ВВЕДЕНИЕ

В АНАЛИТИЧЕСКУЮ

МЕХАНИКУ

ИЗДАТЕЛЬСТВО <ВЫСШАЯ ШКОЛА»

Москва — 1964

ОТ ИЗДАТЕЛЬСТВА

Настоящая книга предназначается в качестве учебного пособия для студентов физико-математических факультетов университетов и пединститутов.

В пособии, сравнительно небольшом по объему, в сжатой и математически строгой форме изложены основные принципы и методы аналитической механики. Большое внимание уделено вариационным принципам, играющим большую роль в теоретической физике.

Книга рекомендована к изданию Учебно-методическим управлением по высшим учебным заведениям Министерства высшего и среднего специального образования СССР.

ПРЕДИСЛОВИЕ

Следуя Феликсу Клейну, аналитическую механику можно рассматривать как учение о дифференциальных уравнениях и траекториях произвольных механических систем.

Начало такому пониманию было положено Лагранжем в его знаменитой «Аналитической механике».

В основе аналитической механики лежат общие принципы (как дифференциальные, так и интегральные вариационные принципы), обладающие большой общностью. Из них выводят уравнения движения механических систем.

Одной из особенностей методов аналитической механики является применение обобщенных координат. Описание движения, при котором не отдается предпочтение какой-либо определенной системе координат, обладает большой универсальностью и имеет целый ряд преимуществ, которые сразу же обнаруживаются при решении различных физических и технических задач.

По установившейся традиции в аналитическую механику обычно включают вариационные принципы механики, общие уравнения движения голономных и неголономных систем, различные методы интегрирования этих уравнений, канонические преобразования, интегральные инварианты и ряд других вопросов.

В настоящее время аналитическая механика входит в программы механико-математических и физических факультетов университетов и педагогических институтов как часть общего курса теоретической меха-

ники. Аналитическая механика входит так*е в программы по дополнительным главам курса теоретической механики для машиностроительных и механических факультетов высших технических учебных заведений. Это объясняется тем, что современное развитие науки и техники требует от инженера более углубленных знаний по механике.

Материалом настоящей книги послужили лекции, которые автор читал в различное время в Харьковском государственном университете, в Средне-Азиатском государственном университете, а также в Московском государственном заочном педагогическом институте.

Книга не претендует на полноту изложения всех рассматриваемых в ней вопросов. Она содержит лишь основы механики голономных систем. Особое внимание уделено вариационным принципам, играющим важную роль не только в самой аналитической механике, но и в различных разделах теоретической физики, таких как квантовая механика и теория относительности. Ввиду важности законов сохранения в книгу введены предложенный Эли Картаном «тензор количества движения и энергии» и сформулированный им принцип сохранения количества движения и энергии.

Из-за ограниченности объема книги автор вынужден был опустить теорию малых колебаний, неголо- номные системы, в частности уравнения П. В. Воронца, С. А. Чаплыгина и ряд других вопросов. Глава, посвященная основам теории устойчивости движения в смысле Ляпунова, написана весьма кратко. Для детального ознакомления с ней следует обратиться, в первую очередь, к работе самого А. М. Ляпунова «Общая задача об устойчивости движения» или к книге Н. Г. Четаева «Устойчивость движения».

В данной книге приводится ряд примеров и задач с решениями, иллюстрирующих отдельные положения теории.

В заключение автор выражает благодарность проф. Таргу С. М., проф. Полякову Н. Н., проф. Румянцеву В. В., просмотревшему гл. XII, и доц. Ганину В. К. за целый ряд критических замечаний.

Автор.

Глава 1

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Механическая система.Связи и их классификация

Одним из основных понятий механики является понятие механической системы. Под механической системой понимают совокупность конечного или бесконечного числа материальных точек (или тел), взаимодействующих между собой в соответствии с третьим законом Ньютона. Отсюда следует, что движение каждой точки (или тела) системы зависит как от положения, так и от движения остальных точек рассматриваемой механической системы.

Системы различают свободные и несвободные. Система называется свободной, если все входящие в нее точки могут занимать произвольные положения и иметь произвольные скорости. В противном случае, т. е. когда материальные точки, входящие в систему, не могут занимать произвольных положений или же не могут иметь произвольных скоростей, система называется несвободной.

Примером свободной механической системы может служить солнечная система, в которой Солнце и планеты можно рассматривать как материальные тела, находящиеся под взаимным действием сил ньютониан- ского притяжения.

Примером несвободной системы может служить система, состоящая из п точек, из которых одна или

несколько вынуждены при своем движении оставаться на каких-либо линиях или поверхностях.

С указанным делением систем на свободные и несвободные связано понятие связи !.

Под связью в механике понимают условия, накладывающие ограничения на свободу перемещения точек системы. Связи могут накладывать ограничения как на положения точек, так и на их скорости. Практически связи осуществляются с помощью материальных тел или приспособлений (стержней, нитей, шарниров и т. п.).

Подобно тому как силы, действующие на точки системы, подразделяют на силы внутренние и силы внешние, так и связи, наложенные на точки системы, можно подразделить на связи внутренние и связи внешние. Под внутренними связями понимают такие связи, которые будучи наложены на точки системы, не препятствуют системе свободно перемещаться после того, как она внезапно отвердеет. Связь, не обладающая этим свойством, называется внешней. Например, если две точки твердого тела соединены между собой нерастяжимым и невесомым стержнем, то такая связь будет внутренней. Таким образом твердое тело можно рассматривать как систему, подчиненную внутренним связям. Если же одна из точек твердого тела шарнирно закреплена, то в этом случае связь будет внешней.

Система, подчиненная одним лишь внутренним связям, является свободной, так как она может перемещаться как свободное твердое тело. Если же в числе связей, наложенных на точки системы, имеются внешние связи, то система является несвободной.

Условия, ограничивающие свободу перемещения точек системы, аналитически выражаются в виде уравнений или неравенств вида.

Ф(Л М , М , & , Xi , j/ , 2/ ) > 0, (1.1) где Z — время, ^ Xi t yi , zi , Xi , yi , z/ — соответственно координаты и скорости Ьой точки системы,

отнесенные к некоторой инерциальной системе отсчета, относительно которой рассматривается движение данной системы.

Связи различают удерживающие и неудерживаю- щиех\ первым соответствует знак равенства в (1.1), вторым—знак неравенства.

Удерживающие и неудерживающие связи иногда соответственно называют двухсторонними и односторонними связями. Удерживающая связь, препятствуя перемещению в одном направлении, препятствует также перемещению в противоположном направлении. Неудерживающая связь препятствует перемещению в одном направлении, но не препятствует перемещению в противоположном направлении.

Примером удерживающей связи могут служить две параллельные плоскости, между которыми происходит движение шарика. Рассматривая среднюю между ними плоскость как координатную плоскость ху получаем уравнение связи в виде: 2 = 0. Если же шарик движется по горизонтальной плоскости ху и в любой момент может покинуть ее, то эта плоскость будет являться неудерживающей связью. Условие такой связи будет выражаться неравенством z^O (или z ^ 0).

Другим примером неудерживающей связи может служить нить с шариком на конце. Принимая точку подвеса нити за начало координат и считая нить нерастяжимой, можем условие этой связи записать в виде неравенства

炉+屮十22 - /2《0, где х, у, z—координаты шарика, Z — длина нити.

Если в процессе движения шарика выполняется неравенство

炉+歹+炉一"0, то это означает, что нить ослаблена и шарик освободился от связи.

Если же при движении шарика выполняется равенство

炉+屮+炉一分二0， то это означает, что нить натянута, и на шарик действует связь.

1 Понятие неудерживающей связи было введено М. В. Остроградским (1801 —18j2).

В зависимости от того, содержит ли уравнение связи в явном виде время / или нет, связи подразделяются на нестационарные (реономные) и стационарные (склерономные).

Связи, которые накладывают ограничения только на положения точек системы, называются конечными или геометрическими; аналитически они выражаются уравнением

①(厶％ М，马) = 0・ (1.2)

Здесь и в дальнейшем предполагаем связи удерживающими.

Если же связи накладывают ограничения не только на положения точек, но и на их скорости, то они называются дифференциальными или кинематическими, и их аналитическое выражение имеет вид

①(厶*八 W・，五yh办=0. (1.3)

Связи подразделяют также на голономные и него- лонояныё^. К голономным связям относят все конечные или геометрические связи вида (1.2), т. е. все связи, которые накладывают ограничения на возможные положения точек системы. К голономным связям относятся также и дифференциальные связи, которые путем интегрирования могут быть приведены к соотношениям вида (1.2):

£ UjdXj + %d” + ^jdzj) + ① df = 0, (1.4) 曰

где fj,屮戸 % и Ф — некоторые функции координат %” ％ zt и, возможно, времени £•

Если же дифференциальные связи вида (1.4) не могут быть путем интегрирования приведены к конечным соотношениям вида (1.2), то они называются

неголономными или неинтегрируемьши. Г. Герц обратил внимание на важность различия между голоном- ными и неголономными связями для понятия виртуального перемещения системы.

Легко видеть, что если голономные связи накладывают ограничения на возможные положения точек системы, то неголономные связи накладывают ограничения на скорости точек системы. Это следует из того, что уравнение неголономной связи (1.4) всегда может быть представлено в следующем виде:

Л

S(Z/E + ?л + 屮Z)+ ф =0. (1.5) 六】

Механические системы, подчиненные голономным связям, называются голономными системами. Если же в числе связей имеются неголономные, то системы называются неголономными.

Если на систему наложены только неголономные связи, то такая система называется сдвершенно неголономной или собственно неголономной?.

Классическим примером движения неголономной системы может служить качение твердого шара по шероховатой плоскости (например, движение бильярдного шара).

Пусть твердый шар радиусом R катится без скольжения по абсолютно шероховатой плоскости. Возьмем две системы координат с общим началом в центре шара С. Одна из них (система Ь^) пусть движется поступательно, а вторая (система xryfz!) пусть будет жестко связана с шаром (рис. 1).

Положение шара в каждый момент времени может быть определено пятью координатами: двумя координатами центра шара хс и ус (третья координата 2с = /?) и тремя углами Эйлера: углом прецессии 屮, углом нутации 6 и углом собственного вращения 屮 (рис. 1). Условием связи в рассматриваемой задаче является условие касания шара с плоскостью и обра-

(1.7)(1.7)

(1.7)

(1.7)

щение в нуль скорости точки А касания шара. Принимая центр шара С за полюс и обозначая его скорость через Vc, мгновенную угловую скорость вращения шара ——через Й, а вектор-радиус, проведенный иэ центра шара в точку касания А, — через г, можем записать скорость точки А в следующем виде:

Рис. 1

V4 = Vc + QXr.

Проектируя это векторное равенство на оси координат и удовлетворяя условию связи Va = 0, получаем

хс —- R^y — 0, ус + ^л = 0, гс = 0,(1.6)

где %, з» — составляющие вектора угловой скорости Q. Последнее уравнение интегрируется и дает одно уравнение связи 2c = R, показывающее, что центр шара С движется в плоскости, параллельной плоскости ху и отстоящей от нее на расстоянии, равном радиусу шара

Проекции угловой скорости на неподвижные оси выражаются, как известно, следующими формулами:

①％ =中sin? sin8 + 6 cos屮， о% =—屮 cos 中 sin8 + @sin 屮, %=中cos6 +@.

С помощью этих формул первые два уравнения связи (1.6) можно представить в следующем виде:

工с+ R (产os屮 sin© — @sin屮) = 0, ]6 8、

，c4-R(Qsin屮 sin8 + 6cos屮)=0. J「丿

Эти два дифференциальных уравнения не могут быть приведены к конечным соотношениям путем интегрирования, и, следовательно, мы имеем здесь пример неголономной связи.

Посмотрим теперь, какой вид примут найденные уравнения связи (1.6) или, в развернутом виде, уравнения (1.8) в том случае, когда плоскость, по которой движется шар, будет абсолютно гладкая.

Рассматривая случай чистого скольжения, можем написать, что Va = Vc и, следовательно,

%а = %с 十 R (屮 cos 中 sin8 — 0sin^),JU = Ус+ R (屮 sin 屮 sin8 + @cos 屮).

Замечая, что ха = хс и Уа = Ус^ получаем

屮cos屮 sih8 — @sin屮=0,屮sin屮 sin^ + Gcos屮=0・

Для интегрирования возведем оба уравнения в квадрат и сложим; тогда получим

?2sln20 + 62==O.

Из этого соотношения следует

О2 —0 и <p2sin2g = 0.

После интегрирования получаем о = &, <? = &.

В рассматриваемом случае условие связи выражается равенством 2c = ° или %c=R, т. е. связь голо- номна, и, следовательно, шар на абсолютно гладкой плоскости представляет собой пример голономной системы.

Примером неголономной связи может служить также случай качения и верчения диска с острыми краями по абсолютно шероховатой плоскости. Интересно отметить, однако, что плоскопараллельное движение диска — качение его по абсолютно шероховатой плоскости — дает пример голономной связи.

Действительно, в этом случае (рис. 2) условие связи имеет следующий вид:

@4 = %с ——R屮=0, zc = 0.

Интегрируя, находим уравнения связи

Xc = R% zc = R

а это означает, что связь будет голономной.

Из этого примера следует, что качение без скольже

ния цилиндра по абсолютно шероховатой плоскости также представляет случай голономной связи.

Обобщенные координаты

Конфигурация любой механической системы будет определена, если известно положение каждой материальной точки системы. Для свободной механической системы, состоящей из п материальных точек, конфигурация определяется k = 3n независимыми величинами, например, ее декартовыми координатами 七，％ 马(2= 1,2, ...» 〃).

В случае несвободной механической системы, на точки которой наложено s независимых между собой голономных связей вида

Ф； (Л %八 М，z) = 0 0=1,2,…，s； / = 1,2, ..., 〃)， (1.9) ее конфигурация в момент i определяется 左= 3〃 —— s независимыми величинами, поскольку между Зп коор-

динатами точек системы существует s независимых между собой соотношений （1.9）.

Пусть функциональный определитель

0（毋，%,…，②）

0（申2，…,Es）'

где для удобства через 卜,$2, ..., Е$ обозначены s координат из числа 3〃 координат х?, у», ^ « = 1,2, ..., /г）, отличен от нуля. Тогда из уравнений （1.9） можно определить s координат &,耘，•••，Е§ и выразить их через остальные 々 = 3〃 —s координат, которые обозначим через Es+i, ^2, ♦•・, Взл. Таким образом,

E/ = Ej （厶£叶1, Е$+2,…，Ез〃） （j = 1,2, ..., s）.（1.10）

Эти k = 3n — s декартовых координат E$+i,标十2,…，Ез〃 можно принять в качестве независимых координат, определяющих конфигурацию системы в каждый момент времени Л

Однако такой способ введения независимых координат не всегда оказывается наиболее удобным.

Во многих случаях более удобным бывает ввести k других независимых параметров, обозначаемых обычно через qv ^2, ..., qk и называемых обобщенными координатами системы, с помощью которых можно однозначно определить конфигурацию системы.

Обобщенные координаты qv 弘，…，4k могут иметь различные размерности （длины, угла, площади и т. п.）. Они должны взаимно однозначно определять 也= 3〃——s независимых координат Е$+ь ^4-2, •••， Ез〃・ Для этого необходимо существование соотношений вида

E$+i = E$+i （%, %,…，”，£）,

Es+2 = Es+2（9i，%，…，”，'），（1 ]1）

^Зл = ^3n （?P 先点，f）

при условии, что функциональный определитель

д == 0（E$+i, Е$ц-2,…，Е3八）

0（%, %,…闯论）

не равен тождественно нулю в области изменения параметров %, %，…，％• Если в функции （1.10） для координат Ei, J,…,& подставить Е$+「Е$+2,…,；з〃,

выраженные через обобщенные координаты q^ q?,…,纭 и время f （1.11）, то все координаты точек системы будут выражены через обобщенные координаты 力，必, ...,qk и время /, т. е.

*i = ~（厶 ^1,02,…，%），

%=У& 九 02,…，弘），（1.12）

Zi = Zi （^» %，%，…，%）•

Если полученные таким образом выражения для координат л:” у〃 а, （1.12） подставить в уравнение связей （1.9）, то они обратят последние в тождества, т. е.

①/（马亿qi、%，…，%），УI （Л力，%%）， /（*,力，g2,…，q6、^）^（1.13）

（/ = 1,2,s）,

так как в противном случае между обобщенными координатами %,物，…，％ и временем / существовала бы зависимость, и они, следовательно, не были бы независимы между собой, что привело бы к противоречию.

Необходимо отметить, что при определении обобщенных координат нет нужды каждый раз выполнять описанные выше операции, так как любая совокупность Л независимых между собой параметров g〔, q^ ..., q^ достаточная для определения в каждый момент времени / конфигурации системы, может быть принята в качестве ее обобщенных координат.

Выбор обобщенных координат стараются обычно производить так, чтобы решение задачи было наиболее простым.

Рассмотрим примеры.

Пусть точка М движется по поверхности сферы с постоянным радиусом R и центром в начале координат （рис. 3）.

В данном случае связь будет голономной и стационарной; ее уравнение будет иметь вид

炉+屮十炉-r2 no.

Положение точки М в любой момент времени определяется двумя независимыми координатами.

Рис. 3Рис. 3В качестве обобщенных координат здесь удобно взять два угла: широту 屮 и долготу 6 (рис. 3).

Рис. 3

Рис. 3

Жесткая система состоит из п материальных точек, соединенных между собой нерастяжимыми стержнями. Каким числом параметров определяется конфигурация такой системы?

Для определения поло-

жения свободной системы из п точек необходимо задать 3〃 параметров.

Подсчитаем, сколько стержней необходимо для того, чтобы систему сделать жесткой.

Возьмем какие-либо три точки, не лежащие на одной прямой, и соединим их попарно стержнями. Такая система, очевидно, будет жесткой. Соединяя каждую последующую из оставшихся (п — 3) точек тремя стержнями с тремя данными точками, мы каждый раз будем получать жесткую систему.

Таким образом, общее количество стержней, при котором система, состоящая из п точек, будет жесткой, а следовательно, и число связей, налагаемых на точки системы, будет равно

s = 3 + 3 (〃 一 3) = 3〃 一 6.

Отсюда следует, что число независимых параметров, определяющих положение рассматриваемой системы, будет равно

k = 3n — s = 6.

Число независимых параметров, определяющих положение твердого тела, также будет равно шести (々 = 6), так как твердое тело можно рассматривать как жесткую систему, состоящую из п точек, расстояния между которыми остаются неизменными. В качестве

шести параметров, Определяющих положение твердого тела, могут быть взяты три координаты центра тяжести С: к。, yci zc и три угла Эйлера, определяющие положение системы координат, жестко связанной с телом, относительно основной системы отсчета.

Обобщенные скорости и ускорения

Рассмотрим механическую систему, конфигурация которой в каждый момент времени t определяется k обобщенными координатами 力，％,…，％•

Так как при движении системы ее конфигурация с течением времени будет изменяться, то обобщенные координаты также будут переменными величинами, зависящими от 厶 т. е.

% = %«),敢= % = %«)•

Вид функций 夕/«) (/= 1,2, ・・・，左)может быть найден лишь после интегрирования уравнений движения системы с учетом начальных условий.

Производные по времени от обобщенных координат носят название обобщенных скоростей:

q产质q「

Каждой обобщенной координате «丿 соответствует обобщенная скорость 夕六 Так как обобщенные координаты могут иметь размерности, отличные от размерности длины, то соответствующие им обобщенные скорости могут иметь размерности, отличные от размерности обычной скорости.

Скорости точек системы в декартовых координатах могут быть выражены через обобщенные скорости. Действительно, из уравнений (1.12) имеем:

dz. • , dZ]

京分+ 17

(1.14)

Отсюда получаем

дх.дх.ду.dyz0 adz(

dqj0% 'dqjM；@办而丿・ *

Когда связи стационарны, уравнения связей имеют вид

①丿(%“ ％ 2j) =。(/ = 1,2s).(1J5)

В этом случае в уравнения (1.12) также *не будет входить явно время и, следовательно, будем иметь:

七=七(%,

m=m(九g2,…，0就

马=马(分，%,…，%)•

Так как теперь

то скорости точек в декартовых координатах в случае стационарных связей будут однородными функциями от обобщенных скоростей:

(1.16)

При изменении времени t на dt система под действием приложенных к ней сил переходит в новое положение и декартовы координаты ее точек получают значения xz -|- dxh yL + dy^ г； + dzt. В случае нестационарных связей бесконечно малые перемещения dx〃 办j, Ct/ можно получить из равенств (1.14):

2 И.庫.Беленький 17

弘山，北叫一吗里叱丝叱左eЕ左ER々2-*弘山，北叫一吗里叱丝叱左eЕ左ER々2-*

弘山，北叫一吗里叱丝叱左eЕ左ER々2-*

弘山，北叫一吗里叱丝叱左eЕ左ER々2-*

В случае же, когда связи, наложенные на точки системы, стационарны, при определении действительных перемещений следует воспользоваться равенствами (1.16). Тогда будем иметь

弱 弱 對些叱电叱四一吃fe2^ 比 E.E А2-Г弱 弱 對些叱电叱四一吃fe2^ 比 E.E А2-Г⑻⑻

弱 弱 對些叱电叱四一吃fe2^ 比 E.E А2-Г

弱 弱 對些叱电叱四一吃fe2^ 比 E.E А2-Г

⑻

⑻

Формы (1.17) и (1.18) отличаются друг от друга лишь слагаемыми

дх. ду. dt ' dtdt

Аналогично обобщенным скоростям qj обобщенные ускорения qj определяются как вторые производные от обобщенных координат по времени:

・・d2gg尸才

Ускорения точек в декартовых координатах xh yh zt получаются путем дифференцирования равенств (1.14)1

牝=2u%.+22丁于-仏分+不/・鶴叼 m纟呢叱 丿 》

Отсюда следует, что

dxtdxtdydytd^陷

阿叱64j叱阿dq；

В заключение укажем, что совокупность k параметров 幻(丿=12 …，左)определяет конфигурацию системы, а совокупность 2^ параметров, состоящая из 论 обобщенных координат д, и 左 обобщенных скоростей q^ определяет состояние механической системы.

Вариация координат

Вначале коротко остановимся на понятии вариации функции.

Рассмотрим функцию q (/) от одного переменного t. Пусть график этой функции имеет вид, указанный на рис. 4 (кривая 7). Изменим вид самой функции, положив

Рис. 4

где s — произвольная малая величина, а 刀«)——некоторая дифференцируемая функция переменного /. Функция gi(f) показана на рис. 4 пунктиром (кривая 2),

Разность 夕1(/)—— 夕(育，обусловленная изменением вида самой функции (отрезок ММг на рис. 4), носит название вариации функции и обозначается символом Вд:

6g=幻(f)—g (%)=河(仪(1 ♦ 19)

Аргумент / при этом остается неизменным (8/ = 0). Поэтому такую вариацию называют изохронной или синхронной. Сокращенно ее обозначают 8-вариация.

Если изменение значения функции происходит как за счет изменения вида самой функции, так и за счет изменения аргумента, то такую вариацию называют полной или асинхронной и обозначают символом 占*， (8*-вариация). Так как приращение функции А° за счет приращения аргумента △ / равно

Ад = дА/, то полная вариация равна

冲д = 2 +1 沙.(1.20)

Изменение аргумента Д/ здесь обозначено через В/.

В случае изохронной вариации (8-вариации) имеет место перестановочное соотношение

恭9)一(沙)，(L21)

т. е. последовательность операций варьирования и дифференцирования можно менять (правило 8rf = rf8). Это следует непосредственно из того, что

玄m)=41(f)一沁

Но по определению 8-вариации

厶(方)一 ？ (0 = m0)，

что и приводит к соотношению (1.21).

В случае полной вариации (6*-вариации) перестановочное соотношение не имеет места, т. е.

Воспользуемся понятием 8-вариации для варьирования координат системы.

Рассмотрим систему из 几 материальных точек, на которую наложено s голономных связей вида

①V (х“ у“ 2八 /) — 0 (v — 1,2, ..., s; I -— 1,2, ..・，几).(1.22)

Пусть конфигурация рассматриваемой системы в каждый момент времени определяется k = 3n — s обобщенными координатами 办(/=1,2, ...,初 Декартовы координаты *八 ％ zt будут функциями обобщенных координат 内 и времени /:

xi = х； (/, %), М =М(/, %),马= Nj(f, %) (/ =1,2, ..., A; i = l,2, ..., 〃).(1.23)

Дадим обобщенным координатам 办 (/= 1,2, ..., ^) бесконечно малые приращения (вариации) 8^у, так что новые значения обобщенных координат для того же момента времени / будут:办=办斗6力・ Таким образом, мы от первоначальной конфигурации, которую обозначим символом 4(%), перейдем к новой конфигурации Л (q^ ^лизкой к первой. Новая конфигурация системы /(%) будет совместима с наложенными на систему связями (1.22). Это вытекает из того, что новые координаты сист吵ih^ определяющие конфигурацию a (?/),五=七(力 Z),五•=%(/,办),己=乙•(乙 Z), будучи подставлены в уравнения связей (1.22), обращают последние в тождества [см. формулу (1.13)]^ Далее, замечая, что 分=夕丿 + »夕/ и х—х^ Ьхь ^ = = М + 6% 马=@ + 近"можем написать

忆+阮尸%•(分・+物・,/),

% + 也=М (办+6g力 /), ^ + Ц = ^/(^ + Ч> О-

Раскладывая в ряд Тейлора и ограничиваясь первыми степенями относительно вариаций ^qjt находим

〜+ 8七=吃(，力f) + e戸3分.

i=i

Аналогичные разложения получаем для yt + 8^z и zi + 8zz. Пользуясь далее (1.23), находим следующие выражения для вариаций координат xh у八 zz:

"〜=£舒叱'"尸£翁‘%"运尸£萨勿。 a /=1/=1/=1

Эти изохронные вариации носят название виртуаль^ них вариаций координат.

Заметим, что формулы (1.24) для виртуальных вариаций координат сохраняют свой вид независимо от того, являются ли связи нестационарными (1.22), или стационарными, выражаемыми уравнениями

①Y (七，y，2)=。(Y = 1,2,…，s; z = 1,2, ... , 九)，(1.25) поскольку при изохронном варьировании координат, которое мы здесь рассматриваем, время f считается постоянным параметром и, следовательно, не варьируется (6£ = О)・

Виртуальные перемещения.Число степеней свободы

Наряду с действительными перемещениями 〃х“ 办» и dz? (1.17) или (1.18), которые совершают точки системы в их истинном движении, при формулировании общих принципов механики приходится рассматривать перемещения иного рода, которые называются виртуальными (или возможными).

Под виртуальными или возможными перемещениями точек системы понимают бесконечно малые перемещения, которые позволяют, не нарушая наложенных связей, перевести систему из одной конфигурации в другую, близкую к ней, но относящуюся к тому же моменту времени.

Пусть конфигурация системы (обозначим ее через С) в момент времени t определяется 儿 обобщенными координатами 分(у = 1,2, ...,力).Дадим обобщенным координатам д, бесконечно малые приращения (вариации) Mj. Полученным таким образом обобщенным координатам «尸外+汨 будет соответствовать в рассматриваемый момент времени другая возможная конфигурация, близкая к конфигурации С; обозначим ее через С. Виртуальным перемещением системы для момента времени f будет перемещение системы из конфигурации С в конфигурацию С. Из сказанного следует, что виртуальные перемещения 5%八 “?, bz, (в отличие от действительных перемещений 也，的八 для голономных систем будут определяться формулами (1.24), независимо от того, стационарны связи или нестационарны.

Так как обобщенные координаты qj независимы между собой, то будут независимы и вариации координат 6夕/ и, следовательно, в результате виртуальных перемещений системы можно получить бесчисленное множество (о©*) конфигураций С, близких к конфигурации С и согласующихся с наложенными на систему связями.

Понятие виртуального перемещения есть понятие чисто геометрическое, не связанное с истинным движением системы. Координаты системы х. = Вх6 Л=Л + ®Л， ^ == ^ + 8гр полученные в результате виртуального перемещения, должны удовлетворять лишь уравнениям связей (1.22):

①V (〜+ 阮" % + "/，Z/ +近/, Z) = o

или в случае стационарных связей уравнениям (1.25), но не уравнениям движения.

Координаты же xj — xz + dxh У； = м+勿"？： = *- + 或厶 полученные при истинном движении системы за время df, должны удовлетворять как уравнениям связей (1.22):

①V ®+ "%“ М + 〃％ 马 + dZj,看 +成)=0

[или в случае стационарных связей уравнения (1.25)], так и уравнениям движения.

Рассмотрим, принадлежит ли совокупность значений dx(,匕〃 dzi для действительных перемещений к множеству значений Ьх〃 8д/., 6乙 для виртуальных перемещений системы.

Для этого сравним формулы для виртуальных перемещений (1.24) с формулами для действительных перемещений (1.17) и (1.18).

Сопоставляя указанные формулы, видим, что в случае стационарных связей среди множества значений виртуальных перемещений Ьх“ ^yit 5马 имеются и такие, которые могут быть реализованы в истинном движении системы. Для этого достаточно положить Mj = dqj. Тогда будем иметь

J%» == dx口 ^Уi — dyj, 5% -—- dZj.

В случае же нестационарных связей совокупность действительных перемещений dxh dyh dzt не принадлежит множеству значений виртуальных перемещений 6х», Ьу〃 62厂 В качестве иллюстрации рассмотрим следующий пример.

Пусть по поверхности сферы с переменным радиусом R = R (/) (расширяющаяся сфера) движется по некоторому закону точка М Напишем уравнение связи (в данном случае сферы) в декартовых координатах, поместив начало координат в центре сферы:

X2 +少2 + 炉 一 R2 «)= о.(1.26)

Связь в данном примере является удерживающей, нестационарной и голономной.

Положение точки на сфере (1.26) в каждый момент времени / будет определяться двумя обобщенными координатами (п— 1, s=l, 々 = 3/z——s = 2)・ В качестве этих координат возьмем широту 0 и долготу 屮(рис. 3). Следовательно, ^ = 0 и ^2 = . Напишем декартовы координаты точки М

x — R(t) sin0 cos % y—R (/) sin9 sin 中，z=R(f) cos в.

(1.27)

Виртуальные перемещения точки М будут:

bx = R(t) cosS cos?> 89 — /? (/) sin0 sin% 5%

^y —R(t) cosS sin<p 30 + /? (t) sinS coscp Bep, (1.28)

坛=-R(f) shi8 池

В каждый момент времени / виртуальные перемещения Вх, ”， 8г должны удовлетворять соотношению

хЬх+уЗ + ?运=0,(1.29)

получаемому из уравнения (1.26) при варьировании координат, если / считать постоянным 侬= 0).

В справедливости соотношения (1.29) можно убедиться и непосредственным вычислением с помощью формул (1.27) и (1.28). Из соотношения (1.29) следует, что множество виртуальных перемещений будет состоять из бесконечно малых перемещений в плоскости, касательной к сфере в точке М в рассматриваемый момент времени /. Действительные же перемещения dx、dy, dz точки М за время dt должны удовлетворять соотношению

xdx + ydy + zdz — RR df = 0.(1.30)

Из формул (1.29) и (1.30) следует, что действительные перемещения нельзя осуществить в классе виртуальных перемещений, т. е. нельзя подобрать Ьх = dx, Ьу = а 近=血 так, чтобы одновременно удовлетворялись соотношения (1.29) и (1.30).

Пусть теперь связь будет стационарной. Рассмотрим тот же пример, считая радиус сферы /? величиной постоянной. Уравнение связи будет иметь вид

X2^y2 + z2_R2 = 0t

ОтсюдаОтсюда

Отсюда

Отсюда

х8х+уЬу + 2 旣=О,xdx +歹外 + zdz = 0.

Из полученных соотношений следует, что среди множества виртуальных перемещений точек на сфере имеются и такие 0x = dx, Ьу — dy, 3z = dz), которые могут быть реализованы как действительные.

Отметим, что для голономных систем виртуальные перемещения обратимы. Это означает, что если вариации 6分 заменить на 一 汨 то виртуальные перемещения »%?, “八》2, также изменят знак и, следовательно, станут равными — 6%八 —5j/.,—8zz. Сказанное непосредственно следует из однородности уравнений (1.24).

До сих пор речь шла о голономных системах. Если же система неголономна и ха точки системы кроме голономных связей вида (1.22) наложено еще 尸 него- лономных связей вида

^a.jdqj+bidt^O (i=l, 2,…，г), (1.31) где а〃 и bt — функции обобщенных координат qj и времени t、то вариации координат 沔 0=1, 2,...,左) при виртуальных перемещениях должны удовлетворять г дифференциальным соотношениям

£а〃・5%・ = 0 (J— 1,2, 后；i— 1,2, ...,r). (1.32)

Таким образом, если положение системы определяется 左 заданными обобщенными координатами qj (/= 1,2, ...,力)， то мы будем иметь k виртуальных перемещений, соответствующих вариации каждой из обобщенных координат q「Но так как при этом вариации /)должны удовлетворять г уравнениям (1.32), то независимых вариаций, а следовательно, и независимых виртуальных перемещений будет

m - k -г=3几—s - r. (1.33)

Число т, соответствующее числу независимых виртуальных перемещений, носит название числа степеней свободы системы.

Если на точки системы наложено только s голо* номных связей (г = 0), то число степеней свободы будет равно

加-—k = 3 枕 s,(1.34)

т. е. в случае голономной системы число степеней свободы будет совпадать с числом независимых обобщенных координат, определяющих положение системы. Если число степеней свободы голономной системы равно единице (加= 1), то говорят, что система обладает полным числом условий. Для системы, состоящей из п точек, это, очевидно, будет тогда, когда число связей, наложенных на точки системы, будет равно s=3〃 — 1.

Для неголономной системы число степеней свободы отлично от числа обобщенных координат, необходим мых для определения положения системы. Например, в случае движения шара по абсолютно шероховатой плоскости, для определения его положения в каждый момент времени необходимо пять независимых координат — две координаты %с, »с, определяющие положение центра шара, и три угла Эйлера: 6,屮 н 屮(рис. 1), в то время, как независимых виртуальных перемещений будет всего лишь три. Действительно, для сообщения шару виртуального перемещения, совместимого со связью, необходимо и достаточно повернуть шар на бесконечно малый угол вокруг мгновенной оси, проходящей через точку касания шара с плоскостью. Элементарное же вращение всегда может быть разложено на три вращения по трем осям координат. Отсюда следует, что не все вариации координат Вхс, “с,匏，占屮，8f являются независимыми между собой. Эти вариации должны удовлетворять двум неинтегрируемым линейным уравнениям [см. уравнения (1.8)]:

5%с + R (cos 屮 sin6 В?——sin 屮 68) = 0,^ус + R (sin 屮 sin0 8<p + cos屮 89) = 0.

Принцип освобождаемости. Идеальные связи

Принцип освобождаемости состоит в том, что всякую несвободную систему можно рассматривать как

свободную, если отбросить связи и заменить их действие силами, называемыми реакциями связей^.

Реакции связей заранее не известны, они зависят от характера связей и действующих сил и могут быть определены лишь в ходе решения задачи.

Помимо деления сил на внешние и внутренние, их можно подразделить на пассивные силы и активные силы.

К пассивным силам относят реакции связей. К активным силам относят все остальные силы (как внешние, так и внутренние).

Сообщим точкам системы какое-либо виртуальное перемещение и обозначим вектор виртуального перемещения точки mi через Brz. Тогда активные силы F” действующие на точки системы, совершат виртуальную работу

8Л = X F厂 8rz,

а реакции связей R?—— работу

пm[= £ R广 6力.

/=1

В механике часто рассматривают так называемые идеальные связи (их называют также гладкими связями), которые определяют как связи, сумма элементарных работ реакций которых при любом виртуальном перемещении равна нулю, т. е.

工 Rz • 3rz = 0.(1.35)

2=1

Это условие называют постулатом идеальных связей.

Примером идеальной голономной связи может служить абсолютно гладкая поверхность. (Это есть известная идеализация реальных поверхностей.) При этом безразлично, будет ли такая поверхность неподвижна (относительно рассматриваемой инерциальной

Этим принципом широко пользуются в статике при изучении равновесия механических систем.

системы отсчета), или будет перемещаться в пространстве или даже деформироваться. Важно лишь то, чтобы она была абсолютно гладкой. Если по такой поверхности будет перемещаться некоторая точка 7И, то реакция связи R будет перпендикулярна к поверхности, а вектор виртуального перемещения 计 будет лежать в плоскости, касательной к поверхности в точке М. В силу ортогональности векторов R и 8г виртуальная работа будет равна нулю:

R • Вг = 0.

Примером идеальной неголономной связи является абсолютно шероховатая поверхность. Находящееся на ней тело может только катиться по ней, но не может скользить. В этом случае реакция R не будет ортогональна к поверхности, однако виртуальная работа R ♦ 6г будет равна нулю, так как для точки приложения силы R имеем 6г = 0.

Различные примеры связей, когда виртуальная работа реакций связей равна нулю, можно найти в книге П. Аппеля, Теоретическая механика.

Глава II

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕПРИНЦИПЫ МЕХАНИКИ

Принцип виртуальных перемещений

Наиболее общим принципом статики несвободных механических систем является принцип виртуальных, перемещений.

Впервые идеи принципа виртуальных перемещений были высказаны Стевином (1548—1620) при рассмотрении условия равновесия блока.

Следующий шаг сделал Галилей (1564——1642) при рассмотрении равновесия груза, лежащего на наклонной плоскости. Он высказал известное «золотое правило» механики, согласно которому «что выигрывается в силе, то теряется в скорости». Однако как Стевин, так и Галилей рассматривали частные задачи. Общую формулировку принципа виртуальных перемещений для любой системы приложенных сил дал И. Бернулли в 1717 г., хотя доказательства этому принципу он не привел. Лагранж (1736——1818) в своей знаменитой «Аналитической механике» сформулировал этот принцип, назвав его «принципом виртуальных скоростей», и дал его доказательство (хотя и не строгое) с помощью системы грузов, подвешенных к нитям, перекинутым через блоки. Ампер (1775—1836) обосновал принцип виртуальных перемещений, введя постулат идеальных связей. М. В. Остроградский (1801 —1862) распространил принцип виртуальных перемещений на системы,

подчиненные нестационарным и освобождающим связям.

Принцип виртуальных перемещений может быть сформулирован следующим образом: для равновесия механической системы, на точки которой наложены стационарные, удерживающие и идеальные связи, необходимо 辽 достаточно, чтобы сумма виртуальных работ всех активных сил, приложенных к то^ кам систолы, при любом виртуальном перемещении системы была равна нулю.

Если через 后 обозначить результирующую всех активных сил, приложенных к Z-ой точке системы, а через 8rz — вектор виртуального перемещения г-ой точки, то принцип виртуальных перемещений может быть записан в следующей форме:

*В 电・ = 0,(2.1)

где суммирование распространяется по всем точкам системы.

В проекциях на оси координат предыдущее равенство запишется так:

工(ХМ + 匕吼 + Z,•混)=0.(2.2)

Здесь через 芻 ％ Z? и 次八 也，8^ обозначены проекции векторов Е и 6* на оси декартовых координат. Уравнение (2.2) носит название общего уравнения статики.

Для доказательства необходимости принципа виртуальных перемещений рассмотрим равновесие некоторой несвободной механической системы со стационарными, удерживающими и идеальными связями.

Если система находится в равновесии, то и любая точка системы находится в равновесии. Следователь^ но, сумма активных сил F? и реакций связи R. прнло~ женных к i-ой точке системы, должна быть равна нулю:

F? + R/ = 0.

Отсюда следует, что работа этих сил на любом виртуальном перемещении 8rz будет также равна нулю:

(冗 + К)・6г? = 0.

Распространив это равенство на все точки системы, получим

£(F,・ + Rj •计尸 О, f=i

или пп

EFj® + £Ri®=0. j=i/=i

Вторая сумма в силу постулата идеальных связей обращается в нуль, и, следовательно, мы приходим к равенству (2.1). Таким образом, доказана необходимость условия (2.1) при равновесии системы.

Доказательство достаточности принципа виртуальных перемещений проводится от обратного. Предположим, что условие (2.1) выполнено, а система не находится в равновесии. Пусть рассматриваемая система начала двигаться из состояния покоя. Тогда результирующая сил F» и Rz на действительном перемещении совершит положительную работу, так как перемещения точек за элементарное время dt будут направлены вдоль силы (F, + Rz) (начальные скорости точек равны нулю). Следовательно,

(Fj + K)M>0.

Написав такие неравенства для всех точек системы и просуммировав их, получим

工(Fj + R) •计〉0・(2.3)

Так как действительные перемещения в случае стационарных связей являются одними из виртуальных, то последние можно выбрать так, чтобы они совпадали с действительными. Полагая, в неравенстве (2.3) Jrz = 8rz и разбивая сумму на две, получаем

纟立计,+2%2>0. miz=i

Вторая сумма в силу постулата идеальных связей равна нулю и, следовательно, получаем, что

SFf8rz>0,

а это противоречит условию (2.1). Следовательно, сделанное допущение о том, что система начала двигаться, приводит к противоречию. Этим самым доказывается достаточность принципа виртуальных перемещений для равновесия системы.

Принцип виртуальных перемещений является вариационным принципом, поскольку здесь рассматривается не одна конфигурация системы, а совокупность возможных конфигураций., получаемых в результате виртуальных перемещений, допускаемых наложенными на точки системы связями.

Большим достоинством рассматриваемого принципа является то, что совокупность всех условий равновесия можно выразить с помощью одного уравнения, не входя в детали тех связей, которые наложены на точки системы. В формулировку принципа виртуальных перемещений не входят реакции связей, что избавляет от необходимости определять реакции связей.

С другой стороны, с помощью принципа виртуальных перемещений можно весьма просто находить и реакции связей. Для этого следует воспользоваться принципом освобождаемости. Отбрасывая связь, мы заменяем ее действие реакцией связи, при этом, как уже отмечалось, увеличивается число степеней свободы системы. Рассматривая затем систему с освобожденной связью, сообщаем ей виртуальное перемещение. Пользуясь, далее, принципом виртуальных перемещений и приравнивая нулю сумму всех виртуальных работ, включая работу реакции связи, получаем одно уравнение, из которого может быть найдена искомая реакция связи.

Принцип виртуальных перемещений позволяет получить все условия равновесия. При этом следует подчеркнуть, что уравнений равновесия для системы может быть получено столько, сколько независимых виртуальных перемещений можно осуществить в системе. Другими словами, число условий равновесия, которые можно составить для системы, совпадает с числом ее степеней свободы.

33333 И. М. Беленький

33

33

Выражение принципа виртуальных перемещений в обобщенных координатах

Пусть конфигурация механической системы, рав новесие которой рассматривается, в каждый момент времени t определяется 左 обобщенными координатами 办(/h^iz 左).

Полагая, что связи, наложенные на точки системы, удерживающие и идеальные, воспользуемся принципом виртуальных перемещений и обратимся к формуле (2.2).

Заменяя входящие в эту формулу вариации координат 汝” by, 3乙 их значениями согласно (1.24), получаем

N唁9亲+ Z承go, или

e，d翁卄為+Z為也严0.(2.4)

Изменив порядок суммирования и введя так называемые обобщенные силы Q户 определяемые соотношениями

Q尸ed芻+匕儲+4紛，(2.5)

получаем выражение принципа виртуальных перемещений в обобщенных координатах:

k

(2.6)(2.6)工 Q/g/ = O.

(2.6)

(2.6)

；=1

Если система голономна и все обобщенные координаты qj независимы между собой, то будут независимы и все виртуальные перемещения 6д, Это означает, что равенство (2.6) может быть выполнено тогда и только тогда, когда все Qj равны нулю, т. е.

Q/ =。(/ = 12 ，力).

Таким образом, необходимым и достаточным условием равновесия голономной системы, подчиненной стационарным, удерживающим 〃 идеальным связям, является равенство нулю всех обобщенных сил QJt соответствующих независимым обобщенным координатам 0/.

В качестве иллюстрации применения принципа виртуальных перемещений в обобщенных координатах рассмотрим следующий пример.

На неподвижный идеально гладкий цилиндр с радиусом г положены два стержня одинаковой длины 2/ и весом Р каждый, соединенные шарнирно в точке В (рис. 5). Найти возможные положения равновесия системы.

В качестве обобщенной координаты, определяющей положение системы, примем угол ср. Расстояние z, измеряемое по вертикали от уровня, проходящего через центр цилиндра О, до линии, соединяющей точки приложения сил, будет равно

z — AB — OB = l cos中・

丁 Sin Ф

Дадим системе виртуальное перемещение 》中.Расстоя. ние г при этом изменится на величину

8г = (--/ sin 中 + -^7^^)6屮.

Уравнение элементарных работ запишется в следующем виде:

ВД = 2PBz = 2P ( — I sin<p H——厂 f呼 Sep = 0.\sin2cp /

Условие (2.6), которое в рассматриваемом случае имеет вид Q^ 6^ = 0, дает

Q产2Р( -I simp+ ｛窜) = 0.

Так как Р*0, то приходим к условию

-Z sin中 + 上:£誓=0.

Отсюда получаем для определения угла 屮 кубическое уравнение вида:

tg郑=*■ (1 + tg2(p).

Решив его, найдем три значения для tg 屮，одно из которых может быть действительным, а два других мнимыми.

Силы, имеющие потенциал

Если система находится в потенциальном поле, и следовательно, силы F,, действующие на точки системы, имеют силовую функцию U=U(x“ % &), то сумма элементарных работ сил F? на всяком перемещении системы будет являться полным дифференциалом функции U, зависящей от 3〃 координат точек системы. В этом случае

dU =£ (Х”х,・ + y^dyt + 2〃当)， 1

где Xj,匕,Zj ——проекции сил Fz на координатные оси. Отсюда следует, что

V dU “ dU 7 dU

и, следовательно, выражение для обобщенной силы Qj （2.5） будет иметь вид:

Q尸崙♦（2・7）

Потенциальная энергия 1/（七，»刀 马）системы определяется как работа, которую должны совершить силы поля, чтобы перевести систему из рассматриваемого положения （七，у,马）в нулевое положение （х/0 у。г/0）, которое, вообще говоря, может быть выбрано произвольно. Следовательно,

（々о，死о , 2/0 ）

V （七，％ W = £/（XjdXj + Уjd% + Zjdz）

I （勺，死，马）

Меняя порядок суммирования и интегрирования и вводя силовую функцию U （х〃 у, %，，получаем

（%»о, УД）,々0）

U（*j, J% ‘‘= / dU.

^t У1

После интегрирования будем иметь

u（七，% W = U（*/o, mо，专0） 一"（七，% 专），

т. е. потенциальная энергия V с точностью до аддитивной постоянной равна силовой функции U、 взятой с обратным знаком:

丿（七，% 乙）=- U（x" % 幻•（2.8）

Запишем теперь принцип виртуальных перемещений с помощью потенциальной энергии V. Имеем

8V = 0,

т. e. первая вариация потенциальной энергии V должна быть равна нулю, а это есть условие ее стационар-*

ности. Таким образом, необходимое и достаточное условие равновесия системы совпадает с условием стационарности функции V.

Вопрос об устойчивости равновесия будет рассмотрен позже (§ 6, гл. X).

Принцип Даламбера

Первоначально идея этого принципа была высказана Яковом Бернулли (1654—1705) при рассмотрении задачи о центре колебаний тел произвольной формы. В 1716 г. петербургский академик Я. Герман (1678 — 1733) выдвинул принцип статической эквивалентности «свободных» движений и «фактических» движений, т. е. движений, осуществляемых при наличии связей. Позже этот принцип был применен Л. Эйлером (1707— 1783) к задаче о колебаниях гибких тел (работа была опубликована в 1740 г.) и получил название «петер- бурского принципа». Однако первым, кто сформулировал рассматриваемый принцип в общем виде, хотя и не дал ему надлежащего аналитического выражения, был Даламбер (1717—1783). В своей «Динамике» вышедшей в 1743 г., он указал общий метод подхода к решению задач динамики несвободных систем. Аналитическое выражение этого принципа было дано позднее Лагранжем в его «Аналитической механике».

Рассмотрим некоторую несвободную механическую систему. Обозначим равнодействующую всех активных сил, действующих на какую-либо i-ую точку системы, через F?, а равнодействующую реакций связей ——через &・ Тогда уравнение движения точки будет иметь вид mjwi = В・ + R,(2.9)

где wz — вектор ускорения точки, a mi — масса этой точки.

Если ввести в рассмотрение силу Jz = — mzwz, называемую даламберовой силой инерции, то уравнение движения (2.9) можно переписать в форме уравнения равновесия трех сил:

匕 + 比+1 = 0. (2.10)

Уравнение (2.10) составляет существо принципа Даламбера для точки, а это же уравнение, распространенное на систему, — существо принципа Даламбера для системы.

Уравнение движения, написанное в форме (2.10), позволяет дать принципу Даламбера следующую формулировку: если систему находящуюся в движении, 6 какой-либо момент времени мгновенно остановить и к каждой материальной то%ке этой системы приложить действовавшие на нее в момент остановки активные силы F〃 реакции связей Rz 辽 даламберовьь силы инерции J〃 то система останется 6 равновесии.

Принцип Даламбера представляет собой удобный методический прием решения динамических задач, так как позволяет уравнения движения несвободных систем написать в форме уравнений статики.

Этим самым, конечно, задача динамики не сводится к задаче статики, так как задача интегрирования уравнений движения по-прежнему сохраняется, но принцип Даламбера дает единый метод составления уравнений движения несвободных систем, и в этом его главное преимущество.

Если иметь в виду, что реакции R представляют собой действие связей на точки системы, то принципу Даламбера можно дать и такую формулировку: если к активным силам F〃 действующие на точки несвободной системы, присоединить даламберовы силы инерции J〃 то результирующие этих сил уравновесятся реакциями связей. Следует подчеркнуть условность этой формулировки, так как в действительности

«даламберовы силы инерции» появился значительно позже. Л. Эйлер считал, что термин «силы инерции» был впервые введен Кеплером (1571—1630), который обозначал им «присущую всякому телу силу сопротивления всему тому, что стремится изменить его состояние движения» (см. Е.力. Николаи. Труды, по механике. Гостех- издат, 1955, стр. 413).

