы на перемещении из некоторого положения М。в положение Мх будет:

4。％ = U^~UM=i 仁一。)2 — G —碉・ (55)

Эта работа положительна, когда g — а | < |「о—а |，т. е. когда точка, на которую действует сила, приближается к поверхности г = а, на которой 尸=0, н отрицательна, когда точка удаляется от этой поверхности. Для пружины (г0—а) и (门一а) представляют собой соответственно начальное и конечное удлинение (сжатие) пружины.

Заметим, что рассмотренное силовое поле представляет собой, по существу, сопряжение двух полей» одного в области г〉а, гле сила является притягивающей, и другого в области г < 〃， ' ^е сила

будет отталкивающей. Поэтому в нем U (или V) может иметь одинаковые значения на двух разных поверхностях уровня, из которых одна находится в первой, а другая——во второй из указанных областей, например на сферах /• = 〃 + % и г — а —— 力，где А < й. Физически это означает, что потенциальная энергия пружины, сжатой или растянутой на одну и ту же величину А, одинакова. Отсюда следует также, что в данном поле работа может быть равна нулю при перемещении не только по замкнутому контуру, но и с одной мз упомянутых выше сфер г — a~\~h и г = а — Л на другую.

人 8尸 8 尸人 8尸 8 尸Пример. К концу Во вертикальной пружины (рис. 323) подвешивают груз весом Р и отпускают без начальной скорости. Пружина в начальный момент не напряжена, а ее жес1кость равна с. Пренебрегая массой пружины и всеми сопротивлениями, найти скорость груза, когда он опустится на высоту Л.

人 8尸 8 尸

人 8尸 8 尸

°°По теореме об изменении кинетической энергии

°

°

22 电

На груз действуют две потенциальные силы: сила тяжести Р и упругая сила Л = с (г ——а), где г ~ АВ, а а = 4Bq — длина ненапряженной пружины. Работа этих сил иа перемещении В0В будет соответственно равна РЛ и ——g 万2, так как в данном случае начальное удлинение ш)ужины (г。一 а) = 0, а конечное удлинение (勺一а)=九 Поскольку v0 — 0, то будем иметь:

Рнс. 326** = Ph—刍"2 или v2 — gh ^2 —方九｝

Если бы груз, висящий на данной пружине, находился в покое, ю он растянул бы нружнну на величину &0, называемую статическим удлинением пружины. Так как при равновесии будет Р = Лст — сб0, то

ч Р

Введя эту величину в полученный результат, найдем окончательно, что

Так как подкоренное выражение не может быть отрицательным, то наибольшее удлинение пружины Лтах = 2Й> т. е. равно удвоенному статическому удлинению; скорость груза при /г = Лщах обращаегся в нуль.

У 6) Сила тяготения. Действующая на материальную точку сила тяготения будет по закону Ньютона центральной силой, пропорциональной массе т точки и обратно пропорциональной квадрату ее расстояния ог притягивающего центра. Следовательно, для этой силы

吊（г） =吊（г） =|1掰|1掰(56)(56)

吊（г） =

吊（г） =

|1掰

|1掰

(56)

(56)

и из равенства (52) будем иметь:

U = ^—|- const,

или, полагая, что U = 0 при г — оо,

ииVV(57》(57》

и

и

V

V

(57》

(57》

Работа силы тяготения на перемещении из положения MQ в положение М^ будет:

4丽=— Ом尸財£伐-靑).(58)

Работа положительна, когда rx < 入，т. е. когда точка, на кото* рую действует сила, приближается к притягивающему центру.

Поверхности уровня для любого центрального поля, в том числе и для двух рассмотренных полей, являются сферами. Однако если их построить, меняя U через равные интервалы, т. е. давая U значения U — с, U = 2c, U = 3r и т. д., то расположение этих сфер для разных центральных полей в соответствии с теоремой Кельвина будет разным; в частности, в поле квазиупругой силы расстояние между поверхностями сфер с удалением от центра О будет убывать (если а = 0), а в поле силы тяготения—возрастать.

Пример. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найдем, какую наи-Пример. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найдем, какую наи-меньшую направленную вертикально вверх начальную сообщить точке, находящейся на поверхности Земли, чтобы она удалилась от этой поверхности на расстояние Н, а также какую скорость будет иметьменьшую направленную вертикально вверх начальную сообщить точке, находящейся на поверхности Земли, чтобы она удалилась от этой поверхности на расстояние Н, а также какую скорость будет иметьточка, свободно падающая с высоты Н、достигнув поверхности Земли.Сила земного тяготенияточка, свободно падающая с высоты Н、достигнув поверхности Земли.Сила земного тяготениягде г = ОМ —где г = ОМ —определяется равенст- расстояние от центра Земли Оопределяется равенст- расстояние от центра Земли О} Выразим сначала значение постоянной р.} Выразим сначала значение постоянной р.поля земного тяготения через ускорение g силы тяжести на земной поверхности и радиус R Земли. Так как на поверхности Земли г = /?, а Лг = — mg, то, подставляя это в равенство (56), получим LIW加g =否，откудаполя земного тяготения через ускорение g силы тяжести на земной поверхности и радиус R Земли. Так как на поверхности Земли г = /?, а Лг = — mg, то, подставляя это в равенство (56), получим LIW加g =否，откудаИ = gR・И = gR・(а)(а)По теореме об изменении кинетической энергииПо теореме об изменении кинетической энергиибудем иметь:加u；加日^будем иметь:加u；加日^2222M)MiM)Mi(б)(б)скорость v0 надоскорость v0 надо

Пример. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найдем, какую наи-

Пример. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найдем, какую наи-

меньшую направленную вертикально вверх начальную сообщить точке, находящейся на поверхности Земли, чтобы она удалилась от этой поверхности на расстояние Н, а также какую скорость будет иметь

меньшую направленную вертикально вверх начальную сообщить точке, находящейся на поверхности Земли, чтобы она удалилась от этой поверхности на расстояние Н, а также какую скорость будет иметь

точка, свободно падающая с высоты Н、достигнув поверхности Земли.

