Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
Предисловие
Учебное пособие написано на основе курса лекций, прочитанных авторами в разные годы студентам физико-технического факультета Уральского политехнического института (ныне Уральский государственный технический университет) и физического факультета Уральского государственного университета. Основная цель пособия состоит в том, чтобы дать студентам общее представление об основных моделях и методах описания движений сплошной среды.
Часть материала курса была издана Уральским государственным университетом около четверти века назад в виде отдельных брошюр:
П.Е. Суетин. Механика деформируемых сред. — Свердловск, 1981.
П.Е. Суетин. Механика жидкости. — Свердловск, 1983.
П.Е. Суетин. Турбулентность. Пограничный слой. — Свердловск, 1984.
П.Е. Суетин. Газовая динамика. — Свердловск, 1984.
П.Е. Суетин. Магнитная гидродинамика. — Свердловск, 1984.
Для данного учебного пособия этот материал существенно переработан и дополнен с учетом достижений последних десятилетий. Особенно это касается теории гидродинамической устойчивости и перехода к турбулентному режиму течения жидкости. Практическое применение всех теоретических положений и математических моделей иллюстрируется примерами решения задач, которые приведены в конце каждой главы.
Механика сплошных сред является базовым курсом для подготовки физиков. Он включает элементы теории упругости, гидродинамики, газодинамики и магнитной гидродинамики. Материал отобран так, чтобы курс можно было изучить в течение одного семестра (около 80 часов аудиторных занятий) и при этом заложить основу для изучения таких дисциплин как теплофизика, термодинамика необратимых процессов, кинетическая теория газов, физика атмосферы и др.
Для успешного усвоения материала достаточно знания курсов общей физики и высшей математики в объеме, предусмотренном стандартной вузовской программой.
Рассчитано на студентов старших курсов, обучающихся на физических и механико-математических специальностях университетов, а также на некоторых инженерных специальностях. Часть материала доступна студентам младших курсов и может быть использована при изучении соответствующих разделов общей физики. Учебное пособие будет полезно также магистрантам и аспирантам, желающим освоить или освежить в памяти методы механики сплошных сред.
Сложилось так, что работу над учебным пособием мне пришлось заканчивать одному. Я старался придерживаться тех же критериев, которыми мы руководствовались при отборе и изложении материала, работая вместе с Паригорием Евстафьевичем. Основной критерий — доступность для студентов, впервые изучающих механику сплошных сред, в том числе самостоятельно.
Буду признателен за любые замечания, способствующие устранению возможных ошибок и улучшению содержания учебного пособия.
2006 г.2006 г.В.Г. Черняк
2006 г.
2006 г.
ГЛАВА 1
МОДЕЛЬ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
Механика сплошных сред (МСС) - раздел механики, основным содержанием которого является изучение движения газов, жидкостей и твердых деформируемых тел. Все вещества независимо от их агрегатного состояния объединены понятием «среда».
Модели механического движения
Механика сплошных сред по сравнению с механикой материальной точки и механикой абсолютно твердого тела является дальнейшим усложнением модели движения тела, модели, приближающей нас к изучению движения реальных физических тел и объектов. В действительности реальные физические тела не являются ни точечными, ни абсолютно твердыми, однако изучение таких абстрактных тел было необходимо для выявления наиболее характерных и общих законов движения реальных объектов.
В развитии физики модели изучаемых явлений играют определяющую роль. Обычно любое исследование начинается с того, что принимается наиболее простая модель изучаемого явления, позволяющая описать это явление математически и изучить основные характерные для него свойства. Сравнение теории с опытом подтверждает или, наоборот, отвергает адекватность построенной модели изучаемому явлению. Точнее говоря, сравнение теоретической модели с экспериментом позволяет определить границы применимости теории. В дальнейшем модель усложняется, что позволяет расширить границы ее применимости.
Так, изучение механического движения тел начинается с простейшей модели — модели материальной точки. Предполагается, что основные свойства реальных тел можно изучать, не принимая во внимание их протяженность и деформируемость. При этом физическое состояние тела характеризуется только его массой, а положение в пространстве только тремя координатами. На основе такой простой модели установлены фундаментальные законы движения, например, законы сохранения импульса и момента импульса, закон сохранения механической энергии. Это позволило изучить законы свободного падения тел и движения небесных объектов.
Однако существует достаточно много практических задач, которые не могут быть решены при помощи модели, игнорирующей размеры ре-
альных тел, например, движение волчков, гироскопов и т.д. Для такого рода задач создана модель абсолютно твердого тела. Предполагается, что тело имеет реальные размеры и расстояние между любыми двумя точками внутри него не изменяется в процессе движения. В этом случае физическое состояние тела характеризуется не только его массой, но и тремя моментами инерции относительно трех взаимно перпендикулярных осей. Положение тела в пространстве определяется шестью обобщенными координатами: тремя декартовыми координатами какой-либо точки тела и тремя углами Эйлера, характеризующими ориентацию тела относительно выбранной системы координат.
В то же время существует множество явлений, которые не могут быть поняты и в рамках модели абсолютно твердого тела. Например, движение жидкостей, газов и упругих тел, при котором расстояния между двумя точками среды в процессе движения существенно изменяются.
Таким образом, мы приходим к модели движения деформируемого тела, являющегося предметом изучения механики сплошных сред. Усложнение модели абсолютно твердого тела состоит в том, что в процессе движения расстояния между любыми точками тела могут изменяться —тело деформируется. Разумеется, для такой модели существенно усложняется используемый математический аппарат. В общем случае к имеющимся характеристикам движения абсолютно твердого тела для описания деформации необходимо добавить еще девять, а само тело должно характеризоваться еще тремя величинами, определяющими степень и характер деформации под действием внешних сил.
Бесконечно малые в модели сплошной среды
Понятие «сплошная среда» также является некоторой физической моделью реальных тел. Несмотря на то что все физические тела состоят из отдельных молекул и атомов, масса которых сосредоточена в их ядрах, так что подавляющая часть пространства внутри тела «пустая», будем предполагать, что вещество распределено непрерывно по всему объему тела и плотность среды является непрерывной функцией координат и времени. Будем полагать, что и другие физические величины также являются непрерывными функциями координат и времени.
Такая модель позволяет нам воспользоваться математическим аппаратом дифференциального и интегрального исчисления. Однако при этом необходимо определить, что следует понимать под бесконечно малыми физическими величинами.
Бесконечно малый элемент объема. Рассматривая движение сплошной среды, будем мыслено разбивать ее на некоторые малые части, в пределах которых все физические величины можно считать примерно однородными. Значения физических величин в любой фиксированный момент времени изменяются лишь при переходе от одной малой части среды к другой соседней части, и это изменение происхо-
дит непрерывно в зависимости от координат элементарных объемов. В любом фиксированном элементе объема значения физических величин могут непрерывно изменяться с течением времени.
Ясно, что малую часть среды следует рассматривать как физически бесконечно малый элемент объема 9. Это означает, с одной стороны, что элемент объема AV должен быть много меньше всего объема системы V с тем, чтобы можно было воспользоваться методами дифференциального и интегрального исчисления. С другой стороны, этот элемент объема должен быть достаточно большим, содержащим большое число молекул для того, чтобы его состояние можно было охарактеризовать макроскопическими физическими величинами, такими как давление и температура. Действительно, если бы элемент объема △V не содержал достаточно большого числа молекул, то флуктуации макроскопических величин в результате хаотического движения молекул были бы столь велики, что невозможно было что-либо сказать о значениях этих величин в данный момент времени.
Пусть п — число молекул в единице объема среды, т.е. п-1 - объем, приходящийся в среднем на одну молекулу. Тогда требование, предъявляемое к физически бесконечно малому элементу объема, можно записать в следующем виде:
и"《△『《『. (1.1)
Очевидно, что понятие бесконечно малого объема в МСС является понятием относительным. Например, плотность межзвездного газа составляет примерно одну частицу (атомарный водород) на 1 см3. Если попытаться описывать методами МСС движение космического аппарата объемом 卜 ^ 1 м3 в межзвездном газе, то необходимо считать за элемент объема, по крайней мере, 1 см3, т. е. AV/V 10-6. Однако в таком элементе объема в среднем содержится лишь одна молекула. Поэтому термодинамические величины для него не имеют физического смысла. Методы МСС в данном случае применять нельзя.
С другой стороны, если рассматривать движение Земли в межзвездном газе, то нам удастся удовлетворить соотношению (1.1). Действительно, объем Земли составляет около 1012 км3. Выбирая элемент объема 1 км3, нетрудно удовлетворить условию AV《V. Такой выбор △V в какой-то мере удовлетворяет и левой части неравенства (1.1), так как элемент объема будет содержать около 1015 молекул, что достаточно для определения макроскопических величин. Следовательно, задачу о движении Земли в межзвездном газе можно было бы решить методами МСС, но при этом необходимо уточнить условие (1.1) для случая газовой среды.
В жидкостях и твердых телах среднее расстояние между атомами и молекулами всегда порядка размера самих молекул. Поэтому требование достаточно большого числа молекул в элементе объема
подразумевает, что молекулы непрерывно взаимодействуют между собой. Именно взаимодействие между молекулами является механизмом, который обеспечивает осреднение физических величин по всему элементу объема среды.
В газах молекулы большую часть времени двигаются свободно с различными скоростями. Среднее расстояние /, проходимое отдельной молекулой между двумя последовательными столкновениями, называют средней длиной свободного пробега. Если d — эффективный диаметр молекул (d 〜10-10 м), a n — число молекул в единице объема, то / 〜(пс/2)-1.
Следовательно, физически бесконечно малый элемент объема для газовой среды должен удовлетворять условию
%з《△『《『. (1.2)
Это неравенство гарантирует, что в элементе объема будет находиться достаточно большое число взаимодействующих молекул.
Если снова обратиться к примеру о движению Земли в межзвездном газе, то нетрудно видеть, что левая часть неравенства (1.2) не выполняется, так как / ^ 1011 км. Это означает, что в ранее выбранном элементе объема молекулы не сталкиваются и формальное усреднение их характеристик даст некоторые макроскопические величины, значения которых будут испытывать сильные флуктуации. Объем порядка /3 значительно превышает объем самой Земли и сравним с объемом Солнечной системы. Поэтому задача не может быть решена в рамках механики сплошных сред. Необходимо использовать кинетическую теорию газов.
Бесконечно малый промежуток времени. Для того чтобы можно было использовать дифференциальное и интегральное исчисление, физически бесконечно малый промежуток времени △九 с одной стороны, должен быть мал по сравнению с характерным временем задачи 4. (Для периодических движений тр имеет смысл периода, для неустановившихся движений — времени установления стационарного состояния или времени релаксации системы.)
С другой стороны, физически бесконечно малый промежуток времени должен быть много больше характерного времени молекулярного движения 7м・ В этом случае выделенный элемент объема в любой фиксированный момент времени можно охарактеризовать некоторым набором макроскопических величин, зависящих от его координат. Только в результате многих межмолекулярных взаимодействий может произойти выравнивание любой физической величины по всему выделенному элементу объема.
Для газов тм имеет смысл среднего времени свободного пробега молекул, для жидкостей — времени локализации молекулы в данной точке, для твердых тел — периода колебаний молекул или атомов кристаллической решетки.
Таким образом, физически бесконечно малый промежуток времени в механике сплошных сред должен удовлетворять следующему условию:
(1.3)(1.3)7М《△力《7p •
(1.3)
(1.3)
Левая часть неравенства должна выполняться еще и потому, что передача взаимодействия между соседними элементами среды может осуществляться только через движение молекул, находящихся на границе этих элементов. Следовательно, при временах, меньших или порядка Тм, не существует взаимодействия между соседними частями среды, т. е. отсутствует механизм, при помощи которого непрерывно изменяются макроскопические величины.
Контрольные вопросы
В чем состоит основная идея метода МСС? Его достоинства и недостатки.
Поясните смысл предположения сплошности среды.
Как в МСС определяются физически бесконечно малые, элемент объема и промежуток времени?
В чем особенность выбора малого элемента объема в газовой среде?
1.3. Примеры решения задач
Задача 1
При экспериментальном изучении явлений переноса в газах часто используется метод «двух объемов». Представим себе экспериментальную ячейку в виде двух камер, объединенных узким капилляром. Можно ли моделировать газ как сплошную среду, если среднее давление в ячейке равно 夕=8 кПа, радиус капилляра а = 10-3 м, длина 厶=0,05 м, объемы камер V = 10-3 м3, время установления стационарного состояния т = 60 с. Ячейка заполнена аргоном при температуре Т = 293 К. Газ считать идеальным, а молекулы аргона - твердыми сферами с эффективным диаметром d = 3,42 • 10-10 м. Молярная масса аргона М = 0,0399 кг/моль.
Решение. Оценим среднюю длину свободного пробега газовых молекул при заданных условиях. Как известно из курса общей физики, для молекул, моделируемых твердыми шариками, имеем
]V^ivnd2]V^ivnd27- Ю ° М,V 2 тгра7- Ю ° М,V 2 тграр = nkT,р = nkT,(1-4)(1-4)
]
V^ivnd2
]
V^ivnd2
7- Ю ° М,
V 2 тгра
7- Ю ° М,
V 2 тгра
р = nkT,
р = nkT,
(1-4)
(1-4)
где к= 1,38・ 10-23дж/к—постоянная Больцмана.
Из макроскопических размеров экспериментальной ячейки, данных в условии задачи, выберем наименьший, радиус капилляра. Если неравенство (1.2) будет выполняться для этого параметра, то для других элементов ячейки оно тем более будет выполнено. Поскольку /3 10-18м3, 川=io—9 м3, то всегда можно выбрать такой элемент объема △『，чтобы выполнялось неравенство (1.2).
мулемулеСреднее время свободного пробега молекул можно оценить по фор
муле
муле
(1.5)(1.5)I q 艮 1 с-9— 8RT
(1.5)
(1.5)
Тм = ^=2,5・10 с,
где V — средняя скорость теплового движения молекул, R = =8,31 Дж/(К • моль) — молярная газовая постоянная.
Характерное макроскопическое время по условию задачи равно тр = 60 с. Следовательно, можно выбрать такой физически бесконечно малый промежуток времени △九 чтобы выполнялось неравенство (1.3).
Таким образом, в данных экспериментальных условиях газ можно моделировать как сплошную среду.
Задача 2
При движении тел в газе или жидкости имеет место сопротивление трения. Применим ли метод механики сплошных сред для вычисления силы сопротивления искусственного спутника Земли, двигающегося по эллиптической орбите с перигеем h\ = 100 км и апогеем 拉2 = 300 км? Диаметр спутника d = 1 м, температура среды Т = 300 К, молярная масса газа М = 0,029 кг/моль, эффективный диаметр молекул d = Зх х 10-10 м, число молекул в единице объема около поверхности Земли по = 2,7- 1025 м-3.
Решение. Для оценки числа молекул в единице объема на высоте h воспользуемся барометрической формулой:
〃 =gA=(^)2g.(1.6)
Здесь Rq = 6,37 • 106 м — средний радиус Земли, g (= 9,81 м/с2) n g拉一 ускорения свободного падения на поверхности Земли и на высоте h. Ускорение свободного падения и плотность молекул: в перигее — gi = =9,51 м/с2, Hi = 3,24 • 1020 м-3; в апогее — g2 = 8,95 м/с2, П2 = 7,43х х 1011 м-3.
Длины свободного пробега вычисляются по формуле (1.4): 21 = 7,7х х 10-3м, /2 = 3,4- 106м.
Поскольку объем спутника составляет 卜 ^ 1 м?, то очевидно, что условие (1.2) выполняется лишь вблизи перигея. Следовательно, метод механики сплошных сред может быть использован для вычисления силы сопротивления спутника только на части орбиты, близкой к перигею.
ГЛАВА 2
КИНЕМАТИКА СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
Деформация
Деформацией называют изменение формы и объема твердого тела под действием внешних сил или при изменении его температуры.
Рассмотрим в декартовой системе координат некоторое деформируемое тело (рис. 2.1). Обозначим оси координат через /〃，г = 1,2, 3. Выделим бесконечно малый элемент объема тела, включающий точку Р. Положение этой точки задается вектором г с координатами 力1,力2,力3.
Пусть тело неподвижно относительно выбранной системы координат. После приложения внешней силы в целом неподвижное тело деформируется и точка Р перейдет в другую точку пространства Р\ характеризуемую вектором г' с компонентами ж^ х^, х^. Смещение точки Р, равное
u(r) = rz - г , Ui(r) = х^- Xi, (2.1)
смещения, или просто сме- координат точки Р, так каксмещения, или просто сме- координат точки Р, так какназывается деформацией, или вектором щением. Деформация является функцией
смещения, или просто сме- координат точки Р, так как
смещения, или просто сме- координат точки Р, так как
Рис. 2.1. Деформация элемента объемаРис. 2.1. Деформация элемента объемав других точках тела она может быть и другой. Задание вектора и как функции г полностью определяет деформацию тела во всех точках.
Рис. 2.1. Деформация элемента объема
Рис. 2.1. Деформация элемента объема
Теперь рассмотрим деформацию в точке Q, лежащей около точки Р в дифференциальной окрестности первого порядка и имеющей координату г + dr (рис. 2.1). После деформации точка Q перейдет в точку Q'. В общем случае деформация точки Q не будет совпадать с деформацией точки Р. Из рис. 2.1 видно, что деформации двух точек связаны между собой следую-
щим соотношением:
u(r + dr) = u(r) + du, Ui(r + dr) = 〃〃(r) + dui .(2.2)
Вектор du называют вектором просто относительным смещением.Разложим функцию 〃勿(г + dr) в нейными по dxi членами, получимВектор du называют вектором просто относительным смещением.Разложим функцию 〃勿(г + dr) в нейными по dxi членами, получимотносительного смещения илиряд Тейлора. Ограничившись ли-относительного смещения илиряд Тейлора. Ограничившись ли-
Вектор du называют вектором просто относительным смещением.
Разложим функцию 〃勿(г + dr) в нейными по dxi членами, получим
Вектор du называют вектором просто относительным смещением.
Разложим функцию 〃勿(г + dr) в нейными по dxi членами, получим
относительного смещения илиряд Тейлора. Ограничившись ли-
относительного смещения илиряд Тейлора. Ограничившись ли-
(2.3)(2.3)〃式г + dr) = щ(г) + ^^ dxk + ....
(2.3)
(2.3)
Во втором слагаемом правой части по повторяющемуся индексу к, принимающему значения 1,2, 3, подразумевается суммирование 9.
Если деформации тела во всех его точках удовлетворяют соотношению (2.3), оно называется телом однородной линейной деформации. Учет нелинейных членов разложения (2.3) необходим лишь при больших деформациях.
Мы будем рассматривать только малые деформации, которые называют упругими. При упругих деформациях после прекращения действия внешних сил тело полностью восстанавливает свою форму и объем.
Сравнивая выражения (2.2) и (2.3) для компонент вектора относительного смещения получаем
(2.4)(2.4)dni = ^dXk = Aikdxk, 4k =瞪・
(2.4)
(2.4)
Тензор Ац^ второго ранга, третьей мерности (г, k = 1,2,3) называется тензором относительной деформации. Он характеризует деформацию точки Q относительно деформации точки Р в выделенном элементе объема. Компоненты 厶勿卜 являются функциями координат и времени. При малых деформациях компоненты тензора относительной деформации малы, т. е.厶注《1.
Представим 厶注 в виде суммы симметричной и антисимметричной частиII
^ik = 2 (/"注 + /"肮)+ 2 (/'注-Aki) = £ik + 屮ik .(2.5)
Симметричная часть А^ называется тензором деформации
_ 1 ( dui_ 1 ( dui&ik — £ki •&ik — £ki •(2.6)(2.6)
_ 1 ( dui
_ 1 ( dui
&ik — £ki •
&ik — £ki •
(2.6)
(2.6)
Антисимметричная часть А^ называется тензором поворота
(2.7)(2.7)1 / dui дик、
(2.7)
(2.7)
В дальнейшем по повторяющимся индексам, обозначающим тензорную размерность физических величин, всегда подразумевается суммирование, а знак суммы для простоты не пишется.
Тензор поворота
Рассмотрим физический смысл тензора поворота. Предположим, что все компоненты тензора деформаций равны нулю. Тогда в соответствии с выражениями (2.4), (2.5) вектор относительного смещения определяется только тензором поворота, т. е.
(2.8)(2.8)(2.9)(2.9)dUi —夕£k dxк •
(2.8)
(2.8)
(2.9)
(2.9)
Компоненты тензора 夕注 образуют матрицу
/ 0 夕 12 夕 13、
夕210夕23
\^31 夕32。/
Поскольку 屮ik ——антисимметричный тензор, то он включает только три независимых компоненты. Введем следующие обозначения
932 = -923 = 91, 913 =-931 =92,921 = 一912 = 93・(2」0)
Тогда компоненты вектора du запишутся следующим образом:
dui = 一夕3d/2 + ^2^3 , d〃2 = 93~力1 — gid/з ,(2.11)
d"3 = 一g2d/]+ (f\dx?.
векторном видевекторном видеЕсли ввести вектор поворота 夕 с проекциями на координатные оси (91, 92, 9з), то выражения (2.11) можно записать в
векторном виде
векторном виде
Рис. 2.2. Поворот элемента объемаРис. 2.2. Поворот элемента объемаdu =[夕 dr].
Рис. 2.2. Поворот элемента объема
Рис. 2.2. Поворот элемента объема
Как известно из механики, именно так записывается вектор малого поворота на угол g абсолютно твердого тела.
Таким образом, возвращаясь к рис. 2.1, видим, что выражение (2.12) описывает вектор малого поворота элемента объема, содержащего точку Q, относительно точки Р на малый угол g как абсолютно твердого тела (рис. 2.2).
Следовательно, компоненты тензора поворота описывают не деформацию элемента объема тела 6 данной точке в собственном смысле этого слова, а лишь его поворот как абсолютно твердого тела.
Векторные произведения двух векторов а и b будем обозначать квадратными скобками [ab], а скалярные — круглыми (ab).
Нетрудно видеть, что
(2.13)(2.13)1 / ди\
(2.13)
(2.13)
^12 = 2 to
1 / dU2
^23 = 2 Ы
1 f ди3 …2
(2.14)(2.14)В векторном виде эти соотношения можно записать следующим образом:
(2.14)
(2.14)
夕=2 rot u.
Таким образом, компоненты тензора поворота есть компоненты ротора смещений.
Тензор деформации
Пусть компоненты тензора поворота равны нулю. В этом случае относительное смещение полностью определяется тензором деформации:
d〃e — /к d/k .(2.15)
Тензор деформации, как всякий симметричный тензор, можно привести к главным осям. Это означает, что существует такая система координат Жр /?, /?, в которой тензор деформации имеет диагональ-
0認0• ⑵16)
\0 0 4з/
Координатные оси /? называют главными осями, а диагональные элементы вц, 8??，£зз — главными значениями тензора деформации. Из выражений (2.15), (2.16) следует, что деформации в главных осях запишутся в виде
du^ = вц dx^ , = е?2 "力3，^из = езз ^жз • (2.17)
Здесь d〃? есть деформация отрезка dx?. Все деформации направлены по главным осям. Отсюда видно, что главные деформации описывают локальное растяжение или сжатие элемента объема е направлении главных осей. Растяжение или сжатие по трем взаимно перпендикулярным направлениям называется чистой деформацией.
Если все компоненты тензора поворота равны нулю, то всегда в элементе объема, лежащего около точки Р (рис. 2.1), можно определить главные оси деформации, в которых этот элемент объема испытывает чистую деформацию. Если же компоненты тензора 夕勿卜 не равны нулю, то они описывают поворот этих главных осей вокруг точки Р на малый угол д. Таким образом, деформация некоторого элемента объема
тела в общем случае сводится к его чистой деформации, т. е. растяжению или сжатию по главным осям деформации, и повороту главных осей деформации на малый угол д, поскольку этот поворот происходит как поворот абсолютно твердого тела.
3.1. Изменение объема тела при деформации. Компоненты тензора 夕勿卜 описывают поворот элемента объема как абсолютно твердого тела и, следовательно, не определяют изменение объема тела при деформации. Поэтому рассмотрим чистую деформацию в главных осях, которая единственно приводит к изменению величины элемента объема.
Выделим в теле элемент объема для простоты в виде прямоугольного параллелепипеда. Его величина до деформации в главных осях определяется выражением
^VQ = ^x^x^xl，(2.18)
После деформации ребра элементарного параллелепипеда получат приращения, их длины примут значения
А*' = А* + du? , г = 1,2,3.(2.19)
В силу линейности деформаций растяжение или сжатие любого отрезка △/? (не обязательно бесконечно малого) в соответствии с выражениями (2.17) равно d〃? = е^ Аж^. Тогда элемент объема после деформации будет иметь величину
△% = (1 + 4)(1 + 4)(1 + 4).(2.20)
Поскольку рассматриваются малые деформации, \^k\《1, то, пренебрегая членами второго порядка малости и выше, запишем выражение (2.20) в виде
△^ =(1 + 4+ 4+ 4)АИ).(2.21)
Для относительного изменения элемента объема при чистой деформации получаем
=相+叁(2.22)
Очевидно, что величина относительного изменения объема тела при деформации не зависит от выбора системы координат. Таким образом, след тензора деформаций, т. е. сумма его диагональных элементов, инвариантен по отношению к выбору системы координат, т. е.
= ей. Поэтому для нахождения относительного изменения элемента объема тела при деформации нет необходимости приводить тензор деформации к главным осям.
Соотношение (2.22) с учетом (2.6) можно записать в следующем виде:.
——= ▽ =div и .(2.23)
Voxi
Таким образом, изменение величины элемента объема тела при деформации описывается диагональными компонентами тензора Sik, а недиагональные компоненты этого тензора описывают деформацию сдвига, т. е. изменение формы рассматриваемого элемента объема.
3.2. Геометрические свойства линейных деформаций. 1. Точки элемента объема тела, находящиеся до деформации е одной плоскости, после линейной деформации также расположатся 6 одной плоскости.
Действительно, уравнение плоскости в главных осях имеет вид a" + b/3 + o/g + d = 0.(2.24)
После деформации новые координаты точек плоскости будут связаны со старыми координатами соотношениями
露="+相"，澱=/3 +唯/3，/? = ^ +乩^・(2・25)
Тогда координаты точек после деформации будут удовлетворять уравнению
以 + /У + d = 0,(2.26)
1 + £111 + 空21 + £33
т. е. новые координаты точек после деформации также будут удовлетворять уравнению некоторой, в общем случае другой плоскости. Этот результат справедлив в любой системе координат и не только для чистой деформации, которую мы рассматривали для доказательства. Это обобщение является следствием того, что поворот элемента объема, содержащего некоторую плоскость, как абсолютно твердого тела не может сместить точки тела из этой плоскости.
Точки, лежащие на одной прямой в элементе объема до деформации, после деформации также расположатся на некоторой прямой.
Это следует из первого свойства, так как прямая является геометрическим местом точек пересечения двух плоскостей. Таким образом, влияние линейной деформации на точки, расположенные на некотором отрезке прямой, проявляется, во-первых, в повороте прямой на некоторый малый угол, и, во-вторых, в растяжении или сжатии этого отрезка.
Две параллельные до деформации плоскости в элементе объема останутся параллельными и после деформации.
Действительно, пусть имеем две параллельные плоскости в элементе объема. В главных осях их уравнения имеют вид
(2.27)(2.27)А х^ -\- В Х2 -\- С х^ = 0, а /? + b /? + о /? = 0 .
(2.27)
(2.27)
Плоскости параллельны, если выполняются соотношения
А _ В _ Gа 6 с
После деформации координаты точек элемента объема примут значения (2.25). Соответственно изменятся и уравнения плоскостей
АА幫+幫+一hJ- x^ + D = 0, i + £?2 i + 4 3一hJ- x^ + D = 0, i + £?2 i + 4 3a5a5L以+1 丄 z1 十 &22L以+1 丄 z1 十 &221 + ^331 + ^33力乎+ d = 0 .力乎+ d = 0 .(2.29)(2.29)
А
А
幫+
幫+
一hJ- x^ + D = 0, i + £?2 i + 4 3
一hJ- x^ + D = 0, i + £?2 i + 4 3
a
5
a
5
L以+
1 丄 z
1 十 &22
L以+
1 丄 z
1 十 &22
1 + ^33
1 + ^33
力乎+ d = 0 .
力乎+ d = 0 .
(2.29)
(2.29)
Нетрудно видеть, что условие (2.28) параллельности плоскостей выполняется и после деформации.
Две параллельные прямые, проведенные в элементе объема до деформации, останутся параллельными и после деформации.
Это следует из свойства 3 сохранения параллельности двух плоскостей при деформации.
Повторяя рассуждения свойства 1, можно утверждать, что свойства параллельности прямых и плоскостей сохраняются при произвольной линейной деформации.
3.3. Эллипсоид деформации. Рассмотрим в элементе объема сферу единичного радиуса, центр которой находится в начале координат. Уравнение сферы в главных осях имеет вид
(研)2 + (必2 + (硼 2 = 1 .(研)2 + (必2 + (硼 2 = 1 .(2.30)(2.30)
(研)2 + (必2 + (硼 2 = 1 .
(研)2 + (必2 + (硼 2 = 1 .
(2.30)
(2.30)
После деформации точки сферы будут иметь координаты (2.25) и окажутся на поверхности, описываемой следующим уравнением:
(2.31)(2.31)("疗I ("行I (或2(1+搭)2(1+£?2)2(1 + 4з)2
(2.31)
(2.31)
т. е. уравнение сферы переходит в уравнение эллипсоида, если все главные значения тензора деформации различны.
Снова этот результат справедлив не только в главных осях, но и при произвольной линейной деформации, так как поворот элемента объема как абсолютно твердого тела не изменит формы поверхности, расположенной внутри этого объема.
Если все главные значения тензора деформации равны между собой, то, как следует из уравнения (2.31), сфера переходит в сферу большего или меньшего радиуса. Если вц = е^ 卢 е?з，то сФеРа переходит в эллипсоид вращения.
Температурная деформация
Деформация тела может происходить не только вследствие приложения к нему внешних сил, но и в результате изменения его температуры. В пределах выделенного элемента объема будем считать температуру однородной, т. е. одинаковой во всех точках. Пусть в начальный момент времени температура элемента объема равнялась 7Ь, а после нагревания или охлаждения тела стала равной Т, т. е. изменение
температуры равно АТ = Т — То- При этом внутри элемента объема в силу однородности его температуры напряжения не возникают, а происходит лишь тепловое расширение или сжатие этого элемента объема. В том случае, когда относительное изменение температуры мало, т.е. |АТ/7о|《1, деформацию элемента объема можно считать пропорциональной изменению температура:
dxk , 8^ = aik^T . (2.32)
В этом выражении роль тензора относительной деформации играет е^, называемый тензором теплового расширениям симметричный тензор второго ранга а/ — коэффициенты линейного теплового расширения. Следовательно, температурная деформация элемента объема тела происходит без его поворота и заключается в расширении или сжатии по трем взаимно перпендикулярным главным осям.
В главных осях тензор а^ имеет вид
G 00 \
О 過 о .(2.33)
\ 00战丿
Очевидно, при температурной деформации сфера внутри элемента объема тела переходит в эллипсоид. По аналогии с (2.31) имеем
(2.34)(2.34)(吊2 I (斗2(用2
(2.34)
(2.34)
(1 + %К)2(1 + ^2ДТ)2(1 + 战什)2
Если тело изотропно, т. е. его физические свойства одинаковы во всех направлениях, то а^ = о^? = &?з = а и сфера деформируется в сферу. Если ац = а^2 卢 &?з，то сФеРа деформируется в эллипсоид вращения.
Для изотропного тела тензор теплового расширения записывается ВВВДе 嗫= QgT. (2.35)
Здесь Sik — символ Кронекера — единичный тензор второго ранга, определяемый так, что 6泌=1 при i = к и 6泳=0 при i ^ k; след тензора Зц = 3.
В этом случае для компонент вектора относительной деформации
получаемполучаемdui = аАТ dxi, г = 1,2,3.dui = аАТ dxi, г = 1,2,3.(2.36)(2.36)
получаем
получаем
dui = аАТ dxi, г = 1,2,3.
dui = аАТ dxi, г = 1,2,3.
(2.36)
(2.36)
Так как dui есть приращение отрезка dxi вследствие температурных деформаций, то в силу линейности и изотропности деформаций для приращения любого отрезка / при однородном нагревании тела имеем
(2.37)(2.37)△/ = a^TL
(2.37)
(2.37)
Относительное изменение объема при температурной деформации по аналогии с (2.23) определяется следующим выражением:
^^ = е£ = адц^Т = ЗаАТ .^^ = е£ = адц^Т = ЗаАТ .(2.38)(2.38)
^^ = е£ = адц^Т = ЗаАТ .
^^ = е£ = адц^Т = ЗаАТ .
(2.38)
(2.38)
Это соотношение для физически бесконечно малых температурных деформаций можно записать в дифференциальной форме:
X紀 Р =(239)
Величину 0 = За называют коэффициентом объемного теплового расширения тела. Производная в последнем выражении взята при постоянном давлении, так как при однородном нагревании тела в отсутствие внешних сил внутри него не возникает каких-либо напряжений.
Теорема Коши-Гельмгольца
При рассмотрении деформаций мы предполагали, что тело в целом покоится относительно выбранной системы координат. Если же под действием внешних сил тело перемещается в пространстве, то будет перемещаться и точка Р (рис. 2.1). Поэтому, рассматривая смещение произвольного элемента объема в общем случае, мы можем сформулировать теорему Коши-Гельмгольца.
Наиболее общее перемещение точки Q элемента объема деформируемого тела, содержащего точку Р, может быть представлено в виде суммы:
поступательного перемещения точки Р как полюса,
вращения вместе с элементом объема как абсолютно твердого тела вокруг точки Р на малый угол 夕，
собственно деформационного перемещения вследствие растяжения или сжатия по трем взаимно перпендикулярным осям (главным осям деформации).
Таким образом, в соответствии с теоремой Коши-Гельмгольца можно записать
%(г + dr) = %(г)十夕泌 dxk + Ek dxk .(2.40)
Если температура тела изменяется, то в правой части необходимо добавить еще один член, учитывающий температурную деформацию
du^ — Qek^XT"7 d/左.
Контрольные вопросы
Какие деформации называются упругими?
Что характеризует относительная деформация?
В чем физический смысл тензора поворота?
Что характеризуют диагональные и недиагональные компоненты тензора деформации?
Как определяется относительное изменение объема при деформации?
Докажите 4 основных свойства упругих деформаций.
Что называют температурной деформацией?
Справедливы ли свойства упругих деформаций для температурных деформаций?
ГЛАВА 3
УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
Тензор напряжений
Силы массовые, объемные и поверхностные. При действии внешних сил тело деформируется, т. е. происходит смещение частиц внутри тела. В результате изменения взаимного расположения частиц происходит не только изменение формы и объема тела, но возникают силы упругости (напряжения), стремящиеся восстановить первоначальную конфигурацию частиц, а значит форму и объем тела. Силы эти действуют внутри деформируемого тела на границах между его частями.
Таким образом, все силы, действующие на элемент объема деформируемого тела, можно разделить на две категории: силы массовые (или объемные) и силы поверхностные.
Массовые силы. Массовые силы — это силы, пропорциональные массе элемента объема тела. Если масса элемента объема AV равна △т, то массовая сила, действующая на этот элемент объема, равна
△F = f Ат .(3.1)
Здесь f — напряженность или плотность массовой силы, характеризует массовую силу, действующую на элемент объема единичной массы. В общем случае напряженность массовой силы может зависеть от координат и изменяться с течением времени, f = f(r,力).
Введем плотность среды р как предел отношения элемента массы △т к его объему AV при △『，стремящемся к нулю:
р = пт ——.
В пределах однородного элемента объема имеем
=AF = pfAV.(3.3)
По аналогии произведение 0f можно назвать напряженностью или плотностью объемной силы.
Типичным представителем массовых сил является сила тяжести.
Силы поверхностные. Если внутри деформируемого тела мысленно выделить некоторый объем, то на его поверхность со стороны остальной части тела будут действовать некоторые силы вследствие дефор-
мации, т. е. смещения одних участков тела по отношению к другим. Поскольку взаимодействие между соседними участками тела может
осуществляться в конечном счете только молекулярными силами с радиусом действия порядка размера молекул (〜10-9 м), то передача силового взаимодействия от одного элемента объема к соседнему может осуществляться практически лишь через разделяющую их поверхность. Поэтому нерассматриваемая часть тела действует на выделенный элемент объема только через его поверхность, и это воздействие может быть заменено некоторыми поверхностными силами.
Таким образом, поверхностные силы — это внутренние силы е деформируемом теле, которые действуют на граничных поверхностях между соседними частями тела. Если на тело не действуют
внешние силы и оно однородно нагрето, то эти внутренние силы отсутствуют, и все его части находятся в механическом и термодина
Рис. 3.1. Поверхностные силыРис. 3.1. Поверхностные силымическом равновесии.
Рис. 3.1. Поверхностные силы
Рис. 3.1. Поверхностные силы
Существенное отличие поверхностных сил от массовых состоит в том, что они зависят не только от координат и времени, но и от ориентации площадки, на которую они действуют.
Рассмотрим некоторый выделенный объем тела (рис. 3.1). Действие остальной части тела на этот выделенный объем можно заменить некоторыми силами,
действующими на его поверхность. Выделим на этой поверхности элемент пло-
щади dS. Пусть п — нормаль к элементарной площадке dS. Нормаль
будем считать положительной, если она направлена вне выделенного объема тела.
Пусть на элемент поверхности действует поверхностная сила dF(n). Причем сила не обязательно направлена по нормали к элементу поверхности. Верхний индекс (п) указывает на ориентацию площадки.
Тогда можно записать
(3.4)(3.4)加n)=/)dS .
(3.4)
(3.4)
Поверхностную силу cr(n), действующую на единицу площади, называют напряженностью или плотностью поверхностных сил или просто напряжением.
Тензор напряжений. Покажем, что напряжение а^п\ действующее на площадку с произвольной ориентацией нормали п, можно выразить через напряжения, действующие на три взаимно перпендикулярные площадки, в частности, имеющие направления координатных осей 1).
1) Под направлением площадки здесь и далее подразумевается направление нормали к этой площадке.
Рис. 3.2. НапряженияРис. 3.2. НапряжениянанаграняхграняхтетраэдратетраэдраdSi = (nn⑴)dS = —ni dS,dSi = (nn⑴)dS = —ni dS,г = 1,2,3.г = 1,2,3.
Рис. 3.2. Напряжения
Рис. 3.2. Напряжения
на
на
гранях
гранях
тетраэдра
тетраэдра
dSi = (nn⑴)dS = —ni dS,
dSi = (nn⑴)dS = —ni dS,
г = 1,2,3.
г = 1,2,3.
Для доказательства рассмотрим элемент объема △『，имеющий форму тетраэдра АВСО (рис. 3.2). Оси декартовой системы координат
направлены вдоль ребер тетраэдра, как показано на рис. 3.2. Заметим, что форма элемента объема выбрана для простоты доказательства и не влияет на общность конечного результата.
Составим уравнение движения бесконечно малого тетраэдра под действием массовых и поверхностных сил.
Если р — плотность тела, то рАУ — масса тетраэдра. Пусть dS — площадь грани ABC, dSi — площадь грани, перпендикулярной г-й координатной оси, а^ — напряжение на площадке dS〃，f — напряженность
массовых сил, v — скорость движения тетраэдра. Тогда в соответствии со вторым законом Ньютона уравнение движения запишется следующим образом:
心卜半1 = pfdV + 小)dS + b⑴ dSi + /2) dS2 +。⑶ dS3.(3.5)
at
Если n(z)— нормаль к площадке dS〃，направленная против направления г-й координатной оси, то имеем
Здесь 几£ — проекция нормали п на координатную ось /%. Знак минус в последнем равенстве отражает тот факт, что нормаль к площадке dSi и ось /£ противонаправлены.
При уменьшении объема тетраэдра в уравнении движения (3.5) левая часть и первое слагаемое правой части уменьшаются пропорционально кубу линейных размеров элемента объема, а остальные члены — пропорционально их квадрату. Пренебрегая в уравнении (3.5) членами более высокого порядка малости, получаем
CfS) = СГ⑴ П1 + СТ⑵ П2 + СТ⑶几3 = сг⑺ Tli .(3.6)
Если верхние индексы опустить вниз, то проекции этого векторного уравнения на оси координат запишутся в виде
(п)丿=ацП1 奩)=021几1 寸)=031几1(п)丿=ацП1 奩)=021几1 寸)=031几1+012 几 2 +013 几 3， +。22 几2 +。23 几3 , +032 几2 +033 几3 •
(п)
丿=ацП1 奩)=021几1 寸)=031几1
(п)
丿=ацП1 奩)=021几1 寸)=031几1
Эти равенства можно записать в эквивалентном виде
(3.8)(3.8)(п)—
(3.8)
(3.8)
°£= ^ik^k •
Трехмерный тензор второго ранга。泳 называется тензором напряжений.
Полученное равенство дает выражение для напряжения, действующего на произвольно ориентированную площадку, через напряжения, действующие на три площадки, пер
пендикулярные координатным осям.
По физическому смыслу любая компонента тензора。泳 представляет собой силу, действующую в направлении оси г на единичную площадку, перпендикулярную оси к.
На рис. 3.3 показаны все компоненты тензора напряжений, которые действуют на гранях элемента объема, имеющего форму прямоугольного параллелепипеда. Диагональные
компоненты тензора 。力左 называют
ся нормальными напряжениями, а Рис. 3.3. Напряжения на гранях недиагональные — касательными на-элемента объема
пряжениями.
В дальнейшем мы покажем (см. § 4.5), что сг^ — симметричный тензор, т. е. имеет лишь шесть независимых компонент. Как симметричный тензор, он может быть приведен к главным осям и будет иметь следующий вид:
00 \
О <7220•
\ о
В общем случае отличные от нуля диагональные компоненты называют главными значениями тензора напряжений. Если с?]=。以=^33 = =—р, то это означает, что элемент объема испытывает всестороннее равномерное сжатие. В этом случае тензор напряжений можно записать в виде
^ik = —^ikP •(3.9)
Результирующая поверхностная сила, действующая на единицу объема тела. Рассмотрим некоторый выделенный объем деформируемого тела. Напряжения, действующие внутри него, не могут дать вклад в результирующую силу, так как по закону равенства действия и противодействия силы взаимодействия между внутренними частями выделенного объема взаимно компенсируются. Следовательно, результирующая сила может быть составлена лишь из сил, действующих на поверхности выделенного объема со стороны исключенной части тела.
Пусть F — результирующая сила, действующая на единицу объема. На элемент объема dV действует сила F dV. Результирующая сила, действующая на объем V, будет равна результирующей поверхностной силе. С учетом выражений (3.4), (3.8) имеем
(3.10)(3.10)]FW = ,dFS)=卜⑺ dS,
(3.10)
(3.10)
USS
]Fi dV = , a^ dS = , о%к^к dS.
vss
Здесь интегрирование ведется по объему V и ограничивающей его поверхности S. Если для элементарной площадки dS определить направление нормали к ней, то можно ввести вектор dS = ndS такой, что его модуль равен величине площадки dS, а направление совпадает с направлением нормали п к этой площадке. Тогда имеем
J Fi ^^ = у ik dSк .VSJ Fi ^^ = у ik dSк .VS(З.Н)(З.Н)
J Fi ^^ = у ik dSк .
VS
J Fi ^^ = у ik dSк .
VS
(З.Н)
(З.Н)
По теореме Гаусса-Остроградского 9 получаем
产皿可小S一實 vsу产皿可小S一實 vsу(3.12)(3.12)
产皿可小S一實 vsу
产皿可小S一實 vsу
(3.12)
(3.12)
Так как выражение (3.12) справедливо для произвольного объема V, то для результирующей силы, действующей на единицу объема деформируемого тела, имеем
Fi =Fi =a Oik дхкa Oik дхк(3.13)(3.13)
Fi =
Fi =
a Oik дхк
a Oik дхк
(3.13)
(3.13)
Таким образом, зная зависимость компонент тензора напряжений от координат и времени, по формуле (3.13) можно вычислить силу, действующую на единицу объема или элемент объема в любой точке деформируемого тела в любой момент времени, а следовательно, составить уравнения движения этих элементов.
1) Если S — замкнутая поверхность, ограничивающая объем V, то интеграл от произвольного вектора а по этой поверхности равен интегралу от дивергенции а по объему V
,adS = , ад； dSk = ] divadU = | ^^ dV .
SSVv
Для произвольного тензора второго ранга 厶泳 по аналогии имеем
$ dSk =「dV •
JJ дхк
sv
Термодинамика деформирования
Работа внутренних сил. Определим работу, производимую силами внутренних напряжений при деформировании.
Пусть dAv — работа, производимая силами внутренних напряжений в единице объема тела, a F — результирующая сила, действующая на этот единичный объем. Тогда работа силы F на перемещении du с учетом (3.13) равна
dAv = Fi dui = dui.(3.14)
oxk
Работа, производимая силами внутренних напряжений внутри некоторого объема тела, равна
Av = f dAv dV =「dui dV .(3.15)
JJ dxk
vv
Интеграл в правой части можно записать в следующем виде:
= ] ^1(°/ d〃〃)4卜 一 ]67/(^|^ d", dV •(3.16)
vv
Применяя теорему Гаусса-Остроградского (см. с. 28) к вектору Oik dui в первом интеграле правой части, получаем
А. = dUi)dSk - j aikd (|^) dV .(3.17)
sv
Рассматривая большой (в пределе бесконечный) объем и полагая, что его границы недеформированы, т. е. на поверхности 咏=0, получим, что первый интеграл в правой части по бесконечной поверхности S равен нулю. Второй интеграл с учетом симметрии тензора напряжений можно записать в виде
= _[0/6^}(然 +礬)] d^ — — ] ik d&①卜 d\^ .(3.18)
Поскольку выражение (3.18) справедливо для произвольного объема V, то работа внутренних напряжений в единице объема деформируемого тела равна
厶@ = —o'ik d/k .(3.19)
Если после прекращения действия внешних сил тело полностью возвращается в исходное недеформированное состояние (восстанавливает объем и форму), то такие деформации называют упругими. Если после снятия внешних сил тело не возвращается в исходное состояние, то такие деформации называют неупругими или пластическими. Малые деформации при кратковременном действии внешних сил всегда являются упругими.
Основное термодинамическое равенство. Если упругая деформация совершается достаточно медленно, то в каждый момент времени в элементе объема деформируемого тела успевает установиться состояние термодинамического равновесия, соответствующее тем внешним условиям, в которых тело в данный момент находится. Такой процесс будет термодинамически обратимым. В этом случае первое начало термодинамики можно сформулировать следующим образом.
Приращение внутренней энергии единицы объема тела (/Евн решено разности полученного извне тепла dQv и производимой силами внутренних напряжений работы dAv:
"Евн = dQv + ^ik d^ik •(3.20)
Условимся все величины относить к единице объема недеформиро- ванного тела, так как при деформации тела его объем может изменяться.
Равенство (3.20) является основным термодинамическим тождеством для деформируемых тел.
При обратимом процессе количество теплоты равно Т dSv, где Т — температура, a S@ — энтропия единицы объема недеформированного тела. Тогда соотношение (3.20) примет вид
dEBH = Т dSv + сг泌辰泳•(3.21)
случае всестороннего равномерного сжатия (газы, жидкости) тензор напряжений равен
^ik =—夕 ^ik •
Тогда равенство (3.21) преобразовывается к известному в традиционной термодинамике соотношению. Действительно
"Евн = Т dSv — P^ik dwjk = T dSv — p d/e -- T dSv — p d『•
Так как все величины отнесены к единице объема недеформированного тела, т. е. V = 1, то получаем известное в термодинамике равенство:
dEBH = Т dSv — р dV .
Получим выражение для свободной энергии энергии Fv единицы объема деформируемого тела. Известно, что Fv = /н — Т S@. Тогда
dFv = dE^ — Т dSv — Sv dT .
С учетом (3.21) имеем
dFv = —Sv dT + Gikd^ik •(3.22)
Заметим, что независимыми переменными являются в выражении (3.21) S@, 8泳，а в выражении (3.22) —Т, е泌.Поэтому компоненты
тензора напряжений можно получить из (3.21) дифференцированием внутренней энергии по компонентам тензора деформаций при постоянной энтропии или из (3.22) дифференцированием свободной энергии по компонентам тензора деформации при постоянной температуре
。泌. (3.23)
Закон Гука
Свободная энергия деформируемого тела. Для решения задач теории упругости необходимо установить связь между компонентами тензора деформаций и компонентами тензора напряжений. Это можно было бы сделать, используя соотношение (3.23), если бы удалось найти явную зависимость, например, свободной энергии от компонент тензора деформаций.
Будем рассматривать лишь малые деформации при постоянной вдоль всего тела температуре. Кроме того, для простоты будем рассматривать лишь изотропные тела 9.
В силу малости деформаций (厄注 |《1) можно представить свободную энергию в виде степенного ряда по компонентам тензора деформаций.
Поскольку свободная энергия является скаляром, инвариантным по отношению к преобразованию координат, то и каждый член разложения также должен быть скаляром, инвариантным к преобразованию координат. Из компонент симметричного тензора е泌 можно составить три таких независимых скаляра:
сумма диагональных элементов (линейный инвариант) е^ — относительное изменение элемента объема деформируемого тела,
сумма парных произведений (квадратичный инвариант) е^ = =£ik&ik,
определитель матрицы е泌(кубический инвариант),
Учтем также, что при упругой деформации после прекращения действия внешней силы, вызывающей эту деформацию, тело должно возвратиться в исходное состояние, в котором все компоненты тензоров е泌 и /к равны нулю.
Другими словами, имеем。泳=0 в том случае, если е^ = 0. Тогда из соотношения (3.23) следует, что в разложении свободной энергии, Fv по степеням тензора деформаций должны отсутствовать линейные по &ik члены. В противном случае при = 0 мы получили бы。屈 卢。， что противоречит определению упругой деформации.
1) Для неизотропных тел (например, монокристаллов)используются аналогичные рассуждения. При этом основные физические параметры имеют более высокую тензорную размерность, что позволяет учесть неизотропность деформируемых тел.
В силу малости деформаций, ограничиваясь лишь квадратичными членами разложения, свободную энергию можно представить в виде
凡=瓦 + } As^ + 从8^ + …. (3.24)
Здесь X,从一некоторые коэффициенты пропорциональности, называемые коэффициентами Ламэ\ Fq — свободная энергия единицы объема недеформированного тела.
Любую деформацию в произвольных координатных осях можно представить в виде суммы деформации чистого сдвига, происходящего без изменения объема, и деформации всестороннего сжатия или растяжения, связанной с изменением объема деформируемого элемента. Для этого тензор деформаций следует записать в виде
Действительно, след тензора в круглых скобках выражения (3.25) равен нулю, следовательно, он представляет собой тензор сдвига, а второй член является тензором всестороннего сжатия или растяжения, поскольку его след определяет относительное изменение элемента объема деформируемого тела.
С учетом (3.25) выражение (3.24) для свободной энергии удобно привести к следующему виду:
К =同 + 从(8泌一；^ik^ll^ + 寺 8加(3.26)
где
g = 3 + £(3.27)
При выводе выражения (3.26) учтено, что
Коэффициенты /си// называются соответственно модулем всестороннего сжатия и модулем сдвига.
В состоянии термодинамического равновесия (недеформированное состояние) свободная энергия минимальна. Это значит, что (К — -Fb) — всегда неотрицательная величина, равная нулю только в неде- формированном состоянии. Тогда из выражения (3.26) следует, что оба модуля (ink являются каждый в отдельности положительными, поскольку деформация может быть сдвигом без всестороннего сжатия или всесторонним сжатием без сдвига. Таким образом,从 > 0, к > 0.
Закон Гука. Для установления связи между тензором напряжений и тензором деформаций найдем дифференциал свободной энергии. Из выражения (3.26) получаем
dF^ = ke〃 ds а + 2 从(е 泌—g ^ik^ii^ de泌. (3.28)
Если den записать в виде
"/〃 = d(6 泳£ ik) = 6 ik&£ ik •>
то для дифференциала свободной энергии имеем
ik^ll + 2从(&ik — g 6泌8〃)] d&侏•
(3.29)
С учетом соотношения (3.23) для тензора напряжений получаем
Oik = ^^ik^ll + 2/1
(3.30)
Выражение (3.30) устанавливает линейную связь между компонентами тензора напряжений и компонентами тензора деформаций для изотропного тела при малых изотермических деформациях.
Можно получить и обратную связь, т. е. выразить компоненты тензора деформаций через компоненты тензора напряжений.
След тензора напряжений равен
= кЗцбц = Зке〃； е〃 = ^^。〃 •
Тогда, подставляя полученное соотношение в (3.30), получим
121
^ik = у ^ik^ll + 2bgiк — g 从^^ ^ik^ll •
Отсюда определяем
(3.31)
Полученное выражение называют законом Гука.
Хотя закон Гука получен для малых деформаций, он справедлив во всей области упругих деформаций.
Из (3.31) следует, что относительное изменение объема при деформации определяется только диагональными элементами тензора напряжений. Действительно,
△V1
—ГГ = ^й = уг сг〃 •
При всестороннем равномерном сжатии
^ik = 一p6ik；= 一3。.
Поэтому при всестороннем равномерном сжатии относительное изме-
нение объема равно
△V _ р
Если деформации малы, а температура остается неизменной, и нормальные напряжения изменяются на малую величину от 0 до р,
2 В.Г. Черняк, П.Е. Суетин
в диффе-(3.32)в диффе-(3.32)
в диффе-
(3.32)
в диффе-
(3.32)
т. е. Ар =夕一0, то последнее ренциальной форме
1 =
соотношение можно записать
t倚)小
Величина 1/к называется коэффициентом всестороннего сжатия.
Поскольку изменение свободной энергии, AF = Fv —同，при деформации единицы объема, определяемое выражением (3.26), есть квадратичная однородная функция компонент тензора деформаций, то из теоремы Эйлера 9 об однородных функциях следует:
&ik&ik16耽丿T16耽丿T=2△ь.=2△ь.Принимая во внимание выражение (3.23), имеемПринимая во внимание выражение (3.23), имеем△歹=2 ^ik^ik •△歹=2 ^ik^ik •(3.33)(3.34)(3.33)(3.34)
&ik
&ik
16耽丿T
16耽丿T
=2△ь.
=2△ь.
Принимая во внимание выражение (3.23), имеем
Принимая во внимание выражение (3.23), имеем
△歹=2 ^ik^ik •
△歹=2 ^ik^ik •
(3.33)
(3.34)
(3.33)
(3.34)
Мы получили выражение, определяющее изменение свободной энергии (упругой энергии) единицы объема тела при малых изотермических деформациях.
Однородная деформация
Деформация тела называется однородной, если все компоненты тензора деформации постоянны по всему объему тела, т. е. не зависят от координат.
Рис. 3.4. Растяжение стержняРис. 3.4. Растяжение стержняРассмотрим однородную деформацию на примере растяжения стержня. Пусть один конец стержня закреплен, а на другой действует некоторая растягивающая сила F вдоль оси 力2, совпадающей с продольной осью стержня (рис. 3.4). Если S - площадь поперечного сечения стержня, то 夕=F/S — нормальное к S напряжение.
Рис. 3.4. Растяжение стержня
Рис. 3.4. Растяжение стержня
Поскольку рассматривается однородная деформация, то компоненты тензора деформации постоянны вдоль стержня, в том числе и на его поверхности. Следовательно, компо
ненты тензора деформации можно определить из граничных условий.
Если /(Ж1, а?2, • • •) — некоторая однородная функция переменных жь а?2,..., то для произвольного числа а имеем
/(аж1,аж2, ...) = ап/(ж1,ж2, ...)•
Здесь п — степень неоднородности.
Эйлер показал, что для таких функций справедливо соотношение
W= П/(Ж1,Ж2,
0Х1。力2
На боковую поверхность стержня не действуют внешние силы. Это означает, что поверхностная сила на боковой поверхности стержня равна нулю. С учетом выражения (3.8) имеем
(п)—
% = °ik Пк,
где Пк — проекция нормали п к боковой поверхности стержня на координатную ось 力左.Очевидно, нормаль п имеет лишь две отличные от нуля проекции (П2 = 0). Тогда компоненты тензора напряжений удовлетворяют следующим уравнениям:
cГЦП1 +013九3 = 0, cГ21П1 +023九3 = 0， 031 九 1 +033九3 = 0 •
При произвольных Hi и пз полученная система уравнений непротиворечива только тогда, когда все компоненты тензора напряжений, входящих в нее, равны нулю, т. е. сгп = 0, 033 = 0,(Т21 =。12 = 0,(Т23 =。32 = =0. Следовательно, единственной компонентой тензора напряжений, которая может быть отличной от нуля, является компонента 022• Ее величину можно определить из граничного условия на торце стержня, где приложена растягивающая сила:
02k九k =?， где rik — проекция нормали п к торцу стержня на координатную ось 力左.Так как на торце щ = пз = О, П2 = 1, получаем
022 = p-
Если вспомнить, что по своему физическому смыслу компонента 。22 определяет силу, действующую в направлении оси 力2 на единичную площадку, перпендикулярную оси 力2，то полученный результат очевиден из самой постановки задачи.
Теперь можно найти компоненты тензора деформаций, используя закон Гука. Из выражения (3.31) следует, что все недиагональные компоненты тензора деформаций равны нулю, поскольку единственная отличная от нуля компонента тензора напряжений это 022 • Для диагональных компонент тензора деформаций, используя закон Гука (3.31), получаем
= ^зз =Р， 822 =(丄 +Р .(3.35)
Модуль Юнга и коэффициент Пуассона. Компонента 822 определяет относительное удлинение стержня вдоль оси 力2, а обратная величина коэффициента при 夕 в выражении (3.35) для 822 называется модулем Юнга (Е):
Видно, что модуль Юнга имеет размерность давления. Компоненты тензора деформаций е” и 833 определяют относительное сжатие 2*
стержня в поперечном сечении. Отношение поперечного сжатия к продольному растяжению а называют коэффициентом Пуассона'.
_ б” _ 1 3k — 2/1°£222 3k + /1 •
Очевидно, что сг — безразмерный коэффициент.
Поскольку, как показано выше, /с > 0 и // > 0, то из выражения (3.37) следует, что коэффициент Пуассона может изменяться в пределах от — 1 при деформации чистого сдвига (к = 0) до 1/2 при чистой деформации (从=0). В действительности же, как показывает опыт, коэффициент Пуассона не может принимать отрицательные значения. В природе не известны тела, в которых при растяжении увеличивались бы их поперечные размеры. Таким образом, для реальных тел
Коэффициент Пуассона, близкий к 1/2, наблюдается у тел типа резины, у которых модуль сдвига мал.
Пользуясь формулами (3.27), (3.36) и (3.37) можно выразить модуль всестороннего сжатия k, модуль сдвига 从 и коэффициент Ламэ А через модуль Юнга и коэффициент Пуассона
к 二 R门 )，从二 f 2、，入=2丄•(3.38)
Очевидно, что закон Гука (3.31) можно записать с использованием модуля Юнга и коэффициента Пуассона. Целесообразность введения новых феноменологических параметров — модуля Юнга и коэффициента Пуассона — оправдана простотой опыта, из которого они могут быть определены. Как мы видели выше, это могут быть опыты по растяжению стержней. Достаточно измерить лишь изменение продольных и поперечных размеров стержня при растяжении.
Относительное изменение объема стержня при однородном растяжении с учетом соотношений (3.35) равно
AУ __丄 2
== з I *
Таким образом, при однородном растяжении относительное изменение объема в три раза меньше, чем при всестороннем равномерном растяжении или сжатии.
Изменение свободной (упругой) энергии единицы объема стержня при растяжении, согласно (3.34), будет равно
л 111 р
= q ^ik^ik = 2022空2 = q 后.
Диаграмма растяжения. Важной характеристикой механических свойств твердых тел является зависимость напряжения от относительного удлинения стержня. Графическое изображение этой
зависимости называют диаграммой растяжения. Качественный вид ее
показан на рис. 3.5.
Максимальное напряжение ап, при котором еще выполняется закон Гука, называется пределом пропорциональности.
Если нагрузку на образец несколько увеличить, то зависимость напряжения от удлинения становится нелинейной, закон Гука нарушается. Тем не менее при небольшом относительном удлинении деформация остается упругой, т. е. после снятия нагрузки
размеры стержня практически восстанавливаются (участок АВ диаграммы). Максимальное напряжение。丫口，при котором еще не возникают заметные остаточные деформации, называют пределом упругости (точка В графика).
За пределом упругости при некотором значении напряжения аТ, соответствующем точке С графика, стержень удлиняется практически без увеличения нагрузки (участок CD диаграммы). Это явление называют текучестью материала, а напряжение。丁 пределом текучести.
Материалы, у которых область текучести CD значительна, называют пластичными. Например, пластичными являются цветные металлы (алюминий, медь, золото). Такие материалы, у которых область CD незначительна, называют хрупкими (стекло, бетон, чугун). Хрупкие материалы выдерживают лишь небольшие деформации.
При дальнейшем увеличении нагрузки деформация образца становится неоднородной — в некотором сечении стержня появляется сужение («шейка»). При этом напряжение увеличивается до максимального значения апр в точке Е диаграммы. После этого наступает разрушение образца. Напряжение(тпр называется пределом прочности.
Напряжение сгд, которое материал должен выдерживать в процессе эксплуатации изделия без заметных пластических деформаций, называют допустимым напряжением. Чтобы свести к минимуму возможность разрушения сооружений, элементы конструкции должны быть рассчитаны так, чтобы допустимые напряжения были в несколько раз
меньше предела пропорциональности.
Число п, показывающее, во сколько раз предел пропорциональности больше допустимого напряжения, называют коэффициентом запаса прочности
О" пр
п =—-.
В зависимости от качества материала, характера нагрузки, степени важности сооружения и места его расположения коэффициент запаса прочности выбирают обычно в пределах от 2 до 10.
Неизотермическое деформирование
Мы получили выражение (3.26) для свободной энергии единицы объема деформированного тела при изотермическом деформировании. Теперь рассмотрим свободную энергию единицы объема тела при деформациях, сопровождающихся изменением его температуры. Температура тела может изменяться как вследствие подвода или отвода тепла при помощи внешних источников, так и в результате самого процесса деформирования.
Пусть в недеформированном состоянии температура рассматриваемого элемента объема тела равна 7b. При изменении температуры этот элемент объема претерпевает температурную деформацию, даже если внешние силы отсутствуют. Поэтому в разложение свободной энергии по степеням тензора деформаций теперь необходимо включить линейный член (линейный инвариант е^), который должен исчезать при Т = ТЬ. Если изменение температуры мало, т. е. АТ = (Т — ТЬ)《То, то температурную деформацию можно можно считать пропорциональной самому изменению температуры.
Для простоты рассмотрим изотропное тело, характеризуемое одним коэффициентом линейного теплового расширения а. Так как свободная энергия — скаляр, то дополнительный член в выражении для свободной энергии должен иметь вид
/ЦТ _ То)/£ = А(Т — TQ)6ik£ik，
где А — некоторый коэффициент, не зависящий в первом приближении от температуры. Тогда для свободной энергии имеем
歹=歹(То) — 4(7 — TQ)£ik6ik + 儿(8泌—；^ik^ii^ + 寺 ^//-(3.39)
Дифференцируя это выражение по компонентам тензора деформаций, с учетом (3.30) для тензора напряжений получаем
ik = —Л.{Т — 丁0)6泌 + ^^ik ^ll + 2/i (f 泌一g 6泌 8〃) •(3.40)
Для выражения коэффициента А через известные величины воспользуемся тем фактом, что при свободном однородном тепловом расширении тела (при отсутствии внешних сил) внутренние напряжения должны отсутствовать, т. е.仃沃=。・ Тогда из (3.40) получим
е泌=即[停6泌8〃 - kSik^n + A(T —
Отсюда с учетом (2.38) следует
е〃 = ^(Т - То)=峭=^^ = За(Т - То)； % = Зак .
Таким образом, тензор напряжений при неизотермическом деформировании имеет вид
Oik = —3ak(T — 丁0)bik + ^^ik^n + 2// (/卜—w 6泌8〃) • (3.4 1) Здесь первый член описывает напряжения, связанные с изменением температуры тела.
Повторяя вывод закона Гука, для тензора деформаций получим
^ik = Q(T — Tu)5ik + ^ ^ik^ll + ^J Qik — } ^ik^ll^ • (3.42)
Адиабатические и изотермические модули. При постоянной температуре свободная энергия единицы объема деформируемого тела определяется выражением (3.26). Поэтому модули k п 从 в выражении (3.26) называют изотермическими модулями. Однако деформация может совершаться и адиабатически, без теплообмена рассматриваемого элемента объема тела с внешней средой и соседними элементами, т. е. при постоянной энтропии. Если скорость процесса настолько велика, что за время деформирования элемент объема не успевает получить или отдать тепло, то такое деформирование будет адиабатическим. В этом случае модули k п 从 называют адиабатическими модулями всестороннего сжатия и сдвига. Адиабатические модули обозначим через ка и 从味 Заметим, что при малых деформациях адиабатические значения модулей мало отличаются от их изотермических значений.
Вычислим изменение температуры тела при адиабатическом деформировании. Из соотношения (3.22) для энтропии единицы объема имеем /a门、
Дифференцируя выражение (3.39) по температуре, получим с точностью до членов первого порядка по компонентам тензора деформации следующее соотношение:
S@(T) = So(T) + Заквц .
Здесь SV(T) — энтропия единицы объема при температуре Т после деформации, So(T) — энтропия единицы объема тела при температуре Т в недеформированном состоянии. Следовательно, So(T) получено дифференцированием свободной энергии по температуре при £ц = О, т. е. при постоянном объеме. При адиабатическом деформировании энтропия единицы объема должна остаться неизменной:
So(T) + Зак/〃 = So(Tb).
Здесь So(7b) — энтропия единицы объема при температуре 7b.
Разлагая So(T) в ряд Тейлора по температуре относительно Tq и ограничиваясь линейными по (Т — То) членами, получим
So(T) — So(To) = (Т- То)(黑% + …=(Т — То)% ,(3.43)
где Cv — теплоемкость единицы объема деформируемого тела при постоянном объеме. Сравнивая два последних выражения, получаем, что изменение температуры элемента объема при адиабатическом деформировании равно
Т —Т° = —(3.44)
Подставляя это выражение в (3.41), для тензора напряжений с адиабатическим модулем всестороннего сжатия получим
ikik^a^ik^ И + 2/1^a^ik^ И + 2/1(3.45)(3.45)
ik
ik
^a^ik^ И + 2/1
^a^ik^ И + 2/1
(3.45)
(3.45)
Из сравнения с выражением (3.41) видим, что адиабатический и изотермический модули сжатия связаны между собой следующим со
отношением:отношением:Но по определению 9Но по определению 91 (а吟 _ 11 (а吟 _ 1ка Срка Ср(3.46)(3.46)
отношением:
отношением:
Но по определению 9
Но по определению 9
1 (а吟 _ 1
1 (а吟 _ 1
ка Ср
ка Ср
(3.46)
(3.46)
Так как Ср > Cv, то ka > k. Тогда из последнего выражения следует, что относительное изменение объема при адиабатическом деформиро
вании меньше, чем при изотермическом.
(3.47)(3.48)(3.47)(3.48)Установим еще одну связь между адиабатическим и изотермическим модулями всестороннего сжатия. Для этого воспользуемся известным термодинамическим соотношением:
(3.47)
(3.48)
(3.47)
(3.48)
Отсюда с учетом выражений (2.39) и (3.46) получаем 丄_丄_97L «а к Ср
Пользуясь формулами (3.38) и (3.48), можно получить соотношения между адиабатическим и изотермическим модулями Юнга и коэффициентами Пуассона.
Наконец, из выражения (3.45) выразим компоненты тензора деформаций в адиабатическом процессе через компоненты тензора напряжений. Повторяя рассуждения п. 3.3.2, получим закон Гука при
1) Действительно, пользуясь известным правилом преобразования термоди
намических величин, имеемнамических величин, имеемДеля первое равенство на второе, получимДеля первое равенство на второе, получим
намических величин, имеем
намических величин, имеем
Деля первое равенство на второе, получим
Деля первое равенство на второе, получим
адиабатическом деформировании в следующем виде:
舍 Sikau 9ka舍 Sikau 9ka丄3丄3(3.49)(3.49)
舍 Sikau 9ka
舍 Sikau 9ka
丄
3
丄
3
(3.49)
(3.49)
т. е. формально вид закона Гука тот же, что и в изотермическом процессе, но с другим модулем всестороннего сжатия.
Уравнение равновесия изотропных тел
Получим уравнение равновесия единицы объема изотропного деформированного тела. Результирующая поверхностная сила, действующая на единицу объема тела определяется выражением (3.13). Если pf — напряженность объемной силы, то условие равновесия рассматриваемого элемента объема в соответствии с первым законом Ньютона имеет вид
計+ 0九=0, к,分=1,2,3.(3.50)
oxk
Выражение (3.41) для тензора напряжений перепишем, заменив модули сдвига и всестороннего сжатия на коэффициент Пуассона и модуль Юнга. С использованием соотношений (3.38) имеем
Oik = —у^(Т - То*泌 + f ^ik +•(3・51)
Подставляя (3.51) в уравнение (3.50), получаем
аЕ дТ Е deikЕстf 0
-1 - 2Z 十(1 + сг)(1 -2cr)^ +■
Используя определение (2.6) тензора деформаций е泌 через компоненты вектора деформаций 〃〃，получим
d2Ui 1 а/ °1 + сг АТ 2(1 + сг)к。、
京•(3・52)
Уравнение (3.52) удобно переписать в векторных обозначениях:
△ и + -~grad div u = 2q J grad T —么】°~)p f .(3.53)
При решении конкретных задач теории упругости полезна еще одна форма уравнения равновесия. Используя известное из векторного анализа соотношение
grad div u = △ u + rot rot u,
преобразуем уравнение (3.53) к следующему виду:
grad div u — — rot rot u = a grad T p f . (3.54)2(1 +Egrad div u — — rot rot u = a grad T p f . (3.54)2(1 +E1 — сг
grad div u — — rot rot u = a grad T p f . (3.54)
2(1 +E
grad div u — — rot rot u = a grad T p f . (3.54)
2(1 +E
+ СГ
Уравнения (3.53) и (3.54) называют уравнениями равновесия единицы объема изотропного деформированного тела.
Граничные условия. Уравнение равновесия (3.54) — это векторное уравнение, имеющее три проекции на координатные оси. Каждое из трех скалярных уравнений представляет собой линейное дифференциальное уравнение второго порядка, включающее производные от компонент вектора деформаций по пространственным координатам. Поэтому для получения однозначного решения этих уравнений в общем случае необходимо задать шесть граничных условий. В простейшем случае одномерной деформации, когда отлична от нуля только одна компонента вектора и, зависящая лишь от одной координаты, из (3.54) следует одно скалярное уравнение равновесия. Разумеется, в этом случае достаточно двух граничных условий для определения двух постоянных интегрирования. В уравнении равновесия (3.54) член, содержащий градиент температуры, считается известным. Если же условие задачи таково, что температура деформированного тела неизвестна, но ее следует определить, то это делается независимо из решения уравнения теплопроводности (см. следующую главу).
Обычно используют два способа задания граничных условий.
Граничное условие первого рода состоит в задании компонент вектора деформаций на поверхности деформированного тела, т. е.
= U〃(/is, /2б, /Зб), (3.55)
где индекс s обозначает поверхность тела.
Итак, задача сводится к определению функций 〃〃(力1,力2,力3)，удовлетворяющих внутри тела уравнениям равновесия и принимающих на границе заданные значения U〃.
В частном случае Uis = U〃 = const, т. е. деформация во всех точках поверхности тела одинакова (однородные граничные условия первого рода). Это может быть осуществлено при деформации изотропных тел правильной геометрической формы под действием объемных сил, не зависящих от координат точек поверхности.
К граничным условиям первого рода следует отнести очевидное условие ограниченности деформаций в любой точке деформированного тела, т. е.
иДжь Х2, жз) < ос . (3.56)
Заметим, что граничные условия первого рода на практике могут быть заданы лишь в редких случаях, поскольку обычно деформация поверхности тела является искомой величиной.
Граничное условие второго рода представляет собой баланс сил в каждой точке поверхности деформированного тела.
На поверхности тела рассмотрим единичную площадку с нормалью п. Пусть на эту площадку действует внешняя результирующая сила Р. Так как выделенный элемент поверхности находится в равновесии и неподвижен относительно других частей деформированного тела, то в соответствии с первым законом Ньютона напряженность поверхностной силы。丿71)компенсируется плотностью внешней силы 兄.
С учетом выражения (3.8)для любой единичной площадки поверхности тела можно записать (、
= Oik^k = Pi,(3.57)
где rik — проекция нормали п на координатную ось 力左.
Заметим, что такое граничное условие уже было использовано ранее в задаче об однородном растяжении стержня.
Граничное условие (3.57) с учетом выражений (3.51) и (2.6) в случае изотермических деформаций преобразуется к следующему виду:
石 / Oui Ouk 丄 2cr a Oui \ог о\
时…°泌 ^)snk = Pi^(3・58)
где индекс S обозначает поверхность тела.
В общем случае плотность внешних сил Pi зависит от координат точек поверхности (/is,力2$,力3$)・ Если Pi = const, т. e. внешняя сила действует одинаково по всей границе тела, то (3.58) представляет собой однородное граничное условие второго рода.
Таким образом, задача состоит в отыскании таких функций которые внутри деформированного тела удовлетворяют уравнениям равновесия, а их первые производные по координатам на поверхности тела удовлетворяют условиям (3.58).
В одномерном случае при отсутствии внешних сил выражение (3.58) существенно упрощается. Например, если деформация происходит только в направлении оси у и единственная отличная от нуля компонента вектора деформаций иу зависит лишь от одной координаты х, то при отсутствии внешней силы выражение (3.58) принимает простой вид
物=0.
dx \S
Контрольные вопросы
Какие силы называют объемными и какие поверхностными?
Каков физический смысл компонент тензора напряжений?
Как записывается тензор напряжений при всестороннем равномерном сжатии?
Какие силы дают вклад в результирующую силу, действующую на выделенный объем деформируемого тела?
Для каких деформаций справедлив первый закон термодинамики (3.20)?
Почему в разложении свободной энергии по степеням тензора деформаций исключен линейный инвариант £近？
Почему модули всестороннего сжатия и сдвига неотрицательны?
Что устанавливает закон Гука? Каковы пределы его применимости?
Почему коэффициент Пуассона для реальных тел не может быть отрицательным?
В каком процессе модуль всестороннего сжатия больше, в изотермическом или адиабатическом? Обоснуйте.
Что представляют собой граничные условия первого и второго рода к уравнению равновесия изотропного деформированного тела?
ГЛАВА 4
ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ
ДВИЖЕНИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
Перейдем к выводу замкнутой системы уравнений, определяющих законы сохранения при движении сплошной среды.
Тензор скоростей деформации
Из теоремы Коши-Гельмгольца (2.40) следует, что общее смещение некоторой точки Q, находящейся в дифференциально малой окрестности dr точки Р с радиус-вектором г может быть представлено в виде гч(г + dr) = щ(г)十夕泌 dxk + &ik dxk •(4.1)
Если это перемещение происходит за физически малый промежуток времени △力，то, разделив выражение (4.1) на △九 в пределе At —> 0 будем иметь
。£ =。0£ + Фik d/左 + 金£左 d/左.(4.2)
Здесь Vi — г-компонента скорости смещения точки, находящейся в дифференциальной окрестности первого порядка около точки Р,。()£ —— г-компонента скорости точки Р как полюса;
В (4.3) величины 。泌 и ©泌 называют тензорами скоростей поворота и скоростей деформации соответственно. Как компоненты тензора 屮ik определяют вектор поворота на некоторый угол q, так и компоненты ф^ определяют вектор скорости поворота з (угловую скорость).
Из выражений (2.14) и (2.23) нетрудно получить следующие соотношения:11
о； = - rot V, 标石=divv.(4.4)
В векторном виде равенство (4.1) можно записать так:
V = Vo + [з dr] + (/Удеф •(4.5)
Если в процессе деформирования изменяется температура тела, то деформационная часть скорости должна включать и скорость деформации вследствие изменения температуры, пропорциональную dT/dt.
Дифференцирование по времени интеграла по подвижному объему
В механике сплошных сред часто используется понятие индивидуальный объем — объем, состоящий из одних и тех же частиц среды, т. е. поток вещества через ограничивающую этот объем поверхность равен нулю. В процессе движения среды индивидуальный объем может изменять как свою форму, так и величину.
Пусть /(г, t) — произвольная функция координат и времени. Получим формулу дифференцирования по времени интеграла от этой функции по некоторому изменяющемуся со временем объему V(t). Рассмотрим выражение
j/(r,t) dV.(4.6)
Полная производная по времени определяет скорость изменения интеграла не только вследствие изменения с течением времени подинтегральной функции, но также и вследствие изменения самого объема ^卩(*力)"昨【(勿V+总w)・⑷。
VV
Учитывая, что в декартовой системе координат dV = dx\ dx^ dx^, преобразуем второе слагаемое в подынтегральном выражении
乌 dV = dx^dx^ + dx\ d况3 + dx\ d/2 = atatatat
=doi dx2 d/з + dv2 dx\ d/з + dv^ dx\ d/2 =
=曾丄 dx\ dx2 dx3 + 禦2 dx\ d/2 d/з + dx\ d/2 d/з = oxioxioxi
=^dV = dwvdV.
OXi
Тогда выражение (4.7) запишется в следующем виде:
"(кт)”(4.8)
VV
Формула (4.8) определяет правило дифференцирования по времени интеграла по подвижному объему.
Уравнение непрерывности
Уравнение непрерывности выражает закон сохранения массы любого индивидуального объема среды. В движущейся среде выделим некоторый индивидуальный объем V, масса вещества в котором равна
М = ^ pdV,(4.9)
где р — плотность вещества.
Очевидно, что масса вещества индивидуального объема с течением времени не изменяется (нет потока вещества через ограничивающую поверхность)
嘗山"=。・(4」。)
Используя формулу (4.8), получаем
]偿+ ^2 V)dV = 0.(4.11)
Поскольку это равенство должно выполняться для произвольного индивидуального объема, то для его выполнения необходимо равенство нулю подынтегрального выражения, т. е.
(4.12)(4.12)学 + 0 div v = 0.
(4.12)
(4.12)
Уравнение (4.12) называют уравнением непрерывности.
Если координаты 力1,力2,力3 рассматривать как координаты индивидуальной частицы сплошной среды, то в общем случае плотность р(х\, Х2, жз, t) зависит от времени как явно, так и неявно через меняющиеся координаты индивидуальных частиц среды. Тогда полную производную по времени от плотности можно записать следующим образом:
(4.13)(4.13)dp _ дрдр dxi _ др др
(4.13)
(4.13)
dtdtdxi dt dt”2 dxi 5
Последнее выражение в векторном виде будет иметь вид
dp _ др dt dtdp _ др dt dt+ v Vp.+ v Vp.(4.14)(4.14)
dp _ др dt dt
dp _ др dt dt
+ v Vp.
+ v Vp.
(4.14)
(4.14)
Итак оператор полной производной по времени можно записать в следующем виде:
^ = ^+W.(4.15)
at ot
С учетом выражения (4.14) уравнение непрерывности (4.12) принимает вид
^ + div (pv) = 0.(4.16)
Уравнения непрерывности (4.12) и (4.16) — это две формы закона сохранения массы среды. Однако физический смысл слагаемых этих уравнений различен. Если первое слагаемое уравнения (4.12) характеризует скорость изменения массы движущейся индивидуальной частицы единичного объема, то в уравнении (4.16) первое слагаемое определяет изменение массы единицы объема за единицу времени в фиксированной точке пространства, через которую с течением времени проходят разные индивидуальные частицы среды.
Выясним физический смысл вектора pv, стоящего под знаком дивергенции в уравнении (4.16). Для этого рассмотрим элементарную площадку с нормалью п (рис. 4.1).
Очевидно, за малый промежуток времени \ V \
△力 выделенную площадку пересекут лишь те v ' \\
индивидуальные частицы среды, которые в\\ 必/
начальный момент времени находились в ко-\ 口 \
сом цилиндре объемом |vn|△力△$. Посколь-\| \
ку единица объема среды имеет массу р,\ 丨 \
то величина p|v п|△力△$ характеризует массуAS
среды, проходящую через площадку △$ за卩收《丄 Плотность по_
промежуток времени △力.Следовательно, pvтока среды
есть плотность потока массы. Модуль этого
вектора определяет массу вещества, пересекающего за единицу времени единичную площадку, ориентированную перпендикулярно потоку.
Таким образом, из уравнения непрерывности в форме (4.16) следует, что изменение массы единицы объема среды за единицу времени происходит за счет пространственной неоднородности плотности потока массы вещества.
Уравнение непрерывности можно вывести и другим путем. Рассмотрим некоторый фиксированный, т. е. неподвижный и неизменяющийся со временем, объем сплошной среды. Масса вещества в этом объеме определяется выражением (4.9). Изменение массы вещества в этом объеме может происходить только вследствие потока вещества через поверхность, ограничивающую выделенный объем. Если pv — вектор плотности потока массы вещества, то масса вещества, втекающего или вытекающего из объема за единицу времени, будет равна
j 0Vds .
Здесь интеграл берется по неподвижной замкнутой поверхности S, ограничивающей выделенный объем V; dS = ndS, где п — нормаль к элементарной площадке dS, направленная вне объема.
Изменение массы вещества в выделенном объеме за единицу времени должно равняться потоку массы через границы объема, т. е.
=〕|J d昨—脑 vdS・(4.17)
VVs
Так как объем фиксированный, то в выражении (4.17) берется частная производная по времени, причем производная от интеграла может быть записана как интеграл от производной подынтегральной функции. Знак минус перед интегралом в правой части равенства обусловлен выбором направления нормали п. Поскольку вектор нормали к элементу граничной поверхности направлен вне выделенного объема, то скалярное произведение в подынтегральном выражении будет отрицательным,
если поток вещества направлен извне внутрь объема, и положительным в противном случае. Тогда знак минус перед интегралом учитывает тот факт, что масса вещества в объеме убывает, если вектор плотности потока сонаправлен нормали.
Применяя теорему Гаусса-Остроградского (см. с. 28) к правой части выражения (4.17), получим
](Ij+dijv) dV = 0. (4.18)
Так как последнее равенство должно выполняться для любого неподвижного объема, то подынтегральное выражение должно быть равно нулю, т. е. снова получаем уравнение непрерывности в форме (4.16).
Интегральная и дифференциальная форма уравнения непрерывности. Уравнение непрерывности не изменит свой вид и в том случае, если под р понимать не массовую плотность среды, а количество вещества (количество молей или число молекул в единице объема). Но это будет лишь в том случае, когда отсутствуют источники и стоки вещества внутри рассматриваемых объемов. Если внутри фиксированного объема имеется п источников или стоков мощностью Qi, то уравнение непрерывности в интегральной форме будет иметь B呐 Г 九
Pdv = pvds^^Q^ v s
Здесь второе слагаемое в правой части есть алгебраическая сумма мощностей источников и стоков. Мощность источника или стока Q〃 определяет количество вещества, поставляемого источником или отводимого стоком в единицу времени. При этом мощности источников положительны (Q〃 > 0), а стоков отрицательны (Q〃 < 0).
Источники или стоки могут быть распределены в пространстве непрерывно с объемной плотностью у. Например, уравнение непрерывности для числа нейтронов в делящемся материале можно записать в интегральной форме:
力 ° = — j 仆 dS + " W . (4.20)
Здесь p — число нейтронов в единице объема, v — их скорость диффузии, у — разность числа нейтронов, рождающихся и поглощающихся в единице объема среды за единицу времени.
Нетрудно видеть, что уравнение непрерывности (4.20) можно записать и в дифференциальной форме. Однако это нельзя сделать в случае дискретного распределения источников и стоков. Поэтому уравнение непрерывности в дифференциальной форме (4.16) справедливо во всех точках пространства, кроме точек, в которых расположены источники или стоки. Интегральная форма уравнения непрерывности является более общей, поскольку справедлива для всех точек среды.
Для стационарного случая, когда плотность вещества в любой фиксированной точке пространства не изменяется с течением времени, хотя может зависеть от координат, имеем
雾=0, div pv = 0.(4.21)
Для несжимаемой среды плотность вещества не зависит ни от координат, ни от времени, т. е.
^ =0.(4.22)
Тогда из (4.12) имеем, что для всех точек пространства, занимаемого несжимаемой средой (кроме точек пространства, в которых расположены источники и стоки), справедливо выражение:
div V = 0 .(4.23)
Заметим, что этот результат следует также из выражения (4.4)
т. е. в несжимаемой среде любой индивидуальный объем не изменяется по величине в процессе движения.
Уравнение движения сплошной среды
Уравнение движения выражает закон сохранения импульса сплошной среды.
Рассмотрим некоторый индивидуальный объем V в движущейся со скоростью V сплошной среде. Очевидно, pv — импульс единицы объема. Тогда импульс всего выделенного объема равен
ПП=1V=1VVV
П
П
=1
V
=1
V
V
V
Пусть F = F(『)+ F(s)— результирующая сила, действующая на индивидуальный объем, которая складывается из результирующей объемных (F(『))и результирующей поверхностных (F($)) сил. Тогда в соответствии со вторым законом Ньютона изменение в единицу времени полного импульса индивидуального объема должно равняться результирующей всех сил, действующих на этот объем:
皿=F(『)+ F(s), 処=储W)+ 修⑶.(4.24)
Преобразуем каждый член уравнения (4.24) отдельно. Учитывая правило дифференцирования по времени интеграла по подвижному
объему (4.8), для левой части уравнения (4.24) получим
喈= J(^ +叫 div V)+ 3 傍+ 0div v)] dV.
Выражение в круглых скобках представляет собой уравнение непрерывности (4.12) и поэтому равно нулю. Тогда имеем
学\.(4.25)
Если f — напряженность массовых сил, то для результирующей объемных сил можно записать
储")=]Pfi dV.(4.26)
Результирующую поверхностную силу, действующую на единицу объема, мы определили выражением (3.13). Тогда результирующая поверхностных сил, действующих на весь индивидуальный объем, равна
V
Подставляя выражения (4.25)-(4.27) в уравнение (4.24) и собирая все члены в левую часть, получим
[- Pfi - dV = Q.(4.28)
V
Это равенство должно выполняться для любого индивидуального объема. Следовательно, должно равняться нулю подынтегральное выражение
(429)
Полученное уравнение называют уравнением движения сплошной среды. Оно представляет собой второй закон Ньютона для единичного объема сплошной среды. Слева в (4.29) стоит произведение массы индивидуальной частицы единичного объема на ее ускорение, а справа — результирующая массовых и поверхностных сил, действующих на эту индивидуальную частицу сплошной среды.
Субстанциональное и локальное описание движения сплошной среды. Уравнение движения (4.29) формально представляет собой дифференциальное уравнение второго порядка относительно координаты индивидуальной частицы сплошной среды. Зная координаты и компоненты вектора скорости некоторой частицы в начальный момент времени, из решения уравнения (4.29) можно найти ее координаты и скорость в любой момент времени. Зная траектории всех индивидуальных частиц данного вещества, можно составить представление о характере движения сплошной среды в целом. Такой подход
к описанию движения сплошной среды называется субстанциональным или описанием в представлении Лагранжа.
Субстанциональное описание движения сплошной среды не всегда удобно. Для составления полного представления о характере движения сплошной среды достаточно было бы знать, как изменяется со временем скорость в любой фиксированной точке пространства, через которую с течением времени будут проходить, вообще говоря, различные индивидуальные частицы сплошной среды. Вместе со сведениями о таких изменениях в различных точках пространства мы получили бы достаточно полное представление о характере движения. Такое описание движения называется локальным или представлением Эйлера.
Чтобы перейти от субстанционального описания к локальному, воспользуемся выражением (4.15), устанавливающим связь между полной и частной производной по времени
dvidvidvi9八、
atotoxk
Здесь первое слагаемое правой части представляет собой изменение скорости среды в фиксированной точке пространства с течением времени. Второе слагаемое характеризует различие значений скорости в различных точках пространства в фиксированный момент времени, т.е является как бы мгновенной фотографией скоростей всех частиц сплошной среды.
С учетом (4.30) уравнение движения (4.29) примет следующий вид:
dviOvi1 Ooik . fq 1 \
otOXkP OXk
Уравнение (4.31) называют уравнением движения сплошной среды в представлении Эйлера.
Физический смысл этого уравнения в целом и каждого члена становится более очевидным, если рассмотреть не индивидуальный, а фиксированный элемент объема сплошной среды (рис. 4.2).
Рис. 4.2. Фиксированный элемент объема сплошной среды (к выводу уравнения движения)
Запишем баланс импульса для фиксированного элемента объема △V = △/[△/2厶力3 （рис. 4.2） в виде соотношения
Скорость накопления количества движенияСкорость накопления количества движенияСкорость поступления количества движенияСкорость поступления количества движенияСкорость отвода количества движенияСкорость отвода количества движения++Сумма сил, действующих на элемент объемаСумма сил, действующих на элемент объема
Скорость накопления количества движения
Скорость накопления количества движения
Скорость поступления количества движения
Скорость поступления количества движения
Скорость отвода количества движения
Скорость отвода количества движения
+
+
Сумма сил, действующих на элемент объема
Сумма сил, действующих на элемент объема
Уравнение движения, имеющее смысл закон сохранения импульса, является векторным и может быть записано покомпонентно для всех трех координатных осей 力1,力2 и /3. Получим Ж1-компоненту этого уравнения; х^- и жз-компоненты могут быть записаны по аналогии.
Существуют два механизма переноса импульса: посредством конвекции （движения среды） и в результате пространственной неоднородности внутренних напряжений.
Скорость накопления жi-компоненты импульса среды в элементе объема определяется выражением
Скорости поступления жi-компоненты импульса среды в элемент объема AV за счет конвекции через грани с координатами 力1,力2 и /3 соответственно равны
（0gUl）1g △◎△/3 ,（0gU2）1g △©△/3 ,（仆1u3）1吟△©△/2 •
Перенос г-компоненты импульса среды за единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную координатной оси k, характеризуют компонентами тензора напряжений сг泌.Скорости поступления ж 1-компоненты импульса среды в рассматриваемый элемент объема за счет внутренних напряжений через грани с координатами 力1,力2 и /3 соответственно равны
crillg △©△/3，012葭△/心/3， еп3|жз △/心/2 •
Скорости отвода жi-компоненты импульса среды из элемента объема через грани с координатами х\ + △/〔,力2 + △/? и жз + △/? соответственно равнн:
за счет конвекции
（0UlS）bi+A%iA/2A/3,（0UlU2）%2+AgA/lA/3,（仆1。3）|吟+4吟4/1厶力2； за счет внутренних напряжений
O1L1+△冗 1 △◎△/З , СП2|Ж2+ДЖ2 △/1Агз ,0130+△吟△©△力2 .
Результирующая внешняя сила, действующая на сплошную среду в рассматриваемом элементе объема в направлении оси х\ равна
где вектор f — плотность или напряженность массовых сил.
Соотношение баланса жi-компоненты импульса в рассматриваемом элементе объема запишется в следующем виде:
=△©△g [(oss)院-(oss)院+△冗1 +。1儿1 - ^111+ △方△/3 [("1°2)葭-(^1^2)|Ж2+△Ж2 +。121g -012〔:=△©△g [(oss)院-(oss)院+△冗1 +。1儿1 - ^111+ △方△/3 [("1°2)葭-(^1^2)|Ж2+△Ж2 +。121g -012〔:+А®1 ] ++А®1 ] +®2+А®2®2+А®2+++ △/1△/2 [(0。103)1吟一(仆1u3)1吟+△吟 +013%3 一013%3+△%]+ o/l△kРазделим это выражение на AV и перейдем к пределу, устремив размеры элемента объема к нулю. В результате получим следующее+ △/1△/2 [(0。103)1吟一(仆1u3)1吟+△吟 +013%3 一013%3+△%]+ o/l△kРазделим это выражение на AV и перейдем к пределу, устремив размеры элемента объема к нулю. В результате получим следующее
=△©△g [(oss)院-(oss)院+△冗1 +。1儿1 - ^111+ △方△/3 [("1°2)葭-(^1^2)|Ж2+△Ж2 +。121g -012〔:
=△©△g [(oss)院-(oss)院+△冗1 +。1儿1 - ^111+ △方△/3 [("1°2)葭-(^1^2)|Ж2+△Ж2 +。121g -012〔:
+А®1 ] +
+А®1 ] +
®2+А®2
®2+А®2
+
+
+ △/1△/2 [(0。103)1吟一(仆1u3)1吟+△吟 +013%3 一013%3+△%]+ o/l△k
Разделим это выражение на AV и перейдем к пределу, устремив размеры элемента объема к нулю. В результате получим следующее
+ △/1△/2 [(0。103)1吟一(仆1u3)1吟+△吟 +013%3 一013%3+△%]+ o/l△k
Разделим это выражение на AV и перейдем к пределу, устремив размеры элемента объема к нулю. В результате получим следующее
уравнение:
(4.32)(4.32)(次)=一設(叩也)-图+ 0力•
(4.32)
(4.32)
С учетом уравнения непрерывности (4.16) получим
As , As+ vk —= dt охкAs , As+ vk —= dt охкр a^十力-р a^十力-(4.33)(4.33)
As , As
+ vk —= dt охк
As , As
+ vk —= dt охк
р a^十力-
р a^十力-
(4.33)
(4.33)
Выражения, аналогичные (4.33), могут быть получены для х^- и жз-компоненты импульса. Обобщая, вновь получим уравнение движения в эйлеровой форме (4.31)
dvi , dvi 1 d(Tik , fdvi , dvi 1 d(Tik , f(4.34)(4.34)
dvi , dvi 1 d(Tik , f
dvi , dvi 1 d(Tik , f
(4.34)
(4.34)
Уравнение момента импульса сплошной среды
Рассмотрим в сплошной среде индивидуальную частицу единичного объема, положение которой определяется радиус-вектором г, проведенным из начала координат, и которая движется со скоростью v. Момент импульса этой частицы относительно начала координат, очевидно, равен [rpv]. Тогда полный момент импульса некоторого индивидуального объема V определится следующим выражением:
М = ] [rpv] dV .(4.35)
Пусть К = К(『)+ K(s) —момент всех сил, действующих на индивидуальные частицы выделенного объема, относительно начала координат, который составлен из момента объемных К(『)и поверхностных K(s)сил.
Как известно из механики, изменение за единицу времени момента импульса индивидуального объема относительно неподвижной точки 9
По отношению к некоторой инерциальной системе отсчета.
равно моменту относительно той же точки всех сил, приложенных к этому объему:
曙=К = К(『)+ K(s).(4.36)
Преобразуем каждый член этого уравнения. Учитывая правило дифференцирования по времени интеграла по подвижному объему (4.8) и выражение (4.35), левую часть уравнения (4.36) запишем в следующем виде:
曙=][rv]0dk = ] [4 [rv] + [rv](# + 0 div v)] dV. (4.37)
Выражение в круглых скобках представляет собой уравнение непрерывности (4.12) и, следовательно, равно нулю. Кроме того, учтем, что
^[rv] = [vv]+[r^] = [r^].
Тогда выражение (4.37) будет иметь вид
[ \r^]pdV.(4.38)
J L dt 」
Это выражение в компонентах можно записать следующим образом: 节=\£注3 幣 PdV.(4.39)
V
Здесь 8泌/ — символ Леви-Чивита, единичный антисимметричный тензор третьего ранга. Его свойства: е注/ = 0 — если среди индексов г, k, / есть хотя бы два одинаковых; &佩=1 — если упорядоченная система индексов 1,2, 3 получается четным числом перестановок; ^^ = —1 — если упорядоченная система индексов 1,2,3 получается нечетным числом перестановок.
С помощью символа Леви-Чивита проекции векторного произведения любых двух векторов А и В можно записать в следующем виде:
[АВ]〃 = &ikiAkBi； rot〃 А = [V А]^ = Eiki• охк
Справедливо также следующее соотношение:
^ikl^imn = ^km^ln — ^kn^lm •
Теперь рассмотрим момент объемных сил, действующих на выделенный индивидуальный объем,
К(『)=][rfSW, К^ = ] £iklxkflPdV. (4.40) VV
Для момента поверхностных сил имеем
K(s)= ,[гь6)] dS; К「)二卜泌/力^尸孙. (4.41) SS
С учетом выражения (3.8) для поверхностных напряжений, используя теорему Гаусса-Остроградского (см. с. 28), получим
К； ) =，8泌///eSm几тп dS =，^iklxk^lm dSm = ss
=[^iklXk(yim) dV = [ Eifd (岔кdV =
J OXmJ \ ОХтОХт /
VV
=[+dV. (4.42)
J ' uxm/
V
Здесь учтено, что
，
где 5km — символ Кронекера.
Подставляя выражения (4.39), (4.40) и (4.42) в уравнение момента импульса (4.36), точнее в проекцию этого уравнения на координатную ось /〃，получим
[\^iklxkP(-TT —力一) — ^ikl^lm^km] d『=0 .(4.43)
J L\ atp oxm /」
V
Выражение в круглых скобках представляет собой уравнение движения (4.29) и, следовательно, равно нулю. Из остальной части подынтегрального выражения следует:
^ ikl^lm^ km^ ikl^lm^ km=^iml^lm = ° •=^iml^lm = ° •
^ ikl^lm^ km
^ ikl^lm^ km
=^iml^lm = ° •
=^iml^lm = ° •
Поскольку индексы ши/ — немые, имеем
^iml ^lm = ^ilm^ml =。•
Тогда можно записать следующее равенство:
^iml^lm + &ilm°ml = ° •
Поскольку по свойству символа Леви-Чивита £цт = —8〃^/, имеем
^iml {^1т — ^ml) =。•
Отсюда следует:
^lm — 0ml •(4.44)
Таким образом, показано, что тензор напряжений — симметричный тензор. Этот вывод следует из уравнения момента количества движения сплошной среды.
Тензор плотности потока импульса
Найдем плотность потока импульса в некоторой фиксированной точке пространства. Для этого рассмотрим некоторый фиксированный объем V и вычислим изменение за единицу времени импульса среды в этом объеме. Очевидно, импульс среды в рассматриваемом объеме равен:
J pv dV.
Рассмотрим изменение со временем г-компоненты вектора импульса среды в фиксированном объеме. Это изменение будет равно потоку импульса через поверхность, ограничивающую этот объем. Учтем, что плотность потока некоторого скаляра является вектором. Например, в уравнении непрерывности 0V есть плотность потока скаляра р. Соответственно плотность потока вектора является тензором второго ранга. Пусть Г!泌 есть поток г-компоненты импульса через единичную площадку, перпендикулярную оси к. Тогда можно записать
鳥]限 W = 一,П泌 (4.45) v s
Знак минус в правой части этого равенства обусловлен той же причиной, что и в выражении (4.17)при выводе уравнения непрерывности.
