ПРЕДИСЛОВИЕ

Невозможно представить современную теоретическую физику без уравнений Максвелла. Они были, остаются и, видимо, долго будут оставаться источником многих плодотворных физических и математических идей, являясь в то же время фундаментом для поистине необозримых приложений теории электромагнетизма.

Выдающаяся роль уравнений Максвелла в физике объясняется прежде всего тем, что они, подобно уравнениям Ньютона, описывают очень широкую область физических явлений. Следует отметить также, что в уравнениях Максвелла закодированы все основные положения релятивистской механики. Впервые Лоренц, а затем Пуанкаре и Эйнштейн «прочитали» в этих уравнениях основные формулы релятивистской механики и электродинамики.

Уникальность уравнений Максвелла состоит еще и в том, что они имеют удивительно богатую симметрию. Действительно, среди фундаментальных уравнений физики нет более симметричных уравнений. Речь идет о таких симметрий- ных свойствах, которые не улавливаются глазом, но могут быть обнаружены с помощью специальных математических методов, основанных на теории представлений алгебр и групп Ли.

Оказалось, что хорошо известный классический подход Софуса Ли не дает возможности изучить все свойства симметрии уравнений Максвелла, Дирака и других дифференциальных уравнений квантовой механики [66, 104, 111]. Для установления новых симметрийных свойств уравнений Максвелла, дополняющих симметрию, открытую Лоренцем, Пуанкаре, Бейтменом и Канингхэмом, приходится использовать неклассический (нелиевский) метод исследования симметрии уравнений математической физики, предложенный в работах [56, 66, 104] и развитый в серии работ [31—35, 39, 54, 59—65, 67, 70, 71, 73, 115, 119, 120, 122].

Основное содержание настоящей книги — теоретико-алгебраический анализ уравнений Максвелла и других систем дифференциальных уравнений гиперболического и параболического типа, широко встречающихся в математической и теоретической физике. Краткое содержание и основные идеи используемого подхода изложены во введении. В основу книги положены главным образом работы авторов. Ссылки на другие источники ни в коем случае не претендуют на полноту хотя бы потому, что об уравнениях Максвелла написано несчетное количество книг и статей. Цитируются, как правило, только те работы, которые непосредственно использовались.

Авторы выражают благодарность редактору книги академику АН УССР Ю. А. Митропольскому и академику АН УССР О. С. Парасюку за существенную

поддержку и стимулирование на протяжении многих лет исследований по разра・ ботке теоретико-групповых методов в математической физике, проводимых ими в Институте математики АН УССР; сотрудникам отдела прикладных исследований В. М. Штеленю, Н. А. Селехману, Ю. Н. Сегеде, Н. И. Серову, М. М. Серо вой и С. Батырову за помощь при работе над рукописью, а также Т, Д. Калашниковой за техническое оформление рукописи.

АвторыАвторыКиев, февраль 1981 г.

Авторы

Авторы

ВВЕДЕНИЕ

Математика любит прежде всего симметрию

Д. К. Максвелл

В этой книге речь идет о свойствах симметрии уравнений Максвелла и других систем дифференциальных уравнений, которые в некотором отношении родственны фундаментальным уравнениям электродинамики. С помощью единого теоретико-алгебраического подхода получены классические результаты Лоренца, Пуанкаре, Эйнштейна, Хевисайда, Лармора, Бейтмена, Канингхэма, Райнича, а также установлены неизвестные до недавнего времени ([111, 67, 115]) симметрий- ные свойства уравнений Максвелла (дополнительная инвариантность относительно группы [7 (2) ® [7 (2) и двадцатитрехмерной алгебры Ли Л23). Кроме того, проанализированы свойства симметрии уравнений Дирака и найдены в явном виде конформные преобразования для безмассовых полей с произвольным спином. Наконец, решены некоторые обратные задачи теоретико-алгебраического анализа, которые состоят в описании всех возможных (с точностью до эквивалентности) линейных уравнений, инвариантных относительно заданной алгебры Ли.

Прежде чем приступить к краткому изложению полученных результатов и основных идей используемого подхода, остановимся на истории вопроса о симметрии уравнений Максвелла. Как известно, эти уравнения получены Максвеллом в результате анализа работ Фарадея. Максвелл писал по этому поводу следующее [22]: «Когда я стал углубляться в изучение работ Фарадея, то заметил, что метод его понимания тоже математичек, хотя и не представлен в форме математических символов. Я также нашел, что метод может быть выражен в обычной математической форме и таким образом может быть сопоставлен с методами признанных математиков». Именно Максвеллу удалось выразить симметрию, присущую открытым Фарадеем физическим законам, в четких математических символах. Отметим, что в 1983 г. исполняется ПО лет со дня выхода в свет первого издания книги Максвелла «Трактат по электричеству и магнетизму».

Современный вид уравнениям Максвелла придали Герц и Хевисайд. В 1893 г. Хевисайд [129], представив эти уравнения в симметричной форме, обратил внимание на то, что они инвариантны относительно замены

Е —Н, Н —— Е, ⑴

где Е и Н — векторы напряженности электрического и магнитного полей. Лармор [139] и Райнич [162] обобщили эту симметрию до семейства однопараметрических преобразований:

Е-> Е cos 0 + Hsin 0,

⑵ H->Hcos0 —EsinG.

В конце прошлого века выдающимся норвежским математиком Софусом Ли были созданы основы науки о симметрии дифференциальных уравнений (ДУ)——теории непрерывных групп. Не ставя перед собой общей задачи исследования групповых свойств ДУ, Лоренц [21], Пуанкаре [46] и Эйнштейн [77] получили один из наиболее фундаментальных результатов в этой области, сыгравший революционную роль в физике. Именно Лоренц, который не был знаком с только что созданной теорией Ли, нашел линейные преобразования координат и времени (и соответствующие преобразования для Е и Н), оставляющие инвариантными уравнения Максвелла для электромагнитного поля в отсутствие зарядов.

Пуанкаре, дополняя и обобщая результаты Лоренца, показал, что при наличии зарядов и токов уравнения Максвелла инвариантны относительно тех же преобразований, если плотности токов и зарядоз преобразуются соответствующим образом. Пуанкаре впервые установил и детально изучил одно из самых важных свойств этих преобразований —— их групповую структуру, и показал, что «преобразования Лоренца представляют ни что иное, как поворот в пространство четырех измерений, точки которого имеют координаты (х, у, z, V—1 /)》 [46]. Таким образом, Пуанкаре по крайней мере за три года до Минковского [24] объединил пространство и время в единое четырехмерное пространство—время.

В знаменитой статье Эйнштейна [77] было также установлено, что уравнения Максвелла с токами и зарядами инвариантны относительно преобразований Лоренца. Мы не будем обсуждать выдающуюся роль, которую сыграла эта работа в современном естествознании. Заметим только, что именно на основе анализа свойств симметрии уравнений Максвелла в работах Лоренца, Пуанкаре и Эйнштейна были заложены основы релятивистской теории.

Преобразования Лоренца для координат ха(а = 1,2,3) и времени / = % можно представить в виде

■ / = % (3)

где 。宀 Ь» — вещественные параметры, причем ad"=餡，锥 ——символ Кронекера, по повторяющимся индексам подразумевается ковариантное суммирование.

Совокупность преобразований вида (3) образует десятипараметрическую группу Ли, которую по предложению Вигнера называют в современной литературе группой Пуанкаре. В дальнейшем будем обозначать эту группу символом Р (1,3). Преобразования (3) совмест-

но с масштабными преобразованиями x^xi=bx^⑷

образуют максимальную группу локальных линейных преобразований координат и времени, оставляющих инвариантными уравнения Максвелла.

В 1909 г. Бейтмен [84] и Канингхэм [92] доказали, что уравнения Максвелла инварианты относительно нелинейных конформных преобразований

卩 卩 1 — 2%%" + %/%”dv，

где 电一вещественные параметры. К формулам (5) можно придти, подвергая 冲 последовательно преобразованию инверсии

сдвигаи вторичной инверсиисдвигаи вторичной инверсии99(6)(7)(8)(6)(7)(8)

сдвига

и вторичной инверсии

сдвига

и вторичной инверсии

9

9

(6)

(7)

(8)

(6)

(7)

(8)

Канингхем [92] нашел в явном виде линейные преобразования векторов Е и Н, которые совместно с (6) оставляют уравнения Максвелла инвариантными.

Совокупность преобразований (3)—(5) образует пятнадцатипараметрическую конформную группу С (1, 3) =? Р (1, 3). Как показано в [84], эта группа является максимальной группой симметрии уравнений Максвелла с токами и зарядами (если ограничиться локальными (точечными) преобразованиями координат и времени). Отметим, что группа конформных преобразований в четырехмерном пространстве 友4 была изучена Ли [142].

Одним из возможных подходов к исследованию симметрии уравнений Максвелла является классический теоретико-групповой анализ этих уравнений. Основные идеи и методы такого анализа для произвольных дифференциальных уравнений разработаны Ли [144, 146]. В последнее двадцатилетие теория Ли получила существенное развитие в статьях и монографиях Л. В. Овсянникова. В новосибирской школе Л. В. Овсянникова разработаны [42, 43] и успешно применены [14—16] алгоритмы для вычисления групп инвариантности многих уравнений механики и физики. Некоторые алгоритмы реализованы в виде программ для ЭВМ. Последние достижения в этой области подытожены в книге [43], где приведена подробная библиография.

Классический алгоритм Ли был применен для группового анализа уравнений Максвелла сравнительно недавно [14, 15]. В результате установлено, что максимальной локальной группой инвариантности уравнений Максвелла для электромагнитного поля в вакууме является шестнадцатипараметрическая группа С (1, 3) ® Я, где Н — однопараметрическая группа преобразований Хевисайда ——Лармора — Рай- нича (2). Этот результат по существу совпадает с тем, который получен Бейтменом [84]. Нельзя не восхищаться интуицией Бейтмена, который 70 лет назад, не используя лиевской теории группового ана< лиза дифференциальных уравнений, с исчерпывающей полнотой исследовал локальную симметрию уравнений Максвелла.

В связи с изложенными выше фактами может сложиться впечатление, что свойства симметрии уравнений Максвелла полностью изучены, и нет никаких надежд получить какой-либо новый результат в этой области. На самом деле это не так, поскольку уравнения Максвелла имеют скрытую (негеометрическую) симметрию, которая не связана с локальными преобразованиями координат.

Как отмечалось в работах [54, 59, 66, 69, 73, 111], инфинитезимальный метод Ли дает возможность обнаружить далеко не все симметрии, которые имеет та или иная система ДУ. Известным примером «нелиев- ской» симметрии является инвариантность уравнения Шредингера для атома водорода относительно группы О (4), впервые обнаруженная ①оком [99].

Чтобы уяснить себе, какие группы инвариантности ДУ можно и какие нельзя найти в классическом подходе Ли, рассмотрим произвольное линейное дифференциальное уравнение

牛,勘中(%) = 0, (9)

где L ——некоторый линейный оператор, 4r — вектор-функция с компонентами ｛屮 1,屮2,…，屮J, x E R% В подходе Ли инфинитезимальные операторы группы инвариантности уравнения (9) ищутся в виде дифференциальных операторов первого порядка

qa=^(%，中)М + 噥(％ 屮)證， (1о)

|х = 0, 1, 2, ..., п — 1, ^ = 1, 2,..., г.

Здесь 编(招 Т) и 喧(х,屮)一неизвестные функции, которые могут быть найдены исходя из требования, чтобы операторы (10) удовлетворяли условию инвариантности уравнения (9)

2$лТ(х)==0. (11)

Если потребовать, чтобы операторы (10) задавали базис конечномер' ной алгебры Ли, то функции ^ (х, Т) и п纟(х, Т) должны удовлетворять некоторым дополнительным условиям, которые вытекают из соотношений

Q, QB] = if лвс^с» (12)

где Iabc — структурные константы. Совокупность операторов, удовлетворяющих условиям (11) и (12), будем называть алгеброй инвариантности (АИ) уравнения (9).

Очевидно, что с помощью классического подхода Ли нельзя найти все возможные АИ заданного ДУ, поскольку на базисные элементы АИ налагается априорное требование принадлежности классу дифференциальных операторов первого порядка. Из изложенного ясно, что постановку задачи об исследовании алгебраических свойств ДУ можно существенно обобщить, расширив класс искомых операторов

удовлетворяющих (11), (12). Например, можно искать АИ ДУ в классе дифференциальных операторов второго порядка или даже интегро-дифференциальных операторов. Именно таким путем найдены новые АИ уравнений Дирака [54, 115], Максвелла [67, 111, 119, 122] и многих других уравнений квантовой механики [34, 39, 70, 73]. Такие АИ соответствуют нелокальным преобразованиям зависимых и независимых переменных и поэтому не порождают локальных групп Ли.

Таким образом, в отличие от инфинитезимального подхода Ли, в основе которого лежит понятие группы непрерывных локальных преобразований, в данной книге (как и в предыдущих работах авторов) основным понятием будет не группа, а алгебра Ли. При исследовании симметрии ДУ каждый раз будем искать возможно более широкий класс операторов, удовлетворяющих условиям инвариантности (11), (12). Затем с помощью формул Кэмпбелла — Хаусдорфа будем находить группу преобразований, порождаемых найденной АИ; эта группа в общем случае включает нелокальные преобразования.

Вместо обычно используемого словосочетания «теоретико-групповой анализ ДУ» будем использовать термин «теоретико-алгебраический анализ», смещая акцент с группы инвариантности ДУ на АИ.

Мы не будем касаться широкого круга вопросов, связанных с динамической симметрией физических систем, которые достаточно полно освещены в литературе (см., например, [3—5]). Физическим аспектам динамической симметрии посвящена книга [23].

Главный и самый трудный вопрос, возникающий в связи с алгебраическим подходом к исследованию симметрийных свойств ДУ, состоит в следующем: каким способом конструктивно вычислить операторы 0厶,образующие АИ заданного ДУ? Обобщая результаты конкретных вычислений АИ уравнений квантовой механики, можно сформулировать следующий алгоритм для нахождения явного вида таких операторов [54, 66, 69]: 1) система ДУ с помощью невырожденного преобразования приводится к каноническому диагональному виду, т. е. производится максимальное расщепление системы ДУ на независимые подсистемы; 2) находится АИ преобразованного уравнения; 3) если операторы Q/ удовлетворяют соотношениям (12), то устанавливается, какое именно представление алгебры Ли реализуют эти операторы на множестве решений исследуемого уравнения; 4) с помощью обратного

преобразования находится явный вид базисных элементов АИ исход- го уравнения; 5) по найденному представлению АИ вычисляются конечные преобразования

屮(%)-屮⑴=exp (迫厶办)T (x),(13)

где 6力一параметры преобразований.

В основе сформулированного алгоритма лежит одна из самых плодотворных и эффективных идей в теории ДУ — преобразования независимых и зависимых переменных. Опишем подробнее первый шаг этого алгоритма.

Важную роль в реализации алгоритма будет играть понятие символа оператора £ (х, -^-), который может быть определен с помощью преобразования Фурье (более подробно о символах см., например, [76])

£ 卜，訝 Т (%) = (2я) 2 ^ L (х, р) ехр (5・%) Т (р)办， (14) D(P)

где YgC* (R J T (p) = FT (%) — фурье-образ Y (x); F — унитарный оператор Фурье, отображающий вектор из гильбертова пространства Н в Я,可(/?)£ 方；D(p) — область интегрирования,

% .p=g^p^ =々。/2。+ g^x^ + ^x2p2 + …+ g~1“7/_1必_1，

gz 一 метрический тензор риманова пространства &.

Связь между оператором £ 卜,-^ j и его символом L (х, р) задается формулами

£& 粉=fTl&p)F,(15)

l(%,p)=尸£к,^)L.(16)

Формулы (15), (16) указывают путь реализации первого шага алгоритма. Действительно, если уравнение (9) таково, что символ оператора L (х, ^-) является матрицей с переменными коэффициентами (а это имеет место для большинства уравнений математической физики), то задача о расщеплении системы (9) на максимально возможное число незацепляющихся уравнений сводится к преобразованию матрицы L (х, р) (16) к диагональной или жордановой форме. Такая диагонализация в общем случае достаточно сложна, но если вектор-функция ^(х) имеет не очень много компонент, то эти трудности чисто технического характера.

Следует заметить, что полная реализация приведенного выше алгоритма для конкретных уравнений физики и механикй, как правило, представляет непростую задачу. Это в полной мере относится и к алгоритму Ли [43].

10

Опишем коротко основные результаты, полученные в монографии.

Гл. 1 является своеобразным прологом ко всей книге и содержит краткое изложение различных формулировок уравнений Максвелла. В гл. 2 изложены хорошо известные результаты, связанные с симметрией уравнений Максвелла относительно группы Пуанкаре. Эти результаты представлены в форме, которая допускает непосредственное обобщение на негеометрическую симметрию этих уравнений.

В гл. 3 описаны неприводимые представления алгебры Ли группы Пуанкаре в базисе, в котором генераторы группы 尸(1, 3) имеют единую форму для всех классов неприводимых представлений; произведена редукция решений уравнений Максвелла по неприводимым представлениям группы Пуанкаре.

Конформная инвариантность уравнений Максвелла обсуждается в гл. 4. Показано, что эта инвариантность является следствием релятивистской инариантности, поскольку генераторы конформных преобразований для решений уравнений Максвелла аналитически выражаются через генераторы группы 尸(1, 3). Выписаны в явном виде преобразования из конформной группы для векторов Е, Н и четырехвектора электрического тока, а также найден закон преобразования произвольного конформно-инвариантного поля.

Гл. 5 посвящена описанию «скрытой» (негеометрической) симметрии уравнений Максвелла. Доказаны теоремы, устанавливающие инвариантность этих уравнений относительно восьмимерной алгебры Ли, изоморфной алгебре Ли группы U ⑵％ U (2), и относительно 23-мерной алгебры Л23 n Р (1, 3). Показано, что релятивистская инвариантность уравнений Максвелла имеет двойственный характер [59, 61, 66], поскольку помимо преобразований Лоренца эти уравнения допускают также другие преобразования, которые задают представление группы 尸(1, 3), но оставляют время инвариантным.

В гл. 6 исследуется негеометрическая симметрия уравнений Дирака и Кеммера—Дэффина—Петье. Найдены АИ этих уравнений в классе дифференциальных и интегро-дифференциальных операторов. Показано, что уравнение Дирака инвариантно относительно 18-пара- метрической группы преобразований вида

屮(х) - ЛТ (х) + BY 3) + Сц^ , (17)

где 4f ——дираковский биспинор, %，= (%；,%；,%；,%；), %； заданы в (3); Л, В, Сц — некоторые числовые матрицы. Преобразования (17) включают 10-параметрическую подгруппу неоднородных преобразований Лоренца. 。

Законы сохранения, следующие из локальной и негеометрической симметрии уравнений Максвелла и Дирака, обсуждаются в гл. 7. Показано, что помимо хорошо известных интегралов движения электромагнитного поля в силу уравнений Максвелла сохраняются еще четыре интегральные комбинации из векторов напряженности электрического и магнитного полей.

Исследованию симметрий различных подсистем уравнений Максвелла и уравнений для потенциала посвящена гл. 8. Оказывается, что эти подсистемы имеют очень интересные группы инвариантности, причем некоторые из них одновременно инвариантны как относительно группы Пуанкаре, так и группы Галилея. Кроме того, анализируется симметрия уравнений «галилеевской электродинамики», предложенных Леви-Леблондом [140, 141]. Показано, что эти уравнения допускают широкий класс преобразований, включающих переход к равноускоренной системе отсчета. Наконец, в гл. 10, 11 обсуждается единственность уравнений Максвелла и рассматриваются различные обобщения этих уравнений на случай полей произвольного спина. В § 52 показано, что существует пять типов неэквивалентных уравнений для безмассового векторного поля, имеющих различную симметрию относительно дискретных преобразований Pt Т и С,

Глава 1

РАЗЛИЧНЫЕ ФОРМУЛИРОВКИУРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА

...выполняя определенные операции над символами, мы получаем возможность выразить одну и ту же вещь во многих разных формах

Д. К. Максвелл

В настоящей гмве рассматриваются различные формы уравнений Максвелла. Все эти формулировки математически эквивалентны, но каждая из них может оказаться наиболее удобной при решении конкретной физической задачи. Кроме того, знание разных форм уравнений Максвелла открывает путь к совершенно различным обобщениям этих уравнений.

Уравнения Максвеллав векторных обозначениях

Уравнения Максвелла для электромагнитного поля в вакууме могут быть представлены в следующем виде:

РХЕ =嚼，р><Н = 一穿，(1.1)

р.Е = 0, р-Н == 0,(1.2)

где & = — % -^-, а = 1, 2, 3; Е = Е (/, х) и Н = Н (/, х) — векторы напряженности электрического и магнитного полей.

Здесь и далее мы используем систему единиц Хевисайда, в которой 方===с —^ 1.

При наличии токов и зарядов система уравнений Максвелла принимает вид

i^=-PXH+ij, Р・Е = _/，(1.3)

i 嘗= РХЕ, р・Н = 0.(1.4)

Здесь / = (/0, j) — четырехвектор электрического тока, константа электромагнитного взаимодействия выбрана равной единице.

Представление уравнений Максвелла в форме (1.1), (1.2) или (1.3), (1.4) было предложено Герцем и Хевисайдом. Использование векторных обозначений делает уравнения (1.1), (1.2) и (1.3), (1.4) достаточно компактными и изящными. Однако приведенные выше формулировки

13

не являются явно релятивистски инвариантными (очевидна только симметрия уравнений (1.1), (1.2) и (1.3), (1.4) относительно преобразований, соответствующих пространственным вращениям системы координат). Глядя на формулы (1.1), (1.2), очень непросто догадаться, что они определяют уравнения для безмассовых частиц со спиральностью 入=土 1. Эти уравнения невозможно непосредственно обобщить на случай частиц с произвольным (отличным от ±1) значением спиральности. Наконец, форма уравнений (1.1), (1.2) не очень удобна для исследования их негеометрической симметрии. Поэтому ниже мы рассмотрим другие формулировки уравнений Максвелла, которые в той или иной степени свободны от указанных недостатков.

Уравнения Максвелла

в форме Зильберштейна ——Бейтмена ——Майорана

Для исследования свойств симметрии уравнений Максвелла удобно представить систему (1.1.), (1.2) как результат действия некоторых линейных операторов на вектор-функцию

屮传,х) = ( ： ) = столбец (% £2, £3, %, Н2, %), (2.1)

где Еа и На — компоненты векторов напряженности электрического и магнитного полей.

Обозначим символами Sa (〃=1, 2, 3,) и ац (р, = 0, 1, 2, 3) следующие матрицы:

ОО ООО ООООО

О

О О

О

О О

О

О

О

О

Здесь 0 и / — трехрядные квадратные нулевые и единичные матрицы. Используя обозначения (2.2), уравнения (1.1) можно представить в форме Шредингера

3屮优,х) = 0, Li — i-^ —Н,(2.3)

где гамильтониан Н имеет вид

(2.4)(2.4)Н = — 02s ・р.

(2.4)

(2.4)

Уравнения (1.2) можно интерпретировать как некоторые дополнительные условия, налагаемые на множество решений уравнения

(2. 3). Эти условия могут быть представлены в форме

ЙФ(/,х) = 0.(2.5)

Здесь 殁一любой из следующих трех операторов:

^2 =(臨一SbS^ Рь，а = 1, 2, 3⑵6)

(6аЬ означает символ Кронекера, а по повторяющимся латинским индексам подразумевается суммирование от 1 до 3).

Нетрудно убедиться непосредственной проверкой, что уравнения (2.5), (2.6) для функции (2.1), будучи записаны покомпонентно, совпадают с (1.2). В силу уравнений (2.3) выполняется тождество

^•(£”(Е,х)) = 0,(2.7)

поэтому уравнения (2.5) можно интерпретировать как начальные условия, налагаемые на ср (/, х). Действительно, достаточно положить

"中(力 x)|/=0 = 0

и тогда ввиду (2.7) это условие будет выполняться в произвольный момент времени. Как показано ниже, условие (2.5) уменьшает число независимых компонент вектор-функции (1.2) до четырех.

Именно формулировка (2.3), (2.6) в основном используется ниже при исследовании негеометрической симметрии уравнений Максвелла.

Рассмотрим еще одну формулировку уравнений (1.1), в которой использована трехкомпонентная вектор-функция

中=七=也一唱•(2・8)

В обозначениях (2.2), (2.8) уравнения (1.1), (1.2) принимают вид

£浬=0, K = i^-8.p,⑵9)

£独=0,爲= 4-S.p欧(2.10)

Уравнение (2.10), будучи записано покомпонентно, сводится к следующему условию для функции (2.8):

р・В = 0,(2.11)

где W=(%, Т2, %).

Формулировка уравнений Максвелла в форме (2.9), (2.11) была впервые предложена Майорана (см.[153]) и очень удобна для корпускулярной интерпретации уравнений (1.1), (1.2).

Отметим, что и уравнения (2.3), (2.5), и система (2.9), (2.10) могут быть представлены в ковариантной форме [123, 126]

為屮三(SjiW” + ip^ Ф = 0, (2.12)

2評=&户+%)屮=0. (2.13)

Здесь Pq — i 叔，Soa =— ‘力‘⑴ Sab = eabc^e> S。。= iS@, Sab = sabc^c» 8abc ——абсолютно антисимметричный тензор третьего ранга, по повторяющимся латинским индексам подразумевается ковариантное суммирование от 0 до 3.

В случае 卩=0 уравнения (2.12) и (2.13) совпадают соответственно с (2.3) и (2.9), а при [л = 1, 2, 3 они (с учетом (2.3) или (2.9)) сводятся к (2.5) или (2.10).

Уравнения (2.12), (2.13) полностью симметричны по пространственным и временной переменным и допускают простое обобщение на случай безмассовых полей с произвольной спиральностью (см. гл. 11).

Уравнения Максвелла в форме Дирака

Рассмотрим формулировку уравнений (1.1), (1.2), впервые предложенную Боргардтом [9], а затем Ломонтом [147] и Мозесом [1541. Обозначим символами а1? а2 и а3 четырехрядные матрицы следующего вида:

—100\/00—10\

000 1ЛОО0 —1 1

00 I 1, % = 1 1 о00「

0 — 1 0/\0 100/

/00 0 — 1\

ЛО 0 10 1

аз = ч 0-1001,(3.1)

0 00/

а символом % (/, х) — четырехкомпонентную функцию, первая компонента которой тождественно равна нулю:

" (厶 X)=" (厶 X)=(3.2)(3.2)反一因]

" (厶 X)=

" (厶 X)=

(3.2)

(3.2)

е2-ш2 I Л-^з/

Используя обозначения (3.1), (3.2), уравнения (1.1), (1.2) можно представить в форме*

(3.3)(3.3)i宗* = а・рХ・

(3.3)

(3.3)

Действительно, расписывая (1.1), (1.2) и (3.3) покомпонентно и принимая во внимание вещественность Е и Н, приходим к одинаковым системам уравнений.

Матрицы аа (3.1) удовлетворяют алгебре Клиффорда——Дирака

Wb + аьав == 26аЬ.(3.4)

Основное достоинство представления уравнений Максвелла в форме (3.1)—(3.3) состоит в том, что эта формулировка легко обобщается на случай релятивистского безмассового поля произвольного спина. Однако уравнения (3.1)—(3.3) неинвариантны относительно пространственной инверсии и, кроме того, с чисто эстетической точки зрения не очень привлекательно выглядит условие равенства нулю первой компоненты функции % (3.2).

Следуя [36, 62, 68], приведем еще одну формулировку уравнений (1.1), (1.2), в которой, как и в (2.1)——(2.6), используется вещественная вектор-функция (имеющая в этом случае восемь компонент)

屮=столбец (%, ”2, "з, 6,七1,旦，七3,屮2)・(3.5)

А именно, уравнения (1.1), (1.2) можно представить в виде следующей системы для функции (3.5):

Кв = 0, 3 = у卩叫(3.6)

詳中=0, L2 = 丫必卩S^S叱(3,7)

где уц и Svx — матрицы размерности 8X8,

0 и / — нулевые и единичные матрицы размерности 4 X 4; Sc — матрицы (2.2), (3.1).

Матрицы 丫卩(3.7) удовлетворяют алгебре

Vv + Tv?n = 2^(3・9)

где guv = diag (1, —1, —1, —1). Следовательно, система (3.6), (3.7) включает восьмикомпонентное уравнение Дирака (с m = 0) (3.6) и дополнительное условие (3.7), которое уменьшает число независимых компонент функции 4r до четырех.

Подставляя (3.5), (3.8) в (3.6), (3.7) и расписывая получившуюся систему покомпонентно, приходим к уравнениям (1.1) для Е и Н и сле-

дующим УСЛОВИЯМ ДЛЯ 屮工 И 屮2：

(3.10)(3.10)РцФ1 = 〃卩屮2 = °，"о = i ^，

(3.10)

(3.10)

откуда следует, что фг и(р2 ——константы, которые, не умаляя общности, можно считать равными нулю.

Уравнения Максвелла в форме (3.5)—(3.8) также допускают самое непосредственное обобщение на случай полей с произвольным спином [36, 62, 68] и в отличие от (3.2), (3.3) инвариантны относительно пространственной инверсии (см. гл. 10).

Уравнения в формеКеммера — Дэффина — Петье

(4.1)(4.1)Во всех рассмотренных выше формулировках уравнения Максвелла представлялись как результат действия двух (или четырех) линейных операторов на некоторую вектор-функцию. Однако систему (1.1), (1.2) можно представить также в форме единого уравнения вида

(4.1)

(4.1)

(生川-6 %)屮* = 0.

Здесь рц — десятирядные неприводимые матрицы Кеммера — Дэф- фина—Петье, удовлетворяющие алгебре

瓦6昆+阮生生=g卩息+ g"世山

(4.2)

6=唸也=土%邓报6危盯

Ejxvpu — абсолютно антисимметричный тензор четвертого ранга.

Покажем, что уравнения (1.1), (1.2) действительно можно представить в форме (4.1), (4.2). Выбирая р^ и Т в виде

~o ~o ~o/666 6〈o6 6 /~o ~o ~o/666 6〈o6 6 /0+ 0+ 0+ 00+ 0+ 0+ 0₽a₽a9为—Sa 00—点 о+ о+ о9为—Sa 00—点 о+ о+ о〈о 6 As6 6 6〈о 6 As6 6 6

~o ~o ~o/666 6〈o6 6 /

~o ~o ~o/666 6〈o6 6 /

0+ 0+ 0+ 0

0+ 0+ 0+ 0

₽a

₽a

9为

—Sa 0

0

—点 о+ о+ о

9为

—Sa 0

0

—点 о+ о+ о

〈о 6 As6 6 6

〈о 6 As6 6 6

(4.3)(4.3)

(4.3)

(4.3)

6—700/ООО6 6 6 66+ 6+ 6+ О4

Y = столбец (£j,旦，七3，"1，”2，〃3，4，4，4，4)=

где Sa — матрицы (2.2);

(4・4)(4・4)

(4・4)

(4・4)

би/ — нулевые и единичные матрицы размерности 3x3: 0 — нулевые матрицы соответствующей размерности, приходим к системе уравнений

dt 1 дхь 0，

(4.5)(4.5)мН = rot А,

(4.5)

(4.5)

i^= — рхн, Р・Е = О,

из которой непосредственно следуют уравнения (1.1) для Е и Н.

Запись уравнений Максвелла в форме (4.1), (4.3) была впервые предложена, по-видимому, Ф. И. Федоровым [51] (см. также [89]).

Покажем теперь, что уравнения Максвелла с токами и зарядами (1.3), (1.4) могут быть представлены в виде системы двух уравнений типа (4.1). Обозначим символом 迎 десяти компонентную функцию следующего вида:

столбец （£\,七2，七3，"1，”2，"з，/1，，2，，з，/о）•столбец （£\,七2，七3，"1，”2，"з，/1，，2，，з，/о）•(4.6)(4.6)

столбец （£\,七2，七3，"1，”2，"з，/1，，2，，з，/о）•

столбец （£\,七2，七3，"1，”2，"з，/1，，2，，з，/о）•

(4.6)

(4.6)

Тогда уравнения (1.3), (1.4) можно представить в форме

2淫=0,丄=(1 一 闻乳川 + 1),(4.7)

L2y =。，厶2 = Р^Р^Рб»

где §卩 и §5 — матрицы (4.3). Подставив (4.3), (4.6) в (4.7), приходим к уравнениям (1.3), (1.4).

Формулировка уравнений Максвелла в виде (4.2), (4.6), (4.7) во многих отношениях более удобна, чем общепринятая запись этих уравнений в векторной форме (1.3), (1.4). В частности, уравнения (4.7) явно инвариантны относительно группы Пуанкаре (см. гл. 2).

Отметим еще, что систему уравнений (1.2) можно представить также в виде единого уравнения типа (4.1), где §卩 一 матрицы размерности 16х 16, удовлетворяющие алгебре (4.2). Такие матрицы могут быть выбраны в форме [8]

(4.8)(4.8)Рц= 5缆 + %)・

(4.8)

(4.8)

Здесь {丫： } н {%} — ава взаимно коммутирующих набора матриц Дирака:

恥，隈】=。，Y^3 + KYi = 2gw «== I, 2.(4.9)

Если теперь матрицу § в (4.1) выбрать в виде

6 =幾 + /(1 + 产卩)總-Y訪(4.Ю)

то уравнения (4.1), (4.8), (4.10) эквивалентны системе уравнений Максвелла с токами и зарядами (1.3), (1.4). Чтобы убедиться в этом, рассмотрим следующее представление матриц 近.Обозначим

а= 1, 2,а= 1, 2,(4.U)(4.U)

а= 1, 2,

а= 1, 2,

(4.U)

(4.U)

где o^, b^,翠 и dj—матричные блоки с размерностью 12X12, 12X4, 4X12 и 4X4. Выберем эти матрицы в виде

а〈S о о оо ^о^ о оа〈S о о оо ^о^ о оо о〈5аоо о о〈5ао о〈5аоо о о〈5аооооооо /о /о оо оо о〈5аоООО Лс^о о〈5аоООО Лс^о 1 о о1 о о оо о о 1о 1 о о1 о о оо о о 1о о 1 оо о 1 о44о о 1 оо о о 1о о 1 оо о о 11 о о оо 1 о о1 о о оо 1 о о44о 1 о оо 1 о о1 о о оо о о 1о о 1 о1 о о оо о о 1о о 1 о届届

а

〈S о о оо ^о^ о о

а

〈S о о оо ^о^ о о

о о〈5аоо о о〈5а

о о〈5аоо о о〈5а

о

о

о

о

о

о

о /

о /

о о

о о

о о〈5аоООО Лс^

о о〈5аоООО Лс^

о 1 о о1 о о оо о о 1

о 1 о о1 о о оо о о 1

о о 1 о

о о 1 о

4

4

о о 1 оо о о 1

о о 1 оо о о 1

1 о о оо 1 о о

1 о о оо 1 о о

4

4

о 1 о о

о 1 о о

1 о о оо о о 1о о 1 о

1 о о оо о о 1о о 1 о

届

届

1卜:\ о1卜:\ о1о о1о оо о оо о оО — 1О — 1О' оо.О' оо.

1卜:

\ о

1卜:

\ о

1

о о

1

о о

о о о

о о о

О — 1

О — 1

О' о

о.

О' о

о.

К =笳=$ =威=足=爲=d = W = £ = £ = о,

Са = (— ba )f,ос = 1, 2.

Здесь Sa и %а ——матрицы (2.2), (4.4); I — трехрядная единичная матрица; 0 — нулевые матрицы соответствующей размерности.

Можно убедиться непосредственной проверкой, что матрицы (4.11), (4.12) удовлетворяют соотношениям (4.9). Обозначив

4f = столбец (Ei,七2,七3, "i, ”2, "з,才厶才2,』з,厶，/2, /з, /о,』о, Фь 屮2)

(4.13) и подставив (4.10)—(4.13) в (4.1), получим уравнения (1.3), (1.4) для Е, Н, j и /0.

Уравнение для потенциала

Одним из распространенных приемов при решении уравнений Максвелла является подстановка

Н = ф X А, Е = —^ —ip%(5.1)

которая обращает уравнения (1.3) в тождества. Подставляя (5.1) в уравнения (1.4) и используя векторное равенство

Р X (Р X А) = р(р・ А) — р2А,(5.2)

получаем для А^ следующую систему уравнений:

%P“"v — Pv〃f ='w w = 0,1,2, 3.(5.3)

Таким образом, вместо уравнений (1.2) для Е и Н всегда можно решить систему (5.3) для Лц, азатем по формулам (5.1) найти векторы напряженности электрического и магнитного полей.

На первый взгляд кажется, что переход от (1.3), (1.4) к (5.3) только усложняет нашу задачу. Однако если воспользоваться произволом в выборе Лц, то уравнения (5.3) можно значительно упростить. Действительно, если перейти от Лц к новому четырехвектору 4；

4Т"纵=& + 力小，(5.4)

где х —— некоторая скалярная функция от х и /, то Е и Н, определяемые согласно (5.1), не изменяются. Этим произволом обычно пользу-

ются, налагая на А^ дополнительное условие

乙趾=0,(5.5)

которое называется калибровкой Лоренца.

Подставив (5.5) в (5.3), приходим к системе незацепляющихся уравнений для четырех компонент 4V

夕必从人=/v-(5.6)

Уравнения (5.5), (5.6) во многих случаях более удобны, чем исходная система (1.3), (1.4). Отметим, что вектор-потенциал Xv, удовлетворяющий уравнениям (5.5), (5.6), по-прежнему определен только с точностью до преобразования (5.4), где % —произвольная функция, удовлетворяющая уравнению

"必耿=0・(5・7)

Преобразование (5.4), (5.7) называют калибровочным преобразованием второго рода. Используя такие преобразования, можно добиться выполнения равенства

Ло = 0.(5.8)

Тогда из (5.5) следует

р • А = 0.(5.9)

Условия (5.8), (5.9) (которые в отличие от (5.5) не являются реляти" вистски инвариантными и могут быть наложены только в фиксированной системе отсчета) называют калибровкой Кулона.

В заключение этого параграфа отметим, что, используя связь векторов Е и Н с четырехвектором Av, задаваемую формулами (5.1), уравнения Максвелла (1.3), (1.4) можно сформулировать в тензорных обозначениях. Действительно, поскольку Лу — четырехвектор, то величины

Fiiv — i (p^^v 一 "”&)Fiiv — i (p^^v 一 "”&)(5.10)(5.10)

Fiiv — i (p^^v 一 "”&)

Fiiv — i (p^^v 一 "”&)

(5.10)

(5.10)

представляют собой компоненты антисимметричного тензора второго ранга, выражаемые через Еа и На следующим образом:

РаЪ~ 8аЬс^с» ^оа = ^а'(5」1)

В обозначениях (5.11) уравнения (1.3), (1.4) можно представить в виде

(5.12)

где瓜=皆Е“产.

Уравнения Максвеллав импульсном представлении

Для многих целей, в том числе для корпускулярной интерпретации уравнений Максвелла, удобно использовать формулировку этих уравнений в импульсном представлении. Переход к такому представлению осуществляется с помощью преобразования Фурье векторов Е и Н. Представляя Е (力 х) и Н (力 х) в форме

(6.1)(6.1)Е (f, х) = (2冗)2 J еР"Е (/, p) exp (ip • x),

(6.1)

(6.1)

H 0, x) = (2л) 2 у d8pH (力 р) exp (ip • x),

приходим к выводу, что Ё Е (/, р) и Н = Н (/, р) в силу (1.1), (1.2) должны удовлетворять уравнениям

Z^-=PXE, i^ = -pXH,

р.Е = 0, р-Н«= 0.(62)

Здесь ра — независимые переменные, —оо < ра < оо. Аналогично уравнениям (1.1), (1.2), система (6.2) может быть представлена как результат действия линейных операторов

厶=i 友 + %S・p, Lg = Pa — S・pSa(6.3)

(a2, So — матрицы (2.2)) на вектор-функцию

①优,p) = столбеи (瓦，以 е3,瓦，方2 行3).(6.4)

Используя (6.3), (6.4), уравнения (6.2) можно представить в виде системы

厶屮 0,Р)= О,(6.5)

厶屮俏 Р)= 0,(6.6)

где мы для определенности выбрали а = 1 и обозначили L； = L2. При этом условие вещественности векторов (6.1) означает, что для функции (6.4) должно выполняться равенство

<р*(/,р) =(р(/,-р).(6.7)

Уравнения (6.3)—(6.7) полностью эквивалентны исходной системе (1.3), (1.4).

Рассмотрим еще две формулировки уравнений Максвелла в импульсном представлении, которые в некотором смысле неэквивалентны (6・2)—(6.7). Обе эти формулировки предполагают использование трех-

компонентной комплексной вектор-функции (в отличие от (6.2)—— (6.7), где ф (/, р) — шестикомпонентная величина), и характеризуются различной симметрией относительно дискретных преобразований Р, 7 и С.

Найдем такое представление уравнений (6.3)——(6.7), в котором нет необходимости налагать на вектор-функцию условие типа (6.7). Для этого воспользуемся оператором

(6.8)(6.9)(6.8)(6.9)u=й^ a + ’°声)'u 1 = -:^ a - ‘°科)■ Здесь

(6.8)

(6.9)

(6.8)

(6.9)

1 +晉+ (号)2,卩=(总+内一居)2 .

Оператор (6.9) удовлетворяет условию е2 = 1, откуда следует, что и。-』.

Подействовав оператором (6.8) на ф (/, р) (6.4), приходим к вектор- функции

屮'(/, р)=и<р(/,р) = ( 丿Y X = ( х2 J > (6.10) j*&一р)丿 *丿

где %i, %2 и Хз — функции от /, р， связанные с Е и Н следующими соотношениями:

儿=瓦 + ^На ^Ёа — \bcpbHQ у ・(6.11)

Функция фЧ/, р) (6.10) уже не удовлетворяет условию (6.7), но зато имеет только три независимые компоненты 疝 %2 и %3.

Согласно (6.5), (6.6), (6.10) функция q/(f, р) удовлетворяет уравнениям

р 糸—(~-j ］屮'& P)=6(6.12)

(A-S.pSJ Ф7/,р)=0,(6.13)

поскольку

ULQ 1 — азР ('^■j，(6.14)

UL2U~^f (Л р) = (〃 一 S・p•&)屮(f, p)(6.15)

(Li и L2 — операторы (6.3)).

Из (6.10), (6.12) следует, что % (/, р) удовлетворяет уравнениям

ЛХ (/, р) = 0, L — i^—H^i^—p\2 (~^ j —小(6.16)

РаХа = о или р —帯)j % & Р) = 0(6.17)

£а —матрицы (2.2)).

Из приведенного выше построения следует, что система уравнений (6.16), (6.17) эквивалентна уравнениям Максвелла (1.1), (1.2). При этом решения уравнений (1.1), (1.2) связаны с решениями систе* мы (6.16), (6.17) следующими соотношениями:

瓦=}慨十典)，凡= }(%+%)

昌а=(2н) 2 J d3PXa (/, P) exp (fp.x),(6.18)

瑞=(2冗)2 j 箒 ЧъсРъ^с ft P) exp (ip • x),

a 及 выражаются через £e и Ha согласно (6.10).

Как будет показано в гл. 7, уравнения (6.16), (6.17) допускают ясную квантовомеханическую интерпретацию. Отметим, что формулировка уравнений Максвелла в виде (6.16), (6.17) аналогична рассматриваемой в работе [1].

Приведем другую возможную форму уравнений Максвелла в импульсном представлении, которая получается непосредственно из системы (2.8)—(2.10). Представляя функцию Т (% х) (2.8) в виде

V (/, х) = (2л) 2，d3〃y(f,p)exp(ip・x),(6.19)

получаем, что Т (/, р) согласно (2.8)—(2.10) должна удовлетворять следующим уравнениям:

L»(Z,P)= O, L『i备一§・р,(6.20)

厶屮(f,P)= O, G=〃一§・P§i(6.21)

(Sa —матрицы (2.2)). Обозначив 屮(f, P)=(%(f, p),匕(大 P), %(勿 p)), где 屮式力 Р)—компоненты функции 4f (/, р), уравнение (6.21) можно представить в виде

р・У(/,р) = 0,(6.22)

а уравнение (6.21) при использовании (6.22), (2.2) принимает следующую эквивалентную форму:

(讨一"户俏 P) = 0, "，=&p +小一(号У].(6.23)

Система уравнений (6.22), (6.23) эквивалентна уравнениям Максвелла (1.1). Связь между решениями уравнений (6.22), (6.23) и (1.1), (1.2) задается соотношениями (6.19), (6.24):

Н& х)=}рГ& х) + ^*(/, х)],

(6.24)

E&x) = grF(f,x) — V&x)]・

Система (6.22), (6.23), как и (6.16), (6.17), удобна для квантовомеханической интерпретации уравнений Максвелла (см. гл. 7).

Таким образом, наряду с уравнениями (6.3)—(6.7) существуют две другие формулировки уравнений Максвелла в импульсном представлении, задаваемые формулами (6.16)—(6.19), (6.21)—(6.24). Будучи математически эквивалентными, указанные формулировки существенно различны, поскольку не существует линейных преобразований, связывающих множества решений систем (6.3)—(6.7); (6.16), (6.17) и (6.22), (6.23). Основное различие между уравнениями (6.3)—(6.7); (6.16), (6.18) и (6.22), (6.23) заключается в том, что эти системы имеют разные свойства симметрии (см. гл. 10).

Глава 2

РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬУРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА

Физические открытия показали математику новые формы количеств, которые он никогда бы не смог себе представить

Д. К. Максвелл

В данной главе исследуется симметрия уравнений Максвелла относительно алгебры Ли конформной группы и относительно дискретных преобразований — пр остр анственн ой инверсии, обращения времени и зарядового сопряжения.

Основные определения

Исследуем симметрийные свойства уравнений Максвелла. Будем исходить из формулировки этих уравнений, задаваемой соотношениями (4.3), (4.6), (4.7). Рассмотрим также несколько более общую систему, задаваемую уравнениями (4.2), (4.7), где 屮一произвольная комплексная функция, ри — произвольные (не обязательно совпадающие с (4.3)) десятирядные матрицы, удовлетворяющие алгебре Кеммера—Дэффина—Петье.

Пусть 4f —произвольное решение системы уравнений (4.2), (4.7). Назсжем преобразованием симметрии этих уравнений любое преобразование вида

$(/,х)т @(f,x)=Q&&x)・ (7.1)

Здесь Q — некоторый линейный (или нелинейный) оператор, переводящий Т в новое решение системы (4.7). Это означает, что для У', как и для 4е, выполняются равенства

3^ 三 3 (Q心=0,詳而'三 К (Q$) = 0 (7.2)

(厶 и L2 — операторы (4.7)).

Под исследованием симметрийных свойств уравнений Максвелла будем понимать описание возможно более широкого класса операторов Q, заданных на множестве, всюду плотном в пространстве квадратично интегрируемых функций 4r и удовлетворяющих условиям (7・2).

Используя определение (7.2), можно показать, что множество линейных операторов, порождающих преобразования симметрии уравнений 《4.7), образует алгебру Ли (которая может оказаться как ко-

нечномерной, так и бесконечномерной). Напомним основные определения из теории алгебр Ли, которые понадобятся в дальнейшем (подробнее об алгебрах Ли см. [2, 13]).

Обозначим символом Z конечномерное векторное пространство над полем вещественных (комплексных) чисел. Векторное пространство Z называется алгеброй Ли над К, если оно замкнуто относительно бинарной операции (х, у) [х, у], удовлетворяющей следующим аксиомам:

[ах + Ру, z] = а [х, z] + Р [у, z] для %肾代 x,y,z@Z,

[х,川=—回 x] для всех х,у”,

[^, [У, z]] + [у, [z,x]] + [z, [x,y]\ = 0 для всех x,y,z@Z.

Операция [J называется умножением Ли (скобками Ли). Алгебру Ли называют коммутативной, или абелевой, если [х, у] = 0 для любых х, у Z. Подпространство ^ алгебры Z называется подалгеброй, если

N] и /V, и идеалом, если [Z, N] и N.

Пусть Z и Z — две произвольные алгебры Ли над множеством вещественных чисел и ф — отображение Z в 2. Это отображение называется гомоморфизмом, если выполняется

Ф (ах + by) = а(р (х) + &ф (у), 乂火 Z, а, Ь^К,

屮([居训)=[屮(X),中(у)], %, У e Z.

Взаимно-однозначный гомоморфизм одной алгебры на другую называют изоморфизмом и говорят, что соответствующие алгебры Z и 2 изоморфны одна другой.

Представлением алгебры Ли Z называют гомоморфизм х -> Т (х) этой алгебры в множество линейных операторов Т, определенных в некотором линейном пространстве Н:

ах * by f аТ (%) + ЬТ (у),

[х, у] - [Т (%),「&)] = Т (%) Т (У)-Т(у)Т (%).

Если пространство представления Н бесконечномерно, то дополнительно предполагается, что операторы Т (х) для всех х ^ Z имеют общую инвариантную область определения D, плотную в Н.

Представление называют неприводимым, если Н не имеет подпространств, инвариантных относительно операторов Т (х) для всех х ^ Z. Если пространство определения операторов Т (х) имеет инвариантные подпространства, то соответствующее представление называют приводимым (а если все такие подпространства взаимно ортогональны — вполне приводимым).

Используя изложенные выше определения, задачу исследования свойств симметрии уравнений Максвелла сформулируем следующим образом.

Обозначим через {Q/} (Л = 1, 2, ..., ^, ^ < оо) некоторую совокупность линейных операторов, определенных на множестве, плотном 28

в пространстве квадратично интегрируемых функций (4.6), и образующих конечномерную алгебру Ли.

Определение 1. Уравнения (4.7) инвариантны относительно алгебры {Q/}, если операторы Qa удовлетворяют условиям

[Li, Q/ = /% + g/2，広,Qj =以3 + g玄2，(7・3)

где /%, g；, f^» g* — некоторые операторы, определенные на множестве решений уравнений (/.4), (/.5), (/.9), 〃 символ [А, В] означает коммутатору [Д, В] = АВ — В А.

Действительно, если выполняется (7.3), то для операторов QA справедливы соотношения (4.7), (7.2), т. е. эти операторы переводят произвольное решение уравнений (4.7) в другое решение этих уравнений.

Таким образом, задача описания алгебры инвариантности (АИ) уравнений Максвелла сводится к описанию возможно более широкого множества операторов Q人,удовлетворяющих условиям (7.3). Отметим, что определение 1 не содержит никаких ограничений относительно общего вида операторов Q』；это могут быть, например, дифференциальные операторы, включающие производные выше первого порядка и даже интегро-дифференциальные операторы. В этом состоит принципиальное отличие нашей постановки задачи от классического подхода Ли, в котором инфинитезимальные операторы группы ин- вариатности дифференциального уравнения (образующие, очевидно, АИ этого уравнения) всегда принадлежат классу дифференциальных операторов первого порядка.

АИ уравнений Максвеллав классе дифференциальных операторовпервого порядка

Рассмотрим задачу о нахождении АИ уравнений (4.7) в классе дифференциальных операторов первого порядка, которая сводится к определению всех возможных операторов вида

Qz = ВА (^, х) + С』(/, х)备 4"。7 (厶 х) ~^~ ,(8.1)

удов л етвор яющи х условиям (7.2) и образующих конечномерную алгебру Ли. В формуле (8.1) 頂伍 х) и。玄/, х) — дифференцируемые функции от / и х, BA(t, х) — матрицы размерности Юх 10.

Теорема 1. АИ уравнений (4.7) в классе дифференциальных операторов первого порока является пятнадцатимерная алгебра Ла, базисные элементы которой задаются формулами

「о = % = i务，Ра = Pa = — i 备,

“(8.2)

九” =%凡一八乙+ 5炉；

D = xo^ + i^

К产 2%卫 一 ％/% + 2Sg*

где

5." =i (生及-丛生)，k = 3 一隱(8.4)

Доказательство. Используя соотношения

階=% a一團生=6源，

(8.5)

[生,S"d = i (统良一叁色)

(которые вытекают из алгебры (4.2)), непосредственной проверкой убеждаемся, что операторы (4.7) и (8.2), (8.3) удовлетворяют условиям инвариантности

屮卩，Lj =【'w %】=°，а= 1, 2,(8・6)

[2方=风区】=。,(8.7)

котор ые совпадают с (7.3) при §« = /« = 0.

Проверка соотношений (8.6) почти тривиальна, поэтому рассмотрим подробно только (8.7). По определению (см. (4.7), (8.2), (8.3))

[0,山三[%尸+，(3 一限(1 一闻(生川+ 1)]=

=[%必吗(I 一瞠)6必叫+ i [3 —隱(1 -隐生w]=

=一"1 一除生 W + "l—闻 6L=0,(8.8)

及,LJ= [2%.0-W% + 2Sg* (1 一吃(瓦户 +1)] =

=2[%, (1 一圈生W]0一 [(1 -/生W,林炉]乙+【25以i1 (1 -旧)X

X 队沙]=2i (1 —储)[一 ^D + ^p^ + 6”S^ — (g^生-gM X

X炉用=2/(1-闻{一生嵐户+ Ц3-闻]+ P/"乙一

一炉(生标一 W +生八川-自炉/} = 2i (1 —隱[一牝X

X(3-瞠)一(瓦炉-1)仰]=4 (1 —隨 § 纵=0.(8.9)

В формуле (8.8) использованы только соотношения (8.5), а для проверки (8.9) необходимо воспользоваться также условиями (4.2) и принять во внимание тождество

龊"三3一隔.

С помощью соотношений (4.2) нетрудно убедиться, что операторы (8.2), (8.3) образуют базис 15-мерной алгебры Ли, так как удовлетворяют следующим перестановочным соотношениям:

曝 PJ =。，Kg，p^=i &凡一g#)

(8.10}

【JjxW 4cJ = ' (gjxWvcr + gvcr'g — SvX^jxa — ^цо^ух)1

[九 "d = i (g 办 Kr 一 gjuAv)’

[^Pv] = -2i(gilvD + J^9 [^, К J = 0,(8.11)

【D Q = 一叫，【°，К J = % ,[〃，D] = 0.

