Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
ПРЕДИСЛОВИЕ
В Научно-методическом сборнике по теоретической механике, который предполагается издавать ежегодно, освещаются вопросы методики изложения курса теоретической механики и практических занятий по механике; применение наглядных пособий и кинофильмов в преподавании, учебного телевидения и программированного обучения; научная работа кафедр теоретической механики со студентами; зарубежный опыт преподавания; обзоры учебной и методической литературы (отечественной и зарубежной); отзывы об учебниках и учебных пособиях, научные статьи по теоретической механике, а также по отраслям науки и техники, тесно связанным с ней; статьи по истории механики.
Большое место в сборнике должны за
нять вопросы повышения квалификации преподавателей теоретической механики, работа городских межвузовских семинаров и Научно-методического совета по теоретической механике.
Редакционная коллегия сборника обращается к руководителям городских межвузовских семинаров по теоретической механике, работающих в настоящее время во многих городах Советского Союза, с просьбой присылать для сборника доклады, заслушанные на семинарах и рекомендованные к опубликованию, и другие материалы по адресу: Москва, ул. Жданова, 11 Министерство высшего и среднего специального образования СССР. Отдел учебников.
Редакционная коллегия
4 4 КОСМОДЕМЬЯНСКИЙ
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
И РАЗВИТИЕ НОВЫХ ОБЛАСТЕЙ ТЕХНИКИ
... Сближение теории с практикой дает самые благотворные результаты, и не одна только практика от этого выигрывает; сами науки развиваются под влиянием ее: она открывает им новые предметы для исследования, или новые стороны в предметах давно известных. ...Она предлагает вопросы существенно новые для науки и таким образом вызывает на изыскание совершенно новых методов. Если теория много выигрывает от новых приложений старой методы или от новых развитий ее, то она еще более приобретает открытием новых методов, и в этом случае науки находят себе верного руководителя в практике.
П. Л. Чебышев, Собр. соч., т. V, стр. 150.
Теоретическая механика есть научная основа важнейших направлений развития современной техники. Потребности человеческого общества последовательно выдвигают в качестве актуальных и неотложных проблем исследования все новые и новые явления механического движения. Теоретическая механика в значительной степени формировалась и растет сейчас на материалах изучения конкретных частных задач, появление которых обусловлено развитием техники. Это отчетливо видно из всей многовековой истории развития механики.
Можно напомнить, что практические применения простейших машин (блоки, рычаги, полиспасты) в античное время при строительстве крупных зданий в Греции, Риме и Египте привлекли внимание ученых и в результате были разработаны методы определения центров тяжести тел простой геометрической формы и формулирован закон равновесия рычага. Развитие мореплавания, военной техники и гражданского строительства в XV—XVIII вв. способствовали открытию основных законов механического движения и появлению фундаментальных трудов по динамике твердого тела и небесной механике.
Прогресс машиностроения в XIX в., обусловленный внедрением в промышленность и транспорт паровых хгашин, вызвал бурное развитие как теоретической механики, так и близких к ней прикладных наук: сопротивления материалов, динамики механизмов, теории упругости и гидромеханики.
Основная цель данной статьи состоит в том, чтобы рассмотреть источники роста теоретической механики как фундаментальной науки, сосредоточив главное внимание на взаимодействиях механики с техни- "ческими потребностями общества, обусловленными развитием современной авиации и ракетной техники. Мы приведем достаточно фактов, доказывающих, что свежесть и новизна современной научной проблематики в теоретической механике вызваны к жизни коренными измене
ниями в технике ——этом наиболее подвижном элементе (производительных сил человеческого общества. Новые научные открытия и достижения должны находить свое отражение и в преподавании курса теоретической механики, обновляя и пополняя содержание этой дисциплины. Известно, что в сложившейся 'системе инженерного образования нашей страны механика отнесена к «базовым» дисциплинам; на основе познания студентами законов механического движения становится продуктивнее и глубже понимание конкретных технических открытий и практических приемов лромышленного производства. Механика есть неотъемлемый элемент развития и науки, и промышленности.
Увеличение объема многих разделов механики благодаря успешной исследовательской работе больших коллективов ученых и инженеров, открытие новых, ранее неизвестных закономерностей механического движения требуют критического рассмотрения существующих программ по курсу теоретической механики. В дальнейшем мы обсудим некоторые практические предложения по, педагогическим проблемам, тесно связанным и закономерно вытекающим из происходящего в наши дни обновления содержания классической механики.
.1. Если проследить развитие теоретической механики в крупном плане, начиная с эпохи Возрождения, то можно указать два главных и определяющих источника роста механики как науки.
Во-первых ——это нужды развивающегося человеческого общества; в XX в. они обусловлены преимущественно развитием техники. Поступательное прогрессивное развитие современной техники, является мощным стимулом научного развития вообще, а' механики в особенности,. Вероятно, вполне уместно напомнить здесь мысль Ф. Энгельса, высказанную нм в письме к Гейнцу Штаркенбургу в январе 1894 г.: «...Если, как Вы утверждаете, техника в значительной степени зависит от состояния науки, то в гораздо большей мере наука зависит от состояния и потребностей техники. Если у общества появляется техническая потребность, то она продвигает науки вперед больше, чем десяток университетов» (К. Маркс и Ф. Энгельс. Соч., т. XXIX. М, Гос- политиздат, 1946, стр. 283).
Анализируя работы советских ученых-механиков, можно утверждать, что среди них нет разногласий относительно доминирующего значения потребностей техники в прогрессивном развитии механики. Влияние техники настолько «весомо, грубо, зримо》，что доказательства видны всем. Укажем, что тесную связь теории с практикой, науки с производством можно отчетливо проследить по многим выдающимся произведениям ученых нашей страны как генеральную линию развития передовой русской механики. Мы напомним только о научных трудах и научной школе Н. Е. Жуковского ——《отца русской авиации», произведшего в конце XIX в. на основе новых научных открытий радикальное преобразование содержания и методов преподавания теоретической механики в технической высшей школе нашей страны.
Законы и методы теоретической механики ——подлинное руководство к безошибочному действию в современной технической практике. Механика направляет творческие искания современных ученых и инженеров, давая им в отчеканенной и ясной форме итог колоссального ■ опыта всего человечества. Но рост новой техники обусловливает и новую научную проблематику. На взаимодействиях науки механики с некоторыми областями современной техники мы и фиксируем главное внимание.
Вторым источником роста механики как фундаментальной науки является спонтанное развитие человеческой мысли, абстрагирующая способность познающего разума. Потребность создавать и откры-
вать новое есть неистребимое качество настоящего человека. Нет в этом мире ничего более великого и благородного, чем созидание. Часто об этом субъективном источнике развития и прогресса механики говорят, что он обусловлен логикой развития самой науки. В нашей научной и педагогической литературе по механике мы очень редко говорим об этом источнике научного прогресса и многим он представляется малозначащим и несущественным. Приведем некоторые аргументы о важности и самостоятельности теоретического мышления, заимствованные из книги Н. Бурбаки (псевдоним коллектива современных французских математиков), посвященной истории математики [1].《...То, что между экспериментальными явлениями и математическими структурами существует тесная связь,——это, как кажется, было совершенно неожиданным образом подтверждено недавними открытиями физики». Но «перед тем, как началось революционное развитие современной физики, было потрачено немало труда из-за желания во что бы то ни стало заставить математику рождаться из экспериментальных истин». (Подчеркнуто нами.— Л. К・).В наши дни установлено, что многие закономерности микромира (например, взаимодействия элементарных частиц) существенно отличаются от закономерностей макромира и «для познания закономерностей микромира понадобились такие разделы математики, которые наверное не были изобретены с целью приложения к экспериментальным наукам» и, конечно, не обусловлены достижениями экспериментальной физики XX в. Думаю со мной согласятся многие, если я выскажу утверждение, что геометрию Лобачевского, теорию функций комплексного переменного, вариационные принципы механики, интегральные инварианты для канонических уравнений Гамильтона, открытие планеты «Нептун» и многое другое нельзя доказательно обусловить развитием техники или научного эксперимента. Исследовательская работа в высших сферах абстракций не менее важна для развития науки и становления новых научных методов. Ф. Энгельс указывает в своей знаменитой работе «Людвиг Фейербах и конец классической немецкой философии», что во многих случаях научные теории развиваются «из самих себя и (подчиняются своим собственным законам».
Анализируя в этой статье только первый источник роста механики как науки, прошу понять меня правильно. Я считаю второй источник развития теоретической механики очень важным и часто определяющим неожиданно быстрый научный прогресс. Напомню еще глубокую мысль Дж. Томсона, который писал: «открытия в прикладных науках ведут к эволюции, открытия в теории ——к революции».
Примеры, показывающие плодотворные взаимодействия современной промышленности и теоретической механики, будут нами заимствоваться из авиационной и ракетной техники. Эти области современного технического прогресса позволяют достаточно убедительно показать обновление научной проблематики в крупных определяющих разделах современной теоретической механики.
Мы ——современники величайшей научно-технической революции. Овладение процессами высвобождения ядерной энергии, создание сверхзвуковых скоростных самолетов, ракет дальнего действия и космических кораблей необычайно ускорили научно-технический прогресс. Пробуждены и организованы такие силы промышленности и науки, о которых даже и не мечтали в предшествующие периоды развития человеческого общества. Мы ——свидетели и участники грандиозной перестройки в технике, научном > эксперименте и научном мышлении. В современной научно-технической и научно-популярной литературе XX век часто называют: «век ракетной техники», «космическая эра», «ракетно-атомная эпоха» и т. п.
Развитие новой техники привело к сильной концентрации в этой сфере современной жизни материальных и духовных ресурсов человеческого общества. В ряде крупнейших стран мира эту концентрацию мож'но проследить по бюджетным ассигнованиям.
Для иллюстрации приведем здесь некоторые данные о росте бюджета США на освоение космического пространства:
ГодыМлн. долларов
1955 59,9
1957 178,9
1959 792,7
19611810,9
1963 5432,7
1965 6984
1967. около7000
Освоение космического (пространства ——это большая комплексная проблема и указанные выше ассигнования идут, конечно, в разные области науки и промышленности. Львиную долю поглощает ракетная техника (мощные ракеты-носители) и системы управления полетом. Так, например, в 1964 г. на работы по инерциальным системам управления полетом и инерциальной навигации в США было израсходовано более 1,5 млрд, долларов [2].
Американская авиационно-ракетная промышленность является в наши дни самой крупной отраслью промышленности США. В ней занято около 1 200 000 человек [3].
Развитие и современные масштабы ракетной техники можно наглядно представить по военной классификации ракет, принятой в США. В этой классификации изделия (объекты) ракетной техники различаются по месту (положению) старта ракеты — оружия нападения или защиты и месту (положению) цели, которую должна поразить ракета. Так, например, ракета класса «воздух—воздух» стартует с летящего самолета-носителя (или вертолета) и поражает цель (подвижную или неподвижную), находящуюся в воздушном пространстве; ракета класса «воздух——земля》стартует с летящего самолета и поражает цель —— подвижную или неподвижную ——на земле. В американских справочниках в настоящее время отмечаются следующие откристаллизовавшиеся классы ракетного оружия
II
«земля ——земля»«земля — корабль»«земля ——подводная лодка»«земля ——воздух»«земля ——космос»III«земля ——земля»«земля — корабль»«земля ——подводная лодка»«земля ——воздух»«земля ——космос»III«корабль — земля»«корабль — корабль»«корабль ——подводная лодка»«корабль — воздух»«корабль — космос»IV«корабль — земля»«корабль — корабль»«корабль ——подводная лодка»«корабль — воздух»«корабль — космос»IV
«земля ——земля»
«земля — корабль»
«земля ——подводная лодка»
«земля ——воздух»
«земля ——космос»
III
«земля ——земля»
«земля — корабль»
«земля ——подводная лодка»
«земля ——воздух»
«земля ——космос»
III
«корабль — земля»
«корабль — корабль»
«корабль ——подводная лодка»
«корабль — воздух»
«корабль — космос»
IV
«корабль — земля»
«корабль — корабль»
«корабль ——подводная лодка»
«корабль — воздух»
«корабль — космос»
IV
«подводная лодка ——земля» «подводная лодка — корабль» «подводная лодка — подводная «подводная лодка ——воздух» «подводная лодка ——космос»«подводная лодка ——земля» «подводная лодка — корабль» «подводная лодка — подводная «подводная лодка ——воздух» «подводная лодка ——космос»лодка》лодка》«воздух ——земля»«воздух ——воздух»《воздух — корабль»«воздух ——подводная лодка》«воздух ——космос»«воздух ——земля»«воздух ——воздух»《воздух — корабль»«воздух ——подводная лодка》«воздух ——космос»
«подводная лодка ——земля» «подводная лодка — корабль» «подводная лодка — подводная «подводная лодка ——воздух» «подводная лодка ——космос»
«подводная лодка ——земля» «подводная лодка — корабль» «подводная лодка — подводная «подводная лодка ——воздух» «подводная лодка ——космос»
лодка》
лодка》
«воздух ——земля»
«воздух ——воздух»
《воздух — корабль»
«воздух ——подводная лодка》
«воздух ——космос»
«воздух ——земля»
«воздух ——воздух»
《воздух — корабль»
«воздух ——подводная лодка》
«воздух ——космос»
V
,«космос ——земля»
«космос ——воздух»
«космос ——космос»
«космос ——подводная лодка
《космос — корабль»
* Handbook of Astronautical Engineering, Editor-in-chef H. H. Koelle, Me Graw — Hill, New-York, 1961. Классификации ракет посвящена гл. 23 этого справочника, стр. 23-14—23-66.
Таким образом, насчитывается 5X5 = 25 классов боевых ракет. Не все эти классы развиваются одинаково быстро.
Приведенная классификация дает возможность понять, сколь обширна область современной ракетной техники и как много материальных и духовных сил человеческого общества привлечено к формированию этого направления технического прогресса.
Хочется указать, что развитие авиационной техники также ускоренно идет вцеред. Если за период с 1925 по 1945 г. максимальные скорости самолетов-рекордсменов увеличились почти в два раза, то за такой же период с 1945 по 1965 г. максимальные скорости возросли более чем в три раза. В настоящее время, когда представляется возможным говорить 'О пилотируемых космических аппаратах, имеющих скорость несколько превосходящую вторую космическую скорость, становится ясным, что ни ракеты, ни космические корабли не могут заменить самолета как транспортного и военного средства, имеющего свою специфику как в процессе разработки, так и при испытаниях и эксплуатации. Скорости военных и пассажирских самолетов растут и будут расти. По-видимому, будут созданы .пассажирские самолеты со скоростями полета до 1 км!сек. Эта скорость превосходит скорости артиллерийских снарядов массовых артиллерийских систем периода второй мировой войны. Прогресс авиационной техники требует новых открытий в области аэродинамики и термодинамики, Создания новых конструкционных материалов и совершенствования авиационных двигателей. Революционные преобразования должна пережить динамика самолета. Для гишерзвуковых скоростей полета ('превосходящих в 4——8 раз скорость звука) особое значение приобретают прямоточные воздушно- реактив1ные двигатели.
Следует отметить, что характерной особенностью в развитии перспективных летательных аппаратов является стремление конструкторов обеспечить стационарные полеты человека (пилота) во всех областях атмосферы и космического пространства. Современные серийные самолеты уже надежно освоили полеты до высот 20——25 к也；космические корабли-спутники Земли обеспечивают многодневные полеты на высотах более 170—190 к儿.С уменьшением высоты круговой орбиты до 170 км время существования спутника резко уменьшается. Вычисления и наблюдения «показывают, что при реальных значениях поперечной нагрузки ("^-). где G ——вес спутника, a S ——площадь'его миделя, искусственный спутник Земли на высотах, меньших 170 км, не может пролететь без двигателя даже один виток и входит в плотные слои атмосферы, а затем приземляется .
Стационарные длительные полеты самолетов на высотах, превышающих 30 к儿，возможны для современных аэродинамических компоновок лишь при скоростях, превышающих 1000 м/сек. При таких скоростях полета температуры поверхности самолета становятся значительными (более 350—450°С), что сильно усложняет создание надежно работающих- конструкций. Можно определить целесообразное сочетание высот и скоростей полета летательных аппаратов, когда температуры их поверхности будут допустимыми. Завоевание диапазона высот от 20——25 до 170——190 км, как свидетельствует печать, осуществляется и «снизу》——созданием самолетов гиперзвуковой авиации, и《сверху》——
созданием орбитальных самолетов, выводимых на заданную круговую орбиту при помощи ракет-носителей или самолетов-носителей. На высотах до 100 км и при скоростях полета около первой космической (равной примерно 8 км/сек) величина аэродинамической подъемной силы имеет существенное значение при определении законов движения и для орбитального самолета, совершающего полет по окружности (концентричной дуге большого круга)——его вес равен сумме центробежной силы и подъемной силы.
Для высот от 110 до 170——190 ^ж аэродинамическая подъемная сила становится пренебрежимо малой и эта область околоземного пространства будет, по-видимому, осваиваться летательными аппаратами типа сателлоидов Эрике [4]. '
Развивающаяся ракетная и авиационная техника являются носителями наиболее передовых тенденций современного научно-техничес- 'кого прогресса и влияние этих областей на развитие науки огромно. Теоретическая механика ——научный фундамент для многих прогрессивных решений в авиации и ракетостроении. Проверенные многовековой практикой человеческого общества научные методы и результаты теоретической механики находят широкое поле новых интересных приложений. Но благодаря взаимодействию с новой техникой и ее запросами преобразуется и сама фундаментальная наука. В ней развиваются новые разделы, создаются новые теории, совершенствуются и обогащаются устоявшиеся привычные методы исследования.
Какие же разделы классической теоретической механики существенно развились и обновились под воздействием запросов ракетной и авиационной техники?
Отметим здесь следующие : механика тел переменной массы; механика относительного движения； механика гироскопов; малые колебания и теория устойчивости; вариационные задачи механики и развитие теории оптимальных процессов; динамика космического полета (космонавтика, астронавтика); механика специальной теории относительности.
Мы в достаточно конспективной форме попробуем охарактеризовать те новшества, которые стали жвью в этих разделах современной механики.
Большое количество ссылок, на оригинальные статьи и монографии, которые мы даем, имеет целью помочь преподавателям советской высшей школы найти дорогу, к более детальным обзорам и фундаментальным монографиям по указанным разделам теоретической механики.
Начало механики тел переменной массы можно датироват'ь появлением замечательной работы И. В. Мещерского «Динамика точки переменной массы», изданной в Петербурге в 1897 г. и являвшейся магистерской диссертацией Мещерского [5]. В 1898 г. уравнение прямолинейного движения точки переменной массы было независимо открыто К. Э. Циолковским, который, исходя из этого уравнения, разработал достаточно подробную теорию прямолинейных движрний ракет [6]. Позднее, в 1929 г., Циолковский предложил математическую теорию многоступенчатых ракет и выявил оптимальное распределение
масс последовательных ступеней при минимальном стартовом весе многоступенчатой ракеты [7], несущей заданный полезный груз.
В настоящее время (40——60-е годы XX в.) механика тел переменной массы стала рабочим аппаратом инженеров конструкторских бюро, создающих ракеты различных классов и назначений. Уравнения Мещерского необходимы для исследования законов движения любой ракеты на активном (с работающим двигателем) участке ее полета. Следует указать, что для современных одноступенчатых ракет с большими дальностями полета (более 1000 км) уменьшение относительной массы ракеты на активном участке может достичь 8—12 раз и, конечно, описать движение такого объекта с помощью второго закона Ньютона нельзя. Ракетная техника «утвердила» уравнения Мещерского в качестве исходных и определяющих движение, а второй закон Ньютона стал относиться к одному из частных случаев механического движения, когда масса объекта сохраняется постоянной.
Для некоторых классов ракет (зенитные управляемые ракеты, предназначенные для поражения вражеских самолетов, ракеты для систем противоракетной обороны) активный участок полета может составлять 80——100% всей траектории от старта до поражения цели и, следовательно, для специалистов, работающих в этих областях ракетной техники, механика тел переменной массы имеет доминирующее значение. .
Для ракет класса «воздух——земля» (часто называемых самолетами-снарядами) широкое применение получили ракетные двигатели. Теория движения самолета с ракетным двигателем есть новая глава механики тел переменной массы, в которой исследуются процессы реактивного движения при существенном влиянии аэродинамической подъемной силы [8]. Нестационарность движения самолета-снаряда и существенное изменение его массы во время движения требуют фундаментальных дополнений к динамике самолета, основы которой при М = const и и = const были заложены еще Н. Е. Жуков(ским [9].
Изучение движения зенитных управляемых ракет, наводимых на цель тем или иным методом, приводит к весьма интересным задачам динамики точки переменной массы при дополнительных условиях, налагаемых на -величину и направление скорости центра масс ракеты. Как правило, эти дополнительные условия включают производные по времени от параметров (координат), характеризующих движение, и являются неинтегрируемыми. Таким образом, из ракетодинамики в классическую механику пришли новые, весьма актуальные задачи динамики точки с н е г о л о н о м н ы м и связями. Из методов наведения можно указать на хорошо известный всем преподавателям механики метод погони (метод «собачьей» кривой), когда прямая, по которой направлен вектор скорости центра масс ракеты, должна в любой момент движения пересекать точечную цель. Эта задача легко решается, если цель движется прямолинейно и равномерно, а скорость ракеты постоянна по величине; но для случая движения с переменной массой и переменной по величине скоростью ракеты с учетом возможного маневрирования цели решения получаются лишь численным интегрированием [10].
Развитие ракетных двигателей привело к созданию нового класса их, называемых в современной литературе электрореактивными двигателями. Качество ракетного двигателя существенно зависит от вели
/s = —— (/s ——удельный/s = —— (/s ——удельныйчины удельного импульса или удельной тяги
/s = —— (/s ——удельный
/s = —— (/s ——удельный
импульс, Vr ——скорость частиц на срезе сопла ракетного двигателя, g —— ускорение силы тяжести).
Для ракетных двигателей на химическом топливе наибольшие значения удельного импульса получаются для фтороводородных смесей и достигают значений /s = 450——470 кг/кг!сек 1[11].
Интересный класс задач механики связан с изучением проблемы входа искусственного спутника Земли или космического корабля в плотные слои, атмосферы. Эти задачи были впервые изучены и теоретически и практически в СССР в связи с запусками в 1960——1961 гг. пяти советских космических кораблей-спутников, предшествовавших героическому полету Ю. А. Гагарина.
Из наблюдений за сгорающими в атмосфере метеорами («падающие звезды») известно, что их траектории мало отличаются от прямых линий и, следовательно, влияние силы тяжести на закон движения метеора пренебрежимо мало по сравнению с силой аэродинамического сопротивления. Мы приходим при такой схематизации к простой задаче динамики точки. Если допустить экспоненциальный закон изменения плотности атмосферы и постоянство аэродинамического коэффициента сопротивления, то мы получаем простую, решаемую в квадратурах задачу, исследование которой позволяет разъяснить любознательным студентам многие вопросы 《входа》 объектов в атмосферу Земли (в частности, рассчитать максимальную перегрузку и определить законы изменения высоты и скорости объекта).
Более строгие уравнения входа можно исследовать методами численного интегрирования. Изучение законов движения «входа» космических аппаратов, не имеющих подъемной силы, методами численного анализа получается достаточно простым и доступным к внедрению в преподавание курса классической механики для большой группы вузов нашей страны.
Круг проблем существенно расширяется, если рассматривать 《вход》в плотные слои атмосферы летательных аппаратов с переменной массой (с работающими тормозными двигателями). Можно указать хорошие монографии, дающие полное представление об* этом интересном круге задач современной механики [12].
Как известно, основные результаты (законы, теоремы, следствия) классической механики получаются из различных модификаций и .преобразований второго закона Ньютона. В частности, уравнения Лагранжа в обобщенных координатах и канонические уравнения Гамильтона являются естественными обобщениями закона движения Ньютона на механические системы с геометрическими овязями.
Если в качестве основного уравнения динамики точки взять уравнение Мещерского, то сравнительно просто можно получить аналоги уравнений Лагранжа и Гамильтона для тел переменной массы. Важной задачей современной аналитической механики тел переменной массы является развитие и обобщение теории первых интегралов на те случаи, когда кинетический потенциал и функция Гамильтона явно зависят от времени.
Развитие авиационной и ракетной техники выдвинуло ряд новых задач теории относительного движения и теории гироскопов. В наших современных курсах механики и сборниках задач по теоретической механике подавляющее большинство рекомендуемых примеров рассматривается в предположении, что Земля неподвижна и системы координат, связанные с Землей, можно считать инерциальными. Полеты межконтинентальных баллистических ракет, полеты искусственных спутников, полеты к Луне, полеты к планетам солнечной системы требуют более широкого взгляда на явления механического движения. Гироско- лические устройства на летательных аппаратах (гирогоризонт, гировер-
тикант, гиростабилизированные платформы, автопилоты) находятся, как правило, в условиях, когда точки подвеса гироскопов совершают неинерциальные движения и механические задачи существенно усложняются.
В наши дни нужно учить студентов исследованию движений космических кораблей и других объектов в солнечной системе, учить более свободному пользованию различными системами отсчета. Так, например, при изучении движения космического корабля к Луне можно пользоваться системой координат, связанной с Солнцем, системой координат, связанной с центром Земли и вращающейся вместе с линией, соединяющей центры Земли и Луны, системой, находящейся в центре масс системы Земля——Луна, системой, связанной с центром масс Луны и др. [13]——[16]. Траектории и законы движения объектов претерпевают существенные изменения в различных системах отсчета и нужна перестройка мышления и воспитание свободы пространственных представлений для отчетливого понимания этого нового комплекса задач механического движения.
Вероятно, целесообразно подчеркивать в современных курсах механики, что закон тяготения Ньютона >в его классической формулировке справедлив для гравитирующих материальных точек. Для планеты Земля учет истинной формы Земли и реального распределения масс геоида приводит к более сложному выражению гравитационного потенциала и как следствие к дополнительным силам, вызывающим эволюции орбит близких спутников Земли. Определение траекторий《тени» или 《трассы》спутника на поверхности Земли является интересной задачей кинематики относительного движения.
Для метеорологических, геодезических, навигационных спутников- Земли и планет важной задачей является искусственная ориентация этих спутников по отношению к поверхности Земли (или планеты). Динамика спутника в его движении относительно центра масс в центральном (ньютоно：вском) поле сил развилась в большой раздел современной механики [17].
Из классических работ по небесной механике известно, что при движении твердого тела по круговой орбите существуют устойчивые положения относительного равновесия. Эти положения устойчивого равновесия соответствуют некоторым относительным ориентациям твердого тела (например, искусственного спутника), когда его главные центральные оси инерции совпадают с осями орбитальной системы координат (радиус-вектор центра масс, трансверсаль и бинормаль к орбите). Если искусственный спутник Земли сориентировать около положения устойчивого (относительного) равновесия, то это положение может сохраняться сколь угодно долго. Моменты от центрального поля гравитационных сил будут в этом случае стабилизирующими моментами, и мы приходим к идее' ориентации спутника без расходования энергии и рабочего тела. Для эллиптических орбит с малыми эксцентриситетами относительное «устойчийое равновесие тела почти всегда переходит в устойчивое колебательное движение с малой амплитудой и периодом, равным периоду обращения по орбите. Эти колебания можно рассматривать как погрешности ориентации, которые могут быть рассчитаны и учтены. Это представляет весьма важную задачу современной механики» (18].
Движение твердого тела около неподвижной точки является классической проблемой теоретической механики, но известные случаи Эйлера, Лагранжа и Ковалевской исследованы при весьма существенных ограничениях на действующие силы. Практическая гироскопия наших дней потребовала развития теории движения гироскопа при на-
личии сил сухого и гидродинамического трения, потребовала учета масс и моментов инерции механизмов подвески, вычисления реальных уходов осей симметрии гироскопов и создания теории сложных гироскопических систем. Мы сошлемся на монографию акад. А. Ю. Ишлин- ского [19], содержание которой в значительной мере обусловлено новыми задачами гироскопии в связи с разработкой систем управления движущихся объектов (ракет, самолетов, судов и т. п.).
Целесообразно отметить, что современные гироскопические системы являются шедеврами механического искусства и мастерства и имеют чувствительности и точности, сравнимые с чувствительностями и точностями электронных систем. Технология производства гироприборов, по-видимому, одна из самых совершенных и прецизионных в тех- ■ нической жизни XX в.
Существенное развитие новых методов исследования произошло в теории устойчивости механических систем и в теории- малых колебаний. Эти новые методы в значительной мере обусловлены развитием беспилотных летательных аппаратов. Кратко суть дела можно пояснить следующим образом. Современные системы управления полетом суть системы электромеханические. Исполнительные органы систем управления——системы механические, органы, анализирующие обстановку полета, вырабатывающие команды управления и передающие их на соответствующие приемные устройства ——системы электрорадиотехни- ческие. Работа системы управления может быть описана системой дифференциальных уравнений (для практически интересных случаев ——системой нелинейных уравнений). Функционирование системы управления существенным образом зависит от «собственных» свойств этой системы и от возмущающих сил или потока информации, подаваемого на входные устройства данной системы. Поток информации в современных системах управления часто представляется в виде функций с бесконечно большим числом точек разрыва или в виде «случайных» функций, аналитическое задание которых сопряжено со значительным своеобразием математического аппарата и радикальной перестройкой Научного мышления (от детерминированных процессов к пониманию вероятностных процессов). Реальные системы управления должны быть устойчивы при объективно существующих потоках информации, приходящих на «вход» системы. Поэтому исследования устойчивости систем, характеризуемых нелинейными системами дифференциальных уравнений, приобрели в наши дни первостепенное значение. Выяснилось, что наиболее эвристичным методом исследования нелинейных проблем устойчивости является метод Ляпунова и за последние 20——25 лет развитию новых аспектов этого метода посвящена обширная литература [20]——[22]. Так как многие механизмы (элементы), входящие в систему управления полетом, характеризуются дифференциальными уравнениями лишь приближенно, а природа многих возмущающих и демпфирующих сил в ряде задач остается невыясненной, при исследовании реальных систем управления получили широкое развитие методы моделирования, причём некоторые части системы характеризуются дифференциальными уравнениями и «набираются» на электронных вычислительных машинах, а математически трудно описываемые части (механизмы) системы подключаются к общей системе в реальном исполнении.
К сожалению, этот большой цикл идей не находит отражения в педагогическом процессе (в курсах механики) наших вузов. Почему-то предполагается, что эти идеи должны излагаться в курсах по автоматическому управлению, технической кибернетике или даже радиотехнике. А в курсах теоретической механики по установившейся традиции
при изложении теории малых колебаний на《вход》 системы подаются или sin (со%), или cos (3%) и почти никогда (даже в радиотехнических вузах) не хватает времени на рассмотрение реальных правых частей при исследовании дифференциального уравнения вынужденных колебаний. Более того, вопросам статики твердого тела или центроидам для плоскопараллельного движения в кинематике уделяется иногда больше времени и внимания, чем животрепещущим вопросам динамики. Наверное поэтому число часов, отводимых на курс теоретической механики, урезается из года в год во многих «немеханических» вузах. Можно привести в качестве поучительного примера современное изложение теории малых колебаний б книге профессора Массачузетского технологического института R. L. Halfman [23]. Соответствующая глава называется «Сигналы и их передача». Содержание отдельных параграфов: § 1. Характеристики сигналов; § 2. Непериодические и случайные сигналы； § 3. Передача через линейную систему; § 4. Передача через нелинейную систему. Изложение максимально приближено к современной технической практике и, конечно, такая модификация изложения классической теории вынужденных колебаний с одной степенью свободы приобщает студента к новому научному мышлению и способствует более глубокому усвоению специальных радиотехнических курсов.
Развитие ракетной и авиационной техники выдвинуло 旧 качестве первоочередной проблемы научных изысканий разработку теории оптимальных процессов. Нам представляется, что это наиболее интересная и наиболее многообещающая область развития современных * методов теоретической механики.
Изучая движение материальных тел под действием сил, можно выделить весьма важный класс задач динамики, характерных тем, что некоторые из действующих на объект сил могут быть запрограммированы и реализованы в процессе движения человеком-пилотом (или автопилотом). Часть сил, приложенных к движущемуся объекту, конечно, определена (детерминирована) природой, а часть может изменяться в широких пределах по некоторым законам, заложенным в конструкцию летательного аппарата. Так, при изучении движения ракеты в поле тяготения Земли гравитационная сила вполне детерминирована (она, в первом приближении, подчиняется закону тяготения Ньютона), а реактивная сила может изменяться и регулироваться как по величине, так и по направлению. Каждому закону регулирования реактивной силы будет соответствовать некоторый закон движения ракеты. В современной ракетодинамике и динамике самолета такие задачи часто на> зывают задачами с управляющими (или свободными) функциями. Если управляющие функции все заданы и, следовательно, сделаны определенными все действующие силы, тогда мы будем иметь дело с обычной задачей теоретической механики: найти закон движения объекта, если действующие на него силы неизвестны. Но выбор (задание) свободных функций можно подчинить некоторым, достаточно общим и широким, условиям оптимальности (экстремальности) и производить определение динамических характеристик для этих классов оптимальных движений. Метод проб или сравнений, лежащий в основе классических вариационных принципов, применим и здесь, но варьируется выбор управляющих функций, а не траекторий в пространстве конфигураций. Задачи такого рода имеют большое практическое значение в динамике полета ракет и самолетов, а также в теории автоматического регулирования-
Для исследования оптимальных движений механических систем со свободными (или управляющими, регулируемыми) функциями имеются
разраоотанные математические методы, составляющие в наши дни основу вариационного исчисления, или более широко,——функционального анализа. Создание реальной конструкции (ракеты, самолета, автопилота) тесно связано с изучением экстремальных свойств функций многих переменных и функционалов. Мудрый Леонард Эйлер писал в одной из своих работ [24]:《...Так как все явления природы следуют какому-нибудь закону максимума или минимума, то нет никакого сомнения, что и для кривых линий, которые описывают брошенные тела, если на них действуют какие-нибудь силы, имеет место какое-то свойство максимума или минимума».
В опубликованных за последние 20 лет статьях по динамике полета аэропланов и ракет методы вариационного исчисления нашли широкую область приложений- При помощи вариационного исчисления мы выявляем такие классы движений, при реализации которых некоторые интегральные характеристики будут наилучшими (например, время полета до цели ——минимально; дальность полета при заданном запасе топлива ——максимальна). Более того, в ряде нелинейных динамических задач методы вариационного исчисления позволяют получить простые аналитические зависимости («опорные» решения), так как для оптимальных режимов полета уравнения движения интегрируются в конечном виде. Как эмпирический факт можно отметить, что для классов оптимальных движений нелинейные дифференциальные уравнения становятся более податливыми и в большом числе задач допускают интеграцию в квадратурах. Мы уверены в том, что семейства аналитических решений нелинейных уравнений механики в конечном виде внутренне тесно связаны с условиями оптимальности и играют в задачах динамики ракет и самолетов роль невозмущенных движений, аналогичных кеплеровым движениям в задачах небесной механики [25].
Развитие теории оптимизации подчеркивает могущество и большое практическое значение классических методов вариационного исчисления, особенно методов Майера и Больца.
Применение методов вариационного исчисления к важнейшим задачам техники привело к обогащению содержания этих методов. Некоторые из полученных результатов оказались совершенно неожиданными и эмпирически трудно доказуемыми. Так, например, были открыты оптимальные «пунктирные» режимы изменения силы тяги ракетного двигателя, т. е. такие режимы, когда экстремалями задачи оказались весьма своеобразные разрывные функции.
Считая применение методов вариационного исчисления к задачам нелинейной механики эвристически весьма ценным, мы для ясности и доказательности предыдущих утверждений рассмотрим ^десь кратко решение одной из актуальных задач динамики самолета.
Пусть самолет с ракетным двигателем движется горизонтально и пусть подъемная сила и лобовое сопротивление пропорциональны квадрату скорости. Допуская, что при выгорании топлива центр масс самолета не смещается относительно корпуса фюзеляжа, мы можем дифференциальные уравнения движения в проекциях на касательную и нормаль траектории (на горизонталь и вертикаль) записать в следующем виде [26]:
М — = — ^- Vr — -LcoSv2; (1) 成 成 2好 、
0^-Mg + ±Cy9Sv\ ⑵
В уравнениях (1) и (2) М ——масса самолета в данный момент времени, V ——скорость центра масс самолета, Vr ——эффективная относительная скорость продуктов горения на срезе сопла реактивного двигателя, Сх—' коэффициент лобового сопротивления, равный Сх0 + Ь Су (Сх0,匕 —— постоянные величины), Су ——коэффициент подъемной силы, р ——плотность воздуха, S ——площадь крыла самолета. Полагая M = Mofi где ТИо ——масса самолета в момент выхода его на данную горизонталь, и зная, что для летных углов атаки Cy = ka, где fe = const, а ——угол атаки, можно уравнения (1) и (2) написать в виде:
dv — dv=r dt dtdv — dv=r dt dtdt dvdt dvТак как
dv — dv
=r
dt dt
dv — dv
=r
dt dt
dt dv
dt dv
C%opS2 MoC%opS2 Mo442M°g2b .в2M°g2b .вpSpSможно получить из (3) и (4) следующее нелинейное дифференциальное уравнение для функции v:можно получить из (3) и (4) следующее нелинейное дифференциальное уравнение для функции v:dv dtdv dtAv2 + В gAv2 + В g(5)(5)В уравнении (5) f=/(u)——есть свободная или управляющая функция. Каждому закону изменения массы, т. е. каждой функции f(v) будет соответствовать вполне определенный закон движения самолета. Из (5) легко находим, что:В уравнении (5) f=/(u)——есть свободная или управляющая функция. Каждому закону изменения массы, т. е. каждой функции f(v) будет соответствовать вполне определенный закон движения самолета. Из (5) легко находим, что:仔+广%)”血.加 4 + в/2'仔+广%)”血.加 4 + в/2'd厶 士 vdt =d厶 士 vdt =(f + fWГ)u3衣,(f + fWГ)u3衣,⑺⑺и, полагая
C%opS2 Mo
C%opS2 Mo
4
4
2M°g2b .в
2M°g2b .в
pS
pS
можно получить из (3) и (4) следующее нелинейное дифференциальное уравнение для функции v:
можно получить из (3) и (4) следующее нелинейное дифференциальное уравнение для функции v:
dv dt
dv dt
Av2 + В g
Av2 + В g
(5)
(5)
В уравнении (5) f=/(u)——есть свободная или управляющая функция. Каждому закону изменения массы, т. е. каждой функции f(v) будет соответствовать вполне определенный закон движения самолета. Из (5) легко находим, что:
В уравнении (5) f=/(u)——есть свободная или управляющая функция. Каждому закону изменения массы, т. е. каждой функции f(v) будет соответствовать вполне определенный закон движения самолета. Из (5) легко находим, что:
仔+广%)”血.
加 4 + в/2'
仔+广%)”血.
加 4 + в/2'
d厶 士 vdt =
d厶 士 vdt =
(f + fWГ)u3衣,
(f + fWГ)u3衣,
⑺
⑺
(8(8⑼⑼
(8
(8
⑼
⑼
Пусть в начальный момент (в момент выхода самолета на горизонтальную прямолинейную траекторию) Л4 = Мо, f=l, и = и°, а в конце активного участка полета М = Ме , f=fе < 1, ,v = Ve .Время полета Т на активном участке и пройденный за это время путь 工 можно записать в виде следующих функционалов:
(/ + /%)*曲.
л у4 + в/2
(f + f”)Mdu
44 + 月产
Исходя из формул (8) и (9), можно формулировать различные вариационные задачи динамики полета самолета с ракетным двигателем. Мы рассмотрим только одну из них. Среди класса функций f=j(u) найти такую функцию, которая дает максимум времени полета (максимальную продолжительность) при заданном запасе топлива без каких-либо ограничений на путь L. Из структуры (8) видно, что формулированная задача есть простейшая задача вариационного исчисления. Если положить
尸_加2 + fWr
то необходимое условие экстремума Т [экстремума интеграла (8)] можно записать в виде
Простые вычисления дают нам уравнение экстремали в форме:
(Ю)
Зная (10) и обращаясь к (6) и (7), можно найти простыми квадратурами все основные характеристики оптимального движения. Оказывается, что'
--- (1 一 fQ + 2u0乙(1 -/子上)],(12)--- (1 一 fQ + 2u0乙(1 -/子上)],(12)h) + 2Vr I；(11)
--- (1 一 fQ + 2u0乙(1 -/子上)],(12)
--- (1 一 fQ + 2u0乙(1 -/子上)],(12)
^при j=Tmax = g
「Де Kmax =「Де Kmax =——есть максимальное качество самолета.
