ОТ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА

Книги по теории относительности пользуются все возрастающей популярностью. Это объясняется фундаментальной ролью этой теории в современном естествознании и интеллектуальной глубиной ее понятий. Теорию относительности принято разделять на специальную (частную) и общую. Специальная теория относительности лежит в основе описания физических явлений, происходящих при больших скоростях, сравнимых со скоростью света. Центральное место в ней занимает идея объединения пространства и времени в единый четырехмерный мир — пространство-время. Эта теория надежно установлена и проверена, но к некоторым ее выводам нелегко привыкнуть, поскольку с релятивистскими явлениями не приходится сталкиваться в повседневной жизни. Общая теория относительности обобщает специальную теорию относительности на случай описания гравитационных явлений (отсюда ее название), т. е. она является релятивистской теорией тяготения. Ее идеи приводят к понятию искривленного пространства-времени. В настоящее время релятивистская теория тяготения наиболее активно используется и развивается в связи с задачами астрофизики и космологии. Можно без преувеличения сказать, что в настоящее время теория относительности становится достоянием общечеловеческой культуры. Она необходима не только узким специа* листам, но и всякому образованному человеку как важный элемент его мировоззрения.

Написано много научно-популярных книг по теории относительности. Пожалуй, все они, рассказывая о наиболее ярких выводах этой теории, не предназначались для сколько-нибудь систематического и самостоятельного изучения предмета. В этом отношении предлагаемая книга С. Лилли занимает особое положение. Не случайно дословный, но несколько неуклюжий перевод ее названия звучит так: «Открывая теорию относительности для себя». В своем предисловии автор рассказывает о том, как у него возник замысел написать книгу на основе своих лекций для взрослых людей самых разнообразных специальностей. Зта книга действительно для всех. Она может рассматриваться как своего рода самоучитель по теории относительности.

Книга никого не оставит равнодушным. Кому-то очень понравится простой, неторопливый, подробный стиль изложе-

ния, хотя кому-то она может показаться скучной, а ее объем — неоправданно большим. Достоинство книги в том, что она построена в виде непринужденной беседы с читателем. Она рассчитана на тех, кто знает лишь арифметику, но столь сильно желает разобраться в специальной и даже общей теории относительности, что будет готов по ходу дела потратить много времени на изучение математики самой по себе. Автор исходит из того, что он имеет дело с читателем, которому следует разъяснить содержание теоремы Пифагора и правила обращения с отрицательными числами. Описание этих простых вещей соседствует с изложением сведений о физических экспериментах и принципах теории относительности. В этом, кстати, кроется немалая опасность. Создается впечатление, что усвоение физических идей теории Эйнштейна требует примерно таких же интеллектуальных усилий, как и изучение школьного курса математики. К сожалению, это не так. Далеко не все прекрасно усвоившие школьный курс математики понимают теорию относительности. Математически подготовленному читателю не следует слишком поверхностно относиться к тем разделам книги, где излагаются физические принципы предмета. Между прочим, в книге найдет много интересного и студент университета, и ква- лифицированный инженер.

Автор подчеркивает, что он педагог, а не специалист, работающий в области теории относительности. Некоторые из его педагогических приемов действительно великолепны. Правда, в последних разделах книги все-таки чувствуется, что они нaпи^ саны неспециалистом и не на современном математическом уровне. Стремясь избежать тензорного анализа и дифференциального исчисления, автор вынужден проводить элементарные, но довольно трудоемкие и утомительные вычисления там, где владение современной математикой делает все простым и ясным.

Рекомендуем читателю несколько научно-популярных книг по теории относительности, хотя и иного плана:

Л. Д. Ландау, Ю. Б. Румер. Что такое теория относительности.—М.: Советская Россия, 1959?

Г. Бонди. Относительность и здравый смысл.——М.: Мир. 1967.

П. Бергман. Загадки гравитации. — М.: Наука, 1969.

Э. Тейлор, Дж. А. Уилер. Физика пространства-времени.— М.: Мир, 1969.

Д. Сиама. Физические принципы общей теории относительно- сти. — М.: Мир, 1971.

Л. П. Грищук

Моим слушателям в Бостоне, Дерби, Линкольне, Лафборо, Мансфилде, Ноттингеме, Скегнессе, Слифорде, Стамфорде, научившим меня, как учить теории относительности

ПРЕДИСЛОВИЕ

Еще одна книга по теории относительности для неспециалиста! Зачем? Что в ней нового?

Теории Эйнштейна уже посвящено множество книг, написанных корифеями в этой области физики. Они приложили огромные усилия, чтобы изложить теорию относительности с большой логической стройностью, простым языком, понятным любому смышленому человеку, даже если у него нет специального образования. И тем не менее, прочитав эти книги, большинство читателей остались озадаченными. Почему? Думаю, что после обсуждения с десятками слушателей моих лекций я могу ответить на этот вопрос. Трудности, с которыми сталкивается неспециалист, связаны вовсе не с тем, что можно было бы ожидать исходя из логического анализа. Специалист по теории относительности, каким бы усердным и доброжелательным он ни был, вряд ли вникал в эти трудности, более того, едва ли он имеет представление о том, как их преодолеть.

Я вовсе не отношусь к этим специалистам. Все, что я знаю о теории относительности, — результат усердного изучения их работ. Зато я могу претендовать на то, чтобы называться специалистом в другом — в искусстве учить науке людей от нее далеких. Это мое основное занятие с 1950 г.

Теорию относительности я ввел в читаемые мною курсы лекций в 1958 г., и с тех пор я преподавал ее плотникам, мелким служащим, домохозяйкам, шахтерам и страховым агентам —— всем тем, кто не имеет специальной подготовки для изучения этого предмета (а также группам людей, имеющим кое-какую подготовку, например учителям и инженерам). Поначалу я обучал этой науке плохо. Но слушатели факультета образования для взрослых дали мне возможность учиться на своих ошибках. На моих лекциях всегда очень много дискуссий. Слушатели без стеснения выкладывают возникшие перед ними проблемы, что приветствуется и всячески поощряется, и обсуждают их до тех пор, пока я не найду способа преодолеть то или иное препятствие. Поощряются даже попытки опровергнуть самого Эйнштейна (или меня). Только после того как достигается полная ясность, мы продолжаем двигаться дальше.

Уж и не знаю, много ли усвоили слушатели первых групп, зато я сам научился многому. Находясь в гуще дискуссий и спо-

ров, я понял, что главные трудности состоят не в том, чего разумно было бы ожидать, и не в том, с чем можно справиться с помощью чисто логического объяснения. Здесь требовался обходной маневр. Поэтому я стал записывать на магнитофон все свои лекции, прослушивать записи, анализировать возникавшие перед слушателями проблемы и выявлять свои огрехи. Я завел дневник, в который систематически заносил сделанные выводы. С осени 1963 по весну 1970 г. я проводил весь этот комплекс для каждого читаемого мною курса теории относительности, так что у меня накопились магнитофонные записи продолжительностью 650 часов, а на их прослушивание я потратил около 2000 часов.

Мало-помалу я пришел к пониманию тех особенностей восприятия, с которыми связана каждая трудность. И тогда шаг за шагом я разработал соответствующую методику преподавания, благодаря которой мои теперешние слушатели легко и быстро преодолевают трудности. Поэтому я решил, что стоит приспособить эту методику для заочного обучения с помощью книги. Разумеется, книге, в основе которой лежит курс общедоступных лекций, неизбежно будут свойственны некоторые стилистические особенности, но это простительно, если книга, как я надеюсь, поможет многим людям хорошо разобраться в теории относительности——одной из самых замечательных научных теорий XX в.

Чтобы легче было выявить, а затем и преодолеть реальные проблемы, возникающие перед слушателями, необходимо исключить трудности чисто технического характера, в особенности математические. Поэтому я постепенно разработал методику, в которой математика используется минимально. Кроме того, раз« работана схема, .позволяющая даже этот минимум вводить шаг за шагом, по мере необходимости. Бегло пролистайте книгу, и вы увидите, как медленно внедряется в изложение математика.

Этот упрощенный математический подход тем не менее позволил мне вывести основные следствия общей теории относительности элементарными методами. Вместо наводящего ужас тензорного имисления я использую только весьма упрощенный вариант исчисления бесконечно малых, которое ввожу по мере надобности. (Между прочим, есть один момент, который мог бы представить интерес даже для специалиста по теории относительности: пп. 32.26, 32.27, 32.31—32.33.)

Я в долгу у многих и прежде всего у Германа Бонди (несмотря на то, что я давно не пользуюсь его методом). Прочитав его статью, опубликованную в декабре 1957 г. в журнале Discovery, я понял, что теория относительности — вполне подходящий предмет для факультета образования для взрослых. Кроме того, большое стимулирующее влияние на меня оказали

Сэм ЛиллиСэм Лиллителевизионный цикл лекций, прочитанный Бонди в 1963 г.» и вышедшая вслед за тем книга по теории относительности. Я также обязан многим другим авторам, результатами которых я пользовался. Среди них хочу особо отметить Л. Д. Ландау и Ю. Б. Румера, авторов книги «Что такое теория относительности?» и Дж. Шварца, автора книги «Теория относительности в картинках». Я благодарен Д. Чепмену за помощь в подготовке рукописи и чтении корректур. Я также признателен своей жене за долготерпение. Но больше всего я в долгу у тех, кому посвятил эту книгу.

Сэм Лилли

Сэм Лилли

Ноттингемский университет, факультет образования для взрослых 1980 г.

ВВЕДЕНИЕ

Вам наверняка хотелось бы знать заранее, сможете ли вы одолеть эту книгу. Больше всего вас, вероятно, беспокоит вопрос, справитесь ли вы с математикой, занимающей заметное место в последующем изложении. Смею вас заверить, что эта книга предназначена для тех, кто, приступая к ее чтению, знаком только с арифметикой. Я буду обучать вас тем или иным математическим премудростям по мере необходимости. Если этих заверений недостаточно, наберитесь терпения и, прежде чем решать, стоит ли продолжать дальше, дочитайте хотя бы до 14 стр.

Специальная 〃 общая теории относительности. Прежде всего, что такое теория относительности? Она подразделяется на две части, наиболее важная из которых ——специальная теория относительности. Это, в общих чертах, теория, из которой можно узнать, как выглядит мир для людей, мчащихся по свету с чрезвычайно высокой скоростью. Причем его движение должно быть равномерным и прямолинейным — не допускается никакого увеличения или уменьшения скорости и никакого отклонения от прямолинейного пути.

В основе специальной теории относительности лежит очень простая идея: никаким способом невозможно узнать, действительно ли вы движетесь или нет. «И это все?» ——подумали вы. Но если развить эту идею, то выяснится, что следствия такого, казалось бы, безобидного начала ошеломляющи. Оказывается, мир коренным образом отличается от того, каким вы его до сих пор себе .представляли.

Рассмотрим одно из самых поразительных утверждений. Предположим, что расстались два брата-близнеца: один остался на Земле, а другой отправился на субсветовом космическом корабле в длительное межзвездное путешествие и затем вернулся обратно. Так вот, теория относительности утверждает, что при встрече астронавт окажется моложе своего брата, остав- шегося на Земле. Но даже в тех случаях, когда специальная теория относительности не поражает наше воображение, она всегда модифицирует, а иногда производит коренной переворот старых теорий. Некоторые ее следствия имеют большое практическое значение для электроники, для ядерной энергетики.

В целом она необходима для реального понимания пространства и времени, в которых мы живем.

Другая часть — общая теория относительности — начинается с того, что в ней отбрасываются ограничения, связанные с равномерным и прямолинейным движением, и изучается опыт наблюдателей, движущихся в некотором смысле произвольно. Из этих обсуждений в конце концов возникает новая теория тяготения, которая несколько точнее ньютоновской в обычных условиях и, вероятно, значительно превосходит ее в экстремальных условиях. Она пока еще не имеет большого практического применения и, может статься, никогда не будет его иметь. Тем не менее изучение общей теории относительности — это одно из самых увлекательных занятий, выпадающих на долю любознательного человека. Она дает нам ощущение истинного понимания свойств пространства и времени, в которых мы живем.

Сложна ли теория относительности? «Теория относительности»— многих эти слова отпугивают, а сама теория приобрела репута- цию чего-то невероятно сложного, поэтому вас наверняка волнует, способны ли вы одолеть ее.

Конечно, способны, я в этом нисколько не сомневаюсь. Разу- меется, нужно настроиться на то, что придется хорошенько поработать. Но то же самое можно сказать и о садоводстве, однако никто ведь не считает садоводство чем-то непостижимым. Трудно пробежать милю за четыре минуты — это требует определенных способностей и тренировки. Теория относительности таких требований не предъявляет, в этом отношении она не сложна. Нужно лишь привлечь скрытые в нас способности. Правда, необходим некоторый минимальный уровень интеллекта; у обезьян способности к теории относительности еще не наблюдалось. Но из длительного опыта преподавания я знаю, что многие люди, не обладающие особыми способностями, с весьма заурядным уровнем образования в состоянии успешно изучать теорию относительности и испытывают от этого занятия огромное удовольствие.

Конечно, в этой теории есть сложные моменты. Когда я говорю, что тот из братьев-близнецов, который на огромной ско- рости путешествовал по просторам Вселенной, будет моложе своего брата, вы можете возразить: «Я не могу себе это пред- ставить». Так ведь и я тоже не могу! Но если вы не можете себе чего-нибудь представить, дает ли это право говорить, что вы этому не верите?

Есть множество вещей, которые мы не в состоянии вообра- зкть потому, что они слишком малы или слишком велики либо находятся далеко за пределами нашего повседневного опыта, но в существование которых мы тем не менее верим, поскольку

имеются убедительные свидетельства того, что так должно быть. Вы же верите тому, что известно о звездах, галактиках и квазарах, или тому, что этот лист бумаги в основном состоит из

пустоты, разделяющей крошечные атомы.

То же самое и с теорией относительности. Мы не можем представить себе, что произойдет с космическим путешественником, потому что наш жизненный опыт не содержит ничего, пусть даже отдаленно напоминающего такое путешествие. Ведь нам никогда не доводилось летать с такой скоростью. Вот почему воображение подводит всех нас.

Тем не менее я верю ——и Эйнштейн верил ——и, надеюсь со временем поверите и вы, что астронавт состарится меньше, чем его брат, оставшийся на Земле. Почему? Да по той причине, что есть свидетельства: эксперименты, наблюдения, логические рассуждения и математические расчеты, которые в совокупности вынуждают согласиться, что так и должно быть.

К тому же всегда нелегко изменить устоявшиеся взгляды. Поэтому препятствия, с которыми вы столкнетесь при изучении теории относительности, связаны с необходимостью забыть то, в чем вы, на ваш взгляд, разбираетесь, и научиться тому, чего, как вы полагаете, вы не знаете. Все мы пропитаны многими идеями, которых придерживались столь долго, не пытаясь серьезно вдуматься в их содержание, что возникло ощущение, будто их справедливость очевидна. Более глубокий анализ показывает, что эти представления не верны, а только кажутся очевидными в рамках нашего ограниченного жизненного опыта. Но эти устоявшиеся взгляды так глубоко проникли в сознание, что трудно от них отказаться даже спустя много времени после того, как разум доказал их ошибочность.

Итак, нас подстерегают трудности, связанные как с необходимостью избавиться от старых представлений, так и с ограниченностью воображения, свойственной даже специалистам. Но я верю, вы согласитесь, что следует отказаться от каких-то представлений, если можно доказать, что они ложны, и поверить в другие, если можно доказать, что они верны, даже в тех случаях, когда они не поддаются воображению. Сам же ход доказательства тех или иных следствий теории относительности не представляет особых трудностей. В принципе все они просты, хотя часть из них сложна в методологическом отношении. Мы сконцентрируем внимание на простых разделах, хотя и будем по ходу дела совершенствовать наши методы.

Но в заключительных главах книги эти методы включают изрядную долю математики. Это наверняка вас встревожило, вы боитесь, что не справитесь с математикой. Уверен, что справитесь. Большинство из нас учили математику либо очень плохо, либо вообще не учили. В результате теперь мы разбираемся в

математике с большим трудом или вообще не разбираемся. Нам кажется, что в этом наша вина — у нас нет способностей к математике. Но это не так. Каждый может постичь математику настолько, чтобы справиться с этой книгой, хотя для одних она будет легче, чем для других.

Загляните вперед. На стр. 24——25 и 53—62 нам встретится небольшое число арифметических операций и простая геометрия. Однако вплоть до стр. 137 никакие алгебраические символы не используются (правда, они мимоходом употребляются и ранее). Но постепенно математических формул становится все больше. Не волнуйтесь, я обещаю научить вас всему необходимому, как только это понадобится.

Вы сомневаетесь в своих математических способностях? Это просто потому, что у ваших учителей была плохая методика преподавания. Математика (в той мере, в какой она нас интересует) ——это всего лишь язык. Но вы уже продемонстрировали способности к изучению языков, поскольку одолели, как минимум, два: разговорный язык и грамматику, два разных языка, которым обучают раздельно (или вы сразу научились читать и писать, как только начали говорить?). Поэтому не уклоняйтесь от изучения еще одного языка, особенно если учесть, что путь от грамматики к математике короче, чем путь от разговорного языка к грамматике.

Математика — это своего рода стенографический язык, специально предназначенный для лаконичной и точной записи осо・ ^ого рода утверждений. Все, что можно выразить математическим языком, можно сказать и на обычном языке, но фраза оказалась бы столь длинной, что в ней можно было бы запутаться. Математический язык очень краток и компактен и позволяет выполнять цепочки рассуждений, которые иначе были бы длинными и громоздкими.

Каждый вид деятельности имеет свой собственный профессиональный язык. Попробуйте, к примеру, объяснить, как завести автомобиль и разогнать его до высокой скорости, избегая специальных терминов, таких, как руль или педаль сцепления. Попытайтесь также объяснить что-либо из своей работы, не пользуясь профессиональным жаргоном специалиста. Обязательно проделайте эти упражнения.

Всякий род деятельности имеет свой собственный язык, и если его не использовать, то это сильно усложнит жизнь. В то же время любой человек с легкостью овладевает профессиональным языком.

Также обстоят дела и с математикой. Многие рассуждения, если попытаться сформулировать их на обычном языке, стано* вятся столь длинными, что в них легко запутаться. Но стоит только перевести такое рассуждение на математический язык—

и сразу задача проясняется. Для этого и надо познакомиться с математикой ——языком, много более простым, чем французский, для человека, говорящего по-английски. Мы будем изучать ее не торопясь, по мере необходимости. Надеюсь, я убедил вас отказаться от предвзятых опасений по поводу математики.

Как пользоваться этой книгой. Обратите внимание: как ею пользоваться, а не как ее читать.

Пассивного чтения не достаточно. Вам предстоит многое продумать, преодолевать трудности, решать задачи. Книгу следует рассматривать в основном как руководство, направляющее и помогающее в процессе более активного обучения.

В большинстве случаев, читая, вы тут же улавливаете смысл, поэтому вы привыкаете к непрерывному чтению в постоянном темпе. При очном обучении я излагаю рассматриваемую тему довольно пространно, прибегая к повторениям, пока все слушатели не поймут. Но для книги это слишком большая роскошь, так что мне пришлось сократить объем лекций в четыре-пять раз. Поэтому приготовьтесь к тому, что придется читать медленнее и более внимательно, останавливаться, чтобы фраза успела запечатлеться в памяти, перечитывать трудные параграфы и т. п.

Не следует слепо принимать все на веру. Мне хотелось бы, чтобы вы спорили, возражали, искали изъяны в моих рассуждениях. Разумеется, вы должны убедиться в правильности своих доводов, поэтому спорьте сами с собой. Только серьезно поразмыслив над этими строками, можно извлечь пользу из этой книги в дальнейшем. Из своего педагогического опыта я довольно хорошо знаю все возникающие проблемы и постараюсь основное внимание сосредоточить на тех моментах, где возникновение таких проблем наиболее вероятно. Но всего охватить невозможно, так что будьте готовы к самостоятельной борьбе с трудностями.

Я часто буду давать вам задание поработать кое над чем самостоятельно. Это задание будет набираться жирным шрифтом. Всякий раз, когда увидите фразу, напечатанную жирным шрифтом, знайте, вам предстоит самостоятельная работа. Отнеситесь к ней серьезно.

Обычно тут же вслед за вопросом будет приводиться ответ. Поэтому не спешите заглядывать вперед. Советую использовать почтовую открытку в качестве закладки, и, как только, переворачивая страницу, вы увидите жирный шрифт, сразу же прикройте ответ открыткой, до тех пор пока все хорошенько не обдумаете. Не расстраивайтесь, если ваш ответ будет неверным. Очень часто задача действительно будет очень трудной, но мне хотелось бы, чтобы вы основательно поразмышляли,

прежде чем мы примемся за решение общими усилиями. (Вопросы, напечатанные обычным шрифтом, в основном риторические. Можете двигаться дальше, как только поймете их смысл.)

Даже когда я не буду давать вам задания, чем активнее вы будете учиться, тем лучше усвоите материал. Например, вам встретится много чертежей. Вы разберетесь в них гораздо лучше, если будете перерисовывать их, следуя данному в тексте описанию (обычно будет вполне достаточно сделанного от руки наброска,) Пометьте свои рисунки соответствующим образом и сохраняйте их. Мы будем часто обращаться к ним вновь, и это освободит вас от излишнего перелистывания страниц.

Ваши занятия не следует воспринимать как от начала и до конца размеренный процесс. Скорее это набор задач, подлежащих завершению. Нумерованные параграфы будут служить вам грубым ориентиром. В конце каждого из них спросите себя, что вы должны были из него узнать, в какой мере вам это удалось и справились ли вы со всеми содержащимися в нем задачами. Конец главы ——место для более основательного подведения итогов.

Но не следует слишком усердствовать. Излишнее упорство в попытках полностью разобраться в каждом параграфе, прежде чем переходить к следующему, может вообще застопорить продвижение вперед. Если встретится «неподдающаяся» проблема, отметьте ее, прочтите еще несколько страниц (а то и больше) и вновь вернитесь к «крепкому орешку».

Вы убедитесь, что эту книгу с ходу не одолеть. Не пытайтесь сделать слишком много за короткий срок. Ограничьтесь часом или двумя сосредоточенных занятий в день, затем «переварите» полученную информацию, а дня через три «примите» новую порцию «релятивистской пищи». Не пытайтесь «проглотить» эту книгу за одну или две недели. Вы сможете одолеть ее не менее чем за три месяца, а то и больше. Не будет зазорным потратить два или даже три года на то, чтобы все усвоить как следует.

Нам часто придется возвращаться назад, поэтому каждая глава разделена на пронумерованные разделы — параграфы.

Иногда я буду вас просить перечитать что-то специально, а иногда ссылки на предыдущие разделы предназначены для того, чтобы помочь вам вспомнить что-то. Если вам все понятно, не тратьте попусту время на просмотр этих разделов. Иногда удобнее разъяснить тот или иной трудный вопрос немного погодя, после того как он возник. Поэтому, прежде чем беспокоиться из-за какой-нибудь неясности, загляните на один раздел вперед.

Обучению математике обычно будут отводиться отдельные разделы, к номерам которых добавлена буква М. Если у вас достаточная математическая подготовка, просмотрите их мельком.

Чтобы помочь вам вспомнить что-то важное, но ускользнувшее из памяти (если я не сделал соответствующей ссылки), книга снабжена предметным указателем, который позволяет найти в тексте (например) определения элементарных математических понятий, которые обычно не включаются в указатели, таких, как «пропорциональность» и «произведение». Если вы забыли греческий алфавит, найдите в указателе «греческие буквы». Список математических знаков приведен в конце предметного указателя.

Чего вы сможете достигнуть? Вы, конечно, будете менее сведущи в теории относительности, чем выпускник университета, прослушавший курс лекций по этому предмету, в том смысле, что вы будете менее подготовлены к применению теории относительности в практических целях. Однако вы можете превзойти этого выпускника в понимании того, что следует из теории относительности о природе окружающего мира, так как мы рассмотрим ряд интересных проблем философского характера, которые профессионал обычно предпочитает обойти.

Как ни парадоксально, но такая ситуация возникает из-за того, что у вас нет профессиональных навыков и знаний. Проведу такую аналогию. Производитель мебели, естественно, стремится использовать наиболее совершенные из существующих станков. Допустим, что вы решили забавы ради сделать стол и четыре стула, но у вас под руками есть только несколько примитивных инструментов. Конечно, профессиональный мебельщик несравненно квалифицированнее вас. Но вы изучите свойства дерева, гвоздей и клея. Способность работать с характерными особенностями используемого материала уже заложена в машине. Но если у вас что-то не будет получаться, то вам придется разобраться в свойствах инструментов и материалов.

Точно так же всякий изучающий теорию относительности на профессиональном уровне стремится использовать самые изощренные математические методы, чтобы поскорее освоить интересующие его разделы теории. Его не волнует «внутреннее устройство» этой математической 《машины》. Мы будем пользоваться только самым примитивным математическим аппаратом. Разумеется, наш подход не столь эффективен, как профессиональный, и, чтобы получить тот или иной результат, придется усерд- но потрудиться. Это вынуждает более скрупулезно анализировать все свои действия. Поэтому, несмотря на отсутствие математической подготовки, вы можете достичь более глубокого, чем лучшие специалисты, понимания того, что такое теория относительности.

Счастливого пути!

ПРИСТУПИМ К ДЕЛУ

Когда находишься в вагоне поезда, трудно сказать, действительно ли он движется или стоит на месте. С обсуждения этого факта, следующего из повседневного опыта, мы и начнем изучение теории относительности.

Конечно, в окне вагона мелькают телеграфные столбы. Но то, что мы видим, можно истолковать по-разному. Например, мы вправе считать, что столбы движутся, а поезд стоит на месте. На самом же деле здесь следует говорить об относительном движении столбов и поезда — это единственное бесспорное утверждение. Чтобы наши рассуждения стали более понятными и убедительными, вспомните, что происходит на киноэкране, когда действие фильма переносится в купе скорого поезда. И подумайте, как именно достигается иллюзия движения. (Напоминаю: над тем, что выделено жирным шрифтом, вам следует поработать самостоятельно, см. с. 14).

Подобные повседневные впечатления и размышления над ними наводят на мысль, что наблюдение за окружающими нас предметами дает информацию только об относительном движении. Из этих наблюдений невозможно узнать, движемся ли мы или окружающие предметы (или и мы, и они).

Нельзя ли в таком случае в самом вагоне поставить эксперимент, который позволил бы определить, движется ли поезд? Чтобы ответить на этот вопрос, вообразим, что мы находимся в вагоне поезда, движущегося равномерно и прямолинейно, т. е. с постоянной скоростью и на прямолинейном участке пути. Я утверждаю, что в этом поезде все должно происходить точно так же, как если бы он стоял на месте. В самом деле, при равномерном и прямолинейном движении поезда пассажиру не требуется никаких дополнительных усилий для сохранения равновесия. Он будет стоять так же прямо, как в неподвижном поезде. А как будет выглядеть движение предмета, выпавшего у него из РУ®

Он будет отвесно падать и приземлится прямо у ног пассажира——так, будто бы это произошло в стоящем поезде. Попробуйте придумать эксперимент, выполняемый в вагоне, который давал бы различные результаты для движу-

щегося и неподвижного поездов. Никому еще не удалось этого сделать.

Обратите внимание, во всех случаях рассматривалось движение только относительно поверхности Земли. Сама же Земля довольно быстро движется вокруг Солнца. Однако наши эксперименты не обнаруживают никаких признаков ни движения Земли, ни собственного движения Солнца. Как видно, равномерное прямолинейное движение вообще нельзя зарегистрировать.

Разумеется, все выглядит иначе, если движение неравномерное, например если поезд набирает скорость или замедляет ход. Чтобы сохранить равновесие при резком торможении поезда, нужно отклониться назад. Любой предмет, оброненный пассажиром, упадет немного позади него в поезде, прибавляющем скорость, и немного впереди в поезде, снижающем скорость. Да и вообще существует множество экспериментов, позволяющих отличить ускоренное движение, подобное разгону или торможению, от равномерного. Возвращаясь теперь к описанию равномерного и прямолинейного движения поезда, можно сказать, что нет способа обнаружить различия между таким движением и состоянием покоя. Поэтому бессмысленно говорить, что данный предмет «действительно» движется, а другой «действительно» неподвижен. Бессмысленно, ибо это не поддается проверке. А что же можно утверждать? Только следующее: данный предмет движется или неподвижен по отношению к другому.

Ученый XIX в. возможно согласился бы с этими доводами, но с оговорками. «Все, что говорилось, касается механических экспериментов», — сказал бы он,—《и я согласен, что с их помощью невозможно узнать, действительно ли вы движетесь или покоитесь». «Но», — возразил бы он,— «ведь существуют и другие типы экспериментов, в частности оптические, которым это под силу》. Говоря так, он бы ошибался. Однако мы лучше поймем основы теории относительности, если потратим немного времени и выясним, что же он на самом деле думал и почему ошибался. Но прежде нам необходимо познакомиться с некоторыми свойствами света.

Наверняка вы и без меня знаете, что свет обладает волновыми свойствами. Заметьте, я предусмотрительно не говорю, что свет — это и есть волны. Со временем станет понятнее, к чему такая острожность. Слова《сват обладает волновыми свойствами》означают, что задачи о распространении света можно решать, рассматривая его как волны, которые мы будем называть световыми волнами.

Любой цуг волн характеризуется определенным числом^ называемым частотой. Частота равна числу горбов или впадин цуга волн, прошедших через данную точку за одну секунду.

Частота световых волн непосредственно связана с нашим восприятием цвета. Низким частотам соответствует красный цвет, а высоким ——фиолетовый. В интервале между этими частотами расположены хорошо знакомые цвета радуги — целый спектр.

Разумеется, цвет — это просто наша субъективная реакция на свет. Совсем другое дело частота: она сама имеет важный физический смысл.

Заканчивается ли спектр красным цветом при низких частотах и фиолетовым при высоких? Конечно, нет. Существуют и другие виды излучений той же природы, что и свет, с такими же волновыми свойствами, но обладающие большими или меньшими частотами. Так уж устроен глаз, что он чувствителен к небольшому интервалу частот, которому мы поэтому дали специальное название《свет》.

Рассматривая частоты, более высокие, чем частота фиолетового света, мы сначала приходим к ультрафиолетовым лучам (которые вызывают загар), затем — к рентгеновским и, наконец, к гамма-лучам (испускаемым, к примеру, радиоактивными веществами). А при частотах, 6о- лее низких, чем частота красного света, мы обнаружим инфракрасное (тепловое) излучение, затем микроволновое и наконец радиоволны. Для теории относительности несущественно, имеем ли мы дело с видимым светом, рентгеновскими лучами, радиоволнами или другими видами излучения. Поэтому договоримся всю их совокупность и каждое в отдельности для простоты называть одним словом 《свет》.

Очень важно следующее обстоятельство: 6 бакуумс, т. е. в пустоте, световые волны любой частоты распространи* ются с совершенно одинаковой скоростью. Как мы только что условились (п. 1.6), будем именовать ее скоростью света, даже если придется рассуждать о радиоволнах или рентгеновских лучах. Скорость света очень близка к 300 000 км/с.

Необходимо подчеркнуть, что это ——значение скорости света 6 вакууме. В материальной среде (такой, как воздух или стекло) скорость света всегда меньше и зависит от частоты. Но с распространением света в веществе нам почти не придется сталкиваться. Так что, если не будет оговорено особо, под «скоростью света» мы всегда будем

подразумевать скорость в вакууме, — скорость, которая всегда одинакова.

Иногда удобнее считать, что эта огромная скорость равна 300 метрам в микросекунду (миллионную долю секунды). Кроме того, она составляет 1080 млн. км/ч, т. е. в миллион раз больше скорости реактивного самолета. Еще одно полезное сравнение: Земля вращается вокруг Солнца со скоростью, равной одной десятитысячной доле (0,0001) скорости света.

И наконец, еще одно равноценное выражение для скорости света — 9,5 миллиона миллионов километров в год. Когда приходится иметь дело с очень большими расстояниями, это значение скорости света позволяет ввести удобную единицу измерения ——световой год, который по определению равен пути, проходимому светом за один год. Запомнить будет проще, если принять, что световой год составляет примерно 10 миллионов миллионов километров.

Утверждая в п. 1.7, что скорость света всегда одна и та же, мы, естественно, имели в виду свет, приходящий от неподвижного источника, — неподвижного по отношению к тому, кто ее измеряет. А если источник движется? Повлияет ли это на скорость света?

Мы уже отмечали, что свет во многих отношениях ведет себя как волна. Но для волн другой природы как теория, так и эксперимент показывают, что движение источника не влияет на скорость волн (можете это проверить в ванне). Поэтому резонно ожидать, что то же самое верно и для световых волн. Однако, прибегая к аналогии, нужно быть осмотрительным. Все следующие из нее выводы необходимо проверять экспериментально.

Такой эксперимент был поставлен несколько лет назад. В нем использовались нейтральные пи-мезоны — элементарные частицы (крупицы вещества, уступающие по размерам даже атомам), рождающиеся в ускорителе при сокрушительных столкновениях других элементарных частиц, разогнанных в нем до огромных скоростей. У нейтрального пи-мезона очень короткое время жизни, в среднем оно составляет около пяти тысячных миллионной миллионной доли секунды. В момент гибели нейтральный пи-мезон испускает две вспышки света, или, точнее, гамма излучения (п. 1.6).

В принципе эксперимент весьма прост. Он состоял в измерении скорости гамма-лучей, пришедших от заканчивающих свое существование пи-мезонов, двигавшихся со скоростями, равными 0,99975 скорости света. Эксперимент был настолько точен, что если бы к скорости гамма-лучей

добавлялось всего лишь десять тысячных долей от скорости источника, то это все равно было бы обнаружено. Но никаких изменений в скорости гамма-лучей не наблюдалось. Вывод ясен:

на скорость света не влияет движение источника.

Все, что мы до сих пор говорили о свете, совершенно бесспорно. Другими словами, рассмотренные свойства света не противоречат ни представлениям теории относительности, ни прежним взглядам на природу вещей. Ученый XIX в. был бы полностью согласен со всеми приведенными выводами. Но сейчас мы подходим к критическому рубежу, отделяющему современные релятивистские представления от всего, что им предшествовало. Кризис возникнет, если задать другой вопрос, казалось бы такой же безобидный, как и предыдущий: как зависит скорость света от движения измеряющего ее наблюдателя?

Суждение о свете как о волновом движении (п. 1.4) позволило предположить, что движение источника не влияет на скорость света (п. 1.9),——плодотворное предположение, если учесть, что экспериментальная проверка подтвердила его справедливость. И во многих других, подчас весьма каверзных ситуациях, аналогия с волновым движением приводит к правильному ответу. Тем не менее аналогии не надежны: они могут много раз приводить к верным результатам и внезапно подвести. Именно это происходит в рассматриваемом случае.

Физики XIX в. неоднократно получали правильные выводы с помощью волновой теории света и поэтому не проявили должной осторожности. Вместо того чтобы осмотрительно сказать: «Свет обладает волновыми свойствами»,— они прямо заявляли: «Свет —это волны».

Но волны в чем? Морские волны — это волны на воде. Звук ——волны в воздухе. Свет — это волны, но не в каком- либо из известных веществ, таких, как вода или воздух, поскольку он может распространяться в вакууме. Значит, решили они, свет — это волны в какой-то более загадочной среде, которую они договорились называть эфиром.

Ученые прошлого века только предполагали существование эфира, основываясь исключительно на вере, что должна быть какая-то среда — носитель световых волн. В определенном смысле такая гипотеза оказалась полезной, так как позволила создать теорию, объединившую в единое целое учения об электричестве, магнетизме и оптических явлениях. Кроме того, эта гипотеза имела и практические следствия, в частности создание радио.

Но в то же время она привела и к серьезным трудностям.

Как уже отмечалось, скорость света всегда одна и та же. Она не зависит от частоты (п. 1.7), и на нее не влияет движение источника (п. 1.9).

Всегда одна и та же по отношению к чему? Теория волн в эфире дает очевидный ответ. Ведь для волновых процессов иной природы скорость волн всегда постоянна по отношению к среде, в которой они распространяются,—— представьте себе волны на реке, т. е. в текущей воде. Согласно теории, такое свойство присуще всем волновым движениям. Поэтому физик XIX в., конечно, должен был бы прийти к выводу, что скорость света постоянна относительно эфира. Весьма правдоподобный вывод, не правда ли?

Теперь снова вернемся к вопросу, поставленному в п. 1.10: как зависит скорость света от движения измеряющего ее наблюдателя? Как бы вы ответили на этот вопрос, если считать выводы п. 1.12 верными?

Пусть на рис. 1.13 лист бумаги выступает в роли эфира, а тонкие стрелки изображают свет, распространяющийся вдоль страницы со скоростью 300 000 км/с независимо от направления. Если наблюдатель А (представленный на рисунке точкой) покоится по отношению к листу бумаги, то безотносительно к направлению, в котором распространяется свет, его скорость, измеренная этим наблюдателем, будет равна 300 000 км/с.

Предположим, что наблюдатель В движется со скоростью 1000 км/с в направлении жирной стрелки. Если он измеряет скорость света (относительно самого себя)»

пришедшего с направления Р, то получит значение, равное 300 000 +1 000 = 301 000 км/с. А для света, пришедшего с направления Q, значение скорости составит 299 000 км/с.

Примечательно, что на основании таких измерений можно было бы узнать, движетесь ли вы относительно эфира или нет. Измерьте скорость света в различных направлениях. Если она для всех направлений одинакова, то вы покоитесь по отношению к эфиру, а если меняется при изменении направления, то движетесь.

Нельзя ли аналогичным методом обнаружить движение Земли через эфир? Не совпадает ли оно с годичным движением Земли вокруг Солнца? А собственное движение Солнца,— вносит ли оно дополнительный вклад? Чтобы ответить на эти вопросы, Альберт Майкельсон в 1881 г. поставил знаменитый эксперимент, повторенный в более усовершенствованном виде в 1887 г. в сотрудничестве с Морли.

Эксперимент не мог быть поставлен в столь простой, как описано выше, форме — со светом, приходящим от внешнего источника. Приведу схематическое описание более сложного эксперимента, который и был осуществлен.

Установка (рис. 1.14) состояла из источника света S и двух зеркал Mi и М2, расположенных на одинаковых расстояниях от S и установленных так, чтобы отражать свет обратно в S. Линия SMi совпадает с направлением движения Земли, a SM2 перпендикулярна (расположена под прямым углом) этому направлению. Замысел опыта заключался в сравнении времени прохождения света туда и обратно в направлении движения Земли и в поперечном

厶“2Z М2

НапраЗленце

движения Земли

мм

м

м

направлении. Движение источника света не имеет значения (п. 1.9). Не смущает ли вас что-нибудь в этом эксперименте?

1Л5. Может показаться, что любое ожидаемое различие во временах должно исчезнуть, поскольку эффект, достигнутый при движении света от источника к зеркалу, будет компенсироваться на обратном пути. Предлагаемая ниже аналогия поможет убедиться в несостоятельности этих опасений.

Рис. 1.15.

Рассмотрим 40-метровый квадратный плот (рис. 1.15), буксируемый со скоростью 3 м/с по неподвижной морской глади (будем считать, что поверхность моря этим движением не возмущается). Плот соответствует установке Май- кельсона, вода — эфиру, а пучкам света — два дрессированных дельфина. Один дельфин плавает от Р к Q и обратно, т. е. в направлении движения плота, в то время как другой — от Р к R и обратно, т. е. поперек движения плота. Каждый дельфин должен придерживаться своего борта плота, так что, с точки зрения наблюдателя, находящегося на плоту, они просто плавают от одного угла к другому и обратно точно так же, как световые лучи в опыте Майкель- сона — Морли (п. 1.14). Скорость каждого дельфина 5 м/с относительно воды (что соответствует постоянной скорости света относительно эфира).

Попытайтесь рассчитать время, необходимое дельфину на путь от Р к Q и обратно.

За одну секунду дельфин проплывает 5 м, но за то же время плот пройдет в том же направлении 3 м. Так что, с точки зрения наблюдателя, находящегося на плоту, дельфин покрывает расстояние всего лишь в 2 м вдоль борта плота, и его фактическая скорость по отношению к плоту будет равна 5 м/с—3 м/с=2 м/с. Таким образом, путь от Р до Q дельфин преодолеет за 20 с. Можете убедиться, что движение в обратном направлении происходит со скоростью 5 м/с+3 м/с=8 м/с относительно плота и занимает 5 с. Тогда на весь путь туда и обратно требуется 25 с.

Расчет движения в поперечном направлении более сложен. Давайте посмотрим, что произойдет в первую секунду. В течение этого промежутка времени корма плота переместится в положение UV, точнее, на 3 м вправо (в этой части рисунка масштаб не соблюдается). Чтобы все время оставаться рядом с кормой, дельфину приходится плыть вдоль диагонали PW. Поэтому расстояние от Р до W равно 5 м (1 секунда плавания со скоростью 5 м/с).

Итак, теперь известны три параметра треугольника PUW: 1) угол с вершиной в U — прямой; 2) длина стороны PU равна 3 м; 3) длина стороны PW равна 5 м. Раздел геометрии, который, полагаю, вы знаете (а если не знаете или забыли, то проверьте окончательный ответ с помощью выполненного в соответствующем масштабе чертежа), позволяет показать, что длина стороны UW равна 4 м.

Таким образом, за одну секунду дельфин проходит вдоль кормы плота путь длиной 4 м. Разумеется, точно такие же рассуждения применимы и для каждой последующей секунды. Поэтому скорость дельфина относительно кормы плота равна 4 м/с. Следовательно, весь путь в 80 м займет 20 с.

Стало быть, возникшее вначале опасение об отсутствии различия во временах движения света не подтвердилось. Плавание дельфина в оба конца поперек направления движения плота занимает меньше времени, чем плавание туда и обратно вдоль направления движения.

Чтобы убедиться, что все рассуждения и выводы пп. 1.16 и 1.17 понятны, проделайте точно такие же расчеты для случая, когда квадратный плот со стороной 36 м буксируется со скоростью 4 м/с, а скорость дельфинов пусть остается равной 5 м/с. А если вы сильны в алгебре, разберите общий случай. Обозначьте скорость света буквой с, скорость движения Земли через эфир буквой у, а расстояние от источника света до зеркала буквой I. (Ответ — в конце главы.)

Такие основанные на представлениях прошлого века расчеты были применены для анализа эксперимента Майкель- сона — Морли (п. 1.14). Цифры, конечно, были другие. Мы уже знаем, что, согласно этим расчетам, свету требуется больше времени на преодоление пути SM4s (рис. 1.14), чем на преодоление пути SM2s. Ожидаемое различие между временами, которое надеялись обнаружить, было чрезвычайно малым. Но будь оно даже еще в сто раз меньше, прибор все равно мог бы его зарегистрировать. Однако, когда эксперимент был завершен, оказалось, что не было зарегистрировано вообще никаких различий во временах распространения света. (Такой исход эксперимента не был случайным. Он повторялся неоднократно вплоть до 1930 г. и каждый раз со все возрастающей точностью, но результат оставался тем же. В 1972 г. эксперимент с лазерами подтвердил этот вывод с еще большей точностью.)

Майкельсона, надеявшегося обнаружить движение Земли относительно эфира, такой исход эксперимента сильно разочаровал. Другие воспринимали полученный результат как нелепость, которая ждала своего объяснения. Эйнштейну же он дал возможность создать новое представление об окружающем нас мире.

Может возникнуть идея: а что если бы Земля при своем движении через эфир, вместо того чтобы просто проходить сквозь него, увлекала бы его за собой? Ведь тогда результат эксперимента Майкельсона — Морли подтверждал бы именно то, чего следовало ожидать (так как прибор покоился бы по отношению к той части эфира, которая увлекается Землей). Однако есть веские причины (основанные главным образом на явлении аберрации света) считать> что эфир не увлекается Землей. Объяснение этого явления потребовало бы изложения тех разделов теории, которые нам впоследствии больше не понадобятся, поэтому примите приведенное утверждение на веру. Во всяком случае, ученые XIX в. были с ним согласны.

Теперь вспомним, с чего все началось. В п. 1.12 было высказано предположение, что скорость света постоянна по отношению к эфиру. Отсюда последовал вывод о зависимости этой скорости от движения наблюдателя, измеряющего ее (п. 1.13). Эксперимент Майкельсона — Морли был поставлен с целью обнаружить этот эффект. Но не обнаружил. Эксперимент показал, что свету требуется одинаковое время как для распространения вдоль направления движения Земли, так и для распространения в поперечном направлении. Какой отсюда следует вывод о скоростях света в этих направлениях?

Оба луча проходят одинаковые пути (SMt = SM2). Значит, если им для этого нужно одинаковое время, то и скорости у них равны. Похоже, мы приходим к выводу, что скорость света (относительно Земли) в направлении движения Земли и в поперечном направлении одинакова. Чудеса да и только! Продумайте все это и разберитесь, как полученный вывод связан с рассуждениями, которые мы развивали начиная с п. 1.12.

Обратите внимание, что заключение, к которому мы только что пришли, прямо противоречит доводам п. 1.13, где, казалось бы, удалось доказать, что измеренная наблюдателем скорость света должна зависеть от его движения относительно эфира. Все это выглядит так же, как если бы скорости обоих дельфинов по отношению к плоту (пп. 1.15—1.17) оставались равными 5 м/с, даже когда плот движется. Абсурд, не правда ли? Здесь нужно как следует поразмыслить.

Как следует из эксперимента Майкельсона — Морли, движение Земли не влияет на скорость света относительно земного наблюдателя. Но сама Земля в данной ситуации особой роли не играет. Принимая это во внимание, можно сказать, что на скорость света не влияет движение наблюдателя, причем любого наблюдателя.

Но ведь в п. 1.13 как раз утверждалось, что такая зависимость должна быть. Можно ли примирить эти выводы? Научный мир был встревожен. Чтобы обойти эту трудность, были использованы самые изощренные приемы и методы из арсенала физических наук, однако ни один из них не сработал. Стало ясно, что эту проблему невозможно обойти.

Именно Энштейн в конце концов предпринял смелый шаг и заявил: следует прекратить бесплодные попытки обойти эту трудность. Нужно принять результаты эксперимента такими, какие они есть, а затем посмотреть, куда такой путь может привести. Иными словами, он предложил построить новую теорию, основанную на предположении, что скорость света (приходящего с любого направления) относительно любого наблюдателя (вне зависимости от того, как он движется) всегда одинакова.

(Не забывайте, что речь идет о скорости света в вакууме, а движение наблюдателя предполагается равномерным и прямолинейным.) Эту гипотезу можно записать в более кратком виде:

скорость света инвариантна,

т. е. остается той же самой независимо от скорости измеряющего ее наблюдателя.

(Эйнштейн знал, что теории XIX в. сталкивались и с другими трудностями. Поэтому он изложил свою революционную концепцию в более общей форме, с которой мы познакомимся ниже.)

Хорошо ли вы осознали, насколько точка зрения Эйнштейна противоречит нашим обыденным представлениям о скоростях? Ведь, согласно его теории, скорость света имеет необычное свойство по сравнению со скоростями всех других объектов. Предположим, я стою неподалеку от железной дороги и на глазок определяю, что скорость проходящего мимо поезда равна примерно 80 км/ч. Пассажир в автомобиле, движущемся в том же направлении, что и поезд, со скоростью 50 км/ч, найдет, что скорость поезда составляет 30 км/ч. Значит, скорость поезда в значительной степени зависит от скорости и направления движения измеряющего ее наблюдателя.

Из всех наблюдений, проведенных вплоть до 1880 г., следовало, что скорость любого объекта относительно наблюдателя зависит от скорости и направления движения наблюдателя. Естественно было предположить, что то же самое справедливо и для света. Но когда представилась возможность проверить это экспериментально, оказалось, что на скорость света такой вывод не распространяется. Если в предыдущем примере заменить поезд светом, то в результате измерения будет установлено, что его скорость равна 300 000 км/с. Если наблюдатель мчится со скоростью 100 000 км/с, то, как это ни странно, он также обнаружит, что свет распространяется относительно него со скоростью 300 000 км/с.

Скорость света уникальна. Скорости других объектов относительны, ибо зависят от скорости и направления движения измеряющего их наблюдателя. Скорость же света не относительна. Она не зависит от движения наблюдателя—она абсолютна. В этом и состоит поразительная идея, выдвинутая Эйнштейном. Он вполне мог бы дать своей теории название «теория неотносительности света».

Может показаться, что такое представление о свете сложно для восприятия, более того, оно просто невероятно, так как противоречит обычному «здравому смыслу». Не удивлюсь и реплике: «Невозможно поверить, что скорость света одинакова для всех наблюдателей независимо от того, как они движутся. И потому нельзя согласиться ни с одной теорией, основанной на подобном предположении».

Что ж, оставайтесь при своем мнении! Вы вправе не

верить в это или во что-нибудь еще до тех пор, пока вас не убедят факты. Наука не апеллирует к слепой вере. Результат эксперимента Майкельсона——Морли позволяет предположить, что скорость света инвариантна. Но от предположения до доказательства справедливости этого утверждения еще далеко, так что пока еще рано верить в непогрешимость этой необычной идеи. Все, что от вас требуется, ——всерьез воспринять лишь возможность существования такого свойства света и присоединиться ко мне, чтобы вместе выяснить, чего следует ожидать, если это действительно так.

Именно этим мы теперь и займемся. Постараемся разобраться в следствиях этого нового кажущегося абсурдным представления о скорости света. В результате в наших ру* ках окажется ряд таких следствий, которые можно будет проверить экспериментально. И если результаты экспериментов будут согласовываться с теорией, в основе которой лежит одинаковость скорости света для всех, но не будут согласовываться с теориями, основанными на других представлениях, то вам, вероятно, придется изменить свои убеждения. В этом состоит обычный научный метод, с помощью которого некоторые теории принимаются, а многие другие отвергаются.

Но прежде чем сделать окончательный вывод, мы про* ведем предварительный анализ того, что следует ожидать от этой необычной идеи. На первых порах ограничимся довольно грубыми, но доступными методами, принося стро・ гость в жертву простоте. Если же в конце концов экспери* мент подтвердит правильность новых представлений о све> те, то, если понадобится, мы всегда сможем вернуться назад и усовершенствовать выбранный метод.

Ответы к п. 1.18. Дельфины затрачивают на заплывы вдоль и поперек движения плота 40 и 24 с соответственно» В общем случае эти промежутки времени равны 2ct/(c2—v2) и 2〃У戸寿.

2

О ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ БЕЗ ОСОБЫХ ПОДРОБНОСТЕЙ

Если верно, что скорость света, независимо от направления распространения, одинакова для всех наблюдателей, то, как сейчас будет показано, мир должен сильно отлн- чаться от того, каким мы привыкли его себе представлять. Например, нетрудно убедиться, что

наблюдатель не может двигаться со скоростью света (к примеру относительно вас).

В самом деле, пусть вспышка света распространяется в том же направлении, что и наблюдатель. Тогда, обладая скоростью света, этот наблюдатель двигался бы вместе со вспышкой света, оставаясь все время рядом с ней. Поэтому ее скорость относительно наблюдателя была бы равна нулю, что противоречит выводам п. 1.22. Чтобы устранить это противоречие, приходится предположить, что наблюдатель не может двигаться со скоростью света.

Рассуждения, несколько более сложные, чем приведенное выше, позволяют разобраться со многими проблемами теории относительности. Рассмотрим ситуацию, в которой два наблюдателя (условимся называть их А и В) обсуждают два события, Р и Q. Наблюдатель А утверждает, что события Р и Q произошли одновременно, т. е. в один и тот же момент времени. Предположим, что оба наблюдателя одинаково добросовестны и точны. Что в этом случае скажет наблюдатель В?

Всегда считалось очевидным, что два события происходят либо в один и тот же момент времени, либо в различные моменты. Так что никаких разногласий по поводу ответа на поставленный вопрос не может быть. Наблюдатель В должен утверждать то же, что и А. Именно так мы и думали до сих пор. Ну что ж, посмотрим.

Чтобы избавиться от прежних представлений, давайте предположим, что события происходят в космическом пространстве в полной темноте. Событиями могут быть взрывы. Свидетельством регистрации взрывов следует считать заявления наблюдателей А и В, что они увидели вспышки света, пришедшего из точек, где произошли эти события.

Наблюдатель А исходит из следующих двух фактов:

взрывы произошли на одинаковом расстоянии, но в противоположных направлениях от него;

он видит их в один и тот же момент времени, т. е. вспышки света, испущенные при взрывах, достигают его одновременно.

Постарайтесь проследить за ходом моих рассуждений^ не пользуясь вспомогательным чертежом. Если же это окажется затруднительным, то вам поможет рис. 2.5. Будем полагать, что скорость света инвариантна (п. 1.22). Поэтому, с точки зрения наблюдателя А, обе вспышки света распространяются от местонахождений взрывов к нему с одинаковой скоростью. Поскольку им нужно преодолеть одинаковые расстояния (факт 1), они затратят на это одинаковое время. И если они достигают наблюдателя А одновременно (факт 2), то и отправиться в путь они должны были в один и тот же момент времени. Отсюда следует вывод, что,

с точки зрения наблюдателя А, взрывы произошли одновременно.

Может возникнуть вопрос, откуда наблюдатель А знает, что расстояние от него до обоих взрывов одинаково? Ответ таков: у него есть очень длинный измерительный стержень, который простирается в обе стороны от него к пунктам взрывов и за их пределы. Во время взрывов на стержне остаются обожженные отметины. С их помощыо наблюдателю А позднее не составит труда определить, на равных ли расстояниях от того места, где он держал стержень, произошли эти взрывы.

Теперь обратимся к рис. 2.5. На рис. 2.5, а звездочки, отмеченные буквами Р и Q, — это взрывы в тот момент, когда они произошли. Расстояния от Р и Q до наблюдателя А, представленного точкой, одинаковы. Тонкие стрелки означают вспышки света, отправляющиеся к А. Рис. 2.5, а частично иллюстрирует факт 1 п. 2.3, а частично вывод наблюдателя А об одновременности взрывов. Рис. 2.5,6

РА

а *>•

88А

8

8

—А • <

Рис. 2.5.

иллюстрирует факт 2, согласно которому вспышки достигают наблюдателя А в один и тот же момент времени. Если вам не все ясно в п. 2.3, просмотрите его теперь еще разок.

2・6・ Пусть в тот момент, когда вспышки света достигают наблюдателя А, он пролетает мимо наблюдателя В (или, наоборот, В пролетает мимо А). Заметьте, здесь ничего не говорится о том, движется или покоится наблюдатель В, точно так же как ничего не говорится о движении наблюдателя А. Если потребовать, а это необходимо, чтобы скорость движения была постоянной, то нет смысла говорить, кто именно из них движется (п. 1.3). Все, что можно сделать,—это установить факт их относительного движения.

Предположим, что наблюдатель В движется относительно А со стороны взрыва Р. Иными словами, если наблюдатель А считает себя неподвижным, то он скажет, что наблюдатель В при своем движении мимо него перемещается в том же направлении, что и свет из точки Р. (Как описал бы это относительное движение наблюдатель В?)

РAQ

а *►•^*

в

Рис. 2.6.

Рис. 2.6,6 отличается от рис. 2.5,6 только тем, что на нем показан наблюдатель В, поравнявшийся с А как раз в тот момент времени, когда обе вспышки достигают последнего. Поскольку рисунок выполнен в предположении, что наблюдатель А покоится, то В следует изобразить движущимся в указанном выше направлении. Это сделано с помощью жирной стрелки.

Теперь у нас есть все необходимые сведения о наблюдателе В. Вспоминая выдвинутую в п. 1.22 гипотезу, попробуйте разобраться, будут ли взрывы одновременными для наблюдателя В.

Ясно, что наблюдатель В, так же как и А, увидит эти взрывы одновременно. С точки зрения А обе вспышки света, прежде чем достигнуть его, проходят одинаковые расстояния, Остается ли это справедливым и для В?

Нет. Поскольку, когда они оба видят взрывы, наблюдатель В находится рядом с А (рис. 2.6,6) и движется вправо, нетрудно понять, что в момент взрыва он был ближе к Р, чем к Q, как показано на рис. 2.6, а. Таким образом, по мнению наблюдателя В, взрыв Q происходит дальше от него, чем взрыв Р. (Если вас одолевают сомнения, представьте себе, что у наблюдателя В есть такой же измерительный стержень, каким мы снабдили в п. 2.4 наблюдателя А. Теперь легко убедиться, что след, оставленный на стержне взрывом Q, будет дальше от точки, где наблюдатель В держит стержень, чем след, оставленный взрывом Р. Таким образом, по мнению наблюдателя В,...)

А теперь сможете вы что-нибудь сказать по поводу одновременности рассматриваемых событий с точки зрения В?

Для наблюдателя В, как и для А, скорость света в обоих направлениях одна и та же. Такой вывод следует из приведенной в п. 1.22 революционной идеи Эйнштейна. Итак, чтобы достигнуть наблюдателя В, вспышке света от взрыва Q нужно пройти больший путь, чем вспышке от Р, но с той же скоростью, значит, и времени ей потребуется больше. Поэтому, раз вспышки достигают наблюдателя В одновременно, вспышка света от взрыва Q должна произойти раньше. Такова цепочка рассуждений наблюдателя В, из которых следует вывод, что,

с точки зрения наблюдателя В, взрыв Q происходит раньше взрыва Р.

Наперекор этому результату рис. 2.6 навязывает нам мнение, что взрывы произошли одновременно. На этом рисунке все выглядит так, будто вспышкам света от взрывов Р и Q нужно пройти одинаковые расстояния как до наблюдателя А, так и до наблюдателя В, что противоречит п. 2.7. Единственное различие как будто состоит только в том, что наблюдатель В оказывается в то^ке прихода вспышек света в результате движения, а А всегда находится в этой точке. Есть ли у вас критические замечания по поводу этого высказывания?

Как мы уже знаем (п. 1.3), бессмысленно говорить о движении именно наблюдателя В к точке встречи с А. Рис. 2.6 здесь, очевидно, вводит нас в заблуждение. Все неприятности таятся в приведенном варианте изображения происходящего, когда наблюдатель А покоится, а В движется, что в конце концов заставляет нас отдавать предпочтение точке зрения наблюдателя А.

Восстановим справедливость, рассмотрев те же события с точки зрения наблюдателя В. Для этого обратимся

к рис. 2.8, на котором наблюдатель В неподвижен, а наблюдатель А движется справа налево, так что их относительное движение остается таким же, как и раньше. Давайте вместе с наблюдателем В рассмотрим три следующих события. Сначала (рис. 2.8, а) происходит взрыв Q, и порожденная им вспышка света отправляется в путь по направлению к В. Затем (рис. 2.8, б) происходит взрыв в

А

bQ

“«-

Р*-Р*-

Р

*-

Р

*-

Ав

Рис. 2.8

точке Р, расположенной к наблюдателю В ближе, чем Q. Свет из Р начинает распространяться позднее, чем из Q. Но если расстояние, которое ему нужно преодолеть, будет соответственно короче, то обе вспышки света, обладая одинаковыми скоростями, придут к В вместе (рнс. 2.8,8). Рис. 2.8 — просто наглядное изображение того, что мы уже знаем о наблюдателе В из пп. 2.6 и 2.7.

Несмотря на то что рис. 2.8 иллюстрирует точку зрения наблюдателя В, его можно использовать для объяснения вывода, к которому пришел наблюдатель А. Расстояние от А до Q на рис. 2.8, а равно расстоянию от А до Р на рис. 2.8, б. Поэтому, снова используя доводы, приведенные в п. 2.3, можно показать, что взрывы относительно А произошли одновременно, даже если кажется, что рис. 2.8 позволяет утверждать обратное.

Рис. 2.6 и 2.8 в некотором смысле сходны с двумя сделанными по законам перспективы изображениями одной и той же сцены. Чертеж в перспективе показывает только, как выглядят предметы, если на них смотреть из какой-нибудь одной точки. Для человека неискушенного то, что на нем изображено,——явное искажение действительности. Например, дальний берег озера при таком способе изображения всегда выше, чем ближний! Чтобы извлечь разумную информацию, нужно знать правила и уметь их

применять. Точно так же рис. 2.6 и 2.8 приведут к ошибочным выводам, если их использовать неумело. Чтобы из того, что на них изображено, извлечь истину, необходимо логическое мышление.

Теперь, пожалуйста, удостоверьтесь в том, что вы усвоили аргументацию, изложенную в пп. 2.3—2.8, даже если у вас осталось ощущение, что она ведет к неправдоподобным выводам.

Подведем итоги. Мы выяснили, что два взрыва произошли одновременно, по мнению наблюдателя А, и в различные моменты времени, с точки зрения наблюдателя В. Вероятно, возникает впечатление, что один из них ошибается. Однако существует изрядное количество проблем, по поводу которых мнения разных людей не совпадают и тем не менее каждый из них прав. Например, люди в разных частях земного шара совершенно расходятся во мнениях по поводу того, когда наступает полдень. В нашем случае дело обстоит точно так же — наблюдатели А и В имеют разные точки зрения, но, несмотря на это, оба они правы. Единственное существенное различие между ними —в их движении. Итак, мы приходим к выводу, что

не существует единственного правильного ответа на вопрос о том, произошли ли два события одновременно или в разные моменты времени. Ответ зависит от движения наблюдателя. Наблюдатели, движущиеся относительно друг друга, дадут разные ответы на этот вопрос, но все они будут одинаково верны.

Это утверждение носит специальное название: относительность одновременности.

Обратите внимание на то, что все наши доводы самым решающим образом опираются на предположение об инвариантности скорости света (п. 1.22). Если же предположить, что скорость света постоянна по отношению к (воображаемому) эфиру, то в конце концов мы придем к заключению, что справедливы прежние представления об окружающем мире.

Рассмотрим случай, в котором наблюдатель В покоится относительно эфира (рис. 2.8). Тогда наблюдатель А движется относительно эфира. Следуя выводам п. 1.13, можно было бы показать, что для наблюдателя А скорость света, пришедшего из точки Q, должна быть меньше скорости света, пришедшего из Р. Поскольку свету, идущему из точки Q, нужно было бы преодолеть то же самое расстояние, что и свету из Р, но с меньшей скоростью, то в отличие от п. 2.3 оказалось бы, что... Довершив это рассужде-

ние, докажите, что если наблюдатели А и В опираются на теорию эфира, то их точки зрения совпадают.

Причина возможного неприятия относительности одновременности кроется в том, что, даже когда разум готов рассматривать идею инвариантности скорости света в качестве краеугольного камня всех рассуждений, наша интуиция отказывается следовать по этому пути. Роль интуиции не следует недооценивать, она часто помогает сформулировать хорошую идею. Но когда интуиция приходит в противоречие с логикой, то следует полагаться (как минимум в данной области) на логику.

Почему в повседневной жизни никогда не бывает разногласий по вопросу об одновременности?

Потому что при обычных скоростях движения различие столь мало, что его практически невозможно обнаружить. Между двумя ситуациями, изображенными на рис. 2.6, а и б, наблюдатель В успел бы переместиться относительно А только на очень малое расстояние. Так что свет из точки Q (с его точки зрения) должен был пройти чрезвычайно малый дополнительный путь по сравнению со светом из Р. Отсюда следует, что для наблюдателя В событие Q происходит на ничтожные доли секунды раньше события Р ——слишком непродолжительный промежуток времени, чтобы его можно было заметить.

У вас почти наверняка сложилось впечатление, что все эти рассуждения об относительности одновременности ошибочны. В таком случае я попрошу вас попытаться найти изъяны в приведенных выше рассуждениях. В процессе таких поисков можно узнать очень многое.

У каждого из нас есть представления об окружающем мире, которые кажутся настолько очевидными, что и в голову не приходит усомниться в них. Но прежде чем заняться критическим разбором этих представлений, необхо- ходимо их осознать. Один из лучших способов — тщательно взвесить все за и против такого понятия, как относительность одновременности.

Теперь, чтобы найти уязвимые места в пп. 2.2—2.9, нам предстоит усердно поработать. Если покажется, что ошибка обнаружена, не следует откладывать ее анализ на потом. Постарайтесь сразу же ее четко сформулировать (лучше в письменном виде). И тогда вдруг обнаружится, что множество вроде бы внушающих доверие идей окажутся совершенно пустыми, когда вы попытаетесь придать им точный смысл. Примите добрый совет: убедитесь, что ваши аргументы одинаково хороши как для случая, изображенного на рис. 2.6, так и для случая, изображенного

на рис. 2.8, иначе один из наблюдателей будет иметь пре， имущества перед другим.

Убедившись, что возражения сформулированы вполне четко, сделайте следующий шаг: проверьте, нет ли ошибок в ваших собственных поисках изъянов в доказательстве относительности одновременности. В результате от неко,- торых первоначальных возражений придется отказаться’， И только после того, как вы доберетесь до самой сути казалось бы уже неопровержимых возражений, переходите к пп. 2.13——2Л8. Продумайте свои возражения еще раз при переходе от одного раздела к другому. В любом случае изучите эти разделы внимательно. И если некоторые из указанных проблем пока не волнуют вас, знайте, позднее они могут причинить достаточно хлопот. Словом, будьте готовы вернуться обратно.

Чаще всего приводится следующий довод: «Наблюдатель А находится как раз посередине между взрывами в момент, когда порожденные ими вспышки света достигают его. Но в этот же момент времени наблюдатель В поравнялся с А и поэтому тоже находится посередине между взрывами...» И отсюда молниеносно делается вывод, что мнения наблюдателей А и В должны совпадать. Не кажется ли вам подозрительным первое предложение в кавычках?

Взрывы произошли на стадии а, и наблюдатель А несомненно находился тогда как раз посередине между ними. Но к тому времени, когда наблюдатель В поравнялся с А, взрывы уже произошли, и совершенно бессмысленно говорить, что А находится посередине между двумя событиями, которые уже произошли и закончились» Ведь наверняка вызвало бы смех заявление, что в данный момент я, к примеру, нахожусь посередине между подписанием Великой хартии вольностей и первым испытанием водородной бомбы. А когда рассуждения основываются на лишенных смысла посылках, едва ли можно ожидать, что кто-нибудь согласится с ними.

Если возникнет желание видоизменить исходное предположение и заявить, что на стадии б (рис. 2.6) наблюдатель находится посередине между «пунктами, в которых произошли взрывы», то придется повременить до тех нор, пока вы не приступите к изучению п. 2.16, где рассматривается эта точка зрения, правда в другом контексте.

2・14. Иногда утверждают, что, несмотря на отличие суждений наблюдателя В от суждений А, он все же может предсказать картину, регистрируемую наблюдателем А, и ввести в свои суждения необходимые поправки. Но точно так же А может предсказать, как рассматриваемый процесс выгля-

дит с точки зрения В, и сделать свои поправки. Кто из них должен вносить поправки?

Конечно, можно привести множество примеров, когда наблюдателю приходится работать в необычных условиях и он вынужден вводить соответствующие поправки (представьте себе человека, который отправился в кругосветное путешествие и пытается определить дату по подсчетам восходов Солнца). Кто из нашей пары наблюдателей прав и кто из них должен вносить поправки в свои наблюдения?

Может быть, вы полагаете, что решающим является во- прос о том, который из наблюдателей движется? Или, другими словами, что правильный ответ может дать только неподвижный наблюдатель, а движущийся должен вносить поправки. Но из п. 1.3 известно, что невозможно сказать, кто из наблюдателей «в самом деле» движется. Необходимо рассматривать движение относительно какого-либо объекта. Относительно какого?

А может быть, стоит рассматривать движение наблю* дателей относительно взрывов? Что можно сказать о движении наблюдателей А и В относительно взрывов?

Возможно, вы обратите мое внимание на рис. 2.6 и скажете, что он дает основания считать точку зрения наблюдателя А предпочтительной. Там наблюдатель А неподвижен относительно звездочек, представляющих взрывы, а наблюдатель В движется относительно них. Однако наряду с этим рассмотрим рис. 2.8, на котором наблюдатель В покоится, а А движется относительно звездочек. Таким образом, вопрос о том, кто из них движется, а кто неподвижен, по-видимому, зависит от того, какой использовать рисунок. Странно, не правда ли? Нет ли у вас каких-либо сомнений по поводу идеи о движении относительно взрывов? Как обнаружить это движение?

Очевидно, что, хотя говорилось о «взрывах», мы имели в виду идеальные события Р и Q, которые происходили мгновенно. Имеет ли смысл говорить, что наблюдатель движется (или неподвижен) относительно мгновенных событий?

Чтобы решить, движется ли один предмет относительно другого, необходимо измерить расстояние между ними дважды и затем выяснить, изменилось ли оно. Но событие происходит только один раз, и поэтому невозможно измерить расстояние дважды. По этой причине нельзя установить, движется ли наблюдатель относительно события. А если невозможно дать однозначный ответ, то бессмысленно говорить, что такой-то наблюдатель движется отно-

сительно события. Слова «этот наблюдатель движется (или^ неподвижен) относительно данного события» выглядят как некоторое утверждение, но на самом деле не имеют смысла. Теперь вернемся к сделанному в п. 2.13 замечанию, что не нужно слепо доверять выводам, основнваю,- щимся на лишенных смысла высказываниях.

(Возможно, кто-то возразит: реальное событие происходит не мгновенно, а в течение малого промежутка времени. Но ведь интервалы времени короче некоторого предела измерить невозможно. И если продолжительность события меньше доступного измерению предела, то практически это событие можно считать мгновенным. За промежуток времени, в течение которого оно происходит, все равно нельзя сделать два различных замера расстояния между наблюдателем и событием, так что все, о чем говорилось выше, остается в силе. Просто рассматриваемые взрывы должны быть очень кратковременными и очень мощными.)

Итак, нельзя рассматривать движения относительно события. Тогда поставим другой вопрос: нельзя ли узнать, который наблюдатель прав, а который должен вносить поправки, рассматривая их движение или покой относительно пункта, где это событие (скажем, Q) произошло?

Но что это такое — «пункт, где произошло событие»? Как его найти после того, как событие произошло?

Можно ли, например, отметить это место с помощью флажка? В повседневной жизни такая процедура представляется совершенно естественной. Место, на котором был сбит пешеход, — это участок улицы, расположенный в момент происшествия прямо под ним. Десять минут спустя я без труда обнаружу этот участок и подсчитаю, что он расположен, скажем, в 30 м от меня. Так что полицейскому я смогу сообщить, что «пешеход был сбит в 30 м отсюда».

Но наблюдатель, обитающий на Солнце, не согласился бы со мной. Он сказал бы, что за 10 мин, прошедших после несчастного случая, я далеко переместился от «места, где все это произошло», так как двигался вместе с Землей со скоростью 30 км/с (п. 1.8). Он заявил бы, что я теперь нахожусь примерно в 18 000 км от места происшествия.

Улавливаете, «место, где произошло событие», — полезная фраза, если все мы условимся использовать одну и ту же систему отсчета, например поверхность Земли. Но как только мы откажется от этого соглашения, станет ясно, что понятие «место, где произошло событие》бессмысленно.

Не существует《мест》в пустом пространстве. Поэтому нет надежды установить, кто из наблюдателей прав, а кто заблуждается, рассматривая их движение по отношению к «месту, где произошло событие».

Еще раз внимательно проанализируйте этот раздел и придумайте несколько новых примеров (скажем, о событиях в поездах, на кораблях...). Призрак «места, где произошло событие» может появляться снова и снова, и он испортит нам немало крови. Поэтому именно сейчас, пока все еще свежо в памяти, не пожалейте усилий и постарайтесь уяснить точный смысл всего сказанного.

Разделы 2.13, 2.15 и 2.16 поясняют кое-что из того, с чем нам приходится все время сталкиваться. Из них следует, что к словам нужно относиться критически. Необходимо всегда стараться понять, говорят ли они о чем-то реальном, действительно существующем, или образуют лишенную смысла фразу типа «место, где произошло событие». Чтобы разрешить эту дилемму, обычно достаточно спросить себя, каким образом можно наблюдать то, о чем идет речь. Если удастся разработать четкий метод, позволяющий провести такие наблюдения, то он сам определит смысл слов, используемых для описания данного явления. (Не следует добиваться, чтобы разрабатываемый метод обязательно был осуществим на практике. Вполне достаточно, если ему можно следовать хотя бы в принципе.) Ну а если вам не удастся придумать такой метод, то и составленная фраза не имеет смысла. Следовательно, ничего не стоят и любые рассуждения, в которых она используется.

Суть п. 2.4 заключается в следующем: он гарантирует, что утверждение (1) в и. 2.3 имеет смысл. Если остались сомнения по поводу моего утверждения о бессмысленности фразы «половина расстояния между взрывами» в п. 2.13, попытайтесь уяснить, можно ли проверить ее справедливость экспериментально.

Вот еще один довод. События Р и Q не могут произойти в абсолютно пустом пространстве. Они должны быть с чем-то связаны. Положим, что они происходят на каком- нибудь летательном аппарате. Можно считать, что Р и Q—— это взрывы на борту космических кораблей. Вы скажете, что имеет смысл говорить о движении наблюдателя А относительно летательного аппарата, так как всегда можно измерить расстояние между ними в два различных момента времени и узнать, изменяется ли оно. Что ж, согласен. Это в самом деле имеет смысл. Но относится ли это к рассматриваемому вопросу?

Нет, не относится. Представьте себе два космических корабля С и D (рис. 2.18). Пусть С летит по направлению к наблюдателю A, a D — от него. В момент, когда космические корабли поравняются, происходят взрывы, каждый из которых можно считать событием Q. Согласно п. 1.9, вспышки света от этих взрывов будут распространяться с одинаковой скоростью. Поскольку расстояния от космических кораблей до наблюдателя одинаковы, ничто не изменится в рассуждениях пп. 2.3—2.7, будем ли мы рассматривать космический корабль С или D.

с

^ •

•—

AD

Рис. 2.18.

Мы обсуждали некоторые трудности, возникающие перед большинством людей. Если мне не удалось развеять все ваши сомнения, связанные с относительностью одновременности, попробуйте сами провести всестороннюю и тщательную проверку моих доводов. Наверняка в конце концов окажется, что все трудности связаны с инерцией мышления, питающегося впечатлениями, ограниченными повседневным опытом, например привычкой всегда выбирать поверхность Земли в качестве системы отсчета. Если же останется ощущение, что в моих рассуждениях есть непреодолимое противоречие, то не торопитесь выносить окончательный приговор, а время от времени снова возвращайтесь к этому вопросу. Но продолжайте чтение так, как будто я вам уже доказал свою правоту.

Заключение, которое мне хотелось бы сформулировать на основании всех приведенных аргументов и контраргументов, полностью совпадает со сделанным в конце п. 2.9. Запишем его здесь в более краткой форме:

мнения наблюдателей, движущихся относительно друг друга, по вопросу об одновременности событий не совпадают.

Добросовестные и точные наблюдатели не могут иметь различные мнения о реальности по той простой причине, что единственное разумное значение слова «реальность» (в научном смысле) как раз и состоит в том, что «реальность——это то, по поводу чего мнения всех добросовестных и точных наблюдателей совпадают».

Поэтому наблюдатели А и В не могут расходиться в своих суждениях о реальности, у них могут быть разногласия только по поводу некоторых аспектов реальности, которые проявляются по-разному с точки зрения одного или другого. Теперь нетрудно прийти к выводу, что понятие об одновременности двух событий не имеет ничего общего с реальностью. Оно связано только с представлениями того или иного наблюдателя о реальности, с тем, как он эту реальность воспринимает.

Проведем следующую аналогию. Утверждение «труба дома, стоящего на противоположной стороне улицы, находится как раз за телеграфным столбом» верно с моей точ^ к и зрения, но неверно для моей жены, находящейся в нескольких метрах от меня. И мы не удивляемся такому расхождению во мнениях. Нам не приходит в голову считать высказывание 《труба находится прямо за телеграфным столбом» само по себе верным или ложным. Чтобы оно было верным или ложным, а стало быть, приобрело смысл, необходимо добавить:《с такой-то точки зрения».

Тем же путем можно прийти к выводу, что понятие одновременности событий не имеет отношения к реальным взаимосвязям между ними. Оно проявляется как точка зрения того или иного наблюдателя на эти взаимосвязи. Высказывание «эти два события произошли одновремен' но》само по себе бессмысленно. Но если добавить: «относительно данного наблюдателя», то оно приобретет смысл и при этом может быть верным для одного наблюдателя и ложным для другого.

Уверен, что все же эти доводы вас не убедили ——пока! Мы всегда представляли себе два события либо «в самом деле» одновременными, либо в《самом деле» неодновременными. И это убеждение никогда не подводило. Поэтому очень трудно убедить себя, что наши представления об окружающем мире были весьма ограничены.

Здесь мы снова приходим к рассмотренным во введении проблемам воображения и впервые серьезно сталкиваемся со случаем, когда наша логика довольно решительно убеждает нас в чем-то таком, что наше воображение воспринимать отказывается. Не надейтесь на то, что я способен упростить все проблемы до такой степени, что вы все легко себе представите в новом свете. Нет, вам придется стать восприимчивыми настолько, насколько это возможно, а я, со своей стороны, буду подталкивать вас в правильном направлении. Постепенно ваше воображение научится лучше справляться с такими задачами. А пока пусть логика будет вашим гидом.

Основная трудность кроется в ограниченности нашего опыта. Подставив в рассуждения и. 2.11 соответствующие цифры (если у вас неплохой уровень математических познаний, постарайтесь сделать это сами), легко рассчитать, что при скоростях движения наблюдателей, с которыми мы встречаемся в повседневной жизни, взрыв Q, по мнению наблюдателя В, предшествует взрыву Р, быть может, на 0,000 000 000 001 секунды, а то и еще меньше. Нет ничего удивительного в том, что мы не обнаруживаем никакого различия! Однако следует предостеречь от предположения, что то, что верно (в практическом смысле) в обычных условиях, справедливо и при любых других обстоятельств вах. Кажется, Эддингтон как-то заметил, что у путешественника, совершившего поездку по США исключительно на поезде, сложится впечатление, что на каждом переезде постоянно звонит колокол. Наша ситуация, пожалуй, напоминает эту. При очень малых относительных скоростях движения наблюдателей не возникнет никаких расхождений в вопросе об одновременности событий. И, подобно эддингтоновскому путешественнику, мы приходим к ошибочному выводу, что наш ограниченный опыт имеет универсальный характер.

Рассмотрим теперь несколько иную задачу об одновременности. Пусть, как и выше, произошли взрывы Р и Q. И пусть наблюдатель С находится в точно такой же ситуации, как А в п. 2.3. Поэтому с помощью тех же рассуждений он может утверждать, что взрывы произошли одновременно. В тот момент времени, когда он зарегистрировал взрывы, с ним поравнялся наблюдатель D, движущийся (относительно наблюдателя С) под прямым углом к направлению PQ. Что скажет наблюдатель D?

На рис. 2.22, а изображен момент встречи наблюдателей С и D (при этом D находится прямо над С над плоскостью страницы, а не ниже его, как это нарисовано). Ко

времени, когда вспышки света достигнут наблюдателя С, наблюдатель D переместится (по оотношению к С) в положение, показанное на рис. 22,6. Свет, пришедший к наблюдателю D, распространялся в направлении, отличном от направления, по которому он пришел к С. Эти направления показаны на рисунке в виде наклонных стрелок. Из соображений симметрии ясно, что обе вспышки света достигнут наблюдателя D в один и тот же момент времени. Двигаясь к тому же с одинаковой скоростью (п. 1.22), вспышки, по мнению D, пройдут одинаковые расстояния. Тогда на основе точно таких же рассуждений, как в п. 2.3 (убедитесь в этом самостоятельно), можно доказать, что в рассматриваемом случае наблюдатель D согласится с утверждением об одновременности взрывов.

Перейдем теперь к другой теме. Вы, вероятно, думаете, что длина стержня — это нечто вполне определенное и что мнения всех наблюдателей относительно ее значения, конечно же, совпадают независимо от того, как они движутся. Но вас ждет разочарование.

Прежде всего уясним, что следует понимать под длиной стержня. Для этого вспомним, как она измеряется. Возьмем для простоты стержень длиной меньше метра и посмотрим, как его измерить с помощью метровой линейки с миллиметровыми делениями. Пусть стержень неподвижен относительно линейки и параллелен ей, и пусть его концы приходятся против делений 23 и 435 мм. Значит, длина стержня равна 435—23=412 мм. Очень просто! Ну а если стержень движется, скользя вдоль линейки? Соответствует ли такая процедура измерению длины в этом случае?

Конечно, нет. Необходимо сделать одно существенное дополнение. Отмечать миллиметровые деления, против которых приходятся концы стержня, нужно в один и тот же момент времени. Если не требовать выполнения этого условия, то стержень переместится за время измерения, и в результате его длина будет определена неверно. Видите ли вы теперь, в чем состоит проблема?

Поскольку у наблюдателей имеются разногласия по вопросу об «одном и том же моменте времени», у них не будет единого мнения и в вопросе о длине стержней.

Чтобы несколько глубже проникнуть в сущность рассматриваемой проблемы, снабдим наблюдателей А и В стержнями (которые они носят с собой). Определим длину стержня каждого наблюдателя при помощи условия, что один конец стержня находится рядом с точкой Р в момент взрыва Р, а другой конец находится в момент взрыва Q рядом с этой точкой.

Рис. 2.24 — это, по существу, рис. 2.8, на котором дополнительно дорисованы стержни (сплошная линия ——это стержень наблюдателя А, а штриховая — стержень наблюдателя В). На рис. 2.24, представляющем точку зрения наблюдателя В, он и его стержень неподвижны (это относится к любой стадии а——s). Как мы уговорились, стержень упирается одним концом в точку Р, а другим — в Q.

Наблюдатель А движется относительно В и несет с собой свой стержень, так что относительное положение на стадиях а ——е различно. Но, как мы договорились, один

АО

а**—«*

в

А

В

А

6—

.

В

Рис. 2.24.

конец его стержня в момент взрыва Р находится в точке Р, а другой в момент взрыва Q находится в точке Q.

На рис. 2.24,о показано расположение стержней в один и тот же момент времени, а именно в момент события Q, с точки зрения наблюдателя В. Это позволяет нам выяснить точку зрения наблюдателя В о длинах стержней. Ясно видно, что, с его точки зрения, его стержень полностью покрывает стержень наблюдателя А и оказывается даже несколько длиннее. Итак, можно сделать вывод, что,

согласно мнению наблюдателя В, его стержень длиннее, чем стержень наблюдателя А.

Как это выглядит с точки зрения наблюдателя А? Чтобы узнать мнение наблюдателя А, обратимся к рис. 2.25. Это вариант рис. 2.6 с дорисованными стержнями. Здесь также один из концов каждого стержня расположен около Р, а другой — около Q в моменты, когда происходят эти события. Но события Р и Q для наблюдателя А одновременны, поэтому, с его точки зрения, концы стержня наблюдателя В в один и тот же момент времени совпадают с концами его стержня. Отсюда следует, что,

PAQ

a **

-- > в

в

Рис. 2.25.

согласно мнению наблюдателя А, длина стержней одинакова.

Сравнивая эти выводы, мы обнаружим, что если стержни, которые наблюдатели несут с собой, расположены вдоль направления их относительного движения, то их мнения о длине стержней не совпадают.

Можно резюмировать это разногласие следующим образом: А говорит: 《У стержней несомненно одинаковая длина. Ведь их левые концы совпадают в точке Р, а правые ——в точке Q》(рис. 2.25); наблюдатель В возражает: «Вы морочите мне голову. Сначала вы совместили правые концы стержней, а затем, прежде чем сравнивать левые концы, сдвинули свой стержень» (рис. 2.24). Если вы не согласны с этим выводом, то вам придется вступить в дискуссию с самим собой, ибо я не в состоянии предусмотреть каждое возражение.

А если стержни расположены под прямым углом к направлению относительного движения?

Теперь призовем на помощь наблюдателей С и D (п. 2.22). И снова пусть у стержня каждого наблюдателя

рсQ

a « ё*

D

один конец расположен в точке Р, когда там происходит событие, а другой в соответствующий момент времени —— рядом с Q (рис. 2.27). Из п. 2.22 известно, что наблюдатели С и D считают события Р и Q одновременными. Значит, каждый скажет, что концы стержня другого наблюдателя совпадают с концами его стержня в один и тот же момент времени. Поэтому они оба будут считать, что их стержни имеют одинаковую длину. Таким образом,

когда наблюдатели держат стержни перпендикулярно направлению относительного движения, их мнения о длине стержней совпадают.

Из соображений симметрии очевидно, что этот вывод остается справедливым и для длин половинок стержней, протянувшихся от наблюдателей к событию Q.

3

ЗАМЕДЛЕНИЕ ТЕЧЕНИЯ ВРЕМЕНИ

Представим себе двух наблюдателей, находящихся на борту космических кораблей, которые движутся относительно друг друга (движение, как и раньше, будем считать равномерным и прямолинейным). Назовем этих наблюдателей А и В, но не будем отождествлять их с тезками из предыдущей главы. Все рисунки в этой главе выполнены в предположении, что наблюдатель А неподвижен в плоскости страницы, а наблюдатель В движется слева направо в горизонтальном направлении.

н

Рис. 3.1.

Наблюдатель В снабжен лампой-вспышкой Р и зеркалом Q. Лампа находится около него, а зеркало — на некотором удалении от него, причем линия PQ перпендикулярна направлению движения наблюдателя В относительно А. При включении лампы свет от нее распространяется к зеркалу и, отразившись, возвращается обратно. Распространение света изображено на рис. 3.1 с помощью линий PQP со стрелками. Так его видит наблюдатель В. Если космические корабли построены из прозрачного материала, то наблюдатель А, оказавшись неподалеку от В, смог бы разглядеть все происходящее в корабле наблюдателя В. Что бы он увидел?

Наблюдатель А увидит, что В вместе со своей установкой движется слева направо. На рис. 3.2 показана пред-

ставшая перед ним картина. Положение лампы-вспышки в момент включения отмечено буквой К. За время распространения света от лампы к зеркалу оно переместится в положение L, причем луч света будет идти вдоль линии KL. Отразившись от зеркала, свет вдоль линии LM вернется обратно к лампе, которая тем временем переместится в точку М. Разумеется, так все это представляется только наблюдателю А.

Если вы не в состоянии мысленно представить себе описанную картину, попросите приятеля сыграть роль наблюдателя В. Пусть он, проходя мимо вас, медленно опускает и поднимает руку, чтобы в какой-то мере имитировать распространение света. По отношению к нему рука перемещается только вверх и вниз. Но, с вашей точки зрения, траектория руки будет подобна траектории распространения света KLM.

Рис. 3.3 объединяет два предыдущих чертежа (за исключением некоторых деталей). Верно ли я считаю, что расстояния NL и PQ равны?

Пусть на космическом корабле наблюдателя В установлен стержень, соединяющий точки Р и Q, и пусть оба конца стержня наблюдателя А совпадают с соответствующими концами стержня В как раз в тот момент, когда свет достигает зеркала, т. е. в положении NL. Тогда возникает ситуация, в точности совпадающая с описанной в конце п. 2.27. Значит, наблюдатели А и В будут согласны, что длины их стержней равны, т. е. равны расстояния NL и PQ.

Ряс. 3.3.

С чисто геометрической точки зрения очевидно, что расстояние KLM, которое проходит свет, согласно наблюдениям А, больше расстояния PQP, которое он проходит с точки зрения наблюдателя В. (В этом легко убедиться способом, предложенным в конце п. 3.2.)

До сих пор у последователя классической (дореляти- вистской) физики не было оснований не соглашаться с нашими рассуждениями. Но сейчас он наверняка с нами не согласится. Он скажет, что время распространения света «должно» быть одним и тем же независимо от того, кто его измеряет. Чтобы пройти большее расстояние за то же время, свет относительно наблюдателя А должен распространяться быстрее, чем относительно наблюдателя В,——вот к какому выводу он придет. (Предложенный в п. 3.2 способ может снова отказаться полезным.) Согласится ли с ним физик-релятивист?

Согласно представлениям теории относительности (п. 1.22), скорость света для наблюдателей А и В одинакова. Но, распространяясь с одинаковой скоростью, свет, с точки зрения наблюдателя А, должен двигаться дольше, чем с точки зрения В. Обдумайте это!

Сосредоточим внимание на двух событиях: 1) включение лампы и возникновение вспышки света; 2) возвращение отраженного света обратно к лампе. Мы подошли к удивительному выводу. К какому?

Промежуток времени между этими событиями, с точки зрения А, больше, чем с точки зрения В.

Но разве это возможно? Мы привыкли считать, что время между двумя событиями ——это нечто совершенно оп-

ределенное и что оно абсолютно не зависит от того, кто его измеряет. Тем не менее мы показали, что если справедливо сказанное в п. 1.22, то промежутки времени, измеренные наблюдателями А и В, будут различны. Поэтому (по крайней мере в данном случае)

время между двумя событиями зависит от движения измеряющего его наблюдателя.

Заметьте—это очень важно,—чго процедуры измерений

у наблюдателей А и В не равнозначны. В измерениях времени наблюдателем В есть существенные особенности. Его часы расположены рядом с лампой в момент вспышки и остаются рядом с ней, когда свет возвращается обратно. Так что время каждого события он может отмечать непосредственно по своим часам, не прибегая к каким-либо косвенным приемам.

Простейший способ ——производить измерения в темноте. Тогда циферблат часов осветится первый раз при включении лампы-вспышки, а второй раз при возвращении света, отраженного от зеркала. Затем с помощью элементарнейшей арифметической операции вычитания наблюдатель В сразу найдет время, прошедшее между событиями. А что же наблюдатель А? Может ли он измерить промежуток времени между двумя событиями таким же прямым методом?

Сейчас мы убедимся, что ответить на этот вопрос следует отрицательно. Если бы даже часы наблюдателя А находились на одном уровне с лампой в момент ее включения в точке К, то в момент возвращения света к лампе в точке М эти часы уже будут далеко. В лучшем случае наблюдатель А на основании непосредственных наблюдений узнает, когда произошло только одно из событий. Чтобы выяснить, когда произошло второе событие, ему придется приложить дополнительные усилия.

Для определения момента возвращения света наблюдатель А мог бы воспользоваться вторыми часами, расположенными в точке М. Но он должен был бы синхронизировать те и другие часы с помощью сигналов, устанавливающих соответствие между их показаниями. Или наблюдатель А должен заранее с кем-нибудь договориться, чтобы ему сообщили о моменте прихода света в точку М. Правда, он должен учесть, что от момента передачи сообщения до момента его поступления обязательно пройдет некоторое время. Наконец, у наблюдателя А есть еще одна возможность: измерить длину отрезка PQ и относительную скорость космических кораб-

лей, а затем вычислить время распространения света от лампы к зеркалу и обратно.

Итак, наблюдатель В может определить время, прошедшее между событиями, с помощью прямых наблюдений. Что же касается наблюдателя А, то, какие бы наблюдения он ни проводил, он вынужден дополнять их либо вычислениями, либо учетом запаздывания сообщения, либо, наконец, синхронизацией часов.

Для удобства присвоим этим прямым и косвенным методам измерений специальные названия:

Собственным временем между двумя событиями называется промежуток времени, измеренный наблюдателем, движущимся равномерно и прямолинейно, который присутствует при обоих событиях, либо любым другим наблюдателем, неподвижным по отношению к нему.

Промежуток времени, измеренный любым другим равномерно и прямолинейно движущимся наблюдателем, не удовлетворяющим указанным условиям, называется несобственным временем.

Лучше разобраться с этими понятиями нам помогут следующие замечания. 1. Движение обязательно должно быть равномерным и прямолинейным: в противном случае измеренное время не является ни собственным, ни несобственным. 2. В п. 3.7 предполагалось, что часы наблюдателя В находятся в месте событий. Но при этом подразумевалось, что наблюдатель и его часы расположены в одной и той же точке, значит, наблюдатель В присутствует при обоих событиях и измеренное им время является собственным. 3. Наблюдатели, неподвижные по отношению к В, согласятся с результатами его измерений. Поэтому измеренное ими время между событиями тоже следует считать собственным. 4. Любые другие наблюдатели движутся относительно В подобно наблюдателю А в рассмотренном выше случае. Тогда, согласно нашим определениям, измеренное ими время нужно считать несобственным. 5. Наблюдатель В — единственный, а вот количество наблюдателей, которые движутся по отношению к нему, может быть любым. Следовательно, значение собственного времени есть одно-единственное, тогда как для несобственного времени всегда существует множество различных значений.

Пусть произошли два события. Всегда ли существует собственное время между ними?

Ниже мы исследуем случай, в котором события столь далеко разнесены в пространстве и разделены столь кратким промежутком времени, что ни один наблюдатель не в состоянии присутствовать при обоих. Значит, для промежутка времени между этими событиями понятие собственного времени отсутствует. Ну а если ограничиться только теми случаями, когда можно говорить о собственном времени, то какой общий вывод о соотношениях между собственным и несобственным временем следовало бы сделать?

Наблюдатель, присутствующий при обоих событиях, схож с наблюдателем В. Вообразим, что он, как и наблюдатель В, проделывает эксперимент со вспышкой света, которая происходит в момент первого события; отразившись, свет возвращается обратно в момент второго события. Тогда те же рассуждения, что в пп. 3.1 —— 3.5, приводят к следующему заключению:

интервал несобственного времени между двумя событиями всегда больше, чем интервал собственного времени между ними.

Это явление называется замедлением течения времени.

Естественно, не следует ожидать, что различие в измеряемых разными наблюдателями промежутках времени будет значительным, если их относительная скорость мала по сравнению со скоростью света. Уверен, вы можете доказать это сами, заметив, что при небольших скоростях расстояние KN чрезвычайно мало, и потому расстояния KLM и PQP почти точно равны.

Отсюда вытекает, что измерения времени между событиями, происходящими на некотором объекте, который медленно движется по отношению к наблюдателю, можно практически считать измерениями собственного времени, даже если на самом деле это время несобственное.

Множество объектов в окружающем нас мире обладают «встроенными часами», причем такие объекты можно наблюдать, когда они движутся очень быстро. Это дает возможность проверить теорию экспериментально. Время, протекшее между двумя ударами «встроенных часов», —собственное. С точки же зрения наблюдателей, не находящихся на этом объекте, время между теми же ударами ——несобственное. Сравнивая два таких измеренных экспериментально промежутка времени, нетрудно узнать, равна ли их разность значению, предсказанному теорией.

Перейдем теперь к численному анализу конкретного случая. Все расчеты будут довольно просты, но если вы слабы в математике, то при их выполнении могут возникнуть трудности. Мой вам совет: не ограничивайтесь толь- ко чтением приведенного ниже материала, выпишите его для себя, причем самое существенное, без многословных объяснений. А после того как выпишите то или иное утверждение, спросите себя: почему я выписал именно это?

Пусть скорость наблюдателя В по отношению к А составляет 99,5% скорости света. Примем для удобства расчетов, что расстояние от К ДО L равно 1000 единиц. Перерисуйте в свою тетрадь рис. 3.3 и отмечайте на нем упоминаемые в тексте значения расстояний. С помощью этих данных найдите расстояние от К до N.

Пока свет распространяется из точки К в L, лампа- вспышка перемещается из К в N, двигаясь со скоростью 99,5% скорости света относительно наблюдателя А. Следовательно, пройденный лампой путь KN должен быть равен 99,5% расстояния, которое покрыл свет за то же самое время, что дает 995 единиц. (В соответствии с этим результатом рис. 3.3 нужно растянуть в горизонтальном направлении.) Если вы знаете, как вычислить расстояние NL, то можете сразу переходить к п. 3.20.

. (Смысл буквы 《М》после цифры разъяснен во введе- нии.) Площадь квадрата, как известно, равна длине одной из его сторон, умноженной на саму себя. По аналогии произведение любого числа на само себя называется квадратом этого числа. Например, квадрат пяти или просто «пять в квадрате» ——это 5x5, что дает 25.

Для упрощения записи будем пользоваться стандартным сокращением и писать 52 вместо 5x5. Маленькая двойка справа вверху означает: «что получится, если взять две пятерки (или какое угодно другое число) и перемножить их», т. е. квадрат пяти (или любого иного числа).

Остановимся немного на квадрате расстояния от К до L. Он записывается как

(расстояние KL)2.

Скобки показывают, что маленькая двойка относится ко всему заключенному в них выражению.

Если описанная математическая операция для вас в новинку, рекомендую читать все эти сокращения полностью. Читайте 832 как 《83, умноженное само на себя», а (расстояние KL)2 как «расстояние от К до L,

умноженное само на себя». Постепенно, по мере того как эти понятия станут привычнее, вы сможете перейти к сокращениям типа 《квадрат 83》 и «расстояние KL в квадрате». Сам процесс поиска квадрата числа или некоторой величины называется возведением в квадрат.

. Треугольник KNL (рис. 3.3) называется прямоугольным треугольником, так как угол с вершиной в точке N——прямой. Согласно хорошо известной в геометрии теореме Пифагора,

в любом прямоугольном треугольнике квадрат длины самой большой стороны (гипотенузы) равен сумме квадратов длин двух других сторон (катетов).

(Сумма двух или большего числа цифр либо величин — это то, что получится в результате их сложения.) Иначе говоря, теорема Пифагора утверждает следующее: умножим длину каждой стороны треугольника на саму себя: сложим полученные таким способом величины, соответствующие двум коротким сторонам; результат будет равен величине, полученной умножением на саму себя длины наибольшей стороны треугольника. Проверьте справедливость этой теоремы для треугольника, рассмотренного в п. 1.17. Если вы впервые сталкиваетесь с теоремой Пифагора, обмерьте несколько прямоугольных треугольников и убедитесь, что она выполняется для каждого из них.

Для треугольника KNL, согласно теореме Пифагора, имеем

(Расстояние KL)2= (Расстояние NL)2+ (Расстояние KN)?.

Сначала эту строчку нужно прочитать полностью следующим образом: «расстояние от К до L, умноженное само на себя, равно расстоянию от N до L, умноженному само на себя, плюс расстояние от К до N, умноженное само на себя». Со временем вы, конечно, научитесь формулировать все это более кратко. Но даже тогда старайтесь всегда читать любое математическое утверждение целиком, в нашем случае «нечто равно чему-то еще».

. Любое высказывание, утверждающее, что одно число или величина равно другому, называется равенством.

Значительная часть математики так или иначе связана с работой с равенствами. Правила обращения с ними, как вы скоро увидите, почти очевидны.

. Например, очевидно, что если количество пива в вашей кружке равно его количеству в моей, то количество пива в моей кружке равно его количеству в вашей. И любое соотношение, содержащее утверждение, что одна величина равна другой, также обратимо. Другими словами, если исходить из верного равенства и поменять в нем местами левую и правую части, то получившееся ра« венство также будет верно.

Проделав такую операцию над п. 3.15, получим

(Расстояние NL)2+ (Расстояние KN)2= (Расстояние KL)2.

. Но в п. 3.13 мы условились, что расстояние KL равно 1000 единиц, и нашли, что расстояние KN равно 995 еди* ницам. Поэтому в последнем равенстве вместо «расстояние KL》можно написать число 1000, а вместо «расстояние KN» — число 995, и оно примет вид

(Расстояние NL)2+ (995)2=(Ю00)2.

Отсюда (воспользовавшись определением, данным в п. 3.14) нетрудно найти, что

(Расстояние NL)2 + 990 025=1 000 000.

. Мы хотим вычислить расстояние NL. Для этого желательно иметь равенство типа

(Расстояние NL) 2 = Некоторое число.

Как получить такое равенство из последнего равенства предыдущего параграфа?

Вероятно, вы скажете, что

(Расстояние NL)2 = 1 000 000—990 025.

Совершенно верно! Но как это получилось?

Если вы собираетесь объяснить это как-нибудь вроде «перенесем одно число в другую часть уравнения и изменим знак», то лучше не делайте этого. Такие механические правила хороши только при чисто математических построениях. Но если вы чувствуете, что ответ должен быть именно таким, хотя и не можете четко обосновать почему, то это похвально. Так бывает с каждым математиком, когда он работает на пределе своих возможностей. Но затем у него обязательно возникает потребность узнать, почему это должно быть так, а не иначе.

В нашем случае все довольно очевидно. Если количество пива в вашей кружке равно его количеству в моей

и мы оба сделаем по одинаковому глотку, то в обоих кружках останется одинаковое количество пива. Несомненно, что при вычитании из двух одинаковых величин двух других одинаковых величин в результате снова получатся одинаковые величины. Иначе говоря,

если исходить из верного равенства и вычесть из обеих его частей одинаковые величины, то в итоге получится другое верное равенство.

Последнее равенство в п. 3.18 содержит в левой части интересующую нас величину (расстояние NL)2. Но, к сожалению, в ней присутствует и число 990 025. Поэтому давайте вычтем его из левой части уравнения. Однако чтобы равенство не нарушилось, необходимо вычесть такое же число из правой части, что дает 1 000 000—— —990 025 = 9975.

Если вы пропустили пп. 3.14М ——3.19М, то вы, вероятно, можете легко применить теорему Пифагора для доказательства результата, к которому мы с остальными читателями только что пришли, а именно:

(Расстояние NL) 2 = 9975.

Можно упростить все расчеты, заменив 9975 на 10 000 (но при этом наш результат будет иметь погрешность %%)• Тогда получим, что

Расстояние NL=100

(потому что 1002 = 10 000).

Сначала мы приняли расстояние KL равным 1000 единиц и в результате получили, что расстояние NL равно 100 единицам, т. е. в 10 раз меньше. Но для измерения расстояния можно выбрать любую единицу длины. Поэтому тот факт, что расстояние KL было разделено на 1000 частей и одна такая часть взята в качестве единицы длины, не имеет значения. Итак, приведенные выше рассуждения показывают, что при выбранной нами относительной скорости всегда справедливо следующее:

Расстояние NL=1/io расстояния KL

и, кроме того (п. 3.3),

Расстояние PQ = i/io расстояния KL.

Используя те же рассуждения для исследования распространения света после отражения от зеркала и движения в обратном направлении, нетрудно прийти к выводу, что

расстояние, которое проходит свет, распространяясь от лампы к зеркалу и обратно, измеренное наблюдателем В, составляет одну десятую часть расстояния, измеренного наблюдателем А.

Но ведь мы исходим из предположения, что скорость света для обоих наблюдателей одинакова (п. 1.22). Так что свету потребуется в десять раз меньше времени, чтобы покрыть одну десятую часть расстояния, и потому, когда относительная скорость движения наблюдателей А и В равна 99,5% скорости света, собственное время наблюдателя В составляет одну десятую часть от несобственного времени наблюдателя А.

Потренируйтесь в выполнении подобных расчетов. Если вы слабы в алгебре, изучите еще раз пп. 3.13——3.22. После этого 1) найдите соотношение между промежутками времени, измеренными наблюдателями А и В, когда скорость их относительного движения равна 3/б скорости света. Сначала попытайтесь не заглядывать в предыдущие расчеты, но при необходимости решайте эту задачу, держа книгу открытой прямо перед собой, заменяя по мере необходимости цифры в соответствующих вычислениях. Подскажу: считайте расстояние KL равным 5 единицам. Хотите еще попрактиковаться в подобных вычислениях? Тогда 2) рассмотрите случай, когда относительная скорость наблюдателей составляет 5/]3 скорости света. А если вы достаточно сильны в алгебре, то 3) разберите общий случай, обозначив буквой и долю, которую составляет относительная скорость от скорости света. (Ответы — в конце главы.)

Как уже говорилось в п. 3.12, сделанный нами вывод может быть проверен на опыте. Один тип экспериментов основан на использовании элементарных частиц (п. 1.9), называемых мюонами, которые присутствуют в потоке космических лучей и, кроме того, могут быть получены в ускорителях при расщепленин атомных ядер. Мюоны — короткоживущие частицы. Через малый промежуток времени они распадаются на другие частицы, которые нас не интересуют.

Но насколько короткоживущие? Сказать, как долго живет та или иная индивидуальная частица, невозможно. Но, воспользовавшись статистическими данными, можно утверждать, что

из заданного большого числа мюонов, существовавших в некоторый момент времени, через 1,5 микросекунды (п. 1.8) уцелеет половина.

Заметьте, в этом утверждении ничего не говорится о том, сколько мюоны уже прожили. Вне зависимости от возраста мюона, его шансы распасться в течение следующих полутора микросекунд всегда одинаковы.

Таким образом, если в определенный момент времени имеется большое скопление мюонов, то каждые полторы микросекунды их число будет уменьшаться наполовину. По прошествии 3,0 микросекунд (т. е. когда истекут два промежутка времени по 1,5 микросекунды) уцелеет только половина от половины первоначального числа мюонов, т. е. четвертая часть, через 4,5 микросекунды уцелеет лишь Vs исходного сгустка, через 6,0 микросекунд—1/16, через 7,5 микросекунды — %2 и т. д.

Если пройдет меньше 1,5 микросекунды, число уцелевших мюонов, разумеется, будет больше половины. В частности, доля мюонов, оставшихся спустя 0,75 микросекунды (что составляет половину интервала в 1,5 микросекунды) будет равна 0,707. Вы, наверное, знаете, каким способом можно получить этот результат. Если же не знаете, то вам следует удовлетвориться проверкой его справедливости. В самом деле, если доля 0,707 всего количества мюонов останется невредимой через 0,75 микросекунды, то доля уцелевших мюонов спустя следующие 0,75 микросекунды должна быть равна 0,707 от 0,707, т. е. 0,7072=0,5 (достаточно точно), т. е. получаем правильный ответ для полного интервала в 0,75 + 0,75= 1,5 микросекунды. Значит, цифра 0,707 верна.

Мюоны в потоке космических лучей образуются в верхних слоях атмосферы при столкновениях частиц первичных космических лучей с атомами атмосферы. Затем они с колоссальной скоростью проходят сквозь атмосферу и обрушиваются на землю.

На пути к земле они непрерывно распадаются. Поэтому стандартный счетчик мюонов на малых высотах будет регистрировать их в меньших количествах, чем на больших. Эксперимент, специально предназначенный для сравнения числа мюонов, зарегистрированных на разных высотах, может быть применен для проверки замедления течения времени. Это равносильно использованию мюонов в качестве быстродвижущихся часов (п. 3.12).

Экспериментальная проверка такого рода была проведена Фришем и Смитом (American Journal of Physics, 31, 342, 1963). Их аппаратура была приспособлена для регистрации только тех из попадающих в нее мюонов, которые двигались вертикально вниз со скоростями в интер-

вале от 99,5 до 99,54% скорости света. Фриш и Смит установили свои приборы на горе Вашингтон на высоте 1910 м над уровнем моря. В каждой типичной серии наблюдений аппаратура регистрировала 568 мюонов в час.

Какое число из подобного потока мюонов, распространяющихся свободно, достигнет уровня моря? Чтобы пройти 1910 м со скоростью в 99,5% скорости света, равной 300 метров в микросекунду (п. 1.8), требуется 6,4 микросекунды. А теперь мы рассчитаем два альтернативных предположения и посмотрим, какое из них лучше соответствует фактам.

Предположение /. Время с точки зрения ^здравого смысла». Время, необходимое мюону, чтобы достичь уровня моря, равно 6,4 микросекунды для всех наблюдателей (полагаем мы). Поскольку это значение лежит в интервале между 6,0 и 7,5 микросекунды, согласно выводам п. 3.25, число уцелевших мюонов должно составлять долю между 1/16 и 1/32 от числа первоначальных 568 мюонов, т. е. должно лежать в интервале от 18 до 35 частиц.

Предположение 2. Релятивистское предсказание замедления течения времени. Здесь следует различать собственное и несобственное время, а значит, знать, кто именно проводит измерения. Полторы микросекунды, в течение которых распадается половина мюонов, это, разумеется, собственное время, измеренное по часам мюона или по любым другим часам, движущимся рядом с ним. Было бы абсурдом считать, что мюон отмеряет время до своей гибели по нашим часам! Лабораторные измерения продолжительности их жизни проводились по медленным мюонам и поэтому давали собственное время жизни (п. 3.11).

(Не кажется ли вам, что быстро движущиеся мюоны должны вести себя иначе? Осторожно! Они движутся быстро только по отношению к нам. Но, согласно показаниям часов, движущихся вместе с ними, темп распада должен быть одним и тем же как для неподвижных мюонов в нашей лаборатории, так и для стремительно падающих на гору Вашингтон. В противном случае мы стали бы обладателями способа, который позволил бы отличить 《истинное》движение от покоя, что противоречит результатам п. 1.3.)

Время, за которое мюон достигает уровня моря (6,4 микросекунды),——это собственное или несобственное время?

Эта цифра получена (п. 3.28) из значений высоты горы и скорости мюонов, измеренных наблюдателем, покоящимся на поверхности Земли. Значит, это время —

несобственное. Мюон в рассматриваемом эксперименте играет роль наблюдателя В, тогда как А — это наблюдатель, неподвижный по отношению к Земле. Но как мы уже знаем, время, измеренное наблюдателем В, при данной относительной скорости составляет одну десятую часть времени наблюдателя А (п. 3.22). Так что время падения, измеренное по часам мюона, равно всего лишь 0,64 микросекунды.

Вспомним, что через 0,75 микросекунды 0,707 исходного количества частиц еще уцелеет (п. 3.26). Поэтому через более короткий интервал времени, 0,64 микросекунды, уцелеет несколько больше частиц, а именно чуть больше 402. Это ——число мюонов, которое предполагается зарегистрировать (согласно предположению 2) в течение часа на уровне моря.

Когда Фриш и Смит включили аппаратуру, установленную на уровне моря, они обнаружили, что детектор регистрирует 412 мюонов за один час. Ясно, что этот результат находится в вопиющем противоречии с предсказанием, вытекающем из предположения 1, и достаточно хорошо согласуется с предсказанием, следующим из предположения 2. Какой из этого следует вывод?

Представления о времени, основанные на «здравом смысле», очевидно, неверны, так как ведут к предсказаниям, полностью расходящимся с фактами. Можно ли считать, что замедление течения времени — неопровержимая истина?

Это был бы слишком далеко идущий вывод. Не исключено, что в некоторых будущих экспериментах удастся обнаружить несоответствие между теорией замедления течения времени и фактами. Тогда эта теория окажется неудовлетворительной. Но, согласно современным данным, она выглядит в высшей степени правдоподобно.

В п. 1.24 говорилось, что от вас не требуется просто так поверить в то, что скорость света одинакова для всех наблюдателей. Там предлагалось разобраться в том, что будет, если скорость света действительно инвариантна, и сверить полученные предсказания с наблюдаемыми фактами. Как оказалось, предсказание замедления течения времени гораздо лучше соответствует экспериментальным данным, чем привычная нам точка зрения. Следует ли отсюда вывод, что скорость света действительно одна и та же для всех наблюдателей?

Ответив на этот вопрос утвердительно, мы снова зашли бы слишком далеко. Предположение об инвариантности скорости света, несомненно, приводит к предска-

заниям, согласующимся с опытом. Но не исключено, что здесь нам просто повезло. Ведь нет гарантий, что следующее предсказание подтвердится. Безотносительно к тому, сколько экспериментальных проверок выдержала теория, она может потерпеть неудачу при любой последующей проверке, и поэтому невозможно с полной определенностью доказать истинность той или иной теории.

Но, конечно, есть все основания утверждать, что предположение об инвариантности скорости света не противоречит имеющимся экспериментальным данным и с большой степенью вероятности представляется справедливым.

В науке нет абсолютных истин, все они справедливы с той или иной степенью вероятности. Поразмышляйте над этим, взяв за образец поведение человека при заключении пари на скачках: как он на основе анализа предшествующей ситуации принимает решение о будущих ставках? Допустим, на последних скачках лошадь по имени Здравый Смысл хорошо стартовала, но подкачала на финише, тогда как аутсайдер Относительность стал абсолютным призером. Если эта пара снова примет участие в состязании, вы, несомненно, поставите на Относительность, хотя в этом выборе и остается некоторая доля неопределенности.