Сила земного тяготения

точка, свободно падающая с высоты Н、достигнув поверхности Земли.

Сила земного тяготения

где г = ОМ —

где г = ОМ —

определяется равенст- расстояние от центра Земли О

определяется равенст- расстояние от центра Земли О

} Выразим сначала значение постоянной р.

} Выразим сначала значение постоянной р.

поля земного тяготения через ускорение g силы тяжести на земной поверхности и радиус R Земли. Так как на поверхности Земли г = /?, а Лг = — mg, то, подставляя это в равенство (56), получим LIW

加g =否，откуда

поля земного тяготения через ускорение g силы тяжести на земной поверхности и радиус R Земли. Так как на поверхности Земли г = /?, а Лг = — mg, то, подставляя это в равенство (56), получим LIW

加g =否，откуда

И = gR・

И = gR・

(а)

(а)

По теореме об изменении кинетической энергии

По теореме об изменении кинетической энергии

будем иметь:

加u；加日^

будем иметь:

加u；加日^

2

2

2

2

M)Mi

M)Mi

(б)

(б)

скорость v0 надо

скорость v0 надо

При движении точки, брошенной из Мо вертикально вверх, она имеет в наивысшем положении 府】скорость vx = 0. Вычисляя работу по фор* муле (58), где в нашем случае г0 = /?, а 门==/? + ", получим:

加成 I 11、\ktnH

--г* = 1m+ "-R (/? + 〃)•

(В)(В)Заменяя здесь р. его значением (а), найдем окончательно:

(В)

(В)

При падении точки без начальной скорости из положения 他 в Мо (см. рис. 327) слагаемые в левой части равенства (б) поменяются местами, но одновременно будет Л = — Л х,. Следовательно, скорость точки, ММ。 MjM[

упавшей на Землю с высоты Н, также определяется формулой (в).

Рассмотрим два предельных случая.

а) Если Н много меньше R, то, деля в подкоренном выражении равенства (в) числитель и знаменатель на А получим:

吁]/'善方 ^硏(г)

т. е. приходим в пределе при ?///?-> О к формуле Галилея.

Найдем, при какой начальной скорости v0 точка может удалиться в бесконечность (или, наоборот, какую скорость будет иметь точка, упавшая на Землю из бесконечности). Деля числитель подкоренного выражения в равенстве (в) на “ получим:

% =丿 1 談 а •(д)

Отсюда, считая g = 9,81 м/сек2, а средний радиус Земли R в 6370 tcMt получим при /У = 8

и。= H2gR 七 11,2 км/сек.(е)

Эта начальная скорость, при которой материальная точка может удаляться неограниченно далеко от центра Земли, называется второй косми~ ческой скоростью, или скоростью освобождения от поля земного тяготения. Одновременно равенство (е) определяет примерную величину скорости, с которой входят в земную атмосферу метеориты.

Устойчивость равновесия точки в потенциальном силовом поле. Теорема об изменении кинетической энергии дает возможность определить достаточное условие устойчивости равновесия материальной точки в потенциальном поле сил.

Для равновесия точки необходимо и достаточно, чтобы действующая на нее сила равнялась нулю. Если поле потенциально, то F = gtadU и из условия F — 0 следует, что в положении равновесия

(59)(59)°" n W п ди п1Г = °， 万=°， 7Г = "

(59)

(59)

т. е. материальная точка будет находиться в равновесии в тех точках поля, где силовая функция U (или потенциальная энергия V — —U) имеет стационарное значение.

Покажем, что если потенциальная энергия в данной точке А поля имеет минимум, т. е. VA = Vm|n> то равновесие частицы, находящейся в этой точке, будет устойчивым. Так как силовая функция U опре- леляется с точностью до постоянной, то мы всегда можем принять.

что на поверхности уровня, проходящей через точку Л, значение 厶=0, а следовательно, и VA — Q. Поскольку в точке А потенциальная энергия имеет минимум и значение VmIrl выбрано равным нулю, то в некоторой достаточно малой области, содержащей точку Л» величина V будет положительна (V > 0) и будет по мере удаления ст точки Л возрастать. Опишем в этой области вокруг точки А сферу радиуса р, где р——малая величина, отличная от нуля, и сообщим нашей частице некоторую начальную энергию

ЛЛ22(60)(60)

Л

Л

2

2

(60)

(60)

т. 6* сместим частицу из положения А в точку, где V =： Уо > 0* и сообщим ей начальную скорость vQ. Тогда если при данном р можно выбрать такое, сколь угодно малое, но не равное нулю значение h, что цр все последующее время частица не выйдет за пределы сферы радиуса р, то положение равновесия в точке Л называется устойчивым (по Ляпунову). Покажем теперь, что если У^~Vnx^ то равновесие в точке Л устойчиво. В самом деле, когда точка, выведенная из состояния равновесия, придет в движение, то для нее, согласно интегралу энергии (45), будет:

mv2 (mv2 (V = hV = hилиилиmv2mv222=也一匕=也一匕

mv2 (

mv2 (

V = h

V = h

или

или

mv2

mv2

2

2

=也一匕

=也一匕

где h — начальная энергия. Допустим, что наименьшее значение, которое величина V принимает на поверхности сферы радиуса р, равно УР и пpимe^f 乃=У\. Тогда, поскольку с удалением от точки А значение V возрастает, то если при выбранном h частица могла бы выйти за пределы данной сферы» для нее оказалось бы V > Vv т. е. V > /г, и кинетическая энергия частицы стала бы отрицательной, что невозможно. Таким образом, мы доказали, что если потенциальная энергия в точке А поля имеет минимум, то равновесие материальной частицы, находящейся в этой точке, будет устойчивым, т. е. доказали достаточность этого условия.

