ВВЕДЕНИЕ

В АНАЛИТИЧЕСКУЮ

МЕХАНИКУ

ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ, ПЕРЕРАБОТАННОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ

Допугцено Государственным комитетом СССР по народному образованию в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений

МОСКВА «НАУКА»

ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 1991

ББК 22.21

Б93

УДК 531(075.8)

Б у т е н и н Н. В., Ф у ф а е в Н. А. Введение в аналитическую механику.— 2-е изд., пер. и доп.—М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1991.— 256 с.— ISBN 5-02-014221-2.

Дано систематическое и доступное изложение основ аналитической механики. Включены разделы: уравнения Лагранжа, уравнения движения в квазикоординатах, уравнения Лагранжа — Максвелла, канонические уравнения и методы их интегрирования, неголономные системы, вариационные принципы механики. Содержатся многочисленные примеры, иллюстрирующие применение рассматриваемых методов к решению конкретных задач. Во втором издании отражено существенное развитие аналитической механики за последние два десятилетия.

Для студентов технических вузов, аспирантов и инженеров различных отраслей промышленности.

Ил. 86. Библиогр. 49 назв.

Рецензент

доктор физико-математических наук В. Г. Демин

Учебное издание

БУТЕНИН Николай Васильевич, ФУФАЕВ Николай Алексеевич

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИТИЧЕСКУЮ МЕХАНИКУ

Заведующий редакцией Л. А. Русаков

Редактор В. И. Левантовский Художественный редактор Т. Н Колъченко Технический редактор Е. В. Морозова. Корректоры О. А. Бутусова, Е. Б Тихонова

ИБ № 12281

Сдано в набор 07 06 90. Подписано к печати 14 05 91 Формат 60X90'16 Бумага кн.-журнальная Гарнитура обыкновенная Печать высокая. Усл. печ л 16 Усл кр - отт. 16,25 Уч.-изд л. 16,86 Тираж 11 750 экз. Заказ № 235 Цена 2 р.

Издательско-производственное и книготорговое объединение «Паука»

Главная редакция физико-математической литературы

117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15

Четвертая типография издательства «Наука»

630077 Новосибирск 77, Станиславского, 25

1603020000-066Б 053(02)-9159-911603020000-066Б 053(02)-9159-91<Q «Наука» Физматлит, 1971; ~ с изменениями, 1991<Q «Наука» Физматлит, 1971; ~ с изменениями, 1991

1603020000-066

Б 053(02)-9159-91

1603020000-066

Б 053(02)-9159-91

<Q «Наука» Физматлит, 1971; ~ с изменениями, 1991

<Q «Наука» Физматлит, 1971; ~ с изменениями, 1991

ISBN 5-02-014221-2

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие ко второму изданию 5

Предисловие к первому изданию 6

Глава 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯГлава 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯАНАЛИТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИАНАЛИТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ77

Глава 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Глава 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

АНАЛИТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ

АНАЛИТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ

7

7

555555616469805561646980107114120124107114120124

55

55

55

61

64

69

80

55

61

64

69

80

107

114

120

124

107

114

120

124

Свободные и несвободные мат°риальные системы. Связи

и их классификация. Обобщенные координаты . . . .7

Возможные, действительные и виотуальные перемещения.

Виртуальная работа Понятие идеальных связей.. .12

Число степеней свободы материальной системы. Обобщенные силы18

Понятие пространства конфигураций и фазового пространства системы материальных точек22

Истинные координаты и квазикоординаты. Кинематические характеристики движения25

Глава 2. ПРИНЦИПЫ МЕХАНИКИ И ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ДИНА

МИКИ 29

Принцип виртуальныхперемещений29

Условия равновесия в обобщенных координатах . . .35

3. Условия равновесия в случае потенциальных сил..39

Устойчивость состоянийравновесия42

5. Принцип Даламбера48

Общее уравнение динамики50

Глава 3. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКИХ И ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Выражая ня кинетической и потенциальной энергии системы в обобщенных координатах. Гироскопические и диссипативные силы

Уравнения Лагранжа второго рода в общем случае

Примеры на составление уравнений Лагранжа второго рода".

Уравнения Лагранжа второго рода в случае потенциальных сил. Первые пите шалы движения

5. Уравнения Ра\са Обобщенная потенциальная энергия

6. Уравнения Лашанжа первого рода. Учет дополнительных связей и реакций отброшенных связей

Уравнения Лацэанжа в квазикоординатах

Уравнения движения системы материальных точек с не- удержпвя гщями кинематическими связями ....

9. Уравнения Ла! рапира — Максвелла. Функция Релея

Аналитическая механика и общая теория электрических машин

Уравнения в вариациях

j*

Глава 4. КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И МЕТОДЫ ИХ ИНТЕГРИРОВАНИЯ 129

Канонические переменные. Функция Гамильтона ...129

Канонические уравнения. Первые интегралы движения.132

Теорема Якоби — Пуассона140

Метод канонических преобразований. Преобразование Лежандра 144

Метод Осгроградского — Якоби. Теорема Лиувилля..156

Метод вариации произвольных постоянных. Канонические уравнения возмущенного движения174

Метод интегральных инвариантов183

Глава 5.ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ МЕХАНИКИ ....190

Действие по Гамильтону190

Принцип стационарного действия Гамильтона — Остроградского 191

Полное (асинхронное)варьирование199

Принцип стационарного (наименьшего) действия Лагранжа 200

Принцип стационарного (наименьшего) действия Лагранжа в форме Якоби204

Оптико-механическаяаналогия209

Глава 6. НЕГОЛОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ212

Число степеней свободы нетолономнойсистемы...212

Уравнения движенияс множителямиЛагранжа...214

Уравнения движенияв квазикоординатах217

Уравнения Аппеля221

Вывод уравнений движения неголономной системы из общего уравнения динамики. Уравнения Чаплыгина ...228

Перестановочные соотношения в аналитической механике неголономных систем242

Вариационные принципы в аналитической механике неголономных систем244

Список литературы250

Именной указатель252

Предметный указатель253

ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ

С момента первого издания книги, написанного Н. В. Буте- ниным, прошло почти два десятилетия. За это время аналитическая механика получила существенное развитие в области составления уравнений движения систем с неудерживающими связями, с неголономными связями, в методах аналитического исследования уравнений движения, в теории устойчивости движения и др. Стремление как-то отразить это развитие, а также несколько расширить круг читателей, для которых эта книга могла бы оказаться полезной (например, для студентов физико-математических факультетов в университетах), привело к необходимости внести в текст некоторые изменения и дополнения. Значительно расширен раздел, посвященный неголономным системам, что связано как с научными интересами одного из соавторов настоящего издания, так и с тем, что книга Ю. И. Неймарка и Н. А. Фуфаева «Динамика неголономных систем» к настоящему времени стала почти библиографической редкостью.

Разработка новой техники и широкое применение ЭВМ значительно расширили круг задач, решаемых с помощью методов аналитической механики. В наши дни аналитическая механика все глубже проникает в инженерную практику, в частности, через аппарат теории гамильтоновых систем. Методы этой теории обладают высокой степенью алгоритмичности и, следовательно, легко поддаются компьютеризации.

Н. В. Бутенин

Н. А. Фуфаев

ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ

Предлагаемая читателю книга входит в серию учебных пособий, дополняющую курс теоретической механики Н. В. Бу- тенина, Я. Л. Лунца и Д. Р. Меркина (М., 1970—1971 г). Издание этих дополнений связано с тем, что учащиеся некоторых втузов нуждаются в более подробном ознакомлении с рядом важнейших разделов, кроме изложенных в основном курсе. Книги, входящие в названную серию, посвящены аналитической механике, теории устойчивости, теории механических колебаний, теории гироскопов. В дальнейшем серию предполагается продолжить.

Эта книга предназначена для ознакомления учащихся с рядом разделов аналитической механики и ее методов, которые находят или могут найти приложение при решении инженернотехнических задач.

Цель настоящей книги — изложение методов аналитической механики и иллюстрация применения их к решению конкретных задач. Поэтому некоторые теоретические положения приводятся без доказательств, со ссылкой на источники, где эти доказательства приведены.

Автор благодарен профессорам Ю. И. Неймарку, Н. Н. По- ляхову, Н. А. Фуфаеву и доценту Л. Г. Наумовой за ценные советы, которые позволили значительно улучшить содержание книги.

Н. В. Бутенин

Глава 1

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ АНАЛИТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ

Свободные и несвободные материальные системы.

Связи и их классификация. Обобщенные координаты

Совокупность материальных точек называется системой материальных точек или материальной системой, если движение каждой из них в отдельности зависит от движения и положения остальных точек. Это значит, что между точками материальной системы существуют силы взаимодействия).

Материальная система, для которой расстояния между двумя любыми ее точками не изменяются, называется твердым телом.

Если каждая точка материальной системы может занять любое положение в пространстве и иметь любую скорость, то такую материальную систему называют свободной. Классическим примером свободной материальной системы может служить солнечная система. Между всеми планетами и Солнцем существуют силы ньютоновского тяготения, положения же и скорости самих планет и Солнца ничем не ограничены.

Если вследствие каких-либо ограничений (условий) точки и тела, составляющие материальную систему, не могут занять произвольного положения в пространстве и иметь произвольные скорости, то такая материальная система называется несвободной.

Ограничения (условия), которые не позволяют точкам материальной системы занимать произвольное положение в пространстве и иметь произвольные скорости, называются связями. Связь налагает ограничения на изменение координат и скоростей точек. Аналитически эти ограничения записываются в виде уравнений или неравенств. При физической реализации указанных ограничений на материальную систему будут действовать дополнительные силы, которые называются реакциями связей. Эти силы, в отличие от задаваемых сил, заранее не известны и определяются в процессе движения системы.

Пусть материальная система состоит из N точек, а декартовыми координатами v-й точки будут х^, yv, zv (v = 1, 2, ..., N). Если на материальную систему будет наложена одна связь, то в

общем случае аналитически это можно записать в виде)

/(^ь 1/Ь 21, Я2, Z/2, 22, . .., XI, Z/1, Zb ..., xNl yN, ZN, t) ^ 0, (1.1)

где ^v, y^ Ъ (v = l, 2, ..., TV)— проекции скорости v-й точки на оси декартовой системы координат, a t — время. В случае знака равенства в выражении (1.1) связь называется удержива- ющей\ если стоит знак неравенства, то связь называется неудерживающей.

Пусть две материальные точки, положение которых определяется соответственно координатами Xi, yb zt и х^ у^ z^ связаны между собой жестким стержнем длиною I. В этом случае связь является удерживающей и ее уравнение имеет вид

(ж2-Ж1)2 + (у2-У1)2 + (г2- Zi)2 — Z2 = 0,

т. е. расстояние между этими точками все время остается неизменным.

Если же стержень заменить гибкой нерастяжимой нитью, то точки получат возможность сближаться, но, как и прежде, удалиться друг от друга на расстояние, большее Z, не смогут. В этом случае связь будет неудерживающей и ограничения на координаты запишутся в виде неравенства

(Ж2-Ж1)2 + (у2- Z/1)2 + (Z2-Zi)2-Z2^0.

В дальнейшем будут рассматриваться только удерживающие связи ).

Если уравнение удерживающей связи

/ (^v, yv, 2v, ^v, уv, Zv, Z) 0 (v 1, 2, •.., TV) (1.2)

содержит явно время t, то связь называется реономной. или нестационарной.

Примером такой связи может служить негибкий стержень, соединяющий две материальные точки и изменяющий свою длину I заданным образом, например, I = l\ + Zo sin t. Уравнение связи в этом случае содержит время t и имеет вид

(ж2 - Ж1)2 + (у2 - У\У + (z2 - z^2 - (Zi + Zo sin Z)2 = 0,

где x\, yx, zi и $2, У2, Z2 — координаты точек.

Связь, накладывающая ограничения только на координаты точек системы, т. е. связь, уравнение которой не содержит производных от координат:

Нх^ у„ zv, 0 = 0,(1.3)

называется геометрической, или голономной. Связь же, уравнение которой имеет вид (1.2), называется кинематической.

Если уравнение (1.2) кинематической связи путем интегрирования нельзя привести к виду (1.3), не содержащему производных, то эта связь называется неголономной, или неинтегри- руемой. Если же уравнение кинематической связи (1.2) может быть путем интегрирования приведено к виду (1.3), то связь, по существу, будет голономной.

Пусть, например, уравнение связи, наложенной на материальную систему, будет

N е

S (^v^V 4“ U'vV'V’V ^v^v) ^ О*

После его интегрирования получим

N

^ ^ + z/v + 4) = с

V—1

(с — произвольная постоянная интегрирования). Следовательно, данная связь является геометрической.

Голономная связь называется склерономной, или стационарной, в случае, когда ее уравнение не содержит явно времени t, т. е. уравнение связи имеет вид

/(^v, Z/v, Zv) = 0.

Заметим, что неголономная связь может оказаться реономной даже в случае, когда ее уравнение не содержит явно времени t (см. гл. 6, § 1).

Пусть на материальную систему наложено m связей, уравнения которых имеют вид

2 (^Ц-V^V 4" Вр^Уу + ^JUV^v) + Dp, = 0 (p = 1, 2, . . . , 77?,),

V=1

где коэффициенты A^, В^, С^, D^ являются функциями координат и времени. Если эта система уравнений интегрируема, то связи будут голономными, в противном случае — неголономными.

Материальная система, на которую наложены голономные связи, называется голономной, а материальная система хотя бы с одной неголономной связью — неголономной.

В настоящей книге основное внимание уделено голономным системам, т. е. рассматриваются материальные системы со связями, уравнения которых могут быть записаны в форме

!АХ^ У^ ^ t) = Q (/ = 1» 2, ..., k^,(1.4)

где к — число связей.

Рассмотрим несколько примеров голономных связей.

Пример 1.1. Точка MXl к которой присоединена на нерастяжимом стержне длиной I точка M2l движется по дуге окружности радиусом R

(рис. 1.1), расположенной в вертикальной плоскости. Обозначим координаты точки Мх через хх, yXl zXl а координаты точки М2 — через x2l у2, z2; тогда уравнениями связей будут

«1 = 0,

^ + ^ + ^-д« = о,(ж2 — Ж1)2+ (У2 — У1)2+ (z2 —Zl)2 —Z2 = 0.

Пример 1.2. Для точек Мi и 2И2 кривошипно-шатунного механизма, изображенного на рис. 1.2, уравнения связей j \имеют вид

и

у^уzx = 0, z2 = 0, у2 = 0.

ж2 + у2 4- z2 — г2 = 0,

J»P^(^2-^)2+ (j/2-J/i)2+ (z2-z,)2-Z2 = 0,

——->- где хх, yXl 21 и х2. у^ z2 — соответственно коорди-

127 наты точек Мх и М2

Рис. 1.3Пример 1.3. Стержень вращается вокруг

вертикальной оси с постоянной угловой скоростью ю. По стержню могут свободно двигаться две материальные точки Мх и М2, соединенные между собой пружиной (рис. 1.3). В этом случае для системы точек Мх и М2 связь уже будет реономной (нестационарной), так как в уравнения связей

хх sin tot — ух cos tot = 0,х2 sin tot — у2 cos tot = 0,

21 = 0,22 = 0

входит время t.

Обобщенными координатами материальной системы называются независимые параметры, полностью определяющие ее по-

ложение (конфигурацию), т. е. определяющие положение каждой точки системы.

Пусть на материальную систему, состоящую из N точек, наложено к геометрических связей. Это значит, что не все декартовы координаты точек системы независимы друг от друга. В самом деле, на 3vV координат наложено к независимых уравнений связей. Решая эти уравнения связей относительно к каких-либо координат, мы выразим эти к координат через остальные 37V — к. Эти 3N — к координат, которые могут принимать произвольные значения, и определяют положение точек системы. Таким образом, число обобщенных координат будет равно

(1.5)(1.5)n = 3N — k.

(1.5)

(1.5)

Заметим, что решить систему (1.3) можно лишь относительно тех координат, для которых функциональный определитель (якобиан)

9к 9f2 8fk

^ д^-“э^

8ft df29fh

D =

8^а^2

(1.6)

8fi 9Ъ aik

'% 9^'" a$h

не равен нулю. В определителе (1.6) через pi, р2, ..., Р& обозначены те декартовы координаты, для которых этот определитель не равен нулю.

В качестве обобщенных координат можно выбирать не только декартовы координаты точек системы, но также углы поворота, а в электромеханических системах (см. § 3.7) даже заряды на конденсаторах; вот почему эти координаты называются обобщенными.

В каждом конкретном примере обобщенные координаты можно ввести различным образом, и часто удачный выбор предопределяет успех в решении задачи. В рассмотренном выше примере 1.1 в качестве обобщенных координат целесообразно ввести три угла: угол <р, определяющий положение точки Мi на окружности ^i + Z/i =^2’ и два угла гр, 6, определяющие положение стержня М\М^. В примере 1.2 удобно ввести угол <р между стержнем ОМХ п осью х. который определяет положение всей системы. В примере 1.3 в качестве двух обобщенных координат целесообразно ввести расстояние | точки Мх до начала координат и расстояние ц между точками Mi и М2.

Заметим, что при введении обобщенных координат все уравнения геометрических связей удовлетворяются тождественно.

Возможные, действительные и виртуальные перемещения. Виртуальная работа. Понятие идеальных связей

Понятия о возможных, действительных и виртуальных перемещениях точек материальной системы являются одними из фундаментальных понятий аналитической механики. Введем сначала эти понятия на примере одной материальной точки.

Предположим, что материальная точка подчинена связи, уравнение которой имеет вид

М у, t) = 0.(1.7)

Пусть закон движения точки, обусловленный действующими на точку силами, будет

у = у^, z = z(t).(1.8)

Подставляя закон (1.8) в уравнение связи (1.7), получим тождество

ЫО, y(t), zW, t] = 0.(1.9)

После дифференцирования этого тождества по времени будем иметь

+++(1.10)

дх бу у dz dtv '

Предположим, что в какой-либо фиксированный момент времени t = to материальная точка имеет координаты хо, уо, zq. Для этого момента времени условие (1.10) примет вид

иz + И - °’<1Л1>

где индекс 0 означает, что все четыре производные вычислены для значений ^о, Z/o, ^о и to. Производные х, у и z, входящие в условие (1.11), также соответствуют моменту времени t = to. Выражение (1.11) представляет собой условие, которому должны удовлетворять в данный момент времени t = to проекции х = иЖ1 у = Уу, z = vz скорости точки

v = х\ + у j + zk.

Эту скорость называют действительной скоростью.

Если связь стационарная, то ее уравнение имеет вид

/(ж, у, z) = 0(1.12)

и условие (1.11) упрощается:

(-F) + (-F) у + CF) 2=о.(1.13)

\ ^/е \бу )ои \9х)^х '

Действительным перемещением материальной точки называется вектор

di = vdt.(1.14)

Проекции этого вектора dx = xdt, dy = у dt и dz = z dt удовлетворяют уравнению

^-dx + dy + ^-dz + ~rdt = 0,(1.15)

Oxdy y dz dtx 7

которое получается из уравнения (1.10) путем умножения его на dt. Однако уравнение (1.15) возможно удовлетворить и какой-то другой совокупностью величин dx, dy, dz, которые можно рассматривать как компоненты некоторого вектора dr. Любой вектор

dr = dxi + dy j + dzk,

удовлетворяющий уравнению (1.15), называется вектором возможного перемещения. Иначе говоря, возможное перемещение — это перемещение dr, совместимое с наложенной связью и совершаемое за бесконечно малый промежуток времени dt. Отсюда следует, что действительное перемещение материальной точки — это одно из возможных перемещений, которое осуществляется при заданных начальных условиях.

Возможными перемещениями точек материальной системы называются векторы

drv = dxA + dy^ + dzvk i(v = l, 2, ..., N^.(1.16)

Очевидно, что проекции этих векторов должны удовлетворять системе к уравнений

N /\

^ V^v + ®Ум + dzv~

(ц = 1, 2, ..., А),(1.17)

если геометрические связи, наложенные на систему, заданы в виде уравнений

/н^ь Ух, zb ж2, ya, Z2, ..., xN, Ун, Kn, £) = 0

(Н = 1, 2, ку(1.18)

Тогда действительное перемещение точек материальной системы— это одно из возможных перемещений (1.16).

Перейдем к определению понятия виртуального перемещения. Предположим, что точка находится на поверхности /(ж, у, z, t} = = 0. Радиус-вектор г = хх + yj + zk в фиксированный момент времени t определяет положение точки. Рассмотрим теперь множество бесконечно близких положений точки, допускаемых связью в этот фиксированный момент времени. Пусть эти бесконечно

близкие положения определяются радиусом-вектором

г' (t) = г(2) + бг = (х + бя) i + (у + бу) j + (z + 62) к,

где Sx, Sy, 6z —проекции вектора 6г. Вектор

6г = бай + 6 z/j + 62k

представляет собой бесконечно малое приращение радиуса-вектора г(^) при мысленном перемещении точки из положения, определяемого радиусом-вектором г (2), в положение, определяемое радиусом-вектором т'^- Этот вектор называется вектором виртуального перемещения. Таким образом, вектор виртуального перемещения представляет собой бесконечно малый вектор, который позволяет мысленно, не нарушая связи, перевести точку пз одного ее положения в бесконечно близкое, относящееся к тому же моменту времени. Вектор 6г иначе называют вариацией вектора г, а его проекции Sx, Sy, 62 — вариациями координат.

Проекции xA-Sx, у A-Sy, 2 + 62 векторов г'(£) должны удовлетворять уравнению связи (1.7), т. е.

/(ж + 6ж, у + Sy, 2+62, f) = 0.

Разлагая это выражение в ряд по степеням Sx, Sy, 62, учитывая, что f(x, у, z, £) = 0, и пренебрегая членами порядка малости выше первого, получаем условие, накладывающее ограничение на вариации координат:

-^-6^+-^-6i/ +-^6z= 0.(1.19)

Ох ду у dz\/

Поскольку при получении выражения (1.19) время считается фиксированным, то вариации Sx, бу, 62 называются изохронными.

Если связь, которой подчинено движение материальной точки, стационарная, то проекции (dx, dy, dz) возможного перемещения dx удовлетворяют, в соответствии с (1.21), уравнению*

dx + dy + dz = 0,Эх бу у 6z’

т. е. в этом случае вектор возможного перемещения совпадает с одним из виртуальных перемещений. Таким образом, если связь стационарна, то множество виртуальных перемещений совпадает с множеством возможных перемещений.

Условию (1.19) можно дать геометрическую интерпретацию. Уравнение связи /(ж, у, z, £) = 0 в фиксированный момент времени можно рассматривать как уравнение поверхности. Тогда из условия (1.19) вытекает, что виртуальные перемещения точки 6г представляют собой векторы, расположенные в касательной плоскости, проведенной в той точке поверхности, в которой в

данный (фиксированный) момент времени находится материальная точка (рис. 1.4).

Виртуальными перемещениями точек материальной системы, подчиненной к связям вида (1.18), называют совокупность бесконечно малых векторов

6rv = 6^vi + 6yvj + 6zvk, проекции которых удовлетворяют системе уравнений

^ ^6^-^?/a + ^^ = 0(^ = 1> 2, ...,/с). (1.20)

Отметим, что при стационарных связях в соответствии с условием (1.17) проекции действительных перемещений удовлетворяют следующей системе уравнений:

2; + 5^ ^ + ^ ) =0 (н = 1, 2,.... ку

Это значит, что для стационарных связей действительные перемещения совпадают с одним из виртуальных перемещений. Ма

териальная система, состоящая из N точек, имеет 3N вариаций координат. Однако в силу уравнений (1.20) эти вариации координат не являются независимыми друг от друга. Решая уравнения (1.20) относительно к вариаций координат, для которых это решение возможно, мы их выразим через остальные 3N — к. Следовательно, независимых вариаций координат будет 3N — к.

Если на точки материальной

и в фиксированный момент времени действует система сил Fi, F2, F3, ..., Fn, а виртуальные перемещения точек системы равны Sri, 6г2, ..., 6rN, то виртуальной работой называется работа этих

сил на виртуальных перемещениях системы, т. е.

N

(1.21)(1.22)(1.21)(1.22)6Л = 2 Fv- 6rv,

(1.21)

(1.22)

(1.21)

(1.22)

пли

N

6л = 2 (-x^^v + Y^by^ + zvs^v).

V=1

Определим понятие идеальных удерживающих связей. Идеальными связями называются такие удерживающие связи, для

которых работа реакций связей на любом виртуальном перемещении системы равна нулю, т. е.

Rv-6rv = 0,(1.23)

V=1

где Rv — реакция связи, приложенная к v-й точке.

Заметим, что соотношение (1.23), которое служит определением идеальности связей, не накладывает на виртуальные перемещения точек материальной системы никакого дополнительного ограничения. Следовательно, коэффициенты при вариациях координат в этом соотношении должны выражаться в виде линейных комбинаций коэффициентов в уравнениях, которым удовлетворяют виртуальные перемещения в силу наложенных на систему связей. Исходя из (1.23), выразим реакции связей с помощью неопределенных множителей Лагранжа.

Записав условие (1.23) в виде

2 (^va/):rv + 7?w6yv +(1-24)

V=1

вспомним, что вариации координат ba\, 8yv, 6zv подчинены уравнениям (1.20). Каждое из этих к уравнений этой системы умножим соответственно на неопределенные множители Лагранжа Л1, ^2, ..., Xhl которые могут быть функциями координат и времени:

N /х

^+ dt^ 6z/v + 6Zv/ °

(ц = 1, 2,..., A).

Полученные выражения сложим:

N Г кккЛ

5 I 2+ 6yv 2+ ^^ 2 I(^*25)

V=1 L Ц=1 VЦ=1 VЦ=1 VJ

Вычтя теперь из соотношения (1.24) выражение (1.25), получим

= 0. (1.26)= 0. (1.26)+ ^Uv f ^2/V2+ ^v (^zv 2

= 0. (1.26)

= 0. (1.26)

\1Ы=1\Ц=1V

Так как в силу уравнений (1.20) число независимых вариаций координат равно 3N — к, то выберем множители Лагранжа Ль Лг, Лз, ..., ЛЛ таким образом, чтобы коэффициенты при к вариациях координат обращались в нуль. Оставшиеся в выражении (1.26) 3N — к вариации координат будут независимы, и поэтому

множители при них также должны быть равны нулю*). Таким

образом,

кц=1кц=1(1.27)(1.27)

к

ц=1

к

ц=1

(1.27)

(1.27)

Приведем примеры идеальных связей.

Пример 1.4. Связь между двумя материальными точками Мх осуществлена в виде абсолютно жесткого'-—Пример 1.4. Связь между двумя материальными точками Мх осуществлена в виде абсолютно жесткого'-—R2 — соответственно реакции связей, приложенных к точкам Мх и М2. Работа реакций на виртуальных перемещениях точекRi • 6r! + R2 • 6r2 = Ri • (6г 1 — 6г2) = 0,R2 — соответственно реакции связей, приложенных к точкам Мх и М2. Работа реакций на виртуальных перемещениях точекRi • 6r! + R2 • 6r2 = Ri • (6г 1 — 6г2) = 0,стержня (рис.стержня (рис.1.5). Пусть1.5). Пустьи М2Ri ии М2Ri итак как R2 = — Ri; реакция Ri направлена вдоль стержня, т. е. R] = 2v(ri—г2), и из условия неизменности расстояния I между точками Mj и М2, выражаемого соотношением (п—r2)2 = Z2, находим 2(Г! — г2) (бГ! — 6г2) =0.так как R2 = — Ri; реакция Ri направлена вдоль стержня, т. е. R] = 2v(ri—г2), и из условия неизменности расстояния I между точками Mj и М2, выражаемого соотношением (п—r2)2 = Z2, находим 2(Г! — г2) (бГ! — 6г2) =0.Пример 1.5. Точка движется по внутренней стороне абсолютно кой поверхности параболоида вращенияПример 1.5. Точка движется по внутренней стороне абсолютно кой поверхности параболоида вращенияглад*глад*

Пример 1.4. Связь между двумя материальными точками Мх осуществлена в виде абсолютно жесткого'-—

Пример 1.4. Связь между двумя материальными точками Мх осуществлена в виде абсолютно жесткого'-—

R2 — соответственно реакции связей, приложенных к точкам Мх и М2. Работа реакций на виртуальных перемещениях точек

Ri • 6r! + R2 • 6r2 = Ri • (6г 1 — 6г2) = 0,

R2 — соответственно реакции связей, приложенных к точкам Мх и М2. Работа реакций на виртуальных перемещениях точек

Ri • 6r! + R2 • 6r2 = Ri • (6г 1 — 6г2) = 0,

стержня (рис.

стержня (рис.

1.5). Пусть

1.5). Пусть

и М2

Ri и

и М2

Ri и

так как R2 = — Ri; реакция Ri направлена вдоль стержня, т. е. R] = 2v(ri—г2), и из условия неизменности расстояния I между точками Mj и М2, выражаемого соотношением (п—r2)2 = Z2, находим 2(Г! — г2) (бГ! — 6г2) =0.

так как R2 = — Ri; реакция Ri направлена вдоль стержня, т. е. R] = 2v(ri—г2), и из условия неизменности расстояния I между точками Mj и М2, выражаемого соотношением (п—r2)2 = Z2, находим 2(Г! — г2) (бГ! — 6г2) =0.

Пример 1.5. Точка движется по внутренней стороне абсолютно кой поверхности параболоида вращения

Пример 1.5. Точка движется по внутренней стороне абсолютно кой поверхности параболоида вращения

глад*

глад*

/(ж, у, z) = х + у2 — az = 0.

По условию поверхность абсолютно гладкая; следовательно, реакция направлена по нормали к поверхности, но виртуальные перемещения расположены в касательной плоскости. Значит, реакция R перпендикулярна к 6г и R • 6г = 0. Приведем другое доказательство, с использованием множителя Лагранжа. Так как реакция направлена по нормали к поверхности, то можно записать

^х ^^ ^^

Ofdf/~ df

Эхдуdz

пли

2ж 2у—а*

Отсюда имеем Rx = Х2х, Ry = %2у, Rz ~ —Ха. Тогда

R • 6г = Rx^x + Ry^y + Rz^z = Х^х dx + 2у бу — a dz) = 0,

так как на основании уравнения связи вариации координат бж, бу и 6z удовлетворяют уравнению

Of df df

17 Ьж + ц69 + ^"6г = 0’

которое в рассматриваемом случае имеет вид

2х 6ж + 2у бу — a dz = 0.

*) Обоснование возможности такого подбора X дано, например, в книге [40].

Заметим, что виртуальная работа реакций при качении твердого тела без скольжения всегда равна нулю. Хотя в этом случае вектор R может быть направлен произвольно, но в точке приложения реакции R виртуальное перемещение 6г = 0, если поверхность, по которой катится тело, неподвижна. В том случае, когда тело 1 катится без скольжения по движущемуся телу 2, виртуальная работа реакций взаимодействия между телами Ri26ii + R2i6r2 также равна нулю, потому что в силу третьего закона Ньютона Ri2 = — R21, а из-за отсутствия проскальзывания -6г 1 = бг2.

Наглядным примером реакции этого случая может служить шестереночное зацепление.

В дальнейшем будут рассматриваться только идеальные связи.

§ 1.3. Число степеней свободы материальной системы. Обобщенные силы

В §1.1 было установлено, что положение материальной системы, подчиненной к голономным связям, определяется п = = 3N — k независимыми параметрами gi, дг, ..., q^ которые называются обобщенными координатами. По определению, числом степеней свободы системы материальных точек называется число независимых вариаций обобщенных координат. Все 3N декартовых координат можно выразить через введенные параметры gi, дг, ..., 9m посредством функциональных соотношений

xv = xv(qXl q2) ..., qn, t),

y^yAq^ 92, ..., q^ ty

z^z^qx, q2, .. ., q^ t) (v = 1, 2, ..., N).(1.28)

Эти функции обращают в тождество уравнения связей (1.18).

Уравнения (1.28) могут быть записаны в векторной форме: rv==^vi + yvj + zvk = rv(^i, q2, .... qn, t).(1.29)

При наличии стационарных связей функции (1.28) можно выбрать так, чтобы они не содержали явно времени t, т. е. имели вид

x^x^qXl qt, ..., q^,

У^-у^ь 9г, q^

z„ = z^q\, qs, . ., 9n) (v = l, 2, ..., N).(1.30)

При этом радиусы-векторы точек системы также будут функциями только обобщенных координат:

rv = rv(9i, 92, .... 9») (v = l, 2, ..., N).(1.31);

Пример 1.6. Положение сферического маятника длины I можно определить двумя углами: qx = 0, q2 = <р (рис. 1.6).

Уравнения (1.30) в этом случае имеют вид

х = I sin 0 cos ф = Z sin q\ cos q^ у = I sin 0 sin ср = I sin qx sin g2, z = I cos 0 = Z cos qi.

Дифференциалы от функций (1.28), вычисленные в предположении, что время t фиксировано, имеют вид

пп

= Ъ д^ dqt, dyv = 2ig- dqt,г—1 Чгг=1 ^г

п~02

Al(А>, yv^v,t) = O (ц = 1,2,3, . ..,кУAl(А>, yv^v,t) = O (ц = 1,2,3, . ..,кУ(ц = 1, 2, 3, ку(ц = 1, 2, 3, куНайдем дифференциалы при фиксированном t от тождеств, которые получаются из уравнений связей после подстановки в них функций (1.28):

Al(А>, yv^v,t) = O (ц = 1,2,3, . ..,кУ

Al(А>, yv^v,t) = O (ц = 1,2,3, . ..,кУ

(ц = 1, 2, 3, ку

(ц = 1, 2, 3, ку

Полученные уравнения совпадают с уравнениями (1.20). Следовательно, дифференциалы dxVl dyVl Szv совпадают с вариациями координат 6<Tv, ^У^ 6&V.

Таким образом, мы установили «рецептуру» вычисления вариаций координат. Как для стационарной связи, так и для нестационарной вариации координат будем вычислять по формулам

п™ дП д

^х^ = 2 ^7 ^Qin 6yv = 5 §^7 ^Qin 6zv = 2 ^7 ^Чг- (1.32)

Здесь Ьуг = Яуг называются вариациями обобщенных координат.

Отсюда следует, что для голономной системы число степеней свободы совпадает с числом обобщенных координат, потому что вариации всех обобщенных координат оказываются независимыми. Для неголономной системы это не так (см. гл. 6): число степеней свободы неголономной системы меньше числа обобщенных координат на число уравнений неголономных связей. 2*

В соответствии с выражениями (1.29) и (1.32) для виртуальных перемещений будем иметь

г=1 гг=1 г(1.33)

г=1 г

г=1 г

Подставляя соотношение (1.33) в выражение для виртуальной работы

N

6Л = 2 Fv-6rv,

получим

N п

бл=2 pv.2^69i.

v=lг=1

Внося Fv под знак второй суммы и меняя порядок суммирования, будем иметь

6Л-fsg.f F,.^.г=1 v=lг

Суммы

N _ N,а

Чг Zi^dq Z (Av у + 1 v у + ^v 8qv=i M v—1 x гг

(1.34)(1.34)(2=1,2, . ,.,n)

(1.34)

(1.34)

называются обобщенными силами. Каждой обобщенной коорди-

Рис. 1.7Рис. 1.7нате qt соответствует своя обобщенная сила Qi. Итак,

Рис. 1.7

Рис. 1.7

п

6Л =2 Qi6qt=Qi6q1-A-Qabq2 + • ■ • 4-вАп. (1.35) г=1

Отметим, что размерность обобщенной силы равна размерности работы, деленной на размерность обобщенной координаты.

Выражение (1.35) позволяет дать следующее определение обобщенных сил: обобщенными силами называются коэффициенты при вариациях обобщенных координат в выражении для виртуальной работы.

Пример 1.7. Однородный стержень О А, вес которого Р, может вращаться вокруг перпендикулярной

к нему горизонтальной оси О без трения (рис. 1.7). К концу А стержня прикреплена пружина OiA = I. Точка О\ крепления пружины находится от точки О по вертикали вверх на расстоянии О\О, причем О\О = ОА = г. Длина пружины в ненапряженном состоянии равна /о- Найти обобщенную силу, приняв за обобщенную координату угол ф.

Б* соответствии с рис. 1.7 запишемха = т cos ф,у а = г sin ср,

гг

хс = cos ср, ус = ~2“81Пф,

тде хс, ус — координаты центра тяжести стержня. Сила, действующая на конец стержня А со стороны пружины, равна

^i = c|Z — Zo|,где Z = 2r cos (ф/2). Проекциями этой силы на оси координат будут

= — с (2г cos -2_ — cos -2-, У = — с (2г cos -2_ — Z ] sin -2-.

\2°/21 V 2°/2

Проекциями силы Р, приложенной в центре тяжести С стержня, будут Х2 = Р, У2 = 0.

В нашем случае дх А ду А дхп дуп

Q=X1-^A-Y1£ + у

дф 1 дф 2 дф 2 дф

Вследствие того, что

дхА. дуАдхс т .

_ = — Г Sin ф — = Г COS ф, —_ = —8Шф, дфдфдф 2

получим

Q = cr ^2r cos -2. — ZQ^ sin _2_ — ^L sin ф.

Пример 1.8. Найти обобщенные силы для сферического маятника (рис. 1.6), приняв за обобщенные координаты qx = 9, 92 = Ф. Обобщенные силы определяются формулами (1.34):

дхдуdz

^x1q+y^+z1Q’

дхdudz

Q2 = x^ + Y4 + Za^'

Так как X = У = 0, Z = Р, а

х — Z sin 9 cos ф, у = I sin 6 sin ф, z = I cos 9 и

9z , • dz 90=-Zsm6,^ = 0,

TO

^! = —Pl sin 9,^2 = 9.

Определим теперь обобщенные силы через виртуальную работу

6А =F.6r = X6x-VY6y + Z6z = P6z.

Так как

6z = —I sin 9 69, то

и, следовательно,и, следовательно,6А = —Pl sin 9 69

и, следовательно,

и, следовательно,

Qi = —Pl sin 9, Qa = 0.

Рис. 1.8Рис. 1.8Пример 1.9. Найти обобщенные силы для материальной системы^ схема которой представлена на рис. 1.8. Веса грузов Л, В и С соответственно равны Р\, Р2 и Р3. Грузы Л, В перемещаются по гладкой горизонтальной поверхности. Стержни невесомы и соединены е грузами Л, В и между собой идеальными цилиндрическими шар-

Рис. 1.8

Рис. 1.8

нирами. Жесткости пружин cj и с2.

ПОЛО-ПОЛО-С со-2 2, Х^С со-2 2, Х^Выберем начало координат О в женин равновесия груза Л.

ПОЛО-

ПОЛО-

С со-

2 2, Х^

С со-

2 2, Х^

Пусть координаты точек Л, В и ответственно будут жь yi, zb х^ у^ y3l z3 Напишем уравнения связей:

Х\ = О, Ж2 = 0, zx — 0, z2 = 0, Z3 — 0,

[(^3 —р) — Ж1]2+ (уз —У1)2 +

+ (2з-21)2_/2 = 0.+ (2з-21)2_/2 = 0.+ (z3 — z,)2 — Z2 = 0, [(^3 — Р) — Ж2]2+ (у3 —Уз)2 +

+ (2з-21)2_/2 = 0.

+ (2з-21)2_/2 = 0.

Число точек в системе N = 3, число связей к = 7, следовательно, число степеней свободы п = 2. За обобщенные координаты примем qx = s, у2 = Ф (см рис. 1.8). Координатами грузов Л, В и С будут

^1 =0,ух = s,

х? — 0,у2 = s + 2Z sin ф,

х3 = I cos Ф + р,Уз = s + I sin ф.

Проекции активных сил Pi, Р2, Рз, Гь Р2, действующих на грузы, равны

Хх=Рх, У1 = -С1(5 + М,

Хз = Р2,У2 = ^2(^1 4- Х2) = с2(а — s — Хх — 2Z cos ф),

Хз = Рз, Уз = 0,

где Xi и Х2 — статические удлинения пружин. Найдем виртуальную работу6Л = Хх^Хх + У16У! + *2^2 + У26у2 + Хз^Хз + У^Уз

Так как

6^1 = о, бух = 6s, 6х2 — 0, 6у2 = 6s + 2Z COS ф 6ф,

6x3 = —Z sin ф 6ф, буз = 6s + Z cos ф 6ф,

то

6Л — —ci(s + Xi)6s + с2(а — s — Xi — 2Z sin ф) (6s + 2Z cos ф 6ф) —

— P3l sin ф 6ф = [—ex (s + Xi) + с2(а — s — Xi — 2Z sin ф)]б5 +

+ [с2(‘1 — s — ^i — 2Z sin ф)2Z cos ф — Р31 sin ф]6ф» Следовательно,

<2, = —сх (s + ^i) + с2 (а — s — Xi — 2Z sin ф), Q2 = с2(а — s — Xi — 2Z sin ф)2Z cos ф — P3l sin ф.

Понятие пространства конфигураций и фазового пространства системы материальных точек

В аналитической механике существенную помощь при исследовании движений точек материальной системы оказывает геометрическая интерпретация этих движений, опирающаяся на понятия пространства конфигураций и фазового пространства системы. Что же представляет собою пространство конфигураций? Это n-мерное пространство с системой координат, по осям кото-

рой отложены значения обобщенных координат qXl q^^ ..., q^ взаимно однозначно определяющих положение всех точек материальной системы. Кроме того, любым двум близким точкам в пространстве конфигураций взаимно однозначно соответствуют два близких положения материальной системы. Эти два требования определяют структуру пространства конфигураций. Геометрическая интерпретация движения материальной системы, опирающаяся на понятие пространства конфигураций, состоит s том, что любому движению системы соответствует перемещение изображающей точки в пространстве конфигураций, и тогда под траекторией движения сложной материальной системы понимается траектория движения изображающей точки в пространстве конфигураций. Рассмотрим несколько примеров, иллюстрирующих сказанное.

Пример 1.10. Положение плоского физического маятника можно определить углом ф, который и будет обобщенной координатой qx = ср. Откладывая значения qx = ф на прямой, мы вынуждены, соблюдая условие взаимной однозначности, ограничиться отрезком длиной 2л, т. е. выбрать из всей прямой, например, сегмент [0, 2л]. Далее следует выполнить условие близости. Для этого нужно отождествить точки О и 2л этого сегмента, т. е нужно «склеить» концы этого отрезка. Получившаяся окружность единичного радиуса и будет представлять пространство конфигураций плоского физического маятника.

Читатель без особого труда может убедиться в том, что таким же будет и пространство конфигураций в примере 1.2 для системы, изображенной на рис. 1.2.

Пример 1.11. Плоский двойной математический маятник. Эту материальную систему, состоящую из двух точек Мх и М^ можно получить из системы в примере 1.1 (рис. 1.1), если наложить дополнительную связь ^2 = 0. Тогда, вводя в качестве обобщенных координат два угла qx = ф,

Рис. 1.10Рис. 1.10

Рис. 1.10

Рис. 1.10

^2 = Ф, где Ф — угол, определяющий положение точки Мх на окружности ж2+у2 —д2^ а -ф —угол между стержнем МХМ2 и осью ж, получим в качестве пространства конфигураций квадрат со сторонами длиною 2л, причем противоположные точки сторон квадрата отождествлены (рис. 1.9). Если отождествление противоположных сторон провести при помощи их «склейки» (сначала по координате ф, а потом — по координате ф), то получим тор (рис. 1.10), который и является пространством конфигураций двойного плоского маятника.

Пример 1.12. «Сани Чаплыгина». Так называется твердое тело, опирающееся на плоскость двумя гладкими ножками, а третья ножка снабжена полукруглым лезвием (рис. 1.11). В качестве обобщенных координат выберем декартовы координаты ж, у точки К соприкосновения лезвия с плоскостью ху и угол ф между плоскостью лезвия и осью х. Условие отсутствия скольжения лезвия в поперечном направлении проявляется в том. что скорость точки К всегда направлена вдоль лезвия, т. е. у = х tg ф. Полученное соотношение является уравнением кинематической связи, которое не интегрируется, т. е. не сводится к функциональной связи между координатами х, у, ф. Таким образом, сани Чаплыгина — это неголономная система Чем же отличается пространство конфигураций этой системы от пространства

конфигураций соответствующей голономной системы, которая получилась бы при замене полукруглого лезвия на гладкую ножку? Пространство конфигураций обеих систем одинаково и представляет собой трехмерный слой с отождествленными границами (рис. 1.12). Осуществить наглядно «склеивание» этих границ в трехмерном пространстве, как это было в предыдущих примерах, уже невозможно. Наличие неголономпой связи приводит лишь к тому, что направление вектора смещения изображающей точки в пространстве конфигураций не может быть произвольным: его компоненты dx и dy должны удовлетворять соотношению dy = dxtg^. Однако это ограничение на бесконечно малые смещения не препятствует достижению любой точки пространства конфигураций.

Введем теперь понятие фазового пространства. Как известно, состояние механической системы в некоторый момент времени определяется положением и скоростями всех ее точек. После введения обобщенных координат состояние системы материальных точек определяется совокупностью обобщенных координат и их производных по времени, т. е. обобщенных скоростей. Величины ^i, q^ ..., q^ q\, ^2, ^з, • •., Qn можно рассматривать как координаты точки в 2п-мерном пространстве Ф2П. Две точки в этом пространстве называются близкими, если близки соответствующие им состояния механической системы. Если между состоянием механической системы со склерономными связями и положением изображающей точки в пространстве Ф2П существует взаимно однозначное соответствие, то Фгп называется фазовым пространством этой системы.

Приведем примеры фазовых пространств конкретных систем.

Пример 1.13. Фазовое пространство физического маятника. Поскольку положение физического маятника определяется лишь одной обобщенной координатой, за которую можно принять угол поворота маятника, состояние маятника задается величинами ср, ср. Ставя в соответствие этим значениям точку цилиндра с цилиндрическими координатами ср и ср, мы установим взаимно однозначное и непрерывное соответствие между точками цилиндра и механическим состоянием физического маятника. Поэтому фазовым пространством физического маятника является цилиндр.

Пример 1.14. Фазовое пространство двойного плоского маятника. В примере 1.11 было выяснено, что положение двойного плоского маятника определяется двумя углами: ср и ip. Следовательно, состояние этого маятника определяют 4 величины: ср, 1р, ср, 1р. Поскольку угловые скорости ср, ip могут изменяться в пределах —оо < ср < + оо, —оо < 1р < + оо, каждой паре значений ср, 1р можно сопоставить точку на плоскости (pip. Таким образом, фазовое пространство двойного физического маятника будет четырехмерным. Его можно представить в виде прямого (топологического) произведения пространства конфигураций и пространства скоростей, т. е. тора и плоскости.

При наличии неголономных связей обобщенные скорости удовлетворяют ряду кинематических уравнений; поэтому число обобщенных скоростей, необходимых для определения состояния неголономной системы, может быть уменьшено на число уравнений кинематических связей.

Пример 1.15. Фазовое пространство саней Чаплыгина (см. пример 1.12). Так как положение этой системы определяется тремя обобщенными координатами ж, у, ср и обобщенные скорости должны удовлетворять -единственному уравнению у = х tg <р, ее фазовое пространство Ф5 пятимерно. Каждому состоянию саней Чаплыгина можно сопоставить в Ф5 точку с координатами ж, у, ср, х, ср.

Истинные координаты и квазикоординаты. Кинематические характеристики движения

В этом параграфе мы остановимся на понятиях истинных координат, квазикоординат и кинематических характеристик, которые сыграли в истории развития аналитической механики важную роль [37, 43, 47]. Истинные координаты — это обобщенные координаты ^1, q^ ..., qn, т. е. независимые параметры, число которых выбирается наименьшим из всех возможных чисел параметров, взаимно однозначно определяющих положение (конфигурацию) системы материальных точек. Тем самым осуществляется взаимно однозначное соответствие точек пространства конфигураций Ки и положений механической системы. Отсюда следует, что при обходе в пространстве конфигураций по замкнутому пути система всегда возвращается в исходное положение.

Наряду с понятием положения системы, определяемого обобщенными координатами, вводится понятие состояния механической системы. Состояние системы материальных точек определя-

ется их координатами и скоростями, т. е. после введения обобщенных координат дщ ^2, ..., дп — совокупностью величин gXv ^2, •.., дп, дх, ^2, ..., дп.

Однако для определения состояния системы вместо обобщенных скоростей дх, дъ, ..., дп можно использовать параметры top называемые кинематическими характеристиками, которые являются линейными комбинациями обобщенных скоростей

(1-36)(1-36)п е

(1-36)

(1-36)

toj = 2 ацдг (/=1,2, . . . , п).г=1

В этих соотношениях коэффициенты а^ зависят от обобщенных координат дх, д2, ..., дп, а соотношения (1.36) допускают возможность их разрешения относительно дх, q^ ..., дп. Таким образом, состояние системы материальных точек можно определить 2п величинами: п обобщенными координатами дх, д^, ..., дп и п кинематическими характеристиками coi, 0)2, ..., (On.

Если кинематическую характеристику <щ представить в виде* производной по времени от некоторой величины л^ то дифференциалы du, согласно /(1.36) будут связаны с дифференциалами ^ь dg2, ..., dgn обобщенных координат при помощи соотношений

dTij = ^ ajidgt (7 = 1, 2, . . ., п), (1.37)

1=1

Рис. 1.13Рис. 1.13каких бы то ни ( тельно, совокупностькаких бы то ни ( тельно, совокупностькоторые в математике называются пфаффовыми формами. Если уравнения (1.37) можно проинтегрировать, то величины к^ выразятся через дх, д^, ..., дп при помощи конечных (функциональных) соотношений. В этом случае величины Л; оказываются по существу новыми обобщенными координатами. Если же уравнения (1.37) являются неинтегрируемыми, то величины л,- называются квазикоординатами. Понятие квазикоординат (или псевдокоординат) появилось после того, как выяснилось, что не всякая пфаффова форма является интегрируемой. Величины Л; в случае неинтегрируемостп не являются полными производными от обобщенных координат, и следова- чений Л1, Л2, ..., лп не соответствует

Рис. 1.13

Рис. 1.13

каких бы то ни ( тельно, совокупность

каких бы то ни ( тельно, совокупность

какому-то определенному положению системы, хотя сами величины Л1, Л2, ..., лп могут быть измерены и имеют в конкретных задачах вполне определенный физический смысл: это может быть пройденный путь, угол поворота и т. д. При этом квазискорости

Л1, Л2, ..., лп могут представлять проекции на некоторые на-

правления (например, на подвижные оси координат) векторов линейных или угловых скоростей движения и т. д.

В качестве примера использования кинематических характеристик можно привести описание движения твердого тела с закрепленной точкой в переменных Эйлера р, q, г. Эти переменные представляют проекции мгновенной угловой скорости тела на главные оси эллипсоида инерции, построенного для закрепленной точки (рис. 1.13). Величины р, q, г выражаются через углы Эйлера 9, гр, ср (истинные координаты) при помощи неинтегри- руемых соотношений

л 1 = р = гр sin 9 sin ф + 9 cos ф,

л2 = ^ = гр sin 9 cos ф — 9 sin ф,(1.38)

Лз = г = гр cos 9 + ф.

Здесь величины ль л2, Лз —углы поворота тела вокруг осей |,Здесь величины ль л2, Лз —углы поворота тела вокруг осей |,ц, g, равныеtц, g, равныеtл^ — \ ол^ — \ оtл2 = ( q dt,tл2 = ( q dt,tл3 = j гdt. оМожно установитьtл3 = j гdt. оМожно установитьо(1.39)о(1.39)счетчи-счетчи-ки углов и в каждый момент времени измерять значения величин Л1, лг, лз точно так же, как и значения углов Эйлера 9, гр, ф. Последовательность этих значений будет представлять последовательность точек, расположенных на некоторой кривой в пространстве квазикоординат Л1, л2, Лз и на соответствующей кривой в пространстве конфигураций 9, гр, ф. Однако в то время как отдельное показание счетчиков углов Эйлера вполне определяет положение тела с закрепленной точкой,ки углов и в каждый момент времени измерять значения величин Л1, лг, лз точно так же, как и значения углов Эйлера 9, гр, ф. Последовательность этих значений будет представлять последовательность точек, расположенных на некоторой кривой в пространстве квазикоординат Л1, л2, Лз и на соответствующей кривой в пространстве конфигураций 9, гр, ф. Однако в то время как отдельное показание счетчиков углов Эйлера вполне определяет положение тела с закрепленной точкой,Рис. 1.14Рис. 1.14отдельно взятое показа-отдельно взятое показа-

Здесь величины ль л2, Лз —углы поворота тела вокруг осей |,

Здесь величины ль л2, Лз —углы поворота тела вокруг осей |,

ц, g, равныеt

ц, g, равныеt

л^ — \ о

л^ — \ о

t

л2 = ( q dt,

t

л2 = ( q dt,

t

л3 = j гdt. о

Можно установить

t

л3 = j гdt. о

Можно установить

о

(1.39)

о

(1.39)

счетчи-

счетчи-

ки углов и в каждый момент времени измерять значения величин Л1, лг, лз точно так же, как и значения углов Эйлера 9, гр, ф. Последовательность этих значений будет представлять последовательность точек, расположенных на некоторой кривой в пространстве квазикоординат Л1, л2, Лз и на соответствующей кривой в пространстве конфигураций 9, гр, ф. Однако в то время как отдельное показание счетчиков углов Эйлера вполне определяет положение тела с закрепленной точкой,

ки углов и в каждый момент времени измерять значения величин Л1, лг, лз точно так же, как и значения углов Эйлера 9, гр, ф. Последовательность этих значений будет представлять последовательность точек, расположенных на некоторой кривой в пространстве квазикоординат Л1, л2, Лз и на соответствующей кривой в пространстве конфигураций 9, гр, ф. Однако в то время как отдельное показание счетчиков углов Эйлера вполне определяет положение тела с закрепленной точкой,

Рис. 1.14

Рис. 1.14

отдельно взятое показа-

отдельно взятое показа-

ние счетчиков квазикоординат Л1, лг, лз ничего не говорит о положении тела. Неинтегрируемость уравнений (1.38) приводит к тому, что при обходе в пространстве квазикоординат по замк-

нутому контуру тело с закрепленной точкой не возвращается в первоначальное положение.

Это обстоятельство, не позволяющее рассматривать пространство квазикоординат Л1, л2, лз как пространство конфигураций^ объясняется тем, что если выполнить последовательно два поворота тела, например, на угол л/2 сначала вокруг оси Л1, а затем вокруг оси Л2, то тело придет в положение, которое будет отличаться от положения, в которое тело придет при выполнении тех же поворотов, но в обратном порядке: сначала вокруг оси Л2, а затем вокруг оси Л1 (рис. 1.14). Пусть вначале оси |, ц, £ совпадали с осями Л1, лг, лз (рис. 1.14,а). После поворота вокруг оси Л1 (рис. 1.14,6), затем вокруг оси лг (рис. 1.14, в) трехгранник займет положение, показанное на рис. 1.14, в. Если же сначала совершить поворот вокруг оси Л2 (рис. 1.14, г), а затем вокруг оси Л1 (рис. 1.14,9), то получим положение, показанное на рис. 1.14, в. Сравнение рис. 1.14, в и д наглядно убеждает в том, что эти положения трехгранника различны.

Глава 2

ПРИНЦИПЫ МЕХАНИКИ

И ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ДИНАМИКИ

Принцип виртуальных перемещений

Принципы механики — это утверждения, принимаемые без доказательства: они в сжатой форме отображают опыт, накопленный человечеством в области механики. Следствия, вытекающие из этих принципов, обычно доступны практической проверке и всегда подтверждаются. Если хотя бы в одном случае опыт, проведенный при соблюдении всех условий, при которых сформулирован принцип, окажется отрицательным, то принцип просто неверен. Поэтому обычно и говорят, что принципы не доказываются.

В этой главе излагаются принцип виртуальных перемещений и принцип Даламбера, объединение которых естественно приводит к общему уравнению динамики — исходному уравнению для получения уравнений движения системы материальных точек в различных формах записи.

Принцип виртуальных перемещений является принципом механики, устанавливающим необходимые и достаточные условия равновесия (покоя) материальной системы.

Пусть материальная система подчинена к голономным связям, отображаемым уравнениями

f^Xi, yh Zh Х^ у^ Z2, . .., XNl У^ ZN)=0

(ц=1, 2, ..., к),(2.1)

и т неголономным связям, отображаемым уравнениями

.

2 (^jLiv^v + В^у^ + СцуИу) = О (ц = 1, 2, .. ., ш),(2.2)

V=1

где ЛЦу, В^ С^ — функции координат.

Дифференциальные уравнения движения этой несвободной системы имеют вид

772vWv = Fv + Rv (V = l, 2, ..., N),(2.3)

где v — номер точки, wv — ее ускорение, т^ — масса, Fv и Rv — соответственно равнодействующие всех активных сил и реакций связей, приложенных к v-й точке.

Под равновесием (покоем) материальной системы будем понимать такое ее положение, в котором система находится все время, если она в начальный момент времени, имея скорости, равные нулю, находилась в этом положении. Отсюда следует,

что в положении равновесия материальной системы скорости и ускорения всех ее точек равны нулю, т. е.

vv = 0, wv = 0 (v = 1, 2, 3, ..., TV), или в соответствии с уравнениями (2.3)

▼v-0, Fv + Rv = 0 (v = 1, 2, .... NV(2.4)

Сформулируем теперь принцип виртуальных перемещений.

При равновесии материальной системы с идеальными связями виртуальная работа всех активных сил равна нулю. т. е.

N

SFv.6rv = 0.(2.5)

V=1

Кроме того, в соответствии с определением равновесия Vv^o^O (v = 1, 2, ..., NV где /о — начальный момент времени.

Убедимся в том, что условие равновесия (2.5), которое указывает принцип виртуальных перемещений, является необходимым и достаточным. Докажем сначала необходимость этого условия. Пусть система находится в положении равновесия. Это значит, что выполняется условие (2.4). Умножим скалярно второе выражение этого условия на вектор виртуального перемещения v-й точки:

(Fv + Rv) • 6rv = 0.

Это выражение справедливо для любой точки материальной системы. Складывая все эти выражения, получим

S (Fv + Rv)-6rv = 0,

V=1

ИЛИ

NN

5 Fv-6rv+ 5 Rv-6rv = o.

V=1V=1

Так как по предположению связи, наложенные на систему,— идеальные, то

N

Rv * 6rv = о V=1

и, следовательно,

Fv-6rv = 0.

V=1

Скорости всех точек равны нулю по предположению.

Докажем, что условие (2.5) будет и достаточным для равновесия системы, т. е. при выполнении условий

N

SFv.6rv = 0, vv^ = 0(2.6)

V=1

будут выполняться условия (2.4). Нетрудно видеть, что если скорости всех точек в некоторый момент времени равны нулют то перемещения, пропорциональные ускорениям точек, являются виртуальными перемещениями системы. В самом деле, для действительного движения уравнения связей (2.1) и (2.2) должны удовлетворяться тождественно но времени t. Продифференцировав тождество (2.1) но времени, получим

NNv=lv=l• д/н • df., • \xv + Уч 4- zv = 0^v ^v d^v /• д/н • df., • \xv + Уч 4- zv = 0^v ^v d^v /(H = l,2 ,...,*). (2.7)(H = l,2 ,...,*). (2.7)

N

N

v=l

v=l

• д/н • df., • \

xv + Уч 4- zv = 0

^v ^v d^v /

• д/н • df., • \

xv + Уч 4- zv = 0

^v ^v d^v /

(H = l,2 ,...,*). (2.7)

(H = l,2 ,...,*). (2.7)

Дифференцируя второй раз, найдем

NN8VX^v v 8yv Уч 8zv8VX^v v 8yv Уч 8zvZvZv

N

N

8VX

^v v 8yv Уч 8zv

8VX

^v v 8yv Уч 8zv

Zv

Zv

(2.8)(2.8), У x -£^+u2^1=0

(2.8)

(2.8)

+ ^ ^v Л dx^ + ^v at Oy^ + Zv dzv / U

После дифференцирования тождества (2.2) но времени приходим к аналогичным соотношениям

N

(^1|HV*^V 4" 5^v) +

V=1

+ »«тг+V-^V0- <2'9> tlbU/V /

Так как скорости в рассматриваемый момент времени t = t0 равны нулю, то последняя сумма в соотношениях (2.8) и (2.9) исчезает, и проекции ускорений х^ у^ z^ удовлетворяют уравнениям

NNv=iNv=iN(2.10)(2.10)

N

N

v=i

N

v=i

N

(2.10)

(2.10)

<d^ (-4p,V^V + ^M-V^/v 4" ^jLLV^v) 0*

V=1

Найдем теперь уравнения, которым удовлетворяют вариации координат 6^v, 6^v, 6zv. Для этого согласно процедуре Гельдера [49] нужно во всех уравнениях, которым удовлетворяют дифференциалы координат dx^ dyv, dzv, заменить оператор d на оператор 6 и положить 6^ = 0. Для склерономных связей, как в нашем случае, это означает, что это будут те же самые уравнения.

которым удовлетворяют компоненты скоростей xNl y^ zv, т. е. уравнения (2.2) и (2.7):

^ ( 6Xv + ^ 6i/v + 5^ 6Zv/ °’

V=1 \ vv J

2j (^цу^^у "1" ^|HV^Z/v “b ^V^v) == 0 V=1

Сравнивая эти уравнения с (2.10), убеждаемся в том, что если положить в них 6rv = Zwv (Л — постоянный множитель, отличный от нуля), то они просто перейдут в равенства (2.10). Отсюда следует, что перемещения, пропорциональные ускорениям точек wv, являются виртуальными перемещениями 6rv.

Теперь легко доказать достаточность условий (2.6) для равновесия системы. Запишем первое условие (2.6) вместе с усло-

NN

вием идеальности связей: 2Fv-6rv = 0,2 Rv•6rv=0. После

v=lv=T

сложения получим

2 (Fv + Rv)-6rv = 0.V=T

Предположим, что равновесие системы нарушилось и, следовательно, точки приобрели ускорения wv. Тогда возьмем в качестве виртуального перемещения систему векторов, пропорциональных ускорениям точек 6rv = Zwv, и подставим ее в последнее равенство:

N

X 2 (Fv + Rv)-wv = 0.

V=1

Учитывая, что для каждой точки справедлив второй закон Ньютона ^lvWv = Fv + Rv, получим

N

% 2 ^v^v = 0-

V=1

Это равенство может выполниться только в том случае, если все wv = 0. Следовательно,

mvwv = Fv + Rv = 0 (v = 1, 2, ..., Л7), что и требовалось доказать, так как мы получили условия, которые должны выполняться при равновесии системы, т. е. уравнения (2.4). Начальные же скорости равны нулю по условию (2.5)*).

Принцип виртуальных перемещений позволяет определить положение равновесия несвободной материальной системы, не вводя в рассмотрение неизвестные реакции идеальных связей, так как в формулировку принципа эти реакции не входят.

Однако принцип виртуальных перемещений может быть применен и для нахождения реакций идеальных связей. Для этого, в соответствии с принципом освобождаемости, следует отбросить связь и заменить ее действие реакцией, а затем включить эту реакцию в число активных сил. При этом следует помнить, что при отбрасывании связи увеличивается число степеней свободы системы.

Если наложенные на систему связи не идеальные, то непосредственно принцип виртуальных перемещений к таким системам неприменим. Однако в этом случае, например, при движении точек по негладким поверхностям, следует реакции разложить на нормальные составляющие и силы трения. Далее принять, что связи идеальные, а силы трения отнести к активным силам. Конечно, при этом следует учитывать условия равновесия при наличии трения).

Пример 2.1. Тяжелый однородный стержень длиною 2Z опирается

промежуточной точкой на выступ В. Другой конец стержня удерживается невесомой нитью длины Z, прикрепленной к точке О (рис. 2.1). Дано: О А = = OB = Z. Найти угол ф, образуемый стержнем с горизонтальной линией

можно считать бф =Л 0 и. следоможно считать бф =Л 0 и. следопри равновесии. Стержень считать гладким, точки О и В находятся на одной горизонтали.

можно считать бф =Л 0 и. следо

можно считать бф =Л 0 и. следо

Активная сила здесь одна — сила тяжести Р, приложенная в центре масс стержня С. Согласно формуле (2.5) условием равновесия стержня будет

Р . бгс = Р^хс = 0 или б^с — 0.

Так как хс = Z sin 2ф — Z sin ф, то

Поскольку бф выбирается произвольно,Поскольку бф выбирается произвольно,вательно, или откудавательно, или откудаб ж с = 1 (2 cos 2ф — cos ф) бф = 0.

Поскольку бф выбирается произвольно,

Поскольку бф выбирается произвольно,

вательно, или откуда

вательно, или откуда

2 cos 2ф — cos ф = 0,

4 cos2 ф — cos ф — 2 = 0,

1 Н- Т/ ззcos ф =х« 0,842.

Пример 2.2. Определить реакцию опоры С трехпролетной разрезной балки (рис. 2.2, а).

Заменим действие опоры С реакцией Rc. На рис. 2.2, б показано одно из виртуальных перемещений системы. Согласно принципу виртуальных

перемещений при равновесии балки должно выполняться условие

Р1 • 6ri + Rc • бгс + ₽2 • бг2 + Рз • бг3 ==

= Р1|бп|-Рс|бгс| + Р2|бг2|-Рз1бг3| =0,(2.11)

где 6г 1, бг2, бг3, бгс — виртуальные перемещения точек балки, к которым приложены силы Pi, Р2, Рз и реакция Rc. Поскольку мы отбросили опору С, балка получила одну степень свободы. Положение балки теперь мож

но определить углом ср поворота левой части балки вокруг точки А (в положении равновесия ф = 0). При сообщении балке, находящейся в равновесии, выбранного виртуального перемещения величины |6ri|, |бг2|, |бг3| и |бгс| можно заменить через вариацию бф угла ф по следующим соотношениям (см. рис. 2.2, б):

। Sri ।=4бф- । бгс ।=г б<₽’

5I 3

|6г2|= ^/бф, |дг3| = т6Ф1 = jZ6<p,

з г

так как в соответствии с рисунком у1 бф = у бф2 и, следовательно, бф1 = Збф.