при движении системы никакого уравновешивания нет, поскольку силы инерции J, к точкам системы не приложены.

Наконец, принципу Даламбера можно дать еще одну эквивалентную формулировку, для чего уравнение (2.9) перепишем в такой форме:

Е — 〃2册=—R,・ (2.11)

Если бы точка была свободна и находилась под действием только силы F” то она приобрела бы некоторое ускорение w；. В действительности же рассматриваемая точка несвободна и находится под действием активной силы F】и реакции связи Rz, в результате чего она приобретает ускорение w? По терминологии Даламбера, разность (w； —wj называется «потерянным» ускорением, а сила

Qi = ®(w/ -w)

соответственно ——«потерянной» силой. Таким образом, уравнение (2.11) можно переписать в форме равновесия двух сил:

Q, + R/ = О,

т. е. потерянные силы уравновешиваются реакциями связей. В таком виде трактовка принципа Даламбера ближе всего подходит к рассуждениям самого Даламбера.

Общее уравнение динамики

Рассмотрим некоторую механическую систему, подчиненную стационарным, удерживающим и идеальным связям. Применяя к системе последовательно принцип Даламбера и принцип виртуальных перемещений, можно получить общее уравнение динамики.

Присоединим к активным силам Fz и реакциям связей А?, действующим на точки системы, даламберовы силы инерции J?. Такая система сил на основании принципа Даламбера будет находиться в равновесна。 Поэтому можно написать

冗 + R/ + J = 0,

К такой системе теперь можно применить принцип виртуальных перемещений.

Обозначив через 匕 вектор виртуального перемещения z-ой точки системы, напишем основное уравнение статики:

£(Fj + R, + J)・3rj = O・

/=1

Для идеальных связей сумма работ реакций связей на любом виртуальном перемещении равна нулю:

£ R.•化・ = 0.

Следовательно,

工(Fj + J)•匕=0・(2.12)

Напишем это уравнение в проекциях на оси координат. Замечая, что проекции даламберовой силы инерции

J.= 一乙吗

на декартовы оси координат соответственно равны

d2x.d2y 力？.

и обозначая проекции активной силы F? на эти же оси соответственно через %, 匕，Zz, а вектора виртуального перемещения 8rz — через 占％八 ^у^ 占马,получаем

今｛( % 一加2簪)次，+ (%一叫")物+

+(Ti — mi -^-^ | = 0.(2.13)

Это есть общее уравнение динамики — уравнение Да・ ламбера — Лагранжа.

Уравнение (2.13) содержит виртуальные вариации 汝八 6% % координат точек системы, и, следовательно, оно охватывает всю совокупность возможных дви-

жений, совместимых с наложенными связями, которые система может совершать.

Так как из общего уравнения динамики могут быть выведены уравнения движения, а также общие теоремы динамики, то его можно рассматривать как принцип и положить в основу изучения механики. Этот принцип называют принципом Даламбера — Лагранжа.

Общее уравнение динамики приложимо как к голономным, так и к неголономным системам (с линейными относительно скоростей связями), лишь бы виртуальные перемещения, сообщаемые точкам системы, были совместимы с наложенными связями.

С этой точки зрения принцип Даламбера—Лагран* жа, который может быть отнесен к дифференциальным вариационным принципам, является более общим, чем интегральные вариационные принципы, о которых речь будет дальше.

Достоинством общего уравнения динамики (2.13) является то, что оно не содержит, реакций связей, что весьма удобно при решении задач.

Следует отметить, что, хотя общее уравнение динамики получено для систем с идеальными связями, т. е. для систем без трения, его можно применять также и к системам с трением, если условиться включать силы трения в число активных сил.

Общее уравнение динамики для случая сил,имеющих потенциал

Общее уравнение динамики (2.13) можно представить в следующем виде：

Если силы, действующие на точки системы, обладают силовой функцией U (*八力，马)，то

и, следовательно, общее уравнение динамики может быть записано в следующей форме:

，(叫力 8xz + mi ^ 8^ + mi -^ Ц)=»U・ (2.14)

В таком виде общее уравнение динамики будет использовано в дальнейшем.

Уравнения Лагранжа первого рода

Обратимся к общему уравнению динамики (2.13).

Если система свободна, то все вариации координат 8%., 泌 呢 независимы, и в этом случае из уравнения (2.13) получаем

4-色号=0■

Это ——уравнения движения свободной системы.

Если же система несвободна и на точки системы наложено s стационарных, идеальных, голономных связей вида

/)(Х/，М，马)=0 (»= 12 • • •,无；/ = 12 • • •, s), (2.15)

то вариации координат 8xz, Зу., 6之厶 уже не будут независимыми, так как они должны удовлетворять s дифференциальным соотношениям вида

l/Й 3 + * 也 + 爲运)=0 (/= 1,2,

Применяя метод неопределенных множителей Лагранжа, а именно, умножая уравнения (2.16) на неопределенные пока множители % и складывая полученные уравнения с уравнением Даламбера — Лагранжа (2.13), получаем

++++5 4•+盼5 4•+盼3/=1+3/=1+о.о.

+

+

+

+

5 4

•+盼

5 4

•+盼

3/=1+

3/=1+

о.

о.

Псложение рассматриваемой системы, состоящей из 几 точек, определяется 3〃 координатами, но так как координаты связаны s (по числу связей) уравнениями, то независимых координат, определяющих положение системы, будет только 々 = 3〃一s. Поскольку система голономна, число степеней свободы будет также равно 玄 т. е. система будет иметь k независимых вариаций координат.

Произведем теперь выбор неопределенных множителей Ху (у = 1,2, ... , s) так, чтобы выражения, стоящие в скобках при вариациях зависимых координат, обратились в нули. Тогда выражения, стоящие в скобках при оставшихся (3〃 —— s) независимых вариациях координат, также обратятся в нули и, следовательно, мы получим 3〃 уравнений вида:

d2xd2xXf•号Xf•号々工r1，^s т+ 卜 +々工r1，^s т+ 卜 +竺^带一叱丝一叱竺^带一叱丝一叱о,о,о.о,о,о.

d2x

d2x

Xf•号

Xf•号

々工r1，^s т+ 卜 +

々工r1，^s т+ 卜 +

竺^带一叱丝一叱

竺^带一叱丝一叱

о,о,о.

о,о,о.

Эти 3 n уравнений движения несвободной системы носят название уравнений Лагранжа первого рода.

Совокупная система 3 п дифференциальных уравнений Лагранжа (2.17) и s конечных уравнений связей (2.15) достаточна для нахождения (3/г -|- s) неизвестных, а именно, 3〃 координат системы *八 ％ г； (i = =1,2,, п) и s неизвестных множителей Лагранжа

入广(丿=1,2, ... , s).

Если через R； обозначить реакцию связей, дей-

ствующих на Z-ую точку системы, то уравнения движения несвободной системы можно написать в следующей форме:

(2.18)(2.18)mi 笳"=% + 7?Zx, 〜=彩 + Riy， 砌显= Zj + R,・z，

(2.18)

(2.18)

где R改，Ry ^—проекции реакции связей R； на оси координат.

Сравнивая уравнения (2.17) и (2.18), получаем формулы для реакций связей

% = 2入丿•幺,R» = ) J，

%=士勺襄.

片1 ?

Следует заметить, что при большом количестве точек системы, а также при большом числе связей, изучение движения с помощью уравнений Лагранжа первого рода крайне затруднительно ввиду большого количества уравнений. Этим методом удобно пользоваться тогда, когда система состоит из небольшого количества точек и число связей, наложенных на

точки системы, невелико.Если система находится уравнениях движения (2.17)точки системы, невелико.Если система находится уравнениях движения (2.17)в покое, то, полагая вв покое, то, полагая в

точки системы, невелико.

Если система находится уравнениях движения (2.17)

точки системы, невелико.

Если система находится уравнениях движения (2.17)

в покое, то, полагая в

в покое, то, полагая в

=°，^=°，号=0,

получаем уравнения равновесия рассматриваемой системы

乜十士福=。'

匕十工人名=。，

z,・+£入)・*=0./=1 i

Рассмотрим движение точки М массой т по абсолютно гладкой поверхности / (х, у, z) = 0 под действием силы F.

Обозначим проекции силы F на оси координат через X, У, Z и напишем для точки М уравнения Лагранжа первого рода:

mm加mm加^•^ ^--^ ^й入 入 入+ + +X у z---^^吗川叁"^•^ ^--^ ^й入 入 入+ + +X у z---^^吗川叁"(2.19)(2.19)

mm加

mm加

^•^ ^--^ ^й入 入 入+ + +X у z---^^吗川叁"

^•^ ^--^ ^й入 入 入+ + +X у z---^^吗川叁"

(2.19)

(2.19)

Если сила F задана, то задача сводится к интегрированию совокупной системы трех дифференциальных уравнений второго порядка. Интегралы этих уравнений будут зависеть от времени /, параметра X и шести произвольных постоянных Сь ..., С6, определяемых из начальных условий задачи. Таким образом,

" *(/,入，c1,e2，• ， ，,e6),y =y (^> 入，е1，e2, • • •,e6),2 = %(/,入，С*р С2, ..., Сб)・

Так как точка /И во время движения остается на поверхности /(х, у, г) = 0, то из этого условия можно получить уравнение для нахождения множителя Лагранжа 入.Таким образом, задача о движении точки по заданной поверхности будет полностью решена.

Если точка М под действием силы F находится на поверхности /(х, у, n) = 0 в равновесии, то уравнения равновесия будут иметь вид:

Х+入泰=。，

У+入 =0,

Z+入解=0■

Проекции реакции связи R на оси координат будут соответственно равны

Реакция R будет, конечно, направлена по нормали к поверхности /(х, у, z) = 0・

Принцип наименьшего принуждения(принцип Гаусса)

Принцип наименьшего принуждения Гаусса относится к вариационным принципам механики. Он приложим как к голономным, так и к неголономным системам.

Гаусс сформулировал этот принцип следующим образом: «Движение системы материальных точек, связанных между собой произвольным образом и подверженных любым влияниям, в каждое мгновение происходит в наиболее совершенном, какое только возможно, согласии с тем движением, каким обладали бы эти точки, если бы все они стали свободными, т. е. оно происходит с наименьшим возможным принуждением, если в качестве меры принуждения, примененного в течение бесконечно малого мгновения, принять сумму произведений массы каждой точки на квадрат величины ее отклонения от того положения, которое она заняла бы, если была бы свободной».

Рассмотрим этот принцип более детально.

Пусть на механическую систему наложены удерживающие идеальные связи, как голономные, так и не- голономные. Обозначим положение /-ой точки, принадлежащей рассматриваемой системе, в момент времени

£ через Mif массу ее — через т^ а скорость и ускорение —соответственно через 匕 и wz.

Рассмотрим следующие движения этой точки за элементарный промежуток времени: 1) движение по

инерции, 2) свободное движение и 3) действительное движение.

Если бы точка, начиная с момента /, двигалась по инерции со скоростью v” то за время с она переместилась бы по прямой, пройдя отрезок пути М» А(= =vzt (рис. 6).

Рассмотрим теперь свободное движение этой точки, считая, что в момент £ она освободилась от связей и движется с той же начальной скоростью vz, которую она имела в момент времени 厶 находясь под действием одной лишь активной силы F,. Перемещение точки за элементарный промежуток времени с выра

зится вектором MtBh который с точностью до бес-

конечно малых третьего порядка относительно т будет равен

加0 = V产 + } U У，

В действительном же движении точка не является свободной и находится под действием как активной силы F», так и реакции связей R/, и ее действительное перемещение за время х (с точностью до бесконечно малых третьего порядка) выразится вектором Mfi^

Таким образом, отклонение точки при ее действительном движении от свободного движения выразится вектором 用&:

而=福一初=I" (w, 一 ^). (2.20)

Рассмотрим теперь некоторое кинематически возможное движение системы, при котором положение точки mt и ее скорость V» в каждый данный момент времени будут такими же, как и в действительном движении, а ускорения w будут отличаться от истинных ускорений Wj. Пусть при этом вектор MiDi представляет собой перемещение точки за время. % Отклонение от свободного движения для рассматриваемого возможного движения будет выражаться вектором BjDj, который можно представить как сумму векторов BlCi и cQj.

瓦5,.=鬲 +⑰(2.21)

В качестве меры отклонения точки от ее свободного движения Гаусс принял величину, равную произведению массы точки mi на квадрат отклонения, и назвал ее принуждением.

49494 И. М. Беленький

49

49

Вводя для удобства коэффициент пропорциональности ^, напишем принуждение Z? для точки в ее действительном движении:

Z? = * т(В©.

Принуждением Z/ для точки в ее кинематически возможном движении будет величина

л =^■加囱3.

Для системы принуждением будет сумма принуждений отдельных ее точек. Следовательно, для системы, состоящей из п точек, принуждением Z в ее действительном движении будет величина:

п

z=^ 工色瓦3?,(2.22)

а принуждением Z' этой системы в ее возможном движении — величина

п _

7=三2色■瓦隙(2.23)

i—l

Согласно принципу Гаусса, принуждение Z системы в ее действительном движении будет всегда меньше, чем принуждение Z' системы в ее кинематически возможном движении:

Z<ZZ или пп —

工农或之士乙瓦方?.(2.24)

Z =»1/ = 1

Поэтому принцип Гаусса называют также принципом наименьшего принуждения.

Если воспользоваться формулой (2.20) для отклонения В£、то принуждение Z для системы можно представить в такой форме:

2 = e^（加册一后）2.2 = e^（加册一后）2.(2.25)(2.25)

2 = e^（加册一后）2.

2 = e^（加册一后）2.

(2.25)

(2.25)

Из условия минимума принуждения Z следует, что его первая вариация равна нулю: 8Z==0. Поскольку в выражении Z (2.25) варьированию подлежат лишь ускорения W/, принцип наименьшего принуждения Гаусса может быть представлен в следующей форме:

"Z = 2 (加К — F) ♦ Aw? = 0.

Такая вариация, когда варьированию подлежат лишь ускорения, при неизменных координатах и скоростях, называется гауссовой вариацией.

Покажем теперь, что принцип Гаусса может быть выведен с помощью общего уравнения динамики.

Из соотношения (2.21) следует, что

BД =就:+2就厂ОД.

Умножив все члены этого равенства на mi и просуммировав по всем точкам системы, получим

£т；вр； = 2 色5°：+2 加 С。；+ i=li=l

+ 2 2 gB £ J CDj.+ 2 2 gB £ J CDj.(2.26)(2.26)

+ 2 2 gB £ J CDj.

+ 2 2 gB £ J CDj.

(2.26)

(2.26)

Последняя сумма в правой части этого равенства равна нулю. Действительно, вектор &Di есть разность между возможным перемещением MiDi и действительным перемещением Л1^ и, следовательно, равен вектору виртуального перемещения 8г/

G0. = MR — М& = 3rz.

Пользуясь, далее, формулой (2.20) для В£、находим

2 £ miBiCi • С Pi = т22 (叫 w? — F) • "г?.i=4/=1

Выражение, стоящее в правой части, на основании общей формулы динамики (2.13) равно нулю и, следовательно, равенство (2.26) может быть представлено в следующем виде:

z = z+^E 色计

Так как сумма, стоящая в правой части этого равенства, всегда положительна, то Z'〉Z, что и доказывает справедливость принципа Гаусса.

Таким образом, мы доказали принцип Гаусса с помощью общего уравнения динамики.

Поскольку здесь принцип Гаусса получен с помощью принципа Даламбера ——Лагранжа, который приложим лишь к голономным и неголономным системам с линейными относительно скоростей связями, может показаться, что и принцип Гаусса приложим лишь к указанным системам.

В действительности же область приложения принципа Гаусса шире, нежели область приложения принципа Даламбера—Лагранжа. Принцип Гаусса приложим к голономным и неголономным системам, связи в которых могут быть и нелинейными относительно скоростей.

Уравнения движения могут быть получены из принципа Гаусса, и при этом нет необходимости требовать, чтобы дифференциальные связи были линейными относительно скоростей.

Принцип Журдена

Принцип Журдена занимает промежуточное положение между принципом Даламбера — Лагранжа и принципом наименьшего принуждения Гаусса.

Если в принципе Даламбера — Лагранжа варьированию подлежат лишь координаты, а скорости, ускорения и время остаются неизменными (8xz ф О, ^А — О» Sx. = О, В/ = 0, и аналогично для координат jz и 马),

а в принципе наименьшего принуждения Гаусса варьированию подлежат лишь ускорения, а координаты, скорости и время не варьируются (В%. = 0, 3文？ = 0, 3无类 0, 6/ = 0, и аналогично для координат у1 и 马)， то в принципе Журдена варьированию подлежат лишь скорости, а координаты, ускорения и время варьированию не подлежат (Зх,. = 0, 8无• # (), 8%. = о,証=0, и аналогично для координат yt и 乙).

Соответственно этому указанные три принципа могут быть записаны в следующей дифференциальной форме:

Принцип Даламбера — Лагранжа

2 {(% 一 乙匕)女,. + (匕一j +

+(4 —乙马)BzJ = 0.(2.27)

Принцип Журдена

£ {(%•—加/) a 七 + (匕一/%，)+ i=l

+(4— 侬刁眨} = 0・(2.28)

Принцип Гаусса

2 {(X/ —色%)汝j + (匕一乙M)泣+ /=1

+(4 一 加区)^・} = 0.(2.29)

§ 10. Совместность дифференциальных принципов. Перемещения по Четаеву

Наличие трех указанных выше дифференциальных принципов, естественно, привело к постановке вопроса об их совместности.

Вопросом совместности принципов Даламбера — Лагранжа и Гаусса занимались Е. А. Болотов, П. Аппель, Е. Деласю, Н. Г. Четаев и др.

Оказалось, что все три принципа совместны для голономных систем. Для неголономных систем, как показали П. Аппель и Е. Д^ласю, указанные принципы совместны лишь для линейных неголономных систем (т. е. таких систем, когда связи выражаются линейным образом через скорости) и несовместны для нелинейных неголономных систем.

При этом наиболее общим оказывается принцип Гаусса, поскольку он справедлив для более широкого класса систем, в частности, для нелинейных неголономных систем.

Н. Г. Четаев заметил, что суть вопроса состоит в самом определении понятия возможного перемещения для нелинейных неголономных систем. Он предложил дать такое определение, чтобы, во-первых, оно совпадало с определением возможных перемещений для линейных неголономных систем и во-вторых, чтобы принципы Даламбера — Лагранжа и Гаусса оказались бы совместны.

Пусть на точки системы, состоящей из п точек, конфигурация которой в каждый момент времени определяется k обобщенными координатами 夕丿(/= 1, 2..., ...,田 так, что

х. = az. (/, qу), у. = pz (/, %), zt = yz (/, q》,(2.30)

наложено r = ^ —— s неголономных связей вида

£", %•, %)=0

(/=1, 2,后 г= 1, 2,左一s),(2.31)

которые в разрешенном относительно ^ +1,仆十2,... ...,qk виде можно записать так:

& =①V亿%.,%)

(y = s+1, 3十2,后卩=1, 2,s).(2.32)

Из соотношений (2.30) после дифференцирования получим

л _da/ I V dat Л i_ У dai *

卩=1Y=叶1

“1“ на основании уравнений связей （2.32）:

Правые части этих равенств суть функции от /, % и независимых скоростей q* （［丄=1, 2, s）. Обозначая эти функции через а? = а,（/,夕戸 夕卩）,а соответствующие функции для у и 马 через bi и Q, можем написать:

七=生（/，分，办），

九=4（我 %, 0出），1（2.33）

Zi = Ci （^» Qj %）•

Теперь можно получить, согласно Четаеву, выражения для возможных перемещений точек системы ох.. %% о% （при 立= 0）, при которых принципы Даламбера — Лагранжа и Гаусса оказываются совместными. Возможные перемещения по Четаеву записываются так:

（2.34）（2.34）

（2.34）

（2.34）

где о^ — произвольные бесконечно малые величины.

Следует заметить, что данное определение возможных перемещений по Четаеву включает в себя понятия возможных перемещений для голономных систем и для неголономных систем со связями линейными относительно скоростей.

Действительно, пусть на точки системы наложена голономная связь вида

/（我 %） =。0=1, 2,…，为）.

Тогда будет справедливо условие связи (2.31): k

尸=占哥%+箓=。■⑵35)

(2.36)(2.36)Пользуясь условием связи по Четаеву

(2.36)

(2.36)

на основании (2.35) получим:

k

а это совпадает с выражением, связывающим вариации координат 沔 при возможных перемещениях (при 8/ = 0) системы, полученным ранее (§ 5, гл. 1).

Если теперь на точки системы наложено г линейных неголономных связей вида

. k .

£•亿 ％,勿)= £%•//+ 4 (2=1, 2,г),

где а〃 и bt — функции обобщенных координат 分 и времени /, то на основании условия Чегаева получим

£ a#qj = ° (i = 1, 2,г),

что также совпадает с выражением, полученным ранее (§ 5, гл. 1).

Глава 111

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫМЕХАНИКИ

Траектория механической системы.Прямой и окольный путь

Рассмотрим движение голономной системы с^ степенями свободы.

Положение такой системы в каждый момент времени / определяется k независимыми обобщенными координатами qjQ= 1, 2,..・,力）.Совокупность значений 办 определяет конфигурацию системы.

Изучение движения такой механической системы можно свести к изучению движения точки в расширенном координатном （々+1）-мерном пространстве 4木+1（我 9》,положение точки в котором определяется заданием （力十1） параметров /,办（/=1, 2, ...» 初

Каждому моменту времени Z, а следовательно, и каждой конфигурации （q〉системы мы будем приводить в соответствие точку 7И（厶 办），которая носит название изображающей точки.

Так как при движении системы различным моментам времени / соответствуют различные конфигурации qj （/）, а следовательно, и различные положения

изображающей точки М(九夕丿)в пространстве Ak^ то движение механической системы можно трактовать как движение изображающей точки М в пространстве 4+1・ Линия, которую описывает изображающая точка М в пространстве 4々+卜 называется траекторией системы.

Рассмотрим моменты времени 厶 и %，в которые конфигурации системы определяются обобщенными координатами д(? и g用(/ = 1, 2, …，尼)・・ Указанным моментам времени в пространстве A^i соответствуют различные положения изображающей точки М, которые обозначим через Л (Л, ?(；) и Bg д(?)・ При движении системы за промежуток времени 勾—6 изображающая точка М опишет кривую АМВ (кривая / на рис. 7), которую бупем называть прямым путем.

Наряду с действитель-

Рис. 7Рис. 7ным движением системы можно рассматривать и другие кинематически воз, можные движения, т. е. такие, которые совместимы с наложенными на точки системы связями. При этом изображающая тачка перейдет из положения А в положение 5 по другой кривой ANB (кривая 2), называемой кривой сравне-

Рис. 7

Рис. 7

ния.

Эти движения могут быть получены в результате варьирования обобщенных координат, т. е. при переходе от обобщенных координат 办 к обобщенным координатам 书=分 + »%・

Полученные таким способом движения называются варьированными, а путь ANB, который при этом проходит изображающая точка, называется окольным путем.

Принцип стационарного действия Гамильтона

Гамильтон (1805—1863), исходя из аналогии между задачами геометрической оитнкн и динамики, устано-

вил принцип, который, хотя и не дает непосредственно интеграла движения, hq позволяет получить все уравнения движения. По общности и значению его следует отнести к одному из важнейших интегральных принципов механики.

При изложении принципа Гамильтона воспользуемся геометрической трактовкой движения, изложенной в § 1 этой главы.

Рассмотрим голономную систему с 々 степенями свободы. Пусть моментам времени 厶 и /2 соответствуют две конфигурации системы, определяемые соответственно обобщенными координатами

9(? =以厶)m*)=分俏).

В пространстве 4左+1(厶办)указанным моментам 九 и /2 будут соответствовать две точки Д(/ь 夕夕))и В(/2, ?^)- Из положения А в положение В система может перемещаться по различным путям.

При действительном движении системы за время 厶——厶 изображающая точка М опишет прямой путь АМВ (рис. 7). Наряду с действительным движением системы можно рассматривать варьированные движения, при которых изображающая точка из положения А переходит в положение 5 за тот же промежуток времени 友一 & двигаясь по окольному пути ANB, близкому к прямому. Естественно поставить вопрос: чем отличается действительное движение по прямому пути от варьированных движений по окольным путям? Ответ на этот вопрос дает принцип Гамильтона.

Прежде чем перейти к формулировке принципа Гамильтона, необходимо ввести понятие «действия». Действием (по Гамильтону) называется интеграл, взятый по времени в пределах от 厶 до /2 от некоторой функции Z, зависящей от состояния системы, т. е. от совокупности значений обобщенных координат «/ и обобщенных скоростей %(/=1, 2, ..., ^), а также, возможно, и от времени /:

s =『£(/,分历)df・ (3.1)

Действие S представляет функционал, поскольку оно определяется выбором k функций времени ^;（/）.

Выражение Ldt называется элементарным деист- вием, а функция £ — Z （/,夕力 办）一функцией Лагранжа. Физический смысл этой функции будет выяснен позже* Переменные t, %,少丿 называются переменными Лагранжа.

Согласно принципу Гамильтона, действительное движение системы при ее переходе из положения А （/р д（?） в положение 8（分,，争）происходив таким образом, что действие S по Гамильтону, вычислен、 ное по прямому пути, имеет стационарное значение по сравнению со значениями, которые действие S принимает при движении системы по окольным путям, близким к прямому и проходящим через те же точки A（tlf g'）j и 6（& 行））• Так как для действительного движения по прямому пути интеграл S принимает стационарное значение, то первая вариация его должна быть равна нулю:

85=可/（/, %•,分）必=0.

Поэтому этот принцип носит название принципа стационарного действия Гамильтона.

При вычислении вариации 85 следует иметь в виду, что все кривые сравнения, соответствующие окольным путям, проходят через точки Д и ^, и, следовательно, вариации обобщенных координат % на концах интервала должны быть равны нулю:

Зд（? = 0 и Зд（；）= 0,а время /, в течение которого система переходит изположения А в положение 5 по какой-либо кривойсравнения, при этом не варьируется, т. е. 8/ = 0. Это

Гамильтон рассматривал случай, когда функция Лагранжа Л не зависит явно от времени% т. е. L — L （%, % ）, что соответствует случаю стационарных связей. Исследования Гамильтона были обобщены Остроградским в 1848 г. и Донкиным в 1854 на случаи, когда функция Лагранжа зависит явно от времени t, т. е.

означает, что варьирование в принципе Гамильтона является изохронным.

Из условия обращения в нуль первой вариации функции действия (»S = 0) еще не следует, что функция действия (по Гамильтону) S имеет экстремальное значение. Необходимо исследовать еще вторую вариацию "б

Серре (1819—1885) показал, что вторая вариация действия 辞S для действительного движения при некоторых ограничениях, наложенных на пределы интегрирования, положительна, и, следовательно, функция S имеет минимум. Поэтому принцип Гамильтона называют также принципом наименьшего действия.

Так как задача отыскания минимума интеграла S есть задача вариационного исчисления, то принцип Гамильтона должен быть отнесен к вариационным принципам механики. Он является интегральным принципом, поскольку движение системы изучается на конечном промежутке времени.

Достоинством принципа Гамильтона является его инвариантность относительно выбора системы координат, т. е. принцип Гамильтона может быть применен к движению системы, отнесенной к любой системе координат.

Вывод принципа Гамильтона изобщего уравнения динамики

Принцип Гамильтона может быть получен из общего уравнения динамики (2.13).

Умножая все члены в этом уравнении на dt、производя интегрирование в пределах от tx до Z2 и переходя от скалярных величин к векторным, получаем:

j • £ F厂计〃％ — f 工也w厂计&/ = 0. (3.2)

Вычислим каждый из этих интегралов. Полагая, что задаваемые силы Fz имеют силовую функцию U = =U (х, у г), можем записать

F，•此=£阪・十居"，+岩皿，

и, следовательно,

（3.3）（3.3）f XFz.8rz^ = J5t/rf/.

（3.3）

（3.3）

Для нахождения второго интеграла преобразуем подынтегральное выражение. Имеем

恤w厂 计j = mi （x/^+j/^ + 马*马）.

Рассмотрим одно из слагаемых в правой части, например, первое:

色五女i= Й （加工胱）-乙五^ （汝）

Так как вариация координат производится при неизменном / （6/ = 0）, то операции дифференцирования и варьирования коммутативны, т. е.

А（5х） = 3（£х） = 8х.

Поэтому предыдущее соотношение можно переписать в следующей форме:

/П工汝尸^ （色办吃）—zn£b五.

.Написав аналогичные выражения для miy^yi и miz^zi и взяв их сумму, получим:

砌w厂计.=^ （加儿胱 + ^^^+

+ m^z^ - mi {x^xt +）06. + *j眨）.

Вводя в рассмотрение импульсы pz = mzvz и пользуясь формулой для квадрата скорости ©： = «i：十，:十 + * перепишем предыдущее выражение в виде

加 м"п=^ р,・•计》— з （号）•

Следовательно,

J £ mi w,・•计/•成=—J & Tdt + J区工 pj・计df, fi 2=1f【6 i==l

где через T обозначена кинетическая энергия системы:

Так как все кривые сравнения проходят через фиксированные точки А и В (рис. 7), соответствующие положениям системы в моменты / =匕 и / =勾， то вариации координат 圻？ в этих точках будут равны нулю и, следовательно,

/2£ = 6

4 £ р厂计j 4f = £ P •计i=0.

fi dt л/=1f =厶

Таким образом,

『e 也w厂 ^^1=~ ^Tdt(3.4)

九 i=lfi

и формула (3.2) с помощью соотношений (3.3) и (3.4) принимает вид

J： mt+ U)乩=0.

Вводя потенциальную энергию V— — U и обозначая разность между кинетической и потенциальной энергиями через £, т. е., полагая £ = Г — V, окончательно полуиаем

J^ 8(Г- У)成=『〉厶〃 =0.(3.5)

Как уже указывалось, варьирование здесь является изохронным, и, следовательно, операции интегрирования по времени и варьирования коммутативны. Таким образом,

厶G

j* tLdt = 0dt = Q

7i/1

Это есть вариационная формула принципа Гамильтона.

Приведенный вывод принципа Гамильтона имеет то достоинство, что здесь становится ясной физическая сущность функции Лагранжа А как разности между кинетической и потенциальной энергиями системы.

Вывод был сделан в предположении, что заданные силы Fj, действующие на точки системы, имеют потенциал U. Если же силы, действующие на точки системы, не имеют потенциала, то, обозначив их через Q?, можем написать

f ®Т+ £ Qi）威=0・九z=i

В таком виде принцип Гамильтона справедлив и для неконсервативных систем.

§ 4. Другая формулировка принципа Гамильтона

Исходя из физического представления функции Лагранжа £ как разности между кинетической энергией Т и потенциальной энергией V системы, принципу Гамильтона можно дать и другую формулировку.

Действие по Гамильтону равно

S = J Ldt = \〈Т 一 17）威.

6九

На основании теоремы о среднем значении имеем: S = （7-V）⑸一幻，

где Т и V — соответственно средние значения кинетической и потенциальной энергии системы на рас-, сматриваемом интервале времени （%—厶），т. е.

7 m阳г fl2

-V dt, 厶6

Следовательно, принцип Гамильтона может быть за* писан в следующей форме:

6s=6 (广一z=0.

Соответственно этому принцип Гамильтона может быть сформулирован следующим образом: действительное движение системы между точками А и В происходит таким образом, что разность между средними по времени значениями кинетической и потенциальной энергий системы имеет минимум, по сравнению со значениями, которые эта разность принимает при движении системы по кривым сравнения между теми же точками А и В в предположении, что промежуток времени (勾一力丿 остается прежним.

В качестве примера, иллюстрирующего принцип Гамильтона, рассмотрим линейный осциллятор.

Пусть материальная точка с массой т движется прямолинейно под действием восстанавливающей силы F, пропорциональной смещению q от положения устойчивого равновесия, т. е. F = — cq、где с — коэффициент пропорциональности.

Уравнение движения имеет вид

mq = — eg,или也2g = 0(尼2= ^") ♦

Это есть дифференциальное уравнение свободных ко* лебаний; его общий интеграл равен q = A sin (^ + а)-

Для простоты рассмотрим случай, когда колеблющаяся точка (осциллятор) в начальный момент / = 0 находится в положении равновесия (д = 0). Это дает

для начальной фазы а довательно,

q

В пространстве Д2 (%, нию осциллятора буде иды Asin屈(рис. 8).

5

значение, равное нулю, и, сле-

=A sin ht.

q) действительному перемещает соответствовать дуга синусо- Вычислим величину действия ：=广 Ldt

5 И. М. Беленький

65

]?при перемещении точки По дей-

♦8ствительной кривой ОМВ (длина

I*、 дуги dS кривой ОМВ при этом

I м/7\、 предполагается малой) и по

//какой-либо кривой сравнения,

\(/Nнапример, по хорде ONB. Со} Iгласно принципу Гамильтона,

' С* величина действия S по кривой,

'соответствующей действитель-

Рис. 8ному перемещению, должна

быть меньше, чем по какой- либо кривой сравнения.

Определим функцию Лагранжа £= Т— V.

Кинетическая энергия осциллятора равна Т=^=^А^^ cos2^ = ~ cos?亚. Потенциальная энергия равна

六Cq2сЛ3

U J cqdq 2? sln^^/a

Следовательно,

£ = Т— V=— cos 2 kt.

Величина действия для действительного перемещения, которую обозначим через S. будет равна

5!==] "у cos (2 既)dt = ~ sin (2%). о

Вычислим теперь величину действия 52 по кривой сравнения (прямой ONB).

Уравнение прямой ONB имеет вид q = Bt. Постоянная 5 должна быть выбрана из условия, чтобы обе кривые, действительная и кривая сравнения, в момент t = t1 проходили через одну и ту же точку. Это дает

Btt = A sin (瓦J.Btt = A sin (瓦J.(3・6)(3・6)

Btt = A sin (瓦J.

Btt = A sin (瓦J.

(3・6)

(3・6)

Так как при движении по кривой сравнения q = Bt и, стало быть, q = В. то кинетическая и потенциальная энергии равны:

7=嗒и U=^ =季伊.

Следовательно, функция Лагранжа равна

Z==7—Р=警一争 2

что с помощью условия (3.6) можно переписать в виде

0-И)-0-И)-с — m Я2 sin2 (^i) 2= тс — m Я2 sin2 (^i) 2= тpa-pa-Взяв отношение S】 к S2 H воспользовавшись

0-И)-

0-И)-

с — m Я2 sin2 (^i) 2= т

с — m Я2 sin2 (^i) 2= т

pa-

pa-

венством — = F, найдем

ctg(就 J.

…=1 一 0 (依由,…=1 一 0 (依由,Si就 1 一S2 — 1 -3/2 次Si就 1 一S2 — 1 -3/2 次Разложим теперь ctg("/J в ряд. Так какРазложим теперь ctg("/J в ряд. Так какгде через 0(尼纭；)обозначен остаток после деления, порядок малости которого есть (左4/；).

…=1 一 0 (依由,

…=1 一 0 (依由,

Si就 1 一

S2 — 1 -3/2 次

Si就 1 一

S2 — 1 -3/2 次

Разложим теперь ctg("/J в ряд. Так как

Разложим теперь ctg("/J в ряд. Так как

Таким образом, мы показали, что S'VS^ т. е.

действие S】по кривой ОМВ меньше действия 52, вычисленного по кривой сравнения ONB, что находится в полном согласии с принципом Гамильтона.

§ 5. Принцип стационарного действияМопертюи—Лагранжа

Будем рассматривать голономную систему с k степенями свободы, движущуюся в консервативном поле.

Движение этой системы можно рассматривать как движение изображающей точки в 々-мерном пространстве конфигураций Ah(q》(см. § 1, гл. III).

Пусть двум конфигурациям системы в пространстве А片(д» соответствуют точки А (夕(?) и В (q(?). Переход системы из положения А в положение В для действительного движения будет происходить по прямому

пути, которому в пространстве конфигураций соответ- 丿 ствует некоторая кривая А МВ (/(кривая / на рис. 9). Действи

тельное движение по прямому ' пути АМВ сравнивается с совокупностью изоэнергетиче-

2 / Iских варьированных движе-

//ний, совместимых с наложен//ными связями, при которых

^一 Jсистема из положения А пере-

4(д步ходит в положение 3 по

'окольному пути ANB (кри-

Рнс. 9вая 2 на рис. 9).

Интеграл

Г= F 2 T出，(3.7)

где Т—Т (办，q〉— кинетическая энергия системы, называется действием по Лагранжу.

Действие W является некоторым функционалом поскольку его значение зависит от выбора пути, по которому происходит перемещение системы из положения А в положение 3.

Согласно принципу стационарного действия Мопер- тюи—Лагранжа, действительное движение системы при перемещении ее из положения А 啰))в положение 5 鱒))происходит в пространстве конфигураций по такой кривой А МВ, для которой действие W по Лагранжу имеет стационарное значение по сравнению с теми значениями, которые это действие принимает для варьированных изоэнергетических движений системы, переводящих ее из положения А в положение 5 по кривым сравнения ANB (окольные пути), близким к кривой А МВ (прямой путь).

В принципе стационарного действия Мопертюи — Лагранжа варьированию подлежат как обобщенные координаты «力 так и время t (в отличие от принципа Гамильтона, где варьированию подлежат лишь координаты 似 так как при одной и той же величине энергии 友 время, в течение которого система перейдет из положения А в положение 5, будет зависеть от кривой сравнения ANB、Поэтому для стационарности интеграла (3.7) необходимо, чтобы его полная вариация была равна нулю:

(В)

g*r = 8* f 27H£=0,(3.8)

(Л)

где 8* — означает полную вариацию.

Для консервативных систем можно весьма просто установить связь между функцией действия S по Гамильтону

S = J Ldt

(Л)

и функцией действия W (3.7) по Лагранжу. Замечая, что L — T—V и 七=丁+丿,после исключения функции К получим:

(3

S=J (27—E)d/=J 2Tdt — Et.

Интеграл, стоящий в правой части, есть функция действия W по Лагранжу. Следовательно,

S=W-Et・(3.9)

Принцип стационарного действия Гамильтона является более общим, чем принцип стационарного действия Мопертюи — Лагранжа, поскольку последний сформулирован лишь для динамических систем, для которых справедлив закон сохранения полной механической энергии E—T-^V. В принципе же Гамильтона никаких условий относительно изменения полной механической энергии £ не ставится.

Принцип стационарного действия в формеЯкоби

Принцип стационарного действия в форме Якоби можно получить, если из принципа стационарного действия Мопертюи — Лагранжа при помощи интеграла энергии исключить время /.

Имеем

7(%,%)=上一u(%)

Следовательно,

d』］/~"T

'2 (£— V)・

Для того чтобы теперь получить функцию действия в форме Якоби, необходимо в функции действия Лагранжа исключить время /. Проделав это, будем иметь

uii dSl，uii dSl，(В)

uii dSl，

uii dSl，

W=/ /2(Е— V)

(Л)

где интегрирование совершается по дугам траекторий точек системы при ее движении из положения ⑷ в положение (В).

Следовательно, принцип стационарного действия в форме Якоби будет иметь следующий вид:

(В)

8 J『2(七一 ％ у ^m.dS^O. (3.10)

Для одной материальной точки, движущейся по некоторой кривой, соединяющей точки (Д) и (В) с заданной величиной энергии Е、 принцип стационарного действия в форме Якоби дает

(В)

(З.Н)(З.Н)8 J М2摊(七一Q 〃S=0・

(З.Н)

(З.Н)

(А)

V2m(E- V) dSV2m(E- V) dSЭто означает, что траекторией точки будет служить та кривая, проходящая через (А) и (В), для которой интеграл

V2m(E- V) dS

V2m(E- V) dS

(3.12)

имеет стационарное значение по снавнению с теми значениями, которые он принимает для кривых сравнения, близких к траектории.

Трудности, связанные с вычислением полной вариации функции действия W по Лагранжу, теперь

отпадают, так как рассматриваемый интеграл / (3.12) содержит лишь пространственные элементы 力 и 〃S. а время / полностью исключено.

Кинетические фокусы

Остановимся подробней на принципе Гамильтона и рассмотрим один вопрос, связанный с так называемыми кинетическими фокусами системы.

Согласно принципу Гамильтона, движение системы происходит по траектории (в пространстве конфигураций), для которой действие S, вычисленное вдоль этой траектории, имеет стационарное значение, по сравнению со значениями S, вычисленными в тех же пределах по варьированным траекториям, т. е.

6S = 5 ^L dt —

Карл Густав Якоби обратил внимание на то, что рассматриваемый интеграл имеет значение минимума, но не при всяких пределах интегрирования 々 и /2» соответствующих переходу системы из одного положения в другое, а лишь в случае, когда рассматриваемые начальное и конечное положения системы достаточно близки друг к другу.

В том, что при произвольном выборе начального и конечного положения системы действие S не всегда имеет минимум, убеждает нас простой пример.

Рассмотрим движение материальной точки по поверхности сферы при отсутствии активных сил. При заданном начальном импульсе точка будет двигаться по дуге большого круга. Если рассматривать движение точки в пределах, соответствующих ее начальному положению А и конечному положению В (на концах одного и того же диаметра, рис. 10), то действие S, вычисленное для указанных пределов, не будет иметь минимального значения. Причина этого состоит в том, что между точками Л и 5 мыслимы две возможные траектории А МВ и ANB. Вопрос о том, какие пределы можно брать, чтобы не нарушить

принцип наименьшего действия Гамильтона, как уже указывалось, связан с вопросом о нахождении кинетических фокусов системы.

Под кинетическим фокусом В системы относительно точки А понимают точку пересечения двух бесконечно близких траекторий, выходящих из данной точки А. Точки Д и 5 иногда называют

сопряженными точками системы.

Рассмотрим пучок траекторий, выходящий из точки Л. Выделим из этого пучка какую-нибудь траекторию 1 и рассмотрим близкие к ней траектории 2. Здесь могут встретиться два случая:

Рис. 11Рис. 11кривые 2 этого пучка нигде не пересекаются с кривой 1 (рис. 11, 〃) Тогда все рассматриваемые кривые этого пучка будут прямыми путями для данной системы;

Рис. 11

Рис. 11

кривая 2, близкая к кривой / пересекается с ней в точке & (рис. 11, 6). Тогда предельное положение точки В2 (пусть это будет точка В) пересечения кривой 2 с кривой / при неограниченном приближении ее к кривой 7 будет являться кинетическим фокусом системы, сопряженным с точкой А. В этом случае прямым путем системы по траектории 1 будет любая дуга от точки А до кинетического фокуса В (случай, когда рассматриваемая дуга включает кинетический фокус, т. е. дуга АВ — исключается). Только в этом случае принцип наименьшего действия Гамильтона

будет справедлив. Это означает, что функция действия S, вычисленная по прямому пути, будет иметь минимум всякий раз, когда пределы интегрирования не выходят за пределы дуги АВ,

Если же действие S вычислить по дуге АС кривой /(точка С находится за кинетическим фокусом В) или по дуге АВ, то S не будет иметь минимума.

В рассмотренном выше примере с движением точки по сфере всякие две точки, лежащие на концах диаметра, будут сопряженными, т. е. точка В является кинетическим фокусом относительно точки Л (рис. 10). В этом случае действие S, вычисленное по дуге АМВ или ANB、не будет иметь минимума.

Рис. 12

Найдем теперь кинетические фокусы в случае движения точки в поле силы тяжести.

Пусть из точки А в вертикальной плоскости бросается множество материальных точек с одной и той же начальной скоростью % под разными углами а к горизонту. Полученный таким образом плоский пучок траекторий при заданной величине энергии £ (поскольку все точки имеют одинаковые начальные скорости и выходят из одного и того же начального положения) будет представлять собой однопараметрическое семейство парабол, зависящих от угла а.

Совместим начало координат с точкой А и направим ось у вертикально вверх （рис. 12）. Уравнения движения точки будут

х —①。/ с osa,у = 00 / si па — ^^".

Это ——уравнения параболы в параметрической форме. Исключив из них а, получим

0储 2 = *2+ （у + 際）2.（3.13）

Пусть х и у принимают какие-нибуть фиксированные значения хх и у】・ Тогда из уравнения （3.13） можно определить время, в течение которого точка, выйдя из А, придет в точку 8】с координатами xt и 乂・ Имеем квадратное （относительно /2） уравнение

"4 -投侬-g'J步十善（若+男）=0・（3.14）

Решая его, получаем два корня /； и /；:

4,2=義｛侬一妙1） 土 /（然一叫）2 - g2 （*+勞）｝.

При заданных значениях 占 и 乂 решение всегда можно сделать действительным, выбрав соответственным образом начальную скорость vQ. Для этого необходимо, чтобы выполнялось неравенство

%》g&i + l/若十勞）

Так как для времени / получаются два действительных значения tx и /2, то через точку 3】с координатами %] и Ji пройдут две траектории из рассматриваемого семейства парабол. Следовательно, двигаясь по одной из них, скажем, траектории /, точка достигнет пункта В» за время tv а двигаясь по другой, траектории 2, достигнет того же пункта 当 за время 看2・ Для нахождения кинетического фокуса на траектории 7 поступим следующим образом. Рассмотрим две близкие траектории / и 2, соответствующие двум близким углам бросания а. Фиксируя затем траекторию /, будем, непрерывно изменяя угол бросания, неограниченно приближать к ней траекторию 2. Положение точки В】 пересечения обеих траекторий

будет при этом непрерывно меняться, и в пределе, когда траектория 2 сольется с траекторией /, точка Вх займет на траектории / некоторое предельное положение 5 (рис. 12), которое и определит кинетический фокус. Для нахождения координат хв и ув кинетического фокуса В воспользуемся очевидным условием Л = /2- Оба корня уравнения (3.14) совпадут, если дискриминант этого уравнения будет равен нулю:

(喝一g%)2 — g2 (总+少勧=0. (3.15) Из этого уравнения и уравнения траектории 1 можно найти координаты Хв и ув кинетического фокуса В.

Если в уравнении (3.15) координаты Лв и ув рассматривать как текущие, не связывая их с какой-либо определенной траекторией, то его можно трактовать как уравнение геометрического места кинетических фокусов, сопряженных с точкой А.

Опуская индекс В, получаем из (3.15) уравнение геометрического места кинетических фокусов:

2g 2咻

Это есть уравнение огибающей рассматриваемого семейства парабол (так называемая «парабола безопасности»).

Мы рассматривали плоский пучок траекторий. Если же рассматривать пространственный пучок траекторий, то геометрическим местом кинетических фокусов, сопряженных с точкой А, будет поверхность параболоида вращения, получаемого путем вращения параболы безопасности (ЗЛ6) вокруг вертикальной оси.

Вернемся снова к рис. 12. Из точки А в точку Вг можно попасть, двигаясь по двум траекториям: по траектории / и по траектории 2. Прямым путем здесь будет путь по траектории 2, так как, двигаясь вдоль нее, мы не переходим кинетического фокуса. Если же двигаться из % в В】 по траектории /, то мы переходим через кинетический фокус (точка В). Поэтому в первом случае (при движении по кривой 2) функция действия,*? будет иметь минимум, а во втором случае (при движении по кривой 7)—не будет иметь минимума.

Глава IV

НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ПРИНЦИПАСТАЦИОНАРНОГО ДЕЙСТВИЯ

1. Задача о траекториях

В качестве одного из приложений принципа стационарного действия рассмотрим задачу о нахождении траекторий при движении точки в консервативном поле.

Для простоты рассмотрим плоскую задачу.

Пусть точка М массой m движется по плоскости ху в консервативном поле, и, следовательно, ее потенциальная энергия V есть функция положения точки: V = V(х, у).

Требуется определить уравнение траектории, которую опишет точка М при ее перемещении из положения А (х0, Уо) в наперед заданное положение В(х,у).

Если из положения А (х0» Уо) пустить плоский пучок точек одинаковой массы с различными начальными скоростями v0, то через наперед заданное положение В (х, у) пройдет лишь та точка, которая получила соответствующую начальную скорость v0. Это в конечном счете приводит к заданию начального значения полной механической энергии f0:

e0 =寸+ V(хо, Уо).

Но так как при движении точки в консервативном поле имеет место закон сохранения механической энергии, то речь, следовательно, будет идти о нахождении траектории, проходящей между двумя точками 4(*0，Уо) и В<х, у), при условии сохранения полной механической энергии: Е = Е『

Для решения рассматриваемой задачи воспользуемся принципом стационарного действия в форме Якоби (3.12). Имеем

у)

= JV 2т (Е — V (х, у) ds = min.

(•% Jo)

Заменяя в этом интеграле элемент дуги ds его значением

ds = PZ*2十勿2 = j石产dx

и отбрасывая постоянный множитель /2加，напишем условие экстремума интеграла /:

(%, у)

J 尸(％ у, yf) dx = 0,(4.1)

(%%)

где

尸(％ у У)=，七一丿3s UГТТ^ (4・2)

Таким образом, отыскание траекторий рассматриваемой задачи сводится к отысканию экстремалей вариационной задачи (4.1).