3.34.3.34.Подобная успешная проверка соответствия экспериментальных данных предсказаниям теории называется подтверждением. Но слово «подтверждение» вовсе не означает доказательства истинности теории. В его смысл вкладываются более скромные требования: предоставить свидетельства в пользу данной теории, свидетельства того, что, исходя из нее, можно сделать правильные предсказания.

3.34.

3.34.

Рассмотрим еще одну полезную формулировку того, что мы говорили о замедлении течения времени. Пусть наблюдатель А следит за часами наблюдателя В с помощью телескопа. Применяя к промежутку времени между двумя ударами часов наблюдателя В вывод, полученный в п. 3.10, попытаемся ответить на вопрос: как воспримет наблюдатель А поведение часов наблюдателя В?

Время между этими ударами, отсчитанное по часам наблюдателя В, — собственное (п. 3.8). Но оценка наблюдателем А интервала времени между теми же двумя ударами дает несобственное время, которое всегда больше (п. 3.10) промежутка времени, отмеренного часами наблюдателя В. Значит, с точки зрения наблюдателя А, часы наблюдателя В показывают меньшее время, чем он

3.35.3.35.3.36.3.36.3.37.3.37.3.38.3.38.предполагал. Поэтому он придет к заключению, что эти часы идут медленнее, непрерывно отставая, а не просто отстав когда-то однажды.

3.35.

3.35.

3.36.

3.36.

3.37.

3.37.

3.38.

3.38.

Вы, быть может, подумали, что наряду с предположением наблюдателя А о замедленном ходе часов наблюдателя В у последнего может возникнуть впечатление об ускоренном ходе часов наблюдателя А. Справедливо ли такое толкование?

Рассуждения п. 3.34 относились к фактическому времени, показываемому часами наблюдателя В, за которыми следит наблюдатель А. Но наблюдатель А не производит непосредственных замеров времени с помощью своих часов. Он только вычисляет, каков, по его мнению, должен быть промежуток времени между двумя ударами часов наблюдателя В (п. 3.7). Итак, здесь мы имеем дело с фактическим временем, отсчитываемым часами наблюдателя В, и результатом подсчетов наблюдателем А того, каким оно должно быть. Значит, путем подобных рассуждений, можно узнать, что думает наблюдатель А о ходе часов наблюдателя В, но нельзя узнать, что думает В о ходе часов наблюдателя А. Что же все-таки думает наблюдатель В о ходе часов наблюдателя А?

Это нетрудно выяснить, если снова повторить все рассуждения п. 3.34, каждый раз заменяя букву А буквой В и наоборот. Тогда мы сделаем вывод, что, сот ас- но наблюдениям В, часы наблюдателя А идут в замедленном темпе. Таким образом, мы приходим к чрезвычайно важному заключению:

если два наблюдателя движутся относительно друг друга, то каждый из них будет считать, что часы другого идут в замедленном темпе.

Усматриваете ли вы противоречие в том, что каждый наблюдатель думает, будто часы другого идут медленнее? Постарайтесь уяснить это для себя, помня следующее: а) решая, что чьи-то часы идут в замедленном темпе, вы на самом деле судите о том, что такие-то и такие-то удары этих часов одновременны с такими-то и такими-то ударами ваших часов; и б) наблюдатели, находящиеся в относительном движении, расходятся во мнениях по вопросу об одновременности (п. 2.19). Если же и после этих замечаний вы не сможете преодолеть возникшие трудности, потерпите до гл. 13, где мы с этими вопросами разберемся подробнее.

Задумывались ли вы над тем, как выглядит эксперимент Фриша — Смита в системе отсчета мюона?

Можно было бы рассуждать так: «Мюон движется по отношению к нам со скоростью, близкой к скорости света. Но по часам, движущимся с мюоном, тот же самый путь займет в десять раз меньше времени. Поэтому наблюдатель, движущийся с мюоном, должен полагать, что его скорость относительно нас почти в десять раз превышает скорость света!》Что-то тут не то.

Вспомните п. 2.26 и попро6у1Ие еще раз.

Представьте себе, что гора Вашингтон — это измерительный стержень, которым снабжен наблюдатель, стоящий у ее подножия. Он скажет, что длина стержня равна 1910 м, но наблюдатель, движущийся с мюоном, с этим не согласится.

Наблюдатели придут к единому мнению только по поводу их относительной скорости (в силу симметрии ее определения по отношению к ним). Поэтому, если время, измеренное наблюдателем, движущимся с мюоном, составляет только десятую часть времени, которое измерено наблюдателем на земле, то при одной и той же относительной скорости, по оценке наблюдателя, движущегося с мюоном, высота горы должна быть равна одной десятой высоты, найденной земным наблюдателем. По мнению наблюдателя на мюоне, измерительный стержень——гора Вашингтон — должен уменьшиться до 191 м. Обобщая полученные нами выводы, можно записать:

если измерительные стержни наблюдателей ориентированы вдоль направления их относительного движения, то каждый будет считать, что длина стержня другого наблюдателя уменьшилась в том же отношении, в каком, с его точки зрения, замедлился ход часов другого наблюдателя.

Это кажущееся изменение длины называется релятивистским сокращением; к сожалению, нет способа измерить его экспериментально.

Ответы к п. 3.23. 1. Время, измеренное наблюдателем В, составляет 4/s от времени, измеренного А. 2. 12/i3. 3. Отношение времен равно ]/1—*

4

ТРИ ХРОНОМЕТРА И ПАРА БЛИЗНЕЦОВ

4Д, Рассмотрим теперь трех наблюдателей А, В и С, которые движутся относительно друг друга вдоль одной и той же прямой линии (или очень близко к ней, так что они могут разминуться без столкновений). Пусть они движутся равномерно, тогда ни об одном наблюдателе мы не сможем сказать, движется ли он или покоится (п. 1.3). На рис. 4.1 показано их относительное движение.

Рис. 4.1.

На стадии а наблюдатели В и С приближаются к А с противоположных сторон (стрелки указывают на их движение относительно наблюдателя А). На стадии 6 наблюдатель В проходит мимо А. Далее, на стадии в наблюдатель С на своем пути к А минует наблюдателя В после встречи последнего с А. На стадии а наблюдатель С проходит мимо А, в то время как наблюдатель В все сильнее удаляется от А.

Особого внимания здесь заслуживают три события: на стадии 6 — встреча наблюдателей В и А, которую мы назовем событием Р; на стадии в наблюдатели В и С прохо-

5—1653

дят мимо друг друга (обозначим это событие буквой О); последнее событие состоит во встрече наблюдателя С с наблюдателем А на стадии а (событие Q).

Смоделируйте описанный процесс: положите перед собой на стол какой-либо предмет ——пусть это будет наблюдатель А; с помощью ладони левой руки воспроизведите движение наблюдателя В, а с помощью правой — наблюдателя С. Применяйте эту модель всякий раз, когда будут возникать сомнения. (Постарайтесь не впасть в заблуждение. Не думайте, будто теперь наблюдатель А абсолютно неподвижен.)

Наблюдатель А присутствует при каждом из событий Р и Q. Он может измерить промежуток времени, разделяющий эти события, непосредственно по своим часам. Что касается наблюдателей В и С, то первый не может присутствовать при событии Q, а второй — при событии Р. Поэтому ни тот ни другой не в состоянии непосредственно измерить интервал времени между событиями Р и Q. (Если это неясно, прочтите еще раз пп. 3.7 и 3.8.)

Однако, объединив усилия, наблюдатели В и С все же могут найти этот промежуток времени исходя только из прямых измерений. Наблюдатель В может измерить по своим часам время, прошедшее между событиями Р и О, а наблюдатель С по своим часам — промежуток времени между событиями О и Q. Сложение полученных значений даст полный интервал времени между событиями Р и Q, измеренный совместно наблюдателями В и С.

Получат ли наблюдатели В и С сообща то же самое значение, что и наблюдатель А? Вот этой задачей о трех хронометрах мы сейчас и займемся.

В повседневной жизни мы полагаем, что ответ на поставленный вопрос будет утвердительным. Считается, что не имеет значения, движутся ли часы на протяжении всей процедуры измерения с одним и тем же наблюдателем или же эстафета измерения времени передается от одних часов к другим (в нашем случае от часов наблюдателя В к часам С), — время между двумя событиями всегда будет одним и тем же.

При малых скоростях, с которыми приходится сталкиваться в повседневной жизни, такое представление совершенно оправданно. Но останется ли оно справедливым при достаточно больших относительных скоростях?

Сначала рассмотрим промежуток времени между событиями Р и О. Одинаков ли он для наблюдателей А и В?

Наблюдатель В присутствует при обоих событиях, поэтому измеренное им время является собственным (п. 3.8),

тогда как для наблюдателя А это время несобственное. А значит...?

Из п. 3.10 следует, что интервал времени между событиями Р и О, с точки зрения наблюдателя А, больше, чем с точки зрения В. Как насчет времени, прошедшего между событиями О и Q?

Оно также больше для А, чем для С. Теперь сможете ответить на вопрос, возникший в конце п. 4.2?

Согласно наблюдателю А, время между событиями Р и Q можно найти сложением вычисленных им интервалов между событиями Р и О и между событиями О и Q. Поскольку мы показали, что эти интервалы больше, чем промежуток времени между событиями Р и О, измеренный наблюдателем В, и промежуток между О и Q, измеренный наблюдателем С,

интервал времени между событиями Р и Q, с точки зрения наблюдателя А, больше суммы интервалов от Р до О и от О до Q, измеренных соответственно наблюдателями В и С.

Полагаю, вы пришли к этому выводу почти самостоятельно. Если так, то вы уже неплохо разбираетесь в теории относительности!

Хотя в ходе рассуждений мы использовали промежутки несобственного времени, результат, к которому мы пришли, содержит только собственные времена. Он включает промежутки времени, измеренные непосредственно с помощью часов наблюдателей. Чтобы подчеркнуть этот факт, перепишем наш вывод в следующей форме:

время между событиями Р и Q, измеренное часами наблюдателя А, больше чем время, измеренное совместно часами наблюдателей В и С.

Попросту говоря, часы наблюдателя А идут быстрее часов любого из наблюдателей В и С. Полезно проверить этот вывод на численном примере. Пусть наблюдатели В и С движутся относительно А со скоростью 3/s скорости света и пусть время между событиями Р и Q, найденное в результате совместных измерений по часам этих наблюдателей, равно 8 мин. Какой промежуток времени между теми же событиями пройдет по часам наблюдателя А? (Ответ—в конце главы.)

Чтобы разобраться в противоречии между полученным выводом и укоренившимися представлениями, предположим, что наблюдатель В, поравнявшись с С, говорит: «С момента моей встречи с наблюдателем А прошло

4 мин». Затем наблюдатель С прибавляет эти 4 мин к измеренным им самим 4 мин и, пролетая мимо наблюдателя А, выкрикивает: «Прошло ровно 8 минут с тех пор, как наблюдатель В повстречался с тобой», — на что наблюдатель А возразит: «Ты, должно быть, свихнулся, прошло уже 10 минут».

Вам, вероятно, кажется, что это какая-то чепуха. Ведь так или иначе, но вы уверены, что промежуток времени между двумя событиями не должен зависеть от того, движется или покоится измеряющий его человек. На чем же может быть основана такая уверенность? На жизненном опыте?

Нет, ибо, чтобы обнаружилось заметное различие в измерениях промежутков времени между одними и теми же событиями, скорости должны быть неизмеримо больше любых скоростей, с которыми мы сталкиваемся в повседневной жизни (докажите это, объединив доводы, приведенные в пп. 3.11 и 4.4). Не пытаемся ли мы делать неоправданные и слишком далеко идущие выводы из весьма ограниченного повседневного опыта (ср. п. 2.2)? Или у вас есть другие причины для уверенности в том, что время должно быть одинаковым как для наблюдателя А, так и для пары наблюдателей В ——С?

Чтобы не пойти по ложному пути, сразу отметим, что время между событиями Р и Q, измеренное совместными усилиями наблюдателей В и С, нельзя считать ни собственным, ни несобственным. По определению (см. п. 3.8) измерения должны производиться одним наблюдателем, а не целой группой. Поэтому придется искать другой путь. Подумайте над этим, а пока мы перейдем к обсуждению некоторых возражений, которые у вас, быть может, возникнут.

Можно подумать (в связи с п. 4.4), что, поскольку промежутки времени между событиями Р и Q, а также между событиями О и Q для наблюдателя А — несобственные (получены в результате вычислений или рассуждений), нет оснований считать, что их сумма даст собственное для А время (измеренное по его часам), прошедшее между событиями Р и Q. Обдумайте это.

Когда речь идет о промежутке времени между событиями Р и О, с точки зрения наблюдателя А, имеется в виду время, прошедшее по часам А от события Р до момента, в который, по мнению А, произошло событие О. Аналогично для интервала времени между событиями О и Q. Таким образом, обсуждаемая проблема сводится к следующему (все промежутки времени отсчитываются по часам наблю-

дателя А): время от события Р до момента, в который, по мнению наблюдателя А, произошло событие О, сложенное с временем, прошедшим от момента, в который, как счи^ тает А, произошло событие О, до события Q, дает интер^ вал времени между событиями Р и Q. При таком способе рассуждений многие трудности исчезнут.

4・8・ Не приходила ли вам в голову мысль провести весь ход рассуждений п. 4.4, так сказать, задом наперед, чтобы получить результат, противоречащий выводам, к которым мы пришли выше? Подобные идеи часто выглядят правдоподобно, если не вдаваться в подробности, но терпят крах при малейших попытках вникнуть в детали. Поэтому прошу вас записывать все ваши доводы на листке бумаги в виде полной логически связанной системы (как в п. 4.4). Причем всегда можно следовать несколькими путями. Правда, как это ни печально, вы обнаружите, что все они ведут в тупик, но тем не менее, разбирая тот или иной вариант, вы узнаете много полезного. Так что попробуйте.

Вы убедитесь, что перед вами все время будут возникать непреодолимые препятствия, которые сводятся к следующему. Рассуждения, описанные в п. 4.4, справедливы потому, что сумма несобственных для наблюдателя А про межутков времени между Р 〃 Q 〃 между О 〃 Q равна измеренному им собственному времени между Р 〃 Q. Одна-» ко обратный ход рассуждений не приведет к такому результату. Но продолжайте попытки.

В конце концов вам придется признать, что ситуация с одним наблюдателем, с одной стороны, и двумя — с другой, не симметрична. Поэтому любая попытка поменять ролями наблюдателя А и пару В——С обречена на провал.

Другое распространенное заблуждение состоит в том, что наблюдатель А и пара В——С измеряют одно и то же, но только разными способами и потому должны получить одинаковые результаты. Что вы об этом думаете?

Это скорее эмоциональная реакция, чем логически обоснованный довод. Она обусловлена глубоко укоренившимся в нашем сознании представлением, что все мы имеем дело с одним и тем же временем («время ——вечно текущая река» и все такое). Но попробуем пересмотреть эти устоявшиеся взгляды. Чтобы решить, измеряют ли А и В—С одно и то же, необходимо выяснить, что же они делают в действительности.

Они пользуются измерительными приборами, которые называются часами. Прибор может измерять только то, что происходит в непосредственной близости от него. Следовательно приборы, размещенные в разных местах, измеряют

нечто разное. (Если бы я сказал, что термометры, расположенные в разных местах, измеряют одно и то же, то вы наверняка усомнились бы в нормальности моего рассудка.) Так вот, часы наблюдателя А и прибор, состоящий из последовательно используемых часов наблюдателей В и С, не находятся в одном и том же месте (за исключением событий Р и Q). Значит, эти приборы не могут измерять одно и то же. Они измеряют течение времени в различных местах, т. е. они измеряют нечто разное. А потому нет ничего удивительного в том, что эти измерения приводят к отличающимся результатам.

Не сомневаюсь, у вас осталось чувство, что в этих хитроумных рассуждениях что-то не так: мол, это аргумент, который справедлив в соответствующих случаях, но неприменим ко времени. Температура, скажете вы, зависит от того, где ее измерять, а время не зависит. Мне знакомо это ощущение, но постарайтесь подойти к своему мнению критически. Ведь нельзя считать, что природа времени вам уже известна, когда именно ее исследованием мы и занимаемся.

В качестве последнего шага в пересмотре привычных представлений вам придется сделать над собой громадное усилие и поверить в логику наших рассуждений, согласиться с предложенным решением задачи о трех хронометрах (если хотите, с оговорками), а затем посмотреть, куда все это может привести.

История с тремя хронометрами наносит по нашим старым представлениям более сокрушительный удар, чем любое из тех удивительных явлений, с которыми мы познакомились раньше. Если вспомнить предыдущие случаи, в которых теория относительности вступала в противоречие с укоренившимися взглядами, то обнаружится, что в каждом из них приходилось иметь дело не с прямыми наблюдениями, а с вычислениями, проделанными наблюдателями, или с их умозаключениями ——с продуманными ими мнениями, если хотите. Обратите внимание на обсуждение этого вопроса в ни. 3.7, 3.8 и ЗЛО — доводы, аналогичные использованным там, можно распространить на проблему относительности одновременности и на релятивистское сокращение длин. Во всех этих случаях неожиданные утверждения относились к чему-то такому, что по самой своей природе недоступно прямому наблюдению. Поэтому можно было надеяться, что окончательное правильное толкование почти не отличается от наших представлений о рассматриваемом объекте, просто мы столкнулись с непредвиденными осложнениями в тех методах, с помощью которых мы

делаем выводы о вещах, непосредственно не наблюдаемых. Не правда ли, очень удобная точка зрения? Но останется ли она непоколебленной после рассмотрения задачи о трех хронометрах?

Нет, так как при решении этой задачи в п. 4.5 отмеча* лось, что основной ее результат относится к непосредственным измерениям, произведенным наблюдателями, присутствовавшими при том или ином событии и просто отмечавшими моменты времени по своим хронометрам. И тем не менее полученный вывод полностью противоречит нашим прежним представлениям.

Это означает, что время в корне отличается от наших привычных представлений о нем. Время, протекшее между двумя событиями, не является чем-то раз и навсегда заданным, даже если измерено непосредственно, оно зависит от скорости движения наблюдателя, производящего эти измерения.

Итак, мы столкнулись с необходимостью коренным образом изменить наши представления о природе времени. Кроме всего прочего, нам придется отказаться от мысли, что существует некое «всеобщее время», в котором все мы живем и которое одинаково для всех наблюдателей вне зависимости от скорости и характера их движения. Мы должны допустить, что у каждого наблюдателя есть свое собственное время,——время, которое он измеряет по своим часам, — и что эти собственные времена невозможно подогнать друг к другу так, чтобы они дали «всеобщее время» (хотя, если скорости движения малы, они очень близки Друг к другу).

Находите все это чрезвычайно головоломным? Приходится допустить, что природа явлений отлична от того, что вы о ней думали, но неизвестно почему? Если вы считаете, что знание причины означает объяснение этих неожиданных открытий на основе знакомых представлений, то вас постигнет разочарование—необходимо отказаться от привычных представлений. Ну а если вы готовы заменить укоренившиеся в сознании представления новой последовательной теорией пространства, времени и движения, в рамках которой находят естественное объяснение такие проблемы, как задача о трех хронометрах и относительность одновременности, то готов обещать вам, что в конце концов вы будете удовлетворены.

Вы, должно быть, обратили внимание на то, что история с тремя хронометрами отчасти сходна с описанием космического путешествия одного из близнецов, которое упоминалось на с. 10. Правда, он совершил путешествие туда и

обратно, тогда как наблюдатели В и С движутся лишь в одном из противоположных направлений. Давайте попытаемся сделать эти две ситуации как можно более сопоставимыми. Рассмотрим космонавта D и нанесем на рис. 4.1 его траекторию в соответствии со следующим описанием.

Сначала космонавт D проживает вместе с А. Незадолго до стадии 6 он включает двигатель своей ракеты и, разгоняясь, улетает. Космонавт подбирает ускорение ракеты таким образом, чтобы достичь скорости наблюдателя В, как только они поравняются чуть позднее стадии б. В этот момент он выключает двигатель и продолжает лететь по инерции рядом с наблюдателем В. Несколько ранее стадии в космонавт D вновь включает двигатель, разворачивает ракету в обратном направлении и подбирает такой режим полета, чтобы, снова выключив двигатель, продолжать путешествие по инерции бок о бок с наблюдателем С. Наконец, заключительный маневр ракеты, начавшийся немного раньше стадии а, и космонавт D возвращается домой к А.

Смоделируйте этот процесс, как в гт. 4.1. Как вы думаете, если близнецы А и D используют для измерения времени между моментами расставания и встречи совершенно одинаковые хронометры, совпадут ли их результаты?

Если вы приняли развиваемую мною точку зрения, что часы, движущиеся относительно друг друга, измеряют нечто разное, а потому следует ожидать, что они дадут и различные показания (п. 4.9) и что у каждого наблюдателя свое собственное время (п. 4.12), то придется признать, что близнецы А и D, которые движутся различным образом, должны зарегистрировать по своим часам разные промежутки времени, протекшего с момента расставания до момента встречи. Но, конечно же, нужно быть готовым выслушать некоторые доводы, якобы позволяющие доказать, что оба брата-близнеца должны измерить одинаковые промежутки времени. Тщательно продумайте все сказанное.

Полученный вывод может показаться бессмысленным, но, подобно беспристрастному следователю, доискивающемуся до правды, вам придется признать его разумным. А принимая во внимание близкое сходство между движениями космонавта D и пары В——С, естественно ожидать, что промежуток времени, измеренный космонавтом D, будет меньше интервала, зарегистрированного его братом А.

Конечно, не все в последнем аргументе может показаться достаточно убедительным. Но я только постарался показать, к какому заключению мог бы прийти непред-

убежденный исследователь, знакомый с задачей о трех хронометрах тт столкнувшийся с проблемой космических близнецов.

Предположим, что А и D — это не просто какие-то абстрактные существа (какими мы считали наблюдателей), а настоящие братья-близнецы из плоти и крови. Следует ли ожидать, что на финише космической одиссеи одного из них они будут одинакового возраста?

Биологические процессы — это своего рода часы. С некоторой степенью точности, они не уступают обычным часам. Поэтому, если по физическим часам брата D проходит меньше времени, чем по часам А, то мы вправе ожидать таких же показаний и от его биологических часов. В этом заключается так называемый парадокс космических близнецов.

Может возникнуть желание поспорить, что биологические часы ведут себя иначе, чем другие часы. Мне не хотелось бы вступать сейчас в спор. Я поднял вопрос о старении только затем, чтобы в наиболее явной форме продемонстрировать всю нелепость (как некоторые склонны думать) того, куда может завести теория. А теперь вернемся к не вызывающей столь сильных эмоций формулировке основного вывода п. 4.15. Там приводились доводы в пользу утверждения, что часы брата D покажут меньшее время, чем часы брата А. В таком варианте это явление можно назвать парадоксом часов. Теперь, как обычно, обдумайте и представьте свои возражения.

Попробуйте провести исследование парадокса близнецов в в обратном порядке, наподобие неудавшейся в п. 4.8 попытки опровергнуть решение задачи о трех хронометрах. Может показаться, что в данном случае ситуация симметрична: один наблюдатель сравнивается с единственным другим наблюдателем. Все происшедшее с близнецами А и D можно передать в нескольких словах: сначала они были вместе, затем порознь двигались и в конце концов вновь встретились; сказать, кто именно из них двигался, якобы невозможно. Итак, вроде бы есть все основания для проведения рассуждений «задом наперед», в результате чего можно было бы доказать, что для брата А прошло меньше времени, чем для D, т. е. прийти к абсурдному противоречию. Что скажете об этом?

Ничего подобного утверждать нельзя. Ведь D несколько раз включает и выключает двигатели своей ракеты, т. е. он движется неравномерно, тогда как его брат А все это время движется равномерно и прямолинейно. Следовательно, различие между этими движениями можно обнару-

жить (п. 1.3). Значит, близнецы А и D находятся в различных условиях и нель >я поменять их ролями, чтобы провести рассуждения в обратном порядке.

(Из-за ускорения и замедления, которые испытывает брат D, измеряемое им время нельзя считать собственным. Загляните в и. 3.8, обратив особое внимание на замечание (1), и сравните то, что там написано, с выводами п. 4.6.)

Однако ускорение, т. е. изменение скорости, доставляет и новые заботы. Как уже говорилось (п. 4.15), следует быть готовым рассмотреть кое-какие доводы в пользу тоге, “га А и D обнаружат в конце концов, что отрезки времени у них все-таки одинаковы. Иногда думают, что основанием для такого вывода может послужить изменение скорости. Ведь мы пришли к парадоксу часов через задачу о трех хронометрах, исходя из явления замедления течения времени, которое в свою очередь основывается на условии равномерности и прямолинейности движения наблюдателей. Это наводит на мысль, что изменение скорости оказывает такое влияние на ход часов, которое в точности компенсирует замедление течения времени, благодаря чему полные интервалы времени, измеряемые близнецами А и D, становятся одинаковыми. Как, по-вашему, это убедительный довод?

Честный ответ: 《Я не знаю》. Все рассуждения, связанные с решением задачи о трех хронометрах, относились к равномерно и прямолинейно движущимся наблюдателям. Влияние изменений скорости нужно изучить отдельно. А пока это не сделано, мы и говорим《не знаю》.

Если у вас есть желание поработать самостоятельно, то подумайте о другом космонавте, который на старте, при развороте ракеты и при посадке производит такие же изменения скорости, как D, но более длительное (или короткое) время движется равномерно и прямолинейно. Что это прояснит в поставленном вопросе?

4Л9. Вы, должно быть, обратили внимание на то, что в нескольких последних параграфах было больше догадок и предположений и меньше веских и систематических выводов, чем в предыдущих. Дело в том, что нельзя надеяться на успех, пока самым тщательным образом не изучены те основы, из которых мы исходим. Только тогда можно приступить к истинно систематическому изложению теории.

Во введении отмечалось, что основные трудности связаны с нашим воображением и с нашей способностью забывать то, что мы знали (стр. 11—12). То, чем мы занимались до сих пор, было в значительной степени необходимо,

чтобы разбудить ваше воображение, поколебать прежние убеждения и подготовить разум к более радикальной перестройке привычных представлений, к которой мы приступим в следующей главе.

В качестве последней попытки раскрепостить ваше воображение приведу одну историю о человеке средних лет, который влюбился в молоденькую девушку и был отвергнут из-за разницы в возрасте.

Будь эта история рассказана в XIX в., она могла бы поведать нам о том, как он пустился в кругосветное путешествие, чтобы забыть свою возлюбленную. (Какое неподдельное изумление вызвал бы этот рассказ у наших предков 3000 лет назад, особенно не укладывающаяся в голове мысль, что, держа путь все время в одном направлении, можно в конце путешествия вернуться в исходную точку! Давайте извлечем урок из их неспособности представить себе такие простые вещи.)

В варианте такой истории, соответствующем отдаленному будущему, наш безутешный влюбленный отправился бы в длительное космическое путешествие, предварительно рассчитав скорость и расстояние, которое нужно преодолеть, чтобы, вернувшись назад, быть ровно на год старше своей возлюбленной, — быть может, тогда она скажет 《Да》. Но у его космического корабля испортилась система управления, и пока он ее ремонтировал, пропутешествовал намного дольше, чем планировал. В результате, когда он вернулся, он мог бы жениться на ее дочери.

Теперь приступим к работе.

Ответы к п. 4.5. Ясно, что 8 мин слагаются из 4 мин, прошедших между событиями Р и О по часам наблюдателя С, и 4 мин, отмеренных часами наблюдателя С между событиями О и Q. Согласно выводам п. 3.23, несобственное время, прошедшее по часам наблюдателя А между Р и О, составляет 5/4 времени, измеренного наблюдателем В, т. е. равно 5 мин. То же самое справедливо для интервала между событиями О и Q. Поэтому время, протекшее по часам наблюдателя А между событиями Р и Q, равно 10 мин.

5

НАЧНЕМ СНАЧАЛА

Перейдем теперь к обсуждению идей, очень простых по сравнению с мюонами и космическими близнецами» Но они кажутся трудными для понимания. Тщательно обдумайте их. И перечитайте для начала еще раз пп. 1.1—1.3.

Картина сильно упростится, если поинтересоваться, что произошло бы в ситуациях, аналогичных описанным в пп. 1.1—1.3, если бы не было силы притяжения. Вообразим, что, пока мы проделывали в вагоне поезда свои опыты, Земля куда-то исчезла и поезд продолжает свой путь в пустом пространстве. Разумно предположить, что в вагоне все будет происходить так же, как и раньше, но только предметы больше не будут падать.

В поезде, равномерно и прямолинейно движущемся по Земле, камень, выпущенный из рук, падает отвесно вниз (п. 1.2), с точки зрения наблюдателя, находящегося в вагоне. Как бы повел себя камень, если бы Земля вдруг исчезла?

Таким же образом, как и раньше, но теперь он не будет падать. Значит, он просто останется в том месте, где его отпустили (так это, конечно, выглядит только для наблюдателя, сидящего в вагоне; кто-нибудь другой может сказать, что камень движется вместе с этим наблюдателем). Теперь обратимся к случаю неравномерного движения поезда. Что на этот раз произойдет с камнем, выпущенным из рук, если притяжение перестанет действовать?

Уверен, что, исходя из наблюдений, описанных в п. 1.3, вы легко сообразите, что камень будет удаляться от выпустившего его человека (вперед при торможении поезда, назад при разгоне.)

Эти мысленные эксперименты дают нам простейший способ отличить равномерное прямолинейное движение от неравномерного при отсутствии тяготения. Нужно только выпустить из рук камень. Если он останется рядом с вами, вы движетесь равномерно. Если же его сносит, то движение неравномерное.

Выпускать из рук камень физик-теоретик сочтет ниже своего достоинства, он предпочтет «пустить пробную частицу» (не толкая ее, что в дальнейшем оговариваться не будет).

Наблюдатели, пробные частицы которых остаются рядом с ними, играют особую роль, и им присвоен специальный «титул» ——инерциальные наблюдатели. Дадим формальное определение:

Пусть наблюдатель пускает пробную частицу. Тогда его можно назвать

инерциальным наблюдателем, если частица по отношению к нему остается неподвижной;

неинерциальным наблюдателем, если частица уходит от него.

(Разумеется, мы должны удостовериться, что на пробную частицу не действует электрическая или магнитная сила, что ее не тянут за нитку и что нет никаких других подобных воздействий. В дальнейшем мы всегда будем подразумевать, если не оговорено особо, что на пробную частицу не действуют никакие силы.)

Наконец-то мы в состоянии разобраться в некоторых тонкостях, связанных с понятием равномерного и прямолинейного движения, с которым мы сталкиваемся, начиная с первой главы. Мы столь усиленно эксплуатировали эту фразу, что могло сложиться впечатление, будто нам известно, что она означает. Но так ли это? В самом начале предполагалось, что поезд движется с постоянной скоростью и на прямолинейном участке пути. Но по отношению к чему эта скорость постоянна и движение прямолинейно? Мы бессознательно рассматриваем всякое движение относительно Земли, которая в этом смысле играет роль тела отсчета. Но по отношению к юноше, мчащемуся на спортивном автомобиле и непрерывно нажимающему на акселератор, скорость поезда будет далеко не постоянной. А обитатель одного из спутников Юпитера видел бы этот поезд то приближающимся, то удаляющимся, то движущимся в поперечном направлении ——ничего похожего на прямолинейное движение с постоянной скоростью.

При таком подходе к идее равномерного и прямолинейного движения просто не за что ухватиться. Вы думаете, что знаете, о чем идет речь, но, как только пытаетесь вникнуть чуть глубже в суть этого понятия, обнаруживаете, что не в состоянии четко выразить, что имеете в виду.

Но теперь мы разом избавимся от всех этих затруднений. Для этого не будем больше говорить о равномерном прямолинейном движении, а только о движении по инерции как о типе движения, присущего инерциальному наблюдателю. Последний же имеет в рамках опыта с пробной частицей (и. 5.2) точное определение, которое является

замкнутым, так как для него не нужны внешний наблюдатель или система отсчета.

Понятие прямолинейного равномерного движения сослужило нам, когда мы только-только начинали, хорошую службу. Мы еще вернемся к нему немного погодя и увидим, что при некоторых условиях и должным образом определенное оно нам пригодится. Но должен подчеркнуть: движение по инерции определяется на основе опыта с пробной частицей (п. 5.2) без использования понятия прямолинейного равномерного движения.

Опыт с пробной частицей можно поставить и в случае, когда есть сила тяготения. Попробуйте определить из опыта, являетесь ли вы инерциальным наблюдателем.

Пусть у вас в руках есть какой-нибудь предмет, а затем вы отпустили его. Останется ли он рядом с вами? Нет, он упадет ——уйдет от вас. Значит, вы неинерциальный наблюдатель. А как можно стать инерциальным наблюдателем?

Спрыгните с крутого обрыва. Под действием силы тяготения все предметы падают с одинаковым ускорением (если не учитывать сопротивление воздуха, которое можно полностью исключить, прыгнув в вакууме, или уменьшить его влияние, используя в качестве пробного тела какой-нибудь массивный предмет.) Поэтому пробная частица останется рядом с вами. Ну, а это как раз и означает, что вы стали инерциальным наблюдателем. Космонавт на борту космического корабля — еще один пример наблюдателя, который остается инерциальным даже в присутствии силы тяготения. Да вы видели на экране телевизора, как он выпускал из рук телекамеру, а она оставалась висеть рядом с ним в воздухе до тех пор, пока снова не понадобилась ему.

Эти примеры позволяют избавиться от представления, что движение по инерции всегда подразумевает прямолинейное равномерное движение. Подумайте над этим выводом.

Я заговорил о тяготении именно сейчас, чтобы предостеречь от слишком упрощенного понимания движения по инерции. Но поскольку специальная теория относительности применима только тогда, когда влиянием тяготения можно пренебречь, мы еще долго не будем его касаться. А теперь (наконец-то!) можно сказать, что же это такое, специальная теория относительности:

специальная теория относительности — это теория, предназначенная для описания и сравнения опытов инерциальных наблюдателей в отсутствие тяготения.

Обратите внимание на слова, выделенные курсивом. (В действительности от тяготения избавиться невозможно. Поэтому на практике специальная теория относительности применяется при условии, что гравитационные эффекты малы по сравнению с другими факторами и их можно не учитывать.)

В связи с этим определением возникает вопрос: чем же выделяются инерциальные наблюдатели, если тяготение отсутствует?

Когда нужно было показать, что движение по инерции—это не обязательно прямолинейное равномерное движение, пришлось призвать на помощь тяготение (п. 5.4). Не наводит ли это на мысль, что при отсутствии тяготения инерциальный наблюдатель, возможно, должен будет двигаться равномерно и прямолинейно? Есть какие-нибудь возражения против такого предположения?

Неприемлема та форма, в которой сформулировано это предположение. Нельзя говорить о движении, не указав, относительно чего оно происходит (п. 1.3). Приведите это предположение к законченному виду.

Для этого нужно дополнить его словами «относительно другого инерциального наблюдателя». Мы считаем, что

при отсутствии тяготения любой инерциальный наблюдатель движется равномерно и прямолинейно относительно любого другого инерциального наблюдения. (Постоянная скорость, разумеется, может быть равна нулю.)

Представление о прямолинейном равномерном движении нельзя было использовать для определения движения по инерции, потому что невозможно было ответить на вопрос: «относительно qero?》(п. 5.3). Но когда инерциальные наблюдатели уже определены с помощью опыта с пробной частицей, на этот вопрос можно ответить, что ведет к сформулированному выше точному утверждению.

Итак, утверждение, сформулированное в п. 5.6, является точным. Но корректно ли оно?

Проверить его справедливость непосредственно невозможно, ибо от тяготения никуда не денешься. Наше утверждение—это абстрактное представление о том, что было бы верно, если бы тяготение отсутствовало. Возможны различные доводы в пользу такого представления: 1) Если оно ложно, то как же тогда должен двигаться инерциальный наблюдатель? Если его траектория не прямолинейна, то почему он должен отклоняться в одну сторону, а не в другую? И так далее. 2) Представьте себе два

поезда в разных точках Земли, движущиеся равномерно и прямолинейно относительно ее поверхности. Теперь вообразите, что Земля, как в п. 5.1, исчезла. Что произойдет? 3) Когда космонавты или астрономические объекты разделены огромными расстояниями, так что притяжение между ними очень слабо, то их движение приближенно можно считать равномерным и прямолинейным относительно друг друга.

Подобные доводы убедили Ньютона в правдоподобности приведенного утверждения. Поэтому он принял его (правда, в другой формулировке) в качестве первого закона движения ——одного из основных положений его классической механики и теории тяготения. Невиданный успех этих теорий, обусловленный полным согласием между следующими из них предсказаниями и результатами экспериментов и наблюдений, окончательно убедил Ньютона и его последователей в справедливости сделанного предложения (ср. с пп. 3.32 и 3.33). Так что мы тоже примем выделенное в п. 5.6 утверждение в качестве одного из постулатов специальной теории относительности. А о его достоинствах будем судить по тому, насколько хорошо следующие из окончательной теории выводы согласуются с наблюдаемой реальностью.

Снова обратимся к равномерно и прямолинейно движущемуся поезду, рассмотренному в п. 1.2. Там отмечалось, что каждый эксперимент, поставленный в вагоне поезда, даст один и тот же результат независимо от того, движется ли поезд или стоит на месте (по отношению к Земле). Очевидно, обобщая, можно сказать, что любой эксперимент должен давать один и тот же результат безотносительно к тому, какова скорость движения поезда по величине и на* правлению.

Далее предположим, что есть много поездов, движущихся с различными скоростями в разных направлениях. Наблюдатели в каждом из них проделывают один и тот же эксперимент и, следовательно, получают один и тот же результат. Представим себе еще раз, что Земля исчезла. Тогда все эти экспериментаторы станут инерциальными наблюдателями в отсутствие гравитации. Совершенно ясно, что результат всех их экспериментов по-прежнему будет одинаков.

Отсюда следует вывод: если множество инерциальных наблюдателей в отсутствие тяготения поставят один и тот же эксперимент, то всечзни получат одинаковый результат. Или, как мы обычно будем говорить для краткости, все они равноправны. (Между прочим, слова «один и тот же эк”

перимент» означают просто, что если каждый наблюдатель полностью опишет свой эксперимент так, как он его видит, то все описания совпадут.)

Этот вывод настолько важен, что мы дадим ему название и запишем по всей форме:

ньютоновский принцип относительности^

в отсутствие тяготения все инерциальные наблюдатели равноправны, если они выполняют механические эксперименты.

(Смысл последней оговорки вскоре прояснится.)

Невозможно, конечно, утверждать со всей определенностью, что ньютоновский принцип относительности останется в силе навсегда. Быть может, завтра кто-нибудь найдет исключения из него. К нему следует относиться как к постулату и, как обычно, проверить согласие между его следствиями и наблюдаемыми фактами.

Почему понадобилось ограничение 《в отсутствие тяготения»? Ниже мы увидим, что если есть тяготение, то не совсем верно, что все инерциальные наблюдатели равноправны. Пока же давайте оставим этот вопрос до поры до времени, но никакого вреда от того, что это условие добавлено к формулировке принципа, нет, так как специальная теория относительности в любом случае исключает тяготение.

Этот принцип относительности с четко определенным ограничением механическими экспериментами был известен Ньютону (хотя он и формулировал его несколько иначе), и физика XIX в. верила в него беззаветно. Но возникает вопрос: можно ли убрать ограничение и переформулировать принцип относительности для экспериментов любого типа? Перечитайте пп. 1.10—1.13 и скажите, как рассуждал бы ученый XIX в.

Он настаивал бы на ограничении механическими экспериментами. Согласно его представлениям, оптические эксперименты должны были бы давать результаты, зависящие от движения наблюдателя относительно (гипотетического) эфира. Можно ли с этим согласиться?

Конечно, нет. Ведь эксперимент Майкельсона — Морли (пп. 1.14——1.19) был задуман как раз для того, чтобы продемонстрировать такую зависимость, и потерпел неудачу. Эксперимент, специально предназначавшийся для доказательства неравноправности инерциальных наблюдений в отношении оптических экспериментов, оказался несостоятельным, как й другие эксперименты, несколько отличающиеся от этого. Ни в одном из когда-либо поставленных

разнообразных экспериментов не удалось отличить одну группу инерциальных наблюдателей от другой. А это означает, что нужно отбросить «механические» ограничения в ньютоновском принципе относительности (п. 5.9) и, видоизменив его, записать

эйнштейновский принцип относительности:

в отсутствие тяготения все инерциальные наблюдатели равноправны.

Сформулировав этот принцип, мы отдаем, наконец, должное Эйнштейну, ибо это была основная новая идея, кото* рую он ввел (пусть даже в отличной от приведенной форме), несомненно более важная, чем идея об инвариантности скорости света (п. 1.22). Ведь идея об инвариантно* сти — это просто частный случай нового принципа относительности; если все инерциальные наблюдатели поставят эксперимент по измерению скорости света, то все они получат один и тот же результат.

Эйнштейновский принцип относительности кажется очень простым и вызывает реакцию типа: «Почему я сам до этого не додумался?» Тем не менее из него следуют чрезвычайно глубокие выводы. Специальная теория относительности—это немного больше, чем разработка этих выводов.

Нельзя, конечно, быть уверенным в справедливости эйнштейновского принципа относительности больше, чем в справедливости ньютоновского (и. 5.9). Он представляет собой только правдоподобное предположение, на основе которого строится теория относительности и которое проверяется обычным образом. И точно так же, как в случае с идеей инвариантности скорости света, от вас не требуется слепо верить в этот принцип — нужно только отнестись к нему со всей серьезностью, определить, к каким следствиям он приводит, и проверить их экспериментально (см. п. 1.24).

Теперь уже должно стать очевидным, что понятие эфира (п. 1.11) совершенно несостоятельно. Но вы можете спросить: «Если свет — это не волны в эфире, то тогда волнами чего он является?». Здесь я с удовлетворением отмечу, с какой предосторожностью я ввел это понятие в п. 1.4, сказав, что свет ведет себя в некоторых отношениях как волны. Вы, конечно же, не будет настаивать на том, что эти воображаемые волны должны быть волнами в некой среде.

Думаю, если вы сочтете такой ответ неудовлетворительным, то лишь потому, что ощущаете потребность найти

объяснение такому явлению, как свет, на основе каких-то других понятий. Мне бы не хотелось углубляться в вопросы, которые могли бы стать предметом сложной дискуссии. А поэтому придем к соглашению, что для целей этой книги нет нужды объяснять, что такое свет. Мы только опишем его поведение и далее будем его рассматривать как основное понятие, с помощью которого можно объяснить что-то еще.

Обратимся теперь к совершенно иным проблемам. Гл. 2—4 были посвящены разрушению привычных представлений. Знакомый мир распался на части, и перед нами предстали несколько разрозненных картинок нового мира, никак не стыкующихся между собой. Все потеряло смысл.

Не следует надеяться, что, пока новые открытия не нашли объяснения, все еще можно кое-как наладить с помощью старых представлений. Мы должны приступить к созданию совершенно новой теории пространства, времени и движения. И при этом нужно будет помнить приведенные в гл. 2——4 предостережения о том, чего не следует предполагать.

Прежде чем разрабатывать теорию, нужно научиться описывать те явления, с которыми придется иметь пело* поэтому необходимо решить, каким способом будут делаться эти описания. В повседневной жизни при описании автомобильной катастрофы можно начать с того, что она произошла в полукилометре от некоторого места по шоссе в 17 ч 35 мин. К аналогичному методу вы, быть может, склонны прибегнуть и при создании физической теории, сказав, например, что определенное событие произошло в такое-то время, на таком-то расстоянии от данного места, в таком-то направлении. Подобная детализация хорошо себя зарекомендовала при тех не очень больших скоростях, с которыми движутся окружающие нас предметы. Но подходит ли такой способ для описания событий при очень больших относительных скоростях?

Нет, и вот почему. Когда дело касается описания события, которое произошло где-то в другом месте, отличном от того, где находитесь вы сами (для краткости такие события будем называть далекими событиями), представления о времени и расстоянии оказываются гораздо менее определенными, чем мы думаем.

Фраза《момент времени, в который произошло далекое событие» могла бы означать: «удар моих часов, происшедший одновременно с событием». Но, зная, что наблюдатели могут расходиться во мнениях по поводу одновременности событий, мы не вправе считать такую интерпретацию

верной. В эти слова можно вложить и другой смысл: «время, которое показывают часы, расположенные в месте, где происходит событие». Однако, чтобы сравнить показания этих часов с моими, их следует перенести туда, где нахожусь я, а это связано с относительным движением и вытекающими отсюда сложностями, обусловленными замедлением течения времени. Таким образом, точный смысл выражения «момент времени, в который произошло далекое событие» вовсе не очевиден. Аналогичные трудности возникают в связи с измерениями расстояния (пп. 2.26 и 3.38).

Нетрудно понять, почему фразе «момент времени, в который произошло далекое событие» (или расстояние до далекого события) следует доверять меньше, чем мы думали. Ведь в ней идет речь как раз о том, что вы не можете измерить непосредственно, ибо находитесь далеко от того места! Об этих характеристиках далекого события вы можете судить только по каким-либо образом переданной вам информации. Мы привыкли считать очевидной интерпретацию полученных сообщений. Теперь мы знаем, что это не так.

Итак, при построении специальной теории относительности нужно избегать высказываний типа «момент времени, в который произошло далекое событие». Какой же тогда способ описания можно использовать?

Воспользуемся методом, весьма типичным для науки XX в. Обратимся к наблюдениям и спросим, что наблюдатель действительно видит, а о чем он просто догадывается на основании своих наблюдений. В основу нашей теории положим только истинные наблюдения, оставив анализ умозаключений на более позднее время.

Теперь, надеюсь, очевидно, что истинное наблюдение может быть сделано только там, где находится наблюдатель (в таких случаях для краткости будем говорить: 《в данном месте》). Взрыв произошел где-то далеко. Я не мог его наблюдать потому, что сам не находился там. Что я мог бы наблюдать?

Я смогу наблюдать вспышку света, — другими словами, я увижу ее. И это произойдет здесь, в месте, где я расположен, т. е. это и будет наблюдение в данном месте. Я не могу с уверенностью говорить о том, когда произошел взрыв (п. 5.15). Но если я скажу, что вижу вспышку в такой-то момент времени, то это строгий факт, прямое наблюдение.

Следовательно, наша теория должна исходить из на・ блюдений в данном месте, т. е. из наблюдений наблюдате-

ля над тем, что с ним происходит (или над тем, что он делает) в том месте, где он находится.

Далее, можно представить себе множество наблюдателей, которые движутся относительно друг друга и каждый из которых производит свои наблюдения в «данном месте》 над одними и теми же событиями. Они могут сравнивать и сопоставлять свои результаты. Именно из таких сравнений и сопоставлений должна исходить наша новая теория.

Вы понимаете, конечно, что наша традиционная, основанная на здравом смысле точка зрения на природу вещей складывается именно таким образом. Всякий человек достоверно знает только то, что с ним происходит в данном месте, видя и слыша все происходящее. Но наблюдения разных людей можно сравнить, а затем на основании этого сравнения возникает представление о мироздании. Каждый из нас проделывает часть этой работы сам (особенно в первые один-два года жизни, которые мы не помним). Остальное выпало на долю наших предков, и выработанные ими представления передаются из поколения в поколение.

К сожалению, ни мы, ни они не сталкивались в повседневной жизни с движением, происходящим с очень высокой скоростью. Поэтому выработанные нами представления справедливы при малых скоростях, но подводят при высоких скоростях. Именно по этой причине приходится начинать все сначала и вырабатывать общую точку зрения путем сравнения и сопоставления наблюдений в данном месте, которые произведены наблюдателями, очень быстро движущимися по отношению друг к другу.

Но на самом деле такая программа неосуществима на практике, а потому придется решать, исходя из логических рассуждений, какие теории возникли бы при ее осуществлении. Для этого нужно будет представить себе множество быстро движущихся относительно друг друга наблюдателей, которые выполняют только наблюдения в данном месте. При очень осторожном использовании того, что уже известно из наблюдений и экспериментов (гл. 1), следует выяснить, какие именно результаты могли бы получить эти наблюдатели. Затем нужно вообразить, что они, отбросив предвзятые мнения, сравнивают результаты своих наблюдений и создают новую теорию пространства и времени взамен старой, от которой следует отказаться.

В одном важном отношении стоящая перед нами задача может быть упрощена. Все по-настоящему интересные вопросы специальной теории относительности можно пре-

красно разрешить, рассматривая движение вдоль одной прямой линии — одного пространственного измерения.

Рассмотрим наблюдателей, движущихся (относительно друг друга) вдоль этой прямой. Будем считать, что эти наблюдатели не имеют размеров, и изобразим их точками. Кроме того, они должны перемещаться без столкновений. Если так будет проще, считайте, что они движутся вдоль близких параллельных линий, как наблюдатели А, В и С на рис. 4.1. Этот рисунок дает хорошее представление о том, что я хочу сказать. Чтобы свести к минимуму влияние старых представлений, договоримся считать этих наблюдателей космонавтами, удаленными на достаточно большое расстояние от звезд и планет и играющими в некую игру, правилами которой предусмотрено их относительное движение вдоль прямой.

Условимся называть эту прямую одномерной вселенной, Безусловно, это не реальная Вселенная (ведь она содержит не все пространство), но для наших целей, после того как было решено не принимать во внимание все, что не лежит на этой прямой, ее можно считать вселенной.

Какие типы наблюдений в данном месте разрешены? Если мы хотим, чтобы наша теория была применима в самом общем случае, то следует ввести ограничения. Так, например, невозможно наблюдение, заключающееся в обнаружении взрыва на слух, поскольку звук распространяется только при определенных условиях. Измерения расстояний тоже должны быть исключены, так как наблюдатель не может находиться одновременно на обоих концах измеряемого отрезка.

Наблюдателю позволяется отмечать, что он прошел мимо другого наблюдателя, поскольку в этот момент времени другой наблюдатель находится в данном месте. Еще он может делать опыты с пробными частицами (п. 5.2). Он отпускает свою пробную частицу и ждет: если она остается рядом с ним, то он инерциальный наблюдатель, в противном случае — неинерциальный.

Кроме того, он может наблюдать световые сигналы (вспышки света) и отмечать по своим часам время их прихода (т. е. момент времени, в который он увидел событие) ・

Наблюдателю разрешается посылать световые сигналы, что может принести пользу его наблюдениям, если он предварительно договорится с другими наблюдателями. Например, может быть достигнуто соглашение, что другой наблюдатель пошлет ответный сигнал в тот момент, когда он получит сигнал от первого. И если первый наблюдатель

заметил моменты отправления и прихода сигналов, он получит ценные сведения о связи между ним и другим наблюдателем.

Вы, наверное, поняли, что последний абзац дает грубое описание радиолокатора. Принцип его действия состоит в следующем: посланный радиоимпульс отражается от цели и принимается в виде отраженного сигнала. Аппаратура регистрирует моменты посылки и приема сигналов и затем автоматически рассчитывает положение и движение цели.

Надеюсь, вы потратите немного времени, чтобы убедиться, что описанные в этом разделе типы наблюдений — единственно возможные и, в частности, что доступные наблюдателю измерения состоят только в регистрации моментов времени, в которые происходили события в данном месте, перечисленные выше.

Чтобы из сравнения моментов времени, зарегистрированных различными наблюдателями, извлечь полезную информацию, их часы необходимо стандартизировать. А единственный осуществимый способ стандартизации состоит в том, чтобы все эти часы были изготовлены по одной и той же схеме (если каждый наблюдатель даст полное описание своих часов, то все такие описания должны совпадать). (Это не так сложно, как может показаться. Для полного описания того, что называется атомными (квантовыми) часами, достаточно нескольких целых чисел.)

Прием, с помощью которого устанавливается идентичность часов, относится к проблеме, волнующей многих людей. Откуда известно, что часы наблюдателя показывают точное время? Вы задумывались над этим?

Нет иного способа узнать время (как некоторой величины) кроме как с помощью часов. Поэтому мы определяем время как показание стандартных часов. И собственное время (п. 4.12) каждого наблюдателя — это то, что по- казывают его стандартные часы. Значит, по определению это и есть точное время. Если часы идентичны, то все они идут совершенно одинаково, и вопросы о том, точное или неточное время показывают часы, сводятся к вопросу о том, являются ли часы стандартными.

6

ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННЫЕ ДИАГРАММЫ

Всем известно, какую большую помощь могут оказать в разли1чных размышлениях диаграммы. Именно в такой помощи мы сейчас крайне нуждаемся. Однако возможности диаграмм, типа показанной на рис. 4.1, весьма ограничены. Отчасти это связано1 с тем, что они дают лишь несколько моментальных «снимков» непрерывного процесса, но главное в том, что они представляют точку зрения только одного наблюдателя о таких понятиях, как одновременность. По этой причине в дополнение к рис. 2.6 нам понадобился рис. 2.8.

Чтобы перейти к гораздо более полезному типу диаграмм, рассмотрим события, происходящие на прямолинейном участке пути железной дороги. Пусть в момент времени, равный нулю, машинист А локомотива поезда, идущего со скоростью 60 км/ч, пересек начальную отметку, от которой начинается отсчет пройденного расстояния. И пусть в момент времени, соответствующий 12 с, его минует машинист В локомотива другого поезда, идущего в противоположном направлении со скоростью 30 км/ч.

Рис. 6.2, представляя эту короткую историю графически, показывает, как изменяются положения машинистов А и В в пространстве и во времени. Поэтому он называется пространственно-временной диаграммой. Движения машинистов представлены на диаграмме с помощью двух жирных линий, обозначенных буквами А и В. Любая точка на линии машиниста А соответствует происшедшему с ним событию. Например, точка N (в которой пересекаются линии А и В) соответствует встрече машинистов А и В. Проведя влево от этой точки пунктирную линию до ее пересечения с осью времени на отметке 12 с, мы увидим, что событие N произошло через 12 с после начала отсчета времени. А проведя от точки N линию вертикально вниз, найдем, что А в момент этого события находился в 200 м от начальной точки. Случилось так, что машинисту А попала в глаз соринка. Пусть на диаграмме этому событию соответствует точка F. Где и когда оно произошло?

Проведя из F горизонтальную линию по направлению к оси времени, мы узнаем, что это событие про-

изошло в момент времени, равный 15 с (посредине между отметками 10 и 20 с). Проведя от точки F линию вертикально вниз, найдем, что машинист А в это время был уже в 250 м от исходной точки.

(На основании очевидного соглашения, которое вы, возможно, считаете само собой разумеющимся, мы использовали букву N как для обозначения точки на диаграмме, так и для обозначения соответствующего события.)

Рис. 6.2.

В момент времени 24 с машинист А дал короткий гудок. Как только машинист В услышал его, он дал ответный гудок, который А услышал в момент времени 26 с. Точка Р (напротив отметки 24 с на оси времени) соответствует гудку, данному машинистом А, а тонкая линия PQ показывает распространение звука вплоть до мо・ мента, когда он достиг машиниста В в точке Q. (Ваша собственная диаграмма — см. стр. 15 — станет более ясной, если там, где я провожу тонкие линии, вы будете рисовать красные линии. А поскольку подобных диаграмм будет много, запаситесь шариковой ручкой с красным стержнем!) Вторая тонкая линия описывает распространение ответного сигнала, посланного машинистом В и услышанного А в момент события R.

6・4・ Диаграммы, подобные этой, полезны во многих случаях, например при составлении железнодорожных расписаний, но для наших целей они непригодны. Самое

главное, чтобы диаграммы не предвосхищали наши выводы. Они не должны, образно говоря, иметь своего мнения по поводу тех вопросов, которые мы хотели бы оставить открытыми. Какие недостатки в этом отношении есть у рис. 6.2?

Согласно рис. 6.2, машинисты А и В (как и любые другие наблюдатели) не имеют разногласий по поводу моментов времени, в которые произошли те или иные события. Это следует из того, что на этой диаграмме есть единственная расположенная слева шкала време* ни, и из того, что сплошные горизонтальные линии — это линии одновременных событий. Нельзя, чтобы диаграмма предрешала вопрос об одновременности (п. 2.19). Кроме того, единственная горизонтальная ось расстояний предполагает всеобщее согласие по поводу измеряемых длин, что недопустимо (пп. 2.26 и 3.38).

Собственно говоря, эта диаграмма в графической форме иллюстрирует наши прежние представления об окружающем мире, и я ее называю старомодной пространственно-временной диаграммой. Но нельзя пользоваться диаграммой, которая подкрепляет именно те идеи, которые мы подвергаем сомнению.

Однако еще не все потеряно. Вспомним о нашем решении (пп. 5.16, 5.20) исходить при построении теории

только из измерений времени в данном месте, сделанных каждым наблюдателем по своим часам.

Точка О в нижнем левом углу рис. 6.2 соответствует начальному моменту времени, определенному по часам машиниста А, — эти сведения я добавил в новом варианте диаграммы на рис. 6.5. Как мы узнали, что момент времени, в который произошло событие N, соответствует 12 с? Просто машинист А посмотрел на часы в момент встречи с В, так что это еще один момент времени, отмеченный по часам А, который мы обозначали буквой N. Точно так же определены по часам машиниста А и моменты времени, в которые произошли события, обозначенные буквами F, Р и R. Это как раз результаты тех наблюдений, которые мы договорились считать твердо установленными фактами.

Если машинист А засечет моменты времени, в которые произошли какие-нибудь другие события, то мы подобным же образом сможем их отметить на рис. 65 Окончательная система данных наблюдений машиниста А состоит из множества отмеченных по его часам моментов времени, в которые произошли события в данном месте. Если также отметить на линии машиниста В зарегистрированные им моменты времени событий в данном месте, то диаграмма будет содержать всю необходимую информацию. Тогда горизонтальная и вер-

тикальная шкалы ничего нового не дадут и будут совершенно бесполезны. Поразмыслите над этим.

А почему бы в таком случае не стереть полностью и эти шкалы, и связанную с ними сетку? Тогда мы получим рис. 6.6, который содержит всю надежно установленную информацию.

Когда используется такая упрощенная диаграмма, легко забыть, что она описывает движение и обмен сигналами; можно вообразить, что это просто геометрический чертеж (две железнодорожные линии, пересекающиеся в точке N!). Посмотрим, как можно ее «оживить». Приготовьте простую почтовую открытку (или что-нибудь подобное). Сделайте это непременно! Посередине открытки, вдоль ее широкой стороны, прорежьте щель длиной около 100 мм и шириной около миллиметра. Положите открытку на рис. 6.6 так, чтобы прорезь располагалась вдоль нижней части диаграммы, непосредственно над нижними концами линий машинистов А и В. В эту прорезь будут видны короткие отрезки линий А и В, которые вполне можно считать точками. Теперь прорезь в открытке соответствует железнодорожной линии, рассмотренной в п. 6.2, а точки указывают положения машинистов А и В сразу после начала отсчета времени.

Придерживая одной рукой открытку в неизменном положении, другой возьмите лист бумаги с нарисованной вами диаграммой и равномерно вытягивайте его из-под открытки. Что вы увидите?

Перед вами предстанет следующая картина: две точки движутся навстречу друг другу, встречаются (когда в прорези появится точка N), а затем расходятся в разные стороны. (Если наблюдать то, о чем здесь говорится, затруднительно, следует чуть-чуть расширить прорезь.) Получилась подвижная картинка, на которой прорезь ——это железнодорожная линия, а две точки — это движущиеся машинисты А и В (п. 6.2). Что еще можно увидеть, продолжая вытягивать диаграмму из- под открытки?

Когда в прорези возникнет точка Р, от черного пятнышка, вырезанного прорезью из линии машиниста А, отделяется красная точка, которая будет двигаться влево до тех пор, пока не встретится с точкой на линии машиниста В. В этот же момент другая красная точка покинет В и начнет перемещаться в обратном направлении до встречи с А в точке R. Наш «любительский

фильм» позволил 《увидеть》описанный в п. 6.3 процесс обмена машинистов гудками.

Обратите внимание: точка машиниста А движется в два раза быстрее точки В, а движение точек, соответствующих звуковым сигналам, происходит еще быстрее. Чем меньше наклон линии, тем более быстрое движение она представляет. Не выбрасывайте открытку с прорезью, она вам еще неоднократно очень пригодится в дальнейшем.

Главная особенность упрощенной диаграммы на рис. 6,& в том, что она показывает только то, что наблюдатели могут узнать на основании прямых измерений, не давая никакой информации помимо этой. Она ничего не говорит ни о временах, ни о расстояниях, связанных с далекими событиями. Позднее мы узнаем, как можно получить значения этих величин исходя из представленных на диаграмме моментов времени событий в данном месте.

Сколько же ненужной нам информации отпало, когда мы отбросили вертикальную и горизонтальную шкалы, а также миллиметровую сетку при преобразовании рис. 6.5 в рис. 6.6! Потратьте несколько минут и подумайте над тем, что именно не принимает в расчет новая диаграмма и как пренебрежение отброшенными факторами освобождает нас от предрешения тех или иных вопросов до их надлежащего исследования.

Я перечислю только априорные понятия, от которых следует отказаться: горизонтали изображают одновременные события; то, что расположено выше, соответствует более поздним событиям; вертикали представляют события, происшедшие в 《одном и том же месте» (ср. с п. 2.16); две неподвижные шкалы, одна из которых используется всеми наблюдателями для определения времени, а другая ——для измерения расстояний. Если вам что-нибудь осталось неясно в перечисленных факторах, продумайте их еще разок.

Конечно можно считать, что рис. 6.6 описывает события не на железной дороге, а в одномерной вселенной (п. 5.19). Тогда А и В — это наблюдатели, обменивающиеся световыми сигналами. Что теперь говорит рнс.6.8 о наблюдениях А в одномерной вселенной?

Надеюсь, вы освоили метод применения открытки с прорезью, которая теперь позволяет получить картину того, как развертываются события в одномерной вселенной. Если нужно, попробуйте еще раз.

Итак, в момент, когда произошло событие О, часы наблюдателя А показывают нуль; 12 с спустя по часам А его минует наблюдатель В, а еще через 3 с ему в глаз попадает соринка. В момент, когда его часы показывают 24 с (событие Р), он посылает световой сигнал. Ответный сигнал наблюдателя В достигает наблюдателя А, когда его часы показывают 26 с.

Линия, помеченная буквой А, дает сведения о всех тех событиях в данном месте для наблюдателя А, которые мы сочтем нужным отметить. В принципе можно было бы отметить даже каждый удар его часов или выборочно отметить удары, соответствующие (скажем) 10, 20, 30,..., секундам. Такая процедура снабжает наблюдателя А своей собственной шкалой собственного времени (взамен отброшенной нами вертикальной шкалы времени).

Эта линия называется мировой линией наблюдателя А (неудачный, как мне кажется, термин, но мы обязаны следовать принятой терминологии). Дадим этому понятию более общее определение:

Мировой линией наблюдателя называется прямая или кривая линия, точки которой изображают все события, при которых он присутствовал, все, что с ним произошло (или все, что он делал), в том месте, где он находится.

Моменты времени, соответствующие этим событиям и определенные по часам наблюдателя, указываются на его мировой линии (либо с помощью отдельных пометок для каждого события, либо с помощью шкалы времени).

(Вас не смутила кривая мировая линия? Чтобы узнать, какой тип движения она описывает, воспользуйтесь открыткой с прорезью.)

На рис. 6.6 используется еще один тип линий, например PQ. Эта линия показывает, что световой сигнал послан в момент события Р и получен в момент события Q. Поэтому назовем ее «линией сигнала». Вообще, линией сигнала называется линия, которая соединяет точки, соответствующие событиям посылки и приема данного светового сигнала.

Здесь ничего не говорится о моментах времени. Почему?

«Несет» ли световой сигнал с собой часы? Даже если и «несет», мы не можем знать, что они показывают.

Поэтому нет способа сопоставлять моменты времени на линии сигнала.

На моих диаграммах мировые линии всегда будут жирными, а линии сигналов — тонкими. Ваши же диаграммы будут более наглядными, если линии сигналов- рисовать красным цветом.

Между прочим, словосочетание «световой сигнал» (часто просто «сигнал») всегда будет означать мгновенный импульс света, если не оговорено особо. (Определение мгновенности см. в конце п. 2.15.)

При использовании открытки с прорезью (п. 6.7) возникает одна небольшая трудность. То, что，видно в прорезь при любом ее положении, изображает события, происшедшие в один и тот же момент времени. Поэтому предложенная процедура позволяет описать точку зрения на происходящее только одного наблюдателя (п. 2.19).

Но пусть это вас не беспокоит. Прежде чем такие вопросы приобретут важное значение, мы усовершенствуем наш метод настолько, чтобы избежать подобные трудности.

Мы освободили пространственно-временную диаграмму от признаков, связанных со старыми, изжившими себя представлениями. Она теперь стала нейтральной настолько, насколько это возможно. Чтобы наполнить эту диаграмму положительным содержанием, нужно найти способ включить в нее основные положения теории относительности. Начнем с подробного описания нового- типа диаграмм, которые мы намереваемся строить и использовать. Сделаем это частично с помощью аналогий со старой диаграммой, а частично в процессе поисков подходящих способов описания известных свойств наблюдателей и сигналов. Например, из диаграмм, использованных до сих пор, заимствуем очевидную идею: событие, происшедшее в одномерной вселенной (п. 5.19), может изображаться точкой на плоскости.

Этой плоскостью, разумеется, служит лист бумаги, на котором начерчена диаграмма. (Убедитесь в том, что, когда открытка с прорезью используется по методу, описанному в п. 6.7, точка на диаграмме соответствует мгновенному событию.)

В одномерной вселенной есть только два направления. Назовем их положительным и отрицательным направлениями и изобразим на диаграмме (рис. 6.14) как направления вправо и влево. Световой сигнал будем назы^

Одномерная ЗсепЕНнад

OmpunainejibHoeПоложительн^

направлениенапраВАвниа

Рис. 6.14.

вать распространяющимся в положительном цли отрицательном направлении, если он распространяется соответственно слева направо или наоборот.

По аналогии с рис. 6.6 для описания линий сигналов (п. 6.11) можно воспользоваться прямыми и различать два указанных выше типа линий сигналов по наклону этих прямых. Линия сигнала, распространяющегося в положительном направлении, поднимается вверх (т. е. в верхнюю часть листа бумаги) слева направо (рис. 6.15), а линия сигнала, распространяющегося в отрицательном направлении, наклонена в другую сторону. Убедитесь с помощью открытки с прорезью, что сигналы, соответствующие этим линиям, распространяются в соответствующих направлениях.

Как видно на рис. 6.15, две линии сигналов противоположных типов могут пересечься только один раз.

Таким способом диаграмма показывает, что сигналы, распространяющиеся в положительном и отрицательном направлениях, могут встретиться, как и следовало ожидать, только один раз.

Могут ли пересечься линии двух сигналов, распространяющихся в положительном направлении? Чтобы ответить на этот вопрос, вспомним, что скорость света для всех наблюдателей всегда одинакова (пп. 1.7 и 1.9). Но мы не можем пользоваться понятием скорости, так как она не определяется в данном месте, для ее вычисления нужны расстояние и хотя бы один момент времени, относящийся к далекому событию. Однако предыдущее высказывание можно привести к форме, в которой оно может быть проверено исключительно на основе измерений в данном месте: один световой сигнал не может догнать другой. Как же следует ответить на вопрос, сформулированный в начале параграфа?

Если линии сигналов пересекутся, то это будет означать, что один сигнал догнал другой (убедитесь в этом с помощью открытки с прорезью, примененной к рис. 6.16). Поэтому ответить на поставленный вопрос следует《нет!»

Но две непересекающиеся линии должны иметь одинаковый наклон (по отношению к горизонтали, проведенной поперек страницы). Отсюда следует, что все положительные сигналы должны иметь один и тот же наклон. То же верно и для отрицательных сигналов, но они должны быть наклонены в другую сторону (п. 6.15).

Мы сами вольны выбирать угол наклона для линий сигнала. Очевидно, самый удобный выбор 45° относительно горизонтали (рис. 6.17). Итак,

договоримся изображать линии сигналов прямыми, наклоненными под углом 45° к горизонтали и поднимающимися вправо для положительных и влево для отрицательных сигналов. Линия сигнала направлена вдоль соответствующей прямой, вверх.

Значит, если точка S расположена выше точки R на той же линии сигнала (рис. 6.17), то сигнал, отправленный в момент события R, будет принят в момент со-

бытия S, но сигнал, отправленный в момент события S, никогда не будет принят в R. Теперь с помощью открытки с прорезью убедитесь, что (красные) точки, изображающие световые сигналы, ведут себя как надо.

Рис. 6.17.

А как изобразить мировую линию (п. 6.10) инерциального наблюдателя (п. 5.2)? На рис. 6.6 это сделано с помощью прямой линии. Очевидно, она не может быть наклонена под углом 45° к горизонтали. (Почему? Да по той простой причине, что при таком наклоне она совпала бы с линией сигнала и, следовательно, наблюдатель должен был бы двигаться со скоростью светового сигнала, а это невозможно; см. п. 2.1.) Как же тогда она должна быть наклонена ——сильнее или меньше?

Воспользовавшись открыткой с прорезью, нетрудно убедиться, что мировая линия, угол наклона которой меньше 45°, описывает движение со скоростью, превышающей скорость света. Но мы не знаем, возможно ли такое. Так что для верности следует начать с мировых линий, угол наклона которых к горизонтали больше 45°, а затем выяснить, возможны ли другие случаи.

Этот аргумент (как вам наверняка не терпится отметить) слабоват, так как нам следует воздержаться от

разговоров о скоростях (п. 6.16). Однако он подсказывает нам идею, которую теперь уже можно будет обосновать на языке дозволенных измерений в данном месте.

Давайте сначала рассмотрим мировую линию, составляющую с горизонталью угол меньше 45° (рис. 6.19). Пусть точка Q, расположенная ниже этой линии, изображает вспышку света. Линии сигналов QP и QR описывают распространение двух вспышек света от Q в

противоположных направлениях. Проверьте это с помощью открытки с прорезью и завершите историю, которую вам поведала эта диаграмма.

Наблюдатель принимает оба сигнала — один в Р, другой в R (убедитесь в этом с помощью открытки с прорезью). Значит, он увидит одно и то же событие дважды. Возможно ли такое?

И опять мы этого не знаем. Ни вы, ни я никогда не видели одно и то же событие дважды. Но гарантий, что это невозможно, у нас пока нет.

С другой стороны, когда угол наклона мировой линии больше 45° (рис. 6.20), то ее пересекает только одна из линий сигналов, выходящих из Q. О чем теперь свидетельствует диаграмма?

Берем открытку с прорезью...! Наблюдатель видит вспышку только один раз. Такое возможно, мы это знаем из повседневного опыта. Поэтому разумно (как предлагалось в п. 6.18) закрепить за нашим наблюдателем мировую линию, угол наклона которой к горизонтали больше 45°. Итак,

выбираем одного инерциального наблюдателя А и в качестве его мировой линии рассматриваем прямую, составляющую с горизонталью угол больше 45°.

На рис. 6.20 у основания мировой линии наблюдателя А стоит буква А. Условимся так поступать и в дальнейшем.

Зафиксировав мировую линию этого единственного инерциального наблюдателя, выясним, как наша диаграмма отражает его точку зрения на пространство и время. Лишь после этого можно будет подумать о введении хотя бы еще одного наблюдателя.

У вас может возникнуть подозрение, что мировая линия наблюдателя А должна быть вертикальной. Ваши соображения, возможно, и не очень ясны, но некоторые из них могут основываться на предчувствии, что для наклонной мировой линии скорость света в одном направлении (относительно А) больше, чем в другом. Однако до тех пор, пока вы не выясните, как диаграмма изображает скорость, подобные выводы делать нельзя. Поэтому пока что вам придется удовлетвориться следующим доводом.

Вы считаете, что мировая линия наблюдателя А должна быть вертикальной. Но все инерциальные наблюдатели равноправны (п. 5.11), и, следовательно, все их мировые линии тоже должны быть вертикальными. А это означает, что никакие мировые линии не могут пересечься, т. е. никакие два инерциальных наблюдателя никогда не могут встретиться! Ваше предположе-

ние приводит к абсурду, и поэтому его следует считать ложным.

Единственные допустимые измерения (п. 5.20)—опре* деление моментов времени в данном месте. Это дает нам право ввести шкалу времени на мировой линии на* блюдателя (ср. с п. 6.10). Итак (рис. 6.22),

условимся, что точка О на мировой линии наблюдателя А соответствует моменту времени, когда его часы показывали нуль.

Определенные по часам наблюдателя А моменты времени событий в данном месте изображаются в виде шкалы вдоль его мировой линии,

т. е. равным интервалам времени, отмеренным по часам наблюдателя А, соответствуют отрезки равной длины на его мировой линии. В дальнейшем будем называть такую шкалу «шкалой времени наблюдателя А》.

М. Даже если вы слабы в математике, вас, вероятно, не удивит, что моменты времени в нижней части рис. 6.22 помечены цифрами —1, —2, —3, —4. В наше время трудно встретить человека, который бы не пользовался отрицательными числами, хотя бы для описания температур ниже нуля.

Нам нужно уметь пользоваться отрицательными моментами времени, изображенными на рис. 6.22 точками, расположенными ниже точки О. Время до нулевого

момента — это время, отмеренное в прошлое от события О. Для удобства будем обозначать эти моменты времени как —1, —2,.・., что означает одна секунда (или любая другая используемая единица измерения), отмеренная в прошлое, две секунды, отмеренные в прошлое....

Число —2 с следует читать как «минус 2 секунды», и если вы привыкли к этому, то не изменяйте данному правилу. Но даже следуя правилу, не забывайте, что это фактически означает «измерено назад». А если для вас отрицательные числа — это совершенно новое понятие, то я предлагаю добавлять слова 《измерено назад» до тех пор, пока эти числа не станут для вас обычными, и даже когда вы к ним првыкнете, знайте, что слова «отрицательное 2》лучше отражают суть дела, чем «минус 2》.

М. Существует очевидная связь между отрицательными числами и операцией вычитания. Например, «два часа, отмеренные в прошлое от 10 часов вечера» — это 8 часов вечера, что можно получить, вычитая 2 из 10. Именно поэтому для отрицательных величин и для операции вычитания используется один и тот же знак.

Пользуясь прилагательным «отрицательный» для величин, отмеренных назад, условимся называть величины, отмеренные вперед (обычно записываемые без какого-либо специального знака), положительными.

М. Само собой разумеется, понятие «отрицательная величина» может применяться и к другим величинам помимо времени. Представим себе ненадолго, что на рис. 6.22 просто изображена линия с отмеченными вдоль нее расстояниями, и пусть в качестве единицы измерения выбран один шаг. Тогда для человека, стоящего в точке О, указание сделать два шага приведет его в точку Q, тогда как приказ сделать минус три шага приведет его в точку L.

В этом случае указание «отмерить назад» имеет буквальный смысл ——сделать три шага назад. Но время нельзя отмерить назад в подобном же буквальном смысле. Здесь следует полагаться на показания тех часов, которые использовались для измерения времени до нулевого момента. И если, согласно их показаниям, от события М до события О прошло 2 с, то, конечно же, время от О до М ——это 2 с, отмеренные назад, в прошлое, т. е. —2 с.

7

ВРЕМЯ И РАССТОЯНИЕ ДО ДАЛЕКОГО СОБЫТИЯ

Предположим, что произошло некоторое событие Q, при котором наблюдатель А не присутствует, — далекое событие, как мы договорились его называть. Представляется само собой разумеющимся характеризовать событие Q значением момента времени, в который оно произошло, и его расстоянием от наблюдателя А, определенными по отношению к А. Но это означает, что нужно будет найти способ, позволяющий выразить обе эти величины с помощью измерений, выполненных наблюдателем А в месте его нахождения (поскольку только результаты таких измерений мы считаем известными непосредственно, см. п. 5.20).

Полагая, как предлагалось в п. 5.19, что наблюдатель А — космонавт, можно избежать вводящих в заблуждение старых привычек все рассматривать по отношению к ориентирам, связанным с Землей. Чем должен был бы воспользоваться космонавт, чтобы определить, где и когда произошло заинтересовавшее его событие, которое случилось вне космического корабля?

Он должен воспользоваться радиолокатором (п. 5.20). Над этим стоит подумать.

На рис. 7.2 показаны мировая линия наблюдателя А и точка, представляющая событие Q. (Договоримся, что нулю часов на хронометре наблюдателя А соответствует точка О на его мировой линии. А остальная часть его шкалы времени (п. 6.22) может быть произвольной.) Что может знать наблюдатель А о событии Q?

Он может, скажем, в момент события R принять сигнал из Q. Нарисуйте на своей диаграмме соответствующую линию сигнала (обратившись, если нужно, к рис. 6.20). Время прибытия этого сигнала составляет только часть информации, которую наблюдатель может получить в данном месте. Что еще в его силах?

Он также может послать — допустим, в момент события Р — сигнал, выбрав время его отправления так, чтобы он прибыл в место назначения тотчас, как только там произойдет событие Q. Начертите линию сигнала.

•Q•QРис. 7.2.Рис. 7.2.

•Q

•Q

Рис. 7.2.

Рис. 7.2.

Ваша диаграмма должна быть теперь похожа на рис. 7.3. Воспользуйтесь открыткой с прорезью, чтобы убедиться, что она правильно описывает ход событий.

Но как наблюдатель А мог знать, когда ему следовало послать сигнал, чтобы он прибыл в место назначения как раз в тот момент, когда там произошло событие Q?

Прямо он этого знать не мог. Но он мог послать серию кодированных сигналов, а некто, присутствовавший при событии Q, мог ему сообщить, какой из них поступил в нужный момент (если же наблюдатель А использовал радиолокатор, то эта информация поступала бы к нему ав-

Рис. 7.3

тематически с отраженным сигналом). Поэтому нет ничего невозможного в предположении, что наблюдатель А может знать, когда следует послать сигнал, чтобы он достиг Q в нужный момент.

Итак, в распоряжении А есть два твердо установленных факта: время отправления сигнала к Q и время прибытия сигнала из Q. Убедитесь, что это единственная достоверная информация о событии Q, которой может располагать наблюдатель А (пп. 5.15, 5.16, 5.20). Теперь установим правила, с помощью которых можно было бы узнать, когда и где, с точки зрения наблюдателя А, произошло событие Q, опираясь при этом только на известные значения моментов времени, в которые произошли события Р и R. 7.4. При изучении рис. 7.3 создается впечатление, что следует рассматривать два расстояния: расстояние, которое пре， одолевает один световой сигнал при распространении от А к Q, и расстояние, которое нужно покрыть другому сигналу при распространении от Q к А, или, иначе, расстояние между событиями Р и Q и расстояние между событиями Q и R. Равны или различны эти расстояния сточки зрения наблюдателя А?

Мой ответ был бы: «равны». Весьма вероятно, что вы с этим не согласитесь. Это как раз одно из тех мест, где вам следует тщательно продумать и сформулировать свои возражения, а затем, прежде чем читать дальше, подвергнуть их критическому анализу.

《Да их различие очевидно!»,— (возможно) воскликните вы.——《Ведь на рис. 7.3 ясно видно, что расстояние от Р до Q больше расстояния от Q до R》.

Этот довод основывается на предположении, что длины отрезков PQ и QR на диаграмме (или, возможно, расстояния по горизонтали от Р до Q и от Q до R) можно рассматривать в качестве расстояний, которые должны преодолеть сигналы. Но мы ведь еще не выяснили, как на диаграмме изображаются расстояния, а значит, и не вправе ею пользоваться, чтобы делать о них те или иные утверждения. Кроме того, мы уже знаем (пп. 6.20 и 6.21), что мировая линия наблюдателя А может иметь любой наклон (больше 45°). Поэтому нельзя делать никаких выводов, исходя из свойств диаграммы, зависящих от этого наклона.

Вы можете возразить: 《Все зависит от движения наблюдателя А относительно Q. Если он движется, например, по направлению к Q, то свету на его пути к Q придется преодолеть большее расстояние, чем при возвращении обратно». Есть какие-нибудь замечания?

Наблюдатель движется относительно события? В свое время мы уже с этим сталкивались, да и с часто следующими отсюда и вводящими в заблуждение мыслями тоже. Постарайтесь припомнить проведенное нами обсуждение этого вопроса. А если потребуется, изучите еще раз пп. 2.15—2.18.

Боюсь, что вы все еще рассуждаете в рамках одной- единственной раз и навсегда заданной системы отсчета, хотя разум вам и подсказывает, что ничего подобного не существует. От плохих привычек (приобретенных из повседневного опыта) трудно избавиться. Здесь могут оказаться полезными рассуждения с точки зрения космонавта (пп. 5.19 и 7.1). А я попытаюсь убедить вас еще одним способом.

Давайте рассмотрим в системе отсчета, связанной с Землей, такую ситуацию, которая могла бы ввести вас в заблуждение. Представьте себе, что я взбираюсь по очень длинной прямой лестнице. Мой проворный внук бежит впереди меня и, достигнув последней ступеньки, сразу же поворачивает назад и сбегает вниз. Ясно, что при подъеме от меня до верхней ступеньки он преодолевает большее расстояние, чем на обратном пути. Именно таков ход ваших рассуждений, не правда ли? Но продумайте это критически.

Кажется совершенно очевидным, что пробежка мальчика вниз по лестнице короче, чем вверх. Точнее, спускаясь, он проходит меньше ступенек, чем поднимаясь.

Вот эти несколько ступенек и есть «гвоздь» проблемы. Ведь это ступеньки лестницы, и вы, не задумываясь, использовали лестницу в качестве системы отсчета. Но эта лестница движется относительно меня, а следовательно, два рассматриваемых расстояния не равны вовсе не с моей точки зрения, а с точки зрения кого-либо, стоящего на лестнице неподвижно, — с точки зрения наблюдателя, для которого лестница является собственной системой отсчета.

Чтобы измерить расстояния по отношению ко мне, необходимо использовать систему отсчета, которая по отношению ко мне неподвижна. Значит, лестница (если взять ее в качестве системы отсчета) должна двигаться вместе со мной. Иными словами, это должен быть эскалатор, на одной из ступенек которого стою я. Мальчик же, как и раньше, бегает по нему от меня до верхней точки и обратно. Однако измерения, основанные на подсчете числа ступенек, которые он отшагал, дадут другой результат. Как вы считаете, будет ли мальчишка на этом

эскалаторе пробегать от меня до верхней точки столько же ступенек, сколько от верхней точки снова до меня, или их число будет различным?

Теперь число ступенек на пути вверх и вниз будет одинаковым: число ступенек между той, на которой стою я, и той, которая достигает верхней точки эскалатора, в тот момент времени, когда туда прибегает мальчик. Итак, согласно моей точке зрения, расстояния равны. Этот вывод останется верным и в том случае, если воспользоваться световыми сигналами. (Если вас одолевают сомнения, вообразите, что все это происходит в плотном тумане и невозможно узнать, работает эскалатор или нет. Ну а мальчик по-прежнему может считать ступеньки.)

Расстояния по отношению к любому наблюдателю и в самом общем случае должны измеряться в системе отсчета, которая неподвижна относительно него. По отношению к нему должна быть неподвижна вся измерительная аппаратура. Тогда мы обнаружим, что расстояние от наблюдателя до любого события равно расстоянию от события до наблюдателя. Это относится и к расстояниям, которые преодолевают сигналы, распространяясь от наблюдателя А до события Q и от Q обратно к А в ситуации, описанной в п. 7.2 и изображенной на рис. 7.3.

Давайте вернемся к нашему основному делу. Теперь, рассматривая далекие события, мы можем использовать свойства скорости света. Пусть, например, известны моменты времени, в которые произошли события Р и R. Предложите какой-нибудь способ определения момента времени, в который, с точки зрения наблюдателя А, произошло событие Q.

По его мнению, свет должен пройти одинаковое расстояние как на пути от него до события Q, так и на обратном пути от Q. А скорость распространения света в обоих случаях одинакова (п. 1.22). Следовательно, ему потребуются одинаковые промежутки времени на распространение от события Р до события Q и от Q до R (по- прежнему, с точки зрения наблюдателя А). Отсюда следует вывод, что

момент времени, в который, с точки зрения наблюдателя А, произошло событие Q, располагается посередине между моментами времени, в которые, согласно показаниям часов А, произошли события Р и R”

посередине между моментами посылки сигнала к событию и приема сигнала о том, что оно произошло.

Теперь рассмотрим расстояния. Взяв на вооружение радиолокационный метод, наблюдатель А может определить расстояние от себя до Q с помощью... — с помощью чего?

С помощью промежутка времени, прошедшего между событиями Р и R: чем больше времени потребуется сигналу, чтобы вернуться обратно, тем большее расстояние он преодолеет. Так что, когда наблюдатель А захочет узнать расстояние, измерять он фактически будет время. Следовательно, самое простое — это согласиться, что расстояние измеряется временем, необходимым свету, чтобы его преодолеть.

Такой подход очень удобен, поскольку единица времени теперь будет играть еще и роль единицы расстояния. Если свету на преодоление некоторого расстояния требуется 3,5 с, то будем говорить, что это расстояние равно 3,5 с.

(Возможно, вы предложите по аналогии с введенным в п. 1.8 световым годомЛиспользовать термин «световая секунда». Однако дополнительное слово не дает ничего но БОГО.)

При желании, конечно, можно перейти к более привычным единицам измерения расстояний. Но обычно рассматриваемые расстояния будут даваться в тех или иных используемых нами единицах времени (секундах, годах и т. п.), которые условимся называть естественными единицами расстояния.

Чему равна скорость света в естественной системе единиц?

Скорость равна частному от деления пройденного расстояния на затраченное время. В естественных единицах расстояние, пройденное светом, равно затраченному им времени, так что его скорость равна затраченному времени, деленному на само себя, т. е. равна 1.

Итак, мы располагаем очень удобной единицей измерения для такой исключительно важной величины, как скорость света. Причем заметьте, что вне зависимости от того, какие единицы выбраны для измерения времени, скорость света всегда равна 1. Поэтому, чтобы записать скорость света в естественной системе единиц, вовсе не нужно указывать наименование единиц, в которых она измеряется (как в других системах единиц, например 300 000 км/с). Скорость света — это просто число 1, не требующее указания единиц измерения (так называемая безразмерная величина).

Теперь выразите расстояние события Q относительно наблюдателя А через определенные по его часам значения

моментов времени, в которые произошли события Р и R?

G точки зрения наблюдателя А, за время, прошедшее между событиями Р и R, свет успевает пройти путь от него до Q и вернуться обратно, дважды покрыв расстояние, отделяющее его от события Q. Воспользовавшись естественной системой единиц (п. 7.11), то же самое можно выразить несколько иначе: удвоенное расстояние от А до Q равно промежутку времени между событиями Р и R. Следовательно,

с точки зрения наблюдателя А, выраженное в естественных единицах расстояние, отделяющее его от события Q, равно половине измеренного по часам А промежутка времени, прошедшего между событиями Р и R, половине промежутка времени, прошедшего между посылкой сигнала к событию Q и приемом ответного сигнала.

Возвращаясь еще раз к правилам, сформулированным в пп. 7.9 и 7.13, можно заметить интересную особенность. Мы можем говорить о «моменте времени, в который, по мнению наблюдателя А, произошло событие Q》,но в действительности при этом имеем в виду момент времени, в который произошло одно из событий, зафиксированных наблюдателем А в данном месте, а именно показание часов наблюдателя А, соответствующее середине промежутка времен?! между посылкой сигнала и получением ответа. И то, что мы называем «расстоянием до Q, с точки зрения А》, есть интервал времени, определенный наблюдателем А в данном месте,——половина промежутка времени, прошедшего между отправлением сигнала и получением О1вета. Несмотря па используемую нами терминологию, на самом деле мы по-прежпему имеем дело с измерениями в данном месте. (Само по себе рассматриваемое событие, несомненно, относится к типу далеких событий, ибо его могут наблюдать несколько исследователей.)

Пусть точка М соответствует показанию часов наблюдателя А (рис. 7.14), отмечающему середину промежутка времени между событиями Р и R. Тогда то, что мы называем моментом времени, в который произошло событие Q, в действительности является моментом времени, в который произошло событие в данном месте М (п. 7.9). А расстояние от наблюдателя А до Q (в- естественных единицах)—это измеренный в данном месте интервал времени между событиями Р и М или событиями М и R (п. 7.13).

В дальнейшем мы, как правило, будем говорить о моментах времени и расстояниях до далекого события. И это

Рис. 7.14.

иногда может создавать трудности в понимании, которые сильно уменьшатся, если вы будете вспоминать этот параграф. Чтобы не забыть об этом, завяжите «узелок на память».

Оставшаяся часть этой главы посвящена некоторым довольно трудным для понимания вопросам. Вы можете не вникать в них сейчас, а позднее вернуться к ним снова. Надеюсь, вы сознаете, что мы вовсе не открыли способ, позволяющий узнать, в какой момент времени и на каком расстоянии от наблюдателя А произошло (с его точки зрения) событие Q. Просто у нас нет иного способа найти эти величины, кроме как через значения моментов времени, в которые произошли события Р и R. Поэтому все, что мы сделали (все, что можно сделать),——это решили, какую именно комбинацию моментов времени, в которые произошли события Р и R, следует называть «моментом времени, в который, с точки зрения наблюдателя А, произошло событие Q》и какую другую их комбинацию следует называть «расстоянием, которое, с точки зрения А, отделяет его от Q》.Мы приняли решение, что следует иметь в виду, когда речь идет об этих величинах, иными словами, мы дали им определения. (Может показаться странным толковать об определении чего-либо столь привычного, как расстояние. Не спешите с выводами, наберитесь терпения!)

Определение ниоткуда не выводится и не является каким-то открытием. Его формулируют. Но мы хотим, что-

бы наши определения были полезны, и руководствуемся этим в своих решениях о выборе того или иного определения. Вот почему мы все время обращались к свойству инвариантности скорости света.

Некоторое беспокойство могло вызвать следующее рассуждение, выглядящее порочным кругом: чтобы решить, что следует понимать под словами «момент времени и расстояние до далекого события», мы пользовались свойствами скорости света, хотя нам ничего не было известно о скорости до тех пор, пока мы не определили, что такое момент времени и расстояние до далекого события. Но теперь, я думаю, понятно, что в действительности были просто введены такие определения, которые заранее давали уверенность в том, что из них будет следовать вывод об инвариантности скорости света во всех случаях. Мы должны были принять такие меры предосторожности, ибо выбор определений, приводящих к любому другому выводу, давал бы совершенно непригодную теорию, так как она противоречила бы одному из самых фундаментальных принципов реального мира.

В связи со сказанным в пп. 7.15 и 7.16 резонно задать вопрос, согласуются ли эти определения с обыденными представлениями о времени и расстоянии (в рамках ограниченного круга условий, при которых последние справедливы). Простейшее проявление такого согласия — в успешном применении радиолокационного метода, в нем используются сформулированные в пп. 7.9 и 7.13 определения, и он приводит к результатам, согласующимся с обычными методами измерений.

К этому можно добавить следующее. Мы обычно измеряем расстояния с помощью жесткой измерительной линейки. На первый взгляд кажется, что это противоречит принятому определению, так что, когда обнаруживается совпадение результатов, к которым приводят оба способа, то это выглядит как замечательное открытие.

Жесткая измерительная линейка имеет очень сложную структуру, поскольку состоит из огромного числа атомов. И если она способна сохранять свою длину, то только потому, что составляющие ее атомы остаются на одном и том же расстоянии друг от друга. Но что заставляет их оставаться на постоянном расстоянии?

Согласно атомной физике, размеры промежутков между атомами определяются присущими этим атомам периодами колебаний, а это в сущности «встроенные часы». Все выглядит так (хотя действительность намного сложнее), будто атомы обмениваются световыми сигналами,

которые посылаются и принимаются в такт с ходом встроенных часов. А это в свою очередь требует соблюдения определенных расстояний между ними и автоматической корректировки отклонения от этих расстояний.

Таким образом, сохранение неизменного расстояния между атомами, по существу, осуществляется в соответствии с описанным радиолокационным методом (п. 7.13). Следовательно, жесткая линейка дает не альтернативный способ измерения расстояния, а только более сложный вариант способа, изложенного в п. 7ЛЗ, требующий использования миллиардов радиолокационных установок вместо одной-единственной.

Но теперь утверждение, что скорость света всегда одна и та же, начинает казаться весьма странным. Ведь как мы ее измеряем?

Наши воображаемые наблюдатели (да и реальный космонавт) вообще не могли бы ее измерить. Скорость — это пройденное расстояние, деленное на время, но у этих наблюдателей нет иного способа измерить расстояние, помимо радиолокационного (п. 7.13), а в нем уже предполагается, что скорость света инвариантна.

При измерениях скорости света в лаборатории используется жесткая линейка. Поэтому кажется, что совершается важное открытие, когда из экспериментов следует, что скорость света инвариантна. Обдумайте это еще раз.

Мы измеряем расстояние метровой линейкой. Но мать-природа для сохранения длины линейки постоянно пользуется методом, описанным в п. 7.13. Таким образом, ей удалось ввести инвариантность скорости света в нашу измерительную аппаратуру. А потом эта аппаратура, конечно, говорит нам, что скорость света инвариантна.

Если повезет, то тайна начнет раскрываться. Казалось странным, что скорость света столь сильно отличается по своим свойствам от всех других скоростей (п. 1.23). Но теперь ясно, что утверждение об инвариантности скорости света — это только иной способ выражения того, что величина, которую мы называем расстоянием, определяется в соответствии с правилом п. 7.13.

Это почти равносильно заявлению, что эксперимент Майкельсона — Морли ——заблуждение. Во всяком случае, следующий из него вывод отличается от наших привычных представлений. Этот эксперимент позволяет проверить, что мать-природа фиксирует длины плеч установки в соответствии с «радиолокационным» методом. В этом эксперименте скорее исследуется поведение атомов в аппаратуре, а не свойства скорости светаt

8

СИСТЕМЫ КООРДИНАТ

Это, пожалуй, самая скучная глава в книге. Но наберитесь терпения, и мы построим диаграммный эквивалент математического аппарата, который позволит получить много интересных результатов.

Мы выясним, как представления наблюдателя А о промежутках времени и расстояниях могут быть изображены на пространственно-временной диаграмме, к разработке которой мы приступили в пп. 6.13—6.22. Вы, вероятно, помните, как эти характеристики событий изображались на «старомодной» диаграмме (рис. 6.2). Чтобы определить момент времени, в который произошло событие S, нужно провести горизонталь до шкалы времени и сделать отсчет 15 с. А чтобы найти расстояние от наблюдателя Адо5, нужно измерить длину горизонтального отрезка FS, воспользовавшись для этого расположенной внизу шкалой расстояний; эта длина соответствует 100 м.

Такой способ не годится для новой диаграммы, но было бы желательно разработать что-нибудь аналогичное.

Начнем с ситуации, описанной в п. 7.2 и изображенной на рис. 7.3: наблюдатель А, далекое событие Q, посланный наблюдателем А в момент события Р световой сигнал, который достигает события Q в момент, когда оно происходит; ответный сигнал, распространяющийся от Q и достигающий наблюдателя А в момент события R. Постарайтесь начертить рисунок как можно тщательнее—вы будете вознаграждены. Легче всего получить хороший чертеж, если провести сначала линии сигналов под углом 45° к горизонтали, а затем начертить мировую линию.

Включив лампу в момент события Р, наблюдатель А посылает световые сигналы вдоль обоих существующих в одномерной вселенной направлений. PQ ——линия сигнала, распространяющегося в положительном направлении (рис. 7.3). На рис. 8.3 добавлена линия сигнала, идущего в отрицательном направлении, PS. Точно так же линия SR представляет сигнал, распространяющийся

в положительном направлении, который наблюдатель А принимает (вместе с распространяющимся в отрицательном направлении сигналом QR) в момент события R. Воспользуйтесь открыткой с прорезью, чтобы узнать, о чем теперь повествует диаграмма. (События Q и S связаны с наблюдателем А совершенно одинаковым образом, но расположены по разные стороны от него. Что это означает? Отвечу позднее.)

Проведите линию, соединяющую S и Q, и обозначьте буквой М точку, в которой эта линия пересекается с мировой линией наблюдателя А. Поскольку все стороны фигуры PQRS расположены под углом 45° к горизонтали, она представляет собой прямоугольник. Поэтому отрезки PM, MR, SM и MQ равны между собой, а М — такая же точка, как на рис. 7.14.

В п. 7.14 мы выяснили, что, с точки зрения наблюдателя А, расстояние (в естественных единицах, см. п. 7.11), отделяющее его от Q, равно интервалу времени между событиями Р и М. На диаграмме с нанесенной на нее шкалой времени наблюдателя А (п. 6.22) этот интервал изображается длиной отрезка РМ. Но расстояние от наблюдателя А до Q было бы удобнее изображать длиной отрезка, соединяющего точку Q с мировой линией А, по аналогии с длиной отрезка FS в п. 8.1. Как это сделать?

Для этой цели вполне подойдет отрезок MQ, ибо его длина равна длине РМ (п. 8.3). Итак,

с точки зрения наблюдателя А, расстояние (выраженное в естественных единицах), отделяющее его от события Q и определенное по шкале време- ни А, представляется на диаграмме отрезком MQ.

Убедитесь, что вы поняли логику этого утверждения, начиная с определения, данного в п. 7.13 и далее в пп. 7.14 и 8.2—8.4. Только так можно обрести уверенность.

Во избежание возможных недоразумений давайте договоримся, что слово «расстояние» будет всегда относиться к одномерной вселенной, а слово «длина» отрезка—к пространственно-временной диаграмме. Таким образом, можно говорить (как уже делалось в п. 8.4) об определенной длине отрезка (на диаграмме), представляющей определенное расстояние (в одномерной вселенной).

Условимся также, что слово «направление» будет всегда относиться к одному из двух возможных направлений в одномерной вселенной (п. 6.14), а когда понадобится указать, в какую сторону идет линия в той или- иной точке диаграммы, мы будем говорить о ее наклоне. Так, в п. 6.15 рассказывалось, как с помощью наклоненных в разные стороны линий описать распространяющиеся в противоположных направлениях сигналы.

Длина отрезка MQ (с точки зрения наблюдателя А, это ——расстояние, отделяющее его от Q) измеряется не вдоль горизонтали (как это делалось на «старомодной» диаграмме, п. 8.1). Нарисовав два-три варианта рис. 8.3, отличающихся наклоном мировой линии наблюдателя А, вы обнаружите, что наклон отрезка M.Q зависит от на- клона мировой линии. Какова связь между углами наклона?

Проведем через точку М линию сигнала MU (рис. 8.6). Теперь сможете ответить на поставленный вопрос?

Поскольку PQRS — прямоугольник, две стороны которого параллельны MU, отсюда следует, что углы QMU и UMR равны. Значит,

наклон линии MQ таков, что она составляет с линией сигнала такой же угол, как и мировая линия наблюдателя А, но по другую сторону.

Эта ситуация совершенно отличается от того, что бы> ло для «старомодной» диаграммы, где расстояния всегда описывались длинами горизонтальных отрезков.

Вне зависимости от того, какая точка взята в качестве Q, только что сформулированное правило устанав、 ливает, что наклон линии MQ всегда один и тот же. Есть удобный способ продемонстрировать это. Через точку О (соответствующую нулевому показанию часов наблюдателя А) проведем линию, составляющую с линией сигнала тот же угол, что и мировая линия наблюдателя А, но по другую сторону от нее (рис. 8.6). Тогда расстояния по отношению к наблюдателю А представляются длинами отрезков (типа MQ), параллельных этой новой линии, которая по этой причине называется осью расстояний наблюдателя А и снабжена пометкой (по причинам, с выяснением которых можно повременить) «ось X》.

Итак, ось расстояний устанавливает наклон, используемый при измерении длин отрезков, представляющих на диаграмме расстояния относительно наблюдателя А.

Расстояние наблюдателя А от тех или иных событий определяется е помощью той же самой шкалы, которая применялась на его мировой линии для определения времени (п. 8.4). Если вдоль мировой линии наблюдателя А нанесена шкала времени (списанная в・ п. 6.22) (рис. 8.8), то точно такую же шкалу можно также на-

нести вдоль его оси расстояний. Она заменяет горизонтальную шкалу расстояний на «старомодной» диаграмме (рис. 6.2).

Это дает нам простой способ определения с помощью диаграммы расстояний относительно наблюдателя А. Пусть Q ——произвольное событие. Проведем через точку,

соответствующую на диаграмме событию Q, линию, параллельную оси расстояний наблюдателя А, которая пересечет мировую линию в точке М. Тогда в естественных единицах расстояние события Q от наблюдателя А определяется длиной отрезка MQ, измеряемой с помощью шкалы расстояний А. (Само собой разумеется, что с тем же успехом можно было воспользоваться шкалой времени наблюдателя А. Но, как правило, мы не будем наносить ни одну из этих шкал, п. 7.2.)

Длина какого отрезка на рис. 8.6 соответствует моменту времени, в который, с точки зрения наблюдателя А, произошло событие Q?

Момент времени, в который произошло событие Q, совпадает с моментом времени М (п. 7.14). А согласно п. 6.22, момент М (отсчитанный от нуля по хронометру наблюдателя А) равен длине отрезка ОМ на шкале времени наблюдателя А. Итак,

момент времени, в который, по мнению наблюдателя А, произошло событие Q, соответствует на его шкале времени длине отрезка ОМ, или, что то же, длине отрезка NQ (параллельного мировой линии А).

Таким образом, моменты времени, в которые, с точки зрения наблюдателя А, произошли те или иные события, определяются на диаграмме длинами отрезков его мировой линии или параллельных ей. Значит, мировая линия наблюдателя А является также и его осью времени (ср. с п. 8.7) и снабжается пометкой «ось Т》.

Еще раз обратите внимание на отличие от «старомодной» диаграммы, где все наблюдатели использовали одну и ту же вертикальную ось времени (рис. 6.2). Отождествляя ось времени с мировой линией, новая диаграмма подчеркивает, что' каждый наблюдатель обладает своим собственным временем (п. 4.12).

Теперь в нашем распоряжении есть способ (аналогичный описанному в п. 8.8), позволяющий определить с помощью диаграммы, в какой момент времени, с точки зрения наблюдателя А, произошло то или иное событие. Проведем из Q (рис. 8.8) параллельно оси времени наблюдателя А линию, пересекающую его ось расстояний в точке N. Тогда момент времени, в который произошло событие Q, определяется отрезком NQ, длина которого устанавливается по шкале времени наблюдателя А.

Попробуйте доказать следующие утверждения.

Все события, которые наблюдатель А считает про исшедшими на одинаковом расстоянии (и в одном направлении) от него, изображаются точками прямой линии, параллельной его оси времени.

Все события, которые наблюдатель А считает происшедшими в один и тот же момент времени, изображаются точками прямой линии, параллельной его оси расстояний.

Отрезок параллельной оси Т прямой, исходящей из любой точки линии MQ и оканчивающейся на оси X, будет иметь такую же длину, как и отрезки ОМ и NQ. А теперь, применив к этому отрезку (вместо отрезка NQ) способ, приведенный в п. 8.11, завершите доказательство второго утверждения. Для доказательства первого утверждения воспользуйтесь п. 8.8.

Теперь мы в состоянии справиться с трудностью, упоминавшейся в п. 6.12. Сделайте на открытке рядом с

прорезью пометку, расположив ее на расстоянии примерно треть длины прорези от левого края. Пусть эта пометка изображает нулевую точку, от которой отсчитываются расстояния. Положите теперь открытку поверх рис. 8.6 так, чтобы: 1) прорезь шла параллельно оси расстояний наблюдателя А и 2) пометка, соответствующая началу отсчета расстояний, лежала непосредственно над мировой линией А.

Тогда в силу (1) все точки, видимые в прорезь, описывают события, происшедшие, с точки зрения наблюдателя, в один и тот же момент времени, что позволяет обойти трудность, указанную в п. 6.12. Условие (2) обеспечивает правильное описание с помощью прорези расстояний, которые, с точки зрения наблюдателя А, отделяют его от тех или иных событий.

Теперь тяните лист бумаги с диаграммой вниз (как в п. 6.7), но так, чтобы не нарушались условия (1) и (2). В результате возникает движущаяся картина событий в одномерной вселенной, соответствующая точке зрения наблюдателя А. Поупражняйтесь в применении этого усовершенствованного метода использования открытки с прорезью на рис. 8.6.

Вы увидите множество событий, подобных SMQ, появляющихся в прорези одновременно (и, следовательно, происшедших одновременно), движение красных точек, демонстрирующее распространение сигналов от наблюдателя А к событиям Q и S, азатем обратно к А, и т. п., и все это в соответствии с точкой зрения А. Теперь можете ответить на вопрос, поставленный в п. 8.3?

Новый метод использования открытки с прорезью показывает, что события S и Q произошли одновременно и на одинаковых расстояниях, но с противоположных сторон от наблюдателя А. Докажите это по всей форме, воспользовавшись утверждениями, сформулированными в пп. 8.4 и 8.9.

. Момент времени, в который произошло событие Q, совпадает с моментом времени М (п. 7.14) и является положительным или отрицательным числом (пп. 6.23М— 6.25М) в зависимости от того, лежит ли М, а следовательно, и Q выше или ниже оси расстояний соответственно. Кроме того, событие Q происходит позже или раньше О в зависимости от того, лежит ли тачка Q выше или ниже оси расстояний (проверьте с помощью открытки с прорезью). Объединяя эти факты, можно сказать, что， моментам времени, соответствующим событиям, которые (по мнению наблюдателя А) про-

изошли позже О, следует приписать положительные значения (согласно А), а моментам времени, соответствующим событиям, происшедшим раньше О, — отрицательные значения (это своего рода соглашение). Аналогично можно считать расстояние от наблюдателя А до некоторого события (определенное в соответствии с его точкой зрения) положительным или отрицательным в зависимости от того, находится ли оно с положительной или отрицательной стороны от него (в смысле, указанном в п. 6.14, незначительное несоответствие будет разъяснено в и. 16.2).

Мы обычно будем строить диаграммы таким образом, чтобы большая часть моментов времени и расстояний, с которыми придется иметь дело, описывалась положительными числами. Но наши рассуждения останутся в силе, даже если любые из них будут отрицательными. Однако если вы еще не можете свободно оперировать отрицательными числами, то пока забудьте о сказанном. Когда понадобится, я вам напомню.

. Чтобы описать какое-нибудь событие наподобие Q, или, иными словами, определить его единственным образом, наблюдателю А нужно привести две величины: момент времени, в который произошло это событие, и расстоя- ние до него. Соответственно положение Q на диаграмме фиксируется посредством длин двух отрезков, определяющих момент времени, в который произошло событие Q, и расстояние до него. Длины этих отрезков на- зываются координатами события Q (относительно наблюдателя А). Длина отрезка ОМ или NQ (рис. 8.6), определяющая момент времени, в который, с точки зрения наблюдателя А, произошло событие Q, называется временной координатой, а длина отрезка ON или MQ —— координатой расстояния. Можно, если это лучше соответствует нашим целям, рассматривать истинные значения момента времени и расстояния как координаты. Разумеется, событие Q ничем не выделяется, а следовательно, любая точка (или событие) на диаграмме имеет свои собственные координаты времени и расстояния.

Целиком система, разработанная нами для разметки пространственно-временной диаграммы и измерений на ней, называется системой координат наблюдателя А. Она, по существу, состоит из оси времени и оси расстояний наблюдателя А, собственно координат и правил их использования. Точка О называется началом координат.

Стерев линии сигналов с рис. 8.6, получим рис. 8.16, на котором показаны самые основные линии системы координат наблюдателя А. Указаны начало координат и оси координат. Полезно перечитать еще разок пп. 8.2— 8.15, опуская при этом описания линий, не показанных на рис. 8.16. Это даст более полное описание системы координат. Конечно же, старайтесь пользоваться открыткой с прорезью.

Дужки вблизи точки О показывают, что вместо сформулированного в п. 8.6 правила равенства углов с линией сигнала можно сказать, что ось расстояний составляет с горизонталью такой же угол, какой ось времени составляет с вертикалью.

Мы убрали линии сигналов с диаграммы, и в дальнейшем они будут отсутствовать на многих других диаграммах. Может возникнуть впечатление, будто момент времени, в который произошло событие, и расстояние до него можно было бы узнать непосредственно, без передачи информации. Это может привести к неправильному пониманию.

Вы завязали узелок на память, что время от времени следует обращаться к п. 7.14. Добавьте узелок и на данный раздел, чтобы помнить, что почти все сведения о далеких событиях извлекаются из световых сигналов

даже если объяснения в тексте и диаграммы не говорят об этом явно.

Наконец, стоит снабдить отрезки NQ и MQ на рис. 8.16 пояснениями типа 《момент времени, в который, сточки зрения наблюдателя А, произошло событие Q» и «расстояние...». Но такие длинные надписи загромоздили бы диаграмму. Поэтому договоримся вместо фразы «момент времени, в который, с точки зрения А, произошло событие Q》ставить букву Т.

Обратите внимание на то, как именно она введена: символ ставится взамен длинной фразы. Это просто сокращенный способ записи предложения «момент времени, в который, с точки зрения наблюдателя А, произошло событие

Теперь рядом с отрезком NQ на рис. 8.16 можно ставить букву Т. Символ Т используется лишь для удобства и не несет никакого более глубокого смысла. Если' же вы склонны рассматривать алгебраические символы типа Т, к, и не как сокращения, а как нечто иное, то прочтите следующий раздел.

. Самое главное ——подходить к этим алгебраическим символам (а) безбоязненно и (б) так, чтобы обращение с ними было максимально простым. Чему бы вас раньше ни учили, старайтесь не воспринимать Т как нечто такое, вместо чего в частном случае можно подставить 《3 секунды» или какое-нибудь другое конкретное значение времени. Так, конечно, можно поступать, но не в данном случае. Символ Т прежде всего нужно- рассматривать как компактную запись длинной фразы.

А пока мне бы хотелось, чтобы вы читали эти символы в развернутой форме. Если один из моих коллег получит записку, подписанную буквами «СЛ», он, разумеется, не подумает, что она пришла от человека по имени《Зс Эль», так как знает, что это сокращение от «Сэм Лилли》. Точно так же, когда встречается символ Т, не следует говорить《тэ》(или даже думать «тэ»), нужно произнести (или продумать) всю фразу целиком: «момент времени, в который, с точки зрения наблюдателя А, произошло событие Q》.

Обычно со временем возникает желание сократить, любую часто используемую фразу, в том числе и эту. Чуть ли не сразу вы начнете опускать слово «событие»^ ибо хорошо знаете, что Q — это событие. Затем можно просто сказать《момент времени, с точки зрения наблюдателя А» (если из контекста ясно, что это как раз и

есть то время, когда произошло событие Q). Если исключается неоднозначное толкование, то можно пойти даже дальше и оставить лишь слово «время». Придет день, когда, полностью во всем разобравшись, вы скажете просто 《тз》・ Но я надеюсь, что даже тогда фраза «момент времени, в который, с точки зрения А, произошло событие Q》укоренится в вашем сознании.

Аналогично вместо фразы «расстояние, которое, с точки зрения наблюдателя А, отделяет его от события Q》мы будем ставить символ X, которым теперь можно будет обозначить отрезок MQ на рис. 8.16. (Читая последнее предложение, вы следовали совету п. 8.19?) Конечно, можно было бы поставить Г рядом с отрезком ОМ, а X рядом с ON.

Теперь ясно, почему оси координат наблюдателя Л снабжены пометками «ось Т》и «ось X》.Если Т — момент времени (когда произошло Q), определенный наблюдателем А, то «ось Т》一это удобный способ записи фразы «ось времени А》.