「Де Kmax =
「Де Kmax =
Заметим, что если функцию f в уравнении (3) задать в простейшей форме, положив f = 1——р/ (что соответствует ракетному двигателю с постоянной тягой), то уравнение (3) не интегрируется и закон движения можно найти лишь приемами численного интегрирования. Для оптимального движения результат весьма просто находится через элементарные функции. Отметим некоторую аналогию (11) с хорошо известной формулой Циолковского, которую запишем в виде
= = (13)
Введем в рассмотрение некоторое характерное для данной ракеты и поля силы, тяжести время
(14)
где 厶=—есть удельный импульс ракетного двигателя, a f е——отно- g'
сительная масса ракеты без топлива.
Формула Циолковского (13) или (14) выявляет максимальные возможности реактивного способа сообщения движения в свободном пространстве (или в поле силы тяжести при мгновенном сгорании имеющегося запаса топлива).
Формулу (И) можно( если вынести Vr) записать в виде
где для краткости положено
Первое слагаемое в квадратных скобках (15) учитывает нестацио- парность оптимального, движения, второе слагаемое такое же, как и в формуле Циолковского (14).
Сравнение формул (14) и (15) показывает, что самолет является более совершенным восприемником реактивного импульса, так как
1 ，
в формуле (15) перед 1пг^ имеется множитель ^a=^max• Л, который для
реальных конструкций всегда больше множителя 厶，так как обычно kmax>5. Коэффициент Ко, учитывающий как совершенство аэродина* мической компоновки самолета, так и совершенство ракетного двигателя, мы предлагаем назвать коэффициентом совершенства летательного аппарата. При полетах вблизи Земли (летательные аппараты на воздушной подушке) численное значение максимального качества существенно возрастает. У самолетов с воздушно-реактивными двигателями значение К о будет почти на порядок выше [26].
Развитие теории полета многоступенчатых ракет в свободном пространстве и б однородном поле тяготения, а также исследования, проведенные в последние 15——20 лет по теории стационарных движений самолетов с реактивными двигателями, привели к интересным задачам динамики полета, тесно связанным с изучением экстремумов функций многих переменных. Можно констатировать, что экстремальные задачи, опирающиеся на исследование экстремумов функций и функционалов, уже вторглись в проблематику современной классической механики.
Преподаватели механики советской высшей школы, желающие осовременить традиционный материал классического курса динамики и найти новые, актуальные для нашей страны проблемы для творческих размышлений, должны обратить особое внимание на оптимальные режимы полета аэропланов и ракет, так как здесь, по нашему мнению, располагается новая безграничная область («новая страна») плодотворной деятельности инженеров и ученых [27], [28].
Бурный рост ракетных исследований космического пространства, успешные запуски космических аппаратов к Луне и некоторым внутренним планетам солнечной системы, полеты наших советских героев-космонавтов по орбитам искусственных спутников Земли привели к возникновению и необычайно интенсивному изучению новых задач механики, которые составляют предмет широкой научной дисциплины. Эту дис-
циплину целесообразно назвать «Динамика космического «полета», или более обще «Космонавтика» •
В динамике космического полета можно отчетливо проследить плодотворные взаимодействия техники и ряда фундаментальных и прикладных наук. Особенно следует подчеркнуть широкое использование методов и результатов небесной механики для решения задач динамики в гравитационных полях Солнца и планет солнечной системы. Так теория кеплеровых движений, теория возмущений орбит, исследование движений в оскулирующих элементах (метод Лагранжа) перешли из небесной механики в динамику космического полета с относительно небольшими изменениями и дополнениями. Но в ряде задач (например, теория движения искусственных спутников Земли) динамики космического полета пришлось создавать и разрабатывать совершенно новые методы исследования. Эти новшества вызываются дополнительными силами, которые в задачах небесной механики не играют существенной роли. Так, при движении спутников Земли на высотах до 500——700 км аэродинамические силы, обусловленные наличием атмосферы, оказывают влияние на законы движения и приводят к постепенному изменению (эволюции) орбит спутников. Изучение этих эволюций требует знания строения атмосферы на больших высотах и знания, законов аэродинамического сопротивления при полете с первой космической скоростью в весьма разреженной среде. Развитие космонавтики обусловило быстрый прогресс и аэродинамики и метеорологии.
Результирующая гравитационная сила, действующая на спутник со стороны масс планеты Земля, оказывается отличной от простого закона Ньютона и нецентральной. В ряде случаев оказывается необходимым учитывать и местные аномалии гравитационного поля Земли, обусловленные неравномерным распределением масс в различных слоях Земли. Отличие реальной притягивающей силы геоида от закона тяготения Ньютона для точечных гравитирующих масс хотя и невелико, но с течением времени также вызывает изменение орбит искусственных спутников Земли.
При более точных исследованиях законов движения спутников Земли приходится учитывать гравитационные силы, обусловленные Солнцем, планетами солнечной системы и Луной. Для искусственных спутников типа американского 《Зхо》 (представляющего собой шар из весьма легкой синтетической ткани) имеет существенное значение световое давление, и эволюции орбит таких спутников оказываются весьма сложными для анализа.
Все перечисленные новые (для классической небесной механики) дополнительные силы привели к созданию новой науки и влияние методов этой науки начинает проникать и в классическую небесную механику [29] и в преподавание теоретической механики [30]. Для желающих понять объем современных исследований по теории движения искусственных спутников Земли мы рекомендуем монографию П. Е. Эльясберга [31]. Автор этой монографии справедливо подчеркивает, что в противоположность академической созерцательности клас-
сической небесной механики «теория полета искусственных космических объектов ——активная инженерная наука, предназначенная для решения следующих основных задач: выбора оптимальных орбит; определения существующих орбит; расчета корректур, изменяющих орбиту».
Перед динамикой ..космического полета ставится в качестве основной задачи ——проектирование орбит или программирование траекторий лолета. Поясним задачу проектирования на примере полета космической станции, которая должна мягко сесть на поверхности Луны (безударное прилунение). В данном случае, учитывая географические условия старта, всю траекторию полета целесообразно разделить на следующие участки：
активный участок полета ракеты-носителя вместе с космической станцией; эта часть траектории выбирается так, чтобы обеспечить вы- ；бод на нужную промежуточную орбиту — орбиту искусственного спутника Земли. На этом участке желательно так запрограммировать изменения величины и направления реактивной силы, чтобы при данном стартовом весе вывести на промежуточную орбиту максимальный груз;
участок полета по орбите искусственного спутника Земли;
участок разгона с промежуточной орбиты на запрограммированную заранее (по условиям обеспечения длительных наблюдений) траекторию свободного полета. «Любое направление вектора скорости получается надлежащим выбором двух моментов времени: выбором времени запуска на промежуточную орбиту спутника, что дает как бы прицеливание по азимуту... и выбором времени старта с орбиты спутника, что дает как бы прицеливание по углу места за счет того, что уход с орбиты спутника происходит в таком месте, где движение по орбите имеет нужное направление» [32];
участок коррекции траектории свободного полета.
Может случиться, что точности исполнения программы на участке разгона окажутся недостаточными и траектория свободного полета не будет пересекать поверхность Луны. В этом случае траекторию надо 《исправить》включением в каком-то месте и на какое-то время корректирующего реактивного двигателя. При выборе траектории свободного полета мы должны отдать предпочтение таким траекториям, «которые допускают возможно более простое и экономное исправление». Одновременно возникает задача оптимизации коррекции, т. е. такого выбора орбиты (траектории) и такого размещения на ней точек коррекции, чтобы исполнение коррекции требовало минимального «суммарного импульса и минимального дополнительного веса на борту космической станции»;
участок торможения при подлете к поверхности Луны. Программа изменения тяги тормозного двигателя должна обеспечить такие законы уменьшения скорости космической станции, чтобы в момент прилунения скорость станции была равна нулю (или достаточно мало отличалась от нуля). Здесь опять -возникают задачи оптимизации тяги реактивного двигателя, обеспечивающего прилунение при минимальном расходе топлива.
Если учесть, что на участке разгона от промежуточной спутниковой орбиты, участках коррекции траектории свободного полета и участках торможения при подходе к поверхности Луны необходима принудительная ориентация и стабилизация летательного аппарата, то можно представить, сколь сложным является разумное (оптимальное) воплощение спроектированных траекторий космических полетов и какие интересные задачи науки и техники «пришли» из космонавтики в современную механику.
Остановимся кратко на некоторых проблемах, связанных с пре-подаванием теоретической механики в советской высшей школе. Прогресс науки и увеличение объема знаний, естественно, /приводят к изменениям в содержании читаемых курсов и методов преподавания.
, Рассмотрим сначала один важный методологический вопрос о современных представлениях о пространстве и времени и отражении этих представлений в курсах теоретической механики. Достаточно хорошо известно, что в учебниках по механике, опубликованных в нашей стране, как правило, во введении и историческом очерке развития механики, имеется пересказ положений диалектического материализма о том, что «пространство и время суть основные формы существования движущейся материи》. Но обычно, переходя к изложению фактического материала классической механики и 《забывая》о сказанном ранее, совершенно формально и аксиоматически устанавливается абсолютно неподвижная система осей координат и вводится понятие об универсальном времени, ритм которого не зависит от движения материального базиса (или «наблюдателя»). Воздав в начале курса должное диалектико-материалистическому пониманию природы, в последующих главах и разделах курса при изложении определений, аксиом, теорем и следствий из них, т. е. при построении здания научной дисциплины, оказывается вполне разумным ограничиться ньютоновским пониманием пространства и времени («пространство абсолютно, однородно и изотропно», «время универсально и арифметизируемо»). Параллельно с курсом теоретической механики, а иногда несколько раньше, в курсах социально-экономических кафедр обычно рассказывается о «метафизическом учении Ньютона о пространстве и времени》，об «ограниченности мышления» этого ученого, который провозгласил в своей консервативной и отсталой философии чуждый исследователям природы лозунг — «гипотез я не выдвигаю».
Внимательный студент, естественно, задает вопросы о том, как может 《отсталая》 классическая механика Ньютона быть отличным руководством к безошибочным действиям в современной технической жизни, или как это «метафизические представления об абсолютном пространстве времени и движении» не входят в явные противоречия с диалектикой реальных процессов механического движения, наблюдаемых и используемых человеком и в природе, и в технике.
Суть дела состоит в том, что понятия пространства и времени есть исторически развивающиеся понятия и ньютоновское учение о пространстве и времени является весьма хорошим первым приближением к ре~ альному пространству и времени. «...Мир есть движущаяся материя, ответим мы, — пишет В. И. Ленин ——и законы движения этой материи отражает механика по отношению к медленным (относительно скорости света ——А- К・)движениям,...» (Поли, собр- соч., т. 18, стр. 298).
Так как при изучении теоретической механики и физики студенты на конкретных примерах и общих законах начинают понимать диалектическую природу материи и движения, мы ——преподаватели классической механики ——обязаны строго научно и доказательно разъяснять сту-、 дентам и о втором приближении, данном в специальной теории относительности Эйнштейна. В современных курсах теоретической механики нужно выделять 4——5 часов лекций на изложение преобразований Лоренца и основ кинематики реальных движений материальных объектов со скоростями, сравнимыми со скоростью света.( Хотя со времени опубликования работы А. Эйнштейна《К электродинамике движущихся тел》прошло более 60 лет, в вузовском преподавании (в подавляющем большинстве вузов), к сожалению, о специальной теории относительности произносятся общие бездоказательные фразы, вносящие туман в развивающийся интеллект учащихся и не показывающие на факти-
ческом материале, что релятивистская механика более могущественная научная теория. Нам приходилось в течение ряда лет читать лекции о специальной теории относительности и в университете и в инженерном вузе. Интерес к этим лекциям, которые читались в конце курса классической механики, всегда был повышенным, ясно ощущалась заинтересованность всей аудитории: много хороших вопросов лектору, просьбы указать дополнительную литературу, иногда желание послушать более детальное изложение в часы вне расписания и др. Этот опыт дает нам уверенность утверждать, что курс теоретической механики будет более современным и более действенным в формировании диалектико-материалистического мировоззрения у советского студенчества, если в программы курса механики ввести обязательную для всех профессий главу об основах специальной теории относительности .
Мы думаем, что большинство научных работников и преподавателей механики согласятся с тем, что современная научная дисциплина, имя которой сохранившееся по традиции ——классическая механика —— есть живая, быстро развивающаяся и обновляющаяся область человеческого знания, подлинное руководство для успешных исканий нового в науке, технике 〃 промышленности.
Нам приходилось вести много дискуссий (в широкой аудитории и в дружеской обстановке за «круглым столом》)с рядом специалистов —— ученых и инженеров, утверждающих и доказывающих, что теоретическая механика вполне сформировавшаяся область знания, в которой «больших》открытий быть не может. Теоретическая механика понимается некоторыми как своеобразная «таблица умножения», которую надо знать для работы в других, более подвижных (и менее ясных) областях науки и техники. Иногда цитируется известная мысль Ф. Энгельса, что в XVIII столетии законы механики были «формулированы раз и навсегда» и современная теоретическая механика начинает трактоваться как педагогическая проблема, а не как проблема естественнонаучная. Грубо говоря, кафедры теоретической механики должны лишь определять, что следует включить в программу из фактов, теорий, законов механики, добытых еще в XVIII и XIX ；вв., и какими методическими приемами внедрить этот бесспорный, строго ограниченный материал в студенческие умы. Стремление заморозить, ограничить, предельно сжать и формализовать излагаемый материал курса классической механики есть по нашему глубокому убеждению начало подготовки похорон этой научной дисциплины. '
Профессора кафедр теоретической механики и лекторы, читающие курс механики, часто жалуются на отсутствие внимания к механике руководства вузов и даже «зажим» такого «важного раздела науки》， как классическая механика. В ряде вузов («немехамйческого» профиля, как, например, электротехнические, радиотехнические и др.) число часов на курс классической механики уменьшается из года в год. И это происходит потому, что курс, механики, в котором излагаются только задачи и методы вековой даБНОсти, не удовлетворяет специалистов но-
вых областей техники. По-видимо торые читал Н. Е. Жуковский ввых областей техники. По-видимо торые читал Н. Е. Жуковский вму, курсы статики и кинематики, ко- Московском техническом училище
вых областей техники. По-видимо торые читал Н. Е. Жуковский в
вых областей техники. По-видимо торые читал Н. Е. Жуковский в
в конце XIX и начале XX столетия, слишком громоздки для немеханических специальностей в наши дни, а новые вопросы, необходимые для этих профессий, мы ——механики по разным мотивам не включаем в про-
граммы теоретической механики. Содержание и методы преподавания курса механики не должны сильно отставать от содержания и методов исследования новых задач механики, выдвигаемых развитием науки и техники. Новые идеи, новое содержание, новые методы исследования должны внедряться в практику преподавания, а программы курса теоретической механики должны в известной мере отражать специфику на^ чных методов тех специальностей, которые представлены в данном вузе.
Теоретическая механика не застывшая и окостенелая таблица умножения, а живая, многогранная, развивающаяся наука, в которой какие-то разделы стареют и уходят в историю, а обусловленные техническими потребностями современного человеческого общества — новые разделы ——быстро совершенствуются и завладевают умами ученых, инженеров и учащихся. Автор этой статьи убежден, что для многих вузов и втузов раздел «Статика» должен излагаться в 2——3 двухчасовых лекциях, должны быть показаны решения 4——5 типовых задач на равновесие твердого тела и для любознательных указана дополнительная литература. Динамические закономерности — вот что нужно знать современному инженеру. Надо терпеливо перестраивать научное мышление и у преподающих классическую механику.
Одно из возражений, которое часто приводится в дискуссиях и спорах о программах современного курса теоретической механики, состоит в том, что развитие интеллекта в какой-то мере повторяет историю цивилизации, а поэтому выбрасывание кусков, глав и разделов курса, читавшихся и обдумывавшихся в свое время корифеями механики XVIII——XIX вв., не дает ничего хорошего: ни прочных знаний, ни овладения методом, ни высокого качества научного мышления. Эта аргументация хороша для античного периода развития науки, когда настоящий инженер или ученый должен был знать -весь объем содержания широкого круга дисциплин (в идеале ——так как знал Аристотель). Вероятно для специалиста по вариационному исчислению не будут вредными теория чисел или теория кватернионов, но для этого специалиста разумнее изучить глубоко новые идеи «вариационного исчисления (скажем——достаточные условия абсолютного минимума) и те методы высшего анализа, которые формируют профессионала с глубоким пониманием особенностей своей узкой специальности. И «часы» надо отдать не теории чисел и кватернионам, а тем разделам математики, которые определяют глубокое понимание современного состояния данной профессии. Скажем прямо ——многим «немеханическим» специальностям совершенно не подходят наши «рекомендованные» программы по сокращенному курсу теоретической механики, так как эти программы по- Л5гчены вычеркиванием наиболее интересных разделов из полного курса механики. Мы обязаны критически (зная специфику данного >вуза) рассмотреть содержание и направленность всего курса механики и разработать (создать) такие варианты новых программ, в которых из классического наследства сохранено то, что жизненно необходимо для будущего профессионала (инженера или ученого).
Очень важно подчеркнуть, что без освоения методов механики не может быть современного инженерного и университетского образования. Такой категорический вывод .следует из того общеизвестного факта, что в современной технической жизни механическая форма движения все еще остается доминирующей . В этой статье мы привели раз-
нообразные примеры плодотворных взаимодействий развивающейся науки механики и авиационно-ракетной техники. Мы убеждены, что глубокое понимание высших форм движения материального мира (акустика, теплота, магнетизм, электрические и световые явления) невозможно без знания механики. Все известные нам курсы теоретической физики (и в нашей стране и за рубежом) убедительно подтверждают этот 1ВьЛод. Более того, научное воспитание, подготавливающее молодежь к пониманию закономерностей любых процессов природы и техники, надо начинать с изучения процессов механического движения, как более простых, доступных духовным очам 'каждого исследователя.
Методы аналогий при изучении более трудных форм движения материи, например при изучении акустики, электродинамики, теории потенциала, многих явлений радиофизики, теряют и в наглядности и в богатстве содержания, если исключить из этих методов механические явления. Обширные области современной техники опираются на закономерности механической формы движения.
Следует обратить внимание еще на одну важную особенность сов-' ременного научного развития. Кроме наук, изучающих реально существующие формы движения в технике, природе и обществе, возникают и совершенствуются науки, охватывающие единым методом и с- следования различные формы движения. Так, например, теория колебаний, теория волн, теория потенциала, теория систем с обратными связями [33], кибернетика представляют науки, объединяющие весьма разнородный материал именно методами исследования. Мы утверждаем, что в этих науках невозможно, без потери содержательности и доказательности, исключить из рассмотрения механические явления и методы их исследования, созданные в теоретической механике многовековой работой выдающихся умов человечества-
Рассмотрение единым методом явлений, относящихся к различным формам движения материи, бажно и с методологической точки зрения, так как единый метод свидетельствует о единстве природы и дает возможность узкому специалисту отчетливо и по существу понимать широкий мир явлений современного естествознания. В. И. Ленин писал в работе «Материализм и эмпириокритицизм»: «Единство природы обнаруживается в «поразительной аналогичности» дифференциальных уравнений, относящихся к разным областям явлений.» (Поли. собр. соч., т. 18, стр. 306).
Но приведенные соображения не означают, что все созданное в теоретической механике одинаково важно для современной техники. Многие интересные факты, результаты, теории, созданные в механике в течение многих веков, имеют в наши дни только историческое значение а коллективы механиков советской высшей школы должны решительно исключать их из программ читаемых курсов . В обширном арсенале достижений теоретической механики можно подобрать интересный материал для многих вариантов программ, учитывающих специфику профессионального труда будущих специалистов, готовящихся данным' вузом. И такое обновление преподавания механики следует делать незамедлительно, ибо в противном случае ученые и инженеры, читающие специальные курсы, сами включат в свои программы все наиболее ценное из классической механики, а курс теоретической механики, построенный по старинке, тихо умрет в данном вузе.
Нам кажется, что весьма важным для поисков новых путей жизни теоретической механики в высшей школе нашей страны является издание экспериментальных курсов механики, читаемых для студентов различных специальностей. Содержание, компоновка и «сквозная идея» этих экспериментальных курсов могут существенно отличаться от программ, утвержденных Министерством. Может быть, Научно-методическому совету по теоретической механике, который знает и квалификацию и возможности многих преподавателей кафедр теоретической механики нашей страны, следует поручать 必 плановом порядке создание новых курсов механики, более полезных для той или другой группы специальностей, чем старые привычные курсы. Для того чтобы перестраиваться, надо искать, и лучше такие поиски вести организованно, учитывая реальный уровень педагогичёских кадров советской высшей школы. ~
Важнейшим звеном в повышении роли и значения теоретической механики в высшем техническом образовании является личная научная работа преподавателей механики и как ее следствие ——чтение факультативных курсов по различным разделам современной механики. Нужно всеми мерами поощрять чтение факультативных курсов. Два поощрительных мероприятия мы хотим назвать. Как известно, подготовка факультативного курса требует и большого труда и значительного времени; целесообразно при учете занятости преподавателя учебной работой в случае, когда он читает факультативный курс, в>водить《весовой》 коэффициент к фактическому времени исполнения этих лекций. Мы думаем, что если факультативный курс читается первый раз, то коэффициент должен быть равен 4 или даже 5. Если факультативный курс успешно читается более трех раз, нужно обеспечить возможность публикации такого курса.
Для того чтобы наладить более систематическое и высококвалифи- циро1ванное ознакомление преподавателей механики с современными научными проблемами и новыми методами исследования, необходимо издавать монографии ——обзоры, написанные знатоками дела. К сожалению, iB советских научно-технических журналах очень редко публикуются обзоры, написанные ведущими учеными страны, и еще реже можно встретить статьи, в которых формулируются наиболее важные и животрепещущие проблемы современного научного прогресса в том или другом разделе механики. Нам хотелось бы формулировать два предложения для издателей научно-технической литературы.
' 1. Как известно, в подавляющем большинстве наших научно-технических журналов не выплачивается гонорар авторам статей. Целесообразно при составлении редакционных годовых планов определять некоторое число обзоров по важнейшим проблемам -механики, которые заказываются редколлегией и за которые редакция обязуется платить гонорар, причем достаточно высокий. Хочется сказать о практике двух американских журналов《AIAA Journal》и «Journal of Spacecraft and Rockets》，которые систематически почти в каждом номере публикуют научные статьи ——обзоры под рубрикой 《Survey paper». Вот некоторые названия таких статей: «Методы управления космическими кораблями на участках входа в атмосферу»; «Инерциальные системы управления и 'навигации»; «Эффекты от циклических нагрузок на зернистую структуру твердых ракетных топлив»; «Последние достижения гиперзвуковой аэродинамики»; «Горение металлов》； «Строение атмосфер планет (Земля, Марс, Венера》； «Моделирование геофизических явлений в лаборатории»; «Радиационные опасности в солнечной системе》.
Отметим, что за научные статьи, помещаемые в этих американских журналах, обычно авторы платят за публикацию, но статьи обзорные за-
называются редакцией видным специалистам и за эти статьи выплачивается солидный гонорар.
При изданиях стабильных учебников наши издательства привыкли к «космическим» тиражам и издание монографий или специальных курсов, профессионально очень важных для сравнительно узкого круга читателей, тиражом порядка 2——3 тысячи экземпляров, считается коммерчески невыгодным, часто убыточным. Думается, что в масштабе страны (имея в виду созидание потенциальных интеллектуальных богатств) будет разумно повысить продажную цену на литературу монографическую и узкоспециальную, но не закрывать ей дорогу.
Хорошая монография это точка зрения специалиста. И если я — препода'ватель механики в N-ском вузе ——лишен возможности послушать этого специалиста, когда он читает факультативный курс, то монография——очень хорошая замена личным контактам и значение такой научной литературы для молодых ученых громадно. Все возрастающий поток журнальных научно-технических статей еще с одной стороны показывает необходимость издания монографий и узкоспециальных курсов по новым проблемам механики.
Хотелось бы поставить на обсуждение преподавателей вузов вопрос о содержании практических занятий по теоретической механике и 1выборе лабораторных работ по механике (в тех вузах, где такие лаборатории организованы). Нам кажется целесообразным, учитывая практику современной научно-технической жизни, проводить практические занятия по двум основным направлениям. Во-первых ——это привычные и хорошо известные наборы сравнительно простых и типичных задач из сборника И. В. Мещерского, приучающие с т а в и ть, р е - ш а т ь и исследовать легко интегрируемые примеры механического движения. Это важная и обязательная для формирования научно-инженерного мышления часть содержания практических занятий по курсу теоретической механики.
Но мы в реальном преподавании часто только задачами из «Мещерского» и ограничиваемся, а этого ® шестидесятых годах XX века уже недостаточно.
В практике современной технической жизни интегрируемые (через известные функции) задачи—— исключение. Программы высшего образования по теоретической механике в наши дни должны включать методы исследования неинтегрируемых аналитически задач механического движения. Это можно и разумно делать методами численного интегрирования. Развитие средств вычислительной техники позволяет достаточно быстро решать сложные задачи нелинейной механики. Внедрение численных методов ——это требование времени, требование реальной технической жизни и обходить эти методы при изучении динамических задач нельзя. Именно на задачах динамики весьма эффектйвно выявляется могущество современных электронно-вычислительных машин В тех вузах, где таких машин еще нет, можно пользоваться клавишными машинами или логарифмической линейкой и счетами. Важно в процессе преподавания механики не ссылаться на результаты машинных вычислений, а учить этим -вычислениям на специально подобранных задачах из новых разделов современной науки и техники. Синтез аналитических и 1вычислительных методов ——вот что характерно при исследованиях и разработках эскизных и технических проектов, в которых решаются современные динамические проблемы.
* Следует обратить внимание преподавателей механики на лекции по физике видного американского ученого Р. Фейнмана, который подчеркивает необходимость и могущество методов численного интегрирования для современной физики ,[34].
Особенно целесообразно организовать решение нелинейных задач динамики в лабораторном практикуме. Если есть вычислительные машины, то решаемые в практикуме задачи могут быть первым шагом к самостоятельной научной работе. Нам кажется, что оснащение практикума по теоретической механике приборами и устройствами, позволяющими определять экспериментально моменты инерции, ускорение силы тяжести, резонансные частоты и т. п., удаляет механику в XIX, а иногда и в XVIII век. Это не способствует развитию творческой любознательности студентов, так как экспериментальные установки указанного типа учащиеся видели и изучали в средней школе или в физическом практикуме вуза. Практическое овладение методами численного интегрирования трудных нелинейных задач динамики и уменье анализировать полученные численно результаты——вот основной стержень при организации лабораторных работ по курсу теоретической механики. .
Автор этой статьи достаточно критически относится к увлеченности многих преподавателей и инженеров-исследователей только численными методами изучения процессов движения. В современном вузовском преподавании аналитические методы в сочетании с глубоким анализом физической сущности проблем играют колоссальную роль. Вычислительная машина должна быть помощником исследователя, но не должна управлять им. Как справедливо указывает в одной из статей Р. Беллман [35], «машина не может привести к развитию новых методов решения сложных проблем». Поэтому в вузовском преподавании при подготовке молодых исследователей——будущего науки нашей страны——необходима разумная система пробуждения и совершенствования творческого интеллекта учащихся в сочетании (сообразуясь) с возможностями современных электронно-вычислительных машин. Не видеть успехов машинной математики нельзя в наши дни и весь коллектив советских механиков обязан сформировать такую методику преподавания механики, которая бы закладывала правильные основы развития разума искателей нового, с тем чтобы обеспечить в беге времен» интеллектуальное превосходство наших исследователей, готовящихся в вузах первой в мире социалистической державы.
Мы убеждены, что в ближайшие 10—15 лет будут созданы весьма компактные электронно-вычислительные машины с автоматами программирования и расшифровки, причем стоимость этих машин будет такова, что многие кафедры механики и даже отдельные ученые будут в состоянии их приобретать и эксплуатировать. Вероятно, ученые-механики еще в XX столетии будут прибегать к услугам вычислительной машины столь же обычно, как ученые XIX столетия прибегали к логарифмической линейке. Внедрение вычислительных машин в повседневную творческую работу радикально повысит производительность научного труда и, по-видимому, изменит и методы исследования. Правильно и .увлекательно пишет видный американский биофизик Дж. Платт [36] о том, что в быстрорастущих областях современной науки (к ним относятся в первую очередь молекулярная биология и физика высоких энергий) «применяется и пропагандируется определенный метод научного исследования», который «следует назвать методом строгих выводов». Этот метод 《состоит в регулярном и последовательном осуществлении при решении каждой научной проблемы -следующих шагав.
Выдвижение альтернативных гипотез;
Выбор решающего эксперимента * (или нескольких экспериментов)
с альтернативно возможными исходами, каждый из которых должен как можно более убедительно устранить одну или несколько гипотез;
Проведение эксперимента таким образом, чтобы получить ясный 'результат.
В случае неудачи: *
Повторное проведение всей этой процедуры, выдвижение новых, побочных гипотез и гипотез, вытекающих из уже имеющихся данных, для того чтобы уточнить остающиеся возможности, и так далее».
Мы уверены； что соединение интеллектуальной изобретательности человеческого ума, получившего хорошую аналитическую школу, с необычайным быстродействием электронные вычислительных машин, позволяющих в считанные минуты проверить возникшую гипотезу или догадку, приведет к качественно новым успехам теоретической механики.
Не оторвался ли а-втор от «грешной земли》，от реально происходящих процессов обучения студентов в нашей стране? Знает ли он, что многие преподаватели механики страшно перегружены учебной работой, собраниями, заседаниями и многими 'общественными делами?
Мы думаем что обсуждая проблемы совершенствования высшего образования неправильно ориентироваться на плохоуспевающего студента и загруженного до предела «текучкой» преподавателя.
Советскому Союзу ——нашему великому социалистическому государству, пролагающему пути в новый мир,——нужны и сегодня и в будущем 1высококвалифицированные специалисты, умеющие делать живое дело лучше, чем это делают в наиболее развитых капиталистических странах. Мы выпускаем ежегодно большую армию граждан с дипломами о законченном высшем образовании и, вероятно, все хорошо понимают, что центральной проблемой нашей высшей школы является повышение профессионального уровня молодых специалистов, повышение качества их научно-технического мышления. А формирование совершенно определенных ― эвристических ——качеств мышления зависит от поиска и творчества всего коллектива советских механиков. Уместно напомнить здесь одну мысль Микель Анджело, который правильно сказал, что «тот, кто идет за другими, никогда не опередит их».
«Гений живет в среде народа, как искра в кремне》——пишет Стендаль. Талантливость и одаренность народа ——это потенциальные богатства страны. Высвобождение этих потенциальных богатств для созидательней работы существенным образом зависит от состава учителей молодежи. Преподаватель должен помочь одаренному юноше найти свое истинное призвание и отшлифовать те грани его таланта, которые от> кроют для него широкую дорогу профессионального творчества. Мы —— преподаватели высшей школы — обязаны находить такие методы образования и Боепитания, которые затрагивают творческие стороны интеллекта мододых людей нашей страны, с тем чтобы искры народного таланта и гения реализовались в больших делах новых научных и технических открытий.
Цитированная литература
Н. Бурбаки. Очерки по истории математики. М., ИЛ, 1963, стр. 258.
R. С. D u n k a n and A. S. Gunnersen. Inertial Guidance, Navigation, and Control Systems, Journ. of Spacecraft and Rockets, 1964, N 6.
«Flugwelt», 1964, X.
К. А. Е h г i с к е. Space Flight, vol II, Dynamics, U. S. A., Princeton, 1962. Теория движения сателлоидов рассмотрена в гл. 7 этой книги (стр. 614——656); см. также статью К. Э р и'к е «Сателлоид». опубликованную в сб. «Об йскусственном спутнике Земли». Оборонгиз, М., 1959.
И. В. Мещерский. Работы по механике тел переменной массы. Изд. 2-е, Гос- техиздат, М., 1952.
К. Э. Циолковский. Исследование мировых пространств реактивными приборами. Собр. соч., т. II, изд. АН СССР, 1954, стр. 69—99.
К. Э. Циолковский. Собр. соч., т. II, стр. 298г-т326.
А. А. Космодемьянский. О максимальной продолжительности горизонтального полета самолета с ракетным двигателем. Вестник Московского университета/ серия I, Математика и механика, 1965, № 4, стр. 67——77. См. также сб. статей иностранных авторов (Гиббса, Лаудена, Миеле, Тзяна, Эванса и др.) «Исследование оптимальных режимов движения ракет». Оборонгиз, М., 1959.
Н. Е. Жуковский. Динамика аэропланов в элементарном изложении. Собр. соч., т. IV, ГТТИ, М., 1949, стр. 207—270. Аэродинамический расчет аэропланов. Там же, стр. 317—337.
А. С. Локк. Управление снарядами. ГИТТЛ, М., стр. 483—517.
G. G о 1 d b a u m and J. Douglass. Design of Versatile Liquid—Fluorine-Liquid Hydrogen Upper Stage, Journal of Spacecraft and Rockets, vol. 2, N 4, 1965.
W. H., T. Loh. Dynamics and Termady.namics of Planetary Entry, Prentice— Hall, New —— Jersey, 1963. См. также статью В. А. Ярошевский «Приближенный расчет траекторий входа в атмосферу». «Космические исследования», т. II, вып. 4 и 5, 1964.
，В. А. Егоров. О некоорых задачах динамики полета к Луне. «Успехи физических наук», т. 63, вып. 1-а, 1957.
В. А. Егоров Пространственная задача достижения Луны. 《Наука》,М., 1965.
Космическая техника. «Наука», М., 1964, стр. 123—145.
Manned Lunar Flight, 1963. Книга из серии „Advances in the Astronautical Sciences”，vol. 10.
В. В. Белецкий. Движение искусственного спутника относительно центра масс. «Наука», М., 1965.
В. А. Златоустов, Д. Е. Охоцимский [и др.]. Исследования колебаний спутника в плоскости эллиптической орбиты. «Космические исследования», т. II, вып, 5, 1964.
А. Ю. Ишлинский. Механика гироскопических систем Изд. АН СССР, М., 1963. *
Н. Н Красовский. Некоторые задачи устойчивости движения. Физматгиз М., 1959. '
В. В. Н е м ы ц к и й. Некоторые современные проблемы качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений. «Успехи математических наук》，т. XX, вып. 4, 1965. .
R. Т о m о V i с (Belgrad). Sensitivity Analisis of Dynamic Systems, Me Graw — Hill, New-York, 1964.
R о b-e r t L. H a 1 f m a n. Dynamics, vol. II, Systems, Variational Methods, and Relativity, Massachusets, U. S. A., 1962, стр. 355—391.
Л. Эйлер. Метод нахождения кривых линий, обладающих свойствами максимума либо минимума. М., 1934, стр. 573—574.
А. А. Космодемьянский. Курс теоретической механики, ч. II. «Просвещение», М., 1966, стр. 140—248.
А. А. Космодемьянский. Динамика космического полета. Вып. 1, изд. ВВИА им. Н. Е. Жуковского, М.. 1964, стр. 120—143.
А. М и е л е. Механика полета. Т. I. «Наука», М., 1965.
А. А. Космодемьянский. Некоторые вариационные задачи теоретической ракетодинамики. Труды ВВИА им. Н. Е. Жуковского, вып. 990, 1963.
Т. Ш т е р н. Введение в небесную механику. «Мир», М., 1964.
W. Т. Thomson. Introduction to Space Dynamics, J. Wilev and Sons, New- York, 1961.
П. E. Эльясберг. Введение в теорию полета искусственных спутников Земли. «Наука», М., 1965.
Г. Н. Д у б о ш и н и Д. Е. Охоцим ский. Некоторые проблемы астродинамики и небесной механики. «Космические исследования», т I, вып. 2, 1963, стр 205 —— .206.1
С. W. М i г г i a m. Optimization Theory and the Design of Feedback Control .System, Me Graw—Hill. New-York, 1964.
Лекции по физике Р.①е访нмана. Вып. I. Современная наука о природе. Законы механики. Вып. II. Пространство, время, движение. Вып. III. Излучение, волны, кванты. «Мир», М., 1965.，
Р. Беллман. Вычислительные машины и принятие решений? «Зарубежная радиоэлектроника», 1964, № 1, стр. 50—55.
Д ж. Платт (CIIIA). Метод строгих выводов. «Вопросы философии», 1965, № 9, стр 83—94.
О РОЛИ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИВ РАЗВИТИИ СМЕЖНЫХ ДИСЦИПЛИН
В связи с интенсивным развитием науки вопросы установления взаимосвязей между учебными дисциплинами и совершенствования на этой основе учебного процесса в вузах приобретают весьма большое значение. Они играют особенно 'важную роль в становлении и развитии новых, быстроразвивающихся специальностей, к которым можно отнести, в частности, и радиотехническую специальность.
В вопросах рационализации учебного процесса, начиная с пересмотра учебных планов и программ, надо проявлять известную осторожность, не прибегая к широко распространенному, к сожалению, способу автоматического исключения из плана дисциплин, часто лишь внешне не соответствующих профилю подготовки инженера. Необходимо внимательное рассмотрение содержания каждого общетеоретического курса с целью отбора в нем нужного для данной специальности материала и, если потребуется, соответствующей его переработки.
Прежде чем перейти к конкретному обсуждению затронутой нами темы, сделаем одно замечание, имеющее, на наш взгляд, принципиальное значение. Оно состоит в следующем.
Прогресс в развитии наших познаний окружающего мира во многом обязан тому, что природа, несмотря на свое неисчерпаемое многообразие, являет нам пример удивительного единства, ©ытекающего из взаимосвязи и взаимообусловленности протекающих в ней процессов. Таким образом, на определенных этапах развития науки появляется возможность оводить постепенно накапливаемые знания к минимальному числу основополагающих понятий, принципов и закономерностей. Именно в единстве многообразия и в то же 〔время общности явлений природы заключены, как нам представляется, необходимые условия, обеспечивающие движение науки вперед, наши возможности овладевать в ограниченные сроки знаниями, нужными для творческой работы в той или иной области науки или техники. Однако необходимо учесть, что б общности явлений таятся и опасности. Известно, что при попытках распространить хорошо изученные в какой-либо области знания понятия и методы на аналогичные явления другой области почти всегда проявляется тенденция интерпретировать их с известных, ставших уже привычными позиций, часто приписывая тем самым новым явлениям несвойственные, а то и просто чуждые им черты. В частности, такая тен- аенция особенно ярко проявилась в философском направлении, известном под названием механистического материализма, принявшего явно регрессивный характер в конце XIX и начале XX столетия.
Чтобы избежать в сравнительной оценке научных открытий принципиальных ошибок, надо научиться находить б них то действительно общее, что объединяет различные явления по существу, а не по каким- либо их внешним признакам.
Возвратимся к нашей основной теме. Постепенное перерастание частных вопросов в общие наблюдается почти в любой области науки. Так, например, некоторые проблемы химии трудно отделить qeftqac от проблем атомной физики, на базе которой возник, в частности, один из важных разделов современной электроники, использующей 应 определенном типе приборов явления, происходящие на атомно-молекулярном уровне.
Одним из блестящих примеров научного обобщения последних ле1 является кибернетика, возникшая, как известно, в результате синтеза
ряда наук. Это, по-видимому, первый существенный шаг на пути еще больших обобщений, обусловленных взаимосвязью явлений неоррани- ческого мира*и живой природы. ' -
Наконец, разительным примером научных обобщений в область теории движения является развитие принципов и методов такой старейшей дисциплины, как теоретическая механика. Ее содержание уже давно переросло рамки чистой механики, охватывающее многие области физики, так или иначе связанные с проблемой движения, в какой,бы форме оно не проявлялось. Лишь установившаяся традиция и выработанная годами привычка заставляет часто относить понятия и методы динамики, уже давно ставшей обобщенной наукой, к чистой механике, в недрах которой -она зародилась.
Для того чтобы развить эту мысль и сделать ее более очевидной, обратимся к хорошо известным в механике уравнениям движения.