Определение необходимых условий устойчивости равновесия представляет собой задачу, значительно более сложную; в этой части курса мы на ней останавливаться не будем.

Рассмотрим в качестве примера поле квазиупругой силы, для которого, согласно равенству (54), потенциальная энергия

V = ^с(г — а^.

Тогда из условия

находим, что свободная частица будет в этом поле в равновесии при г — а, т. е. в любой точке на поверхности сферы радиуса а. Так как = с > 0, то в положении равновесия V имеет минимум и равновесие будет устойчивым.

§ 34. Прямолинейное движение материальной точки

Условия прямолинейности движения. Чтобы движение свободной материальной точки было прямолинейным, необходимо и достаточно, чтобы действующая сила имела постоянное направление, а начальная скорость была направлена по силе или равна нулю.

Пусть траектория точки совпадает с осью х, тогда

у = N = 0 И у = N = 0,

е. скорость точки во все время движения направлена по оси 北卜 следовательно, и начальная скорость точки должна быть направлена по оси % или равна нулю. Далее, так как y = N = 0, то из урав

нений движения следует, что

尸У =尸2=°"

т. е. что сил! должна быть направлена по оси х. Итак, высказанные условия необходимы. Докажем их достаточность.

Пусть сила направлена по оси х, тогда из уравнений движения имеем у = 0, n = 0 и, интегрируя их, получим:

у = Ср Z = С2*

Если начальная скорость направлена по оси х, то tj = 0, 出=0, следовательно,

у 0, z = 0.

Интегрируя второй раз, получим у = с3> N = Су Если в начальный момент точка находилась на оси х, то с3 = с4 = 0 и

у = 0, N = 0,

т. е. траекторией точки будет ось х.

Покажем, что если сила—центральная и начальная скорость направлена по силе или равна нулю, то движение прямолинейно.

Возьмем за плоскость движения плоскость Оху, и пусть О будет центр сил (рис. 328). Так как сила—центральная, то будет иметь

место закон площадей, т. е. момент количества движения или момент скорости относительно центра О есть величина постоянная; следователь! о,

momo ⑺=ху — у% = с.

Так как начальная скорость проходит через центр сил (или равна нулю), то момент ее будет равен нулю, т. е. в начале движения с = 0. Следовательно, ху — ух = 0, или

Интегрируя, получаем:

1п у — In х -|-1п с1( млн

у = 6%,

т. е. траектория точки есть прямая, проходящая через центр сил.

Дифференциальное уравнение прямолинейного движения. Прямолинейное (вдоль оси %) движение свободной материальной точки определяется одним дифференциальным уравнением второго порядка

1n 胃-= Fx© х, х\(1)

где сила может быть функцией времени, координаты и скорости. Интегрируя его, получим общее решение

% = % «, % с2);(2)

взяв производную по времени, будем иметь:

(3)

Определяя из равенств два первых интеграла:Определяя из равенств два первых интеграла:интегрирования, получиминтегрирования, получими (3) постоянные

Определяя из равенств два первых интеграла:

Определяя из равенств два первых интеграла:

интегрирования, получим

интегрирования, получим

① 1 (f, х, х) = ср

①2 (力 %，%) = /•

Уравнение (2) определяет целый класс движений, происходящих под действием данной силы F. Для нахождения закона данного пн i жения необхонимо задать начальные условия. Пусть

при f = & .

вставив эпи значения в уравнения ⑵ и (3), будем иметь:

%0 = X (片0, Сj, &),% = % (£°, Ср 匕2)*

Из этих двух алгебраических уравнений найдем постоянные 工『1广 рования С[ и с2 и, подсгавив их в уравнение (2), получим частное

решение, соответствующее данным начальным условиям, в виде

х —■ х (f, £(), х» и。)*(4)

Уравнение (4) и дает искомый закон движения точки.

3・ Общие теоремы динамики для прямолинейного движения точки. В ряде случаев первые интегралы уравнения (2) могут быть получены из теорем об изменении количества движения или кинетической энергии (§ 33). Представив уравнение (2) в виде

现号^ =尸* илиd5%)=匕阳(5)

получим для прямолинейного движения теорему об изменении количества движения в дифференциальной форме.

Интегрируя уравнение (5) и полагая, что при / = 0 скорость 。％ =守麻，найдем выражение той же теоремы в интегральной (конечной) форме:

mvx — mvQx = S“，(6)

где

t

S%=/fХdf⑺

о

есть проекция импульса равнодействующей приложенных к точке сил на ось х.

Если сила будет функцией одного только времени, т. е.尸* =尸# (/), или когда сила постоянна (Fx = const), импульс S* непосредственно вычисляется и теорема (6) дает первый интеграл уравнения движения (2).

Вторую теорему можно получить, преобразовав первое из уравнений (5) к аргументу х. Так как

то дифференциальное уравнение прямолинейного движения точки примет вид

Отсюда, так как 哗=№，получим:

d (%=尸*呢⑼

Уравнение (9) выражает для прямолинейного движения теорему об изменении кинетической энергии в дифференциальной форме; величина F*dx будет в данном случае элементарной работой равнодействующей приложенных к точке сил.

Интегрируя уравнение (9) и полагая, что при х =х0 скорость & = %, получим выражение теоремы в интегральной форме

mv2 掰* где

4稱m= J 尸" ""(11)

есть работа действующих сил на перемещении из Мо (х0) в М (х).

В случае, когда сила зависит только от расстояния, т. е. 尸# =尸*(%), или постоянна (Fx — const), работа (11) непосредственно вычисляется и теорема (10) дает первый интеграл уравнения движения (2).

Заметим, что если сила постоянного направления зависит только от расстояния, то она будет потенциальной; в этом случае элементарная работа Fx (х) dx —dU{x) и потенциальная функция

U (%) = / 尸％ (*) d* 十 const.