. Во избежание путаницы будем употреблять курсив (наклонный шрифт) для букв типа Т и X (или х и у), используемых для сокращения фраз, в которых речь идет о числах или значениях величин, и прямой шрифт, когда буква используется для обозначения чего-нибудь иного: Q и М (или даже т) для обозначения точек и событий, А и В для обозначения наблюдателей.

Пришло время ввести других инерциальных наблюдателей. Мы не можем отводить им мировые линии по своему произволу (как наблюдателю А в п. 6.20), ибо, как только наблюдатель А появляется на диаграмме, мировые линии других инерциальных наблюдателей должны быть такими, какими» им предписывает быть наблюдатель А. Можно надеяться, что у других инерциальных наблюдателей, как и у А, мировые линии будут прямыми (о чем свидетельствуют опыты с открыткой с прорезью), но нам нужно нечто большее, чем просто надежда! Исследуем это предположение подробнее.

Рассмотрим другого наблюдателя В, мировая линия которого—прямая (рис. 8.23). Можно сделать так, чтобы часы наблюдателя А показывали нуль как раз в тот момент, когда с ним поравнялся наблюдатель В, так что О будет точкой пересечения мировых линий (п. 6.22). Проведем линию НК параллельно оси расстояний

наблюдателя А. Она пересекает мировую линию А в точке Н, а мировую линию В в точке К. Допустим, что точка К временно играет роль, которую раньше играла точка Q. Тогда точка Н эквивалентна М (так как НК, подобно MQ, параллельна оси X). Сформулированные в пп. 8.4 и 8.9 утверждения остаются в силе, какие бы буквы ни использовались для обозначения событий. В данном случае из них следует, что определенные наблюдателем А время и положение события К даются (в одном и том же масштабе) длинами отрезков ОН и НК соответственно. Таким образом, согласно наблюдателю А, наблюдатель В проходит расстояние, определяе

мое длиной отрезка НК, за время, определяемое длиной отрезка ОН.

Теперь вообразим, что линия НК движется вверх по странице, изображая ход времени. Тогда длина отрезка НК будет увеличиваться пропорционально длине отрезка ОН. (Это просто означает, что длины обоих отрезков увеличиваются так, что при увеличении одного из них в определенное число раз длина другого увеличивается во столько же раз.) Следовательно, возвращаясь к концу предыдущего абзаца, можно сказать, что, сточки зрения наблюдателя А, расстояние, проходимое наблюдателем В, возрастает пропорционально времени его движения. Другими словами, скорость движения В относительно А постоянна, а значит, в соответствии с оп-

ределением, данным в п. 5.6, В является инерциальным наблюдателем. Итак,

мировая линия любого инерциального наблюдателя В, минующего наблюдателя А в момент события О, является прямой линией, проходящей через точку О.

(Если вы достаточно подготовлены и вас интересует вопрос о доказательстве обратного утверждения, то вы, вероятно, знаете, как это делается.) Я провел мировую линию наблюдателя В под углом более 45°. Мы не доказали, что это должно быть именно так, но это можно будет исследовать позднее (ср. с пп. 6.18—6.20).

Могут ли определенные наблюдателем В в данном месте моменты времени быть представлены в виде шкалы, совпадающей с его мировой линией, как для А (п. 6.22)? Это кажется весьма вероятным. Однако надлежащее доказательство в данный момент оказалось бы очень скучным, и поэтому я его отложу до п. 15.7, где оно без труда будет получено как следствие обсуждаемых там проблем. А тем временем предположим, что

моменты времени, определенные наблюдателем В в данном месте по его собственным часам, могут быть представлены в виде шкалы вдоль его мировой линии

и что это справедливо для любого инерциального наблюдателя. (Мы не знаем, как шкала времени наблюдателя В связана со шкалой А, но тем не менее нам удастся продвинуться, на удивление, далеко, не испытывая затруднений от этого.)

Первоначально мы установили только два свойства, характеризующих описание наблюдателя А на диаграмме: 1) прямолинейность его мировой линии, идущей под углом больше 45° (п. 6.20), и 2) возможность представления определенных им в данном месте моментов времени в виде шкалы вдоль его мировой линии (п. 6.22). Эти свойства сохраняются и при описании наблюдателя В (что частично доказано, а частично будет доказано). Поэтому система координат наблюдателя В должна быть связана с его мировой линией и шкалой точно так же, как система координат наблюдателя В связана с его мировой линией и шкалой. Теперь мы в состоянии сравнить их между собой.

В нескольких последующих разделах описывается последовательная процедура построения чуть усложнен-

ной пространственно-временной диаграммы. Чтобы полностью разобраться в ней, перерисовывайте ее по мере моего описания. Это еще один случай, когда тщательность и точность выполнения чертежа сослужат добрую службу. Сохраните чертеж, в дальнейшем он будет очень полезен.

в.26. Проведем мировые линии наблюдателей А и В (соответствующим образом отмеченные) (рис. 8.26). Они пе

ресекаются в исходной точке О, описывающей событие, состоящее во встрече наблюдателей А и В. Хронометры обоих в точке О показывают нуль часов. Мировая линия наблюдателя А также является его осью времени (п. 8.10) и снабжена пометкой «ось 7》,потому что мы используем Т для обозначения момента времени, в который, с точки зрения наблюдателя А, происходит ти-

личное событие Q (п. 8.18). Если использовать букву t для обозначения момента времени, в который произошло событие Q, с точки зрения наблюдателя В, то ось времени наблюдателя В (его мировую линию) можно снабдить пометкой «ось /》.

Подобным же образом, если использовать букву х для обозначения «расстояния, на котором, с точки зрения наблюдателя В, произошло событие Q》，то ось расстояний наблюдателя В можно снабдить пометкой 《ось х» (ось расстояний наблюдателя А снабжена пометкой «ось X》；см. пп. 8.7 и 8.20). Отмечены также две линии сигналов, проходящих через точку О. Ось расстояний каждого наблюдателя построена с помощью следующей процедуры: измерен угол между осью времени наблюдателя и линией сигнала, а затем проведена линия, составляющая с линией сигнала такой же угол, но находящаяся по другую сторону от нее (п. 8.7). Иными словами, ось расстояний наблюдателя составляет с горизонталью такой же угол, какой его ось времени составляет с вертикалью (п. 8.16).

Теперь с помощью усовершенствованного метода использования открытки с прорезью получим движущуюся картину событий в одномерной вселенной, предстающую перед любым из выбранных нами наблюдателей. Для этого, когда нас будет интересовать точка зрения наблюдателя В, в инструкции, приведенной в п. 8.13, нужно заменить А на В. Применив открытку с прорезью, выясните, совпадают ли мнения наблюдателей А и В по поводу того, какие из событий одновремен* ны с событием Q.

Давайте выберем любое событие Q и нанесем на диаграмму соответствующую ему точку. Затем проведем четыре линии: MQ, параллельную оси расстояний наблюдателя А и пересекающую его ось времени в точке М; NQ, параллельную оси времени наблюдателя А и пересекающую его ось расстояний в точке N; mQ, параллельную оси расстояний наблюдателя В и пересекающую его ось времени в точке ш, и наконец, nQ, параллельную оси времени наблюдателя В и пересекающую его ось расстояний в точке п. (Обратите внимание на систематическое использование одних и тех же прописных и строчных букв для построений, связанных с наблюдателями А и В соответственно.)

У каждого наблюдателя есть своя шкала, позволяющая ему отмечать на своей мировой линии моменты времени, в которые произошли события в данном месте

(пп. 6.22 и 8.24). Эту же самую шкалу он использует для определения выраженных в естественных единицах (пп. 8.4, 8.8, 8.9 и 8.11) значений моментов времени, в которые произошли далекие события, и расстояний до них. Длины каких из множества приведенных на диаграмме отрезков определяют (на соответствующей шкале) момент времени, в который, с точки зрения наблюдателя А или В, произошло событие Q, и расстояние до него?

Момент времени, в который, с точки зрения наблюдателя А, произошло событие Q, определяется на его шкале времени длиной отрезка NQ (или ОМ) (п. 8.9). В соответствии с принятым нами в п. 8.18 соглашением о сокращениях можно снабдить отрезок NQ пометкой Т. Точно так же расстояние, которое, с точки зрения наблюдателя А, отделяет его от Q, определяется на его шкале длиной отрезка MQ (или ON) (п. 8.4), который, согласно п. 8.20, снабдим пометкой X.

Чтобы рассмотреть Q в системе координат наблюдателя В, достаточно повторить описанную процедуру для шкалы и осей координат, проведя параллельные им линии (обозначив соответствующие точки строчными буквами). Сделайте это.

Момент времени, в который, с точки зрения наблюдателя В, произошло событие Q, определяется на его шкале длиной отрезка nQ (или Ош). Расстояние до события Q определяется длиной отрезка mQ (или On). Поскольку мы договорились сокращенно обозначать эти величины буквами / и %, отрезок nQ можно снабдить пометкой /, а отрезок mQ ——пометкой %• (Не забывайте полностью расшифровывать при чтении эти символы.) Подводя итог этим предписаниям, можно сказать, что момент времени, в который, с точки зрения данного наблюдателя, произошло событие Q, определяется длиной отрезка прямой, проведенной параллельно его оси времени, от оси расстояний до точки Q.

С точки зрения этого наблюдателя, расстояние, отделяющее его от события Q, определяется длиной отрезка, проведенного параллельно его оси расстояний, от оси времени до точки Q.

В обоих случаях используется собственная шкала этого наблюдателя.

Если вы запомните эти напечатанные с отступом формулировки, то избавите себя в дальнейшем от множества трудностей.

8.29.8.29.8.30.8.30.8.31.8.31.Теперь потратьте немного времени на внимательное изучение рис. 8.26, активно используя открытку с прорезью в соответствии со способом, описанным в п. 8.27.

8.29.

8.29.

8.30.

8.30.

8.31.

8.31.

Уверен, что вы сами, без моей помощи, способны оценить, насколько эта диаграмма отличается от «старомодной», изображенной на рис. 6.2, где, например, длины отрезков, определяющих моменты времени, всегда измеряются по вертикали, а отрезков, определяющих расстояния,——по горизонтали, независимо от того, какой наблюдатель занимается их измерением. Если новая диаграмма дает верное описание пространства-времени, то становится совершенно ясно, что мнения наблюдателей не будут совпадать по поводу многих вещей, на которые, как мы привыкли думать, у них должна была бы быть одна и та же точка зрения. Поясним это утверждение, сравнив мнения наблюдателей по поводу того, а) какие события произошли на одинаковом расстоянии (от наблюдателя) и б) какие события произошли в один и тот же момент времени.

События, которые наблюдатель А считает происшедшими на одинаковом расстоянии от него, изображаются точками, лежащими на прямой, параллельной его оси времени (п. 8.12), например точками на прямой NQ. Точно так же события, которые наблюдатель В считает происшедшими на одинаковом расстоянии от него, изображаются точками, лежащими на прямой, параллельной его оси времени, например на прямой nQ. Итак, ясно, что мнения наблюдателей А и В ио поводу того, какие события происходят на одинаковом расстоянии, не совпадают.

Проверьте этот вывод с помощью открытки с прорезью, как в п. 8.27. Он вам кажется странным?

Если я нахожусь в вагоне движущегося поезда, а вы стоите на станционной платформе, то я считаю все события, случившиеся в локомотиве, происшедшими на одном и том же расстоянии от м-еня, а вы считаете происшедшими на одном и том же расстоянии от вас все события, которые произошли в конце платформы. Наши мнения разошлись! Этот вывод следует из повседневного опыта.

События, которые наблюдатель А считает происшедшими в один и тот же момент врем-ени, изображаются точками на прямой, параллельной его оси расстояний (п. 8.12), например точками на прямой MQ. Точно так же события, которые наблюдатель В считает происшедшими в один и тот же момент времени, изображаются

точками, лежащими на прямой, параллельной его оси» расстояний, например на прямой mQ. Итак, ясно, что мнения наблюдателей А и В /го поводу того, какие события произошли одновременно, не совпадают.

Этот вывод также проверьте с помощью открытки с прорезью. Мы снова пришли к относительности одновременности (п. 2.19).

Таким образом, согласно рис. 8.26, разногласия по поводу событий, происходящих одновременно, аналогичны разногласиям по поводу событий, происшедших на одинаковом расстоянии. В первом случае они связаны с различным наклоном прямых MQ и mQ, а во втором — с различным наклоном прямых NQ и nQ. Т. е. дело здесь во взаимозаменяемости осей времени и расстояния и всего, что с ними связано. Чтобы подчеркнуть этот момент, я написал первые абзацы пп. 8.30 и 8.31 так, что' любой из них может быть преобразован в другой путем взаимной замены слов «момент времени» и «расстояние», букв N, М и n, т.

При взгляде на диаграмму создается впечатление, что разногласия по поводу событий, происшедших одновременно, очень сходны с разногласиями по поводу событий, происшедших на одинаковом расстоянии. Тогда почему же в повседневной жизни мы считаем разногласия второго типа очевидными, а разногласия первого типа никогда не замечаем и полагаем, что их трудно себе представить?

《Мы движемся недостаточно быстро»,——скажете вы. Верно, и это уже обсуждалось в п. 2.11. Но это еще не все. Малая относительная скорость означает только, что мал угол между двумя мировыми линиями, а следовательно, и угол между осями расстояний. Значит, отрезки MQ и mQ почти совпадают, и разногласий по поводу одновременности не будет. Но из диаграммы следует, что почти совпадут и отрезки NQ и nQ, так что не будет и разногласий по поводу расстояний. Какой бы ни была относительная скорость, оба эффекта, по-види- мому, должны быть заметны в равной степени. Но такой вывод не согласуется с нашим жизненным опытом. Почему?

Ответ на этот вопрос кроется в различии между привычными расстояниями и естественной единицей расстояния (п. 7.11), на которой основано построение диаграммы. Так; одна секунда кажется нам весьма коротким промежутком времени, а соответствующая естественная единица расстояния, равная 300 000 км, пред-

ставляется чудовищно большой. И тем не менее они изображаются отрезками одинаковой длины на осях времени и расстояния (рис. 8.26).

Пусть относительная скорость такова, что, когда два события происходят на одинаковом расстоянии от наблюдателя А, с точки зрения наблюдателя В, расстояния до этих событий различаются на одну миллионную долю естественной единицы. Это составляет 300 м, и мы, конечно же, заметим такое различие. Если события одновременны для А, но разделены интервалом в миллионную долю секунды для наблюдателя В, то налицо такое различие, как и выше, — миллионная доля единицы времени вместо миллионной доли единицы расстояния. Но с точки зрения наших обычных представлений о значениях тех или иных величин эта разность ничтожна.

Если бы движение с большими скоростями было для нас в порядке вещей, то мы, возможно, считали бы одну миллионную долю секунды столь же существенной величиной, как 300 м. И тогда относительность одновременности стала бы для нас такой же реальностью, как привычные нам разногласия по поводу расстояния. Вот каков смысл фразы «мы движемся недостаточно быстро» (п. 8.33).

В п. 4.13 я обещал, что в конечном итоге будет построена новая последовательная теория пространства, времени и движения, в рамках которой найдут естественное объяснение такие проблемы, как задача о трех хронометрах и относительность одновременности. Многое из этой новой теории уже содержится на рис. 8.26 (хотя нам еще предстоит длинный путь, прежде чем все это станет явным), точно так же как рис. 6.2 воплощает в себе многие старые представления (п. 6.4).

Рис. 6.2 исключает возможность разногласий по поводу одновременности. А согласно рис. 8.26, эти разногласия очень тесно связаны с привычными нам разногласиями по поводу расстояния, и, как начинает выясняться, в новой теории они являются «братом и сестрой». Итак, продвинулся ли я хотя бы немного по пути выполнения своего обещания? Стало ли хоть немного легче поверить в относительность одновременности?

Вот способ изложения относительности одновременности, который, казалось бы, обнаруживает ее полную нелепость. Как только наблюдатели А и В поравнялись (событие О), А говорит: «Сейчас произошло событие на что В отвечает: «Ничего подобного! Оно про-

изошло раньше» (примените открытку с прорезью!). Да ведь это какая-то нелепость! Проанализируйте с критической точки зрения.

В рассуждениях предыдущего абзаца не учтены предостережения п. 8.17. Не известно, что произошло в данный момент. Ведь чтобы информация достигла наблюдателя, требуется время. Ни один из наблюдателей не может сказать, когда произошло событие N, до тех пор, пока много позднее не получит сигнал из N. Тогда наблюдатель А отправит радиограмму: 《Ло моим расчетам, событие(N произошло в момент нашей встречи», а наблюдатель В ответит:《А по моим расчетам, к тому времени это событие уже произошло». Такую интерпретацию в прошедшем времени постичь значительно проще. Внесите этот раздел в свои записи, напоминающие вам о необходимости изредка просматривать пп. 7.14 и 8.17.

Линия НК на рис. 8.26 проведена параллельно оси рас* стояний наблюдателя А, точно так же как это было сделано в п. 8.23, где мы доказали, что, с точки зрения А, наблюдатель В проходит расстояние, определяемое длиной отрезка НК, затрачивая на это время, определяемое длиной отрезка ОН. Таким образом (скорость——это пройденный путь, деленный на затраченное время), мы приходим к выводу, что

(Скорость наблюдателя В относительно А)=

,Длина отрезка НК

—Длина отрезка ОН *

Номер (8.1) справа, как в дальнейшем номера при формулах, служит для облегчения поиска уравнения, когда возникает необходимость обратиться к нему вновь. 8.38М. Выражение, стоящее в правой части формулы (8.1), означает: «длина отрезка НК, деленная на длину отрезка ОН» по аналогии с дробью 3Д, которая получится при делении числа 3 на 4. Операция деления будет обычно записываться в виде такой дроби.

Уравнение (8.1) дает скорость, измеренную в естественных единицах, в которых скорость света равна 1 (п. 7.12), так что оно выражает скорость в виде доли скорости света.

В естественной системе единиц скорость ——это время, деленное на время, или другими словами ——это просто безразмерное число (ср. с п. 7.12).

На рис. 8.23 линия НК продолжена до пересечения с линией сигнала в точке L. Тогда при замене К на L уравнение (8.1) дает

(Скорость света относительно наблюдателя А)=

—Длина отрезка HL阳

—Длина отрезка ОН '< •丿

Но линия HKL (параллельная оси X) составляет с линией сигнала тот же угол, что и ось Т, а значит, углы HOL и HLO равны. Отсюда (согласно хорошо известной теореме геометрии) следует, что стороны HL и ОН треугольника HOL также равны, т. е. скорость света относительно наблюдателя А равна 1. Но А может быть произвольным наблюдателем, и поэтому скорость света всегда равна 1.

Конечно, мы установили, что скорость -света должна быть равна 1, довольно давно, в пп. 7.10—7.12, когда были выбраны естественные единицы измерения. Так что здесь мы только показали, как диаграмма передает следствия этого выбора. У вас, должно быть, возникло ощущение, что в правиле равенства углов между осями координат и линией сигнала есть что-то странное. Но, как теперь ясно, оно служит для того, чтобы на диаграмме проявлялось свойство инвариантности скорости света. Таким образом, в установленной связи между наклонами осей заключается самая суть релятивистской пространственно-временной диаграммы.

Отрезок НК на рис. 8.23, безусловно, короче отрезка ОН, поэтому формула (8.1) утверждает, что скорость наблюдателя В относительно А меньше 1, т. е. меньше скорости света. Если же продолжить линию HL еще дальше вправо, а затем повернуть мировую линию наблюдателя В так, чтобы угол ее наклона стал меньше 45° (перенося точку К вместе с ней), то отрезок НК станет длиннее отрезка ОН. Тогда, согласно (8.1), скорость наблюдателя В относительно А будет больше 1. Поэтому (проверьте это с помощью открытки с прорезью)

угол наклона мировой линии наблюдателя В к горизонтали больше или меньше 45° в зависимости от того, движется ли он относительно А медленнее или быстрее света.

Если мировая линия наблюдателя А вертикальна, то его ось расстояний должна быть горизонтальной (п. 8.26),

как на рис. 8.42. Таким образом, оси располагаются под прямым углом, а соответствующая система координат называется прямоугольной (в отличие от используемых в других случаях «косоугольных систем координат»). Длины отрезков NQ и MQ определяют соответственно момент времени, в который, с точки зрения наблюдателя А, произошло событие Q, и расстояние от него до этого события (п. 8.28), и сами эти отрезки теперь горизонтальны и вертикальны соответственно.

Рис. 8.42.

Само собой разумеется, что наблюдатель с вертикальной мировой линией ничем особенным не выделяется. Все инерциальные наблюдения равноправны (п. 5.11). Любая прямая линия с углом наклона больше 45° потенциально является мировой линией инерциального наблюдателя. И некоторые из этих мировых линий оказываются вертикальными. Вот и все.

В качестве аналогии отметим, что，каждая географическая карта имеет центр, но место, которому соответствует эта точка, не представляет собой ничего особенного. С другой стороны, начальник лондонского аэропорта может счесть удобным начертить карту с Лондоном в ее центре. Точно так же, если есть наблюдатели*, которые представляют для нас особый интерес, то можно снабдить их прямоугольной системой координат, которую проще рисовать и с которой легче обращаться.

Итак, мы закончили изнуряющую работу по построению новой пространственно-временной диаграммы и готовы к более интересным делам, связанным с ее применени-

ем. Пришло время разобраться с оставшимися трудностями. В большинстве случаев вам придется справляться с ними самостоятельно. Решения кроются в том, что мы делали, и вы должны их отыскать. Я же буду давать некоторые пояснения.

Самая большая трудность для понимания связана с необходимостью убедиться в том, что наклон мировой линии сам по себе не имеет значения, точно так же как не имеет смысла скорость, взятая сама по себе, как нечто абсолютное. Взаимосвязь между углами наклона двух мировых линий определяется относительной скоростью движения наблюдателей (п. 8.37). Мировую линию одного наблюдателя можно расположить по желанию под любым углом (но круче 45°), а уж тогда наклоны мировых линий всех остальных наблюдателей будут определяться скоростями, с которыми они движутся относительно первого наблюдателя.

В принципе можно нарисовать несколько диаграмм, описывающих одну и ту же ситуацию, но так, что на каждой из них мировая линия одного и того же наблюдателя имеет иной, отличный от других диаграмм наклон. Вот так же по-разному выглядит одна и та же сцена с различных направлений.

На первый взгляд мировая линия, наклон которой чуть больше 45°, соответствует наблюдателю, движущемуся со скоростью, близкой к скорости света. Но относительно кого? Относительно наблюдателя с почти вертикальной мировой линией. Тогда этот второй наблюдатель движется почти со скоростью света по отношению к первому. Значит, важен не сам угол наклона мировой линии, а угол, под которым мировые линии наклонены относительно друг друга.

В п. 8.37 описан способ, позволяющий независимо 0rp того, каков наклон мировой линии наблюдателя А, расположить мировую линию наблюдателя В так, что в результате на диаграмме будет представлено движение наблюдателей с любой относительной скоростью. Для этого, как показано на рис. 8.23 и 8.26, проводим прямую НК параллельно оси X. Пусть относительная скорость равна, например, 3А. Тогда отмерим отрезок НК так, чтобы его длина составляла 3/4 длины отрезка ОН, а затем через точки О и К проводим мировую линию наблюдателя В.

Этим способом можно воспользоваться для того, чтобы справиться с тем, что я называю задачами «втискивания». Если мировая линия наблюдателя А

наклонена почти под углом 45°, то между ней и линией сигнала остается очень мало места. Как тогда втиснуть в это пространство столько же мировых линий других наблюдателей, как в случае вертикальной мировой линии наблюдателя А?

Выберем на последней диаграмме любую мировую линию — назовем ее мировой линией наблюдателя В —— и с помощью (8.1) найдем относительную скорость наблюдателей А и В. Затем, воспользовавшись описанным в начале этого раздела способом, разместим мировую линию наблюдателя В на другой диаграмме. Если какая-нибудь мировая линия может быть проведена на одной диаграмме, то таким методом она может быть втиснута и в любую другую.

И наконец, следует помнить, что, например, рис. 8.26 ——это пространственно-временная диаграмма, а не простая картинка. К ней нельзя подходить слишком прямолинейно, скажем так, как мы воспринимаем схему лондонского метро, показывающую, что для того, чтобы попасть в Уимблдон, следует повернуть на 90° к западу на Эрлз-Корт.

9

КОМБИНИРОВАНИЕ СКОРОСТЕЙ

Допустим, что я стою неподалеку от железнодорожного полотна, а вы сидите в вагоне поезда, проносящегося мимо меня со скоростью 100 км/ч. Допустим далее, будто вы замечаете, что по коридору к голове поезда идет проводник со скоростью 5 км/ч. С какой скоростью он движется относительно меня? Обычный ответ «Со скоростью 105 км/ч» дает сложение скорости проводника относительно вас с вашей скоростью относительно меня. Но вполне ли он верен?

92 Рассмотрим эту задачу в более общей форме, прибегнув к помощи уже знакомых нам по п. 5.19 трех наблюдателей в одномерной вселенной. Будем применять символические сокращенные обозначения величин, как выше, с учетом замечания, сделанного в п. 8.19.

Скорость наблюдателя В относительно наблюдите- ля А обозначим через “, скорость наблюдателя С относительно наблюдателя В ——через v, скорость наблюдателя С относительно наблюдателя А — через w. Все скорости измеряются в естественной системе единиц (пп. 7.11 и 8.39). Тогда можно спросить: верно ли, что

侬=〃+0?(9.1)

. Если вы учли замечание, сделанное в п. 8.19, то никаких трудностей в понимании формулы (9.1) не должно возникнуть. Это —• законченное предложение, в котором знак равенства《=》заменяет глагол «равняется», а знак 《+》一слово《плюс》или «прибавить к》. Теперь прочтите (9.1) полностью:

«Скорость наблюдателя С относительно наблюдателя А равна скорости наблюдателя В относительно А плюс скорость наблюдателя С относительно В》или несколько короче: «Скорость наблюдателя С относительно А равна сумме (п. 3.15) скоростей наблюдателя В относительно А и С относительно В》.

Вы видите, как громоздки словесные формулировки и как эффективна сокращенная запись с помощью символов. Но это сравнение может побудить вас пренебречь

моим советом читать формулы в развернутом виде. Поэтому давайте примем компромиссное решение. Условимся называть скорость наблюдателя В относительно А и скорость наблюдателя С относительно В заданной скоростью, а скорость наблюдателя С относительно А результирующей скоростью.

Прочитайте теперь (9.1) полностью：

«Результирующая скорость равна сумме заданных скоростей».

Что заставляет нас поверить в справедливость формулы (9.1)? Опыт?

Безусловно. Но опыт ограниченный, не исключающий возможности того, что даже при обычных скоростях движения скорость w может немного отличаться от 〃+и, а при высоких скоростях это различие может стать очень большим.

. Чтобы найти w, нужно тем или иным способом скомбинировать скорости 〃 и и. Но это не означает, что их необходимо складывать. Если стоимость жизни возросла в первый год на 20%, в во второй год на 30%, то результирующий рост составляет не 50, а 56% (стоимость вещи в 100 фунтов стерлингов увеличивается в первый год до 120 фунтов, а 30% от этого значения составляют 36 фунтов). Значит, может оказаться, что комбинирование скоростей также нужно производить в соответствии с более сложным, чем простое сложение, правилом.

Часто создается впечатление, что можно доказать необходимость использовать при расчете скорости именно операцию сложения по аналогии с задачей о том, как далеко ушли поезд и проводник за один час. В чем слабость этого рассуждения?

Одни промежутки времени и расстояния измеряются вами в вагоне поезда, а другие ——мною на железнодорожной платформе. Но наши мнения по поводу значений промежутков времени и расстояний не совпадают (пп. 3.10 и 3.38). Продумайте это, рассмотрите поезд в качестве измерительного стержня.

Пусть С ——световой сигнал, а не наблюдатель. Будет ли формула (9Л ) по-прежнему справедлива?

В этом случае и = 1 и w = 1 (п. 7. 12), тогда из (9.1) следовало бы, что 1=〃+1. Но это совершенно неверно, так что формула (9.1) неприменима для света. (Не понятно, как я пришел к выводу, что 1=〃十1? Значит, вы пренебрегли моим советом читать формулу в развернутом виде.)

Давайте обратимся к пространственно-временной диаграмме. Пусть мировая линия наблюдателя А вертикальна (рис. 9.8), значит, его система координат — прямоугольная (п. 8.42). Его оси координат, как и оси координат наблюдателя В, помечены как обычно (п. 8.26). Рядом же с мировой линией наблюдателя С написано: «мировая линия наблюдателя С》.

Рис. 9.8.

Принимая во внимание вывод п. 8.41, мы сразу же приходим к замечательному результату. Если наблюдатель В движется относительно А со скоростью, меньшей скорости света, то, согласно п. 8.41, угол наклона мировой линии наблюдателя В должен быть больше 45°. И если наблюдатель С движется относительно В также медленнее света, то применение этой же самой теоремы (с заменой А на В) показывает, что и мировая линия С должна идти под углом больше 45°. Наконец, воспользовавшись утверждением, обратным сформулированному в п. 8.41, приходим к выводу, что скорость наблюдателя С относительно наблюдателя А меньше скорости света. Таким образом, эти удивительно простые рассуждения привели к поразительному выводу: если

обе заданные скорости меньше скорости света, причем неважно, на сколько меньше, то результирующая скорость тоже меньше скорости света.

А это означает, что формула (9.1) не верна (для примера рассмотрите случай, когда и 〃，и о равны 0,9). Формула (9.1), несомненно, требует исправления.

Чтобы получить правильное соотношение, нанесем на рис. 9.8 еще кое-какие детали. Нанесем на ось Т точку Н, такую, что длина отрезка ОН= 1. Проведем параллельно оси X (горизонталь) линию НК, пересекающую ось / в точке К・ Затем проведем параллельно оси % линию KL, пересекающую мировую линию наблюдателя С в точке L. Из этой точки проведем линию LN, параллельную оси X и пересекающую ось Т в точке N. И наконец, проведем линию КМ параллельно оси Т. Она пересекает LN в точке М. Воспользуйтесь открыткой с прорезью, чтобы убедиться, что вы понимаете диаграмму. Рассмотрите ее с точек зрения наблюдателей А и В и обратите внимание на то, какие события одновременны.

Теперь займемся математическими выкладками, которые, если у вас нет соответствующего опыта, могут показаться слишком пространными и запутанными. Но не падайте духом. Прежде всего повторите пп. 3.13—— 3.22. Затем проработайте пп. 9.10——9.19, читая все символы в развернутом виде. Вникайте в любой представляющий трудности вопрос; но в случае необходимости переходите к следующему вопросу, отложив анализ возникшего затруднения на потом. Еще один совет я дам в пп. 9.20М и 9.21М.

Заглянув, если потребуется, в п. 8.37, постарайтесь выяснить, как на рис. 9.8 представлена скорость наблюдателя В относительно А.

Линия НК играет здесь точно такую же роль, как и в п. 8.37 (она идет от оси Т до оси t параллельно оси X). Так что ответ нам даст уравнение (8.1). Но по построению ОН= 1, а скорость наблюдателя В относительно А мы договорились обозначать через 〃• Таким образом,

〃 =Длина отрезка НК・(9.2)

Как найти скорость наблюдателя С относительно В?

На этот раз вместо ОН и НК следует подставить соответственно длины отрезков ОК (лежащего на мировой линии наблюдателя В) и KL (параллельного

оси расстояний наблюдателя В). После этих подстановок формула (8.1) дает

—1Hлнна отрезка KLа

” 一 Длина отрезка QK *

Как узнать скорость наблюдателя С относительно наблюдателя А?

Нужно вместо ОН и НК подставить ON и NL.

Тогда

一 Дма отрезка NLm

—Длина отрезка ON •

Из (9.3) следует (см. п. 9.11М), что

Длина отрезка KL = Длина отрезка ОКХ。. (9.5)

9.ИМ. Соотношение (9.5) получено из (9.3) с помощью одного из стандартных преобразований (ср. с п. 3.19М). Если две равные величины умножить на одно и то же число, то снова получатся две равные величины. Другими словами, если левую и правую части равенства умножить на одно и то же число, то в результате также получится равенство. В нашем случае обе части формулы (9.3) были умножены на длину отрезка ОК. Поэтому левая часть нового уравнения приобретает вид: длина отрезка ОКХб а правая —

Длина отрезка KL、，口

х Длина отрезка ОК.

Длина отрезка ОКг

Но деление KL на длину отрезка ОК с последующим умножением на длину отрезка ОК вновь дает KL, так что правая часть нового уравнения ——это просто длина отрезка KL. Соединяя эти части, получим

Длина отрезка ОКх^ = Длина отрезка KL.

Перестановка правой и левой частей уравнения (п. 3.17М) приводит к (9.5).

. Описанный в q. 9.11 процесс умножения обеих частей на одну и ту же величину является примером того, что мы называем допустимой операцией. Если такую операцию применить к равенству, то получим другое равенство. Мы уже встречались с допустимыми операциями в пп. 3.17 и 3.19. Вот еще два очевидных примера: прибавление к обеим частям равенства одного и того же числа, деление обеих частей на одно и то же число.

Мы выразили к, о н 侬 через длины определенных отрезков. Поэтому, чтобы найти связь между скоростями.

нужно привлечь геометрию, которая позволяет, зная длины одних отрезков, найти длины других.

Линия KL параллельна оси расстояний % наблюдателя В, составляющей с горизонталью X такой же угол, какой его ось времени / составляет с вертикалью Т (п. 8.26). Отсюда следует, что углы MLK и НОК равны. Кроме того, оба угла LMK и ОНК — прямые. Значит, треугольники LMK и ОНК подобны. Треугольник LMK можно получить из треугольника ОНК, начертив его в соответствующем масштабе (кроме того, его еще нужно обратить, нарисовав на обратной стороне листа бумаги либо воспользовавшись зеркалом). Таким обра> зом, стороны меньшего треугольника получились в результате уменьшения соответствующих сторон большего треугольника в одной и той же пропорции. Словом, существует определенная дробь ——масштабный множитель, ——такая, что

Длина каждой стороны треугольника LMK ==(Длина соответствую щей стороны треугольника ОНК) XX(Масштабный множитель).

Подобное уравнение имеет место для каждой пары соответственных сторон, и во все три уравнения входит один и тот же масштабный множитель. Чему равен этот масштабный множитель?

Одна из пар соответственных сторон — KL и ОК. Из (9.5) следует, что

Длина стороны KL =

=(Длина соответствую щей стороны ОК) х и.

Сравнение этого соотношения с предыдущим показывает, что масштабный множитель равен и. Теперь, подставляя V в уравнения для других пар, получим

Длина отрезка ML = (Длина отрезка ОН) х у, (9.6)

Длина отрезка КМ = (Длина отрезка НК)Хи. (9.7)

Но длина отрезка ОН= 1 (п. 9.9), так что (9.6) сводится к виду

Длина отрезка ML = u.(9.8)

Согласно формуле (9.2), длина отрезка НК = е, поэтому (9.7) можно переписать в виде

Длина отрезка КМ = 〃хо,(9.9)

что обычно записывают так:

(9.10)(9.10)Длина отрезка КМ = 〃и.

(9.10)

(9.10)

. Математики в своем стремлении к лаконичности стараются избавиться даже от знака умножения 《X》в формуле 〃Хи. Они придерживаются соглашения:

Когда два символа, означающие числа или величины, следуют один за другим (и между ними нет никаких знаков), то они перемножаются.

Поэтому формула (9.10) означает то же самое, что и формула (9.9). Прочтите обе эти формулы полностью.

Результат перемножения двух чисел или величин называется их произведением.

Рядом с отрезками ОН, НК, ML и КМ на вашей диаграмме напишите соответственно 1, 〃，и и uv. Эти значения, как было показано, являются длинами указанных отрезков. Попробуйте теперь вывести правильную формулу ДЛЯ W.

Длина отрезка NM тоже равна и (как противоположная сторона прямоугольника), значит,

Длина отрезка NL = 〃-j-u,(9.11)

т. е. сумме заданных скоростей. Точно так же длина отрезка HN равна длине отрезка КМ, которая в свою очередь равна uv. Поэтому

Длина отрезка ON= l-|-uu. (9.12)

Правую часть этого равенства удобно читать так: «единица плюс произведение (п. 9.14М) заданных скоростей». Теперь сможете вывести формулу?

Две только что вычисленные величины входят в уравнение (9.4). Значит,

(Если не ясно, как это получилось, см. ниже.) Это и есть искомое уравнение.

. Способ, которым мы от (9.4) пришли к (9.13), ничем особенным не отличается от наших обычных рассуждений. Если известно, что 1) отца Джона зовут Чарлз и что 2) отец Джона болен, значит, 3) Чарлз болен. Процесс рассуждений (обычно подсознательный) сводится к следующему: высказывание (1) позволяет заменить слова 《отец Джона» одним словом «Чарлз»; тогда в резуль-

9.17M.9.17M.9.18.9.18.9.19.9.19.0,9 + 0,81 +0,9-0,80,9 + 0,81 +0,9-0,8= 0,988,= 0,988,

9.17M.

9.17M.

9.18.

9.18.

9.19.

9.19.

0,9 + 0,8

1 +0,9-0,8

0,9 + 0,8

1 +0,9-0,8

= 0,988,

= 0,988,

тате такой подстановки в (2) вы в конце концов приходите к (3).

А теперь подставьте в (9.4) вместо длин отрезков NL и ON выражения, определяемые формулами (9.11) и (9.12). В итоге вы получите (9.13).

Теперь прочтите формулу (9.13) (с помощью укороченной фразы, предложенной в п. 9.15).

Горизонтальная черта означает операцию деления (п. 8.38М), а как прочесть u+v и 1 +uv в развернутом виде, вы уже знаете. Итак, формулу (9.13) можно прочитать следующим образом:

результирующая скорость равна сумме заданных скоростей, деленной на единицу плюс произведение заданных скоростей.

Впрочем, форма, приведенная в следующем параграфе, может показаться более привлекательной.

Итак, ответ на вопрос, поставленный в п. 9.2, сводится к тому, что нельзя ограничиться простым сложением заданных скоростей. Следует начать с их сложения, но затем эту -сумму нужно разделить на поправочный коэффициент, равный 1 плюс произведение заданных скоростей.

Чтобы закрепить материал, изложенный в пп. 9.9—— 9.17М, приведем численный пример и посмотрим, что дает новая формула. Если скорость наблюдателя В относительно наблюдателя А равна 0,9 (девять десятых скорости света; п. 8.39), а скорость наблюдателя С относительно В равна 0,8, то какова скорость наблюдателя С относительно А?

В символической форме заданные скорости записываются так: 〃 = 0,§ и и = 0,8. Можно подставиа'ь (п. 9.16М) в (9.13) 〃 = 0,9 и у = 0,8, что дает

а не 1,7, что следовало бы ожидать при простом сложении скоростей. (При многократном употреблении знака равенства в одном и том же утверждении его следует читать: «что равно».)

Найдите w при 1) 〃 = 0,6 и и = 0,8; 2) 〃 = 0,7 и и =

= 0,9; 3) 〃 = и = 0,9. (Ответы — в конце главы.)

Эти примеры иллюстрируют доказанное в п. 9.8 положение, что, комбинируя две скорости, не превышающие скорости света, нельзя получить скорость, превосходящую скорость света. (Математики доказывали бы, что

если значения скоростей и и и лежат в интервале между —1 и 1, то в этом же интервале лежит и значение скорости ®.)

М. Вас не напугал процесс рассуждений и вычислений, начатый в п. 9.9, который в конце концов привел к уравнению (9.13)? Могу вас заверить, что после небольшой тренировки он покажется простым. А тем временем постараемся преодолеть имеющиеся трудности.

Прежде всего убедитесь, что вы овладели математическими методами, которыми мы пользовались выше. Поэтому повторите пп. 9.3, 9Л IM, 9.14М, 9.16М и 9.17М.

М. Вы, вероятно, чувствуете, что можете понять каждый отдельный шаг рассуждений. (Если же это не так, то остановитесь на каждом моменте, вызвавшем затруднения. Все они разъясняются в тексте, и если вы не поняли обсуждаемый вопрос сразу, вернитесь к нему еще раз чуть позднее. Не забывайте читать формулы в развернутом виде!) Истинная трудность (я почти уверен) заключается в оценке общей стратегии.

Полное доказательство распадается на четыре ос- новые части:

Построение диаграммы — рис. 9.8.

Поиск на этой диаграмме пар отрезков, отношение которых дает интересующие нас скорости. (Отношение двух величин — это результат деления одной величины на другую.)

Геометрические построения и вычисления, позволяющие обнаружить связи между всеми длинами отрезков.

Объединение трех предыдущих частей в одно целое.

Ключ к решению ——в умелом построении рис. 9.8, ибо в нем суть релятивистского пространства-времени (п. 8.40). Его детали -согласованы друг с другом так, чтобы облегчить геометрическую задачу части 3. Если нужно, просмотрите п. 9.9.

Часть 2 изложена в п. 9.10. Она сводится просто к троекратному применению формулы (8.1), но с соответствующей заменой входящих в нее обозначений.

Задача, решаемая в части 3, описана в п. 9.13. Здесь доказывается, что треугольники LMK и ОНК подобны и что длина каждой стороны одного из этих треугольников равна длине соответствующей стороны другого, умноженной на масштабный множитель. Из известного соотношения, связывающего одну из пар соответствующих сторон, мы нашли, что масштабный множитель

равен s Применение этого результата к другим парам ведет к соотношениям (9.6) и (9.7), которые в свою очередь после небольших преобразований сводятся к формулам (9.8) и (9.10).

В части 4, изложенной в п. 9.15, все собирается воедино. Согласно уравнению (9.4), чтобы найти w, нужно знать длины отрезков HL и ON. Не представляет труда найти их из того, что мы уже знаем, с помощью прямоугольника HKMN. И наконец, чтобы получить окончательную формулу (9.13), мы подставили длины этих отрезков в(9.4).

Надеюсь, что основное направление теперь ясно. Каждая из основных частей включает серию шагов, которые только что были кратко описаны. Каждый шаг можно детально проанализировать сам по себе, что было сделано в соответствующих разделах. Если вы сосредоточитесь по очереди на каждом из этих уровней, возможно пройдя весь путь по нисходящей от обобщающего вывода через четыре основные части к деталям, а затем обратно к обобщающему выводу, вы уловите суть процесса как целого.

Когда в дальнейшем вам встретятся другие достаточно сложные цепочки рассуждений, старайтесь их анализировать и изучать аналогичным способом.

Почему на основе повседневного опыта мы считаем,что справедливо выражение (9.1), а не (9.13)?

Для привычных нам 'Скоростей значения и и у (в естественных единицах)—это очень маленькие доли единицы, а значит, их произведение (п. 9.14М)—— еще меньшая дробь и поправочный коэффициент -〃и лишь слегка отличается от 1, т. е. формула (9.1) почти правильна.

Предположим, что два реактивных самолета приближаются к наблюдателю с противоположных сторон со скоростями 1080 км/ч. Обозначим их через А и С, а наблюдателя через В. Тогда в естественных единицах •скорости 〃 н и равны одной миллионной доле единицы (п. 1.8). Значит, их произведение составит миллионную долю от одной миллионной и поправочный коэффициент будет отличаться от 1 как раз на эту ничтожную величину. Таким образом, скорость каждого самолета, измеренная относительно другого самолета, будет отличаться от ожидаемого значения 2160 км/ч лишь на миллионную долю от одной миллионной, а это менее 2 см/год. Поэтому неудивительно, что мы ничего не замечаем!

При выводе формулы (9.13) мы исходим из подобия треугольников LMK и ОНК. Доказательство их подобия в свою очередь основывается на существовании связи между наклонами осей времени и расстояний, которая обусловлена тем, что пространственно-временная диаграмма включает в себя инвариантность скорости света (п. 8.40). Это доказательство совершенно ясно показывает, что формула комбинирования скоростей принимает такую, а не иную форму именно потому, что скорость света инвариантна.

Вот еще один случай, позволяющий экспериментально проверить, согласуются ли с реальными фактами предсказания теории относительности. В веществе свет распространяется медленнее, чем в вакууме; в воде, например, его скорость равна 3/4, и эта скорость не инвариантна. Скорость света в воде равна з/《относительно наблюдателя неподвижного относительно воды. Следовательно, значение этой скорости света, измеренное каким-либо другим наблюдателем, относительно которого вода движется, должно согласовываться с предсказанием формулы (9.13), если в качестве заданных скоростей взять скорость света в неподвижной воде и скорость воды по отношению к наблюдателю. Вода ——это аналог поезда в п. 9.1, а свет — проводника, идущего по коридору.

Экспериментальная проверка этого предсказания была сделана (хотя и с другой целью) А. Физо в 1851 г. (повторение эксперимента Майкельсоном и другими подтвердили результаты этого опыта). Вода течех по

Рис. 9.25.

изогнутой трубе (рис. 9.25) от точки А к В. С помощью •системы призм, линз и зеркал луч света, пришедший из точки L, расщепляется на два. Одна часть луча распространяется, как показано на чертеже, в то время как вторая (не показанная на чертеже) идет в противоположном направлении. Обе части луча вновь собираются в точке М (неподалеку от точки L). Движущаяся вода увеличивает скорость света в одном направлении и замедляет его движение в другом ——в обоих случаях в соответствии с (9.13). И экспериментатор должен измерить разность двух скоростей, дабы убедиться, что она согласуется с предсказанным значением.

Результаты всех таких экспериментов оказались в хорошем согласии с релятивистски!М предсказанием и явно расходились с выводами, -следующими из традиционной формулы сложения скоростей (9.1). Таким образом, это еще одна проверка теории относительности, еще одно свидетельство ее справедливости (ср. с пп. 3.32 и 3.33).

Рассмотрим теперь целую группу наблюдателей А, В, С, D,…(в одномерной вселенной). Наблюдатель В движется со скоростью 0,3 естественной единицы относительно А, наблюдатель С ——со скоростью 0,3 относительно В, D — с такой же скоростью относительно С и т. д. Каковы скорости наблюдателей В, С, D,… относительно А? Применяя формулу (9.13), получим

(Скорость наблюдателя С относительно А)=

0,3 + 0,31 十「о,зхбЗ0,3 + 0,31 十「о,зхбЗ0,60,6=0,5505.=0,5505.

0,3 + 0,3

1 十「о,зхбЗ

0,3 + 0,3

1 十「о,зхбЗ

0,6

0,6

=0,5505.

=0,5505.

Комбинируя это значение со скоростью наблюдателя относительно С, найдем, что

(Скорость наблюдателя D относительно А)=

0,72990,7299— 0,5505 + 0,3 — 0,8505 —

0,7299

0,7299

=1 + 0,5505X0,3= 1」652 =

и т. д. Округляя до трех знаков после запятой, получим значения скоростей, приведенные в табл. 9.26.

Таким образом, скорости наблюдателей, измеренные наблюдателем А, возрастают, но все медленнее. И независимо от того, как далеко будет продолжен этот ряд, не

Таблица 9.26

Скорости относительно I Скорости относительнонаблюдателя Анаблюдателя А

(в долях скорости света) (в долях скорости света)

ABCDEFABCDEF0 0 0 0 5 30 0 5 3 4 10357890 0仇仇仇00 0 0 0 5 30 0 5 3 4 10357890 0仇仇仇0GHi JKLGHi JKL0,952 0,974 0,986 0,992 0,996 0,9980,952 0,974 0,986 0,992 0,996 0,998

ABCDEF

ABCDEF

0 0 0 0 5 3

0 0 5 3 4 1035789

0 0仇仇仇0

0 0 0 0 5 3

0 0 5 3 4 1035789

0 0仇仇仇0

GHi JKL

GHi JKL

0,952 0,974 0,986 0,992 0,996 0,998

0,952 0,974 0,986 0,992 0,996 0,998

найдется ни одного наблюдателя, движущегося быстрее света (п. 9.8). Один мой слушатель с помощью ЭВМ рассчитал, что скорость 31-го наблюдателя в этом ряду относительно А равна 0,99999998.

Теперь применим эти цифры к《суперракете》. Допустим, что ракета способна двигаться с ускорением, позволяющим ей разогнаться до скорости 0,3 в течение года (в общем-то весьма скромное ускорение, но нам нужно, чтобы оно действовало в течение года!). На старте ракета неподвижна относительно А. В конце первого года при скорости в 0,3 относительно наблюдателя А она будет неподвижна относительно В.

Положим, что ракета разгоняется с постоянным ускорением. В начале второго года движения ракета неподвижна относительно наблюдателя В (т. е. как на старте относительно А). Значит, при том же самом ускорении, что и раньше, она в конце второго года достигнет скорости 0,3 относительно В, следовательно, она теперь будет неподвижна относительно наблюдателя С. По прошествии еще одного года у ракеты будет такая же скорость, как у наблюдателя D и т. д.

Относительно наблюдателя А значения скоростей, достигнутых этой ракетой через каждый последующий год, совпали бы с перечисленными в табл. 9.26 скоростями следующих друг за другом наблюдателей.

Итак, на всех стадиях своего движения ракета ведет себя совершенно одинаково. Любой из наблюдателей А, В, С,.・. начиная счет с момента, когда ракета относительно него неподвижна, получит один и тот же ответ на вопрос: какой скорости достигла ракета в такой-то момент времени? При этом она движется с постоянным ускорением. И тем не менее, с точки зрения каждого отдельного наблюдателя, скорость ракеты нарастает все медленнее.

При небольших скоростях, когда говорят, что некою-

рый объект имеет постоянное ускорение, подразумевают, что его скорость возрастает на одну и ту же величину за одно и то же время. Но когда речь идет о больших скоростях, это определение следует модифицировать: для каждого интервала измерения должны быть сделаны тем наблюдателем, относительно которого ракета в начале рассматриваемого интервала покоилась. Таким образом, измерения, проделанные наблюдателем А, покажут, что за первый год скорость ракеты возросла на 0,3; наблюдатель В обнаружит, что в течение второго года она также увеличилась на 0,3, и т. д. Дадим опре> деление:

тело движется с постоянным ускорением, если его скорость возрастает на одну и ту же величину за одинаковые промежутки времени, причем измерения для каждого интервала времени выполняются инерциальным наблюдателем, относительно которого тело в начале этого интервала покоится.

Я сделал здесь одно вводящее в заблуждение упрощение. Последовательность годовых интервалов времени (в числовом примере) измеряется различными наблюдателями: первый интервал ——наблюдателем А, второй——наблюдателем В и т. д. Вследствие замедления течения времени (п. 3.36) второй интервал, с точки зрения наблюдателя А, будет длиннее года, третий еще длиннее и т. д. Значит, скорость ракеты по отношению к наблюдателю А возрастает даже еще медленнее.

Само собой разумеется, что точно такие же выводы должны следовать из расчетов при любом постоянном ускорении. Простейший способ убедиться в этом заключается в изменении интервала времени ——в рассмотрении ускорения, сообщающего скорость 0,3 за 38 сут или за 0,01 с (!) или за любой другой интервал времени. Таким образом, с помощью этого единственного расчета можно охватить все возможные случаи.

Чтобы сообщить телу ускорение, требуется сила. И поскольку не существует возрастающей до бесконечности силы, есть предел достижимого ускорения. Тогда наибольший возможный эффект будет достигнут при воздействии этого максимального постоянного ускорения. Но невозможно разогнать тело до скорости света и выше.

Это не доказывает, что ничто не может двигаться быстрее света. Имеется некоторая вероятность того, что наряду с объектами, которые всегда движутся медлен-

нее света, существуют объекты, которые всегда движутся быстрее света, хотя ни один объект не может быть ускорен так, чтобы его скорость, увеличиваясь, превысила бы скорость света. Настало время, когда идея о том, что ничто не может двигаться быстрее света, заслуживает изучения.

Ответы к п. 9.19. 1) 0,946; 2) 0,982; 3) 0,994.

ПРИНЦИП ПРИЧИННОСТИ И СКОРОСТЬ СВЕТА

Давайте испробуем еще один подход. Возьмем два любых события в одномерной вселенной и назовем их О и Q. При каких условиях событие Q может быть следствием события О (или событие О будет причиной события Q)?

Линии сигналов, проведенные через О, делят диаграмму на четыре квадранта, названные как на рис. 10.1. Те-

Рис. 10.1.

перь наш вопрос можно сформулировать иначе: если событие Q является следствием события О, т. е. событие О является причиной события Q, то где на диаграмме может лежать точка Q?

Может ли Q лежать в нижнем квадранте?

Прямая, проходящая через точки Q и О (рис. 10.2), может быть мировой линией инерциального наблюдателя, допустим В. Согласны?

Наблюдатель В обнаружит, что событие Q (следствие) произошло раньше вызвавшего его события О (причины), а это противоречит повседневному опыту. Зна* чит, ответ будет: нет, не может.

Этот вывод обусловлен принципом причинности, согласно которому следствие не может произойти раньше своей причины. Принцип причинности был открыт задолго до теории относительности и не является само собой разумеющимся. Различного рода прорицатели утверждают, что будущие события могут оказывать влияние на сегодняшние знания. Вы согласитесь со мной, что они ошибаются, и мы будем считать принцип причинности справедливым.

Чтобы предупредить возможное возражение против изложенного в п. 10.2, напомним, что отсчет времени вдоль любой мировой линии идет снизу вверх. В противном случае в ситуации, изображенной на рис. 7.3, сигналы могли бы принести наблюдателю А в момент события R сообщение о будущем, еще не совершившемся событии Р. (Разумеется, рис. 7.3 построен в предположении, что линии сигналов идут снизу вверх; см. п. 6.17.)

Может ли Q лежать в правом квадранте, как на рис. 10.4?

Этот вопрос гораздо труднее. Проведите через О прямую между Q и линией сигнала, идущей выше Q. Проведите еще одну прямую так, чтобы она составляла с этой линией сигнала такой же угол, как и первая прямая, но по другую сторону от линии сигнала. Поскольку угол наклона второй прямой больше 45°, она может быть осью времени (мировой линией) инерциального наблюдателя, скажем С (пп. 6.18 — 6.20); тогда первая из проведенных прямых будет осью расстояний наблюдателя С (п. 8.26). Теперь сможете ответить на вопрос?

По мнению наблюдателя С, событие Q произошло раньше события О (проверьте с помощью открытки с прорезью),——снова следствие произошло раньше причины. Можно сказать, что этот случай тоже невозможен?

В действительности все не так просто. Проведите прямую между Q и линией сигнала, идущей ниже Q (рис. 10.5). Эта прямая может быть осью расстояний еще одного

наблюдателя, скажем D, ось времени которого должна задаваться правилом равенства углов с соответствующей линией сигнала. С его точки зрения (снова воспользуйтесь открыткой с прорезью), следствие Q произошло после причины О. Кому из наблюдателей верить: С или D?

Просмотрите еще раз гл. 7, в особенности пп. 7.2, 7.3, 7.9, 7.14 и 7.15. Вспомнили? Нам известны только те моменты времени, в которые наблюдатель посылает сигнал к событию и получает ответный сигнал. Мы просто договорились, как через них определить момент времени, в который произошло далекое событие. Нанесите на ваши копии рис. 10.4 и 10.5 элементы рис. 7.14 и повторите рассуждения пп. 10.4 и 10.5 для события М.

Можно сказать (п. 10.4), что, по мнению наблюдателя С, событие Q произошло раньше события О. Но при этом мы подразумеваем следующее. Пусть удар хронометра наблюдателя С соответствует середине интервала времени, прошедшего между передачей сигнала к Q и приемом ответного сигнала из Q. Тогда окажется, что этот удар произошел раньше причины О. Совершенно не очевидно, что такая ситуация противоречит принципу причинности.

Переформулируем принцип причинности так, чтобы избежать проблем, связанных с выбором того или иного мнения: для любого наблюдателя событие 6 данном месте, являющееся следствием, другого события в данном месте. 〃е может произойти раньше своей причины.

Если бы причина в О могла обусловить следствие Q, которое, с точки зрения наблюдателя С, предшествует О, то причина Q с равным успехом могла бы иметь следствием событие в данном месте R (рис. 10.4), происшедшее, по мнению С, раньше О. Итак, причина в данном месте О имеет следствие в данном месте R (через посредство Q), а это явно противоречит принципу причинности. Значит, Q не может лежать ни в правом, ни в левом квадрантах. Итак,

событие Q может быть следствием события О (или событие О может быть причиной события Q) только в том случае, если Q лежит в верхнем квадранте.

Если вас смущает, что переход от О к Q — это переход от события в данном месте к далекому событию, а переход от Q к R — это переход от далекого события к событию в данном месте, то введите еще одного наблюдателя, неподвижного относительно С и в то же время присутствующего при событии Q.

Если несимметричный вид рис. 10.4 создает у вас впечатление, что взаимосвязь между Q и R отличается от связи между О и Q, проверьте это с помощью открытки с прорезью. А если и это вас не убедит в том, что никакой разницы нет, нарисуйте другую диаграмму с вертикальной мировой линией наблюдателя С (п. 8.44) и рассмотрите, как на ней должны располагаться события Q и R.

Где на диаграмме должна лежать точка Q, чтобы событие О могло быть следствием события Q (или событие Q — причиной события О)?

В нижнем квадранте. (Проведите через точку Q линии сигналов и примените вывод, сформулированный в п. 10.6,

к квадрантам, на которые эти линии разделили диаграмму.)

Рис. 10.8 обобщает наши результаты. Поскольку световой сигнал помогает в установлении причинно-следственных связей, сами линии сигналов включаются в верхний и нижний квадранты.

Как все это выглядит в применении к «старомодной» пространственно-временной диаграмме?

Точки, принадлежащие горизонтальной прямой, проходящей через О, описывают события, происшедшие одновременно с событием О, и поэтому не могут быть причинно связаны с ним. Остальное вы можете сделать сами. Горизонталь, представляющая на «старомодной» диаграмме события, происшедшие сейчас, на релятивистской диаграмме занимает левый и правый квадранты. Подумайте над этим.

Теперь свяжем проведенное рассмотрение с вопросом о движении быстрее света. Рассмотрим старого знакомого А — инерциального наблюдателя, впервые введенного на диаграмме в п. 6.20, снабдим его мировой линией с углом наклона больше 45°.

Пусть В ——инерциальный наблюдатель, присутствующий при обоих событиях, О и Q. Если Q лежит в верхнем квадранте (рис. 10.9), то ясно, что наклон мировой линии наблюдателя В больше 45°. Поэтому в соответствии с выводом, сделанным в п. 8.41, наблюдатель В движется относительно А со скоростью меньше скорости света (убедитесь с помощью открытки с прорезью). Если бы точка Q лежала в левом или правом квадранте (сделайте чертеж), то наклон мировой линии наблюдателя В был бы

меньше 45° и он двигался бы относительно А быстрее света. Увяжите это с выводом, сделанным в п. 10.6.

Итак, событие Q может быть следствием О только в том случае, когда инерциальный наблюдатель может переместиться от одного события к другому, не превышая (относительно наблюдателя А) скорость света.

Итак, если принцип причинности справедлив, то никакое причинное действие не может распространяться быстрее света.

Это всего лишь компактная форма утверждения, что причина и следствие не могут быть связаны между собой так, чтобы для перехода от первой ко второму было бы необходимо двигаться быстрее света (относительно инерциального наблюдателя, движущегося медленнее света). Это утверждение можно сформулировать еще и следующим образом:

информация не может передаваться быстрее света

(так как в причинном действии заключена информация о том, что событие-причина совершилось; а информация — эю и есть следствие действия причины, которому подверг гается получатель).

Итак, ни один наблюдатель, как инерциальный, так и неинерциальный, не может двигаться быстрее света (и даже со скоростью света; п. 2.1). Тогда, принимая во внимание вывод, сделанный в п. 8.41, можно сказать, что

угол наклона мировой линии любого инерциального наблюдателя должен быть больше 45°.

Это рассеивает сомнения, которые владели нами начиная

с п. 8.23 или даже с пп. 6.18 — 6.20. Согласно п. 8.26, угол наклона оси расстояний такого наблюдателя должен быть меньше 45°.

Докажите, что никакой материальный объект не может двигаться быстрее света.

Рассмотрите мину замедленного действия ——воспламенение бикфордова шнура является причиной, приводящей позднее к следствию — взрыву.

Возможно, вы пришли к более сильному утверждению, что, согласно теории относительности, ничто не может двигаться быстрее света. Подтверждается ли это утверждение нашими предыдущими рассуждениями?

С помощью луча лазера можно осветить небольшой участок поверхности Луны.

Если поворачивать лазер на угол всего лишь 45° в секунду, то лазерный «зайчик» будет перемещаться по поверхности Луны быстрее света. Теперь рассмотрим две линейки, пересекающиеся под острым углом (рис. 10.13).

Рис. 10.13,

Если наклоненную линейку начать двигать поступательно вниз относительно горизонтальной, то точка Р, в которой они пересекаются, будет перемещаться вправо. Сделав угол между линейками достаточно малым, можно добиться, чтобы точка Р двигалась быстрее света.

Таким образом, иногда возможно движение быстрее света. Однако в этих примерах отсутствует причинноследственная связь. Никакие действия над световым пятном в один момент времени не будут влиять на него в более поздний момент. Это справедливо и для линеек.

Но если линейки подогнаны друг к другу достаточно плотно и между ними в точке Р зажата пылинка так, что движение наклонной линейки заставляет пылинку перемещаться, то описанная выше ситуация будет неосуществимой (п. 10.12). И если вы увидите на поверхности Луны пятно, движущееся быстрее света, то можете быть

уверены ——это не фонарь космонавта, находящегося на Луне.

Быть может, вы думаете, что в этих сверхсветовых процессах создается лишь иллюзия движения и если бы там в самом деле что-нибудь двигалось, то перемещение не могло бы происходить быстрее света. Но что вы понимаете под словами «в самом деле что-нибудь двигалось»? Происходит ли фактический перенос вещества из одного места в другое?

Как раз так думать не следует. Рассмотрим волновое движение. Если одному концу лежащей на земле веревки сообщить колебательное движение вверх — вниз, то по ней побегут волны; но когда колебательное движение веревки прекратится, она останется там же, где была. И это справедливо для любого волнового процесса: распространяется только состояние (или условие), скажем возвышение над нормальным уровнем или избыточное по сравнению с нормальным сжатие и т. д. Никакого переноса вещества не происходит. Может ли волновой процесс распространяться быстрее света?

Нет, не может, ибо при волновом процессе есть причинно-следственная связь явлений.

Итак теорема, сформулированная в п. 10.10, отрицает возможность движения быстрее света в некоторых случаях, когда отсутствует перенос вещества. И обратно, она допускает возможность того, что материальные частицы могли бы двигаться быстрее света, если отсутствует причинно-следственная связь явлений. Такие гипотетические частицы получили название тахионов.

Не исключено, что мы могли бы воздействовать на тахионы. Не исключено и то, что они могли бы воздействовать на нас. Но и то и другое вместе невозможно. К примеру, вряд ли удалось бы, отклонив тахион от прямолинейной траектории в некоторой точке его пути, пронаблюдать, куда это отклонение приведет его в более поздний момент времени, поскольку такое наблюдение было бы следствием действия, являющегося причиной. Но •нельзя отрицать, что один и тот же тахион можно будет наблюдать многократно, при условии, что само наблюдение не вносит в состояние тахиона изменений, которые можно было бы обнаружить при последующих наблюдениях. При этом он уподобляется лазерному «зайчику» на поверхности Луны (п. 10.13). Однако экспериментальные поиски тахионов пока не увенчались успехом.

Утверждение, сделанное в п. 10.10, очень простое, его доказательство тоже довольно несложное, и тем не менее

из него следуют далеко идущие выводы. Остановлюсь только на одном из них.

Совершенно очевидно, что планеты и спутники в Солнечной системе не движутся прямолинейно и с постоянной скоростью, а имеют сложные траектории. Луна, например, вращается вокруг Земли, которая в свою очередь обращается вокруг Солнца.

Теория тяготения Ньютона утверждает, что причина этого — в гравитационном притяжении со стороны всех других тел. Согласно п. 10.10, гравитационное воздействие должно распространяться со скоростью, не превышающей или равной скорости света. Значит, направление силы, с которой Солнце притягивает Луну в любой момент времени, отклоняется от прямой, соединяющей Луну и Солнце. Ее направление зависит от относительного расположения Солнца и Луны в предыдущий момент времени, когда Солнце произвело гравитационное воздействие, достигшее Луны в рассматриваемый момент времени.

Если эти рассуждения выразить в математической форме и произвести вычисления, то окажется, что теория Ньютона дает неправильные результаты. Как показал Лаплас, чтобы теория Ньютона правильно представляла движение Луны, гравитационное воздействие должно распространяться как минимум в 30 миллионов раз быстрее света, но, согласно изложенному в этой главе, это невозможно. Ньютон полагал, что передача гравитационного воздействия происходит мгновенно.

Итак, несмотря на то что теория Ньютона неоднократно давала правильные результаты, что-то неверно в самой ее основе. Это явилось одним из соображений, приведших к общей теории относительности Эйнштейна.

ПРИРОДА ПРОСТРАНСТВА^ВРЕМЕНИ

На «старомодной» пространственно-временной диаграмме (рис. 6.2) показаны в графической форме наши традиционные представления о пространстве и времени (п. 6.4). Новая пространственно-временная диаграмма» разработкой которой мы занимались начиная с гл. 6, дает более правильное представление о пространстве и времени.

Сопоставим старые и новые представления о прошлом, настоящем и будущем. С дорелятивистской точки зрения мнения всех наблюдателей по поводу того, какие из событий в произвольный момент времени относятся к прошлому, настоящему или будущему, совпадают. Будем исходить из утверждения, предложенного в конце п. 10.8. Поразмышляйте над рис. 10.4 и 10.5. Всегда ли, согласно релятивистской пространственно- временной диаграмме, мнения наблюдателей по поводу прошлого, настоящего и будущего совпадают?

Для обсуждения прошлого, настоящего и будущего по отношению к событию О рассмотрим инерциальных наблюдателей, мировые линии которых проходят через точку О. Наклон оси расстояний всех этих наблюдателей меньше 45° (п. 10.11). Если событие Q лежит в левом или правом квадранте, то можно найти наблюдателя (скажем, наблюдателя С; п. 10.4), который скажет, что в момент времени, когда произошло событие О, событие Q уже совершилось. Точно так же найдется наблюдатель (например D, п. 10.5), который будет считать, что событие Q относится к будущему. А если взять наблюдателя, ось расстояний которого проходит непосредственно через точку Q (т. е. между соответствующими осями С и D), то он скажет, что событие Q (в момент события О) относится к настоящему. Итак, различные наблюдатели по-разному ответят на вопрос о прошлом, настоящем или будущем.

Если же Q лежит в верхнем квадранте, то эта точка находится выше осей расстояний всех наблюдателей, и поэтому все они согласятся, что событие Q относится к будущему (по сравнению с событием О), а событие.

представленное точкой в нижнем квадранте, совершилось раньше события О.

Поэтому области в верхнем и нижнем квадрантах пространственно-временной диаграммы называются абсолютно будущей и абсолютно прошлой по отношению к событию О соответственно (линии сигналов включаются в эти области — проверьте это), а области, соответствующие левому и правому квадрантам, являются для О относительным настоящим. Посмотрите на

Рис. 11.2.

рис. 11.2 и подумайте, в какой мере деление на прошлое, настоящее и будущее согласуется с существованием причинно-следственных связей (рис. 10.8).

Пусть даны два события. Тогда можно спросить, разделены ли они в пространстве, во времени или одновременно в пространстве и во времени. На «старомодной» диаграмме на рис. 6.2 точки S и Т представляют события, которые произошли одновременно и различаются только местоположением, значит, они разделены только 6 пространстве. События же Т и U происходят в одном и том же месте и разделены только во времени. Что же касается событий S и U, то они разделены как во времени, так и в пространстве. Согласно старым представлениям, в соответствии с которыми построена эта диаграмма, мнения всех наблюдателей по поводу трех описанных событий совпадают.

Ось времени представлена вертикальной, а ось расстояний—горизонтальной прямой; считается, что время и пространство невзаимозаменяемы. Более того, все наблюдатели живут в одном и том же пространстве и в одном и том же времени.

Пространственно-временная диаграмма нового типа (рис. 8.26) (копия этого рисунка должна быть у вас под рукой при чтении нескольких следующих страниц) заставляет отказаться от этих представлений. Поскольку с каждым наблюдателем теперь связаны собственные оси координат, каждый имеет собственное время и собственное пространство. (Если вам трудно будет понять то, что описано ниже, перечитайте гл. 8, в частности пп. 8.7, 8.10, 8.12, 8.26—8.31. Не забывайте пользоваться открыткой с прорезью.)

По мнению наблюдателя А, события М и Q (рис. 8.26) происходят одновременно, т. е. они разделены только в пространстве. Однако, по мнению наблюдателя В, они произошли в разные моменты времени и в различных местах, т. е. они разделены как во времени, так и в пространстве. Кроме того, с точки зрения наблюдателя А, события N и Q произошли в одном и том же месте и, следовательно, разделены только во времени. Согласно же В, и эти события также разделены как во времени, так и в пространстве. Разберите несколько подобных примеров, поменяв наблюдателей А и В ролями.

Если достаточно перейти к другому наблюдателю, чтобы «смешать» время и пространство, эти два понятия различаются вовсе не так сильно, как мы привыкли считать.

Возможно ли, чтобы пространство одного наблюдателя соответствовало времени другого?

Если произвольный наблюдатель рассматривает два события, разделенные только во времени, то линия, соединяющая на диаграмме соответствующие им точки, должна быть параллельна его оси времени (п. 8.12), а значит (п. 10.11), ее наклон должен превышать 45°. Для некоторого другого наблюдателя, считающего, что эти события разделены только в пространстве, та же линия должна идти под углом меньше 45°. Но эти условия нельзя совместить, значит, ответ будет отрицательным.

Таким образом, переход к другому наблюдателю может привести лишь к переходу от времени или пространства к их «смеси», но никак ни к переходу от времени к пространству или обратно.

П.6. Вы наверняка уже начали понимать, что пространство и время как обособленные понятия существуют только относительно того или иного наблюдателя. Более глубокая реальность, не втискивающаяся в узкие рамки

представлений индивидуальных наблюдателей, — это всеобщее и универсальное пространство-время, нечто обладающее собственными правами на существование, а не просто пространство и время как два разных понятия, произносимые на одном дыхании. Это и есть то универсальное пространство-время, в котором живут наши наблюдатели, да и мы с вами, а не просто пространство плюс время.

И тем не менее ни вы, ни я обычно не рассматриваем единое пространство-время, а упорно продолжаем расщеплять его на пространство и время. Поэтому-то наших наблюдателей мы обычно заставляем делать то же самое, при этом обнаруживается, что, вопреки нашим прежним представлениям, различные наблюдатели производят это расщепление различным образом.

Пространство наблюдателя А определяется наклоном его оси расстояний (оси X на рис. 8.26). Любая прямая, имеющая такой наклон, описывает пространство в некоторый момент собственного времени, определенный по часам, движущимся с А. Пространство наблюдателя В изображается линиями, параллельными оси %, значит, оно не совпадает с пространством А. Любая прямая на диаграмме — это своего рода сечение пространства-времени. Поэтому то, что А называет пространством, — это некоторое множество сечений, изображаемых линиями, параллельными оси X. В представлении наблюдателя В пространство — это другое множество сечений, изображаемых линиями, параллельными оси %. Оба наблюдателя также убеждены, что есть еще нечто, называемое временем, которое кардинально отличается от пространства. Но если спросить их, что такое время, то наблюдатель А выберет сечения, представленные прямыми, параллельными оси Т, а В — сечения, представленные линиями, параллельными оси厶

Каждый наблюдатель делит единое пространство- время на то, что он называет пространством, и на то, что он называет временем, но наблюдатели, движущиеся относительно друг друга, проделывают это по-разному.

Начиная с п. 11.6, я стал писать «пространство-время» вместо «пространство и время». Такое объединение двух слов в одно подчеркивает совершенно новую точку зрения, к которой мы только что пришли: пространство и время — это искусственное расщепление универсального пространства-времени. Самого по себе объеди-

нения этих двух слов еще недостаточно, чтобы подчеркнуть коренной перелом в наших привычных представлениях.

Даже в рамках этого единого пространства-времени остается некоторое различие между пространством и временем (см. пп. 11.2 и 11.5).

Рассмотрим два произвольных события и точки, соответствующие им на пространственно-временной диаграмме. Соединяющая их прямая не будет параллельна ни оси времени, ни оси расстояний произвольного наблюдателя. Следовательно, типичный наблюдатель скажет, что события произошли в различные моменты времени и в разных местах. Но нет ли особой группы наблюдателей, которые считают, что эти события разделены либо только во времени, либо только в пространстве? Воспользуемся пп. 8Л2, 10.11 и 11.4; рис. 8.26 поможет проанализировать опущенные мной детали.

Если угол наклона прямой, соединяющей эти точки, больше 45°, то должны быть инерциальные наблюдатели, оси времени которых параллельны этой прямой. С их точки зрения (только с их точки зрения!), события разделены только во времени.

Если угол наклона прямой меньше 45°, то найдутся наблюдатели с параллельными ей осями расстояний. Они скажут, что события разделены только 6 пространстве.

Если же эта прямая наклонена под углом 45°, то ни у одного наблюдателя не может быть параллельная ей ось времени или ось расстояний (п. 6.18). В этом случае всякий наблюдатель скажет, что события разделены как 8 пространстве, так и во времени.

Эта классификация отражает не просто точку зрения какого-то наблюдателя, а непосредственно связана с парами событий и в силу этого сохраняет в рамках единого пространства-времени некоторые следы различия между пространством и временем. Будем говорить, что разделение двух событий времениподобно в случае (1), пространственноподобно в случае (2) и светоподобно в случае (3).

По существу, различие между новой концепцией единого пространства-времени и старыми представлениями о раздельно существующих пространстве и времени сводится к следующему: мнения наблюдателей расходятся по поводу как раз тех величин — временных и пространственных координат (п. 8.15), — которые они используют для точного описания события. Причина этих

разногласий в том, что, хотя они употребляют одни и те же слова 《время》и «расстояние», в действительности они толкуют о разных вещах (п. 11.7).

Аналогичные ситуации столь часты в повседневной жизни, что мы их даже не замечаем! Обсуждением одной из них мы сейчас и займемся.

Вернемся в привычный мир низких скоростей, в котором пространство ведет себя так, как «ему положено». Землемеру, назовем его А, дано задание установить, как различные точки ровного поля связаны с некоторой фиксированной точкой О. Для типичной точки Q (рис. 11.10) он мог бы поступить так.

Рис. 11.10.

Он подсчитывает число шагов от точки О до точки М, лежащей на линии MQ, перпендикулярной его пути ОМ. Тогда он повернет к Q и подсчитает число шагов от М до Q. (Густой лес не позволяет геодезисту идти напрямик от О к Q.) Длину отрезка ОМ для краткости будем обозначать через Г (ср. и. 8.18), а длину отрезка MQ обозначим через X (рис. 11.10).

Дополнив чертеж прямыми линиями с пометками «ось 7》и «ось X» (рис. 11.11), получим систему координат, как на рис. 8.16. Каждая координата точки Q на плоскости (на участке земли) определяется длиной

отрезка, проведенного параллельно одной из осей от точки Q до другой оси, точно так же как в пространстве-времени (п. 8・28).

Итак, мы располагаем отличным методом, позволяющим указать расположение произвольной точки на участке земли по отношению к точке О. И все же, если другой землемер, скажем В, захочет определить расположение точки Q тем же методом, вовсе не обязательно, что он получит тот же самый ответ, поскольку с самого начала может избрать иной путь.

У землемера В есть своя система координат. На рис. 11.12 нанесены системы координат обоих землемеров (ср. с рис. 8.26). Сначала он идет вдоль отрезка От (обозначим его через // а затем — вдоль отрезка mQ (обозначим его через %). Очевидно, что мнения наблюдателей по поводу протяженности пройденных ими отрезков будут расходиться. Или, используя наши обозначения, можно написать

f",%*Х・(11.1)

. Знак «=#» означает, что величины, между которыми он стоит, не равны. Читайте формулы типа (11.1) в развернутом виде.

Таким образом, мнения землемеров по поводу координат точки Q не совпадут. Ситуация такая же, как в случае наблюдателей в пространстве-времени (п. 11.9). Однако этот пример не вызывает у нас беспокойства. Просто мы скажем, что отрезки Т, X и t, х сами по себе не дают истинную (в смысле п. 2.20) связь между

Измерения землемеров на плоскости (на участке земли) и наблюдателей в пространстве-времени (в одномерной вселенной) столь схожи, что имеет смысл сопоставить их. (Когда речь будет идти о плоскости, под словом «наблюдатель» нужно понимать《землемер》.)

Для определения связи между

двумя точками на плоскости

двумя событиями в пространстве-времени

наблюдатель должен

задать две координаты:

расстояния в прямом и поперечном направлении

момент времени и расстояние

Т и X (или / их)

Мнения различных наблюдателей в отношении значений координат не совпадают, т. е. они обнаруживают, что

а х 展 X.

Мы приходим к выводу, что

расстояния в прямом и по- момент времени и расстояние перечном направлении на пло- в пространстве-времени скости

представляют лишь точку зрения отдельного наблюдателя.

Обратите внимание, что нижняя строчка правой колонки ведет к выводу, который мы частично предвосхитили в пп. 11.6 и 11.7. Применив правило равенства углов с линией сигнала (п. 8.26), мы можем добавить следующее:

Чтобы от системы координат одного наблюдателя перейти к системе координат другого наблюдателя, следует обе оси координат повернуть на один и тот же угол

в одном и том же направлении в противоположных направлениях

Единственное существенное различие между двумя колонками имеется в самой последней строчке. Остальные различия носят скорее филологический характер. Сходство между этими системами столь велико, что наводит на мысль, а не стоит ли эту аналогию продолжить дальше. Что вы можете предложить?

Если каждый землемер возведет в квадрат длины измеренных им отрезков (п. 3.14М) и сложит получен-

ные результаты, то оба они получат один и тот же ответ, т. е.

产+%2 = 72十/2.(11.2)

. Понятно, что означает формула (11.2)? Не забывайте читать все символы в развернутом виде (пп. 8.19М, 9.3М и 9Л7М).

Здесь символом f обозначен путь От землемера В, направляющегося в Q. Поэтому, согласно очевидному обобщению сказанного в п. 3.14М,户 означает произведение длины пути От наблюдателя В, направляющегося в Q, на саму себя.

Получается слишком громоздкое выражение, поэтому примем компромиссное решение писать вместо t «путь Ош для В》. Тогда /2 равно (путь Ош для В)2, где скобки напоминают нам, что величина, определяемая стоящей в них фразой, должна умножаться сама на себя (ср. с и. 3.14М). Запишите (11.2) с помощью этих сокращений.

Эта формула примет вид

(Путь Ош для В)2+(Путь mQ для В)2 =

=(Путь ОМ для А)2-|-(Путь MQ для А)2. (11.3)

(Ср. с аналогичным утверждением в и. 3.15М.) Уверен, что на этот раз вы сумеете прочитать мысленно следующее: длина 《пути От для В》, умноженная на себя, плюс «длина пути mQ для В», умноженная на себя, равна.... Дочитайте до конца. А может быть, вы уже в состоянии прочесть: квадрат «пути От для В» плюс.... Завершите фразу. Еще один вариант прочтения формулы (11.3) —это первое предложение п. 11.17.

Вместо / в (11.2) можно было бы прочитать «длина отрезка От》и аналогично для %, Г и X. Запишите (11.2) в форме, подобной (11.3), с помощью этого сокращения.

Вы получите

(Длина отрезка От)2-(-(Длина отрезка mQ)2 =

=(Длина отрезка ОМ)2-|~(Длина отрезка MQ)a. (11.4)

Теперь продумайте смысл этого утверждения таким же путем, как выражения (11.3).

Если что-то непонятно, отдохните, прочтите все снова, пока не разберетесь.

Н.19М. Теперь мы знаем, что означает формула (11.2). Но верна ли она? Используя отрезки От, mQ и т. д.

(рис. 11.12), попытайтесь доказать ее справедливость на основе уже известных нам фактов.

Не получается? Соедините прямой линией О и Q и снова попытайтесь доказать (11.2).

Что вам напоминает это уравнение, в которое входит сумма квадратов длин двух отрезков?

В треугольнике OMQ угол при вершине М прямой. Следовательно, согласно теореме Пифагора (п. 13.15М), (Длина отрезка ОМ)2+ (Длина отрезка MQ)? =

=(Длина отрезка OQ)2.

Но длина отрезка ОМ ——это «путь ОМ наблюдателя А, направляющегося в О》，который мы договорились сокращенно обозначать символом Т (рис. 11.12), а вместо длины отрезка MQ можно писать X, Тогда последнее уравнение приводится к виду

Т24-^2;= (Длина отрезка OQ)2.(11.5)

Теперь с помощью треугольника OmQ докажите, что

/2-]-х2 = (Длина отрезка OQ)2.(1L6)

Завершите доказательство.

Из уравнений (11.5) и (11.6) следует, что суммы 丁2十^2 и 件+%2 равны одной и той же величине, поэтому они равны между собой, что и утверждает формула (11.2). Теперь перечитайте п. 11.17.

11 20. Вывод, следующий из п. 11.17, таков: мнения землемеров по поводу координат точки Q в системе координат каждого из них могут не совпадать, но если каждый из них воспользуется найденными им значениями коорди- нат для вычисления суммы квадратов измеренных им отрезков, то они получат один и тот же результат.

Это пример инварианта — величины, которая не изменяется при переходе от одной системы координат к другой, т. е. одинакова для всех наблюдателей. Я уверен, вы ясно сознаете, что инвариант — это нечто очень важное.

Мы уже сталкивались с понятием инвариантности, когда говорили о скорости света, которая также одинакова для всех наблюдателей (п. 1.22). Условимся, что существительное «инвариант» всегда будет означать какой-то новый тип инварианта, который является комбинацией координат. Этот тип инварианта будет играть особую роль во всем дальнейшем изложении.

Вам, наверное, не терпится отметить, что землемеры не сделали никакого выдающегося открытия. Они просто

обнаружили, что уравнения (11.5) и (11.6) позволяют каждому из них найти расстояние от О до Q. Ведь если бы они измеряли его непосредственно, то между ними не возникло бы разногласий. А если прямое измерение сделать невозможно? Представьте себе их радость, когда после долгих споров они все же пришли к согласию относительно значения искомой величины. Им захочется дать название вновь открытому инварианту. В результате геодезисты определят «расстояние». Заменив в соотношениях (11.5) и (11.6) слово «длина» на слово «расстояние», они получат

(Расстояние от О до Q)2 = 72+Х2 = Z2+%2.

С помощью этого инварианта они могут достаточно глубоко исследовать геометрию на плоскости даже в том случае, если им неизвестно, как найти расстояние с помощью прямых измерений.

Рассмотренная в пп. 11.15 и 11.16 аналогия наводит на мысль, что следует поискать инвариант в пространстве-времени. Именно этому и посвящена следующая глава.

12

ИНТЕРВАЛ

Чтобы облегчить поиски инварианта в пространстве-времени, нужно овладеть еще одним приемом работы с пространственно-временными диаграммами. Сделанные наблюдателем измерения промежутков времени и расстояний наносятся на диаграмму в определенном масштабе (см. пп. 6.22, 8.4, 8.8, 8.9, 8.11 и 8.28). Мы пока не знаем, как связаны между собой масштабы различных наблюдателей (п. 8.24). Но если иметь дело только с двумя из них, то удобно, чтобы у них обоих был один и тот же масштаб. Можно ли выбрать их мировые линии так, чтобы это условие выполнялось?

Масштаб, используемый тем или иным наблюдателем, должен зависеть от наклона его мировой линии. Если одинаковы наклоны, то одинаковы и масштабы. В самом деле, из симметрии ситуации, изображенной на рис. 12.1, ясно, что

когда мировые линии двух наблюдателей А и В имеют одинаковый наклон (составляют один и тот же

угол с вертикалью по обе стороны от нее), то и масштабы, используемые для изображения на диаграмме измеренных обоими наблюдателями промежутков времени и расстояний, так же одинаковы.

Удостоверьтесь, что изображение осей расстояний и обозначения всех осей соответствуют п. 8.26.

Эта пара наблюдателей ничем особенным не выделяется. Если выбрать двух любых наблюдателей, назвав их А и В, то для них можно построить диаграмму такого же типа. Докажите это.

Рассмотрим наблюдателя С, движущегося так, что наблюдатели А и В перемещаются относительно него с одинаковыми скоростями, но в противоположных направлениях. Пусть мировая линия наблюдателя С вертикальна (ср. с п. 8.42 и 8.43). Мировые линии наблюдателей А и В составляют с вертикалью один и тот же угол, а значит, и используемые ими масштабы одинаковы.

Получается, что на рис. 12.1

ось расстояний каждого из наблюдателей А и В перпендикулярна оси времени другого наблюдателя.

Докажите, что так оно и должно быть.

На рис. 12.1 изображены вертикаль и горизонталь, проходящие через точку О. Углы 1 и 2 равны, ибо оси времени имеют одинаковые наклоны. Поскольку ось расстояний наблюдателя В составляет с горизонталью тот же угол, что и его ось времени с вертикалью (п. 8.26), углы 2 и 3 также равны.

Отсюда следует, что угол 1 равен углу 3. Поэтому, чтобы провести оси % н Г, достаточно взять идущие под прямым углом друг к другу горизонтальную и вертикальную прямые и повернуть их на один и тот же угол (как показано на рисунке стрелками). Разумеется, в конце этой операции они снова будут идти под прямым углом. Аналогично для осей X и f・

Приступим к поискам инварианта! Есть два произвольных события О и Q. Обычно мнения наблюдателей по поводу промежутка времени, прошедшего между событиями, и разделяющего их расстояния не совпадают. Можно ли выполнить какое-нибудь измерение, связывающее события О и Q, в отношении которого мнения наблюдателей будут совпадать?

Пусть наблюдатели А и В присутствуют при событии О, и пусть их мировые линии имеют одинаковый

наклон. Добавим оси расстояний (как на рис. 12.1). Тогда получится диаграмма, в которой применимы утверждения, сформулированные в пп. 12.1 и 12.3. Проведем на рис. 12.4 прямую mQ, параллельную оси расстояний наблюдателя В и пересекающую его ось времени в точке т, и прямую NQ, параллельную оси времени наблюдателя А и пересекающую его ось расстояний в точке N. Итак, mQ и NQ играют ту же роль, что и отрезки на рис. 8.26, обозначенные теми же буквами. Соединим точки m н N.

Если часы наблюдателя А в момент события О показывали нуль, то промежуток времени, прошедшего, с точки зрения А, между событиями О и Q,——это просто время, которое показывали часы А в момент события Q. Поскольку О произошло на нулевом расстоянии от А, расстояние от О до Q, согласно наблюдателю А, равно измеренному им расстоянию от него до Q. Как обычно, введем для этих величин сокращенные обозначения Т и X. Буквами i и х обозначим аналогичные величины по измерениям наблюдателя В.

Теперь, воспользовавшись указаниями п. 8.28, с помощью рис. 8.26 самостоятельно проверьте, что Т изображается отрезком NQ, X ——отрезком ON, t — отрезком От и % — отрезком mQ. Все эти отрезки вычерчены в одном масштабе (п. 12.1). (На рис. 8.26 буквой X обозначен отрезок MQ, но ON имеет ту же длину.)

】2.6. Составьте уравнение, содержащее Т, X, t м %.

Какой геометрической теоремой следует воспользоваться (по аналогии с задачей о землемерах)?

Теоремой Пифагора (п. 3.15), а п. 11.19М может подсказать, как ее применить к рис. 12.4.

Линии NQ и mQ параллельны осям Тих соответственно. Сами же эти оси перпендикулярны друг другу (п. 12.3). Следовательно, угол NQm — прямой, и применение теоремы Пифагора к треугольнику NQm дает

(Длина отрезка NQ)2+(Длина отрезка mQ)2 =

=(Длина отрезка mN)2.

Подставляя наши обозначения, получим

Т2-|_д；2 = (Длина отрезка mN)2.

Составьте аналогичное уравнение для f н Х・

Угол NOm — прямой (п. 12.3). Поэтому

/2Ц-Х2 = (Длина отрезка mN)2,

Мы доказали, что обе суммы /2+%2 и 仆十严 равны (длине отрезка mN)2, значит, они должны быть равны между собой, т. е.

产+X2=72 + %2.

Чтобы найти величину, по поводу которой мнения наблюдателей совпадают, нам нужно такое уравнение, в одной части которого содержатся только величины, измеренные наблюдателем А, а в другой — соответствующие величины, измеренные В. Как получить такое уравнение?

Вычтем Х2 из обеих частей последнего уравнения (п. 3.19М). Это даст /2 —Т2+х2—X2. Теперь вычтем из обеих частей х2 и получим

/2—%2=Т2 — Х2.(12.1)

Удостоверьтесь, что вы поняли все рассуждения начиная с п. 12.4. Прежде чем читать дальше, сравните формулы (12.1) с (11.2) и подумайте о значении того, что мы делали.

Мнения наблюдателей А и В в отношении промежутка времени между событиями О и Q и расстояниями между ними не совпадают. Но если каждый наблюдатель,, исходя из собственных измерений промежутка времени и расстояния, вычислит разность (промежуток времени)2—(расстояние)2, то они получат один и тот же результат.

Пока мы примирили только двух наблюдателей. Но мы, кажется, напали на след инварианта в пространств

ве-времени, аналогичного инварианту, найденному землемерами на их поле (пп. 11.20 и 11.21).

Докажите, что мнения всех наблюдателей, мировые линии которых проходят через точку О, совпадут в отношении этой величины.

С помощью тех же рассуждений можно показать, что совпадут мнения двух любых наблюдателей, достаточно только нарисовать новую диаграмму (а это возможно; см. п. 8.44), на которой мировые линии обоих наблюдателей имеют одинаковый наклон, но противоположно направлены. Но если пришли к соглашению любые двое, значит, совпадут мнения всех наблюдателей.

А как быть с наблюдателем D, мировая линия которого не проходит через точку О?

Рассмотрим еще одного наблюдателя, скажем Е, неподвижного относительно D, мировая линия которого проходит через точку О. Мнения неподвижных относительно друг друга наблюдателей совпадают в отношении как промежутков времени, так и расстояний, а значит, и разности этих величин (время)2— (расстояние)2. Наблюдатель D придет к согласию с Е, а значит, со всеми наблюдателями, мировые линии которых проходят через точку О. Итак, мы перебрали все возможные случаи и доказали, что

мнения всех наблюдателей в отношении разности (Промежуток времени между О и Q)2 ——

—(Расстояние от О до Q)2(12.2)

совпадают.

Обращая особое внимание на слово 《всех》и помня, что О и Q могут быть любыми событиями, мы можем провозгласить:

МЫ НАШЛИ ИНВАРИАНТ!

В мире малых скоростей многое в нашем понимании этого мира и многое в нашей власти над природой зависит от осознания того, что время и расстояние ——инварианты, что все наблюдатели, независимо от того, как они производят измерения, получат в результате этих измерений одни и те же значения времени и расстояния. При движении с большими скоростями пространство и время больше не обладают такими свойствами. Но мы нашли новый инвариант пространства-вре- мени, и он безусловно играет столь же большую роль

в нашем понимании мира больших скоростей, какую время и расстояние играли в понимании мира скоростей малых. (Если вы знакомы с отрицательными числами, можете сразу переходить к п. 12.14.)

. В дальнейшем нам потребуется знать еще кое-какие свойства отрицательных чисел (пп. 6.23М — 6.25М). Сейчас я их просто сформулирую, оставив строгое доказательство «на потом».

Все мы знаем, как из 5 вычесть 3. А что получится, если из 3 вычесть 5?《3 секунды — 5 секунд» означает момент времени, на 5 секунд более ранний, чем момент, соответствующий 3 секундам, т. е. на две секунды раньше нулевого момента времени, или (см. п. 6.23М)— это 2 секунды, отмеренные «назад», в прошлое. Итак,

3—5 = —2.

Заметьте, что мы получили —2 в отличие от результата действия 5—3. Более общие соображения приводят к заключению, что

результатом вычитания большей величины из меньшей является отрицательная величина, которая получается вычитанием меньшей величины из большей с последующей заменой знака ответа с плюса на минус.

. Будем также использовать следующее положение: квадрат отрицательной величины положителен (п. 6.24М) и равен квадрату соответствующей положительной величины (которая получается, если отбросить знак минус).

Например, (—3)2 = 9, так же как и З2 (число —3 взято в скобки, чтобы показать, что это отрицательная величина ——3, которая умножается сама на себя; —З2 означает «то, что получится в результате умножения числа 3 на себя, но со знаком минус》，т. е. —9). А в общем случае, если ——Q — это любая отрицательная величина, то

(—а)2=@2(12.3)

Поскольку мы уже знаем, что квадрат положительной величины положителен, можно добавить, что

квадрат любой (не равной нулю) величины положителен.

. Рассмотрим сначала умножение отрицательной величины на положительную. Обсудим эту операцию с помощью предложенной в п. 6.25М процедуры отсчета шагов. Например, 3X(—2) можно было бы рассмат-

ривать как указание сделать 3 раза по 2 шага назад, или всего 6 шагов назад. Значит, 3X(—2) =—6. Итак, в результате умножения положительной величины на отрицательную получается отрицательная величина.

Знак минус означает, что надо шагать в противоположном направлении. Разумно предположить, что два отрицательных знака в произведении (—3)X(—2), «отдавая распоряжение» дважды изменить направление, возвращают нас к первоначальному, положительному направлению. Теперь нетрудно догадаться, что (—3)X(—2)=6, а также, что произведение двух отрицательных величин всегда положительно. Тогда в случае двух равных величин мы приходим к утверждению, сделанному в п. I2.12M по поводу возведения в квадрат.

Мы доказали, что величина (12.2) —инвариант. Однако землемеры в такой же ситуации (п. 11.21) обнаружили, что в качестве инварианта для них предпочтительнее выбрать величину, квадрат которой равен (путь в прямом направлении)2+ (путь в поперечном направлении)2. Это наталкивает на мысль, что и* в пространстве-времени инвариантом могла бы быть величина, квадрат которой равен (12.2).

Но с учетом сказанного в п. 12.12М нужно соблюдать осторожность.

Время, прошедшее между О и Q, может быть как положительной, так и отрицательной величиной (п. 8.14М), так же как и расстояние от О до Q. Но, согласно п. 12.12М, величины (время между О и Q)2 и (расстояние от О до Q)2 положительны, и если последняя больше первой, то величина (12.2) отрицательна (п. 12.ИМ). Но такой величины, квадрат которой был бы отрицательным, не существует (п. 12Л2М).

Однако если величина (12.2) отрицательная, то величина

(Расстояние от О до Q)2—(Время от О до Q)2 (12.4) (полученная путем перестановки входящих в нее членов) будет положительной, и мы избежим осложнений, взяв в качестве инварианта величину, квадрат которой равен (12.4). Если время между событиями больше расстояния, то величина (12.2) положительна, и тогда никаких проблем не возникает.

Полученный таким способом инвариант называется интервалом. Дадим строгое определение:

интервал между двумя событиями О и Q — это величина, квадрат которой равен:

либо (Время между О и Q)2— (Расстояние от О

до Q)2,(12.5)

либо (Расстояние от О до Q)2—(Время между О и Q)2(12.6)

в зависимости от того, какая из этих величин положительна (время и расстояние должны измеряться одним и тем же инерциальным наблюдателем).

Если же время и расстояние равны, то интервал всегда равен нулю.

Из сказанного в п. 12.10 следует:

ИНТЕРВАЛ, ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ТАКИМ ОБРАЗОМ, 一 ЭТО ИНВАРИАНТ.

Например, если время, прошедшее от О до Q, равно 5 с, а расстояние от О до Q 13 с, то следует воспользоваться выражением (12.6); тогда (интервал между событиями О и Q) 2 = 132—52=144, отсюда интервал между событиями О и Q равен 12.

Этот пример напоминает, что мы используем естественные единицы (п. 7.11), и расстояние измеряется в тех же единицах, что и время. Следовательно, оба выражения (12.5) и (12.6) принимают вид:

(Время)2——(Другое время)2;

а значит, (интервал)2 также имеет смысл (время)2. Таким образом, интервал тоже имеет смысл времени и измеряется в единицах времени.

Обозначив буквой s интервал между событиями О и Q, запишите определение интервала в сокращенной символической форме.

Время между О и Q, с точки зрения наблюдателя А, обозначим иерез Т, а расстояние от О до Q — через X. Тогда определение, данное в п. 12.15, сведется к следующему:

либо s2 = D—X* либо s2=X2 —丁2.

в зависимости от того, которое из этих выражений положительно. Если же пользоваться результатами измерений наблюдателя В, то вместо Т будет стоять t, вместо X ——％.

Объединим эти выражения:

либо s2= Т2—犬2 =产—％2,(12.7)

либо s2 = X2—T2 = %2—伊.(12.8)

в зависимости от того, какое из них положительно.

До сих пор наши исследования все глубже затягива- вали нас в трясину, где то, что мы считали бесспорным, на поверку оказывалось лишь зависящим от точки зрения того или иного наблюдателя. Теперь мы наконец обрели твердую почву под ногами, обнаружено нечто, в отношении чего мнения всех наблюдателей совпадают.

Промежуток времени и расстояние между двумя событиями — это всего лишь относительные величины, зависящие от наблюдателя. Но та комбинация времени и расстояния, которую мы назвали интервалом, оказалась независящей от наблюдателя. Поэтому интервал является истинной характеристикой связи между двумя событиями. Он остается одним и тем же для всех инерицональных наблюдателей.

Интервал ——это «смесь» времени и расстояния. Такое наблюдение подкрепляет вывод, сделанный в гл. 11, что мир, в котором мы живем, — это единое, универсальное пространство-время.

Просмотрите п. 11.15. Для завершения рассмотренной там аналогии можно добавить следующее:

Однако совпадают мнения всех наблюдателей в отношении

расстояния,интервала,

где

(Расстояние)2 = Г2+X2 = /2 + х2(Интервал)2 =

Т2—Х2=/2—%2,

Х2—Т2 = %2—伊

и мы приходим к выводу, что величины, которые являются ин вариантами

на плоскости8 пространстве-времени

это

расстояниеинтервал

Аналогия стала более впечатляющей. Теперь есть различия между столбцами: разные направления поворо-

та осей координат при переходе от одного наблюдателя к другому (п. 11.15) и тот факт, что в одном случае инвариант представляет собой сумму Т24-А*2, а в другом —разность Т2—Х2, так что аналогия очень тесная.

И весьма обнадеживающая! Когда землемеры поняли, что расстояние инвариантно, они стали лучше понимать плоскость, на которой живут. Также и мы лишь тогда постигнем пространство-время, когда полностью оценим следствия инвариантности интервала.

Землемеры и их системы координат связаны с геометрией на плоскости. Не следует думать, что существует одна-единственная геометрия. Возможны различные геометрии: геометрия на плоскости, геометрия на сфере и т. д., и правила в рамках этих геометрий разные. Например, на плоскости сумма всех углов треугольника всегда равна двум прямым углам, а на сфере эта сумма всегда больше двух прямых углов (вообразите треугольник, две вершины которого лежат на экваторе и одна на полюсе).

Каждая геометрия включает свой набор теорем. Можно построить ту или иную геометрию в виде набора правил для обработки измерений, сделанных в том или ином пространстве. В этом смысле можно говорить и о геометрии пространства-времени.

J2.22. Геометрия полностью определяется своим инвариантом. Это значит, что если известно, как измерены координаты, и известна формула вычисления инварианта через координаты, то на основании этого можно построить геометрию. (К сожалению, доказательство слишком сложно, так что примите это утверждение на веру.) Можно, например, построить в деталях геометрию на плоскости, если знать, как землемеры измеряют координаты (пп. 11.10——11.12), и формулу для вычисления инварианта (расстояния) по этим координатам (п. 11.21). Точно так же, чтобы построить геометрию пространства-времени, надо знать, как измеряются время и расстояние и как вычисляется интервал по этим координатам.

Мы всюду предполагали, что тяготение отсутствует. Специальная теория относительности описывает свойства пространства-времени в отсутствие тяготения (п. 5.5). Таким образом, наша задача — построить специальную теорию относительности, исходя из методов, с помощью которых инерциальные наблюдатели измеряют время и расстояние, и правила вычисления интервала по результатам этих измерений.

13

ВОЗВРАЩЕНИЕ К СТАРЫМ ЗНАКОМЫМ

Исходя из формулы для интервала, выведем некоторые уже известные нам вещи. Не хочу говорить заранее, что это такое, пусть это будет сюрприз. Мы не будем строить никаких диаграмм, вывод целиком осн。- ван на одной лишь инвариантности интервала.

Рассмотрим двух инерциальных наблюдателей А и В, которые минуют друг друга в момент события О с относительной скоростью и (выраженной в долях скорости света, см. п. 8.39). Пусть Q соответствует удару часов наблюдателя В, происшедшему, с точки зрения А, через I единицу времени после О, и пусть t означает время между событиями О и Q по часам наблюдателя В.

Каково, с точки зрения наблюдателя В, расстояние между О и Q?

Оно равно нулю, ибо оба события произошли рядом с ним. А чему равен интервал s между О и Q?

Воспользуемся формулой (12.7), положив в ней в соответствии с только что полученным результатом % равным 0. Тогда s2 = t2—О2, или просто

S2=f2.(13.1>

Чему равно расстояние от О до Q с точки зрения наблюдателя А?

Наблюдатель А видит, что между событиями О и Q наблюдатель В удаляется от него со скоростью v в течение 1 единицы времени и, значит, покрывает расстояние V. Выразите интервал от О до О с точки зрения наблюдателя А.

Теперь, принимая во внимание, что Т=1 и Х = и, получим

s2=l—风(13.2)

Не замечаете ничего интересного?

Из инвариантности интервала следует, что оба выражения для величины s? должны быть равны, т. е.

Итак, установлена связь между промежутками времени, измеренными наблюдателями А и В.

. Если одно число или величина является корнем квадратным из другой, то вторая величина есть квадрат первой. Так, 3 ——это корень квадратный из 9, ибо 9 — это 3 в квадрате. Чему равен корень квадратный из 产？

Просто 力 потому что его квадрат равен 修

Символ ]/ означает «корень квадратный из». Поэтому можно записать: 3=^9, поскольку 9 = 32. А первое предложение этого раздела можно переписать так:

Если Ь = Уа, то а = Ь2.

Корень квадратный из выражения типа 1——у2 записывается в виде 丫1—吟 сначала нужно вычислить 1—?2 и только после этого извлечь квадратный корень.

Из (13.3) следует, что

(13.4)

(Если для вас это не очевидно, то замените в формуле, данной в п. 13.4М, а на 1——и2, а & на /). Говоря, что время между событиями О и Q, с точки зрения наблюдателя А, равно единице, мы не указали, какой именно единице. Можно принять любую единицу времени (ср. с пп. 3.13 и 3.21). Значит, из формулы (13.4) следует, что во всех случаях

(Время, прошедшее по часам наблюдателя В между событиями О и Q) = (Время, прошедшее между О и Q с точки зрения А)Х]/1—и2.

Если обозначить время, прошедшее между О и Q с точки зрения А, через Т, то

/=Т|Л匚不，(13.5)

где Т]/1—№ = ТХУ1—и? (см. п. 9.14М). Уравнение (13.5)—это и есть то уравнение, которое мы стремились вывести.

Узнали старого знакомого?

Если нет, проштудируйте еще раз пп. 3.7 и 3.8 (а при необходимости — пп. 3.1 и 3.2). Какое время в рассматриваемом случае следует считать собственным, а какое несобственным?

Наблюдатель В присутствует как при событии О, так и при событии Q. Следовательно, f — это собственное время. Наблюдатель А не присутствует при со-

бытии Q, а значит, 7'—несобственное время. Таким образом, формула (13.5) устанавливает связь между промежутками собственного и несобственного времени.

Теперь узнали?

Вернемся снова к замедлению течения времени (п. 3.10). Из уравнения (13.5) следует, что собственное время равно несобственному времени наблюдателя А, умноженному на коэффициент ]/1—М. Он больше или меньше 1?

Согласно п. 12.12М, и2 — величина положительная. Поэтому 1—V2 меньше 1, а значит, ]"—v2 также меньше единицы. Следовательно, промежуток собственного времени меньше промежутка несобственного времени. К этому же выводу мы пришли в п. 3.10. Но теперь мы еще определили, на сколько меньше.

Единственной информацией, которая использовалась в этом выводе, была инвариантность интервала. Это свойство интервала ——очень важное открытие, поскольку из него с такой легкостью следует замедление течения времени. Этот вывод служит в пользу приведенного в п. 12.23 предположения о возможности построения всей специальной теории относительности из свойства инвариантности интервала.

В повседневной жизни мы пользуемся знанием геометрии. Наша геометрия основана на том, что вычисленное по измеренным координатам расстояние (п. 11.21) является инвариантом. И даже те, кто не изучал геометрию, интуитивно чувствуют это.

Аналогичную роль в мире больших скоростей играет инвариантность интервала. Сознавая относительность времени и расстояния, люди в таком мире полагались бы на знание того, что интервал является инвариантом (и это для них было бы очевидно). А замедление течения времени для них элементарная геометрическая теорема, известная каждому ребенку. Для нас интервал не может иметь столь же ясный смысл, но он помогает углубить наше понимание пространства-времени.

Убедимся, что формула (13.5) дает тот же результат, что и расчет, проделанный в пп. 3.13——3.22. При и = = 0,995 получим у2 = 0,990025;I—и2 = 0,009975 и

山—v2 = 0,09987 (проверьте это возведением в квадрат) ,что довольно близко к 0,1. В качестве упражнения решите этим способом задачи 1) и 2) из п. 3.23.

Из формулы (13.5) ясно, почему мы не замечаем за-

медления течения времени. Скорости, с которыми мы встречаемся в повседневной жизни, чрезвычайно малы по сравнению со скоростью света. Поэтому у—это очень маленькая дробь, а у2 еще меньше. Следовательно, значение величины 1—v2 очень близко к 1, так же как и ]/1—и?. Таким образом, / почти совпадает с Т. Хотите конкретные цифры? Но при расчетах для малых скоростей возникают трудности арифметического характера (убедитесь в этом сами), которые мы обойдем, используя приближенные формулы.

. Знак 《^》применяется для сокращенной записи фразы «приблизительно равно》.

. Длина сторон большого квадрата на рис. 13.12 равна 1. Поэтому длина отрезка FC, для которой мы введем обозначение х/2 (чтобы облегчить расчет), будет

иметь дробное значение. Пусть EBCG, например, площадь прямоугольника с вершинами в точках Е, В, С и G. Тогда

ABCD —EBCG—FCDH ^ АЕКН.(13.6)

Это — приближенное соотношение, поскольку FCGK вычитается дважды. Но если х/2 ——малая дробь, то ошибка пренебрежимо мала.

Применение обычной формулы (ширина)\(длина) для расчета каждой площади дает

1 — х/2—х/2 ^ (1 —х/2)2.

13.13.13.13.13.14.13.14.Но дважды вычесть х/2 — это все равно что один раз вычесть %. Поэтому

13.13.

13.13.

13.14.

13.14.

1_% = (17 ⑵ 2,(13.7)

откуда

1—х/2.(13.8)

(ср. с п. 13.5). Мы получили удобный метод извлечения квадратных корней из чисел, чуть меньших единицы. Примените его к одному-двум числам (типа 0,994) и проверьте полученные ответы возведением в квадрат. Замена х на у2 в формуле (13.8) дает

小匸灰弋1—№/2.(13.9)

Скорость реактивного самолета у— 0,000001 (п. 1.8). Чему равно замедление течения времени относительно наблюдателя, стоящего на земле?

у2 = 0,000 000 000 001. Тогда, согласно (13.9), 丫1—v2^ 弋 1—0,000 000 000 000 5 = 0,999 999 999 999 5. Едва ли можно заметить расхождение в 1 часть на 2 миллиона миллионов! Рассмотрите еще несколько примеров, в частности сравните мнения наблюдателей на Земле и на Солнце (п. 1.8). При какой скорости будет наблюдаться заметный эффект?

Рис. 13.14Рис. 13.14Кое-что новое о замедлении течения времени можно узнать с помощью пространственно-временной диаграммы (рис. 12.1), на которой мировые линии наблю-

Рис. 13.14

Рис. 13.14

дателей А и В имеют одинаковые наклоны. Убедитесь, что рис. 13.14 изображает ситуацию, о которой шла речь в п. 13.1.

Прямая MQ параллельна оси X и, значит, перпендикулярна оси / (п. 12.3). Таким образом, отрезок OQ короче отрезка ОМ. Но они представляют в одном и том же масштабе (п. 12.1) соответственно собственное время наблюдателя В и несобственное время наблюдателя А между событиями О и Q. Значит, промежуток собственного времени меньше несобственного. Рассмотрите в качестве упражнения случай, когда событие Q происходит раньше, чем О. Уравнение (13.5) легко вывести из рис. 13.14.

В пп. 3.34 — 3.36 мы познакомились с другим способом представления замедления течения времени, а в п. 3.37 я обратил ваше внимание на кажущееся противоречие. Вы уже разобрались в нем? Если нет, то попытайтесь еще раз.

Глядя на рис. 13.14, нетрудно понять, почему наблюдатель А считает, что часы В отстают: отрезок OQ, представляющий время, измеренное по часам наблюдателя В, короче отрезка ОМ, дающего время с точки зрения А. Чтобы выяснить, что думает наблюдатель В о ходе часов А, возьмем на мировой линии наблюдателя А точку q, проведем прямую mq параллельно оси х, а затем повторим наше рассуждение, из которого, если просто поменять местами А и В, получится тот же результат.

Дело в том, что отрезки MQ и mq параллельны двум осям расстояний, но не параллельны друг другу; именно поэтому на диаграмме можно представить относительность одновременности. Просмотрите еще раз пункты (а) и (б) в п. 3.37, и вы увидите, что никакого противоречия нет.

Нанесите две одинаковые шкалы времени вдоль двух осей времени. Затем, воспользовавшись открыткой с прорезью, посмотрите, насколько больше времени, с точки зрения наблюдателя А (пп. 8.13 и 8.27), пройдет между появлением в прорези точек О и Q по шкале А, чем по шкале В. Повторите процедуру для точек О и q с точки зрения наблюдателя В.

Предсказанное теорией относительности замедление течения времени проверялось не только в эксперименте, описанном в пп. 3.28—3.32, но и во многих других. В одних опытах использовались мюоны, в других—пи-мезоны (п. 1.9), короткое время жизни кото-

рых позволяет провести весь эксперимент в стенах лаборатории; результаты согласуются с предсказанием теории с точностью 0,4%. В журнале New Scientist от 22 апреля 1976 г. на стр. 184 описаны эксперименты, в которых с помощью лучей лазера измеряли, на сколько отстают часы, «встроенные» в движущиеся атомы. Они дали почти такую же точность.

Очень короткоживущие частицы должны пройти несколько метров от места, где они родились, к месту, где они будут подвергнуты эксперименту. Но достаточное ли их число «выживет», чтобы имело смысл проводить опыт? Чтобы правильно ответить на этот вопрос, экспериментатор должен учесть замедление течения времени. Поэтому каждый эксперимент — это еще од- на проверка этого предсказания, а значит (п. 3.33), и справедливости специальной теории относительности.

Чему равен промежуток собственного времени между двумя событиями, связанными световым сигналом?