Таким образом, операторы (8.2), (8.3) действительно образуют АИ уравнений Максвелла. Теорема доказана.

Соотношения (8.10), (8.11) определяют алгебру Ли конформной группы С (1, 3). Эта алгебра содержит подалгебру Пуанкаре, образуемую операторами Рц, Juv и задаваемую соотношениями (8.10).

Итак, мы убедились, что уравнения Максвелла с токами и зарядами (4.7) инвариантны относительно 15-мерной конформной алгебры С (1, 3). Эта симметрия (доказанная здесь элементарными методами) имеет глубочайшие физические следствия и содержит в неявном виде информацию о всех основных законах релятивистской кинематики (преобразованиях Лоренца, релятивистском правиле сложения скоростей и т.д.). Указанные вопросы подробно обсуждаются в § 10. Здесь заметим, что из инвариантности уравнений Максвелла относительно алгебры (8.2) следует их симметрия относительно преобразований вида

exp(iQ』％)审，Л=1,2,15,(8.⑵

где Qa ——произвольный оператор из множества (8.2), (8.3); 0Л — вещественные параметры. Преобразования (8.12) задают представление конформной группы, включающей в качестве подгрупп группу Пуанкаре. Как показал Бейтмен [84], конформная группа С (1, 3) является максимальной локальной группой преобразований переменных хи/, оставляющих инвариантными уравнения Максвелла (1.3), (1.4).。

Сформулируем два почти очевидных, но важных для дальнейшего следствия из доказанной теоремы.

Следствие 1. Каждое из уравнений (4.7) в отдельности инвариантно относительно алгебры С (1, 3).

Это утверждение следует непосредственно из того факта, что согласно (8.6), (8.7) оператор £】из первого уравнения (4.7) и оператор 厶？ из второго коммутируют со всеми базисными элементами алгебры С (1, 3), задаваемыми формулами (8.4).

Следствие 2. Уравнения Максвелла для электромагнитного поля 8 вакууме инвариантны относительно алгебры С (1, 3).

Действительно, уравнения Максвелла без токов и зарядов, задаваемые формулами (1.1), (1.2), можно представить в виде системы (4.7), на множество решений которой наложено дополнительное условие £з 市三(1-畸皆=0(8.13)

(при этом матрицы §卩 должны иметь вид (4.3)). Но матрица Р| ком* мутирует с генераторами (8.2), (8.3) и, следовательно, уравнение (8.13), как и система (4.7), инвариантно относительно алгебры С (1, 3).

Инвариантность уравненийэлектромагнитного поляв вакууме относительно алгебры С (1, 3) фН

В предыдущем параграфе мы показали, что уравнения (4.7), (8.13) (которые эквивалентны системе уравнений Максвелла (1.1), (1.2) для электромагнитного поля в вакууме) инвариантны относительно 15-мерной алгебры С (1, 3). Оказывается, АИ этих уравнений в классе дифференциальных операторов первого порядка может быть расширена до 16-мерной алгебры Ли, как это устанавливается в следующей теореме.

Теорема 2. Система уравнений (4.7), (8./3) инвариантна относительно 16-мерной алгебры, 〃〃, базисные элементы которой задаются формулами (8.2), (8.3) и формулой

尸=也，(9.1)

где р5 — матрица (4.2).

Доказательство. Используя соотношения (8.5), для 厶 и 厶2 из (4.7) и £3 из (8.13) получаем

[厶，05]=& 一L3 —也厶，

откуда непосредственно следует, что оператор (9.1) удовлетворяет условию инвариантности уравнений (4.7), (8.13). Оператор (9.1) коммутирует со всеми операторами (8.2), (8.3). Это означает, что операторы (8.2), (8.3), (9.1) образуют алгебру С (1,3) ф/f, где Н содержит единственный элемент (9.1). В силу следствия 2 из теоремы 1 эта алгебра является АИ уравнений (4.7), (8.13). Теорема доказана.

Таким образом, симметрия уравнений Максвелла для электромагнитного поля в вакууме более широкая, чем при наличии токов и зарядов. Это связано с тем обстоятельством, что уравнения (1.3), (1.4) включают ток несимметричным образом (из-за отсутствия магнитного заряда). В результате уравнения (1.3), (1.4) оказываются неинвариантными относительно преобразований Хевисайда—Лармора—— Райнича (2) (которые, как будет показано ниже, генерируются оператором (9.1)).

В работах [11, 15] показано, что алгебра С (1, 3)㊉" является максимально широкой АИ уравнений Максвелла для электромагнитного поля в пустоте в классе дифференциальных операторов первого порядка. В гл. 5 найдены новые АИ уравнений Максвелла, базисные элементы которых — нелокальные (интегро-дифференциальные) операторы.

Преобразования Лоренца

Итак, мы нашли АИ уравнений Максвелла в классе дифференциальных операторов первого порядка. Возникает естественный вопрос: зачем нужно знание этой алгебры, какую информацию несет она о свойствах уравнений и их решений?

32

Исходя из АИ дифференциального уравнения, как правило, нетрудно найти его группу симметрии, т. е. совокупность преобразований зависимых и независимых переменных, оставляющих данное уравнение инвариантным. Покажем, что из инвариантности уравнений Максвелла относительно алгебры (8.2), (8.3) непосредственно следует их симметрия относительно преобразований Лоренца.

В самом деле, если некоторый оператор Q』。удовлетворяет условиям инвариантности (7.3), то таким же условиям (но с другими 修 и g£)будет удовлетворять оператор

%=exp(i%QQ,(ЮЛ)

где Q% — вещественный параметр. Поэтому, если оператор (10.1) может быть определен на множестве решений уравнений (4.7), то соотношение (8.12) задает преобразование симметрии этих уравнений.

Рассмотрим случай, когда

Qa0 ^ Joi == /〃％,А)+ S。,，S°, = i [Po, pil« (10.2)

Обозначим Qa0 = 0 и представим оператор (10.1), (10.2) в виде

UA9=exp(iJ0ie)= ViV2.(Ю.З)

Здесь

匕=exp (iSol0), V2 = exp [i (® — %歩°) 0].(Ю.4)

Использовав тождество (Soj = —S^ (которое легко проверить, приняв во внимание соотношения (4.2)), представим оператор Vt (10.4) в виде конечной суммы по степеням (Soi)^:

匕=1 + &, sh0 + Soi(l — ch 0).(10.5)

Теперь нетрудно найти преобразования, порождаемые действием оператора (10.3) на вектор-функцию 4f (4.6), и операторы умножения на независимые переменные х и Л С помощью формулы Кэмпбелла— Хаусдорфа

ехр(Л)Вехр(-Л)= £${4,3}*

Л=з0

(10.6) {4В}“ = [4{4 8}1], {А,В}^В

получим

%1 = U Айх^и~^ = V 2х У 2Х =х1 + [i(tpi — %%), А] 0 ++g口 (也一%歩0),

,[i (切,一％,%), xj] 62 + g [i (的一X,%),

..02

，口 (‘P,%歩о), H ("\%,%), %i]]] 8' + • • • == %, + 8’ + 尤，*2] b

+ / ЗГ + …=修 ch 6 十/ sh 0, /' = Uа0ШAo =匕”2 1 = f +

+ 口(® — %,%),勿 8 + g【i (切1 — %/o)」i (切,一％iPo),切 б? + … а.

…=/ + 8%, + t -^i—И %, "^1—H …^111 打 sh 6 + f ch 6,(10.7)

%2 == UAo^^ Ao = %2，％3 =。4%3。4 =:%3，

Ф7 (/, X)=。或屮(/, x) = VT% (尸,x) =[1- iS。, sh 0 -

—So? (ch 0 — 1)] ф (Г, x)(10.8)

Использовав представление (4.3), найдем выражение для матрицы Sol:

6

一8。

6

0

S()a = i lPo> Ba】―

氏

6

6

0

,(10.9)

6

6

6

-儿

%+

祖

0

где Sq н 入а — матрицы (2.2), (4.4). Подставив в соотношение (10.8) явный вид матрицы S01 (10.9), (2.2), (4.4) и функции Т (4.6), получим законы преобразований для векторов Е, Н и четырехвектора / = =(/о, j)：,

Ei = £i, "i =Нн

良=旦 ch 6 + H3 sh 0, Н〔= ”2 ch 6 — £3 sh 0,

£з = £3 ch0 —//2sh0, Нз=Н3 ch0 + £2sh 0,(10.10)

/о = /о ch 0 — /х sh 0,/； = /i ch 0 — /0 ch 0,

/2 =，2，/3 = /з*

Наконец, с помощью замены 0 = arct%, где с — скорость света, и — вещественный параметр, имеющий размерность скорости, представим формулы (10.7), (10.10) в следующем виде:

%1 = (%, + С/) § ,%2 == ^2f%3 — %з,/ '— (/ +。%1) 6 ,

e；=当，居=他+^也)厂，写=(当一曾闻 N

(10.11)

巧=儿区=(生一费闻尸，毎=("3+£旦)『，

/о = ^/о^乙№，/1= ^/1^jo)p-* 石=厶’ /з= /з-

Здесь

Соотношения (10.11) задают преобразования Лоренца для координат, времени, векторов напряженности электрического и магнитного полей и четырехвектора тока при переходе к новой инерциальной системе отсчета, движущейся со скоростью и по отношению к исходной. Как показали Лоренц, Пуанкаре и Эйнштейн, эти преобразования оставляют инвариантными уравнения Максвелла (1.3), (1.4). Из (10.11) можно получить также релятивистский закон сложения скорости

1 dt叩

Таким образом, исходя из АИ уравнений Максвелла, базисные элементы которой задаются формулами (8.2), мы естественно приходим к преобразованиям Лоренца (10.11), которые являются фундаментом современной релятивистской физики.

В гл. 4 найдены в явном виде все возможные преобразования векторов Е, Н, четырехвектора j и независимых переменных Z, х, порождаемых операторами из алгебры (8.2), (8.3).

Преобразования дискретной симметрии

Рассмотренная выше алгебра (8.2), (8.3) является максимально широкой АИ уравнений Максвелла в классе дифференциальных операторов первого порядка. Однако инвариантность относительно упомянутой алгебры (и порождаемой ею группы преобразований) не исчерпывает, как показано в гл. 5, всех свойств симметрии этих уравнений. Хорошо известным примером симметрии, выходящей за рамки рассмотренной АИ (8.2), (8.3), является инвариантность уравнений Максвелла относительно следующих дискретных преобразований:

X —^" —, X, / ->■ f,

E (/, x) —> — E (/, — x), H (/, х) -> Н (/, — х),j (厶 х) т— j (/, — x), /о (/, х) -> jo (厶 一 X)；

X -> X, / -> — 上,

E 伍,X)—> E (- /, X), h (/, X)-> - h (- /, X),

.("I)

j (/, X)Тj (- /, X), jo (/, X)一> jo (- /, X)；

XfX,

E(f,x)f E*(/,x), H(/,x)f H*(f,x),j 仏 x) f j* (/, x), /0 (/, x) f /； (/, x).

Эти преобразования называются пр остр анственн ой инверсией (обоз начаемой символом Р), обращением времени (Т) и зарядовым сопряжением (С). С помощью обозначений (4.3), (4.6) преобразования (11.1) можно представить в виде

&& х)-> Р勺& х) = г/(/,—х),

& (/, х) f Т$ (f, х)=厂2皆(一 /, X),(11.2)

行(/, х)тC?(/, x)=q*(f, x),

где 厂i = 1 — 2餾,厂2 = (1 — 2儲)(1 一 2^5), q = 1 •

Принимая во внимание соотношения (4.2), нетрудно убедиться, что преобразования (11.2) оставляют уравнения (4.7) инвариантными, поскольку выполняется

IE LJ = 1R厶]+ =[7,L1]+ = [7，L2]=[e,厶]=[e,l2]+.

Здесь 21 н £2 — операторы (4.7), символ [Л, В]+ означает антикоммутатор, [Л, 5]十=АВ + ВА. Операторы (11.2) удовлетворяют следующим перестановочным соотношениям совместно с генераторами группы С (1, 3) (8.2), (8.3):

【R Р°] = [^» ^а!+ =【R」аЬ】=IE」оа]十 ~ О,

【Т» ^о1+ = [7,儿]=[Т,厶匕]=[7, Л)а]十 ~ 0>

[С, Р|и]+ = [С,」=。，

屮,D] = [р, К。] = [Л к/+ =0,(11.3)

[T,D]—[Tt 勺]十=[Т, К" = 0,

【С, D]^ = [С, К|ц]+ = 0, 仍，Т] = [Р, С] = [Т, С] =0, 户=尸2 = С2 = 1 .

Коммутационные и антикоммутационные соотношения (8.8), (11.3) могут служить абстрактным определением операторов Р, С и Т. Мы видим, что уравнения Максвелла инвариантны относительно множества операторов {Рц, J“”, D, К^, Р, Т： С}, образующих алгебру (8.10), (8.11), (11.3) (которая, однако, не является алгеброй Ли).

АИ различных формулировокуравнений Максвелла

Обсудим симметрийные свойства всех формулировок уравнений Максвелла, изложенных в гл. 1. Оказывается, что, несмотря на математическую эквивалентность, различные формы уравнений Максвелла имеют разную симметрию.

Все уравнения, рассматриваемые в § 1—4, инварианты относительно 15-мерной алгебры С (1, 3). Базисные элементы этой АИ при-

36

надлежат классу дифференциальных операторов первого порядка и задаются формулами (8.2), (8.3), где для уравнений (2.3), (2.5)

Sab == %Ьс$с， S°a ^^Z^^,(12.1)

для уравнений (2.9), (2.10)

Sab = %bc§c, Soa = lSa,(12.2)

для уравнений (3.3)

Sjxv = Sjxv,(12.3)

и, наконец, для уравнений (3.6), (3.7) матрицы S^” задаются соотношениями (3.8). При этом уравнения для электромагнитного поля в вакууме инварианты относительно более широкой алгебры С (1, 3) © © ", где Н включает единственный элемент 尸,равный а2 для уравнений (2.3), (2.5) и Y0Y1Y2Y3 для уравнений (3.3).

Заметим, что в отличие от уравнений для электромагнитного поля, рассматриваемых в § 1——4, уравнения для потенциала (5.6), (5.9) неинвариантны относительно конформной алгебры, т. е. симметрия уравнений для потенциала ниже, чем уравнений в терминах напряженности электрического и магнитного полей [98]. АИ уравнений (5.6), (5.9) в классе дифференциальных операторов первого порядка сводится к 10-мерной алгебре Ли группы Пуанкаре, задаваемой соотношениями (8.2), где Sjxv ——матрицы, явный вид которых приведен в формулах (16.17). Операторы (8.2), (16.17) заданы на множестве вектор- функции 4r = столбец (Дь Л2, Л3, 4).

Такое положение кажется на первый взгляд довольно странным, поскольку каждое из уравнений (5.6), (5.9) в отдельности конформно инвариантно. Однако на множествах решений указанных уравнений реализуются различные представления алгебры С (1, 3). Для уравнения (5.6) базисные элементы этой алгебры имеют вид (8.2), (8.3), (16.17), где К = 2, а для калибровки Лоренца (5.9) — также (8.2), (8.3), (16.17), где К = 3.

В § 44 приведены примеры конформно-инвариантных уравнений для вектор-потенциала электромагнитного поля.

Обратимся теперь к уравнениям Максвелла в импульсном представлении, рассматриваемым в § 6. Симметрия уравнений (6.3) — (6.7) относительно конформной алгебры совершенно очевидна, так как эти уравнения могут быть получены из (2.3), (2.5) с помощью преобразования Фурье. Базисные элементы АИ уравнений (6.3)—(6.7) можно найти из (8.2), (8.3), (12.1) по формуле

Qa=FQaF-\(12.4)

где {Qz} — множество операторов (8.2), (8.3), (12.1); F — унитарный оператор Фурье. Подставив (8.2), (8.3), (12.1) в (12.4), получим базис АИ уравнений (6.3)—(6.7) в виде

(12.5)(12.5)° = —% 誑+ 2i,

(12.5)

(12.5)

К户方亲D +全景p什2iSy击,

где Sjxv — матрицы (12.1).

Аналогично можно показать, что уравнения (6.20), (6.21) также инварианты относительно алгебры С (1, 3), базисные элементы которой задаются формулами (12.2), (12.5). Инвариантны относительно конформной алгебры и уравнения Максвелла в форме (6.16), (6.17). А именно, на множестве решений этих уравнений генераторы конформной группы принимают вид

(12.6)(12.6)Jab = — —Pa Pb + £abc§c，

(12.6)

(12.6)

Здесь Sa — матрицы (2.2). Операторы (12.6) удовлетворяют условиям инвариантности уравнений (6.16), (6.17) и коммутационным соотношениям (8.10), (8.11), но в отличие от (12.5) не имеют ковариантной формы (т. е. операторы JQa нельзя представить в виде суммы оператора орбитального момента и матрицы спина (см. § 16)). Операторы (12.6) эрмитовы относительно скалярного произведения

(中1，中2)= [*У‘(力 p)中 &p)■

Отметим, что уравнения (6.3)—(6.7), (6.16), (6.17) и (6.20) имеют различную симметрию относительно преобразований Р, Т и С (11.2). А именно, система (6.3)—(6.7) Р-, С-, Т-инвариантна, уравнения (6.16), (6.17) Р-, Т-инвариантны, но С-неинвариантны, уравнения (6.21), (6.22) Р-, С-неинвариантны, но инвариантны относительно преобразований СР и Т. Более подробно симметрия этих уравнений относительно дискретных преобразований рассматривается в § 52.

Глава 3

ПРЕДСТАВЛЕНИЯ АЛГЕБРЫ ПУАНКАРЕ

Физическая природа величины подчинена ее математической форме

Д. К. Максвелл

В данной главе рассматривается важнейшая подалгебра АИ уравнений Максвелла — алгебра Пуанкаре (8.10) и ее неприводимые представления. Найдены все неэквивалентные представления алгебры Р (1, 3) в такой реализации, где операторы & и “ имеют единую форму для всех классов неприводимых представлений. Осуществлена редукция решений уравнений Максвелла по неприводимым представлениям этой алгебры.

Классификация неприводимыхпредставлений

Использовав трехмерные обозначения

'а =万 ^abc^bcf 」0а = "а， Q, 6, С = 1, 2, 3,(13.1)

представим соотношения (8.10), определяющие алгебру Р (1, 3), в виде

『а，Р°]===仍0, 4】и1 仍0,，а】="

Ма，4】=，％b JsК，4】=闻加匕，

Ва，MJ =论abcNs此，巳]=—，嶋匕，(13.2)

【鶴,Pq] = — iPg [Na, Nb] = —论abJc・

Алгебра (13.2) и ее представления играют важнейшую роль в современной теоретической физике. Одно из таких представлений задают операторы (8.2).

Наша задача состоит в конструктивном описании всех неэквивалентных неприводимых представлений алгебры (13.2). Это впервые было сделано в работах Вигнера [172], Баргмана и Вигнера [82], Ю. М. Широкова [751 и Фолди [100]. В этих статьях и в многочисленных публикациях, появившихся позднее, получены представления алгебры (13.2) в различных базисах (см. обзор [87] и цитируемую там литературу). Каждая из найденных реализаций алгебры (13.2) имеет свои достоинства и недостатки, являясь наиболее удобной для определенного круга физических задач. При этом операторы Ро, Ра, 〃, Na обычно имеют довольно сложную форму, различную для разных классов неприводимых представлений. Другая малопривлекательная

особенность известных в настоящее время реализаций состоит в том, что генераторы J& R Na в случае Р^ Р"《0 несимметричным образом зависят от операторов Ра (один из которых, например Р3, всегда выделен), хотя в коммутационные соотношения (13.2) все Ра входят на равных правах.

Мы получим здесь такое представление алгебры Пуанкаре, в котором операторы Рц, J“v имеют одинаковую форму для всех классов неприводимых представлений и симметрично зависят от Ра.

Алгебра (13.2), как известно [75], имеет два основных инвариантных оператора (оператора Казимира)

С<=Рр, C2 = W^,(13.3)

где W\i — вектор Любанского—-Паули,

% = p・j, r = -PXN + P0J.(13.4)

Напомним, что инвариантным оператором называют оператор, функционально зависящий от базисных элементов алгебры Ли и коммутирующий со всеми элементами этой алгебры. В пространстве неприводимого представления алгебры Ли инвариантные операторы кратны единичному.

Из (13.2) следует, что операторы (13.4) удовлетворяют следующим

перестановочным соотношениям:

吗,Р°] = %, Ра]=[吃,Р。] = %, А] = 0,(13.5)

[WQy Ja] = О, Wа^ ^b] ~ ^abc^СУ(13.6)

[呼°, NJ = iWaf [Га, Nb] = i8a^(13.7)

【％,也]=%“(叱А — WQP^(13.8)

[^, WQ] = isabcPbWc,(13.9)

с помощью которых нетрудно убедиться, что операторы (13.3) действительно коммутируют С Pjx, Ja，"а •

Чтобы задать представление алгебры (13.2), достаточно определить явный вид операторов Ро, Ра, ^а, Na в каком-либо ортогональном базисе, образованном собственными функциями полного набора коммутирующих самосопряженных операторов. В качестве такого набора выберем операторы &, С2 (13.3), а также Ро, Ра и 取о・ Иными словами, будем искать представления алгебры (13.2) в базисе \с, р, К), в котором указанные операторы днагональнн:

Са I С, Р，入〉=% I С, Р，%〉，

& I с, 2,九〉=Р“ с, р, А〉，(13.10)

步о|с, рД)=九川& рД).

Здесь

~丄

С = ©, &), р = т，Pl, Р* 凸)，p=(pl + pl+ Рз) 2 .

В неприводимом представлении алгебры (13.2) числа ^ и & (собственные значения инвариантных операторов) принимают фиксированные значения. Следуя Вигнеру [172], будем различать пять классов неприводимых представлений, соответствующих следующим значениям q, & и рц:

q > 0;

Ci = 0, с^= 0, & 嗜。；

С! = 0, с2=#0;(13.11)

q < 0;

%三0.

Все классы представлений (13.11) широко применяются в физике. Пространство неприводимого представления алгебры Пуанкаре, принадлежащего I классу, может быть сопоставлено пространству состояний невзаимодействующей релятивистской частицы с массой т>0. Неприводимые представления II класса используются при описании безмассовых частиц. Представления III класса могли бы соответствовать «частицам» с нулевой массой, имеющим бесконечное число спиновых состояний. Задача описания таких частиц (которые, по-види- мому, пока не наблюдались экспериментально) рассматривается например, в [130, 157]. Представления IV класса обычно сопоставляют тахионам — гипотетическим частицам, движущимся со скоростью, превышающей скорость света. Самое разнообразное применение находят представления V класса (например, при описании дифференциальных уравнений движения частицы произвольного спина, инвариантных относительно группы Пуанкаре).

В ближайших параграфах мы опишем неприводимые представления алгебры Пуанкаре, принадлежащие первым четырем классам. Случай рц = 0 (V класс) соответствует представлениям лагебры Ли однородной группы Лоренца 0(1,3). Теория таких представлений с исчерпывающей полнотой изложена в монографиях [10, 25]. Необходимые для дальнейшего сведения о представлениях алгебры О (1, 3) приведены в § 16.

§ 14. Явный вид вектораЛюбанского — Паули

Прежде чем искать явный вид генераторов Р^, Ja, Na, получим аналитическое выражение вектора W^ (13.4) в базисе | с, р, %) для произвольного представления алгебры (13.1).

Используя (13.8)—(13.10), нетрудно убедиться, что коммутационные соотношения для компонент W^ в базисе | с, р, X) принимают вид

[%, Wb] = i^abc (%也一%几)，

(14.1)

[%,呼J =—巫曲/用c，a,b,c= 1,2,3.

Для упрощения соотношений (14.1) подвергнем векторы W и р линейному преобразованию

叭 f К；=凡6%, % f % = RabPb.(14.2)

Здесь Rab ——оператор преобразования к системе отсчета, где р；= ="；=期；

Rab = §ab COS 8 — ^abc^c ~§1^~ U — cos。)，

八(14.3)

%=^ %wa 一 Pc)"0 = arctg瓦千方平石，1

P = [(Pi — P2)2 + (Pi — Рз)2 + (P2 — Рз)Н 2 -(14.4)

В результате коммутационные соотношения (14.1) сводятся к следующим:

叫"]=i (%Ь/m - 金幽卜

啄,吟I =蟲%儿p叱-哟)•(14.5)

Наконец, обозначив

取о = %,呼；= ~^уАЛо + %(14.6)

представим соотношения (14.5) в виде следующей алгебры для операторов м

仇 1，入2】=[%, %]==仇3,儿]=у§ ^Ао，

(14.7)

仇0,統]=ypy %bc % —入c)，q =届一p2.

При этом согласно (13.4), (14.2), (14.6)

М + Ч + ^з==0.(14.8)

Для каждого фиксированного значения параметра с】 соотношения (14.7) определяют некоторую алгебру Ли. Если задаться каким-нибудь конкретным представлением этой алгебры, то тем самым мы определим также представление для вектора Любанского —Паули, компоненты которого могут быть непосредственно выражены через 入卩.Действительно, подвергая Wa преобразованию, обратному (14.2), получаем

叭=R^ = & eos 0 + 驾％ sin 6 + 嶋(1 一 cos 0)]取;=

—TW* Pl + 02 + Рз I %6c%dA(% —展)％P —

_ Q "立一十兩

%九马"仇一%)(九一％)%(人 + & + % - T^P)一呼,Pl +p2 + p3 I 万誦а узР

I %% —% 陷 + 取;+ %)I Rabc ^b ~ ^ ^dklP I (U7rf ~ ^^十 W 十初"丽+内+八+зt

Подставляя в (14.9) выражения Wa через 九山 задаваемые формулами (14.6), получаем компоненты вектора Любанского—Паули в произвольной системе отсчета:

(14.10)(14.10)也=м+弟^也=м+弟^P(V^P + Pi + Pi+p^ •P(V^P + Pi + Pi+p^ •»о =曲 о.

(14.10)

(14.10)

也=м+弟^

也=м+弟^

P(V^P + Pi + Pi+p^ •

P(V^P + Pi + Pi+p^ •

Таким образом, для описания представлений вектора W^ достаточно получить все неэквивалентные представления алгебры (14.7).

Исследуем структуру алгебры (14.7), установив ее связь с другими хорошо изученными алгебрами Ли. Эта связь может быть сформулирована в виде следующего утверждения.

Лемма 1. Алгебра (/4.7), где s — произвольное действительное число, 6 случае q >0 изоморфна алгебре О (3), 6 случае сх = 0 — алгебре Е (2) и в случае q < 0 — алгебре О (2, 1).

Доказательство. Отметим, что среди четырех элементов 九[алгебры (14.7) только три линейно независимых, поскольку, не умаляя общности, можно потребовать, чтобы выполнялось соотношение (14.8). Действительно, если (14.8) не выполняется, но 九1+九2 + + %=jy=0, то, выбирая новый базис 入;=九0，入;=%.^- /,

приходим к алгебре (14.7), базисные элементы которой удовлетворяют условию (14.10).

Изоморфизм, сформулированный в лемме, может быть установлен посредством следующих соотношений:

入。 = К3,儿=苏[/(1+/8) + ((1一/8)],

—(ИЛ)

% =赤[" ° -/勖 + %(I + V3)], % =一/(" + (), где

Ki = mSx, % = ш52, K3 = S3, если q = m? > 0;

К, = 7\, 尺2=「2，Кз==То, если q = 0；

^С1 — ^501, К?=小()2，Кз = $，2，если q =—哦 V 0；

S。，Ta, Sap — генераторы групп соответственно О (3), £ (2) и 0(2,1), т. е. матрицы, удовлетворяющие коммутационным соотношениям

[Sa，Sb] = i&abcSc，

【北，7。] = 一"2，[北，7。] =^1, (Л, ^] = 0,(14.12)

[S()i, So?] = — is】?，[So】，Si?] = — is。?，[S°2, S23] = iS。].

Нетрудно убедиться, что если матрицы Sa, Та, Sap удовлетворяют условиям (14.12), то матрицы (14.11) удовлетворяют соотношениям (14.7), и наоборот, из (14.7), (14.11) следует выполнение (14.12). Лемма доказана.

Используя доказанную лемму, нетрудно получить все возможные реализации операторов %儿 в базисе \с, р, К}. Действительно, известно, что эрмитовые представления алгебр (14.12) вполне приводимы, а неприводимые представления этих алгебр полностью описаны в работах [10, 81, 1491. Сформулированный же и оморфизм справедлив для произвольных представлений алгебр (14.7), (14.12).

Исходя из результатов [10, 81, 149] и принимая во внимание изоморфизм (14.11), представления алгебры (14.7) можно описать следующим образом.

Эрмитовые представления алгебры (14.7) вполне приводимы.

Неприводимые представления алгебры (14.7) можно разделить на четыре класса, соответствующих разным областям значений параметра j и инвариантного оператора

/ = С[А^ + %； + А^ + А»з，(14.13)

Будем различать эти классы с помощью индекса а, принимающего значения I, II, III, IV:

а = I, если q > 0;

а = II, если q = 0, / = 0;

(14.14) а = III, если q = 0, /*0；

а = IV, если с{ < 0.

Неприводимые представления I класса нумеруются целыми или полуцелыми положительными числами s и задаются квадратными матрицами размерности (2s + 1) X (2s + 1). Неприводимые представления II класса одномерны и также нумеруются целыми или полуцелыми числами X (собственными значениями оператора Хо) . Неприводимые представления III класса бесконечномерны и задаются числами 屮,0 ^ ф ^ 1 и г, 0 < г < оо. Наконец, неприводимые представления IV класса также бесконечномерны и задаются числами % и 幺 принимающими значения 々=，，沃 V 0; 0 & % V 1/2;々= 士 1, х = 0, 1/2, 1,...

Явный вид матриц 入卩 и инвариантного оператора / (14.13) в базисе р, X ) задается формулами

入0 I p，人〉=¥ I e, Z 入〉，

儿 I J 亿入〉=-^y(%+J % P，入 + 1〉+ %—11 с，Р，入一1〉)，

入21 с, Р,入〉=^™/у (^x,x+i I ^, Р, ^ + 1〉+ 咸九-1 \с, рЛ— 1)),(14.15)

九3 I & P，大)=-他+入2)I e,p,九*

I \ С, P, X) = C2 I C,X),

где индекс а принимает значения, указанные в формулах (14.14),А = — s,——s + 1,s, с； = c|s (s + 1),

或，壮 i =，Tu + /3 干(1 土 /8)] V s(s + 1)—尹("± 1),成壮 1 = 1/原[1 — /3 干(1 干 /8)] Ms(s + 1) —乂 (戸 土 1),

九"=儿 41 = ^хл± I = Йл± 1 = 0, 0^ =产，

严=几十 Q a姓±i =厂(1 士 /3) (1 土 i), b妝土 1 =厂(1 干]/ 3) (1 土j),4V =炉 + }，

о, — oo < a < оо,m,他=0, 土 1, 土 2,0+，0十》%2"，°—，01 & — % H- " J"，о, — oo < a < оо,m,他=0, 土 1, 土 2,0+，0十》%2"，°—，01 & — % H- " J"，X = iy,沙 >。，если k=i\О & % V }, если 々=0;X = iy,沙 >。，если k=i\О & % V }, если 々=0;%=0,皆,1,2,...,%=0,皆,1,2,...,если 6=1;если 6=1;(14.16)(14.16)%=0，^-, 1,2, если 々=-1,%=0，^-, 1,2, если 々=-1,C±I = MF 11 +/з +(1± /3)J Yx^ + ^-^N^ 土 1),C±I = MF 11 +/з +(1± /3)J Yx^ + ^-^N^ 土 1),

о, — oo < a < оо,

m,他=0, 土 1, 土 2,

0+，0十》%2"，

°—，01 & — % H- " J"，

о, — oo < a < оо,

m,他=0, 土 1, 土 2,

0+，0十》%2"，

°—，01 & — % H- " J"，

X = iy,沙 >。，если k=i\

О & % V }, если 々=0;

X = iy,沙 >。，если k=i\

О & % V }, если 々=0;

%=0,皆,1,2,...,

%=0,皆,1,2,...,

если 6=1;

если 6=1;

(14.16)

(14.16)

%=0，^-, 1,2, если 々=-1,

%=0，^-, 1,2, если 々=-1,

C±I = MF 11 +/з +(1± /3)J Yx^ + ^-^N^ 土 1),

C±I = MF 11 +/з +(1± /3)J Yx^ + ^-^N^ 土 1),

где 几=О, 1, 2, ..., 0&屮《1, 0 ^ г < oo,九 и s — произвольные целые или полуцелые числа.

Итак, вектор Любанского—Паули для произвольного представления алгебры Р (1,3) без умаления общности может быть выбран в виде (14.10), где 久卩一 матрицы, удовлетворяющие коммутационным соотношениям (14.7). Явный вид этих матриц, соответствующих неприводимым представлениям алгебры (14.7), задается формулами (14.15), (14.16). Иными словами, формулы (14.10) (14.15), (14.16) определяют все возможные (с точностью до эквивалентности) пред

ставления вектора Любанского—Паули в базисе |с, р,九〉•

§ 15. Явный вид базисных элементовалгебры Пуанкаре

Для описания неприводимых представлений алгебры (13.2) достаточно теперь найти явный вид операторов Na, Ja в базисе |с, р, Z ) таких, чтобы для р卩(13.10), Ja, Na выполнялись коммутационные соотношения (13.2) и чтобы, перебирая все найденные Ja и Ng мы получили по формулам (13.4), (13.10) все неэквивалентные реализации вектора Любанского—Паули, заданные в (14.9), (14.15), (14.16).

Существует много способов определения явного вида операторов Ja, Na по заданному вектору 呼以(см., например, [75]). Эти способы связаны с несложными, но громоздкими вычислениями, поэтому приведем только конечный результат, сформулировав его в виде следующего утверждения.

А = А), Ра = %А = А), Ра = %九0 ("通+ 0) 1/Зр + Pi + р2 + Рз九0 ("通+ 0) 1/Зр + Pi + р2 + РзТеорема 3. Произвольное неприводимое эрмитовое представление алгебры Пуанкаре (13.2) может быть реализовано операторами

А = А), Ра = %

А = А), Ра = %

九0 ("通+ 0) 1/Зр + Pi + р2 + Рз

九0 ("通+ 0) 1/Зр + Pi + р2 + Рз

(15.1)

Na = — ip°耳 + 9?V)。'—加А,° 丸 Р 2户(УЗр + Р1+р2 + р3)

где Хц ——матрицы, удовлетворяющие коммутационным, соотношениям (J4.7). Явный вид матриц 入卩 6 базисе | с, р,九〉задается формулами (14.15), (14.16).

В справедливости теоремы легко убедиться непосредственной проверкой. Операторы (15.1) имеют явно эрмитовую форму (если 入卩 реализуют эрмитовое представление алгебры (14.7)) и удовлетворяют коммутационным соотношениям (13.2), т. е. образуют представление алгебры Пуанкаре.

Покажем, что, перебирая все неприводимые представления алгебры (13.7), получаем по формулам (15.1) представления алгебры (13.2), соответствующие всем возможным значениям инвариантных операторов (13.3). Для оператора с】 это вполне очевидно, поэтому остается рассмотреть только второй инвариантный оператор — &.

Подставляя (15.1) в (13.3), убеждаемся, что вектор Любанского— Паули для представления (15.1) задается формулой (14.9). Найдем квадрат этого вектора. Неспосредственным вычислением получаем

W^ = q* +入彳+ ^ +虑W^ = q* +入彳+ ^ +虑(15.2)(15.2)

W^ = q* +入彳+ ^ +虑

W^ = q* +入彳+ ^ +虑

(15.2)

(15.2)

Согласно (15.2) квадрат вектора W^ для операторов (15.1) совпадает с инвариантным оператором (14.13) алгебры (14.7), собственные значения которого нумеруют все неприводимые представления алгебры (13.2). Иными словами, операторы (15.1) действительно определены для всех возможных значений инвариантных операторов (13.2), и,

следовательно, любое неприводимое представление алгебры Пуанкаре может быть реализовано в форме (15.1).

Операторы (15.1) имеют одинаковую форму для всех классов неприводимых представлений алгебры (13.2) (указанных в формулах (13.11)) и не изменяются при циклической перестановке индексов afbfCfa. Симметричная и относительно простая форма, одинаковая для всех классов неприводимых представлений алгебры Пуанкаре, отличает реализацию (15.1) от других известных представлений алгебры (13.2).

Операторы (15.1) определены на множестве, плотном в пространстве квадратично интегрируемых функций 4f (р), обращающихся в нуль в бесконечно малой окрестности полупрямой р、= р? = Рз& 0・ Невозможность определения базисных элементов алгебры Р (1, 3) на множестве, плотном во всем пространстве 厶2(Кз)，является специфическим свойством неприводимых представлений в случае Р^ & О 1149].

Рассмотрим подробнее представления (15.1), принадлежащие II классу (когда Рр =办取"=0), поскольку представление именно такого типа реализуется на множестве решений уравнений Максвелла.

Для представлений II класса существуют помимо (15.3) еще два дополнительных инвариантных оператора

e3 =罕，c4=合，(15.3)

1

где Р=(Р； + & +崎 2 • Оператор С3 называют оператором спиральности, а С4 — оператором знака энергии. Согласно (15.1), (14.16) собственные значения этих операторов таковы:

Q == X, Q = 8.(15.4)

Здесь £ = ± 1, %—произвольное целое или полуцелое число. В пространстве неприводимого представления 九 и £ имеют фиксированные значения. В дальнейшем будем обозначать такие представления символом 加仇).

Согласно (14.16) для представлений II класса 九。三 0, а из (15.3), (15.4) следует, что при этом оператор Ро принимает вид

р°=:叩，£ = ±1.(15.5)

Учитывая эти факты и используя формулы (14.10), заключаем, что операторы W^ и Рц для таких представлений связаны соотношениями 办=С.С^ =牛今 &.(15.6)

В случае неприводимого представления эти соотношения принимают вид

办=從凡，(15.7)

т. е. операторы 呼卩 и 夕卩 линейно зависимые.

Для представлений II класса форма генераторов Рц, Ja и Na заметно упрощается. Полагая в (15.1) %а = 0 и используя (15.5), получаем эти операторы в виде

Р° = 8/7, Ра = %

1/§Р + Pl + Р2 + Рз

(15.8)

此=一'叩"^ 一 £%

%几优一PJ

Операторы (15.5) в отличие от других известных реализаций алгебры Пуанкаре для Р^ = 叭旷 = 0 имеют симметричную и компактную форму. ~

Генераторы (15.8) заданы в ортогональном базисе |с, р, % ), образованном собственными функциями полного набора коммутирующих операторов сх, с2, с3, q и Ра, где ch (k = 1, 2, 3, 4) — инвариантные операторы (13.3), (15.3). Приведем еще одну реализацию неприводи* мых представлений II класса алгебры Р (1, 3) в этом базисе:

「0 =叩，尸 а = Ра，

Такая реализация, конечно, унитарно эквивалентна (15.8), но имеет дополнительную симметрию относительно замены р@тра, %。一> f —

В заключение данного параграфа установим связь между представлениями (15.1) и представлениями алгебры (13.2), впервые полученными Ю. М. Широковым [751. Эта связь осуществляется с помощью операторов Um9 UQ и U刀 для q = m > 0, q = 0 н q = =—J)? V 0 соответственно, где

J = exp (~^ (S, — S2) arctg j/斗 exp (iS^,

exP(2% 3з屮5)(；^ + .彳葭)，(15.10)

% = 4 exp i arth^^~ )，

где |р I = (/72 + 内)2 , а = 1, 2, а параметры 0О определяются по формуле (14.4}

Операторы (15.10) приводят представления, найденные в работе [75], к форме (15.1). Например,

U^U^ = P^ U 觥^ = Jq, UQN^^Na.

Здесь Р^, 〃，^а — операторы (15.8), Р：, J片，Na — генераторы группы Пуанкаре для Р^ =喝取叱=0 в реализации Ю. М. Широкова [75].

Ковариантные представления.

Конечномерные представления группы Лоренца

Обратимся к представлению алгебры (8.10), задаваемому операторами (8.5). Это представление принадлежит классу так называемых ковариантных представлений алгебры Пуанкаре, которые характеризуются следующей формой операторов 户卩，

p尸p产—七

(16.1)

J —尤卩 Pv — X、Pr + Sjrv，

где 尤觊一оператор умножения на независимую переменную; Sgv — числовые матрицы, удовлетворяющие коммутационным соотношениям 岱卩屮SXa] = f (g^Svc +且”戶卩九一且卩戶^ — gvKS^, (16.2) Можно показать (см. [156]), что формулы (16.1), (16.2) определяют общий (с точностью до эквивалентности) вид представлений алгебры Р (1,3), возникающих при редукции неприводимых представлений 15-мерной алгебры Ли, которая определяется следующими перестановочными соотношениями базисных элементов &, J^v» Ху, /:

[Р山Р v] = 0, [Р卩，J Ха] = i依卩产。—g"』亂

(16.3)

卩宀 J加 H i (ggJ'P + &% — gvxA。一 g|X0〃)，

[^ц, Ху] = igjJ, [Хц,, X”] = 0,

[XJWkR —g/J,(16.4)

[/, &J == [/, Хц,] = [I, J卩”]=0.

Неприводимые представления алгебры (16.3), (16.4) задаются формулами (16.1) и

Xr = /, /=Е.(16.5)

Здесь Sgv — матрицы, реализующие неприводимое представление алгебры (16.2), Е — единичный оператор.

Представления (16.1) широко используются в теоретической физике. Основное их достоинство состоит в том, что операторы 乙 и 心(16.1) порождают локальные преобразования координат %出 и функций <р (х0,

49494 - 2-536

49

49

Xi, x2, “J из пространства представления (16.1) в полной аналогии с преобразованиями (10.7). Однако в отличие от операторов (15.1) генераторы (16.1) реализуют приводимые представления алгебры Пуанкаре, и если Sp.v — конечномерные матрицы, то операторы (16.1), вообще говоря, неэрмитовы.

Для описания всех неэквивалентных представлений вида (16.1) достаточно привести все возможные реализации матриц S战旷,удовлет- ворякмцих коммутационным соотношениям (16.2). Представления этих соотношений хорошо известны (см., например, [10]). Приведем описание только конечномерных представлений алгебры (16.2), часть из которых будет неспосредственно использоваться в дальнейшем.

Обозначим через S и К следующие операторы:

(16.6)(16.6)S = (S23, S33 S,2), К = (S。], S°2, s°3).

(16.6)

(16.6)

Тогда согласно (16.2) компоненты векторов (16.6) удовлетворяют перестановочным соотношениям

(16.7)(16.7)Ua，S^] = i^abcSc， [S。，K^] == ^abc^cy 及,凡]=—i^abc^c-

(16.7)

(16.7)

Используя соотношения (16.7), нетрудно убедиться, что операторы

i] = S2 _代=}5卩~叱 以=5№ =扌产吗又»。(16.8)

коммутируют со всеми компонентами векторов (16.6). В любом неприводимом представлении операторы (16.8) кратны единичному оператору, и их собственные значения могут использоваться для нумерации представлений.

Для того чтобы исследовать область изменения собственных значений операторов (16.8), рассмотрим наряду с (16.6) операторы

(16.9)(16.9)/« = 4 (Sa + W)% =Ц (Sa -叽),

(16.9)

(16.9)

которые согласно (16.7) удовлетворяют следующим перестановочным соотношениям:

(16.10)(16.10)[/а，/&] = i%bcic，

(16.10)

(16.10)

[%，%] = '%bc%

1/а> 叫=0-

Мы видим, что алгебра Ли однородной группы Лоренца распадается на две коммутирующие подалгебры, порождаемые операторами /а и то из (16.9). Неприводимые представления каждой из этих подалгебр нумеруются целыми или полуцелыми положительными числами / и т. Пространство конечномерного неприводимого представления алгебры (16.10) может быть натянуто на совокупность (2/ + 1) X 50

I /, j； % 公I /, j； % 公|/, j — 1; т, п)=|/, j — 1; т, п)=。）0。）00丿0丿Т\ 九)=Т\ 九)=оооооо1% с—1〉=1% с—1〉=『0 I1о『0 I1о，ооо，ооо

I /, j； % 公

I /, j； % 公

|/, j — 1; т, п)=

|/, j — 1; т, п)=

。）

0

。）

0

0丿

0丿

Т\ 九)=

Т\ 九)=

о

о

о

о

о

о

1% с—1〉=

1% с—1〉=

『0 I

1

о

『0 I

1

о

，о

о

о

，о

о

о

X (2т + 1) собственных векторов полного набора коммутирующих операторов /2, т2, %, т3. Обозначив эти векторы через | /, т; т, п), действие операторов /а и 工《 (16.9) можно представить в виде

j2l/, m; т, п) =/(/ + 1)|/, т; % %〉，/зН т; т, n) =т|/, т; т, п),

(Л 士 /)1 厶团；％ 力=/0 干加)0 士加十 1) I/, m± 1; т, n), ^2|/, m;當，п) =т(т+ 1)| /, m; т, n),(16.11)

%| j, m; т, n) = n I /, m; r, n),

(q 土 it2) I /, m; т, n) = У(т =F n) (t zfc n + 1) I /, m; r, n ± 1),

где /, m, t, n — целые или пол у целые числа, —j ^ m ^ /, —т & 《几《田.

Таким образом, неприводимые конечномерные представления коммутационных соотношений (16.2) задаются квадратными матрицами размерности (2/ + 1) (2т + 1)义(2j + 1) (2т + 1), матричные элементы которых определены формулами (16.6), (16.9), (16.11). В дальнейшем будем обозначать эти представления символом D (/, т).

Приведем явный вид матриц S^y для представлений, соответствующих j = 0,1/2，1, 3/2, с=0, V2. Представив | j, т; % п) в виде столбца

о、

|т,①о

00ь 1 j

0

0

получим из (16.6), (16.9), (16.11) следующие матрицы: представление D (%, 0):

Sab = %Ьс$с，S°@ = — ^Sq, Л, ft, С = 1, 2, 3,

где

* =；)，邑=等(；一；)，S3 =孔 小 g2)

представление D (О,%)：

Sab = eabc^c， ^Oa =旧，(16.13)

где Sa—матрицы (16.12);

представление D (1, О)：

Sab = 8abc^c， ^Oa =—凡，(16.14)Sab = 8abc^c， ^Oa =—凡，(16.14)гдегде(16.14а)матрицы (16. 14а) с помощью преобразования Sa Sa = VSaV^\ где(16.14а)матрицы (16. 14а) с помощью преобразования Sa Sa = VSaV^\ где

Sab = 8abc^c， ^Oa =—凡，(16.14)

Sab = 8abc^c， ^Oa =—凡，(16.14)

где

где

(16.14а)

матрицы (16. 14а) с помощью преобразования Sa Sa = VSaV^\ где

(16.14а)

матрицы (16. 14а) с помощью преобразования Sa Sa = VSaV^\ где

a=/，(16.15)a=/，(16.15)—о0〃 \/ — aiaО

a=/，(16.15)

a=/，(16.15)

—ia 0 —iap 丫一】=(0 0 1

О10/\ aia0.

могут быть приведены к форме (2.2);

представление 力(О, 1)： матрицы 瓦1V задаются формулами (16.13), где Sa имеют вид (16.14);

представление D (х/2 х/2)：

〔О〔ОО о о оО о о оо о о оо о о оо о о 1Jо о о 1Jо11I。о11I。1о о11о о11о о11о о1О ) 11оО ) 11оОО$31 =专］$31 =专］-1 о о1-1 о о1-1о о1-1о о10\—1—1О/0\—1—1О//01—10}，01—10,100-1-100—1soi = Y—1001，So2=N1001卜0—110|ь о1-10//01—10}，01—10,100-1-100—1soi = Y—1001，So2=N1001卜0—110|ь о1-10/\0\0(16.16)(16.16)

〔О

〔О

О о о о

О о о о

о о о о

о о о о

о о о 1J

о о о 1J

о

1

1

I。

о

1

1

I。

1

о о

1

1

о о

1

1

о о

1

1

о о

1

О ) 1

1

о

О ) 1

1

о

О

О

$31 =专］

$31 =专］

-1 о о

1

-1 о о

1

-1

о о

1

-1

о о

1

0\

—1

—1

О/

0\

—1

—1

О/

/

0

1

—1

0}

，0

1

—1

0,

1

0

0

-1

-1

0

0

—1

soi = Y

—

1

0

0

1

，So2=N

1

0

0

1

卜

0

—1

1

0|

ь о

1

-1

0/

/

0

1

—1

0}

，0

1

—1

0,

1

0

0

-1

-1

0

0

—1

soi = Y

—

1

0

0

1

，So2=N

1

0

0

1

卜

0

—1

1

0|

ь о

1

-1

0/

\0

\0

(16.16)

(16.16)

ООО1 — 100О 1 о ООО,ООО1 — 100О 1 о ООО,О,ОS()3 =力 °

ООО1 — 100

О 1 о ООО,

ООО1 — 100

О 1 о ООО,

—1

0

0

г

—i

0

01

V2

—j

0

0

1

0

1

-j

0

R_] = —L

0

0

0

0

1

1

-1

1

[0

-I

1

°」

1

0

q

Посредством преобразования S^v -> VS^V-1, где

О

матрицы (16.16) могут быть приведены к следующей форме, более часто используемой в литературе:

Ю

i

—z

0

0

0

0

'0 0

0 0

i

0

O'

0

i°

0

0

0

0

0

0

S12 =

0

0

0

0

,^31 =

-i 0

0

0

S23 = j

0

0

r

10

0

0/

卜

0 0

0

Oj

0

0

0

°」

r0 0

0

г

[0

0 0

0、

9

0

0

(16

0、

• 17)

Sol =

0 0

0 0

0

0

0

0

，$02 =

0

0

0 0

0 0

i

0

%

3 =

0

0

0

0

0

0

0

j

J 0

0

。/

〔0

i 0

0/

1。

0

i

0,

представление

呜，。

где

‘0

Sg = %“s

00 )

c, Soa =-

-iS。,

‘0

-Уз

0

0

1

Si = ■

1

2

ГЗ-

0

0

2

2 0

0 /М

，Sa 7

r\

0

亍

0

2

-2

0

0

卜0

0

/3

0

1

0

0

Уз"

0

(3

00

0、

s3=4

0

0

10

0 —1

0

0

•

(16.18)

[0 00 —3丿

Матрицы (16.12) — (16.18) неоднократно используются ниже.

Редукция решений уравнений Максвеллапо неприводимым представлениямгруппы Пуанкаре

Рассмотрим формулировку уравнений Максвелла, задаваемую соотношениями (2.8)—(2.10). Как указывалось в § 12, на множестве решений этих уравнений реализуется представление алгебры Р (1,3), задаваемое формулами (8.2), (12.2). Возникают естественные вопросы: является ли это представление приводимым и как генераторы (8.2), (12.2) связаны с базисными элементами алгебры Р (1, 3) в универсальной реализации (15.5).

Покажем, что представление (8.2), (12.2) может быть приведено к прямой сумме неприводимых представлений алгебры Р (1, 3) II класса в реализации (15.1), (15.8). Одновременно произвольное решение уравнений Максвелла представим в виде линейной комбинации волновых функций, преобразующихся по неприводимым представлениям группы Пуанкаре.

Разложение представления (8.2), (12.2) по неприводимым представлениям алгебры Р (1, 3) выполним в три этапа.

Операторы (15.5) в отличие от (8.2), (12.2) определены в импульсном представлении. Поэтому первый шаг в редукции алгебры (8.2), (12.2) по неприводимым представлениям (15.1) состоит в преобразовании Фурье решений уравнений (2.9), (2.10). Это преобразование задается формулой (6.19) и приводит к системе уравнений в импульсном пространстве (6.20), (6.21). На множестве решений уравнений (6.20), (6.21) генераторы группы Пуанкаре принимают вид (12.5), и наша задача сводится к редукции алгебры (12. 5) по неприводимым представлениям алгебры Р (1, 3).

Покажем, что операторы (12.5) реализуют эрмитовое представление алгебры Р (1, 3), и определим собственные значения инвариантных операторов, характеризующие это представление.

Рассмотрим билинейную форму следующего вида:

(К, %)= J ^{ & Р) М恥& Р)，(17.1)

где 4rl и Т2 ——произвольные решения уравнений (6.20); М — метрический оператор, задаваемый одной из формул

М = М,=^,(17.2)

или

М = М2 = % ~^^-•(17.3)

В первом случае формула (17.1) задает положительно определенное скалярное произведение в Пространстве решений уравнений (6.20), (6.21), а во втором — некоторую индефинитную метрику.

Покажем, что операторы (12.5) эрмитовы в гильбертовом пространстве со скалярным произведением (17.1). Условие эрмитовости произвольного оператора Q (заданного на множестве, плотном в про- 54

странстве решений уравнений (6.20), (6.21)) относительно метрики (17.1) может быть представлено в виде

j 0碑;М (Qg) = j dp (Q匕)*М屮2 = § еРр叫Q’M屮2・(17.4)

Для выполнения (17.4) достаточно, чтобы выполнялось соотношение

Ct М = MQ.(17.5)

Докажем, что операторы (12.5) удовлетворяют условию (17.5) как в случае, когда метрический оператор задается формулой (17.2), так и в случае, когда М имеет вид (17.3). Для этого заметим, что на множестве решений уравнений (6.20), (6.21) операторы (12.5) могут быть представлены в следующей эквивалентной форме:

R屮(％ » = "▽& p)=p[l + S.^-(S.rt2],(17.6)

ЛЛ&Р)= ЛЛ&Р)，(17.7)

%中 8 Р) = (Xf ь — ХьРа + %/么)У & Р)，(17.8)

V (Л Р)=卜％ — ^[X。, ""} Т (/, р),(17.9)

где 5д—матрицы (2.2),

Xa = i 證+ i 余+ 号沁，а = §.£ pa=^-. (17.10)

Операторы (17.7), (17.8) совпадают с (12.5), (12.1) (хотя и записаны в несколько измененных обозначениях), а операторы (17.6), (17.9) сводятся к (12.5), (12.1) только на множестве решений уравнений (6.20), (6.21). Действительно, из (6.20) вытекает, что

[1一(*3再屮(f, p) = 0,(17.11)

и поэтому гамильтониан Ро (12.5) можно представить в виде (17.6). Для доказательства соотношений (12.5), (17.9) достаточно воспользоваться тождеством

人 人人人人人人 人人 /4

S(S・p)2 = pS.p + ZpX SS.p.(17.12)

Здесь Sa — матрицы (2.2). На множестве решений уравнений (6.20), (6.21) это тождество принимает вид

So。屮(厶 р)三及中(/, р)三 iSa (§・S)2 T (/, p)三

三(Фа — 8abePbS) ^ У & P)・(17.13)

Операторы Xa, pa, Л и Я удовлетворяют условиям (17.5). Это означает, что генераторы (17.6)—(17.9) также удовлетворяют этим ус-

ловиям, а операторы (12.5) (совпадающие на решениях уравнений (6.20), (6.21) с (17.6)—(17.9)) удовлетворяют условию эрмитовоети (17.4).