Интегрирование уравнения прямолинейного движения в некоторых частных случаях. Покажем, что если сила есть функция только одного переменного, то дифференциальное уравнение прямолинейного движения интегрируется методом разделения переменных.

Сила——функция только времени. Пусть

々=/(/)•

Тогда теорема об изменении количества движения (6) сразу дает первый интеграл:

t

mvx — mv^x = J* 尸片(/) df,о

откуда

0

Интегрируя дальше, получим:

и。* + ^ / 尸％(f)d£ dt + xQ. о0.

Сила ——функция только расстояния^ Пусть

23 На Н. Бухгольц

Тогда по теореме об изменении кинетической энергии будет:

mv2 /п 圖 г

—g- = ^/尸*(*)d% = / (尤%

или

mv2 = /n 端 + 2/(X).

Из этого уравнения, учитывая, что при прямолинейном движении в# = 土矶 находим：

%=券=±/ 咤+力(х)•

Знак перед радикалом определяется по знаку и#; разделив переменные, получим:

Интегрируя это уравнение, получим х как функцию времени, т. е. закон движения.

Сила — функция только скорости. Пусть

F х =尸％ (и J

Тогда из уравнения

m等=尸*(%),

разделяя переменные, получим:

Интегрируя, будем иметь:

ИЛИИЛИ/п/пFk (%)Fk (%)<р ("*)=厶<р ("*)=厶(12)(12)

ИЛИ

ИЛИ

/п

/п

Fk (%)

Fk (%)

<р ("*)=厶

<р ("*)=厶

(12)

(12)

Если из этого уравнения можно определить в* как функцию £» т. е.

叫=將=屮('), то, интегрируй найдем:

х = J 屮(/)&/+ с.

Если из уравнения (12) нельзя определить vx как функцию Л то можно применить другой способ интегрирования. Представляем дифференциальное уравнение движения в виде (8)

叫爸=々（外）;

разделяя переменные, будем-иметь:

mvx dvx 一F“ (%)—mvx dvx 一F“ (%)—dxtdxt

mvx dvx 一F“ (%)—

mvx dvx 一F“ (%)—

dxt

dxt

откуда, интегрируя, получим:

%(%) = х —%о・(13)

Исключая из уравнений (12) и (13) % найдем зависимость х от /：x—f (/),

т. е. искомый закон движения»

Из изложенного видно, что, когда сила зависит только от времени / или только от расстояния х, для решения задач можно пользо

ваться первыми интегралами, которые в этих случаях дают соответственно теоремы об изменении количества движения и кинетической энергии точки. Примеры таких решений рассмот

рены в § 33 (п. 1 и п. 8). Если же сила зависит0

от скорости движения, то общие теоремы первых -|

интегралов не дают, и для решения соответст-I

вующей задачи необходимо непосредственно инте- …1 -

грировать дифференциальное уравнение движения.|

Пример такого случая мы сейчас рассмотрим.I

5・ Движение в сопротивляющейся среде. _ЛГ\

Пусть в воздухе падает вертикально некоторое тело» На тело будут действовать сила тяжести mg и сила сопротивления воздуха R (рис. 329).I

Если ось х направим вертикально вниз иI

будем рассматривать тело как материальную точ-т »

ку, то уравнение его движения, так как при па-I

Дении все время vx = w, будет 】)：

m^ = mg — R.(14)(

Закон сопротивления среды довольно сложен, Рис. 329. так как сопротивление среды зависит от формы и размеров движущегося тела, от свойств самой среды и от скорости тела относительно среды. Найдено, что при малых скоростях

I) Как будет показано в динамике системы, уравнение (14) описывает движение центра тяжести тела.

(до 0,1 м/сек) сопротивление среды можно считать пропорциональным первой степени скорости; при дозвуковых скоростях (примерно до 240 м/сек) сопротивление будет пропорционально второй степени скорости. При ббльших (околозвуковых и сверхзвуковых) скоростях зависимость сопротивления среды от скорости имеет более сложный характер.

(15)(15)В аэродинамике принято считать:

(15)

(15)

где р — плотность воздуха; 5 — площадь так называемого миделевого сечения тела (от английского middle—середина), т. е. площадь проек

ции тела на плоскость, перпендикулярную к направлению его скорости (рис. 330); для шара, например, 5 будет площадь большого

Рис. 330.Рис. 330.круга; сх ——безразмерный коэффициент сопротивления, зависящий от формы тела. При упоминавшихся выше дозвуковых скоростях величину сх можно считать постоянной.

Рис. 330.

Рис. 330.

Будем в дальнейшем рассматривать случай падения тела без начальной скорости (*и0 = 0). Установим сначала одно свойство такого движения, справедливое при любом виде зависимости R Представим силу сопротивления в виде

R — mgf (-и), (16)

где / (и) есть сила сопротивления, отнесенная к весу тела. Тогда уравнение (14) примет вид

— mgf (v)(17)

или, после сокращения на т.

(17')

По данным опыта функция /(и) обладает в рассматриваемом случае следующими свойствами: при и = 0 (когда тело относительно среды покоится) /(0) = 0; с увеличением 竹 величина f (у) возрастает до известного предела; предельное значение / (и) равно единице, так как мы не считаем возможным, чтобы сила сопротивления R, действующая на падающее без начальной скорости тело, стала больше силы тяжести mg (см. рис. 329). То значение скорости и, при котором f (у) — 1, будем называть предельной скоростью и^р.

Таким образом, тело, падающее в воздухе (или вообще в сопротивляющейся среде) без начальной скорости, движется ускоренно, но

притом так, что скорость его не может стать больше некоторой величины Unp. Значение *ипр определяется из условия

R叩=哪gили /(%p) = L

Разделим в уравнении (17‘)переменные и проинтегрируем его, полагая, что при £ = 0 скорость и = 0. Тогда получим:

о

При & = %р будет / (*ипр) — 1 и подынтегральная функция обратится в бесконечность. Если интеграл при этом расходится, то скорость и будет равна *ипр при / = сю, т. е. скорость падения будет стремиться к своему предельному значению асимптотически. Практически, как показывает опыт, приближение к предельной скорости происходит довольно быстро, если только коэффициент сопротивления не слишком мал.