Составим дифференциальное уравнение Эйлера组ду dx \dyf/

и выпишем значения производных:

"一沙"斤"一沙"斤2 P (£ - V)'2 P (£ - V)'У 丿 E— Ubl+y丁У 丿 E— Ubl+y丁

"一沙"斤

"一沙"斤

2 P (£ - V)'

2 P (£ - V)'

У 丿 E— Ubl+y丁

У 丿 E— Ubl+y丁

2^^v Иr+72(1+y2户2^^v Иr+72(1+y2户

2^^v Иr+72(1+y2户

2^^v Иr+72(1+y2户

Подставляя найденные значения производных в уравнение Эйлера, приводя подобные члены и сокращая на неравный нулю множитель I Е—匕 получаем дифференциальное уравнение траекторий в следующей форме

变丿一叱衣' dy =2 (E— U)/7变丿一叱衣' dy =2 (E— U)/7Pl+W 一 (1 +y2)3/aPl+W 一 (1 +y2)3/a(4.3)(4.3)

变丿一叱

衣' dy =2 (E— U)/7

变丿一叱

衣' dy =2 (E— U)/7

Pl+W 一 (1 +y2)3/a

Pl+W 一 (1 +y2)3/a

(4.3)

(4.3)

Этому уравнению можно дать простую геометрическую трактовку, если заметить, что правая часть представляет собой произведение 2(£* — V) на кривизну кривой

(1+у'2)%，

а левая — производную по нормали к траектории. Действительно,

dV 屮 dV

『1 + y 2 一kd炉+可

dV dydx dsdV dydx dsdV dxdV dxdVdVdy ds — dndy ds — dn

dV dydx ds

dV dydx ds

dV dx

dV dx

dV

dV

dy ds — dn

dy ds — dn

Следовательно, дифференциальное уравнение траекторий может быть записано так:

2（上一%.々=一熏.2（上一%.々=一熏.(4・4)(4・4)

2（上一%.々=一熏.

2（上一%.々=一熏.

(4・4)

(4・4)

Это уравнение представляет, в сущности, не что иное, как одно из естественных уравнений движения в форме Эйлера. Чтобы это показать, введем в рассмотрение радиус кривизны траектории р = ； н проекцию действующей силы на нормаль

dV

Зная, что Т = Е — V==^~, и подставляя указанные величины в формулу (4.4), получаем

а это есть уравнение движения в проекции на нормаль к траектории. Вернемся теперь к уравнению (4・3)・ Сокращая обе части на множитель >1 上У% получаем дифференциальное уравнение траекторий

2 (七—吩少〃一(1 +«/2)(^ у — ^) = 0.(4.5)

Его можно привести к иному виду, если ввести функцию

①(% m e) = 1口 /2[£— 丿(*丿)].

Тогда получим

у〃 — (1 +У”)(^ ~У ^) = °-(4.6)

Так как дифференциальное уравнение траекторий (4.5) или (4.6) является уравнением второго порядка и содержит энергию Е как параметр, то общий интеграл его будет зависеть от параметра Е и двух постоянных интегрирования С\ и С2：

у=у(х, Е、Ci,。2)・

Таким образом, при движении точки в плоскости мы будем иметь 8? траекторий, а при заданной величине энергии Е будем иметь оо2 траекторий.

Определение траекторий в однородном поле силы тяжести. Однородное поле силы тяжести является консервативным и движение в нем всегда плоское. Оно происходит в вертикальной плоскости ху (ось у мы направляем вертикально вверх), содержащей вектор начальной скорости v0. При этих условиях мы можем воспользоваться полученными выше результатами.

В однородном поле силы тяжести потенциальная энергия V есть функция только высоты у:

V^mgy.

Подставляя это значение V в уравнение (4.5) и заме чая, что

dv 八 dv

被=0,友=3，

получаем дифференциальное уравнение траекторий в поле силы тяжести

2 (Е — mgy)yff + (1 +У 2)mg = о.(4.7)

Так как полученное уравнение не содержит явно переменной %, то оно легко интегрируется с помощью подстановки у' = р, приводящей его к уравнению с разделяющимися переменными. Однако еще проще уравнение (4.7) интегрируется, если его предварительно продифференцировать. Проделав это, будем иметь

2 (£ — rngy)ym — 2mgy У + 2 加引纱=0.

Производя сокращение и замечая, что

получаем дифференциальное уравнение траекторий в поле силы тяжести в виде

У1r = 0.

Отсюда после интегрирования находим

V = ах? + йх + г.(4.8)

Таким образом, искомые траектории представляют семейство парабол с вертикальной осью.

Для того чтобы из этого семейства парабол выбрать траекторию, проходящую через две точки А (х0» Уо) и B(xn у。, составляем два уравнения:

儿=a*+辰0 + С,弘=ах；+ 6%1 +с.

Для получения третьего уравнения воспользуемся уравнением траекторий в форме (4.7). Так как

у' = 2а% + 6, у" = 2а,

81816 И. М. Беленький

81

81

то после подстановки этих выражений и выражения у из (4.8) в уравнение (4,7), получим

4。[Е — mg (。*2 + 匕％ 十叫 + mg 口 + (2。％ + ft)2] = О, что после раскрытия скобок дает

4аЕ — 4acmg + mg(l 4-Z?2) = 0.

Постоянная с является несущественной и ее можно сделать равной нулю, если начало координат поместить в точку А Тогда будем иметь

хо = О, % = 0, с = 0.

Таким образом, приходим к следующему соотношению:

4。七十幽(1 +b2) = 0,

Так как。<0, то все параболы (4.8) будут обращены выпуклостью вверх.

Определение траекторий в центральном поле. Рассмотрим задачу об определении траекторий при движении точки массой т в центральном поле. Потенциальная знергия V будет функцией только расстояния г точки от некоторого неподвижного центра О, т. е. V = V(r). Начало координат возьмем в точке О.

Так как движение точки будет плоским (это непосредственно следует из закона сохранения момента количества движения точки относительно центра О), то удобно перейти к полярным координатам г, <р.

Элемент дуги в полярных координатах равен

厶= /г2 十，'2 dy,

и принцип стацюнарного действия в форме Якоби принимает вид

/ = J К 2т(Е — V) j/r2 + r，2 rfcp = min.

Напишем условие экстремума этого интеграла:

8 J k Е- V(r) I/产+ г'2 两=0・ ⑷

Для нахождения экстремалей составим уравнение Эйлера

где F —V£—V(r) • г2 + г'2.

Выпишем значения производных:

0F 一 ■^(川 + 尸2)+ 2广3一%

dr 2 m? 一 Vh产+厂万 ，

dF =尸 МЕ=Й

一dV_ й2 (产 + 尸2)+ 2 (E - V)(产厂" 一 /T’?)2(? — U)(产+u2)%.

Подставляя их в уравнение Эйлера, после упрощений получаем

一影产(严 + 产)+ 2г (七 一 V)(r2 + 2/2 一 rr〃) = 0. (4.9)

Это есть дифференциальное уравнение траекторий при движении точки в центральном поле. Величина энергии Е входит в уравнение (4.9) как параметр. Следовательно, траектории представляют семейство кривых, зависящее от параметра Е.

Общий интеграл уравнения (4.9) будет зависеть от параметра Е и постоянных интегрирования Ci и С2:

г = г(<р, Е、С1? С2).

Во многих случаях уравнению (4.9) бывает удобно придать иной вид. Применяя подстановку z = ；, получаем

dV dV dz 1 dV 2 dV

Г = — /，Г =^ •

Подставляя эти выражения в уравнение (4.9), получаем следующее дифференциальное уравнение траекторий:

窜 3” + 喲 + 2 (£ 一 ⑦(/ 十 z) = о.(4.10)

Уравнение (4.10) можно проинтегрировать. Для этого сделаем подстановку

р = z，2 + *

Дифференцируя по <р и рассматривая р как сложную функцию, находим

警父=2z'z〃 + 2zz J

что после подстановки в уравнение (4.10) дает

^p+(£-6衆=0，

или, разделяя переменные, dp_ dV / =_万二v.

Интегрируя, находим

р^ = Е-匕(4.11)

где а2 — постоянная интегрирования, которая, как легко видеть, должна быть положительна.

Возвращаясь теперь к переменной г, получаем

a^ = ±L 七-u(2)一豆2

И z

中—'° = /旷e二 U(2)一a2炉(4・ 12)

где Фо и г0 = 7——координаты точки в момент / = 4・

Таким образом, задача о нахождении траекторий при движении точки в центральном поле полностью решается в квадратурах.

Выясним физический смысл постоянной % Разность Е—V равна кинетической энергии Г:

Г=^ = ^ (» +产衿

следовательно,

e一 1/=号(；2 +产衿

Далее, вычисляем р. Имеем

/ dz dz dr dt 1 • 1z =两=石dt诉=_戸

и, следовательно,

Подставив найденные значения в формулу (4Д1), после сокращений найдем

a = ]/号阂.

Отсюда видим, что выражение г2<р, равное удвоенной секторной скорости точки, сохраняет постоянное значение. Обозначая г2<р = С, получаем

a =住，

т. е. а с точностью до постоянного множителя выражает секторную скорость точки.

В качестве примера определим траекторию при движении точки в центральном поле, если потенциальная энергия равна

Подставляя значение U(z) в формулу (4.12) и обозначая постоянную интегрирования через 屮°, получаем

/

adz

у £ —(4 +，

что после интегрирования дает

屮—屮о = ]//^^ arcsin j/^^ 爲 или

У ^^^ ^ = sin j/^t^ (? —?о)«

Переходя от z к г, получаем уравнение траектории в полярных координатах

sin}/中(中一铀).

Постоянная 屮。определится из условия прохождения траектории через заданную точку с координатами 屮1, Гр

Центральное поле с кулоновским взаимодействием. В случае кулоновского взаимодействия потенциальная энергия изменяется обратно пропорционально расстоянию г:

V=a

где А — постоянная.

Полагая в уравнении (4.10)

.г А dV Л1

V—Az.豆=4 Z = y,

получаем

А 3” 十喲 + 2 (七一及)(z〃 + z) = 0・(4.13)

Дифференцируя это уравнение и затем упрощая, находим

2(E-Az)e + d) = 0・

Сокращая на множитель 2 (Е —Az)抄 0, получаем дифференциальное уравнение траекторий в виде

"+父=0.

Отсюда после интегрирования находим

Z^Z = C,

Общий интеграл этого уравнения равен

z = B cos (屮 + а) + С,(4.14)

или, переходя от z к г,

1 = В cos (<?-[-а) + С.

Найденное выражение есть уравнение конического сечения в полярных координатах.

Таким образом, при движении точки в центральном поле с кулоновским взаимодействием траектории представляют семейство конических сечений, зависящее от одного параметра Е.

Для нахождения постоянной интегрирования С подставим в уравнение (4.13) выражение z из (4.14), а также выражения:

乂 = — В sin (<р + а) и 2〃 + z = С・

Упростив полученное выражение, будем иметь

AC2 — 2EC — AB2 = Q.

Отсюда

/严十々в?

При выборе знака перед корнем следует исходить из того, что величина С должна быть положительной. Действительно, пусть при 屮1 = 0 имеем г = гр а при 屮2 =冗 имеем г = г2. Подставив эти значения в уравнение (4.14), получим

~ = 5 cos а + С, ^ = — В cos а + С.

Отсюда находим

Постоянные 纟 и а определяются из условия прохождения траектории через две точки: Mi (rb 中)и m2(厂2, ?2).

Задача о брахистохроне

Рассмотрим связку плоских кривых, проходящих через две наперед заданные точки А (х。/。)и 3(占,向， по которым могут двигаться без трения материальные точки (рис. 13). Будем при этом предполагать, что силовое поле, в котором происходит рассматриваемое движение, является консервативным.

Время 厶 в течение которого точка М, двигаясь по кахой-нибудь кривой у =»(%), переходит из положения А(%о, Уо) в положение 3(%匕 у。, выражается интегралом:

(В)Г ds/ = J 石,⑷他 4)где ds — элемент дуги кри-

"忆。—7 вой У = у (х), а о—вели-

\чина скорости.

Если принять, что на* чальные скорости точек 任)равны нулю, то при задан

ном силовом поле время / будет зависеть исключи- I『％ тельно от вида кривой, по

которой будет двигаться р ]зточка. Другими словами,

ис,время / будет являться

функционалом, зависящим от вида функции »=У(х)・

При указанных выше условиях можно поставить следующую задачу. Из всевозможных кривых, проходящих через две фиксированные тпо^ки А н 5, выбрать такую кривую, двигаясь по которой, точка М придет из положения А 8 положение В 8 минимальное время. Это есть задача о брахистохроне.

Поскольку в задаче о брахистохроне речь идет о минимуме интеграла, она может быть решена с помощью вариационного исчисления, как это обычно и делается.

Мы покажем сейчас, что задача о брахистохроне может быть сведена к задаче о траектории в той постановке, как это изложено в § 1 настоящей главы.

Прежде всего укажем, что задача о брахистохроне эквивалентна задаче о распространении света. Действительно, согласно принципу Ферма, в случае оптически неоднородной среды свет между двумя точками Л и В распространяется так, что время при этом является минимальным, т. е.

f = J nds—min.(4.15)

⑷

Здесь n — показатель преломления, a ds — элемент дуги кривой, по которой происходит распространение света. Если в формуле (4.15) положить /г = ^, то эквивалентность обеих задач становится очевидной.

С другой стороны, если обратиться к принципу стационарного действия в форме Якоби

(В)

/= J }/2加(上-V) 〃s = mln

и принять, что полная энергия Е = 09 а потенциальная энергия равна

展一嘉,(4.16)

то интеграл I примет форму (4.15), т. е. будет равен времени прохождения света между точками А и В. Другими словами, задача о распространении света в оптически неоднородной среде эквивалентна динамической задаче о траектории точки, движущейся в консервативном поле при условии, что полная механическая энергия £* —0, а потенциальная энергия V определяется формулой (4.16), в которой вместо п следует подставить ~. Тогда

2ти2 •

Для поля силы тяжести на основании интеграла энергии имеем

加洲一加稣=2ing (у — %).

Поместим начало координат в точке А. Тогда будем иметь %о = О, уо = О. Так как начальная скорость движения точки vQ равна нулю, то

" = 2gy,

14加或14加或и, следовательно,

1

4加或

1

4加或

V(*J) =

Воспользуемся теперь дифференциальным уравнением траектории (4.5). Полагая в нем

получаем следующее дифференциальное уравнение для нахождения брахистохроны:

2力"+ (1 十y 2)= 0.

Делая подстановку уг — р и замечая, что

у'=p 需，

получаем уравнение с разделяющимися переменными:

22如 内

Отсюда после интегрирования находим первый интеграл:

1+Р2=у，(4」7)

где С — постоянная интегрирования.

Для дальнейшего интегрирования удобно ввести параметр 0, положив

dy , 0

P=/ = ctgq・

Пользуясь указанной выше подстановкой, находим из уравнения (4.17):

у = С sin2 — = -~(^1 — cos 8)・

Далее записываем

办=^ sin 6dB

dx = tg g、办=^(1 + cos8 )或・

Отсюда после интегрирования получаем

х==у ^9 + sin9 ) + &♦

При выбранной системе отсчета (х0 = 0, % = 0) постоянная интегрирования Q равна нулю, и постоянную С тогда можно определить из условия прохождения кривой через точку

3(巧宀).

Таким образом, уравнение брахистохроны в поле силы тяжести можно написать в следующем виде:

х = ^ ( 8 + sin 6 ) , У = ~^( 1 — cos в у

Это есть уравнение циклоиды в параметрической форме.

Движение системы по инерции(спонтанные движения)

Большой интерес представляют несвободные движения системы по инерции, т. е. такие движения, когда на систему не действуют внешние активные силы. Такие движения называют иногда спонтанными, в отличие от движений по инерции в собственном смысле, когда на точки системы не действуют ни активные, ни пассивные силы.

Объяснение тому, что движение при отсутствии внешних активных сил называют движением по инерции, следует искать в том, что при несвободном движении точки по гладкой поверхности она движется по геодезической линии поверхности с постоянной по величине скоростью, как и в случае свободного движения точки по инерции.

Пусть система, на которую не действуют активные силы, подчинена голономным идеальным и стационарным связям. Для такой системы потенциальная энергия V сохраняет постоянное значение, и так как в рассматриваемом случае имеет место закон сохранения механической энергии Ё. то, согласно принципу стационарного действия в форме Якоби, интеграл

/=J J，码岗

будет иметь стационарное значение и

Ъ1 = Ъ ^^ 2= 0.(4.18)

Выразим элемент дуги ds； по формуле

〃s； =+ dy] +dz；・

В случае голономных систем, подчиненных стационарным связям, декартовы координаты х” у” zt суть функции только обобщенных координат 分()=1,2, ..., й) (система имеет k степеней свободы):

xt = Х1(9/), М =% (”，Zi = zi (%) Q = 1, 2,n),

где n — число точек системы. Следовательно,

鳴 dqm dqp.鳴 dqm dqp.

鳴 dqm dqp.

鳴 dqm dqp.

Здесь。光「— функция, зависящая от обобщенных координат 幻(/=1, 2,.・・ /).

Подставляя найденное значение dsf в формулу (4.18) и вводя для сокращения обозначение

где Ьт、р есть функция только обобщенных координат 幻(/= i, 2,・・・,尼),получаем следующее выражение для принципа стационарного действия в форме Якоби:

2 bm、р dqm dqp =0.

Полученному выражению можно дать простую геометрическую интерпретацию, если рассмотреть ^-мер- ное (по числу степеней свободы) пространство 4论， положение точки в котором определяется заданием 0 чисел: «], ^2, ... qk. В таком пространстве каждому положению системы будет соответствовать изображающая точка 7И(^ь 夕2,0》,которая при движении

системы опишет некоторую кривую.

Если элемент дуги Zs в пространстве Ak определить с помощью соотношения k

ds? = £ Ьщ、р dqm dqp

(этим определяется метрика пространства 4尼),то принцип стационарного действия в форме Якоби можно записать в следующем виде:

В]曲=0,(4.19)

(А) а это есть уравнение геодезической линии, проходящей через (Д) и (В) в пространстве ДЛ.

Следовательно, принцип стационарного действия для голономных систем, подчиненных стационарным связям и движущимся по инерции, может быть сформулирован следующим образом: голоночная система со стационарными связями движется по инерции так, что изображающая эту систему точка М 6 пространстве Ak движется по геодезической линии этого пространства.

К задаче о геодезической линии можно также

придти и в случае движения системы в консервативном поле, если только соответствующим образом метризовать пространство конфигураций Ak. Для этого в качестве линейного элемента Ks* следует принять

величину:

曲*2 = Ст,р dqm dq「.曲*2 = Ст,р dqm dq「.(4.20)(4.20)

曲*2 = Ст,р dqm dq「.

曲*2 = Ст,р dqm dq「.

(4.20)

(4.20)

л（七一以）£也•喘.

В этом случае принцип стационарного действия в форме Якоби приводит к условию:

(В)

В J ds* = 0,(4.21)

а это есть уравнение геодезической линии в пространстве Римана, метрика которого определяется линейным элементом действия (4.20).

Движение точки по инерции

Рассмотрим теперь движение по инерции одной материальной точки массой т.

В этом случае из принципа стационарного действия в форме Якоби (3.11 имеем

8 I ds = 0,

т. е. точка будет двигаться по кратчайшему расстоянию между точками А и В. Если точка свободна, то она будет двигаться по прямой линии. Если же она не свободна и вынуждена двигаться по какой-либо поверхности, то она будет двигаться по геодезической линии.

Рассмотрим теперь с помощью принципа Гамильтона движение точки по инерции. Имеем

山近="(7- V)dt.

Так как потенциальная энергия V сохраняет постоянное значение, а кинетическая энергия равна Т = ^шч^. то принцип Гамильтона приводит к условию

или к условию

В(^2) = О,

т. е. скорость точки должна быть минимальной.

Полученный результат показывает, что из всех кинематически возможных движений по инерции действительное движение точки будет таким, при котором ее скорость и будет минимальной. Напомним, что в принципе Гамильтона время не варьируется, и при переходе точки из положения А в положение В оно остается одним и тем же. Следовательно, путь s = vt также будет минимальным, т. е. точка будет двигаться по геодезической линии.

Рассмотрим теперь эту же задачу, исходя из принципа стационарного действия в форме Лагранжа:

8* 2 Т威=0.⑷

Так как в принципе стационарного действия в форме Лагранжа сравниваются изоэнергетические движения, то кинетическая энергия Г = £—V будет постоянна

(поскольку постоянны Е и V) и, следовательно, скорость точки и будет оставаться неизменной. Другими словами, сравниваются движения, при которых скорость точки остается постоянной, а время / ——переменным. Принцип стационарного действия в форме Лагранжа в этом случае приводит к условию

8* j df = 5*«) = O.

Следовательно, время /, в течение которого точка, двигаясь с постоянной скоростью о, переходит из положения А в положение В, должно быть минимальным.

Путь s = pt также будет минимальным, а это означает, что точка будет двигаться по геодезической линии.

Задача о геодезических линиях

Геометрическая задача о геодезических линиях на поверхности, т. е. задача о кратчайшем расстоянии между двумя точками А и В, лежащими на поверхности, эквивалентна механической задаче о траектории точки, движущейся по инерции по заданной поверхности и проходящей через две заданные точки А и В. Этот результат непосредственно следует из принципа стационарного действия в форме Якоби:

8 I ds = 0.

И)

Рассмотрим движение по инерции точки, находящейся на поверхности Ф (х, у, z) = 0.

Положение точки на поверхности может быть задано двумя обобщенными координатами q\ и ^好 Следовательно, декартовы координаты точки будут функциями q\и 禽：

* =中(女，倣)，少=少(力，%)，z = x(%, %).(4.21)

Элемент дуги 曲 равен

或2 = Ed放 + 2Fdq、〃％ + GdqW.

Это есть первая дифференциальная форма Гаусса. Здесь

(打+(君

尸(外,依)=匹也+立虫+匹0'力dqi dq2 1 dqidq2 * dq\。效

G。”力=偿y+韻户匿》

Рассматривая % и q2 как функции параметра /, получаем

曲=mё訛+ 2尸a］扇+*麥dt.

Определение траектории в случае движения точки по инерции сводится к нахождению геодезической линии на поверхности Ф (х, у, г) = 0. Следовательно, интеграл

/=J /尸4；+2尸Di52 + G赤出

должен иметь стационарное значение, а потому первая вариация его должна равняться нулю:

(В)

6/片е彳；+2641 ,2 + G彳df = O.

(Л)

Так как под знаком интеграла стоит функция двух переменных q\ и д2：

Л 81，蚤，方) = /工"2石灰a2十g禍，

то для отыскания экстремали нужно составить два уравнения Эйлера:

Е 一0(啤、=0 и也一工(畛)=0. d,i dt \ bqj dq2 df \ dq2 /

Проинтегрировав эту совместную систему уравнений, найдем обобщенные координаты q、и % как функции параметра Л

gi = %(/) И % = %(')・

97977 И. М. Беленький

97

97

Если теперь найденные значения q* и ^2 подставить^ в уравнения траектории, написанные в параметрической форме, то получим

% =屮（«1 ⑺，仇 «））=屮（%），y=屮（力 «），公 "））=7"），

N = X （«1 （力 ％ （/）） = % （/）•

Эти уравнения являются уравнениями в параметрической форме геодезической линии на поверхности ①（％ У, %） = 0.

В качестве примера рассмотрим движение по инерции точки, находящейся на боковой поверхности цилиндра радиусом 广.

Введем цилиндрические координаты 广，ср, г и в качестве обобщенных координат % и % примем 屮 н %.

Элемент дуги в полярных координатах имеет еле- дующее выражение:

ds = / d炉+产西2 = " X +广2 d 2成.

Определение траектории сводится к нахождению экстремали следующей вариационной задачи:

6 J V^z2 + г2 ^2 df = О.⑷

Так как подынтегральное выражение не содержит обобщенных координат г и ср, то из уравнения Эйлера получаем

i八产中八

m炉+广2中222 +/2中2

Отсюда, путем деления первого уравнения на второе, находим

常=С и z = C^-[-z^

Следовательно, уравнения траектории, а значит и геодезической линии, будут иметь вид

x = rcosy, y = rsin<p, z = C^-\- г0, а это ——уравнения винтовой линии.

Если постоянная С\ =0, то z = 0 и z = Zo, т. е. точка будет совершать круговое движение в плоскости, параллельной основанию. .

Если же постоянная С2 = 0, то 屮=0 и 屮=屮（）・ В этом случае точка будет совершать прямолинейное движение вдоль образующей цилиндра. Какое из указанных трех движений будет происходить, зависит от начальных условий.

В качестве следующего примера рассмотрим движение точки по поверхности вращения.

Пусть уравнение поверхности вращения, по которой движется точка по инерции, есть 之==屮（г）, где 广2 = *2 +照

В цилиндрических координатах 广，屮，z элемент дуги равен

d产十产d（p2十d?2, или, так как dz = ^f （г） dr,

ds =（1十屮‘2）+产中‘2 一也

Задача о траектории точки сводится к нахождению экстремали следующей вариационной задачи:

8 J / 1十y2+产中，2 d广=0. （Л）

Так как подынтегральная функция

尸1 +中"十广2.2

dF =7V0中沙1+屮'2 +户中'2dF =7V0中沙1+屮'2 +户中'2не содержит явно функции 屮（广），то из уравнения Эйлера

dF =7V

0中沙1+屮'2 +户中'2

dF =7V

0中沙1+屮'2 +户中'2

будем иметь

Отсюда находим

.2产（产—С2）иС2（1+у2）.

Извлекая корень, разделяя переменные и интегрируя, получаем

Это есть уравнение траектории. Оно определяет геодезическую линию на рассматриваемой поверхности вращения ? =中（广）.

Постоянные г0 и <p0 определяют начальное положение точки, а С определяется начальными условиями движения.

Глава V

УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ

Уравнения Лагранжа второго рода

Уравнения движения в обобщенных координатах, известные как уравнения Лагранжа второго рода、 можно получить из общего уравнения динамики или из принципа стационарного действия Гамильтона.

Мы выведем их из принципа Гамильтона.

Этот принцип, как известно, выражает условие стационарности интеграла, взятого от функции Лагранжа £ = Т — К т. е.

»S= » \Ldt = 0.

Так как варьирование здесь является изохронным (/ принимается постоянным), то операции интегрирования и варьирования коммутативны и, следовательно,

S5 = ^Ldt = 0-(5.1)

Вариация функции Лагранжа £ = £(厶 夕户 勿) при постоянном / (В/ = 0) равна

Пользуясь тем, что при изохронном варьировании операции дифференцирования и варьирования также коммутативны, т. е.

埔=噸 qj = ~^Mj

можем написать

Подставляя вариацию »£ в формулу (5.1) и разбивая интеграл на два, получаем

8s = [ Е卷吻山+ [ Е糸力山=0.

Взяв второй интеграл по частям и приняв во внимание, что вариации обобщенных координат 占夕/(%) на концах интервала интегрирования равны нулю, т. е.

Таким образом, будем иметь

Mjdt = 0,

или

df

Отсюда в силу независимости вариаций обобщенных координат 6д, получаем систему k дифференциальных уравнений:

专隽）一奇=。■（5・2）

Это и есть уравнения Лагранжа второго рода.

Число уравнений Лагранжа соответствует числу независимых обобщенных координат, определяющих конфигурацию системы, что в случае голономных систем соответствует числу независимых возможных переме- щений, или, что то же, числу степеней свободы.

Уравнения Лагранжа второго рода можно записать в иной форме, если вспомнить физический смысл функции Лагранжа, как разности между кинетической энергией Т и потенциальной энергией V. Имеем

£ （厶办办） =「（/，分，夕；）一丿亿последовательно,

电・ dq. J dq. dq. dqj и уравнения Лагранжа принимают вид

£（^T=Q，（53）

где

Q/=-^ 0=12…鹏）

есть обобщенная сила （см. формулы 2.5 и 2.7）.

Уравнения Лагранжа представляют совокупную систему k обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с независимыми функциями qx （/）, 夕2«）, ..., %«）• Общее решение такой системы уравнений будет зависеть от 2々 произвольных постоянных

Следовательно, интегралы уравнений （5.2） будут иметь следующий вид:

% = % （/, Ср С*2, • •.»。2月）（丿 1,2,...,左）.（5.4） Для нахождения произвольных постоянных необходимо знать состояние системы в какой-либо момент времени / = /0. Это означает, что для момента t = to должны быть заданы значения обобщенных координат 夕丿（'。）=夕丿0 и обобщенных скоростей д, （%（）） = %о・ Следовательно, должны быть заданы 2々 уравнений

%0 =分（/0，&,e2, • • •，e2就

qjQ= q&Ь с、、C2, ...,。2々）・

Из этих уравнений можно определить постоянные °1,。2，• • •，С”，

& = &•（£, %о, %。）（2 = 1,2,2力）.

Подставляя теперь найденные значения С； в систему уравнений （5.4）, получаем обобщенные координаты 办 в виде функций от времени / и начальных условий. Движение системы тем самым будет определено.

Достоинство уравнений Лагранжа второго рода состоит в том, что они не зависят от выбора системы координат и могут быть написаны для любой системы криволинейных координат.

В качестве примера получим с помощью уравнений Лагранжа уравнения движения материальной точки в полярных, цилиндрических и сферических координатах.

Уравнения движения точки в полярных координатах. Составим уравнения Лагранжа второго рода для плоского движения точки в полярных координатах. Принимая в качестве обобщенных координат q1 и q2 полярные координаты г и ср, напишем кинетическую энергию точки:

7=哆=界/Mg）.

Пусть потенциальная энергия точки есть V= V（r,勺）・ Тогда функция Лагранжа будет равна

£=子（:2 +产户）—y乙平）.

Составляем уравнения Лагранжа

Вычисляя производные

dL • d£ % dV

--=加匚 =

drdr 丁 dr，

дУdcp，дУdcp，

дУ

dcp，

дУ

dcp，

и подставляя их в уравнения, получаем

“& dV

тг —=——,

加兴夕)=—--.

Выражения (5.5) есть уравнения движения точки в полярных координатах.

Уравнения движения точки в цилиндрических координатах. В качестве обобщенных координат qv ?2, 9з возьмем цилиндрические координаты г,屮,г (рис. 14). Декартовы координаты %, у, z связаны с цилиндрическими координатами г,屮,z следующими соотношениями:

Рис. 14Рис. 15

Отсюда находим

x = rcos(p — rsin屮屮， у=rsin中 + 厂cos 屮％ z =z.

Определим квадрат скорости

@2 = %2 + ,2 + 之2

и напишем выражение для кинетической энергии в цилиндрических координатах:

7=^_(讨+产诞+次).

Следовательно, функция Лагранжа будет равна

I == у (г2 + 阕2 + *2 ) — у/亿(?, z),

где V—V(г, <р, z) — потенциальная энергия точки.

dL dL

Определив производные ^7?н 而，получим уравнения Лагранжа в следующем виде:

“dv 1

宀 + 2wrr(?=—西，(5.5a)

dV

Полученные уравнения представляют собой уравнения движения точки в цилиндрических координатах.

Уравнения движения точки в сферических координатах. Сферические координаты Р，中,3 (рис. 15) связаны с декартовыми координатами соотношениями:

х = р sin 8 cos 中， у = Р sin 8 sin ср, z = P cos 8.

Найдем квадрат скорости точки в сферических координата х:

г/2 =启 +，2 + ±2 = .2 + р2s2 十 р2 sjn2 而工

Если через V—V（^t 屮,9） обозначить потенциальную энергию точки, то функция Лагранжа будет равна

£ =号（彼 + р2 §2 + P2sin2 9衿 一 у （р,弘 8）.

сdL dL

Определяя производные и — и подставляя их в уравнения

М咚—匹=0 （ I 2, 3）,dt d%. dq.'7

где ^i = p, 夕2 =屮 и ^3 = 8, получаем уравнения движения точки в сферических координатах

тр — т^2 —加psiM 3 屮2 =— 謂,

/ （加p2sm2 з Q）= _ 贵，，（5.56）

糸（加p2j）—加Sin3 COS 9p2《2 =—瑞.!

Рассмотрим теперь движение точки в системе координат к】ji 2“ вращающейся с постоянной угловой скоростью о）относительно инерциальной системы координат xyz. Ось вращения пусть совпадает с осью 々・

Выбрав оси координат так, как показано на рис. 16, и перейдя к цилиндрическим координатам, напишем кинетическую энергию точки в обеих системах координат. Для системы xyz будем иметь:

7=号（i2+叫2 + £2）,

Рис. 16

а для системы х^^:

T^^-^+r^ + z^

Так как формулы перехода от одной системы координат к другой имеют вид:

ri = rt zt=z, ?!==? — з/,

то

子庐+产(g一吟+抖

Следовательно,

Т = Тг + шг^^ —у т^.(5.6)

Уравнения Лагранжа запишем в форме (5.3).

Для инерциальной системы координат xyz имеем:

Подставляя в эти уравнения Т из (5.6) и пользуясь формулами перехода от одной системы координат к другой, получаем уравнения движения точки во вращающейся системе координат %】у^ 2,

дт\dt \ d〉J d「i

Эти уравнения показывают, что движение точки во вращающейся системе координат xtViZ】 происходит так, как оно происходило бы во невращающейся

системе, если бы к обобщенным силам Q^ и Q勺 были добавлены некоторые дополнительные силы.

Рассмотрим несколько задач.

Задача L Сплошной шероховатый цилиндр массой m и радиусом г катится без скольжения по внутренней поверхности тонкостенного цилиндра массой М и радиусом /?, который может вращаться вокруг своей горизонтальной оси （рис. 17）. Моменты инерции цилиндров относительно их осей соответственно равны J2 = -^- тг2 и J1=MR2. Составить уравнение движе

ния малого цилиндра.

Система имеет две степени свободы, так как ее положение определяется двумя углами: ср и 0, где 9 ——угол поворота малого цилиндра. Обозначим через ⑴i и 吗 угловые скорости соответственно большого и малого цилиндров и напишем потенциальную и кинетическую энергии системы:

丿=—mg （R —广）cos.

7=4 3+号（R—Ж厶事

Функция Лагранжа будет равна

£ = 厶 ? + 厶学 + 号（R —广沟2 + mg （R —广）cos.

Рассмотрим скорость точки D касания обоих цилиндров. Вследствие отсутствия скольжения между цилиндрами будем иметь

pd = R3i = г①2——（R —广）中.

Так как угловая скорость а）2 = 9, то rа R 一广.

Подставляя в функцию Лагранжа найденное значение “I и заменяя ⑴2 на 6, получаем

£ =竺拦L低一гу у +也产产心一

— М(Д~ r)rcp6 + mg (R — r) cos 屮.

Для составления уравнений Лагранжа вычисляем производные:

叱=(加十加)便一г涧一附(r一广)儿

|^ = -mg(R-r) sin r

*=迦/齒一m便—广)屯吐=0

Уравнение Лагранжа, составленное для координаты 6, дает сразу первый интеграл:

припри(5・7)(5・7)

при

при

(5・7)

(5・7)

следовательно,

^^ 阂 一 м ^^^ = с^

Определяя отсюда 6 и подставляя в выражение для производной 叱，получаем:

加

k = -一一1— /п (R —尸)2 屮

西 2M + 7n ' 丿丫

(аддитивная постоянная, как несущественная, этом отброшена).

Таким образом, уравнение Лагранжа

一些=0

dt \ д^ / д^

принимает вид:

Q + 炉 $т 屮=0,

где

一 2m +加g“ ~ ЗМ+т R-r '

Сравнивая полученное уравнение (5.7) с уравнением колебаний математического маятника

屮 + 早 sin<p = O,

видим, что движение малого цилиндра подобно колебанию математического маятника длиной Z:

Точное решение уравнения (5.7) выражается в эллиптических функциях.

Если масса М большого цилиндра во много раз больше массы т малого цилиндра, т・ е.石《1, то

/ Q 等(R _ r).

Рис. 18Рис. 18Задача 2. Определить период малых колебаний маятника, состоящего из шарика массой 加,укрепленного на конце невесомого стержня АВ длиной /. Точка А подвеса стержня находится в центре однородного диска массой М, который может катиться без скольжения по горизонтальному рельсу (рис. 18). Движе-

Рис. 18

Рис. 18

плоскости,так как ееплоскости,так как еение маятника происходит в вертикальной Система имеет две степени свободы,

плоскости,так как ее

плоскости,так как ее

положение определяется двумя обобщенными координатами: абсциссой Е центра диска А и углом 屮 отклонения маятника от вертикали. Напишем координаты шарика, который будем считать материальной точкой:

х = Е + Zsin<p,

j = /cos.

Дифференцируя, находим

% = £+ Zcoscpcp, # = — /sincpcp.

Кинетическая энергия шарика

* =号（启 + /） = ?（图 + 陶2 + 2痂cosp）,

а кинетическая энергия диска

.MR?

где J = —2момент инерции диска относительно его центра А, <^ — ~1 — мгновенная угловая скорость диска.

Таким образом, кинетическая энергия системы равна

Т=八+厶=号（白+ 呻 + 2廡cos ?） + 4-底2.

Так как потенциальная энергия системы равна V= — zng/cos 屮，

то функция Лагранжа будет иметь следующий вид:

£ = 7-丿=啰（/+/2中2+ 2店"os中）+

+ 不 MF + zng/cos.

Составляем уравнения Лагранжа, для чего вычисляем производные:

—г =т （б j + Zcosc? 9，

=—加/ sin ср G《+g）,

=（加+今#）ё+=（加+今#）ё+ml cos*,ml cos*,

=（加+今#）ё+

=（加+今#）ё+

ml cos*,

ml cos*,

=0.

Из уравнения Лагранжа, составленного для координаты Е,

=0,=0,

=0,

=0,

сразу находим первый интеграл уравнений движения:

Е + zn/cos屮 ср = С.Е + zn/cos屮 ср = С.

Е + zn/cos屮 ср = С.

Е + zn/cos屮 ср = С.

Если в начальный момент система находилась в покое, а маятник был отклонен от вертикали на угол 屮°, то £о = О и ф0 = 0. Отсюда получаем, что С = 0 и, следовательно,

(5.8)(5.8)Уравнение Лагранжа, составленноеУравнение Лагранжа, составленноедля координа-для координа-ты中,ты中,

(5.8)

(5.8)

Уравнение Лагранжа, составленное

Уравнение Лагранжа, составленное

для координа-

для координа-

ты中,

ты中,

после подстановки в него вычисленных выше пронз? водных, принимает вид'

屮 + 早 sin 屮 + -j- coscp; = 0.(5.9)

При малых колебаниях sin 屮 弋 屮，cos ср ^ 1, и уравнения (5.8), (5.9) упрощаются:

(加+^ my + 加Q = 0,(5.10)

屮 +受屮Т—；W = 0・(5.11)

Дифференцируя уравнение (5.10) и подставляя найденное значение Е в уравнение (5.11), получаем дифференциальное уравнение малых колебаний маятника:

Период малых колебаний маятника будет равен

У ЗЛ1 + 2/П g

Задача 3 (задача Ампера). Определить относительное движение шарика М массой т, помещенного в прямую трубку ОД, которая вращается с постоянной угловой скоростью з вокруг вертикальной оси CD、составляя с ней неизменный угол а (рис. 19). Начальная скорость шарика равна нулю, а начальное расстояние его от точки О равно р0. Трением шарика о стенки трубки пренебречь.

Выберем две системы координат: неподвижную систему xyz и подвижную систему 占弘马，жестко связав последнюю с трубкой ОД и совместив ось zx с неподвижной осью %.

Вводя цилиндрические координаты г, % г, напишем функцию Лагранжа, Так как движение происходит в поле силы тяжести, то потенциальная энергия равна V^mgz и, следовательно,

£ = £ (〉2 + Г2Ш2 + &2)— 7ng&

Обозначая расстояние ОМ через р, получаем

г == psina,z = pcosa

и

г = psina,2 Hpeos а.

Подставляя найденные значения г и z в функцию Лагранжа, находим

£ ■«居(/ + u)2p2sin2a) — zngpeosa.

Отсюда

而=znpNsin2a —加gcosa.

Составляя уравнение Лагранжа

d fdL 、 dL с (-7- dt \ dp dp

после упрощений получаем следующее дифференциальное уравнение:

р —睜=—gcosa, где

л2 =*1П2a.

Общий интеграл этого уравнения имеет вид

где Сь С2 — постоянные, подлежащие определению.

Так как в начальный момент р = р0 и pe^O, то

f (PL

Подставляя найденное значение для Cj и С2 в выражение для р и вводя гиперболическую функцию

ch (〃t) = -у (ent + L)，

напишем общий интеграл в форме

р = ( 丁手)ChW) +『

Это и есть закон относительного движения шарика М вдоль трубки ОД.

Исследуем полученную формулу.

Если начальное расстояние р()=・区署上，то величина р сохраняет постоянное значение, т. е. шарик М находится в относительном покое:

Если ро〉弯萨^ то расстояние ОМ будет возрастающей функцией времени /, т. е. шарик будет двигаться в трубке, удаляясь от точки О.

Если р0 < 尊二 то

P = ^-(^-Po)chW),

т. е. р будет убывающей функцией времени /, и, следовательно, шарик М будет двигаться вдоль трубки, приближаясь к точке О.

Инвариантность уравнений Лагранжа

Рассмотрим некоторые преобразования, относи тельно которых уравнения Лагранжа инвариантны. Прежде всего заметим, что наряду с функцией Лагранжа £ можно указать бесчисленное множество других функций £i, получающихся из £, которые также будут удовлетворять уравнениям Лагранжа. Следовательно, эти функции Lx также можно рассматривать как функции Лагранжа.

Рассмотрим, например, две функции L и 厶=£+①(/), отличающиеся друг от друга на произвольную аддитивную функцию, зависящую только от времени t (в частности, Ф может быть постоянной величиной). Такие две функции £ и 厶，очевидно, будут удовлетворять одним и тем же уравнениям Лагранжа (5.2), и, следовательно, каждая из них может быть взята в качестве функции Лагранжа для одной и той же системы.

Далее, если рассмотреть две функции L и 厶=4厶 где Л — отличная от нуля произвольная постоянная,

то такие две функции также будут удовлетворять одним и тем же уравнениям Лагранжа （5.2）, что непосредственно следует из однородности этих уравнений относительно функции 厶

Покажем теперь, что, если к функции Лагранжа £ прибавить полную производную от некоторой функции F® £）, зависящей от обобщенных координат，/ и времени Л то полученная таким образом функция £]=厶 + ^尸（夕户 /） также будет удовлетворять уравнениям Лагранжа.

Обратимся сперва к принципу Гамильтона и рассмотрим действие от функций £ и £〔・ Имеем

S =弋 Ldt и Si =『£] d% = S 十『^ 尸（分,f） df.

Следовательно,

6Sf+U* 尸（分,/）Л.

Нетрудно убедиться, что второе слагаемое в правой части равно нулю. Действительно, так как варьирование является изохронным （т. е. 8/ = 0）, то операции варьирования и интегрирования,равно как и варьирования и дифференцирования, коммутативны, и, следовательно

寸^尸（分，/） dt=J^F{qp /）山=

=讲（9"）

flfl /=1 J f«=f[

поскольку вариации обобщенных координат 汩 на концах интервала равны нулю. Таким образом, если 6s = 0, то и 6s] = 0.

Обратимся теперь к уравнениям Лагранжа и покажем, что всякая функция вида

好⑷,/）=等+二d严①（/,分,力）

тождественно удовлетворяет уравнениям Лагранжа. Имеем

d①_ d2尸 I $ 淵尸•

弧一d qpt十2瓯西产，

Далее находим, что d① dF

ИA =.工 -1- у 变二；

成 6。丿"dq^ 十 § dq.dql 分，

а потому

Таким образом, функция £1 =厶 + 言尸（分，/）, также как и L, будет удовлетворять уравнениям Лагранжа. Следовательно, при составлении уравнений Лагранжа всякое слагаемое вида ^ 尸（夕力 %）， входящее в выражение для функции Лагранжа, может быть опущено.

Перейдем теперь к рассмотрению других преобразований, при которых форма уравнений Лагранжа сохраняется.

Точечные преобразования

Пусть конфигурация голономной системы в каждый момент времени / определяется k обобщенными координатами ?；（/）（/= 1,2, ・・・，初 Будем рассматривать движение механической системы как движение изображающей точки М с координатами 夕丿 в 々-мерном пространстве конфигураций Ag〉. Введем новые координаты Qj（/）, которые являются некоторыми функциями старых координат 办（/）, т. е.

Qj（t）= fj（qs 夕2,…，窕） （5.12） при условии, что функциональный определитель рассматриваемого преобразования отличен от нуля, т. е.

д d （f,方，…,％） / °d（9i, %,…,欤） '

что, как известно из анализа, позволяет выразить qj через Q# а именно:

q丁 =①j (Qi、Qa，…,Q0・ (5.13)

Отсюда ясно, что величины Qj также могут быть приняты в качестве обобщенных координат для рассматриваемой системы.

При этом движение системы можно рассматривать как движение изображающей точки ^ с координатами Q/ (/) в 々-мерном пространстве конфигураций ”(Q) а само преобразование (5.12)— как отображение точек пространства 4(%) на точки пространства 舔(Q》, вследствие чего эти преобразования и называют то・ вечными.

При точечных преобразованиях обобщенные скорости qj выражаются линейным образом через обобщенные скорости Qj. Чтобы доказать это, достаточно продифференцировать (5.13). Имеем

где

% = =吟 9轡二筑 GM)

есть функция только обобщенных координат Qi, Q2, ...,Q论.Аналогичным образом можно показать, что и обобщенные скорости Q, выражаются линейным образом через обобщенные скорости 办. Для этого достаточно продифференцировать (5.12). Покажем, что точечное преобразование (5.12) с функциональным определителем Д, отличным от нуля, инвариантно относительно уравнений Лагранжа, т. е. если от обобщенных координат 分 и обобщенных скоростей 分 перейти к обобщенным координатам Qj и обобщенным скоростям Qj, то уравнения Лагранжа (5.2) перейдут в новые уравнения Лагранжа:

区茹一两=6

где А — новая функция Лагранжа, полученная в результате преобразования (5.12)

厶=(f, %, %) = £(/,①/ (Qv), d)j(Qj) = Z/亿 Q/, Qy).

Вычислим частные производные, рас

сматривая L как сложную функцию. Имеем

药西：同？，

£ —《dL @柒 J V 3L ^v

诃=々阮十金麻亏

Из формул (5.13) и (5.14), поменяв предварительно местами индексы / и у, находим

Следовательно,Следовательно,

Следовательно,

Следовательно,

dL dOq、 dtdL dOq、 dtddt/ddt/d--CL,j~- dt丿d--CL,j~- dt丿

dL d

Oq、 dt

dL d

Oq、 dt

d

dt/

d

dt/

d

--CL,j~- dt丿

d

--CL,j~- dt丿

dQj M oq、

dL —《d£ I 弋 d£ °%

Далее определяем производную

~ kk

d dL 7 d / d£ 、. V

《d£ . V dL

=2 r—2 -

Таким образом, находим邑dZ _区=V石苑一ва

Покажем, что правая часть равенства обращается в нуль. Действительно,

d d 3q、 弋严応 a

应® = %鸣'=2 dQ阳， и

就=d0仏八)一g 师 adQ八白='

и, следовательно,

d dLdL n

dt dQj吃

Таким образом, инвариантность уравнений Лагранжа цри точечных преобразованиях доказана полностью.

Следует указать, что точечные преобразования вида

Qj—fj(.Q^ %,•••, %), не являются самыми общими преобразованиями, которые допускают уравнения движения. Более общие, так называемые канонические преобразования, будут рассмотрены позже.

Преобразование подобия

Рассмотрим систему (1), состоящую из п материальных точек, массы которых равны ~, а декартовы координаты xz, у,专・ Сделав преобразование подобия:

mj -^-［丄〃Zj,/ ■— ^/，

иr(5.15)

%j = X Xp M =入乂，2j =入2j,

мы перейдем от системы (1) к подобной системе (Г), также состоящей из п точек с массами т\ и декартовыми координатами %：, у\, 2； Наибольший интерес преобразование подобия представляет для консервативных систем, для которых функция Лагранжа L всегда может быть представлена как разность между кинетической энергией Ти потенциальной энергией V.

Напишем функцию Лагранжа для системы （1）:

л 2

L = T-V=^ 導一 и®, % % I 陶， z=i

а также для преобразованной системы （Г）:

厶= 71—% = Х — U （%；,弘 г；, I /п；）・

Так как кинетическая энергия системы есть однородная функция первой Степени относительно масс /п? и второй степени относительно скоростей и尸 =}/ 石 + 6： + 马，то в результате преобразования подобия （5.15） получим

или

С другой стороны, в силу однородности всякой физической величины относительно основной системы единиц: длины, массы и времени, потенциальная энергия V для консервативных систем есть однородная функция от координат и масс （так как от времени она не зависит）. Таким образом, для всяких 入 и 卩, отличных от нуля, будет иметь место соотношение

V （X X；,人弘人2； I卩期）=人2 V（x；,弘2； I期），

где 夕 н y — показатели степени однородности функции V относительно координат & % 2, и масс 乙・

Следовательно,

丿（七，% % I乙）нu （入耳，入上，m:1 ^?==尸口卜（石，立，г； I %）,

или

У = XV %.

Таким образом, в результате преобразования подобия окончательно получаем

£=^ Г】一)、3 匕.(5.16)

Для того, чтобы движение системы (1) и движение системы (Г), полуденной в результате преобразования подобия (5.15), описывались одной и той же системой уравнений, необходимо, чтобы функции Лагранжа L — T—V и£1 = 7\ —匕 обеих систем отличались множителем. В случае, когда & и 入尸卩丫 положительны (или в более общем случае, когда они одного знака), это требование приводит к условию

т3

Отсюда следует, что параметры 卩，入 и % определяющие преобразование подобия, при котором консервативная система преобразуется в механически подобную, оказываются не независимыми между собой, а связанными следующим соотношением:

尸 “тут(5.17)

Если рассматривать преобразования подобия более общего вида, при которых параметры 卩，入 и с могут принимать отрицательные или даже мнимые значения, то может оказаться, что выражения^ и 入尸卩丫 будут иметь разные знаки (например, преобразование, при котором параметры равны:卩=1,入=1 и z — ^it где i =户一1 ).

В этом случае функции Лагранжа £ н 匕 будут отличаться множителем, если

ИЛИ

尸"-2g2 = _1.(5.18)

Как уже указывалось, движение системы (1) и движение преобразованной системы (Г) (когда функции,

Лагранжа £ н £〔 отличаются постоянным множителем) будут описываться одной и той же системой уравнений.

Для того чтобы соответственные точки с массами mi и mi описывали при этом подобные траектории, необходимо, чтобы кинематическое подобие, т. е. дифференциальные отношения:

dx,dz.