Отметим, что операторы (17.6)—(17.9) удовлетворяют коммутационным соотношениям (8.10) и условиям инвариантности (7.3) и, следовательно, образуют АИ уравнений Максвелла. Таким образом, на множестве решений уравнений Максвелла представление аллгебры Р (1, 3) может быть реализовано и дифференциальными операторами первого порядка (8.2), (12.2), и интегро-дифференциальными операторами (17.6)—(17.9). Именно этот факт лежит в основе утверждения, что релятивистская инвариантность уравнений Максвелла имеет двойственный характер [59, 67] (см. § 25).

Таким образом, формулы (17.6)—(17.9) задают эрмитовое представление алгебры Пуанкаре на множестве решений уравнений Максвелла в импульсном пространстве. Это представление приводимо, поскольку инвариантные операторы (13.3) и (15.3) имеют на решениях системы (6.20), (6.21) следующие собственные значения:

&Р卩屮(/, р) = ("% — р2) У (/, р)三 0,

取以疗屮(/, p)=—争(环—22)中色 p)三0,

у 屮 &р) = 士屮俏 Р),(17.14)

AW (/, р) = S.pY (/, р) = ± 屮 & р).

Иными словами, операторы (17.6)—(17.9) реализуют эрмитовое представление алгебры Р (1, 3) II класса, и следовательно, с помощью некоторого унитарного преобразования могут быть приведены к форме (15.8).

Третий и последний этап редукции представления алгебры Р (1, 3), реализующегося на множестве решений уравнений Максвелла по неприводимым представлениям, заключается в преобразовании генераторов (17.6)—(17.9) к прямой сумме операторов Р卩,/卩~ в форме (13.1), (15.8).

Покажем, что такое преобразование можно осуществить с помощью оператора

У = /5ехр (— i") exp，考^ arctg 网十 ^干"}(17.15)