Рассмотрим теперь конкретный случай, когда сила сопротивления пропорциональна квадрату скорости, и положим

/“)=胪絞.(18)

Тогда из уравнения (17‘)， разделяя переменные, получим: dv

I — A2v2 匕

и, интегрируя, найдем:

阮m匸而= g?-H.

Так как по начальным условиям при £ = 0 скорость р = 0, то с = 0, и мы будем иметь:

歳出注署=g我(19)

ИЛИ

1 +女&1——Av1 +女&1——Av—e2hgt.—e2hgt.

1 +女&

1——Av

1 +女&

1——Av

—e2hgt.

—e2hgt.

Определяя из этого уравнения и, получим:

9 —/岳限 + [ -g总笈f+ e一岳gf ,(20)

или

W = ^ th 伍gf).(20')

Так как th (оо) = 1, что непосредственно видно из равенства (20), если представить его в виде

то, следовательно, при £f 8 скорость и стремится к предельному значению 1/仇 т. е.

^пр — -у ■(21)

Этот результат следует и из предыдущих общих рассуждений, так как соотношение /(&□「)= 1, определяющее предельную скорость, дает в данном случае, согласно равенству (18), йVp = 1.

Выразим *ипр через коэффициенты формулы (15), считая в ней р и сх постоянными, что будет иметь место, когда высота падения не очень велика, а скорость не близка к звуковой. В нашем случае 于⑦=谷$. Подставляя это значение в формулу (16) и приравнивая ее правую часть правой части равенства (15), найдем соответствующее значение 尼 и получим, что

Таким образом, предельная скорость растет с увеличением веса тела и с уменьшением коэффициента сопротивления, плотности среды и площади миделя.

Скорость приближается к своему предельному значению асимптотически. Однако можно считать, что, начиная с некоторого момента, когда, например,。= 0,99。叩(т. е. когда скорость отличается от предельной менее чем на 1%), тело практически движется равномерно со скоростью и = 011P.

Этот момент 片 найдем из равенства (19)» полагая в нем vjv^ = z=kv — 0,99; получим:

114- 0,99 UrdvnD

々=兹 m =涼 in 199 弋 2,65 f.(23)

Следовательно, время 玄 тем меньше, чем меньше *ипр*

Найдем теперь закон движения падающего тела. Из равенства (20‘) имеем:

穿=^1g (左 gf).

откудаоткудаdxdx_1 sh (饱e)—々ch (々g£)_1 sh (饱e)—々ch (々g£)dt.dt.

откуда

откуда

dx

dx

_1 sh (饱e)

—々ch (々g£)

_1 sh (饱e)

—々ch (々g£)

dt.

dt.

Интегрируя это уравнение и принимая во внимание, что по начальным условиям при t— 0 координата х = 0, найдем окончательно:

* = 倉也ch但g/)・ (24)

Примеры. 1. Пусть два однородных шара одинакового диаметра, но разной плотности падают свободно в воздухе. Найдем отношение их предельных. скоростей. Для рассматриваемых шаров величины с# н S одинаковы, а массы 恤 и т? разные; одной и той же будет и плотность воздуха р. Тогда формула (22) дает:

где 内 и р-2 一 плотности шаров. Таким образом, предельные скорости двух геометрически равных однородных шаров прямо пропорциональны корням квадратным из их плотностей. Этот результат был впервые получен Мариоттом.

2. Найдем предельную скорость падения парашютиста при затяжном прыжке и с открытым парашютом, полагая вес парашютиста Р = mg = 75 кГ, а плотность воздуха р =干 ；—.

о М

При затяжном прыжке можно считать для парашютиста сх ^ 1,0 и 5 = 0,4 ж2, тогда по формуле (22) получим ицрн 55 м/сек. Из равенства (23) найдем, что 友七 15 сек, т. е. уже через 15 сек скорость падения (при ■v0 — 0) отличается от предельной на 1%.

При падении с открытым парашютом, примем для него сх = 1,4, S == 36 ж2. Тогда соответственно получим vnp = 5 м!сек н % в 1,4, сек, т. е. если парашют раскрывается сразу, то примерно через 1,5 с?尤 v = 0,99vnp.

§ 36・ Прямолинейные колебания точки

центральной силы г = — ст、на-центральной силы г = — ст、на-⑵ЧjcnРис. 331.⑵ЧjcnРис. 331.Свободные колебания точки при отсутствии сопротивления (гармонические колебания). Рассмотрим прямолинейное движение точки с массой т под действием правленной к неподвижному центру О (рис. 331) и пропорциональной расстоянию от этого центра (квазиупругая сила). К таким силам относятся, например, упругие силы, подчиняющиеся закону Гука.

центральной силы г = — ст、на-

центральной силы г = — ст、на-

⑵Ч

jcn

Рис. 331.

⑵Ч

jcn

Рис. 331.

Силу F называют еще восстанавливающей силой, так как она стремится вернуть точку в равновесное положение О, где F = 0, т. е. восстановить равновесие.

Если начальная скорость точки М равна нулю или направлена вдоль линии OMt то, как было установлено в § 34, движение под действием центральной силы F, будет прямолинейным. Покажем, что это движение представляет собой простое гармоническое колебание*

Направим вдоль ОМ координатную ось х (см. рис. 331). Тогда

(1)

где с — постоянный коэффициент (для пружины этот коэффициент называется коэффициентом жесткости; он численно равен силе, которая удлиняет пружину на 1 с附).Составляя дифференциальное уравнение движения точки, получим:

тх — —сх.