人，

dxtdyL dzi

dt ="，

выполнялись и в начальных условиях. Рассмотрим теперь несколько примеров. Пример 1. Определить отношение периодов /】и /2 малых колебаний двух грузов с массами 摊】и /п2, каждый из которых подвешен к пружине с одной и той же жесткостью с.

Функция Лагранжа в случае малых колебаний груза с массой /п, подвешенного к пружине с жесткостью с, имеет вид

£ _ /ИХ2 СХ2

где х — отклонение груза от положения статического равновесия.

В данном случае потенциальная энергия ^ —^ есть однородная функция второй степени от координаты х. Полагая поэтому y = 0, р = 2, из формулы (5.17) получаем

尸』1,(5.19)

или__

с =" а・

Отсюда следует, что отношение периодов малых колебаний грузов будет равно

Пример 2. Определить отношение периодов об* ращения двух материальных точек с массами тг и т2,

движущихся в центральном поле, создаваемом притягивающим центром.

Пусть потенциальная энергия в рассматриваемом центральном поле выражается формулой

展А%.

Здесь А и п — постоянные, характеризующие данное поле, т — масса движущейся точки и 广=丿炉十屮 R расстояние точки от притягивающего центра. В рассматриваемом случае v=l, р = —〃，н, следовательно, согласно формуле (5.17), имеем

(5・20)

Это и есть искомое отношение периодов.

Полученная формула показывает, что отношение периодов не зависит от отношения масс, а зависит лишь о*г отношения средних расстояний.

Для поля силы ньютонианского тяготения, когда центральная сила обратно пропорциональна квадрату расстояния до притягивающего центра, потенциальная энергия V имеет вид

Ui ~г *

Полагая в формуле (5.20) /г = 1, находим

Полученная формула выражает третий закон Кеплера: квадраты времен обращения планет при их движении вокруг солнца относятся как кубы средних расстояний орбит.

Пример 3. Определить отношение периодов обращения двух точек с массами Ш\ и 加纟，движущихся по одной и той же траектории, при следующих условиях:

потенциальные энергии обеих точек одинаковы,

потенциальные энергии относятся как 1:v.

Сделав преобразование подобия 加1 =卩加2,厶=屯 и к = 1 (поскольку обе точки движутся по одной и той же кривой), получим:

в случае, когда 忆=%:

отсюда

И

Т = j/ U = I/

匕 1 в случае, когда 亡=丁：

и, следовательно,

Кинетическая энергия системы

Кинетическая энергия Г системы, состоящей из п материальных точек массами т1 (/= 1,2, ..., /г), представляет собой определенно положительную квадратичную форму вида

乙(岩+£+协 z«=i

Ее можно представить как сумму трех слагаемых:

7=厶+八 + г，(5.21)

где Г,,「1，Тс — однородные функции соответственно второй, первой и нулевой степени от обобщенных скоростей 夕尸

Действительно, для голономной системы, подчиненной нестационарным связям, координаты точек

Xz, yh 2/ зависят от времени f и обобщенных координат 4」(/ = 1,2, .・.，Л), где k число степеней свободы, т. е.

七=%/ (/, q〉、yi=yi & 分)，zi^zi (/, %).

Отсюда находим проекции скоростей точек системы：

х尸粤+£х尸粤+£дх •дх ••К欠工/a为工1+ i~ 叱肃當- =•К欠工/a为工1+ i~ 叱肃當- =Оу • 寸丿'Оу • 寸丿'

х尸粤+£

х尸粤+£

дх •

дх •

•К欠工/a为工1+ i~ 叱肃當

- =

•К欠工/a为工1+ i~ 叱肃當

- =

Оу • 寸丿'

Оу • 寸丿'

Подставляя найденные значения xh у?, zi в формулу для Г, получаем следующее выражение для кинетической энергии системы:

r=j S &〃s 办十£ 么成+ С, (5.22) S, /н1S==l

где。$力 bs и С — функции времени f и обобщенных координат 处(力=1总..., А):

asj = & (厶 ％)，么=b§ (Л q)、C — C(t, q).

Обозначая

5 工(^ qsqj=T2、

工bs・「Th

C (厶《/) = G，

гу)иходим к выражению кинетической энергии в форме

В случае, когда связи, наложенные на точки сис* темы, стационарны, координаты точек системы будут функциями лишь обобщенных координат 仆：

七=七（％）， Л = Л （办）’zt — zi（7у）

дх. ду. dz.

будут однородными обобщенных скорос-будут однородными обобщенных скорос-肃=。，糸=。，靠=。，

будут однородными обобщенных скорос-

будут однородными обобщенных скорос-

Следовательно, скорости точек функциями первой степени от тей 办：

「之元"T—曉^

а кинетическая энергия 7 будет однородной функцией второй степени от обобщенных скоростей:

k

7=4 £ % 柒"（5・23）

где °s产 ％財）есть функция от обобщенных координат %.

Таким образом, в случае стационарных связей имеем

7= 「2， 71=0 и 7*0 = 0.

Теорема об изменении кинетическойэнергии системы

Для вывода теоремы об изменении кинетической энергии системы воспользуемся уравнениями Лагранжа

Умножая все члены на обобщенную скорость %• и суммируя по всем /, получаем

3/ дТ、《дТ • Д .

что можно переписать так:

%前・一2 筋分一2 近%• = * Qj" (5.24)

Пользуясь теоремой Эйлера об однородных функциях, получаем

k

Замечая далее, что Т=Т 也 %, q〉и

переписываем формулу (5.24) в виде (2「2+7i)—(*-*)=±Q№.

С помощью формулы (5.21) преобразуем ее к следующему окончательному виду:

普=一 普 +■^卜 1 + 2〃) + ^1 Q历(5.25)

В случае, когда рассматриваемая голономная система подчинена стационарным связям, кинетическая энергия Т не зависит явно от времени и является квадратичной функцией от обобщенных скоростей:

7=「2 (%，%)， и

空=0, 7]=0, Го = О. dt

Таким образом, теорема об изменении кинетической энергии (5.25) может быть представлена в виде

方=№,%.(5.26)

9 И. М. Беленький129

Умножая обе части на dt и интегрируя в пределах от 厶 до /2» соответствующих положениям системы (Д) и (В), получаем

k图丁(8)— Т(А) = 2 f Qjdqj.

I (A)

Итак, изменение кинетической энергии системы за некоторый промежуток времени равно сумме работ, совершенных обобщенными силами Q尸

Если система движется в потенциальном поле, то обобщенные силы Q, выражаются через потенциальную энергию:

и формула (5.26) принимает при этом следующий вид:

Обозначая через Е полную механическую энергию системы, получаем

备(7+6=第=0,

и, следовательно, £ = const,

т. е. полная механическая энергия системы E—T-\-V сохраняет при движении постоянное значение.

Системы, для которых имеет место закон сохранения механической энергии, называются консерва^ тивными.

К таким системам будет принадлежать всякая го- лономная система со стационарными связями, движущаяся в потенциальном поле.

Если на точки системы, кроме сил, обладающих потенциалом, действуют еще силы Q；, не обладающие потенциалом, то

В этом случае теорема об изменении кинетической энергии системы принимает вид

嘗=一嘗+ e Q瓦7=1

и, следовательно,

昇Eq；%(5.27)

Гироскопические системы

Следуя Томсону и Тэту, силы называют гироскопа- вескими, если сумма их работ на любом действительном перемещении равна нулю.

Если гироскопические силы обозначить через Q, то, согласно определению, будем иметь

Е т=о.

7=1

Разделив все члены на dt, получим

k

Е,勿=0.(5.28)

7 = 1

Отсюда следует, что гироскопические силы зависят от скоростей.

Пусть гироскопические силы Q являются линейными функциями скоростей д/

k

Т/= 2 ^jiQi0=1, 2,…，々).(5.29)

i=l

Здесь 。广 зависят от обобщенных координат qj и времени /:

阮=断(91，%,…，％, %)•

Посмотрим, каким условиям должны удовлетворять коэффициенты Ру/( чтобы выполнялось соотношение (5.28).

Подставляя значения гироскопических сил 〃 из (5.29) в формулу (5.28), получаем

为k k

±「；％=£ +断分 ％=

/ = 1Z=1 j = 1

k k

=”N偉力+。〃)%公=°・

Отсюда следует, что

阮+ % =0.

Это означает, что если матрица из коэффициентов 即 линейной формы (5.29)

II 恥 В —II 恥 В —

II 恥 В —

II 恥 В —

кососимметрическая, т. е. если

%=в〃 и9方==。，

то сумма работ сил Гj на любом действительном перемещении будет тождественно равна нулю, и, следовательно, силы「j (5.29) будут гироскопическими.

Из курса высшей алгебры известно, что кососимметрический определитель нечетного порядка тождественно равен нулю, а кососимметрический определитель четного порядка представляет квадрат целой рациональной функции его элементов и, следовательно, неотрицателен.

Если считать, что на механическую систему кроме потенциальных сил Q, = ——* действуют еще гироскопические силы ,, то, полагая Q： = Q, получаем из формулы (5.27)

и, следовательно,

Е = const.

Это означает, что если на систему кроме потенциальных сил действуют еще гироскопические силы, то закон сохранения механической энергии при этом не нарушается.

Пример. Рассмотрим движение электрона в постоянном магнитном поле.

Уравнение движения электрона в таком поле имеет вид

吟= V（vXH）,

где т — масса электрона, е — абсолютная величина его заряда, с—скорость света в вакууме, v—скорость электрона, а Н — напряженность магнитного поля. Сила Лоренца, обусловленная действием магнитного поля

Г = -у（VXH）,

будет силой гироскопической, так как в силу перпендикулярности к направлению движения она не совершает работы. Действительно, элементарная работа ВД силы Лоренца Г на бесконечно малом перемещении dr тождественно равна нулю:

M = -y（vXH）.*^0.

Если ось г направить параллельно вектору Н, то уравнения движения в проекциях на оси координат будут:

тх = — у Ну, ту = Их,爲=0.

Гироскопические силы

зависят линейным образом от скоростей, а матрица их коэффициентов будет кососимметрической:

0--Н0

с

II % ||=*ноо

ооо

Пример. Рассмотрим относительное движение точки.

Оно описывается уравнением:

加 Wr = F +“ +卜.

Здесь 加一масса точки, w^— относительное ускорение, F — сила, приложенная к точке, а 品 н JK — соответственно переносная и кориолисова силы инерции.

Кориолисова сила инерции

Jk = — 2加⑴ х vr

является гироскопической силой. Здесь vr—относительная скорость, ⑴ ——вектор переносной угловой скорости.

Действительно, работа силы JK на любом относительном бесконечно малом перемещении Nrdt тождественно равна нулю. Если через х, у z обозначить координаты точки относительно подвижной системы отсчета, через Лр G, Гз — проекции кориолисовой силы JK , а через ⑴工,⑴,,⑴工 一 проекции вектора угловой скорости то получим

g = 2 加吗 y 一 2/по)户，

G = 2/n%z - 2 加3队，

Лз = 2т^ух — 2 加⑴

и матрица из коэффициентов 。力 будет кососимметричной. Действительно, имеем

О2/п 吗—2/nw

II 羯i II =— 2mw2 02mwx

2т^у — 2mwx О

Диссипативные системы

В механических системах, в которых существует трение, происходит уменьшение энергии системы. Это явление называется рассеянием или диссипацией энергии, а сами силы сопротивления, в результате действия которых происходит эта диссипация, называются диссипативными силами,

Системы, в которых происходит диссипация энергии, называются диссипативньми системами.

Как показывает опыт, диссипативные силы F」в большинстве случаев линейным образом зависят от скоростей и могут быть представлены в виде следующей линейной формы:

k

尸,=—£(7=1,2,左)，(5,30)

где матрица из коэффициентов а〃 симметрична и, следовательно, а^ = а〃.

Диссипативные силы Fj можно определить с помощью диссипативной функции Рэлея R, которая представляет собой однородную квадратичную форму от обобщенных скоростей:

在 k

R=^2£号沦.(5.31)

/=1 i = l

Отсюда находим, что

芈・(5.32)

Применяя формулу (5.27) к диссипативным систе* мам и полагая, что 0 = F)— диссипативные силы, получаем выражение для скорости изменения энергии 七：

在k

dE 0FOR 二

"=2尸加=—

Так как функция Рэлея R есть однородная квадратичная функция обобщенных скоростей, то на основании теоремы Эйлера об однородных функциях по»- лучаем

龄= -2R. (5.33)

Из этой формулы становится ясным физический смысл функции Рэлея, а именно, скорость убывания полной энергии Е 6 диссипативных системах равна удвоенному значению диссипативной функции Рэлея.

Так как в диссипативных системах происходит убывание энергии, то 際<0 и, следовательно, /?> 0, т. е. функция Рэлея представляет собой определенно положительную квадратичную форму. В этом случае говорят, что диссипация полная.

Если же R не является определенно положительной функцией всех скоростей «；•(/= 1, 2, ..., ^) и может, следовательно, обращаться в нуль, когда не все qj равны нулю (например, может оказаться, что /? = 0, когда 91 女 0, а все остальные ?； = 0), то говорят, что диссипация частичная; в этом случае

醬2R (5.34)

Уравнения движения диссипативных систем можно получить с помощью уравнений Лагранжа. Прибавим к правым частям этих уравнений диссипативные силы Fy. Тогда будем иметь

Если обобщенные силы Q, имеют потенциал V = =丿(夕/) и, следовательно, Q/ =то, выразив силы Fg из (5.32), получим уравнения движения диссипативных систем в следующей форме:

(5.35)(5.35)

(5.35)

(5.35)

В качестве примера рассмотрим механическую систему с одной степенью свободы, положение которой определяется обобщенной координатой q.

Пусть на эту систему, кроме обобщенной силы Q=——需，действует еще диссипативная сила 尸= =—ад (а〉0・)

Уравнение движения имеет вид

d /дь \ дь •

Написав диссипативную функцию Рэлея

можно найти скорость изменения полной механиче ской энергии Е:

Если в результате интегрирования уравнения движения будет найдено выражение для q в виде функции от /, g = fl＞（f）, то будем иметь

Е «） = — a J ^^у dt + const.

Полученная формула выражает закон рассеяния энергии в рассматриваемой системе.

Интеграл энергии

Движение голономной системы с k степенями свободы описывается k уравнениями Лагранжа второго рода:

d f dL \ d£

В результате интегрирования этой совокупной системы дифференциальных уравнений второго порядка мы находим 2左 интегралов уравнений движения вида

Л （Л %, ^，）= 4 и

屮5（/，%）=么（s,/=1, 2,左），

где as и bs—постоянные величины.

Среди k первых интегралов 九匸。^ существуют интегралы, представляющие особый физический интерес, так как они имеют место при любых начальных состояниях рассматриваемой механической системы. Среди этих интегралов особое место занимает интеграл энергии, к выводу которого мы сейчас перейдем.

Рассмотрим общий случай движения системы, когда функция Лагранжа £ зависит от времени Z, обобщен-

ных координат 幻 и обобщенных скоростей q^ т・ е.£ = = £(/,%,%). Возьмем полную производную от функции £:

内k

dL dL I р dL ♦ I p d£ ••

Пользуясь далее уравнениями Лагранжа, получаем

Перенося член, содержащий сумму, в левую часть и меняя порядок суммирования и дифференцирования, находим

Если функция Лагранжа 丄 не зависит явно от вре- , dL с

мени г, то 肃=0 и, следовательно,

Отсюда после интегрирования будем иметь

dL ・= с(537)

Полученный интеграл носит название обобщенного интеграла энергии. В общем случае его не следует смешивать с физическим интегралом энергии, как суммы кинетической и потенциальной энергий системы.

Кинетическую энергию системы Т, как указывалось, можно представить в виде суммы трех слагаемых, представляющих однородные функции соответственно второй, первой и нулевой степеней от обобщенных скоростей:

7= 72+3 +%

Следовательно, функция Лагранжа будет иметь вид £=7— UmA+Ti+G — 匕

и потому на основании известной теоремы Эйлера об однородных функциях получим

Таким образом, обобщенный интеграл энергии (5.37) можно записать в такой форме:

2^-?；-^=(2г2+л)~(л+л + ^о-ю=

=厶 一 7。+ Z(5.38)

Этот интеграл, называемый интегралом 只коби、не совпадает с полной энергией системы, равной

^+^=г2+л + г0+к

так как в выражении (5.38) отсутствуют члены, содержащие обобщенные скорости д, в первой степени (отсутствует 7\)・

Члены, линейно зависящие от обобщенных скоростей и входящие в выражение кинетической энергии, но не входящие в обобщенный интеграл энергии (5.38), носят название zap о с mamiiqec ких членов.

Механические системы, для которых функция Лагранжа может быть представлена как разность между кинетической и потенциальной энергиями, и притом кинетическая энергия есть квадратичная функция от обобщенных скоростей 夕戸 а потенциальная энергия не зависит от 夕戸 называются натуральными системами. В противном случае их называют ненатуральными или общими лагранжевыми системами.

Вернемся теперь к обобщенному интегралу энергии (5.37).

Если механическая система подчинена стационарным связям, то ее кинетическая энергия является

однородной функцией только второй степени от обобщенных скоростей:

7=G=qE aSj qsq^

sj=l

где asj = aSj (^) —- функции только от обобщенных ко

ординат 仇.力1 и 〃 в этом случае равны нулю.

Обобщенный интеграл энергии

在dL

二丽办一£ = 27—(「一％=「+丿

совпадает при этом с полной энергией системы:

T(qP q^+V^q^E,(5.39)

工矿分一£ = £•

Полученный результат носит название закона сохранения механической энергии.

Отметим, что энергия системы обладает свойством аддитивности, т. е. полная энергия системы равна сумме энергий ее составных частей. Это свойство энергии вытекает из свойства аддитивности функции Лагранжа L.

Рассмотрим примеры.

Случай, когда кинетичес кая энергия системы есть однородная квадратичная функция обобщенных скоростей. Рассмотрим движение в поле силы тяжести несвободной точки М, находящейся на поверхности круглого цилиндра радиуса 广(рис. 20).

Вводя цилиндрические координаты 广,ср, г, нагти- тем выражение для кинетической энергии точки:

7=^(* +产祕 + *2).

Но так как точки М остается на поверхности цилиндра радиуса 广=const, то г = 0 и, следовательно, 7=^ (产诞+/).

Потенциальная энергия точки в поле силы тяжести равна

V =侬z, и функция Лагранжа, следовательно, будет иметь вид

В рассматриваемом примере выполнены все условия, при которых имеет место закон сохранения полной механической энергии, так как движение точки происходит

в потенциальном поле, а кинетическая энергия есть однородная квадратичная функция обобщенных скоростей.

ииmz.mz.dL 。2dL 。2Действительно, имеем

и

и

mz.

mz.

dL 。2

dL 。2

е. закон сохранения полной механической энергии выполняется.

2. Случай, когда кинетическая энергия н е есть однородная квадратичная функция обобщенных скоростей. Рассмотрим движение в поле силы тяжести несвободной точки М. находящейся на поверхности круглого цилиндра радиуса 广，равномерно вращающегося вокруг неподвижной вертикальной оси z с угловой скоростью со.

Воспользуемся результатами предыдущей задачи. Обозначая через гр 中。zx цилиндрические координаты точки М относительно системы х{ уг 乞卜 жестко свя-

занной с вращающимся цилиндром, и замечая, что 广1 =广，zx = z и cpj = ср — со, получаем следующее выражение для кинетической энергии Т:

7=*(% + Н叫7=*(% + Н叫(5.40)(5.40)

7=*(% + Н叫

7=*(% + Н叫

(5.40)

(5.40)

Отсюда следует, что кинетическая энергия не является однородной квадратичной функцией обобщенных скоростей. Имеем

Л = - (尸?i +/),Л =加产331，т。 =；厂沁

Так как функция Лагранжа

— mgz— mgz

— mgz

— mgz

не зависит от времени /, то имеет место обобщенный интеграл энергии (5.37):

(5.41)(5.41)

(5.41)

(5.41)

Однако легко видеть, что постоянная С не совпадает со значением полной механической энергии точки

Е =1"「2(%+“)？ +X] + mgz・

Действительно, подставляя значения производных

= mr^ (<Pi + ^) и -^4-= mzd 罩 1dz

в формулу (5.41), получаем

?(产?i + 2)一 ^"产 ^2 + 噌之=c,

или в сокращенной записи:

G-To+U=C

Отсюда следует, что С 牛 Е.

Циклические координаты.Циклические интегралы

Отыскание первых интегралов уравнений движения представляет весьма важную задачу, поскольку знание этих интегралов упрощает дальнейшее интегрирование системы уравнений.

Среди первых интегралов особую роль играют интегралы, связанные с законами сохранения. Примером такого интеграла является обобщенный интеграл энергии, связанный с законом сохранения механической энергии. Обобщенный интеграл энергии, как было показано в предыдущем параграфе, существует тогда, когда функция Лагранжа не зависит явно от времени /, т. е. когда

L = L{qу, %).

Перейдем теперь к рассмотрению первых интегралов, связанных с законом сохранения количества движения. Эти интегралы существуют тогда, когда функция Лагранжа не зависит явно от какой-либо координаты.

Пусть, например, функция Лагранжа £ не зависит явно от некоторых обобщенных координат Е, но содержит их обобщенные скорости Е. Следуя Гельмгольцу, обобщенные координаты, которые не входят явно в функцию Лагранжа, называют циклическими.

£=£（厶%,分，号）.£=£（厶%,分，号）.(5.42)(5.42)Если число циклических коодинат Е равно vQW 尼), то число обобщенных координат д” входящих явно в функцию Лагранжа, будет 岱一v) и, следовательно, функция Лагранжа будет зависеть от q「0八 ^ и, возможно, от времени / Г/ = 1, 2, ... , v； 2 = 1, 2,..., 岱一v)］：

£=£（厶%,分，号）.

£=£（厶%,分，号）.

(5.42)

(5.42)

dLdLR = —- н A = —г-刍dLdLR = —- н A = —г-刍Частные производные от функции Лагранжа, взятые по какой-либо обобщенной скорости, носят название обобщенных импульсов, и обозначаются буквой р:

dLdL

R = —- н A = —г-刍

dLdL

R = —- н A = —г-刍

То обстоятельство, что функция Лагранжа £ не содержит явно V обобщенных координат "•(/= 1, 2, ..., v), позволяет сразу найти v первых интегралов. Действительно, из вида функции Лагранжа (5.42) следует, что

и потому из уравнений Лагранжа

получаем

崇= №. = %(5.43)

где Cj — постоянные величины.

Таким образом, обобщенные импульсы 夕勺，соответствующие циклическим координатам Е力 сохраняют постоянные значения. Равенства (5.43), связывающие обобщенные скорости, обобщенные координаты, время и постоянные интегрирования, являются интегралами уравнений движения. Их называют циклическими 〃咒- тегралами.

Рассмотрим несколько примеров.

Свободная материаль ная точка. Для свободной материальной точки, на которую не действуют никакие силы, функция Лагранжа в декартовых координатах имеет вид

В данном случае все три координаты х, у, z движущейся точки являются циклическими. Следовательно, можно сразу написать три циклических интеграла:

рх = тх = Ci, Ру = ту = С2, pz =摊z = Сз.

Эти интегралы выражают закон сохранения количества движения точки.

Материальная точка в поле силы тяжести. Направим ось z вертикально вверх. Тогда функция Лагранжа будет иметь вид

£ =粵_"")= ■?(启+了 + 0)一加82.

Отсюда следует, что координаты хну являются циклическими, и, следовательно, можно записать два циклических интеграла:

рх == тх== С】и ру = ту С2, которые выражают закон сохранения количества движения точки в горизонтальной плоскости.

Полученный результат вытекает из однородности поля силы тяжести и связан с линейным преобразованием пространства путем параллельного переноса, вдоль осей х и j/.

Следует отметить, что наличие циклических координат часто зависит от выбора координат. Например, в рассмотренном случае, когда ось z была направлена параллельно силе тяжести, две координаты, а именно, х и у оказались циклическими. Если бы система координат была выбрана произвольно, то потенциальная энергия V зависела бы от всех трех координат х, у, z и ни одна из них не оказалась бы циклической.

Движение материальной точки в поле силы тяжести в цилиндрических координатах. Решим теперь ту же задачу о движении точки в поле силы тяжести в цилиндрических координатах 广，% z.

В цилиндрических координатах функция Лагранжа имеет вид

Отсюда следует, что координата 屮 является циклической. Следовательно, соответствующий этой координате обобщенный импульс р? должен сохранять постоянное значение:

р* = #■=加产 g = С.

Этот циклический интеграл выражает закон сохранения площадей и связан с однородностью поля при его вращении вокруг оси z. Уравнения Лагранжа в этом случае будут инвариантны относительно вращения системы вокруг оси z.

Рассмотрим теперь случай, когда система обладает k степенями свободы и все координаты, кроме одной, являются циклическими. Обозначим циклические координаты через 夕2， 9з，.…，夕々・ Будем предполагать, что полная механическая энергия системы во время движения сохраняется неизменной. В этом случае кинетическая энергия системы будет однородной квадратичной функцией от обобщенных скоростей, а функция Лагранжа

L = L (qд q) (/= 1, 2,，力) будет иметь вид

£ =歹工 аа (力)〃• Ь~ U(%)，(5.44)

л/=1

где %• = 〃 〃(夕J —функции только от обобщенной координаты 夕1・

Так как

-^- = 0(2 = 2, 3,...,左)，

то все обобщенные импульсы р»、соответствующие циклическим координатам, сохраняют постоянные значения:

" =器=e.（』2, 3一初

На основании (5.44) получаем следующую линейную относительно 分 систему уравнений:

k

Е а〃％ = & (» = 2,…，田.

Из этой системы (А — 1) линейных уравнений можно определить обобщенные скорости %, которые будут функциями 91，91 и постоянных &

幻=力(夕1，%, С2, С3, С0 (2 = 2, 3,左).(5.45)

Нахождение обобщенной координаты q、сведется к одной квадратуре, если воспользоваться интегралом энергии:

7（力，力，g2,…，扇）+ ^（以）=上，（5.46）

куда вместо 幻(2 = 2, 3,…，々)следует подставить функции 九(5.45).

Определив из (5.46) обобщенную скорость 力，получим ее как функцию от д〔 и 力 постоянных: С2, С3, ...» Q и £ т. е. будем иметь

91 =①(91，e, &，е3,Сe)。

Отсюда

Таким образом, получаем функциональную зависимость между обобщенной координатой 夕】и временем t.

После того как найдено % = qx (/), циклические координаты q^ (2 = 2, 3,...,力)находятся из (5.45) с помощью квадратур:

% = J 力(91，01, С?, Сз,…，Cj dt + \、

где a? — постоянные интегрирования.

О разрешимости уравнений Лагранжа

Можно показать, что уравнения движения системы, написанные в форме уравнений Лагранжа, представляют собой нормальную систему уравнений, т. е. такую систему, которая может быть разрешена относительно вторых производных %, выраженных через время / и неизвестные функции % и 办：

qу === ^j^i %, %)(2=== 1, 2,…，k\ / = 1, 2,・..，田.

Как доказывается в курсе анализа, для того чтобы система уравнений второго порядка была нормальной, необходимо, чтобы функциональный определитель

Гесса (так называемый гессиан) Д не был тождественно равен нулю.

Для уравнений Лагранжа это означает, чтобы гессиан Д от лагранжевой функции £ не должен тождественно равняться нулю:

А = —「方 0.

Но так как функция Лагранжа £ представляет разность между кинетической энергией Г (зависящей от /, % и 幻)и потенциальной энергией V (зависящей от д» и, возможно, еще от /), т. е.

£(力 %，%)=7"，勿，%) 一丿(%分)，

то определитель Гесса А равен

dQs^Qj I I 呪吗 I

Но так как

T=T.+ T^T„ то

I Oqpqj \ I дя^ц. I I

и определитель Гесса А равен дискриминанту | asj | определенно положительной формы, какой является кинетическая энергия Г, и, следовательно, не может тождественно равняться нулю:

△ = I %/ I ¥= 0-

Рассматриваемая система уравнений Лагранжа является нормальной, т. е. разрешимой относительно вторых производных qj. В самом деле, обратимся к выражению кинетической энергии Т (5.22). Имеем

k

Так как 口炉 и bs зависят только от времени / и обобщенных координат /, то

где R*、幻，0) — некоторая функция, зависящая от /, 幻 и д；・ Следовательно, уравнение Лагранжа в общем случае, когда обобщенная сила Qs = Qs (/, %, q)、может быть приведено к такому виду:

k

Е S(我幻‘％) (s = 1,2,

Здесь Fs — некоторая функция от времени /, обобщенных координат % и обобщенных скоростей %.

Таким образом, получаем линейную относительно вторых производных % систему k уравнений с определителем △ = I а^ I , отличным от нуля. На основании теоремы Крамера такую систему можно решить и, следовательно,

qj = &j(t、q订 qj (/=1,2 ...,初 (5.47)

т. e. действительно, уравнения Лагранжа разрешимы относительно вторых производных 9/. Из уравнений (5.47) на основании теоремы о существовании и единственности решения следует, что движение механической системы будет однозначно определено, если заданы начальные условия: qi (/0) = ^/0 и qi (/0) = ^/0, характеризующие начальное состояние системы.

§ 10. Уравнения Аппеля

Рассмотрим механическую систему, состоящую из п материальных точек, положение которой в каждый момент времени определяется 尼 обобщенными координатами %(/=1,2, ...,左).Координаты х/? у^ zi i-й точки системы будут функциями обобщенных координат %• и времени /:

Xj = Xj (厶 ％), M =y・(Л %),专=马(厶 ％),(2=1,2,〃； j = 1,2,尼).

Действительные перемещения точек системы будут:

dy 尸?^dqH*dh >(548)

G dz. dz.

dz： = У ―- dq：-\ 山.

Напишем виртуальные перемещения точек системы 旣八“八运,：

Пусть, далее, на систему наложено г линейных не- голономных связей вида

Ea炉2% + 沃威=0 (v= 1,2, ...,广)，(5.50)

где a,j и 仇一функции обобщенных координат % и времени /:

a可 = aм (%, ...» %, %),儿=a(%,…，0々，/).

Следовательно, не все допускаемые связями действительные перемещения dqj (/= 1,2, ..., ^) в уравнениях (5.48) будут независимы между собой [поскольку они связаны условиями (5.50)].

Полагая, что линейная форма (5.50) разрешима,

определим из нее г действительных перемещени dqk, dqi ..., dg^—，+i, рассматривая их как функци от остальных перемещений dq^ ^2,…，d夕々_，・

Тогда будем иметь k—r

dq、=工宀dqj + j dt (丫 =电 ^―1, k — r+1), (5.51) где 旳 и 外一функции обобщенных координат 分(/= =1,2, ...,左)и времени f:

a"♦=旳(g1,…，%, /)» %=九(丈，…，qki f).

Неголономные связи (5.50) при виртуальных перемещениях накладывают на вариации координат »% (/= =1,2, ...,田 условия вида

k

2 av ^Qj= 0 (у = 1,2, ・・.，г),(5.52)

j=i

и, следовательно, не все вариации В^у(у= 1,2, ...,左) в уравнениях (5.49) будут независимы между собой.

Определяя из однородной линейной формы (5.52) г вариаций »д炉 В^_ь 8^_г+1, получаем однородные линейные функции остальных вариаций В^р "д?, •••, Mj：

k—r

浊=Ea疗% (Y =也 ^-1, ..., k - r+1), (5.53) j=i

где ^j = ^j (，］, •・・，％, £)•

Подставляя значения dq、(5.51) и B^v (5.53) соответственно в уравнения (5.48) и (5.49), получаем для действительных перемещений dx» 心厶 dzt и виртуальных перемещений 8хр “八 »乙 следующие выражения:

k-r

dx・i =Е Ajjdqj + %df,

k—r

dyi = ?Bij dqj + В1dt,(5.54)

с!/ = £ C〃・ d% + С"..

(力=1,2,〃)

k—r

7=1

々一r

(5.55)(5.55)0M(2=12〃)，

(5.55)

(5.55)

丿=i

k—r

"马 ~ E Q "%,

/=1丿

где все d%(/=l,2, ...,々一广)， и, соответственно, ”％0=12 ・・・，左一广)，теперь независимы, а А〃・，％ С〃 и 4，В» & — функции обобщенных координат 91, ..., qk и времени t.

Обратимся теперь к общему уравнению динамики (2.13). Подставив в него найденные значения виртуальных перемещений В%., "%, 5马(5.55), получим его в следующей форме:

k—r п

2 2 ｛色&五+加凡工十加£戶》4=

л=1 /=1

k—r 〃

=E 工｛A〃 X + Bjj 匕 + C〃・ Zj »%・

/=1『1

Обозначая

Qj = i »〃 储十 Bij 匕 + C〃・ 2｝,(5.56)

получаем

k—r nk—r

ZS-и〃七 + miВиy・ + /Си乙｝ »%• = E Q/"分(5.57)

7 = 1 2=1/=1

Из уравнений (5.54) находим

k—r

*/ =e&分+ 4.

Дифференцируя, будем иметь

=24分十? 2尸,必十*

U 号?占d% dt

Из этих уравнений находим

Аналогично будем иметь

〃 dq. 〃 dqj

Подставляя найденные значения A〃・，Ви и С^ в левую часть равенства (5.57), получаем общее уравнение динамики в следующей форме:

Е 2 五竺/ + т.у些+哈 丝卜分=20М・ (5.58)

I z=i ( dq. dq. 叱' /=1

Введем в рассмотрение функцию

S = ~2 mi 出+工 + 扌)=I"R 乙就，(5.59)

где ^ — абсолютное ускорение Вой точки системы. Эту функцию по аналогии с кинетической энергией системы называют энергией ускорения1. Тогда формулу (5.58) можно представить в таком виде:

，爲一Q"河=8，爲一Q"河=8(5.60)(5.60)

，爲一Q"河=8

，爲一Q"河=8

(5.60)

(5.60)

Отсюда в силу независимости вариаций »%• получаем ^=Q/ (/=1,2, k-r). (5.61)

Уравнения (5.61), образующие систему (^ ■— г) обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, впервые были получены в 1899 г. Аппелем и носят его имя. Они имеют общую форму, пригодную как для голономных, так и для неголономных систем. Эта система (尼—г) уравнений (5.61) (по числу степе-

Термин «энергия ускорения# был введен Сен-Жерменом.

ней свободы рассматриваемой механической системы) совместно с г дифференциальными уравнениями связей (5.50) образует систему k дифференциальных уравнений, определяющих движение неголономной системы.

В случае голономных систем уравнения неголоном- ных связей (5.50) отсутствуют и число степеней свободы равно 无 Все вариации 切/ (/= 1,2, ・..，尼)при этом независимы между собой. Число уравнений (5.61) в этом случае равно k.

В отношении уравнений Аппеля (5.61) необходимо сделать следующее замечание.

Для того, чтобы составить эти уравнения, достаточно вычислить функцию S—энергию ускорения системы, но выразить ее нужно таким образом, чтобы она содержала вторые производные только от обобщенных координат 孰，先，..・，qk-r, вариации которых "分(/= 1,2, ..., k — г) рассматриваются как независимые. Если же функция S будет содержать вторые производные qjp …、外，вариации B^v (v = ^―r+1,…, ^―1,尼)которых рассматриваются как зависимые, то их всегда можно исключить.

Действительно, из (5.51) имеем

k—r

応=e制(У=々-.・.，左一1,左).

Отсюда путем дифференцирования получаем ^0 = =々一叶1,…，左)，выраженные линейным образом через 办(丿=1,2, k — г).

В качестве примера на составление уравнений Аппеля рассмотрим плоское движение точки под действием силы F, проекции которой на оси декартовых координат равны X н У.

Возьмем полярные координаты г, ср:

х = г cos <р и y = rsin<?・

Составим теперь функцию S. Дифференцируя написанные выше равенства, получаем

x = r cos ср — г sin фф，у = г sin 屮 +「cos 屮屮

и

х = г cos ср — 2rp sin? — r (屮2coscp + 屮 sin 屮), у = r sin 屮 + 2 户cpcoscp+r (——(p2sin(p + cpcoscp). Отсюда находим

Напишем теперь выражение для элементарной работы М в обобщенных координатах г и ср. Имеем

М = X汝 + Y^y = QRr + Qg 版

Но

ха* 十 уз = е 订 4-「％ 8(p,

где 尸厂 н % ——соответственно радиальная и трансверсальная составляющие силы F.

Обобщенные силы Qr и Q? будут равны

Qr — Fr и Qg = г% .

Теперь можно написать уравнения Аппеля:

и р = Q? •

ОГОф

Отсюда получаем уравнения движения:

т (г — г* ) = J н m (rep +2;•勺)=務.

Их можно было, конечно, получить и из уравнений Лагранжа, поскольку связи голономны.

Глава VI

КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА

Метод Лагранжа позволяет свести проблему движения голономных систем к задаче интегрирования совокупной системы 也(по числу степеней свободы) дифференциальных уравнений второго порядка.

Гамильтон указал другой метод, который приводит к интегрированию совокупной системы 2纟 уравнений первого порядка, которые благодаря своей простоте и симметрии получили название канонических уравнений.

Метод Гамильтона в силу свойств канонических уравнений является более сильным, чем метод Лагранжа.

Функция Гамильтона

Состояние механической системы, имеющей k степеней свободы, в каждый момент времени / определяется 2 论 величинами: 左 обобщенными координатами ^, определяющими положение системы, и k обобщенными скоростями О.

При таком выборе переменных роль характеристической функции играет функция Лагранжа L = L (厶 ％, 勿)，равная L=T — К

Однако указанный выбор 2左 переменных, определяющих состояние системы, не является единственно возможным. Так, например, в качестве 2fe переменных, определяющих состояние системы, можно выбрать

по-прежнему А обобщенных координат 幻,но вместо обобщенных скоростей 仇 взять обобщенные импульсы Pi、равные

Из уравнений Лагранжа при этом будем иметь

dL d / dL \.

垣=方=厶

При таком выборе переменных 勿 и р» роль характеристической функции будет играть функция Гамильтона "(厶 g” р), определяемая с помощью соотношения

"(厶 q「р・)=& *4 — l=£ Pidt—L (6.1)/=1 打i=l

Эта функция, как будет показано, для консервативных систем имеет простой физический смысл, а именно, совпадает с полной механической энергией системы: H=T+V.

Так как функция Гамильтона "(厶 处，pj зависит от обобщенных координат 处 и обобщенных импульсов “ (а не от обобщенных координат 分 и обобщенных скоростей 势，как функция Лагранжа £), то обобщенные скорости 仇，входящие в правую часть формулы (6.1), должны выражаться через обобщенные координаты q^ и обобщенные импульсы % что всегда выполнимо.

Действительно, если воспользоваться выражением для кинетической энергии (5.22), то легко увидеть, что обобщенные импульсы р( представляют линейные функции от обобщенных скоростей:

一 d£ дТ _G ■

Так как определитель

△=丨"〃1

этой линейной системы уравнений отличен от нуля (см. § 9 гл. V), то обобщенные скорости (, будут однозначно определены и выражены линейным образом через Рг Таким образом, доказано, что функция Гамильтона может быть выражена через % и 化•.

Если обратиться к формуле (5.36) и воспользоваться функцией Гамильтона в форме (6.1), то легко показать, что

(6.2)(6.2)dH dL

(6.2)

(6.2)

di •

В случае, когда функция Лагранжа не зависит явно от времени 厶 имеем 京=0 и, следовательно, = 0. Отсюда получаем закон сохранения: Н— const, т. е. функция Гамильтона сохраняет постоянное значение равное обобщенному интегралу энергии (5.37).

Системы, для которых функция Лагранжа есть какая угодно функция от переменных /, qt и qt носят название общих лагранжевых систем. Для таких систем, вообще говоря, функцию Лагранжа нельзя представить как разность между кинетической энергией Т и потенциальной энергией V.

Для консервативных же систем функция Лагранжа всегда может быть представлена как разность между кинетической энергией системы, представляющей однородную квадратичную функцию от обобщенных скоростей 处,и потенциальной энергией, которая зависит лишь от обобщенных координат 幻，т. е.

£ (势，以)=7 (%，或)一丿(%),

где 7

В этом случае функция Гамильтона совпадает с полной механической энергией системы. Действительно, по определению функции Гамильтона

h (%,口) = 2£ = 2岩，j -厶

Но по теореме Эйлера об однородных функциях имеем

"（分,2） = 27—（7—1/） = 7+к

Таким образом, интеграл Н— const принимает форму закона сохранения полной механической энергии

分 （%，"） = 7 （处，"）+ ^ （分）=Е

Рассмотрим несколько примеров на составление функции Гамильтона.

Пример 1. Составить функцию Гамильтона для свободной материальной точки, движущейся в консервативном полё.

Выполним это сначала в декартовых координатах.

В рассматриваемом случае функция Гамильтона равна полной механической энергии точки:

馨 + 丿（%，У, 2）=号（启十/ +舟 + у （%, у г）,

где V （X, у, 2）——потенциальная энергия точки.

Функция Лагранжа для рассматриваемого движения имеет вид

£ = ^ （/+了 + 纟）-丿（*, y z）.

Находим обобщенные импульсы:

dLdLdL

= Ру = ~^ =my Pz = 3 = rnz.

Здесь обобщенные импульсы совпадают с обычными импульсами сил.

Выражая скорости %, у, z через импульсы 厶，pyi 厶，получаем функцию Гамильтона в виде

〃=£（欢+川+磅 + из У 2）.（6・3）

Составим теперь функцию Гамильтона в цилиндрических координатах.

Так как квадрат скорости точки в цилиндрических координатах равен

济=:六+产$ + *

то функция Лагранжа будет иметь следующий вид:

£=■?(%+产 *+ X)~ V(r> ^^z^

Находим обобщенные импульсы:

dL . dL. d

P尸专：=M %=^=；n产.%=获=加2.

Отсюда, выражая обобщенные скорости г, ср, z через обобщенные импульсы pr, р^, pz, получаем следующее выражение для функции Гамильтона в цилиндри ческих координатах:

"=*(戌+ ^儲+牆)+丿(人%2)-(6・4)

Составим теперь функцию гамильтона в сферических координатах.

Квадрат скорости в сферических координатах р, Ф, & равен

©2 = р2 + Р2 (§2十 sin2 82Ф2).

Следовательно, функция Лагранжа будет иметь вид

Z = 7(Р2 + р2^2* + р2 sin2cp2) — V(р, ■ 8).

Обобщенные импульсы равны

dL .dL , dL.

k =而 =;пр,厶=蒜=砌典，网=石=呻2 sin2盹.

Выражая обобщенные скорости, р, 8, Q через обобщенные импульсы Рр, Ра , р(р , получаем функцию Гамильтона для свободной материальной точки в.сферических координатах:

"=^（б+^成+ 小儲）+ ~，6,脸（6.5）

Пример 2. Составить функцию Гамильтона для свободной материальной точки массы 加，движущейся в поле центральных сил.

Так как под действием центральных сил точка совершает плоское движение, то удобно перейти к полярным координатам г,屮.

Квадрат скорости в полярных координатах равен

Г2 十「2 屮2.

Отсюда

£=£ （r2 + rV）~ ^（r）,

" = £（» + 叫 2）+ V （г）.

Обобщенные импульсы равны:

dL ・ dL.

Pr = X = mr，0中=編=加叫，

и функция Гамильтона будет иметь вид

"=*（从+十外h丿⑺，（6.6）

Пример 3. Рассмотрим случай, когда функция Лагранжа не есть квадратичная функция скоростей и не представляет разность между кинетической и потенциальной энергиями. Пример подобного рода дает релятивистская механика, где функция Лагранжа для свободной точки имеет вид

Здесь 加о—— масса покоя, с — скорость света, v — скорость точки.

161161Напишем функцию Гамильтона:

161

161

11 И. М. Беленький

"（仇，p）=e化以一厶i=l

В рассматриваемом примере q = v и, следовательно,

dq ~ dv 一 ] / 絞二=P，

Определим отсюда квадрат скорости 仆：

Подставляя теперь 0 в функцию Гамильтона, находим

Н—Н—dL dvdL dv© — L =© — L =研02研02

Н—

Н—

dL dv

dL dv

© — L =

© — L =

研02

研02

или окончательно

Н-c /喝02+p2 .

Уравнения Гамильтона

Описание движения механической системы с помощью функции Лагранжа L — L （厶幻，幻 приводит, как мы видели, к интегрированию совокупной системы 力 обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка:

（6.7）（6.7）£ dL_ dL dt dq. d q^

（6.7）

（6.7）

В ряде случаев оказывается более удобным перейти от указанной системы уравнений Лагранжа к системе уравнений первого порядка.

Из теории дифференциальных уравнений известно, что всякую нормальную систему k дифференциальных уравнений второго порядка можно заменить эквивалентной ей системой 2k дифференциальных уравнений

первого порядка, причем эту замену можно осуществить бесчисленным числом способов.

Так как система уравнений Лагранжа (6.7) является нормальной, то ее, следовательно, можно преобразовать в эквивалентную систему 2左 дифференциальных уравнений первого порядка, взяв, например, в качестве новых переменных k обобщенных координат «? н ^ обобщенных скоростей qt или любых независимых между собой функций от 幻(эти функции могут содержать также время / и обобщенные координаты

Гамильтон в качестве независимых переменных принял время Л 左 обобщенных координат q^ k обобщенных импульсов Pi (переменные /, ^z, pz называются переменными Гамильтона), а в качестве характеристической функции взял функцию Н (/, %, р) (см. 6.1).

Для получения уравнений Гамильтона поступим следующим образом. Составим полный дифференциал от функции Н (/, %, “). Имеем

kk

""=絮山十£器眼,.十£鬻dp? (6.8)

Z=1'i=l

С другой стороны, из формулы (6.1) находим

左k

(6.9)(6.9)d"= £ “d成• + 工 qidpi — dL.

(6.9)

(6.9)

kk以=醬或 ^：叱+ £器dq^i=lkk以=醬或 ^：叱+ £器dq^i=lТак какТак какДифференциал функции Лагранжа L = L (/, g” qj равен

kk

以=醬或 ^：叱+ £器dq^i=l

kk

以=醬或 ^：叱+ £器dq^i=l

Так как

Так как

dL . dL

赢И "=近，то будем иметь左k

Подставляя теперь найденное значение dL в формулу (6.9), получаем следующее выражение для дифференциала

为к

琮出-Е Pid4t + 2《Ср?

Отсюда путем сравнения полученного выражения с формулой (6.8) находим

(6.10)(6.11)(6.10)(6.11)дн _ dL开=—"

(6.10)

(6.11)

(6.10)

(6.11)

дндн

®=-А 网=%•

Это и есть канонические уравнения Гамилътона.

匸дн dL

Если сравнить соотношение 京=—衣■ с формулой

dH dL°u

斤=—百、полученной ранее, то будем иметь

(6.12)(6.12)dH дн 万=布.

(6.12)

(6.12)

В том случае, когда функция Гамильтона не зависит явно от времени /, т. е. Н = Н ®, р) имеем дн с

赤=0 и, следовательно.

Отсюда сразу находим один из интегралов уравнений движения

Н (幻，А) = const,

не что иное, как обобщенныйне что иное, как обобщенныйкоторый представляет

не что иное, как обобщенный

не что иное, как обобщенный

интеграл энергии：

k

Н= , p"lL = C.

Если, например, функция Лагранжа L может быть представлена как разность между кинетической энергией Т и потенциальной энергией V, причем Т ——однородная квадратичная функция от обобщенных скоростей, а V — функция только от обобщенных координат, то функция Гамильтона будет равна полной механической энергии системы.

Вывод уравнений Гамильтона из принципаГамильтона

Канонические уравнения (6.11) могут быть получены также непосредственно из принципа Гамильтона.

Запишем вариационный принцип Гамильтона с помощью функции Н、 для чего воспользуемся соотношением

左k

Следовательно, действие по Гамильтону S запишется так:

Таким образом, принцип Гамильтона сводится к условию стационарности интеграла:

Так как варьирование здесь является изохронным (8/ = 0), то операции варьирования и интегрирования коммутативны и, следовательно,

что может быть представлено в такой форме:

Интегрируя первое слагаемое по частям и учитывая, что

"成・ = ^6仇

(так как В/ = 0), получаем

Первое слагаемое обращается в нуль, так как вариации координат 浊 на концах интервала равны нулю. Следовательно,

Подставляя найденное значение интеграла в формулу (6.13), после приведения подобных членов получаемПодставляя найденное значение интеграла в формулу (6.13), после приведения подобных членов получаем

Подставляя найденное значение интеграла в формулу (6.13), после приведения подобных членов получаем

Подставляя найденное значение интеграла в формулу (6.13), после приведения подобных членов получаем

что после изменения порядка суммирования и интегрирования дает

N J {(芻)吻-(а+期 м，血=о.

Строго говоря, вариации 6% и 8pz не являются здесь независимыми; они связаны временной зависимостью. Поэтому приравнивать нулю выражения, стоящие в круглых скобках, что сразу привело бы к каноническим уравнениям Гамильтона, нельзя.

Однако к этому результату можно придти из следующих рассуждений. Возьмем частную производную по обобщенному импульсу 化 от функции

k ..

公，口・)=巨产4 一£«，公，办

Тогда будем иметь

Но так как dL

то окончательно получим дн .

Следовательно, первая скобка под знаком интеграла обращается в нуль. Но в силу независимости вариаций 3幻 приходим к выводу, что и вторая скобка равна нулю, т. е.

дн ,・电十化=0.

Таким образом, мы приходим к каноническим уравнениям Гамильтона:

dp( дн d дн

В результате интегрирования этой системы уравнений получаем р» и % в виде функций от времени / и 2力 произвольных постоянных Ср С2, ..., С2a

Pi= Pi也e1，e2，...，CQ,

qi=q［也e1,e2,c2々)(2= L 2,...,力).