Подставляя полученные соотношения в уравнение (2.11), имеем / 153\

( Т Р1 ~ RC + Т Р2 ~ "к Рз) 1 6ф = °-

Так как бф выбирается произвольно, то можно принять бф =# 0. Тогда

2^! — 4Нс + 5Р2 - ЗР3 = 0

„ 2Л + 5^-ЗР3

Пример 2.3. При каком соотношении между весами Pi, Р2, Рз и Р4 грузов A, Bs С и D система, изображенная на рис. 2.3, будет находиться в равновесии? Нить невесома и нерастяжима. Трением пренебречь.

Пусть величины si, s2, «з, *4 определяют положение грузов Л, В, С, D. На основании принципа виртуальных перемещений можно написать условие равновесия

Pi sin a 6si + Р2 бж2 + Рз бяз + Р* sin £ 6s4 = Qi

Из условия нерастяжимости нити получаем

Si + 2^2 + 2а?з + $4 = const. Отсюда

6s 1 4~ 26^2 4“ 26^з 4- 6$4 = О,

т. е. четыре величины 6sь 6ж2, 6z3, 6s4 связаны между собой одним уравнет. е. четыре величины 6sь 6ж2, 6z3, 6s4 связаны между собой одним уравнением, следовательно, три из них могут принимать независимые друг от друга значения, а четвертая определится из полученного соотношения. Пусть это будет6S4 = — (6s 1 -j- 2 6s2 4- 2 6ж^).Подставляя это выражение в условие равновесия, получим(Pi sin а — Р^ sin P)6si 4-нием, следовательно, три из них могут принимать независимые друг от друга значения, а четвертая определится из полученного соотношения. Пусть это будет6S4 = — (6s 1 -j- 2 6s2 4- 2 6ж^).Подставляя это выражение в условие равновесия, получим(Pi sin а — Р^ sin P)6si 4-4“ (Рг — 2Р4 sin Р)6ж2 4“4- (P3-2P4sinp)6^ = 0,Так как 6ж2, 6s], бяз независимы между собой и могут4“ (Рг — 2Р4 sin Р)6ж2 4“4- (P3-2P4sinp)6^ = 0,Так как 6ж2, 6s], бяз независимы между собой и могутпринимать различные значения, то полученное равенство можетпринимать различные значения, то полученное равенство можетбыть выполнено лишь при условиибыть выполнено лишь при условии

т. е. четыре величины 6sь 6ж2, 6z3, 6s4 связаны между собой одним уравне

т. е. четыре величины 6sь 6ж2, 6z3, 6s4 связаны между собой одним уравне

нием, следовательно, три из них могут принимать независимые друг от друга значения, а четвертая определится из полученного соотношения. Пусть это будет

6S4 = — (6s 1 -j- 2 6s2 4- 2 6ж^).

Подставляя это выражение в условие равновесия, получим

(Pi sin а — Р^ sin P)6si 4-

нием, следовательно, три из них могут принимать независимые друг от друга значения, а четвертая определится из полученного соотношения. Пусть это будет

6S4 = — (6s 1 -j- 2 6s2 4- 2 6ж^).

Подставляя это выражение в условие равновесия, получим

(Pi sin а — Р^ sin P)6si 4-

4“ (Рг — 2Р4 sin Р)6ж2 4“

4- (P3-2P4sinp)6^ = 0,

Так как 6ж2, 6s], бяз независимы между собой и могут

4“ (Рг — 2Р4 sin Р)6ж2 4“

4- (P3-2P4sinp)6^ = 0,

Так как 6ж2, 6s], бяз независимы между собой и могут

принимать различные значения, то полученное равенство может

принимать различные значения, то полученное равенство может

быть выполнено лишь при условии

быть выполнено лишь при условии

откудаоткудаР\ sin а — Р4 sin р = О, P<z — 2Pt sin р = О, Р3 — 2Р4 sin Р = О,

откуда

откуда

Р2 = Р^ Р\ sin а = Р4 sin р.

§ 2.2. Условия равновесия в обобщенных координатах

Как было установлено в § 2.1, необходимым и достаточным условием равновесия материальной системы при наличии идеальных связей является выполнение равенств

N

vv(to) = O (v = 1, 2, ...,NY 6Л = 2 Fv-6rv = 0,

где Fv — активные силы.

В обобщенных координатах второе выражение условия (2.5) в соответствии с равенством (1.35) имеет вид

<216^1 4- Q^ 4- ... 4- Q^qn = 0.(2.12)

Так как для голономной системы вариации обобщенных координат 6^1, 6^2, .. ., б^п могут принимать любые значения независимо друг от друга, то полученное соотношение может быть выполнено, если все обобщенные силы одновременно будут равны нулю, т. е.

<?i = 0, р2 = 0, ..., Q„ = 0. (2.13) 3*

Следовательно, необходимым и достаточным условием существования положения равновесия голономной системы, подчиненной идеальным связям, является равенство нулю скоростей всех точек системы и равенство нулю всех обобщенных сил.

Пр и м е р 2.4. В рассмотренном примере 1.7 (рис. 1.7) обобщенная сила имела выражение

/ ф \ . ф РгQ = er I 2г cos — /0 I sinsin ф,

Ф— Pcos *2Ф— Pcos *2' ф2r cos *2' ф2r cos *2или

Ф

— Pcos *2

Ф

— Pcos *2

' ф

2r cos *2

' ф

2r cos *2

. ФsinT.

Приравнивая это выражение нулю, найдем значение угла ф, при котором система может находиться в равновесии:

Ф \ Ф1 Фс 2г cos у — ZQ I — Р cos "2 sin-^ = 0г

Отсюда sin (ф/2) = 0, т. е. ф = ф1 = 0, или, если sin (ф/2) =/= Q, / Ф \Ф

с 2г cos "2 — ZQ I — Р cos *2 = О,

и окончательно

Ф2 С/0

cos 2 — 2rc — Р '

Однако это состояние равновесия будет существовать, если

| 2гс — Р |

т. е. при Р < с (2г— 10) или Р > с(2r + Zo) будет еще одно состояние равновесия (кроме ф1 = 0), соответствующее значению

ф = ф2 = 2 arccos 2™"—"р-

Пример 2.5. В примере 1.9 для рассмотренной материальной системы обобщенные силы были равны

01 — —Ci (s 4“ М) + с2 (^ — $ — ^i — 2Z sin ф),

Q2 = с2 (а — s — %i — 21 sin ф) 21 cos ф — P3Z sin ф.

При равновесии s = 0, ф = фо и, следовательно,

—сД1 + с2(а — Xi — 21 sin ф0) = 0,

с2 (а — %i — 21 sin фо) 21 cos ф0 — P3Z sin ф0 = 0.

Отсюда следует, что

с^ (а — 21 cos ф0)

а так как

о. = Xi 4~ ^2 4™ 2Z sin фо,

то

C1(a-2Zsinq>0)

Уравнение для определения фо имеет вид

2ciC2 cos фо (а — 2Z sin ф0) — (ci + с2)Рз sin ф0 = 0.

Представив это выражение в виде

С1 +С2

a - 2Z sin ф0 = Рдtg ф0,

построим на плоскости фо?/ Две кривые (рис. 2.4) :

у = а — 2Z sin q>0 и у = Рд 2С с 2 tg ^о'

Точки пересечения этих кривых и дают искомые значения фо. Очевидно, л

при 0 < ф0 < "2 будет только одна точка пересечения, соответствующая единственному положению равновесия системы. Если Рг = 0, то уравнением для определения ф0 будет

cos фо (а — 2Z sin ф0) = 0.

Отсюда cos фо = 0, т. е. ф0 = л/2. Это значит, что существует положение равновесия, когда стержни горизонтальны. Но если а < 21, то может быть

а — 21 sin фо = 0, т. е.

а sin % = 2Г

Следовательно, при а >21 возможно (при Р3 = 0) одно положение равновесия фо = л/2. При а < 21 — два:

Фо = у и ф0 = arcsin ^.

Рассмотрим теперь, как выглядят условия равновесия него- лономной системы. Прежде всего заметим, что хотя при введении обобщенных координат ^i, q^ ..., qn все уравнения геометрических связей удовлетворяются тождественно, уравнения кинематических связей сохраняются и для системы со склерономными связями и записываются в виде

2 a^qt = 0 (/=1,2, . .., т; т < п), (2.14) г=1

где коэффициенты а^ являются функциями обобщенных координат. Отсюда вытекает, что вариации обобщенных координат 6^1, 6^2, . •., б^п теперь не являются независимыми: они связаны соотношениями

(/ = 1, 2, . .., т),(2.15)

г=1

которые являются следствием уравнений (2.14). Поэтому, считая уравнения (2.14) независимыми, видим, что из п вариаций

б^ независимыми могут быть лишь п — т вариаций. Умножим соотношения (2.15) соответственно на неопределенные множители Лагранжа Х1Д2, ..., L и сложим полученные выражения вместе с (2.12). В результате получим сумму

п /т\

I Qi + 5 ^зазг /=0.

г=1 \ j=i /

Выбираем теперь %5 так, чтобы скобки при зависимых вариациях б^г обратились в нуль. Тогда обратятся в нуль и скобки при остальных п — т вариациях обобщенных координат в силу независимости этих вариаций. Следовательно, мы получим уравнения

Qi + 2 = 0 (Z = 1, 2, 3, ..., п^ (2.16) 3=1

которые и представляют условия равновесия неголономной системы. Исключая из них множители Zi, Z2, ..., Xmi получим п — т уравнений для определения п значений qXl q^ ..., q™ в положении равновесия. Отсюда непосредственно следует, что состояния равновесия неголономной системы не могут быть изолированны* ми, а всегда образуют многообразие, число измерений которого не меньше т. Это означает, что в пространстве конфигураций неголономной системы положения равновесия — это не изолированные точки, а континуум точек, образующих гиперповерхность в пространстве конфигураций.

Пример 2.6. Найдем положения равновесия неголономной системы, которая представляет частный случай саней Чаплыгина на наклонной плоскости: гладкий шарик массы т прикреплен к невесомому стержню, длина

которого I; на другом конце стержня находится полукруглое лезвие (рис. 2.5). Стержень ортогонален плоскости лезвия, которое так же, как и шарик, опирается на наклонную плоскость (а — угол наклона плоскости). Согласно обозначениям на рис. 2.5 уравнение кинематической (неголономной) связи имеет вид у = xtgф. Отсюда следует, что вариации обобщенных координат бж, бу, бф связаны соотношением

б ж sin ф — бу cos ф = 0.

тяжести. которая здесь является единственной активной силой:тяжести. которая здесь является единственной активной силой:Для нахождения выражений обобщенных сил Qx, Qy, (?ф вычислим виртуальную работу силы

тяжести. которая здесь является единственной активной силой:

тяжести. которая здесь является единственной активной силой:

бЛ = mg sin а (бж + /бф cos ф).

Отсюда Qx = Tng sin a, Qy = 0, (?Ф = mgl sin a cos ф. Составляя уравнения равновесия (2 16), имеем

mg sin а + X sin Ф = 0, —X cos Ф = 0, mgl sin a cos Ф = 0,

или cos ф = 0. Таким образом, мы получили одно уравнение для определения трех величин ж, у, ф в положении равновесия саней Чаплыгина в рассматриваемом случае. Корнями этого уравнения на интервале 0 ^ ф < 2л являются ф] = л/2, ф2 = 3/2Л. При этом координаты ж, у могут принимать про-

извольные значения. Физический смысл полученного результата вполне понятен: рассматриваемая система может находиться на наклонной плоскости в покое лишь в том положении, при котором стержень расположен вдоль линии наибольшего ската. Здесь возможны два случая: шарик находится ниже лезвия (ф] = л/2) или выше лезвия (ф2 = Зл/2). Как первый, так и второй случай реализуются в любой точке х, у наклонной плоскости.

Условия равновесия в случае потенциальных сил

Если силы, действующие на точки голономной стационарной системы, потенциальны, то выполняются соотношения

где П = П(£1, z/i, ^1, ^2» ^2, ^2, ..., ^n, Ух, 2n) — потенциальная энергия системы материальных точек в поле потенциальных сил.

Подставляя (2.17) в формулу для обобщенной силы и приняв во внимание (1.28), получим

а. = _ у/^п^.^п^ ап^ =

^А8$ч 9qi 8уА*н Szvd9i]

Таким образом, если силы потенциальны, то обобщенная сила,Таким образом, если силы потенциальны, то обобщенная сила,=(г = 1,2,3, п\ (2.18)

Таким образом, если силы потенциальны, то обобщенная сила,

Таким образом, если силы потенциальны, то обобщенная сила,

соответствующая обобщенной координате q^ равна взятой с обратным знаком производной от потенциальной энергии по обобщенной координате.

Условие (2.13) равновесия голономной системы в этом случае запишется в виде

^=0 (Z= 1,2, (2.19)

Отсюда следует, что в положении равновесия потенциальная энергия голономной системы имеет экстремальное значение.

Пример 2.7. Найти обобщенную силу и положение равновесия материальной системы, схема которой представлена на рис. 2.6. В точках О, А и В имеются шарни-v

ры. Стержни О А и АВ однородные и имеют одинаковую’^

длину а и массу т. Поршень М имеет массу т\. Сере- рис 2 6 дины стержней ОА и АВ соединены пружиной жестко-* *

сти с. Длина пружины в ненапряженном состоянии 10 < а. Трением и массой пружины можно пренебречь. Механизм расположен в вертикальной плоскости.

Система имеет одну степень свободы. За обобщенную координату примем q = ф. Потенциальная энергия будет

12

П = — mgxc — mgxca — ^g^B + "^ с^ ♦

где аЗа

хс ^^созф, хс^ = -ту cos ф, з~в = 2асо8ф,

a % = С^г — Zo— удлинение пружины (G и С 2— точки крепления пружины). Так как С\С^ = a cos ф, то X = a cos ф — 10. Следовательно,

1

П = — 2 (т + т^ ga cos ф + у с(а cos ф—Z0)2.

Дифференцируя по ф, получим

— = 2 (^ 4- т^ ga sin ф — ас (a cos ф — l^ sin ф

и обобщенная сила будет равна

Q = — ^- = — 2 (т 4- ^4) ga sin ф 4- ас (a cos ф — l^ sin ф.

При равновесии системы Q = 0, т. е.

[—2(т 4- m^ga 4- ас (a cos ф — Zo)] sin ф = 0.

Отсюда следует, что в положении равновесия

sin ф = 0.

Значит, ф1 = 0 является одним из равновесных состояний системы. Но может быть и

—2(т 4- 7HX)g 4- с^а cos ф — Zo) = 0, откуда

2 (m + mJ g + clQ cos<p2=.

Состояние равновесия, определяемое этим выражением, может существовать, если

2(т + mi) g < с (а — lo).

Таким образом, если

2(т 4- m^g > с(а — Zo),

то существует одно состояние равновесия

Ф1 = 0.

При 2(т 4- mv^g < с(а— Zo) существуют два состояния равновесия

2 (т 4- т^ g 4- cl0 Фх = 0, ф2 = arccos—.

Пример 2.8. Две материальные точки Мх и М^ соединенные между собой жестким стержнем длины Z, притягиваются к неподвижной точке О по закону всемирного тяготения. Пренебрегая массой стержня, найти обобщенные силы, принимая, что движение происходит в одной плоскости.

При движении точек в одной плоскости положение каждой из них определяется двумя координатами. По условию расстояние между точками не изменяется, следовательно, независимых координат будет три, т. е. рассматриваемая материальная система имеет три степени свободы. За обобщенные координаты примем дх = г, д2 = Ф, ^з = *Ф (рис. 2.7). Потенциальная энергия системы равна

где аир — постоянные

величины. Но так как

= Уг2 + Z2 + 2rZ cos (ф — Ч1)»

то

П = -

а Р

Т Vг2 -(- Z2 + 2rZ cos (ф — гр)

Отсюда

аР [г + Z cos (Ф ~ W

ОТ _

дг

г2 [г2 + Z2 + 2rZ cos (ф — Ч)]3/2’

ОТ_

— PrZ sin (ф — ф)

дф

[г2 + Z2 + 2rZ cos (ф — гр)]3/2’

ОТ —

Р/7 sin (ф — гр)

дгр ~

[г2 + Z2 + 2/7 cos (ф— гр)]з/2*

При равновесии системы согласно (2.19) имеем дг ~ °’ дф дгр~ Эти уравнения сводятся к системе двух уравнений sin (ф — гр) = 0;

а [г2 + Z2 + 2rZ cos (ф — тр)]3/2 + г2р[г + I cos (ф — хр)] = 0. Полученная система уравнений имеет лишь одно решение:

2.7.2.7.г=‘уГн7у отвечающее положению равновесия системы, изображенной на рис. В этом положении притягивающий центр О находится между материальными точками Mi и М2.

2.7.

2.7.

При равновесии неголономной системы в случае потенциальных сил согласно (2.16) и (2.18) должна удовлетворяться система уравнений

т

-® + 2^ = ° (i = 1, 2, ..., и). (2.20)

Чг

Отсюда следует, что в отличие от голономной системы потенциальная энергия неголономной системы в положении равновесия не принимает экстремальное значение.

Пример 2.9. Потенциальная энергия саней Чаплыгина (рис. 2.5), рассмотренных в примере 2.6, определяется выражением

П = —mg sin а • (ж + Z sin ф),

а вариации бж, бу, бф связаны соотношением бж sin ф — бу cos ф = 0.

Составляя выражения (2.20), получаем систему уравнений

mg sin а + X sin ф = 0, —X cos ф = 0, mgl sin а cos ф = 0, которая, естественно, совпадает с уравнениями равновесия, полученными для саней Чаплыгина в примере 2.6.

Устойчивость состояний равновесия

Принцип виртуальных перемещений, рассмотренный в предыдущих параграфах, устанавливает необходимые и достаточные условия равновесия материальной системы. Но не каждое состояние равновесия можно реализовать практически. В самом деле, для сферического маятника, рассмотренного в примере 1.8 (рис. 1.6), обобщенные силы равны

21 = —Pl sin 0, ^2 == 0.

Условием равновесия будет

Pl sin 0 = 0,

откуда 0 = птс (п = 0, ±1, ±2, ...).

Практически этому условию соответствуют два положения равновесия: нижнее при 0 = 0 и верхнее при 0 = л. Для положения равновесия при 0 = 0 характерно то, что при сообщении маятнику достаточно малого отклонения от этого положения равновесия и достаточно малой скорости он будет совершать движения вблизи состояния равновесия. Для состояния же равновесия при 0 = л при сколь угодно малых отклонениях маятника от него и при сколь угодно малой начальной скорости маятник будет удаляться от этого положения равновесия.

Положения равновесия материальной системы, для которых небольшие отклонения от этих положений равновесия и небольшие начальные скорости точек системы не приводят к выходу материальной системы из достаточно малой окрестности положения равновесия, называются устойчивыми.

Если же сколь угодно малые отклонения системы от положения равновесия и сколь угодно малые начальные скорости приводят к возрастающему отклонению материальной системы от положения равновесия, то это положение равновесия называется неустойчивым.

Может существовать еще и так называемое безразличное равновесие, характерное тем, что при выводе системы из этого положения она окажется в новом положении равновесия и не будет стремиться приблизиться к прежнему положению равновесия или удалиться от него. Примером такого положения равновесия может служить положение равновесия тяжелого шара на горизонтальной плоскости.

А. М. Ляпунов дал строгое определение устойчивости состояния равновесия.

Устойчивым состоянием равновесия системы называется такое ее положение, когда при достаточно малом начальном отклонении от него и при достаточно малых скоростях все точки системы, имея сколь угодно малые скорости, будут двигаться так, что

все они не уйдут от своего равновесного положения далее наперед заданного расстояния, как бы оно мало ни было.

Приведем теперь достаточный признак устойчивости положения равновесия материальной системы в потенциальном ( консервативном) силовом поле, даваемый теоремой Лагранжа — Дирихле.

В теореме Лагранжа — Дирихле дается строгое доказательство того, что для любой материальной системы (в потенциальном силовом поле) минимум потенциальной энергии является признаком устойчивого состояния равновесия. Приведем формулировку теоремы Лагранжа — Дирихле: если для материальной системы, находящейся в потенциальном силовом поле и подчиненной голо- номным идеальным стационарным связям, потенциальная энергия в положении равновесия системы имеет минимум, то это положение равновесия устойчиво ).

Если заданными силами, действующими на систему с идеальными связями, будут только силы тяжести, то из теоремы Лагранжа — Дирихле следует: если центр тяжести системы занимает наинизшее положение, которое является изолированным, то это положение будет устойчивым положением равновесия (принцип Торичелли).

Если в положении равновесия потенциальная энергия не имеет минимума, то исследование устойчивости состояния равновесия становится очень сложной задачей.

Приведем формулировку одной из теорем Ляпунова: если отсутствие минимума потенциальной энергии П в исследуемом положении равновесия обнаруживается уже по членам второго порядка (или вообще по членам наименьшего порядка) в разложении функции П(^1, 72, . •., ^п) в ряд Тейлора, то равновесие неустойчиво.

Пример 2.10. Для механической системы, рассмотренной в примере 1.7, потенциальная энергия может быть выражена формулой

П = Р (жСо — жс) + *2 X2,

мере 1.7 расчетамимере 1.7 расчетамигде хсо — значение координаты хс при недеформированной пружине, X = = | Z — Zo | — растяжение пружины. В соответствии с приведенными в при-

мере 1.7 расчетами

мере 1.7 расчетами

хс — "2 cos ср, ^со = T cos %’хс — "2 cos ср, ^со = T cos %’ф Фо!

хс — "2 cos ср, ^со = T cos %’

хс — "2 cos ср, ^со = T cos %’

Х = 2г cos ~2—2r cos *2 .

Следовательно,

12 / Ф

П = Pr (cos ср0 —- cos ф) + 2сг I cos у — cos у

где

оcos 2 —2г

Так какТак какВыясним характер этих состояний равновесия. Вторая производная от ПВыясним характер этих состояний равновесия. Вторая производная от Ппо ф равнапо ф равнаПри ф = 0При ф = 0d2nйф2d2nйф2т ГФ Iу (Р — 2cr) cos ф + clQ cos "2 .т ГФ Iу (Р — 2cr) cos ф + clQ cos "2 ./П г,/П г,

Так как

Так как

Выясним характер этих состояний равновесия. Вторая производная от П

Выясним характер этих состояний равновесия. Вторая производная от П

по ф равна

по ф равна

При ф = 0

При ф = 0

d2n

йф2

d2n

йф2

т ГФ I

у (Р — 2cr) cos ф + clQ cos "2 .

т ГФ I

у (Р — 2cr) cos ф + clQ cos "2 .

/П г,

/П г,

бШ 1_ 2 / ср %. Ф

-7- =z Pr sin ф — 2cr cos -7Г — cos -ту sin -о-,аф 21\22/2'

то получаем условие равновесия

(2cr — Р) cos 5- — cZQ | sin 51 = О,

которое, естественно, совпадает с условием равновесия для данной системы, полученным в примере 2.4 из условия Q = 0. Там же было установлено, что всегда существует состояние равновесия при ф1 = 0, а при

P<c(2r-Z0)

или

Р> с^г + М

существует еще одно состояние равновесия:

с1о

Ф = Ф2 = 2 arccos у^—

d2n

Значит, при устойчиво, аЗначит, при устойчиво, аР > 2ст величина cl^ ^2 > 0 и это состояние равновесия при Р < с (2г — Zo) неустойчиво. Для состояния равновесия

Значит, при устойчиво, а

Значит, при устойчиво, а

Ф2 = 2 arccos 2^—р»

d2nс?ф2d2nс?ф2Г Гf 2 ^21Ф2

d2n

с?ф2

d2n

с?ф2

2" (Р — 2сг) I 2 cos -^ — 1I + cl^ cos у

г (2сг + с1^-Р^Р~2сг + с1^

”2Р — 2сг

Если Р < 2сг — cZ0, то —о > 0, т. е. состояние равновесия устойчиво. Ес

ли Р > 2ст + cZ0, то —о < 0 и, следовательно, состояние равновесия не- йф

устойчиво. Итак, при Р < 2сг — cZ0 существуют два состояния равновесия:

ф! = 0 — неустойчивое и ф2 = 2 arccos 2^7 — Р — устойчивое. При Р > 2сг + + с10 существуют также два состояния равновесия: ф1 = 0 — устойчивое и ф = фг — неустойчивое. При с (2r — Zo) < Р < c^2r + Zo) существует одно устойчивое состояние равновесия ф1 = 0.

Пример 2.11. Определить устойчивость положений равновесия в примере, схема которого изображена на рис. 2.6 (§ 2.3).

При ф = 0 имеемПрибудетПри ф = 0 имеемПрибудетт. е. потенциальная устойчиво. Прит. е. потенциальная устойчиво. Приэнергия имеет минимум и состояние равновесия ф = 0энергия имеет минимум и состояние равновесия ф = 0получаемполучаем2(m+ m^g < с(а — Zo)2(m+ m^g < с(а — Zo)d2IIdtp2d2IIdtp2

При ф = 0 имеем

При

будет

При ф = 0 имеем

При

будет

т. е. потенциальная устойчиво. При

т. е. потенциальная устойчиво. При

энергия имеет минимум и состояние равновесия ф = 0

энергия имеет минимум и состояние равновесия ф = 0

получаем

получаем

2(m+ m^g < с(а — Zo)

2(m+ m^g < с(а — Zo)

d2II

dtp2

d2II

dtp2

Дифференцируя выражение

^ = 2 (т + znj ga sin ф — ас (a cos ф — l^ sin ф

«о ф, получим

^2П22

—= 2 (т + тп^ ga cos ф + са sin ф — ас (a cos ф — cos ф =

= а [2 (т + т^ g + cZQ] cos ф + сс? (1 —- 2 cos2 ф).

^2П

^ = a[2(7n + mi)^-c(a-Z0)].

2(ттг + тх)g > c^a — Zo)

с22П

2 >0, Йф2

припри<z2n йф2<z2n йф2и состояние равновесия ф = ф2 устойчиво. Значит,и состояние равновесия ф = ф2 устойчиво. Значит,

при

при

<z2n йф2

<z2n йф2

и состояние равновесия ф = ф2 устойчиво. Значит,

и состояние равновесия ф = ф2 устойчиво. Значит,

и, следовательно, состояние равновесия неустойчиво. При

2 (иг + т^ g + clo ф = ф2 = arccos—

имеем

<z2n

</ф2

^(m + m^g + c^+Zg)] [с (a —Zo)—2(т?г + т1)^]с

Если

2(т + ?ni)g < с^а — Zo),

2(ттг + mx^g > с (а — Zo)

существует одно устойчивое состояние равновесия ф = 0. При 2(т + mx^g < с(а — 10)

существуют два состояния равновесия: неустойчивое ф = 0 и устойчивое ф = ф2.

Пример 2.12. Невесомый стержень О А длиною а может свободно вращаться вокруг точки О. К концу А стержня шарнирно прикреплен невесомый стержень АВ длиною а, на другом конце которого закреплен груз В массы 771. Точка О и точка В соединены между собой пружиной жесткости с. Масса пружины пренебрежимо мала, длина пружины в ненапряженном состоянии равна а. Найти положения равновесия (рис. 2.8), считая, что система расположена в вертикальной плоскости ху.

Пусть обобщенными координатами будут

91 = ф, 92 = Ф-

Выражение для потенциальной энергии имеет вид

12

П = — mgxB + у еХ , здесь

хв — a (cos ф + cos ф),

ф — Ф

X = 2а cos —2— — а^

значит, потенциальная энергия

1 о / ф — ф

П = — mga (cos ф + cos гр) + у са 2 cos —2— — 1

Далее вычисляем

от . , 2 Ф — ф Л ф — ф — = mga sin ф + са 2 cos —9— — 1 sin —9—,

ОТ2Ф —- Ф \ Ф — ф

— = mga sin гр — са 12 cos —2— — 1 I sin —2—•

Углы ф и ф в положении равновесия определяются из уравнений

mg sin ф + са 2 cosmg sin ф + са 2 cos^ —<р2^ —<р2— 11 sin —2— — О,— 11 sin —2— — О,

mg sin ф + са 2 cos

mg sin ф + са 2 cos

^ —<р2

^ —<р2

— 11 sin —2— — О,

— 11 sin —2— — О,

(2.21)(2.21)( гр — ф \ гр — ф mg sin гр — са 2 cos —2— — 11 sin —2— — ^.

(2.21)

(2.21)

Очевидно, что в положении равновесия

Ф1 = 0, ф1 = О и

ф2 = л, гр2 = л.

Складывая между собой оба уравнения (2.21), получим положение равновесия, для которого

sin ф + sin ф = О, т. е. когда ф = —Ф.

Вычислим теперь вторые производные от П:

д2П22 Ф — ФA = —о = mSa cos Ф + c« sin —5— дфд2П CO2 Ф —R — - — — ■— pnc 1 I 2 COS— дф dip “ 2 cos 2\д2П22 Ф — ФA = —о = mSa cos Ф + c« sin —5— дфд2П CO2 Ф —R — - — — ■— pnc 1 I 2 COS— дф dip “ 2 cos 2\;2 / Ф — Ф \ Ф — Ф г 2 COS 2 — 1 I cos -^y;2 / Ф — Ф \ Ф — Ф г 2 COS 2 — 1 I cos -^yФ —ФФ —Ф222 . 2 Ф — Ф са sin 2 . 2 Ф — Ф са sin 22д2По .С = —2 — msa COS Ф + са sln"д2По .С = —2 — msa COS Ф + са sln"2 Ф — Ф са22 Ф — Ф са22222ф-ф ;cos —2—— 1ф-ф ;cos —2—— 1ф —ф cos —2—*ф —ф cos —2—*

д2П22 Ф — Ф

A = —о = mSa cos Ф + c« sin —5— дф

д2П CO2 Ф —

R — - — — ■— pnc 1 I 2 COS

— дф dip “ 2 cos 2\

д2П22 Ф — Ф

A = —о = mSa cos Ф + c« sin —5— дф

д2П CO2 Ф —

R — - — — ■— pnc 1 I 2 COS

— дф dip “ 2 cos 2\

;2 / Ф — Ф \ Ф — Ф г 2 COS 2 — 1 I cos -^y

;2 / Ф — Ф \ Ф — Ф г 2 COS 2 — 1 I cos -^y

Ф —Ф

Ф —Ф

2

2

2 . 2 Ф — Ф са sin

2 . 2 Ф — Ф са sin

2

2

д2По .

С = —2 — msa COS Ф + са sln"

д2По .

С = —2 — msa COS Ф + са sln"

2 Ф — Ф са2

2 Ф — Ф са2

2

2

2

2

ф-ф ;

cos —2—— 1

ф-ф ;

cos —2—— 1

ф —ф cos —2—*

ф —ф cos —2—*

са2А = mga — -J-,са2А = mga — -J-,

са2

А = mga — -J-,

са2

А = mga — -J-,

В положении равновесия ф1 = 0, ф1 = О

22

саса

В = -у, С = mga — -у

ии/\2 с л4

и

и

9।2/2\

А = АС — В = I mga — -у I — —^” = mga \mga — са ).

При mg > са А > 0, а так как при этом Л > О, то потенциальная энергия имеет минимум и положение равновесия устойчиво. При А < 0, т. е. при mg < са1 потенциальная энергия экстремума не имеет.

В положении равновесия (ф2 = л, ф2 = л)

222

сасаса

А =— mga— -^-<0, В——^ С =—mga—

/2X22 А

9/СО । С Оо 2\

А = АС — В — I mga + Ду I — ~ — т8а \т§а + с а ) > 0.

Поскольку А < 0, то состояние равновесия ф2 = л, ф2 = л неустойчиво.

Рассмотрим теперь случай, когда ф^" = — Ф3 =/= 0. Уравнения для определения ф3 и фз получим из уравнений

\mg — са(2 cos ф3 — 1)] sin ф3 = 0,

Vmg — са(2 cos ф3 — 1)] sin фз = 0.

Считая, что sin ф3 ^ 0 и sin фз =/= 0, имеем

откудаоткудаmg + саCOS ф3-СО82™mg + саCOS ф3-СО82™mg — са^2 cos ф3 — 1) = 0,

откуда

откуда

mg + са

COS ф3-СО82™

mg + са

COS ф3-СО82™

т. е. mg < са.т. е. mg < са."Уз"УзРис. 2.9 устойчиво. НаРис. 2.9 устойчиво. На//

т. е. mg < са.

т. е. mg < са.

"Уз

"Уз

Рис. 2.9 устойчиво. На

Рис. 2.9 устойчиво. На

/

/

Это положение равновесия существует, если mg + са < 2са, Далее находим

са2

ААВ = — СО? (1 — 2 СО82ф3) — -^ cos ф3, / са2 \

А

А

С — I mga -j- -n- cos ф_ + со? (1 — 2 соз2ф„),

А = АС — В2 = 2mgca^ cos Ф3 (1 — С082ф3).

Так как решение ф = фз существует при с а > mg, то А > 0. но так как при этом

mgaо /2\

А = ~J” cos ф3 + са— cos ф3] > 0,

то положение равновесия ср = ^фз, ф = ±фз при са > mg рис. 2.9 показаны эти состояния равновесия.

В § 2.2 было показано, что состояния равновесия неголоном- ной системы в общем случае образуют многообразие, число измерений которого не меньше числа т уравнений неголономных связей. В предыдущем параграфе мы видели, что при равновесии потенциальная энергия неголономной системы не имеет ни экс-

тремума, ни минимума. Здесь мы сталкиваемся с особенностью, которая приводит к постановке задачи об устойчивости равновесия неголономной системы, несколько отличной от обычной постановки. Наличие многообразия состояний равновесия указывает на то, что не имеет смысла говорить об устойчивости изолированного состояния равновесия неголономной системы, ибо неголономная система не обладает изолированными состояниями равновесия: целесообразно ставить вопрос об устойчивости многообразия в целом. В связи с этим изменяется и понятие устойчивости равновесия неголономной системы.

Состояние равновесия неголономной системы называется асимптотически устойчивым, если при достаточно малом отклонении от положения равновесия неголономная система вновь приходит в положение равновесия, которое может, вообще говоря, и не совпадать с первоначальным положением равновесия* На геометрическом языке это означает, что в пространстве конфигураций неголономной системы существует гиперповерхность состояний равновесия, и под устойчивостью точек, образующих эту гиперповерхность, понимается устойчивость по отношению к малым отклонениям от этой гиперповерхности. Более подробные сведения по этому вопросу читатель найдет в книге [37].

Принцип Даламбера

В 1743 г. французский ученый Ж. Даламбер опубликовал мемуар, положенный в основу своего знаменитого сочинения «Динамика». В этой работе он сформулировал утверждение, которое вошло в историю механики под названием «принцип Даламбера», как универсальный прием решения задач динамики системы со связями. Согласно принципу Даламбера все законы движения системы материальных точек могут быть сведены к законам равновесия. В самом деле, в состоянии равновесия, когда скорости всех точек системы vv = 0 (v = 1, 2, ..., TV), выполняются уравнения (2.4)

Fv + Rv = 0 (v = l, 2, N^, (2.22)

где Fv — результирующая активных сил, действующих на v-ю точку системы, a Rv — результирующая реакций связей. Смысл уравнений равновесия (2.22) заключается в том, что в статике (т. е. при равновесии системы) активная сила Fv уравновешивается реакцией связей Rv.

Обратимся теперь к динамике. При движении той же системы материальных точек со связями согласно принципу освобождае- мости для каждой точки справедлив второй закон Ньютона

znvwv = Fv + Rv (v=l, 2, (2.23)

Если ввести силу Pv = Fv — mvwv, получившую название «потерянная сила», то второй закон Ньютона записывается в виде-

Pv + Rv = 0 (v = l, 2,^).(2.24)

Эти уравнения движения по своей структуре полностью совпадают с уравнениями равновесия (2.22), поэтому можно утверждать, что уравнения движения — это те же уравнения равновесия, но составленные не для активных сил Fv, а для потерянных сил Pv. Другими словами, если в любых соотношениях, справедливых в статике, активные силы заменить потерянными силами, мы получим соотношения, справедливые в динамике.

Таким образом, принцип Даламбера перебрасывает «мостик» между статикой и динамикой. Потерянную силу Pv можно представить в виде суммы двух сил: активной силы Fv и так называемой силы инерции Fv, равной —mvwv по определению. Тогда уравнение движения (2.24) записывается в виде уравнения равновесия трех сил

Fv + F* + Rv = 0. (2.25)

Наглядное представление об идее принципа Даламбера дает рис. 2,10, а, где изображены векторы Fv, Rv и mvwv, связанные

вторым законом Ньютона. На рис. 2.10,6 изображены три вектора Fv, Rv и Fv = — z^vwv, связанные соотношением (2.25), выражающим равновесие сил. На рис. 2.10, в изображено равновесие двух сил: Pv и Rv в соответствии с уравнением (2.24). Наконец, на рис. 2.10,г разъясняется, почему сила Pv названа потерянной: разлагая активную силу Fv на две составляющие: Pv и mvWv, мы видим, что составляющая Pv уравновешивается силой Rv и для движения оказывается как бы потерянной.

Принцип Даламбера позволяет легко составлять уравнения движения в задачах, где уравнения равновесия очевидны, как это показывает приводимый ниже пример.

4 Н. В. Бутенин, Н. А. Фуфаев

Пример 2.13. Рассмотрим три груза с массами т^ т^ т^ подвешенных на нерастяжимых нитях, которые перекинуты через невесомые блоки так, как это показано на рис. 2.11. Эта система будет, очевидно, в равновесии, если тх = т2 + т^ т2 = пц. При невыполнении этих равенств грузы будут двигаться с ускорениями, которые и нужно найти. Нам известны уравнения статики, которые в этой задаче имеют вид

(2.26)(2.26)7771g = 7772g + ™3g;777 2g = 7773g.

(2.26)

(2.26)

Согласно принципу Даламбера мы получим из (2.26) уравнения движения, если активные силы Fi = тх^ F2 = m2g, F3 = т^ в уравнениях (2.26) заменим на потерянные силы Р^ Р2, Р3. Пусть груз тх будет двигаться с ускорением Wi, направленным вниз (рис. 2.11). Тогда центр блока будет перемещаться вверх с ускорением wr равным по величине ускорению Wi, т. е.w1=—у^.Пред- положим далее, что груз т2 при этом движется вниз с относительным ускорением w2, т. е. в системе координат, связанной с центром подвижного блока. Тогда груз т^ будет перемещаться в этой системе отсчета вверх с ускорением w2, равным по величине ускорению w2 вследствие нерастяжимости нити. Следовательно, Pi = = m,g — maW],, Р, = m2g — т^ (w2 + w'), P, = = mgg — m3(w2 + w'y Подставляя эти выражения потерянных сил в уравнения (2.26), получим систему векторных уравнений. В проекции на вертикальное направление эти уравнения да

ют систему двух уравнений для определения неизвестных wx и ш2\

(тх + ттг24- m^wx + (т3 — т2) ю2 = (тх — т2 — m^ g,(т2 — т^ wx — (т2 + ттг3) w2 = (m3 — т-^ g.

Отсюда находим

(2.27)(2.27)wx = \тпх^т2 + m3) — 4t7z277z3] • A, w2 = 2тх(т2 — ттг3) • А,А = g[777i(m2 + т^ + 4т2т^\"х.

(2.27)

(2.27)

Из (2.27) следует, в частности, что при выполнении условия тх = 2т2 = — 2тз грузы будут оставаться в покое или могут двигаться с постоянными скоростями, если эти скорости были им сообщены в начальный момент времени.

Общее уравнение динамики

При составлении уравнений движения системы материальных точек, опираясь на второй закон Ньютона, мы получаем уравнения (2.23), в которых содержатся неизвестные величины Rv (v = 1, 2, ..., №) — реакции связей, ограничивающих движение системы. Поскольку мы интересуемся только движением систе-

мы, реакции связей Rv оказываются лишь вспомогательными величинами, которые мы вынуждены ввести и которые затем следует исключить.

Вопрос об исключении неизвестных реакций связей встречается уже в статике при нахождении условий равновесия системы материальных точек. В § 2.1 было показано, что общим принципом, позволяющим получить условие равновесия системы материальных точек, не содержащее реакций связей Rv, является принцип виртуальных перемещений. Согласно этому принципу вопрос об исключении реакций связей Rv полностью решается для систем с идеальными связями.

Возвращаясь к динамике, естественно попытаться решить задачу об исключении из уравнений движения реакций связей сначала также для систем с идеальными связями. Воспользуемся принципом Даламбера, который позволяет довольно просто перейти от статики к динамике, и заменим в уравнении (2.5), выражающем принцип виртуальных перемещений, активные силы Fv потерянными силами Pv = Fv — mvwv. В результате приходим к уравнению

N

2 (Fv — mvwv)« 6rv = 0.(2.28)

V=1

Полученный результат можно сформулировать так: в каждый момент движения материальной системы, подчиненной идеальным связям, работа всех активных сил и сил инерции на виртуальных перемещениях точек материальной системы равна нулю.

Уравнение (2.28) и представляет собой общее уравнение динамики. или уравнение Даламбера — Лагранжа. Если Х^, ¥„, Zv — проекции силы Fv на оси декартовой системы координат, а х^ щ. z*v — проекции ускорения v-й точки на эти же оси, то уравнение (2.28) можно записать в виде

м......

2 [(^v — ^v^v) 6^v + (^v — ТП^У^ §yv + (Zv — m^ 6zv] = 0. (2.29) V—1

Пример 2.14. Неоднородный блок с массой пг и радиусом R может вращаться без трения вокруг горизонтальной оси, проходящей через его геометрический центр. Центр тяжести С блока находится на расстоянии а от оси вращения. Через блок перекинута перастяжимая нить, массой которой можно пренебречь. Нить по блоку не проскальзывает. Массы грузов Л и В, подвешенных к концам нити, равны т^ и т2 (т2> тх\ Определить ускорение груза В.

Предположим, что груз В имеет ускорение w, направленное вниз (рис. 2.12). В соответствии с условием (2.29) имеем

N

Qn^ + т^) 6$1 + (m2g - m^) 6s2 + 2 ^(mvg + ^*ж) 6^ + ^*y6yv] = 0,

V=1

где последняя сумма относится к точкам диска, а

F* = ^х* + ^vJ = “ nS (^vx i + ^у i)

— сила инерции v-й точки диска. Так как ускорение v-й точки диска равно [И, 16]

Wv = 8 X Tv — CO2rv,

где е — угловое ускорение, со — угловая скорость диска, rv — радиус-вектор v-й точки диска, то

Z^vx = —ezyv — U)2^v = eyv — o2^,

Z^vy == 8z3?v “* ^2yv :== — €>Xt — co2yv,

где e = |ez|, и следовательно,

F*w = - m.^^ = - т^г + mv®\,

F*y = — "^vy = Vve + ^v^V

Таким образом, имеем

N

^g + m^) 6®, + (n^g — «2») 6x2 + 2 [("M ~ т^ч6 + ^v^^v) ^v +

V—1

+ (™Ле + Vv®2) ^v] = °*

Координаты v-й точки диска равны (рис. 2.13) xN = rv cos (ф + av), у» =

= rvsin (ф + ау), где av — постоянный угол между радиусом-вектором v-й точки и направлением отрезка ОС. Значит,

d^v = — rv sin (<р + ау)6ф = уУ6ф,

^У^ = г» cos (ф + ау)бф = а\6ф.

Тогда

N

(m^g + т^ 6xt + (m^g — т^ 6^ + У [— m^y^g + т^е (у® + ж8)] б<р = О,

V=1

или

(mxg + mxw^xx + (m2g — m2w^x2 + (—mycg + 8Zo)6ф = 0,

где Zo — момент инерции блока относительно центра О. Так как нить нерас-где Zo — момент инерции блока относительно центра О. Так как нить нерас-тяжима и не проскальзывает, то6ж6^ = — Ьх^ 6ф= — -д и, следовательно, (— т^ — т^ 4- m^g — m^w +тус si+ -R"g-"RПринимая 6я2 ¥= 0, получимтяжима и не проскальзывает, то6ж6^ = — Ьх^ 6ф= — -д и, следовательно, (— т^ — т^ 4- m^g — m^w +тус si+ -R"g-"RПринимая 6я2 ¥= 0, получим\ni2 — mi + 7n"R UУчитывая, чтоW е==Т’\ni2 — mi + 7n"R UУчитывая, чтоW е==Т’найдемнайдемус = a sin ф,ус = a sin ф,, а .т2 — т1 + т sin ф w =—з— g., а .т2 — т1 + т sin ф w =—з— g.Если блок будет однородным, то а = 0 иЕсли блок будет однородным, то а = 0 иРис. 2.14Рис. 2.14___2(^-^)_Ш 2 (т, + ттг2) + т g’___2(^-^)_Ш 2 (т, + ттг2) + т g’

где Zo — момент инерции блока относительно центра О. Так как нить нерас-

где Zo — момент инерции блока относительно центра О. Так как нить нерас-

тяжима и не проскальзывает, то

6ж

6^ = — Ьх^ 6ф= — -д и, следовательно, (— т^ — т^ 4- m^g — m^w +

тус si

+ -R"g-"R

Принимая 6я2 ¥= 0, получим

тяжима и не проскальзывает, то

6ж

6^ = — Ьх^ 6ф= — -д и, следовательно, (— т^ — т^ 4- m^g — m^w +

тус si

+ -R"g-"R

Принимая 6я2 ¥= 0, получим

\ni2 — mi + 7n"R U

Учитывая, что

W е==Т’

\ni2 — mi + 7n"R U

Учитывая, что

W е==Т’

найдем

найдем

ус = a sin ф,

ус = a sin ф,

, а .

т2 — т1 + т sin ф w =—з— g.

, а .

т2 — т1 + т sin ф w =—з— g.

Если блок будет однородным, то а = 0 и

Если блок будет однородным, то а = 0 и

Рис. 2.14

Рис. 2.14

___2(^-^)_

Ш 2 (т, + ттг2) + т g’

___2(^-^)_

Ш 2 (т, + ттг2) + т g’

так как Zo = mR2^. В этом случае w > 0.

Пример 2.15. Через блок А массы т и радиуса R перекинута невесомая нерастяжимая нить. На одном конце этой нити привязан груз массы тх^ к другому концу прикреплен блок В радиуса г и массы т2. Через блок В также перекинута невесомая и нерастяжимая нить, на концах которой прикреплены грузы массы т3 и т^ (рис. 2.14). Ось блока А неподвижна. Нити по блокам не проскальзывают. Определить ускорение грузов, считая блоки А и В однородными.

Рассматриваемая система имеет две степени свободы. В соответствии с выражением (2.99) можно записать

(mxg — mxwXx)6xx + <m2g — m2w2x^x2 + ^g — m3w 3^6x3 +

+ km^ — тп4и?4х)6х4 — Z08z6(p — ZOi82z6(pi = 0,

тде Zo и Zoi — моменты инерции блоков А и В относительно их осей вращения, a 8Z и e2z — их угловые ускорения. Составим уравнения связей:

хх 4" ^2 + stR = Zi, ^3 4“ х^ 2ж2 4~ *^г —- ^2? где 1Х и Z2 — длины нитей. Из этих уравнений следует, что

6^1 4“ бггг = 0, 6я3 4- 6ж4 — 26ж2 = 0 и

т. е.т. е.^1 4“ Х2 = 0, Хз 4- ^4 — 2х2 = 0,

т. е.

т. е.

WXx 4- ZP2X = 0,^зх 4- w4x — 2W2X = 0.

Из этих выражений можно найти

6^2 = — 6^1,6^4 = —6^3 — 26^f,

Кроме того, имеемКроме того, имеемW^x = W\XlWz^x " W^3x— ^Wxx-

Кроме того, имеем

Кроме того, имеем

^^зх^^зхСледовательно,

^^зх

^^зх

(т^ — т^ — 2т J g — Im,

Г( 'Ml

+ [(m3 - m4) 8 - ^«Чх~ V"s + m4 + Т/ “Н 6х3 = о

откуда

(mi + т^ + 4m4 + ^ wlx + 2m4m33C = (m4 —т^ - 2m) g,^t^ix + ^3 + m4 + Т/ юзх = (m3 - m4) 8-

Решая эти уравнения, получим

(mi - m2 -^3 + W4 +~ 2m4 (m3 " m4)

=/mA/mAg'

^1 + m2 + 4m4 + ТДГО3 + m4 + Т/ 4W4

/mA

^™l + m2 + 4m4 + T / (m3m4) ~ 2m4 (mi — ГО2 — 2m4)

Wsx/m2 \ /mA

^1 + m2 + 4m4 + T / ^2 + m4 + Т/ 4m4

Так как zp2x = — wXx и w4x = —z^sx — 2^^, то окончательно /^2\

(mi - m2 “ 2m4) I ™2 + W3 + Т/ ~ 2m4 (m3 “ m4)

W2X /m2W^ \^’

I mx + ^2 + 4m4 + ^ M m3 + m4 + ^- I - 4m^

Если числитель в выражении w?ix равен нулю, т. е.

(m! - т2 ~ 2m4) Vm3 + т4 +Т/ ~ 2ТО4 (ГО3 “ т4) = °’

то это значит, что масса т^ или движется с постоянной скоростью, или на ходится в покое. Величина т\ при этом равна

2m.— т\

I Л ,4 \ 34/

124^3 + ^4 * т2!

Глава 3

УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКИХ И ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ

$ 3.1. Выражения кинетической и потенциальной энергии системы в обобщенных координатах. Гироскопические и диссипативные силы

При составлении уравнений движения в обобщенных координатах обычно приходится пользоваться выражениями кинетической и потенциальной энергий системы.

Выразим кинетическую энергию через обобщенные координаты и скорости в общем случае. Для этого сначала нужно радиусы- векторы rv точек материальной системы определить как функции обобщенных координат, т. е. получить зависимости

rv = rv(gi, д2, ..., q^ t) (v —1, 2, ..., А). (3.1)

Затем скорости точек материальной системы определяются по «формулам

<^Гdrv • 5r

''--Т-^'А + ^Г I'--1’2л'>-(3-2)

г—1

Подставляя эти скорости (3.2) в выражение для кинетической энергии, получим

NN f и _„ \2

Т 1 V2 IV V ^V ’ . ^V I

v=lv=l\г=1 г)

Таким образом, кинетическая энергия нестационарной (реоном- ной) голономной материальной системы может быть представлена как сумма трех частей, Т^ Тх и То, т. е.

Т = Т2 + ТХ + ТО)(3.7)

где

п п

^2 = у ^j ^ A^giqs(3.8)

г=1 s=i

— однородный многочлен второй степени от обобщенных скоростей,

Л = 2 Bi4i(3.9)

1=1

— многочлен первой степени от обобщенных скоростей,

от обобщенных скоростей не зависит.

Для стационарных (склерономных) связей, для которых

^ = Гу(дь q2l gn)

и, следовательно,

кинетическая энергия будет однородной функцией второй степени относительно обобщенных скоростей, т. е.

7171

Т = Т^ — *2*2 2 ^s^iQ's-(3.10)

1=1 з=1

Пример 3.1. Определить кинетическую энергию сферического маятника (рис. 1.6). Груз имеет массу, равную т, длина маятника I.

Рассматриваемая система стационарна. За обобщенные координаты примем qx = 0, q2 = Ф. Тогда декартовыми координатами, определяющими положение маятника, будут

х = I sin 0 cos ф, у = I sin 0 sin ф, z — I cos 0.

Для определения кинетической энергии по формуле (3.10) следует сначала найти коэффициенты Агв. В соответствии с формулой (3.4) имеем

(Эх Эх ду ду dz dz \

Л12 = т (50 5ф + 50 5ф + 50 9ф) = °’

Т(8$у/5у\2/5z\2],2 . 2»

А„„ = m Н- + Н- + Н = mZ sin 0.

22^ф/\^Ф/\^Ф/ J

Следовательно,

mZ2(e2 + q>2sin20).

Выяснив, что кинетическая энергия нестационарной материальной системы выражается формулой (3.7), определим, как связано изменение кинетической энергии с характером сил, действующих на систему. Так как кинетическая энергия является функцией обобщенных координат, обобщенных скоростей и времени, т. е. T = T^q^ qt, £), то

/2/2ППат ат * , v 9Т а •г=1 г i=l о 1iат ат * , v 9Т а •г=1 г i=l о 1iатatатatЭТ * (дТ \ ] • £ V дТ 1 8Т8q^ ^L« ^ + At ^ а"п qi+ dt'Vli / J1=15^ЭТ * (дТ \ ] • £ V дТ 1 8Т8q^ ^L« ^ + At ^ а"п qi+ dt'Vli / J1=15^но так как согласно формуле (3.7) Т = Т^ + Тх + То, тоЭТЭТ^ ( 8Т1Э1гд^г 89гно так как согласно формуле (3.7) Т = Т^ + Тх + То, тоЭТЭТ^ ( 8Т1Э1гд^г 89гПо теореме Эйлера об однородных функциях *) имеемПо теореме Эйлера об однородных функциях *) имеемппдт •VI атЛ •V<?i=2T3, ^-^qt-TpЭ1гi=l ^гдт •VI атЛ •V<?i=2T3, ^-^qt-TpЭ1гi=l ^гСледовательно,Следовательно,£ ^ ^ = 273 + Tv г=1 Bq,£ ^ ^ = 273 + Tv г=1 Bq,*) Напомним, что функция Нх\, x2l ..., Хп) называется однородной степени пг, если при замене аргументов xi, x2l ..., хн на tx\s tx2l ..., txu выполняется соотношение*) Напомним, что функция Нх\, x2l ..., Хп) называется однородной степени пг, если при замене аргументов xi, x2l ..., хн на tx\s tx2l ..., txu выполняется соотношение/(^1, tx2l . . ., tx^ = tmf(x^ Х2, . . ., Xn)./(^1, tx2l . . ., tx^ = tmf(x^ Х2, . . ., Xn).nПродифференцировав это соотношение no t, получим ^ 5™^™J~nПродифференцировав это соотношение no t, получим ^ 5™^™J~~ mtm г{ (х^ ^2, ..., х^. Написанные соотношения должны выполняться~ mtm г{ (х^ ^2, ..., х^. Написанные соотношения должны выполнятьсядля любых значений t ^ 0 и, в частности, для t = 1.тгсоотношение имеет вид / —^- х. = mf, отооражающии««А дх.для любых значений t ^ 0 и, в частности, для t = 1.тгсоотношение имеет вид / —^- х. = mf, отооражающии««А дх.При t = 1 второеПри t = 1 второесодержание теоре-содержание теоре-тгмы Эйлера об однородных функциях: сумма — xt ■ дх.г=1 г умноженной на степень m однородности функции /.тгмы Эйлера об однородных функциях: сумма — xt ■ дх.г=1 г умноженной на степень m однородности функции /.равна функции /,равна функции /,

/2

/2

П

П

ат ат * , v 9Т а •

г=1 г i=l о 1i

ат ат * , v 9Т а •

г=1 г i=l о 1i

ат

at

ат

at

ЭТ * (дТ \ ] • £ V дТ 1 8Т8q^ ^L« ^ + At ^ а"п qi+ dt'

Vli / J1=15^

ЭТ * (дТ \ ] • £ V дТ 1 8Т8q^ ^L« ^ + At ^ а"п qi+ dt'

Vli / J1=15^

но так как согласно формуле (3.7) Т = Т^ + Тх + То, то

ЭТЭТ^ ( 8Т1

Э1гд^г 89г

но так как согласно формуле (3.7) Т = Т^ + Тх + То, то

ЭТЭТ^ ( 8Т1

Э1гд^г 89г

По теореме Эйлера об однородных функциях *) имеем

По теореме Эйлера об однородных функциях *) имеем

п

п

дт •VI атЛ •

V<?i=2T3, ^-^qt-Tp

Э1гi=l ^г

дт •VI атЛ •

V<?i=2T3, ^-^qt-Tp

Э1гi=l ^г

Следовательно,

Следовательно,

£ ^ ^ = 273 + Tv г=1 Bq,

£ ^ ^ = 273 + Tv г=1 Bq,

*) Напомним, что функция Нх\, x2l ..., Хп) называется однородной степени пг, если при замене аргументов xi, x2l ..., хн на tx\s tx2l ..., txu выполняется соотношение

*) Напомним, что функция Нх\, x2l ..., Хп) называется однородной степени пг, если при замене аргументов xi, x2l ..., хн на tx\s tx2l ..., txu выполняется соотношение

/(^1, tx2l . . ., tx^ = tmf(x^ Х2, . . ., Xn).

/(^1, tx2l . . ., tx^ = tmf(x^ Х2, . . ., Xn).

n

Продифференцировав это соотношение no t, получим ^ 5™^™J~

n

Продифференцировав это соотношение no t, получим ^ 5™^™J~

~ mtm г{ (х^ ^2, ..., х^. Написанные соотношения должны выполняться

~ mtm г{ (х^ ^2, ..., х^. Написанные соотношения должны выполняться

для любых значений t ^ 0 и, в частности, для t = 1.тг

соотношение имеет вид / —^- х. = mf, отооражающии««А дх.

для любых значений t ^ 0 и, в частности, для t = 1.тг

соотношение имеет вид / —^- х. = mf, отооражающии««А дх.

При t = 1 второе

При t = 1 второе

содержание теоре-

содержание теоре-

тг

мы Эйлера об однородных функциях: сумма — xt ■ дх.

г=1 г умноженной на степень m однородности функции /.

тг

мы Эйлера об однородных функциях: сумма — xt ■ дх.

г=1 г умноженной на степень m однородности функции /.

равна функции /,

равна функции /,

Если теперь учесть результаты § 3.2, то согласно уравнениям dT

для — получим

г=1

где Qt — обобщенные силы. На основании формулы (3.7) можем записать

2Г2 + Г1 = 2Г-(Г1 + 2Г0);

тогда

п

^--^Qiqi + 4^-^^ + 270) + g г=1

ИЛИ

г=1

Полученная формула определяет изменение кинетической энергии материальной системы при любом ее движении.

Рассмотрим случай стационарных связей. Для них Т = Т^ т. е.

ат _ v о 'at — ^ Q^-г=1

Рассмотрим частные случаи сил, являющихся линейными и однородными функциями обобщенных скоростей, т. е.

п

Qi =В^.

3=1

Если Вц = ^гз, где

Ъз = —Ъ1 и Y^0(^ 7 = 1, 2, ..., п),

то обобщенные силы

п е

Qi = 5 У^Чз

з=1

называются гироскопическими. Покажем, что эти силы не вызывают изменения кинетической энергии). Так как

П71 71

"5t"="^LiQiqi = '2iAi yuqtqh

i=lг=1 з=1

то можно записать пп—1 п

S7 = 2vii^i+ 2 2 Chi + W) qt9h

2 = 12=1 5=2 + 1

и, следовательно, в силу условий, наложенных на коэффициенты Ча (Т« = °. Т« = —Тя),

^=0. dt

Это значит, что работа гироскопических сил на действительном перемещении системы равна нулю.

Пусть теперь

Вц ~ Pij, где

Тогда

П

Qi = S Pij^j

#=1

И

£ - - i i

i=i 5=1

Если квадратичная форма

П П , ,

2 2 ^ijQiQj 2> 0,

2=1 5 = 1 ТО

dt

т. е. кинетическая энергия убывает. Силы

Qi —2 ^ijQj

5=1

в этом случае называются диссипативными,. n п . .

Функция Ф = 2 2 ^qiqb которая является положительно 2=1 5=1

определенной квадратичной формой обобщенных скоростей, называется функцией диссипации Релея. Система, для которой функция Релея Ф содержит все обобщенные скорости, называется системой с полной диссипацией.

В § 2.3 было показано, что если силы, действующие па систему материальных точек, потенциальны, то обобщенные силы Qt определяются формулами (2.18), где потенциальная энергия П системы зависит от обобщенных координат ^i, q^ ..., qn и, вообще говоря, от времени t.

Предположим, что с каждой точкой реального трехмерного- пространства связан вектор, изображающий силу, которая действовала бы на находящуюся в этом месте материальную точку. Таким образом, мы получаем векторное поле, которое называется силовым полем. Силовое поле называется стационарным, если рассматриваемые силы не зависят явно от времени. В противном случае силовое поле называется нестационарным. Рассмотрим стационарное силовое поле и вычислим работу сил этого поля от точки Мо до точки М\ вдоль некоторого пути. В результате пом

лучим Л01 = f F-tir. В общем случае эта работа будет завило

сеть как от положения точек Мо и MXl так и от пути интегрирования. Если эта работа не зависит от пути интегрирования, та силовое поле называется потенциальным. Тогда, зафиксирован положение точки MOl нетрудно видеть, что работа сил потенциального поля является вполне определенной функцией координат х, у, z точки М. Эта функция, называемая потенциальной энергией, определяется формулой

мм

ТЦх^г) —— [ F-dr =— J (Fx dx + Fy dy + Fz dz), (3.1Q

4Mo

где путь интегрирования может быть выбран произвольным. Переходя в (3.11) к обобщенным координатам, получаем потенциальную энергию как функцию обобщенных координат.

Пример 3.2. Найдем потенциальную энергию системы в поле силы тяжести, рассмотренную в примере 2.3 и изображенную на рис. 2.3. Переменные si, х2, х^ s4, определяющие положения грузов А, В, С, D, связаны условием нерастяжимости нити

51 + 2^2 + 2^3 + 54 = const.

Поэтому в качестве трех обобщенных координат можно выбрать, например, «1, х2, жз- В этом случае согласно (3.11) выражение потенциальной энергии имеет вид м

П = — f [Р ds sin а + Р dx + Р dx — Р sin р (ds + dx + ^dx )1 =

I u J- J.и ио о\ АиО/ J

51X2

j (P, sin а — P4 sin 0) ds, + [ (P2 — 2P4 sin 0) dx^ 4-

+ J (P3 - 2P4 Sin P) dX3+ J (P3 - 2P4 Sin P) dX3X20

+ J (P3 - 2P4 Sin P) dX3

+ J (P3 - 2P4 Sin P) dX3

= (P4 sin P ~ Px Sin “) «j + (2P4 Sin P — P2) ж2 +

+ (2P4sin р-Рз)Яз+с.

подве- конец с точ-подве- конец с точ-кой С, расположенной на одинаковой высоте с шарниром А в направлении.кой С, расположенной на одинаковой высоте с шарниром А в направлении.перпендикулярном к оси шарнира. Расстояние АС = 2Z; длина расслабленной пружины равна I. Найти выражение потенциальной энергии системы.Согласно обозначениям на рис. 3.1 единственной обобщенной координатой рассматриваемой системы является угол ф. Потенциальная энергия состоит из потенциальнойперпендикулярном к оси шарнира. Расстояние АС = 2Z; длина расслабленной пружины равна I. Найти выражение потенциальной энергии системы.Согласно обозначениям на рис. 3.1 единственной обобщенной координатой рассматриваемой системы является угол ф. Потенциальная энергия состоит из потенциальнойэнергии П1 стержня в поле силы тяжести иэнергии П1 стержня в поле силы тяжести иПример 3.3. Тонкий однородный стержень массы т, длины I шен на горизонтальном шарнире А в поле силы тяжести. Другой стержня В соединен при помощи невесомой пружины жесткости к

подве- конец с точ-

подве- конец с точ-

кой С, расположенной на одинаковой высоте с шарниром А в направлении.

кой С, расположенной на одинаковой высоте с шарниром А в направлении.

перпендикулярном к оси шарнира. Расстояние АС = 2Z; длина расслабленной пружины равна I. Найти выражение потенциальной энергии системы.

Согласно обозначениям на рис. 3.1 единственной обобщенной координатой рассматриваемой системы является угол ф. Потенциальная энергия состоит из потенциальной

перпендикулярном к оси шарнира. Расстояние АС = 2Z; длина расслабленной пружины равна I. Найти выражение потенциальной энергии системы.

Согласно обозначениям на рис. 3.1 единственной обобщенной координатой рассматриваемой системы является угол ф. Потенциальная энергия состоит из потенциальной

энергии П1 стержня в поле силы тяжести и

энергии П1 стержня в поле силы тяжести и

потенциальной энергии П2 пружины, т. е.

П = Пх + П2 = — I mg dx 4- -^ к (СВ — 1^ — — mgxD + у & (СВ— Z)2-|-conste.

хо

Координаты соответствующих точек нетрудно выразить через ф: ( I I

В (I sin ф, I cos ф), С {0, 2Z), D <*2* sin ф, cos ф Отсюда

П = *2 ^ (Т/5 — 4 cos ф — 1)2 — у mgl sin ф.

Уравнения Лагранжа второго рода в общем случае

Уравнения движения несвободной голономной системы в обобщенных координатах мы получим из общего уравнения динамики (2.28). Приступая к выводу, следует прежде всего определить наименьшее число параметров, характеризующих положение рассматриваемой системы материальных точек, затем выбрать обобщенные координаты. Они должны удовлетворять условиям — однозначно определять положение системы и быть между собой независимыми. В остальном выбор обобщенных координат вообще произволен. Однако весьма важен удачный выбор этих координат. Слово «удачный» нужно понимать в том смысле, что уравнения движения при таком выборе получают наиболее компактный вид. Например, для плоского математического маятника наиболее удачной обобщенной координатой является угол ср. Для сферического маятника (рис. 1.6) такими координатами будут 0 и ср.

Выбрав обобщенные координаты дщ g% ..., Qn кп — число обобщенных координат), следует далее выразить декартовы координаты точек системы через эти обобщенные координаты, т. е. получить функции

х.-х-Дль qi, q„, г), yv = yv(qi, 92, ..., q™, t), ^ = ^qv q2, ..., qn, f) (v = 1, 2, 3, ..., 2V). ' '

Отсюда получается эквивалентная зависимость (1.29)

rv = rv(^h ^2, ..., q^ t)

(rv— радиус-вектор v-й точки).

В соответствии с (1.33) можно записать

=(v = 1,2,

Подставляя это выражение для 6rv в общее уравнение динамики (2.28), получим

Л7п у

^ (Fv — mvwv) • 2 ^ 8^ = °’

V=11=1 1

или, меняя порядок суммирования,

n N

2 8^ 2 (Fv — mvWv) -^ = 0.

2=1V=1Чг

Так как вариации обобщенных координат могут выбираться независимо друг от друга, то полученное равенство будет выполняться только тогда, когда коэффициенты при 6^1, 6^2, • •., 6qn будут равны нулю, т. е.