Отсюда, деля обе части на /п и полагая 优⑵

будем иметь:

妥 + 炉х = 3(3)

Уравнение (3) есть дифференциальное уравнение простого гармонического колебания. Его общее решение, как известно, имеет вид х = с^е^ + с^^,(4)

где 九 1 и 九2 суть корни характеристического уравнения. Чтобы составить характеристическое уравнение, делаем в уравнении (3) подстановку

Тогда х = 2Z и МЬ1 получим:

зf (九2+ 胪)= 0,

откуда находим характеристическое уравнение

九2+屏=0.

Решая его, получаем:

入1 = +跳， 九2 =/瓦

Подставляя значения Хх и Х2 в общее решение (4), будем иметь:

х =де 询+ ©2”"' или, так как

eikt = cos(^/) +1 sin (々f),gT就=cos 但£) — / sin(fe^),

найдем, что

X =(C] —|— c?) cos (々/) + / (tj — с?) sin (々U・

Полагая здесь

Q j4, Z (С] — с?)8,

получим общее решение в виде

х = Д cos (^0 + В sin (就)，(5)

где / и 3 суть постоянные интегрирования.

Введем новые постоянные а и а, полагая:

А = a sina, 5 = a cos a.

Тогда получим:

% = a [sinacos(^/)4~cos a sin(Bf)] или

% = a sin (论/ +a)・(6)

Уравнение (6) есть также общее решение дифференциального уравнения (3), но в другой форме. Постоянными интегрирования здесь являются а и а. Решение (6) показывает, что точка движется по закону синуса (или косинуса). Такое движение носит название

простого гармонического колебаниям график его показан на рис. 332. Скорость точки в этом движении будет:

Ох = % = 〃论 cos (佗f+ ct)・ (7)

Поскольку |sin(B£ + a)|《1, то постоянная а определяет наибольшее отклонение точки от центра колебаний О; ее называют амплитудой колебаний. Величина 论?4~ct, определяющая, как видно из (6) и (7), положение и скорость точки в данный момент времени, называется фазой колебаний*, следовательно, постоянная а есть начальная фаза.

Из уравнения (6) видно, что движение является периодическим. Периодом колебаний называется промежуток времени 7, в течение которого точка совершает одно полное колебание. Так как через

период, т. е. в момент / +「, точка должна прийти в то же положение х и иметь ту же скорость % что и в момент t、то величина Т найдется из условий:

sin 他 « + 7)十 ct] = sin (E± + a),cos 佈 «十 7)十 a] = cos (kt 十 a)-

Наименьшее значение 7\ при котором выполняются эти условия, определяется равенством 仃=2л, откуда период

7 =千.(8)

Величина v, обратная периоду, определяет число колебаний, совершаемых за одну секунду; ее называют частотой колебаний:

v = ； = £(9)

Величина Е, пропорциональная v, носит название круговой или собственной (а также циклической) частоты. Важно отметить, что частота и период колебаний от начальных условий не зависят.

Постоянные ana определяются из начальных условий. Пусть

тогда, подставляя эти значения в равенства (6) и (7), получим: 々=a sina, q)= ak cos a,

откуда» возводя эти равенства почленно в квадрат и складывая, а затем деля их почленно друг на друга, найдем:

Таким образом, амплитуда и начальная фаза колебаний зависят от начальных условий. Из равенств (11) видно, что если начальная скорость равна нулю (и。= 0), то амплитуда равна начальному расстоянию 尤з а a = ^ н закон движения точки будет:

х = a cos ЕЕ.(12)

Если же и。片 0, то амплитуда будет больше 尤「

Часто общее решение уравнения (3) берут в форме (5):

х — A cos (力£) + 3 sin (ЕЕ). Тогда

x — k{ — Д sinВ cos Bf)・

Подставляя в эти равенства начальные данные (10), получим х0 = Д, 廿о = 3论，откуда

/ = В =・

Окончательно закон движения будет иметь следующий вид:

x = xQ cosA^+"^ sinEf.(13)

При Uo = O получаем ранее найденный закон (12). Если же х0 = 0, то будем иметь:

х ^^ ■■ ^ s i п (й t -"I- сс)«(14)

Такой же результат при х0 = 0 получим и из равенств (6) и (11).

Из полученных результатов следует, что, на каком бы расстоянии х0 от центра колебаний точка ни находилась в момент, когда ее скорость равна нулю, она придет в этот центр через ^ периода.

Движение, обладающее таким свойством, называют таутохронным. Одновременно, поскольку период Т не зависит от вели- ^. чины размахов (амплитуды), это движение является изо- хронным^〉

Пример. Висящий на вертикальной пружине груз рас- < тягивает ее на величину б0 (статическое удлинение пружины). / Пренебрегая сопротивлением среды, найдем закон вертикаль- £》匸 ных колебаний груза, отклоненного от равновесного положе- J 软 ния на расстояние h и отпущенного без начальной скорости.〃《 ’一 〃

Пусть ЛВ длина ненапряженной пружины; б0 — статиче- “《 坛Г "夕 ское удлинение (рис. 333). Возьмем начало координат в точ- / 才 ке О (положение статического равновесия) и направим ось х买一L

по вертикали вниз. Тогда в произвольном положении на груз 向 действуют сила тяжести Р = mg и упругая сила Т = с | AZ |,、」

где в нашем случае удлинение пружины AZ = 6()十 ％. Состав- ，尸 ляя дифференциальное уравнение движения груза в проекции на ось получим:忆

mx = mg - c (60 + %).mx = mg - c (60 + %).(а) Рис. 333.(а) Рис. 333.

mx = mg - c (60 + %).

mx = mg - c (60 + %).

(а) Рис. 333.

(а) Рис. 333.

Но так как в равновесном положении пружина растянута на 60 и ее упругая сила уравновешивает силу тяжести, то Р = mg = с60. Тогда, производя в уравнении (а) соответствующее сокращение и вводя обозначение

получим дифференциальное уравнение колебаний груза в виде х + k2x = 0.(в)

Отсюда сразу находим, что период колебаний

е. период колебаний пропорционален корню квадратному из статического удлинения пружины. Этот результат справедлив и в случае, когда роль пружины играет упругая балка, если 60 — статический прогиб балки.