Наиболее общими характеристиками динамических процессов являются энергетические характеристики. Действительно, любую материальную систему, с позиций классической механики, можно полностью описать положением всех ее точек в пространстве и изменением этого положения во времени. При этом под пространством в общем случае следует понимать так называемое пространство конфигураций системы, обобщенные координаты которой и их первые производные по времени могут быть либо функционально связаны с декартовы- 'ми координатами, либо полностью от них не зависеть. Располагая некоторыми дополнительными данными о свойствах рассматриваемо 访 системы, можно получить выражения для энергии в виде либо функции Лагранжа, либо функции Гамильтона, Зная эти величины и используя известные в механике вариационные принципы, мы придем к так называемым обобщенным уравнениям движения.
Для того чтобы по достоинству оценить универсальность этих методов, полезно проследить за переходом от описания чисто механических движений к описанию, справедливому практически для любых форм движения.
Рассматривая механическую систему как совокупность точек, удовлетворяющую некоторым условиям связи, можно говорить о возможных перемещениях точек этой системы в пространстве. В этом случае естественно за основные независимые переменные величины взять декартовы координаты (%, у, 2) и ‘время (/). Движение системы п дискретных точек, на которых наложено г условий связи, так что)число степеней свободы будет равно f = 3п——г, может быть описано Зп дифференциальными уравнениями следующего вида
ткхк = Хк +，兀 к = 1, 2 3九.
Эта форма уравнений, называемая уравнениями Лагранжа 1-го рода, непосредственно вытекает из второго закона Ньютона и известного принципа Даламбера. Из этих уравнений отчетливо видно, что они описывают процесс, если так можно 1выразиться, в явно выраженной механической форме, так как это описание производится с помощью координат обычного трехмерного пространства с использованием понятия механической массы и кинематических связей. Эта форма описания механического движения, как известно, не является единственно возможной. Можно исключить обычные пространственные координаты и геометрические связи, перейдя ко ©торой форме уравнений Лагранжа. При этом оказывается возможным ввести так называемые обобщенные координаты, являющиеся независимыми переменными, функционально связанными с декартовыми координатами, и число которых равно чис-
лу Степеней свободы.. Уравнения Лагранжа 2-го рода, о котором в дальнейшем пойдет речь, могут быть получены непосредственно из уравнений Ньютона, однако более естественным образом они вытекают из известных в математике вариационных принципов, в частности из принципа стационарного действия, отражающего один из фундаментальных законов природы.
Математической основой этих принципов является известное уравнение Эйлера
4]一祭=。，
dx у ду j ду
которое служит для разыскания экстремалей интеграла вида
J 尸(％, 〃,")d%・
В механике этот принцип получил название принципа наименьшего действия (точнее ——экстремального действия), или, иначе, принципа Остроградского — Г амильтона.
ь
Под функционалом [ F(x, у, y)dx в данном случае понимают величину действия
S = f Ldt,
где А — функция Лагранжа, называемая также кинетическим потенциалом. В соответствии с этим принципом для любой физической системы существует такая (величина S, которая в случае действительного перемещения имеет стационарное значение, т. е. удовлетворяет условию 5s = 0. Для консервативных систем L представляет собой функцию времени и функционал от возможных траекторий д〃«) точек систем, т. е. L = L(qt、^г, /).
В результате операции варьирования мы придем к системе уравнений Лагранжа 2-го рода, имеющих вид
где / ——число степеней свободы данной системы.
На первый взгляд может показаться, что эта форма уравнений является своеобразной рационализацией в описании чисто механических движений. Это видно хотя бы из элементарного примера простого (ординарного) математического маятника. Положение его. массы т-мо^ет быть охарактеризовано одной единственной обобщенной координатой ср ——угловым смещением, связанным с декартовыми коордйнатами оче- >видными равенствами: х=/ sin ср; y = /cosq), где / ——длина маятника.
Однако, несмотря на то, что такая замена координат казалось бы ничего принципиально нового не вносит, переход к такому описанию является существенным шагом в обобщении понятия движения.
Как показало дальнейшее развитие этого вопроса, при описании любого динамического процесса мы оказываемся в достаточной степени свободными !В выборе обобщенных координат, которые в конечном счете могут быть не только независимыми переменными, но и вовсе не связанными с пространственными координатами. Во всех этих случаях необходимо лишь найти выражение для функции Лагранжа, зависящей как было уже указано, от времени, обобщенных координат и их первых производных по времени.
Так, например, если по трубе течет вода и за обобщенную координату взять количество воды Q в единице объема, а в качестве обобщенной силы ——давление Р, то произведение QP будет выражением работы. Аналогично этому |ВЫражение работы, совершаемое поверхностным натяжением какой-либо жидкости, будет равно TS, где натяжение Т является обобщенной силой, а элемент поверхности S ——обобщенной координатой. Эти примеры, как видно, уже существенно отличаются от случая с маятником, в которых связь обобщенных координат с декартовыми уже не имеет принципиального значения.
Блестящим примером описания движения, в котором полностью отсутствуют пространственные (в обычном смысле слова) представле- ния, являются уравнения, использованные Максвеллом для описания процессов в электрических цепях с сосредоточенными параметрами.
Изучая электромагнитные процессы, Максвелл установил, что электрический ток есть явление кинетическое, обладающее всеми чертами обычного механического движения. Придя к такой аналогии, он воспользовался второй формой уравнений Лагранжа, взяв в качестве обобщенной координаты заряд 久 Действительно, с энергетической точки зрения в электромагнитном процессе мы видим все черты обычного механического движения. Здесь также можно говорить о кинетической и потенциальной энергиях, об энергии рассеяния, о силах (э. д. с.), о таких свойствах систем, как инерционность (индуктивность), упругость или гибкость (емкость), о поглощении ——рассеянии энергии в^ виде тепла (потери энергии в омических сопротивлениях) и т. п. '
Применим уравнения Лагранжа к электрическим цепям, для чего придадим этим уравнениям более удобный для данного случая вид. Учитывая, что 厶=Т——U, где Т ——кинетическая, a U ——потенциальная энергия, и имея в виду, что Т и U можно представить в следующих квадратичных формах:
где kT и ku ——коэффициенты инерционности и упругости соответственно, уравнения Лагранжа примут вид
Если система с течением времени теряет свой запас энергии, т. е. в ней имеют место необратимые процессы, то эти уравнения должны быть дополнены еще одним слагаемым, равным
。=/万Q成
где kD ——коэффициент рассеяния.
В этом случае будут справедливы уравнения:
成\ 0。%0%
Если, наконец, на систему воздействует внешняя сила (обобщенная) Ft, то окончательно процесс при f обобщенных координатах будет описываться системой следующих уравнений:
Отсюда легко получить уравнение, например, для одноконтурной (,= 1) электрической цепи. Опуская индекс, обозначая заряд через q и, полагая
力r=L; ^ = — ； Nd = R, Fi = E (/),
где L, С и R ——постоянные величины, придем к известному уравнению Кирхгофа
Ag +Rq +* = Е, аналогичному дифференциальному уравнению движения механической системы с одной степенью свободы, получаемому из уравнений Лагранжа 2-го рода.
Строгое доказательство применимости принципа Остроградского— Гамильтона к явлениям немеханического характера было дано несколько позже и принадлежит оно выдающемуся физику прошлого столетия Гельмгольцу. Его исследования заложили основы к использованию этого принципа в самых различных областях физики ——в классической теории поля, квантовой механике, теории относительности, квантовой электродинамике и других.
Действительно, с течением времени понятие механической энергии и механического импульса стало распространяться на всевозможные другие формы импульса и энергии. Это обстоятельство позволило сформулировать универсальные законы сохранения энергии и количества движения, учитывающие возможность превращения их из одной формы в другую. Известные опыты П. Н. Лебедева, установившие факт светового давления, позволили приписать определенное количество движения и полю электромагнитной волны. Именно в проблемах, связанных с процессами в сплошных средах, принцип стационарного действия выявил свои особые преимущества, поскольку он приводит не только к соответствующим дифференциальным уравнениям с частными производными, но и граничным условиям, которым должны удовлетворять эти уравнения.
Во всех рассматриваемых случаях основную роль играет функция Лагранжа. Таким образом, исходной операцией в каждой такой задаче является нахождение этой функции.
Переход к полю означает переход к системе, обладающей бесконечным числом степеней свободы. В общем случае любое волновое поле (какой бы физической |величиной оно представлено не было) может быть охарактеризовано в любой точке пространства в каждый момент времени своими амплитудами, подобно тому, как система частиц может быть охарактеризована координатами ^. Вследствие этого за обобщенные координаты поля естественно взять амплитуды некоторой волновой функции гр (г, /).
Принципиальным отличием этих переменных от координат ,?(£) систем с конечным числом степеней свободы является то, что волновая функция гр (г, /) зависит не только от времени, но является также непрерывной функцией пространственных координат.
Используя вариационный принцип, можно получить уравнение относительно плотности Лагранжиана 厶(гр, grad, гр, гр, /) следующего вида:
Это уравнение является классическим обобщенным уравнением поля. Выраженное непосредственно через функцию Лагранжа,
上=Ja(% grad W,山，f)g
где т ——объем, в котором рассматривается поле, это уравнение принимает обычную форму
d 6L 6L п
* dt §卄 6里 ，
с тем лишь 'отличием от уравнений для систем с конечным числом степеней свободы, что в приведенном уравнении фигурируют не обычные производные, а так называемые функциональные производные, специфические для задач, связанных с полем.
В нерелятивистской теории поля, описывающей процессы в трехмерном пространстве и во времени, в качестве обобщенных координат используют обычно три компоненты векторного потенциала А и скалярный потенциал ф.
В теории относительности, при четырехмерной трактовке поля, за обобщенные координаты принимают значения компонент четырехмерного векторного потенциала.
В теории гравитации обобщенными координатами являются компоненты метрического тензора, играющие роль гравитационных потенциалов.
Для завершения нашего краткого обзора необходимо отметить, что наиболее совершенную форму рассматриваемые методы получили в виде известных канонических уравнений Гамильтона
дН • дН
где Н = T+U——функция Гамильтона, являющаяся функцией, в общем случае, обобщенных координат, обобщенных импульсов и времени.
Известно, что уравнения Гамильтона инвариантны относительно более общих по сравнению с уравнениями Лагранжа преобразований и что из уравнений Гамильтона вытекает закон сохранения энергии также в более общем виде.
Плодотворность идей Гамильтона наглядно подтверждается всем ходом развития динамики. В частности, функция Гамильтона явилась, как известно, одним из основных понятий, используемых в квантовой механике, несмотря на то, что математический аппарат квантовой механики и физическая интерпретация явлений микромира существенно отличны от тех, которыми мы пользуемся для описания макроскопических процессов.
Затронутый нами вопрос, помимо научно-методического интереса, имеет и большое философское значение. Действительно, неразрывная связь материи и движения является одним из принципиальных положений диалектического материализма.
Под «динамическим процессом», или, коротко, «движением», мы вправе понимать не только механическое перемещение тел в пространстве, но и любую другую форму физического процесса, развивающегося во времени.
Описанные выше свойства материи открывают перед нами ничем не ограниченные возможности в познании окружающего мира. Действительно, несмотря на то, что огромное число явлений природы не воспринимается непосредственно нашими органами чувств, даже при наличии всякого рода «усилителей», это не означает того, что такие явления принципиально непознаваемы, что они не могут быть изучены и нами управляемы.
Опыт всей нашей жизни говорит как раз об обратном, ибо любое явление в силу указанных выше свойств материи может быть однозначным образом переведено в мир явлений, непосредственно воздействующих на наши органы чувств. Это известно каждому человеку,
так или иначе соприкасающемуся с миром, казалось бы, «безмолвных», «невидимых» и «неосязаемых» явлений. Операция отображения этого мира на мир «непосредственного восприятия» возможна именно в силу фундаментального закона сохранения и превращения материи. Под этим законом следует, понимать не статическую сумму хотя и различных, но в то же время неизменных форм движения^ а как цепь непрерывных их изменений и превращений. Этот закон, как известно, говорит о том, что различные формы движения материи (электрические, тепловые, механические и др.) существуют в тесной и непрерывной связи друг с другом. Однако установление материального единства мира не должно состоять в попытках сведения качественного многообразия материй в какой-либо единой, неизменной или тем более бескачествен- ной основе. Формы движения материи качественно различны и несводимы одна к другой, но они не являются обособленными друг от друга. Ни одна из них не существует изолированно от других форм движения. Материальное единство подтверждается, в частности, установлением наиболее общих законов, справедливых в самых различных областях материального мира. .
Таким образом, закон сохранения и превращения энергии, который непосредственно вытекает из обобщенных уравнений динамики, служит важной естественнонаучной базой диалектического материализма о единстве и связи форм движения -материи.
На основе сказанного можно сделать следующие вывопн:
По-видимому, является своевременным и целесообразным пересмотреть содержание и методику изложения некоторых общетеоретических дисциплин, максимально приблизив их содержание к интересам той или иной специализации.
В частности, представляет несомненный интерес вопрос о создании курса «Общая динамика» с включением в него таких разделов, интересующих многие инженерные специальности, как теория колебаний, спектральные методы анализа периодических и квазипериодических процессов и ряд других.
Основные положения динамики, изложенные в данном курсе, должны быть затем развиты в требуемых направлениях специальными дисциплинами.
Справедливость и целесообразность подходов к явлениям природы с обобщенных позиций служит подтверждением основных положений диалектического материализма о взаимосвязи и взаимообусловленности явлений. Поэтому затронутые в настоящей статье вопросы могут явиться полезным материалом и для дисциплин кафедры философии.
В. А БЕЛЕЦКИЙ
О НЕКОТОРЫХ ДОСТИЖЕНИЯХ КОСМИЧЕСКОЙ БАЛЛИСТИКИ
Термин «космическая баллистика》подразумевает теорию движения искусственных космических аппаратов. Существуют и другие термины, подразумевающие то же самое (динамика космического полета, прикладная небесная механика и т. п.).
Название для этой науки не установилось: ученые, занимающиеся теорией движения космических аппаратов, вопросами терминологии интересуются в последнюю очередь. Космическая баллистика использует
методы и результаты теоретической механики, небесной .механики, технических иаук, многих разделов математики. Как модно сейчас говорить, космическая баллистика родилась на стыке перечисленных наук. Ниже пойдет речь о некоторых интересных теоретических исследованиях в космической баллистике. Автор ни в коем случае не стремится дать стройный обзор или систематическое изложение вопросов космической баллистики. Более того, многие интересные и первостепенной важности результаты останутся (вне нашего поля зрения. Мне хочется лишь дать представление о тех любопытных и порой неожиданных достижениях последнего десятилетия, которые позволили взглянуть совсем по-новому на ряд старых, классических задач и отметить некоторые постановки и решения, ранее не встречавшиеся. Не скрою, что при отборе материала для этого сообщения, автор руководствовался не в последнюю очередь личными «вкусами и интересами.
Движение точки в поле тяготения земного сфероида. Названная задача является основной в теории движения близкого искусственного спутника Земли. Следует, конечно, еще учитывать существенное влияние атмосферы Земли на движение спутника, и этому учету посвящен ряд работ. Не останавливаясь здесь на этом вопросе, рассмотрим движение спутника в поле тяготения Земли, пренебрегая всеми остальными факторами. Отличие поля тяготения Земли от поля тяготения ньютоновского центра вызывает возмущения в траектории спутника и отличие ее от кеплеровского эллипса. Существует хорошо разработанный в небесной механике аппарат теории возмущений -^ так называемые уравнения в оскулирующих элементах. Использование этого аппарата позволяет весьма просто установить, что основными возмущениями в рассматриваемом случае будут поступательные движения узла орбиты и перигея орбиты. Однако эта задача оказалась занимательной и совсем с другой точки зрения. Обнаружилось, что эта задача в известном смысле эквивалентна старой классической задаче о движении точки в поле тяготения двух неподвижных притягивающих центров. Эта последняя задача, как известно, интегрируется в квадратурах; она рассматривалась многими авторами, но не нашла конкретного применения в небесной механике. Появление искусственных спутников стимулировало бурный прогресс в исследованиях и лривело, между прочим, и к открытию упомянутой эквивалентности. Таким образом, старая задача получила новое и очень важное конкретное приложение к теории движения искусственных спутников Земли. Первая публикация [1], устанавливающая эквивалентность двух задач, лринадлежит молодым советским ученым Е. П. Аксенову, Е. А. Гребенникову, В. Г. Демину, (1961 г.). (В книге Брауэра и Клеменса [2], изданной в 1961 г., также содержится краткое упоминание о такой эквивалентности). Рассмотрим вопрос несколько подробней.
Потенциал Земли без учета ее трехосности можно записать к виде следующего разложения:
.где f ——постоянная притяжения, т ——масса Земли, R ——ее экваториальный радиус, /&——постоянные, г—координата по оси вращения Земли, г——радиус-вектор движущейся точки, Ph——многочлен Лежандра fe-ro порядка. Хорошо известны только первые из констаит /^, а другие /^ очень, малы и известны плохо. Поэтому движение точки под действием потенциала, у которого лишь первые члены совпадают с членами потенциала
(1. 1), а остальные малы, будет весьма близко к движению точки под действием потенциала (1. 1).
Рассмотрим теперь потенциал двух притягивающих неподвижных центров с массами mb т^ расположенных на расстоянии Ci, С2 от начала координат, лежащего на линии Ш1Ш2：
U =(1.2)
Здесь n,厂2 ——расстояния движущейся точки от mb m2 'соответственно. Разложение потенциала (1.2) дает:
lJ = ^ + ^^Pk(^(1.3)
где
m = 恤 + 恤； 团族 =miCf + 恤优(1.4)
Чтобы (1.1) и (1.3) совпадали, нужно:
Yi =。； 、h = IhRk；(左 >1)・(L5)
Так как первое из соотношений (1.4) уже накладывает связь на mi и т2, то в нашем распоряжении остается три свободных параметра: Сь С2 и, допустим, т\ для удовлетворения условий (1.5). Следовательно, можно с помощью этих параметров определить коэффициенты /2, Л так, чтобы потенциалы (1. 1) и (1.3) совпадали до ^ = 3 включительно. Более далекие члены этих потенциалов совпасть не могут, но это не очень важно, так как далекие члены весьма малы. Таким образом, задача двух неподвижных центров с высокой точностью совпадает с задачей с движении точки в поле тяготения земного сфероида (или любой планеты) .Решая (1.4) и (1.5), получим:
团1 = 一 - ;m2 =Ci - С (a + i);
Ci —* C2Ci •— C>2
C2 = C(o - i); C = -^-小一A; 0 = -，3 二:;
\/2；2 К — A
尸
A =+ 4Z2.
Если принять Землю симметричной относительно экватора (что верно с высокой точностью, так как /3 ~ Ю"5, тогда как，2~ ——10-3) и сжатой . (что верно безусловно), то /3 = 0, /2<С0, о = 0, C = Rp |厶|. &,2=土&,т.е) приходим к задаче двух центров, лежащих на чисто мнимом расстоянии друг от друга. Найденная Аксеновым, Гребенниковым и Деминым аналогия двух задач позволила рассмотреть движение спутника в поле тяготения Земли в замкнутом аналитическом виде ——в эллиптических функциях. Надо отметить, что классическая задача рассматривалась в основном в плоском случае, а траектории спутника существенно пространственные, что само по себе стимулировало дальнейшее исследование проблемы двух неподвижных центров. Заметим, что приведение задачи о движении в 1поле тяготения Земли к интегрируемому виду (с помощью «испорченного» потенциала) проводилось ранее Винти [3], Кисликом [4] и другими учеными, но только рассмотрение проблемы в указанном выше виде внесло полную ясность в постановку, место и характер задачи. Ранее рассмотрённые случаи получаются отсюда, как частные. Сейчас задачу с двумя неподвижными центрами, расположенными на некоем комплексном расстоянии друг от друга и обладающими комплексными массами, называют обобщенной задачей
двух неподвижных центров. В таком виде задача продолжает привлекать внимание ученых (В. М. Алексеев [5] и др.).
Предельный вариант задачи двух центров и его применение в космической баллистике. Другое применение задачи двух неподвижных центров в современных исследованиях по космической баллистике
связано с так называемым предельным вариантом этой задачи: считается, что одна из масс бесконечно велика и расположена на бесконечно большом расстоянии от другой массы. Фактически это означает, что к обычному ньютоновскому притяжению добавляется вектор ускорения.
Рис. 1. Ограниченная траектория с малым постоянным возмущающим ускорениемРис. 1. Ограниченная траектория с малым постоянным возмущающим ускорениемпостоянный по величине и направлению. В связи с существующими перспективами использования двигателей малой тяги (ионные, плазменные двигатели) ста» новится актуальным, в частности, и ис* следование движения спутника в грави-
Рис. 1. Ограниченная траектория с малым постоянным возмущающим ускорением
Рис. 1. Ограниченная траектория с малым постоянным возмущающим ускорением
Рис. 2. Ограниченная траектория с большим постоянным возмущающим ускорениемРис. 2. Ограниченная траектория с большим постоянным возмущающим ускорениемтационном поле при действии еще и постоянного вектора ускорения。 В таком аспекте задача рассматривалась Ницей [6], Белецким [7] и другими и>сс л едов ател я м и. Еще возможное приложение этой задачи ——исследование влияния светового давления на спутники Земли. В самом деле, для спутников типа «Эхо» световое давление является основным возмущающим фактором, а влияние светового давления можно представить в виде постоянного вектора ускорения (ввиду удаленности Солнца и 'Сравнительной малости размеров орбиты.
Рис. 2. Ограниченная траектория с большим постоянным возмущающим ускорением
Рис. 2. Ограниченная траектория с большим постоянным возмущающим ускорением
Такой предельный вариант задачи проще общего. Особенно просто обстоит дело в плоском случае. Свойства траекторий могут быть исследованы весьма детально. Порой эти свойства оказываются очень любопытными. Для примера на рис. 1 и 2 приводятся два типа ограниченных траекторий. Ограниченные траектории лежат в области, ограниченной поверхностями некоторых параболоидов, а в плоском случае — в области между двумя параболами. На рис. 1 изображен случай, когда возмущающее ускорение довольно мало и движение, как видно, легко описать в терминах оскулирующих элементов (мало меняющийся за оборот эллипс). На рис. 2 нарисована ограниченная траектория для случая большого ускорения. Видно, что с оскулирующим эллипсом траектория не имеет ничего общего.
Движение космических аппаратов с двигателями малой тяги. Коль скоро зашла речь о движении космических аппаратов, снабжен-
ных двигателями малой тяги, стоит остановиться на этом вопросе несколько подробней. Для таких двигателей расход массы определяется значением интеграла по времени от квадрата реактивного ускорения т
/ = Jf2dt (Ирвинг и Блюм [8], Гродзовский, Иванов и Токарев [9]. Ста- Оf
вят задачу добиться такого управления реактивным ускорением 厶 чтобы значение / было минимальным. Уравнения оптимального в этом смысле движения в гравитационном поле U(xyz) имеют вид [10]
UxxUxyU XZ
7 — grad U =7t 7—好=。；/ =7 — grad U =7t 7—好=。；/ =^ух^ yy^yz UzxUzyU zz^ух^ yy^yz UzxUzyU zz(3.1)(3.1)
7 — grad U =7t 7—好=。；/ =
7 — grad U =7t 7—好=。；/ =
^ух^ yy^yz UzxUzyU zz
^ух^ yy^yz UzxUzyU zz
(3.1)
(3.1)
Для межпланетных перелетов, когда космический аппарат делает менее одного оборота вокруг Солнца, можно искать траекторию (Приближенно, линеаризируя уравнения (3. 1) около некоторой, подходящим образом выбранной, кеплеровской траектории, называемой транспортирующей (Белецкий, Егоров [10]). Линеаризированные уравнения имеют вид
P〕4p = f； f — Aof = 0, (3.2) где Ло——значение Л вдоль транспортирующей траектории.
Видим, что уравнение управления имеет такой же вид, как и однородная часть уравнения движения. Но эта однородная часть имеет решением вариацию кеплеровского движения и, следовательно, выражается в квадратурах. Тогда в аналогичных квадратурах выражается и вектор реактивного ускорения f. Это, в свою очередь, позволяет свести к квадратурам и неоднородное уравнение движения (3. 2). Таким образом, задача (3. 2) решается в квадратурах. Из этих соображений (и соображений размерности), между прочим, следует, что，в рассматриваемом приближении оптимальное управление вектором реактивного ускорения дается формулой
启+広一而， (3.3)
где Го — транспортирующая кеплеровская траектория, г*——кеплеровская траектория, параметры которой определяются краевыми условиями задачи, g ——ускорение ньютоновского тяготения на расстоянии R от центра притяжения (рис. 3).
Разгон космического аппарата двигателем малой тяги около планеты до параболической (и выше) скорости возможен лишь при очень большом количестве витков, сделанных аппаратом вокруг планеты. В этом случае оптимальное управление удовлетворительно аппроксимируется постоянным касательным ускорением. Любопытный класс траекторий с таким ускорением исследовал Д. Е. Охоцимский [11].
Интересные задачи разгона рассматривались и в случае неоптимального управления. Очень простым управлением является постоянный вектор ускорения, все время направленный к центру Земли. Такая задача интегрируется в эллиптических функциях, но при малых ускорениях не дает разгона. Однако если ускорение по определенной программе то включается, то выключается или попеременно меняет направление вдоль радиуса-вектора, то разгон можно получить (Петти [12], Пайевонский [13]). Действительно, в этом случае имеют место интегралы уравнений движения
, р = const, (3.4)
。2 =во + 2pf & — r0),(3.5)
а также соотношение
c2 =成 + (1 -g)(3.6)
где е ——эксцентриситет орбиты, р ——фокальный параметр, г — радиус орбиты, f — постоянное ускорение, vr — радиальная скорость. Все ве-
Рис. 3. ОптимальноеРис. 4. Схема изменения эксцентриситетауправление в линей-орбиты при переключениях постоянного радином приближенииального ускоренияРис. 3. ОптимальноеРис. 4. Схема изменения эксцентриситетауправление в линей-орбиты при переключениях постоянного радином приближенииального ускорения
Рис. 3. ОптимальноеРис. 4. Схема изменения эксцентриситета
управление в линей-орбиты при переключениях постоянного радином приближенииального ускорения
Рис. 3. ОптимальноеРис. 4. Схема изменения эксцентриситета
управление в линей-орбиты при переключениях постоянного радином приближенииального ускорения
личины обезразмерены. Нули в индексах указывают начальные значения. Из (3.6) видно, что всегда
済》(1_/『.(3.7)
Формулы (3.5) и (3.7) показывают изменение е? в функции от г и область реальных значений е? в движении (рис. 4). Видим, что если f = const, то е2' меняется вдоль прямой, например 1—2 и остается ограниченным, а если f в перигее и апогее меняет знак (или отключается на полвитка), то можно достичь значения 。2=1, т. е. разгона до параболической скорости, вдоль ломаных 1——2—3 или /——2——2'—3f.
Задача трех тел. Но самые удивительные открытия в космической баллистике были связаны с исследованием классической задачи трех тел, взаимно тяготеющих друг к другу по ньютоновскому закону тяготения^
Исследования движения планет и других тел солнечной системы, которыми занималась классическая небесная механика, были, как правило, несколько утилитарны — приспособленными к случаю орбит, лежащих почти в одной плоскости и мало отличающихся от круговых. Такой подход, конечно, был оправдан запросами астрономической практики. С запуском космических аппаратов приобрели интерес исследования, не накладывающие никаких ограничений на форму и взаимное расположение орбит. Так как орбита, как правило, на небольшом интервале времени мало отличается от кеплеровской, то очень интересно проследить эволюцию орбиты за достаточно большой кусок времени. Цикл работ в этом направлении выполнен М. Л. Ли- довым [14]. В исследованиях он широко пользовался асимптотическими методами нелинейной механики, а именно, методом усреднения по быстрым движениям и анализом получающейся усредненной системы дифференциальных уравнений. В небесной механике подобный подход, по-видимому, долгое время не котировался, но совершенно напрасно. Теоретические исследования последнего времени и сравнение с чис-
ленными расчетами показывают, что во многих интересных случаях метод осреднения дает очень хорошее описание явления, отражая основные особенности эволюционной картины. Применительно к ограниченной задаче трех тел постановка М. Л. Лидова выглядит так. На спутник действует притяжение центрального тела (пусть Земли) и возмущение внешней гравитационной точки (Луна или Солнце). Максимальное удаление гШах спутника от центрального тела много меньше большой полуоси а& возмущающего тела: гтахМб<<1； это позволяет рассматривать возмущающее ускорение с точностью до первых степеней указанного отношения. Далее, для исследования эволюции за большой интервал времени осредняем уравнения движения по периоду обращения спутника и независимо ——по периоду обращения внешнего тела. Тогда, как показал М. Л. Лидов, осредненные уравнения движения имеют следующие интегралы:
а = const(4.1)
(1—e2)cos2t =СХ(4.2)
с? /—sin2 з sin2 i) = C2,(4.3)
где а ——большая полуось, е ——эксцентриситет орбиты спутника, i——наклонение орбиты спутника к плоскости движения возмущающего тела, со ——долгота перигея.
Рис. 5. Схема эволюции параметров ограниченной задачи трех тел. Жирной линией изображены куски интегральных кривых, фактически проходимые в процессе эволюцииРис. 5. Схема эволюции параметров ограниченной задачи трех тел. Жирной линией изображены куски интегральных кривых, фактически проходимые в процессе эволюцииПри этом с течением времени е и f испытывают колебания. На рис. 5 дана картина интегральных кривых (4.2). В зависимости от значения С2 в реальном движении проходится не вся интегральная кривая, а ее часть. Видим, что если в начальный момент орбита близка к круговой (е 0) и слабо наклонена к плоскости возмущающего тела (Z ^ 0), то колебания будут малы; орбита устойчива. Со- всем другая картина получается при наклонениях, близких к 另• Видим, что тогда даже первоначально круговая орбита стремится к очень (сильно вытянутой (эксцентри-ситет стремится к величине, близкой к единице). Но при неизменной большой полуоси это может означать только то, что орбита(си』ь-
Рис. 5. Схема эволюции параметров ограниченной задачи трех тел. Жирной линией изображены куски интегральных кривых, фактически проходимые в процессе эволюции
Рис. 5. Схема эволюции параметров ограниченной задачи трех тел. Жирной линией изображены куски интегральных кривых, фактически проходимые в процессе эволюции
сил, безусловно, одно изсил, безусловно, одно изно сжимается. Это сжатие может быть столь 'сильным, что на одном из оборотов спутник врежется в центральное тело. М. Л. Лидов из любопытства 《пустил》нашу родную Луну поперек (плоскости эклиптики (т. е. плоскости возмущаемого тела —— Солнца). Такая 《Луна》упала на Землю через 55 оборотов (точный численный расчет; растет по приближенным формулам — 54 оборота). При сообщении этого факта, как правило, задают тревожный вопрос о судьбе настоящей Луны. Ответ: будет летать ъечно. Это следует приближенно из анализа М. Л. Лидова и более строго — из исследований В. И. Арнольда [15], [16], о которых я еще упомяну. Обнаружение возможности падения спутников на центральное тело за счет действия только гравитационных
сил, безусловно, одно из
сил, безусловно, одно из
самых сенсационных достижений космической баллистики. Еще несколько лет назад об этом не подозревали. Например, после запуска станции «Луна-3», фотографировавшей обратную сторону Луны, маститые уче- .ные в публичных лекциях утверждали, что «Луна-3» будет летать вечно
(поскольку перигей орбиты высокий и атмосфера не тормозит движение). А《Луна-3》неизбежно упала на Землю: её орбита была наклонена при» мерно на 90° к плоскости эклиптики.
В свете работ Лидова становится ясно, что расположение боль» шинства планет и спутников солнечной системы примерно в одной плоскости ——не случайно. Если и были планеты с сильно наклоненными орбитами, то такие планеты давно упали на Солнце. Правда, существуют спутники Урана с орбитами, сильно наклоненными к эклиптике. Лидов показал, что возмущения от сжатия центрального тела ——Урана ——спасли спутника Урана от гибели.
Анализ интеграла (4.3) и уравнений движения показывает, чго при С2 > 0 перигей меняется монотонно, а при С2 < 0 тоже может колебаться. Кроме того, монотонно меняется и положение узла орбиты. Такова в общих чертах эволюция спутника под действием гравитационного притяжения возмущающего тела.
Устойчивость солнечной системы. Говоря об эволюции движения гравитирующих тел, 'невозможно не упомянуть о блестящих достижениях А. Н. Колмогорова и В. И. Арнольда [15], [16] по теории динамических систем. С помощью этих, весьма общих, результатов останавливаться на которых здесь не место, Арнольду удалось доказать следующее: пусть отношения масс планет к массе центрального тела достаточно малы; пусть малы эксцентриситеты орбит и их наклонности. Тогда эксцентриситеты и наклонности вечно останутся малыми, а большие полуоси орбит вечно останутся вблизи своих начальных значений. Это верно для почти всех начальных условий. (Однако существует множество малой меры начальных условий, при которых такой устойчивости может и не быть).
Значение этого результата трудно переоценить. Вопросами устойчивости солнечной системы занимались многие выдающиеся матема-. тики в течение примерно двухсот лет. Однако их усилия не приводили к цели. Вот что писал об этой проблеме еще совсем недавно, в 1961 г., известный астроном Юсуко Хагихара [17]. «Проблема может быть сформулирована следующим образом. Каков тот интервал времени, по истечении которого данная конфигурация отклонится от современной на заданную малую величину? Современная математика едва ли позволяет дать удовлетворительный ответ на этот вопрос в отношении реальной солнечной системы». Между тем уже в том же 1961 г. В. И. Арнольд докладывал о своих фундаментальных результатах, являющихся крупнейшим шагом к решению этой проблемы.
Устойчивость относительного равновесия спутника на орбите. Остановимся теперь на некоторых вопросах движения космических аппаратов относительно их центров масс. Этот вопрос тоже имеет предысторию в классической небесной механике (теория либрации Луны, теория прецессии Земли). Однако по характеру действующих моментов сил и разнообразию начальных условий задача о движении спутников относительно их центров масс представляется более сложной. С другой стороны, новые методы математики позволяют получить новые результаты и в классических задачах.
Так, давно известно, что Луна влиянием гравитационных моментов стабилизирована на своей орбите в определенном положении относительно Земли. Такой же эффект выгодно использовать и для стабилизации искусственных спутников. В классической задаче устойчивость такого положения Луны исследовалась в линейной постановке, что, как стало понятным после трудов Ляпунова, не дает ответа на вопрос об устойчивости.
В 1959 г. было впервые опубликовано [18] проведенное еще в 1956——1957 гг. строгое в смысле Ляпунова исследование этого вопроса.
Результат таков: возможно такое движение, когда центр масс спутника движется по круговой орбите вокруг центра притяжения, а главные центральные оси инерции спутника расположены по радиусу- вектору, касательной к орбите и нормали к плоскости орбиты. Это движение устойчиво, если по радиусу-вектору нагТравлена большая ось эллипсоида инерции спутника, по нормали к плоскости орбиты —— меньшая ось и, следовательно, по касательной ——средняя ось.
Если орбита не возмущается, то указанное условие устойчивости немедленно следует из интеграла уравнений движения:
十(/卢十 В严+ С乃 + 告炉{(4-C)V2+(B - С)，} +
+ ^{(В-А)^+(В-С) Г2} = %,(6.1)
где Л, В, С — главные центральные моменты инерции тела,① ——угловая скорость движения центра масс тела. В относительном равновесии относительные угловые скорости р, q, г равны нулю, так же как и направляющие косинусы р, 0〃, у, У； при этом по нормали к плоскости орбиты направлена ось момента инерции В, а по радиусу二вектору ось момента инерции С. Положительная определенность этого интеграла при В > А> С и дает указанные выше достаточные условия устойчивости относительного равновесия. В интеграле (6.1) вторая скобка ——потенциал гравитационных моментов, третья скобка ——потенциал центробежных моментов.
В силу положительной определенности (6.1) имеют место неравенства:
3 [(Д — С) ?2 + 0 - С”、& 2自/吟(6.2)
(В — А)^+(В — С)Р〃2《2九o/吟(6.3)
3 (4 — С) ?2 +(5 — Л)俨 < 2瓦心2(6.4)
Рассмотрим, например, (6工). Так как у, у', у〃 суть направляющие косинусы радиуса-вектора г в системе %', у', 2’ главных центральных осей инерции спутника, то、неравенство (6.2) вместе с равенством у+『？ +?〃2= 1(6.5)
дает области возможного движения радиуса-вектора 7 на единичной сфере (6.5), причем в этом случае трехграннику у, V，у〃 соответствует совпадающий с ним трехгранник xry7zr. Так как цилиндрические области (6.2) высекают в сфере (6.5) кривые, симметричные меридиану у2 + у，2 = 1, то достаточно рассмотреть проекции областей движения на плоскость у, у'. Вид, размеры и расположение областей (6.2) на этой плоскости полностью характеризуют вид, размеры и расположение областей (6.2) на сфере (6.5). В этой плоской модели точке yz = 1, у = 0 соответствует расположение г по наименьшей оси эллипсоида инерции (у‘)； точке у，= 0, у=1 ——расположение г по оси %，(средняя ось эллипсоида) ;наконец, точке у'=0, у = 0 соответствует расположение г по наибольшей оси (/) эллипсоида инерции спутника. Превращение неравенства (6.2) в равенство дает границы областей либрации.
Аналогично (6.3) вместе с 俨+В"=1 описывает области движения нормали п к плоскости орбиты относительно главных центральных осей инерции спутника %', /, z'. При этом точке 0〃 = 1, 0 = 0 соответствует совпадение n с z‘， точке 0〃 = 0, В = 1 ——совпадение ^
с х\ точке 0〃 = 0, р = 0 совпадение п с у'. Наконец, (6.4) вместе с 02 十 丫2 = 1 дает области движения средней оси инерции %’ относительно орбитальной системы т, п, г (т ——вектор касательной к орбите). Точке р = 1, у = 0 соответствует совпадение %' с % точке 0 = 0, у= 1 ― совпадение %’ с т, точке 0 = 0, у = 0 совпадение х7 с т. Одновременное рассмотрение выписанных соотношений дает достаточно полное представление о границах либраций несимметричного спутника. Эти границы представим в виде эллипсов внутри единичных кругов. Областью возможного движения является область 《внутри》 соответствующего эллипса (т. е. область, содержащая в себе начало координат).
Размеры областей при фиксированных А, В, С определяются значением /г。. Если, например, имеются некоторые начальные отклонения в плоскости орбиты, определяющие значение /г。*, а начальные отклонения от плоских колебаний сколь угодно малы, все равно область возможных поперечных колебаний будет конечной и определяемой указанным значением 瓦*・
При фиксированных Ао вид и размерь】 областей возможного движения определяются отношением моментов инерции. Рассмотрим, какие тут предоставляются возможности. Введем обозначения
С、 вг 2А0
S = — о =——； й П ——.
AA8炉
По физическому смыслу моментов инерции и в силу условия устойчивости В > Д > С имеем:
В—s> 1, s< 1, 3> 1.(6.6)
Зафиксируем Л и рассмотрим некоторые примеры. Пусть 6=1,1; £ = 0,2. На рис. 6 изображены области возможного движения для этого случая (заштрихованы области, соответствующие значению V й = 0,1). Отметим, что если обозначить /之‘厂二①乞一，^пу7 = Фпу ^xzt = Фх ч , то максимальные возможные отклонения этих углов даются формулами
I sin Ф2>| =агУ 7F , |sin ①心丨=а九，五，
I sin ①I & J7r h , если В — Л > 3(Л — С),
или а九 l/" h , если В — 24 V 3 (4 — С),
Угол ①характеризует движение по тангажу, а углы Фх^ и Фпу7—поперечные колебания. По рис. 6 видно, что весьма умеренные колебания по тангажу могут сопровождаться очень значительными поперечными колебаниями. В самом деле, в этом случае имеем: ап = 4,889, так, что если максимальное отклонение по тангажу аг
①？ ％ = 5。，то по крену может быть отклонение 〜21°.