Если функция Гамильтона Н не зависит явно от времени / (консервативные системы), то в уравнения Гамильтона оно будет входить лишь в виде дифференциала dt. Это означает, что одна из постоянных интегрирования будет связана со временем t аддитивно и, следовательно, решение в этом случае будет иметь вид

口Pi (/ ^0? e1，e2,…，e2左一1 )，qi=q卜一于o； &,e2,…，e2々一i)。

Здесь по-прежнему будем иметь 2左 произвольных по- СТОЯННЫХ1 /0,c1，e2，•••，e2月一1 •

§ 4. Функция Рауса. Уравнения движенияв форме Рауса

Уравнения движения системы могут быть записаны в различных формах, в зависимости от того, с помощью какой функции они составлены.

Например, если движение системы описывать с помощью функции Лагранжа £ = £(/,处,q〉、то уравнения движения принимают форму уравнений Лагранжа второго рода (6.7), если же его описывать с помощью функции Гамильтона "(厶 q» q), то они принимают форму канонических уравнений Гамильтона (6.11).

В первом случае мы получаем k дифференциальных уравнений второго порядка, во втором случае —— систему 2左 уравнений первого порядка.

Раус (1831 — 1907) показал, что при введении новой функции, которую в дальнейшем мы будем называть функцией Рауса, часть уравнений движения будет иметь форму уравнений Лагранжа, а другая часть —— форму канонических уравнений Гамильтона.

Это преобразование Рауса особенно удобно в том случае, когда имеются циклические координаты, т. е. обобщенные координаты, входящие в функцию Лагранжа только своими производными. В этом случае, как показал Раус, число уравнений движения может быть уменьшено на число циклических координат.

Разобьем все обобщенные координаты на две группы. Первую группу, состоящую из v координат, будем обозначать через Е〃 局，…，Ev , а другую, со-

стоящую из (^ — V)координат, будем обозначать, как обычно, через %, %,…，外一” Тогда функция Лагранжа будет зависеть от /, %,財，qh L- (i = l, 2,..., й — v； у = 1, 2,…，v)：

£ = £(/,夕八 ％, Е/, Sy).

Следовательно,

k -Vk-V

以=箒山 + E ^■歯i* d'i +

i=l力2 = 1叫

+S!^或丿+£詈典.

Обозначим обобщенные импульсы, соответствующие обобщенным скоростям 弓，аерез。» Тогда будем иметь

dL ne dL •

两=勺・Н裾=勺，

и, следовательно,

k—V々一V

dL=^dt +n^"% + z言"〃 ++ i两%十"%典，

что можно переписать в такой форме:

(

V \々 一V

▲ _合勺對) = f^ + Z^d% +

+ E~^"d%+ SpjdEj— E&jdPq.(6.14)

Введем в рассмотрение функцию Рауса, зависящую в общем случае от времени 厶 обобщенных координат %, обобщенных скоростей 戈(2=1, 2,...,左—v), обобщенных координат 弓 и обобщенных импульсов Р% (/= 1, 2,・・・，V)(переменные Рауса):

R & %,応乐闻=2 АА- L.(6.15)

С помощью функции Рауса R (6.15) соотношению (6.14) можно придать следующий вид:

左一vk~V左一vk~V

左一vk~V

左一vk~V

一泌%.+哥,明. (6.16)

С другой стороны, полный дифференциал функции Рауса равен

力一Vk一v

dR= ^山+ Е 芻 d% + E 芻d& +i=l 力3

Сравнивая формулы (6.16) и (6.17), находим

dR dL

dR d£ dR dL

=(6・18)

и далее

Переходя в уравнениях Лагранжа, составленных для координат qt d dLd厶

от функции Лагранжа 丄 к функции Рауса R [с помощью формул (6.18)], получаем

d dR 6R с/г»

石或一西=⑹20)

т. е. функция Рауса R играет роль функции Лагранжа по отношению к обобщенным координатам %. Уравнения же (6.19) представляют канонические уравнения

Гамильтона, в которых роль функции Гамильтона играет функция Рауса R..

Таким образом, функция Рауса R = R(f, q» q「Е,, 0勺)является лагранжевой функцией для координат 分(2=1, 2,・・・，々 —— V) и гамильтоновой функцией для координат 弓(丿=1, 2,・・・,v). Уравнения движения с помощью функции Рауса получают смешанный вид: они состоят из 々——V уравнений Лагранжа (6.20) и 2V уравнений Гамильтона (6.19).

Преобразование Рауса, как мы уже говорили, особенно удобно тогда, когда имеются циклические координаты. Пусть число циклических координат равно v. Обозначим их через 0 (/ = 1, 2,..., v). Если координата 財 является циклической, т. е. не входит явно в функцию Лагранжа, то она, как это следует из формулы (6.15), не будет входить также и в функцию Рауса. Тогда будем иметь

R = R(3 幻，％, pQ・

Следовательно, на основании (6.19):

・ 0R

A=0，

что после интегрирования дает v первых интегралов:

Р±] = С1，Р& = ‘2，・・・,〃Ev = С» .

Так как обобщенные импульсы 农，соответствующие циклическим координатам 弓,сохраняют постоянные значения, то функция Рауса R является функцией времени Z, обобщенных координат qh обобщенных скоростей ^ и V постоянных интегрирования Q:

R — R(tf qh qh Су).

Следовательно, уравнения движения (6.20), имеющие форму уравнений Лагранжа, в которых вместо функции Лагранжа стоит функция Рауса, могут быть непосредственно проинтегрированы.

Из А — V уравнений (6.20) путем квадратур находятся обобщенные координаты 幻 как функции времени £ и постоянных С^ (/= 1, 2,・・・,v).

Таким образом, при наличии циклических координат введение функции Рауса R позволяет уменьшить число уравнений движения, подлежащих интегрированию, и, следовательно, динамическая задача с k обобщенными координатами, из которых v являются циклическими, сводится к динамической задаче с 々——v обобщенными координатами. В новой задаче роль функции Лагранжа 2 играет функция Рауса R.

Если функция Рауса R известна, то циклические координаты 財 определяются с помощью одной квадратуры. Действительно, из уравнений (6.19) имеем:

; dR dR

где а； — постоянные интегрирования.

Запишем теперь обобщенный интеграл энергии

dL .

с помощью функции Рауса R. Имеем

2豆分+2获勺一厶=e.

Z=1%/=1 丿

Но

d£ = dR

a

£*§-£= £%/厂 £ = R

/=i 丿к

и, следовательно, обобщенный интеграл энергии, выраженный с помощью функции Рауса, будет иметь вид

R —Е 嘗.勿=С (6.21)

Если функция Лагранжа Z не зависит явно от времени, то и функция Рауса также не зависит явно от времени, так как

Если, кроме того, функция Лагранжа является однородной квадратичной функцией обобщенных скоростей, то, как известно, полная механическая энергия системы Т + V=E сохраняет постоянное значение, и обобщенный интеграл энергии переходит в интеграл энерги:

К-£ Е・(6.22)

В качестве примера применения метода Рауса рассмотрим механическую систему с двумя степенями свободы, кинетическая энергия которой Т есть однородная квадратичная функция обобщенных скоростей вида:

7== } (%1 91 + 2生2 7i % +022 向

(здесь коэффициенты ап, а12 и а22 — постоянные величины), а потенциальная энергия V есть функция только одной координаты %: V= V^). Начальное состояние системы пусть будет задано: при / = 0

«1 -—-1 у 02 — 1, q*=== 1 и Q^ == °・

Составим функцию Лагранжа:

£ = } @ 城 + 2a12%敢 + 〃22啰)一7%).

Отсюда следует, что координата «? является циклической. Обозначим ее через &・ Тогда будем иметь

£=} (%就+。120*1+a22给一V(0i).(6.23)

Обобщенный импульс /^, соответствующий циклической координате &, сохраняет постоянное значение:

^ =01 点 +。2e=G.(6.24)

Постоянную С\ найдем нз условия, что в Начальный момент % = 1 и，=夕2 = 0. Отсюда

Подставляя найденное значение Сх в (6.24), определяем

(6.25)(6.25)心 =患(1-》

(6.25)

(6.25)

Составим функцию Рауса R:

R〈q、、q、、Q) —Р^Л^ —乙

Подставляя сюда С\ = а^,目 из (6.25) и Л из (6.23), после преобразований получаем

a=許G -厶)一；J1一誥)密+丿g1)♦

Составляем уравнение движения с помощью функции Рауса

ИмеемИмеемdR = du (%) dqi 一對1一dR = du (%) dqi 一對1一

Имеем

Имеем

dR = du (%) dqi 一對1一

dR = du (%) dqi 一對1一

Следовательно, задача следующего уравнения:Следовательно, задача следующего уравнения:сводится к интегрированиюсводится к интегрированию

Следовательно, задача следующего уравнения:

Следовательно, задача следующего уравнения:

сводится к интегрированию

сводится к интегрированию

%%2〃11〃22 — 〃122〃11〃22 — 〃12(6.26)(6.26)

%

%

2

〃11〃22 — 〃12

2

〃11〃22 — 〃12

(6.26)

(6.26)

Если вид функции К%) известен, то из уравнения (6.26) с помощью квадратур можно определить функцию q】=q《f). Если воспользоваться интегралом энергии (6.22)

R —广 ％ = Е

то решение сведется к одной квадратуре:

Отсюда находим

Zi =沙 А —ЗМ%), где

人_2上。22 一 "^D2a22

A =2，6 —2 ・

〃11〃22— 〃12^11^23 — 〃12

Интегрируя и замечая, что при f = 0, ^i = 1, получаем

Это равенство определяет координату % как функцию времени /.

Циклическую координату Е〔 можно найти, если воспользоваться соотношением (6.25). Интегрируя и замечая, что при / = 0, $1 = ^2 = 1» получаем

о

Окончательно находим

g2")=1 + /^(1 - 91)出.о

Таким образом, задача полностью решена.

Покажем теперь, что для консервативной системы, все обобщенные координаты % (2=1, 2,…，左)которой являются циклическими, закон движения имеет вид

%«) = %% + £ (力=1, 2,..., А),

где а, и В? — постоянные.

Из условия цикличности координат % вытекает, что функция Лагранжа L не зависит от %, а из

условия консервативности системы следует, что она не зависит также и от времени /, таким образом

厶=£ （%,g2，…，%）.

Из уравнений Лагранжа получаем при этом, что все обобщенные импульсы ph соответствующие обобщенным координатам %, имеют постоянные значения:

（i=l, 2,...，后）.

Для консервативных систем значение функции Гамильтона Н совпадает со значением Е полной механической энергии системы. Поскольку все координаты циклические и система консервативна, функция Гамильтона будет зависеть лишь от обобщенных импульсов “：

"（а, а,・・.，厶）=Е или

h（e、,e2,...，c尼）=e.

Напишем уравнение Гамильтона для 仇：

Интегрируя полученное уравнение, находим 以/） = %/+£,

где В» — постоянные интегрирования.

§ 5・ Скобки Пуассона

Пусть 中 н 屮 суть некоторые функции, зависящие от переменных, определяющих состояние механической системы, а именно, от обобщенных координат 处, обобщенных импульсов р（ и времени /:

?=?（?/,科，В,屮=屮（%，科，0-

Скобками Пуассона для функций 屮 и[屮 называется выражение вида

(%中)=£篇券箝. (6.27)

Из определения скобок Пуассона вытекают следующие их свойства:

свойство антикоммутативности

(% 屮)=-(屮，?)；

если функции совпадают, то скобки Пуассона обращаются в нуль:

(.(р) = 0 и (心屮) = 0；

если одна из функций равна постоянной, то скобки Пуассона обращаются в нуль:

(?, а) = 0 к Q 屮) = 0, где а — постоянная;

свойство распределительности

81，?2 + ?8)= (?ь ?2)+ (?ь ?8)；

частная производная по времени £ (или по какому-либо другому параметру) от скобок Пуассона равна

Если рассматривать три функции с?ь (р2,屮力 то можно составить и двойные скобки Пуассона. Например, если скобку Пуассона (中2,屮з) обозначить через ф, то, составляя скобку Пуассона (%,屮)，получим двойную скобку Пуассона (中卜((р2,屮?». Аналогично можно составить и другие двойные скобки Пуассона. Имеет место следующее замечательное равенство, которое выполняется тождественно (тождество Якоби ——Пуассона):

(%,(也，屮з)) +(屮2,(屮3, ?])) + (?з, (%, ?2)) = 0. (6.28)

В справедливости тождества Якоби — Пуассона можно убедиться непосредственно путем дифференцирования. Однако, как указал Гурса, нет нужды проводить все вычисления до конца. Действительно, каждый член левой части равенства (6.28) представляет произведение производной второго порядка на две производные первого порядка. Поэтому для доказательства справедливости тождества Якоби — Пуассона достаточно показать, что левая часть (6.28) не содержит вторых производных от функций фр 屮2, ?а-

Для доказательства воспользуемся одним положением из теории линейных дифференциальных операторов. Рассмотрим два линейных дифференциальных оператора:

▲=>4小b=》Bj备丁

где Aj и Bj— некоторые функции переменных х； (/ = 1, 2,2左).

Имеем

Аналогично

纟(А) =纟(А) =

纟(А) =

纟(А) =

2々 2々 q ;2々2左

Составляя теперь разность А(В) — 5(Л), получаем

吗 恥dAj菰j-Bj菰）菰j吗 恥dAj菰j-Bj菰）菰j2月 2右

吗 恥d

Aj菰j-Bj菰）菰j

吗 恥d

Aj菰j-Bj菰）菰j

(6.29)(6.29)А(В) — В(А) =£W(

(6.29)

(6.29)

J=1/=1

т. е. снова получаем линейный оператор, не содержащий вторых производных.

Пользуясь полученным результатом, можно доказать тождество Якоби — Пуассона. Покажем, что левая часть (6.28) не содержит вторых производных от ФУНКЦИИ фр

Вторые производные от функции 力 получаются из скобок Пуассона

(伙(中3,中]))+ (中3(中1，中J), что можно представить так:

®2(屮3, ％)) —(屮8, (%，％))♦(6・30)

Скобки Пуассона (屮，屮)можно рассматривать как некоторый линейный дифференциальный оператор, действующий на одну из функций 屮 или 屮.Тогда выражение (6.30) с помощью этих операторов можно представить следующим образом.

Рассмотрим два линейных оператора:

4(七)=(中3, %) и в(?1) = (?2, %).

Равенство (6.30) тогда можно представить так:

ВА (屮О — АВ (%) = (ЗА — АВ) %.

Это выражение на основании (6.29) не содержит вторых производных от функции %・ Аналогичным способом можно показать, что левая часть равенства (6.28) не содержит вторых производных от функций ср2 и 中# Таким образом, тождество Якоби-Пуассона доказано.

Рассмотрим теперь связь между скобками Пуассона и уравнениями движения. Для этого составим скобки Пуассона от функции Гамильтона ”& 幻，р) и некоторой функции /(/, %, р). Имеем

k

Если теперь воспользоваться уравнениями Гамильтона

дН 二 дН ] •近=_RН瓯= + %,

то

то окончательно получаем

%=*+伍 ").(6.31)

Если функция /=/(/, %, р〉является интегралом уравнений движения, то /(/,夕” pj =С и, слепова- тельно, % = 0, а это на основании (6.31) приводит к соотношению

樂+ (/, ") = 0.(6.32)

Таким образом, для того чтобы функция /(/, qh р^ была интегралом канонической системы уравнений Гамильтона, необходимо чтобы выполнялось условие (6.32).

Если же интеграл уравнений движения не зависит явным образом от времени /, то 衣=0， и, следовательно, соответствующее условие принимает вид

(/, ") = 0. (6.33)

С помощью скобок Пуассона можно находить интегралы канонической системы уравнений Гамильтона. Имеет место следующая теорема Пуассона: если функции % (/, %, pj и 屮К%，％，Р〉являются интегралами канонической системы, то и их скобки Пуассона (屮° 屮2)также будут интегралом.

Для того чтобы показать, что функция 屮з =(屮八？2) также будет интегралом канонической системы, воспользуемся тождеством Якоби — Пуассона, составленным для трех функций: Н, % и ср2. Имеем:

(%，(屮2, 〃))+ «2, (”，％)) + ("，(%，屮2)) = 0・ (6.34)

Так как 屮i и 屮2 являются интегралами канонической системы, то имеют место следующие равенства:

爵一（h,中 1） = 0 и 瞥一（",平 2）=。■

С помощью этих соотношений равенство （6.34） можно представить в следующей форме:

（*"一号）+ （中2,*）+（"，《1，52））=。.

Пользуясь свойствами скобок Пуассона, находим

-（%，祟）-（》吟 +（"'（%’ 崂）=0' или

—^（?Р 屮2）+（Н，（%，中2）） = 0

и, окончательно,

箒+ @, "） = 0,

а это означает, что функция ?3 = （?ь 屮2） является интегралом канонической системы уравнений Гамильтона.

Таким образом, зная два независимых интеграла канонической системы, можно найти третий интеграл. Однако таким путем не всегда удается получить новый интеграл, не зависящий от первых двух.

Будем говорить, что функции 屮 и 屮 от переменных 2? и g# находятся в инволюции、 если их скобки Пуассона тождественно равны нулю, т. е. （% 屮）曰0・

Пусть известна система 左 независимых интегралов Фу（Л %, p〉= dj канонической системы уравнений Гамильтона такая, что каждая пара интегралов находится в инволюции, т. е.

（%，斗）三。6,尸=1，2,・・・，A）.

Такая система интегралов называется инволюционной системой интегралов или якобиевой системой. Легко видеть, что из якобиевой системы интегралов нового независимого интеграла с помощью теоремы Пуассона получить нельзя.

Пример 1. Показать, что для каждой пары координат （аналогично для каждой пары импульсов） скобки Пуассона обращаются в нуль:

（%，分）=0 и ⑵,円） = 0, а

（孙，円）=端

где % — символ Кронекера:

》」1 при i = j,% — I 0 при 2 次 /・

Указание. Воспользоваться определением скобок Пуассона.

Пример 2. Показать, что если Мх, 网,М2 — компоненты момента количества движения материальной точки, то имеют место следующие соотношения:

（网，网）=也，（网，也）=也，（М，^ = му.

Для доказательства воспользуемся известными соотношениями

M* = yPz-zPy, My = zpx — xpz и Mz = xpy-yp%・

Скобка Пуассона （Мх,饵），как в этом нетрудно убедиться, сведется к двум слагаемым:

,、дМ дм дм

=（一 Ру）^- X）— УРх = М・

Аналогично доказываются остальные два соотношения.

Пример 3. Показать, что если функция Гамильтона Н не зависит явным образом от времени /, а функция 屮（我 q” р） = а является интегралом уравнений движения, то новые интегралы тех же уравнений движения можно получить, положив

患=&,諾=c2 И t. Д.

Если функция Гамильтона Н не зависит явным образом от времени /, то ”（处,р） = h является интег*

ралом уравнений движения. На основании теоремы Пуассона （Н 屮）=& есть также интеграл. Но так как функция 屮（九 g” р〉есть интеграл канонической системы уравнений Гамильтона, то на основании （6.32） имеем

工—（",?） = 0.

Следовательно,

患= + （"，?）= + &

также есть интеграл канонической системы уравнений Гамильтона.

Аналогично доказывается, что

тоже будет интегралом.

Глава VII

МЕТОД ЯКОБИ — ГАМИЛЬТОНА

Методы интегрирования уравнений движения существенным образом зависят от вида исходной системы уравнений. Последним можно придавать различную форму, в зависимости от выбора характеристической функции, с помощью которой они составляются.

Мы рассмотрели два метода: метод Лагранжа и метод Гамильтона. Сейчас мы рассмотрим третий метод, известный как метод Якоби—Гамильтона. С его помощью задача сводится к интегрированию одного дифференциального уравнения в частных производных вида

ос \ oqi /

где Н—функция Гамильтона, а искомая функция S носит название «главной функции» Гамильтона.

Главная функция Гамильтона

Рассмотрим движение некоторой голономной системы с А степенями свободы, положение которой в каждый момент времени / определяется G обобщенными координатами q( (2=1, 2, ...» 田.

Если это движение отнести к (&+ 1)-мерному пространству Aku (/, q)、положение точки в котором определяется 一j-1) параметрами 厶 q、、q» …，％, то

движению рассматриваемой механической системы в пространстве 人+i будет соответствовать движение изображающей точки М (см. § 1 гл. III).

Пусть двум различным моментам времени 厶 и % соответствуют две различные конфигурации системы, определяемые соответственно обобщенными координатами «(? и д(?・ В пространстве 厶尼+i (厶 q〉этим двум моментам времени будут соответствовать точки 8](匕，9?) и包(3 第)•

Перемещение системы из положения (В) в положение (б?), вообще говоря, может быть осуществлено различными путями, лишь бы не были нарушены наложенные на точки системы связи. Из всех возможных путей система, в соответствии с принципом 1、а・ мильтона, будет двигаться по вполне определенному пути. Путь, соответствующий действительному перемещению системы (кривая /), как уже говорилось, называют прямым путем, а остальные возможные пути (кривые 2)——окольными путями (рис. 21).

Согласно принципу стационарного действия Гамильтона, функция действия

S = J£(厶 q^, q〉dt,(7.1)

Рис. 21значение функРис. 21значение функвычисленная для прямого пути, будет иметь меньшее значение, чем для любого окольного пути. Этим самым принцип Гамильтона устанавливает факт минимума функции действия S, но ничего не говорит о самом значении, принимаемом

Рис. 21

значение функ

Рис. 21

значение функ

функцией S при перемещении системы по прямому пути из положения (吕)в положение (品)・ Чтобы найти ции S, можно поступить следующим образом.

Для прямого пути, соответствующего действительному перемещению системы, обобщенные координаты % и обобщенные скорости 分，рассматриваемые как функции времени %, должны удовлетворять уравнениям движения. Найдем с помощью интегрирования урав- нений Лагранжа ^ и ^; они будут зависеть от времени / и 2Л произвольных постоянных интегрирования:

处==处(/，eI，e2, • • •，e2后)， % = % (f, С» С*2, ..»> CQ.

Найденные таким путем 办(/)' и %(/) подставим в формулу (7.1), откуда после интегрирования получим функцию действия, выраженную через (2尼十2) пара

(7・2)(7・2)метров:

(7・2)

(7・2)

S = S (力，看2, С［，С*2, • • • , С?/

С другой стороны, из условия прохождения кривой 7 через точки (瓦)и (&), должны иметь место следующие соотношения:

d)=处(/р &, С*2，• • •，。2丿 g!。2尼)・

Определив из этих 2^ уравнений постоянные интегрирования Ср С2,...,色2月 как функции от А, /2, 夕？ и q^ и подставив их в выражение (7.2), получим действие S в виде функции от начального и конечного моментов времени 介 и 片2 H 2尼 координат g(? и 夕険，определяющих начальное и конечное положения системы:

S=S (/р %, «(?, '(?),

Это и будет значение действия при перемещении систе* мы по прямому пути из положения (В,) в положение (5?).

Откажемся теперь от условия, что конечный момент времени /2 является фиксированным, и будем его рассматривать как переменный (рис. 22). Опуская индексы у /2 и «(? и заменяя их соответственно через / и %, получаем функцию действия S в виде (знак тильды у 5 при этом опускаем):

S = S (厶幻，々，g?)・(7.3)

6仏外）6仏外）Рис. 22Рис. 22Действие S （7.3）, рассматриваемое как функция времени t, обобщенных координат q, и некоторых постоянных параметров, носит название главной функции Гамаль^ тона、8 а

6仏外）

6仏外）

Рис. 22

Рис. 22

Эта функция играет 1 " “ фундаментальную роль в теории интегрирования дифференциальных урав-

нений динамики, когда задача сводится к интегрированию одного дифференциального уравнения в частных производных （так называемое уравнение Гамильтона —Якоби）. Указанная теория разработана главным образом Гамильтоном, Остроградским и Якоби.

Принцип переменного действия

Принцип переменного действия является расширением принципа стационарного действия Гамильтона. Чтобы лучше уяснить разницу между этими принципами, обратймся сначала к принципу Гамильтона.

В принципе Гамильтона, как известно, сравниваются движения системы между двумя заданными положениями для двух различных моментов времени и t^ В пространстве Ak^ （Л q〉эти положения определяются точками & ", «（?） и 月2（勾，"））・ Принцип стационарного действия утверждает, что для действительного движения функция действия

S = J £ （Л %,外）dt

имеет стационарное значение и, следовательно, 85=0.

Однако принцип Гамильтона ничего не говорит о том, каково будет изменение функции действия S, если от рассматриваемого действительного движения между точками А, （&, д?） и В2 （力，^） перейти к другому, тоже действительному движению между точками 瓦（J严+ m?） иа熙/+犷2）,

Рис. 23функции действия SРис. 23функции действия S

Рис. 23

функции действия S

Рис. 23

функции действия S

полученному в результате варьирования начального и конечного положений системы, т. е. в результате варьирования обобщенных координат О?ид段(рис.23). Ответ на этот вопрос дает принцип переменного действия.

Рассмотрим вариацию 8/ = 0):

Поступая аналогично тому, как мы это делали при выводе уравнений Лагранжа, т. е. интегрируя по частям второе слагаемое, стоящее под знаком интеграла, и пользуясь тем, что 3^= ~ ®%), получаем

(7.4)(7.4)

(7.4)

(7.4)

Так как в принципе переменного действия рассматриваются действительные движения, то обобщенные координаты д» (/) должны удовлетворять уравнениям движения в форме Лагранжа

— (i= 1, 2, ,^), dt dq.叫

и, следовательно, интеграл в формуле (7.4) обращается в нуль, а выражение для вариации функции действия 8S принимает следующий вид:

85 = 2/^-2^(7.5)

，胃1л

(индексы (1) и(индексы (1) иdL

(индексы (1) и

(индексы (1) и

где Pi = ~^ — обобщенные импульсы

означают, что эти величины следует брать соответственно в начале (/ =幻 и в конце (/ = 4) рассматриваемого движения).

Соотношение (7.5) и выражает принцип переменного действия. Таким образом, принцип переменного

действия устанавливает вариацию функции действия S по Гамильтону при переходе от одного действительного движения к другому близкому и тоже действи

тельному движению, полученному в результате варьирования начального и конечного положений системы.

В частности, если все и 财？ равны нулю, то 85 = 0, и мы приходим к принципу Гамильтона. Поэтому принцип переменного действия можно рассматривать как обобщение принципа стационарного действия Гамильтона.

Напишем теперь главную функцию Гамильтона для

рассматриваемого движения:

s = s(s 勾，g9, d?)：

Взяв вариацию этой функции при 8^ = 0 и 証2 = 0, получим

十e(7.6)

Сравнивая формулы (7.5), (7.6) и учитывая независимость вариаций 8«屮 и 讶汽 находим

箫=-砂，麻=再・(77)

ТакНм образом, частные производные от главной функции Гамильтона S, взятые по обобщенным координа-

там 卢 для конечного положения системы, равны соответствующим обобщенным импульсам "?, а производные от S по 7Т для начального положения системы равны соответствующим импульсам р(Р, взятым с обратным знаком.

Главная фун к ция Г а мильтона для свободной точки, движущейся по инерции. Функция Лагранжа для свободной материальной точки массы /п, движущейся по инерции, в декартовых координатах имеет вид

£ =号，+了+*).

Напишем функцию действия S: ft

S = /£4=号J (/+k+劣山.

Для свободной точки, движущейся по инерции, имеем

х = *о + £Л У=%+Зо厶 z = Nq + 2o力

и, следовательно,

X = %о，у = уQt Z = Zq.

Таким образом, находим

S =贯(君+ К +*)(f -幻.

Полагая для простоты /0 = 0, будем иметь

и

S =备[(% —々У + (У 一 ％)2 + 3 一 ％)2]・

Это и есть выражение для главной функции Гамильтона в случае свободной точки, движущейся по инерции.

Дифференцируя, находим

и

段=—备 2 (х — %о)=—加%Q = — //?・

Аналогичные выражения можно получить и для координат у и z.

Главная фун кция Гамильтона в случае центрального движения точки. Рассмотрим плоское движение материальной точки массы т. притягиваемой к неподвижному центру О силой, прямо пропорциональной расстоянию от движущейся точки до центра. Коэффициент пропорциональности пусть равен

Отнесем движение к прямоугольной системе координат ху, начало которой совместим с притягиваю* щим центром О.

Уравнения движения будут иметь вид

х =—炉 к, у = — k2y.

Это — уравнения свободных колебаний. Интегрируя их, находим

х = А sin (^ + «),1(7 8)

у^В sin 侬+

где А, В, а и р — постоянные интегрирования.

Определим кинетическую и потенциальную энергию точки.

Проекции скорости на оси координат равны

х = Ak cos(就 + а) и у == Bk cos (kt + р)・

Следовательно,

7 =穿我 cos2 侬 + a) + 52cos2 侬 + p)] и

V = m^xclx-{-ydy = ^y (x2 + j/2).

Теперь можно написать функцию Лагранжа:

丄=7 - U =号(М +)) — 甯(d + у2).

Подставляя сюда полученные выше выражения для х, у, х и у, получаем после несложных преобразований

L = ^{42cos2 (就 + a) + 52cos2(^ + Q)}

Найдем функцию действия S:

S = /£d£ =等/ {A2cos2(觎 + a) + оо

+ 32cos2(& + B)}df・

Отсюда после интегрирования получаем

S=~ {A2sm2 侬 + a)十 32sm2(旣十。)一

—A2sm 2a — jB2sin2，}.

Используем теперь начальные условия. В момент / = 0 имеем х = х0 и у = yQ и, следовательно,

%о = Asina и »o = Bsiri。.

Таким образом,

S =萼 В* cos侬 + a) + By cos {kt 十 0)—

—Axq cosa — ByQ cos。}.

Обратимся теперь к формулам (7.8). Имеем

х = Д (sin^/cosa + cos尼/ sina) = 4cosasin^/+

+ *0 cos就，

у — В (sin觎 cos。+ cos就 sing) = В cos0 %in^f ++ % cos觎.

Отсюда находим

A cos a =A cos a =% — “q COS亚sin"% — “q COS亚sin"

A cos a =

A cos a =

% — “q COS亚sin"

% — “q COS亚sin"

В cos В =В cos В =У—% cos田У—% cos田sin 论 fsin 论 f

В cos В =

В cos В =

У—% cos田

У—% cos田

sin 论 f

sin 论 f

Подставляя найденные значения Acosa и Ncosg в выражение для S

S =嘤{A* (cos比 cosa — sin々/ sina) +

-[-By (cos亚 cosg — sin厄 sing) —Ax。cosa —

—B% cos。}

и приводя подобные члены, получаем

S=~2~S?IF {(炉+"十芯+允)cos就一2 (xxo+^o)} или

s = t»{[(D +

+ (у — ％户1 cos 机-2(1 — cos 比)(x%0 + у%)}.

Это и есть главная функция Гамильтона для рассматриваемого движения.

Найдем частные производные от главной функции Гамильтона по координатам. Имеем

嘉=¥ sin kt(2xcos* — 2*0).

Подставляя сюда x = Asin(^% + a) и х()= Asina, после элементарных преобразований получаем

dS.

^- = Amk cos (紀+ a) = znx =р%・

Аналогично находим

芻=T^T(2ycos就一2%) = mj = py,

т. e. частная производная от главной функции Гамильтона по координате равна соответствующему импульсу.

Далее имеем

鏡=就加(2*。cos就一2%) и

設=/勿(2%cos就一2y).

Подставляя сюда х, у, х。 и у°, получаем

dSAmk ,•

r-7-rSin kt cosa = —oxqsin 用°

13 И. М. Беленький193

И 鼠一鳥*sE就cos。= 一叫

т. е. рассматриваемые частные производные равны начальным импульсам точки, взятым с обратным знаком.

§ 3. Общая формула для вариации функции действия

До сих пор, рассматривая вариацию функции действия

S = j L (/,幻,％) dt、

мы принимали одно из следующих условий. В одном случае считали начальное положение системы 夕屮 и конечное положение q^ фиксированными, причем время £ не варьировалось @ = 0)・ Тогда мы имели

W? = 0, 6對=О,

配］=0,配2 = 0,

и согласно принципу Гамильтона

6s = 0.

В другом случае начальное и конечное положения системы варьировались, а время оставалось не варьированным (В/ = 0). Тогда мы имели

红］=0,&2 = °，

М(?#0, 8^(2)#= 0,

и согласно принципу переменного действия вариация функции действия была равна

йк

3s= ±№/ 6犯)—£р(? W?(7.9)

/-1j=i

Дальнейшее обобщение можно получить, если кроме начального и конечного положений системы,

варьировать еще и соответствующие моменты времени f] и %• Тогда будем иметь

Mi娱0, 配2次О,

^q^^096犯)# О.

Чтобы вывести соответствующую формулу для вариации функции действия S, рассмотрим параметрическое семейство кривых 办=%(厶 а), зависящее от параметра а. Далее будем предполагать, что пределы интегрирования /】и /2 являются переменными и зависят от параметра а：

a =/1 (а) и % ^2，2 (a)，

причем, когда а = 0, тогда 厶=厶(0) и Z2 = Z2 (0).

Таким образом, в пространстве 4论+1 (厶 分)точки 田(々(吟 0? (а)) и В2 «2 (а), ^ (а)), соответствующие начальному и конечному положениям системы, при изменении параметра а будут описывать некоторые кривые (рис. 24), уравнения которых будут иметь вид

Рис. 24

犯)(a) = G・(厶(а), а)

0?e)=公(为(以«).

Следовательно, мы от одного действительного движения системы, соответствующего а = 0, д?= = %(А，。) н 0?=勿«2，。)，переходим к другому, близкому и тоже действительному движению системы,

соответствующему а у= 0 и получаемому в результате варьирования начального и конечного положений системы, а также моментов времени 厶 и /2.

В силу сказанного выше, действие 5 можно рассматривать как функцию параметра а：

(7.10)(7.10)S(a) = /《а 幻(/, а),或・(/, а)) dt.

(7.10)

(7.10)

Л(«)

Возьмем производную от функции действия S по параметру а. Для этого воспользуемся известной из курса анализа формулой дифференцирования интеграла по параметру в случае, когда пределы интегрирования являются переменными. Если интеграл

/(a)=//8 a)""

зависит от некоторого параметра % то его производная по этому параметру равна

~/а=/(х2 (а), а) ^^ 一 / ® (吟 а) ^卞护 +

*2(а)

+ j符1源.

А(а)

Применим эту формулу для дифференцирования функции действия S (7.10). Имеем

4(а)

где через 厶 и 厶 обозначены значения функции Лагранжа £ при / = /2(а) и Z = ^ (а), т. е.

厶=/ (ь(a), qi "2 (a)，"), 4i (ь(a)，。))

И

£1 =£ (f 1 (a),仇(厶(a), a),厶(f 】(a), a)),

Взяв частную производную от функции Лагранжа £ по параметру % получим

dS(a) _ / 山2 (а)/ ^ (а) ।dS(a) _ / 山2 (а)/ ^ (а) ।

dS(a) _ / 山2 (а)/ ^ (а) ।

dS(a) _ / 山2 (а)/ ^ (а) ।

что после перехода к пределу при а—>0 дает

dt- 0dt- 0及(0) =厶 4(。) 一 3 ； (0) + j ［礬］］

dt

- 0

dt

- 0

Умножая все члены на da и учитывая, что

8 (0) 8a = 85

и соответственно

4(。) ” =迎2，£ (0) Ba = В/{ и

получаем следующее выражение для вариации функции действия 5:

厶

85 =及巫2 一厶配1 + Jmdt、

что после раскрытия выражения вариации 5£, стоящей под знаком интеграла, дает

3S =厶配2 一4w + j(2^-^ + E券而)由・

Так как варьирование под знаком интеграла является теперь изохронным (近=6), то

切=备($%)，

Разбивая интеграл, стоящий в правой части, на два и интегрируя второй интеграл по частям, окончательно получаем

dL65 =厶①2-厶配1+ 2万^'%+L『1 j」кdL65 =厶①2-厶配1+ 2万^'%+L『1 j」к8^ dt.8^ dt.

dL

65 =厶①2-厶配1+ 2万^'%+

L『1 j」к

dL

65 =厶①2-厶配1+ 2万^'%+

L『1 j」к

8^ dt.

8^ dt.

Интеграл, стоящий в правой части, обращается в нуль, т. е. для действительных движений системы, которые здесь рассматриваются, должны иметь место уравнения движения Лагранжа:

2^一『=0 ar 2田，dt д ql dq(

и, следовательно, вариация функции действия S будет равна

5s =厶配2 — £1 »I +女k

+e内)画小一1>№矶1,j=li=l

где через q = ^1- обозначены обобщенные импульсы, а через р(? и 夕(? 一 значения обобщенных импульсов соответственно в моменты времени tx и /2.

Рассмотрим более детально вариации обобщенных координат 犯)и д(?, соответствующих начальному и конечному положениям системы.

Так как / есть функция параметра а, то вариация координаты 外)будет равна

冲？(a)= ^"(厶() a)冲？(a)= ^"(厶() a)Заа-»оЗаа-»о

冲？(a)= ^"(厶() a)

冲？(a)= ^"(厶() a)

За

а-»о

За

а-»о

или

乎» 0玄血 厂 加

Но так как

缥^ 8a =Ц и 禦 к = [М,]у,

то окончательно находим

可）=消画+囱Jy

Аналогично можем написать и для координаты д（?:

Итак, подставляя значения

e叫7 = 8外）_谭咕 и

画=3對）一"2）沌

в формулу для 6s и пользуясь функцией Гамильтона

получаем общую формулу для вариации функции действия в следующем виде:

где ”2 и //t — значения функции Гамильтона для моментов времени 厶匸屈。）и t尸八⑺・ Их можно представить в виде

кл

”2 = £ 6雪一厶 И /Л =2 叫 М" — Lv /-1JI

Формула (7.11) представляет наиболее общее выражение для вариации функции действия S, когда от рассматриваемого действительного движения системы совершается переход к другому близкому и тоже действительному движению, получаемому в результате варьирования как начального положения системы д(；), так и конечного положения д(?・

Если время, соответствующее начальному и конечному положениям системы, не варьируется, то, положив в формуле (7.11) 沙1 = 0 и BZ2 = 0, получим принцип переменного действия (7.9). Если же, кроме того, принять, что начальное и конечное* положения системы не варьируются, то положив o/j = 0, В/2 = 0, 5^(0 = 0 и 8兆)=0, получим принцип Гамильтона в форме

"S = 0.

§ 4. Производные главной функции Гамильтона

Рассмотрим действие S в форме главной функции Гамильтона, зависящей от параметров, определяющих начальное и конечное положения системы и соответствующих моментов времени. Считая время и координаты, соответствующие конечному положению системы, переменными, обозначим их соответственно через / и ^, а параметры, определяющие положение системы в начальный момент /0 через 0?・ Тогда главная функция Гамильтона будет зависеть от переменных 厶 ％ и параметров ", д(?:

s=s仏分,％, g(?)・

Если изменение функции действия S происходит в результате варьирования начального и конечного положений системы, т. е. обобщенных координат 幻 и д% а также варьирования моментов времени /0 и /, то вариация главной функции Гамильтона равна

С другой стороны, если в формуле (7.11) опустить индекс (2), соответствующий конечному положению системы, а индекс (1), соответствующий начальному положению системы, заменить индексом (0), то будем иметь

街S={^PiMi-hQ — (^ 内岡(？一"抖 о)・(7.13)

Сравнивая формулы (7.12) и (7.13), находим

传+"卜+士 （券_化卜%+

2(?=о.2(?=о.

2(?=о.

2(?=о.

Отсюда, вследствие независимости вариаций 証，8/0, Zqi и W(?)получаем

(7.14)(7.15)(7.14)(7.15)dS 口 dS =—— =

(7.14)

(7.15)

(7.14)

(7.15)

ииH=+a 務=—мH=+a 務=—мdtdqi

и

и

H=+a 務=—м

H=+a 務=—м

Таким образом, частные производные от главной функции Гамильтона S по обобщенным координатам % равны соответствующим обобщенным импульсам р^ а частная производная от S по времени / равна функции Гамильтона "(/, q^ р，взятой с обратным знаком.

Если же главную функцию Гамильтона S продифференцировать по обобщенным координатам д(?, определяющим начальное положение системы, то получим начальные значения обобщенных импульсов р^ с обратными знаками. Частная производная от функции S по параметру /0 равна начальному значению функции Гамильтона Н^ = Н (^0, *),〃(?)・

Дифференциальное уравнение Гамильтона —Якоби

С главной функцией Гамильтона

S = S(f,%, ", *))(7.16)

связан один метод интегрирования уравнений движения, который приводит к интегрированию одного уравнения в частных производных; оно известно под названием уравнения Гамильтона ——Якоби.

Для вывода этого уравнения обратимся к функции действия, где верхний предел будем рассматривать как переменный:

S = J L (/, %, q〉dt.

Рассматривая интеграл как функцию верхнего предела, будем иметь

審=乙(7.17)

С другой стороны, если действие S рассматривать в форме главной функции Гамильтона (7.16), то полная производная от этой функции по времени / [вследствие того, что / входит как явно, так и неявно через обобщенные координаты 幻=幻(/)] будет равна

Заменяя здесь -^функцией Лагранжа 2, а частные производные от главной функции Гамильтона S по обобщенным координатам ^ — обобщенными им- dS

пульсами pz, т. е. полагая ——=pz, получаем

что с помощью функции Гамильтона

幻，仍)= £"»-£

Z=1

может быть переписано в такой форме:

嘗+ "&处,П)= 0・(7.18)

Заметим, что это соотношение было получено нами ранее [см. (7.14)] при рассмотрении производных от главной функции Гамильтона

S = S(f, %, ", 0?).

Если теперь в функции Гамильтона Н, входящей в формулу (7.18), заменить обобщенные импульсы 仍 производными то получим уравнение Гамильто-

на — Якоби:

『小嗡尸. (7.19)

В этом уравнении неизвестной является функция S, зависящая от (々 + 1) переменных: времени t и обобщенных координат ^п ^2, ... , qh・

Уравнение Гамильтона — Якоби (7.19) есть нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка (поскольку в него входят лишь первые производные от S) второй степени (так как функция Гамильтона Н есть квадратичная функ- ция от обобщенных импульсов р(=——).

Mt

Как известно из теории дифференциальных уравнений, общий интеграл уравнения в частных производных зависит от произвольной функции. Однако при интегрировании уравнений в частных производных больший интерес представляет не общий интеграл, а полный интеграл, так как с его помощью можно получить полную систему независимых интегралов рассматриваемого уравнения.

Напомним определение полного интеграла. Для простоты рассмотрим дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка относительно искомой функции z, зависящей от двух независимых переменных х, у, т. е. уравнение вида

尸(％ у N,乩《) = 0,(7.20)

где р и q — частные производные от искомой функции г по независимым переменным хну:

dz 02.

Р =灰 и

Под полным интегралом уравнения (7.20) понимают зависящий от двух произвольных постоянных (по числу независимых переменных) интеграл

z = 0>(% 乂 出，а2), (7.21) обладающий тем свойством, что путем исключения постоянных % и а2 из уравнения (7.21) и уравнений

吋許нд =翁 (7.22)

получается уравнение (7.20) и только это уравнение. Это означает, что функциональный определитель А = g®• должен быть отличен от нуля:

д =д =/ф Охд%дуда^/ф Охд%дуда^02ф*ф дуда202ф*ф дуда2¥=0.¥=0.

д =

д =

/ф Охд%

дуда^

/ф Охд%

дуда^

02ф

*ф дуда2

02ф

*ф дуда2

¥=0.

¥=0.

Если теперь для дифференциального уравнения с частными производными

F (х, М ■ д) = 0,(7.23)

в котором неизвестная функция z не содержится явно, известен интеграл

у %),

содержащий одно произвольное постоянное а】， не входящее аддитивно, и обладающий тем свойством, что из уравнений

путем исключения постоянной % получается уравнение (7.23), то выражение

г = Ф(%, у, %) + a2

с произвольными ПОСТОЯННЫМИ Л) и а2, из которых одна входит аддитивно, представляет полный интеграл уравнения (7.23).

Обратимся теперь к уравнению (7.19).

Так как для функции S, входящей в уравнение Гамильтона — Якоби (7.19), независимыми переменными являются время t и обобщенные координаты q^ ^2> qk (предполагается, что рассматриваемая голоном- ная система обладает k степенями свободы), то полный интеграл будет содержать (々+1) произвольных постоянных аь а2, ..., а论十匕 одна из которых, например, а% будет входить аддитивно, поскольку уравнение (7.19) не содержит явно функции S (она входит в уравнение лишь своими производными). Следовательно, полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби будет иметь следующий вид:

S=/(玄分，•・・，％, % …，") + %+i・(7.24)

При этом должно выполняться условие:

Теорема Якоби о нахождении полной системы независимых интегралов уравнений движения

Якоби доказал теорему о нахождении полной системы независимых интегралов уравнений движения, если известен полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби.

Теорема Якоби гласит: если функция

S=/(左幻，％•) + %# (i=l,2,…，力)есть полный интеграл уравнения Гамильтона—Якоби

^ + "《幻，^) = °，(7・25)

то система уравнений, полученная путем дифференцирования S по а» и приравнивания новым постоянным 。/

(7.26)(7.26)

(7.26)

(7.26)

в соединении с системой уравнений

(7.27)(7.27)

(7.27)

(7.27)

составляют полную систему (2^) независимых интегралов уравнений движения, представленных в форме канонической системы уравнений Гамильтона:

喧一也и也=_也"一肌 ~di 0%喧一也и也=_也"一肌 ~di 0%(7.28)(7.28)

喧一也и也=_也

"一肌 ~di 0%

喧一也и也=_也

"一肌 ~di 0%

(7.28)

(7.28)

Таким образом, теорема Якоби устанавливает связь между интегрированием уравнения в частных производных первого порядка (7.25) и интегрированием системы обыкновенных дифференциальных уравнений (7.28).

Чтобы доказать теорему Якоби, необходимо показать, что переменные 分 и р^ определенные из системы уравнений (7.26) и (7.27) в виде функций времени t и 2k произвольных постоянных & и 历：

办=%・(%, %, %), Рj = Рj (t、%, В) (i, /= 1,2, ...,力)，будут тождественно удовлетворять уравнениям (7.28).

Однако это можно доказать и не решая системы уравнений (7.26) и (7.27) относительно % и 円，если показать, что переменные «, и рь определенные из систем уравнений (7.26), (7.27) и (7.28), удовлетворяют одной и той же системе линейных уравнений.

Переходя к доказательству, заметим, что если функция

S=/ 也 qb 吟 + 能+1

есть интеграл уравнения (7.25), то будучи подставлена в уравнение, она обращает его в тождество, т. е.

号親

Следовательно, производные, полученные в результате дифференцирования уравнения (7.25) по любым переменным qt или по постоянным &, должны обращаться в нуль, если вместо функции S подставить значение полного интеграла

/(厶幻，а) + з+1.

Дифференцируя уравнение (7.25) по одной из постоянных, например, по ау, и замечая, что эта постоянная, кроме самой функции

S = f(厶分，&) +毎+i, входит еще в производные

^=备厂 Pi Q А 1,2,...,也)， получаем

可Г十衣dpj吗d% =0■(7.29)

Таких уравнений будет, очевидно, k по числу постоянных а； (/= 1,2, ... , Л), входящих в функцию “，幻，％•)・

С другой стороны, если взять полную производную по времени t от одного из уравнений системы (7.26), например, уравнения

д2s dt da"д2s dt da"и вспомнить, что время t входит в функцию S как явно, так и неявно через обобщенные координаты g尸分(左 %,氏)，то получим

д2s dt da"

д2s dt da"

(7.30)

Сравнивая полученные выражения (7.29) и (7.30), dq： дН

видим, что производные 亠 н 厂 являются корнями

одной и той же линейной системы уравнений. Следовательно, если определитель этой системы не равен нулю, то должно выполняться равенство

銷.(7.31)

Для того, чтобы установить, будет ли отличен от нуля определитель △, рассмотрим коэффициенты линейных уравнений (7.29) или (7.30), которые имеют вид

d2s02 s/s

d%d%' @04/2 '°%d” '

d2sd2sd2s

0旳0% ' da2dq2 'da2叫'

d2sd2s而西，d"d" 'd2sd2s而西，d"d" '/S/S

d2sd2s

而西，d"d" '

d2sd2s

而西，d"d" '

/S

/S

Следовательно, определитель А этой системы можно представить как функциональный определитель:

Если определитель А обращается в нуль, то между dS производными jy должно существовать соотношение, не зависящее от постоянных аь а2, ... , аА, вида

屮("'^) = °・(732)

Но тогда S будет служить решением не только уравнения (7.25), но и уравнения (7.32), в котором отсут- dS

ствует производная 赤,а это невозможно, так как функция

S = /(我 %, %)+%+1(7.33)

лишь тогда является полным интегралом уравнения (7.25), когда для исключения (^ +1) постоянных а^ а21 ...,o^+i используются все (^+ 1) уравнений

竺="№=" 竺=也

полученных из (7.33) путем дифференцирования по всем аргументам / и 分.

Таким образом, определитель А действительно не может обратиться в нуль, и, следовательно, заключение относительно равенства (7.31) остается справедливым.

Приведенное доказательство принадлежит Якоби.

Чтобы получить вторую группу уравнений (7.28) dpi — дн

обратимся к уравнениям (7.27).

Продифференцировав какое-либо из этих уравнений, например, r-ое, получим

d d\d2sу 02s •

而==丽;+ 2另瓦％・(7.34)

С другой стороны, если взять частную производную по qi от уравнения (7.25), то будем иметь:

k

. дНd2s

+近+硒7 = 8亿35)

Отсюда из совокупности уравнений (7,34) и (7.35) находим k

dt 十此 Z v>Op J °qpqj，

7=1

что на основании равенства (7.31) дает

=0. dt 十 °%

Теорема Якоби, таким образом, доказана полностью.

Случай консервативной системы

Рассмотрим случай, когда функция Гамильтона Н не зависит явно от времени /, как это имеет место, например, в консервативных системах. В этом случае функция Гамильтона будет зависеть лишь от обобщенных координат 幻 и обобщенных импульсов 卩：

Н — Н (qc pj (/ =1,2, ...,尼).