Возможно, вы бы ответили: 《нулю》. И, вероятно, получили бы этот ответ, подставив в формулу (13.5) и=1; тогда ]/ 1——^2 = 0, а значит, / = 0. Но ведь формула (13.5) выведена для инерциальных наблюдателей, а они не могут двигаться со скоростью света (п. 2.1). Предположим, что (13.5) выполняется также и для света, тогда ваш ответ будет правильным. Для светового сигнала замедления течения времени не происходит. Был ли я излишне осторожен в п. 6.11?

Пространственно-временная диаграмма с одинаково наклоненными мировыми линиями (п. 12.1) поможет понять релятивистское сокращение длин (п. 3.33, а также пп. 2.23—2.26). Отменим временно соглашение, принятое в п. 8.5, чтобы говорить о длине стержня. Пусть наблюдатель А (рис. 13.18) несет стержень, держа его за один конец. Тогда другой конец стерж- ня всегда будет на одном и том же расстоянии от А, а его мировая линия параллельна оси X (п. 8.12) (штриховая линия на рис. 13.18).

У стержня есть своя история в пространстве-времени. Как она представлена на диаграмме?

Всей площадью между мировой линией и пунктирной линией. Каждая точка этой площади соответствует событию, состоящему в том, что частичка стержня мгновенно находится там. Вспомним теперь сказанное в п. 11.7 о том, как каждый наблюдатель по-своему расщепляет пространство-время на пространство и вре-

мя. Как описывается стержень, с точки зрения наблюдателя А, в некоторый момент времени?

Любым отрезком, параллельным оси расстояний А (п. 8.12), например PQ или LN. Как описывается стержень в некоторый момент времени с точки зрения В?

А\

Рис. 13.18.

Отрезками прямых вроде RS и KN, параллельных его оси расстояний. Проверьте с помощью открытки с прорезью.

Длина стержня — это расстояние между его концами, измеренное в один и тот же момент времени (п. 2.23), длина отрезка LN для А и KN для В (в одном масштабе; п. 12.1). Теперь видно, что несогласие наблюдателей в отношении длины ——следствие различия способов, которыми наблюдатели расщепляют пространство-время на пространство и время (п. 11.7).

Отрезок KN перпендикулярен оси Т (п. 12.3), поэтому он короче отрезка LN, и наблюдатель В считает,

что длина стержня, который держит А, уменьшилась: методом, описанным в п. 3.38, или путем сравнения геометрических фигур на рис 13.14 и 13.18 можно доказать, что длина стержня, измеренная наблюдате- л-ем В, равна длине стержня, измеренной А, умноженной на ]/1——у2. Точно так же думает наблюдатель А в отношении стержня, принадлежащего В. Теперь можно уточнить вывод, сделанный в п. 3.38: «...и равна длине стержня другого наблюдателя, умноженной на y1-02》.

В отличие от замедления течения времени релятивистское сокращение длин не имеет практического значения, ибо на практике не возникает ситуаций, в которых быстродвижущиеся объекты можно было бы рассматривать как измерительные стержни.

. Знак > используется для сокращения фразы «больше чем», а знак < вместо «меньше чем». Их форма хорошо отражает их смысл.

, Абсолютная величина числа равна самому этому числу, если» оно положительно, и противоположному числу, если оно отрицательно. Так, абсолютная величина чисел 3 и ——3 равна 3. Согласно п. 12.12, квадрат любого числа (положительного или отрицательного) равен квадрату его абсолютной величины.

Рассмотрим два любых события О и Q с точки зрения наблюдателя А, присутствующего при» событии О (в силу инвариантности интервала выбор наблюдателя не имеет значения). Снабдим его прямоугольной системой координат (п. 8.42), оси, как обычно, обозначим буквами 7 и X. Линии сигналов, проходящие через точку О, делят пространственно-временную диаграмму на квадранты (как на рис. 10.1).

Если точка Q находится в верхнем или нижнем квадрантах (рис. 13.22), то очевидно, что она расположена от оси расстояний дальше, чем от оси времени. Значит (для положительных и для отрицательных Т и X), (Абсолютное значение 7) > (Абсолютное значение X) и Т2>Х2. Таким образом; разность Т2—X? положительна, и интервал между О и Q дается формулой (12.7).

В этом случае наклон линии OQ больше 45 , т. е. события разделены времениподобно (п. 11.8). Будем называть интервал между этими событиями времениподобным.

Прямая, проходящая через точки О и Q под углом

больше 45°, могла бы быть мировой линией инерциального наблюдателя, скажем В, который присутствует при обоих событиях. Какова связь между временем.

Рис. 13.22.

прошедшим по его часам между событиями О и Q, и интервалом между О и Q?

Точно так же как в п. 13.2, можно доказать, что s2 = /2, а потому s = /・ Значит, мы доказали, что

если интервал между двумя событиями времениподобный, то он равен промежутку времени, прошедшего между ними и измеренного инерциальным наблюдателем, который присутствовал при них обоих.

Если точка Q находится в левом или правом квадрантах, то разделение событий О и Q пространственноподобное. Будем называть интервал между О и Q пространственноподобным, При этом интервал определяется формулой (12.8). Существует наблюдатель, для которого эти события происходят одновременно. Итак, если интервал между двумя событиями пространственноподобный, то он равен расстоянию между ними, измеренному наблюдателем, относительно которого эти события одновременны.

И наконец, если точка Q лежит на линии сигнала, проходящей через О, то как формула (12.7), так и (12.8) дает s = 0. Назовем такой интервал светоподобным или изотропным. Не существует наблюдателя, относительно которого О и Q разделены только в пространстве или только во времени.

14

МАСШТАБЫ НА ПРОСТРАНСТВЕННО- ВРЕМЕННОЙ ДИАГРАММЕ

Как шкала времени одного наблюдателя связана со шкалой другого (п. 8.24)? Эту связь можно найти, воспользовавшись инвариантностью интервала (п. 12.15).

Рассмотрим в одномерной вселенной все события, отделенные от события О некоторым фиксированным интервалом, т. е. все такие события Q, чтобы интервал между О и Q был одинаков. На пространственно-временной диаграмме эти события изображаются точками кривой, которую мы назовем изовалой (сокращение от слова «изоинтервал» по аналогии с «изобарой» и т. п.,— этот термин придумал я сам). Очевидно, следует различать времениподобные и пространственноподобные изо- валы в зависимости от рассматриваемого интервала (пп. 13.22 и 13.23).

Изовала ——это пространственно-временной аналог окружности. Обычная окружность ——это линия, все точки которой удалены на одно и то же расстояние от фиксированной точки, а изовала — это' геометрическое место всех событий, удаленных на один и тот же интервал от фиксированного события.

Ясно, что изовалы не зависят от наблюдателя. Поэтому их можно изучать с точки зрения одного наблюдателя А, мировая линия которого проходит через О и которого мы для удобства снабдим прямоугольной системой координат (п. 8.42). Сначала познакомимся с времениподобными изовалами.

Если координаты Т м X некоторой точки Q таковы что

Т2 —X2=s2,(14.1)

то из (12.7) следует, что интервал между событиями О и Q времениподобный (п. 13.22) и равен s. Значит, Q — это точка времениподобной изовалы для интервала s. А полная изовала будет состоять из всех точек, для координат которых справедлива формула (14.1).

Теперь выясним, как выглядит изовала. На рис. 14.3 длина отрезка ОЕ равна s. Возьмем любую точку N на оси X и проведем вертикальную прямую NQ, равную по

длине отрезку NE. Докажите, что точка Q принадлежит изовале.

Применяя к треугольнику OEN теорему Пифагора, получим

(Длина отрезка NE)2= (Длина отрезка ОЕ)2+ (Длина отрезка ON)2,

или (поскольку длина NE = длинe отрезка NQ = 7) Т2 = =s2+X2. Вычитание величины X2 из обеих частей этого соотношения дает уравнение (14.1), показывающее, что Q — это точка изовальь

Пусть точка N движется вдоль оси X. По мере того как она смещается вправо, точка Q движется вправо вместе с ней, но при этом еще и поднимается вверх по- странице, так, чтобы все время выполнялось равенство (длина отрезка NQ) = (длина отрезка NE). Кривая, которую при таком движении опишет точка Q, и будет изовалой. Постарайтесь мысленно представить себе, как выглядит эта кривая. А лучше наметьте с помощью описанного процесса несколько положений точки и проведите через них гладкую кривую.

В результате вы должны получить рис. 14.5. Вас, наверное, удивляет, что кривая лежит как в правой, так и в левой сторонах диаграммы. Но ведь было сказано, что N может быть любой точкой на оси X. А может быть вы удивлены, что такая же кривая проходит ниже оси X? Но ведь прямую NQ можно провести вертикально вниз с тем же успехом, что и вертикально вверх. (Если же вы свободно оперируете отрицательными величинами, то найдите еще одну причину, по которой кривая симметрична относительно обеих осей.)

Вы, вероятно, считаете кривые выше и ниже оси X двумя различными кривыми. Но математики предпочитают их рассматривать как две «ветви》 одной кривой, ибо они обе получаются в результате применения процедуры, описанной в п. 14.3, или из уравнения (14.1).

Рис. 14.5.

Разумеется, обе ветви кривой могут быть продолжены в оба конца сколь угодно далеко. Рис. 14.5 наводит на мысль, что по мере продолжения ветви уходят вправо и влево, неограниченно приближаясь к линиям сигналов, проходящим через точку О, но никогда не достигая их. Это нетрудно доказать, если заметить, что, чем дальше точка N отстоит от О (рис. 14.3), тем ближе длина отрезка NE, а значит, и NQ, к длине отрезка ON.

Если s— 1, то получится единичная времениподобная изо- вала——кривая, точки которой изображают все события, отделенные от О времениподобным интервалом, равным 1. Рис. 14.5 останется вполне пригодным, если положить длину отрезка ОЕ равной 1, т. е. взять ОЕ в качестве единицы измерения на шкале времени наблюдателя А. Мы воспользуемся этой единичной изовалой для решения задачи о масштабах.

Пусть В ——еще один инерциальный наблюдатель, мировая линия которого (проходящая через точку О) пересекает верхнюю ветвь единичной изовалы в точке Н (рис. 14.5). Тогда время, прошедшее по часам наблюда-

теля В между событиями О и Н, равно интервалу между О и Н (п. 13.22), который в свою очередь равен 1 в соответствии с определением единичной изовалы. Иными словами, длина отрезка ОН равна единице шкалы времени наблюдателя В, точно так же как длина отрезка ОЕ равна единице шкалы наблюдателя А (п. 14.7). Как изменяется единица масштаба по мере того, как мировая линия наблюдателя В все сильнее отклоняется от вертикали?

Итак, теперь у нас есть способ, позволяющий найти связь между масштабами всех наблюдателей, мировые линии которых проходят через точку О. Для тех, чьи мировые линии через О не проходят, мы воспользуемся шкалой, нанесенной на параллельную мировую линию, проходящую через О (так как мнения неподвижных относительно друг друга наблюдателей по поводу промежутков времени и одновременности совпадают).

Координаты любой точки пространственноподобной изовалы для интервала s связаны уравнением

X2—T2 = s2,(14.2)

полученным из (12.8) (ср. с п. 14.2). Эту кривую можно было бы нарисовать методом, описанным в пп. 14.3 и

взяв точку на оси Т. Такой же результат получится, если времениподобную изовалу повернуть на 90° так, чтобы она заняла левый и правый квадранты. Рис. 14.9

повторяет рис. 14.5 с добавленной пространственноподобной изовалой.

Чтобы получить единичную пространственноподобную изовалу (ср. с п. 14.7), положим s=l и примем за единицу длину отрезка OF на рис. 14.9. Тогда из доводов, аналогичных приведенным в п. 14.8, следует (проверьте сами), что длина отрезка ОК изображает единицу расстояния наблюдателя В (К — это точка пересечения оси расстояний наблюдателя В с изовалой).

Если пространственно-временную диаграмму, разработанную в гл. 8 (рис. 8.26), дополнить двумя единичными изовалами (рис. 14.9), позволяющими определить масштабы, то получится диаграмма Минковского (названная в честь Германа Минковского, который первым дал такую геометрическую интерпретацию теории Эйнштейна). Из этой диаграммы можно вывести всю специальную теорию относительности.

Поэтому диаграмма Минковского — это точная карта пространства-времени •— свободного от тяготения пространства-времени специальной теории относительности!.

Заметьте, я говорю «карта пространства-времени», а не копия или модель. Карта часто искажает действительность. Например, при изображении сферической поверх

ности Земли на плоском листе бумаги обязательно возникают искажения. Рассматриваемая как копия, карта вводит в заблуждение, а интерпретируемая в соответствии с определенными правилами, дает правильную информацию.

Рассмотрим, например, следующий способ изображения поверхности Земли. Возьмем прозрачный глобус G (рис. 14Л2) и обернем его листом бумаги так, чтобы образовался цилиндр М, касающийся глобуса во веек точках экватора Е. Если в центре глобуса С поместить гочечный источник света, то тени, отбрасываемые непрозрачными деталями на поверхности глобуса, дадут карту на цили1ндре. Зафиксируем ее фотографическим способом, развернем лист бумаги — и получим карту Земли в проекции Меркатора.

Пусть по поверхности глобуса ползает муха. Подумайте, как движется по цилиндру ее тень, и вы поймете, что такая карта сильно искажает расстояния. Размер единицы расстояния зависит от широты: чем выше широта, тем крупнее масштаб.

Представление о пространственно-временной диаграмме как о карте поможет нам в дальнейшем. Причина, по которой изменяется масштаб на пространственно-временной диаграмме в зависимости от наклона мировой линии наблюдателя, не более загодочна, чем причина, по которой масштаб карты в проекции Меркатора меняется с широтой.

Почему вопреки аналогии с окружностью (п. 14.1) изовалы уходят на бесконечность? Но и здесь полная аналогия с картой в проекции Меркатора, на которой Северный полюс располагается бесконечно далеко в верхней части листа бумаги, так что любая окружность, проходящая через полюс, отображается на карте на незамкнутую кривую, уходящую на бесконечность.

Предположим, что мы не в состоянии вообразить сферу, но должны разобраться в геометрии Земли, изучая плоские карты. Тогда нам пришлось бы иметь дело с этими незамкнутыми кривыми, после чего путем логических рассуждений мы бы уяснили, что, несмотря на свой внешний вид, они должны быть изображениями кривых, лежащих на неподдающейся воображению сфере, все точки которых находятся на одинаковом расстоянии от фиксированной точки. А теперь сами распространите это по аналогии на интервал.

14Л4. С некоторых пор я перестал напоминать вам о необходимости использовать открытку с прорезью. И вы могли попасть в ловушку слишком геометризованных представлений о пространственно-временной диаграмме, забыв, что в ней воплощены смена событий и движение. Потратьте немного времени и изучите диаграмму на рис. 14.9 с помощью открытки с прорезью.

Если вы достаточно поупражняетесь, то сможете сделать важное наблюдение. Но даже если с открытием ничего не выйдет, к тому времени, когда понадобится, вы будете лучше подготовлены.

14Л5. В одномерной вселенной проводятся соревнования по поеданию пудинга. Всем участникам выданы одинаковые порции, которые они начинают есть, как только минуют друг друга в момент события О. Кто первым съест свою порцию, тот и победит. Все участники, сами того не зная, едят с одинаковой скоростью. Какое впечатление сложится у каждого из участников о результатах соревнования?

Если на то, чтобы съесть пудинг, требуется время s, то каждый участник проглотит последний кусок в момент события, представленного на рис. 14.5 точкой пересечения его мировой линии с изовалой (с верхней ветвью)—точкой Е для участника А и точкой Н для его соперника В. Но с точки зрения А, горизонтальная прямая, проходящая через точку Е, представляет события, которые всюду произошли как раз в тот момент времени, когда он закончил есть (п. 8.12). Вся верхняя ветвь изовалы лежит выше этой прямой. Поэтому А думает, что все остальные участники «пришли к финишу» позже. (Открытку с прорезью в дело!) Однако участник А ничем не отличается от всех остальных, хотя мы и выделили его на диаграмме. Поэтому каждый участник соревнований считает себя победителем.

Это еще одно проявление замедления течения времени. Продумайте это детально. (Если вы сильны в математике, разберитесь, как это выглядит с точки зрения участника В. Что можно сказать о расположении касательной в точке Н по отношению к оси х?)

На рис. 14.16 по-прежнему нанесена прямоугольная система координат, обозначим наблюдателя, которому она принадлежит, через А】. Показаны обе ветви единичной времениподобной изовалы (п. 14.7). На диаграмме также изображены мировые линии трех инерциальных наблюдателей А, В и С. Воспользуйтесь открыткой с прорезью, чтобы узнать, что говорит диаграмма об этих трех наблюдателях.

С подобной ситуацией мы впервые встретились в пп. 4.1 и 4.2 при решении задачи о трех хронометрах. Перечитайте пп. 4.1——4.5, а затем попробуйте с помощью рис. 14.16 дать другое доказательство вывода, к которому мы там пришли.

Согласно п. 14.8, длина отрезка OQ равна единице времени наблюдателя С, так что измеренный по его часам промежуток времени между событиями О и Q равен 1. По той же причине единице равен и промежуток времени между Р и О, измеренный по часам наблюдателя В. Чему равен промежуток времени между событиями Р и Q, измеренный по часам наблюдателя А?

Длина отрезка ОЕ соответствует единице времени» измеренного как по часам А, так и по часам А】(п. 14.8). Совершенно ясно, что длина отрезка PQ больше удвоенной длины отрезка ОЕ, а значит, измеренный по часам А промежуток времени между Р и Q больше 2, т. е. больше промежутка времени между Р и Q, измеренного совместными усилиями наблюдателей В и С, что совпадает с выводом, сделанным в п. 4.5.

Быть может, так получилось только потому, что мы снабдили наблюдателя А вертикальной мировой линией? Однако сам наблюдатель с вертикальной мировой линией ничем особенным среди других не выделяется.

Что произойдет, если снабдить наблюдателя А наклонной мировой линией? Нарисуйте новую диаграмму, нанеся начало координат О и единичную изовалу. В качестве мировой линии наблюдателя А выберите любую прямую с углом наклона больше 45°. Завершите диаграмму для трех хронометров, как показано на

рис. 14.18, но используйте другую мировую линию для наблюдателя А. Убедитесь, что диаграмма по-прежнему рассказывает историю о трех хронометрах. Затем проведите через точку О параллельно мировой линии А мировую линию наблюдателя Ai, пересекающую изовалу в точке Е. Измерьте PQ и ОЕ и снова найдите промежутки времени.

Все, что написано в п. 14.17, применимо и к новому рисунку, так что вывод будет тот же. Рассмотрите еще

один-два примера. Если вы сильны в математике, то докажите, что всегда должен получаться один и тот же результат: промежуток времени, измеренный наблюдателем А, больше суммарного промежутка времени, измеренного парой В—С.

Просмотрите пп. 4.6—4.10, но при этом постоянно обращайтесь к рис. 14.16 и примите к сведению мои пояснения.

Возникшая еще в п. 4.7 проблема исчезнет, если вспомнить, что «время, прошедшее, с точки зрения наблюдателя А, между событиями Р и О》—это измеренный по часам А промежуток времени между Р и М (п. 7.14).

Теперь ясно, почему попытка провести доказательство в обратном порядке (п. 4.8) всегда обречена на провал. Например, рассуждая, как в п. 4.4, по поводу

промежутков времени между Р и М и М и Q, нетрудно доказать, что измеренное по часам наблюдателя А время между Р и Q меньше суммы промежутков времени, прошедших, с точки зрения наблюдателя В, между Р и М и, с точки зрения наблюдателя С, между М и Q. Что цает сложение двух последних интервалов времени?

Проведем ось расстояний наблюдателя В в соответствии с обычным правилом (п. 8.26), а отрезок прямой MN параллельно ей. Тогда, по мнению наблюдателя В, события М и N происходят одновременно (п. 8.12). Поэтому, говоря о промежутке времени между событиями Р и М с точки зрения В, мы имеем в виду время между Р и N, измеренное по часам В (ср. с п. 7.14). Тогда (если прямая LM параллельна оси расстояний наблюдателя С) измеренное по часам наблюдателя А время между Р и Q меньше суммы промежутков времени, измеренных между Р и N по часам В и между L и Q по часам С. Складывая два последних интервала, мы не получим измеренное совместными усилиями наблюдателей В и С по их часам время, прошедшее между событиями Р и Q, поэтому нет никакого противоречия с выводами, полученными в п. 4.5 при решении задачи о трех хронометрах.

Н.20. Будем временно рассматривать рис. 14.16 как географическую карту равнинной местности (п. 4.9). Пусть геодезисты А, В и С измеряют три прямые дороги, соединяющие центры городов Р, О и Q. Возможно, вас рассмешит утверждение, что геодезист А и пара В—С, выйдя из одной точки и закончив путь в одной и той же точке, измеряли одно и то же. Быть может, по аналогии с землемерами из гл. 11 часы наблюдателя А, с одной столоны, и часы пары В——С ——с другой, измеряют нечто разное между событиями Р и Q (рис. 14.16 снова рассмотрим как пространственно-временную диаграмму)?

Землемеры (гл. 11) шли разными путями. Поэтом} совершенно естественная интерпретация пространственно-временной диаграммы состоит в том, что наблюдатель А и пара В—С выбирают разные пути через пространство-время от Р к Q. Кроме того, мы считаем само собой разумеющимся, что землемеры, измеряя расстояния вдоль разных путей, получают разные результаты. Быть может (в свете п. 4.9), наблюдатели, измеряя время вдоль разных путей в пространстве-времени, также получат разные результаты?

Мы привыкли думать, что время между двумя событиями не зависит от выбранного пути. Теперь мы знаем,

что зависит, точно так же как зависит от выбранного пути расстояние между двумя точками. Просто геодезисты В и С шли из города Р в город Q длинным путем. Аналогично в пространстве-времени наблюдатели В и С от события Р к событию Q «шли коротким путем». (Таков уж описанный в п. 14.8 способ задания масштаба, что позволяет 《короткий путь» в пространстве-времени представить на диаграмме в виде «длинного пути》POQ (как в пп. 14.12 и 14.13 при составлении карты земной поверхности).

В пространстве окольный путь длиннее прямого. В пространстве-времени непрямой путь короче прямого. В математическом отношении это связано с другими различиями (см. п. 12.20). Но здесь я не буду доказывать существование такой связи.

Теперь перечитайте п. 4.12. Вы увидите, что представление о всеобщем времени эквивалентно представлению о том, что время не зависит от пути в пространстве-времени и что оба эти представления несостоятельны. Сказать, что у каждого наблюдателя есть свое собственное время, -—это все равно что сказать, что протекшее для него время зависит от его маршрута через пространство-время.

Помните мое обещание в п. 4.13?

Рис. 14.22 — это рис. 14.16, с которого стерты изовалы и прямые LM и MN, сплошные мировые линии наблюдателей В и С заменены пунктирными и проведена новая

мировая линия наблюдателя D, совпадающая с мировой линией А вверху и внизу, но отклоняющаяся от нее посередине. Какова история наблюдателей А и D?

Она описана в п. 4.14 в рассказе о космическом путешествии. Проверьте это с помощью открытки с прорезью. Какой ответ следует теперь дать на вопрос, поставленный в п. 4.14?

Полагаю, теперь предположение о том, что время, прошедшее между расставанием и встречей по часам D, меньше чем время по часам наблюдателя А, не вызовет у вас такого сопротивления, как раньше.

Перечитайте пп. 4.15 ——4.18, прокомментируйте их с помощью рис. 14.22 и с учетом следующих ниже замечаний.

Содержание первого абзаца п. 4.15 можно передать в более четкой и компактной форме; поскольку наблюдатели А и D следуют через пространство-время разными путями, измеренные ими промежутки времени будут различны.

В п. 4.17 говорилось, что наблюдатель А всегда инер- циален, а у D есть три периода ускоренного (неинерциального) движения (криволинейные участки его мировой линии на рис. 14.22). Здесь снова полезна «географическая» аналогия. Если А и D — геодезисты, измеряющие расстояние между двумя городами, и если А всегда идет по прямой, a D иногда идет кружным путем, то на основании одного этого факта можно сделать вывод, что D прошел более длинный путь, чем А. Точно так же если движение наблюдателя А всегда инерциально, a D иногда ускоряется, то на основании одного этого факта можно было бы прийти к заключению, что измеренное наблюдателем D время между расставанием и встречей будет отличаться от времени, измеренного А, и, вероятно, будет меньше.

В заключение рассмотрим контраргумент, приведенный в п. 4.18. Он равносилен следующему высказыванию: на рис. 14.16 время между Р и Q, измеренное вдоль пути POQ, короче чем время вдоль прямого пути PMQ; однако криволинейные участки мировой линии наблюдателя D, соответствующие ускоренному движению (рис. 14.22) вблизи точек Р, О и Q, увеличивают время, измеряемое часами D. Насколько убедительным этот довод представляется вам теперь?

В п. 4.18 был дан честный ответ: «Я не знаю». Вы по-прежнему считаете, что ничего большего сказать нельзя?

Если рассматривать рис. 14.22 как карту дорог между городами Р и Q, то при этом не возникает мысли, что криволинейные участки в Р, О и Q каким-то образом уменьшают расстояние, измеренное D, компенсируя возрастание пути, который он должен покрыть, идя «кружным путем». Исходя из рассмотренных аналогий маловероятно, чтобы периоды ускоренного движения наблюдателя D (криволинейные участки диаграммы) могли создать компенсирующий эффект.

Итак, проводимая аналогия достаточно убедительно показывает, что для космического путешественника пройдет меньше времени, чем для тех, кто остался на Земле. Но аналогии могут вводить в заблуждение. Поэтому оставим этот вопрос открытым, пока не будем готовы заняться им снова.

15

РАДИОЛОКАЦИОННАЯ ТОЧКА ЗРЕНИЯ

Пространственно-временная диаграмма была очень наглядна и крайне полезна для наших логических построений. Но в то же время она довольно сложна. Весьма сложны и правила, связывающие системы координат и масштабы разных наблюдателей. А вся сложность связана с тем, что мы, считая себя революционерами, на деле оставались консерваторами. Ведь мы строили диаграмму, исходя из привычных представлений о времени и расстоянии, хотя и сознавали, что они почти бесполезны при высоких скоростях.

А не попробовать ли поработать с реально измеряемыми величинами: со значениями моментов времени посылки сигнала к событию и приема ответного сигнала (пп. 7.2 и 7.3)? Эти величины можно назвать радиолокационными координатами события (ср. с пп. 5.20 и 7.1). Просмотрите пп. 6.13—6.22.

Обозначим эти радиолокационные координаты двумя греческими буквами: 0, 0 — тета и Ф, <р — фи. Прописные буквы будем использовать для записи координат наблюдателя А, а строчные — наблюдателя В. Говоря о радиолокационных координатах вообще, без уточнения, кому они принадлежат, мы будем просто писать «тета» или «фи» (точно так же, как время и расстояние) того или иного события.

Наблюдатель посылает сигнал к событию и получает от него ответный сигнал. Один из этих сигналов распространяется в положительном направлении, а другой —в отрицательном в зависимости от того, где произошло событие относительно наблюдателя. Будем считать, что

тета — момент посылки или приема сигнала, распространяющегося в положительном направлении, который приходит к (или послан от) событию;

фи — момент посылки или приема сигнала, распространяющегося в отрицательном направлении, который приходит к событию или послан от события.

См. рис. 15.2, где © и Ф — координаты наблюдателя А, отсчитываемые от нуля по его часам. Когда событие Q

расположено справа, т. е. с положительной стороны от А (рис. 15.2,а), 0 — момент посылки, а Ф — момент приема сигнала, а на рис. 15.2,6 ситуация обратная.

. Если две величины изменяются так, что одна из них всегда равна другой, умноженной на постоянное число или величину, называемую коэффициентом пропорциональности, то эти величины называются пропорциональными, Время, прошедшее между двумя ударами часов наблюдателя А, пропорционально длине отрезка между двумя соответствующими точками на его мировой линии (это и есть изображение в виде шкалы; п. 6.22). Если t=kT, то t пропорционально Т. Иначе говоря, две величины изменяются пропорционально друг другу.

На рис. 15.4 мировые линии наблюдателей наклонены под одним и тем же углом, но в противоположные стороны. Наблюдатель А посылает сигналы (в моменты событий, отмеченных прописными буквами), которые принимает В (в моменты событий, помеченных строчными буквами). Воспользуйтесь открыткой с прорезью! Из геометрических соображений очевидно, что длина отрезка pq пропорциональна длине отрезка PQ. Поскольку временные масштабы равны (п. 12.1), время, прошедшее между событиями р и q, пропорционально времени, прошедшему между событиями Р и Q. Другими словами,

(Время между событиями р и q)=

^ (Время, прошедшее между Р и Q) х

X(Коэффициент пропорциональности). (15.1)

Длина отрезка pq больше длины PQ, поэтому коэффициент пропорциональности больше единицы. (Разумеется, моменты времени, в которые происходят события,

каждый наблюдатель определяет по своим часам.) Подобным образом докажите, что

(Время между г и s) = (Время между R и S) X

X (Коэффициент пропорциональности),(15.2)

здесь коэффициент пропорциональности меньше 1.

Итак, если наблюдатели удаляются друг от друга, то коэффициент пропорциональности больше единицы, а если сближаются, то меньше единицы. Если же они неподвижны относительно друг друга, то коэффициент пропорциональности равен 1.

Использование мировых линий с одинаковыми наклонами облегчает доказательство соотношений (15.1) и (15.2), но их справедливость не зависит от способа построения диаграммы (п. 8.44). Поэтому они остаются в силе независимо от наклона мировых линий.

15.5.15.5.Конечно, все это не противоречит здравому смыслу. Если наблюдатель, посылающий сигналы, удаляется от вас, то обратный сигнал должен преодолеть большее расстояние, а значит, ему потребуется несколько больше... Закончите фразу.

15.5.

15.5.

Из рис. 15.4 ясно, что коэффициент пропорциональности зависит от угла между мировыми линиями, кото-

рый в свою очередь определяется относительной скоростью наблюдателей (п. 8.37). В этом состоит стандартный радиолокационный метод измерения скорости, используемый, например, автоинспекцией.

Поэтому в нашем новом подходе этот постоянный коэффициент пропорциональности можно использовать в качестве точной характеристики относительного движения вместо скорости, так же как мы используем координаты тета и фи для точного описания событий вместо времени и расстояния. Теперь все наши измерения будут непосредственно связаны с определенными в данном месте моментами отправления и приема сигналов.

Пусть наблюдатель А посылает к В непрерывный пучок света. Будем рассматривать цуг волн (п. 1.4) этого непрерывного пучка как последовательность сигналов. Тогда если наблюдатели удаляются друг от друга (а именно этот случай мы будем рассматривать в дальнейшем; рассмотрите сами случай, когда наблюдатели приближаются друг к другу), то время между двумя соседними гребнями или впадинами волн, определенное наблюдателем В в процессе приема сигналов, равно времени, прошедшему между ними по часам А при посылке этих сигналов, умноженному на коэффициент пропорциональности (п. 15.4). Значит, частота (п. 1.5) света, принятого наблюдателем В, должна быть равна частоте света, посланного наблюдателем А, деленной на коэффициент пропорциональности.

Это явление называется эффектом Доплера (в честь ученого, открывшего его в 1842 г.). Этот эффект легко наблюдать для звуковых волн (частота соответствует высоте тона). Для световых волн эффект Доплера был проверен с помощью астрономических наблюдений и лабораторных экспериментов для скоростей, достигающих около 0,03 скорости света. Поэтому соотношения (15.1) и (15.2) —это не просто следствия теории, они ©писывают реальные физические явления.

Этот факт позволяет доказать выдвинутое в п. 8.24 предположение об изображении шкал инерциальных наблюдателей. На рис. 15.7 А — наблюдатель, мировая линия и шкала которого определены в пп. 6.20 и 6.22, а в В — любой другой инерциальный наблюдатель.

Согласно п. 15.4, время, прошедшее между событиями р и q, пропорционально времени, прошедшему между Р и Q, а оно в свою очередь пропорционально длине отрезка PQ (п. 15.3). Из геометрии рис. 15.7 также видно, что длина отрезка PQ пропорциональна длине

pq. Рассмотрев вместе эти три условия пропорциональности, мы придем к выводу, что время между событиями р и q пропорционально длине отрезка pq, — другими словами, время, измеренное наблюдателем В в данном месте, изображается на шкале длинами отрезков его мировой линии.

Будем называть введенный в п. 15.4 коэффициент про- лорциональности коэффициентом Доплера и обозначим его буквой k.

Прежде всего это коэффициент Доплера для сигналов, идущих от А (отправителя) к В (получателю). Но в соответствии со сказанным в п. 5.11 он должен быть равен коэффициенту Доплера для сигналов, идущих от В к А, иначе А и В стали бы неравноправными. Поэтому назовем его коэффициентом Доплера между А и В. Как отмечалось в п. 15.5,々 играет такую же роль, которую раньше играла скорость v.

Из п. 15.4 следует, что должно быть два различных коэффициента Доплера между А и В. Один относится к случаю, когда наблюдатели сближаются (до события О), а второй ——к случаю, когда наблюдатели удаляются друг от друга (после О).

Мы не рассматриваем случай, когда один сигнал посылается до события О, а второй — после. Однако допустим сигнал, посылаемый в момент события О, т. е. в момент встречи наблюдателей. Другой наблюдатель,

15.10.15.10.15.11M.15.12.15.11M.15.12.

15.10.

15.10.

15.11M.

15.12.

15.11M.

15.12.

разумеется, получит его тоже в О. Этот сигнал может использоваться как в случае удаляющихся, так и в случае сближающихся наблюдателей.

С учетом сказанного в п. 15.9 дадим более четкую формулировку вывода, сделанного в п. 15.4:

если любой из двух наблюдателей посылает два световых сигнала другому наблюдателю, то

(Время между событиями, состоящими в приеме сигнала) =kX (Время между событиями, состоящими в их отправлении), (15.3) причем, коэффициент Доплера 归 больше 1, если наблюдатели удаляются друг от друга, меньше единицы, если они приближаются друг к другу, и равен 1, если они неподвижны относительно друг друга.

(Времена передачи и приема сигналов, разумеется, определяются по часам отправителя и получателя соответственно.)

Когда операция деления записывается в виде дроби (п. 8.38М), то не всегда удобно располагать числитель над знаменателем. Можно пользоваться другой формой записи: 3/8. Так, Ф/k означает《①，деленное на 月》. На рис. 15.12 изображены два инерциальных наблюдателя и их радиолокационные координаты для события Q (в соответствии с определением, данным в п. 15.2). (Примените открытку с прорезью.) Пусть k — коэфф и-

циент Доплера между А и В. Найдите уравнение, связывающее 0, 0 и Л.

Сигналы, которые наблюдатель А посылает в моменты событий О и Р, достигают наблюдателя В в О и р соответственно. Значит, @ и 0 — это промежутки времени между отправлением и приемом сигнала, и (15.3) дает

0 = ^0.(15.4)

Как выглядит уравнение для координат фи?

Подобные рассуждения для сигнала, посланного наблюдателем В в О и г и принятого наблюдателем А в О и R, дают Ф=^(р. Тогда, разделив обе части этого равенства на k (н. 9.12М), получим

(р = Ф/^.(15.5)

При доказательстве соотношений (15.4) и (15.5) предполагалось, что Q находится с положительной стороны от обоих наблюдателей и что события Р и R произошли позже О. Однако можно обобщить их на все случаи. Если вы верите мне на слово, то сразу переходите к п. 15.15. Но если вы сильны в математике, то можете доказать общий случай (см. шт. 15.13 и 15.14).

. Если k — коэффициент Доплера между А и В после их встречи, а к (греческая буква《каппа》)一коэффициент Доплера между ними до встречи, то докажите, что

Y=1/瓦(15.6)

Примените соотношение (15.3) к сигналам, которые наблюдатель А посылает к В в момент события О и через промежуток времени Т после него, а также к сигналам, которые он получает от В в момент события, происшедшего на время Т раньше чем О и в момент события О.

. Считайте, что в ситуации, описанной в п. 15.12, k —— это коэффициент Доплера, когда наблюдатель В находится с положительной стороны от А (неважно, до или после О). Рассмотрите две линии сигналов по отдельности. Тогда с помощью (15.3) и (15.6) можно показать, что соотношения (15.4) и (15.5) верны всегда.

. Подумайте над смыслом уравнений (15.4) и (15.5). Хотя мнения наблюдателей по поводу значений радиолокационных координат события расходятся (точно

так же как ори расходятся по поводу времени и расстояния), зато несложно правило перехода от одних координат к другим: тета надо умножить на коэффициент Доплера, а фи — разделить на него. Использование радиолокационных координат сильно упрощает расчеты.

. Найдите инвариант (пп. 11.20, 12.10 и 12.15).

Перемножив соотношения (15.4) и (15.5), получим 0(р = 0Ф#

Значит, произведение (тета) X (фи) и есть искомый инвариант.

М. Как очевидное обобщение п. 9.НМ, перемножение соответствующих сторон двух уравнений тоже является допустимой операцией (п. 9.12М). Перемножив левые стороны уравнений (15.4) и (15.5), мы получили 0(р в левой части последнего уравнения. При перемножении 月® и Ф/k буква k сокращается, так как во втором случае она стоит в знаменателе, поэтому получаем

. В пп. 15.18—15.20 рассматриваются некоторые интересные вопросы, которые нам больше не понадобятся. Я остановлюсь на них очень кратко, и нестрашно, если что-то останется непонятным.

Проведем на рис. 15.12 линии сигналов, проходящие через точку О, и сотрем все лишнее (рис. 15.18).

При перемещении точки Q из одного положения в другое длины отрезков ОР и OU будут меняться пропорционально друг другу (п. 15.ЗМ). Тогда время 0 (отрезок ОР на шкале времени наблюдателя А) можно представить длиной отрезка OU на другой шкале времени, нанесенной вдоль линии сигнала. Отметка в 1 секунду на новой шкале должна совпадать с точкой U, если Р соответствует отметке в 1 секунду на шкале А. Координата Ф может быть представлена длиной отрезка OV на соответствующей шкале, нанесенной на другой линии сигнала.

Итак, мы построили новую систему координат, осями которой являются линии сигналов, причем оси не зависят от наблюдателя. Мы можем назвать этот график радиолокационной пространственно-временной диаграммой.

. Однако это вовсе не дает нам что-то вроде нового метода абсолютных измерений, поскольку световой сигнал не дает нам никакого физического способа (например, с помощью часов), позволяющего разметить новые шкалы. Шкалы для представления радиолокационных измерений наблюдателя А на новых осях получены из его собственной шкалы времени.

Радиолокационные координаты события Q относительно любого наблюдателя (с мировой линией, проходящей через О) будут представляться длинами отрезков OU и OV, но в разных масштабах. Соотношения (15.4) и (15.5) показывают, как эти масштабы связаны между собой: 0, выраженное через длину отрезка OU, будет равно 力®, а ср, выраженное через OV, будет равно ①/瓦

Таким образом, радиолокационная диаграмма использует одни и те же оси для всех наблюдателей с исходной точкой О и одни и те же отрезки OU и OV для представления координат. При переходе от одно- го наблюдателя к другому меняются только масштабы. Это заметное упрощение по сравнению с обычной пространственно-временной диаграммой (пп. 8.26 и 8.28), на которой масштабы устанавливаются с помощью процедуры, описанной в гл. 14. Нетрудно догадаться, какой способ предпочтут штурманы субсветовых космических кораблей XXV в. при составлении своих пространственно-временных карт.

. Грядущему поколению будет проще понять природу пространства-времени, потому что расщеплять его они будут иначе. Они не будут говорить, что событие про-

изошло в такой-то момент времени и на таком-то расстоянии, а просто скажут, что оно случилось при таких- то тета и фи. Для них фундаментальными составляющими пространства-времени будут те, которые соответствуют постоянным значениям той или иной координаты, а именно сечения пространства-времени (ср. с п. 11.7), которые выделяются линиями сигналов. Они смогут избежать разногласий по поводу того, что образует пространство (все события в один и тот же момент времени) и время (все события в одном и том же месте). Все они будут единодушны в том, какие события произошли при одном и том же тета или фи (т. е. в том, при каких событиях присутствует определенный сигнал, распространяющийся в положительном направлении). Возможно, наши потомки отнесут эти события к какой-то категории, столь же ясной и определенной для них, как для нас ——пространство. Единственное (скорее всего, незначительное) разногласие у них может возникнуть по поводу того, какими числами обозначать эти сечения.

И если пространство-время кажется нам чем-то непостижимым, то в этом наша вина.

М. Оставшаяся часть главы предназначена тем, кто еще не научился складывать и вычитать отрицательные числа, включая тех, кто делает это в соответствии с правилами, не понимая их. Я не буду давать задачи для закрепления материала, но вы усвоите все гораздо лучше, если будете забегать немного вперед. Просмотрите еще раз пп. 6.23М — 6.25М и 12.11М.

М. Начнем с основной идеи: если q ——любая положительная величина (или число), то

q+D"(15.7)

Согласно пп. 6.23М — 6.25М, —q — это просто q、отмеренное назад. Скобки указывают, что отрицательная величина —q прибавляется к q. Очевидно, что прибавление некоторой величины к той же самой величине, но отмеренной назад, дает нуль (рассмотрите для примера человека, шагающего вдоль прямой; п. 6.22).

Математики предпочитают говорить, что отрицательная величина определяется формулой (15.7). Иными словами, они скажут, что —q — это величина, которая при сложении с q даст нуль. Какой бы способ вы ни выбрали, формула (15.7) теперь является нашей отправной точкой.

M. Что получится, если сложить отрицательную величину —b с положительной величиной а? Размышления о человеке, шагающем вдоль прямой (п. 6.25М), наводят на мысль, что

прибавить —b — это все равно что вычесть Ь, или в символической форме

@ + (—Ь) = @—Ь・(15.8)

Эта формула доказывается элементарно. Поскольку соотношение (15.7) справедливо для любой величины, то Ь+ (—b) =0. Прибавив а к обеим частям этого равенства (п. 9.12М), получим

叶匕+(—Ь)= @・(15.9)

Вычитание из обеих сторон (п. 3.19М) величины b приводит к формуле (15.8).

М. С другой стороны, вычитание из обеих частей равенства (15.9) величины (——Ь) с последующей взаимной перестановкой правой и левой частей (п. 3.17М) дает

а—^—^^а^Ь.(15.10)

Таким образом,

вычесть —& — это то же самое что прибавить Ь.

М. Давайте запишем формулу для утверждения, сделанного в конце п. 12.11М. Если & — большая из двух величин, а а一 меньшая, то результат вычитания меньшего из большего будет b—а. Чтобы сделать эту разность отрицательной, поставим перед ней знак минус, что даст —(b—а). (Скобки означают, что вся заключенная в них величина отрицательна.) Итак.

а—b= —(Ь—а).(15.11)

Докажем теперь, что процедура, предложенная в п. 12.11М, а значит, и соотношение (15.11) справедливы всегда. Запишем уравнение

b—а~\-а—b = 0, справедливость которого очевидна, так как мы одновременно прибавили и вычли а и &. Сгруппировав первые два члена (Ь—а), а затем прибавив к обеим частям —(b—а) (п. 9.12М), получим

—(b—a) + (b—q) + 〃一b= —(Ь—а).

Но из (15.7) следует, что —(匕一а) и (b—а) в сумме дают нуль; так, что мы приходим к формуле (15.11).

Если в (15.8) величина b больше а, то из (15.11) ясно, как довести дело до конца.

М. Пользуясь этими правилами, можно показать, что каждый случай сложения или вычитания чисел или величин (как положительных, так и отрицательных) можно свести к одному из следующих: a + 瓦 а—& и ——а——b, где а и & считаются положительными. Мы уже знаем, как обращаться с первыми двумя, а для третьего случая можно убедиться, что

一a—b= —(a+Ь).(15.12)

Докажем это, исходя из очевидного равенства а+b— ——а——b = 0, прибавив к обеим его частям величину -(a + ь).

М. Сложение соответствующих частей двух уравнений (левой части с левой, а правой с правой), как и вычитание соответствующих частей друг из друга, являются допустимыми операциями (п. 9.12М). Поэтому, если даны величины и, vf х и у, связанные уравнениями 〃 = 2х + 3р и и = х+у, то получим (складывая уравнения), что u + v = 3x + 4y и (вычитая из первого уравнения второе), что 〃一v = x + 2y.

М. Пусть даны два уравнения:

" =%+协(15.13)

v = x~y.(15.14)

Как быть со знаком минус?

Воспользуемся соотношением (15.8) (заменив а и & на % и г/), чтобы переписать (15.14) в виде

о = %+(—у).(15.15)

Сложение соответствующих частей (15.13) и (15.15) дает

〃+0 = %+У+%+(— y) = 2%+y+(—y).

Теперь, принимая во внимание (15.7), получим

〃+и=2х.(15.16)

Вычитание соответствующих частей уравнения (15.15) из (15ЛЗ) дает с учетом (15.10)

〃—и = %+у_%—(_у)=у—(—у) = у+у.

В результате найдем, что

и—u = 2g.(15Л7)

В качестве упражнения сложите и вычтите соответ- 二твующие части уравнений (15.16) и (15.17), а затем покажите, что после деления обеих частей на 2 вновь получатся уравнения (15.13) и (15.14).

16

ВЗАИМОСВЯЗЬ МЕЖДУ РАДИОЛОКАЦИОННЫМ МЕТОДОМ И МЕТОДОМ «ВРЕМЯ — РАССТОЯНИЕ»

Применение радиолокационного метода равносильно

тому, что мы используем другой язык для описания действительности. Значит, должен быть способ перевода с одного языка на другой. Выразите Т через а м①.

Для этого достаточно представить с помощью принятых нами обозначений вывод, сделанный в п. 7.9, что Т располагается посередине между значениями 0 и Ф. Иначе говоря, Т — это среднее арифметическое двух величин 0 и Ф, равное половине их суммы. Таким образом,

(16.1)(16.1)16.2. Согласно п. 7.13, расстояние до события равно полови16.2. Согласно п. 7.13, расстояние до события равно половит=（о）+@）⑵

(16.1)

(16.1)

16.2. Согласно п. 7.13, расстояние до события равно полови

16.2. Согласно п. 7.13, расстояние до события равно полови

не промежутка времени между передачей к нему сигнала и приемом ответа. Но п. 15.2 подсказывает несколько иную формулировку:

расстояние до события равно половине промежутка времени между тета и фи, соответствующими этому событию (все величины берутся относительно рассматриваемого наблюдателя),

независимо от того, является ли тета временем отправления, а фи временем приема сигнала или наоборот. Но время, прошедшее между 0 и Ф, равно Ф—0 а значит,

(16.2)(16.2)Х = (Ф—6)/2.

(16.2)

(16.2)

Величина X будет положительной или отрицательной в зависимости от того, что больше: ф или 6 (пп. 12.1 IM, 15.25М и 15.26М). Это означает (покажите с помощью рис. 15.2), что расстояние от наблюдателя А до события, определенное относительно А, будет положительно или отрицательно в зависимости от того, произошло ли событие, согласно определению п. 6.14, в положительном или отрицательном направлении от А (вполне подходящее соглашение). Мы уже знаем (п. 8.14), что момент времени, в который,

с точки зрения наблюдателя А, произошло событие, будет положительным или отрицательным числом в зависимости от того, когда это событие, по его мнению, случилось: после или до О.

. Величины Фи© выражаются через Т и X следующим образом:

О)= Т+Х,(16.3)

®=Т—X.(16.4)

Это легко доказать, переписав (16.1) и (16.2) в виде 7 =屯/2 + 0/2 и Х = Ф/2—0/2, а затем воспользоваться формулами п. 15.28М, заменив в них 〃，％ % и у на Т, X, Ф/2 и 0/2 соответственно. Уравнения для наблюдателя В получаются простой заменой прописных букв на строчные.

Если вы знакомы с тождеством (Т—Х)(Т + Х) = =丁2—Х2, то можете сразу переходить к п. 16.17.

М. Конец гл. 15 мы посвятили занятию элементарной математикой, а теперь снова займемся ею, и этих знаний вам хватит надолго. Если не усвоите все сразу, постарайтесь понять общую суть и время от времени повторяйте этот материал, пока не справитесь с ним окончательно.

Что, по-вашему, означает такая фраза: «Сэр Филлип Андерс поцеловал жену с помощью горничной и дворецкого надел пальто»?

Это двусмысленность; все решающим образом зависит от того, где поставить запятую. Аналогичная трудность возникает при осмыслении выражений типа а承匕с Что оно означает: результат перемножения b с с (п. 9.14М) и сложения с а или результат сложения а и Ь и умножения на с?

Чтобы избежать таких двусмысленностей, необхо- димо принять соглашения.

М. Первое из них гласит:

сначала выполните умножение и деление, а затем сложение и вычитание.

Значит, в п. 16.4М верен первый ответ.

М. Если величины а и 6 просуммированы и результат умножен на с, то следует использовать скобки. Пишет- ся (а + Ь)с. Следующее соглашение звучит так:

все, что заключено в скобках, считается одной ве- личиной по отношению к тем величинам, которые стоят за скобками. Поэтому сначала выполняются

операции над величинами в скобках, а затем над всеми остальными величинами.

Тогда, согласно п. 9.14М, выражение (а + Ь)с означает (а + b), умноженное на с.

М. Теперь рассмотрим такое утверждение:

если а, 6 и с — три любых числа или величины, то а(Ь+с)=而+比・(16.5)

Что это значит?

Правильный ответ может быть записан по-разному. Назовем а, 6 н с первым, вторым и третьим числами соответственно; тогда один из возможных вариантов таков:

результат сложения второго и третьего чисел и последующего умножения суммы на первое число равен результату перемножения первого числа на второе и первого числа на третье и последующего сложения этих двух произведений,

т. е. левая часть дает указание сначала сложить b и с, а полученную сумму умножить на а. А правая часть велит умножить а на 匕，затем а на с и сложить эти произведения. Тогда смысл утверждения состоит в том, что обе процедуры всегда дают один и тот же ответ.

М. Верно ли это утверждение?

Да. Это хорошо знакомое правило арифметики, которым мы постоянно пользуемся. Если приобретаются 5 предметов по 7 пенсов за штуку и еще 5 по 4 пенса,

Рис. 16.8.

то можно подсчитать, что общая стоимость составит 5(7 + 4), или 5Х7 + 5Х4 пенсов.

Это — основное свойство чисел, которое не требует доказательства, но рис. 16.8 поможет его понять лучше. Площадь большого прямоугольника равна сумме двух

малых. Применение формулы площади—(длина) X X (ширина)—показывает, что отсюда следует (16.5).

М. Уравнение типа (9.13) справедливо только для 〃，и и з, определенных в п. 9.2, а формула (16.5) выполняется всегда независимо от того, какие значения принимают cz, 6 и с. Равенство, обладающее таким свойством, называется тождеством. Тождества — очень полезные соотношения, особенно когда приходится докапываться до скрытых взаимосвязей.

16.ЮМ. А теперь проработайте следующее правило:

если а,匕 и с ——три любых числа или величины, го а (6—c) — ab—ас.(16.6)

Расшифруйте его по аналогии с п. 16.7М или придумайте другой способ. Пользуетесь ли вы этим прави-

Рис. 16.10.

лом в своих арифметических расчетах? Как это правило иллюстрируется рис. 16.10?

Это еще одно тождество. Его можно вывести из (16.5), но не будем этим заниматься, а просто примем его на веру.

М. Разность двух чисел или величин — это результат вычитания второго из первого. С помощью этого определения тождествам (16.5) и (16.6) можно дать следующую формулировку:

М. умножение числа или величины на сумму (или разность) двух других чисел или величин дает такой же результат, как умножение на каждое из этих чисел (или величин) по очереди с последующим сложением (или вычитанием) результатов.

М. Произведение а на b можно записать как об, либо Ьа, порядок следования символов значения не имеет, так же как и для сложения. (Однако при вычитании, или, что то же, при вычислении разности, порядок следо-

вания величин оговаривается.) Таким образом, данная в п. 16.12М формулировка обобщает несколько форм записи тождеств, которые, если пользоваться символическими обозначениями, потребовали бы от нас перестановки, чисел, например а(Ь + с) в виде (с+Ь)а и т. д.

М. Если взять три величины р, р к q в таком порядке и применить к ним правило, сформулированное в п. 16.12М для операций, стоящих в скобках, то получится

p(p—q) = p2—pq,(16.7)

где, заметьте, я написал (р——q)p вместо р(——q) и р2 вместо рХр (п. 3.14М). Выбирая в каждом случае соответствующим образом три величины, покажите, что тождества

9—q)q=pq—q2、(16.8)

(р—q)S+g)=(p—g)p+(p—q)g(16.9)

также следуют из п. 16.12М.

Этими тремя величинами являются в первом случае 9, р и 9, а во втором (р——7), р и q. В первом случае использована формулировка для слов, стоящих в п. 16.12М в скобках.

М. Комбинирование трех последних уравнений ведет к интересному результату. Из уравнения (16.7) следует, что вместо выражения (р——q)p всегда можно подставить р?—pq (口 9Д6М). Какая подстановка разрешена уравнением (16.8)? Произведя подстановки в (16.9), получим

q) (р+g)=川一м+рд—产

Два средних члена в сумме равны нулю, и в конечном итоге имеем

(Р-Y)(Р+@ =犷一产(16.10)

Поскольку при доказательстве мы использовали только тождества, равенство (16.10) также является тождеством.

. Убедитесь, что вы понимаете формулу (16.10), сформулировав ее несколькими различными способами.

Вот четкая формулировка этого тождества:

произведение разности двух чисел или величин на их сумму равно разности квадратов этих чисел или величин.

Если вам больше нравится говорить «число, умноженное на себя», а не квадрат числа (п. 3.14М), то формулировка будет более громоздкой. Решите несколько примеров, подставив вместо р н g числа.

С помощью уравнений (16.3) и (16.4), а также соответствующих уравнений для /? х, 0 и ф выведите правило перехода от инварианта, найденного в п. 15.16, к координатам «время далекого события — расстояние.

Мы получим 0Ф = (Т—Х)(7 + Х); тогда (16.10) дает

0ф = Т2—X2.(16.11)

Аналогично

8屮=产—炉(16.12)

Таким образом, мы снова пришли к инварианту, найденному в гл. 12. Мы не открыли ничего нового — просто получили интервал другим способом (пп. 12.15— 12.17). Теперь понятно, что я имел в виду, когда в п. 16.9М говорил о полезности тождеств для выявления скрытых взаимосвязей.

В радиолокационном методе вместо скорости используется коэффициент Доплера (пп. 15.5 и 15.8), значит,

Рис. 16.18.

должно существовать связывающее их уравнение, которое можно записать в нескольких одинаково пригодных формах.

На рис. 16.18 (возьмите открытку с прорезью!) с наблюдателем А связана прямоугольная система координат. В момент события Р он послал сигнал, достигший наблюдателя В в момент события Q, а сигнал, который В в Q послал обратно к А, достиг его в момент события R. Очевидно, что при событии М, распо- ложенном посередине между Р и R, прямая MQ идет параллельно оси X.

Выберем промежуток времени между О и Q, измеренный по часам наблюдателя А, в качестве единицы времени. Расстояние от А до Q относительно А ——это путь, пройденный наблюдателем В за единицу времени (по мнению наблюдателя А), т. е. оно равно о, где и ——относительная скорость движения наблюдателей. Поэтому, согласно п. 7.14, промежутки времени от Р до М и от М до R равны у (ср. с п. 8.4). Проверьте, чему равны другие промежутки времени, нанесенные на рис. 16.18 на мировой линии наблюдателя А.

Чему равно время, протекшее между О и Q, по часам В?

Это ——собственное время наблюдателя В, прошедшее между событиями 6 и Q, тогда как соответствующий промежуток времени для А является несобственным и равен 1. Поэтому вследствие замедления течения времени (пп. 3.10, 13.5—13.7) получим, положив Т=1 в формуле (13.5), ]/1—v2.

Теперь проделаем аналогичные расчеты с помощью коэффициента Доплера k между А и В. Выберем в качестве единицы времени время, прошедшее между О и Q по часам наблюдателя В (рис. 16.20). Сигналы, посланные наблюдателем В в моменты событий О и Q, наблюдатель А принимает в О и R. Найдите время, прошедшее между событиями О и R по часам А (см. п. 15.10).

Применяя к соответствующим событиям соотношение (15.3), найдем, что это время равно Лх 1, т. е. просто k.

Чему равен промежуток времени между О и Р?

Применяя соотношение (15.3) к сигналам, отправленным наблюдателем А в моменты событий О и Р и достигшим В в О и Q, получим

1=^Х (Время, прошедшее между О и Р по часам А),

так что (п. 9.12М)

Время, прошедшее между О и Р по часам A=l/fe.

Поскольку М лежит посередине промежутка времени между Р и R, время, прошедшее между О и М, равно (力+1友)/2 (ср. с п. 16.1). Время, прошедшее между Р и М или М и R (равное половине промежутка времени, прошедшего между Р и R), равно (内一1/В)/2.

Рис. 16.20.

Разумеется, промежутки времени, отмеченные на рис. 16Л8 и 16.20, совершенно одинаковы, но измерены в разных единицах. Изменение единиц измерений изменяет в одинаковой пропорции результаты всех измерений. Поэтому отношение (п. 9.21М) двух любых промежутков времени, отмеченных на рис. 16.18, равно отношению тех же промежутков времени на рис. 16.20. Например, отношение OR/OQ (время, прошедшее между О и R, деленное на время, прошедшее между О и Q) равно 力/1=^ на рис. 16.20 и (1+吻丿匚不

на рис. 16.18. Значит,

论= (1+и)/]/Г=Р(16.13)

Убедитесь, что каждое из уравнений (16.14)— (16.18) получено из утверждения, что стоящее слева отношение одинаково для обоих рисунков.

OP/OQ；=7&~，(1&14)

OM/OQ 扌卄+書卜7^,(16.15)

PM/OQ 4_(T=V^，(©б) OR/OP胪=兰^,(16.17)

PM/ОМu=4^.(16.18)

Последнее уравнениеможнозаписать ещеив такой

форме:

吋曰•(16.19)

Все эти уравнения семьюразличнымиспособами

выражают одну и ту же мысль; каждое из них можно вывести из любого другого.

. При выводе трех последних уравнений использована теорема, согласно которой дробь не изменяется при умножении числителя и знаменателя на одно и то же число. На рис. 16.20 отношение OR/OP равно 尼/(1/盼； умножение числителя и знаменателя на k дает й2/1 = =^2. Эта процедура использовалась при выводе правой часта уравнения (16.18) и при переходе от этого уравнения к (16.19), причем в первом случае множитель был 2, а во втором k.

Вы, вероятно, заметили, что я постепенно сокращаю объяснения. Я вынужден это делать, иначе книга неимоверно разбухнет. Но я не буду выбрасывать ничего существенного, а просто буду более лаконичен. В книге будут все необходимые объяснения, но, чтобы в них разобраться, вам придется все больше думать над каждым предложением и стараться извлечь как можно больше.

Закон комбинирования скоростей [формула (9.13)} оказался довольно сложным. А что, если для описания

относительного движения вместо скоростей использо" вать коэффициенты Доплера?

На рис. 16.24 показаны мировые линии трех инерциальных наблюдателей А, В и С и две линии сигналов PRU и QSV (выбранные так, чтобы никакие миро- вые линии не пересекали друг друга в пространстве между ними)・ Открытку с прорезью в дело!

Рис. 16.24.

Пусть 々ав — коэффициент Доплера между А и В, а /вс и 々ас ——коэффициенты Доплера между В и С и между А и С соответственно. Пусть промежуток времени, прошедшего по часам наблюдателя А между событиями Р и Q, равен 1. Теперь с помощью (15.3) выведите три следующих уравнения:

Время, прошедшее между R и S = ^abX1 = ^ab・

Время, прошедшее между U и V =

=kBC х (Время, прошедшее между R и S) = k3ckAB.

Время, прошедшее от U до V = kAC х 1 = йАС.

Два последних уравнения описывают один и тот же промежуток времени, поэтому

也АС =左АВ力вс・(16・20)

В радиолокационном методе это соотношение аналогично формуле (9.13). Опять радиолокационный метод оказался проще. Комбинирование скоростей не сводится к операции сложения, а производится в соответствии с более сложным законом. А вот комбинирование коэффициентов Доплера сводится к простому умножению. Кроме того, доказательство соотношения (16.20) намного проще, чем формулы (9.13).

16.25.16.25.16.26.16.26.16.27.16.27.

16.25.

16.25.

16.26.

16.26.

16.27.

16.27.

Для иллюстрации всех этих взаимосвязей решим упражнение (а) из п. 9.19. Сначала перейдем от скоростей к коэффициентам Доплера, затем применим формулу (16.20，и в заключение совершим обратное преобразование к скорости. Применение формулы (16.17) дает

胪ав = ■ J1L о*б" = %^2вс=9・

В настоящем случае очевидное обобщение формулы (16.20) дает

62ас=А^ав 尼 ％с = 4x9 = 36.(16.21)

Тогда, согласно (16.19), 3 = 35/37 = 0,946.

Решите этим методом еще один-два числовых примера и проверьте свои ответы с помощью формулы (9.13). Если вы разбираетесь в алгебре, то замените каждое k2 в (16.21) выражением, стоящим в левой части (16.17). В результате получится формула (9.13). Если относительное движение двух наблюдателей задается их коэффициентом Доплера и если известны радиолокационные координаты некоторого события относительно одного из этих наблюдателей, то формулы (15.4) и (15.5) позволяют найти координаты этого события относительно второго наблюдателя. Применяя (16.3), (16.4) (и их эквиваленты для строчных букв), (16.15) и (16.16) и прибегнув к помощи пп. 16.22М и 15.28М, можно вывести уравнения для метода «время —расстояние — скорость». Если вы сносно владеете алгеброй, проделайте это. Результат будет таков:

/ = т —их

х=(16.23)

Эти уравнения выполняют ту же функцию, что и (15.4), (15.5): если относительное движение задается с помощью скорости и если известны время и расстояние относительно одного наблюдателя, то они позволяют вычислить координаты относительно другого наблюдателя. Уравнения в методе «время — расстояние —скорость» гораздо сложнее, чем аналогичные уравнения в радиолокационном методе.

Уравнения (16.22) и (16.23) называются преобразованиями Лоренца в честь Г. А. Лоренца, который вывел

их еще до работ Эйнштейна (хотя их истинный смысл стал ясен только после работ Эйнштейна).

Эти уравнения — алгебраический эквивалент пространственно-временной диаграммы в форме «время —— расстояние — скорость» (гл. 6—8 и 14). Их можно вывести непосредственно из п. 1.22 или 5Л1. Теорию относительности можно построить не только геометрическим путем, но и алгебраически из формул (16.22) и (16.23).

Преобразование Лоренца позволяет достичь цели быстрее, чем используемый нами геометрический метод. Если цель ——это эффективное владение теорией на практике, особенно применение ее в других областях науки или в технике, то алгебраический метод безусловно предпочтителен. Но я по-прежнему считаю, что наш подход, хотя и более трудоемкий, дает более глубокое понимание рассматриваемых вопросов (вспомните, что говорилось в нескольких последних абзацах введения).

ПОСТОЯННОЕ УСКОРЕНИЕ

Удалось ли вам сделать с помощью открытки с прорезью в п. 14.14 интересное наблюдение? Если не удалось, то попытайтесь еще раз.

Просмотрите то, что говорилось об изовалах, в пп. 14.1, 14.5 и 14.9. Подумайте, не может ли ветвь изо- валы быть мировой линией, описывающей движение чего-либо в одномерной вселенной.

Времениподобная изовала не может быть мировой линией, ведь она идет под углом меньше 45°, а это означало бы, что действие распространяется быстрее света, что невозможно (пп. 10.10—10.12).

Но ветвь пространственноподобной изовалы могла бы быть мировой линией, так как ее наклон всегда больше 45°. Убедитеь с помощью открытки с прорезью, что она изображает движение со скоростью меньше скорости света. Какой тип движения описывает такая изовала?

Мировые линии инерциальных наблюдателей — прямые. Значит, эта кривая должна описывать неинерциальное движение. Что значит «неинерциальное»?

Определение этого термина дано в п. 5.2: пробная частица уходит от неинерциального наблюдателя.

Но когда тяготение отсутствует (рассматриваемый нами случай; п. 5.5), инерциальный наблюдатель движется с постоянной скоростью относительно любого другого инерциального наблюдателя (п. 5.6). Значит, неинерциальный наблюдатель движется с переменной скоростью ——он ускоряется в полном смысле этого слова, т. е. пространственноподобная изовала представляет ускоренное движение.

Обратите внимание, что ускорение и скорость — в корне отличающиеся величины (пп. 1.1—1.3, 5.1 и 5.2). Скорость ——величина чисто относительная. Но каждый может видеть, остаются ли наблюдатель и его пробная частица рядом или удаляются друг от друга, а значит, все придут к согласию по поводу того, ускорен ли этот наблюдатель или нет. Ускорение ——это абсолютная величина. Как это важное различие представлено на диаграмме?

При построении диаграммы (п. 8.44) можно прида* вать мировой линии инерциального наблюдателя любой наклон, лишь бы она шла круче 45°. Но кривая всегда остается кривой.

Сосредоточим внимание на правой ветви (п. 14.5) пространственноподобной изовалы (рис. 17.4). Она, как мы только что видели, могла бы быть мировой линией кого-нибудь (или чего-нибудь), движущегося с ускорением. Мы еще недостаточно знаем об этом объекте,

чтобы уже сейчас облечь его правами наблюдателя (который может анализировать информацию, содержащуюся в посланных и принятых сигналах). Поэтому назовем его странником, которого можно наблюдать, но который сам никаких наблюдений не проводит. Бу- дем обозначать его буквой W (первая буква английского слова wanderer —《странник》).

На рис. 17.4 нанесены прямоугольная система координат наблюдателя А, которую в гл. 14 мы использовали для изучения изовал, и оси координат инерциального наблюдателя В, которые также проходят через точку О. Р и Q ——это точки пересечения мировой ли- нии странника W с соответствующими осями расстояний этих наблюдателей.

Составим себе общее представление о движении W для начала с точки зрения наблюдателя А. Первона-

чально странник W движется навстречу А (на рис. 17.4 внизу справа). Поскольку его мировая линия почти параллельна линии сигнала, он движется относительно А почти со скоростью света. Однако двигатели сообщают ракете странника ускорение в положительном направлении оси X, так что относительно А он движется все медленнее.

В момент события Р скорость W падает до нуля, на мгновение он становится неподвижным относительно А. Но двигатели ракеты продолжают работать, поэтому W ускоренно удаляется. По мере того как мировая линия уходит к правому верхнему краю диаграммы, его скорость (относительно А) снова стремится к скорости света. Используйте открытку с прорезью для проверки данного здесь описания с точки зрения наблюдателя А (п. 8.13).

Из свойств изовалы, определенной через интервал (п. 14.1), являющийся инвариантом, ясно, что для В движение W выглядит точно так же, как для А. Открытку с прорезью в дело! (Если снабдить наблюдателя В прямоугольной системой координат, то изовала не изменится.) В момент какого события странник W будет неподвижен относительно В?

С точки зрения А, странник W неподвижен в момент события Р, одновременного с событием О (п. 8.12). Аналогично W неподвижен относительно наблюдателя В в момент события, которое для В одло- временно с О, т. е. в момент события Q. Или Q —это событие, в момент которого скорости странника W и наблюдателя В равны.

Вы, вероятно, думаете, что следовало бы называть движение странника W до события Р замедленным, а не ускоренным, поскольку его ракета тормозилась. Но здесь снова возникает вопрос: «С чьей точки зрения?». Например, между событиями Р и Q странник W начинает разгон с нулевой скорости с точки зрения наблюдателя А, но тормозится до полной остановки с точки зрения наблюдателя В. Значит, замедление, с точки зрения другого наблюдателя, является ускорением. Так что мы всегда будем использовать термин «ускорение».

Зато направление ускорения является абсолютным. Все время и, с точки зрения любого наблюдателя, пробная частица странника W удаляется от Hfero в отрицательном направлении. Значит, сам он всегда ускоряется в положительном направлении.

Постоянно ли ускорение странника W или оно меняется? Не спешите с ответом.

Необдуманный ответ мог бы быть таким: «Скорость W быстро меняется в окрестности точки Р и много медленнее в верхней и нижней частях его мировой линии. Значит, его ускорение меняется — в Р оно больше, чем до или после». Верно ли это?

В пп. 9.28—9.30 мы предварительно рассмотрели движение с постоянным ускорением. Мы выяснили, что, с точки зрения любого наблюдателя, скорость изменяется в переменном темпе. Полученный там вывод согласуется с поведением странника W, поэтому его ускорение можно считать постоянным.

А это открывает захватывающие перспективы. Ведь постоянное ускорение — это ключ к динамике: силе, массе, энергии и знаменитому соотношению между массой и энергией. Кроме того, если когда-нибудь удастся совершить космический полет за пределы Солнечной системы, то только с помощью ракеты, движущейся с постоянным ускорением, хотя при нынешнем уровне технологического развития такой полет кажется неосуществимым. И впечатления космонавтов будут совершенно необычными. Наконец, когда мы узнаем, как использовать движущегося с постоянным ускорением странника в качестве наблюдателя, мы приблизимся к общей теории относительности.

Движение этого странника будет выглядеть одинаково для любого наблюдателя (п. 17.5), в согласии с тем, что мы выяснили в первом грубом приближении (см. второе предположение п. 9.29). Итак, идея о постоянном ускорении выглядит вполне разумно.

Согласно пересмотренному в п. 9.29 определению постоянного ускорения, ускорение странника W в момент события Р следует рассчитывать на основе измерений, выполненных наблюдателем А, а его значение в Q должно вычисляться по данным, полученным наблюдателем В. Значит, чтобы дать окончательный ответ, нужно определить эти две величины и посмотреть, будут ли они одинаковы. Каков будет ответ?

Поскольку движение странника W для наблюдателя В в точке Q выглядит так же, как для А в Р, когда W мгновенно неподвижен, расчеты должны дать одинаковый ответ в обоих случаях ——во всех случаях. Значит, ускорение странника W постоянно. Для наглядности проделаем расчет.

Зададим мировую линию странника W как правую

ветвь пространственноподобной изовалы для интервала s. Тогда ее точки соответствуют всем событиям, отделенным от О интервалом s (п. 14.1).

Для наблюдателя А события О и Р одновременны. Значит (п. 13.23),

Расстояние ОР с точки зрения A = s.(17.1)

Ниже все величины будут взятье а расчета проделаны относительно наблюдателя А или《с точки зрения наблюдателя А》, если не будет оговорено иное. Чтобы найти ускорение странника W, нужно уметь вычислять его скорость, скажем в момент события Q. А она (мгновенно) совпадает с (постоянной) скоростью наблюдателя В (см. конец п. 17.5). Итак, нам нужен способ вычисления скорости наблюдателя В относительно А.

Проведем на рис. 17.4 отрезки: вертикальный MQ и горизонтальный NR, так, чтобы длина отрезка ON была равна ОМ (рис. 17.11). Поскольку оси координат

наблюдателя В составляют одинаковые углы с горизонталью и вертикалью (и. 8.26), длины отрезков NR и MQ также равны. Если и — скорость наблюдателя В относительно А, то (п. 8.37)

U —万лина отрезка NR — Длина отрезка" MQ

—Длина отрезка ON — Длина отрезка ОМ '

или

и=Т/Х,(17.2)

где Т ,и X, как обычно, время Q и расстояние до него с точки зрения наблюдателя А (ср. с п. 8.42). Но это также (п. 17.10) и мгновенная скорость странника W в момент события Q (относительно А).

(Скорость равна времени, деленному на расстояние! Не волнуйтесь, мы ведь не сказали ничего несуразного типа того, что скорость W равна времени его путешествия, деленному на расстояние, которое он преодолел. И помните: расстояния — это промежутки времени; пп. 7.10—7.13.)

Ускорение — это темп изменения скорости. (В таком контексте под словом «ускорение», конечно, подразумевается его величина). Согласно формуле (17.2), за время Т, прошедшее между событиями Р и Q, скорость странника W возрастает на 7/Х. Средний темп, изменения скорости за время между Р и Q равен T/N, деленному на Л т. е. 1/Х.

Чтобы определить ускорение странника W в момент события Р, необходимо измерить темп изменения его скорости именно в момент этого события. Но такое измерение невозможно, так как требуется измерить скорости в два различных момента и поделить на промежуток времени между ними (как в предыдущем параграфе).

С другой стороны, ускорение в момент события Р, очевидно, не совпадает с темпом изменения скорости за время, прошедшее между событиями Р и Q. Однако вполне разумно считать его приближенным значением ускорения в момент события Р. И лем ближе Q к Р, тем лучше это приближение.

Таким образом, нельзя непосредственно вычислить ускорение в момент события Р, но можно получить как угодно близкое к нему значение, вычисляя темп изменения скорости за достаточно малый промежуток времени. Сформулируем определение:

ускорение странника W в момент события Р — это, по определению, величина, которую можно вычислить с любой желаемой точностью, приняв ее равной темпу изменения скорости за весь промежуток времени между Р и Q и сделав этот промежуток, достаточно малым.

Процедура, которая позволяет производить расчет только <с любой желаемой точностью», может вызвать чувство недоверия. И тем не менее по мере продвижения вперед вы обнаружите, что на этом основана целая область математики. Как вы узнаете из следующих разделов, рассуждения, которые исходят из расчетов с любой желаемой точностью, в конечном счете дают точное значение.

Объединим определение, данное в п. 17.13, с выводом п. 17.12 о темпе изменения скорости. Если Q совпадает с Р, то М совпадает с Q. Тогда X — это расстояние ОР, которое, согласно (17.1), равно s. Поэтому, чем ближе Q к Р, тем ближе X к s н 1/Х к 1/s. Тогда из п. 17.12 следует, что при достаточно малом промежут- ке времени между Р и Q темп изменения скорости за время между Р и Q будет сколь угодно близок к 1/s. Если эту величину подставить в определение, данное в п. 17.13, то

ускорение в момент события Р равно 1/s.

Чтобы прийти к этому выводу, я дважды написал: 《С любой желаемой точностью» (в пп. 17.13 и 17.15). И тем не менее я обещал доказать, что ускорение в момент события Р точно равно 1/s. Не кажется ли вам? что в это утверждение следовало бы ввести оговорку тина «с любой желаемой точностью»?

Точный вывод действительно можно получить. Из двух утверждений следует, что если Q достаточно близко к Р, то темп изменения скорости сколь угодно близок как к ускорению в момент событие Р, так и к 1/s. И ускорение, и 1/s — фиксированные величины, они не изменяются по мере приближения точки Q к Р. Допустим, что они не равны друг другу точно. Тогда темп изменения скорости невозможно сделать сколь угодно близким к ним обеим: чем сильнее он будет приближаться к ускорению, тем сильнее будет отличаться от 1/s (и обратно).

Значит, предположение, что ускорение не равно точно 1/s, приводит к противоречию, поэтому приходится согласиться с выводом п. 17.15.

Метод расчета 《с любой желаемой точностью», приводящий к точным выводам, лежит в основе нового раздела математики, упомянутого в п. 17.14.

Из инвариантности интервала следует, что если бы мы рассчитали ускорение в момент любого другого события из жизни странника W по данным измерений на*

блюдателя, относительно которого W в момент этого события мгновенно покоится (например, В в момент события Q), то мы получили бы тот же самый результат. Значит, ускорение странника W всегда одинаково, т. е. постоянно.

Обозначим ускорение странника W буквой f (ускорение часто обозначают буквой а, но она нам нужна для многих других целей). Тогда наш вывод можно записать в виде

f=l/&(17.3)

откуда

s=l//・(17.4)

По мнению наблюдателя А, событие Q произошло в момент времени Т, когда странник W находился от него на расстоянии X. Тогда для описания движения странника W необходимо уравнение, связывающее Г и X.

Из данного в п. 17.9 определения мировой линии странника W следует, что Г и X связаны соотношением (14.2). Тогда с учетом формулы (17.4) получаем

к—D=1 們(17.5)

или, в несколько иной форме (п. 9.ИМ),

产 К—T2)=i.(17.6)

Из (17.1) и (17.4) следует: расстояние ОР= 1/f и и = 0 в момент события Р. Значит, по мнению наблюдателя А, странник W в момент времени, равный нулю, мгновенно покоится и находится от него на расстоянии l/f.

Полученные нами уравнения, описывающие движение странника W, имеют простую форму только для измерений наблюдателя (подобного А или В), расположенного в момент максимального сближения на расстоянии 1/f от W. Ниже мы всегда будем пользоваться именно такими измерениями.

Тогда, с точки зрения наблюдателя А, расстояние до W в момент времени Т равно X, где Т и X связаны формулой (17.5) или (17.6). А скорость странника W относительно А в момент Т определяется формулой (17.2).

Но поскольку W стартовал на расстоянии 1/f от А, Расстояние, пройденное странником W за время от О до Т (согласно измерениям наблюдателя А)=Х— -l/f(177)

(рис. 17.19).

Проделаем расчеты космического полета отдаленного будущего. Особый интерес представляет случай, когда космический корабль имеет то же ускорение, что и камень, свободно падающий на поверхность Земли,—— ускорение свободного падения. Обозначим его буквой g. При таких условиях космонавт на борту этого корабля чувствовал бы себя так, как если бы ракета стояла на Земле носом вверх и его тянула бы к ее хвосту обычная сила тяжести. Почему?

Если космонавт выпустит из рук пробную частицу, то ее движение будет инерциальным, но сам он, подталкиваемый полом кабины корабля (а в конечном итоге ракетным двигателем), будет ускоренно удаляться от нее. Поэтому создастся такое впечатление, будто частица движется по направлению к хвосту ракеты с ускорением g. Будет казаться, что она падает —точно как на Земле. Чтобы космонавт находился в состоянии ускоренного движения (не падал, как это могло бы выглядеть), пол кабины должен воздействовать на него с такой же силой, как поверхность Земли. Фактически ускоренное движение ракеты проявлю ется так же, как земное притяжение.

Человеку трудно жить в условиях невесомости, поэтому очень продолжительные экспедиции потребуют создания искусственной силы тяжести. Простейший способ добиться этого (если, конечно, инженеры смо・ гут создать такие суперракеты) — лететь все время с ускорением g.

При ускорении g скорость возрастает на 9,81 метра в секунду за каждую секунду (если ограничиться короткими промежутками времени, за которые релятивистские эффекты не успевают проявиться). Для расчетов, связанных с длительными космическими путешествиями, нам понадобится более длинная единица времени. Давайте выберем год. Тогда естественной единицей расстояния (п. 7.11) будет световой год (п. 1.8). Будем пользоваться именно этим названием, хотя при нашем подходе следовало бы говорить просто «расстояние в один год».

Если скорость возрастает на 9,81 метра в секунду за каждую секунду, то за год она возрастет на 365,26X24X3600X9,81 метра в секунду«310 000 километров в секунду, или около 1,03 естественной единицы.

Значит, за год будет достигнута скорость больше скорости света? Конечно, нет! В последние рождественские праздники темп роста моего веса составил 20 тонн за столетие, но ведь это не будет продолжаться все сто лет! Подобным же образом при ускорении в g темп нарастания скорости составляет 1,03 естественной единицы в год только в течение короткого промежутка времени, после чего скорость будет увеличиваться все медленнее (пп. 9.28, 9.29 и 17.7).

Для упрощения расчетов положим f=l, но тем не менее наши вычисления будут давать довольно хорошее представление обо всем происходящем в космическом путешествии с ускорением g.

Если в (17.7) и (17.5) положить /=1, то для движущегося с ускорением, близким к g, странника W

Расстояние, пройденное за время 7=Х—1, * (17.8)

где X и Т связаны формулой

「2=1.(17.9)

Скорость W в момент времени Т по-прежнему определяется формулой (17.2). (Все измерения выполнены наблюдателем А.)

Подставим в (17.9) Т=1, тогда X?—1 = 1, т. е. Х2=2, а Х=у2=1,41. (Корень квадратный можно найти по

специальным таблицам или вычислить с помощью микрокалькулятора. Если у вас нет ни того ни другого, убедитесь, что 1,412 с достаточной степенью точности дает 2.) Значит, из (17.8) следует, что расстояние, пройденное за 1 год, равно 0,41 светового года. А согласно (17.2), скорость в конце года будет равна 1/1,41 = 0,71. Какое расстояние преодолеет странник за а) Р/з года и за б) 9,95 года и какой скорости он достигнет?

Конечно, можно решить такую задачу: сколько времени займет путешествие на определенное расстояние, скажем на 5 световых лет? Из (17.8) Х=6; тогда (17.9) дает 36—Т2—\, откуда 厂=35 и Т=5,9。года, а скорость, которой за это время достигнет странник, будет равна 5,92/6=0,987. Найдите (в) время, необходимое, чтобы покрыть расстояние в 8/s светового года, и конечную скорость. (Ответы в конце главы.)

Если вы еще чувствуете себя в математике неуверенно, то пока пропустите этот раздел. Из (17.5) получим

X」1/* = т*

и поэтому, согласно (16.10),

(X—l/f)(X + l/f) = T2.(17.10)

При малых скоростях точка Q будет расположена близко к Р (рис. 17.19) и X^l/f (п. 13.ИМ). Подставив это приближенное значение во вторые скобки в (17.10) (причем не обязательно делать такую подстановку и в первых скобках!), получим

(X—1/f) (2力 5,

откуда после умножения обеих сторон на f/2 из (17.7) найдем

Пройденное расстояние ^ fТ2/2.(17.11)

В этом соотношении можно узнать известное уравнение элементарной механики, которое хорошо выполняется при малых скоростях.

. Докажите тождество (。匕产=。2b2

Для этого достаточно использовать определение операции возведения в квадрат (п. 3.14М) и сделать кое-какие перестановки: (об )2 = abXab = aabb = a2b2. В следующем параграфе с помощью этого тождества будем писать T2 = v2X2 вместо (иХ)2.

Из уже полученных уравнений можно вывести еще два, которые позволят ответить на следующие вопросы: какой путь преодолеет странник W, прежде чем достигнет определенной скорости и сколько ему на это потребуется времени? Из формулы (17.2) получим

7 = иХ・(17.12)

Подставляя это значение Т в (17.6), получим р (X2—и?Х2)=1, или (на основании тождества, приведенного в п. 16.12М) f2X2 (1—吟=1. Деление обеих сторон на 1—V2 приводит к равенству

产

откуда после извлечения из обеих частей квадратного корня следует

(17.13)

что и является искомым уравнением, связывающим X И 5

Из формулы (17.12) получим fT=vfX. Подстановка в это равенство вместо fX его значения из (17.13) дает

Вт)

а это — второе искомое уравнение.

Этот раздел также можно пока опустить. Обратите внимание на то, что если скорость у мала, то формула (17.14) дает

v^fT,(17.15)

т. е. классическую формулу, верную при малых скоростях. А теперь докажите, что в приближении малых скоростей

и2 в 2fx (Пройденное расстояние). (17.16)

Умножение обеих частей уравнения (17.11) на 2f дает 2/Х (Пройденное расстояние) ^f2T2^v2 в соответствии с (17.15), т. е. это записанная иначе формула (17.16).

Изучая диаграмму с помощью открытки с прорезью, вы, возможно, заметили, что движение странника W имеет некоторые странные свойства. Я упомяну их

вкратце и предоставлю вам возможность подробно про* анализировать их.

Предположим, что страннику W предложено попробовать свои силы в качестве наблюдателя. Какие точки на рис. 17.4 соответствуют событиям, к которым он мог бы послать сигналы? И от каких событий он мог бы получить сигналы? Рассмотрите все четыре квадранта на рис. 10.1. Что бы он мог узнать об областях пространства-времени, представленных тем или иным квадрантом? Вы придете к выводу, что странник может обладать полной информацией только о нравом квадранте и должен знать о существовании нижнего квадранта, но не в состоянии исследовать его надлежащим образом (ибо не может посылать туда сигналы). Остальная часть пространства-времени для него вообще не существует. Вот почему мы решили в п. 17.4 не принимать пока странника в союз наблюдателей!

Инерциальные наблюдатели также столкнутся с некоторыми удивительными явлениями при наблюдениях странника W. Например, наблюдатель А не может послать сигнал к W после события О и принять сигнал от W до события О. Если он ищет свидетельства существования странника W, то будет уже слишком поздно для надлежащего исследования радиолокационным методом.

Проведите на рис. 17.4 вертикальную прямую через точку Р, пересекающую нижнюю линию сигнала в точке К. Пусть это мировая линия инерциального наблюдателя А], находящегося на Земле (пренебрежем усложнениями, связанными с тяготением, орбитальным движением и т. п.). Убедитесь (с помощью открытки с прорезью или как-нибудь иначе), что если W выключит двигатели своего космического корабля в момент события Р, то он совершит идеальную мягкую посадку на Землю. Теперь предположим, что W — это агрессивно настроенные космические пришельцы, движущиеся с ускорением g. Докажите, что максимально возможное время предупреждения о вторжении может быть равно 1 году (промежуток времени КР = рас- стояние ОР= 1).

Разумеется, космический корабль будет разгоняться в течение конечного промежутка времени (ведь на это нужно затрачивать энергию). Если космические агрессоры будут приближаться к Земле на большой скорости, двигаясь по инерции, то теоретически их можно было бы обнаружить; но если они будут строго

соблюдать светомаскировку, то практически их не удастся обнаружить до тех пор, пока они не включат тормозные двигатели, чтобы произвести посадку, и тем самым выдадут себя, но по-прежнему не раньше, чем за год до посадки!

Согласно измерениям наблюдателя А, расстояние до W при их максимальном сближении (событие Р) равно 1/f (п. 17.19). Для каждого инерциального наблюдателя с мировой линией, проходящей через точку О, минимальное расстояние, на которое приближается W, также равно l/厶 Таким образом, хотя W всегда движется ускоренно в направлении от О, в некотором смысле он всегда остается на одном и том же расстоянии от этого события. И чем больше ускорение, тем меньше это расстояние!

Дело в том, что изовала — пространственно-временной аналог окружности. Аналогом относительной скорости является относительное направление (вспомните землемеров из пп. 11.10——11.12), а аналогом ускорения будет искривление или отклонение. Окружность — это кривая, которая постоянно отклоняется к определенной точке (центру) и все же всегда остается на одном и том же расстоянии от нее. Еще сильнее другая, хотя и менее близкая, аналогия (для тех, кто знаком с соответствующим разделом механики) с предметом, движущимся с постоянной скоростью по окружности,—— на него всегда действует ускорение по направлению к центру, но он никогда не приближается к нему.

Ответы к п. 17.23. а) Т = 4/з, а значит,「2 = 16/9. Согласно формуле (17.9),欠2 = 25/9 и Х = 5/з. Поэтому пройденное расстояние равно 2/з светового года. Из (17.2) скорость равна %： 5/3 = 4% б) 9 световых лет; скорость =0,955. в) 12/i5 года; скорость«12/1з.

18

ДИНАМИКА: МАССА, ИМПУЛЬС, СИЛА

До сих пор мы не интересовались причиной ускоренного движения тел. Теперь же займемся динамикой ——областью механики, изучающей движения тел под действием приложенных сил. Разумеется, мы будем иметь дело» с релятивистской динамикой ——динамикой объектов, движущихся с большими скоростями. Но как это ни странно, основная трудность для большинства заключается в том, чтобы уяснить основные понятия, относящиеся в， одинаковой мере и к ньютоновской динамике (описывающей движение с малыми скоростями). Для тщательного анализа всех проблем потребовалось бы много томов,, поэтому я предлагаю компромисс между исчерпывающим объяснением, строгими рассуждениями и утверждениями, которые придется принять, на веру. (Если динамика вас не интересует, то можете сразу переходить к гл. 20, но при условии, что сами можете получить все выводы.)

Хорошо известно, что если какой-нибудь предмет неподвижен, то, чтобы привести его в движение, нужно приложить силу, а если он движется, то нужна сила, чтобы его остановить. Кроме того, известно, что одни тела легче привести в движение или остановить, чем другие. Чтобы привести в движение автомобиль, достаточно умеренного толчка. А попытайтесь подтолкнуть автобус! Предметы различаются по степени сопротивления ускоряющему или тормозящему воздействию. Масса как раз и является мерой этого противодействия, но нам еще предстоит выработать более точную формулировку этой не очень ясной мысли.

(Если вас учили, что масса — это «количество вещества», то забудьте об этом. Не путайте массу с весом， Вес связан с силой притяжения, а масса — нет. В движущемся по орбите вокруг Земли спутнике все предметы находятся в состоянии невесомости. Но по-прежнему, чтобы заставить их двигаться или остановить, требуется сила. Вес исчез, а масса осталась.)

Чем быстрее движется тело (относительно наблюдателя), тем труднее его остановить. Разогнавшемуся велоси-

педисту при торможении нужно приложить такое же усилие, как и при торможении еле плетущегося автомобиля (даже если оба они движутся по инерции). В целом сила, затрачиваемая на торможение, зависит не только от скорости, но и от массы. Это первое смутное представление о том, что можно назвать «количеством движения». Ибо, если остановить мчащегося велосипедиста и медленно едущий автомобиль одинаково трудно, то разумно предположить, что они оба обладают одинаковым количеством движения.

Термин «количество движения» ввел Ньютон. Мы же будем пользоваться коротким, но не таким наглядным словом — импульс. Однако старайтесь не забывать представление о количестве движения. Очевидно, импульс, подобно движению, мерой которого он является,——величина относительная и зависит от измеряющего его наблюдателя.

При столкновении движение передается от одного тела к другому. Значит, импульс можно определить, столкнув два тела. Проще всего анализировать столкновения, при которых сталкивающиеся тела врезаются одно в другое и останавливаются.

Таким образом, их общий импульс равен нулю. Значит, до столкновения тела имели одинаковые, но направленные в противоположные стороны импульсы, которые при столкновении в точности компенсируют друг друга.

Конечно, направление движения тоже важно. В одномерной вселенной, где имеется всего два направления, будем считать импульс тела положительным или отрицательным в зависимости от того, движется оно (относительно наблюдателя) в положительном или отрицательном направлении соответственно (п. 6.14).

Такая классификация импульсов придает ясный смысл рассмотренным столкновениям. До столкновения у одного тела был импульс р в положительном направлении, а у другого точно такой же импульс, но в отрицательном направлении, т. е. —р. Их сумма, согласно (15.7), равна нулю.

Введем классификацию и для скоростей. Будем называть скорость в определенном направлении вектором скорости. Итак, в одномерной вселенной вектор скорости какого-нибудь объекта равен величине его скорости, взятой со знаком плюс или минус в зависимости от того, движется он в положительном или отрицательном направлении.

Теперь можно проделать много экспериментов типа описанных в п. 18.4, с единственной целью ——выяснить, как импульс связан с массой и скоростью. Возьмите, например, три совершенно одинаковых куска свинца и используйте один из них в качестве тела А, а два других, спаяв их в единое целое, в качестве тела В. Если масса является мерой сопротивления изменению состояния движения, то очевидно, что масса тела В в два раза больше массы тела А. Затем вы бы экспериментально установили, что для осуществления столкновения, описанного в п. 18.4, телу В необходимо сообщить половину скорости, приданной телу А. Удвоенная масса и половина скорости обеспечивают тот же самый импульс. Проделав большое количество подобных экспериментов, вы в конце концов пришли бы к следующему выводу:

Каждому телу можно сопоставить величину, называемую массой, которая является постоянной характеристикой тела и меняется, только когда к этому телу добавляется или от него отнимается вещество. (Это обнаруживается в экспериментах с малыми скоростями. Вопрос же о том, что будет происходить при релятивистских скоростях, пока остается открытым.)

С помощью определенной таким образом массы можно определить

Импульс = Масса х Вектор скорости. (18.1)

Масса всегда считается положительной величиной. Поэтому в соответствии с формулой (18.1) импульс будет положителен или отрицателен в зависимости от того, положителен или отрицателен вектор скорости (п. 12.13М).

Множество экспериментов показало, что определения (1) и (2) позволяют рассчитывать столкновения. Полный импульс (принимая во внимание его направление) один и тот же до и после столкновения. Этот вывод остается справедливым для любого типа взаимодействий между телами: столкновения с отскоком, электрическое и магнитное взаимодействия и т. д. Всегда полный импульс сохраняется, т. е. в конце он точно такой же, как в начале. Неопровержимо доказано, что

если на систему тел не действуют внешние силы, то сумма импульсов всех тел остается постоянной — она не изменяется в результате взаимодействий этих тел между собой.

Простота и общность закона сохранения импульса показывают, что импульс ——это чрезвычайно важная величина.

В утверждении (1) в п. 18.7 лишь сказано, что масса может быть приписана любому телу. Но как? Самый простой метод ——проделать эксперименты, позволяющие сравнить импульсы тел, а затем найти массу по формуле (18.1). Например, измеряются скорости двух тел, участвующих в столкновении. Известно, что сумма их импульсов равна нулю, т. е. они противоположны по направлению, но равны по величине. Тогда уравнение

Ма“а — Вектор импульса

—Вектор скорости，

выведенное из (18.1), с учетом п. 9.12 позволяет сравнить массы этих тел. (А из сказанного в пп. 18.7 и 18.8 следует, что если будут проделаны другие эксперименты, прямо или косвенно связанные с импульсами этих тел» то всегда будут получаться согласующиеся результаты.)

Если выбрать массу какого-либо тела в качестве единицы массы, то описанный выше метод позволит измерить в этих единицах массы остальных тел (при необходимости с помощью цепочки сравнений). В качестве международной единицы массы выбран килограмм. Эталон массы представляет собой слиток платино-иридиево* го сплава, хранящийся в Меж дун а р о дном бюро мер и весов в Севре, в предместье Парижа.

(На практике при измерении масс мы обычно пользуемся экспериментально установленным фактом, что в любой данной географической точке масса тела пропорциональна его весу. Тогда с помощью весов массу можно измерить гораздо точнее, чем описанным выше методом.)

На движение тела можно воздействовать, приложив к нему силу. Сила изменяет и его импульс. Какова связь между силой и скоростью изменения импульса? Проще было бы предположить, что

Сила = Скорость изменения импульса. (18.2)

(Разумеется, «скорость» в смысле быстроты изменения со временем.)

Это предположение во многих случаях может быть подвергнуто экспериментальной проверке. Стандартная пружина, сжатая до определенной длины, всегда будет оказывать одинаковое давление. Можно проверить, что вне зависимости от того, на какое тело она действует, изме-

некие импульса будет всегда происходить с одной и той же скоростью. Две такие пружины вместе дадут удвоенную силу, и можно убедиться, что скорость изменения импульса тоже удвоится. Результаты таких экспериментов всегда подтверждают формулу (18.2).

А затем можно, как обычно, предположить, что (18.2) выполняется и в более сложных ситуациях, и удостовериться, что окончательные выводы согласуются с данными экспериментов.

С помощью (18.1) формулу (18.2) можно переписать в виде

Сила=Темп изменения (МассахВектор скорости).

(18.3)

Изменяться здесь могут скорость, масса или обе эти величины. Иногда приходится изучать движение тел переменной массы: ракеты, теряющей массу при истечении топлива, или дождевой капли, растущей в результате конденсации влаги по мере падения сквозь облако.

Однако во многих случаях тело не теряет вещество и не получает его извне; значит (п. 18.7), его масса остается постоянной (при малых скоростях). И тогда после недолгого размышления станет ясно, что

Темп изменения (МассахВектор скорости)=

= МассаХ(Темп изменения вектора скорости). (18.4)

Но в мире малых скоростей темп изменения вектора скорости —это ускорение. Записав это в правой части формулы (18.4) и подставив в соответствии с (18.3) в левую часть слово《сила》，получим

Слла = МассаХУскоренне.

А может быть, следовало бы переписать эту формулу в более развернутом виде:

Сила= (Масса, на которую она действует) X

X(Произведенное ею ускорение).(18.5)

С другой стороны, формула (18.4) не будет верна, если масса меняется, ведь в противном случае из этого уравнения следовало бы неправильное утверждение, что изменение массы не влияет на импульс. Поэтому, несмотря на то, что формула (18.2) справедлива всегда, формула (18.5) верна только в тех случаях, когда масса остается постоянной.

В уравнениях (18.2) и (18.5) в качестве единицы силы должна быть выбрана такая сила, которая при воздейст-

вии на единицу массы заставляет ее двигаться с равным единице ускорением. Если же использована другая единица силы, то необходимо ввести переводной множитель и заменить знак《равно》на «пропорционально».

Силы редко поддаются оценке с такой легкостью, как в случае сжатой пружины (п. 18.11). Как измерить силу сопротивления воздуха, тормозящую летящий снаряд? Только определив его ускорение (т. е. замедление). Часто трудно измерить электрические и магнитные силы. В большинстве случаев нет прямого способа измерить силу.

Поэтому договоримся определять силу как величину» задаваемую формулой (18.2) или, когда возможно, фор*- мулой (18.5). Теории, в которых использовалось это он- ределение, всегда дают верные предсказания.

Задача облегчается, когда сила постоянна (причем неважно, изменяется масса или нет), поскольку в этом случае из формулы (18.2) следует, что темп изменения импульса тоже постоянен и его можно измерить для любого желаемого промежутка времени. Темп изменения равен полному изменению, деленному на промежуток времени. Теперь формула (18.2) приводится к виду

Р — Полное изменение импульса"

откуда (в более развернутой форме) получим

(Сила) X (Время, в течение которого она действует)= =Полное изменение импульса за это время. (18.6)

Таковы в общих чертах выводы, вытекающие из исследования динамики при малых скоростях. Чтобы перейти к релятивистской динамике, отбросим только один из этих выводов. А именно, допустим возможность изменения массы со скоростью, конечно, относительно того, кто ее измеряет. В обычных опытах при малых скоростях масса остается постоянной или столь близка к постоянному значению, что невозможно обнаружить никаких изменений. Это значение массы называется массой покоя, так как она измерена, когда тело покоится относительно измерительных приборов.

(Нельзя измерить массу с помощью наиболее предпочтительного метода сравнения импульсов (п. 18.9), не сообщив телу ускорения, а значит, оно не будет полностью покоиться в течение всего времени измерения. Но достигаемые при этом скорости так малы, что отклонения от истинного значения массы покоя не имеют прак-

тического значения. Мы могли бы справиться с этой теоретической трудностью, проведя измерения 《с любой желаемой точностью», как в п. 17.13.)

Рассмотрим космический корабль W, движущийся с постоянным ускорением (типа странника W из гл. 17), с массой покоя т. Предположим, что этот космический корабль приводится в движение ракетой-носителем. Саму ракету-носитель нельзя рассматривать как часть этого корабля, ибо она теряет массу из-за истечения топлива. Просто ракета-носитель обеспечивает его движение с постоянным ускорением. Пусть ракета и космический корабль W связаны гигантским пружинным динамометром, с помощью которого можно измерить действующую силу.

Заметьте, что измерение силы производится в данном месте. Любая сила порождается физическим воздействием в точке приложения — в нашем примере истечением горячих газов из сопла ракеты. Поэтому сила должна измеряться в данном месте, например инерциальным наблюдателем, мгновенно сопутствующим W. По отношению к нему W мгновенно покоится, так что масса, которую он измеряет, — это масса покоя т, являющаяся по* стоянной величиной. Тогда формула (18.5) дает

尸=m力(18.7)

где F — постоянная сила, ибо т и f — постоянные величины.

А как та же картина выглядит для наблюдателя А из гл. 17? С его точки зрения, уравнение (17Л4) описывает связь между скоростью W, равной и, и временем Т, требующимся для ее достижения. Если обе части этого уравнения умножить на m и подставить 尸 вместо mf [формула (18.7)], то получим

5 то Г 2 = —_ .

Узнали величину, стоящую в левой части?

Это сила, умноженная на время, в течение которого она действует, т. е.» согласно (18.6), это — изменение импульса (сила постоянна; п. 18.17). Но в момент времени, равный нулю, космический аппарат W покоился относительно наблюдателя А, а значит, имел равный нулю импульс. Таким образом, FT — это импульс W в момент времени Т. Тогда из формулы (18.8) следует вывод:

если тело массы покоя m движется относительно некоторого наблюдателя со скоростью и, то импульс

этого тела относительно наблюдателя равен

В это выражение входят только масса покоя тела и его скорость. Поэтому наш вывод относится к любому телу массой покоя т, движущемуся со скоростью и, независимо от того, как оно достигло такой скорости.

При малых скоростях формула (18.9) совпадает с классической формулой для импульса mu (18.1). Но при релятивистских скоростях кое-что должно измениться. Что, если масса всегда равна т? Тогда придется переопределить импульс в соответствии с (18.9). А если принять, что для импульса всегда справедлива формула (18.1), то придется допустить, что масса W, движущегося со скоростью и, равна m/yi—М.

В следующей главе выяснится, что второй вариант ведет к очень красивому математическому упрощению, которое в свою очередь подсказывает новую замечательную физическую гипотезу. Поэтому остановимся на втором варианте и запишем:

если тело массы покоя т движется относительно некоторого наблюдателя со скоростью у, то, с точки зрения наблюдателя, масса тела равна

/п/J/1 —№.(18.10)

(Речь идет о величине скорости, а не о ее направлении. Масса не зависит от направления движения. Формула (18.10) одинакова как для положительных, так и для отрицательных у; см. п. 12.12М.) Теперь понятно, почему в п. 18.2 я настаивал на том, что масса — это не количество вещества?

Экспериментальные подтверждения этого предсказания обеспечивают лучшее свидетельство в пользу справедливости теории относительности. (На практике проверяется выражение для импульса (18.8), а не формула для массы (18.10), но результаты обычно выражаются через массу.)

Когда речь идет о массе как о мере сопротивления изменению состояния движения, имеется в виду как изменение направления, так и изменение скорости. Чтобы изменить направление движения тела, к нему нужно приложить силу. Приведенные выше соображения можно распространить на случай, когда сила отклоняет тело от его траектории. Около 1900 г. экспериментаторы об-

наружили, что для отклонения пучков быстродвижущих- ся электронов в электроннолучевых трубках требуются силы большие, чем они ожидали. Когда же Эйнштейн выдвинул свою теорию, количественное совпадение результатов этих опытов с формулой (18.10) оказалось превосходным.

В современных гигантских ускорителях элементарных частиц огромные силы, порожденные мощными магнитными полями, отклоняют пучки быстродвижущихся частиц, заставляя их вновь и вновь нестись по окружности, постепенно наращивая скорость. Очевидно, чем больше масса частиц, тем больше должна быть мощность магнита для их разгона. В ускорителе, созданном в ЦЕРН близ Женевы, заряженные элементарные частицы, называемые протонами, разгоняются до скоростей, при которых их масса почти в 30 раз превышает массу покоя. А работает этот ускоритель только потому, что его конструкторы учли этот эффект в своих расчетах. В ускорителях, находящихся в стадии разработки, эта цифра будет еще в 10 раз больше. Более легкие электроны легче разогнать, чем протоны, и конструкторам ускори* телей электронов пришлось учесть возможность возрастания массы в 40 000 раз.

В последние годы специальная теория относительности проникла даже в инженерные расчеты. Можно заставить тщательно сфокусированный электронный пучок резать, сверлить, сваривать металлы. Электроны в этих пучках движутся с такими скоростями, при которых их массы возрастают в 1,5 раза. Чтобы эти устройства работали, при расчете процесса фокусировки использовалась формула (18.10). А чтобы ваш телевизор давал ясное и четкое изображение, при его сборке была учтена возможность увеличения массы электронов в электроннолучевой трубке примерно на 1%.

Уильям Кингдом Клиффорд напомнил нам, что научная идея ——это «руководство к действию; истина, которую мы познаем,——это не то, над чем можно размышлять, не совершая ошибок, а то, с чем можно безбоязненно работать». Эта мысль справедлива и для теории относительности.

19

ВЗАИМОСВЯЗЬ МЕЖДУ МАССОЙ И ЭНЕРГИЕЙ

Самое знаменитое предсказание Эйнштейна — существование совершенно неожиданной связи между массой и энергией ——имело далеко идущие последствия. Оно привело к утрате приятных иллюзий о том, что наука —— даже в самых абстрактных ее разделах ——это башня из- слоновой кости, предоставленная заботам обитающих в ней ученых.

В повседневной жизни мы говорим, что некто обладает большой энергией, если он способен проделать достаточно большую работу. Такой подход оказывается полезным и для определения понятия энергии в научном смысле. Но сначала определим, что мы будем понимать здесь под словом《работа》.

Типичный пример физической работы, который к тому же прост для понимания,——подъем грузов. А един* ственная подходящая формула для количества совершенной работы — следующая.

Совершенная работа =

=(Поднимаемый вес) X (Высота, на которую он поднимается).

Уверен, после нескольких минут размышления вы согласитесь с этим.

Удвоение поднимаемого веса либо удвоение высоты, на которую он поднимается, приводит к двукратному увеличению совершенной работы. Это единственные* величины, определяющие работу. Подумайте над этим^ 19.2. Подъем тяжестей — весьма частный случай использования силы для перемещения какого-нибудь предмета в направлении действия силы. Но он приводит к более общему определению работы (не абсолютно строгому^ но вполне подходящему для наших целей):

если тело движется под действием и в направлении- постоянной силы, то работа, совершенная над этим телом, определяется соотношением

Совершенная работа = (Приложенная сила)Х

X(Пройденное расстояние).(19.1)

За единицу работы примем работу, совершенную при перемещении тела единичной силой на единицу расстояния. (Пройденное расстояние ——это путь, пройденный телом за время действия силы.)

Теперь дадим следующее определение:

энергия — это способность совершать работу, а количество энергии, запасенной в чем-то, равно работе» которую оно способно совершить.

Значит, энергия измеряется в тех же единицах, что и работа.

Таким образом, энергия принимает разные формы и содержится во многих предметах. Глыба угля обладает энергией, так как его можно использовать для приведения в движенние паровой машины, совершающей при этом работу. В солнечных лучах запасена энергия, так как они поднимают водяной пар на большую высоту. Все движущееся тоже обладает энергией, потому что можно, к примеру, использовать движение любого тела для поднятия его собственного веса, заставив его перемещаться вверх по склону. Какие еще формы вездесущей энергии вы знаете?

Мир полон примеров перехода одних форм энергии в другие. В двигателе автомобиля сжигается бензин, при этом химическая энергия переходит в тепловую; горячие газы толкают поршень, превращая эту энергию в механическую. Придумайте еще несколько примеров преобразования энергии.

К сожалению, преобразование энергии из одних форм в другие редко происходит без потерь； так, большая часть тепла из двигателя автомобиля уходит в выхлопную трубу. Однако, если внимательно проанализировать и учесть всю энергию, принимавшую участие в каждом преобразовании, и всю энергию всех форм, которая была потеряна без всякой пользы, то можно сделать вывод чрезвычайной важности, носящий название

закон сохранения энергии:

энергия не возникает из ничего и не исчезает бесследно, а только переходит из одной формы в другую.

Этот закон можно проверить непосредственно лишь в нескольких простых случаях. Тем не менее он лежиг в основе почти всех физических теорий, и еще не было случая, чтобы он подвел. Поэтому его доказательством^ можно считать его несокрушимость.

Энергия, которой обладает тело при своем движении, называется кинетической энергией. Легко понять, что эта энергия зависит от того, относительно какого наблюдателя она измеряется.

Значит, кинетическая энергия тела равна работе, которую оно может совершить при торможении. Она должна быть в точности равна работе, которую нужно совершить, чтобы разогнать тело из состояния покоя до скорости, которая у этого тела была перед торможением (здесь нас интересует только величина скорости, но не ее направление; ср. с п. 18.9). Попробуйте доказать это.

Если бы при торможении тела удалось извлечь больше работы, чем было затрачено на приведение его в движение, то при повторении этого процесса можно -было бы получить любое количество работы, а значит, и сколько угодно энергии. Таким образом, можно было бы разбогатеть ценой нарушения закона сохранения энергии. Попробуйте разобраться в противоположной ситуации. (Ведь вы достаточно богаты, так что есть с чего начать.)

Теперь применим рассмотренные понятия для расчета кинетической энергии космического корабля W (п. 18.17).

Я9.7М. Будем решать эту задачу с помощью цепочки вычислений: сначала убедимся, что некоторая величина равна какой-то другой, которая в свою очередь равна третьей, которая ..., и так до тех пор, пока не получим ответа. Приведение подробных выкладок после каждого шага этой цепочки требует слишком много места, может нарушить последовательность изложения и, кроме того, может стать помехой, если вы способны сами докопаться до сути дела. Так что в дальнейшем я буду стараться проделывать такие вычисления кратко, как в п. 19.8. У левого края страницы вы найдете краткие пояснения, обосновывающие справедливость равенства в предыдущей и последующей строках. Обычно в качестве пояснений приведены номера формул или параграфов, к которым в случае необходимости можно обратиться, или же несколько слов.

А теперь попробуйте читать и. 19.8 параллельно с начинающимися в следующем абзаце объяснениями. Не забудьте при этом то, о чем говорилось в пп. ЗЛ5М, 9.19 и 8.19М (с примерами в пп. 9.3М, 9.17М и 11.18М).

В п. 19.6 были описаны два способа вычисления кинетической энергии. Мы воспользуемся вторым. На ос-

новании определения работы (19.1) можно считать величины, стоящие в п. 19.8 в строках до и после номера формулы (19.1), равными.

Рассмотрим конкретные силу и путь, связанные с нашей задачей. В конце п. 18.17 мы обозначили интересующую нас силу буквой F. А согласно формуле (17.7), перемещение определяется выражением X——1/f. (Если вам не совсем ясно, почему правильное выражение для перемещения имеет именно такой вид, то повторите предыдущий материал.) Подстановка этих величин (п. 9.16М) в предыдущую строку даст F(X—l/f)・

Теперь вспомним формулу (18.7). Преобразуем последнюю формулу к виду mf(X——1/f). Выполним тождественное преобразование (п. 16.12М):

mfX-mf^lf).

Но при умножении и делении m на одно и то же число f мы снова получим т. (Ниже вы будете выполнять подробный анализ без моей помощи.) Подставим (17.13) вместо fX в предпоследнюю строку и перейдем к последней строке. А теперь проверьте, сможете ли вы сами последовательно, шаг за шагом, пройти всю цепочку вычислений п. 19.8.

Когда я ссылаюсь на какой-нибудь параграф, вы сами должны решать, какой его фрагмент нужен. А когда я буду ссылаться на уравнение, то вам частенько придется проделывать самостоятельно операции типа замены а на 力.Когда впоследствии будут встречаться цепочки вычислений, сначала подумайте, можете ли вы понять самое существенное после каждого знака равенства. Если нет, то вам помогут мои пояснения.

Согласно п. 19.6,

Кинетическая энергия тела W, движущегося со скоростью v ^ =Работа, необходимая для увеличения скорости от 0 до и = (19.1)

=(Приложенная сила) х (Путь, пройденный телом Wдо момента достижения им скорости и)=

пп. 18.17 и (17.7)

= F(X—1/力=

(18.7)

=mf (X — 1 /力=

п. 16.12M

=mfX—mn

Таким образом,

если тело массой покоя т движется со скоростью ^относительно некоторого наблюдателя, то его кинетическая энергия, измеренная этим наблюдателем, будет равна

ттт.т.(19.2)(19.2)

т

т

т.

т.

(19.2)

(19.2)

(Если вы свободно владеете необходимым математическим аппаратом, то можете доказать, что общеизвестная формула кинетической энергии 加№/2 является приближением формулы (19.2) при малых скоростях.)

Сравните (19.2) с (18.10). Что вы заметили?

Когда W разгоняется из состояния покоя до скорости и, его масса изменяется от т до m/yi—v2, т. е. изменение массы равно 加/丫1—и2—m. Сравнивая это выражение с (19.2), мы увидим, что изменение кинетической энергии и массы совершенно одинаково (при использовании естественной системы единиц, в противном случае появится переводной коэффициент). Придумайте физическую интерпретацию этой интересной взаимосвязи.