Наличие достаточно широкой области возможного движения не означает, что обязательно произойдет раскачка в колебаниях до границ этой области. Утверждается лишь, что при некоторых соотношениях параметров такая раскачка может произойти. Конкретный механизм такой раскачки связан с соизмеримостью частот пространственных колебаний спутника. Численными расчетами Кэйн [19] обнаружил
такую раскачку поперечных колебаний, а Брэквилл и Прингль [20] исследовали эти резонансные эффекты асимптотическими методами.
На рис. 7 и 8 приведены заимствованные из [19] графики поведения по времени угла Фпуг соответственно для резонансного и нерезонансного случаев при одинаковых начальных возмущениях. Видим, что
Рис. 6. Области возможного движения гравитационно-устойчивого спутника для трех значений постоянной 九：а—области возможного движения радиуса вектора орбиты относительно главных центральных осей инерции спутника; б—области возможного движения нормали к плоскости орбиты относительно тех же осей; в—области возможного движения средней оси инерции спутника относительно орбитального трехгранникаРис. 6. Области возможного движения гравитационно-устойчивого спутника для трех значений постоянной 九：а—области возможного движения радиуса вектора орбиты относительно главных центральных осей инерции спутника; б—области возможного движения нормали к плоскости орбиты относительно тех же осей; в—области возможного движения средней оси инерции спутника относительно орбитального трехгранника
Рис. 6. Области возможного движения гравитационно-устойчивого спутника для трех значений постоянной 九：
а—области возможного движения радиуса вектора орбиты относительно главных центральных осей инерции спутника; б—области возможного движения нормали к плоскости орбиты относительно тех же осей; в—области возможного движения средней оси инерции спутника относительно орбитального трехгранника
Рис. 6. Области возможного движения гравитационно-устойчивого спутника для трех значений постоянной 九：
а—области возможного движения радиуса вектора орбиты относительно главных центральных осей инерции спутника; б—области возможного движения нормали к плоскости орбиты относительно тех же осей; в—области возможного движения средней оси инерции спутника относительно орбитального трехгранника
в резонансном случае первоначально малые колебания возрастают до 〜20°, а в нерезонансном остаются малыми.
Таким образом, почти одинаковым по размерам областям возможного движения （и при одном и том же значении 九）могут соответство-
Рис. 7. Поперечные колебания на круговой орбите в резонансовом случаеРис. 7. Поперечные колебания на круговой орбите в резонансовом случаеВ —С①（°）= °，°1 ра°； —я—=仇 9;В —С①（°）= °，°1 ра°； —я—=仇 9;Рис. 8. Поперечные колебания на круговой орбите в нерезонансном случаеРис. 8. Поперечные колебания на круговой орбите в нерезонансном случаеВ —С ①句，（°）= °，°1 必/； —一 = °,95；В —С ①句，（°）= °，°1 必/； —一 = °,95；А —ВА —ВА —ВА —В—-0,5-—-0,5-
Рис. 7. Поперечные колебания на круговой орбите в резонансовом случае
Рис. 7. Поперечные колебания на круговой орбите в резонансовом случае
В —С
①（°）= °，°1 ра°； —я—=仇 9;
В —С
①（°）= °，°1 ра°； —я—=仇 9;
Рис. 8. Поперечные колебания на круговой орбите в нерезонансном случае
Рис. 8. Поперечные колебания на круговой орбите в нерезонансном случае
В —С ①句，（°）= °，°1 必/； —一 = °,95；
В —С ①句，（°）= °，°1 必/； —一 = °,95；
А —В
А —В
А —В
А —В
—-0,5-
—-0,5-
вать как весьма малые колебания, лежащие глубоко внутри области возможного движения, так и ——в случае резонансного соотношения между моментами инерции ——колебания, доходящие до границ области возможного движения.
Разумеется, наличие таких резонансов не нарушает доказанной ранее [18] устойчивости по Ляпунову относительного равновесия спут-
ника： в самом деле, как в нерезонансном, так и в резонансном случае всегда можно выбрать столь малое h, что амплитуды колебаний не превзойдут наперед заданной величины.
Рассмотрим для примера еще случай: 5=1,9; £ = 0,9.
—=1,75.Возникает вопрос, нельзя ли выбрать—=1,75.Возникает вопрос, нельзя ли выбратьтакие моментытакие моментыВ этом примере в противоположность предыдущему умеренные колебания относительно нормали к плоскости орбиты сопровождаются более существенными колебаниями по тангажу и относительно касательной к орбите:
—=1,75.
Возникает вопрос, нельзя ли выбрать
—=1,75.
Возникает вопрос, нельзя ли выбрать
такие моменты
такие моменты
спутника, чтобы при фиксированном 九 была гарантированаспутника, чтобы при фиксированном 九 была гарантированаРнс. 9. Определение инерционных параметров оптимально устойчивого спутникаРнс. 9. Определение инерционных параметров оптимально устойчивого спутникаинерции некая равномерная «умеренность» всех колебаний спутника* Назовем спутник с отношением моментов инерции £ = £*, 6 = 5* оптимально-устойчивым, если при фиксированном значении безразмерной константы энергии 九 эти отношения моментов инерции обеспечивают минимум максимального размера области возможного движения. Так как максимальные размеры области движения определяются либо величиной “力 либо ап [18], то дело_ сводится к нахождению min шах (〃乃“九).Рассмотрим на плоскости 8, 6 область (6.6). Эта область делится прямой 6 + 3е=±на две части; выше этой прямой а^< ап и минимизировать нужно 〃乃 как наибольшую из двух величин 〃乃 ап. Ниже указанной пря-
спутника, чтобы при фиксированном 九 была гарантирована
спутника, чтобы при фиксированном 九 была гарантирована
Рнс. 9. Определение инерционных параметров оптимально устойчивого спутника
Рнс. 9. Определение инерционных параметров оптимально устойчивого спутника
мой а^〉〃^и минимизировать следует ап.
На рис. 9 изображены в соответствующих подобластях изолинии ап = const и 〃т = const. —_
Видим, что минимуму аг в «верхней» подобласти к минимуму ан в «нижней» подобласти соответствует одна и та же точка: пересечение прямой 6 +За =4 с границей 6 — s = 1 области (6.6). Этому пересечению соответствуют значения е = 0.75; 6 = 1,75.
Таким образом, оптимально-устойчивым является спутник с отношением моментов инерции
3*:4* : С* = 1,75: 1 :0,75. (6,7)
Отношение моментов инерции (6.7) возможно лишь для спутника, вырожденного в диск. Фактически следует подразумевать реальный спутник с отношением моментов инерции, близким к (6.7).
Нелинейные эффекты в относительных колебаниях спутника. Существенные нелинейные эффекты в колебаниях спутника около рассмотренного в предыдущем параграфе положения могут возникнуть как на круговой орбите за счет так называемых внутренних резонансов [19], [20], так и за счет влияния эллиптичности орбиты [20][24].
На рис. 10, заимствованном в измененном и дополненном виде из [20], приведены резонансные кривые как в области устойчивости относительного равновесия на круговой орбите, так и в малой области, 48
где выполнены лишь необходимые условия устойчивости. На этом рисунке 九 1 и 九2, как в [21] и [22], означают безразмерные частоты малых поперечных колебаний на круговой орбите, а 入з ——безразмерная частота продольных малых колебаний на круговой орбите.
-Рис. 10. Резонансные кривые в плоскости инерционных параметров-Рис. 10. Резонансные кривые в плоскости инерционных параметров
-Рис. 10. Резонансные кривые в плоскости инерционных параметров
-Рис. 10. Резонансные кривые в плоскости инерционных параметров
/—лш1ии внутреннего резонанса на круговой орбите: 1）入3=入2—入i； 2）入з=2入i；3）入3=入1十入2；2—линии пространственного резонанса на эллиптической
орбите: 4）入尸 1 + 入2； 5）入i=丄；3—линии плоского резонанса на эллиптичес-
2
кой орбите: 6）入з=——；7）入з=1; 8 入з=резонанс второго порядка
24
Рассмотрим, например, следуя Брэквиллу и Принглю [20], резонансные эффекты при нелинейных пространственных колебаниях на круговой орбите.
Решение линейных уравнений можно привести к виду
少='/产・ sin% （с + 也）； q = ± 丿予 sinlj （т 土 Pi）;
皿=皿=丄— sin 入 2 （T + 02）.丄— sin 入 2 （T + 02）.
皿=
皿=
丄— sin 入 2 （T + 02）.
丄— sin 入 2 （T + 02）.
Здесь гр ——угол тангажа, а т）1 и т）2 ——углы, линейные комбинации которых дают углы крена и рысканья. Знак 《минус》 соответствует колебаниям в области необходимых условий устойчивости. Будем искать решения нелинейных уравнений в малой окрестности резонанса в таком же виде, только величины «л 0f будем считать медленно меняющимися функциями времени.—
Рассмотрим, например, окрестность Аз = 2九i + е в резонансной кривой 入з = 2九 1. Тогда уравнения первого приближения （в смысле асимптотического метода Крылова ——Боголюбова） имеют относительно переменных
0* 入 3 О* 2%10 + 8Т
@3, ₽3, а1%, 01=
人 з
следующие два первых интервала
（7.1）（7.1）Н* = -у1 々aj,}/ % cos入3 （Вз + Pi） +«1 — Яо,
（7.1）
（7.1）
内 土 % = e.
Здесь k ——постоянная, зависящая от моментов инерции. Пусть Ф = &з(0з 土 Р]*)- Тогда из (7.1) имеем:
% ± £
cos Ф =厂(7.2)
а； |/士 (С — а；)
что позволяет построить интегральные кривые в плоскости а； Ф и исследовать движение. На рис. 11 для верхнего знака (7.2) интегральные кривые построены для двух случаев: | s [ > )/ С и |s|< К С. В первом случае, как видим, первоначально малые колебания амплитуды а】* остаются малыми. Если 冋，т. е. расстройка частот колеба-
a)叨,
Рис. 11. Амплитудно-фазовая характеристика движения в области достаточных условий устойчивости: а—нерезонансный случай; б—резонансный случай
ний с резонансными, достаточно малы, то первоначально малые колебания а； становятся существенными с течением времени, если только С и а^ не очень мала. Иначе говоря, начальные, отклонения в угле тангажа могут вызвать (в резонансном случае) большие отклонения
Рис. 12. Амплитудно-фазовая характеристика движения в области необходимых условий устойчивости: а—нерезонансный случай; б—резонансный случай
первоначально малых углов крен ——рысканье. Этот факт уже отмечался выше. . *
Рассмотренный случай соответствует движению в области выполнения достаточных условий устойчивости. В области выполнения необходимых условий в формулах (7.1), (7.2) нужно брать нижний знак. Оказывается, как и раньше, что при достаточно больших рассогласованиях |е/ с резонансной частотой движение может остаться ограниченным (рис. 12, а), но при очень малых по сравнению с ]/С(но конеч- 50
Hbix) 卜]ограниченных движений в рассматриваемом приближении не будет (рис. 12, б). При этом одновременно увеличиваются и угол крена (рысканья) и угол тангажа. Тем самым показано наличие внутри области необходимых условий устойчивости 'подобластей неустойчивости——факт очень интересный с точки зрения теории устойчивости.
Аналогичными методами исследуются нелинейные эффекты, обусловленные эллиптичностью орбиты [20], [21], [22].
Отметим, что на эллиптической орбите относительного равновесия не существует и, например, уравнение колебаний в плоскости орбиты имеет вид [18]
(1 + ocos v)6〃 一 2esiny" + n2 sin 8 = 4csinv 3 = 20. (7.3)
спутника и радиусом-вектором^ от перигея орбиты, е< 1—эксцен- |п2| < 3 — параметр гравитацион-спутника и радиусом-вектором^ от перигея орбиты, е< 1—эксцен- |п2| < 3 — параметр гравитацион-роль играютроль играютустойчивые периодичеустойчивые периодичеРис. 13. Области устойчивости и неустойчивости плоских периодических колебаний на эллиптической орбитеРис. 13. Области устойчивости и неустойчивости плоских периодических колебаний на эллиптической орбитеЗдесь 0 — угол между осью V―'полярный угол, отсчитанный триситет орбиты, ” = 3 ——, ного момента. Здесь важнейшую
спутника и радиусом-вектором^ от перигея орбиты, е< 1—эксцен- |п2| < 3 — параметр гравитацион-
спутника и радиусом-вектором^ от перигея орбиты, е< 1—эксцен- |п2| < 3 — параметр гравитацион-
роль играют
роль играют
устойчивые периодиче
устойчивые периодиче
Рис. 13. Области устойчивости и неустойчивости плоских периодических колебаний на эллиптической орбите
Рис. 13. Области устойчивости и неустойчивости плоских периодических колебаний на эллиптической орбите
ские решения; периодические решения дают наименьшее отклонение от радиуса-вектора, что важно для ориентации спутника. Уравнение (7.3) привлекло внимание многих авторов. Наиболее подробные результаты описаны в совместной работе В. А. Златоустова, Д. Е. Охоцим- ского, В. А. Сарычева, А. П. Торжевско- го [24]. Результаты, полученные численными методами, изложены на рис 13, где на плоскости параметров е, п2 заштрихованы области устойчивости двух 2 л-периодических решений. Всего существует три 2 л-периодических решения, но третье — неустойчиво.
Быстрые вращения спутника относительно центра масс. Если кинетическая энергия вращения спутника велика
по сравнению с ра.ботой моментов внешних сил, то движение спутника близко к невозмущенному движению Эйлера ——Пуансо, но с течением времени возмущения могут накапливаться и приводить к сильному отклонению движения от первоначального. Анализ таких движений уд об-* но проводить асимптотическими методами теории нелинейных колебаний (в современной интерпретации этих методов). При этом важную роль играет выбо>р переменных для исследования движения. Пусть, например, спутник динамически симметричен, а моменты возмущающих сил определяются силовой функцией 匕 зависящей от положения оси симметрии спутника и его орбитального движения. Удобной для исследований формой уравнений движения будет -следующая -система [22]:
工「а； р叱 COSP—里
dWL sin р I О里“ do
(8.1)(8.1)*1 dU 亩 L I ( dU . I W 4
(8.1)
(8.1)
cos 0 = -^; 0 = 0,
4*4*где L, p, о ——величина вектора кинетического момента и две его угловые координаты, 4r — угол прецессии, т. е. угол поворота оси
4*
4*
5Е
спутника вокруг вектора кинетического момента, 0 — угол между осью симметрии и вектором кинетического момента, Сг — осевая составляющая кинетического момента. В невозмущенном движении (U = 0) величины 厶，р, о, 0, Cr, 4r постоянны. Возмущенное движение удобно исследовать, усреднив уравнения (6.3) по быстрой фазе 屮： 屮 является быстрой переменной, так по условию ^ >> 吧*旧.
Такое усреднение дает:
上=Lo; cos 0 = cos 00;
+黑 ctge},(8.2)
где U = -у- j Ud* кроме того, о
*1 dU .*1 дй只 &
Ao sin p doLo sin p °P
т. e. задача свелась к исследованию канонической системы (8.3) всего двух уравнений.
Иначе говоря, в рассматриваемом случае в возмущенном движении тело совершает почти регулярную прецессию (8.2) вокруг постоянного по величине вектора кинетического момента, который медленно меняет направление в пространстве согласно уравнениям (8.3). Под этот случай попадает большое количество важных для практики движений.
В аналогичных случаях для трехосного спутника движение относительно L будет близким к движению по Эйлеру——Пуансо, а вектор кинетического момента медленно движется в пространстве, как это показано, например, Ф. Л. Черноусько [25], для случая гравитационных возмущений.
Таким образом, при решении задач космической баллистики с успехом нашел свое применение богатый арсенал современных методов исследований и современной вычислительной техники. Использованию этого арсенала космическая баллистика в значительной степени обязана получением своих результатов. С другой стороны, новые задачи, поставленные космической баллистикой, способствовали новому развитию методов исследования.
Литература
Аксенов Е. П.. Гребенников Е А., Демин В. Г. Сб. «Искусственные спутники Земли》，вып. 8, М., 1961.
Брауэр Д., Клеменс Дж. Методы небесной механики «Мир», М., 1964.
V i n t i J. Р. J. Res. Nat Bur Standarts, 63 В, 1959, 2.
К и с л и к М. Д. Сб. «Искусственные спутники Земли», вып. 4, М., 1960.
Алексеев В. М., Бюлл. ИТА, 1965, № 4.
N i t а М. М. Revue de Mecanique Applique, VI, 1961, Nr. 2.
Белецкий В. В. «Космические исследования», т. II, вып. 3, 1964.
I г V i nig J. Н., Blum E. К. Vistas in Astronaut, vol. II, 1959, N. Y.
Гродзовский Г. Л., Иванов Ю. Н., Токарев В. В. ДАН СССР, т. 137, 1961, № 5.
Белецкий В. В., Егоров В. А. «Космические исследования» т. II, вып. 3, 1964
О х о ц и м с к и й Д. Е. «Космические исследования», т. II, вып. 6, 1964.
Р е 11 у С. М. J. Amer. Rock. Soc., vol. 33, 1961, N. 9.
Paiewonsky В. X. Internal. Astronaut. Congr., London, 1959.
Лидов M. Л. Сб. «Проблемы движения искусственных небесных тел». Изд. АН СССР, М., 1961.
Арнольд В. И. Успехи математических наук, т. XVIII, вып. 5 (113), 1963.
Арнольд В. И. Успехи математических наук, т. XVIII, вып. 6 (114), 1963.
Хагихара Ю. В кн. «Планеты и спутники». ИЛ., 1963.
Белецкий В. В. Сб. «Искусственные спутники Земли», вып. 3, М., 1959.
К a n е Т. R. AIAA J., vol. 3, 1965, No 4.
В е a k w е 11 J. V., Pr ingl R., Jr. Доклад на XV конгрессе международной федерации астронавтики. Афины, 1965.
Белецкий В. В. Сб. «Искусственные спутники Земли», вып. 16, М., 1963.
Белецкий В. В. Движение искусственного спутника относительно центра масс. М., «Наука», 1965.
Черноусько Ф. Л. Вычислительная математика и математическая физика, т. 3, 1963, № 3.
Златоустов В. А., Охоцимский Д. Е., Сарычев В. А., То р же в- с к и й А. П. «Космические исследования», т. II, вып. 5, 1964.
Черноусько Ф. Л. «Прикладная математика и механика», т. XXVII, вып. 3, 1963.
Г. Д. БЛЮМИН
СОВРЕМЕННОЕ СЬСТОЯНИЕ ПРИКЛАДНОЙ ТЕОРИИГИРОСКОПОВ И ТРЕБОВАНИЯ, ПРЕДЪЯВЛЯЕМЫЕ ЕЮК КУРСУ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
На протяжении двух послевоенных десятилетий гироскопические устройства получили огромное распространение; они применяются в самых различных областях военной и гражданской техники. В связи с этим интенсивно развивалась прикладная теория гироскопов, которую в современном ее состоянии было бы точнее называть «теорией гироскопических устройств». Примерно так и называются курсы, читаемые во многих вузах.
Эта дисциплина впитала в себя многие результаты и методы не только механики, но теории автоматического регулирования, теории колебаний и других наук. И все же ядром ее остается прикладная теория гироскопов, являющаяся по своему существу разделом механики. Естественно, поэтому потребовать, чтобы курс теоретической механики давал будущим специалистам . известную подготовку к изучению «теории гироскопических устройств».
Настоящая статья не ставит своей целью дать подробное описание современного состояния прикладной теории гироскопов, да и едва ли это можно сделать в одной статье. Мы полагаем, что для суждения о требованиях, которые следует предъявить к курсу теоретической механики, достаточно выбрать и коротко осветить лишь некоторые основные проблемы прикладной теории гироскопов, более характерные для современного ее состояния и притом имеющие наибольшее отношение к теоретической механике.
К таким проблемам отнесем следующие: 1. Свободный гироскоп. 2. Условия невозмущаемости гироскопических систем. 3. Навигация с помощью инерциальных гироскопических систем.
Свободный гироскоп. Гироскоп называют свободным, если центр тяжести его совмещен с точкой опоры (неподвижной точкой) и никаких других сил, кроме сил веса, к нему не приложено. Наиболее известной технической реализацией свободного гироскопа является гироскоп в кардановом подвесе, схематически изображенный на рис. 1.
Если центры масс рамок и гироскопа (/) совпадают с точкой пересечения осей внутренней 2 и наружной 3 рамок, а трение в подшипниках отсутствует, гироскоп будет свободным. Существуют многие другие модификации свободного гироскопа, например шаровой гироскоп на аэродинамическом подвесе, гироскоп на магнитном подвесе и другие.
Основная функция свободного гироскопд, используемая в технике,——сохранять неизменным направление оси собственного враще-
Рис. 2Рис. 2
Рис. 2
Рис. 2
ния (на рис. 1 это ось г). Проблема свободного гироскопа состоит в том, чтобы создать гироскопический прибор, в наибольшей степени приближающийся к идеальной модели свободного гироскопа. Качество реального прибора определяется той угловой скоростью, с которой ось ротора отклоняется с течением времени от заданного ей направления. Чем меньше эта скорость (называемая уходом или дрейфом) ,тем выше качество гироскопа, тем ближе он к идеальной модели свободного гироскопа. По современным представлениям уход гироскопа, исчисляемый десятыми долями градуса в час, считается удовлетворительным. По сообщениям американских авторов в США имеются гироскопы, скорость ухода которых не превышает сотых долей градуса в час, и находятся в процессе создания гироскопы со скоростью ухода в тысячные доли градуса в час. ,
На первый взгляд может показаться, что, по крайней мере с точки зрения теоретической, создание свободного гироскопа ——задача не сложная, так как сводится лишь к тому, чтобы уменьшить трение в подшипниках и точной балансировкой совместить центр тяжести гироскопа и рамок с точкой подвеса. Однако в действительности дело обстоит гораздо сложней.
Укажем лишь на две задачи из области механики, возникшие в связи с проблемой свободного гироскопа.
Первая из них ——задача о влиянии инерции колец карданова подвеса на движение гироскопа.
С точки зрения механики, гироскоп в кардановом подвесе представляет собой систему трех твердых тел, связанных между собой и с корпусом прибора: собственно гироскопа (ротора), внутренней рамки (обычно имеющей вид закрытой камеры) и наружной рамки.
Впервые полные уравнения движения этой системы, учитывающие массу не только ротора, но и колец, составил профессор Николаи [2].
Движение гироскопа отнесено им к некоторому неподвижному трехграннику 自，”，匕(рис. 2); с камерой гироскопа или внутренней рамкой связаны оси х, у, г (ось n направлена по оси собственного
©ращения гироскопа, ось у совпадает с осью внутренней рамки). По* ложение нашей механической системы полностью определяется углом а поворота внешней рамки, углом |3 поворота внутренней рамки относительно внешней и углом ”' поворота ротора относительно камеры. Для ^получения полной системы дифференциальных уравнений Е. Л. Николаи составил три уравнения моментов:
относительно оси z для одного гироскопа;
относительно оси у для системы гироскоп + внутренняя рамка;
относительно оси g для системы гироскоп + внутренняя рамка + внешняя рамка.
Таким образом, при некоторых упрощающих допущениях им были лолучены следующие уравнения движения быстро вращающегося гироскопа.
[(Л + XJ cos2P + С] sin2 В + /2] а + "В cos § =.强；
(1)
(А + 50 В — На cos § = Му.
Кроме упомянутых выше, здесь приняты следующие обозначения: А, С—-экваториальный и полярный моменты инерции гироскопа.
Ль Bi, Ci ——моменты инерции внутренней рамки относительно осей х, у, z — соответственно, Л2 — момент инерции внешней рамки относительно реи 自.
М^ , Му ——моменты внешних сил относительно осей внешней и внутренней рамок.、
Н = CW ——собственный кинетический момент гироскопа.
Упомянутые выше допущения сводились к следующему: ввиду того что 屮》а,屮》|3 слагаемыми, содержащими а и |3, пренебрегали в сравнении с членами, содержащими 4f. Кроме того, полагалось, что угловая скорость 4r собственного вращения гироскопа постоянна и, следовательно, // = constant. Мы видим, что движение гироскопа описывается сложными нелинейными уравнениями, точное интегрирование которых практически невозможно. Однако в практических случаях могут быть сделаны дальнейшие существенные упрощения, позволяющие проинтегрировать уравнения или, по крайней мере, судить по ним о характере движения гироскопа.
Эти упрощения идут в двух направлениях. Во-первых, можно пренебречь массой рамок и, кроме того, пренебречь экваториальной составляющей кинетического момента ротора. Иными словами, положить, что кинетический момент всей системы равен Н и направлен по оси г. Такая постановка вопроса приводит к так называемой элементарной или прецессионной теории гироскопа. Математически это означает отбрасывание в левых частях (1) слагаемых, не содержащих множителя Н.
Уравнения (1) приобретают тогда вид
-"8 COS В =帐；
(2)
—"a cos В — Му,”
откуда тотчас следует, что при отсутствии внешних моментов <М U = Му = 0) ось гироскопа остается неподвижной (а = р = 0).
Во-вторых, можно, не пренебрегая массой рамок, рассмотреть лишь малые движения оси гироскопа около первоначально заданного ей по-
ложения, определяемого углами а。, ₽о- Тогда получим линеаризированные уравнения:
Лоа + "В cos В。=
(3>
Вор + На cos 00 = /Ир,
где Ло, Во ——моменты инерции всей системы относительно осей 自 н у при первоначальном положении системы. Если М^ = Му = 0, получим, что при наличии начального импульса система будет совершать гармонические колебания (нутации) с частотой
入 "ccs 仇.(4)
Для -реальных гироскопов частота нутаций весьма высока, а амплитуда мала; к тому же трение в подшипниках, как бы оно не было мало, быстро гасит эти колебания. Поэтому до сравнительно недавнего времени полагалось, что инерция карданных колец лишь вызывает мелкие быстро затухающие дрожания оси, но не порождает систематического ухода гироскопа.
Однако в 1955 г. Магнус [3], [4], учитывая нелинейные члены уравнений/ получил, что при известных условиях нутационные колебания порождают систематический уход оси гироскопа.
Если, например, сообщить ему начальную скорость а0 вокруг оси внешней рамки, то средняя скорость а будет равна:
а =а =(<2 + &) ао2" cos р0(<2 + &) ао2" cos р0tg₽o-tg₽o-(5)(5)
а =
а =
(<2 + &) ао2" cos р0
(<2 + &) ао2" cos р0
tg₽o-
tg₽o-
(5)
(5)
Как видим из формулы (5), средняя скорость ухода равна 0, если в начальном положении ось г гироскопа перпендикулярна оси М₽о = О).
Динамика астатического гироскопа , к числу которых относится и свободный гироскоп, получила развитие в многочисленных работах советских ученых [2], [7], [8], изучавших различные факторы, вызывающие уходы гироскопа.
Вторая из названных выше задач ——о влиянии на уход гироскопа упругости его подвеса. Если основание, на котором установлен гироскопический прибор, вибрирует, то вследствие упругой податливости подвеса (оси, подшипников) центр масс гироскопа будет смещаться относительно точки опоры и, следовательно, может появляться момент сил инерции и веса гироскопа относительно точки опоры.
Казалось бы, что вследствие периодического характера вибраций этот момент также должен носить периодический характер и, следовательно, он может порождать лишь весьма малые колебания оси гироскопа, но не систематический уход его. Однако в действительности наблюдается то и другое, причем скорость ухода может достигать больших величин.
Объяснение этого явления, впервые данное акад. А. Ю. Ишлин- ским [1], заключается в следующем.
Будем рассматривать гироскоп как тяжелую массу, подвешенную на двух пружинах (рис. 3, а), одна из которых имитирует радиальную, а другая — аксиальную упругость подшипников ротора.
При неодинаковой 'жесткости этих пружин смещение центра масс гироскопа под действием переносной силы инерции, порождаемой
вибрацией основания, будет происходить не параллельно линии действия этой силы.
Пусть, например, вибрация основания происходит в направлении АВ, тогда и сила инерции направлена вдоль 45, меняя лишь свое
направление каждый полупериод вибраций. Если в первый полупериод вибраций центр масс сместится в положение С\ (рис. 3, б), то в следующий полупериод сила инерции переместит его в положение С2 (рис. 3,6), Как хорошо видно на рисунке, хотя сила 'инерции меняет свое направление, момент ее Мц относительно точки подвеса 0 будет всегда направлен против часовой стрелки.
Детальное рассмотрение вопроса показывает, что момент сил инерции, являясь величиной периодической, имеет постоянную составляющую, которая и порождает постоянную по направлению скорость ухода гироскопа.
Для случая, когда учитываются только упругость подшипников самого ротора, может быть получена следующая формула, определяющая среднюю скорость ухода а гироскопа:
a и不不?2)
где р и а ——частота и амплитуда вибраций;
Сх, Су ——жесткость подшипников в радиальном и аксиальном направлениях;
",т — кинетический момент и масса ротора.
Как видно из формулы (6), только в случае равножесткой конструкции ротора (Сх = С/, уход, порождаемый вибрацией, обращается в нуль.
Аналогичные выводы получаются при рассмотрении более общих случаев упругости элементов конструкций гироскопических приборов.
Проблема невозмущаемости гироскопических систем. Суть проблемы невозмущаемости можно пояснить на примере физического маятника, установленного на каком-либо объекте, движущемся по Земле.■
Известно, что физический маятник может служить указателем вертикали. Однако если точка опоры маятника движется с ускорением, маятник отклоняется от вертикали. В этом случае говорят: «ускорение возмущает маятник». Сделать маятник невозмущаемым значит подобрать его параметры (массу, расстояние от точки опоры до центра тяжести, момент инерции) так, чтобы он не отклонялся от вертикали при любом характере движения его точки опоры.
Однако разрешима ли принципиально подобная задача? Ведь отклонение маятника обусловлено его инерцией, устранить которую не-
возможно. Оказывается, что теоретически и приближенно она разрешима.
Задача невозмущаемости была впервые поставлена и решена немецким ученым Максом Шулером в 1923 г. [5] применительно к трем механическим приборам, изображенным на рис. 4; к физическому маятнику (рис. 4, а) гироскопическому маятнику и простейшему однороторному гирокомпасу *.
Гироскопический маятник, изображенный на рис. 4, 6, представляет собой физический маятник, внутри которого размещен гироскоп с вертикальным расположением оси вращения. Такой прибор может
Рис. 4
служить указателем вертикали подобно физическому маятнику с той, эднако, существенной разницей, что при одинаковых размерах период колебания в гироскопическом маятнике гораздо больше, чем в физическом.
Изображенный на рис. 4, 6 однороторный гирокомпас представляет собой сферический маятник, снабженный гироскопом с горизонтально расположенной осью вращения. Такой прибор обладает свойством устанавливаться в пространстве таким образом, что ось гироскопа указывает на север. Все эти приборы подвержены возмущающему воздействию ускорений: физический и гироскопический маятники отклоняются от вертикали, а гирокомпас отклоняется от направления на север.
Результаты Шулера сводятся к известной, названной его именем теореме, которую в современной терминологии можно сформулировать следующим образом.
«Для того.чтобы маятник или гироскопический маятник или гирокомпас не были возмущаемы ускорениями, необходимо, чтобы период их собственных колебаний был тот же, что и у математического маятника. длина которого равна радиусу Земли》.
Период такого маятника равен:
Т = 2r ]/ — = 84,4 мин.
Известно, что период Т свободных колебаний названных приборов определяется следующими формулами:
Теперь мы знаем, что это решение было весьма приближенным.
для физического маятника Т =
⑺⑺для гирокомпасадля гирокомпасату1yA т/s 中，ту1yA т/s 中，для гироскопического маятника Т = 2冗一^-;
⑺
⑺
для гирокомпаса
для гирокомпаса
ту1yA т/s 中，
ту1yA т/s 中，
『де / ——расстояние от точки опоры до центра масс; Р — вес маятника или компаса; '
U — угловая скорость суточного вращения Земли;
ср ——географическая широта места.
Как видим, для невозмущаемости по Шулеру необходимо определенным образом подобрать параметры прибора, причем для компаса их придется подбирать в зависимости от широты места.
Следует заметить, что осуществить физический маятник с периодом, равным 84,4 мин, практически невозможно, так как он имел бы слишком большие размеры.
В 40-х годах акад. А. Н. Крылов, рассмотрев теорему Шулера применительно к гирокомпасу, доказал, что она строго говоря справедлива лишь при движении объекта вдоль меридиана; при произвольном же движении соблюдение условия Шулера не может обеспечить полной невозмущаемо- сти компаса.
В 1956 г. акад. А. Ю. Ишлин- ский в статье《К теории гиро- горизонткомпаса» дал совершенно строгое (в рамках прецессионной теории) решение задачи об
условиях невозмущаемости гирокомпаса. Чувствительный элемент рассмотренного в указанной статье гирогоризонткомпаса изображен схематически на рис. 5. Это герметическая сфера (так называемая гиросфера) с двумя одинаковыми спаренными гироскопами. Гиросфера свободно плавает в жидкости, обладая нейтральной плавучестью. Центр тяжести гиросферы смещен на некоторую величину / вниз относительно ее геометрического центра. При наклоне экваториальной плоскости гиросферы создается пара сил (сила веса гиросферы, приложенная в центре
масс, и равнодействующая сил давления жидкости, приложенная в геометрическом центре сферы), стремящаяся вернуть эту плоскость в горизонтальное положение. Таким образом, при невращающихся гироскопах сфера будет вести себя совершенно так же, как физический маятник, точка опоры которого совпадает с центром сферы.
Камеры 1 каждого из гироскопов могут поворачиваться вокруг вертикальных осей и связаны между собой кинематически так, что
могут поворачиваться на одинаковые углы в противоположные стороны. Такую связь можно было бы осуществить, например, с помощью антипараллелограмма 2. (В реальных устройствах это осуществляется несколько сложней.) Таким образом, при любом повороте гироскопов биссектриса ^——S угла, образуемого осями х собственного вращения .гироскопов, остается неподвижной относительно гиросферы. Если оста-
ваться в рамках прецессионной теории, то кинетические моменты Bi и 团 этих гироскопов совпадают с осями х их собственного вращения и, следовательно, кинетический момент " всей сферы, являющийся геометрической суммой равных по модулю векторов 3】и 82, направлен по линии N——S.
Гирокамеры связаны между собой также пружинами 3, которые, растягиваясь при отклонении гироскопов от некоторого нулевого положения, прикладывают к ним момент N относительно осей камер. Свойство подобной сферы таково, что при вращающихся гироскопах вектор Я (или линия N——S) устанавливается в направлении на север, а экваториальная плоскость ее занимает горизонтальное положение. Точнее, вектор Н устанавливается в направлении на север лишь тогда, когда объект, на котором установлен прибор неподвижен относительно Земли; при движении же объекта вектор Н устанавливается параллельно вектору угловой скорости плоскости горизонта. Таким образом, компас оказывается отклоненным от линии меридиана на некоторый угол, называемый скоростной девиацией.
А Ю. Иптлинский установил, что для невозмущаемости гирогори- зонткомпаса необходимо и достаточно, чтобы момент ^, развиваемый пружинной связью, подчинялся следующему закону:
а72В2 sin 2е
N 二:,
mlP
где £——угол поворота камеры гироскопа, отсчитываемый от линии N—S;
т — масса гиросферы;
В ——модуль кинетического момента каждого из гироскопов. Такая гиросфера, обладая свойством невозмущаемости, будет с высокой степенью точности стабилизирована в пространстве при любом характере движения объекта, линия ^——S гиросферы всегда будет указывать на север, а экваториальная плоскость ее ——воссоздавать искусственный горизонт, вследствие чего этот прибор называют также пространственным компасом. При этом окажется также, что кинетический момент гиросферы Н автоматически изменяется (вследствие поворота гироскопов) так, что всегда соблюдается равенство
Н = mlv,где V ——абсолютная скорость объекта, т. е. скорость его относительноинерциального пространства .
Вектор и может быть получен как геометрическая сумма скорости объекта относительно Земли и переносной скорости, сообщаемой ему вращающейся Землей.
В 1964 г. автором настоящей статьи совместно с канд. техн, наук М. В. Чичинадзе было показано [6], что как теорема Шулера, так и условия невозмущаемости, полученные А. Ю. Ишлинским, обнаруживают некоторые общие свойства, с необходимостью присущие весьма широкому классу механических систем, единственной отличительной особенностью которых является то, что они смонтированы на твердом теле, опертом в одной точке. Легко видеть, что под столь широкое определение подпадают как приборы, рассмотренные Шулером (физический маятник, гироскопический маятник, однороторный гирокомпас), так и пространственный компас и вообще гироскопическая система, содержащая любое количество гироскопов, любым образом между собой связанных, лишь бы она. была смонтирована на твердом теле,
имеющем одну точку опоры. Будем называть такую механическую систему невозмущаемой, если при любом характере движения ее точки опоры 'по земной сфере линия, соединяющая эту точку с центром тяжести системы, всегда остается направленной по геоцентрической вертикали (т. е. направлена к центру Земли). В отношении такой механической системы нами доказана следующая теорема: 《для невозму- щаемости системы необходимо, чтобы кинетический момент ее Н подчинялся равенству:
— H = mlv (8) и вектор Н располагался в горизонтальной плоскости перпендикулярно вектору и абсолютной скорости точки опоры》.
Заметим, что доказанное справедливо не только в рамках приближенной (прецессионной) теории, но и в рамках общей, точной теории. Иными словами, здесь под Н следует понимать суммарный кинетический момент всей системы, включающей не только сумму собственных кинетических моментов гироскопов (как это делается в приближенной теории), но и кинетические моменты всех масс системы.
Легко видеть, что теорема Шулера для компаса вытекает из только что сформулированной как частный случай. Действительно, при не слишком высоких географических широтах относительная скорость объекта мала в сравнении с его переносной скоростью, равной R U cos <р, поэтому и можно положить V = R U cos ср. Тогда, согласно (8):
Н = mlRU cos ф.
При подстановке этой величины в выражение (7) для периода колебаний компаса получим:
Т = 2冗，旦=84,4 мин.
3° Навигация с помощью гироскопической инерциальной системы. Назначение всякой -навигационной системы состоит в непрерывном определении координат какого-либо движущегося объекта. Идея нави-
Рис. 6
гации с помощью гироскопической инерциальной системы поясняется на рис. 6._На платформе / подвешен гироскоп 2, кинетический момент которого Я первоначально направлен к центру Земли. На этой же платформе помещен акселерометр, представляющий собой в простейшем случае тяжелый грузик на пружине, который может перемещаться относительно основания в горизонтальном направлении. Платформа может поворачиваться вокруг оси 3, перпендикулярной плоскости чер- тежа. Специальное электрическое устройство измеряет смещение грузика относительно некоторого нулевого положения и накладывает на гироскоп относительно оси у момент М, величина которого пропорциональна интегралу этого смещения. '
Положим для простоты, что траектория объекта (корабля, самолета), на котором установлена наша платформа, представляет собой дугу большого круга (имеется в виду абсолютная траектория). Положение объекта в этом случае определяется одной дуговой координатой s, отсчитываемой от некоторого условного начала, а тангенциальное ускорение равно s. Пренебрегая свободными колебаниями грузика, можно считать, что отклонения ,(его от нулевого положения пропорционально алгебраической сумме силы инерции грузика ms н проекции на платформу силы его веса mg а (т ——масса грузика, а ——угол наклона платформы к горизонту). Следовательно, момент М, прикладываемый к гироскопу, равен:
М = k (s—ga)成.(9》
b
Под воздействием этого момента гироскоп, а с ним и платформа поворачивается относительно инерциального пространства со скоростью равной:
屮+ a=普，(Ю)
где абсолютная угловая скорость платформы представлена нами состоящей из двух слагаемых:
Ф ——скорости вращения плоскости горизонта;
а ——скорости вращения платформы относительно плоскости горизонта.
На основании (9) и (10) и учитывая, что 屮=s/R, получим:
//a + Aga = kS——^-H.(11>
Если подобрать параметры нашей системы так, что k/H = //R, то правая часть уравнения (11) будет тождественно равна нулю и, следовательно, колебания платформы около горизонта будут совершаться согласно уравнению
a + 丫2a = 0,(12》
где v ——чистота Шулера.
Равенство (12) свидетельствует о том, что платформа колеблется возле горизонта с периодом Шулера, а при отсутствии начального возмущения остается горизонтальной, следовательно, акселерометр выдает в чистом виде ускорение объекта, интегрируя которое получим его скорость; интегрируя повторно получим дуговую координату s объекта.