Ndr

2 (Fv — mvwv) ^ = 0 (i - 1, 2, ..., n).(3.13)

V=1г

Вспомнив, что обобщенные силы выражаются формулой (1.34)

N д

Ci=2FvS ki = V^...,nY

V=12

перепишем выражение (3.13) в виде

Ndr

'^1m<w^~ = Qs. (i = 1, 2, . ..,/г).(3.14)

v=l

Выражение, стоящее под знаком суммы, преобразуем следующим образом:

m'vWv‘87i =~dt ‘=— ^"dt ^J' (3-15)

На основании (1.29) имеем

dr dr • drv-drv ■8rv •8r^.

Vv = 1л = d^ qi + ^ + ' •' + ^ qi + ' •' + э^ь + "di1 (ЗЛ6)

Так как частные производные

8^, grv 8rv drv

89^ 8q^’ - -3q^ at

являются функциями обобщенных координат и времени, то дифференцируя (3.16) по ф-, найдем

(3.17)(3.17)—r =(i = 1, 2, . .., n).

(3.17)

(3.17)

99 i41

Продифференцировав выражение (3.16) no qtl получим

5vv _ 52rv ■ 89г ~ 8Чг oqY 91С другой стороны, а / дГу \ _ d2rv dt \ d9i / ~" 8q18qi5vv _ 52rv ■ 89г ~ 8Чг oqY 91С другой стороны, а / дГу \ _ d2rv dt \ d9i / ~" 8q18qiS2rv ",, d2rv '।dqt 8q^ ^2 + " ' + dqt dqn ^пS2rv ",, d2rv '।dqt 8q^ ^2 + " ' + dqt dqn ^п41 9Чй8Чг41 9Чй8Чг5 Г^"^^75 Г^"^^7Vdqг dt ‘Vdqг dt ‘q" + at dqi •q" + at dqi •

5vv _ 52rv ■ 89г ~ 8Чг oqY 91

С другой стороны, а / дГу \ _ d2rv dt \ d9i / ~" 8q18qi

5vv _ 52rv ■ 89г ~ 8Чг oqY 91

С другой стороны, а / дГу \ _ d2rv dt \ d9i / ~" 8q18qi

S2rv ",, d2rv '।

dqt 8q^ ^2 + " ' + dqt dqn ^п

S2rv ",, d2rv '।

dqt 8q^ ^2 + " ' + dqt dqn ^п

41 9Чй8Чг

41 9Чй8Чг

5 Г^"^^7

5 Г^"^^7

V

dqг dt ‘

V

dqг dt ‘

q" + at dqi •

q" + at dqi •

Следовательно,

(3.18)(3.18)a / dr \ doat I dqi I ~ Bq^ '

(3.18)

(3.18)

Подставляя соотношения (3.17) и (3.18) в выражение (3.15) будем иметь )

8rv а / dv \Sv

m^-^7 = "aF ^vVv-7^ j “ m^"^7 =

аdtаdta / Vvя- I 294i Va / Vvя- I 294i Va / mvyv 5?i V 2a / mvyv 5?i V 2. (3.19). (3.19)

аdt

аdt

a / Vv

я- I 2

94i V

a / Vv

я- I 2

94i V

a / mvyv 5?i V 2

a / mvyv 5?i V 2

. (3.19)

. (3.19)

Но так как

IV 2

(3.20)(3.20)V Wvyv ^2

(3.20)

(3.20)

есть кинетическая энергия материальной системы, то

a / ат \ ат ~a / ат \ ат ~.,п\.,п\(3.21)(3.21)

a / ат \ ат ~

a / ат \ ат ~

.,п\

.,п\

(3.21)

(3.21)

Полученные уравнения называются уравнениями Лагранжа второго рода. Производные от обобщенных координат qx, qa, ..., q»

on ди

называются обобщенными скоростями. Уравнения Лагранжа второго рода не содержат реакций идеальных связей, что делает их удобными для практического использования. Таким образом, в общем случае каких угодно активных сил и при наличии идеальных связей движение материальной системы определяется п уравнениями Лагранжа второго рода (3.21).

Для составления левых частей этих уравнений следует выразить кинетическую энергию через обобщенные координаты и обобщенные скорости. Обобщенные силы, стоящие в правых частях этих уравнений, могут быть найдены или непосредственно по формулам (1.34), или как коэффициенты при вариациях обобщенных координат в выражении для виртуальной работы (1.35).

Система уравнений Лагранжа второго рода представляет собой систему п обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка относительно обобщенных координат. Интегрирование этих уравнений дает нам обобщенные координаты ^i, 52, ... ..., q^ как функции времени и 2м произвольных постоянных интегрирования. Далее на основании формул (3.12) можно получить декартовы координаты в зависимости от времени t и 2м произвольных постоянных интегрирования.

Если бы рассматриваемая материальная система была свободной, решение дифференциальных уравнений ее движения содержало бы 2 • 3N = 6N произвольных постоянных (N — число материальных точек). Следовательно, решение уравнений несвободной системы не досчитывает 6У — 2м = 2 (ЗУ — м) = 2k постоянных интегрирования. Это произошло потому, что задача решалась при наперед заданных 2k интегральных формулах, именно к уравнениях связей и к тех соотношениях, которые можно получить путем однократного дифференцирования этих уравнений связи; соответственно с этим и понизилось число необходимых актов интегрирования на 2к. Поэтому для задачи о движении несвободной системы полученное решение, содержащее 2м произвольных постоянных, является окончательным, исчерпывающим все варианты в задании начальных условий.

Замечание. При применении уравнений Лагранжа второго рода к задачам на относительное движение, а также к задачам с нестационарными связями кинетическую энергию материальной системы следует вычислять в инерциальной системе координат; при нахождении обобщенных сил нужно исходить из того, что связи считаются мгновенно остановленными.

Примеры на составление уравнений Лагранжа второго рода

Пример 3.4. Составить уравнение движения физического маятника, представляющего собой однородный диск массы М и радиуса г, жестко прикрепленный своим краем к концу Л стержня длины I. Другой конец О стержня является точкой подвеса (рис. 3.2). Массой стержня пренебречь.

Рассматриваемая система имеет одну степень свободы. За обобщенную координату примем угол q = ф.

Координатами центра тяжести диска хс и ус будут

хс = (^ + г) cos ф, ус = (I + г) sin (р.

Кинетическая энергия равна

Тг * 2

Т=^М -

где /о = 1с + М(1 + г)2 есть момент инерции маятника относительно точки

подвеса (1с — момент инерции дискаподвеса (1с — момент инерции дискаотносительно его центра). Так какотносительно его центра). Так как

подвеса (1с — момент инерции диска

подвеса (1с — момент инерции диска

относительно его центра). Так как

относительно его центра). Так как

/с=^,ГО/0 = 4[г" + 2(г + г)Ч.

Согласно формуле (1.34) обобщенная сила

О = X = — Mg (I + г) sin ф.

Имея в виду, что

получимполучим■^ = /оф. 5- = о, аФ 5<р■^ = /оф. 5- = о, аФ 5<р

получим

получим

■^ = /оф. 5- = о, аФ 5<р

■^ = /оф. 5- = о, аФ 5<р

илиили/оф = —Mg(l + г) sin ф,/оф = —Mg(l + г) sin ф,

или

или

/оф = —Mg(l + г) sin ф,

/оф = —Mg(l + г) sin ф,

,2^(Z + r) ..

ф + —9у sin ф = 0.

1r2+2(Z+r)2 Т

Приведенная длина такого маятника равна

Z - r2 + 2(Z + r)2

12(Z + r) 1

Пример 3.5. Составить уравнение движения математического маятника, точка О\ подвеса которого совершает гармонические колебания в вертикальной плоскости вдоль прямой, наклоненной под углом а к горизонту (рис. 3.3).

5 н. В. Бутенин, Н. А. Фуфаев

Пусть 00х = a sin tot. За обобщенную координату возьмем угол q = ^ Координаты точки М зависят от ср следующим образом:

х = I cos ф — ООХ sin а = I cos ф — a sin tot sin а,

у = I sin ф + ООХ cos а = I sin ф + а sin tot cos а. Так как

х = —I sin ф • ф — ato cos tot sin a,у = l cos ф • ф + ato cos tot cos a,

то скорость точки M определяется из условия

г?2 = ж2 -|- у2 = /2ф2 4- 2l^ato cos tot cos (ф — a) 4- «2w2 cos tot. Следовательно, кинетическая энергия будет равна

^L_ = ml2^ + mlato cos tot cos (ф — a)f дфат •= — ml^ato cos tot sin (ф — a).Виртуальная работа равна6Л = mg^x = —mgl sin ф бф.^L_ = ml2^ + mlato cos tot cos (ф — a)f дфат •= — ml^ato cos tot sin (ф — a).Виртуальная работа равна6Л = mg^x = —mgl sin ф бф.7 = у /п [/2ф2 4- 2/фао) cos tot cos (ф — a) + a2 a? cos2 cot]. Отсюда

^L_ = ml2^ + mlato cos tot cos (ф — a)f дф

ат •

= — ml^ato cos tot sin (ф — a).

Виртуальная работа равна

6Л = mg^x = —mgl sin ф бф.

^L_ = ml2^ + mlato cos tot cos (ф — a)f дф

ат •

= — ml^ato cos tot sin (ф — a).

Виртуальная работа равна

6Л = mg^x = —mgl sin ф бф.

Следовательно, обобщенная сила

Q = —mgl sin ф.

Составим теперь уравнение Лагранжа второго рода:

{ml2cp 4- mlato cos tot cos (ф — a)] +

ml фасо cos tot sin (ф — a) = — mgl sin ф, откуда

ml2^ — mlato2 sin co£ cos (ф — a) 4- mgl sin ф = 0 или

• • a 2g

ф — у co sin tot cos (ф — a) + у sin ф = 0.

Для малых ф это уравнение имеет вид

ф 4- ^у — -у 0)2 sin a sin tot^ ф = у w2 cos a sin tot.

Пример 3.6. Составить уравнения движения центробежного регулятора, схема которого представлена на рис. 3.4. Точечные грузы Мх и М^ имеют массы, равные т. Масса муфты Л равна М. Массой стержней, длина которых I, пренебречь. Угловая скорость вращения регулятора постоянна и равна со. Трением пренебречь.

Рассматриваемая система состоит из трех тел: точек Мх и М2 и муфты А. Число степеней свободы равно единице. За обобщенную координату примем угол ф.

В неподвижной системе координат Oxyz и муфты А будут соответственно

xi = I cos ср, у\ = I sin ф cos ^t + а), ж2 = I cos ф, у2 = —I sin ф cos (<о^ + а), х^ = 2Z cos ф, уз = О,

координатами точек Mi и М2координатами точек Mi и М2zi = I sin ф sin (<oZ + а), z2 = —I sin ф sin (odZ + а), z3 = 0,zi = I sin ф sin (<oZ + а), z2 = —I sin ф sin (odZ + а), z3 = 0,где а — угол, который образует плоскость регулятора с неподвижной плос

координатами точек Mi и М2

координатами точек Mi и М2

zi = I sin ф sin (<oZ + а), z2 = —I sin ф sin (odZ + а), z3 = 0,

zi = I sin ф sin (<oZ + а), z2 = —I sin ф sin (odZ + а), z3 = 0,

костью ху в начальный момент времени. Скорости точек Mv и М2 и муфты А соответственно определяются соотношениями

у2 = а;2 у 2 z2 _ ^2 _|_ ^2 gj^^

У2 " Ж2 + У2 + ^ — ^2ф2 + ^^ 5Ш2ф,

Pg = 4Z2 ф2 8Ш2ф.

Кинетическая энергия системы будет равна

Т = Z2(m + 2М sin2 ф)ф2 + ml2a2 sin2 ф.

Отсюда

ЭТ.

—г = 2l2 (m + 2М sin2 ф) ф,

<9ф

-^- = 4М12 sin фсозф-ф2 + 2ml2a? sin ф cos ф.

Виртуальная работа равна

6Л = mg 6^1 + mg бж2 + Mg бж3 = (—mgl sin ф — mgl sin ф — 2Mgl sin ф)бф,

и следовательно,

Q = —-2gl(m + M) sin ф.

Составим уравнение Лагранжа

(m + 2М 8]'п2ф) ф + 2Мф2 sin ф cos ф — та? sin ф cos ф — — ~ / m 4- М^ sin ф.

5*

Регулятор будет находиться в положении относительного равновесия, ее- ли ф = 0, ф — 0. Это будет при *)

COS фА — —Тл.

Для того чтобы получить уравнение малых колебаний центробежного регулятора около состояния относительного равновесия (стационарного вращения), введем в рассмотрение новую координату ф, определяемую равенством

ф = фо + ф.

Тогда

sin (фо + ф) = sin фо cos ф + cos ф0 sin ф,

cos (фо + ф) = cos фо cos ф — sin фо sin ф.

Для малых ф

sin (фо + Ф) « sin фо + ф cos ф0,

cos (фо + ф) « cos фо — ф sin ф0.

Подставляя этиПодставляя этивыражения в уравнения движения и сохраняя только линейные члены относительно ф, ф, будем иметьвыражения в уравнения движения и сохраняя только линейные члены относительно ф, ф, будем иметьm«? зт2ф0m«? зт2ф0гдегдеm -J- 2М sin2 ф0m -J- 2М sin2 ф0Sin^Q = 1 —Sin^Q = 1 —ф = 0,ф = 0,[ (m + М) g Р[ (m + М) g Рmlti?mlti?Пример 3.7. Составить уравнения движения для системы, состоящей из груза А массы М, движущегося без трения по наклонной плоскости, образующей с горизонтом угол а, и прикрепленного к нему математического маятника. Масса груза маятника равна т, нить невесома и имеет длину I. К грузу А прикреплена пружина (рис. 3.5) жесткостью с, другой конец которой закреплен в неподвижной точке.Пример 3.7. Составить уравнения движения для системы, состоящей из груза А массы М, движущегося без трения по наклонной плоскости, образующей с горизонтом угол а, и прикрепленного к нему математического маятника. Масса груза маятника равна т, нить невесома и имеет длину I. К грузу А прикреплена пружина (рис. 3.5) жесткостью с, другой конец которой закреплен в неподвижной точке.Рассматриваемая координаты выберемРассматриваемая координаты выберемсистема имеет две степени свободы. За обобщенные расстояние § вдоль плоскости от груза А до точкисистема имеет две степени свободы. За обобщенные расстояние § вдоль плоскости от груза А до точкистатического равновесия пружины и угол ф, образуемый маятником с вертикалью. Координатами центра масс груза А и координатами точки В соответственно будут (начало координат помещено в точку статического равновесия)статического равновесия пружины и угол ф, образуемый маятником с вертикалью. Координатами центра масс груза А и координатами точки В соответственно будут (начало координат помещено в точку статического равновесия)

Подставляя эти

Подставляя эти

выражения в уравнения движения и сохраняя только линейные члены относительно ф, ф, будем иметь

выражения в уравнения движения и сохраняя только линейные члены относительно ф, ф, будем иметь

m«? зт2ф0

m«? зт2ф0

где

где

m -J- 2М sin2 ф0

m -J- 2М sin2 ф0

Sin^Q = 1 —

Sin^Q = 1 —

ф = 0,

ф = 0,

[ (m + М) g Р

[ (m + М) g Р

mlti?

mlti?

Пример 3.7. Составить уравнения движения для системы, состоящей из груза А массы М, движущегося без трения по наклонной плоскости, образующей с горизонтом угол а, и прикрепленного к нему математического маятника. Масса груза маятника равна т, нить невесома и имеет длину I. К грузу А прикреплена пружина (рис. 3.5) жесткостью с, другой конец которой закреплен в неподвижной точке.

Пример 3.7. Составить уравнения движения для системы, состоящей из груза А массы М, движущегося без трения по наклонной плоскости, образующей с горизонтом угол а, и прикрепленного к нему математического маятника. Масса груза маятника равна т, нить невесома и имеет длину I. К грузу А прикреплена пружина (рис. 3.5) жесткостью с, другой конец которой закреплен в неподвижной точке.

Рассматриваемая координаты выберем

Рассматриваемая координаты выберем

система имеет две степени свободы. За обобщенные расстояние § вдоль плоскости от груза А до точки

система имеет две степени свободы. За обобщенные расстояние § вдоль плоскости от груза А до точки

статического равновесия пружины и угол ф, образуемый маятником с вертикалью. Координатами центра масс груза А и координатами точки В соответственно будут (начало координат помещено в точку статического равновесия)

статического равновесия пружины и угол ф, образуемый маятником с вертикалью. Координатами центра масс груза А и координатами точки В соответственно будут (начало координат помещено в точку статического равновесия)

^1 = § sin a, yi = £ cos а,

#2 = ^1 + Z cos Ф = § sin а + I cos ф, у2 = У1 + ^ sin ф = £ cos а + I sin ф^

Кинетическая энергия системы равна

Т = ^М (ж2 + у,2) + у т(а?2 + у^) =

= уМ^2 + у m [ j2 + /2ф2 4-2£гфсО8 (ф + а)].

*) Это значит, что равновесное положение возможно, если со2 *> mA-М

ml g*

Отсюда

= (М + т) g + mZcp cos (ф + а), si

-^£-= 0, -^-= mZ\p + ™jz cos (ф + а)> дф ЭТ • -

-д^ =—тУ<р sin (ф + а).

Найдем обобщенные силы. Сила, действующая на груз А со стороны пружины, равна F = с | g + X |, где X — статическое удлинение пружины, равное (ЛГ 4~ ^) £ sin а

Следовательно, 6Л = —e(g + X) sin a 6a?i — c(g + X) cos a 6yi + Mg Ьх\ + nig 622 = = [—e(g + X) + (M + th?) g sin a]6g — mgl sin ф 6ф.

Отсюда

Ci = c(g + ^) + (M + m)g sin a = —eg, Q2 = —mgl sin ф.

Уравнениями Лагранжа будут

-^ [(М + т) g + т1ф cos (ф + a)] = — eg,

^- {т12ф 4- my cos (ф + a)] + тУф sin (ф + a) = — mgl sin ф, или

(M + m) g + т1ф cos (ф + a) — т1ф2 sin (ф + a) = —eg,т12ф + rzzg Z cos (ф 4- a) = —mgl sin ф.

Уравнения Лагранжа второго рода

в случае потенциальных сил. Первые интегралы движения

Напомним, что обобщенные силы называются потенциальными, если существует функция

П = П(дь q2, q^ t),(3.22)

частными производными от которой по обобщенным координатам, взятыми с обратным знаком, являются эти силы, т. е.

=G = l,2,(3.23)

Функция (3.22) называется потенциальной энергией.

Используя формулу (3.23), перепишем уравнения (3.21) в виде

а ( ат \ _ ат ап

dt \^i/dqi*

Введем в рассмотрение функцию

L = T~II,(3.24)

которая называется функцией Лагранжа или кинетическим потенциалом. Так как потенциальная энергия от обобщенных скоростей не зависит, то

^0 8qt^0 8qtУ = 1,2и),У = 1,2и),

^0 8qt

^0 8qt

У = 1,2и),

У = 1,2и),

d / dL \\ 8qdd / dL \\ 8qdи следовательно, уравнения Лагранжа могут быть записаны в виде

d / dL \

\ 8qd

d / dL \

\ 8qd

^ = 0 (i = l,2,(3.25)

Из структуры уравнений (3.25) видно, что если вместо функции L выбрать другую функцию LY = L + ^/(^i> #2’ • ••’ ^, t^ где / — любая функция обобщенных координат и времени, то функция L\ тоже будет удовлетворять уравнениям (3.25). То же самое будет, если вместо L взять L\ = cL, где с — любое постоянное число, кроме нуля. В самом деле, рассмотрим функцию п

L = cL + -L f^, q2, ..^qn^-cL+^-^-qtA- ^- и про- 1—1 Чг

делаем над ней операции, необходимые для составления уравнений Лагранжа второго рода

9ЬгdLdf

— С—7- +89k8qhqk

— 2Ek48L_ ,у g2/ 1 .d2/

8qh ° dt 8qh 616qk9q^4' Sq^ St '

2£1 — 8L у g2/'d2/

8 9k “ ° 81k + ^ 8qh 8q^ 4i 8qk dt ‘

Вычитая из второго соотношения третье, получаемa 9La dbA / а аь аь \dt 8qh 8qk8qh"~8rky

что и требовалось доказать.

Пример 3.8. Составить уравнения (3.25) для материальной системы, схема которой представлена на рис. 3.6. Прямая, по которой движутся грузы MVl М^ и М^ абсолютно гладкая. Массы грузов соответственно равны mXl т2 и т3, а жесткости пружин ci, с2 и с3.

За обобщенные координаты примем расстояния грузов от положения, при котором все пружины находятся в ненапряженном состоянии. Пусть

71 = ^1, 72 = ^2, 7з = ^з- Кинетическая и потенциальная энергии соответственно равны

.1 .1 .

Т = у + у ™2Ж2 + 1 тА

п = у с^ + у сг (^ - Ж,)2 + у с3 (^ -х^.

Составим функцию Лагранжа L = Т — П и найдем 6L • dL • dL •

-с2(жз — жз)’

dL

dx^3 \ 32/

Следовательно, уравнения (3.35) для рассматриваемого случая будут иметь вид

Ш\Х\ + С1Х1 — С2(х2 — Ж1) = О,

^2^2 + ^2 (^2 ~ #1) — ^з(^3 — ^2) = О, ^3X3 + С^Х^ — Ж2) = 0.

Пример 3.9. Составить уравнения движения материальной системы, состоящей из двух тяжелых однородных стержней равной длины Z, шарнирно соединенных между собой в точке Л (рис. 3.7). Конец одного стержня

Рис. 3.7

шарнирно укреплен в неподвижной точке О; конец другого стержня шарнирно укреплен в центре однородного диска радиуса г и массы М. Диск катится без скольжения. Центр В диска соединен с неподвижной точкой D пружиной жесткости с. Пружина находится в ненапряженном состоянии при вертикальном положении стержней. Масса каждого из стержней ш.

Рассматриваемая система имеет одну степень свободы. За обобщенную координату примем угол ф (угол между осью х и стержнем ОА), т. е. у = ф. Запишем координаты центра масс стержня ОА

II

^ = 2 cos Ф, ^1 — у sin Ф*

стержня АВ

II3

^2 = "У cos Ф’ У2 = Z sin ф + у sin ф = у Z sin ф,

диска (точки В^

хг = 0, уз = 2Z sin ф

(так как О А = АВ = Z). Кинетическая энергия системы равна*)

7 = у /0Ф + у ^^2 + "2 ^Ф + "2 ^ув + У ^в^'

где 70 — момент инерции стержня О А относительно точки О, I — момент инерции стержня АВ относительно его центра масс, 1в — момент инерции диска относительно его центра, со — угловая скорость диска. Найдем теперь t^ ^в и угловую скорость co диска. Очевидно, что

У2 = Ж2 + У» =^ + 8 COs2 ’

е 9*29^ R2Z *

у2=4г^ф cos ф, (о = —=—фсоэф.

гг

Таким образом,

Т = у (К + N cos2 ф) ф2,

где2

К = 1-1-1-= Lml\ N = 2mZ2 + 6MZ2 = 2Z2 (m + ЗЛ/),

так как

, Mr2 , __ ml2 ml2в 2“’ о Г’ "12"*

Потенциальная энергия равна

П = — mgx1 — mgx2 4- у су^ = — mgl cos ф + 2cZ2 sin2 ф.

Составим функцию Лагранжа

L = T — П = у (^ + Л" соэ2ф) ф2 + mgl cos ф — 2cZ2 sin2 ф.

Далее находим

1^. = (A4-ZVcos2<p)q),

<9ф

..— = — N cos ф sin ф ф2 — mgl sin ф — М2 sin ф cos ф, дф

Напишем теперь уравнение движения

-^- [(^ + N cos2ср) ф] + Аф2 cos ф sin ф + TngZsin ф + 4cZ2 sin ф cos Ф = О,

или

(К + N cos2 ср) ф — Жр2 cos ф sin ср + 4cl2 sin ф cos ф + mgl sin ф = 0.

Если угол ф мал, т. е. если можно пренебречь членами, содержащими ф и ф в степени выше первой, то

(К + ^)ф + (4cl2 + mgl^ = 0,

равенравент. е. система будет совершать гармонические колебания, период которых

равен

равен

K-VN = 2^ Л 2(4^ + 9М) I4с^ 4- mgl ' 12cZ + 3mg

Пример 3.10. Составим уравнения движения материальной точки массы т относительно Земли, происходящего под действием ньютоновской силы притяжения. Землю будем считать однородным шаром.

Введем в рассмотрение систему координат Оху%, имеющую начало

в центре Земли, причем ось z направим по оси вращения Земли. Считаем, что эта система не участвует во вращательном движении Земли. Движение по отношению к этой системе координат будем называть абсолютным. За обобщенные координаты примем qx = г, q2 = a, qs = Р, где г — расстояние точки М от центра Земли, а — долгота в абсолютном движении, р — геоцентрическая широта (рис. 3.8). Декартовы координаты материальной точки связаны со сферическими при помощи формул

х = г cos р cos а, у = г cos р sin а,z = г sin р.

Кинетическая энергия выражается:

Т = "2 ™ (я2 + Z/2 + 2) = -^ т (г2 + r2p2 + r2a2 cos2p).

Потенциальная энергия равна [11] П = —т^2/г, где ц2 = gR2. Таким образом, функция Лагранжа

L = < m (;2 т ^2 т rV cos2p) + V..2г

Вычислим производные от L

dL . dL • 2• 2 о W2

—- = тг,=+ mra cos В — —— ,

0Lп • ОЬо • 2

—^=тг р, "^р" = —mr a cos Р sin р

и составим уравнения (3.25)

г — r(p2 + «2cos2p)(3.26)

mr2a cos2 ^ = сь(3.27)

-^-(r2p)+4r2a2sin2p=0(3.28)

(с i — постоянная интегрирования). Так как движение происходит под действием центральной силы, то момент количества движения точки является постоянной величиной. Найдем проекции момента количества движения на оси ж, у, 2

Кх = т^ут, — су) = mr2(p sin ос — ос cos a sin р cos р),

Ку = т^х — же) = -тг2^ cos а + а sin ос sin р cos р),

Кг = т^ху— уж) = тг2 а cos2 р.

Отсюда видно, что уравнение (3.27) выражает постоянство момента количества движения точки относительно оси я. Модуль момента количества движения равен

K- = VK^K^Kl = ta?V р2 +а2 005^ = ^ = const. (3.29)

Как известно, движение точки под действием центральной силы происходит в плоскости, перпендикулярной к вектору момента количества движения. В самом деле, по определению Ко = г X ^v, где г — радиус-вектор,

проведенный из центра Земли к рассматриваемой материальной точке. Умножая левую и правую часть этого равенства на г скалярно, получим Ко • г = — О, т. е. уравнение плоскости, перпендикулярной к вектору Ко и проходящей через центр шара. Движение точки происходит в плоскости, проходящей через центр шара. Линию ОК пересечения этой плоскости с экваториальной плоскостью называют линией узлов (рис. 3.9). Обозначим через Q угол между линией узлов и осью ж, через г — угол между экваториальной плоскостью и плоскостью движения

_ пточки В плоскости движения поло-

Рис. 3.9жение точки определяется радиусом г

и углом ф. В полярных координатах г и ф момент количества движения точки выражается формулой

(3.30)(3.30)(3.31)(3.31)К = тг2^ = с2.

(3.30)

(3.30)

(3.31)

(3.31)

Следовательно, в соответствии с формулой (3.29)

Р2 + a2 cos2 р = ф2.

Уравнение (3 26) движения точки при этом будет

... 2

Г — Гф

и2 г2

(3.32)

С помощью замены и = 1/г и соотношения г2ф = с (интеграл площадей) это уравнение преобразуется к виду

гдегдеd^u d^*d^u d^*1и — — (уравнение Бине),1и — — (уравнение Бине),(3.33)(3.33)2 С Р = “ГИ2 С Р = “ГИ

где

где

d^u d^*

d^u d^*

1

и — — (уравнение Бине),

1

и — — (уравнение Бине),

(3.33)

(3.33)

2 С Р = “Г

И

2 С Р = “Г

И

Решая это уравнение, получим

1

и = a cos (ф + е) + ~,

где а и е — постоянные интегрирования. Так как и = 1/г, то

(3.34)(3.34)Р

(3.34)

(3.34)

1 + е cos (ф+ е) ’

где е = ар.

Полученная зависимость представляет собой уравнение конического сечения ).

Переходя к вопросу об интегрировании системы дифференциальных уравнений (3.25), остановимся сначала на понятии интеграла движения.

(3.35)(3.35)По определению уравнение

(3.35)

(3.35)

/(9ь 92, ..., 9", 91. 92, • • •, 9". О = Ci

называется интегралом системы дифференциальных уравнений (3.25) или просто интегралом движения, если при подстановке вместо qi, q^ .. ., qHl q^ @2, . .., qn решения системы (3.25) функция / обращается в постоянную. Поскольку интеграл движения (3.35) содержит одну произвольную постоянную, это соотношение иногда называют первым интегралом. Таким образом, может существовать несколько первых интегралов. Произвольные постоянные первых интегралов определяются из начальных условий. Отсюда следует, что система дифференциальных уравнений (3.25) может иметь не более 2п независимых первых интегралов.

Первые интегралы уравнений Лагранжа второго рода бывают двух видов: обобщенный интеграл энергии и циклические интегралы. Рассмотрим их последовательно и установим условия, при которых эти интегралы имеют место.

Предположим, что функция Лагранжа (кинетический потенциал) голономной системы является функцией обобщенных координат, обобщенных скоростей и времени, т. е.

L = L(qt, qb t) (^ = 1, 2, 3, ..., n). (3.36)

dL dtdL dtИз уравнений (3.25) следует, что dL d / dL \,. д ex^i 4t \8qJИз уравнений (3.25) следует, что dL d / dL \,. д ex^i 4t \8qJТогдаdL 1, dL " d / dL \ •-g- qt + — qi = -^ — pi +5?i dqt dt {dqjТогдаdL 1, dL " d / dL \ •-g- qt + — qi = -^ — pi +5?i dqt dt {dqjBL ” dBL ” d8Чг8Чгqi--diqi--diBL 1 \— ^г •BL 1 \— ^г •

dL dt

dL dt

Из уравнений (3.25) следует, что dL d / dL \,. д ex

^i 4t \8qJ

Из уравнений (3.25) следует, что dL d / dL \,. д ex

^i 4t \8qJ

Тогда

dL 1, dL " d / dL \ •

-g- qt + — qi = -^ — pi +

5?i dqt dt {dqj

Тогда

dL 1, dL " d / dL \ •

-g- qt + — qi = -^ — pi +

5?i dqt dt {dqj

BL ” d

BL ” d

8Чг

8Чг

qi--di

qi--di

BL 1 \

— ^г •

BL 1 \

— ^г •

Дифференцируя по времени функцию (3.36), получим

(3.37)(3.37)X / dL * BL \ , BL 2Л^7^ + —--ф +"уГ- ;=1 \19qi /

(3.37)

(3.37)

Теперь выражение (3.37) можно переписать в виде

dL _ d X 6L V t 9L dt dt * V ^ Bt '

i=l Bq^

или

(n \

(3.38)(3.38)V dL * T \ BL n ^Tqi-L 1 + — = 0. i=l 8qt )

(3.38)

(3.38)

/ n-15dt I ^/ n-15dt I ^Если ^L = 0, т. е. если функция Лагранжа явно от времени не зависит, то

/ n

-15

dt I ^

/ n

-15

dt I ^

= 0

и

^^-qi-L = h. i=l 8qt^^-qi-L = h. i=l 8qt(3.39)(3.39)

^^-qi-L = h. i=l 8qt

^^-qi-L = h. i=l 8qt

(3.39)

(3.39)

Это выражение называется обобщенным интегралом энергии (ин-„ , ._0L •dT •

тегралом Якоби). Вспоминая, что —г qt = -т- q^ можем 8 Чг 84i

записать

-пп

Il^qi-L=^^-ql-T + Il.(3.40)

г=1 dq^i=i Bq^

Для реономной системы кинетическая энергия выражается формулой (3.7), т. е.

Т = Т2 + 71 + Го.

Подставляя это в формулу (3.40), получим

l^-qi-L = i^Aqi + i^-T2-T1-To + n.

i=i 894i-1 »q4 i=i 8qt

По теореме Эйлера об однородных функциях имеем

дТ. •-

^= 27'2, 2-^^=^.

i=l 8qti=i 0qt

Следовательно,

2^-^-^=Т2-Т0 + П.(3.41)

г=1 dq^

Заметим, что это выражение не совпадает с полной энергией системы

Е = Т + П = Т2 + Тх + То + П.

Используя формулу (3.41), перепишем обобщенный интеграл энергии (3.39) в виде

Т2 - То + П = h.(3.42)

Итак, обобщенный интеграл энергии существует, если силы потенциальны, а функция Лагранжа явно от времени t не зависит.

Для склерономных консервативных систем, когда L явно не зависит от времени, Т = Т2 и обобщенный интеграл будет обычным интегралом

Г + П = Г2+П = й.(3.43)

Система материальных точек, обладающая обычным интегралом энергии, называется консервативной.

Пример 3.11. Шарик массы m находится внутри прямолинейной горизонтальной трубки АВ (рис. 3.10), которая равномерно вращается с угловой скоростью со вокруг вертикальной оси, проходящей через точку А. Шарик соединен с неподвижной точкой А пружиной жесткости с. Пренебрегая трением, составить обобщенный ин

теграл энергии.

Примем за обобщенную координату расстояние ж шарика от точки Л, т. е. q = = х. Так как xi = х cos оз^, yi = ж sin cof, то скорость шарика равна

Следовательно, если пренебречь массой пружины, кинетическая энергия шарика будет равна

Если х0 — длина пружины в ненапряженном состоянии, то потенциальная энергия

п-ЧГ^-^о)2-

Составим функцию Лагранжа

L = ~^~ т (х 2 + Л2) — -— (х — х^\

найдем — = тпх^ и обобщенный интеграл энергии будет иметь вид дх

Напишем теперь уравнение движения. Учитывая, что

9L 2

-^ = mtox-c^-x6Y

получим уравнение движения

с? / 8L\ dL

—тт — — т~ = тх — тпо х 4- с (х — х \ = О»

dt \8х ) 8жV о)

Перепишем это уравнение в виде

тх— ты2 х -(- с (х — х ) = 0.

йх1\ о/

После его интегрирования получим

1• о 12 29?

-у тх — —^ т^ х + -у (х — х^ = И, т. е. вычисленный выше обобщенный интеграл энергии.

Перейдем теперь к циклическим интегралам. Может случиться, что некоторая обобщенная координата, например gi, не входит явно в выражение функции Лагранжа L, но эта функция содержит явно соответствующую обобщенную скорость дь Такая координата называется циклической. Те же координаты, которые входят в выражение функции Лагранжа явно, называются позиционными координатами. Уравнение Лагранжа второго рода, соответствующее циклической координате gi, имеет вид

а [ bl \ q

непосредственное интегрирование его дает

= сР(3.44)

8<к

Для выяснения физического смысла этого интеграла допустим, что при изменении gi на величину dq^ при сохранении значений остальных координат дг, д^ ..., ^п, вся система материальных точек совершает поступательное перемещение как твердое тело. Примем направление этого перемещния за ось х некоторой неподвижной

8$^• ду • 5г \V+^v^ + Zv— =5^ 8qx 8qT /8$^• ду • 5г \V+^v^ + Zv— =5^ 8qx 8qT /dzdzдекартовой системы координат. Тогда, раскрывая левую часть интеграла (3.44), находим

8$^• ду • 5г \

V+^v^ + Zv— =

5^ 8qx 8qT /

8$^• ду • 5г \

V+^v^ + Zv— =

5^ 8qx 8qT /

dz

dz

8L

dqT

дзсdq1 ’дзсdq1 ’= 0. dqt= 0. dqtтак как в рассматриваемом случае

дзс

dq1 ’

дзс

dq1 ’

= 0. dqt

= 0. dqt

N .

Но величина 2 ^v^v представляет проекцию вектора коли- v=i

чества движения системы Q на ось х, поэтому интеграл (3.44) отображает закон сохранения количества движения системы материальных точек в проекции на ось х, вдоль которой система может смещаться как твердое тело при изменении координаты ^ь

Допустим теперь, что при изменении #i на величину dgi, при сохранении значений остальных координат, вся система материальных точек совершает вращательное движение, поворачиваясь на угол d^) вокруг некоторой неподвижной в пространстве прямой. Направим вдоль этой прямой ось z неподвижной декартовой системы координат и введем замену переменных х^ = rv cos фУ, у^ = = rv sin cpv, где dcpv = dqv. Тогда a^ = a^" = “ rvsin <pv = — y^ d^vdzv n

—- = -— = rv cos Wm = xv, — = 0 и, следовательно,

dq1 Ot^ vdqt’

ЯN

T " ^^ ^v (^vZ/v *^V^/v) Ф ^j (^V 4” yV^

dq1 y—iv=l

представляет момент количеств движения системы материальных точек относительно оси z.

Таким образом, если циклическая координата q\ является угловой переменной, то циклический интеграл (3.44) отображает закон сохранения момента количеств движения системы материальных точек относительно оси вращения системы как твердого тела при изменении угловой координаты q\.

Пример 3.12. Рассмотрим движение центробежного регулятора, изображенного на рис. 3.4, в предположении, что угловая скорость вращения о не является постоянной. Величина ф — ^ ^ d,t наряду с ср теперь оказыва- о

ется второй обобщенной координатой. Кинетическая энергия записывается в виде

Т = Z2(zn + 2М sin2 ф)ф2 + тп/2гр2 sin2 ф.(3.45)

Нетрудно убедиться в том, что потенциальная энергия рассматриваемого центробежного регулятора не зависит ни от *ф, ни от гр, поэтому, согласно выражению (3.45), переменная гр является циклической координатой. Следовательно, имеет место циклический интеграл

9L22_

- — су или т/грзш Ф = ег(3.46)

<9 гр

Поскольку гр — угловая переменная, циклический интеграл (3.46) отображает сохранение момента количества движения центробежного регулятора в проекции на ось х (см. рис. 3.4).

Уравнения Рауса. Обобщенная потенциальная энергия

В предыдущем параграфе было показано, каким образом циклические координаты приводят к интегралам движения. Но нахождение любого интеграла движения — это шаг к интегрированию дифференциальных уравнений, т. е. к решению поставленной задачи. Иногда может оказаться, что найденные первые интегралы помогают понизить порядок системы дифференциальных уравнений и тем самым упростить дальнейшее решение задачи. Именно такую цель преследует процедура составления уравнений, называемых уравнениями Рауса.

Метод Рауса заключается в одновременном исключении циклических координат из уравнений Лагранжа второго рода, при этом число уравнений движения в независимых координатах понижается на число исключенных циклических координат. Предположим сначала, что все обобщенные координаты позиционные. Тогда функция Лагранжа будет функцией всех обобщенных координат^ обобщенных скоростей и времени t, т. е.

L = L(51, 52, ..5«, 51, 52, • • •, ?п, 0;(3.47)

d / 8L \dt \^Jd / 8L \dt \^Jв этом случае мы будем иметь п уравнений Лагранжа (3.25)

d / 8L \dt \^J

d / 8L \dt \^J

-^ = ° G = 1,2,(3.48}

Для производных от L по первым г (г^п) обобщенным скоростям 91, 92, •.., 9г введем обозначение

^=Pi (г = 1,2,(3.49)

89г

где pi называются обобщенными импульсами. Тогда на основании уравнений (3.48) имеем

^ = Рг (г = 1,2,г).(3.50)

Найдем полный дифференциал от функции (3.47):

dL =dL =dL . } \ dL ‘

dL =

dL =

^-/9i + 2^^ +1г i=l d?i

Принимая во внимание формулы (3.49) и (3.50), получим

ГПГП

dL = ^ Р Ai + 2Ptdqt + 2 ^ ^ + "77 dt*

1=1i=r+i *1=1i=r+l ^7{

Так как

2 Pidqt=d 2 Ptqt — 2 <hdpt, 1=11=11=1

то будет

Ч^Р^г —L\=— ^ptdqt — 2 77 ^i + \i=l/1=1i=r+l 4^

(3.51)(3.52}(3.51)(3.52}(3.53)(3.53)rn

(3.51)

(3.52}

(3.51)

(3.52}

(3.53)

(3.53)

+ Qidpi — Z — dqt — -^ dt. 1=1г=г+1ддг

Введенную Раусом функцию

R = 2 Ptqt — L 1=1

называют функцией Рауса.

Полный дифференциал от функции Рауса имеет вид

^-2^^.+ 2 '^. + 2^.+ i=l 11i=r+i ^i=15?i

, V 8R Д- , V8R л , 8R л»+ 2 Т7 dqi + 2 d7 ^4 + "at dt‘

г=г+1 дЧг 1=1 г

Сравнивая между собой выражения (3.51) и (3.53) с учетом обозначения (3.52), получим

57?* дНдН */•/< о/Q

<3-м>

^--^,(--г + 1, Г+2,...,»). (3.55)

ддг 9qi aq^ ддг

Кроме того, анэь at at*

6 н. В. Бутенин, Н. А. Фуфаев

Из условия

^ = 0 Ц = 1,2, ...,т)

вытекает, что функция Рауса от первых г обобщенных скоростей не зависит. Подставляя теперь результаты (3.54) и (3.55) в уравнения Лагранжа (3.48), будем иметь

d / ЭН \ 9R п, л \

^7^)-57 = 0 G = r+1, .... п) (3.56)

И

g<-g. i-. — ^ ('-Мг).(3.57)

Пусть теперь первые г обобщенных координат (q\, q2, ..., q^ будут циклическими; тогда

4^ = 0 (i = l,2,г).

9rU '’ ’'

Следовательно, в соответствии с (3.50) Д = 0 (i = 1, 2, ..., г) и

Pi = ^r (i = 1,2, г)99г

будут постоянными величинами. Из уравнений (3.57) в связи с этим получим

q^’ 5г° =(3-58)

Это значит, что циклические координаты не входят в состав функции Рауса. Уравнения же (3.56), которые называются уравнениями Рауса, своего вида не изменят. Итак, нами установлено, что функция Рауса не содержит циклических координат и их производных по времени.

Для отыскания позиционных координат служат п — r уравнений Рауса (3.56). Циклические же координаты, в соответствии с (3.58), определяются по формулам

qi=^dt (i = 1, 2,..., г).(3.59)

Пример 3.13. Рассмотрим движение материальной точки, притягиваемой к неподвижному центру по закону всемирного тяготения.

Воспользуемся полярными координатами. Пусть qx = ф, q^ = г. Так как

Т = А- Ш (г'з + Г2ф2), п = — А-

(к2 — постоянная величина), то

1 /П(г"2 + г2ф2) + .^..

2г

Координата ср является циклической. Значит,

— — пгт ф = р — const.

дф

Это выражение является интегралом площадей.

Составим функцию Рауса

R = рф — _1_ m {г2 -|- г2ф2) —.

Поскольку

2г *^т? р2fe2322г *^т? р2fe232функция

2г *

^т? р2fe2

32

2г *

^т? р2fe2

32

Отсюда

6R

Т = — mr dr

Составим уравнение Рауса а

ИЛИ

(3.60>

Это уравнение служит для определения г как функции времени. Так как 9R р др пгг21

то

ф = 1 at,(3.61)

J mr

куда вместо г нужно вставить решение уравнения (3.60). Используя то, чт» ** дт dr

г = —- = г — , перепишем уравнение (3.60) в виде

at аг

(

2\

рк \

—з — Т dr mrг /

или, после интегрирования, 1р2 к2

-rmr» = --^-+—+h.(3.62)

Это выражение представляет собой интеграл энергии*).

*) Так как система консервативна, то Т + П = 7г, т. е.

-у m (г» +У2фа) — 2— = h.

Рассмотрим движения, не уходящие в бесконечность. Для таких движений, в соответствии с формулой (3.62), h < 0. Введем обозначение

И = —₽2.

Из выражения (3.62) теперь следует, что

Таким образом,Таким образом,

Таким образом,

Таким образом,

Введя обозначения Р /"Т&2р2 к4

а Г т '2р2’62тр2+4р4’

получим f г dr

Заменяя_

а — г = ]z6 cos Е, будем иметь

р (t — ;о) = J (1 — е cos ^) &Еп

где е = У б/а. Пусть Е = Eq при t = t^ тогда р (t — £0) = Е — Eq — е (sin Е — sin Ео),(3.63)

а — г где Е = arccos ——.

Уравнение (3.63) называется уравнением Кеплера.

До сих пор мы рассматривали только такие силы, для которых потенциальная энергия была функцией обобщенных координат и времени, т. е.

П = П(51, 52, .qn, t).(3.64)

Введем в рассмотрение функцию

V = V(5ь 52, ..., q„ qi, q2, ..., q«, t)(3.65)

и потребуем, чтобы уравнения Лагранжа

<мели вид

4г(^А-^ = ° 0=1-2,(3.66) где

L = T—V.(3.67)

Очевидно, что если функция V такова, что

^=4^-^ 0-1,2,.(3.68) \9qJ

то уравнения Лагранжа будут иметь вид уравнений (3.66). Функция (3.65), с помощью которой можно получить обобщенные силы по формуле (3.68), называется обобщенной потенциальной энергией.

Выясним структуру зависимости функции V от обобщенных скоростей. На основании формулы (3.68) имеем

П 9П 99

^idq^Qj з=19дгдд5 9q.dt ^г

Так как обобщенные силы явно от обобщенных ускорений не зависят, то П 9

2 Чз = 0 G = 1, 2, . .., п),

5=1 9qx dq5

т. е. обобщенная потенциальная энергия V может быть только линейной функцией от обобщенных скоростей:

У = П(9ь#)+ ^ТШ.О^ (1 = 1, 2, ..., п\ (3.69)

5=1

Используя формулу (3.69), определим вид обобщенных сил с помощью соотношения (3.68)

ОТ;dtОТ;dt- п

ОТ;dt

ОТ;dt

2 пйз + п

-5=1.

V ®i е®iV 9П5 •зпdq- ^at9q^dq: —5=13з=1 ггV ®i е®iV 9П5 •зпdq- ^at9q^dq: —5=13з=1 гг

V ®i е®iV 9П5 •зп

dq- ^at9q^dq: —

5=13з=1 гг

V ®i е®iV 9П5 •зп

dq- ^at9q^dq: —

5=13з=1 гг

Введем обозначения

ОТ. ОТ,-,

T,i-»i7"^ (!,/-!, 2,...,»).(3.70)

Очевидно, что ^ = —^4. Следовательно,

^=“^ + 2^ + ^ 0 = 1,2,(3.71)

Если функции Hi не зависят от времени, то -^ = 0 и

^=-£+2^ (i = 1,2,(3.72)

Чг 5=1

Таким образом, если функции П; не зависят явно от времени, то обобщенные силы складываются из потенциальных сил

21 ЧгзЧз •

..5=1/

Пример 3.14. Примером силы, имеющей обобщенную потенциальную энергию, является сила Лоренца, действующая на точечный заряд в электромагнитном поле [25]:

F = eF = eЕ + — X НСЕ + — X НС(3.73)(3.73)

F = e

F = e

Е + — X Н

С

Е + — X Н

С

(3.73)

(3.73)

где е — заряд, v — скорость точки, Е и Н — напряженности электрического и магнитного полей соответственно, с — скорость света. Если координаты заряда ж, у и z, то проекциями силы F на оси ж, у и z будут

Fy = еЕу + “ (z^x — kHz)'е ••

Так как

1 ОХ

Е = — grad ф — — ^, Н = rot А,

где ф — скалярный потенциал, А — векторный потенциал, то в силу того, чтогде ф — скалярный потенциал, А — векторный потенциал, то в силу того, что

где ф — скалярный потенциал, А — векторный потенциал, то в силу того, что

где ф — скалярный потенциал, А — векторный потенциал, то в силу того, что

имеем

дф е дЛх е Г • /0А^ дДА ^ /0Ах ^z\l __

Эх с 01 с [ \ ^ dy /\ 0z Ох /]

Ох с \ 0t Оу 0z ) с \ Ох Ох )

5Фе (дА , 9 А • 0А • 0А • \

= — 5—L — — —- + - х 4-—-у 4-—-z 4-

Охс \ 0t Ох оу 0z /

е /0Av •0А„. •0А7 •

(3.74>(3.74>+ -£-_2Е^4-_Уу4-^zс \ Ох 1 Ох 1 Ох

(3.74>

(3.74>

Введем функцию ев •••

V=e^ — — у-А = еф — — (жАж — уАу + zA^(^Л^

и составим выражение

а atа atЭх е ЭхЭх е Эхе (дАх * 1 А-ц * . дА • с \ дх Эх дхе (дАх * 1 А-ц * . дА • с \ дх Эх дх(3.76)(3.76)

а at

а at

Эх е Эх

Эх е Эх

е (дАх * 1 А-ц * . дА • с \ дх Эх дх

е (дАх * 1 А-ц * . дА • с \ дх Эх дх

(3.76)

(3.76)

Сравнивая между собой равенства (3.74) и (3.76), получим а_(д¥\ av

Fx~ dt \8;) дж’

аналогично можно доказать, что

Fy~dt\dy/dy’ Fz~ dt Mz)

Следовательно, обобщенная потенциальная энергия для силы Лоренца определяется формулой (3.75).

Уравнения Лагранжа первого рода.

Учет дополнительных связей и реакций отброшенных связей

До сих пор мы составляли уравнения движения системы материальных точек с идеальными связями так, что неизвестные реакции связей сразу же исключались из этих уравнений. Однако часто бывает необходимо знать величину той или иной реакции при движении системы, и тогда оказываются полезными уравнения Лагранжа первого рода. Проще всего с ними можно освоиться в декартовой системе координат.

Рассмотрим систему N материальных точек, подчиненную голо- номным идеальным связям. Дифференциальные уравнения движения точек материальной системы в координатной форме, в проекциях на оси декартовой системы координат имеют вид

ТП/^Хх У v "Р 7?^

тп^ = У v + Ry^(3.77)

TYtxT,\ — Z v I T^zv

(v = l, 2,N),

где 7?zv — масса v-й точки, yv, Fv, Zv — проекции равнодействующей активных сил, приложенной к v-й точке, 7?xv, R^ Rzv — проекции равнодействующей реакций связей, действующих на v-ю точку.

Если активные силы заданы, то система уравнений (3.77) представляет собой систему 3N уравнений с 6N неизвестными: 3N координат (#v, Ух, zv) и 3N проекций реакций связей (RXV1 Ryvi Rzv).

(3.78)(3.78)Присоединяя к этим уравнениям к уравнений связи /и (^v, yv, sv, ^)0 (ц 1, 2, .. ., Д),

(3.78)

(3.78)

будем иметь уже 37V + к уравнений. Для получения остальных ЗЛ^ — к уравнений следует учесть характер связей.

Так как связи идеальные, то проекции реакций связей, в соответствии с формулами (1.27), запишутся в виде

R - У %

Лхч — ^ Ли5;г ,Ц=1 v

R^=^4^(3-7У>

—

Д=1 v

(v = l, 2, ..., NY

Подставляя эти выражения в уравнения (3.77), получим

mvxv = X. 4- ^j Ац ?

Ц=1v

mvyv = Kv + 2(3.80)'

k n,“v,V л^

т^т,^ — Z^ + ^j Ац ^

Ц=1v

(v = l, 2, ..., NY

Присоединяя к этим SN уравнениям к уравнений связей (3.78), будем иметь ^N + к уравнений относительно ^N + к неизвестных координат x^ yVl zv и множителей Лагранжа

UW*- Ai, Аг, Аз, ..., Аь. После решения этой систе-

У мы уравнений проекции реакций могут быть у \найдены по формулам (3.79).

z т\Уравнения (3.80) называются уравнения-

\ми Лагранжа первого рода. Практическое*

Vиспользование уравнений (3.80) в системах

Тс большим количеством точек весьма затруд-

льно из-за большого числа уравнений.

^тсг

°Покажем применение этих уравнений на приме-

Рис. 3.11ре системы с одной степенью свободы. Пусть мате

матический маятник совершает движение в вертикальной плоскости ху (рис. 3.11). Уравнения связей имеют в этом случае вид

/1 (ж, у, z) = х2 + у2 + z2 — Р = 0,

/2(ж, у, и) = z = 0.

(3.81)(3.81)На основании (3.80) уравнениями движения будут тх = mg + Х12ж, mij = Х12у, 0 = Хг, так как z = 0. Следовательно,

(3.81)

(3.81)

Л227

После умножения первого уравнения системы (3.81) на у и вычитания из него второго уравнения, умноженного на ж, получим

т^ху— ух) = mgy.(3.82)

Введем замену

х = I cos ф, у — I sin ф.

Отсюда

х = —I sin ф • (р, у = I cos ф • ф,

х = —I cos ф • ф2 — I sin ф • ф, у = —I sin ф • ф2 + I cos ф • ф,

и уравнение (3.82) примет известную форму дифференциального уравнения колебания математического маятника

Ф +“ sin ф = 0.

Проинтегрируем это уравнение при начальных условиях: t = 0, ф = 0, ф = = Фо. Тогда первый интеграл запишется в виде

(3.83)(3.83)ф2 — ф2 _ 2 у- (1 — COS ф).

(3.83)

(3.83)

Найдем теперь реакцию нити. В соответствии с формулами (3.79) Нх = 'к12х = ту

/?у=Х12у = ту, ^ = 0,

и следовательно,и следовательно,УУУУ

и следовательно,

и следовательно,

У

У

У

У

или

• COS Ф

Так какТак какR = mi ф2 — ——г*| 1 sin ф

Так как

Так как

Из этого уравнения следует, что связь в виде нити будет удерживающей, если при <р = л R ^ 0. Это будет, если начальная угловая скорость ф0 удовлетворяет неравенству Фо^б^//.

Перейдем теперь к обобщенным координатам и рассмотрим? вопрос об учете дополнительных связей, которые могут быть наложены на точки материальной системы.

Пусть на систему, подчиненную к связям, дополнительно налагается еще I связей. В этом случае число ранее выбранных обобщенных координат 3N -- к будет превосходить число степеней свободы 3N — к — I, которые теперь имеет рассматриваемая система. Дополнительные связи мы будем учитывать путем введения реакций этих связей в число активных сил. Обозначим эти реакции через Rv'. Виртуальная работа при этом вычисляется по формуле

Nп

64 = 2 (Fv + Rv) -6rv = S (Qi + Qi) &qb v=i1=1

где Qi — обобщенные силы, обусловленные реакциями Rv- Следовательно, обобщенные силы в уравнениях Лагранжа будут состоять из двух частей, соответствующих активным силам и реакциям новых связей, т. е.

4f^--£- = <?i + ^ Q = l,2,...,nY(3.84)

Если новые связи идеальны, то в соответствии с формулами (1.27)

t?;v = Ухн^,xv W R Эх ’й=1 v

^v=2^&(3.85)

A=1

^v = 2 dTй=1 V

(v = 1, 2, ..., N),

где — множители Лагранжа, a

tk^^ У^ zv, Z) = 0(* = 1, 2, ..., Z)(3.86)

— уравнения дополнительных связей.

Согласно формуле (1.34) имеем

п- _ У / д' д\ , д' ^у , д' ^у\

<?t<?tили, учитывая выражения (3.85),

<?t

<?t

^Д^2й9$4 d9ih”^i^ h SzJ

у. у (^k8^ , ^^ , 8Jk^»\ =

— ^ ^ ^ \№v 89i + 9»v 89i + 8zv 8'H/

=(i = 1, 2, . ./1).

Таким образом, уравнения (3.84) могут быть записаны в виде

d / дТ \ дТ /) , -Л 1 , i ^2 ,.7 9it Л Я7\

Полученные уравнения (3.87) являются по существу уравнениями Лагранжа первого рода (3.80), записанными в обобщенных координатах.

Для фактического решения этой задачи к уравнениям (3.87) (их число 3N — к) следует присоединить еще I уравнений новых связей (3.86). Тогда мы получим систему 3N —к + 1 уравнений с тем же числом неизвестных: 3N — к обобщенных координат и I лагранжевых множителей.

Пример 3.15. Найти реакции, обусловленные введением дополнительной связи, для двойного математического маятника. Массы грузов Mi и М-2 равны соответственно mi и т2) а длины нитей li и 12.

Составим сначала уравнения движения двойного маятника без дополнительных связей (рис. 3.12). Число степеней свободы равно двум.

Пусть qi = ср, q2 = ф. Координаты грузов Мi и М2 выражаются через ср и гр формулами

#i = li cos ср, yi = li sin ф,

z2 = l\ cos ф + l2 cos гр, у2 = li sin ф + l2 sin гр.

Кинетическая энергия системы равна

Т =+mi ( *1 + И)+4" m2 ( Z2 + У2) =

= + (т1+ т^ ^Ф2 + + ГО2 [Z2^3 + 21112^ C0S (Ф — ^)] ’ и следовательно,

= (mi + m2) Z^cp + m^l^l^ cos (<p — Ч>). |^ = — mj,vl^ sin (ф — i|)),+ = т2^^ + ^о^^Ф cos <Ф “ ^' — = т„1Л'ф* sin (ф — -ф).

Виртуальная работа

6Л — mxg 6#i + m2g 6х2 = ( — m\glx sin ср — m2glx sin ср) бф — m2l2g sin ф бфг

откуда

<?i = — (тх + m^glx sin ф, Q2 = — m2gl2 sin ф.

Уравнениями движения системы будут

(т1 + т2) г^ф + mj^ cos (ф — 1р) ip + ™2^21р2 sin (ф — ip) =

= — (mi + ^2) ^Zi sin

w/^ + ^2Z1Z2 C0S (V ~ ^ Ф — m^i1^ sin (<P — Ф) = — ”VZ2 sin ^

Рассмотрим два случая введения дополнительной связи.

Случай первый. Пусть /(a?i, уь zt, х2, у2, *2) = ух = 0 (рис. 3.13). Для этого случая уравнения (3.97) имеют вид

(mi + т^ ^Ф + т2^2 cos (Ф — 1р) ip + m2^Z2ip2 sin (ф — ip) =

= — (mx + тп2) glx sin ф + XI x cos ф„

тД^ + ^^ЧЧcos (ф — ^) ф—m2li4^sin (ф — ^)= — т^Чsin ^ Присоединим к этим двум дифференциальным уравнениям движения уравнение связи

ух = 1Х sin ф = 0.

Из этого уравнения связи следует, что ф = 0 и, следовательно, ф = 0, ф = — 0 (т. е. точка Мх неподвижна). Второе дифференциальное уравнение вырождается в уравнение колебаний простого математического маятника

■ф + -г- sin ф = 0.

Из первого дифференциального уравнения находим X:

X = m2?2 cos ф • ф — 7тг2?2ф2 sin ф.

Так как

ф = — — sin ф,

2 а

ф2 = ф^ — 2 у-(1 — cos ф) (при£ = 0 ф = 0, ф=фо)г то

X = — sin ф [тп2/2фо — m^g (2 — 3 cos ф)].

В соответствии с (3.85) имеем

<= 0,

/?' = X = — sin 1р [m8Z2ip2 — m2g (2 — 3 cos ip)],

т. е. дополнительная сила реакции равна проекции реакции, действующей на точку >2, на направление оси у.

Случай второй. Пусть теперь дополнительная связь принуждает груз М2 двигаться только вдоль оси х (рис. 3.14). Уравнением этой связи будет

/(^ь Уь 2ь х^ у^ z2) = у2 = Zi sin ср + l2 sin ф = 0.

Для того чтобы получить уравнения (3.87), следует к правой части перво

го дифференциального уравнения движения прибавить член

АCOS ф,

а к правой части второго дифференциального уравнения — член

А дф = U2 C0S

Для упрощения выкладок в дальнейшем положим lx = l2 = I. В этом случае из уравнения связи следует:

sin ф = —sin ф,откуда, в частности,ф = —ф.

Подставив этот результат в уравнения движения, получим

(тП1+ ттг2)?2ф — тп^2 cos 2ф-ф + пг212^ sin 2ф = —(m\ + m2^gl зтф + XI созф>

— т2£2ф + m2l2 cos 2фф — m^^siii 2ф = m2gl sin ф + XI cos ф. (3.88)*

Вычитая из первого уравнения второе, будем иметь

(т1 4- 4m2 sin2 ф) ф + 2тп2ф2 sin 2ф = — (m^ -J- 2m^ JL sin ф.

Это уравнение служит для определения закона движения полученной системы.

Складывая теперь между собой уравнения (3.88), найдем уравнение для определения X

2 cos ф 2

Дальнейшее решение задачи заключается в определении из уравнения движения угла ф; после этого по формулам

г di, df

находится реакция дополнительной связи.

Перейдем теперь к отысканию обобщенных реакций отброшенных связей [30]. Для этого рассмотрим голономную систему с п степенями свободы. Пусть ^i, q^ ..., q^ — обобщенные координаты, определяющие положение системы. Отбросим г связей. Тогда число степеней свободы увеличится до п + г. К старым обобщенным координатам gi, q^ ..., q^ прибавим г новых qn+\n qn+2, ... ..., q^T и будем иметь в виду, что при q^ = 0 (ц = 1, 2, ..., г) новая материальная система совпадает с исходной системой. Мы можем представить переход от новой системы к исходной как наложение на новую систему г новых связей вида

/п+ц = ^п+ц = 0 (ц = 1, 2, ..., г).

Тогда, в соответствии с уравнениями (3.87), имеем

(г = 1, 2, . . ., п + г).(г = 1, 2, . . ., п + г).

(г = 1, 2, . . ., п + г).

(г = 1, 2, . . ., п + г).

Но так как

£/n-HrfO zz + ^^z (д = 1, 2, .. ., п + г),9q^[1 п + Ц = I (ц = 1, 2, . . . , г),

то d / dT \ dTо х

—тг — 1 —= Qi (z = 1, 2, . . ., zz),

\8Чг!1

d (ЭТ \ ЭТ Г> , ^/ •, л,\

"rf? —— Л7= ^i + XiG=га + 1,. . ., « + г).

\6qi)1

Эти уравнения нужно рассматривать совместно с уравнениями связей

fn+n ^п+ц ~ 0 (ц = 1, 2, ..., г)

п только после составления полученных уравнений в них следует положить

qn+u 0, qn-vy. 0, qnvvi 0(Р* — 1, 2, ..., г).

Итак, для получения обобщенных реакций отброшенных связей служат уравнения

Xi= dT f^G = ^ + 1> « + 2, ..и +г), (3189)

в которых после их составления следует положить

^п+ц^О, ^п+|Х=0, 9п+ц — 0 (ц = 1, 2, ..., г).

Пример 3.16. Тело Л массы mb подвешенное на пружине жесткостью с, может совершать движение по вертикали. С помощью шарнира к телу А прикреплен невесомый стержень длины Z, на другом конце которого прикреплено тело В массы т2. Тело В движется по горизонтальной направляющей (рис. 3.15). Пренебрегая трением, определить реакцию горизонтальной направляющей.

Начало координат возьмем в положении тела А при ненапряженной пружине Рассматриваемая система имеет одну степень свободы. За обобщенную координату примем отклонение тела А от его положения при ненапряженной пружине gi = xv Рассмотрим теперь новую систему, когда

отсутствует горизонтальная направляющая (рис. 3.16). Эта система имеет уже две степени свободы. За обобщенные координаты примем q\ = х^ q2 = = §. Координатами тела А и В соответственно будут

Х\ = хь у, = О, х2 = а + I, у2 =

где а — расстояние от начала координат до направляющей. Кинетическая энергия системы выразится формулой

гдегдеТ = Тт1ж1 + Тт2(ж2 + У^^Т^+^г) ^-2m2^ + m2§ ],

где

где

(a + g-^)2

Найдем теперьНайдем теперь

Найдем теперь

Найдем теперь

^ = — т2Кж1 + тД,

ат 1 ак • „ ак • •

= “й" тп х^ — тпхЛ,

д§ 22 д§ 12 д§ 1Ъ’

а / вт \•• ак .

тде

££=_J^±Lz^L_ dKSZ^a + E-^).

а^ р2_(а+5_Ж1)2р, л-рг-^ + ^^грС!-^)'

Н соответствии с соотношениямиН соответствии с соотношениямиполучаем реакцию направляющей,

Н соответствии с соотношениями

Н соответствии с соотношениями

полагая £ = 0, £ = 0, £ = 0:(а — х^x2=--^-2-L-(a- —Ж1 +z2 (a ~ г1)

+ m2p2_(a_^)2p-V2.

Но так как

6Л = (—схх + mTg)6x1 + m2g 6^, то

Qx = —cxi + mig, Q2 = m2g и, следовательно,

X2 = ——~x. +

Z2 — (a — ^i)21

Z2 (a — я,).

+ m2pr^T^p^2-V

"Уравнение для определения xx имеет вид

(a — а^)21 .. mj? (a — arj x^

mi + m2 Z2_(a_$i)2-j ^i - p^-^pp = - ^ + mlg.

Это уравнение Лагранжа, составленное для координаты х^ в котором положено £ = £ = £ = 0.

Пример 3.17. Тело Л массы М может двигаться по гладкой горизонтальной направляющей. К нему на невесомом стержне длины I шарнирно прикреплено тело В массы m (рис. 3.17, а). Найти реакцию направляющей, принимая тела Л и В за материальные точки.

Примем за обобщенные координаты расстояние ух точки Л от начала координат и угол ф отклонения стержня от вертикали:

qi = У^ 42 = ф-

Отбросим теперь связь, наложенную па тело Л, т. е. освободим тело Л от направляющей. Новая система имеет три степени свободы, и новая обобщенная координата д3 = хх (рис. 3.17, б). При хх ^ 0 новая система совпа-

дает с исходной. Пусть координаты точки А — хх и yi, а точки В — ж2, У2, тогда

£2 = 21 + / COS ф, у2 = У\ + Z sin ф.

Кинетическая энергия определяется выражением

4л4..

т = -у М ( х^ + у2) + — m ( z2 4- у2) = — (М + т) ( ^ + у^ +

+ -ту m Q2 Ф2 — 2^/ф sin ф + 2ух/ф cos ф).

Отсюда имеем

^L = (М + т) ^1 — т/фз1пф, ^ = 0,дх1

— / ^L. \ = (М + т) х^ — ml^ sin ф — ml ф2 cos ф.

^ v^i/

В соответствии с (3.89) получим

^з = —ml^ sin ф — ml^2 cos ф — Q^.