Толкая тело, мы сообщаем ему кинетическую энергию и обнаруживаем, что вследствие этого его масса соответственно увеличилась. Тогда можно выдвинуть правдоподобное предположение, что кинетическая энергия ‘сообщила телу дополнительную массу. Иными словами,

кинетическая энергия обладает массой,

которая добавляется к массе тела, приведенного в движение. А из сравнения, приведенного в п. 19.9, следует:

если кинетическая энергия и ее масса выражены в естественной системе единиц, то они равны — единица кинетической энергии имеет массу, равную одной единице массы.

Что следует из идеи о том, что кинетическая энергия имеет массу?

見9.11. Любую форму энергии можно преобразовать в какую- либо иную форму, и было бы удивительно, если бы кинетическая энергия имела массу, а, скажем, химическая нет. Странные вещи происходили бы тогда при превращении одной формы энергии в другую. Итак, мы пришли к важному обобщению:

любой вид энергии имеет массу; масса и энергия, выраженные в естественной системе единиц, равны.

Выражение (19.2) несколько громоздко. Создается впечатление, что оно описывает не одну величину, а разность двух величин (п. 16.11М). Что представляют собой эти величины в отдельности?

Прежде всего, что такое mW—№? В нашем случае кинетическая энергия равна этой величине за вычетом т. Другими словами, часть этой величины описывает некоторое количество энергии. Значит, вся величина тоже должна описывать энергию, связанную каким-то образом с рассматриваемым телом. К тому же она имеет четкую и простую форму по сравнению с (19.2). Лаконичные и простые выражения часто, хотя и не всегда, означают нечто важное, достойное обсуждения.

Подытожим сказанное: величина m/山一и2 описывает энергию и, возможно, представляет значительный интерес. Часть ее — кинетическая энергия тела W, и вся она тоже как-то связана с W. О чем это говорит?

Весьма заманчиво предположить, что эта величина описывает полную энергию тела:

полная энергия тела массой покоя т, движущегося со скоростью V, равна

加/M 匸二d・(19.3)

Помимо кинетической есть много других видов энергии, непосредственно связанных с телом независимо от того, движется оно или нет: тепловая, химическая, ядерная и т. д. Назовем всю совокупность этих форм энергии внутренней энергией тела. Если это определе* ние справедливо, то как узнать, какова внутренняя энергия тела W?

Внутренняя энергия — это энергия неподвижного тела. Ее легко найти, если в (19.3) положить 幻=0. Тогда

внутренняя энергия тела массой покоя m равна ш (в естественной системе единиц).

В п. 18.19 ml、\—* — это масса космического корабля W при скорости 'V, а в п. 19.12 эта величина фигурирует снова, но уже как полная энергия W при скорости 少.В свою очередь m описывает массу покоя (п. 18.16) и внутреннюю энергию (п. 19.13). Поэтому уравнение

тМ1—и? = m/V 1—и2—mm

можна интерпретировать двумя способами: либо

(Полная энергия при скорости и)=

=(Кинетическая энергия при скорости и)+

+ (Внутренняя энергия),

либо

(Масса при скорости и)=

=(Приращение массы, соответствующее скорости е)+

+(Масса покоя).

Попробуйте сделать вывод.

Мы уже отмечали в п. 19.11, что всякая энергия имеет массу. Это сравнение подсказывает неизбежный вывод:

всякая масса — это масса энергии, и поскольку (19.2) это масса кинетической энергии, масса покоя — это масса внутренней энергии тела.

Таким образом, формула (19.3) показывает, насколько возрастет энергия движущейся частицы по сравнению с внутренней энергией, определяемой ее массой покоя. Результаты эксперимента, опубликованные в 1975 г・, показывают, что если при увеличении скорости электро на его энергия возрастет в 30 000 раз, то его скорость будет меньше скорости света всего на 5/10 000 000 000, что согласуется с формулой (19.3), позволяющей нетто средственно проверить эти выводы.

Существуют ли ситуации, при которых массу и энергию следует рассматривать как разные понятия? Самое верное — считать массу одним из способов проявления энергии. Вспомним, что масса — это мера противодействия изменению состояния движения тела. Исходя из этого, можно сказать, что именно энергия противодействует изменению состояния движения, а слово «масса» используется для описания этого специфического свойства энергии.

Пусть вас не вводит в заблуждение краткость изло* жения в этом параграфе. Все, что в нем сказано, очень важно — настоящий переворот в мировоззрении.

Итак, любые окружающие нас, казалось бы, совершенно инертные предметы содержат энергию. Но сколько?

Для расчета примем в качестве единицы массы один килограмм (п. 18.9), а единицы времени — один год9 так что естественной единицей длины будет световой год (ri. 1.8). В п. 17.21 мы уже вычислили, что единица

ускорения в этом случае будет примерно равна g. Тогда, согласно п. 18.13, в качестве единицы силы следует взять такую силу, которая массе в 1 килограмм сообщает ускорение g, а это просто вес одного килограмма. (Если предоставить 1 кг вещества возможность свободно падать, то сила, которая сообщит ему ускорение g, будет равна его собственному весу.)

Из пп. 19.2 и 19.3 следует, что единицей работы или энергии будет работа, совершаемая силой, равной весу тела массой 1 кг при перемещении этого тела на расстояние в 1 световой год, или приблизительно 9500 миллиардов километров (п. 1.8). Однако, чтобы не учитывать в расчетах изменение силы тяготения с высотой, будем считать, что работа совершается силой, равной весу тысячи миллиардов килограммов, на пути в 9,5 км. Это, скажем, работа, требуемая для подъема 1000 миллионов тонн на высоту 9,5 км.

Согласно пп. 19.13 и 19.14, любой предмет, обладающий массой покоя в 1 единицу, содержит единицу внутренней энергии. Тогда нетрудно подсчитать, что

один килограмм вещества содержит достаточно внутренней энергии для подъема 1000 миллионов тонн на высоту 9,5 км — гораздо выше горы Эве* реет.

Тысяча миллионов тонн — это масса куба воды со стороной 1 км!

Прежде чем задавать напрашивающийся сам собой вопрос, проделаем эти расчеты обычным способом.

Значения массы и энергии совпадают только при использовании естественных единиц длины (п. 7.11). Но легко перейти к системе единиц, в которой свет проходит с единиц длины за единицу времени, так что с — это скорость света. Поэтому каждый раз встречающуюся в расчетах длину мы должны теперь умножать на с, подставляя с новых единиц вместо одной, естественной. Расчеты, проделанные в пп. 19.17—19.19 — это хороший пример, и там длина появлялась в вычислениях дважды: при подсчетах ускорения (пп. 19.17 и 17.21) и совершенной работы (п, 19.18). Значит, найденное значение нужно дважды умножить на с, т. е. на с2. Таким образом,

в системе единиц, в которой скорость света равна с. количество энергии, содержащееся в данной массе т, равно этой массе, умноженной на с2.

В частности, если Е—внутренняя энергия, то этот вывод приводит к знаменитому уравнению

Е = тс2.(19.4)

Международная система единиц (СИ) в качестве единиц измерения времени, длины и массы принимает секунду, метр и килограмм. Скорость света в ней равна с=300 миллионов метров в секунду, а с2 = 90 000 миллионов миллионов (м/с)2. Соответствующая единица энергии называется джоулем; 1 кг массы соответствует 90 000 миллионов миллионов джоулей энергии. Более привычная единица энергии ——киловатт-час (энергия, потребляемая за час обычной электроплиткой); 10 мил- лионов джоулей = 2,778 киловатт-часов (поскольку 1 Вт — это по определению 1 Дж/с). Отсюда один кило- грамм вещества содержит 25000 миллионов киловатт- часов энергии.

Итак, количество энергии, заключенной в веществе一 в любом веществе, — огромно. Можно ли извлечь всю или хотя бы часть этой энергии?

Теория относительности не дает ответа на этот вопрос. Она лишь утверждает, что если внутренняя энергия выделяется и переходит в свободное состояние, то должна уменьшиться масса покоя, и та часть вещества, к которой это уменьшение массы покоя относилось, должна исчезнуть. И обратно, если исчезла масса, то должно освободиться соответствующее количество энергии. Точное предсказание требует экспериментальной проверки, и Эйнштейн в конце второй своей статьи по теории относительности указал:

«Вполне возможно, что для тел с сильно изменяющимся содержанием энергии (например*, для солей радия) теория может быть успешно проверена на опыте».

Короче не скажешь! Как известно, предсказание было тщательно проверено: в 1930-е годы в лабораторных экспериментах, а затем и на практике при успешном со здании атомных электростанций (и, увы, атомной бомбы). Рассмотрим несколько примеров.

При столкновении электрона с позитроном (элементар* ной частицей такой же массы, но с положительным электрическим зарядом) обе частицы исчезают (аннигилируют) с испусканием двух гамма-квантов, энергию^ которых можно найти по их частотам (п. 19.30). Согласие с формулой (19.4) оказалось превосходным.

Мы не знаем, как осуществить аннигиляцию вещества в больших масштабах. Но в некоторых случаях масса покоя вещества может значительно уменьшиться, а соответствующее количество внутренней энергии перейдет в свободное состояние.

При бомбардировке ядер урана-235 нейтронами ядра расщепляются (делятся), и в результате образуются два крупных осколка и несколько нейтронов. При подходящих условиях некоторые из этих нейтронов снова соударяются с ядрами урана, производя новые деления и приводя к цепной реакции. В используемых при таких расчетах единицах массы нейтрона и атома урана-235 соответственно равны 1,01 и 235,04. При типичном делении ядра образуются два нейтрона и осколки с массами 94,91 и 138,91. (Дана полная масса атомов; с учетом массы окружающих ядро электронов.) Считая этот случай типичным, определите, сколько энергии выделяется при делении 1 кг урана-235.

Полная масса до деления была равна 236,05 единицы, а после него 235,84. Значит, исчезла 0,21/236,05 доля килограмма и выделившаяся энергия должна составлять такую же долю, от 25 000 миллионов кВт-ч (п. 19.21), или около 22 миллионов кВт-ч. Подобные расчеты (но несравненно более сложные на практике) определяют успехи, достигнутые атомной энергетикой.

Источником энергии Солнца является реакция тер* моядерного синтеза слияния 4 протонов (ядер атома водорода) с образованием ядра атома гелия и двух позитронов. Сколько энергии выделяется на каждый килограмм синтезированного таким образом гелия? (Масса протона 1,0073, ядра атома гелия 4,0015; электрона или позитрона 0,00055. Ответ в конце главы.)

Итак, у нас есть достаточное количество подтвержден ний тому, что при освобождении энергии уменьшается масса покоя тела. (Масса не исчезает — она связана с выделившейся энергией, но ее уже нельзя считать массой покоя.) Если извлечь из тела всю энергию полч ностью, то исчезнет вся его масса покоя, а значит, исчезнет и само тело. Вещество тела не может существо* вать в отрыве от заключенной в нем энергии.

Вещество — это всего лишь энергия, связанная та* ким образом, что она имеет массу покоя.

Отсюда масса покоя — это мера количества вещест* ва, содержащегося в теле. Выходит, я был не прав в

п. 18.2, когда говорил, что массу нельзя считать количеством вещества?

Нельзя пренебрегать различием между массой и массой покоя. И если бы мы начали с представления, что масса является мерой количества вещества, то не удалось бы доказать, что эту функцию выполняет масса покоя.

При описании явлений, подобных рассмотренным в пп. 19.23 и 19.24, неверно говорить о переходе массы в энергию. Полная энергия остается неизменной (п. 19.5). Внутренняя энергия тела выделяется и переходит в свободную энергию; в результате масса покоя, связанная с внутренней энергией, становится массой (но не массой покоя), связанной со свободной энергией, т. е. вещество превратилось в свободную энергию.

Ниже мы вновь будем использовать естественные единицы. Если Е — энергия, a m — масса покоя какого-нибудь объекта, движущегося со скоростью v, то из (19.3) следует, что 七八一v2 = m (п. 9.11М). Если это свет (обладающий энергией, а значит, и массой), то и=1 и /п = 0. Таким образом, масса покоя света равна нулю.

Это означает, что свет не может существовать в состоянии покоя. Что происходит с массой света, когда он, упав на какой-нибудь предмет, останавливается?

Она идет на увеличение массы покоя тела, остановившего свет и поглотившего его энергию. Обычно свет лишь слегка нагревает тело, на которое он упал, добавляя массу, соответствующую возрастанию тепловой энергии. Иногда высокоэнергичные гамма-лучи превращаются в пару электрон — позитрон — процесс, обратный аннигиляции (п. 19.23). Масса и энергия гамма- лучей становятся внутренней энергией и массой покоя новых частиц.

Если вы не сильны в математике, оставшуюся часть главы можете пропустить, но п. 19.34 прочтите обязательно.

Используем для описания движения тела вместо скорости коэффициент Доплера k (пп. 15.4, 15.5 и 15.8). Тогда из (19.3) и (16.15) нетрудно получить равенство

Энергия = m^/2+m/2 瓦(19.5)

а из (18.9) и (16.16) следует

Импульс = mk/2—m/2k.(19.6)

Вид этих уравнений наводит на мысль, что тело можно была бы рассматривать как некую комбинацию

чего-то, имеющего энергию тЛ/2 и импульс mk/2 и чего-то еще с энергией mk/2 и импульсом —m/2k. Первый объект движется в положительном направлении, а второй—в отрицательном (п. 18.5). Что бы это могло быть?

Согласно п. 19.11, масса этого «чего-то» тоже равна m论/2, т. е. его импульс и масса равны. О чем это говорит?

Из (18.1) следует, что скорость этого объекта равна 1. Значит, что это такое?

Поскольку скорость равна скорости света, это должен быть световой сигнал, распространяющийся в пен ложительном направлении (если не принимать в рас* чет таинственную частицу под названием «нейтрино»). И что еще?

Сигнал, распространяющийся в отрицательном направлении. Итак, тело массой покоя m можно рассматривать как комбинацию двух световых сигналов —« двух порций световой энергии, — распространяющихся в противоположных направлениях.

Нейтральный пи-мезон (п. 1.9) представляет собой конкретное воплощение этой идеи. Когда он исчезает, возникают два гамма-кванта, разлетающихся в противоположных направлениях. Их энергии и импульсы удовлетворяют уравнениям (19.5) и (19.6). Но не следует воспринимать слишком буквально представление о том. что каждая частица — это некая застывшая комбинат ция двух порций света. Лучше осторожно сказать, что математическое описание энергии, массы и импульса суммы двух сигналов точно такое же, как и для тела. 19.29. Пусть А — наблюдатель, относительно которого коэффициент Доплера для некоторого тела равен k. И пусть В — это другой наблюдатель, движущийся вместе с этим телом. Рассуждения в духе пп. 15.4—15.6 (где ко^ эффициент 后 назывался коэффициентом пропорциональ-* ности) приводят к выводу, что если А, а затем В на< блюдают за одним и тем же сигналом, распространяю* щимся в положительном направлении, то

Частота сигнала, измеренная наблюдателем А =

=Л х(Частота сигнала, измеренная^наблюдателем В). (19.7

Теперь предположим, что В наблюдает за тем же самым телом. Для него 々=1 (п. 15.4), и поэтому (19.5) сводится к виду

Энергия = /И/2+/И/2.

Следовательно, для сигнала, распространяющегося в положительном направлении, получим, что его

Энергия, измеренная наблюдателем А =

=А х (Энергия, измеренная наблюдателем В).

Сравните с (19.7) и сделайте вывод.

Энергия светового сигнала, измеренная различными наблюдателями, пропорциональна его частоте, измеренной теми же наблюдателями. (Рассмотрите самостоятельно сигнал, распространяющийся в отрицательном направлении.)

В квантовой механике в качестве основного предположения принимается, что свет всегда приходит порциями определенной величины. Эти порции называются фотонами. Из п. 19.29 следует, что энергия фотона пропорциональна его частоте (коэффициент пропорциональности называется постоянной Планка). Это один из фундаментальных законов современной физики.

Из формулы (19.8) и соответствующего уравнения для FX (полученного путем небольшого изменения в вычислениях п. 19.8), перейдя к радиолокационным координатам, получим 尸①二加尼 и 尸® = —m/k. Можете ли вы дать физическую интерпретацию этим чрезвычайно простым уравнениям? Я могу сказать лишь, что входящие в них величины, очевидно, являются (в некотором смысле) радиолокационными эквивалентами импульса и энергии.

Немного изменив обозначения, предположим, что тела А и С приближаются с одинаковыми скоростями, но с противоположных направлений к наблюдателю В. Пусть k — коэффициент Доплера между А и В, а также между В и С. Тогда, согласно (16.20), коэффициент Доплера между А и С равен /Л Если массы покоя обоих тел равны m, а Е — их (равные) энергии, измеренные наблюдателем В, то формула (19.5) дает

2e/加=々+1加.(19.8)

Аналогично если Еас — энергия тела С, измеренная наблюдателем, движущимся вместе с телом А, то получим

2EAQ/m =胪 +1 /々2 =

(см. п. 26.28М)

=但+1 位)2_2 =

(19.8)

=4(e2/加2)一 2

и, следовательно,

Eac= 2 (e2/m)一加.(19.9)

Пусть m = 0,938 и E = 28,94; проверьте, что £\с=1785.

Таким образом, £Ас не в 4 раза больше Е (как это следовало бы из классической формулы п. 19.8), а более чем в 60 раз. Надеюсь, теперь вы воспринимаете это спокойно.

Современные исследования элементарных частиц проводятся с помощью ускорителей (п. 18.20), в которых частицы разгоняют до высоких энергий. Затем поток таких частиц направляют на неподвижную мишень и изучают результаты соударения. Чем больше энергия бомбардирующего пучка, тем интереснее результаты. Но строительство все более мощных ускорителей обходится очень дорого. В результате возникла идея отвести частицы в так называемые «накопительные кольца», а затем, выделив из этих частиц два пучка, движущихся с наивысшей скоростью в противоположных направлениях, столкнуть их «в лоб》.

Приведенный в п. 19.32 расчет относится к такому устройству, созданному в ЦЕРН, близ Женевы. В этой области исследований используется единица энергии гигаэлектронвольт (ГэВ), или тысяча миллионов электронвольт, где 1 электронвольт — это энергия, сообщаемая электрону, когда он проходит в электрическом поле ускоряющую разность потенциалов 1 вольт. Построенная в ЦЕРН установка сообщает протонам энергию 28 ГэВ. Но чтобы найти Е, мы добавили сюда внутреннюю энергию протона, составляющую 0,938 ГэВ. Вот откуда взялись цифры, приведенные в п. 19.32, хотя на самом деле частицы разгоняются до несколько меньших энергий. Этот проект окупился с лихвой, так как были получены замечательные результаты. Однако если исходить из классической формулы, то ни о каких ускорителях не могло быть и речи.

Вы, наверное, думали, что теория относительности связана с космическими путешествиями на субсветовых скоростях далекого будущего. И я, используя наблюдателей-космонавтов, мог бы это впечатление усилить. Но две последние главы должны были убедить вас, что теория относительности связана и с проблемами, имеющими чисто практическое значение; ее выводы необходимо

учитывать во всех тех случаях, когда приходится иметь дело с высокими скоростями или энергиями. До сих пор большинство приложений теории относительности были связаны с разработкой научных приборов. Но история учит, что передовые методы научных исследований одного поколения находят практическое применение у следующих поколений. И примеры, приведенные в пп. 18.20 и 19.24, показывают, что мы с вами являемся свидетелями этого процесса.

Ответы к п. 19.24. Позитроны и электроны при столкновении аннигилируют. Поэтому сначала было 4 протона и 2 электрона с общей массой 4,0303; конечный продукт реакции ——это только ядро атома гелия. Таким образом, 0,0288/4,0303 массы покоя превращается в 180 миллионов киловатт-часов энергии.

20

ВЛИЯНИЕ УСКОРЕНИЯ НА ИЗМЕРЕНИЯ ВРЕМЕНИ

Мы уже дважды обсуждали пародокс часов (или парадокс близнецов). Просмотрите еще раз пп. 4.14—4.20 и 14.22—14.24. Решите задачу, сформулированную в кан- це п. 4.18, если вы еще с ней не справились. Рис. 14.22 поможет вам.

Требовалось сравнить ситуации, в которых искривлен- ные участки вблизи Р, О и Q (рис. 14.22) совпадают по форме и длине, а два прямолинейных участка мировой линии наблюдателя D могут быть любой длины. Если ускорение увеличивает время, прошедшее для D。 тогда (если ускорение одинаково) это увеличение должно быть фиксированным. Но на участках инерциального движения D замедление течения времени всегда приводит к тому, что для него пройдет меньше времени по сравнению с А, и, чем длиннее участок инерциального движения, тем сильнее этот эффект. Поэтому если ускорение и оказывает какое-то влияние, то на участке определенной длины оно могло бы полностью компенсировать замедление течения времени. При более длительном путешествии для D прошло бы меньше времени, чем для А, а при более коротком — наоборот.

203 Теория, основанная на предположениях, использован^ ных до сих пор (все инерциальные наблюдатели равно- правны и т. д.), не позволяет дать определенный ответ на вопрос, влияет ли ускорение на течение времени странника. Поэтому введем новое предположение, связанное с этой проблемой, выведем его следствия и проверим их экспериментально.

Для начала попробуем предположить, что ускорь ние не влияет на время, измеряемое странником, т. е. будем принимать во внимание только относительную скорость. Другими словами, предположим, что можно выяснить, как время идет для странника, с помощью формулы замедления течения времени, подсчитывая мгновенную скорость в каждый момент времени. По этой формуле вычислим, сколько времени прошло по часам D с точки зрения наблюдателя А. Однако ее нельзя применить, чтобы узнать время, прошедшее по

часам А, с точки зрения наблюдателя D, ибо мы пока не знаем, как интерпретировать наблюдения ускоренных наблюдателей.

Следующий очевидный шаг — сделать расчет для конкретного путешествия и сравнить полученные результаты с экспериментом. Но здесь мы встречаемся с неожиданным препятствием. В формулы замедления течения времени входит величина 丫1—у2, где и ——относительная скорость (п. 13.7). Не возникает никаких затруднений, пока V постоянно. Но когда и меняется со временем, то далеко не очевидно, как провести расчет. Чтобы исключить (временно) эту трудность, придумайте пример, в котором D движется ускоренно и тем не менее его скорость постоянна.

Такой пример ——движение D с постоянной скоростью по окружности.

Но можно ли говорить, что D движется с ускорением, когда его скорость постоянна? Да, можно. Ускоренное движение означает «неинерциальное движение» (пп. 17.2 и 17.3). Именно это важно для нас. Мы уже изучили движение по инерции и теперь приступаем к изучению неинерциального движения. Движение D по окружности, безусловно, неинерциальное (п. 5.2): пробная частица покинет его, улетев по касательной.

В некоторый момент времени D движется с определенной скоростью в одном направлении, а пол-обо- рота спустя он движется с той же скоростью в противоположном направлении. Чтобы изменить направление, он должен был двигаться с ускорением. Ведь ускорение определяется как изменение вектора скорости (п. 18.6), а не только ее величины. (Такое определение нужно, например, для того, чтобы имела смысл связь между силой, направление которой не совпадает с направлением движения, и ускорением.) Значит, непрерывное изменение направления движения D — это проявление ускорения. В то же время движение по окружности сохраняет все математические преимущества постоянной скорости.

Рассмотрим лабораторный эксперимент, в котором роль D играет пучок мю-мезонов (и. 3.24), мчащихся по круговой траектории, а А — наблюдатель, расположившийся рядом с этой траекторией. (Имеет ли значение, что D на старте и на финише просто пролетает мимо наблюдателя А, а не начинает из состояния покоя и не возвращается в состояние покоя относительно А? Нет, не имеет. При многократном повторении

кругового рейса влияние разгона и торможения может быть сделано пренебрежимо малым; ср. с п. 202)

Повторите анализ замедления течения времени, как в пп. 3.34—3.36, и добавьте количественную информацию из п. 13.7. Оказывается, когда часы движутся относительно инерциальнюго наблюдателя со скоростью и, он считает, что они идут в 1/^1—^2 раз медленнее, чем его часы. Согласно, нашему новому предположению (п. 20.3), эта формула позволяет узнать мнение наблюдателя А о ходе часов D (но не наоборот).

В очень тщательно разработанном и выполненном в ЦЕРН эксперименте (см. журнал Nature, 268, 301, 1977) мю-мезоны двигались по окружности радиусом 14 м со скоростью чуть больше 0,9994 скорости света. Тогда 1/八一@2 = 29,33, тг. е. наблюдателю, неподвижному относительно лаборатории, их время жизни должно казаться в 29,33 раза больше времени жизни покоящегося мю-мезона. Экспериментальный результат совпал с предсказанным с точностью 0,2%.

Итак, теперь у нас есть экспериментальное доказательство того, что ускорение не влияет на ход часов странника. К тому же при вычислении его времени нужно учитывать только его скорость относительно неподвижного наблюдателя! и пользоваться формулой замедления течения времени.

Если бы ускорение оказывало хотя бы очень слабое влияние, то в этом случае оно проявилось бы — ведь для мю-мезонов ускорение составляет около миллиона миллионов миллионов g.

В этом эксперименте наблюдателю, находящемуся в лаборатории, кажется, что часы странника идут все время медленнее его часов. Поэтому, когда часы странника вернутся в точку старта, они отстанут от покоившихся в этой точке часов. Для странника пройдет меньше времени, чем для наблюдателя в лаборатории. Заметьте: здесь не говорится, что часы странника идут медленнее. С точки зрения неподвижного наблюдателя, они идут медленнее. На самом же деле они показывают меньшее значение времени потому, что следовали через пространство-время иным, более коротким, маршрутом. Если это не понятно, прочитайте еще раз пп. 14.20—14.24.

Конечно, вы бы скорее поверили в парадокс космических близнецов, если бы обнаружили его при путешествии обычного человека. Для полета вокруг земно-

го шара грубый расчет показывает, что различие во временах составило бы около 100 наносекунд (тысячемиллионных долей секунды). Такую величину способны измерить атомные (квантовые) часы («маятником» которых служат атомы).

Однако точка на поверхности Земли сама совершает движение по окружности относительно гипотетиче- ского инерциального наблюдателя. Поэтому самолет, летящий на восток, затратит на свой рейс меньше времени, чем летящий на запад. Тогда вследствие замедления течения времени показания часов, движущихся вокруг Земли в восточном направлении, будут меньше, чем оставшихся на Земле, а движущихся в западном направлении — больше. Теперь легко рассчитать время для самолетов, равномерно летящих вдоль экватора. Но такой эксперимент оказался бы исключительно до- рогим. Кроме того, на измерения времени примерно в тех же пределах влияет тяготение, причем время путешественника всегда возрастает на величину, пропор- циональную высоте, на которой он находится (гл. 23). Кроме того, и у таких исключительно надежных часов, как атомные, могут быть сбои.

Несмотря на все препятствия, эксперимент был проведен в октябре 1971 г. (см. журнал Science, 177, 116, 1972). В результате сложных расчетов было сделано предсказание, что часы, движущиеся на восток, должны показать на 40 наносекунд меньше, чем часы, оставшиеся на земле, а часы, движущиеся на запад, на 275 наносекунд больше. Экспериментальные результат ты: на 59 наносекунд меньше и на 273 наносекунды больше. С учетом описанных трудностей это очень хо* рошее согласие.

Как отмечалось в п. 20.4, когда скорость путешествен^ ника D меняется, расчеты усложняются. Сформулируем более точно наше новое предположение. Оставшаяся часть главы трудна в математическом плане. Проштудируйте ее несколько раз (не забывайте сказанного в п. 16.23). Быть может, некоторые новые идеи останутся недопонятыми. Вернитесь к ним, когда наберетесь опыта.

Новое предположение, сформулированное в п. 20.3, звучит весьма неопределенно. Нам необходимо найти точный способ определения процедуры сравнения промежутков времени, измеренных ускоренными и инерциальными часами. Что вы предлагаете?

Быть может, стоит выбрать инерциального наблюдате-

ля F, который в момент события Q мгновенно сопутст* вует ускоренному страннику D (убедитесь с помощью открытки с прорезью, что на рис. 20.11 изображена именно эта ситуация), и предположить, что, пока они движутся вместе, часы странника D идут в такт с часами F. (И это, безусловно, следует применить к любой точке Q на мировой линии D.) Но почему это нельзя сделать?

Рис. 20.1 LРис. 20.1 L

Рис. 20.1 L

Рис. 20.1 L

Чтобы установить, идут ли ч^сы в такт друг с дру* гом, необходимо сравнить их показания дважды. А ес- 』н они движутся вместе только в один момент времени» то это неосуществимо. Если же производить сравнение через некоторый, <не равный нулю интервал времени, то часы уже не будут двигаться вместе (проверьте с помощью открытки с прорезью). Создается впечатление, что любой путь ведет в тупик.

Мы уже встречались с подобной дилеммой в пп. 17.12—17.16, и нам удалось выйти из затруднительного положения с помощью приближенных вычислений «с любой желаемой точностью». Перечитайте эти разделы и подумайте, как применить аналогичный подход в данном случае.

20.12.20.12.Выберем два удара Р и Q часов странника D (рис. 20.12) и рассмотрим инерциального наблюдателя Е, который присутствует при них обоих (проверьте с помощью открытки с прорезью). Пусть t — время, прошедшее между Р и Q по часам D, а % — время, прошедшее между ними по часам инерциального наблюдателя Е. Тогда D играет роль космонавта, а Е — роль

20.12.

20.12.

наблюдателя, оставшегося на Земле. Значит, формула f = (20.1)

неверна. Но если / достаточно мало (т. е. Q достаточно близко к Р), то ошибка в этой формуле будет мала. Ведь малы относительные скорости, а значит, эффект замедления течения времени также будет невелик и (как мы предположили) не будет никакого эф

фекта ускорения. Чем меньше /, тем точнее выполняется (20.1), и, выбирая достаточно малые значения 方*, можно добиться, чтобы формула 方=倉 выполнялась с любой желаемой точностью.

Какой смысл вкладывается в слова, выделенные курсивом? Если считать, что t на самом деле равно 厶，то вносится ошибка, равная 力一/ (разности величин Л и /). Чем ближе точка Р к Q, тем ближе к нулю значения обеих величин / и Z/ и тем меньше разность 力——力 этим достигается равенство величин / и ^ с любой желаемой точностью. Например, если я утверждаю, что f=2力(т. е. полагаю величину 力 равной 2/), то я, несомненно, ошибаюсь, И какой бы малой я ни выбрал величину f, я все равно буду ошибаться. Однако же погрешность (разность величин, стоящих справа и слева) равна f, и мы можем сделать ее сколь угодно малой, выбирая достаточно малые значения t (это очевидно!). Поэтому фразу «добиться, чтобы формула

£=力 выполнялась с любой желаемой точностью», не” следует понимать лишь как «добиться, чтобы разность между / и 力 стала сколь угодно малой». Необходима более строгая формулировка.

Для нас важна погрешность, рассмотренная по отношению к значениям величин, для которых эта погрешность рассчитывалась. Мерой такого отношения является частное от деления разности величин /« и / на одну из них, скажем на 力.Это отношение можно назвать относительной разностью (или относительной погрешностью) между ti и t и пользоваться им как мерой того, насколько точно выполняется (20.1). Итак,

Относительная разность = "萨(20.2>

Тогда истинный смысл слов, выделенных в п. 20.12 курсивом, заключается в том, что «можно добиться^ чтобы относительная разность между 力 и / стала сколь угодно малой》.

Рассмотрим числовой пример. Разберитесь (не принимая во внимание последний столбец), как табл. 20.14 иллюстрирует сказанное в пп. 20.12 и 20.13.

Таблица 20.14

РазностьРазностьОтносительная八

Разность

Разность

разностьОтношение

9,904,615,290,534,803,221,580,331,5001,3860,1140,0760,190910,190620,000290,00150,01990100,01990060,00000040,000029,904,615,290,534,803,221,580,331,5001,3860,1140,0760,190910,190620,000290,00150,01990100,01990060,00000040,000024 8 9 7 7 2 9 9 4 69 9 9 仇60仇仇4 8 9 7 7 2 9 9 4 69 9 9 仇60仇仇

9,90

4,61

5,29

0,53

4,80

3,22

1,58

0,33

1,500

1,386

0,114

0,076

0,19091

0,19062

0,00029

0,0015

0,0199010

0,0199006

0,0000004

0,00002

9,90

4,61

5,29

0,53

4,80

3,22

1,58

0,33

1,500

1,386

0,114

0,076

0,19091

0,19062

0,00029

0,0015

0,0199010

0,0199006

0,0000004

0,00002

4 8 9 7 7 2 9 9 4 69 9 9 仇60仇仇

4 8 9 7 7 2 9 9 4 69 9 9 仇60仇仇

Переходя от строки к строке сверху вниз, мы видим, что разность %Т становится все меньше. Значит,, чем ближе f н 力 к нулю, тем ближе они друг к другу. В четвертом столбце приведена относительная разность —удобная мера точности, с которой выполняется7 формула (20Л), поскольку она дает погрешность, допускаемую при утверждении, что равенство справедливо, в пропорции к входящим в это равенство величинам. (Если цифры, стоящие в четвертом столбце, умножить на 100, то относительная разность будет вы-

ражена в процентах. Может быть, тогда вам будет лег* че с ней работать.)

Но заметьте: величины / и 力 не должны обращаться в нуль, иначе мы снова попадем в безвыходную ситуацию, описанную в п. 20.11. Кроме того, относительная разность стала бы равной 0/0, что бессмысленно.

-20.15. Итак, наше новое предположение об отсутствии влияния ускорения на ход времени можно сформулировать следующим образом:

придавая величине f достаточно малые (но не равные нулю) значения, можно добиться, чтобы относительная разность между Хи/ стала сколь угодно малой.

Это одновременно и более точная формулировка утверждения, выделенного курсивом в п. 20.12.

Наше предположение можно выразить и иначе. Из (20.2)

Относительная разность = 1 —五

откуда (п. 9.12М)

〃% = 1 — (Относительная разность).

Поэтому, по мере того как относительная разность стремится к нулю, отношение (п. 9.21М) f/力 стремится к 1. Отсюда другая форма нового предположения будет такая:

придавая величине f достаточно малые (но не равные нулю) значения, можно добиться, чтобы отношение tlti стало сколь угодно близким к 1.

Эта формулировка иллюстрируется последним столбцом в табл. 20.14.

С другой стороны, ускорение остается постоянным независимо от выбора #・ Поэтому если бы ускорение оказывало влияние на ход времени, то относительная разность, несомненно, оставалась бы отличной от нуля (а отношение tfti отличным от 1).

Таким образом, туманная идея об отсутствии влияния ускорения (п. 20.3) теперь оформилась в четкое утверждение. И вскоре мы увидим, как с его помощью можно делать конкретные расчеты.

Строчная буква 《м》, добавленная к номеру раздела, означает, что в нем рассматриваются математические вопросы, на которые даже людям, сведущим в •математике； следует обратить внимание.

м. Удобно иметь специальное обозначение для нашей но* вой идеи. Я буду писать

f 〜乙(20.3>

вместо формулировок п. 20.15.

м. Каждый раз, когда встретится формула (20.3), нужно,, если вы следуете моему совету, читать ее в развернутом виде, т. е. сказать или продумать одну из формулировок, напечатанных с отступом в п. 20.15. Конечно,, достаточно это сделать несколько раз, пока не вникните в суть идеи. Полагаю, вы поняли, что знак 《〜》 нужно читать «приближается к》в смысле «становится все ближе к》，так что (20.3) нужно расшифровать так: 《/ приближается к 厶》.Он напоминает, что, чем меньше 力 тем справедливее формула f = + (в более точном смысле, определенном в п. 20.15). (Знатоки математики! Не путайте то, что здесь вкладывается в смысл? знака《〜》со словом «стремится», имеющим отношение к пределам.) И точно также, как мы называем (20.1) формулой, (20.3) можно назвать приближенной формулой.

Такое применение знака 《〜》не является общепринятым. Иногда знак 《〜》используется в том же смысле, что знак «^» (п. 13.ИМ). Обратите внимание на? различие: знак《^》указывает, что две величины приблизительно равны и в случае необходимости одну и? них можно использовать вместо другой; знак же 《〜》 (в смысле, тщательно определенном в п. 20.15) указывает, что эти величины можно сделать равными с не* обходимой нам степенью точности.

м. Важно понять, что приближенная формула /〜力 не да* ет связь между / и 力，«когда / мало», а описывает, что с этой связью будет происходить по мере уменьшения /. Помните об этом.

. Теперь дадим четкую формулировку утверждения, ко* торое назовем

дополнительным предположением:

если / и Л определены как в п. 20.12, то t^ti.

Поскольку мы требуем, чтобы ускорение вообще не оказывало влияния на измерения времени, проводимые наблюдателем, ясно, что дополнительное предположение должно выполняться всюду на его мировой линии. 20.20м. Чтобы применять изложенное в предыдущих парагра* 4)ах к другим величинам, дадим более общее определе* ние:

Если У н Z — две величины, то приближенная формула У〜Z означает, что, придавая некоторой величине достаточно малые (но не равные нулю) значения, можно добиться, чтобы относительная разность между У н Z стала сколь угодно малой; или, иначе, можно добиться, чтобы отношение Y/Z стало сколь угодно близким к 1.

Относительная разность — это разность величин К и Z, деленная на одну из них (ср. с п. 20.13). Иногда относительную разность полезно рассматривать как относительную погрешность, которая возникла бы, если бы мы приняли Y=Z. Тогда, придавая заданной величине достаточно малые значения, можно добиться, чтобы относительная погрешность стала сколь угодно малой. В самом деле, когда мы пытаемся получить лишь общее представление, не вдаваясь в детали, можно считать, что смысл формулы Y^Z заключается в следующем: придавая заданной величине достаточно малые значения, можно добиться, чтобы равенство Y=Z выполнялось с любой желаемой точностью (ср. с п. 20.12).

Сказанное в пп. 20.17м и 20.18м, безусловно, применимо (с незначительными изменениями) к приближенной формуле У〜Z.

'20.21м. С помощью приближенных формул мы делаем еще один существенный шаг в новый мир, в который мы робко вступили в пп. 17.12—17.16. Дальше эти формулы будут играть все более важную роль. Поэтому убедитесь, что вы овладели подходом, который мы развивали начиная с п. 20.10, Но даже если не все ясно, пусть это вас не останавливает — идите дальше, возвращаясь назад в случае необходимости. А в будущем всякий раз, когда встретится такая формула, просмотрите п. 20.20м, чтобы убедиться, что вы понимаете ее смысл.

. Вернемся к оставшемуся на Земле инерциальному наблюдателю А и страннику D, которые расстаются в момент события R и вновь встречаются в момент события S (рис. 20.22). Как с помощью дополнительного предположения сравнить измеряемые ими промежутки времени? Предположим, что А проделал целый ряд измерений, позволяющих найти относительное положение странника D в любой момент времени.

Разделим мировую линию странника D на множество отрезков (отмеченных короткими поперечными линиями), один из которых заключен между точками Р

и Q. Напишите приближенную формулу, связывающую < и Г, если 力 и 力 определены как в п. 20.12, а Т — время, измеренное наблюдателем А между событиями Р и Q (которое равно времени, прошедшему по часам А между событиями L и М, по его мнению, одновременными

20.23.20.23.Из формулы, описывающей замедление течения времени (п. 13.7; выясните, какое время собственное, а какое несобственное; см. п. 3.8), получим

20.23.

20.23.

片=71/匸不， (20.4)

где и — относительная скорость движения наблюдателей А и Е. Тогда в соответствии с дополнительным предположением f~ 力，поэтому

t^TV\^. (20.5)

Убедитесь, что вы понимаете, в чем смысл этой формулы. Для этого (взяв t в качестве заданной величины) замените в п. 20.20 У на /, a Z на ТУ1—и2. Отступая от точной формулировки, можно было бы сказать, что формула

/ = (20.6)

выполняется только приближенно; утверждать, что- она выполняется точно, — значит, вносить погрешность; однако же относительная погрешность находится под нашим контролем (определением знака 《〜》)• 20.24. Эту процедуру можно выполнить для каждого из отрезков, на которые разделена мировая линия странника D. Для каждого отрезка мы получим приближенную формулу, подобную (20.5). Иными словами, для каждого отрезка выражение Т^\—и2 дает приближенное значение времени / странника D. Значит, сумма всех таких выражений, соответствующих всем отрезкам, даст приближенное значение полного промежутка времени, прошедшего между R и S по часам странника D. Теперь возникает очень важный вопрос: может ли это приближение быть сколь угодно хорошим, т. е. обеспечить сколь угодно малую полную погрешность? Ведь укорачивая каждый отрезок (сокращая время /), чтобы уменьшить вносимую им погрешность, мы тем самым увеличиваем число отрезков, т. е. увеличиваем число погрешностей, сложение которых дает полную* погрешность. Исходя из точного определения знака 《~》(п. 20.20м), решите, можно ли сделать приближение сколь угодно хорошим.

Да, можно. Если относительная погрешность каждого отрезка меньше некоторого наперед заданного числаг то и полная погрешность будет меньше этого числа независимо от числа отрезков. (Аналогия: если у вас есть несколько долговых обязательств, по каждому из которых вы выплачиваете менее 8%, то проценты, выплачиваемые по всему займу, также должны быть менее 8%.) Докажем это.

Прежде всего решим, какая погрешность в измерении всего промежутка времени от R до S допустима. Деление этой величины на полное время (или на полученное нами его приближенное значение) даст максимально допустимую относительную погрешность (п. 20.20м); обозначим ее буквой р. Дополнительное предположение (п. 20.19) гарантирует, что для каждого отрезка выбором малого значения / можно добиться, чтобы относительная погрешность была меньше р・ И если эту операцию проделать для каждого отрезка, то относительная погрешность для суммы всех отрезков также будет меньше р. Таким образом, разработан способ, как добиться того, чтобы полная погрешность была меньше любой заданной, причем сколь угодно малой. Тем самым мы подтверждаем вывод, что

процедура, описанная в п. 20.24, позволяет определить время, прошедшее по часам странника D между событиями R и S, с любой желаемой степенью точности.

Рис. 20.22 начерчен в двух измерениях, т. е. движение странника D происходит в одномерной вселенной, но наши рассуждения вполне пригодны также, когда путешествие D происходит во всех трех пространствен- «ьгх измерениях. Этот момент в дальнейшем окажется важным. (Если вас интересует, как в этом случае будет выглядеть мировая линия странника D, то см. п. 20.30.)

20.26.20.26.В пп. 20.24 и 20.25 используются ключевые идеи метода приближенных расчетов с любой желаемой точностью. Они заслуживают тщательного изучения, в особенности абзац, в котором приводится доказательство. Обратите внимание, сколь важно использовать именно относительную погрешность, а не просто погрешность. Итак, теперь у нас есть способ вычисления времени странника, совершающего путешествие туда и обратно вдоль прямолинейной траектории. В следующей главе мы встретимся с подробно разобранным примером, что, я надеюсь, оправдает отсутствие расчетов для единственного случая, проверенного экспериментально.

20.26.

20.26.

Правда, этот случай имеет отношение к очень короткому, субмикроскопическому, путешествию. Атом в кристалле непрерывно колеблется около фиксированной точки, как бы выполняя челночные рейсы в очень ограниченном пространстве. Поэтому «его часы» должны отставать от неподвижных. Чем выше температура, тем неистовей колебания атома, тем быстрее он движется и тем дальше от положения равновесия отклоняется, а значит, тем больше должна быть разность показаний часов. Мы могли бы рассчитать предсказываемую теорией связь между температурой и временем, измеряемым квантовыми часами.

По релятивистским меркам даже очень подвижный атом движется медленно, поэтому разность времен должна составлять порядка одной части на десять миллионов миллионов. Такая точность измерений доступна ядерным часам, «маятником» которых служит последовательность волн гамма-излучения, возникающего при определенного рода перегруппировках, происходящих в ядре атома. Явление, получившее название «эффект Мёссбауэра» (которое я не буду здесь описывать из-

за недостатка места), позволяет сравнить показания двух ядерных часов с точностью в одну часть на тысячу миллионов миллионов или даже с еще большей. Когда он был использован для проверки предсказанной связи между измерениями времени и температурой, согласие теории с опытом оказалось превосходным (см. журнал Physical Review Letters, 4, 275, I960). Ускорения в этом эксперименте составляли около 100 000 000 000 000 g, его результаты являются еще одним подтверждением справедливости дополнительного предположения (пп. 20.15 и 20.19), которое мы положим в основу всего последующего изложения.

Итак, мы пришли к выводу, что ускорение не влияет на проводимые странником измерения времени. Разин- чие во временах, измеренных странником и наблюдателем, оставшимся на Земле, определяется исключительно скоростью их относительного движения. И тем не менее, не будь ускорений, неоткуда было бы взять и относительной скорости, а значит, и разности во временах. Значит, ускорение играет исключительно важную роль. Непонятно?

Перечитайте пп. 14.20—14.24. Если рассматривать рис. 14.22 как топографическую карту (см. п. 14.23), то разность расстояний связана с тем, что часть маршрута геодезиста D не совпадает с маршрутом А. Чтобы изменить направление движения геодезиста, некоторые части его маршрута должны быть криволинейными. Однако большая протяженность маршрута геодезиста D вовсе не обусловлена длиной именно этих кривых.

Аналогично можно заметить, что на рис. 14.22, если его рассматривать как пространственно-временную диаграмму, разность времен, измеряемых А и D, возникает потому, что существуют участки, на которых скорость странника D относительно А не равна нулю. Но чтобы возникла разность скоростей, на диаграмме должны быть участки ускоренного движения (криволинейные участки мировой линии странника D). Однако меньшая по сравнению с А продолжительность промежутка времени, измеренного странником D, вовсе не обусловлена продолжительностью периодов ускоренного движения (кривые на диаграмме). Надеюсь, что те* перь все встало на свои места.

Наряду с инерциальным наблюдателем А можно было * • бы рассмотреть любое число странников (подобных D на рис. 20.22), которые расстаются в R и вновь ветре-

чаются в S. Какие промежутки времени между событиями R и S измерят А и эти странники?

Входящая в формулы (20.4)——(20.6) величина Ту\—о? при и = 0 равна Т. Во всех остальных случаях она меньше Т. Значит, когда мы выполним процедуру, описанную в первом абзаце п. 20.24, окажется, что получившееся приближенное значение полного времени странника, прошедшего между событиями R и S, должно быть меньше времени, прошедшего между этими событиями по часам А. И это остается верным независимо от длины отрезков, на которые мы поделили мировую линию странника, чтобы сделать приближенное значение сколь угодно близким к истинному (пп. 20.24 и 20.25). Вычисленное с любой желаемой точностью время странника всегда будет меньше времени, измеренного инерциальным наблюдателем А. Таким образом,

из всех наблюдателей, присутствующих при двух определенных событиях, часы инерциального наблюдателя показывают самое большое время, прошедшее между этими событиями.

Или (чтобы подчеркнуть аналогию с хорошо знакомым разделом геометрии):

в пространстве-времени из всех путей между двумя точками на инерциальный путь требуется боль* ше всего времени.

Это применимо и к путешествиям в трехмерном пространстве (см. п. 20.25).

В последнем утверждении эффект космических близнецов проявляется во всей его полноте. Не имеет значения, в какое путешествие отправится странник,― его часы в момент возвращения будут показывать меньше времени, чем часы оставшегося на Земле. И состарится он меньше?

Сначала перечитайте п. 4.16. Если биологические часы идут в такт с наручными или квантовыми часами, то следует ожидать, что странник состарится меньше своего брата.

В обычных условиях мы неинерциальны, но лишь в незначительной степени (п. 5.4). На некоторых участках пути странник мог бы двигаться инерциально (находясь в состоянии невесомости), а на некоторых он мог бы двигаться с ускорением, превышающим g. Могло)бы это привести к тому, что ход его «биологи»

ческих часов> будет отличаться от хода обычных ча* сов?

Чтобы побудить вас к дальнейшим размышлениям, я сделаю лишь несколько коротких замечаний:

ход «биологических часов» обусловлен теми же законами природы, что и обычных. Значит, нет оснований для того, чтобы они вели себя как-то иначе. Правда,

их устройство слишком деликатно; если заставить их двигаться с большими ускорениями (и, возможно, если подвергать их в течение длительных промежутков времени ускорениям, значительно отличающимся от g), то они совсем остановятся. Но в тех пределах, в которых может существовать жизнь,

никаких серьезных последствий до сих пор на обнаружено. Космонавты, подвергавшиеся в течение нескольких минут ускорениям в несколько g, или совершавшие многомесячные полеты в невесомости, не обнаружили очевидных признаков ускоренного старения. Во всяком случае,

если большие или меньшие ускорения каким-то образом и влияют на темп старения, то это влияние (ср. с п. 20.2) все равно не может привести к тому, чтобы оба брата-близнеца старели одинаково во всех путешествиях.

Но если рассматривать сверхдальние космические путешествия далекого будущего, то эта проблема не возникнет. Почему? Постарайтесь ответить на этот вопрос, прежде чем вы дойдете до п. 21.33.

Мы затрагивали вопросы, касающиеся наблюдателей^ движущихся в трехмерном пространстве. Но вас, наверное, интересует, можно ли нарисовать мировую линию в четырех измерениях, три из которых относятся к пространству, а одно — к времени. Конечно, мы этого сделать не можем. Термин «мировая линия» — это сокращенный вариант фразы «полное описание истории наблюдателя, позволяющее узнать, где и когда произошло любое событие его жизни». Когда мы имеем дело только с одномерным или двумерным пространством, то мировую линию можно нарисовать в двух или трех измерениях соответственно.

Во всех интересующих нас приложениях вполне достаточно двухмерного пространства (плоскость) плюс время. В таком случае можно построить трехмерные пространственно-временные диаграммы, взяв (напри- мер) идущее вертикально вверх направление для пред*

ставления времени, а два взаимно перпендикулярных горизонтальных направления — для представления двух пространственных измерений. Это не очень-то годится для книги, ибо в ней можно привести только (выполненные с соблюдением законов перспективы) двумерные рисунки трехмерных диаграмм. Если у вас хорошее пространственное воображение, то полезно попытаться представить себе мысленно мировые линии на этой 2 + 1-мерной диаграмме. Если же пространственное воображение у вас развито слабо, то лучше всего давать полное описание...

Для нашего рассмотрения не обязательно уметь рисовать. Диаграмма играет роль облегчающей чтение сводки данных, которые все время должны быть под руками, — с ее помощью можно, например, выяснить, что означает тот или иной символ. Поэтому обычно вполне достаточно довольно схематичной диаграммы, набросанной на листке бумаги. Логика рассуждений не должна зависеть от того, насколько адекватно изображены те или иные абстрактные идеи.

ВРЕМЯ С ТОЧКИ ЗРЕНИЯ РАВНОУСКОРЕННОГО СТРАННИКА

Особый интерес представляют измерения времени, проводимые странником, движущимся с постоянным ускорением. Поэтому вернемся к нашему старому знакомому W из гл. 17, летящему с постоянным ускоре、 нием f. Сравним измеренные им промежутки времени с измерениями инерциального наблюдателя А. Сохраним использованные в гл. 17 обозначения (см. п. 17.9), только t теперь будет обозначать время, прошедшее между Р и Q по часам W (рис. 21.1).

Прямая линия, проходящая через точки О и Q,— это ось расстояний инерциального наблюдателя В, положение мировой линии которого (помеченной буквой В) фиксируется введенным в п. 8.26 правилом равенства углов между осями координат и линией сигна-

ла. (Его оси не помечены, как обычно, поскольку мы теперь используем t для обозначения времени странника W.) Тогда мгновенная скорость странника W в момент события Q относительно А равна постоянной7 скорости наблюдателя В (конец п. 17.5).

Пусть k — коэффициент Доплера между А н В・ (пп. 15.4, 15.5 и 15.8). Если значение 々 задано, то оно определяет движение наблюдателя В (относительно А), а значит, и наклон его мировой линии, который позволяет найти также наклон его оси расстояний, что в конечном итоге фиксирует положение точки Q на мировой линии странника W. Таким образом, задание коэффициента Доплера а точно определяет положение на диаграмме события Q.

Будем называть k параметром события Q. Дадим общее определение: параметром события на мировой линии странника W называется коэффициент Доплера между А и инерциальным наблюдателем, движущимся с постоянной скоростью, совпадающей с мгновенной скоростью W в момент этого события. Теперь наша цель — найти правило вычисления t через k.

Возьмем на мировой линии странника (рис. 21.3) еще* одну точку S и добавим инерциального наблюдате-

ля D, движущегося с постоянной скоростью, равной мгновенной скорости W в момент события S. Убедитесь, что вы знаете, как расположить мировую линию наблюдателя (ср. с мировой линией наблюдателя В, построенной в п. 21.1). Оси расстояний опущены, чтобы не загромождать чертеж.

Пусть греческая буква тау t — время, прошедшее между событиями Q и S по часам странника W, а греческая буква каппа х — коэффициент Доплера между В и D. Тогда уравнение (16.20) при соответствующей замене (какой?) дает

21.4.21.4.Коэффициент Доплера между А и D = x^. (21.1) Значит, 乂论——это параметр (п. 21.2) события S.

21.4.

21.4.

На рис. 21.4 отмечено еще одно событие R, такое, что время от Р до R равно т, т. е. то же самое, что от

Q до S. (Длины отрезков PR и QS не равны, потому что по мере изменения наклона меняется масштаб.) На этом рисунке также введен инерциальный наблюдатель С, движущийся с постоянной скоростью, рав- ной мгновенной скорости странника W в момент события R. Тогда коэффициент Доплера между А и С

равен х, т. е. коэффициенту Доплера между В и D. Докажите это.

Мировая линия странника W, являясь изовалой,, связана со всеми наблюдателями одинаковым образом. События Р и R связаны с наблюдателями А и С точно так же, как события Q и S — с В и D. Завершите доказательство самостоятельно (например, нарисо* вав другую диаграмму с прямоугольной системой координат для наблюдателя В).

Итак, параметр (п. 21.2) события R равен х. Какая существует связь между различными промежутками времени и параметрами?

Если отмерять время от Р, то сумма времен f и т, в которые произошли события Q и R, дает время t+x события S, а произведение параметров 々 н к событий? Q и R дает параметр 乂々 события S.

Поскольку события Q и R могут быть где угодно на мировой линии странника W, обобщая эти расчеты, можно сказать:

если / — время события с параметром k, a t — вре* мя события с параметром х, то /+т — время собы* тия с параметром хЛ,

где время от Р до рассматриваемого события всегда измеряется по часам странника W. Или короче: перемножение параметров событий соответствует сложению времен.

Вы понимаете значение этих утверждений? Предполо* жим, что у нас есть таблица значений времени 玄 соответствующих различным значениям Л, скажем от 1 до 2. Тогда можно найти, какое значение t соответст» вует 力=3. Поскольку 3 = 2X1,5, а «перемножение параметров соответствует сложению времен», то время, соответствующее значению параметра 3, равно сумме времен, соответствующих значениям параметра 2 и 1,5. Расширяя этот метод, мы могли бы построить таблицу для сколь угодно больших значений парамет* ра 財 но при условии, что у нас есть небольшая часть этой таблицы, необходимая для начала расчетов. Значит, теперь нам предстоит составить эту часть табли* цы, а для этого потребуются приближенные уравнения (еще раз тщательно проработайте пп. 20.12—20.21).

Пусть Е на рис. 21.7 — инерциальный наблюдатель, присутствующий при событиях Р и Q (ср. с п. 20Л2), и пусть ti — измеренное по его часам время между Р‘

и Q- Если и — скорость наблюдателя Е относительно А, то, учитывая замедление течения времени (п. 13.7), получим

t^TV\^. (21.2)

Выбирая достаточно малые / (позволяя страннику W разгоняться в течение очень короткого промежутка времени), можно добиться, чтобы скорость о

статга сколь угодно малой и, как следствие, чтобы выражение ]/1——V2 стало сколь угодно близким к 1. В ре* зультате

*~Т・ (21.3)

21・8м. Хорошо ли обосновано приближенное равенство (21.3)?

Для доказательства вернемся к определению (п. 20.20м)・ Согласно формуле (21.2), отношение левой и правой частей 力/7^=71—v2, а эту величину можно сделать (п. 21.7) сколь угодно близкой к 1 выбором достаточно малых значений t Значит, (21.3) удов- летврряет определению.

Из дополнительного предположения (п. 20.19) следует, что f 〜％. Тогда с помощью (21.3) найдем

/〜Т.(21.4)

Другими словами, чем меньше промежуток времени между Р и Q, тем ближе точки зрения А и W в отношении этого промежутка. Из (21.4) получаем

ft^fT.(21.5)

. В предыдущем разделе мы сделали два шага, которые нуждаются в обосновании. При выводе приближенной формулы (21.4) мы воспользовались теоремой, которую в общем виде можно сформулировать следующим образом:

если У 〜Z н Z〜U, то Y^U.

Убедитесь, что вы понимаете ее смысл (воспользовавшись п. 20.20м), и продумайте ее сходство с уже знакомой теоремой, которая получается при замене знака 《〜》на《 =》. Теперь попробуйте ее доказать.

Две исходные приближенные формулы говорят, что, придавая заданной величине достаточно малые значения, можно добиться, чтобы Y/Z и Z/U стали сколь угодно близкими к 1. Поэтому можно добиться, чтобы их произведение, равное У/U, тоже было сколь угодно близким к 1, тем самым подтвердив вывод, что У〜

Большинство операций, применимых к равенствам, могут использоваться и для приближенных равенств. Это справедливо и в рассматриваемом случае. Но есть исключения, так что нужно быть настороже.

21.11м. При выводе (21.5) из приближенной формулы (21.4) мы предполагали, что

умножение обеих частей приближенной формулы на одну и ту же величину снова дает приближенную формулу.

Верно ли это?

Умножение обеих частей на одну и ту же величину не меняет их отношения. Нужно продолжать дальше? Это справедливо и в случае деления обеих частей на одну и ту же величину.

Как обычно, X — это измеренное наблюдателем А расстояние, отделяющее его от события Q. Придавая величине / достаточно малые значения (смещая точку Q достаточно близко к Р), можно добиться, чтобы рас-

стояние X было сколь угодно близко к расстоянию ОР, равному 1/f (п. 17.19). Таким образом,

X~l/f・(21.6)

(Обоснование см. в п. 21.13м.) В результате (см. п. 21.11м)

/X〜1・(21.7)

Сложение соответствующих частей формул (17.13) и (17.14) дает

fX+fT = (1 ^tV\^\

Тогда формула (16.13) дает

fX+fT = N(21.8)

а значит (п. 3.19М),

fT = h—fX,(21.9)

откуда из (21.7) следует

幵〜々—1.(21.10)

Окончательно, принимая во внимание (21.5), получим

外〜々一 1.(21.11)

Убедитесь, что вы понимаете смысл этой формулы (п. 20.20м).

. По мере уменьшения / обе части приближенной формулы (21.6) не становятся все ближе к нулю (как в предыдущих приближенных формулах). Однако если разность этих двух величин можно сделать сколь угодно малой, то это справедливо и для их относительной разности. Вот почему удалось доказать справедливость приближенной формулы (21.6), основываясь только на двух предыдущих предложениях и не вдаваясь в обычные подробности.

. С помощью определения (п. 20.20м) докажите правомерность операции, в результате которой из (21.7) и (21.9) получена приближенная формула (21.10).

Если вместо (21.7) взять точное равенство fX = =1, то в (21.9) можно заменить fX на 1, что привело бы к формуле fT = й—1. Очевидно, этот способ применим и к приближенным формулам, но

лучше в этом убедиться. Если в (21.10) вместо fT подставить (п. 9.16М) правую часть (21.9), то отношение двух его сторон будет равно (々—fX)/ (k—1). Чем ближе fX к 1, тем ближе k—fX к k—1, а значит, тем ближе к 1 и их отношение. Таким образом, формула (21.10) удовлетворяет определению.

Зависимость между х и т (п. 21.3) точно такая же, как между 々 и / (проверьте, что от одной к другой можно перейти простой заменой обозначений нескольких величин и событий). Поэтому по аналогии с (21.11) получим

* 〜1.(21.12)

Сочетание этой формулы с доказанной в п. 21.5 обеспечивает нас методом, позволяющим начать строить таблицу соответствия между ^ и А (п. 21.6).

Сначала рассмотрим ситуацию, поясненную рис. 21.3, но изменим обозначения некоторых величин (рис. 21.16). Время и параметр события Q будем обозна

чать % и Ло, а не ^ и 归，время и параметр события S обозначим соответственно 介 и 也 (при этом смысл величин т и х не изменяется). Мы произвели эти замены, чтобы заострить внимание на том, что произойдет на

первом «шаге» от события Q к S. Индексом 0 снабжается величина в начале шага, а индексом 1—та же величина в конце шага. Найдем приближенную формулу, связывающую Л—% с 也一瓦，т. е. изменение времени (измеренного по часам странника W) с изменением параметра.

Каждый параметр — это коэффициент Доплера между интересующими нас парами наблюдателей (рис. 21.16). Тогда формула (21.1) даст fei = x^o, откуда n=k^kQ. Очевидно, т=/1—/о. Подстановка этих выражений в (21.12) приводит к формуле

f &-%) ~ 自他0- 1, которую можно переписать в виде

九一九〜他一^о)/^о(21.13)

(ем. п. 16.12М; кроме того,也/瓦-1=瓦/瓦一自/瓦= =(瓦一々о)陶；см. примечание к п. 21.12). Заметьте, что тих исчезли (как если бы на рис. 21.16 их стерли). Итак, мы достигли промежуточной цели: получена приближенная формула, показывающая, как изменение времени странника W связано с изменением параметра на шаге от Q до S.

Вначале (п. 21.7) «заданной величиной» (которой придаются достаточно малые значения; см. п. 20.20м) было время t. В формуле (21.12) это время т, а теперь это разность Л——/0. Но из (21.13) следует, что, по мере того как Л—/о приближается к нулю, k\—岛 также приближается к нулю. Поэтому теперь в качестве заданной величины можно выбрать 臥——左°. Тогда формула (21.13) утверждает (ср. это со сказанным в п. 20.20м), что

придавая k\—kQ достаточно малые значения, можно добиться, чтобы относительная разность между /厶——％о и (財一k)/kQ стала сколь угодно малой,

где выбор достаточно малого 財一瓦 означает выбор достаточно короткого шага от Q до S. (На рис. 21.16 этот шаг изображен слишком большим; однако см. п. 20.18м.)

Приближенная формула (21.13)——кульминационный момент этой главы, поэтому возвращайтесь к этому параграфу по мере того, как мы будем получать его следствия. А сейчас самое время подвести итоги. При этом будем следовать стратегии, намеченной в пп. 9.20М и 9.21М, На этот раз основные этапы — это

пп. 21.1 и 21.2 (описание ситуации), пп. 21.3—21.6 (доказательство теоремы из п. 21.5), пп. 21.7—21.15 (трудный этап, в котором доказывается, что ft〜х—1) и п. 21.16 (сведение полученных результатов воедино).

Воспользуемся приближенной формулой (21.13) для расчета нескольких первых строк таблицы связи между ft и Л. Начнем с точки Р, где f/o = O и Ло= 1 (так как странник W покоится относительно наблюдателя А, см. п. 15.10), и сделаем первый шаг от нее к точке, где (скажем) kx —1,01. Тогда из (21.13) получим

佐—0丄吟二L= 0,01.

Значит, в конце шага #f 0,01.

Обратите внимание, здесь знак《〜》заменен на 《^》. Ведь мы зафиксировали величину шага, поэтому теперь нельзя говорить о выборе достаточно малых значений разности 备i——瓦.Отныне наши расчеты будут содержать постоянную ошибку.

Начальные значения 瓦 и ft0 для второго шага 一 это только что вычисленные конечные значения для первого шага. Значит, второй шаг начинается с 々о = = 1,01, "о^О,О1 и заканчивается значением fei = 1,02. Тогда приближенная формула (21.13) дает

尼—0,01当計里=0,0099,

откуда f/i ^0,0199. Итак, пока таблица имеет вид

k ft

1,000,0000

1,010,0100

1,(20,0199

Расчеты обещают быть утомительными, поэтому лучше освоим сберегающие труд приемы. Конечно, если увеличить размер шага, то работы станет меньше, но результат будет менее точным. Поэтому выясним, как размер шага влияет на точность вычислений. Посмотрим, как вычисляется изменение величины ft при переходе от 々=1,2 к 々 = 1,25 для двух случаев: а) когда весь интервал разбит на пять шагов по 0,01 каждый и б) когда производится только один шаг величиной 0,05. В случае (а) приращение величины ft на всем интервале изменения равно

粤+4# + "+霜+一陽=°，°4°99, (21.14)

1,25—1,21,25—1,2где каждый член возникает в результате применения (21.13) к каждому отдельному шагу (проверьте сами). Для (б) приращение равно

1,25—1,2

1,25—1,2

(21.15)

Численно эта дробь эквивалентна пятикратно повторенному первому слагаемому из (21.14), т. е. слишком велика — она равна 0,04167.

При вычислении дроби (21.15) был использован знаменатель, относящийся только к началу шага, в то время как знаменатели в дробях в (21Л4) равномерно нарастали. Как усовершенствовать процедуру вычислений, когда р асе м атр и в ается только один шаг? Подставим в знаменатель не 瓦，а значение Л, соответствующее середине шага, т. е.(总 + %)/2 (ср. с п. 16.1). Тогда расчет для одного шага будет выглядеть следующим образом:

1,25—1,2(1,25+1,2)/21,25—1,2(1,25+1,2)/2= 0,04082.= 0,04082.

1,25—1,2(1,25+1,2)/2

1,25—1,2(1,25+1,2)/2

= 0,04082.

= 0,04082.

Этот результат намного ближе, чем (21.15), к очень точному значению (21.14).

Таким образом, можно пользоваться шагами большего размера, а значит, меньшим их числом, но только если для расчетов вместо (21.13) применять приближенную формулу

Она приводит к тем же результатам, что и (21.13), но требует меньших затрат труда для достижения той же точности.

Представим результаты наших вычислений в виде таблицы, предположив, что вполне достаточно выбрать для А шаг величиной 0,1. Первые несколько строк приведены в табл. 21.21.

Обратите внимание, что цифры во втором и третьем столбцах, расположенные между строками первого столбца, относятся к величинам с индексами kOi 拓， //о и 加1・ Причем индекс 0 относится к верхней, а индекс 1 к нижней строке, между которыми расположены эти цифры. Например, значение (fei + ^o)/2= 1,15

kk伍】+屈）/2伍】+屈）/2fti—fhfti—fhft с точностьюft до двух десятичаыхзнаковft с точностьюft до двух десятичаыхзнаков1,01,050,09521,150,08701,21,250,08001 *31,350,07411,51,450,06901,01,050,09521,150,08701,21,250,08001 *31,350,07411,51,450,06900,00000,09520,18220,26220,33630,40530,00000,09520,18220,26220,33630,4053о,о,о,о,о,о,о,о,о,о,о,о,

k

k

伍】+屈）/2

伍】+屈）/2

fti—fh

fti—fh

ft с точностьюft до двух десятичаыхзнаков

ft с точностьюft до двух десятичаыхзнаков

1,0

1,05

0,0952

1,15

0,0870

1,2

1,25

0,0800

1 *3

1,35

0,0741

1,5

1,45

0,0690

1,0

1,05

0,0952

1,15

0,0870

1,2

1,25

0,0800

1 *3

1,35

0,0741

1,5

1,45

0,0690

0,0000

0,0952

0,1822

0,2622

0,3363

0,4053

0,0000

0,0952

0,1822

0,2622

0,3363

0,4053

о,о,о,о,о,о,

о,о,о,о,о,о,

расположено посередине между второй и третьей строками и является средним арифметическим чисел 论о= =1,1 из второй строки и 々1 = 1,2 из третьей.

Поскольку выбранный нами шаг 瓦一屈 всегда равен 0,1, согласно формуле (21.16), стоящие в третьем столбце значения fti—f/0 получаются в результате деления 0,1 на значение (々i + ^oj/2 из той же строки второго столбца.

Каждое значение f^i——"о ——это разность значений ft (стоящих в четвертом столбце), расположенных в строках непосредственно выше и ниже этого значения. Поэтому каждое последующее значение ft получается из предыдущего добавлением расположенного (в третьем столбце) в лежащей между ними строке значения /厶——f/0- В последнем столбце эти значения ft округлены до двух знаков после запятой (до ближайшего числа с двумя знаками после запятой).

Теперь с помощью (21.16) удостоверьтесь, что вы понимаете, как построена эта таблица, другими словами, проделайте подробно все вычисления.

Но дает ли шаг в 0,1 достаточную точность? Это можно проверить, повторив все расчеты для шагов меньшего размера, а затем посмотреть, сколь сильно различаются новые и старые результаты. Давайте сравним предыдущий результат для 々=1,1 с тем, что получится, если проделать два шага по 0,05. На первом шаге 瓦=1,也=1,05 и 丹о = О; проверьте, что (21.16) дает fii«0,0488. На втором шаге 々о=1,О5, ^1 = 1,1 и значение "о ^0,0488, так что соотношение ft\—0,0488 = = 0,0465 приводит к значению ft для fe= 1,1, равному 0,0953.

Расчеты, проделанные с помощью двух меньших шагов, более точны — именно об этом говорит знак 《〜》，и тем не менее различие невелико. Поэтому

представляется вполне правдоподобным (хотя математик потребовал бы более строгого доказательства), что, даже если шаги будут еще меньше, результат сильно не изменится. В худшем случае четвертый знак после запятой изменится несколько сильнее. Но поскольку мы ограничиваемся двумя знаками после запятой, наш прием обеспечивает любую желаемую точность. (Проделайте аналогичную проверку для другого шага.)

Однако значения, стоящие в третьем и четвертом столбцах, нужно продолжать вычислять с точностью до четвертого знака после запятой, иначе мы внесем так называемую ошибку округления. Например, если округлить два первых значения в третьем столбце до 0,10 и 0,09, а затем сложить их, то в третьей строке столбца для ft получилось бы значение 0,19, т. е. во все последующие значения была бы внесена ошибка 0,01.

А теперь продлите табл. 21.21 до значения 々 = 2.5. Расчеты сохраните ——они еще нам понадобятся. Ваши окончательные результаты должны совпадать со значениями в табл. 21.23.

00,о,о,о,о,о,00,о,о,о,о,о,00864173011234450086417301123445屈,64,6974,79,83,88,92о,0,0,00000,屈,64,6974,79,83,88,92о,0,0,00000,

00,о,о,о,о,о,

00,о,о,о,о,о,

00864173

01123445

00864173

01123445

屈,64,6974,79,83,88,92о,0,0,00000,

屈,64,6974,79,83,88,92о,0,0,00000,

Таблица 21.23

Л

k

ff

Проделаем вычисления для космического путешествия. Выберем наиболее интересный для нас случай, когда странник движется с ускорением около 1 g. Положим f=l и возьмем в качестве единицы времени 1 год (пп. 17.20 и 17.21). Пусть Ai (рис. 21.24) — неподвижный относительно А инерциальный наблюдатель, присутствующий при событии Р (ср. с п. 17.29). Воспользуйтесь открыткой с прорезью! Мы сравниваем мнения наблюдателя А】и странника W по поводу ну-

тешествия от события Р (в момент которого стартовал W) до события Q с параметром 々.

Комбинируя формулы (17.14) и (16.16) и полагая

F«=l, обнаружим, что

Время, измеренное наблюдателем А] (или А) ■ Т«* =%但一1信).

Аналогично из (17.8), (17.13) и (16.15) следует, что Расстояние, пройденное относительно Ai (или А)= =Х-1 = 1/2(左+1信)-1.

Далее, скорость странника W относительно наблюдав теля А] в конце путешествия определяется формулой

или (17.2). И наконец, время, которое занимает путешествие с точки зрения W, можно будет найти с помощью табл. 21.23, положив в ней f=l.

В табл. 21.25 приводятся значения для трех различных космических полетов, каждый из которых характеризуется значением параметра 々 в его конце. В представленном в первом столбце полете длиной в 800 миллиардов километров, занявшем около 5 месяцев, едва начинает проявляться различие во временах наблюдателя Ai и странника W при нашей точности вычислений. При путешествии длиной в четверть светового года из второго столбца разность во временах возросла за 9 месяцев почти до 22 суток — почти до 8%. Прокомментируйте самостоятельно третий столбец и рассчитайте еще один-два космических полета.

Время, затраченное на полет по часам странника W, годы

Время, затраченное на полет с точки зрения наблюдателя Ai, годы

Пройденное расстояние относительно Ai, световые годы

Конечная скорость относительно Аь доли скорости света

1,5

2,0

2,5

0,41

0,69

0,92

0,42

0,75

1,05

0,083

0,25

0,45

0,38

0,60

0,72

21.26.21.26.Чтобы странник W мог совершить путешествие туда и обратно, нужно дважды, в Q и S, изменить направление силы тяги двигателей его ракеты (рис. 21.26; поработайте с открыткой с прорезью!). Его ускорение

21.26.

21.26.

направлено вправо между Р и)Q и между S и U и влево между Q и S. Ясно, что самая далекая точка, которой достигает W (в момент события R), расположена на расстоянии, равном удвоенному пройденному расстоянию из табл. 21.25; а полное время путешест-

вия в четыре раза превышает время, указанное в табл. 21.25. Соответствующие цифры приведены в табл. 21.26.

Таблица 21.26

Расстояние до R с точки зре-

ния наблюдателя Аь све

товые годы

0,17

0,50

0,90

Время полета туда и обратно,

измеренное наблюдателем

Ai, годы

1,68

3,00

4,20

Время полета туда и обратно,

измеренное странником W,

годы

1,64

2,76

3,68

Побывав в подобном путешествии многократно, странник мог бы задуматься над тем, а не расстаться ли ему со старой женой и не найти ли кого-нибудь помоложе. Итак, из проделанных расчетов следует, что мы обнаружили бы весьма значительные различия во времени уже для путешествий, достаточно скромных по космическим масштабам и комфортных в биологическом отношении (лишь бы инженеры построили ракеты!). Вы не заметили ничего особенного?

Табл. 21.23 можно продолжить, воспользовавшись теоремой из п. 21.5. Например, значению 々=1,5 соответствует #=0,41, а значению 々=2 соответствует ff = = 0,69. Тогда значению 々=1,5义2 = 3,0 должно соответствовать /^ = 0,41+0,69= 1,10. Однако, пользуясь табл. 21.23, где все значения округлены до второго знака после запятой, мы подвергаемся опасности, упоминавшейся в конце п. 21.22. Поэтому повторите этот расчет, применяя значения с четырьмя знаками после запятой из табл. 21.21 и ее продолжения, полученного вами.

Вы найдете, что ft = 0,4053 + 0,6929 = 1,0982, а это можно округлить до 1,10. Теперь проделайте аналогич- Таблица 21.27

Aft

1039617995082030

11111222

34567890

ные расчеты для 々 = 4, 5, 6, 7 ( = 5义1,4), 8, 9 и 10. После округления вы должны получить значения, представленные в табл. 21.27.

Применяя теорему п. 21.5, можно найти 『/ для еще больших значений k. Так, если 々 = 230 = 2,3幺10X10, то ft = 0,83 + 2,30 + 2,30 = 5,43. (Начиная с этого момента будем мириться с ошибкой округления.)

Если 々 не намного больше единицы, то, согласно (21.11), вполне можно считать, что ft=k——1. Это приближение при наших расчетах с точностью до второго знака после запятой справедливо, как это видно из табл. 21.23, вплоть до значения Л= 1,1.

Это позволяет вычислять ft, когда k лежит между табличными значениями. Например, в результате последовательности операций деления мы обнаружим, что 3,73 ^ ЗХ1,24 « ЗХ1,2 X 1,04, так что соответствующее значение ft будет равно 1,10 + 0,18 + 0,04 = 1,32.

Итак, если дано любое значение 々，то подходящая комбинация этих приемов позволяет вычислить соответствующее значение ft с любой степенью точности, какая только потребуется в этой книге.

Продолжим наши расчеты космических полетов с ускорением около g (f=l), в которых странник (как в пп. 21.24 и 21.25) удаляется по прямой от места старта. На этот раз поговорим о расстоянии (относительно А]). которое странник W покрыл между событиями Р и Q. Согласно формуле (17.8), если к этому расстоянию прибавить 1, то получится X. Из формулы (17.9) найдем, что Т? = Х2—1, откуда (п. 13.4М)

7 =V产二1.(21.17)

Соотношение (21.8) при f= 1 дает

k^X-^T.(21.18)

Зная N можно с помощью таблиц и описанных приемов найти t. Конечная скорость странника W определяется формулой (17.2).

Проследите за деталями в следующем примере. Пусть пройденное расстояние равно 1 световому году. Тогда Х = 2, а X2—1 = 3. Таким образом, 7 = уз=1,73 и 々=3,73. В результате /=1,32 (п. 21.29; при f= 1). Конечная скорость = 1,73/2 = 0,87.

В верхней части табл. 21.30 приводятся результаты таких расчетов для космических полетов раз- личной протяженности, а в первом столбце приведен

Полет в один конец с ускорением 8 направлении движения

Расстояние, пройденное относи-

2

9

99

тельно наблюдателя Ai, световые годы

1

Время, затраченное на путешествие, по часам Аь годы

1,73

2,83

9,95

99,995

k

3,73

5,83

19,95

200

Время, затраченное на путешествие, по часам странника W, годы

1,32

1,77

2,99

5,29

Конечная скорость относительно

Ai

0,87

0,94

0,995

0,99995

Полет туда и обратно Наибольшее удаление от Ai

2

4

18

198

Продолжительность полета по часам А】，годы

6,9

11,3

39,8

400

Продолжительность полета по часам странника W, годы

5,3

7,1

12,0

21,2

рассмотренный в предыдущем абзаце пример. Проверьте самостоятельно один-два столбца. Какие вы можете сделать выводы? Прежде чем рассматривать нижнюю часть таблицы, прочитайте п. 21.31.

Вы, должно быть, заметили, что расхождение во времени нарастает намного быстрее, чем пройденное расстояние.

Чтобы получить правильное представление об астрономических масштабах, обратите внимание, что незадолго до окончания путешествия, которому соответствуют данные из третьего столбца, странник W (если направление движения его звездолета будет должным образом скорректировано) пролетит мимо Сириуса — ярчайшей звезды на небе. Разность во временах здесь довольно впечатляющая — 3 года против 10. Но путешествие, представленное в последнем столбце, длиннее всего лишь в 11 раз, а вот различие времен в нем — 5 лет 3 месяца и 15 суток против столетия. (Одна, возможно, тревожащая вас проблема разрешится, если заглянуть в п. 3.38.)

Приведенные в последних трех строках табл. 21.30 значения вычислялись как в п. 21.26. Вспомним, что в данном случае дело не сводится лишь к мнению одного наблюдателя по поводу хода часов другого. Оставшийся на Земле наблюдатель и странник могут сравнить показания своих часов сначала при расставании.

а затем при встрече. Тогда из таблицы следуют совершенно поразительные выводы.

Полет к ближайшей известной звезде был бы чуть длиннее, чем указано во втором столбце, и дал бы страннице (если бы в путешествие отправилась женщина) фору в четыре года по сравнению с ее подругами, оставшимися на Земле. В ситуации, представленной в следующем столбце, население Земли состарилось бы на 40 лет, а странник стал бы старше лишь на 12 — это как раз то, что нужно страдающему от безответной любви вздыхателю из п. 4.20. Но еще поразительнее итог полета (последний столбец таблицы), в котором странник, проведя в космическом полете 21 год, возвращается обратно в момент, когда он может жениться на прапрапрапрапрапрапрапрапра- правнучке своей возлюбленной.

В последнем абзаце предполагалось, что расчеты одинаково применимы как к биологическому старению, так и к физическим часам. Оправдано ли такое предположение?

Перечитайте п. 20.29. Наши расчеты применимы к временам, измеряемым любыми часами, которые, как установлено в экспериментах, ведут себя точно в соответствии с предсказаниями теории относительности, например атомными (квантовыми) и ядерными часами, описанными в пп. 20.9 и 20.26. Ускорение, или, иначе, физическое состояние неинерциального движения, не влияет на ход таких часов. Но нас по-прежнему интересует вопрос о его влиянии на биологические часы, хотя мы знаем о невозможности одинакового старения во всех случаях (п. 20.29 (4)). Вы уже ответили на вопрос, поставленный в конце п. 20.29?

Полет с ускорением g позволяет решить эту проблему. Космонавт и наблюдатель на Земле неинер- циальны в одинаковой степени, значит, ускорение оказывало бы на них одинаковое влияние. Известно, что на Земле биологические часы идут в такт с эталонными часами (с достаточно хорошим приближением). Значит, это справедливо и для часов космонавта. Таким образом, цифры, приведенные в табл. 21.30, показывают и ход биологических часов.

Правда, в четырех случаях ——Р, Q, S и U на рис. 21.26 — физические условия, в которых находится странник W, значительно отличаются от условий, в ко・ торых находится Ai. Но это обстоятельство не может привести к сколько-нибудь существенным последстви-

ям (см. п. 20.29 (3)), так что нам не избежать вывода о торможении процессов старения, когда (и если) включены ракетные двигатели.

В последнем столбце табл. 21.30 значение Т фактически равно X. Соотношение (21.17) показывает, что это будет иметь место всегда, когда X велико по сравнению с 1. Кроме того, если считать, что пройденное расстояние равно X (а не X—1), то ошибка будет пренебрежимо мала. Поэтому с тем же успехом можно пользоваться равенствами: 7= (Пройденное расстояние) и, согласно (21.18), k = 2Х(Пройденное расстояние) .С помощью этих упрощений мы составили табл. 21.34.

Таблица 21.34

Полет 6 один конец с ускорением в направлении движения

Расстояние, пройден- ' ное относительно наблюдателя Ai, световые годы

> 500

50 000

500 000

1 000 000

5 000 000 000

Время, затраченное на полет, по часам Ai, годы丿

k

1000

100 000

1 000 000

2 000 000

10 000CQ0 000

Время, затраченное на полет, по часамстранника

W, годы

6,9

11,5

13,8

14,5

23,0

Полет туда и

обратно

Наибольшее удаление от Ai, световые годы

1000

100 000

1 000 000

2 000 000

10 000 000 000

Продолжительность полета по часам, Аь годы

2000

200 000

2 000 000

4 000 000

20 000 000 000

Продолжительность полета по часам странника W, годы

27,6

46

55

58

92

Во втором столбце сделана очень оптимистическая оценка экспедиции, пересекающей нашу Галактику и возвращающейся обратно на Землю. Астронавт должен быть способен к активной деятельности в течение 46 лет и вернется на Землю через 200 000 лет после старта по земным часам. Цифры из четвертого столб-

ца дают нам представление о путешествии туда и обратно к знаменитой спиральной галактике в созвездии Андромеды (М31) — ближайшей к нам спиральной галактике. Печально вернуться обратно на Землю, где все ваши друзья умерли еще 4 миллиона лет назад. Однако стоило бы отправиться в один конец, занима* ющий 29 лет, если бы была уверенность, что по прибытии на новое место вас будет ждать хороший дом с умеренной квартплатой.

Последний приведенный в таблице космический полет уносит к невероятно далеким объектам, которые можно обнаружить только с помощью современных радиотелескопов. Возвращаться обратно из этого полета не имело бы смысла, ибо Земля к тому времени уже не существовала бы. Но можно было бы совершить полет в один конец и высадиться на подходящую планету в удаленной галактике как раз ко времени выхода странника на пенсию. Итак, странник, движущийся с ускорением g, мог бы добраться куда угодно!

Обратите внимание, что по часам странника полет к самой далекой из известных галактик занимает столько же времени, сколько требуется на экспедицию, пересекающую нашу Галактику с возвратом на Землю. Для сравнения первое путешествие по часам наблюдателя, оставшегося на Земле, продлится в 50 000 раз дольше, чем второе.

Ракетная техника для таких полетов или даже представленных в табл. 21.25 с позиции современных знаний кажется совершенно несбыточной мечтой. Но, сопоставив все то, что мы можем сегодня и что казалось фантастическим в 1890 г., вряд ли следует категорично утверждать, что такие полеты никогда не будут совершены.

Не принимая во внимание четвертый столбец в табл. 21.34, выведите очень простое правило вычисле- ния времени путешествия туда и обратно, прошедшего по часам странника W.

Если расстояние до максимально удаленной точки, достигаемой в полете, определяется (в световых годах) числом, представляющим собой 1 с тремя или больше нулями, то время (в годах), прошедшее по часам странника, движущегося с ускорением g, равно произведению числа 9,2 на число, равное числу нулей.

Если расстояние до максимально удаленной точки увеличивается в 10 раз, то нужно просто прибавить 9,2 к

времени, затраченному на исходное путешествие. Для сравнения укажем, что

время (в годах), прошедшее по часам данного на* блюдателя, равно удвоенному расстоянию до мак< симально удаленной точки (в световых годах).

Докажите эти правила (для начала просмотрите п. 21.28, а затем поразмыслите о скорости странника W).

Предпринимая расчеты очень дальних полетов, следует учитывать несколько осложняющих обстоятельств. Расширение Вселенной (или любое другое объяснение космологического красного смещения) способно исказить измерения времени и расстояний. Что касается вышеприведенных рассуждений, то наши расчеты должны быть вполне пригодны вплоть до предпоследнего столбца табл. 21.34, а может быть, и дальше.

Сомнения в корректности полученных результатов связаны с тем, что ни один из экспериментов по проверке теории относительности не продолжался дольше нескольких дней (п. 20.9). Есть сильные аргументы в пользу того, что теория относительности применима при изучении процессов, длящихся несколько лет, несколько десятилетий, несколько столетий и т. д. Однако не исключено, что существуют законы природы (неизвестные нам, поскольку их проявления на малых промежутках времени пренебрежимо малы, точно так же, как при низких скоростях ненаблюдаемы релятивистские эффекты), которые могли бы совершенно исказить наши расчеты для некоторых длительных путешествий из табл. 21.34. В этом случае прежде всего подвергаются сомнению результаты измерений земного наблюдателя. Расчеты же для космонавта, отправившегося в полет, длящийся по его часам несколько десятилетий, имеют шанс оказаться верными.

. Это исследование проделанных космонавтом измерений времени не является научной фантастикой. Расчеты очень длительных полетов, хотя они и дают точные предсказания, — это пока фантастика. Но зная, как течет время для космонавта, мы теперь можем спросить, как выглядит пространство-время с точки зрения ускоренного наблюдателя. А это основа общей теории относительности.

Самое главное ——приближенная формула (21.13), поэтому мы продолжим ее изучение. Разность 々】—左о — это величина, на которую возрастает параметр k меж-

ду событиями Q и S (рис. 21Л6). Назовем эту разность приращением параметра 左.Точно так же #1—〃о ——это приращение величины ft. Значит, (21.13) можно рассматривать как метод (приближенного) вычисления приращения величины ft, когда известно приращение 瓦 Эту приближенную формулу легче запомнить, если ее переписать в форме

Приращение #ни號(21.19)

尸 г' Значение k в начале шага '/

Сформулируйте с помощью приращений утверждение, напечатанное с отступом в п. 21.16.

. Обозначим приращение греческой буквой б (дельта).

Тогда 6Л означает «приращение величины 左》, а дх ——«приращение величины %》 (независимо от того, какой смысл имеет величина х).

. Надеюсь, что вы не будете считать М произведением некоторой величины б на k. Символ 6 не изображает никакой величины и вообще не имеет смысла сам по себе. Но если его использовать с символом, обозначающим некоторую величину, то он будет означать «приращение величины...» Поэтому б^ или 6% следует рассматривать как единый символ, означающий приращение интересующей нас величины.

Привычка читать в развернутой форме позволит избежать недоразумений. Даже если вы сочтете (что вы, возможно, уже сделали), что можете без ущерба для понимания читать 力 как 《тз» вместо 《время, измеренное по часам W》(пусть даже это представление уже укоренилось в вашем сознании), я все равно рекомендую вам читать 6/ как «приращение величины £》，а не как «дельта тэ». (И разумеется, если вам так больше нравится, можете по-прежнему читать «приращение времени, измеренного по часам W》). Если 6 стоит перед выражением, заключенным в скобки, например 6(y+z) и д(ах), то это означает приращение всей стоящей в скобках величины — в данном случае приращения y+z и az.

. Введенное обозначение позволяет переписать приближенную формулу (21.13) в более компактной форме:

6(/0у-.(21.20)

Если угодно, можете рассматривать (21.19) как переходный этап от (21.13) к (21.20).

В этой форме записи содержатся два важных соглашения:

в любой приближенной формуле величина 6(/0 имеет смысл «приращение ffe, соответствующее приращению 6Л величины 財 или, другими словами, это величина, на которую возрастает ft при возрастании k на величину 6fe, и

символ 良 сам по себе (например, знаменатель дроби, стоящей в правой части приближенной формулы) относится к значению А в начале шага, которое мы ранее обозначали 力о.

Будем придерживаться этих двух соглашений всегда, когда будут рассматриваться уравнения или приближенные формулы, связывающие приращения, записанные с помощью 6. Пользуясь соглашениями, проверьте, что (21.20) эквивалентно приближенной формуле (21.13).

Теперь сформулируйте с помощью 6 утверждение» напечатанное с отступом в п. 21.16. Сделайте это самостоятельно.

м, Данное в п. 20.20 определение знака 《〜》 страдает очевидным недостатком ——необходимостью каждый раз задавать величину, которой затем придаются сколь угодно малые значения. Но работа с приближенными формулами, содержащими приращения, позволяет избежать эту трудность. При таком подходе сами приращения являются теми величинами, которые должны быть сделаны достаточно малыми. Если приращений только два, как в формуле (21.20), то достаточно малым нужно сделать одно из них; второе приращение станет малым автоматически. Поэтому определение из п. 20.20 можно дополнить:

когда приближенная формула связывает две переменные величины и их приращения, «заданной величиной», которую нужно сделать достаточно малой, является одно из этих приращений.

м. Если вы изучали высшую математику достаточно основательно, то в рассуждениях о приближенных формулах, связывающих приращения, вы узнаете грубый эквивалент раздела математики, называемый анализом. Тем, кто незнаком с анализом, легче усвоить методы, изложенные в этой книге.

Тем, кто изучал этот раздел, придется бороться с соблазном перевести то, что я написал, на язык анализа. Смешение двух подходов может привести к пута-

нице и сделать все совершенно непонятным. Поэтому забудьте анализ и начните сначала.

К слову, если ваши познания в анализе достаточно глубоки, то вы, вероятно, поняли, что ft ——это натуральный логарифм величины Л, как сразу следует из (21.20). Таким образом, мы сами вычислили таблицы, которые вам до сих пор приходилось брать из книг.

22

КАК РАВНОУСКОРЕННЫЙ наблюдатель ИЗМЕРЯЕТ ВРЕМЯ И РАССТОЯНИЕ

Теперь, когда мы знаем, как себя ведут часы странника W, можно доверить ему все наблюдения, которые мог бы произвести инерциальный наблюдатель (п. 5.20). Поэтому мы вправе возвести его в ранг равноускоренного наблюдателя. В частности, можно проанализировать его мнение по поводу момента возникновения и расстояния до далекого события (просмотрите еще раз гл. 7).

Итак, мы снова рассматриваем странника W, движущегося с постоянным ускорением f (рис. 22.2), и того же

самого инерциального наблюдателя А. Пусть Р — событие, в момент которого странник W ближе всего подходит к А. Нас интересует мнение W о некотором далеком событии Q.

Пусть в L странник посылает к событию Q световой сигнал, а в М получает из Q обратный сигнал (воспользуйтесь открыткой с прорезью). Тогда моменты времени, в которые произошли события L и М,— это единственные относящиеся к Q наблюдения, которые может произвести странник W. Убедитесь в этом (ср. с п. 7.3).

Что следует понимать под словами «время события Q» и «расстояние от W до события Q» относительно W?

Ситуация в точности такая же, как в гл. 7. Рассуждая как в пп. 7.9 и 7.13, мы придем к следующим определениям:

момент времени, в который с точки зрения W произошло событие Q, располагается посередине между моментами времени, в которые, согласно показа* ниям часов W, произошли события L и М;

расстояние от W до Q относительно W (в естественных единицах) равно половине измеренного по часам W промежутка времени, прошедшего между L и М.

Наверняка у вас есть сомнения. Некоторые из них рассеются после того, как вы перечитаете пп. 2.15—2.18 и 7.4—7.8. Может быть, вы скажете, что W знает (из экспериментов с пробной частицей), что он неинерциален и, следовательно, должен сделать поправки, чтобы привести свои представления в соответствие с представлениями инерциального наблюдателя. Но какого инерциального наблюдателя?

Мировая линия странника W — изовала, и он совершенно одинаково связан со всеми инерциальными наблюдателями, мировые линии которых проходят через точку О (и с любым другим инерциальным наблюдателем, согласным с точкой зрения одного из них). Поэтому не существует способа выбрать одного из них в качестве эталона.

Но вот более правдоподобное возражение. Рассуждения в гл. 7 основывались на предположении, что скорость света — инвариант (п. 1.22). Но зная, что ускорение абсолютно (п. 17.3), можно ли быть уверенным, что скорость света останется инвариантом и для ускоренного наблюдателя? Мог бы, например, странник обнаружить, что скорость света в направлении его ускорения несколько меньше, чем в противоположном направлении? Постараемся получше определить обсуждаемые понятия. Условимся считать, что «время» и

«расстояние» относительно W — это не более чем названия, которые мы, решили использовать для величин, определенных в п. 22.3, названия, напоминающие нам, что эти величины по крайней мере сходны с временем и расстоянием в их обычном смысле. Такой подход оставляет открытым вопрос, те ли это величины, которые мы должны получить в результате некоторого отдельного реального измерения.

В конечном счете это не имеет значения. Любая экспериментальная проверка теории в итоге должна иметь дело с величинами, которые могут быть измерены в данном месте. Те же величины, которые мы договорились называть временем и расстоянием, играют промежуточную роль в процессе расчета предсказаний —из самого предсказания они исчезают. Поэтому совершенно неважно, являются ли они «настоящими» временем и расстоянием или нет.

Докажите следующую теорему:

события, которые странник W считает одновременными, изображаются точками прямой, проходящей через О.

Пусть Q лежит на оси расстояний наблюдателя А. Тогда события L и М расположатся на одинаковом расстоянии от этой оси, но по разные стороны. Поэтому удар часов странника W, соответствующий половине интервала времени между L и М, придется на точку Р. Таким образом (п. 22.3), событие Q с точки зрения W происходит одновременно с событием Р, и это справедливо для любого события Q, лежащего где угодно на оси X (на положительной полуоси). Более того, этот вывод останется в силе, даже если изменить диаграмму, взяв в качестве оси расстояний наблюдателя А любую прямую, проходящую через О под углом меньше 45° (ср. с п. 8.12). Если вы сильны в математике, то попытайтесь также доказать, что

события, которые странник W считает происшедшими на одинаковом расстоянии от него, изображаются точками изовалы с центром в О (вам поможет п. 13.23).

По аналогии с п. 15,2 будем обозначать буквой 0 время отправления или приема странником W сигнала, распространяющегося в положительном направлении через Q, а буквой ф ——время отправления или приема странником сигнала, распространяющегося в отрица-

тельном направлении через Q. Строго говоря, следовало бы изменить данное в п. 22.3 определение расстоя* ния в соответствии со сказанным в п. 16.2. Однако нам не стоит беспокоиться, так как на наших диаграммах Q всегда будет с положительной стороны от W, отку< да следует, что 0 и ф равны промежуткам времени, прошедшего от начала отсчета до событий L и М соответственно (рис. 22.2).

Прописные буквы, как обычно, будут использоваться для обозначения величин, относящихся к наблюдателю А, а строчные ——для величин, относящихся к W. Следовательно, / и % означают время и расстояние до события Q с точки зрения странника W. Напишите уравнения, с помощью которых t и х выражаются через 0 и ф.

Исходя из п. 22.3 и рассуждая, как в пп. 16.1 и 16.2, получим

(22.1)(22.2)(22.1)(22.2)f =(叶 8)/2,%= (ср—0)/2.

(22.1)

(22.2)

(22.1)

(22.2)

Пусть К и N (рис. 22.2) —■ события, в момент которых наблюдатель А посылает сигнал к Q и получает ответный сигнал из Q соответственно. Тогда радиолокационные координаты события Q (пп. 15.1 и 15.2) —это измеренные по часам А моменты времени 0 и Ф, в которые произошли события К и N.

Если странник W способен выполнить всю программу наблюдений события Q, то из п. 17.28 следует, что Q должно располагаться в правом квадранте (рис. 10.1). Поэтому величина Ф будет всегда положительной, а 0 ——всегда отрицательной (п. 6.23М).

Мы ищем взаимосвязь между измерениями, проделанными наблюдателем А и странником W. Но оперировать временами, измеренными по часам странника W, мы умеем только с помощью приближенной формулы (21.20), записанной с помощью приращений. Поэтому нужно глубже изучить математические операции с приращениями.

. Докажем, что

если две переменные величины всегда равны между собой, то равны и соответствующие приращения.

Или, в символической форме,

(22.3)(22.4)(22.3)(22.4)если У = Z, то 6P=6Z.

(22.3)

(22.4)

(22.3)

(22.4)

Под соответствующими приращениями мы понимаем следующее: если У изменяется до У + 6У, то Z изменяется до Z+8Z так, что эти изменившиеся величины по-прежнему удовлетворяют равенству (22.3), т. е.

y+bf=z+bz.

Если из каждой стороны этого равенства вычесть соответствующую сторону (22.3), то мы получим (22.4), что и требовалось доказать.

Чтобы свободно оперировать с приращениями, не требуется длинных и сложных выкладок, но надо тщательно продумывать каждый шаг, чтобы удостовериться в том, что интуиция вас не подводит.

. Мы будем также пользоваться следующей теоремой:

6 (〃+и) = 3〃+6у.(22.5)

(Я не буду повторять: «Если и и v ——переменные величины, то …》，в дальнейшем считайте, что это само собой разумеется.) В ней утверждается, что приращение суммы двух величин равно сумме приращений этих величин. Кажется, очевидно? Но можно впасть в заблуждение, поэтому давайте все же докажем эту теорему.

Если и увеличить до значения 〃 + 6и, a v до и

то 〃 + и возрастет до значения 〃 + 5и + и + 6и = 〃 + и +

Но 6(〃 + и)——это величина, на которую последний результат превосходит сумму 〃 + 〃 т. е. это как раз 6〃丄 6s Так же доказывается, что

5(〃一 и) = 6〃一 6v.(22.6)

Попробуйте доказать, что если о ——постоянная величина, то

6(〃+с) = &/.(22.7)

Ясно, что приращение постоянной величины равно 0. Тогда из (22.5) следует: 3(〃 + с) =6〃 + 3с = 5〃十0 = 6〃.

. Если с ——постоянная величина, а г ——переменная, то

5(cz) = c6z.(22.8)

Поскольку при возрастании z до значения z + 6z величина cz возрастает до с(г + 6г) =cz + c^z (п. 16.12М), cz увеличивается на величину сб%, которая, таким образом, и является искомым приращением. Обратите внимание: если величина с ——переменная, то (22.8) неверно.

. В дальнейшем нам понадобится приращение величины ((р + 0)/2. Чтобы показать, что нас интересует прира-

щение всей величины, ее нужно заключить в скобки (ср. с пп. 16.6М и 21.40М). Вторая пара круглых скобок (...) могла бы привести к путанице, поэтому мы воспользуемся фигурными скобками: {...}. Тогда 6{((р + + 8)/2} означает приращение величины ((р + 6)/2. Фигурные скобки используются во всех случаях, когда необходимо заключить в скобки выражение, которое уже стоит в скобках.

Как приращения / и х выражаются через приращения В и屮？

Применяя к (22.1) теорему, доказанную в п. 22.9м» получим

6^6{((р+0)/2}.

Отсюда, согласно (22.8),

б^^б^+б).

Тогда формула (22.5) дает

6/ = 1/2(6ф4-66).(22.9)

Аналогично (докажите это самостоятельно)

6х = 1/2(бф—S0).(22.10)

Исходя из формул (16.1) и (16.2), получим соответствующие соотношения и для наблюдателя А:

бТ = 1/2 (6Ф+60),(22.11)

5Х = 1/2(6Ф—60).(22.12)

Рис. 22.14 поясняет смысл полученных соотношений. Сначала рассмотрим событие Q. На рис. 22.14 на мировых линиях каждого наблюдателя отмечены радиолокационные координаты этого события — 0, Ф, 0 и ср. (Проследите за деталями.) Кроме того, на нем изображены оси времени Т и расстояния X наблюдателя А; но, к сожалению, нельзя указать / их.

Рядом с Q изобразим другое событие ——Q'. (Читается 《ку штрих»; это обычный способ обозначения так сказать «близких родственников» величины, которой уже присвоен тот или иной символ.) Тогда К', L', М‘ и N' связаны с Q' точно так же, как К, L, М и N связаны с Q (пп. 22.2 и 22.8). Нас интересуют приращения различных координат (величины, на которые они изменяются) при переходе от Q к Q'.

Итак, соответствующая наблюдателю А координата фи события Q' — это время, прошедшее от О до N'. Значит, приращение Ф равно величине, на которую

этот промежуток времени превосходит Ф, т. е. 6Ф равно времени, прошедшему от N до N7. Убедитесь, что на рис. 22.14 правильно отмечены все приращения.

Соотношения (22.9) — (22.12) определяют (для каждого наблюдателя) с помощью приращений связь между радиолокационными координатами и координатами

22.15.22.15.времени далекого события и расстояния до него. Пусть некоторое тело движется так, что оно присутствует при событиях Q м Q' (его мировая линия проходит через Q и Q'). Тогда (22.12) означает, что если полученные наблюдателем А результаты радиолокационных измерений положения тела изменятся на 38 и 6Ф, то найденное им расстояние до этого тела изменится соответственно на ，2(6①—60), Аналогичную интерпретацию, в чем вы можете убедиться самостоятельно, можно дать и соотношениям (22.9) — (22.11).

22.15.

22.15.

Если бы удалось найти связь между радиолокационными координатами наблюдателя А и странника W (че-

рез приращения), то формулы из п. 22.13 позволили бы связать их координаты времени и расстояния. Пусть 7M и Хм ——время и расстояние до события М, определенные наблюдателем А. Очевидно, Ф — это координата фи как события М, так и события Q (п. 15.2). Из (16.3) после замены Т м X на 7м н Хм следует

(22.13)Приме-(22.13)Приме-①=Тм+Хм・

(22.13)

Приме-

(22.13)

Приме-

Пусть k — параметр (п. 21.2) события М. некие формулы (21.8) к М дает*

归=fX м+fT м =

п. 16.12М

=f (Хм 十 Тм)=

(22.13)

= /Ф.

В итоге

(22.14)22.11м,(22.15)(22.16)(22.14)22.11м,(22.15)(22.16)й=/Ф.

(22.14)

22.11м,

(22.15)

(22.16)

(22.14)

22.11м,

(22.15)

(22.16)

С помощью теорем, доказанных в пп. 22.9м и получим

б^ = /6Ф.

Деление этой формулы на формулу fe = fO дает 找_ дФ 々 一Ф •

Найдите связь между 3々 и Sep.

Вспомним, что ср — промежуток времени между Р и М, измеренный по часам странника W, — то же самое, что / в гл. 21. Теперь еще раз попытайтесь найти эту связь.

Если заменить в (21.20) ^ на ср и принять во внимание теорему из п. 22.11м, то получится приближенное соотношение /бср 〜，М/0. Скомбинировав его с (22.16), найдем

沁р 〜60)/0), (22.17)

а это и есть искомая связь между координатами фи наблюдателей А и W. Убедитесь с помощью рис. 22.14 и пп. 20.20м и 21.42м, что вы понимаете смысл приближенной формулы (22.17).

♦ Способ изложения цепочек вычислений описан в пп. 19.7М и 19.8.

Я больше не буду об этом напоминать, поэтому будьте внимательны в п. 22.18.

Для любого интересующего нас события Q всегда можно указать наблюдателя (с мировой линией, проходящей через О), для которого Q происходит одновременно с О, и выбрать его в качестве А. В дальнейшем мы всегда будем рассматривать эту упрощенную ситуацию. Тогда Q лежит на оси X, что и изображено на

рис. 22.16; в этом случае Г；=0, так что формула (16.3) сведется к равенству(D = X. Подстановка в (22.17) дает

/6屮〜6Ф/Х・(22.18)

Чтобы найти аналогичную связь между приращениями координат тета и избежать при этом довольно сложных математических выкладок, воспользуемся простым приемом. Разложим рис. 22.16 горизонтально на столе, поставим вертикально прямоугольное зеркало так, чтобы его край совпал с пунктирной линией, проведенной в верхней части диаграммы. Внимательно изучите то, что вы там увидите. (Или попытайтесь все это себе представить.)

В зеркале положительные моменты времени стали отрицательными и обратно. А 0 и 0 играют на диаграмме-отражении такую же роль, которую раньше играли Ф и ф. Поэтому эквивалентом приближенной формулы (22.18) для приращения координаты тета будет

即〜66/Х.(22.19)

Обратите внимание, что в зеркальном изображении 60 и 69 отрицательны (что свидетельствует об уменьшении 0 и 0). Если вам не нравится работать с отрицательными приращениями, хотя они вполне допустимы, то, прежде чем пользоваться зеркалом, нарисуйте новую диаграмму, на которой событие Q' расположено так, чтобы точка К' была ниже К. Тогда оба приращения 60 и 60 будут положительны.

Возвращаясь к исходной диаграмме, мы снова меняем местами положительные и отрицательные значения времени (а ось X остается неизменной), поэтому приращения 60 и 60 будут по-прежнему либо оба положительны, либо оба отрицательны, а значит, приближенная формула (22.19) будет справедлива. Это и есть требуемое соотношение между приращениями координат тета.

Теперь, собрав все вместе, можно показать, как время далекого события и расстояние, измеренные W, связаны с соответствующими координатами, измеренными наблюдателем А. Из (22.9) следует

/6^1/2/(6ф+60) =

п. 16.12М

= 1/г(/5ф+/60)〜

(22.19)

〜％(6(D/X+B®/X) =

примечание к п. 21.12

= %(6Ф+6®)/Х =

(22.11)

= 6Т/Х.

В результате

/3/〜67/Х.(22.20)

Докажите самостоятельно, что

fdx^SXlX.(22.21)

Изучим с помощью рис. 22Л6 смысл этих приближенных формул. К сожалению, приращения 5f и 6% нельзя отметить на диаграмме, но можете считать, что они изображаются отрезками той же длины, что и 67 и 6Х, но на других осях.

Мы получили две приближенные формулы, свидетельствующие о том, что существует связь между измеренными наблюдателями А и W промежутками вре・ мени и расстояниями между событиями Q и Q'. Это своего рода ключи к новому миру, ибо они позволяют преобразовать имеющуюся информацию об инерциальных наблюдателях в эквивалентную информацию об ускоренных наблюдателях. Приближенные формулы можно записать в виде (п. 9.ИМ)

37 〜尸⑻，(22.22)

6Х 〜fXM(22.23)

Помните: приближенные формулы (22.20) — (22.23) справедливы только при Т=0 (п. 22.16).

Приближенная формула (22.21) показывает, что мнения А и W в отношении приращения расстояния, а значит самого расстояния, не совпадают. К сожалению, все приближенные формулы из п. 22.18 содержат расстояние X, измеренное наблюдателем А, и мы, не желая того, вынуждены его учитывать всякий раз, когда совершаем преобразование от инерциального наблюдателя к ускоренному. Это заставляет нас поинтересоваться, сильно ли расходятся мнения наблюдателей А и W в отношении расстояния, чтобы это расхождение было существенным в реальных ситуациях. Если 6X/N заменить на fdX/fX (п. 16.22М) и воспользоваться теоремой (22.8), то приближенную формулу (22.21) можно переписать в виде

6(扭)〜3(/Х)//Х.(22.24)

Сравните ее с формулой (21.20). Какой вывод следует из этого сравнения?

Обе формулы имеют совершенно одинаковый вид. Если k и ft в (21.20) заменить соответственно на fX и fx, то получится (22.24). Величина # = 0, когда 々=1 (п. 21.18), а " = 0 (началом отсчета является точка Р), когда fX=l (п. 17.19, первое предложение). Значит, таблица связи между fx и fX должна быть точно такой же, как табл. 21.23 и ее продолжения, устанавливающие связь между ft и k, И вообще, все, что доказано в

гл. 21 о связи между 々 и ft, остается в силе и для связи fX и fx, В частности, из (21.11) следует, что

扭〜冰一L(22.25)

Пусть D — расстояние от странника W до Q (расстояние PQ), определенное наблюдателем А. Поскольку расстояние OP=l/f (п. 17.19),攵=l/f + D и поэтому

/X=l+fD(22.26)

Подстановка в (22.25) дает fX~[D, или х〜D (п. 21.11м).

Значит, если ограничиться умеренными расстояниями, то вполне можно писать % = Q, т. е. принять, что мнения наблюдателей А и W в отношении расстояния совпадают.

Но какая при этом вводится погрешность? Такая же, как погрешность, вносимая при замене приближенной формулы (21.11) на 户=少一1. При 々=1,1 вместо правильного значения /7=0,095 (п. 21.21) формула (21.11) дает ^ = 0,1, т. е. ошибка составляет 5%. Точно так же, если для значения fQ = O,l получается fX = 1,1, то погрешность, вносимая в результате предположения о справедливости равенства x = D, должна быть около 5%.

Если в качестве единиц времени и расстояния выбрать соответственно год и световой год, то ускорение g в этих единицах приблизительно равно / = 1 (п. 17.21), что дает 0 = 0,1, или около тысячи миллиардов километров (п. 1.8). Таким образом, результаты измерений расстояний до тысячи миллиардов километров, полученные инерциальным наблюдателем и наблюдателем, движущимся с ускорением g, будут различаться не более чем на 5%.

Если бы вычисление значений в табл. 21.21 производилось при меньшем шаге и с более высокой точностью, то (взяв 々=1,001, что соответствует /7) = 0,001) можно было бы доказать, что для расстояний до 10 миллиардов километров результаты измерений этих наблюдателей расходились бы менее чем на 0,05%. Наблюдатель, движущийся с ускорением 100 g, получил бы при измерении расстояний до 100 миллионов километров результат, отличающийся менее чем на 0,05% от результата инерциального наблюдателя. Во всех случаях, с которыми нам предстоит иметь дело, будут рассматриваться ситуации, не выходящие за эти пределы. Поэтому мы сможем в любой момент заме-

нить результаты измерений расстояний, полученные наблюдателем А, на результаты, полученные W, записав х вместо D. Тогда формула (22.26) дает fX=l+fx. Подстановка этого выражения в (22.22) и (22.23) приводит к приближенным формулам:

6T 〜(1+*)也，(22.27)

6Х 〜(1+笈)舐，(22.28)

которые, подобно (22.22) и (22.23), справедливы только при 7 = 0.

Эти приближенные формулы, связывающие результаты измерений инерциального и ускоренного наблюдателей, являются тем фундаментом, на котором мы будем строить здание общей теории относительности. Тщательно продумайте их смысл (кое-какие наводящие идеи изложены в конце пп. 22.14, 22.15 и 22.18; обращайтесь к рис. 22.16).

Подчеркнем, что формулы (22.27) и (22.28) выведены в предположении % =方,а это равенство выполняется лишь приближенно. Обоснованность такого приближения зависит от того, насколько fx (подставленное вместо fD) мало по сравнению с 1. Если требуется высокая точность, то fx должно быть очень мало по сравнению с единицей, т. е. должно быть очень маленькой дробью (как 『0 = 0,001 в рассмотренном выше примере) .(Следует иметь в виду, что введенное здесь приближение совершенно не зависит от приближений 《с любой желаемой точностью», которые обозначаются знаком《〜》.)