Конечно практически задача не столь проста, как это может показаться из описания этого простейшего случая. На рис. 7 представлен один из вариантов схемы инерциальной системы, рассчитанной на произвольное движение объекта- по Земле. Пусть имеется платформа,, оси х и у которой с помощью постороннего источника Информации непрерывно ориентируются на восток и север. На платформе установлено два гироскопа, каждый из которых управляется от своего акселерометра, аналогично тому, как это происходит в одногорископной инерциальной системе, описанной выше.
Вращение платформы вокруг оси х будет происходить со скоростью- <ох = 一Му/Ну, а вокруг оси у со скоростью 铀=MjHg где Мх, М^ формируются согласно равенствам:'
(13〉(13〉7v1%=自 j a* ♦ dt, ^^/ ^2 力 2 j ^y • d/ •
(13〉
(13〉
ооо
о
о
Через a%, ay обозначены показания акселерометров; при горизонтальном положении платформы эти величины равны соответствующим проекциям абсолютного ускорения объекта. При соответствующем подборе коэффициентов k\ и k2 платформа всегда следует за плоскостью горизонта и, следовательно, имеет одинаковую с ней угловую скорость. Известно, что проекции последней на оси хну равнн:
(14}(14}(15>(15>з% = — Ф， 5 =(入 + U) cos ср,
(14}
(14}
(15>
(15>
где ср ——широта,入 ——долгота места. Следовательно,
ф = Му I Ну, X- cos ср = Мх I Нх ——U・cos(p.
Таким образом, можно интегрированием уравнений (15) получать географические координаты места объекта. В связи с созданием инерциальных систем возникают многочисленные задачи, требующие применения механики.
Таковы, например, задача о влиянии на точность инерциальной системы паразитных моментов, которые неизбежно присутствуют наряду с полезными моментами, формируемыми по законам, описанным выше; задача о влиянии неточной выставки инерциальной платформы или о влиянии неточности акселерометра и Др.
4. Требования, предъявляемые теорией гироскопов к курсу теоретической механики. Как видно даже из нашего краткого обзора, круг вопросов, составляющих современную теорию гироскопов, весьма широк и требует хоро
шей подготовки по механике. Разумеется, что она должна быть дана не только пунктом 18 программы по теоретической механике для втузов, который сформулирован так:《18. Понятие о гироскопе. Кинетический момент быстро вращающегося, гироскопа. Теорема Резаля. Основное свойство гироскопа. Закон прецессии. Гироскопический момент. Определение гироскопических реакций. Примеры 'применения гироскопа в технике》* По нашему мнению, в учебных планах для приборостроительных специальностей этому пункту следует уделить примерно 4——6 часов, на протяжении которых следует дать учащимся представление о гироскопических явлениях и проиллюстрировать их приложения на принципе действия простейших гироскопических приборов, описание которых имеется в учебной литературе.
Важно при прохождении этого пункта программы особое внима- ние уделить понятию гироскопического момента, добиваясь вполне четкого его понимания. В связи с этим заметим, что некоторые авторы дают определение гироскопического момента как момента сил инерции Кориолиса. Такое определение вернокв принципе, если только оно со-
провождается указанием на тот подвижный трехгранник, который при этом имеется в виду.
Но, во-первых, такое указание обычно авторами не делается, во- вторых, это определение, по нашему мнению, неудачно методически, оно может привести к путанице. Ведь гироскопический момент существует всегда, когда ось гироскопа изменяет свое положение в пространстве и имеет определенную величину, определяемую формулой
_М(16)
где з ——абсолютная угловая скорость прецессии гироскопа. Силы же Кориолиса зависят от выбора подвижного трехгранника, следовательно, могут иметь произвольную величину.
ZМомент сил Кориолиса совпадает с гиро-
скопическим моментом только в том слу- чае, когда подвижный трехгранник выбран (определенным образом, а именно — одна из
[\ \осей его (ось х на рис. 8) совпадает с осью
Iсобственного вращения гироскопа, и проек-
Ция угловой скорости трехгранника на осьх равна нулю; это так называемый трехгран- ник Резаля.
Гораздо более удачно принятое в боль- Рис. 8шинстве учебников определение гироскопи
ческого момента как момента Н сил инерции гироскопа, определяемого по приведенной выше формуле и приложенного к тому телу, которое, воздействуя на гироскоп, заставляет его прецессировать. В рамках приближенной (элементарной) теории этот момент равен и направлен противоположно моменту внешних сил, приложенных к гироскопу. Но следует обратить внимание на то, что это равенство именно приближенное. Последнее можно пояснить решением следующей задачи, которая послужит также упражнением на составление динамических уравнений Эйлера. Ось гироскопа х поворачивается в пространстве с переменной угловой скоростью r(t). Вычислить момент внешних сил, которые нужно 'Приложить к гироскопу, чтобы сообщить ему такое движение.
Заданы: полярный момент инерции /, скорость Q собственного вращения и экваториальный момент инерции В гироскопа.
Для решения задачи вычислим сначала проекции кинетического момента гироскопа на оси Резаля (рис. 8):
7G = /Q = ",
Ky = Bq,(17)
*Kz = Br,
где " — собственный кинетический момент гироскопа, q ——проекция угловой скорости трехгранника на ось у. Положим, что ось гироскопа вращается только вокруг оси z, тогда « = 0.
Согласно теореме о кинетическом моменте (К)
dt 一
или в проекциях на оси Резаля
I — = мХ1at
Н・т= М「
(18)
Здесь гироскопический момент равен ——"г и направлен только по оси у, момент же внешних сил имеет составляющие также и по осям х и z; эти составляющие присутствовали бы и тогда, когда собственного вращения гироскопа не было. Так как Q >> г и dC/d£ у раскрученного гироскопа мало, моменты Мх и Mz малы в сравнении с моментом Му. Можно добавить, что гироскопический момент характеризует то специфическое сопротивление, которое оказывает быстровраща-
ющееся тело, когда изменяют положение оси,
вокруг которой это быстрое вращение происх。- дит.
Отметим далее те разделы теоретической механики, с которыми особенно часто приходится встречаться гироскописту и которые требуют углубленного изучения на занятиях с будущими специалистами в области гироскопической техники.
В качестве угловых координат твердого тела применяются неВ качестве угловых координат твердого тела применяются неВ теории гироскопических устройств часто прибегают к построению нескольких систем координат, находящихся в сложном относительном движении, и к вычислению относительных скоростей и ускорений (линейных и угловых).
В качестве угловых координат твердого тела применяются не
В качестве угловых координат твердого тела применяются не
только углы Эйлера, известные молодому специалисту из курса механики, но чаще различные другие системы углов. Системы отсчета в
практических задачах не изображены в виде готовых трехгранников, а должны быть выбраны' самим исследователем наиболее целесообразным образом и связаны с определенными твердыми телами, входящими в состав гироскопического устройства или находящимися вне
его.
II все же мы считаем, что сведения о сложном движении, которые сообщаются в курсе теоретической механики, могут служить достаточным фундаментом для решения подобных задач; но в сложной ситуации начинающий специалист может воспользоваться этими сведениями лишь в том случае, когда он очень твердо и сознательно их усвоил.
Приведем для примера сравнительно несложную задачу из кинематики, вполне посильную для студента, усвоившего обычный курс кинематики. Имеем подвижный трехгранник х〃乙 вершина которого О (рис. 9) произвольным образом движется по поверхности Земли, а оси х, 〃，之 ориентированы соответственно на восток, север и в зенит. Требуется по показаниям акселерометров, ориентированных по осям % и у, определить восточную и северную составляющие скорости точки О относительно Земли.
При решении подобной задачи нередко совершают следующую ошибку: считают, что величины 〃久，а^, измеряемые акселерометром, и есть относительные ускорения точки О, поскольку трехгранник xyz движется относительно Земли.
В действительности же величины 〃心 ау суть проекции абсолютного ускорения на подвижные оси х и у.
Для решения задачи можно воспользоваться формулой
а = Хи,(19)
где dvfdt ―фокальная производная вектора абсолютной скорости с точки О, а 汉——угловая скорость трехгранника x〃z. В проекциях на оси х и у получим: '
5—2935—293а% = & 十 Uy • vz — & • %,а% = & 十 Uy • vz — & • %,(20)(20)
5—293
5—293
а% = & 十 Uy • vz — & • %,
а% = & 十 Uy • vz — & • %,
(20)
(20)
〃y = Uy + 〃2 •以 〃” •
При движении по поверхности Земли % = 0 и потому:
а% — и* 〃z・ Vyt
а“ = % 十 а夕％,(21}
причем vx=vE+ RU cos 屮，vy = vN,
где U——угловая скорость суточного вращения Земли, ^七,vN —— восточная и северная составляющие скорости точки относительно Земли.
Возможен и другой подход к решению задачи. Можно вычислить вектор относительного ускорения точки аг (т. е. ускорения относительно Земли) и затем спроектировать его на оси х и у; эти проекции и будут восточной и северной составляющими относительного ускорения точки О.
Относительное ускорение аг равно:
аг = a — ae — ak,(22}
где ае, ak ——переносное и кориолисово ускорения.
Характерные ошибки, которые здесь нередко совершают начинающие, порождаются недостаточно отчетливым пониманием того факта， что, написав равенство (22), мы уже подразумеваем новую систему отсчета, которую нужно четко определить; она обязательно должна быть связана с Землей.
Построим ее, например, следующим образом (рис. 9): оси 自，ц лежат в экваториальной плоскости Земли и вращаются вместе с нею, ось U направлена по оси мира.
Легко видеть, что в этом случае переносное ускорение ае будет направлено перпендикулярно оси Земли и равно U2R cos <р. Ускорение Кориолиса будет определяться формулой ah = 2UxVr, где U ——вектор угловой скорости Земли,——К ——относительная скорость точки О, проекции которой на оси хну есть vE и vN.
Нетрудно убедиться, что оба метода приводят к следующим равенствам:
ах = vE — 2U sinф.ул；—tg 屮，
(23)
ay~vN 267 sin ср • vE 十 RU2 sin <p cos Ф + tg ф.
Далее остается решить дифференциальные уравнения (23), считая
〃冷"и，屮 известными величинами, а и石口 vN ——искомыми.
В разделе 《Динамика》следует, по нашему мнению, особо обратить внимание на необходимость ясного понимания динамических уравнений Эйлера и уравнений Лагранжа 2-го рода.
При пользовании уравнениями Эйлера начинающие специалисты нередко забывают о тех непременных условиях, при которых эти уравнения получены: оси подвижного трехгранника связаны с телом и являются его главными осями инерции. Нередко упускают также из виду, что при необходимости описать движение сложной системы, состоящей из нескольких твердых тел, можно составить уравнения Эйлера для каждого из них или же прибегнуть к более общим уравнениям
В упражнениях на уравнении Лагранжа 2-го рода полезно продемонстрировать составление этих уравнений для простейшего гироско-
пического прибора, например однороторного гирокомпаса, оставаясь при этом в рамках элементарной теории гироскопов.
В заключение могут быть изложены следующие краткие выводы:
Прикладная теория гироскопов в ее современном состоянии охватывает весьма обширный круг вопросов, требующих основатель- ного знания теоретической механики.
Объем сведений, предусмотренный существующей программой курса теоретической механики, для втузов в основном достаточен для подготовки слушателей к изучению прикладной теории гироскопов или теории гироскопических устройств и с этой точки зрения не требуется, вносить в нее какие-либо существенные изменения.
Рекомендации, которые могут быть сделаны, сводятся к следующему:
пункту 18 программы курса «Теоретическая механика» для втузов, имеющему непосредственное отношение к прикладной теории гироскопов, целесообразно отвести в учебном плане 4——6 часов, рекомендации относительно прохождения этого материала даны выше;
к числу разделов, которые требуют углубленного изучения, относятся: сложное движение точки и тела, сферическое движение твердого тела, динамические уравнения Эйлера, уравнения Лагранжа 2-го рода.
Предлагается сопровождать прохождение каждого из этих разделов решением задач несколько более сложных и близких к встречающимся в практических условиях, чем это имеется в задачниках. Некоторые примеры таких задач были приведены выше.
Литер атур а
Ишлинский А. Ю. Механика гироскопических систем. АН СССР, 1963.
Николаи Е. Л. Гироскоп в кардановом подвесе.《Наука》，1964.
Magnus К・ Beitrage zur Dynamik des Kraftfreien Kardanisch gela ger ten KreL seis; Zeitschrift fiir angewandte Mathematik und Mechanik, B. 35, 1955.
Магнус К. Об устойчивости движения тяжелого симметричного гироскопа в кардановом подвесе. 1ДММ, т. 22, вып. 2, 1958.
Шулер М. Возмущение маятниковых и гироскопических приборов ускорениями точки подвеса, 1923.
Б л ю м и н Г. Д., Чичинадзе М. В. Условия невозмущаемости однороторного гирокомпаса. Известия АН СССР, «Механика и машиностроение», 1964, № 3.
Климов Д. М. О движении астатического гироскопа в кардановом подвесе с сухим трением. ПММ, т. 24, вып. 4, 1960.
Климов Д. М., Слезкин Л. Н. Применение асимптотических методов к решению задач о движении астатического гироскопа в кардановом подвесе. Известия АН СССР, «Механика и машиностроение», 1963, № 3.
Я. Я. РЕМИЗОВА, ". Н. ШЕПЕЛЕВСКАЯ
О ВНЕДРЕНИИ НОВОЙ МЕТОДИКИ ИЗЛОЖЕНИЯ
КУРСА ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ В ПРАКТИКУ ПРЕПОДАВАНИЯНА РАДИО- И ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ ФАКУЛЬТЕТАХ
КИЕВСКОГО ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА
Перестройка учебных планов высших учебных заведений, вызванная введением специальных курсов, отражающих запросы новой техники, привела к необходимости изменения содержания й объема курса теоретической механики.
5*5*Напомним, что история развития теоретических основ современной новой техники неопровержимо подтверждает сохранение значения'
5*
5*
6 丁
теоретической механики не только как средств углубленной информации об основных законах природы, но также и как средства воспитания у будущих инженеров совершенно необходимых навыков к науч- fhm обобщениям.
В настоящей статье излагается методика преподавания курса теоретической механики на радио- и электроэнергетических факультетах Киевского политехнического института. Эта методика была указана и внедрена в практику преподавания в КПИ с J961/62 учебного года проф. Н. А. Кильчевским. Методика была сообщена 18/VI 1963 г. научно-методическому семинару при кафедре теоретической механики Киевского политехнического института с участием приглашенных преподавателей и заведующих кафедрами теоретической механики Киевского госуниверситета, Киевского высшего артиллерийского инженерного училища (КВИАУ), Киевского инженерно-строительного института и др. Глубокое и всестороннее обсуждение показало, что предлагаемая методика позволяет значительно сократить объем курса теоретической механики, не затрагивая идейного содержания предмета изложения. Гибкость предлагаемой методики позволяет применять ее не только на радио- и электроэнергетических факультетах, но и на факультетах механических специализаций. Освободившееся при этом время может быть использовано для изучения вопросов динамики твердого тела, динамики неголономных систем, теории гироскопов и других вопросов в зависимости от специализации.
Семинар принял решение внедрить эту методику в практику преподавания теоретической механики на всех факультетах КПИ, кроме тех, на которых ведется параллельное изучение теоретической механики и сопротивления материалов. Кроме того, было принято решение опубликовать курс, изложенный по этой методике.
Подтверждением жизнеспособности и целесообразности методики является то, что многие преподаватели кафедры теоретической механики КПИ, читающие лекции и ведущие практические занятия на факультетах радио- и электроэнергетических специализаций, а также на вечернем факультете, в течение нескольких лет применяют новую методику в практике преподавания.
Эта же методика преподавания положена теперь в основу при чтении курса теоретической механики на всех факультетах КВИАУ.
Перейдем к рассмотрению особенностей перестроенной методики изложения курса теоретической механики.
Отметим, прежде всего1, что значительное сокращение объема курса при сохранении его идейного содержания достигается введением новых доказательств теорем и нового построения всего курса в целом.
В отличие от традиционного в технических вузах деления теоретической механики на статику, кинематику и динамику, рассматриваемый курс делится на кинематику и кинетику. Кинематика содержит основы кинематики точки и абсолютно твердого тела. Кинетика объединяет динамику, статику и аналитическую механику. Вопросы статики рассматриваются как частные задачи динамики.
После рассмотрения основных понятий теоретической механики излагается кинематика точки и простейших движений абсолютно твердого тела.
На пятой лекции доказывается теорема о распределении скоростей и ускорений в свободном твердом теле . Физический смысл вектора
угловой скорости з и ^вектора углового ускорения е выясняется при изучении вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной
точки. Из определения вектора угловой скорости з вытекает правило параллелограмма угловых' скоростей (синтез вращательных движений) .Далее рассматривается сложное движение точки. При доказательстве теоремы о сложении линейных скоростей и линейных ускорений радиус-вектор точки г, определяющий ее абсолютное движение, рассматривается как функция двух переменных 介 и ^- Зависимость
г от переменной 介 определяет переносное движение точки, зависимость г от /2 определяет ее относительное движение. Соответственно этому переносная скорость определяется частной производной —— , а от
носительная ——частной производной —Замечая, что в рассматри-. ваемом случае 介=才2 =力 приходим к теореме о сложении линейных скоростей (правило параллелограмма линейных скоростей). Аналогично доказывается теорема Кориолиса о сложении линейных ускорений. Этот способ доказательства, указанный Н. А. Кильчевским в цитированном выше курсе, обладает тем достоинством, что, во-первых, позволяет наглядно представить физический смысл ускорения Кориолиса и, во-вторых, указывает способ распространения этой теоремы на задачи специальной теории относительности, где 厶片办・
Последняя, восьмая лекция по кинематике содержит теорию плоскопараллельного движения твердого тела. Закон распределения скоростей и ускорений в теле при плоскопараллельном движении может быть определен либо как следствие кинематики свободного твердого тела, либо из рассмотрения сложного движения точки. В случае необходимости эта тема может быть опущена.
Дальше излагается кинетика. Вначале, как обычно, читается введение в динамику: законы Ньютона, дифференциальные уравнения движения свободней материальной точки. Баллистическая задача рассматривается как пример решения второй основной задачи динамики свободной материальной точки.
После изложения основных понятий динамики материальной системы доказывается теорема об изменении кинетической энергии точки и рассматривается понятие работы сил, действующих на материальную точку.
Далее доказывается теорема об изменении кинетической энергии системы, изучаются свойства кинетической энергии системы, указываются способы вычисления ее для твердого тела при различных случаях движения. В связи с последним рассматриваются осевые моменты инерции и их свойства. Затем доказывается теорема об элементарной работе сил, действующих на абсолютно твердое тело на основании определения работы сил, действующих на точки материальной системы, и теоремы о распределении линейных скоростей в свободном твердом теле. Здесь естественно вводятся понятия о моменте силы относительно центра и оси, о главном векторе и главном моменте сил относительно произвольного центра.
Заметим, что теореме об изменении кинетической энергии системы и основным понятиям, связанным с ней (кинетическая энергия и работа сил), в рассматриваемом курсе отводится одно из основных мест. В частности, показывается, что понятия о центре масс и о количестве
движения системы являются вторичными понятиями, вытекающими из предшествующего представления о кинетической энергии системы. Из свойств кинетической энергии абсолютно твердого тела при частных предположениях о характере его движения вытекают как следствие основные свойства осевых моментов инерции. Теорема об элементарной работе сил, действующих на абсолютно твердое тело, позволяет утверждать, что с энергетической точки зрения действие сил на абсолютно твердое тело определяется их главным вектором и главным моментом. '
С теоремой об изменении кинетической энергии системы связано определение эквивалентных систем сил: две систёмы сил, действующие на абсолютно твердое тело, называются эквивалентными, если они своим действием вызывают одинаковые изменения кинетической энергии тела на одинаковых произвольных элементарных перемещениях, т. е. на этих перемещениях выполняют одинаковые элементарные работы. Из этого определения вытекает, что необходимыми и достаточными условиями эквивалентности двух систем сил, действующих на абсолютно твердое тело, являются равенства их глав；ных векторов и их главных моментов относительно одного и того же центра.
Это основное заключение позволяет в течение нескольких лекционных минут изложить свойства пар сил, действующих на абсолютно твердое тело. С энергетичеёкой точки зрения действие пары сил на абсолютно твердое тело определяется ее моментом ——свободным вектором. Согласно определению эквивалентных систем сил, действующих на абсолютно твердое тело, эквивалентными будут и пары сил, имеющие равные моменты. Отсюда и из определения момента пары сил как векторного произведения М = г X F вытекают три основные свойства пары сил.
С теоремой об изменении кинетической энергии системы связано определение уравновешенной системы сил, действующих на абсолютно твердое тело: система сил называется уравновешенной, если она своим действием не изменяет кинетическую энергию твердого тела на его произвольных малых перемещениях. Отсюда и из теоремы об изменении кинетической энергии системы вытекают необходимые и достаточные условия уравновешивания систем сил, действующих на абсолютно твердое тело: равенство нулю главного вектора и главного момента сил относительно произвольного центра. Как частные случаи из них получаются условия уравновешивания систем сходящихся сил, систем сил параллельных в пространстве и на плоскости, произвольной плоской системы сил.
Далее обычным способом излагаются принципы механики: принцип Даламбера, принцип возможных перемещений, принцип Даламбера—— Лагранжа. Принципы возможных перемещений и Даламбера —— Лагранжа рассматриваются для систем, подчиненных односторонним и двусторонним геометрическим идеальным связям. Из общего уравнения статики получаются уравнения равновесия свободного твердого тела и условия равновесия систем тел.
После рассмотрения дифференциальных уравнений движения и двух основных задач динамики несвободный материальной системы изучается метод Лагранжа. Вводится понятие об обобщенных координатах, обобщенных скоростях и обобщенных силах. Выводятся общее уравнение статики в обобщенных координатах и уравнения равновесия несвободной материальной системы. Уравнения движения в обобщенных координатах вытекают из уравнений равновесия и принципа Даламбера- Для этого достаточно к обобщенной активной силе добавить обобщенную силу инерции. После элементарных преобразований получается 70
окончательная форма уравнений Лагранжа 2-го рода. Указывается методика их применения. Иллюстрацией этой методики является изложение динамики вращательного движения абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси* (здесь же рассматриваются малые колебания физического и математического маятников) и динамики плоскопараллельного1 движения твердого тела.
Далее излагается теория потенциального силового поля и выводятся уравнения Лагранжа 2-го рода для консервативных систем. Эти уравнения являются отправным пунктом доказательства вариационного принципа Остроградского——Гамильтона. Отмечается роль вариационных принципов в современной механике и физике.
После этого рассматриваются теоремы о движении центра масс, изменении количества движения и изменении кинетического момента.
Рассмотрению теоремы о движении центра масс материальной системы предшествует изложение понятия о центре параллельных сил, вытекающего из введенного ранее понятия о центре масс (центре инерции) и понятия о центре тяжести. Понятие о центре масс вводится при доказательстве теоремы Кенига на основании требования упрощения формулы, олределяющей кинетическую энергию, а не на основании предварительного определения. '
Изложению теоремы об изменении кинетического момента материальной системы в относительном движении предшествует изложение динамики относительного движения точки.
Заканчивается к苑с изложением теории колебаний материальной точки с одной степенью свободы. В этой теме рассматриваются конкретные задачи о движении груза, подвешенного к неподвижной опоре вертикальной пружиной. Полученные при этом результаты обобщаются.
Эта тема, обычно рассматриваемая как иллюстрация решения второй основной задачи динамики свободной материальной точки, здесь читается в конце курса из тех соображений, что к этому времени студенты уже знакомы с теорией интегрирования дифференциальных уравнений, описывающих колебания точки с одной степенью свободы.
Подводя итоги, можно сказать, что рассматриваемый курс отличается следующими особенностями.
Основные положения статики вытекают из теоремы об изменении кинетической энергии системы. Такой прием позволяет, во-первых, исключить из курса ряд элементарных теорем статики, которые получаются в данном случае как следствия, и, во-вторых, получить условия равновесия сил, действующих на абсолютно твердое тело, именно в то время, когда они необходимы студентам для изучения сопротивления материалов. Этого нельзя добиться, если в основу статики положить принцип возможных перемещений, что потребовало бы предварительного рассмотрения таких понятий, как возможные перемещения, идеальные связи, а также свойств идеальных связей. Кроме того, «энергетический» подход к решению статических задач оправдывается тем, что кинетическая энергия является основополагающим понятием механики, о чем было сказано выше. С методологической точки зрения эту особенность трудно переоценить.
В курсе возрос удельный вес аналитической механики. Большинство учебников по теоретической механике, рекомендуемых для студентов немеханических специальностей, содержат такие элементы аналитической механики, как принцип возможных перемещений и принцип Даламбера——Лагранжа. С этим нельзя полностью согласиться, принимая во внимание задачи, выдвигаемые новой техникой. В на。 стоящем курсе, помимо указанных принципов, рассматриваются
уравнения Лагранжа 2-го рода для консерцативных и неконсервативных систем, вариационный принцип Остроградского——Гамильтона. По нашему мнению, эта особенность курса является большим его достоинством, если вспомнить, что он читается студентам радио- и электроэнергетических специальностей. Ведь целый ряд законов физики по форме совпадает с принципом Остроградского——ГамилЛона. Уравнения Максвелла, уравнения общей теории относительности можно записать в форме уравнений Лагранжа 2-го рода с иной по физическому смыслу функцией Лагранжа 厶.Это открывает путь к применению методов аналитической механики при решении различных задач теоретической физики. '
Курс отличается гибкостью построения, позволяющей дополнить его или, наоборот, сократить, устраняя, например, некоторые вопросы кинематики абсолютно твердого тела.
Отметим, наконец, оригинальность доказательства многих теорем курса, имеющую большое воспи7 ательное значение.
В. М. ГОНЧАРЕНКО
ОБ ОДНОМ ПЛАНЕ ПОСТРОЕНИЯ КУРСА ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
В последнее время в грактике преподавания теоретической механики в высших технически ; учебных заведениях происходят значительные изменения. Этому способствует как неуклонное уменьшение времени, отводимого учебными планами на ее изучение (часто меньше ста часов), так и изменение той роли, которая отводится теоретической механике в общей системе образования инженеров современных специальностей. «Центр тяжести» образования инженеров немеханических специальностей, составляющих большинство, смещается or механических дисциплин в сторону кибернетики и автоматики, радиотехники и радиоэлектроники, химии и энергетики. От современных инженеров сейчас требуется гораздо более высокий уровень теоретической подготовки, чем 10——15 лет назад. С другой стороны, значительно расширяется круг инженеров механических специальностей. Все это приводит к заключению о необходимости углубления и перестройки курса теоретической механики. Традиционный курс, состоящий из статики абсолютно твердого тела, кинематики точки и твердого тела и динамики, в которую входят дифференциальные уравнения движения точки, основные теоремы и принципы Даламбера и возможных перемещений, в свое время соответствовал всем требованиям, которые к нему предъявлялись. По в последнее время его недостатки стали очевидными и неоднократно отмечались. Мы не будем на них останавливаться. Заметим, что перестройка курса должна идти по двум направлениям. Прежде всего он должен быть более компактным и приспособленным к тому, чтобы в краткое время изложить все основ。 ныс идеи и методы. Во-вторых, необходимо его углубление, 《Центр тяжести》 курса должен быть смещен от элементарных вопросов статики и кине?латики к более содержательным и ценным разделам дина- мнкн н аналитической механики. В настоящее время ряд «ведущих»
факультетов высших технических учебных заведений по уровню и глубине теоретической подготовки приближаются (или должны приближаться) к физическим- факультетам университетов. Курс теоретической механики для них должен больше походить на раздел теоретической физики, нежели на -справочник по решению элементарных задач в духе «технической механики».
Но на практике часто происходит процесс, обратный этому. Непрерывное сокращение учебного времени заставляет лектора сокращать курс. При z традиционной форме его построения значительно уменьшить количество времени, отводимого на статику и кинематику, невозможно. Приходится отказываться от изложения заключительных разделов динамики, обедняя содержание курса. Теоретическая механика действительно превращается в «техническую», не представляющую для большинства специальностей серьезного интереса. В качестве примера можно заметить, что ряд программ и учебников не предусматривает изучения уравнений Лагранжа 2-го рода.
Целью настоящей статьи является изложение методики построения курса теоретической механики, который в течение нескольких лет читал автор в Киевском политехническом институте. Ее можно рассматривать как результат поисков автора, направленных к построению курса, удовлетворяющего указанным выше требованиям.
Начинается курс, как и обычно, со вступления, где излагается предмет и содержание теоретической механики. Далее вводятся основные абстрактные модели, механическое движение (или равновесие) которых в дальнейшем рассматривается. Таковыми являются материальная точка, система материальных точек, а также абсолютно твердое тело. Существенно отметить, что абсолютно твердое тело рассматривается как пример системы материальных точек. В дальнейшем эта основная концепция последовательно проводится на протяжении всего курса.
После вступления начинается изложение кинематики. Существенная особенность предлагаемой методики в том, что ее содержание не исчерпывается кинематикой точки и абсолютно твердого тела. Она трактуется как кинематика системы материальных точек. Материальная точка и абсолютно твердое тело являются простейшими примерами системы. Сначала, конечно, рассматривается свободная материальная точка. Указываются различные способы описания (арифметизации) ее движения. Наряду с обычными способами (векторный, координатный, естественный) отмечается и способ, ‘связанны访 с введением трех произвольных обобщенных координат. Вводятся понятия скорости и ускорения точки. Далее рассматривается точка, на которую наложены одна или две стационарные удерживающие голономные связи. Рассматриваются вопросы задания движения точки и определения ее скорости и ускорения.
Далее лектор переходит к рассмотрению кинематики системы материальных точек. Вводятся понятия о свободной и несвободной системе. В том и другом случае рассматривается вопрос о способах задания движения системы и об определении скоростей и ускорений ее точек. Таким образом, студенты уже на этой стадии изучения знакомятся с такими понятиями, как число степеней свободы, обобщенные координаты, обобщенные скорости. Здесь же дается краткая классификация связей.
Следующий раздел кинематики посвящается кинематике абсолютно твердого тела. В зависимости от конкретных обстоятельств (специальность, наличие времени и т. д.) изложение этого раздела и расположение его частей может видоизменяться. Но остается неизменной основная идея: абсолютно твердое тело трактуется как пример систе-
мы- ма/ериальных точек. При рассмотрении различных видов движения твердого тела устанавливается число его степеней свободы, выбираются обобщенные координаты. Далее разбирается вопрос о распределении скоростей. Формулы для скорости произвольной точки тела рассматриваются как иллюстрация общей формулы, выражающей скорость точки, принадлежащей системе, через обобщенные скорости. Для дальнейшего важно рассмотреть общий случай движения. В то же время плоскопараллельное движение не занимает особого положения, и объем сведений о его свойствах может быть уменьшен или увеличен в зависимости от конкретных обстоятельств. Вообще, центральное место здесь занимает вопрос о способах описания движения (выбор обобщенных координат) и теоремы о распределении скоростей. Теоремы о распределении ускорений, геометрические построения (центроиды, аксоиды, план скоростей) и т. д. представляют собой 《роскошь》， которую можно себе позволить, если это возможно и целесообразно. Сюда же можно отнести и теорию сложного движения точки, рассматриваемую обычным способом в этом же разделе.
К кинематике отнесен еще один раздел: учение о возможных перемещениях системы материальных точек. Хорошо известно, что понятие возможного перемещения является чисто кинематическим^ Но в обычном курсе механики оно рассматривается в разделе «Динамика». Объясняется это очевидно тем, что в этом случае оно не занимает центрального места в курсе и нет особой нужды в его предварительном рассмотрении. Оно вводится 《в рабочем порядке» при изучении принципа возможных перемещений. В предлагаемой схеме построения курса понятие возможного перемещения является столь же основополагающим, как, например, понятие скорости. Поэтому его целесообразно подвергнуть более подробному анализу, чем обычно. Заметим, что «параллельное» рассмотрение вопросов о скоростях точек несвободной системы и о ее возможных перемещениях помогает учащимся лучше усвоить последнее понятие. Например, формулы для возможных перемещений твердого тела почти идентичны соответствующим теоремам о распределении скоростей. Ясно, что их целесообразнее рассматривать совместно.
После того как введено понятие о возможном перемещении системы и выведены формулы для различных возможных перемещений твердого тела, изучение кинематики заканчивается. Учащиеся приступают к изучению кинетики.
Прежде всего рассматривается задача о движении материальной точки, находящейся под действием совокупности сил. Формулируются законы Ньютона, выводятся дифференциальные уравнения движения точки. Особо отмечается случай, когда точка находится в равновесии (статика точки). Далее формулируются основные' задачи динамики точки и рассматриваются примеры (например, задача о колебаниях точки). Здесь же доказывается теорема об изменении кинетической энергии точки и подробно изучается понятие работы силы и теория потенциального силового поля.
Следующим этапом является рассмотрение задач о движении системы точек. Указывается, что для решения задач о движении свободной системы нет другого пути, чем составление и интегрирование системы дифференциальных уравнений для каждой точки. Затем рассматривается -несвободная система. Путем введения реакций связей расширяется учение о связях. Отмечается, что решение задачи о движении несвободной системы при помощи уравнений Ньютона, составленных для каждой точки в отдельности, весьма сложно и что здесь лучше применять метод, разработанный Лагранжем.
Прежде всего рассматривается задача о равновесии системы (статика системы), решение которой дается на основе принципа возможных перемещений. Вводится понятие обобщенных сил и формулируются аналитические условия равновесия. Здесь же можно кратко рассмотреть вопрос об устойчивости равновесия. Далее, как обычно, рассматривается принцип Даламбера и выводятся уравнения Лагранжа 2-го рода. Тем самым указывается метод решения основных задач динамики несвободной системы. Здесь же рассматриваются некоторые другие вопросы. Две системы активных сил, приложенных к определенной системе точек, называются эквивалентными, если их обобщенные силы совпадают при каком-нибудь выборе обобщенных координат (или если они выполняют одинаковую работу на любом возможном перемещении). Это определение вытекает из того факта, что активные силы входят в уравнения движения только через обобщенные силы, вследствие чего замена системы сил ей эквивалентной не сказывается на движении. Следует иметь в виду, что две эквивалентные в указанном смысле системы сил могут вызывать, конечно, различные реакции связей. Но в ряде задач эти реакции не представляют интереса и это различие можно игнорировать. Если это не так, то с помощью принципа освобождаемости реакции связей следует перевести в разряд активных сил.
Полученные результаты прилагаются к механике твердого тела. Поскольку формулы для возможного перемещения тела уже выведены, то из принципа возможных перемещений немедленно вытекают условия равновесия (статика абсолютно твердого тела) как для случая произвольной системы сил, так и для частных случаев. Здесь вводятся понятия моментов сил и устанавливаются их свойства. Приведенное выше определение эквивалентности двух систем сил дает возможность заключить, что две системы сил, приложенные к свободному твердому телу, эквивалентны тогда и только тогда, если равны их главные векторы и главные моменты относительно одного и того же произвольно выбранного центра. Отсюда немедленно вытекают в виде следствий известные положения элементарной статики (теория пар сил, теоремы о приведении и т. д.), которые при обычном изложении нуждаются в громоздком доказательстве.
Далее можно рассмотреть задачи о движении абсолютно твердого тела. Здесь следует предварительно вывести формулы для кинетической энергии тела, ввести моменты инерции. Наконец, последний раздел посвящается изложению основных теорем динамики. Здесь изложение не отличается от обычного, и мы на нем не останавливаемся.
Таким образом, предлагаемая методика обладает следующими особенностями по сравнению с обычной.
Отсутствует неоправданная фиксация внимания учащихся на традиционном объекте изучения ——абсолютно твердом теле. Дело в том, что для студентов многих специальностей этот объект сам по себе не представляет серьезного' интереса. Между тем, обычная теоретическая механика ——чуть ли не на 70% механика именно твердого тела. В обычном курсе вопросы механики твердого тела подвергаются специальному изучению (например, в статике и кинематике). Связь этих разделов с 《высшим》 концентром чувствуется слабо. В предлагаемой схеме механика абсолютно твердого тела вытекает из механики произвольной системы материальных точек. Такой дедуктивный подход прежде всего способствует лучшему пониманию общей теории. Кроме того, он позволяет дозировать объем разделов, посвященных механике твердого тела； сокращая их в случае надобности без особого ущерба для остальной части курса.
Все вопросы, предусмотренные программой, рассматриваются с единой точки зрения, с позиций аналитической механики. В обычном курсе явно выделяется 《низший» (статика и некоторые разделы кинематики) и «высший» (элементы аналитической механики) концентры. В предлагаемой схеме все изложение ведется на уровне 《высшего» концентра. Это позволяет глубже понять вопросы 《низшего» концентра, лучше усвоить вопросы《высшего》и, между прочим, сэкономить время.
《Центр тяжести»' курса смещен в сторону динамики и аналитической механики. Это достигается не исключением вопросов статики из курса, а изменением точки зрения, с которой они рассматриваются.
Курс обладает необходимой гибкостью. Его можно сокращать или расширять, приспосабливаясь к конкретным обстоятельствам.
Опыт чтения автором курса теоретической механики по изложенной методике показал его жизнеспособность. К недостаткам этой методики (если это можно считать недостатком) можно отнести лишь то, что здесь от учащихся требуется больше энергии и старания,
В заключение укажем, что автор далек от мысли считать себя пионером в деле перестройки преподавания теоретической механики. Основные идеи, реализованные в предлагаемой схеме, конечно, хорошо известны. Можно заметить, например, что вывод условий равновесия из уравнений движения (статика как частный случай динамики) встречается в ряде хорошо известных учебников. Но основная мысль предлагаемой схемы ——последовательное рассмотрение абсолютно твердого тела как примера системы материальных точек (особенно это касается кинематики), насколько нам известно, не реализовалась. Это и побудило нас написать эту статью. .
Наконец, мы хотели бы отметить, что кафедра теоретической механики КПИ (в особенности проф. Н. А. Кильчевский) ведет большую работу по улучшению методики преподавания теоретической механики. Автор своими мыслями и результатами в этом направлении всецело обязан духу творческого контакта, царящего на этой кафедре. И мы хотели бы закончить статью словами благодарности в адрес ее членов.
В.⑦.ГРОЗА, Б. Е. ЧАГАР, Л. Я. ЕРАСОВ
ИЗ ОПЫТА РАБОТЫ ЛАБОРАТОРИИ ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕВ ХАРЬКОВСКОМ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОМ ИНСТИТУТЕ
Начиная с 1959/60 учебного года кафедра теоретической механики Харьковского политехнического института им. В. И. Ленина ввела лабораторный практикум по теоретической механике для всех машиностроительных специальностей, который успешно проводится и в настоящее время.
Создание лаборатории при кафедре было одним из мероприятий по выполнению целого комплекса задач, направленных на улучшение подготовки студентов высших учебных заведений по теоретической механике.
Ректорат института выделил кафедре дополнительное помещение для лаборатории, оказал помощь в приобретении оборудования и не-
обходимой измерительной аппаратуры, а также предусмотрел в учебных планах дополнительное время на проведение лабораторных работ по теоретической механике для вышеуказанных специальностей.
Следует отметить, что и в новых индивидуальных учебных планах нашего института, утвержденных МВ и ССО СССР в. феврале 1966 г. для всех машиностроительных специальностей, также предусмотрен лабораторный практикум по теоретической механике в том семестре, в котором, изучается раздел «Динамика», с общим недельным числом часов на теоретическую механику ——6, из них 3 часа ——лекции, 2 часа ——практические занятия и 1 час на лабораторные занятия.
Основной особенностью новых индивидуальных учебных планов ХПП является усиление механико-математической подготовки для всех специальностей института и, в частности, для специальностей машиностроительных факультетов, где введено чтение на старших курсах таких новых предметов, как теория колебаний, прикладная теория упругости и т. д.
Ежегодно лабораторный практикум по теоретической механике проводится в 40——50 академических группах.
Какие трудности преодолевал коллектив кафедры при создании лабораторного практикума и в каком состоянии он находится сейчас, когда мы приобрели уже некоторый опыт в этой работе? •
Организация лаборатории по теоретической механике была начата в i9$9 г., в этой работе принимали участие все сотрудники кафедры, однако наш коллектив в то время не имел необходимого опыта, а позаимствовать его было практически негде, так как только в некоторых вузах страны подобные работы находились в начальной стадии.