где

~~~~~ k

% 3=8 万 ％历 Sb —几)，Р = (Р1+Р1 + Рз)•

Действительно, используя формулу Кэмпбелла—Хаусдорфа (10.6), нетрудно проверить следующие тождества:

0au-1 =a=合&十台2 + 33)，U&uT=%

UX/T = i *・ + Лра [р (/舐 + а + р2 + 凸)「，(17.16)

Если принять во внимание (17.16), то легко получить соотношения

UHL = р(1 + а _ A% UpJJ^ =坛，

(17.17)

以广=一"(]+a一a2)翁-A而"入在一£，

где Pg, J^v — операторы (17.6)—(17.9). На множестве собственных функций матриц Л операторы (17.17) задают прямую сумму неприводимых представлений вида (15.8), (13.1).

Используя оператор (17.15), нетрудно получить искомое разложение решений уравнений Максвелла по неприводимым представлениям группы Пуанкаре. Умножая уравнения (6.20) слева на U (17.15), приходим к эквивалентной системе

原(/, Р) = 0,匚=ULS = £ 宗 一 р (1 + А - Л2),

(17.18) 〃Х&Р)=О, 〃 = U&t/T, Х(/, р)=^(/, р).

Явный вид оператора L； далее не используется, поэтому мы его не приводим.

Из (6.22), (17.16) следует, что функции % (/, р) удовлетворяют условию

(1-Л2)х(/, Р)= 0.(17.19)

Произвольное решение уравнений (17.18), (17.19) можно представить в виде разложения по полной системе собственных функций эрмитовой матрицы Л:

% & Р)= Е %(%)f^ Р)ехр (恤(17.20)

где % 仇°) с точностью до нормировки определяются соотношениями

А% (入 о)=入 о% (入 о),(17.21}

f &, p) — произвольные квадратично интегрируемые функции.

Из (17.17), (17.18), (17.21), (15.5) следует, что функции / (%0, р) образуют пространство неприводимого представления алгебры Р (1, 3). С помощью преобразования, обратного (17.18), получаем разложение для исходной функции Т (/, р):

與,Р) = 2x(4)/ (%，Р) ехр (力凶，£限)=Uf (%)・ (17.22}

Наконец, используя преобразование Фурье, находим разложение для решений уравнений Максвелла (2.8), (2.9), (2.10) в х-проетранстве:

У (/, х) = (2л) 2 2 J ^П&) /(%，Р) ехр(— ip-x + ipt}. (17.23)

Формула (17.23) и задает искомое представление решений урав・ нений (2.8), (2.9), (2.10) в виде суперпозиции функций, образующих пространства неприводимых представлений алгебры Пуанкаре. Из проведенного выше построения следует выполнение соотношений

з

Q4 (f, х) = (2 冗厂》2，d3PMW^ P)1 exp (fpZ-ф.х). (17.24)

Здесь Qa — произвольный генератор (8.2), (12.2), Q匕一соответствующие генераторы в неприводимом представлении (15.8). Например,

Jо。乎 G, х)三(勿。—хар0 + S0o) У (/, х) = (2л) 2 X义£££a。)[(一切新+/吟P)]exP QW-P・x).

L\ % ^w^p+p^ + p^+p^) J

“八 (17.25)

泡)= х&)+務泡)= х&)+務Приведем для полноты явный вид функций % (Хо) и X (%0):

泡)= х&)+務

泡)= х&)+務

~ехр «ср。)-

金仇0)

У (%)=

exp (® + 4 %几)

,x(M =

公(%)，(17.26)

exp(® -乱冗)

% з (М[

I _ S二而 X X &)) 十 Узp (V前 + Pl + p2 + p3)

где Фо ——произвольная вещественная фаза, % (Хо) и х 仇о) — векторы с компонентами &"о),友2%),公仇о)) и (XiM,加仇0), Хз(М), Ра = =W %加仇一Pc)-

Глава 4

КОНФОРМНАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ

УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА

В настоящей главе продолжим исследование конформной симметрии уравнений Максвелла. Получим в явном виде преобразования из конформной группы для векторов Е, Н и четырехвектора тока. Покажем, что конформная инвариантность произвольного релятивистского уравнения, описывающего безмассовое поле с дискретным спином, является следствием его инвариантности относительно группы Пуанкаре. А именно, генераторы конформной группы явным образом выражаются через генераторы группы Р (1, 3).

Явно эрмитовое представлениеконформной алгебры

Прежде чем обратиться к конкретной реализации алгебры С (1, 3) на множестве решений уравнений Максвелла, сформулируем и докажем утверждение, справедливое для произвольного релятивистски инвариантного уравнения, описывающего безмассовое поле.

Определение 2. Будем говорить, что уравнение

LB = 0,(18.1)

где L—некоторый линейной оператор, Пуанкаре-инвариантно и описью вает безмассовое поле с дискретным спином, если на множестве его решений можно задать эрмитовое представление алгебры Пуанкаре (13.2), соответствующее нулевым значениям инвариантных операторов & и С2 (/3.3):

РЦРИ = О, W^ = 0(18.2)

(»м・ вектор Любанского—Паули {13.4^.

Иными словами, если АИ некоторого уравнения задается операторами Рц, J。, Ng удовлетворяющими (13.2), (18.2) (т. е. образующими представление II класса алгебры Р (1, 3)), то мы называем его уравнением для безмассового поля с дискретным спином.

Теорема 4. [116]. Произвольное Пуанкаре-инвариантное уравнение для безмассового поля с дискретным спином инвариантно относительно конформной алгебры^ базисные элементы которой задаются операторами Ри,丿⑦Na 〃

I [编，闻+，

K = 4■(族，NXJ-JXN|+-[蟲 №+A2-蜀+), (18.3) K。=4伊，№ + a2 一 聞+，

где Р2 — P^ + P^ + Pf, символ [Л, В]^. обозначает антикоммутатор [Л, В” = АВ+ВА,

Л — инвариантный оператор спиральности (15.3),

А = ^,(18.4)

Рц, J« и Na — базисные элементы алгебры Р (1,3), D и К^ — операторы, пополняющие алгебру Р(1,3) до конформной алгебры С (1,3).

Доказательство. Поскольку Рц, Ja и Na по опре・ делению образуют алгебру инвариантности уравнения (18.1), то условию инвариантности (7.3) этого уравнения, очевидно, удовлетворяют также операторы (18.3), функционально зависящие от Рц,丿^, "а・ Далее, Р^ Ja и Na удовлетворяют по условию коммутационным соотношениям (13.2), и доказательство теоремы сводится к проверке справедливости следующих соотношений для операторов Р^, J^ Na и Км D из (18.3):

【2 Ри】=—iP卩，【2 ^Сц] = iA\i,

【/a，°] = Wa，°I = [А"ц, Kv] = 0,

【/a, K。] = 0, [/°, Kb] = i%bcKs

Wa, K。]= 一 因，м, Кь\ =丸人，(18.5)

[Ka, ^ol = — [Ko,匕]=—2i"a，

[Ka，&] = 2i (3abD — £abc4)，

которые определяют совместно с (13.2) конформную алгебру С(1,3).

Проверка соотношений (18.5) требует несложных, но несколько громоздких вычислений, поэтому мы приведем ее только для опера*

торов К@ (18.3) и Р% Используя (13.2), получаем

[Ka，几]=4" [{伊，£acd (《 Jd - 4%)]+ -

一 [/ , NbNb + A2 ■— y L} ‘ pJ =

=扌 П ^" , %cd (— ®Рo^d + %匕屮c^h 一

-电bh4"d + 晚*/0)+一 [声，-^bd 园。"$ JJ =

=~Г U倪，(—‘％匕d，d + i%cb，c + ^ab Wc，夕/十一

-i Wa，招]+)]+ + '[直，[р。, Nb]+]+｝三一2俯如厶 + 2t6abD

в полном согласии с последним из соотношений (18.5). .Аналогично с использованием соотношений

片=卩，％ =聲 ЛРЦ, [Л, Ja] = [Л, Na = [Л,儿]=о,

[左，，a] = °，[±，%] = — 2i-^产

проверяется справедливость остальных формул (18.5).

Таким образом, формулы (18.3) дают явное выражение базисных элементов алгебры С (1, 4) через операторы Рц, Ja, N&, входящие в ее подалгебру Р (1, 3). Отметим, что операторы (18.3) имеют явно эрмитовую форму и, следовательно, порождают унитарное представление конформной группы. Теорема доказана.

На основании доказанной теоремы можно сформулировать следующие выводы.

Произвольное (в общем случае приводимое) представление II класса алгебры Пуанкаре всегда может быть пополнено до представления конформной алгебры по формулам (18.3).

Если представление алгебры Р (1, 3) эрмитово, то соответствующее представление алгебры С (1, 4) также может быть задано эрмитовыми операторами.

Симметрия уравнений относительно конформной группы не приводит к существенно новым законам сохранения (по сравнению с теми, которые обязаны своим существованием инвариантности относительно группы Пуанкаре), поскольку генераторы собственно конформных преобразованийКц и дилатации/) аналитически выражаются через базисные элементы алгебры Р (1, 3). Отсутствие таких законов сохранения для уравнений Максвелла частично показано в [161].

Теорема 4 имеет конструктивный характер, так как дает возможность находить явный вид генераторов К^^ D по заданным операторам Рр, и J© Ng удовлетворяющим алгебре Пуанкаре. Так, исходя из генераторов Р^ /@, Na в представлении Ломонта—Мозеса [149], получаем по форь^улам (18.3) генераторы конформной группы в представлении Бозе—Паркера [90]. Если воспользоваться реализацией Рц, Ja и Ng полученной в § 15 (см. (15.5)), то согласно (18.3) можно получить следующее представление для операторов D и К卩：

(18.6)(18.6)D = — р • х — i,3…吸%噹м£嘗

(18.6)

(18.6)

где ха =где ха =Ka = 2Dxa —犷 + 2%4 *Ka = 2Dxa —犷 + 2%4 *"|/3(X X p% + XoV^ P + Pi + P2 + Рз"|/3(X X p% + XoV^ P + Pi + P2 + Рз

где ха =

где ха =

Ka = 2Dxa —犷 + 2%

4 *

Ka = 2Dxa —犷 + 2%

4 *

"|/3(X X p% + Xo

V^ P + Pi + P2 + Рз

"|/3(X X p% + Xo

V^ P + Pi + P2 + Рз

Формулы (15.8), (18.6) задают представление конформной алгебры, которое при редукции по алгебре Р (1, 3) сводится к неприводимому представлению алгебры Пуанкаре. Как показано в [79, 152], такое представление единственно с точностью до унитарной эквивалентности. Отличительной чертой данной реализации является простая и симметричная форма всех генераторов группы С (1, 3) (ср., например, [90]).

§ 19. Генераторы конформной группына множестве решений уравнений Максвелла

Применим теорему 4 для исследования симметрии уравнений Максвелла. Докажем следующие утверждения.

Утверждение 1. Симметрия уравнений Максвелла для электромагнитного поля е вакууме относительно конформной алгебры является следствием инвариантности этих уравнений относительно ал^бры Р (1,3).

Утверждение 2. Базисные элементы конформной алгебры на множестве решений уравнений Максвелла эрмитовы.

Последнее утверждение по существу означает, что на мно應@тве решений уравнений Максвелла реализуется унитарное представление конформной группы. Этот факт, который установлен Гроссом [124], докажем в настоящем параграфе довольно элементарным и прямым, хотя несколько формальным путем.

Воспользуемся формулировкой уравнений Максвелла, задаваемой соотношениями (2.8), (2.9). Как указывалось в § 12, уравнения (2.9) инвариантны относительно алгебры Р (1, 3), базисные элементы которой задаются формулами (8.2), (12.2). Наша задача — показать, что отсюда в силу теоремы 4 автоматически следует симметрия этих уравнений относительно алгебры С (1, 3), и найти явный вид базисных элементов этой алгебры.

Прежде всего убедимся, что генераторы (8.2), (12.2), определенные на множестве решений системы (2.9), (2.10), удовлетворяют условиям теоремы 4, задаваемым формулами (18.2). Согласно (8.2), (2.9)

(心 一 р2)屮亿 х)=(环一齊 Y(% x)三 Pal^(/, X) = O, (19.1)

где Lf——операторы из (2.10), обращающие Т (/, х) в нуль.

Таким образом, первый из операторов Казимира (18.2) на множестве решений уравнений Максвелла имеет нулевое собственное значение. Что же касается второго инвариантного оператора —呼山!抄 (18.2), то согласно (13.1), (13.4)

W^ = Го —Г2= (p-s)2 — (%§ — ФХ S)2 =

W 一® 依一户)三一s(s+l)(届一炉)，s=l, (19.2) откуда ввиду (19.1) непосредственно следует, что

(19.3)(19.3)W^^(t9 х) = 0.

(19.3)

(19.3)

На основании (19.1), (19.3) заключаем, что для операторов (8.2), (12.2) выполняются условия (18.2). Но тогда согласно теореме 4 АИ уравнений (2.9), (2.10), задаваемая операторами (8.2), (12.2), может быть пополнена до конформной алгебры.

Подставим явный вид операторов (8.2), (12.2), (13.1) в формулы (18.3) и найдем, как выражаются генераторы О н 兀 на множестве решений уравнений Максвелла. Для генератора дилатации D получаем

•[警，此]+= }[警，/B]+=

=4"“或。一%a%+ lS』= (19.4)

=^oPo — XaPa 尸 + '+ 'S・p 产•

Для шожества функций Y (Z, x), удовлетворяющих (2.9), (2.10), справедлива соотношения

S.pY = р^9 必屮=户史(19.5)

поэтому оператор (19.4) можно представить в виде

。屮 & х)=(乙廿 + 20 У (/, х),(19.6)

совпадающем с (8.3).

Аналогично для генератора К。 имеем

к0 =4■[*，№ +A2 一$]=}[鲁，/0зa+ ^2^]=

c=万 ^"^T，X祁aPa%a%a届 ^a^a2XqPqX0Pq 十 ^IXqPq 灰/a +

+ 2%@Soa〃a—2PoSoa%a+ (”))^ 十=2xQD — X^pQ — 2SQaXa +

+ 也Q + %Ma% — 2SoMa —〔Хар. -^^-) ^「2 P 务 X

X [(筆)- Sosa- ^^ +,(19.7)

где мы, воспользовавшись тождествами

SOa — iSa, -^а] — ~^-> [簣，*а] =— 方，

переставили сомножители в каждом слагаемом таким образом, чтобы хц стояли слева от рц.

Принимая во внимание соотношения (1f 5), приходим к следующей форме Ко на множестве решений уравнений (2.9), (2.10):

KN (/, к) = (2/D — ”/叩。—2SQaXa) 4f (/, х),(19.8)

которая совпадает с (8.3).

Подставляя (8.2), (12.2), (13.1) в формулу (18.3), определяющую (,находим

К» & х) = (2%D - V4 + 2s叩代)出(/, x).(19.9)

Здесь Sab = %ЬС

Таким образом, мы убедились, что конформная симметрия уравнений Максвелла действительно является следствием симметрии относительно алгебры Пуанкаре, причем генераторы конформных преобразований и дилатации выражаются аналитически через базисные элементы алгебры Пуанкаре. Этим, по-видимому, и объясняется тот факт, что конформная инвариантность не приводит к новым законам сохранения по сравнению с теми, которые обусловлены симметрией уравнений Максвелла относительно группы Пуанкаре.

Покажем теперь, что операторы (8.2), (8.3), (12.2) реализуют на множестве решений уравнений Максвелла эрмитовое представление конформной алгебры. Из изложенного ясно, что достаточно доказать эрмитовость операторов Рц, Jo и Na, так как в этом случае остальные базисные элементы алгебры С (1, 3) (операторы Кц и D), задаваемые формулами (18.3), имеют явно эрмитовую форму.

Эрмитовость операторов & и “ по существу установлена в § 17, где указана метрика (17.1), относительно которой эрмитовы фурье- образы операторов (8.2), (12.2). Отсюда ввиду унитарности преобразования Фурье следует, что 力战 и /战v эрмитовы в метрике

陋,％) = (2л)-3 J Ыр^\ & р) МУ? (%, Р') exp [i(p - р》х],

(19.10)

где ^(/, р) — фурье-образы функций Ч\(力 х) и Т2(/, х), М—метрический оператор (17.2) или (17.3). Но тогда операторы 力 н 仆 (8.2), (12.2), которые на множестве решений уравнений (2.9) могут быть представлены в форме (18.3), также эрмитовы относительно скалярного произведения (19.10), (17.2) и индефинитной метрики (19.10), (17.3).

Итак, мы убедились, что операторы (8.2), (8.3), (12.2) задают на множестве решений уравнений Максвелла эрмитовое представление конформной алгебры. Отметим, что требование эрмитовости этих опе-

раторов не определяет однозначно метрику в пространстве решений уравнений (2.9), (2.10), но оставляет альтернативный выбор между скалярным произведением (19.10), (17.2) и индефинитной метрикой (19.10), (17.3). Мы увидим ниже, что более предпочтительным с точки зрения физической интерпретации оказывается выбор метрического оператора в форме (17.3).

Заметим, что уравнения Максвелла с токами и зарядами не удовлетворяют условиям теоремы 4. Действительно, можно показать, например, при использовании формулировки этих уравнений в виде

(4.7) (или (4.1), (4.10), (4.8)), что для функции Т (/, х) (4.6) не выполняется равенство

P^(t, х)=0,(19.11)

где Р^ = р^ = i^операторы, входящие в АИ (14.2) уравнений (4.7). Это означает, что для уравнений (1.3), (1.4) в отличие от (1.1), (1.2) конформная симметрия не является следствием инвариантности относительно группы Пуанкаре в силу теоремы 4. Конформную инвариантность уравнений (4.7) нельзя установить также с помощью теоремы Котецкого и Нидерле [135], которая дает необходимые и достаточные условия такой инвариантности для уравнений вида (4.1) только для случаев, когда 0 — обратимая или нулевая матрица (а для уравнений (4.7) это не так). Прямое доказательство инвариантности уравнений Максвелла с токами и зарядами относительно конформной алгебры С (1, 3) приведено в § 8. В следующем параграфе мы найдем группу инвариантности, генерируемую этой алгеброй, т. е. преобразования координат х, времени /, полей Е и Н и тока j = (/0, j), образующие представление конформной группы.

§ 20. Преобразования из конформной группыдля Е, Н и /

Найдем в явном виде представление конформной группы, которое реализуется на множестве решений уравнений Максвелла с токами и зарядами, т. е. вычислим конечные преобразования координат х времени 力 векторов Е, Н и четырехвектора тока / = (/0, j), порождаемые генераторами (8.2), (8.3).

Произвольный оператор, входящий в представление конформной группы, имеет вид

U = exp(Q〃)，Л = 1,2,..., 15,(20.1)

где Qq — генераторы (8.2), (8.3); 0л — вещественные параметры; по повторяющемуся индексу А подразумевается суммирование от 1 до 15. Поскольку генераторы (8.2), (8.3) образуют конечномерную алгебру Ли, то оператор (20.1) можно представить в форме

UrURJJJ 歹韜(20.2)

гдегде

где

где

G = exp (iP^) = exp (切麻“)，卩=0, 1, 2, 3,

(20.3)(20.3)。2 = exp (t/o0a),丿。=万 ％bjbe，

(20.3)

(20.3)

Uз=== exp (iJq.九J, U4 = exp (ZDXq),

U5 = exp(M)

(仪从，0а, Ха,九°,匕卩一вещественные параметры). Следовательно, для определения явного вида конечных преобразований из конформной группы достаточно задать действие операторов (20.3).

Преобразования векторов Е и Н и четырехвектора j = (/0, j), порождаемые операторами (20.3), хорошо известны. Преобразования из группы Пуанкаре (генерируемые ^, U2 и U3) были найдены Лоренцем, Пуанкаре и Эйнштейном, преобразования дилатации (порождаемые оператором С\) для произвольного поля описаны Вейлем, и, наконец, собственно конформные преобразования, порождаемые операторами U5, в принципе описаны Канингхэмом [92] (см. введение). Однако, насколько нам известно, явный вид конформных преобразований для Е и Н нигде не приведен (хотя в [151] имеется очень сложная формула для преобразования тензора электромагнитного поля).

Приведем в явном виде преобразования из конформной группы для Е, Н и /, а в следующем параграфе докажем эти формулы и установим закон преобразования для конформно инвариантного поля произвольного спина.

Преобразования независимых переменных / их, порождаемые операторами (20.3), задаются формулами

хт х' = % — а,

(20.4)

х х" = х gos 6 —卓^ sin 0 + 登;*(] — cos 0),(20.5)

/ f/"=力~~ ~

x^x,z,==xchX—^sh% + -^^ (ch%—1),(20.6)

—f'〃 = fch 入一半 sh%,

/ —%)/，/ —%)/，(20.7)(20.7)斗一涼=斗一涼=1 + 2%炉+%户以»1 + 2%炉+%户以»(20.8)(20.8)

/ —%)/，

/ —%)/，

(20.7)

(20.7)

斗一涼=

斗一涼=

1 + 2%炉+%户以»

1 + 2%炉+%户以»

(20.8)

(20.8)

где 0 = (0?+ 01 + 0з)1/2,元=(*+策 +鑰"：％ и 兀—вещественные параметры.

Преобразования (20.4)—(20.6) сохраняют квадратичную форму 的2—х2 и образуют группу Р (1, 3), называемую группой Пуанкаре, Формулы (20.7), (20.8) задают масштабные и собственно конформные преобразования, которые образуют совместно с (20.4)—(20.6) конформную группу С (1, 3). Операторы (20.3) реализуют предоставление этой группы на множестве решений уравнений (4.7) и порождают следую

щие преобразования функций Т (/, х) (4.6):

可(/, х)-陋(/, х) = U& & х) = Т (匕 х),

屮 Q, х) т 下〃 (/, x) = %千侑 X)= exp (iS • 0)千(匕 x〃)=

= [l+i^-sin0+ (导 J (cos 0 - 1)]审(匕 x〃)，

屮 & x) - @〃 (/, x) = % 帀 & x) = exp(rS0A)中(广‘，x'〃)=

=1+i 門卫 sh 入+(1—ch 矶千(",x"), (20.9)

千侑 x) т 守"(/, x) = &屮(/, x) = exp (- ^Ч)千(^IVxIV),千(f, x)f 审v(f, %) = 4勺(/, x)=[屮脩 + Ф2(1-儲)]XX[<p + ^iS^^ib^ - 1) -2 (S^^xVv)2]千(Л, xv).

Здесь

Sq 万 ％bcSbc，

屮=1 - 2卅%：+Ь尸%"V出，

S^v и К — матрицы (8.4).

Используя формулы (20.9), нетрудно получить в явном виде закон преобразования для векторов Е, Н и четырехвектора j. Действительно, согласно (8.4)

Зе・・・

Sab = iPa，Pbl = %bc

・3c •・

・・6： •

，髯=

(20.10)

，0 _§a

Soa — "В。，Pal =

1-居=

где Sa ь、— матрицы (2.2) и (4.4), / — трехрядные единичные мат> рицы, точками обозначены нулевые матрицы соответствующей размерности.

Подставив в (20.9) явный вид матриц S^ (20.10), (2.2), (4.4) и функции 屯(/, х) (4.6), получаем преобразования для Е, Н и / в виде

Е->Е = Е, Н->Н =Н, /,-/； = /,,

Е + Е〃 = Ecos0 — sin0 + 00.E,

Н — Н〃=Нcos8 — sin0 + 00.H —'—,

—j“ = jcose —exj Т + еет-^2^-，

/о "^ /о = /о，

E^E^^EchX —XXH^ + U.E-^=^,(20.11)

Hf Н'〃 = Нс/ + ^ХЕ 业+五・Н-^^,

『" = j—祗冬—五.j 1二",

Jof /о — /()chЛ — X- j ——,

E -> EIV = exp(— 2%) E,

H->HIV = exp(— 2統 H,

(一《v = exp(—3M)G

E - EV =屮[(%%v 出 一 1)2 e + (廿或 一 1)(瓦 xV XH-

— XobXH + b(xv.E)-xvb.E + bXxv(x^b.H — feoxv-H+

+ b • xV X Е) + (ЬхУ - X%。) (b • xV X H — 卅b • E + &oxv- E)], (20.12)

H^Hv =(p{(byV" — 1)2H + (匕匕；一 1)(出b x E —

—boxvXE + bxv-H — xvb-H) + b X xv (b-xv X H + feoxv• E -

一 ％沦・ E) + (b%； - X%。)(瓦xV・H — %沙・H - b X x、E)},

/； f /：=炉｛屮九 一 2 队（1 一 2*»v）++就&X1啞产+ 2 （球-ь£хГ） 外产｝.

В формулах (20.10), (20.12) для краткости опущены аргументы функций Е, Н и / (которые одновременно преобразуются согласно (20.4)—— (20.8)).

Соотношения (20.4)—(20.8), (20.10), (20.12) задают явный вид преобразований из конформной группы для векторов напряженности электрического и магнитного полей и четырехвектора тока. Эти формулы значительно упрощаются, если ограничиться однопараметрическими преобразованиями (когда отличен от нуля только один из входящих в (20.10), (20.12) параметров). Так, полагая в (20.12) b = 0, Ьо = Ь, получаем собственно конформные преобразования, порождаемые генератором Ко (8.2), в виде

Ev= с [(/— 1)2Е — &2хх. Е — 2b (应一1) R X Н],

”v= с [(应一1)2Н —感义 н — 2b (1 —而 7 X E],

(20.13)(20.13)jV = d [cj + 2G・呼 一 2b (1 — W) x/0],

(20.13)

(20.13)

川=c2 [c/0 — 2&(1 —历 x • j], где

с = 1 — 2bf + b2x卩%", x = xv, 7 = J =川.

Как видно из (20.13), конформные преобразования перемешивают

векторы Е и Н. Кроме того, в отличие от случая преобразований Ло. ренца (10.13) Ev, Hv и jv в (20.13) явно зависят от х и /.

Соотношения (20.13), задающие в явном виде конформные пре

образования для векторов Е, Н и четырехвектора тока, могут оказаться полезными при решении многих конкретных задач — например,

при построении нелинейной электродинамики, инвариантной относительно конформной группы. В работах [1—9] (см. список дополнительной литературы) конформная инвариантность используется, для нахождения точных решений нелинейных волновых уравнений.

§ 21. Интегрирование представлений конформной алгебры,соответствующих произвольному спину

Приведем доказательство справедливости формул (20.4)—(20.9), задающих преобразования конформной группы. Одновременно решим более общую задачу получения в явном виде группы преобразований, порождаемых генераторами (8.2), (8.3) для случая, когда S战V — произвольные матрицы, удовлетворяющие алгебре О (1,3) (16.2). Как иевестно [150, 152], формулы (8.2), (8.3), (16.2) определяют общий вид генераторов полностью приводимого представления конформной группы, порождающих ковариантное представление подгруппы Р (1, 3).

Генераторы (8.2), (8.3) имеют вид

Q^ =頂h С а (х), 4 = 1,2,15,⑵・1)

где г]^(х) — функции от % = (х0, х1? х2, %з); С』(%) — матрицы, матричные элементы которых в общем случае также являются функциями от %. Операторы (21.1) порождают конечные преобразования из конформной группы вида

В (%)+▽'(%'),(21.2)

где 屮(％)——вектор-ф)^нкции, образующие пространство представления группы С (1, 3). Явный вид таких конечных преобразований можно в принципе найти с помощью интегрирования уравнений Ли [741

dx

谪=喂(%) %； 1ел=о=居(21.3)

*=Са(£)У',中％片0=也(21.4)

Здесь 0д——параметры преобразования.

Каждая из формул (21.3), (21.4) определяет систему обыкновенных дифференциальных уравнений с заданным начальным условием, т. е. задачу Коши, которая имеет единственное решение.

Теорема 5. Конечные преобразования, порождаемые генераторами (8.2), (R.3), где S^v ——матрицы, реализующие представление алгебры О (1, 3), К ——произвольное число, задаются формулами

B(f,x)f B'd,x) = q(f,x), {Q6={&},(21.5)

У (/, х)-屮〃(匕 X”) = exp (iS/G T (/, х),

(21.6) {Q』} = {3

屮 & x) - У'〃 (/'〃，х'〃) = exp (iSM У 优，x), {Q/} = {Joa}, (21.7)

W (/, x) -> YIV (/IV, xIV) = exp (- ^0) Y (/, x), Q』=R (21.8)

中(/, x)屮v 优v, X)= [ф(%,版)]&xp 佟Sg卢炉力 X

Xarctg 一 厂3二丁户优,x),⑵.9)

Q} = {Kj, причем

9(%，勿)=a 一 2%/十%/炉)，

(21.10)

"同=% j/ "卩""-"小*"，Sa == 2 £abcSbc，

индексы a。〃 卩。принимают одно из фиксированных значений'. а0 = =1, 2, 3, Мо = О, 1, 2, 3, a %',九/, f,... могут быть получены из

— (20・8)подстановкой

九 а = °，°а = °，а*%,外=°，卩 *阿・(21.11)

Доказательство. Непосредственной проверкой нетрудно убедиться, что преобразования (21.5)—(21.9) удовлетворяют уравнениям Ли (21.3), (21.4) и в силу единственности решений этих уравнений определены однозначно. Для преобразований (21.5)—(21.9) такая проверка тривиальна, поэтому мы рассмотрим подробно только случай собственно конформных преобразований, задаваемых формулами (21.9).

Сравнивая генераторы Кц (8.3) с (21.1), получаем

Сц (х) = — 2Kx卩 + 2iS|xv%v,孤(%)=没产-%/*；.

(21.12)(21.13)(21.14)(21.12)(21.13)(21.14)Согласно (21.13) уравнение (21.3) принимает вид

(21.12)

(21.13)

(21.14)

(21.12)

(21.13)

(21.14)

Легко убедиться, что решение уравнений (21.14) задается формулой

(21.15)(21.15)，一叩一%。常力》

(21.15)

(21.15)

" 1 - %/+ %/%* (суммы no v0 нет).

Рассмотрим уравнение (21.4), которое ввиду (21.12), (21.15) можно

представить в форме

説=2 RS" - К%；产，(21.16)

||生尸)=匕(21.17)

и убедимся, что решение этой задачи Коши задается формулой (21.9). Действительно, дифференцируя (21.9) по 匕加 и принимая во внимание легко проверяемые тождества

arctg 厶战 ％^ _ ] у = 2iSy,oVx,v,

新[中(%, b^ = 一 2K[中(x,九)]x。， Це

получаем уравнение (21.16). Полагая в (21.9) b战° = 0, приходим к начальному условию (21.17). Теорема доказана.

Таким образом, мы показали, что однопараметрические преобразования из конформной группы, порождаемые генераторами вида (8.2), (8.3), задаются формулами (21.5) —(21.9). Используя тот факт,

что генераторы К^ (8.3) образуют абелеву подалгебру, нетрудно получить из (21.9) общий вид собственно конформных преобразований:

/ 2fs 脚/\

屮(х)f，出)=[屮(招 b)]K exp — arctg^^J У ⑴，

I“(21.18)

「де а = [bllbilxvxv—(匕/卩尸]2,屮(%, b) = 1 — 2#%卩 + bvbvx^x^, %'=(%；, 片，％；，％；)，心 совпадают с %、(20.8).

Формула (21.18) задает явный вид конформных преобразований для произвольного представления конформной группы, порождаемого генераторами вида (8.3). Если задаться каким-либо конкретным конечномерным представлением алгебры О (1, 3), реализуемым матрицами S^v, то входящую в (21.18) экспоненту можно представить в виде полинома по степеням S^vb战％” Для представления 0(0,1)© ©0(1,0) ©О (у, ^) формула (21.18) сводится к последнему из соотношений (20.9), т. е. задает закон преобразований для решений уравнений Максвелла. Если же матрицы S^v образуют представление D (0，^-), а 々=3/2 (именно такое представление реализуется на множестве решений уравнения Вейля), то формула (21.18) принимает вид

屮(%) -> У' (%') = (1 — 2瓦严 + 瓦ЬГ/，仇？1 — 1 +。• (％b —

—feox + ixXb)]T(x).(21.19)

Здесь 4f (x) — двухкомпонентный вейлевский спинор, ао — матрицы Паули (1.3). Наконец, для множества решений безмассового уравнения Дирака (которому соответствуют матрицы S^v из представле- нняО(^О)㊉ 0(0,})) получаем из (21.18) конформные преобразования в следующей форме:

У (%) -> Р (%') = (1 -2瓦/ + bvb4^ (V^ 一 1一九汽加炉)屮(%)， (21.20)

где 4f (x) — четырехкомпонентная волновая функция (биспинор Дирака), уц ——дираковские матрицы.

Отметим, что формула (21.18) допускает очевидное обобщение на случай, когда К не число, а матрица, коммутирующая с S^.

Заметим также, что преобразования (21.5)—(21.9), (21.18) можно рассматривать только как локальное представление группы С (1, 3), поскольку мы здесь сталкиваемся не только с проблемой задания области определения функций 4r(，，х') 4f〃(f", х"),…，но и с тем фактом, что выражения (21.9), (21.18) для ¥v (Zv, xv) теряют смысл при 1 — -2玩"卩+瓦,及%/卩=0.

Глава 5

НЕГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ СИММЕТРИЯУРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА

Скрытая гармония сильнее явной

Гераклит

Исследуем «скрытую» (негеометрическую [69]) симметрию уравнений Максвелла и Дирака, которая не может быть обнаружена в классическом подходе Ли. В этой главе с помощью нели- евского метода исследования симметрийных свойств дифференциальных уравнений, предложенного в [54, 69, 104], показано, что уравнения Максвелла, помимо конформной инвариантности, имеют дополнительную симметрию относительно восьмимерной алгебры Ли» базисные элементы которой задаются интегро-дифференциальными операторами.

В § 24 доказана инвариантность уравнений Максвелла относительно 23-мерной алгебры Ли, содержащей в качестве подалгебр 15-мерную конформную алгебру и восьмимерную алгебру Ли группы U ⑵ 8。(2). В § 25 показано, что уравнения Максвелла инвариантны относительно преобразований, образующих представление группы Пуанкаре, при которых в отличие от преобразований Лоренца время не изменяется.

§ 22. Инвариантность уравнений Максвеллаотносительно восьмимерной алгебры Ли Л8

Рассмотрим задачу о нахождении АИ уравнений Максвелла (1.1), (1.2) в классе интегро-дифференциальных операторов. Будем исходить из формулировки этих уравнений, задаваемой формулами (2.3)——(2.6).

Следуя первому шагу алгоритма, кратко изложенного во введении, перейдем от уравнений (2.3), (2.5) к уравнениям в ^-пространстве, задаваемым формулами (6.3)—(6.6). Тогда условие инвариантности (7.3) можно представить в виде

IM, Q/ =尸 3 + 8[厶，

(22.1}

Q/ = ® 3 + g?厶，

где Li и £2 — операторы (6.3); Q$ — символы базисных элементов АИ; /Л gf,皮，^2 — матрицы, зависящие в общем случае от 夕卩 и %卩.

Связь между произвольным оператором L 亿 х, р), определенным на множестве решений уравнений (2.3), (2.5), и его символом L (/*

x, р) задается формулами

2 (力 X, p) = Ll (厶 X, p) F,人(22.2)

L & x, p) = FL (/, x, p)尸"Л

Здесь F — унитарный оператор Фурье.

Рассмотрим задачу описания всех возможных (в точностью до эквивалентности) операторов Q/ = Q4(p), удовлетворяющих условиям (22.1). Потребуем, чтобы эти операторы не выводили <р (厶 р) (6.4) из класса функций, удовлетворяющих условию (6.7). Это требование можно представить так:

Q；(P)= Qg(—P)・(22.3)

Теорема 6 [67, 119, 120]. Уравнения Максвелла (2.3), (2.0 инвариантны относительно восьмимерной алгебры Ли Л8, базисные элементы которой принадлежат классу интегро-дифференциальных операторов. Символы этих базисных элементов имеют вид

Qi = % 粤瓦 Q2 = f%,、з=—s 竽■£,

Q&H —О应，Q5 = ¥，Q6 = —% 瓦(22.4)

Q7 = /, Q8=Zq2 —, где

力={ E ^Рь + 嚕^ —成疋)(I — S》+ PiPzPsSaSbp〕一

—PP'PzPs J — (?) ]}院!

(22.5)

6 =位[/期-匐2 +爲(p3 - Р彳)+國旧-處)]，

。。“ S。一 матрицы (2.2). Операторы (22.4) удовлетворяют алгеб-

Q, Qb] = — &+公 Q3+b】=—%bcQc，

[Q3+G QeJ = %ьс、з+с，ci, b, c = 1, 2, 39(22.6)

【Q7, Q/ = [Qe> Q』]=0, 4 = 1,2, ..., 8,

которая изоморфна алгебре Ли группы U (2) ® U (2).

Доказательство. В справедливости теоремы легко убедиться непосредственной проверкой. Для этого достаточно восполь-

зоваться тождествами

D0a = %D, DS • p = — S • pD,

"("^)2=“ "S，P= S・p, L2S-p =0,(22.7)

P,厶]=(力+勿声2〃3-1)厶，

из которых вытекают соотношения (22.1), (22.6). Тождества (22.7) несложно проверить, представив матрицы Он S・p в явном виде (см. (2.2)):

b = A十2，a =[(粤y一 1卜2/2。3"，

(22.8)

где 0 — квадратные трехрядные нулевые матрицы,

—2用或PiP2p|仍處Рз \

Di =1 Р1Р2Р3 f—2 硝7；疋ЕРз |б~т,(22.9)

\ "山纨32步2凡f -2网赐丿

人 / 0 一內pЛ

f=PlPl + PIpI + pIpI， s・p = i( "з 0 — 〃卜

Поскольку согласно (22.8), (22.9) S-p D。= D0S-p = 0, проверка соотношений (22.7) сводится к перемножению матриц S-p и Dlf S-p, D и 丄2・ Из (22.5), (22.8) видно также, что операторы Q幺 удовлетворяют (22.3). Теорема доказана.

Таким образом, найдена новая АИ уравнений Максвелла, базисными элементами которой являются операторы (22.4). Эти операторы определены на множестве векторов 屮(/, р), являющихся фурье-обра- зами решений уравнений Максвелла (2.3), (2.5).Каждой матрице Qa (22.4) можно сопоставить интегральный оператор Од, заданный в пространстве функций ф (/, х) (2.1):

СЛФ 伉 х)= (2冗厂可 ^pQa^ (f, р) exp (Zp-X)=

=(2冗厂з cPpd^x'Q^ (f, x') exp [ip ・(x — x')]・(22.10)

Интегральные операторы (22.10) удовлетворяют условию инвариантности уравнений (2.3), (2.5) и образуют алгебру Ли, изоморфную U (2) ® U (2). В отличие от базисных элементов конформной алгебры,

эти операторы порождают нелокальные преобразования функции Ф (/, х) (2.1) (а значит, и векторов напряженности электрического и магнитного полей). Поэтому найденная здесь АИ уравнений Максвелла в принципе не может быть получена в классическом подходе Ли.

Заметим, что симметрия относительно алгебры Л8 не является специфическим свойством уравнений Максвелла в форме (2.3), (2.5), но может быть установлена для любой формулировки этих уравнений. Справедливость этого утверждения показана в следующем параграфе, где найдены преобразования симметрии, порождаемые алгеброй Л8, непосредственно в терминах напряженностей электрического и магнитного полей.

§ 23. Другое доказательство теоремы 6.

Конечные преобразованиявекторов Е и Н9

порождаемые негеометрической АИ

Приведем другое, более общее доказательство теоремы 6, с помощью которого можно установить, что найденная выше дополнительная АИ уравнений Максвелла является в некотором смысле максимально широкой. Это доказательство имеет конструктивный характер, так как дает возможность обобщить полученные результаты на случай других пуанкаре-инвариантных уравнений. Основная идея его состоит в том, чтобы преобразовать операторы (6.3) к такой эквивалентной диагональной форме, для которой утверждения теоремы почти очевидны.

Операторы 厶 и £2 из (6.3) не коммутируют и поэтому не могут быть одновременно приведены к диагональной форме. Чтобы обойти эту трудность, рассмотрим наряду с L2 оператор L3:

L8 = L4-L2^p2 — (S-p)2,厶="j — iS3p2 + iS2P з, (23.1) коммутирующий c LP Из (6.3), (23.1) вытекает, что L?三二厶厶3, откуда следует, что если L§ удовлетворяет условиям

亿3，Q" =号厶+ g胃%，(23⑵

то для 厶2 выполняются соотношения (22.1), где

窗=р- “3 g* = [Qa^ 十•引厶 + ± 厶或 4(23.3)

Нетрудно убедиться также, что если матрица L2 удовлетворяет (22.1), то для L? (23.1) выполняется (23.2), а первое из соотношений (22.1) можно представить в виде

=+以"，(23.4)

где gA = Lv Следовательно, условия инвариантности (22.1) эквивалентны соотношениям (23.2), (23.4) для матриц Ц (6.3) и L3 (23.1).

Для диагонализации Ц и 厶з воспользуемся оператором W=UkU3U2Ut.(23.5)

Здесь

U, exp (—P^Bs • p 今)三尸—+ P^DS • p, / = exp (— iS@目)t/3 = exp^^-^ ©2 — S。員，

(23.6)

U& =[1 —力(S,S・2 + S?S, + 1 — 5з)],

Р士 = 4"(1 干。2)，P =y

(матрицы So, Ь и параметры 0a заданы в (2.2), (22.5) и (14.4)). В результате несложных выкладок получаем

WL^ =Ц = 1-^-Гор.

(23.7) 取 £зМ=(1-11)吟

где Го — диагональная матрица,

Го = — i (S£ + S2S^ S3 = diag (1, — 1, 0, 1, — 1, 0).(2 3.8)

После преобразования (23.7) условия инвариантности (23.2), (23.4) принимают вид

纟，Q*=〃z； +以%

(23.9)

乌Q/=方L: + g注;.

Используя (23.7), (23.8), нетрудно найти общий вид матрицы QA (р), удовлетворяющей условиям (23.9):

1a00 0с ЬОО0 0、 d 0Q/4 (р)=0 е00000 f0000+》(p) 4,0g00h00000001a00 0с ЬОО0 0、 d 0Q/4 (р)=0 е00000 f0000+》(p) 4,0g00h0000000(23.10)(23.10)

1

a

0

0 0с ЬОО

0 0、 d 0

Q/4 (р)=

0 е

0

0

0

0

0 f

0

0

0

0

+》(p) 4,

0

g

0

0

h

0

0

0

0

0

0

0

1

a

0

0 0с ЬОО

0 0、 d 0

Q/4 (р)=

0 е

0

0

0

0

0 f

0

0

0

0

+》(p) 4,

0

g

0

0

h

0

0

0

0

0

0

0

(23.10)

(23.10)

где 户(р) — произвольная матрица размерности 6x6 (элементы которой зависят от р), а Ь, с, ..., Л — произвольные функции от р・ При эт(»< ввиду (6.6), (23.7), (23.9), не умаляя общности, можно положить / (р)三 0.

Таким образом, существует всего восемь линейно незавиеимых матриц, удовлетворяющих условиям (23.9). Выберем эти матрицы в виде.

Qa ~ ‘％' Q；+a = — "ToQ；，Q； = /，Q； = 1「0・(23.11)

Здесь матрицы % и「о задаются формулами (2.2), (23.8), / — единичная матрица. Матрицы (23.11) удовлетворяют коммутационным соотношениям (22.6) и с помощью преобразования Ql~> Qj = W^aW (W — оператор (23.5)) могут быть преобразованы к форме (22.4). Теорема доказана.

Приведенное доказательство допускает простое обобщение на случай уравнений для безмассовых полей произвольного спина, например, при использовании формулировки таких уравнений, предложенной в [36, 68].

Из полученных результатов следует, что уравнения Максвелла (6.3)—(6.7) инвариантны относительно восьмипараметрических преобразований

屮 & Р) -> О (f, Р) = ехр{ Q/力}屮(Л р),(23.12)

где Qa ——операторы (22.4), 0д — произвольные действительные параметры. Поскольку операторы Q百 образуют алгебру Ли (22.6), то соотношения (23.12) задают группу преобразований, которую обозначим символом 4 (как и соответствующую алгебру генераторов (22.4)).

Операторы (22.4) в силу уравнений (6.6) удовлетворяют условиям

Q* 屮 & Р)=—屮(Л Р), 4 & 3, Л = 8,

(23.13) Q^ 屮(厶 Р)=屮(匕 Р)， 4 & / & 7.

Используя соотношения (23.13), экспоненту, входящую в формулу (23.12), можно представить в виде

(cos 0л + Q< sin 6/ 屮，Л<3, Л = 8, exp {QM <p = j(ch 0^ +Qa sh 0^ ф( 4《力 <7.(23.14)

Подставляя в (23.14) явный вид операторов (22.4) и используя для функции ф (/, р) обозначения (6.4), получаем закон преобразования для фурье-компонент векторов напряженности магнитного и электри

ческого полей Еа = Еа (/, р) н "а = //</, р) в форме

(23.15)(23.15)瓦 f 瓦 cos 0i + i%b》b$cdEd sin 0b

(23.15)

(23.15)

爲 f Ha COS 仇一^abcPb^cd^d sE 仇；

(23.16)(23.16)瓦 f ^cos 02 +Ha sin 02,

(23.16)

(23.16)

Ha -> Ha cos 02 — £a sin 02,

瓦 f Eacos 8— i%/bdd方d sin 03,

(23.17)

Ha f Ha cos e3 — i&abcPbDcdEd sin 03;

瓦f瓦ch"-力ab方b sh 04，

(23.18} 瓦 f 瓦 ch " — DabEb sh 04;

瓦—瓦 ch 65 + i%b£瓦 sh 05,

(23.19) 方■ f 瓦 ch 05 + ieabcpbHc sh 05;

瓦f瓦ch仇—DabEb sh仇，

(23.20)

Ha f Ha ch 06 + DabHb sh 06;

Ha f Ha exp 07, Ea f 瓦 exp 07;(23.21)

瓦 f 瓦cos 0Я + &儿工瓦sin 08,

(23.22)

Ha f Ha cos 08 — i%db瓦 sin 08,

где

Qa= (/ — 2网砲尸，Dab =рдРзРс6「 (23.23)

a=#力*с, / иЗ заданы в (22.5), (22.9).

Формулы (23.16) задают преобразования Хевисайда—Лармора—— Райнича [129, 139, 162]. Остальные соотношения (23.15)—(23.22) (дополнякицие преобразования Хевисайда—Лармора—Райнича до группы Л8) соответствуют нелокальным (интегральным) преобразованиям векторов Е (/, х) и // (力 х) (которые выражаются через Е и Н с помощью преобразования Фурье (6.1)).

Преобразования (23.15)—(23.17), (23.22) сохраняют билинейную форму (17.1) в случаях, когда оператор М задается формулой (17.2) либо (17.3). Это означает, что формулы (23.15)—(23.17), (23.22) задают унитарные преобразования в том же гильбертовом пространстве, в котором унитарны конформные преобразования (20.11)—(20.12). Что же касается преобразований (23.18)—(23.21), то они неунитарны относительно метрики (17.1). Однако можно указать положительно неопределенную билинейную форму, которая сохраняется при всех преобразованиях вида (23.15)—(23.22). Эта форма имеет вид

(W，屮2)= j ^3Рф} (/, Р) сг2Ь(р2 (/, р) = (2冗厂з ^(Ppd^x^l (/, х) X

X %力％ (厶 X’)exp [ip・(x — x')L(23.24)

где в отличие от (17.1)屮(/, х‘)一 вещественная функция (2.1).

Таким образом, мы показали, что помимо известной симметрии относительно конформной группы уравнения Максвелла инвариантны такхе относительно интегральных преобразований (23.16)—(23.22), образующих группу 人.Преобразования (23.16)——(23.22) с точностью до замены 6в-> »6з, В = 4, 5, 6, 7, совпадают с полученными в работах [67, 119, 120]. Отметим еще, что инвариантность уравнений (6.2) относительно преобразований (23.15)—(23.22) может быть проверена непосредственно.

§ 24. Инвариантность уравнений Максвеллаотносительно 23-мерной алгебры Ли

Мы показали ранее, что существует два набора операторов: {&, /岭 Кц, D} (8.2), (8.3) и {Q6 (22.4), образующих АИ уравнений Максвелла (8.2), (8.13). Однако, как нетрудно убедиться, операторы (22.4) не образуют замкнутую алгебру совместно с генераторами (8.2), (8.3). В настоящем параграфе докажем теорему, устанавливающую симметрию уравнений Максвелла относительно 23-мерной алгебры Ли, включающей конформную алгебру и алгебру (22.4) как подалгебры. Такое объединение удается осуществить, если базисные элементы конформной алгебры определить в классе интегральных операторов.

Рассмотрим уравнения Максвелла в импульсном пространстве, определяемые формулами (6.5), (6.6). АИ этих уравнений устанавливается следующим утверждением.

Теорема 7. Уравнения (6.5), (6.6) инвариантны относительно 23-мерной алгебры Ли, базисные элементы которой задаются формулами (22.4) и (24.1):

(24.1) D =心旷+ %勺=-匕户乙+ 2%:2

где %； =M i —- W, W — оператор (23.5).

Доказательство. Утверждения теоремы легко проверить непосредственно в представлении, где операторы 厶(6.3) и £3 (23.1) имеют диагональную форму (23.7). В таком представлении операторы (22.4) задаются формулами (23.11), а для операторов (24.1) получаем

Р；=Г?Х =加

4产呼乙州 =v\-/%，"出=j 4?

(24.21

Df = WDW{ =x^ + i, ^=WK^ = ~хух^ + 2х^.

Прямой проверкой убеждаемся, что операторы L；, L； (23.7) и генераторы (24.2) удовлетворяют условиям инвариантности (23.9):

[L1, Рц]= [Ll, Jab] =[А1, Сл] = О,

["，G =堂 й一审 QE，к о]=辽;，

亿；,心=2, ％° + (x・p—i)年 L；—2i(x・p — i卄厶，

[L；, К；] = 2,卜а + Q“o 勺)L[- 2/ 患乙厶，

(24.3) 亿3, " J =[L3，^a^ ~ 厶'Q?d = a

乙，几1 =字"，出，"=2%

5,灯=卜％-2f(x.p + p.x)賞)必

【％ KJ =卜小一4^0' у — 2f (х-р + р х)矍]

Операторы (24.2) принадлежат алгебре С (1, 3), поскольку они удовлетворяют коммутационным соотношениям (8.10), (8.11). Кроме того, эти операторы коммутируют с матрицами (23.11), которые, в свою очередь, образуют алгебру Д8 (22.6). Отсюда следует, что операторы (23.11), (24.2) образуют базис алгебры Ли группы Л8 ® ® С (1, 3). Теорема доказана.

Каждому оператору (22.4) и (24.1), заданному в пространстве функций 屮(/, р), можно сопоставить интегральное преобразование в пространстве Н функций 屮(力 х):

屮(/, х) т 屮'(/, x) = (2л) 3/2 j d3p®x‘ exp (ZQa0a) q)(/, x) exp [ip • (x — x')],

(24.4)

где 0a — произвольный параметр; Qa—один из операторов (22.4) или (24.1), a = 1, 2, ..., 23. Преобразования (24.4) оставляют инвариантными уравнения Максвелла (2.3), (2.6) и образуют представление группы Л8 ® С (1, 3).

Таким образом, мы получили 23-параметрическую группу симметрии уравнений Максвелла для электромагнитного поля в вакууме. Поскольку преобразования (24.4) имеют нелокальный характер, то соответствующая группа инвариантности в принципе не может быть найдена в классическом подходе Ли [42, 43], в котором инфинитезимальные операторы всегда принадлежат классу дифференциальных операторов первого порядка, порождающих точечные преобразования.

§ 25. Симметрия относительно преобразований,не изменяющих време&и

Как показал Лоренц [21], уравнения Максвелла инвариантны относительно преобразований координат и времени вида (20.4)— (20.6), которые образуют группу Пуанкаре. Эти преобразования устанавливают определенное равноправие временной и пространственных переменных функций Е (/, х) и Н (/, х).

Со времени создания специальной теории относительности считалось, что преобразования Лоренца (20.4)—(20.6),(20.11)— единственные преобразования симметрии уравнений Максвелла, которые можно сопоставить переходу к новой инерциальной системе отсчета. Эта точка зрения настолько устоялась, что постановка вопроса о существовании таких преобразований решений уравнений Максвелла, которые образуют представление группы Пуанкаре, но не изменяют времени, может показаться довольно странной. Однако на самом деле такой вопрос вполне правомерен и на него имеется положительный ответ [66, 69, 104]. А именно, существуют преобразования вида

(25.1)(25.1)и оставляющие инвари-и оставляющие инвари-реализующие представление группы антными уравнения Максвелла.реализующие представление группы антными уравнения Максвелла.

(25.1)

(25.1)

и оставляющие инвари-

и оставляющие инвари-

реализующие представление группы антными уравнения Максвелла.

реализующие представление группы антными уравнения Максвелла.

0Е

ан

尹Е

дха，

дхадхь

dE

dH

02H

дха，

дх(дхь

х”’А х — f (х, f,九,，...，入io),

Р(1, 3)

Н->Н =(р Е, Н,

Е —> Е7 = g(Е, Н,

В работах [59, 61, 67] показано, что уравнение Шредингера— Клейна—Гордона—Фока и другие релятивистские уравнения помимо инвариантности относительно преобразований Лоренца инвариантны также относительно преобразований вида (25.1). Иными словами, релятивистские уравнения движения имеют двойственную симметрию. Следует отметить, что преобразования вида (25.1) в отличие от преобразований Лоренца не сохраняют квадратичную форму

S (х2) = Xq — Xj — Xg —堵 У= S (%，) = xj — %； — %；—珞，

хотя четырехвектор энергии — импульса преобразуется при этом по формулам Лоренца.

Инвариантность уравнений Максвелла в форме (2.8)—(2.10) относительно преобразований независимых переменных вида (25.1) по существу была установлена в § 17, где показано, что генераторы группы Пуанкаре на множестве решений этих уравнений могут быть представлены в виде (17.6)—(17.9). Действительно, нетрудно убедиться, что операторы (17.6)—(17.9) коммутируют g / и, следовательно, конечные преобразования, порождаемые этими генераторами, не изменяют времени.

Здесь мы рассмотрим формулировку уравнений Максвелла в х- пространстве, задаваемую соотношениями (3.6), (3.7). Симметрия уравнений (3.6), (3.7) также имеет двойственный характер, поскольку генераторы (8.2), (3.8) на множестве решений этих уравнений можно представить в следующей форме:

^0 = ^ = ТоТЛ， Ра = Ра=— I 祟，

4b = xaPb — xbPa + '。加(25.2)

‘0а = tPa — %а" + $険・

Операторы (25.2), как и (8.2), удовлетворяют условиям инвариантности уравнений (3.6), (3.7) и коммутационным соотношениям (8.10), т. е. образуют АИ уравнений Максвелла. Однако в отличие от генераторов (8.2) операторы (25.2) не имеют ковариантной формы и коммутируют с t, т. е. порождают преобразования из группы Пуанкаре, не изменяющие времени.

Найдем в явном виде группу преобразований, порождаемую операторами (25.2). Формально эти преобразования можно представить в виде

屮I =Mf, W = ехр (iQM(25.3)

где 4f — вектор-функция (3.5), Qa — произвольный генератор (25.2), 0д — вещественные параметры, Л = 1, 2, ... ,10.

Ограничимся случаем {Q^} = {/о。}, поскольку преобразования, порождаемые операторами Рц и Jab, найдены в § 21. Генераторы Ла, задаваемые формулами (25.2), в отличие от соответствующих операторов (8.2), (3.8) невозможно представить в виде суммы коммутирующих величин, одна из которых — числовая матрица, а вторая выражается через операторы дифференцирования и умножения на х и /. Поэтому, хотя оператор

Г = ехр (UM(25.4)

в принципе всегда может быть записан в виде конечного ряда по степеням спиновых матриц, вычисление этого ряда в явном виде представляет нетривиальную задачу, решению которой и посвящен данный параграф.

Преобразуем оператор (25.4) к форме, не содержащей матриц под знаком экспоненты. Воспользуемся тождеством

iJ^a = Л+Р+ + 4_Р_,(25.5)

где

P士 =扌(1土^), * ="仇干 W + Soj力. (25.6)

Операторы (25.6) удовлетворяют соотношениям

Р±Р± = Ль 尸士％ =。，Р±4千 Р干=О,

25.7) 尸彳/土尸土 = 0, /土 尸士/士尸士 = Л+p+,

откуда следует, что

exp 伍几“)三 exp (4卜耳 + /_Р_) = exp (Л+Р+) exp (/-P-)=

—0 +4+?+ + 击碑P+ + …)(1 + 4-P- + 扌4上P_ + …)=

=[exp (Л+) P+ + 尸_] [exp (Л_) P_ + 尸十]=exp (』+)尸十 + exp (Л__) Р_・ (25.8)

Но вычисление экспонент от операторов А+ и Л__ (25.6) не составляет затруднений, поскольку эти операторы состоят из двух коммутирующих слагаемых, одно из которых выражается через спиновые матрицы. Действительно,

ехр (4±)三 exp [/ (tpa 千 xap + SQa) 0a] =exp [i (tpa 干 xap) 0a] exp (iSM， (25.9) где последнюю экспоненту всегда можно представить в виде конечной суммы по степеням матриц Saa0a:

N (0) = exp ”0机)=1 + i -sh 0 + (-^)(l-ch0) (25.10)

i

(9=(6i + 02 + 03)2). Для вывода формулы (25.10) достаточно разложить exp(£Soa6j в ряд и воспользоват ься соотношениями

/ sn е \з sn в

Подставив (25.9), (25.10) в (25.8), получим

历=exp ("оМ) = N (6) [exp (治十)耳 + exp (込_) Р_].

(25.11) Здесь

В±= @Ра 士 ХаР) 0а.

Аналогично может быть найден обратный оператор

诊—】=exp (— "о/, =^(—0) [exp (— iB^ P+ + exp (— iB_) P_].

(25.12)

Формулы (25.10)—(25.12) задают искомое представление операторов 伊，которое не содержит матриц под знаком экспоненты.

Используя (25.11), (25.12), нетрудно найти в явном виде преобразования для функции 中(/, р) в импульсном пространстве:

屮4, Р)=他屮(％ Р) = N (0)仍+出(厶 Р') + ^^ (f, P")L (25.13)

где

%u%ch8 + § psh 0 + Vbpb .^ ~ 1} #

(25.14) 00九八

% = P/h 0 — p sh 0 H—— (ch 0 — 1).

Преобразованиям (25.13) соответствуют нелокальные (интегральные) преобразования функции (3.5):

中信 х) f 屮'(f, x) = (2冗)一3/2 J d3p4r (f, p) exp (zp-x).(25.15)

Здесь Tz(/, p) = ITT (/, p) задается формулами (25.13), (25.14). Преобразования (25.15) совместно с (25.13), (25.14) образуют представление группы Р (1, 3), но оставляют время инвариантным, f = t.

§ 26. Нелиевская симметрия уравнений Максвеллав проводящей среде

Исследуем симметрию уравнений Максвелла в проводящей среде:

，丁 = — Р X Н + шЕ,

р-Е = р-Н = 0, 4 =—'言，

где а— коэффициент проводимости. Покажем, что уравнения (26.1), как и уравнения (1.1), (1.2) для электромагнитного поля в вакууме, инвариантны относительно алгебры Л8.

Использовав обозначения (2.1), (2.2), представим уравнения (26.1) в виде

厶屮优，х)= О, L{ = i^ + о2s・р + у О +。3)。，

(26.2) 厶中(厶X)= 0, 厶PiS • pS,.

Найти АИ уравнений (26.2) означает определить совокупность операторов Q^, образующих конечномерную алгебру Ли и удовлетворяющих условиям инвариантности (7.3). Поскольку нас интересует АИ в классе интегро-дифференциальных операторов, перейдем от (26.2) к эквивалентной системе уравнений в импульсном представлении:

厶屮优,Р)= 0, L、=i~^ + 02s・Р + -у (1 + аз) 5

(26.3) 厶屮(厶Р)= °， 厶=〃 一S・pS「

где ф (f, р)——фурье-образ 屮(/, х).

Докажем следующее утверждение.

Теорема 8. Уравнения (26.3) инвариантны относительно алгебры Л8. Базисные элементы этой алгебры на множестве решений уравнений (26.3) задаются формулами

Qi =，击乎，Q2=—y^[O3“ q3=—<^3—Д

Q4=粤，q5 =03n Q6 = 一击兮力,(26.4)

Q7 = Щ-，Q8 = 〃，

где матрицы %，Sa и D определены, 6 (2.2), (22.5),

/i = %S・p+ -；-%5

!/l| = r^ = [(S-p)2- ｝。2『=)/"2_｝。2 (*y+

+—(碧｝(26・5)

Доказательство. Как и в § 23, рассмотрим вместо (26.3) систему уравнений

〃屮(厶 Р)= 0, 3 = i4" + %S・p + 4 (1 +%)5

(26.6)

L3中伍,P)=。，L3 = 1 一 •

Исследование симметрийных свойств системы (26.6) представляет более простую задачу ввиду коммутативности операторов L^ и L3. Вместе с тем, как можно показать в полной аналогии с (23.1)—(23.4), АИ уравнений (26.3) и (26.6) совпадают.

Используя тождества (22.7) и принимая во внимание антикоммутативность матриц Паули, нетрудно убедиться, что операторы (26.4) удовлетворяют условиям (23.2), (23.4) инвариантности уравнений (26.6) и коммутационным соотношениям (22.6), т. е. образуют АИ Л8 уравнений (26.3). Теорема доказана.

Итак, уравнения Максвелла для электромагнитного поля в проводящей среде имеют такую же АИ в классе интегро-дифференциальных операторов, как соответствующие уравнения без токов и зарядов. Из теоремы 7 следует также инвариантность (26.1) относительно конечных преобразований из группы Л8, задаваемых формулой (24.4), где Q』一операторы (26.4), 0л — произвольные вещественные параметры, Л = 1, 2, ..., 8. Поскольку операторы Q』удовлетворяют условиям

)—[—屮(厶 Р), 4 = 1,2, 3,8;

I Ф(ЛР), Л = 4, 5, 6, 7,

то

|(cos0Л +(2Лsin0Л) ф(/, р), А= 1, 2, 3, 8;

еХР 9』3)屮侑 Р)= [(ch j + Qa sh 3)ф (f, p), Д = 4, 5, 6, 7.

(26.8)

Используя (26.4), (26.8), (2.1), нетрудно представить преобразования (24.4) непосредственно в терминах векторов напряженности электромагнитного поля. Отметим, что в отличие от преобразований (22.10) для свободного электромагнитного поля функция q/(f, х) (24.4), (26.4) удовлетворяет условию вещественности только в случаях А = 3, 4, 5, 8.

Глава 6

СИММЕТРИЯ УРАВНЕНИЙ ДИРАКАИ КЕММЕРА - ДЭФФИНА — ПЕТЬЕ

Уравнение Дирака наряду с уравнениями Максвелла составляет фундамент современной релятивистской физики и поэтому исследование его групповых свойств имеет первостепенное значение. В этой главе, следуя работам [31, 54, 115, 119], мы установим АИ уравнения Дирака в классе диффер енци а л ьны х и интегро-дифференциальных операторов. Отдельно рассмотрим случай уравнения для безмас- совых частиц и покажем, что симметрия уравнения Дирака с 加=О определяется той же 23-мерной алгеброй Ли, что и симметрия уравнений Максвелла. Исследуем также симметрию уравнения Кем- мера—Дэффина—Петье (КДП) для массивных векторных частиц.

§ 27. АИ уравнения Диракав классе дифференциальных операторов

Исследуем симметрийные свойства уравнения Дирака

/ 亿 X)三(Y必卩一加)W (f, X)= 0, (27.1)

где 4f (/, x) — четырехкомпонентная волновая функция, у出一четырехрядные квадратные матрицы, удовлетворяющие алгебре Клиффорда (3.9).

Известно, что уравнение (27.1) инвариантно относительно группы Пуанкаре. Генераторы этой группы на множестве решений уравнения (27.1) имеют вид

&=% = — »/，4iv = %必V —/&, + Sg. (27.2) Здесь

S炉=彳(y/v — %丫 J (27.3)

Операторы (27.2) коммутируют с L из (27.1) и удовлетворяют коммутационным соотношениям (8.10), т. е. образуют АИ уравнения (27.1). В работах [12, 16] показано, что алгебра Ли, натянутая на базисные элементы (27.2), является максимальной АИ уравнений Дирака в классе дифференциальных операторов первого порядка.

Если исходить из изложенного выше, то может сложиться впечатление, что релятивистская инвариантность исчерпывает симметрийные 88

свойства уравнения Дирака. Однако, как будет показано в настоящей главе, на самом деле симметрия этого уравнения значительно шире.

Теорема 9. Уравнение Дирака (27.7) инвариантно относительно восьмимерной алгебры Ли, заданной над полем вещественных чисел. Базисные элементы этой алгебры имеют вид

$炉=-у- [% YV1 + 力(1 — ^4)^Pv — yvP^,

。.(27・4)

So = /, £ = YW — i (1 —咕)Y 卩叫

где у& = Y0Y1Y2Y3，/ — единичная матрица. В случае /и 耍 0 алгебра (27.4) изоморфна алгебре Л8 (22.6), а при m = 0 операторы (27.4> образуют абелеву алгебру.