Найдем обобщенные силы. Так как

6Л = Mg Sxx + mg 6^2 = (М + m)g 6^1 — mgl sin ф бф, то

Q\ = 0, (?2 = —mgl sin ф, Q3=(M+m?)g и, следовательно,

%з = —^Ф sin ф — ml^)2 cos ф — (М + ^ g.

Значения ф, ф, ф, которые следует подставить в это выражение, находятся из уравнений Лагранжа второго рода, составленных для координат yi и ф (в которых учтено, что хх = хх = хх = 0)

d

-^ [(М + т) уг 4- zzi/ф cos ф] = 0,

•• У1е

Ф + ~L cos ф + -|- sin ф = 0.

§ 3.7. Уравнения Лагранжа в квазикоординатах

В § 1.5 были введены понятия истинных координат и квазикоординат и показано, что существуют задачи, рассмотрение которых в квазикоординатах оказывается даже предпочтительнее. Это можно объяснить тем, что при исследовании движения механических систем существенную роль часто играет удачный выбор переменных, в которых описывается это движение. История развития механики свидетельствует о том, что успеху в решении многих трудных задач способствовало введение квазикоординат. Как известно, с использованием квазикоординат была поставлена п исследована задача Эйлера о движении по инерции твердого тела 7 Н. В. Бутенин, Н. А Фуфаев

с закрепленной точкой. С. А. Чаплыгин рассмотрел в квазикоординатах задачу о плоском неголономном движении, а также не менее трудную задачу о катании неоднородного шара по плоскости.

Метод подвижных осей, широко используемый в механике. представляет по существу метод записи уравнений движения в квазикоординатах.

Введение квазикоординат и запись уравнений Лагранжа второго рода в квазикоординатах предоставили возможность записывать в одной и той же форме уравнения голономной и неголономной систем, уравнения движения твердого тела с закрепленной точкой и даже описывать движение систем с неудерживающими кинематическими связями. Уравнения в квазикоординатах были получены в 1902 г. Л. Больцманом [46] и в 1904 г. Г. Гамелем [47, 48]. Эти уравнения) были выведены в предположении, что обобщенные координаты 91, 92, • • •, 9п и квазикоординаты лц лг, ..., Ли связаны соотношениями

Л; = 2 ^sqsi qs = 2 Ь&гПг (/,5=1,2, . . . , п\ (3.90) 8=1 1 = 1

где коэффициенты &JS и b8i — функции обобщенных координат 91, 92, ..., 9п и удовлетворяют условиям

=6Ъ- = И =(3.91)

В более общем случае уравнения (3.90), линейные относительно производных по времени, могут быть неоднородными

л,- = S <Ч»<1« + «,, 9s = S bsiKi + bs (j, s = 1. 2, . . ., nV (3.92) 8 = 1 1=1

Здесь коэффициенты ajSl a^ bsi, bt могут зависеть также и от времени t. Нетрудно проверить, что коэффициенты а^. bsi в этих уравнениях также удовлетворяют требованиям (3.91). Кроме того, из второй группы уравнений (3.92) следует, что

^лг^лг5л5л— Ь$г •— Ь$г •(3.93)(3.93)

^лг

^лг

5л

5л

— Ь$г •

— Ь$г •

(3.93)

(3.93)

dfдл^dfдл^с?Л^ dqs дпг uq& &гс?Л^ dqs дпг uq& &г(3.94)(3.94)

dfдл^

dfдл^

с?Л^ dqs дпг uq& &г

с?Л^ dqs дпг uq& &г

(3.94)

(3.94)

Поэтому для любой функции /(91, 92, ..., 9п, 0 выражение

означает согласно (3.93) следующую операцию:

Выведем уравнения Лагранжа в квазикоординатах в этом более общем случае [30, 42]. Пусть Т = T(q, q, t)— кинетическая энер-

гия системы, конфигурация которой определяется п обобщенными координатами 91, q^ ..., qn. Будем исходить из общего уравнения динамики (2.28), которое при переходе к обобщенным координатам (см. § 3.2) записывается в виде

^-Qs б^=о.^-Qs б^=о.(3.95)

^-Qs б^=о.

^-Qs б^=о.

Здесь Qs(q, q, £)—заданные обобщенные силы, действующие на рассматриваемую систему, все связи которой предполагаются идеальными.

Введем квазикоординаты Лц Л2, • . ., Лп, производные которых по времени связаны с обобщенными скоростями 91, 92, .. ., qn посредством п независимых неоднородных линейных уравнений (3.92), которые являются неинтегрируемыми, т. е. не сводятся к конечным (функциональным) соотношениям между Л1, Л2, • . • ..., ля и 91, 92, ..’., 9п. В соответствии с (3.92) вариации 6qs и бл< п

(Z = 1, 2, . . ., пу(Z = 1, 2, . . ., пусвязаны выражениями 69s = 2 ^зг^Лг- Подставляя их в (3.95), получим равную нулю сумму, которая вследствие независимости вариаций квазикоординат блг распадается на п уравнений вида

(Z = 1, 2, . . ., пу

(Z = 1, 2, . . ., пу

(3.96)

п

Здесь величина П; = 2 Q&bsi представляет обобщенную силу, которая производит работу на перемещении бль Введем функцию T*(q, л, £), которая получается из выражения кинетической энергии 7(9, 9, £) после исключения из нее всех обобщенных скоростей 91, 92, .. ., qn при помощи соотношений (3.92). Если в полученной таким образом функции Т* (q, л, £) проделать обратный переход, используя первую группу соотношений (3.92), то, очевидно, вновь вернемся к 7(9, 9, £), т. е.

(3.97)(3.97)/ п .\.

(3.97)

(3.97)

т* 5 а^9з + аъП = Т (q, q, t).

\S=1/

Дифференцируя (3.97) по переменной qs, имеем

ат

8qs

Отсюда

пV ат*j,s=l drtjпV ат*j,s=l drtj2^2 ьтT=1\k=l2^2 ьтT=1\k=lda-8qsda-8qs

п

V ат*

j,s=l drtj

п

V ат*

j,s=l drtj

2^2 ьт

T=1\k=l

2^2 ьт

T=1\k=l

da-

8qs

da-

8qs

где введен оператор

c)/’* def у ат* к

дз^ АМ Oq si'г S=1 s

Дифференцируя (3.97) теперь по переменной qsi получаем

Используя (3.91), приходим к следующему соотношению:Используя (3.91), приходим к следующему соотношению:Подставляя найденные выраженияПодставляя найденные выраженияпv .пv .

Используя (3.91), приходим к следующему соотношению:

Используя (3.91), приходим к следующему соотношению:

Подставляя найденные выражения

Подставляя найденные выражения

п

v .

п

v .

в уравнения (3.96), получаем уравнения Лагранжа в квазикоординатах:

к/ п\

(I ОТ* дТ* . V, I ГТ

"Т*:SThЧгэк^-к + ^ij I — П^.(3.98)

)=1ЭК-)

Здесь введен оператор

ОЛл Ds^ dq?

г s=l 48

который в случае, когда л< = q^ совпадает с оператором частной производной, а также введены обозначения

(3.99)(3.99)

(3.99)

(3.99)

Выражения коэффициентов ^ijhl ^^ в этих уравнениях зависят только от структуры соотношений (3.92) между истинными координатами q^ q^, ...., qn и квазикоординатами ль лг, ..., лп и совершенно не зависят от начальных условий и характера движения рассматриваемой системы. Согласно (3.99) нахождение коэффициентов Чак и Ча представляет довольно трудоемкую работу, связанную с двойным суммированием сложных выражений. Однако этой процедуры можно избежать, если воспользоваться так называемыми перестановочными соотношениями [35, 37], которые составляются по сравнительно простому алгоритму: сначала, исходя из уравнений (3.92), записанных для вариаций переменных), вычисляется дифференциал

n / пда \П

d (6л,) = У I У ^ dqr + dt 6^ + 2 ah d^h =

S=1Г=1 Т/8=1

п * п ^/ п\^”1 nu

= У 22 Ъ* dnk + br dt + 4г dt 2 ^i6jli + 2 aisd6q8.

да I aml ot I am

s=i Lr=i T \h=l/J 1=1s=l

Затем вычисляется вариация

Вычитая второе выражение из первого и используя обозначения (3.99), а также то, что при обходе по замкнутому контуру в пространстве конфигураций голономной системы d6qs — 6dqs = 0, получаем перестановочные соотношения

d6n3; — 6 dnj = 5 ТУк dah6nt + 2 Yv dt ^я«> (3.100) i,h=l 1=1

которые и позволяют находить коэффициенты у^ и уг> Для идентификации величин полезно заметить, что индекс г — это индекс уравнения движения; / — это индекс квазикоординаты, для которой составляется перестановочное соотношение; к — это индекс квазискорости, являющейся сомножителем при ^ в уравнениях движения (3.98).

В силу определения (3.99) коэффициенты ^ удовлетворяют условиям

*Хгзк == *Хмг)(3.101)

т. е. величины Чш образуют относительно крайних индексов кососимметричную матрицу.

Уравнения (3.98) отличаются от известных уравнений Больц- ат*

мана—Гамеля [46, 47] дополнительными членами у;; дл . Эти члены обращаются в нуль, если система уравнений связи между обобщенными координатами и квазикоординатами (3.92) будет однородной с коэффициентами, не зависящими явно от времени t. В случае интегрируемости уравнений (3.92) уравнения (3.98) оказываются обычными уравнениями Лагранжа второго рода.

В качестве упражнения на составление уравнений движения в форме уравнений в квазикоординатах рассмотрим два примера, в которых коэффициенты ^ = 0 и, следовательно, уравнения в квазикоординатах совпадают с уравнениями Больцмана — Гамеля или, что то же, Эйлера — Лагранжа.

Пример 3.18. Уравнения движения твердого тела с закрепленной точкой. Положение тела будем определять углами Эйлера [10]. Примем

q\ = 0, у2 = ф, дз = Ф.

Кинетическая энергия твердого тела при условии, что оси ж, у и z жестко связаны с телом и являются главными осями инерции для неподвижной точки тела, равна

где 7Х, 1У1 Iz — главные осевые моменты инерции тела, а (ох, (оу и coz — проекции угловой скорости тела соответственно на оси ж, у и z. Проекции угловой скорости связаны с углами Эйлера и их производными кинематическими формулами Эйлера:

(ох = ф sin 0 sin ф + 6 cos ср,

(оу = ф sin 0 cos ср — 0 sin ф,

(oz = ф cos 0 + ф.

Примем за квазискорости проекции угловой скорости, т. е.

Л1 = qx cos у2 + Уз Sin yi sin у2,

Л2 = —yi sin q^ + Уз sin qx cos уг,(3.102)

Лз = У2 + Уз COS Уь

«1з = sin 7i sin 72, «23 = sin 7i cos 7?, «33 = COS 71.«1з = sin 7i sin 72, «23 = sin 7i cos 7?, «33 = COS 71.Отсюда следует, что

«1з = sin 7i sin 72, «23 = sin 7i cos 7?, «33 = COS 71.

«1з = sin 7i sin 72, «23 = sin 7i cos 7?, «33 = COS 71.

«11 = COS 7г, «12 = О, «21 = —sin 72, «22 = О, «31 = 0, «32 = 1,

Из соотношений (3.102) получим

7T — cos 7^ — sin 72л2,

.sin 72 .

q3 - sin ?, л! +

cos 72 sin 71

л2,

откуда

Ь„ = cos ?2,

-Sin?2,\3 = 0,

COS qT sin 72

^21sin qT ’

Ъ22 =

COS q, COS q_

—3 ъ =1

Sin ?,’23’

sin 72 ^31 ~ sin 7 T »

632 =

COS ?2

Sin qT ’^33 “ ^*

. cos 71 sin . cos 7, cos q_ ..

?2~~ Sin?, л1 — sin?, лг + лз’

Очевидно, что

Формулы для подсчета Чак имеют вид / Эа- 8а-„ \

^ijh = (^lAfe ~ ^2i^lh) ("р^- ~ ~8q7 j

+ ^ ^» ~ ЬМ + 57 (6зАь - ^2i^3k)* Отсюда

7123 = —1,7132 = 1,7231 = —1,7213 = 1,7312 = —1,7321 = 1 •

Все остальные 7 равны нулю.

Уравнения Эйлера — Лагранжа будут иметь вид

"dt ^ Ах:Л1) ~ ^Л2 Л3 + ^£Л3 Л2 ” ^Г

"at ^^лг) ~ ^глзл1 + ^л1лз = ^2’

^ (z>3)- z^,n2+1^=р3, или

^х dt^х'

где MXl Му, Мг — моменты сил соответственно относительно осей х, у, z.

Пример 3.19. Вывод уравнений движения гироскопа в кардановом подвесе с учетом массы кардановых колец.

Схема гироскопа представлена на рис. 3.18. Начало координат выберем в точке пересечения осей карданова подвеса. Подвижную систему координат свяжем с внутренним кольцом, направив ось Ох по оси вращения ротора, ось Оу — по оси вращения внутреннего кольца. Ось Ozx неподвижной системы координат направлена по оси вращения наружного кольца. Тогда положение подвижной системы координат Oxyz по отношению к неподвижной

Рис. 3.19Рис. 3.19

Рис. 3.19

Рис. 3.19

Oxxyxzx определится двумя углами ф и 0. Угол вращения ротора вокруг оси Ох обозначим через ф (рис. 3.19). Проекции угловой скорости наружного кольца равны

Проекции угловой скорости внутреннего кольца и ротора соответственно равны

(Овх = — ф sin 0, соВу = 6, <oBZ = ф cos 0,

(и х = Ф — ф sin 0, u)y = 0, coz = ф cos 0.

Кинетическая энергия рассматриваемой системы равна 1-11

Т = Т Ihzx ^ + "2 (^«“вх + Л^ву + ^bz®bz) + 2" (^Хшх + ^у®у + It^z) >

где ^где ^— момент инерции наружного кольца относительно оси Ozb 1ВХ,— момент инерции наружного кольца относительно оси Ozb 1ВХ,^ву,^ву,7BZ — моменты инерции внутреннего кольца, 7Х, Ту, 1г — моменты инерции ротора. В силу симметрии имеем ZBv = ZBy, Iу = 1г. За обобщенные коорди7BZ — моменты инерции внутреннего кольца, 7Х, Ту, 1г — моменты инерции ротора. В силу симметрии имеем ZBv = ZBy, Iу = 1г. За обобщенные координаты примемнаты примемЧ\ = Ф, 42 = 0, 4з = ф,Ч\ = Ф, 42 = 0, 4з = ф,

где ^

где ^

— момент инерции наружного кольца относительно оси Ozb 1ВХ,

— момент инерции наружного кольца относительно оси Ozb 1ВХ,

^ву,

^ву,

7BZ — моменты инерции внутреннего кольца, 7Х, Ту, 1г — моменты инерции ротора. В силу симметрии имеем ZBv = ZBy, Iу = 1г. За обобщенные коорди

7BZ — моменты инерции внутреннего кольца, 7Х, Ту, 1г — моменты инерции ротора. В силу симметрии имеем ZBv = ZBy, Iу = 1г. За обобщенные коорди

наты примем

наты примем

Ч\ = Ф, 42 = 0, 4з = ф,

Ч\ = Ф, 42 = 0, 4з = ф,

а за квазискорости

Л! = сох = Ф — ф sin 0 = —qx sin q2 + q^

Л2 — toy — 0 — q2l

Л3 = u)z = ф COS 0 = qx COS q2.

Из этих соотношений получаем

1sin д2 .

?1 = cos q2 Л3’ 92 — Л3’93 = Л1 + COS д2 л3-

Таким образом, имеем

Г* — 2 [f^

гдегде7з(92)=-^7з(92)=-^^2 = Лх + ^21cos2g2^2 = Лх + ^21cos2g2

где

где

7з(92)=-^

7з(92)=-^

^2 = Лх + ^21

cos2g2

^2 = Лх + ^21

cos2g2

ТакТаккак для рассматриваемой системыкак для рассматриваемой системыто вто вd^ = — sin q2 dqx + dqy Эл2 = dq2, dng = cos q2 dqp^91 cos q2 *d<?2 = dn2,sin q2dq„ = dn^ 4-dn.n,1 ~ cos g^ 3’соответствии с формулой (3.100)d^ = — sin q2 dqx + dqy Эл2 = dq2, dng = cos q2 dqp^91 cos q2 *d<?2 = dn2,sin q2dq„ = dn^ 4-dn.n,1 ~ cos g^ 3’соответствии с формулой (3.100)$Л1 = — sin q26q2 + 6д3, 6л2 = 6д2, 6л3 = cos q^qv6л^91 = cos q^6q2 = 6n2, sing6?з = 6л1 + -^6лз’$Л1 = — sin q26q2 + 6д3, 6л2 = 6д2, 6л3 = cos q^qv6л^91 = cos q^6q2 = 6n2, sing6?з = 6л1 + -^6лз’с/(6Л1) —- 6(г?Л1) = ^^длгб/лд = —бл3йл2 + дл2</л3,^(6Л2) — 6(б?Л2) = Ь^бЛгб/Лй = 0,С?(6л3) — б(ЙЛз) = ^ик^гДтСк = —tg qjB H3dn2 + tg дтбл2ЙЛз. Отсюдас/(6Л1) —- 6(г?Л1) = ^^длгб/лд = —бл3йл2 + дл2</л3,^(6Л2) — 6(б?Л2) = Ь^бЛгб/Лй = 0,С?(6л3) — б(ЙЛз) = ^ик^гДтСк = —tg qjB H3dn2 + tg дтбл2ЙЛз. Отсюда1213 = —1312 = 1,1233 = ~1332 = tg #2.1213 = —1312 = 1,1233 = ~1332 = tg #2.

Так

Так

как для рассматриваемой системы

как для рассматриваемой системы

то в

то в

d^ = — sin q2 dqx + dqy Эл2 = dq2, dng = cos q2 dqp

^91 cos q2 *

d<?2 = dn2,

sin q2

dq„ = dn^ 4-dn.n,

1 ~ cos g^ 3’

соответствии с формулой (3.100)

d^ = — sin q2 dqx + dqy Эл2 = dq2, dng = cos q2 dqp

^91 cos q2 *

d<?2 = dn2,

sin q2

dq„ = dn^ 4-dn.n,

1 ~ cos g^ 3’

соответствии с формулой (3.100)

$Л1 = — sin q26q2 + 6д3, 6л2 = 6д2, 6л3 = cos q^qv

6л

^91 = cos q^

6q2 = 6n2, sing

6?з = 6л1 + -^6лз’

$Л1 = — sin q26q2 + 6д3, 6л2 = 6д2, 6л3 = cos q^qv

6л

^91 = cos q^

6q2 = 6n2, sing

6?з = 6л1 + -^6лз’

с/(6Л1) —- 6(г?Л1) = ^^длгб/лд = —бл3йл2 + дл2</л3,

^(6Л2) — 6(б?Л2) = Ь^бЛгб/Лй = 0,

С?(6л3) — б(ЙЛз) = ^ик^гДтСк = —tg qjB H3dn2 + tg дтбл2ЙЛз. Отсюда

с/(6Л1) —- 6(г?Л1) = ^^длгб/лд = —бл3йл2 + дл2</л3,

^(6Л2) — 6(б?Л2) = Ь^бЛгб/Лй = 0,

С?(6л3) — б(ЙЛз) = ^ик^гДтСк = —tg qjB H3dn2 + tg дтбл2ЙЛз. Отсюда

1213 = —1312 = 1,1233 = ~1332 = tg #2.

1213 = —1312 = 1,1233 = ~1332 = tg #2.

Остальные 1 равны нулю. Найдем теперьОстальные 1 равны нулю. Найдем теперьат* •ВлгДалее находим з аг* уат* •ВлгДалее находим з аг* уат* _*1^уа^ат* _*1^уа^ВТ*ВТ*производные от Т* по Л1, л2, л3:а^производные от Т* по Л1, л2, л3:а^1V=13 ат* _ v к дл2ЭТ* ^ к эл —'3V=11V=13 ат* _ v к дл2ЭТ* ^ к эл —'3V=1VI Вд^VI Вд^= 0,= 0,ат* ат*ат* ат*1 •1 •V2 8qs ~ дд2~ 2 Л5V2 8qs ~ дд2~ 2 Л5ВТ*VS dq„ =0-ВТ*VS dq„ =0-3 а^3 а^

Остальные 1 равны нулю. Найдем теперь

Остальные 1 равны нулю. Найдем теперь

ат* •

Влг

Далее находим з аг* у

ат* •

Влг

Далее находим з аг* у

ат* _*

1^у

а^

ат* _*

1^у

а^

ВТ*

ВТ*

производные от Т* по Л1, л2, л3:

а^

производные от Т* по Л1, л2, л3:

а^

1V=1

3 ат* _ v к дл2

ЭТ* ^ к эл —'

3V=1

1V=1

3 ат* _ v к дл2

ЭТ* ^ к эл —'

3V=1

VI Вд^

VI Вд^

= 0,

= 0,

ат* ат*

ат* ат*

1 •

1 •

V2 8qs ~ дд2~ 2 Л5

V2 8qs ~ дд2~ 2 Л5

ВТ*

VS dq„ =0-

ВТ*

VS dq„ =0-

3 а^

3 а^

Уравнениями движения в квазикоординатах будут

dt= ^1 ~ ^Х’

"ST ^2я2) - Т Я1 -+ 7Ляз + V3 (^ яз = ^ = му .

j" [/3 (92)Л3] - 7^ Л2 - tg qja (^ Л2Л3 = Pg = Мг.

Переходя к обобщенным координатам, получим z« ^ П —’i’sin е) = мж,

7,0 — А-^2 cos20 -^Т + 7Х ( ф — ф sin о) ф cos 6 + sin 07. (0) ф8 cos 0 = Л7„,

*57 1/3 (0) Ф cos о] — 7Х ( ф — ф sin ©) 0 —'sin 0Zg (6) ф 6 = Mr

Так как

то окончательно будем иметь

^-[7ж(ф-фзш0)]=Л/х,

(7Ю + 7Z) 0 + 7Х (ф — ф sin 0) ф cos 0 + (7BZ + 7Z — 7ВХ) ф2 sin 0 cos 0 = Му [^ + 1« + Iz + (Дх - ^bz - ^z) Sin2 6] ф -

— Ix (ф — ф sin б) 6 cos 6— 2 ^7BZ + 7Z — Твх) ф0 sin 6 cos 0 = Mz cos 0.

Так как 6Л = ЛГхдф + My60 + Afz дф, где Mz — момент всех сил относи, тельно неподвижной оси Ozp и, кроме того, 6ф = 6д3 = бЛ1 + tg 0 6л3, 60 = 652 = бл2, 6ф = d^i = sec 0 6л3, то

6 Л = М^ 4- М^бЛз + ^Мх tg 0 + Мч sec 0) 6л .

С другой стороны,

6Л = Л/хбЛ1 + ^6л2 + АГ26л3; следовательно,

MZ = MZ secO + Af^tgO, или

Мг cos B = MZ +Mxsin0.

В гироскопических приборах обычно Мх = 0. Тогда

Ф — ф sin 0 = Q = const,

и уравнения движения гироскопа в кардановом подвесе будут иметь вид

(/вх + ЛО 9 + Лейф cos 6 + (7bz + 1г — 7вх) ф sin 0 cos 9 = МУ1

[ZHZ + Kz + Л + (ZBZ - Kx - Л) sin20] Ф - Kfi0 cos -

— 2(ZB, + Z,— /^Й sinG cos 0 = Мг .

В современных гироскопических приборах угловая скорость собственного вращения ротора ф много больше угловых скоростей ф и 9. Принимая это во внимание и считая угол 9 малым, получим

(7ВХ + 7Z) 9 + 7хЙф = М п7В + IA ф - 7ХЙ9 = Мг .

\ х5«А 14-/1 «А ■у 1^П4^D^4 у 1<А4-^

Эти уравнения называются «техническими уравнениями» движения гироскопа в кардановом подвесе.

Уравнения движения системы материальных точек с неудерживающими кинематическими связями

В основе традиционного деления механических систем на голо- номные и неголономные лежит предположение, что связи, огра- личивающие движение системы, остаются неизменными, т. е. сохраняются в течение всего времени. Однако существует большой класс систем, при движении которых это условие не выполняется. Так, например, при качении колес без скольжения, описываемом уравнением кинематической связи, которая является неинтегри- руемой, колесный экипаж является неголономной системой, а при качении колес со скольжением — уже голономной системой. В общем случае такую машину, которая может двигаться и в том и в другом режиме, можно назвать системой с неудерживающими кинематическими связями [42]. Перед теорией движения систем с неудерживающими связями возникают две основные задачи:

Составить уравнения движения в такой форме, которая была бы пригодна для описания движения системы с качением в двух режимах — как при качении без скольжения, так и при качении со скольжением.

Установить условия перехода от одного режима движения к другому.

Первая задача решается, если воспользоваться уравнениями в квазикоординатах (3.98). В самом деле, пусть качение колес без скольжения отображается п — тп уравнениями неголономных связей

функцию T(q, л, £), которая получается нз выражения кинетической энергии системы Т (q, q, £), составленной без учета уравнений неголономных связей (3.103), после исключения всех ^ь ^2, •. •, Qn при помощи соотношений (3.92).

Тогда уравнения движения системы с неудерживающими кинематическими связями имеют вид (3.98). В самом деле, если системой с неудерживающими кинематическими связями является система с качением (например, колесный экипаж), то уравнения (3.98) описывают ее движение в общем случае: как при качении без скольжения, так и со скольжением. Для того чтобы в этом убедиться, достаточно вспомнить, что кинематические характеристики Лт+ь лт+2, ..., л„ представляют компоненты скоростей скольжения. Таким образом, если осуществляется качение со скольжением, то уравнения кинематических связей (3.103) отсутствуют, и кинематические характеристики Л1, Л2, ..., лп могут принимать любые значения. Для их определения как функций времени имеем уравнения (3.98), которые вместе с соотношениями (3.92) образуют замкнутую систему дифференциальных уравнений для gi, #2, ..., Qm Л1, Лг, ..., лп.

Если же осуществляется качение без скольжения, то в силу выполнения уравнений (3.103) кинематические характеристики лго+1 = лт+2 = ... = лп = 0. Движение без скольжения описывают первые тп уравнений системы (3.98), в которых после выполнения всех указанных там операций следует положить лт+1 = = лт+2 = ... = ля = 0. Не останавливаясь на подробностях, которые читатель может найти в работе [42], перейдем ко второму вопросу теории движения систем с неудерживающими кинематическими связями: к отысканию условий перехода от качения без скольжения к качению со скольжением, а также условий обратного перехода. Для этого обратимся к фазовому пространству рассматриваемой системы и выясним особенности его структуры. В случае движения со скольжением состояние системы в каждый момент времени t определяется 2п величинами: п обобщенными координатами gi, q^ ..., qu и п кинематическими характеристиками Л1, лг, ..., л„. Следовательно, уравнения (3.92) и (3.98) описывают движение изображающей точки в расширенном *) фазовом пространстве Ф(д, л, t), число измерений которого равно 2^г+ 1.

Уравнения (3.103), отображающие качение системы без скольжения, можно рассматривать в фазовом пространстве как

уравнения некоторой гиперплоскости П размерности п + т + 1

ЗТтц-1 == 0, Лт+2 == 0, • • •, Лп ==:: 0. (3.104)

Отсюда следует, что при качении без скольжения изображающая точка перемещается в расширенном фазовом пространстве Ф по гиперплоскости (3.104) согласно уравнениям движения (3.98), составленным лишь для первых квазикоординат ль Л2, ..., л™, и соотношениям (3.92) и (3.104).

Пусть системой с качением является колесный экипаж, тогда гиперплоскость П представляет пересечение гиперплоскостей-ветвей П1, П2, ..., Пг, число г которых определяется числом и схемой расположения колес. Движение изображающей точки по одной из ветвей П1, П2, ..., Пг соответствует качению без скольжения одного колеса (или нескольких колес), а движение по гиперплоскости П — качению без скольжения всех колес одновременно.

Рассмотрим особенность структуры фазового пространства Ф при наличии ветви П8 в случае, когда все колеса жесткие, а их взаимодействие с опорной плоскостью осуществляется силами сухого трения, подчиняющимися закону Кулона — Амонтона. Пусть ради определенности ветвь П8 соответствует качению без скольжения s-ro колеса. Если в силу наложенных на систему связей s-e колесо вынуждено катиться так, что боковое (или продольное) скольжение отсутствует, то вектор vs скорости скольжения колеса будет иметь только одну компоненту, которую обозначим л8. В этом случае гиперплоскость П8 (л8 = 0) разделит фазовое пространство Ф на две области: Ф+ (л5 > 0) и Ф- (л8 < 0).

Согласно закону Кулона —• Амонтона сила трения скольжения в области Ф+ принимает некоторое значение, зависящее от нормальной реакции опорной плоскости на s-e колесо, а в области Ф- — такое же значение, но с обратным знаком. Следовательно, уравнения (3.98), описывающие движение изображающей точки в Ф+ и в Ф-, будут различными. Решения уравнений (3.98) при переходе из одной области в другую должны «сшиваться» по непрерывности фазовых переменных.

Здесь могут встретиться два случая: 1) изображающая точка при своем движении в Ф+ или в Ф_ пересекает граничную гиперплоскость П, не задерживаясь на ней; этот случай соответствует сохранению качения s-ro колеса со скольжением, но с мгновенной сменой знака скорости скольжения; 2) изображающая точка, придя на гиперплоскость П\ в дальнейшем остается на ней, двигаясь согласно уравнениям (3.98), составленным для квазикоординат ль л2, ..., л8-1, л8+1 ..., лп, в которых принято во внимание равенство л8 = 0.

Однако указанное движение изображающей точки на гиперплоскости П8 реализуется лишь в области G8 гиперплоскости П8, которая является устойчивой относительно отклонений от ГГ. Необходимым и достаточным условием устойчивости области Gs является такое расположение фазовых траекторий в малой окрестности гиперплоскости П8, при котором изображающая точка, двигаясь по этим траекториям, приходит на гиперплоскость П8 как из области Ф_, так и из области Ф+ фазового пространства Ф. Будем называть такое расположение стыковкой фазовых траекторий. Таким образом, связная область стыковки фазовых траекторий и определяет область G8 на гиперплоскости П8. Отсюда следует, что условием перехода s-ro колеса от качения со скольжением к качению без скольжения является попадание изображающей точки в область G8 гиперплоскости П8.

Граница Г8 области G8 будет содержать Г^ и П. Если, двигаясь в области G8, изображающая точка достигает границы Г^, то затем изображающая точка переходит в область Ф+, а после достижения границы Г1 — в область Ф_. И в том и в другом случае получаем условие перехода от качения без скольжения к качению со скольжением.

Из сказанного следует, что отыскание границ области G8 полностью решает задачу определения условий перехода качения колеса без скольжения к качению со скольжением, а также условия обратного перехода.

Математическое определение области G8 в рассматриваемом случае одной компоненты скорости скольжения сводится к одновременному выполнению двух неравенств:

lim л5 ^ О,lim л5 ^ О,lim л5lim л5>0.>0.(3.105)(3.105)

lim л5 ^ О,

lim л5 ^ О,

lim л5

lim л5

>0.

>0.

(3.105)

(3.105)

л5-> 0л5-> 0л5-> + 0

л5-> 0

л5-> 0

Пусть л3=Д(л1, ..., л8-1, л8, л8+1, ..., л„, Ns)^ 0 — уравнение системы (3.98), составленное для квазикоординаты л8, где Ns — нормальная реакция, испытываемая s-м колесом. Тогда неравенства (3.105) запишутся в виде

f s ( Я 1, Л2, • • •, Л 8 — 1, 0, Л 8 +1, . . •, Л п, ^s)0,

.....(3.106)

j s (Я1, Л2,• • •) Я8 — 1,0, Л8.р 1,• • •, я^,TV8)^^ 0.

Обращение (3.106) в равенство дает уравнение границ Г^. и Г!_ области G8 на гиперплоскости П8.

При качении жесткого колеса в общем случае вектор v3 скорости скольжения имеет две компоненты — продольную л8 и поперечную л8+ь Рассмотрим трехмерное сечение Фз фазового про-

странства Ф, откладывая по оси абсцисс величину л8, пэ оси ординат — величину л8+ь а в качестве аппликаты взяв, например, угловую скорость o)s собственного вращения колеса. Гиперплоскостью IIs в Фз будет прямая л8 = л8+1=0, т. е. ось со,. Введем цилиндрическую систему координат vS) й8, со8 посредством соотношении л8 = vs cos й8, л8+1 = л8 sin ^ и запишем уравнения движения в новых фазовых переменных v8l й8, со8. Пусть для v8 уравнение движения имеет вид v8=F8^v81 й8, cos, ...). Из условия стыковки фазовых траекторий на оси со8 приходим к неравенству vs ^ 0 при v8 -^ 0. Отсюда следует, что область Gs на оси о)8 выделяется неравенством

(3.107)(3.107)Fs(0, й8, CDs,

(3.107)

(3.107)

которое должно выполняться для всех значений й8 в интервале 0Сй8С2л. Поскольку левая часть неравенства (3.107) содержит и все остальные фазовые переменные, которые при рассмотрении трехмерного сечения Фз считались фиксированными, обращение (3.107) в равенство дает уравнение границы Г8 области G4 на гиперповерхности П8 в фазовом пространстве Ф.

Переход к качению без скольжения и в этом случае соответствует попаданию изображающей точки в область G8 гиперплоскости П8, а переход к качению со скольжением — к приходу изображающей точки в области G3 к границе Г8. Однако особенность этого случая состоит в том, что изображающая точка пересечет границу Г8 при определенном значении угла й8, характеризующем направление скорости скольжения колеса начинающегося качения со скольжением. При качении же без скольжения движение изображающей точки в области G8 на гиперплоскости IIs в этом случае описывается уравнениями (3.98), составленными для квазикоординат Л], . . ., л8-1, л5+2, . . ., лп с учетом равенств л8 = л8+] = 0.

Пример 3 20. Составим уравнения движения мотоцикла с учетом возможности бокового скольжения колес при следующих упрощающих предположениях: масса жестких колес пренебрежимо мала по сравнению с массой седока и рамы, которые будем считать единым твердым телом с массой т и главными центральными моментами инерции А и В. Скорость и продольного движения мотоцикла и угол ф поворота руля — заданные функции времени. Будем рассматривать лишь такие движения, при которых величина ф, угол наклона рамы %, скорость и поперечного смещения центра масс, проекции он, <о2 мгновенной угловой скорости вращения тела на главные направления центрального эллипсоида инерции — достаточно малы. Кроме вышеупомянутых, введем следующие обобщенные координаты: х, у — декартовы координаты точки соприкосновения заднего колеса мотоцикла с опорной плоскостью и угол 0 между линией пересечения средней (продольной) плоскости с опорной плоскостью и осью X.

Введем квазикоординаты ль ..., л5 при помощи соотношений

лх = ис=—х sin 0 + у cos 0 — h^ + Z0,

..••• c^h •

л2 = ^с = х cos 9 + у sin 9 + 7icx9 + -1- (ф sin X — X) Ф — -у- Ф X» (3.108)

л3 = «1 = x cos a + 9 sin a,

л4 = (o2 = —X sin a + 0 cos a,

л5 = ф,

где uc, vc — компоненты скорости центра масс, а остальные обозначения

Рис. 3.20Рис. 3.20

Рис. 3.20

Рис. 3.20

указаны на рис. 3.20. Составляя перестановочные соотношения, находим выражения коэффициентов Чаь

7123 = —7321 = 7312 = —7213 = Sin a, 7i24 = —7421 = 7412 = —7214 = cos a,

c.hC-h

V3u=-V413=^-Y313 = - Y313 = -1- (^ sin X - X) sin a,

c.h

T314 = — T413 - -y (^ sin X — x) cos a.

При сделанных упрощающих предположениях кинетическая энергия мотоцикла с седоком записывается в виде

Г* = ут(л®+ л2) + -^-(Лл^ + Вл^),

П з= — mgП з= — mgа потенциальная энергия определяется выражением

П з= — mg

П з= — mg

~Yhc^ 4--7-м>^-i-“Фsin х-х

Согласно этим выражениям уравнения (3.98), линеаризованные относительно малых величин и описывающие движение управляемого мотоцикла при

боковом скольжении обоих колес, имеют вид

тй = —mv^x sin а + to2 cos а) + ^1 + F-2.s

Л to! = Я cos а + MXFX + #Л,(3.109)

Во2 = —Я sin а — М2РХ — К2Р2,

/с Л \

% = а>1 cos а — а>2 sin а, Н — mg I Ах —

Здесь Fx, Fi — боковые реакции дороги на заднее и соответственно переднее колесо мотоцикла в точках контакта колес с дорогой. Считая их силами сухого трения, имеем

2^1,2 = —fNx,2 sign U1.2,(3.110)

если их,2 ¥= 0, и любое значение в интервале — fNx,2 < F\^ < /М,2, если щ,2 = 0;/ — коэффициент трения скольжения; Nx = mglc-1, N2 =

= mg^c— l)c-x— нормальные реакции на колеса со стороны опорной плоскости; mi, и2 — скорости бокового скольжения заднего и соответственно переднего колеса мотоцикла, определяемые выражениями

Mi = и + Мх^х — M2to2l и2 = и + Kxtox — K2to2 — Чг,

V = Clip — yip cos %, Мх = h cos а — I sin а,

Кх = h cos а + (с — Z) sin а,

М2 = h sin а + I cos а, К2 = h sin а — (с — Z) cos а.

Уравнения (3.109) описывают движение изображающей точки в четырехмерном фазовом пространстве Ф^м, %, («п, to2).

Рассмотрим другие возможные режимы движения мотоцикла.

Скользит только заднее колесо. В этом случае изображающая точка движется в фазовом пространстве Ф на гиперплоскости и2 = 0 согласно уравнениям (3.109), из которых следует исключить неизвестную величину F2 и воспользоваться соотношением

и2 = и -}- Кх^х — Я2ю2 — Ч^ = 0.

Движение на гиперплоскости и2 = 0 реализуется в области G2, опреде

ляемой неравенствами Иш и ^ 0, lim м ^ 0 или

Н {А^К^ cos а 4- В-1Я2 sin а) + В, (т'1 + А^М^ + В^М^^ —

—f^2 (m-1 -]- А-гК^ — В~гК^ — ¥ — у (о, sin а + о>2 cosa) ^ 0, (3.111)

где Fx определяется выражением (3.110). Второе неравенство, выделяющее область G2, получается из (3.111) заменой N2 на —N2 и знака ^ на знак ^.

В том случае, когда скользит только переднее колесо, уравнения движения и условия реализации этого режима качения находятся аналогично.

В случае, когда оба колеса катятся без скольжения, изображающая точка движется в области, являющейся пересечением гиперплоскостей wi = 0 и м2 = 0 согласно уравнению движения

с1х% — mgch^ — cvlx2^ ~ (Аз cos % + mcxh^ yip +

+ (mgcxl — mhv2 cos X — 7i2m cos X) ip = 0,

lx = A cos2 a + В sin2 a + mh2, Ix2 = (.В — A) sin a cos a + mhl.

8 H. В. Бутенин, H. А. Фуфаев

Этот режим движения реализуется при одновременном выполнении четырех неравенств типа (3.111), в которых

F^ = сГ2Л—17~11[/12 (ВК^ sin а — АК^ cos а) —

— 7Х (^4^2 sin а + ВКу cos а)] V + ^^ (^ц sin а “ МС^ cos а) ^ —

— сН [ Jx (с — I) + АК^ cos а — ВКг sin а]},

F^ = c~2h~ 1Z~1 |[J1O (AM2 cos а — BMX sin a) +

+ It (AM2 sin a + ВМг cos a)] 4r + mhv (AM^ cos a — BM^ sin a) V +

+ cH {AM2 cos a — ВМг sin a — ^/j)}*

Уравнения Лагранжа — Максвелла. Функция Редея

При описании движения электромеханической системы, кроме сил, имеющих своим происхождением гравитационное поле, или сил контактного происхождения, может оказаться, что материальные точки системы несут электрические заряды или токи, что приведет к возникновению дополнительных сил взаимодействия электромагнитного характера.

Для учета этого дополнительного взаимодействия Максвеллом [18] было высказано утверждение, получившее впоследствии название постулата Максвелла, основанием которого послужила глубокая аналогия между механическими движениями и процессами в электрических цепях. В самом деле, рассмотрим простейший процесс гармонических колебаний в механике и в колебательном контуре. Как известно, малые колебания грузика на пружине описываются уравнением

шх + кт = 0.(3.112)

/77777777777777777777777777777777777,/77777777777777777777777777777777777,Рис. 3.21Рис. 3.21XXУравнение (3.112) записывается в форме уравнений Лагранжа второго рода (3.25), если в качестве «механической» кинетической энергии принять Гм = V2^2, в качестве «механической» потенциальной энергии Пм = xhkx2 (здесь к — жесткость пружины, отсчет положения грузика производится от положения пружины в расслабленном состоянии, рис. 3.21), а «механической» функцией Лагранжа является Лм = Чътх2 — Чъкх2.

/77777777777777777777777777777777777,

/77777777777777777777777777777777777,

Рис. 3.21

Рис. 3.21

X

X

Уравнение, описывающее изменение заряда q на обкладках конденсатора в колебательном контуре, изображенном на рис. 3.22 (L — коэффициент самоиндукции, С — емкость конденсатора, I — мгновенное значение тока в контуре), определяется законом Кирхгофа:

(3.113)(3.113)1? + -^9 = 0.

(3.113)

(3.113)

Уравнение (3.113) тоже записывается в форме уравнений Лагранжа второго рода, если, принимая во внимание естественное соотношение i = dqldt, «электрической» кинетической энергией считать энергию

WL=T3 = 4 Lq\

содержащуюся в катушке с током Z, и «электрической» потенциальной энергией — энергию

запасенную в конденсаторе с зарядом q. Таким образом, в качестве обобщенной «электрической» координаты целесообразно принять заряд q на обкладках конденсатора, а при отсутствии

конденсатора — количество электричества, протекшее через поперечное сёченпе проводника за время т. е. величину

tq = idt.

о

Постулат Максвелла. "Уравнения ива- Рис. 3.22 жения электромеханической системы составляются в форме уравнений Лагранжа второго рода с функцией Лагранжа L, которая является суммой L^ и Еэ.

В этой формулировке предполагается, что все силы потенциальны. При наличии непотенциальных сил уравнения движения записываются в обычной форме:

=Г=7'м+7’э, Qt = QMi-vQ3i. (3.114)

Для выяснения физической природы «электрической» обобщенной силы Q3i вспомним, что мощность, подводимая к электрической цепи N3 = Ei, где Е — электродвижущая сила, создаваемая «сторонними» источниками энергии, а i — возникающий при этом в цепи электрический ток. Поскольку N = dAjdt, i = dq!dt, предыдущее соотношение эквивалентно dAg = Е dq или 6ЛЭ = = Е 6q. Отсюда непосредственно следует, что «электрическое» виртуальное перемещение эквивалентно бесконечно малому «пробному» изменению заряда, а «электрической» обобщенной силой Qgt является э. д. с. внешних источников энергии.

Пример 3.21. "Уравнения, описывающие работу электромагнитного прибора. Рассмотрим электромеханическую систему, используемую в качестве электроизмерительного прибора. Он состоит из неподвижной катушки, последовательно соединенной с вращающейся катушкой так, что при отсутствии внешней э. д. с. магнитные оси катушек перпендикулярны, что поддерживается возвратной пружиной (рис. 3.23).

Пусть I — момент инерции вращающейся катушки, Lx, L^ — коэффициенты самоиндукции неподвижной и подвижной катушек, М(а) — коэффициент взаимоиндукции, зависящий от угла а между их магнитными осями, к —- жесткость возвратной пружины, Е — э. д. с., подключаемая к клеммам

Рис. 3.23Рис. 3.23

Рис. 3.23

Рис. 3.23

электромагнитного прибора. Если г — ток, протекающий в цепи из двух последовательно соединенных катушек, то в качестве обобщенной электрической координаты выберем*

q = J i dt,

О

а в качестве механической координаты — угол а поворота катушки Ь2 (рис. 3.24). При составлении функции Лагранжа L нетрудно заметить, что

Для составления L3 = Та — Пэ необходимо вспомнить, что магнитная энер-

Рис. 3.25Рис. 3.25Рис. 3.26Рис. 3.26

Рис. 3.25

Рис. 3.25

Рис. 3.26

Рис. 3.26

гия трансформатора с током ti в первичной обмотке и с током 12 во вторичной обмотке (рис. 3.25) записывается в виде

(3.115)(3.115)

(3.115)

(3.115)

Поскольку рассматриваемый электромагнитный прибор по способу электрического соединения представляет трансформатор, у которого первичная и вторичная обмотки соединены последовательно (рис. 3.26), кинетическая электрическая энергия прибора согласно (3.115) запишется в виде

^-Tl^ + ^W + ^l з2-

Потенциальную электрическую энергию вычислять не нужно, так как конденсаторов в системе нет. Из обобщенных сил присутствует лишь Qq = Е.

Составляя уравнения Лагранжа — Максвеллаd dL dL„

где 91 = а, 92 = 9, с функцией Лагранжа

£ ™ ”2" ^^ + *2" 1^1 + ^^ ^ + ^2] ^ — "2~ ^а2’ получаем уравнения движения электромагнитного прибора

- , , dM (ос) • 2 л

/a + to-T" 5 =0-

(3.116)(3.116)[L1+2^((z) + L2]9 + 2-^a9 = ^

(3.116)

(3.116)

Обычно зависимость коэффициента взаимоиндукции М от угла а поворота катушки близка к синусоидальной кривой. Для малых углов а эту зависимость можно принять линейной, т. е. М = ba (b = const), поэтому, возвращаясь к обозначению dqldt = i, запишем уравнения (3.116) в виде

la + ka,— Ы2 — 0, [L, + 2М (а) + Л2] ^- + 2Ьаг = Е. (3.117)

Анализ этих уравнений показывает, что на вращательное движение катушки влияет дополнительный момент Ы2 пондеромоторных сил, а на протекание тока в электрической цепи — дополнительная э. д. с. индукции — 2bai, обусловленная движением проводника с током в магнитном поле. Для определения значений ao, io в состоянии покоя приравняем нулю все производные по времени в уравнениях (3.117), после чего получим ао = *о» Е = 0. Из первого соотношения следует, что угол отклонения стрелки прибора пропорционален квадрату протекающего тока; это подтверждает хорошо известный экспериментальный факт: шкалы всех электромагнитных приборов квадратичны. Однако второе соотношение (Е = 0) является, на первый взгляд, необъяснимым, потому что, вообще говоря, Е ^= 0, и э. д. с. Е является произвольно задаваемой величиной. Это противоречие объясняется тем, что все электрические проводники обладают омическим сопротивлением, не учтенным в решении этой задачи. По своему характеру омическое сопротивление подобно действию сил вязкого трения при механическом движении, поэтому рассмотрим этот вопрос в общей постановке.

Пусть система N материальных точек движется в вязкой среде. Тогда на каждую материальную точку действует сила вязкого трения FvP(v = 1, 2, ..., TV), равная, по определению, FyP = = — Avvv, гДе Av — коэффициент вязкого трения, vv —- скорость движения материальной точки относительно среды. Согласно формуле (1.34)

где введена функция Редея

N

^ = ^ 2 Avyv,

называемая еще функцией диссипации (или рассеяния) энергии. Обычно функция Релея берется в виде половины мощности рассеяния, т. е. R = —N. В самом деле, элементарная работа сил вязкого трения

d'A = У fcvvv drXl

V=1 отсюда

N ИГ = 2

Возвращаясь к уравнениям Лагранжа — Максвелла, мы видим, что учет сил вязкого трения и, следовательно, омического сопротивления в электрических проводниках сводится к добавлению к правой части уравнений Лагранжа — Максвелла члена —, где функция Релея# = мощность потерь механической энергии из-за наличия сил вязкого трения вычисляется по формуле

N

Nм2

V=1

а мощность электрических потерь из-за омического сопротивления в проводниках — по формуле

м

э = R^j^

Ц=1

где М — число омических проводников.

В результате уравнения Лагранжа — Максвелла с учетом сил вязкого трения и омического сопротивления в проводниках записываются в виде

С = 1. 2, .(3.118)

Здесь функция Лагранжа L = ZM + L^ представляет согласно постулату Максвелла сумму функции L^ составленной для механической части системы, и функции ЬЭ1 составленной для электрической части системы, которая образует в целом сложную электромеханическую систему. Обобщенные силы Qi находятся,

как обычно, в результате вычисления виртуальной работы заданных сил, а функция Релея определяется, исходя из выражения

Ум

(3.119)(3.119)я = 42 м+42V—1Ц=1

(3.119)

(3.119)

Заметим, что уравнения (3.118), наряду с известными уравнениями Кирхгофа, позволяют составлять уравнения, описывающие процессы и в чисто электрических цепях, о чем свидетельствует приводимый ниже пример из области радиотехники.

Пример 3.22. На рис. 3.27 изображен входной каскад транзисторного радиоприемника, где в качестве активного элемента использован полевой транзистор в схеме с общим истоком. Такой транзистор обладает вы

соким входным сопротивлением, что для входного каскада представляется весьма удобным. Принцип работы усилителя на полевом транзисторе такой же, как и лампового усилителя. Роль управляющей сетки в полевом транзисторе выполняет затвор (см. рис. 3.27). Под воздействием входного напряжения и^и, приложенного к затвору, изменяется величина тока, протекающего по каналу сток — исток.

Для составления уравнений, описы

вающих электромагнитные процессы

в рассматриваемой схеме, введем контурные токи Ц, ^, 7з, показанные на рис. 3.27, и тем самым обобщенные координаты

ttt

qt= i^at, q^= J i2dt, Ч^^1^-

ООО

В этих переменных функции Гэ, Пэ, 7?э имеют вид

Т3 - 4 (М + 2^1 ?2 + ^2 ^У ПЭ = Д + ^^Э ' “2” [^1^1 + ^2 ^2 + ^з ( ^2®з)2]‘

Обобщенные силы <21 = ^ь Q2 = О, Qs = Ег. Кроме того, предполагается известной зависимость г3 = ц^нзи), которая является одной из характеристик транзистора.

Составим уравнения, учитывая, что ток t3 в цепи затвора пренебрежимо мал по сравнению с токами и и г^. В этом случае функция Лагранжа Т^ и функция Релея Нэ рассматриваемой системы имеют вид

=4 S-

Яэ = -2-[М+(Д2 + ДзЫ]-

Составляя уравнения Лагранжа — Максвелла (3.118), приходим к известным

уравнениям электротехники

di di^di

которые также можно было бы получить, пользуясь законами Кирхгофа.

Уравнения Лагранжа — Максвелла особенно эффективны при описании поведения электромеханических систем, содержащих бесколлекторные электрические машины при их сложном соединении. В применении к единичной электрической машине уравнения Лагранжа — Максвелла позволяют рассмотреть многие вопросы динамики, например, явление «качания» ротора, устойчивость различных режимов движения, характер переходных процессов и др.

§ ЗЛО. Аналитическая механика и общая теория электрических машин

Рассмотренные в предыдущем параграфе электромеханические системы уже потребовали некоторого изменения математического аппарата для их описания и исследования. Вместе с тем существует обширный класс электромеханических систем, называемых электрическими машинами, которые требуют особого подхода [17, 18].

Множество различных конструкций электрических машин и их разнообразное применение в науке, в технике и в быту, начиная с мощных силовых установок и кончая тончайшими прецизионными приборами и механизмами, потребовали создания единой теории таких машин. Эта теория, являющаяся, с одной стороны, частью теоретической электротехники, а с другой стороны — своеобразной главой аналитической механики, получила название общей динамической теории электрических машин. В трактовке электрических и механических процессов динамическая теория электрических машин базируется на общих законах динамики электромеханических систем, что и является общим признаком электрических машин и электромеханических систем. Кроме того, созданию общей динамической теории электрических машин способствовали общие идеи теории нелинейных колебаний научной школы Мандельштама — Андронова, которые позволили не только подойти по-новому к традиционным задачам аналитической механики, но и объединить их с новыми актуальными проблемами теории электрических машин.

С динамической точки зрения наиболее простой моделью электрической машины является дискретная модель с обмотками, выполненными из квазилинейных проводников. Такая модель бесколлекторной машины, несмотря на наличие скользящих контактов, описывается уравнениями Лагранжа — Максвелла, причем в качестве обобщенных скоростей, наряду со скоростями механических перемещений, вводятся контурные токи. Если пренебречь сопротивлением контактных колец, то в такой идеализации характерной особенностью бесколлекторных машин является отсутствие переменных омических сопротивлений. Именно благодаря достаточной простоте уравнений движения дискретных моделей бесколлекторных электрических машин они получили

достаточно широкое распространение.

Рис. 3.28Рис. 3.28С другой стороны, теория коллекторных машин, опирающаяся на модель с квазилинейными обмотками, не получила практически никакого распространения. Это можно объяснить тем, что в такой модели коллектор рассматривается как устройство, осуществляющее коммутацию, т. е. скачкообразное изменение величины активных (омических) сопротивлений. По этой причине уравнения движения коллекторной машины оказываются весьма сложными. Таким образом, с точки зрения аналитической механики всякую коллекторную машину можно рассматривать как электромеханическую систему с переменным (зависящим от угла поворота ротора) числом степеней свободы. В качестве простейшей модели коллекторной машины последовательного возбуждения можно привести колесо Барлоу [18], схема которого приведена на рис. 3.28.

Рис. 3.28

Рис. 3.28

Пусть коллектор имеет п пластин; тогда при повороте ротора на угол А = 2п!п конфигурация проводников в системе не меняется, и движение можно представить в виде последовательности идентичных циклов. Пусть ширина щетки Ai и зазор е между двумя коллекторными пластинами таковы,

что 8 < Ai < 2А — е. Тогда каждый цикл распадается на три этапа: 1) поворот на угол А — Ai + е, в течение которого щетка касается только одной коллекторной пластины (одна «электрическая» степень свободы); 2) поворот на угол Ai — е, в течение которого щетка перекрывает две пластины (две «электрические» степени свободы); 3) мгновенный разрыв короткозамкнутого витка («ударная» коммутация). Для каждого этапа можно написать уравнения Лагранжа —- Максвелла и в результате получить связь между начальными и конечными значениями тока во внешней цепи для А-го цикла. Полученную связь можно рассматривать как уравнение движения в конечных разностях для тока во внешней цепи простейшей модели коллекторной модели.

Аналогичные разностные уравнения получаются и для более сложных схем, например, для коллекторных машин с несколькими обмотками; для цепей, состоящих из нескольких электрических машин, и т. д.

Перейдем теперь к выводу уравнений движения электрической машины, рассматриваемой как распределенная электромеханическая система с закрепленным распределением тока. Для этого пренебрежем членами порядка А = 2л/тг<1 в точных разностных уравнениях движения дискретной модели коллекторной электрической машины (например, колеса Барлоу) и затем усредним полученные уравнения. Фактически эти действия будут означать переход от обмотки из квазилинейных проводников к обмотке в виде сплошного (объемного или поверхностного) проводника (а в случае колеса Барлоу—к сплошному диску с радиальной анизотропной проводимостью), распределение тока в котором определяется положением щетки.

Полученные предельным переходом уравнения движения коллекторной машины соответствуют уравнениям такой модели, в которой ротор и статор трактуются как объемные проводники с закрепленным распределением тока.

Еще в конце девятнадцатого века на примере колеса Барлоу было замечено, что уравнения движения электромеханических систем, содержащих распределенные проводники со скользящими контактами, не записываются в форме уравнений Лагранжа — Максвелла. В связи с этим высказывались предположения, что такие системы являются разновидностью неголономных систем. Однако только в 1952 г. А. В. Гапоновым [17] была внесена ясность в этот вопрос и показано, что присоединение к распределенному (объемному или поверхностному) проводнику скользящего контакта эквивалентно наложению на распределение в нем тока неголономных связей.

Коллекторные электрические машины оказались неголоном- ными системами Чаплыгина (см. гл. 6). В 1955 г. А. В. Гапонов [18] предложил уравнения, которые могут быть положены в основу общей теории электрических машин: коллекторных, бескол- лекторных, униполярных и др.

Эти уравнения имеют вид

г

ir^---0T-^-^^-Urs = Qr (г-^2'- (ЗЛ20> 9qr qT s=i rs

где функция Z° получается из функции Лагранжа L путем использования уравнений неголономных связей, в коэффициентах которых все координаты qT заменены независимыми параметрами ursi в силу чего L° = L°(gi, q2, ..., q^ qx, q^ ...^ qh ^ih •••» Uu\.

В уравнениях Гапонова (3.120) после выполнения указанных в них операций следует положить uTS = qT.

Таким образом, общую теорию электрических машин вполне можно рассматривать как своеобразный раздел аналитической механики. При этом деление электрических машин на бесколлек- торные и коллекторные соответствует разделению систем на го- лономные и неголономные.

Для бесколлекторных машин уравнения (3.120) совпадают с уравнениями Лагранжа — Максвелла. При этом функция Лагранжа L представляет собой сумму «электрической» и «механической» функций Лагранжа L3 и LMl где L3 является магнитной энергией, выраженной через соответствующие переменные. При наличии неголономных связей функция L0 строится на основе функции Лагранжа — Максвелла L соответствующей освобожденной системы с использованием уравнений неголономных связей.

Иногда для коллекторных машин с равномерными роторными обмотками возможно непосредственное построение функции L0, о чем свидетельствует приводимый ниже пример.

Пример 3.23. На рис. 3.29 изображена модель коллекторной машины— генератора последовательного возбуждения с симметричной обмоткой гладкого ротора. При полной симметрии, когда щетки расположены одна

Рис. 3.29Рис. 3.29против другой, число пластин четное и при одинаковых начальных условиях токи в обеих частях 1 и 2 роторной обмотки (включая коротко замкнутые витки) будут равны, поэтому в динамическом отношении коллекторная машина в этом случае эквивалентна колесу Барлоу с самовозбуждением (рис. 3.28). Уравнения движения в принятой идеализации здесь будут такими же, как у более сложной электрической машины (рис. 3.29), лишь коэффициенты будут иметь несколько иной физический смысл. В обозна-

Рис. 3.29

Рис. 3.29

чениях рис. 3.29 и при учете нелинейности кривой намагничения железа уравнения движения (3.120) рассматриваемой модели записываются в виде

а 6L0 ф 9L0at V + * да +dq qа 6L0 ф 9L0at V + * да +dq qRq^Q.Rq^Q.a dL° dL° di?at are — 5<p — da =a dL° dL° di?at are — 5<p — da =(3.121)(3.121)

а 6L0 ф 9L0

at V + * да +

dq q

а 6L0 ф 9L0

at V + * да +

dq q

Rq^Q.

Rq^Q.

a dL° dL° di?

at are — 5<p — da =

a dL° dL° di?

at are — 5<p — da =

(3.121)

(3.121)

Здесь L° — функция Лагранжа системы, вычисленная так, как будто рассматриваемая система обладает одной «электрической» степенью свободы, т. е. параметры коротко замкнутого витка полностью исключаются; поэтому

q

(3.122)(3.122)L° (а, 9) = J Ф (а, g) dq + LM,О

(3.122)

(3.122)

где Ф(а, q) — поток магнитной индукции через основной контур, а угол а характеризует положение щетки в неподвижной системе координат.

При установившемся режиме выполняются соотношения

фр»0фр»0«о •С дф (а, ?)J да О«о •С дф (а, ?)J да О^ + ^^о = О,^ + ^^о = О,(3.123)(3.123)

фр

»0

фр

»0

«о •

С дф (а, ?)

J да О

«о •

С дф (а, ?)

J да О

^ + ^^о = О,

^ + ^^о = О,

(3.123)

(3.123)

9о .

_ Г 5Ф(а, ?) dq = P(3.1241

J даv

о

Если в качестве идеализации характеристики намагничения машины принять

Ф(ос, ^) = ^2^ (n2q + пх cos aq) sin а + Фо (q),(3.125)

где 721 и /г2 — эффективные числа витков, V — магнитный поток полюса, то- уравнения (3.123), (3.124) установившегося режима имеют вид

ЗдесьЗдесь^^(а, ^о) +Rqo = 0,д0^(а,^^(а, ^о) +Rqo = 0,д0^(а,£о) + Р<р = 0.£о) + Р<р = 0.(3.126)(3.126)

Здесь

Здесь

^^(а, ^о) +Rqo = 0,д0^(а,

^^(а, ^о) +Rqo = 0,д0^(а,

£о) + Р<р = 0.

£о) + Р<р = 0.

(3.126)

(3.126)

722 . sin aq0 \ Т90 + ^:— cos а +722 . sin aq0 \ Т90 + ^:— cos а +

722 . sin aq0 \ Т90 + ^:— cos а +

722 . sin aq0 \ Т90 + ^:— cos а +

+ п+ пcos aqQcos aqQsinaqnsinaqn^qo^qosin aasin aa(3.127)(3.127)

+ п

+ п

cos aqQ

cos aqQ

sinaqn

sinaqn

^qo

^qo

sin aa

sin aa

(3.127)

(3.127)

Уравнения (3.126) можно решить графически, после чего находятся условия самовозбуждения генератора. Аппроксимируя характеристику намагничения при малых токах прямой Ф = L(a)qs из уравнений движения (3.121) нетрудно видеть, что генератор самовозбуждается при выполнении неравенства

(3.128)(3.128)^^L + r<o.

(3.128)

(3.128)

2 da

§ 3.11. Уравнения в вариациях

В ряде случаев представляет интерес изучать движение системы материальных точек не глобально, т. е. во всем фазовом пространстве, а в малой окрестности другого движения, которое считается известным. Для решения этой задачи разработаны различные методы, в том числе и метод линеаризации, который заключается в составлении и исследовании так называемых уравнений в вариациях.

Рассматриваемый в этом параграфе метод позволяет изучать малые отклонения материальной системы от ее известного движения, которое называется невозмущенным движением. Эти отклонения (возмущения") могут быть вызваны, например, изменением начальных условий. Метод, развитый А. Пуанкаре, основан на составлении дифференциальных уравнений для возмущений, которые считаются малыми.

Пусть рассматриваемая материальная система подчинена го- лономным стационарным связям, a gi, ^2, ..., ^п — обобщенные координаты. Дифференциальные уравнения движения системы имеют вид

=(£= 1, 2, ._п\(3.129)

\д9г)91

Пусть для невозмущенного движения решение известно:

Qi = hW (/ = 1, 2,п);(3.130)

тогда для возмущенного движения

ffi = /iW + ^W (/ = 1, 2, ..., п^ (3.131)

где Хг^—малые отклонения (возмущения) от невозмущенного движения. Так как кинетическая энергия системы равна

Г = т22л«?ё(3.132)

1=17=1 ТО

^- = 2 А«Чз (i = 1, 2, ..., га).

Подставляя в это выражение решение (3.131) и ограничиваясь в разложении по степеням xt и х< (/ = 1, 2, ..., п) членами, содержащими Xt и Xi в степени не выше первой, получим

пп

= 2 ^iiVi + С*'Jo +

9q;з=1f=l

(t = 1, 2, ..., n\(t = 1, 2, ..., n\

(t = 1, 2, ..., n\

(t = 1, 2, ..., n\

Индекс 0 означает, что в Ai5 и производных от Ац вместо /, + #< (г = 1, 2, ..., п) подставлено ft. Далее имеем

\8qi‘5=15=1

5=17=1j=lfe=l ' Vft 0

+ 22^4[(^ ^1 ^ = V2_.,nY (3.133)

,•=1 fe=iL \ J6 / о J

атa4iатa4iВ соответствии с выражением (3.132)

ат

a4i

ат

a4i

(Z = 1, 2, ..., п).

После замены q5 и qK их выражениями (3.131) и разложения по степеням х^ и хк (j, к = 1, 2, ..., п) будем иметь

n n п / ^2\

+ 4-22 2 UrS1pjMv = 1,2, ...,ге) (3.134)

j=l й=1 v=l ' j Чг' 0

(с точностью до членов с х5 и х, в первой степени). Для обобщенных сил разложение по степеням xt и х< (Z = l, 2, ..., п) с точностью до членов с xt и xt в первой степени имеет вид

Qi (qi, q2, • • qn- qvq2, • • q™ 0=

(i = 1,2, ..., n\ (3.135)

Так как qi = fi(t') являются решениями уравнений (3.129), то справедливо равенство

5=1.7=1

= Q^= Q^(Z = 1, 2, ..., nY(Z = 1, 2, ..., nY(3.136)(3.136)

= Q^

= Q^

(Z = 1, 2, ..., nY

(Z = 1, 2, ..., nY

(3.136)

(3.136)

Подставляя теперь выражения (3.133), (3.134) и (3.135) в уравнения (3.129) и учитывая тождество (3.136), получим

тг ,ф п , пп е

2+ 5 b^jXj + 2 ^гэ^э + dij^j = 0,(3.137)

5=15=15=1^=1

гдегдеО'гз — (^гДо’О'гз — (^гДо’(3.138)(3.138)

где

где

О'гз — (^гДо’

О'гз — (^гДо’

(3.138)

(3.138)

cijcijV d Г(0Aik\ ; 11 V V ( ^^ ^ ) 7(^i)

cij

cij

" & W/o к J “ 6i 6i k Л Ы' \^ )o’

n

h=l

f ^) _ f^)ftL\^-/o \ ^i/о.

(i = 1,2, ..., и).

Система из п линейных уравнений (3.137) называется уравнениями возмущенного движения пли уравнениями в вариациях. Если невозмущенное движение таково, что коэффициенты уравнений (3.137) постоянны, то это движение называется стационарным. Для стационарного движения справедливо

^ij — ^ji ч ^ij — I I I 1

\d1'Jo

(i = 1, 2, ..., n; / = 1, 2, ..., n).

Из последнего равенства следует

(z = 1, 2, ..., п, j = 1, 2, . .., п).

71

Слагаемые 2 dij^j в уравнении (3.137) являются гироскопиче- 5=1

скими членами, так как коэффициенты d^ обладают следующими свойствами:

da = 0, da = — dA (i = 1, 2, ..., п; j = 1, 2, ..., п).

Полученные нами уравнения возмущенного движения обычно используются для суждений об устойчивости невозмущенйого движения.