Уравнение Гамильтона—Якоби (7.19) будет при этом иметь следующий вид:

+ Н %•，篇)=°・(7・36)

Так как в это уравнение время / явно не входит, то число независимых переменных может быть уменьшено на единицу. Полагая

S=一从+囚(%,亿)(i = l,2, ...,用，где h — постоянная, будем иметьdS , dS dWdt， 叱. 叱，

и, следовательно, дифференциальное уравнение Гамильтона —Якоби (7.36) будет иметь следующий вид:

=九(7・37)

Полный интеграл уравнения (7.37) будет зависеть от (々 + 1) постоянных 旬，а2, ..., %, Л, из которых одна, например, а论 будет входить как аддитивная постоянная. Это вытекает из того факта, что в уравнение (7.37) сама функция W не входит, а входят dWI

лишь ее производные 版,и, следовательно, функция W определяется с точностью до аддитивной постоянной.

Таким образом, полный интеграл уравнения (7.37) будет иметь вид

W= W (勿旬，а2...,踪—i, 3 + % (Z=l,2, ... , A).(7.38)

Зная полный интеграл уравнения (7：37), можно написать полный интеграл уравнения (7.36). Он будет иметь следующий вид:

S = — ht-^W (外出，a2,...,郁一1,也)+ % (Z= 1,2, ...,左).

(7.39)

напи-напи-у 7у 7(7・40)(7・40)Отсюда на основании теоремы Якоби легко сать полную систему независимых интегралов нений движения. Пользуясь формулами (7.26) и находим

напи-

напи-

у 7

у 7

(7・40)

(7・40)

dS dW

dS dW

№ =瓦？ = £•z i

dSdhdSdh=一+ 需=一*。■=一+ 需=一*。■

dS

dh

dS

dh

=一+ 需=一*。■

=一+ 需=一*。■

Отсюда следует, что

dWdW(7.41)(7.41)

dW

dW

(7.41)

(7.41)

где /° — произвольная постоянная, которая может быть взята в качестве начала отсчета времени.

Уравнения (7.40) не содержат в явном виде времени /・ Первая группа уравнений (7.40) служит для нахождения обобщенных импульсов р?・ Вторая же группа уравнений (7.40) может быть представлена в следующем виде:

^~== А (^1 > ••• > 訣，瓦 ％, ..., ”—i)=再

G=l,2, ..., Л- 1).

Определяя из этих уравнений обобщенные координаты 02，0з，••• , 0尼 в виде функций от координаты 夕】и постоянных Л, а, и В” получаем

外=% Si,小%•,吃，

禽=93 (^i,儿 出,告)， (%=12...,左一1) 软=软(分，九电，吃.

Эти уравнения можно трактовать как уравнения траектории изображающей точки М (д】,^2， ... , g月) при ее движении в пространстве конфигураций. Уравнение (7.41) будет при этом изображать временную зависимость при движении изображающей точки М по траектории.

Метод разделения переменных

Может показаться, что метод Гамильтона ——Якоби, связанный с интегрированием нелинейного дифференциального уравнения в частных производных, сложнее, чем метод Гамильтона, сводящий изучение проблемы движения к интегрированию совокупной системы 2尼 обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Однако во многих случаях интегрирование уравнения Гамильтона — Якоби оказывается проще, чем интегрирование канонической системы уравнений Гамильтона. Это наглядно можно показать в случае, когда удается произвести разделение переменных. Сущность метода разделения переменных состоит в следующем.

Пусть какая-либо координата, например, ^ь и соответствующий этой координате обобщенный импульс Pi входят в функцию Гамильтона Н в виде некото. рой функции /①，pi), не содержащей ни времени 厶 ни каких-либо других координат qt и импульсов

Уравнение Гамильтона—Якоби в этом случае будет иметь следующий вид:

A"《分,『 (4脸)，/) =。，(742) где индекс i пробегает все значения, за исключением первого (/ = 2,3, ..., А). Решение в этом случае будем искать в виде

S =&(%) +(厶办

Подставив это выражение в уравнение (7,42), получим

等十 "(/“"/R，*，崙)=。.(7.43)

Пусть решение этого уравнения найдено. Тогда, будучи подставлено в уравнение (7.43), оно обратит его в тождество, справедливое при любом значении координаты qv Но при изменении координаты q、изменяется функция /(«1，記),а потому, для того, чтобы равенство (7.43) тождественно выполнялось, необходимо, чтобы сама функция / была постоянной. Таким образом, уравнение (7.43) распадается на два уравнения:

=ОС]

若+〃《％,а”崙)=0 (』2,36),

первое из которых теперь есть обыкновенное дифференциальное уравнение, а второй ——по-прежнему остается уравнением в частных производных, но с числом переменных, уменьшенным на единицу.

Этот процесс разделения переменных может быть продолжен и далее, если функция Гамильтона Н может быть представлена в таком виде:

h = h(/,%•, Pj,厶)(s= 1,2,…，加;/=加 +1,…，也)，

где функции R зависят лишь от одной координаты qs и соответствующего обобщенного импульса &

£=£(柒，厶)■

Представляя решение в этом случае в виде:

S = S】(％) + S?Q) +・・・+ 5加匂加)+ S"© q》, с помощью рассуждений, аналогичных проведенным выше, получаем систему т обыкновенных дифференциальных уравнений вида

力（啃）=初" （賓，穹=出'乙Rm，記）

и одно уравнение в частных производных вида

察喏宀)=。

(s= 1,2, ...» т\ j = m-}-\. ...» 尼)，

где число переменных равно (々——〃“.

Метод разделения переменных всегда можно применить, если имеются циклические координаты. Пусть, например, координаты ^,(/=1,2, ...» 加) являются циклическими. Поскольку эти координаты не входят явным образом в функцию Лагранжа, они не будут входить явно и в функцию Гамильтона Н, а следовательно, и в уравнение Гамильтона — Якоби. Так как обобщенные импульсы 円，соответствующие циклическим координатам q, (/= 1,2, ...» 摊),сохраняют постоянные значения:

Л = ^=а； (7=1,2,т),

то уравнение Гамильтона — Якоби принимает вид •^+"，，分，哥，%• )=0 (7=1,2, 加;2 =加+1,尼). Полагая

S=E %.%. + 5*(f,%) (2 =m + 1,尼)，(7.44)

получаем для уравнения Гамильтона — Якоби следующее выражение:

Н +円(7.45)

(/= 1,2, ..., m; 2 = ^+1，…，力)，

где искомая функция S* теперь уже зависит от (々——加) переменных.

Для консервативных систем, когда время t явно не входит в функцию Гамильтона, а координаты 分(/ = =1,2, .・・,〃) по-прежнему являются циклическими, решение можно искать в виде

S=一4 + E %•分 + W (?z) (2 =加 + 1,…，初 (7.46)

Уравнение Гамильтона-Якоби при этом принимает следующий вид:

"(公，需，%•) = %,(7.47)

где искомая функция W зависит от (尼——m) обобщенных координат 夕加+i,夕加十2,…,g眇 а постоянная А равна полной механической энергии системы Е.

Если все координаты, кроме одной, например, qk, окажутся циклическими (т. е. если ^= ^ — 1), то задача сведется к интегрированию обыкновенного дифференциального уравнения вида

"(%'貶»)=e"=1'2…'尼-D 亿48)

После того, как в результате интегрирования уравнения (7.48) будет найдена функция W—W(^, аЛ), полный интеграл S уравнения Гамильтона — Якоби можно представить в таком виде:

S = — £7 + £ %• % + UZ (%, %).(7.49)

/ =1

Время / здесь играет роль циклической координаты, а соответствующий ей обобщенный импульс р& равен

полной механической энергии £, взятой с обратным знаком:

р == —Е(7.50)

В заключение укажем, что применение метода разделения переменных при интегрировании уравнения Гамильтона — Якоби находится в зависимости от того, удачно ли выбраны обобщенные координаты, определяющие конфигурацию системы. В одной системе координат переменные могут быть разделены, а в другой этого достичь нельзя. При выборе системы координат обычно руководствуются характером рассматриваемой задачи.

Пример 1. Составить уравнение Гамильтона — Якоби для свободной материальной точки массой т, движущейся в консервативном поле.

Так как точка движется в консервативном поле, то полный интеграл 5 уравнения Гамильтона — Якоби будет иметь вид

S=-Et+W^ А) (i= 1,2,3), где Е — полная механическая энергия точки, а функция W должна удовлетворять дифференциальному уравнению

При составлении функции Гамильтона //воспользуемся результатами, полученными при решении задачи на стр. 159. Имеем:

В декартовых координатах. Полагая 91 = х, % =У 9з = %, напишем функцию Гамильтона Н\

"=^(冠+ Р； +成+U(x, у г).

Здесь V(х, у. г) — потенциальная энергия, а

dSdWdSdWdSdW

дхдх'⑪дуdz dz

Следовательно, уравнение Гамильтона — Якоби будет иметь вид

圖+喇+喇+ 2加圖+喇+喇+ 2加V(x, у, 2)= 2加七.V(x, у, 2)= 2加七.

圖+喇+喇+ 2加

圖+喇+喇+ 2加

V(x, у, 2)= 2加七.

V(x, у, 2)= 2加七.

В цилиндрических координатах. Полагая q、=「小=% 夕3 = 2， напишем функцию Гамильтона Н:

Н = *(/ + ±或 +夕,+ 丿(「，■，)•

Так как

dS dWd§ dW dS dW

必=訴=17,网=石=篇，厶=芯=/,

то уравнение Гамильтона — Якоби принимает следую щий вид:

圖+十嘗2 + * + 2w…)=2加e

В сферических координатах. Полагая

9i = P，% = % 9з = 8, напишем функцию Гамильтона Н:

"=；(诉 + "VW Н1 q + U(p, % 8).

\p12 p2 sin20 /

Так как

dSdWdSdWdSdW

=,。8 = =,% ==.

办dp说说西西

то уравнение Гамильтона—Якоби будет иметь следую щий вид:

罟）2 +氐嘗y + vir（嘗）4 2九亚% 8）=2加£

Возможность применения метода разделения переменных при интегрировании полученных уравнений Гамильтона—Якоби будет зависеть от вида функции 匕 выражающей потенциальную энергию точки.

Пример 2. Рассмотреть движение точки массы /п=1, движущейся в центральном поле, если ее

потенциальная энергия выражается функцией V (г), а ее полная энергия равна Е.

Так как при движении в центральном поле точка совершает плоское движение, то перейдем к полярным координатам г,屮・ Функция Гамильтона Н будет иметь следующий вид:

3 + ±就)+ Уг)‘

где

dSdWdSdW

j drdr' •讣邦

Следовательно, уравнение Гамильтона — Якоби будет иметь вид:

Так как здесь координата ? является циклической, то можно применить метод разделения переменных. Полагая

К&，?) = а?+\Г1(г),

dW

где а — постоянная, и учитывая, что = а, полу-

亦

чаем следующее обыкновенное дифференциальное уравнение для определения функции 伊匚

(醬 Y+^+2Hr) = 2E

Разделяя переменные и интегрируя, получаем:

Wi⑺=//2七一号-2ь(r)公+ %,

где 04 ——постоянная интегрирования.

Обозначая результат интегрирования через Ф(г, а, £), запишем полный интеграл уравнения Гамильтона —Якоби в виде

S= — £7 + а中 + ①(г, а,七)+ %.

Следуя Якоби, составим полную систему независимых интегралов уравнений движения, для чего воспользуемся формулами (7.26) и (7.27). Имеем

да I дЕ

Постоянные % н 02 Mbi в дальнейшем будем обозначать соответственно через 中° н — tQ.

Выпишем полную систему независимых интегралов:

p=竽=土 m2Е£-2u⑺ирl.p=竽=土 m2Е£-2u⑺ирl.

p=竽=土 m2Е£-2u⑺ирl.

p=竽=土 m2Е£-2u⑺ирl.

Эти уравнения содержат четыре произвольных постоянных: а, Е、＜ро и /0, которые определяются начальными условиями.

Полученная таким образом полная система независимых интегралов описывает все возможные движения точки в центральном поле в зависимости от вида функции V (г) и от условий, определяющих начальное состояние точки.

Пример 3. Рассмотреть движения свободной точки массы т в однородном поле силы тяжести.

Отнесем движение точки к декартовой системе координат, причем ось z направим вертикально вверх.

При таком выборе система координат потенциальная энергия будет равна V = mgz, и функция Гамильтона будет иметь вид

"=^ ⑷+心+碩 +摊gz・

Замечая, что

Ру =Ру =dSdS可以 =花，dSdS可以 =花，

Ру =

Ру =

dSdS

可以 =花，

dSdS

可以 =花，

напишем уравнение Гамильтона — Якоби:

戮十制+

Так как поле силы тяжести есть поле консервативное, а координаты х и у являются циклическими, то полный интеграл, согласно формуле (7.49), можно написать в такой форме:

S = — Et + %* + a2y + W (z)・

Для нахождения функции W(z) имеем следующее обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка:

一e+亲卜；+a2 +(^^)? + 喉=。'

или после упрощений

_=j/2/n (£ — mgz)—吟一唸

Отсюда, интегрируя, находим

闪=/ V2nl(e - mg石—aj -a2血+脸

где аз—постоянная интегрирования.

Определив таким образом функцию Wt которая будет зависеть от z и параметров Е, % и а2, можем написать полный интеграл S уравнения Гамильтона —— Якоби:

S = — Et + «i% + a2y + W(z, E, %, a2).

Напишем теперь полную систему независимых интегралов уравнений движения, для чего воспользуемся формулами (7.26) и (7.27). Имеем

OS — r dS — r °S — q

dSdSdS

詞=厶，.Py，亦=厶.

Обозначая постоянные 氏，р2 и 届 соответственно через *о, Уо н —", напишем полную систему интегралов уравнений движения в такой форме:

dW / ч dW / х dW ..

石= _(x — x。)，而= IF Л。，

Px = %，Py = ^ Pz=^=± |/2/n(E_/ngz)_y_ 唸

Полученные уравнения содержат шесть произвольных постоянных: %о, у。, /(), Е, а】и а?, которые определяются начальными условиями.

Рассмотренную задачу можно было, конечно, решить элементарными методами. Мы привели ее здесь с единственной целью проиллюстрировать метод разделения переменных при интегрировании уравнения Гамильтона — Якоби.

Пример 4. Рассмотреть движение системы с одной степенью свободы в консервативном поле с потенциальной функцией V=V(^).

Напишем функцию Лагранжа

/=翠3- Wg),

где р. — приведенная масса системы.

Определим обобщенный импульс

dL

Следовательно, функция Гамильтона Н будет равна 駕①一丄=署 +丿(办

Обозначая полную энергию системы через £, можем написать

"d+W) = E

Уравнение Гамильтона — Якоби будет иметь следующий вид:

ПолагаяПолагая

Полагая

Полагая

5 （Л q^-Et+W^получаем для определения функции К（д） следующееобыкновенное дифференциальное уравнение:

嘗2a «—№））.

Отсюда

取⑺=J ^ 2a（七一Mg））歯+ a, где а ——постоянная интегрирования.

Зная потенциальную функцию 叭《） и интегрируя полученное уравнение, находим функцию /«） и главную функцию Гамильтона S:

S=-Et+ J ]'2a（上一mg））對+好

Напишем теперь с помощью теоремы Якоби полную систему независимых интегралов. Так как система имеет одну степень свободы, то будем иметь два независимых интеграла:

dS / dS 症=_*。，盼

Таким образом, получаем

и

р = ]/'2卩 V£—V（q）.

Если проинтегрировать первое уравнение и определить q как функцию 厶 то получим уравнение движения. Второе же уравнение, как нетрудно убедиться, выражает закон сохранения энергии:

g； + Mg） = E・

Оптико-механическая аналогия

Первый, кто обратил внимание на аналогию между задачами геометрической оптики и классической механики, был Гамильтон. Именно он указал на анало-

гию между движением материальной точки в потенциальном поле и распространением светового луча в изотропной оптически неоднородной среде.

Эта аналогия, как известно, в дальнейшем послужила началом новой физической теории ——волновой механики.

К оптико-механической аналогии можно легко прийти, если сопоставить два принципа: принцип Ферма, являющийся основным принципом геометрической оптики, и принцип стационарного действия классической механики в форме Якоби.

Обратимся к сущности принципа Ферма. Рассмотрим распространение светового возмущения из точки А в точку В. В случае оптически однородной среды, когда скорость распространения света есть величина постоянная, луч света будет, очевидно, распространяться прямолинейно по прямой АВ, так как нет физических причин, в силу которых происходило бы отклонение луча света. Если же оптическая среда неоднородна и скорость света и = и(х, у г) будет меняться при переходе от точки к точке (мы считаем, что среда неоднородна, но изотропна), то в силу преломляющих свойств среды будет происходить искривление светового луча.

Между точками 4 и В можно провести пучок кривых линий, и встает вопрос: по какой кривой из рассматриваемого пучка будет происходить распространение светового луча? Ответ на этот вопрос дает принцип Ферма, согласно которому распространение света из точки А в точку В происходит по такой кривой рассматриваемого 〃у吆％。，что время с распространения света при этом оказывается мини^ мальным.

Если элемент дуги светового луча обозначить через ds, то для прохождения этой дуги световому

V ds

лучу понадобится время — , и, следовательно, время распространения света от точки А до точки В будет равно

(В)

Г ds

с = J 〃(匕 М е) *

⑷

Обычно вместо времени с рассматривают так называемую оптическую длину о, равную произведению времени с прохождения света на скорость с распространения света в вакууме. Оптическая длина, следовательно, равна

(7.51)(7.51)

(7.51)

(7.51)

где п (х, у, z)=灭光;① носит название коэффициент та преломления среди.

Таким образом, принцип Ферма имеет форму вариационного принципа, поскольку речь идет о минимуме функционала а. Следовательно, траектория светового луча определится как экстремаль уравнения

(В) Ms(В)

(7.52)(7.52)/£^, 2)= 8 /〃 (х, У 2)曲=0. (Л)(Л)

(7.52)

(7.52)

С другой стороны, на основании принципа стационарного действия в форме Якоби, при движении материальной точки массой т в консервативном поле с потенциальной функцией V= V(x, у, г) и заданной величиной энергии £, функционал

(8)

W = /}/2zn(E—『(％, у z)) ds

также должен иметь минимальное значение. Следовательно, траектория материальной точки определится как экстремаль уравнения

(5)

/ j/ 2加(七一！/(%,», %)) ds = 0. (Л)

Сравнивая оба принципа, можно установить оптико-механическую аналогию, а именно, аналогию между 224

траекторией материальной точки и траекторией светового луча. Положим

〃(七 у, 2)= А@(х, у 2), или

и (х, V, z)= -…二= ,(7.53)

-"丿 r 2m (E-V(xt Л 2))，

где <1 и А — постоянные, причем постоянная А, как в этом легко убедиться, имеет размерность энергии.

Выше мы сравнивали траектории частиц с траекториями лучей света, однако аналогию между механикой и оптикой можно провести дальше, если принцип наименьшего действия выразить в волновой форме.

Для этого введем в рассмотрение поверхности равного действия W (%, у, z) = const, аналогичные поверхностям равной фазы в оптике. Перемещение поверхности равного действия можно рассматривать как волнообразное распространение действия, а само действие ■— как фазу некоторой «волны действия».

Покажем, что импульс р = mv движущейся точки перпендикулярен к поверхности равного действия W(х, у, г) = const, подобно тому, как в оптике световой луч перпендикулярен к поверхности равной фазы. Напишем действие W в форме Мопертюи и будем рассматривать его как функцию верхнего предела, т. е. переменной точки с координатами х, у, z:

(*，y, Z)

W (х, у, 2)= /mvds.

(才о, Jb, %)

Замечая, что

加0 ds = p •公， запишем функцию действия в такой форме:

(*, у, Z)(х, у, Z)

(%，Уо，2。)(л"。，％, 2。)действия W (х, у, %) не зависит явно имеем(%，Уо，2。)(л"。，％, 2。)действия W (х, у, %) не зависит явно имеемW (х, у, z) = J"р • ds == J^pxdx + pydy + pzdz.

(%，Уо，2。)(л"。，％, 2。)

действия W (х, у, %) не зависит явно имеем

(%，Уо，2。)(л"。，％, 2。)

действия W (х, у, %) не зависит явно имеем

Так как функция от времени /, то

22522515 И. М. Беленыеий

225

225

dU7 =需 〃x + 粉办 +巻 dz = pxdx +pydy + Pzdz, t. e.

dWdWdW

или в векторной форме

р = grad W.

Отсюда следует, что импульс р направлен по нормали к поверхности равного действия W (х, у, г)= =const. Но так как вектор р = /пи направлен по касательной к траектории частицы, то траектория, следовательно, будет ортогональна к поверхностям равного действия.

Перейдем теперь к определению скорости перемещения поверхности равного действия, т. е. скорости распространения «волн действия». (В оптике аналогом этой скорости служит так называемая фазовая скорость) Для этого рассмотрим функцию действия S по Гамильтону. На основании формулы (3.9) имеем

S{x, у, z, /) = W(xt у z) — Et、 (7.54)

Отсюда находим

dS _dW _dS _ dW _竺—丝_

dx 一 дх 一 Р» ду 一 ду — %， @? 一 dz — Р»

или в векторной форме

grad S = grad W = р,

т. е. импульс р в каждый момент времени ортогонален как к поверхности равного действия М(х, »,%) = =const, так и к поверхности равного действия S(x, у, г, /) = const. Полученный результат легко уяснить, основываясь на следующем.

Возьмем какой-нибудь фиксированный момент времени £ =左・ Очевидно, система поверхностей 5(х, у г,厶)=const будет совпадать с системой поверхностей W(x, у, %) = const и, следовательно, траектории частиц, которые ортогональны к поверхности W(х, у, г) = const в рассматриваемый момент вре-

мени будут ортогональны и к поверхностям S(x, у, г, Л) == const. Сама же поверхность S(x, у z,/)= const будет перемещаться в пространстве, и каждый элемент ее будет при этом двигаться в направлении нормали к поверхности.

Из формулы (7.54) имеем

穿=一e(7.55)

Для нахождения скорости распространения «волны действия» рассмотрим некоторую поверхность равного действия

S(x, у, г, /) = const.

Для такой поверхности будем иметь

dS=dW — Edt = G.

Замечая, что

dW = mvds = pds,

находим искомую скорость в следующем виде:

曲_Е _

応一万一% 2加(七一而,(7.56)

Если теперь сравнить формулу (7.56) для скорости перемещения поверхности равного действия с формулой (7.53) для фазовой скорости и(х, у, г), то легко видеть, что они совпадут, если постоянную А принять равной энергии Е、т. е. если положить

и (%, V,二-七一-—

Таким образом, установлена аналогия между фазовой скоростью в оптике и скоростью «волны действия» в механике.

Глава VIII

КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

При интегрировании уравнений движения системы часто приходится осуществлять переход от одних переменных к другим, при котором форма канонических уравнений Гамильтона не изменяется.

Особую роль при этом играет преобразование, известное под названием преобразования Лежандра.

К рассмотрению этого преобразования мы сейчас и перейдем.

Преобразование Лежандра

Рассмотрим сначала для простоты случай двух переменных. Пусть z есть функция двух независимых переменных % и у %=/（х, у）. Дифференциал этой функции равен

dz = udx-\-vdy.（8.1）

где

〃（乂》）= ^ и ©（%丿）= ^.

Произведем замену переменных, взяв в качестве независимых переменных 辽 и 0, тогда х и у будут функциями от 〃 и @:

х =① 3，@） н у =田（比，©）・

Рассмотрим функцию Z = Z(^,硯 такую, чтобы ее полный дифференциал был равен

dZ也,0)=①(〃，0)恋+田(小0)d0, или

dZ = xdu + yd@・(8.2)

Функция z носит название производящей функции по отношению к переменным х и у а функция Z — производящей функции по отношению к переменным 辽 и и. Сам же переход от переменных % и у к переменным 辽 и и и связанный с этим переход от производящей функции 2(х, у) к производящей функции Z (zz, @) носит название преобразования Лежандра.

В случае двух переменных преобразование Лежандра, как в этом легко убедиться, осуществляется с помощью функции вида

Z = хи 十少@ — z. (8.3)

Действительно, взяв полный дифференциал dZ й воспользовавшись выражением для dz (8.1), получим

dZ = х〃4 + ydvf

и таким образом убеждаемся, что преобразование (8.3) является преобразованием Лежандра.

В случае, когда требуется от переменных х, у перейти к переменным х, © и, следовательно, от производящей функции z(x, «У)——к производящей функции Z(x, преобразование Лежандра имеет вид:

Z = yv — z.

Действительно

dZ = ydv 十 vdy — dz, что после подстановки

dz = udx + vdy дает

dZ = — udx + yd*.

Отсюда получаем:

dzdZ

— = —

Аналогично можно перейти от переменных xt у к переменным а, у. Соответствующее преобразование Лежандра будет иметь вид

Z = х〃一 2.

Отсюда

dZ = xdu + udx — dz = xdu — vdy

и, следовательно,

dZdZdZdZ-0.-0.

dZ

dZ

dZ

dZ

-0.

-0.

Все сказанное выше относительно двух переменных хну можно обобщить на случай любого числа переменных.

Пусть z есть функция 2左 переменных xb х2,…, 占，У】，少2, ♦•♦，%，т. e. z = z（xi，..., %,歹1,...,必）.

Тогда полный дифференциал dz будет равен:

尼k

dz=^^uidxi + 2 化吻，（8.4）

где

1 dx.1 Oy

Если теперь от независимых переменных 必 yi ne рейти к независимым переменным %, vi （2= 1,2, ...,例 то соответствующая производящая функция Z （辽“ и） определится с помощью преобразования Лежандра вида 在k

Z = X%・/ + Nq・M —z・j==lz=i

Взяв полный дифференциал dZ и воспользовавшись выражением для dz （8.4）, получим

kk

dZ = £ xdu, + 2 У^ь/=1/="1

где

dZ

*尸成Нм =

dZ_

叫•

Чтобы от переменных *” у перейти к переменным хм q, необходимо выполнить следующее преобразование Лежандра:

k

Z = g]M・q —2・（8・5）

Тогда

dZ = 2 yidfvi 十 2 ^idyi —dz,

что после подстановки значения dz из （8.4） дает

kк

dZ = — 2Z»12=1

Отсюда следует, что dzdz

丙и西="，

Применим теперь преобразование Лежандра к уравнениям механики.

Для функции Лагранжа £ = £（%, %,加），зависящей от （2尼 + 1） переменных: /, qb 幻（i= 1,2, ...,初 имеем

Введем обобщенные импульсы dL

Так как из уравнений Лагранжа ・ dL 化=丽;，

то dL можно представить в следующем виде:

kkkkdL =[0幽什曰。闽丄+ ^山.dL =[0幽什曰。闽丄+ ^山.（8.6）（8.6）

k

k

k

k

dL =[0幽什曰。闽丄+ ^山.

dL =[0幽什曰。闽丄+ ^山.

（8.6）

（8.6）

Таким образом, функция Лагранжа £ является производящей по отношению к (2^+ 1) переменным Лагранжа /,幻，幻(力=1,2,...，论)..

Перейдем теперь от переменных Лагранжа /, %,幻 к переменным Гамильтона 厶 ％,仍・

Соответствующее преобразование Лежандра, согласно (8.5), будет иметь вид

Н© qt、p〉=2pji — L

что совпадает с функцией Гамильтона.

Таким образом, функция Гамильтона "(厶 ％, pj является производящей функцией по отношению к (2尼十1) переменным Гамильтона: f, qh 夕尸

Действительно, kk

d"= 2 Ма~ 2 Pidqt - dL、z=ii=l

что после подстановки dL из (8.6) дает

d"=— W卢歯'+2 4dpl 衣 dt.d"=— W卢歯'+2 4dpl 衣 dt.(8・7)(8・7)

d"=— W卢歯'+2 4dpl 衣 dt.

d"=— W卢歯'+2 4dpl 衣 dt.

(8・7)

(8・7)

С другой стороны

kkdPt + —威・dPt + —威・

k

k

dPt + —威・

dPt + —威・

Сравнивая две последние формулы, находимдh =一吐

дН • дНдН • дН幻，幻，

дН • дН

дН • дН

幻，

幻，

а это — канонические уравнения Гамильтона.

Таким образом, канонические уравнения Гамильтона получаются в результате преобразования Лежандра при переходе от переменных Лагранжа 力 ％, 幻 к переменным Гамильтона /, qh 仍・

§ 2. Канонические преобразования

Рассмотрим преобразование в 2^-мерном фазовом пространстве с координатами qi и р； к новым переменным Q, и Р;:

(8.8)(8.8)Qj = Qi (分，Pj，£)‘£• = £•(%，，，£)

(8.8)

(8.8)

при условии, что функциональный определитель

АА°&，£・)"%，匕)°&，£・)"%，匕)

А

А

°&，£・)"%，匕)

°&，£・)"%，匕)

отличен от нуля. Тогда преобразование (8.8) будет обратимым, и старые переменные qj и р； могут быть выражены через новые переменные Q； и Р：

(8・9)(8・9)% = % (%, Qj, Pj)，I亿・=口・(/, Q/, Pj).]

(8・9)

(8・9)

Если преобразование (8.8) или (8.9) подчинено условию обратимости, а в других отношениях совершенно произвольно, то каноническая система уравнений Гамильтона

(8.10)(8.10)dq. дн dp. дн

(8.10)

(8.10)

=--— и -— = — -dt 0乙 dt d%

перейдет в новую систему уравнений, которая, вообще говоря, не будет иметь форму канонических уравнений Гамильтона.

Для целей интегрирования уравнений механики особый интерес представляют те преобразования, при которых каноническая форма уравнений Гамильтона сохраняется неизменной. Тогда в результате преобразования (8.8), при переходе от переменных 勿 и р? к

Новнм переменным Q； и R уравнения (8.10) преобра Зуются в каноническую систему вида

dQ дН' dP дн'dQ дН' dP дн'(8.Н)(8.Н)

dQ дН' dP дн'

dQ дН' dP дн'

(8.Н)

(8.Н)

где Н ="' (/, Q” Р) есть некоторая функция от (2々十 1) переменных /, Qz, Ph играющая роль функции Гамильтона, причем она не обязательно должна быть преобразована из функции Н (厶 %, р〉・

Преобразования, при которых каноническая форма уравнений Гамильтона сохраняется неизменной, называются каноническими. Выясним, при каких условиях преобразование (8.8) будет каноническим.

Все канонические преобразования можно определить с помощью одного дифференциального условия, указанного Софусом Ли. Именно, обратимое преобразование (8.8) является каноническим, если дифференциальная форма вида

£ Pdq； = £ PjdQt + H.dt + dV (8.12) /=12=1

(где "о и V — произвольные функции от (4^+1) переменных: /,夕八 Рн Q” Р), удовлетворяется тождественно. Дифференциальной форме (8.12) можно придать другой вид, если от обеих частей отнять выражение Hdt. Тогда будем иметь

尼k

Д Pidq「HcU = g PQQi 一 Hrdt + d匕(8.13)

где =H—H『(8.14)

Следует иметь в виду, что в дифференциальной форме (8.12) или (8.13) из (4左十 1) переменных 厶 幻, Pi，Qt，R независимыми переменными будут лишь (2^4" 1)> поскольку между переменными существуют 2k соотношений (8.8).

Чтобы показать, что при тождественном выполнении условия (8.13) преобразование (8.8) является каноническим, поступим следующим образом.

Рассмотрим линейную дифференциальную форму вида k

屮а —(%i, *2, ♦ • • , dx卜(8.15)

2=1

где X? = X? (%i, *2, • • • ， *々)—некоторые произвольные функции от k независимых переменных %卜 %2, •. •, %既 Выражение вида (8.15) называют выражением Пфаффа или пфаффианом.

Наряду с системой независимых дифференциалов da рассмотрим другую систему независимых дифференциалов 占*力 тогда пфаффиан можно будет записать так:

% =斗 X, (%i， “2，• • • , 4)

Составим разность 0% ——d% ). Замечая, что

лл左

讪d = 8 2 XjdXj = 2 WXjdXi + N X/ (dx)

и

d^=d% %话=2 dX^xt + £ X〃(汝儿

и учитывая, что в силу независимости дифференциалов dxt и б%» операции d н 6 коммутативны, т. е. d (次)=8 (dx), получаем

6% — d屮6 = 2 ®Xjd*i — dX0x)・ i=l

Так как

Рассмотрим теперь преобразование переменных 七 к новым переменным у1 с помощью уравнений вида

%，=屮i СУь 山，…，％)♦(8.17)

Пусть это преобразование будет обратимым, тогда М =力(*i，*2，♦ • ♦，*/•

Дифференциальная форма (8.15) при указанном преобразовании примет вид

k

% =若工心"(8.18)

где

у】=у» (у】,山, и, следовательно,

= 鴿-詛也奴 /=1 /=1

Так как разность 0屮d —— dR) имеет одно и то же значение, независимо от того, в каких переменных она выражена, то ее называют билинейным ковариантом дифференциальной формы (8.15). Следовательно,

=£e鶯-詛^•

Если ввести обозначение

то билинейный ковариант можно записать так:

5屮d —а屮5 = N①/*丿.

Отсюда следует, что для того, чтобы билинейный ковариант был тождественно равен нулю при любых независимых значениях дифференциалов 8%；, необходимо, чтобы выполнялись равенства

①丿①丿也一吗“0. dXj dxt /也一吗“0. dXj dxt /(8.19)(8.19)k

①丿

①丿

也一吗“0. dXj dxt /

也一吗“0. dXj dxt /

(8.19)

(8.19)

Эта система Л уравнений Пфаффа называется союзной с данным пфаффовым выражением % (8.15).

При выполнении преобразования (8.17), когда от переменных х? переходят к переменным yh и дифференциальная форма (8.15) преобразуется в дифференциальную форму (8.18), новая система уравнений Пфаффа ——союзная с дифференциальной формой (8.18)—— будет иметь вид

ь?需-詛呀。■ь?需-詛呀。■(8.20)(8.20)

ь?需-詛呀。■

ь?需-詛呀。■

(8.20)

(8.20)

Если наряду с дифференциальной формой 屮^ (8.15) рассмотреть другую дифференциальную форму 屮％ отличающуюся от первоначальной формы % на полный дифференциал от некоторой произвольной функции 户=尸(％1， *2, •♦• ， 4), т. е. если положить

, k

质=2 Xidxt + dF (xp x2, ... , /=i

то это не изменит билинейного коварианта дифференциальной формы 屮°:

"中d _ d* =咕_d屮 6.

Это следует из того факта, что билинейный ковариант дифференциальной формы вида

всегда равен нулю.

Действительно, так как в рассматриваемом случае

Z (х х х —%2,,勺)

то

Применим теперь полученные результаты к тождеству (8.13), для чего рассмотрим дифференциальную форму k

力=N Pidqj — Hdt(8.21)

c (2左十1) переменными 处，p( и /• Здесь Н — произвольная функция от этих переменных.

Билинейный ковариант этой дифференциальной формы будет равен

k

»% — d% = 2 ^Ptdq； — dpRqj — (bHdt — d"互)• 2=1

Но так как

H=H也 %,口・)， тог

"+善翁%+"，) и, следовательно,

物-〃% =(一*或+ d")m+

+ 二｛("%- 需 d“pi-(dpi+^j dt^q^ .

Отсюда следует, что система уравнений Пфаффа, союзная с рассматриваемой дифференциальной формой (8.21), будет иметь вид

о,о,о.一一 一一成或或--+о,о,о.一一 一一成或或--+

о,о,о.

一一 一一

成或或

--+

о,о,о.

一一 一一

成或或

--+

йти уравнения можно записать в виде

dHдНdq дНdp.дН

—3 =V(8.22)

dfdtdt Op】dt。％

Таким образом, мы приходим к канонической системе уравнений Гамильтона.

Обращаясь теперь к тождеству (8.13), видим, что система, союзная с дифференциальной формой

k

2 Pidq-Hdt, а

стоящей в левой части, совпадает с канонической системой уравнений Гамильтона (8.22), а система, союзная с дифференциальной формой, стоящей в правой части и равной

k

2 PidQi—H'dt + dV

(поскольку билинейный ковариант от полного дифференциала тождественно равен нулю), будет равна

d"‘ дНг dQi дНг dP. dHf

т. е. вновь получаем каноническую систему уравнений Гамильтона относительно характеристической функции "'・ Таким образом, показано, что соотношение (8.13) является достаточным условием, чтобы преобразование (8.8) было каноническим. Функция V = V (^, %, pc Qj, Д), от выбора которой зависит вид канонического преобразования, называется производящей функцией.

§ 3. Различные виды канонических преобразований

Производящая функция V, зависящая от (4々十1) переменных 幻,р” Q?, R (2=12 左)，может быть выбрана произвольным образом. Однако не все (4力+1) переменные будут независимы между собой, так как между ними существуют 2尼 соотношений (8.8), определяющих рассматриваемое преобразование.

Таким образом, из （4々十1） переменных /, q^ р” Qz, Pt независимыми будут лишь （2^+1） переменных.

Рассмотрим отдельные виды канонических преобразований. Хотя рассмотренные ниже случаи и не исчерпывают всех возможных канонических преобразований, однако для понимания общей теории канонических преобразований целесообразно рассмотреть именно те случаи, когда из всей совокупности （4尼 + 1） переменных /,幻,р〔、Q” Р? можно варьировать произвольно и независимо:

（分，Q），（%，P，什卜 Q） и （% 2）.

Случай 1. Независимыми переменными являются 厶女，Q尸

При таком выборе независимых переменных производящая функция V будет зависеть от времени /, старых координат 分 и новых координат Q,

』“，幻，QJ

и, следовательно, тождество （8.13） примет вид

2 Pidqi — Hdt = ± R 阳,・一牙山 + dV（t,幻,Q）

Развертывая полный дифференциал

“и（厶Q,=号出+^崙旳+二器dQ„

получаем после приведения

証T"Ek+岩）即"

+ 'Hf厶=0・

Отсюда, в силу независимости dt、d% и dQ,, будем иметь

先（8.23）

Задавшись какой-либо производящей функцией V = =^（我 ％，Qj，мы с помощью уравнений

- Pi

определим все Q, через 厶幻，化 и, таким образом, получим первую систему уравнений:

Qi = Qi （^» 分‘ Pj）・

Подставив затем полученные значения Q, в уравнения

d”，％，Q" о

найдем вторую систему уравнений рассматриваемого канонического преобразования:

2 = 2（/, %,円）.

Тем самым каноническое преобразование определено. Последнее из уравнений （8.23）:

夕（厶公，Q）= H （/,л） +叱%"

определяет новую функцию Гамильтона при переходе от переменных /,处，pz к новым переменным t,幻，Q?.

Случай 2. Независимыми переменными являются t、%, Р?

При таком выборе независимых переменных производящая функция V будет зависеть от времени 厶 обобщенных координат q（ и новых обобщенных импульсов Р?:

匕亿公,吕）.

От переменных /, %, Q? к переменным £,幻，R можно перейти с помощью преобразования Лежандра, положив

16 И. М. Беленький241

V（Z,分，Q^v^t, ^ 2•）一工匕 Qi■

Напишем основное тождество （8.13）, определяющее каноническое преобразование, в следующем виде:

一k

+ d %（厶公,p） 一 2 Pi Qi

Развертывая выражение

d [匕（厶 ％, 2） — 2 2 Qi] = * 出 +

+ S+ £ ^1 "G - £ ? dQi - £ Qi dPi

/==1 九i=l '/=1/=1

и приводя подобные члены, получаем

2 （吋訂"% + 金国一餘;“e+

+ （”'—〃—祟）山=°・

Это соотношение в силу независимости dt、dq（ и dPt приводит к следующей системе уравнений:

醬=儿 *=Q〃 "'=" +察 （8.24） oqior

Задаваясь некоторой производящей функцией

%=匕（厶处,R）,

мы с помощью уравнений

屮》（&25）

определяем Р» как функции /, g,, Pj и, таким образом, получаем первую группу уравнений:

Р» = Р?（厶 q” Р》（8.26）

Подставляя затем найденные значения Р( в уравнения

=Q”=Q”

=Q”

=Q”

получаем вторую группу уравнений:

Qi = QS、qj，Pj)・(8.27)

Таким образом, каноническое преобразование определено.

Новая функция Гамильтона будет определена с помощью соотношения

"，亿分，В) = р^ + 汕#).

Здесь первоначальная функция Гамильтона Н 也 ^, pz) должна быть преобразована к новым переменным 力 q^ н Pi с помощью соотношения (8.25).

Случай 3. Независимыми переменными являются 我 Qi、рг

При таком выборе независимых переменных производящая функция V будет зависеть от времени /, ста* рых обобщенных импульсов р? и новых обобщенных координат Q?:

% = %(厶 A Q?)・

От переменных 厶 幻，Qz к переменным Z, р(、Q? можно перейти с помощью преобразования Лежандра:

U& %，Q)=匕仏 Pi，Q) + £仍幻.

Основное тождество (8.13) тогда можно записать в следующей форме:

2Pt dqt 一 "或=£ PjdQj 一 H‘ dt + л/=i

+ d[ % «, Pt，Q) + ｝科％-(8.28)

Далее имеем

kk在в

+ £j常' dpt +》^赞■ "Qi + ^j Pt 歯? + £ q^dpr

что после подстановки в равенство （8.28） и приведения подобных членов дает

k/

，（公+需）吻+£ （生+翁）阳-

—（"’—"—~^^ dt = 0.

Отсюда в силу независимости df,吻 и 〃Q? имеем

符= _%，耨= -3"' = "+崇.（&29）

Задавшись некоторой производящей функцией

% = % （厶 А» Qi）,

мы с помощью соотношений

一吗衿=%（8.зо）

определим обобщенные координаты 幻 как функции от /, рр Q? и выразим Q? в виде функции от /, qj и 分

Q? = Qi© q，Pj）-

Далее с помощью уравнений

岬 Q）

находим Pt как функции от 力 qt и &

p? =?（力办,P）.

Таким образом, каноническое преобразование определено.

Новая функция Гамильтона Н‘ в переменных t、р卜

Q? определяется с помощью соотношения

нг&加 Qj） = h （力外,科）+ 吧*Q1,

в котором первоначальная функция Гамильтона Н （Л 外，р） должна быть преобразована к переменным t、Q? и % что можно выполнить с помощью соотношения （8.30）.

Случай 4. Независимыми переменными являются 我Pi' Р?・

Здесь производящая функция будет зависеть от времени Л старых обобщенных импульсов р（ и новых обобщенных импульсов Pz:

% =%（力化,G）.

От переменных Л 处，Q? к переменным 力化，Р/ можно перейти с помощью двойного преобразования Лежандра:

k々

丿（厶 q», Q）=匕（么 Pt、Р） + E Pt Qi — E A Q广 /=1j=l

Тогда основное тождество （8.13） примет вид

Z=1i=

尼k

i=l/=1

Но так как

dk也р通=棠

то после сокращения получим

=i

左k

通一ERdQi — EQidPi. /=i『1

左尼

就,需dpi +二需吗,

и приведения подобных членов

无k

£ Pi dqi — Hdt=E Р, dQi — H dt + dVs 也 pc P） +

k i=l

Отсюда в силу иметь

V吻+Qi +遇）叭一

i=l

H' — H 一嘗）就=6

независимости dt、dpt и dPt будем

需=一分，鏡=<2，，"‘ = "+祟-(8.31)

Задавшись некоторой производящей функцией

匕=%&%&,

мы с помощью соотношений

f(8.32)

найдем обобщенные координаты 幻 как функцию от 力 化，Pj и выразим затем Р» как функции от Л 幻 и 仍：

Pi = Pjt、q. pj.(8»33)

Таким образом, получаем первую группу уравнений для рассматриваемого канонического преобразования.

Далее из соотношений

находим Q? как функции от 厶 仍 и Pz, а затем с помощью соотношений (8.33) выражаем Q? как функции от А%и化：

Qi = Qi (力 qj、p).

Таким образом, находим вторую группу уравнений, определяющих рассматриваемое каноническое преобразование.

Новую функцию Гамильтона в переменных 么 р1 и R получим с помощью соотношения

НГ^Р1,Р^ = Н^, %, “) + ^^),

причем обобщенные координаты «八 входящие в функцию Гамильтона Н (Z,处，仍)，должны быть выражены- через 力 р, и Pz. Это можно сделать с помощью соотношений (8.32).

Канонические преобразования образуют группу. Это следует из того, что два последовательно выполненных преобразования сводятся к одному преобразованию, также каноническому. Преобразование,

обратное каноническому, и тождественное преобразование тоже являются каноническими.

Вполне канонические преобразования

Если преобразование, определяемое производящей функцией V, будучи применено к канонической системе уравнений Гамильтона

dq.дНdpiдН

сохраняетвновыхпеременныхтипичнуюформука

нонических уравнений

dQ,dHfd 弓дН，

ихарактеристическаяфункцияГамильтонаостается

при этом неизменной, т. е., другими словами, новая функция Гамильтона Hf получается из первоначальной функции 〃 в результате рассматриваемого преобразования

Н© q「p〉= Hy, Q”P),

то такое преобразование называется вполне каноническим преобразованием.

Легко видеть, что вполне каноническое преобразование будет получаться всякий раз, когда производящая функция V не зависит от времени 力 т. е. когда

丿=М%，PiQ Р〉・

Действительно, как это следует из результатов предыдущего параграфа, первоначальная и новая функции Гамильтона связаны между собой соотношением

〃'&Qi，R) = "&+詁

Но так как для вполне канонического преобразования "'= ", то 嘗 =0 и, следовательно, производящая функция V не зависит явно от времени /.

Обращаясь к основной дифференциальной форме (8.12), определяющей каноническое преобразование, видим, что для вполне канонического преобразования она принимает вид

Pi dq( = ^2 2 〃Q? + dV(q让 р口 Qi、P) (8»34) 』1i=l

(поскольку /У。= 〃 一 "' = 0).

Из тождества (8.34), а также из результатов предыдущего параграфа следует, что вполне каноническое преобразование не зависит от времени t> т. е. имеет вид

(8.35)(8.35)

(8.35)

(8.35)

Так как билинейный ковариант полного дифференциала dV тождественно равен нулю, то при вполне каноническом преобразовании равенство билинейных ковариантов дифференциальных форм

在к

2 а 〃幻 и 工 G〃Qi： 2=12=1

£ (吻〃幻一dpt tqj = £ ®Pj 〃Q, — 〃Pj8Q) (8.36) z=i/=1

превращается в тождество, если дифференциалы ВРр 〃А "Qi и dQi на основании формул (8.35) заменить их выражениями:

(8.37)(8.37)(8.38)(8.38)呼=Е偽沔+靜） 收尸e偽河+歙凸）

(8.37)

(8.37)

(8.38)

(8.38)

и аналогично

% =^J （^ "分+^'"化）， "Q尸e爲了分十

Преобразуем тождество (8.36), для чего воспользуемся выражениями (8.37) для дифференциалов 6? и »Qi・ Меняя местами индексы 力 и / в правой части тож-

дества (8.36) и приводя подробные члены, получаем:

Отсюда, в силу независимости 叭 и 8%, будем иметь

Эта система уравнений эквивалентна системе уравнений (8.38).

Теперь нетрудно получить условия, необходимые для выполнения вполне канонического преобразования.

Рассмотрим полный дифференциал некоторой функции % от тех же 2尼 переменных:处 и 夕尸 Имеем

或=N隔"%+京啦)(8.40)

Если теперь в это выражение подставить значения dq^ и dpt из (8.39) и воспользоваться скобами Пуассона (6.27), то, как нетрудно видеть, получим

k

血=gjd В) dQi — (х, Q,・) dPj. (8.41)

Равенство (8.41) справедливо для любой функции х. Подставляя в него вместо % последовательно функции Q? и Р» (8.35), с помощью которых осуществляется каноническое преобразование, получим, в силу независимости величин dQi и dP^, систему уравнений, которые с помощью скобок Пуассона можно записать в следующем виде:

(Qi，Q/) = 0,(巳，P/) = 0 亿 j = l, 2,…，A) (8.42) "(Q，弓)=稀(843)

где J — символ Кронекера:

_ fl при 2=/,"—(0 при t 次/

Полученные соотношения (8.42) и (8. 43) выражают необходимые условия, при которых рассматриваемое преобразование (8.35) является вполне каноническим.

Бесконечно малые каноническиепреобразования

Рассмотрим каноническое преобразование, при котором переменные qt и pz изменяются на бесконечно малую величину. Такое преобразование носит название бесконечно малого канонического преобразования. Его можно представить в следующем виде:

”喳俨(8.44)

где 力 и ср；-— нёкоторые функции от переменных д, и Ру (у = 1, 2,...,々),а т — произвольная бесконечно малая величина. Очевидно, при произвольном выборе функций 力 и % преобразование (8.44) не будет каноническим.

Найдем условия, которым должны удовлетворять функции 力 и %, чтобы преобразование (8.44) было каноническим.

Пользуясь тождеством

尼k

2 P@qi = £ 尸〃Qj + dV(8.45)

/=1/ = 1

и подставляя в его правую часть

dQi = dqt +弋 dfj и

P?=比+吗，，

получаем

工 Pid4i = 2 （A•十呼i） （d% + "力）+ W・ л./=1

Выполняя приведение подобных членов и отбрасывая члены, содержащие 叫 находим

к

т 2 34%+。&力）=-dV,

что можно преобразовать к такому виду:

£ （%"% —力吻）+ £ ^UiPb^ — ^dV.

Меняя порядок суммирования и дифференцирования во второй сумме и перенося ее в правую часть равенства, получаем

2 （屮幽》-力d“）= - dQ （%"3（8.46）

，T

где

Q©，化）= G『+£o/）・

Так как

心=石瑞屮j + ^ dp）,

то из равенства （8.46）, в силу независимости величин dq^ и dpi、находим

dQ / I dQ^=~^ и 力=+驱，

и, следовательно, бесконечно малое каноническое преобразование будет иметь вид

Q『i 嗝:，Pi=Pi — ^： （8・47）

Здесь Q = Q® pz） — произвольная функция от переменных 幻，夕八 играющая роль производящей функции для рассматриваемого преобразования, а ^ — бесконечно малая величина, не зависящая от д» и р*.