Доказательство. В справедливости теоремы проще всего убедиться прямой проверкой. Используя соотношения (3.9), получаем

百吟L] = i仇外一又乙)乙禽,L} = - 2淞"也

百吟 2Ха] = 2加2 (^gg^vX + 目”九九。一g卩启vo — ^va^Hl),(27.5)

[己,*0】=[*i，^jxv] = No，£g] = Po> L] = 0，

откуда видно, что операторы (27.4) удовлетворяют условию инвариантности уравнения (27.1).

Согласно (27.5) в случае m = 0 операторы (27.4) коммутируют между собой. Если /п，0 то, обозначая

2卩"="^0以"， '。='。， *1=:士$仆 (27.6)

получаем из (27.5), что операторы S^v, Е。, Si удовлетворяют алгебре[4"，4。】=2i(8卩。4% + g^Z。— ggZ。- £。综入)，

【工1, ^ol =【R，£”] = [^o，2^v] = 0.(27.7)

Алгебра (27.7) изоморфна алгебре Л8 (22.6). Этот изоморфизм устанавливается следующими соотношениями:

，ab С i%bcQc，，0а С 及3十4, So С ®7, £[ ° iQs*

Над полем вещественных чисел все элементы алгебры Л8, задаваемые формулами (27.6), линейно независимы. Чтобы убедиться в зтом> достаточно подвергнуть операторы (27.6) преобразованию

£尸 f Eg = VS^V^1 =£ [%, %],

(27.8)

Eo f £； = УЕоУТ = /, % — W； = У£ут = 丫4,

где

V = exp — £- (1 —汕)М =1 —备 О —电)M・ Q7・9)

Теорема доказана.

Итак, мы убедились в наличии дополнительной симметрии уравнения Дирака, описываемой теоремой 9. Генераторы (27.4) соответствуют нелокальной (негеометрической) симметрии уравнения (27.1), так как не принадлежат классу дифференциальных операторов первого порядка вида (8.1) (если использовать обозначения Овсянникова [43], то генераторы (27.4) можно классифицировать как дифференциальные операторы второго порядка, включающие производные

丿.

Отметим, что формулы (27.4) не задают базис алгебры Ли над полем комплексных чисел, поскольку

(% — ％儿九)У = Q, + ®)中=0・(27.10)

Здесь 4r — произвольное решение уравнения (27.1). Заметим также, что с помощью оператора (27.9) уравнение Дирака (27.1) может быть приведено к диагональной форме, поскольку

% 丿％LY=Yo，Yo(YJ“ — m) V = -y (1 + iy&) m + g (1 —咕)~-, а матрица 丫好 не умаляя общности, может быть выбрана диагональной.

Из доказанной теоремы следует, что уравнение Дирака инвариантно относительно восьмипараметрической группы преобразований

屮—(cos 0оЬ — %Ть sin 0ob) 4r + 曰 sin 0ab (1 — iyj X

Х(%^-?Т)，(27」D

屮 f (ch 0Oa - %% sh 吼)Y + 4-sh 0Oa (1 一 飙)x

X 卜登一?。黑)，(27.12)

屮一(ch» +淋 sh“)屮+(27.13)

4r f exp (汾 °)叫(27.14)

где %, 00, 0! — произвольные вещественные параметры. Преобразования (27.11) — (27.14) унитарны в индефинитной метрике

(匕，中2)=『户%里?0艺.(27.15)

Итак, уравнение Дирака, помимо инвариантности относительно группы Пуанкаре, имеет дополнительную симметрию относительно

преобразований (27.11)—(27.14). Эти преобразования образуют группу, локально изоморфную группе GL (2) ® GL (2).

Принципиальное отличие преобразований (27.11)—(27.14) от преобразований Лоренца для биспинора 4f состоит в том, что функция зависит не только от 4r (и параметров преобразования), но также от производных д^дху,.

Возникает вопрос, нельзя ли объединить группу симметрии уравнения Дирака, задаваемую преобразованиями (27.11)—(27.14), и группу Пуанкаре? Оказывается, такое объединение возможно, поскольку операторы (27.2) и (27.4) образуют 18-мерную алгебру Ли.

Теорема 10. Уравнение Дирака (27.J) инвариантно относительно 18-мерной алгебры Ли, базисные элементы которой задаются формулами (27.2), (27.4), (27.6). Эти операторы удовлетворяют коммутационным соотношениям (8.10), (27.7) и соотношениям

[Рц, Wjxv] — [Рц, ^а]==【Ец/v, 2а] = 0,

(27.16)['з Ал】=i (s^vo + gv/g —纟师斗九一gv&4(j)・

Доказательство теоремы сводится к проверке справедливости соотношений (27.16). Эту проверку несложно осуществить, используя соотношения (3.9).

На основании доказанного выше заключаем, что уравнение Дирака инвариантно относительно 18-параметрической группы преобразований вида (17). Эта группа изоморфна группе Р (1, 3) ® ® GL (2, R) ® GL (2, R) и включает неоднородные преобразования Лоренца для биспинора Т, а также преобразования, явный вид которых приведен в формулах (27.11)—(27.14).

§ 28. АИ уравнения Диракав классе интегро-дифференциальных операторов

Покажем теперь, что в классе нелокальных (интегро-дифференциальных) преобразований симметрия уравнения Дирака шире описываемой теоремой 10. А именно, справедливо следующее утверждение.

Теорема 11. Уравнение Дирака (27.1) инвариантно относительно алгебры Л8, заданной над полем комплексных чисел. Базисные элементы этой АИ принадлежат классу интегро-дифференциальных операторов и задаются формулами

Mv = ； К，汽]+ 匕(Y必—％%)(1 —淋 4")，

(28.1)

2о = Л芯=亲

где

1

" = 7Лр。+%m,七=，+ m2)2，(28.2)

Вместо доказательства приведем вид оператора, диагонализующего уравнение (27.1) и одновременно преобразующего операторы (28.1) к представлению, в котором они не зависят от「卩：

V = ехр (i ¥ arth -|) exp (毕arctg 普).(28.3)

С помощью оператора (28.3) получаем

*Ь=应犷- =i %也，热=иеут = %,

8；=曰l=/,爲=症。旷7 = g 以％,(28.4)

/l=讨一浴

(L — оператор Дирака (27.1)). В представлении (28.4) утверждения теоремы очевидны.

Операторы (28.4) в отличие от (27.4), (27.6) задают базис алгебры Ли над полем комплексных чисел. Поэтому из теоремы 11 вытекает инвариантность уравнения (27.1) относительно 16-параметрической группы Ли, включающей преобразования вида'

Tz = ехр (瓦vk)屮，屮"=exp (成％),(28.5)

где Ogv 8；v + 沔％, йа = 0a + »貶，a = 1, 2, a 0^v 9；v,阻，6贤— вещественные параметры. Подставляя (28.1) в (28.5) и принимая во внимание тот факт, что квадрат любого из операторов (28.1) совпадает с единичным оператором, приводим преобразования (28.5) к виду

屮 f 屮‘ =(cos 賜 一 ％也 sin 賜)У + £』(1 + ie?4) X е

Xsin%伍崙i舞)，

屮 f 屮'=(Ch 帆-YoYa sh 0оЬ)▼+££_(【+ i叫)sh e06 X e

Х(Ь<-76<),怨 6)

屮f 屮〃 =ch 0Д + 28sh仇W, 屮 f q” = exp(ieo)y：

Здесь У = g (1 — 8 -^-^ 叫 e = ± 1,氏v, 0a — комплексные параметры. Преобразования (28.6) образуют группу, локально изоморфную группе GL (2, С) ® GL (2, С).

Операторы (28.1) в отличие от (27・6) не образуют замкнутую алгебру совместно с генераторами группы Пуанкаре (27.2). Однако генераторы (27.2) на множестве решений уравнений (27.1) могут быть представлены также в виде [57]

Pq = H = ТоТаРа + Yom， & = 4 = —，

Jab XaPb ХьРа + *^ab>

(28.7)

Операторы (28.1) и (28.7) удовлетворяют коммутационным соотношениям (8.10), (27.7), (27.16) и, следовательно, задают базис алгебры Р (1, 3) © GL (2, С)㊉ GL (2, С).

Таким образом, симметрия уравнения Дирака в классе интегро- дифференциальных операторов определяется алгеброй Р (1, 3)㊉ ㊉ GL (2, С) ф GL (2, С), которая шире АИ этого уравнения в классе диффер ен ци а л ьны х операторов и включает ее как подалгебру.

§ 29. Симметрия восьмикомпонентногоуравнения Дирака

Рассмотрим восьмикомпонентное уравнение Дирака

Z& = 0,Z =『或卩—m.(29.1)

Здесь F卩(卩=0, 1, 2, 3) — матрицы размерности 8X8, удовлетворяющие совместно с Г4, Г5, Г6 алгебре Клиффорда (3.9).

Выбирая Гц и Y в виде

где 丫卩一 четырехрядные матрицы Дирака, 4f — четырехкомпонентная волновая функция, получаем из (29.1) систему уравнений, совпадающую с уравнением Дирака (27.1) и уравнением, сопряженным (27.1). В общем случае, когда Гц — произвольные матрицы размерности 8X8, удовлетворяющие алгебре Клиффорда, уравнение (29.1) допускает различные интерпретации, в том числе как уравнение движения частиц со спином 1 [36, 68] и 3/2 [132].

Благодаря увеличению числа компонент волновой функции уравнение (29.1) имеет более высокую симметрию, чем уравнение Дирака (27.1). Помимо почти очевидной инвариантности относительно группы Пуанкаре (генераторы которой задаются формулами (27.2), где S^ = =~ [Гц, rv]), уравнение (29.1) имеет скрытую негеометрическую симметрию, описываемую следующей теоремой.

Теорема 12 [1151. Восьмикомпонентное уравнение Дирака (29.1) инвариантно относительно 16-параметрической алгебры Ли, заданной

над полем комплексных чисел. Базисные элементы этой алгебры принадлежат классу дифференциальных операторов и задаются формулами

^mn =-§" [Fg ^п]+ ；(1 —^Гб) (Гтрп — Гпрт),

(29.3) £。— /,/^,九—О, 1, 2,..., 5.

Доказательство аналогично доказательству теоремы 11. Заметим, что по определению рз+л W=— i^—^ = 0, поэтому часть генера- 办з+。

торов (29.3) ( у которых /и и п > 3) на множестве функций 4f (/, х) сводится к числовым матрицам.

Генераторы 2叩 удовлетворяют коммутационным соотношениям

1^тип»，/n'/J2/ {Stnn^nfnf + grun2mп'g/nmN/W ^nn^mm^

【％ %M = 0・(29.4)

Алгебра (29.4) изоморфна алгебре О (1, 5)㊉ 7\ 〜GL (4, С), где 7\ — одномерная подалгебра, реализуемая единичной матрицей.

Операторы (29.3) образуют замкнутую алгебру совместно с генераторами группы Пуанкаре, поскольку выполняются соотношения

【Р山 ^mnl = °,【Aiv, ^т,п/] = 0,

[&, £卅川=i (gjx户mw — gvAi,)‘(29.5)

卩…％] = i ©р% + g/щ)— g£vp — %%)'

где m, n == 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, mz, 〃' >3, p,, v, p, X ^ 3. Отсюда следует, в частности, что уравнение (29.1) инвариантно относительно 26- мерной группы преобразований, включающей неоднородную группу Лоренца и преобразования вида

^^f= (cos 恥 一 rftrz sin 阻)审 + $ (1 —心)X

X (l\ IJ- — R，: ) sin 恥,比/* 0,(29.6)

$ -击=(ch 0oft - Г0Г, sh 0ofe) W + £ (1 — 叫)X

X(ro4-rft<)sheoftI

&—@〃 = exp (Ю0)Т,

где 0feh 0O, 0ofe — произвольные параметры. В случае 比/ > 3 формулы (29.6) задают матричные преобразования функции XF (/, х).

В полной аналогии с изложенным в предыдущем параграфе можно показать, что уравнение (29.1) инвариантно относительно 42-мерной

94

алгебры Ли, изоморфной Р (1, 3)㊉ GL (4, С)㊉ GL (4, С). Базисные элементы этой алгебры принадлежат классу интегро-дифференциальных операторов и задаются формулами (28.7), где

Н = Г0Гара + Гот, S.b =等[几，FJ я формулами

^ki=子 П\,耳】+ W (^kPi—】iPh) (1 + 皮6 与卜

(29.7)

4 = /, 21=^, £з+左 3+2=%1 与，fe, Z = 0, 1, 2, 3.

§ 30. Симметрия уравнения Диракадля безмассовой частицы

Рассмотрим уравнение Дирака (27.1) в особом случае, когда параметр т (характеризующий массу частицы) равен нулю.

Известно, что уравнение Дирака при m = 0 инвариантно относительно 16-мерной конформной алгебры. Покажем, что симметрия этого уравнения выше, а именно, если расширить класс операторов, которому принадлежат базисные элементы АИ, включив в него интегро- дифференциальные операторы, то можно доказать следующее утверждение.

Теорема 13 [119]. Уравнение Дирака (27./) 6 случае т = 0 инвариантно относительно 23-мерной алгебры Ли, изоморфной алгебре С (1，3)㊉ #8・ Базисные элементы этой АИ принадлежат классу интегро-дифференциальных операторов и задаются формулами

Po = Po=i糸， Pa = Pa = — i仓，

，ab == ХаРь ХьРа + ^ab>

诅.人1 人

，0a = %% — XqPq H gp"。— ^?4)УаУьРь H 2~ ^Oa，

D = x^ + i9(30 1)

凡=(—%M” + JabSabP~~2 + 厂?) Ax + 2 [%1A + (1 —5卩0)(1 —%) S卩匕尸bJ 厶 z\人人h

4a = 丫4 Sa + YoSabPb), & =力"^ >

=力 丁 8a&c^0c>£()= A

где Н = YoYfa，Р = {Р\+ Р^+ 居Р", За =勺.

Приведем схему доказательства. С помощью преобразования

Q幺 f Q7 = I^Q評т, L^Lf = WLW~lt 屮 + 屮=取出，

где Qa ——произвольный генератор из множества, заданного формулами (30.1),

呼=旷 1 = 4" [! + То + С1 — То)^ab^abP^

(30⑵

l=力工 YoYa%

приводим уравнение (27.1) (при т = 0) и операторы (30.1) к виду

LY = 0,厶‘ =i ^iyS，

(30.3)

Рц = Pg Jab = Jab， ^0а — ^qPа — хаРо 4" ^0а>

Df = D, Лц = 2x^D —XvXVP|j,,八人(30.4)

2jxv = 2sцд, = ~ [丫卩，Y J £o = /, Si — 丫4・

Операторы (30.4) удовлетворяют коммутационным соотношениям (8.10), (8.11), (27.7), (27.16) и следующим условиям:

[2^V> О'] ^^ ['(LTV, Kv] = 0,

0, Ко] = 2i 阮 + (хаРа - 0 咕厂1] С,(30.5)

[e,尸u]=[L',Aiv]=[L'，^ptv] = 1L1 2a] = 0,

[С, Ka] = 2i (% + 血%0丫4)С

[厶‘，01 = iL\ [L'，/oa] = y^paLf.

Отсюда заключаем, что операторы (30.1) образуют АИ уравнения (27.1) с /и = 0, изоморфную С (1, 3)㊉ Л8.

Таким образом, уравнение Дирака для безмассовой частицы инвариантно относительно 23-мерной алгебры Ли, включающей подалгебры С (1, 3) и Л8. Такую же симметрию, как показано выше, имеют уравнения Максвелла (1.1), (1.2). Можно показать (например, используя метод, предложенный в [681), что указанную симметрию имеют все релятивистские уравнения для безмассовых полей, инвариантные относительно преобразований Р, Т и С.

Заметим, что согласно теореме 9 уравнение (27.1) при tn = 0 инвар иантно также относительно шестимерной абелевой алгебры, баз исные элементы которой £卩旷=—工”卩 являются дифференциальными операторами и задаются формулами (27.4), где m = 0. В связи с этим можно поставить вопрос о максимальной АИ уравнения Дирака для безмассовой частицы в классе диффер енци а л ьных операторов. Действительно, из симметрии этого уравнения относительно конформной алгебры (8.2), (27.3) и алгебры (27.4) (где m = 0) следует, что коммутаторы операторов (8.2), (27.3) и (27.4) также принадлежат АИ урав-

нения (27.1) с m = О. Но в отличие от случая, рассмотренного в теореме 10, эти коммутаторы не сводятся к линейным комбинациям операторов (8.2), (27.2), (27.4). Действительно, прямым вычислением получаем

[Wjxv, Р%] = 0, [S^,v> D] = i£|rv,

[4v，“/ = i (g^a况 + gy/tm — s^vo — gvEg)， (3。・6)

风,\J = 2i 综入,e + gu© — g$J где

4 = } (1 -以)(%里/^叫。-2Y卩)，

(30.7)

Сц = 4(1 — 淋)纨炉乙—Y必р — %)・

Операторы Вц и Сц, очевидно, также принадлежат АИ уравнения (27.1). Можно показать, что вычисление коммутаторов операторов (30.7) с Кц, приводит нас к новым элементам АИ, которые также будут включать операторы дифференцирования не выше первого порядка (но с матричными коэффициентами ), и что этот процесс можно продолжать до бесконечности. Следовательно, уравнение (27.1) при m = 0 имеет бесконечномерную АИ в классе дифференциальных операторов.

В заключение этого параграфа обсудим коротко свойства симметрии простейшего уравнения для безмассового поля ——уравнения Вейля

/ -^~Ф — а-р(р.(30.8)

Здесь 屮 —— двухкомпонентная вектор-функция, оа — матрицы Паули (2.2). Известно, что уравнение (30.8) инвариантно относительно конформной алгебры (8.2), (8.3), где С'炉 = 子 G屮 avL % = 1.Используя представление уравнения (30.8) в виде (27.1) (с /п=0 и мнимыми матрицами 丫卩)，можно показать, что уравнение Вейля, как и уравнение Максвелла, инвариантно относительно алгебры Л8, базисные элементы которой принадлежат классу интегро-дифференциальных (причем как линейных, так и антилинейных) операторов.

§ 31. Симметрия уравненияКеммера — Дэффина — Петье

Уравнение КДП для массивной частицы со спином s = 1 имеет вид

(6产一向 W(%) = 0,(31.1)

где 4r — десятикомпонентная функция, ри — матрицы размерности Юх 10, реализующие неприводимое представление алгебры (4.2). Одна из возможных реализаций таких матриц задается формулами (4.3).

Известно, что уравнение (31.1), (4.2) инвариантно относительно группы Пуанкаре. Генераторы этой группы на множестве решений уравнения (31.1), (4.2) имеют вид, определяемый соотношениями (27.2), где *S^v = (PuPv —餌6战)・

Оказывается, что уравнение КДП имеет также скрытую (негеометрическую) симметрию, причем более широкую, чем уравнение Дирака (27.1).

Теорема 14. Уравнение КДП (31.1) инвариантно относительно 18-мерной алгебры Ли, заданной над полем вещественных чисел. Базисные элементы этой алгебры принадлежат классу дифференциальных операторов и задаются формулами

~1

Kb = С£ь， Mb = "2~(Соа& + CbCQa)9

(31.2)

М = /,九1 = -j- COaCa,

где

Ca == 2 %bcCbc，

^HV = S” + -~" (%% — %" J

S" = i叽,M %=S4以+凡ЗS4产力生，

⑶.3)

S5H = i 的5,帆 §5 = ｝弘рДДВрбь

Доказательство. Используя тот факт, что матрицы §战, 05 удовлетворяют алгебре КДП (4.2), а матрицы S^,財 I = =0, 1, 2, 3, 4, 5,— алгебре О (1, 5), получаем следующие соотношения:

【％，&］=几&，几=5(厶 + 2加)(生& -協 J (31.4)

На основании (31.4) заключаем, что операторы。战” (а следовательно, и ХаЬ,入。^ (31.2)) удовлетворяют условию инвариантности уравнения (31.1)

Операторы (31.2) удовлетворяют коммутационным соотношениям

［^аЬ> 九cd】=—［統6，入cd】=ifZbcd入if,

(31.5)(31.5)【Kb,入cd】=讨a厶cd%/,

(31.5)

(31.5)

［入1,九2】=仇а,九cd】=［入а,九cd】=О,

где 〃，b = l,2, 3, а = 1,2, f^bcd — структурные константы группы SU (3) в базисе Окубо.

Соотношения (31.5) можно проверить непосредственно с помощыо предварительного преобразования ХаЬ 丫入如厂)ХаЬ 丫入加厂* 「耳包‘ V = exp (± 〃必出)，при этом С” т С” = VC^vV1 ="生，Pv ]. Т еорема доказана.

Итак, помимо симметрии относительно алгебры Р (1, 3), уравнение КДП (31.1) инвариантно также относительно 18-мерной алгебры Ли, базисные элементы которой заданы формулами (31.2). Отсюда следует, что уравнение КДП инвариантно относительно преобразований вида

屮f р = ехр (向Qj), Q/U{%ab, £加入а}(31.6)

(0/— вещественные параметры). Согласно (31.5) преобразования (31.6) образуют 18-параметрическую группу Ли, локально изоморфную GL (3, С)〜U (3, С).

Операторы (31.5) образуют совместно с генераторами группы Пуанкаре замкнутую 28-мерную алгебру Ли .Это следует из соотношений

仍出，с%。] = о,

(31.7) ^|XV, С入cJ，(gpXjCvA + g、KlJLG gp^Gcjд”о°н J

Используя (31.7), нетрудно вычислить в явном виде коммутаторы операторов 尸山 J^ и Ха&,統加机(31.2):

(Л» 入be] = — 1Ла» 入be] = i(£ab”dc + %cd入匕口)，

К，入be】[‘Oa，入be】^* (.^abd^dc + %cd入bd)，

(31.8)

W切Mb】=【P山入ab】=【°山入a] — [ Jjw, M] = 0,

，a 1 2 ^abc^bc*

Соотношения (8.10), (31.5), (31.8) определяют 28-мерную алгебру Ли, включающую подалгебру Р (1, 3). Отсюда следует, что уравнение КДП инвариантно относительно 28-параметрической группы Ли, включающей неоднородные преобразования Лоренца и преобразования (31.6). Преобразования (31.6) легко могут быть найдены в явном виде, поскольку соответствующие экспоненты сводятся к полиномам

ОТ (Q/»)\ Qf и {入ab，Kb,入a},几=0, 1,2：

exp (iQfif)=exp (iQfif)=1 + (cos 0y — 1) Q； + i sin 9/Q/, Q『и {%,九 J⑶ 9)

exp (iQfif)=

exp (iQfif)=

1 + (ch 9y — 1) Q, + i sh 0/Q/, Q『и {入。加 ％}・

Нетрудно убедиться, что общее преобразование функции 屮(х), включающее преобразования Лоренца и преобразования (31.6), имеет вид

屮⑴ f /У (%) + ВУ (%') + Си + Duv+

戶 W(x)Fa44r (х)

十дх^дхк十%以”班酒% ，

где Л, В, Сц, Z)卩V, Eg, F^vpa — числовые матрицы.

§ 82. Негеометрическая симметрияуравнений Диракаи КДП для частиц,взаимодействующих с внешним полем

До сих пор мы рассматривали свойства симметрии уравнений Дирака и КДП для невзаимодействующих частиц. Можно показать, что если в эти уравнения ввести минимальное взаимодействие с внешним электромагнитным полем (что эквивалентно замене「卩-> 几卩二 =/7ц — е Лц, где Лц — вектор-потенциал электромагнитного поля), то это в общем случае приведет к сужению негеометр ической симметрии рассматриваемых уравнений. Однако для некоторых классов внешних полей такая симметрия сохраняется. Кроме того, негеометрическую симметрию имеют уравнения, описывающие аномальное взаимодействие типа Паули.

Сформулируем основные результаты, полученные в работах [34, 117], относительно симметрии уравнений движения для частиц, взаимодействующих с внешним полем. Приведенные ниже теоремы доказаны в [34, 117] с помощью алгоритма, кратко описанного во введении, но в их справедливости можно убедиться также непосредственной проверкой.

Теорема 15 [117]. Уравнение Дирака с взаимодействием типа Паули

厶屮=О, L = к泄+ 4^- (1 — ^4)九％尸炉+加， (32・1) где

% =叫，尸炉=一 ‘%，%]，(32・2)

Дц — вектор-потенциал электромагнитного поля, инвариантно относительно алгебры Л8. Базисные элементы этой алгебры на множестве решений уравнений (32./) могут быть выбраны в виде

4V = V【3 YJ + 4"(1 —汕)仇％ — %%)，

(32.3)

4 = /, & =也—$(1 — M)Y J也

Таким образом, уравнение (32.1) имеет такую же негеометрическую АИ, как и уравнение Дирака для невзаимодействующей частицы

Операторы (32.3) могут быть получены из (27.4), (27.6) с помощью замены рц лц. Операторы (32.3) удовлетворяют коммутационным соотношениям (27.7) и условиям инвариантности

[儿V, 〃 =吃仇% 一 Y屮卩)й

(32.4)

[£o, L]=。，因，L] =~ ?5?卩Л"厶

где L — оператор (32.1). Более подробно об уравнении (32.1) см. в [68].

Рассмотрим уравнение Дирака для заряженной частицы, минимально взаимодействующей с однородным магнитным полем.

Теорема 16. Уравнение Дирака для частицы в однородном магнитном поле

%4f = НУ, Н = у%% + тот,(32.5)

где

% = А), % = Рз，% = Pi04 a1, %2)，冗2 n % — «4 (匕，尤2)，

y _ ； Y3丫0%% Ty _ ； Y3丫0%% T‘Y4 (y3加 + 03)‘Y4 (y3加 + 03)1 (忌+硝21 (忌+硝2инвариантно относительно алгебры Л8. Базисные элементы этой АИ задаются следующими интегро-дифференциальными операторами'.

y _ ； Y3丫0%% T

y _ ； Y3丫0%% T

‘Y4 (y3加 + 03)

‘Y4 (y3加 + 03)

1 (忌+硝2

1 (忌+硝2

(32.6)

^32 = ^12^31» W()a =力 21Hl %儿士兀，4 = /，Z f J •

Доказательство теоремы (в справедливости которой можно также убедиться непосредственной проверкой) приведено в [117]. Отметим, что аналогичный результат справедлив и для уравнения Дирака, описывающего движение частицы в постоянном электрическом поле.

Обратимся теперь к обобщенному уравнению КДП, описывающему движение частицы со спином 1, зарядом е и аномальным магнитным моментом q в постоянном однородном магнитном поле Н. Это уравнение имеет вид

(生d _m 一 ＞箒 Sg严)У = 0,(32.7)

где & = Ро，冗,=〃 —еНх» 电=% % = Рз，$尸尸"==2S^2H. Свойства симметрии уравнения (32.7) устанавливает следующая теорема.

Теорема 17. Уравнение (32.7) инвариантно относительно шестимерной абелевой алгебры. В случае д=1 уравнение (32.7) инвариантно относительно десятимерной алгебры Ли, включающей подалгебру SU (2)㊉ SU (2).

Подробное доказательство теоремы (которое мы здесь опускаем из-за его громоздкости) приведено в [34].

Глава 7

ИНТЕГРАЛЫ ДВИЖЕНИЯ

Хорошо известно, что из симметрии уравнений Максвелла относительно группы Пуанкаре следует существование некоторых интегральных комбинаций из векторов напряженности электрического и магнитного полей, которые сохраняются во времени. Речь идет о классических законах сохранения энергии, импульса, углового момента и центра энергии электромагнитного поля. Существование сохраняющихся величин (или интегралов движения) является важнейшим следствием инвариантности уравнения движения относительно некоторой алгебры операторов (в рассматриваемом примере алгебры инфинитезимальных операторов группы Пуанкаре).

В настоящей главе наряду с классическими законами сохранения рассмотрим также новые сохраняющиеся величины, существование которых обусловлено негеометрической симметрией уравнений Максвелла и Дирака. В традиционном подходе для отыскания интегралов движения исходят из лагранжиана той или иной физической системы, а затем с помощью теоремы Нетер находят сохраняющиеся величины. Ограниченность такого подхода очевидна ——не всякое уравнение допускает лагранжеву формулировку и, кроме того, теорема Нетер не дает возможности найти все интегралы движения даже для тех уравнений, которые могут быть получены из вариационного принципа. Поэтому мы используем другой метод получения сохраняющихся величин, который заключается в непосредственном вычислении билинейных комбинаций решений уравнений движения, сохраняющихся во времени в силу симметрии этих уравнений.

Сохраняющиеся во времени билинейные формы

Прежде чем приступить к анализу законов сохранения для электромагнитного и электронно-позитронного поля, обсудим коротко связь между симметрией дифференциального уравнения относительно некоторой АИ и существованием интегралов движения.

Рассмотрим произвольное уравнение эволюции вида

i> = H(p)B,(33.1)

где Н (р)——некоторый диффер енци а л ьный оператор с матричными коэффициентами; 4f = 屮(/, х)——вещественная вектор-функция,

屮(/,х)=столбец (%, Т2,更 J % и 厶(К#.(33⑵

Каждому решению уравнения (33.1) сопоставим билинейную комбинацию вида

/ = jd3% 屮‘QB.(33.3)

Здесь Т*т — функция, транспонированная к (33.2) (матрица-строка); Q — некоторый линейный оператор, заданный на множестве, плотном в пространстве вектор-функций (33.1). Билинейная комбинация (33.3) сохраняется во времени (т. е. ^~ / = 0), если оператор Q удовлетворяет условиям

J Нт (р)] Q + Q [—» ^" (— Р)] = 0,(33.4)

где "т(р) —— оператор, получаемый из Н (р) с помощью транспонирования всех входящих в него матриц. Если же 4f из (33.1)— комплексная вектор-функция, то каждому решению уравнения (33.1) можно сопоставить билинейную комбинацию

Г = J б?%展Q3(33.5)

(Q' — линейный (или антилинейный, т. е. включающий операцию комплексного сопряжения) оператор). Условие сохранения (33.5) во времени принимает вид

У 4» — "f (р)] Qf-Q^±-H (р)] = 0.(33.6)

В случае, когда оператор "(р) удовлетворяет условиям

”р) = Н(р),(33.7)

соотношение (33.6) можно представить в виде

卩备―"(p),Q] = O・(33.8)

Но если выполняется (33.8), то оператор Q' по определению принадлежит алгебре инвариантности уравнения (33.1). Иными словами, в частном случае, когда Н (р) эрмитов, условие сохранения во времени билинейной формы (33.5) сводится к требованию, чтобы оператор Q' входил в АИ уравнения (33.1).

Аналогично получаем, что если оператор Н(р) удовлетворяет условию

НТ (р) = — Н (— р),(33.9)

то соотношения (33.4) сводятся к (33.8), где Q' f Q, т. е. если выполняется (33.9), то каждому базисному элементу АИ уравнения (33.1) можно поставить в соответствие сохраняющуюся величину (33.3). Отметим, что если гамильтониан Н (р) не удовлетворяет соотношению (33.7) или (33.9), то из инвариантности уравнения (33.1) относительно преобразования 出->Q出 не следует сохранение во времени

билинейной формы (33.3) или (33.5), и наоборот, из инвариантности этих билинейных форм относительно сдвига по времени не вытекает симметрия уравнения (33.1) относительно преобразований, порождаемых оператором Q.

Приведенные рассуждения имеют непосредственное отношение к законам сохранения для электромагнитного поля и поля Дирака. Действительно, эволюция электромагнитного поля во времени описывается уравнениями (1.1), которые могут быть представлены в виде (33.1) (см. (2.3)). Но гамильтониан (2.4) удовлетворяет условию (33.9), и, следовательно, каждый базисный элемент АИ уравнений Максвелла порождает сохраняющуюся величину вида (33.3). А из эрмитовости гамильтониана Дирака вытекает, что каждому базисному элементу Q АИ уравнения Дирака соответствует сохраняющаяся величина вида (33.5).

Ниже мы рассмотрим классические сохраняющиеся величины (энергию, импульсы и т.д.) и новые законы сохранения, соответствующие негеометрической симметрии уравнений Максвелла и Дирака.

Интегралы движениядля поля Дирака

Известно, что в силу симметрии уравнения Дирака относительно группы Пуанкаре сохраняются во времени такие фундаментальные величины, как энергия, импульс, угловой момент и центр энергии электронно-позитронного поля. Поскольку все эти классические интегралы движения описаны в монографиях (см., например [5]), мы не будем рассматривать их подробно. Отметим только, что к указанным выше сохраняющимся величинам мы приходим совершенно естественно, исходя из билинейной формы (33.5) и подставляя вместо Q' базисные элементы алгебры Пуанкаре (27.2).

Однако алгебра (27.2) не исчерпывает АИ уравнения Дирака. Как показано в предыдущей главе, это уравнение инвариантно относительно 18-мерной алгебры Ли, включающей алгебру Р (1, 3) как подалгебру. Поэтому естествен вопрос, какие новые сохраняющиеся величины можно поставить в соответствие базисным элементам негеометрической АИ уравнения Дирака, описанной в § 27.

Поскольку на множестве решений уравнения (27.1) выполняются соотношения (27.10), то достаточно рассмотреть только четыре базисных элемента алгебры (27.4), например, ^。匕 и So, а, b = 1, 2, 3. Подставив в (33.5) Q7 = 2а& или Q' = 20, где и 20 заданы в (27.4), (27.6), получим некоторые сохраняющиеся билинейные комбинации решений уравнения Дирака. Однако такие билинейные формы не будут вещественными (поскольку операторы (27.4) неэрмитовы), и поэтому трудно надеяться на то, что удастся найти для них разумную физическую интерпретацию.

Чтобы обойти эту трудность, рассмотрим наряду с (27.6) следующие операторы:

(34.1)(34.1)^ab = ^^ab> So = M^iQ = М,

(34.1)

(34.1)

где М—оператор, удовлетворяющий условию инвариантности уравнения Дирака

M = *("+2S・p), Я = YoYaPa + Yo^，5a= 48^cYbYc- ©4.2)

Операторы (34.1) также удовлетворяют условию инвариантности уравнения (27.1), но в отличие от (27.4) эрмитовы относительно скалярного произведения

匕) =，0%屮也.(34.3)

Можно показать, что оператор М (34.2) однозначно (с точностью до множителя, пропорционального единичной матрице) определяется требованием эрмитовости (34.1) относительно (34.3) и инвариантности уравнения (27.1) относительно совокупности операторов (34.1).

Подставив (34.2) в (34.1), получаем

& =彳 Sabc2bc = %Sa + -у (1 — iyj Pa，

(34.4)

с()=｝м=』(S・p + -yj.

Каждый из операторов (34.4) порождает сохраняющуюся во времени величину (33.5). Подставляя (34.4) в (33.5), получаем эти сохраняющиеся величины в виде

Л = j Мc^ = j ^% ｛可S評一亲 f (1 一添)蚩- 一粵(1一讷)屮]｝，(34-5)

/产；阵付胃一*y一2喂Sa卷+ 2粤SN)•

В отличие от вектора спина дираковского поля (который может быть получен в рамках лагранжева формализма [5] с помощью теоремы Нетер) интегральные комбинации (34.5) включают производные от биспинора и сохраняются во времени.

Таким образом, помимо классических интегралов движения, для электронно-позитронного поля существуют еще четыре сохраняющиеся величины, задаваемые формулами (34.5). Отметим, что операторы (34.4) можно представить в виде

e卩=8卩+扌儿，(34.6)

где 5Ц совпадают с компонентами ковариантного оператора спина Фрадкина—Гуда [101], Ра = ра, Ро = Я. Это дает основание интерпретировать (34.5) как квантовомеханические средние значения обобщенного ковариантного вектора спина.

Аналогично можно вычислить сохраняющиеся величины, соответствующие различным представлениям АИ уравнения Дирака, найденным в гл. 6. Отметим, что в форме (33.5) можно представить также те сохраняющиеся величины, которые соответствуют симметрии уравнения Дирака относительно дискретных преобразований Р, Т и С. Так, сохраняется во времени величина

/ = (У d3%TCB『 = i^x (У普一屮2%).

Здесь С — оператор зарядового сопряжения,

ey (%) =?2屮4%)，Y2=件0 /

S — матрица Паули (2.2), 4r工，Y2, % и 4r《一 компоненты биспинора, удовлетворяющего уравнению (27.1).

§ 35. Классические интегралы движенияэлектромагнитного поля

Известно, что в силу уравнений Максвелла (1.1), (1.2) сохраняются

во времени следующие величины:

+(35.1)

Р = J d3xE X Н,(35.2)

L = Jd3xxX(EXH),(35.3)

К = f d3%信х(Е2 + Н2)-/EXH],(35.4)

которые определяют энергию, импульс, угловой момент и центр энергии поля.

Существование классических интегралов движения, описываемых формулами (35.1)—(35.4), связано с симметрией уравнений Максвелла относительно группы Пуанкаре. Исходя из лагранжевой формулировки уравнений Максвелла и используя теорему Нетер, можно показать, что сохранение энергии (35.1) и импульса (35.2) непосредственно следует из инвариантности лагранжиана относительно сдвигов по временной и пространственным координатам, сохранение момента —следствие инвариантности °лагранжиана относительно трехмерных поворотов и, наконец, сохранение центра энергии вытекает из инвариантности относительно преобразований Лоренца.

По аналогии с уравнением Дирака можно было бы ожидать, что интегралы движения (35.1)—(35.4) могут быть представлены в виде (33.3) нлн (33.5), где {Q} — базисные элементы алгебры Пуанкаре. Однако, как показано в [123], подстановка в (33.5) 4f вида (2.8) и 力中 /冲 вида (8.2), (12.2) приводит к физически бессмысленным выражениям.

Покажем, что интегралы (35.1)—(35.4) все же можно представить как квантовомеханические средние значения базисных элементов алгеб-

ры Р (I,, 3) в соответствующим образом подобранном скалярном произведении. Такая интерпретация классических сохраняющихся величин (35.1)—(35.4) допускает очевидное обобщение на негеометр и чес кую АИ уравнение Максвелла, описываемую в гл. 5. Оказывается, что наиболее удобными для этой цели являются формулировки уравнений Максвелла в импульсном представлении, приведенные в § 6.

Будем исходить из уравнений (6.16), (6.17) для трехкомпонентной вектор-функции у. Указанные уравнения инвариантны относительно алгебры Р (1, 3), базисные элементы которой задаются формулами (12.6). Из этого следует, что величины (представляющие собой средние значения операторов (12.6) в скалярном произведении (12.7))

〈Q/ = j^/&P)Q#&P)，(35.5)

где {Q } = {尸卩,Jjxv}； X «， х)——функции, удовлетворяющие уравнениям (6.16), (6.17), сохраняются во времени. Действительно, в силу (6.16)

备 Q〉三一i j 坦券讶(乙 P)&，» ^"]%(/")•(35.6)

Но коммутатор под знаком интеграла равен нулю, поскольку операторы Li (6.16) и Рц, J^v, (12.6) удовлетворяют условию инвариантности (7.3), а поэтому 鳥〈Q』〉=0.

Таким образом, каждому базисному элементу АИ уравнений (6.16), (6.17) можно сопоставить интеграл движения (35.5), где Q/ — один из операторов (12.6). Покажем, что эти интегралы движения совпадают с (35.1)—(35.4), точнее говоря, выполняются соотношения

4 р3^ (Е2 + Н2) = J 普父侑 р)"%(/, р),(35.7)

j 0%Е X Н = J 賽/ (/, р) РХ (/, р),(35.8)

р3хх X (Е X Н)=『* / & р) J% & р),(35.9)

j *% [} х (Е2 + FT) — / (Е X Н)] = f * 父(/, Р) NX (/, р).(35.10)

Здесь Н, Р, J, N — базисные элементы алгебры Р (1, 3), явный вид которых задан формулами (12.6), (13.1); Е и Н — векторы напряженности электрического и магнитного полей, связанные с % (% р) соотношениями (6.18).

Докажем последовательно все соотношения (35.7)—(35.10). Для правой части (35.7), используя (6.16), (6.17), получаем

(35.11)(35.11)j罂犬 & Р)"%(f，p)= J 察廿侑 p)^ ё，P)==4 j ^ [E (f, — P) E 0, p)十 H 侑 一 p) H 0, p)] •

(35.11)

(35.11)

Выражая в (35.11) Е (/, р) и Н (/, р) через Е 亿 х) и Н (/, х), приходим к формуле

4 J d3" [Е (/, 一 р)・ Е (/, р)十 Н (/, — р)・ Н 俏 р)]=

=4•矗 J dWxdV[E(/,x).E (/, xz) + Н (/, х)・ Н (/, xz)J X

Хехр [ip.(x —х7)].(35.12)

Наконец, выполняя в (35.12) интегрирование по р с помощью соотношения

имеемимеемj (Рр ехр (— ip • х) = (2冗)3 6 (х),誌产 f d3p [Е (/, — р)・Е (f, р) + Н (/, — р)・ Н (/, р)]=

имеем

имеем

=~ 1 cPxd3xf [Е 0, х) • Е (/, xz) + Н (/, х) • Н (/, х)] б (х — х)=

(35.13)(35.13)=4 рЗх[Е2(/>х) + Н2(/>х)]>

(35.13)

(35.13)

и согласно (35.11), (35.13) равенство (35.7) действительно выполняется.

Для импульса Р находим аналогично

j 要％' © Р)Р% (厶 Р)= 4" j* Р(%* & Р)・％('，Р))=

=；J 粤仇(厶 Р)+ # (厶-Р)]义｛ Р X 吃*(% Р)- % (厶 一 Р)】｝・(35.14)

Для того чтобы убедиться в справедливости формулы (35.14), достаточно раскрыть двойное векторное произведение и воспользоваться тождествами

f d3pf d3pP【%*(/, P)・％*(/, — P)LP【%*(/, P)・％*(/, — P)L伙* (% P) •% 俏 P)] P = — j 穿 P [%* & — P)・％ 仏一P)l，

f d3p

f d3p

P【%*(/, P)・％*(/, — P)L

P【%*(/, P)・％*(/, — P)L

(35.15)

которые непосредственно следуют из определений (6.1), (6.11).

Подставляя в (35.14) соотношения (6.11) и совершая над Е (力 р) и Н (/, р) обратное преобразование Фурье, приходим к формуле (35.8).

Обратимся теперь к соотношению (35.10). Согласно определению (12.6), (13.1)

j 嗡户(% Р)N% & Р) = ^i + Л,(35.16)

гдегде厶=]窘『(/,Р)Р%(/,Р),

где

где

厶=-4 J 窘父('，Р)+ 德，+ 翠]% С，》(35」7)

(35.18)(35.18)Интеграл «Л задается доказанной выше формулой (35.8). Для преобразования % воспользуемся уравнением (6.16). Принимая во внимание эрмитовость гамильтониана Н (12.6), получаем

(35.18)

(35.18)

С помощью преобразования Фурье по аналогии с (35.11)—(35.13) интеграл (35.18) приводится к виду

(35.19)(35.19)/2 = —}jd3%x[E2(/, x) + H2(f, х)]

(35.19)

(35.19)

Наконец, подставляя (35.19), (35.17), (35.7) в (35.16), приходим к формуле (35.10).

Доказательство формулы (35.9) несколько громоздко и не содержит никаких принципиально новых элементов, поэтому мы его опускаем.

Таким образом, все классические интегралы движения для электромагнитного поля в вакууме могут быть представлены согласно (35.7)—(35.10) как средние значения базисных элементов алгебры Р (1, 3). Это дает основание интерпретировать % (/, р) (при соответствующей нормировке) как волновую функцию фотона в импульсном пространстве.

Рассмотрим также другие возможности представления сохраняющихся величин, описываемых формулами (35.1)—(35.4), как средних значений генераторов группы Пуанкаре. Используя формулировку уравнений Максвелла в форме (6.20), (6.21), можно показать [1231, что интегралы (35.1)—(35.4) равны

目=j 贵暇伶 Р)?"”(/，Р)，

口 = j 雀屮'«，Р)— Р出(厶 Р)，(35.20)

L = j罄喂(厶P)条J屮t, P)，

K=J穿喂«，P)子N屮&p), где 屮(/, p) — трехкомпонентная функция (фурье-образ функции W (/, х) (2.8)), Р, J и N — операторы (13.1), (8.2), (8.3), (12.2), реализующие представление алгебры Р (1, 3) на множестве решений уравнений (2.9), (2.10).

Формулы (35.20) выражают классические интегралы движения

35.4) через средние значения генераторов группы Пуанкаре в индефинитной метрике (17.1), (17.3). Следовательно, 4f (/, р) также может претендовать на роль волновой функции фотона в импульсном пространстве.

Обратимся теперь к формулировке уравнений Максвелла, задаваемой формулами (2.3), (2.5). Оказывается, что, используя шестикомпонентные функции (2.1), интегралы (35.1)—(35.4) можно представить в виде

昌=J雀中‘(厶p)"屮& p), 。=)賢屮'(/，p)*f р^&р)'

L= j雀 病仏 P)^J屮(/，P)，(35.21)

k=j爵屮‘(7邛)^^侑》

Здесь ф 亿 р) — фурье-образ функции ф (/, х) (2.1) (см. (6.4)), Н, Р, J и N—генераторы группы Пуанкаре (13.1), (8.2), (12.1). Доказательство соотношений (35.21) аналогично приведенному выше доказательству формул (35.7)—(35.10).

Итак, мы рассмотрели три возможности представления сохраняющихся величин (35.1)——(35.4) как квантовомеханических средних значений генераторов группы Пуанкаре. Заметим, что представления (35.7)—(35.10), (35.20), (35.21) неэквивалентны, поскольку первое из них задано в гильбертовом пространстве со скалярным произведением (12.7), а остальные — в пространствах с индефинитной метрикой. Кроме того, решения уравнений (6.16), (6.17): (6.5), (6.6) и (6.20), (6.21) (т. е. функции % (Л Р), У (Л р) и 屮(/, р) характеризуются различными свойствами относительно, дискретных преобразований Р, Т и С.

§ 36. Интегралы движения,связанные с негеометрической симметриейуравнений Максвелла

В квантовой механике широко используется тот факт, что каждому линейному оператору, не зависящему явно от времени и коммутирующему с гамильтонианом физической системы, можно поставить в соответствие интеграл движения — некоторую комбинацию волновых функций, сохраняющуюся во времени в силу уравнений движения.

В предыдущем параграфе показано, что классические интегралы движения для электромагнитного поля также могут быть представлены как средние значения (в квантовомеханическом смысле) базисных элементов алгебры Р (1, 3). Однако, как показано в гл. 5, уравнения Максвелла инвариантны также относительно алгебры 4, базисные

элементы которой задаются формулами (22.4). Возникает естественный вопрос, какие новые интегралы движения могут быть найдены при использовании такой скрытой (нелиевской) симметрии уравнений Максвелла? Ответ на этот вопрос и составляет содержание настоящего параграфа.

Поскольку операторы (22.4) коммутируют с 厶(6.3), то в силу уравнений (6.5) сохраняются во времени интегральные величины

Q〉= J 穿屮'信 р) MQ# 伉 *(36.1)

где ф (力 р) — произвольное решение системы (6.5), (6.6); М ——произвольный оператор, определенный на множестве решений уравнений (6.5), (6.6) и коммутирующий с 七工(6.3); Qa — операторы, задаваемые формулами (22.4).

Ограничимся рассмотрением сохраняющихся величин вида (36.1), соответствующих выбору

М =(36 ⑵

В этом случае формулы (36.1), (36.2) определяют средние значения операторов (22.4) в метрике, в которой заданы средние значения генераторов группы Пуанкаре (ср. (35.21), (35.1)—(35.4)).

Вычислим последовательно средние значения всех базисных элементов алгебры 4，определенных в (22.4). Для того чтобы получить в итоге вещественные величины, умножим Q幺(22.4) на i и обозначим

i Qa = Qa・ Подставляя в (36.1) оператор М в форме (36.2) и выбирая

А = 2, Qa == Q = —%, получаем

<Q2)=-『窘 d伉 p)子。2屮 & P) = J裁 6 侑 P)s-PT伉 P). (36.3)

Подставляя в (36.3) явный вид матриц Sa (2.2) и выражение (6.4) для функции 屮(/, р), имеем

依〉=力 J 窈 Р・ С & р) X Е & р) + Н* (/, р)ХН (玄 р)].(36.4)

Если потребовать, чтобы Е и Н удовлетворяли условию вещественности, то согласно (36.4), (6.4), (6.7)

〈°2〉= i J欝Р• К(/,-р)ХЕ(/,р) + Н(/,-р)ХН& р)]. (36.5) Таким образом, из инвариантности уравнений Максвелла относительно преобразований Хевисайда—Лармора—Райнича следует сохранение во времени интеграла (36.5).

Найдем теперь среднее значение оператора Q3 (22.4). Подставляя в (36.2) М из (36.2) и полагая Л = 3, с учетом (22.7) получаем

〈Оз〉= j 普 屮‘(％ P)。3。呻(％ P)・(36.6)

Используя явный вид матрицыОп задаваемый формулами (22.8), (22.9), и принимая во внимание соотношения (6.3) и уравнения (6.4)——(6.6),

имеем

屮'华p）= a屮& P）=专屮'华p）= a屮& P）=专必"з(Рз方з —必方2)АРз(РЛ —Рз^з)必"з(Рз方з —必方2)АРз(РЛ —Рз^з)。歩2(4力2 — Pl^l) f.• +т一"2"3 (p3e3 必e2)。歩2(4力2 — Pl^l) f.• +т一"2"3 (p3e3 必e2)自旦旦,(36.7) Н,自旦旦,(36.7) Н,

屮'华p）= a屮& P）=专

屮'华p）= a屮& P）=专

必"з(Рз方з —必方2)АРз(РЛ —Рз^з)

必"з(Рз方з —必方2)АРз(РЛ —Рз^з)

。歩2(4力2 — Pl^l) f

.• +т

一"2"3 (p3e3 必e2)

。歩2(4力2 — Pl^l) f

.• +т

一"2"3 (p3e3 必e2)

自

旦

旦

,(36.7) Н,

自

旦

旦

,(36.7) Н,

-Р1pз (Pl^l -03e3)-Р1pз (Pl^l -03e3)—AP2 (^2—А^1)|—AP2 (^2—А^1)|

-Р1pз (Pl^l -03e3)

-Р1pз (Pl^l -03e3)

—AP2 (^2—А^1)|

—AP2 (^2—А^1)|

где б и f —• функции, заданные в (22.5), (22.10), Ha = 3Ha!8t, ^а = OEJdt. Подставляя в (36.7) выражение (6.4) для q/(% р), а также явный вид матрицы % (2.1) и функции 口(％ р) (36.7) и используя уравнения (6.2), находим

(36.8)(36.8)〈3 =-，晋｛〃Н* (/, р).Н(/, р) - Е* (/, р)・Е (/, р)] ++ 2^百伉p)必俏P)-史(乙p)В他，叫•

(36.8)

(36.8)

Если теперь наложить на Е (f, р), Н (/, р) условия (6.7), (6.4), то интеграл (36.8) принимает вид

〈°3〉=『罂｛/IE (/, Р)・Е 优,一р) - Н(/, р)・Н& — р)] +

+ ?儲【一方аС，Р）兑色-Р）+瓦色 Р）А（/，-Р）］｝・（36・9）

Аналогично получаем

〈3 = j 鲁 »Е (/,- р)・Н (f, р) + £ 欢瓦(/, -р) На (/, Р)], (36.10)

〈08〉= j 嚼[Е 优,一р)・Е (/, р) + н (/, — р)・Н (/, р)], (36.11)

(Q4)=(Q5)=(Сб)=〈а〉~ о.(зб.⑵

Соотношения (36.10) — (36.12) справедливы только для векторов Е(/, р) и Н ｛/, р), удовлетворяющих условию (6.7), (6.4). В случае комплексных Е и Н интегралы (36.12) не равны нулю, но задают некоторые сохраняющиеся величины, явный вид которых здесь не приводим.

Формулы (36.5), (36.9)—(36.11) определяют комбинации фурье- образов компонент векторов напряженности электрического и магнитного полей, сохраняющиеся во времени в силу уравнений Максвелла. Независимость интегралов (36.5), (36.9)—(36.11) от времени может быть проверена непосредственно с помощью дифференцирования по /. Используя (6.3), (6.5), получаем

备 Q〉=o, В = 1,2, 3, 8.备 Q〉=o, В = 1,2, 3, 8.(36.13)(36.13)

备 Q〉=o, В = 1,2, 3, 8.

备 Q〉=o, В = 1,2, 3, 8.

(36.13)

(36.13)

Ь,сфа@2" *н дЁ дЕ 。方 дН \Ь,сфа@2" *н дЁ дЕ 。方 дН \(36.17)(36.17)

Ь,сфа

@2" *н дЁ дЕ 。方 дН \

Ь,сфа

@2" *н дЁ дЕ 。方 дН \

(36.17)

(36.17)

С помощью преобразования Фурье сохраняющиеся величины (36.5), (36.9)—(36.11) могут быть выражены также через векторы напряженности электрического и магнитного полей Е (/, х) и Н (玄 х).Так, для

(Qi) имеем

〈&〉=击 Jd3%d3/d3/7(M)-[fE (/,x).H(/,xz) +

+ 2 网瓦 & x) Ha (/, х)} exp [ф 便 一 X)].(36.14)

В отличие от классических интегралов движения (35.1)—(35.4) величина, задаваемая формулой (36.14), зависит не только от напряженности электромагнитного поля, но, грубо говоря, также от бесконечно-

兆 ан а2Е а2нго числа производных к，к，ЭТТ ' ЭТТ •аа а о а Ь

Исходя из АИ уравнений Максвелла, найденной в § 22, можно построить также квазилокальные интегралы движения, зависящие от конечного числа производных. Для этого достаточно воспользоваться неоднозначностью в определении оператора М, входящего в (36.1). Полагая

Н п Л о

м= "5, 4=1,3,(36.15)

где выражения для //, 6 и р заданы в (6.9), (22.5), получаем вместо (36.5), (36.9)—(36.11) величины

^у=^^^ p)^Q2t(^p) =

=4 J ^[Ё(厶 х)-Н(/,х) —Е(/, х)•*(/, х)],(36.16)

〈Оз〉'=、警 6 0，Р) "6Q2(p (/, Р)= £ j—

a,b,c

(0> = \醫屮%P)"即39也 p)=(0> = \醫屮%P)"即39也 p)=瓦存a瓦存a急〉'=『窘9‘优,P)"中(力 P)=4J Л (E2 + H2).急〉'=『窘9‘优,P)"中(力 P)=4J Л (E2 + H2).(36.18)(36.19)(36.18)(36.19)

(0> = \醫屮%P)"即39也 p)=

(0> = \醫屮%P)"即39也 p)=

瓦存a

瓦存a

急〉'=『窘9‘优,P)"中(力 P)=4J Л (E2 + H2).

急〉'=『窘9‘优,P)"中(力 P)=4J Л (E2 + H2).

(36.18)

(36.19)

(36.18)

(36.19)

/ Итак, помимо классических интегралов движения (35.1) — (35.4) т'снлу уравнений Максвелла сохраняются во времени еще три независимые интегральные величины, задаваемые формулами (36.16)— (36.18), что же касается (36.19), то этот интеграл совпадает с (35.1). Эти интегралы движения можно связать с классическими параметрами Стокса, определяющими поляризацию электромагнитной волны. Более подробно физическая интерпретация симметрии уравнений Максвелла относительно группы "(2)80(2) обсуждается в [173].

Отметим, что интегралы (36.16)—(36.18) можно получить непосредственно исходя из билинейной формы (33.3), если в качестве Q выбрать коммутирующие с гамильтонианом (2.4) дифференциальные операторы

Qi = S・p, Q2 = dA, Оз =。3瓦， (36.20) где

"=e 5滋+解成-儲总)(1 一 S力+勿%凡SaS或J

• д

Sa и aa — матрицы (2.2). Операторы (36.20) удовлетворяют условиям инвариантности уравнений Максвелла (2.3), (2.5), но не образуют алгебру Ли и не входят в конечномерную АЙ этих уравнений.

Формулировка законов сохраненияс использованием уравнения непрерывности

Покажем, что рассмотренные выше законы сохранения могут быть получены также в более традиционном формализме, в котором основную роль играет четырехвектор тока, удовлетворяющий уравнению непрерывности.

Обратимся снова к уравнению Дирака (27.1). Любому эрмитово- му оператору Q, определенному на множестве решений этого уравнения, можно поставить в соответствие четыре билинейные комбинации

_ /£ =千丫出 QK (37.1) где У= 4ft %. Нетрудно убедиться, что если оператор Q удовлетворяет условию инвариантности уравнения (27.1), то для величин (37.1) справедливо уравнение непрерывности

寸把=0.(37⑵

Но из (37.2) в силу теоремы Остроградского-—Гаусса вытекает сохранение во времени интеграла

/Q = j d3%君=J d3%空％QB = J d^Y^Y, (37.3)

который совпадает с билинейной формой (33.5). Выбирая в качестве Q генераторы группы Пуанкаре, приходим к законам сохранения энергии, импульса, углового момента и центра энергии электронно-позитронного поля. Если же вместо Q подставить в (37.1) операторы (34.4) (которые также удовлетворяют условию инвариантности уравнения Дирака), то можно получить соответствующий четырехвектор тока в форме

煨=可加0”=可Y汴£屮一

La aJ

+ 2 券 №闸，=皆％bcMc(37.4)

В силу уравнений Дирака (27.1) токи j^ удовлетворяют уравнению непрерывности (37.2), откуда следует сохранение во времени величин (34.5).

Итак, мы получили законы сохранения, соответствующие негеометрической симметрии уравнения Дирака, в более традиционной формулировке и вычислили в явном виде соответствующие токи (37.4).

В аналогичном подходе могут быть получены законы сохранения, соответствующие негеометрической симметрии уравнений Максвелла. Действительно, как следует из теоремы 6, дифференциальные операторы (36.20) коммутируют с оператором 厶 (2.3). Но в этом случае в силу уравнения (2.3) билинейные комбинации

留=dQa屮，№ = 4>\SbQa^(37.5)

где 屮——вектор-функция (2.1), удовлетворяют уравнению непрерывности (37.2), откуда следует сохранение во времени величин

IQa = j d?%片=J ^Qa^.(37.6)

Подставив (2.1), (36.10) в (37.6), получим

Здесь 〈Qa〉一 сохраняющиеся величины, опр сываемые формулами (36.16)—(36.18).

8*

Глава 8

СИММЕТРИЯ ПОДСИСТЕМ

УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА5

Полная система уравнений Максвелла (1.3), (1.4) включает восемь дифференциальных уравнений в частных производных для шести вещественных функций £х, £2» Ез и Нъ "2, "з・ В данной главе рассмотрим различные подсистемы уравнений Максвелла, к которым можно придти, если потребовать, чтобы Е и Н удовлетворяли не всем уравнениям (1.3), (1.4), а только части из них. Оказывается, такие подсистемы имеют очень интересные свойства симметрии. Так, первая пара уравнений Максвелла (1.3) наряду с явной релятивистской инвариантностью инварианта также относительно группы Галилея. В то же время некоторые подсистемы имеют более низкую симметрию, чем полная система уравнений Максвелла.

Знание симметрийных свойств подсистем уравнений Максвелла может оказаться полезным для самых различных приложений, например, при формулировке электродинамики с группой инвариантности, отличной от группы Пуанкаре (см. гл. 9).

Инвариантность первой парыуравнений Максвеллаотносительно преобразований Галилея

ПриведемПриведем(38.1)(38.1)(38.2)(38.3)(38.2)(38.3)Рассмотрим первую пару уравнений Максвелла (1.3). ее в форме (1.3), (4.7), (5.12):

Приведем

Приведем

(38.1)

(38.1)

(38.2)

(38.3)

(38.2)

(38.3)

'票PXH + 订，р・Е = -%，

р"尸jxv —订卩 * N，v = 0, 1,2, 3,

厶@(f,X) = 0,4=(1一從)(6产+1),

гдегде尸ab %Ьс"с'尸 Оа = Е^尸ab %Ьс"с'尸 Оа = Е^P。j而’P。j而’(38.4)(38.4)3(/, х) = столбец (£i,旦，旦，"i，"2，"3，ji，/2» /з» /о)3(/, х) = столбец (£i,旦，旦，"i，"2，"3，ji，/2» /з» /о)

где

где

尸ab %Ьс"с'尸 Оа = Е^

尸ab %Ьс"с'尸 Оа = Е^

P。j而’

P。j而’

(38.4)

(38.4)

3(/, х) = столбец (£i,旦，旦，"i，"2，"3，ji，/2» /з» /о)

3(/, х) = столбец (£i,旦，旦，"i，"2，"3，ji，/2» /з» /о)

Первая пара уравнений Максвелла (различные формы записи которой задаются формулами (38.1)——(38.4)) явно инвариантна относительно группы Пуанкаре. Однако из этого факта вовсе не следует, что система (38.1) не может иметь другую симметрию, принципиально отличную от лоренцевской. В действительности оказывается, что релятивистская и конформная инвариантность не исчерпывает всех свойств симметрии этих уравнений. В этом параграфе мы покажем, что уравнения (38.1) инвариантны не только относительно преобразований Лоренца, но и относительно преобразований Галилея, которые образуют группу движений нерелятивистской квантовой и классической механики. Это означает, что явно релятивистски инвариантная система уравнений (38.2) допускает также последовательно нерелятивистскую интерпретацию, которая обсуждается в гл. 9.

Докажем следующее утверждение.

Лемма 2. Уравнения (38.3) инвариантны относительно алгебры Ли группы Галилея. Базисные элементы этой алгебры на множестве решений уравнений (38.3) задаются формулами

^0 ^ Ро» ^а = Ра»」а =(X 义 Р)а + S。’ Ga = tpa 十儿，(38.5) 3庇

Sa=^ %bcSbc，% = (4 + 8) So.，

S^/v = i (Рц Pv — PvPjx),(38.6)

Л = Po (1 -寵)，3 =偌(1 -佛).

Доказательство сводится к непосредственному вычислению коммутаторов операторов (38.5) друг с другом и с оператором Li (38.3). Принимая во внимание тождества (которые следуют из алгебраических свойств p-матриц, задаваемых формулой (4.2))

配=瓦8，% = з。4

0 + B)SOa(X + B) = O,

那0 = (1—脸仇，S₽o = O(38.7)

и соотношения (8.5), нетрудно убедиться, что матрицы Sa,刀。(38.6) и 卩卩=(1 —储)6心 8=1 — Pg удовлетворяют перестановочным соотношениям

[Sa，Sb]=电tbcS。

Ua，恥I = ^ab^

【％’ Пь1 =。，(38.8)

0, Bl =爲儿应，(38.9)

117

[Sa,匐=岱曲 6] = 0,(38.10)

【％，8°I =【％，8l = O,(38.11)

[%，/]= 一帆后).(38」2)

Используя (38.8)—(38.12), нетрудно установить следующие коммутационные соотношения:

仍卩,Rj = 0,【Ро，// =【匕'G^] = 0,

【'а，/匕1 = ‘％屁4，"а，&I = i%b『c，(38.13)

Gb] = UabcGCi [Ро, GJ = iPa,

屮卩，厶I — [/а，厶I —【Gq,厶]—0.(38.1 4)

Соотношения (38.13) показывают, что операторы (38.5) образуют базис десятимерной алгебры Ли. Таким же коммутационным соотношениям удовлетворяют инфинитезимальные операторы преобразований Галилея, поэтому в дальнейшем будем называть (38.13) алгеброй Галилея и обозначать эту алгебру символом G (3). Далее, согласно (38.14) операторы (38.5) удовлетворяют условию инвариантности уравнений (38.3) и, следовательно, образуют АИ первой пары уравнений Максвелла. Лемма доказана.

Итак, мы установили, что первая пара уравнений Максвелла, помимо явной релятивистской инвариантности, имеет дополнительную симметрию относительно алгебры Галилея, базисные элементы которой принимают вид (38.5). Используя формулу Кэмпбелла——Хаусдорфа, нетрудно найти преобразования из группы Галилея, порождаемые операторами (38.5):

%->& = 〃(0, V, а, а0)xaU~[ (0, V, а, &) = Rabxb + vat + aai (38.15) tft' = U® v, a, a。)tU~{ (0, V, а, %) = / + а°,

而(/, х)—而 & х) = и"4 (9, v, а, %)星(/, х)=

=exp (—iS・ 6)(1 — hj.v)皆(xl f). (38.16) Здесь

U (0, v, a, %) = exp (iJ • 0) exp (iG • v) exp (汐卩。卩)， (38.17)

0, v,效一произвольные действительные параметры, Rab — оператор трехмерного поворота (14.3). Доказательство соотношений (38.15), (38.16) аналогично (10.6)—(10.8).

Поскольку генераторы 户卩，Ja и Ga согласно (38.4) коммутируют с оператором 厶(38.3), то оператор U (0, v, а, а。) (38.17) также коммутирует с 厶1 и, следовательно, формулы (38.16) определяют преобразование симметрии уравнений (38.3). Формулы (38.15) задают хорошо известные преобразования Галилея для координат ха и времени /. Что же касается преобразований (38.16), то для выяснения их физи- 118

ческого смысла достаточно подставить в (38.16) явный вид матриц 0M (4.3) и выражение (38.4) для функции 中(/, х). Поскольку согласно (4.3), (38.6)

(38.18)(38.18)

(38.18)

(38.18)

где Sa и Ка ——матрицы (2.2), (4.2), точками обозначены нулевые матрицы соответствующей размерности, то из (38.16), (38.4) следует такой закон преобразований для Е, Н, j, /0:

纥俏 х)->£& x)=R^Eb (Г, xz),

儿(f, x) f На (/, x) = ^Hb (厂，父)-%b吊丄忆 X)(38.19) la & X)f j； (f, X)= RR% (匕 X，) - Va]Q(f, x9,

jo(/，x)->/o(/, x) = Jo (/； x)