Пример 3.24. В примере 3.19 было получено выражение для кинетической энергии свободного гироскопа в кардановом подвесе:

т=4 а42+4 (^х+кА+/ю<) +4(7^2+к^+7z“2)- Учитывая, что

(0вх = ~Ч sin 9, ^ву = 9, 0)BZ = Ч COS О,

вц = ф — Ч sin 0, (Оу = О, оц — Ч cos О,

а также что 7ВХ = 1ву и Iy = IZi получим

1

Т= — (АУ + Аз6' + ЛззФ2 + ^13^)- где

Лн = Л^ + 'bz + ^ + ('вх - ^BZ - ^siB е + 7, sinso,

*^22 ~ ^вх "4 Ту = 1^ ^зз = 7;)с, Л13 Z^sinO.

Уравнения движения в случае отсутствия внешних сил имеют вид

[^ + 'вг + ^ + ('вх - кг - к) Sin2 6] -

— 7Х (ф — ф sin 0) 6 cos 6 — 2 (7BZ + 7y — 7LY) ф0 sin 6 cos 0 — 0, 1^ + Ix (ф — ф sin 6) ф cos 0 + (7BZ + 7y — 7BX) ф2 sin 6 cos 6 = 0, d ••

"57 [Zx(v-ipsin0)]=0.

За частное решение этих уравнений (невозмущенное движение) может быть взято ф = фэ, 0 = Оо, ф = (о^ где со = const. Таким образом, /1 = фо, /2 = 0О) /3 = tot. Согласно формулам (3.138) имеем

«11= ZHZ1 + ZB2 + к + (кх - кг - к) ^ 60 +^Sin=60= Ц,

^22 = 7г, а^ = IXl #1з = —Ix sin 6о,#12 = —tolx COS 0о,#21 = tolx COS 0O.

Остальные коэффициенты равны нулю. Так как ^i = фо + ^ь #2 = 9о + #2, дз = tot + ^з, то уравнения возмущенного движения (3.137) представятся в виде

1ХХХ — IxtoX2 COS Оо = 0,72Т2 + IxtoXx COS 00 = 0,

^з — х\ sin 0о = с,

где с — постоянная. Решение этих уравнений имеет вид

х^ = с1 + с2 cos kt + cg sin kt,

^2 = % + |/ ~ (C2 Sin kt — C3 C0S kt\

x„ = ct + (c_ cos kt + c_ sin kt\ sin 0A + c', o\ 2о/ U

7xcoW;7xcoW;COS 0O.COS 0O.где ci, c2, c3, #4, с' — постоянные интегрирования, a

7xcoW;

7xcoW;

COS 0O.

COS 0O.

При начальных условиях t = 0, xx = 0, x^ = 0, хз = 0, ^i = 0, x^ = ^2o, хз = 0, т. e. при ударе по внутренней рамке, получим

X =2 20 (Cos ^ _ j)

1 7x<ocos0oK

х = _25_1—LJ sin kt.

Ixto COS 0O

X = -2-20 tg 0 COS kt

ix^ °

Из этих выражений видно, что возмущенное движение по каждой координате представляет собой гармоническое колебание (нутационные колебания) *). Если со достаточно велико, то амплитуды этих колебаний малы.

Глава 4

КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И МЕТОДЫ ИХ ИНТЕГРИРОВАНИЯ

. Канонические переменные. Функция Гамильтона

Дифференциальные уравнения движения в обобщенных координатах ^ь #2, ..., qn для голономной системы в случае потенциального силового поля имеют вид

= о (г = 1,2,(4.1)

dt [dqj 9qi к\

где L = T — П, л представляют собой систему п обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Вводя п новых переменных zi, 22, ..., zn как функции ts qb q2, ..., qn и qb q2, ..., q^ t. e.

Zi^zi^t, qXl q2, .... q^, q^ ^2, ..., W (^=1, 2, ..., n^

и предполагая, что эти зависимости могут быть разрешены относительно ^1, ..., qn, мы можем привести систему уравнений (4.1) к системе 2п уравнений первого порядка.

Особый интерес представляют предложенные Гамильтоном переменные, называемые каноническими:

Рг == Pi(t, qv q^ - qn, qv q^ q^ U = 1,2,...,n^ (4.2)

так как они дают возможность получить систему уравнений движения в симметричной форме, которая обладает рядом свойств, позволяющих плодотворно применять эти уравнения к изучению движения материальной системы. В дальнейшем переменные qXl q^ • • q^ Рх, Р^ ..., Рп будем называть каноническими переменными в отличие от переменных Лагранжа qx, q2, ..., qu, qXl q^ ..., qn. Система (4.2) может быть разрешена относительно qt. В самом деле, как было установлено в § 3.1, кинетическую энергию можно представить в виде

Г = Г2 + Г1 + Го,(4.3)

где п п

^2 =S -^ijqiq^

г=1 3=1

Biqb ^o =•

i=Lг=14'

9 н. В. Бутенин, H. А. Фуфаев

В соответствии с выражением (4.2) имеем

п

Рг = 2. ^ИЧз + Вь

1=1

Так как определитель этой системы)

А1^12•••^г‘^21^22’11^22Ад.л^?1^22•••22А1^12•••^г‘^21^22’11^22Ад.л^?1^22•••22= 1^1 == 1^1 =dPj9^3dPj9^3Э^Тaq^ aq^Э^Тaq^ aq^^0,^0,

А1^12•••^г

‘^21^22’11^22

Ад.л

^?1^22•••22

А1^12•••^г

‘^21^22’11^22

Ад.л

^?1^22•••22

= 1^1 =

= 1^1 =

dPj

9^3

dPj

9^3

Э^Т

aq^ aq^

Э^Т

aq^ aq^

^0,

^0,

то она разрешима относительно q^ q^ ..., q-n. Гамильтон ввел в рассмотрение функцию

и = 2 РгЧг —(4.4)

2=1

п

которая называется функцией Гамильтона. Сумму 2 Р^г на ос- 2=1

новании (4.2) и (4.3) можно записать следующим образом:

ппVVат•Л Piqi = Z.—qt2=12=1aqtппVVат•Л Piqi = Z.—qt2=12=1aqt

пп

VVат•

Л Piqi = Z.—qt

2=12=1aqt

пп

VVат•

Л Piqi = Z.—qt

2=12=1aqt

По теореме Эйлера об однородных функциях

2=1 aq^^=1 dq^

и, следовательно,

i Piqi = 2Т2 + т v

2=1

Таким образом,

Я = 2Г2 + Г1-(Г2 + Г1 + Г0-П)=Г2- Т’о+П. (4.5)

Если рассматриваемая материальная система стационарна, то Т = Т^ и

я = т2 + п = г + п,

т. е. функция Гамильтона равна полной механической энергии системы.

Переменные pt называются обобщенными импульсами).

Пример 4.1. Найти функцию Гамильтона для математического маятника длины Z, точка подвеса которого совершает движение по вертикальной окружности радиуса г с постоянной скоростью ио (рис. 4.1).

За обобщенную координату примем q = ф. Так как

хА = г cos Ak t + I cos ф,

У А = Г sin^- t + I sin Ф,

4.14.1Рис.Рис.ф — Al tф — Al tтоr=4-(^+ti)-тоr=4-(^+ti)-= А_ т I2®'2 I= А_ т I2®'2 IЗдесь несущественное постоянное слагаемое от-

4.1

4.1

Рис.

Рис.

ф — Al t

ф — Al t

то

r=4-(^+ti)-

то

r=4-(^+ti)-

= А_ т I2®'

2 I

= А_ т I2®'

2 I

брошено. При нахождении обобщенных сил все связи считаются мгновенно остановленными (§ 3.2); поэтому за потенциальную энергию мы можем принять*)

П = —mgl сой ф.

Функцией Лагранжа будет

L = Т — П = -А- т /2ф2 + 2v 7ф cos ( ф — Al t) + mgl cos ф,21°\ r

откудаоткудар _. _- _ mi ф -^-mv I cos I ф — —дф\7р _. _- _ mi ф -^-mv I cos I ф — —дф\7Р%ф = --2 — -у- COSmlLР%ф = --2 — -у- COSmlL4Д4Д(4.6)(4.6)и следовательно,

откуда

откуда

р _. _- _ mi ф -^-mv I cos I ф — —

дф\7

р _. _- _ mi ф -^-mv I cos I ф — —

дф\7

Р%

ф = --2 — -у- COSmlL

Р%

ф = --2 — -у- COSmlL

4Д

4Д

(4.6)

(4.6)

Составим функцию Гамильтона

dL •19 • 9

Я = — ф — L = ml ф — mgl cos ф,(4.7)

дф

Если р0 = 0, то

Р2

Я = уд —mgl cos ф = Г 4-П = к. тг

Мы получили интеграл энергии, так как в рассматриваемом случае связи стационарны и L не зависит от t явно. Подставляя выражение (4.6) в функцию (4.7), получим

Я = “2“ ml^Я = “2“ ml^2— mgl cos ф.2— mgl cos ф.(4.8)(4.8)

Я = “2“ ml^

Я = “2“ ml^

2

— mgl cos ф.

2

— mgl cos ф.

(4.8)

(4.8)

ФункцияФункция§ 4.2. Канонические уравнения. Первые интегралы движения

Функция

Функция

п

Н= ^РгЧг — Ьг=1

является функцией t, qb q2l ..., qn, q^ q^ ..., q^ P\, p^ Pn,

пока в ней не произведена замена всех gi, q2l ..., q^ на Pi, p2l ..рп. Следовательно,

ппп

бя = 2 (ьР№+ рм^ - 2 S- 2 б^-

<=1i=l JUi=l S^

Так как в силу (4.2)

= 2 = 6^’

1=11=1 ддг

ТО

бя = 2 qM —^^ ^^^<4-9)

Выразив из соотношений (4.2) обобщенные скорости ср через pt и подставив их в функцию (4.4), получим, что Н будет уже функцией только t, q^ q2, ..., qUl px, p2, ..., pUl t. e.

H — H(t, qx, q2,q^, pi, p2l ..., p^.(4.10)

Тогда можно записать, что

(4.1*)

1=1 г 1=1 г

Сравнивая выражения (4.9) и (4.11), имеем

Приравнивая коэффициенты при одинаковых вариациях в правой и левой части этого равенства, получим

6Н гх dL дН л /. ло\

^1 — 7— = о, -—н — = О (1 = 1,2,...,^),

Поскольку Рг = ^-. то из уравнений (4.1) следует, что

ЭР _ •dq^ at Рге

(4.14)(4.14)

(4.14)

(4.14)

Таким образом,

Полученная система 2п уравнений первого порядка называется системой канонических уравнений (или уравнений Гамильтона). Если действующие на материальную систему силы не потен

циальны, то уравнения Лагранжа имеют вид

(4.13)(4.13)£(^-^ = (24 (i = 1,2, . .., й),

(4.13)

(4.13)

« Йо. д^

Пусть среди обобщенных сил есть как потенциальные, так и непотенциальные силы. Тогда уравнения движения (4.13)

можно записать в канонической форме, которая, как нетрудно убедиться, имеет вид

• дн , А • он

(i = l, 2, ...п\

где символами Q^ обозначены непотенци

альные силы.

Составим канонические уравнения Гамильтона для примера, рассмотренного в предыдущем параграфе.

Так как функция Гамильтона имеет вид (4.8), то

и следовательно,

р = — mluQр = — mluQ

р = — mluQ

р = — mluQ

Пример 4.2. Точка М массы m притягивается к двум неподвижным центрам М\ и М2 силами, пропорциональными расстоянию точки от этих центров (рис. 4.2). Найти траекторию точки для начальных условий 1=0, х = 0, х = у0, у — Ъ > а, у = 0, z = h, г = 0. Расстояние между центрами MiM2 = 2а.

Начало координат О мы предполагаем в середине отрезка МХМ2, ось у направим по направлению отрезка MiM2 от О в сторону М2. За обобщенные координаты примем декартовы координаты точки, т. е. q\ = я, qi = у,

§з *= z. Выражения для кинетической и потенциальной энергии соответст- венно имеют вид

г = _|_т(Ж-2+;»+;»),п=Аг2+_^.Р2,

где ci и С2 — коэффициенты пропорциональности,

г2 = х2 + (у + а)2 + z2, р2 = х2 + (у — аУ + z2.

Так как pi = тх, р2 = ту, р^ = тх, то

я = А (р2 + р® + р2) + А [ж2 + (У + а)2 + z2] + А [ж2 + (у - af + z2]. 2m х 1 z d/ 22

Следовательно,

он-он

Р1= -—х = -с1х~с^Р^-^^-^У^-с^у-а),

• ЭН• Рг0212 ’т• ЭН• Рг0212 ’ту = —1, Z — —А . тту = —1, Z — —А . ттОтсюда получаем уравнения движениях + к2х = О, у + к2у = N, z + к2х = О, гдед2 = fl+Л , Л = (С2 * С1) ат 'т *Общими решениями этих уравнений будутх = Аг cos kt +J#i sin ^Nу = A. cos kt + B_ sin kt + -Q-,z = A3 cos kt + Bg sin kt.Используя начальные условия, получимЛ^О. В1=-^, ^2=6-^. В2=°- А3=^ 53=° и, следовательно,Отсюда получаем уравнения движениях + к2х = О, у + к2у = N, z + к2х = О, гдед2 = fl+Л , Л = (С2 * С1) ат 'т *Общими решениями этих уравнений будутх = Аг cos kt +J#i sin ^Nу = A. cos kt + B_ sin kt + -Q-,z = A3 cos kt + Bg sin kt.Используя начальные условия, получимЛ^О. В1=-^, ^2=6-^. В2=°- А3=^ 53=° и, следовательно,х = A. sin kt, y=(b^.^cos&t+A, z = hcoskt.«\к2 /*2х = A. sin kt, y=(b^.^cos&t+A, z = hcoskt.«\к2 /*2Если h = 0, то z = 0, т. е. движение происходит в плоскости ху. ТраектоЕсли h = 0, то z = 0, т. е. движение происходит в плоскости ху. Траекторией движения будет кривая второго порядка —рией движения будет кривая второго порядка —эллипсэллипсЛ2Л2(у - w^2)2(у - w^2)2(b — Nlk2^(b — Nlk2^= 1.= 1.Пример 4.3. Составить канонические уравнения для плоского движения материальной точки М массы т, притягиваемой к двум неподвижным центрам силами, обратно пропорциональными расстояниям от точки до притягивающих центров Мх и М2 [23]. Начало координат возьмем в середине отрезка ЛГ^г и направим ось х па отрезку М^М2 от Мх к М2 (рис. 4.3). Длина отрезка МХМ2 = 2а. Выраже-Пример 4.3. Составить канонические уравнения для плоского движения материальной точки М массы т, притягиваемой к двум неподвижным центрам силами, обратно пропорциональными расстояниям от точки до притягивающих центров Мх и М2 [23]. Начало координат возьмем в середине отрезка ЛГ^г и направим ось х па отрезку М^М2 от Мх к М2 (рис. 4.3). Длина отрезка МХМ2 = 2а. Выраже-

• ЭН• Рг

0212 ’т

• ЭН• Рг

0212 ’т

у = —1, Z — —А . тт

у = —1, Z — —А . тт

Отсюда получаем уравнения движения

х + к2х = О, у + к2у = N, z + к2х = О, где

д2 = fl+Л , Л = (С2 * С1) ат 'т *

Общими решениями этих уравнений будут

х = Аг cos kt +J#i sin ^

N

у = A. cos kt + B_ sin kt + -Q-,

z = A3 cos kt + Bg sin kt.

Используя начальные условия, получим

Л^О. В1=-^, ^2=6-^. В2=°- А3=^ 53=° и, следовательно,

Отсюда получаем уравнения движения

х + к2х = О, у + к2у = N, z + к2х = О, где

д2 = fl+Л , Л = (С2 * С1) ат 'т *

Общими решениями этих уравнений будут

х = Аг cos kt +J#i sin ^

N

у = A. cos kt + B_ sin kt + -Q-,

z = A3 cos kt + Bg sin kt.

Используя начальные условия, получим

Л^О. В1=-^, ^2=6-^. В2=°- А3=^ 53=° и, следовательно,

х = A. sin kt, y=(b^.^cos&t+A, z = hcoskt.

«\к2 /*2

х = A. sin kt, y=(b^.^cos&t+A, z = hcoskt.

«\к2 /*2

Если h = 0, то z = 0, т. е. движение происходит в плоскости ху. Траекто

Если h = 0, то z = 0, т. е. движение происходит в плоскости ху. Траекто

рией движения будет кривая второго порядка —

рией движения будет кривая второго порядка —

эллипс

эллипс

Л2

Л2

(у - w^2)2

(у - w^2)2

(b — Nlk2^

(b — Nlk2^

= 1.

= 1.

Пример 4.3. Составить канонические уравнения для плоского движения материальной точки М массы т, притягиваемой к двум неподвижным центрам силами, обратно пропорциональными расстояниям от точки до притягивающих центров Мх и М2 [23]. Начало координат возьмем в середине отрезка ЛГ^г и направим ось х па отрезку М^М2 от Мх к М2 (рис. 4.3). Длина отрезка МХМ2 = 2а. Выраже-

Пример 4.3. Составить канонические уравнения для плоского движения материальной точки М массы т, притягиваемой к двум неподвижным центрам силами, обратно пропорциональными расстояниям от точки до притягивающих центров Мх и М2 [23]. Начало координат возьмем в середине отрезка ЛГ^г и направим ось х па отрезку М^М2 от Мх к М2 (рис. 4.3). Длина отрезка МХМ2 = 2а. Выраже-

ния для кинетической и потенциальной энергии соответственно имеют вид 4••с^т ст

Т =П = — A- -А,

где ci и с2 — коэффициенты пропорциональности, р = у (ж + а)2 + ^ г — у^ _ д)2_|_ ^

За обобщенные координаты примем

x=i(r+f,>’ н = ^-(г-р).

Так как г+ р ^ 2а и |г—р| ^ 2а, то координаты % и ц, которые называются эллиптическими координатами^ могут принимать только те значения, которые удовлетворяют неравенствам

1 ^ X ^ ОО, —1 < ц < 1.

Из выражений для р, X, г и ц следует, что

х = — аХц,у = аУ(Х2 — 1) (1 — ц2).

Находя теперь

х = — а(Хр + рХ),

получим выражения для кинетической и потенциальной энергий:

ТТ12-^ тпа12-^ тпа(хр + ^)2 +(хр + ^)2 +1 т(£1 т(£221!-11-у*1!-11-у*

Т

Т

12

-^ тпа

12

-^ тпа

(хр + ^)2 +

(хр + ^)2 +

1 т(£

1 т(£

2

2

1!-11-у*

1!-11-у*

слтстт

п - - ^ - мймГ, - - ТбгзД «'■+ '->1 + <‘. - с-> “I-

Вычислив

р 9-I=mW_ ^ ^, рй=9-1--=- та1 (X2 - Н2) ax^ -12 duи — 1

и подставив полученные значения в выражение для кинетической энергии, получим

Следовательно,

4

я = м^ -^.^ to; № -о+^о- н’)] -

_ «(Iи’) К-1 + У1 + ('1 - =1) Ч-

Каноническими уравнениями будут

1(1-R2) М+Р2)таЧХ1-^?1(1-R2) М+Р2)таЧХ1-^?

1(1-R2) М+Р2)таЧХ1-^?

1(1-R2) М+Р2)таЧХ1-^?

И (X2 — 1) (р| — Р2)та2(х2-Ц2)2И (X2 — 1) (р| — Р2)та2(х2-Ц2)2

И (X2 — 1) (р| — Р2)та2(х2-Ц2)2

И (X2 — 1) (р| — Р2)та2(х2-Ц2)2

АА 1С1(Х + ^ ~ С2 ^ ~ ^Ь а кХ- И )

: = Рх (А2 - 1)• = Р2 (1 - И2)

та1 (X2 — ц2) ’ та2 (Х2 — р2)

Переходим теперь к рассмотрению условий, при выполнении которых имеют место интегралы движения. Как мы увидим, все первые интегралы канонических уравнений оказываются циклическими.

В общем случае функция Гамильтона Н является функцией времени, п обобщенных координат и п обобщенных импульсов, т. е.

Я = Я(£, gi, 92, ..., Qn, Рь Р2, ..., Рп).

Циклическими координатами мы ранее назвали обобщенные координаты, не входящие в явном виде в функцию Лагранжа. При выводе канонических уравнений было установлено, что

0L дН с лх

-~ — = — (г = 1, 2, ..., nV

т. е. если частная производная от L по 9< равна нулю, то будет равна нулю и частная производная от Я по 9<. Следовательно, циклические координаты не входят и в функцию Гамильтона.

Предположим, что первые к обобщенных координат являются циклическими, тогда согласно уравнениям (4.12)

•дН л е дН ,., о 7 х

Отсюда

Рз = сз и ?> = ^(/= 1, 2, .... А),(4.15)

где с5 — постоянные интегрирования. Функция Гамильтона теперь будет зависеть от времени t, п — к обобщенных координат, п — к обобщенных импульсов и к постоянных интегрирования с£

H = H^ts 9k+l, 9k+!21 • • •, 9», Pk+b P*+2, • • ., Pn, Cl, c2, • . ., Ch).

(4.16)

Используя (4.12), получим

Рк = -^ ‘^-^ ^ = k+i, к+2,(4.17)

т. е. систему 2п — 2к дифференциальных уравнений первого порядка относительно рх и qx. Решения этих уравнений будут со-

держать 2Х = 2(п — к) произвольных постоянных интегрирования сК и сх> а также постоянные интегрирования с^ т. е.

Рк = Px(t, СК, с^ с5\ Як = 9к(.^ ск, ск, Cj) (X = fc+1, ....п).

Подставляя эти решения в функцию Н (4.16) и затем пользуясь выражениями (4.15)

95= др: (7 = 1,2, ...Л^ найдем

q^^dt-VC)

где Cj — новые постоянные интегрирования.

Следовательно, при наличии к циклических координат решение задачи сводится к решению системы уравнений (4.17), порядок которой уменьшен по сравнению с первоначальной на 2к единиц.

Дифференцируя функцию (4.10) по времени t, получим

ОН _ at "

ан , x эн • , ; "at +

у ан •

Д э?аРР

i=l 1

Учитывая,

ЧТО

q% =

- 6JL

” Op?

•ан

= 1,2, ..., п\

найдем

ан

nn

у он он у бг9^ Д

8Н_9_н__эн_

at

= — 0t

dqi dpt — at ■

Если время t не входит явно в выражение функции Гамильтона Н, т. е. является циклической переменной, то 9H!8t = 0 и, следовательно, dHldt^O. Таким образом, мы получаем еще один первый интеграл — интеграл Якоби

Н = Н = const.

Для стационарных связей Т = Т^* следовательно,

Я = Г+П = й, (4.18)

т. е. функция Гамильтона в случае стационарных связей и консервативных сил является постоянной величиной, равной полной механической энергии системы.

Пример 4.4. Составить канонические уравнения для гироскопического маятника (рис. 4.4). Ротор имеет массу rni, а его центр тяжести находится на расстоянии 1\ от неподвижной точки О. Груз В имеет массу тп2 и рас-

положен от неподвижной точки О на расстоянии Z2. Массой стержня и кольца пренебречь.

Ось у подвижной системы координат Ox'y'z' направим по стержню, а ось xf — горизонтально, перпендикулярно к стержню. Система координат

Рис. 4.4Рис. 4.4

Рис. 4.4

Рис. 4.4

Axyz имеет оси, параллельные осям системы координат Ox'y'z' (рис. 4.5). За обобщенные координаты примем

Ч\ = Ф, 02 = 6, 0з = ф,

где ф — угол поворота ротора вокруг оси у, а 0 и ф определяют положение

А

и груза соответственно

zia == lx cos 0; zib = —к cos 0.

Проекциями угловой скорости ротора на оси системы координат Axyz будутшх = —О, (Оу = ф cos 9 4- Ф, coz = ф sin 0.

Составим выражение, для кинетической энергии

7 = 4 тА + 4 (Z«®« + ZX + z^’) + i "A*

Так как

"л =+ "«гл + ®ia=zi (о2+₽ sin2e),

ув=жв + У1в+ z^s = Z® (0а ч- я>2 sin2 0) и lx = Izs то

г = 4 К771?! + m2Z2 + Q (о2 + 'И sin2 6) + Ту (-ф cos 0 + ф)2].

Выражение для потенциальной энергии имеет вид П = mxgzXA-V m2gzXB = (/niZi — m^g cos 0.

Найдем теперь обобщенные импульсы

Р. = —т — Лф sin2 0 +(ф cos 6 + <р ) cos 0, дфу

ат Р= — = Ае, 250

^.^ = г(ф cos 0 _|_ ф),

4 5ф 8

где А = гп^ + ^^2 + ^х* Решая эти уравнения относительно ф, 0 и ф, получим

P^^cosO рй р3 P1-pscos0

^=2а—, 0==”Т> ф = -у-—у";"2а—cos0.

Л sin 0А1у Л sin 0

Функция Гамильтона будет выражаться формулой

н-т+в-4лн-т+в-4лpi + -^-pi + -^-— Р3 cos 0)2— Р3 cos 0)2sin20sin20•V^--VVmi4-mil^8C0S^- 1 У•V^--VVmi4-mil^8C0S^- 1 У

н-т+в-4л

н-т+в-4л

pi + -^-

pi + -^-

— Р3 cos 0)2

— Р3 cos 0)2

sin20

sin20

•V^--VVmi4-mil^8C0S^- 1 У

•V^--VVmi4-mil^8C0S^- 1 У

Обобщенные координаты ф и ф являются циклическими. Поэтомуан . ан Л^1 дф ~^» ^з дф ~ ^’

т. е. рх = с1? рз = с3. Отсюда

Н = А_ 2ЛН = А_ 2Л„2(^-^cosO)2 'Ра+ ^?0 I„2(^-^cosO)2 'Ра+ ^?0 Iс2

Н = А_ 2Л

Н = А_ 2Л

„2(^-^cosO)2 '

Ра+ ^?0 I

„2(^-^cosO)2 '

Ра+ ^?0 I

+ 2^ + Wi ~ "Vs) 8 cos 0.

Составляем теперь канонические уравнения

дН ^А-^). Q (C1-C3COS0)(C3-C1COS0)

—90 - =A ^sm 61^501

. 6В Р2 • ct-c cos0 . с3 ^-^cosO

0 = -Т = —-Т- Ф =п~ ф = -у- —*п~— cos €

^Р2^Л sin20ly A sin26

Отметим, что данная система имеет интеграл энергии

н = Т + П = h.

потому что время t также является циклической переменной.

§ 4.3. Теорема Якоби — Пуассона

Если для всех значений д< и ptl являющихся решением канонических уравнений

Рг = --^ q^="8Tt 0= 1-2.(4.19)

какая-либо функция /(£, дь 92, ..., qnn Pi, р^ ..., рп) сохраняет постоянное значение, то

Ж 9ь 92, ..., 9n, Рь Р^ .... Рп)=с

называется интегралом канонических уравнений.

Например, если функция Гамильтона не зависит явно от времени t, то при движении системы она сохраняет постоянное значение; следовательно,

^(9ь 92, ..., 9n, Pi, Р2, ..., рп) = h

есть интеграл канонических уравнений. Если обобщенная координата qk является циклической, то

рн = const

— интеграл уравнений (4.19).

Предположим, что нам известны ^п интегралов уравнений (4.19), т. е.

/Ж 9ь 92, • •» 9n, Pi, Р2, ..., Рп) = с^ (k = 1, 2, ..., 2П),

(4.20)

где Сь — постоянные величины). Разрешая систему уравнений (4.20) относительно q^ и р^ получим

9< = qA^ сь с^ .... c^nV

(4.21)

Pi^Pi^t, С1, С2, . .., С2п) (^=1, 2, ..., п^

т. е. решение уравнений (4.19). Если же число интегралов меньше 2п, то с их помощью можно судить лишь о некоторых свойствах движения. Отсюда вытекает естественное желание получить возможно большее число независимых интегралов.

Прежде чем перейти к доказательству теоремы Якоби — Пуассона, которая в некоторых случаях позволяет по двум имеющимся интегралам получить третий, рассмотрим некоторые свойства так называемых скобок Пуассона. Пусть ср и гр являются

функциями t и 5i, pi (i=l, 2, ..., nV Для операций над этими фукциями вида

<9ф_5ф

^ аргdip дф

5^7 д^

Пуассон ввел обозначение (ср, гр).

Итак,

п

(Ф) ^ = У ^ ^ _21Y(4.22)

VP '” ^i 9Рг 9Рг 89г )

Это преобразование называется скобками Пуассона. Из рассмотрения выражения (4.22) следует, что

(ф, Ф)=-(Ф. ф);

(cq>, ф) = с(<р, ф) (c = const);

-^(ф-ФН^Ф^Щф,-^-);

если кроме функций ср и гр рассмотреть еще какую-либо функцию %(£, 5<, piV то в соответствии с (4.22) можно записать

(ф + Ф, х)=(ф, х)+(Ф, х);

путем непосредственных вычислений получаем тождество Пуассона:

((ф, Ф), х) + ((Ф, х)> ф) + ((Х, ф), ф)=о.(4.23)

Тождество Пуассона можно доказать и проще. Каждый из членов этого тождества в силу (4.22) должен содержать вторые производные от функций, входящих во внутренние скобки Пуассона, причем каждая вторая производная какой-либо функции будет умножаться на первые производные от двух других функций. Значит, если доказать, что рассматриваемое выражение (4.23) не содержит вторых производных от функций ср, гр и %, то тождество будет доказано. Рассмотрим сумму

((Ф. х), ф) + ((х, ф). Ф) = ((Ф, х). ф) —((ф. х). Ф) =

= (Ф, (Ф, х))-(ф. (Ф, х))

п докажем, что она не содержит членов с вторыми производными от функции %. На основании (4.22) можно записать

dip d(p "8^"8qldip d(p "8^"8ql/ d(p dip/ d(p dip~8^ 9Pi / 9Ph 99i~8^ 9Pi / 9Ph 99idtp dipdtp dipdip d(p \"9P^"89i)dip d(p \"9P^"89i)8\8qh dpi8\8qh dpi

dip d(p "8^"8ql

dip d(p "8^"8ql

/ d(p dip

/ d(p dip

~8^ 9Pi / 9Ph 99i

~8^ 9Pi / 9Ph 99i

dtp dip

dtp dip

dip d(p \"9P^"89i)

dip d(p \"9P^"89i)

8\8qh dpi

8\8qh dpi

ИЛИ

(^ (<Р, х)) - (Ф» ОР» X)) =

7171

V Г dipОdipd 1 V / dq)d% dtpd% \ nn

2

dф8dф8 1 V / dtpdx _dtpd% \

„=1 L 8qk8pk8pk8qk ^ \ 8qi9Pi9Pi9Чг )

8(p dtp \ d2x . 8qk 8qt ) 8pk dPi

/ ^ ^ф dtp dip \d2%

+ (^ ^ ” "^ дрг у "d^d^T

+ члены, не содержащие вторых производных от %.

Если в полученном выражении заменить i на к, а к на i, то выражение под знаком двойной суммы изменит знак на обратный. Следовательно, двойная сумма равна нулю и исходное выраже

ние

(№ X), ф) + ((х, Ф), Ф)

не содержит членов со вторыми производными от х- Аналогично можно показать, что выражения

((ф. Ф), х)+'((х, Ф), Ф) и ((Ф, ф), х) + ((ф, х), Ф)

не содержат соответственно членов со вторыми производными от ср и гр. Тем самым доказывается тождество Пуассона.

Предположим теперь, что функция

/(^ 9ь 92, . ., 9n, pi, Р2, ..., Рп)

такова, что для gi, q^ ..., qni pi, рг, ..., Pn, являющихся решениями канонических уравнений (4.19), справедливо равенство

Rt, qi, qi, • ••, qn, pi, P2, .p^ = c,

выполняющееся для заданного с при определенных начальных условиях*). Отсюда получаем

71

Xгг )

*^ Иными словами, /(t, gi, g2) ..., ^п, Рь Рг^ . •., Pn) = с является интегралом канонических уравнений (4.19).

или в соответствии с уравнениями (4.19) п

\ 8qi 9рг 9pi 9qi /’

т. е.

| + (№0.(4.24)

Верно и обратное утверждение, а именно: если для некоторой функции /(^, д, р) имеет место тождество (4.24), то /(f, g, р) = с является первым интегралом канонических уравнений (4.19).

Теперь сформулируем следующую теорему:

Теорема Якоби — Пуассона. Пусть f(t, q, p^ci и ^(t^ q, p) = C2 являются первыми интегралами канонических уравнений (4.19). Тогда скобка Пуассона, составленная из этих функций и приравненная постоянной, т. е. У, гр) = сз, тоже будет первым интегралом уравнений (4.19).

Доказательство. Так как / = ci и гр = сг — интегралы уравнений (4.19), то согласно (4.24) имеем следующие тождества:

-^+(/,Я)^0, ^+(ф,Я)^0.(4.25)

С другой стороны, на основании свойства скобок Пуассона

/, , ч i Of . \ . / , дгр \=+ У

Значит, выражение

с учетом (4.25) может быть переписано в виде

-((/, Я), ^-U, (ф, я))+((/, ф), я)

ИЛИ

((/, ф), Я) + ((ф, Я), /) + ((Я, /), ф),

а последнее тождественно равно нулю в силу (4.23). Таким образом, доказано, что

4т^ Ф) + ((/,Ф),Я) = 0,

т. е. (/, гр) = сз является интегралом канонических уравнений (4.19).

При нахождении нового интеграла при помощи теоремы Якоби — Пуассона следует иметь в виду, что он может оказаться тождественно равным нулю или быть функцией от ранее известных интегралов (т. е. не будет независимым).

Пример 4.5. Для свободной изолированной материальной точки существуют интегралы количества движения

рх = тх = ci, Ру = ту = с2, pz = mi = с3 и момента количества движения

Кх = ург — 2>Ру = С4, Ку = zpx — xpz = С5, Кх = хру — урх = Сб.

Покажем, что

(КХ) Ку) = Кх = с6.

В самом деле, акх дки акх дк^ акх ак /1777 \~L। хL

дх Эрх дрх Эх ' ду дру

акж аку дКх аку _ экх аку

8 Ру ду + 8z 8рг 8рх 8z —

= (~ ^) (~ ^ - УРх=хРу-УРх="Ч

4.4. Метод канонических преобразований.

Преобразование Лежандра

Цель канонических преобразований, т. е. перехода от одних канонических переменных gi, q^ ..., q^ pi, P2, ..., Pn к другим каноническим переменным qv ^2» • • • , q^ Рп P^ • -ч Pn состоит в том, чтобы уравнения движения, записанные в новых канонических переменных, были бы проще и допускали если не полное, то хотя бы частичное интегрирование.

При составлении уравнений Лагранжа или канонических уравнений Гамильтона выбор обобщенных координат был произволен в том смысле, что за такие координаты можно было выбрать любые п независимых между собой величин, однозначно определяющих положение рассматриваемой динамической системы. Форма этих уравнений не зависит от той системы обобщенных координат, которая выбирается. Это значит, что если от каких-либо обобщенных координат qi, q^ ..., qn перейти к новым обобщенным координатам q^q^ -.-^п по формулам

q\ = qi(qv 421 • -1 4^ t) (i = 1,2, . .., п^ (4.26)

то вид уравнений Лагранжа и Гамильтона останется прежним. Преобразование координат (4.26) называется точечным.

Если же в канонических уравнениях (4.12), содержащих 2п+1 переменных gi, #2, ..., q^ pi, Р2, ..., Pm t, перейти к но/ // / //

вым переменным qv q^ . .q^ Pv P21 • P по формулам *)

qi = qi(t,qvq2> ...,qn,Pi,p2, ..чРп\,,

,,(4.2/)

Pi = Pitt, qvq^ . ..,qn,Pv p2, ■ -^Pn) (i = 1, 2, ..n),

*) Предполагается, что уравнения (4.27) разрешимы относительно Qh ^2, . . ., ^П, Pl, P2) . . ., Рп*

то в общем случае канонические уравнения своей формы (4.12) не сохранят. Однако существуют такие преобразования переменных, при которых канонические уравнения сохраняют свою форму. Такие преобразования называются каноническими.

Прежде чем рассмотреть канонические преобразования, познакомимся с преобразованием Лежандра, имеющим в теории канонических преобразований существенное значение. Пусть дана какая-либо функция ф от п = 2s + 1 переменных #1, х^ ..., xnv

ф = ф(^1, х^ .... хп),

которую будем называть производящей по отношению к переменным xi, Х2, хз, ..., Хп-ь Введем новые переменные, определяемые из соотношений

= 5 0 = 1.2, ..,^-1).(4.28)

Тогда дифференциал от функции ф будет иметь вид

n—1

<4-29>j=i*

Разрешая уравнения (4.28) относительно старых переменных #1, #2, Жз, • •Жп-1, получим*)

= ^,(У1, Уг, ..., y„-i, Ж„)0=1, 2, ..., n — 1).

Эти формулы обратного преобразования от новых переменных к старым можно записать в форме (4.28). Для этого выберем функцию Т от переменных yi, уз, ..., Уп-ь х»

Т = Т (уЬ у2, ..., У„-1, Ж„) так, чтобы

=0 = 1,2,...,72-1).(4.30)

Полный дифференциал от функции Ф равен

п-1

=^ xtdyt -V dxn.(4.31)

i=iп

Функцию 4е называют производящей по отношению к переменным z/i, z/2, у^ ..., z/n-ь Переход от переменных xi, Х2, ..., хк-\ к переменным z/i, уг, ..., z/n-i и от функции ф к функпии Т называется преобразованием Лежандра.

Это преобразование можно осуществить с помощью соотношения

п—1

^ = 2 «гУг — Ф-

г=1

*) Мы предполагаем, что функция ф обладает для этого всеми необходимыми свойствами.

10 н В Бутенин, Н. А. Фуфаев

В самом деле, так как

п—1п—1

dT = 2 ^г dyt + 2 У г d^i — dtp, i=li=l

а dtp выражается формулой (4.29), то

n—1

dV = 2 dyi — dxn. i=i”

Сравнивая это выражение с выражением (4.31) и приняв во внимание соотношения (4.30), получим

Xi = -^- (i = 1, 2, . .n — 1)

И

(4.32)

^n9zn

Таким образом, соотношения (4.28), (4.30) и (4.32) определяют прямое п обратное преобразования (преобразования Лежандра) .

Пусть теперь требуется перейти от старых переменных ^1, х^ ..., жп-ь хн к новым переменным х^ х2, ..., х8, ys+i, Уза-21 -- -1 Уп~ь хп и от функции tp(^i, x2l ..., х^ к функции ^ (^ь ^2, • • •, ж*, у,^^ ..., уп-1, хп). В этом случае преобразование можно осуществить с помощью формулы

V = 2 хгУг — ^»(4.33)

i=s+l

Так как

n—1n— 1

d?¥ = 2 жг dyi + 2 У г ^х, — йгр, 2=s+li=s+l

a

= 2 ^-^ + 2 У'аж* + i=i ^i=s+ln

TO

a^ = 2 x ^У1 2 irdXi dx dXn* t=s+li=l ^n

С другой стороны,

jnr V dV ,, V1 ^ , , dV ,

d4r = 2-a^ dx^ + 2 -9Tdy^ ^Tdx-

i=l гi=s+l гn

Сравнивая правые части этих выражений, получим формулы преобразования

= — -Т— (t = 1, 2, .$),

Xi = ly- U = s + ^i • • - n — 1),(4.34)

ЛТ — _ _£2L

В качестве примера преобразования Лежандра рассмотрим переход от переменных Лагранжа t, qi, ср к переменным Гамильтона ^ q<, pt. Напомним, что pi = дЬ)дср [см. равенство (4.2) ]. Из уравнений Лагранжа

/ dL \ dLqv

-37 —— 1— 4— = о(г =1,2, . ..,п)

at nда,х7

\ 91г )1

следует, что

^^"^ (i = 1,2, .п).

В качестве производящей функции от переменных Лагранжа возьмем функцию Лагранжа

L = L (qi, qt, t).

В соответствии с формулой (4.33) производящая функция имеет вид

^=2 ЧгРг-Ь,г=1

т. е. функция W совпадает с функцией Гамильтона (4.4)

н = 2 ЧФг — L.

г=1

На основании формул (4.34) теперь имеем

• _ая ^z_ ^я9Н— 9L

^гдр^’ dq^dq^ 1dtdt *

Однако ^- = Pi U = 1» 2, . .., n) и, следовательно, eдН• дНх

qi = -п—, Pi = -— — V = 1, 2, . ... п).

4(^РгаУг

Мы получили канонические уравнения.

Перейдем к рассмотрению канонических преобразований. В общем случае канонических преобразований при переходе от 10*

переменных q^ piy t к переменным q^Pi^t канонические уравнения

*^Н* ЭН/•л о \

Pi = 7—, 7г ~(г =2, . 8.,

2294i9ргх}

переходят в уравнения вида

Рг=-—г-, qt= —т- (г = 1,2, . ..,/г), »?i8Pi

где функция Н' уже не является прежней функцией Гамильтона Я, преобразованной к новым переменным qy> q^ . .., q-m Pi, р^-.^Рп- Если функция Гамильтона при каноническом преобразовании не меняется, т. е. Н' = Ну то такое преобразование называется вполне каноническим.

Рассмотрим это преобразование несколько подробнее. Пусть ^(7ь 72, • •., 7«> Рх, P2i • ••, Рп) — старая функция Гамильтона, а Я'(71, 72, • • •, 7™> Pi> £2, • • > Рп)— новая функция Гамильтона. Рассмотрим выражение

2 Pidqi — Н dt = 2 Pt dq'i — Н' dt + eZip, (4.35)

<=1 г=1

где гр — произвольная функция от старых и новых обобщенных координат (7i> • • •> 7n> 7i> • • •> 7п)* Это выражение можно переписать в виде

ип

^ ptqi —Н = "2, p'tq{ — Н'+(4.36)

1=1г—1

или

пппп

2 Piqi — я = 2 Ptqi — н‘ + 2 5" 4i + ^ "?т ^-

i=lг=1г=1 Чгг=1 d^i

Отсюда следует

Это выражение будет тождественно выполняться, если

= Х + Д- = 0, Я-Я' = 0 (1 = 1,2, .„»).

d(lidq.

Отсюда и получаем формулы нужных преобразований

= 4^-, p'i^-Д-, Н' = Н (г = 1,2, . ..,тг).

°918qt

Докажем, что рассмотренное преобразование является вполне каноническим. Так как Я' = Я, то на основании выражения (4.36) можно записать

6 f2^i) 6 ^2 Р^ + 4^)\i=l / \i=l/

ИЛИ nnnn

2 ^p^ + 2 p^=2 6р^г + 2 p'^ +6 i=li=li=li=l' 7

Так как

nnдnnn

2 P^ = ^Р^\"аГ) = ^P1"^ @qd = "dt^i P^qi ~ 2 P^qv i=l2=1г=^1г=12=1

nnn

2= "at 2 Р'^Чг — 2 P^'

2=12=12=1

66"lit (M"lit (M

6

6

"lit (M

"lit (M

TO

n ennn

2 Чг^Рг — 2 PiSqi = 2 q'i^Pi — 2 PtMi +

i=li=li-=li—1

n+ 2 p’^qi + ^2=1n+ 2 p’^qi + ^2=1

n

+ 2 p’^qi + ^

2=1

n

+ 2 p’^qi + ^

2=1

Соотношение (4.35) при H' = Я может быть записано в виде пп

2 Pi^qi = 2 р'г^Чг + 6Ч>» 2=11=1

и следовательно, пппп

2 ^6^4 — 2 Pi6qi= 2 q't^p'i— 2 p'iSq'i- (4.37) i=lг=1г=1i=l

Для переменных qt и pt канонические уравнения имеют вид дН • ЭНх

Значит, левую часть полученного выражения (4.37) можно записать в виде

i^^M6"

2=112=^141

Таким образом, п еп .

(4.38)(4.38)(4.38')(4.38')6Я = 2 q'i^Pi — 2 Pi^Vг=1г=1

(4.38)

(4.38)

(4.38')

(4.38')

В силу того, что Н' = Н1

8Н = 8Н'.

Следовательно, выражение (4.38) утверждает, что 8Н' = 2 Чг^Рг — 2 Z^i-

С другой стороны,

1=1 94idPi

Значит,

•' дН' \ „ .„

i=ii=i— Pi — тт 6^ = °-д91 /

i=i

i=i

Если взять частную производную по Pi от функции Гамильтона П ее ,

Н' = 2 p'iq'i—L’^q', q ,i),

то получим

—т = Чг (t = 1, 2, . .., п\ дрх

Поэтому все круглые скобки в первой сумме (4.38') равны нулю (из определения функции Гамильтона). Вследствие независимости всех вариаций ^q^ равны нулю и все круглые скобки во второй сумме, т. е.

•/ дН'эн' ,. Д о х

Pi"<1г =-Т-Г G= 1,2, ....п^

ддгдр{

Следовательно, рассмотренное преобразование является вполне каноническим.

Таким образом, если задаться какой-либо производящей функцией ^(^i, ...^ЧпЛ^ •••Лп)^ то в соответствии с соотношениями (4.34) из уравнений

Pi = ^q? (г‘ = 2’ определим все

?1 = ?1(?1Лг> ...1qwPvPy-.Pn').(4.39)

Из уравнений

({ = 1,2, ...,тг)

89г

после подстановки в них всех 9п 9^ • • ^9п^ определенных по (4.39), найдем все

Рг = Pi (.Qu Q21 • • •» 9ni Рп Р^ • • РпУ

Новая же функция Гамильтона равна

H’^qV • ••ЛтРиРа, ■■;Pn')-=H(q1,q2, ..., qn, pv p2, ...,PnY

В более общем случае, когда функция Гамильтона будет зависеть от времени, т. е. когда H^pi 9^ -9^ Рь Р2, ..., Рп, t),

можно доказать), что обратимое преобразование (4.27) будет каноническим, если дифференциальная форма

пп

2 Pi'qi - Н = 2 Рг q- - Н' + ^,(4.40)

i=lг=1

где V — произвольная функция от t, старых и новых переменных д, р и q* ^ р\ удовлетворяется тождественно.

Рассмотрим некоторые типы канонических преобразований.

Пусть V = ^(qv 921 • -1 9^ 9п 9^ • • • , 9т 0* Тогда соотношение (4.40) будет иметь вид

пппп

г=1г=1г=1г г=1 Чг

ИЛИ

ik>-AA q^hr-H-^\-6.

S\ d9i) i^A 9qJ \It)

Это условие будет тождественно удовлетворено, если

(4.41)

Теперь из формул (4.41) можно получить искомое преобразование (4.27) и новую функцию Гамильтона Н1.

Пусть производящая функция -ф будет функцией t, qu 9^. .. . ..,qn,PvPai • •;Рп, т. е. ^==^^1Лу -.Mq^PvPa’•••iPtot). Тогда, выбирая

п

V = 1р(дг, qv ..qw pV Р^ • • pV i) — 2 Й'г,

1=1

перепишем выражение (4.40) в виде

Отсюда

Полученное условие будет удовлетворено, если

й--^-. й-^г, rr-H + S- (- = 1,2п),(4.42)

откуда и находится искомое преобразование.

Пусть производящая функция ф будет функцией ^i, ^2, ••• .. •, ?n, Р1, рг, . ..,Ри И t, т.е. ^ = ^ ^qv q^ ..., q'w pv рг, ..., pw t). Примем, что

n

г = ip(q'vq^ qVPvp^ • • Pn,0 + 2 QiPb

i=l

и подставим это выражение в соотношение (4.40):

2 Р^" Н = 2— Н' + ПРГ + 2+

<=1i=li=l °чг

+ 2+2 № + 2 9iPi-

г=1 Ргг=1г=1

Отсюда получаем п .п

2+ 2 (^+йт)а+(я~ н’+ й)=0-

Это соотношение удовлетворяется, если

Pi = -^Н' = Н + ^ (г == 1,2, .п), (4.43)

Из уравнений (4.43) определяется искомое преобразование.

Пусть производящая функция ф есть функция времени, старых и новых импульсов, т. е. ф = ф ^pv р^ ..., рП1 Pv Р^ pV •••iPwtY Выберем

пп

v = ip (j)v р2,..pw pV pi, ..р'п, t) — S pWi + 2 Pi9t« i=li=i

Соотношение (4.40) будет иметь вид

nnn

2 Pi9i~ H= 2 P'^'i — H' + Й + 2Й'^< + {=1i=li=l

nnnnn

+ 2 й" p'1 - 2 p'^t — 2+ 2 p^i+2 p^1

г=1 9ргг=1i=li=li—1

или

пл..

2< (^ + д^г) Pi + 2Д ~ 9i + ~^ ) Pi + \Я - Н + "дГ/ ” °-

Это соотношение будет удовлетворено, если

Очевидно, что, задавшись какой-либо функцией ^^Рг^ р\л\ из уравнений

можно найти Pi как функции t, qt, pt. Далее, в уравнения

St = -77 (i = 1,2,

подставляют найденные рг как функции i, q^ pt и таким образом находят искомое преобразование (4.27).

Пример 4.6. Пусть производящая функция имеет вид

t = t> (?i. р\, 0 = 2 А (^г з2> • • • -0 р\ + (gv з2’ • • • • «п- 9-

На основании зависимостей (4.42)

V ад , ан^^S^^+d^ (< = 1’2n)>

9i = /i(?l. 329n. <)(< = 1,2, ...,n),

t. e. при таком каноническом преобразовании преобразуются только обобщенные координаты qb q2l ..., qn и qv qv ..., qn. Такие преобразования являются точечными.

Пример 4.7. Для цилиндрических координат г, ф и z введем обозначения qv = г, q2 = Ф, qs = z. Рассмотрим свободную материальную точку, находящуюся в поле силы тяжести. Для такой точки

Г = -^т(д2+д2д2+^г), n = mgg3

И

Р^^, P2 = mq21q2,p3=mq3.

Поэтому

„1 / 2 ।,2^ ,

Я=2^ ^ + "^+^ +m^3-\/

Рассмотрим каноническое преобразование, получающееся при производящей функции вида

^ = Р^х COS q^ + р^г sin q^ + p3q3.

На основании (4.42) имеем dip ,,

9г + Рг sm?2’

dip,,

^isin 9г+p^icos q2’

dip , P3= dq3 -p3

9i = —’ = ^l C0S ?2’

1 d^ 12

/ dip

92 = ^г^

Sin qy

/ dip

9з=^Г^

Из первых трех уравнений находим

Р^ = m (^ cos ^ — q^ sin q^ = mq ',

Р2 = т (Чх Sin q^ + q^ COS q^ = mq ',

/,3 = m?3== "Лановая функция H' будет иметь вид

1 / ,2,2,2\,

я' = 2^^1 +р2 +^з ) + "W

Очевидно, что новые координаты qp qy q3 являются декартовыми координатами точки.

Пример 4.8. Рассмотрим прямолинейное движение точки под действием восстанавливающей силы F = —ex, где |#| —расстояние точки от притягивающего центра, с > 0.

Приняв за обобщенную координату х, т. е. положив q = х, найдем выражения для кинетической и потенциальной энергий:

T^niq^ П^усд2.

Так как L = Т — П — -^ (тпд2 — eg2), то

р — —г = mq.дд

Напишем выражение для функции Гамильтона:

н =pq-L=-^ — + -2 * mq , где к2 = с/m. Составим канонические уравнения

• ЭН .. ЭН р

Р=--^ = -ктд, 9 = ^ = —

Так как рассматриваемая система консервативна, то функция Гамильтона равна полной энергии системы, т. е. Н = 1г. Найдем такое каноническое преобразование, при котором бы новая функция Гамильтона Н' не содержала новой координаты д', а новый импульс входил бы в первой степени, т. е.

Н' = кр'.

Воспользуемся вторым типом канонических преобразований, когда гр = = гр(д, р'). В соответствии с формулами (4.42) Н = Я', т. е.

у \5п + к mq )=кр *

Отсюда

р = ^ = ]Л 2ткр' — 1?пп?^(4.45)

и

q

гр = J И 2ткр' — k2m?q^ dq.

о

Так как

q

f дгр С тк dq

= =J ’

то

"if ктq' = arcsin у ^q

и

1/2р' • ,

= V ki^nq-

Из формулы (4.45) получаем

р = ^ткр' — k^m^q^ = ^^ткр' cos q'.

Новая координата д' является циклической, так как она не входит в функцию Гамильтона. Следовательно, новый импульс является постоянной величиной

Ир

Координату д' определим из канонического уравнения

Отсюда q' = kt + 8

Г 2h

p=V ^^ cos ^ + s), g =—j^ sin (kt + e),

n

Пример 4.9. Пусть производящая функция гр = 5 Pi9v Тогда кано- i=l

ническое преобразование определяется формулами (4.42), используя которые, находим

дгр ,, ^гр

pi = S^ = Р<’ 9i==Hpl = 9i‘

Отсюда следует, что полученное тождественное преобразование также является каноническим.

п

Пример 4.10. Производящая функция ф = 2 ^i^i согласно форму- г=1

лам (4.41) приводит к преобразованию

<9^,, дф

при котором обобщенные импульсы pi превращаются в обобщенные координаты q^ а обобщенные координаты qt — в обобщенные импульсы — р^. Этот пример указывается на равноправность канонических переменных qt. Pi.

Метод Остроградского — Якоби. Теорема Лиувилля

Пусть движение голономной системы описывается каноническими уравнениями Гамильтона

р*=-% (i=1'2('U6)

В § 4.2 было выяснено, что наличие к циклических обобщенных координат у рассматриваемой системы позволяет получить для этих координат решение. В связи с этим естественно поставить вопрос о возможности нахождения такого канонического преобразования, при котором в преобразованных уравнениях Гамильтона функция Н не будет содержать обобщенных координат, т. е. все новые обобщенные координаты будут циклическими. Предположим, что пользуясь вторым типом канонических преобразований (см. с. 151), где

Ф -?„. Pi, Pt, РаР», 1).

№

0(hдрг

мы найдем новую функцию Гамильтона вида

Н’ = f^Pi, Pi, .Рп),(4.48)

где / — любая функция. Тогда для новых переменных будет ^ = -^ = 0 (г = 1, 2, ..., и),(4.49)

93г

q’i = ^=(4.50)

И

Я' = Я + ^.(4.51)

Из уравнений (4.49) следует, что

р\ = а^ (i = 1, 2, ..., ri),(4.52)

где a< — постоянные интегрирования. Подставляя теперь выражения (4.52) в уравнения (4.50), получим

q\ = со^ + pi (i = 1, 2, . .., ri),(4.53)

/ Of \Q

где toi = —7— постоянные величины, a pi — постоянные

\^г/ ’

интегрирования. Выражения (4.52) и (4.53) представляют собой систему интегралов уравнений (4.49) и (4.50). Используя теперь преобразование (4.47), мы могли бы получить старые переменные д^ и pi, т. е. решить задачу о движении системы). Однако мы не можем этого сделать, так как нам неизвестна функция ф.

Рассмотрим соотношение (4.51) с учетом выражения (4.48):

H(qv q2, . q^ pv Ру ■■nPn) + ^ = / (Pi, Ру • ••• Pn).

Заменяя в этом соотношении в соответствии с формулами (4.47) и (4.52) переменные pt на |~ и pi на а^ будем иметь

H^,qy+=(4.54)

Таким образом, мы получили дифференциальное уравнение первого порядка в частных производных, которому должна удовлетворять производящая функция ф(#1, q2, . qn, ai, аг, ..., an, t) с основными переменными ^i, q^, ..., Qn, t. Так как в выражении (4.48) функция / произвольная, то мы можем принять /(ai, аг, ..., ап) = 0.

Тогда уравнение (4.54) примет вид

тт /^ф дф дф Л , дф п /, rrV

’ dqy dq^ ’ dqn J 0tx '

Это дифференциальное уравнение в частных производных называется -уравнением Гамильтона — Якоби. Решение дифференциального уравнения в частных производных, содержащее столько произвольных постоянных, сколько имеется независимых переменных, называется полным интегралом этого уравнения. Функция ф в уравнение (4.55) входит только через свои производные. Это значит, что одна произвольная постоянная будет входить в полный интеграл в виде слагаемого, т. е. полный

интеграл уравнения Гамильтона — Якоби имеет вид

^^ЧЧ^ь ^2, . ., q^ аь аг, ..., an, £) + czo,(4.56)

где exo — произвольная постоянная. В самом деле, если *Ф(<7к 9% ..., q^ cxi, «г, ..., схп, Г) является решением уравнения (4.55), то в силу того, что

ЭЧг” 8Чг ' Ь8t

функция S является решением уравнения (4.55), содержащим п+1 произвольных постоянных, т. е. является его полным интегралом.

Итак, если известен полный интеграл (4.56) уравнения Гамильтона— Якоби, то для получения решения исходной системы уравнений (4.46) следует за производящую взять функцию ^^^(дь q^ - qn, ai, <z2, an, t),

затем в формулах канонического преобразования (4.47) заменить р^ на оц и qt в соответствии с выражением (4.53) на ^. Тогда будем иметь

р1 = 9А =(4.57)

Pi = 5"(i = 1,2,(4.58)

так как при / = О

(Oi= ^ = 0 (i = 1, 2, .п).

Уравнения (4.58) дают возможность выразить обобщенные координаты ^i, ^2, ..., q-n, через время t и 2п произвольных постоянных а» и £г- (г = 1, 2, ..., п).

Таким образом, мы показали, что если известен полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби, то нет необходимости интегрировать систему обыкновенных дифференциальных уравнений (4.46), т. е. задача интегрирования системы (4.46) заменяется задачей нахождения полного интеграла уравнения (4.55).

В результате мы приходим к теореме Остроградского — Якоби, которая гласит: пусть функция (4.56) является полным интегралом уравнения в частных производных (4.55), тогда все первые интегралы канонических уравнений (4.46) даются соотношениями (4.57) и (4.58).

Пример 4.11. Составим уравнение Гамильтона — Якоби для точки, движущейся в однородном поле силы тяжести.

За обобщенные координаты примем ^ = я, q2 = у — декартовы координаты точки.

(4.59>(4.59>(4.61)(4.61)ОтсюдаОтсюдаdipdWah = — t Jh1dipdWah = — t Jh1dip 8WЭаг da^dip 8WЭаг da^(i = 2, 3, ..., n\(i = 2, 3, ..., n\

(4.59>

(4.59>

(4.61)

(4.61)

Отсюда

Отсюда

dipdW

ah = — t Jh1

dipdW

ah = — t Jh1

dip 8W

Эаг da^

dip 8W

Эаг da^

(i = 2, 3, ..., n\

(i = 2, 3, ..., n\

Запишем выражения для кинематической и потенциальной энергий?

Т = Г m ( g2 + g2y п = mgq^

Так как рх = тдл и р2 = тпд2, Н = Т + П, то функция Гамильтона рХ Рг

и. следовательно, уравнение Гамильтона — Якоби будет иметь вид 1 /5гр\21 / dip \2Утр

£Ц^ +2^^j + т^-Гу7 = 0.

Предположим, что рассматриваемая механическая система подчинена стационарным связям. В этом случае функция Гамильтона от времени явно не зависит и уравнение (4.55) имеет вид

лл^ dipdip \dip/АШ

v1 321Эчг dq2’’ dqn)dtx '

Вместо этого уравнения можно рассматривать более простое, приняв

1р(9ь 92, ---, 9*, «1, ..., а„, £) =

= —ht + W (gi, 92, ..., 9n, И, аг, ..., а„), где h = ai, аг, ..., а„— произвольные постоянные. Так как при этом

5t - n’ dgi” d4i

то вместо уравнения (4.60) будем иметь „ (dW dW5Ж\,

4 oqL 9q2dqn)

где h, — полная механическая энергия (см. равенство (4.6)). Проинтегрировав его, найдем

W = W (qXl q2, qn, h, cz2, ..., czn).

Следовательно,

ф = — M + W^qi, ..., qn, К, аг, ..., an).

На основании (4.58)

Rf J- 6W R 8W li - 9 о „х

Положив Р1 = — to,

окончательно получим

9^ = t-4(4.62)

«Pi (1 = 2,3,(4.63)

а также

8Wо\

^Т(г = 1, 2, . п\

Из формул (4.62) и (4.63) теперь можно найти обобщенные координаты gi, ^2, ..., ^п. Заметим, что время t входит только в уравнение (4.62), уравнения же (4.63) времени не содержат и представляют собой уравнения траектории в пространстве конфигураций.

Итак, показано, что интегрирование канонических уравнений Гамильтона можно заменить нахождением полного интеграла уравнения Гамильтона — Якоби. В общем случае обе эти задачи обладают одинаковой трудностью, однако имеются динамические задачи, для которых нахождение полного интеграла уравнения Гамильтона — Якоби оказывается более простым, чем интегрирование уравнений Гамильтона.

Рассмотрим метод разделения переменных, позволяющий в ряде важных случаев получить полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби.

Предположим, что часть обобщенных координат, например, ^ь #2, • •., Qh (к<п), и соответствующие им обобщенные импульсы щ, р2, . •., Рк входят в функцию Гамильтона в виде функций Ф1(^1, /ц), ф2(^2, рг), ..., tphlQh, Ph), причем каждая из этих функций не зависит от времени t и обобщенных координат и обобщенных импульсов, не имеющих индекса функции. Функция Гамильтона будет при этом иметь вид

Я = Я[ф1(^1, pi), ф2(№ рг),

• • •> фл(^Л» Ph) , QhA-h • • •, Qn, Ph-tA, • • •, Pn, ^] •

Напишем соответствующее этой функции уравнение Гамильтона — Якоби

^[ф1(91, f^j, •Фа(&> ^), qh+v • Qn,

^,...,^1 + 5 = 0. (4.64)

99h+l81п J 8t V '

Будем искать решение этого уравнения в виде

4 = ^1(91) + 4'2(?2) + ... + 4л(гЛ+4*(г*+1» •••> 9». t)- (4-65)

После подстановки этого выражения в уравнение (4.64) получим

Н Ф1Н Ф19191’ ^1 / ’’ ^1 / ’/ й^Д \ “Чк // й^Д \ “Чк /• • м Ят• • м Ятду^71ду^71dip*dip*+ ^ = 0. (4.66)+ ^ = 0. (4.66)

Н Ф1

Н Ф1

91

91

’ ^1 / ’

’ ^1 / ’

/ й^Д \ “Чк /

/ й^Д \ “Чк /

• • м Ят

• • м Ят

ду^71

ду^71

dip*

dip*

+ ^ = 0. (4.66)

+ ^ = 0. (4.66)

Предположим теперь, что выражение (4.65) является решением уравнения (4.64), тогда уравнение (4.66) представляет собой тождество. Это тождество должно сохраняться при любых значениях gi, #2, • •., Qh* Так как эти координаты между собой независимы, то это может быть только в том случае, если функции ф1, ф2, • ••, Фь при изменении координат gi, q^ ..., qh останутся постоянными. Это значит, что уравнение (4.66) распадается на к + 1 уравнений

Ф1191,^1= «и Ф2| 92, ^1 =«2> Фй19ь 5^-1 = ^к, (4.67) HUV а2, .... aft, 9ft+i, . ..,$„,• • - ^, ^ + ^ = 0, (4.68) где аь ^ ..., &ь — произвольные постоянные. Первые к уравнений (4.67) являются обыкновенными дифференциальными уравнениями. Уравнение (4.68) остается уравнением в частных производных, но переменных в этом уравнении меньше, чем в исходном.

Рассмотрим случай наличия циклических координат. Если обобщенные координаты gi, дг, ..., qk (к<п) будут циклическими, то соответствующие им обобщенные импульсы pi, р^ ... ..., рк будут постоянными величинами, т. е.

= = (7=1,2,...,/?).

тт (дфн qk+v • • •, а™ ар а2> • •,тт (дфн qk+v • • •, а™ ар а2> • •,ststСледовательно, уравнение Гамильтона — Якоби в этом случае имеет вид

тт (дф

н qk+v • • •, а™ ар а2> • •,

тт (дф

н qk+v • • •, а™ ар а2> • •,

st

st

Так как ^ = aJ> функцию ф запишем в виде к

Ф = S + ф* (qk+1, ..., 9п, /).

3=1

Тогда

/dip* dip* Л dip* n

н ^ft+1, ..., ?„, av a2, ..., ak, ^, ..., ^, tj + -^ = 0.

В этом уравнении Гамильтона — Якоби функция ip* является уже функцией п — к неизвестных.

11 Н. В. Бутенин, Н. А. Фуфаев

Для консервативной динамической системы в случае, если функция Гамильтона имеет структуру вида

^ = я[ф1(дь /?1), ф2(д2, piY •••, срДд-, Рп)],

где функции <pi(qt, рО не зависят от времени, обобщенных координат и обобщенных импульсов, имеющих индекс, отличный от индекса функции, уравнение (4.64) принимает вид

Если искать решение этого уравнения в виде

w = Wx fo) + W2 ^ + ... + Жп Ы =i,Wi too, (4.69) г=1

то получимто получимГ /\Я Ф! Qv ЬI dqГ /\Я Ф! Qv ЬI dq• ••, фп• ••, фп/ ^\1 vn’ <М/ ^\1 vn’ <М= А.= А.(4.70)(4.70)

то получим

то получим

Г /\

Я Ф! Qv Ь

I dq

Г /\

Я Ф! Qv Ь

I dq

• ••, фп

• ••, фп

/ ^\1 vn’ <М

/ ^\1 vn’ <М

= А.

= А.

(4.70)

(4.70)

Если выражение (4.69) будет решением уравнения, то в силу независимости обобщенных координат каждая из функций фДд,, Рг) (i=l, 2, ..., п) будет постоянна, т. е.

(4.71)(4.71)/ dWA

(4.71)

(4.71)

фг q^ -а— = о^ (г = 1, 2, . .., п\

где ai — произвольные постоянные.

Следовательно, решение задачи сводится к интегрированию обыкновенных уравнений (4.71). Постоянная h в силу зависимостей (4.70) и (4.71) будет функцией ai, аг, ..., ап, т. е.

к = Я(а1, аг, ..., а„).