Если вы имеете представление о показательной функции ехр % = е", то можете избежать приближений, использованных нами в п. 22.20. Точными эквивалентами приближенных формул (22.22) и (22.23), если вместо X подставить %, являются

67 〜ехр (/%) •配(22.29)

6Х 〜exp (f%) • 6%,(22.30)

где точки показывают, что exp (fx) умножается на соответствующее приращение. Формулы (22.27) и (22.28) представляют собой первые приближения этих приближенных формул.

Если строить теорию, исходя из последней пары формул, то мы, естественно, придем к иным теоретическим результатам. Различия слишком малы, чтобы их можно было обнаружить в любом эксперименте, постав-

ленном в настоящее время, но в определенных экстремальных условиях они могли бы стать существенными. Мы еще вернемся к этому вопросу.

Пусть А2 — инерциальный наблюдатель, неподвижный относительно А (рис. 22.22), и пусть х—определенное странником W расстояние, отделяющее его от собы-

Рис. 22.22.

тия Q, соответствующего удару часов А2, одновременному, по мнению W, с событием Р (п. 22.6). Как, по мнению странника W, ведут себя часы наблюдателя А2 в момент события Q? (Мнение инерциального наблюдателя в подобном случае см. в пп. 3.34—3.36 и 13.15.)

Пусть Q' — это следующий удар часов наблюдателя А2. Поскольку А и А2 неподвижны относительно друг друга, они считают промежуток времени 67 между событиями Q и Q' одинаковым. Обозначим через б/ промежуток времени, измеренный между теми же событиями по часам странника W. Тогда из (22.27) следует

6T〜(1十代)此 (22.31)

Ответ на наш вопрос содержится в этой приближенной формуле, но не совсем ясно, как быть со знаком 《〜》・

Задача упростилась бы, если бы формула (22.31) была точной:

6Т = (1+")»・(22.32)

Каково в этом случае мнение странника W по поводу хода часов наблюдателя А2?

Здесь 6Т — «фактическое» время, прошедшее между событиями Q н Q' по часам А?, тогда как 6f — промежуток времени между теми же событиями по часам W, наблюдающим за происходящим издалека. Рассмотрим случай, когда ускорение странника W направлено к А2. Тогда Q все время остается с положительной стороны от W. Отсюда следует, что % — положительная величина, а сумма l+fx больше 1. Поэтому, согласно (22.32), время, которое показывают часы наблюдателя А?, больше, чем по измерениям W, а это означает, что с точки зрения странника W часы А2 спешат. Докажите самостоятельно, что, когда ускорение странника W направлено от Аг, он считает, что часы наблюдателя А2 отстают.

Давайте для краткости называть множитель, показывающий, во сколько раз, по мнению W, быстрее или медленнее идут часы наблюдателя А2, коэффициентом хода часов (он равен частному от деления показания часов А2 на то, что они должны показывать по мнению W). Мы доказали, что если бы было справедливо соотношение (22.32), то коэффициент хода часов был бы равен 1+fx.

Однако связь между приращениями времени определяется не (22.32), а приближенной формулой (22.31), которую можно записать в виде

37=元厶(22.33)

где

7〜1+扭.(22.34)

На том же основании, что и в п. 22.23, г можно назвать коэффициентом хода часов, усредненным по всему промежутку времени ОТ от Q до Q'. (Этот символ читается как 《г с чертой»; черта является стандартным обозначением усреднения.) Усредненный коэффициент хода часов зависит от промежутка времени 67 — вот почему в (22.34) нельзя поставить знак равенства. Поэтому страннику W кажется, что поведение часов непрерывно меняется. Но из приближенной формулы следует (22.34), что, взяв достаточно малое 67, можно до-

биться, чтобы коэффициент г стал сколь угодно близким к 1+fx (определения см. в пп. 20.20м и 21.42м; как и в п. 21.13м, не следует беспокоиться насчет относительных разностей).

Но нас интересует мнение наблюдателя W о ходе часов А2 в момент события Q, а не в среднем по всему периоду между Q до Q'. Это ставит перед нами проблему, подобную той, что уже встречалась в пп. 17.13 и 17.14 (которые следует перечитать). Невозможно измерить коэффициент хода часов в момент события — для этого необходим промежуток времени. Но г — коэффициент хода часов, усредненный по интервалу времени от Q до Q', — можно рассматривать в качестве приближенного значения коэффициента хода часов в момент события Q, и, чем меньше ЗТ, тем лучше приближение. В результате мы приходим к определению (ср. с п. 17.13):

коэффициент хода часов в момент события Q ——это величина, которую можно вычислить с любой степенью точности, приняв ее равной коэффициенту хода часов, усредненному по промежутку времени ЗТ между Q и Q', м сделав ЗТ достаточно малым.

Если г — коэффициент хода часов в момент события Q, то это определение сводится к приближенному равенству т(см. пп. 20.20м, 21.13м и 21.42м). Тогда, применяя теорему из п. 21.10м к формуле (22.34), получим

厂〜1+fx.(22.35)

Как бы вы интерпретировали это соотношение?

Если вы считаете, что г приближается к \+fx, другими словами, что г и 1 +fx выбором достаточно малых значений 57 можно сделать равными друг другу с любой желаемой степенью точности, то вы ошибаетесь. Пересмотрите свою точку зрения.

Это утверждение кажется странным, так как процесс уменьшения значений ЗТ, т. е. смещение точки Q' все ближе к Q, не может влиять ни на 厂(коэффициент хода часов в момент события Q), ни на 1+fx. Теперь подумайте еще раз. Если это ничего не даст, проштудируйте пп. 17.15 и 17.16 и попытайтесь применить использованный там способ рассуждений.

Надеюсь, в конце концов вы придете к выводу, что

г=1+/%,(22.36)

т. е. что мы вправе заменить в (22.35) знак 《〜》 на 《 =》. Итак, коэффициент хода часов в момент события Q в точности равен 1 +fx, т. е., по мнению W, часы наблюдателя А2 идут во столько раз быстрее или медленнее.

Сейчас дадим более красивое доказательство справедливости равенства (22.36), чем исходя из гл. 17. В нашем распоряжении есть два заведомо справедливых утверждения:

выбором достаточно малых значений ЗТ можно добиться, чтобы отношение (l+f%)/r стало сколь угодно близким к 1 (пп. 20.20м, 21.42м), и

изменение 6Т не оказывает на это отношение ни малейшего влияния (так как не влияет на каждую из величин г и I +/х в отдельности).

Оба утверждения верны одновременно только в одном случае. В каком?

В единственном случае, когда отношение (1 + fx) /г всегда сколь угодно близко к 1, т. е. когда оно попросту равно 1, что непосредственно ведет к равенству т= 1 +fx.

Этот процесс перехода от (22.35) к (22.36), в результате которого знак 《〜》меняется на 《 =》，——один из тех тонких моментов в рассуждениях, которые часто служат причиной затруднений и сомнений. Да и вас этот вопрос наверняка беспокоит. Следующие ниже объяснения помогут вам.

Вы, конечно, согласитесь, что если изменение 6Т не влияет на значения г или 1 +fx, то при уменьшении 67 это отношение не станет сколько-нибудь ближе к 1, если только оно уже не было равно 1.

Но если отношение (l+fx)/r уже равно единице, то не возникает никаких проблем. Утверждение (1), в сущности, означает следующее: вы решаете, насколько близко к единице должно быть отношение, а я вам говорю, какое нужно выбрать ЗТ, чтобы этого добиться. Какую бы степень приближения вы ни потребовали, я просто скажу: «Придайте величине 8Т подходящее значение, и вы найдете, что ваше требование удовлетворено». И я буду прав!

Возможно, вам кажется, что здесь что-то не так, поскольку знак 《〜》предназначается для связи приращений и указывает на то, что две величины можно сделать равными друг другу с какой угодно степенью точности, а в нашем случае вообще не приходится иметь дело с приращениями. Но выражать недовольст-

во по этому поводу — все равно что не выплачивать зарплату пожарной команде за те дни, когда не было пожаров и им нечего было тушить.

Вот еще один простой аргумент: если г и 1+fx не равны, то невозможно добиться, чтобы одновременно выполнялись утверждения (1) и (2), если же они равны, то можно. Поэтому они должны быть равны.

. Интересным моментом в цепи рассуждений, проведенных в пп. 22.24—22.29, является то, что «на входе» у нас было два приближенных равенства: 「〜1+f尤 и r~r, и тем не менее 《на выходе» мы получили из них точное равенство: r=l+f%. Важно знать, когда допустимы такие операции, при каких обстоятельствах приближенное равенство типа (22.35) можно заменить равенством (22.36). Рассмотренный нами случай представляет собой приложение теоремы, которую в силу ее важности для метода измерения величин с какой угодно точностью я назову

первой основной теоремой:

если две переменные величины и и у связаны приближенной формулой 〃〜и и не зависят от величины интересующего нас приращения (или другой заданной величины; см. п. 20.20м), то u — v.

Попробуйте ее доказать.

Мы это уже сделали. Если в п. 22.28 заменить г и \+fx на и и у и считать ВТ интересующим нас приращением (или другой заданной величиной), то выяснится, что доказательство у нас в руках. Проверьте все в деталях. Таким же способом можно выразить через и и V объяснения, данные в п. 22.29.

. Условие, что значения и и у не зависят от приращения, абсолютно необходимо. Без него вывод, что u = v, неверен. Например, предположим, что интересующее нас приращение равно 3〃，a v^=u + 6u. Легко проверить, что, согласно определению, 〃〜〃+3〃. Однако очевидно, что равенство и = и + 8и неверно.

Начиная с п. 22.22 мы интересовались мнением странника W о ходе часов инерциального наблюдателя А2. Он считает, что в момент события Q эти часы идут быстрее или медленнее ровно в 1 +fx раз. А что он думает о ходе часов неинерциального наблюдателя U, мгновенно покоящегося по отношению к нему в момент события Q (рис. 22.22) ?

В момент события Q эти часы и часы наблюдателя А2 идут одинаково, значит, мнение странника W не из-

менится. Строго обосновать это утверждение можно, следуя линии рассуждений, развитой в гл. 20, где мы дали точную формулировку, а затем провели проверку такого тезиса: ускоренные часы идут одинаково с мгновенно сопутствующими им инерциальными часами. Поэтому я опущу детали доказательства.

Таким образом, мы не ограничены лишь инерциальными часами. Обобщая вывод, к которому мы уже пришли для часов инерциального наблюдателя А2, можно сделать следующее очень важное предсказание:

если ускорение странника W направлено к удаленным часам (которые по отношению к нему мгновенно покоятся), то он считает, что они спешат; если же его ускорение направлено от них, то странник считает, что часы отстают, причем в каждом случае ровно в 1 +fx раз (величина fx положительна при сближении и отрицательна при удалении).

Есть некоторое сходство между этим выводом и формулировкой замедления течения времени в п. 3.36. Однако для нас важнее различия, чем сходства. Перечислите их.

Упомяну лишь самые главные свойства нашего нового результата, а вы сопоставьте их с характерными особенностями замедления течения времени. Он 1) зависит от ускорения, которое 2) абсолютно, и 3) имеет место даже в тех случаях, когда часы и наблюдатель покоятся по отношению друг к другу; 4) будет казаться, что часы спешат или отстают 5) в зависимости от направления ускорения 6) на величину, меняющуюся с расстоянием между наблюдателем и часами. 7) Связь между наблюдателями U и W несимметрична.

Наконец-то мы можем разобраться с некоторыми оставшимися невыясненными вопросами, касающимися парадокса часов, или парадокса близнецов (пп. 4.14— 4.20, 14.22—14.24 и большая часть гл. 20, в особенности пп. 20.28 и 20.29). В путешествии, изображенном на рис. 14.22 (открытку с прорезью в дело!), наблюдатель А думает, что часы странника D всегда отстают (за исключением момента ускорения). Это согласуется с нашим выводом, что между встречей и расставанием для странника D прошло меньше времени, чем для А. Теперь попытайтесь рассмотреть эту ситуацию, опира* ясь на мнение странника D о поведении часов А.

На протяжении инерциальных участков своего путешествия странник D считает, что часы наблюдателя А

отстают. Создается впечатление, что мы на грани противоречия. Что думает D на протяжении трех периодов ускоренного движения?

Во время запуска и приземления (вблизи событий Р и Q) его ускорение направлено от часов А. Значит, странник обнаружит, что часы А отстают даже еще сильнее). Однако расстояние % (п. 22.32) мало, поэтому дополнительный эффект ничтожен. Что можно сказать о части пути вблизи события О, где направление движения странника меняется на противоположное?

Здесь ускорение странника D направлено к часам А, поэтому он считает, что часы А спешат ——и довольно сильно, так как расположены на большом расстоянии от него. Дать количественный анализ этой ситуации нелегко (так как надо учитывать участки разгона и торможения). Но в результате странник D обнаружит, что за время, необходимое для разворота звездолета, часы оставшегося на Земле наблюдателя уйдут вперед больше, чем отстанут на протяжении всей оставшейся части полета, а это вновь согласуется с тем, что для А пройдет больше времени, чем для D.

Итак, бортовой журнал звездолета заполнен!

Если пересмотреть эксперименты, описанные в пп. 20.6——20.9 и 20.26 с точки зрения странника, то можно заметить, что они подтверждают сделанное в п. 22.32 предсказание: часы, к которым направлено ускорение наблюдателя, по его мнению, спешат. (Разумеется, чтобы получить убедительное подтверждение, следует провести детальный расчет.) В ходе рассуждений, ведущих к этому предсказанию, в п. 23.3 было сделано единственное новое предположение о том, как определенные странником время далекого события и расстояние выражаются через радиолокационные координаты. Таким образом, у нас есть подтверждение справедливости этого предположения.

Пока свежи в памяти идеи пп. 22.22—22.31, займемся работой, результаты которой понадобятся нам в дальнейшем. Она касается скорости в самом общем случае (но по-прежнему в рамках одномерной вселенной), изменяющейся каким угодно образом скорости некоторого объекта В (наблюдателя, светового сигнала, тела, вообще, кого и чего угодно) относительно наблюдателя, который может быть как инерциальным, так и неинерциальным, причем движущимся с постоянным или переменным ускорением. Ниже все величины будут определяться по отношению к этому наблюдателю. Пред-

положим, что расстояние до объекта В в момент времени / равно х, а в момент времени /+6/ оно составляет х+бх, т. е. В за время 3f прошел расстояние 6х.

Можно ли что-нибудь сказать о его скорости?

Можно, но только о средней скорости объекта В, которой он обладал в промежутке времени от f до 6Л Обозначим ее и (ср. с г в п. 22.24). Известно, что пройденное расстояние равно произведению средней скорости на затраченное время, т. е.

舐=存九(22.37)

Но мы хотим узнать скорость объекта В в момент времени f — обозначим ее буквой у. Какие будут предложения?

Как в пп. 17.13 и 22.25, определим скорость объекта В в момент времени 力 как величину, которую можно вычислить с любой степенью точности, взяв ее равной у и сделав приращение 6f достаточно малым, т. е. и~и (ср. с п. 22.26). Подставляя это приближенное равенство в (22.37) с учетом теоремы из пп. 21.10м и 21.11м, можно доказать следующее утверждение:

если V — скорость объекта В в момент времени 厶

阮〜иб/.(22.38)

Теперь предположим, что, изучая движение какого-то объекта (будем его по-прежнему называть В), мы показали, что

6х 〜иМ・(22.39)

Можно ли, сравнив это приближенное равенство с (22.38), утверждать, что и — это скорость объекта В?

Непосредственно из их сравнения такой вывод не следует. Согласно теореме из п. 21.10м, их комбинация дает u6t〜u&t, откуда 〃〜и (п. 21.11м). Создается впечатление, что мы доказали лишь то, что скорость 〃 приближается к скорости объекта В. Что скажете?

Вспомним первую основную теорему (п. 22.30м). Чтобы применить ее в нашем случае, полученное приближенное равенство необходимо дополнить условием, что и не зависит от приращения Л Ясно, что на и — скорость в момент времени t — приращение 6/ не влияет. Теперь все требования теоремы соблюдены, и мы можем утверждать, что

если х—расстояние до В в момент времени / и если 5х 〜u&t, то 〃 будет скоростью объекта В только при условии, что значение и не зависит от 6f.

ПРИНЦИП ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ

Предположим, что W, наблюдатель, движущийся с постоянным ускорением, следит за окружающими его инерциальными наблюдателями. Как выглядит их движение с точки зрения W?

Представьте себе несколько автомобилей, мчащихся с постоянной скоростью по прямому шоссе. Что сказал бы об их движении человек, сидящий в автомобиле, движущемся с постоянным ускорением? Полагаю, вы придете к выводу, что расстояние между W и любым инерциальным наблюдателем Е меняется в соответствии с законами равноускоренного движения, а значит,

если W считает себя неподвижным, то, с его точки зрения, все инерциальные наблюдатели движутся с постоянным ускорением f (направленным в сторону, противоположную его постоянному ускорению).

(Но может закрасться сомнение: а вдруг все не так, ведь мнения наблюдателей Е и W о промежутках времени и расстояниях не совпадают. Действительно, если проделать расчеты, основываясь на приближенных формулах из гл. 22, то обнаружится, что сформулированное утверждение строго выполняется лишь тогда, когда Е находится вблизи W и движется относительно него медленно (оба условия следует рассматривать в смысле 《с какой угодно точностью»). Это нас вполне устраивает, так как мы собираемся пользоваться этим утверждением только при условиях близости и малости относительных скоростей.)

Но, возразите вы, W знает (из опыта с пробной частицей), что он ускорен, а значит, не может считать себя неподвижным. Возможно ли, чтобы пробная частица удалялась от наблюдателя, а он тем не менее утверждал, что докоится?

Ваша собственная пробная частица быстро удаляется от вас с ускорением (ср. с п. 5.4), однако же вы не испытываете затруднений, когда считаете себя неподвижным. Напротив, хотя вы прочли половину книги и многое узнали, вам, наверное, по-прежнему трудно пред-

ставить себя в каком-либо состоянии, кроме состояния покоя. Признаюсь, мне трудно!

Поэтому когда W видит, что его пробная частица удаляется, то у него есть выбор: согласиться, что он движется с ускорением, либо заявить, что он неподвижен, а пробная частица падает под действием силы тяготения.

Ощущения наблюдателя W, движущегося с постоянным ускорением в пространстве-времени без тяготения, точно такие же, как ваши, когда вы сидите в своем кресле в привычном мире, где на вас и на все, что вас окружает, действует сила тяготения. Ваша теория, принимающая в расчет тяготение, должна объяснять наблюдения странника W, а его теория, учитывающая постоянное ускорение, должна объяснять все ваши наблюдения (ср. с п. 17.20, где эта идея уже кратко обсуждалась).

Странник W видит, что все инерциальные объекты (на которые не действуют силы) движутся с постоянным ускорением, одинаковым как по величине, так и по направлению. Вы же, сидя в кресле, видите, что все инерциальные тела падают, а это всего лишь выраженное иначе утверждение, что все они движутся с постоянным ускорением, одинаковым как по величине, так по направлению (вниз). В то же время отдельные предметы не участвуют в этом всеобщем падении с постоянным ускорением, например ваза на столе. Но чтобы она не упала, требуются силы; так, со стороны стола на вазу действует сила, направленная вверх. Наш знакомый W тоже замечает предметы, которые не падают, а сохраняют по отношению к нему фиксированное положение. И здесь снова требуются силы, чтобы заставить предметы двигаться с тем же ускорением, что и W (как это должно выглядеть для внешнего инерциального наблюдателя).

Вы сейчас ощущаете силу, предотвращающую ваше падение,——это направленная вверх сила, действующая со стороны сиденья вашего кресла. Точно так же и W чувствует силу, действующую на него. Он мог бы сказать: «Это как раз та сила, которая сообщает мне ускорением. Но он с равным успехом мог бы принять вашу точку зрения и сказать: «Это и есть та самая сила, которая удерживает меня от участия во всеобщем стремлении предметов к ускоренному движению (падению) к корме звездолета,——сила, которая удерживает меня в состоянии покоя относительно звездолета».

Сказанное верно только в том случае, если ограничиться небольшой областью пространства, в которой можно считать притяжение одинаковым по величине и направле-

нию во всех точках, например вашей комнатой. В крупномасштабных экспериментах обнаружатся явные различия между результатами ваших наблюдений и наблюдений странника (подумайте, например, о направлениях, в которых ускоряются свободно падающие тела). Однако в дальнейшем, если не будет оговорено иное, мы ограничимся малыми областями пространства и однородными в них, т. е. одинаковыми по величине и направлению, полями тяготения. В этом случае все будет выглядеть так, будто ваши ощущения неотличимы от ощущений странника W, будто проявления однородного поля тяготения тождественны проявлениям равноускоренного движения наблюдателя.

Рассмотрим наблюдателя, находящегося в небольшом

Рис 235

замкнутом помещении в четырех различных типах условий (рис. 23.5). В первых двух случаях небольшое помещение——это кабина лифта. В случае а она неподвижна, так что наблюдатель испытывает те же ощущения, что и любой человек, стоящий на поверхности Земли. В случае б трос оборвался и кабина лифта свободно падает. Еще в двух случаях помещение с наблюдателем встроено в ракету, которая находится так далеко от звезд и галактик, что можно считать, что тяготение от* сутствует. Ракетные двигатели работают в случае в и выключены в случае а.

Случай г соответствует хорошо знакомой ситуации, которая обсуждалась в первых 19 главах. Тяготения нет, наблюдатель инерциальный, значит, его мир описывается специальной теорией относительности (п. 5.5). Пробная частица этого наблюдателя остается рядом с ним. Если ее подтолкнуть, то она будет двигаться (по отношению к нему) равномерно и прямолинейно. Чтобы удержать наблюдателя на месте, не требуется никакой силы ——он невесом. Теперь проведите сравнение с ощущениями наблюдателя в случае б.

Они точно такие же. Его пробная частица падает рядом с ним. Поэтому, с его точки зрения, она остается около него, этот наблюдатель — инерциальный. Если же он отбросит ее в сторону, то движение этой частицы относительно поверхности Земли будет комбинацией движения с постоянной скоростью в сторону и равноускоренного падения вниз. Но в падении наблюдатель участвует наравне с частицей. Поэтому, с его точки зрения, пробная частица участвует только в движении в сторону с постоянной скоростью вдоль прямой, точно, как в случае а. К тому же лифт падает с теми же скоростью и ускорением, что и наблюдатель, а значит, не оказывает на наблюдателя никакого воздействия — он тоже невесом.

Итак, если только ограничиться небольшим помещением и непродолжительным падением, то результаты опытов наблюдателей в случаях 6 и а будут одинаковы.

Аналогично можно показать, что ощущения наблюдателей в случаях айв также одинаковы.

В случае а пробная частица наблюдателя падает на пол кабины лифта. В случае в внешний инерциальный наблюдатель увидит, что пол кабины звездолета дви-

жется с ускорением вверх и сталкивается с пробной частицей. А с точки зрения астронавта этого звездолета, частица с ускорением движется «вниз», пока не ударится об пол.

Если наблюдатель в случае а бросит частицу в горизонтальном направлении, то ее движение будет состоять из движения с постоянной скоростью и падения вниз (п. 23.6). Если космонавт в случае 8 бросит пробную частицу в направлении, перпендикулярном направлению тяги двигателей ракеты, то, с точки зрения внешнего инерциального наблюдателя, эта частица будет продолжать двигаться в этом направлении с постоянной скоростью. Однако собственное движение космонавта создает у него впечатление, что частица участвует в падении. Поэтому результирующее движение по отношению к нему будет такой же комбинацией движений, как относительно наблюдателя в случае а.

Наблюдатель в случае а сознает, что у него есть вес — что пол действует на него с силой, направленной вверх, и если она перестанет действовать, то он провалится сквозь него. Наблюдатель в случае 8, предоставленный самому себе, двигался бы с постоянной скоростью. А при сообщении ракете ускорения это означало бы, что он должен был бы «провалиться» сквозь пол, не будь силы, действующей со стороны пола на его ступни.

Можно предположить, что каждое наблюдение или каждый эксперимент должны давать один и тот же результат в случаях а п в.

Этот вывод играет ведущую роль в дальнейшем развитии нашей теории, поэтому сформулируем его по всей форме под названием

принцип эквивалентности:

Не существует способа, позволяющего отличить проявления однородного поля тяготения от равноускоренного движения наблюдателя.

Пусть некоторый наблюдатель видит, что пробная частица удаляется от него. Тогда принцип эквивалентности утверждает, что нет такого эксперимента, который позволил бы ему решить, удаляется ли она под влиянием тяготения или потому, что он сам движется с ускорением.

Нет такого эксперимента! Но не следует ли нам ограничить свой вывод только механическими экспериментами, поскольку других мы не рассматривали?

Эйнштейн однажды уже призывал нас избегать по- доо^ых ограничений (пп. 5.9—5.11); результатом этого был большой успех его специальной теории относительности. Позднее, когда Эйнштейн пытался понять природу тяготения, он предложил отказаться от всяких «механических» ограничений принципа эквивалентности. Последуем снова за Эйнштейном в надежде собрать еще один богатый урожай.

При чтении п. 23.7 у вас, возможно, возникла мысль, что случаи айв должны быть различимы, ибо причиной всех эффектов в первом случае является сила тяготения, а во втором аналогичной силы нет. Вы убеждены, что тяготение—это реальная сила? Является ли сила тяготения фактом, твердо установленным из наблюдений, или это просто гипотеза, введенная для объяснения того, почему тела падают именно так, а не иначе?

Введенное Ньютоном представление о тяготении как о силе укоренилось столь глубоко, что кажется очевидным, что причиной падения тел является сила, которая тянет их вниз. Однако если вы обратитесь к своему жизненному опыту, то не найдете прямых свидетельств существования этой силы. Проделайте небольшой эксперимент—спрыгните со стула. Вы не почувствуете никакой силы, тянущей вниз.

Когда же вы снова садитесь на стул (не падаете), то ощущаете действие силы — направленного вверх давления со стороны стула. Этому наблюдению, по-видимому, больше соответствует точка зрения наблюдателя в случае в — передающаяся через пол и кресло реактивная сила, порожденная двигателями ракеты, толкает вверх и сообщает направленное вверх ускорение. Может быть, сила тяготения — это иллюзия или вымысел?

У силы тяготения есть некоторые весьма необычные свойства. Действие любой другой силы можно прекратить, например перерезать буксирный трос, размагнитить магнит и т. п. Но что бы мы ни делали, силу тяготения (если она есть) невозможно ни изменить, ни уничтожить. Кроме того, факт, что все тела (расположенные в одном и том же месте) падают с одинаковым ускорением, означает, что сила тяготения должна быть пропорциональна массе тела (п. 18.12), и это проверено с точностью в одну тысячемиллиардную. Значит, тяготение —это очень необычное явление, так как не известно никакой другой силы, пропорциональной массе тела, на которое она действует. Свойство тел падать с одинаковым ускорением находит простое объяснение в слу-

чае 8. Если сила, необходимая, чтобы объяснить падение тел, столь сильно отличается от других сил, не следует ли нам отнестись к ее реальности с подозрением?

Самым простым объяснением наблюдаемого вокруг было бы движение с ускорением. Тогда сила тяготения была бы не нужна. Но если упорно настаивать, что мы неподвижны, то для объяснения наблюдаемого падения тел приходится вводить эту необычную силу.

Такого сорта фиктивные силы возникают и при других обстоятельствах. В автомобиле, мчащемся по круговой трассе, любой незакрепленный предмет стремится с ускорением выйти наружу (такое создается впечатление) по направлению от центра окружности. Сидя в таком автомобиле, вы понимаете, что удержать вас от такого движения могут только силы. Кажется, что на любое тело, находящееся в автомобиле, действует сила, стремящаяся сдвинуть это тело в направлении ©т центра, — «центробежная сила», как ее обычно называют. Величина центробежной силы пропорциональна массе объекта, на который она действует.

Однако известно, что эта сила — фиктивная. Внешний наблюдатель видит, что плохо закрепленный предмет будет просто продолжать двигаться вперед по прямой, а автомобиль будет уходить от него в сторону. Такому на・ блюдателю не требуется вводить силу, чтобы объяснить, почему предметы стремятся уйти от автомобиля по пря・ мой, соединяющей его с центром окружности, причем в направлении от центра. Внешний наблюдатель видит, что автомобиль сворачивает в сторону, а незакрепленные предметы продолжают двигаться по прямой.

Это вы в автомобиле движетесь с ускорением (п. 20.5), направленным к центру, но, рассматривая себя по привычке в качестве начала отсчета, считаете себя неподвижным. И тогда, чтобы объяснить поведение незакрепленных тел, приходится придумать центробежную силу.

Можно ли считать силу тяготения такой же иллюзией? Ясно, что при этом возникнут осложнения, если попытаться рассмотреть падение предметов сразу в Англии и в Новой Зеландии, — точно такие же осложнения, которые возникают перед шофером автомобиля, пытающимся объяснить движение тел в другом автомобиле, мчащемся с противоположной стороны кольцевой автотрассы. Однако в определенном смысле силу тяготения можно считать иллюзией, возникающей из-за нежелания согласиться, что мы движемся с ускорением.

Итак, в однородном поле тяготения свободно падающий наблюдатель б на рис. 23.5 испытывает те же ощущения, что и инерциальный наблюдатель в отсутствие тяготения. Значит, его мир будет описываться специальной теорией относительности (п. 5.5), ее основными законами, изложенными в гл. 1—19. Наблюдатель, стоящий на опоре, как в случае а, связан со свободно падающим наблюдателем (случай б) точно так же, как равноускоренный наблюдатель в отсутствие тяготения (случай в) связан с инерциальным наблюдателем (случай г), т. е. таким же образом, как ускоренный наблюдатель W из гл. 22 связан с наблюдателем А. Мы теперь знаем, как быть с результатами наблюдений, проделанных А, ведь все они объясняются специальной теорией относительности, в которой мы уже разбираемся. Мы также знаем (гл. 22), как перейти от наблюдений А к наблюдениям странника W. Такие же преобразования позволяют узнать результаты опытов, проведенных человеком, стоящим на Земле, где действует тяготение, исходя из результатов, полученных свободно падающим наблюдателем. Мы уже на пороге теории тяготения.

Принцип эквивалентности — это всего лишь еще одна гипотеза, которую, как обычно, следует проверить сравнением предсказаний с результатами эксперимента.

Применим рассуждения из п. 23.7 к распространению светового сигнала, посланного в сторону от наблюдателя. Тогда, исходя из случая в и пользуясь принципом эквивалентности, чтобы определить, что произойдет в случае а, вы без труда придете к предсказанию, что луч света, распространяющийся поперек направления действия тяготения, должен отклоняться вниз. Увы, расчет показывает, что в эксперименте, выполненном в масштабах, достаточно малых, чтобы в их пределах тяготение не изменялось, отклонение будет слишком ничтожным для надежной регистрации.

Однако можно сделать и другое предсказание, которое можно проверить экспериментально, применив принцип эквивалентности к кое-чему из того, что мы доказали в гл. 22. Попробуйте это сделать.

Примените принцип эквивалентности, чтобы сформулировать вывод из п. 22.32 при наличии поля тяготения.

Если наблюдатель, стоящий на опоре (наблюдатель, который удерживается опорой от падения), следит за показаниями часов, расположенных над ним, то он обнаружит тот же эффект, что и странник W, движущийся с

ускорением, направленным к часам. Отсюда следует вывод (проверьте детали), что

в условиях однородного поля тяготения наблюдателю на опоре кажется, что часы, расположенные на высоте х над ним, спешат в 1+fx раз, где f — ускорение тела, падающего свободно с точки зрения этого наблюдателя.

Если часы расположены ниже наблюдателя на опоре (значение 尤 отрицательно), то нужно заменить слово «спешат» на «отстают». Это явление называется гравитационным красным смещением,

Чтобы рассчитать ожидаемый эффект для часов, расположенных не очень высоко над поверхностью Земли, достаточно заменить ускорение f на g (пп. 17.20 и 17.21). Для упрощения арифметических расчетов выберем в качестве единицы времени год, как в п. 17.21, так что единицей расстояния будет световой год (п. 1.8), g=l,03. Для часов, расположенных на высоте 22,5 м над наблюдателем, получим

1,03X22,5 g 一 1000x9500 миллиардов 1

т. е. будет казаться, что они спешат на одну часть на 400 000 миллиардов частей. Эффект Мёссбауэра (п. 20.26) позволяет проверить это предсказание.

Эксперимент, в котором использовалась именно такая высота 22,5 м, был поставлен в Гарвардском университете в 1960 г. Паундом и Ребкой и повторен в усовершенствованном виде в 1964 г. Паундом и Снайдером. Результаты удобно представить в следующей форме.

Предположим, что 1+р ——множитель, который показывает, во сколько раз быстрее должны идти часы согласно теоретическим предсказаниям (т. е. p = g%). Пусть 1 +q — множитель, который получился на самом деле после обработки результатов измерений. Тогда отношение д/р показывает, насколько хорошо экспериментальный результат согласуется с предсказанным; д/р=1 означает идеальное согласие. В эксперименте 1964 г. получилось

qlp = 0,9990 士 0,0076.(23.1)

(Если вы не знаете, что означает ±0,0076, см. п. 23.17.) Ясно, что предсказание было подтверждено с достаточно высокой точностью.

Каждый эксперимент неизбежно содержит ошибки, поэтому можно ожидать только приблизительного совпадения его результатов с теоретическими предсказаниями. Но каким должно быть согласие, чтобы подтвердить предсказание? Есть два типа ошибок.

Систематическими называются ошибки, приводящие к определенным (не случайным) отклонениям результатов измерений от истинного значения измеряемой величины. Они могут возникнуть, если использован измерительный стержень чуть большей длины, чем эталонный, или не учтено влияние температуры на его длину, или в силу каких-нибудь более сложных причин. Для исключения систематических ошибок экспериментаторы прини- мают все меры предосторожности. Кроме того, они стараются оценить верхний предел для любых систематиче- ских ошибок, оставшихся в их измерениях. В эксперименте Паунда и Снайдера эта оценка составляла 0,010. (Могли быть и другие систематические ошибки, возникшие в результате непредвиденных обстоятельств.)

Но даже если бы систематическая ошибка была полностью исключена, все равно ни одно измерение никогда не может быть выполнено абсолютно точно. Фактические показания измерительных приборов будут иногда чуть- чуть завышены, а иногда чуть-чуть занижены. Такие ошибки по своему характеру случайны, и поэтому о точности любого отдельного измерения нельзя сказать ничего определенного.

Величина, подобная q, должна рассчитываться на основании результатов нескольких (возможно, многих) измерений, каждое из которых вносит свою случайную ошибку. Полная ошибка в измерении q возникает из комбинации всех этих отдельных ошибок — иногда в результате их суммирования, а иногда их частичной взаимной компенсации. Поскольку каждая отдельная ошибка случайна, то информацию о полной ошибке можно получить с помощью теории вероятностей.

Полная ошибка иногда сильно завышает, а иногда слишком занижает результат. Поэтому очевидно, что наилучший ответ можно получить, повторив эксперимент несколько раз и взяв среднее значение из всех результатов. Число 0,9990 в (23.1)—это именно такое среднее значение.

Не столь очевидно, но следует из теории вероятностей (если только удовлетворяются некоторые условия, касающиеся природы ошибок), что ошибку этого усредненного результата можно оценить по тому, в каких пределах

и как распределены значения отдельных результатов, из которых вычислялось среднее значение.

Число ±0,0076 в (23.1)—это стандартное отклонение, которое характеризует оценку погрешности. Знак 《土》一это комбинация《+》 и 《一》(следует читать «плюс-минус»), т. е. рассматривается возможность того, что истинный результат равен 0,9990 плюс или минус некоторая вполне определенная ошибка. Выражение (23.1) говорит, что

с вероятностью 68% истинное значение qlp отличается от 0,9990 не более чем на 0,0076 в каждую сторону, т. е. оно лежит между 0,9914 и 1,0066;

с вероятностью 95% оно отличается от 0,9990 не более чем на 2X0,0076 в каждую сторону;

с вероятностью 99,7% оно отличается от 0,9990 не более чем на 3X0,0076 в каждую сторону.

Итак, (23.1) дает следующую информацию:

Поскольку число 0,0076 очень мало, можно сделать вывод, что случайные погрешности находились под должным контролем, в силу чего эксперимент дал довольно точный результат.

В силу того что предсказанное теорией значение g/p=I лежит в интервале между 0,9838 и 1,0142 с вероятностью 95%, вряд ли экспериментальный результат получился столь близким к 1 благодаря счастливой случайности. Значит, результат этого эксперимента в самом деле является строгим подтверждением нашего предсказания, что отношение qlp должно быть равно 1, подтверждением того, что часы действительно казались отстающими на предсказанную величину.

Описанный в п. 20.9 эксперимент с часами, отправленными в кругосветное путешествие, дает еще одно подтверждение предсказанию, сделанному в п. 23.15, ибо влияние тяготения на часы сравнимо по величине с эффектом, возникающим при их движении. Новые подтверждения были получены с помощью часов, помещенных на борту советского искусственного спутника «Космос» (1973 г.), а также с помощью часов на борту американского самолета, летавшего над Чесапикским заливом (1975 г.).

Таким образом, у нас есть серьезные доводы в пользу нового предположения, которое мы назвали принципом эквивалентности (п. 23.8). Это дает основание надеяться, что метод, предложенный в п. 23.12, приведет к теории тяготения.

Однако принцип эквивалентности применим только в столь малых областях пространства-времени, в которых поле тяготения можно считать однородным (ср. с п. 23.4). В то же время теория тяготения представляет интерес как раз в тех случаях, когда ее выводы могут быть применены к областям размерами с Солнечную систему, в которых тяготение меняется и по величине, и по направлению. Нам предстоит неближний путь, прежде чем мы научимся работать с такими системами, и тем не менее мы уже сделали первый шаг.

24

24.1.24.1.24.2.24.2.МЕТРИКА

24.1.

24.1.

24.2.

24.2.

В дальнейшем изложении важную роль будет играть интервал, поэтому просмотрите гл. 12 (а может быть, и 11) и пп. 13.1—13.8, 13.21—13.24. Там мы ограничились обсуждением наблюдателей и событий в одномерной вселенной (п. 5.19). Теперь же я хочу показать, что интервал, определенный как в п. 12.15, остается инва

тель».тель».риантом, т. е. одним и тем же для всех инерциальных наблюдателей, и в трехмерном пространстве. Для простоты рассмотрим лишь времениподобный интервал (п. 13.22), которому соответствует формула (12.5). Кроме того, если не будет оговорено иное, слово «наблюдатель» будет означать «инерциальный наблюда

тель».

тель».

Сначала обратимся к частному случаю, когда наблюдатели А и В движутся относительно друг друга в одномерной вселенной, и рассмотрим интервал между событиями О (в момент которого А и В минуют друг друга) и Q, происшедшими вне одномерной вселенной (не взыщите строго за «вселенную» с событиями, происходящими вне ее).

Рис. 24.2—>зто не пространственно-временная диа

грамма, а скорее «моментальный снимок», на котором запечатлены уже происшедшее событие Q и ситуация в одномерной вселенной KL в тот самый момент времени, когда, по мнению наблюдателя А, произошло Q. Пусть R ——событие в одномерной вселенной, происшедшее, с точки зрения А, одновременно с Q, и пусть отрезок RQ перпендикулярен KL. Докажите, распространив на наш случай изложенное в п. 2.22, что, с точки зрения наблюдателя В, события Q и R тоже произошли

одновременно.

Рассмотрим еще двух наблюдателей С и D, неподвижных относительно А и В соответственно и минующих друг друга в момент события R. Мы можем доверять нашему жизненному опыту (накопленному в мире малых скоростей), когда он говорит, что покоящиеся относительно друг друга наблюдатели единодушны по поводу одновременности событий. Поэтому С согласит-

ся с наблюдателем А, что события Q и R одновременны. Тогда из п. 2.22 следует, что наблюдатель D, так же как и неподвижный относительно него наблюдатель В, будет такого же мнения об этих событиях, что и требовалось доказать. Докажите с помощью п. 2.27, что мнения наблюдателей А и В о расстоянии между R и Q совпадают.

Рис. 24.2.

Снабдим наблюдателей С и D стержнями, и пусть в момент, когда они поравнялись друг с другом, эти стержни протянулись от R к Q, т. е. перпендикулярны направлению относительного движения. Тогда возникает ситуация, рассмотренная в конце гл. 2. А из сказанного там следует, что С и D должны считать длины стержней одинаковыми. Используя их как меры длины, наблюдатели С и D придут к согласию и по поводу расстояния между R и Q. И наконец, еще одно обращение к тому, что нам известно о покоящихся относительно друг друга наблюдателях, показывает, что мнения А и В тоже совпадут. Обозначим расстояние между Q и R буквой У.

Однако наблюдатели А и В не будут единодушны по поводу расстояний от О до Q и R. Расстояние между О и R относительно А такое же, как и расстояние от А до R, согласно наблюдателю А (ср. с п. 12.5). Обозначим это расстояние буквой X. и пусть D — расстояние от О до Q относительно А. Тогда из теоремы Пифагора (п. 3.15М) следует

D^X^Y\(24.1)

Аналогично, если х и d—соответственно расстояния между О и R и между О и Q относительно В, то

卢=炉+y2.(24.2)

Пусть время, прошедшее между событиями О и Q, равно Т по измерениям наблюдателя А и / по измерениям В. Поскольку оба наблюдателя считают, что события Q и R произошли одновременно, те же значения времени соответствуют и событию R.

Интервал между событиями О и R, происшедшими в одномерной вселенной, будет одинаков для обоих наблюдателей—А и В (п. 12.15). Из формулы (12.7) следует, что

X* = f2-炉.

Вычитание величины У2 из обеих частей этого равенства дает

「2 —Х& —H=f2 —炉—у2.

Учитывая, что последовательное вычитание двух величин приводит к тому же результату, что и вычитание их суммы, получим

72 —(X2 + R) = /2—(炉+У)

откуда, используя формулы (24.1) и (24.2), найдем 「2—02=/2 —d2.

Другими словами, наблюдатели А и В придут к согласию в отношении величины, называемой интервалом и определенной как в п. 12.15.

Все сказанное легко обобщить на случай, когда наблюдатели, скажем Ai и В^ не движутся вдоль одной прямой и не присутствуют вместе ни при одном событии. Для этого достаточно рассмотреть наблюдателей А и В, неподвижных относительно Ai и Bi и присутствующих при событии О. Поскольку каждый из них движется относительно другого вдоль прямой (п. 5.6) и они вместе присутствуют в О, они должны двигаться вдоль одной прямой, которую мы обозначим KL.

Мнения покоящихся относительно друг друга наблюдателей по поводу интервала совпадают, ибо они единодушны как по поводу промежутка времени, так и по поводу расстояния. Значит, мнения наблюдателей Ai и Bi совпадают с мнением А и В в отношении интервала (п. 24.4). Таким образом, инвариантность интервала, определенного как в п. 12.15, распространяется на инерциальных наблюдателей и события в четырехмерном пространстве- времени.

Теперь вернемся в одномерную вселенную, но будем помнить, что можем в любой момент перейти к трехмерному случаю.

Вспомните близкую аналогию между расстоянием и интервалом (п. 12.19, а также пп. 11.17—11.21). Они являются инвариантами в геометрии на плоскости и в геометрии пространства-времени соответственно (пп. 11.20 и 12.15). Как уже говорилось, геометрия полностью характеризуется своим инвариантом (пп. 12.21 и 12.22).

Термин «пространство-время» в специальной теории относительности означал пространство-время без тяготения (п. 5.5). Но отныне тяготение будет нас интересовать все больше и больше. Одна из самых гениальных идей Эйнштейна привела к предположению, что пространство-время вселенной с тяготением должно отличаться от пространства-времени специальной теории относительности, или что их геометрии должны быть различны. Что будет характеризовать эту новую геометрию?

Иная связь между инвариантом и координатами. Обычно эта связь будет выражаться приближенной формулой, а не точной зависимостью (12.7), как в специальной теории относительности. Выразим последнее утверждение через приращения 3 (пп. 21.39м и 21.40М).

. Как отмечалось в п. 21.40М, 6/, 5х и подобные им величины следует рассматривать как единый символ, обозначающий приращение рассматриваемой величины. Отсюда следует весьма важное соглашение:

б/2 означает «квадрат приращения 3/》 (аналогично б/, 5^2 и любые другие приращения), а не «приращение величины /》.

С учетом этого соглашения выразим через б формулу для интервала в специальной теории относительности. Рассмотрим событие Q (рис. 24.8), которое для наблюдателя А произошло в момент Т и на расстоянии X от него, а также событие Q', которое произошло в момент Т + 6Т и на расстоянии Х + 8Х. Тогда 5Т — это промежуток времени между Q н Q‘, а 6Х — расстояние между ними. Поэтому если интервал между событиями Q и Q' обозначить через 5s, то из формулы (12.5) следует

(В дальнейшем мы ограничимся времениподобным интервалом; см. п. 13.22.)

. Интерпретация формулы (24.3) через приращения требует некоторой осторожности. Приращение ——это возрастание какой-либо величины (и. 21.38м). Очевидно, 5Т и 6Х — это приращения величин Т n X, они показывают, насколько увеличились Т и X при переходе от Q к Q'. Но, вообще говоря, нет такой величины s, для которой 6s было бы приращением.

Однако мы увидим, что во всех случаях, представляющих для нас интерес, существует подходящая величина s, для которой 6s может служить приращением. А пока не будет большого вреда, если 5s использовать в качестве своего рода «титула учтивости» для интервала между событиями Q и Q'.

Формула или приближенная формула для вычисления инварианта через приращения координат называется метрикой, поэтому геометрия полностью характеризуется метрикой (пп. 24.6, 12.21 и 12.22).

Итак, формула (24.3)—это метрика пространства-времени специальной теории относительности в одномерной вселенной. В геометрии на плоскости инвариантом является расстояние, и его снова можно обозначить символом 3s. Исходя из координат Т и X (пп. 11.10 и

, докажите, что метрика этого плоского пространства имеет вид

6s2 = 6T2+6X2.(24.4)

Для доказательства вполне годится рис. 24.8, если 7 и X интерпретировать по аналогии с п. 11.10. Тогда применение теоремы Пифагора (п. 3.15М; ср. с п. 11Л9М) приводит к формуле (24.4).

В формуле (24.3) метрика пространства-времени в отсутствие тяготения выражена через координаты инерциального наблюдателя. Теперь метрику того же пространства-времени можно выразить через координаты наблюдателя W, движущегося с постоянным ускорением. Для этого с помощью формул (22.27) и (22.28) преобразуем результаты измерений наблюдателя А в результаты измерений W. Подставляя в (24.3) вместо 6Т и 6Х правые части этих формул, получим

6s2 〜(1 + 拉)2 货2_ (1 + 拉)2阮2 ・(24.5)

При возведении в квадрат мы использовали тождество из п. 17.25М.

. Согласно полезной формуле приближенных вычислений, если величина у мала по сравнению с 1 ——столь мала, что у2 можно не учитывать, — то

(l+y)2^1 + 2j/(24.6)

(различие между знаками 《^》 и 《〜》 разъяснено в п. 20.17м). Для доказательства перерисуем рис. 13.12 и положим Ае = 1, а ЕВ = у. Тогда

ABCDАЕКН+EBFK+KGDH

(здесь содержится пренебрежимо малая ошибка из-за неучета площади квадратика KFCG, равной у2). Проверьте (таким же образом, как в п. 13.12М), что отсюда следует формула (24.6). Замена у на fx дает

(1+拉)2^ 1+2枕.(24.7)

Мы договорились (п. 22.20) рассматривать только такие ситуации, в которых величина fx очень мала по сравнению с 1. Поэтому можно с помощью формулы (24.6) заменить в (24.5) величину (1+fx)2 на i+2f%. В результате получится метрика

6s2 〜(1 + 2扭)也2— (1 + 2及)阮2(24.8)

пространства-времени без тяготения, приведенная к системе отсчета наблюдателя W. (См. также последнее предложение из п. 22.20.)

Выражение (24.8) более типично для метрик, с которыми мы впоследствии столкнемся. В нем вместо знака《=》стоит《〜》.Кроме того, в его правой части квадраты приращений каждой координаты умножены на выражение, содержащее одну из координат.

Проанализируем выражение (24.8). Есть событие Q, которое произошло на расстоянии х от W, и еще одно событие Q', которое произошло на время 6/ позже, чем Q, и на расстояние 6х дальше относительно W. Тогда интервал 3s между событиями Q и Q' определяется формулой (24.8). Все величины %, б/ и 6% измерены или вычислены наблюдателем W. Но интервал 6s — это инвариант. Выше мы доказали, что мнения всех инерциальных наблюдателей по поводу величины 6s совпадают: вычисления, проделанные в пп. 24.12——24.14, гарантируют, что наблюдатель W тоже согласится с ними.

. Обсудим смысл знака《〜》в этом контексте. Перечитайте пп. 20.20м и 21.42м. В последнем рассматриваются приближенные формулы, содержащие два приращения, но в (24.8)——три приращения.

При выводе метрики (24.8) использованы приближенные формулы (22.27) и (22.28). Из них следует, что можно получить сколь угодно точные формулы, выбрав достаточно малые значения 6/ в первой приближенной формуле и 6х ——во второй. Поэтому (24.8) означает, что формула, полученная из нее заменой 《〜》 на 《 =》，может быть сделана сколь угодно точной, если выбрать достаточно малые значения 5f и 5%. Надеюсь, у вас не возникнет затруднений, когда в дальнейшем, столкнувшись с приближенными формулами, содержащими более двух приращений, придется провести аналогичные рассуждения. Вот строгая формулировка:

когда приближенная формула содержит приращения нескольких величин, то относительную разность между ее левой и правой частями можно сделать сколь угодной малой (или отношение ее частей можно сделать сколь угодно близким к 1) выбором достаточно малых (но не равных нулю) значений всех приращений, которые могут изменяться независимо.

В этом контексте под словом «приращения» следует понимать и величины типа 3s, которым был присвоен «титул учтивости» (п. 24.9).

Для вывода (24.8) мы пользовались приближенными формулами (22.27) и (22.28), которые справедливы только при Т = 0, т. е. если Q, как в п. 22.16, лежит на оси расстояний наблюдателя А. Но независимо от того, когда произошло событие Q, в качестве А всегда можно выбрать подходящего инерциального наблюдателя, для которого Т = 0 (см. начало п. 22.16). Значит, приближенная формула (24.8) справедлива в любой момент времени.

В рассуждениях, которые привели нас к (24.8), мы дважды выполняли приближенные вычисления и выбирали fx, малое по сравнению с 1: первый раз, когда выводили (22.27) и (22.28) из (22.22) и (22.23), и второй раз, когда выводили (24.8) из (24.5). Поэтому такая форма метрики годится только тогда, когда величина fx столь мала по сравнению с 1, что можно забыть о погрешностях, вносимых этими приближенными расчетами. И мы должны проверять, так ли это, всякий раз, когда используются метрика (24.8) или какие-нибудь другие выражения, полученные из нее.

(Как быть, если f% =—期2? Это слишком большая величина, чтобы ею можно было пользоваться в наших приближениях. Но можно применять точные выражения (22.29) и (22.30).)

Затем мы доказали, что (24.8) — это метрика пространства-времени в отсутствие тяготения, каким его видит ускоренный наблюдатель W, т. е. приближенная формула, позволяющая выразить 5s через координаты в системе отсчета W. Придумайте другую интерпретацию.

Согласно принципу эквивалентности (пп. 23.8 и 23.12), выражение (24.8) можно с тем же успехом считать метрикой пространства-времени с однородным полем тяготения, предстающим перед наблюдателем W, который стоит на опоре, удерживающей его от присущего всем телам стремления к падению. Именно такая интерпретация в дальнейшем будет нас интересовать больше всего.

Обратите внимание, что теперь связь между 6s и приращениями координат зависит от расстояния % от наблюдателя — вверх или вниз относительно него. В метрике специальной теории относительности (24.3) связь между 6s и приращениями координат везде одна и та же.

. Пришло время подтвердить правомерность сделанного в п. 12.12М утверждения, что (—а)2 = а2. Так вот, его правомерность основывается на том, что у отрицатель-

ных величин должны быть такие свойства, чтобы к ним были применимы обычные правила арифметики. Например, тождество (16.10) должно быть верным как для отрицательных, так и для положительных величин. Поэтому, согласно (16.10),

*-(一a)2 = {b—(-a)}{ь+(—a)} =

пп. 15.23М и 15.24М

=(6+ a) (6-a)=

(16.10)

= Ь2—а2,

а это требует выполнения равенства (——а)2 = @2. Итак, квадрат величины не может быть отрицательным (п. 12.12М).

24.21М. В соответствии с этим корень квадратный (п. 13.4М) из а? может быть равен либо а, либо —а, так как квадраты обеих величин дают а?. Корень квадратный из любого числа или величины имеет два значения. У этих значений одинаковые абсолютные величины (п. 13.20М), но одно из них положительно, а другое — отрицательно.

Из утверждения, сделанного в п. 22.38, следует очевидный вывод: если % — расстояние до некоторого объекта в момент времени / и если 8x2^Udt2, где U не зависит от приращения 3力 то U — квадрат скорости.

Согласно сказанному в п. 12.23, для построения полной теории пространства-времени без тяготения, каким оно представляется инерциальным наблюдателям, достаточно знать метрику пространства-времени специальной теории относительности. Можно ли надеяться, что новая метрика (24.8) позволит узнать, как ведут себя тела в однородном поле тяготения?

Преследовать такую цель ——значит избрать для объяснения знакомого явления иной (более трудный!) путь. Попутно вам предстоит овладеть новыми приемами и, прежде чем переходить к незнакомым проблемам, попытать свои силы в решении знакомых задач.

Нетрудно объяснить поведение света в постоянном поле тяготения в одномерной вселенной, т. е. поведение световых сигналов, распространяющихся прямо 《вверх》 или «вниз». Если световой сигнал идет от события Q к событию Q', то интервал 3s между Q и Q' равен нулю. (В п. 13.24 это было доказано для инерциальных наблюдателей, а в п. 24.12 мы договорились, что интер-

вал должен быть одинаковым для W и для инерциальных наблюдателей.) Равенство 6s = 0 можно считать условием, характеризующим распространение светового сигнала. Значит, надо решить поставленную задачу, полагая 6s = 0 в (24.8).

. В результате такой операции получится

(1 +2扭)б/?—(1 + 2 扭)6炉〜0.(24.9)

Взгляните на определения из пп. 20.20м и 21.42м и подумайте, удовлетворяет ли вас соотношение (24.9).

Для краткости обозначим левую часть этого соотношения буквой У. Тогда разность между обеими частями равна У—0= У, а относительная разность равна либо У/У, либо У/0 (в зависимости от того, на какую часть соотношения (24.9) делить). Но относительная разность У/У= 1 и, значит, не может быть сделана сколь угодно малой выбором достаточно малых значений приращений. А У/0 ——деление числа, не равного нулю, на нуль — это бессмыслица. Проверьте самостоятельно, что (24.9) терпит неудачу и при попытке со- гласов'ания с определением в форме отношений. Значит, (24.9) как приближенная формула просто не имеет смысла.

При определенных условиях возможно приближенное уравнение, одна из сторон которого равна нулю, но нам такое уравнение не встретится. Поэтому нужно принять меры, чтобы не появлялись приближенные уравнения такого типа. Как это сделать в данном случае?

Прибавив к обеим частям (24.8) выражение (14-2fx) 6х2 (правомерность этого шага мы рассмотрим в п. 24.28м), получим

8s2+(l + 2fx)舐2 〜(1 + 2fx) &2.(24.10)

и только после этого положим 6s = 0, чтобы перейти к приближенному уравнению, описывающему распространение света. Оно будет иметь вид

(1 + 2及)舐2〜Q + 2枚)6户，

откуда (п. 21.11м) следует, что 5%2〜§/ Сделайте вывод.

Согласно п. 24.22 (при U=l), квадрат скорости света равен 1*. Значит (п. 24.21М), скорость света равна либо 1, либо —1 (если сигнал распространяется в отрицательном направлении, т. е. вниз). Таким образом, наблюдатель, покоящийся на опоре в постоянном поле тяготения, обнаружит, что свет, распространяющийся прямо вверх или вниз, имеет постоянную скорость — скорость, совпадающую со значением, измеренным свободно падающим (инерциальным) наблюдателем. (Если не ясна связь между наблюдателем на опоре и свободно падающим наблюдателем, то см. п. 23.12.) 24.27. Так и должно было получиться. Ведь в том способе, которым мы определили в п. 22.3 расстояние относительно наблюдателя W, уже было заложено, что скорость света относительно W должна быть равна 1 (ср. с пп. 7.10—7.13). Итак, мы продемонстрировали в одном очень простом случае, как, зная метрику, можно установить поведение какого-нибудь объекта.

К сожалению, этот пример настолько элементарен, что его простота может ввести в заблуждение. Но еще очень многое предстоит сделать прежде, чем мы сможем вывести что-нибудь другое. Однако он по крайней мере подсказывает основное направление, в котором мы должны следовать. В общих чертах можно сказать, что для решения задачи, связанной с тяготением, следует:

найти решение в рамках специальной теории относительности (в приведенном выше примере решение таково:

Скорость света = Постоянная величина = 1);

выразить это решение с помощью метрики (в нашем примере 6s = 0);

предположить, что решение, представленное в такой форме, остается в силе для любой метрики в гравитационном поле.

Эти туманные идеи по мере нашего продвижения вперед станут проясняться.

24.28м. Прибавление к обеим частям уравнения одного и того же числа или величины всегда является допустимой операцией (п. 9.12М). Однако прибавление одной и той же величины к обеим частям приближенной форму-

лы не обязательно дает другую приближенную формулу. Например, с помощью определений (пп. 20.20м, 21.42м) можно доказать, что если К ——постоянная величина, то 5%+К~25% + К, но результат вычитания из обеих частей этой формулы К, а именно 6%~26%, безусловно неверен (отношение частей равно 2). Значит, операцию сложения, которая привела нас от (24.8) к (24.10), следует обосновать.

Разность между правыми и левыми частями в обоих случаях одинакова и равна 6s2—(1 + 2fx)6/2 + + (1 + 2f%) 3%2. Поэтому относительная разность для (24.8) равна этой величине, деленной на 6s2, а для (24.10) —той же величине, деленной на сумму 6s? + + (l+2fx)8x2, которая больше первого слагаемого. Таким образом, относительная разность для (24.10) меньше, чем для (24.8).

Теперь вспомним, что смысл приближенной формулы (24.8) заключается в том, что соответствующая относительная разность может быть сделана сколь угодно малой выбором достаточно малых значений приращений 5/ и 3%. Но то же самое справедливо и для относительной разности, соответствующей приближенной формуле (24.10), поскольку она всегда остается меньше, чем в предыдущем случае.

25.1.25.1.25.2.25.2.25.3.25.3.

25.1.

25.1.

25.2.

25.2.

25.3.

25.3.

25

ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ

Как можно было бы применить процедуру, довольно расплывчато описанную в п. 24.27, для изучения движения свободно падающего (движущегося по инерции) тела в поле тяготения? Шаг 1: как инерциальное движение описывается в рамках специальной теории относительности?

Согласно сказанному в п. 5.6, это — прямолинейное движение с постоянной скоростью (относительно инерциального наблюдателя, с которым связана используемая нами система координат).

Шаг 2 (п. 24.27): этот ответ нужно выразить с помощью метрики. Сначала отдельно рассмотрим «прямолинейную» часть ответа и примем классическую точку зрения (наблюдателя, движущегося с малой скоростью), тогда можно не обращать внимания на частичную взаимозаменяемость пространства и времени. Тогда инвариантом будет ...

Разумеется расстояние (пп. 11.20 и 11.21). Выразите представление о прямой линии через расстояние: дайте определение, которое позволило бы выделить прямые линии из множества всех остальных линий.

Прямая линия, проведенная между двумя точками,—это кратчайшая из всех соединяющих их линий. Условимся вместо «длина кривой》говорить расстояние, измеренное вдоль кривой. Тогда можно рекомендовать следующий способ выделения прямых линий:

из всех линий, соединяющих две точки, прямая линия——единственная, вдоль которой расстояние между этими точками минимально,

т. е. имеет наименьшую величину, или кратчайшее.

Чтобы пользоваться этим способом, нужно знать, как измерить расстояние вдоль кривой. Мы не можем применять гибкую мерную ленту (рулетку, сантиметр и т. п.), так как не известно, сохраняется ли их длина неизменной. Мы определяем расстояние радиолокационным методом (п. 7.13). С него и следует начинать (или, может быть, с жесткого измерительного стержня; п. 7.17). Но эти методы позволяют измерять расстояния только вдоль прямых линий.

Если кривую разделить, как на рис. 25.3, на отрезки PQ, QR и RS, то можно сказать, что сумма прямолинейных расстояний от Р до Q, от Q до R и от R до S дает приближенное значение расстояния, измеренного вдоль кривой. Это приближение, очевидно, можно сделать сколь угодно точным, выбрав достаточно короткие отрезки. Здесь нам снова понадобятся приближенные равенства.

Рис. 25.3.

Сосредоточим внимание на одном отрезке PQ (рис. 25.4). Если s ——расстояние, измеренное вдоль кривой от некоторой заданной начальной точки О, то расстояние вдоль кривой от Р до Q будет приращением s, которое мы обозначим 5s. И пусть st — расстояние от Р до Q вдоль прямой. Почему я обозначил это расстояние Si, а не 6si?

Потому что длина прямолинейного отрезка PQ не является приращением какой-то величины. Точнее, она не является приращением ни одной из переменных величин, имеющих отношение к рассматриваемой задаче (хотя она может быть приращением, например, длины измеряемой вдоль прямой KL, которая к делу не от-

носится). Для различных ситуаций, с которыми мы вскоре встретимся, это различие существенно, поэтому обсудим его подробнее.

Рис. 25.4.

. Представьте себе точку, которая, выйдя из О и двигаясь равномерно вдоль кривой, проходит через Р, Q, R, .... Ясно, что расстояние, измеренное вдоль кривой от О до этой точки, равномерно возрастает. При перемещении из Р в Q s возрастает на расстояние PQ, измеренное вдоль кривой. Значит, PQ — приращение s. Аналогично расстояние QR, измеренное вдоль кривой, ——это увеличение расстояния s в результате перемещения точки из Q в R. Расстояние PR вдоль кривой —это тоже приращение. По ходу отметим одно важное свойство приращений: сумма двух приращений, следующих непосредственно друг за другом, — это тоже приращение，разумеется большей величины.

Однако сумма длин прямолинейных отрезков PQ и QR не равна длине прямолинейного отрезка PR. Значит, нет такой непрерывно возрастающей величины, для которой длины этих трех отрезков могли бы служить приращениями.

Изучив рис. 25.4, мы можем утверждать, что

3s 〜s>(25.1》

Это приближенное равенство верно, поскольку просто говорит (ср. с п. 25.3), что расстояние 6s вдоль кривой приблизительно равно длине прямолинейного отрезка Sj и что, выбирая Q достаточно близко к Р, можно сделать приближение сколь угодно хорошим (более точные определения см. в пп. 20.20м и 21.42м).

Решая конкретную задачу, можно было бы найти способ вычисления st для каждого отрезка. Это дало бы приближенное значение соответствующего приращения 5s. Такой расчет для всех отрезков и последующее сложение получившихся результатов дали бы приближенное значение всего расстояния вдоль кривой. Выбором достаточно малых отрезков можно сделать его сколь угодно близким к истинному значению. Вот так выглядит метод вычисления 《с какой угодно точностью» расстояния, измеренного вдоль кривой. Процесс вычисления очень напоминает то, что мы делали в пп. 20.22—20.25. Просмотрите еще раз эти параграфы, а затем начните с п. 25.3.

Когда мы, не делая никаких оговорок, толкуем о расстоянии между двумя точками, то имеем в виду расстояние, измеренное вдоль проведенной через них прямой. Точно так же, когда без всяких оговорок говорится об интервале между двумя событиями в пространстве-времени, имеется в виду интервал, измеренный вдоль прямой мировой линии, т. е. интервал, задаваемый метрикой (24.3), записанной в координатах, связанных с системой отсчета инерциального наблюдателя. Но можно говорить и об интервале между двумя событиями, измеренном вдоль мировой линии ускоренного наблюдателя, присутствующего при обоих событиях, т. е. о пространственно-временном аналоге расстояния, измеренного вдоль кривой. Метод его вычисления совершенно аналогичен описанному выше.

Будем рассматривать кривую OPQR на рис. 25.4 как мировую линию ускоренного наблюдателя D. Теперь Si будет означать интервал между событиями Р и Q, измеренный вдоль прямой мировой линии. Заметь-

те, что si снова не является приращением. А вот s означает интервал, отмеренный вдоль криволинейной мировой линии от события О, а значит, интервал 5s между Р и Q вдоль той же мировой линии ——это приращение s.

Таким образом, Si — это приближение к 6s： которое можно сделать сколь угодно хорошим, выбирая Q достаточно близко к Р. Другими словами, приближенное равенство (25.1) выполняется и тогда, когда в s； и 6s вкладывается этот новый смысл. Поэтому можно найти приближенное значение полного интервала вдоль криволинейной мировой линии, скажем от О до R, разбив ее на отрезки, положив величину 5s для каждого отрезка равной Si и затем сложив все приращения. Метод в точности такой же, как в пп. 20.22——20.25, а небольшое изменение, введенное, чтобы приспособить п. 20.25 к данному случаю, показывает, что, выбирая достаточно малые отрезки, можно сделать приближение сколь угодно хорошим.

В дальнейшем мы неоднократно будем использовать метрику для вычисления интервала вдоль мировой линии (или линии сигнала). Значит, 5s ——это отныне приращение, и проблема, описанная в п. 24.9М, решена.

Но формула (24.3) относится к интервалу, измеренному вдоль прямой мировой линии, и там 6s ——это как раз то, что мы в п. 25.7 обозначили через s；. Поэтому теперь (24.3) следует переписать в виде s/2 = 6T2——ЗАЛ и подстановка в (25.1) дает

6s2 〜ЗТ2—6Х2.(25.2)

Это более предпочтительная форма записи метрики в специальной теории относительности, чем (24.3). Все другие метрики также всегда должны даваться приближенными формулами, так что этот вопрос больше не должен возникать.

Метрика в форме (25.2) годится и для четырехмерного пространства-времени с тремя пространственными измерениями плюс время, если ЗХ интерпретировать как расстояние между событиями Р и Q, а не просто как приращение некоторой координаты X. При необходимости это расстояние в свою очередь можно выразить через приращения пространственных координат.

Пусть кривая на рис. 25.4 по-прежнему мировая линия наблюдателя D, и пусть 6f — время, измеренное по его часам между событиями Р и Q. Как связаны между собой 6s и 6/?

Перечитайте п. 13.22 и еще раз попытайтесь ответить на этот вопрос.

Если бы наблюдатель был инерциальным, то 6s = 6/. Поэтому можно было бы предположить, что такая же связь между этими величинами должна иметь место во всех случаях. Попробуем это доказать.

Пусть ti — время, прошедшее между событиями Р и Q по часам инерциального наблюдателя Е, присутствую-

Рис. 25.10.

щего при них обоих. На рис. 25.10 вместо интервалов отмечены промежутки времени, а прямая KL является теперь мировой линией наблюдателя Е. Обратите внимание, что 6f — это приращение (какой величины?), a h — нет. Как связаны s» и 力？

Согласно сказанному в п. 13.22,

(25.3)

А какова связь между 3/ и 力？

Из дополнительного предположения (п. 20.19; / нужно заменить на 5f) следует

&〜％・(25.4)

Что получится, если скомбинировать (25.1), (25.3) и (25.4)?

Если в соответствии с (25.3) заменить %• в (25.4) на Sj, то получится приближенное равенство St〜6/, которое вместе с (25.1) при учете теоремы из п. 21.10м дает

6s 〜6/,(25.5)

25.11.25.11.а не 5s = 5/, как мы надеялись. Какое разочарование! Но еще не все потеряно. Вспомните, в чем смысл приближенных равенств (пп. 20.20м, 21.42м), и просмотри-

25.11.

25.11.

Рис. 25.11.Рис. 25.11.

Рис. 25.11.

Рис. 25.11.

те пп. 21.20—21.22, заменив в них k{—Ло и 『介——ff0 на 8k и 5(/々)соответственно. В результате выяснится следующее: приближенное равенство (25.5) утверждает, что, полагая приращение 6s = 3% мы вводим относительную погрешность, которую можно сделать сколь угодно малой выбором достаточно малых значений 6f. В п. 21.22 приведен пример метода, позволяющего определить эту погрешность путем разбиения каждого шага на более мелкие, в данном случае путем разбиения приращения 5/. Можно перейти от события Р к Q,

сделав два последовательных шага по У2б/ (рис. 25.11), а не один шаг, равный 6Л Пусть 6si — приращение величины s на первом из более мелких шагов, т. е. оно показывает, насколько возросла величина s, когда t увеличилось на 1/26九 И пусть bs?——это приращение величины s на втором мелком шаге. Тогда применение к каждому из этих шагов формулы (25.5) дает 3sl 〜％5/ и 6s2〜寸26t. Значит, приближенно верно, что

6s1 = %6/ и 6s2 = %М(25.6)

Но 65 = 6siH-6s2 (это ——важнейшее свойство приращений, отмеченное в п. 25.5м). После подстановки сюда значений из (25.6) снова получим, что приближенно 6s = 6/. Итак, результат наших приближенных вычислений совершенно одинаков независимо от того, производим ли мы их с помощью одного шага или нескольких мелких шагов. Легко проверить, что, как бы мы ни делили первоначальный шаг на все более мелкие, вывод будет всегда один и тот же, а именно: более точное приближение к истине по-прежнему имеет вид 6s = 6/.

Значит, всегда можно получить приближенно верное равенство, заменив《〜》на《 =》. Выбирая достаточно малые приращения, можно добиться, чтобы это приближение было сколь угодно точным, о чем и говорит знак《〜》.Однако, когда мы берем все более мелкие шаги, оказывается, что в результате всегда получается одно и то же приближенно верное равенство: 6s = 5/. Какой отсюда следует вывод?

Считать соотношение 6s = б/ точным равенством. Ведь выбирая достаточно малые шаги, можно добиться, чтобы оно выполнялось сколь угодно точно, так как оно уже выполняется с какой угодно степенью точности. Если этот довод не совсем ясен, перечитайте пп. 22.26——22.30м, в которых содержатся сходные рассуждения, а затем продумайте все еще раз. В результате вы наверняка убедитесь, что, исходя из приближенного равенства 6s 〜6/, можно в конце концов получить точное равенство 5s = 3%.

25.12м. Первая основная теорема (п. 22.30м) тоже гласит, что при определенных условиях знак《~》можно заменить на 《 =》. Она относится к величинам, связанным знаком 《〜》，значения которых не зависят от приращений. Приближенное равенство (25.5) также имеет характерную особенность, хотя и другого рода: величины, которые оно связывает знаком 《~》,—это собственно приращения. Приближенная формула (12.20) не удовлет-

воряет этому критерию, так как наряду с приращениями 5/ и бй содержит величину k. Всегда ли приближенную формулу, содержащую только приращения, можно заменить точной формулой? Ответ на этот вопрос дает 25.13м. вторая основная теорема:

если переменные величины у и 2 связаны между собой таким образом, что всегда справедлива приближенная формула

М〜&(25.7)

(т. е. она выполняется для приращений начиная с любого значения у и соответствующего ему значения 2), ТО

6y = 3z,

У—Po = Z—No,

где 勿 и а — одна пара соответствующих значений У и 2, и

4 = 2 +。，

где а —' постоянная величина.

Хорошенько запомните: это имеет место потому, что в приближенную формулу (25.7) входят только приращения. Мы уже знаем, что в приближенных формулах типа (21.20) нельзя заменить знак 《〜》 на 《 =》.

25.14м. Докажите (1) из п. 25.13м.

Я давал аналогичное задание в п. 22.30м.

В п. 25.11 не указывалось, что собой представляют s и / (или их приращения). Это могут быть любые две величины. Поэтому, заменив 6s на бу и 3/ на 6z, вы получите требуемое доказательство.

Вывод (2) из п. 25.13м — это вывод (1), переформулированный в такой форме, когда приращения записываются более примитивным способом, которым мы пользовались в гл. 21, прежде чем ввели обозначение 《5》. Наконец, если к обеим частям равенства (2) прибавить уо, то получится y = z + yQ—г0, откуда, обозначив разность %—2о буквой а, мы приходим к (3). Доказать вторую основную теорему довольно просто.

. Почему я старался в пп. 25.4, 25.5м, 25.7 и 25.10 подчеркнуть, что Si и ti нельзя считать приращениями?

Если бы величина 力 была приращением, то применение второй основной теоремы к (25.4) дало бы равенство 6/ = 6, а это противоречит всему, что мы узнали об отсутствии всеобщего времени, о парадоксе космических близнецов и т. д. В этом случае мы лишились бы главного аргумейта, на котором основывалось до<

казательство второй основной теоремы, так как он опирался на свойство суммы следующих непосредственно друг за другом приращений (п. 25.5м). Величины же, подобные //, при разбиении одного шага на два этим свойством не обладают (снова три хронометра!).

Теперь вернемся к поискам связи между временем, прошедшим по часам наблюдателя, и интервалом, измеренным вдоль его мировой линии (пп. 25.9—25.11), и завершим их. Если начала отсчета величин s и 力 совпадают (точка О на рис. 25.4 и 25.10), то соответствующие начальные значения этих величин будут So = O и % = 0. Поэтому, применяя к (25.5) вывод (2) второй основной теоремы, получим, что s = /. Другими словами,

интервал, измеренный вдоль мировой линии наблюдателя, равен времени, измеренному по его часам.

(Таким образом, инструмент для измерения времени' подобного интервала — это часы.)

Мы изучаем структуру со сложными взаимосвязями» Поэтому вспомним, что сейчас наша главная задача —— найти способ описания инерциального движения в специальной теории относительности с помощью метрики (п. 24.10). В п. 25.2 мы привели чисто пространственный аспект решения этой проблемы, но только в каче^ стве иллюстрации. Теперь займемся решением полной задачи в пространстве-времени. Ответ очевиден, если вспомнить одну деталь из того, что мы изучали раньше. Какая характерная особенность, выраженная через интервал, отличает инерциального наблюдателя от ускоренного?

Скомбинируйте вывод, к которому мы пришли в п, 20.28 (в первоначальной форме), с выводом из п. 25.16. Вы установите, что

из всех наблюдателей, присутствующих при двух событиях, инерциальный наблюдатель ——это тот, интервал вдоль мировой линии которого между этими событиями максимален

(т. е. наибольший, ср. с п. 25.2).

Сравните этот вывод с п. 25.2. Сделанный там вывод —— это способ выделения прямой из множества линий, соединяющих две точки, а наш последний результат —— это способ выделения инерциального наблюдателя из множества наблюдателей, присутствующих при двух

конкретных событиях. Они очень похожи, только в одном требуется, чтобы инвариант был минимален, а в другом — максимален.

Из (25.2) следует, что наибольшее значение интервала достигается при наименьшем расстоянии. Поэтому, когда мы говорим, что движению по инерции соответствует максимальный интервал, при этом автоматически учитывается прямолинейный характер этого движения.

Инвариантность интервала и утверждение о максимальности времени инерциального наблюдателя остаются в силе и в четырехмерном пространстве-времени (пп. 24.5, 25.8 и 20.28). Значит, в нем справедлив вывод о максимальности интервала вдоль мировой линии инерциального наблюдателя (п. 25.17). (О мировой линии в 3+1-мерном пространстве-времени см. п. 20.30.)

С другой стороны, это свойство инерциального движения установлено нами исключительно для тех ситуаций, когда применима специальная теория относительности, т. е. отсутствует тяготение и используется система координат какого-нибудь инерциального наблюдателя, так что метрика имеет вид (25.2). Однако это свойство выражено только с помощью метрики, значит, сказанное в п. 24.27 вселяет надежду, что оно будет в силе даже в тех случаях, когда тяготение при- поднесет нам более сложную геометрию с более сложной метрикой. Тогда в наших руках окажется метод, позволяющий изучать инерциальное движение ——свободное падение ——в присутствии тяготения.

Чтобы проиллюстрировать эту мысль, рассмотрим возможность аналогичного обобщения критерия «минимальности расстояния», позволяющего отбирать прямые линии в обычном пространстве. Для простоты рассмотрим двумерное пространство. Если это обычная плоскость, то метрика определяется формулой (24.4). Это как раз тот случай, когда применим критерий минимальности расстояния (п. 25.2).

Но ведь поверхность сферы — это тоже двумерное пространство (постарайтесь не думать о трехмерном пространстве, в которое она погружена). Как сказано в п. 12.21, геометрия сферической поверхности — это набор правил работы с измерениями на этой поверхности, проделанными безотносительно к чему бы то ни было вне ее. Или более образно: это геометрия, которую обнаружили бы существа, живущие на сфериче-

ской поверхности и не осознающие существования чего-то иного вне ее.

На этой поверхности уже нельзя построить прямоугольную систему координат, как на рис. 24.8. Если не верите, попробуйте нанести такие координаты на апельсин. Наряду с прочими затруднениями вы столкнетесь с тем, что оси X и 7 пересекаются дважды. Однако можно ввести другую систему координат, например используемые в географии широту и долготу. Одному градусу широты соответствуют ПО км вдоль меридиана. А вот переводной коэффициент от градусов долготы к километрам зависит от широты ——на экваторе одному градусу долготы соответствует 110 км, а на широте Лондона 70 км. Поэтому метрика теперь будет сложнее, чем (24.4). В подходящей системе единиц ее можно представить в следующем виде:

6s2 〜6 (широта)2+(Переводной коэффициент) х

X 6 (долгота)2,(25.8)

где переводной коэффициент зависит от широты.

На поверхности сферы нет прямых линий. Что же получится, если в этом случае применить критерий минимальности расстояния? В математическом отношении ——это довольно сложный вопрос, поэтому ответим на него экспериментально. Воткните в апельсин две булавки и натяните между ними резинку так, чтобы она плотно прижималась к поверхности апельсина. Резинка наметит кратчайшую кривую, соединяющую основания булавок.

Оказывается, что эта кратчайшая кривая ——часть так называемого большого круга ——линии пересечения плоскости, проходящей через центр апельсина, с его поверхностью. Эта кривая оправдывает свое название, так как представляет собой наибольшую окружность из тех, что можно провести на поверхности сферы. Или, что больше подходит для наших целей,——это траектория муравья, ползущего все время прямо вперед по поверхности апельсина. Значит, эта траектория наипрямейшая из всех возможных.

На поверхности сферы нет прямых линий. Но критерий минимальности расстояния дает наипрямейшую из существующих на ней кривых. По-видимому, это перспективный метод.

К такому выводу можно было бы прийти и в результате вычислений. Вообразите, что кривая, изображенная

на рис. 25.4, проведена на поверхности сферы. Зная координаты крайних точек Р и Q отрезка этой кривой, можно с помощью метрики (25.8) вычислить приращение расстояния 6s (и поскольку эта метрика уже содержит знак 《〜》,не следует беспокоиться из-за различия между 6s и st). Тогда способом, описанным в пп. 25.3——25.6, можно найти расстояние вдоль кривой от точки О до R. Затем можно сравнить расстояния между этими точками, измеренные вдоль различных кривых, и доказать, что кратчайшая из них ——это отрезок большого круга.

Точно так же, если метрика пространства-времени более сложная, чем (25.2), то, применив метод, изложенный в п. 25.7, можно рассчитать интервал между двумя событиями вдоль любой мировой линии, проходящей между ними, а затем выбрать мировую линию, для которой этот интервал максимален. В п. 25.19 была выражена надежда, что это по-прежнему должна быть мировая линия инерциального, или, что то же, свободно падающего наблюдателя.

Это не более чем разумная догадка (и мы должны быть готовы к тому, что факты могут ее опровергнуть). Мы выяснили, что, когда метрика пространства имеет более сложный вид, чем (24.4), критерий минимальности расстояния дает естественное и полезное обобщение представления о прямой линии. Можно также надеяться, что критерий максимальности интервала —— это столь же естественная характеристика свободного падения, не зависящая от вида метрики рассматриваемого пространства-времени.

Снова вернемся к воображаемым существам из п. 25.20, чье представление о внешнем мире ограничено происходящим на поверхности сферы. Эта поверхность была бы всем их пространством, а их пространством-временем были бы поверхность сферы плюс время ——назовем его для краткости пространством- временем S-типа. Такому пространству-времени соответствовала бы метрика: 6s2 ^ б/2—[Правая часть формулы (25.8)]. Как инерциальное движение выглядело бы в пространстве-времени S-типа?

Максимальность интервала требует минимальности расстояния (довод в пользу этого утверждения такой же, как в □. 25.18, хотя формула для определения рас-

стояния стала сложнее). Поэтому (отвлекаясь от вопроса о скорости), согласно нашему критерию максимальности интервала (пп. 25.19 и 25.23), пространственная траектория любого объекта, движущегося по инерции в пространстве-времени S-типа, должна совпадать с кривой, расстояние вдоль которой минимально. Это, как мы знаем, большой круг (пп. 25.21, 25.22).

Подтверждается ли это экспериментом?

Со стороны движение по инерции в пространстве- времени S-типа выглядело бы как движение тела, вынужденного перемещаться по поверхности сферы, но не испытывающего воздействия каких-либо сил. Отличное приближение такого движения можно получить, раскрутив веревку, к концу которой привязан какой- нибудь груз, причем крутить ее нужно так быстро, чтобы влияние тяготения на движение этого груза можно было считать незначительным. По какой траектории будет двигаться этот груз?

В идеальном случае (поскольку он, по всей вероятности, будет двигаться недостаточно быстро)——по большому кругу. Таким образом, критерий максимальности интервала позволяет получить правильный ответ при изучении чисто пространственных аспектов движения по инерции в пространстве-времени S-типа. Это довольно тривиальный пример; но как бы там ни было, он подкрепляет наше предположение, что критерий мировой линии, вдоль которой интервал принимает наибольшее значение, позволяющий выделить из всевозможных движений инерциальное движение, остается в силе даже в тех случаях, когда метрика сложнее, чем (25.2).

В данном случае более сложная метрика возникла потому, что мы выбрали конкретное двумерное пространство, «вырезанное» из обычного трехмерного пространства. Не исключено, что такие аналоги подкрепляют нашу надежду на то, что критерий максимальности интервала применим и в тех ситуациях, когда усложнение метрики обусловлено тяготением, подобно метрике (24.8), интерпретированной как в п. 24.19, или в более важных примерах, которые мы рассмотрим ниже.

. Чтобы выделить прямую линию, инвариант должен принимать минимальное значение, а чтобы выделить мировую линию тела, движущегося по инерции, — максимальное. Оба требования удобно объединить одним термином — «экстремальное значение», синонимом фразы 《либо максимальное, либо минимальное значение».

Поэтому критерии выделения прямых и мировых линий инерциальных наблюдателей (пп. 25.2, 25.17) можно было бы переписать так, чтобы они оба оканчивались словами: «... имеет экстремальное значение». 25.27м. Кривые, вдоль которых инварианты принимают экстремальные значения, называются геодезическими. Если договориться, что точка в пространстве-времени означает событие, а кривая — мировую линию или линию сигнала, то можно дать следующее определение:

геодезической называется единственная из всех кривых, соединяющих две точки, вдоль которой инвариант принимает экстремальное значение*.

Пусть пока это экстремальное значение отлично от нуля. Тогда кривая называется обыкновенной геодезической, так что в пп. 25.2, 25.17 и 25.21 мы встречались с обыкновенными геодезическими.

В большинстве случаев можно не беспокоиться о том, является ли это экстремальное значение максимальным или минимальным. Когда потребуется, мы вспомним, что первое соответствует пространству-времени, а второе — пространству.

Нашу надежду на критерий максимальности интервала как на средство, позволяющее при любых условиях распознать движение по инерции, или свободное падение, можно теперь выразить с помощью геодезических. Дадим строгую формулировку:

Гипотеза геодезичности

Даже в присутствии тяготения, делающего метрику более сложной, чем (25.2), мировая линия тела, движущегося по инерции (свободно падающего),—— это обыкновенная геодезическая.

Еще раз бегло просмотрев п. 24.27, вы увидите, что теперь у нас есть четкая программа изучения свободного падения тел в поле тяготения. Но, чтобы эта программа имела практическую ценность, нужно уметь определять, которая из кривых является геодезической, когда задана метрика исследуемого пространства-времени с полем тяготения. Обучению этой премудрости будет посвящена вся следующая глава.

♦ В нашем изложении мы ни разу не встретимся более чем с одной геодезической, проходящей между двумя точками. Но это возможно в других ситуациях, и тогда потребуется определение более общего характера.

26

КАК НАЙТИ ГЕОДЕЗИЧЕСКУЮ

М. Это трудная глава, зато предварительные замечания просты. С помощью тождества (16.10) получим

(х— Ь)2— b2= (х—Ь—Ь) (х—&+^) = (%—2Ь) х.

Поменяв местами правую и левую стороны и применив правило из п. 16.12М, найдем

х2 一 2 枕=(% — b)2—們(26.1)，

Поскольку это равенство получено из тождеств, оно также является тождеством (п. 16.9М), т. е. выполняется для любых х и Ь.

М. При каких значениях х выражение х2—2b% экстремально (величина b остается постоянной)? Квадрат разности (х——b)2 в (26.1) не может быть отрицательным (п. 24.20М), значит, его минимальное значение равно нулю, а достигается оно при % = Ь. Выражение 工2—2bx отличается от (х——й)2 только на постоянную величину 匕2, поэтому оно также минимально при х = Ь.

В то же время эту величину можно сделать сколь угодно большой, беря достаточно большие значения %. Значит, у нее есть единственное экстремальное значение —> минимум при х = Ь.

М. Теперь рассмотрим более общее выражение тх2—2及％, где тип ——постоянные. Его можно записать в виде (п. 16.12М)

т(х2—2пх/т),

Тогда из сказанного в п. 26.2М (при b = 〃/m) следует, что

тх?—2пх имеет экстремум при х = п/т.

(Будет ли это минимум или максимум, зависит от того, является ли величина т положительной или отрицательной соответственно.)

М. Задача, к решению которой мы приступаем, — найти геодезическую, если задана метрика, — это, как ни печально, труднейшая математическая задача из всех, которые нам до сих пор встретились, и даже, может быть, самая сложная во всей книге. Дело в том, что ее

решение начиная отсюда и до п. 26.23 состоит из единой цепи рассуждений. Вы, возможно, не привыкли к столь длительной и непрерывной аргументации, но здесь я бессилен. Например, было бы немного проку от нескольких разделов, содержащих формулировки различных математических положений, как я делал выше. Это лишь удлинило бы и без того длинную цепь рассуждений и затруднило бы их восприятие как единого целого. Напротив, мне придется по возможности сокращать рассуждения, более полно используя лаконичность языка математики.

Поэтому настройтесь на более долгие размышления над каждой фразой, чем до сих пор (п. 16.23). Если вам не удастся с ходу уловить смысл той или иной формулы, расшифруйте входящие в нее символы так, чтобы она стала ясной. Изредка вам придется, как в самом начале книги, прочитать формулу целиком в развернутом виде. Например, посмотрите на формулу (26.9); неважно, что означают величины ор и oq, но вот 庆 ——это постоянное число. Нетрудно догадаться: значит, (1/К+1)——тоже постоянная величина, и из формулы следует, что квадрат суммы op + oq пропорционален (п. 15.3М) Ко2P+ 砲.А теперь посмотрите на формулу (26.12). На первый взгляд это что-то ужасно сложное, но если посмотреть повнимательнее, то прекрасно видно, что выражение Ко2P + о% можно представить в виде суммы большого числа отдельных членов, каждый из которых довольно прост. Затем можно узнать о каждом члене именно то, что нужно.

Для начала не слишком вникайте в подробности, а постарайтесь понять общую идею этой длинной цепи рассуждений. Чтобы вам помочь, я избрал своеобразную форму изложения. Исходная задача для нас слишком трудна, поэтому будем стараться ее упростить. Но она по-прежнему сложна, и мы снова и снова будем ее упрощать. После четвертого упрощения получается задача, которую мы способны решить. А затем шаг за шагом мы будем отказываться от упрощений.

Очень важно не увязнуть в деталях, поэтому в тех местах, где есть опасность, что попытка вникнуть в неясную деталь может увести в сторону от самого главного, я просто писал: «Можно доказать, что ...»— и давал ссылку на более поздний раздел. Прочтя его впоследствии, вы убедитесь в справедливости такого заявления. Итак, концентрируя внимание на общем

плане, а не на деталях, продолжайте читать вплоть доп. 26.27М, где вам будет дан еще один совет.

. Рассмотрим пространство или пространство-время с тремя координатами: х, у и z. Они могут обозначать расстояния, или время и расстояния, или результаты любых других измерений, позволяющих точно задать точку или событие. Такого рода неопределенность придаст дальнейшим рассуждениям большую гибкость.

Когда дело дойдет до применения полученных результатов, две из этих координат будут обычно рассматриваться как пространственные, а одна как координата времени. Пока для простоты будем считать х, у и z тремя пространственными координатами и даже представим их себе как расстояния от пола и двух стен в комнате. Попробуйте вообразить, что какая-то неведомая сила искривила геометрию и теорема Пифагора требует модификации.

. Инвариант, как обычно, будем обозначать буквой s_ В зависимости от обстоятельств его можно интерпретировать либо как расстояние, либо как интервал. Метрику запишем в следующем виде (для придания рассуждениям большей гибкости):

3s2〜a舐2+眺2+侬2.(26.2>

где греческие буквы а, р и 丫 ——величины, значения которых зависят от х, но не зависят от у и z.

Последнее условие чрезвычайно важно, так как без него следующее ниже доказательство неверно. Но этоусловие очень облегчает работу. Все метрики, с которыми мы встретимся, будут обладать тем же свойством: а, |3 и у зависят только от одной из координат, как, например, метрика (24.8).

Метрику (26.2) удобно переписать в виде

6s 〜о(26.3}

(о — греческая буква《сигма》)，где

о = абх2+₽6у2 -(- уб^2 •(26.4>

Почему я написал о, а не ба?

Чтобы напомнить, что это не приращение (пп. 25.4 и 25.5м), а иначе мы могли бы впасть в заблуждение и применить здесь вторую основную теорему (ср. с п. 25.15м).

. Мы ищем способ отыскания геодезической (п. 25.27м), проходящей между двумя точками (или событиями) О и S (рис. 26.7), позволяющий выделить геодезическую

из множества всех кривых, соединяющих О и S. Другими словами, мы хотим найти правило, позволяющее определить координаты каждой точки геодезической. Но в такой постановке задача слишком сложна, поэтому приступим к процессу последовательных упрощений.

26.8.26.8.Первое упрощение. Пусть для координаты % задача уже решена, т. е. для каждой точки известно правильное значение % и остается только менять значения координат у и z каждой точки до тех пор, пока не получится экстремальное значение инварианта, измеренного вдоль кривой от О до S.

26.8.

26.8.

Поскольку изменение значений координат у и г не влияет на а, © и у (п. 26.6), можно считать, что в каждой точке кривой эти величины остаются постоянными (хотя от точки к точке они меняются). Это ——небольшое упрощение, но задача по-прежнему слишком

26.9.26.9.сложна, поэтому начнем подготовку ко второму упрощению.

26.9.

26.9.

Отчасти трудность связана с тем, что 6s известно только из приближенной формулы (26.2). Первое, что приходит на ум, — подставить о вместо 5s. Но такая замена будет вполне удовлетворительной только для достаточно малого отрезка кривой. Поэтому разделим

кривую от О до S на отрезки (отмеченные на рис. 26.7 точками). Если KL — типичный отрезок, то бу и 6г — приращения координат %, у н z при перемещении из точки К в L; соответствующие значения 3s и о определяются из (26.2) и (26.4).

На рис. 26.9 отрезок KL для наглядности дан в увеличенном масштабе. Приращение 5% не показано, так как мы полагаем, что частично задача уже решена. Приращения Зу и 6г на чертеже, как это принято, изображены в виде горизонтального и вертикального отрезков соответственно. Кроме того, указано приращение 5s инварианта, измеренного вдоль кривой. Штриховая линия напоминает, что о не инвариант, а величина, связанная с ним приближенной формулой (26.3) и определяемая формулой (25.4).

Полное значение инварианта s, измеренного вдоль кривой от О до S, можно найти сложением всех приращений 6s, но это для нас слишком сложно. Поэтому временно договоримся брать для каждого отрезка, на которые была разбита кривая, значения о (вместо 6s) и складывать именно их. Пусть 2 (прописная буква 《сигма》)означает сумму всех таких а. Согласно (26.3), о для каждого отрезка приближенно равно приращению 5s, поэтому при сложении всех отрезков 工 дает приближенное значение s. Отсюда следует

второе упрощение. Мы ищем условия, обеспечивающие экстремальное значение 工(вместо s).

Но иметь дело сразу со всей кривой слишком трудно, поэтому решим задачу попроще, рассматривающую всего три точки. Отсюда следует

третье упрощение. Из множества отрезков, на которые была разбита кривая, выберем два смежных отрезка PQ и QR (рис. 26.7). Предположим, что дважды упро-

щенная задача уже решена для точек Р и R. Тогда наша цель ——найти правильное положение третьей точки Q между этими двумя.

А именно: мы должны установить координаты точки Q, такой, чтобы сумма значений а от Р до Q и от Q до R имела экстремальное значение.

Из сделанного в п. 26.8 упрощения, что в каждом случае известна координата %, следует (п. 26.6), что можно найти значения а, р и у в каждой точке. Чтобы отличать а, В и у, вычисленные в Р, и бх, By, 5z и о с началом в Р, снабдим их индексом Р. Индексом Q обозначим аналогичные величины, вычисленные в Q или с началом в Q. Точнее ар, Рр и、р — это значения, которые а, В и 丫 принимают в Р, a uq, 0q и yq — их значения в Q. Далее, 5%р, 5у?, 52P ио — это значения величин 6х, бу, 6г и о, которые они принимают между Р и Q. Рис. 26.11, на котором приведен в увеличенном масштабе фрагмент рис. 26.7, снова служит лишь для наглядности. Несмотря на его сложность, смысл указанных на этом рисунке обозначений довольно прост. Тогда, согласно (26.4), получим

Ор2 =(хр6хр2 -[- Ррбур2+YpS^p2, (26.5)

Oq2 = @Q舐Q2+岷好+心6%2. (26.6)

Теперь задача сводится к отысканию таких значений приращений, для которых достигается экстремум суммы Op+Oq.

С помощью формул (26.5) и (26.6) задачу можно сформулировать иначе: найти соотношения между приращениями, чтобы выражение

]/* р舐р?+ Рр^р2 Н~ Yp^p2

+ U a05勺2+阮6%2+Y057q2(26.7)

имело экстремальное значение. Сложность выражения могла бы повергнуть в уныние даже опытного математика. Конечно, он мог бы решить его《в лоб》，но сначала постарался бы найти более легкий путь. Это привело бы к

четвертому упрощению. Есть бесконечно много правильных положений точки Q. На рис. 26.11——это любое положение точки на кривой между Р и R. Если считать, что Q движется вдоль кривой от Р к R, то стр будет постепенно возрастать, a oq — уменьшаться. Значит, отношение oq/op может быть любым положительным числом. Таким образом, если выбрать конкретное значение К, то будет указано, где именно на кривой между Р и R находится новое положение точки Q. Итак, мы хотим найти конкретное положение точки Q, для которого

Oq/Op = K・(26.8)

С помощью (26.8) можно доказать, что

9р+%)2=(1/к+1) (Кор?十％2).(26.9)

(Доказательство будет приведено в п. 26.29.) Отсюда следует, что если сумма Op+uq имеет экстремальное значение, то ^a2p+o2Q также экстремально, и обратно: если Kcr2p+<r2Q имеет экстремальное значение, то op + oq также экстремально. (Справедливость последнего утверждения гарантируется тем, что если сумма op + oq положительна, то она не может стать отрицательной, и наоборот, ибо измерения производятся только в одном направлении вдоль кривой.) Итак, вместо того чтобы решать сложную задачу, сформулированную в п. 26.12, требуется узнать, при каких значениях приращений координат достигается экстремальное значение выражения Ко2P+ o?q. С этой задачей мы можем справиться.

Поскольку точки Р и R фиксированы (третье упрощение), приращения координат у и г при переходе от первой точки ко второй являются постоянными величинами (обозначим их b и с). Тогда с учетом п. 25.5 получим

Mp+Mq=瓦(26.10)

3zp+6zq=&(26.11)

Теперь можно доказать (см. п. 26.30), что (глубоко вдохните!)

К"р2 + ^Q2 = /С<Хр 舐 р2 + aQ^gZ +

+ (KRp+Bq) Mp2—2^qb6yp 4~ ₽q^2+

+ (K?p+Yq) 622P—2好6在十巾. (26.12)

Таким образом, нужно найти значения приращений координат, при которых выражение, стоящее в правой части (26.12), достигает экстремума.

Сделать это не так сложно, как кажется. Мы предполагаем, что координата х для каждой точки известна, поэтому бхр и Sxq следует считать постоянными величинами; кроме того, ар,阻 ур, oq, Pq и yq тоже постоянны (п. 26.8). Значит, в правую часть (26.12) входят только четыре члена, содержащие переменные. Их можно попарно сгруппировать следующим образом:

(KPp+Pq) 6婚一2pQb6f/p,(26.13)

(KYp+YQ)bzp2—2Yqc6zp.(26.14)

Теперь осталось найти значение приращений бур и 6zp, для которых достигается экстремум выражений (26.13) и (26.14) соответственно, а как это делается, вы знаете.

Результаты, полученные в п. 26.ЗМ, позволяют показать, что (26.13) имеет экстремум при

Мр = %Ь/(КВр+%),(26.15)

откуда следует (см. п. 26.31), что

Wi/p = ₽q^q.(26.16)

Точно так же (26.14) имеет экстремум при

KYp6zp = Yq6zq.(26.17)

Это и есть решение нашей четырежды упрощенной задачи. Если приращения брр, 6гР, 6yQ и 6zq выбраны так, что выполняются сотношения (26.16) и (26.17), то

сумма Ко2P+©2q принимает экстремальное значение; значит (п. 26.14), выражение gp+'Qq также экстремально.

Теперь приступим к обратному процессу.

Отменим четвертое упрощение. Для этого с помощью (26.8) избавимся от К (значит, теперь Q может быть любой точкой кривой между Р и R). Подстановка в (26.16) вместо К левой части равенства (26.8) дает

(0qRp) Врбур = PqS^q, откуда

(ВрКр) Зур = (PqRq) 5%.(26.18)

Аналогичным образом вместо (26.17) получим

(Yp/Op) Rp = (Yq/%) 6zq.(26.19)

Отменим третье упрощение, перейдя от отрезков PQ и QR ко всей кривой в целом. Из соотношений (26Л8) и (26.19) следует, что величины ^8у1в и 丫5总历 на отрезке QR должны иметь точно такие же значения, как и на отрезке PQ. Поскольку это два типичных отрезка, можно многократно использовать этот аргумент, чтобы показать, что (при тех же условиях) величины В6у/о и ybz/o, вычисленные для любых отрезков, на которые была разбита кривая, должны всегда иметь одни и те же значения. Другими словами,

(P/о) М= В,(7/о) fiz = C,(26.20)

где В и С ——постоянные. Или, в более удобной форме, ВМ=5о,y6z = Co.(26.21)

Если эти две формулы справедливы для каждого отдельного отрезка, на которые разбита кривая, то величина 2 (н. 26.9) имеет экстремальное значение, что решает задачу в той постановке, в которой она была сформулирована после второго упрощения.

Отменим второе упрощение, перейдя от 2 и а к s и 6s. Воспользовавшись соотношением (26.3), можно заменить (26.21) на приближенные формулы

PS// ~ B8s, 762 〜C6s.(26.22)

Хотя эти приближенные формулы больше не содержат

а, они по-прежнему относятся к задаче отыскания экстремального значения величины S, а не s. Для перехода от 2 к s воспользуемся таким же методом, как в пп. 20.22—20.25 и 25.6 и 25.7.

26.22 378

Из (26.3) известно, что приближенная формула 5s 〜о верна для каждого отрезка в отдельности, поэтому, собрав все отрезки воедино, получим s 〜，.Иными словами, разбивая кривую на достаточно большое число достаточно малых отрезков, можно добиться, чтобы величина W была сколь угодно хорошим приближением К S*.

Это справедливо для любой кривой, соединяющей точки О и S, независимо от того, имеет ли она такую форму, для которой S достигает экстремального значения или нет. Значит, разбивая кривую на достаточно малые отрезки, можно добиться, чтобы условия, обеспечивающие экстремум S, были бы сколь угодно близки к условиям, обеспечивающим экстремум величины s. Но условия экстремума S сводятся к тому, что приближенные формулы (26.22) должны выполняться для всех отрезков кривой. Эти формулы уже содержат в себе требование выбора достаточно малых отрезков, т. е. они являются условиями экстремума величины s.

Итак, чтобы кривая была геодезической, формулы (26.22) должны выполняться для любого из отрезков, на которые она разбита. Иначе говоря, они должны выполняться, когда 5у, бг и 6s — приращения (подобные изображенным на рис. 26.9), исходящие из любой

26.22.

точки кривой.

Отменим первое упрощение, исключив оговорку, что для координаты х задача уже решена. Для этого необходимо показать, как найти правильное значение координаты % каждой точки кривой, т. е. нужно найти приближенную формулу для 5% в дополнение к формулам ДЛЯ бу И 62.

На этот раз нельзя применять метод, разработанный для у н z, поскольку при выводе формулы (26.15) МЫ ИСХОДИЛИ ИЗ ТОГО, что k^p + BQ И Bq^ ПОСТОЯННЫ (подобно m и п из п. 26.ЗМ), но если х меняется, то это уже неверно.

Однако нам нужна всего лишь приближенная формула, связывающая 6% и 5s, причем совершенно не важно, войдут ли в нее Зу и 6^ потому что с помощью (26.22) их всегда можно исключить. У нас есть довольно очевидный кандидат на роль этой формулы—сама метрика (26.2).

* Это утверждение доказывается методом, описанным в п. 20.25, и я не буду его повторять.

Итак, мы пришли к следующему выводу: чтобы кривая была геодезической, для приращений 5%, бу, 5z и 5s, исходящих из любой точки этой кривой, должны быть справедливы формулы (26.2) и (26.22).

Если вам не все ясно в этой длинной цепи рассуждений, пока не пытайтесь вникать в нее, лучше постарайтесь понять вывод; а теперь приведем очень простой пример, показывающий, как применять его на практике.

У меня нет возможности детально обсудить смысл этого вывода, поэтому дам лишь руководство к действию. Сначала выясните смысл приращений 5%, бу, 3z и 6s (рис. 26.9) и величин а, р и у (п. 26.6). Затем убедитесь, что вы понимаете сущность трех приближенных формул. Для этого используйте пп. 20.20м (и предваряющие его замечания), 21.42м и 24.16м. Чтобы иметь общее представление, вполне достаточно считать, что первая формула (26.22) утверждает следующее: выбором достаточно малых значений бу формулу ^6y = B8s можно сделать сколь угодно точной. В (26.2) следует выбирать достаточно малые значения приращений 6х, 8у и 6z.

По существу, эти три формулы показывают, как должны меняться по отношению друг к другу величины 6居 by, 5z и 6s по мере смещения точек К и L (рис. 26.9) в другие положения, если рассматриваемая кривая ——геодезическая.

И только когда вы почувствуете уверенность, что разобрались в смысле сделанного вывода, переходите к следующему примеру.

Найдем геодезическую в пространстве-времени специальной теории относительности в одномерной вселенной. Поскольку имеются всего две координаты, отбросим в (26.2) 6z и получим

6s2〜а舐2+図产

Заменив х на X, а у на Т и положив а =—1, р = 1, получим приближенную формулу

6s2 〜6Т2—6Х2,(26.23)

т. е. метрику (25.2) пространства-времени специальной теории относительности. В этом простом случае а и 6 постоянные. Но договоримся считать, что а и ₽ зависят от X, поэтому эквивалент приближенной формулы (26.22) применим только к ОТ. Заменим в первой

формуле (26.22) у на Т н положим 0=1, что даст 8T〜灰s; перепишем это в виде

3s 〜Q6T,(26.24)

где 0=1/8 тоже постоянная. Итак, для геодезической приращения должны быть связаны приближенными формулами (26.23) и (26.24).

Исключим приращение 5s, подставив вместо него в (26.23) D8T (26.24). В результате получим

02572 〜8т2—aх2,

откуда (пп. 3.19М, 9.12М, 16.12М)

3X2 — (1—02)372(26.25)

Согласно гипотезе геодезичности (п. 25.28), эта формула описывает движение инерциального наблюдателя, который должен двигаться так (с точки зрения другого инерциального наблюдателя, производящего измерения), чтобы пройденное им за время ЗТ расстояние равнялось 6Х а эти величины связаны соотношением (26.25). Какова его скорость?

Из формулы (26.25) и п. 24.22 следует, что квадрат скорости инерциального наблюдателя равен постоянной величине 1—D2. Значит, постоянна и сама скорость. Итак, гипотеза геодезичности наряду с развитым методом поиска геодезических приводит к правильному выводу, что инерциальный наблюдатель движется относительно другого инерциального наблюдателя с постоянной скоростью. Найдите ограничение на величину возможной относительной скорости этих наблюдателей.

Квадрат любой величины, в том числе и D2, положителен (п. 24.20М). Значит, квадрат скорости (равный 1—D2) меньше 1; поэтому и скорость меньше единицы. Наш метод нахождения геодезических помимо всего прочего дает правильный вывод, что скорость одного инерциального наблюдателя относительно другого неизбежно меньше скорости света.

Чтобы расколоть обычный орех, мы использовали мощный паровой молот, и в скорлупе оказалось знакомое нам ядрышко. Надеюсь, такое злоупотребление мощностью орудия помогло вам лучше понять, как работает «геодезический паровой молот》. Ниже мы применим его на практике, там, где не годятся обычные щипцы для орехов.

. Быть может, вы так талантливы, что сразу все поняли и можете двигаться дальше. Если же вы не в состоянии даже оценить общую стратегию, уделите ей внимание еще раз (и еще раз?). Часто бывает полезным составить краткие конспекты каждого раздела, затем расположить их в соответствии с общей стратегией «упрощай ——решай ——снова усложняй». Наконец, когда станет ясен общий план рассуждений, можно вникать в детали. Здесь особенно важно следовать совету, данному во втором абзаце п. 26.4М. В заключение познакомьтесь с приведенными в пп. 26.29—26.31 доказательствами тех формул, которые были использованы выше без доказательства.

. Двукратное применение правила из п. 16.12М дает еще одно полезное тождество:

(0+b)(a+b)="(a+b)+匕(〃+b)=

или, в более компактной форме,

3+ь)2 =出+2曲+匕2(26.26>

Согласно (15.8),

(а—b)2 = .+(—匕)}2 = 02十2〃 (—b)+(—b)2.

Отсюда, принимая во внимание п. 24.20М, получим

(a-ь)2 =出一2而+产.(26.27>

Докажем формулу (26.9). Из (26.8)

%=Кор,Ор = %/К,

поэтому

OpOQ = ОрКОр=《Ор®,

а также

OpOq = Oq2/K・

Сложение соответствующих сторон двух последних ра・ венств дает

2opOQ = Kap24-aQ2^.(26.28)

Тогда, согласно (26.26),

9p+oq)2= Op2+2Op0Q 十 ％2= (26.28)

= Ор2 + КОр2 + %2/К + %2 =

16.12М (в обратном порядке)

= (1+К)Ор2+(1/К+1)吋=

16.12М； поскольку К умноженное на 1/К дает 1 = (1/К+1)К0р2+(1/К+1)%2 =

16.12М

= (1/К+1)(№р2 + %2)・

Докажем формулу (26.12). Из (26.10)

6纱=匕一Мр，(26.29)

(26.27)

屯q2 =ь2_ 2第切+5婚=浊2 — 2川川+从.

Аналогично

&q2 = 5zp2—2c6zp+c2.

Подставляя эти выражения в (26.6), найдем

唁=aQ6xQ2+阮(бур2 — 2 质处+妗十必(§Zp2 — 2cRp+c2) =

п. 16.12M

-aqSxq2+阮6外2一2阮匕6川++Pq^+YqS^p2 — 2yqc8zp+Yq*

Чтобы получить (26.12), нужно к каждой стороне этого выражения прибавить предварительно умноженные на К соответствующие стороны формулы (26.5).

Наконец, докажем (26.16). Умножение обеих частей (26.15) на ^Pp + PQ, применение правила из п. 16.12М и последующее вычитание из обеих сторон получившегося выражения величины BqSpp (если так будет легче, распишите эту процедуру по этапам) дает

KRpSp = Pq^ — Pq^p =

п. 16.12M

=0Q (b—Mp) =

(26.29)

—Pq6%・

Если обе части первой приближенной формулы (26.22) разделить на В, то ее можно переписать в виде 6s^ В^8у, где 8'= 1/5 — новая постоянная. Вторую формулу таким же способом приведем к виду 8s ~ 〜C'qbz, где О=1/С.

Подведем итог:

мы рассматриваем пространство или пространство-время с метрикой

6s2 〜a6x2+p6y24-Y6z2,(26.30)

где о, 0 и у—величины, которые могут зависеть от х, но не от у и z. Пусть бх, бу и 6z ——приращения соответствующих координат при перемещении из одной точки кривой (или мировой линии) в другую.

Тогда эта кривая (мировая линия) будет геодезической, если приращения связаны соотношением (26.30) и приближенными формулами

66у ~ BBs или 6s 〜3%加， (26.31)'

、配〜Cbs или bs 〜C'ybz, (26.32)

где В, С, Bz и С' — постоянные.

Выбор того или иного варианта в (26.31), (26.32)— это вопрос удобства. Но в общем и целом наряду с (26.30) требуется одна приближенная формула (26.31) и одна (26.32).

Разумеется, существует множество геодезических: много прямых на плоскости, много больших кругов на сфере, много инерциальных наблюдателей. Произвольные постоянные В и С служат, чтобы можно было установить, о какой из них идет речь.

26.34M.26.34M.Мы уже рассмотрели один пример использования этих приближенных формул для поиска геодезической.. Поупражняемся еще, но прежде изучим новую систему координат.

26.34M.

26.34M.

Вы наверняка знакомы с общепринятой системой измерения углов, в которой прямой угол делится на 90 гра

дусов (90°), каждый градус на 60 минут (60‘)и каждая минута на 60 секунд (60〃). На практике чаще всего применяются именно эти единицы измерения. Но для теоретических целей предпочтительнее иная система измерения углов.

Проведем окружность с центром в вершине О угла (рис. 26.34), стороны которого пересекаются с ней в точках Р и S. Измерим длину дуги PS — расстояние вдоль окружности, а не длину отрезка прямой PS

(《хорды》). Отношение этой длины дуги к радиусу используется для измерения углов в единицах, которые называются радианами. Итак, имеем соотношение

Угол POS в радианах = д^；线診，(26.33)

откуда следует, что

Длина дуги PS = (Радиус ОР)х

х(Угол POS в радианах).(26.34)

За исключением нескольких практических расчетов, ниже все углы измеряются в радианах. Не путайте 0 и ф, которые здесь используются для обозначения углов, с радиолокационными координатами из предыдущих глав.