Здесь Rab — оператор трехмерного поворота (14.3) с произвольными вещественными параметрами 8a.

Формулы (38.19) выражают преобразованные векторы Е' и j‘ через Е, Н и j, /0 подобно формулам (20.4), определяющим преобразования Лоренца. Однако в отличие от (20.4) j] и Е； зависят только от /0, Еа и параметров преобразования.

Соотношения (38.19) задают представление группы Галилея, и, как показано выше, оставляют инвариантными уравнения (38.1). Последнее утверждение легко можно проверить непосредственно с помощью подстановки (38.19), (38.15) в (38.1).

Доказанная лемма о симметрии уравнений (38.1), конечно, сохраняет свою силу и для уравнений Максвелла без токов и зарядов, ког- ДЗ jo = j =。・

Итак, первая пара уравнений Максвелла инвариантна относительно двух совершенно различных групп преобразований — Лоренца и Галилея. Отсюда следует важный вывод, что явная релятивистская инвариантность того или иного уравнения в общем случае не исключает его интерпретацию в рамках принципа относительности Галилея.

В заключение параграфа сформулируем еще одно легко проверяемое утверждение, усиливающее результаты леммы 2.

Лемма 3. Оператор

В = 2 仇—х.р + £[(1— 2 儲)％ + 3] (38.20) удовлетворяет условию инвариантности уравнения (38.3) и образует совместно с (38.3) 11-мерную алгебру Лие

Доказательство сводится к вычислению коммутаторов оператора 3 cLi (38.3) и Рц, /办 Go (38.5). Используя (4.2), (8.5), получаем

[Ь,厶]=0,(38.21)

[Ь, PJ = - iPa, [Ъ, Ро] = - 2*о，

[О, AJ = 0, [D, GJ =凡，(38.22)

откуда утверждения леммы следуют непосредственно.

§ 39. Инвариантность относительногруппы IGL (4, Я )

Известно, что преобразования Лоренца и Галилея имеют совершенно разную физическую природу и не образуют совместно замкну тую группу. Вместе с тем, как показано в § 8, 20, 38, такие преобразования образуют группы симметрии первой пары уравнений Максвелла (38.3). Последнее обстоятельство наводит на мысль о том, что уравнения (38.3) инвариантны относительно некоторой более широкой группы, включающей преобразования Лоренца и Галилея в качестве подгрупп.

Теорема 18. Первая пара уравнений Максвелла (38.3) инвариантна относительно 20-мерной алгебры 〃“, базисные элементы которой задаются формулами

Pq = ' %，Ра = PL 一 壷,

4v = хц pv — xv "卩 + Sjxv,

Kjxv =尤卩 Pv + %v 凡i + 综v,(39.1)

где

Sjiv = i (Bu Pv — PvPjx)»

2^,v = i (6卩餌 + PvBu) (12 餚)+ 2次出"唸(39.2)

Операторы (39.1) удовлетворяют коммутационным соотношениям

[Р山 Р”] =。，[Рц, Дкг] = i (g卩、Ра — gjoPJ,

[/卩”，/ах] = i (gjxcrJvX + gv"ца — ggJ、o — ^va^卩力，

[P卩，Kvcr]=力(節』cr + gu(jP)

[/吟 Кб] — i (gjxcrKv九一g^九Kvo — gvoK^k + gv九Kjxcr),

[Kjxv, Кб] = i (gv"ца + gjxcrJvX + gvcrJ卩九 + ggJvo), (39.3) определяющим алгебру Ли группы IGL (4, R) (группы неоднородных линейных преобразований в вещественном четырехмерном пространстве).

Доказательство разделим на три этапа. 1. Непосредственной проверкой убеждаемся, что матрицы 三卩、 и S^ удовлетворяют 120

соотношениям

[Sg, Sxa] = £ (g^crSv九 + gv九S^o — gu%Sv(j — gvoSQ,(39.4)

[•5цv, ^Xa] = i (gjAO，v九一^jxxSva — gv(j£卩九 + gvRjxcr),(39.5)

[Eg, &cd = i (gv%Su(j + gjxaSvx + gvcrS必 + 纟队3^)・(39.6)

Соотношения (39.4) проверяются элементарно с использованием алгебраических свойств p-матриц, задаваемых формулой (4.2). Проверка соотношений (39.5), (39.6) также не составляет большого труда, если принять во внимание тождества

q2 п2 п2 п2 п2 п2

РО РОP0i Р5 Р5卩5,

(1-2隔瓦=一限(1-2储)，

伝熊=(1 一陶%(39.7)

Используя (39.4)—(39.6), нетрудно получить коммутационные соотношения (39.3) для операторов 力抹,/炉, К“、(39.1). Следовательно, операторы (39.1) образуют представление 20-мерной алгебры Ли группы IGL (4,7?).

Покажем теперь, что операторы (39.1) задают АИ уравнений (38.3). Для этого заметим, что операторы ^цV могут быть представлены в виде

Koa = 2Ga — /oa，К。。= 2 (6 — О),

^ab = -i {&, Job] + [G&, 4J} + 喝Koo，(39.8)

где Ga, D и D — операторы (38.5), (38.20), (8.3). Но согласно леммам 2,3 (см. § 8,38) и следствию 1 из теоремы 1 операторы Рц, J^, Ga，D, D удовлетворяют условиям инвариантности уравнений (38.3) (коммутируют с оператором LJ. Это означает, что операторы /(^ (39.1) также коммутируют с 厶工 и образуют совместно с Ри, J^ АИ уравнений (39.3). Теорема доказана.

Коммутационные соотношения (39,3) задают алгебру Ли группы IGL (4, А). Это означает, что операторы (39.1) реализуют представление этой алгебры. С помощью формулы Кэмпбелла—Хаусдорфа нетр уд- но найти конечные преобразования из группы IGL (4, R), порождаемые генераторами Kg (39.1):

屮(/,%)= exp (—力儿向由 У (匕％'), суммы no p,v нет,

%九=(%%)i = 砍 exp ( Ovv^Xv)» 卩=招 ％o === /,

Ха =(忌)2 =^а+ (%(Лс + 4Sab)伊 0Ьс — 1)+

+ (修3砒 + ^с^аъ) ^^ 8儿，b, с = 1, 2, 3, (%о)2=%о，卩,”#。，(39.9)

Ха =(忌)з = % + Ar0Sabsin eob 十 xb6ab (cos 0ОЬ — 1),

(хо)з = %cos 90a —xbsin 90a,

где 0jav = 0vjx — произвольные действительные числа,

备=[/一城，U = exp (阳з％),

(%；% = exp (iKw^vv)加 exp (— iKw^w),

(K)2 = exp (iKab^ab) МвХр (— iKab^ab)^

(%九)3 = exp (i^Qa^Qa)尤入exp ( iKoa8()a)・(39.10)

Итак, мы убедились, что уравнения (38.1) имеют более богатую групповую структуру, чем полная система уравнений Максвелла (2.3), (2.4). Причина такого положения заключается в том, что уравнения (38.1) в отличие от (2.3), (2.4) по существу включают Н на правах произвольного внешнего векторного поля, на которое система (38.1) не налагает никаких ограничений.

АИ уравнений (38.1), задаваемая операторами (39.1), содержит такие важные с физической точки зрения подалгебры, как алгебры Пуанкаре и Галилея, реализуемые операторами {「卩,J^} и {Р^，^аь， Ga =у (К。。+」оа)}・ Отметим еще одну интересную подалгебру алгебры Ли группы IGL (4, R), базисные элементы которой выражаются через операторы (39.1):

(39.11)(39.11)P“=Pit, J a =万 ％bc，bc，Ga =工(Koa — /о)

(39.11)

(39.11)

Используя (39.3), нетрудно убедиться, что операторы (39.11), как и (38.5), удовлетворяют алгебре Галилея (38.13). Однако конечные преобразования, порождаемые операторами

行(0t V, а, &) = ехр (~ Jab^ab^ exp (述％) exp (浊a"), (39.12) не совпадают с (38.19) и имеют вид

忌=&/ь + &,

= / + v.x;(39.13)

Eq f Ea k Rab Еъ — %bc?b"c>

Н「Н1=*Нь

ii = %—v・j,(39.14)

jaf % = R/%，v = (% % ?3)・

Преобразования координат и времени, задаваемые формулами (39.13), образуют группу (обозначаемую далее символом G*), которая «локально изоморфна группе Галилея.

§ 40. Симметрия второй парыуравнений Максвеллаи уравнения непрерывности

Сформулированное в теореме 18 утверждение о симметрии первой пары уравнений Максвелла справедливо также для случая уравнений (38.1) без токов и зарядов, когда /а = /0 = 0・ Это следует из того факта, что преобразования (39.7) не перемешивают компонент функции Т (/, х) (38.4), совпадающих с Е и Н, с компонентами, задаваемыми j и /0. Тем не менее мы сформулируем утверждение о симметрии первой пары уравнений Максвелла для электромагнитного поля в вакууме в виде отдельной леммы, которая будет использоваться при исследовании симметрии уравнений (1.4).

Лемма 4. Система уравнений

i^ = — pXH, р・Е = 0 (40.1) инвариантна относительно группы IGL (4, R). Генераторы этой, группы на множестве функций 屮= 向)задаются формулами (39.1) где 2 Цу и S^ — матрицы следующего вида:

sj ^Sa О / \Sa о/

\b=il-^-SbSa ^o…卜线。=2“？ 0j,(40⑵

'0—26ab + SaSb + SbSa,l

Sa — матрицы (2.2), 0 и / — трехрядные квадратные нулевые 〃 единичные матрицы.

Доказательство. Как отмечалось выше, утверждения леммы 4 непосредственно следуют из теоремы 18. Действительно, налагая на 屮(/, х) (38.4) дополнительное условие

(1一陶勺伉 x) =0,(40.3)

приходим от (38.3) к уравнениям (40.1) без токов и зарядов. Поскольку матрица 1 —從 коммутирует с операторами (39.1), то условие (40.3) инвариантно относительно алгебры Ли группы IGL (4, R), а значит, такую же инвариантность имеет и система уравнений (40.1). При этом матрицы (39.2) на множестве функций, удовлетворяющих условию (40.3), могут быть представлены в виде (40.2). Лемма доказана.

В справедливости леммы можно убедиться также непосредственной проверкой. Прямым вычислением получаем, что генераторы (39.1), (40.2) удовлетворяют алгебре (39.3). Затем, представив (40.1) в виде

/ 06

厶1屮(%, х) = 0, L[ = I*

V M" —sp

(40.4)(40.4)人 / о о

(40.4)

(40.4)

L2屮("，X)= 0,L2 = I

、р+ — S • ps< о

где ср (/, х) — вектор-функция (2.1), убеждаемся, что операторы (39.1), (40.2) и (40.4) удовлетворяют условиям инвариантности (7.3). Отсюда следует инвариантность уравнений (40.1) относительно преобразований (39.7), образующих представление группы IGL (4, R).

Из леммы 4 следует, что вторая пара уравнений Максвелла

力导н = рХЕ, р-Н = о,力导н = рХЕ, р-Н = о,(40.5)(40.5)

力导н = рХЕ, р-Н = о,

力导н = рХЕ, р-Н = о,

(40.5)

(40.5)

как и уравнения (38.1), имеет максимально широкую группу симметрии в классе линейных преобразований координат.

Теорема 19. Уравнения (40.5) инвариантны относительно алгебры Ли группы IGL (4, R). Базисные элементы этой АИ на множестве функций (2.7) задаются формулами (39.1), где S^ 〃2炉一матрицы вида

人S <о6ZSS人S <о6ZSS

人S <о6ZSS

人S <о6ZSS

(40.7)(40.8)(40.7)(40.8)

(40.7)

(40.8)

(40.7)

(40.8)

SaSb + SbSa — 25ab 。

0 一 S& 一

(Sa—матрицы (2.2)).

Доказательство. Уравнение (40.5) можно представить в виде системы

厶屮 & х) =0, 3 = G2^1^2>

L2屮(/，X)- 0,L2 =%及%"

Здесь % — матрица Паули (1.3),厶 и L2— операторы (40.4). Но тогда, поскольку матрица % обратима, из инвариантности уравнений (40.4) относительно алгебры (39.1),(40.1) непосредственно следует инвариантность (40.5) относительно алгебры

Ppi = 02乙°2，JjAV ===02/卩 "°2，K!XV = 02KlIV%，

где Рц, J^ и Kjav ——операторы (39.1), (40.1). Явный вид операторов 尸；,J；v, K；v задается формулами (39.1), (40.6). Теорема доказана.

Таким образом, первая и вторая пары уравнений Максвелла имеют максимально широкую симметрию в классе линейных преобразований координат — симметрию относительно группы IGL (4, R). Отсюда, конечно, не следует, что полная система уравнений Максвелла также инвариантна относительно этой группы, так как на множествах решений уравнений (39.1) и (40.4) реализуются различные пред-

ставления алгебры (39.3) (ср. (40.2) и (40.6)). В § 41 установлена симметрия уравнений (38.1) и (40.5) относительно нелинейных преобразований координат.

Рассмотрим еще одно уравнение, которое, хотя и не входит в систему уравнений Максвелла (4.7), является непосредственным следствием этой системы:

Ро/о —Р-)= 0,(40.9)

Уравнение непрерывности для тока (40.9) имеет явно релятивистски инвариантную форму. Менее очевидна симметрия (40.9) относительно преобразований Галилея (которая следует из известного факта, что условиям (40.9) удовлетворяет также нерелятивистский вектор тока 卜=屮* q「，上=4€*汨中一(Zp4f)*4f, где ｛屮｝ — решения уравнения Шредингера).

Оказывается, что симметрия уравнения (40.9) еще шире. А именно, справедливо следующее утверждение.

Теорема 20. Уравнение непрерывности инвариантно относительно группы IGL (4, R). Генераторы этой группы на множестве функций У=столбец (/ь /2, /3, /0) задаются формулами (30.7), где матрицы 5冲 имеют ^форму (/6.7方，

^00 = iS2, 4a — gSoa，

£而="(S2 - 2)嶋 一 S£ - s/J (40.10)

/—100 0\

\ 0 0 0 1/

Доказательство теоремы, которое сводится к непосредственной проверке соотношений (39.3) и (7.3) для операторов (39.1), (40.10) я 厶 = =(g + 1) So + iS°歩J мы опускаем.

§ 41. Симметрия относительно нелинейныхпреобразований координат

Мы убедились выше, что первая и вторая пары уравнений Максвелла и уравнение непрерывности имеют максимально широкую симметрию в классе линейных вещественных преобразований координат и времени — симметрию относительно группы IGL (4, R). Однако даже инвариантность относительно столь широкой группы не исчерпывает симметрийных свойств этих уравнений, поскольку они допускают также нелинейные преобразования хи/.

Не ставя перед собой задачу описать все возможные преобразования такого рода, сформулируем наиболее интересные с физической точки зрения результаты, которые могут быть получены в рамках алгоритма Ли.

Лемма 5, Каждая из систем уравнений (38.3), (3/.7), (31.9) инвариантна относительно группы Шредингера. Генераторы этой груп-

пы задаются формулами

Рц = Р^ 北=4" %b/c，Ga = у «а —，0а)，

D = 2仇一х・р +九°, Л = /2р0 + /Zo — x*G, (41.1) где Рц, /冲，Ко。— соответстеующие генераторы группы IGL (4, R), явный вид которых приведен в (39,1), (59.2), (40.6),妊0.10),九° — матрицы следующего вида:

i [(1 — 2從)储 + 3] для уравнений (38.3),

i ( У ° ) для уравнений (40.7), (40.8),(41.2),

0=/4 О О 0\

" I ： I ¥ ^ IУравнений (40.9).

\0 0 0 3 /

Доказательство леммы сводится к проверке того факта, что операторы (41.1) удовлетворяют условиям инвариантности (7.3) и коммутационным соотношениям, ха р а ктер из ующим алгебру Ли группы Шредингера (группы инвариантности нерелятивистского уравнения Шредингера [127, 159]. Эти соотношения задаются формулами (38.13) и формулами

伊°, 6] = 2伞°, [Ра, D] = iPa, [Ga, D] = -iGa9

[4 D] = - 2〃，咼,Л] = ID, [%, 4 = iGa, (41.3) f^aj^l^O， [</a^J —0, [Ga, Л] = 0.

Генераторы (41.1) в отличие от всех рассмотренных в § 38—40 базисных элементов АИ уравнений (38.3), (40.4) и (40.9) порождают нелинейные преобразования координат. Решая соответствующие уравнения Ли (21.1),(21.3), (21.4) для Q = D и Q = А, получаем преобразования координат, векторов Е, Н и тока / = (j0, j), удовлетворяющих уравнениям (38.1), в виде

f = t exp (2入)，x' = x exp (九)，

/о = /о，『=j exp (—九)，(41.4)

E' = Eexp (X), H，=H,

f /- X

(41.5) /； = (1 一 例)3 j°,『=(1 一 第4 j + в (1 — 第3 厶X,

H' = H(1 —故)3 + 6(1 —故)2X X E, E, = E(i — О/)2.

Формулы (41.4), (41.5) совместно с (38.15), (38.19) задают конеч - ные преобразования из группы Шредингера для решений первой пары уравнений Максвелла (38.1) и уравнения непрерывности (40.9). Соответствующие преобразования решений уравнений (40.4) могут быть получены из (38.15), (38.19), (41.4), (41.5) с помощью замены Е ——Н, Hf Е.

Итак, рассматриваемые подсистемы уравнений Максвелла допускают такую же группу преобразований, как и нерелятивистское уравнение Шредингера. Покажем теперь, что эти подсистемы допускают также группу С (1, 3) — группу симметрии полной системы уравнений Максвелла (1.3), (1.4).

Лемма 6. Каждая из систем уравнений (38.3), (40.4), (40.9) инвариантна относительно конформной группы. Генераторы группы С (1, 3) на множествах решений уравнений (40.4), (38.3) задаются формулами (8.2), (8.3), (12.1); (8.2) (8.4), а для решений уравнения непрерывности эти генераторы имеют вид (8.2), (8.3), (/6./7).

Доказательство аналогично доказательству леммы 1. Из инвариантности уравнений (38.3), (40.4), (40.9) относительно алгебры С (1, 3) непосредственно следует симметрия этих уравнений относительно конечных преобразований из конформной группы, явный вид которых приведен в формулах (20.11), (20.12).

Сформулируем еще одно утверждение, устанавливающее симметрию рассматриваемых систем уравнений относительно 16-мерной группы нелинейных преобразований координат, не совпадающей с конформной группой.

Лемма 7. Каждая из систем уравнений (38.3), (40.4), (40.9) инвариантна относительно 16-мерной алгебры Ли, базисные элементы которой задаются формулами

P。 = Po=i 4=4 = _‘哥，

，а =(X 义 Р)а + S。，

Ga = — Xap0 + ^,(41 £)

Rob ^^ ~2~(X(iGb + ^b^a ^a^bPo)^ a = 1, 2, 3,

где S« = %儿 Sbc, матрицы Sbc задаются соотношениями (8.4), (2.2), (16.17) (для уравнений соответственно (38. 3), (40.4) a (40.9)),

i [ро (1 — Pi) + 留(1 — Po)] [Po, Pal d"兄 уравнений (38.3),

для уравнений (40.7), (40.8),(41.7),

*= { <0 0 丿

/0 0\

для уравнений (40.9).

0/

Здесь 入а 儿 *а — матрицы (4・4) и (2.2), 0 — нулевые матрицы соответствующей размерности.

Доказательство сводится к проверке того факта, что операторы (41.6) удовлетворяют условиям инвариантности (7.3) и коммутационным соотношениям, задаваемым формулами (38.3), (41.8):

［凡力Red］=［凡力尸0］=［凡力GJ = 0,

【凡ь，Pel =4 色cGb + 6匕&),(41.8)

【凡力 41 = — i &cdRbd + %cd&d)・

Операторы (41.7) порождают следующие преобразования координат % и времени /:

%； = / + %⑷・9)

尸=% + } 3a/a%b + 瓦 +

где %,瓦с, й)аь — произвольные вещественные параметры. Явный вид соответствующих преобразований для Е, Н и /^, который может быть получен с помощью интегрирования соответствующих уравнений Ли (21.1), (21.3), (21.4), здесь не приводим.

Покажем еще, что каждая из систем уравнений (38.3), (40.4), (40.9) инвариантна относительно 16-мерной алгебры Ли, которая является нерелятивистским аналогом конформной алгебры С (1,3).

Лемма 8. Уравнения (38.3), (40.4) и (40.9) инвариантны относительно 16-мерной алгебры Ли, натянутой на базисные элементы вида

Ро = %, & = % G。= G。，Ja = Jay

3 = /% —x・p +，电

八(41.10)

》o = /2夕0 — 2/xp + 2ikt + 2rpx,

где Рц, 厶,Ga задаются формулами (4/.6), r］a—матрицы (4/.7),

3 — р| для уравнений (29.3),

^= *2для уравнений (3/.毋，(41.11)

> 3для уравнений (3/.S).

Операторы (41.10) удовлетворяют коммутационным соотношениям (38./3) “ (41J2):

［$, &］= 一 吼，［В,厶］=0, ［Д GJ = 0,

［Д 翁］=®，［瓦,瓦］=0, IP。,统］=2iD, (41.12)

唸瓦]=2位，向,瓦]=2就，胤,/]=0,

К，统】=【Ga，练]="a，筑】=0, [Ja, Bb] = ^аЬсВс・

Доказательство заключается в проверке справедливости соотношений (7.3), (38.14), (41.12) для операторов (41.10) и L из (38.3), (40.4), (40.9). Такую проверку нетрудно осуществить, используя явный вид % (41.7) и 々(41.11).

Отметим, что операторы (41.10) порождают преобразования координат и времени вида

(41.13)(41.13)Ха =凡/匕 ++ %

(41.13)

(41.13)

ЗдесьЗдесь/' = / +瓦・

Здесь

Здесь

元=取т, tf=WtW~\

取=exp (iB^ exp “&) exp (必％) exp (&%) exp (i&b)

% = exp (— c) -f<Z^J：

/ = ехр(—с)^^，

Rab— оператор трехмерного поворота, %,瓦，盡，с —произвольные вещественные параметры. Формулы (41.13) определяют группу преобразований эвклидова пространства и времени, которую можно интерпретировать как нерелятивистский аналог конформной группы 1128].

В заключение этого параграфа приведем систему определяющих уравнений (которой должны удовлетворять координаты инфинитезимальных операторов группы инвариантности) для уравнения непрерывности (31.8). Общий вид такого оператора в подходе Ли задается формулой

Q=Pa)詣+吋 а，/)*，Q=Pa)詣+吋 а，/)*，(41.14)(41.14)

Q=Pa)詣+吋 а，/)*，

Q=Pa)詣+吋 а，/)*，

(41.14)

(41.14)

ции от х и /. Для этих щую систему уравнений:ции от х и /. Для этих щую систему уравнений:дх адх а* =絹"，a, b = 1,2,3,* =絹"，a, b = 1,2,3,龙° дхь龙° дхьa声b,a声b,(41.15)(41.15)

ции от х и /. Для этих щую систему уравнений:

ции от х и /. Для этих щую систему уравнений:

дх а

дх а

* =絹"，a, b = 1,2,3,

* =絹"，a, b = 1,2,3,

龙° дхь

龙° дхь

a声b,

a声b,

(41.15)

(41.15)

где % = (%о, %i, %2，х3) и / = (/0, ", /2, %) — независимые и зависимые переменные, входящие в уравнение (40.8),三卩(％) и п" (х, /)——функ-

функций в алгоритме Ли получаем следую-

呪十呪十aa°n。 喝一0展 可0京Г 一 dja°n。 喝一0展 可0京Г 一 dja,a = 1, 2, 3, суммы по а нет,,a = 1, 2, 3, суммы по а нет,

呪十

呪十

a

a

°n。 喝一0展 可0京Г 一 dja

°n。 喝一0展 可0京Г 一 dja

,a = 1, 2, 3, суммы по а нет,

,a = 1, 2, 3, суммы по а нет,

Различные решения системы соотношений (41.14), (41.15) приведены в леммах 5—8. Определяющих уравнений для первой и второй пар уравнений Максвелла не приводим ввиду их громоздкости.

Итак, мы убедились, что первая и вторая пары уравнений Максвелла и уравнение непрерывности имеют более высокую симметрию, чем система (1.3), (1.4).协0 обусловлено неполнотой систем уравнений, рассматриваемых в § 38—41. Однако, как показано ниже, не все подсистемы уравнений Максвелла имеют большую симметрию, чем полная система (1.3), (1.4), у некоторых подсистем симметрия уже, чем у (1.3), (1.4).

§ 42. Симметрия подсистемуравнений Максвелла,инвариантных относительно группы 0(3)

Рассмотрим кратко свойства симметрии подсистем уравнений Максвелла, не сводящихся к исследованным в § 38——41. Ограничиваясь для простоты случаем /а = /0 = 0, выберем такие подсистемы в

видевиде号=一рxh,号=一рxh,嚼=一р义h,嚼=一р义h,е,р ・Н = О,е,р ・Н = О,(42.1)(42.1)

виде

виде

号=一рxh,

号=一рxh,

嚼=一р义h,

嚼=一р义h,

е,

р ・Н = О,

е,

р ・Н = О,

(42.1)

(42.1)

(42.2)(42.2)< = -РХН,

(42.2)

(42.2)

京=Р><Е,

霄=_р义h,霄=_р义h,р・Н = О,р・Н = О,р・ Е = р・Н = О,р・ Е = р・Н = О,Г. ан 、/匸"IF = Р 义 Е,р*Е = О, .ан 、/匸 "Е,р・Е = р・Н =0,Г. ан 、/匸"IF = Р 义 Е,р*Е = О, .ан 、/匸 "Е,р・Е = р・Н =0,(42.3)(42.4)(42.3)(42.4)

霄=_р义h,

霄=_р义h,

р・Н = О,

р・Н = О,

р・ Е = р・Н = О,

р・ Е = р・Н = О,

Г. ан 、/匸

"IF = Р 义 Е,

р*Е = О, .ан 、/匸 "Е,

р・Е = р・Н =0,

Г. ан 、/匸

"IF = Р 义 Е,

р*Е = О, .ан 、/匸 "Е,

р・Е = р・Н =0,

(42.3)

(42.4)

(42.3)

(42.4)

(42.5)(42.6)(42.5)(42.6)

(42.5)

(42.6)

(42.5)

(42.6)

р. Е = 0, р • Н = О,t ^- == — Р X Н, i^=p><E・

Формулы (42.1)—(42.6) совместно с (38.1), (40.4) описывают все возможные подсистемы уравнений (1.3), (1.4), инвариантные относительно группы £ (3) (группы вращений и сдвигов трехмерного эвклидова пространства).

Групповые свойства систем (42.1)—(42.6) были исследованы в рамках алгоритма Ли. Поскольку этот алгоритм изложен в монографиях [14, 42, 43], а конкретные вычисления с его использованием требуют громоздких вычислений, приведем здесь только конечные результаты, сформулировав их в виде следующих утверждений.

Утверждение 3. Максимальной АИ системы (42.2)6 классе дифференциальных операторов первого порядка является десятимерная алгебра Ли с базисными элементами Ро, Ра, Jab, D, F, /, где / — единичный оператор, F = 电，夕卩，〃ь，力 задаются формулами (8.2), (8.3), (/2./). Эти операторы оправлены на множестве вектор-функций ⑵/)・

Доказательство. Произвольный дифференциальный оператор, заданный на множестве решений уравнений (42.2), представим в виде

Q = d (%)萨 + Т (居 Е, Н)泰 + 不(%, Е, Н)鳥. (42.7) и а а

Определяющие уравнения для функций Е", п° и о° имеют вид

(42.8)(42.8)

(42.8)

(42.8)

龙° дхъ

=0,

兆。 дха

一驾=0

—dxQ — 5

дк]а 西

—доа =34

=再二

,〃力b

6 = 1, 2, 3,

(суммы по а нет). Линейно независимые решения системы соотношений (42.7), (33.8) задаются в формулировке утверждения 3.

Таким образом, мы доказали, что симметрия уравнений (42.2) в классе дифференциальных операторов первого порядка ниже, чем у полной системы уравнений Максвелла (1.1), (1.2).

Как отмечалось в § 1, уравнения (1.2) по существу представляют собой начальные условия, налагаемые на множество решений системы (1.1) (или (42.2)). Как правило, наложение начальных или краевых условий снижает симметрию дифференциального уравнения. На примере уравнений Максвелла видно, однако, что это правило имеет исключения.

Утверждение 4. Максимальная АИ систем (42.1) и (42.3) 6 классе дифференциальных операторов первого порядка включает девять 6〃・

зисных элементов Р。，Ра, Jab, D, /, задаваемых формулами (8.2), (8.3), (/2./) (/ — единичный оператор).

Доказательство может быть проведено по той же схеме, что и для утверждения 3.

Оставшиеся подсистемы (42.4)—(42.6) инвариантны относительно бесконечных алгебр Ли, которые, однако, включают физически интересные конечномерные подалгебры. Так, уравнения (42.5) можно рассматривать как уравнения непрерывности в трехмерном пространстве —времени, поэтому для них могут быть переформулированы все утверждения, доказанные в § 40, 41 для уравнения (40.8). Наиболее интересные АИ уравнений (42.4) и (42.6) отмечены в следующих утверждениях.

задаются(42.9)левая си-(42.10)задаются(42.9)левая си-(42.10)Утверждение 5. Левая система уравнений (42.4) инвариантна относительно группы Шредингера. Генераторы этой группы на мно- жестве вектор-функций (2.J), удовлетворяющих (42.4), формулами (41.1), (39.1)t (40.5), где

задаются

(42.9)

левая си-

(42.10)

задаются

(42.9)

левая си-

(42.10)

I и Q ——трехрядные единичные и нулевые матрицы.

Доказательство. В обозначениях (2.1), (2.2) стема уравнений (42.4) принимает вид

К屮(/, х) = 0, 3 = (s — id)» 鳥一(1 — %) iS・p,

£屮(/，x) = 0, £2 = 〃 —S・pS「

Как несложно убедиться прямой проверкой, операторы L1? £2 (33.10) и 乙，/а, G。，D, Л (41.1), (39.1), (40.5), (42.9) удовлетворяют условиям инвариантности (7.3)

[&,厶]=[J。, Л = [G&, La] = 0,(% = 1, 2,

(42.11)

[D,厶 a] = — iLa, [Л, La] =it La,

и, следовательно, операторы (41.1), (39.1), (40.5), (42.9) действительно образуют АИ уравнений (42.10).

Доказанное утверждение можно легко переформулировать также для правой системы уравнений (42.4), так как эта система представима в виде

£4屮(f，X)= 0,L 1 =02L22，

L2屮(力 X)^1 0, % ^^。2l202，

где £i н W — операторы (42.10).

Таким образом, системы (42.4), несмотря на отсутствие релятивистской инвариантности (доказательство которого мы здесь не приводим)

все же имеют физически содержательную группу симметрии. Можно показать, что системы (42.4) инвариантны также относительно 16- мерной алгебры Ли, базисные элементы которой имеют вид (41.6).

Утверждение 6. Уравнения (42.6) инвариантны относительно десятимерной алгебры Ли G*, которая изоморфна алгебре Галилея. Базисные элементы алгебры, G* на множестве функций (2.У), удовлетворяющих уравнениям (42.6), задаются формулами

P“=Pj= —i證,厶=(X X р)а + Sa，

G； = — + 九；,

〈5a〈o〈0 6〈5a〈o〈0 6〈о〈о〈о〈одля первого из уравнений (42.6),для второго уравнения (42.6),для первого из уравнений (42.6),для второго уравнения (42.6),

〈5a〈o

〈0 6

〈5a〈o

〈0 6

〈о〈о

〈о〈о

для первого из уравнений (42.6),

для второго уравнения (42.6),

для первого из уравнений (42.6),

для второго уравнения (42.6),

Sa — матрицы (2.2), 0 — нулевые матрицы размерности 3><3.

Доказательство этого утверждения аналогично (42.10)——(42.12). Отметим, что каждое из уравнений (42.6) неинвариантно относительно более широких алгебр, указанных в § 38—41, т. е. симметрия систем (40.1), (40.5) понижается, если отказаться от условий р・Е = 0 или р-Н = 0. Тем не менее уравнения (42.6) все-таки имеют физически интересную группу инвариантности (30.13).

§ 43. Негеометрическая симметрия

Продолжим исследование симметрии уравнений (1.1) без начальных условий (1.2). Эти уравнения приведены в формуле (42.2) и могут быть представлены в следующем виде:

£(р(/, х) = 0, £=»^+02$・р, (43.1)

где а2 и Sa — матрицы (2.2),屮亿 х)—— вектор-функция (2.1).

Как показано в предыдущем параграфе, уравнения (43.1) в отличие от полной системы уравнений Максвелла (1.1), (1.2) неинвариантны относительно конформной группы, но инвариантны относительно десятипараметрической подгруппы, порождаемой генераторами Ри, Jab，D и F из (8.2), (8.3), (12.1), т. е. относительно поворотов и сдвигов трехмерного пространства, а также масштабных преобразований и преобразований Хевисайда——Лармора—Райнича.

Таким образом, отказ от начальных условий (1.2) приводит к тому, что симметрия системы уравнений относительно локальных преобразований понижается. При этом, однако, как будет показано ниже, возрастает симметрия относительно интегро-дифференциальных преобразований, рассмотренных в гл. 5,

Теорема 21. Система уравнений (42.2) инвариантна относительно совокупности преобразований, задаваемых формулами

Ea-^Ea = EacosQ + papbEb (1 — cos 0) + [(瓦—рарьН^ “ + + ^abcpbDcd 宙乱一&8з)1 "§■ si"仇

冗 f 万;=Ha cos 0 + papbHb (1 — COS 0) + [(РаРъЕъ —瓦)01 + + ^abcPb^cd (^d®2 + 瓦i%)】£ Sill 0,

云a f К =瓦Ch入+3工瓦(1 一 Ch 2) + + l^abcPb^(^i - Lb (后6入2 -瓦а3)] 土 Sh X, Ha-^Ha = Ha^+ % 厶瓦(1 -chX) + + V%bcPb百氧 + 6ab ("b% + 旦儿)]4" sh 入，

Ea-^ Ea =凡一РаРь |^b (1 —COS g) +

+瓦Е3 +瓦信一賑)]*i叫，

~- 八 八(~(43⑵

Ha + Ha = "a + РаРъ(C0S В 一0 +

+历盡+瓦&+国)]子si叫，

Eu f E^ = Ea COS % + p^b (1 — COS %) + i^abcPbHe SE %,方a f 万幾=方。COS ” + PaPb^b (1 — COS %) — i%“3b仓c 豆门 Ill,[Еа^Еа=Ёа exp 电 + PaPb^b (I — exp %),\на-^Иа = Haexp % + 良^瓦(1 — exp 小)，pa f 后丁 =瓦 + PaPb^b (exp % — 1),1% f На1 = Ha + РаРь^ъ (exp %—1),

где Ea и Ha — фурье-образы функций E (/, x) 〃 H (/, x),

0 = (01 + 02 + 03)2 ,九=(^1 + ^2 + ^3)2 ,

B = (?2 —^1 —普)2 ,

Dab — функции от р, явный вид которых приведен в (23.23),氏，虫， 九а，Па (а = 1,2,3)——произвольные параметры. Преобразования (43.2) образуют группу, локально изоморфную группе S (2) 8 U (2) ® (7(2).

Доказательство. Инвариантность уравнений (42.2) относительно преобразований (43.2) можно легко проверить непосредственно. Менее очевидна групповая структура этих преобразований, которую проще всего установить с помощью приведения уравнений (43.2) к канонической диагональной форме.

Будем исходить из формулировки уравнений (42.2), задаваемой соотношениями (43.1). Как показано в § 23, уравнение (43.1) можно преобразовать к виду

«鳥-I>)q/(f,p)=O・(43.3)

Здесь Го — диагональная матрица (23.8),

q/(f,p) = WTq)(f,x),(43.4)

W — оператор (23.5),尸一унитарный оператор Фурье.

На основании (43.3), (23.8) заключаем, что существует двенадцать линейно независимых матриц Q1, коммутирующих с Го и тем самым удовлетворяющих условию инвариантности уравнения (43.3):

[^, Q^ ФЧЛ Р)= 0.(43.5)

Полный набор таких матриц выберем в виде

Q； = 22* Q； = —此鳴 Q； = id* Q；+a = —iFoQ；,

Q； = /, Q；=江o, Q；=力 О — 畛)，(43.6)

Q；o = % (1 一 %，Q；i = 一 % (1 - 号)，

^2 = -^и-Го)>

где % — матрицы (1.2), / — единичная матрица размерности 6x6, Го — матрица (23.8).

Операторы О； QJ …，Q； удовлетворяют коммутационным соотношениям (22.6), т. е. реализуют представление алгебры Ли группы U ⑵ 8 U (2). Матрицы Q* (ft = 1, 2, 3, 4) ортогональны Q；, Q；,

Q8 и образуют базис алгебры Ли группы U (2). Отсюда заключаем, что уравнение (43.3) инвариантно относительно произвольных преобразований из группы U ⑵ 8 U ⑵ ® U (2):

<р' & р) f ехр (Q； 0О)屮‘ (/, р)=р + Го (cos 0 — 1) + 守 sin 0 屮‘ (Z, p),q/ (f, p) f exp (Q；+/J 屮‘ (/, P)=

、葭"%. sh 4 q/ (/, p),

(43.7)

135

q/ (力 p) exp 99+。“ 6(/, p)=

=I^ + (l—I^)cosg + ^p^sinE q/(/,p),

q/ (f, p) f exp (Qgb)屮'(勿 P)=【1 — (Q；+J2 + (QZ+戸 exp (%] q/ 仏 p), 〃，b= 1,2,3 (суммы no b нет). Возвращаясь с помощью преобразования

屮'&Р)-> 屮也 p) = ^~V(^ Р)

к вектор-функции (6.4), получаем из (43.7) преобразования (43.2) для Е = Е (玄 р) и Н = Н (/, р). Теорема доказана.

Отметим еще, что если на функцию 屮(/, х) (2.1), удовлетворяющую уравнениям (43.1), наложить условие вещественности, то согласно (6.7) параметры 0а,九^, ^ и 外。должны удовлетворять условиям

8:=8a, %： = % e； = 自1,自2 =一自2,目=自3， %=%. (43.8)

Аналогично с помощью преобразования к каноническому диагональному представлению можно исследовать нелиевскую симметрию всех подсистем уравнений Максвелла, описываемых формулами (40.4), (42.1), (42.3)—(42.6). Сформулируем без доказательства результаты, к которым приводят такие исследования.

Утверждение 7. Системы уравнений (42./) инвариантны, относительно алгебры Л8, базисные элементы которой на множестве вектор- функций (2./) задаются операторами (22.4，.

Утверждение 8. Каждая из систем уравнений (42./), (40.5), (42.3),

инвариантна относительно двухмерной абелевой алгебры, базисные элементы которой на множестве вектор-функций 屮(/, р) (6.4} имеют вид

Qi = 1 + 乎一跛『'Q2 =(乎)： (43.9) где Sa — матрицы (2.2).

Утверждение 9. Каждое из уравнений (42.6) инвариантно отно- сительно трехмерной абелевой алгебры, включающей линейно независимые операторы Qi, Q2 (43.9) 〃

Q3 = * (43.10)

Утверждение 10. Уравнения (42.5) инвариантны относительно четырехмерной алгебры, изоморфной алгебре Ли группы U (2). Базисные элементы этой АИ на множестве решений каждого из уравнений

задаются формулами

Q,=乎，Q2 = 6, Q3 = "6, Qi (43.11) где матрицы Sa и D1 определены в (2.2), (22.9), / — трехрядная единичная матрица.

Симметрия уравнений для потенциала

В заключение этой главы исследуем свойства симметрии уравнений для потенциала электромагнитного поля, задаваемых формулами (5.6), (5.5). Приведем для удобства эти уравнения еще раз, положив /^ — 0:

P^AV = 0, р^ = 0.(44.1)

Как отмечалось в § 12, максимальная АИ уравнений (44.1) в классе дифференциальных операторов первого порядка задается формулами (8.2), (16.16). Иными словами, уравнения (44.1) инвариантны относительно группы Пуанкаре, но в отличие от уравнений Максвелла (1.1), (1.2) неинвариантны относительно конформных преобразований.

Покажем, что уравнения (44.1) инвариантны относительно конформной алгебры, базисные элементы которой задаются интегро-дифференциальными операторами. Кроме того, установим максимальную группу симметрии этих уравнений в классе негеометрических преобразований.

Теорема 22. Уравнения (44./) инвариантны относительно девятимерной алгебры 〃“，которая реализуется 6 классе интегро-дифференциальных операторов. Символы базисных элементов этой АИ имеют вид

Саъ =広(6 X N)a + paS.p][8(р X N)b + 3舟・俞，(44.2)

2击 Sa= } %bcSbc，Na = gSg S^, SQa “ g — матрицы (/6J7) “ (40.10).

Д оказ ател ьство. Запишем систему (44.1) в следующих обозначениях:

L浬 G, х) = 0, 3 = P“P"I,

厶屮伍 x)=0, L2=^(g+ /) (% + iS°g)・ (44.3)

Здесь T 亿 x) —вектор-функция с компонентами {4式/, х), Л2(^, х), Л3(Л х), 4(/, х)}.

Следуя алгоритму, изложенному во введении, расщепим систему (44.3) на незацепляющиеся подсистемы. Это достигается с помощью обратимого оператора U (р, 8):

U 市,$ = ехр (UgSQapa 扌)，

(44.4)

力=修，联=京，"=(网+必+居产•

В силу коммутативности 厶(44.3) и U (p, 8)система (44.3) эквивалентна системе интегро-дифференциальных уравнений

(44.5)(44.5)以中=0, 0中=0，

(44.5)

(44.5)

гаегае

гае

гае

中=U^ (p,限)W, Ц = FL^ = / (% —叫

L2 = FL2^U^^ =

G\0G\00000000000\ /ООО0 0 I I о о 00 0 戸—[ООО0—1/ \A P2 "з00\ /ООО0 0 I I о о 00 0 戸—[ООО0—1/ \A P2 "зn亠0 I P (p + I Po I) 0/n亠0 I P (p + I Po I) 0/(44.6)(44.6)

G

\0

G

\0

0

0

0

0

0

0

0

0

00\ /ООО

0 0 I I о о 0

0 0 戸—[ООО

0—1/ \A P2 "з

00\ /ООО

0 0 I I о о 0

0 0 戸—[ООО

0—1/ \A P2 "з

n亠

0 I P (p + I Po I) 0/

n亠

0 I P (p + I Po I) 0/

(44.6)

(44.6)

(尸一унитарный оператор Фурье, ра — независимые переменные, —8 V % V 8).

Теперь нетрудно найти группу матриц @}, удовлетворяющих условиям инвариантности уравнений (44.5):

Z及N = 0, £20n =0.Z及N = 0, £20n =0.(44.7)(44.7)

Z及N = 0, £20n =0.

Z及N = 0, £20n =0.

(44.7)

(44.7)

Действительно, любую такую матрицу можно представить на множестве У, удовлетворяющих (44.5), в следующей форме:

g* ^ g£ 0

(44.8)

0000)

где 懇В — произвольные функции от %•

Произвольная матрица (44.8) является линейной комбинацией базисных элементов вида

С<хь = SaSb，a, b = 1, 2, 3, S。= g sabcSbc. (44.9)

Здесь Sbc — матрицы (16.16). Матрицы (44.9) реализуют представление алгебры Ли группы GL (3). Операторы (44.2) связаны с (44.9) соотношением

СаЬ = и^,г)СаЬи-1^Л).

Теорема доказана.

Мы видим, что уравнения для потенциала (44.1), симметрия которых в классе локальных преобразований уже, чем у системы уравнений Максвелла (1.1), (1.2), имеют более широкую по сравнению g системой (1.1), (1.2) негеометрическую симметрию.

Покажем, что уравнения (44.1) инвариантны также относительно конформной алгебры С (1, 3), которая определена в классе интегро- дифференциальных операторов.

Теорема 23. Система уравнений (44./) инвариантна относительно 15-мерной алгебры С (1, 3), базисные элементы которой задаются операторами

Р； = %’ 厶=%；% — Ч Р“，

(44.10)

о = %；У + 厶 к； = 2%；。' — К %"%

где

%； = ' ~dpEg 万 Goa — Pa^ObPb)—万 S°或力

°(44.11)

%； = %0—gSoaZa/Tl

Доказательство. В справедливости теоремы проще всего убедиться в представлении, где уравнения (44.1) имеют диагональную форму (44.6). Действительно, операторы 工】и £? (44.6) удовлетворяют условиям инвариантности (7.3) совместно с генераторами

% = % 4” = XR — % 必緑

(44J2)

D = 4y + t, ^ = 2% 卢—х^р^ поскольку

[Р卩,LJ = [&,乙2】―【Joa，LJ =[」ab，3】=。，

Ua由」眩浒喻乙，切=2区，

(44.13)

I [ (l+g)Soa% [；[力(l + g)Soa%也,D]=也 + t -2Ps十|%[)一 + '2p(p + |Pol) 厶'

[Joa, ^ = u.а,錦專佐一出徐而刀+

+彳(1 + g) S。」儿,7WVM ]以芯&] = 4決/.

Легко проверить, что операторы (44.12) удовлетворяют алгебре (8.10), (8.11). Это означает, что операторы (44.10), которые связаны с (44.12) преобразованием эквивалентности

工=и(Р, а 几厂(Р, / 〃=и(Р, $ j^(Р, а,

D = и (р, 8)DUT (Р,俞，К = и (р, е) DU- (р,2),

также удовлетворяют алгебре (8.10), (8.11) и условиям инвариантности (7.3) совместно с операторами Lx и L2 (44.3). Теорема доказана.

В заключение этого параграфа сформулируем следующие замечания.

Замечание 1. Результаты, доказанные в теоремах 22 и 23, можно усилить, объединив АИ (44.2), (44.10) в единую 24-мерную алгебру Ли. Действительно, и операторы (44.2), и (44.10) удовлетворяют совместно с 厶 1,厶2 (44.3) условиям инвариантности (7.3). Кроме того, операторы CQb (44.2.) коммутируют с Ри, /、屮,D, Ки (44.12) и, следовательно, образуют алгебру GL (3) ® С (1,3).

Замечание 2. Симметрия уравнений (44.1) относительно конформной алгебры, доказанная в теореме 23, не означает, что эти уравнения инвариантны относительно преобразований координат и времени (20.4)—(20.8), образующих конформную группу. Базисные элементы конформной алгебры, порождающие преобразования (20.4)——(20.8), принадлежат классу дифференциальных операторов первого порядка и задаются в явном виде формулами (8.2), (8.3), где S^ ——матрицы (16.17). Однако операторы (8.2), (8.3), (16.17) не удовлетворяют условиям инвариантности уравнений (44.3).

Поскольку уравнение для потенциала (5.3) без дополнительных условий (5.5) инвариантно относительно преобразований (20.4)—— (20.8), то возникает естественный вопрос, существуют ли другие калибровки для Лц, которые были бы инвариантны относительно конформной группы? В работах [86, 981 найдены конформно-инвариантные уравнения для потенциала в виде

P^AV — PVP^ =厶 (44.14)

%P"%不=°・ (44.14a)

(44.15)(44.15)Существуют и другие конформно-инвариантные калибровки для Лц. Так, вместо (44.14а) можно наложить на вектор-потенциал нелинейное дополнительное условие [98]

(44.15)

(44.15)

Глава 9

УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ,ИНВАРИАНТНЫЕОТНОСИТЕЛЬНО ГРУППЫ ГАЛИЛЕЯ

Известно, что электродинамика Максвелла является существенно релятивистской теорией, и поэтому название настоящей главы может показаться довольно странным. Однако мы уже видели выше (см. гл.7), что различные подсистемы уравнений Максвелла обладают симметрией относительно преобразований Галилея. Оказывается, существуют также другие системы уравнений для векторов Е и Н, включающие первую пару уравнений Максвелла, инвариантные относительно группы Галилея. Интерес к таким уравнениям (которые анализировались в работах Леви-Леблонда [138, 140, 141]) обусловлен тем, что, как показали исследования последних лет [37, 38, 40, 72], многие задачи о взаимодействии частицы, имеющей спин, с внешним электромагнитным полем могут быть успешно решены в рамках теории, инвариантной относительно группы Галилея.

В настоящей главе рассматриваются различные типы галилеев- ски инвариантных уравнений для электромагнитного поля и исследуются их свойства симметрии. В § 48 описаны неприводимые представления алгебры Ли группы Галилея в универсальной реализации, в которой генераторы группы имеют единую форму для всех классов неприводимых представлений.

Два типа галилеевскиинвариантных уравненийдля электромагнитного поля

В работах [138, 140, 141] исследовалась возможность последовательного описания электромагнитного поля в рамках теории, инвариантной относительно группы Галилея. Оказывается, такое описание вполне возможно по крайней мере для некоторого ограниченного круга электромагнитных явлений.

В этом параграфе мы обсудим системы галилеевски инвариантных дифференциальных уравнений для электромагнитного поля, предложенные в работах [138, 140, 141], и сформулируем задачи группового анализа этих уравнений.

Следуя [138], рассмотрим две различные системы дифференциальных уравнений, которые могут быть использованы для описания электромагнитного поля в нерелятивистском пределе.

Обсудим сначала уравнения, описывающие «домаксвеллове кую электродинамику»:

(45.1)(45.1)，•等=pxE,

(45.1)

(45.1)

0 = рХН —fj,(45.2)

р・Е = _/,(45.3)

р.Н = 0.(45.4)

Система (45.1)—(45.4) в отличие от уравнений Максвелла (1.3), (1.4) не содержит слагаемое i-^ в левой части (45.2), описывающее ток смещения. Из (45.1)—(45.4) непосредственно следует, что

p・j = O.(45.5}

Уравнение (45.5) означает, что полный ток через любую замкнутую поверхность равен нулю, или, иными словами, в электродинамике, основанной на уравнениях (45.1)—(45.4), ток /^ нельзя рассматривать в качестве носителя электрического заряда. Тем не менее уравнения (45.1)—(45.4) адекватно описывают физическую ситуацию, соответствующую преобладанию магнитсстатических явлений (когда полный электрический заряд системы равен нулю).

Поскольку члена, учитывающего ток смещения, нет, уравнения (45.1)——(45.4) неинвариантны относительно преобразований Лоренца. Оказывается, однако, что эти уравнения инвариантны относительно группы Галилея —группы движений нерелятивистской квантовой механики. А именно, каждому преобразованию координат и времени вида (39.15) можно сопоставить преобразования для Е, Н и /ц:

纥 f £q = RabEb — %bcVbHc，

(45.6)

HafH'a = RabHb，厶 + j；=凡儿，1q^ !q= 1q + Vblb^

которые образуют представление группы Галилея и совместно с (38.15) оставляют уравнения (45.1)——(45.4) инвариантными.

Таким образом, уравнения (45.1)—(45.4), которые удовлетворительно отображают магнитостатические аспекты электродинамики и учитывают закон электромагнитной индукции Фарадея, представляют собой пример физической корни, для которой последовательно применим принцип относительности Галилея.

Рассмотрим систему уравнений [138], которая в отличие от (45.1)—(45.4) учитывает ток смещения и удовлетворительно описывает явления электростатики:

i^ = — pXH + ij,(45.7)

(45.8)(45.8)Р X Е = О,

(45.8)

(45.8)

(45.9}(45.10)(45.9}(45.10)p・E = —仏,p.H = 0.

(45.9}

(45.10)

(45.9}

(45.10)

Уравнения (45.7)——(45.10) в отличие от уравнений Максвелла (1.3),

не содержат «фарадеевский» член ，帝 в правой части (45.8) и,

следовательно, не учитывают закон электромагнитной индукции. Однако ток /и удовлетворяет уравнению непрерывности

"о/о —P・j =。 (45.11) и, следовательно, может переносить электрический заряд. Физическая теория, основанная на уравнениях (45.7)—(45.10), описывает ситуацию, соответствующую движению изолированных электрических зарядов с малыми скоростями.

Система уравнений (45.7)—(45.10), как и (45.1)—(45.4), неинвариантна относительно преобразований Лоренца, но инвариантна относительно преобразований из группы Галилея, задаваемых формулами (38.15), (38.19), и может рассматриваться наряду с (45.1)—(45.4) в качестве основы галилеевски инвариантной электродинамики.

В последующих параграфах мы исследуем уравнения (45.1)— (45.4) и (45.7)—(45.10) несколько подробнее. Такое исследование будет проводиться в двух аспектах. Первый — изучение групповых свойств этих уравнений. Оказывается, группа симметрии уравнений (45.1)—(45.4) и (45.7)—(45.10) гораздо шире, чем группа Галилея; эти уравнения допускают, в частности, такие преобразования координат, которые соответствуют переходу к равноускоренной системе отсчета. Второй аспект — исследование вопроса, являются ли уравнения (45.1)—(45.4) и (45.7)—(45.10) единственными галилеевски инвариантными системами уравнений для электромагнитного поля? Оказывается, что это не так, и что существует целый класс подобных уравнений. Мы получим также системы уравнений, инвариантные относительно группы G* (39.13), которая не совпадает с группой Галилея^ но локально изоморфна последней.

§ 46. Симметрия уравнений (45.1)——(45.4)и (45.7) — (45.10)

Обозначим через 4f (/, х) десятикомпонентный столбец (4.3). Тогда уравнения (45.1)—(45.4) можно представить в виде системы

L^(t, x) = 0, 3 = (1一儲)(1一 仇厶)，

〜(46.1)

L2w(乙X) = 0, 厶==瓦卢儀，" ^2 1, 2, 3,

где рц, & — матрицы Кеммера—Дэффина (4.3).

Как упоминалось в § 45, система уравнений (46.1) инвариантна относительно группы Галилея. Однако этим не исчерпываются сим-

метрийные свойства системы (46.1), как это доказывается в следующей лемие.

Лемма 9. Система уравнений (46./) инвариантна относительно 12-мерной алгебры Ли, базисные элементы которой задаются формулами

& = Pa = Pa=-i 奇，

Ja=(X><p)a + Sa，

Ga = tPa + ^(46.2)

6= 2仇一x・p+ %

A =步％ + & — x-G, где Sa,九о 〃 г]。一 числовые матрицы следующего вида*.

Sa = i%bcPbBc，

% = 一»哨生比一 (1 一陶仇匐，(46.3'

九。=，[(1-2陶儲+ 3].

Операторы (46.2) удовлетворяют коммутационным соотношениям (38.73) u (4/.3), m. e. образуют базис алгебры Ли группы Шредингера.

Доказательство. Используя свойства p-матриц, задаваемые соотношениями (4.2), (8.5), убеждаемся аналогично (8.6)——(8.10), что операторы (46.1), (46.2) удовлетворяют условиям

IQa, 3] = [Qa,厶1 三 0.(46.4)

Здесь Qa — произвольный оператор из (46.2). Таким же образом проверяем, что для операторов (46.2) справедливы соотношения (41.3). Что же касается соотношений (38.13), то их выполнение очевидно, поскольку операторы 几，Ja, Ga (46.2) могут быть сведены к форме (41.1) с помощью операции эрмитова сопряжения. В результате убеждаемся, что операторы (46.2) действительно образуют АИ уравнений (46.1). Теорема доказана.

Итак, уравнения (46.1), помимо инвариантности относительно группы Галилея, инвариантны также относительно преобразований, порождаемых операторами D и А (46.2). Явный вид этих преобразований можно получить из (41.5), (41.6) с помощью замены Е —Н, НтЕ. Это означает, что уравнения (46.1) допускают максимальную группу инвариантности нерелятивистского уравнения Шредингера 1127, 159], которая включает группу Галилея как подгруппу.

Сформулируем еще одно утверждение, устанавливающее симметрию уравнений (46.1) относительно целого класса преобразований координат.

Лемма 10. Уравнения (46./) инвариантны относительно трехмерной коммутативной алгебры Ли, базисные элементы кот орой

имеют вид

g2 = f 优)％ + f ⑴ ％, 0=1,2, 3,(46.5)

где г]。一 матрицы (46.3), f (f) — произвольная дифференцируемая функция от 力 f (f)匸 df/dt. Генераторы (46.5) порождают преобразования координат^ векторов Е, Н и четырехвектора /出,задаваемые формулами

，=f, х' = х + f (0 〃

E = E--vXH沁)，

(46.6) Н=Н, j' = j,

/o = /o+v.j/(O.

Здесь va — параметры преобразования.

Доказательство. Прежде всего убедимся, что операторы (46.5) коммутируют друг с другом. Для этого достаточно проверить справедливость тождества

ha, Ль] = 0,(46.7)

которое вытекает непосредственно из (46.3), (8.5).

Покажем, что операторы (46.5) удовлетворяют условиям инвариантности (7.3). Обозначив

底=6耳 Ba=(l —陶阮 6=1 —隈 (46.8) получим выражения для коммутаторов G^ с 厶,н L2 из (46.1):

[Ga, 3]= —『(/)[%, i^Pb+f (/)[%, Pl 三 О,

(46.9)

[Ga,厶2】=—if (f)(篇％ + “％, Po] Po —【％, /] Рь)三 о,

поскольку в силу (4.2), (8.5) матрицы pa, pg, р (46.8) и ”.(46.3) удовлетворяют соотношениям

[%, ₽о] = [%, Р] = Иа,К] = 0，[%，Рь] = — ^баД- (46.10)

Итак, операторы (46.5) действительно образуют трехмерную коммутативную АИ уравнений (46.1). Покажем, что эти операторы порождают преобразования (46.6). Прямой проверкой убеждаемся, что уравнениям Ли (21.1), (21.3), (21.4) удовлетворяют f и х' из (46.6) и функция

屮=exp (方(0 %%) У = U + 才⑴％喝吼 (46.11)

10 - 2-5361 45

Подставляя в (46.1) явные выражения для функции Т (4.3') и матриц (см. (46.3), (4.3)):

%=• ,(46.12)

где & н 九° заданы формулами (2.2), (4.4), точками обозначены нулевые матрицы, получаем соотношения (46.6). Лемма доказана.

Мы убедились, что система уравнений (46.1) (или, что то же самое, система (45.1)—(45.4)) инвариантна относительно широкого класса преобразований координат, задаваемых формулами (46.6). Выбирая различные функции / (/), мы каждый раз будем получать из (46.6) различные абелевы группы преобразований. Такая богатая групповая структура уравнений (45.1)—(45.4) обусловлена тем обстоятельством, что соотношения (45.1)—(45.4) по существу не налагают никаких ограничений на функциональную зависимость Е от /.

Операторы (46.2) и (46.5) в общем случае не могут быть включены в конечномерную алгебру Ли. Однако для некоторых типов функций / (/) можно указать такую АИ уравнений (46.1), которая включает операторы (46.5) и Рц, Ja, Ga из (46.2).

Лемма 11. Уравнения (46.1) инвариантны, относительно алгебры Ли, базисные элементы которой задаются формулами

Ja = (xXp)a + S。，(46.13)

Ga = tpa + %,

G‘ = f (f) Pa + T]J 屮，i&N <8,(46.13')

где Sa и ^a ——матрицы (46.3), / (/) —произвольные функции из пространства С* удовлетворяющее уравнению

/N(f)=£c/(f),(46.14)

a=0

символ 尸(/) обозначает i-ю производную от f (/),尸(f) = ^f/df, Ca— постоянные коэффициенты.

Операторы (46.14) удовлетворяют коммутационным соотношениями соотношениям

[% G%] = 0, [Ja9 G；] = feabcGc,

[Ga,Gi] = [Gt Gi]=0,(46.15)

[P0,Gal = ^Gt 仍 o,G：]=心产，》VM

Доказательство сводится к проверке справедливости соотношений (46.15) с помощью (46.13), (46.14).

Рассмотрим подробнее частное решение уравнения (46.14), соответствующее N = Со = 1, & = С?=。・ Тогда формула (46.13') задает только три дополнительных базисных элемента

02=4 产％ + ‘％， “=1,2,3,(46.16)

поскольку G[ совпадает в этом случае с Ga.

Приведем явный вид преобразований для х, /, Е, Н и /и, порождав мых генераторами G^ и Ga (46.13), (46.16):

X，= х + v/ + ^二 / = /,

Ez = Е —(V + af) X Н,(46.17)

м = н, r = j, /o = /o + (v + aO-j.

Преобразования (46.17) можно интерпретировать как переход к новой системе отсчета, движущейся со скоростью v и ускорением а по отношению к исходной.

Покажем, что уравнения (46.1) допускают 15-параметрическую группу преобразований, являющуюся нерелятивистским аналогом кон- фэрмной группы.

Лемма 12. Уравнения (46.1) инвариантны относительно 15-мерной алгебры Ли, базисные элементы которой задаются формулами (41.10), где 々=3 —龍，％ 〃 S。一 матрицы (46.3.)

Доказательство. Согласно лемме 11, операторы Рц, Ja, Ga, Ва (41.10), (46.3) удовлетворяют условию инвариантности уравнений (46.1) и образуют базис алгебры Ли. Поэтому доказательство сводится к вычислению коммутаторов операторов Bqh D с 厶^ L? (46.1), друг с другом и с Рц, Ja，Ga, Ва. Используя соотношения (4.2), (8.5), получаем, что операторы (41.10), (46.3) удовлетворяют соотношениям (41.12) и условиям

[Во, La] = [D, La] = 0, a = 1,2,(46.18)

т. е. образуют АИ уравнений (46.1). Лемма доказана.

Приведем явный вид преобразований для Е, Н и / = (j。, j), порождаемых операторами В卩(41.10), (46.3):

Е-> Е = (1 — doO4E,

Н->H，= (l -d。/)4H+ 2(1 -&/)3(x-fd)XH,

(46.19)

A)f 右=(1 — 4/)6 j。，

j f『=(1 一 do炉 j 一 2 (1 — d")5(X - fd) • j。，

где d, d0 — произвольные вещественные параметры. При этом независимые переменные /их одновременно преобразуются согласно (41.13).

Все утверждения, сформулированные в леммах 9—12, справедливы также и для уравнений (45.7)—(45.10). При этом явный вид базисных элементов указанных выше АИ на множестве решений уравнений 〈45.7)—(45.10) задается формулами (46.2), (46.3), (46.12), (46.13), (41.10), где %-> % =叫統f 乂 = V.

Таким образом, уравнения (45.1)—(45.4), (45.7)—(45.10), описывающие «нерелятивистское» электромагнитное поле, помимо инвариантности относительно группы Галилея, допускают широкий класс пре- о бразований зависимых и независимых переменных, порождаемых операторами (46.2), (46.3), (46.12), (46.13), (41.10). В частности, уравнения (45.1)—(45.4) инвариантны относительно преобразований (46.17), соответствующих переходу к равноускоренной системе отсчета, и преобразований (41.13), (46. 19), которые можно интерпретировать как нерелятивистский аналог кон^юрмных преобразований. Системы (45.1)— (45.4) и (45.7)—(45.10) представляют собой пример физически содержательных уравнений, инвариантных относительно нерелятивистской конформной группы, предложенной в работе [128].

В заключение этого параграфа приведем систему определяющих уравнений для координат инфинитезимальных операторов группы инвариантности уравнений (45.1) — (45.4). Записав такой оператор в форме

Q =廿(%)/ + %(居 E, h,/) £ + %(居 E, h, j)崙一+ + 軍(元,旦也,)%,(46.20)

гдех = (xox), / = (/oj), получим в алгоритме Ли следующую систему уравнений, которой должны удовлетворять функции 自匕“公 aa и 已卩： дхь 十 дха / d/ 心 dx\dodt

dEbдН ьдХь，

dE3d03dE3d030区' даг ^ЯГ =do0区' даг ^ЯГ =do死с abc @f ，死с abc @f ，0% =川2 =川3

dE3d03

dE3d03

0区' даг ^ЯГ =

do

0区' даг ^ЯГ =

do

死с abc @f ，

死с abc @f ，

雪=0

°% I °” =死 1 dE* * d"i О/°% I °” =死 1 dE* * d"i О/1Г，1Г，(46.21)(46.21)

°% I °” =死 1 dE* * d"i О/

°% I °” =死 1 dE* * d"i О/

1Г，

1Г，

(46.21)

(46.21)

%儿戏'0。，

d%3d%3=0,=0,@n1 I 办2 + 亚=2£i dxj 十 дх2 '呪—d%i

d%3

d%3

=0,

=0,

^^^(^--^-^ i^^

= 0.

Общее решение системы (46.21) задается формулами

£ (%) = (& (f) + 区(0 + &) %" + С喰b + Вз (/) + Cl

e0 a) = j【一以⑺-2b2(T)+ 旦⑼ * + dt + ci

% (x, E, H) = [- B2(/) + 以⑺ + &J Ea + CabEb 一

-%况儿{【瓦(9 + 友⑼ ％ + 启зс «)} + В. (/) На + В^ (46.22) % (%, Е, Н) = [— 20 0) - 2В2(/) 一 & + Сз + С4] На + СаЬНь + С5а, 电(%, Е, Н, /) = - /0 (& 0) + &/ + & (/)) + j • х (田(/) + B2 (/))+%%©, & (х, e, m,/)= 4"-/a {[3当(f) + 区(3 + 2& 一 噺，

где Bh (/), Bka (k = 1, 2,..., 6) —произвольные функции от /, С^, СаЬ = — С匕。,Сп — произвольные постоянные.

Формулы (46.20), (46.22) задают целое семейство АИ уравнений (45.1), которые в общем случае бесконечномерны. Наиболее интересные с физической точки зрения конечномерные алгебры Ли, задаваемые соотношениями (46.20), (46.22), указаны в леммах 9—12.

Другие типы галилеевскиинвариантных уравненийдля электромагнитного поля

Обратимся снова к первой паре уравнений Максвелла, различные формы записи которой приведены в формулах (38.1)—(38.3). Ввиду неполноты системы (38.1) всегда можно потребовать, чтобы векторы Е,

Н (и четырехвектор /ц) удовлетворяли дополнительным уравнениям (которые, конечно, должны быть совместны с (38.1)). Это приведет нас к системе уравнений, симметрия которой в общем случае будет уже, чем у (38.1). Например, если к (38.1) добавить вторую пару уравнений Максвелла (1.4), то получившаяся система будет инвариантна только относительно конформной группы (но не инвариантна относительно преобразований из группы IGL (4, R) (39.9) и преобразований, рассматриваемых в § 41).

В § 45 рассматривалась система уравнений для электромагнитного поля, задаваемая соотношениями (45.7)—(45.10). Эта система также состоит из первой пары уравнений Максвелла (45.7), (45.8) и некоторых дополнительных условий (45.9), (45.10), сужающих симметрию системы в классе линейных преобразований до группы, включающей преобразования Галилея (38.15), (38.19), дилатацию (сжатие) координат и времен и (41.5).

Возникает вопрос: являются ли уравнения (45.9), (45.10) единственными дополнительными условиями, которые можно добавить к первой паре уравнений Максвелла, чтобы сузить их симметрию в классе линейных преобразований до группы G (3)? Для ответа на него рассмотрим общую задачу описания галилеевски инвариантных уравнений первого порядка следующего вида:

3 (/, х)三($炉 + 眦)Т(/, х) = 0, (47.1)

где 4f (/, х) — десятикомпонентная функция (4.3), g中 § — некоторые числовые матрицы. Такая задача в силу определения 1 (см. § 7) сводится к нахождению всех возможных матриц §卩 и § таких, чтобы оператор L (47.1) и генераторы группы Галилея, задаваемые формулами (38.5), удовлетворяли условиям

【厶 Q/ = %厶{Q/》у {外 〃 GJ. (47.2)

Решение соотношений (47.2) в общем виде представляет довольно сложную задачу, которая выходит за рамки данной книги. Мы наложим на матрицы 隔 § более сильные условия, потребовав, чтобы выполнялось

Q0, {QQ = {%〃},

(47.3) 〃 = —〃，Q/ = G』，Л =1,2, 3.

Тогда из (47.1)—(47.3) следует, что матрицы В出，§ и Sa, % (38.6), (38.18) должны удовлетворять уравнениям [72]

【S&, Рг>] = »%ьс6с，

[Sa，Во] = [Sa，P] = 0,

,L 人(47,4)

* 6 — В% = о, & Ро — $о% = о,

П； Рь 一 == — ^abPo-

Воспользовавшись реализацией матриц Sa и т]а, задаваемой формулами (38.18), нетрудно получить общее решение системы соотношений (47.4). Опуская подробности (детальное изложение решения системы (47.4) для более общего вида матриц 貝。имеется в [72]), приведем явный вид матриц рц, Р，удовлетворяющих (47.4):

Здесь Sa и 1а — матрицы (2.2) и (4.4); / — трехрядные квадратные единичные матрицы: а〃 ак — произвольные параметры; точки обозначают нулевые матрицы соответствующей размерности.

Подставляя в (47.1), (47.5) явный вид матриц *公九а и представляя

4r (/, х) в форме (4.3), приходим к системе уравнений следующего вида:

GP X Е 十 ％р X j + с3р/о = — i%E — ш2Н,

^гР/о = i&E,

(47.6)

QP X Е + (а + &) р/о = о,

备％，0 + ЗР • Е — qp • Н + RP • j = % G・

Формулы (47.6) задают целый класс дифференциальных уравнений в частных производных, инвариантных относительно группы Галилея. Полагая в (47.6) а( 0, q = с? = & с^ == Cg = с? = 0, с& ^= 0, получаем уравнения (45.9), (45.10). Выбирая иные значения параметров 0/ и %, находим другие уравнения, которые можно добавить к первой паре уравнений Максвелла, не нарушая их галилеевской инвариантности. Например, полагая с2 =# 0, Q =# 0, 的=# 0, & = 〃з =

==q = & = Q = q = s = 0, имеем

P><E==O, р-Н = 0,(47.7)

pXj = — i*E.(47.8)

Уравнения (47.7), (47.8) совместны с (38.2). Система (38.2), (47.7), (47.8) включает по сравнению с (45.7)——(45.10) дополнительное уравнение (47.8) для тока.

Аналогично можно показать, что уравнения (45.3), (45.4) также не являются единственными галилеевскими инвариантными дополнительными условиями, которые можно наложить на решения второй пары уравнений Максвелла (1.4). Более общие уравнения имеют вид

%Р X Н + qp X j + с8р/о = — %Н + ia^,с2р/о=包乩

(47.9)

С4Px Н + (备 + 备)P/о = 0,

^о/о + С7P • Н + с&р・ Е + RP • j = &/“

где “I， сп — произвольные параметры (которые, конечно, должны быть такими, чтобы уравнения (46.8) были совместны с (1.3)).

Получим уравнения для электромагнитного поля, инвариантные относительно группы G*, которая определяется соотношениями (41.13). Хотя преобразования (41.13) в корне отличаются от преобразований Галилея (38.15), группа G* локально изоморфна группе Галилея, и поэтому G*-инвариантные уравнения могут представлять определенный физический интерес.

Как показано в § 39, первая пара уравнений Максвелла инвариантна относительно группы IGL (4, 7?), включающей G* как подгруппу. Поэтому естественно возникает вопрос о существовании таких дополнительных условий для множества решений уравнений (1.3), которые сужали бы их симметрию в классе линейных преобразований координат и времени до группы G*. Задача описания этих дополнительных условий может быть решена по аналогии с (47.1)——(47.6), если воспользоваться явным видом генераторов группы G*, задаваемым формулами (39.11), (39.1), (39.2). В результате получаем такие условия в виде 器=0, р・Н = 0・(47.10)

Уравнения (47.10) совместны с первой парой уравнений Максвелла =+ % р.Е = -%,(47.11)

образуют систему, инвариантную относительно группы G* (39.13), (39.14) (но не инвариантную относительно группы Пуанкаре и Галилея). Система уравнений (47.10), (47.11) в отличие от уравнений Максвелла (1.3), (1.4) не содержит слагаемое р X Е в правой части (47.10)

и, следовательно, не описывает закон электромагнитной индукции Фарадея. Однако ток /ц удовлетворяет уравнению непрерывности и, следовательно, может рассматриваться как носитель электрического заряда. В целом уравнения (47.10), (47.11) более или менее адекватно описывают физическую ситуацию, возникающую при медленном движении изолированных электрических зарядов в постоянном магнитном поле.

Можно построить также систему уравнений для векторов Е, Н и четырехвектора j出，которая включает вторую пару уравнений Максвелла (1.4) и инвариантна относительно группы G*. Такая система имеет вид

^=РХЕ, (47.12)

р-Н = 0, (47.13) f =ь (47.14)

р・Е=-%・ (47.15)

Уравнения (47.12)——(47.15) в отличие от уравнений Максвелла (1.3), (1.4) не содержат член —ip X Н в (47.14) и поэтому не являются инвариантными относительно преобразований Лоренца. Тем не менее такие уравнения представляются нам заслуживающими внимания, так как они имеют физически содержательную группу симметрии G* (которая локально изоморфна группе Галилея), учитывают закон индукции Фарадея и включают ток /ц, удовлетворяющий уравнению непрерывности (45.11).

Неприводимые представленияалгебры Ли расширенной группы Галилея

В заключение данной главы, посвященной «галилеевской» электродинамике, получим в явном виде все неэквивалентные неприводимые представления алгебры G (3) (38.13), которой удовлетворяют генераторы группы Галилея.

Следуя [72], найдем реализацию представлений этой алгебры, имеющую одинаковую и достаточно простую форму для всех классов неприводимых представлений. Достоинством приведенных ниже представлений алгебры G (3), является то, что они связаны с представлениями алгебры Р (1, 3), найденными в гл. 2, и могут быть получены из последних с помощью некоторого предельного перехода.

Рассмотрим наряду с (38.13) алгебру Ли расширенной группы Галилея:

[Ра，尸&] := 0, [Ра，「О】=0，Vа，Р°]=。，

【匕，厶]=i%bcPc，[Gq,厶]=i%bcGc，

&, Gb] = 0,因,Ga] = iPa,胤，Gd] = i8abM, M P°] = M Pa]=陷 4] = [M, GJ = 0.&, Gb] = 0,因,Ga] = iPa,胤，Gd] = i8abM, M P°] = M Pa]=陷 4] = [M, GJ = 0.(48.1)

&, Gb] = 0,因,Ga] = iPa,胤，Gd] = i8abM, M P°] = M Pa]=陷 4] = [M, GJ = 0.

&, Gb] = 0,因,Ga] = iPa,胤，Gd] = i8abM, M P°] = M Pa]=陷 4] = [M, GJ = 0.

Алгебра (48.1) по сравнению с (38.13) включает дополнительный оператор М9 коммутирующий со всеми элементами алгебры G (3). В случае

М=0 алгебра (48.1) (обозначаемая далее символом G (3)) переходит в алгебру G (3) (38.13).

Алгебра (48.1) имеет три основных инвариантных оператора (оператора Казимира)

б】=2Mp° — Рара^金2 = М

(48.2) °з = lMJa 一 (Р X G)J [MJa - (Р 义 G)J

собственные значения которых ассоциируются с внутренней энергией, массой и спином нерелятивистской частицы. Каждому набору собственных значений операторов (48.2) можно сопоставить неэквивалентное

представление алгебры G (3).

Описание и явный вид неприводимых представлений алгебры (48.1) получим по аналогии с описанием представлений алгебры Р (1, 3), приведенным в гл. 2. Выберем ортогональный базис | с, р, %), образованный собственными векторами полного набора коммутирую- 八J РQ о

щих операторов Са (48.2), Рц и Л= —, где Р = (Р； + g +

丄〜

+ 尸3) 2 , с = (з, &, &), P = (%,〃，％, Рз)・

Рассмотрим аналог вектора Любанского — Паули для алгебры G (3):历=(伊°, W), где

% = ЛЛ，W = MJ —PXG.(48.3)

Из (48.1) находим коммутационные соотношения для компонент W: [必 仇]=1МгаЬ^с = ic^ab^ci

(48.4) [餘,%]=-%//С，

или в системе отсчета рА = р2 = р3

[映,吃]=吃，【/，取:]=万禽(/一哟)•(48.5)

Обозначая

叫=叽，死=合吸。+ %(48.6)

получаем, что операторы %0 и %а должны удовлетворять следующей алгебре:

icl .

仇曾入2]=仇2, %]===口3,儿]=y8入0，

,(48.7)

口0, &] = &abc® -崂•

(48.8) + %(48.8) + %吻f胱=凡諭;=学"+吻f胱=凡諭;=学"+(1/3% + p) %・pP (V^P + Pi + P2 + Рз)(1/3% + p) %・pP (V^P + Pi + P2 + Рз)Но представления алгебры (48.7) для произвольных вещественных значений оператора с^ конструктивно описаны в § 14 (см. лемму 1 и формулы (14.11), (14.15), (14.16)). Следовательно, мы можем считать известными все представления вектора W в системе отсчета р* = р?= =р3, задаваемые формулами (48.6). Явный вид этого вектора в произвольной системе отсчета получаем с помощью преобразования

(48.8) + %

(48.8) + %

吻f胱=凡諭;=学"+

吻f胱=凡諭;=学"+

(1/3% + p) %・p

P (V^P + Pi + P2 + Рз)

(1/3% + p) %・p

P (V^P + Pi + P2 + Рз)

где Rab — оператор поворота (14.3).

Мы видим, что аналитические выражения для вектора Любанско- го—Паули (14.10) и вектора W (48.8) формально совпадают, если в (14.10) сделать замену р0 &• Сравнивая (13.4) и (48.3), заключаем, что явные выражения для генераторов Р战,Ja и Ga, соответствующие вектору (48.8), могут быть получены из (15.1) заменой p()f &， N。

Этот результат можно сформулировать в виде следующего утверждения.

Теорема 24. Неприводимое эрмитовое представление алгебры Ли расширенной группы Галилея, определяемой коммутационными соотношениями (48.7), может быть реализовано 6 базисе \с, р, X〉следующими операторами:

^0 u1 А)，Ра u^ Ра，М ==。2 == %

ja = -i^X^ +，(489

\+ % + & + Рз

“ m °% P 2р2(УЗр + Р1 + р2 + Рз) где m — произвольное действительное число, Хц — матрицы, удовлетворяющие коммутационным соотношениям (48.7). ^вный вид матриц %ц 6 базисе |с, р, %)задается формулами (74./5), (14.16).

Доказательство. Справедливость теоремы следует непосредственно из рассуждений, изложенных выше. Приведем еще одно независимое доказательство.

Можно убедиться прямой проверкой, что операторы (48.9) действительно удовлетворяют коммутационным соотношениям (48.1), т. е.

образуют представление алгебры G (3). Покажем, что перебирая все неприводимые представления алгебры (48.7), получаем по формулам (48.9) представления алгебры (48.1), соответствующие всем возможным значениям инвариантных операторов (48.2). Подставляя (48.9) в (48.2), находим

& = 21Tlp口 — р2, С*2 = ш, С3 = /л『6 + 九；+ 九^ + 忌.(48.10)

Собственные значения операторов & и С2 из (48.10) лежат, очевидно на всей действительной оси. Оператор С3, используя изоморфизм (14.11), можно представить в виде

С3 = m2 (S# + S1 + S3), С2 = m2 > 0,

(48.11)

Сз = + 爲,。2 = 0，

где Sa и Та— матрицы, реализующие представления алгебры О (3) и Е (2) (14.12).

Из (48.11) видно, что инвариантный оператор С3 выражается через операторы Казимира групп О (3) и Е (2) (малых групп группы Галилея [140, 164]), собственные значения которых нумеруют все неприводимые эрмитовые представления алгебры С (3) (48.1). Теорема доказана.

Из (48.11), (14.11), (14.13) следует, что представления алгебры (48.1) можно разделить на три класса, соответствующие следующим областям значений инвариантных операторов (48.2):

— оо < ^ < оо, — оо < с2 < 0, 0 < с2 < оо, с3 = c^s (s + 1),

—оо V q V 0, & = 0, с3 = 0, (48.12)

— оо < ct < 0, с2 = 0, с3 = г2 > 0.

Представления I класса реализуются в пространстве квадратично интегрируемых функций 4f (р, X), где X = — s, —s + 1, ..., s, s — произвольное целое или полуцелое число. Такие представления обычно сопоставляют нерелятивистской частице с массой m и спином s.

Представления II класса одномерны по индексу 九 и задаются в пространстве квадратично интегрируемых функций 屮(р, р0)« Эти представления имеют дополнительный инвариантный опера тор С4 = =Л. Форма генераторов (48.9) для таких представлений зн ачительно упрощается, поскольку при этом m = Ха = 0. Неприводимое представление II класса можно сопоставить нерелятивистской безмассо- вой частице со спиральностью 儿 где % принимает фиксированное значение, равное целому или полуцелому числу.

Представления III класса бесконечномерны по индексу X и задаются в пространстве квадратично интегрируемых функций ср (р, р0,九)， где 九= 0, 1, 2, ... .Такие представления могут соответствовать гипотетическим безмассовым частицам с непрерывным спином.

Отметим, что формулы (48.9), (48.7) задают представление алгебры (48.1) и в случае, когда Cf V 0. При этом матрицы 九出=九『имеют вид (14.16). Однако такие представления неэрмитовы, поскольку оператор С2 = М имеет мнимые собственные значения.

Связь между представлениями (48.9) и представлениями, полученными в работе [140], в случаях ту=0ит = 0, с2=»0 осуществляется операторами соответственно Um и UQ (15.10). Представления III класса получены в работе [72] именно в форме (48.9).

Глава 10

РЕЛЯТИВИСТСКИЕ УРАВНЕНИЯДЛЯ ВЕКТОРНОГО И СПИНОРНОГОБЕЗМАССОВОГО ПОЛЯ

До сих пор мы исследовали симметрийные свойства уравнений Максвелла по следующей схеме: задана система уравнений, требуется найти ее алгебру (или группу) инвариантности. Данная глава посвящена обратной задаче: по заданной АИ будут получены все возможные (с точностью до экви валентности) уравнения движения, имеющие такую же симметрию, как и уравнения Максвелла. Таким образом, мы найдем все неэквивалентные уравнения для безмассовых полей со спиральностью X = 1/2; 1, а также получим ответ на вопрос, насколько однозначно форма уравнений Максвелла определяется требованиями релятивистской и конформной инвариантности.

Теоретико-групповой выводуравнений Максвелла

Как известно, именно исследования симметрии уравнений Максвелла проложили дорогу принципу относительности и постулату релятивистской инвариантности в современной физике. Этот постулат теперь, как правило, рассматривается в качестве априорного требования в любой физической теории, описывающей движение с достаточно высокими скоростями.

Возникает вопрос: могут ли уравнения Максвелла быть выведены из принципа релятивистской инвариантности? Очевидно нет, поскольку существует множество неэквивалентных релятивистских уравнений для безмассовых полей. Однако, как показано ниже, требования конформной инвариантности совместно с постулатом о векторном характере электромагнитного поля однозначно приводят нас к уравнениям Максвелла.

Сформулируем ряд определений, исходя из которых выведем затем класс конформно инвариантных уравнений для произвольных безмассовых полей (включающий как частные случаи уравнения Вейля и Максвелла).

Рассмотрим произвольное поле, описываемое вектор-функцией В (/, х):

匕(力x)丨

七&х)

Т (/, х) =•, Ya с: L2, a = 1, 2,..., n < oo. (49,1)

匕& x)

Определение 3. Поле Ч7 (/, х) удовлетворяет постулату релятивистской инвариантности, если каждому преобразованию Лоренца (20.4)—— (20.6) для переменных f 〃 х соответствует преобразование 巾(/, х), задаваемое формулой

У & х) т 屮 & х) = О (Л)屮(Г, х‘)， (49.2)

где D (Л)——числовые матрицы, образующие представление группы Лоренца.

Преобразования (49.2) задают представление группы Пуанкаре в пространстве функций ①(/, х) (49.1). Каждое такое преобразование может быть представлено в виде

4f (/, х)—屮'(/, х) = exp ("^6尸 + iP^) 4f (/, X). (49.3)

Здесь “ н 砂一вещественные параметры, J^ и Рц — генераторы группы Пуанкаре, задаваемые формулами (16.1), где S^ — числовые матрицы, реализующие представление алгебры О (1, 3) (которое в общем случае может быть приводимым).

Будем называть релятивистское поле 4f (/, х) скалярным, спинорным и векторным, если матрицы S^v, входящие в определение закона преобразования (49.3), (16.1), реализуют представление соответственно!) (О, 0),£>ф 0) (или D (0, J) и D (1, 0) (или D (0, 1)). Явный вид матриц S^v из указанных представлений приведен в (16.13)—(16.15).

Операторы (16.1) образуют ковариантные представления алгебры Р (1, 3), рассмотренные в § 16. Основные инвариантные операторы этой алгебры для представления (49.4) принимают вид (см. (13.4))

& = &产=先一产，

(49.4) c2 =叭疗=(诉一户)s-s" - s厅 рm

Собственные значения оператора С丄 ассоциируются с массой поля | (厶 x).

Определение 4. Функция 4f (/, х) описывает релятивистское без^ массовое поле, если она удовлетворяет постулату релятивистской инвариантности и условию

С^ (f, х)=(届-炉)屮伉 X)= 0. (49.5)

Таким образом, условия релятивистской инвариантнссти и равенства нулю массы поля сводятся к требованию, чтобы функция Т (£, х) покомпонентно удовлетворяла уравнению Даламбера (49.5) и при переходе к новой инерциальной системе отсчета подчинялась закону преобразования (49.2).

Потребуем теперь, чтобы поле 4f (厶 х) удовлетворяло условию конформной инвариантности. В гл. 4 упоминалось, что ковариантное представление алгебры Р (1, 3), задаваемое формулами (49.4), всегда может быть по полнено до представления алгебры С (1, 3) (алгебры инфинитезимальных операторов конформной группы) с помощью добавления операторов D и К^ (8.3). Конформные преобразования, порож-

даемые операторами (8.3) (явный вид таких преобразований приведен в (21.8), (21.9)), совместно с неоднородными преобразованиями Лоренца (49.2), (49.3) задают конформную группу С (1, 3). Однако в общем случае конформные преобразования могут оказаться несовместными @ уравнением (49.5).

Определение 5. Релятивистское безмассовое поле Т (/, х) конформно инвариантно, если уравнение (49.5) инвариантно относительно алгебры С (1, 3).

Иными словами, требование конформной инвариантности означает, что на множестве функций 4f (/, х), удовлетворяющих определениям 3 и 4, реализуется представление конформной группы.

Использовав определения 3—5, сформулируем и докажем следующее утверждение.

Теорема 25. Пусть Т (/, х) — релятивистское векторное поле с нулевой массой, удовлетворяющее условию конформной инвариантности. Тогда 中(/, х) с необходимостью удовлетворяет уравнениям Максвелла.

Доказательство. Релятивистское безмассовое векторное поле по определению описывается трехкомпонентной комплексной функцией 4f (/, х) (49.1), удовлетворяющей уравнению (49.5).

Потребуем, чтобы уравнение (49.5) было инвариантно относительно алгебры Ли конформной группы, базисные элементы которой задаются формулами (16.1), (8.3). Операторы (16.1) очевидно удовлетворяют условию инвариантности уравнения (49.6), так как С\ — оператор Казимира алгебры Р (1, 3). Что же касается операторов (8.3), то по определению должно выполняться

£, D］屮(/, х) = 0,【&, Кц］ ¥ (%, х) = 0.(49.6)

Подставив (49.4), (8.3) в (49.6), получим следующие уравнения:

［&, D］ W 0, X)=［居一卢 X^ + 位］W倍 X)= 2i (居一户)中(Z, X)= 0,

(49.7)

［&, KJ T (f, X)三［届-卢2%卫一汽"山+ 2s内炉］4r俏X)三

= 4i “卩(后一户)+ i 他一 1) pи + 5卩-｝中(Z, X)= 0.(49.8)

Уравнение (49.7) в силу (49.5) удовлетворяется тождественно, а из (49.8) получаем дополнительное условие для ¥ (/, х):

"У (/, х)三 U (々一 1)心 + 鼠炉］У (/, х) = 0.(49.9)

Таким образом, из условия конформной инвариантности уравнения (49.5) непосредственно следует, что Т (/, х) должна удовлетворять системе дифференциальных уравнений в частных производных, задаваемой формулой (49.9). Не умаляя общности, можно считать, что матрицы S^v образуют представление D (0, 1) алгебры О (1, 3). Используя явный вид таких матриц

Sab = ^abc^c9 5°^ = iSa,(49.10.)

где Sa заданы в (2.2), нетрудно убедиться, что система (49.9) совместна и имеет нетривиальные решения только в случае 々=2. При этом уравнения (49.9) сводятся к уравнениям Максвелла (2.13). Теорема доказана.

Итак, уравнения Максвелла однозначно определяются постулатами о конформной инвариантности и векторном характере электромагнитного поля. Заметим, что мы не налагали никаких априорных требований на вид получившихся уравнений (например, что это должны быть уравнения первого порядка и т. п.).

В аналогичной постановке может быть решена задача получения конформно инвариантных уравнений для полей с произвольным спином. Такая задача рассмотрена в § 53.

Единственность уравнений Максвелла

Мы убедились выше, что уравнения Максвелла с неизбежностью вытекают из требований релятивгстской и конформной инвариантности безмассового векторного поля. Утверждения о единственности этих уравнений можно доказать исходя из других требований, например, постулируя только релятивистскую инвариантность и предполагая, что электромагнитное поле описывается системой дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка. В § 55 получены релятивистские уравнения для произвольной безмассовой частицы, удовлетворяющие требованию минимальности числа компонент волновой функции 4f (/, х), и снова в случае спина s = 1 получаем систему уравнений, эквивалентную уравнениям Максвелла.

В этом параграфе мы обсудим проблему единственности уравнений Максвелла с несколько иных позиций. А именно, постулируем, что векторы Е и Н удовлетворяют одной из подсистем уравнений Максвелла, рассмотренных в гл. 8, и исследуем вопрос, какими уравнениями необходимо дополнить эти подсистемы, чтобы удовлетворить принцип релятивистской инвариантности.

Все основные подсистемы уравнений Максвелла указаны в формулах (40.9), (42.1)—(42.6), (38.1)—(38.4), (40.5). Очевидно, что если исходить из первой или второй пары уравнений Максвелла (задаваемых формулами (38.1) и (40.5)), то требование релятивистской инвариантности не налагает никаких дополнительных ограничений на Е, Н и / = (jo, j) (поскольку и уравнения (38.1), и (40.5) релятивистски инвариантны без каких-либо дополнительных условий). Поэтому рассмотрим только подсистемы (42.1)—(42.6).

Лемма 13. Уравнение

，票= -pXH + ij (50.1)

р* Е =i/°.р* Е =i/°.инвариантно относительно преобразований Лоренца (20,4)—(20.6),

р* Е =i/°.

р* Е =i/°.

в том и только в том случае, когда вектор Е удовлетворяет 0о・ полнительному условию

(50.2)

Доказательство. Представим уравнение (50.1) в виде

£В&х) = 0・(50.3)

Здесь

/Ро —iS・p

— и

0

Е

〜

00

0

0

Н

L =

,屮优,х) =

・，(50.4)

66

6

0

J

0+、+

计

0

./о .

S。一

матрицы (2.2),

/ — единичные матрицы размерности 3x3, 0

и 0 — нулевые матрицы размерности соответственно 3x3 и 3x1.

Уравнение (50.3) инвариантно относительно преобразований Лоренца (20.4)—(20.6), (20.11), (20.12), если инфинитезимальные операторы этих преобразований, задаваемые формулами (4.3), (8.2), (8.4), удовлетворяют условиям

[厶 PjJ У (/, х) = 0,【£,/цу] 4f (力 х) = 0.(50.5)

Используя явный вид матриц S^v (20.10), получаем коммутаторы операторов L (50.4) и Рц, /尸(8.2) в виде

[^» ^ц]=[厶,/abl =。，(50.6)

生— §・р8а

6

6

К、

【厶Aal =，

6

6

6

0

—So/.(50.7)

0

6

6

0

1 3+

祖

计

0 /

Подставляя (50.7) в (50.5) и

принимая во

внимание явный вид

матриц Sa (2.2) и Ka (4.4), приходим к уравнению (50.2).

Итак, мы убедились, что для инвариантности уравнения (50.1) относительно преобразований Лоренца необходимо, чтобы выполнялось соотношение (50.2). Условие (50.2) является также достаточным, поскольку система уравнений (50.1), (50.2) лоренц-инвариантна, как показано в § 38. Лемма доказана.

Аналогично может быть доказано утверждение.

Лемма 14. Уравнение

=РХЕ(50.8)

инвариантно относительно преобразований Лоренца в том 〃 только 6 том случае, когда вектор Н удовлетворяет дополнительному условию

р-Н=0.(50.9)

11 -2-536161

Используя результаты, сформулированные в леммах 13, 14, нетрудно доказать такую теорему.

Теорема 26. Необходимым и достаточным условием лоренц-инвариантности системы уравнений

i* = -pXH + %

(50.10)

z^=PXE

является требование, чтобы, Е 〃 Н удовлетворяли дополнительным условиям (50.2) и (50,9).

Доказательство. Необходимость условий (50.2), (50.9) следует непосредственно из лемм 13, 14. Достаточность этих условий вытекает из лоренц-инвариантности полной системы уравнений Максвелла (1.3), (1.4), к которой сводятся уравнения (50.2), (50.9), (50.10).

Таким образом, уравнения (50.10) инвариантны относительно преобразований Лоренца только в том случае, когда Е и Н одновременно удовлетворяют уравнениям (50.2), (50.9), которые можно рассматривать как следствие системы (50.10) и постулата о релятивистской инвариантности. Оказывается, что справедливо и обратное утверждение^ согласно которому уравнения (50.10) в свою очередь могут быть выведены из требования лоренц-инвариантности системы (50.2), (50.9).

Теорема 27. Пусть L (Е, Н, /) — система дифференциальных уравнений 6 частных производных, включающая подсистему

р・ Н = 0.

Тогда для лоренц-инвариантности 厶(Е, Н, /) необходимо, чтобы эта система включала также уравнения (50.10).

Доказательство. Используя обозначение (38.4) для

4f(力 х), уравнения (50.11) можно представить в виде

L^^ х) = 0,(50」2)

где Lo (а — 1, 2, 3) — один из операторов, задаваемых формулой

Ра~ С・рЗа

б

6

0

〜

0

Ра — S *pSa

0

0

^а =

・(50.13)

0

0

0

0

卜0+

0+

0，

Потребуем, чтобы система (50.12) удовлетворяла условию лоренц- инвариантности (50.5). Подставив в (50.5) выражения (8.2), (50.13),

для операторов L^ 夕卩 и /炉，приходим к уравнениям

厶,乙母三 0, [LaJb^ = i^abLc 一 8acLb)勺=0,(50.14)

厶,几。母=i (1 一 S^) L# = 0,(50.15)

где L — оператор, определенный в (50.4), Sa = ~ ^аьс^ъ^ 5Ьс -—матрицы из (20.10).

Уравнения (50.14) в силу (50.12) удовлетворяются тождественно. Из (50.16) получаем, что функция Т (/, х) должна удовлетворять уравнению (50.3). Теорема доказана.

В заключение заметим, что доказанные в настоящем и предыдущем параграфах утверждения, конечно, не означают, что уравнениями Максвелла исчерпываются все возможные релятивистски инвариантные уравнения для безмассового векторного поля. Например, хорошо известны различные нелинейные обобщения этих уравнений. Но даже если ограничиться классом линейных уравнений, то и в этом случае на множество решений системы (1.1), (1.2) можно наложить различные пуанкаре-инвариантные дополнительные условия, что приведет нас к системе уравнений, неэквивалентной (1.1), (1.2). Конструктивное описание всех неэквивалентных релятивистских уравнений для безмас- совых полей со спином 1/2 и 1 приведено в двух последующих параграфах. При этом все основные результаты сформулированы в такой форме, которая делает очевидным их обобщение на случай полей с произвольным спином.

Пять типов неэквивалентных уравненийдля безмассовых полей

Для того чтобы выделить классы неэквивалентных релятивистских уравнений, описывающих произвольное безмассовое поле с фиксированной спиральностью, рассмотрим подробно простейшее из таких уравнений

i~^^ х) = а.рТ(/, х),(51.1)

где Т (/, х) — двухкомпонентна я функция (49.1), о。——матрицы Паули (2.2) размерности 2x2. Формула (51.1) определяет хорошо известное уравнение Вейля для нейтрино.

Как показано в работах [105, 106], уравнение Вейля не является единственным пуанкаре-инвариантным уравнением для безмассового поля со спиральностью s = 1/2. В [105, 106] найдены еще два неэквивалентных уравнения для такого поля и показано, что в случае произвольной спиральности также существует по крайней мере три типа неэквивалентных уравнений, инвариантных относительно группы Пуанкаре.

Коротко говоря, суть рассуждений, приводящих к такому результату, сводится к следующему. Известно, что уравнение Вейля (51.1)

эквивалентно уравнению Дирака с массой m = О

(51.2)(51.2)у必呼 Q, х) = 0

(51.2)

(51.2)

и дополнительному условию

（1 一勿J屮&Х）=0・（1 一勿J屮&Х）=0・(51.3)(51.3)

（1 一勿J屮&Х）=0・

（1 一勿J屮&Х）=0・

(51.3)

(51.3)

Здесь 屮—четырехкомпонентная вектор-функция (49.1), 丫卩—четырехрядные квадратные матрицы, удовлетворяющие алгебре Клиф- фоода,也=ТоТ1?2Тз.

Уравнение (51.2) и дополнительное условие (51.3) пуанкаре-ин- вариантны. Генераторы группы Пуанкаре на множестве решений уравнений (51.2), (51.3) имеют вид

Ро =" = YoYaAz，Ра = = — ,

J ab = XaPb — xbPa + S^, (51.4)

」0а ===尤0%2" [%Ф "】 +，

где S°b = ^(YaYb —Y#a)・

Нетрудно убедиться, что формула (51.3) не исчерпывает все возможные пуанкаре-инвариантные дополнительные условия, которые можно наложить на множество решений уравнения (51.2). Так, уравнения

6出三g1 +巫也普)屮=0, £ = ±1,(51.5)

1

где р = (р2 + р2 -]- р2)2, ^ ——интегральный оператор

7 W(/，х) = з：з/2 ^р^ (f，р) exp(4р-х)=

У『3g 綜(51.6)

также удовлетворяют условию инвариантности относительно алгебры

Действительно, операторы Р| удовлетворяют соотношениям

[Р^ Р切="吟 8] = 0.(51.7)

Здесь & и 41V — генераторы (51.4).

Чтобы получить все неэквивалентные пуанкаре-инвариантные уравнения в представлении (51.4), проанализируем дополнительные условия (51.5) с теоретико-групповой точки зрения.

Операторы (51.4) реализуют на множестве решений уравнения (51.2) прямую сумму неприводимых представлений

D+(s)㊉ D+(—s)㊉ £T(s)+£n—S), s = ~(51.8)

f - 尸0 з—ГЛТf - 尸0 з—ГЛТалгебры Р (1, 3). В самом деле, инвариантные операторы знака энергии и спиральности (15.3) для алгебры (51.4) принимают вид

f - 尸0 з—ГЛТ

f - 尸0 з—ГЛТ

~，С4 — 2Р=明 ~у，аа = YoYa， (51.9)

а операторы 汕 и 贅-коммутируют друг с другом и принимают собственные значения соответственно ±1 и ±1/2.

На множестве функций, удовлетворяющих дополнительному условию (51.3), собственные значения операторов (51.9) одновременно положительны или отрицательны. Это означает, что условие (51.3) выделяет из множества решений уравнения (51.2) такое подпространство, на котором реализуется представление 傭㊉叮一夕ал- гебры Р(1,3)・ Что же касается уравнения (51.5), то оно выделяет подпространство представления со спиральностью -|-, т. е. °+ ^^ ㊉ ㊉ D~ (т) •

Итак, условия (51.3) и (51.5) выделяют различные подпространства представления (51.8) и в силу этого являются неэквивалентными. Очевидно, что на решения уравнения (51.2) можно наложить столько неэквивалентных пуанкаре-инвариантных дополнительных условий, сколько неэквивалентных инвариантных подпространств включает пространство представления (51.8), т. е. 15. Все такие неэквивалентные подпространства (помимо полного пространства (51.8)) описываются следующими формулами:

Q" (%s), « = у»

由⑹㊉0％一 s),

。+ (e2s) ф D~(82s),(51.10)

Q+(82s)㊉ Q-(— £2S),

D^(82s)㊉ D~81(82s)㊉ D& (— £2*

Для получения в явном виде пуанкаре-инвариантных уравнений, выделяющих подпространства (51.10), воспользуемся операторами проектирования

=y(1 十g 箒卜 p金=4" 0 +加2也*)■(51.11)

Операторы (51.11) удовлетворяют соотношениям

(噜)2=噜，噜 %电=0,[沖,p:2] = 0,(51.19)

[Раа, Рц] — [Pa,J卩”]=0, а = 1, 2

/суммы по а нет!) и являются ортопроекторами на подпространства собственных функций инвариантных операторов С3 и С4 (51.9) с собственными значениями соответственно % и 皆£2.

Используя операторы (51.11), нетрудно построить проекторы, выделяющие подпространства (51.10):

3=Р冲匿，厶=比，厶=&2，

(51.13)

厶=夕或 + Р+Р^\ 厶=1 一 •

С помощью проекторов (51.13) получаем неэквивалентные дополнительные условия для множества решений уравнения (51.2) в виде

4 (" — 1) Ч1•三(一3 +$ + 同£2也 + 必也a • 3 屮=0, (51.14)

2 (Л2 — 1) ^ = (― 1 + 81a.p) T = 0,(51.15)

2 (厶3 — 1)屮三(一1 +【包丫4a・S)中=0，(51.16)

2(及- 1)中三(-1 +“%0)中=0,(51•⑺

4(—厶 + 1)屮三(1 + 8ia*P + ^ie2?4 + M«a*P)^ = 0,(51.18)

人 0 где р •

Согласно (51.12), (51.13) уравнения (51.14)—(51.18) инвариантны относительно алгебры Р (1, 3). На множествах решений уравнения (51.2) с дополнительными условиями (51.14)—(51.18) реализуются представления группы Пуанкаре, указанные в формулах (51.10).

Таким образом, существует пятнадцать неэквивалентных релятивистски инвариантных уравнений для безмассового поля со спиральностью I 入 I = s = 1/2. Эти уравнения могут быть представлены в виде (51.2) или в виде системы, включающей (51.2) и одно из дополнительных условий (51.14)—(51.18).

Исследуем симметрию полученных уравнений относительно преобразований пространственной инверсии Р, обращения времени Т и зарядового сопряжения С. Эти преобразования определяются соотношениями (11.2), где 4r (力 х)——двухкомпонентная вектор-функция (49.1), гъ г2 и Гз — некоторые эрмитовые матрицы, которые должны быть такими, чтобы операторы (11.2) совместно с генераторами (51.4) удовлетворяли перестановочным соотношениям (11.3). Не умаляя общности, эти матрицы можно выбрать в виде

А = Yo， 「2 = Y0Y4，仆=М・(51.19)

Согласно (11.3), (15.3) операторы (51.19) коммутируют с инвариантными операторами (51.9) следующим образом:

РС3 = С3Е 7е3 = -e37, СС§ = — Сз。,РС3 = С3Е 7е3 = -e37, СС§ = — Сз。,(51.20)(51.20)PC. — CR тс& = сг CC4 = c4c.

РС3 = С3Е 7е3 = -e37, СС§ = — Сз。,

РС3 = С3Е 7е3 = -e37, СС§ = — Сз。,

(51.20)

(51.20)

Вместо унитарного оператора Т часто рассматривают антиунитарный (вигнеровский) оператор обращения времени

TW=TC.(51.21)

Из (51.19) получаем соотношения для оператора Т囚：

TWC3 = С3Т% 7^с4 = CJW.(51.22)

Соотношения (51.20)—(51.22) можно отобразить графически с помощью следующей схемы

С

D+(s)《——>D~ (s)

РРО£1(М)《——> Q& 蝕)，(51.23)

С

0+(- s)《——>0一 (一s)

где символ D+ (s) -<―>D+ (—s) означает, что операция пространственной инверсии переводит вектор из пространства неприводимого представления Q+(s) в вектор из пространства представления D+ (—s) и т.д.

На основании (51.20)—(51.23) заключаем, что уравнение (51.2) без дополнительных условий Р-, Т^, С-инвариантно; система уравнений (51.2), (51.14) Т^-инвариантна, но Р-, С-, СР-неинвариантна; уравнения (51.2), (51.15) Р-, Т^-инвариантны, но С-неинвариантны; уравнения (51.2), (51.16) С-, Т^-инвариантны, но Р-неинвариантны; уравнения (51.2), (51.17) 7历・,CP-инвариантны, но С-, Р-неинвариант- ны и, наконец, уравнения (51.2), (51.18) имеют такие же свойства симметрии относительно преобразований Р, Tw и С, как и система (51.2), (51.14).

Отметим, что уравнения (51.2) с одним из дополнительных условий (51.14)—(51.16), (51.18) неинвариантны относительно преобразований PTWC. Этот факт не противоречит известной теореме Паули- Людерса [5], поскольку указанные дополнительные условия не имеют явно ковариантной формы и задаются с помощью нелокальных (интегро-дифференциальных) операторов.

Полученные результаты можно сформулировать в виде следующего утверждения.

Теорема 28. Существуют пять типов пуанкаре-инвариантных уравнений для безмассового поля со спином s=J, имеющих различную симметрию относительно дискретных преобразований Р, С и Т (11.2). Такие уравнения с точностью до эквивалентности имеют вид (5/.2) или записываются в виде системы, включающей уравнение (51.2) и одно из дополнительных условий (5/./4)—— (51.18).

Из приведенных выше рассуждений следует также, что если ограничиться двухкомпонентными уравнениями (т. е. такими, на множестве решений которых реализуется прямая сумма двух неприводимых представлений группы Пуанкаре), то можно постро-

ить три типа систем дифференциальных уравнений, описывающих поле с массой т = 0 и спином s= 1/2. Такие уравнения эквивалентны уравнению Дирака (51,2) с одним из дополнительных условий (51.15)-(51.18) [106, 107].

Таким образом, мы получили конструктивное описание всех неэквивалентных линейных уравнений для безмассового поля со спином 1/2. Как показано в работе [ПО], «новые» уравнения для нейтрино, предложенные в работах [165, 166], могут быть сведены к системам» указанным в теореме 28.

Неэквивалентные уравнениядля безмассового векторного поля

Результаты, изложенные в предыдущем параграфе, допускают самое непосредственное обобщение на случай уравнений для векторного безмассового поля. Здесь мы осуществим такое обобщение, исходя из формулировки уравнений Максвелла в форме Дирака, задаваемой соотношениями (3.6.), (3.7). Умножив (3.6) и (3.7) на у。, представим эти уравнения в виде

(52.1)

«备 _£・р) S^W^ х) = 0,

о丿(52.2)о丿(52.2)где 4f (f, х) — восьмикомпонентная функция (3.5), ао и S”——матрицы размерности 8 义 8:

о丿

(52.2)

о丿

(52.2)

матрицы а。и Sptv задаются формулами (3.1), (3.8).

Как отмечалось в § 3, система (3.6), (3.7) (а значит, и эквивалентная ей система (52.1), (52.2)) сводится к уравнениям Максвелла (1.1), (1.2) для компонент функции (3.5), которые в общем случае могут быть комплексными.

Обсудим различные типы пуанкаре-инвариантных дополнительных условий, которые могут быть наложены на множество решений системы (52.1). Одно из таких условий можно представить в виде

屮 *(f,x) = W(f,x). (52.3)

Соотношение (52.3) пуанкаре-инвариантно и совмести© с уравнениями (52.1), поскольку преобразования Лоренца для компонент функции (3.5) вещественны, как и матричные элементы матриц а и S战”S战”. Уравнения (52.1) с дополнительным условием (52.3) полностью эквивалентны уравнениям Максвелла (1.1), (1.2) для вещественных векторов Е и Н.

Существуют и другие релятивистски инвариантные дополнительные условия, которые можно наложить на вектор-функцию Т (力 х), удовлетворяющую (52.1). Для систематического описания всех неэквивалентных условий такого типа воспользуемся аналогией между системой (52.1) и уравнением Дирака с m = 0 (51.2).

Лемма 15. Все возможные (с точностью до эквивалентности)川〃・ нейные пуанкаре-инвариантные дополнительные условия, которые допускает система (52./), задаются формулами (51.14)—(5/./8), где

Т(52.4)

ао —матрицы (52.2), (3./), / и 0—единичные и нулевые матрицы размерности 4x4.

Доказательство. Прежде всего убедимся, что на множестве решений уравнений (52.1) реализуется следующая прямая сумма неприводимых представлений II класса группы Р (1, 3):

。+⑴㊉ 0+(—1)㊉。一⑴㊉ D-(—I).(52.5)

Действительно, из (8.2), (3.8) (52.1) следует, что

Р^ В, х)三［—鳥一血・ р)2 y Q, x) = О,

(52.6)

叭疗中(/, Х) = — ^ 6ab§abP户7 «，X)= 0.

Здесь Р^Р^ и W^W^ — инвариантные операторы (15.3). Согласно (52.6), генераторы (8.2), (3.8) образуют на множестве pF 〃， х)} представление алгебры Р (1, 3), принадлежащее II классу. Чтобы доказать, что это представление разлагается в прямую сумму представлений (52.5), воспользуемся соотношением

j ^abeSabp^& X)= w£・p屮(/, х), (52.7)

где 丫5, Sab9 联° — матрицы (52.4), (52.2). Уравнение (52.7), которое следует непосредственно из (52.1), будет обобщено в § 54 для случая частиц с произвольной спиральностью.

Представляя (52.7) в виде

»N(/,x) = MP3&x), (52.8)

где Wo — нулевая компонента вектора Любанского—Паули (13.4). (13.1), (8.2), (3.8), и сравнивая (52.8) и (15.6), заключаем, что произведение инвариантных операторов С3 и & (15.3) на множестве решени й уравнений (52.1) равно iy^. Но тогда из (52.1), (8.2), (3.8) получаем

(52.9)(52.9)СзВ0,х) = М^У& х),С^^^) = ^-^^ х).

(52.9)

(52.9)

Собственные числа инвариантных операторов (52.9) независимо принимают значения ±1, откуда следует, что представление (8.2), (3.8) на множестве решений системы (52.1) действительно разлагается в прямую сумму (52.5).

Дальнейшее доказательство почти дословно совпадает с доказательством теоремы 22 (см. (51.8)—(51.20)). Лемма доказана.

Итак, как и в случае поля со спином 1/2, имеется пять типов неэквивалентных линейных уравнений для безмассового векторного поля, имеющих различную симметрию относительно дискретных преобразований Р9 С и Т. Эти уравнения могут быть представлены в виде (52.1) или в виде системы, включающей уравнения (52.1) и одно из дополнительных условий (51.14)—(51.18), (52.4). Кроме того, имеется еще нелинейное соотношение (52.3), которое можно добавить к уравнениям (52.1) без дополнительных условий, а также к системам (52.1), (51.14)— (51.18) (условия (51.14), (51.15), (51.17), (51.18) несовместны G (52・3))・“

Поскольку уравнения (52.1) с дополнительными условиями (51.14)— (51.18), (52.4) в общем случае не сводятся к уравнениям Максвелла для Е и Н, используем для функции 屮(玄 х) следующие обозначения:

У & х) = столбец (^, %, %,屮2)， (52.10) где

4=(中:，咁,唱)， %=(电,吧,囲)， (52.11)

¥?, q)a(a = 1, 2, 3, а = 1, 2) — однокомпонентные функции. Приняв во внимание тот факт, что уравнения (52.1) сводятся к системе уравнений Максвелла для векторов 4rl и 明(52.11) (см. § 3), и использовав соотношения (52.2), (52.4), представим в явном виде все неэквивалентные пуанкаре-инвариантные уравнения для поля с нулевой массой покоя и спином s = 1:

РХ%=» 噤，РХК = -С•栄，

(52.12) p.Wi=p”2 = 0;

PXK = i 券，PXK= —勺，

p •屮［=p •屮 2 = 0,(52.13)

屮；=屮「 则=%;

PX ^1= i 号^，P><% = —i 号，

p.Wi=p№2 = 0，(52.14)

p (% 一 左3D + 以(如 X ^1 + Ф X 匕)=0;

pX^ = i 等，РХЗ-*

р・％ = р・£ = О,(52.15)

PX^I =同理\,P Xy2 =毘0屮2；

рХЕ =，-^~~,р X 屮2 = —，~^Г"，

(52.16)(52.16)pXW,=i£/吗,则=总pXW,=i£/吗,则=总РХ^2 = ^2, 呢=%；РХ^2 = ^2, 呢=%；РХУ, = 】м ,РХУ, = 】м ,РХЗ —県РХЗ —県P・W\ = PM = O,

(52.16)

(52.16)

pXW,=i£/吗,则=总

pXW,=i£/吗,则=总

РХ^2 = ^2, 呢=%；

РХ^2 = ^2, 呢=%；

РХУ, = 】м ,

РХУ, = 】м ,

РХЗ —県

РХЗ —県

(52.17)(52.17)(52.18)(52.18)p •呼=p•屮2=0,

(52.17)

(52.17)

(52.18)

(52.18)

% =也у2；

P X % = 2:p X 屮2 = - I""/,

рМ=р・％ = 0,

P X 吗 = £m P X % = 一 w屮，；

PXWI 県 PX” —i*

р・У,=р・У2 = 0,(52.19)

%+两% = 0,p X % =-汲勿屮i,

где "=(总 + 错 + 磴 2, £, V = ± 1.

Системы уравнений (52.12)—(52.19) неэквивалентны одна другой в том смысле, что не существует линейных преобразований, переводящих решения этих систем одно в другое. Уравнения (52.12)——(52.19) имеют различную симметрию относительно дискретных преобразований Р, Т н С (51.15) и, кроме того, на множествах их решений реализуются разные представления алгебры Р (1, 3). Свойства симметрии уравнений (52.12)——(52.19) приведены в таблице.

Таким образом, существует 18 различных уравнений для релятивистского безмассового векторного поля (соответствующих различным значениям параметров 8, е'в (52.12)—(52.19)). При этом все системы (52.12)—(52.19), за исключением (52.12), (52.13), (52.17), включают нелокальные (интегро-дифференциальные) уравнения.

Порядковый номер системы уравнений

Представление алгебры Р(1, 3), реализующееся на решениях системы

Дискретные преобразования, оставляющие уравнения инвариантными

Дискретные преобразования, OTHO* сительно которых уравнения неинва* риантны

(52. 12)

0+(1)㊉ 0+(-1)㊉

Р, С, Tw

㊉D—(l)㊉ 0—(-1)

(52. 13)

D十⑴+ о+(—1)㊉

Р, С, Tw

—

㊉0一⑴ + 0-(-1)

(52. 14)

De (sM)

7囚

С, СР, Р

(52. 15)

D+(e•l)㊉ 0一(Е•1)

e,产

р

(52. 16)

D^i)®D-(&.\)

e,产

р

(52. 17)

O+(e・ 1)㊉ 0— (т・1)

吗eР

с,р

(52. 18)

De(l)®De (—1)

Р, Tw

с

Dё (_2‘•1)㊉ 0-e (e'•1)㊉

(52. 19)

㊉0T T・l)

& Р, СР

Заметим, что уравнения (52.12)—(52.19) перестают быть неэквивалентными, если под эквивалентностью понимать взаимнооднозначное соответствие решений соответствующих уравнений, которое задается произвольным образом (а не только с помощью линейного преобразования). Так, уравнения (52.13), (52.15), (52.17), (52.18) сводятся к уравнениям Максвелла (1.1), (1.2), если положить

% = Е, V2 = H; (52.20)

Е = ^(К + У；) + ^Р 图—吟，

(52.21)

Н=Ц(%+ 嗔)一^「皿一吟， РУа&Х)=Уа(/, — Х)；

Е = •! (% + 吟， Н =-等(屮2 -呜； (52.22) e = 1(T2 + 嗔)， h =冲繼-屮2),(52.23)

где 4fl и 4f2 ——решения уравнений соответственно (52.13), (52.15), (52.17), (52.18). Таким образом, уравнения (52.13), (52.15), (52.17), (52.18) можно рассматривать как различные формулировки уравнений Максвелла, имеющие различную симметрию относительно преобразований Р, Т н С (см. § 3, 6). Уравнения (52.12), (52.14), (52.16), (52.19) также описывают безмассовое поле спина 1, но не могут быть сведены к уравнениям Максвелла (1.1), (1.2) для вещественных векторов Е и Н.

Глава И

ПУАНКАРЕ-ИНВАРИАНТНЫЕ УРАВНЕНИЯДЛЯ БЕЗМАССОВОГО ПОЛЯС ПРОИЗВОЛЬНЫМ СПИНОМ

В этой главе рассматриваются различные обобщения уравнений Максвелла и Вейля на случай безмассовых полей с произвольной спи* ральностью. Такое обобщение интересно с чисто математической точки зрения, так как дает возможность по-новому взглянуть на уравнения Максвелла, которые являются только звеном в бесконечной цепи пуанкаре-инвариантных уравнений для полей с нулевой массой. Рассматриваемые ниже уравнения должны вызывать также практический интерес, поскольку поля с нулевой массой покоя и спином, отличным от 1/2 и 1,— это вполне реальные физические объекты (например, гравитационное поле, имеющее спин 2).

Использованы результаты, полученные авторами в статьях [26, 28, 57, 68], а также часть результатов, изложенных в работах [91, 147, 154].

Ковариантные уравнениядля безмассовых полейс произвольной спиральностью

Уравнения для безмассового поля с произвольной фиксированной спиральностью могут быть выведены исходя из предположения, что это поле удовлетворяет условию конформной инвариантности (см. § 49, определения 3 ——5). Такой вывод можно осуществить в полной аналогии с тем, как это сделано в § 49 для уравнений Максвелла. Действительно, во всех выкладках § 49 вплоть до формулы (49.9) мы нигде не использовали тот факт, что матрицы S^ реализуют представление D (0, 1) и, следовательно, уравнение (49.9) с необходимостью должно выполняться для произвольного конформно инвариантного поля с нулевой массой.

Ограничимся случаем, когда матрицы S^v реализуют вполне приводимое представление алгебры О (1, 3). Тогда уравнения (49.9) распадаются на ряд незацепляющихся систем, в каждой из которых мат* рицы S^v реализуют неприводимое представление D (т, п) этой алгебры.

Но уравнения (49.9) также должны удовлетворять условию инва* риантности относительно алгебры С (1, 3)

[L山q/]中倍制=0,(53.1)

где Qa — произвольный генератор группы С (1, 3), заданный одной из формул (8.2), (8.3). Вычисляя соответствующие коммутаторы для Рц и J战V, получаем

【Лл,尸三О,

(53.2) [厶出，Ad屮三‘(g尸"-g"JG,

откуда видно, что уравнения (49.9) пуанкаре-инвариантны. Подставляя в (53.1) Qa из (8.3), получаем формулы [91]

[5xSaix — iS^ — k (1 —田 g% J 4f (厶 x) = 0,

伏(1 —舟—加(加+ 1)—〃(九 + 1)]Т(/, х) = 0,(53.3)

(n + m + 1 — й) (m — п — й) (и — т — й) (й + m + n +1)&W (力 x) = 0.

Уравнения (53.3) имеют нетривиальные решения только в случае, когда либо m = 0, либо п = 0; при этом

k = s+ 1, s = m + п.(53.4)

Итак, мы получили конформно-инвариантные уравнения для полей произвольного спина в форме (49.9), (53.4). Из (49.9) следует, что 4f & х) — поле с массой нуль, поскольку умножение (49.9) на 夕出 с последующим суммированием по 卩 приводит к уравнению

s*9評 &х) = 0,(53.5)

которое сводится к (49.5).

Покажем, что уравнения (49.9), (53.4) описывают поле с фиксированным значением спиральности |Z| = s. Для этого заметим, что операторы 七卩 из (49.9), (53.4) можно представить в виде

L^sp^-W^(53.6)

где 步卩—компоненты вектора Любанского—Паули (13.4) для представления алгебры Р (1, 3), задаваемого формулами (8.2). Записывая уравнения (49.9), (53.6) в виде

办中= (es)eP 評(53.7)

и сравнивая (53.7) с (15.7), заключаем, что на множестве ｛甲｝ реализуется прямая сумма представлений Q+ (s) ф Q- (—s). Следовательно, уравнения (49.9), (53.4) можно рассматривать как условия, выделяющие из множества функций (49.1) такое подмножество, которое образует пространство представления II класса группы Пуанкаре^ характеризуемое спиральностью 九=± s.

Отметим, что генераторы группы Р (1, 3), задаваемые формулами (8.2), (где S” 一 матрицы, образующие представления О (s, 0) или D (0, s) алгебры О (1, 3)) эрмитовы относительно скалярного произведения

(%%)=击 J сРхс13PdЗр7；也 р) х

X ^=T 屮2 (f, P‘) exp【i (p — p)・x], (53.8)

где Tx и Т2 — произвольные решения уравнений (49.9), (53.4), а ▽а(/, Р) — фурье-образ Ва & х), а = 1, 2.

Уравнения (49.9), (53.4) являются непосредственным обобщением уравнений Максвелла в форме (2.13) на случай полей с произвольной епиральностью. Если матрицы S炉 из (49.9) реализуют представление D (0, ；) или D (；, 0) алгебры О (1, 3), система (49.9), (53.4) эквивалентна уравнению Вейля для нейтрино.

Системы уравнений вида (49.9) рассматривались в работах [91, 126]. В [10, 53] получены уравнения в форме (49.9), инвариантные относительно обобщенной группы Пуанкаре Р (1, 4). Бесконечнокомпонентные системы уравнений вида (53.1) исследовались в статьях [44, 64, 94, 169].

Заметим, что несмотря на явную релятивистскую ковариантность уравнений (49.9) и на то, что функция Т (/, х) при ®=1 покомпонентно удовлетворяет условию (49.5) (которое означает, что поле 4f (/, х) имеет нулевую массу покоя), в общем случае система (49.9) не является кон^Ьрмно-инвариантной. Условию конформной инвариантности удовлетворяют только те из уравнений (49.9), которые включают матрицы 5卩” из представления D (s, 0) или D (0, s), причем значения параметра 々 должны задаваться формулой (53.4). Этот результат получен Брей- кеном [911.

Уравнения в форме Дирака для полеЁс произвольным спином

Ковариантная формулировка релятивистских уравнений для без массовых полей произвольного спина, рассматриваемая в предыдущем параграфе, наряду с внешней простотой и изяществом имеет тот недостаток, что каждый раз при решении конкретных задач с испо- зованиш (49.9), (53.4) приходится иметь дело с системой четырех линейных уравнений, причем дифференциальные операторы £ц, определяющие эти уравнения, не коммутируют.

Рассмотрим другую возможность описания релятивистских безмас- совых полей, которая основывается на обобщении уравнений Максвелла в форме Дирака (3.6), (3.7). Такие уравнения во многих случаях более удобны, чем системы вида (49.9), (53.4), потому что при их формулировке используются только обратимые матрицы.

Следуя [36, 62, 681, рассмотрим системы дифференциальных уравнений в частных производных следующего вида:

ЗУ(/,х)

厶乎C，x）三

。京

M—a・p)W&x) = O,(54.1)

— a・p) 5卩2卩呷侑 x)=0,(54.2)

где ^ (/, х) — вектор-функция (49.1), имеющая 4s компонент, s =玄, 1,...; «а и S战V — матрицы размерности 4s X 4s, определяемые соотношениями

sab = £血佇 ％ + %)，Soa = i 住 aa — R ,

^ъ + %% = 2脇，[% %] = o,(54.3)

[%, %] = »%儿％，％% = s (s — 1).

Иными словами, матрицы S^v реализуют представление Q (s — }, ；) О D 廿,0)= О (s, 0)㊉ О (s — 1,0) алгебры 0(1, 3), a матрицы а образуют 4s X 45-мерное приводимое представление алгебры Клиффорда.

Уравнения (54.1), (54.2) пуанкаре-инвариантны, причем генераторы группы Пуанкаре на множестве решений (54.1) имеют ковариантную форму (16.1), где Sg—матрицы, заданные в формулах (54.3). Операторы 厶，厶 из (54.1), (54.2) и Рц, 4V (16.1) удовлетворяют в силу (54.3) условиям инвариантности

[La, Ру! = [La, Jg] === 0, a = 1,2.

Отметим также, что система уравнений (54.1), (54.2) совместна, поскольку операторы Lx и L2 удовлетворяют условиям

["%]= —8Е・рЗ,(54.4)

которые непосредственно вытекают из определений (54.3), (54.1).

Покажем, что уравнения (54.1), (54.2) описывают релятивистское без- массовое поле с фиксированной спиральностью %, равной 士s. Из (54.1), (54.3) следует, что 4fs (力 х) удовлетворяет покомпонентно урав

нению Даламбера

們-户)中(/, х) = &屮(/, х) = 0,(54.5)

а это означает по определению 4 из § 49, что поле Т (% х) имеет нулевую массу покоя.

Обозначим

g = — ； SgSS — s2.(54.6)

Подставляя (54.6) в (54.2), после несложных преобразований получаем

《3 — a・p) g1?='歯一a・p, g] * = [g, a p] У = 0・(54.7)

Принимая во внимание тождества

[g,a・p】+ = 2S・p, g2 = s* [g, S・p] = O,(54.8)

из (54.7) имеем

S・p^ = sa・pK Se=4eabcSbc.(54.9)

Система уравнений (54.1), (54.9) эквивалентна (54.1), (54.2), поскольку, как можно показать по аналогии с (54.6)—(54.8), уравнение (54.2)

176

следует из (54.1) и (54.9). Но из (54.9) следует, что на множестве функций Т (力 х) выполняется условие

W^ = sP^.(54.10)

Здесь Wo — нулевая компонента вектора Любанского—Паули,

W0=^-sabcPoJbc.(54.11)

尸旧 厶一генераторы (16.1). Из (54.10) непосредственно вытекает (см. (15.7)), что на множестве решений уравнений (54.1) реализуется прямая сумма Q+(s) ф Q- (—s) неприводимых представлений алгебры Р (1, 3), принадлежащих II классу. Следовательно, спиральность поля Т (/, х) описываемого уравнениями (54.1), принимает значения ±s.

Генераторы (16.1), (54.3), задающие представление алгебры Р (1, 3) на множестве решений системы (54.1), эрмитовы относительно скалярного произведения (53.8), где ^ (/, х)——4«-компонентные вектор- функции, удовлетворяющие (54.1), (54.2).

Использовав представления для матриц S^v, приведенные в (16.12)— (16.18), запишем в явном виде уравнения (54.1), (54.9) для s&3/2.

s = ； . В этом случае согласно (54.3)

^а = 4" а«» % = °，(54.12)

где аа — матрицы размерности 2x2, удовлетворяющие (54.3). Подставляя (54.12) в (54.1), убеждаемся, что уравнение (54.2) обращается в тождество, если выполняется (54.1), а (54.1) совпадает с уравнением Вейля

аи/Т(/,х)=0.(54.13)

Здесь Иц — матрицы Паули (см. (2.2))

。0=露，％ = /.(54.14)