Для функции ^ имеем

ф = — kt + 2 Wi (q^ a-0-г=1

В соответствии с преобразованием (4.58) окончательное решение задачи получим из формул

^-fr*^* (1-1.2,(4.72)

где Pi, Рг, • • •, Рп — произвольные постоянные.

aw99naw99nРассмотрим случай, когда консервативная система имеет циклические координаты. Пусть циклическими координатами будут 91, 92, ..., ди (к<п). Тогда укороченное уравнение Гамильтона— Якоби (4.61) примет вид

aw

99n

aw

99n

Н qk+v . .., qn, av a2, ..., ah, —,

Решение этого уравнения можно искать в виде к

,=1 +

Тогда уравнение Гамильтона — Якоби

aw* dtr*\ 7

Н I Qk-W • • •' ^п? ^1) ^2’ • • е> аА’ 1 йл I

служит для определения функции W* от п — к переменных ^h+ь ..., ^п. Предположим, что мы нашли полный интеграл этого уравнения (с точностью до аддитивной постоянной)

W* =W* ^qk4,\, q^ .,., qHl ak+i, aA+2, ..., a„).

Тогда, приняв h = aft+i на основании (4.62) и (4.63), получим aw* _ / /

^ = -^ + Р,- U =(4.73)

^ = Pv (v = & + 2, ..„nV

Из рассмотрения метода разделения переменных следует, что для его применения существен удачный выбор обобщенных координат, так как при одной системе обобщенных координат переменные могут быть разделены, а при другой нет.

Пример 4.12. Применим метод разделения переменных для уравнения (4.59), Координата q\ является циклической, поэтому имеем

Ф = — М + CXiQi + ^2(^2), и тогда

1 (aw^

2^ + 2^^/ + т6д2 = Н.

Отсюда следует

1 f dW \2а2

2^ №/ + ^ = и Л = а2 + 2^*<4-74)

Так как

дф

аи

®1

да1 ~

да1

t + ?! = — т t + qL= Pv

дф

dh,

awdW

* 1f 1 £q

да2

8а.й

+ da2+ da2 ' ^2’

то

«1 aw

9i - ТГ 4 + Pi» <Za2 - * + 02-

Найдем теперь решение уравнения (4.74). Для этого перепишем его в следующем виде:

aw^

-^^V^^-rngq^.

Отсюда

W2 = J dq^ У 2m («2 — mgq.^ + C и

dWf mdq2i

^“2J V2m (“2 — mg1z)mS K2”‘(a2 mgq»)-

Таким образом,

^тН + Сг —^ /мг^^) = « + р2, или

«!g (t + ₽,)2 a2

^Tt^r ^2 = -2+ ^

Кроме того,

— = ^ : Pi = mqv

дф dW.

д^ = ^; = ~т^ + P2) = ^ =

Пусть начальные условия таковы: при t = О qx = 0, q2 = h, qx = iz0, q2 = 0. Тогда

a1 = m vQl a2 = mgh, Pi = 0, p2 = 0 и, следовательно,

Пример 4.13. Рассмотрим плоское движение материальной точки, притягиваемой к неподвижному центру силой, пропорциональной расстоянию точки от притягивающего центра. Начало системы координат пометим в притягивающем центре.

Примем за обобщенные координаты декартовы координаты qx = х, q2 = = у. Кинетическая и потенциальная энергии выразятся при помощи формул

т-т№+'«,п™|(,; + ,=).

где т — масса точки, с — коэффициент пропорциональности. Так как рх = = ^?i, ?2 = ^^2, то функция Гамильтона будет

Я=2^+^+2^1 + т4

и уравнение Гамильтона — Якоби примет вид

1 (9W\^ с 2 ( 1 /cW.2 с 2?

2т + 2 5iT2m^J + 2 92*

Приняв для W выражение (4.69)

W = Wx^-VW2kq2^

в соответствии с условиями (4.71) получим для определения Wi и W2 обыкновенные дифференциальные уравнения

1 (^V , С 21 №V , ± 2_

2т ( dqY J + 2 ^l ~ аГ 2т ( dq^ ) + 2 ?2 ~ а2’

причем h =>ai + a2. Отсюда

W1 = J У m (2a, — cq^ dqp W2 = J У m (2a2 — cq^) dqp

имеемимеемВ соответствии с выражениями (4.72)

имеем

имеем

^^2 ^а2^^2 ^а2— ₽2 + ^— ₽2 + ^arcsinarcsin/2а2/с‘/2а2/с‘

^^2 ^а2

^^2 ^а2

— ₽2 + ^

— ₽2 + ^

arcsin

arcsin

/2а2/с‘

/2а2/с‘

dW-

Но_

dW^ / тдг

-7— = I/ — arcsin —r^ 7 ^ai с у 201^0

Следовательно,

911Г с

МС?Лпу^==У отсюда

91= V"Tsin K^ + Pi)’

Так как

dW,г

•^;=-Pi=/m(2ai-c9i) =

аГС81П/^ = V т^+^ 92 = |/т"281п К^^ + Рз)" aw^

то, введя начальные условия, можно определить постоянные аь а2, Pi и р2. Пусть, например, при t = 0 qt = а, д2 — 0, gi = 0, д2 = ^о- Уравнениями для определения аь а2, pi и р2 будут

ОтсюдаОтсюда}m(2ai — са2) = 0, Y2a2w = ти0.}m(2ai — са2) = 0, Y2a2w = ти0.е«21 — 2 ’ а2е«21 — 2 ’ а2^« R1/— R -2 ' Р1~ 2 Г с ’ Рг~^« R1/— R -2 ' Р1~ 2 Г с ’ Рг~

Отсюда

Отсюда

}m(2ai — са2) = 0, Y2a2w = ти0.

}m(2ai — са2) = 0, Y2a2w = ти0.

е«2

1 — 2 ’ а2

е«2

1 — 2 ’ а2

^« R1/— R -

2 ' Р1~ 2 Г с ’ Рг~

^« R1/— R -

2 ' Р1~ 2 Г с ’ Рг~

и, следовательно,

^«cos]/ -^t,g2=v0^«cos]/ -^t,g2=v0

^«cos]/ -^t,g2=v0

^«cos]/ -^t,g2=v0

Таким образом, решение этой задачи свелось к операциям дифференцирования и вычисления квадратур.

Пример 4.14. Применим теорию Якоби к гироскопическому маятнику.

Для этой задачи функция Гамильтона имеет вид (см. пример 4.4)

Я =

1

2А

рХа

^-Рзсозд^sin2 92

рз

+ 2Ту + Wl - m2z2) 8 cos qy

Напишем уравнение Гамильтона — Якоби

1 I /дИ7\21 [oW dW \2]1 /,Ж7\2,,

^1и2) +^1ч~ЧС03М 1 + ЧЫ + (тА-^С03^-

Координаты 71 и q3 — циклические; поэтому, если решение искать в виде W = «i7i + ^2(72) + аз?з, получим

124124^V («i-ggCOS q^"^г у sin2g2^V («i-ggCOS q^"^г у sin2g2«2+ 2Ту + (miZl ~ ^2^2) 8 C0S ^ = K«2+ 2Ту + (miZl ~ ^2^2) 8 C0S ^ = K(4.75)(4.75)

1

24

1

24

^V («i-ggCOS q^"^г у sin2g2

^V («i-ggCOS q^"^г у sin2g2

«2

+ 2Ту + (miZl ~ ^2^2) 8 C0S ^ = K

«2

+ 2Ту + (miZl ~ ^2^2) 8 C0S ^ = K

(4.75)

(4.75)

Это уравнение является обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка. Приняв h = а0, на основании выражений (4.73) имеем

dJTdW_dW

~5a72~^—^o' да^ = — 91 + Рг дс^" = ~ ?з + Рз1

Перепишем уравнение (4.75) в виде dW2

^9^ =

-(o^-o^ccs^)2-(o^-o^ccs^)22( “з^г

-(o^-o^ccs^)2

-(o^-o^ccs^)2

jr^ — miZi)g sin ^2 cos 72 + ^a2 — 21^ уШ g2

или

w2 =

m/^cos q^ +m/^cos q^ +(ai-a3cos q^(ai-a3cos q^sin2 72sin2 72dq2 =dq2 =

m/^cos q^ +

m/^cos q^ +

(ai-a3cos q^

(ai-a3cos q^

sin2 72

sin2 72

dq2 =

dq2 =

= J о aq2.

(mlV 2 2(mlV 2 2— myl^ g cos q2 +— myl^ g cos q2 +(ai-a3cos q2f(ai-a3cos q2fsin2 g2sin2 g2

(ml

V 2 2

(ml

V 2 2

— myl^ g cos q2 +

— myl^ g cos q2 +

(ai-a3cos q2f

(ai-a3cos q2f

sin2 g2

sin2 g2

Окончательно получим

C^2_, ,f(^ri^2i!2Hi2_, R

j D-J Psin2^ - 71 + Pr

C[2Xa3 2 (a, - a3 cos g2) cos g2 1 dq2

J 7ySin q^J33

Таким образом, задача свелась к квадратурам.

Как было показано, применение метода разделения переменных позволяет получить полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби. Однако этот метод не всегда применим. Поэтому естественно заранее выяснить, при каком впде гамильтоновой

функции (или отдельно кинетической и потенциальной энергий) возможно применение метода разделения переменных. Исследованию этого вопроса были посвящены работы Лиувилля. Штек- келя, Гурса и др.).

Остановимся лишь на рассмотрении практически важного случая Лиувилля. Если в голономной системе с п степенями свободы кинетическая и потенциальная энергии имеют вид

тn-ySrw, (4.76)

1=11=1

п

где / = 2 Fi(qiY то интегрирование уравнения Гамильтона — 1=1

Якоби приводит к квадратурам (теорема Лиувилля).

Для доказательства этой теоремы введем функцию Гамильтона. В соответствии с выражениями (4.76) имеем

Рг = ^ =U^ Чг (i = 1, 2, ..nY (4.77)

Составим функцию Гамильтона

н = Т + П = ^I^A^ Л + у 2= к

1=11 1=1

или, учитывая соотношение (4.77), П Г9"

Вводя замену aw

получим уравнение Гамильтона — Якоби

2 [яти ®= + п- '1» - <’■>] - °-<478)

Будем искать полный интеграл этого уравнения в виде

W = ^(51)+ W2(q2H. • • + ^(?„).

Уравнение (4.78) при этом примет вид

Г1/dWA21

2 П7ЙЫ +-о.

i=i l г\ г /J

Каждое слагаемое левой части последнего уравнения зависит только от одной обобщенной координаты gf, поэтому можно применить метод разделения переменных. Уравнению (4.78) можно удовлетворить, если каждое из слагаемых приравнять постоянной величине:

1 W\ 2А4 ^ ( dq- I1 W\ 2А4 ^ ( dq- I2

1 W\ 2А4 ^ ( dq- I

1 W\ 2А4 ^ ( dq- I

+ Hi (q^ — hFi tot) =(4.79)

причем должно выполняться условие

ai + аг + ... + а„ = 0.

Каждое из уравнений (4.79) является дифференциальным уравнением первого порядка, интегрирование которого сводится к квадратуре

Wi = J V2Аг (qi) [at + hFi ^ — ГЦ (q^ dqi.

Следовательно, полный интеграл уравнения Гамильтона —- Якоби

W 2 f ^^(^[«i + ^itoi) — nf(gi)] dqb 2=1

Этот интеграл содержит п произвольных постоянных h, ai, аг, ..., «п-i

и постоянную an, которая равна

СХп = — (СХ1 + CZ2 + . . . + СХп-1) .

Таким образом, теорема Лиувилля доказана.

Пример 4.15. Для обобщенных координат q\ = X, 92 = Ц в примере 4.3 кинетическая и потенциальная энергии имеют вид, соответствующий выражениям (4.76). Поэтому при интегрировании уравнения Гамильтона^ Якоби можно применить метод разделения переменных.

В этом случае функция Гамильтона

н - 2~-у-»=) К (’А 0+?К< - »Ш -

т

" “(81-82)+91 - (С1 ”9^

и, следовательно,

(

5рр\2/dW\2 /о

— 2та2к ^ — д^) — О»

Принимая, что

W = ^(g,) +Ж2(д2),

получим (dw4 V

— 2mc?hq^ +

WWW2W291 — 191 — 1Это уравнение будет удовлетворено, если/dWЭто уравнение будет удовлетворено, если/dW'2) + 2m3a (^ — c2) 92 + 2ma2Ag® = 0,

W

W

W2

W2

91 — 1

91 — 1

Это уравнение будет удовлетворено, если

/dW

Это уравнение будет удовлетворено, если

/dW

C1 ~ ci) q2 + 2m^282= ~ “1*C1 ~ ci) q2 + 2m^282= ~ “1*Отсюда имеемОтсюда имеем— 1) — 2тп2л(с1 + с^ q^ — 2m(rhq^

C1 ~ ci) q2 + 2m^282= ~ “1*

C1 ~ ci) q2 + 2m^282= ~ “1*

Отсюда имеем

Отсюда имеем

,2-dqv,2-dqvо^ + 2т?а (сг + с2) qy + ^ma^hq.

,2

-dqv

,2

-dqv

о^ — 2т^а(сх — c^j q^ — 2ma^hq^

Полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби W = Wx + W2

содержит две произвольные постоянные он и h. Конечные интегралы урав* нений движения найдем, применяя формулы (4.62) и (4.63):

рma^q^ dqT

J V 91 — 1 V«1 + 2m2a (cx + c^ qY + 2ma^hq^

—■v—v—- - -3= t — t,

J V 92 — 1 V «1 + 2m2a (^ — c^ q^ + 2ma2h,q^0

Г _

J 2 К 92 — 1 К «! + 2m2a (q + c^ qY + ^ma^Hq^

+ f= 6 ,

J 2 l^^g — 1 1^^ + 2n?a (c^— c2) q4 + 2ma?hq^ X‘ T. e. задача сводится к квадратурам.

Рассмотрим особенности применения метода Остроградского — Якоби к материальным системам, совершающим периодические движения. Использование этого метода целесообразно в тех случаях, когда не требуется полного исследования поведения материальной системы, а требуется определить только частоты периодических движений*).

[*)] Более подробное рассмотрение этого вопроса можно найти в кни*

Мы рассмотрим только такие материальные системы, для которых возможен выбор канонических переменных, допускающих полную разделимость переменных, т. е. такие системы, для которых функция W определяется из уравнения

(4.80)(4.80)

(4.80)

(4.80)

В этом случае W может быть представлена в виде

W = 2 Wt(qii ар а2> • ч ап)*

г=1

В соответствии с выражением (4.71) уравнение (4.80) примет вид

Я(аь аг, . *., an) = h.

Так как

pi = ?W^ (i = l 2,(4.81)

Г dqi 0qi х7 7х 7

ТО

Р^рЛч^ ^i, CZ2, ..., «п).(4.82)

Пусть q< и pt — координатные оси прямоугольной декартовой системы координат. Плоскость этих переменных называют фазовой плоскостью. Точка на этой плоскости с координатами (^-, р^ называется изображающей точкой. При движении системы изображающая точка описывает кривую, которую называют фазовой кривой.

В дальнейшем мы будем предполагать, что на фазовых плоскостях qtPi фазовые кривые (4.82) будут или замкнуты, или pt будет периодической функцией относительно qt.

Введем в рассмотрение новые переменные /ь J^ ..., Jni которые называются действиями и определяются формулами

Ji = pi dqt (i = 1, 2, . .п^ (4.83) где символ ^ означает, что интеграл берется за полный период изменения qt. В соответствии с выражением (4.81) имеем

С 0W-

(£ = 1, 2, ._п\ (4.84)

Переменные 1г являются функциями независимых величин czi, а2, ..., ап; так как изменение каждой пары q^ Pi (по предположению) независимо, то переменные Л также независимы. Эти переменные Л примем за новые обобщенные импульсы.

Выразим теперь величины cti, а2, .. ., On с помощью соотношений (4.84) через Л, J^ ..., Jn и внесем полученные значения

в выражения для W и Н. В результате этого получим

W = W(qb q^..., qni А, /2, ..., Jn\ и

H(Jh h. .... J^=K

За обобщенные координаты, соответствующие обобщенным импульсам, примем величины

Wi аТ. 0=1,2,..., п).

Величины Wt называются угловыми переменными. В соответствии с выражениями (4.50)

Wi = gj =v{ (г = 1, 2, ..., п),(4.85)

где V,- — постоянные величины, являющиеся функциями Ji, 1^ J^ ..., /„. Из соотношений (4.85) следует

Wt = ^it + рг-,(4.86)'

где рг — постоянные интегрирования. Пусть т, — период изменения функции Wi. Тогда

Wi^t + Ti) = ^i(t + Ti)+ рг-.(4.87)

Вычитая из выражения (4.87) выражение (4.86), получим изменение Wi за период:

kwi = ViTi.(4.88)

С другой стороны, изменение ^Wi можно получить следующим образом. Согласно выражению (4.85)

Пусть теперь координаты qi, q^ ..., qr-x, qr+x, ..., q^ сохраняют постоянные значения, а координата qT совершает полный цикл своего изменения. Тогда функция wt изменится на величину

\wi = d/w^

где

^гд(1т

— изменение Wi вследствие изменения qT. Таким образом,

или

В соответствии с формулами (4.81) и (4.83) л ^ X д*^

Отсюда следует, что если т = Z, то

(4.89)(4.89)Ди?г = 1;

(4.89)

(4.89)

если же r^Z, то А^ = 0. Сравнивая выражения (4.88) и (4.89), ПОЛУЧИМ ViTi = 1 и

V; = — (Z = 1, 2, .п^.тг

Следовательно, величины v< представляют собой частоты периодических изменений qt.

Пример 4.16. Найти частоты главных колебаний механической системы, состоящей из двух физических маятников, представляющих собой однородные стержни одинаковых поперечных размеров и сделанных из одного и того же материала. Маятники подвешены на одной горизонтали при помощи шарниров Ох, О2 и соединены между собой пружиной, жесткость которой равна с. Длина пружины в ненапряженном состоянии равна расстоянию между точками подвеса маятников. Остальные размеры указаны на рис. 4.6.

Положение маятников будем определять углами их отклонения от вертикали, т. е. углами ф и ф. Выражение для кинетической энергии в этом случае имеет вид

где 71 и /2 — моменты инерции маятников относительно их осей вращения. Потенциальная энергия выражается формулой

Z1Z2СХ2

П = m^g 2" (1 — cos ф) + m^g "^ (1 — cos ip) + -^-,

где mx и m2 — массы маятников, X — удлинение пружины. Для малых отклонений

2*Ф2

следовательно,следовательно,cos ф « 1 — -тр, cos^^l —чу, Х = 1«ф — «ф|;

следовательно,

следовательно,

ф2 — 2са2ф1рф2 — 2са2ф1р1 ।2 I 2 I /2 ।2

ф2 — 2са2ф1р

ф2 — 2са2ф1р

m^g "2 + са )ф + I m2S "2 + са

Для упрощения выкладок рассмотрим частный случай, когда l\ = Z2 = I, mx = m2 = тп, Ix = /2 = I. В этом случае

т = у I (ф2 + ф2), П = 4 К (ф2 + ^2) ~•

I 2

где ^ = 771 у + са .

Если теперь составить уравнение Гамильтона — Якоби, то обнаружится, что переменные не разделяются. Поэтому мы перейдем к другим координатам gi и д% которые связаны с координатами ф и гр формулами )

ф = 91 + 9г, Ф = 91 — 9г-

Кинетическая и потенциальная энергии принимают вид

т = I ( д^ + И)’ п = «^ + («2 + 2са2) q\.

где а^ = ~2". Так как р\ = 21^ р2 = 2Iq2l то уравнение (4.80) примет вид

47 (^) + Mi + 47 У + (а2 + 2са Ьз = А- (4-9°)

Учитывая, что это уравнение пмеет вид уравнения (4.80), получим

1 /dWA2 1 fdw\2

I "л— I ++ 77 ( 7— I += h<

41 I aq1 I 11 I aq^ j ‘ \ 2 1/ ^2

В соответствии с зависимостями (4.71)

47 (^"j +°291 = а1» 4Г (^) +(яз + 2еа И= аз’47 (^"j +°291 = а1» 4Г (^) +(яз + 2еа И= аз’т. е.Теперь найдем 8W ^Р1 — 8qt = dq^ ~ 2т. е.Теперь найдем 8W ^Р1 — 8qt = dq^ ~ 2Н — (Z1 + 0^2.Н — (Z1 + 0^2.(491)(491)_ 9W dW2Р2 = д91- dq2_ 9W dW2Р2 = д91- dq2

47 (^"j +°291 = а1» 4Г (^) +(яз + 2еа И= аз’

47 (^"j +°291 = а1» 4Г (^) +(яз + 2еа И= аз’

т. е.

Теперь найдем 8W ^

Р1 — 8qt = dq^ ~ 2

т. е.

Теперь найдем 8W ^

Р1 — 8qt = dq^ ~ 2

Н — (Z1 + 0^2.

Н — (Z1 + 0^2.

(491)

(491)

_ 9W dW2

Р2 = д91- dq2

_ 9W dW2

Р2 = д91- dq2

Используя формулы (4.84), получим

^=2/7(^7^)^|/^^-8^92«

Введя в эти выражения замену

=,= ]/ Г2=.пТ, ,, = у

получим 2Л

^ = 2 д/"^а1 j cos2vrfY=2ni/^аг(4.92)

Аналогично

(4.93)(4.93)Л = 2л 1 / -7—j а .

(4.93)

(4.93)

2 у а^ + ^са 2

Из выражений (4.92) и (4.93) следует

Равенство (4.91) теперь принимает вид

Следовательно,__

ЭН 1 . /X 1 1/3£

4 = ^=2^ V 7 = У 2V

ЭН 1 1 /а2 + 2са2 1 - /з7~6^?

v2 — dJa — 2л Г I — 2л у 2Z + mZ2 - так как

mglml2

й2 = Т’ 7 = “з”-

Метод вариации произвольных постоянных. Канонические уравнения возмущенного движения

Излагаемый в этом параграфе метод относится к каноническим уравнениям, являясь частным случаем приложения методов теории возмущений. Для уравнений движения, записанных в форме уравнений Лагранжа второго рода, этот метод описан в книге [9], где приведены также примеры его эффективного использования.

Предположим, что движение рассматриваемой динамической системы описывается каноническими уравнениями

„ = У5_Щ,(г= 1,2,(4.94)

где Н—функция Гамильтона, составленная для системы при ее движении под действием основных сил, а функция Н* учитывает дополнительные (возмущающие) силы. Считая, что решения

Qi = q^t, аь аг, ..., ani Pi, P2, ..., Pn),

Pi = РЛ^ «1, a2, ..., ani Pi, P2, ..., Pn) (4.95) (Z = 1, 2, ..., n^

где «i, аг, . .., an, Pi, P2, ..., pn — независимые постоянные, системы уравнений Гамильтона

известны, будем искать решение системы уравнений (4.94) в форме (4.95), считая, что величины он, аг, .. ., ап, Рь рг, ..., Рп— функции времени. Предполагая, что уравнения (4.95) можно разрешить относительно величин czi, &2, ..., an, ^i, Р2, ..., Рп, Получим

di = oti^Y qh q2l ..., qn, Pi, Р2, .. ., Рп),

^ = Р*(^ 9ь 9% . .., qn, Рь Р2, . .Pn)1'

(i = 1, 2, ..., я).

Найдем производные от а^ и pt- по времени:

(i = l, 2, .., nY

Учитывая уравнения (4.94), перепишем эти выражения в виде

(f = 1, 2, ..., nY

Вспоминая определение и свойства скобок Пуассона (4.22), можем записать

«i = 5 + («i, Я + Я») = ^ + («й Я) + (аЪ Я*),

Pi = ^ + (Pt, Я + Я») = ^ + (Рь Я) + (^- Я*)

(i = 1, 2, ..., nY

Поскольку функции (4.97) при постоянных аг- и pf являются интегралами системы уравнений (4.96), то в силу условий (4.24)

да х

-^ + (а{,Я) = 0 (Z = l,2, ...,^),

и, следовательно,

ajaj±1 1^"^г±1 1^"^г^ 5Я*\дРк ач /’^ 5Я*\дРк ач /’— V Р^гЭН* ^1дН^\~ ^ \"ь др* др*6q^)— V Р^гЭН* ^1дН^\~ ^ \"ь др* др*6q^)(4.98)(4.98)

aj

aj

±1 1^"^г

±1 1^"^г

^ 5Я*\

дРк ач /’

^ 5Я*\

дРк ач /’

— V Р^гЭН* ^1дН^\~ ^ \"ь др* др*6q^)

— V Р^гЭН* ^1дН^\~ ^ \"ь др* др*6q^)

(4.98)

(4.98)

(t 1,2,..., n).

Уравнения (4.98) являются уравнениями возмущенного движения.

В § 4.5 было показано, что если можно найти решение

'Ф = Ф(^ 9ь 92, ..., q^ ai, аг, ..., а„)

(где ai, аг, ..., ап — произвольные постоянные) уравнения Гамильтона — Якоби

Н U a a a — — 4—1 — = ОГ 4 99^

91» 9г» • • 9n, dq^> 9q^ • • 9qJ + dt U,

то решением системы (4.96) будут соотношения

= Pi = S t-^.-^(4.100)

в которых Pi, Рг, ..., Рп — произвольные постоянные. Решая эти уравнения относительно qt и рц мы и получим выражения (4.95).

Поскольку решение системы (4.94) ищется в форме (4.95), то, считая ai, аг, .. ., an, Pi, Рг, . .., Рп функциями времени, выражения (4.95) можно рассматривать как преобразование переменных ^i и pt системы (4.94) к новым переменным р< и ai. Покажем, что такое преобразование будет каноническим. Для этого нужно показать, что выражение (4.40), т. е.

пп

2 PiQi - (Я + Я*) = 2 «грг - Я' +(4.101)

г==1г=1

при выполнении условий (4.99) удовлетворяется тождественно. Выбрав функцию V в виде

п

^ = ^ (^ 91, 9г- • • > 9п, «1, «2, ..., an) — 2 «iPi.

найдем

dt — ^ [dq. ^ + da,”’) + at At aiP* а«Р*-г=1\ г1/i=li=l

Подставляя эту производную в выражение (4.101) и учитывая условия (4.100), получим

-(Я + Я*) = -Я' + ^,

т. е. преобразование будет каноническим, если новая функция Гамильтона равна

н = н* + Н + ^.

Но в силу уравнения (4.99)

я + ^-о

и, следовательно, Я' = Я*.

Таким образом, новые переменные будут удовлетворять каноническим уравнениям вида

аг —Р* = ^а (t = 1,2, ..., nY (4.102)

Пример 4.17. Движение материальной точки относительно вращающейся Земли*).

Рис. 4.7Рис. 4.7Будем считать Землю однородным шаром радиуса R. Пусть точка А на земной поверхности определяется полюсным углом Фо (рис. 4.7) и долготой Хо. Исследование движения точки проведем относительно системы координат Axyz, у которой ось х направлена по касательной к меридиану на север, ось у — по касательной к параллели на запад и ось z — по направлению радиуса Земли от центра Земли.

Рис. 4.7

Рис. 4.7

Скорость точки по отношению к инерциальной системе координат 0§т)^, имеющей начало в центре Земли, равна

v = Va + м X Р + vr,

где Va = to X R — скорость точки А, со — угловая скорость Земли, р — радиус-вектор материальной точки, определяющий ее положение по отношению к точке A, vr — скорость материальной точки относительно системы коорди

нат Axyz. Если i, j и к — единичные векторы системы координат Axyz, то

ю — io) sin Фо + kco cos Фо,

Va = —j со/? sin Фо, Ra = 7?k,p = xi 4- уj 4- zk,vr = xi 4- yj 4- zk

и, следовательно,

vx = x — toy cos Фо,

vy = У + to (ж cos Фо — 2 sin Фо) — toR sin Фо, иг = z 4™ toy sin Фо.

Принимая т = 1, получим следующее выражение для кинетической энергии:

^-4-«+^+-i)=4i<;!+*!+?)+

+ 2со [( и sin ^ — я cos ^0) у + у (^ cos $0 — 2 sin ^ — 7? sin ^j] +

+ со2 [у2+ (^ cos $0 — 2 sin $0 — R sin $0)2] ]. Отсюда

дТ •а

р = — = х — coy COS Й ,1 Эх0

ЭТ •

р„ = — = у + со (х cos й — z sin й.) — соR sin й , ду000

ат •.

Р3 = — = 2 + toy SIU Й . dz

Составим выражение для функции Гамильтона:

н= 2 зд-(т’-п),г=1

где qv = х, д2 = Уп уз = 2, П — потенциальная энергия силы тяготения Земли. В нашем случае

II = -у (я2 + у2 + z2) — -у со2 [у2 + cos ^0 — 2 sin^ — R sin й0)2] + П, или

1

Н —{(/^ + toy cos й0)2 + [р2 + toR sin й0 — co (x cos й0 — z sin й0)]2 +

+ (p3 — toy sin $0)2} — co2 [y2 + (x cos й0 — z sin й0 — R sin й0)2] + П.

Если точка падает в пустоте без начальной скорости, то время ее падения измеряется несколькими секундами. Так, например, если высота Л = 1000 м, то tv = ^2h!g « 14 с. Поэтому примем за малый параметр безразмерную величину ц — coii, где со — угловая скорость вращения Земли, равная

2л 1

ю ^ 24 60 60 ~ 13713 раД/ Се Следовательно,

11

t1 1371314 ^ 1000-

Функцию Н теперь можно записать в виде

1ц \2 Г ИИп Т2

я =11 Ру +у cos I + IЯ sin »0— -^-(Ж cos ti0— z sin ^0)j +

+ (р, — -7- У sin О ) ) — -Г ^г [/+ ($ cos » — 2 sin О — Я sin» )21 + П.

ои у JL \иии/ л

Введем преобразование х = х, у — у. z = z, P1 = P*v Р2 = р'2—юН costig, Рз=Р3.

Это преобразование является каноническим*). Произведя замену переменных и пренебрегая членами, содержащими множители ц2, получим

1 / ,2,2,з\

Л = Т ^1 ++ ^3 ) +

+ и [(4 cos ©0 — р' sin О0) у — р'(ж cos OQ — z sin OQ)j + П. Потенциальная энергия выражается формулой

п = -^2.гПоскольку

Г = ^x2-v ^2+ (2 + #)z и ,13,5.

(1 + м) — 1 — 2 м + g м — 1у и + • то получим **)

R / 2z . т2 4- ^2 -|- z2\~1//2। z х* + у" — 2z2 .

гЯ д2 у ~ Я2Я2‘

*) Рассмотрим преобразование

,, аг

Qi = Qi* Pi = Pi + "6^(^ = 1, 2n).

Покажем, что если в качестве функции V взять любую функцию от старых координат и времени У = 7(^1, Уг, ..., дп, t), то условие (4.40)

выполняется тождественно. Используя рассматриваемое преобразование, получим

Это выражение выполняется тождественно, если

Выбирая в рассматриваемой задаче функцию

у = —со Ry sin О*о, имеем

— = 0 и Н’ = Н.

**) Мы ограничиваемся указанными членами, считая, что точка движется вблизи поверхности Земли и, следовательно, z достаточно мало.

12*

Следовательно, r2 A p2 _ 9 2 H^-gR+gz + g® +y 2z .

Итак, выражение для функции Гамильтона Н принимает вид

,1 / ,2,2,2\

— “2" ^Р1 + Р2 + Р3 j +

+ “[(Picos Фо~PsSin^0)p — Р2 (ж cos ^0 — z sin »0)]+

+ g^ + g 2д-=Н0 + Н*.

где

H* = to [(/?' cos ^ — P3 sin f^) у — p2 ^ cos ^ — 5 sin $0)] +

Решение уравнений ГамильтонаPi 6 9»’ 9i др\Решение уравнений ГамильтонаPi 6 9»’ 9i др\2R

Решение уравнений Гамильтона

Pi 6 9»’ 9i др\

Решение уравнений Гамильтона

Pi 6 9»’ 9i др\

имеет вид

Pa = аз-gt’z = a3;+[P3-8_,Pa = аз-gt’z = a3;+[P3-8_,Pl = ar P2 = a2, ^ = a1# + P1, V=%t+^2,

Pa = аз-gt’

z = a3;+[P3-8_,

Pa = аз-gt’

z = a3;+[P3-8_,

где «1, аг, а3, рь р2, ₽з — постоянные интегрирования. Подставим теперь это решение в выражение функции Н*;

^* = ® UT («3< + Р2) cos Фо - (a3 - gt) (a2f + Ра) sin «0 -

оо-a2

о

о

V + Ps-^-)

Составим уравнения (4.102):

Pi = 0)p2 cos ^0 + - J («? + PJ,

P2 = toP3 sin Oo — «P1 cos »„ + -у «^ sin ^o + 4 (a2Z + P2),

P3 = - a>P2 sin e0 - ^ (<V + P3 - 4)»

«1 = “a2cos ^0 - "F (V + Pl)’

а2 = — <0^ cos Уд + coa3 sin ^0 — ™ (“2г + Р2) — tog1 sin »д, «з = -юа2 sin^o + ^f^+PsГ ^<2)«

Решение этих уравнений проведем приближенным путем: заменяя в правых частях уравнений величины всех а и р их начальными значениями ао и Ро и интегрируя, получим

Pi = Рю + “^20 cos »о + i (“ю Т + Рю Т}

Р2 = Р2о + “^зэ sin ^о - “V cos $о + 4" tog^ Sin +

+ -д- (а2о "y + P20 "yy ’

аз = “зо - “Vsin ^o + 4 (“зо 4 + Рзо ~ 4 j

и, следовательно,

1 = Рю + “10* + Ю (Р20г + “з»^) Cos % —^ (“10 V + Рю 4")’

у = р2о + а20г - “ (₽10* + V) cos ^0 + ю (Рзог + V) sin »о -

“■^ро-у + Рзо — FTtogt Sin90’

г = Рзо + %? - “ (Р20г + V) Sin ^0 + у (“зо4+ Р30 4 “ С “ 4 После дифференцирования по времени получим

» = «ю + ю (Р20 + 2a20Z)cos 9о - у (“ю 4 + ₽ю*) •

У = “20 - ю (Р10 + ЧоО C0S $0 + “ (Р30 + 2°W) Sin $0 -

“ 4" (®20 4" + ₽2°0 “ “^ ®™ ^’ г'= а30 - ю(р20 + 2а20<) sin^0 + ^ (а30 /- + 0ЗО< - ^ - gt.

Пусть начальными условиями движения материальной точки будут: при I = 0 х = xOl у = уо, 2 = z0, х = хо, у — уо, г = zo. Тогда величины аю, а2о, а3о, Рю, Р20, Рзо определяются из уравнений

^0 = Рю, У 0 = Р20, 20 — Рзо,

хо = аю + юРго cos й0, Уо = а2о — ©Рю cos ^о + «Рзо sin $0,zo = а3о — о)Р2о sin Фо.

Если х0 = 0, уо = 0, zo = hn х0 = 0, у0 = 0, z0 = 0, то Рю — 0, р20 = О, Рзо = к, аю = 0, а20 = —toh sin -йо, а30 = 0 и с точностью до ц2

х « 0, у = — — togt3 sin ^j z~h — L__e

Формула для у дает восточное отклонение падающей без начальной скорости точки.

Пример 4.18. Тело массы т, связанное с неподвижной опорой при помощи «нелинейной» пружины (рис. 4.8), может перемещаться по горизонтальным гладким прямолинейным направляющим.

Поместим начало координат в точке О на расстоянии I от точки крепления, где I — длина расслабленной пружины. Примем за обобщенную ко

ординату q — х отклонение тела от начала координат. Кинетическая энергия Т тела и обобщенная сила Q выражаются формулами

1

Т= -^ mq\ Q = — cq— pg3,

Рис. 4.8где с — жесткость «линейной» пружины,

р — достаточно малый параметр. При р > > 0 пружина называется жесткой, а при р < 0 мягкой. Используя метод малых возмущении, рассмотрим, каков характер влияния нелинейности пружины на малые колебания тела. Согласно (3.11) потенциальная энергия системы 99

п = — С Q dq = f (eg + Цд3) dq = -L cq2 + JL q4.

24

оо

Отсюда функция Гамильтона Яо = Н + Я*, где

Я=^1 + — g2, H* = JLq4.2m 24

При р = О (линейная пружина) масса m совершает гармонические колебания по закону

q = a sin kt + р cos kt, к2 = c/m.(4.103)

Для решения нелинейной задачи (р #= 0) нужно согласно методу малых возмущений проинтегрировать систему дифференциальных уравнений (4.102), которые в нашем случае имеют вид:

а = —р cos kt^a sin kt + p cos kt)3, p = p sin kt (a, sin kt + p cos kt)3. Так как нас интересует лишь та составляющая решения этих уравнений, которая медленно изменяется во времени, то для ее нахождения усредним правые части этих уравнений за период Т = 2я!к, после чего приходим к уравнениям

2Л

— = — i С cos т (a sin т + Р cos т)3 dx,dt 2nkJ х7

о

2Л

= JL | sin т (а sin т + В cos т)3 dx, dt 2n£J vP ’

о или

dt — — 8к (а + 0'» dt — 8к (а + ₽'*(4.104)

Разделив второе уравнение на первое, получаем da “ р е

Отсюда а2 + Р2 = А2 = const. Обозначим Q = ЗцА2/(8/г), после чего уравнения (4.104) записываются в виде

а = — Qp, р = Qa.

Решение этих уравнений:

a = б cos QJ + a sin Qf, p = 6 sin Qz — a cos Q/.(4.105)

Подставляя найденные величины a, p как функции времени в (4.103), находим

q = a sin (к + Qp + Ъ cos (к + Q)^(4.106)

Из (4.105) следует, что

А2 = а2 + р2 = а2 + Ь2, т. е. А — амплитуда колебаний осциллятора с нелинейной пружиной. Поэтому найденный закон движения (4.106), который можно записать в виде q = a sin [& + Зц(а2 + &2)/(8&)]£ + Ъ cos [& + 3p(a2 + 62)/(8/c)]i, говорит о том, что если частота к колебаний линейного осциллятора не за* висит от амплитуды колебаний, то частота колебаний нелинейного осциллятора зависит от амплитуды колебаний. С увеличением амплитуды частота колебаний возрастает у осциллятора с жесткой пружиной и уменьшается у осциллятора с мягкой пружиной.

Метод интегральных инвариантов

До сих пор излагались методы интегрирования канонических уравнений, т. е. методы отыскания интегралов движения /г- = с^ (i = 1, 2, ..., тг)—таких функций ^ц зависящих от переменных ^ь ^2, дз, .. ., q^ Pi, Р2, . • ^ рп и, может быть, времени t, которые при подстановке в них решения канонических уравнений обращаются в постоянную величину. Существуют интегральные выражения

f ^(9, Р, t)dvr,

Vr

где Vr — область интегрирования в расширенном фазовом пространстве системы материальных точек, которые также сохраняют постоянное значение при движении системы. Такое интегральное выражение называется интегральным инвариантом, а число т — его порядком. В том случае, когда область интегрирования Уг является замкнутой, интегральный инвариант называется относительным, а если эта область не замкнута, то абсолютным.

Интегральные инварианты так же, как и обычные интегралы движения, дают возможность продвинуться в исследовании движения рассматриваемой системы. Кроме того, наличие того или иного интегрального инварианта часто предопределяется самой возможностью записать уравнения движения в канонической форме.

Прежде чем обратиться к выводу конкретных видов интегральных инвариантов, введем понятие полной вариации А*). В применении к функции q^ операция Д означает варьирование не только самой функции q^, но и времени t, от которого она зависит. Предполагая, что q = g[a, £(а)], имеем

Д^-^Да+^Да.да dt да

По своему смыслу ^- Да = 6#, а -|^- Да = Д/; поэтому

M = bq + qM.(4.107)

Соотношение (4.107), которое связывает полную вариацию Д с изохронной вариацией 6, может быть применено к любой функции, чем мы и воспользуемся ниже.

Сначала получим интегральный инвариант Картана — Пуанкаре, который является инвариантом первого порядка. Пусть положение системы материальных точек с потенциальными силами определяют п обобщенных координат qi, q^ . . ., qn. Рассмотрим в расширенном фазовом пространстве Ф2п+1 этой системы функционал

f2(a)

8 = f L(g,g,t)dt,(4.108)

^(а)

который называется действием по Гамильтону, а интегрирование производится вдоль некоторой траектории на интервале [h, к]. Вычислим полную вариацию S. Согласно (4.107) и (4.108)

Ч

AS = 68 + SM = J 6Ldt + 1LM1 =

Воспользуемся тем, что 6gh = -^ бд^, и вычислим

*) Более подробное изложение этого вопроса содержится в гл. 5.

Принимая во внимание также и то, что

дЬ— = Рь 8qkдЬ— = Рь 8qkп

дЬ

— = Рь 8qk

дЬ

— = Рь 8qk

L — 2 ^ qh = — Н (q, р, t),й=1 8qk

AS =AS =п2 Ph ^h_h=iп2 Ph ^h_h=ibq^dt.bq^dt.(4.109)(4.109)Если варьировать действие по Гамильтону S так, чтобы от моЕсли варьировать действие по Гамильтону S так, чтобы от момента времени Zi (а) до момента времени точка в расширенном фазовом пространстве Ф2П+1 пробегала вдоль траектории действительного движения, то все выражения в круглых скобках под интегралом (4.109) обратятся в нуль, и мы получиммента времени Zi (а) до момента времени точка в расширенном фазовом пространстве Ф2П+1 пробегала вдоль траектории действительного движения, то все выражения в круглых скобках под интегралом (4.109) обратятся в нуль, и мы получимпAS = Ц рк Мн -НМ.6=1пAS = Ц рк Мн -НМ.6=1<2(а)<2(а)где os — параметр полной (неизохронной) вариации. Пусть теперь параметр а изменяется в интервале 0 ^ os ^ Z так, чтобы функции qk = qA^ *(a)b рн = рД^ Z(os)]где os — параметр полной (неизохронной) вариации. Пусть теперь параметр а изменяется в интервале 0 ^ os ^ Z так, чтобы функции qk = qA^ *(a)b рн = рД^ Z(os)]Z2 (os) изображающаяZ2 (os) изображающаяРис. 4.9 и t = t^ обладалиРис. 4.9 и t = t^ обладалисвойствомсвойствомдДО, Д0)] = зДг, t^\, рДО, Д0)] = рД/, t^\,т. е. чтобы концы траекторий в расширенном фазовом пространстве Ф2П+1 располагались на замкнутых кривых С2 и с^ (рис. 4.9). Тогда интегрирование по замкнутым кривым выражения (4.110) даетсс / п\£ f п(£as ^^{^ pk^qk — нм] — (j)[ ^Ркмк-нмJс \6=1/С. \ 6=1дДО, Д0)] = зДг, t^\, рДО, Д0)] = рД/, t^\,т. е. чтобы концы траекторий в расширенном фазовом пространстве Ф2П+1 располагались на замкнутых кривых С2 и с^ (рис. 4.9). Тогда интегрирование по замкнутым кривым выражения (4.110) даетсс / п\£ f п(£as ^^{^ pk^qk — нм] — (j)[ ^Ркмк-нмJс \6=1/С. \ 6=1Поскольку действие S^q, р, t) является однозначной функцией параметра os, интеграл $ AS = 0 и, следовательно,Поскольку действие S^q, р, t) является однозначной функцией параметра os, интеграл $ AS = 0 и, следовательно,pk^qk — Н М] = Ф\ 2 РкМк — Н Мpk^qk — Н М] = Ф\ 2 РкМк — Н МПолученное равенство означает, что интегралПолученное равенство означает, что интеграл11 — ф [ 2j Ph ^Qh Н At J \h=l11 — ф [ 2j Ph ^Qh Н At J \h=l(4.111)(4.111)запишем AS в виде

AS =

AS =

п

2 Ph ^h

_h=i

п

2 Ph ^h

_h=i

bq^dt.

bq^dt.

(4.109)

(4.109)

Если варьировать действие по Гамильтону S так, чтобы от мо

Если варьировать действие по Гамильтону S так, чтобы от мо

мента времени Zi (а) до момента времени точка в расширенном фазовом пространстве Ф2П+1 пробегала вдоль траектории действительного движения, то все выражения в круглых скобках под интегралом (4.109) обратятся в нуль, и мы получим

мента времени Zi (а) до момента времени точка в расширенном фазовом пространстве Ф2П+1 пробегала вдоль траектории действительного движения, то все выражения в круглых скобках под интегралом (4.109) обратятся в нуль, и мы получим

п

AS = Ц рк Мн -НМ.6=1

п

AS = Ц рк Мн -НМ.6=1

<2(а)

<2(а)

где os — параметр полной (неизохронной) вариации. Пусть теперь параметр а изменяется в интервале 0 ^ os ^ Z так, чтобы функции qk = qA^ *(a)b рн = рД^ Z(os)]

где os — параметр полной (неизохронной) вариации. Пусть теперь параметр а изменяется в интервале 0 ^ os ^ Z так, чтобы функции qk = qA^ *(a)b рн = рД^ Z(os)]

Z2 (os) изображающая

Z2 (os) изображающая

Рис. 4.9 и t = t^ обладали

Рис. 4.9 и t = t^ обладали

свойством

свойством

дДО, Д0)] = зДг, t^\, рДО, Д0)] = рД/, t^\,

т. е. чтобы концы траекторий в расширенном фазовом пространстве Ф2П+1 располагались на замкнутых кривых С2 и с^ (рис. 4.9). Тогда интегрирование по замкнутым кривым выражения (4.110) дает

сс / п\£ f п

(£as ^^{^ pk^qk — нм] — (j)[ ^Ркмк-нм

Jс \6=1/С. \ 6=1

дДО, Д0)] = зДг, t^\, рДО, Д0)] = рД/, t^\,

т. е. чтобы концы траекторий в расширенном фазовом пространстве Ф2П+1 располагались на замкнутых кривых С2 и с^ (рис. 4.9). Тогда интегрирование по замкнутым кривым выражения (4.110) дает

сс / п\£ f п

(£as ^^{^ pk^qk — нм] — (j)[ ^Ркмк-нм

Jс \6=1/С. \ 6=1

Поскольку действие S^q, р, t) является однозначной функцией параметра os, интеграл $ AS = 0 и, следовательно,

Поскольку действие S^q, р, t) является однозначной функцией параметра os, интеграл $ AS = 0 и, следовательно,

pk^qk — Н М] = Ф\ 2 РкМк — Н М

pk^qk — Н М] = Ф\ 2 РкМк — Н М

Полученное равенство означает, что интеграл

Полученное равенство означает, что интеграл

11 — ф [ 2j Ph ^Qh Н At J \h=l

11 — ф [ 2j Ph ^Qh Н At J \h=l

(4.111)

(4.111)

взятый по замкнутому контуру с, охватывающему одну и ту же трубку действительных траекторий, сохраняется постоянным. Выражение (4.111) называется интегральным инвариантом Картина — Пуанкаре.

В частном случае, когда замкнутые кривые щ и с^ лежат в плоскостях t\ = const и ^2 = const (рис. 4.10) и время f, по существу, не варьируется (А£ = 0), полная вариация А превращается в изохронную вариацию 6, а выражение (4.111) принимает вид

Л = ^Е^6^.(4.112)

с ^1

Рис. 4.10 что если ипавнения движенияРис. 4.10 что если ипавнения движенияИнтегральный инвариант (4.112) не зависит от функции Гамильтона Н и получил название универсального интегрального инварианта Пуанкаре. Если ввести два вектора: р{/ц, р^ ..., р^ и 6q(6gi, 6^2, ..., б^п), то выражение (4.112) можно рассматривать как циркуляцию вектора р по замкнутому контуру с, лежащему в гиперплоскости t = const расширенного фазового пространства Фгп+ь Тогда физический смысл интегрального инварианта (4.112) заключается в сохранении циркуляции вектора р по замкнутому контуру с. Вывод выражения (4.112) по существу доказывает, некоторой системы материальных

Рис. 4.10 что если ипавнения движения

Рис. 4.10 что если ипавнения движения

точек можно записать в канонической форме, то эта система обладает универсальным интегральным инвариантом Пуанкаре.

Докажем обратную теорему: если система материальных точек обладает универсальным интегральным инвариантом Пуанкаре, то дифференциальные уравнения ее движения

дк — ^Лд, Р, О» Pk = ^k(g, р, t) (k = 1, 2, ..., п) (4.113)

записываются в канонической форме.

В самом деле, поскольку по условию обратной теоремы выражение (4.112) при движении системы материальных точек сохраняется постоянным, полная производная по времени от этого выражения в силу уравнений (4.113) должна обращаться в нуль, т. е.

п

Поскольку замкнутый контур с остается неизменным, оператор d/dt можно внести под знак интеграла

п

2 (рь ^Чк + Ри-^ ^чД = °-(4.114)

Используя перестановочность операций d и б, имеем

Р ПР ПР Пп п

ф 2 Рк ^Чк = Ф 2 Рк ^Чк = Ф 6 2 РкЧк — ф 2 Чк^Рк-

Q fe10 /l1£ Й.1Й==1

Подставляя полученное выражение в (4.114) и принимая во внимание, что интеграл по замкнутому контуру от дифференциала однозначной функции равен нулю, т. е.

Ф 6 S РкЧк = о, с к=1 получаем

2 (Рк§Чк — Чк &Рк) = о.

Отсюда следует, что подынтегральная функция в полученном равенстве должна быть полным дифференциалом (роль которого в этом выражении играет оператор 6) некоторой функции —#(#, р, £), в которой qk^Qk^, Рк^Рк(^), £ = const, т. е.

2 <Рк6Чк — Чк^Рк) = — 6Я = — 2 ^ ^Чк + ^^Р^'

Приравнивая коэффициенты при одинаковых вариациях вдк и врк1 получаем канонические уравнения, что и требовалось.

Рассмотренные интегральные инварианты Пуанкаре и Кар- тана — Пуанкаре являются линейными или интегральными инвариантами первого порядка.

Покажем теперь, что у консервативной системы, уравнения движения которой записываются в канонической форме, сохраняется фазовый объем, т. е. существует интегральный инвариант высшего порядка

Л» = J J • • • J ^Чх &Чг • • • ЬЧп &Pi Ьр2 ... ^рп

2п

(теорема Лиувилля). Доказательство этой теоремы состоит в непосредственном вычислении производной —^ /2п* в результате

чего оказывается, что она равна нулю. В самом деле, по определению производной по времени

^-Iw = Иш

“£ дг^о

Д<

Но фазовый объем (рис. 4.11) в момент времени t + At равен

^2П (^ + АО —^2П (^ + АО —У П/»б№- J ^Т^Пб^АбА-У П/»б№- J ^Т^Пб^АбА-Здесь q'k = qk + qkM, рк = рк + ркМ, переменные qh и ph изменяются согласно каноническим уравнениям* ^Н* ЭН п л\96 = ^’ Ph =(& = 1, 2,п),дркdqhЗдесь q'k = qk + qkM, рк = рк + ркМ, переменные qh и ph изменяются согласно каноническим уравнениям* ^Н* ЭН п л\96 = ^’ Ph =(& = 1, 2,п),дркdqh-д (д', р')а якобиан преобразования ^^ ^- от переменных qk, рк к переменным qk, рк (к = 1,2, . .., и) равен-д (д', р')а якобиан преобразования ^^ ^- от переменных qk, рк к переменным qk, рк (к = 1,2, . .., и) равен0 (д', Р")0 (д', Р")041041дЧ1941041 ""'04104^^04^9_Р^.9р^9Рп0Рп"9Рп""’6Рп9Рп9Рп ' “’9ри041041дЧ1941041 ""'04104^^04^9_Р^.9р^9Рп0Рп"9Рп""’6Рп9Рп9Рп ' “’9риdq.Oq, кdqn ,9рл кдр, к1 + J^ дг_2 дг—У? дг_11 д#^М,.0410410419дг0дуdq.Oq, кdqn ,9рл кдр, к1 + J^ дг_2 дг—У? дг_11 д#^М,.0410410419дг0дуб^м 041б^м 0419Рп 9Рп8рп 0рп 0рп9рп9Рп 9Рп8рп 0рп 0рп9рпт. е. онт. е. он0^н а^н \д; 94кЭРк 8рк0дкj0^н а^н \д; 94кЭРк 8рк0дкjравен единице с точностью до малых второго порядка.равен единице с точностью до малых второго порядка.Рис. 4.11Рис. 4.11v2n(t)v2n(t)членов по At до Следовательно,членов по At до Следовательно,-^-72п =0, и теорема Лиувилля доказана.Пусть механическая система, движение которой описывается каноническими уравнениями, зависит от некоторого физического параметра X, медленно (как говорят, «адиабатически») изменяющегося со временем. Предположим, что эта система совер-^-72п =0, и теорема Лиувилля доказана.Пусть механическая система, движение которой описывается каноническими уравнениями, зависит от некоторого физического параметра X, медленно (как говорят, «адиабатически») изменяющегося со временем. Предположим, что эта система совершает движение, при котором изображающая точка остается в конечной области фазового пространства. Если Т — период движения рассматриваемой системы при X = const, то условием медлен-шает движение, при котором изображающая точка остается в конечной области фазового пространства. Если Т — период движения рассматриваемой системы при X = const, то условием медлен-

^2П (^ + АО —

^2П (^ + АО —

У П/»б№- J ^Т^Пб^АбА-

У П/»б№- J ^Т^Пб^АбА-

Здесь q'k = qk + qkM, рк = рк + ркМ, переменные qh и ph изменяются согласно каноническим уравнениям

* ^Н* ЭН п л\

96 = ^’ Ph =(& = 1, 2,п),

дркdqh

Здесь q'k = qk + qkM, рк = рк + ркМ, переменные qh и ph изменяются согласно каноническим уравнениям

* ^Н* ЭН п л\

96 = ^’ Ph =(& = 1, 2,п),

дркdqh

-д (д', р')

а якобиан преобразования ^^ ^- от переменных qk, рк к переменным qk, рк (к = 1,2, . .., и) равен

-д (д', р')

а якобиан преобразования ^^ ^- от переменных qk, рк к переменным qk, рк (к = 1,2, . .., и) равен

0 (д', Р")

0 (д', Р")

041041дЧ1941041 ""'041

04^^04^9_Р^.9р^9Рп

0Рп"9Рп""’6Рп9Рп9Рп ' “’9ри

041041дЧ1941041 ""'041

04^^04^9_Р^.9р^9Рп

0Рп"9Рп""’6Рп9Рп9Рп ' “’9ри

dq.Oq, кdqn ,9рл кдр, к

1 + J^ дг_2 дг—У? дг_11 д#^М,.

0410410419дг0ду

dq.Oq, кdqn ,9рл кдр, к

1 + J^ дг_2 дг—У? дг_11 д#^М,.

0410410419дг0ду

б^м 041

б^м 041

9Рп 9Рп8рп 0рп 0рп9рп

9Рп 9Рп8рп 0рп 0рп9рп

т. е. он

т. е. он

0^н а^н \д; 94кЭРк 8рк0дкj

0^н а^н \д; 94кЭРк 8рк0дкj

равен единице с точностью до малых второго порядка.

равен единице с точностью до малых второго порядка.

Рис. 4.11

Рис. 4.11

v2n(t)

v2n(t)

членов по At до Следовательно,

членов по At до Следовательно,

-^-72п =0, и теорема Лиувилля доказана.

Пусть механическая система, движение которой описывается каноническими уравнениями, зависит от некоторого физического параметра X, медленно (как говорят, «адиабатически») изменяющегося со временем. Предположим, что эта система совер

-^-72п =0, и теорема Лиувилля доказана.

Пусть механическая система, движение которой описывается каноническими уравнениями, зависит от некоторого физического параметра X, медленно (как говорят, «адиабатически») изменяющегося со временем. Предположим, что эта система совер

шает движение, при котором изображающая точка остается в конечной области фазового пространства. Если Т — период движения рассматриваемой системы при X = const, то условием медлен-

шает движение, при котором изображающая точка остается в конечной области фазового пространства. Если Т — период движения рассматриваемой системы при X = const, то условием медлен-

ности изменения параметра X является выполнение неравенстваности изменения параметра X является выполнение неравенстваТ dX/dt < X.Т dX/dt < X.(4.115)(4.115)Пусть условие (4.115) выполняется, тогда интегральный инвариант, имеющий место в этом случае и представляющий сохранение фазового объема, называется адиабатическим инвариантом рассматриваемой системы [25].Пример 4.19. Рассмотрим малые колебания системы примера 4.18 в случае р = 0, т. е. когда пружина является линейной, но жесткость с пружины медленно изменяется со временем. Как при этом изменится амплитуда колебаний линейного осциллятора?Как известно, уравнения движения осциллятора записываются в канонической форме с функцией Гамильтонан= Z + ZV,2ш 2где k2 = elm, а с = с^ —медленно изменяющаяся функция времени, такПусть условие (4.115) выполняется, тогда интегральный инвариант, имеющий место в этом случае и представляющий сохранение фазового объема, называется адиабатическим инвариантом рассматриваемой системы [25].Пример 4.19. Рассмотрим малые колебания системы примера 4.18 в случае р = 0, т. е. когда пружина является линейной, но жесткость с пружины медленно изменяется со временем. Как при этом изменится амплитуда колебаний линейного осциллятора?Как известно, уравнения движения осциллятора записываются в канонической форме с функцией Гамильтонан= Z + ZV,2ш 2где k2 = elm, а с = с^ —медленно изменяющаяся функция времени, такчто при нескольких колебаниях осциллятора этим изменением можно пренебречь. Интеграл энергиичто при нескольких колебаниях осциллятора этим изменением можно пренебречь. Интеграл энергииРР^ g2 4- Z = А2 2тп^ g2 4- Z = А2 2тп(4.116)(4.116)теперь уже не имеет места, однако уравнение (4.116) указывает на то, что изображающая точка в фазовом пространстве ^Ui Р) будет двигаться по эллипсу (рис. 4.12) с полуосями а—— у ——, Ь = V^mh, которые медленно изменяются.теперь уже не имеет места, однако уравнение (4.116) указывает на то, что изображающая точка в фазовом пространстве ^Ui Р) будет двигаться по эллипсу (рис. 4.12) с полуосями а—— у ——, Ь = V^mh, которые медленно изменяются.Рис. 4.12Рис. 4.1277Воспользуемся тем, что здесь имеет место адиабатический инвариант 72, т. е. сохраняется площадь эллипса (4.116), хотя длины полуосей а, Ъ с течением времени будут медленно изменяться. В нашем случае2лйZ2 = лао = -^— = В — const.Воспользуемся тем, что здесь имеет место адиабатический инвариант 72, т. е. сохраняется площадь эллипса (4.116), хотя длины полуосей а, Ъ с течением времени будут медленно изменяться. В нашем случае2лйZ2 = лао = -^— = В — const.Отсюда и из предыдущих формул следует, чтоОтсюда и из предыдущих формул следует, чтоВ \У21л /(тс)1^4’В \У21л /(тс)1^4’

ности изменения параметра X является выполнение неравенства

ности изменения параметра X является выполнение неравенства

Т dX/dt < X.

Т dX/dt < X.

(4.115)

(4.115)

Пусть условие (4.115) выполняется, тогда интегральный инвариант, имеющий место в этом случае и представляющий сохранение фазового объема, называется адиабатическим инвариантом рассматриваемой системы [25].

Пример 4.19. Рассмотрим малые колебания системы примера 4.18 в случае р = 0, т. е. когда пружина является линейной, но жесткость с пружины медленно изменяется со временем. Как при этом изменится амплитуда колебаний линейного осциллятора?

Как известно, уравнения движения осциллятора записываются в канонической форме с функцией Гамильтона

н= Z + ZV,2ш 2

где k2 = elm, а с = с^ —медленно изменяющаяся функция времени, так

Пусть условие (4.115) выполняется, тогда интегральный инвариант, имеющий место в этом случае и представляющий сохранение фазового объема, называется адиабатическим инвариантом рассматриваемой системы [25].

Пример 4.19. Рассмотрим малые колебания системы примера 4.18 в случае р = 0, т. е. когда пружина является линейной, но жесткость с пружины медленно изменяется со временем. Как при этом изменится амплитуда колебаний линейного осциллятора?

Как известно, уравнения движения осциллятора записываются в канонической форме с функцией Гамильтона

н= Z + ZV,2ш 2

где k2 = elm, а с = с^ —медленно изменяющаяся функция времени, так

что при нескольких колебаниях осциллятора этим изменением можно пренебречь. Интеграл энергии

что при нескольких колебаниях осциллятора этим изменением можно пренебречь. Интеграл энергии

Р

Р

^ g2 4- Z = А2 2тп

^ g2 4- Z = А2 2тп

(4.116)

(4.116)

теперь уже не имеет места, однако уравнение (4.116) указывает на то, что изображающая точка в фазовом пространстве ^Ui Р) будет двигаться по эллипсу (рис. 4.12) с полуосями а—— у ——, Ь = V^mh, которые медленно изменяются.

теперь уже не имеет места, однако уравнение (4.116) указывает на то, что изображающая точка в фазовом пространстве ^Ui Р) будет двигаться по эллипсу (рис. 4.12) с полуосями а—— у ——, Ь = V^mh, которые медленно изменяются.

Рис. 4.12

Рис. 4.12

7

7

Воспользуемся тем, что здесь имеет место адиабатический инвариант 72, т. е. сохраняется площадь эллипса (4.116), хотя длины полуосей а, Ъ с течением времени будут медленно изменяться. В нашем случае

2лй

Z2 = лао = -^— = В — const.

Воспользуемся тем, что здесь имеет место адиабатический инвариант 72, т. е. сохраняется площадь эллипса (4.116), хотя длины полуосей а, Ъ с течением времени будут медленно изменяться. В нашем случае

2лй

Z2 = лао = -^— = В — const.

Отсюда и из предыдущих формул следует, что

Отсюда и из предыдущих формул следует, что

В \У21

л /(тс)1^4’

В \У21

л /(тс)1^4’

т. е. если со временем жесткость с^ пружины уменьшается, то эллипс на рис. 4.12 «сплющивается» и принимает вид, указанный на рис. 4.12 пунктиром. Это означает, что со временем амплитуда колебаний такого осциллятора увеличивается. При этом, как следует из формулы к2 = dm, частота колебаний уменьшается.

Г ЛИ в CL 5

ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ МЕХАНИКИ

. Действие по Гамильтону

Предположим, что рассматриваемая консервативная материальная система подчинена голономным идеальным связям. Пусть действительное движение системы описывается обобщенными координатами

91W, ?2(0>?п(0-(5.1)

Для наглядности введем в рассмотрение понятие «изображающей» точки. Пусть система имеет две степени свободы, a q\^ и ^2(0 суть обобщенные координаты, описывающие ее движение. Очевидно, что каждому положению системы, определяемому координатами q\ и q2 на плоскости ^1^2, будет соответствовать точка с координатами q\, q%. При изменении q\ и q^ точка на плоскости ^1^2 будет менять свое положение. Эту точку называют изображающей точкой. При рассмотрении системы с п степенями свободы под изображающей точкой будем понимать точку в тг-мер- ном пространстве с координатами ^1, #2, ..., qn.

Под прямым путем изображающей точки понимается геометрическое место ее действительных положений в n-мерном пространстве. Окольным путем называется геометрическое место воображаемых смещенных положений прямого пути, причем смещения в начальный и конечный моменты должны равняться нулю. В соответствии с условиями (5.1) прямой путь параметрически изображается уравнениями

qt = qt^ (i = 1, 2, ..., п).

Окольные пути параметрически изображаются уравнениями

q* (0 = Qi(t) + 6qt (z = 1,2, . .., n),

где вариации обобщенных координат 6qt вследствие независимости обобщенных координат qt представляют собой любые бесконечно малые дифференцируемые функции, не нарушающие связей и подчиненные условиям:

(б*,. = 0, (6q0t=4 = 0,(5.2)

где ^ и ^2 — фиксированные, но произвольно выбираемые моменты времени. Условия (5.2) называются условиями закрепленно-

сти концов окольных путей. Из выражений

Ч* (О = Чг ^ + 6^ (I = 1, 2, . . ., п) следует, что

6qt = q* ^ — ^(Z) (i = 1, 2, . .., п),

т. е. вариации обобщенных координат представляют собой изменения обобщенных координат при фиксированном времени t. Такие вариации называются «изохронными».

Действием по Гамилътону за промежуток времени (fi, ^) называется величина 5, определяемая выражением

S-^Ldt,(5.3)

где L = Т — П — функция Лагранжа. Таким образом, действие по Гамильтону представляет собой функционал. Значение S определяется выбором п функций времени qx, 92, ..., q^ так как L является функцией qx, q^ ..., q^ qx, ..., q^ t. На любом пути, когда qx, q^ ..., qnT qx, $2, . .., qu соответствуют некоторому движению, действие S имеет определенное числовое значение.

5.2. Принцип стационарного действия

Гамильтона — Остроградского *)

Принцип Гамильтона — Остроградского утверждает, что вариация действия по Гамильтону

6S = S^Ldt

Ч

(конечного «импульса лагранжевой функции») на прямом пути равна нулю, т. е.

6S = 0.(5.4)

Это означает, что действие S принимает стационарное значение на прямом пути**).

Этот принцип сформулирован Гамильтоном в 1835 г. для стационарных связей. Независимо от него для общего случая нестационарных связей этот принцип был сформулирован и обоснован М. В. Остроградским в 1848 г.

) Говорят, что функционал вида

j / [^ М. У2 W, •■■■, Уп(х), y't <А У^ИУп W’ ^Р®

имеет стационарное значение при функциях уг (^) (i = 1, 2, ..., и), если вариация этого функционала, обусловленная заданием вариаций Ьуг с точностью до величин первого порядка малости относительно буг, равна нулю.

Покажем, как, исходя из принципа Гамильтона — Остроградского, получить уравнения Лагранжа второго рода. Пусть ^i(^), q^t^ ..., qn(t)—обобщенные координаты, соответствующие прямому пути консервативной голономной механической системы. Рассмотрим окольный путь, определяемый функциями q\ + 6^1, ^2 + б^2, ..., qn + 6gn. Тогда с точностью до членов первого порядка малости относительно величин б^г и 6^

6L = L (qi + bqt, qt + 6^, t) — L Vk, q^ t) =

Следовательно,Следовательно,

Следовательно,

Следовательно,

*2*2^2

8 + 65 = J (L + bL)dt = f Ldt + J 6Ldt, где

5 = J L(qi, qi,t)dt.

4

Отсюда следует

^^i d

Используем свойство операторов б = -^- Ьдг (см. с. 101).

Тогда

В силу условия закрепленности концов (5.2) второй интеграл в последнем выражении равен нулю. В самом деле,

Таким образом,Таким образом,*2 п*2 пa / dL dt\a / dL dt\6ft dt,6ft dt,

Таким образом,

Таким образом,

*2 п

*2 п

a / dL dt

\

a / dL dt

\

6ft dt,

6ft dt,

Согласно принципу Гамильтона — Остроградского 65 = 0. Значит,

*2 П

4r ^ bqi at = 0.