Работа по организации лабораторного практикума у нас проводилась следующим образом.
Сначала были намечены перечень и содержание лабораторных работ и составлены первоначальные варианты руководств к каждой из них. Во избежание дублирования содержание лабораторных работ было согласовано с кафедрами общей и экспериментальной физики и теории механизмов и машин, на которых уже имелся лабораторный практикум. Отдельные работы, которые по своему содержанию тяготели к теоретической механике, на этих кафедрах были сн-яты.
Одновременно проводилась работа по проектированию и изготовлению необходимых лабораторных установок и стендов, а также осу- ^ществлялось приобретение необходимого оборудования и измерительной аппаратуры.
Ректорат выделил специальные ассигнования для приобретения стандартного оборудования. Часть оборудования и отдельные детали изготовлялись в учебно-экспериментальных мастерских института.
В течение первого года выполнения студентами лабораторных работ уточнялись и редактировались руководства к ним, а к началу 1960/61 учебного года эти руководства были изданы массовым тиражом. • •
Наличие большого числа экземпляров руководств обеспечило не только возможность снабдить ими каждого студента при проведении лабораторных работ, но и передать часть руководств в библиотеку института, с тем чтобы студенты могли ими пользоваться и при подготовке к лабораторным занятиям.
В первые годы лабораторного практикума по теоретической механике были поставлены следующие 8 работ по разделу «Динамика»:
Определение собственной частоты и логарифмического декремента колебаний (рис. 1).
дом.дом.Определение частоты свободных колебаний резонансным мето
дом.
дом.
Построение резонансной кривой и кривой фазовых смещений дл^ вынужденных колебаний с сопротивлением, » пропорциональным ' скорости (рис. 2).' '
Определение массы тела и жесткости пружины.
Определение момента инерции тела и приведенной длины физического маятника методом колебаний.
Рис. 2_
Определение момента инерции тела с помощью многофилярного подвеса.
Определение площади и статического момента плоской фигуры.
8. Определение веса и момента инерции тела вращения с помощь©
планиметра.
. Кроме руководств,/ к лабораторным работам были составлены два 、 описания прибаров^жотарые студенты „должны освоить в процессе выполнения лабораторных работ,——описание планиметра и описание осциллографа МПО-2.
Каждое руководство к лабораторным работам содержит следующие разделы: цель работы; теоретическое обоснование работы; описание лабораторной установку и измерительной аппаратуры; содержание и порядок выполнения работы, методика обработки экспериментальных данных;' форма отчета по работе.
Первые три работы полностью охватывают раздел программы курса теоретической механики «Гармонические колебания материальной точки».
В первой и второй работах студенты знакомятся с широко применяемыми на практике методами определения частот свободных колебаний упругих систем; в этих работах упругая система состоит из стального стержня с грузом на конце, совершающего поперечные колебания, близкие к колебаниям системы с одной степенью свободы. В первой работе осуществляется запись затухающих колебаний, полученных отклонением стержня из равновесного положения. Для записи применяется индукционный датчик и шлейфовый осциллограф МПО-2. Обработка экспериментальной осциллограммы позволяет определить частоту свободных колебаний и логарифмический декремент коле* баний.
Во второй работе собственная частота колебаний стержня определяется расчетным способом и проверяется экспериментально резонансным методом.
Третья работа посвящена экспериментальному исследованию- вынужденных колебаний системы, близкой к системе с одной степенью свободы с линейным затуханием, и заключается в построении резонансной кривой и кривой фазовых смещений. Возбуждение вынужденных колебаний осуществляется здесь так же, как и во второй работе. Для измерения амплитуд колебаний применено простейшее устройство ——мерный клин. Фазовые смещения определяются по фигурам Лиссажу, получаемым на , экране электронного осциллографа. Для этого на горизонтальные пластины осциллографа подается напряжение, пропорциональное возмущающе百 силе, а на вертикальные плас- ТИ.НЫ ——напряжение датчика перемещений стержня. Механическая часть лабораторной установки в этой работе отличается от установок для первых двух работ тем, что в ней имеется демпфирующее устройство, позволяющее регулировать сопротивление.-
Четвертая работа позволяет углубить понятие тяжелой и инертной массы и ставится с целью их определения и сопоставления. В процессе экспериментального определения инертной массы определяется также жесткость упругой связи. Тяжелая масса тела определяется путем взвешивания; инертная масса ——при исследовании его гармонического колебательного движения. •
Пятая работа посвящена освоению одного из экспериментальных методов определения моментов инерции материальных тел сложной формы, имеющих плоскость симметрии, положение центра масс которых неизвестно. В процессе выполнения работы студент использует следующие вопросы программы: дифференциальное уравнение вращательного движения, теория физического маятника и теорема о вычислении моментов инерции относительно параллельных осей. В качестве объекта исследования применяется натуральный шатун двигателя внутреннего сгорания.,
В шестой работе студент знакомится с другим экспериментальным методом (многофилярный подвес) определения моментов инерции тела
сложной формы относительно его оси симметрий (шестерни, маховики, диски и т. п.). Хотя этот вопрос непосредственно в программе не' упоминается, однако лабораторная работа, помимо своей целесообразности, демонстрирует одно из применений дифференциального уравнения вращательного движения.
Седьмая и восьмая работы поставлены с целью обучения студентов работе с планиметром при решении некоторых задач теоретической механики. В седьмой работе определяются площадь и статический момент плоского сечения детали, заданного чертежом. В восьмой работе определяется вес и момент инерции тела вращения, заданного чертежом.
Перечисленные работы охватывают лишь некоторые разделы программы по теоретической механике. Поэтому кафедра продолжает работать над постановкой новых лабораторных работ, расширяющих круг вопросов программы. В последнее время поставлены еще три новые лабораторные работы:
Определение момента инерции тела методом раскручивания.
Торсиографирование крутильных колебаний.
Баллистический маятник.
В первой работе студенты используют темы программы ——дифференциальное уравнение вращательного движения и теорему об изменении кинетической энергии при вращательном движении.
Во второй работе студенты кроме ознакомления с крутильными колебаниями механических систем осваивают один из распространенных механических торсиографов типа Гейгера, изучают методы обработки как простейших торсиограмм, так и торсиограмм с 《биением》. Эта работа представляет интерес в一 первую очередь для студентов, изучающих крутильные колебания в специальных курсах. Выполняют эту работу студенты не всех специальностей, а только специальностей: «Двигатели внутреннего сгорания», «Тракторостроение» и «Динамика и прочность машин».
Третья работа на баллистическом маятнике ставится с целью экспериментального определения некоторых величин, характерных при ударе.
Кроме того, подготавливаются к постановке две лабораторные работы. Одна из них на применение теоремы об изменении количества движения материальной точки при ее движении по наклонной плоскости и другая ——определение момента инерции тела с помощью прибора Н. Е. Жуковского.
Перечисленные лабораторные работы выполняются в течение одного семестра параллельно с изучением раздела динамики. На проведение лабораторных работ в учебном плане отводится 16 лчасов. Занятия проводятся раз в две недели по два часа. В течение семестра студент выполняет по 8 лабораторных работ, перечень которых устанавливается в соответствии со специальностью. При проведении лабораторных работ академическая группа разбивается на две подгруппы, каждая из которых разбивается на несколько бригад по 3——4 студента, работающих на отдельных рабочих местах. Руководство работой трех-четырех бригад осуществляется одним преподавателем. Смена рабочих мест бригадами в последующих занятиях проводится согласно заранее составленному графику. Такая организация обеспечивает непосредственное участие всех студентов в выполнении каждой лабораторной работы.
Опыт проведения лабораторных работ в течение ряда лет позволяет нам оценить влияние организации лаборатории на качество преподавания теоретической механики.
Неоспорим факт, что студенты лучше усваивают те разделы курса теоретической механики, которые используются при проведении лабораторных работ. При этом усиливается контроль за работой студента, так как кроме опроса по теории на практических занятиях, при решении задач, выполнение и сдача лабораторной работы сопровождаются также опросом по теории в объеме содержания лабораторной работы.
В процессе выполнения работы студент знакомится с экспериментальными методами решения некоторых задач динамики. Ценным в проведении лабораторных работ является также и то, что студенты знакомятся с современной аппаратурой, как, например, шлейфовый осциллограф, генератор звуковых сигналов, катодный осциллограф, торсиограф и т. д.
Лабораторные работы по теоретической механике наглядно убеждают студентов в том, что методы теоретической механики неразрывно связаны с инженерной практикой и постановкой многих инженерных задач.
Мы считаем, что лаборатория при кафедре теоретической механики является хорошей экспериментальной базой для выполнения научных студенческих работ по линии студенческого научного общества. Студенты более охотно разрабатывают те темы, которые наряду с теоретическими исследованиями предусматривают и экспериментальные исследования.
Создание лаборатории при нашей кафедре дало возможность организовать небольшую механическую мастерскую, которая обеспечивает не только ремонт лабораторного оборудования, но и используется для изготовления некоторых моделей, механизмов, необходимых в качестве наглядных пособий на лекциях и практических занятиях по теоретической механике. '
Систематическое оснащение лаборатории оборудованием и необходимой аппаратурой осуществляется у нас как за счет незначительных госбюджетных средств, выделяемых ректоратом, так и за счет средств промышленности по хоздоговорным научно-исследовательским работам, которые кафедра ведет с харьковскими заводами (завод《Серп и молот», Харьковский .канатный завод и др.). .
За счет этих средств в последнее время кафедра приобрела несколько малых счетно-вычислительных машин клавишного типа, токарный и сверлильный станки, измерительную аппаратуру и т. д.
Кафедра считает, что лабораторный практикум по теоретической механике цолжен расширяться за счет постановки более интересных и совершенных работ как in о разделу 《Динамика》， так и по разделу 《Кинематика》. Этими вопросами в настоящее время занимается коллектив кафедры.
Нам кажется, что в тех вузах, где помещение кафедр и количество часов, отведенных на теоретическую, механику, позволяют организовать лабораторный практикум, необходимо проводить эту работу. Министерство высшего и среднего специального образования СССР должно оказать существенную помощь в оснащении кафедр как лабораторным оборудованием, так и качественными, оригинальными демонстрационными моделями, что повысит уровень физико-математической подготовки современных инженерных кадров в связи с задачами, поставленными перед учебными институтами XXIII съездом КПСС.
〃.-"/ ВЕСЕЛОВСКИЙ
ВОЗНИКНОВЕНИЕ КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
В настоящее время становится правилом чтение курса теоретической механики начинать с исторического введения. Так как при этом иногда сообщаются не вполне достоверные сведения, то имеет смысл осветить, по крайней мере, наиболее интересную часть этого введения —историю возникновения классической динамики,t тем более, что в последнее время очень много сделано для выяснения истории ее создания.
В механике, как и вообще в новой науке, исходным пунктом было создание гелиоцентрической системы мира. Основной толчок для -работы Коперника дала остро чувствовавшаяся необходимость исправления календаря. В 1514 г. был созван для этой цели Латеранский собор, с некоторыми деятелями которого Коперник был в переписке. Собор кончился ничем, так как не имелось точных данных о продолжительности тропического года (промежуток времени между двумя последовательными возвращениями Солнца в точку весеннего равноденствия), от которого зависит смена времен года, а следовательно, и вся хозяйственная деятельность на Земле. Дело в том, что точка весеннего равноденствия (одна из двух точек пересечения экватора с эклиптикой) не остается неподвижной, но перемещается в результате прецессионного движения Земли; поэтому Копернику прежде всего пришлось определить законы ее движения. В этот момент им был сделан революционный шаг. «Движение требует чего-то, что находится в покое》，——пишет он в своем труде (De Revolutionibus кн. II, гл. 14). 《Мы приняли, что сфера неподвижных звезд является совершенно неподвижной и к ней по-настоящему и надо относить движение всех блуждающих светил》. Таким образом, Коперник вводит понятие о необходимости системы отсчета. В настоящее время нам это кажется очевидным, но во времена Коперника дело обстояло иначе. Аристотель определял движение вообще как переход из чего-нибудь во что-нибудь другое, в движении всегда подразумевалась определенная цель, недаром в греческом языке 《цель》и 《конец》выражаются одним и тем же словом 《telos》. Но не только в этом пришлось Копернику разойтись с Аристотелем. Динамика последнего исходила из разделения всех движений на естественные и насильственные. Первые совершались сами собой без какого-нибудь постороннего агента, вторые же для своего осуществления требовали приложения некоторой «силы»; пользуясь современной терминологией, мы назвали бы первые «инерциальными», хотя это и не совсем точно передает их характер. Аристотель разделял вселенную на две части — мир подлунный, подверженный изменениям, и мир надлунный, пребывающий вечно в неизменном состоянии. В подлунном мире естественные движения были прямолинейными, каждое тело стремилось к своему 《месту》； для тяжелых тел таким местом являлась Земля, находящаяся в центре мира, а для легких, стремящихся вверх, — окружающая Землю огненная сфера; целью всякого движения было прийти к своему естественному месту. Что касается неизменного надлунного мира, то для него естественным движением было круговое, движение из чего-нибудь в то же самое; круг признавался символов вечности.
Что касается насильственного движения, то для его произведения из состояния покоя требовалась 《сила》, которую Аристотель назвал dynamis. Она представляла действие одного тела на другое, совершала, как мы сказали бы теперь, некоторую《работу》и была пропорциональна весу движимого тела, расстоянию, на которое передвига- 82
лось последнее, и обратно пропорциональна времени, в течение которого совершалось перемещение. Таким образом, Аристотелева dynamis представляла не что иное, как современную мощность; в переводе на латинский язык dynamis обратилась в potentia, на французском языке она стала называться puissance, а на русском «мощность». Она предполагала взаимное соприкосновение движущего и движимого тела и обращалась в нуль вместе со скоростью. Это вполне соответствовало уровню античной техники, где двигателями были, в основном, животные и рабы, но оказалось неудовлетворительным, когда около 400 года до н. э. в войнах Сиракуз с карфагенянами была изобретена артиллерия (катапульты и баллисты). По существу аристотелево определение «силы» было уже устаревшим в самый момент его появления и в эллинистическое время было заменено другим. В связи с этим следует отметить, что вопреки распространенному мнению философия Аристотеля далеко не всегда пользова _ась авторитетом. Она была отброшена в эллинистическую эпоху в связи с развитием точных наук и возродилась только при реставрации классицизма в эпоху римской империи; затем она была последовательно принята на вооружение победоносной христианской церковью, официальной арабской философией и, наконец, средневековой схоластикой.
Развитие артиллерии в эпоху эллинизма заставило принять другое определение «силы». Так как брошенный катапультой снаряд уже не находился с ней в непосредственном соприкосновении, то предполагалось, что ему была сообщена некоторая《сила》，которая и поддерживала движение; когда она была израсходована на преодоление сопротивлений, то движение прекращалось. Интересно отметить, что в конце Средних веков, а также вместе с развитием огнестрельной артиллерии эллинистическое определение силы выразилось в форме impeto (импульс), который сообщался брошенному телу и измерялся его скоростью. При отсутствии сопротивлений и действия других сил он оставался неизменным, и тело двигалось с постоянной скоростью. Таков был исходный пункт формирования закона инерции..
После этого отступления возвратимся к Копернику. Очень нетрудно было видимое движение небесного свода объяснить вращением Земли, но гораздо труднее было решить, будет ли это вращение естественным или насильственным.
С одной стороны, нельзя было думать, чтобы ангелы приводили во вращение Землю, подобно тому, как в Византии VI в. Козьма Индико- плов предполагал относительно вращения небесного свода; с другой стороны, казалось странным, что естественным движением частиц Земли, тяжелых тел, было по прямой линии к центру мира, а для всей Земли в целом естественное движение должно быть круговым. Коперник выходил из этого затруднения при помощи предположения, что для тел, стремящихся к своему месту, естественное движение будет прямолинейным, а для тел, уже находящихся на своем месте, естественным будет стремление сохранить его; иными словами, они должны вести себя как тела надлунного мира, т. е. совершать круговые движения. Этим объяснениям нельзя отказать в остроумии, но все же искусственность предположения Коперника бросается в глаза. Во второй половине XVI в. (его книга вышла в 1542 г.) теория Коперника не пользовалась большим распространением. Второй большой астроном XVI в. датчанин Тихо Браге утверждал подобно Копернику, что все планеты вращаются вокруг Солнца, но все же «заставил» последнее вращаться вокруг Земли. Для того чтобы можно было принять полностью систему Коперника, нужно было разрушить динамику Аристотеля. Это как раз и было начато Галилеем.
Почти во всех учебниках встречается утверждение, что первый закон Ньютона ——закон инерций ——был высказан уже Галилеем. Однако внимательное чтение произведений Галилея этого не подтверждает: более того, даже неизвестно, каким образом могло возникнуть такое представление. Так как Галилея, как механика, поднял на щит знаменитый Мах, то автор этих строк долгое время думал, что это представление принадлежит Маху; однако последний в своей книге «Механика в своем развитии》 (гл. II, 1, 8; стр. 140 немецкого издания 1901 г.) цитирует работу Вольвиля (1884 г.), показавшего, что «предшественники Галилея и даже сам Галилей, лишь очень постепенно освобождаясь от аристотелевых представлений, дошли до понимания закона инерции》.В своем пути Галилей остановился на стадии введенного Коперником принципа космической инерции, иными словами равномерного кругового движения тел, находящихся на поверхности Земли в своем естественном месте. Широко известна написанная Галилеем художественная картина поведения брошенных шаров, текущей воды, летающих бабочек и т. д. в каюте равномерно движущегося по спокойному морю корабля, но мало кто обращает внимание на то, что этот корабль в действительности движется по дуге большого круга Земли. Решающим местом в этом отношении является следующее. В начале четвертого дня《Бесед и математических доказательств относительно двух новых наук》 Галилей утверждает (стр. 417 русского издания 1934 г.):《Когда тело движется по горизонтальной плоскости, не встречая никакого сопротивления движению, то „.движение его является равномерным и продолжалось бы бесконечно, если бы плоскость простиралась в пространстве без конца. Если же плоскость конечна..., то тело, имеющее вес, достигнув конца плоскости, продолжает двигаться далее таким образом, что к его первоначальному равномерному беспрепятственному движению присоединяется другое, вызываемое силой тяжести, благодаря чему возникает сложное движение, слагающееся из равномерного горизонтального и естественно ускоренного движений； его я называю движением бросаемых тел》.
Исходя из этого принципа, Галилей находит законы параболического движения брошенных тел. Казалось бы, что все закончено, и закон инерции для прямолинейного равномерного движения уже сформулирован. Так сказал бы всякий читатель при чтении Галилея, остановившийся на этом месте. Однако при продолжении чтения он должен будет изменить свое мнение. На 427 стр. понимающий ученик Сагредо указывает, что ось параболы, по которой совершается движение брошенного тела, проходит по вертикали через центр Земли и, следовательно, никакое брошенное тело не может «окончить свое движение в центре Земли》， так что линия падения «должна быть какой-либо иной кривой, отличной от параболы)». Сальвиати, играющий роль учителя, отвечает (стр. 428): 《Все выдвигаемые Вами затруднения и、возражения настолько основательны, что устранить их невозможно, ...я полагаю, что наш автор (Галилей.——И. В.) также не стал бы их отрицать». Поэтому он просит не отказать нашему автору в праве принимать то, что предполагалось «...другими известнейшими учеными, хотя и было неправильно». Он указывает далее, что «Архимед... принимает как правильный принцип, что коромысло весов является прямой линией, равноудаленной во всех своих точках от общего центра всех тяжелых тел, и что нити, к которым подвешены тяжелые тела, параллельны между собой..., и мы смело можем принять шестнадцатую часть градуса соответствующей весьма большой окружности за прямую линию, а два перпендикуляра, опущенных из ее концов,——за параллельные линии... Архимед и другие мученые исходили в своих рассуждениях из предположения бесконечной удаленности от нас земного центра, при каковой предпосылке заключения их совео- шенно справедливы и доказательства абсолютно строги (стр. 429)... кы-
пущенное ядро пролетает в лучшем случае четыре мили, тогда как от центра Земли нас отделяет почти столько же тысяч миль; - заканчивая свое движение у земной поверхности, снаряд может незначительно изменить параболическую линию своего полета таким образом, чтобы она была направлена к центру». Мы видим, что сформулированное Галилеем положение не рассматривалось им как абсолютно верное, а только как приближенное решение, в котором небольшой отрезок окружности может быть принят за прямую линию, иными словами мы снова встречаемся лишь с принципом космической инерции.
■ Большая заслуга Галилея в том, что он разбил одно из основных положений аристотелевской динамики: он доказал, что одно из 《есте- ственных^ движений, а именно по вертикали вниз, в действительноеги является насильственным, происходящим под действием силы веса, и установил законы этого движения, показав, что это будет равноускоренное движение, или, поскольку термина《ускорение》тогда еще не существовало, движение, в котором пройденные пути возрастают пропорционально квадрату времени.
Закон инерции для прямолинейного равномерного движения был сформулирован Декартом и использован для доказательства механических теорем следующим после Галилея творцом классической механики Христианом Гюйгенсом, так что принятый в теории относительности термин «преобразования Галилея» правильнее было бы назвать «преобразованиями Гюйгенса». Основными произведениями Гюйгенса являются два:《06 ударе шаров》и《0 центробежной силе».
Вместо не совсем ясного понятия «impeto» Декарт ввел численно определенную меру движения, а именно так называемое «количество движения». Под этим он понимал величину, измеряемую произведением массы (тогда еще 《веса》) тела на его скорость. Последнюю он определял только как абсолютную величину, не имеющую ни направления, ни даже знака. При помощи этого понятия он установил законы удара тел, а также закон сохранения количества движения. Все эти законы он установил без всяких доказательств, причем законы удара оказались невер- 11ыми, -как потом показал Гюйгенс в своей первой работе. Изучение удара тел стояло тогда в динамике на первом месте, как исследование механизма действия на движущиеся тела других сил, кроме тяжести. Гюйгенс показал, что количество движения наряду с величиной должно иметь также и знак (рассматривался только удар шаров, движущихся по одной прямой). Он исходил из принципа, что центр тяжести системы тяжелых тел не может подняться на высоту, большую первоначальной, если на систему не действуют никакие другие активные силы. С нашей точки зрения такого рода удар называется абсолютно упругим; в нем кроме количества движения сохраняет постоянную величину также и сумма произведений масс тел системы на квадраты их скорости; так появилась (у Гюйгенса без специального названия) вторая мера движения, которую в дальнейшем Лейбниц, обязанный во многом Гюйгенсу, назвал живой силой. Гюйгенс доказал, что в изучаемом им виде удара сумма живых сил обоих соударяющихся тел остается постоянной в течение всего процесса удара.
Еще более важной была вторая работа Гюйгенса 《0 центробежной силе». Галилей * показал, что под действием силы веса тела движутся, как мы сказали бы теперь, с постоянным ускорением. Гюйгенс нанес второй удар динамике Аристотеля, показав, что второе естественное движение ——круговое— тоже является насильственным, поскольку в нем также имеется некоторое ускорение. Интересен тот вывод, при помощи которого Гюйгенс получил этот результат. Натяжение веревки, к которой подвешен некоторый груз, он отождествлял с натяженим, которое получается, если груз, привязанный к веревке, будет вращаться в гори-
зонтальной плоскости вокруг точки закрепления. Если в первом случае натяжение получается от действия силы тяжести, то и во втором оно должно быть произведено тоже некоторой силой, которую он назвал центробежной. Так как под действием силы тяжести получается движение с некоторым ускорением (Гюйгенс говорил о «движении, в котором пути будут пропорциональны квадрату времени》，так что ускорение соответствовало коэффициенту пропорциональности в уравнении соответствующего движения), то и величину центробежной силы можно получить, определив величину ускорения, которое она стремится сообщить этому телу. Для этого нет надобности рассматривать все получающееся
，Интересен сам вывод, который употребил Гюйгенс.Он рассматривал вращающийся в горизонтальной плоскости диск, от，Интересен сам вывод, который употребил Гюйгенс.Он рассматривал вращающийся в горизонтальной плоскости диск, отдвижение, достаточно изучить его лишь в самом начале в течение весьма малого промежутка времени. Для обозначения этой силы Гюйгенс первоначально пользовался термином «стремление» (conafus), позднее он кроме этого термина безразлично пользовался словом 《vis》 сила. Таким образом, для одного и того же тела Гюйгенс установил принцип пропорциональности между силой и ускорением, иными словами, формулировал второй закон Ньютона, причем в более ясной форме, чем это сделал последний.
，Интересен сам вывод, который употребил Гюйгенс.
Он рассматривал вращающийся в горизонтальной плоскости диск, от
，Интересен сам вывод, который употребил Гюйгенс.
Он рассматривал вращающийся в горизонтальной плоскости диск, от
края которого отскочила некоторая частица, продолжающая по инерции свое прямолинейное движение с начальной скоростью. Гюйгенс поставил вопрос, каким представится это движение для наблюдателя, находящегося на вращающемся диске. Пусть О центр вращающегося диска, а ОА ——его радиус г. Частица оторвалась в точке Л и движется с начальной скоростью и по прямой Ау. Пусть за весьма малый промежуток времени t она переместится в точку 占，пройдя отрезок AB = vt. За это же время первоначальный радиус ОА перейдет в положение OB'. Так как начальная скорость и совпадала с окружной скоростью вращающегося диска, то дуга ABf=AB = vt. В таком случае перемещение частицы, отскочившей от диска, изобразится отрезком ВВ7. Так как угол BfOA=^^) очень мал, то перемещение АС по радиусу, равное BBZ cos 屮，можно тоже считать равным ВВ\ Из прямоугольного треугольника ABfD получаем: ABf2=AC -AD, или (vt)2 = AC -2г. Таким образом, пройденный путь s = АС = ВВ7 выразится формулой
Сравнивая это с законом равноускоренного движения s =，видим,
что получающееся ускорение будет равное = -^—. Таким образом, рав-
номерное круговое движение совершается с ускорением а =, иными
словами, оно тоже будет насильственным, произведенным некоторой силой. На долю Ньютона осталось лишь определить, что эта сила будет всемирным тяготением-
Нужно отметить, что Гюйгенс не ограничился лишь определением ускорения в относительном движении. Он рассмотрел тзсю траекторию отскочившей частицы по отношению к диску; таким образом родилось понятие об эвольвенте (в рассматриваемом случае относительная траектория является эвольвентой круга). Но Гюйгенс не ограничился установлением пропорциональности между силой и ускорением. Во введении к трактату «О центробежной силе» он пишет («Три мемуара по механике», изд. АН СССР, 1951, стр. 256): «Указанное стремление со-
вершенно сходно с тем стремлением, с каким подвешенные весомые тела стремятся двигаться вниз. Отсюда мы заключаем, что центробежные силы разных тел, движущихся по одинаковым кругам с одинаковой скоростью, относятся друг к другу как веса тел или как количества материи».
Так как Ньютон определяет массу именно как количество материи, то мы можем заключить, что Гюйгенс представлял второй закон движения как раз в той форме, которая после всех дискуссий картезианцев с лейбницианцами установилась в начале XIX в.: Сила равна произведению массы на ускорение.
Это будет еще более ясным, если мы приведем следующую выдержку х из «Трактата о свете», опубликованного в 1690 г., но написанного, как говорит сам Гюйгенс, двенадцатью годами раньше, т. е. в 1678——1679 гг., за десять лет до опубликования «Математических начал естественной философии» Ньютона. В начале 3-й главы (《О преломлении») он пишет: 《...если верно..., что для сообщения некоторой горизонтальной скорости различным телам требуются силы, пропорциональные содержащейся в них сплошной материи, и если отношение этих сил будет одинаково с отношением весов тел, что подтверждается опытом, то количества материи, образующей эти тела, будут тоже пропорциональны их весам. Но мы видим, что вес воды составляет приблизительно лишь четырнадцатую часть веса одинакового количества ртути; следовательно, материал воды не заполняет и четырнадцатой части пространства, занимаемого ее массой》. Справедливость требует, однако, отметить, что приоритет в установлении понятия о массе принадлежит Ньютону, так как трактат 《О центробежной силе» был опубликован только после смерти Гюйгенса. Таким образом, в распоряжении Гюйгенса были, по крайней мере, два первых закона Ньютона, что является вполне достаточным для решения задач динамики точки. Что Гюйгенс мог это сделать, показывает то обстоятельство, что он действительно нашел закон движения брошенного тела в среде с сопротивлением, пропорциональным первой степени скорости (он не опубликовал его, сказавши «изящно, но не соответствует действительности»). Тогда естественно спросить, почему он этого не сделал?
Говорят, что существуют три степени понятия. Самая первая соответствует тихой радости человека, что он понял какую-нибудь теорию, вторая бывает тогда, когда он может воспроизвести ее, и, наконец, третья, когда он в состоянии ее опровергнуть Именно на этой стадии находился Гюйгенс по отношению к первой аксиоме Ньютона. Как известно, при ее установлении Ньютон пользовался понятием абсолютного пространства; оно и служило той системой отсчета, по отношению к которой следует рассматривать все совершающиеся движения. Гюйгенс отчетливо сознавал, что всякое движение является относительным, и в качестве системы отсчета можно рассматривать только материальные тела. Если считать системой отсчета абсолютное пространство, то неужели мы должны считать его находящимся в покое на том основании, что нам кажется нелепым предположение о его движении? Для абсолютного пространства понятие покоя или движения также неприложимо, как, например, вопрос о его цвете. В первой аксиоме Ньютона рассматривается изолированная точка, на которую не действуют никакие окружающие тела. Но если, кроме этой точки, не существует никаких других материальных тел, то об этой точке мы не можем даже сказать, находится ли она в покое или движется. Но если отпадает первая аксиома Ньютона, то отпадает и понятие о силе, которую эта аксиома определяет как причину, изменяющую скорость тела. Все это Гюйгенс отчетливо сознавал в конце своей жизни и поэтому не мог создать систе- А^атическое изложение механики, которое удалось гениальной ограни-
ценности Ньютона； Правду говорит скандинавская мудрость: 《В меру быть умным уместно для смертных, Многого лучше не знать;
Редко тот радостен сердцем, чей разум Больше чем надо узнал/.
И для Гюйгенса, и для Ньютона было совершенно ясно, что прямолинейное и равномерное движение системы не может быть замечено наблюдателем, находящимся на этой системе. Но как обстоит дело с вращательным, или круговым, движением, как его тогда называли? Ньютон считал, что такое движение можно считать абсолютным, существующим независимо ст системы отсчета: например, доказательство вращения Земли можно видеть в том, что последняя имеет форму сплющенного эллипсоида вращения. Такого мнения долго держался и сам Гюйгенс, определивший влияние центробежной силы на величину ускорения силы тяжести на различных широтах, а также приписывавший сплющенность Земли именно центробежным силам, развивающимся при ее вращении; однако под конец жизни он изменил свое мнение. Лейбниц 22 июня 1694 г. пишет ему: «Мне, однако казалось, что и Вы сами когда-то придерживались мнения г-на Ньютона относительно кругового движения». Гюйгенс отвечает ему (24 августа 1694 г.): «Что касается абсолютного и относительного движения, то я удивляюсь Вашей памяти, так как Вы вспомнили, что когда-то я придерживался мнения г-на Ньютона относительно кругового движения. Это верно и всего лишь 2 или 3 года тому назад я нашел другое более истинное решение». Еще более ясно он высказывается в письме к Лейбницу от 29 мая 1694 г.: «Скажу Вам только, что в Ваших заметках относительно Декарта я нашел, что Вы считаете «нелепым, чтобы не имелось никакого истинного движения, но существовали бы лишь относительные^. Но это как раз то, что я считаю вполне установленным; меня не останавливают ни рассуждения, ни эксперимент Ньютона в его «Началах философии»; я знаю, что он ошибается, и мне хочется посмотреть, не отречется ли он в новом издании этой книги, которое должен дать Давид Грегори».
«Эксперимент», на который указывает Гюйгенс, есть не что иное, как знаменитый опыт с ведром, наполненным водой и подвешенным на длинной закрученной веревке. При помощи этого опыта Ньютон доказывает, что поднятие воды у стены ведра объясняется не относительным движением воды по отношению к стенкам, но «истинным и абсолютным» вращательным движением, которое мало-помалу распространяется в жидкости от стенок, как только вода начинает вращаться.
Ни в рукописях Гюйгенса, ни в его переписке не удалось найти ничего, что могло бы позволить исследователю уточнить утверждение великого голландца. Зато мы знаем, какого рода мысли по поводу опыта Ньютона зародились в головах ученых XIX и XX вв. На недоказательность опыта Ньютона обратил внимание Мах, указавший, что причиной поднятия воды у стенок вращающегося ведра является все же относительное движение воды по отношению к совокупности неподвижных звезд и что совершенно неизвестно, какие явления наблюдались бы, если бы ведро с водой оставалось неподвижным, а вокруг него вращалась вся совокупность неподвижных звезд. Всей силы своего замечания Мах еще не представлял, но через несколько десятков лет это место в его книге попалось на глаза другому гениальному мыслителю Альберту Эйнштейну и послужило толчком к созданию общей теории относительности. Трактат «О центробежной силе» и замечание об ее влиянии на величину ускорения силы тяжести на различных широтах показывают, что Гюйгенсу принадлежит приоритет в создании понятия о силах инерции, которое вызвало столько споров среди советских механиков в тридцатых годах нашего века.
4 С. КЕЛЬЗОН
/О НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОЙ РАБОТЕ
КАФЕДРЫ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ ЛЕНИНГРАДСКОГОВЫСШЕГО ИНЖЕНЕРНОГО МОРСКОГО УЧИЛИЩА им. адм. С. О. МАКАРОВА
В течение последних лет' (точнее с 1955 г.) на кафедре теоретической механики училища ведутся научные работы в двух направлениях: исследование вибраций вращающихся валов; исследование кинематики, динамики и устойчивости движения при самонаведении и расхождении.
Небольшой коллектив кафедры, включающий шесть преподавателей, научного сотрудника, аспиранта и лаборанта, не мог бы справиться со сравнительно большим объемом работы, если бы не привлекал к ней систематически курсантов.
Первое направление ——исследование динамики роторов возникло на основе теоретических и экспериментальных работ, которые были выполнены в середине пятидесятых годов [1]——[3].
В связи с тенденцией в современном машиностроении увеличивать скорости вращения валов в промышленности стали все чаще и чаще сталкиваться с недопустимой вибрацией роторов, вследствие которой преждевременно выходили из строя подшипники. Попытки использовать эффект самоцентрирования гибкого вала Лаваля не давали нужных результатов по ряду причин: при подшипниках скольжения в зоне, превышающей удвоенное значение первой критической скорости, возникали стойкие автоколебания с большими амплитудами; у тонких роторов, в закритической зоне, автоколебания возникали вследствие внутреннего трения. У роторов с большой жесткостью, вращающихся в подшипниках качения, переход через критические числа оборотов сопровождался недопустимыми виброперегрузками и амплитудами колебаний. Таковы были главные, но не единственные причины, препятствовавшие дальнейшему росту скоростей роторов.
На основе разработанной теории и экспериментальных данных, полученных в результате большого числа опытов, проведенных на машиноиспытательной станции Ленинградского машиностроительного завода им. К・ Маркса, кафедра разработала меры по устранению опасных Колебаний высокооборотных роторов.
Начиная с 1961 г. кафедра систематически ведет в этой ,области научно-исследовательские работы по договорам с промышленностью.
За эти годы выполнены работы для Ленинградского СКТБ машин химических волокон. Костромского СКТБ, Ленинградского машиностроительного завода им. К. Маркса, Челябинского тракторного завода. В настоящее время кафедра ведет работы по договорам с Хабаровским заводом «Энергомаш» и Московским научно-исследовательским и конструкторским институтом химического машиностроения.
В соответствии с разработанной теорией и накопленным экспериментальным опытом для уменьшения виброперегрузок в опорах и обеспечения легкого перехода через критические числа оборотов кафедра применяет упругие опоры. Если рабочее число оборотов располагается выше первого и ниже второго критического числа оборотов, то ротор устанавливается в одной шарнирной и второй упругой опоре. Если же рабочее число оборотов вала лежит выше второго критического числа оборотов, то вал устанавливается в двух упругих опорах. Выбирая надлежащим образом жесткость упругих опор, можно обеспечить легкий переход через первую критическую скорость (для вала с одной упругой опорой)., и прохождение с малыми амплитудами и виброперегрузками двух критических скоростей (для вала с двумя упругими опорами).
При этом нет необходимости введения каких-либо искусственных демпферов. Для высокооборотных жестких роторов, вращающихся в двух упругих опорах, используется эффект самоцентрирования, теоретически обоснованный в работе [1].
Результаты теоретических и экспериментальных исследований в этой области опубликованы в ряде работ [4]——[15]. В этой же области члены кафедры совместно с работниками промышленности внедрили пять изобретений.
О работах по динамике роторов преподаватели кафедры докладывали на I и II Всесоюзных съездах по теоретической и прикладной механике в Москве и на совещаниях по нелинейным колебаниям в Риге и Ленинграде: это способствовало научному росту молодых преподавателей, участвовавших в работах.
К недостаткам работы в этой области следует отнести, во-первых, отсутствие у кафедры собственной экспериментальной базы; до сих пор все экспериментальные работы проводились непосредственно на заводах и только в настоящее время кафедра приступила к трудным работам по созданию собственных испытательных стендов с современной измерительной аппаратурой, где можно будет ставить опыты по специальным задачам.
Во-вторых, разработка теории далека от окончания и хотя имеющиеся экспериментальные данные дополняют теорию и позволяют в большинстве случаев находить наилучшие решения, тем не менее теоретическое решение ряда проблем динамики роторов настоятельно диктуется заводскими потребностями.
В-третьих, кафедра имеет аналоговые вычислительные машины, но пока лишена возможности систематически использовать в своей научноисследовательской работе цифровую вычислительную машину.
Это направление научной работы кафедры отразилось на ее учебной работе.
Вопросы уменьшения вибрации вращающихся валов представляют теоретический и практический интерес для инженеров, подготавливаемых на судомеханическом и электромеханическом факультетах училища. Поэтому ученые советы указанных факультетов ввели в учебный план новый курс «Поперечные и крутильные колебания валов》，который читается преподавателями кафедры на третьем курсе. В этом курсе в разделе поперечных колебаний излагаются, в частности, теоретические и экспериментальные результаты, полученные кафедрой.
Каждый курсант выполняет и защищает по этому курсу проект, рассчитывая динамику конкретного вала с заданным диапазоном рабочих скоростей, выбирая и рассчитывая упругие опоры. Следует отметить большой интерес курсантов к изучению этого специального курса. Объясняется это, в частности, тем, что на современных крупнотоннажных судах некоторых типов наблюдаются частые выходы из строя валопровода из-за повышенной вибрации и, таким образом, актуальность этого курса для курсантов ясна.
Второе направление научной работы кафедры ——разработка кинематики, динамики и устойчивости движения при некоторых способах самонаведения управляемых объектов и расхождения судов. Это направление разрабатывается параллельно с первым.
Среди способов сближения наибольший теоретический и практический интерес представляют методы, в которых определен закон изменения направления скорости объекта в зависимости от движения цели.
К таким способам относится чистое сближение или движение по кривой погони, первое решение которой было дано французским ученым Бугером еще в 1732 г. В последние годы в связи с потребностями новой техники возникли другие способы: сближение с постоянным углом
упреждения, параллельное сближение и пропорциональная навигация. Именно в этой области и развернулись работы ряда преподавателей кафедры. В серии работ, опубликованных в докладах Академии наук СССР [16]——[18], была разрешена проблема динамики устойчивого сближения с учетом инерции объекта, рассматриваемого как твердое тело с рулем управления. Эти работы были опубликованы в переводе на английский язык в Нью-Йорке.
В работах [18], [21], [23] были получены точные решения дифференциальных уравнений пропорциональной навигации при любых целочисленных значениях навигационной постоянной. Можно отметить, что в известной книге А. Локка, посвященной этой проблеме и изданной в США в 1955 г., эта задача была признана неразрешимой в замкнутом виде. Казалось бы, что полученное в указанных работах замкнутое решение должно было дать ответ на все вопросы. Однако эта задача, вопреки обычному представлению, не была на этом закончена. Дело в том, что полученное решение выражалось* через корни некоторой трансцендентной фуцкции и, таким образом, зависело от нескольких параметров.