М. Введем новую систему координат для задания положения точки на плоскости. Зафиксируем положения точки О, которая называется полюсом, и оси OL

(рис. 26.35). Тогда полярные координата точки Р —— это 1) длина 尸 отрезка прямой, соединяющей точки О и Р, и 2) величина -0 угла между осью OL и прямой ОР. Отрезок г называется радиусом-вектором. Эта величина считается всегда положительной (отрицательное г эквивалентно увеличению угла на 180°). Угол 0 (положительный, если переход от OL к ОР осуществляется поворотом против часовой стрелки; в противном случае ——отрицательный) — это полярный угол.

. Теперь выразим в полярных координатах метрику двумерного плоского пространства. Рассмотрим две точки: Р с полярными координатами г и 0 и Q с полярными координатами г + бг и В+ 60. Таким образом, 0 — это величина LOP (рис. 26.36), а 60—угла POQ. Длины отрезков ОР и OQ равны соответственно г и г+6『. Проведем дугу окружности с центром в точке О радиусом ОР. Пусть она пересекает OQ в точке S.

Тогда длина отрезка OS равна длине отрезка ОР, равна г, откуда следует, что длина отрезка SQ = 6r・

Выразим расстояние 6s между Р и Q через 6г и 60.

Пусть PR — перпендикуляр, опущенный на OQ из точки Р. Согласно теореме Пифагора,

6s2 = (Длина отрезка RQ)2+(Длинa отрезка PR)2. (26.35)

Чем меньше 60, тем ближе S к R, а значит,

Длина отрезка RQ 〜Sr.(26.36)

При этом дуга окружности PS все меньше отличима от прямой PR, так что

(Длина отрезка прямой PR) ~ (Длина дуги PS).

Но, согласно (26.34), правая часть этого приближенного равенства равна，6仇 отсюда

(Длина отрезка PR)〜rS9.(26.37)

Подстановка правых частей соотношений (26.36) и

в (26.35) приводит к приближенной формуле

6s2 —Sr2+r2602.(26.38)

т. е. к искомой метрике.

. Вы помните, что а2 = аХа, аналогично а3 = аХаХа, а а4=аХ^Х^Х^ и т. д.

Обратите внимание, что (r2)2 = r2X^2=^r\rXr— =『4. Поэтому (ср. с п. 17.25М)

尸х5=g=产.

Скоро мы воспользуемся этими соотношениями.

Попробуйте с помощью теоремы из п. 26.33, следуя примеру из п. 26.24, получить приближенные формулы для геодезической, когда метрика имеет вид (26.38).

Отбросим последний член в (26.30). В п. 26.33 было оговорено, что значения аир могут зависеть только от координаты х. Какая координата в (26.38) играет роль, соответствующую х?

В формулу (26.38) входит г, а вот 0 не входит. Значит, роль координаты 尤 играет г. Поэтому, чтобы перейти от (26.30) к (26.38), нужно вместо х написать г, а вместо у — 0. Что заменит а?

В (26.30) а стоит при величине 6х2, которой теперь соответствует бг2. Но в (26.38) при 6г2 нет никакого множителя. Значит, а= 1. А что можно сказать о 6?

Величине 6у2 соответствует 602, а перед ней в (26.38) стоит множитель 户，значит, 6 = /Л Как теперь будет выглядеть первая из формул (26.31)? Заменяя Р на г2 и у на 0, получим

严 66 〜86s.(26.39)

Эта приближенная формула и метрика (26.38) определяют нашу геодезическую. Но нас не интересует 5s. Как избавиться от этой величины?

Из (26.39) следует, что

6s 〜(产/8) 38.(26.40)

Подстановка в (26.38) дает

G/82) 662〜5产+产断

(если не ясно, как это получилось, см. п. 26.37М), от» куда

6戸〜(力82烟2—产6/, или

6r2^r4(l/S2—1/г2) 692.(26.41)

(п. 26.37М, а также п. 16.12М).

Итак, последнее соотношение ——это приближенная формула, связывающая приращения радиус-вектора г и угла 0 при перемещении из одной точки геодезической в другую.

Теперь вспомним, что независимо от системы координат геодезическая на плоскости — это прямая (п. 25.2). Чтобы исчезли всякие сомнения, необходимо независимо доказать, что (26.41) описывает прямую линию. Разумеется, можно выполнить численную проверку»

составив таблицу зависимости г от 8 (методом, которым в гл. 21 определялась зависимость 加 от &). Для простоты возьмем В= 1. Тогда исходное значение г должно быть больше 1 (так как, согласно п. 24.20М, величины 6厂2 и §02 не могут быть отрицательными). Поскольку выбор положения оси OL на плоскости произволен, начните с 0 = 0. Помня, что углы измеряются в радианах, выберите размер приращения 60 (затем методом, изложенным в п. 21.22, можно проверить, достаточно ли мал выбранный шаг). Тогда формула (26.41) позволяет рассчитать соответствующее значение 6г, а значит, и г, с которого начинается второй шаг, и т. д. В конечном итоге с помощью транспортира и линейки можно начертить результирующую кривую и удостовериться, что это почти прямая линия.

Сам я из-за занятости (а возможно, и лени) никогда не проделывал подобных расчетов, хотя и рекомендовал сделать их своим слушателям. К счастью, незадолго до того, как я закончил писать этот раздел, их выполнил мой 69-летний слушатель из Ноттингема Стен Зоубел. Он выбрал исходное значение г =1,2 и шаг 60 = 0,02 радиана и нашел, даже не прибегая к повышающему точность методу, описанному в пп. 21.19 и 21.20, когда он достиг 0 = 0,2 радиана (11°27'33〃), что значение г отличалось от значения, которое требуется, чтобы линия была прямой всего на 0,56%. Проделайте аналогичный расчет.

Численные упражнения полезны. Но нам нужно доказать в общем случае, безотносительно к геодезическим, что формула (26.41) правильно описывает взаимосвязь приращений г и 0 при перемещении из одной точки прямой линии в другую. Пусть Р и Q — любые две точки на прямой MPQ (рис. 26.40). Обозначим буквой Л длину перпендикуляра ОМ, опущенного на эту прямую из точки О. В остальном диаграмма ничем не отличается от чертежа на рис. 26.36.

Треугольники PQR и OQM ——прямоугольные и имеют один и тот же угол при вершине Q. Значит, они подобны и (ср. с п. 9.13) существует такой масштабный множитель, что

Длина отрезка PQ =

=(Длина отрезка OQ) X (Масштабный множитель),Длина отрезка PR =

=(Длина отрезка ОМ) х (Масштабный множитель).

После деления каждой стороны первого равенства на соответствующую сторону второго получим

Длина отрезка PQ — Длина отрезка OQ《处

Длина отрезка Р^ 一 Длина отрезка ОМ ' I J

Чем меньше приращение, тем ближе точка Q к Р, так что (длина отрезка OQ)~『. Длина отрезка PQ равна 6s, длина отрезка ОМ равна /г, и, согласно

длина отрезка PR 〜г86. Подстановка этих выражений в (26.42) дает

6s/r59〜"тоткуда Bs〜(产伍)5仇

Если положить B = h, то эта формула совпадает с (26.40). Итак, мы вывели последнюю приближенную формулу методом, никак не связанным с геодезическими. Но это соотношение уже было получено из другой приближенной формулы ——из метрики (26.3S),——которой мы пользовались при вычислениях в п. 26.38. Итак, независимо доказана справедливость формулы (26.41), причем метод изучения геодезических дает правильный ответ.

Установив, что 8 =儿 мы можем переписать приближенную формулу (26.41), связывающую приращения при перемещении из одной точки прямой в другую, в виде

6 戸〜尸(1 /胪—1 “2)S02, (26.43) где Л ——длина перпендикуляра, опущенного на эту прямую из точки О.

Рассмотрим еще один пример: с помощью нашего ме・ тода исследуем движение по инерции на плоскости в полярной системе координат, по-прежнему считая, что тяготение отсутствует. Если 3s — интервал, то 8s'~1 〜6/2—(Приращение расстояния)2. Согласно (26.38)я (Приращение расстояния)2бг2 + г2692. Отсюда

6s2 〜8/2_fir2_r2662 (26.44)

26.42.26.42.26.43.26.43.и есть метрика рассматриваемого пространства-вре-» мени. Выведите приближенные формулы, описываю* щие геодезические.

26.42.

26.42.

26.43.

26.43.

Здесь координатой, от которой зависят а, р и y，явля* ется г. Значит, г, 0 и / можно отождествить с х, у и z из п. 26.33. Но тогда о = — 1, § = —г2 и у= 1.

На этот раз удобно выбрать вторую формулу из (26.31) и первую из (26.32). Теперь они будут иметь вид

6s 〜Br28Q9也=e也，

(26.45)(26.46)(26.45)(26.46)где В (подставленное вместо — В') и С — постоянные, (Если не понятно, как это получилось, выпишите приближенные формулы из п. 26.33 и подставьте в них г, 0 и /. Итак, формулы (26.44) — (26.46) описывают геодезическую, которая (согласно п. 25.28) является мировой линией инерциального наблюдателя.

(26.45)

(26.46)

(26.45)

(26.46)

Допустим, что нас интересует только траектория инерциального наблюдателя, а не его скорость. Тогда из приближенных формул следует исключить Gf и 6s. (Сделайте самостоятельно алгебраические преобразования. Все, что нужно для этого знать, мы уже изучили.)

Подставив в (26.46) вместо 5s правую часть (26.45), получим 6/~ ВС产59. Подстановка в (26.44)

вместо 6/ и 5s правых частей этого соотношения и (26.45) приводит к приближенной формуле

环尸绪*〜B2CrW— 6产—r2692,

откуда 6产~ (В2c2r4—B2r4—尸)382. Обозначим В2^— —В2= 1//г2, тогда после несложных преобразований получим

^^r^lh?—\lr2)^

Таким образом, как следует из сравнения этой формулы с (26.43), мы доказали, что инерциальный на-

блюдатель в отсутствие тяготения движется по прямой (относительно другого инерциального наблюдения, который измеряет наши координаты). Снова мы кружным путем пришли к тому, что уже знаем. Это еще одно подтверждение того, что метод геодезических дает правильные результаты.

Приводит ли наш метод к ожидаемому результату в случае свободного падения тел в однородном поле тяготения? Если вы пропустили пп. 17.24 и 17.27, проработайте их теперь.

На этот раз метрика описывается формулой (24.8) {см. п. 24.19). Величины аир теперь зависят от %, поэтому координате % соответствует % из (26.30) (6z мы снова отбросим). Кроме того, бу из (26.30) соответствует 5f из (24.8), значит, >а= — (1+2卜)，а Р=1 + + 2/х. Тогда вторая из формул (26.31) дает 5s ~ ~方(1 + 2/%)6/, где в - постоянная. Подставляя в (24.8) вместо 6s правую часть этого соотношения, получим

中(1 + 2因2 6於〜(1+2*) 6伊一(1 + 2扭)阮*

откуда (после деления обеих частей на 1 +2fx и т. д.) следует соотношение

6炉〜{1 - 中(1 + 2闵}銷.(26.47)

Согласно гипотезе геодезичности (п. 25.28), эта приближенная формула должна описывать движение свободно падающего тела. В некоторый момент времени оно находится на расстоянии % (от наблюдателя на опоре, измерениями которого мы здесь пользуемся; п. 24.19). Через время 6/ после этого момента тело переместится на расстояние 5%, где 5% и 6/ связаны формулой (26.47). Какова его скорость?

Если V — скорость этого тела, то (п. 24.22)

иа=1—B2(14-2fx).(26.48)

Постоянная В определяет значение %, при котором " = 0, т. е. высоту, с которой падает тело (или начинает падать обратно, если его бросили вверх). В простейшем случае, когда В = 1, формула (26.48) имеет вид и2=——2fx, так что тело начинает падать из точки с координатой %=0. Знак минус указывает на отрицательное направление (вниз) ускорения. Поэтому если измерять расстояния сверху вниз, то можно написать

u? = 2f%・(26.49)

Что напоминает эта формула?

Она совпадает с формулой (17.16), которая описы^ вает взаимосвязь между (малой) скоростью и пройденным (из состояния покоя) расстоянием при движении с постоянным ускорением. Итак, мы убедилисья что применение гипотезы геодезичности к метрике пространства-времени с однородным полем тяготения да- ет правильный результат: любое свободно падающее тело движется с постоянным ускорением.

Если вас не устраивает, что падение происходит с равной нулю высоты (т. е. из точки, расположенной рядом с наблюдателем на опоре), то постарайтесь до казать, что при и = 0 на высоте % = %o v2^—2f(х—%。)， откуда следует тот же самый вывод. При выводе этой формулы предполагалось, что величины f%o и fx очень малы по сравнению с 1 (п. 24.18) и использованы приближенные соотношения:

(1+2笈)/(1 + 2代。)^ (l + 2fx)(l-2fx0) ^ 1+2/(%-%)・

Полученный результат частично отвечает на вопрос, поставленный в п. 24.23. Если задана метрика пространства-времени с однородным полем тяготения, то с помощью нашего метода геодезических можно найти поведение свободно падающих объектов. Мы убедились, что гипотеза геодезичности дает правильный ответ в двух случаях: когда поле тяготения отсутствует и когда есть однородное поле. Быть может, эта гипотеза останется в силе, когда тяготение меняется от точки к точке.

Идея такова: если известна метрика, характеризующая геометрию пространства-времени (пп. 12.21, 12.22 и 24.6), то можно автоматически, путем исследования геодезических, получить ответ на вопрос, как движутся свободно падающие или инерциальные наблюдатели. Короче говоря, движение по инерции, по существу, оп* ределяется геометрией независимо от того, есть ли тяготение, или нет. Это несомненно, глубочайший переворот в мировоззрении, поскольку здесь предполагается, что естественное движение, ничем не ограниченное движение по инерции, определяется исключительно геометрией. Таков вывод общей теории относительно-, ст и Эйнштейна, к пониманию которой мы упорно стре* мимся.

Даже на этом простом примере свободного падения в однородном поле тяготения легко заметить различие между ньютоновским и эйнштейновским подходами к

проблеме гравитации. Предположения, лежащие в основе теории Ньютона, следующие:

Ш. Геометрия пространства-времени ——евклидова геометрия с добавленным к ней временем.

Н2. Если на тело не действуют никакие силы, то его мировая линия — геодезическая, а это, в соответствии с (Н1), означает, что оно движется равномерно и прямолинейно. Но, к сожалению, тела падают (движутся f ускорением вниз) даже тогда, когда на них не действуют никакие наблюдаемые силы (ср. с пп- 23.9—23.11). Поэтому Ньютон предположил, что

НЗ. Существует универсальная сила, действующая на любое тело, — сила тяготения. Чтобы объяснить, почему все тела имеют одинаковое ускорение, он постулировал, что сила тяготения пропорциональна массе тела, на которое она действует (п. 23.10).

Совершенно иной, эйнштейновский, подход можно изложить в виде следующих утверждений:

Геометрия пространства-времени характеризуется (в рассматриваемом нами случае) метрикой (24.8)・

Если на тело не действуют никакие силы, то его мировая линия — геодезическая.

Отсюда, как было показано в пп. 26.44 и 26.45, автоматически, без привлечения гипотезы о существовании силы тяготения, следует, что все тела, если их предоставить самим себе, будут двигаться с направленным 《вниз》одинаковым, постоянным ускорением.

Заметьте, что в теории Эйнштейна на одно предположение меньше, чем в теории Ньютона. Предположения (Н1) и (Э1) касаются геометрии пространства- времени; предположения (Н2) и (Э2) совпадают: любое тело, предоставленное самому себе, движется по геодезической. В теории Эйнштейна, чтобы получить правильный вывод о поведении свободных тел, достаточно предположений (Э1) и (Э2), тогда как теория Ньютона давала неправильный ответ до тех пор, пока он не добавил предположение (НЗ).

Поскольку теория гравитации Эйнштейна содержит на одно предположение меньше, в своей основе она проще теории Ньютона (хотя с математической точки зрения она сложнее).

ТЯГОТЕНИЕ И ЗАКОН ОБРАТНОЙ ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТИ КВАДРАТУ РАССТОЯНИЯ

Однородное поле тяготения ——это лишь приближение к реальности, достаточно хорошее в малых областях пространства. В пп. 23.14 — 23.16 был описан единственный для таких малых масштабов опыт, в котором различие предсказаний эйнштейновской и ньютоновской теорий тяготения поддается обнаружению. Дальнейшая проверка теории тяготения Эйнштейна требует перехода к протяженным областям пространства, в которых тяготение заметно изменяется от точки к точке. Чтобы справиться с этой более сложной задачей, необходимо мо дифицировать два из основных предположений.

Наиболее фундаментальное предположение, принцип относительности Эйнштейна (п. 5.11), содержит в явном виде условие 《в отсутствие тяготения...》. Равноправны ли по-прежнему инерциальные наблюдатели в однород* ном поле тяготения?

Да, равноправны, поскольку в этом случае инерциальные наблюдатели в точности подобны наблюдателям в отсутствие тяготения, если их наблюдать из ускоренной системы отсчета (пп. 23.6 и 23.12).

Но если тяготение меняется от точки к точке, то этот принцип больше не верен. Вообразим для простоты, что Земля ——единственное массивное тело во Вселенной. Тогда б и г из п. 23.5 — два инерциальных наблюдателя: один на поверхности Земли, а другой очень далеко от нее в глубинах космического пространства. Нам удалось показать (п. 23.6), что результаты опытов этих наблюдателей совпадают только потому, что мы поместили их в небольшие помещения. Совпадут ли их впечатления, если позволить им понаблюдать за объектами, движущимися по инерции на расстоянии несколько тысяч километров от них?

Нет не совпадут. С точки зрения наблюдателя 6, такие предметы будут двигаться с ускорениями, разли^ чающимися по величине и по направлению (в зависимости от положения относительно центра Земли). Но наблюдатель а не обнаружит никаких отклонений от равномерного и прямолинейного движения. Если эти

наблюдатели могут проводить измерения с высокой точностью, то результаты опытов будут различаться даже тогда, когда они поставлены в их маленьких лабораториях. В самом деле, когда наблюдатель б отпускает пробные частицы на расстоянии вытянутой руки от себя, их медленно сносит к нему (поскольку прямые, вдоль которых движутся он и они, пересекаются в центре Земли). Но пробные частицы наблюдателя 2 будут сохранять свое положение по отношению к нему.

Разумеется, можно рекомендовать им ставить эксперименты, в объеме пространства порядка кубического миллиметра, продолжающиеся не более наносекунды. Тогда им не удалось бы наблюдать это различие в поведении пробных частиц, если бы они не сумели сильно повысить точность измерений. Легко убедиться, что, чем меньше пространственный и временной масштабы эксперимента, тем выше должна быть точность измерений, чтобы обнаружить хоть какое-нибудь различие между результатами бис. Иными словами, проводя эксперимент в достаточно малом объеме пространства и в течение достаточно коротких промежутков времени, можно добиться, чтобы инерциальные наблюдатели были равноправными с любой степенью точности. Как выразить это утверждение с помощью единственной приближенной формулы?

Мы уже знаем (пп. 12.23, 24.8 и 24.10), что в выражении «метрика имеет вид (24.3)》 содержится вся специальная теория относительности, в том числе равноправность инерциальных наблюдателей. Поэтому нужно лишь заменить знак《=》на《〜》и записать метрику в виде приближенной формулы

3s2 〜672—6X2.(27.1)

(это нужно делать всегда, когда интервал измерен вдоль мировой линии; п. 25.8).

Если 5Т и 6Х — измерения любого инерциального (свободно падающего) наблюджеля, то из (27.1) сле- дуетэ что можно добиться равноправности инерциальных наблюдателей с любой степенью точности, выбирая достаточно малые значения 6Т и 5Х, т. е. производя измерения в достаточно малой области пространства-времени.

Поэтому ниже утверждение о равноправности инерциальных наблюдателей будет записываться в виде .приближенной формулы (27.1).

Тогда принцип эквивалентности, сформулированный в п. 23.8, справедлив только в однородном поле тяготе-» ния. Рассуждения из п. 23.7 верны только в тех случаях, когда наблюдатели находятся в малых помеще* ниях. Если бы наблюдателю а пришлось учитывать в своих опытах предметы, свободно падающие с противоположной от него стороны земного шара, то результаты его опытов в корне отличались бы от результатов на* блюдателя в.

Здесь снова имеют важное значение размер области пространства и промежуток времени. В небольшом помещении отклонение поля тяготения от однородного практически незаметно. Значит, не должно наблюдаться никаких отступлений от принципа эквивалентности, если только точность измерений не будет чрезвычайно высокой. Тогда наблюдатель а обнаружил бы, что пробные частицы, отпущенные им из разведенных в стороны рук, движутся по сходящимся траекториям, а пробные частицы наблюдателя в движутся (согласно его измерениям) по строго параллельным траекториям. Здесь снова можно было бы настоять на проведении экспериментов, продолжающихся не более наносекунды в объеме пространства порядка кубического миллиметра... Следуя этой линии рассуждений, можно доказать, что даже когда поле тяготения изменяется (и в пространстве, и во времени), ограничивая эксперимент достаточно малыми областями пространства-времени, можно добиться, чтобы принцип эквивалентности выполнялся с любой желаемой точностью. Можно снова записать приближенную формулу и т. д. Эти формулы будут появляться совершенно естественным образом по мере нашего продвижения вперед.

Солнце и внутренние планеты Солнечной системы ——вот главный 《полигон》 для проверки общей теории относительности. Внутренняя часть Солнечной системы ——едва ли не единственная область с неоднородным полем тяготения, в которой можно проводить измерения с точностью, достаточной для проверки любых предсказаний теории.

Планеты движутся вокруг Солнца по эллиптическим орбитам, очень близким к круговым. Поэтому в нескольких следующих параграфах будем для простоты считать, что орбиты планет — концентрические окружности с Солнцем в центре.

Является ли движение планеты инерциальным? К сожалению, ее собственное поле тяготения мешает проведе-

нию опыта с пробной частицей (такой опыт можно было бы поставить, если бы лаборатория была оборудовав на в центре планеты). Но на борту искусственного спутника Земли опыт с пробной частицей осуществим (п. 5.4), так как влияние создаваемого спутником и космонавтами поля тяготения очень мало. Как вы, вероят。 но, видели на экране своего телевизора, такой опыт свидетельствует об инерциальности движения. Не обнаруживается никаких признаков сил, приложенных к планете: к ней не привязано никаких канатов, лишь очень слабые магнитные поля действуют на нее. Значит, она движется по инерции?

Несмотря на это, вместо того чтобы следовать вдоль прямой, планета обращается вокруг Солнца. Поэтому Ньютон, исходя из своих первых двух предположений (п. 26.47), был вынужден постулировать существование силы тяготения, тянущей планету к Солнцу. Не принимая ньютоновскую силу тяготения, все же согласимся с ним, что планета непрерывно падает на 'Солнце.

Но ведь планета всегда остается на одном и том же расстоянии от Солнца. Приведем объяснение самого Ньютона. Вместо Солнца и планеты рассмотрим Землю и пушечное ядро, вылетевшее в горизонтальном направлении из жерла орудия, установленного на вершине горы (предположим, что сопротивление воздуха отсутствует) .

Если снаряд вылетает из ствола с небольшой скоростью, то он снижается по довольно крутой траектории / (рис. 27.8) и достигает земли недалеко от подножия горы. При несколько большей скорости он может двигаться по траектории 2. Чем больше скорость ядра, тем дальше от подножия горы оно упадет на землю. Очень быстрый снаряд вообще покинет Землю (траектория 4).

Выбирая подходящую скорость вылета, среднюю между скоростями на траекториях 2 и 4, можно добиться, чтобы ядро сделало оборот вокруг Земли по круговой траектории 3 и ... ударило бомбардира в спину. Но при достаточной расторопности он успеет укрыться вместе с орудием в безопасном месте, а ядро начнет новое, точно такое же кругосветное путешествие, затем еще одно и т. д. Теперь оно окажется на круговой орбите.

Но если в случаях / и 2 ядро падает, то его следует считать падающим и в случае 3. Ядро остается на ор-

бите именно потому, что оно падает, а его скорость подобрана так, чтобы выполнялось правильное соотношение между темпом снижения и движением вперед. Точно так же движется планета вокруг Солнца.

Рис. 27.8.

Падение — это равноускоренное движение. Ускорение планеты направлено к Солнцу. Она движется (по круговой орбите) с постоянной по величине скоростью и тем не менее имеет ускорение.

Если не ясно, перечитайте п. 20.5, обратив особое внимание на три последних предложения, и поразмышляйте о стрельбах (п. 27.8). Если бомбардир отпустит ядро над отверстием вертикальной шахты, то оно будет с ускорением падать к центру Земли. Ядро, летящее по траектории 1 или 2, также имеет ускорение, скомбинированное с горизонтальным движением, сообщенным ему бомбардиром. У ядра, вращающегося по круговой орбите 3, скорость будет постоянной. Если вы согласились, что оно движется с ускорением, направленным к центру Земли, в предыдущих случаях, то не следует отрицать существование аналогичного ускорения и при движении по траектории 3.

При вертикальном падении скорость ядра нарастает, а направление движения остается неизменным. При движении по траекториям / и 2 скорость изменяется как по величине, так и по направлению. Когда ядро летит по траектории 3, направление его движения непрерывно изменяется, а величина скорости остается постоянной. Поэтому, согласно определению вектора скорости, во всех этих случаях вектор скорости изменяется, а это как раз и означает, что есть ускорение.

В дальнейшем нас будет интересовать величина этого ускорения. Рассмотрим тело Р, движущееся с постоян

ной скоростью и по окружности (с центром в точке О) радиуса г (рис. 27.10). Если бы у тела не было ускорения, направленного к центру окружности, то оно двигалось бы прямолинейно по касательной PQ. За время 6f оно бы переместилось из точки Р в Q, покрыв расстояние иВ九 Но направленное к центру окружности ускорение приведет к тому, что тело через промежуток времени 6f окажется в точке R, лежащей на окружности. Итак, его движение по окружности из Р в R является комбинацией прямолинейного движения с постоянной скоростью из Р в Q и ускоренного движения из Q в R.

Мы могли бы повторить этот прием: тело стартует в точке R, движется в течение времени 6/ по касательной, а затем падает по прямой к центру О, пока снова не окажется на окружности. Такой прием можно повторить сколько угодно раз. В результате окружность аппроксимируется пилообразной кривой, нанесенной на

рис. 27.10 пунктиром. Выбирая достаточно малые значения 6% можно добиться, чтобы комбинация этих двух движений была сколь угодно точным приближением к реальному движению по окружности. Выбор достаточно малых 3% позволяет сделать длину дуги PR равной с какой угодно точностью длине отрезка PQ = u6/, а значит, получить правильное значение скорости и движения тела по окружности.

Пусть / — ускорение тела, a h ——расстояние QR, которое оно проходит за время 6/ в результате падения. Тогда из формулы (17.11) следует

八〜％/扭 2.(27.2)

(В п. 17.24 мы еще не были знакомы с приближенными формулами, но не трудно убедиться, что вместо《2》 должен стоять знак《〜》.)

Касательная PQ перпендикулярна радиусу ОР. Тогда теорема Пифагора дает: (r + /i)2 = r2 + ^26Z2. С учетом тождества (26.26) r2+2r/i + /z2 = r2+v26/2, откуда 2/力 + + /г2 = и2§^2# Подставляя h из формулы (27.2), получим frdt2 + 74f2д/4 = и26/2 (пп. 24.7м и 26.37М) помогут вам разобраться, откуда взялась величина б^4), что ведет к приближенной формуле

斤+1/#»2 〜№.(27.3)

Уменьшая 5f, можно сделать величину %产6严 сколь угодно малой по сравнению с fr и и2. Значит,

"〜*・(27.4)

Докажите это.

Вернемся к определению (пп. 20.20м и 21.42м). Отношение сторон (27.4) = v2/fr^

(27.3)

〜"Fhf飞件计=1 +6 (〃)窮.

Закончите доказательство самостоятельно. Можете ли вывести из (27.4) более строгое утверждение?

Приращение 6f не влияет на значения fr и и2. Поэтому, согласно первой основной теореме (п. 22.30м), (27.4) —строгое равенство

"=炉，(27.5)

которое показывает, что ускорение связано со скоростью и радиусом окружности.

Эта формула справедлива для любого движения по окружности с постоянной скоростью. Но нас интересует.

как направленное к Солнцу ускорение планеты зависит от ее расстояния до нашего светила. Поэтому необходима дополнительная информация о том, как «ведут» себя планеты на самом деле, как их скорость связана с размером орбиты. Эти сведения содержатся в третьем законе Кеплера, согласно которому

Если г — радиус* орбиты планеты, а Т — время полного оборота вокруг Солнца, то г3 пропорцион ально (п. 15.3М) Г. Т. е.

г^АТ\ (27.6)

где А ——постоянная.

Этот закон выведен из анализа длинных рядов наблюдений планет.

Расстояние, которое планета проходит за один оборот, равно 2лг (冗一греческая буква «пи»; число л дает отношение длины окружности к ее диаметру и примерно равно 3,141). Это расстояние покрывается со скоростью и за время Т, значит, Т = 2лг/у. После подстановки в (27.6) получим 「3 = 4冗224r2/^2, что приводится к виду и?厂=4冗2/・ Но 4冗2若 ——это постоянная величина, которую обозначим буквой 九(греческая буква оамбда»), так что последняя формула примет вид

и2 y 入. (27.7)

Это и есть (по-прежнему эмпирическое) искомое соотношение между скоростью планеты и радиусом ее орбиты. После подстановки вместо и2 левой части соотношения (27.5) получим，尸=九 откуда следует

/=入/产. (27.8)

Эта формула показывает, как ускорение планеты связано с ее расстоянием от Солнца. Чтобы получить этот результат, мы предположили, что планеты движутся по круговым орбитам. Однако Ньютон, проделав более тщательный анализ, вывел такую же формулу из реального движения планет по эллиптическим орбитам.

Итак, ускорение планеты пропорционально 1/г2, поэтому можно считать, что сила тяготения, обратно пропорциональна квадрату расстояния.

Оказалось, что этот закон применим всегда, когда гравитационное воздействие массивного тела является

♦ Если ербмта планеты эллиптическая, то берется большая волуось 9ЛЛИЖСЯ.

причиной ускоренного движения окружающих его менее массивных тел. Численное значение Л меняется от случая к случаю и является мерой гравитационного воздействия центрального тела на окружающие его объекты. В дальнейшем для простоты речь будет идти о Солнце и его планетах. Но чтобы применить наши выводы к изучению влияния гравитационного поля (скажем) Земли на ее естественный и искусственные спутники, достаточно лишь изменить значение 入.

Ньютон объяснил эти ускорения действием силы тяготения: две любые материальные частицы притягиваются друг к другу с силой, пропорциональной произведению их масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними. Но мы, следуя Эйнштейну, ничего не будем говорить о силе. Нигде в этой книге не потребуется обобщений на случай двух любых материальных частиц. Все, что нам понадобится, — это утверждение, касающееся ускорений тел, находящихся в поле тяготения очень массивного тела, такого, как Солнце.

Массы планет малы по сравнению с массой Солнца, поэтому планеты можно рассматривать как типичные свободно падающие тела, что позволяет сделать следующий вывод:

если свободно падающее (движущееся по инерции) тело имеет малую по сравнению с солнечной массу и находится на расстоянии г от Солнца, то оно падает на Солнце с ускорением Д определяемым формулой (27.8), где 九一постоянная.

Очевидно, это — описание свободного падения, каким оно предстает перед наблюдателем на опоре, т. е. наблюдателем, на которого действуют силы, препятствующие его падению. Разумеется, нет такого наблюдателя, но мы привыкли описывать Солнечную систему с точки зрения гипотетического наблюдателя на опоре; геоцентрическое описание давно вышло из моды!

Величина 九 впервые появилась в формуле (27.7), из которой следует, что 九一это доля расстояния (поскольку V в естественной системе единиц — простая дробь; п. 8.39). Значит,九 является расстоянием или длиной. Длина, равная 2九(которая, как будет показано ниже, имеет более важное значение), называется радиусом Шварцшильда.

В законе Ньютона сила тяготения центрального тела выражается через его массу, и ее обычно обозначают 6М или m даже в теории относительности. Однако нам

больше подойдет обозначение 入,постоянно напоминающее о том, что речь идет о длине.

Орбитальная скорость Земли и равна примерно 1/10000 скорости света (п. 1.8.), радиус ее орбиты около 150 000 000 км. Поэтому для Солнца, согласно (27.7), X составляет около 1,5 км. Более точный расчет дает 1,477 км. Таким образом, в масштабе Солнечной системы 九 на удивление мало.

Все различия между ньютоновской и эйнштейновской теориями тяготения зависят от числа, получающв' гося при делении 九 на расстояние, с которым приходится иметь дело. Вот почему эти различия ничтожно малы.

Попытаемся вычислить метрику (п. 24.10) пространства-времени с полем тяготения, подчиняющимся закону обратной пропорциональности квадрату расстояния. Для простоты сначала снова ограничимся одномерной вселенной — линией, проходящей через центр Солнца.

Метод в принципе аналогичен использованному в пп. 24.12, 24.14 и 24.19: ищется зависимость между координатами наблюдателя на опоре и свободно падающего наблюдателя, а затем эта зависимость применяется для преобразования метрики пространства-времени специальной теории относительности в искомую метрику. Однако переход от однородного к неоднородному полю тяготения усложняет расчеты.

Будем искать метрику в системе координат наблюдателя на опоре Е, находящегося очень далеко от Солнца S на одном и том же расстоянии от него. На пространст

венно-временной диаграмме (рис. 27.17) вертикальные линии изображают события, происшедшие, с точки зрения наблюдателя Е, на одинаковом расстоянии от него,

поэтому мировые линии Е и S тоже вертикальны. Горизонтальная прямая /=0 изображает события, происшедшие, с точки зрения наблюдателя Е, в начальный момент времени. Ниже все расстояния будут определяться с точки зрения наблюдателя Е, но отмеряться они будут от S.

Пусть G и Н — еще два наблюдателя на опорах, которые в силу этого неподвижны по отношению к S и Е и их мировые линии вертикальны. И пусть г и г+Зг — расстояния от Солнца до наблюдателей G и Н с точки зрения Е.

Пусть F — свободно падающий наблюдатель, который в начальный момент времени (событие Q) находится рядом с G и мгновенно покоится относительно всех остальных наблюдателей. Наблюдатель Е видит, что F падает на Солнце с ускорением /, зависящим от расстояния до Солнца.

Теперь временно предположим, что поле тяготения в пространстве между наблюдателями G и Н однородна и имеет напряженность f (позднее мы это сформулиру- ем по всем правилам). Что думает G о ходе часов наблюдателя Н?

Часы находятся выше его на расстоянии 6г, значит,, он считает, что они спешат в 1 +f6r раз (п. 23.14).

Поскольку наблюдатель Е находится на большом расстоянии от G, поле тяготения между ними нельзя считать однородным. Каково мнение наблюдателя Е о ходе часов наблюдателя G?

Неоднородность поля тяготения ничего не меняет в общей природе явления, описанного в п. 23.14. Значит» наблюдателю Е будет казаться, что часы G (расположенные ниже наблюдателя Е, т. е. ближе к Солнцу) отстают, причем отставание определенным образом зависит от положения. Однако подробная формула из п. 23.14 для неоднородного поля тяготения не годится. Поэтому предположим, что, по мнению Е, часы наблюдателя G отстают в 1 +z раз, где z—отрицательное число, зависящее от г. Выясним, как z связано с г.

Множитель l+'z играет ту же роль, что 1+fx в п. 23.14. Чтобы найти соотношение между гиг, воспользуемся результатом, полученным в п. 23.14. Но этот результат был следствием вывода, сделанного в п. 22.32, который

в свою очередь возник из интерпретации приближенной формулы (22.27), справедливой, только если fx очень мало по сравнению с 1. Поэтому все сказанное ниже справедливо при условии, что z много меньше 1.

Если объединить содержания пп. 27.19 и 27.20, то каково мнение наблюдателя Е о ходе часов Н?

Наблюдатели Е, G и Н покоятся относительно друг друга, так что их мнения об одновременности тех или иных событий совпадают. Поэтому вычисление коэффициента хода часов (п. 22.23) между наблюдателями Е и Н сводится просто к перемножению коэффициентов хода часов между Е и G и между G и Н (вспомним прием, применяемый в повседневной жизни при сравнении показаний часов). Значит, наблюдатель Е обнаружит, что часы Н отстают в (1 +z) (1 +f6r) = 1 +г + +f6r+'2f6r раз (п. 16.12М).

Но начиная с п. 22.20 мы связаны условием малости величин /бг (эквивалентной величине /х) и z (п. 27.21) по сравнению с 1. Поэтому произведение zf8r — незначительная доля малой дроби ——столь мало, что им можно пренебречь. Итак, множитель, показывающий, во сколько раз, по мнению наблюдателя Е, отстают часы Н, можно записать в виде

l + z+/6r.(27.9)

Этот множитель можно представить в иной форме.

Если часы наблюдателя G, расположенного на расстоянии г от Солнца, кажутся Е отстающими в раз (п. 27.20), то часы наблюдателя Н, находящегося на расстоянии г + бг, должны казаться отстающими в l+z + 5z раз, где 6г — приращение г, соответствующее приращению 6г радиуса г. Из сравнения этого выражения с его аналогом (27.9) следует

5z 〜fb几(27.10)

Почему я написал《〜》, а не《 =》？

При вычислении (27.9) предполагалось (п. 27.19), что поле тяготения между наблюдателями G и Н однородно. Это предположение неверно, но выбором достаточно малых 6г его можно сделать сколь угодно близким к реальности. Именно об этом говорит знак《〜》• Как указано в п. 27.5, применение этого знака равносильно модификации принципа эквивалентности, позволяющей распространить его на неоднородные поля тяготения.

Рассуждения, которые привели к приближенной формуле (27.10), применимы для полей тяготения, напряженность которых связана с расстоянием от Солнца произвольным образом. Но мы установили, что эта связь определяется соотношением (27.8), поэтому ограничимся полями тяготения, подчиняющимися закону обратной пропорциональности квадрату расстояния. Подстановка формулы (27.8) в (27.10) дает

6z 〜入5〃产.(27.11)

Но нам нужно соотношение, содержащее только г и z без их приращений. Чтобы его получить из (27.11), займемся немного математикой.

. Если х возрастает на величину Зх, то 1/х уменьшается, т, е. получает отрицательное приращение б (1/х). Найдем приближенную формулу, позволяющую выразить 6 (1/х) через х и 5%.

Сначала рассмотрим приращение 6 (%у) произведения двух величин: хну. Если % возрастает до 尤+营居 а у до у + М, то ху возрастает до (%-^6%) (у+М) =%у+ +%5у + у6%+8%М (п. 16.12М). Но 5(%у) —это величина, на которую это произведение превосходит исходное произведение ху. Таким образом,

6 (砌=х8у-^~ у舐+ Sx6y.(27.12)

. Пусть теперь

у=1/х.(27.13)

Тогда ху — постоянная величина (равная 1) и 6(ху) =0, и вместо (27.12) получим хбу + убх+бхбу = 0, откуда следует, что %М = —у8х—дх8у. Обратите внимание, что по мере уменьшения приращений 5% и бу их произведение 3%3у будет уменьшаться гораздо быстрее других членов. Это наблюдение приводит к приближенной формуле

%6р 〜—у8х.(27.14)

Проверьте справедливость этого результата (с помощью метода, проиллюстрированного на примере в п. 27.11).

Подстановка правой части (27ЛЗ) в (27.14) и деление обеих частей на х дает

3 (1 /%)〜一&r/%2,(27.15)

что и требовалось найти. Отрицательное приращение свидетельствует об уменьшении. Значит, из этой фор-

мулы следует, что при увеличении х на 6х величина 1/х уменьшается примерно на 6х/х2; выбирая достаточно малые приращения 6х, это приближение можно сделать сколько угодно хорошим.

. Выведите приближенные формулы для 5 (а/%) и 3(―А"), где а и X•—постоянные. Согласно (22.8) и (27Л5),

S (а/х) = аЗ (1 /%)〜一абх/х2.(27.16)

Замена а на —入，а % на『дает

6 (—а/广)~—(—入)3"产，

откуда (п. 15.24М)

3(一入/rj 〜入&7产.(27.17)

Что это дает для нашей основной задачи?

Объединяя (27J1) и (27.17), получим 品〜6(—*/г)・ А какой следующий шаг?

Эта приближенная формула удовлетворяет условиям второй основной теоремы (п. 25.13м): обе ее части содержат только приращения. Примените 3-й пункт этой теоремы.

После замены у и г из п. 25ЛЗ м на г и —Х/r соответственно получим

2=一入/卄4,

где а — некоторое постоянное число. Значит (п. 27.20), наблюдатель Е считает, что часы G отстают в

1—入"+。(27.18)

раз. Если определить значение а, то будет известен коэффициент хода часов.

Пусть наблюдатель Е находится на столь большом расстоянии R от Солнца, что отношение 入/R можно считать равным нулю, и какая бы точность ни требовалась, всегда можно выбрать расстояние R достаточно большое, чтобы выполнялось это условие. (Если вам хочется сказать: «Можно выбрать R бесконечно большим», то непременно сделайте это; я избегаю использования понятия бесконечности, поскольку оно может ввести в опасное заблуждение.)

Теперь рассмотрим случай, когда положения наблюдателей G и Е совпадают. Тогда 入/尸=入/7? также будет близко к нулю и коэффициент хода часов будет равен 1+о. Но он должен быть равен 1, ведь наблюдатель Е

считает свои часы точными, поэтому а = 0. Но а — постоянно, значит, оно должно быть равно нулю при любых значениях 厂，а не только при r = R. Таким образом, мы доказали, что, по мнению наблюдателя Е, показания часов G меньше в 1 ——Ur раз, чем его часов.

На расстоянии от Солнца, равном радиусу земной орбиты, его поле тяготения столь слабо(九/г =

= 0,00000001), что можно считать, что наши измерения совпадают с измерениями наблюдателя Е (хотя мы свободно падаем). Если бы наблюдатель G находился на поверхности Солнца, то его атомные (квантовые) часы (п. 20.9) отставали бы в 1——九/厂 раз (где г ——радиус Солнца, равный 696 000 км) по сравнению с нашими. Другими словами, частота света, испущенного с поверхности Солнца, должна уменьшиться во столько раз. Это предсказание было подтверждено с точностью 5%. Учитывая сложность наблюдений, такую точность можно считать очень высокой. Это предсказание было проверено для света, испущенного звездами с огромной плотностью вещества.

Эксперименты показывают, что модифицированный принцип эквивалентности (п. 27.5) остается в силе для полей тяготения, подчиняющихся закону обратной пропорциональности квадрату расстояния, и что все вычисления, выполненные до сих пор в этой главе, вполне корректны. Эти эксперименты и расчеты (вопреки тому, что подразумевается в неточных формулировках), вовсе не обеспечивают свидетельств, касающихся более широких аспектов общей теории относительности.

В момент события О наблюдатели F и G мгновенно сопутствуют друг другу (рис. 27.17). Каково поведение часов F, с точки зрения Е, в этот момент?

В отсутствие тяготения ускоренные часы идут в такт с мгновенно сопутствующими им часами, движущимися по инерции (пп. 20.10——20.19). Принцип эквивалентности позволяет перейти от этого утверждения к следующему: в поле тяготения часы на опоре идут в такт со свободно падающими часами, мгновенно покоящимися рядом с ними, т. е. часы наблюдателя G идут в такт с часами F. Поэтому, с точки зрения наблюдателя Е, часы F в момент события Q ведут себя точно так же, как часы G, т. е. отстают в 1—入/厂 раз.

Пусть Q，— событие, происшедшее с F некоторое время спустя после Q (рис. 27.17), и пусть 6Т — промежуток времени между Q и Q', измеренный по часам наблюдателя F, а 6/ — время, прошедшее между этими события-

ми по мнению Е. Заметьте, что 8Т — фактическое время, которое F определяет по своим часам в данном месте, а 3/ ——время с точки зрения наблюдателя Е. Найдите приближенную формулу, связывающую 5Т и б/, из ко» торой следовало бы, что по измерениям Е часы наблюдателя F отстают в 1—A/尸 раз.

Ответ таков:

6t 〜(1 一入/r)m(27.19)

Здесь стоит знак《〜》，а не《 =》，ибо ход часов наблюдателя F лишь мгновенно согласуется с часами G. Знак равенства, очевидно, означал бы, что фактическое время 6Т, измеренное по часам F, составляет лишь долю 1——九/г от значения, которое ему приписывает наблюдатель Е. Для строгого обоснования этой приближенной формулы нужно следовать линии рассуждений, описанной в пп. 22.22—22.28. Чтобы корректно выполнить эту процедуру, достаточно заменить наблюдателя А2 на F, a W на Е, подставить 1—%/г вместо 1十枕 и применить первую основную теорему.

Формула (27.19) связывает приращение времени между событиями Q и Q', измеренное наблюдателем Е, со значением, измеренным инерциальным (свободно падающим) наблюдателем в данном месте. Она позволяет выразить член ВТ? в метрике пространства-времени специальной теории относительности через 6尸，измеренное наблюдателем Е (так же как формула (22.27) в п. 24.12). Если обе части приближенной формулы (27.19) возвести в квадрат и воспользоваться приближенным соотношением (24.6) (положив в нем у =——九/г), то получим

б。〜(1 — 2九")》2.(27.20)

Чтобы найти искомую метрику методом, описанным в п. 24.12, следует вывести аналогичное соотношение для ЗХ (измеренного наблюдателем F приращения расстояния между событиями Q и Q') и 6г. Не существует простого способа это сделать на данном этапе. Поэтому пока предположим, что

3X2 〜а"2,(27.21)

где а — некоторое неизвестное выражение, содержащее г, и продолжим работу в надежде, что рано или поздно найдем способ, позволяющий получить правильное выражение для а.

Скорее всего при интересующих нас значениях г а лишь слегка отличается от 1. Причем, чем больше г, тем ближе к 1 должно быть а. Может оказаться, что это величина типа 1—2九/九

В системе координат свободно падающего наблюдателя метрика имеет вид (27.1). Если подставить в нее вместо 5。и 6Х2 правые части формул (27.20) и (27.21) соответственно, то получится метрика

5s2 〜(1 — 2入/『)6/2—а”2,(27.22)

описывающая пространство-время с полем тяготения, подчиняющимся закону обратной пропорциональности квадрату расстояния, и выраженная в координатах, связанных с наблюдателем Е.

При выводе этой метрики считалось, что f = 0. Но аргументы типа использованных в п. 24.17 указывают на ее справедливость в любой момент времени.

Наши рассуждения основывались на приближениях, справедливых, только если отношение 九/尸 очень мало по сравнению с 1. В Солнечной системе это условие хорошо выполняется всюду вне самого Солнца. Максимальное значение отношения 入/尸= 0,000002 достигается на поверхности Солнца (пп. 27.15 и 27.30).

Пусть задана метрика (27.22). Какие выводы можно сделать о распространении света?

Распространение светового сигнала характеризуется условием 3s = 0 (п. 24.24). Поэтому прибавим к обеим частям формулы (27.22) абг2 (чтобы не попасть в ловушку, о которой говорилось в п. 24.25м; ср. с п. 24.28м) и затем положим 6s = 0. Деление обеих частей получившегося соотношения на а дает приближенную формулу

”2 〜(1/а) (1— 2 入/г) 6产，(27.23)

которая показывает, какое расстояние 6г проходит световой сигнал за время 6/, если он находится на расстоянии г от Солнца.

Что теперь можно сказать о скорости света?

Из п. 24.22 следует, что на расстоянии г от центра Солнца

(Скорость света)2 = (1/а) (1 — 2Z/r).(27.24)

На больших расстояниях это выражение примерно равно 1, как и следовало ожидать, поскольку, когда поле тяготения становится пренебрежимо слабым, мы попадаем в ситуацию, описываемую специальной теорией

относительности. В то же время из формулы (27.24) следует, что в пространстве-времени с полем тяготения, подчиняющимся закону обратной пропорциональности квадрату расстояния, скорость света (согласно наблюдателю Е) зависит от расстояния от центра (если только не окажется, что а=1—2А/г).

Однако этот вывод основывается на предположении, что / и г в (27.22) —это время и расстояние, которые измерил бы наблюдатель Е (или некоторый наблюдатель на Земле, введя соответствующие поправки в собственные измерения, приписал бы Е). Не очевидно, что такое предположение оправданно. В пп. 22.4 и 22.5 уже выражались сомнения по поводу смысла величин, которые выбираются в качестве времени и расстояния относительно наблюдателей, движущихся с постоянным ускорением. Последующий ход изложения, в особенности в настоящей главе, как будто подтверждает наши сомнения.

Однако это нисколько не уменьшает значения величин ^ и г как координат, описывающих те или иные события, а лишь предупреждает нас о необходимости соблюдать осторожность при интерпретации их физического смысла. Ниже мы вернемся к этой проблеме. А пока вспомните определение п. 22.5.

При изучении пп. 27.40—27.44 полезно сравнить их с пп. 26.44 и 26.45 (и даже восстановить в памяти весь ход рассуждений начиная с п. 26.33). С чего начать изучение движения свободно падающего тела, если метрика имеет вид (27.22)?

Согласно п. 25.28, необходимо найти обыкновенную геодезическую (например, способом, сформулированным в п. 26.33). Как далеко в этом направлении вы сможете продвинуться?

Отбросим из (26.30) 6z (п. 26.44) и сопоставим вх®* дящие в эту формулу х, у, а и § с г,力，——а и 1 —— 2九/尸 из (27.22). Тогда вторая из формул (26.31) даст 6s ~ 〜8(1——2九")&, где В ——постоянная. Подставляя это выражение в метрику (27.22), получим

В2(1— 2Х/г)2 6f2 〜(1 - 2，〃)出2一 аб 户.

Прибавим к обеим частям абг2 и вычтем из них ¥(1— —2九")23产.Затем к членам, содержащим б/2, применим правило из и. 16.12М. Поделив обе части на а, получим

6г2 〜(1/а)(1 — 2Х/г){1—В2 (1 —2 厶〃)} 6 篦(27 ⑵

В соответствии с п. 25.28 эта приближенная формула описывает движение свободно падающего наблюдателя (назовем его F). Если в некоторый момент времени он находится от Солнца на расстоянии г, то (27.25) позволяет узнать, на какое расстояние dr переместится в дальнейшем этот наблюдатель за время 6/.

Какой отсюда следует вывод о скорости и наблюдателя F?

Интерпретируя формулу (27.25) в соответствии с п. 24.22, найдем

炉=(1 /а) (1 — 2А/г){1 —£2(1 — 2入/"}•(27.26)

Итак, и меняется с расстоянием, значит, наблюдатель F движется ускоренно (согласно наблюдениям Е). Это ускорение считается следствием гравитационного притяжения к S. Чтобы объяснить природу такого ускорения, Ньютон придумал силу тяготения (пп. 26.47 и 27.7). При нашем подходе никакие силы не требуются, а ускорение ——это всего лишь следствие того факта, что «геометрия» исследуемого пространства-времени описывается метрикой (27.22).

Идея, что вызванные тяготением ускорения — следствия геометрии пространства-времени, а не сил,——центральная в общей теории относительности. Она к тому же является отправной точкой в следующей главе, гораздо менее математизированной, чем другие. Если вы сыты математикой по горло, то можете опустить оставшуюся часть этой главы, которая довольно интересна, хотя не очень существенна. Но все же взгляните на формулу (27.33) и бегло прочтите п. 27.46.

Чтобы лучше изучить ускорение наблюдателя F, требуется приближенная формула, связывающая скорость с пройденным расстоянием. Для этого познакомимся еще с кое-какими математическими преобразованиями.

. Приращение величины х2 записывается как 6(х2) в отличие от квадрата приращения дх2 (п. 24.7). Подставляя в (27.12) у = х, получим 6(х2) =2хбх+6х2, так что

5(%2)〜2%舐.(27.27)

Проверьте, соответствует ли последний шаг, приведший к (27.27), определению приближенной формулы (пп. 20.20 и 21.42; ср. с пп. 27.11 и 27.26).

Рассмотрим тело, движущееся с ускорением f, которое может изменяться совершенно произвольно, но скорость

тела v всегда должна оставаться малой по сравнению со скоростью света. Тогда справедливо классическое определение ускорения как темпа изменения скорости, т. е.

/ 〜М/及(27.28)

(знак 《~》указывает на то, что мы имеем дело с переменным ускорением, точно так же, как в пп. 22.36— 22.38 он указывал на переменность скорости). Из формулы (22.38) следует

V 〜6г/б/.(27.29)

Последовательно применяя (27.27), (27.29), незначительную тождественную перестановку сомножителей и, наконец, формулу (27.28), получим

6 (и2)〜2ubu 〜2 (6r/6/) бу = 2 (6и/Ь2) 6г 〜2/6г, т. е.

6 (*)〜2/»・(27.30)

Это ——обобщение формулы (17.16) на случай переменного ускорения. Оно позволяет (с какой угодно точностью) узнать, на сколько возрастает и2 при перемещении тела на расстояние 6г.

Вывести формулу для ускорения наблюдателя F из (27.26) довольно трудно. Задача сильно упростится, если рассмотреть скорость, выраженную в долях локальной скорости света (которая лишь слегка отличается от и). Обозначим эту скорость буквой и. Тогда из (27.24) и (27.26) следует

и2=1 —B2(l —2Z/r).(27.31)

Постоянная величина В отмечает расстояние, на котором наблюдатель F прекращает подъем, на мгновение останавливается (и = 0) и начинает падать (событие Q на рис. 27.17). В самом деле, если и = 0 при 尸=仆,то, согласно (27.31),

1—В2(]—2 九/%)= о, откуда

1-2 九"0一 •

Последовательное применение к (27.31) правил и теорем, сформулированных в пп. 22.9м, 16.12М и 22.10м, дает

5®2)= 6{1 — В2(1 — 2 九犷)}=

=5( 1 一 冴十 2B2Z/r) = 6 (2B2X/r).

Тогда формула (27.16) приводит к приближенной формуле

6 (№)〜一化中入/产)”.

Сравнение этой формулы с (27.30) показывает, что ускорение наблюдателя F определяется формулой f = =—炉九/尸(где знак минус указывает, что ускорение направлено к S). Вместо В следует подставить правую часть формулы (27.32). Мы ограничились малыми скоростями, а значит, небольшими расстояниями, проходимыми при падении; поэтому вполне можно считать, что го = г. Тогда ускорение на расстоянии г от S равно

27.46.27.46./=一入/(1-2%①产.(27.33)

27.46.

27.46.

Итак, изменение ускорения отклоняется от закона обратной пропорциональности квадрату расстояния. Поскольку мы приняли, что 2Х/г мало по сравнению с единицей, отклонение от этого закона должно быть незначительным. За пределами Солнца 2入/尸 никогда не превосходит 1/250000 (п. 27.36). Вывод формулы для ускорения исходя из 卫,а не из и гораздо сложнее, но результат тот же: отклонение от закона обратной пропорциональности квадрату расстояния мало.

В п. 27.24 мы ввели закон обратной пропорциональности квадрату расстояния, но окончательно получили лишь приближение к нему. Почему? Вкратце можно ответить так: причина в том, что мы потребовали, чтобы тяготение определялось лишь геометрией. Если бы можно было обратиться к Духу математики с просьбой: «Ниспошли нам геометрию — метрику, из которой бы следовал закон обратной пропорциональности квадрату расстояния для тяготения», он бы ответил: «Такой геометрии не существует. Вот истинный смысл того, к чему вы пришли.»

В конце концов, почему истинным законом тяготения должен быть именно этот закон? Возможно, наблюдения, на основании которых Ньютон и его последователи сделали свой вывод (п. 27.12), были не столь совершенны, чтобы обнаружить малое отклонение.

28

ИСКРИВЛЕННОЕ ПРОСТРАНСТВО-ВРЕМЯ

В двух предыдущих главах выявилась новая точка зрения на тяготение. Из наблюдений следует, что движение тел, на которые, казалось бы, не действуют никакие силы, происходит с ускорением, величина и направление которого зависят только от положения этих тел относительно других тел. Согласно теории Ньютона, причиной ускорения является сила тяготения (пп. 26.47 и 27.13). Мы нашли иное объяснение, которое не нуждается в привлечении какой-либо силы. Гравитационное ускорение считается следствием свойств пространства-времени (пп. 26.46, 26.47 и 27.41). Эти свойства связаны с метрикой (п. 24.10). Если это метрика пространства-времени специальной теории относительности, то движение по инерции является равномерным и прямолинейным. Если это метрика (24.8), то тела, не находящиеся на опоре, падают с постоянным ускорением (п. 26.45). Если метрика дается формулой (27.22), то они падают (п. 27.41) с ускорением, изменяющимся по закону, близкому к закону обратной пропорциональности квадрату расстояния (гш. 27.45 и 27.46).

Метрика определяет геометрические свойства пространства-времени (пп. 12.21, 12.22, 24.6 и 24.10). Образно говоря, она описывает форму пространства-времени, ибо форма — это проявление геометрических свойств. Значит, можно сказать, что в теории Эйнштейна именно форма пространства-времени обусловливает наблюдаемое движение свободно падающих тел.

282 Представление о метрике как о характеристике «формы» пространства или пространства-времени не столь искусственно, как покажется на первый взгляд. Пусть пространство—сферическое. Сосредоточим внимание на внутренних свойствах, касающихся измерений, выполненных исключительно на поверхности сферы, например расстояния, которое проползла по поверхности муха. Можно вообразить, что световой сигнал, испущенный из любой точки поверхности, распространяется только по самой поверхности, следуя ее форме и никогда не покидая ее, и что на нее не попадают световые сигналы извне. Тогда обитате-

лю этой поверхности ничего не будет известно об остальном пространстве. Для него эта поверхность представляла бы всю вселенную.

Нас главным образом интересует исследование собственных свойств поверхности, т. е. исследование, которое мог бы выполнить живущий на ней абориген. Но время от времени мы будем узнавать то, что видно при взгляде извне.

Если бы поверхность была плоскостью, то метрикой пространства была бы очень простая формула (24.4): квадрат приращения расстояния равен сумме квадратов приращений координат. Существа, обитающие на плоскости, могли бы получить такую формулу, проделав множество измерений. Мы же, глядя на эту поверхность со стороны, могли бы добавить, что она плоская.

Предположим теперь, что рассматриваемая поверхность—сфера. В п. 25.20 мы установили, что метрика имеет более сложный вид: квадрат приращения одной из координат следует умножить на коэффициент, зависящий от положения интересующей нас точки на сфере. Разумеется, именно такой вид метрики обусловлен выбором одной частной пары координат — широты и долготы. Но можно было бы доказать (хотя такое доказательство выходит за рамки этой книги), что на сфере не существует ни одной системы координат, позволяющей записать метрику в виде суммы квадратов приращений, подобно формуле (24.4). Как минимум, один из квадратов приращений всегда будет входить в метрику с коэффициентом, зависящим от положения точки на сфере.

Существа, для которых сферическая поверхность — это вся вселенная, могли бы сами установить это свойство метрики, исходя только из внутренних измерений. Внешний наблюдатель мог бы добавить, что поверхность искривлена.

Сопоставим простейшую, выражающуюся в виде суммы квадратов приращений метрику плоского мира на плоскости с более сложной метрикой, описывающей геометрические свойства искривленной сферической поверхности. Математики используют различие между этими метриками, когда хотят дать определение тому, что они понимают под терминами 《плоская》 или «искривленная поверхность».

Если на поверхности можно выбрать такую систему координат, что

(Приращение расстояния)2〜Сумма квадратов прир飢 щений координат,

то поверхность плоская.

Поверхность искривлена, если на ней невозможно найти такую систему координат.

Обратите внимание на слова «можно» и «невозможно». Дело не в том, присуще ли некоторой системе координат свойство, чтобы выраженная через них метрика имела вид суммы квадратов приращений, а в том, можно ли вообще найти систему координат с таким свойством. Например, полярные координаты на плоскости приводят к более сложной метрике (26.38). Однако очевидно, что выбор другой системы координат не может превратить плоскость в искривленную поверхность. Плоскость — это плоская поверхность как раз потому, что на ней можно выбрать систему координат, в которой метрика имеет вид (24.4).

Разработана теория, правда слишком сложная, которая позволяет узнать, если задана метрика, записанная в произвольной системе координат, является ли описываемая этой метрикой поверхность плоской, или она искривлена.

Определенные таким образом понятия《плоский》и «искривленный» совершенно не соответствуют тому, что мы под ними понимаем в повседневной жизни. Например, на

цилиндре можно ввести координаты следующим образом (рис. 28.6). Выберем на линии НК, параллельной оси цилиндра, точку О, и пусть на его поверхности задана произвольная точка Q. Проведем «прямую» MQ, перпен-

дикулярную НК, но в действительности это дуга окружности, которую прочертила бы на поверхности цилиндра точка Q, если предоставить ей возможность двигаться вдоль MQ вплоть до прибытия в М. Тогда координаты точки Q ——это длины отрезков ОМ и MQ, измеренные вдоль поверхности.

Нетрудно убедиться, например, сделав на цилиндре продольный разрез и развернув его в плоскость, что метрика должна иметь вид суммы квадратов приращений координат. А это означает, что в математическом смысле цилиндрическая поверхность плоская, хотя обычно мы ее считаем искривленной.

Процедуру разрезания и развертывания цилиндрической поверхности можно использовать для отображения этой поверхности без искажений (без изменения какнх-лнбо длин) на плоскость, тогда как отображение сферической поверхности всегда содержит искажения. Если поверхность плоская в соответствии с определением из п. 28.5, то она не обязательно будет плоскостью; но ее можно отобразить без искажений на плоскость. Если же она искривлена, то такое отображение невозможно.

Геодезические на цилиндрической поверхности (скажем, найденные методом, описанным в п. 25.21) при отображении преобразуются в прямые линии. Но при отображении сферы на плоскость ее геодезические (во всяком случае, большинство из них) оказываются кривыми, так же как при отображении любой другой поверхности, искривленной в математическом смысле. По мнению математика, цилиндр — это плоская поверхность, свернутая в трубку, которую можно снова развернуть, в отличие от сферы, которую нельзя развернуть в плоскость без искажений.

Метрика описывает внутренние свойства поверхности. Существа, для которых поверхность ——это вся вселенная, могли бы найти ее метрику. Они могли бы ввести систему координат и проделать необходимые измерения. Затем (с помощью теории, упоминавшейся в конце п. 28.5) они могли бы решить, плоская ли их поверхность, или она искривлена. Причем им совсем не обязательно знать, что помимо их собственной поверхности есть еще какое-то пространство. Значит, если определение дано исходя только из внутренних характеристик поверхности, то смысл утверждения, что поверхность искривлена, совершенно не зависит от того, искривлена ли она в трехмерном пространстве, т. е. выглядит ли она так со стороны. Эти соображения позволят преодолеть трудности, воз-

пикающие, когда релятивисты начинают толковать об искривленном пространстве и искривленном пространстве- времени. Если считать, что кривизну можно обнаружить лишь со стороны, т. е. что она проявляется лишь в пространстве большего числа измерений, то представление об искривленном трехмерном пространстве станет крайне сложным, просто непостижимым. Что же тогда говорить об искривленном пространстве-времени! Если же воспринимать кривизну просто как свойство метрики, а значит, и геометрии пространства-времени, то никаких трудностей не возникнет. Понятие кривизны будет выполнять роль термина, необходимого для сокращенного обозначения довольно длинного описания метрики.

Чтобы определение из п. 28.5 было применимо к пространству-времени, его нужно слегка модифицировать, приняв во внимание присутствующие в метрике отрицательные члены. Итак, мы утверждаем, что

пространство-время плоское, если в нем можно выбрать такую систему координат, что

(Приращение интервала) 2 〜Сумма или разность квадратов приращений координат.

Пространство-время искривлено, если в нем невозможно найти такую систему координат.

Не тратьте попусту время и силы на то, чтобы мысленно представить себе пространство-время, искривленное в неком суперпространстве-времени!

Итак, пространство-время специальной теории относительности без поля тяготения, каким оно представляется инерциальному наблюдателю, — плоское по определению. Что можно сказать о пространстве-времени с однородным полем тяготения?

Метрика такого пространства-времени в системе координат, связанной с наблюдателем на опоре, имеет вид (24.8), т. е. не представляет собой сумму или разность квадратов приращений. Тем не менее это пространство- время тоже плоское. Чтобы в этом убедиться, достаточно принять в качестве координат время и расстояние, измеренные свободно падающим наблюдателем. Тогда мы снова вернемся к простейшей метрике плоского пространства-времени. Поэтому можно рассматривать пространство-время с однородным полем тяготения как плоское (без поля тяготения) пространство-время, изучаемое с точки зрения ускоренного наблюдателя.

28」I】 Но ситуация резко изменяется, если поле тяготения подчиняется закону обратной пропорциональности квадрату

расстояния, когда метрика (в системе координат, связанной с наблюдателем Е) имеет вид (27.22). Можно доказать, что не существует такой пары координат, в которых метрика приняла бы форму разности квадратов приращений.

Можно, конечно, перейти к системе координат, связанной с некоторым свободно падающим наблюдателем, что приведет к метрике плоского пространства-времени, годной в непосредственной окрестности этого наблюдателя (пп. 27.3 и 27.4). Но удаленные свободно падающие наблюдатели будут двигаться относительно него ускоренно. Чтобы найти связь между их измерениями и своими, ему придется учесть эти ускорения, а для этого понадобятся уравнения, содержащие расстояния до удаленных наблюдателей. Поэтому в конце концов он получит метрику, вид которой отличается от разности квадратов приращений.

Кривизна поверхности не обязательно должна быть всюду одинаковой. Например, поверхность яичницы-глазуньи сильно искривлена посередине, но почти плоская ближе к краю. Нечто подобное демонстрирует пространство- время с полем тяготения, подчиняющимся закону обратной пропорциональности квадрату расстояния. Чем больше г, тем ближе а и 1——2九"к 1, и метрика (27.22) стремится к виду 5s2 〜5/2—в厂2 Нтак, на больших расстояниях от Солнца пространство-время вполне можно считать плоским. Кривизна существенна лишь вблизи Солнца.

Трудно себе представить, что кривизна пространства-времени, его《форма》，как мы назвали кривизну в п. 28.1, может быть причиной ускоренного движения свободно падающих тел. Трудно вообразить, что мировая линия планеты ——геодезическая, т. е. аналог прямой в искривленном пространстве-времени. А как понять, что очень слабое отклонение от геометрии плоского мира, о котором свидетельствует метрика (27.22), способно привести к существенному различию между прямолинейным равномерным движением и довольно сложным поведением планеты при ее движении по эллиптической орбите?

Нам поможет аналогия с искривленными поверхностями (заимствованная из телевизионной серии профессора Бонди). Известно, что поверхность Земли искривлена, но мы часто отображаем ее на плоскость одним из простейших способов — в проекции Меркатора (п. 14.12), что приводит к сильным искажениям.

Рассмотрим перелет из Лондона в Ванкувер, лежащий на той же широте. Кратчайший маршрут ——геодези*

ческая является дугой большого круга (п. 25.21). Он не пролегает вдоль параллели, на которой лежат пункты отправления и назначения, а сначала отклоняется далеко на север от Лондона, а затем устремляется к югу, в Ванкувер (можете убедиться в этом с помощью резинки, как в п. 25.21).

В проекции Меркатора параллели изображаются горизонтальными прямыми, и кратчайший маршрут само-

Рис. 28.13

лета будет выглядеть как на рис. 28.13. Геодезическая оказалась кривой линией, что и следовало ожидать при отображении искривленной поверхности на плоскость (п. 28.7).

Каково мнение об этом фанатичного сторонника идеи о плоской Земле, убежденного, что проекция Меркатора дает неискаженное изображение ее поверхности? Множество измерений наверняка убедят его, что среди всех маршрутов между Лондоном и Ванкувером самый экономичный, как по времени, так и по затратам горючего,— это изображенный в виде кривой на рис. 28.13. Хотя, взглянув на карту, он увидит, что этот маршрут не прямолинейный, ему придется признать, что такой маршрут кратчайший.

Если он верит, что меркаторская проекция точно отражает действительность, то он должен найти разумное

объяснение такому странному маршруту. Бонди предположил, что этот фанатик мог бы постулировать существо* ванне некой силы, притягивающей самолет к экватору. Поэтому если пилот нацелит самолет прямо на Ванкувер, то под влиянием этой силы самолет полетит по маршруту, отмеченному на рисунке пунктиром. Чтобы попасть в Ванкувер, пилоту придется направить самолет под соответствующим углом на север и положиться на силу, под действием которой траектория самолета станет кривой, но зато приведет в пункт назначения.

Если этот приверженец идеи о плоской Земле получит искривленную поверхность и будет настаивать, что она плоская, то геодезические, с его точки зрения, должны быть кривыми, а прямые уже не будут геодезическими. Однако он считает, что самолет, если его предоставить самому себе, должен лететь по прямолинейной траектории. Чтобы объяснить, почему этого не происходит, он вынужден выдумывать силу.

Можно, конечно, притвориться и сказать, что искривленная поверхность — плоская. Но тогда геодезические станут кривыми. Точно так же если рассмотреть искривленное пространство-время, но утверждать, что оно плоское, то в качестве геодезических вместо простейших мировых линий придется использовать более сложные. Не поможет ли такое представление разобраться в движении планеты?

Движение планеты на небе выглядит довольно сложно, но ее орбита всегда остается в одной плоскости. Поэтому мировую линию планеты можно было бы изобразить на трехмерной диаграмме пространства-времени. Пусть, например, ваша комната и есть такая диаграмма, и пусть ось времени идет вертикально вверх, а плоскость орбиты в любой момент времени задается горизонтальной плоскостью. Тогда мирова兄 трубка Солнца будет выглядеть как колонна. Мировой линией планеты в первом приближении (когда орбита предполагается круговой) будет кривая, которая называется винтовой линией (такая кривая образует внешний край винтовой лестницы). Но планета движется по эллиптической орбите, причем Солнце расположено не в центре эллипса, а несколько смещено к одному из концов его большой оси; кроме того, скорость планеты зависит от ее расстояния от Солнца. Значит, винтовая линия деформируется, в плане она будет не круговой, а эллиптической, некоторые ее отрезки будут идти круче, чем другие, да и мировая трубка Солнца сместится из ее центра.

Это очень сложная картина по сравнению с прямой мировой линией, которая, согласно Ньютону, должна изображать движение тела, не подверженного действию силы. Поразмышляйте над этой картиной.

Вы обратили внимание, что, описывая мировую линик> планеты, я предположил, что пространство-время в окрестности Солнца можно адекватно отобразить на пространство комнаты, фактически на плоское пространство*? Рассматривая искривленное пространство-время в окрестности Солнца, я считаю, что оно плоское. Не потому ли мировая линия планеты выглядит так сложно? Не в этом ли причина, побуждающая нас изобретать силу тяготения? Полагаю, что если бы мы свободно воспринимали искривленное пространство-время, или, что то же, свободно оперировали правилами геометрии, которая довольно сильно отличается от евклидовой, то мировая линия планеты выглядела бы очень просто, как геодезическая. Ее движение выглядело бы простым, очевидным и естественным, как маршрут самолета, летящего по большому кругу, для человека, который убежден, что Земля ——шар. И так же как представления о плоской Земле привели бы к тому, что траектория полета самолета стала бы выглядеть слишком сложно, предпочтение, которое мы отдаем плоскому пространству-времени, приводит к тому, что движение планет имеет сложный вид.

Принимая это во внимание, нужно помнить, что мы видим не само сложное движение планет, а его отображение на земном небосводе — пятнышки света на черном небосводе, странствующие среди ярких точек — звезд. Теория, согласно которой планеты движутся с изменяющимися скоростями по эллиптическим орбитам, основана на результатах наблюдений.

Однако мы по привычке проделываем необходимые геометрические построения в плоском пространстве с помощью евклидовой геометрии, которая в других ситуациях служит нам верой и правдой. Таким образом, пользуясь результатами наблюдений для построения теории движения планет, мы некритически принимаем, что для этой работы годится плоское пространство-время. Это приводит к искаженному представлению обо всем происходящем в пространстве-времени. Отсюда кажущаяся сложность поведения планет.

♦ В вашей комнате любые отклонения от геометрии плоского мира чрезвычайно малы.

Привычки и традиции мешают нам отойти от евклидовой геометрии плоского мира. Трудности усугубляются тем, что, пытаясь совладать с невообразимо большими расстояниями, мы строим модели и рисуем схемы Солнечной системы в масштабах, хорошо поддающихся восприятию. Такие модели и схемы внедряются в наше сознание, как будто они и есть реальность. Малые масштабы позволяют вложить эти модели в практически плоское про* странство-время, которое мы тоже начинаем воспринимать как реальное.

Но если бы мы могли свободно оперировать несколько более сложной геометрией искривленного пространства- времени, то мировая линия планеты предстала бы перед нами как простейшая кривая — геодезическая. Тогда теория Эйнштейна выглядела бы гораздо проще теории Ньютона со всеми ее сложностями, связанными с силой тяготения.

Помните, что определения понятий «плоский» и «искривленный», данные в пп. 28.5 и 28.9, всего лишь описывают правила работы с измерениями в пространстве или в прострастве-времени. Перечитайте пп. 28.13—28.17 и помните об этом всегда.

Слова «плоский» и ^искривленный» полезны, когда они ведут к разъясняющим аналогиям, как в п. 28.14. Но часто от них больше вреда, чем пользы, поэтому, столкнувшись с такой ситуацией, вспомните их определение в п. 28.5.

Даже на поверхности Солнца величина 1—2Х/г отличается от 1 всего лишь на 1/250000 (п. 27.46), т. е. отклонение от геометрии плоского мира исключительно мало даже в непосредственной близости от Солнца.

Точность измерения расстояний в Солнечной системе довольно низка, поэтому нет никакой надежды проверить эту теорию с помощью прямых измерений времени и расстояний. Асфальтированная дорога тоже кажется плоской лишь до тех пор, пока по ней не покатится мяч. Тогда отклонение его движения от прямолинейного сразу обнаруживает бугорки и впадины, незаметные глазу. Значит, изучение движения тел вблизи Солнца могло бы выявить даже столь малые отклонения от геометрии плоского мира.

29

МЕТРИКА В ОКРЕСТНОСТИ СОЛНЦА

Метрика пространства-времени одномерной вселенной с полем тяготения, подчиняющимся закону обратной пропорциональности квадрату расстояния, не приводит ни к каким поддающимся проверке новым предсказаниям. Чтобы сдвинуться с мертвой точки, распространим исследования на плоскость, проходящую через центр Солнца (к счастью, нам никогда не потребуется выходить за ее пределы).

Рис. 29.1.

Здесь будет удобно использовать полярную систему координат (п. 26.35М) с полюсом в центре Солнца S. Тогда координатами события Q (рис. 29.1) будут / —— время, когда произошло событие Q; г— расстояние между S и Q; 0 — угол между фиксированной осью SL и прямой SQ, причем все эти величины измеряются очень удаленным наблюдателем на опоре Е (гл. 27).

Если бы пространство-время вокруг Солнца было плоским, т. е. не было бы поля тяготения, то оно описывалось бы метрикой (26.44). Но Солнце создает поле тяготения, поэтому можно ожидать более сложной метрики, которую запишем в следующем виде:

6s2 〜丫6伊一a8r2—p602,(29.1)

где a, p и 丫 ——подлежащие определению выражения, зависящие от г (но не от / и 0, так как метрика должна быть одинаковой во всех направлениях и, кроме того, принимается, что она не изменяется со временем).

Если ограничиться линией, проходящей через центр Солнца, то 60 = 0 (т. е. угол не будет меняться) и мет-

рика (29.1) сведется к 3s?〜丫5尸一абг2. Тогда мы снова возвращаемся в одномерную вселенную с полем тяготения, подчиняющимся закону обратной пропорциональности квадрату расстояния. Метрика такой вселенной дается формулой (27.22), значит, 丫=1—2%/尸・

Перечитав п. 26.36, вы убедитесь, что член с 602 относится к расстояниям, измеренным под прямыми углами к направлению SQ, в котором действует тяготение. Разумно предположить, что тяготение не влияет в направлении, поперечном к его линии действия. Это можно доказать с помощью доводов, которые я изложу лишь в общих чертах.

Рассмотрим ситуацию, подобную описанной в п. 2.22. Пусть наблюдатель С — инерциальный, а наблюдатель D на стадии а покоится относительно С, а затем начинает двигаться с ускорением перпендикулярно PQ (вниз на рис. 2.22). Тогда из соображений симметрии наблюдатели С и D будут по-прежнему единодушны по поводу одновременности событий Р и Q.

Снабдим наблюдателей С и D стержнями, длина и ориентация которых такие же, как в п. 2.27. Из соображений, изложенных в п. 2.27, следует, что мнения С и D в отношении длин этих стержней совпадают. Тогда, воспользовавшись ими как мерными линейками, наблю* датели С и D измерят одинаковые расстояния под прямым углом к направлению ускорения наблюдателя D. И наконец, с помощью принципа эквивалентности можно перейти от этого утверждения к следующему: свободно падающий наблюдатель С и наблюдатель на опоре D измерят одинаковые расстояния в направлении, перпен* дикулярном вектору ускорения, вызванному полем тяготения. Поэтому член новой метрики, содержащий б02, должен иметь такой же вид, как в (26.44), значит, р = г2. 29.4. Подставляя найденное для р и у выражения в (29.1), мы увидим, что метрика пространства-времени с полем тяготения, подчиняющимся закону обратной пропорциональности квадрату расстояния, в плоскости есть

6s2 〜(1 — 2%/г) %2—а”2—爬叱(29.2)

где вид а по-прежнему неизвестен.

Во всех предыдущих случаях, найдя новую метрику, мы тут же исследовали поведение света (пп. 24.24——24.26, 27.37 и 27.38). Для этого достаточно было положить 5s = 0. (Почему? Загляните в п. 24.24.) В результате по* лучалась приближенная формула, связывающая бх (или 6г) и б/. В одномерной вселенной, где изучалась только

скорость, этой -единственной формулы было вполне достаточно.

Но плоскость имеет два измерения, поэтому возникают два вопроса: по какой траектории распространяется свет? Какова его скорость? Чтобы ответить на них, необходима еще одна приближенная формула.

Будем следовать стратегии, намеченной в п. 24.27. Когда этот метод был применен к движению по инерции, из равномерности и прямолинейности движения следовало, что в отсутствие тяготения мировая линия инерциального наблюдателя — геодезическая (гл. 25, особенно пп. 25.17, 25.18 и 25.27м). В пп. 25.19 и 25.28 было сформулировано предположение, что мировая линия инерциального наблюдателя должна оставаться обыкновенной геодезической даже при наличии поля тяготения. До сих пор эта идея приводила к многообещающим результатам. Нельзя ли обобщить эту идею таким образом, чтобы она годилась и для распространения света?

В отсутствие тяготения свет распространяется равномерно и прямолинейно, а его постоянная скорость — это совершенно особая величина, которой мы приписали значение 1. Поэтому линия сигнала также должна быть геодезической, но дополненной соотношением, обобщающим на произвольное пространство-время утверждение, что скорость света равна 1, справедливое в пространстве-времени без тяготения. Каково это дополнительное соотношение?

Согласно доводам, изложенным в п. 24.24, это результат приравнивания нулю интервала, измеренного вдоль линии сигнала, т. е. это 3s = 0.

Геодезическая, интервал вдоль которой равен нулю, называется изотропной. Тогда наше новое предположение сводится к тому, что

линия сигнала ——это изотропная геодезическая

и что поведение света в любом пространстве-времени можно вывести из этого утверждения таким же способом, как из гипотезы геодезичности (п. 25.28) выводится поведение свободно падающих тел.

Итак, найдем приближенную формулу для изотропной геодезической. Первое естественное желание — вернуться к гл. 26, где были выведены приближенные формулы для обыкновенных геодезических, и положить там 6s = 0. К сожалению, этот путь не годится, ибо, положив в (26.31) 6s = 0, мы получим 6М~0, что абсурдно (п. 24.25м).

Не будем поступать столь прямолинейно. В основном метод, примененный при выводе обыкновенной геодезической, пригоден и теперь. Но чтобы введение условия 5s = 0 не влекло за собой бессмысленных утверждений, модифицируем этот вывод. Просмотрим гл. 26, отмечая, что по-прежнему остается в силе, и подробно обсуждая те моменты, которые требуют изменений. Начнем с п. 26.5.

Метрика имеет вид (26.2), а в следующей строке определены входящие в нее величины. Все рассуждения гл. 26 остаются без изменений вплоть до конца п. 26.11. Здесь мы введем дополнительные условия, что оба экстремальных значения ор и ctq равны нулю.

После введения четвертого упрощения (п. 26.13) формула (26.8) неприменима, когда точка Q находится в правильном положении, поскольку Ор и ctq равны нулю, а нуль, деленный на нуль, — это бессмыслица (или, как говорят математики, неопределенность). Однако для остальных положений точки Q, которые также нужно рассмотреть, ор и Oq в общем случае не будут равны нулю. Поэтому в поисках правильного положения точки Q мы будем рассматривать только такие положения, для которых формула (26.8) верна. Тогда формула (26.9) справедлива для любых положений точки Q. (Приведенный в п. 26.29 вывод остается в силе для любых положений, кроме правильного положения Q. В этом случае обе части формулы (26.9) обращаются в нуль.)

Теперь рассуждения, приведенные в гл. 26, годятся вплоть до конца п. 26.17. Но при отмене четвертого упрощения (п. 26.18) нельзя использовать (26.8), так как Ор и <tq равны нулю. Поэтому, чтобы исключить К, разделим формулу (26.16) на (26.17):

BpSp _ BqMq Yp&p — YqBzq '

это соотношение заменит (26.18) и (26.19). Отсюда, прибегая к доводам типа изложенных в п. 26.19, получим

m// = "?配，(29.3)

где Н — постоянная. Эта формула заменяет (26.21). Поскольку мы избавились от а, она к тому же заменяет приближенные формулы (26.22).

Правомерность сделанного в п. 26.21 утверждения s〜2 зависит, как отмечалось в примечании, от того, отличны ли 5s и о от нуля, поскольку для обоснования

этой формулы используется понятие относительной погрешности (п. 20.25). Но если они равны, нулю, то s = = S = 0, а эти равенства сильнее и включают приближенную формулу s〜Е. Поэтому приближенная формула s=W всегда справедлива, независимо от того, достигается ли на рассматриваемой кривой экстремальное значение величины S (в соответствии с требованием, сформулированным в третьем абзаце п. 26.21).

Конец и. 26.21 сохраняет силу, хотя для учета идеи о достаточно малых отрезках нужно заменить в (29.3) знак《=》на《〜》：

^yr^HySz.(29.4>

Чтобы получить полную систему условий, определяющих изотропную геодезическую, необходимо ввести условие равенства нулю интервала, измеренного- вдоль кривой, положив в метрике 5s = 0 (разумеется, нужно произвести перестановку членов, чтобы не получилась приближенная формула с нулем с одной стороны; см. п. 24.25). 29.10. Итак, рассматривая в качестве метрики соотношение

6s2 〜абх2-|-₽Зу2+тбг2(29.5)

(все величины определены как в п. 26.33), мы приходим к следующему выводу: кривая будет изотропной геодезической, если приращения связаны формулой (29.4) и приближенной формулой, которая получается из метрики, если (после соответствующей перестановки) положить 6s = 0.

Сделайте простое упражнение (если потребуется, см. пп. 26.41—26.43): исследуйте в полярной системе координат распространение света в плоскости в отсутствие тяготения; в частности, найдите траекторию, по которой свет распространяется в этой плоскости.

Метрика имеет вид (26.44). Величины г, 0 и / можно отождествить (п. 26.42) с 尤，у и z из (29.5), так что а =—1, р = —г2 и у = 1. Тогда формула (29.4) дает —尸59~无3力 где 九一постоянная. После выполнения необходимых преобразований при условии 6s = 0 следует: 6尸〜6/2—产。百2 чТобы найти уравнение траектории распространения света, исключим из этой формулы 6f, подставив вместо него —r260//i, следующее из предыдущей формулы. Это дает

价2 〜尸(1 /九2_ 1 /产)бу.(29.6)

Из сравнения этой формулы с (26.43) следует, что траектория светового сигнала (как и должно быть!) —прямая линия.

Теперь такнгм же образом найдите траекторию светового сигнала в плоскости в поле тяготения, подчиняющемся закону обратной пропорциональности квадрату расстояния.

Метрика имеет вид (29.2). Снова сопоставим г, 9 и* f величинам %, у и z из (29.5). Тогда р=—г2 и 丫=1— —2九/г, и из (29.4) следует приближенная формула

—产68 〜Н (1 — 2%/r) М(29.7卜

которую можно переписать в форме

也产 68/Н (1 — 2 北/г).(29.8>

Выполнив в метрике перестановку и положив 6s = 0, получим аб尸〜(1—2先/「)5^2—尸5日2. Если1 в эту формулух подставить 6/ из соотношения (29.8) и разделить на а,_ это дает новую приближенную формулу:

*-4｛『二2力)一个炉，

которую можно переписать (пп. 16.12М и 26.37М) в виде 旷〜占』｝漑 (29・9)

Что означает эта формула?

Если Q и Q' — две точки на траектории светового- сигнала (рис. 29.12), то приращения полярных^ коордит

Рис. 29.12.

нат, возникающие при перемещении из Q в Q', связаны приближенной формулой (29.9). Сравнение с (29.6) показывает, что на этот раз свет распространяется не по прямой линии.

Величина а должна быть положительной (так как пространственные члены, в том числе член, содержащий 6厂2, должны в метрике вычитаться). Величины 6г2, бб2 и г4 тоже не могут быть отрицательными (п. 24.20), значит, выражение в фигурных скобках в (29.9) должно быть либо положительным, либо равным нулю, и второй член этого выражения должен быть либо меньше первого члена, либо равен ему. В области, где радиус г близок к своему минимальному значению, этот член должен быть много меньше первого.

До сих пор мы мирились с тем, что нам не известен явный вид величины а. Мы знали лишь, что она зависит от г. И вот теперь я хочу выдвинуть рабочую гипотезу относительно явного вида этой величины. Из наблюдений известно, что траектория светового сигнала даже в поле тяготения вблизи Солнца очень близка к прямолинейной, поэтому никто не подозревал ничего иного, пока Эйнштейн не сделал свое знаменитое предсказание.

Если бы траектория была точно прямолинейной, то она описывалась бы приближенной формулой (29.6), а не (29.9). Значит, формула (29.9) должна близко совпадать с (29.6), а совпадение будет наилучшим при

1/а=1 —2А/г.(29.10)

Тогда (29.9) приводится к виду

6产〜М4T ( 1-亭Ж(29.11)

Влияние величины 1—2V в этой формуле уменьшается еще и тем, что она входит в наименьший из двух членов, заключенных в фигурные скобки. Поэтому (29.11) (если считать, что " играет ту же роль, что и Л) —это ближайшая к (29.6) из всех возможных приближенных формул, получающихся из метрики типа (29.2).

В длинной цепи рассуждений, с помощью которых я пытался привести вас к выводам Эйнштейна и при этом обойти непреодолимые для непосвященных математические трудности использованного им метода, предположение о виде а — самое слабое звено. Если вы испытываете некоторое недоверие, то совершенно справедливо. Ведь можно a priori рассмотреть и такие, вполне разумные

возможности, как а=1 (простейшая возможность) или а=1—2入/尸(тогда радиальная скорость света была бы постоянной; п. 27.38) и т. д.

Столкнувшись с подобной ситуацией в исследовательской работе, нужно получить на основе разрабатываемой теории предсказания нескольких вариантов, а затем, сравнив их с результатами экспериментов или наблюдений, решить, какой вариант (если таковой найдется) наиболее реалистичен. Чтобы не заниматься здесь этой длинной и утомительной работой, я просто изложу следствия предположения, что (29.10) дает правильное выражение для а. В подходящий момент я приведу результаты, которые получились бы, если исходить из других предположений.

В эйнштейновском методе, несколько туманное и упрощенное изложение которого я дам в конце книги, правильное выражение для а однозначно следует из предположений, лежащих в основе теории.

Чем больше г, тем ближе 1—2入/尸 к 1 и тем сильнее становится сходство между формулами (29.11) и (29.6). Но даже на поверхности Солнца эта величина отличается от единицы лишь на 1/250000. Значит (если наша догадка о виде а верна), свет вблизи Солнца распространяется вдоль траектории, слегка отклоняющейся от прямолинейной.

Итак, предположим, что формула (29.10) верна. Тогда а=1/(1—2А/『). Если подставить это выражение в (29.2), то в плоскости, проходящей через центр Солнца, метрику пространства-времени с полем тяготения, подчиняющимся закону обратной пропорциональности квадрату расстояния, теперь можно будет записать в виде

6s2 〜(1 —2入① 6尸一-— r2S02.(29.12)

Согласно определению, данному в п. 28.9, пространство-время, описываемое этой метрикой, искривлено (ср. с п. 28.5).

Я виновен также в неточных утверждениях, сделанных в пп. 29.12——29.15, если не в грубом обмане. В чем дело?

Просмотрите пп. 28.13—28.17 и снова попытайтесь ответить на вопрос.

Я принял неверное допущение, сделанное в п. 28.15 и разоблаченное в начале п. 28.16, рассматривая искрив

ленное пространство-время как плоское. Метрика про* странства (в противоположность пространству-времени) вокруг Солнца получается путем изменения знаков перед всеми членами в правой части (29.12) на противоположные (чтобы получить пространственноподобный интервал; п. 13.23) с последующим приравниванием нулю приращения 6/ (так что речь идет о событиях, разделенных только в пространстве). Таким образом, пространственная метрика имеет вид

5s2〜任金"+Г哑2, (29.13)

где 3s теперь имеет смысл расстояния. Форма этой метрики свидетельствует о том, что даже пространство вокруг Солнца искривлено.

Итак, я совершил ошибку еще в п. 29.1 (и затем чуть позднее), когда толковал о плоскости, проходящей через центр Солнца. Плоскость — это поверхность, которая в полярных координатах описывается метрикой (26.38). Метрика (29.13) показывает, что тяготение деформирует плоскость в поверхность, искривленную сильнее всего вблизи Солнца и почти плоскую на больших расстояниях (ср. с п. 28.12). (Эту поверхность не следует рассматривать как плоскость с выпуклостью вблизи Солнца. Ведь это — поперечное сечение трехмерного пространства, которое само искривлено. Старайтесь придерживаться определения, сформулированного в п. 28.5. Тогда это просто поверхность, на которой геометрия слегка отличается от евклидовой).

Приближенная формула (29.6) описывает прямую на плоскости, а не на искривленной поверхности. Значил нельзя было сравнивать (29.9) или (29.11) с (29.6) и делать вывод, что траектория светового сигнала слегка отклоняется от прямой линии. Точнее, такая картина наблюдалась бы, если бы мы вели себя как гипотетический приверженец плоской Земли (пп. 28.13 и 28.14) и полагали (ошибочно), что пространство вокруг Солнца плоское. Лишь при таком предположении формула (29.6) могла бы описывать прямую, а (29.9) или (29.11) —линии, слегка отклоняющиеся от прямой.

Но при изучении геометрии Солнечной системы (и более далеких областей за ее пределами) измеряются лишь расстояния и промежутки времени на Земле, а также углы между лучами света, достигающего астрономических инструментов. Все остальные величины рассчитываются, причем астрономы предполагают, что пространство —

плоское. Значит, утверждение, что траектория света вблизи Солнца отклоняется от прямой, соответствует картине, получаемой обычными астрономическими методами. Тогда траектория светового луча вблизи Солнца должна быть слегка изогнутой. Но насколько?—это основной вопрос, которому посвящена следующая глава.

. Изучим еще некоторые свойства экстремальных значе* ний (п. 25.26м)・ Докажем, что

если две переменные величины гиб связаны таким образом, что

&〜U69,(29.14)

где U зависит от г (но не зависит от 0 и приращений) ,то экстремальные значения г находятся среди тех значений, для которых U = 0・

Из этой теоремы вовсе не следует, что каждое значение величины г, для которого U = 0, экстремально, просто экстремальные значения (если они есть) лежат среди тех значений, для которых U = 0. Хотя эта теорема справедлива для любых величин, я использовал символы г и 0, поскольку мы будем применять теорему только к полярным координатам.

. Чтобы доказать эту теорему, выберем какое-нибудь значение 6. Тогда можно найти соответствующее значение г и отсюда вычислить U. Если U не равно нулю, то оно либо положительно, либо отрицательно. Допустим, что оно положительно. Тогда если приращение 50 положительно, то из формулы (29.14) следует, что 6г тоже положительно. Точнее, (29.14) утверждает, что, придавая •60 достаточно малые положительные значения, можно добиться, чтобы приращение 6г тоже было положительным. Другими словами, небольшое возрастание величины 6 ведет к возрастанию г. А если г возрастает, то о максимуме нет речи. Если же сделать приращение 68 отрицательным, то, согласно (29.14), уменьшение 0 на достаточно малую величину приводит к уменьшению г, а значит, исходное значение г не было минимальным.

Итак, мы доказали, что значения г, для которых U положительно, не могут быть экстремальными. Теперь докажите аналогичное утверждение для отрицательных U. Итак, мы рассмотрели все возможные случаи и показали, что если U не равно нулю, то г не может иметь экстремальное значение. Оно может появиться лишь при D = 0.

. Мы будем пользоваться этой теоремой в следующей формулировке:

если две переменные величины г и 0 связаны таким образом, что

旷〜У断(29.15)

где V зависит от г (но не зависит от 0 и приращений), то экстремальные значения г находятся среди тех значений, для которых У=0.

Для доказательства извлечем из обеих частей приближенной формулы (29.15) квадратный корень, что даст 3〜U68、где и=¥У, и воспользуемся исходной теоремой.

В качестве примера рассмотрим формулу (29.6), описывающую (в плоском пространстве) прямую линию. Сравнивая ее с (29.15) и учитывая тождество (16.10), получим

y =产(1 /胪 _. ] /产)=尸(1 /用-1 "•)( 1 加 + 1 ").

Значения г, для которых V=0, очевидно, равны 0,九 н —Л (например, если положить 厂=瓦 то первая скобка равна 1/九——l//i = 0, а значит, и У=0). Если рассматриваемая прямая не проходит через полюс S, то г не может быть равно нулю; кроме того, в полярных координатах радиус г не может быть отрицательным (п. 26.35М). Поэтому остается единственное экстремальное значение 尸=无,а это не что иное, как длина перпендикуляра, опущенного из полюса S на прямую (п. 26.40), который, как известно, является минимальным значением радиуса г.

30

ТЯГОТЕНИЕ И СВЕТ

Траекторию светового сигнала мы обычно называем лучом света. Если наша теория (в том числе догадка 6 величине а) верна, то идущий от звезды луч света должен быть изогнут (п. 29.17) и угол отклонения от прямой можно вычислить по формуле (29.11). Проверим,, согласуются ли предсказания с результатами наблюдений. Математика в этой главе не очень сложна. Вспомните советы, данные в пп. 26.4М, 26.27М, и постарайтесь применить их здесь.

Пусть кривая MLN (рис. 30.2)——луч света, пришедший издалека в точку М, проходит на минимальном- расстоянии от Солнца в точке L. Пусть Л — кратчайшее：

Рис. 30.2.

расстояние между центром Солнца S и точкой L (SL). Если г и 6 — полярные координаты произвольной точки луча Q (угол 0 отсчитывается от SL), а 6г н 60 —

приращения коррдинат при перемещении из Q в точку луча Q\ то приращения связаны приближенной формулой (29：11). Тогда, согласно теореме из п. 29.20, экстремальные значения г должны находиться среди тех значений, для которых

или (поскольку г не может быть равно нулю) для которых

1/"—(1/产)(1—2 入")=0.

Очевидно, наименьшее расстояние 九 от S до луча является и экстремальным значением г; поэтому при подстановке г = А последнее уравнение станет точным равенством, которое можно записать в виде

1/"2 =(1/九2)(1-2%/3.(30.1)

Подставляя (30.1) в (29.11), получим

6 户〜尸{(1 — 2 入/九)/济 一 (1 — 2X/r)/r2} бе2.(30.2)

Пусть JLK (рис. 30.3) — прямая, проходящая через точку L перпендикулярно SL, т. е. касательная к MLN в точке L, и ее минимальное расстояние от S снова рав-

Рис. 30.3.

но h. Форма кривой MLN определяется из ее сравнения с этой прямой.

Как и прежде, Q ——точка луча света с полярными координатами: радиусом-вектором г (расстояние от S до Q) и углом 9 между SL и SQ. Отметим на прямой JLK точку Р на таком же расстоянии от S. Ее полярные координаты: длина отрезка SP, равная г, и угол (р между SL и SP.

Приращения 6г и S(p связаны приближенной формулой

6г2 〜Г4 (1 加2 — 1 "2) 6屮2,(30.3)

которая получается из (26.43) путем замены 0 на ср. Подчеркнем, что 九 и г здесь те же, что и в (30.2).

Сравнение формул (30.2) и (30.3) показывает, насколько отклоняется траектория светового сигнала от прямой линии.

Угол PSQ на рис. 30.3 можно рассматривать как меру отклонения луча света от прямой. Обозначим его греческой буквой £ (эпсилон). Тогда В——(р = Е, откуда следует (пп. 22.9м и 22.10м), что

60 —6(р = б8.(30.4)

Пусть известно значение г, и пусть угол 屮 возрос на Зср. Тогда последовательно применяя формулы (30.3), (30.2) и (30.4), можно вычислить соответствующие приращения: сначала бг, затем 60 и наконец Сложение приращений (п. 21.21) позволит найти угол &

Манипуляции с формулами (30.2), (30.3) и (30.4), необходимые для вывода соотношения, связывающего 6ф и бе и имеющего удобную для работы форму, — довольно скучное занятие, и мы отложим его до п. 30.19, А пока постарайтесь, чтобы математические выкладки не отвлекали внимания от общей линии рассуждений. Поверьте мне на слово, что из этих трех формул следует приближенная формула

5®〃九)〜U&p,(30.5)

где для краткости введено обозначение

—ГР77—(30.6)

О чем говорит соотношение (30.5)?

Оно дает способ расчета (с любой желаемой точностью) приращения угла е для заданных приращения 屮 и ра-

диуса г (рис. 30.3). Оно позволяет шаг за шагом построить таблицу соответствия между е и ф, причем тем же методом, который использовался в гл. 21 при построении таблицы соответствия между ft и 论.(Перечитайте пп. 21.18—21.23. Обратите внимание, что на той стадии мы еще не ввели для приращений обозначение 6； пп. 21.39м—21.41м). Поэтому если вы теперь в гл. 21 введете это обозначение, то облегчите себе чтение последующих стр аниц.

Изучим распространение луча света, который почти касается Солнца на пути от звезд к Земле. Их расстояния от Солнца огромны по сравнению с его радиусом, поэтому начальное и конечное значения угла 屮 будут неотличимы от —90 и +90° (в практических расчетах мы предпочитаем использовать не радианы (п. 26.34М), а градусы, минуты и секунды). Обе половины рассматриваемой кривой должны быть симметричны, поэтому достаточно проделать расчет только для интервала от 0 до 90°, а затем удвоить результат. Если у вас хорошая математическая подготовка, то можете сразу переходить к п. ЗОЛ.

Какой выбрать размер шага? Как и в гл. 21, чем меньше шаг, тем выше точность, но зато больше объем работы. Кроме того, мы сталкиваемся еще и с проблемой вычисления h/r, соответствующих значениям угла 屮 в начале каждого шага. Если вы не знакомы с разделом математики, к которому я предпочитаю здесь не обращаться, то такой расчет, вообще говоря, очень трудная задача.

Однако, когда угол ф равен 0, 30, 45, 60 и 90°, вычисление h/r упрощается (см. п. 30.8М). Поэтому можно выполнить расчеты либо в два шага по 45°, либо в три шага по 30°. Сравнение результатов позволяет проверить точность вычислений (п. 21.22).

По тем же причинам, что в пп. 21.19 и 21.20, можно добиться более высокой точности, если вместо (30.5) использовать приближенную формулу

6(吮爪)〜U®(30.7)

где U — среднее арифметическое значений U в начале и в конце шага.

. При(р = 0° отрезок SP совпадает с SL (рис. 30.3), значит, 九/厂=1. По мере приближения ф к 90° длина радиуса г растет беспредельно, так что дробь h/r уменьшается, пока при ср=90° не достигнет значения /i/r = 0.

Если q)= 45° (рис. 30.8,а), то длина отрезка LP тоже равна h. ТогдаЛсогласно теореме Пифагора, r2 = 2/i2, откуда /г/г-1/]/2 = 0,7071.

В большом треугольнике на рис. 30.8,6 все три стороны имеют длину г, поэтому все его углы равны, но сумма всех углов- составляет 180°, значит, каждый из

Рис. 30.8.

них равен 60°. Если отрезок PL перпендикулярен SR, то SL =『/2 (в силу симметрии). Пусть в треугольнике SLP на рис. 30.3 угол(р = 60°, тогда 九=〃2 и 用" = 0,5.

Угол LPR, очевидно, равен 30°. Если в треугольнике SLP на рис. 30.3 угол SPL равен 30°, то PL = /i и, согласно теореме Пифагора, r2= (r/2)2+^2, так что h2 = = 3/4尸，откуда 九2〃2 = з/4 и 用〃 =?3/4 = o,866O.

Вычисления для шага 45° приводят к следующей таблице:

h/r

и

и

汽版/九）

辰/九

0°

1,0000

1,500

1,397

62,87°

0,00°

45°

0,7071

1,293

1,146

51,57°

62,87°

90°

0,0000

1,000

114,44°

Как получены эти цифры (ср. с п. 21.21)?

Отношения h/r получены в п. 30.8, а подстановка этих цифр в (30.6) дала U. Обратите внимание, что U смещены на полстроки вниз по сравнению с предыдущим столбцом, так как являются средним арифметическим значением U. Тогда, согласно (30.7), (приближенное) значение величины из следующего столбца равно

30.10.30.10.30.11.30.11.30.12.30.12.

30.10.

30.10.

30.11.

30.11.

30.12.

30.12.

произведению U на б(р = 45°. Цифры в последнем столбце получены сложением предыдущего значения, стоящего в этом столбце, и приращения из предыдущего столбца. Рассчитайте самостоятельно таблицу для трех шагов при 30°.

屮

h/r

и

и

6（九£/九）

九£/入

0°

1,0000

1,500

1,451

43,53°

0,G0°

30°

0,8660

1,402

1,284

38,52°

43,53°

60°

0,5000

1,167

1,084

32,52°

82,05°

90°

0,0000

1,000

114,57°

На основании таких же доводов, как в п. 21.22, можно показать, что значения в последней таблице имеют точность, достаточную для наших целей. Обозначим конечное значение угла е, соответствующее 90°, символом 8*. Тогда

е*/гД= 114,57°« 412 500".

(п. 26.34М).

Если вы знакомы с тригонометрическими функциями и их приращениями (или с их производными), то можно обойтись без приведенных выше численных расчетов. Из (30.5) и (30.6) следует

6 (九&/入)〜{1/(1 + cos(p) + cos 屮} 5屮〜6 (tg(p/2-[~sin 屮).

Тогда, согласно теореме из п. 25.13м, e/i/X = tgcp/2+sin <р (так как 8 = 0 при 屮= 0). И наконец, £*九/九=2 радиана =412 бЗО^.

Искомый угол (п. 30.6) равен 2е* = 825 000〃九//?. Если рассмотреть луч, касающийся поверхности Солнца, то 用=696 000 км,入=1,477 км (п. 27.15). В результате 2m* = 1,75〃.

На рис. 30.12 (вычерченном без соблюдения пропорций) свет от звезды, если бы не было Солнца, пришел бы к Земле Е по направлению СЕ. Когда же он должен пройти вблизи Солнца, то сначала идет вдоль прямой AD, параллельной СЕ, а затем отклоняется гравитационным полем Солнца и достигает Земли с направления FE, поэтому создается впечатление, будто он первоначально шел вдоль BFE. Наблюдателю на Земле будет казаться, что звезда сместилась на угол 1,75〃 от своего истинного положения на небесной сфере.

Итак, мы сделали предсказание, которое должно быть проверено астрономическими наблюдениями.

E

Можно выдвинуть совершенно противоположные предположения, к примеру, что тяготение не влияет на распространение света, т. е. свет вообще не будет отклоняться. Или, если придерживаться ньютоновской теории тяготения, есть еще и другая возможность, к которой был проявлен значительный интерес, когда Эйнштейн показал, что свет, обладая энергией, должен обладать также и массой. Поле тяготения Солнца должно действовать на свет точно так же, как на тела из обычного вещества. Если вычислить отклонение тела, движущегося со скоростью 300 000 км/с, под влиянием ньютоновской силы тяготения, то оно составит половину величины, предсказанной Эйнштейном.

О чем свидетельствуют наблюдения?

С помощью обычной оптической астрономии ——а это все» что было в распоряжении астрономов всего несколько

лет назад, — выполнить такие наблюдения очень слож« но. Во-первых, угол, подлежащий измерению, крайне мал. Во-вторых наблюдение звезд, свет которых прохо дит очень близко к Солнцу, возможно только во время полного солнечного затмения*, значит, измерения можно проводить лишь от случая к случаю, да и то наспех. Кроме того, необходимо сравнить видимое положение звезды во время затмения с положением, когда вблизи не было Солнца. Для этого ее положение во время затмения сравнивается с положением других звезд, до* статочно удаленных от Солнца. Несколькими месяца* ми раньше или позже, когда эта звезда видна на ночи ном небосводе, такое сравнение проводят еще раз. Разумеется, сравнение производится на фотографиях. Но один снимок делается ночью, а другой — днем, так ^тб необходимо вносить поправку на расширение фотопластинки вследствие изменения температуры.

Очевидно, источников ошибок множество. Значит^ можно ожидать, что результаты будут весьма неточны.

Первые наблюдения во время затмения 1919 г. были, выполнены Эддингтоном с результатом 1,98±0,16,/ 娜 Дайсоном с результатом 1,61 ±0,40〃 (что означают знаки 《土》,см. в п. 23.17). Значения ±0,16〃 дают нижний предел точности, так как показывают, что даже в? большом интервале от 1,66 до 2,30〃 истинное значение содержится лишь с вероятностью 95%. И все же пред」 сказанное отклонение 1,75〃 попадает в этот интервал—• неплохо для первой попытки. То же справедливо и для? результата Дайсона, хотя его точность ниже.

Казалось бы, можно надеяться, что усовершенствования позволят получить более точные результаты. Hoi эти надежды не оправдались. Наименьшая стандартная погрешность, равная 0,1", достигнута при наблюдениях 1929 г. с результатом 2,24±0,10〃 и 1952 г. с результатом 1,70±0,10,/. Последний результат можно было быв назвать неплохим. Но вот первый утверждает, что с вероятностью 95% истинное значение отклонения луча света лежит между 2,04 и 2,44〃. Наряду с вполне сносным результатом 1922 г. 1,72±0,15// существует результат 2,73±0,31/,, полученный в 1936 г., который> кроме как никуда не годным никак не назовешь. Не исключено, что все эти наблюдения содержат большие систематические ошибки.

Согласно Вейнбергу, можно не сомневаться, что отклонение превышает 0,875〃 — значение, предсказываемое теорией Ньютона (п. 30.13), «что касается точного значения, то можно сказать лишь, что 2е* лежит между 1,6 и 2,2〃》.

Пока измерения проводились только оптическими методами, вывод был один: 《не доказано», поэтому нельзя было отвергнуть другие теории.

На помощь пришла радиоастрономия. Некоторые источники космического радиоизлучения (например, квазары) в результате орбитального движения Земли раз в год оказываются позади Солнца или очень близко к нему. Видимые смещения их положений на небе можно измерить относительно других р адиоисточников. При этом не нужно ждать солнечного затмения и не возникает никаких трудностей при сравнении результатов дневных и ночных измерений.

В 1969—1970 гг. было выполнено пять независимых серий наблюдений. Разрешающая сила аппаратуры все 无ще была очень ограниченной, но результаты были точнее полученных методами оптической астрономии за полвека. Четыре результата из пяти сгруппировались около значения 1,7吕〃,но их точность все еще была недостаточной, чтобы сделать выбор между теорией Эйнштейна и некоторыми кон кур и рующи ми теориями.

Постепенно методы наблюдений совершенствовались, и в 1975 г. Фомалонт и Шрамек провели в течение месяца серию наблюдений трех радиоисточников, проходящих очень близко к Солнцу, на радиоинтерферометре с 35-километровой базой. Их результат: 2е*== 1,763±0,016,/. Он свидетельствует об очень сильном повышении точности и о том, что предсказание Эйнштейна попадает прямо в цель. Этот результат крайне ослабляет позиции всех других теорий.

Предсказанное отклонение 1,75〃 основывалось на догадке, что 1/а= 1—2Х/г (пп. 29.13 и 29.14). Более сложные расчеты показывают, что если выбрать а=1, то предсказанное отклонение уменьшится вдвое. При а = =1—2九/г отклонения не было бы вообще. Ни одно из

этих двух выражений не согласуется с результатами наблюдений, так же как любая другая возможная форма. Значит, мы вправе считать правильным именно выражение (29.10), отсюда (29.12)—метрика лростран- ства-времени в окрестности Солнца.

Отсутствие отклонения при а=1—2Х/г вовсе не означает, что луч света — прямой. Сначала, по мере приближения к Солнцу, он изгибается в одну сторону, затем в момент максимального сближения на мгновение возвращается на исходную прямую и вновь повторяет этот маневр, удаляясь от Солнца. Я дам набросок доказательства этого утверждения, после того как мы изучим математические преобразования, пропущенные в п. 30.5.

Мое внимание на странное поведение света в случае а = 1—2А/г обратил мой бывший слушатель из Дерби Роджер Джексон, который высказал мысли, изложенные здесь и в п. 30.20. Успешной работе над несколькими последними главами этой книги я во многом обязан группе слушателей из Дерби. Слушатели в Ноттингеме три года спустя тоже помогли мне в «приглаживании» многих шероховатостей. Но изредка попадались слушатели, которые меня ничему не научили. Роджер и Стен (п. 26.39) —наилучшие представители всех остальных моих учеников.

. Дважды применяя правило, сформулированное в п. 16.12М, получим еще одно тождество:

(и- и) (〃2 + "少 +02) = 〃 ("2+〃少+ 02)--V (〃2+"少+少2)=

=〃3+"2ь _(_ "№ — tfiv—uv2—^==a3—V3.(30.8>

Докажем (30.5). Для упрощения перепишем приближенные формулы (30.2) и (30.3) в виде

бг2^г4Х602,(30.9>

3产〜尸 Г6(р2,(30.10)

где

X = (1 - 2%/九)/胪-(I - 2入/г)/产,，(30.11)

У=1/№—力/汽(30.12)

Из (30.10) и (30.9)

6屮2〜 M/df〜(x/r)6酰 Поэтому

бе2 - 6联 〜se2 —(x/У)6出二

п. 16.12M

=(1 - X /У) 662 ;Н

и 16.22M

=(у*_ X/У)№=

(примечание к п. 21.12)

= {(у—Х)/Р} 802.

Тогда, согласно тождеству (16.10),

(66十3屮)(69—6(р)〜{(У — Х)/У} 692.(30.13)

Далее наши вычисления будут приближенными. Поскольку 2%/й и 2九/尸一очень малые дроби, то разность X н У очень мала по сравнению с любой из этих величин. Тогда из (30.9) и (30.10) следует, что это справедливо для 60 и 6(р. Значит, не будет большой ошибки, если 60 везде заменить на бф, за исключением члена 66—0屮，где разностью этих углов, очевидно, пренебречь нельзя. Тогда вместо (30.13) получим

2S(p (60 —б(р) = {(У—Х)/У} б(р2.