Вследствие произвольности интервала интегрированияпВследствие произвольности интервала интегрированияп*“ 9qJ 4

Вследствие произвольности интервала интегрирования

п

Вследствие произвольности интервала интегрирования

п

2[ dL d dL \ R A

г=1 уу

уравне-уравне-(5-6)(5-6)Так как вариации координат независимы, то получаем ния Лагранжа второго рода

уравне-

уравне-

(5-6)

(5-6)

d / dL\ dL q

второговторогоПокажем теперь, как, исходя из уравнений Лагранжа

второго

второго

рода, можно прийти к принципу Гамильтона — Остроградского. Умножая каждое из уравнений (5.6) на соответствующую вариацию и складывая между собой полученные выражения, найдем, цто

_^дд4 = О,

или

Так кака ( 9L\ к — d U / i - dtТак кака ( 9L\ к — d U / i - dta dL о dL о \ n sr—^qt-^W = 0' 11 9qt /a dL о dL о \ n sr—^qt-^W = 0' 11 9qt /dL о \ dL a s а T^67i -Т^ dT6^= dT dq^ / dqxdL о \ dL a s а T^67i -Т^ dT6^= dT dq^ / dqx(5.7)(5.7)dL s \ dL с е —Г 6^i Iг 6^idL s \ dL с е —Г 6^i Iг 6^iЭЧгЭЧг9h9h

Так как

а ( 9L\ к — d U / i - dt

Так как

а ( 9L\ к — d U / i - dt

a dL о dL о \ n sr—^qt-^W = 0' 11 9qt /

a dL о dL о \ n sr—^qt-^W = 0' 11 9qt /

dL о \ dL a s а T^67i -Т^ dT6^= dT dq^ / dqx

dL о \ dL a s а T^67i -Т^ dT6^= dT dq^ / dqx

(5.7)

(5.7)

dL s \ dL с е —Г 6^i Iг 6^i

dL s \ dL с е —Г 6^i Iг 6^i

ЭЧг

ЭЧг

9h

9h

то выражение (5.7) можно переписать в виде

ппL/ о г 0^1L/ о г 0^1V /dL R . dL R \ nV /dL R . dL R \ n

п

п

L/ о г 0^1

L/ о г 0^1

V /dL R . dL R \ n

V /dL R . dL R \ n

i:

В соответствии с соотношением (5.5)

. г v /dL я > 9L к \1=1 у Чг dq^ j

13 н. в. Бутенин, Н. А. Фуфаев

Следовательно,Следовательно,dd= 0.

Следовательно,

Следовательно,

d

d

Умножая это выражение на dt и интегрируя в пределах от ^ до £2 (^ь ^2 — фиксированные, но произвольные моменты времени), будем иметь

= 0, а время не варьируется. Та-= 0, а время не варьируется. Та-так как (6^)^=^ = 0. (6^)^ ким образом,так как (6^)^=^ = 0. (6^)^ ким образом,65 = 0.

= 0, а время не варьируется. Та-

= 0, а время не варьируется. Та-

так как (6^)^=^ = 0. (6^)^ ким образом,

так как (6^)^=^ = 0. (6^)^ ким образом,

Итак, показано, что из принципа Гамильтона — Остроградского можно получить уравнения движения, а из уравнений движения — принцип Гамильтона — Остроградского. Из этого следует, что этот принцип может быть положен в основу механики голономных консервативных систем).

Из принципа Гамильтона — Остроградского можно получить и канонические уравнения Гамильтона. Действительно, из выражения для функции Гамильтона

п е

Н= 2 PiQi — L

= 1 определяем

L = X Р^г — И,

= 1

где H = H(qi, рг). Из условия (5.4) следует

2 Piqt -я = о.(5.8)

Так как

ьн = 2 б^ + 2 б^

г=1 г2=1 г

и, кроме того,

п . п .п .

6 2 РгЧг = 2 q^Pi + X рМ =

2 = 12 = 12=1

ППП71П

= 2 q^pt + ^р^ 8^ = ^q^Pi + 2 Pi6qi—2 p^qi'2=12 = 12=12=12 = 1

ибоибото соотношение (5.8) примет видто соотношение (5.8) примет вид(5.9)(5.9)

ибо

ибо

то соотношение (5.8) примет вид

то соотношение (5.8) примет вид

(5.9)

(5.9)

в силу закрепленности концов окольных путей. Несмотря на то, что Qi и pt входят в функцию Н как независимые переменные, при вычислении интеграла (5.9) нельзя считать 6^< и 6р< независимыми, так как они связаны зависимостью, вытекающей из соотношений

Pt = (I = 1,2, . га).

Э9г

Но равенства qt = dH/dpi следуют из определения функции Гамильтона (см. § 4.4); поэтому в силу независимости вариаций 6q< обращаются в нуль и все множители при bqt. Итак, получаем

• ан • анп х

га).

Принцип Гамильтона — Остроградского дает только условие стационарности действия по Гамильтону на прямом пути. Для решения вопросов о характере экстремума следует определить знак второй вариации 625. Значение действия по Гамильтону на прямом пути по сравнению с окольными будет минимальным, если 62S > 0. Если промежуток времени ^2 — t\ выбрать достаточно малым, то условие б25 > 0 будет выполнено и действие по Гамильтону на прямом пути будет минимальным по сравнению с окольными путями ) [6, 45].

Докажем теперь, что обратимое преобразование (4.27) будет каноническим, если выражение (4.40)

пп

2 РЯг — Н = ^ РгЧг — Н* + ^ 1=11=1

п2 Рг dqi — Н dt i=lп2 Рг dqi — Н dt i=lбудет тождественно удовлетворяться. Перепишем выражение (5.8) в виде

п

2 Рг dqi — Н dt i=l

п

2 Рг dqi — Н dt i=l

= 0.

Из этого выражения, как только что было показано, получаются уравнения Гамильтона для переменных qt и рь Для того чтобы обратимое преобразование (4.27) было каноническим, т. е. чтобы новые переменные qti Pi удовлетворяли уравнениям Гамильтона, должно выполняться условие

р /п ,,\

6 И 2 Pt dqi — Н' dt = 0.у \i=l/

Оба последних равенства должны удовлетворяться одновременно. Следовательно, их подынтегральные выражения могут отличаться друг от друга не более чем на дифференциал от какой- либо функции И, так как

и на множитель с, который называется валентностью преобразования при переходе от канонических переменных q^ Pi к переменным q^ pi. Поэтому подынтегральные выражения для действия по Гамильтону могут отличаться лишь при условии, что выполняется соотношение

п/ п\

Pidqi — Н dt = с I 2 Pi dqi — Н’ dt\ + dV* i=l\ i=l/

Ради простоты в § 4.4 были рассмотрены лишь такие унива- лентные канонические преобразования, для которых с = 1. В дальнейшем мы также остановимся лишь на случае, когда с = 1. Следовательно, должно выполняться условие

Pidqi — Н dt = 2 Pi dqi — Н' dt + dV»

i==ii=i

Рассмотрим теперь неконсервативную голономную систему. Уравнения Лагранжа второго рода для такой системы имеют вид (см. (3.21))

ddtddt91г V191г V1(г = 1, 2, ..., га).(г = 1, 2, ..., га).

d

dt

d

dt

91г V1

91г V1

(г = 1, 2, ..., га).

(г = 1, 2, ..., га).

Умножая каждое из этих уравнений на соответствующую вариацию обобщенной координаты б^ и складывая между собой полученные соотношения, будем иметь

(5.10)(5.10)\Г/№\д9Т к лк 1 л

(5.10)

(5.10)

/ j I г- | ^qi ^qi xi^Qi

^ at LIЭд,

ddtddtпппп1=1 **4=1 дд^1=1 **4=1 дд^перепишем соотношение (5.10) в видеперепишем соотношение (5.10) в виде

ddt

ddt

пп

пп

1=1 **4=1 дд^

1=1 **4=1 дд^

перепишем соотношение (5.10) в виде

перепишем соотношение (5.10) в виде

Проведя вычисление

ат \ я d /ат . \ ат / — W = -тг — 6gJ 6gi

9gtV-h дЪ

и принимая во внимание, что

67 + 5 Q^qi) at = 0,(5.11)1=1/67 + 5 Q^qi) at = 0,(5.11)1=1/Умножая это выражение на dt и интегрируя в пределах от t\ до t^ получим

67 + 5 Q^qi) at = 0,(5.11)

1=1/

67 + 5 Q^qi) at = 0,(5.11)

1=1/

Ч

так как в силу закрепленности концов окольных путей

-1^ + < )

Результат (5.11) также называют принципом Гамильтона — Остроградского, однако следует иметь в виду, что это уже не вариационная формулировка, а лишь утверждение, что при движении изображающей точки вдоль траектории действительного перемещения этот интеграл равен нулю. В самом деле, выделяя в обобщенных силах консервативные силы

где П — потенциальная энергия, a Qi — обобщенная сила, происходящая от неконсервативных сил, и вспоминая, что

+ = 0,

можно выражение (5.11) переписать в виде

t2 .П\

[ 167 — 6П + 5 Qi6qAdt = 0,

Ч V)

где

Рис. 5.1щенные координаты qx = 0,Рис. 5.1щенные координаты qx = 0,

Рис. 5.1

щенные координаты qx = 0,

Рис. 5.1

щенные координаты qx = 0,

Но так как L = Т — П и время не варьируется, то г2 " г2 ,

6 j Ldt + ^ J Qibqidt = 0.

4i=1 Ч

Вводя теперь величину 65', можно записать

6S'= 65 + 2 | Qi6qidt = 0.(5.12)

Результат (5.12) утверждает только то, что величина 65' на прямом пути равна нулю. Самого же функционала S' не существует.

Пример 5.1. Рассмотрим движение по инерции материальной точки по гладкой поверхности.

Принимая П = 0, имеем L = тп^!^ = const. Действие по Гамильтону имеет вид

^2^2

Согласно принципу Гамильтона при движении точки по прямому пути между начальным и конечным положениями точки действие по Гамильтону имеет стационарное значение по сравнению с окольными путями при условии, что сравниваемые движения происходят за один и тот же промежуток времени ^2 — ^ь Следовательно, для действительного движения

(2\ и

6 (у2) = 0.

Для выяснения характера экстремума рассмотрим частный случай — движение точки по гладкой сфере радиуса R (рис. 5.1). Приняв за обоб- д2 = ф, найдем

..

L — T = _^~ m (0 2 + ф2 sin2 0).

Для прямого пути выполняются уравнения Лагранжа dt ^ j 50 dt

Отсюда 0 — sin 0 cos 0 • ф2 = 0, sin2 0 • ф = с (с — постоянная).

Пусть в начальный момент 0 = Оо, ф = 0. Тогда ф = const и 6 = Оо, т. е. движение будет происходить по меридиану (например, по меридиану MqMq^ (рис. 5.1). Скорость материальной точки равна v2 = R^o. Из этого следует, что движение по прямому пути представляет собой равномерное движение по дуге большого круга.

Если расстояние между начальной точкой Мо и конечной точкой Mi (рис. 5.1) будет меньше л7?, то любой окольный путь между этими точками будет больше, чем дуга большого круга Л/0^2- А так как движение по окольному пути происходит за тот же промежуток времени, что и по прямому, то скорость движения по прямому пути будет минимальной. Если же дуга MQM2 будет больше л7?, то наименьшее значение действия по Гамильтону будет достигаться по дополнительной кратчайшей дуге М^М^.

Таким образом, скорость точки М2 будет минимальной до тех пор, пока она не достигнет точки М, диаметрально противоположной точке Мо. Точка М* называется сопряженным кинетическим фокусом точки Л/о *).

Полное (асинхронное) варьирование

При сравнении прямого пути и окольных мы сопоставляли функции qi^ и qi (t) = qi (t) 4- 8qi для одного и того же мо^

представллно на рис. 5.2.представллно на рис. 5.2.мента времени I. Геометрически это

представллно на рис. 5.2.

представллно на рис. 5.2.

ЧЧНа этом рисунке изображены функции qi^ и q*(ty Точки Мх и М^ лежащие на одной вертика

Ч

Ч

ли, сопоставляются друг с другом в один и тот же момент времени.

Рассмотрим теперь момент времени t + ДЛ Точка Л/з получается из точки М\ благодаря дей-

ствительному движению в промежутке времени от t до t + М. 27 Соответствующее этой точке зна

чение функции q^t + M) сопо-Рис. 5.2

ставляется со значением функ

ции в точке М4 q* (t 4- А^) = q^ (t + Д^) + 8qi (t + Д^). Сопо

ставление опять-таки происходит для одного момента времени t + \t. Отметим, что с точностью до малых первого порядка малости

qi (^ + ДО — qx (£ + ДО + 8qi (£ + ДО = qi (0 + Qi ^ + 6^. (5.13)

Приведем теперь в соответствие точки кривых qt^t) и Qi(t) не в момент времени £, а в моменты t и t + Д^, т. е. приведем

в соответствие точки М\ и М^. В этом случае варьируется не только координата, но и время. Эту операцию называют полной, или асинхронной, вариацией и обозначают символом А. Для точки М4 теперь можно написать

q* (t + АО = q* (t) + Mb(5.14)

Сравнивая между собой выражения (5.13) и (5.14), имеем

А^ = Mi + qAt,(5.15)

где AZ — бесконечно малая дифференцируемая по времени функция. Операция (5.15) может быть применена к любой функции времени. Например,

Mi = Mt + qAt.(5.16)

Продифференцируем выражение (5.15) по времени:

4 (Mi) = 4 (Mi) + qi &+&£ (М = 6 qt + q^t + q^ (At).

Приняв во внимание соотношение (5.16), получим

Отсюда следует, что перестановка операций А и дифференцирования по времени dfdt не имеет места. Для операции же 6, как было ранее выяснено, аналогичная перестановка существует:

6^i=4s^-

Принцип стационарного (наименьшего) действия Лагранжа

Рассмотрим консервативную голономную систему, подчиненную стационарным связям. В такой системе справедлив закон сохранения энергии

T + II = h.(5.17)

Пусть qt^ и qt^ (i=l, 2, ..., п)— фиксированные точки на прямом пути. Рассмотрим только такие окольные пути, на которых выполняется условие (5.17) и которые соединяются в фиксированных точках q^ti) и qt^) (i = l, 2, ..., п) на прямом пути. Условие (5.17) не дает возможности сопоставлять точки прямого пути с точками окольных путей в один и тот же момент времени, так как накладывает определенные ограничения на скорости точек на окольных путях (скорости должны быть такими, чтобы все время удовлетворялось соотношение (5.17)). Например, промежуток времени движения системы из фиксированного положения ffi(^i) до фиксированного положения qi(tt)

(i = 1, 2, ..., п) по окольному пути может быть не равен промежутку времени t^-ti движения системы по прямому пути). Таким образом, при условии (5.17) следует применять операцию полного варьирования. Отметим, что в силу закрепленности концов окольных путей

Адг(^1) = 0, ^qi^ = 0.(5.18)

Для рассматриваемой механической системы справедливы уравнения Лагранжа

(i-1'2"’■(5Л9)

\aqU г

где L = Т — П. Так как

i-iи

(здесь использовано условие 6^ = d^qjdt), то в силу уравнений (5.19) п

1=1

где рг = ЭЦЭдг (см. § 4.1). Но 6L = 6T — 6П и, кроме того, в соответствии с условием (5.17) 6Т + 6П = 0. Значит,

п

^ 2 Pi ^г = 2 67.(5.20)

Согласно формуле (5.15) 6д< = А^ — gAt. Подставляя это выражение в соотношение (5.20), получим пп

42^Д^-42^А/ = 2 67.(5.21)

1=1г=1

Но ппп

PiQi =^

1=11=1 dq i1=1 dq i

так как —7- = —^. Рассматриваемая механическая система под-чинена стационарным связям, поэтому (§ 3.1, формула (3.10))п п

7-AikQi9h

г=1 к=1 И п

2 ^ ^ = 27.(5.22)

i=l 9Qi

Учитывая выражение (5.22), перепишем соотношение (5.21) в виде п г=1 ИЛИ п

42^А^ = 2(6Г + Г A?) + 27’-f- AZ.

7=1

На основании формулы (5.15)

А7 = 67 + 7 М

и, следовательно,

п

42л^<-Л(2П + 27'4л/.

7=1

Умножая это выражение на At, интегрируя в пределах от t\ до ^2 и используя условия (5.18), получим

*2

(5.23)(5.24)(5.23)(5.24)J А (27) + 27-^-(Az) dt = O.

(5.23)

(5.24)

(5.23)

(5.24)

Докажем, чтоДокажем, чтоЧ

Докажем, что

Докажем, что

b^2Tdt = J [а (27)+ 27-^-(AZ) dt.

Так как

A (27) = 6 (27) + -^ (27) AZ = 6 (27) + -^- (27 AZ) - 27 -^ (Az),

ТОТО<2 -[ A(27) + 27^<2 -[ A(27) + 27^^2^2#2#2(AZ) dt = J 6 (27) dt + 27 AZ |.(5.25)'i*1(AZ) dt = J 6 (27) dt + 27 AZ |.(5.25)'i*1

ТО

ТО

<2 -

[ A(27) + 27^

<2 -

[ A(27) + 27^

^2

^2

#2

#2

(AZ) dt = J 6 (27) dt + 27 AZ |.(5.25)

'i*1

(AZ) dt = J 6 (27) dt + 27 AZ |.(5.25)

'i*1

Применим теперь операцию А к интегралу j27 dt:

Ч

ttt

A J 27 at = 6 J 27 dt + 27 A< = J 6 (27) dt + 27 At000

Отсюда следует, что

*2Ч

Aj‘27d< = j6(27)^ + (27Ai)<=t2,(5.26)

Оо

чч

b^2Tdt = J 6 (27) ей 4 (27Ai)f=<i.(5.27)

Оо

Вычитая из выражения (5.26) выражение (5.27), получим

Aj27^= J 6(27)^4-27 А< |.(5.28)

ч чч

Из равенства правых частей формул (5.25) и (5.28) следует равенство левых, т. е. справедливость соотношения (5.24). Таким образом, из (5.23) и (5.24) следует

Ч

\^2Tdt = 0.(5.29)

fl

Величина

А = f 2Т dt(5.30)

называется действием по Лагранжу. Формула (5.29) выражает принцип стационарного действия Лагранжа)', действие по Лагранжу между двумя фиксированными положениями системы имеет стационарное значение на прямом пути, если на окольных путях сохраняется одно и то же постоянное значение полной механической энергии.

Если взять только одну материальную точку, то согласно формуле (5.30)

^2^2S2

А = J mu2 dt = J mu ^ dt = J mu ds.

444

Отметим, что условие (5.29) является условием стационарности величины А. Вопрос о том, будет ли при этом А иметь минимальное значение, требует дальнейшего исследования. Можно доказать, что для достаточно близких t\ и ^2 действие по Лагранжу А будет минимумом. В этом случае этот принцип можно назвать принципом наименьшего действия.

Формула (5.29) была получена на базе уравнений Лагранжа второго рода. Но можно сделать и наоборот — принять эту формулу за исходное положение механики консервативных голоном- ных систем со стационарными связями и получить из нее уравнения движения материальной системы [30].

Рассмотрим в качестве примера движение точки по гладкой поверхности в случае, если П = 0. Действие по Лагранжу равно

А = J 2Т dt = | nw2 dt =mv^t2 — t^.

Для действительного движения

АЛ = 0, т. е.

mv^t = 0.

Так как mv2/2 = А, то у является постоянной величиной и, следовательно, At = 0.

По всем остальным путям движение точки происходит с постоянной скоростью, так как h = const. Значит, при движении по прямому пути время движения будет минимальным.

§ 5,5. Принцип стационарного (наименьшего) действия Лагранжа в форме Якоби

Исключим теперь из выражения принципа стационарного действия (5.29) время I, используя интеграл энергии

(5.31)'(5.31)'Т + П-к

(5.31)'

(5.31)'

Поскольку кинетическая энергия

Nп п

= ”2"=А^ (q^s q2, • • • 1 qn) qi4b

v=ii=l 3=1

a Vv = dsjdt, то можно записать, используя (5.31), что

27 (dt^ =H1mv (dsv)2 = Ц Ау dqi dq3 = 2 (h - П) (dt)2. v=li=l j=l

Отсюда

dt =

mv(dsv)3

2 (A — П)

Лу dq^ dq.

2 (A — П)

(5.32)

Подставляя это значение dt в формулу (5.30), будет иметь

#2(2)/к

А = J 2Т dt = J 1/ 2(й-П) 2 mv (dsv)2,4(i) *V=1

ИЛИ

A=\2Tdt=\ Л/ 2(А-П)2 2 A^dqidq^ (5.33) \(1) r ^=1

Формула (5.33) представляет собой выражение для действия по Лагранжу. Пределы интегрирования соответствуют начальному и конечному положению системы.

Следуя Якоби, примем обобщенную координату qx за независимую переменную, тогда

п пп п

^ 2 Ay dqi dq; = ^ ^ Ац ^ ^ (dq^ =

i«i;=i2=i.7=i11

- Х+i л.5+i ^§+2 f л,,^] w -

Lг=25=21г=2 г=211J

Lг=21г=2 j=2

Вводя обозначение

Д = 2 - П) (л„ + 2 2§ + 2 2 АН^. (5.34)

перепишем выражение (5.33) в виде

А = J VR dqv(5.35)

G1)

где q^ — значение координаты q\ в начальном положении системы, qi — ее значение в конечном положении системы. Формула (5.35) представляет собой действие по Лагранжу в форме Якоби. Заметим, что поскольку функция 1R не зависит от времени I, то в принципе стационарного действия в форме Якоби рассматривается уже не закон движения изображающей точки по траектории, а сама фазовая траектория. Это следует из того, что равенство (5.35) имеет вид формулы (5.3), только вместо функции L стоит функция ^R^ а роль времени t играет координата qi. Поэтому аналогично тому, как из формулы (5.3) получаются уравнения Лагранжа второго рода, так из формулы (5.35) по-

лучаются уравнения, определяющие траекторию изображающей точки, так как их решение дает зависимость обобщенных координат qi (1 = 2, 3, ..., га) от обобщенной координаты gi

d (d~\/R\дД/Rnлэ v

—/— = 0 (i = 2, 3, ..., n).(5.36)

^ ) aqiv 1

Используя формулы (5.32) и (5.34), получим время движения простой квадратурой:

G1)

Z — ^о = J 2 (2— П) ^(5*^^

GD

Общее решение задачи будет содержать 2/г произвольных постоянных, а именно £о, А и 2/г— 2 постоянных интегрирования, получаемых при решении уравнений (5.36) (число этих уравнений равно п — 1).

Пример 5.2. Определим траекторию материальной точки в однородном поле силы тяжести.

Рассматривая движение только в вертикальной плоскости, найдем траекторию, проходящую через две фиксированные точки с координатами (^о, У о) и (^i, y\Y Направим ось у вертикально вверх, а ось х горизонтально. За обобщенные координаты примем qx = х, q2 = у. Закон сохранения энергии имеет вид

т ( х2 + у2) ,,

—2—J ’ + mgy = h.

Так как

2Т = т (х2 + у2),

то в соответствии с выражением (5.34)

R = 2(h — mgy) (т + ту'2) и, следовательно,

^R = ^2m(h — mgy) (1 + /2).

Вычислим производные

9 VR _ V2т (h — mgy) f д Д/R _m2g (1 4- у'2)

9у'/7+РV2т (h-mgy)

Используя уравнения (5.36), пайдем дифференциальное уравнение траектории

_а_ эд/н _ 9 "Ун = 0

dx ду' ду

Подставляя сюда производные от ^R, получим

2kK-mgy)y,,-Vmg^-Yy,2) =0.(5.38)

Продифференцировав это уравнение по х. имеем

2(/i— mgy)y,,z = 0,

или у'" = 0, так как h — mgy Ф 0. Следовательно, у = ах2 + Ъх + с.или у'" = 0, так как h — mgy Ф 0. Следовательно, у = ах2 + Ъх + с.(5.39)(5.39)Для нахождения связи между постоянными as Ъ и с подставим найденное у в уравнение (5.38)4а [/г- — mg^ax2 + Ъх + с)] + mg[l + Ъ2 + 4аЪх + 4а2х] = 0.Отсюдас = А + 1 + 6.2.(5.40)mg 4аСемейство траекторий (5.39) представляет собой семейство парабол с вертикальной осью. Для нахождения искомой траектории следует определить а и Ъ из уравненийу о = аго + Ьж0 + с’ ^1= “1 + Ьж! + с'где с определяется формулой (5.40). Пусть xQ = 0, уо = 0; тогда с = 0. Из формулы (5.40) следует4hДля нахождения связи между постоянными as Ъ и с подставим найденное у в уравнение (5.38)4а [/г- — mg^ax2 + Ъх + с)] + mg[l + Ъ2 + 4аЪх + 4а2х] = 0.Отсюдас = А + 1 + 6.2.(5.40)mg 4аСемейство траекторий (5.39) представляет собой семейство парабол с вертикальной осью. Для нахождения искомой траектории следует определить а и Ъ из уравненийу о = аго + Ьж0 + с’ ^1= “1 + Ьж! + с'где с определяется формулой (5.40). Пусть xQ = 0, уо = 0; тогда с = 0. Из формулы (5.40) следует4hУравнение для определения b имеет видУравнение для определения b имеет видЬ2 —b +^ +1 = 0.т^х mg^Ь2 —b +^ +1 = 0.т^х mg^(5.41)(5.41)Отметим, что выбор точки (xi, ух) не может быть произвольным при заданном 1г. Из уравнения (5.41) следует, что Ъ будет иметь действительные знаОтметим, что выбор точки (xi, ух) не может быть произвольным при заданном 1г. Из уравнения (5.41) следует, что Ъ будет иметь действительные значения причения при4Н (h — mgy^ > m2g2+^4Н (h — mgy^ > m2g2+^(5.42)(5.42)т. е. во всяком случае должно быть h > mgy\. При выполнении условия (5.42) а и Ъ имеют по два значения, что соответствует факту пересечет. е. во всяком случае должно быть h > mgy\. При выполнении условия (5.42) а и Ъ имеют по два значения, что соответствует факту пересечения в точках (0, 0) и (жь yi) двух парабол (рис. 5.3).Наименьшему действию соответствует парабола 7, так как время движения по этой параболе от точки (0, 0) к (#i, yi) меньше, чем по другой параболе.Пример 5.3 (задача о брахистохроне). В 1696 г. И. Бернулли поставил и решил следующую задачу. Материальная точка, имеющая начальную скорость, равную нулю, движется под действием силы тяжести по некоторой кривой, соединяющей две заданные точки. Найти такую кривую ^брахистохрону^ при движении по которой время движенияния в точках (0, 0) и (жь yi) двух парабол (рис. 5.3).Наименьшему действию соответствует парабола 7, так как время движения по этой параболе от точки (0, 0) к (#i, yi) меньше, чем по другой параболе.Пример 5.3 (задача о брахистохроне). В 1696 г. И. Бернулли поставил и решил следующую задачу. Материальная точка, имеющая начальную скорость, равную нулю, движется под действием силы тяжести по некоторой кривой, соединяющей две заданные точки. Найти такую кривую ^брахистохрону^ при движении по которой время движенияУУОО^bUi^bUiРис. 5.3Рис. 5.3сособудетбудетдача получила название задачи о брахистохроне и риационному исчислению.дача получила название задачи о брахистохроне и риационному исчислению.наименьшим. Эта положила началонаименьшим. Эта положила началоза-ва-за-ва-Пусть начальная точка будет началом координат, а вторая точка имеет координаты хь ух (рис. 5.4). Время движения по кривой (при постоянном h^ определяется формулой (5.37)Пусть начальная точка будет началом координат, а вторая точка имеет координаты хь ух (рис. 5.4). Время движения по кривой (при постоянном h^ определяется формулой (5.37)

или у'" = 0, так как h — mgy Ф 0. Следовательно, у = ах2 + Ъх + с.

или у'" = 0, так как h — mgy Ф 0. Следовательно, у = ах2 + Ъх + с.

(5.39)

(5.39)

Для нахождения связи между постоянными as Ъ и с подставим найденное у в уравнение (5.38)

4а [/г- — mg^ax2 + Ъх + с)] + mg[l + Ъ2 + 4аЪх + 4а2х] = 0.

Отсюда

с = А + 1 + 6.2.(5.40)

mg 4а

Семейство траекторий (5.39) представляет собой семейство парабол с вертикальной осью. Для нахождения искомой траектории следует определить а и Ъ из уравнений

у о = аго + Ьж0 + с’ ^1= “1 + Ьж! + с'

где с определяется формулой (5.40). Пусть xQ = 0, уо = 0; тогда с = 0. Из формулы (5.40) следует

4h

Для нахождения связи между постоянными as Ъ и с подставим найденное у в уравнение (5.38)

4а [/г- — mg^ax2 + Ъх + с)] + mg[l + Ъ2 + 4аЪх + 4а2х] = 0.

Отсюда

с = А + 1 + 6.2.(5.40)

mg 4а

Семейство траекторий (5.39) представляет собой семейство парабол с вертикальной осью. Для нахождения искомой траектории следует определить а и Ъ из уравнений

у о = аго + Ьж0 + с’ ^1= “1 + Ьж! + с'

где с определяется формулой (5.40). Пусть xQ = 0, уо = 0; тогда с = 0. Из формулы (5.40) следует

4h

Уравнение для определения b имеет вид

Уравнение для определения b имеет вид

Ь2 —b +^ +1 = 0.

т^х mg^

Ь2 —b +^ +1 = 0.

т^х mg^

(5.41)

(5.41)

Отметим, что выбор точки (xi, ух) не может быть произвольным при заданном 1г. Из уравнения (5.41) следует, что Ъ будет иметь действительные зна

Отметим, что выбор точки (xi, ух) не может быть произвольным при заданном 1г. Из уравнения (5.41) следует, что Ъ будет иметь действительные зна

чения при

чения при

4Н (h — mgy^ > m2g2+^

4Н (h — mgy^ > m2g2+^

(5.42)

(5.42)

т. е. во всяком случае должно быть h > mgy\. При выполнении условия (5.42) а и Ъ имеют по два значения, что соответствует факту пересече

т. е. во всяком случае должно быть h > mgy\. При выполнении условия (5.42) а и Ъ имеют по два значения, что соответствует факту пересече

ния в точках (0, 0) и (жь yi) двух парабол (рис. 5.3).

Наименьшему действию соответствует парабола 7, так как время движения по этой параболе от точки (0, 0) к (#i, yi) меньше, чем по другой параболе.

Пример 5.3 (задача о брахистохроне). В 1696 г. И. Бернулли поставил и решил следующую задачу. Материальная точка, имеющая начальную скорость, равную нулю, движется под действием силы тяжести по некоторой кривой, соединяющей две заданные точки. Найти такую кривую ^брахистохрону^ при движении по которой время движения

ния в точках (0, 0) и (жь yi) двух парабол (рис. 5.3).

Наименьшему действию соответствует парабола 7, так как время движения по этой параболе от точки (0, 0) к (#i, yi) меньше, чем по другой параболе.

Пример 5.3 (задача о брахистохроне). В 1696 г. И. Бернулли поставил и решил следующую задачу. Материальная точка, имеющая начальную скорость, равную нулю, движется под действием силы тяжести по некоторой кривой, соединяющей две заданные точки. Найти такую кривую ^брахистохрону^ при движении по которой время движения

У

У

О

О

^bUi

^bUi

Рис. 5.3

Рис. 5.3

со

со

будет

будет

дача получила название задачи о брахистохроне и риационному исчислению.

дача получила название задачи о брахистохроне и риационному исчислению.

наименьшим. Эта положила начало

наименьшим. Эта положила начало

за-

ва-

за-

ва-

Пусть начальная точка будет началом координат, а вторая точка имеет координаты хь ух (рис. 5.4). Время движения по кривой (при постоянном h^ определяется формулой (5.37)

Пусть начальная точка будет началом координат, а вторая точка имеет координаты хь ух (рис. 5.4). Время движения по кривой (при постоянном h^ определяется формулой (5.37)

УЛ

t — t = С —VR - dq

0 J 2(А-П)

Gl)

1^ — 21^ — 2Пусть в рассматриваемой задаче gi = х, q^ = у. Кинетическая и потея^ циальная энергии выражаются формулами

1

^ — 2

1

^ — 2

П = — mgye

В силу начальных условий из интеграла энергии Т + П = h следует, что h = 0 и функция

Л/к= ^^(l + y'2).

Принимая /0 = 0, перепишем выражение (5.37) в виде

(5.43)(5.43)хг i_ с vly^iv^g J V"u

(5.43)

(5.43)

Таким образом, поставленная задача сводится к нахождению минимума интеграла (5.43), т. е. к нахождению функции #(я), при которой этот ин-*

теграл имеет наименьшее значение. Уравнение кривой у = у(х) определяется из уравнения (см. (5.36))

_£ [A f .К1±^ 1 - — f 1^ + ^- о, d$ dy' \ Уу у J ду у у у у

Производя необходимые вычисления, получим 2уу" + (1 + у'2) = 0.

Введя замену и = у\ имеем 2м- duДу

1 + М3Т

Отсюда

In (1 + и2) = In Ci — In у и

где ci — постоянная интегрирования. Так как

dydx

где 6 — угол наклона касательной к кривой у = у(х) (рис. 5.5), то

V = . I » 2 а" = С1 c°s2 9 = -у- (1 + cos 20).(5.45)

+ tg 61

Из соотношения (5.44) находим dx = ctg 0 dy, а из формулы (5.45)

dy = —Ci sin 20 d^.

Следовательно, dx = —2ci cos2 0 d0 = —ci(l + cos 20)dQ.

Отсюда

я = — ^-(20 + sin 20) + c2,(5.46)

где C2 — постоянная интегрирования. Кривая, определяемая уравнениями (5.45) и (5.46), представляет собой дугу циклоиды.

Оптико-механическая аналогия

Рассмотрим изложенный в предыдущем параграфе принцип стационарного (наименьшего) действия Лагранжа в форме Якоби в применении к движению одной материальной точки в поле потенциальных сил. Пусть х, у, z — декартовы координаты этой точки, а П(ж, у, z^ — ее потенциальная энергия. Тогда, согласно (5.33), действие по Лагранжу записывается в виде

2)

где ds = ^(dx)2 + (dy)2 + (dz)2V/2— элементарная дуга пути, проходимого материальной точкой за время dt. Если ввести в рассмотрение потенциал U = h — П, то принцип наименьшего действия Лагранжа в форме Якоби можно выразить в форме

_

ej Vuas = o.(5.47)

а)

Здесь отброшен отличный от нуля множитель 12т. В выражении (5.47) время t явно не содержится; поэтому вариация б является изохронной, и варьирование траектории движения производится в пространстве конфигураций Фз, совпадающем с обычным пространством ж, у, z. Исходя из (5.47), можно найти траекторию движения материальной точки в пространстве xyz (под действием сил потенциального поля) между любыми заданными точками (1) и (2). Напоминаем, что принцип (5.47)' формулируется в механике.

С другой стороны, в оптике существует принцип Ферма, согласно которому в оптически неоднородной среде с коэффициентом преломления п = п(х, у, z) луч света между точками (1) и (2) искривляется так, что фронт световой волны, перемещаясь 14 Н. В. Бутенин, Н. А. Фуфаев

из точки (1) в точку (2) вдоль этой кривой, достигает точки (2) за наименьшее время. Для получения математического выражения принципа Ферма воспользуемся тем, что по определению

, хсс dt

П (х, у, Z) = =

\ ’ У’ /vds

где и — скорость света в оптически неоднородной среде, ас — скорость света в пустоте. Время пробега т фронта световой волны от точки (1) до точки (2) определяется интегралом

(2)

тI| п ds.

J с J

(1)

Отсюда следует, что траектория луча света между точками (1) и (2) может быть найдена, исходя из выражения

6 j п ds = 0,(5.48)

(1)

которое и представляет собою математическую форму записи принципа Ферма в оптике.

Сравнивая (5.48) и (5.47),^нетрудно видеть, что эти выражения совпадают, только роль У £7 в механике играет коэффициент преломления п в оптике. В этом и состоит оптико-механическая аналогия. Ее смысл заключается в том, что луч света в оптически неоднородной среде с коэффициентом преломления п^х, у, z} имеет такую же форму, как и траектория частицы (например, электрона), движущейся в потенциальном силовом поле (например, в электрическом поле) с потенциалом U, для которого выполняется соотношение V U = п • const. Опираясь на эту аналогию, которую иногда называют электронно-оптической аналоги- ей^ конструируют электронные микроскопы и другие подобные приборы, позволяющие видеть малые объекты, размеры которых лежат довольно далеко за пределами разрешающей способности обычных оптических микроскопов.

В качестве примера покажем, как можно, исходя из «механического» принципа (5.47), получить известный «оптический» закон Снеллиуса. Согласно этому закону при переходе луча света из оптически однородной среды с коэффициентом преломления п\ = const в оптически однородную среду с коэффициентом преломления П2 = const выполняется соотношение

(5.49)(5.49)sin а п2sin р^ ’

(5.49)

(5.49)

где а — угол падения луча на границу раздела двух сред, р — угол преломления луча.

Рис. 5.6Рис. 5.6Выполняя операции варьирования, получаемВыполняя операции варьирования, получаеми в силу произвольности величины бя приходим к уравнениюи в силу произвольности величины бя приходим к уравнениюVUyVUyД/а2-\-х2VЬ2 4- (с —- х)2Д/а2-\-х2VЬ2 4- (с —- х)2(5.50)(5.50)

Рис. 5.6

Рис. 5.6

Выполняя операции варьирования, получаем

Выполняя операции варьирования, получаем

и в силу произвольности величины бя приходим к уравнению

и в силу произвольности величины бя приходим к уравнению

VUy

VUy

Д/а2-\-х2VЬ2 4- (с —- х)2

Д/а2-\-х2VЬ2 4- (с —- х)2

(5.50)

(5.50)

Пример 5.4. Пусть материальная точка движется в плоскости ху из точки (1), которая находится в полуплоскости у > 0 с силовым потенциалом UXl в точку (2), которая находится в полуплоскости у < 0 с силовым потенциалом U2. Найти координату х точки, в которой материальная точка пересечет границу раздела у = 0 двух полуплоскостей у > 0 и у < 0 при

своем движении.

Из предыдущего ясно, что как в полуплоскости у > 0, так и в полуплоскости у < 0 траекториями движения материальной точки будут отрез- ки прямых. Согласно обозначениям на рис. 5.6 эти отрезки равны У а2 + х?

в полуплоскости у > 0 и ^Ь2 + (с — ж)2 в полуплоскости у < 0. Согласно принципу стационарного (наименьшего) действия Лагранжа (5.47) вдоль

траектории действительного движения выполняется равенство

б^У^Ч7? + М У^+^с-ж)2] = 0.

корень которого и является искомой координатой точки пересечения границы у = 0 рассматриваемой материальной точкой.

х,с — х

Если учесть, что г-—-= sm a, "z--- ■== sin В, то урав-

Y^-v$Уь+(с — ж)2

нение (5.50) совпадает с законом Снеллиуса (5.49) для оптических сред, с коэффициентами преломления п\ = y[7If щ = У^.

Глава 6

НЕГОЛОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ

Число степеней свободы неголономной системы

Наиболее существенные успехи в развитии механики неголономных систем связаны с именами С. А. Чаплыгина, В. Вольтерра, П. В. Воронца и П. Аппеля. В этой главе будут рассмотрены лишь некоторые методы составления дифференциальных уравнений движения неголономных систем. Достаточно полное изложение механики неголономных систем содержится в монографиях А. И. Лурье [30] и Ю. И. Неймарка и Н. А. Фу- фаева [37].

В этой главе будут рассмотрены системы с линейными него- лономными связями, т. е. со связями, в уравнения которых проекции скоростей входят линейно. Уравнения таких связей имеют вид

N е,,

2 (^gv^v + В^у^ + Сц¥г¥) + Дц = 0 (р = 1, 2, ..., т) (6.1) V—1

или N

2 (^gv ЙХ^ + S|LIV ^Уу + ^ЦУ ^v) 4* -^jLl dt — 0(6*2)

V=1

(ц= 1, 2, ..., 7П),

где m — число неголономных связей, AHV, В^, С^ D^ — функции координат и времени. Если D^ = 0, то указанные связи называются однородными линейными неголономными. В том случае, когда коэффициенты Ацу, В^, С^, D^ в уравнениях неголономных связей зависят явно от времени и (или) £^#=0, неголономные связи являются нестационарными (или реономными) вследствие того, что уравнения (6.1), будучи записанными в пфаффовой форме (6.2), все же содержат время в виде дифференциала dt.

Пусть на материальную систему наложено к голономных связей

1АХ^ У^ Zv, f) = 0(7 = 1, 2, ..., к)(6.3)

и иг неголономных связей вида (6.2). Тогда вариации координат должны удовлетворять следующим уравнениям:

2 U^v + Ssyv + ^sJ-O(6.4)

v=l XVV /

N

2 (^piv 6^v + B^ 8yv + C^Sz^ = 0 (p = 1| 2, . .., TTl^e (6e5) v=i

Следовательно, если эти к + т уравнений независимы, то число независимых вариаций координат равно 3N — к — т. Это число независимых вариаций координат и будет числом степеней свободы неголономной системы.

Всякая геометрическая связь является также и кинематической связью, т. е. ограничения, накладываемые на координаты точек, накладывают ограничения и на скорости точек. Но наличие неинтегрируемых кинематических связей не влияет на независимость координат. Это будет показано в приводимых ниже примерах.

Пример 6.1. Пусть тело 4 перемещается по неподвижной плоскости, касаясь ее в трех точках (рис. 6.1). Предположим, что одна из точек касания М является точкой касания острого конька поверхности плоскости и может перемещаться только вдоль плоскости конька, движение же двух других точек по плоскости пусть будет свободным (так как расположение этих точек несущественно, то на рисунке они не показаны).

Поскольку тело 4 совершает плоское движение, его положение может быть определено координатами х и у точки М и углом ср, образуемым плоскостью конька с осью х. Условие отсутствия проскальзывания конька может быть записано в виде vjvx = = tg ф или, что то же, у — я tg ф = 0.(6.6)

Итак, из-за наличия связи (6.6) изменения координат ж, у и ф не мо- гут быть произвольными; однако в силу неинтегрируемости уравнения связи (6.6) эти координаты остаются независимыми.

Пример 6.2. Рассмотрим качение без скольжения шара по горизонтальной плоскости (рис. 6.2). Положение шара будет определено, если за

дать координаты хс и ус его центра и три угла Эйлера ф, 6 и ф. Условием качения без скольжения будет равенство

Ум = Vc + to X Р = о,Ум = Vc + to X Р = о,(6.7)(6.7)

Ум = Vc + to X Р = о,

Ум = Vc + to X Р = о,

(6.7)

(6.7)

где со — мгновенная угловая скорость шара, р — радиус-вектор, определяющий положение точки М относительно центра шара. Следовательно, в

соответствии с условием (6.7) имеем

=(6.8)

УС + ««х = О,

где а — радиус шара, (Ох и (оу — проекции угловой скорости соответственно на ось х и ось у. Так как [10]

(ох = Ф sin 0 sin гр + 0 cos гр, toy = —ф sin 0 cos гр + 0 sin гр,

то два выражения (6.8) перепишутся в виде

хс — g(0 sin гр — ф sin 0 cos гр) = О,

...(6.9)

ус + а(0 cos гр + ф sin 0 sin гр) = 0.

Эти уравненья неинтегрируемы, следовательно, связь неголономная. Отметим, что в данном примере есть еще и голономная связь &с = а, показывающая, что центр шара находится все время на расстоянии а от плоскости качения шара.

Таким образом, и в этом примере видно, что координаты хс, ус, ф, 0, гр независимы, но изменения их в силу условий (6.9) не могут быть произвольными.

Уравнения движения с множителями Лагранжа

Пусть ^i, ^2, .. •, Qn будут обобщенными координатами механической системы. Пусть на систему наложено т неголономных связей вида

2 ^vi^i + av = 0 (v = 1, 2, ..., т\(6.10)

1=1

В § 3.6 был рассмотрен прием составления уравнений движения, если на материальную систему наложены дополнительные связи. Этот прием заключался во введении реакций дополнительных связей в число активных сил.

Воспользуемся этим приемом для учета вводимых неголономных связей (6.10). Так как вводимые связи идеальны, то

Nп

2 вХ = 2 еХ = о,(6.11)

Ц=11=1

где Кц — реакции неголономных связей, Qi — обобщенные силы, соответствующие этим реакциям. Из уравнений связей (6.10) следует, что

2 ^viS^i = 0 (v = 1, 2, ..., т\ 1-1

Умножим каждое из этих соотношений на соответствующий множитель Лагранжа Zv и сложим полученные выражения между собой:

Вычитая из выражения (6.11) соотношение (6.12), получим

г=1\ v=l )

Число независимых вариаций обобщенных координат равно п—т. Выберем Xi, Хг, ..., Хт так, чтобы множители у остальных т вариаций обращались в нуль. Тогда

Q'.= ^Xvavi (i = 1, 2, ..и),(6.13)

V=1

и, следовательно, уравнения движения при наличии т неголо- номных связей будут иметь вид

ddtddtdl\ЭЧг)dl\ЭЧг)тОТ п . V 1^” — хг + Av^vi*4iv—1тОТ п . V 1^” — хг + Av^vi*4iv—1(6.14)(6.14)

ddt

ddt

dl\

ЭЧг)

dl\

ЭЧг)

т

ОТ п . V 1

^” — хг + Av^vi*

4iv—1

т

ОТ п . V 1

^” — хг + Av^vi*

4iv—1

(6.14)

(6.14)

Уравнения (6.14) вместе с уравнениями связей (6.10) образуют систему п + т уравнений относительно неизвестных (gi, 92, • • • • • •? ^ny Xl, Х2, • • Хт) •

Пример 6.3. Пусть в примере 6.1 проекция центра тяжести тела А совпадает с точкой касания конька. Рассмотрим движение этого тела по инерцпи.

Кинетическая энергия тела равна

Т^^М^^т у*) -^ 1сц> ,

где М — масса тела, 1с — момент инерции тела относительно вертикальной оси, проходящей через центр масс тела. Так как активные силы отсутствуют, то Qi = 0. В силу уравнения (6.6) пмеем

an = — tg ф, ai2 = 1,а13 = 0.

Следовательно, уравнения (6.14) примут вид

Мхе = —Xt tg ф,Мус = Хь 7сф = 0.(6.15)

Присоединяя к этим уравнениям уравнение связи (6.6) ус — ^ctgф = 0,(6.16)

получим систему четырех уравнений с четырьмя неизвестными. Из третьего уравнения системы (6.15) следует, что

ф = (О = const, и, следовательно,

Ф = tot + фо(6.17)

(фо — начальное значение угла ф). Исключая Xi из первых двух уравнений системы (6.15), получим

хс + ус tg ф = 0.(6.18)

Перепишем уравнения (6.16) и (6.18) в виде

+ ус cos ф — хс sin ф = 0, ус sin ф + xG cos ф = 0,(6.19)

умножим первое уравнение на ф и сложим друг с другом. Получим

ус sin ф + хс cos ф + ^ус cos ф — хс sin ф) ф = О, или

-^- ( ус sin ф + хс cos ф) = 0.

Отсюда

ус sin ф + хс cos ф = с(6.20)

(с — произвольная постоянная). Из уравнений (6.19) и (6.20) следует, что хс = с cos ф, ус = с sin ф, откуда

хс = т (sin ф - sin Фо) + *0> ^С = ~ 4 (cos Ф - cos Фо) + «о’

где х0 и уо — начальные значения координат хс, ус, ф = со^ + ф0.

Пример 6.4. Составим уравнения (6.14) для однородного шара, катящегося без скольжения по шероховатой горизонтальной плоскости по инерции (пример 6.2).

За обобщенные координаты примем

91 = хс, 9г = Ус, 9а = ф, 94 = Ф. 5s = 0.

Уравнения неголономных связей имеют вид (6.9), т. е.

хс + «Ф sin 0 cos ф — а 0 sin ф = 0,

ус + Дф sin 0 sin ф + ав cos ф = 0, или

qx + адз sin уь cos q4 — ауь sin q4 = 0,q2 + « js sin qs sin q4 + aqs cos q4 = 0.

Сравнивая эти выражения с формулами (6.10), получим

ахх = 1, «12 = 0, «1з = a sin qs cos q4 = a sin 0 cos ф, «и = 0, «is = —a sin q4 = —a sin ф, «21 = 0, «22 = 1, «23 = a- sin qs sin q4 = a sin 9 sin ф, «21 = 0,

«25 = « cos q4 = a cos ф.

Кинетическая энергия выражается формулой

т=4 м Uc+«д+4 (^+^+z^);

так как шар однородный, то 1Х = 7^ = 1г = I и, следовательно,

т=4 м <4+Ус)+41 (Х+“и+®хУ

Подставляя сюда выражения

Ох = ф sin 0 sin ф + 0 cos ф,

toy = —ф sin 0 cos ф + 0 sin ф,

coz = ф + ф cos О, будем иметь

Т = -^м(4+ ^c)+4Z^2+ 62+ ф2 + 2ффсоз0).

ат . атат . атНайдем производные

ат . ат

ат . ат

ОТ • дТ = Мхс. = О, 9жСС

8ТС , 1А дТ

-T- = ZU + il)cos6), -^=0,

ат/ ••\ат

—- = zU + vcose), -^-=0, дТ к 8Т • .„

ДД^6’ "Ж = -^8ШО

и составим уравнения (6.14), приняв во внимание соотношения (6.21): Мхе = Хь Мус — Х2,

7(ф + ф cos 0 — ф0 sin 0) = X\a sin 0 cos ф + Х2а sin 0 sin ф,

7(ф + ф cos 0 — ф0 sin 0) = О,

7(0 + фф sin 0) = —\xa sin ф + Х2а cos ф.

К этим уравнениям следует присоединить два уравнения неголономных связей

хс + аф sin 0 cos ф — я0 sin ф = О,

ус + лф sin 0 sin ф + а0 cos ф = 0.

Исключая из полученных уравнений Xi и Х2, найдем

7(ф + ф — ф0 sin 0) = Ma sin 0(a?c cos ф + ус sin ф),

7(ф + ф cos 0 — ф0 sin 0) = О,

7(0 + фф sin 0) = Ma (ус cos ф — хс sin ф) и

хс + лф sin 0 cos ф — я0 sin ф = О,

ус + лф sin 0 sin ф + й0 cos ф = 0.

Полученные уравнения являются достаточно сложными. В следующем параграфе эта же задача будет рассмотрена другим методом и будут найдены первые интегралы составленной системы дифференциальных уравнений.

Уравнения движения в квазикоординатах

В случае голономных связей уравнения движения в квазикоординатах были получены в § 3.7 (уравнения (3.108)).

Пусть теперь на рассматриваемую систему будет наложено m неголономных связей вида

п е

2 ^vi9i + «v = 0 (v = и — m + 1, ..., п),(6.22)

i=i

где а^ си зависят от обобщенных координат и, может быть, времени.

Введем квазикоординаты Л1, Л2, ..., лп при помощи соотношений

л/ = 2 CL^Qi + fy (/ = 1,2,..., nV(6.23)

г=1

так, чтобы правые части соотношений (6.23) совпадали с левыми частями уравнений неголономных связей (6.22), а в остальных соотношениях (6.23) коэффициенты а^ а5 могут быть произвольными функциями обобщенных координат gi, ^2, ..., #п и времени t, но такими, чтобы детерминант матрицы 11^11 не обра

щался в нуль тождественно.

Тогда уравнения движения неголономной системы записываются в виде п — тп уравнений в квазикоординатах (3.108), т. е.

d ЭТ* 8Т*d ЭТ* 8Т*п/ п\

d ЭТ* 8Т*

d ЭТ* 8Т*

, VV ' , I тт

+ z -7- Z ту^й + Ту I = П{

(6.24)(6.24)/=1 дл* \&—i/

(6.24)

(6.24)

(f = 1, . . ., п — тп).

Здесь Т*— функция переменных gi, ^2, ..., ^п, Л1, Л2, ..., лп, t, которая получается в результате замены всех обобщенных скоростей ^1, ^2, ..., Qn на квазискорости Л1, Лг, ..., л„ посредством соотношений

4i = 2 bihnh + bi (i — 1, 2, ..., га), (6.25) k=l

являющихся обращением уравнений (6.23). 8Т*V дТ*

Символ обозначает операциюа Пг— обобщен

ная сила, которая совершает работу при изменении квазикоординаты Л/ и вычисляется из выражения виртуальной работы и п

равна Hi = 2 Qhbkv Коэффициенты ^ Ча вычисляются путем h=l

составления перестановочных соотношений

ЙбЛ/ — 6б?Л/ = 2 У Т^бЛ^Л^ + 2^^6Л{,(6.26)

h—1 1=1г=1

исходя из (6.23) и (6.25) (см. § 3.8).

После выполнения всех указанных в (6.24) операций в этих уравнениях следует положить нулю квазискорости

Лп—т+10, Лп—т-ь2 0, • • ., Лп ==: 0.(6.27)

В итоге получаем п — тп уравнений динамики (6.24), п — тп первых уравнений системы (6.23) и тп уравнений неголономных

связей (6.22), т. е. систему 2(п — т)+ т = 2п — т дифференциальных уравнений для определения 2п — т неизвестных ?ь 9% ..., Чп, Л1, Л2, ..., Лп-т как функций времени.

Если составить т уравнений динамики (6.24) для последних квазикоординат лп-т+ь лп+гп+2, ..., лп, то получим уравнения для определения т реакций неголономных связей.

Пример 6.5. Составим уравнения в квазикоординатах для свободного движения однородного шара по горизонтальной шероховатой плоскости.

Как и в § 6.2, примем qx = хс, qi = Ус, qs = Ф, ^4 = Ф, Уб = 0. Него- лономные связи имеют вид

хс — «соу = 0, ус + а^х = 0.

Кинетическая энергия без учета этих связей

Г =”М (^ + Ус^ + Ц ^К + ^ + «0.

За квазискорости примем

Л1 = сох = ф sin 6 sin ф + 0 cos ф, л2 = (Оу = —ф sin 0 cos ф + 0 sin ф.

л3 = wz = ф cos 0 + ф,(6.28)

л4 = <20 sin ф — аф sin 0 cos ф — хс^

Л5 = а 0 cos ф + аф sin 0 sin ф + Ус.

(В силу уравнений неголономных связей л4 = 0, л5 = 0.) Из этих уравнений найдем обобщенные скорости

^С” ^*^2*^4’^С^ ^l ~b *^5’

•• sin ф • cos ф

Ф = Л1 sine ~ я2 sine ’

;• sin ф• cos Ф •(6.29)

= _ Я1ЮТСО®0+ Л2ЮТСОз6+ Л3-

0 = лх cos ф + л2 sin ф.

Запишем теперь выражения для Т*

7* = ум[(ая2— л4)2+(— ал1 + яб)2]+ у (я^ + я| + яр.

Отсюда следует

ОТ*(.. \...

-—т— — _ Маалг + лб) + 1лг = (/ + Ма^ лх — Мая^

дТ* / .. \...

-г- = Ма (ал2 — л ) + /л2 = (/ + Ма2) — Мак.п

Поскольку обобщенные координаты в выражение для кинетической энергии не входят, то

ОТ*

1^=0 (х = 1,2,3).

Перейдем к нахождению трехиндексных коэффициентов Чгзь- Для этого воспользуемся формулой (6.26), которая в нашем случае склерономных него- лономных связей имеет вид

а (6л,.) - 6 ^ = 5 5 Wn& (7 = 1, 2, ..., п).(6.30)

Пользуясь соотношениями (6.28) и (6.29), получим

(?Л1 = okp sin 0 sin гр + d0 cos гр,

dn2 = —^ф sin 6 cos гр + d0 sin гр,

dлз = dф cos 6 + dгp,

dл4 = — a d^ sin 6 cos ip + a d0 sin гр —- dx^

dn5 — a d(p sin 6 sin ip + a d0 cos гр + dyCl

6^ = 6ф sin 0 sin гр + 60 cos гр,

6л2 = — 6ф sin 0 cos ip + 60 sin гр,

6лд = 6фсоз0 + бгр,

6л4 = — a 6ф sin 0 cos ip + a 60 sin гр — &xCl

6лб = a 6ф sin 0 sin гр + a 60 cos ip + 6yc, sin гр cos гр

d<p = sin 6 ^1 ~ sin"e ^2, sin грcos ip

^=- та- cos 6 ал1+та- cos 6 ^2+6лз’

d0 = cos ip d^x + sin гр dл2,

Sxc = a 6л2 — 6л4, byc — — a 6лх + 6лб, osin ip „cos ip л

6ф=: sin 0 6л1— sin6 6л2’

„ sin гр л „ cos гро

6ф=~ та"cos 6 6л1+"та"cos 9 6л2+6лз’

60 = cos гр 6лх 4- sin гр 6л2.

В соответствии с формулой (6.30) получим

б?(6Л1) — 6(с?Л1) = —6л2^л3 + 6л3^л2,

<Ц6л2) — 6((/Л2) = 6Л1(?Лз — 6л3б/Л1,

б?(6л3) — 6((?Лз) = — 6Л1б?Л2 + 6Л2(/Л1,

</(6л4) —6((/л4) = а 6л1б/л3 — а6л3(7ль

^(6л5) —- 6((/л5) = -—а 6л2(7лз + а 6л3(/Л2.

Отсюда следует, что

7213 = —7312 = —1,7123 = —7321 = —1,

7132 = —7231 = —1,7143 =— 7'341 = а, 7253 = —7з52 = —а.

Остальные Чиь равны нулю.

Подсчитаем теперь суммы

Б Б

22^^-=

ц=1?=1

= (Z + Ма2) л2 лд — Л/ал4л3 — Ма (ал2 — л4) л3 — /л3л2 = О,

5

22^^=

n=i5=i ^лц

= — (Z + М^ лхл3 + Мал5 л3 + Zл3л1 — Ма (— алг + лб) л3 = О,

2 2^- "з = + Ма^ "1^2 - ^ал5л2 -

д=15=1 длц

— (/ + Ма2) л2лг + Мал4лг + Ма (ал2 — л4)лх+Ма (— алг + лБ) л2 = 0.

Следовательно, уравнения (6.24) будут иметь вид

(6.31)(6.31)d / ^Tz \d ( aT*\

(6.31)

(6.31)

\ ^Л1/\ • 2/\ ^Л3 /

Так как в силу неголономных связей л4 = О, Лб = 0, то из уравнений (6.31) получим

Л1 — СОх — Ci, Л2 — СОу — С2, Лз — CDz — Сз,

где ci, с2, сз — постоянные интегрирования. Учитывая значения Л1, л2, Лз, получим

Ф sin 0 sin -ф + 0 cos *ф = ci,

—ф sin 0 cos ф + 0 sin г|) = с2,

Ф cos 0 + ф = с3.

Из уравнений неголономных связей следует, что хс = ас2, ^с = —ас\. Таким образом, первые интегралы уравнений движения известны.

§ 6.4. Уравнения Аппеля [16, 37]

Пусть на материальную систему, состоящую из N точек, наложено к голономных и т неголономных связей. Если gi, q^ ... ..., qni где п = 3N — к — независимые обобщенные координаты, то формулы

rv = rv(gb q^ qni t) (v = 1, 2, ..., N) (6.32)

устанавливают связь между декартовыми и обобщенными координатами. Из формул (6.32) следует, что

rv = 2-£^ + ^ (v = 1,2, ..., TV) (6.33) г=1 Чг

И

5rv = 2^76^ (v = l,2, ...ЛУ(6.34)

Пусть уравнения неголономных связей имеют вид

2 «киЧу. + «й = о (к = 1, 2, .. ., т).(6.35)

Ц=1

Выберем за п — т независимых квазискоростей (по числу степеней свободы) п — т независимых линейных комбинаций обобщенных скоростей п

лх = ^] ^хц^ц, (х = 1, 2, . .., п — т\(6.36)

Из уравнений (6.35) и (6.36) определим зависимость обобщенных скоростей от квазискоростей лх. Очевидно, что это можно сделать в том случае, если определитель системы уравнений (6.35) и (6.36) отличен от нуля:

^п—тд ап—т,2 * * * ап—т.п

«и а12... а1п

ami ат2 * * * атп

Пусть найденная зависимость имеет вид

Qi = X ^гц^ц + Ьг (l = 1, 2, . . ., П^(6.37)

где Ь^ и Ьг — функции времени и обобщенных координат. Величины лц могут принимать произвольные значения, так как по формулам (6.37) всегда можно подобрать соответствующие им значения qb Подставляя теперь значения q^ определяемые формулами (6.37), в формулу (6.33), получим

П о /П—771\

V ^V / V 7'7 I От4

rv — ^ I ^ Огц^ц + I + -т— = г=1 Чг \ ц=1/

п—772Т1п

п—тп—тВведя обозначения

п—т

п—т

будем иметь

rv = 2 кл^л + к (v = 1,2, ..., Ny (6.38) л=1

откуда п—т

6rv = s W^ (v= 1,2, ...,7V).(6.39)

Л=1

Вычислим производную по времени от выражения (6.38): п—тп—т

rv = 2 ^л^Л + 2+ "dt ^v*

Л=1it=l

Отсюда видно, что частнДя производная от ускорения wv = rv v-й точки по лц равна lvg, т. е.

—- = кл(v = 1, 2, . .„.V; И = 1,2, . ...n-mY (6.40)

В общее уравнение динамики (2.28)

N

2 (^vwv — Fv) 6rv = 0

V=1 подставим 6rv, определяемое формулой (6.39):

2 (mvwv — Fv)- 2 Wnn = 0.

V=111=1

Отсюда

2 I 2 ^Н^кл — Пр, ] бЛр, = 0,(6.41)

Л=1 \v=l/

где Пц — обобщенные силы, соответствующие квазикоординатам Лц,

Пц = 2 Fvivu = 2 2 Fv ^-ь^-(6.42)

V=11=1 V=1

Так как величины 6лц взаимно независимы, то из выражения (6.41) следует

N

2 ^vWjvu = Пц (н = 1,2, ...,п — т\ (6.43) V=1

Используя зависимость (6.40), получим

2 mvwv -^ = Пц,v=i 5лц

ИЛИИЛИтак как w«—^так как w«—^5л5лm^v 2m^v 2ФункцияФункцияNN(6.44)(6.45)(6.44)(6.45)

ИЛИ

ИЛИ

так как w«—^

так как w«—^

5л

5л

m^v 2

m^v 2

Функция

Функция

N

N

(6.44)

(6.45)

(6.44)

(6.45)

называется энергией ускорений (по аналогии с кинетической энергией). Таким образом, получаем п — т уравнений

-^- = Пц (р = 1, 2, ..., п — ту(6.46)

которые называются уравнениями Аппеля.

Система уравнений (6.46) совместно с соотношениями (6.35) составляет полную систему уравнений для определения декартовых координат х\, у\, zi, а?2, У 2, ^2, ..., хп, уи, zn и квазискоростей Л1, Л2, ..., лп-т как функций времени t.

Возьмем теперь в качестве квазискоростей п — т независимых обобщенных скоростей 4ь ^2, • • ., Qn-m и выразим через них с помощью соотношений (6.35) остальные т обобщенных скоростей: п—т

Qn—m+v ™ S ^n—m+v.^H (v — 1, 2, . .., т^.

Ц=1

Отсюда

п—т

^Qn—m+v ” S kn—m+v^Qn.(6»47)

Ц=1

Заменяя теперь в выражении для виртуальной работы

Л = ^ Qj^3=1

вариации 6qu-m^ (v = 1, 2, ..., т) с помощью формул (6.47), получим

п—т6Л = ^ ^*6^,Ц=1

где т

Qy. ” Qy. 2 Qn—m-bv^n—m+v.Hv=l

— обобщенные силы, соответствующие независимым вариациям б^ (ц = 1, 2, ..., п — т).

Уравнения Аппеля примут вид)

-чг = Си (и = 1, 2, .п — т\

Для голономной системы уравнениями Аппеля будут

д9г

При вычислении функции S бывает целесообразно использовать теорему, аналогичную теореме Кёнига.

Пусть подвижная система координат имеет начало в центре масс материальной системы и движется поступательно. Тогда положение Z-й точки системы в неподвижной системе координат определяется радиусом-вектором

(6.48)(6.48)Гг = ГС + Р»,

(6.48)

(6.48)

(6.49)(6.49)где гс — радиус-вектор центра масс в неподвижной системе координат, a pi — радиус-вектор точки г в подвижной системе координат. Из выражения (6.48) следует, что

(6.49)

(6.49)

Wi = Wc + Wri,

где Wri — относительное ускорение f-й точки. Подставим соотно

шение (6.49) в выражение для функции S:

с V тгшг V ^(^Н- Wri) 22—

i=iг=1

miwH2 ’miwH2 ’NN

miwH

2 ’

miwH

2 ’

= ~ Mwc + Wi. 2 ^iWri + ^

{=1i=l

где

N

М = 2i=l

масса всей системы. Далее, N9 N9

A ^^т1 = —2 2<miPi = 3»- (Мрс) = О,

так как рс = 0. Следовательно,

(6.50)(6.50)5 = ±М^ + S',

(6.50)

(6.50)

где

„ = ^ т^1

г=1

энергия ускорений системы в относительном движении.

Из формулы (6.50) следует, что энергия "ускорений S системы состоит из энергии ускорений ее центра масс, в котором сосредоточена масса всей системы, и энергии ускорений точек системы при их движении относительно центра масс.

Пример 6.6. Составить уравнение Аппеля для тяжелого однородного шара, катящегося по наклонной плоскости, образующей угол а с горизонтальной плоскостью (рис. 6.3).

За независимые обобщенные координаты примем qx = хс, qs = Ус, Чг = ф, ^4 = = ф, qs = 0, где хс, ус — координаты центра тяжести шара, ф, ф, 0 — углы Эйлера. Уравнение голономной связи: zc =

= а (а — радиус шара). Уравнения неголономных связей:

хс — atoy = 0, ус + atox = 0.(6.51)

Проекции угловой скорости шара на оси:

«х = ф sin 0 sin ф + 0 cos ф,

(Оу = —ф sin 0 cos ф + 0 sin ф,(6.52)

(О; = ф cos 0 + ф.