Определим изменение какой-либо функции 屮（幻，р）, к которой применено бесконечно малое каноническое преобразование （8.47）. Имеем

中（生，仍）=屮｛但一标），色+力）卜

=屮g P?）+t，（- 崙 S；+當駕）+。（吃где 0（т2）——величина, имеющая порядок малости j.

Пользуясь скобами Пуассона и отбрасывая члены выше первого порядка малости относительно х, находим

屮（%，p）=屮（Q/, e） 一（屮，Q） G или

屮（Qi，2）=屮（%，r）+（屮，Q）t・

Особый интерес представляет тот случай бесконечно малого канонического преобразования, когда в качестве производящей функции S берется функция Гамильтона Н® р）, а т принимается равным бесконечно малому интервалу времени dt.

Полагая, следовательно,

Q = " и с =或，

получаем следующие формулы для бесконечно малого канонического преобразования:

Q, = g/十圖 dt.

На основании канонических уравнений Гамильтона имеем

, дН , дНdq1=晒dt и吻=-近或.

Следовательно, бесконечно малое каноническое преобразование для рассматриваемого случая можно записать в следующем виде:

Q/ = % + d%, R = Pt + dpi9

т. e. координаты qj и импульсы pz изменяются при этом так, что 先⑺ и р® принимают значения 仇（方十办） и 仍（片+庚）.Это означает, что изменение за время dt

состояния системы, определяемого величинами %«)н Pi (^), можно получить с помощью бесконечно малого канонического преобразования, при котором роль производящей функции играет функция Гамильтона Н® р)・ Поэтому движение системы можно рассматривать как бесконечную последовательность бесконечно малых канонических преобразований, осуществляемых посредством функции Гамильтона, как производящей функции.

Если к системе применить последовательно два канонических преобразования, то в результате мы снова получим каноническое преобразование.

Таким образом, если рассмотреть два состояния системы, определяемые параметрами д(?, р(Р и q^t р(Г и соответствующие моментам времени 厶 и /2, то переход системы из одного состояния в другое можно осуществить каноническим преобразованием.

Пример 1. Найти постоянные ан。, при которых преобразование вида

Q = Т cos。р и Р= q^ sin^р(8.48)

было бы каноническим.

Поскольку формулы преобразования не содержат явно времени 厶 то рассматриваемое преобразование будет вполне каноническим.

Чтобы преобразование (8.48) было каноническим, необходимо, чтобы выражение

PdQ — pdq

было полным дифференциалом некоторой функции У:

PdQ——pdq = dV.

Но

dQ =-随久 sin 偉p) dp + 旳"一1 cos (浙)囱，

и, следовательно,

PdQ — pdq = [y 瞰-i sin2M —p\dq —

—₽^2a sin2 (吃)dp.

Это выражение будет являться полным дифференциалом, если

^(^а^ат sin 2阻 _ 夕)=乐(_ Bg2a siM卽).

Выполнив дифференцирование и приведение подобных членов, найдем

邓产一1 =].

Отсюда в силу произвольности q, необходимо, чтобы (2а—1) = 0 и а^ = 1. Таким образом,

а=М，0 = 2

и рассматриваемое каноническое преобразование имеет вид

Q, = V q cos2p, P=Vq sin 2P.

Это преобразование было применено Пуанкаре к задачам небесной механики.

Пример 2. Показать, что преобразование

Q = lnf~sinр\ и Р = qctgp(8.49)

является каноническим.

Так как

Q = — In^ + lnsinp, то

dQ =―胃 +《gpdp

PdQ — pdq = « ctgp (―穿 + ctgp 劭)_

— pdq = — e + ctgp) dq 十 qctg2P 女

Полученное выражение представляет полный дифференциал, так как

^(— Р — Ctgp) = 一 1 十焉=Ctg2〃

И

寻(gctg2 р)= *2P.

Таким образом, доказано, что преобразование (8.49) является каноническим.

Пример 3. Получить тождественное преобразование.

Рассмотрим каноническое преобразование, определяемое производящей функцией вида

к

丿2 = £ %2・(8.50)

На основании формул § 3 данной главы имеем

吃•=需=2 и Ql請=%

Таким образом, новые координаты Q? совпадают со старыми координатами «汀 а новые импульсы R— со старыми импульсами 化.

Поскольку производящая функция V2 не зависит явно от времени 力 то рассматриваемое преобразование будет вполне каноническим, и новая функция Гамильтона "'будет совпадать с первоначальной функцией Гамильтона Н.

В силу сказанного, преобразование (8.50) будет тождественным.

Пример 4. Рассмотреть преобразование, определяемое производящей функцией вида

匕=N %Q「(8.51)

На основании формул § 3 данной главы имеем

и

2=一女=一%・

Видим, что при этом преобразовании координаты и импульсы меняются местами. Это указывает на полное равноправие координат и импульсов, вследствие чего их часто называют не обобщенными координатами и обобщенными импульсами, а просто сопряженными каноническими переменными.

Пример 5. Показать, что для однородных канонических преобразований

々k

三0風=2?佝(8.52)

/=1i=l

имеют место следующие соотношения:

Напишем формулы преобразований:

Q» = Qi (分,円)，P尸Pt (分,Pj).

На основании формулы (8.39) имеем

а потому каноническое преобразование. (8.52) после приведения подобных членов можно представить в следующем виде:

Отсюда, в силу независимости dQj и 乙斗 будем иметьОтсюда, в силу независимости dQj и 乙斗 будем иметь

Отсюда, в силу независимости dQj и 乙斗 будем иметь

Отсюда, в силу независимости dQj и 乙斗 будем иметь

что приводит к соотношениям (8.53).

Глава IX

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ИНВАРИАНТЫ

Интегральный инвариант Пуанкаре

При канонических преобразованиях, как было показано, каноническая форма уравнений Гамильтона сохраняется неизменной.

Существуют и другие аналитические выражения, которые остаются инвариантными при канонических преобразованиях. К таким выражениям, в частности, относятся некоторые интегралы, названные Анри Пуанкаре (1854—1912) интегральными инвариантами.

При рассмотрении интегральных инвариантов удобно пользоваться так называемым фазовым пространством, в котором положение точки (фазовой томк* определяется параметрами, характеризующими состояние системы.

257257Так как состояние механической системы с 尼 степенями свободы в каждый момент времени / определяется 2尼 параметрами 外,^2, ♦♦♦ , «々 и рь р2, ♦♦♦ , А， то фазовым пространством для нее будет 2^-мерное пространство 力2月(夕厂 pz), в котором положение фазовой точки определяется 2尼 величинами: 仇，夕？ (i= 1, 2,...,尼),а время / играет роль параметра. Следовательно, если движение механической системы отнести к ее фазовому пространству D^k (g” 化)，то движению системы будет соответствовать движение фазовой

257

257

точки. Линия, которую описывает фазовая точка, называется фазовой линией или фазовой траекторией.

Представим уравнение фазовых линий в виде двухпараметрического семейства вида

科=化(厶 a), q】=qj (厶 а) (2=1, 2,..., ^), где ^ и а играют роль параметров, и некоторый момент времени Z — ^ примем за начальный. Тогда начальное состояние системы, а следовательно, и начальное положение фазовой точки, определяемое координатами д「，р” будут зависеть от одного параметра а, т. е. будем иметь

幻(6, а) = 9「(а),

Pi 佑，а)=р?(а)力

Так как параметр а может изменяться произвольно, то мы получаем многообразие фазовых точек, соответствующих различным начальным состояниям системы.

Выберем из этого многообразия произвольную совокупность, такую, чтобы она образовывала некоторую замкнутую кривую С「

Пусть параметр а при этом изменяется в пределах 0《а《/. Так как кривая Ci замкнутая, то

严(0) = #)(2),内)(0)=片)(/)・

Движение механической системы при заданных действующих силах и наложенных связях полностью определяется ее начальным состоянием, т, е. совокупностью 2左 значений ^(р, р^, или, что то же, соответствующей фазовой точкой А (д(?, р?) в фазовом пространстве /)2论.Это означает, что через каждую фазовую точку А (д£), /??)) пространства D?h пройдет единствен^ ная фазовая линия, соответствующая прямому пути системы.

Точки А кривой С] представляют совокупность различных начальных состояний системы, а потому, если через каждую точку этого замкнутого контура С、провести соответствующую фазовую линию, то получим замкнутую трубку, каждая образующая которой представляет прямой путь системы,

Возьмем некоторый другой момент времени £=勾, который будем называть конечным моментом. Положения соответствующих фазовых точек В, определяющих конечные состояния системы, будут при этом определяться координатами

分《2, «) = ?j2) («) И “& а)=Р?)(а),

т. е получим многообразие конечных состояний, зависящих от параметра а. При изменении параметра а в пределах 0《а《/ мы получим некоторый замкнутый контур С2, охватывающий трубку прямых путей (рис. 25).

Рис. 25

Рассмотрим теперь функцию действия по Гамильтону в интервале 友.../2 вдоль некоторой образующей трубки АВ, соответствующей некоторому значению параметра а в рассматриваемом интервале 0《а《/. Функция действия S будет функцией параметра а:

S (а) = J £ (力幻(么 а),或(么 а)) dt.

Найдем вариацию этой функции

6s (а) = S' (а) За

при переходе от образующей АВ, соответствующей параметру а, к близкой образующей А^З], соответствующей параметру (a-j-Sa).

Переход от одной образующей трубки к другой близкой можно рассматривать как результат варьи-

рования начального состояния системы [в этом случае варьированию подлежат 外)(а) и 川)(а)] или же как результат варьирования начального и конечного положений системы [в этом случае варьируются q^ (а) и行)但)]■

Хотя оба способа варьирования приводят к одному и тому же результату, второй способ в данном случае имеет то преимущество, что он приводит к принципу переменного действия, в котором как раз и рассматривается вариация функции действия Гамильтона в результате варьирования начального и конечного положений системы (время 友 и t2 при этом не варьируется).

Пользуясь поэтому формулой для вариации функции действия 85 (7.5) (гл. 7, § 2), получаем

无k

6s (а) = £ 成3) 6行)⑷一? Р^) М「(а).

Этот же результат можно получить из общей формулы для вариации функции действия [формула (7.11)], если положить 咕=0 и 近2 = 0. Интегрируя по а в пределах от 0 до Z и замечая, что

I

J 8S (a)=S (/)-5 (0) = 0, получаем

0 У0?⑷好)W = f У pP⑷好)(唸

Другими словами, интеграл

乙二0 工 “2〃(9.1)

С Z=1

взятый вдоль замкнутой кривой С, состоящей 〃з точек, соответ с швующах одновременным состояниям системы, сохраняет вдоль трубки (т. е. при перемещении и деформировании контура С вдоль трубки

прямых путей) постоянное значение. Этот интеграл /〔 носит название относительного интегрального инварианта Пуанкаре.

Под знак интеграла 厶 входят дифференциалы первого порядка, поэтому его называют интегральным инвариантом первого порядка.

Так как интегральный инвариант 厶 не зависит от функции Гамильтона "(力 ％, р，то он, очевидно, справедлив для любой голономной системы, поэтому его называют также универсальным интегральным инвариантом. Более полно его можно назвать универсальным относительным интегральным инвариантом первого порядка.

Интегральный инвариант Пуанкаре — Картана

В интегральном инварианте Д контуром интегрирования служит кривая С, состоящая из фазовых точек, соответствующих различным возможным состояниям системы для одного и того же момента времени t、Кривую С можно назвать «кривой одновременных состояний».

Э. Картан показал, что существуют более общие интегральные инварианты, в которых контуром интегрирования может служить произвольная замкнутая кривая не обязательно являющаяся кривой одновременных состояний.

Воспользуемся образами многомерной геометрии и будем в дальнейшем определять состояние системы (2^ + 1) величинами: временем 力 обобщенными координатами а】,«2，・一，4k и обобщенными импульсами р】, 。2,…，Ph.

Соответственно этому будем рассматривать расширенное фазовое пространство 力2月+ ь отличающееся от фазового пространства D^k еще одной координатой— временем £. В таком (2左1)・мерном пространстве Z)2^+i положение точки будет определяться (2尼十1) величинами: t、仇，р( (i = 1, 2,..., /г).

Рассмотрим в расширенном фазовом пространстве 。2月+1 некоторую замкнутую кривую G, уравнение которой представим в параметрической форме:

%=厶(a), %=G (G (a), a) = Of)(a)， p.=A (^ (a), a) = pf)(a).

Пусть параметр a изменяется в пределах 0《а《/. Так как кривая & замкнутая, то

& (0)=4(/)，g?)⑼=川)(Z),内)知=川)(/).

Так как каждая фазовая точка М кривой С\ определяет состояние системы, то через нее можно провести единственную фазовую линию, соответствующую прямому пути системы. В результате получаем трубку прямых путей системы (рис. 26).

Рис. 26

Проведем произвольную охватывающую трубку кривую С2, параметрическое уравнение которой запишем в следующем виде:

t =为(a)，

0=%«2(°0, a) = ,俨⑷，

Pi^Pt «2 伍)，^=p^ (a).

Здесь параметр a по-прежнему изменяется в пределах 0 & а《/. Поскольку кривая С2 замкнутая, имеют место соотношения

%2 (°) = ‘2 (/)， 行)(0)=疔)(/), 用2)(0)=日2)(2).

Рассмотрим теперь действие S по Гамильтону 友у).

S(a)= J L (力幻，成•)dt

乙(«)

вдоль какой-нибудь образующей MN, соответствующей значению параметра а. Такая образующая, очевидно, будет соответствовать прямому пути системы в интервале от 友(а) до % (а).

Прямой путь системы (включая начальную и конечную точки) однозначно определяется либо начальным состоянием системы и конечным моментом времени, т. е. t1 (а), *)(а),冰)(а) и t2 (а), либо начальным и конечным моментами времени и соответствующими этим моментам конфигурациями системы, т・ е.

友⑷，方2⑷и什)仅)，疗)(a).

Соответственно этому переход от образующей MN к близкой к ней образующей 川1乂，соответствующей значению параметра %=а4-6а, можно рассматривать либо как результат варьирования величин 厶(a), t2 (а), pf)(а) и q^ (а), либо как результат варьирования величин

& (*，4 9) и 川)(а), qf} (а).

Вторая точка зрения в данном случае имеет то преимущество, что позволяет воспользоваться общей формулой для вариации функции действия Гамильтона.

На основании формулы (7.11), имеем

k

3s = S/(a) зa = ( 2 0伊⑷"疗)⑷一^2 ⑺近2 ⑷)一

-(2 川)⑷6严⑺一%⑺咕⑷)，(9.2)

где ^2 色)н "； (а) — значения функции Гамильтона "(£，幻，Pi) вдоль кривых С2 и &:

”2(а) = "(£2(а),勿2)(吟网2)⑷)，"i仅)="⑷，外)(以内)⑷).

Из равенства (9.2), интегрируя по параметру а в пределах от а = 0 до а = /, получаем, что криволинейные интегралы, взятые от функции

£p® — H&ti=l

вдоль замкнутых кривых & прямых путей, будут иметь Действительно, так каквдоль замкнутых кривых & прямых путей, будут иметь Действительно, так каки С2, лежащих на трубке одинаковые значения.и С2, лежащих на трубке одинаковые значения.

вдоль замкнутых кривых & прямых путей, будут иметь Действительно, так как

вдоль замкнутых кривых & прямых путей, будут иметь Действительно, так как

и С2, лежащих на трубке одинаковые значения.

и С2, лежащих на трубке одинаковые значения.

J »S(a) = S(/) —S(0) = 0, о

то

外也）闲Р⑷一济⑷外也）闲Р⑷一济⑷内心闷步⑷一必⑷场⑷内心闷步⑷一必⑷场⑷

外也）闲Р⑷一济⑷

外也）闲Р⑷一济⑷

内心闷步⑷一必⑷场⑷

内心闷步⑷一必⑷场⑷

Полученный результат показывает, что интеграл

” =f £ Pi Ml Hit、 c” =f £ Pi Ml Hit、 c(9.3)(9.3)

” =f £ Pi Ml Hit、 c

” =f £ Pi Ml Hit、 c

(9.3)

(9.3)

взятый вдоль замкнутой кривой С, охватывающей трубку прямых путей, сохраняет вдоль трубки (т. е. при перемещении и деформации контура вдоль трубки) постоянное значение.

Интеграл /* носит название относительного интегрального инварианта первого порядка Пуанкаре ——Картана,

Инвариант Пуанкаре ——Картана является обобщением интегрального инварианта Пуанкаре /】[см. (9.1)]. Действительно, если трубку прямых путей пересечь гиперплоскостью e=const, то в сечении получим некоторый контур D одновременных состояний. Если теперь в интегральном инварианте Пуанкаре—Картана положить 迎=0 (так как ^=const), то получим интегральный инвариант Пуанкаре /Р

В интегральном инварианте Пуанкаре — Картана /* время входит на правах координаты системы, а функция Гамильтона "(力 g” р), взятая со знаком минус, играет роль обобщенного импульса. На этой аналогии основаны некоторые преобразования в механике (см. § 6 настоящей главы).

§ 3・ Абсолютные интегральные инварианты

В относительных интегральных инвариантах область интегрирования представляет замкнутое многообразие. Например, в относительных интегральных инвариантах первого порядка /〔 и /； интегрирование производится по замкнутому контуру.

Абсолютными интегральными инвариантами называются такие интегралы, инвариантность которых сохраняется при любом выборе области интегрирования. В частности, область интегрирования может быть не замкнута.

Можно показать, что теория относительных интегральных инвариантов может быть сведена к теории абсолютных интегральных инвариантов. Например, можно показать, что относительный интегральный инвариант первого порядка эквивалентен абсолютному инварианту второго порядка.

Д-ействительно, пусть интеграл

распространенный по замкнутому контуру С, есть относительный интегральный инвариант первого порядка.

На основании теоремы Стокса, имеем

乙=Л»

гдегде

где

где

Интегрирование здесь производится по области а (рис. 27). Так как область о не замкнутая, то полученный интегральный инвариант второго порядка будет абсолютным.

Интегральному инварианту первого порядка 厶

/】=§ Pl^l+P2 ^i+^+Pk ^k с

соответствует абсолютный интегральный инвариант второго порядка /2

厶=J J工"分*Pr9)『1

чЗдесь о означает ограниченную 、контуром С произвольную дву-

丄一 6 мерную поверхность в (2^)-мер-

А7ном пространстве D^k-

卜Инвариантность интеграла /2

>k Jможет быть доказана и непо-

丿средственно израссмотрения

спреобразованияэлементарной

Рис 27площади 3% 也поверхности а

при каноническихпреобразова

ниях.

Помимо относительного интегрального инварианта первого порядка /} существуют и другие относительные интегральные инварианты нечетных порядков.

Например, тройной интеграл

厶=j j j S Pi 3% 3%"円

будет универсальным (поскольку подынтегральное выражение не зависит от функции Гамильтона ", (£, 0, р)) интегральным инвариантом третьего порядка.

Соответствующим ему абсолютным интегральным инвариантом четвертого порядка 厶 будет:

Интегрирование здесь производится по произвольной четырехмерной области фазового пространства. Вообще можно показать, что в (2左)-мерном фазовом пространстве существуют следующие универсальные интегральные инварианты (2т — 1)-го порядка:

厶m-1 — /・・・/£ Ph也，8Ра 3%…»G %，

причем индекс т может принимать значения от 1 до Л. При /п=1 получаем 厶,при т = 2 получаем /3 и т. д.

Соответствующими этим относительным интегральным инвариантам абсолютными интегральными инвариантами будут:

12m = /…/e也I …2%.

При m — k получаем абсолютный интегральный инвариант /2Л наиболее высокого порядка (для рассматриваемого (2^)-мерного фазового пространства Д2Л):

Так как интегрирование совершается по произвольной области фазового пространства, то инвариантность интеграла /2Й эквивалентна утверждению, что объем любой части фазового пространства при канонических преобразованиях остается неизменным.

Этот результат в статистической механике известен под названием теоремы Лиувилля-

§ 4. Системы уравнений, имеющие интегральныеинварианты

Между относительными интегральными инвариантами и каноническими системами уравнений Гамильтона существует тесная связь.

Действительно, пусть рассматриваемая система уравнений первого порядка имеет гамильтонову форму:

d% дН dp 塌=瓯0号=一瓦，（9・4）

где i = l, 2,..., A, a H=H（t, qb pz） — известная функция переменных Гамильтона 厶 qt и p「

Решение системы уравнений （9.4） будет зависеть от времени / и 2尼 произвольных постоянных ^\ °f）, которые мы будем рассматривать как параметры, определяющие состояние системы в начальный момент времени t = tv Следовательно, будем иметь

处=分（厶外），网D），/Qf

r=乩（九外），川））・

Если q^ и pi рассматривать как координаты точки в 2Е・мерном фазовом пространстве D2k （仇,р* то можно сказать, что уравнения （9.5） устанавливают однозначное соответствие между точками М （幻，д） фазового пространства, относящимися к моменту времени Л и точками M（gf）,砂）того же фазового пространства, относящимися к начальному моменту времени /=々.

Таким образом, всякую замкнутую линию С, состоящую из фазовых точек М （g“ pj, можно рассматривать как линию, полученную из точек М （外），夕俨） некоторой другой замкнутой кривой Ср

Величины 外）и р£）можно рассматривать как функции некоторого параметра а:

川）=*）⑷ и川）=川）（哈（9.6）

Если параметр а принять равным длине дуги кривой С,, то функции （9.6） будут периодическими с периодом /, равным длине линии Ср т. е.

外）色+/）=外）（/） И内）他+/）=外）（00.

Подставляя значения gf)(а) и pf)(а) в уравнения (9.5), получаем qi и pz как функции времени £ и параметра а:

% = %(%, а) и Pi= Pi (Л а),

причем эти функции также будут периодическими относительно параметра а с периодом, равным 厶 так что

幻仏 а + /) =势(厶 а) и 化 & а + 2) = 4& а).

Рассмотрим теперь интеграл вида

厶（/）=$> 卩（'，а） 3% （厶 а）,

где интегрирование совершается по замкнутому контуру С при постоянном значении Л а переменная интегрирования а изменяется в пределах 6《а《/. При этих условиях интеграл /】будет функцией только параметра а. Поэтому, если его продифференцировать no f и учесть, что

三 6公(J 吗=占 分(Л а) = 6% (厶 a), агаг

то будем иметь

Беря второй интеграл по частям и замечая, что проинтегрированная часть, равная 2А 勿，вследствие замкнутости контура интегрирования обращается в нуль, получаем

Подставляя в найденный интеграл 勿 и р2 из уравнений (9.4), находим

挈=-,2(^%+毅也)二_6".

С /=1сс

Интеграл, стоящий в правой части, вследствие замкнутости контура интегрирования равен нулю, а потому

^^ = 0 и А «) = const.

Другими словами, интеграл

科也，(9.7)

с '=1

взятый по замкнутому контуру С, представляющему контур одновременных состояний системы, сохраняет постоянное значение. Он является относительным интегральным инвариантом Пуанкаре.

Можно доказать и обратное предложение, а именно, если система дифференциальных уравнений первого порядка

(2,/=1, 2,・・・,田｝ (9.8) 等=R(£，分，

имеет относительный интегральный инвариант Л (9.7), то она обязательно имеет гамильтонову форму.

Действительно, так как интеграл 厶(9.7) сохраняет постоянное значение, то его полная производная по / равна нулю:

^^ = 0.(9.9)

С другой стороны,

d厶⑴= dt 一d厶⑴= dt 一

d厶⑴= dt 一

d厶⑴= dt 一

£E瓷,%+弘扌，3(з>

Взяв второй интеграл по частям и заметив, что проинтегрированная часть вследствие замкнутости контура обращается в нуль, получим после приведения к одному интегралу

噜4 t爲Ml喪Р)・

С ?=1

Подставляя в найденное выражение значения произ- dD dq.

водных 帚 н 帚 нз (9.8) и используя условие (9.9), находим

Q也)=0・

Отсюда вследствие произвольности контура интегрирования с следует, что подынтегральное выражение есть полный дифференциал некоторой функции 〃：

Е (Р0% — QRp) = — 5"(£,幻,口).

Это дает 力 дн с ан

Таким образом, рассматриваемая система уравнений (9.8) будет иметь гамильтонову форму

吗0" dp( 0н

不=丽и =一迎，

что и требовалось доказать.

Аналогично можно показать, что если система уравнений (9.8) имеет относительный инвариант Пуанкаре —Картана /* (9.3), то рассматриваемая система

будет иметь гамильтонову форму. Доказательство можно найти в книге Э. Картана «Интегральные инварианты».

Принцип сохранения количества движенияи энергии

p^q^ HU,p^q^ HU,Исходя из свойств относительного интегрального инварианта

p^q^ HU,

p^q^ HU,

(9.10)

Картан сформулировал принцип, названный им «принципом сохранения количества движения и энергии», который может быть положен в основу механики.

Будем по-прежнему рассматривать расширенное фазовое пространство D^k^u фазовая точка в котором определяется (2^ + 1) координатами 厶 女,/^, характеризующими состояние системы. Поэтому любой контур, состоящий из этих фазовых точек, можно назвать контуром состояния.

Если теперь, следуя Э. Картану, выражение, стоящее под знаком интеграла (9.10), назвать тензором «количества движения и энергии» (поскольку величины pz связаны с количеством движения системы, а Н—с величиной энергии), то указанный принцип можно сформулировать следующим образом: дифференциальные уравнения движения системы характеризуются тем свойством, что они допускают 8 качестве интегрального инварианта интеграл, взятый от тензора «количества движения и энергии^ по произвольному замкнутому контуру состояний.

Тот факт, что интегральный инвариант Пуанкаре — Картана /* может быть положен в основу механики, объясняется двумя обстоятельствами: во-первых, исходя из этого интегрального инварианта, можно получить уравнения движения в форме канонических уравнений Гамильтона, и, во-вторых, уравнения движения являются единственными уравнениями, которые имеют интегральный инвариант в форме (9.10).

Построение механики на основе «принципа сохранения количества движения и энергии», выраженного в форме интегрального инварианта Пуанкаре — Кар- тана, является более общим, чем построение ее на основе принципа Гамильтона.

Уравнения Лагранжа, получаемые из принципа Гамильтона, имеют форму, не зависящую от выбранной системы координат, и в этом их существенное достоинство. Однако время t играет в этих уравнениях особую роль.

Если же в основу механики положить инвариантность интеграла Пуанкаре — Картана /： то время / уже не будет играть особой роли, поскольку его можно рассматривать наравне с координатами %. Этим самым достигается независимость в выборе пространственновременных координат. Поэтому, если выполнить некоторое преобразование над параметрами, определяющими конфигурацию системы, а также над временем, то для того чтобы написать уравнения движения в новых переменных, достаточно указать в этих переменных соответствующий тензор количества движения и энергии.

Следует отметить, что если кривую С, по которой производится интегрирование и которую мы назвали кривой состояний, выбрать так, ^тобы удовлетворялись соотношения

6分=%配， (9.11)

то тензор количества движения и энергии, равный k

превращается в элементарное действие Гамильтона. Действительно, в этом случае имеем

£ pMi—н材=Е с?/?—н) м=

где £ — функция Лагранжа.

18 И. м. Беленький273

Если контур С выбрать как кривую одновременных состояний (В/ = 0), то в этом случае интегральный инвариант Пуанкаре ——Картана /* превращается в интегральный инвариант Пуанкаре 厶(9.1).

Уравнения Уиттекера

Выше было показано, что в выражение интегрального инварианта Пуанкаре ——Картана /* время t входит на правах координаты, а функция Гамильтона ", взятая с обратным знаком, играет роль импульса. На этой аналогии основано следующее преобразование в механике.

Рассмотрим относительный интегральный инвариант Пуанкаре — Картана

и введем новую переменную 比，связанную со старыми переменными соотношением:

我== 一 "0,%,科).

Определим из этого соотношения какой-нибудь импульс, допустим рр и выразим его через остальные переменные. Пусть

P1 ===一投(£, a1，…，%,小。2，…，Pk)*

В новых переменных интегральный инвариант /* будет иметь вид

udt ~\- р畲q^ + …+ %6% — KMs

т. е. он будет иметь такой вид, как если бы переменная qj играла роль времени t、а функция К, равная соответствующему импульсу 夕匕 взятому с обратным знаком,— роль функции Гамильтона Н・

Согласно изложенной выше теории, движение в новых переменных будет описываться следующей систе-

мой уравнений первого порядка, имеющих форму гамильтоновых уравнений:

dt_ =

дк 竺_

_дК

(9.12)

ди * d%

dt

喧=

дК dp

:_— —2 =

(9.13)

dPj dq、

一师，

(/—2,3, ...,左)

В этих уравнениях независимой переменной служит координата %・

Уравнения (9.12) и (9.13) носят название уравнений Уиттекера.

Понижение порядка системы уравненийГамильтона с помоЩью интеграла энергии

Рассмотрим механическую систему, обладающую интегралом энергии. Для такой системы функция Гамильтона Н не зависит явно от времени /:

Н®а(9.14)

где Л—постоянная энергии. Если рассматриваемая механическая система подчинена стационарным связям и кинетическая энергия ее есть однородная квадратичная функция от обобщенных скоростей, то постоянная А будет совпадать с полной механической энергией системы 七：

h — E,

Введем новую переменную

〃=_"(幻，Л)

и определим импульс /?ь Имеем

Р\ = — К®、%,・・・，耿，Л,夕2,・••，夕用)・ (9.15)

Ясно, что функция К не будет зависеть явно от времени Л Этот результат следует и непосредственно из уравнения (9.12) Уиттекера:

дК du dh 八

Поскольку функция К не зависит явно от времени /, последние (2良一2) уравнений Уиттекера (9.13) могут быть проинтегрированы независимо от уравнений (9.12).

Таким образом, приходим к системе уравнений

(9.16)(9.16)也=竺и也=_竺dg др. 對4 dq.(j = 2,3, ».., A),

(9.16)

(9.16)

порядок которой на две единицы меньше, чем порядок первоначальной системы уравнений.

Проинтегрировав систему уравнений (9.16), получим 分 и /7/0 = 2,3, ...» Л) как функции от q^ параметра А и (20 — 2) произвольных постоянных Сь С2, ...» С*2%—2・

(9.17)(9.17)分= ?/(«],九 Cj, С2, ...» G尼—2), Pj = ^j (^i,力，C1, e2，…，C2尼一2).

(9.17)

(9.17)

Подставив найденные таким образом значения qj и pj для / = 2, 3, ...» А в формулу (9.15), найдем импульс /?р

р】=①(％,瓦 Ср С2, ...» G尼一2)・(9.18)

Временную связь можно найти, если воспользоваться первым из уравнений Уиттекера:

淑=ЗК = ОКdq】 да dh

Отсюда получаем

/ = — J ~ 〃01 + С 21.

Время / можно определить также, если воспользоваться одним из уравнений Гамильтона:

必=返dfдр J

откудаоткуда"=/縱+&f"=/縱+&f

откуда

откуда

"=/縱+&f

"=/縱+&f

в рассматриваев рассматриваеЕсли в производную —, которая

в рассматривае

в рассматривае

мом случае будет функцией 幻 и р? (i= h 2, ...» 左), подставить /?i из (9.18) и 分,р； из (9.17), то получим некоторую функцию, зависящую от q^ постоянной энергии Л и (% — 2) произвольных постоянных интегрирования Ср С2, ..., 6*2尼一2・ Обозначая:

———=Ф (^^, А, С], С^ ...,。2尼一2),

получаем

/=^*屮(g[,А, &, e2,…，e2论-2)d% + CzA-1.

Таким образом, задача интегрирования уравнений движения доведена до квадратур.

Проиллюстрируем сказанное на простом примере.

Рассмотрим консервативную систему с двумя степ енями свободы. Пусть функция Гамильтона будет иметь следующий вид:

”(外 Р〉=内允 + %宛 +Pl + b2pl = E.(9.19)

Здесь а， а? н ^2 ~ постоянные.

Из интеграла энергии (9.19) определяем импульс р^

Pi = J》一的簧一%先一%成

Следовательно, функция К, играющая роль функции Гамильтона, в уравнениях Уиттекера будет иметь вид

К = —% = — /七一％允一％宛一％ &•(9.20)

Составим уравнения Уиттекера:

dt =必=_空 dgi ди дЕ

d% 一 др2， dqi — dq2.

Уравнения (9.22) интегрируются независимо от нения (9.21).

(9.22)Урав-(9.22)Урав-Определив производные 赤 н 号，найдем

(9.22)

Урав-

(9.22)

Урав-

歯2 = 力2/2

"%)/E —生* - 〃2* —匕2爲，(9.23)

dp 2 一 — 。2g2

dqi |/ e — 〃1就 一 ^2^2一坛成

Отсюда после деления одного уравнения на другое получим

3 = 一 历02 dpz 〃202 *

Разделяя переменные и интегрируя, находим первый интеграл:

&或 + b2pl = C1(9.24)

Пользуясь соотношением (9.23) и замечая, что

можно уравнение (9.23) представить в следующем виде:

對 2/ Ь2( & 一 ^2^2)

d%FE — C^-a^，

или после разделения переменных

幽1 對2

/七— a—。1*/ Ь2(С1 一 。2或)

Произведя интегрирование, получим второй интеграл:

帚Г arc sin (/^ 幻)一毒.arcsin(M^2)=G.

(9.25)

Найдем теперь время Л для чего обратимся к уравнению (9.21). Представляя с помощью первого интеграла (9.24) функцию К в виде

К= — РЕ-С】一〃М, получаем

必 дК[

и, следовательно,

2』「•竺J+以

Отсюда после интегрирования находим

2片=合г arc sin (|/ 言^ 勿)+ &・(9.26)

Теперь можно определить q、как функцию времени £:

q「У皆 sin* %(2£-Сз)).

Пользуясь (9.26), находим из уравнения (9.25) ^2:

q2=Y~ sin (/a2员(2ё-G - С2)).

После того, как найдены q* и q2, нетрудно найти 凸 и 02：

Pi = —K= ]/Е — & ―。也仁 VЕ~СХ cos ( a^t—C^^

厶П总a一""=

cos (I’a?% (2f — С*з — С?))•

Таким образом, задача полностью решена.

Глава X

УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ

Постановка задачи

Рассмотрим движение голономной системы с 论 степенями свободы. Состояние ее будет определяться 2尼 параметрами: qj и % (/=1,2,…，左).

Если силы, действующие на систему, задайы и начальное состояние ее известно, то движение системы может быть определено путем интегрирования уравнений движения.

Обозначим через д? н 不 начальные значения обобщенных координат и обобщенных скоростей, соответствующих моменту 方=左,принятому за начальный. Пусть qj = Qj© есть частное решение уравнений движения, соответствующее заданному начальному состоянию системы (д? и 刃). Функции % ==% О и % =七 «) в момент t=tq должны принимать заданные значения d и 不,т. е.

%• (А))=力 н фу (^о) = 7л

Следуя Ляпунову, рассматриваемое движение qj = еру (^) условимся называть невозмущенным движе- наем.

С невозмущенным движением мы будем сравнивать другие возможные движения, которые может совершать рассматриваемая система при тех же действующих силах, но при измененных начальных со-

стояниях системы. Эти движения условимся называть возмущенными движениями. Следовательно, различие между невозмущенным и возмущенными движениями заключается в изменении или, как говорят, в возмущении начального состояния системы. Возмущение начального состояния системы может происходить вследствие дополнительного импульса, получаемого в начальный момент £=«, а также в результате неточного нахождения параметров 圖 и q%

Пусть начальное состояние системы в возмущенном движении в момент t=tQ определяется следующими 2尼 параметрами:—

刁=心+弓h心=启+汨

где «у и е/ *— малые вещественные числа, называемые возмущениями. Частное решение уравнений движения соответствующее этому начальному состоянию, будет

4j =中j(+ e7» 6/)-

Функции qj и qj удовлетворяют одним и тем же дифференциальным уравнениям движения, и различие между ними возникает вследствие изменения начальных условий.

В начальный момент t==tQ должны выполняться условия

心Со, 5 е/)=^ и，) =《％

что можно записать в такой форме:

屮/ (备，еу, е/) = ?； (4) +е；

и_

心& 5力=电(幻+ @.

Сравнивая состояния системы в возмущенном и невозмущенном движениях можно прийти к выводу, что так как в начальный момент t= tQ состояния системы отличаются мало, то в силу непрерывности функций ф;(0, фу (/) и непрерывной зависимости от начальных условий они будут мало отличаться и для моментов времени Л близких к начальному моменту b Но при достаточно больших t они могут

отличаться заметным образом. Это означает, что абсолютные значения разностей

伉（f）一%・上）| и |^（2）-^.⑴I

будут малы, когда разность （t — t^） мала, но могут стать значительными, когда время t достаточно велико.

Чтобы изучить этот вопрос с более общей точки зрения, введем в рассмотрение v （丫忌2々）заданных непрерывных* вещественных функций ①$, зависящих от обобщенных координат 分，обобщенных скоростей q： и времени 左

R = R（幻，^，方）（s=l, 2,…，V）.

Функции ①s для невозмущенного движения после замены qj и q‘ на 屮,（片）и 屮/（方） обратятся в известные функции времени t、которые обозначим через Q$«）, а для возмущенного движения эти же функции 疝$ после замены 不 н 办 на 七（力弓，е； ） и 心（力広戸 ej） обратятся в некоторые функции времени t и возмущений еу и е/, которые обозначим через 讨$（力 е；,斗）.

Образуем разности

& =田& 9,号）一Qs«）， （10.1） которые будут обращаться в нуль при любом t всякий раз, когда начальные возмущения 弓 и 号 равны нулю. Если же возмущения еу и е； отличны от нуля, то разности х$ также будут отличны от нуля. Возникает вопрос, можно ли при достаточно малых значениях е н е‘ назначить такие произвольно малые постоянные величины £$, чтобы разности х$ по абсолютному значению не превосходили бы их при произвольном £》/（）•

Ясно, что ответ на этот вопрос будет зависеть как от характера невозмущенного движения, так и от выбора функций ①$・ Если вид функций ①$ задан, то ответ на поставленный вопрос целиком будет зависеть от свойства невозмущенного движения. Это свойство называют устойчивостью или неустойчивостью.

Следуя Ляпунову, дадим следующее определение устойчивости: если при всяких произвольно задавав^ мыл положительных числах £$, как 6从 малы они ни были, можно указать такие положительные числа Ej и fj, что при всяких возмущениях еу 〃 еу удовлетворяющих, условиям

囘《弓н |ej<4，

辽 при всяком /, превосходящем ", будут выполнять- ся неравенства

Е$1 = 1注一Q/V4，

то невозмущенное движение по отношению к величинам ①$ будет устойчивым, 6 противном случае — неустойчивым.

Следует обратить внимание на то, что в данном определении речь идет не об устойчивости движения вообще, а лишь об устойчивости движения по отношению к определенным величинам. Это означает, что невозмущенное движение может быть устойчивым по отношению к одним величинам и неустойчивым — по отношению к другим. Например, если рассматривать движение точки в центральном поле под действием силы притяжения, обратно пропорциональной квадрату расстояния, и в качестве невозмущенного движения рассматривать движение точки по окружности, то такое движение будет устойчивым по отношению к расстоянию 广 от точки до центра притяжения, а также по отношению к скорости @, но будет неустойчивым по отношению к полярному углу 屮,а также по от- ношению к декартовым координатам точки хну.

Может оказаться, что нельзя будет указать пределы Ej н Ej для величин е; и е；, чтобы разности х$ не превосходили по абсолютному значению величин 厶 если рассматривать всевозможные малые возмущения.

IIМ£・н I域YE・

Тогда согласно Ляпунову движение будет неустойчивым. Однако эти пределы Ej м Е； можно указать, если рассматривать не всевозможные возмущения, а возмущения, подчиненные некоторым условиям вида

F《j、е}) = 0, или 尸(%•, ej) >О, которые удовлетворяются тождественно, если еу = 0 и е； = 0. В этом случае говорят об условной устойчивости или об устойчивости невозмущенного движения для возмущений, подчиненных определенным условиям. Таким образом, в классе неустойчивых движений (по Ляпунову) можно рассматривать условно устойчивые движения.

Уравнения в вариациях

Будем по-прежнему рассматривать голономную систему с А степенями свободы, находящуюся под действием сил, имеющих потенциал. Пусть обобщенные координаты системы будут 分,а ее обобщенные импульсы ру(/ = 1, 2,...,々).Напишем уравнения движения системы в форме канонических уравнений Гамильтона:

dq. дНdp.дН,

力吗必叱’

где H= H(qJt 円,0 — функция Гамильтона. Исследуем устойчивость движения по отношению к величинам qj и Pj. Рассмотрим два частных решения системы (10.2), из которых одно: 办=学«) и 円= %«) соответствует невозмущенному движению, а другое % = %•(/) +0(£) и Pj — pj(t) + ^j(f) соответствует возмущенному движению. Здесь & и “ — отклонения (вариации) координат и импульсов.

Так как возмущенное движение описывается теми же уравнениями (10.2), что и невозмущенное движение, то

d(% + 乡)_ d"(% + M，Pj• + 力 J) dt —OPj

И

d (勺 + 芍)_ _ дН (%. + J pj + 芍，f)

di^.

Раскладывая правые части в ряд Тэйлора по малым отклонениям 財 и 刀戸 в силу уравнений (10.2), получаем

> (10.3)> (10.3)

> (10.3)

> (10.3)

где через Xj и Yj обозначены члены, содержащие отклонения 5у и ^ в степени, выше первой.

Ограничиваясь в этих разложениях лишь членами, линейными относительно вариаций § и 恥,т. е. отбрасывая Xj и Yj и замечая, что вторые производные

/а 02〃 д2H $нdqpp, др.др. * ^^・ И dpfiq.

после замены в них % н q на 旳(£) и 屮丿(片)обращаются в некоторые функции /〃, 3〃, Си и D^ зависящие в общем случае от времени / (в частном случае они могут быть и постоянными), получаем так называемые уравнения в вариациях Пуанкаре

(10.4)(10.4)

(10.4)

(10.4)

Эти линейные дифференциальные уравнения первого порядка представляют уравнения возмущенного движения, написанные в первом приближении. Ясно, что решение " = 0 и % = 0, соответствующее невозмущенному движению, будет удовлетворять уравнениям (10.4). Чтобы изучить устойчивость невозмущенного движения % = %(/) и pj = ф；(^) относительно

обобщенных координат и обобщенных импульсов, необходимо изучить поведение величин Е/ = %・一务 и 7]j = Pj — pj、удовлетворяющих уравнениям возмущенного движения (10.3).

Заменяя систему уравнений возмущенного движения (10.3) ее первым линейным приближением, мы, естественно, допускаем ошибку и, следовательно, по устойчивости в первом приближении, строго говоря, еще нельзя судить об устойчивости рассматриваемого невозмущенного движения.

А. М. Ляпунов определил условия, при которых исследование устойчивости по первому приближению позволяет судить об устойчивости невозмущенного движения.

Уравнения возмущенного движения (10.3) мы писали для случая, когда устойчивость по Ляпунову рассматривалась по отношению к величинам 办 и 円. Напишем теперь уравнения возмущенного движения для более общего случая, когда устойчивость движения рассматривается по отношению к некоторым заданным непрерывным функциям ①$(s《2力)от переменных 力 g, и /?у. Чтобы составить уравнения для возмущенного движения, рассмотрим разности:

& =我& %+号，円 + %） 一①5"，%，円）==2篇財+符方）

Здесь 財 и тели 1 и dQj %♦ = % (£) иЗдесь 財 и тели 1 и dQj %♦ = % (£) и7?У — вариации величин «, и ру, а множи- 浊S 史 犷 после подстановки в них значений Pj =力 «), соответствующих невозмущен

Здесь 財 и тели 1 и dQj %♦ = % (£) и

Здесь 財 и тели 1 и dQj %♦ = % (£) и

ному движению, обращаются в некоторые функции времени Л

Будем предполагать, что функции ①$ независимы между собой, и уравнения (10.5) разрешимы относительно % и%：

"Г(% &) и %•=叭о"Г(% &) и %•=叭о(10.6)(10.6)

"Г(% &) и %•=叭о

"Г(% &) и %•=叭о

(10.6)

(10.6)

Дифференцируя & (10.5) по / и пользуясь равенствами (10.6), получаем уравнения возмущенного движения, приведенные к нормальному виду:

dx

q^ = X$ (ё，X1, x2,x2月)， (10.7)

где Х$ —функции переменных t и &, обращающиеся в нуль, когда все %$ = 0, т. е.

X也 0, 0, ..., 0)=0.

Если правые части дифференциальных уравнений возмущенного движения (10.7) не зависят явным образом от времени 力 то невозмущенное движение называют установившимся, в противном случае ——неуста- новивишмся.

Невозмущенному движению будет соответствовать частное решение %$ = 0 (s = l,2, ..., 2尼)，удовлетворяющее уравнениям (10.7).

Следовательно, задача об определении устойчивости движения относительно некоторых заданных функций времени, обобщенных координат и обобщенных скоростей приводится к задаче об определении устойчивости нулевого решения дифференциальных уравнений возмущенного движения (10.7).

Будем предполагать, что всякой системе вещественных значений возмущений е； и 弓， подчиненных условию, что |е/《与 и |喇《弓，где^-и £^ — данные положительные, отличные от нуля числа, будет соответствовать некоторая система вещественных значений переменных xst которые будем обозначать через xg(s=l, 2, ..., 2尼)，и как бы мало ни было данное число А эти начальные значения х? всегда можно сделать такими, чтобы они удовлетворяли неравенству

£(會＜人 (Ю.8)

Примем также и обратное предположение: как бы малы ни были положительные, отличные от нуля числа Ej и £j, всегда можно указать такое положи-

тельное число 4, чтобы всякой системе вещественных значений xg, удовлетворяющих условию (10.8), отвечала одна или несколько систем вещественных значений 弓 и 弓，удовлетворяющих условию

При этих условиях значения л? будут играть такую же роль при исследовании устойчивости, как и возмущения еу и £；•・ Величины х； иногда также называют возмущениями.

Относительно функций，Х(玄 xv л2, ..., х2^ примем предположение, что при всяком %》%。 они являются голоморфными функциями переменных *$, и в некоторой области, когда переменные удовлетворяют условию

2尼

они разлагаются в сходящиеся степенные ряды по целым степеням переменных &:

Х$ =厶/1 + 厶 2*2 + •••+。" +

где суммирование распространяется на все целые неотрицательные числа /п1?加2， •••，7nzp удовлетворяющие условию

加1 +加2++加〃 > 1，

а коэффициенты Ri,夕戲，…，Psn и Р妤小，…，^) являются известными функциями переменного t. Сформулируем теперь устойчивость по Ляпунову в переменных %$・ Нулевое решение х$ = 0 уравнений возмущенного движения (10.7) будет устойчивым, если при всяком заданном положительном числе А, как бы мало оно ни было, можно выбрать такое положительное число 入,чтобы при всяких возмущениях х?, удовлетворяющих условию

2左

£ (用)2《А(10.9)

2kS=12kS=1н при всяком e〉G выполнялось неравенство

2k

S=1

2k

S=1

(10.10)

§ 3. Теорема Ляпунова об устойчивости движения

Прежде чем излагать теорему Ляпунова об устойчивости движения, введем некоторые определения.

Рассмотрим вещественную функцию V от переменных t, Xj, ..., %2力 подчиненных условиям

2左

Ао, X%；(10.11)

где tQ и И — постоянные, причем Н положительно и отлично от нуля. Функцию V (厶 х$) (s = 1,2, ... , 2力) будем предполагать непрерывной, однозначной и обращающейся в нуль, когда все х$=0, т. е. V(力 0,0,..., 0)=0.

Если при выполнении условий (10.11) функция V (力 ％) кроме нулевых значений принимает значения одного знака, то такая функция называется знакопостоянной (положительной или отрицательной). Если же она может принимать как положительные, так и отрицательные значения, то она нааывается знакопеременной. Например, функции

乡(Х1 +名 + ... + *幻，(-Vj + Х2 + ... +*2^)2 будут знакопостоянным положительными функциями, а функции

一 Sin2 (%i + %? + ••• + *2就 一《Т (宕 + 名 + …+ %协 —знакопостоянными отрицательными функциями. Функции же

* (*1 十 *2 + ••• + *n)，Sill (%】+ *2 + • • • + ^п) будут знакопеременными.

Если знакопостоянная функция V не зависит от 厶 а постоянная Н может быть выбрана достаточно малой для того, чтобы при выполнении условий (10.11) функция V обращалась в нуль только при значениях ^=0

28928919 И. М. Беленький

289

289

(s= 1,2, ... , 2力),то такая функция называется знало определенной (знакоопределенной положительной или знакоопределенной отрицательной). Например, функция

^1X1 + й2%2 + …+ "2炉痂(a$>。)

является знакоопределенной положительной функцией при любых &, а функция

(0]岩+02*3 +…+ &/幻(1 一 岩一x2-…*幻 будет знакоопределенной положительной функцией

при а5 > 0 и 2 ^5 < 1 • Функция же

S 1

а]*； + a2*^ + …+"2左界左(4 V。)

будет знакоопределенной отрицательной функцией.

Если функция V зависит явным образом от Л то она является знакоопределенной только при следующих условиях: если она знакопостоянна, обращается в нуль при любом t лишь тогда, когда все & = 0 (s = 1,2, ..., 2尼),и притом такова, что для нее можно найти такую не зависящую от t определенно положительную функцию W, чтобы одно из двух выражений

(V-W) или (-V- W) представляло положительную функцию. Например, 方(君+%2 + • . • +必左) есть знакоопределенная положительная функция, а

•у~(Xi + *5 + • •. + х^)

не есть знакоопределенная функция, а является знакопостоянной положительной функцией.

Будем называть функцию К ограниченной, если можно указать такое положительное число 厶 что при выполнении условий (10.11) будет иметь место неравенство

\V\<L.

Если же такого числа L указать нельзя, то функция V называется неограниченной. Следует заметить, что при достаточно малых значениях £ таковой будет, 290

в силу непрерывности, всякая не зависящая от функция V （%】,*2, •••，％2々）・ Например,

e-f Q宕 + a2xj + …+ a2kX2k） （^>0） есть ограниченная функция, а

t （^1X1 +。2老+… + 42左孟々）

——неограниченная функция.