Для анализа влияния этих параметров на характер сближения необходимо было дополнить полученные точные решения качественным анализом. Этот анализ был проведен в работах [22] и [24]. Особо сложным он оказался для важного на практике случая, когда р< 1, т. е. скорость объекта меньше скорости цели. Было доказано [24], что и в этом случае имеется зона параметров, обеспечивающих устойчивое и точное сближение до встречи.
Результаты этих работ были подытожены в двух монографиях [25] и [26]. Следует отметить, что проблема пропорционального сближения в кинематическом и динамическом аспектах оказалась настолько многогранной и разветвленной, что несмотря на то, что основные результаты уже получены, остается еще много деталей, требующих исследования.
В частности, оказалось полезным использование пропорциональной навигации не только для решения задачи встречи, но и для обратной задачи, например для расхождений судов в море при автоматическом управлении курсом. При этом достаточно произвести надлежащий выбор навигационной постоянной в зависимости от соотношения скоростей объекта и цели.
Научная работа кафедры отразилась и на содержании основного курса теоретической механики. Так в учебном пособии «Теоретическая механика в примерах и задачах» (т. 1——третье издание, т. 2 ——второе издание 1964 г.), написанным совместно с Г. Ю. Джанелидзе и М. II. Бать, нашли отражение оба направления научной работы кафедры. В 1-м томе широко представлены задачи самонаведения в разделе кинематики сложного движения, во 2-м томе в главе, посвященной малым колебаниям системы, детально рассматриваются задачи о свободных и вынужденных колебаниях жестких роторов, вращающихся в упругих опорах. Исследуется влияние вязкого трения, гироскопических сил, аффект самоцентрирования, определяются условия, при которых динамические составляющие реакций между валом и упругими опорами обращаются в нуль при наличии статической и динамической неуравновешенности ротора.
На заседаниях кафедры обсуждаются план, ход и результаты выполнения как научно-исследовательских работ, выполняемых по договорам с предприятиями, так и теоретических исследований, входящих в план госбюджетных научно-исследовательских работ. При кафедре имеется аспирантура по специальности «Динамика и прочность машин, аппаратов и приборов». Аспиранты участвуют в выполнении договорных научно-исследовательских работ, которые входят составной частью в подго-
тавливаемые диссертации. Так, например, аспирант К- К. Малиновский занят разработкой методов расчета упругих колец оригинальной конструкции, созданной на кафедре и внедряемой на заводах.
Кафедра систематически привлекает к научной работе курсантов. Так, в настоящее время в договорных научно-исследовательских работах принимает участие десять курсантов. Результаты этих работ докладываются на ежегодных научно-технических конференциях курсантов училища. Так, в 1966 г. на конференции было доложено девять работ с участием 13 курсантов. Среди работ следует отметить оригинальные исследования: «Построение траекторий пропорциональной навигации в случае Ь<1》，«Построение сепаратрис при пропорциональной навигации в случае Ь<1》，«Устранение опасных колебаний высокооборотных вертикальных роторов».
В научно-исследвательской работе курсантов широко используются электронные моделирующие установки МН-7. Пять работ, выполненных на этих счетных машинах, были доложены курсантами на конференции. Среди них можно отметить: «Исследование системы самолет-автопилот на электронной моделирующей установке》， «Определение траектории снаряда в сопротивляющей среде на электронной моделирующей установке» и т. д.
Следует отметить, что исследование свободных и вынужденных колебаний на машинах МН-7 включено в перечень лабораторных работ, выполняемых курсантами ряда факультетов.
Среди курсантов училища наблюдается тяга к участию в научной работе кафедры, и здесь мы, к сожалению, вынуждены привлекать к этой работе только небольшую часть желающих, так как возможности обеспечить руководство этой работой со стороны кафедры ограничены. Все члены кафедры принимают непосредственное участие в научных исследованиях, проводимых на кафедре, что способствует их научному росту и благотворно влияет на педагогическую деятельность.
Литература
Кельзон А. С. Самоцентрирование и уравновешивание жесткого ротора в двух упругих опорах. Доклады -Академии наук СССР, т. 110, вып. 1, 1956.
Кельзон А. С. Динамика жесткого ротора, вращающегося в двух упругих опорах. Ученые записки ЛВИМУ им. адм. Макарова, 1958, № 10.
Кельзон А. С., Семенов В. И. Некоторые вопросы динамики упругоопорных веретен. «Текстильная промышленность», 1953, № 4.
Кельзон А. С., М у ш и н а Н. И. Исследование вибраций быстроходных роторов с учетом натяга пружины. Известия Академии наук СССР. ОТН 《Механика и машиностроение», 1959, № 3.
Кельзон А. С., М у ш и н а Н. И. Колебания самоцентрирующейся центрифуги. Известия Академии наук СССР, ОТН «Механика и машиностроение», 1961, № 3.
Кельзон А. С. Исследование влияния вязкого трения на колебания и устойчивость жесткого ротора, вращающегося в шарнирной и упругой опорах. Известия Политехнического ин-та в Яссах, т. 7/11, вып. 3—4, 1961.
Кельзон А. С. Исследование динамики центрифуги со сферическим демпфером. Известия вузов. «Технология текстильной промышленности», 1962, № 2.
Бергер Е. Г., Кельзон А. С., Т р е й е л ь В. К. Резонансные колебания жесткого ротора, вращающегося в упругой и шарнирной опорах. Научные труды ММФ СССР, 1964, № 1. “
Гутман Г. М., Кельзон А. С. Конструкция веретен с жестким приводом. «Общее машиностроение», 1962, № 7.
Бергер Е. Г., Кельзон А. С. Влияние вязкого трения на самоцентрирование жесткого ротора, вращающегося в упругих опорах. Известия вузов. «Машиностроение», 1963, № 5. *
Кельзон А. С., Прядилов В. И. Устойчивость, переход через критические числа оборотов и автоколебания быстроходных веретен. Известия вузов. «Технология' текстильной промышленности», 1963, № 2.
Кельзон А. С., Троицкая 3. В. Самоцентрирование и уравновешивание высокооборотпого компрессора. Известия Академии наук СССР. 《Механика и машимп- строение», 1963, № 3.
Бергер Е. Г., К е л ь з о н А. С. [и др.]. Исследование колебаний системы соосных роторов. Известия вузов. «Машиностроение», 1963, № 4.
Бергер Е. Г., К е л ь з о н А. С. Самоцентрирование системы соосных роторов. «Вестник ЛГУ», 1963, № 3.
Кельзон А. С., Прядилов В. И. Устранение опасных колебаний вертикальных роторов. Известия Академии наук СССР. «Механика», 1965, № 6.
Кельзон А. С. Самонаведение как задача технической кибернетики. Доклады Академии наук СССР, т. 116, вып. 6, 1957.
Григорьева О. В., Кельзон А. С. Пропорциональная навигация как проблема кибернетики. Доклады Академии наук СССР, т. 121, вып. 3, 1958.
Кан В. Л., Кельзон А. С. Об устойчивых и неустойчивых траекториях пропорциональной навигации. Доклады Академии наук СССР, т. 130, вып. 6, 1960.
Григорьева О. В., Кельзон А. С. Динамика самонаведения по методу пропорциональной навигации. Ученые записки ЛВИМУ им. адм. Макарова, 1958, № 12.
Григорьева О. В., Кельзон А. С. Учет инерции руля в некоторых задачах наведения. Известия вузов. «Авиационная техника», 1961, № 4.
Кан В. Л., Кельзон А. С. Точные решения уравнений пропорциональной навигации. Известия вузов. «Математика», 1962, № 1.
Кан В. Л., Кельзон А. С. Исследование общей задачи пропорционального сближения. Научные труды ММФ СССР, 1964, № 1.
Кан В. Л., Кельзон А. С. Решение одной задачи преследования. Известия Академии наук СССР. «Механика», 1965, № 5.
К а н В. Л., Кельзон А. С- Качественное исследование траекторий пропорциональной навигации. Известия вузов. «Радиофизика», 1965, № 6.
Кельзон А. С. Динамические задачи кибернетики. Судпромгиз, 1959.
Кан В. Л., Кельзон А. С. Теория пропорциональной навигации. «Судострое- ,нне》，1965.
〃.М. ВОРОНКОВ
О ПРИНЦИПЕ ГАУССА ДЛЯ НЕГОЛОНОМНЫХ СИСТЕМ
Рассмотрим механическую систему из п материальных точек Mi{xi,玄，&), движущихся под действием заданных сил Q, проекции которых на координатные оси равны Х〃, У?, Z?. Если ускорения этих точек обозначим через 呼?，а их массы ——через т^ то, следуя Гауссу, скалярную величину
(О
.называют «принуждением».
Если, пользуясь терминологией Даламбера, разность — ——Wi на- звать ускорением, потерянным точкой Mi благодаря эффекту наложенных на систему связей, то величина Г представляет собой энергию потерянных ускорений.
Принцип Гаусса или принцип наименьшего принуждения, как известно, состоит в следующем: в каждый момент t значение принуждения Г, соответствующее действительным ускорениям материальных точек системы, является минимальным по сравнению со всеми другими его значениями, соответствующими возможным ускорениям этих точек,
т. е. ускорениям, допускаемым в данный момент наложенными на систему связями при условии, что скорости материальных точек системы остаются такими же,、ак 七 ее действительном движении. Отсюда следует, что при ускорениях Wi, равных ускорениям точек системы в ее действительном движении, будем иметь:
注=一三函一m两＞3忆=0(1)
(О
или в координатной форме
2 [(X, - miW^) 6吃х十(%一”团渺g3呼埼+ (Z, —m渺小讷目=0，(2) (0
т. е. вариация принуждения в действительном движении системы равна нулю.
Уравнение (1) отличается от общего уравнения динамики, выражающего принцип Даламбера——Лагранжа, только тем, что в нем вместо виртуальных перемещений 6片 материальных точек системы пишутся вариации 8Wi ускорений этих точек. Поэтому это уравнение можно назвать общим уравнением динамики в форме Гаусса.
Для систем с линейными неголономными связями принцип Гаусса можно вывести из принципа Даламбера—Лагранжа, предполагая, что эти связи являются идеальными. Но в случае неголономных связей общего вида этого сделать нельзя, не зная структуры связей или, точнее, не установив, по отношению к каким перемещениям системы эти связи являются идеальными. Поэтому нельзя утверждать, что принцип Гаусса применим ко всякой неголономной системе. Целью настоящей работы является выяснение вопроса, какому условию должны удовлетворять реакции неголономных нелинейных связей, чтобы для системы с такими связями был справедлив принцип наименьшего принуждения.
Пусть на данную механическую систему наложены неголономные связи, уравнения которых имеют вид
/и (%,, У「2，，％j, Di, 2j, %) =。； (v — 1, 2,…，СГ).(3)
Дифференцируя эти уравнения по /, получим ст уравнений, которым должны удовлетворять ускорения материальных точек системы при наличии связей (3):
0勿及7 丿' dxi
+ У1 +=0; (V = 1, 2, ... , cr).(4)
Отсюда, принимая во внимание, что в принципе Гаусса вариируются только ускорения, получаем следующие условия, налагаемые на гауссовы вариации 6^ ускорений точек данной системы:
++(У = 1,2,..., 0).(5)
' dxjду idzi
Обозначим через Ох», 5у^, 6w? проекции на координатные оси перемещений 6g точек данной системы, удовлетворяющие уравнениям Четаева, т. е. уравнениям
叽汝+= (у = 1,2,..., о).(6)
dxidyidz： '
На основании 2-го основного закона динамики имеем: Л+^;——疗％呼2 = 0; (z = 1,2, 、. .,〃)，где Ri есть реакция связей, приложенная к точке
Mi. Умножая скалярно эти уравнения на 8呼.и затем суммируя их, получим:.
2 (e-恤忆)•押,十2瓦• 6耽=0.(7)
(О(О
Предположим теперь, что к данной системе_применйм принцип Гаусса. Тогда в силу уравнения (1) будем иметь: ZRi • д^^О или в координатной форме
±(R/修 + R@yi + R•歯)=。.(8)
(О
Если положим Ext =也乂岂 己山=恥抗、6引=力Bzj, где k ——коэффициент пропорциональности, а перемещения бх?, буз *8z〃 удовлетворяют уравнениям (6), то такие вариации 5%心 8у〃，дг^ будут, очевидно, удовлетворять уравнениям (5), а поэтому являются гауссовыми вариациями ускорений и, следовательно, удовлетворяют уравнению (8), которое принимает вид:
2 (R，岔修+氐谪少+r杀»)—。
или0瓦.比=0.(9)
Отсюда приходим к заключению: если к данной неголономной системе применим принцип Гаусса, то сумма элементарных работ реакций него- лономных связей на всяком перемещении системы, удовлетворяющем уравнениям Четаева, равна нулю.
Справедливо, очевидно, и обратное предложение. Предположим, что для реакций неголономных связей, наложенных на данную систему, выполняется уравнение (9) при любых перемещениях 5%高 5у», дг^, удовлетворяющих уравнениям (6). Если положим 5%分=力5%乞， 8у? = ^6у 几 6^ = A6^, где д%г, ^Уг, 6@ ——гауссовы вариации, удовлетворяющие уравнениям (5), то такие перемещения 5%港 5yt, дг^ будут удовлетворять уравнениям (6), а следовательно, по условию и уравнению (9), которое принимает вид
£ (RtxWXf + Rit^yi + R»Z泌)=。ИЛИ ^Ri'^ 吃=0.
Тогда в силу уравнения (7) будем иметь: 2(冗一т^г) • 6^ = 0 или
(I)
дГ = 0, т. е. для данной системы будет справедлив принцип Гаусса, что и требовалось доказать.
Таким образом, приходим к выводу: для того чтобы к данной неголономной системе был применим принцип Гаусса, необходимо 〃 достаточно, чтобы сумма элементарных работ реакций неголономных связей на всяком перемещении системы, удовлетворяющем уравнениям Четаева, равнялась нулю.
Такую систему можно назвать системой типа Гаусса или типа Че- таева. Для такой системы, как на это впервые указал Н. Г. Четаев. будет, очевидно, справедлив и принцип Даламбера — Лагранжа, т. е. сумма элементарных работ заданных сил и сил инерции на всяком перемещении системы, удовлетворяющем уравнениям Четаева, равна нулю.
Предположим теперь, что положение данной механической системы определяется k независимыми обобщенными координатами gi, ^2, • • •, Qiu так что
芻=打(％,依，…，％ , £), yt~yi(Qi» ^2,…，q尼 J),
'/ Zi = Zi(q*q2,…qk,t)； (i =1,2,…〃).
Пусть на эту систему наложены неголономные связи, уравнения которых имеют вид
恥(%,92,…，优，仇，依，…，〃，方) = 0； (У = 1,2, ..., p <^ k)f
где 夕分 есть обобщенная скорость. Тогда, очевидно, будем иметь:
(/)(7)(/).
причем, как это следует из уравнений связей, гауссовы вариации 5g обобщенных ускорений удовлетворяют уравнениям
о%・=0; (v ~ 1,2,..., р).о%・=0; (v ~ 1,2,..., р).
о%・=0; (v ~ 1,2,..., р).
о%・=0; (v ~ 1,2,..., р).
Поступая аналогично предыдущему, нетрудно показать, что для того, чтобы данная система являлась системой типа Гаусса (или типа Че- таева), необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ реакций неголономных связей равнялась нулю на всяком перемещении системы, определяемом вариациями обобщенных координат, удовлетворяющими уравнениям
◎)◎)-^- Wj = 0; (у = 1,2,…，р).
◎)
◎)
В случае одной материальной точки, движение которой подчинено не- голономной связи, принцип Гаусса допускает наглядную геометрическую интерпретацию. Пусть точка М (х,协 г) массы m движется со скоростью и под действием заданной силы F, причем это движение подчинено неголономной связи вида
f(，g,2, %,//, 2/) = 0(10)
' Дифференцируя это уравнение по /, получим
О#西dzдх ду dz dt
Если фиксируем значения 尤，у, 2, х} у.，力 соответствующие данному моменту, 〃, ％, у, 2 будем рассматривать как координаты конца вектора, изображающего ускорение 汐 точки М, то уравнение (И) определяет в системе осей 〃己刀白 плоскость / — геометрическое место концов виртуальных (по Гауссу) ускорений точки М (рис. 1).
戸
Если построим вектор МК= —, то координаты точки К в той же си-
X Y Z—
стеме осей будут равны - , - , —, где X, У, Z — проекции силы F на координатные оси。Предположим, что к движению точки М применим принцип Гаусса. Тогда «принуждение»
имеет для действительного движения точки М наименьшее значение. Но величина, стоящая в квадратных скобкам, выражает квадрат расстояния между точкой К и концом вектора W. Поэтому, если из точки К опустим перпендикуляр KL на плоскость /, то точка L будет концом вектора W, изображающего действительное ускорение точки М. Отсюда
на основании 2-го закона Ньютона вытекает, что реакция связи (10) равна ^=mW—F^= т(ML—MK)二而红и что, следовательно, эта реак-* ция перпендикулярна плоскости /. Поэтому работа этой реакции равна * нулю на всяком элементарном перемещении dr точки М, параллельном плоскости /, т. е. на всяком перемещении, удовлетворяющем уравнению
金_近十.Д- Ъу +з我=0.дхду&
Таким образом, приходим к заключению: если к движению материальной точки, подчиненному неголономной связи (10), применим принцип Гаусса, то элементарная работа реакции этой связи равна нулю на всяком перемещении точки, удовлетворяющем уравнению Четаева.
Из тех же геометрических соображений легко доказать и обратное предложение: если элементарная работа реакции неголономной связи, наложенной на материальную точку, равна нулю на всяком перемещении этой точки, удовлетворяющем уравнению Четаева, то движение точки подчиняется принципу Гаусса.
Заметим, что если в уравнении (10) фиксировать значения переменных х, у, 2,力 соответствующие данному моменту, а переменные х, у, г рассматривать как координаты конца вектора, изображающего скорость точки 7И, то это уравнение определяет в системе осей M&r]W (см. рис. 1) некоторую поверхность II -- геометрическое место концов виртуальных скоростей, которые может иметь точка М в данный момент /' при наличии связи (10). Пусть АГ есть конец вектора и, изображающего действительную скорость точки М в данный момент / (см. рис. 1). Тогда касательная плоскость поверхности II в точке 7И', очевидно, параллельна плоскости /, и, следовательно, реакция R связи (10) имеет направление нормали поверхности II в точке М'. Таким образом, направление реакции неголономной связи (10) определяется аналогично тому, как это делается в случае идеальной голономной связи.
В качестве примера рассмотрим следующую задачу: материальная точка М движется в вертикальной плоскости под действием собственного веса Р и испытывает сопротивление воздуха, сила которого, зависящая от скорости и этой точки и от высоты ее подъема у, равна 方=(р(и, у). Начальная скорость и。точки М составляет с горизонтальной осью Ох данный угол а (рис. 2). Найти траекторию точки при условии, что ее движение является равномерным.
Решение. Так как скорость точки должна сохранять постоянную величину, то в данном случае на материальную точку наложена нелинейная, неголономная связь вида f(x, у) =х^ +у2—^^ = 0.
Если в условии задачи ничего не сказано о реакции этой связи* т. е. о том, каким образом (при помощи какой силы) достигается постоянство модуля скорости, то в таком виде задача является неопределенной. Но если допустить, что к движению точки М применим принцип Гаусса, то работа реакции этой связи на всяком перемещении, удовлетворяющем уравнению
—ох -]——^-»у — 0 или хох 十 уЪу = 0, дх ду
т. е. на перемещении, перпендикулярном к скорости и, должна равняться нулю. Отсюда следует, что эта реакция /? должна быть все время направлена по касательной к траектории точки М,
Тогда согласно принципу Гаусса будем иметь:
汀三(X — m%)决 + (У — ту)迎/ = 0, *
где X =—— 尸-^- и У =—— 尸—mg.
Если обозначим через 0 угол между скоростью и и положительным направлением оси Ох, то х = ^0 cos 0, y = vQ sin 0, х=—и。sin 0. 6 = —у仇 у = и()cos 0. 6 = x6 и, следовательно, 6x =——pb®, 8y=x6Q. Поэтому предыдущее уравнение принимает вид ху——ух——gx = 0. Подставляя сюда значения х и у9 получим ^об+^^О или, полагая — = А0 =——х. Отсюда, б-a——,(12)
т. е. угол поворота вектора и вокруг точки М пропорционален абсциссе этой точки.
Заметим, что этот результат после того, как установлено направление реакции А, можно было бы получить непосредственно 吧2变 основу ного закона динамики, проектируя векторное равенство mW=P-[-F + R на нормаль траектории точки М.
Зависимость между углом 0 и ординатой у находим из уравнения d" = tg 9 dx = —h tg 0 de. Отсюда ea
==(13>
Jcos a
Заменяя здесь угол 0 его значением (12), получаем уравнение искомой траектории
cos (a —•
y = hln .(14)
cos a
Если положим х-=%1 +aA, т. е. если перенесем начало координат вправо по оси % в точку Оь причем 00^ah, то уравнение (14) примет вид
cos
у = hln.(15)
cos a
Отсюда видим, что траектория точки М имеет вертикальную ось симметрии, проходящую через точку О〉•
Так как у— —оо при %l 土 幻比 то эта траектория имеет две вертикаль-' яые ассимптоты (см. рис. 2). При % = а/г точка М достигает наибольшей высоты подъема, причем //тах =——h In cos а. Дальность полета точки М равна, очевидно, 2 a/г, т. е. при одной и той* же скорости и。пропорциональна углу а. Из равенств dx =——hd& = cos 0 ds, где ds есть элементарный путь, пройденный точкой М за время dt, имеем: ds = —Л--. Отсю- cos О
да находим путь, пройденный точкой до* момента наивысшего подъема, a
兔=引鳥Л"%(十+ ^)・о
Следовательно, время наивысшего подъема будет:
友友宀).
友
友
У
Из равенства (13) имеем: cos6 = cosae ” ; отсюда
1/ S
sin 6 = 士 У 1 — cos2 ae ” .
Так как касательное ускорение точки М равно нулю, то
R =尸十 Р sin 9 =屮(и(),у) 土 pV 1 — cos2 ae% .
Таков должен быть закон изменения реакции неголономной связи в зависимости от высоты подъема, причем знак плюс перед радикалом соответствует восходящей части траектории, а знак минус ——ее нисходящей части. *
d0 _ — gdt cos 0иd0 _ — gdt cos 0иРассмотренную задачу можно обобщить. Предположим, что скорость материальной точки М не постоянна, а должна изменяться со временем по определенному закону, т. е. у = Ф(0, где Ф(/)——заданная функция времени. Тогда, сохраняя все остальные условия и обозначения предыдущей задачи, уравнение 6Г = 0 так же, как это сделано выше, приведем к виду: 026 + gx = O; заменяя здесь х через и cos 0, получим иб+g cos 0 = 0 или
d0 _ — gdt cos 0и
d0 _ — gdt cos 0и
Отсюда
Полагая
=呼/),=呼/),
=呼/),
=呼/),
получаем
^(т+т)
или
In tg (T + T)= c，
ГД2 с = Intg (-у + -у) — gB()
Отсюда
^(т+т)
,0
1 + tg W -= eТ
0 l-tgq
Из этого уравнения
находим:
tg± =
1
е° + 1
= th(T)
Далее имеем:
Следовательно,
sin0 =
А потому
Отсюда
十 tg2g= 1+出2(十)=
COS'0
0
2tg^
5g2 (4")
dx = v cos Qdt = •理2匆
ch(r)
ch(r)
1
ch(r)
2 th (£)・ch2 ch(r)
,dp = usin 9 df =(D(f).th(i：) df.
①(/) ch(r)①(/) ch(r)dt , у =[①(Z)・th(i：)dZ.b
①(/) ch(r)
①(/) ch(r)
Эти уравнения определяют движение точки М.
Реакцию неголономной связи находим из уравнения ",祭=R—尸—p sin 0У откуда A =俏①'(/) + 屮(и, у)+夕 th (т).
Эта формула позволяет вычислить силу R для любого момента /.
Если имеем систему п материальных точек Mi (%?, у,, %,), положение которой в каждый данный момент определяется обобщенными координатами 7Ь 我,…，办，то
修=修(％,仙，qh,t), Pi =/Л(%, &,••・，q^, f),z, = 段(4丄，依，…，仇，f)；(i=1,2,... /7).
Отсюда
ллkkfq’+*吁瑞fq’+*吁瑞kk(16)(16)勿=，醤生+各湯(*)+*(*)' 乙=e舞%・+2，И, следовательно,勿=，醤生+各湯(*)+*(*)' 乙=e舞%・+2，И, следовательно,(17)(17)曰曰kk浙=阮、运=E - Eqj.3yt *河，泾‘=f六氾・・纟0力胃0%.浙=阮、运=E - Eqj.3yt *河，泾‘=f六氾・・纟0力胃0%.(18)(18)(19)(19)Пусть на эту систему наложены нелинейные, неголономные связи, нения которых имеют вид屮、丿(%,禽，• 。 。，依，仇,仇，• • 。，qh,/)=°, S = 1,2,..»,? < ^).Дифференцируя эти уравнения по /, получим:t匹幻+冷%+也"▲ Од, 1dt(/)力 (/)因7Пусть на эту систему наложены нелинейные, неголономные связи, нения которых имеют вид屮、丿(%,禽，• 。 。，依，仇,仇，• • 。，qh,/)=°, S = 1,2,..»,? < ^).Дифференцируя эти уравнения по /, получим:t匹幻+冷%+也"▲ Од, 1dt(/)力 (/)因7урав-урав-(20)(20)(21)(21)
л
л
k
k
fq’+*吁瑞
fq’+*吁瑞
k
k
(16)
(16)
勿=，醤生+各湯(*)+*(*)' 乙=e舞%・+2，
И, следовательно,
勿=，醤生+各湯(*)+*(*)' 乙=e舞%・+2，
И, следовательно,
(17)
(17)
曰
曰
k
k
浙=阮、运=E - Eqj.
3yt *河，泾‘=f六氾・・
纟0力胃0%.
浙=阮、运=E - Eqj.
3yt *河，泾‘=f六氾・・
纟0力胃0%.
(18)
(18)
(19)
(19)
Пусть на эту систему наложены нелинейные, неголономные связи, нения которых имеют вид
屮、丿(%,禽，• 。 。，依，仇,仇，• • 。，qh,/)=°, S = 1,2,..»,? < ^).
Дифференцируя эти уравнения по /, получим:
t匹幻+冷%+也"
▲ Од, 1dt
(/)力 (/)因7
Пусть на эту систему наложены нелинейные, неголономные связи, нения которых имеют вид
屮、丿(%,禽，• 。 。，依，仇,仇，• • 。，qh,/)=°, S = 1,2,..»,? < ^).
Дифференцируя эти уравнения по /, получим:
t匹幻+冷%+也"
▲ Од, 1dt
(/)力 (/)因7
урав-
урав-
(20)
(20)
(21)
(21)
Отсюда следует, как это было уже указано выше, что гауссовы вариации обобщенных ускорений удовлетворяют соотношениям
£空即=。，(у = 12 …，？).(22)
Из этих уравнений р вариаций можно выразить как линейные функции остальных k—р вариаций 3外，3夕2, • • •, 6^_ Р, которые являются независимыми. Сделав это и подставляя полученные значения зависимых вариаций в уравнения (19), будем иметь:
..р....左一р....р..
。修=^^a小。4卩，oyi = 2^仇卩叫卩，。引=[^*卩。9卩。(23)
Коэффициенты а加，匕扣，以科 являются функциями переменных 力，力，t、 но не зависят от обобщенных ускорений 夕” Предположим, что данная механическая система есть система типа Гаусса и рассмотрим перемещения этой системы, определяемые вариациями обобщенных координат, удовлетворяющими уравнениям Четаева
+竺氾・=仇9=1,2,...，d(24)
На каждом из таких перемещений сумма элементарных работ реакций связей (20) равна нулю. Из этих уравнений можно р вариаций обобщен-
ных координат выразить как линейные функции остальных k—р вариаций 6夕1, 6夕2, • • •, 8夕々一р. Подставляя полученные таким путем значения зависимых вариаций в уравнения (18) и замечая, что коэффициенты при Од/ и 3夕)в уравнениях (24) и (22) так же, как и в уравнениях (18) и (19), одинаковы, будем, очевидно, иметь:
k-pЛ-0Л-p
。Х[ = ^^ Ui^ о^ц,吆i =^^ 仇卩。4卩，。2/ =^^ s卩。4卩.(25)
卩=1Ц=1卩=1
Если из уравнений (21) р обобщенных ускорений выразим через остальные k—р ускорений G，72, • •-,夕冗一р и полученные значения этих р ускорений подставим в уравнения (17), то найдем 尤几 ук 之厶 как линейные функции независимых обобщенных ускорений 小，^2, • • •,仇一р・ Подставляя эти выражения производных Х{, yi, Zi в правую часть равенства [=十|:产[(訂-可十段一加-嘗一初，
получим принуждение как функцию этих обобщенных ускорений 41,夕2, •…，q”Q. Обозначим эту функцию через (Г). Если к данной системе применим принцип Гаусса, то в силу этого принципа частные производные от (Г) по независимым обобщенным ускорениям 夕卩(卩=1, 2, .. ., k—р) должны равняться нулю. Следовательно, будем иметь
= 0, (у —- 1,2,k一 о).(26)
強
Эти дифференциальные уравнения второго порядка совместно с уравнениями связей (20) определяют движение данной механической системы. Уравнениям (26) можно придать форму уравнений Аппеля. Для этого воспользуемся общим уравнением динамики в форме Гаусса
九・.・・..・・・・•・
Е [(X» — Ш/ 打)t%z -j- (Y/ —色协)泌 + (Zz — 〃友 2,) 02/] = 01
или
Если введем функцию Аппеля
s=2言田+%+书，
называемую энергией ускорений, то, очевидно,
У色(修注+ yi泣・+ 2方乙・)=6s
(27)(27)и. следовательно,
(27)
(27)
箔一e(Xi ^/ +匕浊+ Zi必)=0.i = \
Так же, как было указано для функции Г, энергию ускорений S можно выразить как функцию независимых обобщенных ускорений 夕卜 夕2, • • ”夕冗一p, которую обозначим через (S). Тогда
Далее на основании равенств (23) имеем:
? (X,汰• +匕•浊+ Z,没t) =?64)11三(4中х£・+瓦卩匕+ c^Zi).
j=i乩=1 j=u
А потому уравнение (27) принимает вид 1
£ [^^—£(“阻 X/+ 仇]цУ\・ + QjuZz) о^ц— о.
卩=i dq“ (Q」
Так как это равенство должно выполняться при любых независимых значениях вариаций б^ц, то
М^ = Е(а»|цХ» +仇卩匕 +G|nZj),(卩=1,2,k — p).(28)
Чтобы выяснить, что представляют собой правые части этих уравнений, составим сумму виртуальных работ заданных сил, действующих на механическую систему:
e油=f (X,次,+匕泌+ Z,漑)⑴(0
Подставляя сюда значения (25). вариаций 3%厶 8y返 6г^, получим: k-p
£/"=e [^Ц ? ("小 ^i + 仇卩匕 + Q|H Zi)]. ⑴n=1(0
Отсюда следует, что
^2 ("mX + b^ Уz с*Zf) = Q|n ,(卩=1,2...., k — p), (О
где Q]n есть обобщенная сила, соответствующая координате 夕卩一 Поэтому уравнения (28) можно представить в виде
峪=<2山(»=1,2,…/ - p).(29)
Таким образом, приходим к выводу: дифференциальные уравнения движения системы типа Гаусса (или типа Четаева) с нелинейными неголо- номными связями можно составлять в форме уравнений Аппеля. &
Обобщая тот прием, который мы применили при решении рассмотренных выше задач, выразив х му как функции угла 9, уравнения (26) можно привести еще и к другому виду.
Предположим, что уравнения связей (20) можно представить в параметрической форме, выражая обобщенные скорости q§ как некоторые функции k——р независимых параметров 5,。2, • •., G&_p. Тогда
力=力@,%，…，仅，方,6,02,…，％—p), (/ = 1,2,...，初(30)
Понятно, что эти выражения обобщенных скоростей в функциях g^ / и 0卩 выбираются так, что, исключая переменные ац из k уравнений (30), мы должны получить уравнения (20). Переменные а^ можно назвать поэтому независимыми параметрами обобщенных скоростей. В курсе
теоретической механики Т. Леви-Чивита и У. Амальди эти независимые п-еременные называются кинематическими характеристиками данной механической системы в выбранных координатах 夕力 так как если для дан- його момента / и при данном положении системы значения параметров
отбудут заданы, то обобщенные скорости 9；, а следовательно, и скорости
всех материальных точек системы в этот момент будут определены.
Из уравнений (30) имеем:
V1 雨/ Iri、
q, = 22%,(31)
откуда
—,(卩—k — p; j = 1,2, ..., k).(32)
00以 0。从
Заменяя обобщенные ускорения q$ их выражениями (31), получим принуждение Г как функцию переменных Z,夕厶 力，g^,。乂. Тогда на основании принципа Гаусса частные производные от Г по независимым переменным сгц (для действительного движения системы) должны равняться нулю. Следовательно, будем иметь:
亠.龙_=0
叫 高dqj 叫 или на основании уравнений (32)
VV(33>(33>. =0,(»=1,2,k - p).
V
V
(33>
(33>
Но
-一" =一£ (Xf - mi %)—^—h (匕一m；协)"^—h
~+ (Zf -忆 2,) —.
причем, как следует из уравнений (17),
дх[ _ d%j 0勿 _dУi 0马■_呢
而/ d% ' dqj d%・' dqj 雨/■
Следовательно,
= £[(也*一x)堂 十(他协・一匕)+ (mi引一20-^卜dqj 竺/呪0%.雨，」
Как известно,
2 [(m, Xl X,) * + (m,玖一Yi)器 + (电乙一Z0 *]=
где Г ——кинетическая энергия системы и Q)— обобщенная сила, соответствующая координате 夕” '
Поэтому уравнения (33) принимают вид .
Эти уравнения, полученные Г С. Погосовым, имеют ту же самую форму, что и уравнения Маджи для системы с линейными неголо- номными связями . Таким образом, приходим к выводу: дифферении- альные уравнения движения системы типа Гаусса с нелинейными, него- лономными связями можно составлять в форме уравнений Маджи.
Левые части уравнений (34) являются линейными функциями обобщенных ускорений, а следовательно, и линейными функциями производных 01H. Разрешая эти уравнения относительно Оц, получим:
0P,-屮!ц (% ,g2，…，伙，方,0丄，02,…，0左一p)。 (35)
Уравнения (30) и (35), представляющие особой 2左——р дифференциальных уравнений первого порядка в нормальном виде, определяют движение данной механической системы.
Ю. Ф. МОРОШКИН
ВОПРОСЫ ГЕОМЕТРИИ СЛОЖНОГО ДВИЖЕНИЯАБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА
Пусть имеем м систем отсчета S。，…，S?—. Общая задача теории сложного движения состоит в следующем: предполагая, что тело S曾 участвует в п движениях S°Si, SiS2, . .., Sn-{Sn, найти связь между абсолютным движением SoS^ и составляющими движениями 505ь ..., Sn-iSn. В существующих руководствах исследуется лишь связь ?у1ежду картинами распределения скоростей . При этом решение задачи о скоростях получают как обобщение ряда частных решений, найденных при различных частных предположениях о характере составляющих движений. Такое построение теории представляется недостаточно компактным и лишенным необходимой геометрической прозрачности. Добавим, что ни об уравнениях покоя, ни о применении этих уравнений к структурному и кинематическому исследованию механизмов в имеющихся руководствах никаких упоминаний нет. Между тем, роль названных уравнений в прикладной механике необычайно велика.
В настоящей статье дано аналитическое решение задачи о скоростях; рассмотрены примеры, иллюстрирующие применение уравнений покоя к структурному и кинематическому исследованию механизмов. Решение общей задачи о связи между движениями (а также задачи о связи меж* ду угловыми ускорениями) приведено в работах [2], [3], [4].
Статья воспроизводит текст работы [5], изданной литографически в I960 г. Добавлено лишь непосредственное доказательство теоремы о сложении угловых скоростей.
Предположим, что тело S^ представлено декартовой ортогональной системой 长丫尤丫内〉% = 1, 2, 3; v = 0, . .., и. Скорость движения какой-нибудь точки М относительно Sy，обозначим и("м) (точка М, рассматриваемая как точка звена Sy, будет иногда обозначаться Му). Угловую скорость системы Sy относительно $丫，обозначим з§'・
Теорема. Если система Sn участвует в п движениях S0Si,..., S^—iS曾,то при любом выборе точки М системы Sn
п
Е(0m)=，疝51,叫(У)
V=1
v=lv=l
Доказательство. Пусть для системы So .. . S九 формулированное утверждение справедливо. Покажем, что оно справедливо и для системы So ... S^+i. Действительно, в силу теоремы сложения скоростей скорость точки М, рассматриваемой как точтса системы S^+i, равна:
В(°м叶 1)=-<W +石6乂叶 1).(2)
Ввиду предположения (1〃) и формулы
不М^=亍次屮)+厶〃，叶])(3) равенство (2) переходит в
6叫+1)=g丁1仆)+三Mkv X證T叫(4)
v=lv=l
Таким образом, для v <0Л1п+1) имеем формулу того же вида, что и для v(QM^. Но при 儿=1 равенство (1〃) справедливо. Следовательно, оно справедливо при любом и.
Далее по'формуле распределения скоростей
万(ОМ叶])=”)&+]』/,叶D хк〃；1 М.(5)
Но из (4), в частности, имеем:
評K”+])=g 尹一1 仆)十§%:] Kо X 證一5).(6)
V~1V=1
Ввиду (6) и Kn+\K =An+iM + MKv равенство (5) переходит в
v=lV=1
+? MKvX%“i a + 評'"+D><K叶1 M.(7)
Сравнивая (4) и (7), находим:
評，什i)xk叶2/一з><К叶1m(8)
откуда, ввиду произвольности к П+1М
计1
(9)(9)-(On+1) ^y-(v-l.v)
(9)
(9)
V=1
Таким образом, з(°〃+1)выражается формулой того же вида, что и 4°九).Но при 儿=1 равенство (Г) справедливо. Следовательно, оно справедливо при любом 〃. Доказательство теоремы закончено.
Приведем другое доказательство утверждения (У)—доказательство, импонирующее непосредственностью и простотой. Предварительно напомним необходимые матричные формулы.
Пусть &词=卜；方，——матрица направляющих косинусов оСей системы Sk в системе Sj, а沖一производная а汴 по /, (а沌)'二 матрица, транспонированная по отношению к а注.Угловая скорость з)& звена Sk в движении этого звена относительно S)определяется равенством
О——0)法3/
>3>2
3法 0- 3法
>3节
—①法3/0
力2
В проекциях на осиВ проекциях на осисистемы Si^hсистемы Si^hпредставится подобной матрицейпредставится подобной матрицейS”=W/(a/y(*y =S”=W/(a/y(*y =
В проекциях на оси
В проекциях на оси
системы Si^h
системы Si^h
представится подобной матрицей
представится подобной матрицей
S”=W/(a/y(*y =
S”=W/(a/y(*y =
Имеют место также формулы
户=力l\（产），=力（宀j），,円=2产1宀%叫v=lv=nv=l
Переходим к доказательству (lz):
百。用=а^(^у _a°，i a J 宀 avn
v=nv=nv—1
v=n
v=n
= a01a12
•(宀寸/ …(a23)，(a12)，(a01)/+... +a01 ... ^^ an~^n X
X (aI)'(々1，1У…(*)，=h(屮)，+屮产(产)，(户)，+…+
+ a°，i I- [a-L”(a°，iy =认(。1)+%(12) + …+蕊1，?
Формула распределения скоростей
严:)=7叫二疝Txi(10)
есть не что иное, как формула преобразования главного момента. Заменяя обозначения (о<Оп), и(°"%)обозначениями со,以加 соответственно и проектируя (10) на направление з, будем иметь:
噌)=噌)=const.(11)
Если co# 0, то равенство
疝Р = f-^X 产)(12)
определяет точку, принадлежащую центральной оси системы. Если же (о = 0, то, как видно из (10), и(м)= const. Система ( (со ^-ьи>у(^ - ь\), у == 1,..., м'} эквивалентна нулю в том и только том случае, когда оба элемента приведения равны нулю.