Интегрируя уравнение (в), получим:

х = A cos kt-\- В sin kt.

По начальным условиям при ^ = 0 х =務 vQ = 0. Тогда, как мн видели, Л = Л, В = 0 и закон движения примет вид

x—h cos

Таким образом, центром колебаний будет равновесное положение О. Отсюда видно, что действие постоянной силы Р не меняет характер колебаний, происходящих под действием упругой силы F、а только смещает центр этих колебаний в сторону действия силы Р на величину 60 (см. ниже, п. 4).

2・ Свободные затухающие колебания точки при сопротивлении, пропорциональном скорости. Пусть на точку с массой 加， кроме восстанавливающей си

产 曲 夕 一 лы F = — rr, направленной 0弋**~~к центру О, действует сила

аасопротивленияR ——卩叽 пропорциональная скорости и на- Рнс. 334.правленная против движения

(рис. 334).

Тогда 尸* =——ex, R% =—卩％ и дифференциальное уравнение движения точки будет:

тх — сх — цх.

Перенося все члены в левую часть, деля на /п и полагая

—==А2,— = 2^,(15)

получим дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний в виде

% + 2b%+炉% = 0.(16)

Это линейное и однородное дифференциальное уравнение, как и уравнение ⑶，имеет общее решение

(17)(17)X = c]e九"+ e2e九2'，

(17)

(17)

где 九I и 入2 — корни характеристического уравнения. Подставляя в уравнение (16)

х =% =九6AA% =九 2次4

получим:получим:^ (V 4-2^+ ^) = 0'^ (V 4-2^+ ^) = 0'

получим:

получим:

^ (V 4-2^+ ^) = 0'

^ (V 4-2^+ ^) = 0'

Следовательно, характеристическое уравнение имеет вид

九2+26九+尼2 = 0.(18)

Решая его, определим X:

A,=-分土 "/从一济.

Окончательный вид решения зависит от соотношения между b и 尼.

Пусть b < 论・ Тогда, обозначив

•/卧—从=①,(19)

будем иметь:

九 1— b ~九 2 = — b — ZA]»

и общее решение (17) примет вид

x = e[6(一6+£拓)£+e2爪_6一访1)f = e~bt (cxeik^ + 好一偿")，

Преобразуя выражение в скобках так же, как в п. 1, получим решение уравнения (16) в одном из следующих двух видов:

х = e~bt (Д cos 论拉十Bsin 电f)(20)

или

х = e~bi a sin (论拉十 a),(21)

где Д и 5 или а и a ——постоянные интегрирования, определяемые по начальным условиям.

Из вида уравнения (21) следует, что описываемое им движение будет колебательным, так как синус есть функция периодическая. Эти колебания называют затухающими, поскольку благодаря наличию множителя e~bi размахи колебаний будут со временем убывать, стремясь к нулю.

Величину

7\ =礬=(22) «1 У 々2 — b2

являющуюся периодом тригонометрической части уравнения (21), называют периодом затухающих колебаний. Сравнивая эту величину с периодом незатухающих колебаний (8), мы видим, что наличие сопротивления несколько увеличивает период или уменьшает частоту колебаний. Если величина b очень мала по сравнению с 左，то практически можно считать kx^k и Т1^Т.

Чтобы установить закон затухания размахов колебаний, отметим, что промежуток времени между двумя последовательными максимальными отклонениями колеблющейся точки вправо (или влево) равен периоду ГР так как моменты ^, когда точка имеет эти наибольшие

отклонения, определяются из уравнения

х = e~bta [曲 cos (电f-(-a) — b sin 3"+口)] = 0 или

(23)

Следовательно, если уравнение (23) удовлетворяется в момент ^, то оно удовлетворяется и в момент 左十1 = % + Т「Поэтому величины xz и %,+i двух последовательных максимальных отклонений, например, вправо будут:

尤/ = ae~btt sin (尼]力 十 a), %»+i —

=ae~b(^+ri)sin (kxtt + k(Tx 十 a)=尤*-"i. Следовательно,

笠± = e-5,(24)

т. e. полуразмахи колебаний убывают по закону геометрической прогрессии, знаменатель которой 6-5 называется декрементом колеба*

ний. Соответственно величину

Z)— I In е-51 = Ь7\

называют логарифмическим декрементом. Графически закон затухающего колебания изображен на рис. 335.

Пусть b 5> 瓦 Тогда, обозначив

)/Р —庭=吟(25)

найдем, что корни характеристического уравнения (18) будут действительные числа:

入 1 =： — b —р л,九 2==—匕—л>

и общее решение (17) примет вид

х = e~bt (с^ +(26)

Учитывая, что

= ch (〃f)十 sh (欣)， g-mf = ch (nf) — sh (〃f),

мы можем получить другую форму общего решения:

х = е-ы [д 匸卜 0f)+ 3 sh (nOb(26)

Q = QoSin(pf).Q = QoSin(pf).(27)(27)

Q = QoSin(pf).

Q = QoSin(pf).

(27)

(27)

где А и В ——новые постоянные интегрирования. Уравнения (26) и (26‘) указывают, что 尤 будет функцией апериодической, т. е. колебаний в этом случае не будет.

Так как 〃 < 仇 то из уравнения (26) видно, что * с течением времени неограниченно убывает, стремясь к нулю, т・ е. точка со временем асимптотически приближается к притягивающему центру. График этого

движения, который можно построить по уравнению (26), имеет в зависимости от величины и знака начального отклонения 尤° и начальной скорости и。 форму одной из кривых, изображенных на рис. 336 (или им симметричных относительно оси абсцисс).