Деление обеих сторон на 5屮 и применение (30.4) дает приближенную формулу

2昆〜{(У—X)/Y}g.(30.14)

Теперь из (30.11) и (30.12), применяя пп. 15.23М, 15.24М и несколько раз п. 16.12М, получим

У—X = 1 他2_ 1 /产—(I _ 2 九加)/九2+ (1 - 2A/r)/r2 =

=1他2—1/产—1/九2+2入伍3+1/产—2%戸==2%(1/胪_1/円=

(30.8)

=2%(l//i- 1/г)(1/九 2+1/九厂+ 1/产).

Формулу (30.12) с помощью тождества (16.10) можно переписать в виде

y=(1/九—1/r)(1加+1/厂).

Подставляя эти выражения для У и У—X в (30.14), сокращая одинаковые множители в числителе и знаменателе и деля обе стороны на 2, получим приближенную формулу

6 儿(1階+1/力厂+1"2)1/九+ 1"6 儿(1階+1/力厂+1"2)1/九+ 1"6中•6中•

6 儿(1階+1/力厂+1"2)

1/九+ 1"

6 儿(1階+1/力厂+1"2)

1/九+ 1"

6中•

6中•

Умножая числитель и знаменатель на Л2 (п. 16.22М) и учитывая (30.6), найдем

配~"(需統У 69=仇必)^6ф.

И наконец, умножение обеих сторон на й/Х и применение свойства приращений, доказанного в п. 22.11м, дает искомую формулу (30.5).

Доказательство утверждений из п. 30.17 требует гораздо более серьезной математической подготовки, чем ваша, поэтому буду краток. Если вы справились с п. 30.11, то разберетесь и в этом. В противном случае примите изложенное в этом параграфе на веру. Чтобы рассмотреть сразу все возможные случаи, предположим, что

1/а = (1 — 2%〃)~^(1 — 2%/r) (1 + 2〃入〃)

Выражение (30.1) для 1/№ по-прежнему остается в силе, так что из (29.9) следует приближенная формула

”2 〜尸(1 + 2涼①{(1 — 2Z//i)//i2— (1 — 2X/r)/r2} 692

^ 尸{□ 胪—"产_2X[l//i3— I/N—(n/r) (l/胪一1 /d)]}6#,

в которой мы пренебрегли членами с V.

Рассуждения, как в п. 30.19, приводят к формуле

6(Ш)〜 ……你产")(…")师

К сожалению, метод, использованный в п. 30.9, если только не выбрать меньший шаг, дает при п=Н=0 очень неточные результаты. Но можно поступить как в п. 30.11, что даст

(ЯД) в = tg(р/2+(1 — n) sin ф.

(Отмеченное в п. 30.17 странное поведение луча света обнаруживается при исследовании этого соотношения для случая 〃 = 2.) При ф = 90° получим 伍爪)£* = 2—〃. Пос ле до в ательн а я подстановка значений n=0, 1 и 2 дает соответственно предсказание Эйнштейна и результаты, к которым ведут выражения для а из п. 30.17.

Вернемся к вопросу о скорости света в поле тяготения, подчиняющемся (приближенно) закону обратной пропорциональности квадрату расстояния (пп. 27.37— 27.39)・ Подставляя в (27.24) правую часть соотношения (29.10), найдем

Радиальная скорость света — 1 — 2九/几(30.15)

Этот же результат можно получить сразу, если в метрике (29.12) положить (после соответствующей перестановки членов) 6s = 60 = O и воспользоваться теоремой из п. 24.22. Аналогично можно найти и поперечную

скорость. Для этого в метрике (в которой выполнена перестановка членов) нужно положить 6s = 6r=0, что дает приближенную формулу 产ЗУ 〜(］一2入/尸)6产.Согласно (26.37), гбб — это приращение расстояния, пройденного в поперечном к радиусу направлении. Тогда теорема из п. 24.22 утверждает, что

Поперечная скорость света =)/ 1 — 2Х/г.(30.16)

Таким образом, скорость света в рассматриваемом случае зависит как от расстояния до центра, так и от направления.

Здесь мы снова слишком примитивно интерпретировали формулы (30.15) и (30.16), исходя из молчаливого предположения, что пространство-время — плоское (ср. с пп. 28.15, 28.16 и 29.17). Равномерное и прямолинейное движение в плоском пространстве-времени — аналог прямой линии в плоском пространстве (п. 8.23). И как нет прямых линий в искривленном пространстве, так нет прямолинейного и равномерного движения в искривленном пространстве-времени. Поскольку линия сигнала — это геодезическая, скорость света близка к равномерной и прямолинейной настолько, насколько позволяет кривизна пространства-времени.

Даже если вернуться, как в конце п. 29.17, к формулировкам, когда пространство-время предполагается плоским, все равно не очевидно, что мы правильно понимаем формулы (30.15) и (30.16). Координаты fur связаны с временем и расстоянием, но не обязательно идентичны им (ср. с п. 27.39). На практике все зависит от того, как измеряются время и расстояние. Например, если мы договоримся безоговорочно доверять радиолокационному методу, то скорость света нужно считать постоянной по определению; тогда соотношения (30.15) и (30.16) показывают лишь, как используемые координаты связаны с измеренным таким способом расстоянием.

В астрономии расстояния измеряются различными способами: методом тригонометрических параллаксов, путем сравнения видимого блеска или размера объекта с его светимостью или размерами, известными из других наблюдений, и т. п. Но нет гарантий, что все эти методы приведут к одинаковому результату, особенно в искривленном пространстве-времени (хотя прак-

тическая астрономия и не обнаруживает никаких различий). Точно так же нет гарантий, что координата г (полученная совершенно другим способом) будет совпадать с этими измерениями.

В любом случае, как отмечалось еще в п. 22.5, это неважно, ибо эксперименты связаны исключительно с измерениями в данном месте. Например, в опытах по обнаружению отклонения света и предсказание, и наблюдения касаются углов, которые измеряются на Земле. Координаты /иг появляются при теоретическом расчете отклонения, но последовательность рассуждений одна и та же независимо от того, берутся ли «истинное» время и расстояние, или нет. Любые следующие из теории утверждения о скорости света в далеких областях пространства представляют чисто академический интерес, так как мы можем измерять эту скорость только в данном месте. (Обратите внимание на то, что скорость света, измеренная свободно падающим наблюдателем в данном месте, всегда будет равна 1.) 30.23. Независимо от того, как интерпретируются формулы из п. 30.21, из них следует, что радиолокационному сигналу, который на пути к другой планете и при возвращении от нее проходит очень близко к Солнцу, понадобится на это путешествие больше времени, чем в случае, когда он не проходит мимо Солнца. Причем не имеет значения, скажем ли мы, что импульс был заторможен или что ему пришлось преодолеть большее расстояние. Важно лишь время путешествия, которое можно найти следующим образом.

Из приближенной формулы (29.7) (связывающей 66 и б/ для светового сигнала) с учетом (ЗОД) получим

М/〜"2(1— 2入/г)2&2 = М 二筹L 也2

Подстановка правой части этого соотношения в (30.2) дает приближенную формулу, связывающую приращения бг и 6/. Это позволяет вычислить с любой точностью время 3/, которое требуется радиоимпульсу, чтобы преодолеть отрезок своей траектории 6г ——отрезок QQ' на рис. 30.2. Затем можно шаг за шагом рассчитать полное время путешествия, а значит, запаздывание, обусловленное полем тяготения Солнца.

Но выполнение эксперимента требует поправок (которые мы не смогли бы сделать) на влияние движения

Земли, явлений в солнечной короне, учета неопределенностей, вносимых рельефом планеты и т. д.

Есть и более серьезная проблема: г должно быть известно с точностью, которая намного превосходит возможности современных методов астрономических измерений (даже если предположить, что г соответствует измеряемым астрономами расстояниям). Чтобы преодолеть эти трудности, полная серия измерений должна осуществляться в течение всего периода, пока планета приближается к Солнцу, заходит за него, а затем удаляется, т. е. более нескольких сотен дней. Современная, очень сложная теория предсказывает, что запаздывание сигнала, вызванное полем тяготения, могло бы изменяться со временем, возрастая от нуля до максимального значения порядка 200 микросекунд (для радиолокационного сигнала, отраженного от Венеры) и снова падая до нуля. Поэтому в реальных экспериментах устанавливается степень отклонения данных повседневных наблюдений от предсказаний.

Были поставлены эксперименты с отраженными радиоимпульсами от Меркурия и Венеры, а также с сигналами, которые ретранслировались аппаратурой, установленной на борту космического аппарата 《Маринер》, выведенного на орбиту искусственного спутника Марса, и на спускаемых аппаратах «Викингов-1 и -2》, совершивших мягкую посадку на поверхность этой планеты. Согласно докладу ведущего специалиста в этой области И. Шапиро, наблюдения, выполненные с помощью «Викингов», подтверждают предсказания теории Эйнштейна с точностью около 0,1%.

Итак, общая теория относительности хорошо предсказывает поведение света в поле тяготения.

Постскриптум. Начертите на рис. 30.12 еще один луч света симметрично AEF с другой стороны от Солнца. Не трудно понять, что при определенных обстоятельствах можно было бы увидеть два (или даже несколько) изображений одного и того же удаленного объекта. Правда, Солнце отклоняет луч света недостаточно сильно, чтобы вызвать такое явление, а вот галактика на пути луча при подходящих условиях могла бы служить гравитационной линзой.

В наблюдениях, выполненных в течение 1979 и 1980 гг., как будто зафиксированы два таких события. В одном случае были обнаружены два столь похожих и так близко расположенных друг к другу квазара, что, по всей вероятности, это просто два изображения одно*

го и того же квазара, возникшие в результате отклонения света встретившейся на его пути галактикой. В другом — галактика, по-видимому, отклонила свет от квазара таким образом, что в результате наблюдаются три очень похожих и близких друг к другу изображения (Nature. 279, 1979, 381; 285, 1980, 641).

СМЕЩЕНИЕ ПЕРИГЕЛИЯ МЕРКУРИЯ

. В Солнечной системе остался всего лишь один пробный камень для проверки нашей теории — можно спросить, как она предсказывает движение планет. Согласно теории Ньютона, планеты движутся по эллиптическим орбитам, и наблюдения на протяжении столетий подтверждали, что это очень близко к истине. Поэтому изучим некоторые свойства эллипсов.

Если вы уже хорошо знакомы с этой геометрической фигурой, то достаточно 1) обратить внимание на определения величин, следующие из обозначений на рис. 31.2; 2) убедиться, что формула (31.7) вам давно знакома, только cos <р заменен на х[г; 3) удостовериться, что вам известно, как из (31.7) вывести формулу (31.12), и что вы понимаете ее смысл; 4) проверить (таким же способом, как в п. 31.12 или с помощью геометрии), что экстремальные значения г определяются формулами (31.17), и, наконец, 5) убедиться, что вы знакомы с формулой (31.22), которую можно рассматривать как вариант записи соотношения 6(sin(p)〜 〜COS фбф.

M. Вы вероятно, знаете, как вычертить эллипс. Нужно взять нитку и привязать ее концы к двум булавкам, воткнутым в лист бумаги. Если теперь вести остро отточенным карандашом по листу бумаги так, чтобы нить была натянута, то в результате получится эллипс. Рассмотрим плоскость, на которой выбраны две точки: S и S'. Тогда эллипс (рис. 31.2) можно определить как геометрическое место точек Р, удовлетворяющих условию

Длина отрезка SP+Длина отрезка S'P=2a, (31.1) где 2a ——некоторая постоянная длина (длина нити в нашем построении).

Точки S и S' называются фокусами эллипса. Если точка О расположена точно посередине между S и S[ а прямая, проведенная через эти точки, пересекает кривую в точках А и А', то легко доказать, что

Длина отрезка О А = Длина отрезка ОА'=а.

Рис. 31.2.

3L3M. Расстояние между точками S н S' удобно рассматривать как долю е «длины нити» 2а, т. е.

Длина отрезка S'S=2匆，(31.2)

、де е ——эксцентриситет, мера вытянутости эллипса (проверьте, что так оно и есть, нарисовав несколько эллипсов с одинаковыми значениями а, но разными е).

Кривая симметрична относительно прямых АОА' и ВОВ', перпендикулярной к АА‘ (что подчеркнуто на рис. 31.2).

М. Будем изучать свойства эллипса в полярных координатах с полюсом в точке S. Тогда г ——длина отрезка SP, а ф — угол ASP (рис. 31.2). Кроме того, пусть отрезок РМ перпендикулярен АА', х — длина отрезка SM, а у — длина отрезка МР.

Тогда из (31.1) следует, что

Длина отрезка S'P = 2a—г,(31.3)

а из (31.2), что

Длина отрезка S'M = 2ae+%・(31.4)

М. Применяя теорему Пифагора к треугольникам SMP и S'MP, получим

炉+矿=产(31.5)

и, принимая во внимание (31.3) и (31.4),

(2次+%)2 % "2 =(2a—г户.(31.6)

Из этих формул после нескольких преобразований (подробности в п. 31.8М) найдем

\1г~с=Ьх/г,(31.7)

где введены обозначения

е 」1

а(1а(1—吟.

М. Когда мы с помощью изотропной геодезической искали траекторию светового сигнала, то оказалось, что она описывается приближенной формулой, связывающей приращения при перемещении из одной точки траектории в другую. Исследуя форму траектории, мы сопоставили эту формулу с приближенной формулой для прямой линии. Точно так же, когда мы столкнемся с необходимостью рассматривать обыкновенные геодези

ческие в качестве орбиты планеты, нам придется сравнивать их с приближенной формулой, связывающей приращения, при перемещении из одной точки эллипса в другую. Найдем эту приближенную формулу.

Для этого рассмотрим еще одну точку эллипса Р‘ с полярными координатами г+Ъг и ф+6(р (рис. 31.6) •

Пусть P4N' — перпендикуляр, опущенный из точки Р° на АА'・ Тогда длина отрезка SN равна х+6х (т. е. приращение 6х отрицательно), а длина отрезка NP' равна у+Ьу. Найти приближенную формулу, связывающук> 6(р и dr, довольно легко, но это сопряжено с длинными вычислениями. Чтобы вы могли уяснить основную линию рассуждений, я приведу в п. 31.7М лишь главные этапы вывода этой приближенной формулы, оставив детали до пп. 31.9М — 31.НМ.

М. Из (31.7) следует (см. в п. 31.9М), что

舐=—(c/b) 6尸・(31.9》

С помощью (31.5) можно получить (как в п. 31.10М)^ приближенную формулу

у8у 〜гбг——％5%.(31.10〉

Еще одно соотношение возникает при сравнении двух разных форм записи одной и той же метрики, задаваемых (если произвести небольшие изменения в обозначениях) формулами (24.4) и (26.38), а именно 6s2 = = 6х2+Ьу2 и 5s2 〜。产+尸®屮2 Значения ds в обеих формулах совпадают, поэтому

Г26T2 〜舐2+m2一 5产.(31.11)

Теперь объединим формулы (31.9)——(31.11), так чтобы с помощью предыдущих соотношений исключить х, у, 6% и 5у. Преобразования, которые будут описаны в п. 31.НМ, дают

6户〜尸{б? — ( 1 "_ С)?} Оф?.(31.1 2>

Это и есть искомая приближенная формула, описывающая связь между приращениями полярных координат при перемещении из одной точки эллипса в другую.

3L8M. В пп. 31.8М—31.11М разъясняются опущенные ранее детали. Сначала докажем (31.7). С помощью тождеств (26.26) и (26.27) формулу (31.6) можно привести к виду 4а? ^+4аех+х2+у2=4а2——4ar + r2.Вычтем из этой

формулы формулу (31.5) и разделим на 4a. Получим ае2 + ех = а——г, откуда (после вычитания из обеих сторон величины ае2 и применения правила из п. 16.12М) следует: а(1—е2)—г = ех. Поделив теперь обе стороньг на га(1——е2), получим

11__ ех

~ а (1 —犷 “(1—е2)・

Подстановка величин b и с, определенных в (31.8), дает формулу (31.7).

М. Из (31.7) следует

1—сг = Ьх.(31.13)

Тогда, согласно теореме из п. 22.9м, 6(1—сг) =6(Ьх); применение формул (22.7) и (22.8) дает —с6г = Ь6х, откуда немедленно следует (31.9).

М. Прочитайте п. 27.42м, если раньше вы его пропустили. Применение формулы (27.27) к каждому члену в (31.5) и деление обеих частей на 2 дают х8х+у6у^г6г. Вычитая из обеих частей хбх, получим (31.10).

31.ИМ. Докажем формулу (31.12). Формулу (31.5) можно переписать в двух формах:

产—“=%2,(31.14>

比=户一炉.(31.15>

Из формулы (31.13) имеем

х = (1—⑺/Ь・(31.16>

Умножая обе стороны приближенной формулы (31.11) на у2, получим

Г2Г/28ф2 〜f/2舐2十^25y2 — y2”2 〜

(31.10)

〜y28x2-^(r8r—%6%)2— y28r2 =

(26.27)

=D2阮2 + 产 "2 — 2fх8гб% + %2 舐2 - g23 产= ^перестановка членов)

=%26*2+у 翫2— 2Г%3%6广+产3产—“5 产=

п. 16.12М

=(炉+y2) 6%2 - 2Г%6%6Г+ (产—g2)6产=

<31.5) и (31.14)

=产阮 2— 2rx6x6r-|-x28r2 =

(26.27)

=(rSx—x")2 X=

《31.9) и (31.16)

^, 16.12M, примечание q< пп. 21.12M и 15.24М

=(一善"一宇 + 齐)=(-6〃6)2

(поскольку первый и последний члены дают нуль)

Отсюда г2y26屮2 〜"2/b2

(п. 24.20М). Тогда

6产〜r2b2y28^2 —

(31.15)

=产62 &2 一 %2)gф2 _

п. 16.12М

=/ 2 (b2产一护%2)632 =

(31.13)

=产{从产—(1 _⑺2} 3中2 =

пп. 16.12М и 26.37М

=产{b2_ (]-⑺2/产} 5屮2 =

п. 17.25М

=й{b2_ [( I 一 cr)lr^} 6ф2 =

примечание к п. 21.12М

=г^^—(1/г—с)?} 6ф2, а это и есть искомая формула (31.12).

М. Нам потребуются экстремальные значения величины г. Согласно теореме из п. 29.20м, из (31.12) следует, что они находятся среди значений г, для которых

г4 {&2—(1/г—с)2}-0.

Исключая случай г = 0, получим уравнение для интересующих нас значений г:

b2一(1"—0)2=0, откуда

(1/г —с)2 = Ь2.

Есть два решения (п. 24.21М): 1/г — c = b и 1/г—— ——с =——b, значит, экстремальные значения величины г определяются соотношениями

1/г=e+b，1" = e—ь.(31.17>

Ясно, что наименьшее и наибольшее значения г равны соответственно длинам отрезков SA и SA' (рис. 31.2), поэтому, пользуясь обозначениями (31.8), этот результат можно получить геометрическим способом.

м・ В пп. 31.13м—31.15м выводится очень важная приблин женная формула, связывающая х, у, г и ср (п. 31.4),. Из (31.5) следует соотношение

(W+(y/r)2= 1.

Если сделать замену

%/г = Х, ylr^Y,(31.18}

то оно перепишется в виде

Х?+у2= ](31.19>

Будем интерпретировать X и У как координаты точки в прямоугольной системе координат (п. 8.42) (рис. 31.13). Согласно теореме Пифагора, из (31.19) следует, что длина отрезка OR=1. Значит, независимо от того, где на эллипсе находится точка Р, точка R лежит на окружности радиуса 1 с центром в О.

Из (31.18) следует, что отношения у/х и Y/X равньг, значит, угол LOR= углу MSP =(p.

м. На рис. 31.14 изображены треугольник OLR, полная окружность и R' — точка окружности с координатами и У + 6У, где 6Х (отрицательное) и 6У — приращения координат при перемещении из R в R'. Приращение бф равно углу ROR'. Пусть Ss и S/ —длина дуги и хорды RR，(п. 26.34М). Тогда из формул (25.1) и» (26.34) следует, что Ss ~s» и 6s = 6(р, откуда Si~6(p.

Применяя теорему Пифагора к треугольнику KRR， и пользуясь последней формулой, получим 6(p2^6X2 + +6У2, так что

Х2&у z X26X2 + X26R(312))

31.15м.31.15м.

31.15м.

31.15м.

Согласно (31.19), Х2= 1——У2. Теперь, последовательно применяя сказанное в п. 22.9м и формулы (22.7), (22.8) С С = -1, ПОЛУЧИМ 3(Х2)=6(1 —У2)=6(—产)=—6(F). Применение формулы (27.27) дает Х6Х 〜一Уб У, откуда Х?6Х2〜У26y2 Подставив это в (31.20), и применив правило из п. 16.12М и формулу (31.19), получим 犷5屮2 〜У23y2 + Х26У2 〜(Х2+У2)6У2=6У2, 丁 巳 ^бф2 ^ 〜д У2, и

ЗУ 〜Х6 屮. (31.21)

Но, вспомнив п. 24.21М, вы можете спросить, почему нужно взять именно (31.21), а не ЗУ~—Х6(р? Потому что всегда можно добиться, чтобы приращение д(р было положительным. С другой стороны, в случае, показанном на рис. 31.14, приращение 6У и координата X тоже положительны, что согласуется именно с (31.21). Проверьте самостоятельно, что, где бы на окружности ни располагалась точка R, приращение 6У и координата X будут либо положительны, либо отрицательны (при условии, что угол б(р достаточно мал), так что (31.21) —это единственно правильный выбор.

И наконец, подстановка в (31.21) вместо X и У формул (31.18) приводит к искомой приближенной форму， ле

6 匂/厂)〜(xQ 恒.(31.22)

Итак, мы готовы к изучению движения планеты вокруг Солнца. Будем следовать такой же общей стратегии, как в гл. 29 и 30 при изучении распространения света.

Чтобы упростить задачу — не только нам с вами, но и людям с хорошей математической подготовкой,— предположим, что у Солнца есть лишь одна планета^ масса которой так мала, что ее влиянием на пространство-время можно пренебречь. Тогда метрика имеет вид (29.12).

Планета движется по инерции (п. 27.7), так что ее мировая линия — обыкновенная геодезическая (и. 25.28). Чтобы построить описывающие ее приближенные формулы, применим метод п. 26.33. Как обычна (ср. с пп. 26.42, 29.11 и 29.12), отождествим г, В и t с х, у и z из (26.30). Тогда

а=-7TЛ^， 8 = 一产，? =1 —2%/几

Выбрав второй вариант в (26.31) и первый в (26.32),. найдем, что приращения, соответствующие перемещениям вдоль мировой линии планеты, связаны приближенными формулами

6shr28Bt(31.23)

(1 —2X/r) 6t^k8s(31.24>

(где h и k — постоянные) и метрикой (29.12).

Нас интересует только форма орбиты, т. е. связь между г и 0. Поэтому объединим эти три приближенные формулы таким образом, чтобы исключить 6s и 6f. Как и раньше, отложим промежуточные выкладки до п. 31.38. Окончательный вид приближенной формулы,, описывающей орбиту планеты, следующий:

М 〜гЦВ2— (1"—С)2+2 入/「з} 602,(31.25}

где

环=九2 (胪—1)+/14M,(31.26)

e=力2 入.(31.27>

Формула (31.25) определяет связь между приращениями координат при перемещении из одной точки ор-

биты планеты в другую, как формула (31.12) для эллипса (использование полярного угла ф вместо 0 не играет никакой роли). Какой вывод следует из сравнения этих приближенных формул?

Они отличаются лишь членом 2Х/^3, который (поскольку даже для ближайшей к Солнцу планеты г пре- вышает 50 000 000 км) чрезвычайно мал. Итак, вы счи^ таете, ...

что орбита очень близка к эллиптической? Неверно.

Прочтите еще раз пп. 29.17 и 30.22. Вы снова допустили ту же самую грубую ошибку. Правильный вывод таков: если трактовать искривленное пространство- время в окрестности Солнца как плоское, то орбита планеты будет почти (но не совсем) эллиптической.

Сделаю отступление, которое может оказаться полезным. Несмотря на обсуждение в пп. 28.15—28.17, вам, наверное, трудно себе представить, что сложное пове- дение планеты описывается геодезической — простейшей из всех мировых линий.

Мы вовсе не утверждаем, что траектория планеты —— геодезическая в пространстве. Она является пространственной частью геодезической в пространстве-времени. Это получается, если найти уравнения геодезической, а затем, чтобы вывести уравнение траектории в пространстве, исключить из них 32 Чтобы найти гео^ дезическую в пространстве, нужно перейти к метрике искривленного пространства (29.13), а затем с ее помощью получить уравнение геодезической. Проверьте, что это уравнение, описывающее наипрямейшую линию в искривленном пространстве, окружающем Солнце, имеет вид

3产〜产(1 — 2%")(1 /胪_ 1 /户)602.

Эта формула лишь слегка отличается от (26.43), описывающей прямую в плоском пространстве, но совершенно отличается от формулы (31.25). Поэтому, если только вы не обладаете воображением, позволяющим представить геодезические в искривленном про- странстве-времени, а затем выделить их пространственную часть, не следует ожидать, что геодезическая простота движения планеты должна как-то проявляться для вас.

Заметьте, что даже траектория луча света, определяемая приближенной формулой (30.2), не является геодезической в пространстве. Луч света — это просто

пространственная часть изотропной геодезической в пространстве-времени. Можно доказать (сделайте это самостоятельно) ,что пространственные части обыкновенной и изотропной геодезических в пространстве-времени, т. е. траектории свободно падающих тел и лучей света, всегда отличаются от геодезических в пространстве, если коэффициент при члене с 6/2 в метрике содержит координаты. Они будут совпадать только в том случае, когда метрика имеет вид 6s2 ^6/2 —... (или 6s2~а6£2 — где а — постоянная).

Рассмотрим последнее предложение в п. 31.18 с позиций, обсуждавшихся в последнем абзаце п. 29.17. Тогда можно будет предсказать: если орбита планеты рассчитана по данным наблюдений, полученным обычными астрономическими методами, то она очень близка к эллиптической (с Солнцем в одном из фокусов), поэтому мы будем рассматривать плоское пространство.

Теория Ньютона предсказывает точный эллипс, и наблюдения подтверждают этот вывод с высокой точностью. Если бы теория Эйнштейна предсказала что- нибудь иное, то она заведомо была бы не верна. Но в случае даже едва заметного различия возникнет естественный вопрос: которая из них лучше? Чтобы ответить на этот вопрос, выясним, в чем отличие эйнштейновской орбиты от эллиптической и как сильно они различаются.

Сравним предсказанную орбиту с эллипсом точно так же, как мы раньше сравнивали луч света с прямой линией (п. 30.3). Для этого надо знать экстремальные значения г. Применив к (31.25) теорему п. 29.20м, получим, что они находятся среди значений г, для которых

г4 {В2 —(1 /г— С)2+2Х/г3} = 0, или (поскольку г не может быть равно нулю)

В2—(1/г—С)2+2入/产=0.(31.28)

Это уравнение не содержит f, значит, экстремальные значения г со временем не изменяются. Поупражняйтесь в построении эллипса (п. 31.2М). Вы убедитесь, что при фиксированных максимальном и минимальном значениях г (длин отрезков SA， и SA на рис. 31.2) форма и размер эллипса тоже фиксированы. Поэтому орбита почти неотличима от эллипса (с одним из фокусов в центре Солнца)； величина и форма которого со временем не изменяются. Остается единственная воз-

можность: эйнштейновская орбита——это кривая, кото* рая получается при медленном вращении эллипса вокруг точки S, причем планета продолжает обращаться по этому движущемуся эллипсу.

Вообразите, что рис. 31.2 прикреплен к точке S и медленно поворачивается вокруг этой точки против часовой стрелки, а планета, двигаясь в том же направлен

Рис. 3L22.

нии, но несравненно быстрее, совершает обороты по эллипсу. Объединив эти движения, вы мысленно увидите истинную траекторию планеты, подобную той, что изображена на рис. 31.22 (где эксцентриситет и скорость вращения эллипса сильно преувеличены). Первый оборот планета делает по витку /, второй — по витку 2 и т. д.

Астрономы сталкиваются с движениями такого типа* но, правда, в других ситуациях. Они обычно избегают таких сложных изображений, как на рис. 31.22, и представляют орбиту с помощью вращающегося эллипса.

Чтобы точно задать вращение эллипса как целого* необходимо знать период вращения вокруг Солнца точки А (рис. 31.2). Точка А называется перигелием (ближайшая к Солнцу точка орбиты), а ее вращение называется смещением перигелия.

Воспользуемся методом, описанным в пп. 30.3—30.5. Там рассматривались луч света и касательная к нему прямая в точке их наибольшего сближения с Солнцем. Теперь же есть как максимальное сближение, так и максимальное удаление. Оба экстремальных значения г для орбиты в точности равны экстремальным значениям г для неподвижного эллипса, с которым будет проводиться сравнение.

Экстремальные значения г для эллипса определяются формулами (31.17), тогда как для реальной орбиты

экстремальные значения г должны удовлетворять уравнению (31.28). Чтобы экстремальные значения совпадали, достаточно потребовать, чтобы при подстановке в (31.28) c+匕 или с—b вместо 1/г в приближенную формулу (3L28) она становилась точной. Две эти подстановки дают соответственно

В2—(с+Ь— С)2 十 2入(с+Ь)з = О,

(31.29)

环―(с 一 ь_ с/+2入(с— Ь)з = 0.

Отсюда следует (см. п. 31.40), что

Ь2—В2 = —(с— С)2^2к^+3匕2)(31.30)

с—С=4(3с2+Ь2).(31.31)

Теперь мы готовы к выполнению операции типа описанной в п. 30.3. На рис. 31.25 показаны неподвижный эллипс и отрезок орбиты AN (различие между ними

Рис. 31.25.

сильно преувеличено). Точка орбиты Q имеет полярные координаты: расстояние г от S до Q и угол 8 между SA и SQ. Выберем на эллипсе точку Р, которая также находится от S на расстоянии г. Тогда ее координаты: длина отрезка SP, снова равная г, и угол ф между SA и SP.

Как в п. 30.4, положим 8—<р = е, так что е показывает,, насколько отрезок SQ обогнал SP. Отсюда

68—6屮=能・(31.32}

Применяя метод, зарекомендовавший себя при изучении распространения света (пп. 30.4 и 30.5), объединим (31.12), (31.25) и (31.32). После преобразований, описанных в п. 31.41, получим довольно простой результат:

бе 〜3 入 с6(р+九匕(%/r) 6屮，(31.33)

где величина % определена как в п. 31.4М. Очевидно^ эта приближенная формула позволяет вычислить е методом, подобным использованному в п. 30.9. Но на этот раз есть более простой способ.

Применение (31.22) к последнему члену в (31.33) дает бе~3就3中+九Ь6 (y/r)=

(22.8)

=6(3就中)十8(入切/г), (22.5)

品〜3 (3入0①+九也/厂).

Есть ли идеи?

В обеих частях этой приближенной формулы стоят только приращения, значит, удовлетворяются условия второй основной теоремы (п. 25.13). Пользуясь этой теоремой в форме (3), найдем

Е= 3入Сф + 入匕(У/Г)+ К,

где К—постоянная. Начнем с момента, когда точки Р и Q вместе выходят из А. При этом 屮=0, е=0 и К тоже должно быть равно 0. В результате

е = ЗХс(р4 ^Ьу/г.(31.34)

Отсюда можно вычислить е — угол, на который отрезок SQ опережает SP, — при известных ср и у точки (рис. 31.2 и 31.25).

По мере того как SP делает оборот за оборотом, угол Ф，а значит, и первое слагаемое в правой части (31.34) равномерно возрастает. Однако у второго слагаемого более сложная история. При 屮=6 оно тоже равно нулю (так как у=0). По мере возрастания ф оно дости-

гает максимального значения, а затем, уменьшаясь, проходит через нуль (при <р= 180°, где снова у = 0), становится отрицательным, достигает минимума и вновь обращается в нуль при 屮= 360°, а затем повторяет эти колебания при каждом обороте SP.

Итак, поведение угла е — это равномерное возрастание (слагаемое ЗХсф), на которое накладываются колебания (слагаемое 入byQ.

Нас интересуют только завершенные орбиты, когда Р снова возвращается в A (a Q проходит через перигелий, уже не совпадающий с А). В этом случае у = 0, так что (31.34) сводится к уравнению е = ЗАс<р, или после подстановки с из (31.8)

(3L35)

(а и и ——это характеристики эллипса; пп. 31.2М и 31.ЗМ). Пусть в*—угол, на который отрезок SQ опережает SP за время одного полного витка, или величина, на которую за это время возрастает е и смещается пе- ригепий (п. 31.23). Для полного витка(р = 360° = 360Х Х3600〃. Тогда из (31.35) получим

*3 888 00G 伙

а(匸 * .

Итак, если даны размеры эллипса, являющегося наилучшим приближением к эйнштейновской орбите, то эта формула позволяет узнать, на какой угол (в секундах дуги) сместится перигелий за один полный оборот планеты вокруг Солнца.

Чем меньше а, тем больше эффект, предсказываемый формулой (31.36). Рассчитаем его для ближайшей к Солнцу планеты — Меркурия: а = 57 910 000 км, е = = 0,2056, 1—е2 = 0,9577, а 九=1,477 км (п. 27.15). Тогда формула (31.36) дает

3 888 600X1,477

£ = 57 910 000 X0,9577 ・

Меркурий делает один оборот вокруг Солнца за 87,97 земных суток, значит, за столетие от совершает (100X365,26) /87,97 оборота. Отсюда за столетие смещение перегелия Меркурия должно быть равно

3 888 000x1,477x100x365,26

—57 910 000x0,9577x87,97—.

Итак, согласно общей теории относительности, ор-

бита Меркурия — это не фиксированный в пространстве эллипс — за столетие она поворачивается на 43,6〃・ Это, конечно, малая величина, но ее измерение — вполне посильная задача для астрономов.

Это предсказание нанесло удар теории Ньютона, так как, превосходная в других отношениях, она была не в состоянии объяснить результаты астрономических наблюдений Меркурия.

Согласно теории тяготения Ньютона, если бы у Солнца была только одна планета, то ее орбитой был бы неподвижный эллипс. Но у Солнца несколько планет, и все они оказывают друг на друга гравитационное воздействие, что приводит к искажениям орбит. Однако эти воздействия малы, и на практике всегда можно считать, что орбита планеты — медленно изменяющийся эллипс. Эти изменения могут быть разных типов: вращение, рассмотренное в предыдущих разделах, изменения формы и размера, изменения наклона плоскости орбиты и т. п.

В течение сотен лет астрономы наблюдали движения планет и представляли их с помощью медленно меняющегося эллипса. Поскольку изменения обусловлены влиянием других планет, с помощью теории эти эффекты затем можно было исключить. Иными словами» исходя из наблюдений, можно рассчитать, какая орбита была бы у некоторой конкретной планеты, если бы не было остальных планет. Согласно Ньютону, должен получиться эллипс, неизменный эллипс.

И вот утомительные расчеты завершены, и с очень высокой точностью из них следует такой вывод. Единственное исключение ——самая близкая к Солнцу планета Меркурий.

Когда были исключены все возмущения, вызываемые другими планетами, орбита Меркурия все же не стала неподвижным эллипсом. Размер и форма орбиты, как и ожидалось, зафиксировались, но эллипс продолжал поворачиваться ——его перигелий смещался. Это единственный случай, когда теория, несмотря на непре- кращающиеся попытки, не могла объяснить наблюде- ния, известные задолго до рождения Эйнштейна.

Итак, теория Эйнштейна правильно предсказывает поведение орбиты Меркурия. Подтверждают ли наблюдения это предсказание?

Точные наблюдения Меркурия проводились с 1765 г. Когда все возможности, предоставляемые теорией для исключения влияния других планет, были исчерпаны.

оказалось, что перигелий Меркурия должен смещаться на 43,11 ±0,45〃 в столетие. Стандартное отклонение ±0,45〃 свидетельствует об очень высокой точности измерений (п. 23Д7М) и очень малой погрешности. Сравните это значение со значением 43,0〃，предсказанным Эйнштейном.

31.34.31.34.31.35.31.35.Лучшего согласия трудно ожидать. Выводы теории Эйнштейна блестяще подтвердились. (В последней главе я еще скажу несколько слов о сомнениях, возникших в последнее время, которые, по-видимому, не оправдались.)

31.34.

31.34.

31.35.

31.35.

Для других планет смещение перигелия много меньше.

Смещение перигелия,секунды дуги в столетие

Планета предсказан-наблюдае-

ноемое

Венера Земля ИкарВенера Земля Икар6 8 3&^36 8 3&^38,4±4,8

Венера Земля Икар

Венера Земля Икар

6 8 3&^3

6 8 3&^3

5,0±1,2

9,8±0,8

Эти данные ——еще одно подтверждение теории Эйнштейна, хотя, учитывая малость эффекта и меньшую точность измерений, они мало что добавляют.

Вплоть до последнего времени все свидетельства в пользу теории тяготения Эйнштейна были связаны с очень слабыми эффектами, измерения которых лежат на пределе возможностей современной аппаратуры. Но когда эта книга была уже почти завершена, пришла информация о наблюдении явления, подобного обсуждавшемуся в предыдущих разделах, но происходящего в 35 000 раз быстрее.

Речь идет о пульсаре. Это сравнительно близкий объект, от которого к нам приходит быстрая последовательность коротких и четких радиоимпульсов. Обычно период следования импульсов (время между двумя импульсами) составляет около одной секунды. Однако у одного пульсара он равен 0,033 с, а у интересующего нас пульсара период равен 0,059 с. Эти радиоимпульсы излучаются с регулярностью, превосходящей самые точные часы, созданные человеком (хотя «часы» каждого пульсара — по причине, которой мы здесь касаться не будем, — очень медленно отстают: пульсары замедляют вращение).

Согласно общепринятой точке зрения, пульсар —— это нейтронная звезда, последняя стадия жизни совершенно обычной звезды, хотя значительно более массив-

ной, чем Солнце. В процессе катастрофического взрыва она может сбросить часть массы, а вследствие истоще ния запасов ядерного топлива звезда претерпевает гравитационный коллапс, в результате которого остается объект несколько массивнее Солнца — диаметром около 10——20 км. По мере сжатия звезда начинает вращаться все быстрее (точно так же, как танцовщица на льду начинает вращаться быстрее, когда прижимает к себе руки). Звезда излучает радиоволны, которые фокусируются в узкие пучки ее мощным магнитным полем, невероятно усилившимся в результате сжатия. Из- за вращения этот пучок тоже начинает поворачиваться подобно лучу маяка. Если Земля окажется как раз там, где по ней может пробежать этот радиолуч, то будет наблюдаться пульсар. Интервал между последовательными импульсами — это период вращения нейтронной звезды (типичное значение около 1 с).

Даже если это объяснение не совсем точное из-за недостатка данных, скорость, с которой нарастают и спадают импульсы, позволяет со всей определенностью утверждать, что размеры пульсара малы*. Есть данные наблюдений, которые позволяют считать, что пульсар^ к обсуждению которого мы переходим, несколько массивнее Солнца. Я подчеркиваю эти моменты, чтобы показать, что даже если будущие исследования изменят наши представления о процессах, происходящих в пуль- cape, то рассмотренное ниже подтверждение общей теории относительности, по-видимому, останется в силе.

Пульсар PSR 1913+16 был открыт профессором Тейлором и его сотрудниками в июле 1974 г. К концу августа в его поведении были обнаружены странные особен* ности: интервал между последовательными импульсами оказался нерегулярным. Он нарастал, а достигнув максимума, уменьшался до минимума, затем снова начинал нарастать, и этот процесс вновь повторялся. Каждый цикл занимал 7,75 часа (чтобы быть точным^ 27 906,981 72±0,000025 с). Как бы вы объяснили это наблюдение?

Единственное подходящее объяснение — эффект Доплера (пп. 15.4—15.10). В течение одного цикла пульсар успевает переместиться по направлению к нам со скоростью порядка тысячной доли скорости света..

остановиться, удалиться от нас... Из этой картины сле< дует, что пульсар должен двигаться по орбите. Значит должна быть другая звезда, хотя она и не была о6на・ ружена, и они должны вращаться вокруг общего центра масс. Такие пары называются двойными звездами.

Оптический аналог этого явления известен давно —— на основании периодического увеличения и уменьшения? частоты видимого света, приходящего от исследуемой звезды, делался вывод, что она обладает спутником н‘ вращается, как и он, по орбите. Иногда спутник можно- наблюдать, но чаще он невидим.

Интенсивное изучение сигналов, приходящих от пульсара в двойной системе, может дать огромный объем， информации. Если изложить факты, известные сейчас, то к моменту, когда книга попадет к вам в руки, эти данные сильно устареют. Поэтому я приведу краткую， сводку данных на начало 1979 г.* Массы обеих звезд примерно в 1,4 раза больше массы Солнца, лучшие- оценки: 1,39 солнечной массы для пульсара и 1,44 — для другой звезды. При описании орбиты мы снова ис- пользуем вращающийся эллипс (п. 31.22). Орбита сильно вытянута (е = 0,617) и очень мала (ал^870 ООО км” что сравнимо с радиусом Солнца!). Значит, формула/ (31.35) предскажет очень быстрое вращение эллипса,, т. е. очень быстрое смещение периастра (ближайшей1 к главной звезде точки орбиты звезды-спутника). Наблюдаемое смещение равно 4,226±0,001° в год. Нет,, это не опечатка, речь действительно идет о градусах в；, год! Хотя некоторые вопросы нуждаются в дополнительном исследовании, Тейлор и его коллеги, по-види- мому, правы, утверждая, что «единственной причиной: наблюдаемой скорости смещения периастра являетсж эффект общей теории относительности». Итак (но все это требует в ближайшие годы проверки и перепроверь ки), у нас есть еще одно подтверждение справедливости теории тяготения Эйнштейна. На； этот раз мы имеем дело с действительно крупномасштабным эффектом,, а не с каким-то незначительным отклонением от теории! Ньютона.

Теперь перейдем к проверке математических выкладок. Сначала выведем приближенную формулу (31.25)、

Подставляя (31.23) в (31.24), получим

(1 — 2入“)讶〜一泌产68.(31.37)

Умножим обе стороны метрики (29.12) на 1—2А/г, прибавим к каждой стороне 3产 и вычтем из обеих сторон (1—2X/r) 6s2. В результате придем к приближенной формуле

6г2 〜(1 — 2MУ б*—(1 — 2九/г) 6s2—(1 —2Х/г) г2692.

Подставляя вместо 3/ и 6s выражения (31.23) и (31.37), найдем

6产〜九2必产ву—(1 _ 2九")九2x392—(1 — ^r} r2S02 ^ =d也2必一九2+2"l2"— 1/户+ 2九/7*3} 602.

На последнем шаге мы воспользовались пп. 16.12М, 15.24М и 26.37М. Теперь, не изменяя величины выражения в фигурных скобках, прибавим к нему и одновременно вычтем 用4九2 и сделаем перестановку входящих в него членов. Тогда получим

6户〜尸(九2胪—胪十九齡2— 1 /户+ 2出入/尸一胪入2+2九"3) 692 =

п. 16.12М, 15.23М и 15.24М

=尸{九2 伍 2— J ) ^|_ ^4^2 _( 1 /r 2 _ 2^X1 г + Ш) + 2Л/Г3} 682n (26.27) при а= 1/г,匕=胪入

=尸仙2(胪一1)+抬九2一 (1/f—九2入产+2%"3} my.

После подстановки В и С из (31.26) и (31.27) получится формула (31.25).

. Воспользовавшись несколько раз правилом из п. 16.12М (ср. с п. 26.28М), можно доказать, что

(e+ь)3 =炉+3炉ь+ з*+勿，(31.38)

(c- if = е3_3网+3历2— 死(31.39)

Перестановка членов дает

(c+b-C)2 = (c—C+b)2 =

(26.26)

= (с—С)2+2(с—С) Ь+*

(c-b—e)2=(e—e)2 -2g一e)6+从.

Применяя в (31.29) четыре последних тождества, получим

В2_(с—С)2—2(с—С)Ь — Ь2+

+ 2%(炉+3e2 力+3丽+加)_ 0,(31.40)

中一(с—C)®+2 (с—С) b—从 + 2 厶(с3— 3蝴+

+ 3赤一妗=o.(31.41>

Помните о правилах сложения и вычитания отрицательных величин (пп. 15.23М и 15.24М). Сложим формулы- (31.40) и (31.41) (применив несколько измененные ме・ тоды из п. 15.28М) и разделим результат на 2:

b2— (e- Q2—Ь2+ 2 %(炉+ 3或2) = 0.

Отсюда после прибавления к обеим сторонам разности 匕2一52 следует (31.30).

Вычитая теперь (3L40) из (31.41) и деля обе стороны на 46, получим

с_С—А(Зс2+Ь2)==0, откуда немедленно следует (31.31).

Теперь докажем приближенную формулу (31.33). Пе^ репишем (31.25) и (31.12) в виде

"2〜尸х6吃

3产〜dps叫

где

X = В?—(1 /г- С)?+2%/г3,(31.42>

У = Ь2_(1/г—с)2=(31.43>

⑶・7)

=Ь2 -从无2/产=

п. 16.12М

=加(1一炉"2)(31.44)

Затем, повторяя выкладки из п. 30.19, можно добавить, что-

2隈〜{(Y—X)/Y} g・(31.45»

и (31.43)

У—X = b2—в2—(1 卜—c)2+(l/r—C)2—2入，=

(31.30)

^―(c—C)2+2X(c3+3b2c)-(l/r-c)2+(l/r—С)2—2X/r3^ перестановка и п. 16.12М

=-(с—С)2 + (1 /г- С)2- (1 /г 一 с)2+

+ 2Х(сэ+ЗЬ2с— 1 /г3).(31.46>

Но —(с— С)2 = —(с— С) (с— С) = (с— С) (С — с).

Из (16.10) следует, что

(1 /г^с)2—(1 /г— с)2 = (1 /г— С+1 /г— с) (1/г-С—1/г-[-с)^

—(2/г—с — С) (с —С).

Применяя два последних тождества к (31.46), получим

У—X = (с—С) (С —с)-{- (с—С) (2/г— с—С) +

+ 2%g+352" 1，)=

п. 16.12М

= 2(с—С)(1/г—с)4-2Л (с3+ЗЬ2с— 1 "3)= (31.31)

=2入(3。2十峭(1/г—с) + 2入 d+362c— 1/「з).

Теперь В и С исключены из наших формул. Величины b и с по-прежнему относятся к эллипсу, так что можно воспользоваться формулой (31.7), чтобы заменить 1/г——с на bxlr, а 1/г3 на (c-Vbx/r)3, Это дает

Y-X = 2X (3合+6)現/尸+2九6+ 3對一(e+b%")3} _

п. 16.12M, (31.38)

=2九山e2b%/「+ь3%/r+炉+3Ь2c-C3——

—3e2Ь%/尸—3卅%2/产—63%3/f3)

Опустив одинаковые члены с противоположными знаками и воспользовавшись правилом из п. 16.12М, получим

Y-X = 2 M?2 (力%/尸+3e一3或2/产—故听3)=

(переставить члены, п. 16.12М)

=2Ab2 {ic^bxlr—(炉/产)(3e+Ь%")}=

п. 16.12M

=2九ь2 (1 -%2/产)(3e+汲/尸)= (31.44)

= 2АУ (Зс+bx/r).

Подстановка этого выражения в (31.45) и деление обеих частей на 2 приводит к приближенной формуле

Be 〜入(3c~}-bx/r) 6ф, которая ведет прямо к (31.33).

32

КАК ДЕЙСТВОВАЛ ЭЙНШТЕЙН

В нескольких главах я привел вас к наиболее важным результатам, полученным Эйнштейном, но пользовался при этом совершенно иными методами. Изучая специальную теорию относительности, мы в принципе следовали Эйнштейну, и наш метод отличался лишь в деталях. Работая над общей теорией относительности, мы следовали Эйнштейну в использовании принципа эквивалентности, чтобы связать гравитацию и ускорение; в описании геометрии пространства-времени с помощью метрики; в выборе мировых линий свободно падающих тел в качестве геодезических и, наконец, в применении представления об искривленном пространстве-времени. Но в главной задаче, выводе метрики, необходимость использовать простой математический аппарат вынудила меня применить метод, который совершенно отличен от эйнштейновского и много хуже его.

При выводе метрики мы плелись к цели мелкими шагами, зато каждый из них был очень простым. Эйнштейн же после нескольких неудачных попыток достиг цели в результате одного гигантского скачка благодаря своей интуиции. Его можно сопоставить с результатом п. 19.10, но это ручеек по сравнению с огромным каньоном, который благодаря Эйнштейну преодолело человечество. Боюсь, я смогу дать лишь смутное представление о том, как он это делал.

Трудный путь к новой теории начался в 1907 г., когда Эйнштейн предложил принцип эквивалентности. После этого он испытал много разных, но неверных путей, прежде чем около 1913 г. встал на единственно правильный путь. Теория приняла окончательную форму в 1915 г., а в 1916 г. Эйнштейн опубликовал законченный вариант. Следующее ниже описание не претендует на историческую точность и полноту, это лишь краткий конспект рассуждений, которые привели Эйнштейна к триумфу.

Прочитайте гл. 28, в частности определение искривленного пространства-времени (п. 28.9).

Помните, что даже в поле тяготения в окрестности любого события всегда можно выбрать такую систему координат, в которой локально применима метрика плоского пространства-времени специальной теории относительности (см. пп. 23.12, 27.3 и 27.4), взяв в качестве координат результаты измерений в данном месте, выполненных свободно падающим наблюдателем.

Эта метрика плоского пространства-времени существенно локальна, так как другой свободно падающий наблюдатель, находящийся на некотором расстоянии от первого, будет двигаться относительно него с ускорением, а значит, он уже не может пользоваться координатами того же самого плоского пространства-времени. Любая система координат, которая служит не только для чисто локальных измерений, должна быть обязательно связана с более сложной геометрией искривленного пространства-времени. Эйнштейн пришел к этому выводу в 1913 г.

Если известна метрика искривленного пространства- времени, то можно определить (с помощью геодезической), как движется свободно падающий наблюдатель. Попытаемся найти результирующие движения, которые могли быть вызваны действием тяготения. Это требование накладывает ограничения на возможные типы метрики, и основная задача сводится к отысканию этих ограничений.

Естественно начать с метрики в наиболее общей форме. Тогда она должна содержать члены не только с квадратами приращений координат типа 6/2 и 6х2, но и их произведения типа 6/8% и т. д. Итак (воспользовав- шить обозначениями, которые всякий уважающий себя релятивист назовет неправильными), запишем метрику в виде

6s2b 〜gu%2 十 g-126/6x+g] 35tby+宮投覆 +

+ &2 舐 2 + g238x8y + g2 工舐闻 +

十统3必2+g3丄M3z +

十禽投2.(32.1)

Обратите внимание на способ записи индексов: цифры от 1 до 4 относятся соответственно к первой, второй, третьей и четвертой координатам: t, х, у и z. Например, g23 — это коэффициент при бхбу. Однако вопреки первому впечатлению координаты t, х, у и z, в которых записана эта метрика, вовсе не обозначают время и три пространственные координаты. Это любые че-

тыре координаты, с помощью которых можно задать событие в пространстве-времени. Я использую эти символы, чтобы не вводить общепринятые обозначения и избежать дополнительных трудностей. Начиная с этого момента вместо слова «событие» я буду писать слово «точка», поскольку, когда свойства пространства- времени обсуждаются с чисто геометрических позиций, слово «событие» может привести к путанице.

Величины gii, gi2, ••• обозначают выражения, в которые входят координаты типа 1—2А/г и т. д. из (29.12), но обычно более сложные и содержащие все координаты. Таким образом, значения каждого g меняются от точки к точке пространства-времени.

Полезно выстроить коэффициенты g в виде следующей треугольной таблицы:

gu g【2 gl3 gl4

g22 g23 g24

g33g34

g44

где в 1-й строке стоят величины, связанные с Of, во 2-й строке и 2-м столбце — связанные с 5%, и т. д.

При изменении системы координат коэффициенты тоже меняются. Например, метрика пространства-времени специальной теории относительности на плоскости в полярных координатах имеет вид 6s2 〜6/2—3厂2—厂2$82 (п. 26.41), а в прямоугольной системе координат 6s2~ 〜5/2—3%2——by?, значит, в первом случае g33 = —г2, во втором g33 = — 1. Еще один пример — формулы (24.3) и (24.8).

Все вместе эти коэффициенты выступают как некая единая сущность, предназначенная для описания геометрии рассматриваемого пространства-времени (п. 24.10), ведь природа пространства-времени не зависит от того, какую систему координат выбрать для его описания. Каждый коэффициент в отдельности зависит от того, какая используется система координат. Изменив систему координат, вы автоматически измените g.

Существует набор точных математических правил, описывающих эти изменения. Если указать уравнения, описывающие изменения системы координат и выражающие новые координаты через старые, то с помощью этих правил можно получить систему уравнений, выражающих новые коэффициенты через старые.

Все вместе коэффициенты g дают пример такого понятия, как тензор. Тензор — это набор величин, описывающих некоторое свойство геометрии (или некоторое свойство физической реальности, которую мы изучаем с помощью геометрии). Тензор зависит от системы координат. Но если вы захотите описать его в некоторой системе координат, он будет иметь вид набора чисел как в п. 32.5. Такие величины называются компонентами тензора. Компоненты зависят от того, какая используется система координат.

Тензором эти величины являются по той причине» что при изменении системы координат с помощью системы не очень сложных правил можно найти соответствующие изменения компонентов. Изменения компонентов связаны с изменением системы координат вполне определенным образом.

Разумеется, тензор обычно меняется от точки к точке пространства-времени, т. е. значения компонентов зависят от значений координат.

Например, набор g в н. 32.5 образует тензор, который называется метрическим, каждая величина g в отдельности—это компонент метрического тензора.

Метрический тензор будем обозначать g^ . Индекс 快(греческая буква《ми》) ——одно из чисел 1, 2, 3 или 4, а V (греческая буква 《ни》)—то же самое или любое другое из этих чисел. Итак, g^ — это своего рода краткий перечень компонентов метрического тензора, а значит, может служить и символической формой записи самого тензора.

Тензоры подразделяются на несколько типов. Нас, в частности, будут интересовать так называемые ковариантные тензоры, для которых характерен точно определенный способ связи между изменением системы координат и изменением их компонентов. Метрический тензор — ковариантный.

Вплоть до настоящей главы мы всегда знали (и довольно хорошо), с какой системой координат имели дело. Но в эйнштейновском подходе допускается применение любой мыслимой системы координат (подчиненных нескольким математическим ограничениям, которые не должны нас здесь беспокоить). Этими координатами могут служить результаты измерений любого наблюдателя, как инерциального, так и движущегося с ускорением. В более общем случае они не обязательно должны быть измерениями какого-то наблюдателя, они должны лишь точно задавать события. Однако

объективное отражение законов природы не должно зависеть от системы координат, выбираемой для их описания. Вот почему Эйнштейн сформулировал

принцип общей ковариантности'.

основные законы природы должны описыватьсяг уравнениями, которые остаются в силе в любой системе координат.

Если бы существовал, например, такой закон природы, который в одной конкретной системе координат можно было бы записать в виде равенства нулю суммы всех g из п. 32.5, то из принципа общей ковариантности следовало бы, что сумма всех g должна оставаться равной нулю, какую бы систему координат мы ни использовали.

Но несколько позднее было доказано, что принцип общей ковариантности вообще ничего не утверждает, ибо любое наперед заданное уравнение можно (при некотором навыке) привести к ковариантной форме. Если к нему добавить, что важнейшие истины обычно могут быть сформулированы в простой и элегантной форме, то идея общей ковариантности на практике оказывается мощным орудием для вывода новых полезных уравнений, справедливость которых должна быть установлена другими путями.

Принцип общей ковариантности удовлетворяется автоматически, если уравнения законов природы выражены только через ковариантные тензоры (п. 32.9). Это — следствие специфического свойства тензоров, благодаря которому изменение компонентов ковариантного тензора связано с изменением системы координат.

Поэтому, чтобы продвигаться по пути, проторенному Эйнштейном, необходимо изучить раздел математики, связанный с операциями над тензорами, который называется «тензорным исчислением». Освоить этот предмет непросто, и дело не в том, что его трудно понять, а в том, что тензорное исчисление исключительно трудно в техническом отношении. Дважды я пытался постичь его, достигал уровня вполне достаточного, чтобы уследить за ходом эйнштейновской мысли, но каждый раз почти все забывал, и очень быстро. Поэтому я отказался от мысли взяться за него в третий раз. Так что эту главу я пишу на основе смутных воспоминаний, оставшихся от тех двух знакомств с тензорным исчислением и консультаций с книгами.

Осознав, что пространство-время должно быть искрив-

ленным, Эйнштейн, вероятно, создал для себя оч^нь конкретный, почти осязаемый образ этой кривизны и иасто призывал его на помощь воображению. Тяготение—это следствие кривизны (пп. 28.13—28.17), значит, законы тяготения должны представлять собой уравнения, накладывающие определенные ограничения на кривизну, выбирающие из всех возможных одно конкретное пространство-время.

Но тяготение порождается материей: Солнце является причиной наблюдаемого поведения планет. Присутствие материи деформирует пространство-время — искривляет его; затем кривизна вызывает ускорения, которые мы интерпретируем как проявления тяготения. Приведу афоризм одного из первопроходцев современной теории тяготения профессора Джона А. Уилера: «Пространство указывает материи, как ей двигаться, а материя указывает пространству, как ему искривляться». Итак, закон тяготения должен каким-то образом связывать кривизну пространства-времени с положением и движением содержащейся в нем материи или устанавливать связь между кривизной и распределением и потоком энергии (п. 19.16).

Кривизна пространства-времени — понятие много более сложное, чем кривизна поверхности. Для ее полного описания необходимо 20 величин в каждой точке. Они обычно изменяются от точки к точке пространства-времени и могут быть вычислены с помощью компонентов метрического тензора.

Очевидно, кривизна — это свойство самого пространства-времени, и она не зависит от того, какую систему координат использовать для ее описания. Однако эти 20 величин зависят от выбора координат. Как и следовало ожидать, они являются компонентами тензора кривизны Римана — Кристоффеля. (На самом деле у него больше 20 компонентов, но в силу определенных симметрий только 20 из них независимы, они-то и представляют интерес.)

Теперь мы можем разобраться с трудностью, возникшей в п. 28.9 в связи с определением искривленного пространства-времени и кратко обсуждавшейся в п. 28.5. Пространство-время плоское (и это можно доказать) в том и только в том случае, когда все компоненты тензора кривизны Римана — Кристоффеля равны нулю всюду в этом пространстве-времени.

Тензор кривизны Римана — Кристоффеля не может служить нашей основной цели ——поиску закона тяготе-

ния. Однако из него можно получить другой тензор； который называется тензором Риччи, обозначается символом 7?卩丫 (по такой же схеме, как в п,. 32.8) и имеет десять компонентов. Тензор Риччи по сравнению с тензором Римана — Кристоффеля описывает кривив ну лишь наполовину.

Тензор Риччи ковариантный, поэтому с его помощью нам, возможно, удастся решить поставленную задачу.

Как говорилось в п. 32.12, проблема сводится к установлению связи между кривизной и распределением и потоком энергии (массы) как источниками поля тяготения. Как с помощью тензорного исчисления описать эти источники?

Если теория охватывает все возможные варианты, то она должна описывать не только распределение энергии в пространстве, но и его изменения, связанные с переносом энергии. Следуя такой линии рассуждений, мы рано или поздно придем к выводу, что для полного описания требуется 10 величин, характеризующих плотность энергии (энергию в единице объема), плотность потока энергии (поток энергии через единичную площадку), плотность импульса и плотность потока импульса, причем значения этих величин зависят от координат.

Такие 10 величин образуют тензор—10-компонентный ковариантный тензор, который называется тензором энергии-импульса и обозначается символом Т gv.

Мы получили два 10-компонентных тензора: тензор Риччи (п. 32.15), описывающий кривизну, и тензор энергии-импульса, описывающий распределение энергии (а значит, и массы). Быть может, закон тяготения представляет собою некоторое простое соотношение между ними? Проще всего предположить, что тензор R^ пропорционален 7屮・(Это означает, что каждый компонент одного равен соответствующему компоненту другого, умноженному на один и тот же для всех компонентов множитель.) Таким способом можно было бы найти связь между кривизной и распределением энергии (п. 32.12). На определенной стадии у Эйнштейна должна была появиться такая мысль.

Увы, этот путь не годится. У тензора энергии-импульса есть специфическое свойство (равная нулю дивергенция), являющееся результатом математической форму» лировки законов сохранения энергии и импульса (пп. 18.8 и 19.5). Тензор Риччи таким свойством не обладает, значит, они не могут быть пропорциональны.

Легко представить разочарование Эйнштейна. Это выглядело столь обещающе... Можно ли как-нибудь воплотить эту идею? Сомнения, сомнения, сомнения...

... пока наконец не пришло озарение. Есть величина,

обозначаемая буквой R, которая, несмотря на то что она состоит всего из одного компонента, тоже описывает кривизну пространства-времени. Величина R меняется от точки к точке пространства-времени, но не изменяется при переходе к другой системе координат. Если из каждого компонента тензора Риччи /?屮 вычесть соответствующий компонент тензора g^ (пп. 32.4 и 32.5), предварительно умноженный на то в результате получится новый тензор

Gjv = Rpv—

называемый тензором Эйнштейна. Он ковариантный и тоже имеет 10 компонентов, к тому же его дивергенция равна нулю. Оказалось, что по всем важным параметрам математические свойства тензоров G^v и 力少 (п. 32.16) совпадают.

Эйнштейн модифицировал свою догадку, о которой шла речь в п. 32.17. Не а тензор G ^ должен быть пропорционален Т ^ . Коэффициент пропорциональности определяется из условия, что при слабом тяготении и малых скоростях результат должен совпадать с ньютоновским. Этот коэффициент оказался равным —8nG. (Число л определено в п. 27.12,G — гравитационная постоянная. Численное значение этой универсальной постоянной, позволяющей однозначно определить напряженность поля тяготения, измерено экспериментально. Величина 九，которая входит в метрику пространства- времени с полем тяготения, подчиняющимся закону обратной пропорциональности квадрату расстояния, равна произведению G на массу Солнца или любого другого центрального тела, создающего поле тяготения; п. 27.14.)

Итак, опираясь на идеи, изложенные в двух предыдущих разделах, Эйнштейн предположил, что закон тяготения—соотношение между энергией-массой и кривизной—определяется уравнениями

Rjxv '/zgeR = —StiGT gV.(32.2)

Придавая p, и v всевозможные значения (от 1 до 4), получим уравнение для каждого компонента. Все вместе эти уравнения называются уравнениями Эйнштейна

Левую часть уравнений (32.2) можно переписать так, что в нее будут входить только ^И¥ , тогда как правая часть описывает распределение энергии-массы. Задав конкретное распределение энергии-массы, с помощью (32.2) можно вычислить компоненты метрического тензора g^v и исследовать, как они меняются от точки к точке (от события к событию) пространства-времени. В результате мы узнаем геометрию этого пространства- времени. Таким образом геометрия пространства-времени полностью определяется (посредством уравнений Эйнштейна) распределением энергии-массы.

К сожалению, уравнения Эйнштейна, если их подробно расписать, оказываются чрезвычайно сложными. Поэтому на практике задача определения геометрии пространства-времени по заданному распределению энергии решается лишь в нескольких простых случаях.

Когда-то жил на свете арабский философ, который изложил в ста томах все знания и премудрости мира. Друзья сказали ему, что мало у кого найдется столько времени, чтобы одолеть его сочинения, и мудрец сократил их до одного тома. Но люди желали еще большей краткости, и ему пришлось ужать этот том до главы, а потом, войдя во вкус, он сократил все до параграфа, еще чуть погодя — до предложения. И наконец он решил оставить лишь одно слово: Аллах. Если вы знаете, что означает《Аллах», то вы знаете все.

Точно так же если вы понимаете смысл каждого отдельного символа в уравнениях поля Эйнштейна, то вы знаете все о тяготении. Это один из величайших в истории человечества примеров концентрации огромной информации в столь малом объеме.

Вся беда в том, что нужно больше одной жизни, чтобы постичь все, что кроется за словом 《Аллах》. Проникновение в сущность символов R^, 丁炉 и всего остального не очень сложно. Но это очень большая работа даже для людей с математическим образованием. Вот почему я избрал другой путь.

И я хочу еще раз обратить ваше внимание на то, какая колоссальная интуиция, какое богатое воображение привели Эйнштейна к цели. И какая пропасть отделяет его путь от нашего, по которому мы в конце концов притащились туда же.

В пустом пространстве все компоненты тензора 小 равны нулю. Тогда, согласно (32.2), все компоненты тензора Эйнштейна также равны нулю. Но вспомним, что тензор Риччи, а значит, и тензор Эйнштейна лишь

наполовину описывают кривизну (п. 32.15). Другая половина тензора Римана — Кристоффеля может быть отлична от нуля. Если потребовать, чтобы уравнения Эйнштейна были применимы и там, где есть вещество (тензор Тд *0), и там, где его нет, то из них будет следовать, что тензор Римана ——Кристоффеля не равен нулю даже в пустом пространстве. Пространство-время между звездами искрив'лено, несмотря на то что все вещество, которое и является причиной кривизны, сосредоточено в звездах.

Как только Эйнштейн вывел свои уравнения поля, он решил их приближенными методами и сделал предсказания, описанные в гл. 30 и 31. Через несколько месяцев Карл Шварцшильд показал, что в пустом пространстве, окружающем изолированное тело, подобное Солнцу, метрика должна иметь вид (29.12). Шварцшильд сделал несколько вполне разумных предположений, в частности что метрика не зависит от времени и сферически симметрична (т. е. одинакова в любом направлении от центра) и т. д. Впоследствии было доказано, что нужно лишь одно предположение.

Это предположение сводится к требованию, чтобы вещество, создающее поле тяготения, имело сферически симметричное распределение. Это распределение не должно быть обязательно статическим ——допустимы, например, радиальные пульсации. Исходя из этого единственного предположения, Биркгофф в 1923 г. доказал, что в пустом пространстве вне такого распределения вещества метрика должна иметь вид (29.12). (Масса всего остального вещества во Вселенной считалась такой малой или находящейся на столь большом расстоянии, что ее влиянием можно было пренебречь.) Еще раз обратите внимание на превосходство метода Эйнштейна. Чтобы получить метрику (29.12), нам пришлось прибегнуть к закону обратной пропорциональности квадрату расстояния в п. 27.24, а затем в пп. 27.45 и 27.46, но в несколько измененном виде. В теории Эйнштейна метрика (29.12)—неизбежное следствие сферической симметрии рассматриваемого распределения вещества. Отсюда поле тяготения, подчиняющееся (слегка модифицированному) закону обратной пропорциональности квадрату расстояния, является в этой ситуации единственно возможным.

В целом то, чем мы занимались в нескольких последних главах,——это, конечно, более простой и более длинный путь (да к тому же проделанный с помощью

многочисленных дополнительных предположений) к некоторым результатам Эйнштейна, которых он достиг несравненно более элегантным способом. Но в одном отношении наши результаты не идентичны эйнштейновским. В пп. 22.19 и 22.20 мы сделали приближение, которое имеет смысл только в том случае, если величина fx мала по сравнению с 1 (f — ускорение наблюдателя, а х ——расстояние, на котором он находится от исследуемого события). Как следствие этого приближения, все последующие рассуждения о поле тяготения, подчиняющемся закону обратной пропорциональности квадрату расстояния, остаются в силе только при условии, что 2九/厂——мала入 дробь, т. е. радиус г много больше 入.

Таким образом, у нас метрика (29.12) выполняется лишь приближенно, а в теории Эйнштейна она является точным следствием уравнений поля Эйнштейна и сферической симметрии. До сих пор это не имело значения, поскольку мы пользовались своими результатами только в таких ситуациях, когда это приближение было справедливо.

32 27. Теперь предположим, что необходимо рассмотреть явления, происходящие вблизи невероятно плотного объекта (допустим, что такие существуют), радиус которого меньше соответствующего ему значения 2Х ——радиуса Шварцшильда (п. 27.14). Можно было бы приблизиться к такому телу на расстояние 厂=2九.Тогда 1 —— ——2入/г = 0. В результате коэффициент при члене с бг2 в (29.12) стал бы бесконечно большим*.

Более того, из (30.15) и (30.16) следует, что на таком расстоянии скорость света，была бы равна нулю, т. е. внешний наблюдатель никогда не увидит, что происходит в этой области. Была бы равна нулю максимально возможная скорость (гл. 10), т. е. ничто находящееся на сфере' Шварцшильда (сфере радиусом 2%) или под ней никогда не смогло бы выбраться оттуда. Из (27.33) следует, что любое тело, расположенное на таком расстоянии от этого сверхплотного объекта, падало бы на него с бесконечно большим ускорением, хотя нам следовало бы рассчитать это ускорение по формуле (27.26) для скорости и, а не из (27.31) для V. Кроме того, можно показать, что часы, расположенные на сфере Шварцшильда, шли бы бесконечно медленно, т. е. вообще остановились бы. Даже если

Больше любого наперед заданного числа.

вспомнить, что координаты могут и не соответствовать «истинным» времени и расстоянию (пп. 27.39 и 30.22), все равно не вызывает сомнений, что происходит что-то очень странное. Подобные рассуждения в конце концов приводят к понятию черной дыры — области пространства вокруг исключительно сильно сжатой звезды, причем предметы могут падать внутрь этой области, но ничто не может выйти наружу. Большинство релятивистов, но далеко не все, сегодня верят, что теория Эйнштейна предсказывает существование черных дыр (если только нет неизвестного современной науке явления, предотвращающего катастрофическое сжатие звезд или даже больших масс вещества до столь малых объемов). Некоторые считают, что уже есть данные наблюдений, свидетельствующие о существовании черных дыр.

Все эти предсказания являются следствиями метрики (29.12), точной согласно теории Эйнштейна. Но она была бы приближенной, если верить методу, которым я вас к ней привел. Забудем о приближении в пп. 22.19 и 22.20. Какая получилась бы тогда метрика и к ка- ким следствиям она бы вела?

М. Рассмотрим математическую сторону вопроса о взаимосвязи между величинами 务 и /, найденной в гл. 21. Для простоты положим f=l. У математиков есть два способа толковать об этой связи. Один из них* сводится к утверждению, что величина 月 экспоненциально зависит от f, или

k = exp t(32.3)

Следовательно, после замены заголовков колонок в табл. 21.23 и 21.27 на exp f и £ они будут описывать эту экспоненциальную связь. Тогда из таблиц мы могли бы, например, узнать, что ехр 0,41 = 1,5. Кроме того, остаются в силе все соотношения между fe и /, найденные в гл. 21, если их записать новым способом. Например, утверждение из п. 21.5 теперь преобразуется к виду

ехр / х ехр т = ехр (/+工)•(32.4)

(Здесь опущены промежуточные выкладки, выполните их самостоятельно.) Тогда

ехр / х ехр (—/) — ехр 0 = 1

О втором говорится з п. 2L43v.

(поскольку в расчетах, проделанных в гл. 21, мы исходили из того, что при f = 0 々=1; п. 21.18). Отсюда

ехр (—f) = 1 /ехр Л(32.5)

М. По мере возрастания / величина ехр t тоже монотонно возрастает (причем много быстрее, чем /)• Тогда, согласно (32.5), величина ехр(—£) должна монотонно уменьшаться. Выбирая достаточно большие /, можно сделать ехр (—/) сколь угодно близкой к нулю. Но каким бы большим ни было значение f, ехр (——t) никогда не обратится в нуль, а всегда будет иметь положительное значение.

м. С помощью (32.3) формулу (21.20) можно представить в виде

6 (ехр /)/ехр / ~ 6/.(32.6)

Эта приближенная формула, наряду с начальным условием ехр ^=1 при f = 0 может служить определением величины ехр /, так как в первоначальной форме (21.13) она была основой для вывода соотношения между ^ = ехр f и f.

. Теперь перейдем к приближенным формулам (22.22) и (22.23). Вторая из них имеет другой вариант записи: (22.24). Кроме того, при fx = O величина fX=l (п. 22.19). Тогда, согласно определению из п. 32.30м, fX = exp(f%), и, подставляя это соотношение в (22.22) и (22.23), получим приближенные формулы (22.29) и (22.30), которые я привел в п. 22.21 без доказательства. Значит, эти выражения могут заменить приближенные соотношения (22.27) и (22.28).

. Если теперь повторить рассуждения последних глав, всякий раз заменяя приближенные соотношения точными, то мы придем к тому же результату, что раньше только там, где прежде стояло выражение 1——2九"，теперь будет стоять ехр (——2九/г). Таким образом, новый вариант метрики должен иметь вид

6s2 〜ехр (—2Х/г) 6/2—ехр (2Х/г) 6г2— г2602,(32.7)

где коэффициент при 6г2 получен с помощью (32.5). Метрика (29.12) —это приближение к (32.7), достаточно хорошее для больших по сравнению с % значений 尸. Исключим из рассмотрения случай『 = 0, при котором центральная масса должна сжаться в точку. Тогда ни один член новой метрики никогда не может стать бесконечно большим. Кроме того, исправленная формула (30.15) дает для скорости света выражение

exp(——2九〃),которое не обращается в нуль ни при каких (не равных нулю) г. Следующее из (27.33) точное выражение для ускорения f =——Хехр(2Л/г)/г2 никогда не обращается в бесконечность.

Все необычные явления, описанные в п. 32.27, в случае метрики (32.7) должны были бы исчезнуть, и не было бы никаких черных дыр.

. Прав Эйнштейн, а я скорее всего ошибаюсь. Построенная нами теория ——это всего лишь приближение, хотя и вполне пригодное всюду, где ее в настоящее время можно проверить экспериментально. Но есть совершенно ничтожный шанс, что (32.7)——это правильная метрика, а (29.12)—приближение, достаточно хорошее там, где возможна экспериментальная проверка. Тогда не должно быть и черных дыр, а это опрокинуло бы большинство современных представлений.

Нет и доли тщеславия в надежде скромного последователя чуть-чуть усовершенствовать дело рук великого предтечи — ведь в большинстве случаев научный прогресс — это и есть осуществление таких надежд. Однако грубые и малоэффективные методы, использованные в этой книге, оставляют слишком много места для ошибок. В лучшем случае эти методы могли бы навести на мысль, что высказанная выше идея достойна внимания, но они не позволяют ее обосновать. А нельзя ли показать, что метрика (32.7) могла возникнуть из некоторой модификации теории Эйнштейна? Не могут ли какие-нибудь приемлемые поправки в уравнениях поля Эйнштейна привести к такой экспоненциальной форме метрики? После признаний, сделанных в п. 32.11, от меня ответа на эти вопросы ждать не следует. Вот если бы обсуждаемая проблема привлекла внимание специалиста по теории относительности, который оказал бы мне честь, дочитав книгу до этого места! Остальным читателям я советую игнорировать этот краткий экскурс в проблемы, которые выходят за рамки общепринятых представлений, и верить в теорию Эйнштейна.

33

НЕСКОЛЬКО ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫХ ЗАМЕЧАНИЙ

Настало время подводить итоги. Специальная теория относительности осталась так далеко позади, что я не буду возвращаться к ней снова. К тому же эта теория обще- признана и считается настолько хорошо обоснованной, что является краеугольным камнем современного научного мышления. Но общая теория относительности по-прежнему остается предметом активной дискуссии.

Начнем с ограничения. Эта теория никогда не оправдывала своего названия, если его понимать как претензию на глубокое и всестороннее обобщение специальной теории относительности. Как отмечалось во введении, это всего лишь теория тяготения, и оценивать ее мы должны как теорию тяготения. Сравним теории тяготения Эйнштейна и Ньютона с философской точки зрения. Заодно вы узнаете, какой из них я отдаю предпочтение.

Перечитайте пп. 26.46 и 26.47. Там упоминалась причина, склоняющая наши симпатии на сторону Эйнштейна: в основе его теории лежит на одно предположение меньше, чем в теории Ньютона. Из этого следует, что она проще в принципе, хотя в математическом отношении гораздо сложнее. Большинство из нас согласится (хотя трудно сказать, почему), что простые объяснения предпочтительнее сложных.

Разумеется, нельзя упрекать Ньютона в том, что основания его теории сложнее, чем теории Эйнштейна. Подход Эйнштейна в то время был совершенно немыслим. Но можно указать, откуда проистекает эта сложность. Причина в том, что теория Ньютона начинается со следующего утверждения: «если бы не было тяготения», то вещи вели бы себя так-то и так-то. Но как это проверить, куда скрыться от тяготения? Поэтому Ньютону пришлось сделать дополнительное предположение: «но тяготение есть всегда, а поэтому...»

В поисках простых теорий совершенно естественно желание рассмотреть движение тел, когда на них не действуют никакие силы. Поэтому мы говорим: «Если тело не привязано никакими веревками, если его никто не толкает, если отсутствует притяжение, обусловленное элек-

трическими или магнитными полями, если...», то тело будет вести себя так-то и так-то. Такое утверждение имеет смысл, ибо его можно проверить, перерезав веревки, нейтрализовав электрические заряды и т. д. Но фатальная ошибка Ньютона (пусть даже простительная и исторически неизбежная) в том, что он трактовал тяготение просто как еще одну силу, от которой тоже можно избавиться (хотя бы теоретически).

Большая простота эйнштейновского подхода является следствием его утверждения, что, избавившись по возможности от всех сил, тело будет двигаться по геодезической, форма этой геодезической должна определяться влиянием тяготения.

В теории Ньютона присутствует так называемое «дальнодействие». Солнце влияет на движение расположенной далеко от него планеты без посредства какой-либо среды или механизма, переносящего это влияние к планете. Есть и другие явления, например электрическое или магнитное притяжение и отталкивание, которые можно описать математически, пользуясь понятием дальнодействия. Такого рода описания ведут к количественным предсказаниям, которые прекрасно согласуются с экспериментальными данными. Кроме того, нет никаких логических оснований, позволяющих отрицать существование дальнодействия, отрицать возможность того, что причина в данном месте могла бы привести к следствию где-то далеко.

И все же мы не особенно доверяем объяснениям, исходящим из представления о дальнойдействии. Когда фокусник взмахивает руками, а на другом конце сцены его пассам вторят движения плавающего в воздухе шарика, мы не верим, что он способен действовать на расстоянии, а пытаемся разгадать, какие невидимые нити или иные связи использует этот маг.

А вот как люди пытались объяснить электрическое и магнитное притяжение. Не доверяя идее о дальнодействии, они изобретали различные теории о связях между причиной и следствием через посредство пространства. Сначала это бнла теория эфира (п. 1.11), а когда от нее пришлось отказаться, они дали объяснения на основе электромагнитных свойств пространства. Электрический заряд (согласно этому объяснению) нарушает электромагнитное равновесие в непосредственно примыкающей к нему области пространства — создает там, так сказать, электромагнитное напряжение. Это напряжение возмущает следующий кусочек пространства и т. д., до тех пор

пока возмущение (распространяющееся во всех направлениях) не подействует на удаленное тело. Такие теории называются теориями поля.

Во многих случаях электрические и магнитные явления одинаково хорошо объясняются как теорией дальнодействия, так и теорией поля. Но когда приходится рассматривать электромагнитные системы, в которых происходят быстрые изменения, например переменный ток высокой частоты, способный влиять на объекты, расположенные на значительном расстоянии от провода, сразу возникает вопрос: с какой скоростью распространяется это влияние? Теория дальнодействия не дает четкого ответа, в ней возможно даже мгновенное распространение. А вот теория поля утверждает, что воздействие, обусловленное переменными процессами, передается от одного тела к другому с помощью волнового процесса. Она предсказывает, что волны должны р аспр остр а няться со скоростью 300 000 км/с, причем ее предсказания соответствуют фактам (радио!). В электричестве и магнетизме выигрывает теория поля.

Но никому еще не удалось построить удачный полевой вариант закона тяготения Ньютона. Если вы — сторонник Ньютона, то должны быть готовы принять идею о дальнодействии и всего того, что из нее следует в философском плане.

(Мне вовсе не доставляет удовольствия делать подобные выпады в адрес Ньютона. Но это не будет выглядеть так уж бестактно, если вы узнаете, что множество таких критических замечаний было сделано им самим. Его переписка дает понять, что он осознавал трудности, которые влечет за собой концепция дальнодействия. Но Ньютон считал, что раз эта концепция приводит к правильным выводам, то ею можно пользоваться невзирая на то, что по этому поводу может сказать философия. К сожалению, победное шествие его теории притупило критический дух его последователей, поэтому возобновившиеся в нашем столетии попытки критически переосмыслить ньютоновское наследие произвели впечатление разорвавшейся бомбы.)

Что касается теории Эйнштейна, то она с самого начала была теорией поля: присутствие Солнца приводит к деформации окружающего пространства. Эта деформация, распространяясь все дальше от Солнца, порождает искривленное пространство-время, а кривизна определяет форму орбит планет. Для большинства людей, хотя, как показало множество споров с моими слушателями, не для

33.8.33.8.всех, такая конкретная связь между Солнцем как причиной и искривленной орбитой планеты как следствием более приемлема, чем абстракция, к которой приводит концепция дальнодействия.

33.8.

33.8.

Вспомним, что у нас было гораздо более серьезное возражение против ньютоновского подхода (п. 10.16): его теория тяготения — это теория мгновенного дальнодействия (она в любом случае требует, чтобы причинное воздействие распространялось намного быстрее света), а это, согласно специальной теории относительности, невозможно.

Как, согласно общей теории относительности, распространяется гравитационное воздействие? Предположим, что масса Солнца удвоилась. Тогда《форма» окружающего его пространства должна была бы измениться ——его кривизна увеличилась бы. Как распространялось бы такое изменение? Этот вопрос требует анализа, который нам с вами не по силам. Но из теории следует, что подобные изменения должны передаваться в виде волн, распространяющихся со скоростью света.

Предсказанные теорией гравитационные волны должны быть очень слабыми, и сообщения об их экспериментальном обнаружении не получили всеобщего признания. Однако наблюдения двойного пульсара (п. 31.36) дают косвенное свидетельство их существования. Согласно общей теории относительности, такая система должна излучать гравитационные волны. Эти волны уносят с собой энергию, которая освобождается в результате падения компонентов двойного пульсара на общий центр масс. Третий закон Кеплера (п. 27.12; модифицированный так, чтобы он мог описывать поведение тел со сравнимыми массами) утверждает, что при уменьшении размеров орбит период тоже должен уменьшаться. Применяя этот закон к результатам наблюдений, можно узнать темп уменьшения периода. Оказалось, что он уменьшается примерно на 1/10000 с/год. Было показано, что отношение наблюдаемой скорости уменьшения периода к значению, предсказанному теорией, равно 1,3±0,15. Необходимы более точные измерения, которые планируется выполнить в ближайшие годы. Между тем результат этого сравнительно грубого измерения, как можно было ожидать, согласуется с предсказанием, основанным на предположении, что энергия теряется только на гравитационное излучение. Это свидетельствует в пользу существования (предсказанных теорией) гравитационных волн, хотя и

нельзя окончательно исключить возможность другой причины наблюдаемого явления.

В любом заданном месте все тела падают с одинаковым ускорением. Это известно еще со времен Галилея и проверено с исключительно высокой точностью (п. 23.10). В теории тяготения Эйнштейна объяснение этого факта не представляет никаких проблем. Мировые линии всех свободно падающих частиц — геодезические, поэтому в любой заданной точке все они будут двигаться одинаково и с одинаковым ускорением.

Но если рассматривать тяготение как силу, то способность сообщать всем телам одно и то же ускорение настолько отличает его от других сил, что требует особого объяснения. Опираясь на свой второй закон (18.5), Ньютон ввел постулат, что действующее на тело гравитационное притяжение пропорционально его массе. Или, как трактовали его в последующих работах, у тела есть две различные массы: инертная, которая, согласно определению, данному в пп. 18.7——18.9, является мерой сопротивления тела изменению его состояния движения, и гравитационная, которая является мерой эффективности ньютоновской силы тяготения. Эти массы по определению являются двумя различными свойствами тела, однако теория Ньютона справедлива только в том случае, если они всегда равны (или пропорциональны, когда используется неудобная система единиц).

Тот факт, что электрические воздействия вызывают различные ускорения у разных тел, легко объясняется пропорциональностью действующей на тело силы величине, которую обычно называют электрическим зарядом, но с равным успехом могли бы называть «электрической массой». Эта «электрическая масса» не пропорциональна инертной и может меняться без заметного изменения инертной массы. Это справедливо и для магнитных явлений. Следовало бы ожидать, что гравитационная масса тоже не должна зависеть от инертной. Однако в теории Ньютона требуется, чтобы они были одинаковы, хотя и не дается никакого объяснения этому удивительному совпадению.

Установлено, что вес — сила, необходимая лля предотвращения падения тела,——пропорционален массе. Это еще одна точка зрения на то же самое явление. Теория Ньютона снова не в состоянии дать объяснение, в ней лишь утверждается, что это иной способ выразить (необъяснен- ное) совпадение инертной и гравитационной масс.

В теории Эйнштейна состояние свободного падения

является естественным. Согласно принципу эквивалентности, если тело не падает, значит, оно движется с ускорением, направленным вверх, а его вес — это сила, которая требуется, чтобы сообщить такое ускорение. В результате вес становится в один ряд с силами, сообщающими телу любые другие ускорения. У тела есть только инертная масса, а пропорциональность между весом и массой—очевидное следствие принципов, лежащих в основе теории.

Итак, во всех этих аспектах теория Эйнштейна более удовлетворительна, чем теория Ньютона. Она опирается на меньшее число предположений; обходит ловушки, расставленные концепцией дальнодействия; в ней удается избежать необъяснимых совпадений, подобных совпадению двух типов массы. Критический анализ с чисто философских позиций показал бы, что теория Эйнштейна, несомненно, предпочтительнее теории Ньютона.

Но чисто филсофский подход неприемлем. Ведь в конечном счете важно лишь то, в какой мере теория соответствует фактам. С философской точки зрения теория Ньютона может выглядеть не очень привлекательно, но она применима. Именно по этой причине она была признанной теорией тяготения до тех пор, пока ей на смену не пришла более совершеннная теория. В какой мере общая теория относительности выдерживает экспериментальную проверку? (Специальная теория относительности выдерживает такую проверку великолепно.) В некотором смысле это одна из лучше всего подтвержденных теорий в истории науки, ибо все, что предсказывает теория Ньютона, следует и из теории Эйнштейна; расхождения имеются лишь в случае сильных полей тяготения. Теория Ньютона была подтверждена результатами терпеливых и точных наблюдений, выполненных в течение трех столетий. Каждое из этих подтверждений является также подтверждением и общей теории относительности.

Но наибольший интерес представляют те несколько моментов, в которых эти теории дают различные предсказания. Если бы в этих случаях предсказания теории Эйнштейна не соответствовали фактам значительно лучше, чем выводы, следующие из теории Ньютона, то следовало бы отдать предпочтение последней, поскольку математически она проще.

Следует признать, что объем экспериментальных данных, на которые можно опираться в споре «Эйнштейн против Ньютона», довольно мал. Как обстояли дела около 1970 г.? В то время были возможны только четыре

типа экспериментов, позволяющих проверить предсказания теории Эйнштейна. В каждом случае предсказания последней подтверждались лучше, чем ньютоновской, но расхождение было незначительным.

Начнем с гравитационного красного смещения (пп. 23.14—23.18 и 27.30)—предсказания, которое прекрасно подтверждается опытом. Но проверка здесь касалась только принципа эквивалентности. Кроме того, можно показать, что это явление предсказывается любой теорией тяготения, согласующейся со специальной теорией относительности.

Результаты трех остальных экспериментов имеют еще более узкую область применения, чем хотелось бы. В них проверялась только корректность метрики Шварцшильда (29.12). Справедливость же уравнений поля (32.2) в других ситуациях не проверялась. Эти эксперименты не позволяют найти различия между общей теорией относительности и любой другой теорией тяготения, из которой бы в качестве сферически симметричного решения следовала метрика (29.12).

Метрика Шварцшильда проверялась только для случаев, когда г много больше 九，отсюда сомнения, изложенные в конце гл. 32. Если бы астрономы могли найти неопровержимые доказательства существования черных дыр, то это было бы подтверждением теории Эйнштейна для малых г. Но в астрономии одни и те же результаты наблюдений можно интерпретировать несколькими способами.

Рассмотрим предсказание, касающееся отклонения л\ча света вблизи Солнца (п. 30.12). В течение многих лет наблюдения давали неопределенные результаты (п.30.15). Из них следовало, что теория Ньютона неточна, даже если ее дополнить предположением, о котором шла речь в п. 30.13, и что предсказанное Эйнштейном отклонение приблизительно совпадает с наблюдаемым. Но на основании этих оптических наблюдений нельзя было бы утверждать, что теория подтвердилась. Можно было лишь сказать, что это наиболее удачная попытка построения правильной теории тяготения, но не более, и не опровергались бы другие теории.

Наблюдения в радиодиапазоне (п. 30.16) казались более обнадеживающими, но в начале 70-х годов их точность была недостаточной, чтобы обнаружить различия между теорией Эйнштейна и другими теориями. То же самое можно было бы сказать по поводу экспериментов третьего типа, связанных с измерением запаздывания от-

раженного радиолокационного сигнала (пп. 30.23——30.25), если иметь в виду ситуацию, сложившуюся в то время.

И наконец, смещение перигелия Меркурия. Полученный из наблюдений результат в 43,11±0,45,/ в столетие (п. 31.33) настолько хорошо согласуется с предсказанным 4з,0〃 в столетие (п. 31.31), что можно было бы считать, что эта проверка полностью и однозначно подтверждает теорию Эйнштейна.

Вернее, все это можно было сказать до 1960-х годов, когда Бранс и Дикке предложили свою скалярно-тензорную теорию. Она должна была включать в себя принцип Маха, выдвинутый Эристом Махом в 1872 г. и состоящий в том, что тела, которые движутся по инерции, с нашей точки зрения (п. 5.2), должны также двигаться равномерно и прямолинейно по отношению к системе отсчета, связанной с неподвижными звездами (или, как мы говорим сейчас, с системой галактик). В качестве объяснения он предположил, что инертная масса (п. 33.10)—это не просто свойство данного тела, она определяется действием на это тело всего вещества во Вселенной.

Попытки облечь принцип Маха в точную научную фор- му не увенчались успехом; кроме того, нет никаких подтверждающих его экспериментальных данных.

Я не берусь излагать теорию Бранса — Дикке, поэтому приведу ее краткое описание, сделанное самим Дикке. Скалярно-тензорную теорию

...можно рассматривать как релятивистскую трактовку закона тяготения Ньютона в рамках геометрической структуры эйнштейновского искривленного пространства. Либо ее можно описать как теорию, в которой действующая на некоторый объект сила гравитации частично порождается взаимодействием со скаляр- ным полем , а частично — тензорным взаимодействием. Третье эквивалентное описание теории сводится к то- му, что это релятивистская теория тяготения, в которой гравитационная постоянная больше не является постоянной, а локально определяется переменной величиной, характеризующей скалярное поле.

Уравнения теории Бранса—Дикке решаются . точно так же, как уравнения Эйнштейна, но дают модифициро-

ванную метрику, очень похожую на метрику, к которой ведет подстановка в (29.2) вместо а одной из форм, рассмотренных в п. 30.20. Однако на этот раз п — малая дробь, которую можно изменять в определенных пределах, что приводит к тому или иному желаемому результату. При п = 0 теория совпадает с теорией Эйнштейна (п. 30.20). Если вы не знаете, как быть с выражением (1—2入/г) 1 一九,когда 〃亠 дробь,, то перепишите его в вйде (1—2九")(1+ 2九入/г) (см. п. 30.20).

Эта теория дает такое же гравитационное красное смещение, как теория Эйнштейна (пп. 23.14——23.18, 27.30). Для отклонения луча света, проходящего вблизи Солнца, из скалярно-тензорной теории следует слегка отличающееся от эйнштейновского значение. Но различие слишком мало для того, чтобы сделать вывод на основе только одних оптических наблюдений (п. 30.15). Эксперименты, связанные с измерением запаздывания радиолокационного сигнала (пп. 30.23——30.25), тогда только начинались.

Поэтому решающее значение имели результаты наблюдений смещения перигелия Меркурия. Оказалось, что при любом разумном значении п (или у и(о) из п. 33.18 теория Бранса ——Дикке давала всего 39 или 40〃 в столетие вместо 43〃.

На первый взгляд могло создаться впечатление, что теория несостоятельна. Но Дикке указал на то, что в расчетах Эйнштейна форма Солнца предполагалась идеально сферической (п. 32.25). На самом же деле из-за вращения Солнце слегка сплюснуто. Но при столь низкой скорости вращения (как показывают наблюдения солнечных пятен, оно совершает примерно один оборот в месяц) отклонение от идеальной сферы слишком мало, чтобы иметь значение.

Тогда Дикке предположил, что внутренняя область вращается много быстрее поверхности. (С физической точки зрения трудно понять, как может поддерживаться такое дифференциальное вращение, но оно возможно.) Если бы внутренние области вращались в 10 или 20 раз быстрее, то результирующая сплюснутость Солнца привела бы к смещению перигелия Меркурия. Это хорошо известный вывод ньютоновской теории. Сплюснутость 5/100000 привела бы к смещению около 4〃 в столетие. Тогда теория Дикке, дающая 39〃 в столетие, давала бы правильный результат.

Дикке ——хороший экспериментатор и в то же время оригинальный теоретик — редкое сочетание в наши дни. Вместе с сотрудниками он провел серию очень тонких экспериментов, которые показали, что сплюснутость Солнца составляет около 4,5/100000.

Однако последующие наблюдения не подтвердили этот результат. Сплюснутость Солнца оказалась слишком малой, чтобы можно было объяснить те 3 или 4〃 в столетие, которые требуются скалярно-тензорной теории. Между тем усовершенствованные измерения отклонения радиоволн полем тяготения Солнца (п. 30.16) дали результаты, свидетельствующие в пользу теории Эйнштейна, так же как и измерения запаздывания радиолокационного сигнала (п. 30.25).

Еще один сокрушительный удар нанес, как это ни удивительно, принцип эквивалентности. В теории Эйнштейна этот принцип не допускает никаких исключений. Согласно принципу эквивалентности применительно к теории Ньютона, гравитационная и инертная массы (п. 33.10) всегда должны быть в точности равны. Но в геории Бранса ——Дикке это равенство не обязательно.

Часть массы тела заключена в его гравитационной энергии связи, обусловленной взаимным гравитационным притяжением частей этого тела друг к другу, и равной энергии, которую нужно приложить, чтобы, преодолев это взаимное притяжение, развести части тела далеко друг от друга. В теории Бранса — Дикке гравитационная энергия связи дает разный вклад в инертную и гравитационную массы. Для лабораторной регистрации эффект слишком мал, но он должен вызывать поддающееся измерению искажение орбиты Луны: ее вытягивание в направлении к Солнцу, которое должно проявляться в виде вариаций расстояния между Землей и Луной.

В течение 1969——1975 гг. были выполнены измерения, состоявшие в регистрации времени отправления и приема лазерных импульсов, отраженных уголковыми отражателями, установленными на поверхности Луны (Дикке был одним из участников этих экспериментов.) Они показали, что с точностью около 30 см это вытягивание не имеет места.

Чтобы теория Бранса — Дикке соответствовала результатам наблюдений, имевшимся к началу 1979 г., постоянная 及 в п. 33.18 должна быть меньше 0,002, т. е. очень близкой к нулю, что соответствует общей теории относи • тельности (пп. 30.20 и 33.18). Но нет смысла принимать

на вооружение новую, более сложную теорию, если более простая дает те же самые предсказания.

Вероятность того, что какие-нибудь новые или усовершенствованные старые наблюдения принесут свидетельства в пользу теории Бранса — Дикке, а также других теорий, очень мала. На этих теориях я не буду здесь останавливаться, так как я о них почти ничего не знаю, за исключением того, что, согласно общепринятому мнению, у них еще меньше шансов на успех, чем у теории Бранса — Дикке.

Нелегко сделать окончательный выбор между теорией Эйнштейна и конкурирующими теориями, основываясь только на результатах наблюдений в пределах Солнечной системы, поскольку из-за слабого тяготения и низких скоростей предсказания незначительно меняются от теории к теории. Гораздо более высокие скорости и мощное поле тяготения двойного пульсара (п. 31.36) выявят большие различия, а это позволит навсегда избавиться даже от обоснованных сомнений. Описанные в п. 33.8 безуспешные попытки регистрации гравитационных волн сильно свидетельствуют против других теорий, из которых следует большее рассеяние энергии в процессе гравитационного излучения (исключение представляет случай, когда массы пульсара и его спутника примерно равны).

В течение последующих нескольких лет будет продолжаться это бессмысленное занятие. Но, на мой взгляд, общая теория относительности в настоящее время подтверждается результатами наблюдений много лучше, чем когда бы то ни было.

Попытаемся оценить состояние общей теории относительности как научной теории. Установим несколько стандартов для сравнения.

Ньютоновская динамика (без теории тяготения)—— это дисциплина, которая, основываясь на понятиях и законах, кратко изложенных в гл. 18 и 19 (но при малых скоростях и, как следствие, постоянной массе), в результате трехсотлетнего развития достигла почти полного совершенства в описании движения, силы, энергии и т. д. при нерелятивистских скоростях. Было бы неверно считать, что релятивистская динамика (гл. 18 и 19) доказала несостоятельность ньютоновской, она лишь указывает границы применимости ньютоновской динамики. Теория Ньютона справедлива при условии, что мы остаемся в этих пределах.

Специальная теория относительности — это не только динамика, но все, к чему мы пришли в 21 главе

этой книги. Она прекрасно выдержала множество тяжелых испытаний экспериментом. Примененная в других областях науки, специальная теория относительности позволила полностью разобраться в природе многих явлений. С философской точки зрения она способна выявлять такие неясные проблемы. Кроме того, она с честью выдержала проверку, которую я считаю самой главной из всех: специальная теория относительности позволяет делать то, что без учета ее эффектов было бы неосуществимо (пп. 13.16, 18.20, 19.24, 19.33 и 19.34).

Эта теория, подобно динамике Ньютона, никогда не будет считаться ошибочной. Возможно, когда-нибудь обнаружатся пределы ее применимости; в этих пределах она всегда будет оставаться справедливой.

Теория тяготения Ньютона. В экстремальном случае эта теория в противоположность общей теории относительности дает неверные предсказания. Теория тяготения Эйнштейна вовсе не является развитием или модификацией идей Ньютона, напротив, согласно теории Ньютона, тяготение ——это сила; в теории Эйнштейна это деформация геометрии пространства-времени. Теория Эйнштейна объясняет наблюдения, поэтому мы вынуждены признать, что теория тяготения Ньютона вообще неверна. Не удивительно ли? Теория дает правильные ответы в любых ситуациях, кроме экстремальных, и тем не менее мы считаем ее неверной. Циник мог бы даже классифицировать эту теорию как временную, которой человечество придерживалось на протяжении 200 лет, пока не была создана общая теория относительности.

Как классифицировать общую теорию относительности? Новая точка зрения на пространство-время, несомненно, привела к более глубокому пониманию Вселенной. Но тут мы вспоминаем, что специальная теория относительности проникла во многие разделы науки, тогда как общая теория относительности позволила заглянуть лишь в несколько маленьких дальних уголков, недоступных теории Ньютона. Однако многие специалисты утверждают, что эта теория ведет к важным следствиям для всей физики, хотя их разработка только началась.

Во всяком случае, она пока почти не претендует на возможность практического использования. В космических путешествиях отдаленного будущего она, возможно, потребуется для навигационных расчетов в областях с сильными полями тяготения. Но едва ли можно утверждать, что теория имеет практическое применение, апеллируя к гипотетическому будущему. Поэтому будем оце-

нивать ее главным образом с эстетической, философской и эмпирической точек зрения.

Мы уже воздали должное общей теории относительности в рамках философии, хотя с философской точки зрения она не всегда выдерживает критику. Например, многие считают ее неспособность включать в себя принцип Маха (п. 33.17) серьезным недостатком. Именно по этой причине теория Бранса ——Дикке привлекла серьезное внимание. С эмпирической точки зрения существует слишком мало тестов для ее проверки, но те, что были выполнены, она выдержала с честью.

Наконец, ее эстетическая оценка. Если вы считаете, что представления о красоте не применимы к физико-математическим теориям, то не читайте этот параграф. Но многие (и я в том числе) очень остро чувствуют красоту общей теории относительности; для них она так же прекрасна, как симфонии Бетховена или полотна Рембранта (а может быть, уместнее упомянуть Пикассо и Стокайзе- на?). Одни теории могут быть справедливыми и полезными, но скучными, заурядными и просто прикладными. Другие же имеют изящную структуру, и у общей теории относительности это качество проявляется в высшей степени.

Отчасти красота является следствием ее простоты (п. 33.2)——подлинной простоты, несмотря на математическую сложность. Наибольшее впечатление это производит, когда знакомишься с общей теорией относительности с помощью уравнений поля Эйнштейна (пп. 32.12 и 32.23). Но даже при использовании грубого метода, развитого в этой книге, наступает момент (где-то в районе гл. 28 или 29), когда кончается скучный и унылый пейзаж и впереди открывается великолепная панорама.

Но вот, утолив жажду прекрасного, мы вдруг вспоминаем, что успехи теории, на удивление, скромны: несколько незначительных поправок к теории Ньютона (двойной пульсар обещает большие поправки), некоторое применение в космологии и кое-какие перспективы, связанные с черными дырами и гравитационными волнами.

Как же нам ее классифицировать? Как хорошо обоснованную теорию, вселяющую надежду, что при определенных ограничениях она всегда будет справедлива, подобно динамике Ньютона и специальной теории относительности (п. 33.25)? Или как многообещающую гипотезу? Или как временную теорию, пригодную, чтобы послужить до тех пор, пока не появится более совершенная теория? (И будет ли новая теория столь сильно отли-

чаться, что в конце концов придется оценить теорию тяготения Эйнштейна так же, как мы сегодня оцениваем теорию Ньютона: хотя она и дает правильные ответы, но все равно неверна?) Поразмышляйте над этими вопросами.

В начале 70-х годов, когда наблюдения отклонения света давали еще очень неопределенный результат, исследования запаздывания радиолокационного сигнала только начинались, а теория Бранса — Дикке выглядела многообещающе, многие крупные ученые приняли бы последнюю из упоминавшихся в п. 33.28 точку зрения: до сих пор общая теория относительности являлась лучшей теорией тяготения; возможно, это окончательная теория, а возможно, и нет; но ею придется пользоваться до тех пор, пока не будет разработана более совершенная теория. Но с тех пор все более подтверждается теория Эйнштейна, поэтому теперь ее можно считать хорошо обоснованной теорией, т. е. теорией, которая скорее всего останется справедливой даже тогда, когда станет ясно, что она ограниченна, и эти границы будут четко очерчены.

Но какой бы ни была ее судьба во всех остальных отношениях, она навсегда останется памятником человеческому разуму. Это памятник не только Эйнштейну, но и таким гигантам, как Ньютон (хотя теперь доказано, что он ошибался в понимании тяготения) и Аристотель (хотя известно, что он заблуждался в понимании многих вопросов). Истина и заблуждение — ничто по сравнению с селичием созидательной мысли.

Я всегда испытывал гордость, когда мне выпадала честь познакомить с идеями Эйнштейна обычных людей——моих слушателей, а теперь и моих читателей. Я надеюсь, что и вам передалось это ощущение.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

Абсолютное будущее 162

—прошлое 162

Абсолютная величина 190

Аннигиляция 260

Большой круг 365

Бранса — Дикке скалярно-тензорная теория 494

Вектор скорости 244

Время всеобщее 71, 202

Время собственное 52

—несобственное 52

Вторая основная теорема 362

Гамма-излучение 20, 260, 263

Геодезическая 368

Геометрия на сфере 364

Гипотеза геодезичности 368

Гипотенуза 55

Гравитационная линза 449

—постоянная G 480

Гравитационное красное смещение 493

Гравитационные волны 490

Гравитационный коллапс 468

Греческие буквы:

а альфа 371

В бета 371

у гамма 371

6 дельта 306

& эпсилон 437

0 тэта 205

乂 каппа 211

入 ламбда 400

卩 ми 476

V ни 476

л пи 400

о, S сигма 371, 373

т тау 286

(Р，Ф фи 205

(о омега 495

Далекие события 83

Двойная звезда 469

Деление 132, 144

Джоуль 260

Дополнительное предположение 275

Доплера коэффициент 209, 223

--эффект 208, 468

Гстественная система единиц 108,

179

Закон сохранения импульса 246

энергии 253

Замедление течения времени 53, 184

Изовала 192, 194, 196

Импульс 244

Инвариант 170

Инерциальный наблюдатель 77

Интервал 179

—времениподобный 191

—изотропный 191

——пространственноподобный 191

Катет 55

Квадранты 152, 156

Квадрат числа 54

Кеплера третий закон 400

Координаты полярные 384

——прямоугольные 134

Коэффициент хода часов 323

Линия сигнала 94, 97

Лоренца преобразования 227

Майкельсона ——Морли эксперимент

26, 81

Масса 243

—гравитационная 491

—инертная 491

—покоя 248, 261

-—релятивистская 250

Маха принцип 494

Меркатора проекция 197

Мёссбауэра эффект 279, 338

Метрика 346, 358

Микросекунда 20

Минковского диаграмма 196

Мировая линия 94, 421

Мюон 58

Наносекунда 270

Неинерциальный наблюдатель 77

Нейтрино 263

Нейтронная звезда 467

Ньютона закон тяготения 401

Относительная погрешность 276

—разность 273

Относительное движение 17, 32, 135

Относительность длины 46, 64, 190

— одновременности 35, 41, 130

Отрицательные числа 101, 177, 214

Парадокс близнецов 73

Первая основная теорема 326

Периастр 469

Перигелий 462

Пи-мезон 20, 263

Пифагора теорема 55

Поверхность искривленная 415

— плоская 415

Подобные треугольники 142

Позитрон 260, 262

Приближенные формулы 185, 275

Принцип общей ковариантности 477

—относительности 81, 82

——ньютоновский 81

эйнштейновский 82

Приращение 306, 345

Пробная частица 76

Произведение 143

Пропорциональность 124, 142, 206

Пространственно-временная диаграмма 88

Пространство-время искривленное

418

—плоское 418

Пульсар 467, 468

Работа 252

Радиан 384

Разность 220

Свет 19, 21

Световой год 20, 238

Сила 246

Система координат 120

Скорость 132

—света 19, 27, 112, 147, 446, 447

Событие «в данном месте》84

Сумма 55

Тахион 159

Тензор 476

Римана — Кристоффеля 478

—Риччи 479

—Эйнштейна 480

энергии — импульса 479

Тождество 220, 239, 369

Уравнение Эйнштейна 480

Ускорение 150, 234, 284

—свободного падения 237

Физо опыт 147

Формула сложения скоростей классическая 138

релятивистская 143

Фотон 264

Хорда 384

Частота света 19

Черная дыра 484

Шварцшильда радиус 401

Эквивалентность массы и энергии 258

Электрон 260, 262

Электронвольт 265

Эллипс 452

Энергия 253

—внутренняя 253, 257, 260

—кинетическая 254, 256

—механическая 253

—полная 257

—тепловая 253

—химическая 253

Эфир 21, 35

Математические символы

=137

十137

¥ 483

185

>,V 19С ~ 275

ОГЛАВЛЕНИЕ

От редактора перевода 5

Предисловие 7

Введение 10

Приступим к делу 17

О теории относительности без особых подробностей 30

Замедление течения времени 48

Три хронометра и пара близнецов 65

Начнем сначала 76

Пространственно-временные диаграммы 88

Время и расстояние до далекого события 103

Система координат ИЗ

Комбинирование скоростей 137

Принцип причинности и скорость света 152

Природа пространства-времени 161

Интервал 172

Возвращение к старым знакомым 182

Масштабы на пространственно-временной диаграмме 192

Радиолокационная точка зрения 205

Взаимосвязь между радиолокационным методом и методом «время — расстояние» 217

Постоянное ускорение 228

Масса, импульс, сила 243

Взаимосвязь между массой и энергией 252

Влияние ускорения на измерения времени 267

Время с точки зрения равноускоренного странника 284

Как равноускоренный наблюдатель измеряет время и расстояние 309

Принцип эквивалентности 330

Метрика 342

Геодезические 354

Как найти геодезическую 369

Тяготение и закон обратной пропорциональности квадрату расстояния 393

Искривление пространства-времени 414

Метрика в окрестности Солнца 424

Тяготение и свет 435

Смещение перигелия Меркурия 451

Как действовал Эйнштейн 473

Несколько заключительных замечаний 487

Предметный указатель 501

Сэм Лилли

ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ ДЛЯ ВСЕХ

Ст. научный редактор М. Я. Рутковская

Художник Е К. Самойлов. Художественный редактор В. И ШаповаловТехнический редактор И. М.' Кренделева. Корректор В. И. Постнова

ИБ № 3701

Сдано в набор 31.10.83. Подписано к печати 08.02.84.

Формат 60Х90*/1б- 15.75 бум. л. Бумага типографская № 1.

Гарнитура латинская. Печать высокая.

Усл. печ. л. 31,50. Усл. кр.-отт. 31,50. Уч.-изд. л. 27,19.

Изд. № 27/2746. Тираж 50 000 экз. Зак. 1653. Цена 1 р. 70 к.

ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР». 129820, ГСП, Москва, И-110, 1-й Рижскийпер., 2.

Московская типография № 11 Союзполиграфпромапри Государственном комитете СССР по делам издательств.

полиграфии и книжной торговли.

Москва, 113105, Нагатинская ул., д.

* Например, если У не зависит от входящих в формулу приращений^ то У〜0 — приближенное уравнение, и тогда, согласно п. 22.30м, У=0. Дело в том, что отношение 0/0 может в некоторых случаях принимать определенные значения.

С-ЛИЛЛИ

ЭТН(ЮИТЕЛЬН0СП/1

ОЛЯ ВСЕХ 亠

DISCOVERING RELATIVITY FOR YOURSELF

with some help from

SAM LILLY

Cambridge University Press

Cambridge

London New York New Rochele

Melbourne Sydney

1981

с. ЛИЛЛИ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ ДЛЯ ВСЕХ

Перевод с английского канд. физ.-мат. наук 3. А. Штейнграда лод редакцией д-ра физ.-мат. наук Л. П. Грищука

МОСКВА «МИР» 1984

ББК 22.313 Л57

УДК 530.1

Лилли С.

Л57 Теория относительности для всех: Пер. с англ.

3. А. Штейнграда/Под ред. Л. П. Грищука. — М.: Мир, 1984, 503 с., ил.

Книга преподавателя факультета образования для взрослых Ноттингемского университета (Великобритания) представляет собой своего рода самоучитель по теории относительности. Она дает доступное изложение знаменитой теории А. Эйнштейна без использования сложного н громоздкого математического аппарата, поэтому для ее чтения не требуется практически никакой математической подготовки. Рассмотрены физические основы и следствия как специальной, так и общей теории относительности.

Рассчитана на широкий круг читателей, желающих познакомиться с теорией относительности.

ББК 22.313 530ЛББК 22.313 530Л„1704620000—309

ББК 22.313 530Л

ББК 22.313 530Л

Л 一"041(01)—8461-84 ч. 1

Редакция литературы по космическим исследованиям,астрономии и геофизике

© Cambridge University Press 1981

© Перевод на русский язык «Мнр», 1984