Пусть имеем простую кинематическую цепь So ... So, звенья So,..., Sn которой соединены друг с другом парами 505ь . . ., SnS0 (обозначение So будем иногда заменять обозначением S^+i). Сравнительно сложное движение SqS^ какого-нибудь звена S疗 представляет собой наложение ряда сравнительно простых движений S0S], ..., Sn^iSn^ Распределение скоростей точек звен£ S v в движении относительно звена Sv—i характеризуется векторами ①㈠一1‘冷，^㈠一匕久 J . Главный вектор со(°〃')и главный момент v^QKn > системы [3(1宀).#一依))，y=i, 〃 } характеризуют распределение скоростей точек звена Sn^ в движении относительно S> Но если, в частности, п^иЧ-1. то система, о которой идет речь, эквивалентна нулю:
{(к?"…)，丫 = i,…，n+ 1}〜°,(13)
так как движения звена So относительно S。нет. Таким образом, приходим к уравнениям
\小_i,”)= 0,(149
V=1
I1 ,K«)+£0・(14〃)
•v=lv—1
Проектируя уравнения (14) на оси декартовой ортогональной системы /М%1%2Хз, будем иметь:
£加二 3=0, =1,2,3,(15Э
п4-1叶 1
2 吟=仇 (i5〃) v= 1v= 1
£=1, 2, 3; i' = i+ l, если i=l, 2;，=1, если i = 3; i!r^irA-1, если，=1, 2; 尸=l, если У=3.
Здесь %：" , x> суть координаты нумера，产 точкиKv в системеM%i%2%3・ Индекс %〃 招，，％； означает, что речь идет о проекции на ось нумера i〃’
Заметим, что уравнения кинематических пар [4] оставляют независимость некоторому числу ^ обобщенных координат системы. Пусть это будут координаты 夕八...，qN. Независимыми в указанном смысле будут и соответствующие обобщенные скорости(7Ь . . ., qN. Проекции векторов
1,”), и"—1,к&) на оси системы Мх1Х2%з определяются в функции названных обобщенных скоростей. В соответствии с этим уравнения (15) интерпретируются как уравнения, связывающие 夕厶.•.，夕八.Если ранг системы (15) относительно ⑦，.• .，qy равен 尸，то некоторые N——г из этих обобщенных скоростей могут быть выбраны, между тем как остальные г 108
определятся уравнениями （15）. Декремент d = N — г
（16）（16）матрицы системы （15） определяет, следовательно, число степеней * свободы системы So... Sn. В частности, систему с одной степенью свободы бу^ем иметь при N=r+1.
（16）
（16）
Таким образом, уравнения （15）, преобразованные в соответствии с текстом предыдущего абзаца, дают полное решение задачи о скоростях точек системы. С теми же уравнениями связано и структурное исследование. В случае сложной кинематической цепи уравнения вида （15） составляются для каждого из независимых простых контуров, образующих систему So . .. S^.
Рассмотренный метод характеризуется однообразием и стройностью
исследования, полнотой получаемого решения, возможностью применения известных графических построений статики неизменяемой системы.
FI р и м е р ы.
1. В дифференциальном механизме （рис. 1,о） радиусы колес /, 2, 2‘, 3
равны соответственно n, r2f г2\ г3- Звено / вращается с данной угловой
с данной угловой скоростью со（°з）. Найти угло-с данной угловой скоростью со（°з）. Найти угло-скоростью（№）, звено 3скоростью（№）, звено 3вые скорости со（О4） звена 4 и о）（02） звена 2, а также угловые скорости
с данной угловой скоростью со（°з）. Найти угло-
с данной угловой скоростью со（°з）. Найти угло-
скоростью（№）, звено 3
скоростью（№）, звено 3
0（12）, со（з2）, з（42）звена 2 относительно0（12）, со（з2）, з（42）звена 2 относительнозвеньев /, 3, 4 соответственно. Здесь,
0（12）, со（з2）, з（42）звена 2 относительно
0（12）, со（з2）, з（42）звена 2 относительно
как и в последующем, символомкак и в последующем, символомSo обозначено неподвижное звено
как и в последующем, символом
как и в последующем, символом
системы.
Решение. Два независимых простых контура Ci 三S（）SiS2s3S0, Си 三SoSiS2s4so дают две эквивалентные нулю системы:
'®（叫 ”2）,詳3）,評0）｝〜°（［）,伍（叫7（24）, /40）｝〜0（［［）.
Каждая из этих систем является плоской сходящейся. Это значит, что шесть участвующих в задаче угловых скоростей связаны четырьмя независимыми уравнениями вида （15）. Таким образом, система имеет 2 степени свободы.
Составим, например, уравнения в проекциях на оси хну.
cos ао）（12> + cos ра）（23）= 0,
sina3（i2）—sinp①（23）= -3（01）+加。3）,
COSas（12）+3（24）=0,
—sin аз（12）+ 加04）= з（01）.
>Л I—>л
Из уравнений системы屮2）= _ J d+丁犷/2S少+0Г3尸处⑼）一3（。3）｝,⑷3（23） =门 收, + 尚"2（门少处⑼）-№）｝,⑹3（24） =%%（6Г2, +Г2/3尸｛①⑼）一3（叫，©3（。4） = （q Г2, +厂2%）-1 ｛r"2，加°1）十г2“3（°3）｝.（d）Вектор з（°2）найдется из равенства苏。2）=諛）+ 中 2）.©На рис. 1, б дано графическое решение задачи. Построение многоугольника abcda, соответствующего системе /, （здесь ab = со（30）,石с^。），о'-пре- —293109Из уравнений системы屮2）= _ J d+丁犷/2S少+0Г3尸处⑼）一3（。3）｝,⑷3（23） =门 收, + 尚"2（门少处⑼）-№）｝,⑹3（24） =%%（6Г2, +Г2/3尸｛①⑼）一3（叫，©3（。4） = （q Г2, +厂2%）-1 ｛r"2，加°1）十г2“3（°3）｝.（d）Вектор з（°2）найдется из равенства苏。2）=諛）+ 中 2）.©На рис. 1, б дано графическое решение задачи. Построение многоугольника abcda, соответствующего системе /, （здесь ab = со（30）,石с^。），о'-пре- —293109Здесь а=（МР, %）, B=（MQ, х）; со с двумя индексами―проекция соответствующего вектора на ось, совпадающую с его линией действия.
Из уравнений системы
屮2）= _ J d+丁犷/2S少+0Г3尸处⑼）一3（。3）｝,⑷
3（23） =门 收, + 尚"2（门少处⑼）-№）｝,⑹
3（24） =%%（6Г2, +Г2/3尸｛①⑼）一3（叫，©
3（。4） = （q Г2, +厂2%）-1 ｛r"2，加°1）十г2“3（°3）｝.（d）
Вектор з（°2）найдется из равенства
苏。2）=諛）+ 中 2）.©
На рис. 1, б дано графическое решение задачи. Построение многоугольника abcda, соответствующего системе /, （здесь ab = со（30）,石с^。），о'-пре- —293109
Из уравнений системы
屮2）= _ J d+丁犷/2S少+0Г3尸处⑼）一3（。3）｝,⑷
3（23） =门 收, + 尚"2（门少处⑼）-№）｝,⑹
3（24） =%%（6Г2, +Г2/3尸｛①⑼）一3（叫，©
3（。4） = （q Г2, +厂2%）-1 ｛r"2，加°1）十г2“3（°3）｝.（d）
Вектор з（°2）найдется из равенства
苏。2）=諛）+ 中 2）.©
На рис. 1, б дано графическое решение задачи. Построение многоугольника abcda, соответствующего системе /, （здесь ab = со（30）,石с^。），о'-пре- —293109
деляет векторы crf = co（12） и da = ^\ Многоугольник bcdfb, соответствующий системе II, определяет векторы df = оэ（24^ и fb = оэ（4О\ Вектор оэ（О2> найдется, например, построением ^2^bc + cd = bd.
В планетарном редукторе （рис. 2） радиусы колес /, /', 2, 3, 5 равны ^соответственно гь г/, r2, %,厂5・ Звено 1 вращается с данной угловой скоростью з（е）. Найти угловую скорость со（°2）звена 2, а также угловые скорости со（1з）, е（4з）звена 3 относительно звеньев /, 4 и угловые скорости и）（15）, б/45）, е（25）звена 5 относительно звеньев /, 4, 2 соответственно.
Решение. Три независимых простых контура Ci =S（）SiS3s色 С”三SoSiS5s2S0, Cni=SiS5S4S3S] дают три эквивалентные нулю системы ｛評 1）,屮3）,/30）｝〜0（[）,伍（。？中5）,苏52）,/。）｝〜0 ⑺，
何（15）,%（54）,/43）,%（31）｝〜0 （m）
Система I является плоской системой параллельных между собой векторов и, следовательно, дает два независимых уравнения. Система II, будучи плоской сходящейся, дает два уравнения. Наконец, система III является плоской и, следовательно, доставляет три уравнения- Таким образом, восемь угловых скоростей, участвующих в задаче, связаны семью независимыми уравнениями. Это значит, что система имеет одну степень свободы.
Для системы I составим уравнения в проекциях на ось у и моментов относительно какой-нибудь точки Р оси со（з°）, для системы II — уравнения в проекциях на оси х и у, для системы III —уравнения в проекциях на оси х и у и моментов относительно начала координат:
0）（13）—W（03）=一加01）,
24з（13）=一（Г1+2%）3（。1）,
1） COS аз（15） + з（54） = О,
III,2） Sina3（i5）+ 3（43）= 3（13）,
n1,3） （q + %）加43） =Q3（⑶，
з（52）=—з（15）,
sin аз（52）+ 03（02）_ W（O1）+ sin аз（15）.
—T Л
Здесь а= （МР\ х）; со с двумя индексами — проекция соответствующего сектора на ось, совпадающую с его линией действия.
Из уравнений системы
心⑶=一备+ 2%）（2/尸加明m）
10（оз）= _Г1（2г3）-10）（01）^（①
①（4з）= — g （q + 2%） ｛2% 仇 + %）｝—加°1）,（с）
①（i5）= 一& + 2个）｛2入s +/）L （并，+喲厶加叫⑷
0）（54）=门，G +2仆）｛2%（q + 喇т з（°1）,（с）
也52）=储 +2%）｛2%& +Г3）｝1（彳，+喇"加。1） （0 加02）= f （q + %）-1 0）（01）.（g）
Графическое решение осуществляется построением векторного и веревочного многоугольников для системы I, векторного и веревочного многоугольников для системы III, векторного многоугольника для системы II.
3・ Ведущее звено / механизма универсального шарнира （рис. 3） вращается с данной угловой скоростью co（°i）. Найти угловую скорость
<о（оз）ведомого звена 5, а также угловые скорости со。？）, s（32）звена 2 относительно звеньев /, 3 в функции углов поворота р звена / и ф звена 3, гели угол между осями звеньев / и 3 равен а.
Решение. Контур С三 SoSiS2s3so дает эквивалентную нулю систему: ｛凉01）,凉 12）, *23）,凉30）｝〜0.
Эта система является сходящейся. Следовательно, четыре угловые скорости, участвующие в задаче, связаны тремя независимыми уравнениями. Таким образом, система имеет одну степень свободы.
Составляем уравнения в проекциях на оси %, у, 2：
sin a sin（p а）（23）—cos аа）（°з）=—加。1）,
cos 屮 а）（12）—cos a sin 屮①（23）— sina（o<03）=0,
sin 屮⑴I）+ cosqxo（23）=0
Определитель системы
Д=—（cos a cos 屮 cos 屮+ sin 屮 sin 屮）
Из уравнений системы
з（12）= —д—1 sin a cos（ра）（01\（а）
о）（23）— д—1 sin а sin 屮о/。】），（6）
со（оз）__ — д—1 «os а sin 屮 sin（p ——cos 屮 coscp） со（О1\（c）
Литература
Г. К- Суслов. Теоретическая механика. ОНТИ, 1946.
Ю. Ф. Морошкин. Определение конфигураций механизмов. Доклады АН СССР, 82, 1952, № 4.
Ю. Ф. Морошкин. О формах основных уравнений геометрии механизмов. Доклады АН СССР, 91, 1953, № 4.
Ю. Ф. Морошкин. Основы аналитической теории механизмов. Труды Семинара по теории машин и механизмов, 14, АН СССР, 1954, № 54.
Ю. Ф. Морошкин. Элементы теории сложного движения в аналитической интерпретации, 1960.
В. 4 ЧИКИН
О ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ ТЕЛ,УДОВЛЕТВОРЯЮЩИХ УСЛОВИЯМ ГЕССА И ГРИОЛИ
Дается расчет модели тела, предложенного Н. Е. Жуковским [1], удовлетворяющего условиям Гесса. Устанавливается, что изменение гео
метрических параметров этого тела, а также тела, предложенного в работе [2], позволяет превратить эти модели в тела, удовлетворяющие условиям Гриоли [3].
Тяжелое твердое тело, укрепленное , в неподвижной точке О, удовлетворяет условиям Гесса е случае, когда его центр тяжести лежит на перпендикуляре к одному из круговых сечений гирационно- го эллипсоида в точке О.
В работе [1] Н, Е. Жуковский предложил модель тела, удовлетворяющую этим условиям. Эта модель （рис. 1）, как описывает сам Н. Е. Жуковский, «состоит из диска АВ, опирающегося на подпорку £ острием, находящимся на конце оси СО, ввинченным в середину диска так, что конец острия О лежит в нижней плоскости диска. Кроме этого, в диск ввинчены четыре винта 4 4〔 В, В〔 симметрично расположенные на двух взаимно перпендикулярных диаметрах диска; а на эти винты надеты тяжелые гайки
Р, Р/ и Q, Q1 причем веса симметрично
Рис. 1расположенных гаек одинаковы. Назовем
эти веса через Р н Q и предположим, что при гайках, подвинченных к диску, центр тяжести шрибора находится в точке О. Если опустим гайку Р на некоторое расстояние / от диска, то центр тяжести опустится по оси прибора вниз, так что положение рав
новесия будет устойчивым».
Найдем условия выбора 厶 для которого плоскость диска будет плоскостью кругового сечения гирационного эллипсоида в точке закрепления О. В работе [1] эти условия получились неверными, так как ошибочно была приравнена угловая скорость тела к проекции этой скорости на направление вектора кинетического момента тела. Эти условия проще получить непосредственно из уравнения гирационного эллипсоида в осях, показанных на рис. 1. Найдем согласно рисунку осевые моменты инерции модели
Ix = A=Id + 2Q^+PP
1у^В = 1д + 2Р^+РР • ,(1)
人=e
где 1д——момент инерции диска относительно его диаметра, р ——расстояние от центра диска. Центробежные моменты инерции относительно тех же осей выразятся
儿2=D = 0
⑵⑵Izx = Е = — Р/р
⑵
⑵
Ixy = F= О
Таким образом, ось Оу является главной осью инерции в точке О, а уравнение эллипсоида инерции в той же точке имеет вид
⑶⑶/(%,у,2)= Лх2 + By? + С?2 — 2£zx — 1 = О.
⑶
⑶
■ Чтобы получить уравнение гирационного эллипсоида в точке О, возьмем на эллипсоиде (3) любую точку т(х、у, г), радиус-вектор которой обозначим через г, и построим в этой точке эллипсоида касательную плоскость. Опустим далее из центра О перпендикуляр на эту плоскость, обозначив его длину через 6, а затем произведем инверсию точки пересечения перпендикуляра с плоскостью относительно сферы единичного радиуса. Для этого отложим на том же перпендикуляре вектор От\ =гь величина которого
⑷⑷1
⑷
⑷
6
Гирационным эллипсоидом в точке О и будет геометрическое место точек /711(Х1, /л, %1). Чтобы получить его уравнение, определим сначала расстояние до касательной плоскости
Kgradf 丨 grad"'
тогда
Так какТак кактото=1 = gdf|67-grad /'一 gradf兀=gradf7-grad /=1 = gdf|67-grad /'一 gradf兀=gradf7-grad /(5)(5)
Так как
Так как
то
то
=1 = gdf|
67-grad /
'一 gradf
兀=gradf
7-grad /
=1 = gdf|
67-grad /
'一 gradf
兀=gradf
7-grad /
(5)
(5)
Проектируя (5) на выбранные оси, получим:
%i = Ах ― Ez '
(6)⑺(6)⑺У1 = By .
(6)
⑺
(6)
⑺
马=一Ex+Cz
Разрешая (6) относительно %, у, 2, найдем:
— C%i + Eni , У1 — E%i + /〃
АС — Е25АС — Е^
Вставляя значения (7) в уравнение (3), после некоторых преобразований получим, опустив предварительно индекс 1,
(8)(8)С# 丄外 百?22Егх
(8)
(8)
/c 一炉十万十就一七2十Ле — e2
Уравнение (8) является уравнением гираци- онного эллипсоида в точке О.
Потребуем теперь, чтобы координатная плоскость Оху совпала с плоскостью одного из круговых сечений эллипсоида (8), тогда On совпадет с перпендикуляром к данному сечению. При таком выборе координатных осей в уравнении (8) коэффициенты при х2 и у2 должны стать равными между собой, то есть должно выполняться условие
С(Л-В) —Е2-0.(9)
Условие (9) назовем структурным условием Гесса. Этому условию должны удовлетворять моменты инерции тела в случае Гесса.
Итак, вставляя в (9) значения А, В, С и £, согласно (1) и (2), получим
2cp2(Q—尸)—尸 2/2р2 =0,
откуда
(Ю)(Ю)/ = у М2c (Q — P).
(Ю)
(Ю)
Из (10) видно, чго при Q＞尸，/ всегда определяет положение гайки Р, при котором тело удовлетворяет в точке О условиям Гесса.
Возьмем теперь в качестве тела однородную сферу (рис. 2) произвольного радиуса. Перпендикулярно экваториальной плоскости Оху расположим симметрично четыре одинаковых винтовых стержня А, Л\ В, В' с тяжелыми гайками Л Р‘ и Q, Q', веса которых соответственно равны Р и Q, Если все гайки лежат в экваториальной плоскости, то центр тяжести этой модели будет совпадать с центром сферы О. Если опустить гайку Р вниз от экваториальной плоскости на расстояние /, то, проделав все те же самые вычисления, получим, что / удовлетворяет формуле (10).
Таким образом, рассматриваемое сферическое тело удовлетворяет в точке О условиям Гесса.
Модели, рассмотренные выше, можно применить и для демонстрации тел, удовлетворяющих условиям Гриоли [3]. Для этого плоскость диска или экваториальную плоскость сферы надо совместить с плоскостью кругового сечения эллипсоида инерции. В этом случае ось Oz, на которой лежит центр тяжести прибора, станет перпендикуляром к этому 114
сечению, а в уравнении (3) коэффициенты при %2 и 炉 станут равными между собой, т. е. получим структурное условие Гриоли
Л —В -О, Е『0.(11)
После подстановки в (11) значений из (1) получим условие
P=Q, Z^O.(⑵
Таким образом, чтобы плоскость диска АВ (рис. 1) или экваториальная плоскость сферы (рис. 2) совпали с плоскостью кругового сечения эллипсоида инерции в точке О, необходимо гайки Р н Q взять одинаковых весов, тогда при любом положении гайки Р и / ¥=0 прибор будет удовлетворять в точке О условиям Гриоли.
Очевидно, что телам, удовлетворяющим условиям Гесса и Гриоли, :можно придать и другие геометрические формы. В частности, в работе [2] Н. Е. Жуковский рассмотрел тело, имеющее форму крыши, т. е. составленное из двух пересекающихся полуплоскостей. Легко показать, что вычисления, проделанные в настоящей работе, применимы .для тел. имеющих форму конуса, цилиндра или сочетаний конуса с цн- .линдром, конуса со сферой, цилиндра со сферой и других тел, обладающих геометрической симметрией.
Литер ату р а
Н. Е. Жуковский. Локсодромический маятник Гесса. Поли. собр. соч., т. 1, 1948.
Н. Е. Жуковский. Модель маятника Гесса. Поли. собр. соч., т. 1, 1948.
G. G г i о1 i. Esistenza е determinaziori'e de lie precessioni regolari dinamicamente possibili per un soli do ipesante asimmetrico. Annali di Matem. pura e applicata, Ser. IV, wol. XXVI, 1947.
〃.〃.БУШУЕВ
О ПЕРВОЙ АНАЛОГИИ МЕЖДУ МЕХАНИЧЕСКИМИ,ЭЛЕКТРИЧЕСКИМИ И ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИ
Вопрос об аналогиях хорошо изучен (см. [1]), однако в учебниках теоретической механики он либо не затрагивается, либо описывается недостаточно подробно. Настоящая статья является попыткой частично заполнить этот пробел. В разделе 1 приводится простейший вариант введения понятия о диссипативной функции (что необходимо для дальнейшего). В разделе 2 описана первая аналогия, раздел 3 посвящен составлению уравнений Лагранжа для электрических цепей с помощью аналогии. Содержание этих трех разделов, как убедились на собственном опыте автор и его коллеги по институту, легко изложить на одной лекции. В разделе 4 подробно разобрано решение задачи из сборника И. В. Мещерского, в которой требуется составить уравнения движения смешанной системы, содержащей как электрические, так и механические злементн. После линеаризации полученных уравнений составлена электрическая цепь, аналогичная смешанной системе.
Вопрос об аналогиях включен в Московском горном институте в программы по теоретической механике для нескольких специальностей. На
современном этапе развития техники (автоматизация производственных процессов, широкое использование электронных устройств и т. д.) весьма желательно внесение этого вопроса в обязательные программы по механике для многих специальностей.
Понятие о диссипативной функции Релея (функции рассеяния). Если в механической системе, положение которой определяется обобщенными координатами 夕卜 ^2, • • •, %?, имеются силы сопротивления, пропорциональные скоростям точек, то существует диссипативная функция
①—①(41, «2, • • •, qjтакая, что обобщенные силы сопротивления определяются формулами
Qs =;—.
歌
Можно показать, что тогда скорость уменьшения полной механической энергии, т. е. мощность сил сопротивления движению, равна 2Ф. При наличии диссипативной функции уравнения Лагранжа записываются в виде
где 7, П—кинетическая и потенциальная энергии; первая часть обобщенной силы в правой части уравнения определяется потенциальной энергией, вторая——функцией Релея, третья же является добавочной обобщенной силой, не зависящей от П и Ф.
Пример. Пусть положение корабля определяется одной декартовой координатой х, которую мы примем за обобщенную (ось х направлена в сторону движения). Обобщенные силы ——просто проекции сил на ось 无.Если среди сил, действующих на корабль, есть сила сопротивления, пропорциональная скорости:尸с = §и = Вх, то обобщенная сила сопротивления равна Qc =—р%. Ее можно также получить, задавшись функцией Релея:
4胱;Q’一禦一限2дх
при ЭТОМ
2Ф = 0%2 = р%.% ——Qju= 、№, т- е. 2Ф равно величине мощности, рассеиваемой силами сопротивления..
Первая электромеханическая аналогия. Рассмотрим и сравним две простейшие колебательные системы — механическую и электрическую.
а. Механическая система. Тело .4 поступательно движется вдоль прямолинейной оси q (рис. 1) под действием упругой силы Fy = cqy силы сопротивления Fc = 0q, пропорциональной скорости q тела Л и направленной против движения, а также зависящей от времени силы 尸«). Начало координат О соответствует нерастянутой пружине. Уравнение движения
(2>(2>仪｝ + М + cq = F(f).
(2>
(2>
Кинетическая и потенциальная энергии
Т = -у mq2, П = ед?.
Функция Релея
①=万阳汽
В более сложных системах с одной степенью свободы т, р, с соответствуют приведенной массе, приведенному коэффициенту сопротивления и квази-упругому коэффициенту.
б. Электрическая система. Рассматривается линейная цепь с сосредоточенными параметрами, представляющая собой замкнутый
V7777777777777777777777777777/777777777 广
Рис. 1. Механическая система 《а》Рис. 2. Электриче
ская система《6»
колебательный контур (рис. 2) с сопротивлением R, емкостью конденсатора С, индуктивностью катушки 丄，источником э. д. с., определяющим зависящую от времени э. д. с. с〃). Пусть падение напряжения на сопротивлении, конденсаторе и катушке равно в данный момент соответственно 〃i, 〃2 и 〃з. Обозначим заряд на конденсаторе q, силу тока в цепи i = q. Используя известные соотношения, получим:
Но так как.
〃i + 〃2 + 〃з «('), то
Lq + Rq + q = 。 ⑴.⑶
Сопоставляя уравнения (2) и (3), убеждаемся в том, что если обеспечить пропорциональность между коэффициентами в левых частях и между правыми частями, то решения обоих уравнений будут при соответствующем подборе начальных данных отличаться лишь постоянным множителем. Будем считать физические системы аналогичными, если они описываются одинаковыми дифференциальными уравнениями. В этом смысле механическая система 《а》 аналогична электрической системе《6》.
Соответствие решений уравнений (2) и (3) позволяет экспериментально исследовать механическую систему с помощью электроизмерений на электрической системе и наоборот. Аналогия существенна, конечно, при рассмотрении более сложных, чем рассмотренные, систем. Сведем аналогичные величины в таблицу.'
Первая электромеханическая аналогия
Q*
Т
Ф
Механическая система
смещение
g
скорость g
т
₽
с
尸⑺
1 .
Электрическая система
заряд g
сила тока
力=9
L
R
1
十Lg2
2 С
+而2
Функции для электрической системы, аналогичные Т, П, Ф для механической, будем обозначать теми же буквами; их называют электрокине- тической энергией (или энергией магнитного поля электрической цепи), потенциальной энергией электрического поля и функцией рассеяния (половина части электромагнитной энергии, превращающейся в тепло). Выражения для этих функций получаются просто заменой т на L, 0 на А, с на-^- (по первым столбцам таблицы). Приведенная аналогия не является единственно возможной [2, 3], но она в большинстве случаев наиболее удобна (и поэтому названа нами первой).
Рис. 3. Электрический контур сРис. 4. Второй вариант выборадвумя степенями свободыопределяющих токов для системы рис. 3Рис. 3. Электрический контур сРис. 4. Второй вариант выборадвумя степенями свободыопределяющих токов для системы рис. 3f I .f I .hh2芯2芯
Рис. 3. Электрический контур сРис. 4. Второй вариант выбора
двумя степенями свободыопределяющих токов для систе
мы рис. 3
Рис. 3. Электрический контур сРис. 4. Второй вариант выбора
двумя степенями свободыопределяющих токов для систе
мы рис. 3
f I .
f I .
h
h
2芯
2芯
Составление уравнений Лагранжа для электрических цепей с сосредоточенными параметрами» Уравнения движения для соответствующих электрической и механической систем аналогичны. Но уравнения механической системы можно получить, используя методику составления уравнений Лагранжа. 2-го рода; если использовать ту же методику, но вместо обычных механических величин брать электрические, по приведенной таблице, то уравнения Лагранжа, например, вида (1) будут являться уравнениями многоконтурной электрической системы. Рассмотрим систему рис. 3. Нетрудно убедиться, что эта система имеет две степени свободы; например, задание силы тока L на участке АВ и z2 на участке ВС полностью определяет силу тока на любом участке. Действительно, обозначая /3 силу тока на участке BE, из условия м^^ + ^з (так как при разветвлении в точке В потерь тока не происходит), находим ?з = '1——力2； при слиянии тока с участков DE и BE получаем для EF (и FA) силу тока 办+(R——力2)=介・ Можно считать, что ток в цепи получается за счет тока i\ по контуру ABEF и тока /2 по контуру BCDE\ тогда на BE ——разность токов 厶一/2. Так же. как выбор обобщенных координат для механических систем, выбор определяющих токов неоднозначен. Можно, например, принять за основные ток 兀 на АВ и ток i2 на BE; остальные токи при этом выборе определяющих параметров показаны на рис. 4. Сила тока равна скорости изменения величины заряда объекта; обобщенные координаты в данном случае ——величины зарядов 夕1 и 92, отсчитываемые от некоторого уровня. Индексы у параметров цепи берем соответственно токам: Lx на АВ при токе 九(если есть еще индуктивности при токе 乙，то 厶；，厶;и т. д.), Ci2 при токе 几——/2 и т. д. (см. рис. 3).
Для получения уравнений Лагранжа составим выражения для Т, n,①：
T =+ 厶2朮)；(力-例)2；"
①=}(Rifl： + & 应)•
Добавочная обобщенная сила по первой координате определяется равенством e(/)3gi = Q；3gi； она равна Q；=e(/). По второй координате: тока /} нет («замораживание» координаты; вспомним соответствующее условие для механических систем: gi = const, 692 ¥=0). В данном случае можно считать, что цепь оборвана слева от В и от Е (пунктирная линия< на рис. 3), поэтому источник э. д. с. на AF отключен, на BCDEB других источников нет и Q； = 0. Вычисляем:
=厶%,=厶%,丁，1一例），丽F（%i）,丁，1一例），丽F（%i）,
=厶%,
=厶%,
丁，1一例），丽F（%i）,
丁，1一例），丽F（%i）,
—L~ = ^2^2-
dqi° 92
После подстановки в (1) получим искомую систему двух уравнений:
£1% + Ri% + ~— (% — 勺2)= с (/),(4)
厶2% + R% (% 一q2)= 0.
Ь12
Составление уравнений Лагранжа для смешанных систем. Уравнения Лагранжа 2-го рода можно использовать и для собственно электромеханических систем ——систем, содержащих как электрические, так и механические элементы: для электромеханических реле, электроакустических устройств, электрических машин. С помощью первой аналогии составляют уравнения Лагранжа, включая в обобщенную кинетическую энергию слагаемые, соответствующие магнитной энергии электрического поля, в обобщенную потенциальную -- энергию электростатического поля, а в Ф — половину мощности, рассеиваемой на электрических сопротивлениях (см. табл, на стр. 117). Требования, связанные с размерностью, будут выполнены, если использовать общую для обеих групп элементов систему единиц СИ.
Приводим условие и решение задачи (№ 1233) из сборника И. В. Мещерского; рисунок к задаче несколько изменен.
Задача. Конденсаторный микрофон состоит из последовательно соединенных катушки самоиндукции, омического сопротивления и конденсатора, пластины которого связаны двумя пружинами общей жесткости с (рис. 5). Цепь присоединена к элементу с постоянной э. д. с. Е, а на пластину конденсатора действует переменная сила р«). Индуктивность катушки 厶，омическое сопротивление R, емкость конденсатора в положении равновесия системы С。，расстояние между пластинами в этом положении а, масса подвижной пластины конденсатора т. Ввести электрические и механические обобщенные координаты и составить уравнения движения системы в форме Лагранжа.
Рассмотрим физический смысл задачи. Переменная сила давления звуковых волн p(t) на подвижную пластину конденсатора (диафрагму), упруго скрепленную со второй, неподвижной его пластиной, вызывает механические колебания диафрагмы. Электрическая цепь имеет источник постоянного напряжения £, заряжающий конденсатор. Емкость конденсатора в первом приближении обратно пропорциональна расстоянию между его пластинами; она меняется при колебаниях диафрагмы и влияет на силу тока в цепи, изменяя также выходное напряжение 〃о(/), которое и обеспечивает в дальнейшем воспроизведение звука. На рис. 5 дана общая схема устройства.
За первую обобщенную координату смешанной системы примем величину смещения ОА = х подвижной пластины (рис. 6) от ее положения О при равновесном состоянии системы, когда уравновешиваются действующие на подвижную пластину упругая сила пружин Fy и электростатическая сила притяжения F3, а звуковое давление равно нулю. Если в положении равновесия О пружины сжаты на длину /0, то в про-
Рис. 5. Смешанная электромеханическая системаРис. 5. Смешанная электромеханическая системаРис. 6. Выбор координаты х: Л—произвольноеположение под*вижной пластины; В—положение пластины при несжатых пружинах; начало отсчета О соответствует условию %в尸УРис. 6. Выбор координаты х: Л—произвольноеположение под*вижной пластины; В—положение пластины при несжатых пружинах; начало отсчета О соответствует условию %в尸У
Рис. 5. Смешанная электромеханическая система
Рис. 5. Смешанная электромеханическая система
Рис. 6. Выбор координаты х: Л—произвольноеположение под*
вижной пластины; В—положение пластины при несжатых пружинах; начало отсчета О соответствует условию %в尸У
Рис. 6. Выбор координаты х: Л—произвольноеположение под*
вижной пластины; В—положение пластины при несжатых пружинах; начало отсчета О соответствует условию %в尸У
извольном положении величина сжатия равна X=/0 + ^, а расстояние между пластинами равно а——х.
Так как емкость конденсатора можно считать обратно пропорциональной расстоянию между пластинами, то С =—-—.Так как в равно- а — х，
весном положении С = Си, х = 0, то константа k находится из равенства с k
(5)(5)Со = — ; поэтому
(5)
(5)
Полный заряд конденсатора равен Q = go +么 где q ——отклонение заряда от величины 夕。，соответствующей равновесному состоянию системы в отсутствии звукового давления. Величину q примем за вторую обобщенную координату.
Обобщенные кинетическая и потенциальная энергии системы
7 = 子m又2 + +L逆=十疝2 + 十必，
И = "к + 嚏 Q2 =十 с 仇 + ху + J^- Q + 疗.
Функция Релея
1•1•
Добавочные обобщенные силы
Q；=p(〃 Q；=£
Составляя для системы уравнения Лагранжа 2то рода в форме (1), получим:
т% + сх + с/0 ———-(qo + qF = р ⑺，(6》
2aCQ
Lq +Rq + -^- (a — x)(g0 +q) = E・(7»
В равновесном положении р(/)=0, х = 0, х = 0,夕=0, 9 = 0, поэтому &мз уравнений (6) и (7) получаем:= Е, с/。——=。・(8)Со2呜」В равновесном положении р(/)=0, х = 0, х = 0,夕=0, 9 = 0, поэтому &мз уравнений (6) и (7) получаем:= Е, с/。——=。・(8)Со2呜」С учетом этих соотношений уравнения движения системы принимают видт+с%__^^_£ =Р«),(9)С учетом этих соотношений уравнения движения системы принимают видт+с%__^^_£ =Р«),(9)Lq + Rq ТLq + Rq Т9 %д9 %дВ заключение покажем, как рассматриваемую смешанную электромеханическую систему заменить чисто электрической для случая малых колебаний.Определим новую обобщенную координату с размерностью заряда соотношениемВ заключение покажем, как рассматриваемую смешанную электромеханическую систему заменить чисто электрической для случая малых колебаний.Определим новую обобщенную координату с размерностью заряда соотношением44(И)(И)В уравнениях (9) и (10) отбросимВ уравнениях (9) и (10) отбросимРис 7. Электрическая система,эквивалентная электромехани-ческой системе рис. 5Рис 7. Электрическая система,эквивалентная электромехани-ческой системе рис. 5члены второго порядка малости относительно х и qчлены второго порядка малости относительно х и qmx + сх E = p (/),mx + сх E = p (/),(12)(12)
В равновесном положении р(/)=0, х = 0, х = 0,夕=0, 9 = 0, поэтому &мз уравнений (6) и (7) получаем:
= Е, с/。——=。・(8)
Со2呜」
В равновесном положении р(/)=0, х = 0, х = 0,夕=0, 9 = 0, поэтому &мз уравнений (6) и (7) получаем:
= Е, с/。——=。・(8)
Со2呜」
С учетом этих соотношений уравнения движения системы принимают вид
т+с%__^^_£ =Р«),(9)
С учетом этих соотношений уравнения движения системы принимают вид
т+с%__^^_£ =Р«),(9)
Lq + Rq Т
Lq + Rq Т
9 %д
9 %д
В заключение покажем, как рассматриваемую смешанную электромеханическую систему заменить чисто электрической для случая малых колебаний.
Определим новую обобщенную координату с размерностью заряда соотношением
В заключение покажем, как рассматриваемую смешанную электромеханическую систему заменить чисто электрической для случая малых колебаний.
Определим новую обобщенную координату с размерностью заряда соотношением
4
4
(И)
(И)
В уравнениях (9) и (10) отбросим
В уравнениях (9) и (10) отбросим
Рис 7. Электрическая система,эквивалентная электромехани-ческой системе рис. 5
Рис 7. Электрическая система,эквивалентная электромехани-ческой системе рис. 5
члены второго порядка малости относительно х и q
члены второго порядка малости относительно х и q
mx + сх E = p (/),
mx + сх E = p (/),
(12)
(12)
Lq + Rq + -j- — ^% = 0.(13)
Умножим уравнение (12) на-^~ ; обозначая
循次2qQ
心 помощью (8) и (11) получим следующую систему уравнений:
(14)
Lq + Rq + =。・(15)
Нетрудно убедиться, что уравнениям (14) и (15) соответствует электрический контур с двумя степенями свободы, изображенный на рис. 7. Емкость С2 должна удовлетворять условию
Со 石"，
поэтому
Левый 《круговой》контур с током q соответствует уравнению (15), правый—уравнению (14).
zzi ——возмущающее напряжение, имитирующее давление звуковых волн.
〃о«) —снимаемое напряжение, которое отличается от 〃о(/) (рис. 4》 на постоянную величину Е.
Литература
Г. О л ь с о н. Динамические аналогии. ИЛ, 1947.
①.Р. Г антмахер. Лекции по аналитической механике. «Наука», 1966.
Г. Н. Савин, Н. А. Кильчевский, Т. В. П у т я т а. Теоретическая механика. Киев, ГИТЛ УССР, 1963.
СОДЕРЖАНИЕ
Стр. н
Предисловие ...-.3
Космодемьянский А. А. Теоретическая механика и развитие новых областей техники-..5
Дьяков В. Л. О роли теоретической механики в развитии смежных дисциплин31
Белецкий В. В. О некоторых достижениях космической баллистики 37 Блюмин Л Д. Современное состояние прикладной теории гироскопов и требования, предъявляемые ею к курсу теоретической механики 53
Ремизова Н. И., Шепелевская Н. Н. О внедрении новой методики изложения курса теоретической механики в практику преподавания на радио- и электромеханических факультетах Киевского политехнического института 67
Гончаренко В. М. Об одном плане построения курса теоретической механики72
Гроза В. Ф” Чагар Б. Е., Ерасов /7. Л. Из опыта работы лаборатории по теоретической механике в Харьковском политехническом институте ..76
Веселовский И. Н., Возникновение классической механики ....82
Кельзон А. С. О научно-исследовательской работе кафедры теоретической механики Ленинградского высшего инженерного морского училища им. адм. С. О. Макарова 89
Воронков И. М. О принципе Гаусса для неглономных систем . . .93
Морошкин Ю. Ф. Вопросы геометрии сложного движения абсолютно твердого тела . .' .. . .105
Чикин В. А. О геометрических свойствах тел, удовлетворяющих условиям Гесса и Гриоли 112
Бушуев Л. П. О первой аналогии между ^механическими, электрическими и электромеханическими системами 115
Сборник научно-методических статей“
по теоретической механике
ВЫПУСК /
Редактор О. Г. ПодобедоваТехнический редактор Г. ”. МеркурьеваКорректрр С. Ж. Алеева
Т 09569 Сдано в набор 2/11-68 г. Подп. к печати 14/VIII-68 г. Формат 70Х 108!/i6Объем 7,75 печ. л. 10,85 усл. п. л. Уч.-изд. л. 9,36 Изд. № УМО-3187 Тираж 1700 экз.Цена 25 кон. Заказ № 293Москва, К-51, Неглинная ул., д. 29/14.Издательство «Высшая школа»
Типография № 32 Главполиграфпрома. Москва, Цветной бульвар, 26.
МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГОСПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ СССР
• Рекомендовано
Учебно-методическим управлениемпо выаиему образованию
СБОРНИКНАУЧНО-МЕТОДИЧЕСКИХ СТАТЕЙПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ
ВЫПУСК 1
ИЗДАТЕЛЬСТВО «ВЫСШАЯ ШКОЛА»
Москва1968
Редакционная коллегия:
Н. М. Воронков (главный редактор), В. М. Осецкий (зам. главного редактора),Г. Б. Айзенберг, И. Н. Веселовский, В. В. Добронравов, 'И. Ф. Ливурдов,Г. Н. Свешников, Г. С. Погосов