Примем за независимые квазискорости следующие выражения:

Л1 = (ох = ф sin 0 sin ф + 0 cos ф,

л2 = о)у = — ф sin 0 cos ф + 0 sin ф,(6.53)

Лз = (0; = ф cos 0 + ф.

Из уравнений (6.51) и (6.53) определим обобщенные скорости через независимые квазискорости:

х 0 — бис^,^С — &Лр

*sin ф •cos ф •

(6.54^(6.54^Фsin 0 Л1sin 0 л2’

(6.54^

(6.54^

ф = — Лт sin ф ctg 0 + Л2 cos Ф ctg 0 4- л3, 0 = лх cos ф + л2 sin ф.

Найдем теперь энергию ускорения. Используя формулу (6.50), получим

1

5 = у Mwq + 5', или

+ у2)+А/(ю2+ю2+ю2)<

где М — масса шара, I — осевой момент инерции шара. Используя формулы (6.53) и (6.54), будем иметь

111

8 = у (7 + Ма^ л^ + у (Z + Ма^ л^ + у /л^.(6.55)

Вычислим виртуальную работу

6Л = X бяс + V бус + Z б^с.

Но X = 0, У = Mg sin a, Z = —Mg cos a, a согласно формулам (6.54) бхс = л бл2,бус = —я бль

Кроме того, бгс = 0. Следовательно,

6Л = — Mga sin а бЛ1,

откуда П1 = —Mga sin а, П2 = 0, П3 — 0. Уравнения Аппеля

asд^asд^asas

as

д^

as

д^

— = п2, —

д л2дл3

в рассматриваемом случае будут иметь вид

(7 + Ма^ Л1 = —Mga sin а,

(7 + Ма^ п2 = 0,

ОтсюдаОтсюда7л3 = 0.

Отсюда

Отсюда

•Mga sin а

17 + Ма 1^233

где сь е2, с3 — постоянные интегрирования. Для обобщенных скоростей имеем

„ -2 •

*• Mga sin а

хп = ах , ур —— t — ас..

С 2 L Z + Ма41

sin 'll? Mga sin а f t sin "ф cos ф sin 0/ _j_ Me? ^ + ci sin 0 “ c2 sin 0 ’

•.Mga sin а

Ф = Sin Ф Ctg 0t — c. sin Ф Ctg 0 + C. COS Ф etg 0 V C _

T Mali6

0

■= — COS Ф

Mga sin аI + Ma4

t + сд cos Ф + ^2 sin Ф.

a / атdt *\99ia / атdt *\99iэт89гэт89г(6.56)(6.56)(6.57)(6.57)

a / ат

dt *

\99i

a / ат

dt *

\99i

эт

89г

эт

89г

(6.56)

(6.56)

(6.57)

(6.57)

Дальнейшее интегрирование первых из этих уравнений дает

Mga" sin а 2

Хс = ас2< + с4, Ус = 2 (z_^ Маг^ 1 — a<V + с6 •

Это значит, что в общем случае центр масс шара движется по параболе, расположенной в плоскости, параллельной наклонной плоскости.

Вывод уравнений движения неголономной системы из общего уравнения динамики. Уравнения Чаплыгина

В § 3.2 из общего уравнения динамики было получено соотношение

пN

У 6qi 5 (Fv — rnvwv) = о.

2=1V=141

Там же показано, что n„

7, (Fv — mvwv) -т— v=lг

Введем в рассмотрение оператор _ d / дТ \ дТ

1 Л* II*7 •

dt ( OqJd1i

Тогда выражение (6.56) примет вид

У Mi (Qt — TqO-

Пусть на систему наложено пг неголономных связей

У aviqi + av = 0 (v = 1,2, . ..,m).(6.58)

2=1

Примем первые п — пг обобщенных координат за независимые и выразим обобщенные скорости ^n-m+i, qn-m+2, ..., qn с помощью уравнения неголономных связей через qi, q^ ..., ^n-m:

е Ti—m е

^ = 2 ^кгЧг + hk (к = п — пг т- L п — пг + 2, .. .,п). (6.59) 2=1

Отсюда

п—m

69й = У hhi^Qi (к = п — m + 1, п — тп + 2, ..., и), i=l

Подставляя эти выражения в соотношение (6.57), получим

п—тпп—т

2 кТдг -QtW^ 2 <Tqk - Qk) 2 КкМ = О, i=lk=n—m+1i=i

ИЛИ

n—m Гn

6qt = 0.6qt = 0.2 ^71— Qi + 2 (Tqk — Qk)hht

6qt = 0.

6qt = 0.

i—1 Lk=n—m+1

В силу независимости 651, 6qs, . .., 6q«-m имеем

Tqt-Qt +2 (M-Q^-O (z = l,2, ...,n — m). (6.60)

k=n—m+1

Это и есть искомые уравнения движения. Присоединяя к ним уравнения неголономных связей (6.58), получим полную систему уравнений для определения всех обобщенных координат.

Перейдем теперь к выводу уравнений Чаплыгина. Свои уравнения С. А. Чаплыгин получил в предположении, что все силы являются потенциальными, а в уравнениях кинематических связей (6.58) коэффициенты av = 0; коэффициенты а^ не зависят явно от времени t и последних т координат дп-т+ь ^n-m+2, ... ..., qu. Следовательно, в уравнениях (6.59) все hh = 0 (к = = п — т + 1, п — т + 2, . .., тг).

С. А. Чаплыгин рассмотрел неголономные системы в случае, когда кинетическая энергия Т и потенциальная энергия П тоже не зависят от т последних координат. Такие системы теперь называются неголономными системами Чаплыгина.

Если коэффициенты h,^ кинетическая энергия Г и потенциальная энергия П не зависят от gn-m+b qn-m^ • •., ^п, то уравнения (6.60) примут вид

ап8g,ап8g,, 4^ dt, 4^ dtп

ап

8g,

ап

8g,

, 4

^ dt

, 4

^ dt

2

k=n—m+1

(i = 1, 2, ..., n — тп).

Пусть T* будет кинетической энергией системы после исключения скоростей +-m+i, q«-m+2, ..., тогда

эт* _ эт9gi 94iэт* _ эт9gi 94i2 8Т 99кк=п—m+1 Эдк 9q^2 8Т 99кк=п—m+1 Эдк 9q^

эт* _ эт

9gi 94i

эт* _ эт

9gi 94i

2 8Т 99к

к=п—m+1 Эдк 9q^

2 8Т 99к

к=п—m+1 Эдк 9q^

ЭТ* 8д^ЭТ* 8д^ЭТ уЭТ 8дк8qih-^m+i 9qb d(lh 'ЭТ уЭТ 8дк8qih-^m+i 9qb d(lh '

ЭТ* 8д^

ЭТ* 8д^

ЭТ уЭТ 8дк

8qih-^m+i 9qb d(lh '

ЭТ уЭТ 8дк

8qih-^m+i 9qb d(lh '

Из выражений (6.59) следует, чтоИз выражений (6.59) следует, чтоСледовательно,Следовательно,~:dqt~:dqt„ •п—т_,^к,у;9Чг^дчг4„ •п—т_,^к,у;9Чг^дчг4дТ*дГ , V, ST— — —:—h^кг ~—?dq^dq^ ъ=п_т+1 dqkдТ*дГ , V, ST— — —:—h^кг ~—?dq^dq^ ъ=п_т+1 dqkат*aq^ат*aq^Теперь можно написатьТеперь можно написать2 ^к=п —ттг + 1 dqk2 ^к=п —ттг + 1 dqkd^kidt *d^kidt *

Из выражений (6.59) следует, что

Из выражений (6.59) следует, что

Следовательно,

Следовательно,

~:

dqt

~:

dqt

„ •п—т_,

^к,у;

9Чг^дчг4

„ •п—т_,

^к,у;

9Чг^дчг4

дТ*дГ , V, ST

— — —:—h^кг ~—?

dq^dq^ ъ=п_т+1 dqk

дТ*дГ , V, ST

— — —:—h^кг ~—?

dq^dq^ ъ=п_т+1 dqk

ат*

aq^

ат*

aq^

Теперь можно написать

Теперь можно написать

2 ^

к=п —ттг + 1 dqk

2 ^

к=п —ттг + 1 dqk

d^kidt *

d^kidt *

перепишем уравнения движения в виде

Мы получили уравнения Чаплыгина).

Исключая в полученных уравнениях с помощью зависимостей (6.59) скорости gn-m+h gn-m+2, . .., ^п, входящие в выражения dT/dqh, получим систему п — тп уравнений с п — m неизвестными qi, #2, ^з, ..., qn-mn которая интегрируется независимо от уравнений неголономных связей. Остальные координаты можно затем определить из уравнений (6.59).

Пример 6.7. Составить уравнения движения велосипеда, пренебрегая движением ног велосипедиста, движением педального механизма и считая колеса велосипеда абсолютно жесткими тонкими дисками).

Будем рассматривать велосипедиста как твердое тело, жестко скрепленное с рамой. Исходя из условий задачи и рассмотрения рис. 6.4 и 6.5 велосипед можно считать системой, состоящей из четырех кинематически связанных между собой твердых тел: рамы с седоком, переднего и заднего колес и вилки переднего колеса.

На рис. 6.5 представлена схема велосипеда в вертикальном положении и при совпадении плоскости переднего колеса и рамы. Центры заднего и переднего колес соответственно обозначены буквами Мх и М2. Точками М3 и М^ обозначены соответственно положения центров масс задней части велосипеда (рама, велосипедист, заднее колесо) и передней части (вилка переднего колеса, переднее колесо). Величина ci = (^2^з) cos X, где

Рис. 6.4

Рис. 6.5

К2К$ называется выносом, величина с = a cos ф + 6 cos X называется базой велосипеда, угол X — угол между вертикалью и рулевой осью, отрезок ММ2 = R sin X. В обычных конструкциях велосипеда точка Мо лежит внутри отрезка MM2l поэтому ci > 0; угол X обычно положительная величина.

Предполагая, что велосипед движется по горизонтальной плоскости, примем за обобщенные координаты следующие переменные: дх = гр—угол поворота руля; ^2 = X — угол наклона рамы, отсчитываемый от вертикали; 03 = #, 94 = У — декартовы координаты точки К\ соприкосновения заднего

колеса с дорогой; у5 = 0 — угол между следом заднего колеса и осью у; Уб = Оь у? = 02 — углы собственных поворотов соответственно заднего и переднего колес. Введем вспомогательные переменные х', у', 0', xS определяющие положение переднего колеса, и найдем их связь с обобщенными координатами. Согласно рис. 6.6 координатами центра Мх заднего колеса будут

хх = х + R sin % cos 0,

ijx = у + R sin x sin 0,(6.61)

= R cos %,

где R — радиус колес велосипеда.

к плоскости рамы. Расположение этих осей по отношению к осям неподвижной системы координат Oxyz показано на рис. 6.7. Обозначим через i,к плоскости рамы. Расположение этих осей по отношению к осям неподвижной системы координат Oxyz показано на рис. 6.7. Обозначим через i,Рис. 6.7Рис. 6.7Найдем координаты точки М^ являющейся течкой пересечения рулевой оси с перпендикуляром, опущенным на эту ось из центра М2 переднего колеса (рис. 6.5). Пусть система координат AfigiTiigi имеет начало в центре заднего колеса. Ось гр направим от точки М1 к точке J/o, ось ^—перпендикулярно к ней в плоскости рамы, ось Si— перпендикулярно

к плоскости рамы. Расположение этих осей по отношению к осям неподвижной системы координат Oxyz показано на рис. 6.7. Обозначим через i,

к плоскости рамы. Расположение этих осей по отношению к осям неподвижной системы координат Oxyz показано на рис. 6.7. Обозначим через i,

Рис. 6.7

Рис. 6.7

j, к единичные векторы осей системы Oxyz, через Sb тр, Si — единичные векторы осей системы MiSiT]iSb а через ii, ji, ki — единичные векторы вспомогательной системы координат ^Si^i^i* Очевидно, что

ii = cos 0 • i + sin 0 • j,

ji = —sin 0 • i + cos 0 • j,(6.62)

ki = sin x cos 0 • i + sin x sin 0 • j + cos x • k.

Так как

51 = cos % • ii — sin % • k,т|! = cos cp • ji — sin ф • kh?i = sin ф • ji + созф • kb

то в соответствии с формулами (6.62) имеем

5i =cos %cos0• i + cos x sin 0 • j — sin x • k,

T|i =(—cos фsin 0 — sin ф sin x cos 0)i +

+ (cos ф cos 0 — sin ф sin x sin 0)з’ — sin ф cos x • k, (6.63) 5i = (cos ф sin x cos 0 — sin ф sin 0)i +

+ (cos ф sin x sin 0 + sin ф cos 0) j + cos ф cos x • k,

В системе координат 7ifi5iT]i5i точка MQ расположена на оси T)i на расстоянии а от точки Jfj. Следовательно, ее координатами в системе Oxyz будут

^о = ^i — «(cos ф sin 0 + sin ф sin х cos 0),

Уо = yi + «(cos ф cos 0 — sin ф sin х sin 0),(6.64)

z0 = zi — a sin ф cos x,

где xXl yXl zx определяются формулами (6.61).

Для нахождения координат центра ЛЛ переднего колеса введем систему координат Л/о52Т]252. Ось £2 направим от точки М^ к точке М^ ось ц2 — по оси

Рис. 6.8

вращения вилки, ось 5г~ перпендикулярно к осям 5г, ц2 (рис. 6.8). Из рассмотрения рис. 6.8 следует, что единичные векторы 5г, Лг, 5г системы Л/2^2, ц2, 5г могут быть определены в виде

5г = cos ф • 5i + sin -ф cos о • T]i + sin ф sin о • 5ь

Т]2 = sin о • Ц1 — cos о • 51,(6.65)

52 = —sin ф • 5i + cos ф cos о • Ц1 + cos ф sin о • 5ь

Косинусы углов между осями системы Oxyz и МД2Ц2^2 равны

cos (л*, §2) = i • §2 = cos xf>(i • §i) + sin гр cos o(i • тр) + sin гр sin o(i • gi) == cos гр cos % cos 0 — sin гр cos a (cos ф sin 0 + sin ф sin x cos 0) +

+ sin гр sin о (—sin ф sin 0 + cos ф sin x cos 0) =

= —sin гр [cos (ф — л) sin 0 + sin x cos 0 sin (ф — о)] + cos гр cos x cos 0, cos (л*, ц2) = i • ц2 = sin (ф — a) sin 0 — cos (ф — о) sin x cos 0, cos (y, |2) = j • §2 « —cos гр [cos (ф — a) sin 0 + sin x cos 0 зт(ф — a)] —

—sin гр cos x cos 0,(6.66)

cos (y, £2) = j • £2 = sin гр [cos (ф — 0) cos 0 — sin x sin 0 sin (Ф — o)] +

+ cos гр cos x sin 0,

cos (у, ц2) = j • T)2 = —sin (ф — o)cos 0 — cos (ф — о) sin x sin 0, cos (y, ^2) = j • E2 = cos гр [cos (ф — 0) cos 0 — sin x sin 0 sin (ф — o)] —

—sin гр cos x sin 0,

cos (z, £2) = к • §2 = —sin гр cos x sin (ф — 0) — cos гр sin x,

COS (z, Т]2) = к • ц2 = —cos (ф — о) cos X,

cos (z, ^2) = к • £2 = —cos гр sin (ф — 0) cos x + sin гр sin x.

Тонка Mi в системе координат Л/обг^гЕа имеет координаты £2 = 0, Цг = 0, £2 = 6 (рис. 6.8); следовательно, в соответствии с формулами (6.66) имеем

^2 = *о — 6{cos гр [cos (ф — о) sin 0 +

+ sin х cos 0 sin (ф — о) ] +

+ sin гр cos х cos 0},

y2 = Уо + 6{cos гр [cos (ф — о) cos 0 —

— sin x sin 0 sin (ф — 0)] —

—sin гр cos x sin 0},(6.67)

z2 = z0 — b [cos гр cos x sin (ф — о) —

— sin гр sin xL

где x^ уо, z0 определяются формулами (6.64). Определим теперь координаты точки М2 через вспомогательные переменные 0х, х'» #х, Ух. Пусть

система координат КДгх\'Х>' имеет начало в точке касания Кг переднего колеса с плоскостью дороги; ось rf направлена по следу переднего колеса, ось £' направлена к центру переднего колеса. Отметим, что ось £х будет параллельной оси 5г (рис. 6.9). Единичные векторы осей системы K^'W^»' пред” ставим в виде

§' = cos х' cos 0х • i + cos Xх sin 6х • j — sin x' • k,

T]x = —sin 0'i + cos 0xj,

5х = sin Xх cos 0'i + sin x' sin 0xj + cos x'k, и, следовательно,

(6.68)(6.68)ж2 = xr + R sin xx cos 0 х,

(6.68)

(6.68)

У2 = yf + R Sin Xх sin 0х, z2 = R cos x'.

Для нахождения связи между обобщенными координатами и вспомогательными переменными ж', у', 0х, /х приравняем я2, 7/2, *2, найденные по формулам (6.67) и (6.68), и кроме того, учтем, что ^ и ^2 параллельны: х' + R sin %' cos 0х = х0 — &{cos ф[соз (ср — о) sin 0 +

+ sin х cos 0 sin (ф — 6) ] + sin ф cos x cos 0}, y' + R sin Xх sin 0х = yo + &{cos ф[соз (ср — о) cos 0 —

—sin x sin 0 sin (ф — o)] — sin ф cos x sin 0}, R cos xz = -o — b [cos ф cos x sin (Ф — o) — sin ф sin x],(6.69)

cos Xх sin 0х = sin ф [cos (ф — a) cos 0 — sin x sin 0 sin (ф — a) ] +

+ cos ф cos x sin 0, —sin x = —sin ф cos x sin (ф — о) — cos ф sin x-

В дальнейшем будем рассматривать лишь малые отклонения от движения велосипеда вдоль у.

Линеаризуя (т. е. сохраняя в выражениях (6.69) члены, содержащие малые величины только в первой степени) выражения (6.69) относительно малых величин 0, 0х, х, Х^ Ф, получим

х' = х — 0 [a cos ф + Ъ cos (ф — о)] — ф[6 + R sin (ф — о)],

у' = у + a cos ср + Ь cos (ф — о),

a sin ф + Ъ sin (ф — о) = 0, 0х = 0 + ф cos (ф — о),х' = X + Ip sin (ф — о).

Отсюда вытекает, что ф = const. Вводя обозначения X = о — ф, с = = a cos ф + b cos X, ci = R sin X — 6, окончательно получим

х' = х — сО + С1ф, z/ = U + с.

e'J + tcosx,(670)

Xх = X — Ф sin А-

Рассмотрим рис. 6.5.

Запишем условия качения колес велосипеда без проскальзывания. По условию задачи колеса представляют собой абсолютно жесткие тонкие диски; тогда для заднего колеса

х = —7?0i sin 0, у = r4i cos 0(6.71)

и для переднего колеса

хг = —Т?02 sin 0х, у' = + R^2 cos 0х.(6.72)

Если заднее колесо вращается с постоянной угловой скоростью со = = vfR, где Z? — скорость велосипеда, то 0*1 = cot

Используя выражения (6.70), перепишем зависимости (6.71) и (6.72) для малых 0 и 0х:

7?01 = Z2,R^2 — Vi У — и1 у' — ui^Л^

х + Z20 = 0, сО — С1ф — рф cos X = 0.(6.74)

Уравнения (6.73) являются интегрируемыми связями, а уравнения (6.74) — уравнениями неголономных связей. Таким образом, рассматриваемая система имеет две степени свободы.

Составим уравнения движения велосипеда, воспользовавшись уравнениями (6.60). Кинетическая энергия системы состоит из кинетической энергии Тх рамы с седоком и заднего колеса и кинетической энергии Т2 вилки

и переднего колеса. Кинетическая энергия рамы с седоком и заднего колеса равна

7^7^ + 7*р,

где 7° = -у та^ — кинетическая энергия поступательного движения зад

ней части велосипеда, тпх — масса задней части велосипеда, р3 — скорость

центра масс М3 задней части велосипеда, 7В₽ — кинетическая энергия вращательного движения задней части относительно мгновенной оси, проходящей через центр масс велосипеда. В соответствии с рис. 6.5 и 6.10 координатами центра масс М^ будут

а;3 = х — Zi sin 0 + hx sin % cos 0,

Уз = У + к cos 0 + hx sin % sin 0,

23 = hx cos %.

После дифференцирования получим

x3 = x — Zi0 cos 0 + h^ cos x cos 0 — hx^ sin x sin 0,

y3 = v — Zi0 sin 0 + h^ cos x sin 0 + hx^ sin x cos 0,

23 = —Tiixsinx-

Отбрасывая постоянный член и сохраняя члены не выше второго порядка малости, имеем

Уд = (Ж — Z,0 + ^х)2 — 2у Q£ — A,X) 0 + Зу^Ох.

Следовательно,

т= = 4 т1 К* - \9 + W ~2у (Z19 - М) е + гуй^х].

Пусть оси M3ziyizi жестко связаны с рамой велосипеда и при 0 = х = О параллельны осям х, у, z. Проекции мгновенной угловой скорости задней части велосипеда на эти оси равны соответственно — 0 sin х, X» 0 cos х. Для

/и•

заднего колеса— vsinx* Тогда с точностью до малых второго

порядка и без постоянного члена

гр=4 to - 2ч4°+V2)+z 4 ёх,

фде Iy^ Iz , Ту z—соответственно момент инерции относительно оси i/ь момент инерции относительно оси zj, центробежный момент инерции задней части велосипеда, I — момент инерции заднего колеса относительно собственной оси вращения. Таким образом,

71 = 4" ^1 К* ~ ^ + W - 2р (^0 - Н^ 0 + 2^0х] +

+4 to ~~ 2Чь^+V2)+zi 4 ^-

Кинетическая энергия передней части велосипеда (рулевая вилка и переднее колесо) вычисляется по формуле

1

72 = Т^+^

где т2 — масса передней части велосипеда, v4 — скорость центра масс передней части (точка Л/4), Т2чр — кинетическая энергия вращательного движения передней части. Координаты точки М4 в системе М^^^ равны g2 = = 0, Г|2 = —<4, ^2 = ^ (рис. 6.5). Используя формулы (6.66), получим

х4 = j-Q — d sin ф cos х cos 0 + d cos ф (sin x cos 0 sin X — sin 0 cos X) +

+ d\ sin X sin 0 + ^i cos X sin x cos 0,

y4 = Уз + d cos ф (cos X cos 0 + sin X sin x sin 0) — d sin ф cos x sin 0 —

—d\ sin X cos 0 + ^i cos X sin x sin 0,

z4 = ^ + dx cos X cos x + d sin ф sin x 4 d cos ф sin X cos x-

После дифференцирования и сохранения членов не выше второго порядка малости получим

х4 — х + Л2Х + ^20 — Ф4

у4 = и + (^гХ “ ^20 — ф^)0 + /^20Х — d^ + ф cos Х)ф,

24 = —МСХ + d(x — Ф sin Х)ф + хМ где

1г2 = R — a sin ф + d sin X + dv cos X,

12 = a cos ф + d cos X — d\ sin X.

Смысл величин h2 и Z2 виден из рис 6 5. (При вертикальном положении велосипеда h2 есть расстояние от дороги до центра масс М4 передней части велосипеда, Z2 — расстояние по горизонтали от центра заднего колеса Л[ до перпендикуляра, опущенного из точки М4 на дорогу.) Кроме того, из рассмотрения этого же рисунка видно, что между параметрами велосипеда существует зависимость

d — h2 sin X — ct — (с — Z2) cos X.

При сделанных предположениях о малости переменных имеем

11.

Т т2р4 = ~ W2 (* + М - ^0 - W +

+ ^ О1^ — 1^ — N) 0 + ^^^О/ ~ 1u^d (0 + ^ cos ^ ^‘

Мгновенная угловая скорость передней части велосипеда без учета собственного вращения переднего колеса складывается из угловой скорости вращения вместе с рамой и угловой скорости вращения вокруг рулевой оси. Пусть оси ys и z2 лежат в плоскости переднего колеса, причем ось у2 горизонтальна. Отметим, что угловая скорость вращения вокруг рулевой оси ф перпендикулярна к оси $2. Очевидно, что во введенной системе координат, имеющей начало в точке М^, ось ^2 параллельна оси £2, а ось у2 повернута по отношению к оси р2 на угол X. Следовательно, проекции абсолютной мгновенной угловой скорости передней части велосипеда на оси системы М^у^ равны

СО = G)t ,

62

со = m sin X + tot- cos X,(6.75)

^2**2Ь2

= — CO- cos X + Of- sin x.z2'*2»2

Проекции мгновенной скорости задней части велосипеда (без учета вра* щения заднего колеса) на оси системы ^i^ipi^i равны (рис. 6.7)

со^ = — О sin %,

со- = — 0 cos % sin <р + % cos ф,

со^ = 6 cos х cos ф + x sin ф.

Переходя теперь к нахождению проекций мгновенной угловой скорости передней части велосипеда (без учета вращения переднего колеса) на оси системы Л70?2Ц2^2, воспользуемся формулами (6.65) и учтем угловую скорость ф (рис. 6.8). Тогда

со^ = — 0 sin х cos ф + (— О cos х sin ф + х cos ф) sin ф cos х +

+ (0 cos X cos ф + х sin ф) sin ф sin а. Линеаризуя это выражение, получим

о)^2 = Хф cos X — (X — Ф sin X) 0.

Аналогично найдем

со» = — ф -- 0 cos х + X Sin х,

(Of = 0 sin X + X cos X.

Используя теперь формулы (6.75), окончательно будем иметь

я tp cos X — (X — Ф sin X) 9

<о = х — sin X,

Для переднего колеса ,Vг/

со- = —+ to- , to =to , to =to .

Обозначим Iy и Zz — моменты инерции передней части велосипеда относительно осей у2 и ^ 1у^ — центробежный момент инерции, Z2 — момент инерции переднего колеса относительно собственной оси вращения. Тогда

Т^ = 4" [zy2 (% ~ ^sin х>2 - 2ZZ/2Z2 (% — ip sin X) (9 + тр cos X) +

+ 1^ (9 + ip cos X)2] — Z2 4" X'P cos X + Z2 -£- 6 (x — 4' sin X).

Итак, кинетическая энергия системы

Г = 4" "Ч К ~A® + W + 2р (^0 - h^ о + 2^9%] +

+ "2" Vyi^ — ^«Vl^ + ^z!®2) + Z1 ~fi" ®X + "Ут2 (^ + ^2X “ ^2® —iM)2+ + m2v (X2x — l^ — ipd)9 + m^vh^— m^vd (9 + ip cos X)ip+ + 4" [Zy2 <% — ^ sin X)2 — 2Zy222 (x — ip sin X) (9 + ip cos X) + + Z,2 (9 + ip'cos X)2] -Z^ rtcosX + Z2-J- 9 (x-^psinX). (6.76) Потенциальная энергия велосипеда

П = m1gz3 + m2gz4 = m1gh1 cos x + m^g | (Z? — a cos ф) cos x +

+ d, cos X cos x + d sin ip sin x + d cos ip sin X cos x] «

* — ^"8 [(m/2! + m2\) X2 + d sin Xm2i|>2 — "bn^d].

Предположим, что рассеивание энергии происходит только из-за вязкого трения в рулевой колонке, и следовательно, обобщенная сила, соответствующая этому трению,

Q1^ = — й-

Найдем обобщенные силы

<2^ = — ^ф — п^ = m^gd sin X- 41 — ^2^Х^ — ^»

ОТ

<2Х = ~ ^ = ^х\ + ^2\) ^Х — m^d,(6.77)

®„5П л

Qx — — дх “ °»^0 “ “ ^0 — °’

Для рассматриваемого случая уравнения (6.60) принимают вид

Тф — См> + V^x — Cx)^4i + (Те — 9e)^5i = 0,

Тх~Рх+ kTx-QxVH2A-<T.-Q^ = Q.

На основании уравнений неголономных связей (6.74) 6а: = О, 60 = с и уравнениями движения являются с(^ - Q^ + схТ. = О, 7Х - & = 0.(6.78)

Вычислим операторы Т^ и 7Х, Т^: d ( ат \ ат =- '14dx+”/зх + п +

+ 72 -^- cos % х + /2 -^ sin X 0, Тх =- /12 0 - ^ (Л + /2) 6 + InX - Z2 ^- cos Й ~ 1^,(6.79)

^е = - 1$ + Z220 - Z]2x + ZJ + -^ (Z, + Z2) X - Ц -^ sin X i где

I = m, 1 + mL h = m h mh,

zn = Ш^ + тД + Iyt + 1^. /22 = тД + ^2 + 7^ + Т^

Z12 = т^Ч1! + 7y1Z1 + m2h2l2 + Гу2г2’(6.80)

7 =тгг W + 7?. sinX + 7 cos Л, d 2 2»2 2

Z4 =+ 1^ч sin X + 1^ COS X,

I = m Z3 + I , sin 4 + Z sin2X+Zz cos2X.

Используя выражения (6.77) и (6.79), составим теперь уравнения (6.78) движения велосипеда:

- ^m2cd + c^x+^I^ с/22) 0-(cZ3 + су12)х +

.. V•V

+ (cZ + cj^ -г -д' [cZ2 cos X + сх (Z4 + Z2)] X + cl, sin X 0 —

— c1I2 -Д- sin Л ^ — cm^gd sin Л ^ + cm^gdx + cn^ = 0, Кж " 7126* ” "T (7i + Г^ 0+7nX — 73iji — 72 ^ cos Л ^ — hgx+^g d^ = 0. К этим уравнениям следует присоединить уравнения неголономных связей (6.74):

х + у0 = 0, с0 = Clip + yip cos X.

После исключения х и 0 при помощи уравнений неголономных связей получим

йоХ — Й1Х *— Й2^Р —+ («4 — ^б) ^ = О,

......(6.81)

Ьо^ + vbx^ + (^2^2 — &з) 1р — ^4Х + У^5Х + Ь6 х = О,

где

ao = c/ira2=Vi2 + c/3’

(л+4+4)+(^+с4)cos^

a . = cmgd, a=(h + ^l- + IlAcosX,

Ь0=^ + 2сЛ+-Г/22-

(

I\ сЧ

т d + -A cos X + —,д с}с

/ Iс I \

bn = md 4- -A sin X + — cos X, = cm gd sin X, 2\ 2 Rс )d 2

Ь4 = с/з+сЛ> b5 = c^-cos^ + ^-(/l + Z2)- \ = cm2gd,

Система уравнений (6.81) представляет собой линеаризованные уравнения движения неуправляемого велосипеда с жесткими колесами.

Рассмотрим простейшую модель велосипеда, которая получается при условии, что ось руля вертикальна, проходит через центр переднего колеса и является главной осью инерции передней части велосипеда.

В этом случае

сх = d = X = I'y^^ = О*

Следовательно, в соответствии с формулами (6.80)

7=0, 7 = 7~ , 1 = 1

3г2z2

Лг ~ ^Д^ + ^xtx + т^Ч-

Уравнения (6.81) прп этом примут вид

с/ % — chgx — y(l12 + c i) гр — у2 U + Ь- + А.) гр = 0,

\ 12 R /\ R R /

с/2,гр + (Zz, + c6J игр + с -^- ух = 0.

Пусть Zo и Ло — координаты центра масс всего велосипеда. Положим, что 1г = wh^ Ju = ^Ло/о, Л = mhOl т = т^ + т^ и пренебрежем моментами инерции 71 и /2 колес по сравнению с величиной mh0R, тогда первое уравнение

Л hoc " Ло \ eg У

описывает движение велосипеда и соответствует элементарной теории велосипеда [29]. Из этого уравнения вытекает, что если велосипед начинает падать вправо, то для остановки падения нужно создать % < 0, а для этого 16 Н. В. Бутенин, Н. А Фуфаев

нужно, чтобы гр < О, т. е. руль следует повернуть в сторону падения. Так как ф < 0, то это приведет к возникновению гр < 0, что увеличит абсолютное значение х«

Исследование устойчивости велосипеда в более общем случае изложено в работах [37, 21].

Перестановочные соотношения в аналитической механике неголономных систем

До сих пор (см. § 3.7 и 6.3) мы встречались с перестановочными соотношениями двух видов:

d6qk — 6dqk = O (& = 1, 2, .., п)(6.82)

и

П Пп

d8Uj — 6 d,K) = 22 YUk ^к бЛг + 2 YU dt бЛг (6.83) г^1 h=-lг=1

(/ = 1, 2, ..., nY

Существуют и другие формы перестановочных соотношений. Так, например, если положение системы материальных точек определяют п обобщенных координат gi, q^ ..., qni производные которых связаны т соотношениями

п—т

q^ = 2 «vjLt(7) Сц (v = ^ — m + 1, ..., ^),(6.84)

то в качестве перестановочных соотношений иногда принимают (6.82) лишь для первых п — т обобщенных координат gi, дг, ...

..., qn-mi а для остальных координат

d8qv — 8 dqv = 2 2 ₽^ди6дац=1 а=1

(у = п — т + 1, . .., п\(6.85)

где

Ца8qa + 9qvdqv

В случае голономной системы, когда неинтегрируемые уравнения кинематических связей отсутствуют, вариации обобщенных координат независимы и, следовательно, изображающая точка в пространстве конфигураций может смещаться в любом направлении и, в частности, по любому бесконечно малому замкнутому контуру, что и приводит к выражению (6.82).

В случае неголономной системы*) вариации обобщенных координат оказываются связанными соотношениями (6.84); это

*) Ради простоты в дальнейшем будут рассматриваться системы материальных точек со склерономными веголономными связями.

означает, что в каждой точке пространства конфигураций теперь находится бесконечно малая «пластинка» кинематически возможных движений, т. е. перемещений, совместимых с неголономными связями. Поэтому не каждый замкнутый контур в пространстве конфигураций неголономной системы оказывается кинематически допустимой траекторией движения изображающей точки. В связи с этим возникает возможность выбора тех или иных перестановочных соотношений. Из каких же соображений следует исходить при осуществлении этого выбора?

Здесь могут быть по меньшей мере два подхода [35—37]: первый подход игнорирует соотношения (6.84) при смещении изображающей точки с траектории действительного движения, т. е. изображающая точка оказывается в условиях, которые существуют в пространстве конфигураций голономной системы, когда выполняются перестановочные соотношения (6.82). Однако при этом для описания движения системы приходится привлекать квазикоординаты (см. § 3.7), для которых перестановочные соотношения записываются в виде (6.83). Если квазикоординаты ввести при помощи соотношений (3.100) так, что правая часть последних тп соотношений

е п—ТП ,

Ttv= qx — 2 ^to 2ц (V = п — in + 1, . .., п) (6.86)

обращается в нуль в силу уравнений неголономных связей, то согласно процедуре, описанной в § 6.3, уравнения движения неголономной системы записываются в виде уравнений в квазикоординатах.

При втором подходе допускаются только такие бесконечно малые смещения, при которых удовлетворяются уравнения (6.84) неголономных связей. В этом случае мы приходим к перестановочным соотношениям (6.85) и к уравнениям Воронца [14, 15], которые для систем Чаплыгина совпадают с уравнениями Чаплыгина (§ 6.5).

Из сказанного следует, что перестановочные соотношения играют важную роль при выводе уравнений движения неголономной системы и, следовательно, перестановочные соотношения должны присутствовать уже в общем уравнении динамики. Для того чтобы убедиться в этом, достаточно провести простые выкладки. В самом деле, запишем общее уравнение динамики (3.13) в обобщенных координатах gi, q^ ..., qn:

+ ,6'87)

i=l \ ддг

где L — функция Лагранжа, Qt — обобщенные непотенциальные 16*

силы, и воспользуемся тождественными преобразованиями

dL d % dq^dL d % dq^6L =6L =nnV (9L s , dL „• \ i=l чг aqi уV (9L s , dL „• \ i=l чг aqi у

dL d % dq^

dL d % dq^

6L =

6L =

n

n

V (9L s , dL „• \ i=l чг aqi у

V (9L s , dL „• \ i=l чг aqi у

После подстановки этих выражений в (6.87) общее уравнение динамики записывается в виде

2 Г&^-4(^м + ^-^б^-М2 Г&^-4(^м + ^-^б^-М+ 6L = 0. (6.88)+ 6L = 0. (6.88)

2 Г&^-4(^м + ^-^б^-М

2 Г&^-4(^м + ^-^б^-М

+ 6L = 0. (6.88)

+ 6L = 0. (6.88)

Отсюда видно, что окончательная форма уравнений движения зависит от значений разности d§qi/dt — bq^ т. е. от того, какие перестановочные соотношения будут приняты во внимание.

Для голономных систем эти разности обращаются в нуль. Для неголономных систем, как сказано выше, имеется некоторый произвол.

С историей возникновения вопроса о перестановочных соотношениях и его решением читатель может познакомиться в книге [37].

Вариационные принципы в аналитической механике неголономных систем

Как мы знаем (§ 5.2), принцип стационарного действия Гамильтона — Остроградского для механических систем с потенциальными силами записывается в виде

6 \L dt = 0,(6.89)

где L — функция Лагранжа рассматриваемой системы, 6 — оператор изохронного варьирования.

С формальной точки зрения, принцип стационарного действия в форме (6.89) совпадает с задачей вариационного исчисления. Однако, имея внешнее сходство, они различаются по существу: в механике под символом 6 понимают виртуальную вариацию, т. е. не произвольное бесконечно малое изменение, а смещение, совместимое со связями, наложенными на систему. Отсюда следует, что лишь для голономной системы виртуальные вариации являются произвольными, и принцип стационарного действия (6.89) полностью совпадает с соответствующей задачей вариационного исчисления.

Существенное различие возникает для систем с неголономны- ми связями, когда вариации обобщенных координат связаны соотношениями п—т

6q^ = S ^(2)6^ (v = п — т + 1, ..., п\ (6.90)

вытекающими из уравнений неголономных связей (6.84). Для неголономной системы соседняя кривая в пространстве конфигураций, образованная из траектории действительного движения путем варьирования, не будет, вообще говоря, являться кинематически возможной траекторией. Отсюда и из § 6.6 непосредственно следует, что вопрос о форме записи принципа стационарного действия в применении к неголономным системам тесно связан с вопросом о перестановочных соотношениях.

В самом деле, проинтегрируем уравнение Даламбера — Лагранжа, записанное в форме (6.88), в пределах между начальным и конечным положениями системы, которые она занимала в моменты времени t\ и £2 соответственно. В результате для системы

с потенциальными силами получимс потенциальными силами получим

с потенциальными силами получим

с потенциальными силами получим

Согласно принципу стационарного действия вариации обобщенных координат на концах интервала интегрирования обращаются в нуль, и мы приходим к выражению

(6.91)(6.91)

(6.91)

(6.91)

Это выражение можно рассматривать как наиболее общую математическую формулировку принципа стационарного действия для систем с потенциальными силами, пригодную и для голономных, и для неголономных систем.

Для голономных систем dSqJdt — 6qi = 0 и, следовательно, выражение (6.91) совпадает с (6.89). Таким образом, выражение (6.89) оказывается частным случаем формулировки (6.91), полученным в предположении о переместимости операций d и 6 для всех истинных координат gi, g% . .., qn.

В случае неголономной системы частная форма записи принципа стационарного действия, которая может быть получена из (6.91), зависит от того, какие перестановочные соотношения будут использованы.

Покажем теперь, что форма перестановочных соотношений зависит в конечном итоге от выбора локальной системы координат в окрестности кривой действительного движения.

В самом деле, приводя уравнение Даламбера — Лагранжа к виду (6.88) и, соответственно, принцип стационарного действия— к виду (6.91), мы вводим операцию Sq^ смысл которой, по существу, пока не определен.

Что такое вд? Величина q^ определена только на кривой движения, а операция 6 представляет варьирование в направлении, вообще говоря, отличном от направления действительного перемещения. Операция 6 определена во всех точках пространства конфигураций, в то время как операция d определена только для точек траектории действительного движения изображающей точки в пространстве конфигураций.

Из этого следует, что в точках произвольной (действительной или кинематически возможной) траектории движения операция d6 определена, а операция М не определена. Это утверждение поясняется геометрически на рис. 6.11, из которого видно, что

операция d8qt имеет однозначный смысл, поскольку вполне определены все три операции d, 61 и 62. Во втором случае на этом рисунке из трех операций d\, 6 и d^ определены лишь две первые, а операция б?2 лишена смысла, поскольку соответствующий ей вектор находится вне кривой движения. Следовательно, вместе с ней не определена и операция 6dqt = d^qt — d\qt. Таким образом, нужно доопределить операцию d так, чтобы операция 6d приобрела смысл.

Это можно сделать путем введения локальной системы координат в окрестности траектории действительного движения (прямого пути) [35]. В частности, можно выбрать эту систему координат так, что операции d и 6 окажутся перестановочными для всех истинных координат. В таком случае и для неголономных систем принцип стационарного действия запишется в форме (6.89). Однако при этом условия неголономных связей уже не будут выполняться в окрестности кривой действительного движения, и следовательно, при выполнении операции 6L условиями (6.90) пользоваться нельзя. В этом случае целесообразно ввести квазикоординаты так, чтобы последние т квазикоординат Лп-т+ь

Лп-т+2, ..., лп были связаны с истинными координатами ^i, q^ ... ..., qn при помощи соотношений (6.86), а первые п — т квазикоординат — произвольными линейными соотношениями (в частности, они могут быть и истинными координатами). Тогда, считая, что функция Лагранжа L зависит от gi, q^ ..., qnn. ль Лг, ...

пп.. .,л„, имеем

п

п

yi^^i + ^-b^Y (6.92) йdIti )

где Ъ^ — коэффициенты в соотношениях между qi и л», т. е. в соотношениях (6.25) при bt = 0.

Преобразуем первую сумму в (6.92):

Используя перестановочные соотношения (6.83) для квазикоординат Ль Л2? ..., лп, можно записать эту сумму в виде

потому что для склерономных неголономных связей все Ча — 0. Подставляя найденное выражение в (6.92), находим

6L6Ld_9L_ dt ^d_9L_ dt ^пп

6L

6L

d_9L_ dt ^

d_9L_ dt ^

п

п

бЛг dt + ^ "Г" бЛг г=1 дп^бЛг dt + ^ "Г" бЛг г=1 дп^

бЛг dt + ^ "Г" бЛг г=1 дп^

бЛг dt + ^ "Г" бЛг г=1 дп^

После этого выражение (6.89) принимает вид

Ч

= 0,

ч

Поскольку на концах интервала интегрирования (бл,) i = 0, (6л<)2 = 0 (i=l, 2, ..., и), последняя сумма пропадает, а в подынтегральной функции последние т членов выпадают в силу (6.86) и условий неголономных связей (6.90).

Тогда принцип стационарного действия записывается в виде интеграла

^2 п„т /п п—тх

i V I d dLaL I V VdL * \

J I at •Чгэк . I — 0.(6.93)

^ i=i ^ dt 6nt""i 5-lk=ldn^ /

В силу независимости вариаций 6ль блг, ..., 6лп-т оставшаяся сумма распадается на п— т уравнений

d dLdt 8^d dLdt 8^8L 1 n ^гзк T* Л& — О, дл •8L 1 n ^гзк T* Л& — О, дл •

d dL

dt 8^

d dL

dt 8^

8L 1 n ^гзк T* Л& — О, дл •

8L 1 n ^гзк T* Л& — О, дл •

т. е. уравнений Больцмана— Гамеля для системы с потенциальными силами. Эти уравнения представляют частный случай уравнений в квазикоординатах (3.108).

Если выбрать локальную систему координат иначе, то принцип стационарного действия в форме (6.89) для неголономных систем оказывается неприменимым. Рассмотрим случай, когда локальная система координат построена так, что операции d и б переместпмы лишь для первых п — т обобщенных координат. Тогда для остальных координат получим перестановочные соотношения (6.85). Подставляя их в (6.91), приходим к следующей математической формулировке принципа стационарного действия в рассматриваемом случае:

Д /n-m пх

| ^°+ 22 K<%W = 0>(6.94)

t \ц,г=1 v=n—dqv J

где L° является функцией gi, 92, ..., q^ qi, q^ ..., qn-m, полученной из функции Лагранжа L при помощи уравнений неголономных связей (6.84).

Использование в данном случае уравнений (6.84) вполне законно, так как при выбранной системе локальных координат величины dq\. dq2s . .., dqn и 6gi, 672, .. ., 6qn являются перемещениями, совместимыми с неголономными связями не только на кривой действительного движения, но и в ее окрестности.

Покажем, что принцип стационарного действия в форме (6.94) приводит к уравнениям Воронца [14], которые для систем Чаплыгина совпадают с уравнениями Чаплыгина (см. § 6.5). В самом деле, преобразуем в (6.94) выражение 61?:

п—т

6^= 2

Воспользуемся перестановочностью операций d и б для первых

координат qi, q21 ..., qn-m*.координат qi, q21 ..., qn-m*.После подстановки найденного выражения bL° в (6.94) получаемПосле подстановки найденного выражения bL° в (6.94) получаем8L°~9Ti8L°~9Tid di?dtd di?dtn- 2v=n—m+in- 2v=n—m+i/ 8L°\ 9qv/ 8L°\ 9qvn—mV rv dL *^viPM t- ^цЛ=1 dq^n—mV rv dL *^viPM t- ^цЛ=1 dq^bq^clt = 0.bq^clt = 0.

координат qi, q21 ..., qn-m*.

координат qi, q21 ..., qn-m*.

После подстановки найденного выражения bL° в (6.94) получаем

После подстановки найденного выражения bL° в (6.94) получаем

8L°

~9Ti

8L°

~9Ti

d di?

dt

d di?

dt

n

- 2

v=n—m+i

n

- 2

v=n—m+i

/ 8L°

\ 9qv

/ 8L°

\ 9qv

n—m

V rv dL *

^viPM t- ^ц

Л=1 dq^

n—m

V rv dL *

^viPM t- ^ц

Л=1 dq^

bq^clt = 0.

bq^clt = 0.

Отсюда в силу независимости вариаций 671, 652, . .., 5qn-m и следуют уравнения Воронца

а аг?dt dq,а аг?dt dq,8L°99г8L°99гv=n~m+iv=n~m+i' nn-mx

а аг?dt dq,

а аг?dt dq,

8L°

99г

8L°

99г

v=n~m+i

v=n~m+i

aLVQVdL•\

—— ^vi— z_i Pul -7— Ч\х •(6.9a)

dq^B=1dq^J

В случае, когда функция Лагранжа и коэффициенты в уравнениях неголономных связей (6.84) не зависят явно от обобщенных координат qn-m+i, qn-m^^ • • ^ qn, уравнения (6.95) совпадают с уравнениями Чаплыгина [43].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Айзерман М. А. Классическая механика.— М.: Наука, 1980.— 367 с.

Андронов А. А., Витт Л. А., X а й к и н С. Э. Теория колебаний,— М.: Физматгиз, 1959.— 915 с.

Аппель П. Теоретическая механика. Т. 1, 2.—М.: Гостехиздат, 1960.

А р ж а н ы х И. С. Поле импульсов — Ташкент: Наука, 1965.— 231 с.

Арнольд В. И. Математические методы классической механики.— М.: Наука, 1974.—431 с.

Б о б ы л ё в Л. К. О начале Гамильтона или Остроградского и о начале наименьшего действия / Приложение к XI тому Записок Российской Академии наук.— 1989.

Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний,—Изд. 4-е, испр. и доп. М.: Наука, 1974.— 503 с.

Бутенин Н. В. Элементы теории нелинейных колебаний,—Л.: Суд- промгиз, 1962.

Б у т е н и н Н. В. Введение в аналитическую механику.— М.: Наука, 1971 —264 с.

Б у т е н и н Н. В., Л у н ц Я. Л., М е р к и н Д. Р. Курс теоретической механики. Т. 1.— 4-е изд., испр.— М.: Наука, 1985.—239 с.

Бутенин Н. В. Лунц Я. Л., М е р к и н Д. Р. Курс теоретической механики. Т. 2.—3-е изд.— М.: Наука, 1985.— 496 с.

Б у т е н и н Н. В., Н е й м а р к 10. И., Ф у ф а е в Н. А. Введение в теорию нелинейных колебаний.— 2-е изд., перераб.— М.: Наука, 1987.— 382 с.

Вариационные принципы механики. [Сборник статей].— М.: Физматгиз, 1959.

В о р о н е ц П. В. Об уравнениях движения для неголономных систем / Мат. сб - 1901 — Т 22, № 4.

Воронец П. В. Уравнения движения твердого тела, катящегося без скольжения по неподвижной плоскости / Киевские университетские известия.— 1903,— Т. 43. № 1, 4.

Гантмахер Ф. Р. Лекции по аналитической механике.— Изд. 2-е, испр.—М.: Наука, 1966.— 300 с.

Гапонов А. В. Неголономные системы С. А. Чаплыгина и теории коллекторных электрических машин / Докл. АН СССР.— 1952.— Т. 87, № 3 — С. 401—404.

Гапонов А. В. Электромеханические системы со скользящими контактами и динамическая теория электрических машин / Памяти А. А. Андронова.— М.: Изд-во АН СССР, 1955,— С. 196—214.

Голдстейн Г. Классическая механика: Пер. с англ.— 2-е изд.— М.: Наука, 1975.

Д а л а м б е р Ж. Динамика: Пер. с фр.— М.; Л.: Гостехиздат.— 1950.— 344 с.

Д и к а р е в Е. Д., Д и к а р е в а С. Б., Ф у ф а е в Н. А. Влияние наклона рулевой оси и выноса переднего колеса на устойчивость движения велосипеда Ц Изв. АН СССР. Мех. твердого тела.— 1981.— № 1.— С. 69—73.

Добронравов В. В. Основы аналитической механики.— М.: Высш, школа, 1976.— 263 с.

Ду бо шин Г. Н. Небесная механика.—М.: Наука, 1964.—560 с.

Лагранж Ж. Аналитическая механика. Т. 1.—2-е изд.— М.; Л.: Гос- техиздат, 1950,— 594 с.

Л а н д а у Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика: Учеб, пособие. В 10 т. Т. 1. Механика.— 4-е изд., испр. Т. 2. Теория поля.— 7не изд., испр.— М.: Наука, 1988.

Ланцош К. Вариационные принципы механики: Пер. с англ,—М.: Мир, 1963.— 408 с.

Лахтин Л. Н. Свободное движение в поле земного сфероида,—М.: Физматгиз, 1963.

Леви-Чивита Т„ А м а л ь д и У. Курс теоретической механики.— Т. 1.— Пер. с итал,— М.: ИЛ, 1951.

Лойцянский Л. Г., Лурье А. И. Теоретическая механика. Ч. 3.— Л.; М.: ГТТИ, 1934.

Лурье А. И. Аналитическая механика.— М.: Физматгиз, 1961.— 824 с.

Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения.— М.; Л.: Гостехиздат, 1950.

М е р к и н Д. Р. Гироскопические системы.— Изд. 2-е, перераб. и доп,— М.: Наука, 1974.— 344 с.

М е р к и н Д. Р. Введение в теорию устойчивости движения.— 3-е изд., перераб. и доп.— М.: Наука, 1987.— 304 с.

М у л ь т о н Ф. Р. Введение в небесную механику: Пер. с англ.— М.; Л.: ОНТИ, 1935.—480 с.

Н е п м а р к Ю. И. О перестановочных соотношениях в механике // Тр. Горьк. иссл. физ-техн. ин-та и радиофизич. ф-та Горьковского ун-та. Сер. физ.- 195 7.- Т. 35 - С. 100-104.

Не им ар к Ю. И., Фу фа ев Н. А Перестановочные соотношения в аналитической механике неголономных систем // Прикл. мат. и мех.— 1960 -Т. 24, вып. 6-С. 1013-1017.

Н е й м а р к Ю. И., Ф у ф а е в Н. А. Динамика неголономных систем.— М.: Наука, 1967.— 519 с.

П а н о в к о Я. Г. Введение в теорию механических колебаний.— 2-е изд., перераб,— М.: Наука, 1980,— 272 с.

Парс Л. А. Аналитическая динамика. Пер. с англ.—М.: Наука, 1971.— 635 с.

Суслов Г. К. Теоретическая механика.— 3-е изд.— М.; Л.: Гостехиздат, 1946.

Уиттекер Е. Т. Аналитическая динамика: Пер. с англ.— М.; Л.: ОНТИ, 1937.— 500 с.

Ф у ф а е в Н. А. Теория движения систем с качением / Прикл. мат. и мех — 1985 - Т. 49, № 1.— С. 56-65.

Ч а п л ы г и н С. А. Исследования по динамике неголономных систем.— М.: Гостехиздат, 1949.— 112 с.

Ч е т а е в Н. Г. Устойчивость движения. Работы по аналитической механике.— М.: Изд-во АН СССР, 1962.— 535 с.

Я к о б и К. Г. Лекции по динамике: Пер. с нем.— Л.; М.: ОНТИ, 1936.— 272 с.

В о 11 z m а п п L. Ueber die Form der Lagrangeschen Gleichungen f lii nichtholonome generalisierle Koordinaten / Sitzungsberichte der Mathe* matisch-Naturwissenschaftliche Akademie der Wissenschaften zu Wien.— 1902,—Bd 111, abt. 11 a, H. 1-2.—S. 1603-1614.

H a m e 1 G. Die Lagrange — Eulersche Gleichungen der Mechanik / Zeit- schrift fur Mathematik und Physik— 1904.— Bd 50.— S. 1—50.

Hamel G. Theoretische Mechanik.— Berlin, 1949.— S. 310.

H о 1 d e r O. Ueber die Prinzipien von Hamilton und Maupertuis / Gottingen Nachrichten, 1896.

ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ

Айзерман М. А. 130, 250

Андронов А. А. 120, 250

Аппель П. (Appell Р.) 212, 224, 250

Аржаных И. С. 250

Арнольд В. И. 250

Лойцянский Л. Г. 251

Лунц Я. Л. 52, 102, 214, 250

Лурье А. И. 94, 98, 167, 177, 204, 212,

251

Ляпунов А. М. 42, 43, 251

Бернулли И. (Bernoulli J.) 207

Бобылев Л. К. 195, 250

Боголюбов Н. Н. 250

Больцман Л. (Boltzmann L.) 98, 102, 251

Бутенин Н. В. 52, 102, 174, 214, 250

Максвелл Д. К. (Maxwell J. С.) 114

Меркин Д. Р. 43, 52, 58, 102, 214, 250, 251

Мультон Ф. Р. (Moulton F. R.) 43, 167, 251

Витт Л А 250

Вольтерра В (Volterra V.) 212

Воронец П. В. 212, 243, 250

Неймарк Ю. И. 25, 48, 100, 194, 230, 242—244, 250, 251

Николаи В. Я. 128

Гамель Г. (Hamel G ) 25, 98, 251

Гамильтон У. Р. (Hamilton W. R.) 191

Гантмахер Ф. Р. 52, 130, 221, 250

Гапонов А. В. 114, 121, 122, 250

Гёльдер О. (Holder О.) 31, 251

Голдстейн Г. (Goldstein G.) 169, 250

Гурса Э. (Goursat В.) 167

Остроградский М. В. 191

Пановко Я. Г. 251

Пуанкаре А. (Ротсагё Н.) 124

Пуассон С. Д. (Poisson S. D.) 140, 141

Даламбер Ж. Л. (D'Alembert J. L.) 48, 250

Дикарев В Д. 242, 250

Дикарева С. Б 242, 250

Дирихле П. (Dirichlet Р.) 43

Добронравов В В. 250

Дубошин Г. Н. 251

Суслов Г. К. 17, 32, 251

Уиттекер В. Т. (Whittaker Е. Т.) 251

Фуфаев Н. А. 48, 98, 100, 107, 108, 194,

230, 242—244, 250, 251

Кирхгоф Г. Р. (Kirchhooff G. Н.)114

Хайкин С. Э. 250

Лагранж Ж. Л. (Lagrange J. L.) 43, 251

Ландау Л. Д. 86, 251

Лахтин Л. Н. 75, 251

Леви-Чивита Т. (Levi-Civita Т.) 251

Лиувилль Ж. (Liouville J.) 167

Лифшиц В. М. 86, 251

Чаплыгин С. А. 25, 212, 229, 230, 248, 249, 251

Четаев Н. Г. 251

Якоби К. Г. (Jacobi К. G.) 195, 251

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

Адиабатический инвариант 189

Аналогия оптико-механическая 209—211

Аппеля уравнения 224

Задача о брахистохроне 207—209

Закон Снеллиуса 210

— сохранения

Барлоу колесо 121

Больцмана — Гамеля уравнения для си

стем с потенциальными силами 248

Брахистохрона 207

Валентность преобразования 196

Вариации изохронные 14

— обобщенных координат 19

Вариация полная (неизохронная) 200

Вектор виртуального перемещения 14

— возможного перемещения 13

Воронца уравнения 248, 249

Изображающая точка 170, 190

Импульсы обобщенные 80, 130, 139

Интеграл движения 75

— канонических уравнений 14 Э

— площадей 83

— уравнения Гамильтона — Якоби полный 157, 158, 168

— циклический 78, 79

— энергии обобщенный 76

— Якоби 137

Интегральный инвариант 183

абсолютный 183

Картана — Пуанкаре 184—186

относительный 183

Пуанкаре универсальный 186

Гамильтона — Остроградского принцип стационарного действия 191, 192, 194, 244, 245, 248

Гамильтона функция 130

Гамильтона — Якоби уравнение 157

Генератор последовательного возбуждения 123, 124

Даламбера — Лагранжа уравнение 51

Даламбера принцип 48—50

Движение возмущенное 124, 125, 127

— гироскопа в кардановом подвесе 104— 107, 127, 128

— материальной точки относительно вращающейся Земли 177—181

Земли в поле силы тяжести 73—75

силового центра 82—84

— невозмущенное 124, 125

— систем с качением 107—114

— системы материальных точек в вязкой среде 117

— твердого тела с закрепленной точкой 102, 103

——в переменных Эйлера

Действие 470

— по Гамильтону 184, 190, 191, 198

Лагранжу 203

Динамики общее уравнение 51

в обобщенных координатах 39

Канонические переменные 129

Картана — Пуанкаре интегральный инвариант 184—186

Качение шара без скольжения 213, 214, 216, 217, 219

Квазикоординаты (псевдокоординаты)

26, 97, 218

Квазискорости 218, 219

Кеплера уравнение 84

Кенига теорема 72

Кирхгофа закон 114

Колебания нутационные 128

Координата циклическая 78

Координаты истинные 25

— обобщенные 10, И

— позиционные 78

— циклические 136

— эллиптические 135

Кулона — Амонтона закон трения

Лагранжа — Дирихле теорема 43

Лагранжа — Максвелла уравнение 117— 120

Лагранжа неопределенные множители 16 — уравнения второго рода в квазикоординатах 98. 100

в случае потенциальных сил 69, 70

первого рода 87, 88, 91

— функция 69, 70, 75

Лагранжа — Эйлера уравнения 98, 103

Лежандра преобразование 145Лиувилля теорема 167, 187, 188Лоренца сила 86Лежандра преобразование 145Лиувилля теорема 167, 187, 188Лоренца сила 86Рауса функция 81, 82Реакции связей 7Релея функция диссипации 59, 118Рауса функция 81, 82Реакции связей 7Релея функция диссипации 59, 118Максвелла постулат 114, 115

Лежандра преобразование 145

Лиувилля теорема 167, 187, 188

Лоренца сила 86

Лежандра преобразование 145

Лиувилля теорема 167, 187, 188

Лоренца сила 86

Рауса функция 81, 82

Реакции связей 7

Релея функция диссипации 59, 118

Рауса функция 81, 82

Реакции связей 7

Релея функция диссипации 59, 118

Материальная система 7

голономная 9

несвободная 7

свободная 7

Маятник гироскопический 137—139, 165, 166

— математический 65, 66, 88, 89, 131

плоский двойной 23, 25, 91—93

— сферический 19, 21

— физический 23, 25, 64, 65

Метод вариации произвольных постоянных 174

— интегральных инвариантов 183

Мопертюи принцип 203

Ньютона второй закон 48, 49

Остроградского — Якоби теорема 158

Перемещение виртуальное 13, 14

— возможное 13

— действительное 13

Перемещения виртуальные точек материальной системы 15

Перестановочные соотношения 101, 102

Поле силовое 60

нестационарное 60

потенциальное 60

стационарное 60

Потенциал кинетический 69, 70

Преобразование вполне каноническое

148—150

— каноническое 144, 145

— Лежандра 144—146

— точечное 144

Принцип виртуальных перемещений 29—33, 51

— Мопертюи 203

— стационарного действия Гамильтона— Остроградского 191, 197

Лагранжа 200, 203

в форме Якоби 204, 205

— Торичелли 43

— Ферма 209, 210

Пространство конфигураций 22, 23

расширенное 108

— фазовое 22, 24, 25

Пуанкаре универсальный интегральный инвариант 186

Пуассона скобки 140, 141

— тождество 141, 142

Пфаффовы формы 26

Работа виртуальная 15, 18

Равновесие материальной системы

асимптотически устойчивое 48

безразличное 42

— •неустойчивое 42

устойчивое 42

Рауса уравнения 80, 82, 83

Сани Чаплыгина 24, 25, 38

Связи 7

— идеальные 16, 17

— однородные линейные неголономные 212

Связь голономная 9

склерономная 9

— неголономная 9, 24

— нестационарная 8

— неудерживающая 8

— реономная 8

— удерживающая 8

Сила активная 49

— инерции 49

— Лоренца 86

Силы внешние 7

— внутренние 7

— диссипативные 59

— обобщенные 20

гироскопические 58

потенциальные 69

Система двух физических маятников 172—174

— канонических уравнений Гамильтона 133, 136, 156

— материальная с неудерживающими кинематическими связями 107

— материальных точек 7

консервативная 77

— электромеханическая 115, 116

Скобки Пуассона 141

Скорости обобщенные 63, 64, 219

Скорость действительная 12

— точек материальной системы в обобщенных координатах 55

Снеллиуса закон 210

Сопряженный кинетический фокус точки 199

Стыковка фазовых траекторий 110

Твердое тело 7

Теорема Кёнига 72

— Лагранжа — Дирихле 43

— Лиувилля 167

— Остроградского — Якоби 158

— Якоби — Пуассона 140—143

Теория движения велосипеда 230—242

Тождество Пуассона 141, 142

Торичелли принцип 43

Траектория материальной точки в однородном поле силы тяжести 206, 207

Угловые переменные 170

Уравнение Гамильтона — Якоби 157

— Даламбера — Лагранжа 51

— Кеплера 84

Уравнения Аппеля 224

— в вариациях 124, 127

— возмущенного движения 124, 127

— канонические 174

— Рауса 80, 82, 83

Устойчивость состояния равновесия по

Ляпунову 42, 43

Фазовая кривая 170

— плоскость 170

Фазовый объем 187, 188

Ферма принцип 209, 210

Функция Гамильтона 130, 136, 139

— диссипации Релея 59, 118

— Лагранжа 69, 70, 75

— производящая 145, 153

— Рауса 81, 82

Число степеней свободы материальной системы 18

неголономной системы 213

Эйлера теорема об однородных функ

циях 57, 77

— углы 27, 102

Электрические машины 120—123

Характеристики кинематические 26, 27

Энергия кинетическая системы в обобщенных координатах 55, 56

сферического маятника 56

— потенциальная обобщенная 85

саней Чаплыгина 41

системы 39

Центробежный регулятор 66—68, 79, 80

в поле силы 60, 69

— системы механическая полная 130, 136

— ускорений 224

Чаплыгина неголономные системы 229

— сани 24, 25, 38

— уравнения 229, 230

Якоби интеграл 76, 137

Якоби — Пуассона теорема 140, 143

N. В. BUTENIN, N. A. FUFAEV

INTRODUCTION TO ANALYTICAL MECHANICS

Manual

Moscow, Nauka, Main Editorial Board

for Literature on Physics and Mathematics, 1991

The book: This book as a matter of fact is a text-book on analytical mechanics, containing the fundamental notions and the principles of analytical mechanics along with an exposition of its rather complicated parts including Hamilton’s formalism, the theory of motion of electro-mechanical systems, the theory of motion stability, dynamics of nonholonomic systems. Nevertheless it is an extremely readable and interesting account. The language is simple, the numerous examples and exercises are very illustrative.

Readership: Undergraduate and postgraduate students of the universities and technical schools, engineers and specialists in theoretical mechanics.

Contents: General Notions of Analytical Mechanics. Principles of Mechanics and the General Equation of Dynamics. The Equations of Motion of Mechanical and Electro-Mechanical Systems. Canonical Equations and Methods of Integration. Variational Principles of Mechanics. Nonholonomic Systems. Subject Index.

The authors: Butenin N. B. (b. 1914), D. Sc. (Phys. & Math.), professor of the Leningrad Military Engineering Institute named after A. F. Mozhaisky. Was awarded the title of Honoured Scientist of RSFSR. The author of three monographs and a number of text-books on theoretical mechanics and the theory of oscillations. One of the leading specialists in the USSR and a worldwide acknowleged authority in theoretical mechanics and the theory of nonlinear oscillations.

Fufaev N. A. (b 1920), D. Sc. (Phys. & Math.), professor of Gorky State University named after N. I. Lobachevsky. Acknowledged authority in analytical mechanics and dynamics of nonholonomic systems. The author of several text-books and four monographs, one of which («Dynamics of Nonholonomic Systems», co-author ed. with Ju. I. Neimark) was translated into English and published in the USA (1972).

Н.В.БУТЕНИН, Н.А.ФУФЛЕВ

ВВЕДЕНИЕ

В АНАЛИТИЧЕСКУЮ

МЕХАНИКУ

••8 .

ф = — -у Sin ф,

а ф2 определяется формулой (3.83), то

R = ml \ Фу — 2 у- (1 — cos ф) + -у cos ф = тп/ ф^ — -у (2 — 3 cos ф)

s=l

Введем квазикоординаты Л1, Л2, ..., лп при помощи соотношений

(3.92) так, чтобы правые части последних п — тп соотношений

**) Для свободной материальной точки Г = V2^(.t2 + у2 + z2), а р1 = = тпх^ р2 = ту, р3 = тх представляют собой проекции количества движения точки па оси координат.

Н. В. БУТЕНИН, Н. А. ФУФАЕВ