s = 1. В этом случае матрицы SMV, удовлетворяющие (54.3), не умаляя общности, можно выбрать в виде (12.2). Вычисляя затем % и Sa по формулам

аа = Sa — ^Oai so = Y €,abcSbc(54.15)

и подставляя явный вид матриц (54.15), (12.2) в (54.1), (54.9) и выражение (49.1) (при 几=4) для функции Т (力 х), приходим к системе уравнений

•^■=pxW\ р•屮=0,

(54.16) 4f& = const,

где константу 匕,не умаляя общности, можно приравнять нулю. Уравнения (54.16) совпадают с уравнениями Максвелла (1.1), (1.2),

если обозначить

У = Н—iE・

(54.17)

продольной волны.продольной волны.434. s = -.434. s = -.00010о10001 т00j0001S]=10000001"2000—i001 т04000г0000010о10001 т00j0001S]=10000001"2000—i001 т04000г00ООООООS2 =i000i Т000j тS2 =i000i Т000j т——i 0 0——i 0 00 ■—丄000・00000—j000 ■—丄000・00000—j00'0 0 00 0 00 0 0a,=1 0 00 1 00 0 1‘0 0 00 0 00 0 0i 0 00 i 0,0 0 i'0 0 00 0 00 0 0a,=1 0 00 1 00 0 1‘0 0 00 0 00 0 0i 0 00 i 0,0 0 i1 0 0、0 1 о0 О 1 ООО*ООО ООО,1 0 0、0 1 о0 О 1 ООО*ООО ООО,—i 00、0 —I о00— i000,000000,—i 00、0 —I о00— i000,000000,

продольной волны.

продольной волны.

43

4. s = -.

43

4. s = -.

0

0

0

1

0

о1

0

0

0

1 т

0

0

j

0

0

0

1

S]=

1

0

0

0

0

0

0

1

"2

0

0

0

—i

0

0

1 т

0

4

0

0

0

г

0

0

0

0

0

1

0

о1

0

0

0

1 т

0

0

j

0

0

0

1

S]=

1

0

0

0

0

0

0

1

"2

0

0

0

—i

0

0

1 т

0

4

0

0

0

г

0

0

ООО

ООО

S2 =

i

0

0

0

i Т

0

0

0

j т

S2 =

i

0

0

0

i Т

0

0

0

j т

——i 0 0

——i 0 0

0 ■

—丄

0

0

0・

0

0

0

0

0

—j

0

0

0 ■

—丄

0

0

0・

0

0

0

0

0

—j

0

0

'0 0 0

0 0 0

0 0 0

a,=

1 0 0

0 1 0

0 0 1

‘0 0 0

0 0 0

0 0 0

i 0 0

0 i 0

,0 0 i

'0 0 0

0 0 0

0 0 0

a,=

1 0 0

0 1 0

0 0 1

‘0 0 0

0 0 0

0 0 0

i 0 0

0 i 0

,0 0 i

1 0 0、

0 1 о

0 О 1 ООО*

ООО ООО,

1 0 0、

0 1 о

0 О 1 ООО*

ООО ООО,

—i 00、

0 —I о

00— i

000,

000

000,

—i 00、

0 —I о

00— i

000,

000

000,

Здесь Е и Н ― векторы g вещественными компонентами.

s=0. Уравнения для бесспинового и безмаесового поля также могут быть представлены в виде (54.1), (54.9 ), где s=0, а матрицы Sa и <Xq задаются теми же формулами(54.15)/(12.2), что и для уравнений, описывающих поле со спином 1. При этом уравнения для компонент функции Т & х) (49.1) принимают вид

pM-i-^ = 0, p& — i 警=0・(54.18)

Уравнения (54.18) имеют следующие решения:

U% =屮(з) & exp [i (k • х — з/)],

(54.19) i

庵=co = 士 (届 + 痣 + 忌)2 , 2 = 1, 2, 3, 4,

распространениераспространениегде ф (со) — произвольная функция, и описывают

распространение

распространение

Выбирая матрицы S@ н а@ в виде

(54.20)

о о о о1

1т

о о

о о

о о

о о

ОООо

4-0 0о

О — -у- — iО

Оi g- О

°о°—4；

1 О О О О О'

О 1 о о о о

О О 1 о о о 000—1 о о

ООО О —1 о

10 О О О О —1J

и представляя волновую функцию Y (/, х) в форме

получаем из (54.1), (54.2)получаем из (54.1), (54.2)^а = 1 或’а = 1,2,уравнение для 4f*:V=PE(W=o・^а = 1 或’а = 1,2,уравнение для 4f*:V=PE(W=o・(54.21)(54.21)(54.22)(54.23)(54.22)(54.23)

получаем из (54.1), (54.2)

получаем из (54.1), (54.2)

^а = 1 或’а = 1,2,

уравнение для 4f*:

V=PE

(W=o・

^а = 1 或’а = 1,2,

уравнение для 4f*:

V=PE

(W=o・

(54.21)

(54.21)

(54.22)

(54.23)

(54.22)

(54.23)

Здесь (и时)m，—матричные элементы матриц Паули (54.14), (2.2).

Таким образом, безмассовое поле со спиральностью | X | = 3/2 удовлетворяет уравнению типа Максвелла (54.22) по векторному индексу а и уравнению Вейля (54.23) по спинорному индексу а.

Инвариантные уравнениябез лишних компонент

Рассмотрим еще одну формулировку релятивистских уравнений для безмассовых полей произвольного спина, основанную на обобщении уравнений Максвелла в форме (6.16), (6.17). Функция Т (厶 х) в такой формулировке имеет 2s十 1 компоненту, т. е. минимальное количество, которое необходимо для описания поля со спином s.

Следуя [28, 57, 68], опишем все неэквивалентные пуанкаре-инва- риантные уравнения в форме Шредингера

i£q(f,x)=〃3(f,x),(55 1)

где Y (/, х) — (2s + 1) - компонентная вектор-функция (49.1); Hs— неизвестный пока что оператор, явный вид которого нам предстоит найти из условия инвариантности уравнения (55.1) относительно алгебры Р (1, 3).

Генераторы группы Пуанкаре выберем в виде

R = Н&, Ра = ра,

Jab и2 *аРь^bPa + ^abf(55.2)

JOa = tPa2"【”s ”s】+・

Здесь Sab — генераторы неприводимого представления D (s) группы О (3), ха = ха + i ^~~- ^ . Формулы (55.2) обобщают представление алгебры Р (1.3) (12.6), которое реализуется на множестве решений уравнений Максвелла в формулировке (6.16), (6.17), на случай произвольного спина s. Ниже покажем, что на множестве решений уравнений (55.1) операторы (55.2) могут быть представлены также в ковариантной форме (16.1).

Операторы (55.2) образуют представление алгебры Р (1, 3), если они подчиняются коммутационным соотношениям (8.10). Нетрудно убедиться, что если выполняются соотношения (8.10), то операторы (55.2) удовлетворяют условию инвариантности уравнения (55.1), поскольку оператор z 市 имеет такие же коммутационные соотношения с & и J^v из (55.2), как и гамильтониан Hs. Из (55.2) следует также, что соотношения (8.10) сводятся к таким уравнениям для Н/

["$, ^а!=【"$, /而]=0,(55.3)

【JОа，丿0匕]=—"ab，(55.4)

[Hl Ха] = -2фа.(55.5)

Потребуем, чтобы оператор Hs удовлетворял условию 必=/А(55.6)

Если выполняется (55.6), то уравнение (55.5) обращается в тождество, а вектор-функция 4f (/, х) покомпонентно удовлетворяет уравнению (54.5), что является необходимым условием равенства нулю массы покоя описываемого ею поля.

Подставляя общий вид Joa (55.2) в (55.4) и используя (55.3), (55.5), после несложных преобразований приходим к уравнению

U〃s, %l」"s，хь]] = — 40>(55.7)

Таким образом, задача описания неэквивалентных уравнений вида (55.1) для безмассового поля с произвольным спином сводится в нашей постановке к решению уравнений (55.3), (55.6), (55.7) для оператора

Решим систему (55.3), (55.6), (55.7). Разложим искомый оператор Н8 по полной системе ортопроекторов

忆=S 的(Р)А「，(55.8)

r=—S

гдегдеa，=nМ，% =学a，=nМ，% =学Sа ^^ ~2~ ^abc^bc^Sа ^^ ~2~ ^abc^bc^0 =(花+总+闻2 ,Г/ = 一 &0 =(花+总+闻2 ,Г/ = 一 &(55.9)—s + 1,..., s,(55.9)—s + 1,..., s,

где

где

a，=nМ，% =学

a，=nМ，% =学

Sа ^^ ~2~ ^abc^bc^

Sа ^^ ~2~ ^abc^bc^

0 =(花+总+闻2 ,Г/ = 一 &

0 =(花+总+闻2 ,Г/ = 一 &

(55.9)

—s + 1,..., s,

(55.9)

—s + 1,..., s,

ar (p) — неизвестные функции, зависящие от р.

Нетрудно убедиться, что операторы (55.9) являются ортопроекторами на подпространства собственных функций оператора Sp. Эти ортопроекторы удовлетворяют соотношениям

&Z =，г、、工 А = 1, Sp = £ 八・ (55.10)

Определить явный вид гамильтонианов Hs означает теперь найти все значения коэффициентов аг (р), при которых выполняются соотношения (55.4), (55.5) (соотношения (55.3) для гамильтониана (55.8) удовлетвориются тождественно). Из (55.6) получаем, используя (55.10):

% (р)]2 = р2, аг (р) = ± ?(55.11)

Потребовав, чтобы выполнялось условие (55.7) и принимая во внимание тождество [26, 68]

【％, А/ = 2^2~ ^аъРъ (А—1 + Аг+1 — 2ЛГ)—

^"卜а^~ sj (A_i — Ar+i),(55.12) получаем

% = (一1)%(55.13)

где

工 если s целое;

卩「=1(55.14)

厂——2", если s полуцелое.

Таким образом, мы получили гамильтониан поля с произвольным спином в форме (55.8), (55.13). Выразим гамильтонианы (55.8) для s & 2 через операторы спиральности Sp = ^:

"о = Р,

Н { =2pSp = 2S・p,

修=2(1 — 2S》，(55.15)

"3 =营帆(7-45詛

”2 =夕・

Уравнения (55.1) с найденными операторами Hs (55.8), (55.13) описывают поле, спиральность которого % может принимать несколько значений: —s &九 & s. Чтобы описать поле с фиксированной спиральностью J XI = s, на вектор-функцию 4f необходимо наложить пуан- каре-инвариантные дополнительные условия

A3 = 0, |r| <s.(55.16)

Итак, мы получили уравнения для безмассового поля с произвольной спиральностью в виде (55.1), (55.8), (55.13), (55.16). В случае s = = 1/2 эти уравнения сводятся к уравнению Вейля (54.13), а в случае s = 1 — к уравнениям Максвелла в формулировке (6.16), (6.17). Отметим, что для s > 1/2 формулы (55.8), (55.13) определяют не дифференциальный, но интегро-дифференциальный оператор.

Используя выражения (55.2), (55.8), (55.13) для базисных элементов алгебры Р (1, 3), нетрудно убедиться, что на множествах решений уравнений (55.1), (55.16) реализуются следующие представления этой алгебры:

。+ (s)㊉。一 (一s), s — полуцелые,

(55.17) 0+⑹ ㊉0+ (- s), s — целые.

Из (55.17) следует, что при целых s уравнения (55.1), (55.16) неэквивалентны уравнениям, рассмотренным в § 53, 54.

Помимо симметрии относительно группы Пуанкаре, уравнения (55.1) инвариантны относительно конформной алгебры, базисные элементы которой задаются формулами (55.2) и (55.17):

° =P^^x^ + i(s+ 1),

(55.18)

К出=一［小,炉］+ + 4 Q，林%%

где

x0 = xQ = t, xa = xa + i ^^- ^ .(55.19)

Изложенное в равной мере относится и к дополнительным условиям (55.16). Ивариантность уравнений (55.1), (55.8), (55.13), (55.16) относительно алгебры (55.2), (55.18) следует непосредственно из теоремы 4 гл. 4, а операторы 力 н К卩 связаны с Ри и J^ соотношениями (18.3). Отметим еще, что генераторы (55.2), (55.17) эрмитовы относительно скалярного произведения (53.8), где ^ — (2s + ^-компонентные вектор-функции, удов летвор яюгцие уравнениям (55.1), (55.8), (55.13), (55.16).

Базисные элементы алгебры С (1,3), задаваемые формулами (55.2), (55.18), при s у= 1/2 принадлежат классу интегро-дифференциальных операторов. Однако на множестве решений уравнений (55.1), (55.8), (55.13), (55.16) операторы (55.2), (55.18) в случае полуцелых s могут быть представлены в ковариантной форме (16.1) Это несложно пока-

зать, если принять во внимание тождество [26, 571

(沪-抬*) A±s =千 ^A±s.(55.20)

Например, для оператора J0o (55.2) имеем

JoH(厶 х)三 #% — у 民s "」+｝屮 & х)=

=①0%^ ко,"』+卜А$ + A) 4f 伍,x)=

Но согласно (55.8), (55.12), (55.13), (55.20)

—^[^8, %/ (厶8 + А-s)= — i 2%」-^ (A$ + A_s)+

+ iSa [(- 1 卢儿 + (- 1)匸s A_J.(55.22)

Подставляя (55.22) в (55.21) и принимая во внимание соотношения (55.10), (55.14), (55.1), получаем формулу

/(Л «，х) = (tpa 一 ％凸 + Soa)吋(f, x),(55.23)

где

S°a = iSa, s =彦，九=0,1, 2,…

Неэквивалентные уравнениядля безмассового поляс произвольным спином

Системы уравнений, выведенные в § 53—55, не исчерпывают всех неэквивалентных линейных пуанкаре-инвариантных уравнений для безмассовых полей с произвольным спином. Конструктивное описание всех существенно различных линейных уравнений для таких полей можно осуществить в полной аналогии с выводом уравнений для нейтрино, изложенным в § 51.

Система пуанкаре-инвариантных дифференциальных уравнений по определению описывает безмассовое поле с фиксированной спиральностью I 入 I = s, если на множестве решений этой системы реализуется представление группы Пуанкаре, принадлежащее II классу, причем собственные значения инвариантного оператора С3 (15.6) равны 士s. Все возможные невырожденные суммы неприводимых представлений такого типа задаются формулами (51.8), (51.10) (где s— произвольное фиксированное целое или полуцелое число), и задача описания неэквивалентных уравнений для безмассового поля с фиксированной спиральностью будет решена, если каждому из представлений (51.8), (51.10) сопоставить пуанкаре-инвариантное уравнение, на решениях

которого реализуется это представление. Такие уравнения получены в настоящем параграфе.

Будем исходить из следующей системы уравнений для 8«-компо- нентной функции 4r (厶 х) (49.1):

i*W(/,x) = G・pB(f,x),i*W(/,x) = G・pB(f,x),(56.1)(56.1)

i*W(/,x) = G・pB(f,x),

i*W(/,x) = G・pB(f,x),

(56.1)

(56.1)

，姨一工 р) S^VW (/, x) = 0,(56.2)

где аа и 8g — матрицы размерности 8s 义 8s：

I(「然f '"ОЗ

матрицы aa и S^ задаются формулами (52.2).

Система уравнений (56.1), (56.2) представляет собой почти очевидное обобщение уравнений Максвелла в форме Дирака (3.6), (3.7) на случай полей с произвольным спином. Уравнения (56.1) пуанкаре- инвариантны, причем генераторы группы Р (1, 3) на множестве решений системы (56.1) имеют вид (16.1), где S^v и аа— матрицы, задаваемые формулами (56.3).

Повторяя почти дословно выкладки (52.6)—(52.9), нетрудно убедиться, что уравнение (56.2) можно представить в следующей эквивалентной форме (которая, в отличие от (56.2), не является явно ковариантной):

S.pY (/, х) = sF&・р屮(/, х),56.4)

где八

几=，(6/ ) , §a = } %bcSbc，

О и / — нулевые и единичные матрицы размерности 4sX4s.

Из (16.1), (56.2), (56.4) следует, что на множестве решений уравнений (56.1), (56.2) реализуется прямая сумма неприводимых представлений группы Пуанкаре (принадлежащих II классу), которая задается формулой (51.8) с произвольным значением s. Действительно, из (56.1)—(56.3), (52.2), (13.3), (15.6) получаем

С^ (/, х)三 Р^ (/, х) = О, С^ (/, х) =W^W (f, х) = О,

матрицы Г4 с S-p и нений (56.1), (56.2)матрицы Г4 с S-p и нений (56.1), (56.2)т. е. представление действительно принадлежит II классу. Но тогда, сравнивая (56.4) и (15.7) и принимая во внимание коммутативность

матрицы Г4 с S-p и нений (56.1), (56.2)

матрицы Г4 с S-p и нений (56.1), (56.2)

инвариантные операторы спиральности и знака принимают значения соответственно 土 s н ± 1,инвариантные операторы спиральности и знака принимают значения соответственно 土 s н ± 1,ос-р, заключаем, что на множестве решений урав-

инвариантные операторы спиральности и знака принимают значения соответственно 土 s н ± 1,

инвариантные операторы спиральности и знака принимают значения соответственно 土 s н ± 1,

энергии независимо ， откуда и вытекает, что операторы (56.3) действительно реализуют представление (51.8) (с произвольным фиксированным значением s).

Таким образом, мы показали, что уравнения для безмассового поля с произвольной спиральностью s могут быть выбраны в форме (56.1), (56.2). Для получения других неэквивалентных уравнений, описывающих такое поле, воспользуемся тем фактом, что система (56.1), (56.2) не исчерпывает всех пуанкаре-инвариантных уравнений в представлении (51.2), (56.3). Действительно, как и в случае уравнений для спинорного безмассового поля, рассматриваемых в § 51, на функцию 4r можно дополнительно наложить одно из следующих инвариантных

условий:

L^V = (— 3 + 8^ • р + m声2P& + gJ\a • p) 4f = 0,(56.5)

厶吋三(1 —日联• $屮=0,(56.6)

L^= (1 — е3Г4а.р) T = 0,(56.7)

£Д 三(1 —电％几)屮=0,(56.8)

254f 三(1 + 8i«-p + ei82r4+ /Ra.p) 4f = 0,(56.9)

где

P =-,勺,82 = ±1・

Уравнения (56.5)——(56.9) пуанкаре-инвариантны, поскольку операторы Г4 и а・р коммутируют со всеми базисными элементами алгебры Р (1, 3), задаваемыми формулами (51.2), (56.3). С другой стороны, эти уравнения исчерпывают все возможные (с точностью до эквивалентности) пуанкаре-инвариантные дополнительные условия, которые можно наложить на решения системы (56.1), (56.2). Действительно, операторы Ln можно представить в виде

3= 4 (1 — Р^\ 2а = 2湾，£з = 2河，(56.10)九=2必宜。+尸「冲产)，左=4p*先

где Р0 и Pf2 — операторы проектирования на подпространства соответственно D61 (s)㊉。玩(一s) и D+ (eas)㊉。一 (%s):

伸=等(1 +%a・p),汾=}(1 + е2Г4а，Р)-(56.11)

Из (56.10), (56.11) и из того факта, что на множестве решений уравнений (56.1), (56.2) реализуется прямая сумма представлений (51.8), следует, что дополнительные условия (56.5)—(56.9) выделяют из (51.8) подпространства, указанные в формулах (51.10). Поскольку формулы (51.8) и (51.10) (при произвольном фиксированном s) исчерпывают все возможные невырожденные прямые суммы представлений Q% 偌竣)группы Р (1, 3), то уравнения (56.1), (56.2) с одним из дополнительных условий (56.5)—(56.9) и без них исчерпывают все возможные (с точ-

ностью до эквивалентности) релятивистские уравнения для безмассового поля с произвольной спиральностью s・

Итак, мы получили все существенно различные линейные уравнения для безмассовых полей с произвольным спином в виде системы (56.1), (56.2), на решения которой может быть наложено одно из дополнительных условий (56.5)—(56.9). Все другие уравнения для таких полей или совпадают с (56.1), (56.2) и одним из условий (56.5)——(56.9), или эквивалентны этим системам уравнений. Так, уравнения (49.11), (53.4) и (54.1), (54.2) эквивалентны системе (56.1), (56.2) с дополнительным условием (56.6), где £工=1. Что же касается уравнений, выведенных в § 55, то в случае полуцелых s они эквивалентны (56.1), (56.2) с дополнительным условием (56.6), а для целых s эти уравнения эквивалентны системе (56.1), (56.2) с дополнительным условием (56.7).

Уравнения (56.1), (56.2) с дополнительными условиями (56.5)— (56.9) неэквивалентны одно другому, поскольку на множествах их решений реализуются разные представления алгебры Р (1, 3).Кроме того, эти уравнения имеют различные свойства симметрии относительно преобразований Р, Т и С (11.2). Мы не будем обсуждать симметрию этих уравнений относительно Р-, Т- и С-преобразований, поскольку она аналогична симметрии уравнений (51.2), (51.14)—(51.18) для поля со спином 1/2.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Математические законы, управляющие природой, являются источником происхождения симметрии в природе.

Г. Вейль

Приступая к написанию этой книги, мы хорошо помнили слова Людвига Больцмана: «Я мог бы сказать, что последователи Максвелла ничего не изменили в этих уравнениях, кроме букв. Но это было бы слишком. Однако надо удивляться не тому, что к этим уравнениям вообще что-то могло быть добавлено, но гораздо более тому, как мало к ним добавлено». Нильс Бор на юбилее, посвященном 100-летию со дня рождения Максвелла, говорил: «... было даже предложено добавить новые члены к знаменитому уравнению Максвелла для электромагнитного поля в свободном пространстве. Но теория Максвелла оказалась слишком последовательной и слишком изящной, чтобы допускать такого рода модификацию».

В настоящее время нам представляется, что сколько бы ни писали об уравнениях Максвелла, наверное, никогда не наступит время, когда можно будет сказать: хватит, довольно, все уже сказано о них. Разговор о Великих Уравнениях 19 века всякий раз остается незаконченным, как всегда неоконченными остаются раздумья о высшем постижении человеческого духа.

В заключение мы хотим привести слова Генриха Герца, экспериментально открывшего предсказанные Максвеллом электромагнитные волны: «Нельзя изучать эту удивительную теорию, не испытывая временами странного чувства, как будто в уравнениях и формулах есть своя собственная жизнь, и как будто они умнее нас, умнее самого автора, как будто мы получаем от них больше, чем сначала было в них заложено». К этим глубоким и пророческим словам мы можем добавить, что в этих уравнениях заложена великая идея — идея симметрии. И именно в ней, симметрии, заключена таинственная сила и универсальность теории Максвелла.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Ахиезер А. И., Берестецкий В. Б. Квантовая электродинамика.— М. : Наука 1969.— 624 с.

Барут 4., Рончка Р. Теория представлений групп и ее приложения: В 2-х т.—— М. : Мир, 1980.— Т. 1. 455 с.

Боголюбов Н. Н. Лекции по теории симметрии элементарных частиц.— М.: Изд.-во Моск, ун-та, 1966. — 210 с.

Боголюбов Н. //., Логунов А. А., Тодоров И. Т. Основы аксиоматического подхода в квантовой теории поля.'— М. : Наука, 1969.——424 с.

Боголюбов Н. "., Ширков Д. В. Введение в теорию квантованных полей.— М.: Наука, 1973.— 416 с.

Богуш А. 4., Мороз Л. Г. Введение в теорию классических полей.— Минск : Наука и техника, 1968.— 385 с.

Боргардт А. А. Антикоммутативные матрицы в теории мезона. — Докл. АН СССР, 1951, 78, № 6, 1113—1115.

Боргардт А. А. Матричные аспекты теории бозонов.— Журн. эксперим. и теорет. физики, 1956, 30, вып. 2, с. 334—341.

Боргардт А. А. Волновые уравнения фотона.— Жури, эксперим. и теорет. физики, 1958, 34, вып. 5, с. 1323—1325.

Гельфанд И. М., Минлос Р. 4., Шапиро 3. Я- Представления группы вращений и группы Лоренца.— М. : Физматгиз, 1958.— 368 с.

Данилов Ю. А. Групповые свойства уравнений Максвелла и Навье——Стокса.—— М., 1967.—15 с.—(Преприн^Ин-т атом, энергии им. И. В. Курчатова, ИАЭ-1452).

Данилов Ю. А. Групповые свойства уравнения Дирака.——М., 1968.——16 с.—— (Препринт / Ин-т атом, энергии им. И. В. Курчатова; ИАЭ-1736).

Желобенко Д. П. Компактные группы Ли и их представления.— М. : Наука, 1970.— 664 с.

Ибрагимов Н. X. Групповые свойства некоторых дифференциальных уравнений.—Новосибирск : Наука, 1967.一 59 с.

Ибрагимов Н. X. Групповые свойства волновых уравнений для частиц с нулевой массой.— Докл. АН СССР, 1968, 178, № 3, с. 566—568.

Ибрагимов Н. X. Об инвариантности уравнений Дирака.— Докл. АН СССР, 1969, 18 5, № 6, с. 1226—1228.

Кадышевский В. Г. Новый подход к теории электромагнитных взаимодействий.—— Физика элементар. частиц и атом, ядра, 1980, 11, вып. 1, с. 5—36.

Кириллов А, А. Элементы теории представлений.— М. : Наука, 1972.— 335 с.

Котельников Г. А. О симметрии уравнений свободного электромагнитного поля.—М. : Наука, 1980.— 384 с.— (Теоретико-групповые методы в физике. В 2-х т.; Т.1).

Кривский И. /О., Романко Г. Д., Фущич 3. И. Уравнения типа Кеммера— Дэффина в пятимерном пространстве Минковского.— Теорет. и мат. физика, 1969, 1, № 2, с. 242—250.。

Лоренц Г. А. Электромагнитные явления в системе, движущейся с любой ско、 ростью, меньшей скорости света.— В кн.: Принцип относительности : Об. работ классиков релятивизма. М. : Атомиздат, 1973, с. 67—93.

Максвелл Д. К. Статьи и речи.— М. : Наука, 1968.—420 с.

Малкин И. А., Манько В. И. Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем.— М. : Наука, 1979.— 319 с.

Минковский Г. Пространство и время.— В кн.: Принцип относительности : Сб. работ классиков релятивизма. М. : Атомиздат, 1973, с. 167—180

Наймарк М. А. Линейные представления группы Лоренца.— М. : Физматгиз, 1958.— 376 с.

Никитин А. Г. Релятивистские уравнения движения для системы с переменным спином.— Укр. физ. журн., 1973, 18, № 10, с. 1605—1614.

Никитин А. Г. О нерелятивистском пределе уравнений без «лишних» компонент.—Укр. физ. журн., 1974, 19, № 6, с. 1000—1005.

Никитин А. Г., Грищенко А. Л. Пуанкаре-инвариантные уравнения для частиц нулевой массы и произвольного спина.——Укр. физ. журн., 1974, 19, № 10, с. 1666—1669.

Никитин А.Салогуб В. А. О преобразовании уравнений Хагена—Герли к форме, не содержащей «лишних» компонент.— Укр. физ. журн., 1975, 20, № 10, с. 1730—1732.

Никитин / .『.,Фущич В. Я., Юрик И. И. Редукция неприводимых унитарных представлений обобщенных групп Пуалкаре по их подгруппам.— Теорет. и мат. физика, 1976, 26, № 2, с. 206-—220.

Никитин А. Г., Сегеда Ю. 〃.，Фущич В. И. О дополнительной инвариантности уравнений Кеммера—Дэффина и Рариты—Швингера.— Теорет. и мат. физика, 1976, 29, № 1, с. 82—94.

Никитин /.『.，Онуфрийчук С. /7. О диагонализации обобщенного уравнения Кеммера—Дэффина с собственным временем.— Укр. физ. журн., 1977, 22, № 5, с. 713—716.

Никитин А. Г.у Онуфрийчук С. /7. О диагонализации уравнений Баба.— Укр. физ. журн., 1977, 22, № 9, с. 1353—1357.

Никитин А. Г. О группе инвариантности уравнения Кеммера—Дэффина— Петье для частицы с аномальным моментом.— В кн.: Теоретико-групповые методы в математической физике. Киев : Ин-т математики АН УССР, 1978, с. 81—95.

Никитин А. Г. О дополнительной симметрии уравнения Дирака——Фирца——Паули.—В кн.: Теоретико-групповые методы в математической физике. Киев : Ин-т математики АН УССР, 1978, с. 96—102.

Никитин А, Г., Фущич В. И. Пуанкаре-инвариантные дифференциальные уравнения для частиц произвольного спина.— Теорет. и мат. физика, 1978, 34, № 3, с. 319—333.

Никитин 4.『.,Фущич В. И. Уравнения движения для частиц произвольного спина, инвариантные относительно группы Галилея.— Теорет. и мат. физика, 1980, 44, № 1, с. 34—46.

Никитин А. Г., Фущич В. И. Галилеевски инвариантные уравнения движения со спин-орбитальным взаимодействием.— М. : Наука, 1980.— 360 с.— (Теоретико-групповые методы в физике. В 2-х т.; Т. 2).

Никитин А. Г., Наконечный В. В. Об алгебрах инвариантности уравнений Дирака и Шредингера.— Укр. физ. журн., 1980, 25, № 4, с. 618—621.

Никитин А, Г. Галилеевски инвариантные уравнения с аномальным взаимодействием.—Укр. физ. журн., 1981, 26, № 3, с. 394—40».

Новожилов Ю. В. Введение в теорию элементарных частиц.— М. : Наука, 1972.— 472 с.

Овсянников Л. В. Групповые свойства дифференциальных уравнений.——Новосибирск :Изд-во АН СССР, 1962.-238 с.

Овсянников Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений.——М.: Наука, 1978. — 400 с.

ОнуфрийчукС. П. Пуанкаре-инвариантные счетные системы дифференциальных уравнений первого порядка.——Киев, 1978.— 36 с.— (Препринт / Ин-т математики АН УССР, № 78, 29).

Понтрягин Л. С. Непрерывные группы.— М. : Наука, 1973.—519 с.

Пуанкаре А. О динамике электрона.一 В кн.: Принцип относительности : Сб. работ классиков релятивизма.— М. : Атомиздат, 1973, с. 90—93, 118— 160.

Сегеда Ю. Н. О дополнительной инвариантности уравнений Максвелла.—— В кн.: Краевые задачи электродинамики проводящих сред. Киев : Ин-т математики АН УССР, 1976, с. 218—224.

Славное А. А., Фаддеев Л. Д. Введение в квантовую теорию калибровочных полей.— М. : Наука, 1978.— 238 с.

Сокур Л. 〃., Фущич В. И. Об уравнениях движения, инвариантных относи - тель но группы Р (1, 4). Ч. II.— Теорет. и мат. физика, 1971, 6, № 3, с. 348— 362.

Стражев В. И., Томильчик Л. М. Электродинамика с магнитным зарядом.— Минск : Наука и техника, 1975.— 320 с.

Федоров Ф. И. Обобщенные релятивистские волновые уравнения. 一 Докл. АН СССР, 1952, 82, № 1, с. 37—40.

Федоров Ф. И. Группа Лоренца.— М. : Наука, 1979.— 384 с.

Фущич В. 〃.，Криеский И. Ю. О волновых уравнениях в 5-пространстве Минковского.— Киев, 1968.— 38 с.— (АН УССР. Препринт; Ин-т теорет. физики, ИТФ-68-72).

Фущич В. И. О дополнительной инвариантности релятивистских уравнений движения.——Теорет. и мат. физика, 1971, 7, № 1, с. 3—12.

Фущич В. И. О СР-, Т-нейнвариантных лагранжианах.— Теорет. и мат. физика, 1971, 9, № 1, с. 91—93.

Фущич В. И. Теоретико-групповые основы обобщенной релятивистской квантовой механики и Р, С, Т-преобразования : Автореф. дис. ... д-ра физ.-мат. наук.— Киев, 1971.— 30 с.

Фущич В. И., Грищенко А. 〃., Никитин А. Г. О релятивистских уравнениях движения без «лишних» компонент.— Теорет. и мат. физика, 1971, 8, № 2, с. 192—205.

Фущич В, 〃.，Никитин А. Г., Юрик И. И, Редукция представлений группы движений п + 1-мерного пространства Минковского по группе Пуанкаре.— Киев, 1975.'—32 с.— (Препринт / Ин-т математики АН УССР, № 75-5).

Фущич В. И. О дополнительной инвариантности уравнения Клейна—Гордона— Фока.— Докл. АН СССР, 1976, 230, № 3, с. 570—573.

Фущич В. 〃.，Сегеда Ю. Н. О группах инвариантности некоторых уравнений релятивистской квантовой механики.—Укр. мат. журн., 1976, 28, № 6, с. 844— 849.

Фущич В. И. Групповые свойства дифференциальных уравнений квантовой механики.— В кн.: Проблемы асимптотической теории нелинейных колебаний. Киев : Наук, думка, 1977, с. 75—87.

Фущич В. 〃., Никитин А. Г. Дифференциальные уравнения первого и второго порядка для частиц с произвольным спином.— Киев, 1977.一 48 с.— (Препринт / Ин-т математики АН УССР, № 77-3).

Фущич В. И., Сегеда Ю. Н. О новой алгебре инвариантности свободного уравнения Шредингера.— Докл. АН СССР, 1977, 232, № 4, с. 800—801.

Фущич В. И., Онуфрийчук С. П. О группах инвариантности одного класса счетных систем уравнений первого порядка с частными производными.— Докл. АН СССР, 1977, 235, № 5, с. 1056—1059.

Фущич В. Я., Никитин А. Г. О группе инвариантности квазирелятивистского уравнения движения.一 Докл. АН СССР, 1978, 238, № 1, с. 46—49.

Фущич В. И. О новом методе исследования групповых свойств систем дифференциальных уравнений в частных производных.— В кн.: Теоретико-групповые методы в математической физике. Киев : Ин-т математики АН УССР, 1978, с. 5—44.

Фущич В. Я., Никитин А. Г. Групповые свойства уравнений Максвелла.— В кн.: Теоретико-групповые методы в математической физике. Киев : Ин-т математики АН УССР, 1978, с. 45—78.

Фущич В. И., Никитин Ю. Г. Пуанкаре-инвариантные дифференциальные уравнения движения частиц произвольного спина.— Физика элементар. частиц и атом, ядра, 1978, 9, вып. 3, с. 501—553.

Фущич В. И. О новом методе исследования групповых свойств уравнений математической физики.— Докл. АН СССР, 1979, 246, № 4, с. 846—850.

Фущич В. И., Наконечный В. В. Теоретико-алгебраический анализ уравнения Ламе.— Укр. мат. журн., 1980, 32, № 2, с. 267—273.

Фущич В.方.，Владимиров В. А. О дополнительной инвариантности уравнений для векторных полей.— Докл. АН СССР, 1981, 257, № 5, с. 1105—1108.

Фущич В, Я., Никитин А. Г. Нерелятивистские уравнения движения для частиц с произвольным спииом.— Физика элементар. частиц и атом, ядра, 1981, 12, вьш. 5, с. 1157—1219.

Фущич В. Я. Об одном способе исследования групповых свойств интегро-диф- ,ференциальных уравнений.— Укр. мат. журн., 1981, 33, № 6, с. 834—837« 74. Чеботарев Я. Г. Теория групп Ли.— М. : Гостехиздат, 1949.一 396 с.

Широков Ю. М. Теоретико-групповое рассмотрение основ релятивистской квантовой механики.—Журн. эксперим. и теорет. физики, 1957, 33, № 4, с. 861—872; № 5, с. 1196—1207; № 5, с. 1208—1214.

Шубин М. А. Псевдодифференциальные операторы и спектральная теория.— М. : Наука, 1978.— 280 с.

Эйнштейн А, К электродинамике движущихся тел.— В кн.: Принцип отно сительности : Сб. работ классиков релятивизма. М. : Атомиздат, 1973, с. 97— 117.

Amundsen Р. A. Position operators and Iransformation properties of a relativistic Hamiltonian theory for any spin.— Phys, norv., 1975, 8, N 2, p. 107—112.

Angelopoulos E., Flato M., Fronsdal C., Sternheimer D. Massless particles, conformal group, and de Sitter universe.— Phys. Rev. D, 1981, 23, N 6, p. 1278*— 1289.

Anderson R. L., Ibragimov N. H. Lie-BMund transformations in applications.—Philadelphia : SIAM, 1979,— 220 p.

Bargman V・ Irreducible unitary representations of the Lorentz group.— Ann. Math., 1947, 48, N 3, p. 568—640.

Bargman У.§ Wigner E. P. Group theoretical discussion of relativistic wave equations.— Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 1948, 34, p. 211—223.

Bateman H. On the conformal transformations of a space of four dimensional and their applications to geometric optics. — Proc. London Math. Soc., 1909, 7, p. 70—92.

Bateman H. The transformation of the electrodynamical equations.'— Proc. Lom don Math. Soc., 1909, 8, p. 223—264.

Bateman H. The mathematical analysis of Electrical and optical wave—motion.一 Trinity College, Cambridge, 1915 (Рус. перевод: Бейтмен Г. Математическая теория распространения электромагнитных волн. М. : Физматгиз, 1958.一

Вауеп 尸.，Flato М. Remarks on conformal space. — J. Math. Phys., 1976, 17, N 7, p. 1112—1114.

Beckers J., Jaspers M. On timelike, lightlike and spacelike realizations of Poim care generators.— Ann. Phys. (USA), 1978, 113, N 2, p. 237—256.

Bhabha H. J. Relativistic wave equations for the elementary particles.— Revs Mod. Phys., 1945, 17, N 2/3, p. 200—215.

Bludman S. A. Some theoretical consequences of a particle having mass zero.— Phys. Rev., 1957, 107, N 4, p. 1163—1168.

Bose S. K., Parker R. Zero-mass representation of Poincare group and conformal invariance.— J. Math. Phys., 1969, 10, N 5, p. 812—813.

Bracken A. J. A comment on the conformal invariance of zero-mass Klein-Gordon equations.— Lett, nuovo cim., 1971, 2, N 11, p. 574—576.

Cuningham E. The principle of relativity in electrodynamics and an extention there of.— Proc. Londofi Math. Soc., 1909, 8, p. 77—98.

Da Silveira A. Invariancfe algebras of the Dirac and Maxwell equations.— Nuovo cim. A, 1980, 56, N 4, p. 385—395.

Dirac P. A. M. A positive-energy relativistic wave equations.— Phys. Rev., D, 1974, 10, N 6, p. 1760—1767.

Dirac P. A. M. Wave equations in conformal space.— Ann. Math., 1936, 37, N 2, p. 429—442.

Dobrev V. K., Todorov I. 7. Harmonic Analysis on the n-dimensional Lorentz group and its application to conformal quantum field theory.— Berlin : Springer, 1977.— 280 p.

Dowker J. S. A note on massless field equations for arbitrary spin.— Int. J. Theor. Phys., 1973, 8, N 5, p. 321—322.

Flato M., Simon /., Sternheimer D. Conformal invariance of field equations.— Ann. Phys. (USA), 1970, 61, N 1, p. 78—97.

Fock V. 4. Zur theorie dee wasseretoffatoms.— Fortschr. Phys., 1935, 98, t>. 145—147.

Foldy L. L. Syntesis of covariant particle equations.— Phys. Rev., 1956, 102, N 2, p. 568—573.

Fradkin D. M.* Good R. Я. Electron polarization operators.-— Revs. Mod. Phys. > 1961, 33, N 2, p. 343—352.

Furlan R., R耻炭a R. A new approach to unified field theories.— Miramare-Tri- este, 1980.—67 p. (Preprint; 1С/80/ 181).

Fushchich V. /., Krivoy f. Yu. On representations of the inhomogeneous de Sitter group and equations in five-dimensional Minkovsky space.— Nucl. Phys. B$ 1969, 14, N 2, p. 321—330.

Fushchich V.I. On additional invariance of ihe relativistic equations of motion.— Kiev, 1970.— 16 p.-(Preprint / Inst, theoret. phys.; 70-32 E).

FushMch К /. On the P- and T- noninvariant two-component equations for the neutrino.— Nucl. Phys. B, 1970, 21, N 2, p. 321—330.

Fushchich V. /., Gri^ichenko A. L. On the CP-noninvarian't equations for the particles with zero mass and spin s=l/2. — Lett, nuovo cim., 1970, 4, N 20, p. 927—928.

FushMch V. /., Grishchenko A. L. On two-component equations for zero-mass particles.— Kiev, 1970.— 23 p.— (Preprint / Inst, theoret. phys.; 70—29).

Fushchich V. I. On three types of relativistic equations for a particles with nonzero mass.— Lett, nuovo cim., 1972, 4, N 9, p. 344—346.

Fushchich V. I. P, T, C-propertie$ of the Poincare invariant equations for massive particles.— Lett, nuovo cim., 1973, 6, N 4, p. 133—137.

Fushchich V. /., Nikitin A. G. On the possible types of equations for zero-mass particles.— Lett, nuovo cim., 1973, 7, N 11, p. 439—442.

Fushchich V. I. On additional invariance of the Dirac and Maxwell equations.— Lett, nuovo cim., 1974, 11, N 10, p. 508—512.

Fushchich V. /., Nikitin A. G. On the Poincare-invariant equations for particles with variable spin and mass.— Rep. Math. Phys., 1975, 8, N 1, p. 33—48.

Fushchich У. /., Nikitin A. G., Salogub V. A, On the equations of motion for particles with arbitrary spin in non-relativistie mechanics.'—Lett, nuovo cim., 1975, 14, N 13, p. 483—488.

Fushchich V. /., Nikitin A. G. On the Galilean-invariant equations for particles with arbitrary spin.L Lett, nuovo cim., 1976, 16, N 3, p. 81—85.

Fushchich V. J Nikitin 4. G. On the new invariance groups of the Dirac and Kemmer—Duffin—Periau equations.— Lett, nuovo cim., 1977, 19, N 9, p. 347—352

Fushchich V. /., Nikitin A. G. Conformal invariance of relativistic equations for arbitrary spin particles.'—Lett. Math. Phys., 1978, N 2, p. 471—475.

Fushchich 亿 /,, Nikitin A. G. On the invariance groups of relativistic equations for the spinning particles interacting with external fields.— Lett, nuovo cim.? 1978, 21, N 16, p. 541—546.

Fushchich V. J., Nikitin A. G., Salogub V. A. On the non-relativistic motion equations in the Hamiltonian form for arbitrary spin particles.— Rep. Math. Phys.$ 1978, 13, N 2, p, 175—185.

Fushchich V. /., Nikitin A. G. On the new invariance algebras of relativistic equations for massless particles.— J. Phys. A : Math, and Gen., 1979, 12, N 6, p. 747— 757.

Fushchich V. /., Nikitin A. G. On the new invariance group of MaxmelTs equation.— Lett, nuovo cim., 1979, 24, N 2, p. 220—224.

Fushchich V. /., Nikitin A. G. Reduction of the representations of the generali* zed Poincare algebra by the Galilei algebra.— J, Phys. A: Math, and Gen., 1980, 13, N 7, p. 2319—2330.

Fushchich V. /., Nikitin A. G. New symmetries of Maxwell equations.— Czech. J. Phys., B, 1982, 32, N 4, p. 476—480.

Good R. H. Particle aspects of the electromagnetic field equations.一 Phys. Rev.$ 1957, 105, N 6, p. 1914-1919.

Gross L. Norm invariance of mass-zero equations under the conformal group.— J. Math. Phys., 1964, 5, N 5, p. 687—695

Guertin R. F. Relativistic Hamiltonian equations for any spin.— Ann. Phys. (USA), 1974, 88, N 2, p. 504—553.

Hammer C. L., Good R. H. Wave equations for massless particles.— Phys. Rev” 1957, 10 8, N 3, p. 882—886.

Hagen C. R. Scale and conformal transformations in Galilean-covariant field theory. — Phys. Rev. D, 1972, 5, N 2, p. 377—388・

Havas P.§ Plebar^ky J. Conformal extent ion of the Galilei group and their relation io the Schrodinger group.— J. Math. Phys., 1978, 19, N 2, p. 482—488.

Ne山就& 0.— Phil. Trans. Roy. Soc. London A, 1893, 18 3, p. 423<«~430.

Hirata K・ Quantization of massless field with continuous spin.— Progr. Theor. Phys.$ 1977, 5 8, N 2, p. 652—656.

Ibrasimou ^. H. Anderson R. L. Lie-Baclund tangent transformations,— J. Math. Anaf and Appl., 1977, 59, N 1, p. 145—162.

Jayaraman J. A new linear Dirac — like spin —公wave equation using Cl ifford algebra.— J. Phys. A : Math, and Gen., 1976, 9, N 10, p. L131—L136.

Jayaraman J. On the additional invariance of arbitrary spin relativistic wave equations.*— J. Phys. A : Math, and Gen., 1976, 9, N 7, p. 1181—1185.

Kady^iev^ky V. G. Fundamental length hypothesis and new concept of gauge vector field. — Nucl. Phys. B, 1978, N 2, p. 477—496.

Kotecky R., Niederle J. Conformally covariant field equations. I. First-order equations with non-vanishing mass.— Czech. J. Phys. B, 1975, 25, N 2, p. 123—149; II. First-order massless equations.— Rep. Math. Phys., 1976, 12, N 2, p. 237— 249.

Koternikov G. A. Symmetry of free Maxwell equations.— Moscow, 1980.— 12 p.— (Preprint; IAE-23-61).

Krajcik R. A.t Nieto M. M. Bhabha first-order wave equations. Indefinite metric and Foldy-Wouthuysen transformation.— Phys. Rev. D, 1976,14, N 2, p. 418—436.

Le Belloc Л4., Levi-Leblond J. M. Galilean electromagnetism.— Nuovo cim. B, 1973, 14, N 1, p. 217—235.

Larmor /. Collected papers.— London, 1928.

Levi-Leblond J.・M. Galilei group and Galilei invariance.— In: Group theory and its applications. New York; London : Acad, press, 1971, vol. 2, p. 221—229.

Levi-Leblond J.-M. Nonrelativistic particles and wave equations.*— Comm. Math. Phys., 1967, 6, N 4, p. 286—311.

Lie S. Allgemeine Untersuchungen uber Differentialgleichunge die eine continuir- liche, endliche Gruppe gestatten.— Math. Ann., 1885, 25, N 1, S. 71—151.

Lie S. Classification und Integration von gewohnlichen Differentialgleichungeir zwisshen x,*y die eine Gruppe von Transformationen gestatten.— Arch. Math. Natur. Christiania, 1883, 9, S. 381—393.

Lie S. Transformationgruppen : In 3 Bd.— Leipzig, 1893.— Bd. 3. 400 S.

Lie S. Uber die Integration durch bestimmtelntegrale von einer Klasse lineare partiellen Differentialgleichungen.— Arch. Math., 1881, 6, H. 3, S. 328—368.

Lie S., Engel F. Theorie der Transformationsgruppen : In 3 Bd.— Leipzig : Teubner, 1888, 1893, Bd. 1—3.

Lomont J. S. Dirac-like wave equations for particles of zero rest mass and their quantization.— Phys. Rev., 1958, 111, N 6, p. 1710—1716.

'Lomont J. S. Conformal invariance of massless Dirac-like wave equations.— Nuovo cim., 1961, 22t N 4, p. 673—679.

Lomont J. S., Moses H. E. Simple realization of the infinitesimal generators of the proper orthochronous inhomogeneous Lorentz group for mass zero.— J. Math. Phys., 1962, 3, N 3, p. 405—408.

Mack G., Salam A. Finite-component field representation of conformal group.— Ann. Phys., 1969, 53, N 1, p. 174—202.

Mayer D. H. Vector and tensor fields on conformal space.— J. Math. Phys., 1975, 16, N 4, p. 884—893.

Michelsson J., Niederle J. On representation of the conformal "group which when restricted to its Poincare or Weyl subgroup remain irreducible.— J. Math. Phys., 1972, 13, N 1, p. 22—27.

Mignani R., Recami E, Badlo M. About a Dirac-like equation for the photon according to Ettore Majorana.— Lett, nuovo cim., 1974, 11, N 12, p. 568—572.

Moses H. E. A spinor representation of Maxwell equations.— Nuovo cim. Suppl., 1958, N 1, p. 1—18.

Moses Я. E. Reduction of relativistic wave functions to the irreducible representations of the inhomogeneuos Lorentz group. Pari II. Zero-mass components^— J. Math. Phys., 1968, 9f N 1$ p. 16—31.

Moses H. E, Covariant space—time operators, infinite-component wave functions an* prop若time Schrdainger equation.— Ann. Phys. (USA), 1969, 52, N 3^

Murphy J. Ё. Massless particles with infinite spin.— Phys. Rev. D, 1970, 2. N 6, p. 1047—1055.

Nelson T.几 Good R. 〃• Description of massless particles.— Phys. Rev., 1969, 179, N 5, p. 1445—1449.

Niederer u. The maximal kinematical invariance group of the free Schrodinger equation.— Helv. phys. acta, 1972, 45, N 5, p. 808810.

Niederer U, Massless fields as unitary representations of the Poincare group.— Fortschr. Phys・§ 1979, 27, N 4, p. 191—207.

Plybon B. F. Observation on the Bessel-Hagen conservation laws for electromagnetic fields.-— Amer. J. Phys., 1974, 42, N 3, p. 998—1001.

Rainich G. /• — Trans. Amer. Math. Soc., 1925, 27, p. 106.

Rosen J. Redundancy and superfluity for electromagnetic fields and potentials.— Am. Journ. Physo 1980, 48, N 12, p. 1071—1073.

Ryder L. H. Physical and nonphysical representations of the Galilei group.— Nuo- vo cim. A『1967, 52, N 3, p. 879—892.

Santhanam f. S- Tekumalla A. R. CP and CPT noninvariant relativistic wave equations of the 2-component neutrino.— Lett, nuovo cim., 1973, 6, N 3, p. 99—102.

Santhanam 7. S.$ Tekumalla A. R. Relativistic wave equations describing the neutrino.— Lett, nuovo cim., 1972, 3, N 5, p. 190—193.

Sdiwartz F. Unitary Irreducible representations of the groups SO (n, /)•— J・ Math. Phys., 1971, 12, N 1, p. 131—139.

Simon M. £ On relativistic wave equations for massless particles of spin 1/2.— Lett, nuovo cim.§ 1971, 2, N 12, p. 616—618.

Staunton L. P. A spin-1/2 positive-energy relativistic wave equations.— Phys. Rev. D, 1974, 10, N 6, p. 1760—1767.

Weinberg S. Feynman rules for any spin.— Phys. Rev. B, 1964, 133, N 5, p. 1318— 1332.

Wightman A. S. Invariant wave equations; general theory and applications to the external field problem.— In : Invariant wave equations : Lecture notes in Physics, Berlin : Springer, 1978, vol. 73, p. 1—101.

Wigner E. Unitary representations of Lorentz group.— Ann. Math., 1939, 4备 N h p. 149—2M・

СПИСОК ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

Стражев В. 〃.，Плетюхов В. 4. Симметрия поляризационного пространства и дополнительная инвариантность уравнений Максвелла.——Изв. вузов. Физика, 1981, 24, № 12, с. 39—42.

Фущич В. И. Симметрия в задачах математической физики.——В кн.: Теоретико-алгебраические исследования в математической физике. Киев: Наук, думка, 1981, с. 6—28.

Фущич В. 〃., Серов ". Я. О точных решениях уравнения Борна — Инфель- да. — Докл. АН СССР, 1981, 263, № 3, с. 582—586.

Фущич В. И., Никитин А. Г. О новых и старых симметриях уравнений Максвелла и Дирака. — Физика элементар. частиц и атом, ядра, 1983, 14, вып. 1, с. 5—57.

Akdeniz К. G. On classical solutions of GQrsey's conformal-invarint spinor model. — Lett, nuovo cim., 1982, 33, N 2, p. 40—44.

Barat 4 O., X〃 Bo-Wei. New type of vacuum solutions of nonlinear coupled field equations. — Phys. Rev. D. 1981, 23, N 12, p. 3076-3077.

Barat A. O., Xu Bo-Wei. Meronlike solutions of conformally covariat coupled nonlinear field equations. — Physica D, 1982, 6, N 1, p. 137—139.

Fushchich W. /., Shtelen W. M. The Symmetry and some exact solutions of the relativistic eikonal equation. — Lett, nuovo cim., 1982, 34, N 16, p. 498—502.

Fushchich W. /., Shtelen W. M. One some exact solutions of the nonlinear Dirac equation. — J. Phys. A : Math, and Gen., 1983, 16, N 2, p. 271—277.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

Алгебра инвариантности 9, 29 в классе дифференциальных операторов 36, 131

интегро-дифференциальных

операторов 73, 74

Алгебра Кеммера — Дэффина — Петье 18

—Клиффорда 17, 20

—Ли 8, 28

Алгебра Ли группы Галилея 117, 118, 153

Пуанкаре 30, 39

Шредингера 126, 144

IGL (4, R) 120

конформной группы 30, 31

Базис алгебры Ли 37, 38, 92

—пространства представления алгебры Ли 40, 58, 154

Вектор Любанского — Паули 40, 59

Векторное пространство 28

Вектор-функция 157

Гильбертово пространство 10

Инвариантность релятивистская 27, 31, 34

—конформная 59, 65

Калибровка Лоренца 22

—Кулона 22

—нелинейная 140

Ковариантная форма уравнений

Максвелла 19, 22

Конформное расширение группы Галилея 147, 148

Кэмпбелла ——Хаусдорфа формула 33, 56

Ли алгоритм 8—10

Матрицы Дирака 17

—Кеммера — Дэффина — Петье 18, 19

—Паули 14

Оператор интегро-дифференциальный 63, 75

—Казимира 40, 62, 154

—метрический 54, 55, 64

—преобразования к каноническому базису 48, 49, 156

—спина ковариантный 105

Представление алгебры Ли 28

группы Галилея 155

IGL (4,R) 123

Лоренца 50—53

Пуанкаре 39, 46, 48

Шредингера 126, 144

конформной группы 29—31, 59—61

Преобразования Галилея 118, 119

—из группы IGL (4,R) 121, 122

Шредингера 126

—из конформного расширения группы Галилея 147

—конформные поля с произвольным спином 70, 72

электромагнитного поля и электрического тока 67—69

—Лоренца 6, 11, 32, 34

—Ли — Бэклунда 9

—масштабные 7

—нелинейные 129

—нелокальные 81, 85

—образующие представление группы Пуанкаре, но не изменяющие времени 82, 84

—Р, Т, С, 12, 36

—симметрии дифференциального уравнения 27

—системы дифференциальных уравнений к диагональной форме 76, 77, 137, 138

—&урье 10, 23, 37

— Хевисайда — Лармора — Райнича

5, 6, 79

Сохраняющиеся величины 102

билинейные 103, 104

классические 102, 106—108

нелокальные для поля Дирака 105, 115

для электромагнитного поля 111—114

Симметрия локальная 8

—негеометрическая 8, 73

—относительно дискретных преобразований 12, 35

Скалярное произведение 38, 54, 105

Тензорная форма уравнений Максвелла 22

Уравнение Вейля 97, 163

—Дирака 88, 90

—для безмассового векторного поля 160, 171

ПОЛЯ с произвольным спином 184, 158

—для потенциала электромагнитного поля 21, 22, 137

—инвариантное относительно группы Галилея 142, 152, 153

—Кем мер а — Дэффина — Петье11,

18, 97

— Ли 70, 71

—непрерывности 114, 125, 143

—определяющее 129, 131, 148, 149

Шредингера 14, 126

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие

Введение

Глава 1. Различные формулировки уравнений Максвелла

§

2.

§ § § §

3.

4.

5.

6.

Уравнения Максвелла в векторных обозначениях ...

Уравнения Максвелла в форме Зильберштейна——Бейтмена——Ма йорана

Уравнения Максвелла в форме Дирака

Уравнения в форме Кеммера—Дэрина—Петье...

Уравнение для потенциала

Уравнения Максвелла в импульсном представлении ..

Глава 2. Релятивистская инвариантность уравнений Максвелла

§§

§

§

§

ю.

н.

12.

Основные определения

АИ уравнений Максвелла в классе дифференциальных операторов первого порядка Инвариантность уравнений электромагнитного поля в вакууме относительно алгебры С (1, 3)ф/7

Преобразования Лоренца Преобразования дискретной симметрии АИ различных формулировок уравнений Максвелла ...

Глава 3. Представления алгебры Пуанкаре

Классификация неприводимых представлений

Явный вид вектора Люба некого——Паули

Явный вид базисных элементов алгебры Пуанкаре ....

Ковариантные представления. Конечномерные представления группы Лоренца

Редукция решений уравнений Максвелла по неприводимым представлениям группы Пуанкаре

Глава 4. Конформная инвариантность уравнений Максвелла

8 9

Явно эрмитовое представление конформной алгебры ....

Генераторы конформной группы на множестве решений уравнений Максвелла Преобразования из конформной группы для Е, Н и / ....

Интегрирование представлений конформной алгебры, соответствующих произвольному спину

Глава 5. Негеометрическая симметрия уравнений Максвелла

Инвариантность уравнений Максвелла относительно восьмимерной алгебры Ли Д8

Другое доказательство теоремы 6. Конечные преобразования векторов Е и Н, порождаемые негеометрической АИ ....

Инвариантность уравнений Максвелла относительно 23-мерной алгебры Ли

Симметрия относительно преобразований, не изменяющих времени

Нелиевская симметрия уравнений Максвелла в проводящей среде

3

5

13

13

14

16

18

21

23

27

27

29

32

32

35

36

39

39

41

46

49

54

59

59

62

65

69

73

73

76

80

Глава 6. Симметрия уравнений Дирака и Кеммера—Дэффина—Петье88

： АИ уравнения Дирака в классе дифференциальных операторов 88

АИ уравнения Дирака в классе интегро-дифференциальных операторов 91

Симметриявосьмикомпонентного уравнения Дирака...93

Симметрияуравнения Дирака для безмассовой частицы..95

Симметрияуравнения Кеммера—Дэффина—Петье...97

Негеометрическая симметрия уравнений Дирака и КДПдля частиц, взаимодействующихс внешним полем 100

Глава 7.Интегралы движения102

Сохраняющиеся во времени билинейные формы ....102

Интегралы движения для поля Дирака 104

Классические интегралы движения электромагнитного поля . 106

Интегралы движения, связанные с негеометрической симметрией уравнений Максвелла 110

Формулировка законов сохранения с использованием уравнения непрерывности 114

Глава 8.Симметрия подсистем уравненийМаксвелла116

Инвариантность первой пары уравнений Максвелла относительно преобразований Галилея 116

Инвариантность относительно группы IGL (4, R) .... 120

Симметрия второй пары уравнений Максвелла и уравнения непрерывности123

Симметрия относительно нелинейных преобразований координат 125

Симметрия подсистем уравнений Максвелла, инвариантных относительно группы О (3)-130

Негеометрическая симметрия 133

Симметрия уравнений для потенциала137

Глава 9. Уравнения для электромагнитного поля; инвариантные относительно

группы Галилея141

Два типа галилеевски инвариантных уравнений для электромагнитного поля 141

Симметрия уравнений (45.1)—(45.4) и (45.7)—(45.10)... 143

Другие типы галилеевски инвариантных уравнений для электромагнитного поля149

Неприводимые представления алгебры Ли расширенной группы Галилея 153

Глава 10. Релятивистские уравнения для векторного и спинорного безмассового поля157

Теоретико-групповой вывод уравнений Максвелла .... 157

Единственность уравнений Максвелла 160

Пять типов неэквивалентных уравнений для безмассовых полей 163

Неэквивалентные уравнения для безмассового векторного поля 168

Глава 11. Пуан каре-инвариантные уравнения для безмассового поля с произвольны м спином173

Ковариантные уравнения для безмассовых полей с произвольной спиральностью 173

Уравнения в форме Дирака для полей с произвольным спином 175

Инвариантные уравнения без лишних компонент .... 179

Неэквивалентные уравнения для безмассового поля с произвольным спином 183

Заключение 187

Список литературы 188

Список дополнительной литературы 195

Предметный указатель・..・..•・・196

Вильгельм Ильич ФущичАнатолий Глебович Никитин

СИММЕТРИЯ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА

Утверждено « печатиученым советомИнститута математики АН УССР

Редактор Т. Г. М и ц е р у кХудожественный редактор И. П. АнтонюкТехнический редактор С. Г. МаксимоваКорректоры О. А. К у р н н н а %,Д. Я. К а ш п е р, Л. Н. Р е г е т а

Информ, бланк № 5492

Сдано в набор 06.08.82. Подп. в печ. 19.04.83. БФ 01127.

Формат 60X90/16. Бумага тип. № 1. Лит. гарн. Выс.печ. Усл. печ. л. 12,5. Усл. кр.-отт. 12,7Э. Уч.-изд.л. 12,33. Тираж 1900 экз. Заказ 2-536. Цена 2 р.

Издательство «Наукова думка», 252601 Киев, ГСП,Репина, 3.

Киевская книжная типография научной книги. 252004,Киев-4, Репина, 4,

В. И. ФУ ЩИ Ч, А. Г. НИКИТИН

СИММЕТРИЯУРАВНЕНИЙМАКСВЕЛЛА

АКАДЕМИЯ НАУК УКРАИНСКОЙ ССРИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

В. И. ФУ ЩИ Ч, А. Г. НИКИТИН

СИММЕТРИЯ УРАВНЕНИЙ МАНСВЕЛЛА

КИЕВ НАУКОВА ДУМКА 1983

УДК 517.945.7:519.46:538.3

Симметрия уравнений Максвелла / Фущич В. И., Никитин А. Г.——Киев: Наук, думка, 1983.— 200 с.

Исследуются симметрийные свойства уравнений Максвелла и других систем дифференциальных уравнений гиперболического и параболического типов.

С помощью нелиевского метода установлены новые группы инвариантности уравнений Максвелла и Дирака. Найдены интегралы движения, связанные с нелокальной симметрией уравнений Максвелла. Получены в явном виде конформные преобразования для безмассового поля с произвольным спином.

Выведены дифференциальные и интегральные уравнения движения для релятивистских безмассовых полей произвольной спиральности. Показано, что существует пять типов таких уравнений, имеющих различную симметрию относительно преобразований 尸，С и Т.

Для научных работников — математиков, физиков, а также аспирантов и студентов старших курсов вузов соответствующих специальностей, интересующихся применением групповых методов к исследованию уравнений математиче^ ской Физики.

Табл. 1. Библиогр.: с. 188—195 (181 назв.).

Ответственный редактор Ю. А. МитропольскийРецензенты О. С. Парасюк, А. К. Лопатин

Редакция физико-математической литературы

1702050000-251

Ф151-83

М221 (04)-83

© Издательство《Наукова думка», 1983

Посвящается 150-летию со дня рождения Джеймса Клерка Максвелла (1831—1879)