Будем говорить, что ограниченная функция V допускает бесконечно малый высишй предел, если для всякого % как бы мало оно ни было, можно найти такое отличное от нуля число 入,что при всех значениях переменных, удовлетворяющих условиям

2左方 >办и 2求《入，5=1

будет выполняться неравенство

WIVe・

Очевидно, этому требованию будет удовлетворять, в силу непрерывности, всякая не зависящая от ^ функция V.

Однако функция К зависящая от Л может быть ограниченной, но в то же время не допускать бесконечно малого высшего предела. Например, функция

sin （%1 -j- X2 +…十 *2九）£

является ограниченной и в то же время не допускает бесконечно малого высшего предела, ибо как бы малы ни были величины хр х2, ... , x2k при подходящем выборе 力 значение функции по абсолютной величине можно сделать сколь угодно близкой к единице.

Сформулируем теперь основную теорему Ляпунова, выражающую достаточные условия устойчивости движения. Если дифференциальное уравнения возмущенного движения таковьь. зт。 возможно найти знакоопределенную функцию И, производная которой V в силу этих уравнений была бы или знакопостоянной

функцией противоположного знака с V, или тождественно равной нулю, то невозмущенное движение устойчиво.

Функция К удовлетворяющая условиям теоремы Ляпунова, носит название функции Ляпунова),

Если %i, *2,…，*2力 рассматривать как функции Л определяемые уравнениями возмущенного движения (10.7), то V будет функцией Л а ее полная производная V будет равна

匕=丝=丝 叱些 丝也丄如场

一 dt — 曲 ~dt 十 芯 ~di 十..• dx2k dt，

или в силу уравнений возмущенного движения (10.7)

元+瓯Xi+阮居+…十族X2A (Ю.12)

Для доказательства теоремы предположим, что функция Ляпунова V (/, хр ... , x^J есть определенно положительная функция, а ее полная производная по времени V (10.12) отрицательна или тождественно равна нулю. Согласно определению знакоопределенной функции найдется такая не зависящая от t определенно положительная функция W, что в области изменения переменных, определяемой условиями (10.11), будут одновременно выполняться следующие неравенства:

? (Л *1，*2，…，*2月)^Г ^^ (*1，*2,…，*20，］ /IO 1Q4

V (Л *1, *2,…，*20《0./

2比2 必=A,2比2 必=A,Рассмотрим значения функции W (%八 x2,..., x^ на гиперсфере

2比

2 必=A,

2比

2 必=A,

(10.14)

S=1

где A — некоторое произвольно малое, отличное от нуля положительное число, меньшее чем Н.

Пусть е есть точная низшая граница W на гиперсфере (10.14). Так как W — определенно положительная функция, то число е будет положительно и отлично от нуля.

Рассмотрим далее функцию V (/0, %匕 х2, ... , *20・ Так как эта функция не зависит явным образом от 力 то она допускает бесконечно малый высший предел, который мы обозначим через е. Это означает, что для значения е, как бы мало оно ни было, всегда найдется такое 入,что для переменных х§, удовлетворяющих условию

значения функции У (^о, %】,х2, ... , *2々)будут удовлетворять неравенству

丿 «О，%1，“2，…，“20 V £•

Следовательно, это неравенство будет соблюдаться и для значений начальных возмущений: х?, х2,.・・,％；私 если только последние подчиняются условию

2月

2 (К)2《入. sT

Таким образом, можно написать

匕=丿(} х?,嫁・・・，思)<&・(10.15)

Так как по условию теоремы полная производная V (^, хп х2, ..., *2》 отрицательна или тождественно равна нулю, поскольку мы предположили, что функция Ляпунова V (力巧 *2,…,*20 определенно положительна, то из равенства

V (A *1，*2,…，*2用)-U ('0，*2,…，*2月)=

J У(/, «и х2, ... , *20 dt

будет следовать, что

U(£, %], *2，•••，*2尼)U (”0‘ Х1, %2, ••• , %2在)《。 или на основании (10.13) и (10.15)

W^V^VQ<s.

Это означает, что переменные & будут удовлетворять неравенству (10.15), а тем самым и условию

工尤e4 $=1

поскольку е есть точная низшая граница функции W и достигается функцией W лишь на гиперсфере

2尼

£ 楚=А.

Тем самым теорема Ляпунова об устойчивости движения доказана.

В качестве иллюстрации рассмотрим следующий простой пример.

Пусть уравнения возмущенного движения имеют вид

嘗 々％], 警 々％2, 曾々*3 3〉0)・

Определенно положительная функция

U = %； + 君 + %；

удовлетворяет условиям теоремы Ляпунова, так как ее полная производная по времени является определенно отрицательной функцией (значит она будет и знакопостоянной отрицательной функцией):

*= _ 2々(岩 + 岩 + xl) = _ 2AV<0.

Так как условия теоремы Ляпунова выполнены, то невозмущенное движение *1=0, х2 = 0 и х3 =« 0 будет устойчивым.

Приведенное ранее доказательство теоремы Ляпунова можно весьма просто пояснить на таком примере.

Рассмотренная здесь функция Ляпунова V=xl +

+ Х2 + %з будет определенно положительной функцией для любой области изменения переменных хъ х2, х3.

Рассмотрим сферу

Xi + xi + хз == А,(10.17)

где А ——положительное, произвольно малое число. Начальные возмущения %；,用，и %； подчиним условию

(х(1У + (Х2)2+(хз)2<Х,(10.18)

причем 入 выберем так, чтобы выполнялось неравенство Х< Д.

Это означает, что движение точки М (&, х2» %з) начнется с поверхности сферы, внутренней по отношению к сфере (10.17).

Рассмотрим семейство сфер

V(Хр *2，^3)= Х1 + Х2 + Хз == f (с >0).

Так как V<0, то точка М (х1? х2, %з), начавшая свое движение с поверхности сферы (10.18), будет переходить на внутренние сферы V (хь 占，хз) = с (с< 入)и, следовательно, никогда не достигнет сферы V (々，х2, %з) = А, а это означает, что при движении точки М (%i，*2，*з) будет выполняться неравенство

%： + %2 + %з < А •(10.19)

Поскольку значение 入 может быть выбрано для любого А, как бы мало оно ни было (лишь бы было 入 <А), так, чтобы при выполнении условия (10.18) выполнялось неравенство (10.19), то, согласно Ляпунову, рассматриваемое невозмущенное движение 占=0, *2 = 0 и %з = 0 будет устойчивым.

Теорема Ляпунова об асимптотическойустойчивости

Если невозмущенное движение xs=0 (sl=1,2, ..., 2^) устойчиво и, кроме того, при неограниченном возрастании времени t все возмущения х$ по абсолютной величине неограниченно уменьшаются, т. е.

lim & = 0(s= 1,2, ... , 2&),

f -8

то говорят, что возмущенное движение асимптотически приближается к невозмущенному, или просто, что невозмущенное движение обладает асимптотической устойчивостью.

Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости формулируется следующим образом: если диф~ ференциаль^ые уравнения возмущенного движения таковы, что возможно найти знакоопределенную функцию V, допускающую бесконечно малый высший предел, такую, что ее производная " в силу этих уравнений была бы знакоопределенной функцией противоположного знака с V, то возмущенное движение, достаточно близкое 左 невозмущенному, будет приближаться к нему асимптотически.

Допустим, что V — знакоопределенная положительная функция, допускающая бесконечно малый высший предел, а 1/ в силу уравнений возмущенного движения является знакоопределенной отрицательной функцией.

Следовательно, согласно определению знакоопределенной функции, существуют такие не зависящие от времени t функции

^^ （*1, *2，, x2左）h l^ （*i，*皆，••.，x2々）， что при выполнении условий

2月

go и 2 楚《"（"〉0）

будут иметь место следующие неравенства:

丿伯 *1，*2，…*2左）》W （*1‘ *2’，*2就 1 /iq nn\

-廿（厶匕，*2,…*2々）＞ 們‘（*1，*2,…，*2/./

Рассмотрим гиперсферу

2々

£ %： =4,（10.21）

где А — некоторое произвольно малое положительное число, меньшее "・ Пусть 広 есть точная низшая граница значений W（хр *2， ••• ， *2々）на гиперсфере （10.21）. Выберем число X （入＞0） таким образом, чтобы в область изменения переменных &

2力

S = 1

не проникала ни одна точка поверхности

丿(/0，%1,,大2月)===*•

Тогда для любых начальных возмущений %；(s=l,2,・・・，2归), лежащих в -области

2力

2 (点2W 入，(10.22)

S=1

нельзя найти такого положительного числа % чтобы при %》％ выполнялось неравенство

т] < V (Z, *1, %,・・・，％2а)・(10.23)

Действительно, если бы для некоторой системы значений %М удовлетворяющих условию (10.22), существовало такое число 北，то в силу того, что функция V допускает бесконечно малый высший предел, нашлось бы такое число о, что для переменных х$, удовлетворяющих условию

2力

^^^^ 露

выполнялось бы неравенство

丿(£, *1，*2’ ••• ’ *2左)<\

Следовательно, для того чтобы выполнялось неравенство (10.23), необходимо чтобы область изменения переменных & определялась условием

2左

о<2 Xs^A.(10.24)

5=1

Пусть точная низшая граница функции W (хр *2, •••, *2/ для области изменения переменных х$, удовлетворяющих условию (10.24), будет 二 Так как Wf (修，*2,…，*2。 есть определенно положительная функция, тое'〉0 и, следовательно, на основании (10.20) имеем

丿(力 X], *2，• • • , *2左)-^* ^^ (*1, *2, • • • , *2后)^" &>。.

Далее, из уравнения

V (%, %] *2，••• , *2总) 丿(‘О' *1, *2, ••• , •^2^)== ( Vd£

получаем

I/ (f, X], x2，…，x2a)《 U(方0，%1, *2,…，%2左)Е (/ '0)，

что приводит ^противоречию, так как У(/,修,皿 …，*2/ по условию есть определенно положительная функция, а правая часть при

£〉£()+ ?,

где Vq=V (%, %?, %?，•・•, х^)， становится отрицательной.

Таким образом, нельзя указать такого числа 小 как бы мало оно ни было, чтобы для всех ^> /0 выполнялось неравенство (10.23). Это означает, что как бы мало ни было число % всегда наступит момент, когда функция V (Л Xi, *2，…,*2々)станет меньше, чем ^ и в дальнейшем с возрастанием / будет оставаться меньше, чем 母,так как V есть убывающая функция % (1/<0)・ Остается еще показать, что если система начальных возмущений %? принадлежит области 入,т. е. если выполняется условие (10.22), то значения переменных %s при неограниченном возрастании / стремятся к нулю:

lim к = 0.

Пусть 切 есть значение точной низшей границы функции W(&, *2， .•…*20， когда переменные & изменяются в области

2左2《2惹& А •

По доказанному выше всегда наступит такой момент Г>/0, когда W станет меньше 笃 и будет оставаться меньше 母・ Начиная с момента Г> /0，значения переменных xs будут все время оставаться внутри области

2左

£ V а,

а это и доказывает, что lim х =0, так как число 甘 L8

может быть сделано сколь угодно малым.

Пример. Пусть уравнения возмущенного движения имеют вид

dx.dy,

衣=a“x +口12» и 不=“21% + a22y

Рассмотрим определенно положительную функцию V=х2 + у2. Ее производная V в силу уравнений возмущенного движения будет равна

У=2 {%Н + ©а + &1) ХУ +。22屮}・ Если

"12 = —〃21 и ап<0,。22<。， то

廿 N 2 (。[[x2 +022»2) V °・

Условия теоремы Ляпунова, таким образом, выполнены, и невозмущенное движение х = 0 н у = 0 будет асимптотически устойчивым.

Теоремы Ляпунова и Четаева о неустойчивости движения

Н. Г. Четаев сформулировал и доказал следующую теорему о неустойчивости движения: если дифференциальные уравнения возмущенного движения таковы, что возможно найти функцию V, ограниченную в области 丿〉0, существующей при всяком t^tQ и для сколь угодно малых по абсолютной величине переменных х~ производная которой V в силу этих уравнений была бы определенно положительной 6 области V〉0, то невозмущенное движение неустойчиво.

Здесь под областью 1/>0 понимается совокупность значений переменные х§, которые при условиях 片》% 2内

и 2 Y《” удовлетворяют неравенству

V (£,x2尼)〉。■

Из этой теоремы Четаева, доказательство которой мы здесь опускаем, вытекают как следствие две теоремы Ляпунова о неустойчивости движения.

Первая теорема Ляпунова о неустойчивости движения: если дифференциальные уравнения возмущен- ного движения таковы, что возможно найти функ^ цию V, которая обладала бы в силу этих уравнений знакоопределенной производной 亿 притом допускала 6bl бесконечно малый высший предел и была бъь 加。丈。6。, что при всяком t, большем некоторого пре- дела, надлежащим выбором величин %$, численно сколь угодно малых, ее можно было бы сделать величиной одинакового знака с ее производной, то невозмущенное движение неустойчиво.

Для доказательства этой теоремы достаточно заметить, что функция К фигурирующая в теореме Ляпунова, удовлетворяет условиям теоремы Четаева.

Вторая теорема Ляпунова о неустойчивости движения: если дифференциальные уравнения возмущенного движения такоBbi,弘加。возможно найти ограниченную функцию V, производная которой в силу этих уравнений приводилась бы к виду

廿=入丿+步，

где 入——положительная постоянная, a W или тождественно равно нулю, или представляет некоторую знакопостоянную функцию, и если 6 последнем случае найденная функция V такова, что при всяком t, большем некоторого предела, надлежащим выбором величин %s， сколь угодно численно малых, ее можно сделать величиной одинакового знака с W, 加。невозмущенное движение неустойчиво.

Действительно, из условий этой теоремы Ляпунова следует, что производная V есть знакоопределенная функция в области, где V и W имеют одинаковые знаки (если W не есть тождейственный нуль).

Если же W равно нулю, то V будет знакоопределенной как в области так и в области " < 0. Тем самым условия теоремы Четаева выполнены, и, следовательно, невозмущенное движение будет неустойчивым.

Пример. Пусть уравнения возмущенного движения имеют вид

^- = ах + by (к? + *)и — = fj/ + dx (*2 + 俨).

Рассмотрим определенно положительную функцию 丿=*2+歹2 Ее производная в силу уравнении возмущенного движения будет равна

17 = 2 {ах?十 Су2 +(6 + d) ху(%2 + »2) }.

Если 力+ d = 0 и а>0, с〉0, то V>0 и, следовательно, невозмущенное движение (нулевое решение х = 0 и у = 0) будет неустойчивым.

Если 力 + d = 0 и а < 0, f < 0, то У< 0 и, следовательно, невозмущенное движение (нулевое решение х = 0 и у = 0) будет устойчивым, и при том асимптотически.

§ 6. Устойчивость равновесия. Теорема Лагранжа

Устойчивость равновесия системы можно рассматривать подобно тому, как мы рассматривали устойчивость движения, поскольку состояние равновесия есть частный случай движения, когда конфигурация системы относительно выбранной системы координат остается неизменной и скорости всех точек равны нулю.

Будем рассматривать голономную систему, подчиненную стационарным идеальным связям и находящуюся под действием потенциальных сил.

Обозначим через ^ (У = 1,2, ....,左)обобщенные координаты, определяющие конфигурацию системы в момент времени t, а через % и 円一соответственно обобщенные скорости и обобщенные импульсы. Эти же величины в состоянии равновесия обозначим через 7/, ^ и/^・ Не нарушая общности, можно принять,

что все g； равны нулю, а в силу того, что система находится в равновесии, будем иметь 疗=0, а следовательно, и pj = 0. Таким образом,

9： = 0,«； =。и р/ — 0.

Приняв величины qj и ру (/= 1,2, ..., А) в качестве независимых переменных, будем описывать движение рассматриваемой системы с помощью канонических уравнений Гамильтона:

dq.дНdp.дН

dt勿 jdt@%

где H н H ® 円)一функция Гамильтона.

Кинетическая энергия системы 7 (分,q)、 поскольку связи стационарны, будет представлять определенно положительную квадратичную форму от обобщенных скоростей (5.23), и ее значение в состоянии равновесия будет равно нулю:

7 (孙刃)Н0・

Потенциальную энергию V будем считать зависящей от обобщенных координат %: V= V{q^ и поскольку она определяется с точностью до аддитивной постоянной, ее всегда можно нормировать таким образом, чтобы ее значение в положении равновесия было равно нулю, т. е.

U ⑷) = 0.

Тогда значение функции Гамильтона в состоянии равновесия также будет равно нулю:

НЗ、$) = тЗ、自)+V3)=Q

Необходимым условием равновесия является условие обращения в нуль обобщенных сил

Таким образом, условием равновесия является условие стационарности функции V =V(^):

寫=Q (/=12.../)(10.25)

u4j

Чтобы решить вопрос о том, является ли данное положение равновесия устойчивым или, наоборот, неустойчивым, выведем систему из положения равновесия, сообщив ее точкам малые смещения и малые начальные скорости. Выйдя из состояния равновесия, система придет в движение, описываемое уравнениями Гамильтона.

Если рассматривать устойчивость равновесия по отношению к обобщенным координатам 夕才 и обобщенным импульсам pj или, что то же, по отношению к обобщенным координатам 幻 и обобщенным скоростям % (поскольку для рассматриваемой консервативной системы обобщенные импульсы выражаются линейным образом через обобщенные скорости, и наоборот), то уравнения движения Гамильтона будут представлять уравнения возмущенного движения, а нулевое решение 成=0 и 讨=0 будет соответствовать невозмущенному состоянию, каким в данном случае является состояние равновесия. Имеет место следующая теорема Лагранжа: если в положении равновесия потенциальная энергия имеет изолированный ми нимум9 то такое положение равновесия устойчиво.

Другими словами, если условия (10.25) выражают условия изолированного минимума функции V (分)，то положение равновесия является устойчивым.

Для доказательства теоремы Лагранжа воспользуемся теоремой Ляпунова об устойчивости движения.

Возьмем в качестве функции Ляпунова функцию Гамильтона Н == Т + V. Если условия теоремы Лагранжа выполнены, то в окрестности нулевой точки (不=0, 讨=0) в 2&-мерном пространстве состояний (%•，Pj) Функция Гамильтона ^ (%,円)будет определенно положительной, а ее полная производная

по времени в силу консервативности системы [Я (办, ру) = const] будет тождественно равна нулю, т. е. Н= 0. Таким образом, условия теоремы Ляпунова выполнены, и нулевое решение д? = 0 и pj будет устойчиво, что и доказывает теорему Лагранжа.

Обращением теоремы Лагранжа, т. е. теорема^ утверждающей, что если потенциальная энергия V в положении равновесия не имеет минимума, то состояние равновесия будет неустойчивым, занимались многие ученые (Адамар, Пенлеве, Ляпунов А. М., Четаев Н. Г. и др.).

А. М. Ляпунов рассматривал случай, когда разложение силовой функции U в окрестности положения равновесия %• = 0 имеет вид

U = Um + U〃叶 1 ,

где Um — форма степени m > 2 относительно переменных 夕丿・ А. М. Ляпунов показал, что если в положении равновесия, определенном уравнениями д, = 0, силовая функция U не есть максимум и если это обнаруживается тем обстоятельством, что квадратичная форма °2 может становиться положительной, то это положение равновесия неустойчиво.

Н. Г. Четаев доказал справедливость обращения теоремы Лагранжа для случая, когда потенциальная энергия V представляет некоторую однородную функцию степени т относительно переменных 办 и когда при этом для сколь угодно малых по абсолютной величине значений переменных % она может принимать положительные значения.

Позднее справедливость обращения теоремы Лагранжа была доказана Н. Г. Четаевым для общего

случая, когда силовая функция U является аналитической и не имеет изолированного максимума в положении равновесия»

§ 7. Устойчивость линейных систем

Пусть уравнения возмущенного движения будут линейными дифференциальными уравнениями первого порядка с постоянными коэффициентами вида

(10.26)(10.26)曾=2“

(10.26)

(10.26)

где р$1 — постоянные вещественные величины.

Такой вид, в частности, будут иметь уравнения в вариациях в случае, когда невозмущенное движение является установившимся. Нулевое решение х$ = 0 (s = l,2, ...,拉)будет соответствовать невозмущенному движению. Следовательно, изучение устойчивости невозмущенного движения сводится к изучению устойчивости нулевого тривиального решения системы (10.26).

Будем искать частное решение системы (10.26) в виде

& = %&£(s= 12 ・・_ 矶(10.27)

Подставляя это значение xs в уравнения (10.26) и сокращая затем на множитель е" , получаем систему однородных уравнений относительно коэффициентов %:

03,= 0,(Ю.28)

где % — символ Кронекера:

鼠1 ПРИ4 = 5S" ( 0 при Z*S・

Для того, чтобы однородная система уравнений (10.28) имела нетривиальное решение, т. е. чтобы не все а? были равны нулю, необходимо и достаточно, чтобы определитель этой системы равнялся нулю:

0（入）=

=0.

Раскрывая этот определитель, получаем алгебраическое уравнение n-й степени с вещественными коэффициентами (поскольку psi предполагаются вещественными):

D (入)=。()入“ + а】入"~i + . • • + 优n—1 入 + @п у 0»(10.29)

из которого можем найти 入.Уравнение (10.29) называется характеристическим или вековым* для системы дифференциальных уравнений (10.26). Вид общего решения системы (10.26) будет зависеть от корней характеристического уравнения «0(入) = 0.

Изменение величин х$ = %е" буд^т зависеть от функций е〃 , для чего необходимо знать корни уравнения (10.29).

Рассмотрим возможные значения корней уравнения (10.29).

Все корни характеристического уравнения имеют отрицательные вещественные части:

入s = % + 加$ (s = 1, 2,・・・，％).

Здесь 也 могут быть положительны, отрицательны или равны нулю, а все х$ отрицательны.

Тогда все функции

& = %е¥(Ю.ЗО)

при неограниченном возрастании t будут по модулю неограниченно уменьшаться:

lim xs = 0.

Следовательно, невозмущенное движение будет устойчивым и при том асимптотически.

Асимптотическая устойчивость в рассматриваемом случае (когда вещественные части корней отрицательны) не нарушается и при кратных корнях характеристического уравнения D (X) = 0.

Пусть, например, корень 入丫 имеет кратность т. Тогда частное решение , соответствующее корню 3 , будет содержать так называемые «вековые члены»

вида Antn(Q ^п^т—}), й вместо (10.30) частное решение следует писать в следующей форме:

М = (А^^ + A2tm~2 + ... + О £讨・

Из курса анализа известно, что

lim (尸《)е") = 0,

где Л(/) — полином, а X — либо отрицательное число, либо комплексное число с отрицательной вещественной частью. Следовательно, и в данном случае

lim м == 0,

ff8

что и доказывает асимптотическую устойчивость невозмущенного движения.

Среди корней характеристического уравнения имеется хотя бы один, вещественная часть которого положительна..

Обозначим этот корень через 入丫二乂丫十 22T. Здесь 匕 может быть положительно, отрицательно или равно нулю, а ху положительно.

Тогда частное решение будет иметь вид

*т = % е%‘，

и при неограниченном возрастании f величина хт По модулю будет неограниченно возрастать и, следовательно, невозмущенное движение х$ =« 0 (s = i, 2,・・・,n) будет неустойчивым.

В случае кратного корня % может оказаться полиномом от t. Но это не нарушает сделанного вывода.

Среди корней характеристического уравнения нет ни одного корня с положительной вещественной

частью, но есть простые корни, вещественные части которых равны нулю, т. е.

入V %•

В этом случае величины

М = % с"' = % 尹5

будут ограничены по модулю для всякого ^>/0, каковы бы ни были значения начальных возмущений *% . Следовательно, задавая произвольное число е, всегда можно найти такое положительное число ^ == ^ (е), что при выполнении условия

I用丨Q (s=l, 2,・・・，〃)

будем иметь

丨 О (s = l, 2,・・・，〃)

для всякого /》«, что доказывает устойчивость невозмущенного движения & = 0.

Следует, однако, заметить, что в данном случае невозмущенное движение не будет обладать асимптотической устойчивостью, так как при произвольно заданных начальных возмущениях х： все х§ могут и не стремиться одновременно к нулю при Joo.

Пример. Рассмотрим движение груза с массой т, подвешенного к пружине с жесткостью с, в среде с сопротивлением, пропорциональным первой степени скорости (коэффициент пропорциональности равен 2〃)・

Уравнение движения будет

тх = — сх — 2пх.

Его можно записать в следующей форме:

將=* = 一 收吃一2 眸， (10.31)

где

< Рсп

X = 胪 * - И У-=-—.】'/иг т

Напишем матрицу коэффициентов системы (10.31)：

Характеристическое уравнение будет иметь вид

一胪—2世—入一°，

Так как при 々〉俨 корни

入1,2 =--卩土i 为2 一世2

простые и имеют отрицательную вещественную часть, то невозмущенное движение (соответствующее положению равновесия %i=0 и х2 = 0) будет асимптотически устойчивым.

Критерий асимптотической устойчивостиРауса — Гурвица

В предыдущем параграфе было показано, что для асимптотической устойчивости невозмущенного движения & = 0 (s = 1, 2, ... , п) необходимо, чтобы все корни характеристического уравнения (10.29), составленного для матрицы коэффициентов рассматриваемой стационарной линейной системы (10.26), лежали в левой половине комплексной плоскости, т. е. имели бы отрицательные вещественные части.

Полином с вещественными коэффициентами

% 入"++ ・・.+ а〃т 入 + а〃 к 0 (%〉0),

все корни которого удовлетворяют указанному условию, т. е. имеют отрицательные вещественные части, носит название полинома Гурвица.

Необходимые и достаточные условия того, чтобы корни полинома с вещественными коэффициентами имели отрицательные вещественные части, впервые

30930920 м. И. Беленький

309

309

были получены Раусом. Независимо от Рауса эти условия были даны Гурвицем в виде неравенств:

4〉0, %〉0,.・・，А〃>0,4〉0, %〉0,.・・，А〃>0,(10.32)(10.32)

4〉0, %〉0,.・・，А〃>0,

4〉0, %〉0,.・・，А〃>0,

(10.32)

(10.32)

где А^ (2 = 1, 2,・・・,九)—так называемые «определители Гурвица», имеющие следующий вид:

01 "3a5 • • • "2〃一100a2a4 • • •a2〃*—2 аД = 0。1 。3 •.. a2门-301 "3a5 • • • "2〃一100a2a4 • • •a2〃*—2 аД = 0。1 。3 •.. a2门-3

01 "3a5 • • • "2〃一1

00a2a4 • • •a2〃*—2 аД = 0。1 。3 •.. a2门-3

01 "3a5 • • • "2〃一1

00a2a4 • • •a2〃*—2 аД = 0。1 。3 •.. a2门-3

00 0・・・。〃

Условия (10.32) носят название условий Рауса — Гурвица. Они выражают необходимые и достаточные условия асимптотической устойчивости.

ЛИТЕРАТУРА

П. Аппель. Теоретическая механика. Т. 1 и II, пер. с франц. Физматгиз, 1960.

Б. В. Булга ков. Колебания. Гостехиздат, 1954.

Ш. Ж. Валл е-П у с с е н. Лекции по теоретической механике, пер. с франц. ИЛ, т. 1, 1948, т. II, 1949.

Вариационные принципы механики, сбор, статей под ред. Л. С. Пола ка. Физматгиз, 1959.

Ф. Р. Гантмахер. Лекции по аналитической механике. Физматгиз, 1960.

Г. Голдстейн. Классическая механика, пер. с англ. Гостех- издат, 1957.

Г. Н. Ду б о шин. Основы теории устойчивости движения. Изд-во МГУ, 1952.

Н. Е. Жуковский. Механика системы. Оборонгиз, 1939.

А. Зоммерфельд. Механика, пер. с немец., ИЛ, 1947.

К а р т а н. Интегральные инварианты, пер. с франц. Гостех- издат, 1940.

Ж. Л. Лагранж. Аналитическая механика. Т. I, II, пер. с франц. Гостехиздат, 1950.

Л. Д. Ландау и Е. М. Л и ф ш и ц. Механика. Физматгиз, 1958.

Т. Лев и-Ч и в и т а и У. А м а л ь д и. Курс теоретической механики. Т. 1 и 11, пер. с итальян. ИЛ, 1951—1952.

Д. У. Л и ч. Классическая механика. ИЛ, 1961.

Л. Г. Л о й ц я н с к и й, А. И. Лурье. Курс теоретической механики. Т. 11, Гостехиздат, 1954.

А. И. Лурье. Аналитическая механика. Физматгиз, 1961.

М. Ляпунов. Общая задача об устойчивости движения. ОНТИ, 1935.

Д. Ма к-М и л л а н. Динамика твердого тела, пер. с англ. ИЛ, 1951.

Д. Р. Меркни. Гироскопические системы. Гостехиздат, 1956.

Д. Моисеев. Очерки развития механики. Изд-во МГУ, 1961.

Л. С. Полак. Вариационные принципы механики. Физматгиз, 1960.

Д ж. Л. С и н д ж. Тензорные методы в динамике, ИЛ, 1947. Дж. Л. Синг. Классическая динамика, Физматгиз, 1963.

Г. П. Суслов. Теоретическая механика. Гостехиздат, 1944.

Т. Ra u th. The advanced part of a treatise on the dynamics of a system of rigid bodies. London, 1905.

T. Уиттекер. Аналитическая динамика, пер. с англ. ОНТИ, 1937.

Ф. Франк и Р. Мизес. Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики, пер. с нем. ОНТИ, 1937.

К. Якоби. Лекции по динамике, пер. с нем. ОНТИ, 1936.

Г. Ч е т а е в. Устойчивость движения. Гостехиздат, 1955.

ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ

Ада мар Ж. 304

Амальди У. 9, 23, 189, 311

Ампер А. 30

Аппель П. 12, 29, 53, 54, 153, 303, 311

Бернулли И. 30, 88

Бернулли Я. 38

Бобылев Д. К. 74

Болотов Е. А. 53

Бохер М. 307

Булгаков Б. В. 311

Валле-Пуссен Ш. Ж. 8, 311

Галилей Г. 30

Гамильтон У. Р. 58, 60, 163,222

Гантмахер Ф. Р. 23, 240,310, 311

Гаусс К. 47, 48, 49

Гельмгольц Г. 143

Герман Я. 38

Герц Г. 8, 9

Гиббс В. 257

Голдстейн Г. 311

Гурвиц А. 310

Гурса Э. 178

Даламбер Ж. 38, 40

Деласю Е. 53, 54

Донкин В. 60

Дубошин Г. Н. 300, 311

Жуковский Н. Е. 69, 311

Журден Ф. 52

Зоммерфельд А. 63, 311

Картан Э. 236, 261, 272, 311

Картвег Д. 12

Кельвин В. 134

Кеплер И. 39

Клейн Ф. 3

Кочин Н. Е. 48

Курош А. Г. 310

Ландау Л. Д. 311

Лагранж Ж. 30, 69, 303, 311

Леви-Чивита Т. 9, 23, 189, 311

Лежен-Дирихле 303

Ли С. 234

Лифшиц Е. М. 311

Лич Д. У. 311

Лойцянский Л. Г. 10, 311

Лурье А. И. 10, 22, 94, 311

Льенар А. 310

Ляпунов А. М. 283, 286, 291,

300, 304, 311

Мак-Миллан В. Д. 12, 155, 311

Меркин Д. Р. 311

Мизес Р. 312

Мопертюи П. 68, 69

Николаи Е. Л. 39

Остроградский М. В. 7, 30, СО

Пендеве П. 304

Полак Л. С. 47, 69, 311

Пуанкаре А. 254, 257, 285

Раус Э. 168 310, 312

Сайкин С. Ф. 53

Сен-Жермен А. 153

Серре Ж. 61, 69

Синг Д. Л. 94, 311

Стевин С. 30

Суслов Г. К. 23, 52, 185, 312

Томсон В. 131, 134, 143

Торричелли Э. 303

Тэт. П. 131, 143

Уиттекер Е. Г. 267, 312

Франк Ф. 312

Фурье Ж. Б. 6

Хайкин С. Е. 39

Четаев Н. Г. 48, 53, 54, 299, 300, 304, 307, 310, 312

Шипар М. 310

Эйлер Л. 38, 39, 69

Якоби К. Г. 22, 72, 74, 205, 209, 219, 312

ПРЕДМЕТНЫЙ

Аналитическая механика 3

Аналогия оптико-механическая 223, 224

Аппеля уравнения 153, 155

Билинейный ковариант 236, 237, 238, 239, 248

Вариация гауссова 51

—главной функции Гамильтона 200

—изохронная (синхронная) 20

—координат 21, 22, 23, 62

—полная (асинхронная) 20, 21

—функции 20

——функции действия 194, 198, 200

Виртуальная работа 28 Виртуальные i ариации координат 22, 41

—перемещения 22, 23 25, 26, 28

Возможные перемещения 22,23

Гамильтона главная функция 187, 190, 191 —переменные 163 —принцип 59, 61, 65, 165, Г87 ^'равнения 164, 165, —функция 157, 158, 164,168

УКАЗАТЕЛЬ

Гамильтона Якоби уравнение 187,203,210, 213

Гаусса вариация 51

—первая дифференциальная форма 97 —принцип 47, 50, 51, 52, 53

Гессиан 148

Гироскопические силы 131, 132, 133 一 системы 131

Гиростатические члены 139 Гурвица определители 310 —полином 309

Даламбера принцип 39, 40

Даламберова сила инерции 38

Движение возмущенное 281, 284 — действительное 48, 65, 68 —изоэнер гетическое 68, 95

—невозмущенное 280

——неустановившееся 287

—неустойчивое 283 —по инерции 48, 94 —свободное 48

—системы по инерции 91

—спонтанное 91

—точки по инерции 95, 96, 98

—установившееся 287

Движение устойчивое 283

Действие 59, 60, 69, 72, 74, 187, 202, 225 —по Гамильтону 59, 60, 64, 165

—по Лагранжу 68

—по Мопертюи 68, 225

—по Якоби 71

Диссипативная функция Рэлея 135

Диссипативные силы 134, 135, 136 —системы 135

Диссипация полная 136

—частичная 136

—энергии 134

Длина оптическая 224

Журдена принцип 52, 53

Задача Ампера 114

—о брахистохроне 88, 89

—о геодезических линиях 94, 96

—о качении твердого шара 9

—о траекториях 77

Закон Кеплера 125

—рассеяния энергии 137

—сохранения количества движения 144,145 —сохранения механической энергии 140, 141, 222

—сохранения площадей 145

Золотое правило механики 30

Идеальные связи 28, 47

Импульсы обобщенные 143,144, 146, 157

Инвариант интегральный 257 абсолютный 265, 266 относительный 261 Пуанкаре 257, 264, 270 Пуанкаре — Кар- тана 264, 271, 272, 274

Инвариантность уравнений Лагранжа 121

Интеграл полный 203, 205,206, 211

Интеграл энергии 137 —энергии обобщенный 138, 139, 140, 143, 164 —Якоби 139

Канонические преобразования 121, 234

Кеплера закон 125

Кинетическая энергия системы 126

Кинетические фокусы 72,73, 74 Ковариант билинейный 236, 237, 238, 239, 248

Конфигурация системы 12, 16, 19, 21, 34, 118

Координаты декартовы 105

—обобщенные 13, 14

—скрытые (игнорируемые) 143

—сферические 106

—циклические 143, 168, 175

—цилиндрические 98, 114

Коэффициент преломления среды 224

Кривая сравнения 58, 60, 63

Критерий ассимптотической устойчивости 310

Кронекера символ 182, 250, 305

Лагранжа переменные 60

—теорема 303

——уравнения второго рода 101, 103

—уравнения первого рода 44, 45, 46

Лежандра преобразование 228, 229, 230, 231

Линейный элемент 94 действия 94

Лиувилля теорема 267 Лоренца сила 133

Ляпунова теорема об ассимптотической устойчивости 296 о неустойчивости движения 390 об устойчивости движения 291

Ляпунова функция 292

Матрица 132, 135

Матрица кососимметрическая 132, 133 —симметричная 135 Метод неопределенных множителей Лагранжа 43 ——разделения переменных 212, 214

Метрика пространства 93 Механика аналитическая 3 Механическая система 5 Мопертюи — Лагранжа принцип 69

Обобщенные импульсы 143, 144, 157

—координаты 13, 14

—силы 34, 103, 130

—скорости 16

—ускорения 18 Обобщенный интеграл энергии

139, 140, 143, 164 Общее уравнение динамики

41, 42 статики 31

Определитель Гесса 148

—кососимметрический 132

——функциональный 13». 118

Освобождение механической, системы 48

Парабола безопасности 76 Переменные Гамильтона 163

—Лагранжа 60

—Рауса 169

Перемещения виртуальные 22, 23, 25, 26, 28, 150 —возможные 22, 23 —действительные 22, 24, 25, 32, 49, 150 —по Четаеву 55

Перестановочное соотношение 20, 21

Поверхность равного действия 225, 227

Подобие кинематическое 124 Поле с кулоновским взаимодействием 86, 87 —силы ньютонианско- го тяготения 125

Постулат идеальных связей 28, 30

Преобразования бесконечно

малые 250, 251, 252

——вполне канонические 247

—канонические 121, 234

—Лежандра 228, 229, 230, 231

—подобия 121, 123

—Рауса 168, 171

—тождественные 255

—точечные 119, 121

Принуждение 49

—для системы 50

—для точки 50

Принцип варьированного действия 189 —виртуальных перемещений 30, 31, 33, 37, 41

—виртуальных скоростей 30

—Гамильтона 59, 61, 65, 165, 187

—Гамильтона—Остроградского 60

—Даламбера 39, 40

—Даламбера — Лагранжа 42, 53

—Журдена 52, 53

—Мопертюи—Лагранжа 69

——наименьшего действия Лагранжа 69 —наименьшего принуждения (принцип Гаусса) 47,50, 51, 52, 53 —освобождаемости 27

Принцип переменного действия 187, 188, 189, 200 —сохранения количества движения и энергии 272

—Ферма 89, 223

Принцип стационарного действия Гамильтона 60,70 Лагранжа — Мопертюи 70, 96 в форме Якоби 70, 71, 82,93, 94,223

Производная внешняя 236 Пространство конфигураций 57, 94 —Римана 94

Пространство событий 57

—фазовое 257

—фазовое расширенное 261, 272

Пуассона скобки 177, 179, 182

—скобки двойные 177

—теорема 180

Путь окольный 58, 59

—прямой 58, 59

Пфаффа союзная система уравнений 237

Пфаффиан 235

Работа виртуальная 28

Рауса переменные 169

—преобразование 168, 171

—уравнения 171

—функция 168, 170,

171, 172

Реакция связей 28, 39

Рэлея диссипативная функция 135

Связи 6

—внешние 6

—внутренние 6

—геометрические (ко・ нечные) 8

—голономные 8, 9, 47

—идеальные 28, 47

—• кинематические

(дифференциальные) 8

—неголономные (не- ингегрируемые) 8, 9,

—нестационарные

(реономные) 8

—неудерживающие

(односторонние) 7

—стационарные (склерономные) 8

—удерживающие (двухсторонние) 7, 34, 47

Сила инерции кориолисова 134

переносная 134

Сила Лоренца 133

Силовая функция 36, 37

Силы активные 28, 39, 40, 91, 92

—внешние 6, 28

Силы внутренние б, 28

—гироскопические 131, 132, 133

—диссипативные 134, 135, 136

—инерции 38, 39, 40 一 обобщенные 34, 103, 130

—пассивные 28, 91

—потерянные 40 Символ Кронекера 182,250,305

Система голономная 8, 9

—консервативная 130

—механическая 5

—неголономная 8, 9

—несвободная 5, 6

—свободная 5, 6

—совершенно неголономная 9

Система интегралов в инволюции 181 Якобиева 181

Системы натуральные 139

—ненатуральные 139

—общие лагранжевые 139, 158

Скобки Пуассона 177, 179, 182 двойные 177

Скорость волны действия 226, 227

—обобщенная 16

—фазовая 226, 227, Сопряженные точки 73 Состояние механической системы 19, 156, 176, 257 Спонтанные движения 91

Тензор количества движения и энергии 272, 273

Теорема Лагранжа об устойчивости равновесия 303

—Лежен-Дирихле 303

—Лиувилля 267

—Ляпунова о неустойчивости движения 300 —Ляпунова об асимптотической устойчивости 296

——Ляпунова об устойчивости движения 291 —об изменении кине-

тической энергии 128, 129, 131

—Пауссона 180

—Четаева о неустойчивости 299

— Якоби 206, 210

Тождество Якоби — Пуассона 177, 179,

Точка изображающая 57, 58, 59, 93

—фазовая 257, 258

Траектория системы 58

—фазовая 258

Уравнение вековое 306

—Гамильтона-Якоби 187, 203, 210, 213

—Даламбера - Лагранжа 41

—общее динамики 40, 41, 42

—общее статики 31

— характеристическое 306

Уравнения Аппеля 153, 155

—в вариациях 285

—возмущенного движения 285, 286

—канонические Гамильтона 164, 165, 232 —Лагранжа второго рода 101, 103

—Лагранжа первого рода 44, 45, 46

—Пфаффа 237

—Рауса 171

—Уиттекера 275, 277

Ускорения обобщенные 18

—потерянные 40

Условие Рауса-Гур в и на 310

Условно устойчивые движения 284

Устойчивость (по Ляпунову) 283

—асимптотическая

295, 306

—равновесия 301, 303 Уиттекера уравнение 275,、277

Фазовая линия 258

—скорость 226, 227

—траектория 258

Ферма принцип 89, 223

Фокус кинетический 72, 73, 74

Функциональный определитель 13, 118

—on редел ител ь Гесса 148

Функция Гамильтона 157, 158, 164,168

—главная Гамильтона 187, 190, 191

— действия по Гамильтону 61

—действия по Лагранжу 70

—• действия в форме Якоби 71

— диссипативная Рэлея 135

—знакоопределенная 290

—знакопеременная 289

—знакопостоянная 289

—Лагранжа 60, 67, 104, 121, 158, 165 —力只пунова 292

-Рауса 168, 170, 171, 172

—производящая 229, 232, 239, 240, 241, 243, 245, 247, 255

—силовая 36, 37

—характеристическая

Характеристическая функция

Циклические интегралы 144

—координаты 143, 168, 171

Четаева теорема 299

Число степеней свободы 26, 27, 44

Эйлера дифференциальное уравнение 78, 83

Энергии интеграл 137

Энергия кинетическая 63, 126

—потенциальная 37, 63

—свободная 63

—ускорения 153

Якоби интеграл 139

— теорема 206, 210Якоби — Пуассона тождество

Якоби — Гамильтона уравне-177, 179

ния 187, 203, 210, 213 Якобиева система интегралов

181

Предисловие

ОГЛАВЛЕНИЕ

3

§§ §§§ 0 §§§§§§ §§§ 0 §§§§

§§ §§§ 0 §§§§

§§ §§§ 0 §§§§

Глава /. Основные понятия

Механическая система. Связи и их классификация . . .5

Обобщенные координаты 12

Обобщенные скорости и ускорения 16

Вариация координат 19

Виртуальные перемещения. Число степеней свободы . . 22

Принцип освобождаемости. Идеальные связи 27

Глава 〃. Дифференциальные вариационные принципымеханики

Принцип виртуальных перемещений 30

Выражение принципа виртуальных перемещений в обобщенных координатах 34

Силы, имеющие потенциал 36

Принцип Даламбера 38

Общее уравнение динамики 40

Общее уравнение динамики для случая сил, имеющих потенциал 42

Уравнение Лагранжа первого рода 43

Принцип наименьшего принуждения (принцип Гаусса) 47

Принцип Журдена 52

Совместность дифференциальных принципов. Перемещения по Четаеву 53

Глава III. Интегральные вариационные принципы механики

Траектория механической системы. Прямой и окольный путь 57

ПринципстационарногодействияГамильтона 58

Вывод принципа Гамильтона из общего уравнения динамики 61

§ 4, ДругаяформулировкапринципаГамильтона 64

》§§》§§§§§§§§§§§§§§§*§§§§§§§§§*§§§§§§Принцип стационарного действия Мопертюи-—Лагранжа 68

》§§

》§§

§§§§§

§§§§§

§§§*§§§§§§

§§§*§§§§§§

Принцип стационарного действия в форме Якоби . . . 70

Кинетические фокусы 72

Гла$а IV. Некоторые приложения принципа стационарного действия

Задача о траекториях

Задача о брахистохроне- . •

Движение системы по инерции (спонтанные движения)

Движение точки по инерции

Задача о геодезических линиях

Глава К Уравнения движения

77889194967788919496Уравнения Лагранжа второго рода101

7788919496

7788919496

Инвариантность уравнений Лагранжа116

Кинетическая энергия системы126

Теорема об изменении кинетической энергиисистемы128

Гироскопические системы•. . . 131

Диссипативные системы134

Интеграл энергии137

Циклические координаты. Циклическиеинтегралы..143

О разрешимости уравнений Лагранжа147

Уравнения Аппеля149

Глава VI. Канонические уравнения Гамильтона

Функция Гамильтона

Уравнения Гамильтона

Вывод уравнений Гамильтона из принципа Гамильтона

Функция Рауса. Уравнения движения в форме Рауса

Скобки Пуассона

L Z3.4.5.6.7.&9.L Z3.4.5.6.7.&9.Глава VIL Метод Якоби — Гамильтона

L Z3.4.5.6.7.&9.

L Z3.4.5.6.7.&9.

Главная функция Гамильтона Принцип переменного действия Общая формула для вариации функции действия ... Производные главной функции Гамильтона Дифференциальное уравнение Гамильтона — Якоби .. Теорема Якоби о нахождении полной системы независимых интегралов уравнений движения Случай консервативной системы Метод разделения переменных Оптико-механическая аналогия

Глава VIII. Канонические преобразования

Преобразование Лежандра

Канонические преобразования。・

Различные виды канонических преобразований

Вполне канонические преобразования

1561621651681761561621651681768487940002 1112 28487940002 1112 2方0222212122方02222121228 3 9 7 022232324258 3 9 7 02223232425Бесконечно малые канонические преобразования

156162165168176

156162165168176

8487940002 1112 2

8487940002 1112 2

方0222212122

方0222212122

8 3 9 7 02223232425

8 3 9 7 02223232425

Глава IX. Интегральные инварианты

Интегральный инвариант Пуанкаре

Интегральный инвариант Пуанкаре — Картана

Абсолютные интегральные инварианты

Системы уравнений, имеющие интегральные инварианты

Принцип сохранения количества движения и энергии .

Уравнения Уиттекера

Понижение порядка системы уравнений Гамильтона с помощью интеграла энергии

Глава X. Устойчивость движения

Постановка задачи

Уравнения в вариациях .・。

Теорема Ляпунова q6 устойчивости движения

Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости .

Теоремы Ляпунова и Четаева о неустойчивости движения

Устойчивость равновесия. Теорема Лагранжа

Устойчивость линейных систем

Критерий асимптотической устойчивости Рауса — Гурвица

7 15 7 2 4 5566677 72 22222 27 15 7 2 4 5566677 72 22222 28084899522 228084899522 229901052 339901052 330913 533 3 30913 533 3 3Литература . • Именной указатель Предметный указатель

7 15 7 2 4 5

566677 7

2 22222 2

7 15 7 2 4 5

566677 7

2 22222 2

80848995

22 22

80848995

22 22

990105

2 33

990105

2 33

0913 5

33 3 3

0913 5

33 3 3

Илья Маркович Беленький

ВВЕДЕНИЕ

В АНАЛИТИЧЕСКУЮМЕХАНИКУ

Переплет художника Б. А. Школьника

Редактор А. Н. Рубашов

Редактор издательства Г. Е. ПерковскаяХудожественный редактор И. Ф. МуликоваТехнический редактор С. С. ГороховаКорректор С. Р. Лановенко

Сдано в набор 12/111-63 г. Подписано к печати11/11-1964 г. Бумага 84Х1087зг. 10,13 печ. л. 17,61усл. печ. л. 13,80 уч.-изд. л. Тираж 17000 экз.Т—02075. Изд. № 6МХ—34, Цена 51 коп. Пере-плет № 5. Зак. № 1084.

Издательство «Высшая школа»,Москва, К-62, Подсосенский пер., 20.

Комбинат печати имени Камиля Якуба приуправлении по печати при СоветеМинистров ТАССР. Казань, Баумана, 19.1964 г.

1 Понятие связи было введено Фурье (1768—1830) в 1795 г.

1 Понятия голономных и неголономных систем ввел Г. Герц в 1894 г. в книге «Принципы механики, изложенные в новой связи». Имеется русский перевод, изд-во АН СССР, 1959.

3 О необходимых и достаточных условиях интегрируемости см・, например, Валле-Пуссен. Курс анализа бесконечно малых. ОНТИ, 1933.

2 См. Т. Лев и-Ч и в и т а и У. А м а л ь д и. Курс теоретической механики, ОНТИ, 1934, ч. I, стр. 282.

1'еометрическое доказательство этой теоремы было дано Н. Е. Жуковским. См. Н. Е. Жуковский. О начале наименьшего действия, В сб.: Вариационные принципы механики, под ред. Л* С. Полака. Физматгиз, 1959, стр. 425—429.

выражение, полученное для вариации BS функции действия, носит

название «принципа варьированного действия» (см. Т. Леви-

Ч и в и та и У. А м а л ь д и. Курс теоретической механики. Т. II, ч. 2, ИД 1951, сгр. 441.

II р si 11 1 —入0 £

простые, то вековые члены не появляются (п = 0). Здесь Хо — рассматриваемый корень характеристического уравнения D(X) =： 0, £ — единичная матрица.

Более подробно см. Н. Г. Ч е т а е в. Устойчивость движения. Гостехиздат, 1955, гл. IV, а также М. Б о х е р. Введение в высшую алгебру. ОНТИ. 1934, гл. 12.

И. М. БЕЛЕНЬКИЙ