Определим вид тензора плотности потока импульса П^ в отсутствие массовых или объемных сил. Для этого преобразуем левую часть выражения (4.45):
^^pVidV^^Vi^ + p^ dV.(4-46)
VV
Выражая производные по времени от плотности и скорости из уравнений непрерывности (4.16) и движения (4.31), в отсутствие массовых сил получаем
^-\pvidV= \dV •(4.47)
dt JJ \ дхк дхк дхк /
vv
Первые два члена в правой части можно записать в виде дивергенции тензора pv{V^. Переходя от интегрирования по объему к интегрированию по поверхности, ограничивающей этот объем, имеем
^\^ pvidV = - ^ (pvivk - /к) dSk •(4.48)
vs
(4.49)(4.49)Сравнивая выражения (4.45) и (4.48), получаем
(4.49)
(4.49)
口泌=P^i^k — ^ik •
Видно, что Г!泌—симметричный тензор.
Уравнение движения (4.31) можно записать в следующем виде:
dpviап 注/dpviап 注/(4.50)(4.50)
dpviап 注/
dpviап 注/
(4.50)
(4.50)
Из уравнения (4.50) следует, что изменение импульса единицы объема среды в заданной точке пространства происходит как вследствие поступления импульса от соседних частей среды, так и вследствие действия внешних массовых сил.
Уравнение сохранения внутренней энергии
Рассмотрим индивидуальный единичный объем Для него справедливо термодинамическое равенствоРассмотрим индивидуальный единичный объем Для него справедливо термодинамическое равенствоЕсли изменение жуток времени △力, к пределу, получимЕсли изменение жуток времени △力, к пределу, получим"Евн = dQV + ^ik d®£k • внутренней энергии происходит"Евн = dQV + ^ik d®£k • внутренней энергии происходитсплошной среды, (см. (3.20)):(4.51)за малый проме-сплошной среды, (см. (3.20)):(4.51)за малый проме-то разделив выражение (4.51) на △力 и переходято разделив выражение (4.51) на △力 и переходя&Евн dQv I •&Евн dQv I •(4.52)(4.52)
Рассмотрим индивидуальный единичный объем Для него справедливо термодинамическое равенство
Рассмотрим индивидуальный единичный объем Для него справедливо термодинамическое равенство
Если изменение жуток времени △力, к пределу, получим
Если изменение жуток времени △力, к пределу, получим
"Евн = dQV + ^ik d®£k • внутренней энергии происходит
"Евн = dQV + ^ik d®£k • внутренней энергии происходит
сплошной среды, (см. (3.20)):
(4.51)
за малый проме-
сплошной среды, (см. (3.20)):
(4.51)
за малый проме-
то разделив выражение (4.51) на △力 и переходя
то разделив выражение (4.51) на △力 и переходя
&Евн dQv I •
&Евн dQv I •
(4.52)
(4.52)
Второе слагаемое правой части, содержащее тензор скоростей деформаций, может быть преобразовано следующим образом:
._1 f dvi dvk\ _ dvi
В выражении (4.53) учтена симметрия тензора напряжений. Введем внутреннюю энергию единицы массы %н：
Евн = Р^вн •(4.54)
Изменение за единицу времени внутренней энергии некоторого индивидуального объема V равно
[рввн dv.(4.55)
at Jat J
VV
Используя правило дифференцирования по времени интеграла по подвижному объему (4.8), получим
W = 口(。禦 + 糸 + w div v] W •(4.56)
VV
С учетом уравнения непрерывности (4.12) имеем
[ ^вн dv = \p^dv.(4.57)
at JJ at
VV
Выражение (4.53) определяет работу внутренних напряжений, совершаемую за единицу времени в единице объема. Тогда работа, со-
вершаемая внутренними напряжениями за единицу времени во всем индивидуальном объеме, равна
(4.58)
VV
Рассмотрим количество теплоты, поступающей в единицу времени в индивидуальный объем от внешних источников. Если внутри объема нет источников или стоков тепла, то тепло может поступать внутрь
объема только черезобъема только черезРис. 4.3. Плотность теплового потокаРис. 4.3. Плотность теплового потокаего поверхность. Пусть q — вектор плотности теплового потока (рис. 4.3).
объема только через
объема только через
Рис. 4.3. Плотность теплового потока
Рис. 4.3. Плотность теплового потока
Величина |nq| характеризует энергию, переносимую за единицу времени через единичную площадку с нормалью п за счет теплопроводности среды. В СИ величина q измеряется в Вт/м2.
Тогда уравнение баланса тепла в выделенном объеме с учетом теоремы Гаусса-Остроградского (см. с. 28) можно записать в следующем виде:
VVsvsv^\QvdV = - ^q(/S = - jdiv ^dV . (4.59)
V
V
sv
sv
【（++小一。泌許）"昨。.【（++小一。泌許）"昨。.(4.60)(4.60)Таким образом, из выражений (4.52)-(4.59) для скорости изменения внутренней энергии индивидуального объема имеем
【（++小一。泌許）"昨。.
【（++小一。泌許）"昨。.
(4.60)
(4.60)
Так как это уравнение записано для произвольного индивидуального объема, подынтегральное выражение также равно нулю:
(4.61)(4.62)(4.61)(4.62)кн. dvi
(4.61)
(4.62)
(4.61)
(4.62)
0= — div q + aik -—.
atoxk
В эйлеровом представлении (4.15) имеем
Р + vVsbh) = - div q + cr泌穿^ •\ dt丿dxk
Из этого уравнения следует, что внутренняя энергия единицы объема изменяется вследствие притока тепла и работы внутренних напряжений.
При всестороннем равномерном сжатии основное термодинамическое равенство для единицы массы сплошной среды записывается в виде
d^ = TdS -pdV = TdS -pd(l/p) . (4.63)
т dS d pTllt=PPdtт dS d pTllt=PPdtdiv q —夕 div v ,div q —夕 div v ,Тогда уравнение сохранения внутренней энергии будет иметь вид
т dS d pTllt=PPdt
т dS d pTllt=PPdt
div q —夕 div v ,
div q —夕 div v ,
(4.64)
или с учетом уравнения непрерывности (4.12) в эйлеровом представле
нииниирТ (^|+vVS)=-divq.рТ (^|+vVS)=-divq.(4.65)(4.65)
нии
нии
рТ (^|+vVS)=-divq.
рТ (^|+vVS)=-divq.
(4.65)
(4.65)
Очевидно, уравнение (4.62) более общее, так как оно справедливо для любой деформации.
Вновь получим уравнение сохранения внутренней энергии (4.62), рассмотрев фиксированный элемент объема сплошной среды.
Баланс энергии в выделенном элементе объема AV = △/〔△а^А/з (рис. 4.4) может быть представлен следующим соотношением:
Скорость накопления энергииСкорость накопления энергииСкорость конвек- =тивного подвода энергииСкорость конвек- =тивного подвода энергииСкорость конвективного отвода + энергииСкорость конвективного отвода + энергии
Скорость накопления энергии
Скорость накопления энергии
Скорость конвек- =тивного подвода энергии
Скорость конвек- =тивного подвода энергии
Скорость конвективного отвода + энергии
Скорость конвективного отвода + энергии
Скорость подвода + энергии за счет теплопроводностиСкорость подвода + энергии за счет теплопроводностиСкорость отвода энергии за счет теплопроводностиСкорость отвода энергии за счет теплопроводностиРабота внутренних напряжении за единицу времениРабота внутренних напряжении за единицу времени
Скорость подвода + энергии за счет теплопроводности
Скорость подвода + энергии за счет теплопроводности
Скорость отвода энергии за счет теплопроводности
Скорость отвода энергии за счет теплопроводности
Работа внутренних напряжении за единицу времени
Работа внутренних напряжении за единицу времени
Энергию единицы объема сплошной средыЭнергию единицы объема сплошной средывнутренней и кинетической энергий:внутренней и кинетической энергий:запишем в виде суммызапишем в виде суммы1 2Е『—08вн + 2 0。，1 2Е『—08вн + 2 0。，(4.66)(4.66)
Энергию единицы объема сплошной среды
Энергию единицы объема сплошной среды
внутренней и кинетической энергий:
внутренней и кинетической энергий:
запишем в виде суммы
запишем в виде суммы
1 2
Е『—08вн + 2 0。，
1 2
Е『—08вн + 2 0。，
(4.66)
(4.66)
где Евн — внутренняя энергия единицы массы.
Рис. 4.4. Фиксированный элемент объема сплошной среды (к выводу уравнения сохранения внутренней энергии)Рис. 4.4. Фиксированный элемент объема сплошной среды (к выводу уравнения сохранения внутренней энергии)
Рис. 4.4. Фиксированный элемент объема сплошной среды (к выводу уравнения сохранения внутренней энергии)
Рис. 4.4. Фиксированный элемент объема сплошной среды (к выводу уравнения сохранения внутренней энергии)
Тогда скорость накопления энергии в выделенном элементе объема
равнаравна
равна
равна
Скорость конвективного подвода энергии через грань, перпендикулярную оси 力1 (рис. 4.4), равна
△/2△/3 (UlEu)lg = △/2△/3 [^1(0еbh + ；002)]•
Скорости конвективного подвода энергии через грани, перпендикулярные осям 力2 и 力3 записываются аналогично:
△/1△/3(V2EV)\X2 ,△/1△/2 (03石u)1吟•
Скорости конвективного отвода энергии через грани х\ +△/〔, /2 + + Дж2 и жз + Ажз соответственно равны
△ ж2^ж3(^1 ^v) |®1+А®1, А^1 Ажз (?；2 ^v) |®2+А®2 5 △^l ^^2 (^3 ^v) |®з+А®з •
Скорости подвода энергии за счет теплопроводности среды в выделенный элемент объема через грани 力1 ,力2 и /3 соответственно равны
△ ©△/3 (%)g，△/[△/3(92)д ,△/1△/2 (供)吟•
Скорости отвода энергии за счет теплопроводности среды из элемента объема через грани х\ + △/〔,力2 十△/?以 力3 + △/? соответственно равны
△◎△/3 (%%1+^1 , A/iAg (<72)Ж2+ДЖ2 ,△©△/2 (的)吟+△吟•
Работа, совершаемая выделенным элементом объема над внешней средой, состоит из двух частей: работы против объемных сил (например, против силы тяжести) и работы против поверхностных сил, характеризуемых компонентами тензора напряжений сг泌.Работа может быть представлена как произведение силы на перемещение. Тогда скорость совершения работы определится произведением силы на скорость движения среды.
Работа, совершаемая выделенным элементом объема против объемных сил f, равна
-p^Vvifi •
В этом выражении знак минус учитывает тот факт, что работа системы против внешних сил равна по величине и противоположна по знаку работе внешних сил над системой.
Работа поверхностных сил, совершаемая в единицу времени на шести гранях рассматриваемого элемента объема, записывается следующим образом:
△ /2厶力3 (°1£°£ |д+△%〔 — ^Н^г |®i ) + △/1 △/? (°2£3 |g+Ag — ^"li^i |®2)+
十 ДЖ1 Дж2 (^"Зг^г |®з+А®з — ^3i^i |®з) •
После подстановки записанных выражений в соотношение баланса энергии, разделив на AV и перейдя к пределу бесконечно малых
размеров выделенного элемента объема, получим
曝 =九•(4・67)
С учетом выражения (4.66) для энергии единицы объема сплошной среды, уравнений непрерывности (4.16) и сохранения импульса (4.31) уравнение (4.67) преобразуется к виду (4.62). Мы вновь получили уравнение баланса внутренней энергии в эйлеровом представлении.
Вектор плотности потока полной энергии. Вектор Умова
Пусть Ене — полная энергия соответственно единицы объема и единицы массы сплошной среды. Тогда можно записать
Е = 08 = 0(8вн + ^кин + 8noт) ,(4.68)
где Евн, Екнн и Епот — соответственно внутренняя, кинетическая и потенциальная энергии единицы массы сплошной среды.
Рассмотрим некоторый фиксированный объем V. Баланс полной энергии вещества в этом объеме при отсутствии источников и стоков энергии можно записать в виде уравнения непрерывности:
^^ EdV = -jldS = -jlkdSk.(4.69)
Vss
Здесь S — поверхность, ограничивающая рассматриваемый объем V; I — вектор плотности потока полной энергии, вектор Умова. Его проекция, /卜，на координатную ось х^ характеризует полную энергию, которая переносится за единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную этой оси. В СИ вектор Умова имеет размерность Вт/м2.
С другой стороны из соотношения (4.68) имеем
Полагаем, что потенциальная энергия единицы массы сплошной среды не изменяется со временем. Скорость изменения внутренней энергии в любой фиксированной точке среды определяется уравнением (4.62):
Afi10T八а&вн9&ВН dqk Idvi
= i而+(4.71)
Кинетическая энергия единицы массы сплошной среды, движущейся со скоростью V равна
2
Изменение кинетической энергии за единицу времени определяется уравнением сохранения импульса (4.31)
АбкинАбкинdvidvidvi 1 d(rik f一必 w10Ь jioxk p dxkdvi 1 d(rik f一必 w10Ь jioxk p dxk(4.73)(4.73)
Абкин
Абкин
dvi
dvi
dvi 1 d(rik f
一必 w10Ь ji
oxk p dxk
dvi 1 d(rik f
一必 w10Ь ji
oxk p dxk
(4.73)
(4.73)
Известно, что сила, действующая на единицу массы сплошной среды во внешнем поле, связана с градиентом потенциальной энергии следующим соотношением:
力=一(4.74)
OXi
При этом учтем, что
dvi _ А (ViVi \ _ Абкин
Подставляя уравнения (4.71)-(4.75) в выражение (4.70) и приводя подобные члены, с учетом (4.68) получаем
^ ] Е dV = — ] ^^ (q/e + pvk^ — %。注)dV .(4.76)
(4.77)(4.77)Применяя к правой части теорему Гаусса-Остроградского, имеем 备]石 dV = — j 3 + Pvk^ — ^i^ik) dSk •
(4.77)
(4.77)
vs
Сравнивая выражения (4.69) и (4.77), для компонент вектора Умова
(4.78)(4.78)получаем
(4.78)
(4.78)
Iк = qk + 0必8 —•
Это выражение можно условно записать в векторном виде:
I = q + pvs - va, (vb)k = 3。注. (4.79)
Первый член в правой части полученного выражения есть вектор плотности потока тепла. В изотропной среде его направление зависит только от направления градиента температуры (4.88). Эта составляющая вектора Умова отлична от нуля и в покоящейся среде.
Второй член описывает перенос полной энергии самой движущейся средой — конвективный перенос энергии. Его направление совпадает с направлением движения среды.
Наконец, третий член есть вектор плотности потока энергии, связанный с работой внутренних напряжений в единице объема среды. Он также существует лишь в движущейся среде, хотя его направление не совпадает с направлением скорости движения среды.
Можно получить уравнение сохранения полной энергии для единицы объема среды, которое имеет тот же вид, что и уравнение непрерывности (4.16):
+ div I = 0 . (4.80)
Однако в таком общем виде уравнение сохранения энергии применяется сравнительно редко, так как при решении конкретных задач оказывается проще рассматривать различные виды энергии в отдельности.
Замкнутая система уравнений движения сплошной среды
Запишем систему уравнений сохранения, описывающих движение сплошной среды.
Уравнение непрерывности (см. (4.16))
^ + divSv) = 0.(4.81)
Уравнение движения (см. (4.31))
嘗+=力+丄产.(4.82)
dt oxkp oxk
Уравнение сохранения внутренней энергии (см. (4.62))
Р (+ vV^bh) = — div q + <7注•(4.83)
\ dt/oxk
Чтобы подсчитать количество независимых физических величин в этих уравнениях, вспомним связь между компонентами тензора напряжений, тензора деформаций и вектора смещений (3.41), (2.6):
5k = —3qE(T — 丁0)6注 + k^ik^ll + 2从(/k — g ^ik^ll^ •(4.84)
+ 器)，％ =禁 (4.85)
Нетрудно видеть, что пять скалярных уравнений (4.81)-(4.83) содержат восемь независимых физических величин
0, 〃£, 8вн,缘； 分=1,2,3.
Таким образом, система уравнений сохранения (4.81)-(4.83) не замкнута. Необходимы дополнительные уравнения.
Термическое уравнение состояния устанавливает связь между давлением, плотностью и температурой
(4.86)(4.86)р = р(р,Т).
(4.86)
(4.86)
Например, для одного моля идеального газа, как известно, имеем: р = =pRT, где R — газовая постоянная.
Калорическое уравнение состояния устанавливает связь между внутренней энергией, давлением и температурой
(4.87)(4.87)8вн = 8вн (夕，Т) •
(4.87)
(4.87)
Феноменологический закон теплопроводности Фурье устанавливает линейную зависимость плотности теплового потока от градиента температуры среды
q=—仇=7(4.88)
OXi
где A — коэффициент теплопроводности вещества среды.
Таким образом, система уравнений (4.81)-(4.88) замкнута.
Очевидно, что для решения этих уравнений необходимо задать краевые условия, т. е. для получения единственного решения необходимо в начальный момент времени задать все искомые физические величины на некоторой поверхности. В частности, в случае стационарных процессов, зная граничные условия, из решения системы уравнений движения сплошной среды можно определить значения физических величин в любой точке объема, занимаемого средой.
Вообще говоря, было бы необходимо доказать теорему существования и единственности решения фундаментальной системы уравнений. Однако в силу существенной сложности уравнений эта теорема в общем случае не доказана. Доказательство можно получить лишь для простейших случаев. Поэтому нам придется принять на веру, что решение системы уравнений движения сплошной среды существует и при заданных краевых условиях оно единственно.
Все феноменологические параметры, входящие в систему, в общем случае могут зависеть от термодинамических переменных, например, от давления и температуры. Разумеется, эта зависимость должна быть известна из опыта или определена из молекулярно-кинетической теории.
Уравнение теплопроводности изотропных сред
Уравнением теплопроводности среды принято называть дифференциальное уравнение, описывающее скорость изменения температуры в любой фиксированной точке среды и пространственную неоднородность температуры в любой фиксированный момент времени в зависимости от теплофизических свойств среды.
Вывод уравнения теплопроводности проведем на основе уравнения сохранения внутренней энергии (4.61). Для простоты рассмотрим изотропную среду, которая характеризуется единственным коэффициентом теплопроводности А.
Тогда с учетом закона теплопроводности Фурье (4.88) первое слагаемое правой части уравнения (4.61) записывается в следующем виде:
-div q = div(AVT).(4.89)
Изменение за единицу времени внутренней энергии индивидуальной частицы среды единичной массы в соответствии с уравнениями
и (4.53) равно
智簪(4.90)
at at р dxk
Индекс т в первом слагаемом правой части отмечает тот факт, что рассматривается единица массы среды. Преобразуем это слагаемое следующим образом:
dQm _ dQrn dr _ dT/、
где с = dQm/dT — удельная теплоемкость вещества сплошной среды. Подставляя выражения (4.89)-(4.91) в уравнение сохранения внутренней энергии (4.61) и переходя к локальному описанию, получаем
ср (奈 + V ▽ т) = div (入▽ Т).(4.92)
Если пренебречь зависимостью коэффициента теплопроводности от координат, то для покоящейся среды (v=0) имеем
=(4.93)
Здесь величина入
a =—— ср называется коэффициентом температуропроводности.
Если начальные и граничные условия заданы, то решение уравнения теплопроводности (4.93) однозначно определяет температуру среды в любой точке в любой момент времени.
Тензор вязких напряжений
Упругие напряжения возникают в сплошной среде вследствие смещений под действием внешних сил одних участков среды по отношению к другим.
Опыт показывает, что напряжения могут возникать и вследствие различной скорости смещений соседних элементов среды. В этом легко убедиться на следующем мысленном эксперименте.
Представим себе тонкую пластинку, плавающую на поверхности жидкости (рис. 4.5).
Если сдвинуть пластинку в новое положение вдоль поверхности жидкости, то она останется неподвижной в новом положении, т. е. упругая сила, возвращающая ее в прежнее положение, отсутствует. Однако для того чтобы сдвинуть пластинку, необходимо приложить некоторую силу. Если передвигать пластинку вдоль поверхности жидкости прямолинейно и равномерно, то в соответствии с первым законом Ньютона действующая на пластинку результирующая сила равна нулю. Это означает, что со стороны жидкости на пластинку действует сила со-
3 В.Г. Черняк, П.Е. Суетин
Рис. 4.5. Распределение скорости движения жидкости при стационарном движении тонкой пластинки вдоль свободной поверхностиРис. 4.5. Распределение скорости движения жидкости при стационарном движении тонкой пластинки вдоль свободной поверхностипротивления, равная по величине и противоположная по направлению внешней силе. Причем эта сила сопротивления существует лишь тогда, когда пластинка движется. Чтобы в рамках механики сплошных сред, т. е. игнорируя молекулярное строение жидкости, понять механизм возникновения силы сопротивления, разделим мысленно весь объем жидкости на тонкие слои, параллельные ее свободной поверхности. Слой, прилегающий непосредственно к пластинке, как бы «прилипает» к ней и увлекается в движение с той же скоростью. Следующий слой жидкости с одной стороны увлекается верхним слоем, а с другой —тормозится нижним, т. е. скорость его движения меньше. По мере удаления от пластинки в глубь жидкости скорость
Рис. 4.5. Распределение скорости движения жидкости при стационарном движении тонкой пластинки вдоль свободной поверхности
Рис. 4.5. Распределение скорости движения жидкости при стационарном движении тонкой пластинки вдоль свободной поверхности
ее движения непрерывно уменьшается и на достаточно большом расстоянии жидкость покоится. Качественная зависимость скорости движения жидкости вдоль оси 力 1 от нормальной координаты 力2 показана на рис. 4.5.
Таким образом, сила сопротивления возникает тогда, когда есть нормальный пластинке градиент скорости движения жидкости. Этот экспериментальный факт Ньютон записал в виде формулы
(4.94)(4.94)〜 dvi
(4.94)
(4.94)
Здесь 3i2 — сила, действующая в направлении оси х\ на единицу площади пластинки; г] — феноменологический коэффициент, называемый коэффициентом сдвиговой вязкости.
Таким образом, в сплошной среде при деформации могут возникать напряжения, пропорциональные не самой деформации, а скорости деформации. Обобщая результат (4.94), мы можем по аналогии с тензором упругих напряжений。注，зависящем от деформации (3.30), ввести тензор 3注，зависящий от скорости деформации:
Gik = ^ik^u + 2〃 (叁卜-；Bik©〃)• (4.95)
Тензор aik называют тензором вязких напряжений, § — коэффициент объемной вязкости, 〃 — коэффициент сдвиговой вязкости или просто коэффициент вязкости. Очевидно, что в механике сплошных сред, оба коэффициента вязкости, так же как модули всестороннего сжатия и сдвига, являются феноменологическими коэффициентами. Их значения для любых веществ и при любых температурах должны быть известны из эксперимента или рассчитаны на основе молекулярнокинетической теории.
Выражение (4.95) с учетом формулы (4.3) для тензора скоростей деформации может быть преобразовано к следующему виду:
磐+ 〃(翳+礬-統磐).(4.96)
Тензор вязких напряжений — также симметричный тензор. Линейная зависимость тензора напряжений от тензора деформаций выражает закон Гука.
Линейная зависимость тензора вязких напряжений от тензора скоростей деформаций называется законом Навье-Стокса.
Модели сплошных сред
В общем случае движения сплошной среды возникающие в ней внутренние напряжения должны складываться из упругих и вязких напряжений. Общий тензор напряжений будет иметь вид
Pik ik + ik = —Зо^к{^Т — Т())台 ik + ^^ ik^ Il +
+ 2〃 卜沃 一 ^ik£ll) +^ik^ + (許 + 許-雜齧)• (4.97) Таким образом, в самом общем случае среда характеризуется (с кинематической точки зрения) пятью феноменологическими коэффициентами.
При решении фундаментальной системы уравнений движения сплошной среды необходимо учитывать все члены выражения (4.97). Однако в такой общей постановке ни одна задача еще не была решена в силу ее чрезвычайной математической сложности. Для каждой конкретной задачи или класса задач приходится делать разумные упрощающие предположения.
Опыт подсказывает нам, что все сплошные среды можно разделить на три существенно отличающихся друг от друга класса: твердые тела, жидкости и газы. Не касаясь различий в характере молекулярного движения в этих средах, определим эти различия с феноменологической точки зрения.
Твердое тело. В большинстве задач твердое тело можно характеризовать как среду, в которой деформации подчиняются закону Гука, а скорости деформации малы, т. е. можно пренебречь вязкими напряжениями:
к 卢 0,从卢 0, § = 0, 〃 = 0.
Эти задачи составляют предмет теории упругости (растяжение, изгиб, кручение стержней, пластинок, оболочек и т. д.).
Второй характерной особенностью твердого тела в обычном понимании является то, что твердое тело может быть подвергнуто как сжатию, так и растяжению, т. е. ац ^ 0. Относительное изменение объема при деформации мало: | е〃 |《1.
з*
Если возникает необходимость в учете вязкостных свойств твердого тела, то нужно сохранять в общем тензоре напряжений члены, зависящие от скоростей деформаций. Это — предмет науки реологии, которая включает такие разделы как теории пластичности и ползучести (деформирование за пределами упругости — прокатка, штамповка и т. д.).
Жидкость. Наиболее характерное физическое свойство сплошной среды, которую называют жидкостью, заключается в легком изменении ее формы. Вода, налитая в сосуд, принимает форму сосуда. Наклоняя сосуд, мы вновь наблюдаем изменение формы жидкости, происходящее без видимых усилий. Следовательно, такая среда обладает малым сопротивлением формы, т. е. ее модуль сдвига мал или вообще равен нулю.
Таким образом, для жидкости имеем
k声0,从=0, €声0，〃声0.
Отметим, что жидкость, как и твердое тело, может быть как сжата, так и растянута. Однако ее прочность на растяжение, как правило, значительно меньше прочности твердых тел и в большинстве задач предполагается ст < 0, т. е. жидкость может быть только сжата, но не растянута. Относительное изменение объема при сжатии, как и для твердых тел, невелико: | е〃 |《1.
Газ. Газы, как и жидкости, легко изменяют свою форму, поэтому могут рассматриваться как среда с исчезающе малым модулем сдвига:
k声0,从=0, €声0，〃声0.
В отличие от жидкостей газы принципиально не могут быть растянуты, поэтому для газов ац < 0. Другое отличие от жидкостей и твердых тел состоит в том, что газы сильно изменяют свой объем при изменении давления 9, е〃 < 1. Твердые тела и жидкости при решении многих практических задач можно считать несжимаемыми (е〃 = 0).
Как для газов, так и для жидкостей при неизменной температуре тензор упругих напряжений имеет вид
^ik = kSik^lb 8〃 = = — у, ^ik = ~P^ik , (4.98) т. е. в жидкостях и газах давление изотропно.
Релаксация напряжений. Приведенное деление сплошных сред на твердые тела и жидкости весьма условно. Критерии такого деления в существенной мере зависят от соотношения между временем действия внешних сил, прилагаемых к среде твн и временем релаксации внутренних напряжений тр.
В соответствии с уравнением Клапейрона-Менделеева для одного моля идеального газа имеем: pV = RT, т. е. объем, занимаемый одним молем идеального газа, в изотермических условиях обратно пропорционален давлению.
После деформации среды возникающие внутри нее напряжения релаксируют, т. е. исчезают за некоторый характерный для данной среды и при данных условиях промежуток времени 4. Релаксация сопровождается некоторым необратимым изменением в среде (изменение объема, остаточные деформации и т. д.). После снятия внешних сил и релаксации внутренних напряжений среда, вообще говоря, не возвращается в исходное недеформированное состояние.
Если время релаксации внутренних напряжений много больше времени действия внешних сил, тр》твн, то любая среда ведет себя как твердое тело. Например, вода при быстром воздействии на нее внешних сил может рассматриваться как твердое тело (удар о воду), обладающее определенным модулем сдвига.
Если же время релаксации внутренних напряжений много меньше времени внешнего воздействия, тр《твн, то любая среда может рассматриваться как маловязкая жидкость с модулем сдвига, равным нулю. Изучение движения таких жидкостей составляет предмет гидродинамики. Такие жидкости еще называются ньютоновскими жидкостями.
Например, битум или смола при быстром воздействии внешней силы ведут себя как твердое тело (рассыпаются при ударе), а при длительном действии внешних сил растекаются по поверхности или принимают форму сосуда, в который были положены, т. е. ведут себя как жидкость. Даже стальной стержень при растяжении силой, вызывающей в нем заведомо только упругие деформации, с течением времени течет и необратимо удлиняется, особенно при повышенных температурах (ползучесть).
Таким образом, выбор модели сплошной среды при решении конкретной задачи определяется не только агрегатным состоянием вещества, но и зависит от соотношения между временем внешнего воздействия, вызывающего деформацию среды, и временем релаксации внутренних напряжений. Одна и та же среда в различных задачах может рассматриваться и как твердое тело, и как жидкость.
Подводя итог, запишем выражение для полного тензора напряжений для ньютоновских жидкостей и газов:
Р泳=~P^ik + ^ik^ + 〃 (許 + 黑-|'kff9 • (4§9)
Упругие волны
Рассмотрим распространение в упругой среде малых деформаций. Поскольку распространение любых возмущений в среде, как мы увидим, происходит достаточно быстро, в виде некоторого волнового процесса, то можно полагать, что деформации в каждом элементе объема среды совершаются адиабатически, без теплообмена с соседними частицами среды. Тогда модули сдвига и всестороннего сжатия в последующих формулах нужно полагать адиабатическими.
Запишем уравнение движения упругой (не вязкой) среды при отсутствии массовых сил:
(4.100)(4.100)dvj bvi _ 1 до-jkdt Vk dxk p dxk
(4.100)
(4.100)
Будем полагать, что скорости частиц среды, возбуждаемые проходящей волной, малы по сравнению со скоростью самого волнового процесса. На этом основании можно пренебречь вторым слагаемым левой части уравнения (4.100), как членом более высокого порядка малости.
Для простоты рассмотрим плоскую волну, т. е. волну, при распространении которой деформации точек среды зависят только от одной координаты 力 1 и времени 力，
u = u(/ 1,力)，u = u(/ 1,力)，
u = u(/ 1,力)，
u = u(/ 1,力)，
Тогда уравнение движения для проекции деформации на ось 力 i будет
иметь видиметь видд2 и\д2 и\р дхкр дхк(4.101)(4.101)
иметь вид
иметь вид
д2 и\
д2 и\
р дхк
р дхк
(4.101)
(4.101)
Выражение (3.30) для тензора упругих напряжений может быть записано в следующем виде:
。注=kSik醬+从(一^ 6/醬).(4.102)
OXi \UXk OXi 3 OXi /
Подставляя это выражение в уравнение (4.101), получаем
д2и\ _
力，
ОХ\
(4.103)
где
Для проекции деформации на уравнения
a2〃22 a2〃2
где
N 4 —
二•(4.104)
0 (1 + сг)(1 - 2ст)
оси 力2 и 力з получаем идентичные
皆=娉3，(4.105)
Таким
образом, мы
получили
2р (1 + ст) * обычные волновые
уравнения для
распространения малых деформационных возмущений в виде плоской волны. Из уравнений следует, что волна представляет собой, по существу, две независимо распространяющиеся волны. Очевидно, с/ - скорость распространения продольной волны (смещение точек среды и\ происходит вдоль оси 力1), ct — скорость распространения поперечной волны (смещения 〃2 и 〃з перпендикулярны оси 力i).
Поперечные волны при прохождении через частицы среды не изменяют их объем и называются поэтому еще сдвиговыми волнами. Действительно, если гц = 0, то в соответствии с (2.23) имеем
= div u = U .
Прохождение продольной волны сопровождается адиабатическим изменением объема, и потому продольная волна называется иначе волной сжатия. Если 〃2 = 〃з = 0, то
av а® 丿 п
Отношение скоростей распространения волн равно
(4.107)
Поскольку коэффициент Пуассона принимает значения в интервале 0 < < ст < 1 /2, то отношение скоростей изменяется в пределах
С — < ос.
Ct
Это свойство распространения упругих возмущений используется в гравитационной разведке и сейсмологии. Действительно, пусть две сейсмических станции приняли сигналы прохождения продольной волны, а затем поперечной. Пусть промежуток времени между сигналами на первой станции равен △力> Тогда его можно определить следующим образом. Если землетрясение или взрыв произошли на расстоянии %i от этой станции, то времена прохождения продольной и поперечной волн равны
力 1 = —,^1 = — •
czct
Измеряемый промежуток времени между сигналами на первой станции равен
△力1 =力方1 一力1 =厶()•
\ct
Отсюда можно определить расстояние от первой станции до места землетрясения или взрыва
=.
ci - ct
На второй станции, измеряя промежуток времени △力2 между сигналами прихода продольной и поперечной волн, получим расстояние, на котором произошел взрыв или землетрясение от второй станции
2? _ М2cteI
Cl - Ct '
Проведя окружности радиусами 厶 и 勿 вокруг станций, в точках пересечения получим координаты места взрыва или землетрясения. Для
того чтобы уточнить, в какой именно из двух точек произошел взрыв, необходимы данные, по крайней мере, еще одной станции.
Ясно, что для таких расчетов нужно знать упругие свойства земной коры. Эти данные предоставляются специальными геофизическими исследованиями при помощи, например, взрывов, когда расстояния заведомо известны.
На этом же принципе основаны гравитационные методы разведки. Измеряя скорости прохождения волн, создаваемых искусственными взрывами, можно определить среднюю плотность вещества, в котором они распространяются или от которого они отражаются, а также получить информацию об упругих свойствах среды. Опыты по измерению скорости распространения продольных и поперечных волн могут также служить способом определения упругих констант различных материалов при различных условиях.
Для жидкостей и газов с исчезающе малым модулем сдвига мала и скорость распространения сдвиговых (поперечных) волн. Если /1 = 0, то с учетом выражения (3.46) скорость распространения продольных волн сжатия равна:
(4.108)
В заключение приведем таблицу примерных значений констант
некоторых веществ.
Материал
£7, 10пПа
М，Ю10Па
а
С/, м/с
Ct, м/с
Сталь
2,1
8,3
0,25
5700
3300
Алюминий
0,70
2,6
0,34
6300
3100
Стекло
0,56
2,2
0,25
5200
2900
Каучук
0,00008
0,000
0,47
720
27
Контрольные вопросы
Что характеризует след тензора скоростей деформации?
В чем отличие между индивидуальным и фиксированным объемами сплошной среды?
Какой физический смысл имеет уравнение непрерывности?
В чем принципиальное отличие между субстанциональным и локальным описанием движения сплошной среды?
Из какого фундаментального закона следует симметрия тензора напряжений?
Что характеризует величина вектора плотности теплового потока?
В каком случае вектор Умова равен вектору плотности теплового потока?
Перечислите уравнения, составляющие замкнутую систему уравнений движения сплошной среды.
При каком условии в среде возникают вязкие напряжения?
В чем отличие между тензорами упругих и вязких напряжений?
Какое значение имеет модуль сдвига для ньютоновских жидкостей и газов?
Каким критерием руководствуются при выборе модели сплошной среды (жидкость или твердое тело) при нестационарных процессах?
Распространяются ли поперечные волны в объеме ньютоновской жидкости или газа? Обоснуйте ответ.
Примеры решения задач
Общие рекомендации. Очевидно, что каждая задача теории упругости имеет свою специфику, которая определяется физической природой действующих сил, геометрическими размерами и формой деформируемого тела, характером деформации и т. д. От этих факторов зависит вид дифференциального уравнения равновесия и граничных условий, и они в существенной степени определяют выбор того или иного математического метода решения полученных уравнений. Поэтому невозможно дать какие-либо конкретные рекомендации к решению любых задач теории упругости. Вместе с тем можно попытаться выявить общее, характерное для самого подхода решения этих задач.
Общий алгоритм, последовательность действий, состоит в следующем.
Решение задачи следует начинать с анализа всех сил, действующих на тело. Необходимо выявить природу этих сил, точку приложения, направление действия и зависимость от координат.
Далее следует проанализировать топологию задачи, т. е. геометрическую форму тела и свойства симметрии. Отсюда выбирается удобная система координат, такая, в которой компоненты уравнения равновесия и граничные условия будут иметь наиболее простой вид. Для наглядности полезно сделать рисунок.
С учетом топологии задачи и направления действия сил определить направления деформации и от каких координат зависят компоненты вектора смещения.
Записать уравнения равновесия для тех компонент вектора смещения, которые необходимо определить. При этом следует учесть свойства симметрии задачи и сделать сравнительную оценку членов полученных уравнений. Решение может существенно упроститься, если пренебречь членами более высокого порядка малости.
Задать граничные условия с учетом симметрии задачи, действующих объемных сил и вызываемых ими внутренних напряжений.
Выбрать метод решения полученных дифференциальных уравнений точный или приближенный с требуемой точностью.
Проанализировать полученный результат, т. е. рассмотреть представляющие интерес частные случаи, выявить физические следствия, найти известные аналогии в механике, сравнить с экспериментом, оценить прикладное значение и т. д.
Задача 1
Определите модуль сдвига 从 из опыта, принципиальная схема которого показана на рис. 4.6.
Решение. В рассматриваемом опыте заданы сила F, действующая
на верхнюю грань бруска вдоль оси z, расстояние d от шкалы до бо-
Рис. 4.6. Схема опыта: / — источник света, 2 — шкала, 3 — зеркальный торец бруска, 4 — испытуемый брусок с площадью основания S; d — расстояние от зеркала до шкалы, 6 — смещение отраженного луча при деформации брускаРис. 4.6. Схема опыта: / — источник света, 2 — шкала, 3 — зеркальный торец бруска, 4 — испытуемый брусок с площадью основания S; d — расстояние от зеркала до шкалы, 6 — смещение отраженного луча при деформации брускаковой (зеркальной) грани и площадь S поперечного сечения испытуемого бруска. Измеряется смещение 8 отраженного при деформации светового луча.
Рис. 4.6. Схема опыта: / — источник света, 2 — шкала, 3 — зеркальный торец бруска, 4 — испытуемый брусок с площадью основания S; d — расстояние от зеркала до шкалы, 6 — смещение отраженного луча при деформации бруска
Рис. 4.6. Схема опыта: / — источник света, 2 — шкала, 3 — зеркальный торец бруска, 4 — испытуемый брусок с площадью основания S; d — расстояние от зеркала до шкалы, 6 — смещение отраженного луча при деформации бруска
Поскольку сила F обусловливает деформацию чистого сдвига, то по существу задача сводится к определению компонент тензора деформаций.
Повторяя рассуждения, использованные при решении задачи об однородном растяжении стержня (см. с. 34) можно показать, что единственная отличная от нуля компонента тензора напряжений равна
(4.109)
нентынентыих = иу = 0,“2 = / • tg 夕 力•夕•их = иу = 0,“2 = / • tg 夕 力•夕•(4.110)(4.110)Так как смещение любой точки бруска происходит только вдоль оси z (смещением вдоль оси ж при малой деформации можно пренебречь), то из рисунка видно, что вектор деформации имеет следующие компо
ненты
ненты
их = иу = 0,“2 = / • tg 夕 力•夕•
их = иу = 0,“2 = / • tg 夕 力•夕•
(4.110)
(4.110)
Здесь учтено, что угол g мал.
Из соотношения (2.6) следует:
== 22^-(4・Ш)
С другой стороны из закона Гука (3.31) с учетом выражения (4.109) получаем
Как видно из рис. 4.6, tg (29)^.
Тогда из выражений (4.111) и (4.112) для модуля сдвига получим
从=2祟.(4.113)
Задача 2
Определите деформацию шара радиуса R влиянием собственного гравитационного поля.
падения g на поверхности шара известно.
Решение. Выберем сферическую систему координат (г,仇 з), начало которой совмещено с центром шара (рис. 4.7). Сила тяготения, действующая на единицу массы шара в точке с радиусом-вектором г равна f = —gr/R. Знак минус означает, что сила направлена противоположно радиусу-вектору.
Очевидно, если шар представляет собой изотропное тело, то задача является сферически симметричной и одномерной. Деформация представляет собой смещение точек шара в радиальном направлении. Таким образом, уг-
И ПЛОТНОСТЬЮ 0 подУскорение свободногоИ ПЛОТНОСТЬЮ 0 подУскорение свободногоРис. 4.7. Деформация шараРис. 4.7. Деформация шараловые компоненты вектора смещения равны нулю (〃° = 〃屮=0), аловые компоненты вектора смещения равны нулю (〃° = 〃屮=0), аотличная от нуля радиальная компонента зависит только от координаты г, т. е. иг = и(г).
И ПЛОТНОСТЬЮ 0 под
Ускорение свободного
И ПЛОТНОСТЬЮ 0 под
Ускорение свободного
Рис. 4.7. Деформация шара
Рис. 4.7. Деформация шара
ловые компоненты вектора смещения равны нулю (〃° = 〃屮=0), а
ловые компоненты вектора смещения равны нулю (〃° = 〃屮=0), а
44PgPg(1+с)(1 —2。)石(1 — сг)(1+с)(1 —2。)石(1 — сг)(4.114)(4.114)При этих условиях уравнение равновесия (3.54) будет иметь следующий вид:
4
4
Pg
Pg
(1+с)(1 —2。)石(1 — сг)
(1+с)(1 —2。)石(1 — сг)
(4.114)
(4.114)
Для получения однозначного решения этого уравнения следует задать два граничных условия. Первое констатирует конечную деформацию в центре шара, т. е., согласно выражению (3.56), имеем
(4.115)(4.115)и(г = 0) < ос.
(4.115)
(4.115)
Второе граничное условие учитывает тот факт, что на поверхности шара внешних сил нет и, следовательно, в состоянии равновесия нормальные напряжения равны нулю, т. е.
агг(г = Л) = 0.(4.116)
Общее решение уравнения равновесия (4.114) имеет вид з1
=(4.И7)
где Ci, (?2 — постоянные интегрирования.
Из условия (4.115) следует, что С? = 0. Для определения другой постоянной С\ необходимо предварительно определить компоненту агг тензора напряжений.
Из выражения (3.51) следует:
石
=(] + ь)(]2ь)[(1 —~h ^(p(p}] .(4.1 18)
Компоненты тензора деформаций вычисляем по формулам (П.4) приложения с учетом выражения (4.117):
диг 3“&иг Аг2 &
号7 号• (4.119)
Из граничного условия (4.116) при г = R получаем
…訪R^・々I?。)
Таким образом, смещение точек шара в радиальном направлении равно
Относительная деформация вдоль радиуса шара определяется следующим выражением:
£"=箒(3方一(4.122)
Отсюда следует, что внутри шара существует недеформированная (£「「= 0) в радиальном направлении сферическая поверхность радиуса
% = A J •
V 3(1 + ст)
Поверхностный сферический слой при г > го оказывается растянутым (£“ > 0), а ядро шара при г < го сжато (srr < 0).
Задача 3
полой цилиндрической трубы с внутренполой цилиндрической трубы с внутренОпределите деформацию
полой цилиндрической трубы с внутрен
полой цилиндрической трубы с внутрен
ним радиусом Ri и внешним 兄2, заполненной жидкостью или газом при давлении р. Давление снаружи отсутствует. Силой тяжести прене-
Рис. 4.8. Полый цилиндрРис. 4.8. Полый цилиндрбречь.
Рис. 4.8. Полый цилиндр
Рис. 4.8. Полый цилиндр
Решение. Удобно использовать цилиндрические координаты (г, g, z) с осью z, направленной вдоль оси цилиндра (рис. 4.8).
В соответствии с законом Паскаля давление жидкости (или газа) в трубе изотропно, т. е. действует во всех направлениях одинаково. Поскольку силой тяжести пренебрегаем, то деформация стенок трубы происходит только в радиальном направлении, причем радиальная компонента вектора смещения зависит только от координаты г.
Таким образом, для компонент вектора смещения имеем
〃屮=〃Z = 0, иг = u(r).
В этом случае rot и = 0. Так как массовых сил нет (/〃 = 0), то уравнение равновесия (3.54) принимает следующий вид:
grad div u = 0,(4.123)
или в цилиндрических координатах с учетом топологии задачи:
=0.(4.124)
dr Lr dr 」
На внешнюю поверхность трубы силы не действуют, а на внутреннюю действует давление р. Тогда два граничных условия будут иметь вид
агг(г = Л1) = —р , arr(r = R^ = 0 .(4.125)
Общее решение уравнения (4.124) имеет вид
и(г) = ^С.г + С2^(4.126)
где С\ и (?2 — постоянные интегрирования.
Диагональные компоненты тензора деформаций равны
5 Ci5 °】^ г， fzz = 0 • (4.127)
Нормальное напряжение в радиальном направлении в соответствии с выражением (3.51) равно
(1 + Ь)(] — 2ь) [(1 — б&тт + 0(8屮屮 + ^zz)]
(1+ь)：_2ь) ^-(1-2*_.(4.128)
Теперь из граничных условий (4.125) вычисляем постоянные интегрирования:
р _ 2P此 (1 + с)(1 — 2c) p n R；咫 1 + 6712g)
Подставляя эти значения в выражение (4.126), получим
〃(『)=Р*^^ ](1—2。卄 + 手].(4.130)
В инженерной практике часто возникает необходимость провести расчет конструкции на прочность. Для этого необходимо вычислить компоненты тензора напряжений
岁^(1 +盯昨=勿芝^Т岁^(1 +盯昨=勿芝^Т(4.131)(4.131)
岁^(1 +盯昨=勿芝^Т
岁^(1 +盯昨=勿芝^Т
(4.131)
(4.131)
Если окажется, что при данном давлении наибольшее из напряжений превысит предел прочности 9 материала трубы, то следует использовать трубы из другого более прочного материала или с другими внутренним и внешним радиусами.
Задача 4Определите деформацию сплошного цилиндра радиуса R, равномерно вращающегося вокруг своей оси с угловой скоростью з. Силой тяжести пренебречь.Задача 4Определите деформацию сплошного цилиндра радиуса R, равномерно вращающегося вокруг своей оси с угловой скоростью з. Силой тяжести пренебречь.Решение.Решение.Рис. 4.9. Вращающийся цилиндрРис. 4.9. Вращающийся цилиндрЦилиндрическую систему координат выберем так, что-бы ось z совпадала с осью вращения цилиндра.На единицу массы цилиндра в точке с радиусом-вектором г действует центробежная сила f =(л；2г. Поскольку силой тяжести пренебрегаем, то деформация цилиндра происходит под действием центробежной силы только в радиальном направлении, т. е.Цилиндрическую систему координат выберем так, что-бы ось z совпадала с осью вращения цилиндра.На единицу массы цилиндра в точке с радиусом-вектором г действует центробежная сила f =(л；2г. Поскольку силой тяжести пренебрегаем, то деформация цилиндра происходит под действием центробежной силы только в радиальном направлении, т. е."з—"z —0,"з—"z —0,Нг = "(T).Нг = "(T).При постановкеПри постановкеТогда уравнение равновесия (3.54) принимает следующий вид:*；亲冋(4.132)граничных условий учтем конечную деформацию наТогда уравнение равновесия (3.54) принимает следующий вид:*；亲冋(4.132)граничных условий учтем конечную деформацию наоси цилиндра и отсутствие внешних сил на его боковой поверхности, т. е.оси цилиндра и отсутствие внешних сил на его боковой поверхности, т. е.и(г = 0) < ос , агг(г = R) = 0 .Общее решение уравнения равновесия (4.132) имеет вид()_ _Р 2 3 (1 +ь)(1 — 2с) + 5 + Qw石(1—。)十 2 T 十Т，и(г = 0) < ос , агг(г = R) = 0 .Общее решение уравнения равновесия (4.132) имеет вид()_ _Р 2 3 (1 +ь)(1 — 2с) + 5 + Qw石(1—。)十 2 T 十Т，(4.133)(4.133)(4.134)(4.134)
Задача 4
Определите деформацию сплошного цилиндра радиуса R, равномерно вращающегося вокруг своей оси с угловой скоростью з. Силой тяжести пренебречь.
Задача 4
Определите деформацию сплошного цилиндра радиуса R, равномерно вращающегося вокруг своей оси с угловой скоростью з. Силой тяжести пренебречь.
Решение.
Решение.
Рис. 4.9. Вращающийся цилиндр
Рис. 4.9. Вращающийся цилиндр
Цилиндрическую систему координат выберем так, что-бы ось z совпадала с осью вращения цилиндра.
На единицу массы цилиндра в точке с радиусом-вектором г действует центробежная сила f =(л；2г. Поскольку силой тяжести пренебрегаем, то деформация цилиндра происходит под действием центробежной силы только в радиальном направлении, т. е.
Цилиндрическую систему координат выберем так, что-бы ось z совпадала с осью вращения цилиндра.
На единицу массы цилиндра в точке с радиусом-вектором г действует центробежная сила f =(л；2г. Поскольку силой тяжести пренебрегаем, то деформация цилиндра происходит под действием центробежной силы только в радиальном направлении, т. е.
"з—"z —0,
"з—"z —0,
Нг = "(T).
Нг = "(T).
При постановке
При постановке
Тогда уравнение равновесия (3.54) принимает следующий вид:
*；亲冋(4.132)
граничных условий учтем конечную деформацию на
Тогда уравнение равновесия (3.54) принимает следующий вид:
*；亲冋(4.132)
граничных условий учтем конечную деформацию на
оси цилиндра и отсутствие внешних сил на его боковой поверхности, т. е.
оси цилиндра и отсутствие внешних сил на его боковой поверхности, т. е.
и(г = 0) < ос , агг(г = R) = 0 .
Общее решение уравнения равновесия (4.132) имеет вид
()_ _Р 2 3 (1 +ь)(1 — 2с) + 5 + Q
w石(1—。)十 2 T 十Т，
и(г = 0) < ос , агг(г = R) = 0 .
Общее решение уравнения равновесия (4.132) имеет вид
()_ _Р 2 3 (1 +ь)(1 — 2с) + 5 + Q
w石(1—。)十 2 T 十Т，
(4.133)
(4.133)
(4.134)
(4.134)
где Ci, С? — постоянные интегрирования.
Из первого условия (4.133) следует, что С? = 0. Для определения другой постоянной С\ поступаем как и в предыдущей задаче. Вначале вычисляем диагональные компоненты тензора деформаций:
32 2 1 +。1—2。丄&n
dr 8碎一。)2
〃12 2 (1+。)(1一 2。)
^ = 7 = -8^r碎")+可・
Компоненту агг тензора напряжений вычисляем из выражений (3.51) и (4.135):
ЕЕ(l+b)(l-2b)(l+b)(l-2b)[(1 — ^)^ГГ + 屮屮 + £zz)][(1 — ^)^ГГ + 屮屮 + £zz)]E(1 +b)(l — 2b)E(1 +b)(l — 2b)— ^/«(3 — 2。)— ^/«(3 — 2。)(l+c)(l—2。)石(1 — cr)(l+c)(l—2。)石(1 — cr)(4.136)(4.136)
Е
Е
(l+b)(l-2b)
(l+b)(l-2b)
[(1 — ^)^ГГ + 屮屮 + £zz)]
[(1 — ^)^ГГ + 屮屮 + £zz)]
E
(1 +b)(l — 2b)
E
(1 +b)(l — 2b)
— ^/«(3 — 2。)
— ^/«(3 — 2。)
(l+c)(l—2。)石(1 — cr)
(l+c)(l—2。)石(1 — cr)
(4.136)
(4.136)
при температуре Т?.при температуре Т?.Рис. 4.10. Полая сфераРис. 4.10. Полая сферагдегде0 = 6 — 71)0 = 6 — 71)A2 Al必一凡'A2 Al必一凡'Ь = Т. + (Т2- 71)g 一 mЬ = Т. + (Т2- 71)g 一 m
при температуре Т?.
при температуре Т?.
Рис. 4.10. Полая сфера
Рис. 4.10. Полая сфера
где
где
0 = 6 — 71)
0 = 6 — 71)
A2 Al
必一凡'
A2 Al
必一凡'
Ь = Т. + (Т2- 71)
g 一 m
Ь = Т. + (Т2- 71)
g 一 m
Из второго граничного условия (4.133) получаем
& =与02足(3 — 2内—2b).(4.137)
Таким образом, деформация цилиндра определится следующим выражением:
〃(т) = рз? С 惠)(1 - 7 г [(3 - 2。)足 一 .(4.138)
Задача 5
В теплообменнике, представляющем собой алюминиевую сферу с
внутренним радиусом R、и внешним &, находится пар при тем
пературе Т1. Снаружи сфера обтекается водой Вычислите деформацию сферы, если Т\ = =500 К, Т2 = 300 К, Ri = 0,50 м,冗2 = 0,52 м.
Радиусы даны при температуре Tq = 293 К. Коэффициент теплового линейного расширения алюминия а = 2,29 • 10™5 К™1.Коэффициент Пуассона а = 0,34. Температуру поверхности теплообменника примите равной температуре окружающей среды.
Решение. Сферическую систему координат (г, 8, в) поместим в центр теплообменника.
Распределение температуры в сферическом
слое определится из решения уравнения теп
лопроводности (4.93). В стационарных условиях температура зависит только от радиальной координаты
(4.139)(4.139)Т(г) = -^ + 6,г
(4.139)
(4.139)
Силой тяжести будем пренебрегать. Тогда деформация теплообменника изотропна и уравнение равновесия (3.54) запишется в виде
d ld/2、1+。 dTd ld/2、1+。 dT(4.140)(4.140)
d ld/2、1+。 dT
d ld/2、1+。 dT
(4.140)
(4.140)
Для простоты давлением пара и воды на стенки теплообменника пренебрегаем. Тогда граничные условия для напряжений имеют следующий вид:
агг = 0, г =凡，г =兄 2, (4.141)
общее решение уравнения (4.140) с учетом выражения (4.139)
〃(『)=&Gr-0 + Tr + ^-(4142)
Постоянные интегрирования Ci и С? определяются из граничных условий (4.141). Используя соотношение (4.118), получаем
а = —a W+ 鼻倡—盒)+ 占(乃-, а о(1+)(4」43)
Результат численного расчета деформации теплообменника дает
〃(兄1) = 6,76см,〃(兄2)= 6,86 см.
Таким образом, толщина стенки увеличилась на 1 мм.
ГЛАВА 5
ИДЕАЛЬНАЯ ЖИДКОСТЬ
Гидродинамика 9 - раздел механики сплошных сред, в котором изучается движение жидкостей и газов со скоростями, меньшими скорости звука. Это позволяет во многих задачах считать и жидкость, и газ несжимаемыми средами, что существенно упрощает теорию. Прикладные задачи гидродинамики связаны, как правило, с изучением взаимодействия движущейся жидкости с твердыми телами.
Обычно в гидродинамике термин «жидкость» обозначает как капельную жидкость, так и газ. Случаи, когда речь идет именно о газах, будем специально оговаривать.
Идеальная жидкость является наиболее простой механической моделью движущейся сплошной среды. Предполагается, что жидкость не обладает диссипативными свойствами, т. е. лишена вязкости и теплопроводности. При этом она остается ньютоновской жидкостью, модуль сдвига которой равен нулю. Несмотря на то, что это весьма идеализированная модель, многие характерные черты движения жидкости и газа как сплошных сред могут быть изучены при помощи этой простейшей модели, по крайней мере вдали от поверхности обтекаемых тел.
Уравнения движения идеальной жидкости
При изотермическом движении идеальной жидкости полный тензор напряжений определяется только гидродинамическим давлением р и имеет вид
Pik = —P^ik •(5.1)
Тогда уравнение движения запишем в виде
也 +.(5.2)
dt 卜 дхк p dxi °
Здесь Vi — г-я компонента скорости движения жидкости, /〃 — г-компонента вектора массовой силы. Уравнение (5.2) носит название уравнения Эйлера.
Уравнение непрерывности как уравнение сохранения массы будет иметь прежний вид:
^ +div(>v) = 0.(5.3)
В переводе с греческого hydor — вода и динамика.
Уравнение для внутренней энергии единицы массы жидкости Евн можно записать следующим образом:
° (^F + vVebh) = ~Р div v(5.4)
” (f+vVS)=0.
где S — энтропия единицы массы жидкости.
dSdtdSdtИз последнего уравнения получаем физически очевидный результат:
dSdt
dSdt
(5.6)
То есть энтропия единицы массы идеальной жидкости сохраняется в процессе движения. Этот результат очевиден, так как мы лишили жидкость механизмов возрастания энтропии. В силу отсутствия теплопроводности в элемент объема жидкости тепло не может поступать извне, так же как и покидать его. Полагая равной нулю вязкость жидкости, мы устранили источник возрастания энтропии внутри элемента объема вследствие диссипации механической энергии движения.
Система уравнений движения идеальной жидкости включает пять независимых уравнений: (5.2), (5.3), (5.4) или (5.5). Если внешние силы заданы, то неизвестных искомых функций шесть:
■ 0, ®вн・
Для замыкания системы уравнений, очевидно, необходимо добавить калорическое уравнение состояния, устанавливающее зависимость внутренней энергии единицы массы жидкости от давления и температуры
Евн = / 0, 0)•(5.7)
Изэнтропическое движение. Рассмотрим случай, когда энтропия одинакова во всех точках движущейся жидкости и не изменяется с течением времени, т. е.
S = So = const.(5.8)
Такие движения идеальной жидкости называются изэнтропическими. В этом случае уравнения (5.4)-(5.6) оказываются ненужными и мы имеем лишь четыре скалярных уравнения (5.2), (5.3), которые вместе с уравнением состояния образуют замкнутую систему уравнений идеальной жидкости.
Для изэнтропических движений уравнению движения идеальной жидкости (5.2) можно придать другой вид. Для этого воспользуемся известным термодинамическим соотношением
拉=Евн + 夕丿， dh = - dp -\- TdS ,(5.9)
где h — энтальпия единицы массы.
Так как для изэнтропического движения dS = 0, то имеем
dh= - dp, V/z = - Vp.(5.10)
Предположим, что поле внешних сил потенциально, т. е.
f = —V^nOT ,(5.11)
где епот — потенциальная энергия единицы массы жидкости в поле внешних сил. Тогда уравнение движения будет иметь вид
^у + vVv = —V(h + впот) •(5.12)
Воспользуемся известной формулой векторного анализа
vVv = } Vv2 — [v, rot v].(5.13)
Подставляя в уравнение (5.12), получим
^ - [v, rot v] = -V (勺 + /г + fwr) •(5.14)
Взяв операцию rot от обеих частей последнего уравнения и учитывая, что rot V = 0, имеем
^ rot V = rot [v, rot v].(5.15)
Последнее уравнение называется уравнением Эйлера в форме Гро- мека. Замечательно то, что оно содержит только скорости. Таким образом, в случае изэнтропических течений идеальной жидкости, если массовые силы имеют потенциал, то скорости могут быть найдены независимо от других переменных течения. При заданных граничных и начальных условиях это решение существует и оно единственно, т.е. задача становится чисто кинематической. Для отыскания других переменных характеристик течения необходимо, зная скорость, вернуться к исходной форме уравнений. Например, плотность жидкости может быть найдена из уравнения непрерывности, а давление — из уравнения движения.
Если ввести аксиальный вектор 9 з, называемый вихревой скоростью, соотношением
з = 2 rot V,(5.16)
то уравнение Громека можно записать в виде
组=rot [v,•(5.17)
i) Аксиальными векторами или псевдовекторами называют векторы, которые изменяют свое направление на противоположное при переходе от правой системы координат к левой(отражение). В отличие от них обычные векторы называют полярными.
Граничные и начальные условия. Поскольку идеальная жидкость не имеет вязкости, то соседние слои жидкости могут иметь какие угодно относительные скорости. Так, например, жидкость может двигаться вдоль обтекаемой твердой поверхности с любой скоростью.
Поэтому единственным физическим ограничением для скорости жидкости на некоторой твердой поверхности, есть условие непротекания. Это условие ограничивает лишь нормальную к поверхности тела компоненту скорости жидкости.
На неподвижной поверхности нормальная компонента скорости жидкости должна быть равна
Рис. 5.1. Гранин- нулю—
ное условиеvn = vn —
На поверхности, движущейся со скоростью и, нормальные компоненты скорости поверхности и жидкости должны быть равны (рис. 5.1)
0九=ип
(5.19)(5.19)В качестве начальных условий необходимо задать значения всех искомых функций в некоторый момент времени в рассматриваемой области движения жидкости или на поверхности, ограничивающей эту область.
(5.19)
(5.19)
Уравнение Бернулли
Движение жидкости, при котором во всем пространстве, занятом движущейся жидкостью, rot v = 0, называется потенциальным.
Рассмотрим стационарное движение идеальной жидкости, т. е.
Тогда для стационарного потенциального изэнтропического движения идеальной жидкости из уравнения (5.14) будем иметь
0 = V(^h +
В любой точке потока последнее равенство может выполняться только тогда, когда выражение в скобках равно некоторой постоянной во всей области течения жидкости:
(5.21)
Уравнение (5.21) есть первый интеграл уравнения движения Эйлера и называется уравнением Бернулли. Уравнение Бернулли, очевидно, является уравнением сохранения полной энергии единицы массы жидкости. Действительно, первое слагаемое левой части — кинетическая
энергия единицы массы жидкости, второе — внутренняя энергия плюс работа сил давления и третье слагаемое — потенциальная энергия единицы массы жидкости.
Для несжимаемой жидкости (р = const) при изэнтропическом движении/ 、
dh=^dp = d ( Н .(5.22)
Рассмотрим движение идеальной жидкости в поле силы тяжести. Если ось z направлена противоположно направлению вектора ускорения силы тяжести, то
8nот = gZ,f = —▽fnoT,f = —g •(5.23)
Тогда для несжимаемой жидкости, движущейся в поле силы тяжести, уравнение Бернулли запишется в следующем виде:
2
% + 2 + gz = const.(5.24)
Линии тока и траектории. Трубка тока. Линия тока — это линия, касательная к которой дает направление скорости движения жидкости в точке касания в данный момент времени (рис. 5.2). Траектория — это воображаемая линия, описываемая индивидуальной частицей жидкости при движении. При стационарном движении линии тока и траектории совпадают. При нестационарном движении это, вообще говоря, разные линии.v
Для визуализации течения экспериментаторы вводят в движущуюся жидкость мелкие частицы, 尸 j\ , которые при соответствующем освещении ярко светятся.
Если теперь сфотографировать поле течения с Рис. 5.2. Линия тока небольшой выдержкой, то мы получим на фотографии множество коротких черточек, «прочерчиваемых» за короткое время экспозиции на фотопластинке множеством светящихся частиц порошка. Подбирая кривые, касательные к некоторому последовательному ряду черточек, получим линии тока в жидкости в данный момент времени. В другой момент времени нестационарного движения линии тока могут быть другими.
Если же значительно увеличить время экспозиции, то каждая частица «прочертит» на фотопластинке непрерывную линию через все поле течения, охватываемое объективом. Эти линии, очевидно, и являются траекториями частиц жидкости.
Касательные к линии тока в различных ее точках дают направление скорости разных индивидуальных частиц в один и тот же момент времени. Касательные к траектории в различных ее точках дают направление скорости одной и той же индивидуальной частицы в разные моменты времени.
Если в жидкости взять некоторый замкнутый контур и через все
его точки провести линии тока, то они составят некоторую трубку,
Рис. 5.3. Трубка токаРис. 5.3. Трубка токаточки и имеющеготочки и имеющегоназываемую трубкой тока (рис. 5.3). Замечательное свойство трубки тока состоит в том, что по определению линий тока через ее боковую поверхность нет потока жидкости. Жидкость в трубку тока может поступать только через ее торцы.
Рис. 5.3. Трубка тока
Рис. 5.3. Трубка тока
точки и имеющего
точки и имеющего
Рассмотрим на линии тока две любые близкие точки. Тогда дифференциально малое приращение радиуса-вектора dr, разделяющего эти координаты (d/, dy, dz), можно считать колли
векторов равно нулювекторов равно нулю[v, dr] = 0 .[v, dr] = 0 .(5.25)(5.25)неарным вектору скорости v. Поэтому векторное произведение этих
векторов равно нулю
векторов равно нулю
[v, dr] = 0 .
[v, dr] = 0 .
(5.25)
(5.25)
Отсюда получаем уравнение линий тока
(5.26)(5.26)dx _ dy _ dz
(5.26)
(5.26)
Vx Vy vz
Уравнение Бернулли может быть получено и для непотенциального движения (rot v 卢 0), однако требование изэнтропичности и стационарности движения жидкости в поле потенциальных сил должно сохраниться. В этом случае уравнение (5.14) запишется в виде
(5.27)
Спроецируем это уравнение на линию тока. Для этого умножим скалярно правую и левую части на единичный вектор касательной к линии тока 1:
([v, rot v], 1) = (▽(勺 + /г + fwr), 1) •(5.28)
Но первый множитель в левой части представляет собой вектор, перпендикулярный вектору скорости v, а следовательно, и 1. Поэтому их скалярное произведение равно нулю. Тогда имеем
京(勺 +/г +=0.(5.29)
Следовательно, для данной линии тока можно записать
—+ /г + £пот = const.(5.30)
Уравнение (5.30) отличается от уравнения (5.21) только тем, что в случае потенциального движения константа в правой части уравнения (5.21) одинакова во всем объеме, занятом движущейся жидкостью, тогда как константа в правой части уравнения (5.30) сохраняет свое
значение лишь для данной линии тока и может иметь другое значение для другой линии тока.
Заметим, что мы можем получить уравнение Бернулли всегда, когда нам удается выразить ▽夕/о в виде градиента некоторой функции Р:
(5.31)(5.31)i Vp = VP.
(5.31)
(5.31)
Так, для изэнтропического движения Vp/р = Vh, для несжимаемой жидкости ▽夕/0 = ^(р/о). Очевидно, что это можно сделать и при изотермическом движении.
Движения идеальной жидкости, для которых выполняется соотношение (5.31), называются баротропными, а функция Р называется баротропным потенциалом.
Для баротропных движений уравнение Бернулли имеет вид
勺 + Р + Епот = const .勺 + Р + Епот = const .(5.32)(5.32)
勺 + Р + Епот = const .
勺 + Р + Епот = const .
(5.32)
(5.32)
нз отверстия в боковойнз отверстия в боковой
нз отверстия в боковой
нз отверстия в боковой
Применение уравнения Бернулли
Рассмотрим, как с использованием уравнения Бернулли можно решать задачи и объяснять интересные явления, наблюдаемые в природе и часто встречающиеся в инженерной практике. Рассмотрим несколько
примеров.
Скорость истечения идеальной несжимаемой жидкости
из сосуда. В качестве первого примера рассмотрим стационарное
истечение идеальной несжимаемой жидкости стенке сосуда (рис. 5.4).
Если полагать, что сосуд достаточно велик, а отверстие мало, то можно считать, что по истечении уровень жидкости в сосуде не изменяется заметно в течение достаточно продолжительного промежутка времени. Пусть на поверхность жидкости в сосуде действует давление 夕о (например, атмосферное). Будем также полагать, что струя вытекает в пространство, где внешнее давление также равно 夕о・ Обобщение на различные давления не составляет труда.
Проведем некоторую гипотетическую ли
нию тока и выберем на ней две точки — одну
на поверхности жидкости в сосуде (точка /), 「收 5.4. Истечение жид- другую внутри отверстия (точка 2). Тогдакости
для этой линии тока можно записать уравне
ние Бернулли:
^ + ^ + ^ = ^ + ^ + ^2，(5.33)
Поскольку поверхность жидкости в сосуде предполагается неподвижной (°1 = 0), из последнего равенства получаем
(5.34)(5.34)02 = У2gH •
(5.34)
(5.34)
Заметим, что такую же скорость приобретает тело, падающее в пустоте с высоты Н.
Распределение давления в трубе переменного сечения. Рассмотрим стационарное движение идеальной несжимаемой жидкости в трубе переменного сечения. Действием силы тяжести можно пренебречь, если труба расположена горизонтально. Выберем какую-либо линию тока (рис. 5.5). На этой линии тока рассмотрим две произвольные точки. Тогда для этих точек на выбранной линии тока в случае несжимаемой жидкости можно записать
Рис. 5.5. Давление движущейся жидкости в трубке перемен-Рис. 5.5. Давление движущейся жидкости в трубке перемен-22
Рис. 5.5. Давление движущейся жидкости в трубке перемен-
Рис. 5.5. Давление движущейся жидкости в трубке перемен-
(5.35)(5.35)5 丄 01&2 丄 02
(5.35)
(5.35)
万+万=2+万.
Из последнего соотношения видно, что в той точке линии тока, где скорость больше, гидростатическое давление меньше и наоборот.
ного сеченияного сечения01sl = 02s2 •01sl = 02s2 •(5.36)(5.36)Непрерывность движения жидкости в трубе требует выполнения следующего условия:
ного сечения
ного сечения
01sl = 02s2 •
01sl = 02s2 •
(5.36)
(5.36)
Из этого условия следует, что скорость несжимаемой жидкости тем больше, чем меньше сечение трубы, и, очевидно, максимальна в самом узком месте трубы.
Следовательно, в самом узком месте трубы давление минимально. Если некоторые участки трубы соединить с манометрическими трубками, то жидкость в них установится на разных уровнях. Самый низкий уровень манометрической жидкости, следовательно, будет в самом узком сечении трубы.
В качестве примеров, которые могут быть просто объяснены при
помощи установленного вывода, можно привести следующие.
< ><р0£. % wOРис. 5.6< ><р0£. % wOРис. 5.6Запрещается сближение судов, идущих параллельным курсом. Действительно, при этом вода между двумя судами приобретает некоторую скорость, давление между судами оказывается меньшим давления воды на противоположный борт. В результате возникает сила, стремящаяся сблизить суда, что может привести к их столкновению (рис. 5.6).
< >
<р0£. % wO
Рис. 5.6
< >
<р0£. % wO
Рис. 5.6
Хорошо известен экспериментальный факт, что если продувать
воздух между двумя параллельными листками бумаги, то они будут стремиться сблизиться (рис. 5.7).
Действие пульверизатора также легко понять на основании полученного вывода. Если вначале жидкость в трубочке и флаконе с жидкостью была на одном уровне, то при продувании воздуха около верхнего торца трубочки давление воздуха в ней уменьшается. Тогда первоначальное атмосферное давление внутри флакона будет выталкивать жидкость вверх по трубочке и жидкость будет разбрызгиваться потоком воздуха (рис. 5.8).
Рис. 5.7Рис. 5.8Рис. 5.9Рис. 5.7Рис. 5.8Рис. 5.9
Рис. 5.7Рис. 5.8Рис. 5.9
Рис. 5.7Рис. 5.8Рис. 5.9
При сильных и порывистых ветрах иногда наблюдается необычное, на первый взгляд, явление. Крыша дома вместе с верхним венцом бревен поднимается вверх, а затем уже опрокидывается ветром. Нетрудно понять, почему это происходит. Если перед порывом ветра давление снаружи крыши и на чердаке дома уравниваются, то при резком порыве ветра над крышей создается меньшее давление, чем на чердаке, и если эта разность давлений не успевает выравниваться через щели, то крышу поднимет создавшейся значительной результирующей силой, направленной вверх, а затем ветром сбросит с дома (рис. 5.9).
Кавитация. Если увеличивать скорость движения жидкости по трубе (см. рис. 5.5) или при том же самом расходе жидкости уменьшить самое узкое сечение трубы, то можно в этом сечении получить отрицательное давление. Действительно, из уравнения Бернулли имеем 2 2
。1 I Pl — Umax I 夕min /г оу\ 万 万丁
С учетом уравнения непрерывности
gSl = axSmin •(5.38)
имеемимеем(5.39)(5.39)
имеем
имеем
(5.39)
(5.39)
Из последнего соотношения нетрудно видеть, что если второй член в правой части полученного соотношения по абсолютной величине будет больше, чем 夕i, то минимальное давление окажется отрицательным, т. е. частицы жидкости, проходящие сечение трубы с отрицательным давлением, будут подвергаться растяжению. Однако мы уже упоминали о том, что жидкость не может находиться в растянутом состоянии длительное время. Она или вскипит, или сплошность ее
нарушится в результате выделения пузырьков растворенного в ней газа. Так или иначе при падении давления до отрицательных значений в жидкости выделяются пузырьки, заполненные паром жидкости или газом, растворенным в ней, или тем и другим в той или иной концентрации. Возникает так называемая кавитация, т. е. нарушение сплошности движущейся среды.
Явление кавитации играет важную роль в инженерной практике. Дело в том, что пузырьки, проходя самое узкое сечение, попадают далее в область более высокого давления и схлопываются. Если такой пузырек попадает на поверхность трубы, то при схлопывании пузырьков возникают довольно значительные локальные давления, которые в свою очередь приводят к эррозии, т. е. разрушению материала поверхности. Аналогичные явления возникают при быстром движении тел в жидкости, например, при вращении гребных винтов пароходов или лопаток гидротурбин. При этом также образуются области растянутой жидкости, в которых выделяются пузырьки. Кавитация приводит к чрезвычайно быстрому износу тел и выходу их из строя. Проблема кавитации и по настоящее время является предметом интенсивного изучения.
Рис. 5.10. Критическая точка кой. Для соответствующейРис. 5.10. Критическая точка кой. Для соответствующейПрактически кавитация возникает тогда, когда в жидкости давление падает до давления насыщенных паров при данной температуре:
Рис. 5.10. Критическая точка кой. Для соответствующей
Рис. 5.10. Критическая точка кой. Для соответствующей
Pmin ~ Рн •
Бернулли, которое для несжимаемой жидкости имеет видБернулли, которое для несжимаемой жидкости имеет видТрубка Пито. При обтекании тупого тела идеальной жидкостью на нем всегда можно указать точку, в которой скорость жидкости равна нулю (рис. 5.10, т. А). Проведем в эту точку линию тока, которая начинается вдали от тела и кончается в точке А. Точка А называется критической точ- линии тока можно записать уравнение
Бернулли, которое для несжимаемой жидкости имеет вид
Бернулли, которое для несжимаемой жидкости имеет вид
(5.40)(5.41)(5.40)(5.41)成 I 08 — 00
(5.40)
(5.41)
(5.40)
(5.41)
Из последнего соотношения получим
n— ” /2(0о-08)
00 — Poo н 2 —— у•
Отсюда видно, что давление в критической точке равно давлению в набегающем потоке плюс некоторая добавка, обязанная своим возникновением торможению жидкости в критической точке. Эта добавка называется скоростным напором. Последнюю формулу в (5.41) можно использовать для измерения скорости движения жидкости или скорости движения тела в неподвижной несжимаемой жидкости.
Прибор, при помощи которого производятся измерения скорости потока, называется трубкой Пито или трубкой Прандтля (рис. 5.11).
Рис. 5.11. Трубка Пито
Очевидно, разность давлений 夕° —夕g уравновешивается давлением столба манометрической жидкости — р水gh. Тогда имеем формулу
• (542)
Здесь g — ускорение свободного падения, рж — плотность манометрической жидкости, р — плотность жидкости, скорость которой измеряется. В частности, это может быть и плотность газа.
Таким образом, помещая трубку Пито в поток движущейся жидкости или газа и измеряя создаваемый перепад давления каким-либо манометром, можно довольно просто измерить их скорость. В результате длительного экспериментального и теоретического изучения в настоящее время выработан определенный стандарт, гарантирующий процентную точность в оптимальном диапазоне измерений. Рекомендации этого стандарта приведены на рис. 5.11.
Как видно из рисунка, давление в отверстии на боковой поверхности трубки будет равно давлению вдали от трубки в невозмущенном потоке лишь на расстояний 3d от носика трубки. Любое другое расположение отверстия не гарантирует стандартную точность. Причины этого будут поняты при последующем изучении движений идеальной жидкости.
Помещая трубку Пито на самолете, можно измерить скорость полета самолета.
Влияние сжимаемости среды
Приближение несжимаемой жидкости заметно упрощает решение задач гидродинамики. Однако использовать это приближение следует весьма осмотрительно. Оно выполняется с высокой точностью в случае капельных жидкостей ввиду малых изменений плотности при значительных изменениях давления. Так, например, если воду поместить в цилиндр с подвижным поршнем и увеличить давление от одной до двух атмосфер, то это уменьшит объем воды только в отношении 1:20000.
С другой стороны, такое повышение давления в случае воздуха при неизменной температуре вызывает уменьшение объема в соотношении 1 :2, как это следует из закона Бойля-Мариотта. Однако многолетние исследования воздушных потоков в бесконечной массе воздуха показывают, что изменение давления лишь в исключительных случаях вызывает заметное изменение плотности. Объяснение этого экспериментального факта состоит в следующем. Если бы изменение давления газа, вызванное движущимся телом, привело к изменению плотности, то в газе возник бы волновой процесс, выравнивающий плотность газа по всему объему со скоростью звука (в воздухе около 340 м/с). Поэтому при обтекании тела газом или движении тела в газе со скоростью, много меньшей скорости звука, плотность газа не успевает изменяться. В случае же, когда скорость течения или скорость тел, движущихся в газе, приближается к скорости звука, изменение давления вызывает заметное изменение плотности газа. Так как гидродинамика изучает дозвуковые течения жидкостей, то упрощающее предположение о постоянной плотности жидкости является приемлемым приближением.
Получим количественный критерий сжимаемости среды. Как видно из соотношения (5.41), давление в критической точке больше, чем давление в жидкости вдали от тела, на величину pv^/2, называемую скоростным напором. Таким образом, индивидуальная частица газа или жидкости при движении по критической линии тока подвергается сжатию. При этом ее плотность увеличивается. Это явление (изменение плотности) будет наблюдаться и для частиц, движущихся по другим линиям тока. Однако наиболее значительное изменение, очевидно, будет наблюдаться для частиц критической линии тока. Поэтому если учесть сжимаемость, то давление в критической точке должно иметь некоторое другое значение, учитывающее, что плотности жидкости вдали от тела и в критической точке не равны, как это нами предполагалось при выводе формулы (5.41). Оценим влияние сжимаемости среды на давление в критической точке. Если жидкость несжимаема, то давление в критической точке равно (5.41)
2
РО = Роо +, Ро = Роо = const •(5.43)
Для сжимаемой жидкости в той же ситуации имеем
22
£ + % =夢 + /г® •(5.44)
与=const, d/z=也， 拉=]也=const • j 7 P7与=const, d/z=也， 拉=]也=const • j 7 P7Будем полагать, что сжатие индивидуальных частиц, движущихся по критической линии тока, происходит адиабатически. Тогда имеем
与=const, d/z=也， 拉=]也=const • j 7 P7
与=const, d/z=也， 拉=]也=const • j 7 P7
-2 dp. (5.45)
Интегрируя с точностью до несущественной произвольной постоянной, получим
h =£ .(5.46)
7 - 1 Р
Подставляя в уравнение Бернулли (5.44), имеем
2
7 - 1 Ро 7 — ] 082 °
Из последнего соотношения следует:
(5.47)(5.48)(5.47)(5.48)夕0 = Роо夕0 = Роо1 +1 +)/()—1))/()—1)(5.49)(5.49)Нетрудно видеть, что полученное выражение можно представить в виде
(5.47)
(5.48)
(5.47)
(5.48)
夕0 = Роо
夕0 = Роо
1 +
1 +
)/()—1)
)/()—1)
(5.49)
(5.49)
Полагая, что второе слагаемое в скобках мало по сравнению с единицей, и разлагая в ряд 9, получим
夕0 = 28 + ^^+(5・50)
Сравнивая полученное выражение с формулой (5.41), можно сделать следующее заключение. Если справедливо соотношение
2
(5.51)
Рое
то формула (5.50) переходит в формулу (5.41) для несжимаемой жидкости. Следовательно, при выполнении неравенства (5.51) мы можем полагать жидкость (газ) несжимаемой.
Как мы видели, скорость распространения продольных волн сжатия равна
d =652)
Для идеального газа в адиабатическом процессе
(5.53)(5.54)(5.53)(5.54)Тогда получимТогда получимpV7 = const.
(5.53)
(5.54)
(5.53)
(5.54)
Тогда получим
Тогда получим
Биномиальный ряд при ж《1 имеет вид
(1 + ж)т = 1 + тх + 7n(^~— ж2 + ....
Скорость с/ называется скоростью звука, т. е. скорость звука является скоростью распространения волн сжатия в газе. (Напомним, что сдвиговые волны в газе невозможны).
Теперь неравенство (5.51) можно записать в следующем виде:
2
(5.55)(5.55)警《1.
(5.55)
(5.55)
4c
Таким образом, если скорость движения жидкости значительно меньше скорости звука в ней, то ее можно рассматривать как несжимаемую жидкость. Например, если воздух (с/ ^ 330 м/с) движется со скоростью 。8 ^ 70 м/с, то максимальная поправка к давлению в критической точке составит не более одного процента, что можно не учитывать в большинстве инженерных и научных расчетов.
Вихревое движение
Движение жидкости, при котором ее индивидуальные частицы перемещаются не только поступательно, но и вращаются около некоторой мгновенной оси, проходящей через эти частицы, называют вихревым движением. Это — непотенциальное движение жидкости, которое характеризуется отличной от нуля вихревой скоростью з (см. (5.16)).
В природе вихревые движения наблюдаются в виде смерчей, круговоротов, циклонов и др.
Теорема Томсона. Циркуляцией вектора скорости v по замкнутому контуру / называется выражение
Г = j vdl = j v dr,(5.56)
где dl — элемент контура интегрирования, dr — разность радиусов-векторов двух близких точек контура.
Рассмотрим изменение во времени циркуляции скорости движения идеальной жидкости по некоторому индивидуальному контуру, состоящему из одних и тех же частиц жидкости:
黑卜小(557)
В процессе движения контур может деформироваться, т. е. изменять свою форму и длину. Поэтому вектор dr изменяется с течением времени. Движение жидкости будем полагать баротропным, а внешние силы — потенциальными. Тогда, дифференцируя подынтегральное выражение, получим
^ "公引偿公+ V d得)]可情dr +哈)].(5.58)
Интеграл по замкнутому контуру от полного дифференциала некоторой функции равен нулю. Полную производную от скорости по времени, используя уравнение Эйлера, можно записать в следующем виде:
黑=—j ▽俨 + Eg)公=—]rot [V (P + sn0T)] dS 三 0 . (5.59) / (s)
Здесь использована формула Стокса преобразования интеграла по замкнутому контуру в интеграл по поверхности, опирающейся на этот контур, а также известное соотношение rot V = 0.
Таким образом, имеем результат, представляющий содержание теоремы Томсона:
V dr = const,V dr = const,(5.60)(5.60)
V dr = const,
V dr = const,
(5.60)
(5.60)
циркуляция скорости движения идеальной жидкости вдоль замкнутого контура, состоящего из одних и тех же частиц, в поле потенциальных сил при баротропных движениях сохраняется. Постоянная в последнем выражении не зависит ни от координат, ни от времени.
Из уравнения (5.60) с учетом теоремы Стокса и выражения (5.16) для вихревой скорости следует
Г = j V dr = j rot v dS = 2 j 3 ds = const. (5.61) / (S) (S)
Рассмотрим любую линию тока. В некоторой ее точке построим малый индивидуальный контур площадью dS, охватывающий эту линию тока. Очевидно, при стационарном движении жидкости контур будет всегда охватывать эту линию тока. Предположим, что в какой-то ее точке з = 0. Тогда, согласно теореме Томсона, вихревая скорость будет равна нулю и во всех последующих точках линии тока, поскольку по определению линий тока такой контур не может быть при своем движении сжат в точку dS * 0, а произведение з dS должно сохраняться, т. е. равняться нулю при любой ориентации площадки dS.
Если движение жидкости нестационарно, то предыдущее рассуждение справедливо для траекторий индивидуальных частиц жидкости. Тогда полученный вывод можно продолжить. А именно: если в какой-то области движение жидкости потенциально, т. е. з = 0, то оно будет потенциальным и во всех последующих областях движения. Так,например, если мы имеем обтекание некоторого тела однородным вдали от тела потоком (з = 0), то п вблизи тела и после него движение жидкости также останется потенциальным. Более того, если движение идеальной жидкости в некоторый момент времени потенциально, например начинается из состояния покоя, то оно будет потенциальным и во все последующие моменты времени.
Однако эти рассуждения имеют ограниченную применимость даже и для идеальной жидкости. Они, очевидно, неприменимы для линий
тока, проходящих в непосредственной близости к поверхности обтекаемого тела, хотя бы потому, что для такой линии тока невозможно провести охватывающий ее замкнутый контур, который при своем движении не пересекал бы поверхность тела.
Скорость движения идеальной жидкости на поверхности обтекаемого тела, а также на некоторых поверхностях в жидкости за ним может претерпевать разрыв, что означает появление на этих поверхностях вихревого движения, несмотря на то, что набегающий поток может быть и потенциальным.
Для реальных жидкостей, обладающих вязкостью, теорема Томсона не имеет места в силу непотенциальности вязких сил, действующих в жидкости. И если вдали от тела действие этих сил может практически не проявляться, то вблизи поверхности обтекаемого тела они будут играть существенную роль. Поэтому если в жидкости образуются вихри, то они образуются прежде всего вблизи поверхности обтекаемых тел.
видвидТеорема Гельмгольца. Аналогично линии тока можно ввести понятие вихревой линии. Вихревая линия — линия, касательная к которой 6 данной точке дает направление вихревой скорости жидкости 6 этой точке. Очевидно,уравнение вихревой линии имеет
вид
вид
(5.62)(5.62)dx _ dy _ dz
(5.62)
(5.62)
^Х 3 у 3 z
Аналогично трубке тока можно построить вихревую трубку. Рас
смотрим некоторый контур, охватывающий малую площадку △$. Че
рез каждую точку этогорез каждую точку этогоРис. 5.12. Вихревая трубкаРис. 5.12. Вихревая трубкаконтура проведем вихревую линию. Тогда совокупность этих линий образует вихревую трубку (рис. 5.12).
рез каждую точку этого
рез каждую точку этого
Рис. 5.12. Вихревая трубка
Рис. 5.12. Вихревая трубка
Произведение cvAS называется интенсивностью вихревой трубки. Здесь Д8 — вектор, модуль которого равен величине площадки △$, а направление совпадает с направлением нормали п к этой площадке, т.е. AS = ASn.
Теорема Гельмгольца утверждает, что интенсивность вихревой трубки неизменна по ее длине и на зависит от времени.
Вычислим поток вектора вихревой скорости з через замкнутую поверхность S, ограничивающую некоторый объем V вихревой трубки:
j з dS = j(S)(V)j з dS = j(S)(V)div 3 dV = 0 .div 3 dV = 0 .(5.63)(5.63)
j з dS = j
(S)(V)
j з dS = j
(S)(V)
div 3 dV = 0 .
div 3 dV = 0 .
(5.63)
(5.63)
Здесь мы воспользовались формулой Гаусса-Остроградского преобразования интеграла по замкнутой поверхности в интеграл по объему, ограниченному этой поверхностью, а также соотношением div rot = 0.
Разобьем интеграл по поверхности на две части — интеграл по боковой поверхности вихревой трубки и интеграл по торцевым площадкам △S. По определению вихревой трубки интеграл по боковой поверхности равен нулю. Интеграл по элементарным торцевым площадкам в случае узкой вихревой трубки можно записать в виде суммы двух членов:
31 ASi + 32 △$? =。. (5.64)
g1 ASi =02 △S2.g1 ASi =02 △S2.(5.65)(5.65)Если элементарные площадки перпендикулярны векторам вихревой скорости, то, принимая во внимание направление нормалей к площадкам, получим
g1 ASi =02 △S2.
g1 ASi =02 △S2.
(5.65)
(5.65)
Можно было бы вдоль трубки построить не две, а несколько площадок. Следовательно, можно записать
(5.66)(5.66)о；1 △$] = о；2 △$? = • • • = 3rl ASn = const.
(5.66)
(5.66)
Из последнего соотношения следует, что интенсивность вихревой трубки постоянна вдоль трубки. В силу же теоремы Томсона (5.60) и выражения (5.61) для элементарной вихревой трубки имеем
^ (з AS) =0, з AS = const.(5.67)
То есть интенсивность вихревой трубки сохраняется и с течением времени. Если в начальный момент времени интенсивность вихревой трубки была равна нулю, то она будут равна нулю и во все последующие моменты времени. Если же в начальный момент времени интенсивность вихревой трубки не равна нулю, то она сохранится и во все последующие моменты времени. То есть вихревое движение в идеальной жидкости не возникает и не уничтожается, что и составляет содержание теоремы II
Гельмгольца.|一刀一77—
Следовательно, вихревые трубки не могут 匕二/二二：丿
начинаться и кончаться внутри жидкости. Они|/7М\
должны быть или замкнутыми или начинаться и卜.〈[ 丿丿
кончаться на поверхности твердых тел или сво-|”/
бодной поверхности жидкости (рис. 5.13). Так как теорема Томсона справедлива лишь для ба
ротропных движений и потенциальных сил, то Рнс. 5.13. Вихревые отрубки
источником возникновения вихревых движении
жидкости очевидно могут быть или непотенциальные силы вязкости, или небаротропность движения.
Одиночная вихревая прямолинейная нить. Вихревой нитью будем называть бесконечно узкую вихревую трубку. Ее интенсивность, очевидно, равна
lim (sAS).(5.68)
△ S—0
Рассмотрим прямолинейную вихревую нить, перпендикулярную плоскости рисунка (рис. 5.14). Наличие вихря приводит к появлению некоторого поля скоростей жидкости вокруг нити.
Для неограниченно длинной прямолинейной нити поле скоростей, очевидно, будет обладать цилиндрической симметрией. Движение жидкости будет одинаково во всех плоскостях, перпендикулярных нити. В этих плоскостях индивидуальные частицы жидкости движутся по окружностям, центром которых является след нити. На плоскости нетрудно получить закон изменения скорости частиц в зависимости от их расстояния до нити.
Введем цилиндрическую систему коорди-
n l 一 °нат (г, z) так, что ось z совпадает с нитью
“с. . • ихревая нить (перпендикулярна плоскости рисунка). Если иметь в виду, что в стационарном случае отличной от нуля будет лишь одна компонента скорости жидкости 。屮，которая зависит только от радиальной координаты г, то для циркуляции получаем
(5.69)(5.69)Следовательно, имеемСледовательно, имеемV = v^V = v^Г2тггГ2тгг(5.70)(5.70)Г = I V dr = 2тгто屮=const.
(5.69)
(5.69)
Следовательно, имеем
Следовательно, имеем
V = v^
V = v^
Г2тгг
Г2тгг
(5.70)
(5.70)
Из (5.70) видно, что движение имеет особенность в точке г = 0.
Однако не следует отождествлять вихревое движение с движением частиц по окружности. Не всякое движение по окружности является вихревым и не всякое вихревое движение есть движение по окружности.
Напомним, движение безвихревое (потенциальное) только тогда, когда индивидуальные частицы движутся без вращения относительно некоторых осей, проходящих через сами частицы. В противном случае —движение вихревое (непотенциальное).
Действительно, в вышеприведенном примере плоского вихря, несмотря на то, что частицы движутся по окружностям, движение безвихревое во всех точках, кроме оси вихря. При плоском движении жидкости около одиночной вихревой нити (рис. 5.14) существует лишь компонента ротора скорости, перпендикулярная плоскости рисунка (ось z). В цилиндрической системе координат ^-компонента ротора скорости имеет вид
rotzV = ；^(w「)一^ 鴿. (5.71)
Так как по определению vr = 0, а。屮 определена выражением (5.70), то имеем rot^ v = 0, т. е. движение потенциально во всех точках движущейся жидкости, кроме оси.
Если бы жидкость вращалась около оси z как твердое тело, то 。屮=зт (G -угловая скорость вращения), a rot^ v = 2g, т. е. такое движение непотенциально.
В первом случае, хотя движение жидкости происходит по окружности, частицы не вращаются относительно осей, проходящих через сами частицы (рис. 5.15). Во втором случае частица, делая один оборот вокруг оси z, в то же время делает также один оборот вокруг оси, проходящей через саму частицу (рис. 5.16).
Рис. 5.15. Потенци- Рис. 5.16. Вихревое альное движение движение
Если частицы движутся прямолинейно, но существует некоторый градиент скорости, то можно утверждать, что такое движение обязательно вихревое, т. е. непотенциальное.
Примеры вихревых движений. Вихревое движение интересно наблюдать на вихревых кольцах. Чаще всего это демонстрируется при помощи ящика, в передней стенке которого имеется отверстие, а задняя стенка достаточно гибкая. Наполняя ящик дымом и ударяя по задней стенке рукой, можно наблюдать как из отверстия вслед за ударом вылетают вихревые кольца, которые благодаря частичкам дыма хорошо видны.
Такие кольца обладают любопытными свойствами. Они могут отталкиваться друг от друга, притягиваться, отражаться от твердой стенки, попеременно обгонять друг друга и т. д. Эти свойства объясняются движением, которое такие кольца стимулируют в окружающем воздухе. Ясно, что если встречаются два кольца, у которых внутренние потоки направлены навстречу друг другу (например, из разных ящиков), то такие кольца должны отталкиваться. Если же при одинаковом направлении движения более быстро движущееся кольцо нагоняет впереди идущее, то оно будет втянуто в него, пройдет внутри него и даже ускорится внутренним потоком предыдущего кольца. В свою очередь, предыдущее кольцо получит от последующего некоторую «закрутку», которая заставит его двигаться быстрее. Впоследствии оно может догнать обогнавшее кольцо и кольца поменяются ролями.
С течением времени вихри затухают вследствие вязкости любой реальной жидкости. Энергия вихревого движения в конечном счете переходит в тепло.
Зеркальное отражение колец от твердой стенки также можно понять, рассматривая взаимодействие внутреннего движения воздуха в кольце с твердой поверхностью. В свое время Томсон пытался построить модель электрона в виде вихревого кольца некоторой субстанции. Действительно, такая модель обладает некоторыми свойствами заряженных частиц (притяжение разноименных зарядов и отталкивание одноименных).
В природе вихревые движения наиболее часто наблюдаются в виде смерчей. Смерч возникает вдали от поверхности земли в результате интенсивных встречных вертикальных движений воздуха. Нисходящие потоки воздуха образуются под грозовыми тучами вследствие охлаждения его дождем или градом. Если такая туча надвигается на сильно прогретую местность с интенсивными восходящими потоками нагретого воздуха, то возникает вязкое взаимодействие этих резко разграниченных потоков. В результате на фронте тучи возникает вихрь, концы которого в полном соответствии с теоремой Гельмгольца, должны затем опуститься на землю. На земле эти вихри наносят большие разрушения в силу локализации воздействия — разрушаются постройки, валится лес, ложатся посевы и т. д. Если смотреть сверху, то в левой ветви смерча на земле воздух будет вращаться по часовой стрелке, тогда как в правой ветви — против часовой стрелки. Расстояние между концами вихря на земле иногда достигает десятков и сотен километров. Поэтому наблюдателю виден чаще всего лишь один его конец, который кажется сошедшим с неба. Однако, как следует из теоремы Гельмгольца, на земле на некотором расстоянии обязательно существует и второй его конец. Так, если мы в каком-то месте обнаруживаем поваленный по часовой стрелке лес, то обязательно (в лесистых районах) существует место, где лес повален против часовой стрелки.
Ясно, что при вихревом движении внутри вихря в результате действия центробежных сил образуется область пониженного давления, в которую по поверхности воды или земли может интенсивно всасываться воздух и перемещаться дальше по оси вихря. Поэтому мелкие легкие предметы, захваченные этим потоком (листья, белье, щепки и т. д.) могут быть перенесены по оси вихря, как по трубе, на значительные расстояния и для местного наблюдателя, следовательно, «упасть с неба». История знает немало таких «чудес», когда «с неба» падали лягушки, рыбы и даже монеты.
Естественно, что вихревое движение в смерчах с течением времени должно затухать и исчезать вследствие диссипации энергии, так как реальная жидкость всегда обладает определенной вязкостью. Таким образом, вихревое движение в природе возникает (непотенциальные силы вязкости) и исчезает (диссипация энергии движения) вследствие вязкости реальных жидкостей. Однако модель идеальной жидкости позволила нам изучить основные законы вихревого движения и понять роль вязкости в вихревом движении реальных жидкостей.
Потенциальное движение
Движение идеальной жидкости называется потенциальным, т. е. безвихревым, если каждая индивидуальная частица деформируется и перемещается поступательно, но не вращается относительно некоторой оси, проходящей через саму частицу.
При потенциальном движении в любой точке пространства, занятого движущейся жидкостью, rot v = 0.
6.1. Потенциал скорости. Из самого определения потенциального движения жидкости следует, что скорость может быть представлена в виде градиента некоторой скалярной функции 夕，называемой потенциалом скорости-.
v = 寫，(572)
Действительно, если скорость может быть представлена в виде градиента скалярной функции, то движение потенциально, так как
rot V = rot V(/? = 0 .(5.73)
Для потенциального движения циркуляция по любому замкнутому (индивидуальному или неиндивидуальному) контуру в односвязной области течения равна нулю
Г = ^ V dr = ] rot V dS = 0 .(5.74)
/ s
Это означает, что при потенциальном движении не может быть замкнутых линий тока, так как в противном случае (линия тока совпадает с замкнутым контуром интегрирования) циркуляция скорости была бы отлична от нуля.
Для баротропного потенциального нестационарного движения уравнение Эйлера записывается в следующем виде:
^ - [v,rotv] = V ^у + Р + Ео) •(5.75)
С учетом выражений (5.72) и (5.73) получаем
▽(系+ ； +p+印。)=°.⑸76)
Отсюда имеем
雾 + 勺 + Р + б?пот = const = /⑴.(5.77)
Постоянная в правой части уравнения (5.77) при нестационарном движении может зависеть от времени, однако в любой фиксированный момент времени она одинакова для всех точек пространства, занятого жидкостью.
Поскольку нашей конечной целью является нахождение скорости движения жидкости, а скорость определяется производными от потенциала по координатам, то любая функция времени, добавленная к потенциалу, не изменит результата вычисления скорости. После замены 3一＞ ^ + j/⑴d力
получим в правой части уравнения (5.77) нуль. Поэтому без ограничения общности рассмотрения можно в уравнении (5.77) функцию /(f) положить равной нулю.
Таким образом, мы получили уравнение Бернулли для баротропного потенциального нестационарного движения идеальной жидкости. В случае стационарного движения первое слагаемое в левой части уравнения (5.77) равно нулю и мы имеем обычное уравнение Бернулли с постоянной в правой части, независящей ни от координат, ни от времени.
6.2. Идеальная несжимаемая жидкость. Для несжимаемой идеальной жидкости потенциал скорости должен удовлетворять уравнению Лапласа
div V = 0, V = ▽(/?, div ▽夕= △(/? = 0.(5.78)
Таким образом, при потенциальном движении несжимаемой жидкости нам необходимо найти лишь одну скалярную функцию. Поскольку при нестационарном движении потенциал скорости должен быть функцией не только координат, но и времени, а уравнение Лапласа содержит лишь производные по координатам, то отсюда следует, что время может быть введено только через граничные условия.
Граничные условия для идеальной жидкости в каждой точке поверхности обтекаемого тела имеют вид (см. (5.19))
•(5.79)
Здесь vn — нормальная к поверхности обтекаемого тела компонента скорости жидкости, ип — нормальная компонента скорости движения элемента поверхности тела, которая должна быть задана как функция координат и времени.
Для потенциального движения граничные условия можно записать в виде
0九=nv = n▽з=/ ,/ =(5.80)
on on
Таким образом, потенциал в любой точке несжимаемой жидкости зависит от времени так же, как и потенциал на поверхности обтекаемого тела. Если при движении тела в идеальной несжимаемой жидкости создаваемое им движение жидкости является потенциальным, то в каждый момент времени потенциал во всех точках жидкости зависит лишь от скорости (〃九)движения тела в тот же момент времени. Физически это можно понять, если принять во внимание, что возму-
щение, а следовательно и взаимодействие между различными частями несжимаемой жидкости, распространяется с бесконечной скоростью (с/ = оо). Поэтому изменение скорости в какой-либо точке потока ведет к мгновенному изменению скоростей во всех точках потока идеальной несжимаемой жидкости.
6.3. Функция тока. Рассмотрим плоское движение идеальной несжимаемой жидкости, т. е. такое движение, при котором все его характеристики зависят только от двух координат, например х, у. Иначе, плоское движение — это такое движение, при котором во всех плоскостях, параллельных координатной плоскости хОу, его характеристики одинаковы.
В теории плоского потенциального движения идеальной несжимаемой жидкости удобно ввести понятие функции тока 吵 в соответствии со следующими уравнениями:
VVдудуVy~ дх •Vy~ дх •(5.81)(5.81)
V
V
ду
ду
Vy~ дх •
Vy~ дх •
(5.81)
(5.81)
Для потенциала скорости имели место соотношения (5.72) и (5.78).
Из (5.81) видно, что функция тока условию несжимаемости удовлетворяет автоматически по ее определению:
也 + 也 =0 2迎竺三0(5 82)
дх ду ' дх ду ду дх
Нетрудно видеть, что при потенциальном движении функция тока так же, как и потенциал, должна удовлетворять двумерному уравнению Лапласа. Для плоского движения имеем
Г。…=幣一t=。，-△吵=0. (5.83) ох оуох ох оу оу
Таким образом, при плоском потенциальном движении несжимаемой идеальной жидкости как потенциал, так и функция тока должны удовлетворять уравнению Лапласа, т. е. должны быть гармоническими функциями. При непотенциальном движении функция тока должна удовлетворять уравнению, которое можно получить, подставляя (5.81) в уравнение Громека. Очевидно, что функция тока может быть введена только для плоского движения жидкости.
Свойства функции тока. Функция тока обладает рядом свойств, которые оправдывают ее введение.
Линии тока — это линии, удовлетворяющие уравнению
吵=const.(5.84)
Действительно, из уравнения линий тока имеем
『 = ?， vydx-vxdy = Q, —嘗 dy = °,
d吵=0,吵=const,
что и требовалось доказать.
Если на плоскости хОу между двумя точками на двух различ
ных линиях тока провести некоторую произвольную кривую, то поток
жидкости Q через эту кривую (масса
Рис. 5.17. Расход жидкости между линиями токаРис. 5.17. Расход жидкости между линиями токажидкости, протекающей через кривую за единицу времени) будет определяться разностью значений функции тока в этих точках.
Рис. 5.17. Расход жидкости между линиями тока
Рис. 5.17. Расход жидкости между линиями тока
Действительно, расход жидкости через линию 1-2 (рис. 5.17) равен
22
Q = р ^vndl = р |(пж??ж + nyvy)或，
11(5.86)
Пж = sin ^=71= — cos 夕=—察.
al ”dl
Подставляя соотношения (5.86) в фор
(5.87)(5.87)мулу для расхода и используя определение функции тока, получим
(5.87)
(5.87)
Линии тока (吵=const) и линии равного потенциала (g = const) взаимно ортогональны в каждой точке течения. Направления нормалей к этим линиям определяются соотношениями
=Рассмотрим их скалярное произведение _ ▽夕▽“_ —VxVy + VxVy _=Рассмотрим их скалярное произведение _ ▽夕▽“_ —VxVy + VxVy _(5.88)(5.88)0,п屮гц/, = 0 .(5.89)0,п屮гц/, = 0 .(5.89)
=
Рассмотрим их скалярное произведение _ ▽夕▽“_ —VxVy + VxVy _
=
Рассмотрим их скалярное произведение _ ▽夕▽“_ —VxVy + VxVy _
(5.88)
(5.88)
0,п屮гц/, = 0 .(5.89)
0,п屮гц/, = 0 .(5.89)
Таким образом, каждая кривая семейства 夕=const составляет прямой угол с линиями 吵=const в точке пересечения.
Методы описания движения идеальной жидкости
Для решения задач о движении идеальной жидкости разработаны специальные методы. Рассмотрим некоторые из них на конкретных примерах.
Метод конформных отображений. Этот метод весьма эффективен, но может быть использован только для плоского потенциального движения идеальной несжимаемой жидкости, для которого потенциал скорости и функция тока связаны следующими соотноше-
НИЯМИ：НИЯМИ："” дх ду' Vy ду дх"” дх ду' Vy ду дх(5.90)(5.90)
НИЯМИ：
НИЯМИ：
"” дх ду' Vy ду дх
"” дх ду' Vy ду дх
(5.90)
(5.90)
Но соотношения (5.90) совпадают с известными в теории функций комплексного переменного условиями Коши-Римана, которые гарантируют, что комплексное выражение
(5.91)(5.91)0 =3+勿认
(5.91)
(5.91)
где i = д/~Т — мнимая единица, является аналитической функцией комплексного аргумента z = х -\- i у. Это в свою очередь означает, что функция 0(z) имеет в каждой точке производную
d/3 _ а 夕 dz дхd/3 _ а 夕 dz дх+ 2丽=+ 2丽=0力-2 °g •0力-2 °g •(5.92)(5.92)
d/3 _ а 夕 dz дх
d/3 _ а 夕 dz дх
+ 2丽=
+ 2丽=
0力-2 °g •
0力-2 °g •
(5.92)
(5.92)
Функция 0(z) называется комплексным потенциалом, а производная d/3/dz — комплексной скоростью.
Таким образом, пользуясь теорией функций комплексного переменного, получаем возможность иметь дело не с двумя функциями 夕 п 吵 от двух аргументов х и у, ^ лишь с одной комплексной функцией /3 от одной комплексной переменной z.
Кроме того, начиная с решения какой-либо тривиальной задачи, методами конформных отображений можно получить решение целого ряда более сложных задач, прямое решение которых часто бывает
затруднительно.
Обтекание бесконечного цилиндра. Рассмотрим потенциальное обтекание бесконечного цилиндра однородным потоком идеальной несжимаемой жидкости, перпендикулярным оси цилиндра. Очевидно,
картина обтекания будет идентична во всех плоскостях, перпендику
лярных оси цилиндра. Поэтому мы можем рассматривать движение жидкости как плоское.
Прежде чем рассматривать обтекание цилиндра, рассмотрим обтекание бесконечно тонкой пластинки однородным плоскопараллельным потоком жидкости (рис. 5.18).
Пусть пластинка длиной 4丁° расположена вдоль оси е.
Пусть далее скорость набегающего на пластинку потока вдали от нее постоянна и направлена вдоль оси е. Картина обтекания в данном
случае очевидна.
Действительно, так как идеальная жидкость может беспрепят
ственно скользить вдоль поверхности пластинки, то пластинка вообще не окажет никакого действия на поток. То есть однородный плоско-параллельный набегающий поток останется таковым и вблизи пластинки, и после нее. Тогда линии тока будут параллельны оси е, а
линии равного потенциала перпендикулярны к ним. Поэтому имеем
Из второго равенства следует очевидный факт, что 夕 не зависит от 〃， а 吵 не зависит от е. Из первого равенства имеем
g = Ko£ +const, 吵=08〃 + const. (5.94)
Постоянные в последних выражениях несущественны, так как определяются лишь началом отсчета функций 夕 п 吵，поэтому мы можем положить их равными нулю.
Составим комплексный потенциал
0 =3 +分吵= 0ооX， х = 8 +分小(5.95)
Здесь % — комплексная переменная в плоскости &0斗
Далее используем следующее конформное отображение точек плоскости еОц в точки плоскости хОу:
X = zH, z = х -\- i у .(5.96)
Предварительно рассмотрим, как преобразуется область
〃〉0,-2『о < s < +2『о
плоскости еО?7 в плоскости хОу. Нетрудно видеть, что она преобразуется во внешнюю область окружности радиуса 丁()• Действительно, из (5.96) имеем
-V +若=0,2 =尹,卜吟,(597)
x + iy^^(e + ir))±•
Пластинка в плоскости еО〃 имеет уравнение
〃 =0, -2r0 < s С +2吟.
Тогда из последнего уравнения (5.97) получаем
力=^， У = ^^о - J •(5§8)
Для уравнения пластинки в плоскости хОу имеем
/2 + у2 =
Мы получили уравнение окружности радиусом го, причем точки плоскости еО〃，соответствующие 〃〉0, как нетрудно видеть, попадают вне круга.
Рис. 5.19. Обтекание цилиндраРис. 5.19. Обтекание цилиндра=。8 г cos 0 -\- ir sin 0 +=。8 г cos 0 -\- ir sin 0 +г cos е + 分丁 sin е」•г cos е + 分丁 sin е」•(5.99)(5.99)
Рис. 5.19. Обтекание цилиндра
Рис. 5.19. Обтекание цилиндра
=。8 г cos 0 -\- ir sin 0 +
=。8 г cos 0 -\- ir sin 0 +
г cos е + 分丁 sin е」•
г cos е + 分丁 sin е」•
(5.99)
(5.99)
Таким образом, если в плоскости еО〃 мы имеем обтекание пластинки однородным плоскопараллельным потоком жидкости, то в плоскости хОу
при помощи конформного отображения (5.96) получаем обтекание бесконечного цилиндра. Причем общие свойства конформных отображений гарантируют нам, что в точках, удаленных на бесконечность, сохраняется направление линий тока и равного потенциала и их ортогональность в любой точке.
Рассмотрим картину обтекания цилиндра в плоскости хОу. Комплексный
потенциал (5.95) с учетом выражения (5.96) в полярных координатах (рис. 5.19) запишется в следующем виде:
Умножая числитель и знаменатель последнего слагаемого в скобках на выражение, комплексно-сопряженное знаменателю, получим
0 =。8 丁 cos0 -\- ir sin0 +0 =。8 丁 cos0 -\- ir sin0 +cos0 — ir sincos0 — ir sin矶矶=g+分吵.=g+分吵.(5.100)(5.100)
0 =。8 丁 cos0 -\- ir sin0 +
0 =。8 丁 cos0 -\- ir sin0 +
cos0 — ir sin
cos0 — ir sin
矶
矶
=g+分吵.
=g+分吵.
(5.100)
(5.100)
Из последнего выражения имеем следующие формулы для потенциала и функции тока:
夕=°8(I + 冬)丁 cosJ,夕=°8(I + 冬)丁 cosJ,吵=Ооо (1 —冬)г sin ^ .(5.101)
夕=°8(I + 冬)丁 cosJ,
夕=°8(I + 冬)丁 cosJ,
Из любого выражения (5.101) можно вычислить компоненты вектора скорости
sin 0.
(5.102) Полученное решение удовлетворяет граничным условиям для идеальной жидкости: при г = го имеем vr = 0.
Пользуясь выражениями (5.102), нетрудно построить линии тока (吵=const) и линии равного потенциала — эквипотенциальные линии (夕=const). Изменяя постоянную в уравнении 吵=const на некоторую заданную величину (определяющую расход жидкости между двумя соседними линиями тока), можно последовательно построить все линии тока. Аналогично можно построить и эквипотенциальные линии, ортогональные линиям тока в любой точке пересечения. На рис. 5.20 изображена примерная картина расположений линий тока.
Величина скорости жидкости может быть определена из формулы:
/ =鳩+鳩=成 (1 +勺一 2号cos\ г г
Рис. 5.20. Линии тока (сплошные) и эквипотенциальные линии (штриховые) при обтекании цилиндраРис. 5.20. Линии тока (сплошные) и эквипотенциальные линии (штриховые) при обтекании цилиндра22Voo . Poo _ Vр22Voo . Poo _ Vр(5.105)(5.105)
Рис. 5.20. Линии тока (сплошные) и эквипотенциальные линии (штриховые) при обтекании цилиндра
Рис. 5.20. Линии тока (сплошные) и эквипотенциальные линии (штриховые) при обтекании цилиндра
22
Voo . Poo _ Vр
22
Voo . Poo _ Vр
(5.105)
(5.105)
Очевидно, скорость будет иметь максимальное значение на поверхности цилиндра (г = го) при 夕=тг/2, Зтг/2. При этом абсолютное
значение максимальной скорости равно
0mах = 2 Oqq . (5.104)
Из формулы (5.103) видно также, что в критических точках на поверхности цилиндра (夕=0, 7г) полная скорость равна нулю.
Подбирая соответствующее конформное отображение мы могли бы из простейшей задачи обтекания пластинки получить
обтекание эллипса, некоторого профиля крыла и других плоских тел, имеющих более сложную форму. В этом и заключается эффективность применения теории функций комплексного переменного к решению задач о плоском потенциальном движении идеальной жидкости.
Парадокс Даламбера. Вычислим силу, действующую на единицу длины цилиндра со стороны движущейся жидкости. Для этого вычислим распределение давления по его поверхности. Воспользуемся уравнением Бернулли для какой-либо линии тока:
Для линии тока, идущей по поверхности цилиндра, из (5.103) имеем
о? = 2о*(1 — cos 2夕)=4о* sin2 0 .(5.106)
Таким образом, на поверхности цилиндра давление распределено по
законузаконуР = PgР = Pg++1 — 4 sin21 — 4 sin200(5.107)(5.107)
закону
закону
Р = Pg
Р = Pg
+
+
1 — 4 sin2
1 — 4 sin2
0
0
(5.107)
(5.107)
Рис. 5.21. Эпюра давленийРис. 5.21. Эпюра давлений
Рис. 5.21. Эпюра давлений
Рис. 5.21. Эпюра давлений
Из формулы (5.107) видно, что давление максимально при 夕=0, », т. е., как и следовало ожидать, в критических точках. Давление на поверхности цилиндра равно давлению в набегающем потоке р^ при условии
sin2夕=^, 办=专，的=• 466
Если для .наглядности на поверхности цилиндра вдоль радиусов отло
жить разность (夕—夕8), то мы получим эпюру давлений, изображенную на рис. 5.21.
Очевидно, что силы давления, действующие на поверхность цилиндра, стремятся деформировать (растянуть) его вдоль оси, перпендикулярной набегающему потоку. Если бы мы решили воспользоваться цилиндром вместо трубки Пито, то отверстие, которое должно воспринимать давление в набегающем потоке вдали от тела, должно быть сделано в одной из точек С или D.
Вычислим силу, с которой поток жидкости действует на единицу длины цилиндра в направлении скорости набегающего потока (сила лобового сопротивления). Для этого достаточно проинтегрировать силы давления (5.107), действующие на элементы поверхности цилиндра:
F = , PS) dS,兄=,匕⑺ dS = , Piknk dS = — , pm dS,
2f(5.108)
Pik = —p5ik；歹冗=—P COS 0 7*0 d3 = 0 .
0
равна нулю:равна нулю:Полученный результат и составляет содержание парадокса Даламбера. Вывод справедлив не только для цилиндра, но и для тела произвольной формы. При потенциальном обтекании тела идеальной несжимаемой жидкостью сила лобового сопротивления равна нулю. Из симметрии движения очевидно, что и подъемная сила Fy тоже будет
равна нулю:
равна нулю:
27r
(5.109)(5.109)Fy = — j р sine rQ de = 0 .о
(5.109)
(5.109)
Этот удивительный результат был предметом длительной дискуссии Даламбера и Эйлера. Парадокс (перевод с греческого — неожиданный) в науке — неожиданное явление, не соответствующее обычным представлениям. Даламбер говорил: «Странный парадокс, объяснение которого предоставляю математикам» (1744 г.). Объясняя этот парадокс, Эйлер предполагал, что реальная жидкость не похожа на идеальную. Эйлер писал: «Если некоторые люди увлекутся и будут думать, что можно продвигать тела через жидкость, не встречая сопротивления, так как сила, с которой жидкость действует на переднюю часть тела будет уничтожаться действием такой же силы на заднюю часть, что не имеет места при движении действительных жидкостей, то такой вывод будет неправилен» (1755 г.). Уже в то время Эйлер отмечал влияние трения реальных жидкостей на происхождение сопротивления тел. Таким образом, парадокс Даламбера не должен иметь места для движений реальных, хотя бы и маловязких жидкостей.
Вообще говоря, мы могли бы «организовать» силу сопротивления движению тела и в идеальной жидкости, рассматривая движения с разрывом скоростей на некоторых поверхностях, отходящих от поверхности обтекаемого тела.
Так, при обтекании цилиндра модель идеальной жидкости допускает существование за телом некоторой застойной зоны неподвиж-
ной жидкости, ограниченной линиями разрыва скорости АВ и CD (рис. 5.22).
Рис. 5.22. Отрыв потокаРис. 5.22. Отрыв потокат. е. возникает некотооая силат. е. возникает некотооая силаОчевидно, что для существования застойной зоны давление в ней должно быть однородным и равным неизменному вдоль линий разрыва давлению. Тогда давление в застойной зоне должно быть равно давлению на поверхности тела в точке возникновения разрыва (А или С). Но мы видели, что давление в некоторой точке А или С меньше, чем давление в любой точке передней части обтекаемого тела. Поэтому сила, с которой жидкость действует на переднюю часть тела, будет больше, чем сила, действующая на его заднюю часть, сопротивления. Этот прием, т. е. рас
Рис. 5.22. Отрыв потока
Рис. 5.22. Отрыв потока
т. е. возникает некотооая сила
т. е. возникает некотооая сила
смотрение некоторых разрывных течений идеальной жидкости, используется при вычислении подъемной силы и силы сопротивления крыла самолета, а также в других задачах.
Парадокс Даламбера не имеет места и при таких движениях тела, при которых образуются волны в жидкости. Например, движение частично погруженного тела вдоль поверхности жидкости, находящейся в поле тяжести (судно, лодка). В этом случае существует так называемое волновое сопротивление. Парадокс отсутствует и при движении тела со сверхзвуковыми скоростями в сжимаемой идеальной жидкости, когда в жидкости образуются ударные волны.
Метод суперпозиции потенциальных потоков. При движении идеальной несжимаемой жидкости потенциал скорости должен удовлетворять уравнению Лапласа
△夕=0.(5.110)
Это линейное однородное уравнение. Следовательно, сумма любых его решений также является его решением. Поэтому, суммируя известные простейшие решения уравнения Лапласа, мы можем получить решения, имеющие во многих случаях вполне реальный смысл и практическое значение.
Пусть 夕 1 и 夕2 ——потенциалы скоростей «простых» течений идеальной жидкости, являющиеся решениями уравнения (5.110). Очевидно, сумма этих потенциалов также удовлетворяет уравнению Лапласа (5.110) и, следовательно, соответствует некоторому «сложному» движению жидкости, представляющему собой суперпозицию двух «простых». Действительно, если
△夕 1 = 0,△夕2 =0，
ТО
△(夕 1 + 夕2)=0，夕=夕1 十夕2, V = V1 + V2 .(5.111)
То есть скорости «сложного» движения векторно складываются из скоростей «простых» движений. В этом и состоит принцип суперпозиции.
Обтекание бесконечного цилиндра с циркуляцией. Наложим на полученное потенциальное движение жидкости при обтекании цилиндра плоский вихрь интенсивностью Г , вращающийся против часовой стрелки. Компоненты скорости движения жидкости, стимулируемого плоским вихрем, равны (см. (5.70))
_ Г
Складывая со скоростями (5.102), получим движение, компоненты скоростей которого имеют вид
*。8（1 + ^）出口，+ 三.（5.112）*。8（1 + ^）出口，+ 三.（5.112）
*。8（1 + ^）出口，+ 三.（5.112）
*。8（1 + ^）出口，+ 三.（5.112）
Очевидно, картина обтекания будет теперь симметричной только относительно оси у. Для изображения линий тока найдем положение критических точек на поверхности цилиндра.
В критических точках на поверхности цилиндра должны обращаться в нуль как vr , так и vs. Радиальная компонента скорости на поверхности цилиндра в любой точке равна нулю. Касательная же компонента скорости равна нулю в критических точках, определяемых из (5.112) соотношениями
г
Г = го, %=。， sinOk = .(5.113)
47roоо『о
Если Г = 0 (обтекание цилиндра без циркуляции), то имеем прежний результат
% = О, 7Г •
Если Г < 47ro00T°, то критические точки, очевидно, находятся на верхней половине поверхности цилиндра. Если Г = 47ro00T°, то обе точки сливаются в одну при 夕卜=тг/2. При Г > 47ro00To критических точек на поверхности цилиндра не существует, они могут быть расположены только где-то внутри жидкости.
Теперь мы можем нарисовать примерную картину линий тока при обтекании цилиндра с циркуляцией (см. рис. 5.23).
Эффект Магнуса. Вычислим результирующие силы, действующие со стороны жидкости на единицу длины цилиндра. Для этого найдем распределение давления по поверхности цилиндра. Из уравнения Бернулли (5.105) имеем
P = Pg +.(5.114)
Подставляя в последнее выражение значение скорости vs на поверхности цилиндра (5.112), получим
Р = Роо +sing— 4。^ sir? •(5.115)
Сила сопротивления Fx и подъемная сила 歹夕 могут быть вычислены по формулам (5.108) и (5.109). Нетрудно видеть, что при подстановке в эти формулы выражения (5.115) после интегрирования получаем
Fx = 0, Fy = -pv^r. (5.116)
Как и прежде, для силы лобового сопротивления имеем парадокс Даламбера, однако циркуляция стимулирует возникновение подъемной силы, направленной противоположно оси у (рис. 5.23).
Рис. 5.23. Линии тока при обтекании цилиндра с циркуляциейРис. 5.23. Линии тока при обтекании цилиндра с циркуляцией
Рис. 5.23. Линии тока при обтекании цилиндра с циркуляцией
Рис. 5.23. Линии тока при обтекании цилиндра с циркуляцией
Возникновение подъемной силы при обтекании цилиндра с циркуляцией называется эффектом Магнуса. Эффект Магнуса является частным случаем общей теоремы Жуковского о подъемной силе крыла.
Согласно теореме Жуковского для вычисления подъемной силы крыла при обтекании его идеальной жидкостью необходимо вычислить лишь циркуляцию скорости вокруг крыла. Н.Е. Жуковским, а затем С.А. Чаплыгиным были разработаны специальные методы вычисления такой циркуляции при разрывных течениях жидкости около крыла.
Причину возникновения подъемной силы при обтекании цилиндра с циркуляцией нетрудно понять, если обратиться к уравнению Бернулли. Как видно из рис. 5.23, в верхней половине течения скорость обтекания и циркуляционная скорость вычитаются, а в нижней половине течения — складываются. Таким образом, результирующая скорость суммарного движения в верхней половине оказывается меньше, чем в нижней. Из уравнения Бернулли при этом следует, что давление, действующее на верхнюю половину цилиндра, больше, чем на нижнюю. В результате возникает результирующая сила, направленная вниз (рис. 5.23).
Приведем несколько примеров, демонстрирующих эффект Магнуса. Если легкий бумажный цилиндрик скатывается со стола, то его вращение при падении со стола существенно изменяет траекторию. Без
вращения траектория цилиндрика описывается верхней кривой (рис. 5.24), вращение же делает траекторию более крутой, так как возникающая при этом гидродинамическая сила направлена к столу. Вращающийся цилиндрик вследствие вязкости реального воздуха стимулирует вокруг себя циркуляционное движение, что и является причиной возникновения «подъемной» силы.
Всем известно, что хорошо закручен
ный шарик пинг-понга описывает довольно рИс. 5.24. Эффект Магнуса сложную траекторию. Так, например, если
мы хотим, чтобы его траектория над столом была круче, то при подаче мы должны закрутить его по часовой стрелке. В этом случае возникает сила, направленная вниз. Того же самого эффекта добиваются и
волейболисты, подавая крученый мяч.
В 1924 г. Флетчером было предложено и построено роторное судно, использующее рассматриваемый эффект (рис. 5.25). На судне были
Рис. 5.25. Корабль ФлетчераРис. 5.25. Корабль Флетчераустановлены два легких, обтянутых парусиной цилиндра, которые приводились во вращение моторами. Диаметр цилиндров был равен 2,8 м, высота — 18 м.
Рис. 5.25. Корабль Флетчера
Рис. 5.25. Корабль Флетчера
Такое судно развивало скорость около 15 км/ч. Причем естественно, что максимальная скорость развивалась при боковом ветре, когда «подъемная» сила была
направлена вдоль корпуса судна. Однако это изобретение не получило
своего дальнейшего развития в связи с быстрым развитием паровых и
дизельных двигателей.
Эффект Магнуса является также одной из причин отклонения траектории снаряда от вертикальной плоскости, проходящей через ось ствола орудия (деривация).
Снова обратим внимание на то, что в идеальной жидкости, лишенной трения, мы не могли бы, вращая цилиндр, создать в жидкости вращательное движение. Только благодаря вязкости вращающийся цилиндр создает вокруг себя вращательное движение жидкости, которое вдали от тела можно считать потенциальным. Отвлекаясь же от при
чин, создавших вращательное потенциальное движение жидкости, нам удалось в рамках модели идеальной жидкости рассмотреть и объяснить многие явления, наблюдаемые в реальных жидкостях.
Вязкость воздуха приводит к его циркуляции вокруг крыла самолета. Профили крыльев имеют острую заднюю кромку (рис. 5.26).
Вблизи этой кромки возникают вихри, в которых воздух вращается против часовой стрелки. Вихри увеличиваются, отрываются от крыла и уносятся набегающим потоком воздуха. _.При этом вблизи крыла возникает циркуля- -—三—一ция остальной массы воздуха, направленная по часовой стрелке. Циркуляционный поток, складываясь с набегающим, ускоря- Рис. 5.26. Обтекание крыла ет движение воздуха над крылом. Согласно уравнению Бернулли давление над крылом понижается, а под крылом повышается, возникает подъемная сила. Примерная картина обтекания крыла показана на рис. 5.26.
Рассмотренный метод суперпозиции потенциальных потоков, как и метод конформных отображений, позволяет составлять из известных простейших движений идеальной жидкости такие движения, которые были бы близки по своим свойствам к движениям жидкости в некоторых реальных задачах, имеющих практический интерес.
Графоаналитический метод. Суперпозицию плоских потенциальных потоков можно осуществлять и графически. Представим себе, что на плоскости нанесены линии тока каких-либо двух плоских потоков (рис. 5.27). Можно в точках пересечения линий тока построить в одинаковом масштабе скорости движений жидкости в обоих потоках. Очевидно, скорость результирующего движения в этих точках изобразится диагональю параллелограмма, построенного на векторах, изображающих скорости отдельных движений. Причем такое построение будет тем точнее, чем чаще будут нанесены линии тока «простых» потоков.
屮 2 二 Const
Рис. 5.27. Суперпозиция двух потоков
Рассмотрим вопрос о масштабах изображения слагаемых потоков. Для этого обратимся к рис. 5.27. В пределах малых участков линий тока их можно полагать прямыми.
Для того чтобы отрезки △%] и △%? изображали скорости vi и V2 в одинаковых масштабах, очевидно, необходимо выполнить следующее
условие:
Из подобия прямоугольных треугольников получаем
ДД1ДД1△/1△/1△ /1102 = △拉201 .△ /1102 = △拉201 .(5.118)(5.118)
ДД1
ДД1
△/1
△/1
△ /1102 = △拉201 .
△ /1102 = △拉201 .
(5.118)
(5.118)
Рис. 5.28. Плоский источникРис. 5.28. Плоский источникQ = 2тгто,Q = 2тгто,о =о =27r 丁27r 丁(5.120)(5.120)
Рис. 5.28. Плоский источник
Рис. 5.28. Плоский источник
Q = 2тгто,
Q = 2тгто,
о =
о =
27r 丁
27r 丁
(5.120)
(5.120)
Но △拉2。1 равно расходу жидкости между двумя соседними линиями тока первого потока, а произведение A/ii^ — расходу жидкости
между двумя соседними линиями тока второго потока. Поэтому для
того чтобы масштабы изображений складываемых потоков были оди
наковы, необходимо, чтобы расходы жидкости между двумя соседними
линиями тока в обоих движениях были равны
△Qi = △Q2, △吵 1 = △吵2.(5.119)
Рассмотрим в качестве примера наложение двух потоков — прямолинейного поступательного потока и плоского источника. Для начала рассмотрим движение жидкости, создаваемое плоским источником или стоком.
Очевидно, что в плоском источнике линии
тока будут представлены радиусами, проведенными из точки, в которой расположен источник (рис. 5.28).
Тогда эквипотенциальные линии — окружности с центром в источнике. Если мощность источника равна Q, то, принимая во внимание, что в таком движении скорость жидкости в любой точке направлена вдоль радиусов, проведенных из центра источника, будем иметь
88Рис. 5.29. Линии токаРис. 5.29. Линии токасс
8
8
Рис. 5.29. Линии тока
Рис. 5.29. Линии тока
с
с
Будем предполагать, что оба потока изображены в одном масштабе, т. е. расход жидкости между двумя соседними линиями тока прямоли-
нейного поступательного потока равен расходу жидкости между соседними лучами линий тока плоского источника.
Рассмотрим линию тока О\О первого потока, проходящую через источник (рис. 5.29). Так как скорость прямолинейного поступательного потока постоянна, а скорость вдоль линии тока источника возрастает неограниченно с приближением к источнику, то на линии О\О всегда найдется точка, в которой результирующая скорость будет равна нулю.
Обозначим эту точку через А. Проводя далее диагонали в построенной сетке линий, получим линии тока результирующего потока (рис. 5.29).
Рассмотрим линию тока САВ. Эта линия разграничивает жидкость, вытекающую из источника, от набегающего потока жидкости. Так как при обтекании идеальной жидкостью поверхность тела также является линией тока, через которую жидкость не проникает, то мы можем полагать линию САВ линией, описывающей контур некоторой твердой поверхности, обтекаемой прямолинейным поступательным потоком. Зная скорости отдельных движений в каждой точке, можно найти скорость в каждой точке для результирующего движения. Воспользовавшись формулой Бернулли, нетрудно рассчитать и давление в каждой точке потока, в том числе и на поверхности обтекаемого тела, изображаемой на плоскости линией САВ. Суммируя силы давления, действующие на элементы поверхности тела, можно найти результирующую силу, действующую на тело. Если линия АВ представляет собой контур некоторой горы, обтекаемой ветром, то можно в каждой точке найти вертикальную составляющую скорости воздуха, что важно, например, при метеорологических расчетах или при оценке дальности или продолжительности полета планера при планировании в предгорьях.
Комбинация плоскопараллельного поступательного потока с источником и стоком дает картину обтекания некоторого замкнутого контура, форма которого может быть довольно сложной в зависимости от интенсивности отдельных слагаемых движений. Добавление еще нескольких источников и стоков позволит представить картину обтекания тела практически любой формы. Конечно, все операции сложения потенциальных потоков можно провести и аналитически. Однако во многих случаях графический метод может дать достаточно точный, а главное наглядный результат, необходимый для решения некоторой конкретной практической задачи.
Непосредственное решение уравнений движения. При решении задач о движении идеальной жидкости можно обратиться непосредственно к уравнениям, описывающим это движение с соответствующими граничными условиями. В качестве примера рассмотрим движение бесконечного цилиндра в идеальной несжимаемой жидкости.
Движение бесконечного цилиндра в идеальной несжимаемой жидкости. Снова отметим, что такое движение можно рассматривать как плоское. Будем также полагать, что движение жидкости, вызываемое движением в ней цилиндра, является потенциальным. Существенное отличие от задачи обтекания неподвижного цилиндра плоскопараллельным поступательным потоком жидкости заключается в том, что это движение не является стационарным. Действительно, по мере продвижения цилиндра в неподвижной жидкости скорость в каждой фиксированной точке пространства будет изменяться с течением времени. На бесконечности будем полагать жидкость неподвижной.
Несмотря на то, что задача нестационарна, потенциал скорости должен удовлетворять уравнению Лапласа (5.78), не содержащему времени явно.
Выберем систему координат, как показано на рис. 5.30.
Так как на бесконечности v = 0, то производные по координатам от потенциала 夕 должны на бесконечности обратиться в нуль. Известно,
что такими производными для цилиндрических задач являются производные от In г по координатам, начиная с первого порядка и выше. Так как 夕—скалярная функция, а V In г — вектор, то общее выражение для искомого потенциала должно иметь вид
g = AVlnT=^^, п = - .(5.121)
丁Г
Здесь А — некоторый, независящий от координат вектор, который должен быть свя
зан с единственным, имеющимся в нашем рис 5 3° Движение ци- распоряжении вектором, от которого можетлиндра
зависеть решение, вектором скорости движе
ния цилиндра — и. Очевидно, эта связь может быть установлена из граничных условий на поверхности цилиндра (см. (5.80))
nV 夕=nu .nV 夕=nu .Из (5.121) имеем「 Ап с Ап Ап nV3=-P 2 —厂=厂=nu .гг丁На поверхности цилиндра (г = го), следовательно, из соотношения получаемИз (5.121) имеем「 Ап с Ап Ап nV3=-P 2 —厂=厂=nu .гг丁На поверхности цилиндра (г = го), следовательно, из соотношения получаем(5.123)(5.123)последнегопоследнего2А = -rgU,夕= _-^(ur), г2А = -rgU,夕= _-^(ur), г2V =号[2(un)n - u]. г2V =号[2(un)n - u]. г(5.124)(5.124)(5.122)
nV 夕=nu .
nV 夕=nu .
Из (5.121) имеем
「 Ап с Ап Ап nV3=-P 2 —厂=厂=nu .
гг丁
На поверхности цилиндра (г = го), следовательно, из соотношения получаем
Из (5.121) имеем
「 Ап с Ап Ап nV3=-P 2 —厂=厂=nu .
гг丁
На поверхности цилиндра (г = го), следовательно, из соотношения получаем
(5.123)
(5.123)
последнего
последнего
2
А = -rgU,夕= _-^(ur), г
2
А = -rgU,夕= _-^(ur), г
2
V =号[2(un)n - u]. г
2
V =号[2(un)n - u]. г
(5.124)
(5.124)
Из полученного выражения можно найти компоненты скорости в подвижной системе координат, движущейся вместе с цилиндром:
vr = и cos 0 , vs = и sin 0 . (5.125) г г
Таким образом, в каждый момент времени распределение скоростей вокруг движущегося цилиндра удовлетворяет уравнениям (5.125), так что с точки зрения наблюдателя, движущегося вместе о цилиндром, картина движения жидкости около цилиндра стационарна. Нетрудно видеть, что из полученного решения мы можем получить обтекание неподвижного цилиндра, если на движение, описываемое формулами (5.125), наложим движение всей жидкости вместе с цилиндром с постоянной скоростью и, направленной справа налево. Тогда будем иметь обтекание неподвижного цилиндра плоскопараллельным поступательным потоком со скоростью и, направленной справа налево. Распределение скоростей такого движения будет описываться полученными выше формулами (5.102), если в них изменить знак скорости набегающего потока.
岩+А户 （需）/亭+号，岩+А户 （需）/亭+号，。8 = 0 .(5.126)(5.127)。8 = 0 .(5.126)(5.127)Найдем распределение давления по поверхности цилиндра. Для этого воспользуемся уравнением Бернулли (см. (5.77)):
岩+А户 （需）/亭+号，
岩+А户 （需）/亭+号，
。8 = 0 .
(5.126)
(5.127)
。8 = 0 .
(5.126)
(5.127)
Давление в любой точке жидкости равно
pv2
亏一丽.
Из (5.124) следует, что потенциал зависит от скорости цилиндра и и радиуса-вектора г. То есть если потенциал и зависит от времени, то неявно — через зависимость от времени скорости движения цилиндра и. Потенциал скорости жидкости в некоторый момент времени определяется значением скорости движения цилиндра в этот момент времени. Формула (5.124) описывает зависимость потенциала и от координаты точки около цилиндра в тот же момент времени. Но в нестационарной задаче вся стационарная картина обтекания движется вместе с цилиндром со скоростью и. Поэтому
Дифференцируя потенциал по времени как сложную функцию, полу
чимчима夕_ а夕dudt ди dtа夕_ а夕dudt ди dtа夕公 Ar dtа夕公 Ar dt(5.128)(5.128)Нетрудно убедиться, что для слагаемых в правой части (5.128) имеемНетрудно убедиться, что для слагаемых в правой части (5.128) имеемна поверхности цилиндрана поверхности цилиндра雾=—*п 黑 + "2(2 cos2 夕一1) , 。2 = 〃2 .(5.130)雾=—*п 黑 + "2(2 cos2 夕一1) , 。2 = 〃2 .(5.130)Подставляя полученные выражения в (5.127), получим для распределения давления по поверхности цилиндра следующую формулу:Подставляя полученные выражения в (5.127), получим для распределения давления по поверхности цилиндра следующую формулу:р =夕8 + ^— 0To 黑 cos 0 — 2pu2 cos2 0 .(5.131)р =夕8 + ^— 0To 黑 cos 0 — 2pu2 cos2 0 .(5.131)Присоединенная масса. Найдем силу лобового сопротивления, которую испытывает единица длины цилиндра при своем движенииПрисоединенная масса. Найдем силу лобового сопротивления, которую испытывает единица длины цилиндра при своем движениив жидкости:в жидкости:27rFx = — ^ р cos 0 r^dO .о27rFx = — ^ р cos 0 r^dO .о(5.132)(5.132)Используя формулу (5.131), получимИспользуя формулу (5.131), получим(5.133)(5.133)
чим
чим
а夕_ а夕dudt ди dt
а夕_ а夕dudt ди dt
а夕公 Ar dt
а夕公 Ar dt
(5.128)
(5.128)
Нетрудно убедиться, что для слагаемых в правой части (5.128) имеем
Нетрудно убедиться, что для слагаемых в правой части (5.128) имеем
на поверхности цилиндра
на поверхности цилиндра
雾=—*п 黑 + "2(2 cos2 夕一1) , 。2 = 〃2 .(5.130)
雾=—*п 黑 + "2(2 cos2 夕一1) , 。2 = 〃2 .(5.130)
Подставляя полученные выражения в (5.127), получим для распределения давления по поверхности цилиндра следующую формулу:
Подставляя полученные выражения в (5.127), получим для распределения давления по поверхности цилиндра следующую формулу:
р =夕8 + ^— 0To 黑 cos 0 — 2pu2 cos2 0 .(5.131)
р =夕8 + ^— 0To 黑 cos 0 — 2pu2 cos2 0 .(5.131)
Присоединенная масса. Найдем силу лобового сопротивления, которую испытывает единица длины цилиндра при своем движении
Присоединенная масса. Найдем силу лобового сопротивления, которую испытывает единица длины цилиндра при своем движении
в жидкости:
в жидкости:
27r
Fx = — ^ р cos 0 r^dO .о
27r
Fx = — ^ р cos 0 r^dO .о
(5.132)
(5.132)
Используя формулу (5.131), получим
Используя формулу (5.131), получим
(5.133)
(5.133)
Направление силы сопротивления, как видно из формулы, зависит от знака ускорения du/dt. Если цилиндр движется слева направо с положительным ускорением (см. рис. 5.30), то сила сопротивления направлена справа налево, т. е. препятствует движению. Если при движении в том же направлении цилиндр движется с отрицательным ускорением, то сила сопротивления действует в сторону движения цилиндра, т. е. стремится ускорить его. При равномерном движении цилиндра имеем парадокс Даламбера. Таким образом, парадокс Даламбера не имеет места и при движении цилиндра с ускорением.
В силу симметрии движения очевидно, что подъемная сила равна нулю. В этом нетрудно убедиться и аналитически. Запишем уравнение движения цилиндра в проекции на ось ж, направленную вдоль скорости и. Пусть на цилиндр единичной длины действует некоторая внешняя сила F, вызывающая его движение в жидкости и направленная также вдоль оси х. Если М — масса единицы длины цилиндра, то с учетом (5.133) уравнение движения будет иметь вид
M^ = F- рк(М + 7Г帰)祟=R (5-134)
Из (5.134) видно, что уравнение движения выглядит так же, как если бы никакой силы сопротивления не было, а масса тела увеличилась бы на величину кг^р = Мп. Эта добавка называется присоединенной массой. Присоединенная масса зависит от формы тела и его ориентации по отношению к набегающему потоку. В частности, для единицы длины цилиндра и для шара присоединенные массы соответственно равны
Мп = 7ГГОР = pV , "几=17ГТ储=g 0卜・ (5.135)
В случае тела произвольной формы приведенная масса имеет тензорный характер и может быть вычислена для тела любой геометрической формы. Присоединенная масса — геометрическая характеристика формы тела, обтекаемого жидкостью, и его ориентации в набегающем потоке.
Если присоединенная масса значительно меньше массы тела, то ею можно пренебречь и рассматривать обычное уравнение движения, например, движение тяжелых тел в воздухе, плотность которого при атмосферном давлении на несколько порядков меньше, чем плотность обычного твердого тела. Однако в некоторых случаях это не так и в уравнениях движения следует учитывать присоединенную массу, например, при движении подводной лодки, масса которой приблизительно равна присоединенной массе, или при движении воздушных шаров и дирижаблей.
В качестве числового примера рассмотрим движение воздушного шара, освободившегося от удерживающих его канатов. Пусть масса воздушного шара вместе с находящимся в нем газом, оболочкой и гондолой равна М. Пусть далее масса вытесненного им воздуха рав-
на Mq. Тогда без учета будет иметь видна Mq. Тогда без учета будет иметь видприсоединенной массыMa = M()g — Mg .присоединенной массыMa = M()g — Mg .уравнение движения(5.136)уравнение движения(5.136)
на Mq. Тогда без учета будет иметь вид
на Mq. Тогда без учета будет иметь вид
присоединенной массы
Ma = M()g — Mg .
присоединенной массы
Ma = M()g — Mg .
уравнение движения
(5.136)
уравнение движения
(5.136)
Уравнение движение шара с учетом присоединенной массы запишется в следующем виде:
(7И + 号)优=MQg - Mg .(5.137)
Тогда отношение ускорений в том и другом случае будет равно
京=1 +芻.(5.138)
Если положить Mq ^ М, то получим, что с учетом присоединенной массы ускорение воздушного шара будет в полтора раза меньше, чем без ее учета.
Капитаны подводных лодок и надводных кораблей также должны учитывать эффект присоединенной массы. При торможении судна на него будет действовать гидродинамическая сила, препятствующая торможению, стремящаяся двигать судно в прежнем направлении.
Даже при движении тяжелых тел в воздухе в некоторых случаях необходимо учитывать присоединенную массу. Часы со сферическим маятником в воздухе по сравнению с их движением в вакууме будут отставать на несколько секунд в сутки вследствие эффекта присоединенной массы.
Действительно, из обычного уравнения движения математического маятника период его колебаний, как известно, равен
丿力=К, Т = 2тг，^у.(5.139)
Здесь 力—угловое ускорение маятника, М — действительная масса маятника, / — его длина, g — ускорение свободного падения, J — момент инерции маятника, К — момент внешних сил (Mg). С учетом присоединенной массы момент инерции равен
J = (М Мп)12 .
Подставляя в формулу для периода и учитывая, что 1M冗丨М)《1, получим
T = 2"式 1 +誓)』(1 + ^ 誓)=7。(1 + ^)・ ◎"。) В последнем выражении То ——период колебаний маятника в вакууме, 0в — плотность воздуха, р — плотность вещества, из которого изготовлен шар маятника объемом V.
Теперь нетрудно оценить отставание секундного (ТЬ = 1 с) маятника, изготовленного из меди (р 8,9 • 103 кг/м3), за сутки (^ 105 с):
△力=(Т — Г。)• 1()5 = тj ——UP. i05c з бс.
'”404-8,9. 103
При большем периоде колебаний маятника отставание будет еще больше. Ясно, что это отставание будет зависеть от атмосферного давления, так как плотность воздуха зависит от давления. Поэтому особо точные маятниковые часы должны помещаться в вакуум.
Контрольные вопросы
Что представляет собой модель идеальной жидкости? Какова область применимости этой модели?
Перечислите уравнения, составляющие замкнутую систему уравнений движения идеальной жидкости.
В чем состоит граничное условие к уравнению Эйлера?
Какое движение жидкости называют изэнтропическим? Согласно уравнению (5.6) энтропия индивидуальных частиц идеальной жидкости не изменяется с течением времени. Значит ли это, что движение идеальной жидкости всегда изэнтропическое?
Какую жидкость называют несжимаемой? В чем состоит критерий несжимаемости?
Какое движение идеальной жидкости называют потенциальным?
Что такое линия тока и траектория?
Что называют трубкой тока? В чем состоит ее замечательное свойство?
В чем отличие уравнения Бернулли для потенциальных и непотенциальных движений идеальной жидкости?
Что такое кавитация? Объясните это явление на основе уравнения Бернулли.
Какое движение идеальной жидкости называют баротропным? Приведите примеры.
Сформулируйте теорему Томсона о сохранении циркуляции скорости жидкости. Укажите область ее применимости.
Что такое вихревая линия и вихревая трубка?
Сформулируйте теорему Гельмгольца об интенсивности вихревой трубки и ее следствие.
Чему равна циркуляция скорости при потенциальном движении идеальной жидкости?
Что такое лобовое сопротивление и подъемная сила?
В чем состоит парадокс Даламбера?
В чем состоит эффект Магнуса? Объясните на основе уравнения Бернулли.
Что такое присоединенная масса при движении тел в идеальной жидкости?
Примеры решения задач
Задача 1
Определите форму сосуда, используемого для водяных часов. Требование: высота уровня жидкости в верхней части должна уменьшаться равномерно со скоростью 。卜 Жидкость считать идеальной и несжимаемой.
Решение. Пусть Si — площадь поверхности верхнего уровня жидкости, S2 — площадь самого узкого сечения сосуда, 。2 — скорость
Рис. 5.31. Водяные часыРис. 5.31. Водяные часыжидкости в самом узком сечении S?.
Рис. 5.31. Водяные часы
Рис. 5.31. Водяные часы
Выберем систему координат, как показано на рис. 5.31. Ось z направлена вдоль продольной оси симметрии сосуда, а ось ж проходит через самое узкое сечение. Тогда площадь поверхности верхнего уровня жидкости равна
Si = 7ГЖ2Si = 7ГЖ2Воспользуемся уравнением непрерывности в интегральной форме
Si = 7ГЖ2
Si = 7ГЖ2
где V — объем жидкости в верхней половине сосуда,
S — замкнутая поверхность, ограничивающая объем V и состоящая из площадок Si, S2 н боковой стенки сосуда.
01sl = 02s2 •01sl = 02s2 •(5.143)(5.143)Поскольку жидкость несжимаема, имеем
01sl = 02s2 •
01sl = 02s2 •
(5.143)
(5.143)
s
Из уравнения Бернулли, записанного вдоль линии тока для сечений
Si 14 s2, получаем
02 =，2gz ,(5.144)
где g — ускорение свободного падения.
Из выражений (5.141), (5.143) и (5.144) имеем
(5.145)
ОтсюдаОтсюда4 z = ах4 z = ах1/ 7Г&1、21/ 7Г&1、2=2g Е丿=2g Е丿(5.146)(5.146)
Отсюда
Отсюда
4 z = ах
4 z = ах
1/ 7Г&1、2
1/ 7Г&1、2
=2g Е丿
=2g Е丿
(5.146)
(5.146)
Эта формула и определяет форму сосуда водяных часов как тела вращения.
Задача 2
Жидкость вытекает из цилиндрического сосуда через небольшое отверстие в дне сосуда. Покажите, что время, необходимое для истечения жидкости, вдвое больше того времени, которое потребовалось бы для истечения того же количества жидкости, если ее уровень поддерживается постоянным.
Решение. Пусть S。и Si — площади сечения сосуда и отверстия соответственно, Н — высота жидкости в сосуде.
На линии тока выберем точки 0 и 1 (рис. 5.32). Из уравнения Бернулли имеем
22
导+ a + gz° = ? + a + gzi.(5.147)
Поскольку zi = 0,夕0 =夕1, о。= 0, то v\ =，2gz° . Рассмотрим два случая.
1. Уровень жидкости в сосуде поддерживается постоянным. Тогда1. Уровень жидкости в сосуде поддерживается постоянным. Тогдаскорость истечения равна g =，2g〃.
1. Уровень жидкости в сосуде поддерживается постоянным. Тогда
1. Уровень жидкости в сосуде поддерживается постоянным. Тогда
Если 力 1 — время, в течение которого из сосуда вытечет объем жидкости SqH, то из уравнения непрерывности имеем
SioMi = SQH, ti =(5.148)
Sia/^
2. Уровень жидкости в сосуде изменяется со временем. Тогда скорость истечения равна
= y/^gz .
Уравнение непрерывности запишется в ви
Рис. 5.32. Сосуд с жидкостьюРис. 5.32. Сосуд с жидкостьюде,&^J^ = -s。糸де,&^J^ = -s。糸(5.149)(5.149)力2t2 = ^ dtО力2t2 = ^ dtОнSo Г dz _ 2SaHнSo Г dz _ 2SaH(5.150)(5.150)Знак минус в правой части учитывает, что с течением времени уровень жидкости в сосуде уменьшается. Если 力2 ——время истечения всей жидкости из сосуда, то из уравнения (5.149) получаем
Рис. 5.32. Сосуд с жидкостью
Рис. 5.32. Сосуд с жидкостью
де,
&^J^ = -s。糸
де,
&^J^ = -s。糸
(5.149)
(5.149)
力2
t2 = ^ dt
О
力2
t2 = ^ dt
О
н
So Г dz _ 2SaH
н
So Г dz _ 2SaH
(5.150)
(5.150)
Сравнивая доказать.Сравнивая доказать.Рис. 5.33. АнгарРис. 5.33. Ангар
Сравнивая доказать.
Сравнивая доказать.
Рис. 5.33. Ангар
Рис. 5.33. Ангар
(5.148) и (5.150), видим:力2 = 2力i, что и требовалось
Задача 3
Ангар полуцилиндрической формы длиной L = 70м и радиусом R = =10м подвергается действию ветра, скорость которого на бесконеч-
ности 乙=72 км/ч строго перпендикулярна оси ангара.
Какая сила будет действовать на ангар, если дверь на участке А (рис. 5.33) открыта? Плотность воздуха р = 1,2 кг/м3. Потенциал скорости задан следующей функцией: в = °оо (1 + Я2/г2) г cos 0. Давление внутри амбара считать везде одинаковым и равным давлению на входе.
Решение. Определим нормальную и касательную составляющие скорости ветра:
% = ^ =(1 — ^^ cos 仇 ％ =；需=-Og (1 + 今)sin 0.
ГГ (5.151)
На поверхности ангара имеем
vr = 0, vs = —2 ^oq sin 0 , v2 = 4 v^ sin2 0 .(5.152)
Поскольку дверь А открыта, давление внутри ангара равно давлению 夕о в точке торможения. Уравнение Бернулли позволяет вычислить это давление:22
粤+迎=警+出，(5.153)
2 р 2 р
где pg — давление воздуха вдали от амбара. Если скорость около входа в амбар приближенно считать равной нулю (о° = 0), то давление внутри амбара равно
Ро = Роо + ф •(5.154)
Давление в любой точке наружной поверхности амбара также определяется из уравнения Бернулли, записанного для прилегающей к этой поверхности линии тока
22 /、
Р = Роо += РооSin2 •(5.155)
Перепад давлений внутри и снаружи равен
Pq — р = 20о£ sin2 0 .(5.156)
Проекции на оси координат вектора силы, действующей на амбар со стороны движущегося воздуха, определяются следующими выражениями:
Fx = L ^(р — pq)Rcos 0 d0 , Fy = — L j(p — pQ)Rsin 0 dO .(5.157)
о0
Сила лобового сопротивления Fx равна нулю, что соответствует парадоксу Даламбера. Подъемная сила равна
Fy = L^pv^Rs^ OdO = |»“"兄，Fy = 2,81 • 106H. (5.158) о
Сила направлена вверх, т. е. стремится поднять амбар.
Задача 4
В теориях кипения жидкости и кавитации представляет интерес время схлопывания образовавшегося воздушного пузырька в объеме жидкости. Пусть начальный радиус пузырька равен Rq. Давление жид-
Рис. 5.34. Воздушный пузырь в жидкостиРис. 5.34. Воздушный пузырь в жидкостиПодставив ее в урав-Подставив ее в урав-(5.161)(5.161)
Рис. 5.34. Воздушный пузырь в жидкости
Рис. 5.34. Воздушный пузырь в жидкости
Подставив ее в урав-
Подставив ее в урав-
(5.161)
(5.161)
кости на бесконечности равно ро- Определите время т, в течение которого образовавшаяся сферическая полость заполняется жидкостью.
Никаких других сил к жидкости не приложено. Жидкость считать
несжимаемой. Давлением газа в пузырьке пренебречь.
Решение. Воспользуемся сферической системой координат
(厂，仇9), начало которой поместим в центр пузырька (рис. 5.34).
После образования полости движение жидкости будет радиальным, т. е. v = (vr, 0,0). Для радиальной скорости vr = v уравнение Эйлера запишется в виде
dv , dv1 др/г 1
(5.159) ot orр or
Поскольку жидкость несжимаема, то из
уравнения непрерывности имеем
(5.160)(5.160)1 dr^v с 2
(5.160)
(5.160)
div V = f = 0, г V = F(t).
р VT
Здесь F(t) — неизвестная функция времени, нение (5.159), получим
Проинтегрируем это уравнение по радиальной координате в пределах от ос до текущего радиуса пузырька R⑴:
(5.162)(5.162)
(5.162)
(5.162)
(5.163)(5.163)(5.164)(5.164)
(5.163)
(5.163)
(5.164)
(5.164)
Так как давлением газа в пузырьке по условию задачи можно пренебречь [р(г = Я) = 0], то
dr = -ро •
J or
Тогда уравнение (5.162) примет следующий вид:
_g …=丝 y=dR
R 2 р、d力’
где V — скорость жидкости на поверхности полости. С другой стороны из уравнения (5.160) следует, что на поверхности пузырька
(5.165)(5.165)ь⑴=足⑴卜⑴.
(5.165)
(5.165)
Продифференцировав это выражение по времени, получим
Тогда уравнение (5.164) запишется в виде
—RV^—RV^РоРРоР(5.167)(5.167)После разделения переменных имеем矶炉) _ _dR3 V2 + 2р0/р ——万После разделения переменных имеем矶炉) _ _dR3 V2 + 2р0/р ——万(5.168)(5.168)В начальный момент времени размер пузырька фиксирован, R = =Rq, а жидкость неподвижна,『(力=0) = 0. С учетом этого уравнение (5.168) можно записать в интегральной форме:В начальный момент времени размер пузырька фиксирован, R = =Rq, а жидкость неподвижна,『(力=0) = 0. С учетом этого уравнение (5.168) можно записать в интегральной форме:09Но]3V2 + 2po/p — — !Отсюда получаем09Но]3V2 + 2po/p — — !Отсюда получаем(5.169)(5.169)(5.170)(5.170)Если т — время схлопывания пузырька, то R(t = т) = 0. ТогдаЕсли т — время схлопывания пузырька, то R(t = т) = 0. Тогдагде「(/) — гамма-функция или эйлеров интеграл второго рода. Окончательно получаемгде「(/) — гамма-функция или эйлеров интеграл второго рода. Окончательно получаем(5.171)(5.171)т = 0,915% 解. у Рот = 0,915% 解. у Ро(5.172)(5.172)Сделаем численные оценки. Пусть Яо = 10-3 м, р = 103 кг/м3,夕о = =105 Па. При этих условиях расчет по формуле (5.172) дает г ^ 10-4 с.Сделаем численные оценки. Пусть Яо = 10-3 м, р = 103 кг/м3,夕о = =105 Па. При этих условиях расчет по формуле (5.172) дает г ^ 10-4 с.Задача 5Определите форму, которую имеет свободная поверхность пологоЗадача 5Определите форму, которую имеет свободная поверхность пологоРис. 5.35. Полый вихрьРис. 5.35. Полый вихрьвихря с интенсивностью Г в идеальной жидкости в поле силы тяжести. Движение жидкости потенциальное. Внешнее давлевихря с интенсивностью Г в идеальной жидкости в поле силы тяжести. Движение жидкости потенциальное. Внешнее давление равно夕о・Решение. Для потенциального движения жидкости в любой точке справедливо уравнение Бернуллиние равно夕о・Решение. Для потенциального движения жидкости в любой точке справедливо уравнение Бернуллик + 二 + gz = const.2 ок + 二 + gz = const.2 о
—RV^
—RV^
Ро
Р
Ро
Р
(5.167)
(5.167)
После разделения переменных имеем
矶炉) _ _dR
3 V2 + 2р0/р ——万
После разделения переменных имеем
矶炉) _ _dR
3 V2 + 2р0/р ——万
(5.168)
(5.168)
В начальный момент времени размер пузырька фиксирован, R = =Rq, а жидкость неподвижна,『(力=0) = 0. С учетом этого уравнение (5.168) можно записать в интегральной форме:
В начальный момент времени размер пузырька фиксирован, R = =Rq, а жидкость неподвижна,『(力=0) = 0. С учетом этого уравнение (5.168) можно записать в интегральной форме:
09Но
]3V2 + 2po/p — — !
Отсюда получаем
09Но
]3V2 + 2po/p — — !
Отсюда получаем
(5.169)
(5.169)
(5.170)
(5.170)
Если т — время схлопывания пузырька, то R(t = т) = 0. Тогда
Если т — время схлопывания пузырька, то R(t = т) = 0. Тогда
где「(/) — гамма-функция или эйлеров интеграл второго рода. Окончательно получаем
где「(/) — гамма-функция или эйлеров интеграл второго рода. Окончательно получаем
(5.171)
(5.171)
т = 0,915% 解. у Ро
т = 0,915% 解. у Ро
(5.172)
(5.172)
Сделаем численные оценки. Пусть Яо = 10-3 м, р = 103 кг/м3,夕о = =105 Па. При этих условиях расчет по формуле (5.172) дает г ^ 10-4 с.
Сделаем численные оценки. Пусть Яо = 10-3 м, р = 103 кг/м3,夕о = =105 Па. При этих условиях расчет по формуле (5.172) дает г ^ 10-4 с.
Задача 5
Определите форму, которую имеет свободная поверхность полого
Задача 5
Определите форму, которую имеет свободная поверхность полого
Рис. 5.35. Полый вихрь
Рис. 5.35. Полый вихрь
вихря с интенсивностью Г в идеальной жидкости в поле силы тяжести. Движение жидкости потенциальное. Внешнее давле
вихря с интенсивностью Г в идеальной жидкости в поле силы тяжести. Движение жидкости потенциальное. Внешнее давле
ние равно夕о・
Решение. Для потенциального движения жидкости в любой точке справедливо уравнение Бернулли
ние равно夕о・
Решение. Для потенциального движения жидкости в любой точке справедливо уравнение Бернулли
к + 二 + gz = const.
2 о
к + 二 + gz = const.
2 о
Скорость движения жидкости в поле вихря равна
Запишем уравнение (5.173) вдоль свободной поверхности:
2
v + - + ^ = --(5.175)
Здесь учтено, что при z = 0 жидкость неподвижна. С учетом уравнения (5.174) имеем
^ + i=0.(5.176)
О7Г 丁
Тогда уравнение свободной поверхности вихря имеет вид
z =——J=0・(5.177)
87r gr
Задача 6
Определите силу, действующую на шар радиуса R, закрепленный на горизонтальной оси в круглом отверстии в стенке плоского сосуда, заполненного жидкостью (рис. 5.36). Расстоя
Рис. 5.36. Шар в стенке сосудаРис. 5.36. Шар в стенке сосудание от оси шара до поверхности жидкости в сосуде равно Н, внешнее давление — ро- Трения нет. Будет ли шар вращаться вокруг оси?
Рис. 5.36. Шар в стенке сосуда
Рис. 5.36. Шар в стенке сосуда
Решение. Систему координат хОу выберем, как показано на рис. (5.36). Ось у направлена вдоль оси шара перпендикулярно плоскости рисунка, начало координат совпадает с центром шара.
В неподвижной тяжелой жидкости распределение давления по высоте задается законом Паскаля:
Р = 〃о + pg〈H - z). (5.178)
В выбранной системе координат сила F, действующая на полусферу в жидкости, определяется двумя компонентами:
Fx = ^ pcosJdS, Fz = — ^ psinв dS ,(5.179)
(S)(S)
где S — площадь полусферы в жидкости, dS = тгН2 sin 0 d0 — элементарная площадка, z = Reos仇
Подставляя выражение (5.178) в (5.179), после интегрирования получаем
Fx = \"Н 圮 pg, Fz = — |开兄 30g(5.180)
Сила направлена вдоль вертикальной оси шара, а ее величина равна
歹=J隽 + 靈=тгЯ2^у| В^ + ^Н^ .(5.181)
Шар не вращается вокруг оси, так как момент силы равен нулю.
Задача 7
Определите вид течения, которое задано комплексным потенциалом 0 = az3 (а > 0). Какой объем жидкости Qv протекает каждую секунду через отрезок прямой, соединяющей две точки zi(l,0) и Z2(l, 1)?
Решение. В комплексном потенциале выделим вещественную и мнимую части:
/3 = а(力 + iy)3 = ас(力2 — 3才)+ iay(3x2 —才).(5.182)
Отсюда определяются потенциал скорости и функция тока
9 = ас(力2 — Зу2), 吵=ау(3/—才).(5.183)
Линии тока задаются уравнениями:吵=const. Положим 吵=0. Тогда из выражения ау(3х2 — у2) = 0 получаем yi = 0, 沙2 = л/5 х. Эти линии тока образуют угол
力〃—= 6(5.184)
闵 I \Таким образом, комплексный потенциал
\(5.182) задает движение жидкости внутри
\угла с раствором 60° (рис. 5.37).
IКомпоненты скорости
vx == Зах(х^ —,
(5.185)
Рис. 5.37. Обтекание углаv =_ басд
У ду
Заметим, что о% = 0 при у = с. На линии у = х жидкость движется так, что проекции ее скоростей при а > тг/4 и а < тг/4 взаимно скомпенсированы.
Для вычисления объемного расхода воспользуемся свойством функции тока
Qv =吵(3)—吵(zi) = 2a .(5.186)
Нетрудно видеть, что функция тока удовлетворяет однородному уравнению Лапласа:
△吵=бау — бау = 0 .△吵=бау — бау = 0 .(5.187)(5.187)
△吵=бау — бау = 0 .
△吵=бау — бау = 0 .
(5.187)
(5.187)
Следовательно, движение потенциальное.
ГЛАВА 6
ВЯЗКАЯ ЖИДКОСТЬ
Более реалистичной по сравнению с моделью идеальной жидкости является модель вязкой ньютоновской жидкости. В этой модели учитывается вязкость жидкости и ее теплопроводность, но модуль сдвига равен нулю.
Замкнутая система уравнений движения вязкой жидкости. Уравнение Навье-Стокса
Уравнение движения сплошной среды имеет вид
dt kdxk * p dxk '
В случае вязкой однородной ньютоновской жидкости тензор напряжений, как было показано ранее (4.99), запишется в виде
Pik =+ £&k磐 + 〃 (管 + 礬-^°注磐)•(82)
Подставляя выражение (6.2) в (6.1) и полагая коэффициенты вязкости постоянными, получим уравнение движения вязкой жидкости
dvi , dvi1 9目 I 77 d2Vi , 1ot дхкр dxi р dxl Рdvi , dvi1 9目 I 77 d2Vi , 1ot дхкр dxi р dxl Р+ 3’+ 3’д dvi + dxi dxiд dvi + dxi dxiИли в векторном видеИли в векторном виде要 + (vV)v = —- ▽夕 + z/Av 十丄(£ + grad div v + f . Otpp \ о /要 + (vV)v = —- ▽夕 + z/Av 十丄(£ + grad div v + f . Otpp \ о /(6.3)(6.4)(6.3)(6.4)
dvi , dvi1 9目 I 77 d2Vi , 1
ot дхкр dxi р dxl Р
dvi , dvi1 9目 I 77 d2Vi , 1
ot дхкр dxi р dxl Р
+ 3’
+ 3’
д dvi + dxi dxi
д dvi + dxi dxi
Или в векторном виде
Или в векторном виде
要 + (vV)v = —- ▽夕 + z/Av 十丄(£ + grad div v + f . Otpp \ о /
要 + (vV)v = —- ▽夕 + z/Av 十丄(£ + grad div v + f . Otpp \ о /
(6.3)
(6.4)
(6.3)
(6.4)
Уравнения (6.3), (6.4) называются уравнениями Навье-Стокса. Величина 〃 = 〃//> называется коэффициентом кинематической вязкости. Для несжимаемой жидкости div v = 0, и уравнение Навье-Стокса принимает вид
^+ "△)—； ▽…Av+ f.^+ "△)—； ▽…Av+ f.(6.5)(6.5)
^+ "△)—； ▽…Av+ f.
^+ "△)—； ▽…Av+ f.
(6.5)
(6.5)
Видно, что уравнение Навье-Стокса отличается от уравнения Эйлера дополнительными членами в правой части, учитывающими вязкость жидкости.
5 В.Г. Черняк, П.Е. Суетин
Замкнутая система уравнений движения вязкой жидкости содержит, разумеется, еще уравнение непрерывности и уравнение баланса внутренней энергии. Полная система уравнений движения имеет вид
|^ + div(/w) = 0,
禦 + (vA)v = -- ▽夕 + 〃Av 十丄grad div v + f, (6.6)
°+ vVebh) = - div q + Pik 醬.
\ dt/dxk
Уравнения (6.6) вместе с уравнениями Фурье, калорическим и термическим уравнениями состояния образуют замкнутую систему уравнений движения вязкой жидкости. Предполагается, что решение этой системы существует и при заданных начальных и граничных условиях оно единственно.
Граничные и начальные условия. Прямыми и косвенными экспериментами показано, что вязкая жидкость «прилипает» к поверхности обтекаемого тела. Силы взаимодействия между поверхностными атомами тела и прилегающими к ним молекулами жидкости оказываются достаточными, чтобы последние двигались неразрывно с поверхностью тела. Поэтому на межфазной границе тело-вязкая жидкость в каждой точке поверхности должны быть равны не только нормальные компоненты скорости жидкости v и тела и, но также и касательные компоненты. Следовательно, на поверхности обтекаемого тела в каждой точке должно выполняться векторное равенство
V = и .(6.7)
Сила, действующая на единицу поверхности тела, определяется компонентами/ 、
匕⑺=Piknk ,(6.8)
где rik — проекция на ось к нормали п, внешней по отношению к телу.
Если мы имеем движение двух несмешивающихся жидкостей, то, очевидно,на поверхности раздела этих жидкостей скорости их в каждой точке поверхности раздела должны быть равнн:
V1 = v2 .(6.9)
Для любого элемента поверхности раздела двух несмешивающихся жидкостей силы, с которыми жидкости действуют друг на друга, равны по величине и обратны по направлению (третий закон Ньютона). Сила, действующая в г-м направлении на единицу площади жидкости 1 со стороны жидкости 2, равна 夕丿：)几£), где п^ — проекция нормали, внешней по отношению жидкости 1. Сила, действующая в том же направлении на жидкость 2 со стороны жидкости 1, равна 夕丿；)几£), где п^ — проекция нормали, внешней по отношению жидкости 2. Очевидно, п^ =—几£)• Тогда в соответствии с третьим законом Ньютона
можно записать
次碇一嚟戏，次碇"伊е 次"?(6」。)
На свободной поверхности жидкости, граничащей с вакуумом, должно выполняться условие
Piknk=0.(6.11)
Условие (6.7) не имеет места при движении разреженного газа, когда длина свободного пробега молекул газа сравнима с размерами обтекаемого тела. В этом случае газ «скользит» вдоль его поверхности. При этом на поверхности тела испытывает скачок и температура. Однако рассмотрение этих явлений выходит за рамки механики сплошных сред и является предметом изучения кинетической теории газов.
В граничные условия входит также задание давления и температуры (или потока тепла) на некоторых поверхностях в жидкости.
Начальные условия необходимы при решении нестационарных задач и заключаются в задании в некоторый начальный момент времени пространственных распределений скоростей, давлений и температур в объеме жидкости.
Вихревое движение вязкой жидкости. Рассмотрим уравнения движения несжимаемой жидкости. Если объемные силы имеют потенциал (5.11), то, воспользовавшись известной формулой векторного анализа (5.13), уравнение (6.5) можно переписать в виде
寡-[v, rot v] = 一+ - + 8пот) +^Av.(6.12)
Применяя операцию ротора к обеим частям уравнения и принимая во внимание, что rot V = 0, rot v = 2з, где ш — вихревая скорость жидкости, получим
第—rot[v, з] = V、з .(6.13)
Если г/ = 0, то из (6.13) имеем уравнение Громека для баротропного движения идеальной жидкости (5.17).
Для простоты рассмотрим плоское движение одиночного вихря (см. рис. 5.14). Очевидно, частицы жидкости в любой момент времени будут двигаться по окружностям с центром на оси вихря. Тогда нетрудно видеть, что второй член слева в уравнении (6.13) будет равен нулю. Действительно, вектор [v, з] в каждой точке направлен по радиусу, проведенному из центра вихря, а его величина в данной точке зависит только от времени и расстояния этой точки до центра вихря. Поэтому ротор такого вектора равен нулю. Тогда из (6.13) получаем уравнение
^ =.(6.14)
В цилиндрической системе координат т, g, z с учетом топологии движения жидкости(G「=必屮=0,о；/ = 0(т,力))имеем
d(jj _1 а
dt У г dr ( Ат 丿
Уравнение (6.15) имеет вид уравнения теплопроводности и, как всякое уравнение параболического типа, описывает некоторый необратимый процесс (первая производная по времени).
Пусть в начальный момент времени вихревое движение было стационарным и поддерживалось некоторым постоянным источником (например вращением тонкого металлического цилиндра). При этом движение в любой точке, кроме оси вихря, будет, как мы увидим далее, потенциальным. Траекториями частиц будут окружности с центром на оси вихря. Скорости частиц определяются формулой (5.70):
Если в начальный момент времени интенсивность вихревого движения определялась величиной Го, то в последующие моменты времени после выключения источника вихревого движения движение жидкости будет описываться известным решением уравнения (6.15):
3 =叁 ехр(-З) •(6・17)
Из (6.17) видно, что интенсивность вихревого движения в центре вихря (г = 0) убывает обратно пропорционально времени. В некоторой фиксированной точке пространства г = а > 0 интенсивность с течением времени проходит через максимум при t = а2/4г/, а затем падает до нуля. При 力一> оо интенсивность вихревого движения в любой точке жидкости стремится к нулю. Таким образом, в отличие от вихревого движения в идеальной жидкости, которое сохраняется с течением времени, вихревое движение в вязкой жидкости с течением времени захватывает все большие области пространства, занятого жидкостью (диффундирует) и затухает с течением времени вследствие диссипации энергии механического движения из-за вязкости жидкости. В конечном счете эта энергия механического движения переходит в тепло. После выключения источника вихревого движения в любой точке жидкости rot V 卢 0, т. е. движение не потенциально во все последующие моменты движения.
Диссипация кинетической энергии несжимаемой вязкой жидкости
Определим скорость, с которой механическая энергия движения несжимаемой жидкости вследствие ее вязкости диссипируется в тепло.
Рассмотрим некоторый неподвижный в пространстве объем V, заполненный движущейся жидкостью. Кинетическая энергия жидкости в этом объеме равна
Ek = ^dV.(6.18)
Найдем изменение кинетической энергии жидкости в этом объеме
в единицу временив единицу временидЕк Г д (pv2\дЕк Г д (pv2\(6.19)(6.19)
в единицу времени
в единицу времени
дЕк Г д (pv2\
дЕк Г д (pv2\
(6.19)
(6.19)
Произведем необходимые преобразования под знаком интеграла. Для этого воспользуемся уравнением движения вязкой несжимаемой жидкости, пренебрегая действием массовых сил:
аatаatdvidvidvidvipVi__ = -pViVk__-VipVi__ = -pViVk__-ViСлагаемые в правой части можно записать в видеСлагаемые в правой части можно записать в видеpbibk 石一= oxkpbibk 石一= oxkаР_ р apbk _aPvi о-— OXiдхкPvk —Р дхкдхкPvk — P哒_ _д_〜〜3дхкдхк^i^ik 一0泌дхкаР_ р apbk _aPvi о-— OXiдхкPvk —Р дхкдхкPvk — P哒_ _д_〜〜3дхкдхк^i^ik 一0泌дхкdvidviВ выражениях (6.21) и (6.22) использовано уравнение непрерывности для несжимаемой жидкостиВ выражениях (6.21) и (6.22) использовано уравнение непрерывности для несжимаемой жидкостиdpvk 八dpvk 八(6.20)(6.21)(6.22)(6.23)(6.20)(6.21)(6.22)(6.23)С учетом полученных выражений имеемС учетом полученных выражений имеем
а
at
а
at
dvi
dvi
dvi
dvi
pVi__ = -pViVk__-Vi
pVi__ = -pViVk__-Vi
Слагаемые в правой части можно записать в виде
Слагаемые в правой части можно записать в виде
pbibk 石一= oxk
pbibk 石一= oxk
а
Р
_ р apbk _
a
P
vi о-— OXi
дхк
Pvk —
Р дхк
дхк
Pvk — P
哒
_ _д_
〜〜
3
дхк
дхк
^i^ik 一0泌
дхк
а
Р
_ р apbk _
a
P
vi о-— OXi
дхк
Pvk —
Р дхк
дхк
Pvk — P
哒
_ _д_
〜〜
3
дхк
дхк
^i^ik 一0泌
дхк
dvi
dvi
В выражениях (6.21) и (6.22) использовано уравнение непрерывности для несжимаемой жидкости
В выражениях (6.21) и (6.22) использовано уравнение непрерывности для несжимаемой жидкости
dpvk 八
dpvk 八
(6.20)
(6.21)
(6.22)
(6.23)
(6.20)
(6.21)
(6.22)
(6.23)
С учетом полученных выражений имеем
С учетом полученных выражений имеем
дЕкдЕкdvi ,dvi ,Первый интеграл в правой части может быть преобразован в интеграл по поверхности, ограничивающей рассматриваемый объем. Нетрудно видеть, что выражение в квадратных скобках (6.24) представляет собой вектор плотности потока энергии (вектор Умова) в несжимаемой, изотермической жидкости в отсутствие объемных сил. Полагая, что на бесконечно удаленной поверхности жидкость покоится или объем ограничен неподвижной твердой поверхностью, на которой жидкость также неподвижна, убеждаемся, что первый интеграл в правой части (6.24) равен нулю. Тогда второй интеграл в (6.24) определяет изменение кинетической энергии жидкости в единицу времени в рассматриваемом объеме
дЕк
дЕк
dvi ,
dvi ,
(6.25)
Для несжимаемой жидкости тензор вязких напряжений имеет вид
Тогда выражение (6.25) можно записать в виде
Так как кинетическая энергия жидкости вследствие необратимой диссипации из-за вязкости может только уменьшаться с течением времени, то из (6.27) следует, что коэффициент вязкости ту всегда положителен.
Точные решения уравнения Навье-Стокса
Уравнение Навье-Стокса по сравнению с уравнением Эйлера содержит наряду с первыми и вторые производные по координатам. Но основная трудность решения уравнений движения вязкой жидкости заключается не в дополнительных членах, учитывающих силы вязкости, а в нелинейности этих уравнений, обусловленной членом (vV)v. В теории движения идеальной жидкости мы обходили эту трудность, полагая движение потенциальным. Но если для идеальной жидкости предположение о потенциальности движения не противоречило механический модели жидкости, то движение вязкой жидкости в общем случае не является потенциальным: можно назвать лишь несколько частных случаев, когда движение вязкой жидкости потенциально. Так, например, движение в любой точке, кроме оси плоского вихря постоянной интенсивности, является потенциальным вне зависимости от модели жидкости. Поэтому существует мало точных решений уравнения Навье-Стокса. Эти точные решения могут быть получены в том случае, когда удается тем или иным способом избавиться от нелинейного члена (vV)v.
В чисто математическом смысле краевые задачи теоретической гидродинамики чрезвычайно трудны. Поэтому успешное развитие теории во многом связано с различными правдоподобными интуитивными гипотезами. Известный математик Г.Биркгоф, анализируя положение в теоретической гидродинамике, называет семь таких гипотез. Мы укажем только две наиболее употребительные гипотезы.
Определяя, какие физические компоненты уравнений движения необходимо рассматривать, можно полагаться на интуицию. (Интуиция может быть подкреплена оценкой важности членов рассматриваемых уравнений).
Топологию течения также можно определить интуитивно, полагая, в частности, что симметричное воздействие вызывает симметричный эффект.
Конечно, с точки зрения чистой математики, такие гипотезы не имеют права на существование в строгой теории. Но, как мы увидим далее, они значительно упрощают решение и приводят к результатам, хорошо согласующимся с опытными данными, что и является конечной целью теоретического исследования.
Таким образом, решения, полученные на основании таких гипотез, необходимо проверять экспериментально. В случае адекватности предполагаемого на основании гипотез движения действительному, наблю
даемому в опыте, полученные решения можно считать точными.
Течение Куэтта. Рассмотрим вязкую несжимаемую жидкость, расположенную между двумя параллельными бесконечными плоскостями. Верхняя плоскость в некоторый момент времени начинает
Рис. 6.1. Течение КуэттаЕсли ускорение свободРис. 6.1. Течение КуэттаЕсли ускорение свободдвигаться с постоянной скоростью и параллельно нижней неподвижной плоскости (рис. 6.1).
Рис. 6.1. Течение Куэтта
Если ускорение свобод
Рис. 6.1. Течение Куэтта
Если ускорение свобод
Спустя некоторое время установится некоторое стационарное движение вязкой жидкости между плоскостями. Определим это установившееся движение. Так как плоскости в направлении оси z бесконечны, мы можем рассматривать движение как плоское
ного падения направлено по оси у, а расстояние Л между плоскостями невелико, то можно пренебречь влиянием силы тяжести на движение жидкости в зазоре. Здесь мы использовали первую гипотезу.
Далее интуитивно полагаем, что скорость частиц жидкости в любой
точке зазора направлена только вдоль оси х и зависит только от координаты у в силу бесконечности пластин в направлении х. Здесь использована вторая гипотеза об интуитивном определении топологии течения, основанная на предположении о симметрии эффекта при симметричном воздействии. Так как воздействие (движущаяся верхняя плоскость) симметрично относительно оси у, то и эффект (движение частиц жидкости) также будет симметричным относительно оси у, т. е. скорости частиц будут направлены только вдоль оси х.
Движение жидкости будем полагать изотермическим. В этом случае нет необходимости рассматривать уравнения баланса энергии. Таким образом, необходимо решить уравнения движения при следующих условиях:
= 0, f =。， vx =。式у), Vy = Vz =。， P = const.(6.28)
Нетрудно видеть, что при заданной топологии движения жидкости нелинейный член (vV)v из уравнений движения исчезает, а уравнение непрерывности удовлетворяется тождественно.
С учетом условий (6.28) уравнение движения в компонентах будет иметь следующий вид:
дх 〃 ду2дх 〃 ду2др дудр ду=О,=О,др dzдр dz=0.=0.(6.29)(6.29)
дх 〃 ду2
дх 〃 ду2
др ду
др ду
=О,
=О,
др dz
др dz
=0.
=0.
(6.29)
(6.29)
что давление не зависит нп от у , ничто давление не зависит нп от у , ниОтсюда приходим к выводу,
что давление не зависит нп от у , ни
что давление не зависит нп от у , ни
от z, а может быть функцией только координаты х.
Обратимся к первому уравнению системы (6.29). Так как справа в уравнении стоит функция только у, а слева — функция только х, то равенство возможно только тогда, когда правая и левая части равны некоторой постоянной величине, не зависящей от координат. Тогда имеем о
= const, р = const • ж + • (6.30) ох
Здесь нам снова приходится обращаться к правдоподобной гипотезе о симметрии эффекта. Из (6.30) следует, что мы имели бы бесконечное давление на бесконечности. Но это трудно понять физически, так как движение жидкости в любой точке начиналось из одного и того же состояния, не зависящего от координаты х. Поэтому постоянную в уравнении (6.30) мы будем полагать равной нулю. Кроме того, в соотношении (6.30)夕о — некоторое постоянное давление, которое можно обозначить через р.
Тогда для нахождения распределения скоростей в зазоре имеем уравнение
^^ = 0, vx = ау + Ь.(6.31)
Граничные условия к уравнению (6.31) имеют вид
vx(y = 0) = 0 , vx(y =九)=〃 .(6.32)
Используя граничные условия, имеем
%•(6.33)
На (рис. 6.2) изображено распределение скоростей частиц жидко
сти в зазоре согласно формуле (6.33).
Найдем силы, действующие на единицу площади поверхностей. Рассмотрим силу, действующую в направлении оси ж на единицу площади нижней поверхности. Имеем
Р；)= Pi к П к ；^® =。, Пу = 1, Tlz = 0.
(6.34)
Следовательно, для силы получим сле
дующее выражение, установленное еще Ньютоном:
= п-= п-(6.35)(6.35)
= п-
= п-
(6.35)
(6.35)
Проекциями нормали к верхней пластине будут пж = 0, пу = =—1, nz = 0. Тогда сила, действующая на верхнюю поверхность
в направления оси х, равна
Р^ = -РХу =—原У =(箒)—о = —〃 %⑹36)
Как и следовало ожидать, силы оказались равными по величине, но противоположно направленными.
Сила, действующая на единицу площади нижней поверхности в направлении оси у, равна
(6.37)(6.37)門九)=Руу = —р 十 о-уу(у = 0) = —р .
(6.37)
(6.37)
Нетрудно убедиться, что на единицу поверхности верхней плоскости в направлении оси у действует сила, равная давлению жидкости р.
dvx _〃ду ~ hdvx _〃ду ~ hМожно показать, что, хотя все частицы жидкости движутся прямолинейно вдоль оси х, движение непотенциально. Действительно,
dvx _〃
ду ~ h
dvx _〃
ду ~ h
(6.38)
Таким образом, индивидуальные частицы жидкости, двигаясь поступательно как целое, одновременно вращаются вокруг некоторой оси, проходящей через сами частицы, что объясняется действием сил
вязкости.
вязкости жидкости.6.3.2. Плоское течениевязкости жидкости.6.3.2. Плоское течениепараллельные неподвижныепараллельные неподвижныеПолученное точное решение задачи Куэтта может быть использовано для экспериментального определения феноменологического коэффициента вязкости 〃. Для этого нужно измерить силу, действующую на единицу площади верхней или нижней поверхности. Тогда, измеряя расстояние между плоскостями и воспользовавшись формулой (6.35), можем определить коэффициент вязкости. Однако с точки зрения экспериментальной техники это не самый простой способ измерения
вязкости жидкости.
6.3.2. Плоское течение
вязкости жидкости.
6.3.2. Плоское течение
параллельные неподвижные
параллельные неподвижные
Пуазейля. Рассмотрим две бесконечные
равно h.равно h.плоскости, расстояние между которыми
равно h.
равно h.
Пусть между плоскостями изотермически движется вязкая несжи
маемая жидкость под действием градиента давления, направленного
Рис. 6.3. Плоское течение ПуазейляРис. 6.3. Плоское течение Пуазейлявдоль оси х (рис. 6.3). Можно показать, что, хотя все частицы жидкости движутся прямолинейно вдоль оси х, движение непотенциально.
Рис. 6.3. Плоское течение Пуазейля
Рис. 6.3. Плоское течение Пуазейля
Снова будем предполагать, что если ускорение свободного падения направлено вдоль оси у, то сила тяжести не должна влиять на движение жидкости в зазоре между плоскостями.
Пусть градиент давления создан некоторым внешним источником (насос, компрессор). Будем полагать, что движе-
ние плоское и стационарное. Используя
вторую гипотезу, предположим, что скорость частиц жидкости в зазоре направлена только вдоль оси ж и зависит только от поперечной координаты у. Таким образом, мы должны решить уравнение
Навье-Стокса при следующих условиях:
= 0, f = 0, vx =。宏(у), Vy = vz = 0 , р = const.(6.39)
При сделанных предположениях уравнение движения в компонентах будет иметь следующий вид:
др _ d2vxдр _ d2vxдр дудр ду=О,=О,др dzдр dz=0.=0.(6.40)(6.40)
др _ d2vx
др _ d2vx
др ду
др ду
=О,
=О,
др dz
др dz
=0.
=0.
(6.40)
(6.40)
Уравнение неразрывности удовлетворяется тождественно.
Из второго и третьего уравнений в (6.40) следует, что давление не зависит ни от ?/ , ни от z, а может быть функцией только х. Тогда из первого уравнения имеем
др дхдр дх人 d2vx人 d2vx(6.41)(6.41)
др дх
др дх
人 d2vx
人 d2vx
(6.41)
(6.41)
Отсюда следует, что давление есть линейная функция х, а скорость
жидкости равнажидкости равна=^ у2 ^ау^Ь.=^ у2 ^ау^Ь.(6.42)(6.42)
жидкости равна
жидкости равна
=^ у2 ^ау^Ь.
=^ у2 ^ау^Ь.
(6.42)
(6.42)
Постоянные а и & могут быть определены из граничных условий
加3 =。)=。， vx(y = Л) = 0.(6.43)
Подставляя граничные условия (6.43) в выражение для скорости, имеем
а = —^拉， b = 0.(6.44)
Применяя эти условия к выражению (6.42) для скорости жидкости, получим
Г 卜(6.45)
Согласно (6.45) эпюра скоростей (см. рис. 6.3) представлена параболой.
Из формулы (6.45) для максимальной и средней скорости течения жидкости в зазоре нетрудно получить
°тах = % (у =拉/2)=• (6.46)
8?7 dxh Jах
о
Знак скорости определяется знаком градиента давления. Если давление уменьшается вдоль оси х, то (dp/d/) < 0, a vx > 0, т. е. скорость направлена в сторону уменьшения давления.
Найдем силу, действующую на единицу площади нижней поверхности в направлении оси х:
(6.47)
(6.48)(6.48)Дифференцируя выражение (6.45), получим p(n) = _h dp 宓_г dx ■
(6.48)
(6.48)
Точно такое же выражение получим и для силы, действующей на единицу площади верхней поверхности в направлении оси х. Знак силы так же определяется знаком градиента давления. Если (dp/dx) < 0, то силы, действующие на плоскости, направлены в ту же сторону, что и ось х.
Объемный и массовый расходы жидкости, через любое сечение (единичной ширины), перпендикулярное оси х, равны соответственно
—1277 d 犷—P —127/ dx'—1277 d 犷—P —127/ dx'(6.49)(6.49)
—1277 d 犷—P —127/ dx'
—1277 d 犷—P —127/ dx'
(6.49)
(6.49)
Цилиндрическое течение Пуазейля. Рассмотрим установившееся изотермическое движение вязкой несжимаемой жидкости в цилиндрической бесконечной трубке, поперечное сечение которой представляет собой окружность радиуса го. Движение жидкости вызвано постоянным градиентом давления, направленным вдоль оси трубки. Для решения задачи естественно воспользоваться цилиндрической системой координат г, g, z, где ось z направлена вдоль оси симметрии трубки.
Уравнение Навье-Стокса, уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости, а также компоненты тензора напряжений в цилиндрической системе координат приведены в приложении.
Если труба расположена горизонтально, то сила тяжести не влияет на движение жидкости в трубе. Будем также полагать, используя гипотезу 2, что скорости частиц жидкости в трубе имеют единственную компоненту, направленную вдоль оси трубы и зависящую только от радиальной координаты г. Следовательно, необходимо решить уравнение Навье-Стокса при следующих условиях:
^=0, f = 0, vz = vz(r),^=0, f = 0, vz = vz(r),о「= 0, р = const. (6.50)о「= 0, р = const. (6.50)
^=0, f = 0, vz = vz(r),
^=0, f = 0, vz = vz(r),
о「= 0, р = const. (6.50)
о「= 0, р = const. (6.50)
При этих условиях уравнение неразрывности удовлетворяется тождественно, а уравнение Навье-Стокса в проекциях будет иметь сле-
дующии вид:禦=。,orИз первого идующии вид:禦=。,orИз первого и患=。，й患=。，й1 a / dvz 、1 a / dvz 、(6.51)(6.51)второго уравнений системы (6.51) следует, что привторого уравнений системы (6.51) следует, что призаданной топологии течения давление не должно зависеть ни от г, низаданной топологии течения давление не должно зависеть ни от г, ни
дующии вид:
禦=。,or
Из первого и
дующии вид:
禦=。,or
Из первого и
患=。，й
患=。，й
1 a / dvz 、
1 a / dvz 、
(6.51)
(6.51)
второго уравнений системы (6.51) следует, что при
второго уравнений системы (6.51) следует, что при
заданной топологии течения давление не должно зависеть ни от г, ни
заданной топологии течения давление не должно зависеть ни от г, ни
от з，а может быть функцией только z. Поскольку vz зависит только от г, то левая и правая части третьего уравнения представляют собой некоторую постоянную. Обозначив эту постоянную через А, имеем
dp dzdp dz=А ==А =1 d1 dИнтегрируя, получимИнтегрируя, получимVzVz_4 2_4 2十 Q In Т + Ь ,十 Q In Т + Ь ,(6.52)(6.53)(6.52)(6.53)
dp dz
dp dz
=А =
=А =
1 d
1 d
Интегрируя, получим
Интегрируя, получим
Vz
Vz
_4 2
_4 2
十 Q In Т + Ь ,
十 Q In Т + Ь ,
(6.52)
(6.53)
(6.52)
(6.53)
где а, 6 — постоянные интегрирования.
Поскольку на оси трубы не может быть бесконечной скорости, то постоянную интегрирования а следует положить равной нулю. Постоянную b найдем из граничных условий
Vz(r = го) = О, 6 = Го .(6.54)
Подставляя (6.54) в выражение для скорости (6.53), имеем
VzVz楮dp4〃 dz楮dp4〃 dz(6.55)(6.55)
Vz
Vz
楮dp
4〃 dz
楮dp
4〃 dz
(6.55)
(6.55)
Теперь можно вычислить максимальную и среднюю скорости движения жидкости по трубе
Отах = Н0) = —樂’〜煮卜 Zrdu—^g (6.56)
Таким образом, vma^/v = 2. Направления скоростей определяются направлением градиента давления.
Для объемного и массового расхода жидкости через поперечное сечение трубы получаем формулу Пуазейля:
》褚万=—呪 ％ Qm = pQv =•(6.57)
dzdz
Найдем силу, действующую на единицу площади поверхности трубы в направлении оси z:
Р” = Рм =—応「= -rj•(6.58)
Здесь учтено, что nz имеемЗдесь учтено, что nz имеемР(n)_—里 d0Р(n)_—里 d0(6.59)(6.59)=п^ = 0, пг = — 1. Используя формулу (6.55),
Здесь учтено, что nz имеем
Здесь учтено, что nz имеем
Р(n)_—里 d0
Р(n)_—里 d0
(6.59)
(6.59)
Вычислим силу трения, действующую на кольцевой элемент поверхности трубы длиной △% в направлении оси z:
△F = 2тггоА^ (^ 乎)=а*△夕.(6.60)
Из последнего соотношения видно, что разность сил, действующих на жидкость, в двух любых сечениях трубы, разделенных расстоянием △z, равна силе трения жидкости о стенку трубы, действующей на боковую поверхность рассматриваемого элемента объема жидкости. Очевидно, это следует из закона Ньютона, т. е. лишь при равенстве сил рассматриваемый элемент объема жидкости будет находиться в состо
янии покоя или равномерного прямолинейного движения относительно
трубки.
Формула Пуазейля может быть использована для измерения вязкости жидкости. Согласно формуле (6.57) для измерения вязкости
жидкости необходимо измерить ее массовый или объемный расход.
Тогда, зная радиус трубы и градиент давления, можно вычислить вяз
кость жидкости. Например, можно поставить опыт следующим обра
Рис. 6.4. Измерение вязкости жидкости: / — сосуд с жидкостью, 2 — капилляр, 3 — сосуд для сбора жидкостиРис. 6.4. Измерение вязкости жидкости: / — сосуд с жидкостью, 2 — капилляр, 3 — сосуд для сбора жидкостизом. Пусть в сосуде 7 (рис. 6.4) налита жидкость, вязкость которой необходимо измерить. Эта жидкость может вытекать из сосуда через тонкий капилляр 2 в сосуд 3. Тогда, если пренебречь изменением уровня жидкости в сосуде 7, перепад давления на концах капилляра будет равен гидростатическому давлению жидкости на входе в капилляр. Если это давление разделить на длину капилляра, то получим dp/dz. Далее, зная время (по секундомеру) и объем жидкости, поступившей за это время в сосуд 3, найдем расход. Измеряя радиус капилляра и используя формулу Пуазейля (6.57), найдем вязкость жидкости.
Рис. 6.4. Измерение вязкости жидкости: / — сосуд с жидкостью, 2 — капилляр, 3 — сосуд для сбора жидкости
Рис. 6.4. Измерение вязкости жидкости: / — сосуд с жидкостью, 2 — капилляр, 3 — сосуд для сбора жидкости
Отметим, что в данном эксперименте радиус капилляра следует измерять довольно точно, так как расход жидкости пропорционален Гд, т. е. ошибка измерения радиуса учетверяется. Если объем исследуемой
жидкости ограничен, то нетрудно при решении задачи учесть изменение уровня жидкости в сосуде /.
При не слишком точных относительных измерениях вязкости капельных жидкостей сосуды и капилляр располагают по вертикали (вискозиметр Энглера). Тогда вязкости эталонной и исследуемой жидкостей будут относиться, как их расходы. Зная вязкость эталонной жидкости из каких-либо других более точных измерений, можно определить вязкость исследуемой жидкости.
Движение жидкости между двумя вращающимися цилиндрами. Рассмотрим установившееся движение несжимаемой вязкой жидкости между двумя коаксиальными вращающимися цилиндрами. Будем полагать цилиндры бесконечными, так что краевыми эффектами можно пренебречь. Пренебрежем также действием силы тяжести.
Пусть цилиндры ловыми скоростямиПусть цилиндры ловыми скоростямис радиусами R\ и & (& > 凡)вращаются с уг- 必1 и 必2 соответственно (рис. 6.5). При решении
Пусть цилиндры ловыми скоростями
Пусть цилиндры ловыми скоростями
Рис. 6.5. Жидкость между вращающимися цилиндрамиРис. 6.5. Жидкость между вращающимися цилиндрамизадачи естественно воспользоваться цилиндрической системой координат с осью z, направленной по оси цилиндров. Тогда имеем
Рис. 6.5. Жидкость между вращающимися цилиндрами
Рис. 6.5. Жидкость между вращающимися цилиндрами
石=0, f = 0, vz = vr = 0,
dt
。屮=^^(г), 夕=p(r),° = const.
Уравнения движения в цилиндрических координатах при заданной топологии задачи
запишутся в следующем виде:
21,_ 1 dpг 0 d丁21,_ 1 dpг 0 d丁d20夕1 dv^0夕_С
21,
_ 1 dp
г 0 d丁
21,
_ 1 dp
г 0 d丁
dr2г drr2 •
(6.61)
^-проекция уравнения^-проекция уравненияНавье-Стокса, а также уравнение непре-
^-проекция уравнения
^-проекция уравнения
рывности выполняются тождественно. Заметим, что второе уравнение в (6.61) для определения скорости не содержит вязкость.
ния:ния:(6.62)(6.62)Используя подстановку。屮=Агп, найдем решение второго уравне
ния:
ния:
(6.62)
(6.62)
Граничные условия для определения постоянных интегрирования а, b можно записать следующим образом:
V^(r = R1)=必1品， V^(r = &)=必2& • (6.63) Отсюда получаем
_ 31 居—32居 7 _(32 — 31)居居 А4、
Так как распределение скорости жидкости в зазоре между цилиндрами не зависит от вязкости, то такое распределение может иметь и идеальная жидкость, не обладающая вязкостью по определению.
Проанализируем полученное решение. Если 必1 =必2 =必，то жидкость в зазоре вращается как абсолютно твердое тело с постоянной угловой скоростью, равной скорости вращения цилиндров.
Если имеется только внутренний цилиндр, вращающийся в бесконечной жидкости, то из (6.62), (6.64) получаем потенциальное движение. При этом циркуляция скорости по любому контуру, охватывающему цилиндр, равна Г = 2тгН^Ш1. Таким образом, установившееся движение вязкой несжимаемой жидкости, покоящейся на бесконечности, вызываемое вращающимся бесконечным цилиндром, является потенциальным во всех точках объема вне цилиндра. Очевидно, во всех плоскостях, перпендикулярных оси цилиндра, движение жидкости одинаково и может считаться плоским. Как определено выше, такое движение называется плоским вихрем.
При не слишком большой скорости набегающего потока и угловой скорости цилиндра подъемная сила, возникающая при обтекании цилиндра с циркуляцией, согласно теореме Жуковского, может быть определена следующим образом (5.116):
Fу = 一0。8「= 一0。8 " 27rR]CJ1 .(6.65)
Направление подъемной силы и ее величина определяются как величиной, так и направлением скоростей набегающего потока и вращения цилиндра. При прочих равных условиях величина подъемной силы пропорциональна квадрату радиуса цилиндра.
Распределение давления в зазоре между цилиндрами можно определить из первого уравнения системы (6.61):
夕=]dr = р ^ a2T2 + 2ab In г — ^^) + с •(6.66)
Постоянная с может быть определена из граничного условия
Р(г =凡)=夕 1 •(6.67)
Если 必1 =必2 =必，то 。屮=gt. Тогда распределение давления в зазоре будет иметь вид
Р = Pi + ^ Р^2 (^2 -舟)•(6・68)
Если в зазоре между цилиндрами находится газ, то при однородной температуре с учетом уравнения состояния идеального газа Менделеева-Клапейрона имеем
好窝，1^=爲/ + J (6.69) RT r fip dr2RT
где 从—молярная масса газа, R — молярная газовая постоянная, Т — температура; плотность р зависит от координат так же, как давление р.
Определив постоянную интегрирования с из граничного условия (6.67), получим
_2ЯГ 2■
Р = Р\ ехр (г2 - Я?) , р = Pi exp (г2 - Я?) . (6.70)
Определим момент сил трения, действующих на единицу длины внутреннего цилиндра:
Mi = -2тгЯ15^Я1, 3外=〃(需-^[_r •(6.71)
Подставляя значение。屮 и дифференцируя, получим
=Ri) = 一 〃 ^ = 〃 么？2-彳产•(6・72)
Тогда для момента сил трения имеем формулу
m =4⑪雋电亡％ .m =4⑪雋电亡％ .(6.73)(6.73)
m =4⑪雋电亡％ .
m =4⑪雋电亡％ .
(6.73)
(6.73)
Очевидно, на единицу длины внешнего цилиндра будет действовать
такой же момент сил трения, но с обратным знаком.
На основе полученного точного решения можно провести опыт, позволяющий определить коэффициент вязкости жидкости (рис. 6.6).
Рис. 6.6. Определение вязкостиРис. 6.6. Определение вязкостиЕсли между цилиндрами поместить исследуемую жидкость и вращать только внешний цилиндр, то на внутренний неподвижный цилиндр будет действовать момент вязких сил, определяемый формулой (6.73). Если внутренний цилиндр подвешен на упругой нити, то нить будет закручиваться, что можно зафиксировать при помощи закрепленного на ней зеркальца.
Рис. 6.6. Определение вязкости
Рис. 6.6. Определение вязкости
Определяя момент сил трения по углу закручивания нити /, на которой подвешен внутренний цилиндр 2, по формуле (6.73) можно определить коэффициент вязкости жидкости. При этом геомет-
рические размеры цилиндров и угловая скорость вращения внешнего цилиндра должны быть известны. Существенную конструктивную трудность такой
установки представляет устранение влияния торцов цилиндров, так как точное решение, полученное выше, справедливо лишь для бесконечных цилиндров.
Медленное обтекание шара
Пусть неподвижный шар радиусом т° обтекается вязкой несжимаемой жидкостью со скоростью и на бесконечности. Движение будем полагать изотермическим. Задача стационарна, уравнения движения имеют вид
(vV)v =——div v = 0 . (6.74)
Оценим порядок членов уравнения. Скорость набегающего потока падает до нуля на поверхности шара на расстоянии, равном приблизительно диаметру шара. Поэтому имеем
(v▽”〜£^ = Re.^△v n(v▽”〜£^ = Re.^△v n(6.75)(6.75)2
(v▽”〜£^ = Re.
^△v n
(v▽”〜£^ = Re.
^△v n
(6.75)
(6.75)
(vV)v 〜± , 〃Av 〜4dP d
Если безразмерный параметр Re будет значительно меньше единицы, то в уравнении движения членом (vV)v можно пренебречь по сравнению с остальными членами. Этот безразмерный параметр называется числом Рейнольдса. Очевидно, число Рейнольдса показывает, во сколько раз инерционные силы в жидкости больше вязких.
Таким образом, если Re《1, то уравнения движения имеют вид
^△v —▽夕=0, divv = 0.(6.76)
Применим операцию rot к обеим частям уравнения движения, получим
rot V = 0 , div V = 0 .(6.77)
Разложим скорость движения частиц жидкости на две составляющие
V = и + V’.(6.78)
Очевидно, добавка v‘ характеризует возмущение скорости жидкости вблизи шара и потому должна обращаться в нуль на бесконечности. Далее из уравнения непрерывности имеем
div V = div(u + V’)= 0 , div u = 0 , divv' = 0.(6.79)
Следовательно, v‘ может быть представлена в виде ротора некоторого вектора А:
v' = rotA, div vz = div rot A = 0 , v = u + rot A .(6.80)
По-видимому, вектор А должен быть функцией координат г и скорости набегающего потока и. Так как v — вектор полярный (см. сноску на с. 83), то А должен быть аксиальным вектором. Из имеющихся в нашем распоряжении векторов (r，U) можно составить единственный аксиальный вектор — их векторное произведение. Таким образом, вектор А должен иметь вид
А = /(г) [n, u], п = р(6.81)
Здесь /(г) — некоторая скалярная функция радиальной координаты г, п — внешняя нормаль.
Последнее соотношение можно записать следующим образом:
A = [V/,u],(6.82)
Подставляя это в уравнение движения (6.77), имеем
Vх = rot[V/, u], △ rot rot[V/, и] = 0 .(6.83)
Операция rot rot может быть записана следующим образом:
rot rot = grad div —△ ,(6.84)
и уравнение для определения функции /(г) будет иметь вид
(grad div—△)[▽/, и] = 0 .(6.85)
Нетрудно доказать следующее равенство:
[V/, и] = rot /и .(6.86)
Тогда с учетом того, что div rot = 0, уравнение (6.83) можно записать в следующем виде:
△2[V/, и] =0,A2[V/, и] = [V А2/, и].(6.87)
При произвольной ориентации вектора V/ уравнение (6.87) может выполняться только тогда, когда
△2[V/,u] = VA2/=0.△2[V/,u] = VA2/=0.(6.88)(6.88)
△2[V/,u] = VA2/=0.
△2[V/,u] = VA2/=0.
(6.88)
(6.88)
После первого интегрирования имеем
△2/ = const.(6.89)
Очевидно, постоянную в правой части последнего уравнения следует положить равной нулю. Действительно, конечной целью решения является определение скорости v‘ как функции координат. Но v‘ определяется в соответствии с выражением (6.83) вторыми производными от функции / по координатам, тогда как для нахождения /, согласно уравнению (6.89), необходимо проинтегрировать по координатам четыре раза. Поэтому если постоянную не полагать равной нулю, то скорость Vх не обратится в нуль на бесконечности, что должно быть по ее определению.
В сферических координатах уравнение (6.89) будет иметь вид
=(6.90)
аг \ аг/
Интегрируя, получим
* А/ = ^ + с.(6.91)
аг产г
По вышеприведенным соображениям постоянную с также следует положить равной нулю. Следующее интегрирование приводит к результату:
П/ =(6・92)
При последнем интегрировании постоянная интегрирования опущена, так как скорость v‘ определяется производными по координатам и поэтому постоянная интегрирования не существенна.
Используя определение скорости движения частиц жидкости, имеем
v = u + v' = u + rot[V/, u] = u + rot rot /u = u + (grad div —A)/u .
(6.93)
Поскольку u — постоянный вектор, то, используя (6.92), имеем
△/и = иА/ = 〃型，div /и = uV/ = ип (а ——^ j .(6.94)
Продолжая вычисления, получаем
▽ div /и = и Т + (иг) Т + 沙. (6.95) Группируя члены, в результате имеем
吁…й+⑴П叫…)？ -u(6.96)
Постоянные а и 6 должны быть определены из граничных условий на поверхности шара:
v(r = го) = 0 .(6.97)
Так как вектор скорости жидкости должен быть равным нулю в любой точке на поверхности шара, т. е. при любой ориентации нормали п, то, следовательно, должны обращаться в нуль в отдельности коэффициенты при векторах и и п в выражении (6.96). Тогда получим
а = I то , b =予•(6.98)
Очевидно, картина обтекания шара (рис. 6.7) имеет цилиндрическую симметрию, поэтому。夕=0. Компоненты скорости ЖИДКОСТИ Vr И V0 могут быть найдены из выражений (6.96) и (6.98)
_Л3 го1Го А А_ А3 го 1Го А .
Vr —I ]一77h 77-ч I ^ COS 仇Vq— 一 I 1一— — 一 ——т I U Sin 仇
\r/\4丁4丁3/
(6.99) Для определения силы, действующей на шар со стороны движущейся жидкости, возвратимся к исходному уравнению движения (6.76):
Vp = 77 Av, Vp = 77 A(rot rot /и) = 77 A(grad div — А)/и .(6.100)
Принимая во внимание уравнение (6.89), имеем
▽夕=ту △ grad div /и = grad[77 △ div(/u)] .(6.101)
Интегрируя, получим следующее выражение:
Р = Ри + П △ div(/u)=夕 о + 〃△(□▽/) = ро + ^u V (△/) . (6.102)
Здесь 夕° — давление в набегающем потоке вдали от шара. Принимая во внимание, что △/ = 2а/г, получим
P = PQ-rj (un) I 学•(6.103)
На поверхности шара (г = т。) распределение давления имеет вид
р = ро — I cos 夕.(6.104)
2 r0
Сила, действующая на шар со стороны движущейся жидкости, может быть вычислена следующим образом:
(6.105)(6.105)F = j PS) dS, Fi=j P『)dS = j Piknk dS,Fj j (卩》?2r + P%屮n屮 + P%e九e) dS.
(6.105)
(6.105)
Выберем направление действия силы, совпадающее с направлением скорости набегающего потока. В этом случае проекции нормали к произвольному элементу поверхности шара будут иметь значения (см. рис. 6.7)
nr = cos в , 九屮=0 , П0 = — sin ^ . (6.106)
Подставляя эти значения в выражение для силы сопротивления, получаем
歹=，l(~P + 3”)cos 夕一*「e sin 0] dS .(6.107)
Вычислим значения соответствующих компонент тензора вязких напряжений на поверхности шара (г = го), пользуясь их выражениями в сферической системе координат и полученными формулами для компонент скоростей (6.99)
〜 分 (dvr\ e 〜(dve\3仪
arr = 2 г]= 0, агв = г][-—-= 一 己——sm6>.
\ dr\2 г0
(6.108)
Подставляя выражения (6.104) и (6.108) в (6.107), получаем
F = бтггипи .(6.109)
Формула (6.109) описывает силу сопротивления при медленном (Re《1) обтекании шара вязкой несжимаемой жидкостью и называется формулой Стокса.
Формула Стокса имеет широкое применение. Она использовалась Милликеном при определении величины заряда электрона, используется для измерения вязкости жидкостей по методу падающего шарика, часто используется при изучении движения мелких пылинок или капель жидкости в атмосфере и т. д.
Более точное решение задачи Стокса с приближенным учетом нелинейного члена ((vV)v) в уравнении движения было получено Осееном:
F = 67vrQrju (1 + ^^)， Re《1.(6.110)
Как показывает опыт, формула Осеена справедлива до чисел Рейнольдса порядка единицы. При дальнейшем увеличении числа Рейнольдса картина обтекания шара существенно изменяется (образование застойной зоны за шаром, возникновение турбулентности) и вышеприведенное рассмотрение не справедливо.
При малых числах Рейнольдса аналогичную задачу можно решить для произвольного эллипсоида и диска. Так, для диска, расположен-
ного перпендикулярно и параллельно скорости набегающего потока, соответственно получено
斤=16t0〃"， F = - rovyu .(6.111)
Ниже в таблице приведены значения динамической и кинематической вязкостей некоторых жидкостей:
Жидкость
?7, 10-1 кг/(м • с)
и, 10-4 м2/с
Вода
0,010
0,010
Воздух
1,8. 1(Г4
0,150
Спирт
0,018
0,0122
Глицерин
8,5
6,8
Ртуть
0,0156
0,0012
Следует отметить, что коэффициент динамической вязкости как плотных газов, так и жидкостей слабо зависит от давления. Динамическая вязкость газов с увеличением температуры увеличивается
〃〜TJ 0,5 < п < 1,5.〃〜TJ 0,5 < п < 1,5.(6.112)(6.112)
〃〜TJ 0,5 < п < 1,5.
〃〜TJ 0,5 < п < 1,5.
(6.112)
(6.112)
Динамическая вязкость жидкостей с увеличением температуры уменьшается. Экспериментальные данные по температурной зависимости коэффициентов динамической вязкости жидкостей хорошо описываются формулой о
ту = А ехр — . (6.113)
Здесь А и В — некоторые эмпирические коэффициенты.
Контрольные вопросы
Перечислите уравнения, составляющие замкнутую систему уравнений движения вязкой жидкости?
В чем состоят граничные условия к уравнению Навье-Стокса? Рассмотрите поверхность твердого тела, границу раздела двух несмешивающихся жидкостей и свободную поверхность жидкости.
Что такое диссипация кинетической энергии вязкой жидкости? В какой области движущейся жидкости диссипация энергии наиболее существенна?
Покажите на графике качественную зависимость интенсивности плоского вихря от времени.
Что такое массовый и объемный расход жидкости?
Как измерить коэффициент вязкости, используя закон Пуазейля о движении жидкости в трубке? То же, используя закон Стокса о движении шарика в жидкости.
Как коэффициент вязкости газов и жидкостей зависит от температуры?
Что такое число Рейнольдса? Запишите формулу и поясните физический смысл.
В каком случае можно пренебречь нелинейным членом (vV)v в уравнении Навье-Стокса?
Покажите, что если линии тока параллельны, то (vV)v = 0.
Шарик равномерно движется в жидкости вдоль направления силы тяжести. Как скорость шарика зависит от его радиуса и вязкости жидкости?
Какие жидкости называют ньютоновскими?
6.5. Примеры решения задач
Задача 1
Дно широкого бассейна покрыто тонким слоем воды. На поверхности воды плавает тонкая деревянная доска, нижняя поверхность которой находится на расстоянии d от дна бассейна. Все остальные размеры доски во много раз больше d. Доска движется горизонтально с малой скоростью и. Чему равна скорость диссипации энергии в единице объема воды вблизи середины доски? Воду считать несжимаемой
жидкостью.
Решение. Выберем декартову систему координат, как показано на рис. 6.8. Распределение скоростей жидкости вдали от краев доски
Рис. 6.8. Движение пластинки вдоль свободной поверхности жидкостиРис. 6.8. Движение пластинки вдоль свободной поверхности жидкостиопределяется решением задачи о плоском течении Куэтта (6.33):
Рис. 6.8. Движение пластинки вдоль свободной поверхности жидкости
Рис. 6.8. Движение пластинки вдоль свободной поверхности жидкости
加=(6.114)
Сила трения, действующая на единицу поверхности доски равна
/ = 〃醬=若.(6.115)
При этом работа на преодоление силы трения, совершаемая в единицу времени и отнесенная к единице площади поверхности доски, равна 2
E = Pxz.u = rivz. (6.116)
Искомая скорость диссипации энергии в единице объема жидкости определяется следующим выражением:
ЁЁ(6.117)(6.117)
Ё
Ё
(6.117)
(6.117)
Заметим, что этот результат может быть получен непосредственно из выражения (6.27).
Задача 2
Определите диссипацию энергии при движении воздуха в плоском канале (рис. 6.9) со средней скоростью 万=20 м/с. Вязкость воздуха и размеры канала заданн: 〃 = 1,8 • 10-4 г/(см • с), Л = 1 мм, d = 0,5 м,
Рис. 6.9. Движение воздуха в плоском каналеРис. 6.9. Движение воздуха в плоском канале(6.118)(6.118)Тогда из выражения духа в канале получимТогда из выражения духа в канале получимдЕ ~dtдЕ ~dtСредняя по сечению скорость равна (6.46)Средняя по сечению скорость равна (6.46)Отсюда имеемОтсюда имеем0 =_画/.0 =_画/.(6.119)(6.120)(6.121)(6.119)(6.120)(6.121)
Рис. 6.9. Движение воздуха в плоском канале
Рис. 6.9. Движение воздуха в плоском канале
(6.118)
(6.118)
Тогда из выражения духа в канале получим
Тогда из выражения духа в канале получим
дЕ ~dt
дЕ ~dt
Средняя по сечению скорость равна (6.46)
Средняя по сечению скорость равна (6.46)
Отсюда имеем
Отсюда имеем
0 =_画/.
0 =_画/.
(6.119)
(6.120)
(6.121)
(6.119)
(6.120)
(6.121)
/ = 1 м. Оцените разность температур воздуха на входе и выходе из
канала за счет диссипации энергии.
Решение. Из решения задачи о плоском течении Пуазейля (6.45) известны компоненты вектора скорости движения воздуха в канале:
для скорости диссипации энергии воз-
Выражение (6.119) для скорости диссипации энергии принимает
следующий вид:
(6.122)
где V = Idh — объем щели.
Численный расчет дает
(6.123)(6.123)響= -43,2 Вт.
(6.123)
(6.123)
dt
В соответствии с первым началом термодинамики уменьшение внутренней энергии воздуха в случае постоянного объема равно количеству выделенной теплоты. С другой стороны количество выделенного тепла пропорционально изменению температуры воздуха
дЕ ~dtдЕ ~dtdQи дТdQи дТ(6.124)(6.124)
дЕ ~dt
дЕ ~dt
dQи дТ
dQи дТ
(6.124)
(6.124)
где су — удельная теплоемкость при воздуха.Из выражения (6.124) получаем ат〜△т〜 9力~ △力~где су — удельная теплоемкость при воздуха.Из выражения (6.124) получаем ат〜△т〜 9力~ △力~постоянном объеме, р - плотностьпостоянном объеме, р - плотность]dQcvpv а力.]dQcvpv а力.(6.125)(6.125)
где су — удельная теплоемкость при воздуха.
Из выражения (6.124) получаем ат〜△т〜 9力~ △力~
где су — удельная теплоемкость при воздуха.
Из выражения (6.124) получаем ат〜△т〜 9力~ △力~
постоянном объеме, р - плотность
постоянном объеме, р - плотность
]dQ
cvpv а力.
]dQ
cvpv а力.
(6.125)
(6.125)
Среднее время, в течение которого воздух пройдет через весь канал, равно/
△力===0,05 с.
За это время температура воздуха изменится на величину
△Т ^△Т ^cppVv otcppVv ot(6.127)(6.127)
△Т ^
△Т ^
cppVv ot
cppVv ot
(6.127)
(6.127)
Таким образом, при прохождении воздуха через канал его температура повысится на 3,4 К за счет работы сил вязкости.
Задача 3
Слой жидкости толщиной Л ограничен сверху свободной поверхностью, а снизу — неподвижной плоскостью, наклоненной под углом а к горизонту (рис. 6.10). Определите движение жидкости под влиянием силы тяжести. Слой жидкости считать бесконечно тонким по сравнению с размерами f J 上наклонной плоскости.
Изучение таких тонких слоев жидкости 二связано с работой колонн с орошаемой стен5......C2z^.кой при испарении, а также с нанесением краски на бумажную ленту.
Рнс. 6.10. Движение слоя Решение. Выберем систему координат жидкостикак показано на рис. 6.10. Рассмотрим уча
сток пленки жидкости, удаленный от концов пластинки настолько, чтобы можно было не учитывать краевые искажения потока. В этом случае гидродинамические переменные зависят только от координаты z. Из топологии течения очевидно, что отличной от нуля будет только ж-компонента скорости: vy = vz = 0, vx = o(z). Проекции уравнения Навье-Стокса на оси х п z в поле силы тяжести запишутся в виде
+ gsinа = 0, —丄孥一gcosa = 0.(6.128)
dzР dz
На свободной поверхности при z = h, если пренебречь вязкостью воздуха по сравнению с вязкостью жидкости, должны выполняться условия
Pzz = 一夕=一夕0， Pxz = 〃 ^! =。，(6.129)
где 夕° — атмосферное давление.
На стенке при z = 0 выполняется условие прилипания: vz = 0. Удовлетворяющее этим условиям решение есть
р = Р0 + 0g(拉—z) cos a , v =冃‘山。(拉 _ ^)(6.130)
Секундный расход жидкости через поперечное сечение слоя (отнесенный к единице длины вдоль оси у) равен
(6.131)(6.131)Q = р ^v dz = Qj： sin a ;
(6.131)
(6.131)
о
в случае вертикальной плоской стенки
Q =Q =pgdз〃pgdз〃(6.132)(6.132)
Q =
Q =
pgd
з〃
pgd
з〃
(6.132)
(6.132)
Задача 4
Цилиндр радиуса Ri движется стационарно со скоростью и внутри
коаксиального с ним цилиндра радиуса 兄2 параллельно своей оси (рис. 6.11). Определите скорость движения жидкости, заполняющей пространство между цилиндрами, объемный расход жидкости и силу,
Рис. 6.11. Течение жидкости в кольцевом каналеРис. 6.11. Течение жидкости в кольцевом каналедействующую на единицу длины движущегося цилиндра.
Рис. 6.11. Течение жидкости в кольцевом канале
Рис. 6.11. Течение жидкости в кольцевом канале
Такие задачи возникают при описании движения плунжеров 9, откатных устройств в артиллерии, работы устройств при нанесении на проволоку различных покрытий.
координаты с осью z, накоординаты с осью z, наРешение. Выберем цилиндрические
координаты с осью z, на
координаты с осью z, на
правленной вдоль оси цилиндров (рис. 6.11). На участке, удаленном
от торцов внешнего цилиндра жидкость движется только вдоль оси z. Скорость движения жидкости и давление зависят только от радиальной координаты 丁：
vr = v^ = 0, vz = 0(丁)， p = p(r).(6.133)
Уравнение Навье-Стокса в цилиндрических координатах принимает
видвид(6.134)(6.134)
вид
вид
(6.134)
(6.134)
Заметим, что конвективный член (vV)v = vdv/dz тождественно равен нулю. На поверхностях внутреннего и внешнего цилиндров выполняются условия прилипания
ь(т = R、)= и, о(г = &)=0.(6.135)
Решение имеет вид
V = иV = и111(丁/R2)111(丁/R2)ln(Hi/H2) *ln(Hi/H2) *(6.136)(6.136)
V = и
V = и
111(丁/R2)
111(丁/R2)
ln(Hi/H2) *
ln(Hi/H2) *
(6.136)
(6.136)
Объемный расход жидкости в кольцевом зазоре между цилиндрами
(6.137)(6.137)
(6.137)
(6.137)
1) Плунжер — это длинный подвижный поршень, используемый в специальных (плунжерных) насосах и гидравлических прессах.
Сила трения, действующая на единицу поверхности движущегося цилиндра, определяется касательными напряжениями
（6.138）
при этом сила, действующая на единицу длины цилиндра, равна
F ==（6.139）
Такая же сила действует на единицу длины внешнего цилиндра.
Задача 5
В опытах по абсорбции поток вязкой жидкости поднимается вверх по трубке и затем стекает по наружной стенке радиуса 凡 вниз （рис. 6.12）. Определите скорость движения жидкости в пленке вдали от концов стенки и объемный расход жидкости в пленке.
Решение. Воспользуемся цилиндрической системой координат с осью z, направленной вдоль оси цилиндра （рис. 6.12）. Пусть радиус свободной поверхности пленки известен и равен R?.
жвУжвУНа участке, удаленном от торцов трубки, жидкость движется параллельно оси z. Скорость движения жидкости зависит только от радиальной координаты г:
жвУ
жвУ
vr = v^ = 0 , vz =。（丁）.（6.140）
В этом случае уравнение непрерывности удовлетворяется тождественно. Поскольку жидкая пленка стекает под действием силы тяжести, то ^-компонента уравнения Навье-Стокса в цилиндрических координатах записывается в виде
На стенке трубки выполняется условие прилипания жидкости
小=凡）=0.（6.142）
На свободной поверхности трение жидкой пленки о внешнюю среду （например, о воздух） отсутствует, т. е.
2 f（6.143）
При таких граничных условиях решение задачи имеет вид
й 喏（一工+ 2 氣嗑）.（6.144）
Объемный расход жидкости в пленке
q-2广。了小=嚟（吸-1-3*+4 如备）.（6.145）
Формула (6.145) описывает объемный расход жидкости в пленке при отсутствии абсорбции. Отклонение измеренного расхода от теоретического определяет величину абсорбции жидкости стенкой.
Задача 6
Оцените максимальный диаметр сферических частиц катализатора, которые могут уноситься с топочным газом. Направленная вертикально вверх скорость газа на оси дымовой трубы равна о = 30,5 см/с, динамическая вязкость газа ту = 2,6 • 10-4 П (пуаз), плотность газа рг = 7,2 • 10-4 г/см3, плотность частицы катализатора 0K = 1,2 г/см3.
Решение. В вертикальном направлении на частицу катализатора действуют сила тяжести FT, выталкивающая архимедова сила Fa и сила сопротивления Fc (сила Стокса).
Чтобы частица двигалась вместе с газом вдоль трубы zl равномерно и прямолинейно, векторная сумма всех сил, ] Fc действующих на частицу, должна быть равна нулюI Fa
Ft + Fa + Fc = 0.(}
Проекция этого уравнения на ось z (рис. 6.5) дает
Ft = Fa + Fc.(6.146) Т
В задаче задана скорость газа о на оси дымовой трубы. Согласно закону Пуазейля это — максимальная Рис. 6.13 скорость газа в трубе. Поэтому самые большие частицы будут уноситься на оси трубы. Пусть Rm — радиус самых крупных частиц, которые могут быть унесены газом через дымовую трубу. Объем такой частицы равен: V = 4тгА^/3. Тогда уравнение баланса сил (6.146) запишется в виде
I 乃R^0Kg = I »+ 6»〃兄.(6.147)
Отсюда имеем --1/2
= l、, Ят^55мкм. (6.148)
Проверим, можно ли применять закон Стокса для таких частиц. Для этого оценим число Рейнольдса
Re =0,46 .4Re =0,46 .4(6.149)(6.149)
Re =0,46 .
4
Re =0,46 .
4
(6.149)
(6.149)
Поскольку Re < 1, то закон Стокса применен правильно.
Задача 7
Две параллельные плоские пластинки радиуса R расположены одна над другой на малом расстоянии Л друг от друга (рис. 6.14). Пространство между ними заполнено жидкостью. Пластинки сближаются друг
с другом с постоянной скоростью 〃，вытесняя жидкость. Определите испытываемое пластинками сопротивление (задача Рейнольдса).
Рис. 6.14. Течение междуРис. 6.14. Течение междуРешение. Выберем цилиндрические координаты с началом в центре нижней пластинки и осью z, направленной перпендикулярно пластинкам (рис. 6.14).
Рис. 6.14. Течение между
Рис. 6.14. Течение между
дискамидисками丄 а(『о「)Aoz _ ог drdz丄 а(『о「)Aoz _ ог drdz(6.150)(6.150)Запишем уравнения Навье-Стокса: d2vr _ дри граничные условияЗапишем уравнения Навье-Стокса: d2vr _ дри граничные условиядр dzдр dz=о,=о,(6.151)(6.151)z = 0, vr = vz = 0, z = h, vr = 0,z = 0, vr = vz = 0, z = h, vr = 0,。2 = —〃，丁 = А, Р =夕о, (6.152)。2 = —〃，丁 = А, Р =夕о, (6.152)Движение жидкости осесимметричное и вдали от конца пластин радиальное (Л 《 《Я). Поэтому vz《vr причем dvr/dr《 《dvr/dz. В этом приближении уравнение непрерывности имеет вид
дисками
дисками
丄 а(『о「)Aoz _ о
г drdz
丄 а(『о「)Aoz _ о
г drdz
(6.150)
(6.150)
Запишем уравнения Навье-Стокса: d2vr _ др
и граничные условия
Запишем уравнения Навье-Стокса: d2vr _ др
и граничные условия
др dz
др dz
=о,
=о,
(6.151)
(6.151)
z = 0, vr = vz = 0, z = h, vr = 0,
z = 0, vr = vz = 0, z = h, vr = 0,
。2 = —〃，丁 = А, Р =夕о, (6.152)
。2 = —〃，丁 = А, Р =夕о, (6.152)
где 夕° — внешнее давление.
Из уравнения движения (6.151) находим
外(? — ")?•(6」53)
Интегрируя уравнение непрерывности (6.150) по координате z, получаем
и = - [rvrdz = -(г .(6.154)
г dr }аг \ аг /
0
Отсюда давление жидкости в зазоре равно
夕= ро +绊(足—(6.155) h
Сила, действующая на пластинки со стороны жидкости
R4
歹=2» ](夕一ро)丁 d丁 =.(6.156)
о
Заметим, что при сближении пластин (уменьшение Л) сила сопротивления увеличивается и F —> оо в пределе 拉一> 0. Возможно, этот «парадокс» связан со следующим. Во-первых, как видно из уравнения (6.154), скорость сближения пластин зависит от h, т.е при малых значениях Л нарушается стационарность движения жидкости, заданная условием задачи. Во-вторых, при Л —> 0 уравнение движения не может быть использовано, так как для тонкого пристеночного слоя жидкости должны выполняться условия прилипания, заданные граничными условиями (6.152).
Задача 8
Несжимаемая вязкая жидкость занимает полупространство у > О и соприкасается со стенкой у = 0 (рис. 6.15). В начальный момент времени жидкость и стенка покоились. Затем стенка начинает двигаться с постоянной скоростью и вдоль оси х. Определите
Рис. 6.15Рис. 6.15возникающее при этом движение жидкости.
Рис. 6.15
Рис. 6.15
Решение. Тонкий пристеночный слой жидкости «прилипает» к стенке и начинает двигаться вместе с ней вдоль оси х. Силы внутреннего трения (силы вязкости) приводят в движение следующий слой. Так с течением времени в движение вовлекается все больший объем жидкости. Рассматриваем ламинарное
(слоистое) движение, при котором частицы жидкости движутся только
вдоль оси х. Скорость движения жидкости изменяется с течением времени и зависит от координаты у, т. е. имеем vy = vz = 0, vx = v(t, у). Кроме того, давление жидкости не зависит от координаты х. В этом
случае уравнение непрерывности удовлетворяется тождественно, а ж-компонента уравнения Навье-Стокса принимает следующий вид:
В начальный момент времени жидкость неподвижна во всей области у > 0. На бесконечном удалении от стенки и на ее поверхности жидкость неподвижна в любой момент времени. Поэтому начальные и граничные условия записываются в виде
о(у,力= 0)=0, Му = 0, t > 0) = и , >оо,力)=0.(6.158)
Заметим, что уравнение движения (6.157) и условия (6.158) инвариантны относительно группы афинных преобразований
уг = ау, У = a2t,(6.159)
где а — произвольная постоянная.
Отсюда следует, что если v(y, t) — решение задачи, то v(yf, tz)— также ее решение. В силу единственности решения имеем
F = v(yf,tf) - v(y, t) = 0(6.160)
для любого а.
Тогда из условия
岁 I =0,(6.161)
да
получаем
囁+2 啜=0.(6.162)
ния (6.157), имеемния (6.157), имеемПодставляя производную по времени из (6.162) в уравнение движе
ния (6.157), имеем
ния (6.157), имеем
(6.163)(6.163)у dv _ д1 V2t ду ~ ду2 °
(6.163)
(6.163)
Общее решение этого уравнения
VV=G ] ехр(-=G ] ехр(-s^ds^C^s^ds^C^оо(6.164)(6.164)
V
V
=G ] ехр(-
=G ] ехр(-
s^ds^C^
s^ds^C^
о
о
(6.164)
(6.164)
где постоянные интегрирования С\ и С? определяются из условий (6.158). Окончательно имеем
v(y, t) = иv(y, t) = и=〃（1 — erf 夕），=〃（1 — erf 夕），(6.165)(6.165)
v(y, t) = и
v(y, t) = и
=〃（1 — erf 夕），
=〃（1 — erf 夕），
(6.165)
(6.165)
где erf 0 — интеграл вероятности.
Профили скорости жидкости в различные моменты времени (力i <
Рис. 6.16. Профили скоростиРис. 6.16. Профили скорости< ^2 < 力з) представлены на рис. 6.16.
Рис. 6.16. Профили скорости
Рис. 6.16. Профили скорости
Интеграл вероятности является монотонно возрастающей функцией 0. Он изменяется в диапазоне от 0 до 1 и достигает значения 0,99 примерно при 8 = 2. Если ввести понятие толщины пограничного слоя 6 как такое расстояние у, на котором значение скорости жидкости о уменьшается до 0,01〃，то нетрудно найти, что 6 = 4д/^・ Характерно, что толщина пограничного слоя увеличивается пропорционально квадратному корню из времени.
Таким образом,Таким образом,с течением времени стенка вовлекает в движе
Таким образом,
Таким образом,
ние все большее количество жидкости. Через достаточно большой промежуток времени, в пределе бесконечный, наступит стационарное состояние, когда вся жидкость будет двигаться со скоростью стенки и.
Задача 9
Несжимаемая вязкая жидкость соприкасается с твердой плоской стенкой, совершающей в своей плоскости гармоническое колебательное движение с частотой з и амплитудой А. Определите возникающее при этом движение жидкости и силу трения, действующую на единицу площади стенки.
Решение. Выберем систему координат так, что ось х совпадает с прямой, вдоль которой происходят колебания стенки, а ось у направлена перпендикулярно плоскости колебаний.
По условию задачи смещение точек стенки описывается гармоническим законом
ж = A sin(6.166)
мгновенная скорость стенки при этом равна
и = Um COS 0力，и = Um COS 0力，(6.167)(6.167)где ит — амплитудное значение скорости стенки.Движение жидкости таково, что vy = vz = 0, vx = v(t, у). При этом скорость, как и в предыдущей задаче, описывается уравнением (6.157).Граничные условиягде ит — амплитудное значение скорости стенки.Движение жидкости таково, что vy = vz = 0, vx = v(t, у). При этом скорость, как и в предыдущей задаче, описывается уравнением (6.157).Граничные условияv(y = 0,力)=〃， v(y —> CXD, t) = 0 .v(y = 0,力)=〃， v(y —> CXD, t) = 0 .(6.168)(6.168)Воспользуемся методом разделения переменных и решение уравнения движения (6.157) будем искать в видеВоспользуемся методом разделения переменных и решение уравнения движения (6.157) будем искать в виде此，力)=号3+^+打ё-必*)，(где 也土 — неизвестные функции координаты у.Подставляя выражение (6.169) в уравнение (6.157), получим. /+/ 吵 +. , _ d2 2—.dydyОбщее решение уравнений (6.170) имеет вид也+ = а еау +с2 е-ау ,3-=e3 e/ + а ,(此，力)=号3+^+打ё-必*)，(где 也土 — неизвестные функции координаты у.Подставляя выражение (6.169) в уравнение (6.157), получим. /+/ 吵 +. , _ d2 2—.dydyОбщее решение уравнений (6.170) имеет вид也+ = а еау +с2 е-ау ,3-=e3 e/ + а ,((6.169)(6.169)(6.170)(6.170)(6.171)(6.171)где Cj — постоянные интегрирования.С учетом граничных условий (6.168) для скорости движения жидкости получимгде Cj — постоянные интегрирования.С учетом граничных условий (6.168) для скорости движения жидкости получим(6.172)(6.172)Полученное решение представляет собой поперечную волну, распространяющуюся в направлении, перпендикулярном плоскости колебаний. Благодаря силам вязкости, работа которых приводит к диссипации механической энергии колебаний жидкости, волна быстро затухает по мере удаления от источника. Амплитуда волны с увеличением расстояния у уменьшается по экспоненциальному закону.Таким образом, в вязкой жидкости могут существовать поперечные волны, которые быстро затухают при удалении от источника колебаний.Вычислим силу трения, действующую на единицу площади колеблющейся стенкиПолученное решение представляет собой поперечную волну, распространяющуюся в направлении, перпендикулярном плоскости колебаний. Благодаря силам вязкости, работа которых приводит к диссипации механической энергии колебаний жидкости, волна быстро затухает по мере удаления от источника. Амплитуда волны с увеличением расстояния у уменьшается по экспоненциальному закону.Таким образом, в вязкой жидкости могут существовать поперечные волны, которые быстро затухают при удалении от источника колебаний.Вычислим силу трения, действующую на единицу площади колеблющейся стенкиpXy\y=Q = r^^y\y=Q = —cos (^ + 0力pXy\y=Q = r^^y\y=Q = —cos (^ + 0力(6.173)(6.173)Видно, что между скоростью стенки и силой трения имеется сдвиг фаз на 7г/4.Выражение (6.173) может быть использовано для экспериментального определения вязкости жидкости.Видно, что между скоростью стенки и силой трения имеется сдвиг фаз на 7г/4.Выражение (6.173) может быть использовано для экспериментального определения вязкости жидкости.
и = Um COS 0力，
и = Um COS 0力，
(6.167)
(6.167)
где ит — амплитудное значение скорости стенки.
Движение жидкости таково, что vy = vz = 0, vx = v(t, у). При этом скорость, как и в предыдущей задаче, описывается уравнением (6.157).
Граничные условия
где ит — амплитудное значение скорости стенки.
Движение жидкости таково, что vy = vz = 0, vx = v(t, у). При этом скорость, как и в предыдущей задаче, описывается уравнением (6.157).
Граничные условия
v(y = 0,力)=〃， v(y —> CXD, t) = 0 .
v(y = 0,力)=〃， v(y —> CXD, t) = 0 .
(6.168)
(6.168)
Воспользуемся методом разделения переменных и решение уравнения движения (6.157) будем искать в виде
Воспользуемся методом разделения переменных и решение уравнения движения (6.157) будем искать в виде
此，力)=号3+^+打ё-必*)，(
где 也土 — неизвестные функции координаты у.
Подставляя выражение (6.169) в уравнение (6.157), получим
. /+/ 吵 +. , _ d2 2—.
dydy
Общее решение уравнений (6.170) имеет вид
也+ = а еау +с2 е-ау ,3-=e3 e/ + а ,(
此，力)=号3+^+打ё-必*)，(
где 也土 — неизвестные функции координаты у.
Подставляя выражение (6.169) в уравнение (6.157), получим
. /+/ 吵 +. , _ d2 2—.
dydy
Общее решение уравнений (6.170) имеет вид
也+ = а еау +с2 е-ау ,3-=e3 e/ + а ,(
(6.169)
(6.169)
(6.170)
(6.170)
(6.171)
(6.171)
где Cj — постоянные интегрирования.
С учетом граничных условий (6.168) для скорости движения жидкости получим
где Cj — постоянные интегрирования.
С учетом граничных условий (6.168) для скорости движения жидкости получим
(6.172)
(6.172)
Полученное решение представляет собой поперечную волну, распространяющуюся в направлении, перпендикулярном плоскости колебаний. Благодаря силам вязкости, работа которых приводит к диссипации механической энергии колебаний жидкости, волна быстро затухает по мере удаления от источника. Амплитуда волны с увеличением расстояния у уменьшается по экспоненциальному закону.
Таким образом, в вязкой жидкости могут существовать поперечные волны, которые быстро затухают при удалении от источника колебаний.
Вычислим силу трения, действующую на единицу площади колеблющейся стенки
Полученное решение представляет собой поперечную волну, распространяющуюся в направлении, перпендикулярном плоскости колебаний. Благодаря силам вязкости, работа которых приводит к диссипации механической энергии колебаний жидкости, волна быстро затухает по мере удаления от источника. Амплитуда волны с увеличением расстояния у уменьшается по экспоненциальному закону.
Таким образом, в вязкой жидкости могут существовать поперечные волны, которые быстро затухают при удалении от источника колебаний.
Вычислим силу трения, действующую на единицу площади колеблющейся стенки
pXy\y=Q = r^^y\y=Q = —cos (^ + 0力
pXy\y=Q = r^^y\y=Q = —cos (^ + 0力
(6.173)
(6.173)
Видно, что между скоростью стенки и силой трения имеется сдвиг фаз на 7г/4.
Выражение (6.173) может быть использовано для экспериментального определения вязкости жидкости.
Видно, что между скоростью стенки и силой трения имеется сдвиг фаз на 7г/4.
Выражение (6.173) может быть использовано для экспериментального определения вязкости жидкости.
ГЛАВА 7
МЕТОДЫ ПОДОБИЯ И РАЗМЕРНОСТИ
Подобие гидродинамических движений
В механике жидкости есть несколько известных точных решений уравнений движения вязкой жидкости. Можно было бы указать еще несколько примеров и тем самым исчерпать весь список имеющихся точных решений. Однако практика настоятельно требует решения задач, которые, в силу математических трудностей, не могут быть решены аналитически точно. В этих многочисленных случаях нам необходимо обращаться непосредственно к эксперименту. Но и экспериментальные данные не всегда возможно получить на тех объектах, для которых решается данная задача.
Например, мы хотели бы знать силу сопротивления, которую испытывает новая, проектируемая конструкция самолета при движении его с заданной скоростью на определенной высоте. Зная силу сопротивления, мы могли бы выбрать двигатель, обеспечивающий требуемые характеристики полета. Вообще говоря, можно изготовить полностью такой самолет, поставить на него некоторый двигатель и, поднявшись на заданную высоту, измерить скорость. Но ведь установленный двигатель может и не развить заданную скорость, а в распоряжении конструктора сегодня может и не оказаться подходящего двигателя. В принципе методом проб и ошибок можно было бы каким-либо компромиссным способом проблему все же решить, однако такой путь связан с большими материальными и временными затратами. То же самое можно было бы сказать о проблемах проектирования больших турбин, судов, ракет и т. д.
Поэтому, конечно, было бы заманчивым проводить опыты на небольших моделях реальных объектов в условиях, полностью подчиняющихся и контролируемых экспериментатором. Однако возникает существенный вопрос, в какой мере, когда и как возможно результаты, полученные на моделях, применять к натурным объектам. На этот вопрос отвечает теория подобия гидродинамических движений.
Безразмерные уравнения движения. Рассмотрим уравнение Навье-Стокса. В качестве объемной силы рассмотрим силу тяжести:
+ (vV)v = -- Vp + - Av -h - grad div v + g . (7.1) ot p p p \ 3 /
Для не очень быстрых движений объемная вязкость несущественна и мы будем полагать ее равной нулю. Кроме того, для простоты будем полагать движение изотермическим, тогда уравнение баланса внутренней энергии можно не рассматривать.
Приведем уравнения движения к безразмерному виду. Для этого выберем некоторые характерные размерные величины. Пусть 厶—некоторый характерный размер обтекаемого тела (диаметр шара, трубы, большая ось эллипса, хорда профиля крыла и т. д.). Тогда размерные декартовы координаты можно записать в виде
х = хL, у = т/* L, z = z* 厶. (7.2)
Здесь 力*, g*, ^* — некоторые безразмерные координаты. Нетрудно видеть, что при переходе к безразмерным координатам с использованием вышеприведенных соотношений, мы просто переходим к другому масштабу измерений расстояний — все расстояния измеряются в долях расстояния L, которое принято за единицу измерения.
(7.3)(7.3)Пусть далее о^ — некоторая характерная скорость движения жидкости, например, скорость набегающего потока, или скорость движения жидкости в центре трубы и т. д. Тогда для размерной скорости жидкости в любой точке потока можно записать
(7.3)
(7.3)
V = V*Ooq ,
где V* — безразмерная скорость движения жидкости.
Для нестационарных задач выберем также некоторое характерное время т, которое может быть или периодом движения для периодических движений, или временем релаксации потока к стационарному движению, или просто временем прохождения выбранного расстояния / с выбранной безразмерной скоростью о^. Переход к безразмерному времени аналогичен
力=方*7.(7.4)
Принимая за характерное давление и плотность, например, давление и плотность в набегающем потоке, имеем
Р = P*Pg ,Р = P*Pg ,Р = 0*0оо •Р = 0*0оо •(7.5)(7.5)
Р = P*Pg ,
Р = P*Pg ,
Р = 0*0оо •
Р = 0*0оо •
(7.5)
(7.5)
(7.6)(7.6)Av _ Av* dt т а力*'Vp _ Pg р Pg LAv _ Av* dt т а力*'Vp _ Pg р Pg L▽ *р*р*▽ *р*р*
(7.6)
(7.6)
Av _ Av* dt т а力*'
Vp _ Pg р Pg L
Av _ Av* dt т а力*'
Vp _ Pg р Pg L
▽ *р*р*
▽ *р*р*
Наконец, измеряя ускорение свободного падения в долях ускорения силы тяжести на поверхности земли go, примем
g = g*go •
Тогда каждый член уравнения (7.1) можно записать в следующем безразмерном виде:
2
(W)v =竿(vM)v*,〃 Av =2 Av*,
厶PPooL2 p*
(7・7)
? grad div v = 叩8 — grad* div* v*.
3pgL P*
6 В.Г. Черняк, П.Е. Суетин
Подставляя полученные соотношения в уравнение Навье-Стокса (7.1) и деля на коэффициент при конвективном члене (vV)v, получим
+ (v*V*)v* =° 82 - ▽* '* +
TDg 次*PooVoo P*
H~~+ - grad* div* v*) + 旦； g* . (7.8)
0808 厶0*/08
Аналогично можно записать уравнение неразрывности в безразмерном
видевиде*+*div*(…=0.*+*div*(…=0.(7.9)(7.9)
виде
виде
*+*div*(…=0.
*+*div*(…=0.
(7.9)
(7.9)
(7.10)(7.10)При изотермическом движении уравнение состояния для идеального газа (закон Бойля-Мариотта) будет иметь вид
(7.10)
(7.10)
仁=const* . 夕*
Обозначим безразмерные коэффициенты уравнений (7.8), (7.9) следующим образом:
2г2
^ = St, = М2, 2°°厶=Re, ^ = Fr. (7.11) Lpg〃gob
Тогда любое решение системы уравнений (7.8)-(7.10) независимо от формы движения жидкости будет иметь вид
V*i = ^ = /(St, М, Re, Fr,力*,队，Z*,力*).(7.12)
Аналогичные выражения можно записать для безразмерных величин давления и плотности.
Из (7.12) следует, что в двух потоках жидкости, для которых одинаковы безразмерные коэффициенты St, М, Re, Fr, в сходственных точках (одинаковые 力*, д*, z*) в сходственные моменты времени (одинаковые 力*) безразмерные скорости, давления и плотности будут равны. Такие потоки называются динамически подобными.
Поэтому два изотермических потока жидкости будут динамически подобны, если выполняются, прежде всего, следующие равенства'.
Sti = St?, Mi = М2, Rei = Re2, Fri = Fr? •(7.13)
Эти безразмерные коэффициенты называются критериями или числами динамического подобия потоков'.
Re — число Рейнольдса, Fr — числе Фруда.Re — число Рейнольдса, Fr — числе Фруда.St — число Струхала ,
Re — число Рейнольдса, Fr — числе Фруда.
Re — число Рейнольдса, Fr — числе Фруда.
М — число Маха (Маиевского),
Нетрудно видеть, что динамически подобными могут быть лишь потоки, обтекающие геометрически подобные тела, одинаково расположенные к направлению набегающего потока. Геометрически подобные тела — это такие тела, для любых сходственных точек поверхности которых их безразмерные координаты одинаковы, если за характерный
размер 厶 принят один и тот же сходственный размер (например, большая ось эллипсоида). Или иначе — для геометрически подобных тел уравнения их поверхностей в безразмерных координатах полностью совпадают, если за характерный размер принят один и тот же сходственный размер.
Действительно, из граничных условий следует, что на поверхности некоторого неподвижного обтекаемого тела скорость должна быть равна нулю. Следовательно, она будет равна нулю на поверхности другого тела только в том случае, согласно (7.12), если безразмерные координаты сходственных точек его поверхности будут равны безразмерным координатам первого тела, т. е. если тела будут геометрически подобны. Требование одинаковости сходственного размера и одинаковости расположения тела по отношению к набегающему потоку также очевидны из необходимости удовлетворения граничных условий.
Таким образом, два изотермических потока жидкости будут динамически подобными, если они обтекают геометрически подобные тела, одинаково расположенные по отношению к набегающему потоку, и равны 〃х критерии подобия Струхала, Рейнольдса, Маха и Фру да.
Динамическое же подобие означает, что в сходственных точках потока (одинаковые безразмерные координаты) в сходственные моменты времени (одинаковые безразмерные времена) безразмерные скорости, плотность и давление будут одинаковы.
Для простоты рассмотрено динамическое подобие лишь изотермических потоков. В более общем случае нам необходимо было бы рассмотреть также уравнение баланса внутренней энергии, что привело бы к введению еще некоторых критериев подобия, которые необходимо было бы учитывать при определении динамически подобных потоков.
夕!)= ^ik^k = (—P^ik +。泌)九k =夕!)= ^ik^k = (—P^ik +。泌)九k =Сила сопротивления. Коэффициенты сопротивления. Рассмотрим обтекание некоторого неподвижного тела. Вычислим силы, действующие со стороны жидкости на обтекаемое тело. Сила, действующая в направлении оси г на единичную площадку поверхности тела с нормалью п, направленной вне тела, равна
夕!)= ^ik^k = (—P^ik +。泌)九k =
夕!)= ^ik^k = (—P^ik +。泌)九k =
(—PooP*^ik + 〃 厶^k •
(7.14)
Тогда силу, действующую в г-м направлении на всю поверхность
тела, можно записать в следующем виде:
(7.15)(7.15)р〃 - j (- PooP*^ik +〃厶 0*泌)пk dS .
(7.15)
(7.15)
Пусть S — некоторая характерная площадь обтекаемого тела (площадь поверхности тела, площадь наибольшего сечения тела плоскостью, перпендикулярной набегающему потоку (миделево сечение} и т. д.). Умножая и деля полученное выражение на некоторую постоянную
величину 08。^0s/2, получим
Из (7.12) следует, что и 夕*, и 3*泌 являются функциями лишь безразмерных критериев подобия, безразмерных координат и безразмерного времени. При вычислении силы, действующей на обтекаемое тело, в формуле (7.16) нужно подставить значения 夕* и 3*〃左 на поверхности тела, для которой безразмерные координаты есть просто некоторые числа. Поэтому результат интегрирования будет зависеть только от безразмерных критериев подобия и безразмерного времени.
Рассмотрим для простоты стационарное движение. Пусть скорость набегающего потока направлена вдоль оси ж, а ось у — вертикально вверх. Тогда на основании соотношения (7.16) имеем
/ = ^8*oSa(Re,M,Fr),
& = 渡 SJ(Re,M,Fr), (7.17)
К = 或 SG(Re，M,Fr).
Безразмерные коэффициенты Сх, Су, Cz называются, коэффициентами лобового сопротивления, подъемной и боковой силы соответственно.
Моделирование. Теперь можно перейти к решению задачи, поставленной в самом начале, каким образом опыты на моделях могут помочь в решении задачи об обтекании реальных (натурных) объектов?
Очевидно, что, во-первых, модель реального тела и само тело или натура должны быть геометрически подобны. Во-вторых, критерии подобия в потоках, обтекающих модель и натуру, должны быть одинаковы.
Тогда, измеряя скорости, давления и плотности жидкости, движущейся около модели, а также силу сопротивления (а следовательно, коэффициенты сопротивления) модели, получим простым пересчетом скорости, давления и плотности в сходственных точках около натуры и силу сопротивления натуры.
На практике в большинстве случаев нет нужды удовлетворять равенству всех критериев подобия. Так, очевидно, при стационарных движениях нам нет необходимости рассматривать число Струхала. Во многих случаях движения газов влияние силы тяжести несущественно и можно игнорировать число Фруда. Однако если эти ограничения числа необходимых критериев вытекают из самой постановки задачи или условий движения, то имеется более существенное ограничение, заключающееся в том, что требования удовлетворения равенств сразу нескольких критериев часто бывают противоречивыми.
Для примера рассмотрим требования, которые вытекают из необходимости удовлетворить равенствам чисел Маха и Рейнольдса в натур
ных и модельных движениях.
(7.18)(7.18)Для числа Маха имеем
(7.18)
(7.18)
м： = м2,
Если речь идет о движении одной и той же жидкости для модели и натуры, то, деля предыдущее соотношение на показатель адиабаты 7, получим 2 2
М： = М；, * =導， (7.19)
где см, сн — скорости звука в набегающем потоке в модельном и натурном движении соответственно.
Таким образом, необходимо удовлетворить равенствам
Роо ^ООМРоо ^ООМ0ОО Ооон 厶Н0ОО Ооон 厶Н〃Н〃Н(7.20)(7.20)
Роо ^ООМ
Роо ^ООМ
0ОО Ооон 厶Н
0ОО Ооон 厶Н
〃Н
〃Н
(7.20)
(7.20)
Если модель в десять раз меньше натуры, т. е.厶н/^м = Ю, то при скорости обтекания натуры воздухом, равной 100 м/с (воздух еще можно считать несжимаемым при одинаковых плотностях о^м и р^ и вязкостях, согласно второму равенству (7.20)), необходимо обдувать модель со скоростью 1000 м/с. Но при такой скорости движения воздух нельзя считать несжимаемым и движение его около тела имеет весьма специфический характер (ударные волны, скачки, уплотнения). Но самое главное, что это противоречит и первому равенству (7.20), из которого следует, что скорости набегающих потоков на натуре и модели должны быть одинаковыми, так как скорость звука в одном и том же газе зависит лишь от его температуры, и если газ в модельном опыте не подогревать специально, то скорости звука в обоих случаях будут равны.
В таком случае имеется лишь два выхода. Или осуществить лишь частичное подобие по одному какому-либо критерию, а влияние другого учитывать приближенно при помощи каких-то дополнительных опытов или расчетов. Или менять в модельном эксперименте параметры газа (давление, плотность, температуру) или даже сменить сам газ на газ, обладающий другой вязкостью или скоростью звука. К сожалению, вязкости наиболее употребительных газов отличаются менее чем в 4 раза и зависят от температуры лишь как корень квадратный от абсолютной температуры. Поэтому более перспективным в этом отношении является изменение давления или плотности газа в модельном эксперименте.
Пример. Пусть необходимо знать силу лобового сопротивления некоторой новой конструкции самолета при скорости его полета в нижних слоях атмосферы — 720 км/ч (^ 200 м/с). Предположим, что изготовлена точная копия этого самолета — модель — в десять раз
меньшая. Если модель обдувается также воздухом при той же самой температуре, то скорость набегающего на модель потока должна быть равна
ReM = ReH, 08M =业•(7.21)
〃H 厶 M0OOMРоом
Если плотности газа в набегающих потоках оставить одинаковыми, то, как показано выше, моделирование невозможно, так как будут различными числа Маха, Мм * Мн. Для обеспечения равенства чисел Маха необходимо при одинаковых температурах увеличить плотность воздуха в модельном эксперименте также в 10 раз. В этом случае мы добились бы полного динамического подобия модельного и натурного потоков и результаты измерений на модели могли бы без каких-либо поправок перенести на натуру простым пересчетом.
Предположим, что можно увеличить плотность модельного потока по сравнению с натурной плотностью только в восемь раз. Тогда скорость набегающего на модель потока должна быть равной примерно 250 м/с и можно приближенно считать, что модельный и натурный потоки динамически подобны, так как числа Маха будут отличаться незначительно, а скорость набегающего на модель потока остается дозвуковой.
Если каким-либо способом измерить силу лобового сопротивления модели, то по формуле (7.17) можно определить коэффициент лобового сопротивления, который будет одинаковым как у модели, так и у натуры, так как в данном случае предполагается, что он зависит только от числа Рейнольдса, а оно для модельного и натурного движения по условию (7.21) одинаково. Тогда нетрудно рассчитать силу лобового сопротивления натуры
С СFазм— Fxh
=2=2，
0oom&8mDm Роон^оон*^н
% = /мI(7.22)
Роом^оом *^м“ 'NO，
q -2 5/力H -/XM •
厶м
Зная экспериментальное значение силы лобового сопротивления модели, можно вычислить лобовое сопротивление натуры, а следовательно, и выбрать двигатель для обеспечения заданной скорости полета создаваемой конструкции самолета.
В действительности в аэродинамических лабораториях снимают серии зависимостей & = /(Re,M), которые позволяют конструкторам оптимизировать данную конструкцию самолета и сделать выбор двигателя.
Если необходимо определить скорость воздуха, например, над кабиной летчика на расстоянии половины размаха крыла (L — характерный размер — размах крыла), то достаточно измерить ее на модели в той
же сходственной точке. Тогда из (7.12) следует
(7.23)(7.23)&М&Н&ООН4
(7.23)
(7.23)
0*н — 0*м ,—, Он — ^м —己 ^м
Измеряя скорости движения газа около модели в различных точках, можно указать скорости движения газа во всех сходственных точках натуры.
Аэродинамические трубы. Бассейны. Опыты на моделях проводят для летательных аппаратов в аэродинамических трубах, а для судов, турбин и других подобных устройств — в бассейнах. Современные аэродинамические трубы — это гигантские сооружения, потребляющие мощности в десятки тысяч киловатт. Увеличение размеров современных аэродинамических труб диктуется следующими обстоятельствами.
Во-первых, если бы было возможно создание аэродинамических труб, позволяющих испытывать натурные объекты, то, конечно, точность научных прогнозов значительно бы увеличилась, поскольку моделирование во многих случаях могло быть полным.
Во-вторых, трудно создать очень маленькую модель, являющуюся в точности геометрически подобной натуре вплоть до шероховатостей поверхности модели, заклепок и других тонких, но немаловажных деталей.
В-третьих, как видно из примера, даже для частичного приближенного подобия пришлось плотность, а следовательно, и давление модельного потока газа увеличить в восемь раз. В этом случае трудно обеспечить механическую прочность трубы. Если же увеличить модель, то не нужно так сильно увеличивать давление в аэродинамической трубе или вместо воздуха использовать другой дорогостоящий газ.
Эти три обстоятельства и заставляют идти по линии увеличения габаритов современных аэродинамических труб, которые в настоящее время наряду с крупными ускорителями элементарных частиц являются уникальными сооружениями, имеющимися лишь у наиболее крупных, технически развитых стран.
В заключение отметим, что вышеуказанные соображения о динамическом подобии справедливы и для турбулентных потоков, строгого математического анализа которых не существует в настоящее время, и в этом случае их моделирование является единственным способом решения практических задач. Однако в силу того, что моделирование носит почти всегда частичный характер, дальнейшее развитие аналитических методов решения остается важной проблемой современной гидроаэродинамики.
Аналитические коэффициенты сопротивления. Во всех случаях, когда сила сопротивления может быть вычислена аналитически, предоставляется возможность аналитически вычислить и коэффициенты сопротивления.
Рассмотрим движение вязкой несжимаемой жидкости в круглой цилиндрической трубе. Воспользуемся общей формулой (7.17) для вычисления коэффициентов сопротивления:
Fx = \p^SCx^.(7.24)
В данном случае плотность жидкости постоянна, поэтому р^ = р. В качестве характерной скорости о^ можно выбрать среднюю скорость движения жидкости по трубе v. За характерную площадь S можно принять площадь «трущейся» боковой поверхности трубы радиусом го и длиной /. Кроме того, учтем, что сила, действующая на рассматриваемый участок трубы со стороны жидкости, как мы видели, равна разности давлений на этом участке, умноженной на площадь поперечного сечения трубы:
/万=一*^ = 3?・(7.25)
Подставляя Ар в первую формулу (7.25), получим
Из последнего соотношения видно, что коэффициент сопротивления является действительно функцией только числа Рейнольдса. Тогда формулу для силы сопротивления, или для разности давлений на участке трубы длиной / можно записать в следующем виде:
= ^ ^ А, А = 4СЖ = II. (7.27)
Коэффициентом сопротивления трубы принято называть не Сх, а А. Формула (7.27) является универсальной и позволяет вычислять сопротивление трубы (△〃)，если известен коэффициент сопротивления А при любом характере движения жидкости в трубе. Коэффициенты сопротивления участков трубы, имеющих некоторые особенности (расширение, сужение, кран, задвижка, поворот и т. д.), измерены экспериментально и вычисляются как функции числа Рейнольдса в трубе по графикам или эмпирическим формулам.
Нетрудно вычислить коэффициент сопротивления шара при медленном его обтекании вязкой несжимаемой жидкостью. По формуле Стокса имеем 2
Fx = 6»7rо", % =号 sc冗. (7.28)
Возьмем в качестве характерной площади площадь максимального поперечного сечения шара плоскостью, перпендикулярной к набегающему потоку (площадь миделева сечения}. Тогда из (7.28) имеем
а = Ц , Re = * • (7.29)
Аналогично можно вычислить коэффициент сопротивления цилиндра и т. д. Следует еще раз подчеркнуть, что удобство введения некоторых безразмерных коэффициентов сопротивления заключается в том, что они являются функциями только безразмерных критериев подобия в любом режиме движения жидкости, как в ламинарном, так и в турбулентном. Они могут быть вычислены аналитически только для некоторых простейших ламинарных движений. Во всех же других случаях для их определения необходимо обращаться к опыту, и функциональная зависимость их от безразмерных критериев подобия устанавливается на основании опытных данных, представляемых в виде таблиц, графиков или эмпирических формул.
Метод размерностей физических величин
Многие физические явления в силу своей сложности не могут быть исследованы теоретически на основе обоснованного решения определяющих уравнений. Поэтому при изучении таких явлений было бы весьма полезно из тех или иных соображений построить явную зависимость исследуемой физической величины хотя бы от некоторых определяющих ее параметров. Целесообразность таких построений диктуется прежде всего тем, что, во-первых, это заметно сужает класс возможных исследуемых функций и, во-вторых, часто позволяет выявить универсальные функции геометрии и параметров состояния, которые характеризуют данное явление. Последнее обстоятельство особенно важно. Действительно, однажды определив такую универсальную функцию из некоторого, отдельного эксперимента, можно дать качественную и количественную оценку интересующего нас явления для большого спектра параметров состояния и исходных геометрических условий. Знание явной функциональной зависимости исследуемой физической величины от некоторых определяющих ее параметров может быть получено на основе теории размерностей. Тем самым анализ размерностей физических величин способствует рациональной постановке эксперимента.
Основные и производные величины. Между всеми физическими величинами (сила, скорость, длина и т. д.) существует качественное и количественное различие (две различные длины, скорости и т.д.). Подразумевается, что каждая физическая величина может быть измерена. Мерой физической величины является некоторое число, которое характеризует ее в количественном отношении в сравнении с аналогичной величиной, принятой за единицу измерения. Масштаб меры может быть любым в зависимости от используемой системы единиц измерения. Например, длина может быть выражена в метрах, сантиметрах, миллиметрах и т. д.
Все физические величины можно разбить на две категории — основные и производные. Физическая величина, мера которой не зависит от масштаба измерения других величин, называется основной. Едини-
цы измерения основных величин вводятся при помощи эталонов или специальных опытов. Величины, единицы измерения которых зависят от единиц измерения основных величин, называются производными. Так, в механике за основные величины принимаются — масса, длина, время. Их единицы измерения в СИ — килограмм, метр, секунда. Все остальные производные единицы могут быть выражены через них. Число основных единиц может быть и больше трех. Так в задачах гидродинамики, связанных с теплообменом, используются градус и джоуль (иногда калория). В магнитной гидродинамике вводятся еще некоторые основные единицы.
Для простоты выберем лишь три основные велпчпны: массу, длину и время. Обозначим их размерность соответственно: М, L, Т.
Рассмотрим размерность некоторой производной физической величины Р, которая может быть выражена через размерность основных величин. Предположим, что при изменении масштабов, в которых измеряются основные величины М, L, Т, их числовые значения изменяются в а, 0, т раз соответственно. Пусть мера исследуемой величины Р изменилась при этом в тг раз. Тогда если
7г = ат^1^ , (7.30)
где т, I,力一показатели размерностей — некоторые целые или дробные вещественные числа, то говорят, что величина Р имеет размерность м“т относительно величин М, L, Т. Это записывают в виде степенного одночлена:
[Р] = М^МТ, (7.31)
где символом [Р] обозначена размерность величины Р.
Формула (7.31) показывает, как мера величины Р зависит от мер основных величин М, L, Т, и называется формулой размерности. Физическая величина нулевой размерности называется безразмерной величиной. Безразмерная величина инварианта по отношению к изменениям масштаба измерения основных величин.
Определяющие параметры. Пусть некоторая физическая величина А, имеющая размерность [А], является функцией ряда определяющих параметров
4 = "си,。2,…а^). (7.32)
Определяющие параметры а\,а^,ап — это некоторые размерные физические величины, от которых может зависеть величина А, в том числе и основные величины. Среди определяющих параметров могут быть параметры с независимыми и зависимыми размерностями. Размерность определяющего параметра является независимой в данном наборе, если она не может быть представлена в виде степенного одночлена размерностей остальных определяющих параметров. Например, размерности L, LT-1, ML2T-2 независимы, размерности L, LT-1, LT-2 — зависимы. Очевидно, что число параметров с независимыми размерно-
стями не может быть больше числа основных величин (в рассматриваемом случае не может быть больше трех).
Равенство (7.32), выражающее некоторый физический закон должно быть справедливо для любых масштабов или единиц измерения основных величин. Следовательно, размерность величины А должна быть равна размерности функции /
[川=[f(ai,a2,...an)] .(7.33)
Рассмотрим сначала простейший пример. Пусть определяющими параметрами будут основные величины, причем, их число равно числу основных величин
[ai] = М,[а2] = L, [аз] = Т.(7.34)
Тогда размерность производной величины А может быть записана следующим единственным образом:
[А] = M^UT .(7.35)
Приравнивая показатели степеней основных величин в правой и левой частях уравнения размерности (7.35), получим три уравнения для нахождения трех неизвестных показателей т, / и t. Тогда функциональная зависимость (7.32) будет иметь единственный вид
А = ка^а1^ .(7.36)
Здесь к — некоторый постоянный безразмерный коэффициент. Очевидно, что мы можем поступить аналогично и в том случае, когда в качестве определяющих параметров выступают три параметра, имеющие произвольные, но независимые размерности. В этом случае уравнение размерностей должно иметь вид
И = [«1]аЫ^Ы7.(7.37)
Снова, приравнивая показатели трех основных величин в правой и левой частях уравнения (7.37), можно из трех уравнений определить неизвестные показатели а, /3, 7. Тогда функциональная зависимость величины А от определяющих параметров си,。2, и аз будет иметь вид
A = ka^a^a].(7.38)
Для иллюстрации теории размерностей рассмотрим простой пример.
Период колебаний маятника. Определим функциональную зависимость периода колебаний математического маятника г от определяющих параметров. Предполагаем, что определяющими параметрами в данном случае будут / — длина маятника, т — масса маятника и g — ускорение свободного падения. Имеем три определяющих параметра с независимыми размерностями:
[m] = М ,[/] = L ,[g] = LT-2 , 丁 = f@,m, g) .(7.39)
Следуя формуле (7.37) имеем
[г] = Т, T = MaL^(LT-2)7.(7.40)
Приравнивая показатели степени при одинаковых основных величинах, имеем
а = 0,/3 +)= 0,1 = —2).(7.41)
Из полученных уравнений следует
а =。，/3 = |,(742)
Тогда искомая функциональная зависимость периода колебаний маятника от определяющих параметров, согласно уравнению (7.38), имеет вид
(7.43)(7.43)г = к
(7.43)
(7.43)
g
Безразмерная постоянная k, конечно, не может быть определена этим методом. Напомним, что в соответствии с формулой Гюйгенса к = 27r.
Если число определяющих параметров больше трех, то можно выбрать из них три с независимыми размерностями, тогда размерности остальных определяющих параметров могут быть выражены через независимые размерности выбранных трех параметров в виде степенных одночленов. Ясно, что в этом случае система размерных уравнений вида (7.38) становится неопределенной, а следовательно, исключена возможность установления однозначной функциональной зависимости вида (7.38).
Разумеется, что в случае трех определяющих параметров с независимыми размерностями, из них невозможно организовать ни одной безразмерной комбинации.
Если число определяющих параметров равно четырем, причем из них только три имеют независимые размерности, то нетрудно видеть, что из имеющихся четырех параметров можно составить лишь одну одночленную степенную комбинацию, не имеющую размерности. Если имеется пять определяющих параметров, то таких безразмерных комбинаций можно составить только две, если предыдущая безразмерная комбинация рассматривается как некоторый четвертый определяющий параметр и т. д. Если величина А имеет п определяющих параметров, то из них можно составить п — 3 безразмерных комбинаций. В этом случае функциональная зависимость (7.36) может быть записана в следующем виде:
4 = af 竣…а»/©, & …—з) •(7.44)
Здесь произвольная функция / от независимых безразмерных комбинаций 61,62 • • • 6九一з остается неопределенной. Показатели степеней должны выбираться при помощи каких-то дополнительных соображений. Сказанное выше лучше всего иллюстрировать примером.
Сила сопротивления шара. Найти функциональную зависимость силы сопротивления F шара , обтекаемого вязкой несжимаемой жидкостью, от определяющих параметров. Очевидно, определяющими параметрами будут: р — плотность жидкости, V — скорость набегающего потока, то — радиус шара, — кинематическая вязкость. Запишем размерности определяемой величины и параметров
[F] = MLT~2,[р] = ML~3,[и] = LT-1 ,(7.45)
[го] = L, M = L2T-1.
В данной задаче число определяющих параметров равно четырем. Из них первые три могут быть приняты за основные, так как они имеют независимые размерности. Найдем безразмерную комбинацию параметров. Очевидно, для этого достаточно составить следующее уравнение размерности:
4° = (ML_3尸仏T一1)31^(1?T-1厂.(7.46)
Приравнивая степени одинаковых основных величин, получим уравнения для показателей степени
О = а, 0 = —За + /3 + 7 + 2s ,0 = —/3 — е .(7.47)
Решение системы имеет вид
а = 0,/3 = 7 = —s .(7.48)
Следовательно, показатели /3, 7, е могут быть любыми одинаковыми целыми или дробными вещественными числами. Безразмерная комбинация параметров имеет вид
6=(号)"=(Re)万=/(Re).(7.49)
В последней формуле показатель степени /3 остается неопределенным, поэтому заменим степенную формулу некоторой функцией от числа Рейнольдса. Тогда общий вид формулы для силы сопротивления будет иметь вид
F = pav^r^£kf(Re).(7.50)
Поскольку, приравнивая показатели степеней правой и левой частей уравнения размерности (7.44), мы получим лишь три уравнения для четырех показателей, задача становится неопределенной. Мы можем их определить лишь в двух предельных случаях движения.
Рассмотрим сначала случай движения при малых числах Рейнольдса. Движение жидкости при малых числах Рейнольдса можно рассматривать как движение жидкости, обладающей очень большой вязкостью. В этом случае, очевидно, плотность жидкости не должна играть существенной роли и ее можно исключить из числа определяю-
щих параметров. Тогда определяющими параметрами будут и, го, 〃， имеющие независимые размерности:
[F] = MLT~2, M = LTT,[『o] = L, [ту] = ML-^-1 .(7.51)
Уравнение размерностей имеет вид
MLT-2 = (LTT)ai/(MLTTT)).(7.52)
Естественно, что никаких безразмерных комбинаций из этих трех параметров составить нельзя. Для нахождения показателей степеней имеем уравнения:
1=7，1 = а + /3 — 7 ,—2 = —а — 7 .(7.53)
Из системы уравнений находим
7=1,а=1,/3=1.(7.54)
Следовательно, функциональная зависимость силы сопротивления будет иметь вид
F = krjrQV .(7.55)
Таким образом, мы получили формулу Стокса с неопределенным безразмерным численным коэффициентом к. Аналитическое решение, как мы видели, показывает, что к = бтг.
Рассмотрим другой предельный случай обтекания шара — обтекание при очень больших числах Рейнольдса (Re》1). В этом случае движение жидкости можно рассматривать как движение маловязкой жидкости. Тогда из определяющих параметров можно исключить вязкость. Размерности остальных определяющих параметров р, и, го независимы, и из них нельзя образовать некоторую безразмерную комбинацию. Уравнение размерностей имеет вид
MLT-2 = (ML_3)a(LT_1)^L7 .(7.56)
Для показателей степени имеем уравнения:
1 = а, 1 = —За + /3 + 7，—2 = —/3.(7.57)
Решая полученную систему, получим
а=1,0 = 2,7 = 2.(7.58)
Тогда сила сопротивления должна зависеть от определяющих параметров следующим образом:
F = pv^r^k .(7.59)
Таким образом, сила сопротивления шара при больших числах Рейнольдса (в том числе и при турбулентном движении) должна быть пропорциональна квадрату скорости, а не первой степени, как в предыдущем случае (Re《1). Неизвестный безразмерный коэффициент к может быть определен из опыта.
При промежуточных числах Рейнольдса метод размерностей не может однозначно определить функциональную зависимость силы сопротивления от всех определяющих параметров. Однако и в этом случае метод размерностей может быть весьма полезен.
Действительно, при любых числах Рейнольдса уравнение размерности имеет вид
MLT-2 = (ML_3)a(LT~1)^L7(L2T-1)£ .(7.60)
Система уравнений для нахождения показателей степеней содержит три уравнения для нахождения четырех неизвестных:
= а, 1 = —За + /3 + 7 + 2s ,—2 = —/3 — е .(7.61)
Решение системы неоднозначно. Если положить /3 = 1, то получим
а=1,/3=1,7=1,8=1.(7.62)
Тогда функциональная зависимость силы сопротивления от определяющих параметров должна иметь вид
F = pvr^ykf (Re).(7.63)
Если положить /3 = 2, то )= 2, е = 0 п аналогичное выражение нужно записать в следующем виде:
F =仆2厂証“Re).(7.64)
К сожалению, теория размерностей не может нам указать, какая из этих формул является правильной. Но во всяком случае теперь мы имеем дело лишь с двумя функциональными зависимостями и дело экспериментатора определить неизвестные коэффициенты, функциональную зависимость от безразмерных комбинаций определяющих параметров, а также пределы применимости той или иной формулы. Это обстоятельство значительно сокращает объем необходимой экспериментальной работы и является направляющей идеей для рационального планирования эксперимента.
Выбор определяющих параметров и основных величин. Если известна математическая постановка задачи, то выбор определяющих параметров следует из уравнений движения и граничных условий. В этом случае определяющие параметры — это все данные, которые необходимо задать для вычисления искомых физических величин. Если же уравнения, управляющие данным явлением, неизвестны, то остается, полагаясь на физическую интуицию и предварительные экспериментальные данные, испытать несколько гипотез о предполагаемой системе определяющих параметров.
Здесь рассмотрены лишь три основные величины — масса, длина и время. Поэтому для нахождения показателей степеней имелось всегда только три уравнения, и, если число определяющих параметров было больше трех, это ставило нас в затруднительное, но не всегда без-
выходное положение. Введение некоторых дополнительных основных единиц измерения могло бы помочь в некоторых случаях решить задачу однозначно, хотя вряд ли это было бы полезно в методологическом отношении.
В заключение отметим, что полезность теории размерности состоит в том, что она без решения уравнений движения определяет точный вид функциональной зависимости (если число независимых определяющих параметров меньше или равно числу основных величин) или предоставляет некоторые альтернативные функциональные зависимости (если число определяющих параметров больше, чем число основных величин) и тем самым помогает целенаправленно поставить эксперимент, значительно сокращая объем экспериментальной работы.
Контрольные вопросы
Что представляет собой моделирование? Каковы его цели?
Каково назначение аэродинамической трубы? Какие основные требования предъявляются к аэродинамическим трубам?
В чем состоит предназначение метода подобия в гидроаэродинамике?
Какие потоки называют подобными?
Как выводятся критерии подобия течений вязкой жидкости?
Поясните физический смысл чисел Маха, Рейнольдса, Фруда и Струхала.
Что такое геометрическое и динамическое подобие двух потоков жидкости?
Обязательно ли динамически подобные потоки должны быть геометрически подобными и наоборот?
Какие тела называются геометрически подобными?
Что дает анализ размерностей физических явлений?
Что такое мера физической величины? Чем определяется масштаб меры?
Какие физические величины называют основными и производными?
Что называют размерностью физической величины?
Какие величины являются основными в гидродинамике?
Что такое определяющие параметры?
Сколько безразмерных комбинаций можно составить из N определяющих параметров, если п из них являются основными?
Как построить уравнение размерности?
Как получить уравнения для показателей размерностей?
Как выбрать определяющие параметры и основные величины?
7.3. Примеры решения задач
Задача 1
Определите буксировочное усилие, требуемое для буксировки в натуре тела, имеющего форму эллипсоида вращения. Длина тела 1,5 м, и его предполагается буксировать глубоко погруженным в воду при температуре 15 ℃ со скоростью 3 м/с. Геометрически подобная модель
испытывается в аэродинамической трубе с регулярным давлением и скоростью движения воздуха 30 м/с при температуре 15 ℃. Плотность воды равна 1000кг/м3. Отношение коэффициентов вязкости для воздуха и воды при заданной температуре равно 0,016.
Решение. Поскольку число Маха мало （М《 1） сжимаемостью среды можно пренебречь. Влиянием силы тяжести также пренебрегаем. Поскольку движение стационарное, то единственным критерием подобия является число Re.
Из равенства чисел Рейнольдса для натуры и модели имеем
（7.65）（7.65）Рм^м LM — 0н&Н^Н
（7.65）
（7.65）
4H4H4M
4H
4H
Pm — 4M &н^нPh 4H &м LmPm — 4M &н^нPh 4H &м LmОтсюда
Pm — 4M &н^н
Ph 4H &м Lm
Pm — 4M &н^н
Ph 4H &м Lm
a = o,oi6 •= o,oo8.（7.66）
夕нЗи • 0,3
Чтобы это соотношение выполнялось, плотность воздуха должна быть равна
0M = 0н • 0,008 кг/м3 = 8 кг/м3 .
Поскольку плотность атмосферного воздуха при температуре 15 ℃ равна 1,33 кг/м3, то для обеспечения требуемой плотности давление воздуха в аэродинамической трубе должно быть около 6атм ^ 6х х 105 Па.
Пусть в этих условиях измеренная сила сопротивления модели оказалась равной /м = 2,95 Н. Тогда из равенства коэффициентов сопротивления имеем
ЕсмЕсн公
2 q =2 q，（7.67）
Qm^mSm 0H%Sh
где Sm н Sh — площади поверхности модели и натуры. Условие геометрического подобия записывается в виде
Л = Ы .（7・68）
Тогда сила, которую следует приложить для буксировки тела в натуре, равна
=У =92,2 Н.（7.69）
Рм V少м厶м /
Задача 2
В химических технологических процессах часто используют большие резервуары, в которых осуществляется гидродинамическое перемешивание вещества （рис. 7.1）. Необходимо найти глубину центральной воронки при стационарном движении жидкости в резервуаре как функцию угловой скорости мешалки Q. Диаметры резервуара и мешалки велики и равны D п d соответственно. Предполагается по-
ставить модельные опыты в геометрически подобном сосуде меньших размеров. Необходимо определить условия, при которых следует про-
Рис. 7.1. Центральная воронка в сосуде с мешалкойРис. 7.1. Центральная воронка в сосуде с мешалкойводить модельное испытания, чтобы правильно предсказать результаты для натуры. Решение. Скорость движения жидкости мала по сравнению со скоростью звука, т. е. М《1. Поэтому жидкость можно считать несжимаемой и число Маха не принимать во внимание. Поскольку по условию задачи движение жидкости стационарно, то и число Струхала также можно не рассматривать.
Рис. 7.1. Центральная воронка в сосуде с мешалкой
Рис. 7.1. Центральная воронка в сосуде с мешалкой
В качестве характерного размера выберем диаметр турбинной мешалки d, а в качестве характерной скорости — линейную скорость мешалки Md. Тогда числа
Re =Re =(/2Qp4(/2Qp4Fr = gFr = g(7.70)(7.70)Рейнольдса и Фруда определятся следующими выражениями:
Re =
Re =
(/2Qp
4
(/2Qp
4
Fr = g
Fr = g
(7.70)
(7.70)
Из условия равенства чисел Fr для модели и натуры находим
(7.71)
(7.72)(7.73)(7.72)(7.73)Условие равенства чисел Re дает
(7.72)
(7.73)
(7.72)
(7.73)
4M4H
а一里Рм Рна一里Рм РнС учетом выражения (7.71) имеем
а一里
Рм Рн
а一里
Рм Рн
Полученное выражение свидетельствует о том, что динамическое подобие (в данном случае подобие центральных воронок) не может быть достигнуто, если в натурном и модельном сосудах используется одна и та же жидкость. В модельном сосуде должна использоваться менее вязкая жидкость. Если размер модельной мешалки в два раза меньше размера натурной мешалки (du/d^ = 1 /2), то кинематическая вязкость жидкости в модельном аппарате должна быть равна кинематической вязкости жидкости в натурном аппарате, умноженной на 1/д/^・
Задача 3
Поток идеальной несжимаемой жидкости обтекает шар радиуса R со скоростью V. Давление жидкости вдали от шара равно нулю, а давление в критической точке равно р. Используя анализ размерностей,
исследовать зависимость давления р от скорости и и определить силу лобового сопротивления F.
Решение. Поскольку жидкость идеальна, то определяющими параметрами будут плотность 0, скорость V и, возможно, радиус шара R. Таким образом, представляет интерес функциональная зависимость
夕=/0, и, R) •(7.74)
Запишем уравнение размерностей:
[р] = [priv^lR]1, L-MT-2 = (ML3尸仏丁1)万「.(7.75)
Отсюда для показателей размерностей получим
—1 = —За + /3 + 7， 1 = а, —2 = —/3, а = 1, /3 = 2, 7 = 0. (7.76) Для давления получаем следующее выражение:
夕=kpv2,(7.77)
где к — некоторый безразмерный коэффициент.
Если учесть статическое давление жидкости 夕° вдали от шара, то можно записать
р = Ро + kpv2 .(7.78)
Заметим, что давление жидкости в критической точке не зависит от радиуса шара.
Определим силу лобового сопротивления
F = f(p,v,R).(7.79)
Запишем уравнение размерностей
尸]=[p]x[v]y[R]z , LMT~2 = (MLз严(ltT)I/ .(7.80)
Отсюда для показателей размерности получаем
ж = 1, у = 2, z = 2.(7.81)
Для силы сопротивления имеем
F = Apv^R2,(7.82)
где А — безразмерная постоянная.
Поскольку сила зависит от квадрата скорости, то 歹(—и)=歹(и). С другой стороны ясно, что при изменении направления движения жидкости должен измениться и знак силы 歹(—и) = —F(v). Это противоречие исчезает лишь при F = 0 или, что то же самое, при 4 = 0. Напомним, что отсутствие лобового сопротивления при движении тел в идеальной жидкости называют парадоксом Даламбера.
Задача 4
В теориях кипения жидкости и кавитации представляет интерес время схлопывания образовавшегося воздушного пузырька в объеме жидкости. Пусть начальный радиус пузырька равен Rq. Давление жид-
кости на бесконечности равно ро- Определите время т, в течение которого образовавшаяся сферическая полость заполняется жидкостью. Никаких других сил к жидкости не приложено. Жидкость считать несжимаемой. Давлением газа в пузырьке пренебречь.
Решение. Поскольку жидкость идеальна, то определяющими параметрами времени захлопывания полости т являются начальный радиус полости Rq, плотность жидкости р и давление 夕о, т. е.
(7.83)(7.84)(7.85)(7.86)(7.83)(7.84)(7.85)(7.86)7 = "0，?0,r0)•
(7.83)
(7.84)
(7.85)
(7.86)
(7.83)
(7.84)
(7.85)
(7.86)
Уравнение размерностей
[т] = [^^[р^ , Т = L飞ML—з产(L-MT—2尸 Отсюда для показателей размерностей получим
0 = х — Зу — z, 0 = g + z, 1 = —2z;
11
力=i, g = у，= —у.
Тогда время захлопывания пузырька равно
т = kRQ.
Из точного решения этой задачи для безразмерного коэффициента получено значение к = 0,915.
Задача 5
Методом анализа размерностей определить скорость звука в упругой среде как функцию плотности р и модуля Юнга Е.
Решение. Поскольку скорость звука является функцией плотности упругой среды и модуля Юнга, то уравнение размерностей запишется в видес
Ы =(7.87)
Напомним, что модуль Юнга имеет размерность давления. Поэтому из (7.87) имеем
= (MLз)а(「1мт-2产，(7.88)
1 = —За — /3 ,0 = а + /3,—1 = —2/3 .
Отсюда показатели размерностей равны
а = —，0 = } •(7.89)
Для скорости звука получим
v = k W .(7.90)
Безразмерная постоянная к может быть определена из эксперимента или рассчитана из решения волнового уравнения.
Задача 6
Газовый пузырь, образовавшийся в результате глубинного подводного взрыва, осцилирует с периодом г. Методом анализа размерностей определить зависимость периода осциляции от статического давления р, плотности воды р и полной энергии взрыва е.
Решение. Физические величины, составляющие задачу, имеют следующие размерности:
[г] = Т,[р] = L-^T-2,[р] = ML~3 ,[е] = ML2T~2 .(7.91)
Из уравнения размерностей
[т] = [р]а [р]^ 同)(7.92)
определяем показатели
О = а + /3 + 7 ,0 = а + 3/3 — 2),—1 = 2a + 2),(7.93)
Следовательно, для периода осциляции получим
/ 3 2、1/6
т = к•(7.94)
Таким образом, чем больше мощность взрыва, тем больше период осциляций.
Задача 7
Установившееся движение несжимаемой вязкой жидкости в трубе радиуса R и длины / обусловлено постоянным перепадом давления вдоль трубы △夕=pi —夕2・ Используя анализ размерностей, определить объемный расход Q и среднюю по сечению трубы скорость и жидкости. Рассмотреть случай ламинарного медленного течения.
Решение. Очевидно, имеем четыре определяющих параметра: плотность жидкости р, коэффициент вязкости 〃，радиус трубы R и перепад давлений на единицу длины цилиндра △夕/2.
Размерности физических величин
[△夕/4 = L-2MT~2,[р] = ML-3, [rj] = ML-T—I ,(7.95)
典=L, И = LT-\ [Q] = L3T-1.
Поскольку из четырех определяющих параметров три имеют независимые размерности, то можно построить только одну безразмерную комбинацию 5:
[△р/Г[р]Пе[< = ь“с。、
(7.96)
(L-2MT-2)a(ML-3)^(ML-1T-1)7L£ = 1 .
Отсюда определяются показатели размерностей
2a — 3/3 — 7 + s = 0 , а + /3 +)= 0,—2а —)= 0,(7.97)
а £2
Q7 = -^-
Безразмерный параметр имеет вид
5 = Т 翠.(7.98)
Выражения для расхода и средней скорости жидкости в общем случае имеют вид
Q = F\2pa、pFN,
О = F2Mgp儿尸\pm2rlm3RS ,( •)
где 歹 1(5) и F2(6) — неизвестные функции безразмерного параметра 5; 九勿，mi — показатели размерностей.
При медленном движении жидкости расход и скорость должны линейно зависеть от перепада давлений. Поэтому
Л = CiS,歹2 = 65, ni =mi =0.(7.100)
Здесь Ci и (?2 — некоторые безразмерные постоянные.
Тогда формулы размерностей запишутся в виде
[Q]=历产切严坦尸，®] = [p]m2 [r]]m3 [R]m4(7.101)
Отсюда определяем показатели размерностей
П2 = — 1 , Пз = П4 = 1 , Ш2 = — 1 , Шз = 1 , Ш4 = — 1 . (7.102)
Следовательно, выражения (7.99) запишутся в следующем виде:
@ 更翠， 。=02(7.103)
Очевидно, что расход и скорость жидкости связаны между собой: Q = tvR2V. Отсюда С\ =乃。2・
Из решения уравнений Стокса известно, что С\ = тг/8.
Задача 8
Рассмотрим струйное движение идеальной жидкости через водослив, который представляет собой вертикальную стенку с отверстием треугольной формы с углом а (а) и прямоугольной формы с шириной канала b (6). Высота уровня жидкости над основанием канала равна h. Требуется определить массовый расход жидкости Q^ через отверстие водослива. Движение жидкости считать установившимся.
Решение, а) Сечение канала имеет треугольную форму с углом при основании а. Определяющими параметрами будут плотность жид-
кости р, ускорение свободного падения g, и высота уровня жидкости в канале h. Размерности этих величин, а также массового расхода:
[р] = ML"3,[g] = LT"2,[川=厶，[Qm] = MT-1.(7.104)
Уравнение размерностей имеет вид
Qm = Срх gy hz , МТ- = (ML3尸(LT—2产讲.(7.105)
Отсюда получим показатели размерностей
ж = 1, у= 1/2, z = 5/2.(7.106)
Для массового расхода имеем
Qm = C(a)pg^2 /г5/2.(7.107)
Значение безразмерной постоянной С зависит от угла а.
6) Сечение канала имеет форму прямоугольника с шириной основания Ь. В этом случае будет четыре определяющих параметра: р, g, b, h. Из них можно составить одну безразмерную комбинацию — h/b. Тогда решение будет иметь вид
Qm = f(h/b)pg^2 /г5/2. (7.108)
Функцию f(h/b) можно определить опытным путем, наблюдая течение через водослив различной ширины Ь, но с постоянным уровнем жидкости h. Определив таким способом функцию f(h/b), полученную формулу можно применять для любых значений безразмерного параметра h/b.
ГЛАВА 8
ТУРБУЛЕНТНОСТЬ
Ламинарное и турбулентное течение
Известно, что медленные течения жидкостей или течения сильно вязких жидкостей являются упорядоченными, плавными, слоистыми. Такие течения называют ламинарными (от латинского lamina — пластинка, полоска). Ламинарным является течение воды в спокойных реках, газа в узких капиллярах, смазки в подшипниках.
При увеличении скорости упорядоченный слоистый характер течения жидкости нарушается. Оно становится беспорядочным, сопровождается перемешиванием различных слоев жидкости и образованием завихрений. Такие течения называют турбулентными (от латинского turbulentus — бурный, беспорядочный). Примерами турбулентного течения являются движение воздушных масс в атмосфере, воды в бурных реках, дыма из труб и так далее.
Все сценарии зарождения турбулентности основаны на факте возникновения первичных возмущений ламинарного течения. В природе и технике возмущения появляются при обтекании различных препятствий. Турбулентность атмосферы связана с возмущениями воздушного потока при движении вблизи неоднородностей земной поверхности (овраги, лес, горы, строения и так далее) или при взаимодействии с другими потоками. Турбулизация воды в реках обусловлена неровностями речного дна, порогами, выступами и тому подобное. При течении в трубопроводах возмущения возникают на входном участке трубы, в местах резкого изменения площади сечения трубопровода. При обтекании тел смена режимов течения может происходить непосредственно вблизи поверхности этих тел или уже за телом образуется турбулентный след.
Иногда говорят, что турбулентное движение жидкости в отличие от ламинарного является вихревым. Турбулентное движение жидкости, действительно, всегда является вихревым. Но и большинство ламинарных течений также являются вихревыми, т. е. движениями, для которых ротор скорости в каждой точке пространства, занятого движущейся жидкостью, не равен нулю.
Отметим следующие особенности турбулентных течений.
Турбулентное движение можно представить суперпозицией вихрей различных размеров и завихренностей. Верхний предел размера
вихрей определяется масштабом течения, т. е. размером устройства, в котором движется жидкость. Нижний предел зависит от вязкости жидкости и уменьшается с увеличением скорости осредненного потока. Внутри наименьших вихрей движение жидкости перестает быть турбулентным и определяющую роль играет вязкость. В связи с этим следует иметь в виду, что минимальный масштаб вихрей должен быть макроскопическим. Это означает, что минимальный размер вихрей должен быть много больше средней длины свободного пробега молекул. Известно, например, что при скорости воздушного потока до 100 м/с минимальный размер атмосферного вихря составляет около 10-3 м. Средняя длина свободного пробега молекул в воздухе при нормальных условиях составляет 10-7 м, что на четыре порядка меньше размера минимального вихря.
Физические величины, характеризующие турбулентное движение (скорость, давление, плотность, температура и т. д.), изменяются хаотически как во времени, так и в пространстве. Действительно, индивидуальная частица жидкости может двигаться неупорядочено относительно неподвижного наблюдателя и упорядочено по отношению к наблюдателю, движущемуся вместе с частицей. В любой фиксированной точке пространства физические величины претерпевают хаотические изменения с течением времени.
Если ламинарное движение может быть как установившимся, так и неустановившимся, то турбулентное движение всегда неустано- вившееся, так как мгновенные скорости частиц жидкости в данной точке пространства все время изменяются как по направлению, так и по величине.
Турбулентное движение можно назвать квазипериодическим, поскольку через некоторый неопределенный промежуток времени в данной точке пространства скорость снова может принять прежнее мгновенное значение. В некоторый фиксированный момент времени весьма схожие картины течения повторяются более или менее регулярно в пространстве.
Если во всех областях поля течения турбулентность имеет качественно одну и ту же структуру, то такую турбулентность называют однородной. Пульсационные характеристики однородной турбулентности в среднем не зависят от координат. Если же пульсационные величины в среднем не зависят от направления, то такую турбулентность называют изотропной. При изотропной турбулентности пульсации в различных точках течения в общем случае разные. Разумеется, изотропная турбулентность может быть и однородной, а однородная — изотропной.
Первые экспериментальные исследования ламинарно-турбулентного перехода провел Осборн Рейнольдс (1883). Опыты заключались в следующем. В трубу с движущейся жидкостью вводилась тонкая трубочка, из которой в жидкость поступало красящее вещество (рис. 8.1).
При малых скоростях движения жидкости краска распространялась вдоль трубы в виде тоненькой прямолинейной ниточки, простираю-
щийся от носика трубки с красящим веществом до конца основной трубы (верхний рис. 8.1). При постепенном увеличении скорости движения жидкости наступает момент, когда струйка красящего вещества начинает произвольно изгибаться и затем раз
,——,мываться, окрашивая равномерно всю жидкость
в трубе (нижний рисунок). Очевидно, что до этого момента частицы жидкости двигались параллельно оси трубы, т. е. движение имело сло-
истый (ламинарный) характер. При некотором
Рис 8 1 0ПЫТ ре百значении скорости, которая называется крити-
'нольдсаческой, ламинарное течение жидкости перехо
дит в турбулентное.
Рейнольдс, проводя опыты с различными жидкостями в трубах раз
личных диаметров, установил, что переход от ламинарного движения к турбулентному наступает всегда, когда число Рейнольдса, достигает некоторого определенного значения.
Следовательно, переход ламинарного движения жидкости в трубе в турбулентное происходит всегда при одном и том же числе Рейнольдса, называемом критическим — ReKp. Поэтому число Рейнольдса играет важную роль не только в динамическом подобии потоков вязкой несжимаемой жидкости, но и является управляющим параметром их движения.
Если не принимать специальных мер к сглаживанию условий входа жидкости в трубу, а также специальному устранению шероховатостей стенок трубы, то ReKp 2300. В этом случае, если Re < 2300, то случайные возмущения, возникающие в потоке, будут затухать вниз по течению и движение жидкости сохраняет свой ламинарный характер. Если же Re > 2300, то возмущения, не передаваясь вверх по потоку, разрастаются вниз по течению жидкости. Вообще сглаживанием условий входа в трубу и устранением шероховатостей стенок трубы можно существенно сдвинуть переход ламинарного течения в турбулентное. В таких случаях можно наблюдать ламинарное движение при Re = 60 000 и более.
Опыт показывает, что ReKp = 2300 не является универсальным значением и характерно только для цилиндрической трубы круглого поперечного сечения. Так, в расширяющейся трубе ReKp < 2300, в сужающейся трубе ReKp > 2300. При внешнем обтекании цилиндра плоскопараллельным потоком жидкости, перпендикулярным оси цилиндра, ReKp = 34.
Таким образом, для каждой геометрии течения имеется свое критическое число Рейнольдса.
Из опытов Рейнольдса следует вывод о том, что переход к турбулентности связан с потерей устойчивости течения жидкости. Поэтому для определения критериев, определяющих характер течения, необходимо исследовать проблему устойчивости этого течения.
Устойчивость стационарного движения жидкости
Рис. 8.2. Равновесие: а — устойчивое, 6 — неустойчивое, в — асимптотически устойчивое, г — безразличноеРис. 8.2. Равновесие: а — устойчивое, 6 — неустойчивое, в — асимптотически устойчивое, г — безразличноеВ курсе элементарной физики понятие устойчивости обычно объясняют на примере шарика, находящегося на различных поверхностях (рис. 8.2). Пусть шарик покоится на дне вогнутой полости. Если немного сместить шарик из равновесия, а затем отпустить, то он обязательно возвратится в положение равновесия. Это происходит потому, что сила тяжести и реакция стенки не уравновешиваются, а равнодействующая этих сил всегда направлена противоположно смещению.
Рис. 8.2. Равновесие: а — устойчивое, 6 — неустойчивое, в — асимптотически устойчивое, г — безразличное
Рис. 8.2. Равновесие: а — устойчивое, 6 — неустойчивое, в — асимптотически устойчивое, г — безразличное
В этом случае положение шарика абсолютно устойчиво.
к возникновениюк возникновениюТеперь пусть шарик находится в положении равновесия на выпуклой поверхности. Сколь угодно малое отклонение
к возникновению
к возникновению
результирующей силы, перемещающей шарик еще дальше от положения равновесия. Такое равновесие называют абсолютно неустойчивым.
В третьем случае состояние шарика устойчиво при малых отклонениях от равновесия и неустойчиво при больших отклонениях. Такие состояния называют асимптотически устойчивыми.
Если смещать шарик на гладкой горизонтальной поверхности, то он останется в равновесии. Такое равновесие, сохраняющееся при всех смещениях, называют безразличным.
Таким образом, для исследования устойчивости течения жидкости можно воспользоваться методом малых возмущений. Для простоты рассмотрим лишь принципиальную схему этого метода в случае стационарного движения несжимаемой жидкости при отсутствии массовых сил.
Пусть vo, 夕о есть скорость и давление жидкости, зависящие от координат и удовлетворяющие стационарному уравнению Навье- Стокса и уравнению непрерывности
(v0V)v0 = - ^ Vpo + △vo , div v0 = 0 . (8.1)
Запишем эти уравнения в безразмерном виде. Для этого введем безразмерные величины и дифференциальные операторы, обозначенные символами со звездочкой:
V* = j， W = ^，力* =力^， 0* = +， ▽* = 厶▽， △* = 厶?△， где V и L — характерные скорость и линейный размер течения соответственно. Подставляя эти величины в уравнения (8.1) и для простоты опуская звездочки, получим
(v0V)v0 = 一▽夕о + Av0 , divv0 = 0, Re = ^ . (8.2) Re 〃
Как мы выясним ниже, именно значение числа Рейнольдса определяет переход от ламинарного режима течения к турбулентному.
Пусть по каким-то причинам произошло возмущение течения. Поля скорости и давления представим в виде сумм стационарных решений и возмущений:
v(/, g, z,力)=vo(/, g, z) + v'(/, y, z,力)，
0(/，у, z, t)=р0(/, g,+ ?(/，g, •
Заметим, что возмущения скорости и давления зависят не только от координат, но изменяются с течением времени.
В рамках линейной теории устойчивости рассматриваются только малые возмущения, т. е.
I Vх |<| v0 I,夕/《夕о・
Дальнейшая задача состоит в анализе эволюции малых возмущений. Необходимо выявить условия, при которых возмущения будут с течением времени либо исчезать, либо увеличиваться. В первом случае течение будет устойчивым, а во втором — неустойчивым. Важно определить критические значения параметров (в частности, критическое число Re), при которых стационарное течение начинает разрушаться.
Очевидно, возмущенное течение жидкости описывается нестационарным уравнением Навье-Стокса:
嘗 + (vV)v = —Vp + ^ Av , div v = 0 .(8.4)
Подставляя выражения (8.3) в уравнения (8.4), пренебрегая членами второго порядка малости (〜v,2) и учитывая стационарное уравнение движения (8.2), получим
祭 + (v0V)v, + (vN)vo = -▽夕/ + ^ △▼ , div Vх = 0 .(8.5)
Полученные уравнения необходимо дополнить граничными условиями. Предположим, что для возмущений также выполняются условия непротекания, т. е. на неподвижных границах они равны нулю
v'(/o, go, zo,力)=。，(力0, go, 3)e S,(8.6)
где S — граничная поверхность.
Таким образом, эволюция возмущения скорости течения описывается дифференциальным уравнением (8.5) с коэффициентами, зависящими только от координат. Общее решение такого уравнения можно представить в виде суперпозиции гармонических колебаний с различными частотами 必卜，зависящими от числа Re, и амплитудами Д, зависящими только от координат
齿(力,g, z,力)=£ fik(x, g, z) exp(—〃Gk力).(8.7)
Частоты Зк в общем случае являются комплексными величинами
3к =。卜 + ^Ьк •
Поэтому можем записать
и*/, g, z,力)=£exp(bk力)fik(x, g, z) e^(-iakt) .(8.8)
Очевидно, что если в спектре частот 必卜 окажется хотя бы одна, мнимая часть которой положительна (6^ = 1т 必卜 > 0), то возмущение скорости и； с течением времени будет неограниченно расти, т. е. первоначальное стационарное течение будет абсолютно неустойчиво. Для того чтобы стационарное течение было устойчивым к малым возмущениям, необходимо, чтобы мнимые части всех частот были отрицательны. Тогда все малые возмущения с течением времени будут затухать.
Рис. 8.3. Эволюция возмущения: а — затухание, б — ростРис. 8.3. Эволюция возмущения: а — затухание, б — рост
Рис. 8.3. Эволюция возмущения: а — затухание, б — рост
Рис. 8.3. Эволюция возмущения: а — затухание, б — рост
Как показывают исследования, стационарные течения с невысокими скоростями (при малых числах Re) являются устойчивыми. С увеличением скорости (числа Re) потока в спектре частот появляется такая частота, мнимая часть которой оказывается равной нулю. Соответствующее число Рейнольдса определяет границу устойчивости стационарного течения и называется критическим числом Рейнольдса — ReKp. При дальнейшем увеличении числа Re появляется все больше частот с положительной мнимой частью, движение становится абсолютно неустойчивым.
Устойчивость движения жидкости
между коаксиальными цилиндрами
Рассмотрим качественно проблему устойчивости движения вязкой несжимаемой жидкости между двумя вращающимися коаксиальными цилиндрами (Рэлей, 1916). Идея исследования заключается в следующем. Мысленно сместим какую-либо индивидуальную частицу жидкости с ее стационарной траектории в некоторое соседнее положение. Если при этом возникают силы, стремящиеся возвратить ее в исходное
положение, то такое движение является устойчивым. В противоположном случае, если возникающие силы стремятся сместить частицу еще дальше от установившейся траектории, движение будет неустойчивым.
Распределение скоростей частиц жидкости между цилиндрами не
зависит от вязкости жидкости, поэтому мы можем рассматривать такое движение как движение идеальной жидкости. Пусть
I &для определенности & > 凡(рис. 8.4).
'— аРассмотрим силы, действующие на некоторую ин-
1^-дивидуальную частицу жидкости массы т, враща-
Iющуюся по окружности радиусом % с угловой ско-
I纹—层]m ростью 必0・ В стационарном состоянии на частицу
I 尸 вдействует центробежная сила m^rQ, стремящаяся
Iсдвинуть частицу от оси вращения вдоль радиуса,
I • I и равная ей, но противоположно направленная сила, обусловленная радиальным градиентом давления
Рис. 8.4 в зазоре между цилиндрами. При стационарном движении обе силы взаимно скомпенсированы, следовательно, частица вращается по некоторой стационарной траектории. Центробежная и градиентная силы, действующие на частицу, могут быть выражены через момент импульса частицы 从：
2
/1 = тзг? , /пи介о = 丄与, 〃о = тп^о* •(8.9)
Теперь мысленно сдвинем частицу вдоль радиуса в некоторое новое положение на расстояние г от оси вращения (см. рис. 8.4). Так как рассматривается движение идеальной жидкости, то при таком перемещении частицы должен сохраниться ее момент импульса. Следовательно, на частицу в новом положении будет действовать центробежная сила, равная р^/тг3. Для того чтобы частица стремилась возвратиться в исходное положение, эта центробежная сила должна быть меньше ее равновесного значения ^2/mr3, которое на расстоянии г равно силе, вызванной градиентом давления. Таким образом, для устойчивости движения жидкости должно быть выполнено следующее условие:
从2 一从^)0 .
△г + ...△г + ...М =从 о +М =从 о +Считая смещение малым, момент импульса можно разложить в ряд и, ограничиваясь членами первого порядка малости по △厂=г — го, имеем
△г + ...
△г + ...
М =从 о +
М =从 о +
Учитывая, что △厂 > 0, условие устойчивости примет вид
М >0.(8.10)
дг
Точное решение стационарной задачи дает для скорости частиц жидкости в зазоре следующую формулу (см. п. 6.3.4):
V = аг - ,/1 == mrv = тп(а« + b) .(8.11)
Подставляя это выражение в условие устойчивости (8.10), имеем
m(ar2 + b)2amr > 0 , 2т^аг3ш > 0 .(8.12)
Полученное соотношение, обеспечивающее устойчивость движения, будет выполняться, если qg > 0. Подставляя постоянную а из точного решения задачи, имеем
При 兄2 > 尺1 движение жидкости между двумя вращающимися коаксиальными цилиндрами будет устойчивым, если в любой точке зазора выполняется неравенство
(С^2 ^2 — ^1 兄彳)G〉0 .(С^2 ^2 — ^1 兄彳)G〉0 .(8.13)(8.13)
(С^2 ^2 — ^1 兄彳)G〉0 .
(С^2 ^2 — ^1 兄彳)G〉0 .
(8.13)
(8.13)
Рис. 8.5. Граница устойчивости —прямая / (соответствует уравнению дА；= =0?2 咫)Рис. 8.5. Граница устойчивости —прямая / (соответствует уравнению дА；= =0?2 咫)только внутренний цилиндр, вряд ли справедливо при достаточно медтолько внутренний цилиндр, вряд ли справедливо при достаточно мед
Рис. 8.5. Граница устойчивости —прямая / (соответствует уравнению дА；= =0?2 咫)
Рис. 8.5. Граница устойчивости —прямая / (соответствует уравнению дА；= =0?2 咫)
только внутренний цилиндр, вряд ли справедливо при достаточно мед
только внутренний цилиндр, вряд ли справедливо при достаточно мед
Проанализируем полученное неравенство. Для этого рассмотрим несколько частных случаев.
Цилиндры вращаются в разные стороны, т. е. o；i и з? имеют разные знаки. Нетрудно видеть, что движение в этом случае будет неустойчивым при любых значениях o；i и з% так как внутри зазора угловая скорость жидкости з изменяет знак и, следовательно, неравенство (8.3) не может быть выполнено ни в одной точке зазора.
Цилиндры вращаются в одну и ту же сторону. Если это направление вращения цилиндров считать положительным, то угловая скорость жидкости также положительна в любой точке зазора, о; > 0. Поэтому условие устойчивости в этом случае будет иметь вид
咫>包居. (8.14)
Вращается только внешний цилиндр. Тогда o；i = 0,必2〉0,必〉0 и, следовательно, движение устойчиво при любых скоростях вращения
внешнего цилиндра.
Вращается только внутренний цилиндр. Тогда si 〉0,必2 = °, 0〉° % следовательно, движение жидкости неустойчиво при любых скоростях вращения внутреннего цилиндра.
Все сказанное выше можно изобразить графически (рис. 8.5).
Нетрудно видеть, что рисунок отражает все рассмотренные выше случаи. Однако некоторые утверждения с физической точки зрения кажутся сомнительными. Например, утверждение, что движение будет всегда неустойчивым, если вращается
ленном вращении внутреннего цилиндра.
Анализ устойчивости с учетом вязкости жидкости, сделанный Тейлором （1924） с использованием описанного выше метода спектра
Рис. 8.6. Граница устойчивости —штриховая линияРис. 8.6. Граница устойчивости —штриховая линиячастот, приводит к результатам, изображенным на рис. 8.6.
Рис. 8.6. Граница устойчивости —штриховая линия
Рис. 8.6. Граница устойчивости —штриховая линия
Исследование удалось провести до конца только в случае малых зазоров, т. е. при выполнении следующего условия: h《R h = R? — R\ 不=”必.
Из рис. 8.6 действительно видно, что если вращается только внутренний цилиндр （必2 = °）, то существует некоторая критическая скорость его вращения. Если
скорость вращения внутреннего цилиндра меньше критической 必壮卩， то движение жидкости в зазоре остается устойчивым. Точное решение дает для критической скорости следующее выражение:
_ 41,3〃
^Ikp = •
hVhR
Как видно из предыдущего рассмотрения, оригинальный и простой метод Рэлея дает правильную оценку устойчивости некоторых случаев движения жидкости в зазоре.
Действительно, он правильно определил асимптоту точного решения si R，= о；2 А； и верно предсказал устойчивость движения в том случае, если вращается только внешний цилиндр.
Теория Тейлора обнаруживает поразительное совпадение с опытом и является классическим примером исследования устойчивости движения вязкой несжимаемой жидкости.
После потери устойчивости в зазоре образуются локальные ячеистые вихревые движения, которые затем по мере углубления в область неустойчивого движения переходят в беспорядочное турбулентное движение.
Устойчивость движения в канале
Рассмотрим устойчивость стационарного движения жидкости в канале на примере плоского течения Пуазейля. Напомним, что скорость стационарного течения vo зависит только от поперечной координаты у и направлена вдоль оси канала ж, т. е.
V0= （u0况,。,。），u0%=u0.
Для упрощения предположим, что существуют только плоские возмущения: V, =（吸,%,0）:
（voVW = и。瑞， （vW）vo = % 貌
(8.17)(8.17)Уравнения (8.5) в проекциях на координатные оси запишутся в этом случае в следующем виде:
(8.17)
(8.17)
а必 at
+ "。
ох
一瑞△或，
dvy _ др дхду
(8.15)
0.
дх ду
Для плоского
возмущения несжимаемой жидкости можно
ввести
функцию тока 吵：
ду， у
дх
и；=
(8.16)
Из уравнений (8.15) получаем
а а 吵а?吵.а 吵 Ovq _ др i д а 吵
dt ду "° дхду дх ду дх Re ду' g *渔=一生+丄△妙.
dt дх a)2 Qy Re dx
Заметим, что уравнение непрерывности выполняется тождественно и потому в (8.17) не приведено.
Чтобы исключить возмущение давления, из второго уравнения в (8.17), продифференцированного по координате ж, вычтем первое уравнение, продифференцированное по координате у. Учитывая, что скорость стационарного течения жидкости и。зависит только от поперечной координаты у, получим
g △吵一3 * =△△吵.(8.18)
3 力Ас ду2 дх Re/
Граничные условия (8.6) предполагают, что на пластинах, расположенных в у = 0 п у = 1 (напомним, что у — безразмерная координата), функция тока удовлетворяет следующим условиям:
Т = *=。，L。，1・(8.19)
оу ох
Принципиальная трудность решения задачи (8.18), (8.19) состоит в том, что неизвестен вид начального возмущения. Если бы оно было известно, то дальнейшая эволюция возмущения стационарного течения однозначно описывалась бы уравнениями (8.18), (8.19).
Обычно в теории устойчивости течения жидкости в трубах рассматривают нормальные возмущения в виде бегущей вдоль трубы волнн:
(8.20)(8.20)叭力，g,力）=W（y） exp［分（0力-足力）］,
(8.20)
(8.20)
где k — волновое число, W(у) — амплитуда возмущения, зависящая только от поперечной координаты у.
7 В.Г. Черняк, П.Е. Суетин
Выражение (8.20) соответствует возмущениям, которые изменяются с течением времени и периодически зависят от продольной координаты х. Таким образом, в теории появился дополнительный параметр —волновое число k, или, что тоже самое, длина волны возмущения А = 2»/к. Поэтому граница перехода от устойчивого течения к неустойчивому будет определяться двумя параметрами — числом Рейнольдса Re и волновым числом k.
Подставим выражение (8.20) в уравнение (8.18) и учтем значения производных:
dtдхду W
+窃=(*厘祟
△△吵=- 2k2w〃 + к4w)1
Здесь штрихами обозначены производные по координате у. После подстановки в (8.18) и деления на ik получаем
("° — I)(w〃 -廿W)-巾W = ^- 2k2w〃 + к4w) (8.21)
Это дифференциальное уравнение четвертого порядка называют уравнением Орра-Зомерфельда (1937).
Граничные условия (8.19) принимают следующий вид:
Ф(^ = о, 1)=0, и(у = 0, 1)=о.(8.22)
Поскольку разрушение стационарного течения наблюдается при больших числах Рейнольдса, то в первом приближении было бы целесообразно исследовать эволюцию невязких возмущений. Действительно, отсутствие вязкости эквивалентно бесконечно большому числу Рейнольдса (Re —> оо). При этом правая часть уравнения (8.21) становится пренебрежимо малой, математические преобразования существенно упрощаются. Такая модель исследования устойчивости течения впервые была использована Джоном Уильямом Рэлеем. Важнейшим результатом этого исследования является установление связи между профилем скорости стационарного движения жидкости и его устойчивостью. В частности, Рэлей показал, что необходимым условием потери устойчивости течения в канале является наличие точки перегиба профиля скорости, т. е. такой точки, в которой обращается в нуль вторая производная скорости по поперечной координате. Например, плоское течение Пуазейля характеризуется параболическим профилем скорости, на котором отсутствуют точки перегиба, и потому в приближении идеальной жидкости является устойчивым. Если по каким-то причинам, например, под действием силы тяжести, профиль Пуазейля деформируется, то течение в канале оказывается неустойчивым.
Теория Рэлея породила так называемый парадокс гидродинамической устойчивости, суть которого в следующем. Так как малые возмущения течения Пуазейля исчезают с течением времени без учета вязкости, то с учетом вязкости, казалось бы, они должны исчезать тем более. Ведь вязкость определяет диссипативные свойства жидкости, играет стабилизирующую роль. Напрашивается следующий вывод: если удается доказать устойчивость стационарного течения без учета вязкости, то дальнейший анализ с учетом вязкости может изменить только количественные значения определяющих параметров, но не повлияет на качественный вывод об устойчивости движения жидкости. Однако эксперимент и теория показывают, что учет вязкости приводит к качественно новым результатам, позволяет определить границу перехода от устойчивого течения к неустойчивому.
ReReРис. 8.7. Нейтральная криваяРис. 8.7. Нейтральная криваяR^KpR^KpПосле Рэлея исследование устойчивости течения жидкости в канале продолжил В. Гейзенберг (1924). Он рассмотрел течение при больших, но конечных числах Рейнольдса. Решение уравнения (8.21) отыскивалось в виде разложения амплитуды возмущения W в степенной ряд по малому параметру е = 1/ Re. Позднее, в 1945 г., результаты Гейзенберга были уточнены и обобщены американским математиком Линь Цзя-Цзяо. С тех пор теория носит название Гейзенберга и Линя.
Re
Re
Рис. 8.7. Нейтральная кривая
Рис. 8.7. Нейтральная кривая
R^Kp
R^Kp
петли заштрихована, за пре-петли заштрихована, за пре-Основной результат теории Гейзенберга-Линя состоит в обнаружении существования так называемой нейтральной кривой на плоскости k — Re для течения Пуазейля (рис. 8.7). Каждая точка этой кривой соответствует критическому значению числа Рейнольдса для возмущения с данным волновым числом. Область неустойчивости внутри делами петли — область устойчивости.
петли заштрихована, за пре-
петли заштрихована, за пре-
Таким образом, точки кривой разделяют две области, определяют границу устойчивости и потому являются нейтральными. Точка минимума кривой, соответствует критическим значениям числа Рейнольдса (ReKp) и волнового числа (ккр)・ Здесь ReKp — это наименьшее значение числа Рейнольдса, при котором начинается рост возмущений. Как показывают расчет и эксперимент для плоского течения Пуазейля,
ReKp = 5772, А:кр = 1,02.
В теории k — безразмерное волновое число, связанное с длиной волны, обезразмеренной по отношению к расстоянию между пластинами h. Если А — размерная длина волны, то к = 2тг/г/А. Поскольку 足寸 ^ 1, то это означает, что наиболее опасными являются возмущения с длиной волны, превышающей высоту канала приблизительно в 27r раз.
При Re < ReKp возмущения с любыми волновыми числами являются затухающими, т. е. движение устойчиво. Если Re > ReKp, то движение жидкости будет устойчивым только для точек плоскости k — Re, лежащих слева и справа от петли, а для точек внутри петли — неустойчивым. Справа от нейтральной кривой при некоторых значениях волнового числа в область неустойчивости можно попасть, уменьшая число Рейнольдса. В этом случае вязкость играет дестабилизирующую роль. Однако в области больших к (т. е. коротковолновых возмущений) движение всегда устойчиво при любых числах Рейнольдса, даже при Re —> cxd. В этом случае коротковолновые возмущения подавляются вязкостью жидкости.
Экспериментальная проверка теории Гейзенберга-Линя осложнялась тем, что ожидание появления возмущений с различными значениями волнового числа и измерение соответствующих критических чисел Рейнольдса требует больших затрат времени. В 1947 г. для проверки теории была разработана оригинальная экспериментальная методика, в которой стало возможным искусственно возбуждать возмущения. Узкая лента вводилась в жидкость перпендикулярно течению и с помощью электромагнитного генератора приводилась в поперечные колебания. От ленты вниз по потоку распространялись волны, затухая или усиливаясь. Частота колебаний подбиралась так, чтобы при заданном значении числа Рейнольдса волны не затухали и не усиливались. Так определялись нейтральные точки. Существование нейтральной кривой, предсказанное теорией Гейзенберга-Линя, получило экспериментальное подтверждение. Экспериментальные значения критических параметров в области минимума кривой совпали с теоретическими с точностью до погрешности измерений.
Сценарии зарождения турбулентности
Мы провели анализ устойчивости стационарных течений для двух частных наиболее простых случаев — цилиндрического течения Куэтта и течения Пуазейля в канале.
Вот уже второе столетие, начиная с первых работ Рейнольдса, не ослабевает интерес физиков, математиков, инженеров к явлению турбулентности. Настойчивые попытки хотя бы понять возможные механизмы разрушения стационарных течений жидкости пока не привели к созданию общей теории гидродинамической устойчивости, справедливой для любых типов течений.
До недавнего времени существовали только линейные по возмущениям теории-гипотезы. Появление мощных компьютеров, развитие качественной теории дифференциальных уравнений (теории динамических систем) положили начало численным исследованиям нелинейных моделей перехода ламинарных течений в турбулентные.
Детальное изучение существующих моделей гидродинамической устойчивости выходит за рамки данного курса, так как требует введе-
ния новых понятий и определений, дополнительных знаний по некоторым разделам физики и математики.
Поэтому ограничимся обсуждением этих моделей лишь в общих чертах. Но даже в этом случае полезно иметь представление о том, что такое аттрактор и бифуркация.
Понятия аттрактора и бифуркации. Проще всего пояснить смысл этих терминов можно на примере колебаний математического маятника. Пусть маленький шарик массы т подвешен на невесомой нерастяжимой нити длиной /, закрепленной в точке О (рис. 8.8).
加菖加菖Рис. 8.8. Математический маятникРис. 8.8. Математический маятникПод действием сил тяжести и натяжения нити шарик приобретает центростремительное ускорение где 8 — угол отклонения подвеса от положения равновесия, а верхними точками обозначено дифференцирование по времени. Если на шарик действует также сила трения, обусловленная вязкостью среды и равная —2)77126, где 7 — коэффициент трения, то уравнение движения маятника запишется в следующем виде:
加菖
加菖
Рис. 8.8. Математический маятник
Рис. 8.8. Математический маятник
京+ 2)4 +casing = 0,(8.23)
где = g/l — квадрат собственной циклической частоты колебаний.
仇 т. е. sin 夕 ^ 8) это仇 т. е. sin 夕 ^ 8) этоВ линейном приближении (при малых углах
仇 т. е. sin 夕 ^ 8) это
仇 т. е. sin 夕 ^ 8) это
уравнение легко интегрируется при заданных начальных условиях. Результат хорошо известен
(8.24)(8.24)8 = & ехр(—7t) sin(G力 + 夕о).
(8.24)
(8.24)
Здесь ®о ——начальная амплитуда колебаний, з = «з^ -寸—циклическая частота,夕о ——начальная фаза колебаний, определяемая начальными условиями.
При отсутствии трения (7 = 0) полученное решение описывает незатухающие гармонические колебания. Такой маятник представляет собой консервативную систему 9. При наличии сил трения (7 * 0) маятник является диссипативной системой. Его свободные гармонические колебания затухают, величина амплитуды уменьшается с течением времени по экспоненциальному закону с декрементом затухания 7. В этом случае энергия механических колебаний, пропорциональная квадрату амплитуды, уменьшается за счет работы сил трения и рассеивается (диссипируется) в окружающую среду в виде теплоты.
Системы, в которых действуют только консервативные силы, т. е. силы, работа которых не зависит от траектории движения тела, а определяется только начальным и конечным положением этого тела, называются консервативными. В противном случае, например при наличии неконсервативных сил трения, системы называют диссипативными.
Если отвлечься от физического объекта, для которого получено уравнение (8.23), и обратиться к свойствам этого уравнения, то можно рассмотреть случай 7 < 0. Тогда из решения (8.24) следует, что даже при малом отклонении от положения равновесия энергия системы будет неограниченно возрастать с течением времени по экспоненциальному закону. Такое равновесие неустойчиво.
Часто необходимо исследовать такие физические системы и процессы, для которых не удается получить аналитические решения соответствующих дифференциальных уравнений. В таких случаях используют специально разработанную качественную теорию дифференциальных уравнений. Основу этой теории составляет фазовое пространство или, как часто говорят, пространство состояний, в котором осями координат служат определяющие физические величины. Состоянию системы в некоторый фиксированный момент времени в фазовом пространстве соответствует одна точка — фазовая точка. При временной эволюции системы эта точка движется в фазовом пространстве вдоль некоторой кривой, которая называется фазовой траекторией. Совокупность фазовых траекторий образует фазовый портрет системы, дающий качественное представление о ее эволюции при различных значениях управляющих параметров.
Вновь обратимся к уравнению (8.23). Только теперь вместо его интегрирования представим решение на фазовой плоскости (仇 6).
Полная механическая энергия маятника определяется суммой его кинетической и потенциальной энергий
Е = ； ml202 + mgl(l — cos。).(8.25)
Отсюда скорость изменения энергии определится следующим выражением:.°°.
Е = т/2(6> + ^ sin 19)19.(8.26)
Сравнивая (8.26) с уравнением (8.23), получаем
Е = -27т/2 в2 .(8.27)
Рассмотрим консервативную систему, для которой 7 = 0. В этом случае Ё = 0, т. е. механическая энергия колебаний с течением времени не изменяется, Е = const. Тогда в линейном приближении (1 — cos® //2) из уравнения (8.25) имеем
^ +总 =1,(8-28)
Здесь учтено, что в любом случае энергия не может быть отрицательной, Е》0.
Таким образом, при отсутствии трения фазовой траекторией гармонических колебаний на плоскости (仇 6) является эллипс с полуосями А и 4go・ При различных значениях энергии Е получим фазовый порт-
рет в виде семейства замкнутых кривых (эллипсов), охватывающих точку равновесия 0 = 0 = 0 (рис. 8.9).
Из уравнения (8.27) видно, что скорость изменения энергии колебаний пропорциональна кинетической энергии
Е = -47Ек, Ек = I т/2 О2 . (8.29)
Рис. 8.9. Фазовый порт-Рис. 8.9. Фазовый порт-изменение энергии за периодЕ = —4)Ек .изменение энергии за периодЕ = —4)Ек .рет незатухающих малых колебаний для двух зна- (8.30) чений энергии, Е2 > Eiрет незатухающих малых колебаний для двух зна- (8.30) чений энергии, Е2 > EiПоскольку кинетическая энергия осциллирует, то диссипация полной энергии в течение периода колебаний Т = 2»/必 происходит неравномерно. Нас интересует среднее
Рис. 8.9. Фазовый порт-
Рис. 8.9. Фазовый порт-
изменение энергии за период
Е = —4)Ек .
изменение энергии за период
Е = —4)Ек .
рет незатухающих малых колебаний для двух зна- (8.30) чений энергии, Е2 > Ei
рет незатухающих малых колебаний для двух зна- (8.30) чений энергии, Е2 > Ei
описы- (8.33)угла 0(8.34)(8.35)к точкеописы- (8.33)угла 0(8.34)(8.35)к точке
описы- (8.33)
угла 0
(8.34)
(8.35)
к точке
описы- (8.33)
угла 0
(8.34)
(8.35)
к точке
Известно, что для незатухающих гармонических колебаний средние за период кинетическая и потенциальная энергии равны между собой. Ввиду малости затухания колебаний за один период (|)|《о;) можно считать, _тго средняя кинетическая энергия равна половине полной энергии,串=Е/2. Тогда имеем
(8.31)(8.31)Е = -27Е.
(8.31)
(8.31)
Таким образом, усредненная за период колебаний скорость изменения энергии пропорциональна самой энергии. Если начальная механическая энергия равна Е。，то решением уравнения (8.31) будет
Е = Еоехр(—2)力).(8.32)
Энергия колебаний пропорциональна квадрату амплитуды, Е ~ %. Поэтому изменение амплитуды колебаний в среднем за период вается выражением
& = е()ехр(—7力)， где ®о ——начальная амплитуда колебаний.
При малом коэффициенте затухания (|)|《о;) осциляции близки к гармоническим при 7 = 0, т. е.
9 ^ % sin(G力 + 夕о)，6 ~ 9m3 COS(G力 + 夕о) •
Отсюда фазовая траектория на плоскости (8, 6) имеет вид
吟(夕皿⑺2
Мы получили уравнение спирали, закручивающейся (7 > 0)
равновесия 8 = 6 = 0 или раскручивающейся (7 < 0) от нее. При 7 = 0 фазовой траекторией будет замкнутая кривая. Эти три случая схематически показаны на рис. 8.10.
Основной вывод полученного результата состоит в следующем. При 7 < 0 положение равновесия неустойчиво, так как при малом отклонении от него действующие силы уводят систему еще дальше от рав- новесия(фазовые траектории раскручиваются). При 7 = 0 положение равновесия обладает нейтральной устойчивостью, поскольку смещения
Рис. 8.10. Фазовые траектории вблизи равновесия [3]
не усиливаются и не затухают со временем. В случае 7 > 0 любые смещения затухают с течением времени, все фазовые траектории заканчиваются в начале координат фазовой плоскости. Поэтому при 7 > 0 точку фазовой плоскости в = 0 = 0 называют притягивающей точкой или аттрактором (attraction в переводе с английского означает притяжение). В рассмотренном примере и в других случаях точечный аттрактор соответствует стационарному равновесному состоянию системы.
Мы рассмотрели собственные колебания, которые в реальных условиях при наличии трения с течением времени затухают. Для поддержания колебаний необходимо внешнее воздействие силой, работа которой компенсировала бы диссипацию энергии колебаний. При наличии вынуждающей силы уравнение (8.23), описывающее свободные колебания, должно быть модернизировано.
Действие постоянной внешней силы приводит лишь к смещению положения равновесия. Например, действие силы тяжести на груз, подвешенный на пружине, приводит к растяжению пружины, но не может поддерживать колебания пружинного маятника. Поэтому вынуждающая сила должна быть переменной во времени.
Рассмотрим простой случай вынужденных колебаний математического маятника под действием внешней силы, пропорциональной угловой скорости 0. Кроме того, учтем, что вынуждающая сила подавляет любые возмущения колебаний за конечный промежуток времени. Если в результате каких-то возмущений энергия колебаний уменьшается в некоторый момент времени, то работа внешней силы компенсирует это уменьшение энергии. При случайном увеличении энергии маятника внешняя сила совершает отрицательную работу, восстанавливая начальную величину энергии. Таким образом, любые возмущения колебательной системы не могут возрастать до бесконечности, как это следует из уравнения (8.23). По этому принципу работает часовой механизм, электрический колебательный контур и т. д.
Дифференциальное уравнение колебаний, соответствующее таким условиям, может быть формально получено из уравнения (8.23), если величину 7 представить в виде
7 = -70 (1 - ±)，(8.36)
где 7о〉0, ®о — начальная амплитуда. В этом случае имеем
7 < 0 при e2C解， 7 > 0 при е2 > %
С учетом выражения (8.36) уравнение (8.23) для малых колебаний (sin 夕 8) будет иметь следующий вид:
京—2)о (1 — ^) 6 + 届8 = 0 •(8.37)
Запишем это уравнение в безразмерном виде, выбирая 夕。，必о/2)о за единицу амплитуды и 1/а；о — за единицу времени
京一(6 —е2)6 + 61 = 0,(8.38)
где е = 2)o/go — безразмерный параметр.
Уравнение (8.38), известное как уравнение Ван дер Поля (1922 г.), имеет следующую замечательную особенность. Поскольку параметр е положителен, то при малых отклонениях от равновесия 夕2《е это уравнение описывает колебания, амплитуды которых увеличиваются с течением времени по экспоненциальному закону. В плоскости (8, 4) фазовые траектории таких колебаний в окрестности начала координат расходятся по спирали (см. рис. 8.10 при 7 < 0). В другом случае при ®2》е уравнение Ван дер Поля описывает затухающие колебания, фазовые траектории которых вдали от начала координат закручиваются по спирали к началу координат (см. рис. 8.10 при 7 > 0). Численный анализ показывает, что для каждого значения параметра е существует единственное устойчивое решение уравнения Ван дер Поля. В плоскости (8, 6) этому решению соответствует замкнутая фазовая траектория, к которой асимптотически стремятся другие фазовые траектории. Таким образом, замкнутая фазовая траектория представляет собой аттрактор, который А. Пуанкаре назвал предельным циклом.
В биологии ярким примером предельного цикла является динамика популяций. В частности, периодические колебания численности рыб обусловлены существованием оптимального соотношения между рыбами-хищниками и рыбами-жертвами, условно — между щуками и карасями. Если щуки поедают слишком много карасей, то численность карасей падает, что приводит к сокращению щук. Сокращение количества щук способствует увеличению числа карасей. Имеют место циклические изменения численности видов.
На рис. 8.11 схематически показан фазовый портрет уравнения Ван дер Поля. Решение, изображаемое замкнутой кривой представля-
ет собой предельный цикл, т. е. циклический аттрактор, к которому стремятся все фазовые траектории. Обе кривые, одна из которых начи
нается вне предельного цикла, а другая внутри него, асимптотически
сходятся к предельному циклу с двух
Рис. 8.11. Фазовый портрет уравнения Ван дер ПоляРис. 8.11. Фазовый портрет уравнения Ван дер Полясторон.
Рис. 8.11. Фазовый портрет уравнения Ван дер Поля
Рис. 8.11. Фазовый портрет уравнения Ван дер Поля
Заметим, что форма предельного цикла существенно зависит от числового значения параметра е уравнения Ван дер Поля.
Продолжим анализ уравнения (8.38), полагая, что безразмерный параметр е может быть как положительным, так и отрицательным. При е < 0 начало координат фазовой плоскости 0 = 0 = 0 характеризует устойчивое равновесие, т. е. является точечным аттрактором. При
е > 0, как мы видели, точка начала координат становится неустойчивой и переходит в другой аттрактор — предельный цикл. Следовательно,
при е = 0 происходит качественное изменение решения уравнения (8.38). Физически это соответствует качественной перестройке колебательного движения при плавном изменении внешних условий.
Обобщая этот результат введем еще одно понятие, имеющее фун
даментальное значение в теории сильно неравновесных систем и,
в частности, в теории турбулентности. Качественное изменение ре
шения дифференциального уравнения при некотором фиксированном значении параметра этого уравнения называется бифуркацией (bifurcation в переводе с английского означает раздвоение, разветвление). Соответствующее значение параметра называется критическим, так
как при этом значении имеется несколько ветвей решения, устойчивых
Рис. 8.12. Бифуркационная диаграмма уравнения Ван дер ПоляРис. 8.12. Бифуркационная диаграмма уравнения Ван дер Поляили неустойчивых. Для уравнения Ван дер Поля, как мы видели, критическим значением параметра е будет е = ек = 0. График зависимости свойства решения от параметра уравнения называют бифуркационной диаграммой. На рис. 8.12 показана типичная бифуркационная диаграмма, демонстрирующая качественную зависимость свойств решения уравнения (8.38) для максимальной амплитуды колебаний 0т от параметра е.
Рис. 8.12. Бифуркационная диаграмма уравнения Ван дер Поля
Рис. 8.12. Бифуркационная диаграмма уравнения Ван дер Поля
При значениях е < ек устойчивое
решение соответствует точечному ат
трактору. Напомним, что для уравнения (8.38) этой точкой на фазовой плоскости (8, 6) является начало координат, так как ек = 0. При е = ек решение претерпевает качественное изменение: точечный ат-
трактор сменяется предельным циклом, а неподвижная точка фазового пространства, которая была аттрактором, соответствует неустойчивому решению (штриховая часть оси е на бифуркационной диаграмме).
Явление возникновения предельного цикла при некотором фиксированном значении параметра е = ек называется бифуркацией Хопфа (Hopf Е., 1942). Предельный цикл в окрестности бифуркации Хопфа обладает важным свойством. В частном случае уравнения Ван дер Поля амплитуда предельного цикла вблизи точки ветвления пропорциональна квадратному корню из параметра е, а в общем случае — (е — бк)1/2. Это означает, что при плавном росте параметра е > ек, начиная от точки бифуркации амплитуда растет как (е — ек)1/2. Это составляет основу возможного сценария разрушения стационарного ламинарного течения жидкости и зарождения турбулентности.
Сценарий Ландау-Хопфа. Основу сценария турбулизации течения, предложенного Л. Ландау (1944 г.) и независимо Е. Хопфом (1948), составляет гипотеза непрерывного перехода к турбулентности через бесконечный каскад бифуркаций.
Ландау исходил из того, что уравнения Навье-Стокса и непрерывности всегда имеют стационарное решение, устойчивое при малых числах Рейнольдса. Пусть этим решением для скорости течения будет vo(г). Заметим, что скорость зависит только от радиуса-вектора г, но не зависит от времени t.
Если в жидкости возникает возмущение, то скорость течения может быть представлена в виде суммы скорости стационарного течения и возмущения v(r,力)=vo(r) + vi (r, t). Как было показано, возмущение V1 описывается уравнением (8.5) и удовлетворяет стационарному граничному условию (8.6). Решение имеет вид
vi (г, t) = fb(r) ехр(—zo;t). (8.39)
Подставляя это выражение в уравнение (8.5), можно определить комплексные собственные частоты ш = а -\- Ы. Если все комплексные частоты имеют отрицательные мнимые части (Ь < 0), то малые возмущения затухают и решение vo устойчиво. Если же при увеличении числа Re до некоторого критического значения Rei появится одна собственная частота ш\ = ai -\- b\i, мнимая часть которой равна нулю (61 = 0), то возникает состояние нейтрального равновесия, когда возмущение не исчезает, но и не растет. При этом течение жидкости становится периодическим по времени с частотой gi и периодом Ti = 27r / o；i.
Таким образом, значение управляющего параметра Re = Rei является первой точкой бифуркации решения уравнения (8.5).
Как поведет себя жидкость при дальнейшем увеличении числа Рейнольдса? Отвечая на этот вопрос, Ландау выдвигает гипотезу о том, что существует такое значение Re = Re?, при котором в жидкости возникает второе периодическое движение с частотой 必2, которое накладывается на первое с частотой gi. Таким обра-
зом, течение жидкости становится квазипериодическим со скоростью v(r, t) = vo(г) + vi (г, t) + V2(r,力)，причем возмущение второго порядка определяется следующим выражением:
(8.40)(8.40)V2(r, t) = fi (г, t) exp(—沁2力)•
(8.40)
(8.40)
Здесь амплитуда fi (г, t) — периодическая функция времени с периодом Ti основного колебательного движения. В соответствии с гипотезой
Ландау частоты колебаний gi и 必2 должны быть несоизмеримы, т. е. их отношение 必2/口1 является иррациональным числом. Это существенно, так как состояния, фазы которых отличаются на целое кратное 27r физически тождественны.
Значение Re = Re? > Rei является второй точкой бифуркации решения уравнения (8.5). При дальнейшем увеличении числа Рейнольдса и достижения им величины Re? > Re? возникает третье периодическое по времени движение с частотой ^з и т. д. Следовательно, при плавном увеличении числа Рейнольдса появляются точки бифуркации Rei, Re2, Re?,... и соответствующий спектр частот 必匕 必2,必3, — Сценарий Ландау предполагает, что с увеличением числа Рейнольдса интервалы между точками бифуркации быстро сокращаются. Вновь появляющиеся периодические движения жидкости имеют все более мелкие масштабы. Наконец, число Рейнольдса достигает значение
Рис. 8.13. Бифуркационная диаграмма турбулизации течения по сценарию Ландау-Хопфа; / — амплитуда возмущений; затемненная область при Re > ReKp соответствует турбулентному потокуРис. 8.13. Бифуркационная диаграмма турбулизации течения по сценарию Ландау-Хопфа; / — амплитуда возмущений; затемненная область при Re > ReKp соответствует турбулентному потокуReKp, при котором точки бифуркации сливаются и решение уравнения Навье-Стокса становится неустойчивым. Таким образом, нерегулярное (турбулентное) течение возникает в результате бесконечного каскада бифуркаций.
Рис. 8.13. Бифуркационная диаграмма турбулизации течения по сценарию Ландау-Хопфа; / — амплитуда возмущений; затемненная область при Re > ReKp соответствует турбулентному потоку
Рис. 8.13. Бифуркационная диаграмма турбулизации течения по сценарию Ландау-Хопфа; / — амплитуда возмущений; затемненная область при Re > ReKp соответствует турбулентному потоку
На рис. 8.13 показана бифуркационная диаграмма перехода от ламинарного течения при Re < Rei к турбулентному при Re < ReKp через бесконечный каскад бифуркаций Хоп- фа. При плавном увеличении числа Рейнольдса в каждой точке бифуркации происходит рождение нового предельного цикла. При этом амплитуда / предельного цикла уменьшается с увеличением значения Re,
т. е. вновь рождающиеся возмущения имеют все более мелкие масштабы. Течение жидкости приобретает все более сложный и запутанный характер. Наконец при некотором критическом значении Re = ReKp поток полностью турбулизуется.
Как изменяются фазовые траектории системы в пространстве состояний, в котором осями координат служат амплитуды фурье-компонент скорости течения? При появлении первой частоты gi движение жид-
кости становится устойчиво-периодическим. В пространстве состояний точечный аттрактор превращается в предельный цикл, фазовые траектории представляют собой замкнутые кривые. При увеличении числа Рейнольдса, когда появляется второе периодическое движение с частотой 必2, течение становится квазипериодическим. В трехмерном
Рис. 8.14. Фазовая траектория при квази- периодическом движении в виде спиральной кривой на поверхностиРис. 8.14. Фазовая траектория при квази- периодическом движении в виде спиральной кривой на поверхноститораторапространстве состояний двоякопериодическому движению соответствует фазовая траектория в виде незамкнутой намотки на двумерный тор (рис. 8.14).
Рис. 8.14. Фазовая траектория при квази- периодическом движении в виде спиральной кривой на поверхности
Рис. 8.14. Фазовая траектория при квази- периодическом движении в виде спиральной кривой на поверхности
тора
тора
Фазовая траектория квазипериодического движения формируется наложением двух кривых. Основная частота g соответствует вращению по образующей тора, частота з? — вращению на поверхности тора.
на трехмерный тор.на трехмерный тор.При дальнейшем увеличении числа Рейнольдса появляется третья частота 03. Результирующему движению жидкости в пространстве состояний соответствует фазовая траектория в виде незамкнутой кривой, намотанной
на трехмерный тор.
на трехмерный тор.
Поскольку сценарий Ландау-Хопфа предполагает переход к нерегулярному течению через каскад конечного, но большого числа бифуркаций, то геометрическим образом турбулентного потока в пространстве состояний будет многомерный тор.
В настоящее время теория Ландау-Хопфа подвергается критике. Основным аргументом являются ссылки на эксперименты, из которых следует, что турбулизация потока происходит значительно быстрее, чем
это предсказывает теория.
Сценарий Рюэля-Такенса. В сценарии Д. Рюэля и Ф. Такенса (1971) турбулизация течения связывается с возникновением странного аттрактора после трех бифуркаций. Хаотическим или странным аттрактором в физике называют ограниченный объем
Рис. 8.15. Странный аттрактор ЛоренцаРис. 8.15. Странный аттрактор Лоренцапространства состояний диссипативной системы, куда фазовые траектории только входят, образуя внутри него неустойчивые циклы и незамкнутые блуждающие траектории. Это своего рода «черная дыра», затягивающая в себя все фазовые траектории и не выпускающая их наружу. На рис. 8.15 показан один из известных странных аттракторов — так называемый аттрактор Лоренца, характеризующий динамическое поведение жидкости в условиях конвекции. Это первый стран-
Рис. 8.15. Странный аттрактор Лоренца
Рис. 8.15. Странный аттрактор Лоренца
1) Имеется ввиду поверхность «бублика» без заключенного в ней объема. В данном случае речь идет о двумерной поверхности в трехмерном пространстве.
ный аттрактор, который был открыт (Э. Лоренц, 1963) и исследован. Видно, что он представляет собой «клубок» непересекающихся фазовых траекторий в элементе объема трехмерного пространства состояний.
В отличие от обычных аттракторов (предельная точка, устойчивый предельный цикл) странный аттрактор обладает замечательным свойством —чувствительной зависимостью от начальных условий (ЧЗНУ). Физически это означает, что характер течения существенно зависит от значений возмущений в момент их возникновения. С точки зрения математического описания эволюции возмущений решения уравнений
гидродинамики сильногидродинамики сильноРис. 8.16. Расхождение первоначально близких фазовых траекторий [3]Рис. 8.16. Расхождение первоначально близких фазовых траекторий [3]зависят от начальных условий. Если движение устойчиво, то малая неточность в граничных условиях приведет к такой же неточности в конечном результате. Если же движение неустойчиво, то эта неточность в начальных условиях растет с течением времени и решение не предсказывает дальнейший характер течения жидкости.
гидродинамики сильно
гидродинамики сильно
Рис. 8.16. Расхождение первоначально близких фазовых траекторий [3]
Рис. 8.16. Расхождение первоначально близких фазовых траекторий [3]
Вследствие ЧЗНУ две любые близкие в начальный момент фазовые траектории на странном аттракторе с течением времени расходятся (рис. 8.16).
Кажущееся противоречие между нашим представлением об аттракторе как объекте, притягивающем фазовые траектории, и ЧЗНУ, приводящей к расхождению этих траекторий, свидетельствует лишь о существовании нижней границы размерности аттрактора. На двумерной поверхности возникновение странного аттрактора невозможно. Это связано с тем, что фазовые траектории не пересекаются. В противном случае точка пересечения порождала бы две траектории, т. е.
Рис. 8.17. Расхождение первоначально близких траекторий в трехмерном пространстве состояний [3]Рис. 8.17. Расхождение первоначально близких траекторий в трехмерном пространстве состояний [3]существовало бы такое состояние, из которого система ведет себя неопределенным образом. Следовательно, разрушение двумерного тора и превращение его в странный аттрактор невозможно. Размерность тора, который может перейти в странный аттрактор должна быть не меньше трех.
Рис. 8.17. Расхождение первоначально близких траекторий в трехмерном пространстве состояний [3]
Рис. 8.17. Расхождение первоначально близких траекторий в трехмерном пространстве состояний [3]
Для примера рассмотрим трехмерное фазовое пространство. На рис. 8.17 показано поведение фазовых траекторий, которое в принципе не может быть реализовано на двумерном торе. Две первоначально близкие траектории расходятся на плоскости по спирали, затем выходят из плоскости и вновь возвращаются в центр
спирали. Бесконечное повторение этого процесса приводит к возникновению странного аттрактора как элемента фазового объема, внут-
ри которого эволюционирует притягивающее множество неустойчивых траекторий.
Еще раз подчеркнем, что в соответствии со сценарием Рюэля- Такенса течение может стать турбулентным уже после третьей бифуркации. Напомним, что по теории Ландау переход к турбулентности происходит через каскад бесконечного числа бифуркаций.
Сценарий Фейгенбаума. Сценарий Фейгенбаума (M.J. Feigenbaum, 1978) представляет непрерывный переход к турбулентности через бесконечный каскад бифуркаций с удвоением периода. Эта идея родилась после анализа итерационного уравнения
/п+1 = гжп(1 —力九), (8.41) где г — некоторая постоянная, принимающая значения в диапазоне 0 < г < 4; переменная хп принадлежит единичному интервалу [0,1]. Видно, что значение 力九+i также принадлежит единичному интервалу [0,1]. Если считать, что индексы п и п + 1 относятся к настоящему и последующему моментам времени, то уравнение (8.41) описывает некоторый эволюционный процесс.
Решение, для которого 力九+i = хп, называют неподвижной точкой (последующее решение равно предыдущему). При всех значениях г существует неподвижная точка ж = 0, и при г > 1 есть еще одна неподвижная точка ж = 1 — l/丁. Пусть 1 < г < 3, тогда линейный анализ показывает, что при любом начальном значении /о〉0 итерационный процесс по уравнению (8.41) в пределе п —> оо приводит к решению хп = \ — \/г. Таким образом, при 1 < г < 3 точка / = 1 — 1/т является аттрактором. Если один шаг итерации принять за единицу времени, то можно утверждать, что мы получили аттрактор с периодом 1. Действительно, при хп = \ — \ /г получаем 力九+i = 1 — 1/г, т. е. за один шаг мы получили то же самое решение.
Ситуация принципиально изменяется при г > 3. Неподвижная точка ж = 1 — 1/г в этом случае оказывается неустойчивой. Если начальное значение /о как угодно мало отклоняется от этой точки, то итерационный процесс (8.41) уводит решение еще дальше от нее. Неподвижная точка / = 1 — 1/т уже не является аттрактором. Зато при 3 < г < 3,45 появляются две такие особые точки с абсциссами ж* и что
/； = т/；(1 — ж*), ж* = т/；(1 — /；).
Итерации попеременно совпадают то с одной из них, то с другой. Начав с любой из этих точек, мы через два шага вновь вернемся в нее. Следовательно, точки ж* и /； образуют аттрактор с периодом 2, т. е. происходит удвоение периода. При дальнейшем увеличении параметра г, т. е. при г > 3,45 появляется решение периода 4, а решение периода 2 хотя и не исчезает, но теряет устойчивость. Плавное увеличение параметра г до значения 厂^ ^ 3,56998 приводит к тому, что устойчивые решения с периодом 2k последовательно заменяются
устойчивыми решениями с периодом 2^+1. Чем больше значение k, тем меньше интервал значений г, при которых решение периода 2к устойчиво. При г = Гоо итерации (8.41) становятся неустойчивыми, наступает хаос. Если параметр г отождествить с числом Рейнольдса, то очевидна аналогия итераций (8.41) с теорией турбулентности Ландау. Фейгенбаум также заметил, что значения параметра г, соответствующие каждому удвоению периода, сходятся к значению 厂^ как геометрическая прогрессия со знаменателем 6 ^ 4,6692 .... Число 6 носит название постоянной Фейгенбаума.
Качественно проиллюстрируем сценарий Фейгенбаума применительно к уравнению Навье-Стокса:
(8.42)(8.42)
(8.42)
(8.42)
Если L и V — характерный размер и величина скорости течения соответственно, то второе слагаемое в левой части уравнения (8.42)
имеет ] как uvимеет ] как uvно в видено в видепорядок V2/L, а второе слагаемое правой части можно оценить (/L2. С учетом этих оценок уравнение (8.42) запишем качествен-
имеет ] как uv
имеет ] как uv
но в виде
но в виде
(8.43)(8.43)dv 2,>,
(8.43)
(8.43)
-—=av -\- b -\- cv , dt
где все коэффициенты не изменяются с течением времени.
Пусть в жидкости имеется некоторое характерное периодическое течение с периодом Т. Тогда левую часть можно приближенно пред
ставить какставить какdv dtdv dt0(力 + 7) 一 0⑴0(力 + 7) 一 0⑴ТТ(8.44)(8.44)
ставить как
ставить как
dv dt
dv dt
0(力 + 7) 一 0⑴
0(力 + 7) 一 0⑴
Т
Т
(8.44)
(8.44)
Перепишем уравнение (8.43) для скорости жидкости в разностной
форме
(8.45)(8.45)v(t + Т) =⑴ + /Зи?⑴ + 7 ,
(8.45)
(8.45)
где а, 0, 7 — некоторые новые постоянные. Линейный член в правой части уравнения (8.45) может быть исключен, если перейти в другую систему отсчета, движущуюся относительно исходной с некоторой постоянной скоростью V. Тогда уравнение (8.45) можно записать в виде
。（力+ 7一。 + 1嘗,。（力+ 7一。 + 1嘗,(8.46)(8.46)
。（力+ 7一。 + 1嘗,
。（力+ 7一。 + 1嘗,
(8.46)
(8.46)
где о。— некоторая характерная скорость течения, например, скорость тела, движущегося в жидкости, А — безразмерная постоянная. Эта постоянная может быть качественно идентифицирована с числом Рейнольдса, Re. Действительно, из приведенных выше оценок следует, что отношение квадратичного члена уравнения Навье-Стокса к «вязкому» имеет порядок。厶/〃 = Re.
Разностное уравнение принимает следующий вид:
v(t + Т) = о。- Re ” ⑴.v(t + Т) = о。- Re ” ⑴.(8.47)(8.47)
v(t + Т) = о。- Re ” ⑴.
v(t + Т) = о。- Re ” ⑴.
(8.47)
(8.47)
Знак минус перед квадратичным членом выбран из тех соображений, что в противном случае при о°〉° скорость о неограниченно увеличивается при повторении периодов времени Т. Полученное уравнение (8.47), качественно сохраняющее основные черты уравнения движения Навье-Стокса, формально похоже на итерационное уравнение (8.41), которое исследовал Фейгенбаум. Роль управляющего параметра играет число Рейнольдса.
Строго периодическое решение означает, что oi(t + T) = v\(t). Тогда из (8.47) получаем квадратное уравнение
(8.48)(8.48)g = о。— Re —,
(8.48)
(8.48)
решением которого будет
% =% =V1 + 4 Re - 12ReV1 + 4 Re - 12Re00 •00 •(8.49)(8.49)
% =
% =
V1 + 4 Re - 12Re
V1 + 4 Re - 12Re
00 •
00 •
(8.49)
(8.49)
Для определенности мы взяли только положительный корень (8.48).
Рассмотрим малое возмущение этого периодического решения о = =。1 + △?;. Подставляя это в (8.47) и ограничиваясь членами первого порядка малости по возмущению Av, получим
△о(力 + т) = —2 Re % 竺④. (8.50)
Если выполняется неравенство 2Reoi < о°, то из уравнения (8.50) следует: 〔△о(力 + Т)| < 〔△о(力)|. Это означает, что возмущение периодического решения со временем уменьшается, т. е. периодическое решение является устойчивым. Если же 2Reoi > о°, то течение неустойчиво, так как возмущение нарастает со временем. Потеря устойчивости происходит в нейтральной точке при значениях Re = Rei п 。1 = о；, которые связаны между собой следующим соотношением:
(8.51)(8.51)2 Rei о；=伙)•
(8.51)
(8.51)
Подставляя Re = Rei и ??i = v* в (8.49), а затем с учетом соотношения (8.51) исключая о；, получим
，4 Rei +1 = 2 ,，4 Rei +1 = 2 ,Rei =3/4.Rei =3/4.(8.52)(8.52)
，4 Rei +1 = 2 ,
，4 Rei +1 = 2 ,
Rei =3/4.
Rei =3/4.
(8.52)
(8.52)
Таким образом, Re = Rei — точка бифуркации. Периодическое течение со скоростью 。1 устойчиво при Re < Rei и неустойчиво при Re > Rei.
В точке бифуркации Re = Rei, согласно (8.50), имеем /^v(t + Т)= =—△v(t) и, следовательно,
△о(力 + 2Т) = —力 + Т) = Av(t).
Таким образом, течение со скоростью о； + Av тоже периодично с периодом 2Т, т. е. с удвоенным периодом исходного периодического течения.
Найдем условие потери устойчивости нового периодического течения с периодом 2T. Для этого проитерируем уравнение (8.47) через один период. Это дает
。(力 + 2Т) = °о(1 - Re) + 2 Re2 - Re3 亠.(8.53)
Vo
Поскольку о < о。，последним слагаемым правой части можно пренебречь как членом более высокого порядка малости. Введем обозначения v(t)=方⑴(1 - Re), А = 2 Re2(Re-l). (8.54)
Тогда упрощенное уравнение (8.53) примет вид
v(t + 2Т) = "о — X .(8.55)
Это уравнение формально совпадает с (8.47), если произвести замену о ——> 5 и Re ——> А. Поэтому повторяя проведенный выше анализ, согласно (8.52), получим, что потеря устойчивости периодическим течением с периодом 2T происходит при А = Д2 = 3/4. Тогда из (8.54) находим, что соответствующее значение числа Рейнольдса равно Re = Re2 = 1,23. Это вторая точка бифуркации.
Следовательно, периодическое течение с периодом 2T устойчиво при Re < Re2 и неустойчиво при Re > Re?.
Результат следующей итерации уравнения (8.47) еще на один период даст условие устойчивости течения с периодом 4Т. Очевидно потеря устойчивости этого периодического течения будет происходить при 从=3/4 从=2А2(А — 1). Отсюда X =木 1,23 и Re? 1,34. Мы получили третью точку бифуркации.
Следующее число Рейнольдса, при котором происходит потеря устойчивости периодического течения с периодом 8Т, равно Re = Re< ^ 1,36.
Повторяя итерационную процедуру мысленно бесконечное число раз, получим, что полная потеря устойчивости течений со всеми периодами имеет место при достижении критического числа Рейнольдса ReKp. В соответствии с (8.54) это число определяется из уравнения
ReKp = 2Re|p(ReKp-l).(8.56)
Отсюда получаем
ReKp = (l+V^)/2^ 1,37.
Область Re > ReKp соответствует возникновению турбулентности.
Отметим быстрое сближение чисел Рейнольдса Ren с ростом номера п, соответствующего потери устойчивости периодического течения с периодом 2п~{Т. Из проведенных оценок следует, что уже при Re Re< возникающие вихревые потоки быстро разрушаются и течение становится турбулентным. Это качественно согласуется со сценарием Рюэля-Такенса.
Уравнения Рейнольдса
Свойства турбулентного движения очень сложны и известны главным образом из экспериментов. Опыты показывают, что при установив
шемся турбулентном движении скорость в данной точке пространства
все время изменяется как по величине, так и по направлению. Также
изменяется и давление. Если измерить изменение мгновенной продоль
трубы с течением времени,трубы с течением времени,Рис. 8.18. Пульсации скоростиРис. 8.18. Пульсации скоростиной компоненты скорости в данной точке то получим примерный график, изображенный на рис. 8.18.
трубы с течением времени,
трубы с течением времени,
Рис. 8.18. Пульсации скорости
Рис. 8.18. Пульсации скорости
Из рисунка видно, что при установившемся движении компонента скорости вдоль оси трубы (ось ж) пульсирует около некоторого среднего значения, определяющего расход жидкости в трубе. Если использовать более чувствительный и менее инерционный прибор, то обнаружилось бы, что при увеличении числа Рейнольдса каждый кажущийся более
или менее прямолинейным участок кривой (рис. 8.18) на самом деле представляет собой также некоторую зигзагообразную ломаную линию. Очевидно, поперечная составляющая скорости будет пульсировать око
ло среднего значения, равного нулю.
Средние значения некоторой компоненты скорости и давления могут быть получены следующим образом:
тт
〈3〉= ^ ] 3 d力，〈力=^ ]夕九(8.57)
оо
Здесь Т — промежуток времени, достаточно большой по сравнению с «периодом» основных пульсаций скорости, но в то же время достаточно малый по сравнению с характерным временем медленного изменения основного нестационарного течения (осредненное по случайным пульсациям движение может быть и нестационарным). При этом условии начало отсчета промежутка времени Т произвольно и может быть принято за нуль.
Очевидно, что с точки зрения теории в выборе пульсаций, по которым необходимо усреднять, существует определенный произвол. Однако на практике этот выбор очевиден.
Тогда мгновенное значение скорости или давления в любой момент времени можно представить следующим образом:
Vi = (vi) + ^ , р= (р) -\-pf.(8.58)
Здесь v- и р' — пульсационные скорость и давление соответственно.
Будем полагать, что турбулентное движение содержится в точных решениях уравнения Навье-Стокса. Рассмотрим несжимаемую жидкость и усредним каждый член уравнения движения.
Определим правила усреднения. Пусть /(/, у, z,力)一некоторая пульсирующая характеристика движения, мгновенное значение которой в данной точке пространства можно в любой момент времени представить в виде т
/ =(力 + 广， ⑺=^ \fdt.(8.59)
о
Очевидно, по определении〈乃=0 . Среднее значение суммы равно сумме средних
(力+/2)=(力)+(力).(8.60)
Среднее значение произведения двух величин, из которых лишь одна испытывает пульсации, равно произведению средних
Ш • /2〉=〈力〉-Ш,〈〈/1〉• Л) =〈/1〉•〈力〉=0.(8.61)
Среднее значение двух независимых пульсирующих величин не равно произведению средних
〈力•力〉=〈力〉-ш + « • *〉， (Л • *〉# 0 •(8.62)
Среднее значение производной от пульсирующей характеристики равно производной от среднего значения
Заметим, что, согласно интегральной формуле осреднения по времени Т, два последних соотношения выполняются лишь приближенно. Далее, невозможно осреднить все характеристики движения одинаковым образом, не нарушая вида основных физических законов. Например, если в уравнении состояния идеального газа мы одинаковым образом усредним давление р, плотность р и температуру Т , то, согласно принятым правилам, получим
Но тогда закон Клапейрона-Менделеева не будет справедлив для средних величин, что, по-видимому, физически некорректно.
Поэтому в различных теориях турбулентности применяют различные правила для осреднения различных величин, характеризующих движение.
По вышеприведенным правилам проведем осреднение уравнений Навье-Стокса для несжимаемой жидкости (р = {р) = const). Для этого
коэффициент кинематической вязкости и будем считать постоянным 9
и примем во внимание, чтои примем во внимание, что=設(也)〈3)+設=〈也)常+設〈"5)•岱・64)=設(也)〈3)+設=〈也)常+設〈"5)•岱・64)
и примем во внимание, что
и примем во внимание, что
=設(也)〈3)+設=〈也)常+設〈"5)•岱・64)
=設(也)〈3)+設=〈也)常+設〈"5)•岱・64)
Здесь учтено уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости dvk /дх^ = 0. Тогда при отсутствии массовых сил уравнения Навье-Стокса и неразрывности после осреднения будут иметь вид
h +〈心〉h +〈心〉3他0)дхк3他0)дхк丄期+ 〃少辺p dxi a^i丄期+ 〃少辺p dxi a^i义必〉=0dxk •(8.65)义必〉=0dxk •(8.65)Первые два члена в правой части можно записать через осреднен- ный тензор напряжений〈卩泌〉=—伪〉5泌 + ^ik) в видеПервые два члена в правой части можно записать через осреднен- ный тензор напряжений〈卩泌〉=—伪〉5泌 + ^ik) в виде
h +〈心〉
h +〈心〉
3他0)дхк
3他0)дхк
丄期+ 〃少辺
p dxi a^i
丄期+ 〃少辺
p dxi a^i
义必〉=0dxk •
(8.65)
义必〉=0dxk •
(8.65)
Первые два члена в правой части можно записать через осреднен- ный тензор напряжений〈卩泌〉=—伪〉5泌 + ^ik) в виде
Первые два члена в правой части можно записать через осреднен- ный тензор напряжений〈卩泌〉=—伪〉5泌 + ^ik) в виде
(8.66)(8.66)丄侬 + " d2g =丄 a〈RQp axi a^i p dxk
(8.66)
(8.66)
Теперь осредненные уравнения Навье-Стокса можно представить следующим образом:
*十〈心〉乎 =丄"(〈ПС -0旧U〉)， ^=0. (8.67) dtдхк p дхкдхк
Таким образом, уравнения движения для средних величин имеют тот же самый вид, что и для мгновенных величин, но при этом содержат дополнительный член —°〈叫碗〉，—турбулентные напряжения или напряжения Рейнольдса. Тензор турбулентных напряжений — это симметричный тензор второго ранга
(8.68)(8.68)"=-05")•
(8.68)
(8.68)
При турбулентном движении общий тензор напряжений включает в себя давление жидкости, вязкие и турбулентные напряжения
{Pik) = ~{p)^ik +〈。泌〉+ Tik •(8.69)
Уравнения (8.67) называются уравнениями Рейнольдса для осред- ненного турбулентного движения вязкой несжимаемой жидкости.
Происхождение дополнительных напряжений при турбулентном движении физически очевидно. Вязкие напряжения возникают вследствие направленного переноса импульса молекулами из слоя жидкости, движущегося с большей макроскопической скоростью к соседнему медленно движущемуся слою. При турбулентном движении перенос им-
пульса от одного слоя жидкости к другому, соседнему, происходит не молекулами, а индивидуальными макроскопическими частицами жидкости, движущимися с осцилирующими относительно среднего значения скоростями. Поэтому иногда турбулентно движущуюся жидкость рассматривают как жидкость, обладающую некоторой дополнительной турбулентной вязкостью, и записывают по аналогии с молекулярной вязкостью несжимаемой жидкости (Т.В. Буссинеск, 1877)
=小(嶽 + *)， (&70)
где 77T — коэффициент турбулентной вязкости.
В этом случае при исследовании турбулентного движения акцент переносится на изучение турбулентной вязкости, а уравнение Рейнольдса можно записать в виде
嘗+〈以〉* =-丄嚮+丄(〃 +小)/ = а 力 dxk p dxi p dxi dxk
(8.71)
Однако достигнутое упрощение проблемы только кажущееся, так как турбулентная вязкость в отличие от молекулярной не является консервативным параметром, характеризующим только саму жидкость, а зависит от свойств и геометрии течения, в частности, от числа Рейнольдса. Причем при больших числах Рейнольдса коэффициент турбулентной вязкости значительно больше коэффициента молекулярной вязкости.
Таким образом, для определения осредненного движения несжимаемой жидкости имеем четыре уравнения (8.67). К числу неизвестных добавилось еще шесть неизвестных компонент симметричного тензора турбулентных напряжений. В результате система уравнений гидродинамики оказалась незамкнутой. Для замыкания системы уравнений имеется два пути. Необходимо или каким-то образом выразить компоненты тензора турбулентных напряжений через осредненные скорости и их производные (Прандтль, Карман) или дополнить систему уравнений (8.67) какими-либо уравнениями, которые устанавливают связь между средними и пульсационными скоростями или их моментами (Фридман). К сожалению, ни тот, ни другой путь сегодня не привел к созданию удовлетворительной количественной теории турбулентного движения.
Теории Прандтля, Кармана и Дайслера
Теория Прандтля (1925) турбулентного движения жидкости основывается на аналогии с молекулярным движением в газе. Применяется в основном к одномерным течениям (пограничные слои, каналы, трубы). Рассмотрим плоское турбулентное движение несжимаемой жидкости вдоль бесконечной стенки (рис. 8.19).
УУВыберем два слоя, параллельных оси х. Среднюю скорость движения частиц жидкости в них обозначим через {vx) = и и u + d〃. Из топологии течения очевидно, что средняя скорость зависит только от поперечной координаты, и = 〃(у), а средняя поперечная скорость, представляющей собой поперечные осциляции скорости около нулевого значения, равна нулю, {vy) = 0.
У
У
и + Juи + JuРис. 8.19. К теории ПрандтляРис. 8.19. К теории ПрандтляXXПусть расстояние между слоями равно 〃. Прандтль по аналогии с кинетической теорией газов предполагает, что 〃 — некоторый аналог средней длины свободного пробега молекул в газе. Тогда частицы жидкости могут переходить из слоя в слой лишь благодаря своим поперечным пульсационным скоростям о；. Причем импульсы таких частиц сохраняются при прохождении длины 〃. Частица жидкости, попадающая из нижнего слоя в верхний, имеет среднюю скорость и, отличающуюся от
и + Ju
и + Ju
Рис. 8.19. К теории Прандтля
Рис. 8.19. К теории Прандтля
X
X
средней скорости и + du верхнего слоя на d〃. Очевидно, «сталкиваясь»
в верхнем слое с его частицами, она может изменять скорость последних также на величину порядка d〃. Это изменение создает пульсацию о； порядка d〃. Таким образом, полагаем
(8.72)(8.72)/7 if du
(8.72)
(8.72)
dy
Полагая далее турбулентность изотропной (по крайней мере вдали от стенки), о； ~。(，Для тензора турбулентных напряжений получим
\тХу\ = P旧Q = М(〃)2)借);諸借 J ,户=以(行)
/——T(873)
Величина / =，£〈(〃) ) называется длиной пути перемешивания, которая может зависеть от поперечной координаты у.
Далее Прандтль предполагает, что вблизи границы длина пути перемешивания прямо пропорциональна расстоянию от стенки
/ = (8.74)
Здесь § — некоторый безразмерный коэффициент пропорциональности. Предположение (8.74) можно подкрепить рассуждением о том, что стенка препятствует развитию поперечных пульсационных скоростей и, очевидно, на самой стенке длина пути перемешивания должна быть равна нулю.
Очевидно, турбулентное напряжение при стационарном движении вдоль бесконечной стенки не должно зависеть от у п должно равняться его значению то на самой стенке. Действительно, рассмотрим в плоскости хОу некоторую частицу жидкости в виде прямоугольника (рис. 8.19). При прямолинейном и равномерном движении в соответ-
ствии с первым законом динамики на нее не должна действовать какая-либо сила. Поскольку давление вдоль оси х постоянно, то силы давления, действующие на грани 1-2 и 3-4, равны между собой по величине и противоположны по направлению. Следовательно, должны быть равны и противонаправлены силы трения, действующие на грани 1-4 и 2-3. Таким образом, в поперечном направлении пристеночной области течения тензор турбулентных напряжений одинаков, Тху = то. Тогда для определения средней скорости имеем уравнение:
Решение имеет видРешение имеет вид(8.75)(8.76)(8.75)(8.76)
Решение имеет вид
Решение имеет вид
(8.75)
(8.76)
(8.75)
(8.76)
Таким образом, из (8.76) следует, что средняя скорость турбулентного движения вязкой несжимаемой жидкости вдоль бесконечной стенки распределена по логарифмическому закону. Величина，丁о/。имеет размерность скорости и обычно обозначается следующим образом:
Формулу (8.76) удобно записать в безразмерном виде. Для этого составим безразмерную комбинацию из величин у, и, о*. Такой комбинацией является выражение yv^/y. Тогда формулу (8.76) можно записать в виде
—=i In^ + ci， (8.77) о* £ и
Очевидно, что и при турбулентном движении жидкости на поверхности обтекаемого тела вследствие условий прилипания всегда существует тонкий пристеночный слой, в котором преобладают силы вязкости и жидкость движется ламинарно. Этот слой называется «вязким подслоем». Ясно, что формула (8.77) справедлива лишь вне вязкого подслоя. Постоянная ci должна быть определена экспериментально.
Другую формулу для турбулентных напряжений, исходя из соображений размерности, получил Т. фон Карман (1930):
ТхуТху—рМ—рМ(d〃/dg)3 du(d2u/dy2)2 dy(d〃/dg)3 du(d2u/dy2)2 dy(8.78)(8.78)
Тху
Тху
—рМ
—рМ
(d〃/dg)3 du
(d2u/dy2)2 dy
(d〃/dg)3 du
(d2u/dy2)2 dy
(8.78)
(8.78)
Здесь 足2 — универсальная постоянная, экспериментальное значение которой по данным разных авторов составляет 0,36-0,40.
Формулы Прандтля и Кармана неприменимы в области течения, непосредственно прилегающей к стенке, так как здесь существенна
молекулярная вязкость. Для этой области следующую эмпирическую формулу предложил Р.Г. Дайслер (1955):
Тху = -рп2иу^1 - ехр(—^^)]黑， (8.79) где п — эмпирическая постоянная. Измеряя распределение скоростей турбулентных потоков в трубах, Дайслер нашел, что п = 0,124.
Цепочка уравнений Фридмана
Альтернативный метод замыкания уравнений гидродинамики турбулентного течения разработал А.А. Фридман. Этот метод состоит в построении из уравнения Навье-Стокса цепочки эволюционных уравнений для моментов пульсаций скорости. Моментом n-го порядка для пульсаций будем называть тензор n-го ранга в трехмерном пространствет
ММ?…= «<•••<)= ^ j <<•••< d力’ik = 1,2,3.
о(8.80)
Например, для первых моментов имеем
"。=1,m1 =5)=0, Ml =(芯")=-^ Tik .(8.81)
Моменты высших порядков не имеют физического смысла. Тем не менее для каждого из них можно построить эволюционное уравнение. Покажем схему вывода такого уравнения для момента второго порядка (для турбулентных напряжений).
Как и ранее полагаем, что турбулентное течение может быть описано уравнением Навье-Стокса. Для несжимаемой жидкости при отсутствии массовых сил оно имеет вид
变"退.(8.82)
dt 3 dxj p dxi a%；.
Умножая это уравнение на。左，получим
dvi ,dvi1 др , d2Viо。、
彳+ vkvj阮(8.83)
Далее умножим уравнение Навье-Стокса для k-й компоненты скорости на Vi，Соответствующее выражение можно формально получить из (8.83) после замены i т k, к т i:
dvkdvk1 дрd2vkq/、
Складывая уравнения (8.83) и (8.84), получаем
dvivk , dviVk 1 ( др , др \ , d2Vi , d2vk h+ 3晒)+ м
(8.85)
Подставим мгновенные скорости и давление в виде (8.58) и проведем осреднение по правилам (8.58)-(8.63). В результате получим следующее уравнение для момента второго порядка:
Мы получили уравнение эволюции тензора турбулентных напряжений. Видим, что оно включает новые моменты второго порядка, описывающие корреляции пульсаций компонент скорости с градиентом давления и скорости с лапласианом скорости, и момент третьего порядка. Для этих новых моментов также можно вывести эволюционные уравнения и т. д. Система уравнений для моментов все возрастающих порядков называется цепочкой уравнений Фридмана. Уравнение Рейнольдса (8.67) и уравнение (8.86) — два первых уравнения этой цепочки. Но при этом центральная проблема теории турбулентности, получение замкнутой системы уравнений для турбулентных течений, остается нерешенной, так как цепочка не замкнута. Действительно, эволюционное уравнение для момента n-го порядка содержит момент (п + 1)-го порядка.
В настоящее время не разработаны обоснованные критерии обрыва цепочки уравнений Фридмана. Обрыв осуществляют произвольно, выражая моменты высших порядков через моменты низших порядков. При этом используют различные полуэмпирические модели, основанные на интуиции и экспериментальных данных. В основе простейших моделей лежит теория Прандтля. В предыдущем параграфе эта теория позволила выразить момент второго порядка (тензор турбулентных напряжений) через производные по координатам от компонент средней скорости. Точно также, используя понятие длины пути перемешивания, можно выразить момент третьего порядка через моменты второго порядка или момент четвертого порядка через моменты третьего порядка и так далее. Очевидно, что появляющиеся при этом феноменологические коэффициенты должны быть определены из эксперимента.
Турбулентное движение жидкости в трубах
Движение жидкости в трубах, как очень важное для практики, интенсивно изучается на протяжении многих лет, начиная с работ Пуазейля (1840-1842) и Рейнольдса (1876-1883). Более ранние опыты в существенной мере оказались бесполезными для науки, так как исследователи не имели представления о подобии движений и зачастую в экспериментах изучали зависимости от некоторых отдельных параметров, характеризующих движение (диаметр трубы, плотность жидкости, скорость движения и т. д.). Возможность правильной постановки
опытов и обобщения их результатов появилась лишь после открытия критерия динамического подобия потоков — числа Рейнольдса.
Гладкие трубы. Блазиусом (1911) в основу обобщения экспериментальных результатов было положено число Рейнольдса, что позволило ему эмпирически найти формулу для коэффициента сопротивления труб при турбулентном движении, пригодную для любых жидкостей в широком диапазоне изменения скорости и диаметров труб:
А= 4，Re =四，2,3- 103 < Re < 105. (8.87)
l 0万2/2Re1/4n
Здесь 万—средняя по сечению трубы осредненная скорость движения жидкости; о，〃 — плотность и вязкость жидкости; d, L — диаметр и длина трубы; Др — перепад давления на концах трубы.
Таким образом, формулы для расчета сопротивления гладких, круглых цилиндрических труб в соответствии с (7.27) имеют общий вид
△夕=丁 X ^ , А = A(Re), Re = * .(8.88)
Блазиус установил, что для турбулентных течений коэффициент сопротивления определяется выражением (8.87), а для ламинарного движения
(8.89)
Из формул (8.87)-(8.89) видно, что сопротивление труб при ламинарном движении пропорционально первой степени средней скорости, тогда как при турбулентном движении оно пропорционально 万'/‘ или приблизительно квадрату скорости.
Из закона сопротивления трубы для турбулентного течения при некоторых предположениях можно вывести закон распределения скорости по сечению трубы.
Предположим, что при турбулентном движении жидкости в трубе обеспечивается кинематическое подобие при изменении скорости и радиуса трубы. Это означает, что если в какой-то точке трубы скорость изменилась в некоторое число раз, то во всех точках трубы она изменится, во столько же раз. Если за характерную скорость выбрать скорость на оси трубы Отах , то это условие можно записать следующим образом: / 、
О = • (8.90)
Здесь у — расстояние от стенки, го — радиус трубы. Из формулы (8.90) следует, что средняя по сечению скорость 万 пропорциональна скорости на оси трубы и что коэффициент пропорциональности не зависит ни от vmax, ни от радиуса трубы. Действительно,
ГО1
/工)2不8一)四=2小j 了工)(1 - ^)鳴=k小,
00(8.91)
где k — некоторая постоянная.
Кроме того, из формулы (8.90) следует, что местная скорость о зависит только от отношения у/г()и не должна зависеть от радиуса трубы как-то иначе.
Выразим сопротивление трубы △夕 через силу трения то, действующую на единицу площади стенки. Рассматривая осредненное по времени движение жидкости в трубе как равномерное и прямолинейное, можем записать
△夕= 7rdz7то , △夕=4tq— . (8.92)
Используя (8.76), (8.87) и (8.92), имеем
4 L _ р^ L 0,31644 L _ р^ L 0,3164"〜鼠/7〜r^7 ."〜鼠/7〜r^7 .(8.93)(8.93)
4 L _ р^ L 0,3164
4 L _ р^ L 0,3164
"〜鼠/7〜r^7 .
"〜鼠/7〜r^7 .
(8.93)
(8.93)
Из выражений (8.90) и (8.91) следует:
(8.94)
из гидродинамиче-(8.95)из гидродинамиче-(8.95)Поскольку 万〜r^7, как это установлено в (8.93), ского подобия движения жидкости следует, что
из гидродинамиче-
(8.95)
из гидродинамиче-
(8.95)
Здесь учтено, что на оси трубы скорость движения жидкости максимальна и поэтому при у = г。， согласно (8.90), должно выполняться условие /⑴=1.
Следовательно, для распределения по сечению трубы осредненной по времени скорости при турбулентном движении имеем
О = 0 mахО = 0 mахтото1/7=0 mах1/7=0 mах11(8.96)(8.96)
О = 0 mах
О = 0 mах
то
то
1/7
=0 mах
1/7
=0 mах
1
1
(8.96)
(8.96)
где г = (rQ — у) — расстояние до оси трубы.
Из формулы (8.96), используя (8.91), нетрудно получить следующее
соотношение:соотношение:_98_98(8.97)(8.97)
соотношение:
соотношение:
_98
_98
(8.97)
(8.97)
Рис. 8.20. Профили скоростей при ламинарном (/) и турбулентном ⑵ теченияхРис. 8.20. Профили скоростей при ламинарном (/) и турбулентном ⑵ течениях
Рис. 8.20. Профили скоростей при ламинарном (/) и турбулентном ⑵ течениях
Рис. 8.20. Профили скоростей при ламинарном (/) и турбулентном ⑵ течениях
Таким образом, при турбулентном движении средняя скорость движения жидкости по трубе мало отличается от максимальной, в отличие
от ламинарного движения, при котором 万= =Отах/2.
На рис. 8.20 представлены примерные эпюры скоростей при ламинарном и турбулентном движении жидкости в трубе.
Впоследствии турбулентное движение жидкости в трубах изучалось многими исследователями. Для коэффициента сопротивления трубы в настоящее время существует более десятка различных эмпири-
ческих формул. Так, в 1932 г. Никурадзе, обработав свои экспериментальные результаты в духе теории турбулентности Прандтля (8.77), получил для распределения скоростей следующую эмпирическую фор
мулу:мулу:—=2,50 1п 生^+ 5,5. о*и—=2,50 1п 生^+ 5,5. о*и(8.98)(8.98)
мулу:
мулу:
—=2,50 1п 生^+ 5,5. о*и
—=2,50 1п 生^+ 5,5. о*и
(8.98)
(8.98)
сложна для практическогосложна для практическогоРис. 8.21. Коэффициент сопротивления при ламинарном (/) и турбулентном ⑵ теченияхРис. 8.21. Коэффициент сопротивления при ламинарном (/) и турбулентном ⑵ течениях(Ар) с увеличением числа(Ар) с увеличением числа
сложна для практического
сложна для практического
Рис. 8.21. Коэффициент сопротивления при ламинарном (/) и турбулентном ⑵ течениях
Рис. 8.21. Коэффициент сопротивления при ламинарном (/) и турбулентном ⑵ течениях
(Ар) с увеличением числа
(Ар) с увеличением числа
Здесь у — расстояние от стенки трубы. Формула (8.98) хорошо описывает экспериментальные результаты во всех точках сечения трубы, кроме, конечно, тонкого ламинарного подслоя, примыкающего непосредственно к стенке. Из этой формулы можно получить закон сопротивления (коэффициент сопротивления) трубы
А = 0,880 In (Re УХ) - 1,01, 4 • 103 < Re < 32 • 105.(8.99)
Формула Никурадзе (8.98) справедлива в более широком диапазоне изменения чисел Рейнольдса, но боле использования, чем формула Блазиуса (8.87). График качественной зависимости коэффициента сопротивления гладких труб от числа Рейнольдса изображен на рис. 8.21.
Как видно из рис. 8.21, при переходе от ламинарного режима течения к турбулентному коэффициент сопротивления трубы возрастает скачком. Тщательные опыты Никурадзе показывают, что показатель степени в формуле (8.96) для распределения скорости по сечению трубы непрерывно убывает от 1 /6 при Re = 4х х 103 до 1/10 при Re = 32 • 105. Это соответствует тому, что сопротивление трубы
Рейнольдса приближается к квадратичному закону в зависимости от средней по сечению скорости движения.
Шероховатые трубы. Выше рассмотрено турбулентное движение жидкости в гладких трубах. Опыт показывает, что степень шероховатости внутренней поверхности трубы существенным образом сказывается на ее сопротивлении, причем тем сильнее, чем больше число Рейнольдеа. Так, трубы после длительной эксплуатации (вследствие коррозии) увеличивают коэффициент сопротивления более чем в два раза. Очевидно, формулы для распределения скоростей и для коэффициента сопротивления каким-то образом должны учитывать шероховатость труб. Это тем более очевидно, что шероховатость труб является геометрическим параметром, необходимым для динамического подобия потоков.
На рис. 8.22 приведены опытные кривые Никурадзе. Обозначим среднюю высоту бугорков шероховатостей на стенках трубы через h.
В опытах Никурадзе шероховатость создавалась искусственно прикле
иванием к стенкам трубы песка,иванием к стенкам трубы песка,Рис. 8.22. Зависимость коэффициента сопротивления от числа Re при турбулентном течении в трубах различной шероховатости; h — средняя высота шероховатостей, то — радиус трубы; (无/T0)1 < (无/T0)2 < (无/T0)3 < < (无/T0)4Рис. 8.22. Зависимость коэффициента сопротивления от числа Re при турбулентном течении в трубах различной шероховатости; h — средняя высота шероховатостей, то — радиус трубы; (无/T0)1 < (无/T0)2 < (无/T0)3 < < (无/T0)4имеющего некоторый средний размер зерен h.
иванием к стенкам трубы песка,
иванием к стенкам трубы песка,
Рис. 8.22. Зависимость коэффициента сопротивления от числа Re при турбулентном течении в трубах различной шероховатости; h — средняя высота шероховатостей, то — радиус трубы; (无/T0)1 < (无/T0)2 < (无/T0)3 < < (无/T0)4
Рис. 8.22. Зависимость коэффициента сопротивления от числа Re при турбулентном течении в трубах различной шероховатости; h — средняя высота шероховатостей, то — радиус трубы; (无/T0)1 < (无/T0)2 < (无/T0)3 < < (无/T0)4
Очевидно, что трубы будут геометрически, а потоки динамически подобны, если для них сохраняется отношение /г/『о・ Следовательно, и формулы для распределения скоростей и коэффициента сопротивления шероховатых труб должны быть некоторыми функциями от относительной шероховатости h]г。. На рис. 8.22 показаны экспериментальные кривые при различных значениях относительной шероховатости /г/丁о・
Обрабатывая многочисленный экспериментальный материал, Никурадзе получил результаты, приве
денные на рис. 8.22. График 8.22 можно разбить на три области чисел Рейнодьдса — область ламинарного движения I, переходная область II и область Ш, в которой А не зависит от числа Рейнольдса. Очевидно, что экспериментальные кривые трудно описать некоторой единой формулой. Однако для больших чисел Рейнольдса (область Ш),
в которой, как видно из графика, коэффициент сопротивления не зависит от числа Рейнольдса, а зависит лишь от относительной шероховатости, Никурадзе приводит следующие эмпирические формулы:
—=2,50 Е? + 8,48, о*h
-^=0,87 In ^ + 1,74,(8.100)
ln^ > 4,25.
и
Вышеприведенное условие применимости формул (8.100) на практике почти всегда выполняется.
Сложный характер кривых можно истолковать физически следующим образом (рис. 8.23).
ввРис. 8.23. Влияние шероховатости стенки на турбулизацию теченияРис. 8.23. Влияние шероховатости стенки на турбулизацию теченияа), если шероховатости неа), если шероховатости незагромождают сечение трубы, их влияние никак не сказывается назагромождают сечение трубы, их влияние никак не сказывается наПри ламинарном движении (область
в
в
Рис. 8.23. Влияние шероховатости стенки на турбулизацию течения
Рис. 8.23. Влияние шероховатости стенки на турбулизацию течения
а), если шероховатости не
а), если шероховатости не
загромождают сечение трубы, их влияние никак не сказывается на
загромождают сечение трубы, их влияние никак не сказывается на
сопротивление трубы. При этом, очевидно, бугорки шероховатостей погружены в неподвижную между ними жидкость, играющую роль смазки (рис. 8.23 а). Даже при турбулентном движении основного потока около стенки всегда существует ламинарный подслой, который прикрывает бугорки шероховатостей.
При дальнейшем увеличении числа Рейнольдса (область 6) вершины бугорков начинают обнажаться и с них срываются вихри, что создает дополнительную турбулизацию потока, а следовательно, увеличение сопротивления (рис. 8.23 6). Причем это произойдет при тем больших числах Рейнольдса, чем меньше относительная шероховатость трубы. Наконец, при больших числах Рейнольдса (область е) бугорки шероховатостей полностью обнажаются (рис. 8.23 е) и степень турбулизации потока полностью определяется вихрями, срывающимися с их вершин, а следовательно, коэффициент сопротивления не зависит от числа Рейнольдса, характеризующего основное движение в трубе.
Развитая турбулентность
Рассмотрим свойства турбулентного движения, пользуясь методом анализа размерностей физических величин.
После потери устойчивости движения в жидкости сначала появляются крупные вихри, создающие крупные нерегулярные пульсации скорости. При этом частицы жидкости движутся по сравнительно плавным траекториям, хотя сами траектории сильно перепутаны. По мере дальнейшего увеличения числа Рейнольдса траектории частиц становятся менее плавными, появляются более мелкие вихри. На фоне плавных траекторий появляются более мелкие искривления, а скорость частиц приобретает более мелкие нерегулярные пульсации. При больших числах Рейнольдса турбулентное движение содержит вихри от самых крупных до самых мелких, в которых частицы жидкости уже движутся как целое с одинаковыми скоростями — развитое турбулентное движение.
Очевидно, турбулентное движение можно рассматривать как результат наложения движений различных масштабов. Под масштабом движения будем понимать порядок тех расстояний, на которых скорость частиц жидкости изменяется существенно.
При закритических числах Рейнольдса, появляются сначала крупномасштабные пульсации. Масштаб крупномасштабных движений порядка размеров самой области движения / (для трубы — порядка диаметра трубы). На меньших расстояниях изменение скорости незначительно. Крупномасштабные движения обладают и наибольшей амплитудой пульсаций. Их скорости по порядку величины сравнимы с изменением средней скорости △〃 на расстоянии /.
При увеличении числа Рейнольдса появляются все более и более мелкомасштабные пульсации вплоть до пульсаций самого мелкого масштаба Aq. Области жидкости размером Ло движутся при заданном чис-
ле Рейнольдса как целое, внутри них частицы движутся с одинаковыми скоростями.
На больших расстояниях порядка / изменение скорости определяется в основном крупномасштабными пульсациями и по порядку величины равно △〃. На малых же расстояниях изменение скорости определяется мелкомасштабными пульсациями, так как в крупномасштабных движениях участки жидкости более мелких масштабов движутся как целое.
Наряду с числом Рейнольдса Re = pvl/r], характеризующим турбулентное движение в целом, а также крупномасштабное движение, можно ввести числа Рейнольдса, характеризующие движение в любых масштабах от самого крупного до самого мелкого
ReA =込(8.101)
В формуле (8.101) А — масштаб движения, vx — порядок величины скорости пульсационного движения масштаба А.
При больших числах Рейнольдса движения в целом велики и числа Рейнольдса крупномасштабных движений. Движение жидкости при больших числах Рейнольдса мы можем рассматривать как движение маловязкой (в пределе — идеальной) жидкости. Поэтому крупномасштабное движение, которое определяет и движение жидкости в целом, мы можем рассматривать как движение идеальной жидкости, подчиняющееся уравнению Эйлера. Отсюда следует, что в крупномасштабных движениях не должно происходить заметной диссипации энергии движения.
С уменьшением масштаба движения А уменьшается и величина 。入 и тем более Re》. Поэтому при уменьшении масштаба движения вязкость играет все большую роль вплоть до самого мелкого масштаба Ло. Именно в наиболее мелкомасштабных движениях масштаба Ло, происходит основная диссипация энергии турбулентного движения.
Таким образом, мы приходим к следующей схеме диссипации энергии механического движения жидкости при турбулентном движении. Почти вся энергия турбулентного движения содержится в крупномасштабных движениях. Эта энергия передается в движения самых мелких масштабов порядка Ло, в которых и происходит ее диссипация в тепло, т. е. существует направленный поток энергии от крупномасштабных к мелкомасштабным движениям, причем этот поток, проходя промежуточные масштабы, остается почти неизменным.
Определим порядок величины диссипируемой энергии в единицу времени в единице массы жидкости — е. Как установлено, эта энергия определяется крупномасштабным движением, хотя ее диссипация происходит в самых мелких масштабах. Поскольку крупномасштабное движение можно рассматривать как движение идеальной жидкости (〃 =0), то параметрами, определяющими это движение, будут р, △〃，I.
(△〃)3(△〃)3Из этих определяющих параметров можно образовать единственную комбинацию, имеющую размерность е
(△〃)3
(△〃)3
(8.102)
Формула (8.102) определяет порядок величины диссипируемой энергии при турбулентном движении.
Как уже отмечалось, турбулентно движущуюся жидкость можно рассматривать как жидкость, обладающую некоторой турбулентной вязкостью 小.
Очевидно, что турбулентная вязкость также должна определяться крупномасштабным движением, т. е. теми же определяющими параметрами р, △〃，/, поскольку характер осредненного движения в основном определяется крупномасштабными пульсациями. Из них можно образовать лишь одну комбинацию, имеющую размерность вязкости — О△〃人 Поэтому порядок величины турбулентной вязкости определяется выражением
小 О△加. (8.103)
Деля правую и левую части на молекулярную динамическую вяз
кость Г), получимкость Г), получим生^心』e •生^心』e •(8.104)(8.104)В формуле (8.104), вообще говоря, может стоять значительный по величине безразмерный числовой коэффициент. Очевидно, что этот числовой коэффициент будет значительно ближе к единице, если мы поделим правую часть на критическое число Рейнольдса (8.104) ReKp.В формуле (8.104), вообще говоря, может стоять значительный по величине безразмерный числовой коэффициент. Очевидно, что этот числовой коэффициент будет значительно ближе к единице, если мы поделим правую часть на критическое число Рейнольдса (8.104) ReKp.Тогда при Re ^ ReKp соображений:Тогда при Re ^ ReKp соображений:имеем 77T ^ 〃，что и следует из физическихимеем 77T ^ 〃，что и следует из физических2〜生〃〜ReKp2〜生〃〜ReKp(8.105)(8.105)Из соотношений (8.102) и (8.104) величина диссипируемой энергии может быть определена следующим образом:Из соотношений (8.102) и (8.104) величина диссипируемой энергии может быть определена следующим образом:(8.106)(8.106)Интересно сравнить полученное выражение с аналогичным выражением для ламинарного движения. Для диссипации энергии за единицу времени в единице массы ламинарно движущейся несжимаемой жидкости имеем (6.27)Интересно сравнить полученное выражение с аналогичным выражением для ламинарного движения. Для диссипации энергии за единицу времени в единице массы ламинарно движущейся несжимаемой жидкости имеем (6.27)1£ =—1£ =—dE _〃 ( dvi dvk\2 〜〃dV 2pdxi / ~ Z 丿dE _〃 ( dvi dvk\2 〜〃dV 2pdxi / ~ Z 丿(8.107)(8.107)Из (8.106) и (8.107) видно, что формулы, определяющие порядок величины диссипируемой энергии при турбулентном и ламинарном движениях идентичны при замене 〃 на 小.Из (8.106) и (8.107) видно, что формулы, определяющие порядок величины диссипируемой энергии при турбулентном и ламинарном движениях идентичны при замене 〃 на 小.8 В.Г. Черняк, П.Е. Суетин8 В.Г. Черняк, П.Е. Суетин
кость Г), получим
кость Г), получим
生^心』e •
生^心』e •
(8.104)
(8.104)
В формуле (8.104), вообще говоря, может стоять значительный по величине безразмерный числовой коэффициент. Очевидно, что этот числовой коэффициент будет значительно ближе к единице, если мы поделим правую часть на критическое число Рейнольдса (8.104) ReKp.
В формуле (8.104), вообще говоря, может стоять значительный по величине безразмерный числовой коэффициент. Очевидно, что этот числовой коэффициент будет значительно ближе к единице, если мы поделим правую часть на критическое число Рейнольдса (8.104) ReKp.
Тогда при Re ^ ReKp соображений:
Тогда при Re ^ ReKp соображений:
имеем 77T ^ 〃，что и следует из физических
имеем 77T ^ 〃，что и следует из физических
2〜生〃〜ReKp
2〜生〃〜ReKp
(8.105)
(8.105)
Из соотношений (8.102) и (8.104) величина диссипируемой энергии может быть определена следующим образом:
Из соотношений (8.102) и (8.104) величина диссипируемой энергии может быть определена следующим образом:
(8.106)
(8.106)
Интересно сравнить полученное выражение с аналогичным выражением для ламинарного движения. Для диссипации энергии за единицу времени в единице массы ламинарно движущейся несжимаемой жидкости имеем (6.27)
Интересно сравнить полученное выражение с аналогичным выражением для ламинарного движения. Для диссипации энергии за единицу времени в единице массы ламинарно движущейся несжимаемой жидкости имеем (6.27)
1
£ =—
1
£ =—
dE _〃 ( dvi dvk\2 〜〃
dV 2pdxi / ~ Z 丿
dE _〃 ( dvi dvk\2 〜〃
dV 2pdxi / ~ Z 丿
(8.107)
(8.107)
Из (8.106) и (8.107) видно, что формулы, определяющие порядок величины диссипируемой энергии при турбулентном и ламинарном движениях идентичны при замене 〃 на 小.
Из (8.106) и (8.107) видно, что формулы, определяющие порядок величины диссипируемой энергии при турбулентном и ламинарном движениях идентичны при замене 〃 на 小.
8 В.Г. Черняк, П.Е. Суетин
8 В.Г. Черняк, П.Е. Суетин
Рассмотрим движение в промежуточных масштабах Ло < А < /. В соответствии с принятым предположением передача энергии от крупномасштабных вихрей вихрям меньшего масштаба происходит без потери энергии вплоть до самых мелких масштабов, где энергия движения диссипируется в тепло. Пусть е — поток энергии через иерархию вихрей от самых крупных к самым мелким. Очевидно, в качестве параметров, определяющих движение в промежуточных масштабах, можно выбрать 0, X п е. По-видимому, вязкость для движений в промежуточных масштабах еще не играет заметной роли.
Оценим порядок。入，т. е. величину изменения скорости на концах отрезка порядка А. Из вышеуказанных параметров можно образовать лишь одну величину с размерностью скорости — (sA)1/3. Таким образом, имеем
Z 1/3
。入〜(“У* 〜△〃 ⑴ . (8.108)
Из (8.108) видно, что изменение скорости на расстояниях порядка А пропорционально кубическому корню из этого расстояния. Соотношение (8.108) называется законом Колмогорова-Обухова.
Перейдем, наконец, к рассмотрению самых мелких масштабов движения Ло, в которых и происходит диссипация энергии турбулентного движения вследствие вязкости жидкости. Оценим порядок величины самых мелких масштабов движения А。. Рассмотрим число Рейнольдса масштаба А:
«А苧（旷〜由e）"З«А苧（旷〜由e）"З(8.109)(8.109)
«А苧（旷〜由e）"З
«А苧（旷〜由e）"З
(8.109)
(8.109)
Очевидно, для самых мелких масштабов движения, когда вязкость играет определяющую роль Re入° = 1. Тогда из (8.109) имеем
入。入。(8.110)
入。
入。
Формулу (8.110) можно получить, рассматривая в качестве определяющих параметров для движения в масштабах Ло параметры 0, е п 〃. Формулой (8.110) определяется размер областей жидкости, которые при заданном числе Рейнольдса движутся как целое. Чем больше число Рейнольдса, тем меньше размер этих областей.
Контрольные вопросы
Каковы особенности ламинарного и турбулентного течения?
В чем причины турбулизации течения?
Что такое критическая скорость и критическое число Рейнольдса?
Что такое однородная турбулентность?
Что такое изотропная турбулентность?
Какое равновесие называют устойчивым, неустойчивым, асимптотически устойчивым и безразличным? Приведите примеры.
Что является критерием устойчивости течения жидкости в линейной теории возмущений?
В каких случаях цилиндрическое течение Куэтта будет устойчивым и неустойчивым: а — цилиндры вращаются в разные стороны, 6 — цилиндры вращаются в одну сторону, 6 — вращается только внешний цилиндр, а — вращается только внутренний цилиндр?
Жидкость находится между соосными цилиндрами с радиусами Hi и 门2, вращающимися в одну сторону. Угловая скорость внутреннего цилиндра равна ап. При какой угловой скорости внешнего цилиндра &2 произойдет потеря устойчивости течения Куэтта?
В чем смысл нейтральной кривой на плоскости к — Re для течения Пуазейля?
Что такое фазовое пространство? Фазовая точка? Фазовая траектория? Фазовый портрет? Поясните на примере колебаний математического маятника.
Что такое аттрактор? Какому состоянию системы соответствует точечный аттрактор?
Какой процесс описывает уравнение Ван дер Поля?
Какое состояние системы описывается аттрактором, который называют предельным циклом?
Что называют бифуркацией? Что такое бифуркация Хопфа?
В чем состоит основная идея перехода к турбулентности по сценарию Ландау-Хопфа?
Что такое странный аттрактор? Приведите пример.
В чем суть сценария Рюэля-Такенса?
В чем суть сценария Фейгенбаума?
Что характеризуют осредненные и пульсационные гидродинамические величины?
В чем отличие уравнения Рейнольдса от уравнения Навье-Стокса?
Как вводится турбулентная вязкость? Как оценивается ее величина относительно молекулярной вязкости?
В чем состоит модель Прандтля для турбулентных напряжений? Что такое длина пути перемешивания?
Как строится цепочка моментных уравнений по методу Фридмана? В чем состоит проблема замыкания этой системы уравнений?
Что такое развитая турбулентность?
Что понимают под масштабом пульсаций?
Как происходит диссипация энергии жидкости в режиме развитой турбулентности?
В чем состоит закон Колмогорова-Обухова?
Как оценить масштаб самых мелких пульсаций?
Примеры решения задач
Задача 1
Имеется установившееся равномерное турбулентное течение жидкости в направлении оси ж между параллельными горизонтальными стенками, перпендикулярными оси у. Определите: а) распределение осредненного давления в плоскости, перпендикулярной направлению течения; 6) турбулентные касательные напряжения Тху.
Решение. Согласно условию задачи с учетом топологии течения
имеемимеем端=0，礬=。，旧〉=d〉=0.(8.1Н)端=0，礬=。，旧〉=d〉=0.(8.1Н)
имеем
имеем
端=0，礬=。，旧〉=d〉=0.(8.1Н)
端=0，礬=。，旧〉=d〉=0.(8.1Н)
Все производные по координате х, за исключением д{р)/дх, также равны нулю.
Тогда проекции уравнения Рейнольдса на оси координат запишутся
в следующем виде:в следующем виде:。一禦+晨一дх ду2。一禦+晨一дх ду2дуду(8.112)(8.112)
в следующем виде:
в следующем виде:
。一禦+晨一дх ду2
。一禦+晨一дх ду2
ду
ду
(8.112)
(8.112)
Из второго уравнения следует:
(р) + 小，〉=const.(р) + 小，〉=const.(8.113)(8.113)
(р) + 小，〉=const.
(р) + 小，〉=const.
(8.113)
(8.113)
Таким образом, распределение давления в плоскости, перпендикулярной направлению течения, превышает гидростатическое давление на величину p{Vy). Обычно это малая величина, но в некоторых случаях она может играть важную роль.
При больших числах Рейнольдса в первом уравнении можно пренебречь членом с молекулярной вязкостью. Тогда это уравнение примет
(8.114)(8.114)вид
(8.114)
(8.114)
дхду
Поскольку левая часть этого уравнения не зависит от координаты д, то после интегрирования получим
тху = - р〈仆；〉=и Т'тху = - р〈仆；〉=и Т'(8.115)(8.115)
тху = - р〈仆；〉=и Т'
тху = - р〈仆；〉=и Т'
(8.115)
(8.115)
т. е. турбулентное напряжение, также как и вязкое напряжение при ламинарном течении, изменяется по линейному закону в зависимости от расстояния до стенки.
Задача 2
Найдите осредненное по времени распределение скоростей для турбулентного потока в длинной трубе (вдали от стенки), используя гипотезу Прандтля и понятие длины пути перемешивания. Радиус и длина трубы соответственно равны R и L.
Решение. Обозначим через s = R — г расстояние от стенки трубы и, следуя гипотезе Прандтля (8.74), примем, что путь перемешивания равен / = £s, где ^ — некоторый феноменологический коэффициент.
Пусть ось z совпадает с осью симметрии трубы. Тогда по формуле Прандтля (8.73) имеем
%(8.116)
Топология осредненного течения такова, что {vr) = 〈о 夕〉= =0, {vz) = 〈。2(丁)〉. Если продольный градиент осредненного давления приближенно записать через разность давлений на концах трубки, d(p)/dz ^ —△夕/厶，то проекция уравнения Рейнольдса на ось z будет иметь вид
z)=。，(8.117)
где Prz = arz + Trz — полное касательное напряжение.
Из симметрии задачи следует, что на оси трубы касательных напряжений нет, т. е. Prz^ = 0) = 0. При этом условии решением уравнения (8.117) будет
用"受=Т。(一力(8・118)
где то =尼2(6 = 0)=兄△夕/(2厶)—касательное напряжение на стенке трубы.
В турбулентном ядре потока, т. е. в основной области изменения координаты s, вклад молекулярного напряжения arz пренебрежимо мал по сравнению с вкладом турбулентного напряжения Т^^. Другими словами, в объеме жидкости перенос количества движения осуществляется главным образом турбулентными вихрями. Поэтому приближенно можно записать, что Prz ^ Trz. Тогда из выражений (8.116) и (8.118)
имеемимеем(8.119)(8.119)
имеем
имеем
(8.119)
(8.119)
Прандтль рассматривал движение жидкости при условии s《R, полагая правую часть уравнения (8.119) равной то. Это упрощение вносит некоторую погрешность, но существенно упрощает математические выкладки. Следуя Прандтлю, из последнего уравнения получаем
d{vz). 1 v*ds 一土石『d{vz). 1 v*ds 一土石『(8.120)(8.120)
d{vz). 1 v*ds 一土石『
d{vz). 1 v*ds 一土石『
(8.120)
(8.120)
Очевидно, что физический смысл имеет только знак +, так как осредненная скорость при удалении от стенок трубы (координата s увеличивается) должна возрастать.
Если уравнение (8.120)проинтегрировать, начиная с некоторого расстояния от стенки трубы si до произвольного значения s, то получим
伍〉一伍1〉=In — ,6 > si .(8.121)
В безразмерных переменных о+ = {vz)/v^ n s+ = so*。/〃 это выражение запишется в виде
о+ —疗=』Е 二， s+ > s[(8.122)
Таким образом, скорость турбулентного потока в трубе на некотором удалении от стенок распределена по логарифмическому закону.
На основании опытных данных Дайслер установил, что £ = 0,36. Он же предложил использовать значение s j = 26, при котором oj = 12,85. При этом из выражения (8.122) имеем
& Е s+ + 3,8 , s+》26 .(8.123)
Многочисленные исследования показали, что логарифмическое распределение (8.123) хорошо описывает профили скоростей в турбулентных потоках с числами Рейнольдса Re》20000 за исключением, разумеется, узкого пристеночного слоя жидкости, в котором течение становится ламинарным.
Задача 3
Применяя эмпирическую формулу Дайслера (8.79), рассчитайте профиль скорости в ламинарном подслое и в буферной области при турбулентном течении несжимаемой жидкости в трубе.
Решение. В пристеночном слое жидкости действуют как вязкие так и турбулентные напряжения. Тогда полное касательное напряжение, используя закон Навье-Стокса для вязких напряжений и формулу Дайслера (8.79) для турбулентных напряжений, можно записать в следующем виде:
尼z = — 〃 * —冲2〈厶〉(兄—I】—ехр(—М〈*")]
(8.124)
Воспользовавшись выражением (8.118) и заменяя разность \ — s/R единицей (вблизи стенки трубы s《R), получим
Т。= 〃 * +挑[1- exp(-圖用)]甯.(8.125)
Это уравнение проинтегрируем в пределах от s = 0 до произвольного значения s. В безразмерных переменных такой интеграл имеет вид
。+= [ I丄 2 + +「「/ ，2 + +『，0<б+< 26.(8.126)
J 1 + n o s— exp(—n v s )\
0
Здесь использованы те же безразмерные величины, что и в предыдущей задаче. Эмпирический параметр п для длинных гладких труб равен 0,124.
Для решения нелинейного интегрального уравнения (8.126) можно воспользоваться, например, итерационным методом. При малых значениях s+ второе слагаемое в знаменателе подынтегрального выражения мало (порядка s+?) и в первом приближении может быть проигнорировано. В этом случае получаем
о+ = s+.(8.127)
Полученная формула удовлетворительно описывает опытные данные при 0 < s+ < 5.
Задача 4
Определите соотношение между молекулярной и турбулентной вязкостями в точке г = 0,5A при турбулентном течении воды с постоянной скоростью в длинной гладкой трубе радиуса А = 7, 62 см. Касательное напряжение на стенке трубы равно т° = 1,63 • 104 Па, плотность воды р = 103 кг/м3, кинематическая вязкость воды 〃 =
=10-6 м2/с.
Решение. Удобно использовать цилиндрическую систему координат, в которой полярная ось z совпадает с продольной осью трубы, а г — радиальная координата в плоскости сечения трубы. Полное касательное напряжение может быть записано в виде
Prz = - (〃 + %)今了 = (〃 + 小)写？， s = R-r. (8.128)
Отсюда отношение вязкостей равно
小—1Рrz]
г) г) d{vz)/ds •
Подставляя тензор напряжений из выражения (8.118), получим
生_丄 70(1 s/R)生_丄 70(1 s/R)?7 d{vz)/ds?7 d{vz)/dsdv+/ds+dv+/ds+(8.130)(8.130)
生_丄 70(1 s/R)
生_丄 70(1 s/R)
?7 d{vz)/ds
?7 d{vz)/ds
dv+/ds+
dv+/ds+
(8.130)
(8.130)
где использованы безразмерные величины, введенные в задаче 2. При s = 0,5А имеем
(8.131)(8.131)+ _ so*0 _ pR^/tq/рs _ 4 —2^
(8.131)
(8.131)
Используя формулу (8.123), вычислим производную от безразмерной скорости
Подставляя в выражение (8.130), получим
(8.133)(8.133)里= 86,
(8.133)
(8.133)
Этот результат соответствует теоретическому положению о том, что при турбулентном течении вдали от стенки молекулярным переносом количества движения можно пренебречь по сравнению с турбулентным.
ГЛАВА 9
ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ
Понятие пограничного слоя
Как упоминалось выше, движение вязкой жидкости при больших числах Рейнольдса можно рассматривать как движение идеальной жидкости, подчиняющейся уравнениям Эйлера. Однако такое рассмотрение будет заведомо неверным вблизи поверхности обтекаемого тела. Скорость вязкой жидкости, обтекающей неподвижное тело, падает до нуля на его поверхности в тонком пристеночном слое, называемом пограничным слоем. Его поперечная толщина мала по сравнению с продольными размерами. Пограничный слой характеризуется большими градиентами скоростей, перпендикулярными к поверхности тела, что свидетельствует о больших силах вязкости, определяющих движение жидкости в этом слое.
Таким образом, всю область движения жидкости, обтекающей тело, можно разбить на две области: область тонкого пристеночного пограничного слоя, в которой движение, в основном, определяется вязкостью жидкости, и вся остальная область движения вне пограничного слоя, в которой жидкость движется как идеальная. Скорости движения жидкости в двух областях «сшиваются» между собой на внешней границе пограничного слоя.
Режим течения жидкости в пограничном слое зависит от значения числа Рейнольдса и может быть ламинарным или турбулентным. При ламинарном режиме траектории движения индивидуальных частиц жидкости имеют форму, близкую к форме обтекаемого тела. Ламинарный пограничный слой формируется в области перед обтекаемым телом. При турбулентном пограничном слое на осредненное движение накладывается пульсационное движение индивидуальных частиц жидкости.
Турбулентный пограничный слой формируется в области за обтекаемым телом и непосредственно граничит с общим турбулентным потоком жидкости за телом. Значение критического числа Рейнольдса, при котором ламинарный режим течения жидкости в пограничном слое переходит в турбулентный, зависит не только от скорости движения и вязкости жидкости, но и от степени шероховатости поверхности обтекаемого тела.
Уравнения Прандтля
Поскольку пограничный слой предполагается тонким, т. е. его толщина 5 значительно меньше линейных размеров обтекаемого тела /, то движение жидкости в пограничном слое можно рассматривать как плоское движение. Рассмотрим стационарное изотермическое движение вязкой несжимаемой жидкости в пограничном слое. Выберем систему координат хОу так, что ось ж направлена вдоль поверхности обтекаемого тела. Тогда уравнения движения вязкой несжимаемой
丄 p 丄 p丄 p 丄 p(9.1)(9.1)жидкости запишутся в виде
丄 p 丄 p
丄 p 丄 p
(9.1)
(9.1)
dvx dvx _ vxfh %——=
dx”ду
dvy , dvy
Vx^rVy=
ox”oy
dvx dvyдх dy
Оценим порядок членов уравнений (9.1) в пограничном слое. Очевидно, скорость vx внутри пограничного слоя порядка скорости набегающего
потока08：потока08：% ~ °оо,% ~ °оо,a% qдх (a% qдх ((9.2)(9.2)Из уравнения непрерывности имеем爷 + 今=0,〜.Поскольку 5《2, то пз последнего соотношения следует, 《vx. Остальные члены уравнений (9.1) имеют порядокИз уравнения непрерывности имеем爷 + 今=0,〜.Поскольку 5《2, то пз последнего соотношения следует, 《vx. Остальные члены уравнений (9.1) имеют порядок(9.3)(9.3)что Vy <что Vy <о2о2ovxdvxd vx0 vx冗 a力I， y ayz ' а/ /2 ‘ 町2Подставляя эти оценки в уравнения (9.1), получимо2о2ovxdvxd vx0 vx冗 a力I， y ayz ' а/ /2 ‘ 町2Подставляя эти оценки в уравнения (9.1), получим°оо 7r.°оо 7r.22Oqo I Oqo 〜7 + 7〜成6 ,成6〜22Oqo I Oqo 〜7 + 7〜成6 ,成6〜1 др р дх1 дрР 3g1 др р дх1 дрР 3g+"(貰+争)， +"(*+言).+"(貰+争)， +"(*+言).(9.4)(9.4)Сравним прежде уравнений (9.1)Сравним прежде уравнений (9.1)всего члены в скобках в правой части您/*(心，всего члены в скобках в правой части您/*(心，первого изпервого изПоэтому первымПоэтому первымпренебречь. Далее оценим к продольномупренебречь. Далее оценим к продольномучленом в скобках первого уравнения (9.1) можночленом в скобках первого уравнения (9.1) можноотношение поперечного градиента давленияотношение поперечного градиента давлениядр дхдр дх27《1•27《1•
потока08：
потока08：
% ~ °оо,
% ~ °оо,
a% q
дх (
a% q
дх (
(9.2)
(9.2)
Из уравнения непрерывности имеем
爷 + 今=0,〜.
Поскольку 5《2, то пз последнего соотношения следует, 《vx. Остальные члены уравнений (9.1) имеют порядок
Из уравнения непрерывности имеем
爷 + 今=0,〜.
Поскольку 5《2, то пз последнего соотношения следует, 《vx. Остальные члены уравнений (9.1) имеют порядок
(9.3)
(9.3)
что Vy <
что Vy <
о2о2
ovxdvxd vx0 vx
冗 a力I， y ayz ' а/ /2 ‘ 町2
Подставляя эти оценки в уравнения (9.1), получим
о2о2
ovxdvxd vx0 vx
冗 a力I， y ayz ' а/ /2 ‘ 町2
Подставляя эти оценки в уравнения (9.1), получим
°оо 7r.
°оо 7r.
22
Oqo I Oqo 〜
7 + 7〜
成6 ,成6〜
22
Oqo I Oqo 〜
7 + 7〜
成6 ,成6〜
1 др р дх
1 др
Р 3g
1 др р дх
1 др
Р 3g
+"(貰+争)， +"(*+言).
+"(貰+争)， +"(*+言).
(9.4)
(9.4)
Сравним прежде уравнений (9.1)
Сравним прежде уравнений (9.1)
всего члены в скобках в правой части
您/*(心，
всего члены в скобках в правой части
您/*(心，
первого из
первого из
Поэтому первым
Поэтому первым
пренебречь. Далее оценим к продольному
пренебречь. Далее оценим к продольному
членом в скобках первого уравнения (9.1) можно
членом в скобках первого уравнения (9.1) можно
отношение поперечного градиента давления
отношение поперечного градиента давления
др дх
др дх
27《1•
27《1•
Такого же порядка 8/1 отношение любых соответствующих членов уравнений (9.4). Поэтому мы можем не рассматривать второе уравнение (9.4) вообще, полагая др/ду = 0 , что свидетельствует о том, что давление поперек пограничного слоя постоянно и не зависит от у. Тогда система уравнений (9.1) примет вид
(9.5)(9.5)dvx , dvx 1 dp , d2vx
(9.5)
(9.5)
包=0 也+也=0
ду ' дх ду
Обозначим скорость жидкости вне пограничного слоя, зависящую от продольной координаты х, через и(х). Рассмотрим линию тока, ограничивающую пограничный слой. Мы можем полагать, что с внешней стороны эта линия находится в идеальной жидкости и для нее справедливо уравнение Бернулли:
(9.6)(9.6)р , и,1 dpdu
(9.6)
(9.6)
—+ к = const, - -— = -и . 02р dxах
Тогда уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости в пограничном слое будут иметь вид
(9.7)(9.7)dvx , dvx du , d2vx
(9.7)
(9.7)
包=0也+也=0
ду ~ Jдх^ду~
Система уравнений (9.7) называется уравнениями Прандтля для пограничного слоя.
Таким образом, задача об обтекании тела вязкой несжимаемой жидкостью при больших числах Рейнольдса распадается на две задачи. Прежде всего необходимо рассмотреть обтекание тела несжимаемой идеальной жидкостью. Причем, так как пограничный слой тонок (5《/), можно и не увеличивать размер тела на толщину пограничного слоя, а рассматривать обтекание реального тела. Если первая задача решена, то известна скорость и{х). Подставляя и(х) в уравнения Прандтля (9.7), найдем компоненты скорости жидкости vx и vy в пограничном слое как функции координат, а следовательно, и силы, действующие на поверхность тела со стороны движущейся жидкости.
Безразмерный вид уравнений Прандтля. Приведем уравнения Прандтля к безразмерному виду. Для этого воспользуемся следующими соотношениями для безразмерных величин (обозначены звездочкой): .
(9.8)(9.8)—, Re =—, Re =/ = 2/* , у = —/ g* , Vx = VqqVx^ ,VRe
(9.8)
(9.8)
—, Re =
—, Re =
Здесь / — характерный размер обтекаемого тела, Vg — характерная скорость набегающего потока.
Подставляя соотношения (9.8) в уравнения Прандтля (9.7), получим
а%* а%* _ 仆曲 _ п
9%9g*'ду
Видно, что безразмерные уравнения не содержат вязкости жидкости. Не содержат вязкости и граничные условия
у* —。，。冗* —。， Оу* —。； у* — 8,。冗* — “* •(9.10)
Поэтому общее решение системы (9.9) имеет вид
少%* = /1(/*, g*) ,0g* = /2(/*,g*)。(9.11)
Из вида общих решений (9.11) следует, что при увеличении числа Рейнольдса картина движения в пограничном слое подвергается подобному преобразованию, причем продольные скорости и координаты остаются неизменными, а поперечные скорости и координаты уменьшаются в д/Re раз, поскольку функции /1 и 故 от числа Рейнольдса не зависят и в сходственных точках (одинаковые /* п у*) будут равны при любом числе Рейнольдса.
Очевидно, где-то в середине пограничного слоя безразмерные координаты будут порядка единицы (/* = 1 и у* = 1). Тогда при помощи соотношений (9.8) можно оценить порядок толщины пограничного слоя:
y^S,队〜1, 5〜(9.12)
VRe
Обтекание полубесконечной пластины
В качестве примера рассмотрим стационарное обтекание вязкой несжимаемой жидкостью полубесконечной тонкой пластинки (рис. 9.1).
Пусть пластинка расположена вдоль набегающего потока. Решение первой части задачи нам известно. При обтекании пластинки идеальной жидкостью она вообще не оказывает никакого влияния на набегающий поток, т. е. 如 /
однородный поток остается однородным около 二 。
Рис. 9.1. Обтекание пла-стинкиРис. 9.1. Обтекание пла-стинкипластинки и после нее. Следовательно,二 一一一一一 上
Рис. 9.1. Обтекание пла-стинки
Рис. 9.1. Обтекание пла-стинки
и =。8 = const, -— = 0 . dx
Тогда для определения движения жидкости внутри пограничного слоя имеем следующие уравнения Прандтля:
dvx _ d2vx ду2dvx _ d2vx ду2а% а%дх дуа% а%дх ду(9.13)(9.13)
dvx _ d2vx ду2
dvx _ d2vx ду2
а% а%
дх ду
а% а%
дх ду
(9.13)
(9.13)
Граничные условия имеют вид
У =。, /》。, vx = 0 , Vy = 0 ; у = 6 , V х =。8 •
Из безразмерных уравнений Прандтля следует, что решение можно записать в следующем виде:
。冗* =—力（力*, у*）,0g* — “Re -— — /2（/*, у*） •
&ОО&ОО
Однако в силу бесконечности пластинки решение не должно зависеть от характерного размера I. Это значит, что функции 力 и 故 должны зависеть от таких комбинаций /* и у*, которые не содержали бы размер I. Нетрудно видеть, что такой комбинацией является
% =（914）
V их
Точно так же должен отсутствовать размер / и в определении vy. Это возможно только тогда, когда множитель перед функцией /2 будет иметь следующее значение:
° ООР /\/ ОО Р /\
vy = //2（/*, g*） = у //2（/*, g*）.
、/ Гхв Ж *
Таким образом, искомые функции должны иметь вид
% =。8力（У陪），旳=/?力（“陪）.（9.15）
При помощи уравнения непрерывности можно выразить 力 через /2 или наоборот. Тогда, используя первое уравнение Прандтля, получим нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка для неизвестной функции /1 или /2- Полученное уравнение с использованием вышеприведенных граничных условий может быть решено только численно и приводит к следующим результатам. Дифференцируя vx по координате у и умножая на коэффициент вязкости, для касательного напряжения получим
%厶 А •（9.16）
Коэффициент k = f[\ определен численно и равен k = 0,332.
Интегрируя вдоль пограничного слоя по ж от 0 до /, получим силу, действующую на обе стороны пластинки единичной шпрпнн:
歹=1,328 吸.（9.17）
Толщину пограничного слоя на пластинке можно оценить следующим образом. На верхней границе пограничного слоя 沙〜5, а о% ^ 00c. Тогда функция /1 должна быть порядка единицы. Это в свою очередь будет тогда, когда безразмерный аргумент функции 力 будет равен
некоторому числу, постоянному для всего пограничного слоя. Тогда имеем 8=const, 6 = const • a/竺.(9.18)V УХVИз (9.18) видно, что толщина пограничного слоя растет вдоль пластинки пропорционально корню квадратному из расстояния от передней кромки пластинки.Можно оценить толщину пограничного слоя и следующим образом. Согласно (9.12) имеемОднако это выражение не должно содержать характерной длины I. Это возможно только тогда, когда умножим правую часть последнего выражения на некоторое безразмерное число д/ж?. Тогда получим8 〜；5 = const у 叵.(9.19)vRe yvool/uу。°°некоторому числу, постоянному для всего пограничного слоя. Тогда имеем 8=const, 6 = const • a/竺.(9.18)V УХVИз (9.18) видно, что толщина пограничного слоя растет вдоль пластинки пропорционально корню квадратному из расстояния от передней кромки пластинки.Можно оценить толщину пограничного слоя и следующим образом. Согласно (9.12) имеемОднако это выражение не должно содержать характерной длины I. Это возможно только тогда, когда умножим правую часть последнего выражения на некоторое безразмерное число д/ж?. Тогда получим8 〜；5 = const у 叵.(9.19)vRe yvool/uу。°°9.3.1. Толщина вытеснения. Вообще толщина пограничного9.3.1. Толщина вытеснения. Вообще толщина пограничногослоя — величина неопределенная. Скорость жидкости в пограничномслоя — величина неопределенная. Скорость жидкости в пограничномслое плавно переходит в скорость вне пограничного слоя. Никакойслое плавно переходит в скорость вне пограничного слоя. Никакойрезкой границы между двумя областями движения в действительности, конечно, не существует. Для определенности при сравнении результатов различных расчетов пользуются понятием толщины вытеснения 5*.Определение толщины вытеснения очевидно из рис. 9.2. Приравнивая площадь и площадь, заключенную между асимптотой vx =。8 и кривой vx(y), получимрезкой границы между двумя областями движения в действительности, конечно, не существует. Для определенности при сравнении результатов различных расчетов пользуются понятием толщины вытеснения 5*.Определение толщины вытеснения очевидно из рис. 9.2. Приравнивая площадь и площадь, заключенную между асимптотой vx =。8 и кривой vx(y), получимоо(9.20) Рис. 9.2. Толщина вы(9.20) Рис. 9.2. Толщина вытеснениятесненияСогласно уменьшениеСогласно уменьшениевыражению (9.20) произведение б*^ характеризуетвыражению (9.20) произведение б*^ характеризуетобъемного расхода за счет торможения жидкостиобъемного расхода за счет торможения жидкостив пограничном слое.В задаче обтекания полубесконечной пластины потоком вязкой несжимаемой жидкости для толщины вытеснения в результате численв пограничном слое.В задаче обтекания полубесконечной пластины потоком вязкой несжимаемой жидкости для толщины вытеснения в результате численного расчета получимного расчета получим竄=1,72竄=1,72(9.21)(9.21)
некоторому числу, постоянному для всего пограничного слоя. Тогда имеем
8=const, 6 = const • a/竺.(9.18)
V УХV
Из (9.18) видно, что толщина пограничного слоя растет вдоль пластинки пропорционально корню квадратному из расстояния от передней кромки пластинки.
Можно оценить толщину пограничного слоя и следующим образом. Согласно (9.12) имеем
Однако это выражение не должно содержать характерной длины I. Это возможно только тогда, когда умножим правую часть последнего выражения на некоторое безразмерное число д/ж?. Тогда получим
8 〜；5 = const у 叵.(9.19)
vRe yvool/uу。°°
некоторому числу, постоянному для всего пограничного слоя. Тогда имеем
8=const, 6 = const • a/竺.(9.18)
V УХV
Из (9.18) видно, что толщина пограничного слоя растет вдоль пластинки пропорционально корню квадратному из расстояния от передней кромки пластинки.
Можно оценить толщину пограничного слоя и следующим образом. Согласно (9.12) имеем
Однако это выражение не должно содержать характерной длины I. Это возможно только тогда, когда умножим правую часть последнего выражения на некоторое безразмерное число д/ж?. Тогда получим
8 〜；5 = const у 叵.(9.19)
vRe yvool/uу。°°
9.3.1. Толщина вытеснения. Вообще толщина пограничного
9.3.1. Толщина вытеснения. Вообще толщина пограничного
слоя — величина неопределенная. Скорость жидкости в пограничном
слоя — величина неопределенная. Скорость жидкости в пограничном
слое плавно переходит в скорость вне пограничного слоя. Никакой
слое плавно переходит в скорость вне пограничного слоя. Никакой
резкой границы между двумя областями движения в действительности, конечно, не существует. Для определенности при сравнении результатов различных расчетов пользуются понятием толщины вытеснения 5*.
Определение толщины вытеснения очевидно из рис. 9.2. Приравнивая площадь и площадь, заключенную между асимптотой vx =。8 и кривой vx(y), получим
резкой границы между двумя областями движения в действительности, конечно, не существует. Для определенности при сравнении результатов различных расчетов пользуются понятием толщины вытеснения 5*.
Определение толщины вытеснения очевидно из рис. 9.2. Приравнивая площадь и площадь, заключенную между асимптотой vx =。8 и кривой vx(y), получим
о
о
(9.20) Рис. 9.2. Толщина вы
(9.20) Рис. 9.2. Толщина вы
теснения
теснения
Согласно уменьшение
Согласно уменьшение
выражению (9.20) произведение б*^ характеризует
выражению (9.20) произведение б*^ характеризует
объемного расхода за счет торможения жидкости
объемного расхода за счет торможения жидкости
в пограничном слое.
В задаче обтекания полубесконечной пластины потоком вязкой несжимаемой жидкости для толщины вытеснения в результате числен
в пограничном слое.
В задаче обтекания полубесконечной пластины потоком вязкой несжимаемой жидкости для толщины вытеснения в результате числен
ного расчета получим
ного расчета получим
竄=1,72
竄=1,72
(9.21)
(9.21)
Разгонный участок. Интересно применить идею о пограничном слое к оценке длины разгонного участка в трубе диаметром d.
Пусть из некоторого резервуара жидкость поступает в трубу, имея на входе почти однородное по сечению трубы распределение скоростей.
По мере продвижения вдоль трубы профиль скорости становится все более вытянутым и, наконец, после прохождения некоторого участка
трубы длиной Lp профиль скорости становится параболическим, соответствующим точному решению задачи об установившемся ламинарном
Рис. 9.3. Разгонный участок пограничного слоя растет, иРис. 9.3. Разгонный участок пограничного слоя растет, идвижении жидкости в трубе (рис. 9.3). Мы можем рассматривать такую задачу следующим образом.
Рис. 9.3. Разгонный участок пограничного слоя растет, и
Рис. 9.3. Разгонный участок пограничного слоя растет, и
Очевидно, в начале трубы на ее стенке образуется пограничный слой, тогда как внутри трубы жидкость движется с одинаковой скоростью. По мере продвижения вдоль трубы толщина после того, как она становится равной
радиусу трубы, можно полагать, что профиль скорости становится параболическим. Тогда, используя вышеприведенные формулы, получим
== 2 = ^ 必 Re = ^,(9.22)
где v — средняя по сечению трубы скорость жидкости.
Так, при числе Рейнольдса, равном 600, разгонный участок равен 50 d. Это означает, что лишь после прохождения вдоль трубы расстояния, равного пятидесяти диаметрам, движение в трубе будет подчиняться теоретическим формулам, полученным для ламинарного движения в бесконечной трубе.
Точное, аналитическое решение задачи о длине разгонного участка приводит к следующему результату:
г _ Re
Интегральное соотношение Кармана
От дифференциальных уравнений Прандтля можно перейти к одному интегральному соотношению. Для этого проинтегрируем эти уравнения по толщине пограничного слоя.
Напомним, что движение вязкой жидкости в пограничном слое описывается уравнениями (9.7):
dvx , dvxdu , d2vx dvx , dvy 八
vx + vy丁У = ° •(9.23)
ox ” оуахох оу
Воспользуемся следующей формулой дифференцирования интеграла с переменными пределами:
6(%)6(%)
^【^^ ^=【If出"3)^一 "/，。)黑■(9・24) а(ж)а(ж)
Проинтегрируем первое уравнение (9.23) по координате у в пределах от 0 до 5(/). Сделаем это почленно. Используя (9.24), для первого члена левой части имеем
(9.25)
ооо
второго члена левой части уравнениявторого члена левой части уравнения38 60038 600Интегрирование по частям (9.23) дает
второго члена левой части уравнения
второго члена левой части уравнения
38 6
00
38 6
00
党 dy = vx(x, S)vy(x, 5) + ］dy = о
8
=加(/, S)vy(x, б + ｝鳥］延出一｝点力，б 黑• (9.26) о
При выводе соотношения (9.26) мы воспользовались уравнением непрерывности и тем, что на граничной поверхности (при у = 0) компоненты вектора скорости должны быть равны нулю.
Проинтегрируем по у уравнение непрерывности
666
(9.27)(9.27)【需- I需^б =-鳥［%出+加(/，5)卷 ооо
(9.27)
(9.27)
Подставляя полученное соотношение (9.27) в выражение (9.26), получим
6
【旳箒 dLf@8)鳥］％ dg+；為卜^+ ^(/,5) &
ооо
(9.28)
Интегрирование остальных членов уравнения Прандтля очевидно
8828
у=оу=о(9.29)(9.29)f du , du с Г д vx tdvx
у=о
у=о
(9.29)
(9.29)
\ и —— ay = и —— 0 , 〃 5- = 〃=—〃 ——
J d/ “ dx 5n dy
00и
В первом соотношении учтено, что скорость жидкости вне пограничного слоя не зависит от координаты у. Во втором соотношении предполагается, что профиль скорости vx в зависимости от координаты у плавно переходит при у = 6 в скорость 〃 вне пограничного слоя, так что производная от vx по у при у = д равна нулю.
Принимая во внимание, что на границе пограничного слоя vx(x, S)= 〃(力),и подставляя полученные соотношения в уравнение Прандтля, получим интегральное соотношение Кармана для устано-
вившегося движения вязкой несжимаемой жидкости в пограничном слое:
-^-\vldy-u^-\vxdy^u 崇 =и 6.(9.30)
ox Jox Jду п ах
00У=°
Интегральное соотношение Кармана может быть использовано при решении задач о движении несжимаемой жидкости в пограничном слое следующим образом. Как и ранее, прежде всего необходимо решить задачу об обтекании рассматриваемого тела несжимаемой идеальной жидкостью. В результате этого решения определяется функция и(х). Можно представить скорость движения жидкости в пограничном слое vx в виде полинома по степеням координаты у. Коэффициенты этого полинома могут быть найдены из граничных условий и окажутся зависящими от толщины 8 пограничного слоя как от параметра. Если теперь подставить vx в интегральное соотношение Кармана, то получим некоторое дифференциальное уравнение относительно 5. Решая это уравнение, находим 5(/). Подставляя найденное выражение для 5(/) в формулу для vx, получим окончательное выражение для vx. И, наконец, дифференцируя vx по координатам, находим силы, действующие на обтекаемое тело.
Обтекание полубесконечной пластинки. Проиллюстрируем вышеописанный алгоритм на задаче обтекания плоской полубесконечной пластинки потоком вязкой несжимаемой жидкости (рис. 9.1). Решение этой задачи для идеальной жидкости получено нами ранее:
j du с
〃const, ~ U ・
ах
Будем искать решение для vx в виде полинома третьей степени по переменной у
。冗=ао +。1沙十 a2y2 + ^зУ3 •(9.31)
Как указывалось, коэффициенты а〃 должны быть найдены из граничных условий и будут зависеть от 6 как от параметра. Рассмотрим следующие граничные условия:
沙=о, 加=о, = о,ду
У = 6О •
Равенство нулю первой производной скорости принимается исходя из предположения, что скорость vx плавно переходит в о^ на внешней границе пограничного слоя. Равенство нулю второй производной скорости следует из дифференциального уравнения Прандтля, так как при у = 0 все его члены для плоской пластинки равны нулю, а следовательно, равен нулю и член, содержащий вторую производную скорости vx по координате у. Из первого граничного условия следует, что а。= 0, из второго условия — а2 = 0- Третье и четвертое граничные условия
приводят к уравнениям для коэффициентов а\ и а^:
。8 = а" + 仰歩，。=си + Зазб?.
Отсюда получаем
— °ОО— 3 °оо
Тогда для скорости vx имеем выражение
(9.32)(9.32)
(9.32)
(9.32)
Подставим полученное выражение для скорости vx в интегральное соотношение Кармана (9.30). После интегрирования по у получим дифференциальное уравнение для толщины пограничного слоя 6
(9.33)(9.33)13 d6 _ "
(9.33)
(9.33)
140 ”8 dx J •
Общее решение этого уравнения имеет вид
280 〃
° П + с・
Постоянную интегрирования с, очевидно, следует положить равной нулю, так как J = 0 при ж = 0. Тогда имеем
(9.34)(9.34)6 = 4,64丿竺
(9.34)
(9.34)
Найдем силу, действующую на единицу площади пластинки
Р「П 端 § [37=。'324d* •(9.35)
Напомним, что в точном решении числовой коэффициент равен 0,332. Интегрируя вдоль длины пластинки, найдем силу, действующую на обе стороны пластинки единичной ширины длиной /:
(9.36)(9.36)(9.37)(9.37)ь=1,296，0巾吸•
(9.36)
(9.36)
(9.37)
(9.37)
В точном решении числовой коэффициент равен 1,328. Найдем толщину вытеснения
6* = ； ](。8 - %) dy = I 6 .
8 0
Подставляя в последнее выражение 6 из (9.34), получим
…74
Точное решение дает коэффициент 1,72 вместо 1,74.
Таким образом, интегральное соотношение Кармана позволяет довольно просто получить решение поставленной задачи, практически не отличающееся от ее точного решения.
Отрыв пограничного слоя
Из опыта известно, что при обтекании выпуклых тел при увеличении числа Рейнольдса происходит отрыв потока от поверхности обтекаемого тела и образование зоны вихревого турбулентного движения за кормой тела, что приводит к резкому возрастанию силы сопротивления. С физической точки зрения это явление можно объяснить следующим образом.
Рассмотрим обтекание некоторого выпуклого тела (рис. 9.4). Максимальная площадь сечения тела плоскостью, перпендикулярной набегающему потока, называется площадью миделева сечения. Рассмотрим линию тока, прилегающую к погранично- о и .му слою. Можно полагать, что она прохо-
одит в области «идеальной» жидкости и к
ней применимо уравнение Бернулли.
Опираясь на точные решения, можно утверждать, что до миделева сечения ско- Рис. 9.4. Обтекание выпук- Р℃ть потока возрастает вниз по потоку лого телаот скорости набегающего потока до неко
торой максимальной скорости в миделе- вом сечении. Следовательно, согласно уравнению Бернулли, давление при этом уменьшается от давления в набегающем потоке до минимального давления в миделевом сечении. После миделева сечения картина изменяется на обратную: скорость вниз по потоку падает, а давление возрастает. Поскольку давление поперек пограничного не изменяется и определяется давлением на его внешней границе, то и внутри пограничного слоя давление после миделева сечения будет возрастать, вниз по потоку.
Таким образом, жидкость в пограничном слое за миделевым сече
нием тормозится не только вследствие вязкости жидкости, но и вслед
Рис. 9.5. Скорость в пограничном слоеРис. 9.5. Скорость в пограничном слоествие противодавления, препятствующего ее движению. В результате может оказаться, что в некоторой точке поверхности тела скорость движения жидкости внутри пограничного слоя окажется равной нулю не только на поверхности тела, но и в близ
Рис. 9.5. Скорость в пограничном слое
Рис. 9.5. Скорость в пограничном слое
ких к поверхности тела участках жидкости (рис. 9.5). Более того, в точках, лежащих еще ниже по потоку, жидкость в погранич-
ном слое может двигаться навстречу движению жидкости вне погра
ничного слоя.
На рис. 9.5 изображены приблизительные эпюры скоростей внутри пограничного слоя за миделевым сечением. Ясно, что такое встречное движение стимулирует образование завихренности потока в кормовой части тела. Пограничный слой как бы подмывается встречными движениями и отрывается от поверхности тела в виде крупных нерегулярных вихрей. Это приводит к резкому увеличению сопротивления тела. Очевидно, с математической точки зрения возможный отрыв пограничного слоя произойдет не раньше чем будет равна нулю производная (dvx/dy) при у = 0 (точка А на рис. 9.5). Только в области ниже по потоку относительно точки А, в которой (dvx/dy) = 0, может существовать встречное движение жидкости в пограничном слое, а следовательно, и отрыв пограничного слоя.
Таким образом, для уменьшения сопротивления обтекаемых тел необходимо, если это возможно, или предотвратить отрыв пограничного слоя, или, если это невозможно, стремиться к тому, чтобы его отрыв произошел как можно ближе к задней кромке обтекаемого тела. В последнем случае размер области спутного турбулентного движения будет меньше, а следовательно, будет меньше и сопротивление тела. Поэтому хорошо обтекаемые тела должны иметь каплевидную форму с плавной, постепенно сужающейся кормовой частью. Поверхности хорошо обтекаемых тел должны быть гладкими, лишенными даже незначительных выступов и шероховатостей. Такую форму имеют профили крыльев и фюзеляжей современных дозвуковых самолетов.
Иногда для предотвращения отрыва пограничного слоя впереди крыла ставят предкрылки, в которых воздух разгоняется и «продувает» пограничный слой до конца профиля.
Одним из способов предотвращения отрыва пограничного слоя является отсос воздуха внутрь обтекаемого тела. При этом пограничный слой как бы прижимается к поверхности. Дополнительные энергетические затраты на отсос воздуха могут окупиться уменьшением сопротивления тела. Для хорошо обтекаемых тел основной вклад в силу сопротивления дает не отрыв пограничного слоя, а вязкие силы трения жидкости на обтекаемой поверхности.
Турбулентный пограничный слой
Ламинарное движение жидкости в пограничном слое при больших числах Рейнольдса становится неустойчивым и движение в пограничном слое будет турбулентным. Действительно, можно провести аналогию между движением в пограничном слое и движением в плоском канале. Средняя скорость внутри пограничного слоя порядка скорости набегающего потока Вместо расстояния между плоскостями канала можно рассматривать толщину пограничного слоя. Тогда можно записать число Рейнольдса для движения жидкости в пограничном слое: Re = v^d/у. При достижении в пограничном слое некоторого критического значения числа Рейнольдса движение в нем будет
турбулентным. Очевидно, в направлении движения жидкости число Рейнольдса в пограничном слое будет увеличиваться как
Re 〜6, 6 〜у/х , Re 〜д/^ •
Поскольку толщина пограничного слоя пропорциональна д/^, то, следовательно, и число Рейнольдса также будет пропорционально д/^・ Это означает, что если в некоторой точке с координатой ж число Рейнольдса достигнет своего критического значения, то пограничный
слой будет состоять из двух частей: ламинарной передней части и по
следующей части турбулентного движения. Расчет турбулентного дви
жения в пограничном слое основан на теории турбулентности Прандт
ля, предсказывающей логарифмический профиль скорости жидкости
в пограничном слое с некоторыми эмпирическими коэффициентами.
Как показывает опыт, толщина турбулентного пограничного слоя пропорциональна ж, а не у/х, как для ламинарного слоя, т. е. толщина
Рис. 9.6. Зависимость коэффициента сопро-Рис. 9.6. Зависимость коэффициента сопро-турбулентного пограничного слоя растет вниз по потоку быстрее, чем ламинарного.
Рис. 9.6. Зависимость коэффициента сопро-
Рис. 9.6. Зависимость коэффициента сопро-
Рассмотрим изменение коэффициента сопротивления шара при обтекании его вязкой несжимаемой жидкостью в зависимости от числа Рейнольдса.
Экспериментальный график имеет вид, приведенный на рис. 9.6.
тивления шара от числаРейнольдсативления шара от числаРейнольдсаС =С =24Re24ReRe =Re =08 d08 dПри малых числах Рейнольдса коэффициент сопротивления определяется формулой Стокса (область I)
тивления шара от числаРейнольдса
тивления шара от числаРейнольдса
С =
С =
24
Re
24
Re
Re =
Re =
08 d
08 d
При дальнейшем увеличении числа Рейнольдса падение коэффициента сопротивления несколько замедляется, а в дальнейшем даже возрастает (область П). Возрастание связано с тем, что при этих числах Рейнольдса происходит отрыв ламинарного пограничного слоя и за шаром образуется большая область турбулентного движения, размер которой в основном и определяет сопротивление шара.
Далее, в довольно широком интервале изменения чисел Рейнольдса коэффициент сопротивления остается практически неизменным. Действительно, как следует из безразмерных уравнений Прандтля, картина движения в ламинарном пограничном слое при увеличении числа Рейнольдса подвергается подобному преобразованию. При этом все продольные координаты и скорости остаются неизменными, а поперечные уменьшаются обратно пропорционально V^Re. Следовательно, и продольная координата точки отрыва пограничного слоя не изменяется при увеличении числа Рейнольдса, поэтому не изменяется и размер турбулентной области за шаром, а стало быть, и коэффициент сопротивления должен оставаться приблизительно постоянным.
При числах Рейнольдса (2-3) • 105 (область Ш) наступает резкое уменьшение коэффициента сопротивления, причем настолько резкое, что уменьшается не только коэффициент сопротивления, но и сама сила сопротивления шара. Это явление называется кризисом сопротивления. Кризис сопротивления обязан своим возникновением турбулизации пограничного слоя на шаре. Турбулентный пограничный слой лучше «связан» с основным потоком жидкости за счет поперечных турбулентных пульсаций, что и смещает точку отрыва пограничного слоя в кормовую часть шара. Это в свою очередь приводит к уменьшению области турбулентного движения за шаром, а следовательно, и к уменьшению его сопротивления.
Контрольные вопросы
Какое свойство жидкости определяет ее течение в пограничном слое?
Что является критерием при определении положения верхней границы пограничного слоя?
Каковы причины турбулизации пограничного слоя?
Как изменяется толщина пограничного слоя при увеличении числа Рейнольдса?
Во сколько раз увеличится или уменьшится сила, действующая на пластинку со стороны жидкости, которая движется вдоль поверхности этой пластинки, если скорость жидкости увеличить в 4 раза?
Как различается толщина пограничного слоя на полубесконечной пластинке в точках с координатами ж = 1 см и ж = 4 см?
Что называют толщиной вытеснения? В чем смысл этой величины?
Как изменится длина разгонного участка, если скорость течения жидкости в трубе увеличить в два раза?
В двух одинаковых трубках с одинаковыми скоростями движутся жидкости с разными вязкостями, причем коэффициент вязкости жидкости в первой трубке больше. В какой трубке больше длина разгонного участка?
Что такое миделево сечение?
Как изменяются скорость и давление жидкости в пограничном слое вниз по потоку до миделева сечения и после него?
Какой критерий используют для определения точки отрыва пограничного слоя?
Как изменяется число Рейнольдса вниз по течению жидкости вдоль плоского пограничного слоя?
Как изменяется сила сопротивления при отрыве пограничного слоя?
Что называют кризисом сопротивления?
Примеры решения задач
Задача 1
Определите динамику нарастания толщины пограничного слоя вблизи бесконечной пластинки, которая внезапно приведена в движение со скоростью о в плоскости расположения пластинки. Вычислите
силу, действующую на единицу площади пластинки со стороны вязкой жидкости, и толщину вытеснения.
Решение. Лабораторную систему координат хОу выберем так, что ось ж направлена в сторону движения пластины, а начало координаты у совместим с поверхностью пластины (рис. 9.7). Время начинаем
Рис. 9.7. Рост толщины пограничного слоя с течением времениРис. 9.7. Рост толщины пограничного слоя с течением времениотсчитывать с того момента, когда пластина начинает двигаться.
Рис. 9.7. Рост толщины пограничного слоя с течением времени
Рис. 9.7. Рост толщины пограничного слоя с течением времени
Внезапное движение пластины с постоянной скоростью V, благодаря прилипанию жидкости к поверхности пластины и силам внутреннего трения (вязкости), вызывает течение жидкости. Толщина слоя жидкости, вовлекаемой пластиной в движение, будет расти с течением времени, т. е. 6(力 1) < 6(力2)< 6(力з) (рнс. 9.7), причем на большом удалении от пластины жидкость остается неподвижной.
Таким образом, течение жидкости будет происходить в пристеночной области
О < у < J(t), где J(t) — растущая со временем толщина пограничного
слоя. Предположим далее, что профили скорости с течением времени
^ =3（外），队=為,^ =3（外），队=為,(9.38)(9.38)остаются подобными, т. е.
^ =3（外），队=為,
^ =3（外），队=為,
(9.38)
(9.38)
причем неизвестная функция 夕(у*) определяется профилем скорости течения.
Обратимся к интегральному соотношению Кармана (9.30). Поскольку мы рассматриваем нестационарное течение жидкости, то к левой части уравнения (9.30) следует добавить член
в⑴ов⑴оdvx ,dvx ,
в⑴
о
в⑴
о
dvx ,
dvx ,
Прежде всего учтем, что вне пограничного слоя жидкость неподвижна, т. е. и = 0. Кроме того, скорость vx не зависит от продольной координаты ж. Тогда интегральное соотношение Кармана запишется в виде
[=°- (9.39)
Вычислим производные, входящие в это уравнение:
где штрих означает дифференцирование по у*.
Подставляя полученные выражения в уравнение (9.39), после интегрирования по у* получим
= uN,(9.40)
at
где11
“=一]屮‘У* dy* = “dy*, N = - “|%=0 • о0
В выражении для величины М учтены граничные условия
夕(у* = 0) = 1, 夕(у* = 1)=0.(9.41)
Интегрирование уравнения (9.39) по времени с учетом начального условия J = 0 при 力=0 приводит к следующему выражению:
Таким образом, толщина пограничного слоя растет пропорционально корню квадратному из времени.
Чтобы рассчитать величины М 込 N, определенные выражениями (9.40), необходимо знать распределение скоростей в пограничном слое, т. е. функцию 夕.Можно было бы воспользоваться точным выражением для функции 夕，которое было получено ранее (см. решение задачи 8 в гл. 9, выражение (6.165)). Но мы поступим иначе и будем придерживаться того алгоритма приближенного решения задачи, который приняли в этой главе.
Будем искать решение для функции 夕 в виде полинома третьей степени по переменной у*:
(р = aQ + aiy^ + а?尤 +。3瀛•(9.43)
Неизвестные коэффициенты ai найдем из граничных условий (9.41) и двух соотношений
沙=。，=0, у = 3, 幣=0.(9.44)
дуоу
Обоснование этих соотношение приведено на с. 240 при решении задачи обтекания полубесконечной пластины потоком вязкой несжимаемой жидкости.
В приближении полинома третьей степени для функции 夕 получим следующее выражение:
9=1一|外 + ；久， 。＜外＜1.(9.45)
Используя это выражение для вычисления величин М и N, имеем
Найдем силу, действующую на единицу площади пластинки:
3 V _3 rjv3 V _3 rjvу=оу=о
3 V _3 rjv
3 V _3 rjv
у=о
у=о
Следовательно, действующая на пластинку сила направлена противоположно направлению движения пластинки и уменьшается обратно пропорционально корню квадратному из времени.
Теперь вычислим толщину вытеснения:
61
6* = ； ](О — ％) dy = б](1 — 夕)dy* = I 6 = |л/^7 •(9.47)
ооо
о
о
Разумеется, толщина вытеснения растет со временем так же, как и толщина пограничного слоя.
Задача 2
Оцените толщину пограничного слоя вблизи критической точки у обтекаемого вязкой жидкостью кругового цилиндра радиуса R. Скорость набегающего потока равна
Решение. Обозначим через х = R — г расстояние от критической точки. Следуя решению задачи об обтекании цилиндра идеальной жидкостью, вблизи критической точки вне пограничного слоя для радиальной скорости имеем (5.102)
(9.48)
Поскольку мы рассматриваем расстояния, малые по сравнению с радиусом цилиндра, т. е.力/А《1, то выражение (9.48) преобразуется к
видувиду0 е0 е(9.49)(9.49)
виду
виду
0 е
0 е
(9.49)
(9.49)
Не повторяя рассуждений § 9.3, напомним, что оценка толщины пограничного слоя при обтекании с большими числами Рейнольдса полубесконечной пластины дает (9.18)
где V — кинематическая вязкость жидкости, под и следует понимать скорость идеальной жидкости вне пограничного слоя. В данном случае оценкой для скорости 〃 является выражение (9.49). Тогда для толщины пограничного слоя вблизи критической точки получим
(9.50)
Таким образом, вблизи критической точки толщина пограничного слоя остается неизменной независящей от координат.
(9.51)гранич-границе(9.52)(9.53)(9.54)(9.51)гранич-границе(9.52)(9.53)(9.54)Задача 3
(9.51)
гранич-границе
(9.52)
(9.53)
(9.54)
(9.51)
гранич-границе
(9.52)
(9.53)
(9.54)
В задаче обтекания полубесконечной пластины (п. 9.4.1) используйте вместо кубической (9.31) линейную аппроксимацию продольной скорости движения жидкости в пограничном слое и рассчитайте толщину пограничного слоя, толщину вытеснения и силу, действующую со стороны жидкости на часть пластинки единичной ширины и длиной /.
Решение. По условию задачи продольная скорость жидкости имеет вид
加=а° + а、у •
Для определения коэффициентов а° и си воспользуемся ными условиями для скорости на пластине и на верхней пограничного слоя:
%(g=0) = 0，%(g=6) =。8 ,
где。8 — скорость набегающего потока. Отсюда получаем
。0 =。， а\ = Q8]6 •
Тогда интегральное соотношение Кармана запишется в виде
db 〃
Решение этого уравнения имеет вид
= 3,46、叵.
Полученное выражение отличается от (9.34) только числовым коэффициентом.
Сила, действующая на единицу площади пластинки, равна
°； = 0,289 J* .(9.55)
После интегрирования по ж в пределах от 0 до / найдем силу, действующую на обе стороны пластинки единичной ширины и длиной /:
F = 1,156〃^吸.(9.56)
Найдем толщину вытеснения
^ = ^\^~v^dy=iS= 1*3•(9.57)
Заметим, что числовой коэффициент в выражении (9.57) мало отличается от полученного ранее (9.37), 1,74, и от точного расчета, 1,72.
ГЛАВА 10
ГАЗОВАЯ ДИНАМИКА
Движение газа можно рассматривать как движение несжимаемой жидкости лишь при скоростях, существенно меньших скорости распространения в газе малых возмущений (скорость звука). При скоростях, равных или больших скорости звука, движение газа настолько специфично, что оно является предметом изучения специального раздела механики сплошной среды — газовой динамики.
Движение газа при больших скоростях будем рассматривать как движение идеальной жидкости.
Скорость звука
Известно, что скорость распространения малых возмущений в сплошной среде или скорость звука определяется следующим соотношением:/
Для идеальногоДля идеальногоМенделеева имеемМенделеева имеемгаза с учетом уравнения состояния Клапейрона-газа с учетом уравнения состояния Клапейрона-7 = ^^7 = ^^.(10.2).(10.2)
Для идеального
Для идеального
Менделеева имеем
Менделеева имеем
газа с учетом уравнения состояния Клапейрона-
газа с учетом уравнения состояния Клапейрона-
7 = ^^
7 = ^^
.(10.2)
.(10.2)
В формулах (10.2) 7 — показатель адиабаты Пуассона; Ср , Су — теплоемкости при постоянном давлении и объеме соответственно;从—молярная масса газа; R = 8,314 Дж/(моль • К) — универсальная газовая постоянная.
Для показателя адиабаты элементарная молекулярно-кинетическая теория дает следующее соотношение:
N + 2
где N — число степеней свободы молекулы газа. Так, для одноатомного газа N = 3,) = 5/3^ 1,67, для двухатомного — N = 5,)= 7/5^ 1,4 и т. д.
Сравнивая скорость звука со средней тепловой скоростью молекул, °т = (8АТ/тг/1)1/2, видим, что они примерно равны. Этого и следовало ожидать, поскольку всякое взаимодействие между двумя соседними
макроскопическими частицами газа происходит только через столкновения молекул. Следовательно, скорость распространения такого взаимодействия (скорость распространения малых возмущений) будет происходить со средней скоростью движения самих молекул. Из элементарной молекулярно-кинетической теории идеального газа следует, что величина 7 и теплоемкости не зависят от температуры и давления газа. Хотя эксперимент показывает слабую зависимость величин 7, Ср , Су от температуры и давления, в большинстве газодинамических задач их можно считать постоянными.
Поскольку скорость звука в газе зависит только от температуры, то во всех термодинамических формулах и соотношениях мы можем температуру заменить скоростью звука.
Из основного термодинамического равенства для единицы массы газа имеем
dQ = б/£вн + pdV , 0V =(需)у = (^^) и , sBH = cvT , (10.3) где су , ср — удельные теплоемкости при постоянном объеме и давлении соответственно.
Далее, для энтальпии единицы массы газа имеем
拉=£вн + pV =+ —— =,(10.4)
В выражении (10.4) использована формула Р. Майера и уравнение состояния для единицы массы идеального газа
RСр ——RСр ——pV =pV =RTRT
R
Ср ——
R
Ср ——
pV =
pV =
RT
RT
Отсюда получаем следующую формулу:
c 一包=0°7〃c 一包=0°7〃су =су =1 pV7 - 1 亍，1 pV7 - 1 亍，7 pVс2 = 7 - = 7Р^ •7 pVс2 = 7 - = 7Р^ •(10.5)(10.5)
c 一包=0
°7〃
c 一包=0
°7〃
су =
су =
1 pV
7 - 1 亍，
1 pV
7 - 1 亍，
7 pV
с2 = 7 - = 7Р^ •
7 pV
с2 = 7 - = 7Р^ •
(10.5)
(10.5)
Из соотношений (10.3)—(10.5) имеем следующие выражения для внутренней энергии, энтальпии и энтропии единицы массы идеального газа2
Евн = cvT = -^- =,
V(10.6)
h = срТ == с , Sm = cv 1п .
7 — 17 — 1“
Параметры газа в заторможенном потоке
При больших скоростях движение газа вне тонкого пограничного слоя можно рассматривать как движение идеальной жидкости, лишенной вязкости и теплопроводности. Тогда движение каждой индивиду-
альной частицы газа будет совершаться адиабатически и для любой линии тока справедливо уравнение Бернулли
—+ /г = const.
Найдем плотность, давление и температуру газа в критической точке на обтекаемом теле. Если индексом «оо» обозначить значения физических величин в набегающем потоке, а индексом «0» — в критической точке, то для критической линии тока можно записать
—1~ + 拉 оо =拉 0 , Отсюда имеем—1~ + 拉 оо =拉 0 , Отсюда имеем成 +7 Poo =70027 - 1 Poo 7 - 1 Po成 +7 Poo =70027 - 1 Poo 7 - 1 Po11208 00 —2)8 082 4o11208 00 —2)8 082 4o(Ю.7)(10.8)(Ю.7)(10.8)
—1~ + 拉 оо =拉 0 , Отсюда имеем
—1~ + 拉 оо =拉 0 , Отсюда имеем
成 +7 Poo =700
27 - 1 Poo 7 - 1 Po
成 +7 Poo =700
27 - 1 Poo 7 - 1 Po
112
08 00 —2)8 082 4o
112
08 00 —2)8 082 4o
(Ю.7)
(10.8)
(Ю.7)
(10.8)
Обозначим отношение v/с через М . Здесь о — скорость газа в некоторой точке потока, с — скорость звука в этой же точке. Безразмерная величина М, характеризующая отношение скорости движения газа к скорости звука, называется числом Маха. Для адиабатического движения газа, используя уравнение Пуассона, получим
00Рос00Рос7/(7-1)7/(7-1)(10.9)(10.9)
00
Рос
00
Рос
7/(7-1)
7/(7-1)
(10.9)
(10.9)
Нетрудно получить аналогичную формулу для плотности:
『(1 + М ….(Ю.Ю)
Воспользовавшись уравнением Клапейрона для единицы массы газа, имеем
—R с— R т с— 00 Poo
夕0 =—丿 0Р0 , Poo =—丿 OO0OO ,=•
〃〃丿 OO Poo P0
Тогда из соотношения (10.8) получаем
£ = 1 + *(Ю.Н)
Температура торможения. Температура газа ТЬ в критической точке на обтекаемом теле называется температурой торможения. При больших скоростях движения температура торможения может оказаться значительной. Так, например, если спутник при торможении входит в атмосферу со скоростью 〜4000 м/с, то число Маха равно примерно 10. Тогда по формуле (10.11) имеем в критической точке температуру, равную
7 = 1,4 , То 21Toe .
Если Те = 300 К, то температура торможения равна примерно 6000 К. При такой температуре поверхность спутника оплавляется и если он не сгорает, то только благодаря краткосрочности воздействия и теплообмена с окружающей средой. Причем такая температура будет не только в критической точке, но и на всей поверхности обтекаемого тела, так как скорость вязкого газа на поверхности неподвижного тела тоже равна нулю. Для сохранения спутника применяются специальные защитные конусы, которые сгорают в атмосфере, забирая все тепло, выделяющееся при торможении.
Температура стенок аэродинамической трубы будет равна температуре неподвижного газа на входе в трубу, так как в обеих точках скорость газа равна нулю. Газ, входя в трубу, расширяясь, охлаждается, но при торможении на стенках трубы снова нагревается до первоначальной температуры.
При обтекании выпуклого тела скорость в миделевом сечении будет максимальна, а, следовательно, температура газа минимальна:
у + /г = у + срТ = const.
Этим можно объяснить образование пелены за самолетом при полете в воздухе, достаточно насыщенном влагой. Если температура воздуха несколько больше температуры конденсации, то понижение температуры, создаваемое движением самолета, может оказаться достаточным для конденсации и образования за ним характерной пелены.
Термометр, погруженный в движущийся газ, не покажет температуру газа, а покажет температуру торможения. Так, например, термометр, помещенный в воздух, движущийся со скоростью 70 м/с, покажет температуру
Ta = Tg 1+0,2 （券『卜 1,008 78.
Если температура газа Т^ равна 300 К, то термометр покажет температуру на 2,4 К большую, чем температура газа, или температура, которую он показал бы, если бы двигался вместе с газом со скоростью 70 м/с.
Стационарный одномерный поток сжимаемого газа
Рассмотрим линию тока, которая начинается в неподвижном газе, например, в некотором сосуде, содержащем неподвижный газ, вытекающий из этого сосуда в окружающее пространство. Для такой линии тока можно на основании уравнения Бернулли записать
2
号+ /г = /го, 。= ,2（% —拉）, （10.12）
где /го — энтальпия единицы массы неподвижного газа. Скорость движения газа будет максимальной при /г = 0. Поскольку h = срТ, то это, в свою очередь, возможно только тогда, когда абсолютная температура газа станет равной нулю:
(10.13)(10.13)
(10.13)
(10.13)
Из вывода видно, что Отах — это максимальная скорость направленного движения, которая может быть получена при истечении газа из сосуда. Характерно, что она зависит только от температуры газа в сосуде, но не зависит от давления в нем. При этом абсолютная температура вытекающего газа должна равняться нулю.
Далее рассмотрим некоторую линию тока. Из уравнения Бернулли следует, что при увеличении скорости вдоль линии тока температура газа уменьшается, а следовательно, уменьшается и скорость звука. Может оказаться, что в какой-то точке рассматриваемой линии тока скорость движения газа станет равной скорости звука в этой точке. Скорость движения газа, равная местной скорости звука, называется критической скоростью с*. Критическая скорость может быть найдена из соотношения
J I / =+ 广=с2 7+1
2)—1)—12)—1* 2()— 1)
Отсюда с учетом (10.13) имеем
I = ОщахI = Ощах7 一 17 + 1 •7 一 17 + 1 •(10.14)(10.14)
I = Ощах
I = Ощах
7 一 1
7 + 1 •
7 一 1
7 + 1 •
(10.14)
(10.14)
Из (10.12) и (10.13) видно скорости могут быть выраженыИз (10.12) и (10.13) видно скорости могут быть выраженычто и максимальная и критическая через скорость звука в неподвижномчто и максимальная и критическая через скорость звука в неподвижном
Из (10.12) и (10.13) видно скорости могут быть выражены
Из (10.12) и (10.13) видно скорости могут быть выражены
что и максимальная и критическая через скорость звука в неподвижном
что и максимальная и критическая через скорость звука в неподвижном
газе и зависят лишь от температуры Рассмотрим изменение плотностигазе и зависят лишь от температуры Рассмотрим изменение плотностинеподвижного газа.потока pv вдоль линии токанеподвижного газа.потока pv вдоль линии тока
газе и зависят лишь от температуры Рассмотрим изменение плотности
газе и зависят лишь от температуры Рассмотрим изменение плотности
неподвижного газа.
потока pv вдоль линии тока
неподвижного газа.
потока pv вдоль линии тока
d(pv) = pdv + vdp ,d(pv) = pdv + vdp ,心。）pv心。）pvdvrVdvrVdpPdpP
d(pv) = pdv + vdp ,
d(pv) = pdv + vdp ,
心。）pv
心。）pv
dv
r
V
dv
r
V
dpP
dpP
—+ /z = const, vdv + cZ/z = 0 , Sm = const, dh = ^-,—+ /z = const, vdv + cZ/z = 0 , Sm = const, dh = ^-,dh = TdSm -\- Vdp, vdv + 也=0 .dh = TdSm -\- Vdp, vdv + 也=0 .Учитывая определение скорости звука, имеемУчитывая определение скорости звука, имеем
—+ /z = const, vdv + cZ/z = 0 , Sm = const, dh = ^-,
—+ /z = const, vdv + cZ/z = 0 , Sm = const, dh = ^-,
dh = TdSm -\- Vdp, vdv + 也=0 .
dh = TdSm -\- Vdp, vdv + 也=0 .
Учитывая определение скорости звука, имеем
Учитывая определение скорости звука, имеем
vdv + о? % = 0Рvdv + о? % = 0Рdp _ vdv0 — J °dp _ vdv0 — J °
vdv + о? % = 0
Р
vdv + о? % = 0
Р
dp _ vdv
0 — J °
dp _ vdv
0 — J °
Подставляя в предыдущее соотношение, получим
d(pv) _ dvpv оd(pv) _ dvpv о
d(pv) _ dvpv о
d(pv) _ dvpv о
Окончательно имеем
(10.15)(10.15)陪一(1 一”…2).
(10.15)
(10.15)
Рассмотрим некоторую трубку тока с переменной площадью поперечного сечения S. По определению во всех сечениях трубки тока расход несжимаемой жидкости одинаков. Поэтому
pvS = const, pvdS + Sd(pv) = 0 , • (10.16)
Из последнего соотношения видно, что изменение плотности потока газа противоположно изменению площади сечения трубки тока. Поэтому при дозвуковом течении (М < 1) при увеличении скорости (do > 0) растет и плотность потока, а трубка тока сужается. В случае сверхзвукового движения (М > 1) при увеличении скорости (do > 0) плотность потока уменьшается, а, следовательно, трубка тока расширяется. Поэтому при сверхзвуковом течении с увеличением скорости плотность потока уменьшается (за счет уменьшения плотности газа), а сечение трубки тока должно увеличиваться.
звука. Также уменьшаются вдользвука. Также уменьшаются вдольТаким образом, при дозвуковом движении газа с увеличением его скорости вдоль трубки тока ее сечение должно уменьшаться, а плотность потока возрастает. При этом, как следует из уравнения Бернулли, температура газа вдоль трубки тока уменьшается, следовательно,
звука. Также уменьшаются вдоль
звука. Также уменьшаются вдоль
уменьшается и местная скорость трубки тока плотность и давление:
F = const, р =22=万+厂1% =万+F = const, р =22=万+厂1% =万+const • р7 ,const • р7 ,2222у + срТ = ^ + ^у + срТ = ^ + ^2—const . 0)一1 = g Hconstl/) 7—127 — 12—const . 0)一1 = g Hconstl/) 7—127 — 1
F = const, р =
22
=万+厂1% =万+
F = const, р =
22
=万+厂1% =万+
const • р7 ,
const • р7 ,
2
2
2
2
у + срТ = ^ + ^
у + срТ = ^ + ^
2
—const . 0)一1 = g Hconstl/) 7—127 — 1
2
—const . 0)一1 = g Hconstl/) 7—127 — 1
М < 1 ! М > 1М < 1 ! М > 1М = 1М = 1Рис. 10.1. Сопло ЛаваляРис. 10.1. Сопло Лаваля
М < 1 ! М > 1
М < 1 ! М > 1
М = 1
М = 1
Рис. 10.1. Сопло Лаваля
Рис. 10.1. Сопло Лаваля
При сверхзвуковом движении с увеличением скорости газа вдоль трубки тока сечение трубки должно увеличиваться, а плотность потока уменьшается. Так же, как и в дозвуковом потоке, уменьшаются температура, скорость звука, плотность и давление.
Сопло Лаваля. Из вышесказанного следует, что в сужающейся трубке не может быть достигнута сверхзвуковая скорость. Скорость движения газа может стать сверхзвуковой только в расширяющейся трубке тока. Для разгона газа до звуковой скорости он должен двигаться в сужающейся трубке тока. При одномерном движении иде
ального газа в реальной трубе ее стенки можно рассматривать как боковую поверхность трубки тока. Поэтому труба, плавно переводящая дозвуковое движение газа в сверхзвуковое, должна иметь сужающуюся дозвуковую часть и расширяющуюся сверхзвуковую (рис. 10.1). Такая труба называется соплом
Лаваля. Очевидно, что местная скорость звука будет достигнута в самой узкой части сопла Лаваля. В самом узком сечении сопла скорость газа будет равна местной (в этом сечении) скорости звука.
Нетрудно найти форму сопла Лаваля, т. е. зависимость числа Маха от размера сечения сопла. Из соотношений (10.15), (10.16) имеем
VсVсdM _ dvdeМосdM _ dvdeМос= (1 -м2)^, М
V
с
V
с
dM _ dvde
Мос
dM _ dvde
Мос
vdv Нcdc = 0 , 也 7 — 1оvdv Нcdc = 0 , 也 7 — 1оИз уравнения Бернулли получим
vdv Нcdc = 0 , 也 7 — 1о
vdv Нcdc = 0 , 也 7 — 1о
Из предыдущих соотношений следует:
也=也+ m2М о也=也+ m2М о7 — 1 do2 о7 — 1 do2 оdv _ dM 2
也=也+ m2
М о
也=也+ m2
М о
7 — 1 do
2 о
7 — 1 do
2 о
。—M 2 + (7- 1)М2
Тогда имеем следующее дифференциальное уравнение:
_dS_ _ 2(1 - b/Р) dMS - M[2 +(7 - 1)M2]'
Интегрируя, получим
(10.17)(10.17)s _ I 卩+()—i)m2]6+d/以
(10.17)
(10.17)
Smin M _7 + 1_
Здесь Smin — минимальное сечение сопла Лаваля, в котором число Маха равно единице. Формула (10.17) дает связь между площадью сечения сопла и числом Маха в этом сечении.
Выше приведен приближенный расчет сопла Лаваля, в котором не учитывалась вязкость газа. Очевидно, что, несмотря на формулу (10.17), не следует делать слишком резких изменений сечения в сверхзвуковой части, так как поток газа может и не следовать за стенкой, а оторваться от нее с образованием между стенкой и основным потоком газа некоторой застойной зоны в сверхзвуковой части сопла. Точного расчета сопла Лаваля с учетом вязкости в настоящее время не существует, и чаще всего конструктор производит расчет методом проб и ошибок.
Истечение газа из резервуара через сужающийся насадок
Рассмотрим истечение газа из некоторого большого резервуара через сужающийся насадок (рис. 10.2). Будем полагать, что параметры газа в сосуде при истечении остаются неизменными, а скорость газа в сосуде равна нулю.
Для нахождения параметров газа на срезе сопла очевидно можно, обратив задачу, воспользоваться формулами (10.9)-(10.11), полу-
ченными нами для нахождения давления, плотности и температуры в критической точке на обтекаемом теле. В прежнем обозначении это
будут pg , pg , Tg. Будем постепенно уменьшать давление газа на выходе из сопла, оставляя давление в резервуаре прежним. Очевидно, с уменьшением давления на выходе будет увеличиваться скорость на срезе сопла, причем она будет максимальной в самом узком сечении сопла, т. е. на его срезе. При дальнейшем уменьшении давления на срезе сопла может быть достигнута
Рис. 10.2. Параметры газа в насадкеРис. 10.2. Параметры газа в насадкескорость движения газа, равная местной скорости звука, т. е. критической скорости газа с*. При этом М = 1, а параметры газа будут иметь
Рис. 10.2. Параметры газа в насадке
Рис. 10.2. Параметры газа в насадке
соответствующее критическое значение 9 (10.9)-(10.11):
/7 - 1\ 7/(1-7)
夕* = Poo = Ро Н2 —，
/7 i/(D
(10.18)(10.18)р* = pg = Ро Н丿Т, = ^ = 7^0 (1 + ^)-1 •
(10.18)
(10.18)
с* = Сос* = Со27 + 127 + 1277 + 1277 + 1При дальнейшем уменьшении давления на выходе из сопла давление, плотность и температура газа на срезе сопла будут неизменными, зависящими только от давления, плотности и температуры газа в резервуаре. Скорость же, равная критической скорости, будет зависеть только от температуры газа в резервуаре:
с* = Со
с* = Со
2
7 + 1
2
7 + 1
27
7 + 1
27
7 + 1
Из формул (10.18) следует, что критическая скорость на срезе сопла будет достигнута для воздуха (7 = 1,4) при следующем отношении давлений:
目*00目*00、_ 1 \ 7/(1-7) 1+М、_ 1 \ 7/(1-7) 1+М7/(7-1)7/(7-1)如=0,53. (10.19)00如=0,53. (10.19)00
目*
00
目*
00
、_ 1 \ 7/(1-7) 1+М
、_ 1 \ 7/(1-7) 1+М
7/(7-1)
7/(7-1)
如=0,53. (10.19)
00
如=0,53. (10.19)
00
Физически это понятно, так как после достижения на срезе сопла критической скорости, равной местной скорости звука, газ внутри резервуара и сопла не «чувствует» изменения параметров вне сопла, так как возмущения, распространяющиеся со скоростью звука, не могут проникнуть внутрь сопла. При этом расход газа через сопло достигает
Следует различать параметры газа в критической точке на обтекаемом теле, в которой скорость газа равна нулю, ро, Ро, То, и параметры газа в той точке линии тока, в которой скорость газа равна местной скорости звука, ◎ *, О *, Т* •
9 В.Г. Черняк, П.Е. Суетин
своего максимального значения, которое не зависит от дальнейшего уменьшения противодавления на срезе сопла.
При помощи имеющихся в нашем распоряжении формул можно вычислить максимальный массовый расход газа через сопло:
/ 22
(Qm)max = P*C*Smin = Р0с0J(, + ]丿 Smin =
=л/TPQPQ • (Ю.20)
Максимальный объемный расход можно вычислить по формуле
/ 2)RTaV 7 + 1 从•/ 2)RTaV 7 + 1 从•(10.21)(10.21)
/ 2)RTa
V 7 + 1 从•
/ 2)RTa
V 7 + 1 从•
(10.21)
(10.21)
Из (10.20), (10.21) видно, что расход зависит только от состояния газа внутри сосуда и не зависит от его параметров вне сосуда. Не трудно получить формулу для скорости истечения газа из резервуара при промежуточных противодавлениях. Пользуясь формулой Бернулли и прежними обозначениями, получим
⑺(10.22)⑺(10.22)J + 7 Р = 7 0о « = 2)0о А27 - 1 Роо 7 — ] 0о '7 - 1 Ро \
⑺(10.22)
⑺(10.22)
Для адиабатического течения имеем
F = const,F = const,Р _ РоР _ Ро
F = const,
F = const,
Р _ Ро
Р _ Ро
Подставляя эти значения в предыдущее равенство, получим формулу
Сен-Венана и Вантцеля:
/ 2? 0о у 7 - 1 Ро/ 2? 0о у 7 - 1 Ро1 -1 -(7-1)/7~(7-1)/7~(10.23)(10.23)
/ 2? 0о у 7 - 1 Ро
/ 2? 0о у 7 - 1 Ро
1 -
1 -
(7-1)/7~
(7-1)/7~
(10.23)
(10.23)
Из формулы (10.23) видно, что при р = pq скорость истечения равна нулю, а при критическом перепаде давления (см. (10.19)) р = р* имеем
2 — 27 ро Л _2 \ _ 2)ро _ 22/ 2_
Таким образом, скорость движения газа на срезе сопла равна критической скорости, т. е. местной скорости звука.
Если же р = 0, то скорость истечения равна
Таким образом, максимальная скорость истечения может быть достигнута лишь при истечении в вакуум (夕=0) при абсолютной температуре вытекающего газа, равной нулю.
Приведем некоторые оценочные расчеты для воздуха (7 = 1,4) при
Т = 288К, /1 = 0,029кг/м3:
со =^^ = 340 м/с , rmax = о。j, : ] = 756 м/с ,
с* = cq\ —=310 м/с .
V 7+ 1
Тот факт, что расход газа через сужающийся насадок не зависит от противодавления при уменьшении последнего меньше критического на срезе сопла (при 夕 < 夕*), используется в технике для стабилизации расхода газа в различных технологических и лабораторных устройствах. Сужающийся насадок чаще всего выполняется в виде тонкой диафрагмы с отверстием, называемой звуковой диафрагмой. Если давление за звуковой диафрагмой (для воздуха) будет меньше чем 0,53 давления перед диафрагмой, то дальнейшее уменьшение давления за диафрагмой или его колебания не изменит расхода газа через нее.
Ударные волны и скачки уплотнения
Физически сверхзвуковое движение газа отличается от дозвукового характером распространения малых возмущений в потоке.
Конус Маха. Рассмотрим, как распространяются в движущемся потоке газа малые возмущения. Предположим, что в некоторой точке дозвукового течения газа возникло возмущение плотности газа. Это возмущение будет сноситься вниз по потоку и распространяться со скоростью звука во все стороны, и если газ однороден, то поверхность одинаковой фазы распространения возмущения будет представлять собой поверхность шара, расширяющегося со скоростью звука (рис. 10.3 а). При этом возмущение при дозвуковом движении газа распространяется как вниз, так и вверх по потоку.
При сверхзвуковом движении газа возмущения, распространяющиеся со скоростью звука, не могут проникнуть в область течения вверх по потоку (рис. 10.3 6), а сносятся потоком вниз по течению.
Поверхность, ограничивающая область возмущенного потока, будет представлять конус, называемый конусом Маха,. Если движение газа прямолинейное, а газ однороден, то конус Маха будет прямым круговым конусом. Из рис. 10.3 6 очевидно, что угол конуса равен
sina = - =.(10.24)
V М
Угол а называется углом Маха. Поверхность конуса Маха называется еще характеристической поверхностью, а линии пересечения ее 9*
с плоскостью, проходящей через ось конуса, называются характеристиками.
Рис. 10.3. Область распространения возмущенийРис. 10.3. Область распространения возмущений
Рис. 10.3. Область распространения возмущений
Рис. 10.3. Область распространения возмущений
Из рассмотрения рис. 10.3 очевидно, что сверхзвуковой поток набегает на обтекаемое тело (являющееся, в частности, источником возмущения) «слепо». Сверхзвуковой поток не предчувствует обтекаемое
тело, в то время как в дозвуковом потоке влияние тела сказывается и вверх по течению, т. е. дозвуковой поток «чувствует» обтекаемое тело значительно раньше, чем его достигнет.
Поверхности разрыва. Ранее рассматривались движения
газа, при которых все скорости и термодинамические параметры изменялись непрерывно, т. е. были непрерывными функциями координат и
времени.
Однако оказывается возможны движения, при которых термоди
намические параметры и скорости могут претерпевать разрыв непрерывности. Скорости и термодинамические параметры могут изменяться скачком вдоль некоторых поверхностей. Эти поверхности называются
поверхностями разрыва.
При нестационарных движениях поверхности разрыва сами могут двигаться в газе, однако скорость их движения не имеет ничего общего со скоростью движения индивидуальных частиц газа, которые могут при своем движении пересекать поверхности разрыва.
Рассмотрим некоторую поверхность разрыва и свяжем с ней оси координат. Тогда в этой системе координат поверхность разрыва будет покоиться.
Рассмотрим малый участок поверхности
Рнс. lO.g а嘗Рхность разрыва, который приблизительно можно считать плоским. Направим ось х по нормали к рассматриваемому участку поверхности разрыва (рис. 10.4). На поверхности разрыва должны соблюдаться определенные граничные усло
вия.
На поверхности разрыва должна быть непрерывна нормальная компонента плотности потока вещества (закон сохранения вещества)
唄1% = 023 •(Ю.25)
На поверхности разрыва должен быть непрерывен поток энергии (закон сохранения энергии). Плотность потока энергии определяется вектором Умова
】k = P^k (евн + 8noт 十 D。) + ^^ — Ui Pik ,
где Евн , Епот — внутренняя и потенциальная энергия единицы массы газа, qk — k-компонента вектора плотности теплового потока,修左— тензор напряжений. Пренебрегая потенциальной энергией, для идеального (невязкого и нетеплопроводного) газа имеем
Ik = PUк (%н +〃『+}«)= РЬк (拉 + }•
Здесь h — энтальпия единицы массы газа.
Непрерывность нормальной компоненты плотности потока энергии на поверхности разрыва приводит к следующему соотношению:
hx = hx , (加 + } 0?)=他。2%(拉2 + } ^) •(10.26)
Соотношение (10.26) с учетом равенства (10.25) дает
加+ }。?=拉2 + ；(10.27)
На поверхности разрыва должен выполняться закон сохранения количества движения. Это означает, что плотность потока импульса с обеих сторон поверхности разрыва должна быть одинакова, в противном случае на поверхность разрыва будет действовать некоторая сила, которая должна вызывать движение этой, по определению неподвижной, поверхности в выбранной системе координат. Имеем
［口注］1 = ［口泌］2， 口注=P^ik + P^i^k 一 ^ik •
Для идеального (невязкого) газа 亍泌=0. Если ось г есть ось х, то равенство плотностей потока импульса в направлении оси х приводит к соотношению
夕 1 + 唄窘=02 + 02或•(10.28)
Равенство плотностей потоков импульсов в направлении осей у и z дает следующие равенства:
Р\^\^\у = Р^х^у ,〃。1冗。12 = P2V2XV2z •(10.29)
Последние два соотношения с учетом (10.25) дают
=。2g， gz =。22•(Ю.30)
Соотношения (10.30) свидетельствуют о том, что на поверхности разрыва должны быть непрерывны касательные к ней скорости движения газа.
Рассмотрим движение газа, при котором линии тока до поверхности разрыва перпендикулярны поверхности разрыва. Такая поверхность разрыва называется прямой ударной волной, если она перемещается по отношению к обтекаемому телу. Если же поверхность разрыва неподвижна по отношению к обтекаемому телу, то она называется прямым скачком уплотнения.
Из (10.25)-(10.28) следует, что в прямой ударной волне или прямом скачке уплотнения скорости газа и термодинамические параметры должны удовлетворять следующим соотношениям:
22
,, Vo22
01。1%=P2V2X , 加 + 另=九2 +另， Pl + p1^1Ж =02 + P2V2x •
(10.31)
Ударная адиабата (адиабата Гюгонио)
По определению прямой ударной волны v\y = v\z = 0. Равенство (10.30) свидетельствует о том, что и 02g =。2乞=。・ Следовательно, если линия тока до прямой ударной волны перпендикулярна поверхности разрыва, то она останется перпендикулярной и после поверхности разрыва, т. е. линия тока при прохождении прямой ударной волны не испытывает излома. Поэтому в равенствах (10.31) v\x = v\ , v^x = 02, и их можно записать в окончательном виде:
22
0101=0202, 加 + ^ =拉2 + ^, Pl + P\A = P2 + P2^2 • (10.32)
Установим соотношение между термодинамическими параметрами и скоростями в прямой ударной волне.
Введем следующие обозначения:
01% =能02 =j，％ =j0 ,02 =j吻•
Здесь 0 п 吻一объемы единицы массы газа до и после ударной волны соответственно. Из третьего уравнения (10.32), получим
S + J2s = м + 丿2吻，丿2 =(10.33)
Далее имеем для разности скоростей:
02 — g = J(S —吻)=[(Ц -吻)(夕2 -夕 1)]1/2 •(10.34)
Используя, наконец, второе уравнение (10.32), получим следующее соотношение:
加-拉2 = }J2(%2 -%2)，拉1 -拉2 = }(01 -02)(山+吻)•
Последнее соотношение называется ударной адиабатой или адиабатой Гюгонио\
加一拉2 + ；（m一01）（%+吻）=0，拉=宀 PV •（10.35）
Из (10.35) следует, что уравнение ударной адиабаты дает связь между р2 и V2, если известны pi и Ц. При заданных 夕 114 Vl кривая 夕2(吻)имеет вид, изображенный на рис. 10.5.
Из уравнения (10.35) видно, что кривая 夕2(吻)обязательно проходит через точку 〃2 = =夕1 и 吻=%, так как при этом уравнение удовлетворяется тождественно.
Из рис. 10.5 следует:
=(1°・36)
VI — V2
Рис. 10.5. Адиабата ГюгониоРис. 10.5. Адиабата Гюгонио10.6.1. Прямая ударная волна в идеальном газе. Рассмотрим полученные соотношения для термодинамически идеального газа. Запишем уравнения (10.35) в следующем виде:
Рис. 10.5. Адиабата Гюгонио
Рис. 10.5. Адиабата Гюгонио
h = pV,(夕 1y1-02吻)+ ^ (02 一01)(心 + S)=0.
Разделив это выражение на Ц и разрешив относительно 吻/S, получим
吻 =Р1()+ 1) + Р2(7— 1) = )+l + S/pi)(7— 1)(10 37)
ИзИзпоследнего равенства споследнего равенства сучетом уравнения состояния идеальногоучетом уравнения состояния идеальногоИ pi() — 1) + Р2() + 1)7 - 1 +(Р2/Р1)(7 + 1) *'
Из
Из
последнего равенства с
последнего равенства с
учетом уравнения состояния идеального
учетом уравнения состояния идеального
Из соотношения (10.37)Из соотношения (10.37)Рис. 10.6. Зависимость отношения удельных объемов газа после и до прямой ударной волны от отношения давленийРис. 10.6. Зависимость отношения удельных объемов газа после и до прямой ударной волны от отношения давлений
Из соотношения (10.37)
Из соотношения (10.37)
Рис. 10.6. Зависимость отношения удельных объемов газа после и до прямой ударной волны от отношения давлений
Рис. 10.6. Зависимость отношения удельных объемов газа после и до прямой ударной волны от отношения давлений
газа имеем
Pl И =,夕2吻=Pl И =,夕2吻=Т2 = Р2% = Р2 ) + 1 + S/pi) () — 1)
Pl И =,夕2吻=
Pl И =,夕2吻=
' Ti Pi Vi Pl 7 - 1 +(Р2/Р1) (7 + 1) *
(10.38)
видно, что отношение объемов в зависимости от отношения давлений является равнобочной гиперболой (рис. 10.6) с асимптотами
% _ ) 一 1p2 _ ) 一 1
И) + 1 ' Р1 7 + 1 '
Предельное отношение температур при (夕2/^1) т оо равно
Т1 7 + 1 Р1 *
Таким образом, при бесконечном скачке давления скачок температуры в ударной волне может быть как угодно
большим. Однако отношение плотностей стремится к некоторому постоянному пределу. Для воздуха (7 = 1,4) этот предел равен
Pi _ 0,4 _ 1
Для скоростей можно получить следующие соотношения:
^ = у1^ = ^4 (7— 1)+ *(7+1) V2 - VI2Р1
(7- !) + -(?+ О • (10.39) Pi
Аналогичное выражение можно получить для。2：
_ 2_ 2(10.40)(10.40)=d [) + 1 + (92加1) () - 1)f2)7 - 1 +(P2/P1)(7 + 1) •
_ 2
_ 2
(10.40)
(10.40)
Для разности скоростей имеем% — 02 =[伪2 - Pi)(Vi -吻)]I’？=Для разности скоростей имеем% — 02 =[伪2 - Pi)(Vi -吻)]I’？=Критические скорости следующим образом:22Критические скорости следующим образом:22222十Поскольку левые храняются, то имеем222十Поскольку левые храняются, то имеем7 - 17 - 17 — 17 — 12/72/77 - 1 + (p2加1)()+ 1)7 - 1 + (p2加1)()+ 1)]1/2.(10.41)]1/2.(10.41)до и после ударной волны определяютсядо и после ударной волны определяются22=*+券1=或22=*+券1=或С2* 丄 С2*/=可 + 口 = °2*С2* 丄 С2*/=可 + 口 = °2*7 + 17 + 17 + 17 + 1(10.42)(10.42)части соотношений (10.42) в ударной волне со-части соотношений (10.42) в ударной волне со-
Для разности скоростей имеем
% — 02 =[伪2 - Pi)(Vi -吻)]I’？=
Для разности скоростей имеем
% — 02 =[伪2 - Pi)(Vi -吻)]I’？=
Критические скорости следующим образом:
22
Критические скорости следующим образом:
22
2
2
2十
Поскольку левые храняются, то имеем
2
2
2十
Поскольку левые храняются, то имеем
7 - 1
7 - 1
7 — 1
7 — 1
2/7
2/7
7 - 1 + (p2加1)()+ 1)
7 - 1 + (p2加1)()+ 1)
]1/2
.(10.41)
]1/2
.(10.41)
до и после ударной волны определяются
до и после ударной волны определяются
22
=*+券1=或
22
=*+券1=或
С2* 丄 С2*/
=可 + 口 = °2*
С2* 丄 С2*/
=可 + 口 = °2*
7 + 1
7 + 1
7 + 1
7 + 1
(10.42)
(10.42)
части соотношений (10.42) в ударной волне со-
части соотношений (10.42) в ударной волне со-
(10.43)(10.43)Нетрудно видеть, торможения:Нетрудно видеть, торможения:чточтов ударной волне сохраняются и температурыв ударной волне сохраняются и температуры
(10.43)
(10.43)
Нетрудно видеть, торможения:
Нетрудно видеть, торможения:
что
что
в ударной волне сохраняются и температуры
в ударной волне сохраняются и температуры
2
Cl* = С2* = с* =—Г •
V)+1
2у + CpTi = CpTio ,2у + CpTi = CpTio ,2
2
у + CpTi = CpTio ,
2
у + CpTi = CpTio ,
у + срТ2 = срТ^ , Тю = Т2о •(10.44)
Пользуясь вышеприведенными формулами, можно доказать следующее соотношение:
…2 =…2 =(10.45)
…2 =
…2 =
Интересующие нас соотношения можно выразить через число Маха. Так, из формулы (10.39) можно получить соотношение
pi 7 + 17 + 1
В свою очередь М2 можно выразить через Mi, пользуясь формулами (10.39), (10.40) и (10.46). Произведя необходимые вычисления, получим
М^ = 2 + ?Т)М；(10.47)
2)Mi —()— 1)
Для отношения скоростей из (10.39), (10.40) и (10.46) следует формула
»2 + ”1)М；.(Ю.48)
3()+1)М；
Наконец, пользуясь формулой (10.45), из последнего соотношения имеем
=1С=上+1)册M2. =竺，m2. = ^m]".
с*2 + ()—1)М：с*з
(10.49)
Ударные волны слабой интенсивности
Для определения характера изменения термодинамических величин и скоростей в ударной волне рассмотрим ударные волны слабой интенсивности, т. е. будем полагать, что, например, изменение давления в ударной волне незначительно (夕2 —夕1)/夕 1《1. Здесь и в дальнейшем индексом 1 будем обозначать величины до ударной волны, а индексом 2 — после ударной волны.
Рассмотрим изменение энтропии газа, прошедшего через ударную волну слабой интенсивности. Учтем, что энтальпия и объем единицы массы газа зависят от давления и энтропии:
/i = /i(rS), V = V(p,S).
Разложим энтальпию в ряд около ее значения в состоянии 1 (до ударной волны). Тогда для энтальпии после ударной волны получим 屬=加+ 備)s(P2-Pi)+ (^)p(62-&) +
+ 6 ("2 - Pi)3+ (1。.50)
В дальнейшем будет видно, что изменение энтропии пропорционально (夕2 —夕 1)3. Поэтому, ограничиваясь в разложении членами третьего порядка малости по (夕2 —夕1), в последующих выражениях можно пренебречь членами, пропорциональными (S2 — Si )2 и (S2 - Si)(夕2 - Pi).
Аналогично для объема имеем
吻Н +")+(黑)— S1)
+ } (^^) (Р2 — Pi)2 + • • • • (10.51)
В этом разложении мы ограничились членом второго порядка малости по (夕2—夕 1)・ Это связано с тем, что выражение (10.51) будет использовано в уравнении ударной адиабаты, которое уже содержит в качестве множителя малую величину (夕2 — Pi)-
Используем следующие термодинамические соотношения:
dh = TdS + VdP,儔)s =(黑)р =(10.52)
Подставляя (10.50)-(10.52) в уравнение ударной адиабаты (10.35), получим
击(U)s(P2-m)3.(10・53)
Из (10.53) следует, что скачок энтропии в ударной волне имеет третий порядок малости по отношению к скачку давления. Соотношение (10.53) замечательно тем, что оно указывает на изменение энтропии в ударной волне в идеальной жидкости, лишенной вязкости и теплопроводности.
Следовательно, ударные волны являются еще одним механизмом (наряду с трением и теплопроводностью) возрастания энтропии в движущихся жидкостях.
Можно показать, что производная (A2v7Ар?) $ всегда положительна. В частности, для идеального газа (92У/9р2)5 = (7 + 1)/(р2/>72). Поскольку энтропия может лишь возрастать (S2 > SJ, то из соотношения (10.53) следует:
Р2 > Р\ •
Из соотношения (10.33), J2 =(夕2 —夕1)/(山—吻)，можно сделать вывод
V1 > V2.
Из соотношения для скоростей 01/02 = 02/01 = 0/吻 можно заключить:
02 <01 •
Из уравнения ударной адиабаты или уравнения Бернулли можно прийти к следующему выводу:
拉2 > 拉1 , T2 > T1 •
Поскольку скорость звука зависит только от температуры, то
С2 > С1 .
Из определения скорости звука следует:
從小2(黑)(10.54)
Скорости движения газа в ударной волне могут быть определены по формулам (10.33) и (10.36)
% = 7Ц =(一h2 个]:)/ =(一h2 tga) / , 。2 = (-%2 tga) / • 2 — 1(10.55)
Рассматривая график ударной адиабаты 夕2(吻)(см. рис. 10.5) и сравнивая соотношения (10.54) и (10.55), приходим к заключению:
(黑)(黑)"C2・
Следовательно, для образования ударной волны необходимо, чтобы газ до ударной волны двигался со сверхзвуковой скоростью. Движение же газа после прямой ударной волны всегда происходит с дозвуковой скоростью. В газе, прошедшем прямую ударную волну, не могут существовать новые ударные волны.
Таким образом, в прямой ударной волне выполняются следующие неравенства:
02 > Р1 , % > 吻，02 > 01 , 丁2 > 丁1 ,e2 > Ci , % > Ci , 02 <02 , 02 <01 ,5* = c2* ,T10 = T20 •
В газе, прошедшем прямую ударную волну, возрастает энтропия, давление, плотность и температура, уменьшается лишь скорость движения газа, становясь дозвуковой.
/2S02/2S02Рис. 10.7Рис. 10.7Выше рассмотрена неподвижная прямая ударная волна или скачок уплотнения. Если на рассматриваемое движение наложить скорость 。1, направленную справа налево (рис. 10.7), то газ в области 7 окажется неподвижным относительно наблюдателя, ударная волна будет двигаться справа налево со скоростью 。1, а газ за ударной волной в области 2 будет двигаться справа налево со скоростью v\ — v^ = ^сп — скоростью спутного потока. Из формулы (10.41) следует, что скорость движения плоской ударной волны тем больше, чем интенсивнее волна, т. е. чем больше отношение р^/р\.
/2
S02
/2
S02
Рис. 10.7
Рис. 10.7
Образование ударных волн. Образование прямой ударной волны можно понять, рассматривая следующий опыт. Пусть имеется некоторая бесконечная труба с газом, на одном конце которой имеется подвижный поршень (рис. 10.8).
уплотнение газа. Примерныйуплотнение газа. ПримерныйРис. 10.8. Формирование ударной волны в трубеРис. 10.8. Формирование ударной волны в трубеПусть поршень внезапно начинает двигаться с некоторой скоростью, а дальше продолжает двигаться со скоростью спутного потока. Тогда в первоначальный момент времени перед поршнем образуется зафик изменения плотности в трубе в этот момент показан на рис. 10.8. Разобьем этот уплотненный участок газа на тонкие элементарные слои. Поскольку более интенсивное уплотнение распространяется в газе и с большей скоростью, то в процессе движения более плотные задние слои будут догонять менее плотные передние слои и в последующий момент 力i график р{х) будет иметь более крутой вид. При дальнейшем движении крутизна увеличивается и в конце концов будем иметь разрыв, имеющий очень
уплотнение газа. Примерный
уплотнение газа. Примерный
Рис. 10.8. Формирование ударной волны в трубе
Рис. 10.8. Формирование ударной волны в трубе
малую толщину и двигающимся слева направо со скоростью о，一 ударную волну. За ударной волной газ будет двигаться со скоростью спутного потока v\ — v2. Таким образом, ударные волны являются самоформирующимися образованиями в газе. Не очень резко ограниченное уплотнение в газе по мере движения автоматически переходит в резко ограниченную ударную волну. Очевидно, толщина поверхности разрыва термодинамических параметров и скоростей в прямой ударной волне должна быть порядка средней длины свободного пробега молекул газа. При последующем движении ударной волны в реальном газе ударная волна «размывается» и исчезает вследствие вязкости и теплопроводности реального газа.
Если поршень резко сместить влево, то в начальный момент времени перед ним возникает разрежение. Это разрежение будет в дальнейшем распространяться вправо. Однако те же рассуждения показывают, что в этом случае не происходит самоформирования резкого перехода между невозмущенным газом и областью разрежения. Наоборот, более или менее резкое возмущение в начале движения поршня при дальнейшем движении расползается, занимая постепенно все большую и большую область пространства трубы. Это значит, что ударные волны разрежения, т. е. резкие переходы, при которых в газе после их прохождения давление уменьшается, существовать не могут.
То же самое можно показать, пользуясь уравнением ударной адиабаты. Точки ударной адиабаты (см. рис. 10.5) правее точки (夕i,%), которые соответствовали бы ударной волне разрежения (夕2 < Pi), не реальны, так как они соответствуют такому процессу, при котором энтропия уменьшалась бы (см. (10.53)).
Ударная волна при взрыве. Рассмотрим числовой пример. При взрыве атомной бомбы образуется сферическая или полусферическая ударная волна. Вдали от эпицентра взрыва участок сфериче-
ской ударной волны можно приближенно рассматривать как плоский и для расчетов пользоваться полученными выше формулами для плоской ударной волны. Интенсивность волны будем характеризовать отношением давлений р^/р\.
Эксперимент показывает, что при взрыве мегатонной бомбы на расстоянии 2,5 4-Зкм от эпицентра взрыва 夕2/^1 ~ 2. Пусть скорость звука в неподвижном воздухе будет равна 340 м/с. Вычислим скорость движения ударной волны v\.
Из формулы (10.39) имеем
% = ci 2^ (^(7 - 0 + ^(7 + 0J =1,35 cl.
Таким образом, скорость распространения ударной волны почти в полтора раза больше, чем скорость звука в неподвижном газе. Поэтому наблюдатель сначала обнаружит ударную волну, а уж затем услышит звук взрыва. Причем скорость распространения ударной волны тем больше, чем больше ее интенсивность, т. е. чем больше отношение
Найдем скорость。2, необходимую для вычисления скорости спутного движения воздуха за ударной волной (10.40):
=0,84 ci .=0,84 ci .7+1 + S/pi) ()— 1){2?[? - 1 +(Р2/Р1)(7 + 1)]}1/2
=0,84 ci .
=0,84 ci .
Скорость спутного потока газа за ударной волной равна
%п = % —。2 ^ 0,5 ci ^ 170 м/с.
Таким образом, воздух за ударной волной движется с ураганной скоростью, производя большие разрушения.
Найдем температуру воздуха за ударной волной, если температура неподвижного воздуха Т = 300 К (10.38):
〃=竺坦=竺竺 ^125, Т2 = 375К.
Таким образом, наряду с излучением объекты, подвергающиеся воздействию ударной волны, не только испытывают резкий перепад давления при ее прохождении (pz/pi ~ 2), воспринимаемый как удар, но также могут разрушаться и возгораться под воздействием горячего (〜100 ℃) ураганного ветра (〜170 м/с), создаваемого спутным потоком, движущимся вслед за ударной волной.
Разбегающийся с большой скоростью от эпицентра взрыва воздух создает около него область весьма низкого давления. Поэтому спустя некоторое время после прохождения ударной волны воздух устремляется по поверхности земли обратно к эпицентру, неся с собой много пыли.
Этот запыленный нагретый воздух, устремляясь вверх, и создает тот «гриб», который характерен для наземных ядерных взрывов.
Рис. 10.9. Параметры газа в косой ударной волнеРис. 10.9. Параметры газа в косой ударной волнеударной волны. Обозначимударной волны. Обозначимчерез 夕，а угол поворота потока через %. Тогда можно записать слечерез 夕，а угол поворота потока через %. Тогда можно записать слеV2x sin 夕—V2y COS 夕V2x sin 夕—V2y COS 夕&1 sin 夕&1 sin 夕1(7 + l)o； sin2 夕 )+ 1 '1(7 + l)o； sin2 夕 )+ 1 'sin2 夕=1 + ctg 夕sin2 夕=1 + ctg 夕
Рис. 10.9. Параметры газа в косой ударной волне
Рис. 10.9. Параметры газа в косой ударной волне
ударной волны. Обозначим
ударной волны. Обозначим
через 夕，а угол поворота потока через %. Тогда можно записать сле
через 夕，а угол поворота потока через %. Тогда можно записать сле
V2x sin 夕—V2y COS 夕
V2x sin 夕—V2y COS 夕
&1 sin 夕
&1 sin 夕
1
(7 + l)o； sin2 夕 )+ 1 '
1
(7 + l)o； sin2 夕 )+ 1 '
sin2 夕=
1 + ctg 夕
sin2 夕=
1 + ctg 夕
Косая ударная волна
Рассмотрим более общий случай, когда линии тока в набегающем потоке не перпендикулярны ударной волне (рис. 10.9). Направим ось 力 по линии тока в набегающем потоке. Разложим скорость набегающего
потока на перпендикулярную и касательную к ударной волне компоненты скорости.
Так как тангенциальная компонента скорости движения газа в ударной волне непрерывна, а нормальная компонента после прохождения ударной волны (прямая ударная волна) уменьшается, то, следовательно, линия тока после прохождения ударной волны поворачивает, приближаясь к ударной волне.
Очевидно, для нормальных компонент скорости справедливы те соотношения, которые получены для прямой угол между осью ж и ударной волной
дующие соотношения.
Из условия непрерывности тангенциальной компоненты скорости
имеем
V\t = V2t ,。1 COS 夕=。2冗 COS 夕 +sin 夕， ctg 夕= • (10.56)
3
По аналогии с прямой ударной волной (10.48) для отношения нормальных компонент скорости можно записать
(10.57)(10.57)У2п _ 2 + ()— 1)М詳м =
(10.57)
(10.57)
仍тг —()+ 1)М*， 1П - С1
Из рис. 10.9 имеем следующие соотношения:
^ln = g sin 夕， V2n =。2冗 sin 夕-V2y COS 夕.
Подставляя в (10.57), получаем
Последнее выражение можно записать в следующем виде:
ctg2 夕=ctg2 夕=&2冗—02g Ctg 夕 _ 2c“1 + ctg?夕)+ ) — 1S(7 + 1)届 7 + 1&2冗—02g Ctg 夕 _ 2c“1 + ctg?夕)+ ) — 1S(7 + 1)届 7 + 1(10.58)
ctg2 夕=
ctg2 夕=
&2冗—02g Ctg 夕 _ 2c“1 + ctg?夕)+ ) — 1
S(7 + 1)届 7 + 1
&2冗—02g Ctg 夕 _ 2c“1 + ctg?夕)+ ) — 1
S(7 + 1)届 7 + 1
В уравнении (10.58) для 02g использовано соотношение (10.56). Умножая числитель и знаменатель правой части (10.58) на ui, а также вычитая и прибавляя в числителе гц, получим следующую формулу:
ctg2g=(——)=- 幺)-(5 - 3)X
\vi - v2xJ !_7 + 1 \5 /.
Г丄 2 с；
Таким образом, окончательно имеем уравнение
脸=(5 - 5 告 ^1 ~1^)-(5 - 3)X
X• (10.59)
Уравнение (10.59) называется уравнением ударной поляры. Оно дает связь между 02g и。2冗,если заданы v\ 14 cl.
Введем в уравнение ударной поляры вместо ci критическую скорость с*. По определению критическая скорость может быть получена из первого уравнения (10.42):
(10.60)(10.61)(10.60)(10.61)2 _ _2 )+1 _ / 7 — 1
(10.60)
(10.61)
(10.60)
(10.61)
2/、201。2冗-。*力产9一 出)工一。2^+2后/()+1)・2/、201。2冗-。*力产9一 出)工一。2^+2后/()+1)・После подстановки (10.60) в (10.59) получим
2/、201。2冗-。*
力产9一 出)工一。2^+2后/()+1)・
2/、201。2冗-。*
力产9一 出)工一。2^+2后/()+1)・
При заданных ui и с* функция 02g = /(。2冗)представляет собой уравнение строфоиды и имеет вид, изображенный на рис. 10.10.
Рис. 10.10. Кинематические величины ударной полярыРис. 10.10. Кинематические величины ударной поляры
Рис. 10.10. Кинематические величины ударной поляры
Рис. 10.10. Кинематические величины ударной поляры
Обозначим точки пересечения строфоиды с осью v^x через А п В. Очевидно, что радиус-вектор, проведенный из начала координат в любую точку С строфоиды представит скорость 。2・ Угол, составляемый этим вектором и осью 。2冗,будет углом поворота потока, %. Длина отрезка OD соответствует касательным составляющим скоростей до и после ударной волны,。片=1V2t. Координаты точек А и В могут быть определены из условия 02g =。・
Приравнивая к нулю левую часть уравнения, для координат точек А и В получим следующие значения.
Двойная точка пересечения В, очевидно, имеет координаты
(U2%)B = 5 •
Координаты точки А следуют из равенства нулю числителя дроби (10.61)
013-片=0，02%=A，片一01。2,(02必=02.
Таким образом, точки А и В ударной поляры определяют скорости в прямой ударной волне. Точки строфоиды за точкой В нереальны, так как соответствовали бы условиям в прямой ударной волне, при которых 。2 > 5, что невозможно.
Проведем прямую через точки В и С и опустим перпендикуляр из начала координат на эту прямую. Обозначим угол DOB через 0, тогда из рис. 10.10 следует:
Ctg 0 =—强一=ctg 夕，0 =夕•
Следовательно, угол /3 равен углу наклона ударной волны к скорости набегающего потока.
Далее из рисунков 10.9 и 10.10 имеем
OD = ui cos в =。片=。2方， BD = ui sin в = v\n ,
DC = U2 sin® — X)=咻.
Если из начала координат провести касательные к ударной поляре, то точки касания Е практически будут совпадать с точками пересечения окружности。2 = с* с ударной полярой.
Максимальный угол поворота потока. При увеличении числа Маха Mi , за счет увеличения скорости набегающего потока 。1 точка В будет передвигаться вправо, а точка А влево, так как 0102 = c*.
Поэтому ударные поляры для меньших Mi будут лежать внутри ударных поляр, построенных для больших Mi.
Найдем уравнение ударной поляры в предельном случае Mi —> ос. При этом критическое число Маха будет иметь следующее предельное
значение (10.49):
М；*1мI Ml ТООМ；*1мI Ml ТОО22Ml ТООMl ТОО()+1)М；2+(7- 1)М?()+1)М；2+(7- 1)М?Ml ТООMl ТОО7 + 17 - 17 + 17 - 1(10.62)(10.62))+ 1)+ 17 — 17 — 1=Wmax •=Wmax •
М；*1м
I Ml ТОО
М；*1м
I Ml ТОО
2
2
Ml ТОО
Ml ТОО
()+1)М；2+(7- 1)М?
()+1)М；2+(7- 1)М?
Ml ТОО
Ml ТОО
7 + 1
7 - 1
7 + 1
7 - 1
(10.62)
(10.62)
)+ 1
)+ 1
7 — 1
7 — 1
=Wmax •
=Wmax •
Подставляя эти значения в уравнение ударной поляры (10.61), по
лучимлучим7 + 17—17 + 17—1(10.63)(10.63)
лучим
лучим
7 + 1
7—1
7 + 1
7—1
(10.63)
(10.63)
Уравнение (10.63) представляет собой окружность (рис. 10.11) ра
диусомдиусомR = ^с^R = ^с^7 + 17 — 17 + 17 — 1
диусом
диусом
R = ^с^
R = ^с^
7 + 1
7 — 1
7 + 1
7 — 1
Окружность пересекает ось v^x в точках А и В, имеющих координаты соответственно
(^2® )д = С*(^2® )д = С*/)-1/)-1(U2%)R = c*(U2%)R = c*)+ 1)+ 1
(^2® )д = С*
(^2® )д = С*
/)-1
/)-1
(U2%)R = c*
(U2%)R = c*
)+ 1
)+ 1
начала координат, имеетначала координат, имеетРис. 10.11. Максимальный угол поворота потока в косой ударной волнеРис. 10.11. Максимальный угол поворота потока в косой ударной волне
начала координат, имеет
начала координат, имеет
Рис. 10.11. Максимальный угол поворота потока в косой ударной волне
Рис. 10.11. Максимальный угол поворота потока в косой ударной волне
Касательная, проведенная к окружности из угол с осью 。2冗，определяемый соотношением
.R 1
^"=^^ = 了
По определению угол Хтах является максимально возможным углом поворота потока в косой ударной волне, достигаемый только при бесконечном числе Маха в набегающем потоке. Для воздуха (7 = 1,4)
sin Xmax = — = Т~7 , Xmax ~ 45 .
7
Таким образом, для воздуха поток, прошедший косую ударную волну, не может повернуть на угол, больший чем 45°.
Рассмотрим изменение скорости за косой ударной волной при заданном Mi и изменении угла х (рис. 10.12). Если точка С приближается к точке В, то при этом v^x стремится к v\. Скачок скорости уменьшается, и ударная волна в пределе переходит в слабый разрыв — в слабую ударную звуковую волну. Однако при этом угол g имеет конечное значение.
Это значение можно определить из уравнения ударной поляры. При v\ —> V2X из (10.59) имеем
——51 = — — 1 , sin 夕=丁 = sin Q , 夕=Q .
sir?夕 Clr Mlг
Таким образом, слабая ударная волна (звуковая волна), как и следовало ожидать, распространяется под углом а (угол Маха).
При перемещении точки С к точке А скорость。2 за ударной волной уменьшается и после прохождения точки Е становится дозвуковой. При этом угол в монотонно увеличивается и, наконец, в точке А становится равным 90°, что соответствует прямой ударной волне. Из соотношения (10.59) при 。2冗―>。2 в этом случае немедленно следует формула (10.48), полученная для прямой ударной волны
竺=2 + ()- 1)М；。1 ()+ 1)м； •
Из рис. 10.12 видно, что если угол g при перемещении точки С от точки В к точке А растет монотонно, то угол х достигает некоторого максимального значения в точке Е (。2 = с*), а затем начинает убывать. Точка Е делит ударную поляру на две части: часть BE, для которой 。2 > с*, н часть ЕА, в точках которой。2 < с*. Причем, как отмечалось выше, точка Е почти совпадает с точкой касания касательной, проведенной к поляре из начала координат. Следовательно, для точек поляры BE скорость газа, прошедшего косую ударную волну, остается сверхзвуковой, для точек ЕА скорость газа после косой ударной волны становится дозвуковой.
Точки части поляры BE называются точками слабого семейства, а точки поляры ЕА — точками сильного семейства ударных волн. Заданному углу х на ударной поляре всегда (кроме точки Е) соответствуют две точки, из которых одна принадлежит слабому, а другая сильному семейству. Опыт показывает, что в действительности реализуются лишь точки слабого семейства. Точки сильного семейства никогда не реализуются, кроме как в прямой ударной волне (точка А). По-видимому, ударные волны, соответствующие точкам сильного семейства, кроме точки А (прямая ударная волна), неустойчивы. Поэтому за косой ударной волной скорость движения газа остается сверхзвуковой (。2 > с*), н в нем могут возникнуть еще косые или прямые ударные волны.
Обтекание клина. Рассмотрим обтекание сверхзвуковым потоком газа плоского клина (рис. 10.13).
Пусть заданы величины 。1 и Mi. Для практических расчетов су
ществуют номограммы, которые представляют собой ударные поляры,
вычисленные для различных М> Они изображены в виде строфоид,
вложенных одна в другую. Причем строфоида, построенная для меньшего Mi, лежит внутри строфоиды, построенной для большего Mi. В данном случае нам известны g и Mi, а также угол поворота потока х，так как поток должен повернуть вдоль поверхности клина.
Проводя из начала координат (рис. 10.14) прямую под углом X，получим две точки пересечения этой прямой
Рис. 10.13. Обтекание клинаРис. 10.13. Обтекание клинас ударной полярой, построенной для заданного Mi. Выбираем точку
Рис. 10.13. Обтекание клина
Рис. 10.13. Обтекание клина
слабого семейства — точку С. Отрезок ОС определяет скорость за косой ударной волной —。2・ Проводя секущую через точки В и С и
В прямой (10.46)В прямой (10.46)Рис. 10.14. Ударные полярыРис. 10.14. Ударные полярыударной волне для отношения давлений имели формулуударной волне для отношения давлений имели формулу020102017 + 17 + 1М；—М；—7—17 + 17—17 + 1(10.46а)(10.46а)Для косой ударной волны, следуя формуле (10.57) мула будет иметь видДля косой ударной волны, следуя формуле (10.57) мула будет иметь виданалогичная фор-аналогичная фор-02 _ 2)02 _ 2)017 + 1017 + 17 一 17 + 17 一 17 + 1Ml M；sin2g —常.(10.64)Ml M；sin2g —常.(10.64)опуская на нее перпендикуляр из начала координат, получим угол 9 — угол наклона косой ударной волны к набегающему потоку (см. рис. 10.10).
В прямой (10.46)
В прямой (10.46)
Рис. 10.14. Ударные поляры
Рис. 10.14. Ударные поляры
ударной волне для отношения давлений имели формулу
ударной волне для отношения давлений имели формулу
02
01
02
01
7 + 1
7 + 1
М；—
М；—
7—1
7 + 1
7—1
7 + 1
(10.46а)
(10.46а)
Для косой ударной волны, следуя формуле (10.57) мула будет иметь вид
Для косой ударной волны, следуя формуле (10.57) мула будет иметь вид
аналогичная фор-
аналогичная фор-
02 _ 2)
02 _ 2)
017 + 1
017 + 1
7 一 1
7 + 1
7 一 1
7 + 1
Ml M；sin2g —常.(10.64)
Ml M；sin2g —常.(10.64)
Отношение остальных термодинамических величин может быть построено из полученных выше формул (10.37), (10.38).
Из сравнения формул видно, что при заданном Mi скачок давления в косой ударной волне всегда меньше, чем скачок давления в прямой ударной волне. Также меньше скачки и других термодинамических величин, в том числе и энтропии. Скорость газа за косой ударной волной также изменяется меньше, чем в прямой, оставаясь сверхзвуковой.
Если при заданном Mi будем увеличивать угол раствора клина, то
может оказаться,может оказаться,Рис. 10.15. Отсоединенная ударная волнаРис. 10.15. Отсоединенная ударная волначто прямая, проведенная из начала координат под углом X， не пересекается с ударной полярой, построенной для Mi. При этом, как показывает опыт, перед клином образуется отсоединенная ударная волна (рис. 10.15).
может оказаться,
может оказаться,
Рис. 10.15. Отсоединенная ударная волна
Рис. 10.15. Отсоединенная ударная волна
Если увеличить число Mi, то состояние газа за косой ударной волной будет изображаться ударной полярой, соответствующей М2 > Mi. Прямая, проведенная под углом X， может пересечься с этой ударной полярой. Это означает, что косая ударная волна снова будет «посажена» на носик клина. Если при заданном М2 снова увеличить угол раствора
клина X，то снова может оказаться, что прямая, проведенная под новым углом х не пересечется с ударной полярой М2. В этом случае косая ударная волна снова отойдет от носика клина, т. е. снова образуется отсоединенная ударная волна. И так далее. По-видимому, это рассуждение можно продолжать до тех пор, пока угол раствора клина не достигнет максимального значения
. 1sin Xmax = — •
7
Для клина, имеющего угол раствора х > Хтах, даже при бесконечном числе Маха ударная волна будет отсоединенной. Для воздуха Хтах ~ ^ 45°. Для тупого тела ударная волна будет всегда отсоединенной.
Если из каких-либо источников нам известно направление косой ударной волны и угол х клина, то всегда можно подобрать ударную поляру, удовлетворяющую обоим углам. А это означает, что, зная g и X，можно определить Mi. Если известна температура газа, то зная Mi, можно определить скорость движения газа или скорость движения клина. А если скорость движения клина известна, то можно определить температуру газа. На практике иногда пользуются этим методом определения температуры газа, в котором движется ракета, так как скорость ее движения может быть определена очень точно другими радиофизическими методами.
Отсоединенную ударную волну можно рассматривать как волну, содержащую участки прямой и последовательной серии косых ударных волн. Так, участок отсоединенной ударной волны перед самым носиком клина можно рассматривать как прямую ударную волну. Поскольку скачок давления в прямой ударной волне при заданном Mi больше, чем в косой, то и лобовое сопротивление клина будет больше, чем оно было
бы при косой присоединенной ударной волне. Поэтому для снижения сопротивления тел в сверхзвуковом потоке необходимо стремиться к тому, чтобы перед обтекаемым телом не образовывалось отсоединенных ударных волн. При заданном числе Mi это можно сделать только уменьшением угла раствора клина. Таким образом, хорошо обтекаемые
тела в сверхзвуковом потоке должны иметь острую переднюю кромку. С образованием ударных волн связан и так называемый звуковой барьер. При достижении самолетом скорости, равной скорости звука, на передних кромках обтекаемых частей самолета образуются ударные
волны, что связано с резким увеличением сопротивления, что в свою очередь резко увеличивает нагрузки на различные элементы самолета. Увеличение сопротивления ведет к снижению скорости самолета до дозвуковой и, следовательно, к снижению сопротивления. Самолет снова разгоняется и достигает звуковой скорости и т. д., т. е. самолет, увеличивая скорость, как бы постоянно натыкается на некоторый барьер, для преодоления которого необходимы мощные двигатели и достаточно
прочная конструкция самолета.
С той же целью уменьшения сопротивления крылья современных самолетов делаются стреловидными (рис. 10.16). Действительно, при заданной скорости полета скорость потока, набегающего на крыло, можно разложить на касательную и нормальную составляющую к передней кромке крыла. При этом нормальная составляющая, ответственная за образова
ние ударной волны на крыле, окажется, рис ]°〔6 конечно, меньше скорости набегающего
потока. Поэтому если самолет дозвуковой, то он может двигаться с большей скоростью без образования на плоскостях ударных волн. Если же самолет сверхзвуковой, то при этом отсоединенный скачок появится при большей скорости, а косой скачок будет менее интенсив
ным.
Теория трубки Пито в сверхзвуковом потоке непременно должна учитывать образование перед ней отсоединенной ударной волны, так как по необходимости передний носик трубки Пито является тупым.
Волна разрежения
Обтекание тупого угла сверхзвуковым потоком. Рассмотрим обтекание сверхзвуковым потоком тупого угла (рис. 10.17). Линию АО В можно рассматривать как одну из двух стенок плоского расширяющего насадка.
Пусть газ движется вдоль АО с постоянной сверхзвуковой скоростью v\ > с\ п вытекает в пространство, в котором давление меньше, чем давление в набегающем потоке. Газ будем полагать идеальным
(т. е. коэффициенты динамической и объемной вязкости равны нулю, ту = 0, ^ = 0), а движение установившимся. В данной задаче, очевидно,(т. е. коэффициенты динамической и объемной вязкости равны нулю, ту = 0, ^ = 0), а движение установившимся. В данной задаче, очевидно,ррввРис. 10.17. Обтекание тупого углаРис. 10.17. Обтекание тупого углаMi >1,.V]Mi >1,.V]Ф = 0ФФ = 0Ф02 < А02 < АПринимая во вниманиеПринимая во вниманиеудобно воспользоваться полярной системой координат. Если плоское сопло очень широкое, то движение газа можно рассматривать как плоское, в котором все термодинамические величины и скорости зависят только от угла g полярной системы координат с началом в точке О и не зависят от радиальной координаты 丁. Пусть линия 9 = 0 определяет начало отсчета углов д.вышесказанное, из уравнения Эйлера в ци-удобно воспользоваться полярной системой координат. Если плоское сопло очень широкое, то движение газа можно рассматривать как плоское, в котором все термодинамические величины и скорости зависят только от угла g полярной системы координат с началом в точке О и не зависят от радиальной координаты 丁. Пусть линия 9 = 0 определяет начало отсчета углов д.вышесказанное, из уравнения Эйлера в ци-линдрической системе координат получаем следующую систему:линдрической системе координат получаем следующую систему:0рdvr丸г а夕г。夕 а。夕 + vrv^ _1г а夕г гр а夕'0рdvr丸г а夕г。夕 а。夕 + vrv^ _1г а夕г гр а夕'一威 W65)一威 W65)1 dpv^ pvr _ n__-十 _u ,1 dpv^ pvr _ n__-十 _u ,
(т. е. коэффициенты динамической и объемной вязкости равны нулю, ту = 0, ^ = 0), а движение установившимся. В данной задаче, очевидно,
(т. е. коэффициенты динамической и объемной вязкости равны нулю, ту = 0, ^ = 0), а движение установившимся. В данной задаче, очевидно,
р
р
в
в
Рис. 10.17. Обтекание тупого угла
Рис. 10.17. Обтекание тупого угла
Mi >1,.
V]
Mi >1,.
V]
Ф = 0
Ф
Ф = 0
Ф
02 < А
02 < А
Принимая во внимание
Принимая во внимание
удобно воспользоваться полярной системой координат. Если плоское сопло очень широкое, то движение газа можно рассматривать как плоское, в котором все термодинамические величины и скорости зависят только от угла g полярной системы координат с началом в точке О и не зависят от радиальной координаты 丁. Пусть линия 9 = 0 определяет начало отсчета углов д.
вышесказанное, из уравнения Эйлера в ци-
удобно воспользоваться полярной системой координат. Если плоское сопло очень широкое, то движение газа можно рассматривать как плоское, в котором все термодинамические величины и скорости зависят только от угла g полярной системы координат с началом в точке О и не зависят от радиальной координаты 丁. Пусть линия 9 = 0 определяет начало отсчета углов д.
вышесказанное, из уравнения Эйлера в ци-
линдрической системе координат получаем следующую систему:
линдрической системе координат получаем следующую систему:
0рdvr丸
г а夕г
。夕 а。夕 + vrv^ _1
г а夕г гр а夕'
0рdvr丸
г а夕г
。夕 а。夕 + vrv^ _1
г а夕г гр а夕'
一威 W65)
一威 W65)
1 dpv^ pvr _ n
__-十 _u ,
1 dpv^ pvr _ n
__-十 _u ,
Произведем следующие преобразования:
dp _dp _vr +vr +
dp _
dp _
vr +
vr +
Таким образом, имеем следующее уравнение:
vr +vr +=0.=0.(10.66)(10.66)
vr +
vr +
=0.
=0.
(10.66)
(10.66)
Уравнение (10.66) имеет два решения. Первое решение
Vr + 广=0 •
Принимая во внимание уравнения (10.65), получим ряд последовательных выводов
vr += 0 ,= 0 , р = const, dh = TdS - dp ,
S = const, 雜=-糞， h == const, T = const.
Из уравнения Бернулли следует, что в этом случае и скорость газа постоянна, V = const.
Далее можно показать, что при этом и направление потока не изменяется. Действительно, рассмотрим направление скорости в какой-либо точке потока (рис. 10.18).
Пусть угол g полярной системы координат и угол %, определяющий направление скорости в любой точке потока по отношению
к выбранному постоянному направлению (линия АО), отсчитываются, как показано на рис. 10.18.
Из рисунка следует
= X - о = X - arcctg 丁 •
Дифференцируя по д, имеем
Рис. 10.18. Обтекание тупого углаРис. 10.18. Обтекание тупого угла9夕 建+ d［叫a夕 建3夕丿
Рис. 10.18. Обтекание тупого угла
Рис. 10.18. Обтекание тупого угла
а夕а夕=о,=о,X = const.X = const.Принимая во внимание равенства (10.65) и решение уравнения (10.66), vr = —dv^/d(p, получим
а夕
а夕
=о,
=о,
X = const.
X = const.
Следовательно, в этом случае не изменяется и направление потока.
Значит, первое решение описывает случай плоскопараллельного поступательного потока вдоль АО.
Второе решение уравнения (10.66)
2
^^ + ^- = 0, v^ = с .(10.67)
Тогда из уравнения непрерывности (пятое уравнение системы 10.65) имеем
+ pvr = 0, 9 = - [.(10.68)
少夕J pVrJ pVr
Скорость vr может быть определена следующим образом:
22. 12
22 ,22 ,22220 1cс*
и = % + % = % + С , Vr = V -С , у + R = R •
Из последнего соотношения видно, что vr может быть определена через с и с*:
vr =
Далее можно сделать следующие преобразования:
=const • 7р7-1=const • 7р7-1(10.69)(10.69)с2 = 7 -, 与=const, с2
=const • 7р7-1
=const • 7р7-1
(10.69)
(10.69)
0 = const •当
Pl
Подставляя полученные соотношения в (10.68), получим
dede7 + 17 - 17 + 17 - 1arccos — + const.С*arccos — + const.С*
de
de
7 + 1
7 - 1
7 + 1
7 - 1
arccos — + const.
С*
arccos — + const.
С*
Постоянная интегрирования связана с началом отсчета углов, и ее можно положить равной нулю, а начало отсчета углов найти из физических соображений. Таким образом, имеем
(10.70)(10.70)V = С = с^ cos 4 / -一9 , vr = с*)+ : sin 4 /-一.
(10.70)
(10.70)
”V 7 + 17 - 1 V 7 + 1
Из соотношений (10.69) следуетИз соотношений (10.69) следуетР =Р =(10.71)х 27/(7-1)•(10.71)х 27/(7-1)•
Из соотношений (10.69) следует
Из соотношений (10.69) следует
Р =
Р =
(10.71)
х 27/(7-1)
•
(10.71)
х 27/(7-1)
•
Движение газа, описываемое соотношениями (10.70) и (10.71), называется волной разрежения.
Из полученных соотношений видно, что с увеличением угла g все термодинамические величины и скорости изменяются непрерывно, причем с увеличением угла g плотность, давление и скорость звука, а следовательно, температура газа, убывают. Скорость же движения газа, как это следует из уравнения Бернулли, возрастает. Таким образом, изменение всех термодинамических величин и скоростей в волне разрежения прямо противоположно их изменению в ударной волне
TJ,
Следует еще раз подчеркнуть, что если в ударной волне все термодинамические параметры и скорости изменяются скачком, то в волне разрежения они изменяются непрерывно. Следовательно, волна разрежения занимает определенную область пространства в движущемся газе.
Максимальный угол поворота потока. Из физических соображений следует, что поток, движущийся вдоль АО, должен повернуть вдоль стороны угла ОВ. Если теперь углы дых отсчитывать по направлению потока, то очевидно, что компонента 。夕 полной скорости должна быть всегда положительна (。夕 > 0). В области возмущенного движения положительной должна быть и компонента скорости vr (и「> 0), так как возмущения, вызываемые вершиной угла, распространяются вдоль прямых (характеристик), исходящих из вершины угла в положительном направлении.
Тогда из формул (10.70) следует, что v屮 и vr могут быть одновременно положительны только в первой четверти изменения их аргумента. Поэтому 9 может изменяться только в следующих пределах:
+ 1 夕=° , 9min = ° ,+ 1 夕=° , 9min = ° ,7Г_ 7Г /)+12，9max = 2 у 厂I7Г_ 7Г /)+12，9max = 2 у 厂I
+ 1 夕=° , 9min = ° ,
+ 1 夕=° , 9min = ° ,
7Г_ 7Г /)+1
2，9max = 2 у 厂I
7Г_ 7Г /)+1
2，9max = 2 у 厂I
Поэтому волна разрежения не может занимать сектор с вершиной в точке О, больший, чем сектор, ограниченный прямыми, исходящими
(10.72)(10.72)из точки О с углом раствора
(10.72)
(10.72)
△夕max =夕max —夕min =歹 у j-
Для воздуха(7 = 1,4) △夕max = 219。・
Рассмотрим,как изменяется угол поворота потока х (рис. 10.19) при изменении угла 夕.Отсчет обоих углов будем вести по потоку от некоторого начального направления 夕=0.
Из рис. 10.19 следует:
(10.73)(10.73)x =夕 + arctg ^ = ^ + arctg (ctg夕
(10.73)
(10.73)
Угол X，очевидно, будет изменяться от его значения хо при 夕=0 до значения Хтах при 夕=夕max・ Подставляя в (10.73), получим
△Xmax = Хтах — Х0 =△Xmax = Хтах — Х0 =7 + 1-17 + 1-1_ 7Г_
△Xmax = Хтах — Х0 =
△Xmax = Хтах — Х0 =
7 + 1
-1
7 + 1
-1
(10.74)(10.74)ХО = q ' Хтах =夕 max
(10.74)
(10.74)
Для воздухаДля воздухаТаким образом, из (10.74) следует, что поток в волне разрежения
Для воздуха
Для воздуха
имеемимеемО = Оглах .О = Оглах .не может повернуть на угол, больший , чем угол Д^тах- имеем Ахтах ~ 130°.
имеем
имеем
О = Оглах .
О = Оглах .
Из формул (10.70), (10.71) следует, что при 夕 = 夕max
0 = °， p = 0 , 0屮=0 , Vr = С*j- = 0max，
Рис. 10.19. Угол поворота потока хРис. 10.19. Угол поворота потока хСледовательно, линия 夕=夕max есть линия, граничащая с вакуумом, когда абсолютная температура вытекающего газа становится равной нулю. Только в этом случае возможен поворот потока воздуха на угол 130°.
Рис. 10.19. Угол поворота потока х
Рис. 10.19. Угол поворота потока х
Для построения картины обтекания тупого угла необходимо найти начало от-
счета углов 夕 pi х . Ранее при интегрировании постоянная интегрирования, которая определяет начало отсчета углов, положена равной нулю. Для нахождения начала отсчета углов можно воспользоваться физическими соображениями. Действительно, вершина обтекаемого угла является источником возмущений.
Возмущения же распространяются в движущемся газе под углом а. Поэтому начало возмущенного потока или начало волны разрежения определяется линией, проведенной из вершины угла под углом а к направлению набегающего потока или к направлению стороны угла АО. Эта линия, очевидно, является первой характеристикой, огра-
ничивающей волну разрежения слева, т. е. со стороны невозмущенного набегающего потока.
Очевидно, этой начальной характеристике нужно приписать угол 夕 который следует из соотношений (10.70) при v^ = с\, где ci — скорость в набегающем невозмущенном потоке. Таким образом, первой характеристике необходимо приписать угол
(10.75)(10.75)/7 + 1ci
(10.75)
(10.75)
夕1 =、/ j arccos —.
v 7 — 1с*
Откладывая угол 夕i от линии, проведенной под известным (при заданном числе Маха Mi, sin а = 1/ Mi) углом а влево, получим начало отсчета угла 夕.
В свою очередь, угол %i, очевидно, может быть определен по формуле (10.73) при подстановке в нее угла 夕=夕卜
Последнюю характеристику, ограничивающую волну разрежения справа, можно найти, используя следующие соображения.
Пусть поток после прохождения вершины угла поворачивает и движется вдоль стороны угла ОВ. Тогда известен угол поворота потока △х・ Причем из рис. 10.20 следует
△х = Х2 - Xi = 180。- 0,Поскольку известны углы х подставляя в формулу (10.73) х△х = Х2 - Xi = 180。- 0,Поскольку известны углы х подставляя в формулу (10.73) хХ2 = (180。-0) + х1・(Ю.76)
△х = Х2 - Xi = 180。- 0,
Поскольку известны углы х подставляя в формулу (10.73) х
△х = Х2 - Xi = 180。- 0,
Поскольку известны углы х подставляя в формулу (10.73) х
Рис. 10.20. Волна разрежения найдем угол 夕i, и отложим егоРис. 10.20. Волна разрежения найдем угол 夕i, и отложим егои 0, то известен и угол Х2・ Тогда, =Х2, можно определить и угол 夕2, отсчитываемый от вычисленного выше начала отсчета углов и определяющий характеристику, ограничивающую волну разрежения справа.
Рис. 10.20. Волна разрежения найдем угол 夕i, и отложим его
Рис. 10.20. Волна разрежения найдем угол 夕i, и отложим его
На рис. 10.20 построена волна разрежения, образующаяся при обтекании тупого угла. Прежде всего, зная Mi, определим угол а и отложим его от направления АО. Линия ОС является первой характеристикой, ограничивающей волну разрежения слева. По формуле (10.75) от линии ОС влево. Тогда линия OD
определит начало отсчета углов. Подставляя 夕i в (10.73), получим xi・
Зная углы Х1 и 0， по формуле (10.76) найдем угол Х2， а по формуле (10.73) найдем угол 夕2, отсчитываемый от начала отсчета углов (линия ОО).
Линия ОЕ определит характеристику, ограничивающую волну разрежения справа. Из рассмотрения видно, что все термодинамические параметры и скорости изменяются непрерывно только внутри сектора, ограниченного характеристиками ОС и ОЕ. Вне этого сектора все тер
модинамические величины постоянны, постоянны также направление и скорость газа.
Таким образом, если провести линию тока, то она будет параллельна линии АО вплоть до пересечения с первой характеристикой. После первой характеристики линия тока поворачивает в волне разрежения до пересечения со второй характеристикой. После второй характеристики линия тока будет параллельна стороне угла ОВ.
Вообще характер движения газа при обтекании тупого угла сверхзвуковым потоком в существенной мере зависит от противодавления 夕2 (рис. 10.17), т. е. давления, которое встречает поток газа, движущийся вдоль стороны угла АО. При заданном Mi и угле 0, как показано выше, можно рассчитать противодавление (夕2)теор, при котором поток в волне разрежения в точности повернет вдоль стороны ОВ. Для этого необходимо определить начало отсчета углов 夕i по формуле (10.75), найти Х1 по формуле (10.73), вычислить Х2 по формуле (10.76), определить 夕2 по формуле (10.73) и, наконец, по формуле (10.71), зная 夕i и 01, найти (夕2)теор・ Если 夕2 > (〃2)теор, то газ при заданных параметрах набегающего потока и /3 не будет двигаться вдоль стороны угла ОВ. Между стороной ОВ и крайней линией тока образуется застойная зона покоящегося газа (рис. 10.21). В застойной зоне вследствие вязкости реальных газов будут образовываться крупные нерегулярные вихри.
Если уменьшать давление 夕2, то при достижении 夕2 =(夕2)теор поток будет полностью прилегать к стороне угла О В без образования застойной зоны. Если дальше уменьшить давление 夕2 < (夕2)теор, то поток будет продолжать двигаться вдоль стороны угла ОВ. Если при 夕2 =(夕2)теор уменьшить угол 0, то газ снова не будет следовать вдоль О В и снова в газе должен образоваться тангенциальный разрыв скоростей ОС на линии тока, граничащей с неподвижным газом, который будет в действительности (в силу вязкости реальных жидкостей) размываться в зону вихревого турбулентного движения.
Рис. 10.21Рис. 10.21Рис. 10.22Рис. 10.22
Рис. 10.21
Рис. 10.21
Рис. 10.22
Рис. 10.22
Если при уменьшении угла /3 уменьшить и противодавление, то можно добиться давления 夕2, при котором газ снова будет двигаться вдоль О В без образования застойной зоны и т. д.
Очевидно, при 夕2 = 0 угол 0 будет минимален, а угол поворота потока максимальным (для воздуха Ахтах ~ 130°). При этом крайняя линия тока, как указывалось выше, должна граничить с вакуумом, абсолютная температура газа должна быть равна нулю, а компоненты скорости газа равны。屮=0,。「= Отах (рис. 10.22). Если теперь угол 0
еще уменьшить, то газ не будет следовать вдоль стороны угла ОВ и между стороной ОВ и крайней линией тока будет зона вакуума.
Рассмотрим движение, при котором противодавление 夕2 больше, чем давление в набегающем потоке 夕i (夕2 > Pi)- Очевидно, что в этом случае должна образоваться косая ударная волна, исходящая из вершины О обтекаемого угла АОВ. Зная 夕1 , Mi , п 夕2 по формуле (10.64), можно определить угол 夕—угол наклона косой ударной волны к направлению набегающего потока (рис. 10.23). Зная Mi и угол 夕，по ударной поляре можно найти 。2 и %. При этом должен образоваться тангенциальный разрыв скорости ОС, разграничивающий область движущейся жидкости от застойной зоны хаотического турбулентного
Рис. 10.25. «Правильное» отражениеРис. 10.25. «Правильное» отражение
Рис. 10.25. «Правильное» отражение
Рис. 10.25. «Правильное» отражение
При дальнейшем увеличении 夕2 может оказаться, что sin 夕，определяемый по формуле (10.64), окажется больше единицы. Это означает, что в движущемся газе должна образоваться отсоединенная ударная волна (рис. 10.24).
Пересечение ударных волн и волн разрежения
Ударные волны и волны разрежения в движущемся газе могут,
встречаясь, пересекаться или, падая на твердую стенку, ограничивающую движение, отражаться от нее, или, встречая тангенциальный разрыв, испытывать отражение или преломление. Рассмотрим качественно
отражение или пересечение ударных волн и волн разрежения.
Отражение ударной волны от стенки. Пусть на твердую стенку падает косая ударная волна (рис. 10.25).
Представим , что где-то вдали от стенки в сверхзвуковой поток помещен клин, от которого отошла рассматриваемая ударная волна. Для определения движения газа за падающей ударной волной воспользуемся ударной полярой (рис. 10.26).
Выберем на номограмме поляру, соответствующую заданному числу М. Проведем из начала координат прямую под из-
Рис. 10.26Рис. 10.26вестным углом 夕i. Из точки Bi опустим на эту прямую перпендикуляр. Тогда, как известно, пересечение этого перпендикуляра с ударной полярой определит отрезок ОС\, характеризующий скорость за падающей ударной волной, а также угол поворота потока %. Зная Mi и 夕i, по формулам (10.47), (10.56), (10.57) определим М2 — число Маха за падающей косой ударной волной. Очевидно, М2 < Мь Поэтому ударная поляра, соответствующая М2, будет лежать внутри ударной поляры, соответствующей Mi.
Рис. 10.26
Рис. 10.26
стенки. Это значит, чтостенки. Это значит, чтоНа рис. 10.25 можно провести линию тока за падающей ударной волной. Но газ за падающей ударной волной должен двигаться вдоль
стенки. Это значит, что
стенки. Это значит, что
от точки пересечения падающей ударной волны со стенкой (точка О) должна отойти также косая ударная волна, в которой газ должен повернуть на тот же самый угол х，направив поток газа вдоль стенки.
Скорость за отраженной ударной волной может быть найдена, если определена точка С^ — точка пересечения линии ОС\ с ударной полярой, соответствующей М?.
Если теперь из точки В? провести через точку С? линию, а на нее из начала координат опустить перпендикуляр, то линия ОD? определит угол 夕2——У「о厶 отражения падающей ударной волны. Снова, зная М2 и 夕2, можно определить число Маха за отраженной волной. Очевидно, М3 < М2. Поскольку М2VM1, то 夕2〉夕1・ Пользуясь формулами (10.47), (10.56), (10.57), это можно показать и аналитически.
Таким образом, падающая на твердую стенку косая ударная волна отражается от нее также в виде косой ударной волны, причем угол отражения всегда больше угла падения (рис. 10.25). Только очень слабые (звуковые) ударные волны, М2 ~ Mi, будут отражаться от твердой стенки «зеркально» (夕2 ~ 夕 1).
Рис. 10.27. «Неправильное» отражениеРис. 10.27. «Неправильное» отражениеЕсли падающая ударная волна очень интенсивная, то может оказаться, что линия ОС? (рис. 10.26) не пересечет ударную поляру, соответствующую М?. В этом случае отражение будет неправильным (рис. 10.27). Между стенкой и точкой отражения возникает участок прямой ударной волны О\О. Вообще скорость газа, прошедшего через отра
Рис. 10.27. «Неправильное» отражение
Рис. 10.27. «Неправильное» отражение
женную волну, может быть и не равна скорости газа, прошедшего прямую ударную волну. Это значит, что от точки О\ может отойти тангенциальный разрыв (на рис. 10.27 показан штриховой линией), т. е. линия, на которой все термодинамические параметры непрерыв-
ны, нормальные компоненты скорости равны нулю, а тангенциальная к поверхности разрыва скорость газа делает скачок. Ударная волна сильного надземного взрыва будет отражаться неправильно, и вдоль поверхности земли будет двигаться прямая ударная волна.
Пересечение двух ударных волн. Рассмотрим пересечение в газе двух ударных волн. Снова можно представить, что они образовались от двух клиньев, обтекаемых сверхзвуковым потоком газа (рис. 10.28). Если ударные волны одинаковой интенсивности (одинаковые клинья), то линия тока, проходящая через точку пересечения (точку О), не должна претерпевать каких-либо изменений, ее можно рассматривать, как твердую стенку и воспользоваться предыдущим рассмотрением отражения падающей ударной волны от твердой стенки.
Линию О В можно теперь рассматривать или как пересеченную волну 01 или как отраженную волну OII.
Рис. 10.28. Пересечение двух ударных волнРис. 10.28. Пересечение двух ударных волнРис. 10.29. Пересечение двух ударных волнРис. 10.29. Пересечение двух ударных волн
Рис. 10.28. Пересечение двух ударных волн
Рис. 10.28. Пересечение двух ударных волн
Рис. 10.29. Пересечение двух ударных волн
Рис. 10.29. Пересечение двух ударных волн
Рис. 10.30. «Неправильное» пересечение двух ударных волнРис. 10.30. «Неправильное» пересечение двух ударных волнности, чем за жатьсяности, чем за жатьсячто волны большой интенсивности (рис. 10.30), т. е. с образованиемчто волны большой интенсивности (рис. 10.30), т. е. с образованием
Рис. 10.30. «Неправильное» пересечение двух ударных волн
Рис. 10.30. «Неправильное» пересечение двух ударных волн
ности, чем за жаться
ности, чем за жаться
что волны большой интенсивности (рис. 10.30), т. е. с образованием
что волны большой интенсивности (рис. 10.30), т. е. с образованием
Если пересекаются волны различной интенсивности, то скорость газа, прошедшего разные волны, может быть различной, но после пересечения она должна повернуть на один и тот же угол. Поэтому резуль
тат пересечения волн различной интенсивности должен быть таким,
каким он изображен на рис. 10.29.
Следовательно, от точки пересечения (точка О) может отойти тангенциальный разрыв (пунктирная линия), повернутый относительно направления скорости до ударных волн на некоторый угол. Ясно, что если OII — волна большей интенсив-
то скорость за ней будет меньше, волной 01, и поток будет прибли- к более интенсивной волне.
предыдущего рассмотрения ясно, будут пересекаться «неправильно» вилок и участка прямой ударной
волны. Также от точек пересечения могут исходить тангенциальные разрывы (штриховые линии).
Пересечение ударной волны с тангенциальным разрывом. Рассмотрим пересечение ударной волны с тангенциальным разрывом. Пусть имеется тангенциальный разрыв, на котором все
термодинамические параметры непрерывны, нормальные компоненты
Рис. 10.31. Пересечение ударной волны с тангенциальным разрывомРис. 10.31. Пересечение ударной волны с тангенциальным разрывомскорости равны нулю, а тангенциальная компонента скорости делает скачок — линия АО В (рис. 10.31).
Рис. 10.31. Пересечение ударной волны с тангенциальным разрывом
Рис. 10.31. Пересечение ударной волны с тангенциальным разрывом
Определим качественно результат пересечения с тангенциальным разрывом косой ударной волны. Так как газ, прошедший косую ударную волну, должен повернуть на некоторый угол, то и тангенциальный разрыв тоже должен повернуть на тот же угол. Кроме того, поскольку давление за косой ударной волной растет, а на тангенциальном разрыве давление должно остаться равным
давлению до косой ударной волны, то это возможно только в том случае, если от точки пересечения отойдет волна разрежения, в которой
повышенное давление за косой ударной волной упадет до давления перед
ней, а тангенциальный разрыв повернет поток еще на некоторый угол,
соответствующий повороту в волне разрежения.
Рис. 10.32. Пересечение волны разрежения с тангенциальным разрывомРис. 10.32. Пересечение волны разрежения с тангенциальным разрывомТаким образом, приходим к выводу, что ударная волна, падающая на тангенциальный разрыв, отражается от него в виде волны разрежения.
Рис. 10.32. Пересечение волны разрежения с тангенциальным разрывом
Рис. 10.32. Пересечение волны разрежения с тангенциальным разрывом
Аналогичное рассмотрение пересечения волны разрежения с тангенциальным
разрывом приведет нас к заключению, что волна разрежения, падающая на тангенциальный разрыв, отражается от него в виде косой ударной волны (рис. 10.32).
Истечение газа из сужающегося насадка. В заключе
ние качественно рассмотрим истечение газа из сужающегося насадка в неподвижный газ. Выше уже отмечалось, что при достижении на выходе сопла некоторого давления, равного его критическому значению, скорость газа на срезе сопла достигает скорости звука с*. Однако вне сопла давление может оказаться и больше и меньше этого критического значения.
Рассмотрим случай, когда давление вне сопла больше критического давления, и нарисуем качественную картину движения газа вне сопла. Будем полагать для простоты, что сопло плоское. Тогда край сопла можно рассматривать как источник возмущения (рис. 10.33). Газ вне сопла неподвижен, газ, выходящий из сопла, имеет скорость, равную скорости звука на срезе сопла. Тогда от края сопла должен отойти тангенциальный разрыв. Для того чтобы давление в выходящем газе
повысилось от давления р* до давления 夕о > 夕* необходимо, чтобы от края сопла отошла ударная волна. Ударные волны, отошедшие от обеих
кромок сопла, пересекутся покромок сопла, пересекутся поРис. 10.33. Пересечение волны разрежения с тангенциальным разрывомРис. 10.33. Пересечение волны разрежения с тангенциальным разрывомизвестному закону, а затем упадут на
кромок сопла, пересекутся по
кромок сопла, пересекутся по
Рис. 10.33. Пересечение волны разрежения с тангенциальным разрывом
Рис. 10.33. Пересечение волны разрежения с тангенциальным разрывом
волн и волн разрежения будетволн и волн разрежения будеттангенциальный разрыв, от которого они отразятся в виде волн разрежения. В свою очередь волны разрежения после пересечения отразятся от тангенциального разрыва в виде ударных волн и т. д. Газ, проходящий ударные волны, тормозится, давление в нем возрастает, а газ, прошедший волны разрежения, ускоряется и давление в нем падает. Это чередование ударных происходить до тех пор, пока в силу
волн и волн разрежения будет
волн и волн разрежения будет
вязкости и теплопроводности кинетическая энергия движения не диссипирует настолько, что скорость движения газа не станет дозвуковой.
Если давление газа вне сопла 夕о меньше 夕*, то от кромок сопла прежде всего отойдут волны разрежения, которые отразятся от тангенциального разрыва в виде косых ударных волн. Далее вниз по
течению картина повторяется до тех пор, пока скорость газа не станет дозвуковой. При 夕〉夕* вне сопла движение газа будет происходить без образования ударных волн или волн разрежения.
Сопло Лаваля в нерасчетном режиме. Режим движения газа в сопле Лаваля также в существенной мере зависит от противодавления. Рассмотрим качественно, как будет происходить дви
уменьшения противодавления.уменьшения противодавления.Рис. 10.34. Изменение давления газа вдоль сопла в зависимости от противодавленияРис. 10.34. Изменение давления газа вдоль сопла в зависимости от противодавленияжение внутри сопла Лаваля по мере На рис. 10.34 представлен график изменения давления вдоль сопла в зависимости от противодавления.
уменьшения противодавления.
уменьшения противодавления.
Рис. 10.34. Изменение давления газа вдоль сопла в зависимости от противодавления
Рис. 10.34. Изменение давления газа вдоль сопла в зависимости от противодавления
Если 夕0出=夕о, то, очевидно, дви
жение газа внутри сопла отсутствует и давление будет одинаковым в любом сечении сопла (прямая /). По мере уменьшения выходного давления газ начнет двигаться вдоль сопла и распределение давления вдоль сопла представится некоторой кривой 2. Очевидно, минимальное давление всегда будет в самом узком сечении сопла. При дальнейшем
уменьшении 夕。出 в минимальном сечении скорость газа может достигнуть скорости звука в этом критическом сечении, а давление будет равно 夕*. При этом возникает альтернатива. Или дальше, за критическим сечением, газ будет двигаться дозвуковым образом, а давление вниз по потоку будет возрастать от р* до р^ (кривая 3), или газ будет двигаться далее сверхзвуковым образом, а давление будет продолжать
падать до 夕Ц^ (кривая 4). Очевидно, что эта альтернатива разрешается величиной противодавления. Давление p^t можно рассчитать следующим образом. Ранее была получена формула (10.17), связывающая величину поперечного сечения сверхзвуковой части сопла Лаваля с числом Маха q
=〃м)・
Поэтому, зная Smin, можно рассчитать число Маха в любом сечении сверхзвуковой части сопла и, в частности, число Маха в выходном сечении. Далее, воспользовавшись формулой для давления в критической точке (на обтекаемом теле) (10.9), можно вычислить расчетное значение 1 2 v/(i-7)
夕out = Я) (1 + м3) .
Таким образом, если выходное давление будет равно р1^ рассчитанному по приведенной формуле, то газ будет двигаться за критическим сечением (Smin) сверхзвуковым образом. Если давление на выходе из сопла будет меньше расчетного 夕то дальнейшее ускорение потока и падение давления будет происходить вне сопла.
Если же давление на выходе сопла будет больше расчетного 夕(出，то движение газа внутри сопла за критическим сечением не может быть везде сверхзвуковым. В этом случае внутри сопла образуется прямая ударная волна, переводящая в этом сечении давление до ударной волны в давление pOut > Pout- 口° мере увеличения давления от 夕Ц^ до 夕(出 ударная волна проникает все глубже и глубже внутрь сопла (рис. 10.34, кривые 5, 6, 7).
И, наконец, при 夕。出=Pout ударная волна достигает критического сечения и переводит весь поток внутри сопла в дозвуковой.
Обтекание пластинки сверхзвуковым потоком под малым углом атаки. Рассмотрим обтекание плоской пластинки, расположенной к набегающему сверхзвуковому потоку под малым углом атаки а (рис. 10.35).
Рис. 10.35. Сверхзвуковое обтекание пластинки под углом а
Проведем линию тока, оканчивающуюся на передней кромке пластинки (точка А). Тогда движение газа выше этой линий тока, очевидно, можно рассматривать как движение при обтекании тупого угла 0.
10 В.Г. Черняк, П.Е. Суетин
А это значит, что из точки А должна исходить волна разрежения, ограниченная характеристиками I, II. Движение же газа ниже этой линии тока можно рассматривать как движение при обтекании клина, поворачивающего поток на угол % = а.
Контрольные вопросы
Что называют температурой торможения газового потока?
При каком условии скорость истечения газа из сосуда будет максимальной?
Какую скорость движения газа называют критической?
Как изменяются максимальная и критическая скорости при изменении температуры газа?
Как изменяются площадь сечения трубки тока и плотность потока при увеличении скорости газа в случае: а) дозвукового движения газа? б) сверхзвукового движения газа?
Что представляет собой устройство, называемое соплом Лаваля? Каково назначение сопла?
Как будут изменяться давление, плотность и температура газа на срезе сужающегося насадка в случае уменьшения давления на выходе при истечении газа из большого резервуара через этот насадок?
Что характеризует угол Маха? Как его величина зависит от числа Маха?
Что такое поверхность разрыва?
Что называют прямой ударной волной и прямым скачком уплотнения?
Как изменяются скорость, энтропия, давление, плотность и температура в газе, прошедшем прямую ударную волну?
В каком случае ударные волны называют косыми?
Какие величины связывает между собой уравнение ударной поляры, если скорость движения газа и скорость звука до ударной волны заданы?
При каком условии угол поворота потока в косой ударной волне будет максимальным?
При каком условии образуется отсоединенная ударная волна (на примере обтекания клина)?
Как изменяются давление, плотность, температура, скорость звука и скорость движения газа в волне разрежения?
Проанализируйте качественно характер движения газа при обтекании тупого угла сверхзвуковым потоком.
Как соотносятся между собой углы отражения и падения при отражении косой ударной волны от стенки?
Что происходит с ударной волной и волной разрежения после отражения от тангенциального разрыва?
Примеры решения задач
Задача 1
Вычислите скорость звука в воздухе (7 = 1,4) при температуре О ℃, —50 ℃ и +15 ℃. Удельная теплоемкость воздуха при постоянном давлении равна ср = 1,006 • 103 Дж/(кг • К).
Решение. Из второго уравнения в (10.6) имеем
2
h = cpT =, с2 = (7- \)срТ.(10.77)
Расчет по этой формуле дает следующие значения скорости звука: Г = 273К, с = 331,2м/с, Г = 223К , с = 299,4м/с ,
Г = 288К, с = 340,2м/с .
Задача 2
Тело с затупленным носом летит в воздухе (7 = 1,4) со скоростью, равной 1,5 с; 2,0 с; 3,0 с; 5,0 с и 10 с, где с — скорость звука. Перед головной частью тела образуется отсоединенная ударная волна. Давление и температура воздуха равны р = 1 • Ю5 Па, Т = 288 К.
Вычислите давление и температуру торможения невозмущенного потока.
Какие значения имеют давление и температура на оси симметрии непосредственно за головной волной при заданном числе М набегающего потока?
Вычислите давление и температуру в передней критической точке.
Какое давление измеряет трубка Пито, находящаяся в потоке перед головной волной?
Решение. Индексом 1 будем отмечать величины, относящиеся к набегающему (невозмущенному) потоку. По условию задачи число Маха набегающего потока (Mi) может принимать следующие значения:
Mi = 5 = 1,5; 2,0; 3,0; 5,0; 10.с
При таких числах Маха (Mi > 1) перед головной частью движущегося тупого тела всегда возникает отсоединенная ударная волна. Величины, характеризующие движение газа после ударной волны, будем отмечать индексом 2.
Температура торможения Тю и давление торможения 夕ю в случае невозмущенного ударной волной потока газа определяются формулами (10.11) и (10.9) соответственно
71。= Т1 ° * М；) , Р10 = pi (1 + * м2)7/(7-1). (10.78)
На оси симметрии переход через поверхность разрыва можно рассматривать как переход через прямой скачок уплотнения. Тогда скачки давления и температуры описываются формулами (10.46) и (10.38) соответственно
+ 117 + 1 丿’Ti pi 7 - 1 + (02/01)(7 + 1) •
Из уравнения Бернулли следует, что температура торможения не изменяется в ударной волне, т. е. Т20 = Tio (см. уравнение (10.44)).
Давления газа после ударной волны 夕2HB критической точке 夕20 связаны между собой соотношением (10.9)):
Р2о _ Л , 7 - 1Р2о _ Л , 7 - 17/(7-1)7/(7-1)(10.80)(10.80)
Р2о _ Л , 7 - 1
Р2о _ Л , 7 - 1
7/(7-1)
7/(7-1)
(10.80)
(10.80)
Число Маха после ударной волны, М2, выразим через Mi по формуле (10.47)). Тогда получим
(7-О/7「
理=1±1 М； .(10.81)
Подставляя сюда отношение давлений из формулы (10.46), получаем для давления торможения следующее выражение:
+ 1 020 = Р1+ 1 020 = Р17 - 1 )7+1丿7 - 1 )7+1丿-1/(7-1)-1/(7-1)(10.82)(10.82)
+ 1 020 = Р1
+ 1 020 = Р1
7 - 1 )
7+1丿
7 - 1 )
7+1丿
-1/(7-1)
-1/(7-1)
(10.82)
(10.82)
Перед носиком трубки Пито также возникает отсоединенная ударная волна. Трубка измеряет давление 夕2 за ударной волной.
Результаты расчета искомых величин по формулам (10.78), (10.79) и (10.82) при различных значениях Mi представлены в таблице.
Ml
Т10, к
Рю, Ю5, Па
Р2, Ю5, Па
”，к
020, 1。％ Па
1,5
418
3,67
2,46
380
3,41
2,0
518
7,83
4,50
486
5,64
3,0
806
36,7
10,3
772
12,1
5,0
1728
529
29,0
1670
32,7
10,0
6048
42439
117
5872
129
Задача 3
Самолет летит на высоте 1000 м, где температура воздуха 8,5 ℃, и на высоте 10000 м, где температура воздуха —50,0 ℃, со скоростью 1000 км/ч. Чему равна температура в критической точке на носу самолета? На сколько повысится эта температура при скорости самолета 2000 км/ч? Молярная масса и показатель адиабаты воздуха имеют соответственно следующие значения:从=0,029 кг/моль, 7 = 1,4.
Решение. Поскольку температуры на разных высотах различны, то различны и скорости звука. Поэтому при фиксированной скорости полета самолета числа Маха на разных высотах будут разными.
Скорость звука при разных температурах вычислим по формуле
(10.2):
(10.83)
Число Маха набегающего потока определится отношением М = и/с. Чем ниже температура, тем меньше скорость звука и при и = const больше число М. Напомним, что от давления газа скорость звука не зависит.
Температуру торможения То на носу самолета вычислим по формуле (ЮН)：/
То = Г И +.(10.84)
Результаты расчета приведены в таблице.
h, км
Г, к
1000, км/ч
2000, км/ч
М
То, К
М
То, К
1
281,5
0,8259
319,9
1,652
435,2
10
223,0
0,9279
261,4
1,856
376,6
Заметим, что при скорости 1000 км/ч движение самолета было дозвуковым, а при скорости 2000 км/ч — стало сверхзвуковым. Образование ударной волны не влияет на температуру торможения (см. задачу 2), поэтому в обоих случаях используется одна и та же формула (10.84).
Задача 4
Параметры газа до ударной волны 夕i, 0i,。匕 Ti и после ударной волны 夕2, 02,。2, 丁2 заданы. Определите скорость распространения ударной волны и.
Решение. В системе координат, движущейся со скоростью и, ударная волна неподвижна и является как бы прямым скачком. Скорости газа до и после скачка относительно этой системы координат соответственно равны v\ — и и V2 — и. Тогда на ударной волне в соответствии с (10.31) можно записать следующие условия:
01 (g - 〃)=他(。2 - 〃)，
加 + (。1 — ")2/2 =拉2 + (。2 — ")2/2 ,(10.85)
能(02 - ")(02 -01)=一 02 •
Считая газ идеальным и используя соответствующее выражение для энтальпии, запишем второе уравнение из (10.85) в следующем виде:
7 01 +(О] - 〃)2 = 7 02 +(02 - 〃)2
7 — 1 pi27 — 1 p22
Исключая скорости, получим адиабату Гюгонио:
驾=(厂 1)(10.87)
01— 1)Р2/Р1
Третье уравнение (10.85) с учетом первого уравнения и выражения для скорости звука с?=)夕/° преобразуем к следующему виду:
5 = , с'、-•(10.88)
— и) 7(。2 — и)
Уравнение (10.86) запишем так:
邑•(10.89)
Исключая из двух последних уравнений cf, получим
® - U2)2 - ^Ц^ (。1 -。2)(〃 - V2)- С2 = 0 .(10.90)
Отсюда для скорости распространения ударной волны имеем
Перед корнем взят только знак плюс, так как скорость ударной волны должна быть положительной. Из полученного выражения видно, что скорость распространения ударной волны больше скорости звука, и >。2・ При малых скоростях газа и —> С2, т. е. при малых возмущениях, ударная волна переходит в звуковую волну.
Задача 5
В закрытом с одного конца цилиндре находится газ. С другого конца цилиндра начинает двигаться поршень со скоростью U, сжимая газ (рис. 10.36). В момент начала движения впереди поршня через покоящийся газ с параметрами 夕2, 02,。2 = ° перемещается ударная волна со скоростью и (рис. 10.36а). Скорость газа в области между поршнем и ударной волной можно считать равной скорости поршня, т. е. ui = U.
оо66
о
о
6
6
Рис. 10.36. Ударная волна в цилиндре при движении поршня
Определите параметры газа до ударной волны 夕i, pi, скорость прямой ударной волны и, скорость отраженной ударной волны 〃з и давление газа на стенку от падающей ударной волны 夕з (рис. 10.36б).
Решение. Из первого и третьего уравнений (10.85) и (10.91) получим следующие выражения для 夕i, pi, 〃：
Pl =〃2 + O2〃U, Pl =Pl =〃2 + O2〃U, Pl =02〃и -и， ]1/2+ с202〃и -и， ]1/2+ с2(10.92)(10.92)Дойдя до стенки, прямая волна отразится от нее и по среде с параметрами 夕1, 01, ui будет распространяться отраженная ударная волна со скоростью 〃з в направлении, противоположном направлению скорости 。1 движущегося газа (рис. 10.36 б). Между стенкой и отраженной ударной волной газ будет заторможен. Параметры газа в этой области обозначим через 夕з, рз, из. Заменяя в уравнениях (10.85) и (10.91) 夕1, 01, и] соответственно на 夕з, рз, из = 0, а 夕2, 02, ^2 — на pi, pi, —и] и и на 〃з, получим для определения 夕з, рз, 〃з следующие уравнения:Дойдя до стенки, прямая волна отразится от нее и по среде с параметрами 夕1, 01, ui будет распространяться отраженная ударная волна со скоростью 〃з в направлении, противоположном направлению скорости 。1 движущегося газа (рис. 10.36 б). Между стенкой и отраженной ударной волной газ будет заторможен. Параметры газа в этой области обозначим через 夕з, рз, из. Заменяя в уравнениях (10.85) и (10.91) 夕1, 01, и] соответственно на 夕з, рз, из = 0, а 夕2, 02, ^2 — на pi, pi, —и] и и на 〃з, получим для определения 夕з, рз, 〃з следующие уравнения:01 (g + 〃3)g =(夕з -夕1) , p3U3 = 01 (〃з + g),01 (g + 〃3)g =(夕з -夕1) , p3U3 = 01 (〃з + g),(10.93)(10.93)Из выражения (10.87) для отраженной волны имеемPi =()十 1)01/0з + ()— 1)Рз (7 + 1) +(7 — 1)01/@з •Из выражения (10.87) для отраженной волны имеемPi =()十 1)01/0з + ()— 1)Рз (7 + 1) +(7 — 1)01/@з •(10.94)(10.94)С другой стороны, из первых двух уравнений (10.93) получимС другой стороны, из первых двух уравнений (10.93) получим2祖=1 —.(10.95)Рз 0з - 01Из уравнений (10.85) при °2 = 0 имеем2力=1 + -^-.(10.96)0201 - 02Подставив в последнее уравнение значение 〃/能 из адиабаты Гю- гонио в форме (10.87), получим2祖=1 —.(10.95)Рз 0з - 01Из уравнений (10.85) при °2 = 0 имеем2力=1 + -^-.(10.96)0201 - 02Подставив в последнее уравнение значение 〃/能 из адиабаты Гю- гонио в форме (10.87), получим01 而 _2(1 — 02/%)01 — 02(7 + 1)02加1 +(7 — 1) •Отсюда уравнение (10.95) запишется в следующем виде:01 而 _2(1 — 02/%)01 — 02(7 + 1)02加1 +(7 — 1) •Отсюда уравнение (10.95) запишется в следующем виде:(10.97)(10.97)а = I — б — 022(i — 02/%)Рз 0з — 01(7 + 1)02/01 +(7 — 1) •а = I — б — 022(i — 02/%)Рз 0з — 01(7 + 1)02/01 +(7 — 1) •(10.98)(10.98)С учетом выражения (10.94), получим квадратное уравнение для определения отношения 夕з/夕i：С учетом выражения (10.94), получим квадратное уравнение для определения отношения 夕з/夕i：H2 ££ / 7 + 1 + P£02 卜7 — 102H2 ££ / 7 + 1 + P£02 卜7 — 1022 / I2 / I
Pl =〃2 + O2〃U, Pl =
Pl =〃2 + O2〃U, Pl =
02〃
и -и， ]1/2
+ с2
02〃
и -и， ]1/2
+ с2
(10.92)
(10.92)
Дойдя до стенки, прямая волна отразится от нее и по среде с параметрами 夕1, 01, ui будет распространяться отраженная ударная волна со скоростью 〃з в направлении, противоположном направлению скорости 。1 движущегося газа (рис. 10.36 б). Между стенкой и отраженной ударной волной газ будет заторможен. Параметры газа в этой области обозначим через 夕з, рз, из. Заменяя в уравнениях (10.85) и (10.91) 夕1, 01, и] соответственно на 夕з, рз, из = 0, а 夕2, 02, ^2 — на pi, pi, —и] и и на 〃з, получим для определения 夕з, рз, 〃з следующие уравнения:
Дойдя до стенки, прямая волна отразится от нее и по среде с параметрами 夕1, 01, ui будет распространяться отраженная ударная волна со скоростью 〃з в направлении, противоположном направлению скорости 。1 движущегося газа (рис. 10.36 б). Между стенкой и отраженной ударной волной газ будет заторможен. Параметры газа в этой области обозначим через 夕з, рз, из. Заменяя в уравнениях (10.85) и (10.91) 夕1, 01, и] соответственно на 夕з, рз, из = 0, а 夕2, 02, ^2 — на pi, pi, —и] и и на 〃з, получим для определения 夕з, рз, 〃з следующие уравнения:
01 (g + 〃3)g =(夕з -夕1) , p3U3 = 01 (〃з + g),
01 (g + 〃3)g =(夕з -夕1) , p3U3 = 01 (〃з + g),
(10.93)
(10.93)
Из выражения (10.87) для отраженной волны имеем
Pi =()十 1)01/0з + ()— 1)
Рз (7 + 1) +(7 — 1)01/@з •
Из выражения (10.87) для отраженной волны имеем
Pi =()十 1)01/0з + ()— 1)
Рз (7 + 1) +(7 — 1)01/@з •
(10.94)
(10.94)
С другой стороны, из первых двух уравнений (10.93) получим
С другой стороны, из первых двух уравнений (10.93) получим
2
祖=1 —.(10.95)
Рз 0з - 01
Из уравнений (10.85) при °2 = 0 имеем
2
力=1 + -^-.(10.96)
0201 - 02
Подставив в последнее уравнение значение 〃/能 из адиабаты Гю- гонио в форме (10.87), получим
2
祖=1 —.(10.95)
Рз 0з - 01
Из уравнений (10.85) при °2 = 0 имеем
2
力=1 + -^-.(10.96)
0201 - 02
Подставив в последнее уравнение значение 〃/能 из адиабаты Гю- гонио в форме (10.87), получим
01 而 _2(1 — 02/%)
01 — 02(7 + 1)02加1 +(7 — 1) •
Отсюда уравнение (10.95) запишется в следующем виде:
01 而 _2(1 — 02/%)
01 — 02(7 + 1)02加1 +(7 — 1) •
Отсюда уравнение (10.95) запишется в следующем виде:
(10.97)
(10.97)
а = I — б — 022(i — 02/%)
Рз 0з — 01(7 + 1)02/01 +(7 — 1) •
а = I — б — 022(i — 02/%)
Рз 0з — 01(7 + 1)02/01 +(7 — 1) •
(10.98)
(10.98)
С учетом выражения (10.94), получим квадратное уравнение для определения отношения 夕з/夕i：
С учетом выражения (10.94), получим квадратное уравнение для определения отношения 夕з/夕i：
H2 ££ / 7 + 1 + P£
02 卜7 — 102
H2 ££ / 7 + 1 + P£
02 卜7 — 102
2 / I
2 / I
Решение этого уравнения имеет вид
01/02 — 101/02 — 17 + 1 Р1/Р2 +(7 + 1)/(7 - 1)7 + 1 Р1/Р2 +(7 + 1)/(7 - 1)(10.100)(10.100)
01/02 — 1
01/02 — 1
7 + 1 Р1/Р2 +(7 + 1)/(7 - 1)
7 + 1 Р1/Р2 +(7 + 1)/(7 - 1)
(10.100)
(10.100)
Из полученного выражения следует, что в случае слабой ударной волны, т. е. при 8 = (pi —夕2)/夕2《 1, в линейном приближении по малому параметру е имеем
Таким образом, давление газа у стенки в два раза больше давления на фронте падающей волны.
В случае сильной ударной волны, т. е. при р\/р2》1
(10.102)(10.102)竺 ^ ] + 亠= 3)—1
(10.102)
(10.102)
027—17—1
Для воздуха (7 = 1,4) давление у стенки в 8 раз превышает давление газа на фронте падающей волны.
ГЛАВА И
МАГНИТНАЯ ГИДРОДИНАМИКА
Введение
За последние десятилетия получил большое развитие раздел механики сплошных сред, называемый магнитной гидродинамикой. Предметом магнитной гидродинамики является изучение движения электропроводящей жидкости и газов в присутствии магнитного поля. Основы этого раздела механики были заложены в 1940-х годах шведским физиком X. Альвеном. В дальнейшем мощным стимулом к развитию магнитной гидродинамики послужила, с одной стороны, практическая потребность создания электромагнитных насосов для атомной промышленности и магнитогидродинамических генераторов для энергетики, плазменных двигателей для ракет, с другой стороны, интенсивное развитие термоядерных исследований и астрофизики.
Электропроводящими являются ионизированные газы, жидкие металлы, жидкие электролиты, различные суспензии и так далее. Во всех случаях, как правило, будем использовать единый термин — жидкость. Как и ранее, принимаем гипотезу сплошности. При этом считаем, что не только масса непрерывно распределена по объему жидкости, но также и электрический заряд.
Если проводящая жидкость движется в магнитном поле, то в ней индуцируются электрические токи, которые в свою очередь создают магнитные поля. Взаимодействие последних с основным (внешним) полем оказывает существенное влияние на движение самой жидкости. Действительно, на электропроводящую жидкость в электрическом и магнитном полях действует объемная сила. Эта, так называемая, пон- деромоторная сила может оказывать существенное влияние на динамику жидкости и должна быть учтена в уравнении движения. Кроме того, возникающие в жидкости токи приводят к выделению джоулева тепла, что должно быть учтено в уравнении сохранения внутренней энергии. Таким образом, полное описание сложной картины движения и взаимодействия проводящей жидкости с магнитным полем должно основываться на совместном рассмотрении механических и электродинамических уравнений (уравнений Максвелла).
Трудность понимания процессов, происходящих в проводящей жидкости, движущейся в магнитном поле, заключается в том, что здесь
нарушаются причинные связи, известные нам из лабораторной практики. В обычной лабораторной практике причинная связь явлений заключается в том, что некоторая электродвижущая сила определяет электрический ток, ток создает магнитное поле, которое воздействует на рассматриваемое тело. В магнитной гидродинамике причинная связь чаще следующая. Движущаяся жидкость изменяет внешнее магнитное поле. Изменение магнитного поля, согласно уравнениям Максвелла, вызывает электрическое поле, определяющее ток, который, в свою очередь, создает магнитное поле, влияющее на движение жидкости через взаимодействие с внешним магнитным полем.
Уравнения Максвелла
Электромагнитное поле в вакууме характеризуется напряженностью электрического поля Е и индукцией магнитного поля В. Эти векторные величины определяют силы, действующие со стороны поля на электрические заряды и токи. Распределение зарядов и токов в пространстве задается объемной плотностью заряда ре (величина электрического заряда в единице объема) и плотностью электрического тока j. Для характеристики электромагнитного поля в материальной среде дополнительно вводятся вектор электрической индукции D и вектор напряженности магнитного поля Н, которые учитывают электрические и магнитные свойства среды.
Уравнения макроскопической электродинамики, определяющие значения векторов Е, В, D, Н в любой точке пространства в любой момент времени в зависимости от распределения заряда ре и тока j в среде были сформулированы Дж. Максвеллом в результате обобщения эмпирических законов электромагнетизма. Максвелл выдвинул гипотезу о том, что магнитное поле может возникать не только в результате движения электрических зарядов, но также порождается переменным электрическим полем. Величину, пропорциональную скорости изменения электрической индукции, Максвелл назвал током смещения. Полный ток определяется суммой токов проводимости и смещения.
Макроскопические уравнения электродинамики, называемые обычно уравнениями Максвелла, для изотропных сред относительно неподвижной системы координат записываются в следующем виде 9
AD 147r. 1 ав c ot c c ot
divB = 0, divD = 47Г0е, ⑴」)
j = crrE , D = еЕ , В = //Н .
Уравнения (11.1) записаны в гауссовой системе единиц, которая обычно принята в электродинамике. В приложении приведена таблица, устанавливающая связь основных электродинамических величин в системах единиц Гаусса и СИ.
Здесь ей// — диэлектрическая и магнитная проницаемости среды соответственно, аг — удельная электропроводимость среды, с — скорость света.
Первое уравнение в системе (11.1) является обобщением на переменные поля закона Био-Савара-Лапласа о возбуждение магнитного поля электрическим током. В правой части этого уравнения первое слагаемое связано с током смещения, а второе — с током проводимости. Второе уравнение выражает закон электромагнитной индукции Фарадея. Третье уравнение утверждает отсутствие магнитных зарядов, аналогичных электрическим, что вытекает из замкнутости магнитных силовых линий. Следующее уравнение выражает тот факт, что источниками электрического поля являются электрические заряды (обобщение теоремы Гаусса на переменные поля). Пятое уравнение представляет собой закон Ома. И последние два уравнения, устанавливающие связь между векторами напряженности и индукции полей, учитывают электромагнитные свойства среды и называются материальными уравнениями изотропной среды.
Если среда движется со скоростью v, то напряженность электрического поля относительно движущейся системы координат равна
Е，= Е + ： [v, Н].
В этом случае закон Ома записывается в виде
j = %(E+； [v,H]) .(Н.2)
Модель среды
Магнитная гидродинамика обычно рассматривает лишь такие среды, для которых с большой точностью можно положить
81 , 从 1 .
Несмотря на это ограничение, набор сред магнитной гидродинамики, имеющих практический интерес, достаточно велик. Это проводящие жидкости, расплавленные металлы, ионизированные газы, плазма.
В магнитной гидродинамике обычно рассматриваются лишь изотропные среды. Если для е п 从 это ограничение достаточно определенно, то требование изотропности проводимости аг необходимо рассмотреть более подробно на микроскопическом уровне. В магнитном поле электрические заряды, обусловливающие ток проводимости, движутся по сложным винтовым траекториям. Так, частица, имеющая заряд е и массу т, влетая в однородное магнитное поле напряженностью Н, перпендикулярное скорости частицы, будет вращаться вокруг силовой линии с угловой частотой Лармора з = еН/тс. В то же время заряженная частица, движущаяся вдоль силовой линии магнитного поля, не испытывает со стороны этого поля никакого влияния. Поэтому
проводимость среды в магнитном поле может быть существенно анизотропной. Проводимость вдоль магнитного поля будет значительно больше, чем поперек.
Сравним период ларморовой прецессии — ^л и среднее время свободного пробега молекул в газе — tM. Очевидно,
力л =力л =тстсОтОт
力л =
力л =
тс
тс
От
От
Здесь От — средняя тепловая скорость частиц, / — средняя длина свободного пробега. Нетрудно понять, что проводимость газа можно считать изотропной, если выполняется следующее условие:
力М(n-3)
В этом случае частые столкновения частиц не позволяют им описывать замкнутые траектории в поперечном магнитном поле. Траектории на малой длине свободного пробега будут почти прямолинейными, а на макроскопическом масштабе они будут определяться столкновениями, а не действием магнитного поля. Следовательно, проводимость будет изотропной, не зависящей от направления магнитного поля. Заметим, что электропроводимость капельных жидкостей с высокой точностью можно считать изотропной.
(И-4)(И-4)В задачах магнитной гидродинамики обычно пренебрегают токами смещения по сравнению с токами проводимости, т. е. предполагается, что выполняется неравенство
(И-4)
(И-4)
Так, если среда находится в периодическом электрическом поле Е = Eq sin то отношение амплитуд тока смещения и тока проводимости будет равно
D = еЕ , j = агЕ ,D = еЕ , j = агЕ ,1 dD _ &£ j dt j1 dD _ &£ j dt j
D = еЕ , j = агЕ ,
D = еЕ , j = агЕ ,
1 dD _ &£ j dt j
1 dD _ &£ j dt j
Поэтому для того чтобы пренебречь токами смещения по сравнению с токами проводимости, необходимо выполнение следующего неравен
ства:ства:器《1.器《1.(11.5)(11.5)
ства:
ства:
器《1.
器《1.
(11.5)
(11.5)
Неравенство (11.5) означает, что при заданной проводимости магнитная гидродинамика не рассматривает слишком быстропеременных электромагнитных процессов, при которых ток смещения играл бы существенную или определяющую роль (электромагнитные волны). Например, проводимость меди равна 5 • 1017 ед. СГСЭ, проводимость солнечной короны 1 • 1015, проводимость земной ионосферы 1 • 1010 ед. СГСЭ. Из формулы (11.5) следует, что ограничение по скорости изменения электродинамических и механических величин в магнитной гидродина-
мике не слишком сильное. Поскольку рассматриваются сравнительно медленные движения сплошной среды, включая и ударные волны, то и вызываемые ими скорости изменения электрических и магнитных величин практически всегда удовлетворяют неравенству (11.5).
g力，…工)divH = 0,g力，…工)divH = 0,с dtс dt(П-6)(П-6)Физически пренебрежение токами смещения означает, что между изменениями напряженностей электрического и магнитного полей нет запаздывания. Значения Н в некоторый момент времени определяются значениями Е в тот же момент времени. Таким образом, уравнения Максвелла в магнитной гидродинамике имеют вид
g力，…工)divH = 0,
g力，…工)divH = 0,
с dt
с dt
(П-6)
(П-6)
divE = 47T0e, j =。「 [e+| [v,H]].
Уравнения движения проводящей жидкости в электромагнитном поле
Уравнение движения сплошной проводящей среды может быть за-
В уравнении (11.7) вектор f представляет результирующую плотность массовых сил. Составляющими этого вектора являются электрическая ^е и магнитная силы, действующие на единицу массы жидкости, а также массовая сила не электромагнитной природы 后(например, сила тяжести). Таким образом, имеем
Л = fEi ++ Лг •Л = fEi ++ Лг •(11.8)(11.8)
Л = fEi ++ Лг •
Л = fEi ++ Лг •
(11.8)
(11.8)
Электромагнитные массовые силы. Сила, действующая на единицу объема проводящей жидкости с объемной плотностью электрического заряда ре со стороны электрического и магнитного полей, очевидно, равна
F = РеЕ + I [j,H]. (Н.9)
В выражении (11.9) первое слагаемое представляет кулоновскую силу, действующую на единицу объема жидкости в электрическом поле. Второе слагаемое представляет силу Ампера, действующую на единицу объема проводящей жидкости, по которой протекает электрический ток плотностью j.
需 3 + ；[j,H].需 3 + ；[j,H].(11.10)(11.10)Если ро — импульс единицы объема жидкости, то уравнение движения при отсутствии массовых сил не электромагнитной природы запишется в виде
需 3 + ；[j,H].
需 3 + ；[j,H].
(11.10)
(11.10)
11Выражая j и ре из системы уравнений (11.1), при е = 1,从=
1
1
имеемимеем^ = 士（e divE_開,用+卜。旧,印）.^ = 士（e divE_開,用+卜。旧,印）.
имеем
имеем
^ = 士（e divE_開,用+卜。旧,印）.
^ = 士（e divE_開,用+卜。旧,印）.
Для симметризации этого уравнения добавим к его правой части равное нулю выражение
М [gtE+^ 翼),Е] +±HdivH.
Равенство нулю этого выражения следует непосредственно из уравнений Максвелла (11.1). В результате получим
^(р° + ±[Е,Н])=
=(Е div Е - [Е , rot Е] + Н div Н - [Н , rot Н]) . (11.11)
Второе слагаемое в круглых скобках левой части уравнения (11.11)
= 士 КН].(11.12)
представляет собой импульс единицы объема (плотность импульса) электромагнитного поля. Левая часть уравнения (11.11) описывает скорость изменения полного импульса единицы объема среды, состоящей из жидкости и поля. Очевидно, правая часть уравнения (11.11) представляет векторную сумму плотности объемных электрических 0f石 п магнитных р^н сил. Таким образом, имеем
生= J(E divE- [E,rotE]),
(11.13)
fH = -1- (Н divH- [H,rotH]).
Полученные силы должны быть учтены в уравнении движения проводящей среды (11.7), находящейся в электромагнитном поле.
Если на жидкость действует только электрическое поле (Н = =0, rot Е = 0), то плотность массовой электрической силы равна
生=丄 ОеЕ.(11.14)
Тензоры электрических и магнитных напряжений. Из векторного анализа известно, что для любой функции А справедливо следующее равенство:
[А, rot А] = j VA2 - (AV) А.
Тогда выражения (11.13) в проекции на г-ю координатную ось запишутся в виде
*設｛EiEk - i⑸
(11.16)(И-17)(11.16)(И-17)С другой стороны, плотности массовых сил связаны с напряжениями в среде известными соотношениями (см. (3.13)):
(11.16)
(И-17)
(11.16)
(И-17)
Из сравнения выражений (11.15) и (11.16) получаем 0浆=± (后必k - }炉帆), 或=± (死％ - } H2Sik^ .
Тензоры 噱 и 噓 называют максвелловскими тензорами напряжений электрического и магнитного полей соответственно. Они характеризуют силы, действующие со стороны электрического и магнитного полей в направлении оси г на единичную площадку, перпендикулярную оси к. Если в среде мысленно выделить единичный элемент объема в виде кубика, грани которого перпендикулярны координатным осям, то диагональные элементы тензоров о孫 и аЦ определяют силы, действующие по нормали к граням. Величина рм, определяемая как среднее арифметическое диагональных элементов максвелловского тензора напряжений магнитного поля, называется магнитным давлением = ；”(11.18)
JО7Г
Знак минус в правой части выражения (11.18) констатирует, что магнитное давление направлено во вне выделенного единичного объема. Обычно интересует модуль давления и знак минус не пишут.
Недиагональные элементы тензора напряжений представляют касательные силы, действующие на гранях рассматриваемого единичного объема. Пусть постоянное магнитное поле направлено вдоль оси /3. В этом случае недиагональные элементы тензора напряжений о% равны нулю, а для диагональных имеем
"1 =。， ％ =。，Н3 = Н、 (Тц = 0*22 = — 4 "2，^33 = 4•
О7ГО7Г
Представим, что элементарные кубики проводящей жидкости нанизаны на соседние магнитные силовые линии. Тогда взаимодействие магнитного поля с веществом можно, согласно Максвеллу, представить в виде отталкивания друг от друга магнитных силовых линий с силой 夕м = Я2/8тг и их натяжения с силой 2PM = Я2/4тг. Таким образом, если пользоваться наглядным представлением об отталкивании магнитных силовых линий и их натяжении, то можно сказать, что магнитные силовые линии всегда стремятся выпрямиться или сжаться (если они замкнутые) вследствие их натяжения, а их распределение в веществе стремится стать однородным вследствие их взаимного отталкивания.
Уравнение движения. Уравнение движения проводящей жидкости при наличии внешнего электромагнитного поля формально будет иметь вид (11.7), если под fi понимать плотность массовых сил
не электромагнитной природы, а тензор напряжений представить в виде Pik = —P^ik + ^ik +。桌 +。浆，(1 1.19)
где 3注—тензор вязких напряжений.
Нетрудно показать, что в хорошо проводящей жидкости не может быть значительных по величине сторонних зарядов, если заряды разных знаков не разделяются какими-либо внешними постоянными факторами (градиент давления, градиент концентрации вещества). Электрические микроскопические поля, возникающие при разделении зарядов, столь велики, что немедленно приводят к их возвращению в положение, обеспечивающее нейтральность малого элемента объема проводящей жидкости.
Действительно, возьмем дивергенцию от первого уравнения из системы (11.1) (при £ = 1 , // = 1). Тогда с учетом четвертого уравнения из (11.1) получим
醬=-divj.(11.20)
Уравнение (11.20) представляет собой уравнение непрерывности для сторонних зарядов. В неподвижной среде, используя четвертое и пятое уравнения из (11.1), а также уравнение (11.20), имеем
需47Г“е・(И.21)
Из последнего уравнения следует
Ре = РеО ехр(-47Гcrrt) •
Очевидно, что даже для ионосферы Земли плотность сторонних зарядов исчезает за времена порядка 10-10 с. Как указывалось выше, магнитная гидродинамика не рассматривает столь быстропеременные процессы. Если пренебречь токами смещения, то аналогичное рассмотрение первого и пятого уравнений (11.1) приводит непосредственно к выводу 0е = °, а следовательно, divE = 0.
Было бы неправильно полагать, что если ре = 0, то и Е = 0. В движущейся в магнитном поле проводящей жидкости напряженность электрического поля возникает не вследствие объемных зарядов, а вследствие закона электромагнитной индукции, представленного вторым уравнением системы (11.6).
Вследствие медленного изменения магнитного поля член [Е, rot Е] в выражении (11.13) для 糧 мал и им можно пренебречь. Таким образом, в магнитной гидродинамике предполагается, что электрические массовые силы отсутствуют.
Вообще говоря, в выражении тока проводимости в проводящей среде, движущейся со скоростью v, в формулу для J (см. (11.6)) необходимо было бы добавить член pev — конвективный перенос заряда самой движущейся жидкостью. Этот член в выражении (11.6) опущен также из-за отсутствия в проводящей жидкости сколько-нибудь значительных объемных зарядов.
Таким образом, уравнение движения проводящей жидкости при наличии внешнего магнитного поля будет представлять собой уравнение Навье-Стокса, которое в качестве аддитивной добавки включает магнитную силу:
質 + (vV)v = -- Vp + г/Av + 丄grad div v
-[H, rot H] + f. (11.22)
В этом уравнении f — плотность массовых сил не электрической природы.
Уравнение сохранения внутренней энергии. Из уравнения сохранения внутренней энергии для непроводящей жидкости следует, что внутренняя энергия единицы объема жидкости изменяется вследствие притока тепла извне в этот единичный объем, а также вследствие его сжатия и диссипации в нем механической энергии из-за вязкости жидкости.
В проводящей жидкости при наличии магнитного поля появляется еще один источник изменения внутренней энергии единицы объема жидкости — выделение джоулева тепла. По закону Джоуля-Ленца в единице объема проводящей жидкости, в которой протекает электрический ток плотностью j, за единицу времени выделяется количество тепла, равное j^/(уг- С учетом первого уравнения из системы (11.6) объемная плотность выделившегося джоулева тепла равна
Qd =(rotH)2.(11.23)
167r ar
Уравнение сохранения внутренней энергии проводящей жидкости во внешнем магнитном поле запишется в виде
О Т = — div q + 4k 貉 + (rot H)2 ,(11.24)
或少力к16тг crr
где Pik — тензор напряжений при отсутствии электромагнитного поля.
Замкнутая система уравнений движения. Запишем замкнутую систему уравнений движения проводящей жидкости в магнитном поле. Очевидно, уравнение непрерывности как уравнение сохранения массы не изменяет свой вид. Тогда имеем
察 + (vV)v = -- Vp + г/Av + 丄grad div v -
ULp/О \ О /
--^[H,rotH]+f,
+ div pv = 0 ,
。需=一杀 q +/ (rot НУ，(И.25)
r°tH=?j=^(E+；[v,H]),
厶匸 1 ан
rot E =———.
c dt
Система (11.25) содержит 11 скалярных уравнений для нахождения 16 неизвестных — v, Е, Н, q, р, р, Т, sBH. Вместе с калорическим и термическим уравнениями состояния
£вн = £вн(〃 Т) ,Р =夕(〃 Т)
и уравнением теплопроводности фурье
q= -AVT
система (11.25) полностью определяет механические, электромагнитные и термодинамические характеристики проводящей жидкости, движущейся в магнитном поле. Эта система включает четыре феноменологических коэффициента (ту, § — коэффициенты сдвиговой и объемной вязкости, А — коэффициент теплопроводности и сгг — проводимость жидкости), которые считаются известными. Решения системы должны удовлетворять двум дополнительным условиям
divE = 0, divH = 0.(11.26)
Из четвертого и пятого уравнений системы (11.25) можно исключить напряженность электрического поля Е. Для этого возьмем операцию rot от обеих частей четвертого уравнения
rot rot Н =犯Sl (rot E + - rot[v , H]).
Используя известное векторное равенство
rot rot = grad div — △,
с учетом пятого уравнения из (11.25) и второго уравнения из (11.26) получим
^ = rot[v,H] +А АН.(11.27)
(У t4тг О" г
Если не интересоваться напряженностью электрического поля, то тогда полная система уравнений будет состоять из первых трех уравнений системы (11.25) и уравнения (11.27). В этом случае будем иметь лишь 13 уравнений с 13 неизвестными. Если из этой системы найдена напряженность магнитного поля как функция координат и времени, то напряженность электрического поля при необходимости может быть найдена из пятого уравнения системы (11.25).
Для несжимаемой жидкости уравнения системы (11.25) упрощаются. В частности уравнение движения принимает вид
窑 +(vV)v = Т ▽ & + 争十必V + * (HV)H + f • (11.28)
Здесь использовано векторное равенство
[H,rotН] = j VH2 - (HV)H.
Граничные условия. Запишем наиболее характерные граничные условия к уравнениям магнитной гидродинамики (11.25).
На неподвижной твердой поверхности выполняются условия «прилипания», т. е. скорость движения жидкости на поверхности равна нулю
v = 0.(11.29)
Если система координат выбрана так, что тело движется в жидкости со скоростью и, то в каждой точке поверхности тела должно выполняться условие
V = U .
Пусть п и t — нормальный и касательный единичные векторы в некоторой точке поверхности жидкости. Тогда на границе раздела двух несмешивающихся проводящих жидкостей для проекций векторов напряженностей электрического и магнитного полей имеем
Е"=瓦/ Я1П = Я2п , H\t - н2t = Qu •(11.30)
В последнем выражении Jo — плотность поверхностного тока на границе жидкостей.
Плотности потоков импульса и энергии. Напомним, что тензор плотности потока импульса 口注 определяет поток г-компоненты импульса через единичную площадку, перпендикулярную оси к. Обобщение полученного ранее выражения для непроводящей среды на случай проводящей жидкости в магнитном поле очевидно: к полученному ранее выражению следует добавить тензор магнитных напряжений
口注=P^i^k — (Pik + %k) = P^i^k 十 P&ik — ^ik —
炉帆)(U.31)
Здесь Gik — тензор вязких напряжений; тензор электрических напряжений опущен, поскольку, как указывалось выше, в проводящей жидкости не может быть сколько-нибудь значительных электрических полей.
Вектор плотности потока энергии — вектор Умова — был получен ранее для непроводящей среды
В этом выражении е — полная энергия единицы массы непроводящей среды, qk — проекция вектора плотности потока тепла на ось к, Vi — проекция вектора скорости движения жидкости на ось г, Р/ — тензор напряжений непроводящей среды.
В магнитной гидродинамике следует учесть плотность потока электромагнитной энергии S — вектор Пойнтинга.
Для нахождения энергии электромагнитного поля воспользуемся уравнениями Максвелла (11.1). Умножим второе уравнение этой си-
стемы скалярно на Н, а первое уравнение — на Е. Вычитая одно из другого, с учетом соотношений для D и В из (11.1) получим
筹+j Е = —divS,(11.32)
где w — объемная плотность энергии поля,
仅(序+标)，
вектор Пойнтинга
S = -^ [Е, Н].(11.33)
При выводе уравнения (11.32) учтено векторное равенство
div[E ,Н] = Н rot Е - Е rotH.
Уравнение (11.32) представляет закон сохранения энергии электромагнитного поля. Величина вектора S определяет энергию поля, переносимую за единицу времени через единичную площадку, лежащую в плоскости векторов Е и Н.
В результате вектор плотности потока энергии для проводящей жидкости в магнитном поле запишется в виде
/卜=” + pvk^ — 3Pik + Sk •(11.34)
Поскольку объемная плотность энергии поля равна w, то полная энергия единицы объема в магнитной гидродинамике будет равна
ps + w .
Поэтому закон сохранения полной энергии среды запишется в виде
^(08 + 仅)=—divl.(11.35)
где вектор I определен выражением (11.34).
Критерии подобия в магнитной гидродинамике
Рассмотрим несжимаемую проводящую жидкость в поле силы тяжести в присутствии внешнего магнитного поля. Ее движение описывается уравнением (11.28), в котором роль плотности массовых сил играет вектор ускорения свободного падения (f = g). Приведем это уравнение к безразмерному виду.
Пусть / — характерный размер течения;力° — характерное время задачи; 0о,夕о, 〃о, Н()— значения плотности жидкости, давления, скорости, и напряженности магнитного поля в некоторой характерной точке потока. Введем безразмерные величины (отмечены звездочкой)
(11.36)(11.36)力=力о力* , ^ = у ^*, △ = » △*, р = PqP* ,р = РоР*, g = gg*, Н = ЯоН*, Е = ЕоЕ* •
(11.36)
(11.36)
Безразмерное уравнение движения (11.28) имеет вид
6 , * +(V*V)v* =2 — ▽ *Р* 十 △*v* +[Н* , rot* Н*].
(11.37)(11.38)(11.37)(11.38)St 3力*'М 0*ReFr °* 丄」
(11.37)
(11.38)
(11.37)
(11.38)
Здесь2
St = ^^ , М2 = ^^ , Re =Z '0o '
Fr=% a2 = "^.
47r
Безразмерные критерии Струхаля (St), Маха (M), Рейнольдса (Re) и Фруда (Fr) были введены ранее как критерии подобия движения непроводящей жидкости. В магнитной гидродинамике появился новый критерий А, называемый числом Альвена. Число А2 характеризует отношение магнитной и кинетической энергий единицы объема.
Согласно закону Ома (см. (11.6)) плотность тока, индуцированного магнитным полем, равна
j = ^ [v,H],
Из четвертого уравнения системы (11.25) следует
rot Н =rot Н =47r •47r •(11.39)(11.39)
rot Н =
rot Н =
47r •
47r •
(11.39)
(11.39)
Тогда слагаемое уравнения движения (см. (11.25)), содержащее напряженность магнитного поля, можно представить в виде
* [H,rotH] = ^ [H,[v,H]].
Переходя к безразмерным величинам, согласно соотношениям (11.36), получим
J [H,rotH] = ^p^ [H*,[v*,Hj.
47r0С Ро
(11.40)(11.40)Разделив это выражение на г^/2, как это было сделано при выводе безразмерного уравнения движения (11.37), получим еще один безразмерный критерий подобия магнитной гидродинамики
(11.40)
(11.40)
、о = 1•
с pqUq
Критерий So называют параметром магнитогидродинамического взаимодействия или числом Стюарта. Он характеризует отношение магнитной силы от индуцированных токов к силе инерции.
Запишем уравнение (11.27) в безразмерном виде, используя обозначения (11.36):
=rot* W*，н*] + 占 АН* •=rot* W*，н*] + 占 АН* •(П-41)(П-41)
=rot* W*，н*] + 占 АН* •
=rot* W*，н*] + 占 АН* •
(П-41)
(П-41)
Здесь введено так называемое магнитное число Рейнольдса
(11.42)(11.42)Re772 — Q-0 .
(11.42)
(11.42)
Понять физический смысл числа Rem нетрудно из анализа уравнения (11.39). Пусть Hi и Не — величины напряженностей магнитных полей от индуцированных токов и внешних источников соответственно. Эти напряженности связаны между собой уравнением (11.39)
|rotH〃| = ±亭 |[v,He]|.
Отсюда следует:
HiQ47r7 с一 ~ -9-SocHiQ47r7 с一 ~ -9-Soc“00 〜 br〃0“e0
HiQ47r7 с
一 ~ -9-
Soc
HiQ47r7 с
一 ~ -9-
Soc
и магнитным числами Рей-и магнитным числами Рей-Таким образом, магнитное число Рейнольдса характеризует отношение напряженности магнитного поля от индуцированных токов к напряженности внешнего магнитного поля.
и магнитным числами Рей-
и магнитным числами Рей-
Аналогия между гидродинамическим нольдса очевидна
Re=^Re=^Rem =辺,Rem =辺,"力=4тгсгг"力=4тгсгг
Re=^
Re=^
Rem =辺,
Rem =辺,
"力=4тгсгг
"力=4тгсгг
что и кинематическая вяз-что и кинематическая вяз-Величина имеет ту же размерность,
что и кинематическая вяз-
что и кинематическая вяз-
кость и и называется магнитной вязкостью. Иногда пользуются магнитным числом Прандтля, которое определяют отношением магнитного числа Рейнольдса к гидродинамическому
nr —电成nr —电成(11.43)(11.43)
nr —电成
nr —电成
(11.43)
(11.43)
Из выражений (11.38), (11.40) и (11.42) следует связь между параметром магнитогидродинамического взаимодействия, числом Альвена и магнитным числом Рейнольдса
So = А? • Rem .
Произведение
So • Re =
СТ]
где ту = оо^ —— коэффициент динамической вязкости, характеризует отношение магнитной силы от индуцированного магнитным полем тока к силе вязкости. Обычно вводят корень квадратный из этой величины
(11.44)(11.44)На =，So • Re = ；
(11.44)
(11.44)
Безразмерный критерий На называется числом Гартмана.
В модельных экспериментах, чтобы сохранить динамическое подобие модели и натурного объекта в проводящей жидкости при наличии
внешнего магнитного поля, необходимо обеспечить равенство всех независимых критериев подобия для модели и натуры.
Характер течений электропроводной жидкости во внешнем магнитном поле определяется значениями критериев подобия. В таблице приведена классификация течений в зависимости от значений чисел Re, На и Rem. Здесь же приведены порядки предельных значений магнитного числа Прандтля Prm и числа Стюарта S°.
Re
На
Prm
So
Характер течения
0-2000
0-10
0-1
10-3
10-2
Ламинарное течение
2000-4000
0-10
0-1
10-4
10-2
Турбулентное течение
2000-4000
10-100
0-1
10-3
1
Течение с турбулентностью, подавленной магнитным полем
0-2000
0-10
1-10
10-2
IO-1
Течение сильно влияет на магнитное поле; магнитное поле слабо влияет на течение
0-2000
10-100
1-10
10-2
10
Течение сильно влияет на магнитное поле; магнитное поле сильно влияет на течение
«Вмороженность» магнитных силовых линий
Рассмотрим принцип, формулировка и доказательство которого принадлежат Альвену. Этот принцип играет большую роль в создании тех немногих образных представлений, которые возможны в магнитной гидродинамике.
Рассмотрим уравнение (11.27) или его безразмерный вид (11.41). При больших магнитных числах Рейнольдса (Rem》1), что соответствует высокой электропроводности жидкости, вторым членом в правой
^ = rot[v,H].^ = rot[v,H].(11.45)(11.45)Рис. 11.1 индивидуальный замкнутыйРис. 11.1 индивидуальный замкнутыйчасти этого уравнения можно пренебречь. Тогда получим
^ = rot[v,H].
^ = rot[v,H].
(11.45)
(11.45)
Рис. 11.1 индивидуальный замкнутый
Рис. 11.1 индивидуальный замкнутый
Это уравнение выражает сохранение магнитного потока через индивидуальный замкнутый контур, т. е. через контур, состоящий из одних и тех же частиц жидкости. Действительно, рассмотрим
контур 2. Частицы жидкости, составляющие этот контур, движутся с локальной скоростью v. Рассмотрим некоторый элемент контура dl (рис. 11.1).
Очевидно, за малый промежуток времени dt в процессе движения он изменяет площадь S, охватываемую контуром, на dS = [dl,v] d力.
Изменение магнитного потока dФ через контур за рассматриваемый промежуток времени обусловлено, во-первых, изменением напряженности магнитного поля:刁н
M>i = dt\ 絹 dS,(11.46)
s
и, во-вторых, изменением площади, охватываемой контуром:
屣2 = dtj 阅,v] H.(11.47)
Используя теорему Стокса, запишем уравнение (11.47) в виде
M>2 = d"[H,v] dl=-dtj [v,H] dl=—d力]rot[v, H] dS. (11.48) iis
Таким образом, скорость изменения магнитного потока через поверхность, опирающуюся на индивидуальный замкнутый контур идеально проводящей жидкости (。「т оо), определится следующим выражением:
嘗= * + * = [(需-Е'Н]) dS. (11-49)
С учетом уравнения (11.45) получаем
空=0.(11.50)
Из полученного уравнения (11.50) следует, что магнитный поток через любую поверхность, опирающуюся на индивидуальный замкнутый контур, в идеально проводящей жидкости (аг т оо) не изменяется с течением времени. Физически это означает, что при сжатии контура сближаются линии магнитной индукции, т. е. напряженность поля увеличивается. И наоборот, при расширении сверхпроводящего индивидуального контура линии магнитной индукции «разбегаются», т. е. напряженность поля уменьшается. Таким образом, при движении жидкости поперек магнитного поля вместе с ней перемещается и магнитное поле. Образно говоря, магнитные силовые линии как бы «вморожены» в жидкость. «Вмороженность» магнитных линий связана с тем, что при изменении потока вектора напряженности магнитного поля через проводящий контур в нем индуцируются электрические токи, поле которых препятствуют изменению этого потока. Заметим, что движение жидкости вдоль силовых линий не влияет на внешнее магнитное поле.
Явление «вмороженности» магнитных силовых линий в жидкость наглядно иллюстрируется теоремой Валена, которая может быть сформулирована так: Если индивидуальные частицы идеально проводящей жидкости 6 некоторый начальный момент времени находились на одной магнитной силовой линии, то они и останутся на ней во все последующие моменты времени.
Для доказательства этой теоремы вновь обратимся к уравнению (11.45). Преобразуем его. Запишем г-компоненту ротора векторного произведения [v , Н] через тензор Леви-Чивита:
[0厶[v , H] = 8注/ — ^Imn^m Hn = ^Uk^lmn=
=(^im^kn — 5 in 5 km)~~ + Hn=
' OXkOXk/
_ ТТ 3以_ ТТ 3以aHk、口 dvidHi
_ ТТ 3以
_ ТТ 3以
=g ^ 弘 vk o
oxk dxkdxk
Получено векторное соотношение
rot[v ,H] = V divH + (HV)v - (vV)H-H divv.
Поскольку divH = 0, то уравнение (11.45) запишется в виде 器=(HV)v - (vV)H-H divv.
Из уравнения непрерывности имеем
2 = -X^ + (vV)O)•
Подставляя последнее выражение в (11.51), получим
需= (HV)v—(vV)H+^律+
Рассмотрим выражение
傷+vV)^ = ^ 祟—^ 槊+ (vV)H - (vV)P = Т 得+ }(vV)H-5Q + (w)p).
Комбинируя (11.53) и (11.52), получим
\dt / p/dt pу
(11.51)(11.52)(11.53)(11.54)(11.51)(11.52)(11.53)(11.54)Обсудим смысл полученного выражения. Пусть в жидкости имеется
(11.51)
(11.52)
(11.53)
(11.54)
(11.51)
(11.52)
(11.53)
(11.54)
некоторая индивидуальная линия, т. е. линия, состоящая из одних и тех же частиц жидкости.
Рассмотрим малый участок 51 этой линии жидкости (рис. 11.2). Так как скорости концов участка линии различны, то она будет растягиваться или сжиматься. Найдем изменение длины выделенного участка 51 с течением времени. Очевидно, что за время dt участок 51 получит приращение
d(Sl)=粤 Sldt = dlx^vdt,
где n — единичный вектор вдоль отрезка dl. Так как 51 = 52п, то можно записать
d{8l) = (61^)vdt.
Или в векторном виде
^1 = (^lV)v. (11.55)
Сравнивая уравнения (11.54) и (11.55), приходим к заключению, что величины Н/р и 51 описываются одним и тем же уравнением.
V/ + (Sv/ / 31)31V/ + (Sv/ / 31)31Рис. 11.2. Линия из одних и тех же частиц жидкостиРис. 11.2. Линия из одних и тех же частиц жидкостиЕсли при этом начальные и граничные условия к обоим уравнениям идентичны, то и решения будут также идентичны.
V/ + (Sv/ / 31)31
V/ + (Sv/ / 31)31
Рис. 11.2. Линия из одних и тех же частиц жидкости
Рис. 11.2. Линия из одних и тех же частиц жидкости
Отсюда можно сделать следующие заключения:
Если в некоторый начальный момент времени векторы Н/р и 51 параллельны, то они остаются параллельными и во все последующие моменты времени, а их величины будут изменяться пропорционально. Это в свою очередь означает, что если две близкие частицы жидкости находятся на одной магнитной линии, то они остаются на ней во все последующие моменты времени.
Если расстояние между двумя частицами жидкости увеличивается, то соответственно увеличивается и величина Н/р.
Таким образом, если перейти к конечным расстояниям между одинаковыми частицами жидкости, то можно прийти к выводу, что если вещество с бесконечной проводимостью перемещается в магнитном поле, то вместе с ним перемещается и само магнитное поле. Индивидуальные частицы жидкости при движении не могут пересекать магнитные силовые линии, которые, в свою очередь, не могут опережать или отставать от движущихся частиц. Но в этом и состоит явление «вмороженности» магнитных силовых линий в жидкость. Если жидкость несжимаема (р = const), то вследствие растяжения жидкой линии напряженность магнитного поля вдоль нее будет увеличиваться и наоборот.
Рассмотрим теперь некоторый индивидуальный контур жидкости, перпендикулярный напряженности магнитного поля. Если теперь каким-либо образом стянуть этот контур, то в силу «вмороженности» магнитных силовых линий стянется и магнитное поле. Поскольку поток напряженности магнитного поля через этот контур останется постоянным, то при сокращении контура напряженность поля внутри его увеличивается. Это явление используется при создании сверхсильных импульсных магнитных полей. Вещество сжимается взрывом, в результате чего магнитное поле на короткое время в некоторой ограниченной области достигает сотен тысяч эрстед.
Явлением «вмороженности» магнитных силовых линий объясняют происхождение магнитного поля звезд. Как известно, звезды образуются в результате гравитационного сжатия галактических туманностей — космической пыли и межзвездного газа. В начальной стадии рождения протозвезды существующие потоки заряженных частиц создают слабое магнитное поле. В процессе сжатия газопылевого скопления начальное
поле значительно усиливается, превращаясь в магнитное поле сформировавшейся звезды (или планеты).
На этом же принципе основано устройство сверхпроводящих экранов. Если есть необходимость какую-то часть экспериментальной установки защитить от воздействия внешних магнитных полей, то она
окружается оболочкой из сверхпроводника, охлаждаемого жидким гелием. И в этом случае магнитные силовые линии внешних магнитных полей, «приклеенные» к сверхпроводящей оболочке, не могут проник
нуть внутрь экспериментального объема.
Эта идея используется и в термоядерных устройствах для удержания и сжатия плазмы. Пусть в плазме, организованной в виде тонкого
шнура, течет ток, который вызван некоторым сторонним источником
Рис. 11.3. Сжатие плазмыРис. 11.3. Сжатие плазмыЕсли магнитное поле наЕсли магнитное поле на(рис. 11.3). Вокруг этого шнура с током образуется соленоидальное магнитное поле. Под действием максвелловского натяжения магнитные силовые линии соленоидального магнитного поля также стремятся сократиться. Действительно, натяжение магнитной силовой линии можно определить, пользуясь тензором магнитных напряжений.
Рис. 11.3. Сжатие плазмы
Рис. 11.3. Сжатие плазмы
Если магнитное поле на
Если магнитное поле на
правлено вдоль оси ж, то магнитная сила, действующая в направлении
магнитного поля на единичную площадку, перпендикулярную оси ж,
равна
冗%-87r
Но в силу «вмороженности» магнитных силовых линий, сокращаясь, они увлекают за собой и вещество, сжимая его в еще более тонкий шнур. Это сжатие будет происходить до тех пор, пока все увеличивающееся термодинамическое давление в плазме шнура не будет равно
магнитному давлению.
Если в предыдущем примере магнитное поле создается электри
ческим током вческим током вРис. 11.4. Схема магнитной ловушкиРис. 11.4. Схема магнитной ловушкисжимаемом веществе, то можно себе представить и устройства, в которых сжатие вещества происходит некоторым независимым внешним магнитным полем (магнитные «бутылки», «ловушки») (рис. 11.4). Система встречных магнитных полей создается неподвижными прямолинейными проводниками, по которым в разных направлениях течет электрический ток. В этом случае плазма помещается между проводниками в нарастающее магнитное поле, которое, адиабатически сжимая ее, одновременно увеличивает ее плотность и температуру.
ческим током в
ческим током в
Рис. 11.4. Схема магнитной ловушки
Рис. 11.4. Схема магнитной ловушки
ся столкновениеся столкновениеОдним из возможных источников сильных магнитных полей в космическом пространстве являет- двух областей межзвездного газа, обладающих до
ся столкновение
ся столкновение
столкновения в силу некоторого направленного движения заряженных
частиц или по другим причинам слабыми магнитными полями. В этом случае сжатие межзвездного газа в результате столкновения приведет также к концентрации магнитного поля в сравнительно небольших областях, а значит, и к увеличению в них напряженности магнитного поля.
Опираясь на принцип «вмороженности» магнитного поля в вещество, нетрудно понять и запаздывание частиц, приходящих на Землю вследствие взрывов на Солнце. Наблюдения показывают, что после взрыва на Солнце на Землю спустя примерно 20 часов обрушивается поток заряженных частиц. Сами индивидуальные частицы движутся со скоростями, достаточными для прохождения расстояния от Солнца до Земли за несколько десятков минут. По-видимому, во время взрывов от Солнца отрываются большие куски плазмы вместе с магнитным полем. Магнитное поле удерживает частицы как в «мешке», который движется к Земле с некоторой гидродинамической коллективной скоростью (около 1500 км/с), значительно меньшей, чем скорость индивидуальных частиц в «мешке». Подходя к Земле и нарушая ее магнитное поле, заряженные частицы «высыпаются» на Землю, инициируя магнитные бури и полярные сияния.
11.6. Диффузия магнитного поля
Принцип «вмороженности» магнитных силовых линий следует из общих уравнений электродинамики в том случае, когда среда имеет бесконечную проводимость. Однако реальные среды в обычных условиях (не слишком низкие температуры) имеют конечную проводимость. Такая реальная среда будет просачиваться, диффундировать через магнитное поле или, наоборот, магнитное поле будет диффундировать в проводящей среде.
Рассмотрим случай малых магнитных чисел Рейнольдса (Rem《1). При этом уравнение (11.27) с учетом оценки его членов по безразмерной форме (11.41) записывается в виде
ан~dtан~dt4тгсгг4тгсгг△н.△н.(11.56)(11.56)
ан
~dt
ан
~dt
4тгсгг
4тгсгг
△н.
△н.
(11.56)
(11.56)
Уравнение (11.56) формально имеет тот же вид, что и уравнение диффузии, описывает диффузию магнитного поля в слабо проводящей или неподвижной среде. Величина
DD4тгсгг4тгсгг(11.57)(11.57)
D
D
4тгсгг
4тгсгг
(11.57)
(11.57)
называется магнитным коэффициентом диффузии. Коэффициент Dm тем меньше, чем больше проводимость среды, при бесконечной проводимости он равен нулю, что и следует из принципа «вмороженности» магнитных силовых линий.
Z
二 но二 ноРис. 11.5. Диффузиямагнитного поляРис. 11.5. Диффузиямагнитного поляРассмотрим в качестве примера диффузию магнитного поля в проводящее полупространство. Пусть проводящая среда, занимающая область ж > 0, отделена экраном S, от области ж < 0, в которой создано постоянное магнитное поле напряженностью Но (рис. 11.5). В некоторый момент времени экран убирают и магнитное поле проникает в проводящую среду. Эта задача имеет гидродинамическую аналогию, которая известна как задача Рэлея, в которой течение вязкой жидкости вызывается внезапным движением пластинки с постоянной скоростью вдоль ее собственной плоскости.
二 но
二 но
Рис. 11.5. Диффузиямагнитного поля
Рис. 11.5. Диффузиямагнитного поля
Выберем систему координат таким образом, чтобы ось z находилась в плоскости ж = 0 и совпадала с направлением вектора напряженности магнитного поля Но. Ограничимся плоским одномерным случаем, когда вектор напряженности в любой момент времени имеет только одну отличную от нуля ^-компоненту, т. е. Н = (О, О, Hz). При этом Hz зависит от времени t и только от одной координаты х. Тогда уравнение диффузии (11.56) запишется в виде
(11.58)(11.58)dHz _д2Hz
(11.58)
(11.58)
Зададим значения Hz на поверхности ж = 0 и на бесконечности (ж т оо). Вид граничных условий очевиден
(11.59)(11.59)Н (0= [ °
(11.59)
(11.59)
八[Яо для 力》0,//式力 т оо,力)=0 .
Начальное условие выражает тот факт, что в начальный момент времени магнитное поле в проводящей среде отсутствует
Hz(x, 0) = 0 для 0 < ж < оо .(11.60)
Решение задачи (11.58)-(11.60) имеет вид
…，力) =erf,(11-61)
где erf 〃 — интеграл вероятности.
Интеграл вероятности монотонно возрастает с увеличением расстояния ж, принимая значения от 0 до 1. Это позволяет ввести понятие глубины проникновения магнитного поля в проводящую среду как такого расстояния 力=5, на котором напряженность Hz уменьшается до 0,01 Яо- Отсюда следует, что S = 4，。^ • Проникновение магнитного поля в проводящую среду на ограниченное расстояние в физической электронике называют скин-эффектом. Он возникает вследствие того, что изменение магнитного поля индуцирует ЭД С и, следовательно, индуцирует ток, магнитное поле которого, согласно закону Ленца, препятствует изменению начального магнитного поля.
Очевидно, характерное время диффузии магнитного поля в проводящей среде определяется следующим выражением:
(11.62)(11.62)
(11.62)
(11.62)
Например, время релаксации магнитного поля в медном шаре радиусом 100 см составит около 15 с. Для космических объектов это время очень велико. Если считать, что ядро Земли состоит из расплавленного железа и в нем возникло магнитное поле, то время затухания земного поля оценивается в 15000 лет. Время затухания магнитного поля в солнечных пятнах — около 300 лет, а магнитного поля Солнца — 1010 лет.
Волны Альвена
Пусть при стационарном движении проводящей жидкости в поле постоянного однородного магнитного поля напряженностью Но в ней по каким-то причинам возникает некоторое возмущение, которое передается и магнитному полю. Очевидно, внезапно возникающие возмущения будут распространяться в жидкости в виде магнитогидродинамических волн. Эти волны классифицируют в зависимости от направления распространения по отношению к внешнему магнитному полю, характера и частоты колебаний индивидуальных частиц проводящей среды. Например, в плазме различают несколько типов магнитогидродинамических волн, распространяющихся в направлении вектора напряженности внешнего магнитного поля: продольные волны (ленгмюровские волны) и два типа поперечных волн, которые различаются между собой диапазоном частот (альвеновские и быстрые магнитозвуковые волны).
Механизм возникновения ленгмюровских волн связан с дально- действующими кулоновскими силами в плазме, которые придают ей электродинамическую упругость. При смещении группы электронов от их равновесного положения возникает электростатическая сила, стремящаяся вернуть электроны обратно в положение равновесия. В результате начинаются колебания, которые распространяются в плазме в виде волны. Заметим, что ленгмюровские волны могут возникать и при отсутствии внешнего магнитного поля.
Поперечные колебания в жидкостях и газах невозможны при отсутствии внешнего магнитного поля, так как жидкости и газы не обладают упругостью формы (модуль сдвига равен нулю). Природа возникновения поперечных колебаний в проводящей среде связана с принципом «вмороженности» силовых линий внешнего магнитного поля в эту среду. Поперечное к линиям напряженности магнитного поля смещение индивидуальных частиц проводящей жидкости вызывает соответствующее поперечное смещение силовых линий, растягивая их вследствие «вмороженности» в жидкость. Магнитные силовые линии, подверженные растяжению, стремятся сократить свою длину. Таким
образом, линии напряженности магнитного поля совершают поперечные колебания подобно струнам музыкального инструмента. При этом они увлекают в колебательное движение проводящую жидкость, в которую частично или полностью вморожены.
Для сплошной среды характерны низкочастотные альвеновские волны — поперечные магнитогидродинамические волны низкой частоты, распространяющиеся вдоль вектора напряженности магнитного поля Но. Действительно, если частота волны g сравнима или больше ионной циклотронной частоты ^Hi = eH^Jт%с (m^ — масса иона), то поведение ионов и свободных электронов среды будет различным, т.е будет нарушаться сплошность среды. Для альвеновских волн, как отмечалось ранее, характерно поперечное возмущение внешнего магнитного поля. В магнитозвуковых волнах при g》3Hi возмущения магнитного поля, перпендикулярные Но, отсутствуют.
Рассмотрим явление распространения альвеновских волн в невязкой несжимаемой идеально проводящей (Rem》1) жидкости. Пусть на внешнее однородное магнитное поле Но наложено малое поперечное возмущение h. Результирующее поле, взаимодействующее со средой, определяется суперпозицией основного поля и возмущения: Н = Но + h.
При больших магнитных числах Рейнольдса, когда силовые линии «вморожены» в жидкость, полная напряженность магнитного поля удовлетворяет уравнению (11.45)
器=rot[v , Н] . (11.63)
Выберем систему координат так, чтобы координатная ось ж была направлена вдоль вектора напряженности Но, а ось z — вдоль возмущения h. Волна распространяется вдоль оси х. Таким образом, имеем Но = (%, 0,0), h = (0, 0,拉(力，力))，v = (0, 0, о(力，力))и уравнение (11.63) записывается в виде
(11.64)(11.64)Oh _ „ dv
(11.64)
(11.64)
Из уравнения движения (11.28) для идеальной несжимаемой жидкости, пренебрегая конвективным членом (vV)v как членом более высокого порядка малости (скорость газа много меньше фазовой скорости волны), а также квадратичным по возмущению членом 〜Л2, имеем
(11.65)(11.65)dv _ % dhdt 47r0 дх
(11.65)
(11.65)
Дифференцируя уравнение (11.64) по t, уравнение (11.65) по х, а затем наоборот, получим уравнения для скорости среды о и возмущения напряженности поля Л:
d2h 2 d2ha 力2дх2d2h 2 d2ha 力2дх2д1 V 2 a20а 力2дх2д1 V 2 a20а 力2дх2а =а =Но /4тгрНо /4тгр
d2h 2 d2h
a 力2дх2
d2h 2 d2h
a 力2дх2
д1 V 2 a20
а 力2дх2
д1 V 2 a20
а 力2дх2
а =
а =
Но /4тгр
Но /4тгр
Уравнения (11.66) описывают волновые процессы, причем возмущения среды и поля распространяются вдоль вектора напряженности Но с одинаковой скоростью а = %/，47ro • Зто соответствует принципу «вмороженности». Заметим, что скорость альвеновских волн не зависит от частоты, а определяется напряженностью внешнего магнитного поля и плотностью среды. Решения уравнений (11.66) для волн, распространяющихся в положительном направлении оси ж, имеют вид
h = Hq exp[分(g力—足力)],v = vq exp[分(g力—足力)],(11.67)
где ш — частота колебаний, к = ш/а — волновое число. Амплитуды колебаний связаны между собой соотношением, которое следует из уравнения (11.64)
Поскольку мы рассматривали идеально проводящую среду (аг т т оо), решения (11.67) описывают незатухающие колебания. Реальные среды обладают некоторым электрическим сопротивлением. С учетом этого мы вновь получили бы волновой процесс, в котором амплитуды колебаний уменьшались бы вдоль направления распространения волны по экспоненциальному закону (〜exp (—ах)). Коэффициент затухания а зависит от частоты колебаний g, проводимости среды аг и альвенов- ской скорости а. Величина 】характеризует глубину проникновения волны, т. е. расстояние, на котором амплитуда колебаний уменьшается в е раз — магнитогидродинамический поверхностный скин-эффект.
Задача Гартмана
Рис. 11.6. К задаче ГартманаРис. 11.6. К задаче ГартманаРассмотрим установившееся движение проводящей несжимаемой жидкости между двумя параллельными бесконечными пластинами в перпендикулярном магнитном поле напряженностью Но. Будем полагать, что движение вызывается градиентом давления, направленным вдоль пластин по оси ж (рис. 11.6). Пусть расстояние между пластинками равно 2a.
Рис. 11.6. К задаче Гартмана
Рис. 11.6. К задаче Гартмана
Движение жидкости должно подчиняться следующим уравнениям:
(vV)v = —- ▽夕 + 〃Av — -^— [H , rot H],p47r0
2
rot[v , H] + AH = 0,(11.68)
4тГСГг
div v = 0 , divH = 0 .
Скорость жидкости направлена вдоль пластин и зависит лишь от
поперечной координаты z, т. е.
0况 =0式 z), 0g-0 ,。2 = 0 •
В силу бесконечности пластин в направлении осей хну очевидно, что напряженность магнитного поля также может зависеть только от координаты z. Тогда задача может рассматриваться как плоская
Нх = Hx(z), Ну = 0, Hz = Hz(z).
Из векторного анализа известны следующие соотношения
OXi0力 k
roti [v, H] = (HV)^ - (vV)Яi - Hi divv + bi divH =
Проекции уравнений (11.68) на координатные оси с учетом топологии задачи записываются в виде
др _ d2vx 1 “ дНх ^р _ п дх“ ad47r z Az ' ду
(11.69)(11.69)(11.70)(11.70)др _1 „ дНх
(11.69)
(11.69)
(11.70)
(11.70)
z dz ^(уг аУ '
3整=。，=
4тгсгг @之/oz
Из последнего уравнения (11.69) имеем
Hz = const = % .
Тогда предыдущее уравнение (11.69) удовлетворяется тождественно. Из второго уравнения следует, что давление 夕 зависит только от координаты ж.
Из третьего уравнения получаем, что сумма гидродинамического и магнитного давлений не зависит от координаты z, а может зависеть только от координаты ж, т. е. имеем
夕 +詳= Р(с).(11.71)
О7Г
Продифференцируем первое уравнение системы (11.69) по координате z, с учетом выражения (11.70) и четвертого уравнения системы получим уравнение для скорости движения жидкости:
dz3 尺 dz -，- ％ V % - На，( •)
где На — число Гартмана.
Решение уравнения (11.72) ищем в виде
vx = А ехр(г^).
11 В.Г. Черняк, П.Е. Суетин
Характеристическое уравнение для параметра г
з 1 пс11
T一屋厂=0,门=0, r2 = - , r3 =--.
Таким образом, общее решение уравнения (11.72) имеет вид
加=4 + 4ехр 底)+ 4ехр (―^) .(11.73)
Постоянные интегрирования 41,厶2, %з должны быть определены из граничных условий. Поскольку стенки канала неподвижны, то скорость жидкости на их поверхностях равна нулю. Из симметрии задачи следует, что на оси канала скорость течения жидкости максимальна и равна Umax・ Тогда граничные условия имеют вид
Z = ±a,U%=0； Z =。, Vx = Umax •(11.74)
Отсюда получаем
л&max ch(Ha)д 人&max/ i i 7г \
4- l-ch(Ha) 4 = 4= 2[1_ch(Ha)] •75)
Таким образом, скорость течения проводящей жидкости в канале определяется следующим выражением:
=[ch(Ha)-ch(Ha；)].(11.76)
Величина продольной составляющей напряженности магнитного поля Нх определяется интегрированием четвертого уравнения системы (11.69)
學=加 + % = Т"。卜h(Ha) — ch (На + 4 dzch(Ha) -IL\ a)\
(11.77)
В выражении (11.77) постоянная А не зависит от z. Но так как Нх не зависит от ж, то А не должна зависеть и от координаты ж, т. е. постоянная А не зависит от координат. Обозначая выражение перед квадратными скобками в (11.77) через а, в результате интегрирования имеем
Нх = a [zch(Ha)—盒 sh (На 引 + 4z + 瓦(11.78)
Поскольку на границе нет никаких поверхностных токов проводимости, то при z = ± а должна быть непрерывна тангенциальная составляющая напряженности магнитного поля. Поскольку вне жидкости имеется лишь поперечное магнитное поле Hz = %, то для продольной составляющей напряженности Нх можно записать следующие граничные условия:
z = ±a, Нх = 0 .(11.79)
Из этих условий для постоянных интегрирования получим:
6 = 0,6 = 0,л = -^ [ach(Ha)-盒 sh(Ha)].
6 = 0,
6 = 0,
Тогда выражение (11.78) запишется в виде
〃 _4：7v(тгН() a济"max〃 _4：7v(тгН() a济"max(z/a) sh(Ha) — sh(Ha z/a)(z/a) sh(Ha) — sh(Ha z/a)ch(Ha) — 1ch(Ha) — 1(11.80)(11.80)
〃 _4：7v(тгН() a
济"max
〃 _4：7v(тгН() a
济"max
(z/a) sh(Ha) — sh(Ha z/a)
(z/a) sh(Ha) — sh(Ha z/a)
ch(Ha) — 1
ch(Ha) — 1
(11.80)
(11.80)
Скорость жидкости на оси канала может быть определена из первого уравнения системы (11.69). Дважды дифференцируя (11.76) по z и используя выражение (11.80) для Нх, получим
a2 ch(Ha) — 1 дрг] На sh(Ha) дхa2 ch(Ha) — 1 дрг] На sh(Ha) дх(11.81)(11.81)
a2 ch(Ha) — 1 дрг] На sh(Ha) дх
a2 ch(Ha) — 1 дрг] На sh(Ha) дх
(11.81)
(11.81)
Обычный гидродинамический результат из (11.81) можно получить в том случае, когда жидкость не взаимодействует с магнитным полем. Это будет тогда, когда или отсутствует магнитное поле или когда проводимость жидкости равна нулю (На т 0). В этом пределе, раскрывая неопределенность в (11.81) по правилу Лопиталя, получаем известный результат для плоского течения Пуазейля:
max —271dx.
Точно так же из формулы (11.76) при На т 0 снова имеем результат
обычной гидродинамики
Из формул (11.71) и (11.80) следует, что только при z = ± а п z = 0 давление в жидкости равно гидростатическому давлению. Во
всех остальных точках поперечного сечения плоского канала остается неизменной лишь сумма гидростатического и магнитного давлений
Следовательно, в этих точках недостаток гидростатического давле
так, что сумма их остаетсятак, что сумма их остаетсяРис. 11.7. Профили скорости (справа от штриховой линии) и линии напряженности (слева)Рис. 11.7. Профили скорости (справа от штриховой линии) и линии напряженности (слева)ния восполняется магнитным давлением постоянной в данном сечении.
так, что сумма их остается
так, что сумма их остается
Рис. 11.7. Профили скорости (справа от штриховой линии) и линии напряженности (слева)
Рис. 11.7. Профили скорости (справа от штриховой линии) и линии напряженности (слева)
При На《1, разлагая в ряд числитель и знаменатель (11.81) с точностью до На2, получим
"max =嗡(1 i 峭黑.(11-82)
Из последнего выражения видно, что при заданном градиенте гидростатического давления с увеличением %
или аг скорость уменьшается, т. е. маг
нитное поле препятствует движению проводящей жидкости, и это сопротивление тем больше, чем больше проводимость жидкости и напряженность магнитного поля. Профиль скорости становится более плоским, как при турбулентном движении (рис. 11.7), а магнитные силовые линии изгибаются (натягиваются) в направлении движения
жидкости.
и*
При больших значениях На скорость жидкости становится постоянной почти по всему сечению канала, и только вблизи стенок имеются так называемые гартмановские слои с большими градиентами скорости. В первом приближении безразмерная толщина этих слоев пропорциональна На-.
Объемный расход жидкости в канале с учетом выражения (11.76) для скорости равен
+ а
Qv= \vxdz= с；、\ [ch(Ha)-青 sh(Ha)] .(11.83)
Средняя скорость определится следующим выражением:
"=焉言1 [ch(Ha) - gh(Ha)] •(11-84)
Задача Стокса
Рассмотрим стационарное медленное (Re 《1) обтекание непрово
дящего шара плоскопараллельным потоком несжимаемой проводящей
жидкости в присутствии внешнего магнитного поля. Пусть вектор
Рис. 11.8. Стоксово обтекание шараРис. 11.8. Стоксово обтекание шараскорости набегающего потока v^ направлен вдоль оси ж и составляет угол а с вектором напряженности магнитного поля Но в невозмущенной области (рис. 11.8). Радиус шара равен а.
Рис. 11.8. Стоксово обтекание шара
Рис. 11.8. Стоксово обтекание шара
Для определения поля скоростей и напряженности магнитного поля необходимо решить систему уравнений (11.68). Граничные условия задаются для скорости жидкости и напряженности поля на поверхности шара и
на бесконечном удалении от него в невозмущенной области течения. Поскольку поверхностных токов на непроводящей сфере нет, имеем
(11.85)(11.86)(11.85)(11.86)г =，力2 + 沙2 + %2 = @： V = 0 , Н = 0 ;
(11.85)
(11.86)
(11.85)
(11.86)
Т Т ОС ： V = Voo , Н = Но .
Приближенное решение задачи удалось получить только при малых и больших числах Гартмана. Опуская громоздкие вычисления, приведем результаты для силы, действующей на шар со стороны жидкости.
При На《1 сила лобового сопротивления равна
◎ = 1 + I (1 + sin2 На +О(На2). (11.87)
Здесь 瓦=6»〃。。8 — сила Стокса при отсутствии магнитного поля. Таким образом, наличие магнитного поля при На《1 увеличивает сопротивление на величину порядка На. Очевидно, это связано с явлениями натяжения и «вмороженности» магнитных силовых линий, уси-
ливающими асимметрию поля течения относительно оси z. По этой же причине возникает подъемная сила, лежащая в плоскости, образуемой векторами скорости v^ и напряженности Но：
空=旦 Hasin2a + O(Ha2).(11.88)
Только в том случае, когда угол между векторами v^ и Но равен а = 0 или а = 7г/2, поле течения симметрично относительно оси ж, и подъемная сила отсутствует.
Заметим, что выражения (11.87) и (11.88) не изменятся и в случае проводящего шара. Вклад в силу сопротивления и подъемную силу взаимодействия тока внутри проводящего шара с магнитным полем проявляется в членах порядка На2 и выше.
При На》1 получено решение лишь в случае продольного магнитного поля при а = 0
На .(11-89)
户0 У
Таким образом, при больших числах Гартмана сила лобового сопротивления может увеличиваться в десятки раз.
Магнитогидродинамические машины
Электромагнитные насосы. В последние годы широко используются для перекачки проводящих жидкостей электромагнитные насосы. Они оказались особенно необходимыми в атомных реакторах с жидкими металлическими теплоносителями типа калия, натрия и их смесей. Преимуществами электромагнитных насосов, которые обеспечили их широкое применение, являются следующие.
Чрезвычайная простота конструкции и простота регулировки их производительности как по величине, так и по направлению.
Абсолютная герметичность насоса, что очень важно при перекачке вредных агрессивных или взрывоопасных веществ. Так, утечка жидкого натрия из контура охлаждения создает большую пожарную опасность, так как при соединении с водой (например, находящейся в теплообменнике) реакция идет со взрывом.
Простота монтажа насоса в магистральном трубопроводе без создания дополнительных гидравлических сопротивлений.
Все электромагнитные насосы можно разделить на два класса — индукционные насосы и насосы прямого действия (фарадеевского типа). Принцип действия индукционного насоса можно понять следующим образом (рис. 11.9). Представим себе, что вдоль трубопровода с проводящей жидкостью специальные индукторы создают бегущее магнитное поле. Это можно осуществить по тому же принципу, что вращающееся магнитное поле в статоре асинхронного двигателя, которое индукцион- но увлекает ротор. Бегущее магнитное поле также индукционно увлекает проводящую жидкость, прокачивая ее по трубопроводу в том или
ином направлении в зависимости от направления «бега» магнитного поля. Для увеличения производительности насоса индукторы бегущего магнитного поля обычно помещают в начале и в конце трубопровода.
113
1
1
Рис. 11.9. Схема индукционного насоса: /, 3 — индуктор бегущего магнитногополя, 2 — трубопровод
Ясно, что часть трубопровода, находящаяся между индукторами магнитного поля, должна быть сделана из немагнитного материала с малой электропроводностью (например, тонкая нержавеющая сталь).
Индукционный насос можно осуществить и следующим образом. Если в статор асинхронного двигателя поставить стакан с ртутью, то при включении статора его вращающееся магнитное поле будет увлекать ртуть в стакане и придаст ей вращательное движение. Теперь можно представить, что статор надет на трубопровод, а внутри трубопровода находится винт (рис. 11.10). Тогда вращающаяся про
Рис. 11.10. Индукционный насос: / — статор, 2 — труба, 3 — винтРис. 11.10. Индукционный насос: / — статор, 2 — труба, 3 — винтводящая жидкость будет «ввинчиваться» вдоль оси трубы, создавая поступательное движение жидкости в трубопроводе. К сожалению, КПД индукционных насосов очень мал и составляет 2 4-3%, так как велики потери в стенках трубопрово- '1""〃""力切 2 да и самой жидкости на ее нагрев.
Рис. 11.10. Индукционный насос: / — статор, 2 — труба, 3 — винт
Рис. 11.10. Индукционный насос: / — статор, 2 — труба, 3 — винт
Рис. 11.11. Схема электро-магнитного насоса прямогодействия
Принцип действия электромагнитных насосов прямого действия ясен из рис. 11.11. В насосе прямого действия магнитное поле постоянно и создается или электромагнитом, или постоянным магнитом. Между полюсами расположен прямоугольный участок трубопровода с проводящей жидкостью. Перпендикулярно магнитному полю через боковую поверхность трубопровода, а следовательно, перпендикулярно и скорости жидкости, течет ток плотностью j, создаваемый также независимым источником тока. Если постоянное магнитное поле создается электромагнитом, то ток J и ток электромагнита могут создаваться одним и тем же источником тока. Ясно, что боковые поверхности пря-
моугольной трубы должны быть изготовлены из хорошо проводящего
немагнитного материала, в то время как поверхности, перпендикулярные магнитному полю — из немагнитного материала, обладающего плохой проводимостью. Коэффициент полезного действия насосов прямого действия значительно выше,чем индукционных насосов, и составляет 25 + 30%. Причем в этот КПД входит и КПД выпрямительных устройств источников питания.
Сделаем грубый, ориентировочный расчет насоса прямого действия при следующих приближениях.
Будем полагать, что магнитное поле постоянно, однородно в объеме аЫ (рис. 11.11) и определяется только полем постоянного магнита. Магнитное поле индукционных токов мало и слабо влияет на магнит
ное поле постоянного магнита.
Будем также полагать, что ширина канала много больше его высоты (Ь》а), тогда задачу о движении жидкости в прямоугольном
канале можно рассматривать как плоскую, как задачу о движении
проводящей жидкости между двумя параллельными бесконечными
плоскостями (рис. 11.12).
⑴.90)⑴.90)Пусть в трубопроводе нет градиента гидростатического давления неэлектромагнитного происхождения. Тогда в стационарном случае имеем следующее уравнение движения для несжимаемой жидкости:
⑴.90)
⑴.90)
Заметим, что уравнение (11.90), если заменить правую часть продольным градиентом давления, формально совпадает с уравнением, использованным в задаче о плоском течении Пуазейля. Поэтому можно воспользоваться известным решением, заменив градиент давления на ///с. Следовательно, объемный расход проводящей жидкости через трубопровод шириной b (пренебрегая торможением жидкости боковыми поверхностями трубы) будет равен
Qv =-Qv =-Д36 "о^12?7 сД36 "о^12?7 с(11.91)(11.91)
Qv =-
Qv =-
Д36 "о^
12?7 с
Д36 "о^
12?7 с
(11.91)
(11.91)
Сделаем примерный расчет насоса, прокачивающего смесь Na-K (56%-ный натрий + 44%-ный калий), применяемую в качестве теплоносителя атомных реакторов. Приведем исходные данные:
Яо = 103Э, / = 200 А, 〃(250 ℃) = 0,00346 Па • с, а = 2 см, b = 10 см, / = 40 см.
Плотность тока равна
/ = 4 А/см2 =• 3 • 109 ед. СГСЭ/см2.
la1а
Подставляя значения величин, входящих в формулу (11.91), для объемного расхода получаем
5 • 104 см3/с .5 • 104 см3/с .с _ abHQI - 3 • 109
5 • 104 см3/с .
5 • 104 см3/с .
=12〃ас
Средняя по сечению канала скорость жидкости
V =* 25 м/с .
Ьа
Конечно, приведенный расчет претендует лишь на порядок величин, так как мы не учитывали магнитного поля, создаваемого самим током, что существенно будет снижать расход.
При расчете реальной гидравлической системы разумеется необходимо знать ее гидравлическое сопротивление, которое в существенной мере будет определять расход жидкости.
Магнитогидродинамический генератор. Магнитогидродинамический генератор (МГД-генератор) — машина для непосредственного преобразования тепловой энергии в электрическую. Принцип работы МГД-генератора тот же, что и у электромагнитного насоса прямого действия (см. рис. 11.11).
Если по каналу (рис. 11.11) при помощи некоторой не электромагнитной силы двигать проводящую жидкость, то на боковых поверхностях канала возникнет разность потенциалов. Если теперь эти боковые поверхности соединить с внешним сопротивлением, то через него потечет ток. В этом случае устройство будет работать как генератор электрической энергии. Преимущество МГД-генераторов перед существующими генераторами очевидно. В них нет движущихся частей, нет паровых турбин, и, как показывают расчеты, КПД магнитогидродинамического генератора большой мощности может достигать 60 % против 40 % на существующих электростанциях. Поэтому проблема создания МГД-генераторов большой мощности в настоящее время интенсивно разрабатывается как у нас, так и за рубежом.
Оценим мощность магнитогидродинамического генератора. В устройстве (рис. 11.11) без внешней цепи ток не течет. При этом напряженность электрического поля будет равна
j = o「(Е+； [v,H]) =0, E = ^vHq.(11.92)
Если боковые поверхности трубы соединить с внешней нагрузкой сопротивлением Авнеш , то в электрической цепи потечет ток, равный
U
Авн + Авнеш
Мощность, потребляемая во внешней цепи, будет равна
W = /2ЯВНешW = /2ЯВНешU АвнешU Авнеш(Авн + Авнеш)(Авн + Авнеш)
W = /2ЯВНеш
W = /2ЯВНеш
U Авнеш
U Авнеш
(Авн + Авнеш)
(Авн + Авнеш)
Внутреннее сопротивление генератора определяется проводимостью столба газа (проводящей жидкости) площадью 1а и длиной Ь. Поэтому сопротивление Явн равно
Если Авн = Авнеш (при заданном U максимальная мощность IV), то с учетом (11.92) имеем
1V =分炉个卜v = lab(11.93)
4c
Электрическая энергия может быть получена только за счет торможения и сжатия вещества. Так, если внутри трубы постоянного сечения двигалась бы проводящая несжимаемая жидкость (например, ртуть), то в силу несжимаемости жидкости и непрерывности расхода (постоянства скорости движения жидкости) такое устройство не могло бы служить генератором электрической энергии. Поэтому рабочим веществом в МГД может служить только газ.
Как следует из формулы (11.93), рабочий газ должен обладать определенной проводимостью. Следовательно, это должен быть ионизированный газ.
Достаточную ионизацию газа можно получить, или нагревая его до высоких температур (3 4- 6) • 103 К, или добавляя к нему легко ионизирующиеся присадки. В качестве присадок могут служить вещества с малым потенциалом ионизации, например пары цезия. Для сравнения: потенциал ионизации азота равен 14,5 эВ, кислорода — 13,5 эВ, цезия — 3,88 эВ. Из всех элементов цезий имеет наименьший потенциал ионизации. Достаточная ионизация воздуха, а следовательно, его достаточная проводимость может быть достигнута только при очень высоких температурах порядка (5 4- 6) • 103 К. Но в настоящее время не существует конструкционных материалов, которые бы длительное время выдерживали столь высокую температуру. Именно с целью снижения температуры газа для обеспечения его достаточной проводимости и необходимо делать легко ионизирующиеся присадки. Но поскольку цезий дорогой материал, то очевидно, что газ с присадкой должен циркулировать в некотором замкнутом контуре, обеспечивающем сохранность присадки.
Сделаем некоторый ориентировочный расчет. Пусть МГД-генератор имеет следующие характеристики:
% = Ю4Э, и = 105 см/с, сгг = IO】？ L1, а = 10см, b = 100 см, / = 100 см.
Тогда напряжение на боковых пластинах МГД будет равно
U = ЬЕ = bvHQ = у [ед. СГСЭ] = 1000В.
Мощность генератора
IV = 2,5- 1013 эрг/с = 2,5 МВт.
Из формулы (11.93) следует, что наряду с увеличением проводимости рабочего газа необходимо увеличивать его скорость и напряженность магнитного поля. В настоящее время конструкторы стремятся использовать явление сверхпроводимости для создания сильных постоянных магнитных полей.
Формула (11.93) может использоваться только для грубых оценок, так как при ее выводе мы не учитывали много факторов, сильно влияющих на эффективность работы МГД (магнитное поле тока в электродном промежутке, торможение газа и т. д.).
Реальные магнитогидродинамические генераторы состоят из камеры сгорания или нагрева рабочего газа с присоединенным к ней соплом Лаваля, в котором газ ускоряется. Сопло Лаваля помещено в поперечное постоянное магнитное поле. Внутри сопла также смонтированы токоприемные пластины, к которым и подключается внешняя электрическая нагрузка.
Плазменные двигатели. Тяга, создаваемая реактивным двигателем, равна Mv , где М — масса вещества, выбрасываемая двигателем в 1 с, V — скорость, с которой эта масса выбрасывается. Следовательно, для создания максимальной тяги при заданном количестве вещества должна быть максимальной скорость выброса этого вещества двигателем. Если воспользоваться газодинамическим способом ускорения газового потока, то скорость вытекающего газа из сопла двигателя не может быть больше максимальной скорости
°тах = 3°тах = 3)+ 1)+ 17 - 17 - 1V 从 7-1V 从 7-1(11.94)(11.94)
°тах = 3
°тах = 3
)+ 1
)+ 1
7 - 1
7 - 1
V 从 7-1
V 从 7-1
(11.94)
(11.94)
где со — скорость звука, 7 — показатель адиабаты, R — молярная газовая постоянная, То — температура газа,从—молярная масса газа.
Из формулы (11.94) видно, что для увеличения скорости истечения газа необходимо увеличивать его температуру То и использовать газ с малой молярной массой. Формула приведена лишь затем, чтобы показать, что существует предел увеличения скорости газодинамическими средствами. В действительности известно, что скорость Umax может быть достигнута при истечении газа в вакуум, где абсолютная температура равна нулю. При этом поток должен повернуть на определенный угол так, что направленная вдоль двигателя реактивная тяга некоторой части струи будет равна нулю или даже отрицательной.
Однако существует возможность увеличить скорость отбрасываемого вещества электромагнитными способами. Это можно сделать в устройстве типа электромагнитного насоса прямого действия, если газ является достаточно хорошо проводящей плазмой. Если же в двигателе каким-либо способом организовать источник ионов, то их можно разогнать в электростатическом поле практически до субсветовых ско-
ростей. Конечно, как в том, так и в другом случае на борту космического корабля должен быть достаточно мощный источник электрической энергии.
11.11. Турбулентное динамо
Из принципа «вмороженности» магнитных силовых линий в вещество следует, что магнитное поле будет препятствовать возникновению турбулентного режима течения проводящей жидкости. Так, если поле направлено вдоль трубы, по которой движется проводящая жидкость, то, очевидно, что возникновение поперечных составляющих скорости вследствие натяжения при этом магнитных силовых линий будет затруднено, а следовательно, переход от ламинарного режима течения к турбулентному будет происходить при больших числах Рейнольдса, нежели в непроводящей жидкости или в проводящей жидкости, но без магнитного поля. Точно так же магнитное поле, направленное вдоль тангенциального разрыва в проводящей жидкости, увеличивает его устойчивость.
Турбулентное движение проводящей жидкости обладает интересным свойством самопроизвольного возникновения в нем сравнительно больших магнитных полей. Это явление называют турбулентным динамо.
В проводящей жидкости всегда существуют эффекты, приводящие к возникновению слабых магнитных полей, например механомагнит- ный эффект или флуктуации электрического заряда.
Рассмотрим, как будет вести себя в дальнейшем раз возникшее слабое магнитное поле при турбулентном движении проводящей жидкости. Для этого, очевидно, мы должны рассмотреть два конкурирующих эффекта.
При движении проводящей жидкости в возникшем слабом магнитном поле в ней, с одной стороны, будут наводиться индукционные токи, а следовательно, будет происходить диссипация электрической энергии из-за джоулевых потерь, что в конечном счете должно уменьшать спонтанно возникшее магнитное поле.
С другой стороны, поле будет стремиться увеличиться в силу принципа «вмороженности» магнитных силовых линий, поскольку напряженность поля пропорциональна расстоянию между двумя близкими жидкими частицами, а это расстояние при турбулентном движении в среднем всегда увеличивается с течением времени.
Очевидно, что при некоторых условиях обе тенденции могут оказаться равносильными и в турбулентной жидкости возникает магнитное поле определенной напряженности. Для оценки величины этой напряженности рассмотрим уравнения движения.
До тех пор пока напряженность магнитного поля мала в уравнении движения Навье-Стокса для несжимаемой жидкости можно пренебречь магнитной массовой силой как квадратичной по малой
величине Н. Тогда уравнение Навье-Стокса после применения к нему операции rot можно записать в следующем виде:
^^ = rot[v, з] +,3 = }rotv. (11.95)
В магнитной гидродинамике для напряженности магнитного поля имеем следующее уравнение (11.27):
绢=rot[v,H] +「AH.(11.96)
。力47roeг
Сравнивая два последних уравнения, обнаруживаем, что они совершенно идентичны. Следовательно, решения этих уравнений должны быть пропорциональными
з = const • Н.
В этом случае, очевидно, при постоянной завихренности может существовать и стационарное магнитное поле. При этом ни завихренность, ни магнитное поле не увеличиваются и не убывают.
Сама величина этого стационарного (в турбулентном смысле) поля может быть определена лишь из решения уравнений (11.95) и (11.96).
Однако, очевидно, можно сделать и следующее заключение. Если аг > 。2/(4»“，то диссипация магнитного поля через индукционные токи (Qd =尸/分)будет меньше и магнитное поле может возрастать дальше благодаря растяжению магнитных силовых линий. Если же аг < с2/(4тгг/), то напряженность магнитного поля должна убывать.
возрас-(11.97)не мо- в своювозрас-(11.97)не мо- в своюТаким образом, для того чтобы напряженность спонтанного магнитного поля при турбулентном движении проводящей жидкости тала, необходимо, чтобы выполнялось условие
возрас-
(11.97)
не мо- в свою
возрас-
(11.97)
не мо- в свою
4тГ^СГг [
Возрастание напряженности магнитного поля, конечно, жет быть беспредельным, так как сильное магнитное поле очередь будет подавлять механическое турбулентное движение, и наше рассмотрение будет несправедливым, поскольку в уравнении Навье-Стокса уже нельзя будет пренебрегать магнитной массовой силой.
Из общих физических соображений ясно, что максимальная напряженность магнитного поля не должна превышать величину, при которой энергия единицы объема магнитного поля примерно равна кинетической энергии единицы объема движущейся жидкости
о
"max〜丄 2
Рассмотренный механизм позволяет объяснить возникновение значительных магнитных полей во Вселенной, и в частности, на Солнце.
К сожалению, проверить сделанные выше выводы в земных условиях довольно затруднительно, так как, например, для ртути (аг = =1016 1 /с, и = 0,001 см2/с) имеем
i^^io-7.
Однако во Вселенной в достаточно разреженных (малая плотность) сильно ионизированных (большая проводимость) газовых скоплениях условие (11.97) может выполняться, и в этом случае в газовых скоплениях и на поверхности Солнца могут существовать значительные магнитные поля напряженностью в десятки и сотни эрстед.
Одномерное движение проводящей жидкости в поперечном магнитном поле
Рассмотрим одномерное движение проводящей сжимаемой жидкости в поперечном магнитном поле. Направим ось ж вдоль линии тока, а ось z — перпендикулярно к ней. Пусть напряженность магнитного поля имеет единственную компоненту, перпендикулярную линии тока и, следовательно, оси х. Таким образом, топология движения определена следующим образом
о% =。式力)，Vy = 0, vz = 0, Нх = 0, Ну = 0, Нz = Нz(ж).
вследствиевследствиеБудем полагать, что жидкость имеет бесконечную проводимость и является идеальной в гидродинамическом смысле (отсутствует вязкость). В такой жидкости не может происходить никаких диссипативных процессов ни вследствие вязкости жидкости, ни джоулевых потерь.
вследствие
вследствие
(11.98)(11.98)Уравнения движения такой жидкости имеют вид 祭 + (vV)v =—丄▽夕一—^― [H , rot H], otp 4тгр
(11.98)
(11.98)
= rot[v,H],^ + div pv = 0 .
уравненииуравненииКак было показано (см. (11.54)), из двух последних системы (11.98) следует:
уравнении
уравнении
(11.99)
Проецируя на ось ж первое уравнение из (11.98) и уравнение (11.99), получим
(11.100)(11.100)dt Vx dx p dx47r0z dx
(11.100)
(11.100)
Из второго уравнения системы (11.100) следует
幺=const = b , Hz = bp .
Тогда первое уравнение системы (11.100) можно записать в виде
dt 2 дх p dx 87r0 дх р дх у 8тг у
Из уравнения (11.101) нетрудно видеть, что оно не содержит магнитного поля и имеет обычный гидродинамический вид, если в качестве давления взять следующее соотношение:
p=夕+审=夕+国.(11.102)
О7ГО7Г
Очевидно, и все решения уравнения (11.101) можно получить из решений обычного гидродинамического уравнения, если в них вместо давления 夕 подставить Р. Этот результат почти очевиден, поскольку Р представляет собой полное давление, равное сумме гидростатического давления 夕 и магнитного давления Я|/8тг.
В частности, скорость звука или скорость распространения малых возмущений вдоль оси ж, представляющих собой продольные волны сжатия, может быть определена по известной формуле:
(11.103) Из (11.103) следует, что скорость распространения малых возмущений в идеально проводящей жидкости (аг —> оо) перпендикулярно магнитному полю возрастает на величину а, равную
а = Н•(11-104)
У 47r0
Из сравнения с (11.66) видно, что а — скорость волн Альвена. Полученный результат физически понятен. Скорость распространения упругих продольных волн в проводящей жидкости в поперечном магнитном поле возрастает, так как в силу натяжения магнитных силовых линий упругость проводящей среды как бы возрастает, что и ведет к увеличению скорости звука.
Хотя ртуть имеет конечную проводимость, по формуле (11.104) можно оценить порядок скорости волн Альвена. При Н = 1000 Э, р = 13 г/см3 получаем а = 75 см/с. Для скорости звука в ртути добавка мала, однако для разреженного вещества (ионосфера Земли, солнечная корона) скорость волн Альвена может оказаться сравнимой со скоростью звука. Очевидно, на скорость распространения продольных колебаний, направленных вдоль магнитного поля, последнее не оказывает никакого влияния.
Замечательно то, что в проводящей жидкости в магнитном поле могут распространяться и поперечные волны. Если первоначальное возмущение перпендикулярно магнитным силовым линиям, то это возмущение распространяется вдоль силовой линии как по резиновому натянутому шнуру, что приведет (в силу «вмороженности» магнитных силовых линий) к распространению поперечных колебаний и в маловязкой проводящей среде.
Для вычисления скорости распространения поперечных колебаний воспользуемся аналогией.
Уравнение поперечных колебаний в направлении оси ж струны, расположенной вдоль оси z, как известно, имеет вид
т ——= к.(11.105)
dt2 dz
Здесь их — смещение точек струны в направлении оси ж, т — масса струны на единицу длины, к — натяжение струны. По общему свойству волнового уравнения скорость поперечной волны равна
Q = Л Д .(11.106)
у m
Рассмотрим вещество, находящееся около магнитной силовой линии в прямоугольном параллелепипеде с поперечным сечением (перпендикулярно силовой линии), равным 1 см2. Тогда в формуле (11.106) т = р, а к — натяжение на единицу площади, т. е. к = Я|/4тг. Поэтому скорость распространения поперечных колебаний проводящей жидкости в магнитном поле равна
(11.107) V 47r0
В отличие от скорости распространения продольных колебаний, которая складывается из обычной скорости звука и скорости волн Альвена, скорость распространения поперечных колебаний, определяемая формулой (11.107), в невязкой жидкости с бесконечной проводимостью является единственно возможной.
Уравнение Бернулли в магнитной гидродинамике. Уравнение (11.101) представляет проекцию уравнения движения в магнитной гидродинамике на ось ж или на линию тока, совпадающую с осью ж. Для стационарного движения из (11.101) имеем
；夺=」什4楽
2 ох р дх 07Гр охр дх у О7Г у
Поскольку ось ж совпадает с линией тока, то скорость жидкости имеет единственную компоненту vx, т. е. о^ = v2. По определению напряженность магнитного поля также имеет единственную компоненту, перпендикулярную линии тока. Следовательно, Н； = Н?.
В обычной термодинамике изменение энтальпии единицы массы равно
dhr = Т dS Н——dp .
В идеальной жидкости, имеющей бесконечную проводимость, энтропия каждого индивидуального объема постоянна. Поэтому имеем
д ,1 др
拉丁 = - --- •охр ох
Тогда уравнение (11.108) примет вид
?+ /гт +) = ° ,} + 拉т += const.(11.109)
ох у 287r° у287r°
В уравнении (11.109) постоянная не зависит от координаты ж, т.е она постоянна для рассматриваемой линии тока. Уравнение (11.109) и есть уравнение Бернулли в магнитной гидродинамике.
Последнее уравнение можно получить другим путем, если в качестве давления в выражении для энтальпии взять полное давление Р
р//2
拉=8вн + РУ = 8вн Н= 8вн + 2 + q•
РР О7Гр
Таким образом, энтальпия в магнитной гидродинамике вследствие изменения внутренней энергии на величину Я2/8тгр имеет вид
Отсюда из обычного гидродинамического уравнения Бернулли
—+ /г = const
вновь получаем уравнение (11.109).
Уравнение Бернулли в виде (11.109) представляет уравнение сохранения энергии индивидуальной частицы жидкости единичной массы вдоль линии тока.
Ударные волны в магнитной гидродинамике
Для простоты рассмотрим прямую ударную волну в проводящей сжимаемой жидкости при отсутствии вязкости и при бесконечной проводимости. Рассмотрим лишь случай, когда напряженность магнитного поля направлена параллельно линии разрыва или перпендикулярно линии тока вещества.
Индексами 1 и 2 будем отмечать гидродинамические и термодинамические величины до и после ударной волны соответственно. На прямой ударной волне должны быть непрерывны следующие велпчпнн: плотность потока вещества
плотность потока импульса
(11.111)(11.111)(11.112)(11.112),2 I,2 , Я^
(11.111)
(11.111)
(11.112)
(11.112)
Pl + Pl^l += Р2 + 02。2 + Б-；
О7ГО7Г
плотность потока энергии
+ Вт + 际=2 + 创丁 +•
Кроме того, в силу «вмороженности» магнитных силовых линий
имеет место соотношение
(11.113)(11.113)Н4"1%
(11.113)
(11.113)
-=const, ——=——
PPl 02
Таким образом, из полученной системы уравнений следует, что полученные в обычной газовой динамике формулы будут справедливы и в магнитной газодинамике, если в них сделать замену
夕一> 〃 +《一,h —> 拉丁 十 q , 拉丁 = 7 рУ •
О7ГО7Гр
В частности, уравнение ударной адиабаты будет иметь вид
拉 1T -拉2T + ± ("?丿 1 - "^吻)+ I (丿1 + 心)(02 -夕 1) +
+ 7^(Vi+^)(^-//f)=O. (11.114) 1О7Г
В уравнении (11.114) при помощи соотношения (11.113) везде можно заменить Н? на Н\р?1 р\.
Таким образом, уравнение будет зависеть лишь от Яь которое предполагается заданным. После некоторых преобразований можно получить уравнение ударной адиабаты в магнитной гидродинамике в следующем виде:
(11.115)
\7 - 1 Pi /\7 - 1 Pi 丿 8тг丿
Не решая уравнений, можно сделать некоторые качественные выводы. Так как плотность газа за ударной волной растет, то из (11.113) следует, что за ударной волной возрастает и напряженность магнитного поля. Поскольку магнитное давление препятствует сжатию вещества, то, очевидно, скачок плотности на прямой ударной волне в магнитном поле будет меньше, чем без него.
Следовательно, меньше будет и скачок температуры и энтропии, так как кинетическая энергия газа переходит не только в тепловую, но и в энергию поля.
В косой ударной волне, если магнитные силовые линии пересекают поверхность разрыва, то, как и в обычной газодинамической косой ударной волне, они преломляются на ней, приближаясь к поверхности разрыва. При этом на поверхности косой ударной волны испытывают скачок не только нормальные составляющие скорости движения газа,
но и тангенциальные, что невозможно без поля. В этом случае поле влияет меньше на сжатие и нагрев газа, чем в прямой ударной волне, параллельной полю.
Контрольные вопросы
В каком направлении электропроводимость среды больше — вдоль силовых линий магнитного поля или поперек них? При каком условии проводимость среды можно считать изотропной?
При каком условии можно пренебречь током смещения по сравнению с током проводимости?
Какой физический смысл имеют компоненты максвелловских тензоров напряжений электрического и магнитного полей? Как определяется магнитное давление?
Перечислите источники изменения внутренней энергии единицы объема проводящей жидкости в присутствии магнитного поля.
Что представляют собой граничные условия для векторов напряженностей электрического и магнитного полей?
Что характеризуют число Альвена, число Стюарта, магнитное число Рейнольдса, число Гартмана? Как вводится магнитная вязкость?
В чем состоит явление «вмороженности» магнитных силовых линий в проводящей жидкости? Сформулируйте теорему Валена. На основе явления «вмороженности» объясните формирование магнитного поля звезд, сжатие плазмы и принцип магнитной ловушки.
В чем состоит скин-эффект при диффузии магнитного поля в проводящей среде?
Поясните механизм возникновения продольных (ленгмюровских) и поперечных (альвеновских и магнитозвуковых) волн в проводящей среде. Как скорость альвеновских волн зависит от частоты изменения магнитного поля, амплитуды напряженности и плотности жидкости?
Как профиль скорости движения проводящей жидкости в канале в поперечном магнитном поле изменяется при увеличении числа На?
В каком случае расход проводящей жидкости в канале будет больше — при наличии поперечного магнитного поля или без него?
Как изменится сила лобового сопротивления при медленном обтекании шара проводящей жидкостью в магнитном поле? Обоснуйте ответ.
В каком случае не возникает подъемная сила при медленном обтекании шара проводящей жидкостью в магнитном поле?
Объясните причину того, что магнитное поле подавляет возникновение турбулентности в проводящей жидкости.
Что такое турбулентное динамо? При каком условии напряженность спонтанного магнитного поля, возникающего при турбулентном движении проводящей жидкости, будет возрастать?
В чем принципиальное отличие скоростей распространения продольных и поперечных колебаний в проводящей жидкости при наличии магнитного поля?
Как изменяется напряженность магнитного поля в ударной волне? В каком случае скачок плотности, температуры и энтропии ионизированного газа в прямой ударной волне будет больше — при наличии магнитного поля или без него?
11.14. Примеры решения задач
Задача 1
Вычислите скорость установившегося течения несжимаемой проводящей жидкости между бесконечными параллельными пластинами в перпендикулярном магнитном поле напряженностью Яо (см. рис. 11.6). Течение вызвано движением пластин, расположенных в плоскостях z = ± а, в разные стороны со скоростями vq (магнитогидродинамическое течение Куэтта).
Решение. Принципиальное отличие этого течения жидкости от задачи Гартмана состоит лишь в том, что течение жидкости обусловлено движением стенок канала, а не продольным градиентом давления. Поэтому воспользуемся общим решением уравнения движения, полученным в задаче Гартмана (11.73):
(11.116)(11.116)={1 + {2 exp £ + A3 exp (一^)
(11.116)
(11.116)
Постоянные интегрирования Ai,厶2,厶3 должны быть определены из граничных условий. На стенках канала следует учесть «прилипание» жидкости к их поверхностям. Кроме того, из симметрии задачи следует, что на оси канала скорость течения жидкости равна нулю. Тогда граничные условия имеют вид
z = ±a, 0%=±00； z = 0, 0%=0. (11.117)
Отсюда получаем
(11.118)(11.118)+ {2 exp ^ + а5 exp (一^),一00 ={1 + {2 exp (一^) + {3 exp ^,0={1 +42+43・
(11.118)
(11.118)
Из уравнений (11.118) имеем
4 =0,4 =0,{2 = 一43 ={2 = 一43 =。0。02 sh(Ha)'2 sh(Ha)'Тогда скорость движенияТогда скорость движенияжидкости между пластинамижидкости между пластинами加=°о加=°оsh(Ha z/a)sh(Ha)sh(Ha z/a)sh(Ha)(11.119)(11.119)При малых числах На из (11.119) получаем известное в обычной гидродинамике выражение для скорости течения Куэтта: z0况=00 - •При малых числах На из (11.119) получаем известное в обычной гидродинамике выражение для скорости течения Куэтта: z0况=00 - •равнаравнаРис. 11.13. Профили скоростиРис. 11.13. Профили скоростиНа рис. 11.13 показаны профилиНа рис. 11.13 показаны профилискорости при малых и больших числах На. Чем больше На, тем меньше изменяется скорость в сечении канала. Большие градиенты скоростискорости при малых и больших числах На. Чем больше На, тем меньше изменяется скорость в сечении канала. Большие градиенты скорости
4 =0,
4 =0,
{2 = 一43 =
{2 = 一43 =
。0
。0
2 sh(Ha)'
2 sh(Ha)'
Тогда скорость движения
Тогда скорость движения
жидкости между пластинами
жидкости между пластинами
加=°о
加=°о
sh(Ha z/a)sh(Ha)
sh(Ha z/a)sh(Ha)
(11.119)
(11.119)
При малых числах На из (11.119) получаем известное в обычной гидродинамике выражение для скорости течения Куэтта: z
0况=00 - •
При малых числах На из (11.119) получаем известное в обычной гидродинамике выражение для скорости течения Куэтта: z
0况=00 - •
равна
равна
Рис. 11.13. Профили скорости
Рис. 11.13. Профили скорости
На рис. 11.13 показаны профили
На рис. 11.13 показаны профили
скорости при малых и больших числах На. Чем больше На, тем меньше изменяется скорость в сечении канала. Большие градиенты скорости
скорости при малых и больших числах На. Чем больше На, тем меньше изменяется скорость в сечении канала. Большие градиенты скорости
имеют место лишь в пристеночном слое (гартмановский слой), толщина которого тем меньше, чем больше На.
Задача 2
Определите скорость течения проводящей вязкой жидкости вдоль бесконечной пластины в поперечном магнитном поле напряженностью Но. Скорость невозмущенного потока вдали от пластины равна 。8・ Вычислите силу трения, действующую на единицу площади пластины, и напряженность магнитного поля.
Решение. Систему координат выберем так, чтобы ось ж лежала в плоскости пластины и была направлена вдоль скорости о^, а ось z направлена перпендикулярно пластине вдоль вектора напряженности магнитного поля Но (рис. 11.14 ). Вновь воспользуемся общим решением уравнения движения, полученным для течения Гартмана (11.73) или (11.116).
Граничные условия состоят в том, что скорость течения жидкости вдали от стенки равна скорости невозмущенного потока о^, а на поверхности пластины она равна нулю:
z = оо, vx =。8 ; z = 0, 。冗=0. (11.120) Отсюда для постоянных интегрирования получим
Следовательно, скорость течения жидкости вдоль пластины равна 加= °оо[1-ехр(С . (И.121)
Геометрия этой задачи такова, что в ней нет характерного размера. Выберем в качестве характерной длины величину 〃/(。。^), где 〃一 динамическая вязкость жидкости, р - плотность. В этом случае введем число На и безразмерную координату следующим образом:
Нa = , 厶=吗2. (11.122) с pVoo П
В этом случае выражение (11.121) запишется в виде
vx =。8 [1 - ехр(- Haz*)]. (11.123)
При На = 0 задача о стационарном течении жидкости вдоль бесконечной пластины не имеет решения. Физически это означает, что бесконечная пластина в начале своего движения увлекает за собой все большую массу вязкой жидкости, и при достижении стационарного состояния пластина должна была бы вовлечь в движение бесконечную массу жидкости в полупространстве z > 0.
При На》1 профиль скорости всюду однороден, за исключением тонкого гартмановского слоя у поверхности пластины. Чем больше На, тем больше градиент скорости вблизи стенки (рис. 11.14). Этот результат аналогичен тому, который получен в задаче о течении прово-
дящей жидкости в плоском канале. Различие состоит лишь в том, что
в рассматриваемой задаче отсутствует градиент давления.
вязких напряжений:вязких напряжений:Рис. 11.14. Течение вдоль пластиныРис. 11.14. Течение вдоль пластиныНайдем силу трения, действующую в направлении оси х на единицу площади поверхности пластины. Очевидно, она определяется тензором
вязких напряжений:
вязких напряжений:
Рис. 11.14. Течение вдоль пластины
Рис. 11.14. Течение вдоль пластины
/ = %zlz=o = 〃 整I =o = P^L Ha,
"(11.124)
т. e. сила сопротивления пропорциональна числу Гартмана.
Для того чтобы вычислить напряженность магнитного поля, вновь обратим-
ся к решению задачи Гартмана. Установлено (11.70), что поперечная
равнаравнасоставляющая напряженности неизменна во всей области течения и
равна
равна
Hz = const = % .
Для продольной составляющей напряженности получено следующее уравнение (11.77):
дНх 4тгсгг"о л
где А — некоторая постоянная, определяемая из граничных условий. Интегрируя это уравнение с учетом выражения (11.121) для скорости, получим
Нх =—二％8 [г + Аехр (-£)] +4z + 6,(11.125)
где В — постоянная интегрирования.
Поскольку на пластине нет поверхностных токов проводимости, то при z = 0 должна быть непрерывна тангенциальная составляющая напряженности магнитного поля. Кроме того, на большом удалении от пластины величина напряженности магнитного поля должна быть ограничена.
Таким образом, граничные условия имеют вид
z = 0, Нх = 0 ;z —> ос , Нх < ос .(11.126)
Отсюда определим постоянные интегрирования
人 4тг(тг Hqd 47r у
厶=2 Uqo ,6 = -U •
Окончательно получим
/ = ?[1 - exp (С .(11.127)
Следовательно, движущаяся проводящая жидкость растягивает магнитные силовые линии в направлении своего движения. Из выражения
получим, что вдали от поверхности (в невозмущенной области течения) это растяжение равно
儿(z г ос) = ? д/〃сг「•
Задача 3
Бесконечная пластина совершает гармонические колебания в своей плоскости вдоль оси х. Скорость колебаний изменяется по закону и = U exp(zcjf), где U — амплитуда, ш — циклическая частота. Полупространство над пластиной (z > 0) заполнено несжимаемой проводящей жидкостью. Жидкость находится в постоянном магнитном поле, напряженность которого Но направлена перпендикулярно пластине вдоль оси z.
Определите скорость жидкости, считая ее движение ламинарным, напряженность магнитного поля и скорость распространения колебательного движения в жидкости. Вычисления проведите для двух частных случаев:
идеальная (невязкая) жидкость,
идеально проводящая жидкость (о> —> ос).
Коэффициент поглощения (мнимая часть комплексного волнового числа) много меньше волнового числа (действительная часть комплексного волнового числа)
Решение. Вначале рассмотрим общий случай вязкой проводящей жидкости. Градиента давления в жидкости нет. Поэтому система уравнений движения жидкости и напряженности магнитного поля имеет вид
Т + (vV)v = J [Н , rot Н], dt47r0
ан м Е 丄。2(11.128)
div V = 0 , divH = 0 .
На любом расстоянии z от пластины частицы жидкости совершают колебания параллельно оси х. Топология задачи такова, что
и% = vx{t, z), Vz = Vy = 0 , Нх = Нх(^, z),Ну = 0 , Нz = Hz(t, z).
В этом случае уравнения (11.128) в проекциях на оси координат запишутся в следующем виде:
dvx _ d2vx 1 „ дНхdt “ ad47r0 z qz '
党=^ +。側罢，(11.129)
dHzn d2HzdHz n
h后=0.
Здесь Dm — магнитный коэффициент диффузии, определенный выражением (11.57)
DmDm4тГСГг4тГСГг
Dm
Dm
4тГСГг
4тГСГг
Из последних двух уравнений системы (11.129) следует, что поперечная составляющая напряженности не зависит ни от координат, ни от времени:
Hz = const = Hq . (11.130)
Очевидно, распространение колебаний в жидкости представляет собой поперечную волну. Поэтому решение первых двух уравнений будем искать в виде плоских волн, бегущих вдоль оси z:
vx = A exp[z(c(jt + kz)], Нх = В exp[z(c(jt + kz)],(11.131)
где к — волновое число.
Подставляя выражения (11.131) в эти уравнения, получим два алгебраических уравнения для неизвестных амплитуд:
(11.132)(11.132)(添+ z^2)В = 0,4тгр
(11.132)
(11.132)
HQik A - (zcj + Dmk2) В = 0.
Приравняв к нулю определитель, составленный из коэффициентов при амплитудах, получим дисперсионное уравнение для волнового числа и частоты:
yDmk^ 山标 + 几)十同廿一/ = 0,(11.133)
где использовано обозначение
а =а =47r047r0
а =
а =
47r0
47r0
Рассмотрим частные случаи, указанные в условии задачи.
Идеальная жидкость (г/ = 0).
Дисперсионное уравнение (11.133) упрощается и принимает следующий вид:
^Dm + а^ 廿—必2 =о,(11.134)
Решение уравнения (11.134) ищем в виде
Е = а +分/3,0/q《1.(11.135)
Здесь а — действительное волновое число, /3 — коэффициент поглощения. Подставляя (11.135) в (11.134), пренебрегая членами порядка (0/а)2 и разделяя вещественные и мнимые части, получим
(11.136)(11.136)cjDma + 2a2/3 = 0 ,a2a2 — 2(jjDma(3 = / .
(11.136)
(11.136)
Решение уравнений (11.136) имеет вид
2 п
Ql,2 = 土 /,/31,2 =干一L•(11.137)
九2a，a4 + 九
Волновые числа ai и &2 описывают волны, распространяющиеся против и вдоль направления оси z соответственно. В данной задаче cq не имеет физического смысла и следует выбрать только волновое число &2, Т. е. Q = — |&2 I.
Величина /31 описывает колебания жидкости, амплитуда которых растет при удалении от пластины, что противоречит закону сохранения энергии. Величина 02 соответствует затухающим колебаниям. Поэтому коэффициент затухания равен 0 =圧.
Таким образом, имеем
vx = Ae~^z exp[z(c(jt — az)], Hx = Be~^z exp[z(c(jt — az)]. (11.138)
Амплитуду колебаний скорости определим из граничного условия «прилипания» жидкости к поверхности пластины
vx(z = Q) = и .(11.139)
Отсюда получим
A = U.(11.140)
Из уравнений (11.132) при г/ = 0 определим амплитуду напряженности магнитного поля
6 = _45 + 产)犯丝 и.(и.141)
Окончательно имеем
vx = Ue~^z exp[分(g力—az)],
Hx = — Ue~^z exp[i(iL)t — az)] .1.142)
Знак минус в выражении для напряженности означает, что фаза колебаний напряженности совпадает с фазой колебаний координаты и отстает на тг/2 от фазы колебаний скорости. Это соответствует принципу «вмороженности» магнитных силовых линий в жидкость.
Фазовая скорость волны определяется отношением циклической частоты к волновому числу:
°Ф = ^ = ； J/ +.(11.143)
Заметим, что фазовая скорость волны зависит от частоты колебаний, т. е. имеет место дисперсия скорости.
Величину поверхностного скин-эффекта можно определить как расстояние z = 6, на котором амплитуда колебаний уменьшается в е раз
Т = * М +，% •(11.144)
При низких частотах и большой проводимости жидкости выполняется неравенство
G]
а
В этом случае получаем
иф = а =С f , 6 = 0-1, В = 47ro • (11.145)
,4тг02% % а
Как и следовало ожидать, при низких частотах скорость распространения поперечной волны равна скорости волн Альвена, и ампли
туда напряженности зависит только от плотности жидкости.
Вязкая идеально проводящая жидкость (Dm = 0).
Поскольку коэффициенты вязкости и магнитной диффузии входят в дисперсионное уравнение симметрично, формально решение (11.142) не изменится и в этом случае. Изменятся только выражения для волнового числа и коэффициента поглощения, которые могут быть получены из (11.137) заменой коэффициента магнитной диффузии на коэффициент кинематической вязкости
2
(11.146)(11.146)сси и
(11.146)
(11.146)
-/， Р =/
\/a4 + g2〃22a\/a4 +2
Фазовая скорость волны равна
艺=丄 J/ + ,〃2 .(1 1.147)
При низких частотах, когда выполняется неравенство g^/q?《1, получим
Q =— аQ =— аОфОф=а=аЯр /4тгрЯр /4тгр(11.148)(11.148)
Q =— а
Q =— а
Оф
Оф
=а
=а
Яр /4тгр
Яр /4тгр
(11.148)
(11.148)
Как и в предыдущем случае идеальной жидкости, при низких частотах скорость распространения волны равна скорости волн Альвена. Отметим также, что для коэффициента поглощения получено выражение, которое с точностью до множителя 4/3 формально совпадает с известной формулой Стокса-Кирхгофа 9.
ПРИЛОЖЕНИЯ
П.1. Дифференциальные операторы в криволинейных координатах
и и V — про- е『，е屮,gz —и и V — про- е『，е屮,gz —Цилиндрические координаты （т, q, z）. Пусть извольные скалярная и векторная функции координат; единичные базисные векторы. Тогда
и и V — про- е『，е屮,gz —
и и V — про- е『，е屮,gz —
▽"三 grad▽"三 gradа〃 , 1 диа〃 , 1 дигга夕а夕1 d（rvr） div v =^-r or1 d（rvr） div v =^-r or1 a。夕dvzг 3夕dz '1 a。夕dvzг 3夕dz 'е「+е「+,/ 1 dvz,/ 1 dvz也 _ е +dz dr ）\ r dr也 _ е +dz dr ）\ r dr（п.1）（п.1）2. Сферические координаты （丁,夕,8）. ег, е^, ее — единичные базисные векторы.2. Сферические координаты （丁,夕,8）. ег, е^, ее — единичные базисные векторы., du t 1 диgrad〃=L + E 厂, du t 1 диgrad〃=L + E 厂+ - г+ - г1 a（产 oГ）i a"…=；7%^ +』君+1 a（产 oГ）i a"…=；7%^ +』君+а（ое sin е）а（ое sin е）г sin 8 двг sin 8 дв『sm е \ дО『sm е \ дО…噜1…噜1、（П.2）吟е + ае丿e4十、（П.2）吟е + ае丿e4十ее；ее；+ /1dvr1卜丁 sin О a夕r+ /1dvr1卜丁 sin О a夕r
▽"三 grad
▽"三 grad
а〃 , 1 ди
а〃 , 1 ди
г
г
а夕
а夕
1 d（rvr） div v =^-
r or
1 d（rvr） div v =^-
r or
1 a。夕dvz
г 3夕dz '
1 a。夕dvz
г 3夕dz '
е「+
е「+
,/ 1 dvz
,/ 1 dvz
也 _ е +
dz dr ）
\ r dr
也 _ е +
dz dr ）
\ r dr
（п.1）
（п.1）
2. Сферические координаты （丁,夕,8）. ег, е^, ее — единичные базисные векторы.
2. Сферические координаты （丁,夕,8）. ег, е^, ее — единичные базисные векторы.
, du t 1 диgrad〃=L + E 厂
, du t 1 диgrad〃=L + E 厂
+ - г
+ - г
1 a（产 oГ）i a"
…=；7%^ +』君+
1 a（产 oГ）i a"
…=；7%^ +』君+
а（ое sin е）
а（ое sin е）
г sin 8 дв
г sin 8 дв
『sm е \ дО
『sm е \ дО
…噜1
…噜1
、（П.2）
吟е + ае丿e4十
、（П.2）
吟е + ае丿e4十
ее；
ее；
+ /1dvr1
卜丁 sin О a夕r
+ /1dvr1
卜丁 sin О a夕r
П.2. Компоненты тензора деформаций в криволинейных координатах
Цилиндрические координаты (т, q, z).
_ диг _ 1 ди^_ диг _ 1 ди^2 一丄也2 一丄也2"屮2"屮.а и中dr.а и中dr9_ диг . a〃zrz~ 亦，9_ диг . a〃zrz~ 亦，〃夕 + 1 дигг г а夕〃夕 + 1 дигг г а夕(П.З)(П.З)
_ диг _ 1 ди^
_ диг _ 1 ди^
2 一丄也
2 一丄也
2"屮
2"屮
.а и中dr
.а и中dr
9_ диг . a〃z
rz~ 亦，
9_ диг . a〃z
rz~ 亦，
〃夕 + 1 дигг г а夕
〃夕 + 1 дигг г а夕
(П.З)
(П.З)
Сферические координаты (т, 9、夕).
_ диг"r dr，_ диг"r dr，°"=寿高而 + 7 + 7 dg仇°"=寿高而 + 7 + 7 dg仇СеСе1 a〃e 〃「1 a〃e 〃「гг28r6 =28r6 =2叫=；(^^ - "4 ctg e) +2叫=；(^^ - "4 ctg e) +11a〃e up 1 a〃「9_齐一彳6'=a〃e up 1 a〃「9_齐一彳6'=г1г1sin е а夕'sin е а夕'г sin е а夕г sin е а夕dr 『dr 『(П.4)(П.4)
_ диг
"r dr，
_ диг
"r dr，
°"=寿高而 + 7 + 7 dg仇
°"=寿高而 + 7 + 7 dg仇
Се
Се
1 a〃e 〃「
1 a〃e 〃「
г
г
28r6 =
28r6 =
2叫=；(^^ - "4 ctg e) +
2叫=；(^^ - "4 ctg e) +
1
1
a〃e up 1 a〃「9_
齐一彳6'=
a〃e up 1 a〃「9_
齐一彳6'=
г
1
г
1
sin е а夕'
sin е а夕'
г sin е а夕
г sin е а夕
dr 『
dr 『
(П.4)
(П.4)
П.З. Компоненты тензора напряжений в криволинейных координатах
Цилиндрические координаты (т, q, z).
р + 2〃 常’=+裟)，(П.5)
+ 祭)，(祟 一 + ；需｝
Сферические координаты (т, р, 8).
Prr = -p + ^^,+ (^^需+ ^ + ^ctgd),
Р + 2"^ +号，…〃(察一”:醤)， /、(П.6)
П.4. Уравнения движения
в криволинейных координатах
Цилиндрические координаты (т, q, z).
Уравнение непрерывности для несжимаемой жидкости:
丄礬=0.(n.7)
г or Г 少夕 OZ
Компоненты уравнения Навье-Стокса
醬+(vV)3* = T絹+ 〃GwW + ^後｝ (П-8) 醬 + (vV)Uz = - - Auz,
где операторы (vV) и △ определяются следующими выражениями:
or г d夕ozor г d夕oz
or г d夕oz
or г d夕oz
(П.9)(П.9)dtг_1 дрp orAo® zvrve石T +(V▽加。+ 丁一dtг_1 дрp orAo® zvrve石T +(V▽加。+ 丁一д20r△0г——r г丸 ctg е _д20r△0г——r г丸 ctg е _2 a(oesine) 2r2 sin2 e ae r2 sin о 分夕2 a(oesine) 2r2 sin2 e ae r2 sin о 分夕о® 2 cos e Ao 夕 1 r2 sin2 e r2 sin2 e 3夕о® 2 cos e Ao 夕 1 r2 sin2 e r2 sin2 e 3夕
(П.9)
(П.9)
dtг
_1 др
p or
Ao® zvrve
石T +(V▽加。+ 丁一
dtг
_1 др
p or
Ao® zvrve
石T +(V▽加。+ 丁一
д20r
△0г——r г
丸 ctg е _
д20r
△0г——r г
丸 ctg е _
2 a(oesine) 2
r2 sin2 e ae r2 sin о 分夕
2 a(oesine) 2
r2 sin2 e ae r2 sin о 分夕
о® 2 cos e Ao 夕 1 r2 sin2 e r2 sin2 e 3夕
о® 2 cos e Ao 夕 1 r2 sin2 e r2 sin2 e 3夕
Сферические координаты (т, р, 8).
Уравнение непрерывности для несжимаемой жидкости:
也 +(vV)u + s 夕 + %"夕 ctg61 =
1 др *2 dvr 2 cos 0 dvg "夕
rp a夕“ 『Jine a夕rsin2в a夕r2sin2в
где операторы (vV) и △ определяются следующими выражениями
+7丽++7丽+г sin 0 а夕г sin 0 а夕急(sin嚼)+急(sin嚼)+1a2/r2 sin2 e a夕21a2/r2 sin2 e a夕2
+7丽+
+7丽+
г sin 0 а夕
г sin 0 а夕
急(sin嚼)+
急(sin嚼)+
1a2/
r2 sin2 e a夕2
1a2/
r2 sin2 e a夕2
П.5. Перевод электромагнитных величин
из гауссовой системы в СИ и обратно
Переводные коэффициенты приведены по книге Е.А. Памятных и Е.А. Турова 1).
Величина
сгс
СИ
Скорость света
Напряженность электрического поля, потенциал
Заряд, плотность заряда, ток, плотность тока
Магнитная индукция, магнитный поток
Напряженность магнитного поля
Удельная электрическая проводимость
с
e,9
d 0ё，/, J
В, Ф
Н
1
■\/£0 从 0 ，47Г£о (Е,夕)
乙(d 0е, /, j)
产(В, ф)
V Mo
л/4тг/1о Н
47Г60
Значения электрической и магнитной постоянных:
Ео = 8,854 • 10-12 Ф/м , 从0 = 4тг • ICT7 Гн/м .
Для уравнений Максвелла и силы Лоренца:
СГС
СИ
div D = 47roe
rot И =11
c dtс
div В = 0
rot E =— c dt
F = еЕ+ - [v, В] с
div D = ре
rotH =也 +j dtw
div В = 0
rotE = -^ dt
F = eE + e [v, B]
1) Е.А. Памятных, Е.А. Туров. Основы электродинамики материальных сред в переменных и неоднородных полях. — М.: Физматлит, 2000.
Список рекомендуемой литературы
Абрамович Г.Н. Прикладная газовая динамика. — М.: Наука, 1976.
Берд Р., Стьюарт В., Лайтфут Е. Явления переноса. — М.: Химия, 1974.
Берже 〃.，Помо 〃.，Видаль К. Порядок в хаосе. О детерминированном подходе к турбулентности. — М.: Мир, 1991.
Брановер Г.Г., Циновер А.Б. Магнитная гидродинамика несжимаемых сред. — М.: Наука, 1970.
Гершуни Г.З. Гидродинамическая неустойчивость. Изотермические течения 〃 Соросовский обр. ж. 1997. № 2. С. 99.
Гидродинамические неустойчивости и переход к турбулентности / Под ред. Суинни X, Голлаба Дж. — М.: Мир, 1984.
Гинзбург И.П. Аэрогазодинамика. — М.: Высш, школа, 1966.
Каулинг Т. Магнитная гидродинамика. — М.: Наука, 1959.
Кирко И.М., Кирко Г.Е. Магнитная гидродинамика несжимаемых сред.— Пермь: Изд-во ПГУ, 1980.
Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе И.В. Теоретическая гидромеханика. — М.: ①нзматгнз, 1963, Т. 1, 2.
Крайнов В.П. Качественные методы в физической кинетике и гидрогазодинамике. —М.: Высш, школа, 1989.
Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория упругости. — М.: Физматлит, 2006.
Ландау 〃.“.，Лившиц Е.М. Гидродинамика. — М.: Физматлит, 2006.
Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. — М.: Физматлит, 2005.
Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. — М.: Наука, 1987.
Милн-Томсон Л.М. Теоретическая гидродинамика. — М.: Мир, 1964.
Осватич К., Шварценбергер Р. Сборник задач и упражнений по газовой динамике. — М.: Мир, 1967.
Пикельнер С.Б. Основы космической электродинамики. — М.: Наука, 1966.
Породное В.Т., Флягин А.Г., Черняк В.Г. Механика сплошных сред.— Свердловск: Изд-во УПИ, 1989.
Прандтль Л. Гидроаэромеханика. — Ижевск: НИЦ «РХД», 2000.
Седов Л.И. Механика сплошной среды. — М.: Наука, 1994, т. 1.
Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике. — М.: Физматлит, 1999.
Суетин П.Е. Механика деформируемых сред. — Свердловск: Изд-во УрГУ, 1981.
Суетин П.Е. Механика жидкости. — Свердловск: Изд-во УрГУ, 1983.
Суетин П.Е. Турбулентность. Пограничный слой. — Свердловск: Изд-во УрГУ, 1984.
Суетин П.Е. Газовая динамика. — Свердловск: Изд-во УрГУ, 1984.
Суетин П.Е. Магнитная гидродинамика. — Свердловск: Изд-во УрГУ, 1984.
Трубецков Д.И. Турбулентность и детерминированный хаос 〃 Соросовский обр. ж. 1998. № 1. С. 77.
Фабрикант Н.Я. Аэродинамика. — М.: Наука, 1964.
Фрик П.Г. Турбулентность: модели и подходы. Курс лекций. Часть 1.— Пермь: Изд-во ПГТУ, 1998.
Хинце О.И. Турбулентность, ее механизм и теория. — М.: Физматгиз, 1963.
Шерклиф Дж. Курс магнитной гидродинамики. — М.: Мир, 1967.
Предметный указатель
Адиабата Гюгонио, 263
Аттрактор, 197
—Лоренца, 205
—странный, 205
—точечный, 200
—циклический, 202
Бифуркация, 197
—Хопфа, 203
Вектор Пойнтинга, 308
—Умова, 62, 261, 308
—теплового потока, 58
Волна разрежения, 280
—ударная косая, 270
прямая, 262
Волны альвеновские, 319
— ленгмюровские, 318
—магнитогидродинамические, 318
Вязкость кинематическая, 129
—турбулентная, 214
Давление магнитное, 303
Движение баротропное, 87
—вихревое, 94
—плоское, 103
—потенциальное, 101
Деформации пластические, 29
—упругие, 16
Деформация температурная, 21
Диаграмма бифуркационная, 202
—растяжения, 37
Длина пути перемешивания, 215
Закон Гука, 33
Кавитация, 90
Конус Маха, 259
Коэффициент Пуассона, 36
—всестороннего сжатия, 34
—вязкости
магнитной, 310
объемной, 66
Коэффициент вязкости сдвиговой, 66
—запаса прочности, 37
—магнитной диффузии, 316
—сопротивления, 219
—температуропроводности, 65
—теплопроводности, 64
Коэффициенты Ламэ, 32
Кризис сопротивления, 245
Масса присоединенная, 119
Модуль Юнга, 35
—всестороннего сжатия, 32
—сдвига, 32
Нить вихревая, 97
Парадокс Даламбера, 109
Поверхность разрыва, 260
Пограничный слой ламинарный, 232
—турбулентный, 232
Подобие геометрическое, 163
—динамическое, 163
Потенциал баротропный, 87
— комплексный, 105
—скорости, 101
Предел пропорциональности, 37
—прочности, 37
—текучести, 37
—упругости, 37
Предельный цикл, 201
Пространство состояний, 198
—фазовое , 198
Равновесие безразличное, 187
—асимптотически устойчивое, 187
—неустойчивое, 187
—устойчивое, 187
Расход массовый, 139
—объемный, 139
Скин-эффект, 317
Скорость вихревая, 83
—волны поперечной, 70
Скорость волны продольной, 70
—комплексная, 105
—критическая, 186, 254
Смещение, 15
—относительное, 16
Температура торможения, 252
Тензор вязких напряжений, 66
—деформации, 16
—напряжений, 27
магнитного поля, 303
электрического поля, 303
—относительной деформации, 16
—плотности потока импульса, 56
—поворота, 16
—теплового расширения, 22
Теорема Валена, 312
—Гельмгольца, 96
—Жуковского, 112
—Томсона, 95
Теория Гейзенберга-Линя, 195
— Дайслера, 217
— Кармана, 216
—Ландау-Хопфа, 203
—Прандтля, 214
—«Фейгенбаума, 207
Течение ламинарное, 184
—турбулентное, 184
—Куэтта
плоское, 135
цилиндрическое, 141
—Пуазейля
плоское, 137
цилиндрическое, 139
Толщина вытеснения, 237
Трубка Пито, 91
—вихревая, 96
—тока, 86
Турбулентность изотропная, 185
—однородная, 185
—развитая, 223
Турбулентные напряжения, 213
Угол Маха, 259
Уравнение Орра-Зомерфельда, 194
—Бернулли, 84
нестационарное, 101
—Ван дер Поля, 201
—Громека, 83
Уравнение Кармана, 240
—Прандтля, 234
—Пуассона, 252
—Рейнольдса, 213
—①урье, 64
—Эйлера, 81
—внутренней энергии, 58
—волновое, 70
—движения, 50, 51
—непрерывности, 46
—строфоиды, 271
—теплопроводности, 65
—ударной поляры, 271
Условие Коши-Римана, 104
—непротекания, 84
—прилипания, 130
Участок разгонный, 238
Фазовая точка, 198
Фазовая траектория, 198
Фазовый портрет, 198
Формула Блазиуса, 219
—Гюйгенса, 172
—Колмогорова-Обухова, 226
—Никурадзе, 221
—Осеена, 148
—Пуазейля, 140
—Сен-Венана, 258
—Стокса, 148, 174
Функция тока, 103
Циркуляция скорости, 94
Число Альвена, 309
—Гартмана, 310
—Маиевского, 252
—Маха, 162, 252
—Прандтля
магнитное, 310
—Рейнольдса, 162, 186, 187
критическое, 186
магнитное, 310
—Струхала, 162
—Стюарта, 309
—①е虹енбаума, 208
—Фруда, 162
Эллипсоид деформации, 21
Энтальпия, 82
Эффект Магнуса, 112
1) Пределом прочности называется напряжение, соответствующее наиболь
шей нагрузке, выдерживаемой телом перед разрушением. Значения этой вели-
чины для различных материалов табулированы.
1) Это строго справедливо только для разреженных газов при постоянной
1) В формуле Стокса-Кирхгофа а — обычная скорость звука в газах и жид
1А??/1 д2иctg 0 ди
г2 sin2 е а，г2 дв2 г2 ае
1 d(r2vr) 1 a(sin%e) 1Но夕
УДК 531+532
ББК 22.25
4 49
Черняк В. Г., Сует и н П. Е. Механика сплошных сред: Учеб, пособ.: Для вузов. - М.:①НЗМАТЛНТ, 2006. - 352 с. - ISBN 5-9221-0714-3.
Излагаются фундаментальные физические концепции кинематики и динамики сплошной среды, рассматриваются ее различные модели (твердое тело, жидкость и газ). Большая часть учебного пособия посвящена вопросам гидродинамики идеальной и вязкой жидкости. Включены элементы теории упругости, газодинамики и магнитной гидродинамики. Показывается, как теоретические положения используются для решения инженерных задач и для объяснения некоторых явлений природы.
Вопросы для самоконтроля и примеры решения задач, приведенные в конце каждой главы, помогут читателю лучше разобраться в теории, приобрести навыки самостоятельного решения задач механики сплошной среды.
Допущено Министерством образования и науки Российской Федерации в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению подготовки бакалавров «Физика».
Учебное издание
ЧЕРНЯК Владимир Григорьевич СУЕ ТИН Паригорий Евстафьевич
МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ СРЕД
Редактор Д.А. Миртова
Оригинал-макет: В.В. Затекин
Оформление переплета: А.Ю. Алехина
Подписано в печать 30.06.06. Формат 60x90/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Ус л. печ. л. 22. Уч.-изд. л. 25,0. Тираж 1500 экз. Заказ №
Издательская фирма «Физико-математическая литература» МАИК «Наука/Интерпериодика»
ISBN 5-9221-0714-3ISBN 5-9221-0714-3117997, Москва, ул. Профсоюзная, 90 E-mail: fizmat@maik.ru, fmlsale@maik.ru; http://www.fml.ru
ISBN 5-9221-0714-3
ISBN 5-9221-0714-3
Отпечатано с готовых диапозитивов в ПФ «Полиграфист» 160001, г. Вологда, ул. Челюскинцев, 3
Тел.: (8172) 72-55-31, 72-61-75, факс: (8172) 72-60-72
E-mail: form.pfp@votel.ru http://www.vologda/~pfpv
© ФИЗМАТЛИТ, 2006
ISBN 5-9221-0714-3ISBN 5-9221-0714-3© В. Г. Черняк, П. Е. Суетин, 2006
ISBN 5-9221-0714-3
ISBN 5-9221-0714-3
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 8
ГЛАВА 1. Модель сплошной среды 9
Модели механического движения 9
Бесконечно малые в модели сплошной среды 10
Бесконечно малый элемент объема (10). 1.2.2. Бесконечно малый промежуток времени (12).
Примеры решения задач 13
ГЛАВА 2. Кинематика сплошной среды 15
Деформация 15
Тензор поворота 17
Тензор деформации 18
Изменение объема тела при деформации (19). 2.3.2. Геометрические свойства линейных деформаций (20). 2.3.3. Эллипсоид деформации (21).
Температурная деформация 21
Теорема Коши-Гельмгольца 23
ГЛАВА 3. Уравнения теории упругости 24
Тензор напряжений 24
Силы массовые, объемные и поверхностные (24). 3.1.2. Тензор напряжений (25). 3.1.3. Результирующая поверхностная сила, действующая на единицу объема тела (27).
Термодинамика деформирования 29
Работа внутренних сил (29). 3.2.2. Основное термодинамическое равенство (30).
Закон Гука 31
Свободная энергия деформируемого тела (31). 3.3.2. Закон Гука (32).
Однородная деформация 34
Модуль Юнга и коэффициент Пуассона (35). 3.4.2. Диаграмма растяжения (36).
Неизотермическое деформирование 38
Адиабатические и изотермические модули (39).
Уравнение равновесия изотропных тел 41
Граничные условия (42).
ГЛАВА 4. Фундаментальная система уравнений движения сплошной среды 44
Тензор скоростей деформации 44
Дифференцирование по времени интеграла по подвижному объему 45
Уравнение непрерывности 45
Интегральная и дифференциальная форма уравнения непрерывности (48).
Уравнение движения сплошной среды 49
Субстанциональное и локальное описание движения сплошной среды (50).
Уравнение момента импульса сплошной среды 53
Тензор плотности потока импульса 56
Уравнение сохранения внутренней энергии 57
Вектор плотности потока полной энергии. Вектор Умова 61
Замкнутая система уравнений движения сплошной среды 63
Уравнение теплопроводности изотропных сред 64
Тензор вязких напряжений 65
Модели сплошных сред 67
Упругие волны 69
Примеры решения задач 73
ГЛАВА 5. Идеальная жидкость 81
Уравнения движения идеальной жидкости 81
Изэнтропическое движение (82). 5.1.2. Граничные и начальные условия (84).
Уравнение Бернулли 84
Линии тока и траектории. Трубка тока (85).
Применение уравнения Бернулли 87
Скорость истечения идеальной несжимаемой жидкости из сосуда (87). 5.3.2. Распределение давления в трубе переменного сечения (88). 5.3.3. Кавитация (89). 5.3.4. Трубка Пито (90).
Влияние сжимаемости среды 91
Вихревое движение 94
Теорема Томсона (94).5.5.2. Теорема Гельмгольца (96).
Одиночная вихревая прямолинейная нить (97). 5.5.4. Примеры вихревых движений (99).
Потенциальное движение 101
Потенциал скорости (101). 5.6.2. Идеальная несжимаемая жидкость (102). 5.6.3. Функция тока (103).
Методы описания движения идеальной жидкости 104
Метод конформных отображений (104). 5.7.2. Метод суперпозиции потенциальных потоков (НО). 5.7.3. Графоаналитический метод (114). 5.7.4. Непосредственное решение уравнений движения (116).
Примеры решения задач 121
ГЛАВА 6. Вязкая жидкость 129
Замкнутая система уравнений движения вязкой жидкости. Уравнение Навье-Стокса 129
Граничные и начальные условия (130). 6.1.2. Вихревое движение вязкой жидкости (131).
Диссипация кинетической энергии несжимаемой вязкой жидкости 132
Точные решения уравнения Навье-Стокса 134
Течение Куэтта (135).6.3.2. Плоское течение Пуазей-
ля (137).6.3.3. Цилиндрическое течение Пуазейля (139).
Движение жидкости между двумя вращающимися цилиндрами (141).
Медленное обтекание шара 144
Примеры решения задач 150
ГЛАВА 7. Методы подобия и размерности 160
Подобие гидродинамических движений 160
Безразмерные уравнения движения (160). 7.1.2. Сила сопротивления. Коэффициенты сопротивления (163). 7.1.3. Моделирование (164). 7.1.4. Аэродинамические трубы. Бассейны (167).
Аналитические коэффициенты сопротивления (167).
Метод размерностей физических величин 169
Основные и производные величины (169). 7.2.2. Определяющие параметры (170). 7.2.3. Выбор определяющих параметров и основных величин (175).
Примеры решения задач 176
ГЛАВА 8. Турбулентность 184
Ламинарное и турбулентное течение 184
Устойчивость стационарного движения жидкости 187
Устойчивость движения жидкости между коаксиальными цилиндрами 189
Устойчивость движения в канале 192
Сценарии зарождения турбулентности 196
Понятия аттрактора и бифуркации (197).8.5.2. Сцена
рий Ландау-Хопфа (203). 8.5.3. Сценарий Рюэля-Такенса (205).
Сценарий Фейгенбаума (207).
Уравнения Рейнольдса 211
Теории Прандтля, Кармана и Дайслера 214
Цепочка уравнений Фридмана 217
Турбулентное движение жидкости в трубах 218
Гладкие трубы (219). 8.9.2. Шероховатые трубы (221).
Развитая турбулентность 223
Примеры решения задач 227
ГЛАВА 9. Пограничный слой 232
Понятие пограничного слоя 232
Уравнения Прандтля 233
Безразмерный вид уравнений Прандтля (234).
Обтекание полубесконечной пластины 235
Толщина вытеснения (237). 9.3.2. Разгонный участок (237).
Интегральное соотношение Кармана 238
Обтекание полубесконечной пластинки (240).
Отрыв пограничного слоя 242
Турбулентный пограничный слой 243
Примеры решения задач 245
ГЛАВА 10. Газовая динамика 250
Скорость звука 250
Параметры газа в заторможенном потоке 251
Температура торможения (252).
Стационарный одномерный поток сжимаемого газа 253
Сопло Лаваля (255).
Истечение газа из резервуара через сужающийся насадок 256
Ударные волны и скачки уплотнения 259
Конус Маха (259). 10.5.2. Поверхности разрыва (260).
Ударная адиабата (адиабата Гюгонио) 262
Прямая ударная волна в идеальном газе (263).
Ударные волны слабой интенсивности 265
Образование ударных волн (267). 10.7.2. Ударная волна при взрыве (268).
Косая ударная волна 270
Максимальный угол поворота потока (272). 10.8.2. Обтекание клина (275).
Волна разрежения 277
Обтекание тупого угла сверхзвуковым потоком (277).
Максимальный угол поворота потока (280).
Пересечение ударных волн и волн разрежения 284
Отражение ударной волны от стенки (284). 10.10.2. Пересечение двух ударных волн (286). 10.10.3. Пересечение ударной волны с тангенциальным разрывом (287). 10.10.4. Истечение газа из сужающегося насадка (287). 10.10.5. Сопло Лаваля в нерасчетном режиме (288). 10.10.6. Обтекание пластинки сверхзвуковым потоком под малым углом атаки (289).
Примеры решения задач 290
ГЛАВА 11. Магнитная гидродинамика 297
Введение 297
Уравнения Максвелла 298
Модель среды 299
Уравнения движения проводящей жидкости в электромагнитном поле 301
Электромагнитные массовые силы (301). 11.3.2. Тензоры электрических и магнитных напряжений (302). 11.3.3. Уравнение движения (303). 11.3.4. Уравнение сохранения внутренней энергии (305). 11.3.5. Замкнутая система уравнений движения (305).
Граничные условия (307). 11.3.7. Плотности потоков импульса и энергии (307).
Критерии подобия в магнитной гидродинамике 308
«Вмороженность» магнитных силовых линий 311
Диффузия магнитного поля 316
Волны Альвена 318
Задача Гартмана 320
Задача Стокса 324
Магнитогидродинамические машины 325
Электромагнитные насосы (325).11.10.2. Магнитогидродинамический генератор (328).11.10.3. Плазменные двигате
ли (330).
Турбулентное динамо 331
Одномерное движение проводящей жидкости в поперечном магнитном поле 333
Уравнение Бернулли в магнитной гидродинамике (335).
Ударные волны в магнитнойгидродинамике 336
Примеры решения задач 339
Приложения 346
П.1. Дифференциальные операторывкриволинейных координатах .... 346
П.2. Компоненты тензора деформаций в криволинейных координатах . . 347 П.З. Компоненты тензора напряжений в криволинейных координатах . . 347 П.4. Уравнения движенияв криволинейных координатах 348
П.5. Перевод электромагнитных величин из гауссовой системы в СИ и обратно 349
Список рекомендуемой литературы 350
Предметный указатель 351
ЗГажяты 出р(шъе儿咒 〃 ам^пш/ш ^^иьшиа豕1 叶乩弘屮"孔気&e/пш中ь/шш.
ПредисловиеПредисловие
Предисловие