В случае, когда b — k, корни характеристического уравнения (18) будут 九1 =九2 =——b и общее решение* уравнения (16) примет вид

x~e~bt(cx 十匸2力

Так как e~bt убывает быстрее, чемРис. 336

растет 力，то картина движения в этом

случае будет качественно такой же, как показанная на рис. 336. Движение будет неколебательным (апериодическим) затухающим.

Вынужденные колебания точки. Резонанс. Колебания материальной точки называются вынужденными, если на точку, кроме направленной к центру О восстанавливающей силы, действует некоторая изменяющаяся со временем сила Q(f), называемая возмущающей. Мы ограничимся рассмотрением случая, когда возмущающая сила является гармонической, т. е. из*

ОМОМменяется по закону

ОМ

ОМ

Исследуем сначала вынужденныеРис 337.

колебания точки при отсутствии со

противления. Пусть на точку М массы 加(рис. 337) действуют восстанавливающая сила F = — сг и гармоническая возмущающая сила (27). Тогда дифференциальное уравнение движения точки, если считать Q0# = Qq, будет

mх = - eк 十 Qo sin (Р9.

Деля обе его части на /и и полагая

展=吃±=p，

получим дифференциальное уравнение вынужденных колебаний точки при отсутствии сопротивления в виде

%+论2%=尸 sin(p/).(28)

Уравнение (28) есть неоднородное линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Как известно, общее решение такого уравнения равно сумме какого-либо частного решения этого уравнения и общего решения соответствующего однородного уравнения. Будем искать частное решение уравнения (28) в виде

| = Xsin (/?/)•(29)

Для определения А подставляем в уравнение (28) вместо х выражение J； получим тождество

А (А2 — p2)sin (pf) = Р sin (pf)・(30)

Отсюда, полагая, что 论，найдем:

Следовательно, частное решение уравнения (28) будет:

自 =.酒,二炉 sin(pf).(31)

Соответствующее уравнению (28) однородное уравнение

х 十 k2x = 0 имеет общее решение

% =aS也(々t+ a), поэтому общее решение уравнения (28) будет:

x — asin (论f-|-a)+ 侬—尸2 sin(pf)，(32)

где а и а суть произвольные постоянные, определяемые начальными условиями.

Из уравнения (32) следует, что при действии возмущающей силы точка совершает сложное колебание, которое является результатом суперпозиции (наложения) двух колебаний: собственных колебаний с частотой 论 и вынужденных колебаний с частотой р, равной частоте возмущающей силы. Заметим, что амплитуда вынужденных колебаний

总2 —卢(в отличие от амплитуды а собственных колебаний) от начальных условий не зависит. С увеличением частоты возмущающей силы р амплитуда вынужденных колебаний стремится к нулю; следовательно, действие возмущающей *силы, частота которой очень велика по сравнению с частотой собственных колебаний, почти не нарушает режима собственных колебаний.

Если частота возмущающей силы равна частоте собственных колебаний, т. е. если р =论，то, как видно из (30), частного решения вида (29) у уравнения (28) не существует. Рассмотрим тогда другое частное решение

Р-

乏2_/牙[sin(р/)—sin(&/)], которое получается из общего решения (32) при значении произвольных постоянных:

a =试—露， a = 0。

总2--尸2

■^ [sin (р/) — sin (fit)}■^ [sin (р/) — sin (fit)}言出一麗言出一麗p=kp=kPt2йPt2йCOS (配).COS (配).При p —k это частное решение обращается в неопределенность вида 灯,раскрывая которую, получим:

■^ [sin (р/) — sin (fit)}

■^ [sin (р/) — sin (fit)}

言出一麗

言出一麗

p=k

p=k

Pt

2й

Pt

2й

COS (配).

COS (配).

(33)(33)Следовательно, общее решение уравнения (28) при p — k будет:

(33)

(33)

х =——淙"C°s (砌十 仪 sin(A/~Pa)'

Отсюда видно, что в том случае, когда частота возмущающей силы делается равной частоте собственных колебаний, амплитуда вынужденных колебаний будет с течением времени неограниченно возрастать. Такое явление носит название резонанса и играет большую роль в акустике, радиотехнике и при динамическом расчете сооружений. Картина вынужденных колебаний при резонансе показана на рис. 338.

Рассмотрим теперь вынужденные колебания точки при сопротивлении, пропорциональном скорости. Пусть действующие на точку М с массой m восстанавливающая сила 尸，сила сопротивления среды R и возмущающая сила Q (рис. 339) соответственно равны:戶=—cr,

24 Н. Н. Бухгольц

/? = — jw и Q=Q()sinp/. Тогда дифференциальное уравнение движения точки в проекции на ось Ох будет:

тх = — сх —卩尤 + Qo sin (pf).

Деля обе его части на m, получим дифференциальное уравнение вынужденных колебаний при сопротивлении, пропорциональном скорости^

в виде

°7 ■凡 °~o°7 ■凡 °~oРис. 339,Рис. 339,где—= А2,上=2仇где—= А2,上=2仇mmmm"P (35)"P (35)尤十 2bx 十尼2% = P sin (川)，(34)

°7 ■凡 °~o

°7 ■凡 °~o

Рис. 339,

Рис. 339,

где

—= А2,上=2仇

где

—= А2,上=2仇

m

m

m

m

"P (35)

"P (35)

Уравнение (34) есть неоднородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Как известно, общее решение этого уравнения будет:

尤=Х + &,

где X есть общее решение уравнения без правой части, а | — какое-либо частное решение всего уравнения.

Общее решение уравнения

х + 2Ьх 十论 2% = О

мы нашли выше, рассматривая затухающие колебания. В случае, когда 尼〉仇 оно имеет вид (21)

X -ae一6气也仅d + 口)，

где а и а — произвольные постоянные, a

自=也2 一编

Будем искать частное решение уравнения (34) в виде

W = 4sin(pf — р).

Значения Дир найдем, подставляя 自 в уравнение (34). Для этого вычислим первую и вторую производные 自 по времени» полагая для сокращения записи р£—В = 6; получим: