ГАЗОВАЯ ДИНАМИКА

Заведующий редакцией Л. А. Русаков

Редактор А. Г. Мордвинцев

Художественный редактор Т, Н. Кольченко

Технические редакторы И. Ш. Аксельрод, Л. В. Лихачева,

А. П. Колесникова, С. Я. Шкляр

Корректоры О. М. Березина, М. Н. Дронова

ИБ № 12910

Сдано в набор 30.0 3.88. Подписано к печати 27.10.88. Формат 60X90/16. Бумага типографская № 1. Гарнитура литературная. Печать высокая. Усл. печ. л. 26,5. Усл. кр.-отт. 26,5. Уч.-изд. л. 28,46. Тираж 7 500 экз. Заказ № 2723. Цена 1 р. 30 к.

Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Наука»

Главная редакция физико-математической литературы

117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15

Ордена Октябрьской Революции и ордена Трудового Красного Знамени МПО «Первая Образцовая типография» Союзполиграфпрома при Государственном комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли.

113054 Москва М-54, Валовая, 28

Отпечатано во 2-ой типографии издательства «Наука»

1210 99 Москва Г-99, Шубинский пер., 6. Заказ 2302

тт 1703040000-189 по 欣4 ―053 (02)-889&88ISBN 5-02-013814-2тт 1703040000-189 по 欣4 ―053 (02)-889&88ISBN 5-02-013814-2© Издательство «Наука». Главная редакция физико-математической литературы, 1988© Издательство «Наука». Главная редакция физико-математической литературы, 1988

тт 1703040000-189 по 欣

4 ―053 (02)-889&88

ISBN 5-02-013814-2

тт 1703040000-189 по 欣

4 ―053 (02)-889&88

ISBN 5-02-013814-2

© Издательство «Наука». Главная редакция физико-математической литературы, 1988

© Издательство «Наука». Главная редакция физико-математической литературы, 1988

ОГЛАВЛЕНИЕ

55Предисловие

5

5

Глава /. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ И ЭЛЕМЕНТЫ ПРИКЛАДНОЙ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ

Введение 11

Законы сохранения для конечных объемов среды (интегральные законы сохранения) 30

Установившиесядвижениягазавтрубке 42

Течения с разрывами 70

Установившиеся движения газа в трубке. Течения с разрьшами (продолжение) 89

Взаимодействиегазасдвижущимсявнем телом 118

Дифференциальные уравнения, соотношения на сильных разрывах и краевые условия 132

. Некоторые свойства системы дифференциальных уравнений газовой динамики 142

§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§Глава II. ОДНОМЕРНЫЕ НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯОсновные уравненияНачальные условия и внешние граничные условияУравнения в характеристической формеМетод характеристикЗадача Коши. Область зависимости и область влияния. Слабые разрывыЗадачи с условиями на характеристиках (задача Гурса, задачи с условием на траектории: задача о поршне, задача со свободной границей)Простые волны (волны Римана)Задача о поршне. Истечение газа в вакуумСоотношения между параметрами газа на разрыве. Эволюционные раз* рывы. Слабые и сильные ударные волныЗадача о поршне, движущемся внутрь области, занятой газом. Образование разрываВзаимодейств ие бегущей волны с ударной волной и с контактным разрывомРаспад произвольного разрываСтолкновение ударных волн. Отражение ударной волны от стенки. Взаимодействие ударной волны с контактным разрывом. Отражение ударной волны от открытого конца трубыУдарная труба. Задача о взрывеАсимптотическое поведение затухающих ударных^волнСильный взрывРаспространение волн детонации и горения в трубахАкустическое приближениеГлава II. ОДНОМЕРНЫЕ НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯОсновные уравненияНачальные условия и внешние граничные условияУравнения в характеристической формеМетод характеристикЗадача Коши. Область зависимости и область влияния. Слабые разрывыЗадачи с условиями на характеристиках (задача Гурса, задачи с условием на траектории: задача о поршне, задача со свободной границей)Простые волны (волны Римана)Задача о поршне. Истечение газа в вакуумСоотношения между параметрами газа на разрыве. Эволюционные раз* рывы. Слабые и сильные ударные волныЗадача о поршне, движущемся внутрь области, занятой газом. Образование разрываВзаимодейств ие бегущей волны с ударной волной и с контактным разрывомРаспад произвольного разрываСтолкновение ударных волн. Отражение ударной волны от стенки. Взаимодействие ударной волны с контактным разрывом. Отражение ударной волны от открытого конца трубыУдарная труба. Задача о взрывеАсимптотическое поведение затухающих ударных^волнСильный взрывРаспространение волн детонации и горения в трубахАкустическое приближение49545662641* 1* 1* 1* 1*49545662641* 1* 1* 1* 1*68727886687278869396071 1 29396071 1 21217202326292 2 2 2 2 21217202326292 2 2 2 2 2

§§§§§§§§§§

§§§§§§§§§§

§§§§§§§

§§§§§§§

Глава II. ОДНОМЕРНЫЕ НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ

Основные уравнения

Начальные условия и внешние граничные условия

Уравнения в характеристической форме

Метод характеристик

Задача Коши. Область зависимости и область влияния. Слабые разрывы

Задачи с условиями на характеристиках (задача Гурса, задачи с условием на траектории: задача о поршне, задача со свободной границей)

Простые волны (волны Римана)

Задача о поршне. Истечение газа в вакуум

Соотношения между параметрами газа на разрыве. Эволюционные раз* рывы. Слабые и сильные ударные волны

Задача о поршне, движущемся внутрь области, занятой газом. Образование разрыва

Взаимодейств ие бегущей волны с ударной волной и с контактным разрывом

Распад произвольного разрыва

Столкновение ударных волн. Отражение ударной волны от стенки. Взаимодействие ударной волны с контактным разрывом. Отражение ударной волны от открытого конца трубы

Ударная труба. Задача о взрыве

Асимптотическое поведение затухающих ударных^волн

Сильный взрыв

Распространение волн детонации и горения в трубах

Акустическое приближение

Глава II. ОДНОМЕРНЫЕ НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ

Основные уравнения

Начальные условия и внешние граничные условия

Уравнения в характеристической форме

Метод характеристик

Задача Коши. Область зависимости и область влияния. Слабые разрывы

Задачи с условиями на характеристиках (задача Гурса, задачи с условием на траектории: задача о поршне, задача со свободной границей)

Простые волны (волны Римана)

Задача о поршне. Истечение газа в вакуум

Соотношения между параметрами газа на разрыве. Эволюционные раз* рывы. Слабые и сильные ударные волны

Задача о поршне, движущемся внутрь области, занятой газом. Образование разрыва

Взаимодейств ие бегущей волны с ударной волной и с контактным разрывом

Распад произвольного разрыва

Столкновение ударных волн. Отражение ударной волны от стенки. Взаимодействие ударной волны с контактным разрывом. Отражение ударной волны от открытого конца трубы

Ударная труба. Задача о взрыве

Асимптотическое поведение затухающих ударных^волн

Сильный взрыв

Распространение волн детонации и горения в трубах

Акустическое приближение

4954566264

1* 1* 1* 1* 1*

4954566264

1* 1* 1* 1* 1*

68727886

68727886

939607

1 1 2

939607

1 1 2

121720232629

2 2 2 2 2 2

121720232629

2 2 2 2 2 2

Глава IIL УСТА ПОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ

Установившиеся движения газа. Основные уравнения и их интегралы.

Двумерные движения

Граничные (краевые) условия

Плоские и осесимметричные потенциальные движения. Уравнения Чаплыгина

Некоторые точные решения в переменных годографа

Метод Чаплыгина решения задач о газовых струях

Приближенный метод Чаплыгина и его обобщения

Сверхзвуковые течения. Метод характеристик

Задача Коши. Задачи с условиями на характеристиках

Изоэнтропические течения. Характеристики в плоскости годографа ..

Простые волны (течения Прандтля — Майер а)

Обтекание искривленной стенки. Истечение газа в пространство с пониженным давлением. Течение в канале

Обтекание вогнутого контура. Образование разрывов

Графическое представление соотношений на скачке: ударная поляра, сердцевидная кривая

Течение внутри угла. Сверхзвуковое обтекание клина и профиля.

Истечение газа в пространство с повышенным давлением

Пересечение скачков уплотнения. Взаимодействие скачков с твердой и свободной границами и с тангенциальным разрьшом

Осесимметричные простые волны. Сверхзвуковое обтекание кругового конуса

Общая постановка задач об обтекании тел идеальным газом

Метод малых возмущений

Линейная теория Плоских течений. Обтекание профиля. Законы подобия

Линейная теория обтекания тел вращения. Законы подобия

Линейная теория обтекания крыла конечного размаха

Околозвуковые течения. Общие свойства. Законы подобия при обтекании тел. Течения в соплах и струях

Гиперзвуковые течения. Общие свойства. Обтекание тонких тел. Законы подобия. Формулы Ньютона и Буземана

Список литературы

Именной указатель

о 9 2759034 5 714 4 55668888 8922 22222222 2 2о 9 2759034 5 714 4 55668888 8922 22222222 2 23 79 92 23 79 92 2063063172635486773S3981819⑵3 3 3 3 3 3 3 3 444172635486773S3981819⑵3 3 3 3 3 3 3 3 444Предметный указатель

о 9 2759034 5 71

4 4 55668888 89

22 22222222 2 2

о 9 2759034 5 71

4 4 55668888 89

22 22222222 2 2

3 7

9 9

2 2

3 7

9 9

2 2

063

063

172635486773S3981819⑵

3 3 3 3 3 3 3 3 444

172635486773S3981819⑵

3 3 3 3 3 3 3 3 444

ПРЕДИСЛОВИЕ

Газовая динамика—естественная наука и основывается на наблюдении и анализе происходящих в природе, в технических устройствах и в специальных экспериментах движений газов и сопутствующих этим движениям явлений. Как и в других разделах механики, в газовой динамике можно выделить теоретическое направление, цель которого предсказать поведение газов и их взаимодействие с другими телами в реальных условиях путем построения адекватных математических моделей и изучения их поведения в соответствующих условиях.

Как самостоятельная наука теоретическая газовая динамика начала складываться еще в первой половине XIX века. Тогда в работах С. Пуассона, Дж. Стокса, Р. Ирншоу были впервые теоретически п р оа н а лизированы нелинейные эффекты, возникающие при распространении волн давления в сжимаемой среде, и впервые, еще не вполне отчетливо, прозвучало утверждение о том, что при распространении волн возможно появление разрывов в пространственном распределении параметров среды.

Во второй половине XIX века в работах Б. Римана, а затем Ж. Адамара нелинейная теория распространения волн в сжимаемой среде была доведена до высокой степени совершенства. В. Рэнкин, А. Гюгонио заложили основы теории движения сжимаемых сред с разрывами. Б. Риман еще до них сделал это, но допустил ошибку, посчитав, что плотность и давление с обеих сторон разрыва связаны уравнением адиабаты Пуассона. Едва ли следует строго судить его за эту ошибку, так как теория разрывов требовала отчетливого представления о сохранении полной энергии в механических процессах, тогда как эти представления при жизни Б. Римана только вырабатывались и не вошли еще прочно в систему мышления математиков и механиков.

В 70-х гг. XIX века Э. Мах выполнил серию блестящих экспериментальных исследований, визуально зафиксировав появление разрывов при движениях воздуха, вызванных взрывом, и при движении тел в воздухе со сверхзвуковой скоростью. Им же были даны правильные качественные схемы поведения разрывов при полете тел и при истечении в пространство сверхзвуковых струй.

В 60-х——80-х гг. XIX века стала ясной необходимость использования при исследовании движений сжимаемых сред представлений термодинамики (этой совсем новой еще в то время науки), причем не

только ее первого начала, выражающего закон сохранения энергии, но и второго начала—закона неубывания энтропии в замкнутых адиабатических системах. Теорема Цемплена о невозможности скачков разрежения в газе, позволившая придать завершенный вид первому этапу развития теории разрывных движений сжимаемых сред, долгое время была уникальным примером использования второго начала термодинамики в механике сплошных сред.

На рубеже XIX и XX столетий В. А. Михельсон, Д. Чепмен и Э. Жуге заложили основы газодинамической теории горения и детонации.

В самом начале нашего века С. А. Чаплыгин опубликовал работу о газовых струях, которой было суждено после более чем тридцатилетнего забвения стать в середине 30-х гг. основой следующего, бурного этапа развития газовой динамики.

С начала века и до середины 30-х гг. в теоретической газовой динамике шло накопление фактов, создавались вызванные потребностями практики и порой предвосхищавшие эти потребности теория обтекания тел сжимаемым газом—в первую очередь крыла бесконечного размаха и тел вращения, теория движения газа в межлопаточных каналах и соплах турбин. Л. Прандтль и А. Буземан—в Германии, Я. Аккерет и А. Стодола——в Швейцарии, Л. Крокко—в Италии, Дж. Тэйлор——в Англии, Т. Карман и С. Тзян——в США, Н. Е. Жуковский, С. А. Чаплыгин, А. А. Фридман, Н. Е. Кочин, М. В. Келдыш, И. А. Кибель, Ф. И. Франкль, С. А. Христианович—в России и в Советском Союзе, многие другие исследователи в разных странах постепенно придавали газовой динамике образ самостоятельной единой на/ки.

В эги же годы создавались основы экспериментальной техники для моделирования течений сжимаемого газа. К середине 30-х гг. в Англии, Италии, Германии, США, СССР были построены первые аэродинамические трубы для изучения течений газа с большими скоростями.

В 1935 г. в Риме состоялось первое представительное международное собрание, специально посвященное теоретическим и экспериментальным аспектам аэродинамики больших скоростей,— V Вольта- конгресс. Труды этого конгресса были изданы и в СССР ). С этого времени термин «газовая динамика» (англ.—gasdynamics, нем.— Gasdy- namik, фр.— dynamique des gaz) стал общепринятым для обозначения той ветви механики жидкости и газа, которая изучает проблемы движения сжимаемых сред в условиях, когда сжимаемость среды проявляется в основном вследствие изменения ее давления при движении.

Динамическая метеорология, изучающая движения воздуха в атмосфере под влиянием солнечной радиации и при взаимодействии с поверхностью суши и океана, выделилась в самостоятельную область

знания. Точно так же, в значительной мере самостоятельно (хотя и во многом в соприкосновении с газовой динамикой), стала развиваться акустика, изучающая распространение в сжимаемой среде звуковых волн, т. е. малых периодических возмущений давления.

В предвоенные годы, главным образом в связи с практическими проблемами повышения скорости полета самолетов, наступил период бурного развития газовой динамики. При этом основополагающую роль в теории сыграла извлеченная из забвения упоминавшаяся ранее работа С. А. Чаплыгина.

В послевоенные годы продолжалось стремительное развитие газовой динамики; к середине 60-х гг. она превратилась в разветвленную область знания, составляющую основу ряда направлений естествознания и многих областей современной техники. Прогресс в этих направлениях в значительной мере стал основываться на достижениях газовой динамики.

Газовая динамика с ее сложными и хорошо поставленными математическими задачами на всем протяжении ее развития оказывала значительное стимулирующее влияние на ряд областей математики, и некоторые из них целиком обязаны своим возникновением проблемам газовой динамики. Под определенным воздействием потребностей газовой динамики происходило и происходит развитие вычислительной математики и вычислительной техники. Нелишне в связи с этим упомянуть, что в числе первых задач, решенных с использованием быстродействующих электронных вычислительных машин еще в 40-х гг., наряду с задачами атомной техники, были задачи газовой динамики: задача обтекания кругового конуса сверхзвуковым потоком, задача о распространении волны сильного взрыва с учетом противодавления воздуха и некоторые другие.

На фундаменте классической газовой динамики в последние десятилетия интенсивно развиваются ее новые специальные и прикладные разделы: физико-химическая газодинамика, сама уже представляющая совокупность ряда направлений, таких как физико-химическая гиперзвуковая газовая динамика, связанная с изучением полета тел в атмосфере Земли и других планет с очень большой скоростью, когда возникающая высокая температура обтекающих тело газов делает необходимым учет разнообразных химических превращений в газах; радиационная газодинамика, связанная с тем же кругом проблем гиперзвукового полета, с задачами горения газовых смесей, в которых необходимо учитывать процессы переноса лучистой энергии в газах, с задачами распространения мощных потоков излучения в газах; релаксационная газовая динамика, в которой определяющую роль играет неравновесный характер протекающих в газе физико-химических процессов, имеющая приложения и в гиперзвуковой аэродинамике, и в теории многих процессов химической технологии, и в теории газодинамических лазеров; магнитная газодинамика, тесно смыкающаяся с теорией плазмы, традиционно относящейся к физике высоких температур, хотя во всех перечисленных выше областях физико-хи-

мической газодинамики, относящихся к разделам механики, приходится иметь дело и с ионизованными газами, т. е. с плазмой.

В обширную область науки превратилась газодинамика горения и взрыва, основы которой заложены классической газодинамикой, с такими ее разделами, как горение однородных смесей в замкнутых и свободных объемах и в проточных каналах, теория взрыва и детонации газовых смесей и конденсированных сред, диффузионное горение, теория пожаров. Сохраняются еще проблемы и в классической газодинамике. Эти проблемы связаны в значительной мере со строгим математическим обоснованием разрешимости ряда задач газовой динамики и с изучением тех свойств пространственных трехмерных течений и неустановившихся двумерных течений, которые не проявляются в течениях меньшей размерности. Нужно подчеркнуть, что точное предсказание деталей течений газов более или менее сложной пространственной конфигурации может быть произведено только с использованием численных методов и быстродействующих вычислительных машин. И в некоторых сравнительно простых условиях, рассматриваемых в классической газодинамике, количественные результаты тоже можно получить только путем численных расчетов.

Задача классической газодинамики состоит в первую очередь в том, чтобы объяснить и описать качественно главные свойства и особенности течений газа в различных условиях. Для этого в большинстве случаев достаточно рассмотреть движения, зависящие от двух координат: от одной пространственной координаты и от времени—для неустановившихся движений, от двух пространственных координат — для установившихся движений. Кроме того, в классической газодинамике используется простейшая термодинамическая и механическая модель сжимаемой среды—идеальный в механическом отношении газ, представляющий собой двупараметрическую среду, частицы которой находятся при движении в состоянии локального термодинамического равновесия. При этих упрощениях основная масса результатов может быть получена аналитическими методами.

В настоящей книге преследовалась именно эта цель—изложение классической газовой динамики на основе использования наглядных аналитических и геометрических методов. Некоторые конечно-разностные схемы расчета течений, использованные в книге, не преследуют цели фактических вычислений, они в большей мере являются эвристическим приемом, показывающим разрешимость соответствующих задач и облегчающим описание некоторых свойств течений газа.

Во многих учебных руководствах используется только простая конкретная термодинамическая модель газа——совершенный газ с постоянными теплоемкостями. Мы сочли возможным основную часть материала изложить для более общей модели — нормального газа, однако все результаты доведены до конечных формул и для совершенного газа с постоянными теплоемкостями, поэтому при желании можно ограничиться рассмотрением лишь этой модели.

В книге значительное место (большая часть гл. I) отведено вопросам, обычно не включаемым в руководства по теоретической газовой динамике. Этот материал служит цели облегчить переход от теоретической газовой динамики к некоторым ее прикладным техническим разделам—аэродинамике, теории воздушно-реактивных двигателей и других газовых машин, теории трубопроводного транспорта газа и т. п. ).

Усвоение материала книги требует знания основ механики сплошной среды, включая ее термодинамические разделы, желательна осве* домленность в общих вопросах механики жидкости и газа [1—4].

Несколько слов личного характера. Мне посчастливилось учиться газовой динамике в первые послевоенные годы на лекциях и семинарах И. А. Кибел я, X. А. Рахматулина, Л. И. Седова, Ф. И. Франкля в Московском государственном университете. Разные по характеру, по манере чтения лекций, по стилю общения со студентами на семинарах, эти люди своей страстностью, эрудицией, причастностью к решению наиболее актуальных тогда естественнонаучных и технических проблем увлекли в мир науки многих молодых людей из тех, кому выпала радость общения с ними.

После университета я начал работу в коллективе, где царила атмосфера творческого поиска, общего устремления к решению прикладных проблем газовой динамики больших скоростей. Я с благодарностью думаю о Г. Н. Абрамовиче, Г. И. Петрове и многих других, с кем мне довелось общаться и вместе работать. Именно тогда в далеком уже теперь 1951 году по просьбе М. В. Келдыша я сначала заменил его на первых лекциях по газовой динамике для группы студентов Московского физико-технического института, а затем и прочитал курс до конца. М. В. Келдыш обсудил со мной план курса и содержание отдельных лекций, ему принадлежит и совет——не изменяя основной теоретической направленности курса, стремиться сблизить его с прикладными техническими вопросами. &“》з图

С того времени и поныне я ежегодно читаю курс газовой динамики—сначала в Московском физико-техническом институте и более тридцати лет—в Московском государственном университете. W^W ：

На моих глазах происходило становление современной газовой динамики. Многие замечательные ученые, мои коллеги, а позже и ученики, перечислить которых я здесь не в состоянии, в обстановке сотрудничества и доброжелательного творческого соперничества самым существенным образом способствовали превращению газовой динамики в то, что она есть сейчас. Из многих коллег назову лишь двух, кто рано ушел из жизни и частые острые дискуссии с кем оказали влияние на мою деятельность: из советских коллег это А. А. Никольский, из зарубежных—А. Ферри. Их имена известны всем специалистам — газодинамикам.

Я многому научился и продолжаю учиться у своих первых учеников, а ныне коллег——Г. А. Любимова, А. А. Гонора, А. Н. Крайко, А. Б. Ватажина и у других—более молодых.

Первые исследования в области газовой динамики я выполнил под руководством Л. И. Седова, и все годы он был и остается строгим судьей моих работ и благородным примером творческой увлеченности, преданности науке и трудолюбия. С волнением я буду ожидать его оценки и этой моей книги.

Не скрою, мне было очень трудно решиться написать этот учебник. В нашей отечественной литературе непревзойденными образцами многие годы были разделы теоретической газовой динамики в двухтомнике И. А. Кибел я, Н. Е. Кочина и Н. В. Розе «Теоретическая гидромеханика» [2] и в томе курса теоретической физики Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшица «Механика сплошной среды» (в новых посмертных изданиях—«Гидромеханика» [3]). Сравнительно недавно появились университетские «Лекции по основам газовой динамики» Л. В. Овсянникова [5]—хорошо продуманное сжатое изложение математических основ газовой динамики. И в зарубежной литературе есть фундаментальные руководства по газовой динамике; назову из них лишь книгу К. Осватича «Grundlagen der Gasdynamik» [7].

И все же я надеюсь, что предлагаемая мною книга найдет своего читателя—и студента, и инженера, и научного сотрудника, для которых основной целью является не постижение строгих математических основ газовой динамики, а изучение изложенного в книге материала для дальнейшего использования при решении конкретных естественно-научных или технических задач.

Я искренне благодарен Г. Ю. Степанову, внимательно прочитавшему рукопись и сделавшему большое число замечаний, позволивших улучшить первоначальный текст книги. Приношу благодарность А. Н. Крайко за полезные советы по дополнению содержания рукописи.

Я заранее признателен всем, кто выскажет замечания по содержанию книги и форме изложения материала.

Глава /・ ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ И ЭЛЕМЕНТЫ ПРИКЛАДНОЙ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ

Введение

Газовая^динамика—раздел механики, изучающий движения легкоподвижных материальных сред в условиях, когда на свойства движения влияет сжимаемость вещества, т. е. его способность изменять свою плотность *).

Все реальные среды—газообразные, жидкие и твердые—сжимаемы; при этом повседневный опыт показывает, что газы могут сравнительно легко и значительно изменять свою плотность, тогда как даже очень малое изменение плотности жидкостей и многих твердых тел требует значительных усилий.

Однако проявление свойства сжимаемости зависит не только от среды, но и в первую очередь от условий ее движения. В некоторых случаях даже относительно легкая сжимаемость среды слабо сказывается на основных закономерностях изучаемых движений. Так, при установившемся полете самолета с не очень большими скоростями (до 100—150 м/с) сжимаемость воздуха проявляется слабо и практически не влияет на распределение давления по поверхности крыла самолета и на другие важные характеристики движения воздуха. В этих условиях воздух можно считать несжимаемым. При дальнейшем увеличении скорости полета относительные изменения плотности воздуха растут и его сжимаемость начинает сказываться все сильнее — сначала на количественных характеристиках течения, а затем и на его качественных особенностях.

В ряде случаев движений основные закономерности поведения среды целиком обусловлены ее сжимаемостью; при этом, сколь бы малы ни были изменения плотности среды, ими пренебрегать нельзя. Так, при распространении в воде области повышенного давления от произведенного взрыва или при распространении в воздухе, воде, металлах звуковых возмущений относительные изменения плотности сред могут быть очень малыми и иметь порядок соответственно Ю~3 х.ли 10~в и менее. И все же, несмотря на столь малое проявление сжимаемости среды, именно это ее свойство и обусловливает само существование явлений распространения по среде сильного возмущения давления от взрыва или слабых звуковых возмущений и определяет основные закономерности этих явлений.

♦) Слово «газ» для обозначения сред в особом состоянии ввел голландский естествоиспытатель Ян Баптист ван Хелмонт (1579—1644) от греческого слова chaos—хаос.

Отметим еще, что при действии на конденсированные среды—твердые тела и жидкости—очень высоких давлений, возникающих при соударении тел с очень большой скоростью или при взрывах высокоэнергетических взрывчатых веществ и, тем более, при выделении энергии ядерных зарядов, может происходить динамическое сжатие вещества с увеличением его плотности в полтора—два раза. При еще более концентрированном энергетическом воздействии на твердое тело, например при всестороннем облучении небольшой твердой сферы мощным лазерным излучением, плотность вещества может возрасти в десятки раз.

Таким образом, наряду с газообразными средами (такими как воздух, природный газ, водяной пар, продукты горения или взрыва твердых веществ и т. п.) объектами изучения в газовой динамике — при определенных условиях — являются капельные жидкости (например, вода, керосин, расплавы и т. п.) и твердые в обычном состоянии вещества (например, металлы, лед, грунты и т. п.

Для теоретического изучения поведения реальных сред при различных условиях их движения в газовой динамике, как и в других разделах механики, вводятся механические модели этих сред. В значительном числе случаев движения реальных сред происходят в условиях, когда эти среды с достаточным приближением можно описать моделью материальной сплошной среды или—иначе——моделью материального континуума.

Для возможности такого описания необходимо, чтобы в любом занятом средой объеме, даже столь малом, что в масштабах рассматриваемого явления его можно принять за материальную точку, число структурных элементов реальной среды было бы все еще очень большим. По-иному это означает, что характерный масштаб внутренней структуры среды должен быть пренебрежимо мал в сравнении с масштабом изучаемого движения в целом.

Если реальная среда макроскопически однородна, то ее структурными элементами могут являться свободные электроны, атомы, молекулы, а также надмолекулярные микроскопические образования — кластеры, глобулы и др.

В макроскопически неоднородных сжимаемых средах структурные элементы весьма разнообразны. Например, такой макроскопически неоднородной средой является грунт, состоящий из твердых деформируемых частиц разного вида (песок, глина) и заполненных воздухом и водой пустот между ними. Макроскопически неоднородны также влажный пар—газообразная среда с взвешенными в ней капельками жидкости—и жидкость с распределенными в ней пузырьками собственного пара или другого газа.

Масштабы внутренней структуры макроскопически однородных и макроскопически неоднородных сред могут быть весьма различными. Напомним, что в воздухе при нормальных условиях кубик со стороной 0,001 см содержит 2, 10" молекул, при этом длина свободного пробега молекулы имеет порядок 10~4 мм; число молекул в таком же

объеме воды еще на три порядка больше, а расстояние между молекулами воды имеет порядок Ю" мм. Характерным масштабом структуры грунта или влажного пара могут быть доли миллиметра и миллиметры, а например, для космической плазмы с распределенными в ней пылевидными частицами—километры и сотни километров.

Соответственно и наименьший масштаб явлений, изучаемых методами газовой динамики с использованием моделей сжимаемой сплошной среды, различен: так, для газов обычной плотности и для жидкостей это могут быть доли миллиметра и даже много менее, для грунта или влажного пара, в зависимости от размера твердых частиц или капель и концентрации последних,—миллиметры и выше, а для запыленной космической плазмы—тысячи километров и более.

При континуальном описании среды в каждой точке занятой ею области пространства можно определить плотность р как предел отношения суммарной массы всех структурных элементов среды в окружающем точку объеме к этому объему при его уменьшении до достаточно малых размеров. Скорость среды V определяется как предел отношения суммарного количества движения всех элементов объема к их массе (скорость V есть удельное, т. е. отнесенное к единице массы, количество движения). Удельный внутренний момент количества движения k определяется как предел отношения суммы моментов количества движения всех элементов объема относительно центра их масс к суммарной массе, а удельная внутренняя энергия е — как предел отношения суммарной энергии всех структурных элементов объема в системе координат, движущейся поступательно со скоростью 匕 к их массе.

У сред, состоящих из структурных элементов нескольких видов, соотношение между числом этих элементов в частице может при движении изменяться. Если это изменение важно для рассматриваемого круга явлений, то названные выше величины следует определять отдельно для каждого вида структурных элементов, вводя тем самым несколько континуумов, заполняющих одну и ту же область пространства и имеющих каждый свои значения плотности, скорости и других характеристик (взаимно проникающие континуумы).

Подобно многим другим разделам механики сплошных сред в газовой динамике движущиеся малые индивидуальные или субстанциональные (т. е. состоящие из одного и того же вещества) объемы среды, которые мы будем называть частицами, рассматриваются как термодинамические системы, состояние которых характеризуется конечным числом определяющих параметров ).

Помимо геометрических координат частицы и уже введенных ее характеристик—плотности, скорости, внутреннего момента количества движения, внутренней энергии,—для описания механического напряженного состояния частицы используется тензорная величина —

напряжение. Напряжение рп есть отнесенная к единице площади сила, действующая на мысленно выделенную внутри среды площадку с той ее стороны, куда направлена нормаль п к площадке. В общем случае рп зависит от ориентации площадки.

Если это необходимо, то вводятся дополнительные механические и кинематические параметры и дополнительные параметры физической и химической природы: температура, фазовый состав среды (например, во влажном паре—соотношение между количеством вещества в паровой и в жидкой фазах), концентрации различных составляющих газ или жидкость химических компонент, коэффициенты диффузии, теплопроводности, вязкости, величины, характеризующие свойства лучистого переноса в газе, концентрации атомов с электронами, находящимися на различных энергетических уровнях, концентрации ионизованных атомов и свободных электронов и т. п.

При движении каждая частица взаимодействует с внешними по отношению к ней телами, в частности с окружающими ее частицами той же среды, и с внешними полями. В результате этого взаимодействия и вследствие происходящих в частице внутренних явлений ее параметры состояния при движении изменяются.

Последовательность состояний, которые проходит частица с течением времени, называется процессом. Если по завершении процесса частица вновь оказывается в исходном состоянии, то такой замкнутый процесс называется циклом.

Математическая модель движения сплошной среды должна включать набор существенных для рассматриваемых явлений параметров состояния частиц и необходимое число соотношений для их определения в точках занятой средой области пространства в зависимости от координат точки и от времени.

Большое значение при описании поведения частицы имеет соотношение, характеризующее энергетическое взаимодействие частицы с ее окружением.

Согласно первому началу термодинамики (выражающему закон сохранения энергии с учетом теоремы живых сил) подводимое к частице в расчете на единицу массы в процессе малого изменения ее состояния тепло dq связано с изменением внутренней энергии частицы de и работой d4⑺，совершаемой в частице внутренними силами, соотношением

dq = de + dA^\

причем de есть полный дифференциал внутренней энергии е, рассматриваемой как функция параметров состояния. Таким образом, из первого начала термодинамики следует существование функции состояния——внутренней энергии. Внутренняя энергия определена с точностью до аддитивной постоянной.

Первое начало термодинамики в приведенной выше форме назьь вается также уравнением притока тепла.

В термодинамике принимается, что при сохранении внешних условий неограниченно долго неизменными параметры состояния системы приобретают постоянные значения. Такое состояние системы называется равновесныма соответствующие ему значения параметров —равновесными значениями.

В предельном случае, когда внешние условия меняются очень медленно, можно считать, что при соответствующем медленном изменении параметров системы каждое ее промежуточное состояние является равновесным. При этом сам процесс изменения состояния системы называется равновесным. Напротив, если при изменении внешних условий меняющиеся состояния системы не являются равновесными, то процесс называется неравновесным. При изменении внешних условий параметры состояния системы стремятся к равновесным значениям, соответствующим меняющимся внешним условиям. Этот процесс стремления внутренних механических и физико-химических параметров к равновесным значениям называется часто релаксацией ).

Таблица 1.1

Среда

Вид процесса

7, К

т, с

Азот №

Изменение энергииПоступательная

различных мод дви-Вращательная

жения молекул иКолебательная

атомов в нихКолебательная

273

300

2000

4000

1,8-10-10

7,3-10-10

107

5,6・10-б

Диссоциация

4000

6000

7,7・10-т

2,5・10-4

Воздух

Образование окиси азота в реакции N2 + O2 = 2NO

1700

2600

4000

140 1,4-10~3 7,2.10-7

Образование двуокиси азота в реакции 2NO + O2 = 2NO2

1600

2300

4000

0,69

0,9・10-з

1,0・10-б

Скорость релаксации можно характеризовать временем, необходимым для того, чтобы при внезапном изменении внешних условий разность между исходным значением параметра состояния и его новым равновесным значением уменьшилась в е раз,—так называемым временем релаксации т. Время релаксации для различных физико-химических процессов и для разных условий их протекания весьма различно. Для иллюстрации этого в табл. 1.1 приведены значения

времени релаксации некоторых процессов в газах при нормальной плотности ).

В тех случаях, когда время релаксации важных для рассматриваемых явлений механических и физико-химических процессов сравнимо с характерным временем изменения внешних условий для частиц среды, в модели явления необходимо учитывать неравновесный характер процесса. Так, основу расчета генерации лазерного излучения движущейся смесью газов (в так называемых газодинамических лазерах) составляет определение отклонения от равновесных значений энергии колебательных степеней свободы или электронных состояний молекул газов, образующих смесь. В силу значительно меньшего времени релаксации энергии поступательных степеней свободы молекул ее значения можно при этом считать равновесными.

В термодинамике существенная роль отводится различию обратимых и необратимых процессов. Если система при росте времени может проходить некоторую последовательность состояний как в одном, так и в другом направлении, то этой последовательности состояний соответствует обратимый процесс; в противном случае процесс называется необратимым. Очевидно, что непрерывный процесс обратим, если все описывающие процесс соотношения для бесконечно малых изменений параметров состояния сохраняются при замене знаков этих изменений на обратные.

В большинстве случаев равновесные процессы в силу того, что они происходят с бесконечно малой скоростью, являются обратимыми ).

Согласно второму началу термодинамики существует функция состояния s (отнесенная к единице массы среды), называемая энтропией ), такая, что при обратимых изменениях состояния частицы

ds = y,

где Т—абсолютная температура частицы, dq—подведенное к ней извне тепло. Энтропия, как и внутренняя энергия, определена с точностью до аддитивной постоянной.

При необратимых изменениях состояния

Т ds = dq + dq'.(1.1)

Здесь dqf——так называемое некомпенсированное тепло, причем всегда

dqf》0 (знак равенства соответствует обратимым изменениям состояния).

Если система (частица среды) теплоизолирована, хотя и может подвергаться различным силовым воздействиям, то dg = O. Такой процесс называется адиабатическим ). Если адиабатический процесс обратим, то ds = O, т. е. энтропия частицы в таком процессе сохраняется постоянной: s = const. При адиабатическом необратимом процессе ds〉0—энтропия возрастает.

Во многих важных приложениях механики сплошных сжимаемых сред адиабатический обратимый процесс служит хорошим приближением действительного процесса изменения состояния.

Классической моделью, используемой в газовой динамике, является модель идеальной жидкости (идеального текучего тела), т. е. модель сжимаемой сплошной среды, в которой и в состоянии покоя, и при движении отсутствуют внутренние касательные напряжения. Напряженное состояние среды в точке характеризуется при этом лишь одной скалярной величиной—давлением р, так что в идеальной среде "万=—рп (давление положительно, если оно оказывает сжимающее действие на площадку с нормалью п).

Помимо внутренней энергии е и энтропии s единицы массы газа, плотности р (или удельного объема и=1/р), давления р и температуры Т, в дальнейшем будет использоваться еще термодинамическая величина Л, определяемая формулой

九= с + ри, или + .

Эта величина называется теплосодержанием или энтальпией ) (единицы массы) газа.

Для идеальной среды, в которой работа внутренних сил сводится лишь к работе сил внутренних напряжений, эта работа, отнесенная к единице массы среды, равна pdv; поэтому уравнение притока тепла для такой среды имеет вид

dq = de + pdv = d/z —g ・(1.2)

Для обратимых процессов справедливо соотношение

Т ds de + pdv,(1.3)

или

Т ds = dh — ^.(1.4)

В дальнейшем будут рассматриваться идеальные среды, состояние которых существенным образом зависит только от двух термодинамических параметров (такими параметрами может быть любая пара

из перечисленных выше величин; разумеется, кроме пары и и р). Такие среды называются двухпараметрическими или простыми средами. Все термодинамические параметры двухпараметрической среды выражаются через заданные два с помощью так называемых уравнений состояния.

В некоторых случаях, когда кроме двух термодинамических величин среда характеризуется дополнительными параметрами физико-химической природы (например, концентрациями различных компонент смеси газов), ее тоже можно приближенно считать двухпараметрической. Так, если время релаксации дополнительных параметров много больше характерного времени изменения основных величин, то можно принять, что дополнительные параметры не изменяются совсем в рассматриваемых движениях—их значения остаются «замороженными»; если же время релаксации дополнительных параметров пренебрежимо мало, то в течение всего времени движения эти параметры имеют равновесные значения, которые являются известными функциями двух основных термодинамических параметров.

Часто используется уравнение состояния, связывающее доступные непосредственному измерению в широком диапазоне их изменения величины—давление р, плотность р (или удельный объем и) и температуру Т. Это уравнение g

р = рЕ т),

или, в более общем виде, f；(p, и, 7) = 0, называется! термическим уравнением состояния.

Одно только термическое уравнение состояния не дает полной характеристики термодинамической модели среды. Для- определения зависимости от и n Т других термодинамических величин необходимо еще одно соотношекгие, например

е = е®, Т).

Это соотношение называется калорическим уравнением состояния. Входящие в термическое и калорическое уравнения состояния функции р (у, Т) и е(и, Т) не являются независимыми. Действительно, так как величина в правой части соотношения (1.3) есть полный дифференциал, то эти две функции должны удовлетворять условию совместности

券[^(^+ь)]=^(4* 募)’

или, после упрощения, условию

7 雾一Pl^ = 8(L5)

При задании из двух функций р(и, Т) и е(и, Т) только одной это соотношение можно рассматривать как линейное дифференциальное уравнение первого порядка для определения второй функции.

Такое уравнение, как известно, допускает различные решения, и для того чтобы устранить эту неоднозначность, нужно выбрать какое- либо одно из решений. После этого энтропия s как функция у и Г находится из (1.3) с точностью до аддитивной постоянной; теплосодержание h определяется формулой h=^e + ри.

Соотношения (1.3) и (1.4) показывают, что все уравнения состояния двухпараметрической среды можно определить, если задать лишь одно уравнение в виде е = е(и, s) или в виде h = h (р, s). Действительно, в первом случае из (1.3) следует

zp &(и, s) 八 de(v；s)

а во втором случае из (1.4) получаем

7=竺沁 u」=竺红丄(1.6)

ds, 'р др'/

В дальнейшем при изучении движений идеальных сжимаемых сред мы будем считать термодинамическую модель среды заданной с помощью необходимого числа уравнений состояния *).

При изменении состояния частицы в общем случае меняется и ее температура. Величина с, определенная формулой

с dT = dq,

где приток тепла dq отнесен к единице массы среды, называется удельной теплоемкостью. Удельная теплоемкость зависит от вида процесса изменения состояния. При адиабатическом процессе теплоемкость, очевидно, равна нулю. Если при неадиабатическом процессе температура остается постоянной (состояние изменяется изотермически), то теплоемкость равна бесконечности.

Из (1.2) следует, что при постоянном объеме (при изохорическом изменении состояния)

Соответствующая теплоемкость cv = де/дТ |п называется теплоемкостью при постоянном объеме.

Так как при постоянном давлении (при изобарическом изменении состояния)

то величина Ср = дк/0Т % есть теплоемкость при постоянном давлении.

♦) Точность уравнений состояния в виде сравнительно простых аналитических зависимостей не всегда достаточна для практических целей при расчетах поведения реальных сред. Поэтому для ряда сред (для воздуха, водяного пара, продуктов взрыва некоторых конденсированных взрывчатых веществ, воды, ряда металлов и др.) имеются подробные табличные данные об их термодинамических свойствах.

Важной характеристикой сжимаемой среды является отношение теплоемкостей у = cplcv.

Как уже говорилось ранее, среди различных процессов изменения состояния частиц среды важное место принадлежит адиабатическому обратимому процессу, при котором энтропия частицы не изменяется, так что ds = O и s = const. Уравнение состояния вида s = s(p, и)，где вместо р и и могут быть любые два независимых термодинамических параметра, обращается при этом в соотношение вида s(p, и) = const. Такая связь между термодинамическими параметрами при s = const называется адиабатой Пуассона ) или изоэнтропой.

Ряд важных свойств движения сжимаемых сред зависит от некоторых характеристик изоэнтроп.

Большую роль играет производная dp/dp|$・ Эта производная для всех сред неотрицательна, так как при всестороннем действии однородного давления на адиабатически изолированную сжимаемую частицу рост давления должен приводить к уменьшению объема частицы (и возрастанию ее плотности) и, наоборот, падение давления должно сопровождаться увеличением объема частицы.

Величина а, определенная формулой

(17)

имеет размерность скорости и называется скоростью звука. Это название объясняется тем, что, как будет показано в дальнейшем, именно с такой скоростью распространяются в сжимаемых идеальных средах малые возмущения давления и, в частности, звуковые волны.

Характерные значения скорости, с которой распространяется звук в нормальных условиях, для большинства реальных сред лежат в следующих пределах: для газов и паров—от 150 до 1000 м/с, для жидкостей——от 750 до 2000 м/с, для твердых тел—от 2000 до 6000 м/с.

В модели идеальной несжимаемой среды скорость звука, очевидно, равна бесконечности (плотность среды не меняется при изменении давления).

В некоторых вопросах динамики идеальных сжимаемых сред имеет значение также производная dp/dv |$ = — р2 др/др |$ = — р2а2. Величина

Ра= 霄 LС)

называется акустическим импедансом ).

Многие качественные особенности течений идеальных сжимаемых сред зависят от знака и величины производной 。2“。夕2 1s Удобно

ввести связанную с этой производной безразмерную величину Г:

За ее роль в теории движений идеальных сжимаемых сред величину Г можно назвать фундаментальным термодинамическим параметром этой теории.

Из определения величин а и Г с учетом того, что dh/dp \s = vt получаем

Рассмотрим более подробно некоторые термодинамические модели, которые используются при теоретическом изучении движений газов, жидкостей и твердых тел в различных условиях.

В достаточно разреженных газах среднее расстояние между молекулами велико сравнительно с расстоянием, на котором проявляются силы межмолекул я рн ого взаимодействия, так что потенциальная энергия этого взаимодействия мала по сравнению с энергией самих молекул. В связи с этим внутреннюю энергию газа е®, Т) можно считать не зависящей от расстояния между молекулами, т. е. от объема, который занимает данная масса газа.

При de/dv\T = 0 из условия совместности (1.5) получаем, что термическое уравнение состояния такого газа имеет вид

Р = М叫 Т,

где f(u)—некоторая функция удельного объема. В хорошем согласии с опытными данными для разных газов можно принять f(v) ^ 1/и.

Газ, удовлетворяющий термическому уравнению состояния

pu = RT, или p = RpT,(1.11)

где R—постоянная величина (газовая постоянная), называется совершенным (термически совершенным) газом ). Если 卩—молекулярная масса газа, то R = 7?0/Н» ГД^ R。——универсальная газовая постоянная, /?0 = 8,3144 Дж/(моль- К) ). Уравнение состояния (1.11) называется уравнением Клапейрона ).

Задание внутренней энергии как функции температуры е = е(7) доопределяет конкретную модель совершенного газа. При известной

е(Т) из (1.3) получим выражение для энтропии

s = Rlnt>+J可飞f(1.12)

Так как для совершенного газа h = e + pv= е(Т) + RT, то теплосодержание такого газа есть функция только температуры. Теплоемкости Ср и cv совершенного газа, как и их отношение 丫 = &/%, тоже зависят только от температуры; при этом

% — R.

Так как R〉0 и % > 0, то всегда у > 1.

Если предположить, что в некотором интервале температур % = =const, то и ср = const, и у = cp/cv = const. Основанная на таком предположении модель совершенного газа с постоянными теплоемкостями (термически и калорически совершенный газ) благодаря своей простоте широко используется в теоретической газовой динамике (иногда эта модель называется политропным газомсм. с. 162).

Для совершенного газа с постоянными теплоемкостями

е = с&7\ h = СрТ、(1.13)

а энтропия s выражается согласно (1.12) формулой

s^=Rlnv + c9\nT + const.

Отсюда и из (1.11) получаем

s = % In 弋十 const, р s= const • e"%pY.(1.14)

Здесь y = cp/cv const.：

Согласно классическому результату статистической механики *) энергия молекул газа, находящегося в равновесном состоянии, распределяется одинаковыми долями по всем степеням свободы возможных движений молекулы; энергия, приходящаяся на одну степень свободы, составляет (в расчете на единицу массы газа)嶋RT. Таким образом, если f——число сгепеней свободы движений молекулы, удельная внутренняя энергия газа е равна

•е="Т，

а удельное теплосодержание совершенного газа Л есть h^l±^RT.

Соответственно теплоемкости cv и ср и их отношение y = cp!cv даются

♦) Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Статистическая физика.— М.: Наука, 1976.

формуламиформулами分=4r。〃=审R, Y =毕分=4r。〃=审R, Y =毕

формулами

формулами

分=4r。〃=审R, Y =毕

分=4r。〃=审R, Y =毕

Таким образом, находящийся в равновесном состоянии совершенный газ с равномерным распределением энергии по степеням свободы является и калорически совершенным—теплоемкости его постоянны.

Наименьшее число степеней свободы—три—имеют одноатомные газы (при обычных условиях——гелий Не, неон Ne и др., при высокой температуре—полностью диссоциированные кислород О, азот N и др.). Для таких газов у = 5/3, и это значение хорошо подтверждается экспериментальными данными. Газы с очень сложными молекулами имеют большое число внутренних степеней свободы и для них у—^ 1. Таким образом, величина 丫 для совершенных газов заключена в пределах 1 < 丫 & 5/3.

Классический результат статистической механики не дает правильного представления о распределении энергии по колебательным степеням свободы, а при очень низких температурах—и по вращательным степеням свободы молекул.

Так, для двухатомной молекулы (О2, N2, окись углерода СО и др.) число степеней свободы f = 7 (три поступательных, две вращательные—вокруг двух главных осей, две колебательные——симметричные и антисимметричные колебания около центра масс), и согласно классической теории у = 9/7.

L 仇/7)2。％" 十 О"—ifL 仇/7)2。％" 十 О"—ifОднако более точный результат для теплоемкости двухатомных молекул при постоянном объеме приводит к выражению

L 仇/7)2。％" 十 О"—if

L 仇/7)2。％" 十 О"—if

R,

где 8以—характеристическая колебательная температура (0^ для кислорода равна 2273 К, для азота—3393 К, для СО—3122 К). Отсюда

при r<^0v% = ^R и 丫 =при r<^0v% = ^R и 丫 =при 7»%% R и 丫 =при 7»%% R и 丫 =7-5 9 ~77-5 9 ~7

при r<^0v% = ^R и 丫 =

при r<^0v% = ^R и 丫 =

при 7»%% R и 丫 =

при 7»%% R и 丫 =

7-5 9 ~7

7-5 9 ~7

Таким образом, отношение теплоемкостей у двухатомных газов при нормальной температуре с большой точностью равно 7/5 % достепенно уменьшаясь с ростом температуры, лишь при температуре в несколько тысяч градусов (меньшей, чем температура, при которой существенную роль начинает играть диссоциация) приближается к значению 9/7, следующему из классической теории.

У воздуха, представляющего собой в основном смесь двухатомных газов—азота и кислорода, значения у при нормальных условиях близки к 1,40.

Уравнение (1.14) при s = const есть уравнение адиабаты Пуассона для совершенного газа с постоянными теплоемкостями. В связи

с этим величина у для такого газа называется также показателем адиабат”; она является важной безразмерной характеристикой совершенного газа с постоянными теплоемкостями. Пользуясь величиной у, выражениям (1.13) для е и h можно придать вид

р * —у — 1 р

Для скорости звука в совершенном газе с постоянными теплоемкостями с помощью (1.7) и (1.14) получаем выражение

которое с использованием уравнения состояния (1.11) можно преобразовать к следующему виду:

а = Кда=

Скорость звука есть в этом случае функция только температуры. У реальных газов, близких к модели совершенного газа, вследствие различия у н 卩 скорости звука при одинаковой температуре различны. Так, при температуре 300 К и нормальном давлении скорость звука в водороде (丫= 1,405) равна 1320 м/с, в гелии (у= 1,667)—1020 м/с, в воздухе (у= 1,400)—347 м/с, а в тяжелом газе—шестифтористом уране UFe (у= 1,200)—всего 92,4 м/с.

Внутреннюю энергию и теплосодержание совершенного газа (см. (1.15) и (1.16)) можно выразить через скорость звука:

e 户八(1.17)

Отсюда д叫dh =、— 1, так что согласно последнему из равенств (1.10) для совершенного газа с постоянными теплоемкостями фундаментальный термодинамический параметр Г постоянен и равен у. Из (1.16) и (1.14) следует, что в таком газе а―>0 при р—0 и s = const.

Многие основные закономерности движений совершенного газа с постоянными теплоемкостями сохраняются и для двухпараметрических сред с более общими термодинамическими свойствами, если только задающие эти среды функции е(и, s) или h(p, s) удовлетворяют некоторым ограничениям. Большая часть этих ограничений вполне естественна с физической точки зрения.

Такие среды принято называть нормальными газами. Определения нормального газа несколько отличаются у различных авторов, в связи с чем несколько отличается и совокупность свойств совершенного газа с постоянными теплоемкостями, которая сохраняется и для нормального газа.

Будем называть нормальным газом двухпараметрическую среду, для которой характеризующая ее функция h(p, s) обладает следующими свойствами.

Функция /z(p, s) определена и трижды непрерывно дифференцируема в области 0 < р < оо, s. < s < s+ (может быть s_ = — оо, $+ = 8)・

Всюду в указанной области функция h(p, s) и ее производные удовлетворяют неравенствам:

а)九〉О,

勺= и〉0,厶=Т〉0,(1.18)

hpp = %, < 0, hps = % = Тр〉О,

hppp = vpp〉0 (или согласно (1.9) Г > —1).

Функция Л(р, s) удовлетворяет предельным соотношениям

limЛ(р, s) = 0, lim/i(p, s) = 0, limh(p, s) = oo, (1.19) p—>0s^sSf s+

.а ее производная hp = v——соотношениям

lini%S，s) = 8, lim%(p, s) = 0.(1.20)

Отметим, что свойства а), б), в) (1.18) физически очевидны или совершенно естественны. В самом деле, свойство а) следует из определения h = e + pv и положительности внутренней энергии е и давления р (для сжимаемых капельных жидкостей, в которых давление может быть отрицательным, условие а) может не выполняться; однако в обычных условиях и капельные жидкости не допускают заметных отрицательных давлений). Очевидно, что условия б) всегда выполнены. Условия в) утверждают, что адиабатическое обратимое увеличение давления должно приводить к росту плотности нормального газа и его температуры—поведение, вполне естественное с физической точки зрения. И лишь условие г) не является физически очевидным или вытекающим из каких-либо общих термодинамических соображений; могут существовать реальные сжимаемые среды, в которых это условие не выполняется. Однако все распространенные газы, их смеси, пары различных веществ удовлетворяют условию hppp = d2v/dp215 > 0 (заметим, что вместе с условием hpp < 0 отсюда следует d2p/dv2\s > 0).

В некоторых случаях вместо условия г) мы будем пользоваться более сильным условием

「')Г = ^^-1 > 1,(1.21)

эквивалентным условию д2р/д^ \s > 0. (Для совершенного газа с постоянными теплоемкостями получаем, что условие г) требует выполнения неравенства у >—1, а условие г')—неравенства у > 1.)

Неравенства (1.18) определяют простые свойства адиабат Пуассона, т. е. кривых s = const, нормального газа в плоскости и, р (точнее—в квадранте и〉0, р〉6； рис. 1.1.1).

Покажем, что через любую точку этого квадранта проходит одна и только одна адиабата и = %(р, sj. Действительно, из второго условия в) (1.18) следует dv/ds |р > 0; поэтому при каждом данном р

значение и монотонно возрастает с ростом s, меняясь в силу пре*

дельных соотношений (1.19) от 0 до оо； этим и доказывается утверж

дение. Соотношения (1.19)дение. Соотношения (1.19)Рис. 1.1.1Рис. 1.1.1показывают также, что оси v и р являются асимптотами для всех адиабат. Согласно условию (1.18г) все адиабаты строго выпуклы в сторону осей и и р. И, наконец, согласно второму условию (1.18в) большим значениям энтропии соответствуют адиабаты, лежащие дальше от начала координат.

дение. Соотношения (1.19)

дение. Соотношения (1.19)

Рис. 1.1.1

Рис. 1.1.1

На рис. 1.1.1 в плоскости и, р изображены адиабаты Пуассона и проведена пересекающая эти адиабаты прямая. В силу сказанного о поведении адиабат Пуассона, при движении вдоль любой такой прямой с tga > 0 (угол а обозначен на рисунке) в сторону роста давления энтро

пия сначала монотонно увеличивается, достигает максимума (в точке С) и затем снова монотонно убывает. При tga < 0 энтропия вдоль прямой с ростом давления монотонно возрастает. Это поведение энтропии на прямых tg a = const будет использовано в § 4 настоящей главы.

Покажем, что в нормальном газе, как и в совершенном газе с постоянными теплоемкостями

lim a(p, s) = 0.

“оs=const

Для этого преобразуем выражение для а? следующим образом:

废=警l=一嚼L=士瑞г

Рассматривая а как функцию Лизи произведя интегрирование при постоянной s, получим

Так как при р —> 0 одновременно выполнены условия 九—0, и — 8, то интеграл в этой формуле при р —> 0 расходится и, следовательно, а ► 0.

Если выполнено условие (1.21), т. е. если Г > 1, то из (1.10) следует [)да^1др |^ = Г— 1 > 0, и при s = const скорость звука монотонно возрастает с ростом давления.

В случае газов большой плотности, образующихся, например, при взрыве конденсированных взрывчатых веществ *), и в случае жидкостей уравнение состояния Клапейрона перестает быть хорошим приближением к действительности. Причиной этого служит большая роль в таких случаях взаимодействия между молекулами. Характер этого взаимодействия сильно зависит от конкретного рода жидкости или газа, в связи с чем нельзя указать универсальные уравнения состояния, которые хорошо описывали бы свойства жидкостей и газов с сильным взаимодействием молекул. Как уже упоминалось, для ряда сред имеются подробные термодинамические данные в виде таблиц. Тем не менее для описания общих закономерностей поведения различных сред желательно иметь достаточно простые уравнения в аналитической форме.

Простейшим термическим уравнением (состояния плотных газов является уравнение

m-b) = R「・

Постоянная Ь здесь учитывает объем, занимаемый молекулами; давление р неограниченно возрастает при и — Ь. При достаточно высоких давлении и температуре (значительно больших их критических значений) это уравнение обладает удов летвор ител ьно й точностью. Можно легко установить, что внутренняя энергия в таком газе, как и в совершенном газе, есть функция только температуры: е = е(Т), по-прежнему ср—% = R, а уравнение адиабаты Пуассона при постоянном отношении теплоемкостей у имеет вид p(v—匕)丫 = const.

Более сложным уравнением состояния является уравнение Ван- дер-Ваальса **：

—-RT £Р — 炉'

служащее обобщением предыдущего уравнения; второе "слагаемое в правой части уравнения Ван-дер-Ваальса учитывает силы взаимодействия (с〉0 соответствует преобладанию сил притяжения) между молекулами при достаточно большой плотности среды.亢

Для внутренней энергии и энтропии "среды Ван-дер-Ваальса с помощью (1.5) и (1.3) получаем

е = е (7) —^ = f % (7)：dT-^ + const,

S = f 屮"+ R In W + const.

♦) Плотность газообразных продуктов взрыва може! составлять при этом 1,5—2,0 г/см3.

♦*) Ван-дер-Ваальс (van der Waals) Иоганнес Дидерик (1837—1923), голландский гученый, один из основоположников молекулярной физики и ряда направлений физической химии.

Уравнение Ван-дер-Ваальса качественно удовлетворительно описывает поведение газов и жидкостей в широком диапазоне изменения параметров и может рассматриваться как интерполяционная формула между уравнениями для газообразного и жидкого состояний. При некотором усложнении интерпретации уравнения Ван-дер-Ваальса его можно использовать и для описания поведения двухфазных сред, состоящих из находящихся в термодинамически равновесном состоянии жидкости и ее пара.

С помощью еще более общего термического уравнения состояния p = ^(v) + Tf(v)

при соответствующем подборе входящих в него функций Ф(и) и / (и> удается удовлетворительно описать поведение реальных плотных сред—газов, жидкостей и твердых тел в диапазоне давлений до 109 кгс/см2 и температур до 106 К. С использованием этого уравнения получаем

е = е(Т)—/①®)也 s =,等国 +“(u)du.

Ранее уже указывалось, что в отличие от газов небольшой плотности сжимаемость жидкостей и твердых тел невелика.

Установим связь между зависимостью внутренней энергии среды е(р, Т) от давления и характеристиками сжимаемости среды. Из основного термодинамического соотношения (1.3) следует

Из того [же соотношения в виде (1.4) путем несложного преобразования получаем

d(/i—Ts) = — s dT + vdp.

Выражение справа есть, следовательно, полный дифференциал, и・ поэтому [ds/dp J = — dv/dT |尸

Таким образом,

Это соотношение и дает связь между зависимостью внутренней энергии среды от давления и коэффициентами ее теплового расширения 1 dv Iио

а = 7■疗и УПРУГОГО сжатия при постоянной температуре р =

dv]

= —^\т'

Определим несжимаемую среду условием 血=0. Так как дл/ такой среды dv/dT |^ = 0, dv/dp |г = 0 и, следовательно, де/др |г = 0,. то ее внутренняя энергия есть функция только температуры:

е= е(7).

Из (1.3) находим

т Г ех (7) dT ,,

S = ] —/Ь const,

т. e. энтропия такой среды тоже есть функция одной только температуры. Таким образом, при обратимых адиабатических процессах в несжимаемой среде ее температура остается неизменной (адиабата и изотерма в такой среде совпадают).

Установим в общем виде связь между коэффициентом теплового расширения а=扌詳卜 и величиной 专箒[—относительным изменением температуры среды при адиабатическом обратимом изменении давления. Представим для этого зависимость и от р н Т в виде сложной функции v = v[p9 s(p, Т)]. Очевидно, что

；加 \ __dv\ ds I w

Но из (1.4) следует, что Тds[dT\p = OhldT\p = Cp・ С другой стороны, так как согласно (1.6) v = dh/dp |s, Т = dh/ds\p9 то (для гладких функций Л (р, s)) dv/ds\p = dT/dp\s. Таким образом,

1 dv ср 1 к" I

Коэффициент теплового расширения в левой части этого равенства для конденсированных сред очень мал. Так, при 20 ℃ для воды он равен 2- Ю^^К"-1. Отсюда, зная теплоемкость воды и ее удельный объем, можно найти, что при изоэнтропическом сжатии воды от давления 1 атм до 1000 атм температура ее возрастает всего примерно на 1,5 К (в совершенном газе с у = 1,4 при таком росте давления абсолютная температура возрастает более чем в 7 раз и достигнет 2100 К).

Для воды и ряда других жидкостей при высоких давлениях часто используют уравнение состояния Тэта

близкое по форме к уравнению состояния совершенного газа с постоянными теплоемкостями в виде (1.14). В уравнении Тэта 8 слабо зависит от энтропии (обычно этой зависимостью пренебрегают и считают В константой), а р0 есть плотность жидкости, экстраполированная на нулевое давление (так как величина В весьма велика сравнительно с нормальным давлением, то можно считать, что р0 есть плотность жидкости при нормальном давлении). Величина у в уравнении Тэта не есть отношение теплоемкостей; такое обозначение показателя степени принято для того, чтобы подчеркнуть совпадение по форме уравнения Тэта с уравнением адиабаты Пуассона для совершенного газа при замене в последнем величины р на р4- В.

Таблица 1.2

Жидкость

В, кгс/см*

V

Ро・ кг/м3

Вода

3000

7,15

1000

Четыреххлористый углерод

1000

9,35

1600

Ртуть

3000

8,2

13 500

Гептан

654

10,6

684

Силикон

597

9,1

760

В табл. 1.2 приведены значения параметров в уравнении Тэта для некоторых жидкостей (с энтропией, близкой к ее значениям при нормальных давлении и температуре).

§ 2. Законы сохранения для конечных объемов среды (интегральные законы сохранения)

Кинематические характеристики движущейся среды. Рассмотрим движение среды, т. е. изменение со временем положения частиц среды и их параметров состояния, в некоторой области трехмерного пространства векторов (точек) х. Частицы среды движутся со скоростью Р(х, /), так что движение каждой частицы описывается уравнением 号 №(*,¥),

или—в декартовой системе координат х(х, у, z)——системой скалярных уравнений

叁 = 叱 = dz =山〃(％, у, z, 0 и(х, у, Z,#) ш(х, у, Z, О '

где 〃，и, w—составляющие вектора V вдоль осей х, у, z соответственно.

Если в рассматриваемой области пространства поле скорости V (х, 0] непрерывно дифференцируемо (достаточно непрерывности и выполнения условий Липшица по х), то интегральные кривые выписанной системы уравнений——траектории частиц—покрывают область однократно, т. е. не пересекаясь.

Введем для функций, зависящих от координат * и от времени 厶 оператор дифференцирования (производную) по времени [вдоль траектории частицы

d d О г d I д д ,小

n=而+ 2而+ u而+ 0两=育+(%酢(1).

Здесь (•) означает скалярное произведение величин, стоящих в скобках. Введенный оператор называется полной или индивидуальной {иногда — субстанциональной} производной. Полная производная dA (х, t)/dt есть скорость изменения во времени величины Л в частице.

Не опасаясь путаницы, этот же знак d/dt мы будем использовать, как обычно, при дифференцировании по ? функций, зависящих только от времени.

Целью построения модели, используемой в газовой динамике, является установление математических соотношений, позволяющих найти распределение параметров газа в занятой им области пространства при различных конкретных условиях движения.

Для достижения этой цели обратимся к общим законам сохранения массы, количества движения, момента количества движения и энергии и применим их к конечным объемам газа.

Введем понятия материального объема и контрольного объема.

Выделенный в газе объем %*, состоящий из !одних и тех же частиц, называется материальным объемом (или " индивидуальным объемом}. Рис. 1.2.1 иллюстрирует последовательные fположения в пространстве в моменты времени 友，f и 勾 материального объема (заштрихован) при его движении.

Контрольным объемом называется выделенный в пространстве объем Т3 с границей 于一контрольной поверхностью. Объем %。может быть неподвижным, но в общем случае может перемещаться в пространстве и деформироваться; объем 勿9 не связан с газом и может частично выходить за пределы занятой газом части пространства.

На рис. 1.2.1 штрихами обозначена поверхность сУ контрольного объема % в момент времени f. Часть контрольной поверхности 步 совпадает в этот момент с частью поверхности движущегося материального объема 於*(/).

Как и материальный объем Т9*, контрольный объем % может быть неодносвязным.

Дадим кинематическую характеристику перемещения в пространстве произвольной поверхности. На рис. 1.2.2 изображена часть поверхности 步 объема 个 в моменты времени f и f + Af. На площадке do поверхности 步(f) взята внешняя к объему %(f) нормаль п. Обозначим длину отрезка этой нормали между поверхностями 夕(£) и ^(t + ^t) через ДЛ. Величина D= lim (ДЛ/Д^) называется скоростью

Af —> О

перемещения в пространстве поверхности 夕 в рассматриваемой точке.

Если ^(/) есть индивидуальный объем #*(£), то для него величина D равна нормальной к 步 составляющей скорости vn частиц газа, образующих поверхность 此

Основные физико-механические характеристики конечного объема сплошной среды. Объем 2、занятый сплошной средой, обладает массой М, количеством движения (или импульсом) Я*, моментом количества движения (моментом импульса)泌 относительно выбранной точки, полной энергией (или престо энергией) ^ и энтропией S. Эти величины определяются интегралами (dr — элемент объема 芳)

M= \ pdq 附=\ pVdr,耽=\ (rxpV)dx,

^=『P (屋+ e)"7 S= gpsdt.济%

В выражении для 尊t через г обозначен радиус-вектор частиц, отсчитываемый от точки, относительно которой определяется момент количества движения объема 力.

При написании выражений для ^ и S сделано предположение об аддитивности внутренней энергии и энтропии по массе частиц, составляющих материальный объем.

Распределения в пространстве величин, входящих под знаки интегралов, могут не быть непрерывными и тем более гладкими; допустимы интегрируемые особенности этих величин в точках пли вдоль линий и поверхностей в пространстве.

Закон сохранения массы. В ньютоновской механике фундаментальным законом является свойство любого материального объема сохранять свою массу во времени. Следовательно, производная по времени t от массы Л4 (f) материального объема равна нулю:

4] £ Pdt = 0・ (2.1)

Интегрируя это соотношение по времени от момента /0 до момента f, получим

a

pdt) —\ pdx\ =0.

Ji ЧТ9* Л#

Отметим, это для любой аддитивной величины / (скаляра или вектора), определенной для частиц среды, вследствие сохранения массы каждой частицы и массы всего материального объема справедливо соотношение

备 § pAdT =备\ Adm = \ 請加=£ P 羚dq(2.2)

步*мм<5^*

где d〃z = pdt—элемент массы в объеме Т3* и dA/dt—полная производная по времени от Л.

Закон сохранения количества движения (второй закон Ньютона) и закон сохранения момента количества движения. Основным динамическим соотношением механики сплошной среды является закон сохранения количества движения. Согласно этому закону скорость изменения во времени количества движения Я* (%) любого материального объема равна главному вектору 尸 всех действующих на него внешних сил—массовых и поверхностных:

pU dx = F =—pU dx = F =—pndo+ Ff.pndo+ Ff.(2.3)(2.3)

pU dx = F =—

pU dx = F =—

pndo+ Ff.

pndo+ Ff.

(2.3)

(2.3)

Здесь в правой части из F выделен явно интеграл сил давления, действующих по поверхнсюти 步 объема %*. В проинтегрированной по времени форме соотношение (2.3) имеет вид

и называется уравнением импульсов, так как его правая часть представляет собой импульс внешних сил, действующих на материальный объем в течение времени от % до /. Стоящее под знаком интеграла выражение для внешних сил не обязательно непрерывно по времени и может иметь при некоторых значениях / сюобенности, приводящие к мгновенным конечным изменениям импульса внешних сил, а следовательно, и количества движения материального объема.

В общем случае независимо от закона сохранения количества движения формулируется закон сохранения момента количества движения. Согласно этому закону скорость изменения момента количества движения 眈(/) произвольного материального объема равна сумме моментов 金，действующих на этот объем внешних массовых и поверхностных сил:

与J ("p丿)丸=洌=—『(rхр编而十如. (2.4)

В правой части из 期 выделен явно момент от распределенных по поверхности 步 сил давления.

Закон сохранения энергии (первое начало термодинамики). Согласно закону сохранения энергии скорость изменения во времени полной энергии £(/) материального объема равна сумме отнесенной к единице времени работы (мощности) W действующих на объем внешних массовых и поверхностных сил и притока извне к объему тепла и других видов энергии немеханической природы Q:

^ § Р(時+ e)dt=取+ Q = —£ °%而+W +Q・(2.5)

Вновь здесь из работы W выделена явно работа сил давления, действующих на поверхность 步.Для конечного промежутка времени из

Г. Г. Черный

уравнения (2.5) получаем

Р(Т十Р(Т十t十e)dt)=“呼一 Q)"t十e)dt)=“呼一 Q)"

Р(Т十

Р(Т十

t

十e)dt)=“呼一 Q)"

t

十e)dt)=“呼一 Q)"

Как и в уравнении импульсов, выражение под знаком интеграла в правой части может иметь сюобенности, приводящие в некоторые моменты времени к мгновенному изменению энергии материального объема на конечную величину.

Отметим следующее обстоятельство, которое полезно иметь в виду при использовании уравнения энергии. Внутренняя энергия среды может быть суммой двух или более составляющих

。 = "十沁

где ет—тепловая энергия, т. е. кинетическая энергия хаотического движения молекул газа, q—другие составляющие внутренней энергии, например, энергия, связанная с относительными движениями составляющих молекулу частиц—атомов, энергия окружающих их электронов, энергия химических связей атомов в молекуле и т. п. Если в рассматриваемом процессе мбгут происходить взаимные превращения составляющей ет и остальных составляющих, то уравнение энерг . и можно записать в виде

萤 J P(*+“)dt=W + Q—£ J P^dt.步*i

При этой записи использовано преобразование (2.2) для величины

;при этом частицы;при этом частицыПоследнее слагаемое в полученном уравнении можно подобно пре - дыдущему слагаемому рассматривать как внешний приток тепла /п

;при этом частицы

;при этом частицы

с массовой скоростью теплоподвода — 2

материального объема следует считать обладающими лишь одной составляющей внутренней энергии %. Влияние на газ внутренних физикохимических энергетических процессов заменяется при такой трактовке влиянием притока энергии извне.

Выражение для скорости изменения энтропии. Для нахождения скорости изменения энтропии S (/) материального объема используем соотношение (2.2), беря в нем в качестве Л энтропию единицы массы s:

Выразим ds согласно термодинамическому соотношению (1.4), которое преобразуем к виду

[Tds = qtdt + qt dt,

где qt—тепло, подводимое к частице извне, и q；—выделяющееся в частице некомпенсированное тепло, отнесенные к единице массы и единице времени.

В результате получим

管=§ (%4a)血.

力.

Если приток тепла к частице происходит ск зь ее поверхность, то, введя вектор потока тепла q*) н используя формулу Остроградского—Гаусса, получим для каждой бесконечно малой частицы с объемом Дт и поверхностью о

рАт% = — ^qndc =—, оДтрАт% = — ^qndc =—, оДтdivqdt = —^div^-Дтdivqdt = —^div^-Дт

рАт% = — ^qndc =—, оДт

рАт% = — ^qndc =—, оДт

divqdt = —^div^-Дт

divqdt = —^div^-Дт

(qn—составляющая вектора q по внешней нормали к поверхности а). Поэтому можно написать

У *%dt=_ § ^^dt = — § [div費+/(a・gradT)] dt = 沥*<Jp*

=一У 72 (a@adT)dt-§ 华而, %э*<r

так что

寥=У #q；dt— У *(q・gradT)dt—§ 睪*曲・%*旷*еУ

Из найденного выражения для скорости изменения энтропии получаем, в частности, что при отсутствии диссипативных механизмов, приводящих к выделению некомпенсированного тепла, т. е. при q； = 0, и при теплоизолированной границе материального объема, т. е. при % = 0,

窑=—У 与(q gradT)dt・

Так как согласно второму началу термодинамики энтропия адиабатически изолированного объема не может уменьшаться, то из последнего равенства следует, что скалярное произведение (^-gradT) всегда отрицательно.

Для теплового потока, обусловленного теплопроводностью среды, обычно принимают закон Фурье, согласно которому

q = —Kgrad 7, х > О

(х—коэффициент теп лоп роводности). При этом 变—f к I grad ТЕ 击

Таким образом, энтропия теплоизолированного объема теплопроводной среды не сохраняется неизменной, а возрастает, если при движении в объеме имеется неоднородность температуры.

Этот вывод дает пример процесса, необратимого в целом (для конечного объема среды), при котором изменение состояния каждой частицы можно считать равновесным (д； = 0).

Законы сохранения для газа в контрольном объеме. Из сформулированных законов сохранения основных физико-механических характеристик материального объема можно получить выражения для изменения этих величин в произвольном контрольном объеме. Эти выражения в ряде случаев более удобны для приложений.

Выведем предварительную формулу дифференцирования по времени функции, заданной в виде интеграла по подвижному объему. Пусть величина Л (скаляр, вектор) зависит от х и времени /, так что интеграл

，Л (х, /) dx 好

по подвижному объему %3 есть некоторая функция /. По определению производной

1 f Л(х, t)d%= lim 纣且1 f Л(х, t)d%= lim 纣且Л (х, / + Д/) dx— \ Л (х, Z) dx 力⑴=

1 f Л(х, t)d%= lim 纣且

1 f Л(х, t)d%= lim 纣且

,[4(x, f + Af) —4(x,切火+，4%, f+Af)dT

Беря в интеграле ， Л (х, Z + Д/) dt при А/ — 0 в каче

стве элемента интегрирования dr = da ДЛ (см. рис. 1.2.2), найдем

Нт 占 f Л (х, / + Д/) dt =

犷(£2»)一力*)

=lim -~-J A (x, f + A/)A/ido = j A (x, t) Ddo.

Таким образом,

与 j Л (х, f)dt= J ^dx + ^ AD do.(2.6)

Если d(f) есть индивидуальный объем ^*(/), то

* j Л (х, t)dx= С 粤也-卜$ Avndo.

%)*步?夕

Комбинируя два последних выражения, получаем формулу

备 J Д(х, t)dx= j Л(х, f)d*J A(vn—D)do, (2.7)

которая связывает производную интеграла от функции А по инди-# видуальному объему %* и производную интеграла от той же функции по подвижному объему 力⑴，совпадающему в момент времени / с индивидуальным объемом %*(/).

Для установившихся движений, когда всюду dA/dt = 0, формула (2.6) принимает вид

纟 С AD do

и показывает, что изменение суммарного значения величины Л в объеме %° связано лишь с перемещением границы этого объема в неизменяющемся во времени поле величины А.

Заменив в полученных ранее законах сохранения массы, количества движения, момента количества движения, энергии и в выражении для скорости изменения энтропии производные от интегралов по индивидуальному объему Т3* производными от интегралов по неподвижному контрольному объему У согласно формуле (2.7), получим:

體+ / Р% 曲=0,(2.8)

券+ § pVvndo=F= -J pn^^F\(2.9)

曙 + J(rxpV)un 曲=金=—J(rx рп)^^^.(2.10)

樂+f而=lF + Q = -fs〃d(r+ir + Q, (2.11)

吟 + j psvnda = £ 养(％ + ⑺阮(2.12)

Эти уравнения часто называются уравнениями 6 балансовой форме или просто уравнениями баланса массы, импульса и т. д.

Если движение установившееся, то левые части уравнений баланса (2.8)—(2.12) не содержат слагаемых с производными по времени и представляют собой суммарные потоки соответствующих величин (массы, импульса и т. д.) сквозь неподвижную поверхность 夕.

Отметим важную для дальнейшего форму записи уравнения баланса энергии (2.11). Перенеся слагаемое, соответствующее работе сил давления на поверхности 夕,из правой части этого уравнения в левую, придадим уравнению баланса энергии в неподвижном объеме % следующую форму:

ИЛИ

^- + ^ph0vndo^Wf + Q. (2.13)

Введенная здесь величина Ло, определяемая формулой

% =导 + 6+%歩 + 九 (2.14)

и равная сумме кинетической энергии и теп лосодержан и я единицы массы газа, называется полным теплосодержанием (или полной энтальпией). Таким образом, (полная) энергия ^ объема Тэ изменяется вс/едствие потока полного теплосодержания газа сквозь границу объема, вследствие обмена теплом с внешней средой и вследствие работы внешних сил за вычетом работы сил давления на поверхности 于. В частности, если W = 0 и Q = 0, то полная энергия объема 勿。меняется лишь благодаря притоку в объем полного теплосодержания; для установившихся движений dS/dt = 0, и, следовательно, суммарный поток полного теплосодержания сквозь поверхность 犷 равен нулю.

Полученные выше уравнения в интегральной форме служат не только основой для вывода дифференциальных уравнений движения газа и для получения соотношений между параметрами газа на поверхностях разрыва газодинамических величин (это будет сделано ниже—в § 7), но используются непосредственно при решении многих задач.

Пример использования законов сохранения при нестационарном течении: заполнение вакуумированного сосуда газом. Замкнутый сосуд объемом 5Р окружен газом (рис. 1.2.3); давление газа внутри сосуда пренебрежимо мало по сравнению с давлением р^ газа в окружающем пространстве. При открывании крана, соединяющего внутренность сосуда с окружающей средой, газ извне втекает в сосуд. Кран держат открытым лишь небольшое время %, достаточное

для заполнения сосуда газом и выравнивания давления в нем с внешним давлением, но недостаточное для того, чтобы успел произойти заметный теплообмен в газе и на границе между газом и стенками трубы. После этого кран закрывают. Требуется определить массу газа в сосуде, его температуру Т непосредственно после закрытия

крана, а также давление ре в сосуде после того, как температура газа в нем выравняется с температурой внешней среды 7\・

Окружим мысленно сосуд неподвижной замкнутой поверхностью 弘，достаточно удаленной от него, и применим к газу в контрольном объеме внутри поверхности / уравнения баланса массы и энергии. Интегрируя уравнение баланса массы (2.8) по времени от / = 0 до /=/(), получим

'о

М%—財о+\0 ри〃曲)d/ = 0.

Так как вне сосуда состояния газа в момент / = 0 наковы, то разность М%—УИ0 равна массе М газа,

н / = % оди-заполнившегон / = % оди-заполнившегоМ +М +$ Q p% 而)$ Q p% 而)dt = 0.dt = 0.(2.15)(2.15)сосуд, т. е.

н / = % оди-заполнившего

н / = % оди-заполнившего

М +

М +

$ Q p% 而)

$ Q p% 而)

dt = 0.

dt = 0.

(2.15)

(2.15)

Если в уравнении баланса энергии (2.13) пренебречь в течение времени от / = 0 до / = /0 теплообменом со стенками сосуда и притоком тепла к газу сквозь поверхность 夕 и учитывать лишь работу сил давления на этой поверхности, то после его интегрирования по времени получи

/о

(2.16)(2.16)St0—亂 Т J ( \ 限％吟 dt = 0.

(2.16)

(2.16)

Вновь из того, что состояния газа вне сосуда при / = 0 и / = /0 совпадают, заключаем (считая газ в сосуде при / = /0 однородным и неподвижным), что разность St0—SQ равна Me, где е—внутренняя энергия единицы массы газа в сосуде при / = /0. Так как граница 斤 взята далеко от сосуда, где скорость движения газа сколь угодно мала, то величину Ло на границе 牙 можно считать совпадающей с ее значением в покоящемся газе hQ = h^r — « h^ т. е. одинаковой во всех точках границы 玄 в течение всего времени от 0 до /0. Поэтому, с учетом выражения (2.15), последнее слагаемое в уравнении энергии (2.16) равно —Mh^. Таким образом, получаем равенство

е(%, T)i(%,兀)，

из которого и определяется температура Т. Из уравнения состояния, связывающего плотность с давлением и температурой, найдем плотность р газа в сосуде и массу газа М = р%°.

Если газ совершенный и имеет постоянные теплоемкости cv и %, то е = ^Т,忆耳乃〃 так что

cQ =以乙 или 工=^ = %

т. е. температура газа в сосуде после закрытия крана превышает температуру окружающего газа в у раз. Плотность р выразится формулой p = Pg/Y，а масса М газа в сосуде—формулой

При последующем выравнивании температуры газа Т в сосуде с температурой окружающей среды 7\ плотность газа в сосуде р остается неизменной (сосуд замкнут), давление же в нем изменяется от значения р = р^ при / = /0 Д。значения ре, которое определится из уравнения состояния. Для совершенного газа

где Те—температура газа в сосуде после ее выравнивания с температурой окружающей среды, т. е. Те = 7\, так что

Ре 丁8 ]

Эта формула может служить для экспериментального определения отношения теплоемкостей у по измеряемым в опыте давлениям р^ и

Из уравнения баланса энергии (2.13) путем его интегрирования по времени от / = % до достаточно больших /(/—>• оо) с учетом притока тепла сквозь поверхность 夕 при выравнивании температур получим

负=8 —м。= ， Qd/ = Q.

Отсюда переданное сквозь поверхность 玄 наружу тепло, равное —Q, есть (отметим, что тепловое состояние стенок сосуда при f = f° и f = 8 одно и то же)

—G = М (е—W = М (九 8—%)=夫 Л».

Это тепло выделяется вследствие диссипации механической энергии газа при заполнении им сосуда и равно работе сил давления на поверхности 夕(объем %® протекающего сквозь эту поверхность газа за время заполнения сосуда равен М/р^,, а давление на ней сохраняется равным pf.

Рис. 1.2.4Рис. 1.2.4g o^da+PcV^^O.g o^da+PcV^^O.(2.17)(2.17)

Рис. 1.2.4

Рис. 1.2.4

g o^da+PcV^^O.

g o^da+PcV^^O.

(2.17)

(2.17)

Пример использования законов сохранения при установившемся течении: вертолет в режиме зависания. Пусть вертолет с располо

женным горизонтально несущим винтом неподвижен относительно

удаленного от него воздуха. Представим схематически вертолет (рис. 1.2.4) в виде диска в плоскости вращения винта и подвешен

ного к нему груза с общим весом G. От винта вниз отходит струя воздуха, в результате чего на винте возникает направленная вверх подъемная сила Р, уравновешивающая вес О. Действием силы тяжести на воздух будем пренебрегать.

Окружим вертолет замкнутой контрольной поверхностью 于，удаленной от него настолько, чтобы давление всюду на поверхности можно было считать постоянным и равным давлению в

невозмущенном воздухе. Применим к газу внутри поверхности 步 законы сохранения в интеграль-

ной форме. Отходящую от винта вниз струю будем считать ци

линдрической.

Пусть 于=% +夕с，где 夕с—часть поверхности 夕，пересекаемая струей; примем, что участок 孔 горизонтален и скорость газа на нем 匕 распределена равномерно и направлена вниз.

Из уравнения баланса массы (2.8) получим

Уравнение баланса импульсов (2.9) в проекции на идущее вниз направление дает

，puvn da + рсV^c ^ P—，p cos (n, %) do. (2.18)

⑵19)⑵19)Так как в точках поверхности 夕а при ее удалении от вертолета скорость и может быть сделана сколь угодно малой, а давление р стремится к постоянной величине "川 то с учетом (2.17) оба интеграла в равенстве (2.18) стремятся к нулю при удалении 步 в бесконечность, так что

⑵19)

⑵19)

仇吸于。 = а

т. е. подъемная сила винта равна по величине импульсу отбрасываемого винтом в единицу времени воздуха в струе.

Обозначив буквой W мощность, сообщаемую винтом воздуху, из уравнения баланса энергии (2.13) находим

f phQvn do + рс九夕c (券"+ 生)=取•

При удалении контрольной поверхности от вертолета величина % под знаком интеграла стремится к постоянной так что, учитывая (2.17), получим

Г = рМ 叭(項 + h-Q. (2.20)

Согласно этой формуле мощность W расходуется на сообщение проходящему через винт воздуху кинетической энергии и избыточного теплосодержания. Образование же тяги, как это следует из выражения (2.19), связано с сообщением газу только кинетической энергии.

Отличие от нуля разности hc—h—Mp# sc)——h^p^ s*) обусловлено ростом энтропии при необратимом процессе подвода механической энергии к воздуху в винте. Так как dh/ds \Р = Т > 9, то при Sc > Sg эта разность, очевидно, положительна.

При данной подъемной силе Р мощность W согласно формуле (2.20) минимальна при sc s^ и равна

呼нд = РсК%等■・

Отношение мощности 吃“ идеального винта к затрачиваемой в действительности есть коэффициент полезного действия винта 刀 01W 1)：

Рс匕夕С(22 )

Используя выражения (2.19) и (2.21), находим

Р = (2т］呼уз р产夕К?.

Отсюда следует, что при данной мощности, передаваемой винтом воздуху, целесообразно лопасти винта иметь по возможности длинными, для того чтобы площадь сечения отбрасываемой винтом струи была наибольшей и соответственно скорость воздуха в струе—наименьшей. На практике значения 九 ограничиваются прочностью винта и его весом.

Отметим, что и в других случаях, когда требуется получить большой поток импульса при заданном значении потока энергии (если эта энергия в значительной мере является кинетической энергией), выгодно иметь малую скорость и соответственно большой мао „совый расход газа, а не наоборот.

§ 3. Установившиеся движения газа в трубке

Рассмотрим установившееся движение газа в объеме внутри контрольной поверхности, имеющей вид трубки (рис. 1.3.1), замкнутой •с концов плоскими поперечными сечениями 乳 к 芋 (этими же буквами будем обозначать и площадь соответствующих сечений). Боко-

вая поверхность трубки 外 может быть поверхностью тока, мысленна выделенной внутри потока газа, но может частично или целиком совпадать с ограничивающими газ твердыми поверхностями. Внутри трубки могут находиться обтекаемые газом тела; их поверхность принимается за часть поверхности 夕()•

Предположим, что в плоских сечениях 夕】и 夕 параметры газа распределены равномерно и скорость направлена нормально поверхности сечений; скорость в сечении 于i будем считать направленной внутрь объема. Допустим также, что вязкими нормальными напряжениями и тепловыми потоками в сечениях 于1 и 于 можно пренебречь.

Применим при сделанных допущениях к газу внутри контрольной поверхности законы сохранения (2.8)—(2.11).

Уравнение сохранения массы. Уравнение (2.8) дает следующее соотношение:

pV^=piV1(^1—，pu〃do.(3.1)

夕。

Произведения Pi^i夕i и pY£ называются массовым расходом (или просто расходом) газа в соответствующих сечениях трубки.

Величина

М(е} = — § ри〃而

есть суммарная масса газа, втекающего за единицу времени в трубку между сечениями 夕】и 于 через поверхность 夕°. Соотношение (3.1) определяет М{е) по известным значениям расхода газа в сечениях 于1 и夕.

Если величина М{е} задана заранее или известным образом зависит только от значений параметров газа в сечениях 夕】 и 夕，то уравнение (3.1) связывает параметры газа в сечениях 步】и 夕 соотношением, не зависящим от распределения параметров в объеме трубки между этими сечениями. В частности, при М(е) = 0 это соот^ ношение имеет вид

pY£=Pi%£i(3.2)

и выражает равенство значений расхода газа в сечениях 于i и 臥.

Уравнения сохранения количества движения (импульса) и момента количества движения (момента импульса). Из уравнения (2.9) получаем

(р + рН)£3 = (〃+рМ)%*-『Р%而+ У Р尸)d.R・ (3.3) 1 %%

Здесь /(е)—внешняя сила, действующая на единицу массы газа

внутри трубки, а

R= — § 亿I 而(3.4)

九

есть главный вектор сил, действующих на поверхность 夕.со стороны протекающего в трубке газа.

Если поверхность 夕° твердая (рассматривается участок трубы и скрепленные с трубой тела внутри нее; последних может не быть), то R есть действующая на £() сила реакции протекающего сквозь трубу газа.

Величина (р + pV2)^ у называется полным импульсом газа в сечении трубки. Величина К® = —，pVvnde есть суммарный импульс газа, втекающего за единицу времени в трубку между сечениями К и 皆 через поверхность 先.

При отсутствии массовых сил формула (3.3) связывает силу R со значениями полного импульса газа в сечениях е/\ и 夕 и импульса втекающего сквозь поверхность 九 газа и определяет силу R, если эти величины известны.

Силу R нельзя задать заранее, так как согласно (3.4) она зависит от распределения напряжений на поверхности 夕° между сечениями и 皆.Единственным важным частным случаем, когда это можно сделать, является течение идеального газа в непроницаемой цилиндрической трубке без помещенных в нее тел и при отсутствии массовых сил. В этом случае векторы 匕，匕 а следовательно и R, направлены вдоль образующей трубки; с другой стороны, напряжения 〃п，а вместе с ними и R, ортогональны образующей. Таким образом, /? = 0. Проектируя уравнение (3.3) на направление образующей, получаем соотношение между параметрами газа в сечениях н 于 в виде

р+рУ1 = Р1 + р^и(3.5)

не зависящем от распределения параметров в объеме трубки между этими сечениями.

Из уравнения сохранения момента количества движения (2.10) при отсутствии создающих момент массовых сил находим

S + pI^^^^mSi+P】匕)* 1r『(rxpV) vnda-M. (3.6)

Здесь

M=—，(rxpn)de

В

есть» суммарный момент относительно некоторой точки поверхностных сил, действующих на поверхность 夕° со стороны протекающего

газа, а г； и г*—радиусы-векторы относительно той же точки центров тяжести площадей сечений 歹^ и 夕.

Если на поверхность трубки извне действует постоянное давление Ра, то после замены в выражениях (3.3) и (3.6) рт и р соответственно разностями %—Ра и р—厶 величины R или 麻 в этих выражениях будут представлять силу или момент, действующие на трубку изнутри со стороны движущегося газа и извне вследствие приложенного к ней внешнего давления ра. Это следует из того, что при ра = const для произвольной замкнутой поверхности 2 интегралы

,/V2 dd J (rxpan)da

Е

равны нулю и их можно добавить в правые части равенств (3.3) и (3.6) соответственно, не изменив эти равенства.

Уравнение энергии. Обратимся к уравнению баланса энергии в виде (2.13). Из него получаем

pk^% = Pi%£i%-，ph.vndo+W^t-Q.(3.7)

丸

Произведение ^V^hQ называется потоком полного теплосодержа ния в сечении трубки.

Величина 〃“)= —，phQvn da есть суммарное полное теплосодержание газа, втекающего за единицу времени в трубку через поверхность 于0.

Последние два слагаемых в правой части (3.7), Wf и Q, представляют собой соответственно работу, совершаемую в единицу времени над газом в контрольном объеме внешними силами, и приток к газу сквозь поверхность 夕о тепла и других немеханических видов энергии.

При этом работа Wf есть сумма двух составляющих:

j pf^Vdx+ \ PnVde.

Первая составляющая соответствует работе внешних массовых сил и равна нулю, если эти силы отсутствуют. Вторая составляющая характеризует работу, сообщаемую газу силами со стороны поверхности с^о, в том числе и со стороны поверхности тел, расположенных внутри трубки. Если % непроницаема для газа и если газ идеален, то эта составляющая равняется нулю из-за того, что поверхностные напряжения нормальны к направлению скорости газа и потому не производят работы над газом; если газ вязкий, но 夕о неподвижна, то вследствие прилипания вязкого газа к поверхности скорость его равна на ней нулю и, следовательно, касательные составляющие напряжения на тоже не производят работы.

В некоторых случаях при использовании соотношения (3.7) (и соотношения (3.3)) допускают, что тела, расположенные внутри трубки, деформируемы или подвижны, так что поверхность 夕° меняется со временем. Учитывая производимую такими телами работу над газом (или вычисляя согласно уравнению (3.3) силу R), пренебрегают возможным эффектом нестационарности течения, связанным с изменением 夕()со временем.

Работу поверхностных сил, совершаемую над газом помещенным в трубу техническим устройством с подвижными элементами ——вентилятором, компрессором и т. п., — часто называют технической работой.

Соотношение (3.7) определяет величину 夕=『 + Q через значения потока полного теплосодержания газа в сечениях 于п 夕 н приток полного теплосодержания с втекающим сквозь поверхность 夕о газом. В общем случае 讶 зависит от распределения параметров в объеме трубки между сечениями 夕^ п 夕.Однако во многих важных случаях значения величин 呼'n Q могут быть указаны заранее и, в частности, они могут равняться нулю.

Во всех случаях, когда три последних слагаемых в правой части соотношения (3.7) известны или зависят только от значений параметров газа в сечениях 夕^ и 夕，это соотношение устанавливает связь между параметрами газа в этих сечениях, не зависящую от распределения параметров в объеме трубки между сечениями. В частности, если приток массы сквозь поверхность 夕° отсутствует и работа Wf внешних сил равна нулю, из выражения (3.7) получим

р!ЛУ71о = Р1% 夕 i^oi + Q,

откуда, учитывая (3.2), находим

无0 =无 01 + 小 (3.8) где q——приток тепла, отнесенный к единице массы протекающего газа. Для адиабатических течений ^ = 0 и

% = %, (3.9) т. е. значения полного теплосодержания газа в сечениях 夕 п 于 одинаковы.

Соотношения (3.1), (3.3), (3.6), (3.7) применимы как для непрерывных движений, так и для случая, когда внутри рассматриваемог о объема могут быть поверхности разрыва параметров газа; они явля - ются точными при принятых п редпо ложен и я х о поведении газа в сечениях У1H *.

Если течение газа между выбранными сечениями трубки проис - ходит адиабатически и обратимо, то энтропия газа в обоих сече - ниях трубки одинакова, т. е.

s = S]. (3.10)

Это равенство и соотношения (3.2) и (3.9), следующие из законов сохранения массы и энергии, образуют систему уравнений для оп-

ределения параметров газа в выходном сечении трубки по их значениям во входном сечении.

В некоторых случаях течений газа (например, при движении газа с высокой теплопроводностью в длинных трубопроводах, имеющих хороший тепловой контакт с окружающей средой) температуру всех его частиц можно считать одинаковой и неизменной во времени. Такие движения с Т = const называются изотермическими. При установившихся изотермических движениях газа в трубах справедливо равенство

Т = Л.(3.11)

Дифференциальные соотношения. Обозначим буквой х расстояние вдоль средней линии трубки, отсчитывая его, например, от начального сечения 夕i в сторону течения газа. Предположим, что условия о равномерном распределении параметров газа в сечении 步 выполнены при всех значениях х, при которых рассматривается движение. Описание течений газа в трубке при таком предположении называется квазиодномерным (иногда ——гидравлическим). Кроме того, будем пренебрегать в каждом сечении нормальным тепловым потоком и вязкими напряжениями. Если при этом распределения параметров газа по длине трубки являются непрерывно дифференцируемыми функциями от х (для этого площадь сечения трубки 夕(％) и внешние воздействия 府“),Л4" и т. д. тоже должны обладать этим свойством), то соотношения (3.1), (3.3) и (3.7) можно дифференцировать по х.

Ограничимся случаем, когда стенки трубки непроницаемы для газа, так что М(е} — К{е) = 0, 〃“)= 0.

Дифференцируя вдоль х соотношение (3.1), получим

d(pk^) = 0(3.12)

или

? +岁 + 導=0.(3.13)

Из уравнения импульсов (3.3) найдем

d[S + pH)£/r] = f/s&dx+ $ pndu(3.14)

Здесь 壮于。一кольцевой элемент поверхности трубки между двумя ее бесконечно близкими сечениями.

Продифференцировав по х тождество

\ и0 da Ч- <^п + ^f^nv = 0, В

получим

\ %而+б/((У7г) = 0. d^9

Добавим эту равную нулю сумму, умножив ее предварительно на р, к правой части равенства (3.14). После некоторых преобразований с использованием соотношения (3.12) получим

n^f dp + pV^ d (V/t) = р/(е)<^ dx +，rnda,

где t〃——вязкая составляющая поверхностного напряжения ("〃 = —M + G

Проектируя это уравнение на направление оси трубки и поделив результат на р步，найдем

以" +多=我也+*J小0.(3.15)

При течении вязкого газа в цилиндрической трубке кругового сечения последнее слагаемое в соотношении (3.15) равно —-^dx, где R—радиус сечения трубки и т—напряжение поверхностного трения. Будем считать это выражение справедливым и для трубок некругового сечения и нецилиндрических, понимая под R так называемый гидравлический радиус сечения, равный удвоенному отношению площади сечения к его периметру.

Тогда, если вместо т ввести безразмерный коэффициент трения 之 по формуле т= ^рР/2, уравнение импульсов (3.15) примет вид

КМ十^ =爱)dx—£ Н 改(3.16)

Обратимся к уравнению энергии (3.7). Продифференцировав его вдоль х, получим

d(pV^%) = d!T+ dQ.

Будем считать, что механическая энергия сообщается газу только вследствие работы массовой силы f^. Тогда с учетом равенства (3.12) получим

dh0 = f^dx + qxdx.(3.17)

Здесь qx—подводимое к газу тепло, отнесенное к единице длины трубы и к единице массы протекающего газа.

Для адиабатических течений газа при отсутствии подвода механической энергии извне dfto = O и, следовательно,

Ло = const,(3.18)

т. е. полное теплосодержание газа сохраняется при его движении в трубке. При этом полная энергия газа в общем случае меняется вследствие работы сил давления, совершаемой над частицами газа.

Уравнения (3.13), (3.16) и (3.17) представляют собой математическую модель установившихся непрерывных адиабатических (при q% = 0) и неадиабатических (при q%，0) движений идеального

(при g = 0) или вязкого (при С > 0) газа в слабо искривленных трубках с плавно меняющейся формой и площадью поперечного сечения.

Напомним, что, согласно изложенному ранее (§ 2), под величиной qx можно понимать не только подвод тепла извне, но и тепловыделение внутри газа, вызванное превращением в тепловую энергию других видов внутренней энергии газа.

Получим еще уравнение для изменения энтропии. Заменив в уравнении (3.17) dft0 по формуле

dhQ = dh+VdV = Tds + ^ + VdV

и пользуясь уравнением импульсов (3.14), получим

Tds = qxdx + $V2dx.(3.19)

Величина ~- V2 есть, таким образом, некомпенсированное тепло, выделяющееся на единице длины трубки в единице массы протекающего газа вследствие необратимого характера движения газа в трубке с трением.

Из трех уравнений (3.16), (3.17), (3.19) лишь два независимы; поэтому вместе с соотношением (3.13), следующим из закона сохранения массы, можно пользоваться любыми двумя из них.

Отметим, что уравнение импульсов и уравнение энергии приводят к одному и тому же соотношению

(3.20)

если движение не сопровождается необратимыми процессами, т. е. если qxdx = T ds и газ идеален, так что g = 0.

Если внешняя сила имеет потенциал U, то соотношение (3.20) можно проинтегрировать, получив в результате интеграл Бернулли )

+=(3.21)

При установившихся движениях идеального газа в трубке тока бесконечно малого сечения дифференциальные соотношения (3.12), (3.20) и (3.17), полученные из законов сохранения массы, импульса и энергии, являются точными; при этом первые два из них не зависят от энергетических процессов, сопровождающих движение. В случае трубок тока в вязком газе соотношение (3.12) по-прежнему справедливо; соотношения же (3.20) и (3.17) теряют силу, так как в них

не учтены, соответственно, сообщаемые газу импульс вязких напряжений на поверхности трубки и работа вязких напряжений на этой подвижной поверхности.

Дадим некоторые необходимые для дальнейшего определения.

Пусть известна скорость V частицы газа и ее термодинамическое состояние, в частности, теплосодержание h и энтропия s. Согласно данному ранее определению (2.14) найдем полное теплосодержание 八。 газа в частице как сумму Ло = V2/2 + h.

Введем условное термодинамическое состояние рассматриваемой частицы с теплосодержанием Ло и с той же энтропией s, что и в действительном состоянии. Назовем это условное состояние состоянием торможения. Определив теплосодержание и энтропию, найдем остальные термодинамические величины в состоянии торможения: давление, плотность, температуру и др.

Параметры газа в состоянии торможения (или просто—параметры торможения} отметим нижним индексом «нуль», например р。一давление торможения (его принято называть также полным давлением). По определению, теплосодержание торможения 九。совпадает с полным теплосодержанием, а энтропия торможения ——с энтропией s.

Очевидно, что у покоящегося газа состояние торможения и действительное термодинамическое состояние тождественны, у движущегося газа эти состояния различны.

Покажем, что полное давление движущегося газа всегда больше действительного давления и что в случае нормального газа то же справедливо для температуры и плотности.

Действительно, из определения полного теплосодержания как суммы Ло = Л + Р/2 и определения параметров торможения следует 九о = А(Л), s) > 无(〃 s). Так как % = и〉0, то всегда р。> р. Отсюда и из того, что T = hs (р, s), v = hp (р, s) и 7。=厶(％, s), % = hp (р°, s), получаем, что при hps > 0, hpp < 0 (два из условий, входящих в определение нормального газа) всегда Г。> Т, р0= 1/% > р = 1/и.

При установившихся адиабатических обратимых движениях газа ft0 = const и s = const; поэтому при таких движениях параметры торможения в частицах газа сохраняются неизменными, несмотря на изменение скорости и действительного термодинамического состояния частиц.

Таким образом, можно дать следующее наглядное определение: параметры торможения—это значения термодинамических величин, которые имел бы газ в частице после адиабатического обратимого замедления ее при установившемся течении без действия массовых сил до скорости У = 0.

Пользуясь обратимостью предполагаемого процесса замедления частицы, можно определить параметры торможения по-иному—как значения термоди нами чески х величин в резервуаре с покоящимся газом, при установившемся адиабатическом обратимом истечении из которого частица может иметь данные значения скорости и термодинамических параметров.

При нарушении предположений об адиабатичности и обратимости процесса в установившемся течении газа без действия внешних сил параметры торможения изменяются.

Полное теплосодержание изменяется согласно уравнению (3.17) с f£)= 0, а энтропия—согласно соотношению (3.18).

Эти соотношения связывают параметры состояния в действительном движении. Наряду с ними рассмотрим связь между параметрами торможения:

Tqds = dh—限. (3.22)

Отсюда при адиабатических движениях

т. е. полное давление газа в течениях с необратимыми процессами уменьшается: происходят, как говорят, потери полного давления или

просто—потери.

Происхождение этого термина можно уяснить из следующего.

Рассмотрим (рис. 1.3.2) установившееся адиабатическое перетекание газа через трубку из одного большого резервуара (пусть это

будет левый резервуар) в другой. Вдали от соединяющей трубки газ в резервуарах можно считать покоящимся. Согласно предыдущему, если состояние текущего газа изменяется обратимо, то два термодинамических параметра газа—теплосодержание и

энтропия—будут в правом резервуа

ре теми же, что и в левом. Таким образом, термодинамическое состояние газа в обоих резервуарах одно и то же и, в частности, тем

пература и давление в них одинаковы.

Если процесс течения необратим и энтропия газа при течении возрастает, то давление в правом сосуде будет ниже давления в левом сосуде. Таким образом, после необратимого перетекания газа из левого сосуда в правый произошла потеря технической ценности запасенного газа—давление в нем упало.

Рассмотренный пример показывает также, что в согласии с нашим интуитивным представлением газ не может стационарно перетекать из резервуара с меньшим давлением в резервуар с большим давлением. Однако это интуитивное представление не оправдывается в общем случае неадиабатического течения: при наличии теплообмена с внешней средой газ может течь в резервуар с более высоким давлением.

Для неадиабатических течений, заменив в (3.22) ds согласно (1.4) и полагая dh& = dq, получим

Разность 1——TQ/T всегда отрицательна, так как согласно доказанному ранее температура торможения выше действительной темпе- ратурн газа. Поэтому при подводе тепла к газу в установившемся течении полное давление всегда падает, отводом же тепла можно полное давление увеличить.

В формуле 九十卩/2 =九0 вместо величины Ло можно ввести равную ей величину 吸1aх/2 и трактовать Vmax как наибольшее значение скорости, которое можно получить, если газ с данным состоянием ускорять в трубке при установившемся адиабатическом течении в ней. При таком значении скорости теплосодержание обращается в нуль; вместе с ним обращается в нуль давление. Скорость 7тах 二二 К 2hQ называется максимальной скоростью установившегося адиабатического течения газа или скоростью установившегося адиабатического истечения газа в вакуум.

Для совершенного газа теплосодержание есть функция только температурь^ поэтому максимальная скорость есть в этом случае функция только температуры торможения. Если теплоемкости совершенного газа постоянны, то

%ах =匕 2с〃「0.

Для воздуха при 7。= 293 К независимо от давления Утах = 767м/с.

В общем случае нормального газа максимальная скорость зависит не только от температуры торможения, но и от давления газа в этом состоянии.

Отметим, что в состоянии покоя полная энергия газа совпадает с его внутренней энергией %. При V = Vmax полная энергия газа есть его кинетическая энергия У^ах/2 = Ло = е0 + р0/р0〉％. Таким образом, при установившемся адиабатическом разгоне газа из состояния покоя до максимальной скорости газ приобретает за счет работы сил давления дополнительную энергию р0/р0 (для совершенного газа 吸iax/2 = c〃T()= "/)= ?%, т. е. при таком разгоне энергия газа возрастает в у раз).

Понятие максимальной скорости можно обобщить и на случаи неадиабатических движений газа. Для этого запишем интеграл Бернулли (3.21) в виде

V2 С dp

Если связь между плотностью и давлением при течении газа не является адиабатической, но при р —> 0 интеграл в правой части сходится, то существует конечная максимальная скорость ^i = j , в противном случае Vmax= оо. Так, при изотермическом течении

совершенного газа

p = Rp7\ (7\ = const) и RTr In —, / p

так что Vmax = оо. То, что газ в этом случае может приобретать сколь угодно большую скорость, связано с подводом к газу при его расширении тепла извне.

Скорость звука, число Маха, критические параметры. Как говорилось в § 1, в газовой цинамике важную роль играет скорость звука 〃一термодинамический параметр, который определяется формулой (1.7)

Если скорость частицы газа V меньше скорости звука а в частице, то скорость называется дозвуковой; при У〉а скорость называется сверхзвуковой.

Отношение М = 7/а является фундаментальным безразмерным параметром в газовой динамике и называется числом Маха ).

В ряде случаев величину а удобно считать одним из термодинамических параметров, характеризующих состояние среды.

Примем теплосодержание h за функцию энтропии s и скорости звука а, т. е. h = h(s, а); тогда из определения полного теплосодержания следует:

^ + ft(s, a) = h0. (3.23)

При установившемся адиабатическом обратимом движении, когда 无。 и s—константы, это соотношение связывает скорость газа V и скорость звука а в нем.

Из монотонной зависимости Л от а (см. (1.10)) следует, что с ростом скорости V скорость звука а уменьшается. В заторможенном состоянии, т. е. при Y = 0, скорость звука максимальна: 〃 = %; при V = Ymax 无=° и а=0. В диапазоне 0 < V < Vmax существует единственное состояние, при котором скорость и скорость звука совпадают, т. е. У=а = VKp. Это состояние газа называется критическим, а ссют- ветствующие ему значения скорости VKp и термодинамических параметров Ркр, Ркр, 「кр—критическими значениями. Очевидно, что при критическом состоянии М = Мкр = 1.

Связь между параметрами газа в данном сечении трубки и расходом. Рассмотрим выражение для расхода газа G = р№ в некотором» сечении трубки. Отнесенная к единице площади сечения величина расхода G/^= pV называется удельным расходом или плотностыо потока массы. Пользуясь определением полного теплосодержа ни я газа, напишем

~ = pV = р И 2 (й0—h)~ = pV = р И 2 (й0—h)(3.24)(3.24)

~ = pV = р И 2 (й0—h)

~ = pV = р И 2 (й0—h)

(3.24)

(3.24)

и будем считать р и Л функциями давления р и энтропии s. Выражение (3.24) дает тогда зависимость удельного расхода от давления р и от параметров торможения Ло и s (или от 无。и р0). Представим связь (3.24) в дифференциальной форме:

dG _ dpP 万=77dG _ dpP 万=77丝.一曲丄出二也丄丝_丝.一曲丄出二也丄丝_歹2（九0 —九）=詣州一l）dp —（p/i内+$）由+鲁+卓.歹2（九0 —九）=詣州一l）dp —（p/i内+$）由+鲁+卓.(3.25)(3.25)

dG _ dpP 万=77

dG _ dpP 万=77

丝.一曲丄出二也丄丝_

丝.一曲丄出二也丄丝_

歹2（九0 —九）

=詣州一l）dp —（p/i内+$）由+鲁+卓.

歹2（九0 —九）

=詣州一l）dp —（p/i内+$）由+鲁+卓.

(3.25)

(3.25)

Здесь использованы соотношения (1.6) 九卩=^,九$ = Т и (1.7)

乳=』•

Приведем некоторые следствия полученного выражения:

1) если сохранять1) если сохранятьнеизменными площадь сечения, полное тепло-

1) если сохранять

1) если сохранять

содержание и давление газасодержание и давление газа(d夕=0, dh0 = 0, d" = 0), то dG/ds < О

содержание и давление газа

содержание и давление газа

(tips > 0 для нормального газа), т. е. расход газа уменьшается с ростом ею энтропии;

при сохранении площади сечения, расхода и полного теплосодержания (心=0, dG = 0, 2% = 0) dp/ds имеет тот же знак, что и М2—1: с ростом энтропии давление газа падает при дозвуковой скорости и увеличивается при сверхзвуковой; уменьшение энтропии влияет на давление противоположным образом;

при сохранении расхода, полного теплосодержания и энтропии (dG = 0, dh& = 0, ds = 0)

(3.26)(3.26)(Jm2)謂=將

(3.26)

(3.26)

т. е. в этих условиях при дозвуковой скорости площадь сечения трубки и давление газа изменяются в одном направлении, а при сверхзвуковой скорости их изменения противоположны по знаку.

Некоторые другие выводы из (3.25) будут сделаны в дальнейшем.

Остановимся подробнее на зависимости удельного расхода рУ от давления р во всем диапазоне его изменения 0 ^ р ^ р0 при постоянных 九0 и s. При " = 0 и при р = р() функция р* обращается в нуль. Действительно, как это следует из предельных соотношений для нормального газа (формулы (1.19) и (1.20)), р = 0 и й = 0 при 〃 = 0, т. е. V=Vmax = K2ft0； Р = Ро и Л = Л0 при р = р(), т. е. У = 0.

Так как

dM2 J『2 + М?薔 L 九

而1%， s 二 const —dp a2 I〃9, S = const。2 尸'

то согласно равенству (1.10) для нормального газа, удовлетворяющего условию (1.21), dl^ldp 院，s二const < 0 при всех М, так что число Маха есть монотонно убывающая функция давления, причем М = 0 при р=-Ро и М= оо при р = 0.

Из (3.25) при постоянных % и s следует, что d (рУ) = -^- (М2— l)d〃 т. е. функция pV монотонно возрастает от нуля в диапазоне 0<р<ркр, достигает при р = &р, т. е. при М= 1, максимума и монотонно убывает при &р V Р V %, обращаясь при р = % снова в нуль.

Так как плотность потока массы pV при постоянных параметрах торможения имеет максимум, то ясно, что при заданных значениях этих параметров существует предельный расход газа, который может протекать сквозь заданное сечение трубки. Это наибольшее значение расхода называется критическим. Наоборот, при заданном расходе газа G площадь сечения трубки не может быть меньше предельной, определяемой формулой

Ркр^кр

Эта минимальная площадь сечения трубки называется критической. При заданных параметрах торможения 皆кр определяется значением расхода G и может задаваться вместо него.

Подчеркнем, что при критическом значении расхода скорость газа равна скорости звука.

Формулы для совершенного газа. В случае совершенного газа с постоянными теплоемкостями все полученные выше соотношения между параметрами газа можно выписать явно в виде простых формул.

Так как для совершенного газа теплосодержание есть функция только температуры, то для него полное теплосодержание определяет температуру торможения То и ее связь с максимальной скоростью Vmax:

(3.27)(3.27)у2 丄 e т — у Мах

(3.27)

(3.27)

Ср / = Ср / о = —2 ~

И

Ущах = V 2СрТ0.

(3.28)(3.28)Соотношение (3.23) принимает в этом случае вид ” a2 _vLx т 十 —~•

(3.28)

(3.28)

Полагая в нем И=а = VKp, получим

Введем безразмерные отношения V/Vmax = Л и V/VKp = X. Величины А и 入 меняются соответственно в пределах 0Л^ 1 и 0 &九W ^^ /Ж и называются приведенными по Vmax или VKp скоростями (иногда—коэффициентами скорости). Используя эти величины, из (3.27) найдем связь температуры газа с его скоростью и параметрами торможения в виде

■j^ = 1—Л2 = 1■j^ = 1—Л2 = 1(3.29)(3.29)

■j^ = 1—Л2 = 1

■j^ = 1—Л2 = 1

(3.29)

(3.29)

Из уравнений состояния (1.7) и (1.8) с учетом того, что энтропия в состоянии торможения и в действительном состоянии одна и та же, получим

и, следовательно, связь давления и плотности газа с его скоростью и параметрами торможения дается формулами

(3.30)(3.30)

(3.30)

(3.30)

Поделив в соотношении (3.28) все зависимости между величиной Л или 九Поделив в соотношении (3.28) все зависимости между величиной Л или 九слагаемые на Р/2, получим и числом Маха:слагаемые на Р/2, получим и числом Маха:

Поделив в соотношении (3.28) все зависимости между величиной Л или 九

Поделив в соотношении (3.28) все зависимости между величиной Л или 九

слагаемые на Р/2, получим и числом Маха:

слагаемые на Р/2, получим и числом Маха:

1122」1 y+]]」1 y+]](Y — 1) АЛ2 Л2у — 1 X2 *(Y — 1) АЛ2 Л2у — 1 X2 *(3.31)(3.31)

1

1

2

2

」1 y+]]

」1 y+]]

(Y — 1) АЛ2 Л2у — 1 X2 *

(Y — 1) АЛ2 Л2у — 1 X2 *

(3.31)

(3.31)

Пользуясь этими зависимостями и формулами (3.29), (3.30), можно представить температуру, давление и плотность в функции числа Маха и параметров торможения:

/ ： 丁 鳧2 IP \ z / P \ z / (3.32)

Полагая в формулах (3.29) и (3.30)九=1 или в формулах (3.32) М=1, найдем связь критических значений параметров газа &р, Ркр» Ткр с параметрами торможения в виде отношений

(*)(*)уТкр 2 "кр /2 \~ Ркр

(*)

(*)

В табл. 1.3 приведены значения этих отношений для нескольких значений у.

Таблица 1.3

У

Лер"。

Рцр/Р。

Ркр/Р。

1

1

0,6065

0,6065

1,2

0,9091

0,5645

0,6209

1,4

0,8333

0,5283

0,6339

5/3

0,7500

0,4871

0,6495

00

0

0

1

На рис. 1.3.3 приведены зависимости Т/То, р/% и р/р0 от X при у=1,4, а на рис. 1.3.4—связь между 九 и 从 для этого же значения у.

Рис. 1.3.3Рис. 1.3.3Запишем выражениеЗапишем выражениедля расходадля расходагаза G в видегаза G в виде

Рис. 1.3.3

Рис. 1.3.3

Запишем выражение

Запишем выражение

для расхода

для расхода

газа G в виде

газа G в виде

рР夕=G = Ркр 兀 р夕 кр*рР夕=G = Ркр 兀 р夕 кр*Из трубкиИз трубкиэтого уравнения найдем связь между площадью 于 и приведенной скоростью 九 или числом Маха М11этого уравнения найдем связь между площадью 于 и приведенной скоростью 九 или числом Маха М11сеченияв видесеченияв виде

рР夕=G = Ркр 兀 р夕 кр*

рР夕=G = Ркр 兀 р夕 кр*

Из трубки

Из трубки

этого уравнения найдем связь между площадью 于 и приведенной скоростью 九 или числом Маха М

11

этого уравнения найдем связь между площадью 于 и приведенной скоростью 九 или числом Маха М

11

сеченияв виде

сеченияв виде

q （九）,q （九）,（3.33）（3.33）

q （九）,

q （九）,

（3.33）

（3.33）

Функция q （九）представляет собой зависимость от 九 безразмерной плотности потока массы—斗一. Ее график при у =1,4 приведен

Ркр^кр

на рис. 1.3.5. Функция q （九）обращается в нуль при 九=：0 （из-за того, что обращается в нуль скорость V; плотность при этом равна

(из-за того, что обра-(из-за того, что обра-Полезно величину q =殷^…Полезно величину q =殷^…Пользуясь соотношением ^-= (■^―)"=(上戶)"(尹， (3.30) между 九 и р/р0, получимПользуясь соотношением ^-= (■^―)"=(上戶)"(尹， (3.30) между 九 и р/р0, получим(3.34)，(3.34)，

(из-за того, что обра-

(из-за того, что обра-

Полезно величину q =殷^…

Полезно величину q =殷^…

Пользуясь соотношением ^-= (■^―)"=(上戶)"(尹， (3.30) между 九 и р/р0, получим

Пользуясь соотношением ^-= (■^―)"=(上戶)"(尹， (3.30) между 九 и р/р0, получим

(3.34)，

(3.34)，

плотности торможения р0) и при 九=

щается в нуль плотность; скорость при этом равна Утах); при 九= =1 функция q (九)имеет максимум, равный единице.

выразить как функцию отношения ~

и связью，

График этой функции при у =1,4 приведен на рис. 1.3.6. Обратим внимание на то, что д = ”р/皆 ％ следовательно, графики；

тепло- давле-тепло- давле-G=广也=斤М RMG=广也=斤М RM 丄 *V-1 I 1/2 丄 *V-1 I 1/2(3.35»(3.35»

тепло- давле-

тепло- давле-

G=广也=斤

М RM

G=广也=斤

М RM

丄 *V-1 I 1/2

丄 *V-1 I 1/2

(3.35»

(3.35»

на рис. 1.3.5 и 1.3.6 иллюстрируют также зависимость от 九 и р/р0.величины 夕кр/于，обратной относительной площади сечения трубки.

Выражение (3.24) для совершенного газа с постоянными

емкостями дает в явной форме зависимость расхода газа от ния и от параметров торможения

Эта зависимость называется формулой Сен-Венана—Ванцеля.

Как уже подчеркивалось ранее, удобство их введения для устано- адиабатических обратимых течений состоит в том§ чтоКак уже подчеркивалось ранее, удобство их введения для устано- адиабатических обратимых течений состоит в том§ чтоФормулы (3.27)——(3.30) при заданной совокупности значений! параметров газа V, р, р и Т служат просто определениями величин То,匕пах，А，"о, Ро・ Эти величины можно ввести для любого потока.

Как уже подчеркивалось ранее, удобство их введения для устано- адиабатических обратимых течений состоит в том§ что

Как уже подчеркивалось ранее, удобство их введения для устано- адиабатических обратимых течений состоит в том§ что

вившихся_

неизменными.неизменными.значения 7\, Vmax, р。, р0 при таком течении остаются

неизменными.

неизменными.

температуры,температуры,Формулы (3.29) и (3.30) дают при этом зависимость

температуры,

температуры,

давления и плотности от меняющейся скорости газа. Формула же*

при постоянном значении ^р, определяемом расходом и пара-

метрами торможения, устанавливает связь между скоростью и площадью сечения трубки.

Адиабатические обратимые течения. Применим теперь полученные соотношения к адиабатическим обратимым течениям газа без действия массовых сил в трубке с непроницаемыми стенками и меняющейся по длине площадью сечения 夕.

Для таких течений G -- const, Ло^ const, s= const; уравнение расхода (3.24) определяет при этом зависимость давления от 夕, т. е. изменение его при движении газа вдоль трубки. Так как s = =const, то по давлению находятся и все остальные термодинамические параметры, в частности, теплосодержание газа h. Условие Ло = Л + V2/2 = const позволяет найти зависимость скорости V от расстояния вдоль трубки.

Для рассматриваемых движений d% = 0, ds = O; поэтому, используя связь (1.3) и определение 左。，можно написать

A乳A諾=4*A乳A諾=4*VdVVdVМ#・М#・

A乳A諾=4*

A乳A諾=4*

VdV

VdV

М#・

М#・

Отсюда наглядно видна роль числа Маха в проявлении свойств «сжимаемости среды при установившихся адиабатических движениях. Если число Маха очень мало, то даже сравнительно большое относительное изменение скорости не вызывает заметного относительного «изменения плотности, т. е. газ ведет себя как несжимаемая среда. Напротив, при больших числах Маха незначительное относительное .изменение скорости может приводить к весьма большому относительному изменению плотности.

Из соотношения (3.26), заменив в нем ^- на —V dV, получим

(1 —М2) —+ -^--0.

Таким образом, при малых значениях числа Маха скорость меня- $ется при движении газа в трубке, как и в несжимаемой среде, обратно пропорционально площади сечения трубки.

При дозвуковой скорости, т. е. при М < 1, скорость при суже- 「нии трубки растет, соответственно скорость звука падает (см. (1.10)), так что число Маха растет. При этом влияние уменьшения площади течения на увеличение скорости проявляется с ростом числа Маха все сильнее. При сверхзвуковой скорости, т. е. при М > 1, напротив, скорость при расширении трубки растет. Это связано с тем, <что относительное увеличение скорости газа в трубке уже не компенсирует относительного уменьшения его плотности. Влияние расширения трубки на увеличение скорости при М > 1 с ростом числа Ма_ха падает; при очень больших числах Маха скорость газа .при изменении площади сечения трубки не изменяется — она дости- тает своего максимального значения Vmax.

Для того чтобы при движении вдоль трубки при переходе сечения, где М= 1, величина dV сохраняла знак, необходимо, чтобы величина d夕 в этом сечении обращалась в нуль и меняла знак. При М = 1 площадь сечения минимальна, трубка имеет в этом сечении пережатие—так называемое «горло».

Таким образом, непрерывное ускорение квазиодномерного потока газа от дозвуковой скорости до сверхзвуковой или непрерывное

торможение сверхзвукового потока до дозвуковой скорости возможно лишь в трубке с горлом. Такая трубка, изображенная на рис. 1.3.7, а, называется соплом Лаваля ). Сопла Лаваля широко используются в технике.

Течение в сопле Лаваля (1). Рассмотрим возможные режимы истечения газа из сосуда больших размеров через сопло Лаваля (рис. 1.3.7) с заданными площадью минимального поперечного сечения (в горле)夕「и площадью выходного сечения 几.

Изучим сначала изменение режимов течения газа в сопле при изменении расхода газа G через сопло. При G = 0 скорость газа всюду в сопле равна нулю, а давление

Рис. 1.3.7 постоянно и равно давлению в резервуаре р. (прямая / на рис. 1.3.7,6).

При малых G величина 夕叮=6/(卩吋丫叮)будет меньше 叫.Величина q 二夕叮/夕，равная нулю при неограниченно больших значениях 配 возрастает при движении вдоль трубки с уменьшением £, достигает наибольшего значения, равного 久,外 в горле сопла, а при дальнейшем движении вдоль сопла вновь убывает до значения 于“/夕в в выходном сечении. В соответствии с таким поведением величины q и согласно выражению (3.34) (см. также рис. 1.3.6) давление газа в сопле уменьшается при приближении к минимальному сечению, а затем вновь возрастает к выходу из сопла (кривая 2 на рис. 1.3.7, 6). Скорость газа всюду дозвуковая и имеет максимум в горле. При увеличении G до некоторого значения GKp величина 玄кр станет равной 夕「. При этом наибольшее значение функции q в горле сопла станет равным единице, т. е. функция q достигнет своего максимума. Скорость газа в горле достигнет критического значения, т. е. станет равной скорости звука, а давление упадет до значения ркр (кривая 3 на рис. 1.3.7, 6). •

Очевидно, что дальнейшее увеличение G при данных условиях в резервуаре и данной площади горла невозможно, так как при этом отношение 于кр/夕,а следовательно, и величина q достигли бы наибольшего возможного значения, равного единице, еще до горла.

Так как при G 二二 G^p функция q достигает максимума в горле сопла, то дальнейшее движение вдоль сопла, сопровождающееся ростом 斤 и соответствующим уменьшением д, может происходить с уменьшением скорости и увеличением давления (кривая За на рис. 1.3.7, б) или с увеличением скорости и падением давления (кривая 36 на рис. 1.3.7,6). Иными словами, при достижении скорости звука в горле продолжение течения в расширяющуюся часть сопла может происходить двумя различными способами: это может быть либо замедляющийся дозвуковой поток, либо ускоряющийся сверхзвуковой поток.

Огметим следующее свойство течения газа в горле сопла при достижении там скорости звука. Из уравнения расхода рУсУ = =ркрУкр^кр, ограничиваясь в нем главными членами при малнх Р —Ркр И 干一夕кр，ПОЛУЧИМ

—4 I" = Р (Р —‘KJ = °? к，(夕一夕кр)・

Коэффициент при (р—ркр)2 для нормального газа положителен, так как простыми выкладками для него находим выражение

2 d卢 1Р=ркр 2V8 ' p 十 dp 丿Р二% 2pV3 丄丁 (CM. (1.10)).

Итак, при звуковой скорости в горле сопла, вблизи него

/「+1 \1/2 Р-Ркр ( $ \1/2

Течению перед горлом и его продолжению за горлом с дозвуковой скоростью соответствует знак «плюс», продолжению со сверхзвуковой скоростью—знак «минус». Если вблизи горла 夕/夕叮= =1 + / (%—хкр)2т, то величина производной dp/dx |кр, а вместе с ней и ускорение газа в горле сопла равны нулю при m > 1, равны бесконечности при m < 1 и остаются конечными при /и=1 (этот случай изображен на рис. 1.3.7).

Таким образом, изменению расхода G от нуля до G = GKp соответствует совокупность возможных установившихся адиабатических обратимых течений в сопле Лаваля, в которых давление в выходном сечении сопла меняется в интервале от р。при G = 0 до некоторого минимального значения %〉Ркр при G = GKp. Значению G = GKp соответствует также второй—сверхзвуковой—режим течения в расширяющейся части сопла, при котором давление газа в выходном сечении сопла равно некоторой величине р。< Р^-

Рассмотрим теперь истечение газа из резервуара с давлением р0 через сопло Лаваля в пространство с давлением & &%• При ра=р0 газ покоится, так что G = 0. Как будет показано в последующем, при дозвуковом истечении газа из сопла давление газа в выходном сечении следует принимать равным давлению в окружающем про-

странстве. Поэтому при понижении давления ра в интервале от р0 до рд давление в выходном сечении изменяется как ра, и расход газа через сопло возрастает от нуля до максимальной возможной величины GKp. Что произойдет, если ра будет падать дальше—ниже значения рд? Изложенная выше теория не дает ответа на этот вопрос; из этой теории следует, что при /^ < Рд установившиеся адиабатические обратимые течения с давлением в выходном сечении сопла, равным Ра, не существуют. Исключение составляет лишь так называемое расчетное сверхзвуковое истечение из сопла, когда 厶=员・

Ответ на поставленный вопрос требует дальнейшего существенного развития теории, которое будет дано в § 5. Забегая вперед, укажем, что для этого мы должны будем, во-первых, отказаться от предположения об обратимом и непрерывном характере течения, обнаружив механизм возникновения необратимого уменьшения полного давления в потоке, и, во-вторых,—в случае сверхзвукового истечения,—должны будем отказаться от предположения о постоянстве параметров газа по сечению истекающей из сопла сверхзвуковой струи, показав, что давление в выходном сечении сопла может не совпадать с давлением в окружающем пространстве.

Истечение из сужающегося насадка. Из предыдущего ясно, что если трубка, через которую истекает газ, не имеет расширяющейся части (такие трубки называются сужающимися насадками или соплами, также—дозвуковыми соплами}, то при понижении давления ра в окружающем пространстве от р0 до /?кр расход через насадок будет возрастать от нуля при 厶=% Д° при ра^ ркр, когда в выходном сечении сопла будет достигнута критическая скорость. Дальнейшее понижение давления в окружающем пространстве не изменяет течение внутри сопла и не может увеличить расход газа через сопло (происходит так называемое «запирание» сопла), приводя лишь к изменению течения в струе вне сопла.

Расход газа через сопло определяется при этом формулой Сен- Венана—Ванцеля (3.35) при р = Ра〉Ркр и равен GKp при ра^ ркр.

Укажем, что согласно этой формуле из резервуара с воздухом нормальной температуры истекает через отверстие в 1 см2 при критическом режиме 19,7 л/с воздуха.

Из-за невыполнения в действительности предположения о постоянстве параметров в выходном сечении сопла, особенно при резком изменении площади и формы поперечного сечения сопла на его выходном участке, действительный расход газа через сопло отличается от вычисленного по формуле (3.35). Вычисленное по этой формуле значение расхода уточняют умножением его на так называемый коэффициент сужения струи 卩.Значение коэффициента 卩 зависит от формы выходного участка сопла и от отношения давления в окружающем пространстве к полному давлению истекающего газа (или от соответствующего этому отношению давлений числа Маха); на реальное значение коэффициента 卩 может влиять и вязкость газа Определение коэффициента сужения струи теоретическим путем пред-

ставляет собой сложную газодинамическую задачу; поэтому во многих случаях его находят экспериментально.

Известна, однако, частная форма насадка, для которой при дозвуковом истечении газа коэффициент сужения струи можно найти теоретически достаточно просто. Решение этой га зоди нами ческой задачи основано на использовании интегральных законов сохранения и установленных в настоящем парагра-.

фе соотношений между параметрами % I газа при адиабатическом обратимом те- 1Г~\

чении.Iр

Насадок Борда. Рассмотрим со- | р0线^^71二，：》

суд большого объема (рис. 1.3.8), из кото- ।/

рого газ, находящийся в нем под I/ j

давлением р0, истекает струей через '/

сужающийся насадок в пространство с|

давлением ра. На большом расстоянии от отверстия струя приобретает цилинд-Рис, 1,3,8

рическую форму. Пусть 夕一площадь выходного сечения насадка, а 皆а 二 卩夕—площадь сечения цилиндрической струи.

Возьмем замкнутую контрольную поверхность 5, состоящую из достаточно удаленной от входа в трубку поверхности 夕8 внутри объема с газом, части поверхности стенок резервуара и поверхности трубки 夕ст, поверхности струи и поперечного сечения струи % там, где струю можно считать цилиндрической и параметры газа по сечению—однородными.

Считая течение стационарным, применим к газу внутри поверхности £ закон сохранения массы

р% da = О

и закон сохранения количества движения

§ р У% 而=—\ (р—ра) п 曲.

Р^П^Ч Ра%于а = 0,Р^П^Ч Ра%于а = 0,(3.36)(3.36)Очевидно, что подынтегральные выражения в левых частях обоих равенств отличны от нуля только на поверхности 于8 и в сечении струи 于а，так что из уравнения сохранения массы следует

Р^П^Ч Ра%于а = 0,

Р^П^Ч Ра%于а = 0,

(3.36)

(3.36)

а из уравнения количества движения в проекции на ось трубки %

р〃源而十 pj犷а=—，（p —Pa）cos（〃，％）血.（3.37）

При удалении поверхности 夕g от входа в трубку внутрь резервуара скорость в точках этой поверхности стремится к нулю, а давление р стремится к давлению р0.

Учтем, что согласно (3.36) интеграл ，p%du имеет конечное

значение. Кроме того, воспользуемся тем, что на замкнутой поверхности 步.十夕ет 十夕

，(Ро—Ра) COS (п, %)曲+夕(％ —Ра) = О.

Поэтому уравнение количества движения (3.37) дает

Ра吟夕а =(几一Ра)于 + S (% —р) COS (九，％)血，，ст

откуда

尸'中J (%—р) cos (% %)而. (3.38)

Pa%pa%玄 J

Так как давление на стенке сосуда не может превосходить полного давления (р。＞ р) и для сужающихся насадков cos (л, %)〉0, . то наименьшее значение коэффициент 卩 будет иметь в случае, когда интеграл в правой 丿 части (3.38) обращается в нуль. Этот слу- 、［工^ 、丿чай реализуется для насадков Борда (рис.

，^厂—…а 1.3.9), вдвинутых внутрь сосуда и имеющих

/ 仆4\цилиндрическую форму вблизи отверстия, так

\\что на всей внутренней поверхности 玄仃 либо

р = р0, либо вблизи отверстия, где р изменяется от о。до ра, cos (л, %) = 0.

Рис. 1.3.9При адиабатическом и обратимом исте

чении совершенного газа через насадок Борда из формулы (3.38) и связи (3.32) между р0/р и числом Маха М найдем

Г

При Ра = Ро или при М = 0, что соответствует течению несжимаемой жидкости,卩=1/2. С уменьшением р. коэффициент 卩 возрастает. При Ра = Ркр или М= 1

Таблица 1.4

М

0

0,1

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

1,6

1,738

卩

0,500

0,501

0,505

0,520

0,547

0,585

0,638

0,707

0,795

0,884

1,000

При дальнейшем падении ра до значения, удовлетворяющего уравнению

(при у=1,4 ра^-О,191ро и соответственно М= 1,738), величина р обращается в единицу, так что площадь сечения струи становится равной площади сечения трубки.

ааЕсли трубка достаточно длинная, так что при 卩=1 струя целиком заполняет трубку, то дальнейшее уменьшение 厶 не изменяет течение в трубке.

а

а

В табл. 1.4 приведены значения 卩 при 丫= 1,4 и нескольких значениях М.

->£->£Рис. 1.3.10Рис. 1.3.10Сила, действующая на трубку или сопло, по которым течет газ. С помощью уравнения количества движения (3.3) можно определить силу R, действующую на

->£

->£

Рис. 1.3.10

Рис. 1.3.10

неподвижную или движущуюся поступательно с постоянной скоростью трубу или другое газопроводное устройство при протекании по ним газа (рис. 1.3.10). Согласно этому уравнению (с учетом сделанного выше замечания об учете внешнего постоянного давления 几)получаем

R = (%—Р.+ РМ)皆 i*y^—(Р—Pi+ pH)夕-у-=

=G (匕一n 十 3 一%)死专L-S-pa)学4 •(3・39)

Если линии действия векторов V и Vn проходящие через центры тяжести сечений 皆 и 于］,пересекаются в точке О, то из выражения (3.6) следует равенство нулю суммарного момента относительно точки О сил, действующих на трубу при протекании по ней газа. Поэтому в таком случае действие на трубу протекающего газа сводится к силе R, приложенной в скрепленной с трубой точке О. В общем случае это действие сводится к силе и паре сил.

Если скорости в выходном и входном сечениях трубы направлены одинаково (а = 0), то сила R действует вдоль того же направления и по величине равна

R = G (匕一У) + 歹i-S-厶)于・(3.40)

Г. Г. Чер ный

Эта формула дает, в частности, силу, действующую со стороны протекающего газа на сопло с прямой осью (рис. 1.3.11). Если эта

сила противоположна по направлению скорости истекающего газа, т. е. если R < 0, то величина Т =——R〉0 называется тягой сопла. Как отмечалось ранее, при дозвуковом истечении газа из сопла, а в случае расчетного значения площади выходного сечения сопла(5^ —

и при сверхзвуковом истечении, давление газа р в выходном сечении сопла равно наружному давлению %・ Формула (3.40) принимает при этом вид

При дозвуковом течении газа в сопле с заданным значением 于 рас

ход газа G и скорость истечения V в этом выражении определя

ются через 0a по приведенным ранее формулам.

При сверхзвуковом истечении через сопло Лаваля расход газа

равен критическому. Давление газа в выходном сечении может отличаться от ра в ту или иную сторону. Покажем, что при откло

нении площади выходного сечения сопла от расчетного значения тяга сопла падает. Действительно, если уменьшить площадь выхода (рис. 1.3.11), то для создания тяги не будет использоваться участок сопла, где р > ра; если же увеличить площадь выхода, то на участке сопла, где площадь больше 于,газ будет продолжать ускоряться,

так что давление в нем станет ниже Ра н тяга тоже уменьшится.

Это объяснение, конечно, следует и из формулы (3.40). Варьируя в этой формуле величины, относящиеся к выходному сечению сопла, получим

dR = — G W—于 dp— (р—厶)d步=—皆("dV + dp)—(p—厶)d夕.

При условии, что изменение площади 于 не нарушает непрерывность течения в сопле, и без учета трения газа о стенки сопла справедливо равенство pVdV + dp = 0. Таким образом,

dT = —dR = (p—pJd 留.

Данное выше объяснение как раз и соответствует этому соотношению, из которого получаем, что при d于 < 0 и соответственно р > ра будет dT < 0; если же d于 > 0 и соответственно р < ра, то опять dT < 0; таким образом, при р = 〃а тяга Т имеет максимум.

Тяга ракетного двигателя. Если скорость истекающего газа нормальна к направлению вектора импульса во входном сечении (рис. 1.3.12), то согласно выражению (3.39) составляющая действующей на сопло силы в направлении, противоположном направлению истекающей струи, т. е. тяга сопла, равна

T = —R = GV + (p—paG

Рис. 1.3.12Рис. 1.3.12Очевидно, что эта же формула для тяги справедлива и в случае ракетного двигателя, когда истекающий газ первоначально покоится относительно сопла. Так будет, если на вход в сопло подается заранее запасенный газ из баллона с высоким давлением или если этот газ образуется в результате сгорания запасенного твердого (рис. 1.3.13) или жидкого топлива; при этом для пользования формулой (3.39) нужно предполагать стационарность течения газа, т е.

Рис. 1.3.12

Рис. 1.3.12

Рис. 1.3.13

в уравнении импульса (2.9) нужно пренебречь первым слагаемым, связанным с расходованием запасенного рабочего тепла.

Как уже говорилось, при сверхзвуковом истечении из сопла Лаваля тяга максимальна при р = ра. Для ракетного двигателя максимальная тяга

T = GV

пропорциональна скорости истечения газа из сопла. Эта скорость имеет наибольшее значение Vmax при истечении газа в вакуум, когда все теплосодержание газа в камере перед соплом (где скорость можно считать равной нулю) превращается в кинетическую энергию истекающего газа: Y?nax/2 = ^o.

Для совершенного газа с постоянными теплоемкостями

(R。一универсальная газовая постоянная,卩一молекулярная масса газа). Отсюда видно, что для увеличения скорости нужно повышать температуру газа перед соплом (и применять газы с малым молекулярным весом). В современных ракетных двигателях достигаются скорости истечения до 3500 — 4000 м/с при использовании жидких топлив (в жидкостных ракетных двигателях—ЖРД) и до 2200—2600 м/с в случае твердых топлив (в ракетных двигателях с твердым топливом—РДТТ). Используются для всп омогате л ьны х целей и двигатели с предварительно сжатым газообразным рабочим телом. В таких двигателях газ может нагреваться до высокой температуры перед в ходом в сопло посредством электрического разряда (плазменные ракетные двигатели). В перспективе возможно создание плазменных ракетных двигателей с использованием ядерного горючего для нагревания больших масс рабочего тела до очень высокой температуры, а также использование в качестве носителей энергии атомарного

водорода и кислорода, у которых при объединении атомов в моле

кулы выделяется много тепла.

Работа ступени лопаточной машины. Важным и широко используемым типом газовых машин являются лопаточные машины. Основное назначение лопаточной машины состоит в преобразовании части

энергии протекающего в ней газа в работу (турбина) или, наоборот, в сообщении газу работы для увеличения его механической энергии

аналогично каналаманалогично каналамс преобразованием ее в потенциальную энергию давления (компрессор). В обоих случаях работа совершается вращающимся рабочим колесом, в котором газ проходит через периодически повторяющиеся по окружности каналы между профилированными лопатками. Рабочее колесо (или ротор) является основной частью каждой лопаточной машины. Оно может иметь один ряд или несколько рядов лопаток——лопаточных венцов. Между вращающимися лопаточными венцами могут располагаться неподвижные направляющие аппараты, каналы которых образованы рабочих колес. Направляющие аппараты не

аналогично каналам

аналогично каналам

являются в общем случае необходимыми и служат для обеспечения

благоприятных в том или ином отношении условий течения газа и для перераспределения его кинетической и потенциальной энергий. Лопаточными газовыми машинами являются паровые и газовые турбины электростанций, транспортных силовых установок, турбо

детандеры холодильных установок, компрессоры и нагнетатели авиационных и ракетных двигателей и газопроводных станций и многие другие технические устройства.

На рис. 1.3.14 приведена схема лопаточной машины. Внутри

осесимметричного канала между кожухом и центральным телом расположен ряд профилированных лопаток, скрепленных с вращающимся диском,—это и есть рабочее колесо; неподвижные направляющие аппараты не показаны.

Для определения работы, совершаемой рабочим колесом при движении газа в проточной части лопаточной машины, можно использовать либо теорему моментов количества движения, либо теорему

энергии.

Введем вращающийся вместе с рабочим колесом с постоянной угловой скоростью(о контрольный объем Т3 с границей 夕，состоящей (рис. 1.3.14) из поверхности поперечных сечений канала 于】и 步?， заключенных между ними участков стенок канала и омываемой газом новерхности рабочего колеса.

Применим к газу внутри контрольной поверхности закон сохранения момента количества движения (2.4) в виде

4 J (rxpV)dT +j (尸xpy)(%-D)do=M・ (3.41)

Здесь М——суммарный момент всех действующих на газ внутри контрольной поверхности внешних сил, г—радиус-вектор частицы газа, отсчитываемый от некоторой точки оси канала.

Так как распределения параметров газа в сечении ^х осесимметричны, то движение газа в системе координат, связанной с вращающимся контрольным объемом, будет установившимся, и, следовательно, интеграл по объему в выражении (3.41) не будет зависеть от времени, так что

е^=\ (rxpV)(vn-D)da.(3.42)

Представим момент 金 в виде суммы

М = mП°+例⑺

момента "Г), действующего на газ со стороны движущейся поверхности рабочего колеса, и момента 源⑺一со стороны остальной части границы 于(внешние массовые силы не учитываются). В проекции на направление оси канала из выражения (3.42) получим

^=\屮%%而，

где г——расстояние до оси вращения, си—окружная (трансверсальная) составляющая абсолютной скорости газа. Интегрирование распространяется лишь на поверхность сечений 夕]и 毋” так как на остальной части поверхности皆имеемvn—0 = 0.Умножаяобе части

этого равенства на угловуюскоростьвращениярабочегоколеса со,

найдем

Ц7 =(о \而一此⑺ со,(3.43)

где 取一работа, подводимаякгазурабочим колесом вединицу

времени.

Если не учитывать действия на газ касательных к поверхности сил трения на стенках канала и в сечениях 夕】и % то 爲т)= 0. Действительно, эти части контрольной поверхности являются поверхностями вращения вокруг оси канала; поэтому нормальные к ним силы не дают момента относительно оси.

Выражение (3.43) при 源(〃)=0 можно записать следующим образом:

取=(о \ [(*，一(％J] dm.(3.44)

о

Здесь G ——полный массовый расход газа через канал, Jm—масса газа, протекающего в единицу времени через соответствующие элементы площади d(Ji и do? поверхности сечений 干】и 于?； в силу закона сохранения массы '

Формуле (3.44) можно придать вид

где знак обозначает среднее по массе протекающего газа значение разности в квадратных скобках. В таком виде формула для величины работы колеса лопаточной машины была получена Эйлером *) и носит его имя.

Применим теперь к газу в контрольном объеме 7^ закон сохранения энергии. Если пренебречь теплообменом между газом и окружающими его поверхностями и работой сил трения в сечениях 乳 и 于订 то, рассуждая аналогично предыдущему, получим

IF =§ /ioP%du, или 取=\ (%2 —无oJd/〃.(3.45)

Опять, пользуясь средним значением, можно написать 取=(%一%)*a

или, в расчете на единицу массы протекающего газа,

3 = ft-02 九01 •

Приравнивая правые части выражений (3.44) и (3.45) для работы колеса лопаточной машины W, получим соотношение

$ [(Ло +(瓦 + wcJ] d/n = 0,

о

или

(%十①%就=(焉+①")；.(3.46)

Это выражение позволяет определить % по параметрам газа перед колесом и окружной скорости газа за ним.

Без учета трения и теплообмена газа между отдельными его струйками в установившемся относительном движении соотношение (3.46) справедливо не только в среднем (по массе газа), но и для каждой трубки тока. Оно выражает собой закон изменения полного теплосодержания с учетом работы массовой силы инерции в подвижной (вращающейся) системе координат.

4. Течения с разрывами

В предыдущем параграфе при изучении распределений параметров газа в установившихся течениях в трубке предполагалось, что эти распределения непрерывны. Как следует из дальнейшего, такое пред

положение ограничивает возможные виды движений и не позволяет получить в рамках изучаемых моделей газа решение многих важных задач. В связи с этим рассмотрим вопрос о возможности существования разрывов в распределениях параметров движущегося в трубке газа и изучим основные свойства таких разрывов ).

Для удобства выпишем вновь при тех же предположениях, что и в § 3, соотношения между параметрами газа в двух сечениях трубки, следующие из законов сохранения массы, импульса и энергии.

Уравнение сохранения массы возьмем в виде (3.1)

pV^ = р!^!^! — £ рУп da.(4.1)

При использовании уравнения импульсов (3.3) ось трубки будем считать прямолинейной, и уравнение импульсов запишем в проекции на эту ось:

(р—рН)* = 0М рМ)%- 5 р〃％而 + \ pf^dx+X. (4.2)

Здесь X——проекция на ось трубки сил, действующих на газ со стороны боковой поверхности трубки (считаем, что внутри трубки нет помещенных в нее тел).

Уравнение энергии возьмем в виде (3.7):

pU¥(¥ + 修=р也丝(善 + 瓦)一，pgdu+lT + Q. (4.3)

Упростим написанные соотношения, рассматривая сначала случай, когда притока массы и тепла сквозь боковую поверхность трубки между выбранными сечениями нет, массовые силы отсутствуют и газ идеален; будем считать также, что трубка цилиндрическая. При таких условиях в правых частях соотношений (4.1)——(4.3) отличны от нуля лишь первые слагаемые; с учетом того, что ^ = <^и эти соотношения примут вид

рУ = Pi%,

p + pH = Pi + pM,(4.4)

При получении последнего соотношения—уравнения энергии — принято, что расход газа через трубку не равен нулю.

Очевидно, что при заданных параметрах газа в одном из сечений (например, в левом) параметры газа во втором сеченин согласно этой системе соотношений могут иметь те же значения: I/ = V\, р 二一Pi, p = Pi, h = h» Но оказывается, что в сжимаемой среде они могут иметь и другие значения!

Покажем это сначала для совершенного газа с постоянными теплоемкостями.

Для такого газа 无=不)]~^. Подставим выражения для h и h1 в третье соотношение (4.4) и исключим из него с помои^ью первых двух равенств плотность р и давление р. В результате получим квадратное уравнение для определения У: “

Y PiY-l 7?Y PiY-l 7?少 I у "i + pi储一Р1%Р[/ 一 21

Y Pi

Y-l 7?

Y Pi

Y-l 7?

2Y—1pi^i2

Решив его, найдем

展卄箫士（」湍汴

-希(1-『1 +备(MJ1) =-希(1-『1 +备(MJ1) =22Верхний знак перед круглой скобкой дает упоминавшееся очевидное решение ]/ = %. Нижнему знаку соответствует второе решение. Используя его и первые два уравнения системы (4.4), представим эту систему в разрешенном относительно V, р, р виде:

-希(1-

『1 +备(MJ1) =

-希(1-

『1 +备(MJ1) =

2

2

м! / т+i (y+i)m；'(-

叁 昂. (45)

Здесь М? = ^.

Итак, для совершенного газа с постоянными теплоемкостями, действительно, существует решение системы (4.4), отличное от очевидного решения У = %, P = Pi, P = Pi・

Обратим теперь внимание на то, что в соотношения (4.4) не входят слагаемые, зависящие от расстояния между сечениями трубки. Будем это расстояние уменьшать, приближая правое сечение к левому, в котором параметры газа известны, так, что в пределе оба сечения сольются в одно. Тогда в этом сечении возможен разрыв параметров газа: газ слева втекает в сечение со значениями параметров Vu pn pi, а вытекает из него вправо с другими значениями параметров И, р, р; для совершенного газа с постоянными теплоемкостями эти значения определены формулами (4.5).

При неограниченном сближении сечений условия (4.4) будут выполняться и тогда, когда исходные соотношения (4.1)——(4.3) не упрощены, т. е. когда есть приток массы и тепла сквозь боковую поверхность трубки, имеются массовые силы, газ в области между сечениями не идеален, трубка не цилиндрическая и ее ось не прямолинейна. Нужно лишь предположить, что при уменьшении расстояния между сечениями до нуля, т. е. при стремлении к нулю объема %м между сечениями и площади 皆° боковой поверхности между ними, стремятся к нулю и соответствуклцне объемные и поверхностные интегралы в правых частях уравнений (4.1)——(4.3). Иными ело-

вами, условия (4.4) на разрыве справедливы, если в сечении разрыва отсутствуют сосредоточенные внешние воздействия (сосредоточенный в сечении приток массы, имеющей некоторые лмпулс и теплосодержание, сосредоточенные массовые и поверхностные силы, сообщающие газу конечный импульс и совершающие над ним конечную работу, сосредоточенный приток тепла); в противном случае эти сосредоточенные воздействия должны быть учтены и условия (4.4) соответствующим образом изменены.

Разумеется, соотношения (4.4) справедливы лишь при выполнении условий, которые были приняты при записи законов сохранения в виде (4.1)—(4.3), т. е., как об этом говорилось в начале § 3, при пренебрежении в сечениях 于〔и 夕 вязкими нормальными напряжениями и тепловыми потоками.

Таким образом, соотношения (4.4) представляют собой условия, которым должны удовлетворять параметры движущейся идеальной среды с двух сторон поверхности разрыва или ——иначе—скачка.

Эти соотношения называются условиями Рэнкина )—Гюгонио ) (или условиями динамической совместности на разрыве).

Мы приняли, что газ движется слева направо. Сторона поверхности или фронта разрыва, в которую газ втекает, называется передней стороной (в нашем случае это левая сторона), а сторона фронта разрыва, из которой газ вытекает, называется задней стороной.

Введем обозначение pV = р^ =т (т—удельный расход газа сквозь поверхности разрыва).

Из уравнения импульсов тогда получаем

т2 = _рР1_,(4.6)

Отсюда следует, что возможны скачки двух видов. Для первых

P〉Pi, Р > А, У<%・(4.7)

Эти скачки называются скачками уплотнения.

Во втором случае

Р<Р1,Р<Р1,(4.8)

Такие скачки называются скачками разрежения.

Поскольку заключение о двух возможных видах скачков в идеальной среде является следствием лишь законов сохранения массы и импульса (без сосредоточенных на поверхности скачка притоков этих величин), оно имеет весьма общую природу и не зависит от возможных физико-

химических превращений среды при прохождении ею скачка и от сосредоточенных энергетических воздействий на скачке.

Из (4.6) получаем выражения для скоростей

Н _ 丄 Р—Pi _ _Р_ р—Pi ♦1 — рГ JL — М Р—Р1

Pi Р

у2 —丄__ £1_ Р— Pi

~1р—pi

"рГ 6

с помощью которых последнее соотношение (4.4) можно преобразовать к виду

Л = у (*+£) S— рЗ(4・ 1°)

или, после замены h по формуле h^e+ р/р, к иному виду:

е—4 = ^ (-— — ■-)(Р+ Р1)・(4.11)

Выражения (4.10) или (4.11) связывают лишь значения термодинамических величин с обеих сторон скачка. Из этих выражений следует, что для скачков уплотнения

h〉/ц, е〉с】，

а для скачков разрежения.

九 < 小，ё < %.

Ранее, в § 3, мы рассматривали непрерывные движения сред, у которых все термодинамические функции, в том числе и внутренняя энергия, зависят лишь от двух параметров. В более общем случае внутренняя энергия среды зависит от дополнительных параметров физико-химической природы. Как уже указывалось в § 1, при изучении непрерывных движений таких сред их иногда тоже можно считать двухпараметрическими. Так, при некоторых условиях изменением дополнительных параметров можно пренебречь (считать их «замороженными»); в некоторых других случаях дополнительные параметры можно считать функциями основных термодинамических параметров, соответствующими термодинамически равновесному состоянию.

При прохождении поверхности разрыва дополнительные параметры, от которых зависит внутренняя энергия, могут изменяться скачком, например, от значений, соответствующих «замороженному» состоянию перед скачком, до значений, соответствующих термодинамически равновесному состоянию за скачком. При этом в соотношении (4.10) или (4.11) вид функциональной зависимости теплосодержания h или внутренней энергии е от основных термодинамических параметров может быть разным перед скачком и за ним. К примеру, для совершенного газа с постоянными теплоемкостями выражение для

внутренней энергии имеет вид

° = Y^T^ + % = %T + %•

Здесь % есть, например, химическая составляющая внутренней энергии, т. е. энергия связей атомов в молекулах. При прохождении газа через поверхность разрыва его химический состав вследствие быстрого протекания химических реакций может скачком измениться, в результате чего изменится е0 и, в общем случае, изменятся и теплоемкости газа.

Равенство (4.10) или (4.11), являющееся следствием всех трех условий на поверхности разрыва, называется соотношением Гюгонио. Если входящие в равенство (4.10) или (4.11) величины h или е представить как функции от р и р, то при фиксированных р】и рх этим равенствам соответствует в плоскости 1/р, р кривая, называемая адиабатой Гюгонио или ударной адиабатой (с центром в точке 1/Pi, Р)

При заданном состоянии среды (^ = l/pn pj с одной стороны разрыва эта кривая есть геометрическое место точек плоскости и 三 1/р, р, соответствующих допускаемым законами сохранения состояниям с другой его стороны.

Если функция е(р, р) совпадает с функцией %(р, р), т. е. если термодинамические свойства среды при прохождении ею скачка не изменяются, то

е (%, Pi) = &(%, Pi)

и, следовательно, адиабата Гюгонио проходит через точку 1/р1? р、— свой центр.

Если же как говорилось выше, определяющие внутреннюю энергию дополнительные параметры изменяются при прохождении разрыва, то е(〃，Р1)¥=%(Р1, Pi) и точка 1/р「р】не принадлежит адиабате Гюгонио.

Для изучения свойств адиабаты Гюгонио введем функцию Гюгонио

”(〃 〃九历i)=八一瓦一|e+uj(p—「о

и будем рассматривать " как функцию двух переменных и и р, параметрически зависящую от t\ и 厶.

Из (4.10) очевидно, что 〃 = 0 в точках адиабаты Гюгонио с центром в точке 0(% %).

Получим выражение для полного дифференциала функции ":

dH - dh—^ (и -I- uj dp—S—pl dv.

С учетом термодинамического равенства (1.3)

T ds = dh—vdp

это выражение примет вид

(4•⑵(4•⑵d// — Т ds 4"万 ®—uj dp —^ (p一"J du.

(4•⑵

(4•⑵

Будем считать, что среда с обеих сторон скачка имеет одни и те же термодинамические свойства, так что адиабата Гюгонио проходит через свой центр. Примем также, что А (р, у)—дважды непрерывно дифференцируемая функция своих аргументов (для нормального газа это свойство вытекает из его определения). Изучим вначале поведение адиабаты Гюгонио вблизи центра.

При малом изменении давления в скачке представим уравнение адиабаты Гюгонио 〃 = 0 в виде разложения

где производные вычисляются вдоль адиабаты Гюгонио в ее центре. Пользуясь ；этим представлением, из формулы (4.12) при dH = 0 находим

Т ds =；(闕)[1 (р—pF dp + ...,

или, после интегрирования,

7\(s—sJ = R (諾— z)*+ …(4.13)

Здесь многоточием обозначены члены более высокого порядка, чем {Р—Р^-

Таким образом, при малом изменении давления газа р一％ при переходе через скачок изменение энтропии s——s】есть малая величина порядка (р—「J'. Отсюда следует, что в начальной точке адиабата Гюгонио имеет касание второго порядка с проходящей через ту же точку адиабатой Пуассона.

Действительно, для каждой среды значения 4PHs связаны уравнением состояния ^ =无尸(〃,s). Отсюда уравнение адиабаты Пуассона, проходящей через начальную точку, есть

и = &,(〃，s)

а уравнение адиабаты Гюгонио вблизи начальной точки

v = hp[p, Si + ^S — %)3 + .. .] = /%(〃，sl) + (hps)1k(p—p^+

где коэффициент 々 определяется выражением (4.13).

Отсюда и получаем, что в начальной точке

\ dp , r \ dp 丿 rf \ dp2 J г I dp2 丿口 *

Здесь индексы Г и П относятся соответственно к дифференцированию вдоль адиабаты Гюгонио и адиабаты Пуассона.

Производные от；и по р вдоль адиабаты Пуассона, очевидно, суть частные производные по р от удельного объема и, рассматриваемого как функция давления р и энтропии s. Таким образом, выражение для изменения энтропии (4.13) можно переписать в виде

s-Si = "j^ 丽1(p一〃1产+ …s-Si = "j^ 丽1(p一〃1产+ …(4.14)(4.14)

s-Si = "j^ 丽1(p一〃1产+ …

s-Si = "j^ 丽1(p一〃1产+ …

(4.14)

(4.14)

Производная d2u/dp2\s=hprp определяется термодинамическими свойствами среды.

Так как при адиабатическом переходе через скачок энтропия в силу второго начала термодинамики может лишь возрастать, т. е.

Рис. 1.4.1Рис. 1.4.1

Рис. 1.4.1

Рис. 1.4.1

должно быть s—Si > 0, то выражение (4.14) налагает условие на знак разности р—pi для физически допустимых слабых скачков. Для сред, в которых d2v/dp2 % > 0, и, в частности, для нормальных газов, должно быть р——Pi〉6, т. е. допустимы лишь скачки уплотнения. Для сред, в которых d2u/5p2 % < 0, наоборот, допустимы лишь скачки разрежения.

На рис. 1.4.1, а и 6 показаны вид и взаимное расположение адиабат Гюгонио (Г) и Пуассона (П) вблизи начальной точки соответственно для случая hppp > 0 и hps > 0 (т. е., в частности, для нормального газа) н для случая hppp < 0.

Изучим теперь поведение адиабаты Гюгонио в целом для случая нормального газа. Покажем, что любая прямая, проходящая через центр, пересекает адиабату Гюгонио не более чем еще в одной точке (адиабата Гюгонио «звездна» относительно своего центра). Покажем также, что при следовании вдоль адиабаты Гюгонио в сторону увеличения давления энтропия монотонно возрастает.

Рассмотрим вначале связь

匕曳= -tga.

V—Vi °

Эта связь определяет при а = const прямую в плоскости 〃, проходя* щую через центр (рис. 1.4.2).

С использованием величины tga выражению (4.12) для d" можно придать вид

(4.15)(4.15)d" = 7 ds—у ®—и'? d tg a.

(4.15)

(4.15)

Вдоль адиабаты Пуассона П, проходящей через центр (рис. 1.4.2),dH = — у ®—uJ2 d tg a.

Вследствие сформулированных в § 1 свойств адиабат Пуассона для нормального газа (dv/dp = hpr < 0, d2vldp2 = hppp > 0) при движении вдоль адиабаты П Л tg а!ар > 0 и, следовательно, dH/dp < 0.

Таким образом, на верхней части адиабаты П (при р > рг) " <； 0, а на нижней ее части (при Р < %) 0・

Вдоль прямой tga = const из (4.15) следует

d" = Tds,

так что на такой прямой dH и ds имеют одинаковые знаки и, в частности, в точках максимума s (ds = 0) функция Н тоже имеет максимум.

Учитывая описанное в § 1 поведение энтропии s на прямых tg a = const, получим сле・

дующие выводы о поведении функции Н на таких прямых. На прямых с tg a < 0 (прямая / на рис. 1.4.2) Н монотонно возрастает с ростом р. Следовательно, на таких прямых не может быть точек, принадлежащих адиабате Гюгонио (" = 0). Этот вывод справедлив, конечно, и для произвольного газа, так как согласно (4.6) при tga < 0 величина /и2 = р^ = p2V2 отрицательна, что невозможно.

Прямые при tga = m2 = p；］/;、о, соответствующие связи (4.6),

называются прямыми Рэлея (также прямыми Рэлея—Михельсона. см. § 5); мы для краткости назовем их т-прямыми. Угол а характеризует скорость газа перед скачком; при изменении а от 0 до л/2 скорость Vt меняется от 0 до оо. Так как угловой коэффициент адиабаты Пуассона равен dp/dv =——р2〃2, то для m-прямой, касательной к адиабате Пуассона (прямая Т на рис. 1.4.2), ^ = an т. е. скорость газа перед скачком точно равна скорости звука. Для прямых с большими или меньшими значениями а соответственно V\ > 〃】 и Vj < 生.

Вдоль m-прямой, пересекающей адиабату Пуассона П в верхней ее части (прямая 2 на рис. 1.4.2), функция Н монотонно возрастает

от нуля в точке О до некоторого максимального значения (в точке С, где прямая касается адиабаты Пуассона ГГ), а затем монотонно убывает, принимая, согласно сказанному выше о знаке функции Н, отрицательное значение в точке пересечения m-прямой с адиабатой Пуассона П. Следовательно, на такой прямой между точкой С, где она касается адиабаты IT, и точкой ее пересечения с адиабатой П есть точка, где " = 0, т. е. точка адиабаты Гюгонио. Если т-прямая пересекает адиабату П в ее нижней части (прямая 3 на рис. 1.4.2), то при следовании вдоль такой прямой от центра функция Н монотонно возрастает до некоторого максимума в точке Сп где она касается адиабаты Пуассона П", а затем монотонно убывает. В точке пересечения m-прямой с адиабатой П функция Н все еще положительна и продолжает убывать до точки встречи прямой с осью v. На этой оси 〃 = 0,九(0, s_) = 0; поэтому

0; % %) = 一瓦 + ^也 + s厶

и, следовательно, функция Н линейно возрастает с ростом и, оставаясь отрицательной до значения у = у* = у1 -|- 2е1/р1, при котором она обращается в нуль.

Таким образом, на каждой m-прямой, пересекающей ось и в промежутке уг < у С ^*» есть точка, где " = 0, т. е. точка адиабаты Гюгонио, причем эта точка лежит между точками пересечения т-пря- мой с адиабатой П и с осью v. На m-прямых, пересекающих ось и при V > 吟 точек адиабаты Гюгонио нет.

Итак, мы показали, что существует непрерывная гладкая кривая Гюгонио, проходящая через центр O(t\, pj. Эта кривая звездна относительно своего центра.

Если потребовать, чтобы давление вдоль адиабаты Гюгонио монотонно возрастало с уменьшением и, стремясь к бесконечности при и —и_ < и「то нужно дополнить введенные в § 1 ограничения на функцию 无(〃，s) для нормального газа условием 册^国 ——y(^+^i)>0. После некоторых выкладок, которые мы опускаем, это условие можно представить и как условие на поведение адиабаты Пуассона в переменных и, Т:

《一27爲

Очевидно также условие и* > vT, {которое должно выполняться для того, чтобы адиабата Гюгонио имела ветвь при v > ^:

Нетрудно проверить, что для совершенного газа с постоянными теплоемкостями выписанные условия удовлетворены: первое при 丫〉1 и и〉= * а второе—при у > — 1.

На адиабате Гюгошю согласно (4.15)

Т ds = ^(u—uJ2d tga,

так что при условии монотонности адиабаты вдоль нее с ростом давления (т. е. с ростом tg а) энтропия газа монотонно возрастает. На верхней ветви адиабаты Гюгонио (при 〃〉pj s > s「на нижней (при р < 卩)s < s「

Из доказанного следует утверждение: в нормальном газе скачки любой интенсивности могут быть только скачками уплотнения, вызывающими увеличение плотности и давления и уменьшение скорости газа. Это утверждение составляет теорему Цемплена. При V\ > “^ /и-прямая пересекает адиабату Гюгонио в верхней ее части; согласно предыдущему в точке пересечения, которая соответствует состоянию газа за скачком, ds < 0 вдоль m-прямой и ds〉0 вдоль адиабаты Гюгонио. Таким образом, в этой точке адиабата Пуассона ds = O пересекает адиабату Гюгонио между ней и m-прямой, так что

Следовательно, в состоянии газа за скачком

т. е. скорость газа перед скачком уплотнения больше скорости звука, а скорость газа за скачком меньше скорости звука. Иначе: скорость скачка по отношению к газу перед ним сверхзвуковая, а по отношению к газу за ним—дозвуковая. Легко проверить, что для скачков разрежения это утверждение меняется на обратное.

При уменьшении интенсивности скачка значения скорости газа перед скачком и за ним приближаются к скорости звука, как это следует и из формул (4.9):

1而吟=lim也上色=

网 pi P —pi°p |si

и аналогично для V2.

Таким образом, скорость бесконечно слабого скачка по отношению к газу перед ним п по отношению к газу за ним равна скорости звука.

Для совершенного газа с постоянными теплоемкостями согласно (4.5)

若

Заменив здесь М； через 注 по формуле (3.31), получим

Y% = ^p・(4.16)

Это соотношение, из которого, очевидно, следует, что при 匕〉％ будет У < о, называется соотношением Прандтля *).

Для совершенного газа с постоянными теплоемкостями уравнение

Гюгонио (4.10) имеет вид

Y-1

(У)

В разрешенной относительно р форме

р 一(Y+Dp—(Y—Dpi

Pi(丫+】)Pi —(Y—1) Р

p =(计1)% 一e一1)и

Pi (\'+】)и—(Y一1)力

(4.17)

На рис. 1.4.3 представлена соответствующая этим выражениям адиабата Гюгонио для р > pi при ?= 1.4. Там же приведена адиабата Пуассона, проходящая через начальную точку (штриховая линия).

Адиабата Гюгонио для совершенного

газа имеет асимптоту

и

Y —1 中，

рой она приближается при р -

к кото- оо. При

V* ^^~Т адиабата Гюгонио пересекает ось и.

Таким образом, плотность совершенного газа за скачком не возрастает беспредельно при р —л оо, а стремится к конечной величине (для совершенного газа при

Рис. 1.4.3

у=1,4 эта величина равна шести, у= 1,2—одиннадцати).

Как показывает рис. 1.4.3, для

при

скачков

в

газе с у= 1,4 при

—< 2 изоэнтропа 二=々 является

PiPv "

адиабаты Гюгонио.

При увеличении интенсивности скачка энтропия газа за скачком

очень хорошим приближением

резко возрастает. Так как согласно уравнению энергии (4.4) полное теплосодержание газа при переходе через (покоящийся) скачок сохраняется, то полное давление газа за скачком с увеличением интенсивности скачка падает. Получим, используя формулы (3.32) и (4.5), выражение для отношения полных давлений газа за скачком и

*) Прандтль (Prandtl) Людвиг (1875——1953)——немецкий ученый, один из основателей аэродинамики. Автор трудов по теории пограничного слоя, теории крыла конечного размаха, теории турбулентности, о сверхзвуковых течениях газа и др.

перед ним:

〃0

Poi

（击M一号尸（号十小尸

(4.18)

2Y(Y—1)2-3(Y + 1)22Y(Y—1)2-3(Y + 1)2&^ 1Рох&^ 1Рох(M?-1)3.(M?-1)3.На рис. 1.4.4 приведен график этой зависимости при у= 1,4. При числах Маха Мь близких к единице, уменьшение полного давления невелико и выражается формулой

2Y(Y—1)2

-3(Y + 1)2

2Y(Y—1)2

-3(Y + 1)2

&^ 1

Рох

&^ 1

Рох

(M?-1)3.

(M?-1)3.

Однако с ростом Мх полное давление за скачком р° быстро падает; при Mj^> I

1V 2

『（鼻尸（禺尸M尸

Интенсивные скачки уплотнения являются мощным механизмом диссипации механической энергии — в них механическая энергия газа необратимым образом переходит в тепловую. Следовательно, в тех случаях, когда необходимо при торможении сверхзвукового потока

с достаточно большими значениями числа Маха получить возможно высокое давление газа, следует избегать возникновения интенсивных скачков уплотнения. Наоборот, если необходимо снизить высокое давление, развивающееся при торможении сверхзвукового потока, то можно использовать для этого скачки уплотнения.

Применим теперь законы сохранения (4.1)——(4.3) к более общему случаю, чем изученное ранее течение в цилиндрической трубе без притока массы и импульса извне.

Рассмотрим (рис. 1.4.5) течение в трубе из двух соединенных между собой цилиндрических участков с общим направлением оси и с разными площадями сечения. Пусть газ течет в трубе слева направо из части с меньшим сечением £〔 в часть с большим сечением 于.

Цилиндрические участки трубы непроницаемы для газа, а на соединяющем их участке может подводиться газ, обладающий некоторыми импульсом и теплосодержанием. Примем, что в сечении левой трубы перед соединительным участком параметры газа распределены равномерно. Допустим также, что достаточно далеко вниз по потоку и во второй цилиндрической части трубы параметры газа распределены по сечению равномерно. На соединительном участке трубы и в близкой к нему части правой трубы могут происходить сложные движения, вызванные перемешиванием втекающего снаружи газа с газом, текущим из левой трубы, и резким изменением площади сечения трубы.

Для нахождения связей между параметрами газа в сеченли 2, где завершилось их выравнивание по сечению трубы, и параметрами газа в сечении / перед соединительным,

участком, а также параметрами газа, вте-1-

кающего на участке 1Г (рис. 1.4.5), при- ^

мен им вновь законы сохранения (4.1)—— _/ 夕Q

.2

Заметим, что если найдена какая-либо

система значений параметров газа в сече-'

нии 2, то обязательно существует (дляРис, 1,4,6

нормального газа) еще одна система значе

ний, связанная с первой соотношениями на скачке. Физически допустимые решения для адиабатических течений должны удовлетворять условию

рУ夕s》Pi%》\si— ) pvns da.

夕。

Заранее отбросить систему с меньшим значением энтропии нельзя, так как может оказаться, что в общем случае адиабатических течений оба решения удовлетворяют выписанному условию, т. е. соответствуют значениям энтропии, большим, чем суммарная энтропия газа в сечении / и газа, втекающего в трубу между сечениями / и Г, так что оба решения не противоречат второму началу термодинамики.

Остановимся на двух важных примерах.

Пусть длина участка 1Г равна нулю (рис. 1.4.6) и в месте соединения труб с разной площадью сечения нет подвода массы и энергии (течение в трубе с внезапным расширением). Пренебрежем также внешними массовыми силами.

Уравнения (4.1) — (4.3) примут тогда вид

pV皆=pi% 夕 i,

(4.19)

От соотношений (4.4), представляющих собой условия на разрывах, эти выражения отличаются тем, что &牛S、、и тем, что в уравнении

импульсов присутствует слагаемое X, равное проекции на ось трубы действующей на газ внешней поверхностной силы (кроме сил давления в сечениях трубы / и 2). Пренебрегая трением газа о стенки между сече({иями / и /', эту силу можно записать в виде

Х = “(夕一％),(4.20)

где 〃‘ есть среднее давление на стенке трубы, образующей ступеньку площадью 玄一％.

Огметнм, что уравнение энергии в системе (4.19) с учетом уравнения сохранения расхода приобретает вид

так что полное теплосодержание газа в сечении 2 равно полному теп лосодер жа н ию газа, текущего в левом участке трубы.

Система трех уравнений (4.19) после замены X по формуле (4.20) позволяет выразить р, р и 廿 через заданные значения р^ р, V\, площади сечений труб 岳】н 于 н величину //. Поэтому для нахождения р, р и V необходимо еще одно условие, позволяющее определить и величину р'. Если скорость втекающего газа в сечении / дозвуковая, то, как и при дозвуковом истечении газа в неограниченное пространство, можно принять, что давления рг и рг одинаковы. При звуковой и сверхзвуковой скорости втекающего газа давление // может сильно отличаться от давления 夕力 и его можно найти лишь в результате специального расчета, учитывающего перемешивание газов на границе между вытекающей струей и областью медленного циркуляционного движения газа за уступом стенки трубы.

Нужно подчеркнуть, что выравнивание параметров газа по сечению трубы при сверхзвуковой скорости происходит медленно и требует значительного расстояния; при этом становится заметной роль трения газа о стенки, что необходимо учитывать в расчетах.

Если скорость всюду дозвуковая и в сечении 2 труба выходит в пространство с заданным давлением ра. то следует принять р = ра, после чего система (4.19) с учетом (4.20) позволит определить р, V и p'="i (а, следовательно, и расход газа через трубу).

Из уравнений неразрывности и импульса при р' = р получаем выражение

"一小=夕1( J_pH с/ U

В предельном случае несжимаемой среды скорость V находится из уравнения расхода ^=書，так что это выражение определяет давление 〃：

P — ?!一步1 (］夕

,то1 臥,то1 臥(4.21)(4.21)Так как р0—Poi = p—Pin ——閔 р0 - Pq I /

,то

1 臥

,то

1 臥

(4.21)

(4.21)

Р齊/2

Таким образом, при течении с малыми скоростями в трубе с внезапным расширением происходят потери полного давления, тем большие, чем больше увеличивается сечение трубы. Так как для несжимаемой среды /io = ^-+cT, где с—теплоемкость и сТ——внутренняя энергия, то из уравнения сохранения полного теплосодержания найдем

с(Т-Т^^с(Т-Т^^若万.若万.

с(Т-Т^^

с(Т-Т^^

若

万.

若

万.

Это соотношение, позволяет вычислить температуру среды после прохождения ею внезапного расширения трубы и показывает, какая доля кинетической энергии среды необратимо переходит в тепловую. Такая потеря кинетической энергии аналогична ее потере при неупругом ударе сталкивающихся тел; поэтому и в газодинамике потери полного давления газа при внезапном расширении трубы называют потерями на удар.

При течении сжимаемого газа формула (4.21) верна с точностью до членов порядка М； включительно.

Для получения точного выражения для потерь полного давления разрешим сначала систему (4.19) с учетом (4.20) относительно V для случая совершенного газа с постоянными теплоемкостями. В результате получим

干 |/ (1—М；)2 + 2(1+уМ；)^ (券一1)十(分厂^_1)〔・(4.22)

Два параметра, p7Pl и $丨九,входят в это соотношение в ком・ бинации ~ ^^-—1)・ При 夕/夕i=l верхний знак перед корнем дает равенство U = I；, а нижний знак ——значение скорости за скачком уплотнения при М】〉1 н за скачком разрежения — при Мх< 1.

Выведем формулу для изменения энтропии, необходимую для исключения физически не реализуемых течений.

Для совершенного газа с постоянными теплоемкостями

]р 1 RG 1 RT

S=C&ln^ = C&ln ру-1 = %•

По определению состояния торможения (§ 3) можно также написать 1 RVT?

s = Q In -TFT •

Учитывая, что е рассматриваемом течении То = То] и VKp = VKp п получим

三 " =：(?— 1) In * = In ^_(Y— 1) In %R) /1Pi三 " =：(?— 1) In * = In ^_(Y— 1) In %R) /1Pi

三 " =：(?— 1) In * = In ^_(Y— 1) In %

R) /1Pi

三 " =：(?— 1) In * = In ^_(Y— 1) In %

R) /1Pi

Используя последнее выражение для Т/ТА и то, что согласно уравнению сохранения расхода ? = приведем формулу для измене- Piь步

ния энтропии к виду:

言=(7—1)1 曙=1П 1+ 展 М；(1 —^)] + (1)1п 爲’

где 匕匕 выражается согласно (4.22).

Рассмотрим течение 6 газовом эжекторе. Газовый эжектор представляет собой устройство, в котором две или несколько газо

вых струй смешиваются при их спутном течении в ограниченном

Рис. 1.4.7 лей (в так называемыхРис. 1.4.7 лей (в так называемыхпространстве, и это их свойство используется для повышения полного давления (напора) газа в одной из струй за счет уменьшения полного давления в другой струе. Эжекторы применяются также для создания разрежения в замкнутых емкостях, для увеличения импульса реактивных струй воздушно-реактивных двигате-

Рис. 1.4.7 лей (в так называемых

Рис. 1.4.7 лей (в так называемых

эжекторных соплах) и для многих других

технических целей.

Приведенную на рис. 1.4.5 схему с подводом газа на участке 1Г можно рассматривать и как схему эжектора с цилиндрической камерой смешения газов между сечениями /' и 2. В наиболее распрост

раненных случаях газы подводятся в камеру смешения двумя параллельными струями с однородным распределением параметров по сечению каждой из них.

Такой простейший одноступенчатый эжектор стационарного действия изображен на рис. 1.4.7. Газы с параметрами роп Т。】и р", T；i истекают в сечении / параллельными струями в камеру смешения (площадь входа этой камеры в сечении / не обязательно равна сумме площадей сечений обеих истекающих струй, а может быть и больше нее; камера может быть цилиндрической, но может иметь и переменное по длине сечение). Между сечениями / и 2 происходит перемешивание обеих струй газа и выравнивание параметров газа по сечению.

Применим вновь законы сохранения к газу внутри замкнутой поверхности, состоящей из сечений / и 2 и боковой стенки камеры смешения между ними.

Уравнение сохранения массы дает

РН夕 1+р"歹;=рУ此 (4.23)

Здесь 夕 1 и 夕；——площади начального сечения струй; пусть штрих вверху обозначает величины, относящиеся к струе с более низким полным давлением р^;夕——площадь выхода из камеры смешения.

Уравнение сохранения импульсов напишем для цилиндрической камеры смешения при условии &、*&； = & и без учета сил трения газа о стенки камеры смешения:

(Z + PR) % (р； + РУ?先=s 十俨)歹 (4.24)

Уравнение сохранения энергии имеет вид

РМ夕】停+ Q + P”倡(辱+ /) = pU¥(^+B • (4.25)

В этом уравнении не учтен теплообмен газа со стенками канала.

Одна из основных задач расчета течения в эжекторе состоит в определении зависимости значений параметров газа в выходном сечении от их начальных значений в сечении / и от условий, характеризующих истечение газов.

При заданных 夕】и 于；три соотношения (4.23), (4.24) и (4.25) связывают девять величин: значения Ь, " л р в)сечении выхода из камеры смешения и значения Vn рп р】и V；, р；, р；в струях.

В общем случае задаваемые величины и определяемые параметры при расчете эжектора могут быть различными и зависят от постановки задачи; соответственно меняется вид дополнительных определяющих соотношений.

Примем, что значения параметров торможения в каждой из втекающих струй известны (к примеру, газы истекают из резервуаров с заданными условиями и до начального сечения камеры смешения течение происходит адиабатически и обратимо). Значения трех параметров газа в начальном сечении каждой из струй связаны двумя соотношениями между собой и с параметрами торможения:

^+储="01， Si=S()i，

Если для совершенного газа перейти от Y, р, р к безразмерным переменным Л = V/Vmax, л = pip^(о = р/р0, то девять величин А, л,(о (по три в сечениях 方「夕;л 方 соответственно) будут функциями следующих безразмерных параметров:

Наиболее интересными характеристиками эжектора являются за- внскмостн от этих параметров велмнн po/poi (т. е. увеличения полного давления низконапорного газа) и G/G1 или G[/Gl (т. е. относительного расхода низконапорного газа, называемого коэффициентом эжекции). Фактическое определение характеристик эжектора несложно, но сопряжено с громоздкими выкладками.

При дозвуковой скорости обеих струй в начальном сечении можно считать, что давления в этом сечении в обеих стуях одинаковы, т. е.

Недостающее в этом случае для определения U, р, р девятое соотношение можно брать в различных Мрмах; часто при расчете задают расход высоконапорного газа

Рассмотрим важный предельный случай. Так как р01 > 爲】，то ясно, что эжектор будет действовать только начиная с такого значения расхода Gn при котором р】=р；《р/ (в противном случае газ с полным давлением 夕门 будет перетекать навстречу газу с полным давлением "/). При /入=仄=加1 скорость 匕 равна нулю. Определив при этих условиях「о, найдем полное давление р", т. е. определим разрежение, которое можно создать с помощью дозвукового эжектора в емкости с газом.

При 匕=0 задача об эжекторе полностью совпадает с задачей о течении газа в трубе с внезапным расширением, рассмотренной ранее. Задаваемыми параметрами (кроме 于】и 夕；)являются в этом случае параметры торможения высоконапорного газа роп 力“,его расход Gi и давление торможения при выходе из камеры смешения %. При 片=0 величины й^ и sii выпадают из системы соотношений— они могут быть любыми. Для определения трех параметров газа в сечении / (匕，рп %=%) и двух параметров в сечении 2 имеем пять уравнений: три уравнения (4.23)—(4.25) с У； = 0 и р[ = р± и первые два соотношения (4.26).

Как и при течении газа в канале с внезапным расширением, при адиабатическом смешении газов в эжекторе из-за необратимого характера этого процесса энтропия газа возрастает. Можно рассмотреть идеальный процесс смешения, в котором суммарный поток энтропии газа после смешения равен сумме потоков энтропии газов при входе в камеру смешения, т. е. в котором

С】》」- G；s； = (GTG；Wa

Это соотношение вместе с уравнением энергии

G&1 + G為1 = (G[ + G；)储

определяет 5ИД и й0 по параметрам газа на входе в камеру (сохранение расхода учтено уже при записи этих соотношений) и, следовательно, определяет из уравнения состояния полное давление газа

на выходе из камеры смешения:

无9『，”) = /%.

Отношение р。в действительном процессе к 〃产 П = Ро/0泸 можно использовать в качестве характеристики потерь полного давления при смешении газов в эжекторе.

При одинаковом полном теплосодержании кинетическая энергия газа при его ускорении до некоторого давления р < р()различна в зависимости от энтропии газа. Величина

争一^ =场伪，s) 一 /iS，s^)

представляет собой потери кинетической энергии вследствие отличия процесса от идеального и тоже может быть принята в качестве характеристики процесса. В общем случае эта величина зависит от значения давления р, при котором производится сравнение, и поэтому не очень удобна для использования. В c/yqae несжимаемой жидкости, когда

h = cT

Р

потери кинетической энергии определены однозначно:

и дают величину полных потерь механической энергии, необратимым образом переходящей в тепловую.

Для несжимаемых газов механические параметры ——значения V и р—находятся независимо от уравнения энергии. Последнее с/ужнт для определения температуры на выходе из эжектора (по заданной температуре газов до смешения).

§ 5. Установившиеся движения газа в трубке. Течения

с разрывами ：(продолжение)

Сферический источник. Рассмотрим пример установившегося адиабатического течения идеального газа, для которого имеется простое точное решение уравнений газовой динамики.

Пусть течение газа происходит вдоль «тучей, идущих из точки О (рис. 1.5.1,〃), и его парамэгры зависят лишь от расстояния х до этой точки (т. е. сохраняют одинаковые значения на сферах с центром в точке О). Такое течение называется сферическим источником (если газ движется от центра) или стоком (при движении газа к центру).

При изучении сферического источника (стока) дэсгагочно рассматривать течение внутри конической трубки с взртан。｝ в точке О и с произвольной фэрмэй поперечного сечения.

Уравнение расхода определяет зависимость плотности потока массы pV от х в виде

4n%2pV = G.

Здесь G — полный расход источника.

При данных значениях параметров торможения течение от сферического источника вследствие двузначной зависимости параметров

потока, например давления р, от pV может быть двух видов, а из-за наличия максимума у pV возможно лишь вне сферы радиуса xmin («ядра» источника), определяемого формулой

т1П 4лрКр1/Кр

В течении первого вида давление газа р растет (верхняя ветвь на рис. 1.5.1,6) от критического значения Ркр при x = %min Д° давления торможения 〃о при х―>оо (аналогично меняется плотность); соответственно скорость газа V меняется от звуковой iipnx = Xmin Д° нуля при х―>оо (число Маха уменьшается от единицы до нуля). Такой источник называется дозвуковым. В течении второго вида давление падает (нижняя ветвь на рис. 1.5.1, 6) от Ркр при х = xmin до нуля при х―^8 (так же ведет себя плотность), скорость растет ОТ звуковой при X = %min Д° МаКСИМЗЛЬНОЙ скорости 嗫ах при X—>ОО (число Маха растет от 1 до оо). Такой источник называется сверхзвуковым.

В дозвуковом и сверхзвуковом источниках давление в бесконечности р^ равно его крайним значениям——давлению торможения истекающего газа и нулю соответственно. Покажем, что существуют течения с одинаковым расходом и одинаковыми параметрами торможения истекающего из ядра газа при всех значениях % в диапазоне

Рассмотрим сверхзвуковой источник. В таком течении при любом x = Xc>%min，乩 следовательно, при значении числа Маха в диапазоне 1 < М <оо, можно поместить сферический скачок уплотнения (нормальный в каждой точке к набегающему потоку и не изменяющий движения газа вдоль лучей), переводящий сверхзвуковое течение в дозвуковое. Течение при %>хс, т. е. за скачком, будет при этом таким же, как и течение от дозвукового источника с тем же расходом

и тем же полным теплосодержанием, но с меньшим значением полного давления, чем перед скачком.

Так как при изменении числа Маха перед скачком от 1 до оо полное давление за скачком меняется от р0 до нуля, то и давление в бесконечности р^ будет при этом меняться от /% до нуля. Таким образом, при любом значении р“ в диапазоне 0 < pM < р0 течение состоит из сверхзвуковой части между ядром источника (% xmin) и скаиком (% = %) и дозвуковой части—вне скачка (при х > хс). Дозвуковой и сверхзвуковой источники являются предельными случаями такого течения, когда скачок совпадает с поверхностью ядра (%с = %min， PlPo) или уходит в бесконечность (兀一-оо,厶=°) соответственно.

Рассмотрим некоторое сечение .г = ха > xmin в дозвуковом источнике; пусть давление в этом сечении равно ра. Сохраняя параметры истекающего из ядра газа неизменными, начнем понижать давление в бесконечности. Как следует из предыдущего, при этом у ядра источника возникнет скачок уплотнения, сначала бесконечно слабый, который, постепенно перемещаясь к сечению х = %а, будет усиливаться и вызывать все больший рост энтропии газа. Согласно второму следствию из формулы (3.25) давление при % = %, как и во всех других сечениях за скачком, будут уменьшаться по мере приближения скачка к рассматриваемому сечению и роста энтропии газа. После прохождения скачка через сечение х = %а давление в этом сечении будет сохраняться неизменным ——равным давлению в сверхзвуковом источнике.

Аналогичным образом можно рассмотреть сферический сток, в котором скорость направленного к центру течения сверхзвуковая вне скачка (х > хс) и дозвуковая ——между скачком и ядром (при "min V % V %с)・

Подобно сферическому источнику (или стоку) с движением газа вдоль лучей, идущих из центра, можно рассмотреть цилиндрический источник (сток), в котором газ движется вдоль прямых, нормальных к некоторой оси, и параметры его постоянны на соосных круговых цилиндрических поверхностях. В цилиндрическом источнике изменение параметров газа определяется уравнением

2 nxpI/ = G,

где G—расход источника на единицу длины его оси.

Цилиндрический источник будет описан в § 4 гл. III при рассмотрении плоских движений газа.

Течение в сопле Лаваля (II). Продолжим начатое в § 3 изучение квазиодномерного течения в сопле Лаваля. Для того чтобы выяснить, что происходит при понижении давления в пространстве, куда истекает газ из сопла, до значений, меньших рд (см. рис. 1.3.7, 6), допустим, что после достижения критической скорости в горле сопла поток за горлом продолжает ускоряться, приобретая сверхзвуковую скорость. Поместим в этом сверхзвуковом потоке в некотором сечении сопла скачок уплотнения. За скачком скорость газа становится

дозвуковой и уменьшается при дальнейшем движении газа вдоль сопла. Как и в рассмотренном выше случае сверхзвукового источника, давление газа в выходном сечении сопла (и во всех других сечениях сопла за скачком) будет падать по мере продвижения скачка от горла сопла от значения 。工 до давления /7д за прямым скачком, расположенным в этом сечении. На рис. 1.5.2 (см. также рис. 1.3.7, б) приведены распределения давления в сопле при максимальном рас

ходе газа и наличии скачка уплотнения в различных сечениях расширяющейся части сопла.

Так как газ из сопла истекает с дозвуковой скоростью в окру

жающее пространство, то полученное решение описывает течение

газа в сопле при наружном давлении Ра, меньшем р」и меняющемся в диапазоне °； & 〃△ & рд. По-прежнему решение получено не во всем диапазоне давлений в окружающем пространстве 0 ^； ра р0, а лишь в некоторой его части. При давлении ра, меньшем 〃；，происходит перестройка течения в струе вне сопла, причем

это течение нельзя уже рассматривать в рамках квазиодномерного приближения. Течение внутри сопла остается при этом неизменным, так что давление в выходном сечении сопла перестает быть равным давлению в окружающем пространстве (исключение составляет лишь расчетный режим сверхзвукового истечения из сопла, при котором Ра- 〃с)・

Нужно отметить, что при движении газа в сопле против нарастающего давления, особенно при наличии в сопле скачка уплотнения, большое влияние на течение оказывает вязкость в пристенном слое газа. Результаты изложенной простой теории могут при этом значительно отличаться от экспериментальных данных.

Pi.c. J.5.3Pi.c. J.5.3

Pi.c. J.5.3

Pi.c. J.5.3

В некоторых случаях лучше соответствует опытным данным другая схема истечения газа из сопла в пространство с давлением, меньшим р〔, чем описанная выше. В этой схеме поток в сопле с однородным распределением параметров по сечению продолжается непрерывно до места, в котором расположен скачок уплотнения; за скачком поток отрывается от стенок сопла н движется дальше в виде цилиндрической струи с постоянными параметрами и с давле- ш^ем, равным ра (рис. 1.5.3).

Для более точного описания течения в сопле с торможением потока в скачках уплотнения и с отрывом потока от стенок сопла развиты более сложные теории, излагаемые в специальной литературе.

Рассмотрим еще течение в канале с двумя сужениями / и 2 (рис. 1.5.4). Такой канал можно рассматривать как два последовательно расположенных сопла Лаваля с площадью критических сечений, равной 乎 1 и 夕2 соответственно. Изучим режимы течения в этом канале при сохранении постоянным полного давления р0 втекающего в канал газа и при постепенном понижении давления ра в его выходном сечении. Пусть площадь % меньше площади 夕】；тогда при постепенном понижении давления ра от величины р0 скорость газа впервые достигнет критического значения в сечении 2. При дальнейшем понижении давления ра дозвуковое течение слева от сечения 2 не будет изменяться, а перестройка течения в расширяющейся части канала справа от сечения 2 будет происходить так, как это описано выше для одиночного сопла Лаваля.

Более сложен и интересен случай 讶 < 4・ В этом случае при понижении давления ра критическая скорость впервые будет достигнута в сечении /. При дальнейшем понижении давления ра в левом сопле осуществляется такой же режим движения с областью сверхзвукового течения, замыкаемой скачком уплотнения, что и в одиночном сопле. Этот режим будет единственным до тех пор, пока скачок не переместится до того места в расширяющейся части первого сопла, где площадь сечения равна 必.Если после этого еще несколько понизить давление %, то наряду с решением, в котором скачок сдвинется вправо в сечение с несколько большей площадью £ (乎〉夕2)，при том же Ра существуют еще два других решения, в которых скачок расположен в сечениях с такой же площадью 夕 справа или слева от сечения 2. Считая, что положение скачка при постепенном уменьшении давления ра меняется непрерывно, продолжим рассмотрение того решения, в котором скачок расположен в расширяющейся части первого сопла ). Из уравнения расхода, записанного для сечений 2 и /, получим

卩2兀夕2 ^^ 4 (入2)Ркрг^кр 2^2 = Ркр 1^ кр 1^1-

Так как % при переходе через скачок сохраняется, а изменение ркр пропорционально изменению полного давления /?0, то отсюда следует

q О Ро 田 2 = рт*(5.1)

Отношение р02/р01 есть убывающая функция числа Маха перед скачком или отношения площади сечения 乎,где расположен скачок, к площади 夕 1 критического сечения 7. Поэтому при росте 夕 величина q (九2)возрастает. Так как q (入2)& L то уравнение расхода (5.1) может удовлетворяться только при росте 歹 до такого значения, при котором Р02/Р01 =皆丿步2・ При перемещении скачка до сечения с таким значением / скорость газа в сечении 2 становится равной скорости звука. После этого при дальнейшем уменьшении 0a течение слева от сечения 2 перестает изменяться, а справа от этого сечения изменяется так, как в одиночном сопле Лаваля. Если площадь 夕max наибольшего сечения канала между двумя сужениями такова, что при нахождении скачка в этом сечении в горле 2 все еще не достигается скорость звука, то при дальнейшем понижении ра скачок должен сразу же переместиться вправо от горла 2 в сечение с площадью, большей 夕max. Если ПЛОЩЗДЬ ВЫХОДЗ ИЗ СОПЛЗ МвНЬШе 夕max，то скачок выходит за пределы сопла, причем давление сверхзвукового потока в выходном сечении становится больше ра (т. е. устанавливается режим нерасчетного истечения).

Этот переход от одного режима к другому с прохождением скачка через горло 2 и установлением сверхзвукового потока во всей области между сечениями / и 2 называют запуском канала (сам переход скачка из сечения с максимальной площадью через второе горло в расширяющуюся часть второго сопла называют проглатыванием скачка). Наступление при достаточно больших 夕max критического режима во втором горле с установлением скачка в расширяющейся части первого сопла и дозвукового течения за ним называют, как и в случае одиночного сопла, запиранием канала.

Из равенства расходов в сечении 2 и в потоке перед скачком в сечении 于max，записанного в виде %必歹max = %2%九 получим условие запуска канала (д?《】)в виде

щах Ро2

(Мтах—число Маха в сечении канала с наибольшим сечением <^т^. Отсюда следует, что для возможности установления сверхзвукового потока в канале с наибольшим сечением 犷max отношение площади сечения второго горла канала к 夕max должно быть больше определенной величины, зависящей от Мтах. Значения этой величины (минимальной относительной величины площади горла, необходимой для запуска) при некоторых Мтах приведены в табл. 1.5.

Как видно из таблицы, запуск канала можно осуществить лишь при довольно малом сужении второго горла, особенно при небольших и умеренных сверхзвуковых скоростях.

После запуска канала сверхзвуковое число Маха во втором горле определится равенством

9(MJ=勺(Мтах)，

Таблица 1.5

1

1,5

2,0

.2,5

3

4

5

10

ОО

\ Smax / min

1

0,915

0,82

0,76

0,72

0,67

0,65

0,60

0,60

м2

1

1,32

1,75

2,20

2,65

3,56

4,5

9,0

со

т. е. при больших значениях Мтах число М2 будет также большим (см. табл. 1.5).

Изученные свойства течения в канале с двумя сужениями имеют

важное значение во многих прикладных задачах и, в частности, в теории сверхзвуковых аэродинамических труб продолжительного действия (в которых поток можно считать стационарным).

Пусть сверхзвуковой поток воздуха в аэродинамической трубе создается при его истечении в атмосферу с давлением ра из резервуара с давлением р01 через сопло Лаваля с присоединенной к нему цилиндрической рабочей частью трубы (рис. 1.5.5,〃). Для создания таким путем, к примеру, потока с числом Маха М = 5 при расчетном истечении требуется согласно (3.32) давление р01530 ра. Это дав

ление можно существенно уменьшить, если присоединить к концу цилиндрической рабочей части расширяющийся (диффузорный) канал и перед его началом поместить скачок уплотнения (рис. 1.5.5,6). В скачке поток перейдет в дозвук

фу зоре; при достаточно большом расширении диффузора скорость газа при выходе из него приблизится к нулю, а давление — к 沁?• При М = 5 отношение “"^ = 0,0618, так что при pQ2 = pd требуемое давление в резервуаре p°i ^ 160 ра. Если же перед диффузором произвести допустимое для запуска трубы сужение канала (рис. 1.5.5, б), согласно табл. 1.5 равное 0,65, то в горле при этом число Маха станет равным 4,5; поместив в горле при таком числе Маха скачок, получим р02/р01 = 0,0917 и необходимое давление в резервуаре Дн ^

НОра, что почти на одну треть меньше предыдущего.

Для дальнейшего снижения требуемого давления р01 в аэродинамических трубах применяют регулируемые диффузоры: в них после запуска площадь горла еще уменьшается, так что число Маха в горле

падает; это дает возможность снизить потери полного давления при торможении сверхзвукового потока в скачке уплотнения. В идеаль-

ном случае при отсутствии потерь полного давления в рабочей части трубы площадь горла диффузора можно уменьшить до площади горла сопла и сделать скорость в горле диффузора равной скорости звука с последующим непрерывным торможением дозвукового потока в диффузоре до давления ра = р01. Такая идеальная труба работала бы при любой сверхзвуковой скорости в ее рабочей части без превышения давления в резервуаре над атмосферным давлением, т. е. без потребления энергии извне (ср. рис. 1.3.2).

В действительности, вследствие необратимых потерь в тракте аэродинамической трубы, возрастающих при росте числа Маха в ее рабочей части, создание потоков газа большой скорости связано со значительными затратами энергии.

При работе аэродинамических труб по замкнутому циклу полное давление воздуха, выходящего из диффузора, необходимо увеличивать в компрессоре (вентиляторе) для восполнения потерь, после чего воздух вновь поступает к входу в сопло. При этом из-за необратимого перехода сообщаемой газу механической энергии в тепловую в трубах достаточно большой мощности требуется установка специальных устройств для отвода тепла от газового потока.

Течения в трубе при наличии трения и теплообмена. Рассмотрим теперь квазиодномер ное движение сжимаемого газа в трубе с учетом трения газа о стенки трубы, теплоподвода к газу и действия внешних массовых сил.

В § 3 была получена математическая модель таких установившихся непрерывных движений газа в слабо искривленных трубах с плавно меняющимися формой и площадью поперечного сечения в виде соот

ношений (3.13), (3.16) и (3.17):

d(p!/£) = O,(5.2)

VdV 十?=僕)厶—咨 V2 dx,(5.3)

% =段)dx + qx dx.(5.4)

Изменение энтропии газа определяется при этом из соотношения (3.19):

Tds = qx dx + -~ Н dx.(5.5)

Если в потоке имеются разрывы (скачки уплотнения), то на них должны быть выполнены установленные в § 4 условия (4.4), вытекающие из законов сохранения массы, импульса и энергии. Уравнения (5.3)—(5.5) дают возможность конкретизировать выражения для dhQ и ds в соотношении (3.25) и преобразовать это соотношение (при dG = 0) к виду

dV fP/ 1；d夕

(5.6)

Коэффициенты при внешнем теплоподводе qxdx и при величине 帛 V2 d%, представляющей собой некомпенсированный теплоподвод вследствие необратимого характера движения газа в трубке с трением (см. § 3, с. 49), положительны. Поэтому знаки первых двух слагаемых в правой части соотношения (5.6) зависят от того, сообщается ли газу или отбирается от него энергия в виде механической работы и тепла соответственно; знак же третьего слагаемого всегда положителен. Как показывает соотношение (5.6), при фиксированном знаке каждого из слагаемых в правой его части влияние этого слагаемого на изменение скорости газа противоположно при М < 1 и при М > 1. При М = 1 происходит обращение воздействия на изменение скорости газа каждого из факторов, влияющих на течение в трубке: подвода механической и тепловой энергии, трения газа о стенки, изменения площади сечения трубки. В связи с этим соотношение (5.6) (как и подобные ему соотношения, получаемые из выражения (3.25) для других моделей установившихся течений газа в трубке) называют иногда уравнением обращения воздействий.

Рассмотрим несколько важных классов течений в трубах, описываемых моделью (5.2)—(5.4).

Течения с трением. Изучим вначале течения с учетом трения (С > 0), но без подвода механической и тепловой энергий (f^dx = q e d% =^ 0).

Вследствие наличия интеграла Ло = const в таких течениях, как и при адиабатических течениях без трения, существует постоянная по длине трубки максимальная скорость 嗫ах = М^^・ Однако переход через скорость звука при течении с трением в сопле Лаваля происходит не в горле сопла, а на некотором удалении от него в расширяющейся часги сопла. Это следует из того, что согласно соотношению (5.6) при М= 1 должно быть d^/dx > 0.

В последующем ограничимся изучением течений в трубе постоянного сечения, когда 护=const и 协=0.

Так как энтропия газа согласно (5.5) при движении растет, то его полное давление и плотность торможения уменьшаются; из соотношения (5.6) следует, что дозвуковой поток при этом ускоряется, а сверхзвуковой замедляется. В обоих случаях скорость приближается к критической, а число Маха—к единице. Очевидно, что при достижении критических условий энтропия достигает максимума, а дальнейшее продолжение течения становится невозможным. Таким образом, при заданных параметрах газа при входе в трубу существует предельная длина трубы, в которой возможно непрерывное течение. При дозвуковой скорости это течение единственно. Если скорость газа при входе в трубу сверхзвуковая, то кроме непрерывного течения существует семейство решений со скачком уплотнения в разных сечениях исходного непрерывного течения и с дозвуковым течением за скачком.

Г. Г. Черный

Изучим эти течения, пользуясь моделью совершенного газа. Для p 也ss ? 一- 1

такого газа =, поэтому уравнение (5.6) при f^ dx= qxdx = Q

и 心=0 примет вид

(1—М2)学=уМ?备 dx.

Энтальпия h совершенного газа, рассматриваемая как функция скорости звука а и энтропии s, не зависит от s (меняющейся при движении газа); поэтому, наряду с Vmax, существует постоянная по длине трубы критиче!ская скорость VKp, как решение уравнения (3.23) при и = а = Укр.

Произведя замену 乎=争(при этом учтено, что VKp = const) и пользуясь формулой (3.31), связывающей X и М, получим

改(57)

Коэффициент трения 寸 зависит от местных значений чисел Рейнольдса и Маха, а также от параметров, характеризующих термодинамические свойства газа (для совершенного газа с постоянными теплоемкостями—от величины у), и от шероховатости поверхности. Эти зависимости определяются главным образом из экспериментов по течению газа в длинных цилиндрических трубах.

Сделаем для простоты допущение, что 之 не меняется по длине трубы. Тогда из (5.7) после интегрирования найдем

■^ ( 1—g) — In 九= "^Fp 备 ％ + const. (5.8)

Таким образом, имеется единая (с точностью до сдвига по %) зависимость 九 от безразмерной координаты —寸告.Эта зависимость

Рис. 1.5.6

при условии 九=1 при % = 0 изображена графически на рис. 1.5.6, а. Нижняя ее ветвь соответствует дозвуковым течениям, верхняя—сверхзвуковым непрерывным течениям. Если положить 九=九力 х = — L и считать L длиной трубы, то график на рис. 1.5.6, а даст зависимость

наибольшей приведенной длины трубы 齐厶(при которой достигается скорость звука в выходном сечении) от числа 九i на входе в трубу при непрерывном течении в ней.

Зависимость (5.8) можно использовать для расчета течений со скачком уплотнения. Для этого при каждом х найдем значение V, которое соответствует течению за скачком, расположенным в сверхзвуковом потоке в этом сечении. Согласно с^юрмуле Прандтля (4.16)

W= 1,

так что соответствующая зависимость имеет вид

貝1一小)+ 16，=备書%. (5.9)

На рис. 1.5.6, б изображена сверхзвуковая ветвь зависимости (5.8) и штриховой линией—зависимость (5.9). Пусть течение перед скачком соответствует точке /; тогда течению за скачком соответствует точка 2.

Для продолжения течения за скачком нужно перенести изображенную на рис. 1.5.6,〃 дозвуковую ветвь зависимости (5.8) на рис. 1.5.6, б так, чтобы она прошла через точку 2; часть этой ветви правее точки 2 и будет соответствовать течению за скачком.

Изложенная простая теория достаточно хорошо подтверждается экспериментальными данными при дозвуковых скоростях и менее удовлетворительно——при околозвуковых и сверхзвуковых скоростях. В частности, при сверхзвуковых скоростях переход к дозвуковым скоростям происходит не скачком, а в довольно протяженной зоне со сложным, неоднородным по сечению потоком.

Рассмотрим, основываясь на уже полученных данных, истечение газа через трубу заданной длины из резервуара с давлением р。в окружающее пространство при постепенном уменьшении давления ра в нем.

Для этого запишем условие равенства расходов газа во входном и выходном сечениях трубы:

: Pi 匕夕］= рР£. (5.10)

Так как в начале трубы скорость газа дозвуковая, то истечение газа из трубы может происходить либо с дозвуковой скоростью (九 V 1), и тогда давление газа в выходном сечении должно равняться давлению о» либо газ может истекать со скоростью звука (九=1), и тогда его давление при выходе может превышать давление ра.

Преобразуем уравнение (5.10) так, чтобы в его левой части величины Pi и У】 были выражены через параметры торможения р01 и Т01 в этом сечении (известные) и величину Хх (неизвестную), а в правой части величины р и V выразим через давление р, температуру торможения Tq и величину 九(если 九之 1, то она неизвестна, но известны р = Ра н 7"o = ^oi, если же X = 1, то известны X и То, а р неизвестно).

В результате (при & = $工 получим уравнение

(5.11)(5.11)p“q(2=р -二1 (岑 у г

(5.11)

(5.11)

Согласно соотношению (5.8) при заданной длине трубы 厶 значения 入 и % связаны уравнением

XPZ+吟=言标XPZ+吟=言标(5.12)(5.12)

XPZ+吟=言标

XPZ+吟=言标

(5.12)

(5.12)

При ра/р01, близких к единице, течение дозвуковое; полагая в (5.11) р = ра, имеем два уравнения (5.11) и (5.12) для определения 入】и А, через ^- и :^］备厶.Используя эти уравнения, несложными, но довольно громоздкими выкладками можно показать, что при уменьшении ра/р01 величина 九 растет. Когда достигается равенство 九=1, величина 尤 находится из (5.12), а условие (5.11) служит для определения давления р в выходном сечении трубы.

Значение отношения давлений ра/р01, при котором наступает критическое истечение, определяется зависимостями

у

(驚)кр=(脩)"％ &)=(黑)к» ид g &)，(5.13)

С ростом приведенной длины трубы величина 入】и вместе с ней 9 (九J уменьшаются, так что отношение давлений р01//?а, требуемое для достижения критического истечения газа, возрастает.

Согласно первому следствию из формулы (3.25) расход газа через трубу при наличии трения при данном отношении /Щр(и меньше, чем без трения, и тем меньше, чем больше приведенная длина трубы.

Пусть теперь сверхзвуковой поток газа, создаваемый, например, в сопле Лаваля, истекает через цилиндрическую трубу в пространство с давлением ра. Как будут меняться режимы течения в трубе в зависимости от длины трубы и от внешнего давления ра?

В этом случае, в отличие от предыдущего, во входном сечении трубы известны не только значения параметров торможения, но и значение 入i・ Если длина трубы меньше или равна предельной для данного значения 九七 то из уравнения (5.12) определится 入》1, а из уравнения (5.11)—давление р газа в выходном сечении трубы. Если при этом давление Ра меньше или равно р, или больше его, но меньше, чем давление за прямым скачком в выходном сечении, то течение в трубе непрерывно, и газ истекает из трубы со сверхзвуковой скоростью.

Если давление 「а выше давления за прямым скачком, расположенным в выходном сечении трубы, то течение в трубе перестанет

быть непрерывным. В нем возникнет скачок уплотнения, истечение из трубы станет дозвуковым с давлением р при выходе газа, равным ра. Из уравнения (5.11), справедливого и при наличии скачка уплотнения, определится 九.Для нахождения положения скачка нужно воспользоваться исходным соотношением (5.8), учитывая, что значения 九 перед скачком (X') и за ним (V) связаны формулой Прандтля 入'入"=1.

Пусть % = 0—координата начального сечения трубы, Л—длина трубы,儿一координата скачка. Применим соотношение (5.8) к сечению перед скачком, определив константу в правой части из условия при х=6. Это даст

—-!In Г =丄工 хс—-In 储. (5.14) 2й 2 什1 r С 2/ 1

Применим далее соотношение (5.8) к сечению за скачком, определив константу из условий в выходном сечении—при х = L. При этом заменим А" по формуле Прандтля. В результате получим

—号 + К М =备 £兀―In М L (5.15)

Соотношения (5.14) и (5.15) определяют хс и N по известным L н 入1 и по найденному из уравнения (5.11) значению 九.

Из (5.11) следует, что при росте р значение 九 падает. Вычитая (5.15) из (5.14), получим выражение, из которого нетрудно установить, что при уменьшении 九 величина N растет, так что скачок смещается в сторону сопла. При некотором р скачок достигнет сопла (%с = 0, X' = А,). После этого дальнейшее повышение ра приведет к перестройке течения внутри сопла, которая уже была описана ранее в § 4.

Течения с теплоподводом. Рассмотрим теперь течения газа в трубе без учета трения (g = 6) и действия массовых сил (f?d% = 0), но при наличии теплоподвода (qxdx^=0).

Ранее уже говорилось, что в уравнении энергии под теплоподводом можно понимать не только приток тепла извне (например, путем теплопередачи через стенки трубы), но и — при соответствующем определении внутренней энергии——тепловыделение внутри газа вследствие превращения некоторых видов внутренней энергии (химической, ядерной) в тепловую. На практике нагрев воздуха при движении его в технических устройствах, имеющих схематически вид труб, часто производится путем предварительного образования горючей смеси при добавлении к воздуху различных топлив, главным образом углеводородных (бензин, керосин, природный газ и т. и.), и последующего сгорания этой смеси. При этом к воздушному потоку подводится масса, обладающая некоторым полным теплосодержанием и—в общем случае—импульсом в направлении оси трубы. При необходимости такой подвод массы можно учесть в расчетах течения. Однако во многих реальных случаях масса подводимого топлива, его импульс и теплосодержание (та его часть, которая учитывает только

тепловую составляющую внутренней энергии) малы по сравнению с соответствующими величинами для воздушного потока (так, в камерах сгорания воздушно-реактивных двигателей масса подводимо1о топлива обычно не превышает немногих процентов массы протекающего воздуха), и эффект добавления топлива к потоку сводится лишь к подводу тепла к воздуху в результате химических реакций при горении.

Согласно соотношению (5.6) подвод тепла к газу, текущему в трубе, увеличивает скорость газа, если она дозвуковая, и уменьшает скорость, если она сверхзвуковая. Таким образом, подвод тепла влияет на течение качественно так же, как трение газа о стенки; при теплоотводе влияние будет обратным.

В § 3 было получено выражение

筹=(1一贫歯一今力 |(力)0)

для изменения полного давления газа при теплоподвбде. Полное давление газа при теплоподводе всегда уменьшается даже при отсутствии необратимых потерь (dg‘ = 0). Для того чтобы в необходимых случаях уменьшить падение полного давления, нужно стремиться подводить тепло к движущемуся газу при наиболее высокой температуре —— в предельном случае при Т = Т&, т. е. при температуре торможения, когда скорость газа равна нулю; полное давление не будет при этом изменяться. По этой причине при больших скоростях воздушного потока относительно камеры сгорания (например, у летящего снаряда с воздушно-реактивным двигателем) воздух перед входом в камеру тормозят в специальных устройствах—диффузорах.

При расчете течений газа в трубе переменного сечения можно задавать не изменение площади сечения трубы по ее длине, а изменение какого-либо другого параметра, например давления газа или числа Маха; площадь сечения трубы будет тогда определяемой величиной. Среди различных возможных течений газа в трубах с подводом тепла выделим течения с постоянным давлением. В этом случае из (5.3) следует постоянство скорости по длине трубы, так что в соответствии с уравнением энергии (5.4), справедливым и при 玄，const (см. (4.3)),

h^h^q,

где q—суммарное тепло, подведенное к газу до данного сечения трубы. Так как при постоянном давлении теплосодержание есть функция только температуры, то это уравнение устанавливает связь температуры газа с теплоподводом. Уравнение состояния дает при этом зависимость плотности от температуры, после чего уравнение расхода определит зависимость от температуры площади сечения трубы.

Для совершенного газа с постоянными теплоемкостями эти зависимости имеют особенно простой вид:

%(Tf)=% =舞=1 + 总

Изменение числа Маха определяется формулой

так что число Маха при изобарическом подводе тепла уменьшается независимо от того, является ли скорость в начальном состоянии дозвуковой или сверхзвуковой, причем при Мх > 1 возможен непрерывный переход к дозвуковому течению (заметим, что площадь сечения канала при этом растет).

Падение полного давления при изобарическом подводе тепла происходит в соответствии с формулой

包 J I 十F 1+9/(。箱)).

При малых значениях числа Маха 也匂一工? Poi 2十

так что относительное падение полного давления газа "。二"^ неве-

Poi лико и имеет порядок М；; при больших числах Маха (М；》> 1)

и потери полного давления могут быть значительными.

Изучим более подробно течения газа с подводом тепла в трубе постоянного сечения. В этом случае при сделанных предположениях законы сохранения массы, импульса и энергии (4.1)—(4.3) приобретают вид

⑹⑺18)⑹⑺18)pY=pM,

⑹⑺18)

⑹⑺18)

pY (号+九)=p］匕(整+Q+Q・

Индексом 1 обозначены значения параметров газа в сечении трубы

до подвода к нему тепла, величины без индекса относятся к любому расположенному ниже по потоку сечению, Q—подведенная к газу извне между обоими сечениями тепловая энергия (отнесенная к единице времени и единице площади сечения трубы). Если тепловая энергия черпается из самого газа за счет изменения других составляющих его внутренней энергии и эти составляющие не учтены в теплосодержании газа ft, то выделяющееся тепло, пропорциональное

протекающей массе газа, следует включить в Q. При этом, полагая Q=pKq и учитывая сохранение массы газа, уравнение энергии можно написать в виде

(5.19)

или

(5.20)(5.20)儿=无01 + 0

(5.20)

(5.20)

Здесь q—тепло, подведенное к единице массы газа до рассматри

ваемого сечения.

Если теплоподвод q задан как функция расстояния х вдоль трубы, то три соотношения (5.16), (5.17) и (5.19) определяют изменение параметров газа V, р и р в зависимости от х. Качественное поведе

ние этих величин удобно изучать в плоскости и, р (у = 1/р——удельный объем), принимая во внимание, что при данной плотности р скорость V находится из уравнения расхода (5.16) pV = ^у^т (/п = =const).

Как уже говорилось в § 4, уравнение импульсов (5.17), преобразованное к виду р—Р1==——/п2(и—1\), определяет в плоскости и, р прямые, проходящие через начальную точку s,pi (точка О на рис. 1.5.7) с отрицательным угловым коэффициентом——т (m-прямые, или прямые Рэлея— Михельсона; Михельсон ) впервые использовал их при изучении течений с тепло- подводом). Состояниям газа в любом сече

нии трубы при подводе к нему тепла должны соответствовать точки одной m-прямой независимо от того, подводится ли тепло обратимо или его подвод сопровождают необратимые процессы.

Проведем через точку О адиабату Пуассона—линию р = р®, s) при s = Si = const. Напомним (см. § 4), что касательная к этой адиабате в точке О с угловым коэффициентом 患 | = — Р储 принадлежит к семейству /п-прямых при значении /и, определяемом равенством 加2 =卩鸿，т. е. при скорости 匕，равной скорости звука %.

Если в начальном состоянии до подвода к газу тепла его ско

рость дозвуковая, то соответствующая т»прямая наклонена к оси и более полого, чем касательная к адиабате Пуассона в точке О (прямая OCi на рис. 1.5.7). При подводе тепла к газу его энтропия

растет, так что изображающая состояние газа точка движется по /n-прямой от точки О вправо. При этом плотность и давление газа падают, скорость же газа V увеличивается, приближаясь к скорости звука (различие между угловым коэффициентом m-прямой, равным —p2V2, и угловым коэффициентом пересекаемой ею адиабаты Пуассона в точке пересечения, равным dp/dv = — р2а2, уменьшается). Если теплоподвод достаточно велик, то энтропия при движении вдоль m-прямой достигнет максимума в точке касания этой прямой с адиабатой Пуассона (точка & на рис. 1.5.7); скорость газа при этом станет равной скорости звука, т. е. газ достигнет критического состояния. Так как еще больших значений энтропия на m-прямой не имеет, то и дальнейший подвод тепла к газу при данном т = р1Vl невозможен——наступает так называемый тепловой кризис.

Если в начальном состоянии скорость газа превосходит звуковую, так что /и-нрямая наклонена к оси и круче касательной к адиабате Пуассона в точке О (прямая ОС на рис. 1.5.7), то при подводе тепла, сопровождаемом ростом энтропии, изображающая состояние газа точка движется от точки О по /n-прямой вверх. Давление и плотность газа при этом возрастают, а скорость его падает, вновь, как и в случае дозвуковой начальной скорости, приближаясь к скорости звука. Тепло к газу можно подводить до тех пор, пока не будет достигнут максимум энтропии в точке касания /п-прямой с адиабатой Пуассона (точка С на рис. 1.5.7). При этом наступает тепловой кризис и дальнейший подвод тепла к газу становится невозможным.

При следовании вдоль прямой 0cl за точку С\ (где скорость газа становится сверхзвуковой) или вдоль прямой ОС за точку С (где скорость становится дозвуковой) энтропия газа вновь уменьшается. Это возможно при условии, что от газа отбирается тепло. Таким образом, непрерывное изменение скорости газа в цилиндрической трубе ог дозвуковой до сверхзвуковой и обратно возможно, если сначала тепло подводить к газу до достижения им критической скорости, а затем отводить тепло от газа.

Из рассмотрения рис. 1.5.7 следует, что при Vi«〃i (когда т-пря- мая близка к горизонтальной), т. е. при малых начальных значениях числа Маха Mi = V\/〃i, относительное падение давления газа при теплоподводе мало по сравнению с относительным изменением плотности (а, следовательно, и скорости), так что подвод тепла можно приближенно считать изобарическим. Если Ух^>аг (когда т-прямая близка к вертикальной), т. е. при больших сверхзвуковых значениях числа Маха Мп относительное изменение давления при подводе тепла велико сравнительно с относительным изменением плотности (и скорости), так что подвод тепла можно приближенно считать происходящим без изменения объема, т. е. изохорическим.

Проиллюстрируем предыдущие качественные выводы формулами для совершенного газа с постоянными теплоемкостями. Используя соотношение (5.6) и записав уравнения расхода (5.16) и импульса (5.17), а также уравнение состояния совершенного газа p = RpT

в виде связей между дифференциалами, получим

(1—М2)$ = $(1—М 吟= _уМ2 务Из определения числа Маха(1—М2)$ = $(1—М 吟= _уМ2 务Из определения числа Маха…畔一昴(1 —М?)亨=(1 —沙2) -^нМ2 = —г найдемYP/P…畔一昴(1 —М?)亨=(1 —沙2) -^нМ2 = —г найдемYP/P(5.21)(5.21)

(1—М2)$ = $

(1—М 吟= _уМ2 务

Из определения числа Маха

(1—М2)$ = $

(1—М 吟= _уМ2 务

Из определения числа Маха

…畔一昴

(1 —М?)亨=(1 —沙2) -^

н

М2 = —г найдем

YP/P

…畔一昴

(1 —М?)亨=(1 —沙2) -^

н

М2 = —г найдем

YP/P

(5.21)

(5.21)

(1-М2)響(1-М2)響1+沙2 dq~2-声1+沙2 dq~2-声(5.22)(5.22)

(1-М2)響

(1-М2)響

1+沙2 dq

~2-声

1+沙2 dq

~2-声

(5.22)

(5.22)

Выражение (5.21) для у указывает на необычное поведение температуры при подводе тепла к движущемуся газу при числах Маха в диапазоне 1/у < М2 < 1: подвод тепла приводит к охлаждению газа, а отвод тепла, наоборот, к его нагреванию. Такое поведение температуры, свидетельствующее об отрицательной теплоемкости газа, связано с тем, что в этом диапазоне чисел Маха относительное падение плотности газа происходит при подводе тепла быстрее относительного падения давления.

Соотношение (5.22), связывающее изменение числа Маха с тепло- подводом, подтверждает уже сделанный для общего случая сжимаемого газа вывод о невозможности перехода через скорость звука при движении газа в цилиндрической трубе с сохранением знака dq.

Исключив в каждом из соотношений (5.21) величину 為г с помощью (5.22), можно проинтегрировать эти дифференциальные соотношения и получить конечные связи параметров потока с числом Маха; после этого из (5.22) получим зависимость числа Маха и других параметров от теплопровода д. Однако проще найти эти зависимости непосредственно из конечных соотношений (5.16), (5.17) и (5.19). Заменив в уравнении энергии (5.19) р и р из уравнений сохранения массы (5.16) и импульса (5.17), получим квадратное уравнение относительно V. Преобразуем его, для чего введем вместо скорости V величину X = V/VKp и учтем, что Укр, определяемая формулами Уир = =У^^{ %ах и ^^-=срТ^9 при подводе тепла изменяется в соответствии с уравнением энергии в форме (5.20), т. е. для совершенного газа

с尸 То = с* в + д.

九2九2%+ 1=0.%+ 1=0.В результате преобразований уравнение для определения % примет вид

九2

九2

%+ 1=0.

%+ 1=0.

(5.23)

Отсюда находим

Нижний знак перед радикалом нужно брать при \ < 1, верхний — при 九1〉1 (т. е. так, чтобы 九=九]при д = 0; при другом выборе знака получим 九=1/^ при д = 0, что соответствует в силу соотношения Прандтля (4.16) скачку уплотнения при Хх > 1 или скачку разрежения при Хх < 1).

После нахождения 九 зависимость плотности от q находится из уравнений (5.16)

Р —九 1 Укр1 — X1 1

Pl 九 Укр 入―q~，зависимость температуры от q—из уравнения1 一Y — 1 入 2

А То 71Toi [ Y—1 f

а зависимость давления от q—из уравнения состояния

Pi pi л *

Наибольшее значение величины —, при котором наступает теп- % / 01

ловой кризис, получим, полагая в уравнении (5.23)九=1:

Используя предыдущие формулы, несложными выкладками найдем отношение полного давления при тепловом кризисе к начальному

При 九1 — 0 теплоподвод до достижения теплового кризиса Ср 1 01

может быть сколь угодно велик; при 九】~ Xmax= j/^^^| максималь-

ный теплоподвод Y= 1,2).

q

C“oi 丿кру2 — 1

(1,04 при 7= 1,4 и 2,27 при

Отношение полных давлений при тепловом кризисе при 3fo

равно }(Ц^)"1 (0,789

при 丫= 1,4; 0,805 при 丫= 1,2) н стремится

к нулю при 九 1 —> 九max・ Зависимости (Т()/Т(н)кр и (ро/Ро1)кр от % (послед- няя —при 丫= 1,4) приведены на рис. 1.5.8.

Рассмотрим теперь некоторые механизмы тепловыделения в газах и механизмы распространения по газу зон, в которых происходит

тепловыделение.

является горение——химическиеявляется горение——химическиеНаиболее распросч раненным в практике и хорошо изученным

является горение——химические

является горение——химические

механизмом тепловыделения в газах

Рис. 1.5.8Рис. 1.5.8реакции в смесях газов, сопровождаемые переходом в тепловую энергию внутренней энергии химических связей атомов в молекулах при их перестройке. Обычно скорости химических реакций сильно зависят от температуры, увеличиваясь вместе с ней. Поэтому при достаточно низкой температуре смесь газов, способных к химической реакции с выделением тепла (такие реакции называются экзотермическими), например смесь кислорода и водорода, смесь паров бензина и воздуха и т. 口.，может находиться в инертном, «замороженном»

Рис. 1.5.8

Рис. 1.5.8

состоянии, когда реакции между компонентами смеси не происходят. Если в каком-либо месте такую смесь подогреть путем подвода тепла извне, то в этом месте начнется быстрая химическая реакция с выделением тепла и повышением температуры газа. При этом газ в общем случае придет в движение. Если бы в газе отсутствовали механизмы распространения зон тепловыделения, то реакция в предварительно подогретой зоне быстро завершилась бы установлением в ней хими

чески равновесного состояния, соответствующего новым, изменившимся в результате тепловыделения и движения газа значениям температуры и давления. Однако в газах есть механизмы, вызывающие

распространение зоны химического тепловыделения на новые, предварительно не подогретые порции газа. Основными из этих механизмов являются теплопроводность и диффузия, т. е. молекулярный перенос тепловой энергии и вещества; при этом относительная роль этих двух факторов может быть различной в зависимости от конкретных веществ, участвующих в реакции. Теплопроводность приводит к повышению температуры в прилегающей к зоне тепловыделения еще непрореагировавшей смеси и тем самым увеличивает скорость реакций в ней; вследствие диффузии в холодную смесь из зоны реакции проникают активные промежуточные продукты реакции —— радикалы, способные инициировать реакции и при более низких температурах.

Средняя тепловая скорость движения молекул (т. е. средняя скорость их хаотического движения) и скорость распространения звука в газе имеют одинаковый порядок величины. Однако количество соударений между молекулами, необходимое в среднем для одного

акта химической реакции между ними, весьма велико. В связи с этим скорость распространения в горючей газовой смеси зоны тепловыделения, обусловленная молекулярным переносом (ее называют нормальной скоростью горения), весьма мала сравнительно со скоростью звука и при обычных условиях (т. е. при нормальных давлении и температуре) лежит в диапазоне от 10—20 сантиметров в секунду до нескольких сотен сантиметров в секунду ). Толщина зоны горения или «пламени», т. е. зоны интенсивного тепловыделения, отделяющей еще непрореагировавшую смесь от продуктов сгорания, составляет при этом обычно доли миллиметра.

При некоторых интенсивно протекающих реакциях горения определенную роль в распространении зоны тепловыделения играет тепловое излучение из этой зоны; однако это не влияет на порядок величины скорости распространения пламени и толщины зоны горения.

На практике при достаточно больших размерах занятой газом области (например, при движении в трубе большого диаметра) в потоке развиваются значительные пульсации скорости, приводящие к интенсивному перемешиванию нагретого газа в зоне реакции и за ней с холодным газом перед зоной тепловыделения и, вследствие этого, к его воспламенению. При таком механизме скорость распространения зоны тепловыделения (ее называют скоростью турбулентного горения} может в несколько раз превышать нормальную скорость горения; тем не менее она все равно мала сравнительно со скоростью звука. Толщина такой зоны тепловыделения——турбулентного пламени——может быть порядка нескольких сантиметров.

Помимо механизма тепловыделения химической природы, о котором речь шла выше, существуют и другие механизмы теплоподвода к газу. При очень высокой температуре—порядка сотен миллионов и миллиардов градусов——в некоторых газах (находящихся при этих условиях в плазменном состоянии, т. е. представляющих собой смесь тяжелых частиц—ионов и легких частиц—свободных электронов) могут происходить ядерные реакции с превращением огромной энергии ядерных связей в конечном счете в тепловую энергию плазмы. При этом механизмы распространения зоны тепловыделения, связанные с переносом тяжелых частиц (ионная теплопроводность и диффузия), перестают быть главными, основными же становятся электронная теплопроводность, излучение и диффузия высокоэнергетических нейтронов. Эти механизмы могут в некоторых случаях обеспечивать распространение зон тепловыделения (так называемого ядерного горения) с громадной скоростью (в дейтерий-тритиевой смеси с плотностью порядка 0,22 г/см3 скорость составляет 103—105 км/с), превосходящей скорость звука, определяемую тепловым движением тяжелых частиц—ионов, не только в холодной смеси, но в некоторых случаях и в продуктах реакции.

Упомянем, наконец, о еще одном механизме теплоподвода к газу, привлекшем внимание в сравнительно недавнее время.

Пусть пучок мощного электромагнитного излучения (например, пучок света от лазера непрерывного действия или пучок сверхвысокочастотного радиоизлучения) пронизывает покоящийся газ. В обычных условиях многие газы почти прозрачны для электромагнитного излучения и не взаимодействуют с ним. Однако, если на пути пучка поместить поглощающий излучение слой, то в этом слое за счет поглощения энергии электромагнитного поля начнется выделение тепловой энергии. Таким слоем может служить область самого газа, если газ в этой области нагреть до высокой температуры, при которой он становится ионизованным (превращается в плазму) и сильно поглощает электромагнитное излучение. В зависимости от температуры, до которой нагревается в области поглощения излучения и выделения тепла плазма (при разной плотности потока энергии в пучке, достаточной для ионизации газа, это могут быть десятки тысяч, сотни тысяч и даже миллионы градусов), действуют те или иные упомянутые ранее механизмы передачи тепла близлежащим слоям газа. Нагреваясь, эти слои сами становятся способными поглощать электромагнитную энергию; в результате зона тепловыделения в газе перемещается навстречу пучку излучения. По аналогии с горением химически реагирующих смесей описанное явление получило название—в случае, если источником излучения служит лазер,—— светового (лазерного) горения.

Волна лазерного горения при более низких температурах распространяется по холодному газу вследствие молекулярных механизмов переноса с дозвуковой скоростью, а при высоких температурах вследствие механизма электронной теплопроводности и излучения — с сверхзвуковой скоростью; в некоторых случаях скорость распространения зоны тепловыделения может, по-видимому, быть сверхзвуковой и по отношению к нагретой плазме.

Толщина зоны тепловыделения при ядер ном или световом горении, как и при обычном горении, определяется соответствующими механизмами тепловыделения и распространения тепла.

Перечисленные выше механизмы распространения зон тепловыделения связаны в основном с переносом частицами (молекулами, ионами, электронами, фотонами) энергии из нагретой зоны; при этом перенос импульса не является существенным. Обусловленная этими механизмами скорость распространения зон тепловыделения и их толщина зависят от деталей физических и химических взаимодействий, протекающих в веществе при тепловыделении и теплопередаче, и являются, таким образом, характеристиками вещества.

Имеется, однако, механизм распространения зон тепловыделения, который обусловлен в основном переносом частицами (молекулами, ионами) импульса; этот механизм можно назвать газодинамическим. Суть его состоит в следующем. При быстром значительном повышении температуры газа в некоторой области вследствие подвода тепла

извне или внутреннего тепловыделения, в этой области резко повысится давление (так как из-за инерционности газа при быстром росте температуры его плотность не успевает измениться). Повышенное давление в нагретой области сообщает импульс прилегающим слоям газа, вызывая распространение по газу волны давления и приводя газ в движение.

Если волна давления опережает тепловую волну, идущую от зоны тепловыделения, то в волне давления газ адиабатически сжимается и температура его возрастает. Как следствие, увеличивается скорость экзотермических реакций в газе и в нем происходит интенсивное тепловыделение. Скорость распространения волны тепловыделения такого вида определяется скоростью распространения волны повышения давления в газе. В дальнейшем (в гл. II) будет установлено, что волны непрерывного повышения давления в газе распространяются со скоростью звука и имеют тенденцию превращаться в разрывы——скачки уплотнения, скорость распространения которых по газу сверхзвуковая. Таким образом, механизм, о котором идет речь, приводит к сверхзвуковой скорости распространения зон тепловыделения по газу. Этот механизм может быть не связан с физикохимическими процессами переноса энергии и вещества на молекулярном и субмолекулярном уровнях; он может приводить к распространению зоны экзотермических химических реакций и при полном отсутствии теплопроводности и диффузии.

В приложениях большое значение имеют движения газа с тепло- под вод ом, в которых толщина зоны тепловыделения весьма мала в сравнении с характерными размерами рассматриваемой области движения газа (например, с длиной и диаметром трубы, по которой движется горючая смесь). В таких случаях зону тепловыделения можно рассматривать как разрыв. Из законов сохранения (4.1)—(4.3) следует, что с двух сторон поверхности разрыва параметры газа связаны вновь соотношениями (5.16)——(5.18). В предыдущем изложении эти соотношения использовались как связи между параметрами газа в двух сечениях трубы, находящихся на конечном расстоянии одно от другого; для их получения требовался ряд допущений: труба цилиндрическая и стенки ее непроницаемы, газ не испытывает действия массовых сил и сил трения на стенках трубы. При использовании соотношений (5.16)——(5.18) как условий с двух сторон разрыва эти допущения сводятся только к отсутствию на поверхности разрыва сосредоточенного притока массы, импульса и механической энергии.

Если тепло выделяется в самом газе, то, по-прежнему, в уравнении (5.18) Q = pMq, где q—сосредоточенный на разрыве подвод тепла к единице массы газа, и это уравнение можно использовать в виде (5.19) или (5.20); если же тепло сообщается газу путем поглощения подходящего к фронту разрыва излучения, то Q есть та часть удельного потока энергии излучения, которая поглощается на скачке.

Ограничимся случаем, когда Q = piV^, и будем для простоты считать. величину q постоянной и заданной заранее, а А и 九i——одинаковыми функциями от давления и плотности ).

Исключив из равенства (5.19) скорости V и 匕 с помощью равенств (5.16) и (5.17), получим уравнение

Л—Ai = y(^i + и) (р—「J + q.(5.24)

Это уравнение обобщает соотношение Гюгонио (4.10) на случай, когда при переходе газа через скачок ему сообщается тепловая энергия д. Если эта энергия подводится в результате преобразования других видов внутренней энергии самого движущегося газа, то процесс перехода газа через скачок в целом является адиабатическим. В связи с этим соотношение (5.24) и при q 次 0 часто называют так же, как и при q = 0,——адиабатой Гюгонио.

Соотношению (5.24) при данных 力 и 必 и при каждом фиксированном q соответствует в плоскости и, р кривая Гюгонио с центром и» Pi, точки которой дают возможные состояния газа со скачком.

Очевидно, что и после постепенного подвода данного количества тепла q к газу с начальным состоянием и「 р^ текущему в цилиндрической трубе без трения и действия массовых сил, его конечному состоянию должны соответствовать точки той же кривой Гюгонио.

При разных значениях q кривые Гюгонио образуют семейство, которому принадлежит (при д = 0) и обычная адиабата Гюгонио.

При q*0 кривая Гюгонио в общем случае не проходит через свой центр.

Так как точка, соответствующая состоянию газа после подвода к нему тепла д, должна одновременно принадлежать и прямой Рэлея—Михельсона р——必=—/и?®一uj, то физический смысл могут иметь лишь участки кривой, определяемой соотношением (5.24), в квадрантах р > pn v < у, и р < рх, и〉и「 Эти условия выделяют на кривой Гюгонио две отдельные ветви.

На рис. 1.5.9 приведены кривые Гюгонио для совершенного газа (с 丫= 1,4) при q=0 и при g > 0 (конкретно—при W)= 2); там же в более удобных масштабах приведены отдельно две части этих кривых. Кривая при q〉0 целиком лежит над кривой, для которой д = 0, и тем выше над ней, чем больше q. Действительно^ продифференцируем соотношение (5.24、)при и = const. В результате

получим

Для совершенного газа 九= ^т[Р〃 и выражение в скобках, равное ^(^]и—%), положительно (кривая Гюгонио определена при и〉^^Ui для всех q > 0), так что на кривых Гюгонио 凿[—const〉 〉0, чем доказывается высказанное утверждение (оно справедливо при некоторых дополнительных ограничениях и в случае нормального газа).

Режимы тепловыделения, при которых состоянию газа после под-

вода тепла соответствуют точки нижней ветви кривой Гюгонио, называются дефлаграцией, а режимы, которым соответствуют точки верхней ветви,——детонацией. Если подвод тепла происходит в скачке, скачок называется соответственно волной дефлаграции или волной детонации. При детонации происходит уплотнение газа и повышение его давления, энтропия во всех точках соответствующей ветви кривой Гюгонио больше ее значения перед подводом тепла. При дефлаграции, напротив, газ разрежается и давление в нем падает. На части дефлаграционной ветви кривой Гюгонио энтропия, несмотря на подвод тепла, меньше начальной и соответствующие ей режимы теплоподвода не могут реализоваться (эта часть кривой лежит ниже адиабаты Пуассона, проходящей через начальную точку; см. рис. 1.5.9, где эта адиабата показана штрихпунктиром).

Напомним, что в уравнении прямой Рэлея—Михельсона т^р^У^ и каждая такая прямая соответствует определенной скорости Vx газа в начальном состоянии.

Отметим на каждой ветви кривой Гюгонио точку, в которой ее касается /n-прямая (рис. 1.5.9); обозначим соответствующие этим точкам J и 人 значения скорости 匕 через Vj и 九.Из рис. 1.5.9 видно, что Vj больше скорости звука 〃丄 в начальном состоянии, а VJt—меньше ее (это следует из сравнения наклона касательных J0 и О/】с наклоном касательной к адиабате Пуассона в точке О). Значения Vj п VJt зависят от теплоподвода q; при больших q скорость Vj значительно превышает скорость звука %, скорость же V7, напротив, мала сравнительно с %. При q〉0 и детонационных режимах теплоподвода скорость Vx может изменяться в диапазоне ах < < 匕(q) & % < 8, а при дефлаграционных—в диапазоне 0 < % & &%](«)<；%. При данном q режимы со скоростью газа 匕 перед зоной тепловыделения в диапазоне V7i < Vj < V7 не осуществляются.

Точки J и J】 называются точками Чепмена—Жуге, а соответствующий им режим тепловыделения называется нормальным или режимом Чепмена—Жуге. На детонационной ветви кривой Гюгонио различают режимы сильной (пересжатой) детонации—вверх от точки J, и режимы слабой детонации (быстрого или сверхзвукового горения) —вниз от нее. На дефлаграционной ветви точка Jl отделяет режимы слабой дефлаграции (или медленного горения}—вверх от нее, от режимов сильной дефлаграции.

Ранее, в § 4, было получено дифференциальное соотношение (4.12) вдоль адиабаты Гюгонио (при q = 0)

Tds = у (р—凸户 d 亲=Т ®—%尸协* (5.25)

справедливое, очевидно, и при ^^=0 (при дифференцировании вдоль кривой Гюгонио в соотношении (5.24) ^ = const). Таким образом, в точках J и J! кривая Гюгонио и адиабата Пуассона имеют общую касательную, откуда следует, что в режиме Чепмена—Жуге скорость газа V после подвода к нему тепла равна скорости звука в

этом состоянии. Кроме того, в этих точках вдоль кривой Гюгонио

dp a2 — dp a2 |$ —加dp a2 — dp a2 |$ —加др а2др а2一加嗡h一加嗡h

dp a2 — dp a2 |$ —加

dp a2 — dp a2 |$ —加

др а2

др а2

一加嗡h

一加嗡h

Для нормального газа "I^J — hppp > 0, так что на кривой Гюгонио вблизи точек Чепмена—Жуге с ростом давления отношение V/a уменьшается. Это свойство сохраняется вдоль всей кривой Гюгонио. Таким образом, после теплоподвода в режимах медленного горения и сильной детонации V < а, в режимах сильной дефлаграции и сверхзвукового горения Р > а.

При фиксированном q одному и тому же значению скорости 匕 в диапазоне У7 < Vx < оо может соответствовать и сильная детона- ция, и быстрое горение (точки D и D' на рис. 1.5.9). В диапазоне О < Ух < V7i по мере роста скорости 匕 возможны следующие режимы тепловыделения. При значениях Vx, меньших некоторой величины, возможно лишь медленное горение, так как /n-прямая пересекает кривую Гюгонио в одной точке над точкой Jx (точка С на рис. 1.5.9). При увеличении Vx появляется вторая точка пересечения—на участке сильной дефлаграции. Вначале эта точка лежит ниже кривой s = S] и не должна приниматься во внимание; при дальнейшем приближении скорости 匕 к V7i одному и тому же значению 7Х может соответствовать и медленное горение, и сильная дефлаграция (точки 尸 и 尸，на рис. 1.5.9).

Если к газу, движущемуся в цилиндрической трубе, тепло q под- водится постепенно (dq/dx > 0), то соответствующая состоянию газа точка в плоскости и, р перемещается в одном направлении вдоль прямой Рэлея—Михельсона. Таким путем достижимы только точки кривой Гюгонио на участках режимов медленного и быстрого горения, включая и нормальные режимы. Для того чтобы достичь, перемещаясь вдоль m-прямой, точку на участке режима сильной дефлаграции (точка Г')или на участке сильной детонации (точка D), требовалось бы после прохождения точки F или D', когда к газу уже подведено тепло % сообщать ему дополнительное тепло до достижения критического режима, а затем, перейдя через скорость звука, все это дополнительное тепло отвести.

тору] Тактору] ТакТочки на участке режимов сильной детонации могут быть достигнуты и иным образом. Поместим в сечении трубы после подвода к газу некоторого количества тепла (точка Р на рис. 1.5.10) при все еще сверхзвуковой скорости газа скачок уплотнения. Построим адиабату Гюгонио с центром в точке Р. Точка S пересечения этой адиабаты с /п-прямой соответствует состоянию газа за скачком; скорость газа в этом состоянии дозвуковая. Продолжим после скачка подвод тепла к газу; при этом изображающая точка на т-прямой будет перемещаться в сторону роста энтропии, т. е. к точке D, ко-

тору] Так

тору] Так

ю она достигнет, когда с：как точка Р на отрезкею она достигнет, когда с：как точка Р на отрезкеуммар0Dfуммар0Dfный подвод тепла станет равным д. выбрана произвольно, то отсюда

ю она достигнет, когда с：как точка Р на отрезке

ю она достигнет, когда с：как точка Р на отрезке

уммар0Df

уммар0Df

следует, что состояние газа в точке D, соответствующей режиму •сильной детонации с теплоподводом q при сверхзвуковой начальной скорости, может быть достигнуто, если в каком-либо месте в зоне подвода тепла имеется скачок уплотнения. В частности, скачок может находиться в начальном сечении—до подвода к газу тепла, или в сечении, где подвод тепла уже завершился. В первом случае

Рис. 1.5.10Рис. 1.5.10газ из начального состояния (точка О на рис. 1.5.10) адиабатически переходит в состояние за скачком (точка So), после чего состояние газа меняется при подводе тепла непрерывно вдоль отрезка S0D /и-пря- мой. Во втором случае состояние газа при подводе тепла меняется непрерывно вдоль той же m-прямой от начального состояния в точке О до состояния D\ а затем адиабатически скачком——до состояния D. Очевидно, что состояние в точке D связано законами сохранения (без теплоподвода) с состоянием в точке D\ и поэтому точка D принадлежит адиабате Гюгонио с центром в точке Dr (эта адиабата не показана на рис. 1.5.10, но она не совпадает с проведенной там и тоже проходящей через точки Df и D кривой Гюгонио с центром в точке

Рис. 1.5.10

Рис. 1.5.10

О и с теплоподводом q > 0).

Состояний, соответствующих режиму сильной дефлаграции, нельзя достичь аналогичным образом, т. е. помещая адиабатический скачок в каком-либо месте внутри зоны теплоподвода, так как скачок в этом случае был бы скачком разрежения, что невозможно в нормальном газе.

Если вся распространяющаяся по газу зона тепловыделения моделируется разрывом, то изменение давления и удельного объема газа при прохождении им этой зоны, т. е. при переходе от начального состояния (точка О) к конечному (точка пересечения кривой Гюгонио и прямой Рэлея—Михельсона), ни в какой части зоны тепловыделения не обязано следовать прямой Рэлея—Михельсона.

Внутреннее строение (структура) зон тепловыделения, которые заменяются поверхностями разрыва, может быть очень сложным, и для его описания должны в необходимых случаях использоваться соответствующие усложненные модели среды и процессов в ней.

Хорошо изучена теоретически и экспериментально структура экзотермических волн, в которых тепло выделяется при химических реакциях и которые распространяются либо благодаря теплопроводности и диффузии (волны медленного горения), либо благодаря ударной волне, нагревающей газ и инициирующей химические реакции (волны сильной и нормальной детонации). Показано теоретически, что описанные механизмы тепловыделения и распространения волны могли бы приводить к образованию волн сверхзву-

нового горения, но для этого требуются значения скоростей химических реакций и коэффициентов теплопроводности (и диффузии), которых у реальных смесей газов не бывает. Экспериментально такие волны не наблюдались.

В случае лазерного горения имеются экспериментальные наблюдения самораспространяющихся волн сильной и слабой детонации и волн медленного горения, в небольшом числе случаев теоретически изучена их структура. При теоретическом рассмотрении внутренней структуры волн с тепловыделением при ядерных реакциях показана возможность распространения таких волн в зависимости от условий в режимах сильной и слабой детонации и в режиме медленного горения.

Что касается волн сильной дефлаграции (допускаемых законами сохранения и вторым началом термодинамики), то до настоящего времени распространение таких волн не наблюдалось экспериментально. Проведенные теоретические исследования химического, лазерного и ядерного горения не указывают на возможность существования таких волн. Не предложены и какие-либо другие модели реальных физических процессов тепловыделения и теплопередачи, которые приводили бы к самораспространяющимся волнам сильной дефлаграции.

При решении задач газовой динамики с моделированием зон тепловыделения поверхностями разрыва заранее должно быть указано, в каком из четырех возможных режимов распространяется волна тепловыделения *).

В случае волн медленного и быстрого горения дополнительно к соотношениям, которыми вследствие законов сохранения связаны параметры газа с обеих сторон поверхности разрыва, необходимо задавать скорость распространения волны по газу (как уже говорилось, эта скорость не может быть произвольной, а является характеристикой среды, в которой происходит тепловыделение). При решении задач с волнами сильной дефлаграции (если такие задачи возникнут) требуется задавать два дополнительных условия. Лишь для волн сильной (и нормальной) детонации дополнительные условия к законам сохранения не требуются: эти волны в одной и той же среде могут распространяться с любой сверхзвуковой скоростью, большей или равной скорости волны в режиме Чепмена—Жуге (определяемой начальным состоянием газа уп р【и величиной тепло- подвода q).

Причины различия в числе требуемых условий на экзотермических скачках при разных режимах их распространения связаны с различием в соотношениях между скоростью газа и скоростью звука за скачком и перед ним и будут пояснены позднее (см. § 9 гл. II).

♦) При распространении экзогермической волны ее режим может измениться; например, волна медленного горения может перейти в волну сильной детонации. Постановка газодинамических задач должна включать в таких случаях и критерии, определяющие смену режима распространения волны.

§ 6. Взаимодействие газа с движущимся в нем телом

Изучим силовое и энергетическое взаимодействие газа с движущимся в нем поступательно с постоянной скоростью телом (или системой тел). Будем предполагать, что газ занимает безграничное

пространство и что вдали перед телом он однороден и покоится. Сообщив системе газ—тело поступательную скорость, равную по величине и противоположную по направлению скорости тела, обратим движение, т. е. рассмотрим установившееся обтекание покоящегося

тела неограниченным однородным в бесконечности перед телом потоком газа ).

В хорошем соответствии с опытом можно считать, что по мере

удаления вниз по течению от тела давление газа р в поперечных к

Рис. 1.6.1Рис. 1.6.1набегающему потоку плоскостях выравнивается и приближается к давлению набегающего невозмущенного потока Pi )•

Рис. 1.6.1

Рис. 1.6.1

рем столь большим, чтобырем столь большим, чтобыДля определения силы, действующей со стороны газа на тело, поместим мысленно тело в длинную цилиндрическую трубу, образующие которой параллельны скорости набегающего потока (рис. 1.6.1). Поперечное сечение трубы выбе- течение около тела не отличалось за

рем столь большим, чтобы

рем столь большим, чтобы

метно от течения приметно от течения приотсутствии трубы. Обтекание тела безгранич

метно от течения при

метно от течения при

предел его обтекания впредел его обтекания вным потоком будем рассматривать как

предел его обтекания в

предел его обтекания в

трубе при удалении контура сечения трубы в бесконечность.

Применив к объему газа в трубе между ее сечениями далеко перед телом и далеко позади него (площади этих сечений 夕】н 步 одинаковы) уравнение сохранения массы и уравнение импульсов (в последнем пренебрежем внешними массовыми силами), получим

(6.1)(6.2)(6.1)(6.2)\ р〃而=Pi%夕 1, 夕

(6.1)

(6.2)

(6.1)

(6.2)

,pVuda—pj：%i = p田"一p£i—R.

Здесь и—проекция скорости газа на направление набегающего потока, i—единичный вектор в этом направлении, R есть сумма силы

/?п действующей со стороны газа на обтекаемое им тело, и силы J?2，действующей изнутри на участок поверхности трубы между сечениями % и步.

Как и ранее, вязкие напряжения в сечениях 于】н 于 не учитываются. Если пренебречь вязкими напряжениями и на поверхности трубы, то сила /?2 может быть лишь нормальной к направлению набегающего потока, так что, проектируя уравнение (6.2) на это направление, получим

Rs = (%一p)夕+ \ (PM-P"2)d(i,s

или, заменив (как это уже делалось выше в § 3) интеграл по площади интегралом по потоку массы протекающего газа с учетом его сохранения в трубках тока,

Rix^(Pi—P)^+，(匕一〃)dm. (6 3)

Здесь Ri*—сила, действующая на обтекаемое тело в направлении набегающего потока. Если сила Rlx положительна, то величина X = Ri% есть сопротивление тела\ если Rlx отрицательна, то величину Т = — Ri% называют тягой тела (системы тел).

Пусть течение газа между сечениями 于i и 玄 происходит без энергетического взаимодействия с расположенными в трубе телами или с внешними источниками энергии и обратимо. В соответствии с результатами § 3 полное теплосодержание и энтропия газа в сечении 玄 будут при этом постоянны и равны их значениям в набегающем потоке:八0 =九0], s=- s1. Но тогда из постоянства давления р в этом сечении следует, что теплосодержание 似р, s), плотность Q(p, s) и скорость V в этом сечении тоже постоянны. Примем дополнительно, что скорость в сечении 夕 направлена вдоль образую - щей трубы, так что в выражениях (6.1) и (6.3) 〃 =匕.

Уравнение расхода после сокращения на 步=% примет при этом вид

При постоянных 九0 и s произведение pV есть функция одного только давления. Для совершенного газа эта функция изображена на рис. 1.3.6 (согласно § 3 аналогичный вид она имеет и в случае нормального газа, удовлетворяющего условию г\ см. § 1). Видно, что давление р есть двузначная функция от pV, т. е. при равенстве р!/= р1vl давление р либо равно р】,либо отличается от него на конечную величину. Так как по предположению сечение трубы выбрано столь большим, чтобы р отличалось от А сколь угодно мало, то следует считать р = р、.

При р = % очевидно и Р=匕，так что согласно формуле (6.3) &% = 0 и, следовательно, сила R、может действовать на тело лишь в поперечном к набегающему потоку направлении.

Этот вывод об отсутствии действующей на тело силы сопротивления при обтекании его газом в цилиндрической трубе достаточно большого произвольного сечения и в пределе—в неограниченном пространстве называется, как известно, парадоксом Эйлера—Да- ламбера.

В случае, если в потоке находится не одно тело, а система тел, сила, действующая параллельно скорости набегающего потока на каждое отдельное тело, не обязана быть равной нулю; нулю равна лишь сумма таких сил, приложенных ко всем телам.

Вернемся вновь к формуле (6.3). Во многих случаях, в том числе и при энергетическом взаимодействии газа с помещенными в трубу телами и с расположенными в ограниченной области потока источниками внешней энергии, можно считать, что при 夕—8 разность давлений р——/厶 в сечениях трубы далеко за телом и в набегающем потоке стремится к нулю так, что

П п (〃一р"夕=0.

S f 8

Следовательно, в таких случаях сопротивление или тяга тела в неограниченном потоке определяются формулой

&х=，(%一")力几， (6.4)

где интеграл берется по всему бесконечному массовому расходу обтекающего телом потока.

Если при взаимодействии тела с потоком полное теплосодержание и энтропия (или давление торможения) газа изменяются вдоль трубок тока, то сила Rlx. определенная по формуле (6.4), в общем случае не равна нулю и может быть положительной (и тогда тело при движении в газе испытывает сопротивление X=：Rlx) или отрицательной (тогда на тело при движении его в газе действует сила тяги Т = — RD

В случае, когда в обтекающем тело адиабатическом потоке происходят необратимые процессы (например, имеются скачки уплотнения, что возможно либо при сверхзвуковой скорости набегающего потока, либо тогда, когда при набегающем дозвуковом потоке вблизи тела образуются зоны со сверхзвуковой скоростью), полное теплосодержание 九0 газа за телом сохраняется тем же, что и в набегающем потоке, т. е. равным й01, а энтропия газа возрастает (соответственно его полное давление падает). Применим интеграл адиабатичности к сечениям далеко перед телом и за ним:

№ s) + ^-h{p^ sJ + 粤.

Из этого интеграла, равенства р = % и того, что % = Т〉0, получаем, что 〃2&н 之吟 и, следовательно, Rlx > 0, т. е. тело при движении испытывает сопротивление. (Сопротивление, связанное с

образованием скачков уплотнения и необратимым ростом энтропии газа в них, называют волновым сопротивлением.)

При небольшом росте энтропии (например, в случае слабых ударных волн) можно явно выразить сопротивление тела через изменение энтропии в потоке. Действительно, считая разность s——s^ и, следовательно, разность V\——V малыми величинами, получим из интеграла адиабатичности

^\p «-sj = A(s-Si) = % (%一V).

Отсюда и из формулы (6.4) (принимая 〃 = У) получим

Х= lim \ PiA(s—sjdu.

Так как при сохранении полного теплосодержания Ло и росте энтропии s те」,о испытывает сопротивление при движении в газе, то возникновение тяги связано в общем случае с ростом Ло при относительном движении газа, т. е. с подводом к газу энергии—механической или тепловой.

В уравнении энергии, примененном к одной и той же частице газа в сечениях далеко перед телом и за ним:

hg s) +导=九(厶，sJ + ^ + ^ + g,

ss

величину h (p1? s)—h(p19 sj= ， hsds= ， T ds = qPi можно $1Si

P = P1P = Pl = const

трактовать как тепло, которое нужно отвести от газа в сечении за телом обратимым образом при постоянном давлении р* для того, чтобы вернуть газ в начальное термодинамическое состояние. Эта величина характеризует необратимые потери подводимой к газу энергии, т. е. ту ее часть, которая не переходит в кинетическую энергию газа в сечении за телом, а сохраняется в газе в виде избыточного тепла; вследствие потерь газ в этом сечении и при д = 0 обладает более высокой температурой, чем в первоначальном состоянии перед телом. При q = 0 и при отсутствии потерь вся подводимая к газу механическая энергия переходит в его кинетическую энергию. В отличие от этого, подводимая тепловая энергия не может полностью перейти в кинетическую энергию газа; в кинетическую энергию превращается лишь разность q—qPx, причем qpe очевидно, тем больше, чем больше потери при подводе тепловой энергии.

Для полетов в атмосфере Земли (или в газовой среде других планет) используются различные типы двигателей, т. е. устройств, создающих тягу. При взаимодействии элементов таких устройств с воздухом к воздуху подводится энергия: тепловая при его нагреве, механическая—при работе винта, вентилятора или компрессора.

Во всех существующих типах двигателей, создающих тягу при подводе энергии воздуху, источником подводимой энергии является химическое топливо. В будущем может стать возможным использование для нагревания воздуха ядерных источников энергии, а также энергии подводимого дистанционно извне излучения.

В поршневых двигателях энергия, выделяющаяся в его цилиндрах при горении топливо-воздушной смеси, преобразуется винтом (пропеллером) в механическую энергию, которая сообщается воздуху, создавая тягу. Тяга, возникающая при истечении самих продуктов сгорания топливо-воздушной смеси, при этом незначительна или вообще

отсутствует.

При вращении винта (вентилятора) газовой турбиной (турбокомпрессорным агрегатом) тяга создается частично винтом, а частично образуется при истечении через сопло про

дуктов сгорания и нагретого ими воздуха, причем эта часть тяги сравнима с тягой винта или превосходит ее. Такие двигательные установки называются турбовин- пговыми (ТВД) и турбовентиляторными (двухконтур ными реактивными—Т РДД).

Если тяга создается только при истечении из сопла продуктов сгорания и нагретого ими воздуха, прошедших через турбокомп рессорный агрегат, то такой двига

тель называется турбореактивным (ТРД). При достаточно большой скорости полета, когда необходимое

повышение давления воздуха в двигателе перед подводом к нему тепла может достигаться путем торможения воздуха, надобность в компрессоре, повышающем давление воздуха (и в турбине, необходимой для вращения компрессора), отпадает и турбореактивный двигатель превращается в прямоточный воздушно-реактивный (ПВРД).

Существуют и другие типы воздушно-реактивных двигателей (ВРД), приспособленные для разных условий полета.

Изложим элементы теории воздушно-реактивных двигателей, включая в их число и двигатель с подводом воздуху только механической энергии в винте (вентиляторе).

Разделим поток воздуха, в который помещен двигатель, на две части (рис. 1.6.2). Ту часть потока, которая энергетически взаимодействует с элементами двигателя, т. е. к которой подводится энергия—механическая или тепловая, назовем внутренним потоком (ограничен линиями АСВ и AiC1B1 на рис. 1.6.2), остальную часть назовем внешним потоком (вне линий АСГВ и А^В}).

Силовое воздействие на летательный аппарат в целом оказывают и внутренний поток, и внешний поток. При этом, особенно при больших скоростях полета, силы, действующие на аппарат со стороны внешнего и внутреннего потоков, неразделимы.

Границы внутреннего и внешнего потоков могут частично совпадать с обтекаемыми газом твердыми поверхностями (как н,а рис. 1.6.2 на участках А'В' и А[В^, а в остальной части (или целиком) представляют собой поверхности раздела обоих потоков.

Введем для каждого из двух потоков—внешнего и внутреннего — соответственно силы Re и R, с которыми поток действует на находящиеся в нем тела и на поверхнсють его границы. Обе эти силы определим формулами

R = —\ 8〃 + Р/)而，

где R обозначает Re или 凡，夕一соответствующая каждому из двух потоков поверхность его границы и поверхность обтекаемых им тел, п—внешняя по отношению к рассматриваемому потоку нормаль в точках поверхности 夕.Проекцию X = R&x силы 凡 на направление набегающего потока назовем внешним сопротивлением, а величину 7 = — Rjx—внутренней тягой двигателя. При сложении обеих сил 凡 и Q их сумма представит полную силу, действующую со стороны газа на все обтекаемые им тела, так как на свободных участках поверхности раздела двух потоков силы взаимно уничтожаются. Если проекция Rx этой полной силы на направление набегающего потока отрицательна, то величина 7\由=—RX = T—Rex называется полной или эффективной тягой (или просто тягой).

Имея в виду ограничиться в дальнейшем лишь простейшими схемами двигателей, в которых во внутреннем потоке энергия подводится одинаковым образом ко всем частицам (схемы двигателя с воздушным винтом, прямоточного и турбореактивного воздушно-реактивных двигателей), применим для внутреннего потока квазиодномерное описание.

Обозначим через G расход газа (воздуха) во внутреннем потоке. В тех случаях, когда воздуху сообщается тепловая энергия путем сжигания в нем топлива, влиянием подвода топлива на изменение G будем пренебрегать (см. с. 101—102). Из теоремы импульсов для внутреннего потока между его сечениями далеко перед телом и за ним получим

G(V—%)= \ (pn + pin)d(y.

Здесь 夕'——замкнутая поверхность, состоящая из границы 玄 внутреннего потока, поверхности помещенных в него тел и поверхности сечений потока перед телом и за ним. Так как в этих сечениях рп =——pg то их вклад в интеграл в правой части предыдущего выражения равен нулю и, согласно данному выше определению, этот интеграл представляет собой силу —R. В проекции на направление набегающего потока получаем формулу, определяющую внутреннюю тягу:

T = G(V—匕). (6.5)

Покажем теперь, что при обратимом течении во внешнем потоке внешнее сопротивление равно нулю, так что внутренняя тяга двигателя совпадает в этом случае с эффективной тягой.

Как и раньше, изучим вначале движение в цилиндрической трубе с образующими, параллельными набегающему потоку （рис. 1.6.2）, и с площадью сечения 步°, считая, что давления % н р в бесконечности впереди и сзади выравниваются по сечению трубы. Проводя те же рассуждения, что и в случае обтекания в трубе тела конечных размеров, из уравнений сохранения массы и уравнения импульсов для внешнего потока получаем

pm （此一夕］） = pYC。一夕），

pYQo一玄）U-pM依一夕］）匕=，{pnA p^da.

Здесь 夕'一замкнутая поверхность, состоящая из границы 夕 внешнего потока и поверхности помещенных в него тел, поверхности сечений этого потока и внутренней поверхности цилиндрической трубы. Так как на поверхности сечений давление постоянно и равно соответственно о】и р, то интеграл в правой части можно представить в виде суммы

$ （Pn + Pi^）do= J 9“ + 几切曲+（〃1-/7）（此一步"+ /?2， •У'夕

где К? есть» интеграл от рп + ргп по поверхности трубы. Первое слагаемое в правой части, взятое с обратным знаком, есть по определению сила 凡.

Таким образом,

-re + r2^{y-匕）+ 9 一 网）小明一夕）.

Пренебрегая вязкими напряжениями на поверхности цилиндрической трубы и проектируя это выражение на направление набегающего потока, получим

-X = ［pV（V-%）+ s-pm 依一步）.

Если площади сечений внутреннего потока 夕i и 夕 сохраняются коечными при с5%一8, то при этом р—＞必 и V~ В пределе значения Ар = р—凡 и ДУ = V—匕 связаны, как это следует из уравнений движения при отсутствии необратимых процессов соотношением

pVAV+Др-О, так что

—X = （pY АУ + Ар）（夕°—于）0.

Таким образом, при обратимом течении во внешнем потоке внешнее сопротивление равно нулю и, следовательно, внутренняя тяга

и эффективная тяга совпадают. Если течение во внешнем потоке необратимо, то внешнее сопротивление отлично от нуля и положительно, так что эффективная тяга меньше внутренней тяги, определенной формулой (6.5).

Важной характеристикой двигателя летательного аппарата является полетный коэффициент полезного действия (к. п. д.), определяемый формулой

где Т—тяга (эффективная), 匕一скорость полета, W—мощность», подводимая к газу в двигателе. Полетный к. п. д. выражает долю этой мощности, идущую на перемещение летательного аппарата.

Согласно предыдущему, п можно представить в виде

m = G卅一%)%_"一%)%

忆 + Q — (H—y；)丄

2г Я pi

или в виде

где

представляет собой долю подводимой энергии, которая идет на приращение кинетической энергии внутреннего потока. Величина т)э характеризует совершенство двигателя как такового и называется его энергетическим к. п. д. или просто к. и. д. Выше было показано, что при идеальном подводе механической энергии к газу вся энергия может идти на увеличение кинетической энергии газа, т. е. может быть %= 1； при идеальном подводе тепловой энергии всегда т|э < 1. Значение т)э можно повысить путем повышения давления, при котором к газу подводится тепло. Величина Пп =v；pj； связана с использованием тяги двигателя для перемещения летательного аппарата (при этом должно быть V > VJ и называется пропульсивным к. п. д. Очевидно, что г)п < 1 и тем ближе к единице, чем ближе V к 匕；однако при малых V—匕 для получения заданной тяги необходимы большие расходы проходящего через двигатель воздуха. Поэтому в реальных двигателях разность V—匕 не может быть слишком малой.

Рассмотрим простейшие по схеме их работы ВРД——прямоточный (ПВРД) и турбореактивный (ТРД).

В идеальном прямоточном ВРД (рис. 1.6.3) воздух перед подводом тепла тормозится адиабатически и обратимо до нулевой скорости, так что давление его рОх становится равным давлению

торможения poi набегающего потока ):

「。х = 7(шРох "oi =(1 一二)/(D '% = / 2cjoi •

Затем, при сохранении давления и при нулевой скорости воздуха, к нему подводится тепло, так что с^Тог cRq* + g, рог = p。％. После этого газ адиабатически обратимо расширяется от давления

Рис. 1.6.3Рис. 1.6.3

Рис. 1.6.3

Рис. 1.6.3

Рог = Ро1 ДО давления р = р» При этом 北=7“，Р『(；二第…

Л= 1Л_£— в Таким образом, в идеальном прямоточном ВРД

У 2cp7 0r

А = А】.

Отсюда

и, следовательно, тяга идеального прямоточного ВРД выражается формулой

Это выражение^показывает, что прямоточный ВРД может развивать тягу лишь в полете, т. е. при %声0, и не может создавать тягу на старте.

Для энергетического и пропульсивного к. п. д. идеального ПВРД легко получить формулы

22

% = a"% = -/■=. =—/=—.

дополнительно сжимается вдополнительно сжимается вВ идеальном турбокомпрессорном двигателе (рис. 1.6.4) газ, предварительно заторможенный и сжатый при этом до давления

дополнительно сжимается в

дополнительно сжимается в

Рох = Р(и =(]_А：)；/(”1) ПРИ Т。％ ~「01，

компрессоре адиабатически обратимо до полного давления рЬх, с

подводом к единице массы газа работы wKf так что

= cpTOx + wK,氣=(発厂•

(Величина лк = р^1р^х называется степенью сжатия газа в компрессоре^) Затем при постоянном давлении к воздуху подводится тепло:

Рог = Рохч Ср「ог ~ cj0*，+ д.

Далее воздух адиабатически обратимо расширяется сначала в турбине.

Рис. 1.6.4Рис. 1.6.4

Рис. 1.6.4

Рис. 1.6.4

совершая над ее рабочим колесом работу шт, так что

Величина 网=PqJPq「называется степенью расширения газа 8 турбине. Затем воздух адиабатически обратимо расширяется до давления р = р] при этом

「° = 7。"，"s’ =(1—а$/(”1)，Ан/ ас% •

Из приведенных формул получаем

也

(6.6)(6.6)1 — А2 —* cpT01 + q + wK — wT

(6.6)

(6.6)

cp^ 01

В идеальном одноконтурном турбокомпрессорном двигателе wT = = ®к = ®，т. е. в турбине от газа отбирается ровно столько механической энергии, сколько сообщается ему в компрессоре. В этом случае формула (6.6) имеет вид

1—А2 — c/Toi+g

— Ai^_

十/)i

При ® = 0 отсюда получаем

А = А”

т. е. соотношение для идеального прямоточного двигателя. Естественно,

что при q = 0

u=%，

т. е. тяга равна нулю при любом значении w.

В отличие от прямоточного ВРД, турбокомпрессорный двигатель способен развивать тягу на старте, т. е. при V] = 0. Действительно, из формулы (6.7) следует, что при 匕=0 (Ах = 0) и q〉0 V > 0 (так как Л > 0) и, следовательно, Т〉6.

Эта же формула показывает, что при данном теплоподводе q величина Л, а вместе с ней и тяга двигателя, растет при росте з. Однако при этом возрастают степень сжатия газа в компрессоре и температура газа перед подводом к нему тепла. Это на практике ограничивает возможность увеличивать тягу двигателя путем роста w.

Энергетический и пропульсивный к. п. д. такого двигателя равны

% = —л—:

Энергетический к. п. д. не зависит от подводимого тепла q и растет с увеличением з/(с尸Т(и) или степени сжатия газа в компрессоре лк.

Если отбирать от газа при прохождении им турбины большую мощность, чем сообщается ему в компрессоре, т. е. если 5T > то V уменьшится по сравнению со случаем 叫=%£ н соответственно уменьшится реактивная тяга истекающей струи. Однако при этом избыточную по сравнению с 5K мощность турбины можно использовать для создания дополнительной тяги от воздушного винта или вентилятора. Так устроены турбовинтовые и турбовентиляторные ВРД.

В некоторых схемах турбокомпрессорных ВРД для увеличения тяги двигателя (как правило, кратковременного) к газу может подводиться дополнительное тепло уже после турбины—это двигатели с форсажной (дополнительной) камерой сгорания.

В заключение рассмотрим теорию двигателя с идеал ьным подводом к газу механической энергии.

Будем различать два разных типа такого двигателя. В первом случае идеальный механический двигатель можно представить как предельный случай турбокомпрессорного двигателя при отсутствии подвода тепла к газу и отвода от газа механической энергии в турбине. Вращение компрессора должно производиться при этом независимым источником энергии с мощностью “ = 5.

Из формулы (6.6) при ⑪т = 0 следует

1—А； 1 I^!__

Подставив сюда А：Подставив сюда А：中；и а』5гй^ получим中；и а』5гй^ получим

Подставив сюда А：

Подставив сюда А：

中；и а』5гй^ получим

中；и а』5гй^ получим

Из этого соотношения, как и следовало ожидать, находим, что энергетический к. п. д. двигателя т)э равен единице; его полетный к. п. д. (он же пропульсивный к. п. д.) равен

2

Выразив а/(СрТ(ц) через степень сжатия газа, преобразуем эту формулу к виду

2

Зависимость т| от лк при некоторых значениях М】приведена на рис. 1.6.5.

Рассмотренный случай соответствует винту или вентилятору, помещенному в кожух (насадок); сила тяги формируется при этом на подвижной поверхности винта и на поверхности обтекателя.

Вторым типом простой модели идеального движителя с подводом механической энергии—идеального винта (пропеллера) является так называемый несущий (тянущий) диск. В этом случае действие диска, моделирующего вращающийся винт, на протекающий воздух сосредоточено в плоскости диска.

Поместим диск в середину слоя толщиной h (рис. 1.6.6) и заменим силовое действие диска на газ в струе, проходящей через диск, действием равномерно распределенной в слое объемной силы /х, а энергетическое действие—равномерным по объему слоя подводом механической энергии w.

5 Г. Г. Черный

Пусть при Л —0 /х —^оо и 侬— о© так, что

где X есть суммарная сила, действующая со стороны диска на газ в направлении набегающего потока, и

где W есть суммарная механическая энергия, подводимая к газу.

Представим w в виде 侬=%и, где и—некоторая условная скорость газа в слое. Если подвод механической энергии к газу связан только с действием силы /х, то и есть действительная скорость газа в слое (для несжимаемой жидкости в силу уравнения расхода и постоянна по толщине слоя). Тогда

取=［呵(£、九"dj = xR,

где R—предельное значение средней по толщине слоя скорости и (в несжимаемой жидкости V есть просто значение скорости в плоскости диска).

С другой стороны, из уравнений сохранения имеем

X = G (I/-%)，W = G(~^—等)， так что

и, следовательно,

. средняя скорость R равна полусумме скоростей далеко перед диском и за ним.

В несжимаемой жидкости приложенная к диску сила вызвана лишь разностью давлений с двух его сторон. В сжимаемом газе из-за возможного изменения скорости газа эта сила обусловлена и разностью потоков количеств движения газа с обеих сторон диска. В зависимости от внутреннего устройства тянущего диска соотношение между обеими составляющими силы тяги может быть различным.

Если, как и в несжимаемой жидкости, сила тяги связана лишь с разностью давлений, тянущий диск называется активным. Если же часть тяги обусловлена увеличением скорости газа при прохождении им диска, то тянущий диск называется реактивным.

Для моделей идеальных механических двигателей (винтов) важными характеристиками являются коэффициенты расхода и нагрузки.

Из сохранения расхода в струе, проходящей через диск, в сечении далеко перед винтом и в плоскости непосредственно перед винтом следует

Pl%于1 - p；吸学,

玄1 g (入1)玄1 g (入1)ФФу一g&) •у一g&) •где р；—плотность в адиабатическом обратимом течении, соответствующая скорости 吸.Отсюда

玄1 g (入1)

玄1 g (入1)

Ф

Ф

у一g&) •

у一g&) •

Величина 屮 называется коэффициентом расхода.

Коэффициент нагрузки определяется формулой

Полетный к. п. д. идеального винта выражается через коэффициенты расхода и нагрузки в виде

1

4q)

При заданном коэффициенте нагрузки к. п. д. винта увеличивается с ростом (р.

qsqs0,60,6при Zx < 1,при Zx < 1,1 刀=可%^1 刀=可%^при九1》1 •при九1》1 •Для дозвуковой скорости полета наибольшее значение <р достигается при звуковой скорости в сечении 夕，когда q (九;)=1 и(pmax = =1/q (九i), для сверхзвуковой скорости наибольшее значение 屮= =const = 1. Таким образом, в случае, когда ср и В могут изменяться независимо, наибольшие значе- ^ ния полетного к. п. д. идеального механического двигателя как ' функции от В даются формулами f

qs

qs

0,6

0,6

при Zx < 1,

при Zx < 1,

1 刀=可%^

1 刀=可%^

при九1》1 •

при九1》1 •

Графики этих зависимостей при некоторых Мх приведены на рис. 1.6.7.

8 = 4中8 = 4中22и屮=百,и屮=百,Для модели тянущего диска ср и В не являются независимыми. Так, в случае несжимаемой жидкости они связаны соотношениями

8 = 4中

8 = 4中

2

2

и屮=百,

и屮=百,

так что

На рис. 1.6.7 штриховой линией представлен график этой зависимости. Значения п согласно этому графику ниже представленных там же сплошной линией значений при Mi = 0, полученных для слу・ чая, когда ср и В независимы.

Модель тянущего диска в приведенной простой форме пригодна лишь при дозвуковой скорости набегающего потока и должна быть изменена при сверхзвуковых скоростях.

Дифференциальные уравнения, соотношения

на сильных разрывах и краевые условия

Соотношения между параметрами газа для конечных объемов, полученные в § 2 из законов сохранения массы, импульса и энергии, справедливы для произвольного объема, занятого газом, и допускают существование разрывов в распределениях параметров газа.

В области движения, где параметры газа непрерывны вместе со своими производными по координатам и по времени, из интегральных законов сохранения можно получить эквивалентные им дифференциальные уравнения для нахождения зависимости искомых параметров газа 匕 р и р от координат и от времени. Из этих же интегральных законов сохранения следуют и соотношения, которым должны удовлетворять параметры газа с двух сторон поверхностей разрыва, если они присутствуют в потоке.

Интегральные соотношения (2.8) — (2.12) между параметрами газа в неподвижном объеме ^ можно записать в следующей общей скалярной форме:

j Adx+ ^(AV+B)nda= § Cd* (7.1) %) cZ %э

где 4 и С—соответствующие скаляры, а Я—вектор (векторные уравнения (2.9), (2.10) представляются при этом в проекциях на оси координат).

Вывод дифференциального уравнения, эквивалентного интегральному соотношению (7.1), основан на преобразовании в этом соотношении интеграла по поверхности 夕 в интеграл по объему %9 по формуле Остроградского—Гаусса:

，(W/)d(i=, divWdt.

Здесь вектор W имеет составляющие, непрерывные вместе со своими производными по координатам в объеме 泡

Используя приведенную формулу и то, что объем Т9 неподвижен, так что производную по времени в соотношении (7.1) можно внести под знак интеграла, преобразуем это соотношение к виду

j ［芻+ div(4 丿十 b)-C|dt = 0・

В силу произвольности объема 於＞ подынтегральное выражение в этом соотношении должно равняться нулю, т. е.

禦 + div (4 У + 3)—С 二 0.(7.2)

При сделанных предположениях о непрерывности течения газа дифференциальное уравнение (7.2) эквивалентно интегральному соотношению (7.1).

С использованием тождественного преобразования

^ + div4V = ^ + 4div 匕

где d/dt есть полная производная, уравнение (7.2) можно записать в виде *

督十 4 div 丿-г div 3—С = 0.(7.3)

Применим теперь это уравнение к конкретным законам сохранения, сопоставляя общий вид интегрального соотношения (7.1) с выражениями (2.8)—(2.12).

В законе сохранения массы (2.8) Д = р, В = 0, С = 0, так что из (7.3) следует

^ + pdivV = 0.(7.4)

Это уравнение сохранения массы в дифференциальной форме называется уравнением неразрывности.

Векторное уравнение импульсов (2.9) рассмотрим в проекциях на оси декартовой системы координат. Обозначим и, и, w компоненты вектора V вдоль осей %, у, z. Для проекции на ось х будет А = р〃， В = pi, С = р/х, где fx——проекция на ось х внешней массовой силы, действующей на среду. Таким образом, проекция на ось х интегрального соотношения импульсов (2.9) эквивалентна дифференциальному уравнению

^^ + р〃 div 丿 + div (0) — p& = 0.

После преобразования с учетом уже полученного уравнения (7.4) найдем

или

p嘗十p ('grad) " + 患=Р底.

Преобразуя аналогичным образом проекции соотношения (2.9) на оси у и z и объединив затем три скалярных уравнения в одно векторное, получим

Р穿+ gradP = Pf(7・5)

ИЛИ а V1

或 + (V-grad) Р + gradр =f(7.6)

Дифференциальное уравнение (7.5) или (7.6) есть уравнение импульсов или уравнение количества движения и называется уравнением Эйлера.

Можно проверить, что получаемое из интегрального соотношения момента количества движения (2.10) векторное дифференциальное уравнение удовлетворяется тождественно в силу уравнения импульсов, т. е. закон сохранения момента количества движения для конечного объема, в общем случае независимый от интегрального закона сохранения количества движения, не дает в рассматриваемом случае идеальной среды локального соотношения между параметрами, отличающегося от уравнения импульсов.

Для закона сохранения энергии (2.11), при отсутствии притока тепла сквозь поверхность 夕，но с учетом тепловыделения q в единице массы газа, следует положить 4 = р (•4- +。)，B = pV, С = р(/« V) + + pq, так что согласно (7.5) получаем уравнение

备 Р (号 +。) + Р (哆 +。) m U + div (") = р (f V) + pq・(7.7) С использованием уравнений неразрывности и импульсов это уравнение можно привести к виду

嘗+р^(^)=д・《к)

Уравнение (7.7) есть уравнение энергии в дифференциальной форме; уравнение (7.8), являющееся его следствием, называется уравнением притока тепла.

Пользуясь термодинамическим соотношением Т ds —de + pd(l/p), справедливым для движущейся частицы, из (7.8) получаем

= /(79

В интегральном выражении (2.12) для скорости роста энтропии Л =ps,。=早夕 (при отсутствии некомпенсированного теплопод- вода д'), так что с учетом уравнения неразрывности уравнение (2.12) приводит к тому же дифференциальному выражению (7.9), что и закон сохранения энергии (2.11).

Итак, для непрерывных движений получаем следующую систему дифференциальных уравнений газовой динамики:

矍+pdiv 丿=0,

圻 ^gradp=f(7.10)

Для замыкания этой системы необходимо привлечь термодинамические уравнения состояния, выражающие р, р, s и 7 через какие- либо две термодинамические величины, и задать внешнюю массовую силу / и приток тепла q.

В дальнейшем будут в основном рассматриваться адиабатические движения (д = 0) без учета внешних массовых сил (/=0). В этом случае для замыкания системы (7.10) достаточно одного уравнения состояния

s = s(p, р). (7.11)

Система уравнений газовой динамики (7.10) в некоторых случаях упрощается путем замены последнего уравнения в этой системе конечным соотношением, связывающим р и р. В таких случаях из дифференциальных уравнений находится лишь скорость V и одна из двух других искомых величин— р или р, вторая же определяется конечной связью

Р = Р(Р)・

Движения с заданной связью между давлением и плотностью называются баротропными ).

В случае адиабатических движений (q = 0) последнее уравнение системы (7.10) показывает, что при непрерывных движениях энтропия каждой частицы сохраняется во времени. Отсюда следует, что если в некоторый момент времени энтропия всех частиц в каком-либо объеме газа одинакова, то она останется одинаковой и при дальнейшем движении этого объема (при условии сохранения непрерывности движения). В таких случаях в уравнении состояния (7.11) s(〃, р)= =const. Движения с s = const называются изоэнтропическими и представляют собой частный пример баротропных движений.

Баротропными являются и изотермические движения, в которых температура всех частиц газа в рассматриваемой области одинакова и не изменяется во времени: Т (р, р) = const.

При задании определенной связи между давлением и плотностью баротропное движение в общем случае не будет адиабатическим (исключение составляют изоэнтропические движения): для обеспечения наложенной связи между р и р должен происходить подвод (или отвод) тепла к частицам, который можно найти из уравнения притока тепла (7.8) или (7.9) после определения движения газа.

Система дифференциальных уравнений (7.10) может быть преобразована к различным эквивалентным формам. В частности, при изучении некоторых общих свойств системы (7.10) в случае адиабатических движений удобно использовать в качестве основных термодинамических переменных р и s и преобразовать эту систему к виду

(полагая /= 0)(полагая /= 0)

(полагая /= 0)

(полагая /= 0)

(7.12)(7.12)专霄+ divU=0,Р 嘗+ g「adp =。，变=0dt

(7.12)

(7.12)

Коэффициенты в этой системе суть функции р и s.

Перейдем теперь к установлению соотношений между параметрами газа на поверхностях сильного разрыва, считая, что с каждой сто-

Рис. 1.7.1Рис. 1.7.1роны поверхности разрыва эти параметры ограничены вместе со своими производными по координатам и времени.

Рис. 1.7.1

Рис. 1.7.1

Выделим на поверхности разрыва некоторую ее гладкую часть и с гладкой границей (рис. 1.7.1). Обозначим параметры газа с одной из сторон участка поверхности и индексом 1 и условимся направлять нормаль к поверхности разрыва в сторону, которой соответствует индекс 1.

Проведем из всех точек области и в обе стороны от поверхности отрезки нормалей до

статочно малой длины W/2. Эти отрезки заполняют объем %, по

верхность 步 которого состоит из эквидистантных поверхности разрыва участков 夕1 п 步2 п боковой поверхности 夕，образованной отрезками нормалей длиной Л в точках границы области и.

Наряду с объемом % (подвижным, если поверхность разрыва

перемещается в пространстве) введем подвижный объем У связанный с частицами среды и совпадающий в момент времени f с объемом %9. Законы сохранения массы, импульса, момента импульса (послед

ние два—в проекциях на оси координат), энергии и интегральное

выражение для скорости изменения энтропии в индивидуальном объеме Т3*, приведенные в § 2, можно записать в следующей общей форме (Л, В и С — величины, о которых говорилось ранее):

^ § Adx = — f (В n)da+ f Cdx.

В том же § 2 была получена формула, связывающая производные интеграла от функции Л по индивидуальному объему У* и по подвижному объему 勿 °:

■^ § 4 dt =嘗 У A d%+ , / (%—D)do.

Используя эту связь между производными, для объема 犷 можно

написать соотношение

j [/仇一0)十(8.〃)]而=•-^ Л dr + ( C dx. (7.13)

Перейдем теперь в этом соотношении к пределу при h 0. Так как выражение под знаком интеграла в левой части ограничено, а площадь боковой поверхности 步 стремится к нулю, то в пределе этот интеграл перейдет в интеграл по разным сторонам области о с противоположными направлениями нормалей п2 =——л】.

Первый интеграл в правой части (7.13) можно записать в виде

死0

где А*—среднее значение А на отрезке длиной Л, нормальном к поверхности разрыва. При 力—0 это выражение стремится к нулю, поскольку предполагалось, что функция Л ограничена вместе со своими производными по координатам и времени с каждой стороны поверхности разрыва.

Второй интеграл в правой части (7.13) при ограниченных внешних объемных воздействиях С, очевидно, тоже стремится к нулю при 九一 0. Однако в некоторых важных теоретических вопросах и в приложениях поверхностями разрыва параметров газа моделируются различные реальные проницаемые тонкие структуры, например, сетки или перфорированные пластины, ткань паруса или парашюта, плоскость вращения винта самолета или лопаточного венца осевого компрессора и т. п. На этих поверхностях к газу может подводиться или от него может отводиться энергия в виде тепла или совершаемой над газом или отбираемой от него работы, газу может сообщаться или отниматься от него импульс, к нему может подводиться или от него может отводиться дополнительная масса того же или другого газа. На таких поверхностях разрыва условия, следующие из законов сохранения, должны, естественно, записываться с учетом распределения по поверхности источников энергии, массы и импульса. Величина

/1/2

(7.14)(7.14)C*=lim f cdh

(7.14)

(7.14)

остается при этом конечной, когда 九一＞ 0.

В силу произвольности области о после предельного перехода 九 f 0 получаем общий вид соотношений между параметрами газа на поверхности разрыва (для векторных уравнений такое соотношение справедливо для каждой компоненты уравнения):

Здесь знак [а] означает разность значений а с двух сторон поверхности разрыва.

При отсутствии сосредоточенных на поверхности разрыва воздействий законы сохранения массы, импульса и энергии (без учета тепловых потоков сквозь поверхность 步)дают

[p(%一d)]=0,

[рР(%—О) + м] = 0, (7.15) [р(y-4 6)(%一D) + %)=o.

Условие, получаемое из уравнения моментов количества движения, тождественно удовлетворяется в силу соотношения, следующего из уравнения импульсов.

Равенства (7.15) указывают на два возможных типа поверхностей разрыва.

Для поверхностей первого типа

vni—D =。，源 2—D = 0, (7.16)

т. е. нормальные составляющие скорости газа с обеих сторон поверхности разрыва одинаковы и равны ее скорости (предполагается, что р 5^0). Частицы среды не пересекают разрыв или — иначе—разрыв не распространяется по среде. Такие поверхности разрыва называются контактными. Плотность с обеих сторон контактного разрыва может быть произвольной; однако, согласно второму уравнению (7.15), давление с обеих его сторон должно быть одинаковым. При этом уравнение энергии (третье уравнение (7.15)) тождественно удовлетворяется ). Контактный разрыв может быть и границей раздела между газами с различными уравнениями связи между термодинамическими величинами (это могут быть, например, совершенные газы с постоянными, но различными значениями теплоемкостей).

Обозначим 匕 составляющую вектора скорости V в плоскости, касательной к поверхности разрыва. Из уравнения импульсов и уравнения сохранения массы получим

P&-D [%]=0. (7•⑺

Отсюда следует, что на контактном разрыве составляющая скорости в касательной к разрыву плоскости может меняться скачком: массы газа, находящиеся в контакте и отделенные одна от другой непро* ницаемой для них поверхностью разрыва, могут с разными скоростями с обеих сторон «скользить» вдоль этой поверхности. В связи с этим контактные поверхности разрыва называются также тангенциальными (иногда — касательными) разрывами и вихревыми поверхностями. На них всегда ®〃] = 0 и [р] = 0, но, в общем случае, [p]go, [е]*0 и [匕]¥=0・

Для разрывов второго типа vn=^D, т. е. газ течет сквозь разрыв, или ——иначе——разрыв распространяется по газу. Согласно (7.17) на таких разрывах

[唳| = 0・(7.18)

Разрывы второго типа называются ударными волнами (ранее, в § 4 и далее, говорилось об этих разрывах как скачках уплотнения). На ударных волнах [匕]=0, но, в общем случае, [%]*0, [р] у= 0, [е] =/=0. Равенство (7.18) показывает, что в точках ударной волны векторы скорости газа перед волной и за ней и вектор нормали к волне компланарны, так что при переходе через ударную волну газ локально движется в плоскости, содержащей нормаль к волне.

Для ударных волн индексом 1 будем обозначать параметры газа, по которому распространяется волна.

Установленные соотношения на разрывах должны выполняться в каждой точке разрыва и справедливы в любой инерциальной или неинерциальной системе координат (в неинерциальной системе координат в интегральных законах сохранения появятся распределенные по объему конечные массовые силы—силы инерции, которые, как было показано, не влияют на вид получаемых из этих законов соотношений на разрыве).

Предельный переход в уравнении для изменения энтропии требует некоторых пояснений. Уравнение (7.13) для этого случая (вновь без учета тепловых потоков сквозь поверхность 夕)имеет вид；

[ps(%—。)而=—^ j ps：dt+J 搭(q + d)dt. b/勿2

Даже при отсутствии сосредоточенного тепло подвода на ударной волне (т. е. при ограниченной величине q) нельзя полагать, что второй интеграл в правой части при 九一＞ 0 стремится к нулю. Ранее, в § 5, было установлено, что переход газа через скачок (ударную волну) представляет собой существенно необратимый процесс, в котором при адиабатическом течении энтропия возрастает. Таким образом, [ps(%—Q)] = A*,(7.19)

где согласно (7.14)

/г/2

lim С -7 (q -|- q') dh.

Система (7.15) в случае ударных волн содержит пять скалярных связей между одиннадцатью величинами: пятью параметрами газа (три составляющих скорости и две термодинамические величины) с каждой из сторон волны и скоростью D. Поэтому, если задать состояние газа с одной стороны волны и ее скорость D, то соотношения (7.15) определят состояние газа с другой стороны. В частности, при этом определится и величина, стоящая слева в выражении (7.19),

т. е. поверхностная плотность притока энтропии из-за необратимости процесса перехода газа через разрыв (и сосредоточенного внешнего теплоподвода, если он не равен нулю). Подчеркнем, как следствие этого, что хотя прирост энтропии при адиабатическом переходе газа через разрыв обусловлен необратимыми диссипативными процессами, сопровождающими этот переход, величина прироста энтропии не зависит от конкретного вида диссипативных процессов.

Выпишем условия на разрыве (7.15) в системе координат, в которой скорость распространения поверхности разрыва D в данной точке равна нулю:

卩卫雜=р2%2，(7.20)

РЛа 匕 + 丛题=Р2%2 匕 + АЛ，(7.21)

РЛ1 (与 + %) + mi = P2%2 (导 + 莪)+ %%2・(7.22)

Для поверхности контактного (тангенциального) разрыва в этом случае %i = %2 = 0, т. е. газ вблизи рассматриваемого элемента поверхности разрыва может иметь лишь касательную к элементу составляющую скорости.

Для ударных волн, для которых 0rxi 干 0, и〃2#=°, преобразуем систему (7.20)—(7.22) следующим образом. Вместо уравнения (7.21) запишем его проекцию на нормаль к разрыву и его векторную составляющую (7.18) в касательной к разрыву плоскости. С учетом того, что vn 声 0, это даст

Р1^1 + Р1 = Р2^2 + Р2,(7.23)

匕2・(7 24)

В уравнении энергии (7.23) разделим все слагаемые на ри〃#() Так как согласно (7.24) Vji= V^. то в результате получим:

辱+ & + ^ =字 + ?2-喧・(725)

Система соотношений (7.20), (7.23) и (7.25) имеет точно тот же вид, что и полученная в § 4 система (4.4) условий на скачках, нормальных к направлению потока (VT = 0), если в последней величину скорости V заменить ее составляющей, нормальной к скачку. В общем случае 1^#0 к этой системе добавляется условие (7.24) сохранения касательной составляющей скорости газа при переходе через ударную волну. Подчеркнем, однако, что выражения в левой и правой частях соотношения (7.25) при 丿工*0 не равны полному теплосодержанию газа до разрыва и после него, так как они не содержат слагаемых 吸 1/2 и 吸2/2 соответственно. Однако в силу равенства этих слагаемых очевидно, что полное те пл осодержа ние газа при переходе через ударную волну сохраняется и в этом случае (в системе координат, в которой ударная волна в данной точке неподвижна).

Все выводы, полученные в § 4 для скачков, остаются в силе и в общем случае, если под скоростью там понимать ее нормальную

составляющую. В частности, сохраняется соотношение Гюгонио и все следствия, вытекающие из его анализа. Для газов, для которых

0P2 |s рой0P2 |s рой〉0, скорость газа перед скачком в системе координат, в кото-

0P2 |s рой

0P2 |s рой

скачок покоится, всегда сверхзвуковая (^ > ип1 > «J. Полная

скорость газа за скачком может бьпь и дозвуковой, и сверхзвуковой (но всегда иП2 < &)•

Приведем еще условия на ударной волне в системе координат, в которой газ перед волной покоится. После несложных преобразо

ваний получим

一 Р。= Р2 (%2—D),{Pi—P^n^ — ^.DV^

-Pid4 = - pQ•十")+ %0忆

Выведем одно важное следствие соотношений (7.15) для ударных волн. Уравнение импульсов в проекции на нормаль к волне умножим почленно на D, после чего вычтем из уравнения энергии. Это даст

[p®L。) (^+ 吁％D)+ P(% —。)] =0・

Умножив и разделив последнее слагаемое на р, вынесем за скобки []р (и“ ——D). Используя уравнение сохранения массы, найдем

[九0—uQ! = 0.

Отсюда следует, что при D=#0 полное теплосодержание газа изменяется при прохождении по нему ударной волны, причем

九。2—"oi = ®〃2—%。D=(l — *D(D—Vn^ •

Так как для волн сжатия рх < р2, a D и D——vnl имеют одинаковые знаки, то при D=/=0 всегда й02 > /г01, т. е. полное теплосодержание газа после прохождения по нему ударной волны увеличивается.

В конкретной задаче о движении газа дифференциальные уравнения (7.10) и соотношения (7.15) на возможных внутри области течения поверхностях разрыва параметров газа должны быть дополнены условиями, позволяющими выделить отыскиваемое движение из всей совокупности возможных движений. Как правило, эти условия вытекают из физической постановки задачи, и их формулировка не вызывает значительных трудностей.

Необходимо, однако, чтобы при сформулированных условиях решение задачи существовало и было единственным (иногда постановка задачи может допускать и неединственность ее решения; отбор нужного решения производится при этом на основе дополнительных требований физического и математического характера). Кроме этого.

в большинстве случаев решение задачи должно непрерывно зависеть от задаваемых условий.

Задачи, удовлетворяющие перечисленным требованиям, называют корректно или хорошо поставленными. Нужно сказать, что корректность постановки многих задач газовой динамики, встречающихся в приложениях, математически строго не доказана, хотя она может представляться достаточно вероятной из физических соображений и подтверждаться эмпирическим путем.

Подробно различные виды дополнительных условий будут рассмотрены в гл. II и III в связи с изучением конкретных классов движений. Сейчас же ограничимся лишь краткими сведениями о некоторых типах этих условий.

Если движение газа неустановившееся, то во всей области пространства х, первоначально занятой газом, нужно задать начальные распределения всех определяемых параметров.

При соприкосновении газа с непроницаемыми поверхностями должно выполняться условие непротекания газа — равенство нормальной к поверхности составляющей скорости газа vn и скорости D перемеще ия поверхности в направлении нормали к самой себе. На неподвижных поверхностях это условие требует, чтобы выполнялось равенство % = 0.

На границе области течения может быть задана связь между давлением газа и геометрическими характеристиками поверхности —— конечными или дифференциальными (например, если поверхность представляет собой упругую пленку). В частности, на границе может быть задано постоянное или меняющееся со временем давление р; при р = const граница называется свободной.

Условия перечисленных выше типов называются краевыми или граничными.

Если занятая газом область простирается в бесконечность, то параметры газа в бесконечности также могут подчиняться некоторым условиям.

Некоторые свойства системы дифференциальных уравнений газовой динамики

В предыдущих разделах было установлено, что параметры движущегося газа (скорость, давление, плотность и другие) являются в общем случае кусочно-непрерывными функциями координат и времени. Эти функции должны удовлетворять законам сохранения массы, импульса и энергии для произвольного индивидуального объема. Как следствие, в области их непрерывности и гладкости они должны быть решениями дифференциальных уравнений (7.10), а на разрывах должны удовлетворять соотношениям (7.15).

Уравнения (7.10) вместе с замыкающим соотношением (7.11) представляют собой систему пяти дифференциальных уравнений в частных производных для определения зависимости трех компонент ско-

рости, давления и плотности от четырех переменных: трех пространственных координат и времени. Эта система квазилинейна, т. е. линейна относительно производных искомых функций и нелинейна относительно совокупности этих производных и самих искомых функций.

Важнейшим свойством системы уравнений газовой динамики в общем случае неустановившихся движений является ее гиперболичность. Для установившихся течений, когда распределения параметров движущегося газа в пространстве не зависят от времени, система уравнений приобретает особые свойства и при некоторых условиях утрачивает гиперболичность: становится эллиптической или смешанной ——гиперболической в одной части области пространства, занятой газом, и эллиптической — в другой.

Изучение общих свойств решений таких систем и получение частных решений, соответствующих конкретным условиям движения газа,— весьма трудная математическая проблема.

Теория гиперболических систем квазилинейных уравнений быстро развивается. Тем не менее построение ее теоретического фундамента все еще нельзя считать законченным. Наибольшее продвижение достигнуто при изучении уравнений с двумя независимыми переменными. Но и для таких систем теория приобрела определенную завершенность лишь в случае одного уравнения или системы двух уравнений; для систем с большим числом уравнений нет достаточно общих теорем существования и единственности решения задачи с начальными данными.

В газовой динамике система уравнений (7.10) имеет две независимые переменные только при одномерных неустановившихся и двумерных установившихся движениях (см. гл. II и III). При этом в общем случае одномерных движений система гиперболична и состоит из трех уравнений. К такому же числу уравнений можно свести систему для двумерных установившихся движений (эта система может быть гиперболической, эллиптической и смешанной). В специальных случаях баротропных движений обе эти системы можно привести к двум уравнениям.

Трудности, возникающие при изучении решений систем со многими независимыми переменными, в полной мере проявляются уже при исследовании решений систем из трех или большего числа уравнений с более чем двумя независимыми переменными. С другой стороны, большая часть важных характерных свойств решений многомерных систем обнаруживается и у решений систем из трех уравнений с двумя независимыми переменными.

Поэтому мы не будем излагать теоретические данные о свойствах решений системы уравнений газовой динамики (7.10), вытекающих из ее гиперболичности, в общем многомерном случае ). Важные све-

дения о свойствах решений гиперболических систем будут получены ниже при рассмотрении одномерных неустановившихся движений (гл. II) и двумерных установившихся движений (гл. III).

Напомним некоторые кинематические свойства поля скоростей и динамические свойства движений газа, определяемых системой (7.10).

Важными кинематическими характеристиками поля скорости V являются уже введенный ранее вихрь скорости

S =万 rot Р

и циркуляция скорости вдоль линии

Г- JV6Z

(на линии 纟 выбрано направление и 6/ есть векторный элемент этой линии).

Остановимся кратко на основных теоремах о циркуляции скорости и о вихрях, подробно излагаемых в общих курсах механики жидкости и газа и механики сплошных сред [1—4].

Рассмотрим циркуляцию скорости Г по отрезку АВ, состоящему из одних и тех же частиц газа. Если поле скоростей непрерывно по пространственным координатам и по времени, то и деформация отрезка АВ при движении газа будет происходить непрерывно.

Вычислим производную по времени от Г:

АВАВ

Заменим под знаком первого интеграла величину dV/dt согласно уравнению импульсов (7.10), а под знаком второго интеграла сделаем преобразование Р ^ & = Р6 Р = 6 ^ . В результате получим

黑=，(-^gradp+/)6/ + ^：.(8.1)

АВ

Применим это выражение к случаю, когда сила / имеет однозначный потенциал /=gradU и движение баротропно, т. е. р = р(р). При этих условиях

Если контур АВ замкнут, то отсюда следует равенство

которое известно под названием теоремы Гомсона: при непрерывном баротропном движении идеальной жидкосги в поле потенциальных

сил циркуляция скорости по любому замкнутому контуру, состоящему из одних и тех же частиц жидкости, остается постоянной.

Согласно теореме Стокса (см., например, [1]) циркуляция вектора Л по замкнутому контуру равна потоку вектора rot Л череа поверхность, натянутую на этот контур. Применив эту теорему к вектору скорости газа, получим

р = ,рб/ = 2$ %do.

У

Из равенства dT/dt = 0 следует тогда, что в условиях, при которых справедлива теорема Томсона, поток вектора вихря скорости через любую поверхность, натянутую на контур, движущийся вместе с частицами, сохраняется неизменным по времени:

(0й而=°・

Огсюда вытекают теоремы Гельмгольца (см. [ 1—4]) о том, что вихревые поверхности, в частности вихревые трубки, и вихревые линии перемещаются в пространстве вместе с частицами газа, причем напряженность вихревых трубок остается во время движения постоянной.

При нарушении предположений о баротропии и о непрерывности течения теорема Томсона и ее следствия теряют силу.

Если движение не баротропно, то, считая вновь силу / потенциальной, для замкнутого контура из формулы (8.1) и теоремы Стокса получим

黑■=—殆gradp・& = —《[ro唱gradp儿而.

С помощью тождества

rot (Д grad(₽) = (grad Л X grad <р) преобразуем это выражение к виду

(8.3)(8.3)黑= j(gradpxgrad* 加.

(8.3)

(8.3)

Если воспользоваться равенством

grad р = grad h—T grad s,

то, аналогично (8.3), получим

礬=£ (grad Т х grad s)n do.

Соотношение (8.3) для скорости изменения циркуляции по замкнутому жидкому контуру или равной ей удвоенной скорости изменения потока вектора вихря сквозь такой контур выражает собой теорему Бьеркнеса^ эта теорема используется в динамической метеорологии.

При соблюдении условий теоремы Томсона вихри в движущемся газе сохраняются, т. е. если их нет в некотором индивидуальном объеме в данный момент, то их не будет в дальнейшем и не было прежде. В этом утверждении состоит теорема Лагранжа ).

Отсутствие вихрей равносильно существованию потенциала скорости:

V = grad(p.

Поэтому согласно теореме Лагранжа при условиях теоремы Томсона потенциальные движения обладают свойством сохраняемости; этим объясняется большая роль, которую играет в теории изучение потенциальных движений.

Подчеркнем еще раз, что все предыдущие утверждения теряют силу, если либо движение не баротропно, либо внешние массовые силы не обладают однозначным потенциалом, либо поле скоростей не непрерывно.

Одна из употребительных форм уравнения импульсов (второе уравнение системы (7.10)) получается при использовании тождества

器= * +(%grad)P=* + grad^ + (rotVxP).

Заменив в уравнении импульсов производную dV/dt согласно этому соотношению, получаем уравнение Эйлера в форме Лэмба — Гро- меки )

嘗 + grad ^ + (rot РX Р) + ^ grad р =f(8.4)

gradn——grad p,gradn——grad p,Учитывая, что

gradn——grad p,

gradn——grad p,

s =

этому уравнению можно придать вид

-|^ + 2((ох V)-T grad s—grad (八 + ^) +f(8・5)

где(о = у rot V—вектор вихря скорости.

Запись уравнения Эйлера в таком виде принадлежит А. А. Фрид ману *).

Уравнение импульсов в форме (8.4) или (8.5) часто употребляется при изучении установившихся движений (см. § 1 гл. III).

Для потенциальных баротропных движений в потенциальном поле внешних массовых сил уравнение импульсов в форме Лэмба—Гро- меки (8.4) может быть проинтегрировано. Действительно, при(о=0 это уравнение имеет вид

dV ,/21

^- + grad у = — j grad р 4- grad (7.

Введя функцию Р = J у и сделав в этом уравнении замены по фор- мулам * = ^ grad ср = grad 雾 и -—gradp =grad J ^ = grad P(p), получим

g「ad (雰 + ^~ +。一U) =。，

откудаоткуда舞+^ I grad 叫2 + ° (р) —и = °.舞+^ I grad 叫2 + ° (р) —и = °.(8.6)(8.6)

откуда

откуда

舞+^ I grad 叫2 + ° (р) —и = °.

舞+^ I grad 叫2 + ° (р) —и = °.

(8.6)

(8.6)

Возникшая при интегрировании произвольная функция от времени положена, без ограничения общности, равной нулю, поскольку потенциал ср определен с точностью до слагаемого, зависящего от времени. Интеграл (8.6) называется интегралом Коши—Лагранжа и заменяет в случае потенциальных баротропных движений вектор- ное уравнение импульсов.

Уравнение неразрывности (7.4) для потенциальных движений с учетом того, что

div V = div grad 屮=А屮

(А—оператор Лапласа), можно записать в виде

-^ + (grad ф• grad р) 4- рДф = 0.(8.7}

Уравнения (8.6) и (8.7) образуют систему для определения двух функций: потенциала скорости 屮 и плотности р, которыми описываются потенциальные баротропные (в частности, изоэнтропические) движения сжимаемого газа.

Из интеграла Коши——Лагранжа (8.6) и уравнения неразрывности можно получить одно уравнение второго порядка для потенциала ср»

если записать уравнение неразрывности из системы (7.12) в виде ^~ + аЧР)А屮=0

(здесь использовано то, что dp=pdP) и подставить в него р н Р, ъыраженные через производные от ср с помощью интеграла Коши — Лагранжа и условия баротропии р = р("). При этом оператор d/dt также выражается с использованием потенциала 屮：

^ = ^ +(grad 屮・ grad).

Приведем полученное таким путем квазилинейное дифференциальное уравнение с частными производными второго порядка для ф в декартовых координатах:

<Р" + 2u^xt + 2v^bt+2w(pzt + (〃2—* фхх + (и2—а2)屮纱十(^―а2) ф^+ 十2uv%y + 2以叫)xz + 205中心=0・(8.8)

Здесь 〃 = q\, u = <p* w =(p2i скорость звука а выражается через производные от ф, как сказано выше.

Г лава //• ОДНОМЕРНЫЕ НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ

Основные уравнения

Одномерным называется движение, при котором все характеристики среды зависят только от расстояния % до некоторой плоскости (движение с плоскими волнами}, или только от расстояния х до некоторой прямой——оси симметрии (движение с цилиндрическими волнами), или только от расстояния х до некоторой точки — центра симметрии (движение со сферическими волнами) и от времени, если движение неустановившееся. В одномерных движениях со сферическими волнами вектор скорости имеет в соответствующей сферической системе координат лишь одну отличную от нуля компоненту — радиальную. В одномерных движениях с цилиндрическими и плоскими волнами отличными от нуля могут быть все три компоненты вектора скорости в соответствующих цилиндрической и декартовой прямоугольной системах координат. Оставляя вывод уравнений для общего случая на конец параграфа, будем считать далее не равной нулю лишь одну составляющую скорости — вдоль той координаты, вдоль которой меняются характеристики среды.

При наличии внешней массовой силы движение может быть одномерным, если эта сила зависит лишь от % н /; примем, что она имеет лишь одну составляющую——в направлении изменения %.

При изучении одномерных неустановившихся движений газа с эйлеровой точки зрения искомыми функциями являются одна компонента скорости и и две термодинамические переменные, например, давление р и плотность р, а независимыми переменными——линейная координата х и время t. В случае плоских волн координата х может меняться от —оо до оо, в случае цилиндрических и сферических волн——от 0 до оо. Вместо давления и плотности бывает удобно использовать другие величины, связанные с ними определенными соотношениями.

Одномерным неустановившимся движениям газа можно придавать наглядную форму, используя плоскость х, /; условно назовем эту плоскость плоскостью течения, а кривую в плоскости течения, соответствующую движению частицы газа, назовем путем частицы или ее траекторией.

Если в некоторой области плоскости х, t движение газа непрерывно, то описывающие это движение функции 〃(匕 /), "(%, /) и р (х, /) удовлетворяют во всей этой области дифференциальным уравнениям (7.10) гл. I. Для одномерных движений уравнение нераз-

рывности (закон сохранения массы) и уравнение количества движения (уравнение Эйлера в проекции на направление х) имеют вид: 雾十察+(1)”=。，(И)

警十噂+ ^М = Х.(1.2)

Здесь V—параметр размерности пространства: w = 1, 2, 3 для движений с плоскими, цилиндрическими и сферическими волнами соответственно, и X = X (х, /) есть внешняя массовая сила.

Для адиабатических обратимых изменений состояния газа систему уравнений (1.1) и (1.2) дополним уравнением сохранения энтропии s в частице

и соотношением

P = f(P, s),(1.4)

связывающим энтропию с давлением и плотностью. Уравнения (1.1)— (1.3) вместе с соотношением (1.4) образуют замкнутую систему для определения трех функций 〃(％, /), р (х, f), р (х, f).*

Рассматривая плотность, как функцию давления и энтропии, уравнению (1.1) с учетом (1.3) можно придать вид (см. (7.12) гл. I):

亚(一(3)

Здесь а—скорость звука.

Если движение баротропно, так что давление и плотность газа связаны в области движения заранее известным соотношением

Р = Р(Р),(1・5)

то для определения функций 〃， р, р достаточно уравнений (1.1), (1.2) и соотношения (1.5).

В дальнейшем при рассмотрении баротропных процессов будем считать выполненным условие р，(р) > 0.

Очевидно, что в одномерных движениях линии тока и траектории частиц в физическом пространстве совпадают между собой и являются прямыми линиями. Образованные линиями тока трубки не меняются во времени, так что одномерные неустановившиеся движения можно интерпретировать как движения в таких трубках. Форма сечения трубки поверхностью х = const при изменении х остается при v= 1 неизменной, при v = 2 меняется аффинноподобно, а при ” = 3—подобно самой себе; площадь сечения растет пропорционально xv~\ Особенно удобна такая интерпретация для движений с плоскими волнами; трубки в этом случае имеют цилиндрическую форму. Конечно, используя такую интерпретацию для описания течений в реальных трубах, необходимо помнить о прилипании газа к стенке трубы, которое не учитывается принятой моделью течения.

Как и в случае стационарных течений, можно рассматривать нестационарные квазиодномерные движения газа в тонких слабо искривленных трубках с плавным изменением формы и площади поперечного сечения трубки по ее длине. Напомним, что при квазиодномер ном описании движений пренебрегают изменением параметров потока в поперечном сечении трубки и не учитывают в уравнении движения в проекции на ось трубки влияние искривления траекторий частиц.

Если под х понимать расстояние вдоль оси трубки от некоторой ее точки, то уравнения (1.2) и (1.3) сохранятся и при описании квазиодномерных течений. Уравнение же неразрывности (1.1) требует в этом случае некоторой модификации.

Рассмотрим объем трубки между двумя ее бесконечно близкими сечениями, расположенными на расстоянии dx. Убыль массы газа в этом объеме вследствие вытекания и втекания газа сквозь сечения за время dt равна

^(£p〃df)dx.

Здесь площадь сечения трубки 夕 зависит от % и, в случае если рассматривается движение газа в трубке с деформируемыми стенками, от f. С другой стороны, уменьшение массы газа связано с изменением плотности газа в выделенном объеме и самого объема и равно

——~ (р£ dx) df.

Приравнивая оба выражения, получаем после несложного преобразования вместо (1.1) уравнение

丄遨魁丄雙丄遨魁丄雙(1.16)(1.16)

丄遨魁丄雙

丄遨魁丄雙

(1.16)

(1.16)

В частном случае, когда S 〜肝、где а—произвольное число, имеем d с 1 秒 а1

号=0 и= —； при а = ”一1 получаем уравнение (1.1).

Для изучения одномерных движений можно с успехом использовать и лагранжево представление. При этом искомыми функциями являются координата частицы % и две термодинамические переменные, например р и р, а независимыми переменными служат время t и лагранжева координата частицы Е, за которую можно принять, в частности, начальную координату частицы х0. Скорость частицы и определяется при этом формулой

а ускорение частицы равно ди (^, t)ldt.

Уравнение неразрывности в переменных Лагранжа получим, приравнивая массу частицы в момент времени t ее массе в начальный

моментмоментр%”т дх = ре 尸 дх0 = дт.р%”т дх = ре 尸 дх0 = дт.(1.6)(1.6)

момент

момент

р%”т дх = ре 尸 дх0 = дт.

р%”т дх = ре 尸 дх0 = дт.

(1.6)

(1.6)

Здесь т—массовая лагранжева координата. В уравнении импульсов

заменим согласно (1.6) производную по х производной по массовой лагранжевой координате т. Тогда систему уравнений одномерных адиабатических движений в лагранжевых переменных можно записать в виде

d初匹=0d初匹=0Т + х,Т + х,(1.7>(1.7>

d初

匹=0

d初

匹=0

Т + х,

Т + х,

(1.7>

(1.7>

Последнее из этих уравнений имеет интеграл s = S(m), с использованием которого всю систему (1.7) можно привести к одному уравнению

察=S(加)j+x,(1.8)

где f(p, s) есть функция, определенная формулой (1.4). Для непрерывных движений функция S (т) сохраняет свой вид во все время движения и должна быть задана дополнительными условиями. Особенно простым становится уравнение (1.8) при w=l для изоэнтропических движений (т. е. при условии 5 (т) = const) совершенного газа с постоянными теплоемкостями. В этом случае

/=сру

и уравнение (1.8) приобретает вид

Аналогично плоскости течения %, t при эйлеровом подходе, при лагранжевом представлении можно ввести плоскость течения Е, t. Траекториями частиц в этой плоскости будут прямые Е = const.

Допустим теперь, что все составляющие скорости в одномерном движении могут быть отличны от нуля. Очевидно, что и в этом случае уравнение неразрывности в эйлеровых переменных имеет вид (1.1).

Для движений с плоскими волнами (v= 1) кроме проекции (1.2) уравнения Эйлера на ось % декартовой системы координат х, у, z с составляющими скорости 〃，и, w его проекции на оси у и z при

сделанном выше предположении о массовой силе имеют вид

ди 、 ди с、 dw с1

而+"於=°，京十"17 = °・(1・1°)

Таким образом, частицы приТаким образом, частицы приих движении сохраняют составляю

Таким образом, частицы при

Таким образом, частицы при

щие скорости и и 5, а составляющая скорости “, давление р и плотность р находятся независимо из трех уравнений (1.1) — (1.3).

В одномерных движениях с цилиндрическими волнами в цилиндрической системе координат х, ф, z (х—расстояние от оси симметрии, z—расстояние вдоль нее,屮一угловая координата меридианной плоскости) с компонентами скорости “，и, w проекции уравнения Эйлера имеют вид (см. [2])

ди , ди№1 勿

dt дх% I р 3%'

dv , dv . uv с京+ "凉+"=°，

京+"我=°.

Третье уравнение выражает постоянство составляющей скорости w вдоль оси симметрии. Из второго уравнения, преобразованного к виду

dxv . dxv с京+〃！？"

следует постоянство величины xv в частице. Вместе с уравнением сохранения массы (1.1) при w = 2 отсюда легко получить уравнение сохранения момента количества движения частицы относительно оси симметрии.

Итак, в случае одномерных «закрученных» (т. е. с у#=0) движений с цилиндрической симметрией уравнения для составляющих скорости 〃 и и оказываются связанными, составляющая же скорости w определяется из независимого соотношения.

При движениях со сферической симметрией в сферической системе координат х, ср, 0 с составляющими скорости “，и, w проекции уравнения Эйлера для одномерных движений должны иметь вид (см. [2]):

dt дх %1 р дх '

du dv . uv . v^ctg(p n京+〃苏+ += "

dw dw uw и2 ctg 0 zs

Отсюда видно, что для того, чтобы движение было одномерным, т. е. чтобы параметры газа зависели только от х, необходимо у = 0 (иначе в уравнения входит переменная 0). При и = 0 второе уравнение си-

стемы тождественно удовлетворяется; из третьего уравнения получаемdxw , dxw с

т. е. сохранение величины xw в частице. При этом, очевидно, на поверхностях (сферах) х = const при 0 = 0 и 8 =冗 скорость газа (ее направление) при 侬幺0 не определена; таким образом, не удовлетворено требование зависимости физических параметров только от х и, следовательно, как говорилось выше, в сферически-симметричных одномерных движениях отличной от нуля может быть только одна составляющая скорости и ).

Начальные условия и внешние граничные условия

Для решения задач об одномерных или квазиодномерных не установившихся движениях газа необходимо, кроме уравнений (1.1) [(1.16)]—(1.5), сформулировать в математической форме дополнительные условия, которым должны в соответствии с физической постановкой задачи удовлетворять параметры газа в данном конкретном движении.

Эти условия могут быть весьма разнообразными.

В большинстве задач о нестационарных движениях задают начальные значения параметров газа во всей занятой им области, т. е. в плоскости %, t задают значения трех параметров газа на отрезке оси %, являющемся частью границы области движения:

〃(匕 о)= %(%), р(х, О) = 〃о(%), р (兀 0) = ро (х).

Начальные распределения газодинамических величин могут не быть гладкими, могут иметь разрывы и обладать другими более сложными особенностями.

Если область, занятая движущимся газом, ограничена по координате х с одной стороны или с обеих сторон, то, кроме начальных условий, нужно задавать и условия, которым должны удовлетворять параметры газа на границах,— граничные или краевые условия.

При интерпретации одномерных движений как движений в трубках неподвижную границу % = const часто называют стенкой, а подвижную границу х = хп(/)—поршнем.

Если граница соприкасается с газом и непроницаема для него, то скорость границы и скорость соприкасающегося с ней газа должны быть одинаковы, т. е. на поршне должно быть выполнено краевое условие

〃 = /«) при % = /(£) (2.1)

(точкой вверху обозначено дифференцирование по времени t).

В частности, на непроницаемой стенке хп = const скорость газа должна равняться нулю:

〃 =0 при х = хп = const. (2.2)

В некоторых задачах на поршне задается давление газа р = рп (О» а скорость перемещения поршня хп(/) и, следовательно, равная ей скорость газа, прилегающего к поршню, определяются при решении задачи. Как уже говорилось в § 7 гл. I, при р = const непроницаемая граница называется свободной.

Таким образом, на части границы области движения в плоскости %,九 соответствующей непроницаемым стенке или поршню, задается одно граничное условие.

В случае, если газ может протекать сквозь неподвижную или подвижную границу, вопрос о числе требуемых краевых условий на такой границе интуитивно не так ясен. Рассмотрим пример. Пусть газ может вытекать наружу из занятой им области в трубе сквозь проницаемую правую границу трубы х = х0 и пусть массовый расход газа р〃 сквозь границу есть некоторая, например, линейная функция разности давлений р—ра по обе стороны границы, причем ра—наружное давление ——задано. Граничное условие

р〃 = ^(р—р.) при x = xQ (2.3) связывает на границе значения трех искомых функций “，р, р. Если считать это условие справедливым и при р < ра, когда газ втекает снаружи в трубу, то физическая интуиция подсказывает, что одного этого условия недостаточно и дополнительно на границе нужно задавать энтропию втекающего газа. Однако, как будет показано далее (§ 6), в некоторых случаях вытекания газа сквозь границу даже одно условие может оказаться излишним, а при втекании ——и двух условий может быть недостаточно и нужны три граничных условия, подобно тому, как это необходимо при задании начальных условий на части границы при £ = 0.

Условия (2.1)—(2.3) связывают значения искомых функций на границе (и скорость движения границы, если она подвижна) конечными соотношениями. Однако в некоторых случаях граничные условия могут быть и более сложными. Так, представим себе, что поршень с массой 7И, ограничивающий со стороны больших значений х занятую газом область в цилиндрической трубе, движется под влиянием разности сил давления, приложенных к нему со стороны газа и с внешней стороны, где давление ра задано.

Дифференциальные уравнения движения поршня

М* =(Р—Р】仔,^=〃п при % = /«)

(歹一площадь поршня) вместе с начальными условиями для решения этих уравнений хп (0) = х0, 〃п(°) = 〃^ связывают значения двух искомых функций 〃 и р на поршне и закон движения поршня %=/(£)

и служат в рассматриваемой задаче требуемыми граничными условиями.

Если центр или ось симметрии течений со сферическими или цилиндрическими волнами принадлежат границе области, занятой газом в плоскости х, /, то должно быть выполнено условие

〃 =0 при % = 0. (2.4)

Это же справедливо и для течений с плоскими волнами, если для них плоскость %=0 есть плоскость симметрии.

Однако параметры течения со сферической или цилиндрической симметрией и симметричные относительно плоскости % = 0 течения с плоскими волнами могут подчиняться и другим условиям при х = 0. Так, если при % = 0 имеется источник массы с мощностью q(/), то условие (2.4) нужно заменить условием

lim 叫 р〃炉т = q (/), (2.5) * о

где о\,= L 2л, 4л для течений с плоскими, цилиндрическими и сферическими волнами соответственно.

При ” = 2 и ”=3 условие (2.5) задает особенность в поведении плотности потока массы р〃 при х-^ 0. Аналогично в некоторых задачах могут задаваться особенности в поведении на границах области течения потока импульса или потока энергии.

Могут быть и другие следующие из постановки физической задачи особенности поведения параметров газа при приближении к части границы области движения в плоскости х, £ или к отдельным точкам этой границы.

В конкретных механических задачах выбор начальных и граничных условий обычно не вызывает особых трудностей, поскольку он диктуется непосредственно физическими соображениями. Однако в более сложных случаях, как показывает приведенный выше пример течения с проницаемой границей, может возникнуть вопрос о числе условий, которые необходимо задавать на отдельных частях границы области движения. Как уже было сказано, этот вопрос будет рассмотрен позже при изучении свойств решений системы уравнений одномерных нестационарных движений.

Уравнения в характеристической форме

Вернемся к уравнениям § 1 в эйлеровых переменных

署+〃釣+ р芻+(v—D*=o，(3・D

A 噜+ ^ =。，(32

畜+"系=。■(3.3)

Система (3.1)—(3.3) линейна относительно частных производных искомых функций по координате х и по времени Z. Коэффициенты в уравнениях при производных и свободный член зависят от искомых функций, так что эта система является квазилинейной (см. § 8 гл. I).

Попытаемся заменить уравнения системы (3.1)—(3.3) их линейными комбинациями так, чтобы каждое уравнение новой системы содержала производные от входящих в него функций только по одному направлению в плоскости х, /, т. е. чтобы 々・е уравнение содержало только производные вида

(3・4)

где ck—некоторые функции независимых переменных и искомых величин.

Системы квазилинейных (и линейных) уравнений, которые допускают такое преобразование, причем у преобразованной системы? определитель из коэффициентов при производных (3.4) отличен от нуля, называют гиперболическими. Направления дифференцирования в плоскости х, /, определяемые формулами

令 (3.5>

называют характеристическими направлениями, а линии, определяемые уравнениями (3.5),— характеристиками исходной системы уравнений, в нашем случае уравнений (3.1)——(3.3). Очевидно, что если характеристические скорости ck зависят от искомых функций, то характеристики системы уравнений различны для разных решений этой системы.

Уравнения, связывающие производные искомых функций вдоль характеристических направлений, называют уравнениями 6 характеристической форме или иногда ——условиями совместности.

Итак, попытаемся привести уравнения (3.1)—(3.3) к характеристической форме. Не описывая алгоритм такого приведения в общем случае *), заметим, что уравнение (3.3) уже имеет характеристическую^ форму. Для того чтобы привести к характеристической форме уравнения (3.1) и (3.2), рассмотрим следующие их линейные комбинации: прибавим второе из уравнений к первому, умноженному сначала на 〃/р, а затем—умноженному на —〃/р. В результате вместе с уравнением (3.3) получаем систему

警+(〃 + 〃)票 + 靑—罂+(〃т ")鼠 +W—1)子=0, (3.6) 黑+ (…虐一击博+ (〃一"闺一(1)土0, (37丿

ds . ds с

Это—система в характеристической форме (определитель из коэф・ фициентов при производных по характеристическим направлениям 2

равен —诃 *0). Таким образом, система уравнений одномерных неустановившихся движений является гиперболической при всех значениях независимых переменных и искомых функций.

Из уравнений (3.6)—(3.8) следует, что характеристические направления и характеристические скорости для одномерных неустановив- шихся движений определяются ^юрмулами

(嘗)+ = с+i + а，(當)_ = c-i—d (亲)o = R = "•(3・9)

Согласно этим выражениям для каждого решения уравнений (3.1)—(3.3) в области плоскости х, t, где определено решение, можно построить три семейства линий ——характеристик. В случае непрерывных движений через каждую точку области движения проходит одна и только одна характеристика каждого семейства.

Уравнения (3.9) определяют перемещение в физическом пространстве поверхностей (сфер, цилиндров, плоскостей при v = 3, 2, 1 соответственно) с характеристическими скоростями. Очевидно, что поверхности, соответствующие первым двум уравнениям (3.9), движутся относительно частиц газа со скоростью звука а в сторону роста или убывания координаты х (вправо или влево), а поверхности, соответствующие третьему уравнению (3.9), движутся вместе с частицами газа. Характеристики g+ и 密-первых двух семейств в плоскости х, / называют звуковыми (акустическими) характеристиками, а характеристики третьего семейства ё°——контактными (энтропийными) характеристиками или, согласно уже принятому ранее наименованию,— траекториями. Очевидно, что в каждой точке направление траектории разделяет направления звуковых характеристик (при одном и том же знаке dt).

Уравнения (3.6)—(3.8) можно представить в виде соотношений между дифференциалами искомых функций вдоль соответствующих характеристических направлений, а именно в виде

du + *=-(v- 1)子山，dx = (〃 + a)山，

du—* = (v—l)?df, d% = (〃一a)df,(3.10)

ds = 0,dx=udt.

Наряду с плоскостью x, t бывает удобно рассматривать движение и в плоскости 〃, р (или “, а), изображая на этой плоскости, в частности, линии, соответствующие характеристикам, т. е. линии, вдоль которых выполняются характеристические соотношения. Эти линии для краткости тоже называют характеристиками. Особенная наглядность представления результатов решения ряда задач достигается при использовании плоскости переменных 〃，р.

В случае баротропных и, в частности, в случае изоэнтропических течений достаточно рассматривать две первые пары соотношений (3.10). Уравнение

dx=udt

в этом случае может использоваться при необходимости для определения закона движения частиц.

Для баротропных течений соотношениям (3.10) можно придать более удобный вид. Для этого, пользуясь тем, что

a=/器="(伉©ID

введем функцию и, имеющую размерность скорости, с помощью формул:

рр

Здесь постоянные пределы интегрирования определяются в конкретных случаях соображениями удобства представления формул. С помощью новых переменных

/ = 〃 + 〃 / = 〃一V(3.13)

придадим двум первым парам соотношений (3.10) вид

” =—(V— \) — dt, dx = (u + a) df,a；(314J

d/= (v—1) 一 由，d%=(〃一a) dt

или——в форме уравнений в частных производных——

幫十("+")糸=一(-1)学

号 关=(v— 1)子.

В этих уравнениях величины ина суть известные в силу фор・ мул (3.11)—(3.13) функции г и /:

〃=宇，“P(〃)] = q±(3.15)

Переменные г и / называются переменными Римана ) или инвариантами Римана.

Смысл последнего названия ясен из того, что в случае баротропных движений с плоскими волнами (которые изучал Риман) в левом столбце соотношений (3.14) dr = 0 и d/=0 и эти соотношения при-

нима ют вид

Рис. 2.3.1Рис. 2.3.1так чтотак чтои, обратно,и, обратно,.2a.2a2a2a(3•⑺(3•⑺l = Ul = UUU

Рис. 2.3.1

Рис. 2.3.1

так что

так что

и, обратно,

и, обратно,

.2a

.2a

2a

2a

(3•⑺

(3•⑺

l = U

l = U

U

U

(3.16)(3.16)/• = const при dx= (и-Ya) dt,/ = const при d%=(〃一a) dt.

(3.16)

(3.16)

так что величины г и / не меняются (инвариантны) вдоль характеристик первого и второго семейств соответственно.

Таким образом, при баротропных движениях с плоскими волнами

каждая акустическая характеристика «несет» определенное значение

инварианта г или I. В плоскости 厂，I или “，V сеть характеристик, т. е. линий г = =const и / = const, представляет собой два семейства прямых линий. В плоскости переменных 〃， р или 〃，а или других связанных с ними параметров эта сеть тоже не зависит от конкретного решения и целиком определяется свойствами газа.

Для совершенного газа с постоянными теплоемкостями при адиабатических течениях

Линии 厂=const и / = const в плоскости “，а представляют собой при этом два семейства параллельных прямых, заполняющих верхнюю половину плоскости (рис. 2.3.1).

Отметим, что при у = 3 инварианты Римана (3.17) имеют вид ? = и + а, 1 = и—а. Согласно (3.16) характеристики обоих семейств в плоскости %, / являются в этом случае прямыми линиями

％—〃 = g(f),

где f и g—произвольные функции своих аргументов. Разрешив эти выражения относительно хи/, получаем

х = ^^, / = ^Е^,(3.18)

〃 = q(r + 2), a =芽(厂一/)•

Это простое общее решение уравнений одномерных движений с плоскими волнами определяет в параметрическом виде зависимость ина ют х и / и будет использовано в дальнейшем при описании некоторых течений газа.

При изотермических течениях совершенного газа a = VRT = =а。= const и функция V определяется следующей формулой:

и = a。In р + const = п0 In р + const.(3.19)

В этом случае линии r = const и I = const удобно изображать в плоскости переменных 〃，卩

Если в соотношениях вдоль характеристик (3.16) для баротропных течений с плоскими волнами принять за определяемые функции х и /, а независимыми переменными считать г и /, то эти соотношения приведутся к линейным дифференциальным уравнениям в частных производных (это преобразование принадлежит Риману, см. сноску на с. 159)

警= (“ + &) % ^ = (“—а 嬉(3.20)

(напомним, что ина суть известные функции от г и /). Для адиабатических течений совершенного газа с постоянными теплоемкостями

a%「(Y+l"+(3-Y)/df 识 _(3-y"+(y+1)/》

dl4 Gl， dr4 dr •( [丿

Эти уравнения для последовательности значений у =；：君(п = — 1, 0, 1, 2 ..., соответственно 丫 = — 1, 3, 5/3, 7/5, ...) допускают общий интеграл в аналитической форме*)). Особенно просто выглядит решение при у =—1:

% ="'⑺ + 仁 О)- f ⑺一g (%), f = Г (г) + 8 (О，

w = (г + /),a = —j (r—/)

и полученное уже ранее решение (3.18) при у = 3・

Хотя, как уже говорилось в § 1 гл. I, значения у для совершенного газа с постоянными теплоемкостями заключены в пределах 1 < у & 5/3, для газов с более сложными термодинамическими свойствами можно использовать приближенные уравнения состояния вида

р = А + Вр\(3.22)

где Л и В в общем случае зависят от энтропии, а у не есть обязательно отношение теплоемкостей и может иметь любое значение (к такому виду уравнений состояния относится упоминавшееся в § 1 гл. I уравнение Тэта для плотных сред). Очевидно, что для газов с таким уравнением состояния функция и (а) имеет тот же вид и = = 2а/(у—1) и параметры Римана 厂 и / выражаются теми же формулами (3.17), что и в случае совершенного газа с постоянными теплоемкостями.

*) См., например, [9]

6 Г. Г. Черный

Модель газа с уравнением состояния р = А —— 产 p

(丫=：—1) называется газом Чаплыгина и будет использована в § 6 гл. III.

Для плотных газов, образующихся при детонации ряда конденсированных взрывчатых веществ, в эмпирическом уравнении состояния (3.22) 丫~2,7—2,8, что близко к величине у = 3 (модель газа при Y = 3 называется газом Бехерта—Станюковича).

Баротропные процессы со связью между плотностью и давлением частного вида р = Вр? (у—любая величина) называются политропными (упомянутому на предыдущей странице изотермическому течению совершенного газа соответствует политропный процесс с особым значением у = 1, при котором функция V выражается формулой (3.19)).

Переход в соотношениях (3.16) от искомых функций г = г (х, /) и / = / (х, /) к г и / как независимым переменным возможен, если для данного решения существуют однозначные обратные функции х=х (г, /), / = /(厂,/), т. е. если якобиан

DS/) D (х, ОDS/) D (х, Одг 近 дг ~dtдг 近 дг ~dtdl林dl衣dl林dl衣

DS/) D (х, О

DS/) D (х, О

дг 近 дг ~dt

дг 近 дг ~dt

dl林dl衣

dl林dl衣

с力dl раве 2。苏就.с力dl раве 2。苏就.отличен от нуля. Из соотношений (3.16) следует, что этот якобиан

с力dl раве 2。苏就.

с力dl раве 2。苏就.

Следовательно, если а#=0, то такой переход возмо

жен всегда, кроме случаев, когда дг/дх = 0 и, согласно первой паре соотношений (3.16), г = const, либо когда dl/дх = 0 и, согласно второй паре соотношений (3.16), / = const, либо когда одновременно г = const, / = const, что, очевидно, соответствует однородному потоку. Эти особые случаи течений, для которых r = const, либо / = const, будут рассмотрены в § 7.

Метод характеристик

Уравнения одномерных нестационарных движений в форме соотношений вдоль характеристик (3.10) удобно использовать для нахождения решений различных конкретных задач, а также для анализа зависимости решения от данных на границах области движения.

Рассмотрим сначала следующую задачу, которую назовем элементарной задачей метода характеристик (в том смысле, что решение этой задачи служит элементом решения более сложных задач).

В дальнейших рассуждениях мы не будем стремиться к математической строгости, ограничившись ссылкой на уже упоминавшиеся книги по теории дифференциальных уравнений в частных производных гиперболического типа и ее приложениям к газовой динамике [5,9].

Пусть на отрезке АВ прямой t = t0 = const (если v = 2,3, то хл〉0) заданы непрерывно дифференцируемые распределения значений искомых величин “，р, s (причем давление р и вместе с ним скорость звука а нигде не равны нулю). Не ограничивая общности, будем считать £о = 6・ Известно [5,10], что при этом в некотором интервале 0 < ^ С /х существует гладкое решение уравнений (3.6)——(3.8), удовлетворяющее заданным начальным данным. Возьмем на отрезке АВ две достаточно близкие внутренние точки ± 尸+ и Р_ (рис. 2.4.1). Если решение известно, то из точек Р+ и Р_ можно (при ^ условии, что в этих точках а У= 0) провести акустические характеристики разныхр

семейств до пересечения их в точке Р.

Из точки Р можно затем провести назад//\

характеристику третьего семейства до ne- LДZ ресечения ее в точке Ро между Р+ и力

С ОСЬЮ %.Рис. 2.4.1

Если решение при /〉0 заранее неиз

вестно, то определить координаты хр, tp точки Р можно приближенно, считая вдоль малых отрезков характеристик Р+Р и Р_Р характеристические скорости с+ и с_ постоянными и равными их известным значениям в точках 夕+ и Р_ соответственно. Для этого нужно решить линейные уравнения

%р —芻>+ = (〃 + 〃)р+ «р — % + ), Хр — Хр_ = (и—〃)р_ & — /р_)・

Для нахождения значений 〃 н р в точке Р заменим первые два дифференциальных соотношения (3.10) вдоль характеристик линейными конечно-разностными уравнениями

ир-ир--爲=(v-l)

Определив отсюда ир и р“ найдем координату хРо точки Ро, считая на малом отрезке характеристики РР0 характеристическую скорость & постоянной и равной ее известному значению в точке Р, т. е. решая линейное уравнение

Хр — Хр尸 Up & — tp。).

Для нахождения величины s в точке Р воспользуемся соотношением

вдоль характеристики третьего семейства, из которого после интегрирования получим

sp—Sp° = 0・

Значение Sp0 известно (если же начальные условия заданы в дискретных точках оси х, оно может быть получено приближенно путем

6*

линейной интерполяции по значениям s в точках Р+ и Р_:

)•

Описанный способ нахождения решения в точке 尸 по известным при меньших значениях времени / («в прошлом») данным в точках Р+ и Р_ применим и тогда, когда эти точки лежат не на линии / = const, а принадлежат отрезку кривой, в точках которого при заданных на нем значениях искомых функций акустические характеристики обоих семейств выходят при росте времени / в одну сторону от кривой.

Такие кривые (рис. 2.4.2, кривые а, б) будем называть пространственно-подобными. Очевидно, что любая линия / = const является пространственно-подобной. В другом возможном случае, когда направление кривой в каждой точке разделяет направления акустических характеристик обоих семейств, выходящих из точек кривой при dt > 0, кривая называется временно-подобной (рис. 2.4.2, кривая б). Примером временно-подобной кривой может

служить характеристика третьего семейства (траектория), не являющаяся линией вакуума, т. е. линией, на которой р и а равны нулю. Для баротропных течений с плоскими волнами элементарная задача метода характеристик может решаться с более высокой точностью, чем в общем случае.

По известным значениям и и а в точках Р+ и Р_ их значения в точке Р находятся из точных интегралов (3.16) г = const на характеристике g+ и / = const на характеристике 纟一：

г (up, aP) = r(uP+t аР+),/(〃& 〃р) = /(〃р., 〃р_)・(4.1)

Положение же точки Р, как и ранее, находится приближенно из соответствующей системы двух линейных алгебраических уравнений. При фактических вычислениях, учитывая малость отличия значений 〃р，ар от их значений в точках Р+ и Р_, соотношения (4.1) также можно линеаризовать. Для совершенного газа с постоянными теплоемкостями эти соотношения и в точном виде линейны относительно Up и 〃р：

22

〃р — 〃Р+ + ^ZTI(“Р — ”Р+)= °，〃Р — “Р. —^Z7] ("Р — 〃Р.) = 0・

Задача Коши. Область зависимости

ласть влияния. Слабые разрывы

Рассмотрим следующую задачу. Пусть при f = 0 на некотором отрезке АВ оси х (рис. 2.5.1) задано начальное состояние газа и(х, 0) = %(%), р(х, 6) = %(%), s(x, 0) = s0 (х). Требуется найти дви-

жение газа при / > 0, предполагая при этом существование непрерывно дифференцируемого решения этой задачи в области его определения.

Возьмем на отрезке АВ, кроме его конечных точек, еще ряд достаточно густо расположенных точек. К каждой паре соседних точек можно применить процедуру, использованную в элементарной задаче метода характеристик, т. е. построить элементы акустических характеристик разных семейств, выходящих из выбранных на отрезке АВ точек, и найти решение в точках пересечения этих характеристик. Далее ту же процедуру можно применить к каждой паре найденной системы точек, построив следующие элементы характеристик

и вновь найдя решение в точках их пересечения, и т. д. В результате приближенно находится сетка характеристик и значения искомых функций в узловых точках этой сетки в области, ограниченной отрезком АВ оси % и акустическими характеристиками первого и второго семейств, выходящими из концов этого отрезка.

В общем случае эта область представляет собой криволинейный треугольник АВС (однако при некоторых специальных начальных условиях граничные характеристики могут не пересекаться: точка С уходит в бесконечность).

Имеется доказательство (см., например, [5]) того, что если существует непрерывно дифференцируемое решение описанной задачи, то оно единственно; приближенное решение задачи, данное выше, при уменьшении расстояний между узлами сетки все более точно аппроксимирует точное решение в узлах сетки.

Совершенно аналогично предыдущему решение может быть найдено и тогда, когда начальные значения искомых функций заданы в плоскости х, / на отрезке АВ пространственно-подобной кривой (рис. 2.5.2).

Описанная задача о построении решения по значениям трех искомых функций на отрезке пространственно-подобной кривой называется задачей с нехарактеристическими начальными данными или задачей Коши (ее называют еще задачей I типа}. Область, в которой находится решение по начальным данным, называется областью определенности решения этими начальными данными.

Используем решение задачи Коши для анализа вопроса о зависимости решения от начальных данных.

Возьмем внутри области найденного решения (рис. 2.5.2) какую- либо точку Р и проведем через нее акустические характеристики обоих семейств до пересечения их с начальной кривой в точках Р+ и Р_. Отрезок начальной кривой между точками Р+ и Р_ называется областью зависимости точки Р. По построению решения ясно, что решение в точке Р зависит только от начальных значений на отрезке Р+Р_; изменение начальных значений вне этого отрезка не сказывается на решении в точке 戶(для непрерывных решений).

Отсутствие такого влияния есть следствие конечной скорости распространения слабых возмущений: возмущения из области вне отрезка Р+Р_ не успевают прийти в точку Р, распространяясь в пространстве с конечными характеристическими скоростями и + а и и—а соответственно.

Если изменить начальные данные только на отрезке Р+Р_, то, как вновь ясно из построения решения, это проявится в изменении решения между акустическими характеристиками P+Q+ и P_Q_・ Область между этими характеристиками называется поэтому областью влияния отрезка Р+Р_. Характеристика P+Q+, распространяющаяся из точки Р+ со скоростью звука по частицам газа влево, есть, таким образом, левый фронт возмущений, вызванных изменением условий на отрезке Р+Р_; аналогично характеристика P_Q_ есть правый фронт этих возмущений.

Существование областей определенности, зависимости и влияния позволяет во многих случаях проводить качественный анализ одномерных течений, не прибегая к решению описывающих их уравнений.

Пусть начальные данные на отрезке АВ (рис. 2.5.2) таковы, что определенное ими решение в области АВС непрерывно дифференцируемо. Изменим начальные данные на участке АР+ отрезка АВ с сохранением их непрерывности в точке Р+. Будем считать, что новое решение задачи Коши по-прежнему непрерывно в области определенности. Решение в области Р^ВС^ и, в частности, на характеристике Р+С+ осталось после изменения начальных данных прежним, поскольку оно целиком определено данными на Р+В9 решение же левее характеристики Р+С+ изменилось, так как эта часть области определенности решения входит в область влияния отрезка АР^.

Таким образом, решение в области Р+ВС+ может быть непрерывно продолжено через характеристику Р+С+ неединственным образом.

Отличие измененного решения от первоначального может состоять в том, что производные от некоторых искомых функций по нормали к характеристике станут различными при подходе к ней с разных сторон (производные по касательной к характеристике с обеих ее сторон одинаковы из-за непрерывности решения на характеристике).

В таком случае говорят, что на характеристике искомые функции имеют слабый разрыв.

Уточним понятие слабого разрыва решения. Гладкая кривая Г в области определенности решения называется линией слабого разрыва, если решение непрерывно всюду, его первые производные тоже непрерывны вне кривой Г и односторонне непрерывны на ней, но некоторые производные по нормали к Г имеют в ее точках разрыв первого рода.

Из сказанного выше следует, что характеристика может быть линией слабого разрыва решения (но может и не быть ей). Покажем, что если на какой-либо линии решение имеет слабый разрыв, то：эта линия обязательно является характеристикой.

Действительно, обратимся к уравнениям (3.6)—(3.8). Пусть'^на некоторой линии Г нормальная производная какой-либо из функций “，р или s терпит разрыв. Так как производные по касательной к Г непрерывны с обеих ее сторон, то можно считать, не уменьшая общности, что терпят разрыв производные по %. Записывая каждое из уравнений (3.6)——(3.8) дважды—в точках при подходе к кривой Г с одной и с другой стороны — и вычитая почленно одно такое уравнение из другого, получим

絹」+(〃+〃) ди , z ч [ диSi +(〃—〃)17絹」+(〃+〃) ди , z ч [ диSi +(〃—〃)17+ -+ --於少衣-於少衣+ (〃 + 〃)+ (a-а)+ (〃 + 〃)+ (a-а)

絹」+(〃+〃) ди , z ч [ ди

Si +(〃—〃)17

絹」+(〃+〃) ди , z ч [ ди

Si +(〃—〃)17

+ -

+ -

-於少衣

-於少衣

+ (〃 + 〃)

+ (a-а)

+ (〃 + 〃)

+ (a-а)

Знак [ ] обозначает скачок значения соответствующей величины с двух сторон Г. Если % = %(/)—уравнение кривой Г, то из непрерывности производных вдоль Г с обеих ее сторон следует, что

圈+図以П。，倒+関、。，[紀+倒以"

Исключая из выписанных соотношений скачки производных по времени, получим

а 00.一一=一一-1 - - s - X少豆如石畏- I Г1 - I1而1而勿+ --Г 一 - i-I /ш'а 00.一一=一一-1 - - s - X少豆如石畏- I Г1 - I1而1而勿+ --Г 一 - i-I /ш'

а 00.一一=一一-1 - - s - X少豆如石畏- I Г1 - I1而1而勿+ --Г 一 - i-I /ш'

а 00.一一=一一-1 - - s - X少豆如石畏- I Г1 - I1而1而勿+ --Г 一 - i-I /ш'

Отсюда следует, что слабые разрывы скорости и давления могут быть только на акустических характеристиках; слабые разрывы энтропии на них невозможны. Вместе с давлением на акустической характеристике имеют слабый разрыв и все другие величины, зависящие от давления и энтропии: плотность, температура, скорость звука и

другие. На характеристике g+ слабые разрывы скорости и давления связаны соотношением [〃/ — ~ [р J = 0, а на характеристике 侈-— соотношением [wx] + ^ [рJ = 0. Слабый разрыв энтропии возможен только на характеристиках 纟°—траекториях; слабых разрывов скорости и давления на этих характеристиках быть не может.

Задачи с условиями на характеристиках (задача Гурса, задачи с условием на траектории: задача о поршне, задача со свободной границей)

Пусть теперь два пересекающихся в точке О отрезка ОА и ОВ (рис. 2.6.1) представляют собой акустические характеристики разных семейств; пусть на каждом отрезке известны значения трех искомых функций (на каждой характеристике эти значения связаны соответ

ствующим характеристическим соотношением, так что только две из

трех функций являются независимыми). Предположим также, что распределения искомых функций на обеих характеристиках непрерывно дифференцируемы и что их значения в точке О совпадают. Будем искать решение в угловой области между заданными характеристиками ОА и ОВ. Поставленная таким образом задача называется задачей с характеристическими начальными данными или

Рис. 2.6.1задачей Гурса (назовем ее также зада

чей II типа}. Применим для ее решения метод характеристик. Для этого возьмем на отрезке ОА и ОВ кроме граничных точек еще ряд промежуточных точек. Для пары точек Р+ и Р_, ближайших к угловой точке О и принадлежащих разным харак

теристическим отрезкам, можно применить процедуру решения элементарной задачи метода характеристик, проведя из этих точек внутрь угла между отрезками ОА и ОВ элементы характеристик разных семейств Р+Р и Р_Р до их пересечения в точке Р. Затем та же процедура применяется к парам точек Р；, Р и PL, Рит. д., пока не будет построено решение для узлов характеристической сетки, лежащих на характеристиках разных семейств, выходящих из точек Р+ н Р_. Далее процедура очевидным образом повторяется вновь и вновь до тех пор, пока не будет построена сетка характеристик и найдено решение в ее узловых точках в области, ограниченной заданными отрезками характеристик и характеристиками разных семейств, выходящими из конечных точек Л и В. В общем случае эта область представляет собой четырехугольник, однако при некоторых специальных условиях она может быть и неограниченной.

Рассмотрим еще одну задачу (назовем ее задачей III типа). Пусть (рис. 2.6.2) на отрезке ОА акустической характеристики, например первого семейства, заданы значения искомых функций (опять из них только две независимы) и пусть на неизвестной заранее траектории частицы, проходящей через точку О, задана некоторая связь между искомыми функциями и, может быть, хи/ (кроме заданного на ней постоянного значения энтропии; последнее не требуется, если движение баротропно). Примем также, что начальные значения искомых функций на отрезке ОА удовлетворяют£

в точке О наложенной на траектории 力/\

0L связи между ними и имеют в этой/>^\

точке то же значение энтропии. Тре- буется найти область определенности решения и найти это решение, в част- ности, найти форму траектории OL."

Как и в предыдущих задачах, вы--

делим на отрезке ОА кроме концевых

точек ряд промежуточных точек. По из-£

вестным начальным данным проведем изРис. 2.6.2

точки О элемент траектории, а из точки Р_

элемент характеристики второго семейства до их пересечения в точке 尸. Для определения двух параметров течения в этой точке (третий — энтропия—известен) имеем два соотношения: заданную связь между этими параметрами (ее при фактических вычислениях можно при необходимости линеаризовать) и соотношение. вдоль характеристики второго семейства Р_Р. После определения таким образом параметров течения в точке Р решим элементарную задачу метода характеристик для пары точек Р и PL, в результате чего найдем узел характеристической сетки Р‘ и значения параметров потока в нем. Повторяя аналогичную процедуру, найдем решение в узловых точках Р" и т. д. характеристики первого семейства, выходящей из точки 尸. Далее очевидным образом строим сетку характеристик и находим решение в ее узловых точках во всей области определенности решения, представляющей собой треугольник, сторонами которого является начальный отрезок характеристики О А и отрезки выстраиваемых в процессе решения характеристики второго семейства AL и траектории частицы (характеристики третьего семейства) 0L.

Укажем на два частных случая рассмотренной задачи.

. Первый случай: пусть заданная на траектории связь между искомыми функциями G(〃，р; х, /) = 0 не содержит р. Так как вдоль траектории dx/dt = и, то задание такой связи, очевидно, эквивалентно просто заданию самой траектории в плоскости х, /, а следовательно, и значений скорости и вдоль нее. Эта задача возникает при нахождении движения газа, вызываемого движением поршня по заданному закону.

Второй случай: пусть, наоборот, связь G (〃，р; х, £)= 0 не содержит и. Эта задача возникает при нахождении движения газа,

вызываемого движением поршня, на котором давление изменяется заданным образом. Траектория поршня при этом не задана и должна быть определена. Интересным является случай, когда р=р (x,/)=consl, т. е. когда давление на поршне или в пространстве, с которым граничит газ, постоянно; в таком случае траектория является так называемой свободной границей.

Несколько более сложной связью на траектории в задаче III типа является дифференциальная связь в упоминавшемся ранее случае разгона поршня газом:

m票=(p-рa)步，窑="・

Еще раз подчеркнем, что изложенное описание решения сформулированных задач предполагает существование их непрерывно дифференцируемого решения (в задаче Гурса траектория, исходящая из точки пересечения характеристик, может быть линией слабого разрыва энтропии).

Рассмотрим границу области течения со стороны меньших t、 Пусть участок этой границы является пространственно-подобным. Тогда возможны два случая: характеристики 京+,窮 g- либо все исходят из точек границы внутрь области течения (рис. 2.6.3, а), либо все они направлены из этой области наружу (рис. 2.6.3, б).

В первом случае на участке границы должны задаваться значения всех трех определяемых величин, так как параметры течения во внутренних точках области течения в окрестности такого участка границы находятся из соотношений вдоль характеристик, исходящих из точек границы; во втором случае на границе не следует задавать никаких условий, так как все величины во внутренних точках области течения и на самой границе определяются из соотношений вдоль характеристик, идущих из области течения.

Если участок границы области течения является временно-подоб ным, то из него внутрь области течения могут исходить либо две характеристики—одна акустическая, например %+, и энтропийная %。 (рис. 2.6.4, а), либо только одна акустическая характеристика (рис. 2.6.4, б). Соответственно из области течения к границе подходит либо только одна акустическая характеристика, либо еще и

энтропийная. На таком участке границы должны соответственно задаваться либо два условия для искомых функций, либо только одно такое условие, а параметры течения во внутренних точках области течения находятся при этом в первом случае (рис. 2.6.4, а) из двух соотношений вдоль характеристик, исходящих из точек границы, и одного—вдоль характеристики, идущей из области течения при меньших t («из прошлого»), а во втором случае (рис. 2.6.4, б)— из одного соотношения вдоль характеристики, исходящей из точки

Рис. 2.6.4Рис. 2.6.4

Рис. 2.6.4

Рис. 2.6.4

границы, и двух—из соотношений вдоль характеристик, идущих из области течения.

Подчеркнем, что характер кривой (пространственно-подобная или временно-подобная в первом или втором вариантах) связан с значениями искомых функций на ней и поэтому не во всех случаях заранее определен. Соответственно с этим в процессе движения может меняться число условий, которые необходимо задавать на границе для определения решения.

При постановке граничных условий полезно учитывать, что пространственно-подобная граница в плоскости 招 f соответствует, очевидно, перемещению этой границы со сверхзвуковой скоростью относительно газа, а временно-подобная——дозвуковой. При этом сквозь пространственно-подобную границу газ втекает внутрь области течения в первом случае и вытекает—во втором, сквозь временноподобную тоже либо втекает (в первом из рассмотренных случаев), либо вытекает (во втором случае), в промежуточном случае, когда граница совпадает с характеристикой %° (траекторией), она непроницаема для газа.

Если сама граница области течения должна находиться при решении задачи (как это было, например, выше в задаче со свободной границей), то число краевых условий на такой границе должно быть на единицу большим, чем это следует из предыдущего рассмотрения.

При отыскании непрерывных решений задач, в которых граничные значения функций задаются на пересекающихся отрезках кривых различных типов, должны быть выполнены условия согласования этих значений в точке пересечения кривых. В противном случае в потоке возникнут разрывы или другие особенности. С примерами

такого несогласованного задания краевых условий (обусловленного постановкой физической задачи) мы встретимся позднее.

Заметим, что в ряде случаев вопрос о математической корректности постановок задач с краевыми условиями различных типов до настоящего времени не решен.

Вернемся к рассмотренному в § 2 примеру, когда неподвижная правая граница области течения проницаема для газа, причем связь между массовым расходом газа сквозь границу и давлением на ней определяется соотношением (2.3).

Могут представиться различные случаи.

Если газ вытекает из трубы с дозвуковой скоростью, то граница % = %о, очевидно, является временно-подобной с одной исходящей от нее внутрь области течения акустической характеристикой (характеристические скорости cQ > 0, с+ > 0, с_ V 0). В этом случае при определении течения внутри трубы на границе х = х0 достаточно задавать одно условие (2.3).

Если газ втекает в трубу с дозвуковой скоростью, то граница вновь является временно-подобной, но с двумя идущими внутрь области течения характеристиками—акустической 名-и энтропийной 8°(с()< 0, с+ > 0, с_ < 0). Поэтому в этом случае дополнительно к условию (2.3) на границе нужно задавать еще одно условие—энтропию втекающего газа.

Если скорость втекания газа в трубу у границы х = х0 сверхзвуковая, то граница является пространственно-подобной и все три характеристики направлены внутрь области течения (% < 0, ^+ < 0, J < 0); на границе должны быть заданы значения всех трех параметров газа или эквивалентные этому три связи между параметрами. (К примеру, если граница х = х0 представляет собой выходное сечение сопла Лаваля, через которое газ из большого резервуара втекает в трубу, и движение в сопле можно принять за установившееся, то должны быть заданы скорость, давление и энтропия газа в выходном сечении сопла.)

Наконец, если газ вытекает через сечение х = х0 со сверхзвуковой скоростью, то все три характеристики подходят к границе из области течения (с。> 0, с+ > 0, с_ > 0) и на границе не могут быть предписаны заранее никакие условия.

Простые волны (волны Римана)

Рассмотрим баротропные, в частности, изоэнтропические течения с плоскими волнами. Для таких течений вдоль характеристик справедливы соотношения (3.16)

厂=const при dx = (и + a) df,/ = const при dx = (〃一а) dt.

Пусть один из инвариантов Римана, например /, постоянен не только вдоль каждой характеристики второго семейства, но имеет

одно и то же значение во всей области течения, т. е. пусть в этой области имеется интеграл / = /0 = const. Тогда вдоль каждой характеристики первого семейства постоянны оба инварианта Римана г и /, а следовательно, постоянна и сумма 〃+а, так что можно проинтегрировать и второе соотношение вдоль характеристики первого семейства и получить еще один интеграл

x一("+ a) f =尸("，

содержащий произвольную функцию F (г) ). Таким образом, в рассматриваемом течении характеристики первого семейства являются прямыми линиями, причем вдоль каждой из них все газодинамические величины постоянны. Функцию 尸 можно, конечно, считать зависящей не от г, а от любой из величин р, р, а или от скорости и.

Интегралы

/(〃，〃) = /(), x—(u + a)t = f(u)(7.1)

определяют в неявной форме зависимости скорости и и скорости звука а от координаты % и времени f・ Течения, описываемые этими интегралами, называются простыми волнами или волнами Римана.

Аналогичные интегралы

/•(弘 а) = г°, x—(u—a)t=^g(u)(7.2)

описывают простые волны с прямолинейными характеристиками второго семейства.

Название «волна» для описанных движений газа оправдано тем, что при таких движениях состояние с неизменными значениями параметров—скорости, давления, плотности, скорости звука—распространяется по частицам газа со своей постоянной скоростью звука, опережая частицы или отставая от них. В связи с этим простые волны, описываемые интегралами (7.1), называют еще бегущими вперед, а описываемые интегралами (7.2)—бегущими назад.

Очевидно, что область в плоскости течения 居 /, занятая волной Римана, при переходе в плоскость г, / вырождается в отрезок линии г = const или / = const. Таким образом, простые волны и есть те особые случаи течений, о которых говорилось в конце § 3.

Наличие в формулах для простой волны одной произвольной функции позволяет удовлетворить одному условию, наложенному на искомые функции.

Для совершенного газа с постоянными теплоемкостями волны Римана с использованием зависимых переменных “на описываются формулами

и—у^]‘ = const, %—(и +〃) f = f (〃)，

〃十—p = const, x—(“ — a) f = g (〃)•

Рассмотрим волну Римана, распространяющуюся по газу вправо. Для такой волны

1 = и—и = const, %—(〃 + 〃)£ = /(〃).

Пусть распределение параметров в волне известно в некоторый момент времени. С ростом времени прямолинейные характеристики в этой волне сходятся, если в ней

дх ，

и расходятся при выполнении противоположного неравенства. Преобразуя написанное неравенство к виду

d(u + a) др d(u+a) др

и используя выражения (3.11) и (3.12) для а и и, после несложных выкладок получим

р%з @% ^р

Здесь и до конца абзаца и—удельный объем. Из последней фор- d2v . с

мулы следует, что для сред, для которых s >0, а, следовательно, для нормальных газов и, в частности, для совершенных газов с постоянными теплоемкостями при у > — 1 или для баротропных процессов,

в которых ^~ > 0, характеристики с ростом времени сходятся (рис. 2.7.1,〃)，если давление в частицах возрастает при распространении по ним волны Римана (такие волны называются волнами сжатия}, и расходятся (рис. 2.7.1, б), если давление в частицах уменьшается (эти волны называются волнами разрежения}. Для сред, для которых d2v/dp2 % < 0, этот вывод меняется на противоположный. В случае, если d2v/dp2 0, т. е. если р = А — Ви, где А и В — постоянные (модель газа'： Чаплыгина, см. с. 162), прямолинейные характеристики в волне Римана параллельны независимо от

того, является ли волна Римана волной сжатия или волной раз

режения.

Из того, что в волне, бегущей вперед, / = 〃一и = const, следует dv 1 dp

力=历=通方，так что волны сжатия ускоряют частицы в направ

лении своего распространения; в волнах разрежения, наоборот, частицы получают ускорение в противоположном направлении. Оче

видно, это же верно и для волн, бегущих назад.

Если все прямолинейные характеристики волны Римана выходят из одной точки х0, /0 плоскости х, / (рис. 2.7.1,6), то волна назы

движений с плоскими волдвижений с плоскими волвается центрированной с центром (х0, £()). В формулах (7.1), описывающих такую волну Римана, в этом случае нужно считать /(〃)=/— ——(а + и) /0. Центрированная волна Римана представляет собой пример автомодельного решения уравнений газовой динамики, в котором искомые функции зависят не от двух переменных х и /, а лишь от их комбинации %" (в системе координат, начало которой совмещено с центром волны Римана).

движений с плоскими вол

движений с плоскими вол

Несмотря на то, что волны Римана представляют собой лишь уз

кий класс одномерных нестационарных

нами (соответствующие решения уравнений содержат лишь одну произвольную функцию, тогда как в общем случае решение должно зависеть от трех таких функций), они возникают при решении многих задач газовой динамики. Это объясняется, в частности, тем, что

если в каком-либо непрерывном течении с плоскими волнами есть прямолинейная акустическая характеристика АВ с постоянными значениями 〃，р, р вдоль нее (причем а=/=0), то к этой характеристике примыкает либо течение с постоянными параметрами, либо простая волна. Докажем это утверждение.

Пусть характеристика ОА (рис. 2.7.2) принадлежит, например, семейству g+. Проведем из каждой ее точки траекторию (характеристику третьего семейства g°—штриховые линии на рис. 2.7.2) в сторону роста времени. Ясно, что в области, покрываемой этими траекториями, энтропия всюду одна и та же (это следует из постоянства ее на характеристике 04). Проведем далее в ту же сторону от ОА характеристики второго семейства %一・ На каждой такой характеристике / = /0 = const, причем эта константа, очевидно, одна и та же для всех характеристик второго семейства, выходящих из точек характеристики ОА. Таким образом, в области изэнтропического течения OAL имеется интеграл Z = const, и, следовательно, течение в этой области есть волна Римана (или движение с постоян-

ными параметрами). Утверждение доказано. Из доказанного следует, что если покоящийся однородный газ приходит непрерывным образом в движение с плоскими волнами, то при этом неизбежно возникает волна Римана. Точно так же к однородному поступательному потоку в одномерном движении может непрерывно примыкать (через прямолинейную характеристику) только продолжение самого этого потока или волна Римана.

В волне Римана состояние газа неизменно вдоль прямолинейных характеристик, т. е. распространяется в пространстве с постоянной скоростью, зависящей от термодинамического состояния газа. Следовательно,распределения

параметров газа по координате % в волне Римана меняются при ее распространении (исключение составляет газ Чаплыгина, в котором характеристики параллельны). Проследим за этим изменением на примере волны, распространяющейся вправо (в дальнейшем газ считается нормальным).

Будем считать, что в начальный момент /0 (рис. 2.7.3) волна Римана занимает конечную область (%°, xj, вне которой состояния газа однородны и одинаковы. На рис. 2.7.3 нижняя кривая изображает начальный профиль возмущения давления в волне Ар (%, /о). На этом же рисунке приведены в плоскости х, / прямолинейные характеристики бегущей вправо волны Римана, соответствующей этому распределению давления. Ее передний и задний фронты распространяются с одинаковой скоростью а】； состояния с большим давлением распространяются с большей скоростью (так как d(a^-и)/dp > 0). Характеристика, соответствующая состоянию с наибольшим давлением, делит волну Римана на две части: переднюю, представляющую собой волну сжатия, и заднюю—волну разрежения.

В волне разрежения прямолинейные характеристики расходятся, в волне сжатия—сближаются. Соответственно профиль возмущения давления в волне разрежения становится со временем более пологим и градиент давления (и других газодинамических параметров) уменьшается. В волне сжатия крутизна фронта нарастает, возрастает по величине градиент давления (см. на рис. 2.7.3 профиль давления аp (%,幻).

В момент времени /2 в волне сжатия впервые происходит пересечение характеристик. При приближении к этому моменту производные от газодинамических величин их, рх и т. д. неограниченно возрастают и в месте пересечения характеристик обращаются в бесконечность (на рис. 2.7.3 профиль давления Ар (%,勾))• Эт° явление неограниченного роста абсолютной величины производных образно

называют градиентной катастрофой. Начиная с момента времени t2 непрерывное решение теряет физический смысл: нарушается его однозначность (профиль давления Ар (%, /3)); при этом говорят о6«опро- кидывании» волны сжатия ).

Пример с простой волной сжатия показывает, что даже при сколь

угодно гладких распределениях искомых величин в начальных или краевых условиях описанных выше типичных задач I — III их решение может не существовать не только в классе гладких функций г но и в классе непрерывных функций.

Рассмотрим следующее начальное (при ^ = 0) непрерывное распре- деление параметров газа. На отрезке АВ (рис. 2.7.4) параметры газа

заданы произвольно, а справа и слева от отрезка /В состояния газа однородны и в общем случае различны. Изучим качественно возникающее движение сначала для случая изоэнтропического движения (начальные значения энтропии должны быть для этого всюду одинаковы). Будем считать, что начальные распределе

ния параметров не связаны соотно-Рис. 2.7.4

шением в бегущей вправо или влево

волне Римана (иначе возникающее движение будет соответствующей простой волной).

Решая задачу Коши с начальными данными на отрезке АВУ найдем решение в треугольной области АВС (предполагается, что

непрерывное решение существует во всей этой области). Так как состояние газа при х > хв однородно, то характеристика ВВ' первого семейства прямолинейна и, следовательно, решение задачи Гурса с известными теперь данными на характеристиках ВС и ВВГ представляет собой волну Римана, распространяющуюся по газу вправо. Аналогичным образом в области между характеристиками АС и AAf возникает волна Римана, распространяющаяся по газу влево. В угловой области между двумя прямолинейными характеристиками, выходящими из точки С, характеристики обоих семейств

прямолинейны, так что состояние газа в этой области однородно. Если в обеих волнах Римана характеристики расходятся, то най

денное решение справедливо при всех f, если же хоть в одной из

волн характеристики сходятся, то непрерывное решение существует лишь до момента пересечения характеристик.

Таким образом, при выполнении определенных условий описанная начальная локальная неоднородность приводит к образованию двух волн Римана, бегущих по газу в обе стороны, с областью однородного течения между ними.

Если начальные значения энтропии на участке АВ переменны, то волны Римана будут только в областях правее траектории ВВ〃 м левее траектории /4〃, так как в каждой из этих областей значения энтропии постоянны (при условии непрерывности течения). В области между этими траекториями течение не будет изоэнтропическим и, следовательно, не будет волной Римана или течением с постоянными параметрами.

Однако и в тех случаях, когда при развитии возмущений течение перестает быть непрерывным и образуются перемещающиеся по газу и в пространстве разрывы, качественно вывод о возникновении из начальной локальной неоднородности двух волн, бегущих по газу в разные стороны, остается в силе.

Задача о поршне. Истечение газа в вакуум

Рассмотрим задачу о поршне, которая формулируется следующим образом (рис. 2.8.1). В момент времени / = 0 в области цилиндрической трубы %〉0 справа от подвижной границы—поршня находится газ с известными распределениями параметров. При / > 0 задан закон движения поршня % = X(f) (линия OL на рис. 2.8.1). Требуется определить движение газа при / > 0.

Ограничимся пока случаем, когда в начальном состоянии газ однороден и неподвижен, скорость поршня в начальный момент равна нулю

Х(0) = 0

и Х(/)<0, т. е. скорость поршня во время его выдвигания влево растет по величине.

В этом случае область / на рис. 2.8.1, ограниченная слева характеристикой О А, есть область покоящегося однородного газа и характеристика ОА прямолинейна. Действительно, параметры газа в каждой точке области / определяются значениями инвариантов Римана на характеристиках, приходящих в эту точку из концов области ее зависимости на оси %; значения же этих инвариантов одинаковы во всех точках оси х. Задача, которую нужно решить для определения течения в области II между характеристикой ОА—передним фронтом возмущений от начавшегося двигаться поршня—и траекторией поршня OL, с которой в силу требуемого краевого условия

〃(Х, /) = Х«)

совпадает траектория частицы, есть частный пример задачи III типа, рассматривавшейся ранее (ср. рис. 2.8.1 и рис. 2.6.2). Так как область II граничит с областью однородного состояния газа, то течение в этой области представляет собой волну Римана

(8.1)(8.1)и—и(а) = — uQ), х—(〃 +а) / = /(〃),

(8.1)

(8.1)

где а】一скорость звука в покоящемся газе. Константа в правой части первого соотношения определена из условия непрерывности значений 〃 и а на характеристике ОЛ, вид функции / (и) можно определить по известному закону движения поршня % = X(f). Действительно, представим этот закон движения в параметрической форме, взяв в качестве параметра скорость поршня ип = Х (Z), т. е. будем считать на поршне х = хп(и), f=J(〃). Подставив эти параметрические выражения для % и f во второе соотношение (8.1), получим

f (〃) = / (и)—[и + а (〃)] G (〃)•

Так как по условию 魯• < 0 и в волне Римана d〃——粤=。‘ то

возникающая волна есть волна разрежения и, согласно доказанному в предыдущем параграфе, при > 0 (здесь и—удельный объем) прямолинейные характеристики в ней образуют расходящийся пучок.

Функция V монотонно убывает при уменьшении давления или плотности. При адиабатических движениях нормального газа она остается ограниченной по модулю при обращении давления и плотности в нуль (при этом обращается в нуль и скорость звука). Для таких движений, как и при других баротропных процессах, обладающих этими свойст

вами, удовлетворить условию 〃 = %(/) при % = Х(/) можно только, если |〃“)1 не превосходит некоторого предельного значения 〃тах, при котором давление и плотность газа у поршня обращаются в

нуль.

Если после того, как давление и плотность газа у поршня обратятся в нуль (точка В на рис. 2.8.2), скорость поршня продолжает возрастать, условие на траектории граничной частицы газа, требующее совпадения скорости этой частицы со скоростью поршня, следует заменить условием равенства нулю давления р = 0 на граничной траектории. (Здесь мы встречаемся со случаем, когда заданное первоначально условие на границе области движения газа оказываетсяу начиная с некоторого момента времени, невыполнимым и требует замены его другим.) Форма траектории, которая становится при этом свободной границей, должна определиться из решения. В рассматриваемом случае граничная траектория частицы совпадает с пря-

молинейной акустической характеристикой первого семейства, так как на последней а = 0. Между траекторией поршня х = X ⑴ и передним фронтом движущегося газа образуется зона, где давление равно нулю и газа нет, т. е. зона вакуума (на рис. 2.8.2 заштрихована).

Значение скорости в волне Римана, определяемое первой формулой (8.1) при и(а) = 0, называется максимальной скоростью нестационарного расширения газа или скоростью нестационарного истечения газа в вакуум

〃тах= § 卷о

При изучении установившихся квазиодномерных течений (§ 3 гл. I) мы уже сталкивались с понятием максимальной скорости истечения газа Vmax, которая может достигаться в сопле Лаваля при неограниченном его расширении. В этих условиях Vmax определяется формулой

片ах — ( dp

о

Значение максимальной скорости «тах, как и Vraax, зависит от

вида связи между плотностью и давлением при течении газа.

Для адиабатических движений совершенного газа с постоянными

Поэтому предельное значение скорости “maxПоэтому предельное значение скорости “max2а теплоемкостями и =

Поэтому предельное значение скорости “max

Поэтому предельное значение скорости “max

определится формулой

(8.2)(8.2)2al

(8.2)

(8.2)

"max = FT » значение же Vmax равно

где а】 есть скорость звука в покоящемся газе соответственно в цилиндрической трубе или в резервуаре, откуда происходит истечение. Как видим, максимальная скорость расширения газа в вакуум из одного и того же состояния покоя зависит от условий истечения. При нестационарном расширении газа в цилиндрической трубе эта скорость выше (при у < 3), чем при стационарном истечении через неограниченно расширяющееся сопло Лаваля.

При изотермическом расширении совершенного газа в трубе, как следует из вида функции и(р) (формула (3.19)), предела увеличения скорости нет: "max = 8. Как и в случае установившихся течений (см. конец § 3 гл. I), способность газа приобретать при изотермическом нестационарном расширении сколь угодно большую скорость связана с тем, что при этом к газу извне должна подводиться энергия в виде тепла.

Вернемся вновь к задаче о поршне. Пусть закон движения поршня задан в следующей форме. Сначала, как и ранее, поршень начинает выдвигаться влево с нулевой скоростью в точке О, ускоряясь до некоторого значения скорости, меньшего максимальной, в точке В, после чего скорость поршня остается постоянной (рис. 2.8.3, а). Тогда ясно, что волна Римана будет лишь в области II между прямолинейными характеристиками ОА и ВС. К характеристике ВС слева примыкает зона III однородного состояния газа, движущегося со скоростью, равной скорости поршня. Это следует из краевого условия 〃(Х, f)= 〃n = const, согласно которому в области 1П и второй инвариант Римана имеет постоянное значение.

Будем теперь уменьшать длину отрезка ОВ траектории поршня, сохраняя неизменной конечную скорость поршня. В пределе, когда длина участка ОВ обращается в нуль, все прямолинейные характеристики волны Римана в зоне II выходят из одной точки О и волна Римана становится центрированной (рис. 2.8.3,6). При этом поршень с самого начала будет иметь постоянную скорость.

Отметим, что в найденном течении с центрированной волной Римана имеется особенность в распределении параметров газа: при подходе к точке О по разным направлениям значения параметров различны. Эта особенность вызвана, как уже о том говорилось в конце § 6, несогласованностью граничных значений скорости в точке О пересечения двух участков границы области течения: полуоси х > 0 и траектории поршня 0L.

Если конечная скорость поршня превосходит по величине максимальное значение скорости расширения газа 〃тах и， следовательно, начиная с некоторого момента, поршень отрывается от газа и перестает влиять на его движение, то можно считать, что, начиная с этого момента, поршня просто нет и фронт расширяющегося газа граничит с областью вакуума. Если при этом вновь совершить предельный переход, устремляя к нулю длину отрезка траектории поршня, на котором скорость возрастает до umax, то получим течение с центрированной волной Римана, на границе которой давление и плотность равны нулю, а скорость газа равна скорости истечения газа в вакуум; поршень при этом можно считать «исчезнувшим» в начальный момент времени. Эту задачу можно трактовать следую-

однородном ной волной ограниченыоднородном ной волной ограниченыРимана, причем этиРимана, причем этиобластиобластиТаким автомо-Таким автомо-образом, обаобразом, обаРис. 2.8.4Рис. 2.8.4

однородном ной волной ограничены

однородном ной волной ограничены

Римана, причем эти

Римана, причем эти

области

области

Таким автомо-

Таким автомо-

образом, оба

образом, оба

Рис. 2.8.4

Рис. 2.8.4

щим образом. Покоящийся однородный газ в области х〉” отделен при % = 0 перегородкой от области вакуума при х < 0. В момент времени / = 0 перегородку мгновенно убирают, и газ начинает истекать в пустоту (рис. 2.8.4).

Нетрудно убедиться в том, что движение газа при выдвигании поршня с постоянной скоростью и движение газа при истечении его в вакуум после мгновенного исчезновения перегородки автомодельны во всей области, занятой газом. Действительно, оба эти движения

состоят из областей, занятых либо газом в

состоянии, либо центрирован-

прямыми xlt = const,движения в целом

дельны, т. е. распределения всех параметров газа в них зависят лишь от комбинации независимых переменных хЦ.

Отметим, что автомодельный характер найденных движений следует уже из постановки соответствующих задач. В самом

деле, обе задачи состоят в нахождении зависимости скорости 〃, давления р и плотности р от координаты % и времени f при данных начальных значениях /ь и в покоящемся газе, при заданной скорости поршня U в первой задаче и при р = 0 на левой границе области движения—во второй задаче. Уравнения, которыми описывается возникающее движение, содержат в случае совершенного газа с постоянными теплоемкостями лишь один параметр—отношение теплоемкостей у.

Легко убедиться, что система постоянных определяющих параметров задачи содержит масштабы для давления, плотности и скорости Si, Pi, U или % = МYPi/PJ и не содержит масштабов длины и времени, позволяя определять лишь их комбинацию x]t.

Таким образом, безразмерные отношения р/%, р/р】и 〃/生 должны быть функциями лишь одной переменной %/(〃丿)и одной постоянной % а в первой задаче—еще и постоянной U/a^ Это и доказывает автомодельный характер возникающего движения.

Возникновение центрированной волны Римана с особенностью в точке О в задаче об истечении газа в вакуум при удалении перегородки вновь вызвано несогласованностью условий, задаваемых на границе области движения: при подходе к точке О вдоль участка границы / = 0 давление равно рп а при подходе к этой точке вдоль неизвестного заранее участка границы—переднего фронта истекаю- щего газа—давление равно нулю.

В более общем случае задачи о поршне с заданной скоростью или давлением на нем, когда распределения параметров газа при f = 0 неоднородны, движение в области / находится путем решения задачи Коши, а движение в области II—путем изложенного в § 6

十 ftл= о = 2(d 厶=。十 ftл= о = 2(d 厶=。

十 ftл= о = 2(d 厶=。

十 ftл= о = 2(d 厶=。

решения задачи III типа. Конечно, при этом предполагается, что непрерывное решение существует. Если скорость выдвигаемой границы относительно прилегающего к ней газа в начальный момент времени не равна нулю и направлена в сторону от газа, то локально течение в окрестности точки О описывается центрированной волной Римана. Если же эта скорость не равна нулю и направлена в сторону области, занятой газом, то непрерывное течение невозможно — в газе образуются поверхности разрыва. Этот слу

чай подробно рассмотрен ниже—в § 10.鳥

При нестационарном истечении покоившегосяI '

вначале газа в вакуум через цилиндрическую трубу можно осуществить его разгон до скорости, боль- шей 〃max・N=C

Пусть при х > 0 справа от перегородки, от-а=-а\

деляющей газ от вакуума, к трубе присоединен посредством плавно сужающегося насадка боль- Рис- 2--5 шой резервуар (рис. 2.8.5) с неподвижным однородным газом. При f = 0 перегородка мгновенно убирается; предположим, что в то же мгновение справа от перегородки устанавливается стационарное течение газа с максимальным расходом, т. е. с критическими условиями в сечении х = 0. Газ слева от перегородки будет расширяться в вакуум в волне Римана. В этой волне имеет место интеграл

2а2а\什1 _

и———г = I 〃 一 ~—г 1=7 г &=о •

у—1\7—* /х=оV—1

где аг—скорость звука в покоящемся газе. Таким образом, в волне Римана

2a Uг2a Uг

2a Uг

2a Uг

так что скорость ее переднего фронта (при а = 0) равна

2alI /

т. е. превосходит wmax =по величине в у — раз.

Конечно, нужно иметь в виду, что стационарное течение газа при %〉0 устанавливается не мгновенно, так что найденное значение скорости фронта достигается тоже лишь постепенно.

Рассмотрим еще задачу о взаимодействии простых волн или — иначе—задачу о двух поршнях.

Пусть по однородному покоящемуся газу (рис. 2.8.6, tz, область /) распространяются во встречных направлениях две бегущие волны разрежения II и ///; волны можно считать возникшими в результате соответствующего движения поршней, между которыми в области 0&%《％1 первоначально (при / = 0) был заключен невозмущенный газ

Встретившись (в точке О на рис. 2.8.6, а), волны начинают взаимодействовать, проникая одна сквозь другую.

Рис. 2.8.6

Область взаимодействия волн представляет собой четырехугол ьн и к ОАСВ, стороны которого образованы отрезками акустических характеристик. Распределение параметров Римана вдоль характеристик обоих семейств в этой области известно по их значениям на отрезках ОА и ОВ, однако сами характеристики искривлены и для их нахождения в области ОАСВ нужно решить задачу Гурса.

Для простоты изложения далее рассматривается случай, когда обе во;(ны Римана являются центрированными (именно такой случай изображен на рис. 2.8.6, а).

Пусть в области невозмущенного состояния газа / 〃 = 0, и=% а центрами каждой из волн являются точки (0, 0) и (хп 匕)соответственно. Тогда бегущая вправо волна Римана // описывается формулами (см. (7.1))

/="-。=-%, х—(〃十 a)f = 0.(8.3)

а бегущая влево волна III—формулами (см. (7.2))

r=u + v = vu х—玄一(〃一a) (t—£J = 0・(8.4)

Пользуясь этими выражениями, легко найти уравнения характеристик ОВ и О А и распределения параметров газа на них. Так, если в уравнении характеристики OB d%=j〃—a)df заменить дифференциал dx с использованием выражений, полученных из (8.3):

dx—(и 十 a) df + t\du + 必)=0, du—曲=0, то это уравнение примет вид

2adt + t (du + 而)=О.

Учитывая, что согласно (3.12) du = a^, отсюда получаем интеграл

//值=W砌L (8.5)

где постоянная интегрирования определена по условиям в точке О «о——соответствующий этой точке момент времени).

Интеграл (8.5) вдоль характеристики ОВ вместе с соотношениями (8.3) и определяет форму этой характеристики и распределение параметров газа на ней. Аналогично находится интеграл вдоль характеристики О А:

幻/而匸«。-幻/砌L (8.6)

определяющий вместе с (8.4) ее форму и распределение на ней параметров газа.

Сформулированную задачу Гурса удобно решать с помощью уравнений (3.20), принимая за независимые переменные инварианты Римана г и / и считая х и t искомыми функциями. Область ОАСВ переходит в плоскости г, / (рис. 2.8.6, б) в прямоугольник, ограниченный указанными на рис. 2.8.6, 6 линиями /•= const и / = const. На сторонах ОА и ОВ этого прямоугольника искомые функции % и t известны (напомним, что при этом их значения связаны соотношениями на характеристиках).

На рис. 2.8.6, б приведена также линия г—/=2и(р) = 0, т. е. линия, где давление равно нулю—линия вакуума. При увеличении интенсивности одной или обеих взаимодействующих волн Римана характеристики / = const и г = const, идущие из точек Л и В в направлении линии вакуума, заканчиваются в точках этой линии; отрезок линии вакуума образует тогда часть границы области взаимодействия. При этом точка С плоскости х, f уходит в бесконечность, так как из (8.5) и (8.6) следует, что на границах АС и ВС области взаимодействия ff 8 при ра-^ 0. Таким образом, область определенности решения в рассматриваемой задаче Гурса становится бесконечной.

Не описывая общего метода решения задачи о взаимодействии волн, укажем лишь, что для совершенного газа с постоянными теплоемкостями, когда уравнения (3.20) приводятся к виду (3.21), решение удается получить в аналитической форме, а для указанной в § 3 совокупности значений у——и выразить его через элементарные функции.

Совсем просто получить решение при у = 3. В этом случае, как было показано в § 3, акустические характеристики обоих семейств в плоскости х, f прямолинейны. Прямолинейные характеристики в области взаимодействия являются просто продолжением соответствующих характеристик бегущих волн, и распределение параметров Римана г и / по ним известно—оно такое же, как и в самих бегущих волнах.

Если в одиночной волне, бегущей вправо, / = const, r=r+ (х, f), а в одиночной волне, бегущей влево, г = const, / = /_(%, f), то при 丫 = 3 в области взаимодействия волн

，=，+(%, о» /=/_(%, /)•

Напомним, что при у = 3 и = *^у = а, так что в рассматриваемом

примере центрированных волн Римана г+ = и+а=-^, /_=〃一а и, следовательно, в области взаимодействия

(8.7)

Очевидно, что если взаимодействующие бегущие волны (не обязательно центрированные и в любом нормальном газе) отличаются только направлением распространения, то течение симметрично относительно плоскости встречи обеих волн. В силу симметрии в этой плоскости «= 0 и ее можно принять за неподвижную стенку. Рассматривая течение лишь с одной стороны стенки, получаем, таким образом, решение задачи об отражении бегущей волны от жесткой стенки.

Так, полагая в решении (8.7) /, = 0, получаем в области взаимодействия падающей и отраженной волн

2х—Xi%1

Интересно, что при этом давление во всей области^ взаимодействия одно и то же и зависит только от времени.

Как уже говорилось ранее, если при решении задач о движениях газа в области движения происходит пересечение характеристик одного и того же семейства (как, например, в бегущих волнах сжатия), то непрерывность распределений параметров газа нарушается и необходимо рассматривать движения с разрывами. В связи с этими следующий параграф посвящен необходимым для дальнейшего дополнительным сведениям о соотношениях на разрывах в газе.

Соотношения между параметрами газа на разрыве.

Эволюционные разрывы. Слабые и сильные ударные волны

В гл. I было установлено, что внутри занятой газом области могут быть поверхности, на которых параметры газа терпят разрыв. Значения параметров газа с обеих сторон такой внутренней границы и скорость ее перемещения в пространстве связаны условиями, налагаемыми законами сохранения. В § 4 и § 7 гл. I эти условия были получены для поверхностей разрыва без сосредоточенных на них притоков массы, импульса и энергии—для ударных волн и контактных разрывов. В § 5 гл. I получены условия для поверхностей разрыва с сосредоточенным притоком тепла—волн детонации и волн дефлаграции.

В случае одномерных движений условия (7.15) гл. I для разрывов без сосредоточенных воздействий принимают вид

р (〃一D) = pi (%—D) = т,(9.1)

р + р (〃一О)? = Pi + Pi (%—О)?,(9.2)

р (〃一D)(千 ++ р〃 = Pi (%—D)+ Pi〃i・ (9.3)

На контактном разрыве, т. е. при т = 0, из соотношений (9.1) и (9.2) получаем условия

и = % = D, р =凸，(9.4)

соотношение (9.3) удовлетворяется тождественно.

На ударных волнах, т. е. при тФ^, соотношения (9.1)—(9.3) можно записать в виде

(95)(95)p ("一D) - Pi (%-0)，Р-Pi = Pi (%—О) (%—〃),中+九=±±^ +仆

(95)

(95)

Последнее соотношение выражает собой условие сохранения полного теплосодержания газа при прохождении им ударной волны в системе координат, связанной с поверхностью разрыва. (Для его получения нужно вычесть из равенства (9.3) почленно равенство (9.2), умноженное на D.)

Рассмотрим вопрос о числе условий на поверхностях разрыва различного типа, необходимом для решения задач о течениях газа с разрывами. Значения параметров газа в точках внутренней границы—по три с каждой ее стороны, скорость перемещения границы D, и, может быть, еще N каких-либо других заранее неизвестных величин, характеризующих свойства границы, образуют систему из 7+^ величин. Для их определения необходимо такое же число условий.

Часть этих условий числом п дают соотношения вдоль характеристик, подходящих к границе (идущих «из прошлого») из области движения с обеих ее сторон. Недостающие условия на границе должны следовать из законов сохранения и, в необходимых случаях, формулироваться дополнительно.

Если соотношений вдоль подходящих к разрыву характеристик и граничных условий на разрыве как раз достаточно для определения всех искомых величин, то такие разрывы называются эволюционными (т. е. позволяющими проследить за эволюцией во времени течений газа с такими разрывами). В противном случае разрывы называются неэволюци очными. Для эволюционности газодинамического разрыва число граничных условий на нем должно быть равно 7 + N—и или 7 + N—m + s, где s—число уходящих от разрыва (идущих «в будущее») характеристик, а т = п + s—общее число приходящих и уходящих характеристик.

Выясним, являются ли эволюционными изученные ранее разрывы—контактные разрывы, ударные волны, волны детонации и волны дефлаграции.

Для разрывов первых двух типов N = 0; поэтому для их эволю- ционности число граничных условий на разрыве должно быть равно 7—加 + s. В соотношениях на волнах детонации и дефлаграции входит величина теплоподвода д, в общем случае заранее неизвестная (см. сноску на с. 112), так что для таких волн ^= 1; если, однако, как предполагалось выше, считать величину q заданной, то и в этом случае N = 0.

2.9.12.9.1

2.9.1

2.9.1

Скорость контактного разрыва по отношению к газу с обеих его сторон равна нулю. Поэтому от такого разрыва в каждую сторону отходят по две характеристики——одна акустическая и ；одна энтропийная (рис. 2.9.1, а), причем обе энтропийные характеристики образуют одну сдвоенную, совпадающую, с траекторией разрыва. Таким образом, в этом случае s = 4, т = 8, так что число требуемых дополнительно условий есть 7 + 5—т = 3, что как раз равно числу условий на контактном разрыве (9.4), следующих из законов сохранения. Таким образом, контактный разрыв эволюционен.

Скорость ударной волны сжатия относительно газа за ней дозвуковая, а относительно газа перед ней—сверхзвуковая. Вследствие этого от ударной волны по газу за ней уходят две характеристики—энтропийная и акустическая (рис. 2.§.1,6), все остальные характеристики подходят к волне. В этом случае /и = 6, s = 2 и число требуемых условий совпадает с числом условий на ударной

волне (9.5), следующих из законов сохранения. Следовательно, ударная волна есть тоже эволюционный разрыв.

Аналогичное рассуждение свидетельствует об эволюционности волны сильной детонации (рис. 2.9.1,6).

Волна слабой детонации (быстрого горения) распространяется по газу перед ней и за ней со сверхзвуковой скоростью, а волна слабой дефлаграции (медленного горения)—с дозвуковой скоростью. От волны слабой детонации уходят три характеристики — все в сторону газа за ней (рис. 2.9.1,в); со стороны газа перед волной все характеристики — приходящие. От волны слабой дефлаграции уходят тоже три характеристики: две акустические——по одной в каждую сторону и энтропийная — по газу за волной (рис. 2.9.1, г). Таким образом, для эволюционности этих двух видов разрывов необходимо к трем условиям, следующим из законов сохранения, добавить еще одно. В конце § 5 гл. I уже говорилось, что таким условием может быть задание скорости распространения волны по газу перед ней как характеристики физико-химических свойств среды.

От волны сильной дефлаграции, имеющей дозвуковую скорость по газу перед ней и сверхзвуковую—по газу за ней, вперед уходит акустическая характеристика, а назад—все три характеристики (рис. 2.9.1,。). Для эволюционности такого разрыва дополнительно к трем условиям, налагаемым законами сохранения, необходимы еще два условия (об этом также говорилось в § 5 гл. I).

Детонация и дефлаграция Чепмена—Жуге являются предельными случаями соответственно сильной детонации (рис. 2.9.1, 6) и слабой дефлаграции (рис. 2.9.1, г); в этих случаях подходящая к разрыву сзади характеристика g+ касается траектории фронта или совпадает с ней.

Расположение характеристик на рис. 2.9.1 показывает, что течения с обеих сторон контактного разрыва или фронта медленного горения (слабой дефлаграции) взаимосвязаны: с каждой стороны линии разрыва есть характеристики, идущие по направлению к ней и от нее (линия разрыва является временно-подобной для обеих областей течения, см. § 4).

В случае ударной волны или волны сильной детонации нет характеристик, идущих от волны вперед; для течений же позади этих волн они являются временно-подобными линиями. Таким образом, ударная волна или волна сильной детонации распространяется по независимо развивающемуся перед ней течению и подвержена влиянию идущих к ней сзади акустических возмущений.

Волны слабой детонации или сильной дефлаграции пространственно-подобны по отношению к течению позади них; их распространение не зависит от того, что происходит в области течения за ними, а наоборот, полностью определяет это течение. При этом волна сильной дефлаграции влияет на течение перед ней (по отношению к нему она является временно-подобной линией), тогда как волна слабой детонации, подобно ударным волнам и волнам сильной дето-

нации, никакого влияния на течение перед ней не оказывает (нет характеристик, идущих от волны вперед) ).

Выведем теперь дополнительно к тому, что было сделано ранее — в гл. I, еще некоторые важные и нужные для дальнейшего связи между параметрами газа на ударной волне, следующие из соотношений (9.5).

Уравнению импульсов (9.2) с использованием величины /и можно придать одну из следующих форм:

р—Pi = /и (%—〃)，р—Pi = /и?(%—и).

Здесь V—удельный объем.

Заменив во втором соотношении величину /и2 на p；(〃i—D)2 или на р2(〃一d)2 и разрешив его относительно D, получим

f =±/f^ или D-u = ±/^^. (9.6)

Эти выражения дают скорость ударной волны, распространяющейся по газу в одну или другую сторону, через изменение термодинамических параметров в волне.

Исключив же из обоих выражений для р—р* величину т, найдем формулу для изменения скорости в волне

〃一〃 1 = 士 匕(р—"J (%—S・(9.7)

Формулы (9.6) и (9.7) получены только из законов сохранения массы и импульса; их вид не связан с энергетическими процессами в газе при переходе его через волну. Закон сохранения энергии, с помощью которого устанавливается дополнительное условие для изменения термодинамических параметров газа в волне—соотношение Гюгонио, позволяет выразить правые части формул (9.6) и (9.7) через изменение лишь одной величины——давления или удельного объема (плотности).

Рассмотрим теперь некоторые следствия соотношений на ударных волнах, справедливые для предельных случаев волн малой или, наоборот, очень большой интенсивности.

Ранее при изучении адиабаты Гюгонио было выяснено, что изменение состояния газа в ударных волнах небольшой интенсивности с точностью до членов порядка (р—%尸 включительно происходит изоэнтропически. Ударные волны, которые удовлетворяют этому условию, назовем слабыми. В .слабой ударной волне и в волне Римана связь между удельным объемом и давлением до членов порядка

(р—"J2 включительно одинаково, а именно:

и—6 = % (р—рг) + 4 и“ (Р—Pi)2,(9.8>

где производные vp и vpp берутся при постоянной энтропии и соответствуют состоянию газа перед волной.

Связь (9.7) между скоростью и давлением в слабой ударной волне приобретает тот же вид

d〃 = ± V—dp du,(9.9)

что и в бегущей волне Римана. Используя при интегрировании выражения (9.9) соотношение (9.8), получим в обоих случаях

〃一〃i= 土 -—-(р—pl [ 1 + 4•考(Р—円)](9.10}

(верхний знак соответствует распространению волн вправо, нижний — влево). Поскольку в слабых ударных волнах связь между изменением скорости и изменением давления или плотности та же, что и в бегущей в ту же сторону простой волне, то отсюда следует, что в слабой ударной волне соответствующий инвариант Римана не терпит разрыва.

Выражение (9.6) для скорости ударной волны показывает, что при учете в разложении (9.8) только членов порядка р—ри т. е. в линейном приближении, скорость ударной волны по частицам есть скорость звука

Q = 〃土 а】.

Выразим скорость D с учетом членов следующего приближения в разложении (9.8), т. е. с учетом в нем членов порядка (р——pJ2. Найдем сначала выражение для скорости звука а:

Простыми выкладками, подставляя в первую формулу (9.7) разложение (9.8) для и, получаем

Q = % ± “1 干-；£(Р—Pi)-(9.12)

С другой стороны, сложение и вычитание выражений (9.10) и (9.11) для и и а дает

"士" = "1±%干 -5~(Р-Pi)・(9.13)

Исключив из двух последних соотношений слагаемое с разностью р—рз находим

D = ^-(〃i 土 “I + 〃士 〃)•(9.14)

Таким образом, скорость распространения слабой ударной волны равна полусумме скоростей распространения слабых возмущений перед волной и за ней.

Заметим, что этот результат не связан с конкретными термодинамическими свойствами вещества (единственным требованием является условие 1)р < 0).

Выражение (9.14) будет использовано ниже в задаче о затухании ударных волн и в других задачах о движениях газа со слабыми ударными волнами.

При очень большой скорости распространения ударной волны D в соотношениях на волне (9.5) можно пренебречь слагаемыми ujD, pi^PxD2), а/。？ по сравнению с единицей. Ударные волны, для которых можно считать выполненными эти условия, называются сильными. Для сильных ударных волн соотношения на волне (9.5) имеют вид

p ("一D) = -pQ,

p = pi〃D, (9.15)

2 十九一2;.

Таким образом, в случае сильных ударных волн состояние газа перед волной влияет на параметры газа за ней только через величину плотности pi； величина давления р* и значение скорости 〃】 перед волной становятся при этом несущественными.

Запишем соотношения (9.15) в системе координат, в которой волна неподвижна, полагая u = D+ и" и D =— 〃尸

Р〃 = Pl.%,р+р〃‘‘=pi〃r,

Эти соотношения отличаются от исходных условий на неподвижной волне тем, что в уравнении импульсов опущена величина давления р* по сравнению с количеством движения набегающего на волну потока, а в уравнении энергии опущена величина теплосодержан и я 九1 по сравнению с кинетической энергией набегающего на волну потока.

Пусть ударная волна распространяется по покоящемуся газу со скоростью D. Газ за волной имеет скорость и, определяемую из уравнения неразрывности

В ударных волнах сжатия (р > р。газ приобретает скорость в направлении распространения ударной волны, причем скорость газа тем ближе к скорости самой волны, чем сильнее уплотнение газа в волне. Если воспользоваться полученным ранее выражением (4.5) гл. I для отношения pjp в ударных волнах в совершенном газе, то

получим формулу

(y + OMi)1 *(y + OMi)1 *(9.16)(9.16)

(y + OMi)1 *

(y + OMi)1 *

(9.16)

(9.16)

Здесь M； = D2/q； Согласно этой формуле скорость газа 〃 меняется 2

от нуля для очень слабых волн, когда Мх —> 1, до значения 歹*「Q для сильных волн, когда М】—8. Таким образом, скорость газа в потоке за ударной волной может быть сколь угодно большой, если скорость ударной волны достаточно велика. Однако число Маха этого потока, т. е. безразмерный параметр М = 〃/〃，характеризующий скорость, не может быть большим, так как в ударной волне растет и температура газа, а вместе с ней и скорость звука в нем. Действительно, для совершенного газа

М2М2（М『1）2（М『1）2

М2

М2

（М『1）2

（М『1）2

При Mi f 8 число Маха М потока за волной стремится к величине

Mmax = /y(Y—lj •

При 丫= 1,4 Mmax= 1,890, при 丫= 1,2 Mmax = 2,887.

§ 10. Задача о поршне, движущемся внутрь области, занятой газом. Образование разрыва

Рассмотрим ту же задачу о поршне, что и в § 8, но будем предполагать теперь, что поршень, постепенно ускоряясь от нулевой скорости, вдвигается в область, занятую газом, т. е. Х(0) = Х(0) = 0, X (0 ^ 0 при £》0. Вновь мы должны зак- 廿 лючить (рис. 2.10.1), что к области невозмущенного состояния газа примыкает вдоль прямолинейной характеристики ОА волна Римана, которая в этом случае является волной сжатия, и, следовательно, при d2v2/dp2 |s> > 0 характеристики первого семейства в этой волне образуют сходящийся пучок, так что непрерывное решение этой задачи о поршне, ^―

начиная с некоторого момента времени, пе-°

рестанет существовать.Рнс・ 2.10.1

Если пересечение характеристик происхо

дит уже в начальный момент времени или если поршень сразу начинает двигаться с конечной скоростью X (0) > 0, то непрерывного решения вообще не существует ни при каких £〉0. (При сверхзвуковой начальной скорости поршня этот факт очевиден, так как

7 Г. Г. Черный

траектория поршня попадает при этом в область, где решение определено начальными данными и не удовлетворяет краевому условию на поршне).

При этом, как и во всех других случаях, в которых, начиная с какого-то момента времени, непрерывного решения не существует, следует рассматривать решения с разрывами—ударными волнами и, возможно, с контактными разрывами.

Начнем с наиболее простой задачи, когда поршень сразу начи. нает двигаться с конечной и постоянной в дальнейшем скоростью.

Рис. 2.10.2Рис. 2.10.2

Рис. 2.10.2

Рис. 2.10.2

Решение этой задачи легко получить следующим образом. Рассмотрим стационарную ударную волну с набегающим на нее со скоростью 〃()справа сверхзвуковым потоком (рис. 2.10.2, а); ударной волне соответствует х = 0, ее скорость D равна нулю, % обозначает величину скорости за скачком. Если это стационарное течение рассмотреть в системе координат, движущейся вместе с набегающим потоком, то оно станет нестационарным с ударной волной, распространяющейся с постоянной скоростью D=u0 по покоящемуся газу вправо (рис. 2.10.2,6). Выберем начало отсчета % и % в новой системе координат так, чтобы ударная волна прошла через точку 0(0, 0), и рассмотрим движение в угловой области, ограниченной полуосью Ох и траекторией частицы, проходящей через точку О (границы этой области заштрихованы на рис. 2.10.2,6). Если считать траекторию этой частицы траекторией поршня, то ясно, что рассмотренное движение при / > 0 дает решение поставленной задачи: при вдвигании с постоянной скоростью поршня в область однородного покоящегося газа по газу распространяется с постоянной скоростью ударная волна такой интенсивности, что газ за ней приобретает скорость, равную скорости поршня.

Решение этой задачи автомодельно (что следует, конечно, и из ее постановки): параметры газа постоянны на лучах %//= const.

Отметим, что в средах, для которых d2v/dp2 < 0, решение задачи о вдвигании поршня с постоянной скоростью в область, занятую однородным газом, включало бы центрированную непрерывную волну

сжатия, а решение задачи о поршне при X = const < 0, наоборот, включало бы не центрированную волну разрежения, как при guidpz > 0, а скачок разрежения.

Вернемся вновь к задаче, сформулированной в начале параграфа, когда поршень сжимает покоившийся первоначально однородный газ, постепенно разгоняясь от нулевой скорости.

Примем за параметр, имеющий постоянное значение на прямолинейной характеристике волны Римана, тот момент времени т, когда эта характеристика исходит из точки траектории поршня / = q % = X(t). Тогда интегралы (8.1), описывающие волну Римана, примут вид

〃一и(о) = — и(〃)％ = Х(т) + (〃 + 〃)(f—t), (10.1) причем 〃 + а во втором выражении есть в силу первого интеграла и того, что ц = Х(т), известная функция от т:

и + а — Х(х) + а[Х (т)] =а(т).

В § 7 было показано, что в волне Римана, бегущей вправо, "結^〉0(для нормального газа). Поэтому при X > 0 производная 2 = "^#)%〉0 при т > 0.

Найдем огибающую семейства прямолинейных характеристик, обозначив координаты ее точек через х° и /°. Вдоль огибающей производная от % по параметру т во втором выражении (10.1) должна обращаться в нуль, так что параметрическое представление огибающей имеет вид

о о

Из того, что а > 0 и о—Х = а(х) > 0, следует, что на огибающей / > т %〉X (т); огибающая находится внутри области течения (доказательство см. в конце параграфа); при N f 0 огибающая уходит в бесконечность. Если 犬(0) = 0, то при т = 0 х°= оо, 乃=8； если затем при /〉0 X (/) > 0, то при т —> оо х° и /° неограниченно возрастают, так что х° и /° сначала уменьшаются, а затем увеличиваются, т. е. имеют общий минимум при некотором 工=工& (общее значение те следует из того, что % = о2。). Огибающая имеет при этом угловую точку, которая, исключая специальный случай, когда в некотором интервале значений т характеристики пересекаются в одной и той же точке, является точкой возврата (рис. 2.10.3).

Если ускорение поршня X (0) конечно (и, по предположению, положительно), то #(0) ={} 炉(0) =-7^>, так что огибающая в этом случае начинается на характеристике х = a、t, т. е. на переднем фронте возмущений, идущих от поршня (рис. 2.10.4). При воз・

7*

Рис. 2.10.3Рис. 2.10.3что характеристики, выходящиечто характеристики, выходящие

Рис. 2.10.3

Рис. 2.10.3

что характеристики, выходящие

что характеристики, выходящие

растании начального ускорения поршня X (0) значение /° (0) уменьшается и при X (0) оо /°(0) 0, так что при бесконечном начальном ускорении поршня огибающая возникает в начальный

момент и непрерывное движение не может существовать ни при каких / > 0.

При различных законах движения поршня огибающие могут иметь разнообразную форму. Важно, однако, что при любом законе движения поршня при наличии интервала значений /, где X > 0, в области течения справа от поршня всегда возникает пересечение характеристик.

Пусть (рис. 2.10.5) на участке АВ траектории поршня X > 0, так из точек Л и В, пересекаются

в точке О при / = /[ (так как на АВ а > 0, то точка О расположена

на конечном расстоянии в плоскости х, /). Если к моменту /】поршень находится левее точки О (в точке С), то точка О лежит в области движения. Если же в этот момент поршень находится правее точки О (в точке С') или совпадает с ней, то траектория поршня пересекает характеристику ВО при f = Ер & 厶.И тогда характеристика, выходящая из точки D траектории поршня до момента /р, но близко к нему, обязательно пересекает характеристику ВО внутри области движения.

Взаимодействие бегущей волны с ударной волной и с контактным разрывом

Рассмотрим некоторые задачи о течениях с ударными волнами и контактными разрывами и покажем, как эти задачи могут быть решены методом характеристик.

Рис. 2.11.1Рис. 2.11.1Обратимся вновь к задаче о поршне. Пусть поршень вдвигается в область, занятую газом, и на некотором начальном участке своего пути ОА имеет постоянную скорость, после чего его скорость уменьшается (рис. 2.11.1). Тогда на участке ОВ траектории ударной волны до прихода к ней характеристики первого семейства из точки Л волна имеет постоянную скорость, параметры потока за ней однородны и характеристика АВ прямолинейна. Следовательно, решение задачи III типа в области АВС между этой характеристикой и траекторией поршня представляет собой волну Римана, распространяющуюся от поршня в сторону ударной волны и взаимодействующую с ней, начиная с точки В. Область взаимодействия ограничена слева известной характеристикой второго

Рис. 2.11.1

Рис. 2.11.1

семейства ВС волны Римана, а справа—ударной волной. Траектория ударной волны под влиянием подходящих к ней сзади возмущений отклоняется от прямолинейной и заранее неизвестна. Требуется определить движение в области взаимодействия и найти саму эту область, в частности, найти форму ударной волны. Отметим, что в части области взаимодействия, ограниченной ударной волной и траекторией частицы, проходящей через

точку В (штриховая линия на рис. 2.11.1), движение будет неизоэн- топическим в отличие от движения в области за ударной волной между этой траекторией и поршнем, где энтропия всех частиц одинакова, поскольку все они прошли через ударную волну постоянной интенсивности на участке ОВ.

Выделим на характеристике ВС ряд промежуточных точек Р+,尸 1 и т. д. Через точку Р+ проведем элемент характеристики первого семейства в направлении ударной волны. Вдоль этого элемента с точностью до малых величин справедлива связь

Кроме этого, в заранее неизвестной точке Вх пересечения характеристики с ударной волной значения и и р связаны соотношениями на ударной волне (см. формулу (9.7)). Две связи между значениями 〃 п р в точке В】 за ударной волной позволяют определить эти значения и с помощью соотношения (9.6) найти скорость ударной волны, т. е. угловой коэффициент траектории ударной волны в этой точке. Положение точки Вх выберем так, чтобы элемент скачка, идущий из этой точки с найденным угловым коэффициентом (или со средним значением углового коэффициента в точках & и В), прошел через точку В. После этого применим процедуру решения элементарной задачи методом характеристик к точкам А； и Вх, в результате чего найдем решение в точке Р; затем найдем решение в точке 戶'

и т. д., пока не будет найдено решение в узловых точках на характеристике ВС и сама эта характеристика.

Повторяя описанное построение, найдем решение в треугольной области, ограниченной известной характеристикой ВС, отраженной от поршня характеристикой СЕ и ударной волной BE. Две последние границы определяются в процессе решения.

Дальнейшее продолжение решения в случае, если задана траектория поршня после точки С, сводится вновь к решению задачи III типа в области между известной характеристикой СЕ и траекторией поршня, после чего может быть построен дальнейший участок течения за ударной волной и т. д.

Описанное построение применимо и в случае, если с самого начала скорость поршня переменна; для этого достаточно заменить небольшой начальный криволинейный участок траектории поршня отрезком прямой.

Если газ перед ударной волной находится в движении, то это движение, как уже говорилось ранее, рассчитывается независимо от движения за волной, так как ударная волна распространяется по газу со сверхзвуковой скоростью и поэтому не может влиять на движение газа перед ней. Расчет в этом случае отличается от описанного выше тем, что в соотношениях (9.6) и (9.7) на ударной волне величины 〃“ р】,и】 не постоянны, а являются известными функциями ТОЧКИ ПЛОСКОСТИ X, t.

В случае слабых ударных волн многие задачи о течениях с ударными волнами могут быть решены аналитически.

Пусть движение первоначально покоившегося однородного газа вызывается движением поршня на левой границе области, занятой газом. Если при этом возникающие в потоке ударные волны можно считать слабыми, то инвариант Римана и—и (а) остается неизменным при переходе через них и, следовательно, во всем потоке выполняются соотношения

и—и(а) = — u(aj, % = (〃 + о) f +/(〃). (11.1) Функция f(〃) определяется законом движения поршня. На возникающих при пересечении характеристик ударных волнах должно выполняться соотношение (9.14): угловой коэффициент dx/dt траектории ударной волны должен быть равен среднему арифметическому угловых коэффициентов характеристик первого семейства, подходящих к волне спереди и сзади:

dx _(〃+“)i+(〃+a)

2 *

В тех случаях, когда с одной стороны ударной волны газ не возмущен, это уравнение приобретает вид

穿=4+§+Z , (1L2)

причем % = const.

В таких случаях, рассматривая х и / на ударной волне как функции параметра и, после несложных выкладок с использованием соотношений (11.1) и (11.2) получим линейное уравнение первого порядка для определения f(〃)

{и + а) — 6Zj dt2 肅{и + а) — 6Zj dt2 肅十 /*若2+广（〃）=°・十 /*若2+广（〃）=°・(11.3)(11.3)

{и + а) — 6Zj dt

2 肅

{и + а) — 6Zj dt

2 肅

十 /*若2+广（〃）=°・

十 /*若2+广（〃）=°・

(11.3)

(11.3)

Зависимость %(〃) определится вторым соотношением (11.1). Постоянная интегрирования уравнения (11.3) находится из условия начала волны в ближайшей по времени / точке пересечения характерик: t = te при и = ие.

Таким образом, все течение в целом определяется как волна Римана с разрывом на ударной волне, форма которой находится аналитически.

Рассмотрим, например, задачу о равноускоренном вдвигании поршня в трубу, которая при / = 0 занята однородным покоящимся газом. Газ будем считать совершенным с постоянным 7. Пусть при /〉0 скорость поршня меняется по закону

警=%e>0・

Траекторию поршня в плоскости х,Траекторию поршня в плоскости х,можно тогда представитьможно тогда представитьв параметрическом видев параметрическом виде(114)(114)

Траекторию поршня в плоскости х,

Траекторию поршня в плоскости х,

можно тогда представить

можно тогда представить

в параметрическом виде

в параметрическом виде

(114)

(114)

где параметр 〃》0 есть скорость поршня. В возникающей простой волне справедливы соотношения (11.1), где для совершенного газа

"")=戸•

Для определения во втором соотношении (11.1) функции /(〃) подставим в него выражения (11.4), в результате чего найдем

/(〃)=-£(& +子 I")，("б)

Характеристики в волне Римана образуют в рассматриваемом случае сходящийся пучок. Найдем момент времени, начиная с которого эти характеристики пересекаются, т. е. начиная с которого в газе образуется ударная волна. Для этого продифференцируем второе уравнение (11.1) по параметру и и результат приравняем нулю:

o=4h一匹-工".

2 с с

Это уравнение вместе со вторым уравнением (11.1) и выражением (11.5) при 〃^ 0 определяет огибающую характеристик в плоскости %, f • Наименьшее значение / на этой линии соответствует значению 〃 = 0, т. е. в соответствии с уже доказанным ранее (§ 10) точка, где на-

чинается ударная волна, лежит на переднем фронте волны Римана Координаты этой точки:厶=丫；】 号,хе = а^е. Таким образом, ударная волна, начинаясь на передней характеристике, распространяется по покоящемуся газу, и угловой коэффициент траектории ударной волны можно определять по формуле (11.2). Следовательно, на траектории волны

+(11.6)

и уравнение (11.3) в рассматриваемом примере имеет вид

Интегрируя это уравнение, находим

где С—постоянная интегрирования. Зависимость %(〃) определится формулой

3+亨〃)〃(“)_^ (%+¥〃)・

Из условия начала ударной волны в точке %&, te находим постоянную интегрирования С = 6. При этом из двух последних формул следует, что образующаяся ударная волна имеет параболическую форму, а ее интенсивность монотонно возрастает ±от нулевой в начальной точке.

Если (рис. 2.11.2), начиная с некоторого момента, соответствующего точке Л, 寸скорость поршня сохранить постоянной,

то после прихода к ударной волне характеристики волны Римана, исходящей из /точки 4 интенсивность ударной волны

у /тоже будет сохраняться неизменной.

Ц /Пусть теперь движение поршня проис

ходит следующим образом (рис. 2.11.3).

Оn Сначала он движется с постоянной ско-

Рис. 2.11.2ростью 〃i в область, занятую газом. По

истечении некоторого времени поршень внезапно начинает двигаться в другую сторону со скоростью % 他 < 0) и затем вновь останавливается. Будем считать скорости поршня 〃〔 и и2 настолько малыми по величине сравнительно со скоростью звука в первоначально покоившемся газе, чтобы возникающие ударные волны можно было считать слабыми.

При движении поршня со скоростью иг по газу из точки Ог распространяется ударная волна постоянной интенсивности, за которой в области / образуется однородный поток со скоростью иР В момент

смены скорости поршня от него из точки О отходит центрированная волна Римана; ее передний фронт догоняет ударную волну в точке Вп после чего волна Римана начинает взаимодействовать с ударной

волной. За задним фронтом волны Римана в области II однородный поток газа имеет скорость, равную скорости поршня %， так что в момент остановки поршня в точке О2 от него по газу начинает распространяться вторая ударная волна постоянной интенсивности, в которой газ останавливается. Эта ударная волна через некоторое время встречает задний фронт волны Римана в точке В2 и начинает взаимодействовать с ней.

Как и в предыдущей задаче, во всей области течения справедливы соотношения (11・1)・

Примем за начало координат в плоскости х, t точку О, в которой происходит смена скорости поршня и образование

центрированной волны Римана. Тогда соотношения для этой волны

Римана в случае совершенного газа примут вид

〃一^^ = — ^-~ = const, %=(〃 + 〃)/.(11.7)

Так как первая ударная волна распространяется по покоящемуся газу, то для определения ее формы вновь получим дифференциальное уравнение (11.6). При использовании соотношений (11.7) оно становится следующим:

雾("・8)

Это уравнение справедливо и для второй ударной волны, так как слева от этой волны газ согласно первому интегралу (11.7) находится в том же однородном состоянии, что и перед первой волной. Решение уравнения (11.8) есть

х = а^ + Ct1^2,

где С—постоянная интегрирования. Обозначим координаты точек начала взаимодействия волны Римана с ударными волнами х3, % и х2,勾 соответственно. Тогда, определив значение постоянной С из условия прохождения ударной волны через точку начала взаимодействия, получим для первой волны (при /〉")

+ (11.9)

а для второй волны (при /〉%) —

(11.10)(11.10)% = "1 + 岑〃2后/2 加/2.

(11.10)

(11.10)

Отметим следующие важные свойства поведения ударных волн. Обе волны на участке взаимодействия имеют параболическую форму с асимптотическим направлением х^а^ протяженность волны Римана, ограниченной ударными волнами, растет как /1/2. Интенсивность обеих волн уменьшается с течением времени. Действительно, из выражений (11.9) и (11.10) следует, что скорость первой волны по газу перед ней уменьшается, стремясь к скорости звука 〃i как 1/HZ скорость же второй волны относительно газа за ней (этот газ имеет то же состояние, что и газ перед первой волной) увеличивается, а, следовательно, относительно газа передней—уменьшается и тоже стремится к скорости звука 〃】как 1/Н /. Давление в первой (головной) ударной волне скачком рвозрастает, в волне Римана оно непрерыв-

Лно уменьшается и становится ниже дав-

рI ления pi в невозмущенном газе; затем во

fI^/второй (хвостовой) ударной волне давле

ние скачком вновь возрастает до величины р*. Это распределение давления показано

Рнс. 2.11.4на рис. 2.11.4. В связи с таким пове

дением давления совокупность затухающих головной и хвостовой ударных волн с волной Римана между ними называют N-волной.

Часть волны Римана влево от характеристики х = а^ не взаимодействует с первой ударной волной, поэтому поведение первой ударной волны одинаково при любом и2 ^0 (при w2 = 0 интенсивность второй ударной волны обращается в"нуль). При 0 < u2 < Ui задний фронт волны Римана, образующейся при изменении скорости поршня в точке О, взаимодействует с ударной волной (11.9) конечное время, после чего интенсивность ударной волны будет сохраняться неизменной, пока ее не догонит фронт волны Римана, идущей от точки второго изменения скорости поршня, после чего вновь начинается ослабление ударной волны.

Совершенно аналогично предыдущему можно решить задачу об ослаблении или об усилении ударной волны в случае, когда волна Римана за ударной волной или перед ней не является центрированной, но газ с одной из сторон ударной волны покоится. В этом случае вместо связи (11.7) между 〃，无 и / будем иметь

x^=(u + a)t + f(u)

с f(〃)^0. Это соотношение вместе с уравнением (11.6) дает в параметрическом виде (с параметром и) дифференциальное уравнение для определения формы ударной волны.

Естественно, что предыдущие выводы справедливы лишь в рамках приближений теории слабых волн. В более точной теории при взаимодействии простой волны с ударной волной образуется отраженная волна, изменяющая падающую, и возникают возмущения энтро-

〃一и+ (р) = —и+ (「J.〃一и+ (р) = —и+ (「J.(И.И)(И.И)

〃一и+ (р) = —и+ (「J.

〃一и+ (р) = —и+ (「J.

(И.И)

(И.И)

пии. Эти эффекты для волн небольшой интенсивности имеют порядок (р—%)3.

Рассмотрим теперь задачу о движении газа при наличии контактного разрыва. Пусть контактный разрыв разделяет области однород

ного состояния различных газов или одного и того же газа, но

имеющего в обеих областях разную плотность и температуру (давления с обеих сторон контактного разрыва одинаковы; области справа и слева от контактного разрыва будем для краткости называть

соответственно «правым» и «левым» газом). Для простоты допустим, что газ вначале неподвижен (рис. 2.11.5). Пусть к контактной поверхности подходит, например, слева, бегущая волна /「〃一и-二厶 (厶=const), х = =(〃 + о) f Т f (〃)，где f(〃)一заданная функция. Начиная с точки О (при х = х】)эта волна взаи?уюдействует с контактной поверхностью. От точки О по правому газу вдоль известной прямолинейной характеристики ОА будет распространяться фронт возмущений, к которому примыкает бегущая волна (проходящая или преломленная волна). Влево по

газу передний фронт отраженной волны будет распространяться вдоль известной характеристики второго семейства ОВ. Требуется определить движение газа в угловой области между характеристиками ОА и ОВ и найти, в частности, траекторию контактного разрыва. Отметим, что для правого газа контактный разрыв служит порш

нем, движение которого, однако, заранее неизвестно и определяется

при решении задачи.

Движение в правом газе является волной Римана с интегралом / = 〃一u = / + i = const, дающим связь между давлением и скоростью

Здесь и ниже индексом + обозначены величины для правого газа. Так как на контактном разрыве скорость и давление газа с обеих сторон одинаковы, то эта же связь должна выполняться на контактном разрыве для левого газа. Таким образом, для левого газа нужно рассчитать течение в области между акустической характеристикой (второго семейства) и траекторией частицы, на которой задано условие (11.11) между искомыми функциями. Такая задача рассматривалась ранее (задача III типа в § 6).

Если подходящая к разрыву волна Римана переходит сзади в зону однородного течения, то характеристика второго семейства за точкой 8 будет прямолинейной и, следовательно, к ней будет примыкать волна Римана, бегущая по газу влево (отраженная волна). Контактный разрыв за точкой С будет в этом случае двигаться с постоянной скоростью, отделяя две области однородного состояния газа за проходящей и отраженной бегущими волнами.

Дадим качественный анализ поведения проходящей и отраженной волн. Для этого установим связь между изменением параметра Римана 厂 в падающей волне и изменением параметра Римана / в отраженной волне и параметра г+—в проходящей волне.

Согласно определению (3.15) в левом газе

так что условие (11.11) на контактном разрыве можно записать в виде связи между параметрами Римана

■^^•―耳= — v+(Pi)・(11-12)

Здесь P (и)—функция, обратная и(р). Дифференцируя это соотношение вдоль контактной поверхности, найдем

"+ 由一§^("一〃) = 0,

откуда, используя определение (3.12) функции и(р), получаем локальную связь между изменением параметра / в отраженной волне и изменением параметра г в падающей волне

==(11.12а)

ра + (ра) +''

Множитель 汽，связывающий dr и Ш, назовем коэффициентом отражения. Так как этот коэффициент по модулю не превосходит единицу, то интенсивность отраженных возмущений меньше интенсивности падающих и лишь при (ра)+=0 или (ра)+ = оо равна ей.

Величина ра, как уже говорилось в гл. I (см. формулу (1.8)), называется импедансом среды и характеризует ее «жесткость».

Если в падающей волне происходит разрежение (dr/dt < 0 вдоль линии контакта), то оно отражается вновь как разрежение (dl/dt > 0) от более жесткой среды и меняет свой характер, т. е. отражается как сжатие (d//df < 0) от более мягкой среды. Аналогичный вывод справедлив для волн сжатия. Для совершенных газов импеданс ра = рУгур/р; поэтому в силу равенства давлений с обеих сторон контактного разрыва при одинаковых у у обоих газов вместо более жесткой или более мягкой среды можно говорить о более плотной или менее плотной среде.

Так как на контактном разрыве скорость и с обеих сторон одинакова, то

,_叶/ —广+ +以1 " -一 ~2 — - Отсюда

2du = dr + dl = dr+.

Следовательно,

2d^d^ = ^^dr-k^(1L13)

Множитель 々1=1+々,связывающий dr и dj, назовем коэффициент том, преломления. Поскольку d/+ и dr имеют одинаковые знаки, то проходящая волна всегда имеет тот же характер, что и падающая. Одинаковые знаки у du и dr показывают, что при падении волны разрежения (dr/dt < 0) контактный разрыв получает ускорение навстречу волне, при падении волны сжатия—в направлении распространения волны.

Отражению от твердой (неподвижной) границы соответствует бесконечная величина импеданса (ра)+ = оо, так что 々=——1 nd/ = —dr, т. e. характер волны и ее амплитуда при отражении не изменяются. Отражению от свободной поверхности p = pr = const соответствует нулевое значение импеданса (ра)+ =0, так что 々=1 и d/ = ”，т. е. амплитуда отраженной волны сохраняется, а характер ее изменяется на противоположный; при этом изменение скорости контактного разрыва вдвое превосходит изменение скорости в падающей волне (в этой волне du = dr/2, на контактном разрыве d〃 = d/j.

Так как коэффициент преломления в соотношении (11.13) изменяется от нуля при (ра)+ = оо до двух при (ра)+ = 0, то интенсивность проходящей волны в более мягкой среде может превосходить интенсивность падающей волны до двух раз.

Если у обеих сред, разделенных контактным разрывом, значения акустического импеданса (и объемной сжимаемости dv/dp) одинаково зависят от давления, то 々三0 и, следовательно, отраженной волны нет, а скорость и давление в проходящей волне распределены по характеристикам так же, как в падающей волне.

Для волн конечной амплитуды знак разности р。一(ра)+ может измениться при следовании вдоль линии контакта в плоскости %, t: среда, бывшая первоначально более жесткой, станет более мягкой, и наоборот.

Для совершенного газа р〃= (pa)i (^-) , так что при одинаковых у у контактирующих газов коэффициенты отражения и преломления на линии контакта сохраняются постоянными. (Нетрудно показать, что в общем случае при одном и том же газе с двух сторон разрыва достаточным условием сохранения знака разности им- педансов является необращение в нуль в рассматриваемом диапазоне значений давления и энтропии производной dpa/ds или, как следствие, производной hpps.)

Как и в других уже рассматривавшихся случаях, если подходящая к поверхности контакта волна есть непрерывная волна сжатия, то в проходящей волне и в отраженной волне, если она тоже является волной сжатия, обязательно с течением времени возникнут ударные волны.

Расчет течения в области взаимодействия падающей и отраженной волн, т. е. решение упомянутой выше задачи III типа, можно произвести тем же аналитическим методом, что и при изучении

взаимодействия простых волн (§ 8), используя в качестве независимых переменных параметры Римана г и /, т. е. решая уравнения (3.20).

В плоскости г, / область взаимодействия ОВС переходит в треугольник (рис. 2.11.6). Сторона ОВ этого треугольника соответствует

66Рис. 2.11.6Рис. 2.11.6падающей волне Римана, где / =厶=const, сторона ОС определяется уравнением (11.12), замыкающая сторона с г = г^ const соответствует отраженной волне Римана. На стороне ОВ известны искомые функции х и / (связанные характеристическим соотношением), на стороне ОС (она соответствует траектории частицы) х и t подчинены условию dx=udt, т. е. d% = = %(/• + /)"

6

6

Рис. 2.11.6

Рис. 2.11.6

тоянен. так что,тоянен. так что,l = kr—(1 + 舟 Таким образом, линия ОС—прямая.l = kr—(1 + 舟 Таким образом, линия ОС—прямая.(И.14)(И.14)Выпишем уравнение (11,12) для адиабатических движений совершенного газа с одинаковыми значениями 丫 с обеих сторон разрыва. Как говорилось ранее, в этом случае коэффициент k пос- интегрируя (11.12а), получим

тоянен. так что,

тоянен. так что,

l = kr—(1 + 舟 Таким образом, линия ОС—прямая.

l = kr—(1 + 舟 Таким образом, линия ОС—прямая.

(И.14)

(И.14)

Рассмотрим вновь наиболее простой случай у = 3. При 丫 = 3 вследствие прямолинейности характеристик в плоскости %, % связи для простых волн x = rt + f(r)——для падающей волны и х = //4-^(/)— для отраженной сохраняются и в области их взаимодействия. Необходимость одновременного выполнения на линии контакта этих связей и условия dx=%(r + l)dt дает возможность по заданной функции f(r) найти траекторию разрыва х=х(г), / = / (г) (определяющую преломленную волну Римана) и функцию g (/), определяющую отраженную волну Римана и—вместе с функцией / (г)—течение в области взаимодействия.

亚+告=0,亚+告=0,Проведем выкладки для центрированной падающей волны, т. е. для случая, когда / (г) = 0 и, следовательно, f = g(/)/(r—/),工= =rg (/)/(r—/). Беря дифференциалы от правых и левых частей этих выражений и пользуясь условием dx=“2(「+l)dt, после несложных выкладок получим уравнение '

亚+告=0,

亚+告=0,

g

связь (11.14),(1+R) dl(1一同/+(1+舟力,связь (11.14),(1+R) dl(1一同/+(1+舟力,или, принимая во внимание

связь (11.14),

(1+R) dl

(1一同/+(1+舟力,

связь (11.14),

(1+R) dl

(1一同/+(1+舟力,

Интегрируя это уравнение и определив постоянную интегрирования из условий в точке О при х = хг (%】一расстояние от центра падающей волны до невозмущенного контактного разрыва), находим: при

々=1, т. е. при отражении от свободной поверхности, g(/) = 2/e%;

при k 长 1

g (/) =[(1—用鑑 +舟 /] •

Отсюда, в частности, следует, что при k = —1, т. е. при отражении волны от твердой стенки, g(/) = 2.q, так что отраженная волна является частью центрированной волны с центром в точке 2хп 0.

Распад произвольного разрыва

В некоторых из рассмотренных ранее задач в непрерывном первоначально потоке возникали и продолжали в дальнейшем существовать разрывы. В других задачах разрывы имелись в распределении параметров газа, задаваемых начально-краевыми условиями, и приводили к образованию разрывов и центрированных волн разрежения в потоке с самого начала движения. В связи с этим в газовой динамике важной является задача о движениях, возникающих при разрывах в начально-краевых условиях. Рассмотрим простейшую из этих задач ).

Пусть в момент времени / = 0 при х < 0 находится однородный газ с параметрами "°, р0, р°, а при % > 0 — газ с параметрами %, 夕1， Р「 Газы могут быть различными по термодинамическим свойствам, а значения их параметров вполне произвольны. Требуется определить движение газа, возникающее при / > 0. Сформулированная таким образом задача Коши называется задачей с начальным разрывом или задачей о распаде произвольного разрыва. Последнее название связано с тем, что, как показано ниже, начальный разрыв приводит к движению с несколькими распространяющимися по газу в разные стороны волнами—один разрыв «распадается» на несколько сильных и слабых разрывов.

В силу того, что уже говорилось ранее при рассмотрении задачи о поршне, начинающем двигаться сразу с постоянной скоростью, возникающее при распаде произвольного разрыва движение должно быть автомодельным, т. е. искомые параметры газа 〃/%, р/р0, р/р0 должны быть функциями одной переменной х/(а0 /) и постоянных параметров %/"。, %/%， Р“А)，Pi/ро» а также % и уп если рассматриваются совершенные газы с постоянными теплоемкостями.

Ясно, что если возникающее движение состоит из нескольких областей, то эти области должны отделяться линиями x/t = const.

Ранее мы уже нашли два элемента автомодельных движений——однородное состояние газа и центрированную волну Римана. Покажем, что все автомодельные неустановившиеся движения с плоскими волнами (с постоянными по времени масштабами для параметров газа и одной независимой переменной %") представляют собой комбинацию только этих двух элементов.

Будем искать решения исходной системы уравнений одномерных нестационарных движений с плоскими волнами, зависящие лишь от переменной Е = %〃.

Так как ^ =；糸 ^ =—幫,то уравнения (1.1)—(1.3) примут вид

黑十р舞=。’

喂+ ^登=°，(12・1)

(D受"

Эти уравнения (как и исходные) имеют очевидное решение и = const, р = const, р = const, соответствующее однородному состоянию газа.

Будем отыскивать другие решения системы (12.1), т. е. элементы решения автомодельных задач. Последнее уравнение этой системы имеет два решения. Одно из этих решений и—Е = 0 не удовлетворяет первому уравнению и должно быть отброшено. Второе решение s(p. р) = const(12.2)

показывает, что разыскиваемый элемент автомодельного движения должен быть изоэнтропическим. Исключая из первых двух уравнений (12.1) и—Е, получаем

(血产-體=0,

ИЛИ р

〃干，上9 = const.(12.3)

Ро

Наконец, из первого уравнения находим

Е = 〃土а.(12.4)

Но последние два соотношения представляют собой решения для центрированных волн Римана. Таким образом, действительно, все автомодельные движения должны состоять только из двух элементов——однородных состояний газа и центрированных волн Римана,

примыкающих одни к другим вдоль линий х// = const. Волны Римана примыкают к однородным состояниям газа вдоль прямолинейных характеристик %//= const, однородные же состояния газа могут быть отделены одно от другого ударными волнами или контактными разрывами постоянной интенсивности, траектории которых в плоскости х, / суть линии %" = const.

Так как в задаче о начальном разрыве кусочно-постоянные начальные значения параметров газа по обе стороны плоскости х = 0 вполне произвольны, то соединить эти два состояния при /〉0 посредством ударной волны, контактного разрыва или центрированной волны Римана в общем случае, очевидно, невозможно, так как при заданном состоянии газа перед волной или разрывом соотношения на волне или разрыве допускают варьирование лишь одного из параметров в газе позади них. Поэтому система волн должна содержать три элемента, включая контактный разрыв.

Покажем, что в каждую сторону ог контактного разрыва по газу может распространяться только либо одна волна Римана, либо одна ударная волна (предполагается, что оба газа являются нормальными).

В самом деле, если по газу распространяется центрированная волна Римана, то ее задний фронт перемещается по частицам газа со скоростью звука. В автомодельном движении распространение скачка за волной Римана в ту же сторону невозможно, так как скорость скачка по частицам перед ним больше скорости звука. Точно так же невозможна и вторая волна Римана, отделенная от первой конечной зоной однородного состояния. Ширина этой зоны при движении сохраняется неизменной из-за равенства скоростей заднего фронта первой волны и переднего фронта второй волны, что невозможно в автомодельном движении.

Если по газу распространяется ударная волна, то ни вторая ударная волна, ни волна Римана распространяться по газу в том же направлении в автомодельном движении не может. Действительно, первая волна распространяется по газу за ней с дозвуковой скоростью, тогда как следующая ударная волна распространяется по тому же газу со сверхзвуковой скоростью, а волна Римана—точно со скоростью звука. В автомодельном движении это невозможно.

Таким образом, при распаде произвольного разрыва возможно образование лишь трех существенно различных волновых конфигураций.

В первой из них в каждую сторону от контактного разрыва по газу распространяются ударные волны. Во второй конфигурации в одну сторону распространяется ударная волна, в другую—центрированная волна Римана. Наконец, в третьей конфигурации в обе стороны от контактного разрыва распространяются центрированные волны Римана. Во всех случаях между расходящимися волнами образуется область постоянных значений давления и скорости газа, включающая контактную поверхность, на которой в общем случае терпит разрыв плотность газа.

Образующаяся в результате распада разрыва конфигурация волн зависит, естественно, от принадлежности начальных значений параметров газа той или иной области пространства определяющих параметров. На рис. 2Л2Л.а,б,в^ приведены волновые конфигурации

в трех типичных случаях и соответствующие им распределения давления и скорости газа.

Мы не останавливаемся на доказательстве того, что в случае нормального газа при любых начальных данных решение задачи о

распаде произвольного разрыва существует и единственно. Это доказательство и формулы для расчета образующихся течений имеются, например, в [5, 9].

Из физических соображений ясно, что конфигурация с двумя ударными волнами обязательно осуществляется, например, если начальные значения параметров отличаются лишь направлением скорости в обоих полупространствах и скорости направлены к поверхности раздела (задача о симметричном соударении двух масс газа). Конфигурация с одной ударной волной и одной волной Римана возникает, к примеру, в случае, если газы по обе стороны поверхности раздела первоначально покоятся, но имеют разное давление (задача о выравнивании давления). Наконец, конфигурация с двумя волнами Римана образуется, например, если при одинаковых начальных давлении и плотности скорости газа с обеих сторон поверхности раздела направлены от этой поверхности (задача о разлете двух масс газа).

В случае распада разрыва с образованием двух волн Римана возможен отрыв одной массы газа от другой. Действительно, ранее было установлено, что имеется максимальная скорость расширения газа при нестационарном адиабатическом движении с плоскими волнами. Поэтому, если модуль разности начальных скоростей разлетающихся газов больше суммы величин их максимальных скоростей расширения, то газы при расширении не смогут заполнить образующуюся при разлете полость и между передними фронтами расширяющихся во встречных направлениях газов образуется зона вакуума — в таком случае говорят о полном разлете газов. Соответствующая полному разлету конфигурация волн разрежения и графики распределения давления и скорости в этом случае приведены на рис. 2.12.1, а.

Задача о распаде произвольного разрыва может возникнуть и при более сложных, чем одномерные, пространственных распределениях параметров газа, когда начальная поверхность раздела искривлена и скорость газа с обеих сторон в общем случае имеет все три компоненты, не равные нулю. Для выяснения того, что происходит при распаде такого разрыва, обобщим сначала сформулированную ранее постановку задачи об одномерном разрыве на случай, когда газ с каждой стороны плоской поверхности раздела однороден, но скорость его может иметь все три компоненты не равными нулю.

Очевидно, что и в этом случае вывод об автомодельном характере возникающего движения сохраняет силу. Разыскивая зависящее только от X// решение для компонент скорости и, и,叫 легко убедиться, что единственным автомодельным решением, отличным от однородного потока с постоянными значениями “°, и。, з。, будет решение, в котором продольная компонента скорости удовлетворяет тем же соотношениям для волны Римана (12.2)—(12.4), а поперечные компоненты скорости сохраняются постоянными *). Так как поперечные компоненты скорости не изменяются и при прохождении ударной

то следует из выводов § 1 относительно одномерных движений с плоскими волнами в случае, когда скорость не на правлена вдоль оси х (см. уравнения (1.10)).

волны, а условия на контактном разрыве допускают произвольный скачок тангенциальных скоростей, то образующиеся волновые конфигурации в этом случае ничем не отличаются от рассмотренных ранее, а возникающие течения отличаются от прежних лишь тем, что в областях с каждой стороны контактного разрыва сохраняются первоначальные значения тангенциальной скорости, не обязательно равные нулю.

Если первоначальная поверхность криволинейна, а начальные распределения параметров не однородны и не одномерны, то полученное описание распада произвольного разрыва может применяться пишь локально в окрестности каждой точки и лишь в течение малого промежутка времени. При этом конфигурация образующихся первоначально волн может быть различной вблизи разных участков начального разрыва.

Помимо приложений к разнообразным случаям движений газа с разрывами, решение задачи о распаде произвольного разрыва стало основой некоторых эффективных численных методов расчета произвольных одномерных движений газа—непрерывных и с разрывами.

Суть этих методов состоит в следующем. В момент времени ti непрерывные распределения параметров газа заменяются ступенчатыми путем осреднения параметров на малых интервалах (%“，％•,/+， оси %. Для получения распределений параметров при //+1 = /. н- А/ решаются локальные задачи о распаде произвольного разрыва (до начала взаимодействия волн от соседних разрывов между собой; этим определяется наибольшее допустимое значение А/). Полученные таким путем при ti+1 распределения параметров вновь осредняются, вновь решается задача о распаде разрывов, и т. д.

В следующих параграфах приведены примеры одномерных движений, при изучении которых возникает задача о распаде произвольного разрыва.

Столкновение ударных волн. Отражение ударной волны от стенки. Взаимодействие ударной волны с контактным разрывом. Отражение ударной волны от открытого конца трубы

Пусть две ударные волны распространяются навстречу одна другой по однородному покоящемуся газу (рис. 2.13.1).

В момент встречи волн известное распределение параметров газа в пространстве будет разрывным в точке встречи и не удовлетворяющим на разрыве законам сохранения; при этом скорости газа с обеих сторон разрыва направлены одна навстречу другой. В следующий момент разрыв распадается, образуя две ударные волны, бегущие по газу в разные стороны, и контактный разрыв между ними ).

Если обе сталкивающиеся ударные волны имеют одну и ту же интенсивность, то ясно, что возникающий после столкновения контактный разрыв будет неподвижен в пространстве (рис. 2.13.2). В таком случае можно рассматривать течение лишь с одной стороны его плоскости симметрии. Заменив эту плоскость стенкой (рис. 2.13.3),

получаем решение задачи об отражении ударной волны от стенки (от закрытого конца трубы).

Рассмотрим это решение более подробно для случая совершенного газа с постоянными теплоемкостями.

Газ между стенкой и бегущей по направлению к ней со скоростью D+ ударной волной (область 0 на рис. 2.13.3) первоначально покоится и имеет давление р0 и плотность р0.

За волной (область /) давление и плотность газа повышаются до значений % и р〔 и газ приобретает скорость % по направлению к стенке. При столкновении движущегося газа со стенкой в момент прихода к ней ударной волны образуется отраженная волна, бегущая от стенки со скоростью D_. Между отраженной волной и стенкой (область 〃)газ вновь покоится и имеет давление р2 и плотность р2, более высокие, чем их начальные значения % и р0.

Определим давление р? на стенке после отражения от нее ударной волны и скорость отраженной волны D_.

Воспользуемся для этого следующим соображением. Так как параметры газа в областях 0 и // связаны законами сохранения с параметрами газа в одном и том же состоянии в области /, то эти законы сохранения на падающей и отраженной волнах имеют следующий вид:

_pD = p1(w1—D),

Здесь величины без индексов обозначают либо D+, %, р0, либо D_, р2, р2, так что эти две совокупности параметров являются решениями одних и тех же уравнений （13.1）. Введя безразмерные величины р/ри р/р。D® и обозначив их для сокращения записи просто как р, р,力，перепишем уравнения （13.1） в виде

—pD = 1—D, p— 1 = yM2pD, 切21 力 _（1一0）21

~ 十（Y一 1）M2 7

где М2 = wf/at

Заменим в последнем уравнении р и D их выражениями через р из первых двух уравнений. В результате для определения двух значений р （% и р2） получаем квадратное уравнение

—2+ 屮 M2）+ U”=f

Так как козффиниенты этого уравнения связаны с его корнями формулами

见+乌=2 +号DM% p通=1_吗2/a2,

то, исключив отсюда М2 и возвращаясь к исходным размерным переменным, получим

刀 = " （3丫一 1） Pi — （丫一 1） % Pz - Pq =（3Y一• 1） 0144?+1） Po

〃2 —（Y—l）Pi +（Y+l）Po “ Pl —Po — （Y—1）P1 +（Y十 l）Po .

При очень слабой падающей ударной волне, когда pi—р0 <^ р0, находим

Р2—Ро 2

т. е. избыточное давление на стенке вдвое превышает увеличение давления в падающей волне.

При сильной падающей волне, когда Pi»p（）,

p2 - p。 __ 3丫 一 1

Pi _ Pq?一］，

т. е. избыточное давление за отраженной волной превышает увеличение давления в падающей волне уже не в два раза, а значительно сильнее. Так, при ?= 1,4 это превышение составляет 8, а при у = =1,2—13 раз. Этим сильным возрастанием давления при торможении в отраженной волне газа, движущегося к стенке за падающей волной, в значительной мере объясняется разрушительное действие интенсивных ударных волн.

Для отношения скоростей волн —■ из первых двух уравнений

(13.1) находим(13.1) находимD_ щD_ щ02 — Р1Р1 —Ро02 — Р1Р1 —РоРг一Ро 〃1Pi — Ро，Рг一Ро 〃1Pi — Ро，Отсюда, учитывая формулу (9.16), для очень слабых падающих волнОтсюда, учитывая формулу (9.16), для очень слабых падающих волнЕ—PiЕ—PiР1—〃0,熒一。)при всех YР1—〃0,熒一。)при всех Yа для сильных волна для сильных волн（計（計Для таких волн скорость отраженной волны при у < 3 меньше скорости падающей волны. Так, 尻=—у ПРИ ¥=1,4; д-=—耳 при у=12 При у > 3 скорость D_ превосходит скорость падающей

(13.1) находим

(13.1) находим

D_ щ

D_ щ

02 — Р1

Р1 —Ро

02 — Р1

Р1 —Ро

Рг一Ро 〃1

Pi — Ро，

Рг一Ро 〃1

Pi — Ро，

Отсюда, учитывая формулу (9.16), для очень слабых падающих волн

Отсюда, учитывая формулу (9.16), для очень слабых падающих волн

Е—Pi

Е—Pi

Р1—〃0,熒一。)при всех Y

Р1—〃0,熒一。)при всех Y

а для сильных волн

а для сильных волн

（計

（計

волны.

Пусть теперь по однородному газу распространяется ударная

волна постоянной интенсивности и вслед одна ударная волна. Ранее уже было выяснено, что вторая волна должна догнать первую. В момент встречи обеих волн в распределении параметров газа образуется разрыв, на котором вновь не удовлетворены законы сохранения, так что в следующий момент этот разрыв распадается (рис. 2.13.4).

В этом случае после распада разрыва по газу в ту же сторону, что и встречающиеся волны, пойдет ударная волна большей интенсивности, чем была

за ней по газу идет ещеза ней по газу идет ещепервая волна, т. е. догопервая волна, т. е. догоняющая волна усиливает первую (в этом нетрудно убедиться, учитывая параметры начального разрыва и перебирая все возможные при этом комбинации волн). Количественный анализ показывает, что в обратном направлении от контактного разрыва по газу может

за ней по газу идет еще

за ней по газу идет еще

первая волна, т. е. дого

первая волна, т. е. дого

распространяться как ударная волна, так и волна разрежения. Для совершенного газа с у&5/3 отраженная волна есть всегда волна разрежения. При у〉5/3 достаточно слабая вторая волна отражается как ударная волна [9].

Задача о распаде произвольного разрыва возникает и при столкновении ударной волны с поверхностью контактного разрыва (это взаимодействие называют также преломлением ударной волны на границе двух сред).

Пусть ударная волна подходит к контактному разрыву, разделяющему два покоящихся газа. Простыми рассуждениями вновь не-

трудно убедиться, что сквозь контактный разрыв всегда проходит ударная волна (эта волна называется проходящей или преломленной). Количественный анализ показывает [9], что отраженная от контактного разрыва волна может быть и ударной волной, и волной разрежения (рис. 2.13.5,〃, 6).

Поскольку в слабых ударных волнах соотношения между параметрами те же, что в волнах Римана, то для слабых ударных волн справедливы те же выводы об их взаимодействии с контактным разрывом, что и полученные в § 11 для волн Римана.

Если с обеих сторон контактного разрыва газ совершенный и имеет одно и то же значение у, то независимо от своей интенсивности ударная волна отражается от более плотного газа тоже как ударная волна. Если же ударная волна идет из более плотного газа в менее плотный, то отраженная волна есть волна разрежения [9]. В предельном случае бесконечной плотности газа отражение от него происходит как от твердой стенки. В другом предельном случае нулевой плотности давление на контактном разрыве остается при отражении постоянным и задача совпадает с задачей об отражении ударной волны от свободной поверхности.

Этот предельный случай можно использовать также для решения задачи об отражении распространяющейся в трубе ударной волны от открытого конца трубы. Открытым назовем конец трубы, выходящий в пространство, где давление сохраняется равным начальному давлению газа в трубе.

Итак, рассмотрим автомодельную задачу об отражении ударной волны от свободной поверхности. Так как давление в газе за отраженной волной равно начальному давлению перед падающей волной, то отраженная волна должна быть волной разрежения. При этом возможны три случая. В первом случае, когда интенсивность ударной волны невелика, скорость газа за ней меньше скорости звука и отраженная волна Римана, несмотря на ее снос движущимся газом вправо, движется в пространстве влево от первоначального положения свободной поверхности х0 (рис. 2.13.6,〃). Если интенсивность ударной волны настолько велика, что скорость газа за ней сверхзвуковая, то отраженная волна Римана сносится газом вправо от сечения х0 (рис. 2.13.6,8).

В промежуточном случае передний фронт волны Римана распространяется в пространстве влево, а ее задний фронт—вправо (рис. 2.13.6, б) от первоначального положения свободной поверхности.

Рассмотрим теперь в полученном решении область слева от сечения %。，принимая это сечение за открытый конец трубы. В случае рис. 2.13.6, а при подходе к этому концу ударная волна отражается в виде бегущей внутрь трубы волны Римана, газ истекает из трубы с дозвуковой скоростью и давление в нем при выходе из трубы равно давлению в окружающем пространстве. В случае рис. 2.13.6, б внутрь

Рис. 2.13.6

трубы отражается волна Римана, простирающаяся вплоть до выходного сечения трубы; истечение газа происходит со скоростью звука. Наконец, в случае рис. 2.13.6, в ударная волна не отражается от открытого конца трубы, газ истекает из трубы со сверхзвуковой скоростью. В двух последних случаях давление истекающего из трубы газа не равно давлению в окружающем пространстве, а превышает его.

Возможность использования решэния задачи об отражении ударной волны от контактного разрыва лишь в области слева от сечения %。при изменении условий справа от этого сечения в задаче об отражении волны от открытого конца трубы основана на том, что в двух последних случаях изменение условий справа от сечения %。 не влияет на течение газа слева от него, поскольку все характеристические скорости в сечении %。положительны (с_ = 0 в случае рис. 2.13.6, 6); в первом же случае условие, соответствующее открытому концу трубы, удовлетворено.

Ударная труба. Задача о взрыве

Задача о выравнивании давления при первоначальном произвольном его разрыве в покоящемся газе имеет важные приложения в теории взрыва и в теории так называемых ударных труб.

И в той и в другой теориях основой служит рассмотрение еле-

разрывное распределениеразрывное распределениедующей проблемы. В полубесконечной трубе (рис. 2.14.1) перегородка (мембрана) отделяет прилегающий к закрытому концу трубы газ аг остального газа; оба эти газа могут быть разными и вначале покоятся. Давление газа между закрытым концом трубы и перегородкой выше давления газа в остальной части трубы. При мгновенном удалении перегородки (при разрушении мембраны) возникает параметров газа. Требуется найти последующее движение. Несмотря на наличие в формулировке задачи масштаба длины (этим масштабом служит расстояние между перегородкой и закрытым концом трубы), движение будет автомодельным до тех пор, пока образующаяся при распаде разрыва идущая влево волна Римана не дойдет до закрытого конца трубы; решение соответствующей автомодельной задачи в бесконечной в обе стороны трубе можно при этом использовать в возмущенной области, ограниченной передним фронтом волны Римана, ударной волной и харак

разрывное распределение

разрывное распределение

теристикой первого семейства, идущей вправо от точки начала отражения волны Римана от стенки.

В ударных трубах распространяющаяся по газу ударная волна используется для создания кратковременных потоков газа с большой скоростью и высокой температурой. Так, на рис. 2.14.1 в сечении трубы, соответствующем координате хи сохраняются стационарные условия от момента времени £$ прихода в это сечение ударной волны до момента времени tR прихода переднего фронта отраженных от стенки возмущений. Наличие второй стенки трубы при достаточном ее удалении (рис. 2.14.1), очевидно, не меняет условия в сечении %]. Помещая в сечении %〔 исследуемые модели, можно изучать их взаимодействие с газовым потоком большой скорости. То, что при большой интенсивности ударной волны газ за ней имеет и очень высокую температуру, важно для многих исследований.

Еще более высокая температура будет у газа за ударной волной, отраженной от правой стенки ударной трубы. Вблизи этой стенки газ за отраженной волной находится в состоянии покоя с однородными параметрами в течение интервала времени &「GJ. Возможность использования газа за проходящей и особенно за отраженной ударной волной для изучения различных физико-химических процессов в газах при высокой температуре превратила ударные трубы в один из основных инструментов для таких исследований.

Область покоящегося газа за отраженной волной с высокой температурой и с высоким давлением может использоваться в качестве резервуара, из которого через сопло Лаваля газ истекает в предварительно вакуумированную емкость, сохраняя в течение некоторого времени стационарные значения параметров. Такова схема действия

некоторых аэродинамических труб кратковременного действия (рис. 2.14.2,о).

Эта же область с высокими температурой и давлением может

использоваться в качестве резервуара, из которого газ истекает в тонкую трубу с помещенным в нее поршнем, разгоняя его до большой скорости (см. § 8, с. 183). Такова схема некоторых установок для метания тел (рис. 2.14.2, 6).

Конечно, реальные ударные трубы для аэродинамических и физико-химических экспериментов и реальные метательные установки

Высокое давление в камере ударной трубы может достигаться при подаче в нее газа из баллона или от компрессора или это высокое давление может создаваться в камере, если заполнить ее горючей смесью газов с низким давлением, а затем смесь поджечь. После сгорания смеси при постоянном объеме камеры давление в нейВысокое давление в камере ударной трубы может достигаться при подаче в нее газа из баллона или от компрессора или это высокое давление может создаваться в камере, если заполнить ее горючей смесью газов с низким давлением, а затем смесь поджечь. После сгорания смеси при постоянном объеме камеры давление в нейустроены намного сложнее описанных выше схем.

Высокое давление в камере ударной трубы может достигаться при подаче в нее газа из баллона или от компрессора или это высокое давление может создаваться в камере, если заполнить ее горючей смесью газов с низким давлением, а затем смесь поджечь. После сгорания смеси при постоянном объеме камеры давление в ней

Высокое давление в камере ударной трубы может достигаться при подаче в нее газа из баллона или от компрессора или это высокое давление может создаваться в камере, если заполнить ее горючей смесью газов с низким давлением, а затем смесь поджечь. После сгорания смеси при постоянном объеме камеры давление в ней

сильно повышается.

Задача теории ударных труб очень близка к той, которую называют задачей о взрыве. Разница состоит в том, что в задаче о взрыве обычно предполагается, что газ высокого давления образуется в результате быстрого сгорания конденсированного (твердого или жидкого) взрывчатого вещества, т. е. имеет очень высокую (для газа)

плотность, а также в том, что в задаче о взрыве очень важно изучение движений не только с плоскими, но и со сферическими и цилиндрическими волнами. При взрывах развивается весьма высокое давление (для типичных взрывчатых веществ оно достигает сотен тысяч атмосфер), причем, в отличие от теории ударных труб, основной теоретический интерес представляет определение интенсивности ударной волны от взрыва не только на начальной стадии ее распространения, но и, притом даже в большей степени, на стадии взаимодействия ударной волны с догоняющими ее возмущениями вплоть до расстояний, очень больших по сравнению с первоначальным объемом взрывчатого вещества и даже по сравнению с областью, занятой расширившимися продуктами взрыва. (Для типичных взрывчатых веществ объем расширившихся до атмосферного давления продуктов взрыва превышает первоначальный объем взрывчатого вещества в 800— 1000 раз, т. е. в случае сферического взрыва радиус объема продуктов взрыва всего примерно в 10 раз больше начального радиуса.) Расчет движения газов после взрыва в конкретных случаях можно произвести с помощью уже описанных ранее решений задач о взаимодействии ударной волны и контактного разрыва с подходящими к ним сзади возмущениями.

В следующих параграфах будут установлены некоторые общие закономерности поведения ослабляющихся ударных волн в двух различных предельных случаях.

Асимптотическое поведение затухающих ударных волн

В § 11 было описано поведение слабой ударной волны, вызванной движением плоского поршня, после того как воздействие этого движения на волну прекратилось (поршень остановился). Интенсивность волны при этом с течением времени убывает так, что при / —> оо превышение скорости волны над скоростью звука в газе перед ней стремится к нулю как 1/К / .

И в некоторых других задачах газовой динамики возникает вопрос о том, как ведут себя ударные волны после того, как вызвавшие их образование причины (взрыв, расши- ± I/ рение поршня и т. п.) перестали действо

/ вать. Оказывается, что на больших расстояниях от источника, их вызвавшего (или, * что то же самое, по истечении достаточно t /большого времени после прекращения дейст-

/вия источника образования волны), все плос-

I кие ударные волны при достаточно общих

砲х предположениях затухают по одному и тому

Рис. 2.15.1 же закону и их асимптотическое поведение определяется одной константой, которая только и характеризует всю предысторию образования и распространения волны.

Аналогичные общие законы асимптотического поведения справедливы и при затухании цилиндрических или сферических ударных волн.

Изложим теорию этого вопроса, следуя книге [5].

Будем рассматривать (рис. 2.15.1) движение в области х0 < х < < xs, f〉0, где х0—некоторое начальное значение координаты волны, xs——ее текущее значение. Волну на этой стадии ее распространения будем считать слабой (в смысле определения, данного в §9), а движение в рассматриваемой области за волной непрерывным. Тогда всюду в этой области s = const, т. е. течение является изоэнтропическим, а параметры течения непосредственно за волной связаны теми же соотношениями, что и в бегущей вперед волне Римана. Предположим, что эта связь с той же точностью справедлива во всей области движения, т. е. в этой области всюду

d〃一电=d〃一“生=0.(15.1)

pap

Тогда соотношение (3.10) вдоль характеристики 抬 +

d〃 +^+(v—l)gdf = O при 令=〃十〃(15.2)

интегрируется в конечном виде. Действительно, пользуясь (15.1), получаем из него

2d 〃 +(-1)岸"。

или du . du . v — 1 dx du . dp . v — 1 dx n

Следовательно,

рих 2 =а,(15.3)

где а ——величина, постоянная вдоль характеристики g + .

Проинтегрируем второе соотношение (15.2) вдоль характеристики от х = %о до фронта волны x = xs (рис. 2.15.1):

bi(a) + f 品.

Считая координаты точек волны функциями параметра а, продифференцируем это соотношение по а. В результате, принимая во внимание, что ~^ = %符(。一скорость волны), получим

伝—芻 Г(а)+『^急底 (15.4)

Используем результаты § 9 для слабых ударных волн. Из формул (9.12), (9.13) при 〃i = 0, беря верхний знак для волны, распространяющейся вправо, и полагая согласно формуле (9.5) р—р】= =puD, найдем с точностью до малых величин высшего порядка

Если, как мы приняли, считать инвариант Римана / постоянным во всей области за волной, а, следовательно, и вдоль характеристики 8 + , то в выражении (15.4) под интегралом

Используя эти выражения и интеграл (15.3), преобразуем (15.4) к виду (々=—

kaxs 2 需=4 (a) — 2可 x dx

или, обозначив

Xs V- 1

,% 2 dx = J (а),

к виду

kaJf (а) + 2kJ (а)=君(а).

Интегрируя это уравнение с учетом того, чго точке " = 0, 石=招 соответствует а = %, получаем

а

^а2*/ (а) = § at о (а) da.

а0

ау- 1 %

Но согласно (15.3) ，a" (a) da = % 2 § (р")。*。. Предположим, что ° о

\ (р〃)о 山0 = Q, о

где Q ——положительная постоянная, т. е. предположим, что расход газа сквозь поверхность х = х0 после прохождения через нее ударной волны не возрастает неограниченно с ростом времени. Тогда при больших / верна асимптотическая формула

х 2 Q1 ,0

а2，

которая и дает асимптотический закон изменения (p〃)s или какого- либо другого параметра за ударной волной и ее скорости в зависимости от %s：

V- 1

у-1х 2 Q

х 2 dx =—

Если в качестве параметра, характеризующего интенсивность

волны, принять величину z = ~~^ , то ее асимптотическое поведе- рт

ние описывается следующими формулами: при v = l

z=WM，

при v = 2

"育 vr，

при v = 3

Здесь К = 2]/ —— ; для совершенного газа Л = 1/ -4-т— .

Сильный взрыв

Покажем, как в задаче о взрыве можно, при довольно широких предположениях о начальных значениях параметров среды, установить важные общие свойства возникающих движений. Будем рассматривать движения с плоскими, цилиндрическими и сферическими волнами.

Пусть покоящийся вначале газ имеет давление р、и плотность р丄. Состояние продуктов взрыва в начальный момент времени будем характеризовать размером занятой ими области х0 (х0 есть полутолщина плоского слоя, радиус цилиндра или сферы, занятых вначале продуктами взрыва), их общей массой М и общей энергией £. В случае плоских или цилиндрических волн М и Е отнесены к единице площади или единице длины области, занятой продуктами взрыва. При равномерных начальных распределениях параметров в продуктах взрыва и модели совершенного газа для них параметры М и Е связаны с начальными значениями давления и плотности продуктов взрыва очевидными формулами

М = о^р/У, Е = av 个]Ро-^о >

где av = 1, л, 4/3л для v= 1, 2, 3 соответственно.

Таким образом, искомые функции 〃, р, р должны определяться при 0 < х < оо и / > 0 в зависимости от х, / и следующих постоянных размерных параметров: рь р〔; М, Е, %。. Эти размерные параметры позволяют образовать масштабы для измерения всех искомых функций, расстояния х и времени t.

Будем интересоваться той фазой движения, когда размер возмущенной области за ударной волной много больше х0 и много больше расстояния, на которое переместится контактный разрыв, отделяющий продукты взрыва от газа, т. е. будем изучать асимптотику движения, когда величиной х0 можно пренебречь по сравнению с размером возмущенной области. Это значит, что можно не включать величину %о, а вместе с ней и Л1, в число определяющих параметров. Величина £ должна быть сохранена, так как именно ею определяется возникающее движение: для типичных взрывчатых веществ энергия, остающаяся в продуктах взрыва после их расширения, пренебрежимо мала сравнительно с энергией, переданной в окружающую среду.

Из физической постановки задачи следует, что при высокой концентрации энергии в продуктах взрыва (очень большие начальные значения давления р()) вследствие быстрой передачи этой энергии окружающему газу в области движения за ударной волной в течение некоторого времени давление р будет значительно превосходить начальное давление газа: р》р*. На этой фазе движения параметр Pi будет несущественным, и его можно не включать в систему определяющих параметров (см. соотношения (9.15) для сильных ударных волн).

Если начальная концентрация энергии настолько велика, что условие р》pi продолжает выполняться не только на начальной, но и на рассматриваемой асимптотической стадии движения, то продукты взрыва влияют на движение в этой фазе только посредством единственного параметра——энергии взрыва Е. Состояние невозмущенного газа характеризуется при этом тоже лишь одним размерным параметром pv Уравнения движения и соотношения на ударной волне добавляют к системе двух определяющих постоянных параметров Е, Pi для совершенного газа с постоянными теплоемкостями euie один безразмерный параметр ?.

Подчеркнем еще раз, что характеризуемое этими параметрами движение представляет собой так называемую промежуточную асимптотику движения, зависящего от всей исходной системы параметров. Эта асимптотика пригодна тогда, когда выполнены два условия: размер области движения уже достаточно велик для того, чтобы можно было пренебречь в системе определяющих параметров величиной %, но еще не настолько велик, чтобы стал необходимым учет в этой системе величины р】.Эти два условия противоречивы и при реальных взрывах большинства взрывчатых веществ не выполняются одновременно ни для какого интервала времени. Однако при очень высокой объемной концентрации энергии, достигаемой при взрывах ядерных зарядов или при фокусировании в малом объеме энергии импульсного излучения достаточно мощных лазеров, оба эти условия выполняются одновременно на значительном интервале времени.

В сформулированной постановке задача о взрыве получила название задачи о сильном взрыве. В задаче о сильном взрыве постоянные размерные определяющие параметры Е и р】не позволяют ввести масштабы длины и времени. Единственной безразмерной независимой переменной является в этом случае величина

e=7,(16.1)

а искомые величины определяются формулами

〃=^U(E), Р = Р】(勺»⑶，P = P】R(3・(16.2)

Безразмерные функции U, Р, R должны находиться путем решения соответствующей краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений, которая получается из уравнений в частных производных одномерных нестационарных движений после перехода в них к переменным (16.1) и (16.2).

Решение задачи о сильном взрыве является автомодельным; при этом понятие автомодельности трактуется в более широком смысле, чем в рассматривавшихся ранее примерах автомодельных одномерных движений с плоскими волнами. В тех примерах распределения искомых величин по координате % в разные моменты времени были связаны преобразованием масштаба для х пропорционально времени; в более общем случае эта связь устанавливается при преобразовании масштабов для х и для искомых функций пропорционально некоторым степеням времени.

Задача о сильном взрыве имеет изящное точное решение в аналитической форме [10], на получении которого мы здесь не останавливаемся. Укажем, что форма решения (16.2) позволяет установить закон изменения интенсивности ударной волны на этапе промежуточной асимптотики.

Действительно, из автомодельности движения вытекает, что на ударной волне i = ^5 (у) = const. Поэтому выражение (16.1) определяет закон распространения ударной волны в зависимости от определяющих параметров в следующем виде:

«След» от начальной фазы движения при взрыве сохранился в этом асимптотическом законе лишь в виде одной константы.

Нахождение функции 氢(丫)требует, конечно, полного решения автомодельной задачи.

Зная закон распространения ударной волны, из соотношений на волне получаем для давления на волне ps в согласии, естественно, с выражением (16.2) для давления при X = Es формулу

Ps =生艮(^厂2 p (息)广品=学力(&)Е犷， где

p(ь)=脩(子У.

Таким образом, давление за ударной волной от сильного взрыва 2V

падает при ее распространении как 广而(в случае сферической симметрии——как f-6/&)или, в зависимости от пройденного волной расстояния х5, как %§” (в случае сферической симметрии ——как х$з).

Выводы теории сильного взрыва достаточно хорошо подтверждены наблюдениями за распространением ударной волны ядерного взрыва (в случае сферической симметрии), а также (в случае цилиндриче-

8 Г. Г. Черный

ской симметрии) наблюдениями за распространением ударных волн, возникающих вследствие выделения тепла при пропускании достаточно мощного импульса электрического тока через тонкую проволочку, помещенную между электродами (проволочка при этом очень быстро испаряется, и энергия тока выделяется в течение короткого промежутка времени внутри образованного парами металла и ионизованным воздухом плазменного канала).

Распространение волн детонации и горения в трубах

Рассмотрим задачу о движении, возникающем при поджигании горючей газовой смеси у закрытого или у открытого конца полу- бесконечной трубы.

Пусть труба заполнена однородным покоящимся горючим газом с параметрами р*, р】(и у). Обозначим Q количество тепла, выделяющееся в единице массы газа при горении. В момент времени / = 0 у конца трубы по всей плоскости ее поперечного сечения происходит поджигание газа, в результате чего образуется плоский фронт тепловыделения, распространяющийся по газу и вызывающий его движение. Требуется определить это движение.

При решении задачи мы должны заранее предположить, в каком из возможных четырех режимов (§ 5 гл. I) распространяется фронт тепловыделения. Мы будем рассматривать только режимы медленного горения (слабой дефлаграции) и режимы сильной и нормальной детонации. Ранее было выяснено, что при распространении фронта медленного горения необходимо задавать скорость его распространения по газу. Поэтому в задаче с фронтом медленного горения в число определяющих параметров будем включать эту скорость U.

Так как величина Q имеет размерность энергии единицы массы, т. е. размерность квадрата скорости, то возникающее движение должно быть автомодельным с единственной безразмерной независимой переменной Е = %/(〃#) и безразмерными определяющими константами Q/af, у и U——в случае фронта медленного горения. Область движения должна состоять, таким образом, из однородных потоков и центрированных волн Римана.

Воспользуемся теми же рассуждениями, что и при решении задачи о распаде произвольного разрыва. При этом, кроме распространяющихся по газу ударных волн и волн Римана, следует учитывать и распространение волны детонации или медленного горения. Напомним, что волна детонации есть скачок уплотнения, сжимающий газ и увлекающий его в ту же сторону, в которую распространяется сама волна. Скорость волны детонации по газу перед ней сверхзвуковая, а по газу за ней——дозвуковая или — в предельном случае, когда детонационная волна распространяется в нормальном режиме,— звуковая. Фронт медленного горения есть скачок разрежения, газ в нем приобретает скорость, направленную в сторону, противоположную направлению распространения фронта. Скорость фронта горения по

частицам перед ним дозвуковая; по газу за ним фронт горения распространяется тоже с дозвуковой скоростью, а в предельном случае нормального режима—точно со скоростью звука (этот предельный режим для обычных горючих смесей не достигается).

Рассмотрим случай детонационного горения. Если по невозмущенному газу распространяется ударная волна, то за ней в автомодельном движении не может следовать ни волна Римана, ни вторая ударная волна, ни волна детонации; аналогично за волной Римана не может следовать ни ударная волна, ни вторая волна Римана, ни волна детонации. Таким образом, при дето-

национном горении по невозмущенному газу I 丨丨 11卄

Рис. 2.17.1 при детонационномРис. 2.17.1 при детонационномможет распространяться лишь волна детонации. За волной детонации по сгоревшему газу в автомодельном движении не может распространяться ни ударная волна, ни волна Римана. Исключение составляет случай, когда волна детонации распространяется в нормальном режиме. В этом случае за волной детонации может распространяться непосредственно примыкающая к ней центрированная волна Римана. Итак, возникающее

Рис. 2.17.1 при детонационном

Рис. 2.17.1 при детонационном

горении автомодельное движение должно состоять из сильной или нормальной волны детонации и следующего за ней однородного по

тока или из нормальной волны детонации, примыкающей к ней сзади центрированной волны Римана и однородного потока за ней. При распространении волны детонации от закрытого конца трубы первый

вариант не дает возможности удовлетворить условию равенства нулю скорости на стенке, так как газ в однородном потоке за волной

движется от стенки; во втором варианте газ, получив в волне детонации скорость в направлении от стенки, уменьшает эту скорость в волне Римана до нулевого значения (рис. 2.17.1). Таким образом, при распространении волны детонации в цилиндрической трубе от ее закрытого конца устанавливается режим Чепмена—Жуге. (Подчеркнем, что распространение волны детонации в цилиндрической трубе именно в режиме Чепмена—Жуге обусловлено краевым условием на стенке, требующим уменьшения скорости газа за волной, и не связано с физико-химическими процессами во внутренней структуре волны детонации.) Непосредственно к детонационной волне примыкает волна разрежения, в которой скорость газа уменьшается до нуля.

Задний фронт волны разрежения является слабым разрывом; между ним и стенкой образуется область неподвижного однородного газа. Давление в этой области (и на стенке) больше начального давления несгоревшей смеси. В этом нетрудно убедиться, если учесть, что количество движения газа за волной детонации в направлении ее распространения растет пропорционально времени, что может происходить только из-за такой разности давлений.

Из сказанного следует, что при распространении детонации внутрь трубы от ее открытого конца волна Римана должна быть более интенсивной, чем при закрытом конце трубы, так что газ в ней приобретает скорость к открытому концу трубы и истекает в окружающее пространство. Анализ показывает, что если интенсивность

фронт волны Римана,фронт волны Римана,волны детонации ниже некоторого граничного значения, то задний

фронт волны Римана,

фронт волны Римана,

4HTmmF4HTmmFРис. 2.17.2Рис. 2.17.2где давление газа сравнивается с первоначальным, не достигает конца трубы и истечение

4HTmmF

4HTmmF

Рис. 2.17.2

Рис. 2.17.2

газа происходит с дозвуковой скоростью. Если же интенсивность волны детонации достаточно велика, то волна Римана простирается вплоть до выхода из трубы и газ истекает из трубы со звуковой скоростью и с давлением более высоким, чем в окружающем пространстве (рис. 2.17.2) ).

В табл. 2.1 приведены скорости волн детонации Чепмена—Дуге в некоторых го

рючих газовых смесях, а также в твердых взрывчатых веществах, переходящих при детонации в газообразное состояние. Там же приведены значения давления непосредственно за волной детонации ).

Пусть теперь фронт тепловыделения есть фронт медленного горения. За фронтом горения в автомодельном движении не может

Таблица 2.1

Горючее вещество

р. г/см3

Скорость детонации, м/с

Скорость газа за волной детонации, м/с

Давление газа за волной детонации, атм

2Н2 + О2 (гремучая смесь) \

р= 1 атм,

2830

18

25% С2H2+ 75 % О?，

Т = 20 ℃

2330

30

Тротил

1,59

6910

1610

177.103

Нитроглицерин

1,60

7650

2070

253-1О3

распространяться ни ударная волна, ни волна Римана; исключение составляет фронт горения в режиме Чепмена—Жуге, к которому непосредственно может примыкать центрированная волна Римана. Перед фронтом горения может распространяться ударная волна или волна Римана. Перебирая вновь различные варианты комбинации волн, установим, что при распространении фронта горения от закрытого конца трубы перед ним должна распространяться ударная волна, за фронтом горения между ним и стенкой будет либо зона покоя (рис. 2.17.3, а) при реальных для обычных горючих смесей тепловыделении и малых скоростях фронта горения, либо волна Римана и за ней зона покоя

Рис. 2.17.3

(рис. 2.17.3, б) — при больших скоростях фронта горения. При увеличении скорости фронта горения он приближается к ударной волне и при значении скорости медленного горения, равной скорости газа за ударной волной по отношению к ней, фронт горения сливается с ударной волной, образуя волну детонации.

При поджигании газа у открытого конца трубы перед фронтом горения вновь должна пойти ударная волна. Течение за фронтом либо однородное в случае малых скоростей фронта, либо с примыкающей к фронту центрированной волной Римана——в случае больших скоростей фронта. В последнем случае возможно истечение газа из трубы со звуковой скоростью аналогично случаю детонационного горения.

Акустическое приближение

Рассмотрим одномерные неустановившиеся движения газа, в которых его давление р и плотность р мало отличаются от постоянных значений рп рп а скорость частиц и мала по сравнению со скоростью звука 〃i, соответствующей р、и р> Такие движения назовем малыми возмущениями однородного состояния покоя.

Будем считать малыми не только сами величины р—рп р—р】 и 〃，но и их производные по х и /. Тогда, пренебрегая в уравнениях (1.1)—(1.3) малыми величинами по сравнению с оставшимися,

придадим этим уравнениям следующий приближенный вид:

幫 + Pi|^ + С— 1)手=。，(18.1)

^ + 喜肛。，Q8.2)

•| = 0.(18.3)

Аналогично преобразуем к приближенному виду соотношение (1.4)

Pf =乳 9-凸)+對(18.4)

Система уравнений (18.1)—(18.4) линейна и называется линейным или акустическим приближением системы (1.1) — (1.4). Последнее название связано с тем, что эта система описывает, в частности, распространение звука, который представляет собой малое колебательное возмущение давления в газе (скорость частиц газа при распространении звука очень большой интенсивности составляет всего несколько сантиметров в секунду). Уравнение (18.2) позволяет ввести потенциал возмущений ф такой, что

и =и =^<р дх '^<р дх 'Р-Pi =一Р-Pi =一(18.5)(18.5)

и =

и =

^<р дх '

^<р дх '

Р-Pi =一

Р-Pi =一

(18.5)

(18.5)

Учитывая (18.3), заменим в уравнении (18.1) производную ■— согласно равенству (18.4) величиной 千^, после чего выразим в нем скорость и давление через потенциал ф. В результате получим уравнение

(18.6)(18.6)1 ^2(р^2(р(V—1) dtp °

(18.6)

(18.6)

a； df2@%2 xdx 一

Это—волновое уравнение, которое в случаях v= 1 и v = 3 допускает простые аналитические представления общего решения; при v = 2 выражение общего решения несколько более сложно. Очевидно, что такому же уравнению удовлетворяет давление р, а при v = 1 и скорость и. Отметим также, что уравнение (18.6) для потенциала ф или давления р одинаково для баротропных и небаротропных движений. Если движение баротропно, то уравнение (18.3) является лишним, вместо него замыкающим соотношением служит связь р = р(р), и в соотношении (18.4) отсутствует последнее слагаемое (при этом производная др/др берется согласно принятой связи между р и р). После нахождения решения для потенциала 屮 скорость и и давление р находятся по формулам (18.5), распределение энтропии в случае адиабатических течений есть согласно уравнению (18.3) функция только % (определяемая начальными условиями), плотность р находится из выражения (18.4).

Начнем с рассмотрения движений с плоскими волнами (v= 1). В этом случае общее решение уравнения (18.6) имеет вид (решение в форме Даламбера):

^ = F (х—а^) 4 G(x + a1t).(18.7)

Для скорости и и давления р получаем выражения u^=f(x—a1t) + g(x + a1t),

Р-Pi = РЛ [/(x—a^—g(х + a.t^' •丿

где через f и g обозначены производные функций F и G по их аргументам.

Таким образом, распределения давления и плотности представляют собой суммы двух волн, бегущих с невозмущенной скоростью звука аг в обоих направлениях. При этом в волне, бегущей вправо, давление и скорость связаны соотношением

" +(18.9а)

а в волне, бегущей влево,—соотношением

〃 —=(18.96)

Сравнивая выражения (18.8) и (18.9) для волн, бегущих в одном направлении, с формулами (7.1) и (7.2) для волн Римана, граничащих с состоянием покоя,

pi

u = g[x—(u—a) /], 〃Т^ = 0, получим, что первые получаются из вторых при пренебрежении в выражениях 〃士。величиной скорости газа и изменением скорости звука сравнительно с начальной скоростью звука % и при замене интеграла J ^ его линеаризованным выражением .

В отличие от точной теории, в акустическом приближении бегущие волны разных семейств не взаимодействуют одна с другой, профили распределения параметров потока в волне не деформируются при ее распространении, так как каждое состояние в волне распространяется по газу с одинаковой скоростью ^. В плоскости х, / это распространение происходит вдоль акустических характеристик невозмущенного состояния. Действительно, характеристики системы уравнений (18.1) —(18.3) определяются формулами

dxdxdx пг с 1

五=生，衣=一6，Z = °(18.10)

и представляют собой три системы параллельных прямых линий, не

зависящих от решения.

Как и в точной теории, вдоль этих характеристик могут распространяться слабые разрывы. Поскольку сильные разрывы— ударные волны ——в предельном случае малой интенсивности распространяются со скоростью звука, т. е. их траектории в плоскости х, t

совпадают с акустическими характеристиками, а контактный разрыв при любой интенсивности распространяется в плоскости х, t вдоль контактной (энтропийной) характеристики, то в линейном приближении и слабые, и сильные разрывы рас-

ристик (18.10).изменяется приристик (18.10).изменяется припространяются вдоль характе- При этом интенсивность ни тех, ни других не распространении. Отметим еще, что непрерывная

ристик (18.10).

изменяется при

ристик (18.10).

изменяется при

центрированная волна разрежения вследствие параллельности всех прямолинейных характеристик превращается в сильный разрыв — скачок разрежения.

Пользуясь общим решением (18.7), (18.8), легко решать различные задачи.

Пусть, например, при / = 0 скорость всюду равна нулю, давление вне отрезка АВ [—力“ х^ равно рп а на этом отрезке р、+ Ьр、 возмущения энтропии распределены произвольно. Найдем возникающее движение (линейный аналог задачи об ударной трубе или о взрыве).

Из выражений (18.8) при / = 0 получаем

f(§ + g(3 =。при всех Е,

fe)-g(§=| 謚 при

(0 при |Е|〉/•

Отсюда

f(E) = -g(E) = [盡 при

【0 при |5|>Х!.

Следовательно (рис. 2.18.1),

〃 = 0, р—pi = Ap

в треугольнике АВС, и = — ^^ , Р—Pi =等 в полуполосе АСС~, “ =^^；，°一01 =绘 в полуполосе ВСС+.

Во всей остальной части полуплоскости /〉0 возмущения давле

ния и скорости отсутствуют. Возмущения энтропии, если они были в начальном состоянии, сохраняются вдоль линий % = const. Возму-

щения плотности, в соответствии с выражением (18.4), складываются из возмущений давления и энтропии. Заметим, что характеристики, исходящие из точек А и В, являются линиями разрыва решения.

Таким же образом любые начальные возмущения давления Ар (%) и скорости 〃о(х) (они могут быть разрывными), заданные на ограниченном интервале —^ < х < хп превращаются за конечное время в две бегущие в разные стороны волны, причем

f(3 = {—#二 nРй

〈0 при |Е|〉芍，

при |r)| <^1,

g ⑴)=32

' o

при |r)|〉/・

Эти волны будут распространяться неограниченно долго, если область, занятая вначале покоящимся однородным газом, простирается

примере распростра-примере распростра-конечном расстоянииконечном расстояниив обе стороны в бесконечность. При наличии на границ области (стенка, контактный разрыв и т. п.) в результате взаимодействия бегущей волны и границы могут возникнуть отраженные волны, распространяющиеся внутрь области.

примере распростра-

примере распростра-

конечном расстоянии

конечном расстоянии

Подчеркнем, что в случае нестационарных движений с плоскими волнами согласно линейной теории по однородному состоянию могут распространяться волны конечной ширины, в которых во всей области волны возмущения давление, как и скорость частиц, имеет один и тот же знак. Так, в рассмотренном выше

няются волны в виде областей повышенного давления, в которых все частицы газа имеют скорости в направлении распространения волны.

Рассмотрим еще задачу об отражении бегущей волны конечной ширины %1 от стенки х = 0 (рис. 2.18.2). Пусть передний фронт волны встречает стенку при / = 0. В подходящей волне Р^^ = 〃 = = f(x—〃J), так что функция / известна в интервале значений аргумента —хп 0. При х = 0 из условия 〃 = 0 получаем

gOl) = T(— n).

Таким образом, для значений х\ = х + а^ в интервале 0, ^ функция g определена, так что в отраженной волне

Р—Р*「

pg

" =f [-(% + "J)].

При отражении от стенки форма волны и ее амплитуда остаются прежними, знак возмущения давления сохраняется, а знак скорости меняется на обратный. Вне интервала 0, хх функция g равна нулю.

В области наложения падающей и отраженной волн

〃 =О,

彳肃=/ (%—〃 J) + /[—(无 + 〃")] •

При %=0

Р—% = 2f(—oj),

т. e. на стенке возмущение давления удваивается по сравнению с его величиной в падающей волне.

Если волна отражается от свободной поверхности или от открытого конца трубы х=0, то из условия равенства давления в этом сечении начальному давлению (так как движение происходит с малой дозвуковой скоростью, это условие на открытом конце трубы выпол* няется, см. § 13) получаем

gOl) = f(— n).

Следовательно, после отражения от свободной поверхности форма волны и ее амплитуда остаются прежними, знак возмущения давления меняется на противоположный, знак скорости сохраняется; скорость газа у открытого конца трубы в области наложения падающей и отраженной волн удваивается сравнительно со скоростью в падающей волне.

Перейдем к рассмотрению сферических волн (v= 3). В этом случае уравнение (18.6) можно преобразовать следующим образом:

f蓊(四)一砌=adt2 дх2

так что общее решение для потенциала возмущений ср будет иметь вид 屮=?[尸(%—"/) + G (%+ "由].(18.11)

Отсюда для давления и скорости получаем выражения

"—Pi = f 伐一。") g (工 + а")pg — хх ，

J "3或十^4^一& , g⑺dn . -b"-

Так же, как и в случае v= 1, общее решение для возмущения давления представляет собой сумму двух волн, бегущих в направлениях от центра симметрии и к центру. Однако, в отличие от плоских волн, интенсивность сферических волн давления при распространении изменяется пропорционально 1/%. То же поведение имеет и связанная с давлением часть возмущений плотности.

Рассмотрим волну давления, бегущую от центра симметрии. Запишем потенциал возмущений ср (18.11) для такой волны в виде

(1&12)

Для скорости и возмущения давления в волне получим формулы

1

Вычислим поток газа q (х, /) через поверхность сферы х = const наружу

q = 4W〃 = ^Qq_§+Q(J±)

и найдем предельное значение этого выражения при х —> О lim q (х, /) = Q(/)・

О

Отсюда следует, что возмущения, описываемые потенциалом (18.12), можно рассматривать как результат действия в центре симметрии %=0 источника (стока) с объемным расходом Q(f). Согласно выражению (18.12) возмущения от действия такого источника приходят в точку с координатой 无 с опозданием относительно момента их возникновения в центре симметрии на время х/аъ которое требуется возмущению для его распространения от центра симметрии до данной точки со скоростью звука а】.В связи с этим потенциал возмущений вида (18.12) называется запаздывающим потенциалом.

Этот потенциал является обобщением потенциала источника в несжимаемой жидкости

w=TQ«)

и переходит в него в предельном случае бесконечной скорости распространения возмущений “1 = 8.

Согласно формулам (18.13) изменение давления в волне при некотором значении % повторяет с соответствующей задержкой и уменьшением интенсивности изменение по времени производной от мощности источника. Закон изменения скорости в данной точке при прохождении волны существенно меняется с увеличением расстояния 无. При малых х изменение скорости с соответствующим сдвигом по времени и уменьшением интенсивности повторяет изменение по времени мощности источника, при больших же х изменение скорости становится все более близким к изменению производной от мощности источника.

Пусть волна имеет конечную ширину, так что функция Q(f) в выражении (18.12) для потенциала возмущений отлична от .нуля

только при 0 < / < т (рис. 2.18.3, а). При условии, что после прохождения волны газ вновь приходит в первоначальное невозмущенное состояние, должно быть

Q(O) = Q'(O) = O, Q“) = Q'(t) = 0・ Поскольку

Q(t)=，Q，⑴山=0,о

то знак производной Q'(f) обязан меняться в интервале 0 < / < т; согласно второй формуле (18.13) это означает, что в волне обязательно меняется знак возмущения давления (рис. 2.18.3,6) и связанной с ним части возмущения плотности. Таким образом, в отличие от плоских ^~^ волн, в сферических волнах конечной ширины обязательно присутствуют зоны и повышенного, и пониженного давления. (Известно, что при действии взрывной волны оконные стекла

часто вылетают наружу—это результат наличия области пониженного давления в волне.)

Если в бегущей волне конечной ширины возмущение давления сохраняет знак /или — в более общем случае — если ，Q'(f)d/ = =Q (т) #= 0^, то газ после прохождения волны не придет в состояние покоя, а будет двигаться стационарно с распределением скорости

соответствующем источнику в несжимаемой жидкости. При этом в бегущей волне давления происходит нестационарный переход от области покоящегося газа к расширяющейся со скоростью ах области установившегося течения от источника. То, что в этой области в принятом приближении давление и плотность имеют невозмущенные значения, легко объяснить.

В самом деле, в стационарном потоке скорость связана с давлением интегралом Бернулли (1.3.21)

согласно которому при малой величине возмущения давления оно имеет порядок квадрата скорости и, следовательно, не учитывается рассматриваемой линейной теорией.

В случае цилиндрических волн (v = 2) общее решение уравнения (18.6) имеет несколько более сложный вид, чем для плоских (v= 1) или сферических (v = 3) волн. Поскольку в линейном приближении взаимодействие волн отсутствует, то для нахождения решения с цилиндрической симметрией можно воспользоваться суперпозицией полученных выше сферически-симметричных решений.

Пусть в цилиндрической системе координат z — расстояние вдоль оси симметрии, а х—расстояние от оси. Поместим в точке z = C оси симметрии центр сферически-симметричной волны. Согласно формуле (18.11) потенциал, описывающий возмущения в такой волне, имеет вид

屮=；[尸(г—«10 +G (г 4- а")],

где 厂=匕炉十(2 — В—расстояние точки с координатами х, z от центра волны. Очевидно, что этот потенциал симметричен относительно оси z.

Распределим теперь вдоль всей оси z центры одинаковых волн; потенциал возмущений от таких волн с центрами, расположенными на отрезке dq оси z, определяется выражением йф = у [Т7 (г—0丿)+ + G (r+a^dt,. Суммируя эти выражения, найдем потенциал возмущений от волн с центрами на всей оси z в виде интеграла

屮=J ；[尸(r-a.t) +G(r + a J)] d^ (18.14)

Очевидно, что полученное выражение для 屮 обладает осевой симметрией и не меняется при сдвиге начала отсчета координаты вдоль оси симметрии, т. е. не зависит от z. Потенциал (18.14) удовлетворяет уравнению (18.6) при v = 2 и ему соответствуют течения с цилиндрическими волнами. Поэтому в выражении для г в формуле (18.14) можно положить z = 0 и рассматривать течение в одной только этой плоскости.

寄 Изучим волны, идущие от оси симметрии, т. е. положим в выражении (18.14) функцию G равной нулю. Функцию F возьмем в виде

т. е. будем считать, что расходящиеся волны вызываются действием источников, расположенных на оси z, с расходом Q ⑴ на единицу длины (см. (18.12)).

Остановимся на определении пределов интегрирования в формуле (18.14). Для этого обратимся к рис. 2.18.4. Из-за симметрии течения относительно плоскости z = 0 можно в формуле (18.14) рассматривать только верхнюю полуось z, удвоив затем результат. Если источники начинают действовать в момент времени / = 0, то очевидно, что <р = 0 в области х〉“J: возмущения от источников еще не дошли до этой области. При больших значениях времени, когда %<〃",

в точке с координатой х проявляется действие только тех источников, которые удалены от этой точки на расстояние, меньшее т. е. источников, расположенных на отрезке (О, У) оси z, где ?= =Уа"?—х2. Таким образом, при х < “J

—而 J M #+" 典・ (18.15)

Если источники действуют только конечное время т (см. рис. 2.18.3, а), то в формуле (18.15) нужно заменить нижний предел интеграла 0 величиной С" = Уа：(/т)2——х®, так как в точках с меньшими значениями 工 действие источников уже завершилось: Q = 0・

Рис. 2.18.5Рис. 2.18.5

Рис. 2.18.5

Рис. 2.18.5

Подчеркнем, что в этом случае,：в отличие от плоских и сферических волн, потенциал не обращается в нуль при %<%«—т), а затухает лишь асимптотически по времени. Действительно, при любом сколь угодно большом t на точку с фиксированной координатой % продолжают оказывать действие источники, расположенные на все более далеком от этой точки отрезке G，?) оси z.

На рис. 2.18.5 приведены графики распределения давления в распространяющейся вправо волне на некотором расстоянии от источника при »= 1, 2, 3 для одной и той же функции Q(f), изображенной на рис. 2.18.3, а.

Сравнение результатов нелинейной теории для распространения слабых ударных волн, изложенной в § 11 и 15, с результатами линейной теории обнаруживает непригодность последней для описания поведения возмущений на значительном удалении от места их возникновения (точнее ——от границы области, на которой заданы начально-краевые условия). Так, в § И в задаче о поведении слабых возмущений при вдвигании поршня в область, занятую газом, с последующим возвращением поршня в первоначальное положение, бегущее по газу возмущение представляет собой расширяющуюся и ослабевающую со временем волну, состоящую из простой волны разре-

жения и ограничивающих ее с обеих сторон ударных волн. Согласно же линейной теории в той же задаче возмущение от поршня распространяется сколь угодно далеко в виде незатухающей бегущей волны неизменной формы.

В соответствии с нелинейной теорией в бегущих непрерывных волнах при их распространении могут возникнуть разрывы с меняющейся во времени интенсивностью. По линейной теории разрывы могут образоваться лишь вследствие их наличия в начально-краевых условиях, причем в случае плоских волн их интенсивность в процессе распространения не изменяется.

Однако на небольших удалениях от места возникновения слабых возмущений линейная теория вполне удовлетворительно описывает их распространение.

Упомянутые выше недостатки линейной теории связаны прежде всего с тем, что в этой теории все возмущения распространяются с одинаковой скоростью а〔 независимо от их амплитуды. Это исключает возможность градиентной катастрофы и, следовательно, возможность образования разрывов — явления, столь важного в нелинейной теории, а также исключает взаимодействие простых волн и ударных волн, бегущих в одном направлении. Линеаризация же уравнений исключает вообще взаимодействие волн, в том числе и бегущих в разных направлениях.

Глава 〃/. УСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ

Установившиеся движения газа. Основные уравнения и их интегралы. Двумерные движения

Обширный и важный для многих приложений класс движений газа представляют установившиеся движения. Напомним, что движение называется установившимся (или стационарным}, если в точках занятой газом области его параметры не изменяются во времени, так что

嘗=0，兽=0，患=0 (11)

и, следовательно, V, р и р являются функциями одних только пространственных координат.

При достаточно длительном сохранении неизменными всех условий, которые определяют движение газа, можно ожидать, что и движение не будет меняться во времени, т. е. будет установившимся.

Так, если какое-либо тело неизменяемой формы движется достаточно долго поступательно с постоянной скоростью в безграничном объеме первоначально покоящегося однородного газа, то в системе координат, связанной с телом, движение во многих случаях будет установившимся.

При истечении газа из сосуда больших размеров через малое отверстие в беспредельное пространство с газом более низкого давления движение можно считать установившимся, если сосуд настолько велик (или отверстие настолько мало), что при достаточно длительном истечении газа изменением давления в сосуде на большом удалении от отверстия можно пренебречь.

Если изменение определяющих движение параметров со временем значительно, но происходит так медленно, что в каждый момент движение газа можно считать установившимся, соответствующим текущим значениям определяющих параметров, то движение называется квазиустановившимся или квазистационарным. При описании квазиустановившихся движений в уравнениях, определяющих пространственное распределение параметров газа, по-прежнему следует считать выполненными условия (1.1); V, р п р зависят в этом случае от времени, как от параметра, который входит в определяющие решение дополнительные условия.

Рассмотрим область движения с заданным полем скорости V(х). Введем в этой области поле направлений dx (dx, dy, dz) посредством соотношения dx=Vd% или—в скалярной форме—с помощью

уравнений

w (爲 g, z) и(X, у, Z) W(X, у, 2)*I

Здесь т—некоторый параметр.

Линии в пространстве, представляющие интегральные кривые этой системы уравнений, называются линиями тока у ста нов ивше гос я движения с полем вектора скорости V (х, у, z). Линии тока мы будем в дальнейшем обозначать символом £. В частности, если трактовать параметр t как время, положив %=t, то система (1.2) совпадает с системой, определяющей траектории частиц в пространстбе (см. § 2 гл. I). Таким образом, в установившемся движении траектории частиц газа и линии тока совпадают.

Область установившегося движения газа заполнена неизменными во времени линиями тока, вдоль которых движется—«течет»—газ так, что его параметры в каждой точке тоже не изменяются. Эта наглядная картина установившихся движений делает для них особенно подходящим термин «течения газа», часто употребляемый и для общего случая неустановившихся движений.

Для установившихся движений оператор d/dt индивидуальной производной сводится в силу соотношений (1.1) к оператору дифференцирования вдоль линии тока—так называемой конвективной производной:

RlAgrad).(1.3)

В декартовых координатах *(%, у, z),丿(〃，〃©)

Систему уравнений для определения скорости У, давления р и плотности р возьмем в виде (1.7,10). При этом уравнение импульсов представим в форме Лэмба—Громеки (1.8.4), считая внешнюю массовую силу потенциальной (f=gradU). Итак,

嘗+pdivU = 0,(1.4)

grad^ + 2® 义 V) + ~ gradp = grad (/,(1.5)

ZP

吟 i(1.6)

Для баротропных течений газа третье уравнение этой системы следует заменить конечным соотношением р = р(р).

Умножив уравнение (1.5) скалярно на('*= Vdt, т. е. проектируя его на направление линии тока, получим, что вдоль такой линии выполняется соотношение

d 与 + 电—dU = 0.(17;

2 1 р''

Пусть на линии тока плотность и давление связаны зависимостью р=р(р, 2); тогда в области непрерывности движения дифференциальную связь (1.7) можно проинтегрировать и получить выражение

^ + ,3 —f，(L8)

где при выбранном фиксированном значении % константа в правой части может быть разной на разных линиях тока:尸()= /%(纟). Выражение (1.8) есть уже известный нам интеграл Бернулли (1.3.21), справедливый вдоль линий тока при установившемся движении. Если движение баротропно, т. е. р = р(р), и если величина Ро одинакова на всех линиях тока в некоторой области движения, то интеграл Бернулли при отсутствии массовых сил дает связь между давлением (или плотностью) и величиной скорости во всей этой области.

Аналогично интегралу Бернулли можно путем умножения уравнения (1.5) на dx = 8dt и последующего интегрирования получить соотношение

справедливое вдоль вихревой линии

При адиабатических течениях в уравнении (1.6) q = 0 и это уравнение имеет вид ds/dt = 0. Таким образом, вдоль линии тока

ds = O(1.9)

и справедлив интеграл

s(p, p) = S(g).(1.Ю)

Константа в правой части этого интеграла может быть разной на разных линиях т®ка. Соотношение (1.10) позволяет выполнить интегрирование в интеграле Бернулли (1.8), так как дает необходимую для этого связь р = р(р,纟).

С помощью термодинамического равенства (11.2)

dq = dh -^

условию (1.7) вдоль линии тока в случае адиабатических течений (dq = 0) можно придать вид

d^+dh—dU = Of

так что для таких течений интеграл Бернулли можно заменить интегралом

^ + h-U = h^\(1.Н)

где (при (7 = 0) /г。=九 + ^2/2 есть полное теплосодержание единицы массы газа. Как и интеграл Бернулли (1.8), этот интеграл был получен нами ранее (1.3.18).

Таким образом, вдоль линий тока установившихся непрерывных адиабатических течений газа сохраняются энтропия и полное теплосодержание газа.

Уравнение количества движения в форме (1.8.5) при установившихся движениях имеет вид

2(сох Q = Tgrads—gradh0 (1.12) (в таком виде уравнением движения первыми пользовались А. А. Фридман и Л. Крокко). Это уравнение указывает явно на связь завихренности установившегося течения с градиентами энтропии и полного теплосодержания в потоке. Если энтропия и полное теплосодержание газа одинаковы на всех линиях тока (в более общем случае — если движение баротропно и константа Ро одинакова на всех линиях тока), то движение—безвихревое (исключение составляют так называемые винтовые движения, у которых вектор скорости и вектор вихря в каждой точке коллинеарны; этот специальный класс движений изучал И. С. Громека).

Преобразуем уравнение неразрывности (1.4) для адиабатических или баротропных течений к иной форме. Для таких течений справедлива следующая последовательность преобразований:

dt dp dt 谑力2 。八у 2

Для баротропных течений первое преобразование очевидно; производная dpldp вычисляется при этом по заданной связи между р и р. Для адиабатических течений в силу (1.9) это преобразование справедливо, если производную др/др вычислять при постоянной энтропии. При втором преобразовании использовано соотношение (1.7) вдоль линии тока (при dU = 0) и введено обычное обозначение др/др = а2. Последнее преобразование сводится к иной записи оператора конвективной производной (см. (1.3)).

После преобразования уравнение неразрывности принимает вид

(У-grad-^-) —a2 div 丿=0. (1.13)

Таким образом, система уравнений для описания установившихся адиабатических или баротропных течений газа состоит из уравнений (1.5), (1.6) с q = 0, (1.13) и замыкающих эту систему термодинамических уравнений состояния (для баротропных течений уравнение (1.6) заменяется конечной связью между р и р).

Уравнение (1.5) имеет интеграл (1.8) (или—для адиабатических движений — интеграл (1.11)), а уравнение (1.6) при q = 0 имеет интеграл (1.10).

В дальнейшем мы в основном будем рассматривать двумерные установившиеся движения: плоские, осесимметричные, конические.

Движение называется плоским (плоскопараллельным), если существует такая прямоугольная декартова система координат (х, у, z), в которой параметры газа не зависят от одной из координат (например, z) и компонента скорости в направлении этой координаты равна нулю.

Осесимметричным движение называется тогда, когда существует цилиндрическая система координат (х, у, 3), в которой параметры потока не зависят от угловой координаты 5. Мы будем рассматривать осесимметричные течения, у которых компонента скорости в направлении изменения угловой координаты равна нулю («незакру- ченные» осесимметричные течения).

Движение называется коническим, если существует сферическая система координат (г, <р, 1), в которой параметры движения не зависят от радиальной координаты г (если при этом параметры газа не зависят и от одной из угловых координат—долготы 1, то коническое движение будет одновременно осесимметричным).

В случае плоского движения достаточно рассматривать поле параметров потока в одной из плоскостей течения, в случае осесимметричного движения—в одной из плоскостей, проходящей через ось соответствующей цилиндрической системы координат, в случае конического движения — на одной из координатных сфер соответствующей сферической системы координат.

Уравнение неразрывности (1.4) для установившихся движений можно переписать в виде

divpU=0.

Пользуясь выражением для div в произвольной ортогональной системе координат, для двумерного движения получим

°Р Мg22g38〃1 I °pHgllg33〃2 dxi°Р Мg22g38〃1 I °pHgllg33〃2 dxi+ Р〃з 際@ = °・(L14)+ Р〃з 際@ = °・(L14)

°Р Мg22g38〃1 I °pHgllg33〃2 dxi

°Р Мg22g38〃1 I °pHgllg33〃2 dxi

+ Р〃з 際@ = °・(L14)

+ Р〃з 際@ = °・(L14)

Для ПЛОСКОГО движения ХГ = Х, Х& = у, %3 = Z, gii = g22=g33= 1； ДЛЯ осесимметричного движения 修=£, % = у, х3 = 3, = g^ = 1, ёзз=У^ для конического движения %i =(p (широта), %2 =九(долгота), х3 = г, gll =『2, Sl2 ~ ^2 COs8 Ф，g33=L

Для плоских(V = 1) и осесимметричных (v = 2) движений уравнение (1.14) имеет, таким образом, вид

(1.15)(1.15)亚竺二枣电二

(1.15)

(1.15)

дх ' ду

Это уравнение можно рассматривать как условие того, что выражение в правой части соотношения

dp = pug— dy—риут dx(1.16)

есть полный дифференциал. Функция *ф (х, у) называется функцией тока. При этом

^ = — ри旷* ^ = PW—(1 •⑺

Очевидно, что функция тока любого течения определена этими соотношениями с точностью до аддитивной постоянной.

Из определения (1.16) следует, что функция тока сохраняет постоянное значение вдоль линий тока, которые в двумерных плоских и осесимметричных течениях определяются соотношением (см. (1.2))

d% — dyи — и

Рассмотрим (рис. 3.1.1) две близкие линии тока и элемент dl(dx, dy) пересекающей их кривой. Из построения ясно, что

dg = d/cos (明 х), dx= — dl cos (n, g), где n — нормаль к элементу dl.

Пользуясь выражениями (1.17), найдем, что разность значений функции тока в точках 儿 и 4 равна

d屮 44 = P%QTd/・

При v= 1 величина p%d/ есть, очевидно, расход газа через элемент кривой 41^2 между двумя линиями тока в слое единичной толщины. При v = 2 произведение pvny dl пропор- 〃

ционально расходу газа через кольцо, образованное вращением элемента А}А2 вокруг оси симметрии; назовем эту величину тоже расходом.

Таким образом, расход газа между двумя линиями тока равен разности значений функции тока на этих линиях.

Рис. 3.1.1Рис. 3.1.1В силу того, что на линиях тока

Рис. 3.1.1

Рис. 3.1.1

функция 屮 постоянна, для плоских и осесимметричных движений интегралам (1.11) и (1.10) можно придать вид

竺产+五=瓦件）,

(1.18)(1.18)5=S 仲).5=S 仲).(1.19)

(1.18)

(1.18)

5=S 仲).

5=S 仲).

Уравнение неразрывности в форме (1.13) для плоских и осесимметричных движений преобразуется к следующему виду:

(出一"8)寡一" u(翁+ 劉 +(a2_g^ + w_ 1)于=0, (1.20)

Так как входящую в это уравнение скорость звука а можно считать функцией термодинамических величин й и s, то, согласно выражениям (1.18) и (1.19),废 зависит определенным образом от суммы 〃2十02 H—Через функции s (屮)и 儿(屮)一от 屮.Для совершенного газа с постоянными теплоемкостями эта зависимость имеет следующий

ВИД：

牛^ +居=馬件)(1.21)

и не содержит s(“). Если при этом 九。(屮)=const, что выполняется во многих важных и интересных задачах, то функция 屮 выпадает из коэффициентов уравнения (1,20).

В случае двумерных движений из векторного уравнения (1.12), кроме интеграла (1.18), следует получить еще одно скалярное уравнение. С этой целью для плоских и осесимметричных движений возьмем проекцию (1.12) на направление у. В результате получим

\дх ду 丿 ду ду

Поскольку S И 九0 суть функции только одной величины 1|), то, пользуясь еще формулой (1.17) для д屮ду, найдем

Таким образом, исходная система (1.4) — (1.6), которая в случае двумерных движений содержит четыре квазилинейных дифференциальных уравнения (у векторного уравнения (1.5) две проекции), приведена для плоских или осесимметричных движений к двум дифференциальным соотношениям (1.7) и (1.9) вдоль линий тока и к двум дифференциальным уравнениям (1.20) и (1.22). Поскольку при преобразовании уравнения неразрывности (1.4) введена новая искомая величина—функция тока 屮,то к полученным уравнениям в общем случае нужно добавлять одно из соотношений (1.17), определяющее функцию тока.

Соотношения (1.7) и (1.9) содержат дифференциалы искомых функций только в одном направлении — вдоль линии тока—и имеют, следовательно, характеристическую форму, так что линии тока являются сдвоенными характеристиками исходной системы уравнений. Выражения в левых частях интегралов (1.8) (или (1.11)) и (1.10) представляют собой аналогично функции тока 2 инварианты, сохраняющие свои значения вдоль линий тока.

Попробуем привести и уравнения (1.20), (1,22) к характеристической форме, беря их линейные комбинации. Умножим уравнение (1.22) на неопределенный пока множитель X, сложим с уравнением (1,20)

◎_〃2)|^-(uv + ^)|^一3u一九)居+ ("2一吩 ^ = ^一(v一 1)~

(для сокращения записи правая часть уравнения (1.22) обозначена Q) и потребуем, чтобы полученное уравнение содержало производные от 〃 и и лишь в комбинации

д , d

т. е. производные по направлению, определяемому выражениемdy—cd% = 0.

Для этого должно быть выполнено равенство

〃。十九и2 — а2〃。十九и2 — а2uv 一九一uv 一九一

〃。十九

и2 — а2

〃。十九

и2 — а2

uv 一九一

uv 一九一

ИЛИ

九 2 = a2 (〃2 + 叫-後.

Отсюда находятся значения 九：

九土 = ± а /Н—а?

Эта формула показывает, что значения X, а вместе с ними и значения & будут действительными только при V^a. Следовательно, исходную систему уравнений можно привести к характеристической форме только в случае сверхзвуковой скорости движения газа. X арактеристические направления определяются при этом выражениями

(1.23)(1.23)(沙土 a j二及

(1.23)

(1.23)

\ dx 丿±土 и2 —а2

Соответствующими характеристическими уравнениями будут

飙 c±f^ + c干(篇+ c±^)=；；^[(v-l)*-九士可• (1.24)

Полная система соотношений вдоль характеристик (будем обозначать их соответственно 密+,密-и g。или £') имеет вид:

du + c_dv=^ К+ dx при dy = c^dx,du + c±du = К _dx при dy = c_dx,

d(^±^-\ + dh^Q(1.25)

ds = O пРи 如=不6/尤 d屮=0/

Здесь К土 =庐二2 [ (v——1) *——九土с]. Эти соотношения будут в дальнейшем служить основой для решения задач о сверхзвуковых установившихся течениях газа.

Определим относительное расположение характеристик трех семейств в точках плоскости течения. Для этого введем в этой плоскости локальную систему координат /, д' с центром в рассматриваемой точке О, направив ось %' вдоль скорости 丿(〃'，/) в этой точке (рис. 3.1.2), т. е. вдоль линии тока — характеристики третьего семейства 侈° (энтропийной). Из формулы (1,23), полагая в ней u = U = 0, u = uf = V, найдем направления характеристик 密+ и 名一：

(紀± = ±F^r

Таким образом, характеристики g+ и 名一 образуют в каждой точке равные углы с направлением скорости (направлением характеристики 抬°). При этом проекция скорости на нормаль к характе

ристике равна по величине местной скорости звука а. Угол 卩,

образуемый характеристиками 8+ и 岩一 с направлением скорости, называется углом Маха, а сами эти характеристики называются акустическими (зву・ новыми) характеристиками или линиями Маха. Очевидно, что

а 1

sm卩方，

眩卩=yК万 =]/■兩方♦

Выражения для углового коэффициента энтропийных и акустических ха

рактеристик с использованием величины угла 9 наклона скорости

к оси х и угла Маха 卩 можно записать соответственно в виде

Так как скорость V и скорость звука а связаны соотношением (1.18) 可 + h (a, s)=力о,力]

то в общем случае скорость звука а и угол Маха 卩 зависят от модуля скорости и через s и Ао——от В случае, когда s и 瓦 постоянны в потоке или когда течение баротропно, угол 卩 есть функция только модуля скорости (для совершенного газа с постоянными теплоемкостями для этого достаточно, чтобы только h0 = const, поскольку h не зависит от s).

В дифференциальных уравнениях (1.20) и (1.22) бывает удобно перейти от компонент скорости 〃 и о к другим, связанным с ними переменным, например V и 8 или р и 9.

В § 7 будут получены и использованы характеристические соотношения в переменных V и 8. Здесь мы приведем, опуская промежуточные несложные выкладки, уравнения с искомыми переменными р и 9: 一

COS瞎+ sin嚼一詣卜山噜iOS嚼)=0, sm嘿-cos嚼+前1-m2)卜。5噥+扣嘴)一("-1)号=0.

(1.26)

Как и исходные уравнения (1.20) и (1.22), система (1.26) должна быть дополнена интегралами (1.18) и (1.19), а также одним из соотношений (1.17). Замечательно, что в уравнения (1.26) не входят явно

функции 九0帥)и s 仲)；они содержатся лишь в конечных соотношениях (1.18) и (1.19), определяющих зависимость от р коэффициентов 詣 и 京(1—М2) в уравнениях (1.26).

Очевидно, что :и соотношения между дифференциалами dp и d9 вдоль акустических характеристик не должны содержать функций 瓦仲)и s(W). Действительно, эти соотношения имеют вид

曲士ctg"諾= у(］干温出卩j ПРИ dg=tg(e±z)d%・(1.27)

Еще раз подчеркнем, что, в отличие от одномерных неустано- вившихся движений газа, система дифференциальных уравнений, описывающая плоские или осесимметричные установившиеся движения, не является гиперболической для всех возможных движений. Эта система гиперболическая в области, где скорость газа сверхзвуковая, и эллиптическая—там, где газ движется с дозвуковой скоростью. Если при движении газа возникают дозвуковые и сверхзвуковые скорости (такие движения называются смешанными или трансзвуковыми), то система уравнений приобретает смешанный тип: эллиптический в одной части области движения и гиперболический — в другой.

Граничные (краевые) условия

Область, занятая движущимся газом, может быть ограничена поверхностями, на которых в соответствии с физическим содержанием рассматриваемых задач параметры газа должны удовлетворять тем или иным условиям. На непроницаемых для газа поверхностях должно выполняться условие непротекания сквозь них газа, т. е. нормальная к поверхности составляющая скорости газа vn должна равняться нулю. Если уравнение поверхности есть

尸(招协z) = 0, то на этой поверхности должно быть

(V-grad ^) = 0, или

OF I OF I 0F с1、

"苏9石=°・R」)

В случае плоских или осесимметричных течений это условие сводится к следующему:

"丽T 0石=° 叩Н"(/切=°

или, если уравнение поверхности задано в разрешенном относительно у виде, т. е. в виде y^Y (х), к следующему:

2 =『(%) при y==Y(x).

Если поверхность 尸=0 проницаема для газа, то при вытекании газа сквозь нее наружу с дозвуковой нормальной составляющей скорости достаточно одного условия, например, такого:

р% = ^(р—Ра) При F(x,弘 z) = o, (2.2)

где /?а一заданная величина и р^р^ (нормаль к поверхности считаем направленной наружу из области, занятой газом).

Если р < ра н газ втекает сквозь стенку с дозвуковой нормальной составляющей скорости, то, кроме условия вида (2.2), нужно задавать еще энтропию s и полное теплосодержание 无。втекающего газа или другие условия, эквивалентные этим. Необходимость в этом случае задавать s и Ло на стенке математически следует из того, что линии тока, являясь характеристиками уравнений установившегося движения, «несут», согласно соотношениям (1.10) и (1.11), значения энтропии и полного теплосодержания с границы области движения. При сверхзвуковой нормальной составляющей скорости вытекания газа через проницаемую поверхность параметры газа на этой поверхности нельзя подчинить каким-либо условиям. Напротив, при сверхзвуковой нормальной составляющей скорости втекания газа сквозь проницаемую границу на ней должны быть заданы значения всех параметров газа.

Форма ограничивающей газ непроницаемой поверхности F = 0 может быть неизвестна заранее. Тогда, кроме условия (2.1), на ней должно быть задано еще одно условие, например, может быть задано давление. На свободной поверхности (см. § 7 гл. I) давление постоянно, т. е. р = const. На границе неизвестной заранее формы могут быть и более сложные условия. К примеру, если при плоском движении граничная поверхность “ = У(%) представляет собой нагруженную извне гибкую мембрану, или если вдоль этой границы газ соприкасается с другой движущейся средой, в которой в силу обстоятельств движения давление связано с углом отклонения границы и ее кривизной, то условие на границе имеет вид

&=У6 = Р(%,匕 Г, У〃)，

где Р — некоторая определенная функция своих аргументов.

Если область движения газа простирается в бесконечность, то поведение газа в бесконечности тоже должно подчиняться некоторым условиям, разным в разных задачах. Например, в бесконечности может потребоваться знание значений всех параметров газа или только некоторых из них; иногда следует задавать порядок стремления значений параметров к постоянным при удалении в бесконечность и т. п.

Внутри области движения могут быть поверхности разрыва: ударные волны и контактные разрывы. На этих поверхностях должны выполняться установленные в § 7 гл. I связи между параметрами течения. На поверхности контактного разрыва при отсутствии потока

массы сквозь поверхность должны выполняться равенства

% = %1 = 0. Р=〃,% = %1 = 0. Р=〃,(2.3)(2.3)

% = %1 = 0. Р=〃,

% = %1 = 0. Р=〃,

(2.3)

(2.3)

касательная же составляющая вектора скорости может испытывать произвольный разрыв. В связи с последним в неодномерных движениях контактные разрывы представляют собой вихревые поверхности.

При и“，0, т. е. на ударной волне,параметры газа связаны

условиями (1.7.20), (1.7.23) и (1.7.25):

Р% = Р41,(2.4)

/7 +p嗚=p1+p1嗚1,(2.5)

車+九=今+月.(2.6)

Соотношения (2.4), (2.5), (2.6) должны быть дополнены в общем случае двумя соотношениями, вытекающими из векторного равенства (1.7.24)

(2.7)(2.7)%=匕］.

(2.7)

(2.7)

Для плоских или осесимметричных незакрученных течений достаточно использовать лишь проекцию равенства (2.7) в плоскости течения, так как другая компонента касательной составляющей вектора скорости в этом случае равна нулю с обеих сторон разрыва.

Рассмотрим плоскость течения вблизи какой-либо точки поверхности разрыва. При заданных параметрах газа с одной стороны этой поверхности четыре уравнения (2.4) — (2.7) (уравнение (2.7) превращается в скалярное) связывают пять величин: угол ф5 между направлением разрыва в данной точке и направлением заданной скорости V\ (рис. 3.2.1) и значения четырех параметров потока с другой стороны поверхности разрыва——давления, плотности и двух компонент скорости (или величины скорости V

и угла 0 поворота вектора скорости при прохождении через скачок). Таким образом, при заданном состоянии газа с одной стороны разрыва параметры газа с другой его стороны образуют однопараметрическую совокупность значений, так что любая пара из пяти перечисленных величин связана при этом определенным соотношением.

Во многих случаях анализа течений со скачками удобна геометрическая интерпретация некоторых из этих соотношений. Ранее мы уже использовали геометрическую интерпретацию связи между давлением и плотностью с одной стороны скачка при известных параметрах газа с другой его стороны—кривую Гюгонио. Помимо кривых Гюгонио, связывающих значения р и 1/р, часто используют кривые, иллюстрирующие связь между V и 0 (ударные поляры) и связь между 〃 н 8 («сердцевидные» кривые). Мы займемся этими кривыми

позже, при решении некоторых задач о течениях со скачками уплотнения.

Приведем конкретный вид соотношений, выражающих значения параметров газа с одной стороны скачка через их значения с другой стороны для совершенного газа с постоянными теплоемкостями.

Для нахождения этих соотношений в форме, удобной для дальнейшего, направим ось % вдоль вектора Vn а ось у—по нормали к ней в плоскости векторов ^ и 忆，и спроектируем уравнение импульсов (1.7.21) на оси % и у. Это дает иPi% (匕

pJ\siriq)s・u = (P —Pi)cosq)s・'’丿

В соотношениях (1.1.5) для р® и рг/р заменим величину У； величиной Vni — Vfsm2q)s, т. е. заменим М； величиной MiSin2(ps, где Ws—угол между направлением скачка и направлением скорости Vv В результате получим

р- ^ ^- рр- ^ ^- р=1+亳(m2n2内一1),(2.9)

р- ^ ^- р

р- ^ ^- р

=JLzlj? (2 10)

С использованием этих соотношений приведем выражения (2.8) к виду

仑+(sin%—靑)，(2.11)

后(sE 屮s-靑)ctg Ф5.(2.12)

Так как ”〃 =tg6, где 9—угол поворота вектора скорости в скачке, то из последних двух выражений находим связь между этим углом и углом q)s в виде

TXT ( siM 屮s —ct?q)s

也 ° =т•(2.13)

Плоские и осесимметричные потенциальные

движения. Уравнения Чаплыгина*)

Для течений, в которых s = const и й0 = const, или имеется какой- либо другой вид баротропной зависимости

Р = Р(Р)(3.1)

*) Чаплыгин Сергей Алексеевич (1869——1942)——русский советский ученый, один из основоположников теоретической аэродинамики. Автор трудов по различным вопросам теоретической механики, по гидро- и аэродинамике, газовой динамике. Вместе с Н. Е. Жуковским основал (1918 г.) Центральный аэрогидродинамический институт (ЦАГИ); создатель крупнейшей школы советских механиков.

и константа в правой части интеграла Бернулли (1.8) одна и та же во всей области движения, этот интеграл, как уже указывалось в § 1, дает (при U = 0) связь между давлением р или плотностью р и модулем скорости V:

М” (3.2) ре

Будем рассматривать далее плоские и осесимметричные течения. При сделанных предположениях уравнение (1.22) для таких течений превращается в условие отсутствия вихрей

Это условие эквивалентно тому, что выражение d(p = и dx + и dy(3.3)

есть полный дифференциал функции ф—потенциала скорости.

Уравнение неразрывности для плоских или осесимметричных движений эквивалентно условию (1.16), в котором для рассматриваемых течений р есть известная функция от 〃^十？"

Ро dip =二 puyv~1 dy— рир”т dx.(3.4>

(Здесь введен масилаб плотности р0 для того, чтобы придать функции тока 屮 ту же кинематическую размерность, что и у потенциала скорости ф.)

Из дифференциальных соотношений (3.3) и (3.4), принимая х и у за независимые переменные, получаем

Р 〃疗 Т = р。 箒，Р 叫 уt = — ро 需。

Отсюда находим систему двух уравнений для определения функций 屮(招 у) и 屮(％, у):

ро дх ду 9 ро ду дх *' •'

Исключив из этой системы производные от <р, получаем одна уравнение для функции тока

貿斗0.(3.6>

дх \ р#т дх ) ' ду \ pgv-i ду )\,

Аналогично можно получить уравнение для потенциала скорости <р;

苏I р0 1%丿苏I р0 1%丿,g ( pyVT 执р,g ( pyVT 执рРо дуРо ду=0.=0.(3.7>(3.7>

苏I р0 1%丿

苏I р0 1%丿

,g ( pyVT 执р

,g ( pyVT 执р

Ро ду

Ро ду

=0.

=0.

(3.7>

(3.7>

Отношение р/р0 с помощью соотношений (3.1) и (3.2) выражается через ф^+ Ф^ или через 屮^ + 屮々.Поэтому система (3.5) и уравнения (3.6) и (3.7) нелинейны.

Обратим теперь внимание на то, что в случае плоских течений (v= 1) коэффициенты при дифференциалах в выражениях (3.3) и (3.4) зависят только от компонент скорости 〃 и и или от модуля скорости V и угла 9 вектора скорости с осью х. Поэтому, если в этих дифференциальных выражениях считать независимыми переменными Е и 8 (или какие-либо их функции), а за искомые величины принять х, у, ф и ф, то для определения этих искомых величин в случае плоских течений получим линейные дифференциальные уравнения в частных производных.

Плоскость изменения переменных 〃, и или переменных V, 9, рассматриваемых как полярные координаты в этой плоскости, называется плоскостью годографа, а сами переменные V, 9—переменными годографа.

Не останавливаясь на случае осесимметричных течений, для которых переход к переменным годографа не приводит к каким-либо упрощениям системы уравнений, получим уравнения для ф и *ф в переменных годографа для плоских течений.

Для сокращения выкладок, а также с целью использования в дальнейшем аналогии с течениями несжимаемой жидкости, разрешим соотношения (3.3) и (3.4) относительно дифференциалов dx и dy (это можно сделать при pV2 =# 0) и скомбинируем их, введя обозначение dz = dx-]- idy, т. е. считая плоскость течения плоскостью комплексного переменного z = %+%. В результате получим

dz = ^- (d(p + i ^~ dip) • (3.8) Считая якобиан

/ — D(x, у)

отличным от нуля, т. е. функции 8(%, р) и V (х, у) независимыми, в силу произвольности 曲 и dV найдем *)

互_四/空 i р0例)) 乔一乔十р

[次 02(d中"р。 д屮) I .丿

Исключим из этих уравнений с помощью дифференцирования первого из них по 9, а второго по V производные от z. После дифференцирования члены со вторыми производными в правых частях обоих уравнений будут одинаковы и при приравнивании правых

частей сократятся, в результате чего получим 空型)丄虫丄f а pо

После сокращения на d отделив мнимую и действительную этого равенства, найдем

抹Р _ у d ро °屮鄧рp0V °屮

乔=p肝死而，10 =~^r,

части(ЗЛО)части(ЗЛО)d ро *屮d ро *屮dV pV ОУdV pV ОУ(З.Н)(З.Н)Исключив из этих двух уравнений производные от 屮，получаем одно уравнение для функции тока

части

(ЗЛО)

части

(ЗЛО)

d ро *屮

d ро *屮

dV pV ОУ

dV pV ОУ

(З.Н)

(З.Н)

Аналогично получается уравнение для потенциала скорости ф *). Все эти уравнения линейны, причем в них коэффициенты при производных суть функции только одной независимой переменной V. После определения 屮 и 屮 в зависимости от 9 и V функции х(9, V), у (0, V) находятся квадратурой из соотношения (3.8). Последним шагом решения является обращение этих функций.

Течение в физической плоскости х, у будет определено однозначно, если в области плоскости годографа, соответствующей течению, отличен от нуля якобиан

［一 I — D 3 у) 一 D (х, у) D (ф,屮) 一7一 ЩОУ-0(屮，吻 Q(9, Q［一 I — D 3 у) 一 D (х, у) D (ф,屮) 一7一 ЩОУ-0(屮，吻 Q(9, Qгде, согласно уравнениям (3.10),где, согласно уравнениям (3.10),J2 'РоJ2 'Ро+(1-М2)(-#Л+(1-М2)(-#Л(3.12)(3.12)

［一 I — D 3 у) 一 D (х, у) D (ф,屮) 一7一 ЩОУ-0(屮，吻 Q(9, Q

［一 I — D 3 у) 一 D (х, у) D (ф,屮) 一7一 ЩОУ-0(屮，吻 Q(9, Q

где, согласно уравнениям (3.10),

где, согласно уравнениям (3.10),

J2 'Ро

J2 'Ро

+(1-М2)(-#Л

+(1-М2)(-#Л

(3.12)

(3.12)

Ясно, что при дозвуковой скорости якобиан J может обратиться в нуль только при равенстве нулю всех производных 讣/08,...,。屮/W, при этом dz/dQ и dz/dV также обращаются в нуль. Это может произойти лишь в изолированных точках.

При сверхзвуковой скорости в плоскости годографа могут существовать линии, в точках которых J (0, У) = 0. Эти линии называются критическими. Соответствующие им линии в плоскости течения называются предельными и являются в этой плоскости линиями ветвления решений. Более подробно об этом будет сказано ниже при рассмотрении конкретных течений.

При решении многих важных задач о течениях газа, например, задачи об обтекании тел или о движениях газа в каналах, когда форма тела или стенок канала задана, краевые условия для уравнений (3.5), определяющих потенциал скорости и функцию тока, естественным образом формулируются в плоскости течения х, у. Для решения же уравнений (3.10) нужно формулировать краевые задачи в плоскости годографа. В общем случае это нельзя сделать, исходя

из соответствующих постановок задач в плоскости течения. К примеру, при обтекании профиля граничное условие на его контуре в плоскости течения заключается в том, что этот контур является линией тока, т. е. функция тока принимает на контуре постоянное значение. По этому условию нельзя заранее указать распределение скорости V на заданном контуре, т. е. нельзя найти границу области течения в плоскости годографа.

Это обстоятельство затрудняет использование в таких случаях уравнений в переменных годографа. В значительной степени успехи их применения связаны с разработкой непрямых методов решения задач, когда область в плоскости годографа находится в результате последовательных приближений.

Существуют, однако, важные задачи о движениях газа, которые естественно формулируются в переменных годографа. К таким задачам относится задача о нахождении формы профиля с заданным на его контуре годографом скорости (обратная задача теории обтекания профиля), ряд задач о струйных течениях газа, в которых на заранее неизвестной границе струи задана величина давления, а, следовательно, и модуля скорости, и некоторые другие задачи. Во многих таких случаях удается получить эффективные решения задач в переменных годографа.

Линейность уравнений плоских движений в переменных годографа облегчает изучение важных свойств течений сжимаемого газа на частных примерах. Эти уравнения служат также основой для создания рациональных приближенных методов решения многих задач газовой динамики, включая и задачи об обтекании тел.

Уравнения (3.10) справедливы для произвольной баротропной связи (3.1). При адиабатических течениях совершенного газа связь между плотностью и скоростью, определяемая зависимостями (3.1) и (3.2), имеет вид (см. формулу (1.3.30)):

Здесь р0——плотность торможения, Vmax—максимальная скорость. Если принять, что масштаб плотности р0 в выражении (3.4), определяющем функцию тока, и есть как раз плотность торможения, то уравнения (3.10) после введения переменной т = V2/Vmax примут вид

西—Y—1@2 ^Ф _ 2т &W14、

2т(1 — 1：)"1(1-炉Т

Уравнение (3.11) для функции тока преобразуется к следующему:

d石d石(l —t)YT J 2T (1—T)”1(l —t)YT J 2T (1—T)”1

d

石

d

石

(l —t)YT J 2T (1—T)”1

(l —t)YT J 2T (1—T)”1

Полученные уравнения были впервые выведены С. А. Чаплыгиным и называются уравнениями Чаплыгина *).

Некоторые точные решения в переменных годографа

Найдем течение газа, соответствующее частному решению уравнений (3.10):

Ф=—48 (А > 0),屮=—С dV.(4.1)

丿max

Для этого используем соотношение (3.8). Подставив в него d(p и di|) из (4.1), получим

dz^ — ^dQ—i^e1 dV.

Пользуясь тем, что выражение в правой части есть полный дифференциал и, следовательно, путь интегрирования в плоскости годографа может быть любым, проинтегрируем это выражение от некоторой фиксированной точки 4, Vt до ючки 9, V сначала при V = Vi = const от 4 до 9, а затем при 9 = const от 匕 до V. В результате получим

z—%=»£”，(4.2)

где No—некоторая точка плоскости г.

Введем в плоскости z полярные координаты г, 0 с центром в точке z = zOf т. е. положим z—z0 = ге^. Тогда поле скоростей изучаемого движения определится формулами

V = В,8 = 9—у-

Линии тока этого движения являются концентрическими окружностями с общим центром в точке г = г0. Частицы газа движутся по ним с постоянной скоростью, при выбранном знаке постоянной А — по часовой стрелке. Скорость на линиях тока убывает обратно пропорционально их радиусу; при этом константа Л связана с циркуляцией скорости Г вдоль замкнутой линии тока очевидным равенством

2兀

*) С. А. Чаплыгин. О газовых струях.—М., 1902; также Избр. труды по механике и математике.— М.: Гостехиздат, 1954.

Так как введенная С. А Чаплыгиным переменная т равна А2 (Л = V/Vmax — приведенная скорость, см. § 3 гл. I), то Л можно назвать числом Чаплыгина; это справедливее, чем встречающееся для нее в зарубежной литературе название числа Крокко.

9 Г. Г. Черный

Описанное течение представляет собой обобщение на случай сжимаемого газа потенциального течения от сосредоточенного вихря в несжимаемой жидкости. Для адиабатического течения совершенного газа такое течение существует лишь вне круга с радиусом rmin (рис. 3.4.1, а), определяемым условием

Г

На окружности 厂^^厂巾広 скорость газа равна максимальной скорости адиабатического установившегося течения Vmax, а давление и плотность равны нулю. При неограниченном росте 厂 скорость газа

Рис. 3.4.1Рис. 3.4.1

Рис. 3.4.1

Рис. 3.4.1

убывает до нуля (рис. 3.4.1,6), а давление и плотность стремятся к их значениям в состоянии торможения. На окружности г = гкр = =/у=т「min (при Y= 1,4 rKp-2,45rmin) скорость газа равна критической (при у= 1,4 VKp = 0,41 Vmax), так что при значениях г > гкр течение газа дозвуковое, в кольцевой области rmin < г < гкр——сверхзвуковое. На рис. 3.4.1,〃 в этой кольцевой области показаны акустические характеристики двух семейств.

Рассмотрим другое частное решение уравнений (3.10):

屮=40 (Л > 0),中=4 j Y备希 W (4.3)

и найдем соответствующее течение газа. Из соотношения (3.8) сле

дует

dz = AeiQd^r + iA-^eiQde.

Поступая при интегрировании аналогично предыдущему, отсюда получаем

/•=/請，9 = 9. (4.5)

Второе соотношение (4.5) показывает, что линии тока направлены вдоль лучей, исходящих из точки з = г0 (рис. 3.4.2,〃). Величина скорости на линиях тока одинакова на каждой окружности с центром в этой точке и меняется с радиусом г окружности согласно первому соотношению (4.5), которое выражает собой закон сохранения массы. Константа А связана с расходом газа Q через окружность соотношением

2лр0

Описанное течение представляет собой источник (при Д < 0 — сток) в сжимаемом газе, о котором уже говорилось раньше (см. § 5 гл. I). Напомним, что для адиабатических течений совершенного газа

зависимость V (г) имеет две ветви (рис. 3.4.2,6); при этом для 厂 < Gnin， гДе 「min соответствует критической скорости газа, действительных значений V не существует. На одной ветви решения скорость меняется от критической при г = rmin до нулевой при г = оо (дозвуковой источник или сток, рис. 3.4.2, а слева), на второй ветви—от критической при г rmin до максимальной при г = оо (сверхзвуковой источник или сток, рис. 3.4.2," справа). Соответственно, давление и плотность газа при изменении г от rmin до оо меняются от критических значений до их значений в заторможенном состоянии в первом течении и до нулевых значений — во втором течении.

Обратим внимание на то обстоятельство, что однозначному (при О ^ 9 < 2л) решению (4.3) уравнений (3.10) в плоскости годографа соответствует двузначная зависимость (4.5) V от г в плоскости течения. Можно считать, что два соответствующих решению (4.3) течения газа происходят на разных листах плоскости и соединяются вдоль окружности r =「min， через которую они не могут быть про. должены в сторону меньших г. На этой окружности якобиан (3.12) А = 42Po I試)(4・6)

равен нулю, а ускорение газа dV dVpH

Н =右 У =丽(М2— 1)

обращается в бесконечность.

Линия г = rmln в рассмотренном течении есть простой пример возникновения в физической плоскости при переходе в нее из плоскости годографа уже упоминавшейся предельной линии. На предельной линии ускорение газа обращается в бесконечность; через нее течение не может быть продолжено.

В этом примере предельная линия совпадает с линией, на которой скорость газа равна скорости звука; линии тока подходят к предельной линии по нормали. Однако эти свойства в общем случае не являются характерными для предельных линий.

Из линейности системы (3.10) следует возможность суперпозиции ее решений. Если ^1 (V, 6) и 屮2(廿，① и соответственно “ и 屮2 суть решения системы (3.10), то ее решением будет и линейная комбинация

w=&屮 1 + (?2也，T = cхФ! 4- c2Ф2.

Из соотношения (3.8) при этом получим

Z = &Z1 +e2%，

Применим принцип суперпозиции к :двум рассмотренным ранее решениям (4.2) и (4.4), считая в каждом из них Zo = O. Поле скоростей нового течения определится формулой

+ 儿昂)(4.7)

Приравнивая модули правой и левой частей этого равенства, получим связь полной скорости V и радиуса /•:

(4 用丁(4.8)

Введем радиальную и окружную составляющие скорости газа Vr и %. Очевидно, что

(匕十*3)* =九叱

Приравняв отношение правых частей этого равенства и равенства (4.7) к отношению их левых частей и используя (4.8), найдем

r% =-4, 也=人岩，

т. е. окружная и радиальная составляющие скорости полученного течения равны соответственно значениям полной скорости каждого из составляющих течений.

Согласно изложенному ранее при заданных 力】и Л2 существуют два различных течения; одно из них соответствует сложению вихря

и сверхзвукового источника (стока), а второе—сложению вихря и дозвукового источника (стока). Оба эти течения существуют вне круга, радиус которого rmin находится из условия минимума правой части выражения (4.8), рассматриваемой как функция V. Это условие имеет вид

А1+ 尤件 J ° _М2)= 0 (4.9)

Пп1пПп1пРис.Рис.3.4.33.4.3Сметанное течениеСметанное течениеM<7M<7丿 +%юх р*0СберхзбдкоЗовтечение丿 +%юх р*0СберхзбдкоЗовтечениеV^O尸*/V^O尸*/и вместе с (4.8) определяет значение rmin. Очевидно, что при А】*О будет Mr=rmin > 1, т. е. полная скорость газа при г = rmln сверхзвуковая, радиальная же составляющая скорости равна скорости звука. Таким образом, если течение от вихря и сверхзвукового источника, очевидно, всюду сверхзвуковое, то в течении от вихря и дозвукового источника скорость сверхзвуковая лишь в кольцевой области между окружностью г = rmin и окружностью некоторого радиуса /*$，на которой скорость становится равной скорости звука. При г > г5 скорость газа дозвуковая.

Пп1п

Пп1п

Рис.

Рис.

3.4.3

3.4.3

Сметанное течение

Сметанное течение

M<7

M<7

丿 +%юх р*0

СберхзбдкоЗовтечение

丿 +%юх р*0

СберхзбдкоЗовтечение

V^O尸*/

V^O尸*/

Вычислив якобиан А (3.12) и приравняв его нулю, вновь получим равенство (4.9). Легко найти также, что ускорение газа при 厂=小広 обращается в бесконечность. Таким образом, окруж

ность r = rmin является предельной линией рассматриваемого течения. Линии тока обоих течений отходят от этой линии под углом, не равным прямому при 』1片0, и скорость газа на предельной линии сверхзвуковая.

На рис. 3.4.3 показана одна линия тока каждого из двух течений, а также часть окружности г = г5, на которой М=1, для второго (смешанного) течения.

Непосредственной подстановкой легко проверить, что функции

(4.Ю)(4.Ю)屮=4需COS仇

(4.Ю)

(4.Ю)

W =，sin 8

являются решением уравнений (3.10).

В несжимаемой жидкости, т. е. при р = р0, этому решению соответствует показанное на рис. 3.4.4, а течение около полубесконечной пластины, расположенной вдоль полуоси // = 0, х> 0 плоскости комплексной переменной z = x+ iy.

Действительно, при р = р()= const из (4.10) находим комплексный потенциал течения w в виде з =(р+йр = $ «'К Отсюда следует, что

Для доказательстваДля доказательства

Для доказательства

Для доказательства

w =-喲•&£ и 3 = (24z)i/2. В полярных координатах г, § в плоскости течения получаем (считая 4 〉 0)

так что

(р = (2Дг)1/2 cos ^-, *ф= (2Лг)1/2з1Пу-, Р=(е”，6 = ^. (4.11)

Линии тока 屮=const рассматриваемого течения — параболы (линия 屮=0—дважды проходимая полуось р = 0, % > 0); эти линии и показаны на рис. 3.4.4, а. В плоскости годографа (рис. 3.4.4, б) им соответствуют окружности 屮=? sin 6 = const. Течение начинается с нулевой скоростью в бес

конечности под пластиной, огибает ее кромку и вновь замедляется до нулевой скорости в бесконечности над пластиной. Вблизи кромки скорость жидкости неограниченно возрастает, давление при этом стремится к ——оо. Такое поведение потока приводит к тому, что со стороны жидкости на пластину действует сосредоточенная сила, приложенная к кромке пластины (в точке О на рис. 3.4.4, а) и направленная по ее продолжению—вдоль отрицательной

полуоси х.

применим уравнение импульсов (1.2.9)

(4.12)(4.12)\ pVvn do = — \ рп da + Fz

(4.12)

(4.12)

к жидкости внутри контрольного объема в виде круга (слоя единичной толщины) радиуса 厂 с центром в точке О и с разрезом вдоль положительной полуоси х (рис. 3.4.4, а). Из того, что согласно (4.11) модуль скорости V зависит только от г, следует, что давление р есть тоже функция только 厂 и интеграл от давления по контрольному контуру равен нулю (на окружности давление постоянно, а в точках разреза с двух его сторон силы давления одинаковы, но направлены противоположно).

Обозначим X + iY силу, действующую на жидкость со стороны участка пластины, прилегающего к контрольному контуру. Из

уравнения импульсов (4.12) получаем

2л2л2n. &

X + iY = j Р%(〃+ iu"d3 = § p 缪 VeiQrdb = p-^-^ cos ^ e "^d3 = оо0

A

=RP 万，

т. e. X = лрЛ/2, У = 0 независимо от радиуса и в пределе при г —> 0 со стороны жидкости на приложенная к ее кромке сила

尸一冗р万，

г. Таким образом, пластину действуетг. Таким образом, пластину действует(4.13)(4.13)называемая подсасывающей. Факт появления такой силы будет использован в дальнейшем (§ 19) в теории тонкого крыла.

г. Таким образом, пластину действует

г. Таким образом, пластину действует

(4.13)

(4.13)

Так как при адиабатических движениях сжимаемого газа скорость не может превосходить предельной величины Vmax, при которой давление становится равным нулю, то появление «подсасывающей» силы в точной теории таких движений невозможно.

Вернемся к формулам (4.10) и изучим соответствующее течение в сжимаемом газе *).

Из соотношения (3.8) после подстановки в него d(p и d屮 из (4.10), интегрирования и некоторых выкладок получим

так что, если положить z。= 0,так что, если положить z。= 0,'^^ sin 9 cos 9.'^^ sin 9 cos 9.(4.14)(4.14)z—2°= ЛdV Ч--^-^0 cos0j,

так что, если положить z。= 0,

так что, если положить z。= 0,

'^^ sin 9 cos 9.

'^^ sin 9 cos 9.

(4.14)

(4.14)

Полуось у=0, %〉0 и в этом случае является линией тока, а на больших расстояниях от начала координат (там, где V мало и р ^ р0) линии тока имеют вид парабол.

Однако в рассматриваемом течении газа есть предельная линия. Действительно, для этого течения якобиан Л по формуле (3.12) равен

A = — 42^(i—M2cos2 0).

Следовательно, критическая линия в плоскости годографа определяется условием

1—M2cos20=O.

Соответствующая ейСоответствующая ейсогласно формулам (4.14) предельнаясогласно формулам (4.14) предельнаялиниялинияв плоскости теченияв плоскости теченияесть линия ветвления решения. Для случаяесть линия ветвления решения. Для случая

Соответствующая ей

Соответствующая ей

согласно формулам (4.14) предельная

согласно формулам (4.14) предельная

линия

линия

в плоскости течения

в плоскости течения

есть линия ветвления решения. Для случая

есть линия ветвления решения. Для случая

совершенного газа с постоянными теплоемкостями предельная линия, критическая линия и линии тока течения показаны в плоскостях х, у и 〃，и на рис. 3.4.5. Там же приведены окружности, на которых скорость равна скорости звука ).

Предельная

Рис. 3.4.5

Течение вне линии тока АВ не имеет особенностей. Газ, движущийся вдоль какой-либо линии тока в этой области, постепенно ускоряется из состояния покоя в бесконечности, достигает наибольшей скорости в точке на линии у = 0 (эта скорость может быть сверхзвуковой, если линия тока проходит внутри звуковой окружности) и вновь замедляется до нулевой скорости при удалении вдоль линии тока в бесконечность.

Линии тока, начинающиеся внутри области, ограниченной линией тока АВ, ведут себя по-иному. Например, линия тока, проходящая через точку доходит до предельной линии внутри окружности звуковых скоростей в точке С и не продолжается далее. От точки С под тем же углом, но в обратном направлении, отходит линия тока другого течения. Эта линия тока продолжается до точки D, лежащей на уходящей в бесконечность ветви предельной линии, и не продол жается далее. Из точки D выходит под тем же углом, но в обрат* ном направлении, линия тока третьего течения, продолжающаяся до симметричной точке D точки D' на верхней части линии ветвления.

Таким образом, решению (4.10) соответствуют три течения на разных листах физической плоскости. Первое из них в бесконечности приближается к соответствующему течению несжимаемой жидкости. Линии тока первого течения на рис. 3.4.5 показаны сплошными линиями. Часть этих линий тока (вне АВ) непрерывно огибает по* луось х > 0, часть (внутри АВ) ограничена внутренней дугой 4"В* предельной линии.

Второе течение образовано линиями тока (штриховые линии на рис. 3.4.5), начинающимися на дуге AHB,f предельной линии. Часть этих линий тока ограничена уходящими в бесконечность ветвями предельной линии, часть уходит в бесконечность, где скорость газа стремится к максимальной.

Третье течение образовано линиями тока правее линии тока 4"8* между двумя уходящими в бесконечность ветвями предельной линии (пунктирные линии на рис. 3.4.5).

Первое из течений имеет местную сверхзвуковую зону и является смешанным, два других—целиком сверхзвуковые.

Метод Чаплыгина решения задач о газовых струях

Так как коэффициенты {уравнения (3.11) для функции тока за* висят от одной переменной V, то для нахождения его решений можно воспользоваться методом разделения переменных. Для адиабатических движений совершенного газа с постоянными теплоемкостями частные решения уравнения Чаплыгина (3.15) можно искать в виде действительной или мнимой части выражения

叫(5.1)

где п—некоторая постоянная.

Подставив 办 в уравнение (3.15), после некоторых преобразова - ний получаем

t(1-")第+["+1 + (占f 一1卜]熏 + ^1% =。.(5.2У Это уравнение определяет гипергеометрическую функцию *) у (а, Ь, с; т)

при частных значениях входящих в нее параметров а, Ь, с:

% + Ь =，而с = %+1.

При отыскании решения уравнения (5.2) в окрестности его особой точки т = 0 в виде ряда

以=『(& + &!；+ 犷+ ...)

для определения г получаем квадратное уравнение

г (г—1) + (п一 1) /* = 0.

Из двух решений уравнения (5.2), соответствующих корням этого уравнения /\ = 0 и г?=—九, Чаплыгин использует то, которое остается конечным при т = 0, т. е. гипергеометрическую функцию

%=У⑴("〃，bn,九+ 1; т).

Эта функция представима степенным рядом, абсолютно и равномерно сходящимся при 0 &т& 1, т. е. во всем нужном для газодинамических приложений диапазоне значений т.

Чаплыгин применил эти решения при рассмотрении задач о газовых струях, распространив на случай сжимаемого газа теорию струй несжимаемой жидкости, связанную с именами Гельмгольца и Кирхгофа.

Пусть известно решение какой-либо задачи о струйном течении несжимаемой жидкости методом Кирхгофа (см. [3], ч. I), т. е. найдена, например с помощью конформных отображений, связь между комплексным потенциалом течения ^н = Фн + ^н и комплексной ско・ ростью 醬= %С = УеТе (через % обозначена скорость на границе струи):

侬н = АС)・

Пусть, далее, функция f может быть представлена в виде ряда

wn = a-B\n C + *b“f〃，

где а, В, Ьп——постоянные (В—действительная величина), так что

"=4 + 88+e"(g广 sin(2/ + a").(5.3)

Тогда выражение для функции тока соответствующей задачи о струйном течении сжимаемого газа дается формулой (0—масштабный множитель):

^ = А + Вд + ^Вп (^уg^Sin(2n0 + а)(5.4)

Ряд (5.4) формально удовлетворяет уравнению Чаплыгина. Однако, для того чтобы этот ряд действительно представлял решение и, пользуясь им, можно было по выражениям (3.14) определить ф, а затем—по формуле (3.8) — % и у, необходимо, чтобы этот ряд, а также ряды, полученные его почленным дифференцированием по т и 9, сходились абсолютно и равномерно при любом т < тп а при т — % ряд (5.4) стремился бы к тому же пределу, что и ряд для 屮н при V —> 卜广

Эти доказательства, на которых мы не имеем возможности оста

навливаться, были даны Чаплыгиным при условии, что tiV^^j, т. е・ ％ < VKp.

При струйном установившемся течении несжимаемой жидкости

или газа область движения ограничена линиями границе этой области в плоскости годографа V, 6 функция тока должна принимать постоянные значения. На поверхности струи давление газа постоянно и, следовательно, постоянен модуль скорости; поэтому в плоскости полярных координат 匕 0 поверхности струи соответствует дуга окружности V =匕=const.

При V = % и соответственно т = т：1 правые части выражений (5.3) и (5.4) совпадают. Поэтому, если при 卜=匕 屮н = const, то одновременно при t = g и *ф = const.

Если ограничивающие несжимаемую жидкость или газ стенки плоские, то им в плоскости годографа соответствуют отрезки лучей 9 = 90 = =const. На этих отрезках в несжимаемой жидкос

ти правая часть выражения (5.3) не должна зависеть от V, что возможно лишь, если при данном 9 = 90 для любого п

sin (2п9о + ап) = О.

Но тогда и правая часть выражения (5.4) при [9 = 90 не зависит от т, т. е. *ф = const при 8 = %.

Следовательно, при одних и тех же граничных условиях решению (5.3) задачи о струйном течении несжимаемой жидкости соответствует решение (5.4) задачи о струйном течении газа.

В качестве примера рассмотрим истечение газа из щели в плоской стенке (рис. 3.5.1). Напомним решение этой задачи для несжимаемой жидкости. С помощью конформного отображения или» методом особенностей функция 侬н(С) находится в виде

wn = —k In ("Т)・ Отсюда

wn = k\n^—k\n (1—С2) =《1п 工十£項｝

так что

*фн »® — k 8 + 2| 二("^") sin 2л0 ・

Постоянная k есть функция ширины отверстия, которая определяется соответствующим интегрированием.

Проверим выполнение краевых условий. На стенках при 8 = 土^ имеем屮11H干年； на поверхности струи при У = % выражение

81

в квадратных скобках равно 8+2不$由2/18 =^sgn8, так что 1

“=—掾 при 8〉0 н =券 при 0 < 0.

Следовательно, при истечении газа из щели решение для -ф дается формулой

屮 + 帛^隽)"£^sin2〃9 .(5.5)

Найдем "одну из наиболее важных характеристик истечения — коэффициент сужения струи, т. е. отношение ширины струи Л на большом удалении от отверстия к ширине отверстия Н.

Для этого проинтегрируем соотношение (3.8) от точки А нижней кромки отверстия (см. рис. 3.5.1) до точки В, лежащей на нижней поверхности струи в бесконечноети. Интегрирование будем вести вдоль граничной линии тока, так что в формуле (3.8) следует считать 坤=0, У = % и, следовательно,

я/2

Отделив здесь мнимую часть и воспользовавшись вторым уравнением (3.14), получим

9i=宁="仅二二小零sine曲.匕(1一口)口曲

Подставив сюда выражение dx|)/dt из (5.5) и произведя необходимые преобразования, получим

手£ 寻阀"牆]L, Т Sin2M8de.

匕(l — n)i E0

Учитывая, что

sin 2n0 sin 0 = у [cos (2九一1)0—cos (2n + 1)6],

выполним интегрирование. В результате найдем

"一h_2也B/i丄T唯2九（-1产一工

-= h 02Д ]十*m （口）, 4"一1

匕（1一口尸 1

С другой стороны, расход Q газа в струе равен

Q = pm力=ро 仲4一办）Н ро 鞋 так что

年《 = （1 — q）l，#•

Следовательно, окончательно для величины, обратной коэффициенту сужения струи, получаем &рмулу

〃 _ 1 丄 8 弋（-1）«-хпГ% （砌

好1+*中^[1+2q丽研|.

Легко показать, что при rt —► 0, т. е. в пределе, когда влияние сжимаемости на течение газа отсутствует,

В табл. 3.1 приведены данные расчета величины 九/" при у= 1,4 для разных значений тР

Таблица 3.1

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,10

0,12

0,14

0,16

1/6

h/H

0,611

0,623

0,636

0,650

0,665

0,681

0,699

0,717

0,738

0,745

С. А. Чаплыгиным было найдено также решение задачи о симметричном обтекании со сходом свободных поверхностей плоской пластины бесконечным потоком и струей ограниченной ширины.

В последующих работах ряда авторов （С. В. Фалькович, Л. Н. Сретенский, Л. В. [Овсянников и др.） метод Чаплыгина решения задач о дозвуковых газовых струях был существенно развит и усовершенствован.

§ 6・ Приближенный метод Чаплыгина и его обобщения

Как уже указывалось, использование точных уравнений Чаплы гина для решения задач об обтекании профилей сжимаемым газом, о течениях внутри каналов с заданной формой стенок, для решения многих задач о струйных течениях газа представляет большие труд-

ности. В сёйзй С &ТНМ широкое распространение полупил прнблН』 женный метод решения линейных уравнений в переменных годографа. Идея этого метода была высказана самим Чаплыгиным 讨 впоследствии была развита в основном в работах советских ученых； Вернемся к исходному соотношению (3.8) и следующим из него уравнениям (3.10). Входящие в коэффициенты этих уравнений величины V и р связаны между собой и с давлением р двумя зависимостями (3.1) и (3.2).

Примем, что р()= 1, т. е. будем измерять плотность р в долях р。, и введем дополнительно к (3.1) и (3.2) связь между р, р, V и новой переменной о посредством ({юрмулы

do=g&d 匕(6.1)

где g—некоторая функция от V или о, вид которой пока не определен. Четыре величины р, р, V и а связаны тремя соотношениями и, следовательно, любые три из них могут быть выражены через четвертую.

Видом функции g можно впоследствии распорядиться. Система (3.10) и уравнение (3.11) для функции тока 屮 при замене У новой переменной о примут вид

И

4袋+耗要=0.(6.3)

g2 d02 * da2 * g da

Здесь введено обозначение

К =—噥压=j(l—М2).(6.4)

Функция К называется функцией Чаплыгина. При любой связи между р и р эта функция положительна при дозвуковых скоростях и отрицательна — при сверхзвуковых. Отсюда следует, что уравнение (6.3) имеет эллиптический тип, если соответствующая течению область плоскости годографа лежит внутри окружности V = %, и гиперболический тип, если эта область лежит вне окружности V = %. Если область в плоскости годографа содержит участок линии V = VKp, т. е. если в части области течения скорость дозвуковая, а в части — сверхзвуковая, то уравнение (6.3) является уравнением смешанного типа — эллиптико-гиперболическим.

Произвол в выборе функции g позволяет подчинить коэффициенты уравнений (6.2) или уравнения (6.3) какому-либо одному условию и таким образом придать этим уравнениям удобный в том или ином отношении вид.

Так, при g= 1 получим

00 do， \до 八 de

и соответственно

К屈+帝=°・(6・6)

Переменная а определяется при этом соотношением

芻=£•(6・7)

Если всюду в области течения М ^ 1, то, приняв g = p4K, можно придать уравнениям (6.2) так называемую каноническую форму для дозвуковых движений *)

ее ' с 加，о。 ' с ее •

Уравнение (6.3) запишется в виде

竊+竊+舞1пК爵="(6・9)

а связь о с другими переменными выразится формулой

%=f/冗(6.10)

При М》1 обозначим К = — ^; полагая g = /Ki, получим каноническую форму уравнений для сверхзвуковых движений:

器=m元曾，需=m元器(6.11)

霜一礬_；*lnKi 空=0.(6.12)

Связь о с другими параметрами дается формулой 芻=多/(.(6.13)

Уравнения (6.11) легко преобразуются к характеристическому виду

普+需=疗尊+需)，需-寫一网(*察)

с характеристическими направлениями, определяемыми условиями

Эти соотношения можно проинтегрировать и ввести характеристические переменные В и т] по формулам

о—9 = 2^, о+6 = 2г]・

♦) Это было сделано Л. С. Лейбензоном в 1935 г.

В характеристических переменных уравнение (6.12) примет вид 蕊+ }^出%(翁+誹)=0.(6.14)

Аналогичное уравнение можно получить для потенциала скорости. В уравнении (6.14) коэффициент при первых производных есть определенная функция от а = ? + т].

Для несжимаемой жидкости при выборе ее плотности в качестве масштаба плотности р0 получим, согласно формулам (6.4) и (6.7), К=1 н а= In(V/VJ, где 匕一некоторое характерное значение скорости, при котором о=0. Уравнения (6.5) обратятся при этом в уравнения Коши—Римана

竊=爲魯=-雾(6同

Общее решение этих уравнений имеет вид 屮 + i屮=f (8 + w), где f—произвольная аналитическая функция. Если ввести комплексный потенциал ^ = ф + i-ф и переменную ^ = e-f(e+£a>^y-e-fe, то это решение можно записать следующим образом:

⑵=尸&).

Из выражения (3.8) в рассматриваемом случае получаем связь между комплексной переменной С и комплексной координатой z в плоскости течения несжимаемой жидкости:

Для адиабатических движений совершенного газа связь между о и скоростью V или переменной Чаплыгина т = V2^^, согласно формуле (6.7), имеет вид

^а = 4 (1—т)"哼，

а функция Чаплыгина К определится в зависимости от т следующим образом:

К = ~^・(616)

(一尸

На рис. 3.6.1 приведен вид зависимости 骚 от относительной плотности р/р0 для адиабатических течений совершенного газа.

Основная идея излагаемых ниже методов получения приближенных решений задач об адиабатических движениях сжимаемого газа с помощью уравнений Чаплыгина (6.5) состоит в следующем *).

♦) Подробное развитие этой идеи содержится в книге [12] (см. также сноску ♦) на с. 280).

Вид коэффициента К (а) в уравнениях (6.5) и вид зависимости o(V) связаны с видом соотношения р = р(р). Можно поэтому пытаться, меняя в допустимых пределах в требуемом диапазоне значений р физическую зависимость р (р), т. е. несколько меняя принятую модель газа, так изменить вид функции К (о), чтобы уравнения (6.5) стали математически возможно проще, т. е. стали более доступными для решения.

Запишем выражение (6.4) для К в виде

Отсюда, рассматривая это соотношение как уравнение для определения зависимости р (р), получим

(6.17)?(6.17)?Таким образом, при заданной функции К (р) зависимость р (р) содержит две произвольные константы. Соответствующим выбором этихТаким образом, при заданной функции К (р) зависимость р (р) содержит две произвольные константы. Соответствующим выбором этихК=1К=1т2 + ... = 1т2 + ... = 1Рис. 3.6.1Рис. 3.6.1尹，+…尹，+…

(6.17)?

(6.17)?

Таким образом, при заданной функции К (р) зависимость р (р) содержит две произвольные константы. Соответствующим выбором этих

Таким образом, при заданной функции К (р) зависимость р (р) содержит две произвольные константы. Соответствующим выбором этих

К=1

К=1

т2 + ... = 1

т2 + ... = 1

Рис. 3.6.1

Рис. 3.6.1

尹，+…

尹，+…

Даже при М = 0,5 отличие К от единицы при у =1,4 составляет менее 0,04.

Положим, как это было сделано Чаплыгиным, К=1. Тогда иа： формулы (6.17) найдем связь между р и р в виде

Р = /~I，(6.18)

где А и В—произвольные постоянные. В плоскости 1/р, р связь (6.18) представляет собой уравнение произвольно ориентированной прямот

линии. Ранее в § 3 и 7 гл. II уже встречалась модель газа, в которой давление и плотность связаны этим уравнением (газ Чаплыгина).

Запишем уравнение (6.18) в виде

0 = 0* +p.废-'計-0 = 0* +p.废-'計-(6.19)(6.19)

0 = 0* +p.废-'計-

0 = 0* +p.废-'計-

(6.19)

(6.19)

Рис. 3.6.2Рис. 3.6.2Прямая в плоскости р, 1/р, определяемая этим уравнением, проходит через точку р*, 1/р* и имеет отрицательный угловой коэффициент —р?吟 где а* есть значение величины 〃 = /dp/dp (эквивалента скорости звука для баротропной связи (6.19)) при р = р*.

Рис. 3.6.2

Рис. 3.6.2

При аппроксимации соотношением (6.19) адиабатической зависимости р(р) для совершенного газа константы р*, р*, 〃* можно выбирать по-разному. Чаплыгин (при решении задач об истечении струй) принимал за аппроксимирующую прямую (6.19) касательную к истинной адиабате в точке, соответствующей параметрам заторможенного газа (рис. 3.6.2), т, е. полагал р* — р°, р* — р°, а* —• а°. При решении задач об обтекании газом профилей обычно принимают, что прямая (6.19) есть касательная к истинной адиабате в точке, соответствующей набегающему однород

ному потоку, т. е. полагают в выражении (6.19) р* = Ра р* = рго, a* =a8.

Конечно, можно выбирать аппроксимирующую прямую (6.19) и многими другими способами, например, проводя ее через какие- либо две точки истинной адиабаты.

Модель газа Чаплыгина не обладает рядом свойств нормального газа. В частности, для нее давление обращается в нуль при уменьшении плотности уже до некоторого конечного значения; при дальнейшем уменьшении плотности модель в применении к газам теряет физический смысл.

Рассмотрим некоторые свойства газа Чаплыгина при установившихся движениях. При использовании связи (6.19) из интеграла Бернулли получаем

警=Г—吟

где 匕 есть значение скорости, соответствующее р = р#. Иначе можно написать

Н—“2 =(6.20)

Эта запись интеграла Бернулли показывает, что при непрерывном течении газа Чаплыгина переход через скорость звука невозможен: знак разности в левой части определяется знаком константы в пра-

вой части. Будем считать этот знак отрицательным, т. е. будем расвой части. Будем считать этот знак отрицательным, т. е. будем рассматривать дозвуковые течения, полагая V*—о： = — о；=

вой части. Будем считать этот знак отрицательным, т. е. будем рас

вой части. Будем считать этот знак отрицательным, т. е. будем рас

Здесь р00—значение плотности р при V = 0., В дальнейшем примем р00 1.

Из выражения (6.20) следует, что, в отличие от адиабатических течений нормального газа, в газе Чаплыгина скорость звука с ростом скорости не падает, а возрастает. В дозвуковых потоках связь между числом Маха М = V/a и скоростью определяется формулой

М2 = —

1 + >

〃储 2 роо〃储 2 рооиз которой следует, что М —0 при рис,

〃储 2 роо

〃储 2 роо

V —> 0 и М — 1 при V —> оо. График за

висимости М от V7ao для газа Чаплыгина приведен на рис. 3.6.3. Там же приведена зависимость М от V/a0 для адиабатического течения совершенного газа при у= 1,4.

Введем вместо о переменную 几 по формуле

Тогда согласно выражению (6.7)

dVndVndVР~*dVР~*

dVn

dVn

dV

Р~*

dV

Р~*

Используя следующую из интеграла Бернулли для газа Чапльь гина связь между R и р, получим

党—1 -p

Vo 1 + P

Отсюда

I/2

(6.21)

и

(6.22)

Здесь 匕一постоянная

интегрирования,

Выписанные формулы дают общее решение уравнений, описывающих течение газа Чаплыгина. Действительно, уравнения (6.5) при Л = 1 имеют общее решение

^+i^ = f(Q + is),(6.23)

где f—произвольная аналитическая функция. Соотношение (3.8)

вместе с формулами и=1п(匕/匕)и (6.21) и (6.22) дает зависимость х и у от 0 и 匕/匕 и, следовательно, от 0 и V.

Установим связь получаемых таким образом течений сжимаемого газа с течениями несжимаемой жидкости.

Будем трактовать выражение (6.23) как решение уравнений Коши— Римана для течения несжимаемой жидкости с комплексным потенциалом g =(p+h|> и комплексной скоростью dw/dz ^ V^ = V^e^. Для такого течения

忆 ="^^ R V7 @p +' d2)。

Запишем теперь соотношение (3.8) для сжимаемого газа в виде

dz = } [^^ 3屮 + i dip) + ^― (d(p：—i dip)] >^»

и подставим в него р из (6.21) и V из (6.22). В*результате получим

R虑=%7d(p|+fd巾『:乙 〃edcp—id叫

‘г%八*teVo 7?%丿'

или

争•必匸 dzn—^dz^(6.24)

где % = Y；/VJ (не следует смешивать эту величину с введенной в гл. I приведенной скоростью % = V/VKp!).

Определим константу интегрирования 匕 из условия, что VH = = % = %. Тогда из соотношения (6.22) следует

Учет множителя 2a0/V0 перед dz сводится лишь к изменению масштаба для координат в плоскости течения газа и не является существенным при определении параметров, не зависящих от масштаба.

Формула (6.24) называется формулой Тзяна: она устанавливает соответствие между плоскостью течения несжимаемой жидкости и плоскостью течения газа Чаплыгина для одной и той же функции f(0+ is) при разных значениях параметра 九，связанного с величиной М*.

Пересчет значений скорости в соответствующих точках осуществляется при этом по формуле (6.22), которую можно переписать в виде

Соответственно можно получить формулу для пересчета давлений. Действительно, в несжимаемой жидкости интеграл Бернулли дает

Здесь р*—давление, соответствующее значению 匕；через р0 обозначена плотность несжимаемой жидкости. Для газа Чаплыгина

田=斎（1一浒

Пользуясь предыдущими формулами» получим

Эта формула называется формулой Кармана—Тзяна. При малых значениях Ср* она переходит в формулу Прандтля—Глауэрта

砧=两笺「(6・25)

котор ая будет иным способом получена ниже (в § 19) при рассмотрении течений с малыми возмущениями скорости.

Область течения несжимаемой жидкости, соответствующего данному течению газа Чаплыгина, может быть многолистной. Верно и обратное: при использовании некоторого течения несжимаемой жидкости в плоскости zH для построения течения газа область в плоскости z, определяемая пересчетом по формуле (6.24), может оказаться неоднолистной, начиная с некоторого конечного значения параметра X.

Так, исходному обтеканию несжимаемой жидкостью (М = 0) круга соответствует при разных значениях числа М обтекание газом Чаплыгина контуров, изображенных на рис. 3.6.4 [12]. При достаточно больших значениях числа М (см. на рис. 3.6.4 контур при М = 0,85) обтекаемый контур становится самопересекающимся и течение газа перестает быть однолистным.

Если известна область течения газа в комплексной плоскости Ve^iQ, то ей легко поставить в соответствие область в плоскости *叱

после чего, определив функции ⑪=尸隽)и zH = Z (^), можно найти и течение газа в плоскости z.

Так, в частности, каждому струйному течению несжимаемой жидкости можно поставить в соответствие струйное течение газа.

Пересчет некоторых струйных течений несжимаемой жидкости на течения газа, в том числе и в случаях, когда неприменим описанный

ранее точный метод Чаплыгина, был дан самим Чаплыгиным. Впоследствии теория была развита на случаи истечения струй из сосудов с криволинейными стенками или струйного обтекания криволинейных препятствий и на случаи бесциркуляционного обтекания профилей ).

Решение задачи об обтекании профилей при отличной от нуля циркуляции потребовало существенного развития теории ). Суть затруднения состоит в том, что при не равной нулю циркуляции скорости вокруг профиля соответствие между плоскостями z и zH в окрестности бесконечно удаленной точки перестает быть однолистным. Поэтому пересчет однолистного течения несжимаемой жидкости около некоторого исходного профиля не позволит получить обтекание газом деформированного профиля. Действительно, при наличии циркуляции в окрестности бесконечно удаленной точки плоскости zH справедливо разложение

%2m Zh Zh

Из формулы (6.24) непосредственно вытекает, что вблизи точки z = 8, соответствующей zH = оо, однолистность будет только при Г = 0.

При Г* = 0 профиль в газе согласно формуле (6.24) отличается от профиля в несжимаемой жидкости из-за присутствия в этой формуле второго слагаемого. Если 九 мало, т. е. при малых М：, этим отличием профилей можно пренебречь. При этом формула Кармана — Тзяна дает зависимость распределения давления на неизменяемом профиле от числа М*.

Мы не имеем здесь возможности излагать соответствующие теории; сошлемся на литературу [12J.

При М= 1 функция К обращается в нуль. Поэтому для изучения течений со скоростями, близкими к скорости звука, функцию К нельзя полагать постоянной.

Наиболее простым видом уравнения (6.3), описывающего смешанные до- и сверхзвуковые течения, является уравнение Эйлера — Трикоми

/屮 恭一/屮 恭一оо@2中_ 請=@2中_ 請=О,О,(6.26)(6.26)

/屮 恭一

/屮 恭一

о

о

@2中_ 請=

@2中_ 請=

О,

О,

(6.26)

(6.26)

которое получится, если в уравнении (6.3) положить g = А, К ⑹= =—Л 2(т.

Приняв для g и К эти выражения, найдем соответствующую им зависимость К от р. Для этого, подставив в правую часть формулы dK — dK du dp dp do dp 际

величину do из (6.1) и величину dp из соотношения pV dV + dp = О (здесь р—размерная плотность), получим

dK _隱而=而.

Исключив отсюда М2 с помощью выражения (6.4) для К, получим дифференциальную связь между. К и р в виде

(6.27)

Постоянную интегрирования и константу Л найдем из условий,

что К = ° и^=(^)ад при Р = Ркр=(^)7-1, т.е. при М=1

Величина ()аД находится простыми вык- m 二 1

ладками из выражения (6.4) при адиабатической связи между М2 и р:

На рис. 3.6.5 дано сравнение полученной интегральной кривой уравнения (6.27) (штриховая линия) и кривой К (р) для адиабатического течения (сплошная линия).

Уравнение Эйлера ——Трикоми является основой для изучения многих свойств около

звуковых течений газа, о которых будет идти Рис. 3.6.5 речь ниже в § 22.

При сверхзвуковых скоростях течения газа аппроксимация К = 1 тоже не является удовлетворительной. Значительно лучшее соответствие приближенных зависимостей с точными для адиабатических

течений можно получить, полагая в уравнении (6.14) ；凱储= = df『 = EF；+o，где “一целое число. Уравнение (6.14) переходит при этом в хорошо изученное уравнение

^^n S+n-F^o \ •

При 九=1 достигается удовлетворительная аппроксимация функции к для адиабатического течения в диапазоне 1,06 < У/Укр < 1,74 (при у= 1,4), и это уравнение имеет особенно простое решение:

n)中1隽)+6⑺)

Здесь 屮1 и 叭一произвольные функции своих аргументов.

Мы не будем останавливаться на дальнейших деталях использования метода аппроксимации адиабаты для изучения сверхзвуковых течений, так как в следующих параграфах будут изложены другие эффективные методы их исследования ♦).

Сверхзвуковые течения ). Метод характеристик

Уравнения двумерных плоских и осесимметричных установившихся движений в форме соотношений вдоль характеристик (1.27) мы используем для решения различных задач о сверхзвуковых течениях газа.

При этом изложение метода характеристик во многом не будет отличаться от соответствующего изложения в разделе, посвященном одномерным неустановившимся движениям, хотя физическое содержание задач в этом разделе, конечно, является иным.

Вновь рассмотрим элементарную задачу метода характеристик. Учитывая, что эта задача подробно рассматривалась для одномерных нестационарных движений, ограничимся лишь кратким ее изложением.

Пусть в области сверхзвукового течения в плоскости х, у заданы две близкие точки Р+ и Р_ на отрезке АВ. не принадлежащие одной акустической характеристике, и пусть в этих двух точках известны значения всех искомых функций 〃，и, a, s. Проведем через точки Р+ и Р_ элементы характеристик в одну сторону от отрезка АВ. При этом возможны два случая. В первом из них энтропийные характеристики расположены внутри угла между акустическими характеристиками (рис. 3.7.1,〃), во втором—вне этого угла (рис. 3.7.1, б). Остановимся на первом случае. Продолжим элементы характеристик

первого и второго семейств из точек Р+ и Р_ до их пересечения в точке Р, заменив при этом отрезки характеристик касательными к ним в точках 戶+ и Р_. Для нахождения значений и и и в точке Р воспользуемся первыми двумя соотношениями вдоль характеристик (1.25), заменив их приближенно конечно-разностными уравнениями 〃р—〃р+ + ( J)p+ (vp—vP+) = (К+)р+ (хр—хР+у 〃р—〃р_ + (с+)р_ ®р—”_) = (К_)р_ (Xp—xpJ.

Входящие в К+ н К一 производные ds/dp и dhjd^ в точках Р+ и Р. определяются по начальным распределениям искомых функций на отрезке /В; при этом начальное распределение функции 屮 на этом

отрезке находится из соотношения (1.16) (функция 屮 определена с точностью до постоянной, поэтому значение 屮 в какой-либо точке можно назначить произвольно).

После нахождения 〃「，vp из точки Р можно провести назад элемент характеристики третьего семейства, заменив его касательной к ней в точке Р. Таким образом найдем точку Р。на АВ.

Значения s и 九()=九 + ^^, как и значение 屮 в этой точке, переносятся в силу соотношений (1.25) вдоль характеристики третьего семейства в точку Р. По известным значениям s и h в точке Р. пользуясь термодинамическими зависимостями, находим а в этой точке.

Таким образом находятся значения всех искомых функций в точке Р.

Отрезок, в каждой точке которого характеристики расположены, как в рассмотренном первом случае, является аналогом пространственно-подобной линии в одномерном неустановившемся течении. Если же в каждой точке отрезка расположение характеристик соответствует второму случаю, то он является аналогом временноподобной линии.

В конце § 1 указывалось, что в течениях с постоянным полным теплосодержанием при постоянной энтропии s (р, р) = const или при другой баротропной связи между р и р скорость звука есть функция только модуля скорости. В таких течениях угловые коэффициенты с± характеристик двух первых семейств зависят согласно (1.23) только

от составляющих скорости 〃 и и. При этом для плоских течений в соотношениях (1.25) вдоль характеристик 侈 + и €一 К±=0; отсюда следует, что соотношения эти интегрируемы, т. е. вдоль характеристик 8+ и 纟一 имеются определенные конечные связи между и и V.

Прежде чем найти эти связи, отметим одно свойство характеристик 侈+ и 侈- в плоскости х, у и соответствующих им линий и = и±(〃)в плоскости u, V (эти линии тоже будем называть характеристиками).

Соотношение (1.25) вдоль характеристики 侈~, записанное в виде %%(〃)= —1, показывает, что с+ есть угловой коэффициент нормали к кривой и = и_(〃). Таким образом, если в плоскостях х, у и 〃，о ось х и ось и параллельны, то элемент характеристики первого семейства 抬 + в плоскости х, у и соответствующий ему элемент характеристики второго семейства и = и_(〃) в плоскости 〃, и ортогональны. Аналогично ортогональны элемент характеристики 侈- и элемент характеристики и = %(〃).

Перейдем теперь в соотношениях (1.27) при К± = 0 к переменным V, 9. В результате получим

d (V cos 9) + tg (9—卩)d (V sin 0) = 0, dy = tg (0 + ^dx,

d (V cos 0) + tg (8 + 卩)d (V sin0) = 0, dy = tg (0—p) dx или

d8—ctg 卩歹=0, dy = tg (0 + 卩)dx,

d8 + ctg 卩不=0, dy = tg (0—卩)dx.

Переменные в соотношениях вдоль характеристик разделились, и эти соотношения легко проинтегрировать:

d = tg ® + Df/=tg(8—卩)・d = tg ® + Df/=tg(8—卩)・/+ = 8— f ctg 卩 ¥ = const, ，кр

d = tg ® + D

f/=tg(8—卩)・

d = tg ® + D

f/=tg(8—卩)・

/- = 0+ § ctg卩$ = const,

Таким образом, в случае плоских безвихревых движений сетка характеристик в плоскости годографа не зависит от частного вида движения (величины I + и /_ являются аналогами инвариантов Римана в одномерных неустановившихся движениях).

Следовательно, при решении элементарной задачи метода характеристик для плоских безвихревых движений V и 9 в точке Р находятся точно из соотношений

/+ 06», %) = /+ (%+, 8p+), /- (VP, %) = /_ (%_, "_)• Координаты же точки Р, как и в общем случае, находятся приближенно.

“，и, a, s, причем характеристики, в одну сторону, расположены так,“，и, a, s, причем характеристики, в одну сторону, расположены так,Рис. 3.8.2Рис. 3.8.2

“，и, a, s, причем характеристики, в одну сторону, расположены так,

“，и, a, s, причем характеристики, в одну сторону, расположены так,

Рис. 3.8.2

Рис. 3.8.2

Используя решение элементарной задачи метода характеристик, можно решать различные краевые задачи о двумерных сверхзвуковых течениях газа вполне аналогично тому, как решались ранее задачи об однородных неустановившихся движениях.

Задача Коши. Задачи с условиями на характеристиках

Пусть на отрезке АВ в плоскости %, у (рис. 3.8.1) заданы непре-

рывно дифференцируемые начальные распределения искомых функций выходящие из точек отрезка АВ

что энтропийная характеристика

лежит между акустическими характеристиками. Тогда, беря на отрезке АВ ряд достаточно густо расположенных точек и применяя к ним процедуру решения элементарной задачи метода характеристик, найдем значения всех искомых функций в точках пересечения элементов акустических характеристик, выходящих из выбранных точек отрезка АВ. Применим ту же процедуру к близлежащим парам найденной системы точек и будем повторять ее до тех пор, пока не будет построена сетка характеристик и найдены значения искомых функций в ее узловых точках в треугольной области, ограниченной отрезком АВ и линиями Маха первого и второго семейств, выходящими из концов этого отрезка ). Как и в гл. II, описанную задачу назовем задачей Коиш или задачей I типа.

Пусть теперь искомые функции заданы на пересекающихся в точке О отрезках ОА и ОВ акустических характеристик разных семейств (рис. 3.8.2), причем значения этих функций при подходе к точке О вдоль разных характеристик совпадают. По этим данным можно определить решение в четырехугольной области, ограниченной отрезками ОА и ОВ и акустическими характеристиками разных семейств, выходящими из точек 4 н В *). Для получения сетки характеристик и значений искомых функций в ее узловых точках процедура решения элементарной задачи метода характеристик используется совершенно аналогично тому, как это было сделано в гл. II при решении соответствующей задачи.

Описанная задача есть задача Гурса или задача II типа.

Наконец, в задаче III типа задан отрезок (рис. 3.8.3) акустической характеристики ОЛ, например, первого семейства, вместе со значениями искомых функций на нем и известно одно условие на характеристике третьего семейства (линии тока) 05, проходящей через точку О, причем это условие должно быть в точке О согласованным с заданными на характеристике ОА значениями искомых функций. Таким условием может быть задание формы линии тока y = Ps(%)，т. е. связи и = 〃р&(%) на ней; в этом случае задачу можно назвать задачей об обтекании заданной стенки (задача Ша). Другим видом условия на линии тока может быть задание на ней давления. В этом случае в соотношении v — uys (х) функция ys (х) неизвестна и подлежит определению с помощью дополнительного условия р const при y = ys(%)； задача при этом называется задачей о течении со свободной границей (задача Шб).

Нахождение решения этих задач в треугольных областях, ограниченных характеристиками ОА и ОВ и акустической характеристикой АВ второго семейства, производится методом характеристик также совершенно аналогично решению соответствующих задач^ изложенному в гл. II.

Изоэнтропические течения.

Характеристики в плоскости годографа

Как уже говорилось ранее, в случае плоских баротропных и, в частности, изоэнтропических движений соотношения вдоль характеристик образуют интегрируемые комбинации, так что вдоль характеристик значения /+ = /+ (V, 9) и, соответственно, /_ = /_(匕 0) сохраняются неизменными. Поэтому сетка характеристик /+ = const, /_ = const в плоскости годографа (или в плоскости других переменных, связанных с переменными годографа, например 0 и р) может быть построена для всех течений одновременно.

В общем случае из выражений у

/± = 8 干 J ctg 卩学=8 干酬)(9.1)

следует, что в плоскости годографа с полярными координатами V, 0 все характеристики одного семейства получаются из одной из них поворотом вокруг начала координат; характеристики другого семейства можно получить симметричным отображением относительно прямой, проходящей через начало координат.

Для совершенного газа с постоянными теплоемкостями интеграл в выражениях (9.1) вычисляется, в результате чего получаем

jgarctg )Д ■j^—arctg /

или

gj^arctg И е(М2— 1)—arc tg Км2—1.

Здесь Х = V/VKp, М—число Маха и обозначено 存;=£•

окружности радиусаокружности радиусаМожно убедиться, что кривые, описываемые уравнениями /士 (匕 0) = const, получаются, если следить за движением точек

окружности радиуса

окружности радиуса

катящей ся без скольжения в ту или другую сторону по кругу радиуса Укр (рис. 3.9.1). Такие кривые называются эпициклоидами. Все они расположены внутри кольца

^кр&У&у^% = Кпах・

На рис. 3.9.2 приведена для у =1,4 часть этого кольца с сеткой эпициклоид обоих семейств. Наличие заранее заготовленной сетки

эпициклоид существенно облегчает приближенное решение задач типа I — III, позволяя, если не требуется высокая точность результатов, использовать чисто графический метод построения сетки характеристик в плоскости %, у и нахождения решения в узловых точках сетки.

Простые волны (течения Прандтля — Майера)

Уравнения плоских установившихся баротропных (в частности, изоэнтропических) сверхзвуковых течений имеют решения типа простых волн, аналогичные решениям для волн Римана в случае одномерных течений.

Если один из инвариантов, например, /_ (V, 9), сохраняет постоянное значение во всей области течения, т. е. если имеется интеграл уравнений движения

/_ (V, 8) = const,(10.1)

то вдоль характеристик первого семейства (вдоль каждой из которых выполняется условие I + (V, 8) = const) угловой коэффициент tg (0+ 卩) сохраняется постоянным и, следовательно, уравнение

結 tg(8 + “)

можно проинтегрировать и получить еще один интеграл

y-^tg(0 + p) = /(O),(Ю.2)

содержащий произвольную функцию / (9) и определяющий вместе с интегралом (10.1) в неявном виде зависимость V и 0 от х и у. В течении, описываемом выражениями (10.1) и (10.2), все характеристики первого семейства прямые и вдоль каждой такой характеристики параметры газа постоянны. Такое течение представляет собой простую волну и называется течением Прандтля—Майера.

Очевидно, что наряду с течениями Прандтля——Майера, описываемыми формулами (10.1) и (10.2), можно рассматривать течения Прандтля—Майера с прямолинейными характеристиками второго семейства, для которых справедливы формулы

/ + (匕 0) - const, у—х tg (8一卩)=g (6)(10.3)

с произвольной функцией g(6).

Рассмотрим течение Прандтля——Майера с прямыми характеристиками первого семейства (рис. 3.10.1). В таком течении прямые характеристики сходятся при возрастании у, если

tg (8 + 林)〉0,

и расходятся, если выполнено противоположное неравенство. Написанное неравенство можно с использованием интеграла (V, 9) = const преобразовать к виду

^tg[0(V) + H]^>O, откуда после выкладок получаем

p2。3d2и дp 0

27 cos2 (0 + |i) cos ft др2 дх > *

Таким образом, для сред, для которых О^и/Ор?%〉。, или для баротропных процессов, в которых dzu/dp?〉0, характеристики сходятся, если давление в частицах растет при прохождении ими простой волны (эти волны называются течениями сжатия}. Если давление в простой волне падает, она представляет собой течение разрежения

и характеристики в ней расходятся. При d2v/dp21$ < 0 этот вывод меняется на противоположный.

Если в формулах (10.2) или (10.3), описывающих течения Прандтля—Майера, считать /(8)=弘一х0 tg (0 + ^) или g(8) = % — —^o ^g (9—卩),то все прямые характеристики в таких течениях

Рис. 3.10.1Рис. 3.10.2Рис. 3.10.1Рис. 3.10.2

Рис. 3.10.1Рис. 3.10.2

Рис. 3.10.1Рис. 3.10.2

образуют пучок, выходящий из одной точки %о, у。 плоскости х, у (рис. 3.10.2). Такие течения Прандтля—Майера называются центра- рованными. Как и в случае одномерных нестационарных движений, центрированные течения Прандтля—Майера автомодельны: в них параметры потока зависят лишь от отношения р/х (при соответствующем выборе начала координат).

Так же, как и для волн Римана, можно показать, что любое непрерывное течение, примыкающее к области однородного состояния, при плоском установившемся движении есть течение Прандтля — Майера.

Обтекание искривленной стенки. Истечение газа в пространство с пониженным давлением. Течение в канале

Предположим, что газ движется вдоль прямолинейной стенки, которая, начиная с некоторой точки О (рис. 3.11.1), плавно искрив

ляется так, что выпуклостью она обращена в сторону, занятую газом. Предположим далее, что в области, примыкающей к прямолинейному участку стенки, поток однороден и имеет сверхзвуковую скорость 匕. Вверх от стенки поток газа безграничен. Требуется найти течение, возникающее при обтекании искривления стенки.

Поместим начало координат в точ

ку О, а ось % направим вдоль продолжения прямолинейного участка стенки. Проведем из точки О характеристику первого семейства, ограничивающую справа невозмущенный поток газа. Характеристика

эта прямолинейна и, следовательно, вдоль нее к однородному потоку примыкает течение Прандтля—Майера с прямыми характеристиками первого семейства. В этом течении /_ (匕 0) = const, откуда

0 + J Mg卩岑=0. (ПЛ)

Угол 0 при движении вдоль стенки уменьшается, так что скорость V возрастает (曲 и dV имеют разные знаки). Следовательно, давление вдоль стенки уменьшается и течение Прандтля—Майера есть течение разрежения, в котором (при обычных предположениях с свойствах газа) прямые характеристики образуют расходящийся пучок. Так как угол 0 в каждой точке обтекаемой стенки известен, то согласно (11.1) известна и скорость. Зная угол 0 и величину скорости V, можно определить угловой коэффициент прямой характеристики первого семейства, выходящий из данной точки. Параметры

потока во всех точках характеристики одинаковы—те же, что и в точке ее пересечения со стенкой. ,

В аналитической форме решение можно получить, если в общем выражении

у—% tg(8+ 卩) = /(8) (11.2) определить вид функции /(0). Для этого нужно выразить координаты у и % точек стенки в функции угла 9 и подставить эти функции в выражение (11.2).

Для совершенного газа с постоянными теплоемкостями легко получить решение геомет

рически, используя диаграмму эпициклоид в плоскости годографа. Очевидно, что образующееся при обтекании криволинейной стенки течение Прандтля——Майера соответствует отрезку эпициклоиды второго семейства, проходящей через точку (^, 0) плоскости годографа, соответствующую заданному невозмущенному потоку (рис. 3.11.2). Движению вдоль стенки вправо соответствует движение вдоль эпициклоиды от точки (Vn 0) в сторону уменьшающихся значений 9. При этом вектор скорости с началом в центре плоскости годографа и концом на эпициклоиде поворачивается по часовой стрелке. Нормаль к эпициклоиде в какой-либо точке дает направление характеристики первого семейства в плоскости течения в точке обтекаемого контура с тем же значением угла 0 (ось у = 0 в плоскости х, у и ось。= 0 параллельны).

Рассмотрение рис. 3.11.2 показывает, что при данной начальной скорости 匕 при адиабатическом течении совершенного газа существует предельный угол поворота потока вдоль стенки, при котором скорость V становится равной максимальной скорости Р^ах стацио

нарного течения газа, давление падает до нуля, а характеристика

первого семейства совпадает с линией тока (угол Маха 卩=0, так что tg(e+卩)=tg8)・ Если стенка искривляется на угол, больший этого предельного угла, то газ отрывается от стенки и между прямолинейной границей области движущегося газа и стенкой образуется вакуум (рис. 3.11.3). Очевидно, что с ростом начальной скорости 匕 предельный угол поворота уменьшается. Наибольшее его значение соответствует звуковой скорости невозмущенного потока 匕=兀р и равно ( ]/^j；—1)^, что при у= 1,4 составляет 130,45°, при Y= 1,2—208,50°.

Если после искривленного участка сгонка вновь становится прямолинейной, то за прямолинейной характеристикой, замыкающей

течение Прандтля—Майера, поток вновь становится однородным. Если уменьшать протяженность криволинейного участка, сохраняя неизменным угол поворота потока вдоль него, то в пределе, когда стенка будет состоять из прямолинейных участков, образующих выпуклый угол, течение Прандтля—Майера станет центрированным (рис. 3.11.4).

Если поместить начало координат в точку излома, то для центрированной волны функция / в выражении (11.2) обратится в нуль, так что в такой волне

xtg(9 +卩) = 0. (Н.З)

Это же решение с центрированной волной Прандтля—Майера можно использовать, если считать, что прямолинейная стенка, вдоль которой движется со сверхзвуковой скоростью газ, обрывается в точке О, и газ истекает в область с пониженным давлением. Прямолинейную границу вправо от точки О следует при этом считать свободной границей. При заданном давлении во внешнем пространстве скорость на свободной границе находится из интеграла Бернулли, а угол отклонения потока в центрированной волне—из соотношения (11.1). В частности, при истечении газа в вакуум угол отклонения свободной границы будет равен предельному.

10 Г. Г. Чернь(й

Комбинируя течения Прандтля — Майера и области однородного потока, можно конструировать разнообразные течения в каналах. Пример такого течения приведен на рис. 3.11.5. В этом примере газ последовательно ускоряется в двух центрированных течениях Прандтля——Майера так, что начальное направление однородного потока и направление однородного потока после ускорения совпадают. В плоскости годографа (рис. 3.11.6) начальному потоку соот- ветствует точка А 亿，0), первой волне Прандтля—Майера—дуга эпи- циклоиды АВ, второй волне Прандт- %ля—Майера—дуга эпициклоиды ВС\ точка С (丿2, 0) этой дуги соответству- ет конечному однородному потоку.

Использование течений Прандт- Рис. 3.11.5ля — Майера не позволяет рассчитать

сверхзвуковое течение в канале, у которого задана форма обеих стенок, так как решение, соответствующее течениям Прандтля—Майера, содержит лишь одну произвольную функцию, распоряжаясь которой можно удовлетворить условию обтекания только одной стенки.

Рассмотрим пример того, как рассчитывается сверхзвуковое течение в канале с заданной формой обеих стенок.

Пусть стенки канала вначале параллельны, а затем начинают искривляться, как показано на рис. 3.11.7, причем нижняя стенка

обрывается в точке О, соединяя канал с областью, в которой задано постоянное давление. Во входном участке канала поток однороден. Требуется рассчитать течение внутри канала и после выхода из него. Будем при этом предполагать, что течение всюду непрерывно, т. е. в потоке не образуются скачки уплотнения.

Так как левее точек А и А± поток однороден, то область этого однородного потока ограничена прямыми характеристиками разных семейств, идущими вниз по потоку из точек 4 Hzi и пересекающи-

мися в точке С. В областях АСВ и А1СВ1 решения задач с известными данными на акустической характеристике и с заданной линией тока (см. § 8, задача Ша) будут представлять собой течения Прандтля—Майера, причем из-за излома контура стенки в точке Л, часть волны Прандтля—Майера в области А^СВ】 будет центрированной. По известным данным на характеристиках С8 и СВ、найденных течений Прандтля——Майера рассчитывается течение в области BCBlD1 (§ 8, задача II). В областях BDO и BQQi течение находится вновь путем решения задачи Ша, затем, решая задачу II, находим течение в четырехугольнике ODOlE1 и, решая задачу Ilia,— в треугольнике OlF1El.

Таким образом рассчитывается все течение внутри канала вплоть до характеристики первого семейства 0f\, ограничивающей слева область влияния неизвестной заранее части границы области течения—свободной линии тока, исходящей из точки О. Если полученное при расчете давление р в точке О (т. е. давление в этой точке при подходе к ней из области уже найденного течения и, в частности, при подходе вдоль граничной характеристики OF^ окажется совпавшим с давлением 厶 в окружающем пространстве, то течение может быть непрерывно продолжено вправо от характеристики 0f\ путем решения задачи Шб. Если же р #= ра, то из-за несогласованности условий на заданной характеристике 0Fx и на отыскиваемой линии тока 0G течение в точке О будет иметь особенность. При р〉厶 согласно сказанному ранее течение в окрестности точки О будет центрированной волной Прандтля—Майера и может быть описано аналитически в небольшой области ОЕН за отрезком ОЕ характеристики О&, на котором значения параметров газа можно считать постоянными, с помощью полученных ранее в этом параграфе формул. После нахождения течения в областях HEF、H* и HlF1El (путем решения задач II и Ша соответственно) течение справа от характеристики НЕХ находится в результате решения задачи Шб, но уже при условиях на этой характеристике, согласованных в точке 〃 с условиями на продолжении свободной линии тока HG.

Если р <", то непрерывное продолжение течения вправо от характеристики 0% вблизи точки О невозможно. О том, как продолжить течение в этом случае, будет сказано в конце § 14 после того, как будут рассмотрены разрывные течения газа.

Обтекание вогнутого контура. Образование разрывов

Рассмотрим вновь обтекание прямолинейной стенки, которая, начиная с точки О (рис. 3.12.1), плавно искривляется вогнутостью в сторону, занятую газом. В этом случае за примыкающим к прямолинейному участку стенки однородным потоком образуется течение Прандтля—Майера, в котором скорость газа уменьшается, а давление возрастает. Это течение есть, таким образом, течение сжатия, и прямолинейные характеристики, образуя в нем сходящийся пучок, ю*

неизбежно пересекаются в области течения. Непрерывного решения задачи об обтекании стенки в этом случае не существует: в потоке образуется скачок уплотнения.

Если в построенном течении провести линию тока, целиком лежащую в области, где пересечения характеристик еще нет (рис. 3.12.1), то, приняв эту линию за вторую обтекаемую стенку, получим

Рис. 3.12.1Рис. 3.12.1

Рис. 3.12.1

Рис. 3.12.1

непрерывное течение внутри канала с сжатием газа в волне Прандтля—Майера.

При возникновении в потоке после пересечения характеристик скачка уплотнения найденное течение, включающее волну сжатия Прандтля—Майера, сохранится в области (рис. 3.12.2), ограниченной вниз по потоку скачком уплотнения /8 и характеристикой второго семейства ДС, идущей к стенке от точки зарождения скачка уплотнения. Линия тока AD, идущая вниз по течению от этой точки, отделяет область безвихревого движения вблизи стенки от завихренного течения за скачком. Вихри в потоке образуются вследствие неодинакового на разных линиях тока изменения энтропии газа при прохождении им скачка переменной интенсивности.

Если пересечение характеристик происходит непосредственно на стенке или стенка искривляется не плавно, а имеет излом, то скачок начинается на стенке.

Отметим, что, как следует из дальней-

Рис. 3.12.3 шего (§ 14), если угол поворота стенки достаточно велик и стенка после поворота продолжается под постоянным углом в бесконечность, решения задачи об обтекании вогнутой стенки сверхзвуковым потоком вообще не существует (и с учетом возможного образования скачков); если же стенка в дальнейшем вновь отклоняется и образует небольшой угол с направлением набегающего потока, то решение существует, но скачок уплотнения может при этом начинаться перед точкой начала искривленного участка стенки (рис. 3.12.3). Область, занятая течением Прандтля—Майера, при этом, конечно, отсутствует.

Графическое представление соотношений на скачке: ударная поляра, сердцевидная кривая

Продолжим рассмотрение соотношений на скачке, начатое в § 2. Займемся геометрической интерпретацией этих соотношений. Как уже отмечалось, при заданном состоянии газа с одной стороны скачка его состояния с другой стороны образуют одпопараметрическую совокупность.

Зафиксируем состояние газа с одной стороны волны и будем отмечать параметры газа в этом состоянии индексом 1. В качестве параметра, от которого зависит состояние газа с другой стороны волны, возьмем угол(р5 между направлением скачка и направлением скорости газа в зафиксированном состоянии, которое мы примем за направление оси х. Тогда, очевидно, справедливы следующие выражения для нормальной и касательной к скачку составляющих скорости: u〃 = 〃sin(ps—ucoscps， %i = %sinq)s，

?工=二 〃cosq?sT usincps， %i = YiCos(Ps.(•丿

Обозначим правую часть равенства (2.6) 尹.Используя выведенное ранее соотношение Прандтля (1.4.16)

^п^п = ^кр

и, замечая, что t^i = V；—v^, получим

Подставим в это равенство выражения (13.1) для ип1, vT1 и и”：

匕 sin 9s (“ sin q)s—и cos 屮$)=吸p —^}•吟 cos2 屮$.(13.2)

скорости(13.3)скорости(13.3)Согласно соотношению (2.7) касательные составляющие с обеих сторон скачка одинаковы, т. е.

скорости

(13.3)

скорости

(13.3)

и cos 9s 十 и sin (Ps = 丫1 cos(ps.

Исключив из двух последних равенств ф5, получаем

*=(%一"):*=(%一"):(13.4)(13.4)

*=(%一"):

*=(%一"):

(13.4)

(13.4)

Кривая в плоскости 〃，и, соответствующая этому уравнению, есть кривая третьего порядка (строфоида) и называется она ударной полярой или полярой Буземана^). Согласно уравнению (13.4) направ-

*) Буземан (Busemann) Адольф (1901 —1986) — немецкий ученый- зродинамик.

Работал в Германии, с 1947 г. — в США; автор ряда основополагаюших работ в области теоретической и прикладной аэродинамики больших скоростей.

ление потока при прохождении им скачка не меняется, т. е. состав

ляющая скорости V равна нулю, при 〃 =匕，т. е. когда скачка нет (или его можно считать бесконечно слабым), и при 〃 =必/匕一в этом случае скачок нормален к направлению скорости с обеих его сторон.

Ударная поляра имеет асимптоту и 二再］Т.

Ударная поляра при 匕〉17Kp изображена на рис. 3.13.1, а при ^i < ^кР — на рис. 3.13.2. В первом случае точка ударной поляры (V\, 0) является двойной, во втором ——изолированной.

В совершенном газе с постоянными теплоемкостями возможны лишь скачки уплотнения, в которых полная скорость газа уменьшается. Поэтому, если считать фиксированным состояние газа перед скачком, то должно быть 匕〉У (И—скорость газа за скачком) и физический смысл имеет лишь замкнутая часть поляры при V\ > 7кр. Если же считать фиксированным состояние газа после скачка, то У〉V\ и физический смысл при Vr〉7кр имеет лишь часть поляры, на которой V > 匕，т. е. ее асимптотические ветви, а при 匕 < 7кр — вся поляра (в обоих случаях—^в пределах круга с радиусом 7тах).

В дальнейшем при пользовании ударной полярой мы будем считать фиксированным состояние газа перед скачком, т. е. рассматривать только замкнутую часть поляры; при этом всегда > 7кр. Как уже говорилось в § 7 гл. I, полная скорость газа за скачком может быть и дозвуковой, и сверхзвуковой, нормальная же составляющая скорости всегда дозвуковая.

На рис. 3.13.3 приведено семейство ударных поляр (13.4) при у=1,4 для различных значений V^lV^ > 1 или числа Маха М】= =Vja (приведены лишь замкнутые участки поляр). При 匕=県 (Mi=l) ударная поляра вырождается в точку, при ^ = 7тах она становится окружностью

где

〃* =

VTT

'max.

Y+]Pmax.

При каждом значении VrlV^ существует максимальный угол поворота потока в скачке, соответствующий лучу, проведенному из точки О касательно к поляре. Этот угол увеличивается при возрастании 匕/几р. Наибольшее его значение при 匕=Vmax, очевидно, определяется равенством

sin0sin0maxmax广 1广 1

sin0

sin0

max

max

广 1

广 1

При 丫= 1,4 0max = 45,58°, при 丫=1,2 0max = 56,14°.

Можно показать, что окружность V = VKp пересекает ударную поляру правее точки максимального угла поворота потока, так что

в этой точке скорость газа за скачком меньше скорости звука и сравнивается с ней лишь при Vr = VKp и ^ = Vmax. Отличие угла отклонения 9кр, при котором скорость за скачком становится равной скорости звука, от максимального угла отклонения 9тах невелико и при у= 1,4 не превышает 30' во всем диапазоне значений %.

Простым геометрическим построением можно определить ту точку ударной поляры, которая соответствует данному углу cps наклона скачка к направлению потока перед ним, т. е. определить для данного <Ps скорость за скачком. Действительно, проведем в плоскости 〃，V (рис. 3.13.4) луч из начала координат под углом ф5 к оси и перпендикуляр к этому лучу из точки (Vn 0). Очевидно, что отрезок луча ОА дает величину касательной к скачку составляющей скорости перед скачком. Так как касательная к скачку составляющая скорости газа за скачком должна иметь ту же величину, то ясно, что скорость за скачком представляется отрезком ОВ, идущим из начала координат в точку пересечения нормали с ударной полярой.

Обратное построение, т. е. нахождение направления скачка по заданной скорости за скачком, тоже не представляет труда. Огме-

тим, что если задано лишь направление скорости за скачком (в пределах значений угла отклонения потока, меньших максимального), то можно найти два разных значения величины скорости за скачком и два разных значения угла наклона скачка. Эти два скачка, соответствующие одному и тому же углу поворота скорости, называют скачками《слабого》семейства (при мгньшем изменении скорости и меньшем росте давления) и ^сильного» семейства (при большем изменении скорости и большем росте давления). За скачком сильного семейства скорость всегда дозвуковая, за скачком слабого семейства скорость почти всегда сверхзвуковая (исключение составляет уже упоминавшийся очень малый диапазон угла поворота скорости между 0кр и 0гпах).

Угол наклона скачка изменяется в пределах от л/2—этому углу соответствует наибольшее по величине изменение скорости газа при прохождении им скачка——до минимального значения (pSmin? при котором нормаль к скачку из точки (V\, 0) касается ударной поляры в этой точке. Найдем это значение Wsmm・

Вблизи точки (Y「 0) уравнение ударной поляры имеет вид

02 =-生当2—(%一")2.

Выразив отношение 吸/吸р через М；, получим

и2 = (М；—1)(兀一〃 )2.

Отсюда заключаем, что

т. е.屮smin = N есть угол Маха,—скачок уплотнения вырождается в характеристику.

Аналогично уравнению ударной поляры, связывающей значения компонент скорости 〃 и и с одной стороны скачка при известном состоянии газа с другой его стороны, получим связь между давлением р и углом 9 поворота потока в скачке.

Соотношения на скачке в виде (см. (2.8)) p一% = pm (兀一〃) и

где и(〃) определяется уравнением ударной поляры (13.4), дают в параметрической форме (с параметром и) связь между р и 0 с одной стороны скачка при фиксированном состоянии газа с другой.

На рис. 3.13.5 представлена эта связь для сированным является состояние движения со ростью перед скачком. Замкнутая петля соответствует в этом случае скачкам уплотнения; нижние ветви не имеют физического смысла. Полученные кривые являются отображением в плооНа рис. 3.13.5 представлена эта связь для сированным является состояние движения со ростью перед скачком. Замкнутая петля соответствует в этом случае скачкам уплотнения; нижние ветви не имеют физического смысла. Полученные кривые являются отображением в плоослучая, когда сверхзвуковойслучая, когда сверхзвуковойфик-с ко-фик-с ко-кость параметровполяр в плоскостикость параметровполяр в плоскостиих свойства.их свойства.0, Р ударных〃，и и повторяют0, Р ударных〃，и и повторяютЭти кривые называютЭти кривые называют«сердцевидными» за их своеобразную«сердцевидными» за их своеобразнуюформу.Иногда используются и другие графические иллюстрации соотношений на скачках уплотнения; приведенные выше, наряду с кривой Гюгонио, используются наиболее часто.форму.Иногда используются и другие графические иллюстрации соотношений на скачках уплотнения; приведенные выше, наряду с кривой Гюгонио, используются наиболее часто.

На рис. 3.13.5 представлена эта связь для сированным является состояние движения со ростью перед скачком. Замкнутая петля соответствует в этом случае скачкам уплотнения; нижние ветви не имеют физического смысла. Полученные кривые являются отображением в плоо

На рис. 3.13.5 представлена эта связь для сированным является состояние движения со ростью перед скачком. Замкнутая петля соответствует в этом случае скачкам уплотнения; нижние ветви не имеют физического смысла. Полученные кривые являются отображением в плоо

случая, когда сверхзвуковой

случая, когда сверхзвуковой

фик-с ко-

фик-с ко-

кость параметров

поляр в плоскости

кость параметров

поляр в плоскости

их свойства.

их свойства.

0, Р ударных

〃，и и повторяют

0, Р ударных

〃，и и повторяют

Эти кривые называют

Эти кривые называют

«сердцевидными» за их своеобразную

«сердцевидными» за их своеобразную

форму.

Иногда используются и другие графические иллюстрации соотношений на скачках уплотнения; приведенные выше, наряду с кривой Гюгонио, используются наиболее часто.

форму.

Иногда используются и другие графические иллюстрации соотношений на скачках уплотнения; приведенные выше, наряду с кривой Гюгонио, используются наиболее часто.

§ 14・ Течение внутри угла.

Свехзвуковое обтекание клина и профиля.

Истечение газа в пространство с повышенным давлением

Рассмотрим сверхзвуковое обтекание стенки АО В (рис. 3.14.1, а) из двух прямолинейных участков, образующих в точке О вогнутый угол. Примем, что стенка простирается в обе стороны в бесконечность. Набегающий слева поток имеет скорость 匕，давление рх и

Рис. 3.14.1Рис. 3.14.1

Рис. 3.14.1

Рис. 3.14.1

плотность Pi. Соображения, аналогичные использованным в § 8 и 12 гл. II, показывают, что решение этой задачи должно быть автомодельным, так что распределения газодинамических величин в нем зависят лишь от отношения ylx (начало координат совмещено с точкой излома стенки). Аналогично § 12 гл. II можно показать, что для уравнения плоского установившегося движения возможными автомодельными решениями, зависящими только от у/%, являются однородные потоки и рассмотренные ранее центрированные течения Прандтля——Майера.

В автомодельных решениях области однородного течения или центрированного течения Прандтля——Майера могут отделяться одна от другой прямыми ylx = const, представляющими собой слабые разрывы (характеристики) или сильные разрывы (скачки уплотнения, тангенциальные разрывы).

В задаче о течении внутри вогнутого угла центрированные течения Прандтля—Майера с прямыми характеристиками первого семейства (направленными в сторону движения) или второго семейства (направленными против движения), примыкающие к набегающему однородному потоку, не могут дать нужного решения, так как и в той и в другой волне (первая из них есть волна разрежения, вторая—волна сжатия) поворот вектора скорости происходит против нужного направления. Точно так же непригоден скачок уплотнения, идущий к угловой точке из бесконечности слева, так как в нем набегающий поток тоже поворачивается не в требуемом граничным условием направлении. Кроме того, и волна разрежения, и скачок уплотнения, идущие из бесконечности в набегающем потоке к угловой точке, не соответствуют физическому содержанию задачи, так как предполагается, что источником возмущения набегающего однородного потока является излом стенки. Таким образом, единственная возможность получить решение задачи состоит в том, чтобы принять существование скачка уплотнения, отходящего от угловой точки вниз по потоку (это решение подсказывается и предыдущим рассмотрением задачи об обтекании криволинейной стенки, вогнутой в направлении области, занятой газом).

Обратимся к ударной поляре. Как было установлено ранее, если угол излома стенки и совпадающий с ним угол поворота вектора скорости потока меньше предельного для данных условий в набегающем потоке (эти условия характеризуются двумя безразмерными параметрами ——числом Маха М】и величиной у), то возможны два положения скачка уплотнения, при которых угол поворота потока будет одним и тем же. Больший угол наклона скачка соответствует более сильному изменению состояния газа в скачке, меньший угол наклона —более слабому.

Как уже говорилось в предыдущем параграфе, если угол отклонения потока не очень близок к предельному, то скорость газа за более слабым скачком — сверхзвуковая, за более сильным она всегда дозвуковая.

Сформулированная постановка задачи не позволяет отдать предпочтение какому-либо одному из полученных двух решений; для однозначного выбора решения необходимы дополнительные соображения. Опыт показывает, что в течениях, близких к двумерным, и при отсутствии дальнейшего повышения давления в области вниз по течению от излома стенки реализуются более слабые скачки.

Отметим еще, что в изложенном решении задачи об обтекании вогнутого угла неявно принималось условие о совпадении границы области движущегося газа с обтекаемой стенкой. При несоблюдении этого условия возможны и другие—автомодельные и неавтомодельные——решения задачи. На рис. 3.14.1,6 и в приведены простейшие примеры таких решений, в которых с обтекаемой стенки сходят вихревые поверхности — контактные разрывы, отделяющие от движущегося газа пристенные «застойные» области газа с постоянным давлением.

Позже (в § 17) мы еще вернемся к вопросу о единственности решения задач обтекания.

Если в течении, показанном на рис. 3.14.1,а, скорость газа за скачком сверхзвуковая, то полученное решение пригодно и тогда, когда стенка после излома не простирается в бесконечность, а ведет себя, например, так, как показано на рис. 3.14.2. Хотя в этом случае течение в целом не автомодельно, возмущение от второго излома стенки в точке 8 не нарушает течения перед этим изломом, так как область идущих от него возмущений ограничена спереди прямолинейной характеристикой первого семейства 8С, замыкающей однородное течение за скачком. Вдоль характеристики ВС к однородному

потоку примыкает центрированное течение Прандтля — Майера (тоже автомодельное в соответствующей системе координат). Это течение и следующий за ним вдоль продолжения стенки однородный поток остаются невозмущенными вплоть до первой характеристики CD второго семейства, идущей из точки С скачка.

Если скорость газа за скачком меньше скорости звука, то полученным автомодельным решением нельзя описать течение за скачком в случаях, когда стенка на конечном расстоянии от точки излома перестает быть прямолинейной, так как возмущения от измененной формы стенки распространяются по всей области течения вплоть до скачка. В некотором интервале значений угла поворота стенки, близких к 0тах, нельзя даже локально около излома стенки использовать автомодельное решение для скачков слабого семействаt так как анализ показывает [14], что в названном интервале значений 0 кривизна скачка в его начальной точке у стенки обращается в бесконечность.

Если угол поворота стенки бесконечной протяженности больше предельного, то автомодельного во всей плоскости решения задачи с прямолинейным скачком не существует; не существует и какого- либо иного, неавтомодельного решения этой задачи. И в том случае^ когда стенка после излома не простирается в бесконечность, а становится вновь параллельной набегающему потоку или образует с ним угол, меньший предельного (рис. 3.14.3), решения рассматриваемого типа не существует даже в малой окрестности точки излома. Однако

при этом нельзя утверждать, что решения задачи не существует вообще, так как оно не обязано быть автомодельным.

В возникающем неавтомодельном течении образуется так называемый отошедший скачок уплотнения, который начинается у стенки впереди от точки излома (рис. 3.14.3; см. также рис. 3.12.3). За отошедшим скачком вблизи стенки образуется область с дозвуковым потоком; при приближении вдоль стенки к точке излома поток тормозится до нулевой скорости, а затем вновь ускоряется при удалении от этой точки.

Если скачок начинается в точке излома стенки (такой скачок называется присоединенным), то течение вдоль стенки не возмущено

вплоть до этой точки. Это течение можно соединить с другим течением того же типа в нижней полуплоскости, заменив стенку перед излом эм общей для обоих течений линией тока. В результате получится обтекание сверхзвуковым потоком клина с идущими в бесконечность сторонами (рис. 3.14.4) или обтекание тела с клиновидной головной частью (рис. 3.14.5). При этом картина течения не обязательно должна быть симметричной. Подчеркнем, что в рассматриваемом случае течения в возмущенных областях над обтекаемым телом и под ним независимы.

Если угол отклонения стенки больше предельного, так что скачок отходит вперед от точки излома стенки (рис. 3.14.3), то течение в верхней полуплоскости можно соединить с симметричным ему относительно оси 无 течением в нижней полуплоскости, заменив вновь стенку до точки излома линией тока. Вследствие симметрии давление и направление скорости с двух сторон разделяющей оба течения линии тока между скачком и вершиной клина одинаковы.

Таким образом, получаем обтекание симметричного относительно оси х тела с отошедшим скачком уплотнения или ——иначе — с отошедшей головной волной. Так как в этом случае скорость газа за скачком вблизи вершины клина дозвуковая, то возмущения могут

передаваться через эту область из одной полуплоскости в другую и течения с двух сторон клиновидного тела не являются независимыми.

Несимметричное обтекание клиновидных тел с отошедшей головной волной имеет сложный характер. При описании таких течений нужно учитывать появление у вершины клина при огибании ее газом местной сверхзвуковой зоны или допускать сход с этой вершины вихревой поверхности и образование за ней местной «застойной» зоны.

Если в изображенном на рис. 3.14.4 течении уменьшать угол раствора клина, сохраняя неизменным наклон его нижней стенки, то интенсивность идущего вверх от клина скачка будет ослабевать.

Рис. 3.14.6Рис. 3.14.6

Рис. 3.14.6

Рис. 3.14.6

При совпадении направления верхней стенки с направлением набегающего потока этот скачок исчезнет и поток в верхней полуплоскости станет невозмущенным. При дальнейшем уменьшении угла раствора клина у его вершины сверху образуется центрированная волна Прандтля—Майера (рис. 3.14.6), интенсивность которой растет по мере увеличения угла отклонения потока. В пределе, когда

угол раствора станет равным нулю, клин превратится в пластину, установленную под углом атаки а к набегающему потоку (рис. 3.14.7).

Давление над пластиной в потоке, прошедшем волну Прандтля —

Майера, ниже, а давление под пластиной в потоке, прошедшем скачок уплотнения,—выше давления в набегающем потоке. Разность давлений с обеих сторон пластины создает силу, действующую по нормали к пластине в сторону области пониженного давления.

Если пластина имеет конечную длину, то у ее задней кромки

встречаются два потока с одинаковым направлением, но с разными значениями скорости, давления и энтропии. Сходящие с задней кромки поверхности тока образуют тангенциальный разрыв, с двух сторон которого давление должно быть одинаковым. Поэтому поток у задней кромки отклоняется так, что в течении над пластиной образуется скачок уплотнения, а в течении под пластиной—волна разрежения. Систему волн, образующуюся при обтекании пластины конечной длины, можно рассчитать с помощью сердцевидных кривых (§ 13).

состояния R сердцевиднуюсостояния R сердцевиднуюНа рис. 3.14.8 в плоскости 0, р точка О соответствует невозмущенному потоку. Проходящая через эту точку сплошная линия —— сердцевидная кривая—описывает возможные состояния за скачком уплотнения, а штриховая линия—состояния в простой волне разрежения. При' заданном угле отклонения потока —а точки R и S дают значения давления над пластиной и под ней. Проведем для

состояния R сердцевидную

состояния R сердцевидную

кривую, а для состояния S—линию, соответствующую волне разрежения (штриховая линия). Точке W пересечения этих двух кривых соответствуют значения бирс обеих сторон тангенциального разрыва, сходящего с задней кромки пластины.

Так как нормальная по отношению к скачку составляющая скорости газа перед скачком сверхзвуковая, за скачком—дозвуковая, а по отношению к характеристике (переднему или заднему фронту волны Прандтля—Майера) нормальная составляющая скорости точно равна скорости звука, то волны, отходящие от задней кромки пластины («хвое-

товые» волны), на некотором удалении от нее начнут взаимодействовать с головными волнами и ослаблять их.

Расчет такого взаимодействия, как и расчет течения около профиля с непрямолинейными образующими (подобного изображенному на рис. 3.14.5), можно осуществить методом характеристик, о чем будет сказано несколько позже.

В автомодельном решении с прямолинейным скачком (рис. 3.14.1, а) давление на стенке за точкой ее излома постоянно и выше давления в потоке перед скачком. Поэтому это решение можно использовать и тогда, когда за точкой начала скачка стенка обрывается и газ истекает в область с повышенным давлением. Прямолинейная граница потока за скачком будет в этом случае свободной границей. При заданном давлении во внешнем пространстве угол отклонения свободной границы находится из соотношений на скачке или с помощью сердцевидной кривой. Решение вновь существует лишь при условии, что давление в окружающем пространстве меньше некоторого предельного значения, которое соответствует наиболее сильному скачку, т. е. скачку, нормальному к направлению набегающего потока.

Таким образом, если в задаче, рассмотренной в конце § 11, давление р в точке О (см. рис. 3.11.7) при подходе к ней вдоль стенки слева меньше давления Ра в окружающем пространстве, то от точки' О внутрь потока отходит скачок уплотнения. Так как скорость газа по нормали к скачку перед ним больше скорости звука, то начальный наклон скачка в точке О больше начального

наклона характеристики О£, и скачок будет распространяться внутрь области известного течения левее характеристики OF.

Таким образом, при обтекании профиля с криволинейными образующими, при истечении газа из канала в область с повышенным

давлением и во многих других случаях в дополнение к типовым задачам I, II, III, рассмотренным в § 8, возникает задача о расчете течения в условиях (рис. 3.14.9), когда из точки О исходят неиз

вестный заранее скачок уплотнения ОВ, течение перед которым известно, и линия тока 。力，на которой задано одно соотношение

между параметрами газа. Это соотношение может задавать форму линии тока (как в задаче об обтекании заданного контура) или (как при истечении газа из канала) величину давления на неизвестной заранее линии тока (ее форма должна быть определена при решении). Заметим, что значение энтропии на граничной линии тока определяется ее значением перед скачком в точке О и локальным значением угла наклона скачка в

этой точке.

Сформулированная задача (назовем ее задачей IV типа) может быть решена методом характеристик, если скорость газа за скачком во всей рассчитываемой области сверхзвуковая.

Опишем процедуру нахождения решения (рис. 3.14.9), используя соотношения на акустических характеристиках в форме (1.28)*). В общем случае будем считать поток перед скачком неоднородным или, если он (в случае плоского потока) однороден, то линию тока будем считать заданной и криволинейной, так как иначе течение за скачком однородно и описывается точными формулами.

Зная в точке О угол поворота потока в скачке или давление за ним, проведем (используя ударную поляру и сердцевидную кривую) из точки О элемент скачка 01 и — в случае свободной линии тока—элемент этой линии).

Зная параметры потока перед скачком и угол скачка, определим в точке / за скачком значения р и 0. Проведем из точки / элемент характеристики второго семейства до его встречи с линией тока в точке О〕. Зная в этой точке 0, если задан обтекаемый контур, или р, если имеется свободная поверхность, найдем вторую из этих величин из соотношения между р и 9 вдоль характеристики /〃; энтропия в точке О1? как и на всей граничной линии тока, одна и та же и равна ее значению в точке О за скачком.

Из точки О] проведем элемент характеристики первого семейства 02; положение точки 2 (например, ее абсцисса х) и значения р и 0 в ней определяются из трех условий: соотношения между р н 9 вдоль характеристики。2 связи между р и 9 в скачке, зависящей от х, и условия того, что элемент скачка, угол наклона которого связан с 9 и есть тоже функция х, пройдет через точку 1. Зная 9 в точке /, проведем из нее элемент линии тока 11、и определим значение энтропии в точке 厶；интерполяцией между точками О】и 2 найдем значения 9 и р в этой точке. Этим завершается первый этап построения. Далее стандартными операциями находим решение в точках О2, /2, О3, после чего проводим элемент характеристики первого семейства из точки /2 в сторону скачка, подобно тому, как это было сделано из точки О】； затем определим следующий элемент скачка и т. п. В результате 儿>7 получим сеточное решение в треугольной облас- 八 ，/ ти, ограниченной линией тока О А, линией скач- /ка ОВ и характеристикой второго семейства ВЛ

>.л(две последние линии отыскиваются в процессе Е решения, линия тока может быть либо заданной, « либо тоже находится при решении).

气При сверхзвуковом, в общем случае—несим-

—*—L Ж, метричном, обтекании тела с затупленной головной 、乂 7 частью, как и в случае описанного выше сим- М \ метричного обтекания заостренного впереди тела \ с углом отклонения потока у передней кромки, ' большим предельного, перед телом образуется Рис. 3.14.10 отошедшая головная волна (рис. 3.14.10). Набегающий поток до скачка остается невозмущенным; за центральной частью скачка скорость газа становится дозвуковой, так что течение в целом является смешанным. Из-за того, что ска

чок искривлен, интенсивность его переменна; поэтому энтропия газа в течении за скачком различна на разных линиях тока и, следовательно, течение становится вихревым (1.22)).

Дозвуковой поток за скачком растекается вдоль поверхности головной части тела, образуя на поверхности точку торможения. При симметричном обтекании давление в этой точке равно полному давлению газа за прямым скачком уплотнения, соответствующим числу Маха Mi набегающего потока, и определяется формулой (1.4.18).

При уменьшении скорости набегающего потока до скорости звука головная волна постепенно ослабевает и отходит на все большее расстояние от тела (см. ниже § 22); по мере роста числа Маха М】 набегающего потока головная волна приближается к телу, стремясь при Mi —> оо к некоторому предельному положению вблизи головной части тела (см. § 23).

В результате взаимодействия головной волны с возмущениями, подходящими к ней сзади, интенсивность волны при удалении от

тела уменьшается и на бесконечном расстоянии от него головная волна вырождается в слабый разрыв—характеристику.

В потоке за головной волной могут образовываться другие по* верхности разрыва—скачки уплотнения и тангенциальные разрывы.

Основная трудность теоретического изучения обтекания тел с отошедшей головной волной связана с смешанным характером вихревых течений за волной. Полученные до настоящего времени аналитическим путем приближенные формулы для расчета таких течений имеют частный характер и не обеспечивают в ряде случаев необходимую точность результатов. Поэтому для решения задачи сверхзвукового обтекания затупленных тел разработаны различные численные методы,

связанные с использованием быстродействующих вычислительных машин. Эти методы позволяют рассчитывать двумерные течения ц некоторые важные случаи пространственных течений около тел с отошедшей головной волной.

Образующаяся за отошедшей волной дозвуковая зона имеет, как правило, ограниченную протяженность, т. е. является локальной. Спереди она ограничена поверхностью головной волны, а сзади： поверхностью тела и поверхностью, на которой вновь достигается скорость звука—звуковой поверхностью (подробнее о трансзвуковых течениях будет сказано в § 22). В области за звуковой поверх-, ностью скорость потока вновь сверхзвуковая. Из некоторой части этой области возмущения могут проникать в дозвуковую область, влияя на течение в ней и, в частности, влияя на форму ограничит вающей ее спереди головной волны. На рис. 3.14.11 показаны случаи возможного при разных значениях числа Mi взаимного расположения в области за головной волной звуковой линии (сплошные кривые) и акустических характеристик двух семейств (штриховые и пунктирные кривые) при обтекании плоских контуров и осесимметричных тел. Очевидно, что область зависимости течения в дозвуковой зоне простирается на контуре тела до точки В, лежащей в первых двух случаях в сверхзвуковой зоне. Возмущения формы контура правее точки В не влияют на течение в дозвуковой зоне, так как распространение этих возмущений ограничено спереди характеристикой первого семейства, идущей из точки В и не попадающей на звуков

вую линию). Результаты, полученные при расчете трансзвукового течения в области перед этой характеристикой, можно использовать как исходные данные для расчета сверхзвукового течения вниз по потоку, например, с помощью описанного выше метода характеристик.

Пересечение скачков уплотнения.

Взаимодействие скачков с твердой и свободной границами и с тангенциальным разрывом

Рассмотрим пересечение в пространстве двух скачков уплотнения или пересечение скачка уплотнения с тангенциальным разрывом и с твердой или свободной границами (которые можно считать предельными случаями тангенциального разрыва). Это пересечение при стационарных движениях происходит вдоль некоторой неподвижной в пространстве линии, которая является особой для распределений параметров газа. Примем, что в небольшой окрестности выбранной точки особой линии элемент этой линии можно заменить прямой, а элементы пересекающихся вдоль нее поверхностей разрыва можно заменить участками плоскостей ). Будем считать также, что изменением параметров газа в направлении особой линии можно пренебречь и что составляющая скорости газа в этом направлении равна нулю. Дv^я рассматриваемых нами плоских или незакрученных осесимметричных течений последние предположения удовлетворены автоматически. В общем случае, как будет показано ниже, предположение о равенстве нулю составляющей скорости вдоль особой линии несущественно; что же касается предположения о неизменности параметров, то оно всегда может быть локально удовлетворено, если градиенты параметров ограничены. В связи с этим далее будем рассматривать течение в плоскости, нормальной к особой линии.

Возможные случаи пересечения двух разрывов показаны на рис. 3.15.1.

В случаях а и 6 по однородному сверхзвуковому потоку газа, движущемуся вдоль оси х, из бесконечности распространяются два скачка уплотнения постоянной интенсивности разных направлений (случай а) или одного направления (случай б); оба скачка пересекаются в некоторой точке О оси х (х = 0). В случае в с обеих сторон оси х движутся в одном направлении два разных однородных потока, для которых ось х является поверхностью тангенциального разрыва; по верхнему сверхзвуковому потоку из бесконечности распространяется скачок уплотнения постоянной интенсивности, встречающий тангенциальный разрыв в точке О (х = 0). На рис. 3.15.1 гид пока-

заны предельные случаи пересечения скачка с тангенциальным разрывом: отражение скачка от свободной границы (случай а) и от твердой стенки (случай 0).

Рассмотрим задачу о продолжении описанных течений вправо от точки пересечения разрывов. Эта задача аналогична рассмотренной в § 12 гл. II задаче о распаде произвольного разрыва. Действительно, проведем через точку О прямую так, чтобы подходящие к ней разрывы были слева от нее и чтобы эта прямая была аналогом пространственно-подобной линии (например, можно взять эту прямую

Рис. 3.15.1

пер пенди кул яр но направлению набегающего потока — вдоль оси д, как это сделано на рис. 3.15.1). Тогда для определения течения справа от прямой будем иметь задачу Коши с кусочно-постоянными и различными по обе стороны от точки О значениями параметров, которые в общем случае не связаны законами сохранения (случаи а, 6, в на рис. 3.15.1), или, если параметры газа заданы лишь на полупрямой с одной стороны особой точки, они не удовлетворяют в этой точке требуемому граничному условию (случаи а, д на рис. 3.15.1).

Итак, требуется найти решение в полуплоскости х> 0 по заданным распределениям параметров газа на прямой % = 0, имеющим разрыв в точке О. Автомодельные решения этой задачи, если они существуют, должны строиться, как уже говорилось, из областей однородного потока, отделенных скачками уплотнения, тангенциальными разрывами или областями центрированных течений Прандтля— Майера. Из тех же соображений, что и в задаче о распаде разрыва в § 12 гл. II, следует, что в каждую сторону от тангенциального разрыва (в частности, от твердой стенки или от свободной границы), может отходить либо один скачок уплотнения, либо одна центрированная волна Прандтля — Майера.

Наличие в течениях, изображенных на рис. 3.15.1, в набегающем потоке отличной от нуля составляющей скорости w вдоль особой линии—оси z, перпендикулярной плоскости хОу (в случае 15.1, в

w может быть разной с обеих сторон контактного разрыва), не нарушает, очевидно, автомодельности отыскиваемых решений и не осложняет их нахождение. Действительно, при сделанных предположениях проекция уравнения Эйлера на ось z

Эш . dw с

показывает, что в областях непрерывности движения w сохраняет свое значение в частицах. Остальные уравнения, определяющие двумерное движение, и при 侬=/=0 не содержат 侬,и их решения, следовательно, не зависят от этой величины. При прохождении потоком

скачка уплотнения составляющая скорости w. касательная к скачку, не изменяется, а на продолжении тангенциального разрыва начальный скачок w сохраняется. Таким образом, во всем возникающем течении w сохраняет те же значения, что и в набегающем потоке; то, что 侬* 0, не влияет на распределение всех остальных параметров газа.

Начнем с задач об отражении скачка уплотнения от свободной границы и от твердой стенки. Пусть однородный сверхзвуковой поток газа (рис. 3.15.2, а) имеет свободную границу ЛО, и пусть идущий из бесконечности к свободной границе скачок уплотнения постоянной интенсивности 80 встречает границу в точке О. Давление в потоке за скачком выше давления в области перед ним, равного давлению ра на свободной границе. Скорость за скачком направлена в сторону свободной границы. Так как давление на участке границы за точкой О должно быть тем же, что и перед этой точкой, и так как от точки О внутрь области движения может отходить либо скачок уплотнения, в котором давление еще более возрастет, либо центрированная волна разрежения Прандтля——Майера, в которой давление падает, то следует остановиться на последней. Поворот потока в волне Прандтля—Майера происходит в том же направлении, что и в падающем скачке, а интенсивность волны должна быть такой, чтобы давление газа в однородном потоке за волной равнялось давлению во внешнем пространстве.

При заданном сверхзвуковом потоке эта задача имеет автомодельное решение, если интенсивность падающего скачка такова, что скорость газа за ним сверхзвуковая или точно равна скорости звука.

Действительно, рассмотрим решение задачи в плоскости 9, р (рис. 3.15.2, 6). Построим сердцевидную кривую для данных условий в набегающем потоке. Если точка О сердцевидной кривой, соответствующая состоянию газа за скачком, лежит ниже точки S, в которой скорость газа за скачком равна скорости звука или совпадает с ней, то через эту точку можно провести в плоскости 0, р линию OR, описывающую расширение газа в волне Прандтля— Майера. Эта линия (соответствующая эпициклоиде в плоскости 〃，и) при уменьшении 9 доходит до линии р = 0 (соответствующейчокружности максимальных скоростей в плоскости 〃，и) и, следовательно,

Рис. 3.15.3

обязательно пересекает прямую р = ра, чем и доказывается существование решения.

Если поток за скачком дозвуковой, то по нему от точки О не может отходить ни скачок, ни волна разрежения, т. е. в предположении автомодельности решения поток за скачком должен был бы сохраняться однородным вплоть до свободной границы, что невозможно, так как при этом не будет удовлетворено требуемое граничное условие 〃 = 〃а・

Таким образом, при дозвуковом течении за скачком задача об отражении скачка от свободной поверхности при отсутствии линейного масштаба не имеет решения (по необходимости автомодельного).

Если допустить наличие в постановке задачи линейного масштаба (в реальных условиях такой масштаб всегда есть), то решение по физическому смыслу должно существовать, но оно до настоящего времени не получено ). Можно лишь утверждать, что в этом случае падающий скачок и свободная граница искривлены, при этом их кривизна может неограниченно возрастать при приближении к особой точке; то же верно для градиентов газодинамических величин при приближении к особой точке из возмущенной области.

Перейдем теперь к задаче об отражении скачка от жесткой стенки. И в этом случае поток за падающим скачком ВО (рис. 3.15.3, а)

направлен к стенке, поэтому для удовлетворения граничного условия на стенке необходимо, чтобы отраженная от стенки волна была скачком уплотнения. В этой волне ОС поток должен повернуться на тот же угол, что и в падающей волне, но в обратном направлении.

Рассмотрим сначала решение в плоскости 〃，и (рис. 3.15.3, б). Возьмем ударную поляру, соответствующую значению 匕 скорости потока перед падающим скачком (точка “ на оси и). Точкой О обозначим на ней конец вектора скорости V за первым скачком. Для

гветствует состоянию газа перед ним. Построим ударную поляру, принимая это состояние за исходное. При этом возможны два случая. В первом случае, когда интенсивность падающего скачка невелика, вторая ударная поляра пересекает ось и в двух точках О2 и О；. Каждая из этих точек определяет величину % скорости за вторым скачком, направленной вдоль продолжения стенки. Графическим построением найдем направление отраженного скачка, для чего проведем из начала координат нормаль к прямой, проходящей через точку О и точку О2 или О；・ Давление и плотность в области за отраженным скачком могут быть определены из соотношений на скачке или графически—по сердцевидным кривым и кривым Гюгонию.

Вновь, как и при обтекании излома стенки, постановка задачи не содержит критерия для выбора одного решения из полученных Двух.

При увеличении интенсивности падающего скачка точка О ударной поляры приближается к точке, в которой скорость за первым скачком становится равной скорости звука. При этом «петля» второй ударной поляры уменьшается, так что, начиная с некоторой интенсивности падающего скачка, при котором две точки пересечения поляры с осью и, сливаются в одну, пересечения второй поляры с осью и вообще не происходит. Это означает отсутствие автомодельного решения поставленной задачи в том случае, когда угол поворота потока в падающем скачке больше по величине предельного угла отклонения потока в скачке для течения за ним.

Определение области значений параметров набегающего потока и интенсивности падающего скачка, в которой существует автомодельное решение об отражении скачка, хотя и не представляет

принципиальных затруднений, но требует громоздких выкладок. Поэтому мы ограничимся лишь изложением некоторых результатов ).

На рис. 3.15.4 приведена область существования автомодельного решения в переменных pjp, q для совершенного газа с у = 1,4. Здесь pjp—отношение давления перед падающим скачком к давлению за ним, a—угол падения скачка. Параметры эти меняются в диапазонах

Кривая 1 на рис. 3.15.4 ограничивает сверху область а < аЛ1, где отражение может происходить в соответствии с полученным автомодельным решением (правильное или регулярное отражение), от области а > ам, где такое отражение не может осуществляться. В области, где существует автомодельное решение, таких решений два: одно с более сильной и другое —с более слабой отраженной волной. В точках кривой / эти два решения сливаются в одно.

При р^р —> 0 (что соответствует Мх оо) угол ам при у =1,4 равен 39,97°, при 〃/р—1 при всех у он стремится к п/2.

Угол отражения а「(рис. 3.15.3, а) не совпадает в общем случае с углом падения а. Проследим за его изменением. Зафиксируем число Маха Mi перед падающим скачком и будем менять интенсивность скачка, изменяя угол а. Этому соответствует на рис. 3.15.4 движение вдоль линий Мх = const, проведенных согласно формуле (2.9) ^ = 1+爲(M；sma—1).

Будем сначала увеличивать угол падения а от а =(л (卩一угол Маха) до а = а,м， считая при этом отраженный скачок принадлежащим слабому семейству, затем будем уменьшать угол а от « = до а = &1, считая отраженный скачок принадлежащим сильному семейству. При таком изменении угла а угол отраженного скачка ar меняется от а =(л до a = n/2, а его интенсивность растет от нуля (отраженный скачок, как и падающий, является характеристикой) до максимальной (падающий скачок является характеристикой, а отраженный становится нормальным набегающему потоку). Если Mi < М*, где 从"=止^ и соответственно sin[i*= j/^弓^ (при у = 1,4, М*= 1,581 и 卩* = 39,23°; при 丫=1,2 М*=-1,491 и ц* = 42,13°), то при описанном изменении угла а всегда ar > a. Если же Mi〉М*, то сначала ar < а, затем при a = а* углы ar и a становятся равными, при дальнейшем изменении a ar > а (интересно, что угол а* не зависит от Mi—он равен 卩*). Равенство * = « достигается прежде равенства а = ам при меньших М〔 и после равен-

ства а = а”，т. е. при отраженном скачке сильного семейства, — при больших ЛА】.

Экспериментально явление отражения ударных волн начал изучать в прошлом веке Э. Мах; однако возобновились эти исследования лишь в сравнительно недавнее время — в 40-х годах. В последние годы получены новые интересные экспериментальные данные по отражению ударных волн ).

В опытах, в которых течение близко к двумерному, при регулярном отражении наблюдаются отраженные скачки только слабого семейства. В тех же случаях, когда составляющая скорости в на

правлении линии пересечения скачка со стенкой не равна нулю, в некоторых условиях наблюдаются отраженные скачки сильного семейства.

Что же происходит, если на стенку падает скачок с интенсивностью большей, чем та, при которой возможно правильное- отражение?

Для ответа на этот вопрос заметим, следующее. При описанном выше движении вдоль линии М] = const (рис. 3.15.4)

давление за отраженным скачком возрастает. При достаточно больших значениях Mj (для у =1,4 при Mj > 1,483) давление за отраженным

скачком при некотором значении а = а v становится равным давлению за скачком, нормальным к направлению набегающего потока. Это значит, что при a = a,v(Mi) возможна конфигурация потока, изображенная на рис. 3.15.5. На этом рисунке приходящий в точку О скачок АО расщепляется в этой точке на уходящий отраженный скачок ОВ и уходящий скачок OS, нормальный к направлению набегающего потока. Так как энтропия газа, прошедшего через скачки АО и 08, в общем случае не равна энтропйи газа, прошедшего через скачок OS, то газ в областях B0L и SOL имеет разные плотности и скорости и эти области отделены выходящим из точки О контактным разрывом 0L, Течение за скачком OS—дозвуковое. Изображенная на рис. 3.15.5 конфигурация называется тройной ударной конфигурацией или маховой конфигурацией (по имени Э. Маха). Точка О расщепления падающего скачка называется тройной точкой, а уходящий скачок Од—маховым скачком.

На рис. 3.15.4 кривая 2 соответствует значениям а「=аЛ「. Она лежит ниже кривой а = а用 и касается ее.

Части кривой 2 слева от точки касания соответствуют отраженные скачки слабого семейства, а справа (при М】<2,190 для у= 1,4)— отраженные скачки сильного семейства.

В точках линии а = а« наряду с правильным отражением возможно отражение согласно рис. 3.15.5. Расстояние тройной точки от стенки может быть произвольным; оно становится определенным, если в задаче об отражении имеется масштаб длины—в таких случаях это расстояние должно быть пропорционально масштабу длины.

Несмотря на значительный объем проведенных экспериментальных исследований, задача об отражении скачка при а, близких к aN и больших него, еще не изучена полностью. Теоретическое исследование течений с такими системами скачков весьма сложно. Опытные данные и некоторые результаты численного моделирования показывают, что в стационарных условиях регулярное отражение при a>av не осуществляется даже тогда, когда оно возможно, т. е. при

а < ам. При а〉а“ образуются тройные конфигурации с искривленными маховым и отраженным скачками и криволинейным контактным разрывом, подобные изображенной на рис. 3.15.6.

При больших значениях числа Мг при отражении падающего скачка от стенки возможны и еще более сложные системы скачков— так называемые сложные маковы и двойные маковы конфигурации (они наблюдаются в нестационарных потоках, а также получены при

численном моделировании некоторых случаев стационарного отражения).

Если рассмотренные в этом разделе течения с отражением скачка от плоской стенки (рис. 3.15.3, а и 3.15.6) симметрично отобразить в другую полуплоскость и соединить два полученных таким образом течения, заменив стенку линией тока, то мы получим, очевидно, течение (рис. 3.15.7), возникающее при пересечении двух скачков одинаковой интенсивности, идущих по газу навстречу один другому. Такое пересечение называется соответственно правильным (регулярным) или—в другом случае—неправильным (маховым, нерегулярным). При симметричном пересечении скачков тангенциальный разрыв в точке правильного пересечения, естественно, не возникает, так как он в этом случае совпадает с линией симметрии течения.

Если идущие по газу навстречу один другому скачки имеют разную интенсивность, то картина их пересечения не будет симметричной.

Несимметричное пересечение скачков тоже может быть правильным (регулярным), при этом из точки пересечения скачков исходит контактный разрыв, или неправильным (маховым, нерегулярным). В первом случае автомодельное решение может быть построено с помощью сердцевидных кривых в плоскости 0, р.

Теоретическое исследование неавтомодельных течений при неправильном пересечении скачков чрезвычайно сложно, и до последнего времени здесь нет систематических результатов.

Рис. 3.15.8

Рассмотрим кратко пересечение скачков одного направления (рис. 3.15.1,6). В случае автомодельного решения два приходящих в точку О скачка АО и ВО (рис. 3.15.8) продолжаются в невозмущенную область в виде уходящего от точки О скачка ОС. В область,

занятую газом, прошедшим через скачки АО и ВО, от точки О отходит либо ударная волна OS (рис. 3.15.8, а), либо центрированная волна разрежения OR (рис. 3.15.8,6). Области течения за скачком ОС и за волной OS или OR отделены контактным разрывом OL.

Эти автомодельные решения вновь могут быть получены с использованием в плоскости 9, р сердцевидных кривых, соответствующих скачкам уплотнения, и (в случае возникающих волн разрежения) кривых, соответствующих простым волнам.

Как и в случае пересечения ударных волн разных направлений, при взаимодействии волн

одного направления автомодельные решения существуют не при всех значениях параметров набегающего потока (при у =1,4 только при Mi〉1,305), даже если течение за вторым скачком сверхзвуковое. В случаях, когда автомодельного решения нет, второй скачок расщепляется в точке О (рис. 3.15.9) до подхода к точке пересечения прямых, продолжающих оба взаимодействующих скачка, образуя тройную конфигурацию из одного приходящего скачка ВО и двух уходящих скачков OS и О。'.

При пересечении отходящего от точки расщепления О махового скачка с первым скачком в точке О' образуется еще одна тройная конфигурация—два приходящих скачка АОГ и О。' сливаются в один уходящий О'С. От точек О и О' отходят контактные разрывы OL и OZ'. В области за маховым скачком ОО' течение дозвуковое; этот скачок, как и отраженный скачок OS и линии контактных разрывов, искривлен.

Подчеркнем, что эта неавтомодельная система волн мало изучена и теоретически, и экспериментально.

Рис. 3.15.10

Рассмотрим, наконец, пересечение скачка уплотнения с поверхностью контактного разрыва. В этом случае автомодельные решения могут существовать, лишь если скорости с обеих сторон контактного разрыва направлены в одну сторону и являются сверхзвуковыми в обоих невозмущенных потоках и за падающим скачком (а также и в рассмотренных выше предельных случаях отражения скачка от свободной поверхности и от твердой стенки).

Очевидно, что проходящее (преломленное) возмущение будет скачком уплотнения, отраженное же возмущение может быть и скачком уплотнения (отражение от более «жесткой» среды, рис. 3.15.10, а), и центрированной волной разрежения (отражение от более «мягкой» среды, рис. 3.15.10, 6). Автомодельное решение и здесь удобно строить, используя те же кривые в плоскости 9, ", что и в предыдущей задаче.

Если течение с другой стороны контактного разрыва, к которому подходит скачок, дозвуковое или если скорость за падающим скачком дозвуковая, то автомодельного решения задачи нет, неавтомодельные же ее решения изучены мало.

Из изложенного выше в этом параграфе следует, что в стационарном двумерном потоке задача, аналогичная задаче о распаде произвольного начального разрыва при одномерных неустановивши хся течениях, далеко не всегда имеет автомодельное решение.

В заключение параграфа рассмотрим задачу об истечении однородной сверхзвуковой плоской струи конечной ширины в пространство с более низким или более высоким давлением.

Начнем с первого случая. На рис. 3.15.11, а изображена верхняя часть симметричного относительно оси % течения, на рис. 3.15.11, 6——соответствующая ей область в плоскости годографа.

В этом случае в точке Л начала свободной границы струи образуется центрированная волна разрежения ABD (в плоскости годографа ей соответствует дуга эпициклоиды 80). В области BCD эта волна взаимодействует с линией симметрии течения (как с жесткой стенкой), образуя отраженную волну разрежения Прандтля——Майера DCFE (в плоскости годографа области взаимодействия соответствует треугольник BCD, а отраженной волне разрежения—дуга эпициклоиды DC). Отраженная волна взаимодействует со свободной поверхностью в областн EFE1 (в плоскости годографа участку свободной поверхности ЕНЕ» соответствует дуга окружности ЕНЕ* двум

Рис. 3.15.11

граничным характеристикам EF и £\尸——отрезки эпициклоид EF и EF). В силу симметрии области взаимодействия EFE】и условий на ее границах в плоскости годографа относительно оси 〃，область взаимодействия EFE1 в плоскости течения, а вместе с ней и все течение между точками А и Аг симметричны относительно средней линии HF, где составляющая скорости и = 0.

Таким образом, при истечении однородной сверхзвуковой струи в пространство с более низким давлением (при этом говорят об истечении «недорасширенной» струи) струя имеет периодическую структуру из повторяющихся «бочек», одна из которых (ее верхняя половина) показана на рис. 3.15.11.

Газ в пределах одного периода струи ускоряется до наибольшей скорости в области однородного потока САС】,а затем вновь тормозится до начальной скорости. При уменьшении внешнего давления интенсивность центрированной волны разрежения при выходе струи из канала растет, начальный угол свободной границы (ему соответствует угол наклона к оси 〃 луча OD в плоскости годографа) увеличивается, скорость в области CF& растет; соответствующая этой области точка С плоскости годографа сдвигается вдоль оси 〃 к окружности максимальной скорости Vmax и при понижении давления до некоторой величины достигает ее. Точки С и F плоскости течения уходят при этом в бесконечность. При дальнейшем понижении давления частью границы области течения в плоскости годографа становится все больший участок окружности V = Vmax, и во все больше й угловой области плоскости течения поток на боль

шом удалении от выхода струи из канала становится аналогичным радиальному течению от сверхзвукового источника, рассмотренному в § 4.

Обратимся теперь к истечению струи в пространство с более высоким давлением (при этом говорят об истечении «перерасширен- ной» струи). В этом случае в точке начала свободной границы образуется скачок уплотнения (рис. 3.15.12). Если повышение давления в окружающем пространстве сравнительно невелико, то интенсивность образующегося скачка тоже невелика и при взаимодействии скачка с линией симметрии (как с жесткой стенкой) происходит его

правильное отражение (рис. 3.15.12, а). Отраженный скачок встречает свободную границу в точке Л. В сечении струи, где находится точка Л, давление выше давления в окружающем пространстве, иг таким образом, начиная с этого сечения, структура струи повторяет предыдущий случай истечения недорасширенной струи.

При повышении давления в окружающем пространстве регулярное отражение скачка от линии симметрии сменяется неправильным—маховым (рис. 3.15.12,6, см. также рис. 3.15.7,6). Вызванная взаимодействием отраженного скачка со свободной границей волна разрежения приводит к ускорению дозвукового потока за центральным маховым скачком; это ускорение может разогнать поток в центральной части струи до сверхзвуковой скорости. При дальнейшем повышении давления махов скачок перекрывает все сечение канала. Повышение давления в окружающем пространстве до значения, большего давления за прямым скачком, делает невозможным истечение струи без ее перестройки внутри канала.

При истечении реальных струй в затопленное пространство (т. е. пространство, занятое газом) большую роль играет размывание внешней границы струи (и границы внутренней струи на рис. 3.15.12, 6), так что наблюдается лишь несколько первых «бочек», структура последующих становится все более нечеткой, пока струя не превратится в турбулентную с нестационарной структурой.

Осесимметричные простые волны.

Сверхзвуковое обтекание кругового конуса

Подобно простым волнам в плоском установившемся потоке (течениям Прандтля—Майера), существуют также осесимметричные течения, в которых компоненты скорости 〃 н и (или значения V и

0) связаны определенным соотношением. Как и течения Прандтля — Майера, эти осесимметричные простые волны являются баротропными (в частности, изоэнтропическими) потенциальными течениями. Однако, в отличие от течений Прандтля—Майера, осесимметричные простые волны могут быть лишь автомодельными, т. е. параметры газа в них постоянны при g/x = const (в цилиндрической системе координат с расстоянием вдоль оси симметрии х и расстоянием от оси симметрии у). Осесимметричные простые волны называются течениями Буземана; очевидно, что они являются частным случаем конических течений. При изучении течений Буземана удобно наряду с плоскостью течения %, у использовать плоскость годографа 〃，и, в которой простым волнам соответствуют отрезки кривых v = v(u).

Найдем уравнения, которыми описываются осесимметричные простые волны.

Введем в полуплоскости течения у〉0 полярные координаты г, 屮(0W$Wn), отсчитывая угол 屮 от направления оси %. Из уравнения отсутствия вихрей

dv а〃 — а

считая и п V функциями одного только угла ф, получим

黑tg屮+岩(IS) или

霏 tg 中+1=0・(16.2)

Отсюда следует, что направление луча (р = const в плоскости течения, на котором компоненты скорости равны и, и, совпадает с направлением нормали к кривой v = v(u) в плоскости годографа в соответствующей точке (рис. 3.16.1).

Для получения второго уравнения, связывающего “, и, воспользуемся уравнением неразрывности (1.20). Считая в нем 〃 и и функциями ф и используя уже полученное уравнение (16.1), найдем

гдегде2黑=废4 (16.3)

где

где

(16.4)(16.4)N = 〃2一(у cos ф—и sin(p)2, N = W—嗚

(16.4)

(16.4)

и уп = и cos ф—〃sin(p есть составляющая скорости 。①,нормальная к лучу ф = const.

Заменив в этом уравнении <р и d(p с помощью (16.2), получим одно уравнение второго порядка, определяющее связь v = v(u) в

течениях Буземана:

卅=] +=^^1(1+叫.(16.5)

Здесь штрих обозначает производную по 〃.

Каждому решению уравнения (16.5) соответствует автомодельная осесимметричная простая волна в плоскости течения, так как при известном решении и = и(〃) из уравнения (16.2) находятся зависимости w и у от (р. При этом для однозначности решения в плоскости течения кривизна интегральной кривой и = и(〃) не должна менять знак на рассматриваемом ее участке.

Изучим наиболее интересные течения с осесимметричными простыми волнами.

Рассмотрим течение, непрерывно примыкающее к однородному поступательному потоку вдоль конуса 屮=屮「При Ф = Ф1 w = Уг > О, и = 0. Из уравнения (16.3) следует, что при и = 0 должно быть N = 0 (иначе du/d屮=0 при ф = фг и течение продолжается за конус (р = ф1 как однородный поступательный поток u — Vu и = 0), т. е.

〃：一吟 sin2q)i = 0.

Это равенство показывает, что непрерывное примыкание простой волны к поступательному потоку возможно лишь при сверхзвуковой скорости (Vj > ^) и линии 屮= 91, как и следовало ожидать, суть акустические характеристики.

Действительно, угол наклона этих линий определяется равенством sinq)i = ± 晋=± sin 卩〔(16.6)

(Ni—угол Маха набегающего потока) и характеристические соотношения (1.25) вдоль них выполнены, так как u = V1 = const и и = 0. Таким образом, простая волна может непрерывно примыкать к сверхзвуковому поступательному потоку вдоль обращенной назад (по потоку) или вперед (против потока) характеристики.

Изучим эти два случая течения.

Точки 〃=Vi (Vj > aj, и = 0 являются особыми для уравнения (16.5). Вдоль каждого из двух направлений, определяемых формулами (16.2) и (16.6)

(命士 =干%И1,

из каждой такой точки выходит однопараметрическое семейство ин・ тегральных кривых, имеющих, как показано ниже, одинаковую кривизну (рис. 3.16.2).

Найдем значения производных 〃工 и% и ^ф при 屮= q\. Для этого используем уравнения (16.2) и продифференцированные по q> уравнения (16.3) и выражение (16.4) для N. При дифференцировании

последнего необходимо иметь в виду преобразование

嘗=祭話靑（〃…У—黄1-1*々+呀

интеграла — + h = % = const, = Г——1 (см. формулу (1.1.10); для совершенного газа с постоянными теплоемкостями Г = у).В результате несложных выкладок найдем, что при 屮二(piинтеграла — + h = % = const, = Г——1 (см. формулу (1.1.10); для совершенного газа с постоянными теплоемкостями Г = у).В результате несложных выкладок найдем, что при 屮二(pi〃41〃41N в* =N в* =Vi cos ф! sin(piV1 COS2 ф!F+l ，a? cos фхVi cos ф! sin(piV1 COS2 ф!F+l ，a? cos фхsin 中1 ・sin 中1 ・(16.7)(16.7)

интеграла — + h = % = const, = Г——1 (см. формулу (1.1.10); для совершенного газа с постоянными теплоемкостями Г = у).

В результате несложных выкладок найдем, что при 屮二(pi

интеграла — + h = % = const, = Г——1 (см. формулу (1.1.10); для совершенного газа с постоянными теплоемкостями Г = у).

В результате несложных выкладок найдем, что при 屮二(pi

〃41

〃41

N в* =

N в* =

Vi cos ф! sin(pi

V1 COS2 ф!

F+l ，

a? cos фх

Vi cos ф! sin(pi

V1 COS2 ф!

F+l ，

a? cos фх

sin 中1 ・

sin 中1 ・

(16.7)

(16.7)

Дифференцируя (16.2) по 〃， полагая

<₽ = ^! и используя выражение (16.7) для 〃:…получим

9)$= S — — Vi sin3 qp! cos epi

однородному потоку вдольоднородному потоку вдольПусть(pi < n/2, т. e. простая волна примыкает к набегающему

однородному потоку вдоль

однородному потоку вдоль

обращенной по потоку характеристики и

Рис. 3.16.3Рис. 3.16.3

Рис. 3.16.3

Рис. 3.16.3

продолжается, следовательно, в сторону уменьшающихся значений 屮(рис. 3.16.3). Тогда 〃^ < 0,血 > 0, N^ < 0, т. е. в волне и растет, а V убывает, т. е. по модулю тоже растет (так как ^ = 0). Таким образом, вблизи начального конуса простой волны скорость газа в ней возрастает, а давление и плотность, следовательно, уменьшаются. Величина N = q2—и^ возрастает, так что нормальная к лучу составляющая скорости газа становится дозвуковой. Эти свойства сохраняются и далее в волне, т. е. в этом случае простая волна есть волна разрежения. Однако, можно показать, что течение может быть продолжено лишь до некоторого q)= q)p 0 < фг < <рь при котором кривая и = и(〃) имеет точку, где и" = 0. При этом зна-

чении ф, как следует из уравнения (16.5), а?一疗=0, так что линия 屮=(Pz имеет характеристическое направление. При приближении к ней производные % и %)неограниченно возрастают по величине ).

Найденную простую волну можно использовать для построения части течения около тела вращения в виде кругового цилиндра, который, начиная с некоторого сечения, постепенно сужается по специальному закону (на рис. 3.16.3, 6 контур такого тела заштрихован).

Отметим, что найденную осесимметричную волну разрежения нельзя соединить со следующим за ней потоком с помощью конического скачка уплотнения, так как в волне нормальная к лучу Ф = const составляющая скорости дозвуковая.

Пусть теперь 屮】〉冗/2, т. е. волна примыкает к набегающему однородному потоку вдоль обращенной вперед характеристики (рис. 3.16.4). В этом случае 〃展,> 0,脸 > 0,必］> 0, т. е. в волне

Рис. 3.16.4Рис. 3.16.4

Рис. 3.16.4

Рис. 3.16.4

〃 и и уменьшаются (|。| растет). Величина N становится отрицательной, так что нормальная к лучу составляющая скорости становится сверхзвуковой. Это направление изменения и и v сохраняется при изменении ф от 屮】до л/2. Действительно, пусть при уменьшении ср при значении <р = ф* > л/2 величина 〃展 впервые обратится в нуль. При ф^(р* ^ не может стать нулем, так как тогда, согласно уравнению (16.3), вместе с ^ обратится в нуль и и по теореме Ролля между двумя нулями величины и должен быть нуль ее про-

изводной Уф и, следовательно, согласно (16.1), нуль 〃片.Таким образом, "展〉0 прик/2 w$&

После перехода через ф = л/2, согласно (16.1), изменится знак производной %, так что будет % < 0. Продлить течение до 。= 0 при некотором ф > 0 нельзя, так как при этом было бы N = 0 и, согласно формуле (16.7), %〉0, что противоречит предыдущему. Таким образом, непрерывно соединить волну с однородным течением невозможно. Оказывается, однако, возможным, поместив на некотором конусе ф =(ps скачок уплотнения (напомним, что в рассматриваемом течении 方 V 0, так что скорость по нормали к лучу — сверхзвуковая), перевести поток в однородное течение вдоль оси % (рис. 3.16.4).

Рассмотрим теперь задачу о сверхзвуковом симметричном обтекании кругового конуса. Те же рассуждения, что и в случае обтекания клина, позволяют утверждать, что при обтекании конуса бесконечной протяженности решение, если оно существует, автомо- дельно, т. е. параметры течения постоянны на конусах (р = const. В частности, головной скачок уплотнения, отделяющий однородный набегающий поток от возмущенного течения за ним, должен быть конусом(p =(ps. Так как интенсивность головного скачка уплотнения во всех его точках одна и та же, то и изменение энтропии газа при прохождении им скачка на всех линиях тока одинаково, так что течение за скачком изоэнтропическое. Поскольку полное теплосодержание газа при прохождении им скачка не изменяется, то изоэнтропическое течение за скачком безвихревое. Таким образом, течение за скачком представляет собой осесимметричную простую волну и, следовательно, описывается в плоскости годографа уравнением (16.5), а решение в плоскости течения находится по решению в плоскости годографа согласно выражению (16.2).

Сформулируем краевые условия, которым должно удовлетворять решение. На поверхности конуса, т. е. при(р = ф0 (фо——угол полураствора конуса), должно быть выполнено условие

■^ = tg Фо» или—в плоскости годографа—

^ (и)+1=0. (16.8)

Геометрически, как уже говорилось, это означает, что нормаль к кривой。=。(〃)в точке, соответствующей поверхности конуса, должна проходить через начало координат в плоскости годографа.

На скачке уплотнения—при (р = ф5—значения и и v должны удовлетворять соотношениям на скачке, т. е. точка кривой и = о(〃), соответствующая скачку, должна лежать на ударной поляре набегающего потока и касательная к скачку составляющая скорости за скачком должна равняться этой же составляющей перед скачком.

Итак, решение уравнения (16.5) должно удовлетворять следующим краевым условиям:

при ф =ф0 -^-=^Фо,

f 〃 + utgq)s =匕，(16・9)

при …(%

где 卜2(〃)——правая часть уравнения ударной поляры (13.4).

не является переопреде-не является переопреде-Хотя сформулированная краевая задача для уравнения второго порядка (16.5) содержит три условия, она ленной, так как при заданном ф0 (т. е. при заданном угле раствора конуса) величина % (т- е- угол раствора конического скачка уплотнения) заранее неизвестна и должна находиться в процессе решения.

не является переопреде-

не является переопреде-

При решении этой краевой задачи обычно поступают по-иному. Задают угол скачка уплотнения(ps. При этом краевая задача превращается в задачу Коши, так как при ф = ф5 заданы два условия. Угол соответствующего конуса(р0 находится при

продолжении решения в сторону уменьшения ф до такого значения, при котором удовлетворяется первое условие (16.9).

Рассмотрим ход решения подробнее. В плоскости годографа проведем луч 屮= q)s (рис. 3.16.5). Опустим на этот луч перпендикуляр из точки Л, соответствующей набегающему потоку. Точка пересечения В этого перпендикуляра с ударной полярой определяет значения 〃 и и за скачком, т. е. начальную точку интегральной кривой уравнения (16.5). Из соотношения (16.2) следует, что в этой точке

U (“) tg屮s+ 1 =0,

так что интегральная кривая выходит из начальной точки вдоль нормали к направлению скачка, т. е. вдоль направления АВ. За скачком нормальная к скачку скорость дозвуковая, и, следовательно, интегральная кривая обращена выпуклостью к центру. Так как при уменьшении 屮 поворот луча в плоскости течения и, соответственно, нормали к интегральной кривой в плоскости годографа, должен происходить по часовой стрелке, то интегральная кривая должна идти от точки В влево. Эта кривая продолжается до точки Во, в которой нормаль к кривой проходит через начало координат О. Отрезок ОВ0 дает направление и величину скорости на поверхности конуса.

Описанное построение можно произвести для всех углов скачка Ф5 от л/2 до (ьц. Совокупность полученных при таком построении точек Во образует в плоскости годографа кривую, которая за ее 11*

своеобразный вид получила название яблоковидной кривой (рис. 3.16.6). Яблоковидная кривая и интегральные кривые, соединяющие точки ударной поляры и яблоковидной криво访,определяются только условиями в набегающем потоке.

Имея заранее заготовленные при решении обратной задачи яблоковидные кривые и совокупность интегральных кривых, описываю

щих простые осесимметричные волны между скачком уплотнения и поверхностью конуса, можно решать прямую задачу об обтекании заданного конуса.

Луч, проведенный под углом, равным заданному полууглу раствора конуса, пересекает яблоковидную кривую в точке Во, которая связана годографом простой волны В0В с точкой В на ударной

поляре. Зная точку В, известным построением находим направление

головного скачка — угол q)s.

Поток в этом скачке отклоняется на угол, меньший полуугла раствора конуса (рис. 3.16.7). Дальнейший поворот потока происхо

дит в непрерывной простой волне и сопровождается уменьшением скорости и ростом давления. При этом течение при сверхзвуковой скорости за скачком может оставаться всюду сверхзвуковым или, если годограф простой волны при следовании от точки на ударной поляре до точки на яблоковидной кривой пересекает звуковую окружность, сверхзвуковое течение за скачком при некотором значении ср, т. е. на некоторой конической поверхности, переходит в дозвуковое. Такой случай течения проиллюстрирован на рис. 3.16.8, на котором приведена линия тока в простой волне за скачком и характеристики в сверхзвуковой области течения. На звуковой линии характеристики обоих семейств, очевидно, ортогональны линии тока. Если поток за скачком дозвуковой, то он остается дозвуковым во всей возмущенной области.

При заданном достаточно малом полуугле раскрытия конуса, как и при обтекании клина, возможны два режима течения — на

рис. 3.16.6 второму режиму течения (с более сильным скачком) соответствует точка В；. В опытах осуществляются режимы обтекания с более слабым скачком (если в потоке вниз по течению от острия конуса не создается область повышенного давления).

При достаточно большом угле раствора конуса проведенный под соответствующим углом луч не пересекает яблоковидную кривую: автомодельного решения в этом случае нет.

Так как в простой волне за скачком поток продолжает поворачиваться в том же направлении, что и в скачке, то предельное значение угла конуса, при котором возможно его обтекание с присоеди

ненным в вершине скачком, больше предельного угла клина. На рис. 3.16.9 даны графики значений предельного угла клина и конуса в газе с y=i,4 в зависимости от числа М набегающего потока. При М —> оо предельный полуугол конуса равен 57,6°, клина—45,58°.

Если течение вплоть до поверхности обтекаемого конуса сверхзвуковое, то полученным автомо

дельным решением можно пользоваться и для конуса конечных размеров. Если, например, конус соединен с цилиндром, то решением можно пользоваться в области за скачком уплотнения до характеристики первого семейства, ограничивающей спереди волну разрежения, исходящую из точки сопряжения конической части обтекаемого тела с цилиндрической.

Если в автомодельном решении за скачком скорость дозвуковая всюду или в области, прилегающей к обтекаемой поверхности, то при обтекании конуса конечных размеров автомодельным решением можно пользоваться лишь локально в окрестности вершины конуса.

Если конус конечен и угол его раскрытия больше предельного, то, как и при обтекании клина с углом, большим предельного, возникает отошедшая ударная волна с областью дозвуковых скоростей за ней. Эффективное решение таких задач возможно лишь с использованием численных методов, реализуемых на быстродействующих ЭВМ.

В связи с большой практической важностью задачи об обтекании конуса имеются подробные таблицы параметров потока в таких автомодельных течениях. Отметим, что эта задача была одной из первых, для подробного численного решения которой использовалась быстродействующая ЭВМ (1947 г.).

Экспериментальное изучение сверхзвукового обтекания конической головной части тел очень хорошо подтверждает результаты теоретического исследования.

Интересны и некоторые другие случаи течений с осесимметричными простыми волнами, например, течение разрежения за кони-

ческой волной детонации Чепмена—Жуге, образующейся в однородном потоке горючей смеси газов при поджигании ее точечным источником.

Можно было бы ожидать, что, подобно задаче о регулярном отражении плоского скачка от стенки (§ 15), при отражении от оси конической ударной волны со сверхзвуковой скоростью за ней тоже возникнет автомодельное течение, в котором отраженная волна является конической, а течение между падающей и отраженной волнами и, может быть, и течение за отраженной волной являются осесимметричными простыми волнами. Исследование показало, однако, что такого регулярного отражения конического скачка от оси симметрии не существует ни при каких значениях определяющих параметров. Отражение является всегда нерегулярным с образованием диска Маха вблизи оси симметрии (картина течения в меридианной плоскости совпадает при этом с изображенной на рис. 3.15.7,6).

Общая постановка задач об обтекании тел идеальным газом

Задача об установившемся обтекании тел неограниченным, однородным в бесконечности перед телом потоком является одной из главных для приложений газовой динамики. Ранее в этой главе излагались некоторые методы решения задачи обтекания частных классов тел и приводились примеры их использования при дозвуковой и при сверхзвуковой скоростях набегающего потока.

В настоящем параграфе излагаются некоторые общие соображения о постановке задачи установившегося обтекания тел и результатах ее исследования.

Математически задача об установившемся обтекании тела конечных размеров безграничным, однородным в бесконечности перед телом адиабатическим потоком газа формулируется следующим образом.

В области вне поверхности тела требуется найти решение уравнений (см. § 1)

у21

grad-y+ 2(о)х V) = —-gradp,

divpU=0,(V-grads) = 0,Р = Р(А s)・

Это решение должно удовлетворять условию в бесконечности перед телом

lim丿(*)=匕=匕t Xf - 00

и условию на поверхности тела (условию обтекания)

Задаются также плотность в бесконечности перед телом рг и давление в бесконечности %.

Как будет следовать из последующего изложения, приведенная формулировка задачи об обтекании тела заведомо не является полной.

Физические соображения и рассмотренные ранее примеры обтекания показывают, что в ряде случаев непрерывное решение задачи об обтекании построить не удается, но его можно найти в классе кусочно-непрерывных функций (с разрывами первого рода). При этом

Рис. 3.17.1

в решении могут быть поверхности тангенциального разрыва (которые существуют и при дозвуковых, и при сверхзвуковых скоростях с каждой из сторон разрыва) и скачки уплотнения (которые существуют лишь при сверхзвуковой скорости газа со стороны втекания его в скачок). Но и тогда, когда непрерывное решение существует, лучшее соответствие результатам опытов по обтеканию тел реальными газами (обладающими внутренним трением, т. е. вязкостью) может достигаться при использовании таких схем обтекания тел идеальным газом, в которых заранее постулируется сход с тела вдоль определенных линий на его поверхности тангенциальных разрывов——вихревых поверхностей; эти поверхности могут вновь присоединяться к телу или уходить вниз по потоку в бесконечность. Может постулироваться и сход с тела отдельных вихревых линий конечной интенсивности.

Так, например, при достаточно малой дозвуковой скорости набегающего потока, когда нигде в области течения не возникают зоны со сверхзвуковой скоростью, существует непрерывное решение задачи об обтекании сферы (рис. 3.17.1, а). Однако возможно и другое

решение этой же задачи, в котором принимается, что с некоторой линии на сфере (например, вдоль окружности в плоскости, перпендикулярной направлению набегающего потока) сходит поверхность тангенциального разрыва, уходящая в бесконечность (рис. 3.17.1, 6); давление на этой поверхности постоянно и равно давлению в бесконечности (схема обтекания Гельмгольца— Кирхгофа). Такое решение при подходящем выборе окружности, с которой сходит поверхность разрыва, лучше соответствует действительной картине обтекания сферы (по крайней мере в близкой к обтекаемой сфере области) при небольших значениях числа Маха и больших значениях числа Рейнольдса, когда происходит отрыв потока с поверхности тела и за телом образуется зона со сравнительно небольшими скоростями газа и, следовательно, с малыми значениями градиента давления.

Положение линии схода поверхности тангенциального разрыва на сфере в рамках модели идеального газа должно задаваться на основе дополнительных гипотез и постулатов.

Мысленно можно представить схему обтекания той же сферы с выступающей вперед заостренной областью, заполненной газом и отделенной от внешнего потока поверхностью тангенциального разрыва (рис. 3.17.1,8). В этой области газ либо покоится и давление его постоянно (схема обтекания Чаплыгина), либо эта область заполнена циркулирующим в ней завихренным потоком. Давление в первом случае в области покоя перед сферой может быть различным (больше давления в бесконечности, но меньше давления торможения набегающего потока), и величина этого давления определяет размер и форму области; во втором случае произвол в выборе течения в области перед телом еще больше и связан с различным заданием распределения завихренности по линиям тока в этой области.

В обычных случаях обтекания сферы течения, которые соответствуют схеме с присоединенной областью течения перед ней, не реализуются. Отметим, однако, что, если в рамках модели идеального газа решение задачи об обтекании сферы (рис. 3.17.1, а) и задачи об обтекании той же сферы с выдвинутой вперед по оси симметрии бесконечно тонкой иглой (рис. 3.17.1, а) идентичны, то при описании в рамках этой модели действительного обтекания сферы с выдвинутой вперед иглой схема обтекания с присоединенной областью перед сферой значительно лучше соответствует опыту, чем схема непрерывного обтекания. Вновь вопрос о выборе параметров, характеризующих течение в присоединенной области, должен решаться на основе дополнительных гипотез и постулатов.

Кроме схем, показанных на рис. 3.17.1, б, в, возможны и рассматриваются в теории различные другие схемы обтекания сферы идеальным газом с разрывами.

В качестве другого примера, показывающего необходимость введения дополнительных условий в формулировку задачи об обтекании тела, рассмотрим симметричное относительно плоскости х, у обтекание сильно вытянутого вдоль оси 2 и сплюснутого вдоль оси у

трехосного эллипсоида (рис. 3.17.2). Поток в бесконечности перед телом (при—оо) направлен под углом а к оси х.

Ограничимся вновь для простоты столь малыми значениями числа Маха набегающего потока, при которых скорость газа в области течения нигде не превосходит скорости звука.

Существует непрерывное решение задачи об обтекании рассматриваемого тела (его можно считать крылом) при условии, что равна нулю циркуляция скорости по любому контуру в газе, в том числе и по контурам, которые охватывают крыло в сечениях его плоскостями, параллельными плоскости х, у.

При отличном от нуля угле атаки а картина линий тока, например, в срединной плоскости течения, соответствующая такому решению, изображена на рис. 3.17.3, а. Эта картина симметрична относительно поворота вокруг оси z на угол, равный л,

т. е. симметрична при обращении направления течения на[обратное.

В действительности даже при малых значениях угла атаки картина течения близка к изображенной на рис. 3.17.3, 6; точка схода линии тока с поверхности крыла сдвигается к месту наибольшей кривизны контура сечения крыла. При такой картине обтекания.

которая характерна и для других сечений крыла, циркуляция скорости вокруг контура сечения крыла не равна нулю и различна в разных сечениях. В соответствии с теоремой о связи циркуляции скорости по контуру с вихрями, пронизывающими этот контур, вдоль линий тока с поверхности крыла сходят вихри (рис. 3.17.4), образуя вихревую поверхность или «пелену», т. е. поверхность тангенциального разрыва (схема обтекания крыла конечного размаха Прандтля). Линия схода этой поверхности с крыла, как и в предыдущем примере, не определяется в рамках модели идеального газа и должна задаваться с помощью дополнительных гипотез (так, если задняя кромка крыла заострена, то можно принять, что вихревая

пелена сходит с заостренной кромки — в этом состоит постулат Жуковского—V аплыгина).

При больших (так называемых сверхкритических) углах атаки при действительном обтекании крыла потоком с большими числами Рейнольдса происходит отрыв пограничного слоя с верхней стороны поверхности крыла за его передней кромкой и картина течения становится близкой к той, которая в рамках модели идеального газа

возникает при сходе еще одной поверхности тангенциального разрыва—с верхней поверхности крыла (рис. 3.17.5) — и образовании между обеими поверхностями тангенциального разрыва области постоянного давления. Линия схода этой поверхности разрыва тоже должна задаваться дополнительными условиями.

Приведенные примеры показывают, что формулировка задачи об обтекании тела идеальным газом должна включать, в частности.

схему схода с поверхности тела (и присоединения к нему) поверхностей тангенциального разрыва и дополнительные условия, позволяющие определить место схода (и присоединения) этих поверхностей и течение в локальных или уходящих в бесконечность зонах между этими поверхностями и поверхностью тела.

В настоящее время нет доказательства разрешимости и формулировки достаточных условий единственности решения задачи об установившемся обтекании тела идеальным газом даже в случае чисто дозвуковых течений. Выбор схемы течения остается в руках исследователя и должен наилучшим образом соответствовать действительной картине обтекания при тех или иных условиях.

Все, или почти все, что сказано выше о выборе схемы течения для чисто дозвуковых течений, относится и к обтеканию тел в случаях, когда в части области течения достигается сверхзвуковая скорость или когда набегающий на тело поток имеет сверхзвуковую скорость. В таких случаях течение осложняется тем, что в потоке могут возникать скачки уплотнения, а при их пересечении—и начинающиеся от линии пересечения скачков внутри области течения поверхности тангенциального разрыва. При пересечении скачков внутри области течения или при образовании присоединенных скачков у передней кромки обтекаемого тела или у линии излома его поверхности, а также и в некоторых других случаях возникает, как уже говорилось ранее, проблема выбора принадлежности уходящих скачков к сильному или слабому семействам; формулировка задачи должна содержать условия, позволяющие делать этот выбор.

Но и в тех случаях, когда приняты условия подобного выбора, решение задачи может не быть однозначным. Так, например, при сверхзвуковом обтекании тела вращения с внутренним каналом могут реализоваться, по крайней мере два существенно различных режима течения (рис. 3.17.6). В первом из них (рис. 3.17.6, а) образуется отошедший скачок уплотнения с областью дозвукового течения между его центральной частью и местом наибольшего сужения канала. Во втором течении (рис. 3.17.6, 6) скачок присоединен к передней кромке тела и скорость газа внутри канала всюду сверхзвуковая.

Пример многозначности решения задачи сверхзвукового обтекания тела, аналогичный (и более простой для фактического решения)

Рис. 3.17.7

описанному выше дозвуковому обтеканию сферы с присоединенной к ней впереди областью, приведен на рис. 3.17.7, а. Здесь перед круглым цилиндрическим телом имеется область покоящегося газа в виде присоединенного к телу конуса. Из результатов § 16 следует, что при любом угле этого газового конуса, меньшем предельного, существует коническое течение, такое же, как при обтекании соответствующего жесткого конуса. Если к цилиндрической части тела

впереди присоединен жесткий конус с полууглом раскрытия, меньшим предельного, то решение задачи с непосредственным омыванием газом конической головной части является лишь одним из многих возможных; пример такого решения изображен на рис. 3.17.7, 6. При этом, если из тела выдвинута впереди игла, то решение с присоединенной газовой областью может достаточно хорошо соответствовать действительности.

Следует подчеркнуть, что, рассматривая лишь сами установившиеся движения идеального газа, нельзя при наличии нескольких решений сформулировать общий критерий для отбора единственного решения.

Если считать установившееся движение пределом при / ―> оо неустановившихся движений, возникающих из заданного начального состояния при сохранении, начиная с некоторого момента времени, неизменными условий в бесконечности и на поверхности обтекаемого тела, то предельное установившееся движение (если оно существует) может быть различным при различном задании начальных условий и различной истории изменения условий в бесконечности и на поверхности тела.

Так, в примере тела с внутренним каналом (рис. 3.17.6) сверхзвуковое обтекание с отошедшей головной волной реализуется, например, при постепенном разгоне тела в первоначально покоившемся газе до данной сверхзвуковой скорости. Второй режим обтекания можно получить, если считать, например, что тело, помещенное в сверхзвуковой поток с заданными параметрами, представляет собой вначале бесконечно тонкую цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными потоку, которая затем постепенно «обрастает» объемом, приобретающим к некоторому моменту времени форму заданного тела. Конечно, существует бесчисленное множество вариантов приближения нестационарного потока к каждому из этих двух стационарных течений.

Решение задачи о стационарном обтекании может быть неустойчивым по отношению к тем или иным возмущениям потока, и это может служить одним из критериев отбора решений. К примеру, возможно (хотя это и не доказано), что в задаче о сверхзвуковом обтекании цилиндра решения, соответствующие присоединенному впереди газовому конусу (рис. 3.17.7), неустойчивы по отношению к малым возмущениям потока и потому не могут осуществляться.

Если решение задачи о стационарном обтекании тела получать как предел при / — 8 решения нестационарных задач (на этом основаны некоторые методы численного решения задач обтекания — так называемые методы установления по времени}, то неустойчивые по отношению к возмущениям потока режимы обтекания могут автоматически исключаться.

Возможны случаи, в которых хотя и существует единственное стационарное решение задачи об обтекании, но оно является неустой-

чивым. В таких случаях могут существовать периодические, колебательные режимы обтекания. Так, к примеру, из опытов и численного моделирования течений известно, что при сверхзвуковом обтекании тела е внутренним каналом режим с отошедшей ударной волной является неустойчивым при достаточно малой величине отношения минимальной площади поперечного сечения канала к площади входного отверстия. Стационарное решение задачи обтекания в этих случаях существует, но оно не реализуется; при расчете методом установления и в опытах развиваются достаточно интенсивные периодические изменения положения и формы головной волны и колебания всего потока за ней.

Высказывались утверждения, что рассмотрение решения задачи о стационарном обтекании тела как предела нестационарных решений в классе кусочно-непрерывных функций обеспечивает получение требуемого единственного решения задачи обтекания (если оно существует и устойчиво). Это утверждение до настоящего времени не доказано. Следует также иметь в виду, что и при изучении нестационарных решений требуются дополнительные предположения о схеме обтекания, о которых говорилось выше. .

Высказывается и предположение о том, что единственность обобщенного решения задачи о стационарном обтекании тела обеспечивается, если это решение рассматривать как предел непрерывного решения той же задачи в рамках модели вязкого газа при стремлении коэффициента вязкости к нулю (теория «исчезающей вязкости»). При этом в общем случае стационарные решения нужно рассматривать как предел нестационарных решений.

Известно, что в задачах обтекания тел вязким газом при малых значениях коэффициента вязкости (т. е. при больших значениях числа Рейнольдса) вязкость проявляется лишь в тонких слоях вблизи поверхности тела (вязкие пограничные слои) и внутри области течения (вязкие слои смешения и вязкие ударные волны). Толщина этих слоев при неограниченном росте числа Рейнольдса стремится к нулю, а поперечные градиенты параметров потока в них неограниченна растут. В пределе вязкие слои смешения и вязкие ударные волны переходят в поверхности разрыва: тангенциальный разрыв и скачок уплотнения соответственно, а пограничный слой у поверхности тела обращается в разрыв касательных скоростей газа у поверхности тела.

Предельная форма течений идеального газа может быть (в определенных пределах) независимой от конкретного вида дополнительных членов в уравнениях газовой динамики, связанных с действием вязкости. Это обстоятельство используется в некоторых численных методах решения задач газовой динамики (в методе «искусственной вязкости» члены с влиянием вязкости вводятся в исходные дифференциальные уравнения явно; подобные же члены фактически возникают при конечно-разностной аппроксимации дифференциальных уравнений——это так называемая «схемная» вязкость).

Предположение о возможности получения обобщенных решений уравнений динамики идеального газа как предела решений для вязкого газа в общем случае не является доказанным. Наибольшее продвижение в этом вопросе имеется в настоящее время лишь для одного модельного уравнения вида

ди , др (и) д2и

1? +号=Е死・

В общем случае теория наталкивается на ряд серьезных трудностей, одна из которых имеет фундаментальный характер и состоит в том, что сами решения уравнений неодномерных нестационарных движений вязкого газа при увеличении числа Рейнольдса во многих случаях приобретают весьма сложную пространственно-временную структуру (наступает «хаос» в распределении параметров газа в пространстве и времени) и не стремятся к определенным предельным решениям.

Отметим в заключение частные результаты, когда в задаче обтекания тело представляет собой бесконечный цилиндр, установленный перпендикулярно направлению набегающего потока, так что возникающее при обтекании течение является плоским.

Если число Маха набегающего потока настолько мало, что течение во всей области является дозвуковым, то поле скоростей обязательно потенциально. Вследствие того, что движение плоское, циркуляция скорости по контуру, охватывающему цилиндр, не изменяется по его длине, так что поверхность, образованная сходящими с тела линиями тока, не является поверхностью тангенциального разрыва (вихревой пеленой): давления с обеих сторон поверхности тангенциального разрыва одинаковы, а, следовательно, при одинаковом значении константы в интеграле Бернулли одинаковы и модули скорости с обеих сторон; в плоском движении это означает и непрерывность вектора скорости.

Непрерывное решение задачи обтекания в этом случае всегда существует (при условии М《1) и определяется единственным образом заданием циркуляции скорости по контуру, охватывающему цилиндр. Если контур сечения цилиндра в кормовой части имеет выпуклую угловую точку, то циркуляцию можно определить на основе гипотезы Чаплыгина—Жуковского о сходе линии тока в угловой точке. Доказательство сформулированных утверждений требует глубокого математического анализа.

Как и при обтекании тела конечных размеров, возможны и режимы обтекания цилиндра со сходом с его поверхности двух тангенциальных разрывов с областью покоящегося газа между ними, простирающейся в бесконечность за телом, и с присоединенными к цилиндру локальными зонами с покоящимся или находящимся в вихревом движении газом. Подобные схемы могут при соответствующих условиях ближе соответствовать реальной картине обтекания, чем схема с непрерывным обтеканием.

Метод малых возмущений

Вследствие того, что получение точных решений уравнений движения газа во многих важных для приложений случаях невозможно, в газовой динамике широкое распространение имеют методы упрощения уравнений, позволяющие получать приближенные решения задач. Как правило, упрощение уравнений при описании того или иного класса движений газа связано с глубоким проникновением в качественные физические особенности этого класса движений, с пониманием того, влияние каких членов в уравнениях и в дополнительных условиях к ним является определяющим для рассматриваемых явлений. Упрощенные уравнения должны сохранять те свойства решений точных уравнений, которые являются существенными в изучаемых задачах.

Приближенные модели газовой динамики важны не только потому, что они дают возможность получить решения конкретных задач. Их значение состоит и в том (и это является иногда главным результатом использования приближенных моделей), что во многих случаях в рамках приближенных моделей обнаруживается подобие всех течений рассматриваемого класса или его определенных подклассов, что дает возможность переносить результаты расчета или экспериментального исследования одного течения на все течения этого класса (или на некоторую их часть) путем простого изменения масштабов определяющих течение величин.

Одним из наиболее широко употребляемых методов упрощения полных уравнений газовой динамики является метод малого параметра или метод возмущений. Возможность использования этого метода и его суть состоят в следующем. Пусть физический анализ задачи показывает, что в ее формулировке имеется параметр е такой, что интересующие нас свойства течений сохраняются при сколь угодно малых его значениях. Тогда на основе физических соображений можно ввести зависящие от е масштабы 丫】(£)для различных входящих в уравнения и дополнительные условия величин и преобразовать все соотношения к новым переменным, полученным от деления исходных величин на их масштабы. В результате определяющие соотношения будут содержать члены различного порядка малости при £ т 0. Сохраняя в них лишь члены до определенного порядка величины (например, только главные члены, остающиеся при£ = 0), получают приближенные уравнения для описания рассматриваемого класса задач.

Лишь в редких случаях удается доказать, что точное решение задачи стремится при е —> 0 к решению приближенных уравнений (хотя бы асимптотически). Однако многие широко используемые в газовой динамике приближенные модели, основанные на методе малого параметра, хорошо согласуются в определенных пределах значений е с точными частными решениями и с результатами экспериментов.

Очевидным решением уравнений газовой динамики (1.7.12) является такое, в котором вектор скорости и параметры состояния одинаковы у всех частиц и не зависят от времени, т. е.

V=Vt = const, р = Pi = const, р = Pi = const. (18.i) Соответствующие такому решению течения газа называются однородными потоками (иногда——постоянными потоками).

Можно рассматривать задачи о течениях, близких к однородному потоку, считая эти течения возмущением однородного потока (18.1).

Пусть отклонение рассматриваемого течения от однородного потока (18.1) характеризуется значением параметра е (таких параметров может быть и несколько), причем значению £ = 0 соответствует невозмущенный поток. Причины возмущения основного потока могут быть различными. В дальнейшем метод малых возмущений будет использован в основном для изучения установившегося обтекания тел неограниченным однородным потоком газа во всем диапазоне чисел Маха от 0 до бесконечности.

Решение (18.1) точно описывает обтекание любой поверхности, которую можно образовать из участков поверхностей тока соответствующего решению (18.1) однородного течения,— например, обте： кание расположенной вдоль потока плоской пластины нулевой толщины при произвольной ее форме в плане, или обтекание двух таких пластин, пересекающихся вдоль линии тока основного течения,, и т. п. Поэтому возмущением однородного потока (18.1) можно считать течение около тела, все точки поверхности которого находятся на малом расстоянии от такой исходной обтекаемой поверхности. В задаче об обтекании такого тела возмущение основного однородного потока вызвано отличием положения и формы обтекаемой поверхности от первоначальных, т. е. изменением граничных условий. Наряду с изменением тела можно считать, например, что в бесконечности перед телом значения скорости и плотности на разных линиях тока не равны заданным постоянным 匕 и р】，а известным образом мало отличаются от них. Такое изменение условий в бесконечности тоже служит причиной возмущения основного потока.

При изучении нестационарных движений течение (18.1) может возмущаться и вследствие того, что обтекаемая начальная поверхность или образованное из нее тонкое тело совершают малые движения как целое или, в более общем случае, испытывают зависящие от времени деформации. Можно рассматривать как возмущение основного потока и нестационарное течение, возникающее в том случае, если начальные значения параметров газа в пространстве мало отличаются от их постоянных значений (18.1).

Укажем еще и на то, что возмущение решения (18.1) уравнений газовой динамики может быть обусловлено и малым изменением самих этих уравнений, например, включением в уравнения дополнительных членов (распределенных внешних сил, источников тепла и др.).

Таким образом, причины возмущения однородного потока могут быть весьма разнообразными.

Ограничимся далее возмущениями, вносимыми в однородный неограниченный поток помещенным в него телом.

Обратимся к точным уравнениям (1.4) — (1.6) газовой динамики для установившегося движения, считая массовые силы отсутствующими.

При адиабатических течениях эти уравнения имеют точные интегралы (1.10) и (1.11), выражающие постоянство значений энтропии s и полного теплосодержания Ло вдоль линий тока.

Так как поток в бесконечности перед телом однороден, то значения й0 и s одинаковы на всех линиях тока в области непрерывности течения, т. е. при дозвуковом течении ——всюду, а при сверхзвуковом набегающем потоке или, если при дозвуковом набегающем потоке вблизи тела образуются местные сверхзвуковые зоны со скачками уплотнения,——то й0 по-прежнему постоянно всюду, a s постоянна только в области до возникающих скачков уплотнения. На линиях тока, прошедших через скачки, энтропия неодинакова, поскольку интенсивность скачков в общем случае переменна. Поэтому согласно уравнению (1.12) поток в области течения за скачками завихрен.

В декартовой системе координат уравнению неразрывности, приведенному к форме (1.13), можно придать вид 炉像+^+需)=(u+〃嚟+"嚼+"翁+

Ось x выбрана в направлении скорости однородного потока, а буквой U обозначена величина этой скорости. Величины 〃，и, w представляют, собой возмущения скорости однородного потока. Величина а? в уравнении (18.2) выражается через (U + u)2 + v2 + о/2 и энтропию s из интеграла (1.11) й0 = const, который можно записать в виде

Л (a, s)=hl—^Uu+ 〃廿^十虻).(18.3)

Индекс 1 соответствует параметрам однородного потока.

Для совершенного газа с постоянными теплоемкостями это выражение дает связь между а? и возмущениями скорости в явном виде

Пусть £—малый параметр, характеризующий порядок угла отклонения возмущенной скорости от направления основного потока. Тогда и отношение величины поперечной составляющей скорости к продольной будет иметь тот же порядок. В теории малых возму-

щений предполагается, что возмущение продольной составляющей скорости имеет тот же или более высокий порядок.

В дальнейшем будем считать также, что возмущения скорости малы не только сравнительно с величиной скорости, но и с величиной скорости звука в газе. Это предположение исключает из рассмотрения так называемые гиперзвуковые течения, для которых выполнено неравенство М?^?》]. Гиперзвуковые течения газа и теория малых возмущений гиперзвукового потока будут рассмотрены отдельно в § 23.

При сделанных предположениях, сохраняя в (18.2) лишь главные члены, получим приближенное уравнение

М—(и + «)2]黑 + а嚼 + а嚼"(18.4)

О причине сохранения в коэффициенте при ди/дх величины 〃，малой сравнительно с U, будет сказано ниже.

Как уже говорилось, если возмущенное течение всюду дозвуковое, то энтропия во всем потоке постоянна и, следовательно, все термодинамические функции можно считать зависящими от одного параметра, например давления или удельного объема. При наличии в потоке скачков уплотнения (слабого семейства) увеличение энтропии в них имеет третий порядок по углу отклонения потока в скачке (вновь мы оставляем в стороне гиперзвуковые течения, для которых это неверно). Поэтому и при наличии скачков, с точностью до членов порядка е2, энтропия постоянна во всем потоке.

Считая величину а2 функцией й и s и ограничиваясь главным членом разложения, можно написать

"2 =循+警|1("一儿)，

Подставив в это соотношение величину й—Лх из (18.3) и вспоминая обозначение da^/dh = Г—1, получим*

废=就一(r_ 1)(U〃 +"2鸣+").(18.5)

Для совершенного газа это соотношение с Гх = у является точным; в общем случае его правая часть есть главный член асимптотического представления величины а? из соотношения (18.3) при малых возмущениях скорости.

Воспользовавшись выражением (18.5), преобразуем уравнение (18.4) к виду

[1-^-(Г+l)M^^]^ + g + ^ = 0.(18.6)

(Здесь и в дальнейшем, где это не вызовет недоразумений, индекс 1 у величин для однородного потока опущен.)

Уравнение (18.6) является основным в теории течений газа с малыми возмущениями скорости. Оно пригодно при всех значениях

числа Маха основного потока М и параметра возмущений е, при которых М£«1.

Из вывода уравнения (18.6) следует, что обращение в нем в нуль коэффициента при ди/дх соответствует с принятой точностью равенству скорости газа и скорости звука. Поэтому -при изучении течений с околозвуковыми скоростями последним слагаемым в квадратной скобке нельзя пренебречь сравнительно с величиной 1—М2. Если же скорость в возмущенном потоке нигде не становится равной скорости звука или близкой к ней, то такое пренебрежение возможно. При этом уравнение (18.6) принимает еще более простую форму

…喳 + ^ + 需"(18.7)

Это уравнение, в отличие от уравнения (18.6), линейно. Оно является основным в линейной теории малых возмущений. Очевидно, что для возможности перехода от нелинейного уравнения (18.6) к уравнению (18.7) необходимо выполнение дополнительного условия

I 1—М2Т ~U —(18.8)

При тех предположениях, при которых получено уравнение (18.6), течение газа является, очевидно, безвихревым (й0 и s постоянны во всем потоке), так что можно ввести потенциал возмущений 屮 такой, что

w(〃，и,侬)= g「ad(p.

С использованием потенциала возмущений уравнения (18.6) и (18.7) примут соответственно вид

(1-М2)寫 + 僚 + 总"(18.10)

Связь между давлением в потоке и на поверхности обтекаемых тел и потенциалом возмущений определяется интегралом Бернулли

(U + 〃)2+u2+g2 R dp _1/2

2 十)丁=1"，Pi

справедливым для непрерывных течений и, с принятой точностью, когда р = р(р, sj, — для течений со скачками уплотнения. Отсюда, ограничиваясь линейным и квадратичными членами, получим

仅〃 +^(1_m2)〃2+上汽.

Распределение плотности в линейном приближении определяется формулой р—pi = *(p—pl.

Ниже будет показано, что при обтекании профилей и крыльев конечного размаха возмущение продольной скорости вблизи поверхности обтекаемого тела имеет тот же порядок, что и величина и, так что в главном приближении, соответствующем линейной теории возмущений, давление в потоке и на поверхности тела определяется формулой

乞红=-[/〃・(18.11)

При обтекании же тел вращения порядки возмущения продольной скорости и и поперечной скорости и вблизи тела различны: и имеет порядок rvr/L (L—длина тела). В этом случае формула главного приближения для возмущения давления на поверхности тела имеет вид

£^£1 = —U 〃—等.(18.12)

Рассмотрим дополнительные условия, которым должны удовлетворять решения уравнений (18.6) и (18.7). При установившемся обтекании тела его поверхность должна быть поверхностью тока, так что в точках обтекаемой поверхности вектор скорости и вектор нормали к поверхности должны быть ортогональны. Если уравнение поверхности задано в неявной форме

尸(％, у, z) = 0,(18.13)

то в точках этой поверхности должно быть выполнено условие

аг 开

(u斗〃)焦+=°，(18.14)

Если же уравнение (18.13) разрешено относительно у, т. е.

y=Y(x, z),(18.15)

то условие (18.14) примет вид

-([/ + 〃)票+ и+©* = 0・(18.16)

Для замкнутой обтекаемой поверхности функция У двузначна: на верхней части обтекаемой поверхности Y=Y+ (х, z), на нижней У = У_(х, z).

Для возможности использования теории малых возмущений необходимо, чтобы величина dY±/dx всюду была малой—порядка е. Исключение может составлять небольшая окрестность затупленных переднего и заднего концов тела. В этом случае следует ожидать в этих концевых областях появления особенностей в решении, полученном методом малых возмущений.

Условие (18.14) на поверхности (18.13) или условия (18.16) на обеих частях поверхности (18.15) являются точными. В рамках теории малых возмущений для облегчения решения уравнений (18.6) и (18.7) эти краевые условия следует по возможности упростить» сохранив в них лишь члены того же порядка, что и в уравнениях. Первое очевидное упрощение условий (18.14) или (18.16) состоит в пренебрежении в первом слагаемом величиной и по сравнению с U. Дальнейшие упрощения различны для различных классов обтекаемых тел.

Рассмотрим вначале упрощение краевого условия (18.16) при обтекании профиля. В этом случае Y = Y(х) и условие обтекания профиля в соответствии со сказанным имеет вид:

при р = У±(х) u = U工. (18.17)

Считая, что функция и (%, у) может быть при малых у представлена разложением вида

и(招 y) = v(x, ±°) + ^L=±oJ+…，

заменим в краевом условии (18.17) величину v главным членом этого разложения. В результате приведем краевое условие обтекания профиля к виду

V(x, ±0) = U“f, (18.18) или, используя потенциал возмущений,

禦 I (18.19) ду |z/=±o dx ' 尸

Условие (18.18) или (18.19) задает нормальную составляющую скорости на отрезке оси х, соответствующем проекции на эту ось контура профиля. Говорят, что условие обтекания профиля (18.17} «снесено» на ось х, направленную вдоль основного потока.

Этот перенос условия (18.17) на отрезок оси х означает, что на этом отрезке помещаются распределенные источники с объемным расходом, определяемым формулой (18.18) или (18.19). Взаимодействие газа, истекающего из источников, с набегающим потоком формирует линию тока, приближенно представляющую контур профиля.

Аналогичным образом можно упростить краевое условие обтекания крыла конечного размаха произвольной формы в плане, все точки поверхности которого мало отклоняются от плоскости р = 0. В этом случае в условии (18.16) dY/dz<^\, так что после сноса этого условия на проекцию поверхности крыла на плоскость у = 0 вновь получим, что на этой проекции

V(x, ±0, z) = U*, (18.20>

ИЛИ

患 =(18.21)

В случае тонкого тела вращения с осью симметрии, совпадающей с осью х, краевое условие (18.16) упрощается по-иному. Уравнение поверхности (18.13) запишем в этом случае в виде

d + z2-R2(%)=d__ 半=0,

где г—расстояние от оси симметрии, a R и S—соответственно радиус и площадь сечения тела, нормального к его оси.

Условие обтекания (18.19) после отбрасывания величины “ примет вид

при r = R(x) е产農警=UR 患. (18.22)

Здесь и「——радиальная составляющая скорости.

При необходимости краевое условие (18.22) можно упростить далее, снеся его на ось симметрии тела. Для этого представим произведение rvr при r = R(%) в виде разложения

"=(矶=。+暗"=。 R⑴+…

и ограничимся вновь главным его членом. В результате получим

(1823)

Это условие задает распределение объемных источников газа на отрезке оси х, соответствующем протяженности тела. Взаимодействие этих источников с набегающим потоком формирует поверхность тока, приближенно представляющую поверхность обтекаемого тела вращения.

То, что при г —> 0 vr ->оо, противоречит, конечно, допущениям теории малых возмущений. Однако нужно помнить, что эти значения скорости возникают внутри объема, занятого телом, т. е. вне области действительного течения. В самой же этой области и на ее границе предположения теории выполняются.

Рассмотрим теперь условие в бесконечности.

При обтекании тел неограниченным однородным потоком в бесконечности перед телом возмущения скорости должны затухать, т. е.

при %f — оо V = grad ф —* 0

или, поскольку потенциал определен с точностью до постоянной, то можно принять, что

при— оо ф —0.(18.24)

Рассмотрим некоторые простые решения уравнения (18.10), которые будут использованы в дальнейшем.

Предварительно обратимся к следующей задаче. Однородный поток газа движется с постоянной скоростью U в направлении оси %. В этом потоке в момент времени f = 0 начинает действовать движущийся вместе с газом сферический источник (см. § 18 гл. II). Опишем качественно возникающее течение. От источника по движущемуся газу распространяется с постоянной скоростью звука а возмущение в виде сферической волны. В неподвижной системе отсчета возмущенная сферическая область сносится газом в направлении его движения со скоростью U. При скорости потока U, меньшей скорости

звука а в газе, U < а, возмущенная область через некоторое время после начала действия источника займет положение, изображенное на рис. 3.18.1, а толстой линией. Точка О—место начала действия источника остается внутри расширяющейся в пространстве во всех направлениях возмущенной области. При сверхзвуковой скорости потока, U〉а, картина движения будет такой, как на рис. 3.18.1, 6. Начало координат—точка О остается вне возмущенной области и область эта, расширяясь, сносится вниз по потоку все дальше от точки О.

Если в точке О происходит неоднократное периодическое включение источника в движущемся газе, то фронты возмущений от этих последовательно включаемых источников будут располагаться так, как изображено на рис. 3.18.1, а и б тонкими линиями (последовательные возмущения распространяются независимо, не взаимодействуя между собой, так как описывающее их уравнение (18.11) линейно).

С течением времени возмущение в первом случае (U < а) распространится сколь угодно далеко вверх по потоку; во втором же случае (U > а) возмущение остается сосредоточенным внутри обращенной вниз по потоку конической области с полууглом при вершине 卩，определяемым формулой

sin 卩=

Очевидно, что 卩 есть введенный нами в § 1 угол Маха. Конус с полууглом при вершине, равным 卩，и с осью, параллельной скорости газа набегающего потока, назовем конусом Маха.

Рис. 3.18.1 объясняет так называемый эффект Доплера. Если наблюдатель неподвижен относительно источника звука (звук — периодические возмущения давления достаточно высокой частоты), то частота воспринимаемых им возмущений та же, что и частота воз-

мущений, испускаемыхмущений, испускаемыхисточником. При приближении источника звука к наблюдателю с дозвуковой скоростью U частота воспринимаемых наблюдателем возмущений возрастает в отношении 1:(1—U/а). Если скорость приближения источника к наблюдателю сверхзвуковая, U〉а, то вплоть до момента ирихода источника в точку наблюдения возмущения не доходят до наблюдателя —— источник «не предупреждает» о своем приближении.

мущений, испускаемых

мущений, испускаемых

При удалении источника звука от наблюдателя воспринимаемая частота уменьшается в отношении 1:(1+ U/a).

Обратимся к случаю, когда скорость потока U сверхзвуковая. Возьмем в системе координат х, у, z (рис. 3.18.2) некоторую точку Р. Проведем из этой точки конус Маха, обращенный вперед—навстречу потоку, и конус Маха, обращенный назад. Очевидно, что параметры течения в точке Р не зависят от возмущений, идущих из точек, расположенных вне обращенного вперед конуса Маха. Таким образом, если источники возмущений однородного потока распределены •на некотором многообразии (в отдельных точках, на линии, поверхности или в объеме), то областью зависимости точки Р на этом многообразии будет та его часть, которая лежит внутри обращенного вперед конуса Маха в точке Р. Напротив, возмущения, идущие из точки Р, распространяются только внутри обращенного назад конуса Маха, так что этот конус Маха является областью влияния точки Р.

Вернемся вновь к уравнению (18.10). При М < 1 после введения переменных y = yV 1—М2, г = гУ\ — М2, это уравнение переходит

в уравнение Лапласа

Это уравнение описывает потенциальные течения несжимаемой жидкости и имеет фундаментальное решение

Ф =Ф =qq4л М %2 + у2 + z24л М %2 + у2 + z2

Ф =

Ф =

q

q

4л М %2 + у2 + z2

4л М %2 + у2 + z2

ФФсоответствующее точечному источнику с объемной мощностью (расходом) q. После перехода к исходным переменным получаем решение уравнения (18.10) в виде

Ф

Ф

4л р%2 +(1 — м2) (у2 十 Z2)

Это решение удовлетворяет уравнению (18.10) не только при дозвуковой скорости потока, но и при сверхзвуковой, когда М > 1 и уравнение (18.10) не сводится к уравнению Лапласа, а имеет гиперболический тип. При М > 1 решение (18.25) существует, очевидно, только внутри конуса Маха

炉―(AV—1)®2 + z2)= o

В соответствии с физическим смыслом этого решения как возмущения однородного потока, распространяющегося из точки О, областью существования решения при М > 1 является конус Маха, обращенный вниз по потоку.

Течение от источника в несжимаемой жидкости (при М = 0) обладает сферической симметрией (оно зависит от /•二匕炉 + 歹十济, где г—расстояние от источника), решение (18.25) приМ > 0 обладает осевой симметрией (оно зависит от х и от г, где г = Vу2 + z2—расстояние от оси симметрии).

На рис. 3.18.3 в плоскости х, г представлены линии тока относительного движения газа (в системе координат, перемещающейся вместе с основным потоком), соответствующего потенциалу возмущений (18.25) при М = 0 (рис. 3.18.3, а), при 0 < М < 1 (рис. 3.18.3, б) и при М > 1 (рис. 3.18.3, в). (Уравнение линий тока легко получить в виде г = Cx1-M>.)

Решение при 0 < М < 1 можно, подобно решению при М —0, назвать источником (стоком—при q V 0) в начале координат; решение при М〉1 и g〉0 соответствует течению газа внутри конуса Маха от его поверхности к стоку, расположенному на оси х при х= оо. Условно будем называть источником и это решение с особенностью в начале координат и на всей поверхности конуса Маха.

Фундаментальное решение (18.25) позволяет получать более сложные решения для потенциала возмущений и решения с особенностями других типов.

Ф=Ф=Возьмем решение (18.25) в более общем виде, поместив источник в точку с координатами Е, % С：

Ф=

Ф=

4лУ (%一护+ (1—М2)[® — а2 +(7-С)2] *

Считая Е, т], g параметрами, можно получать новые решения для потенциала 屮 дифференцированием (18.26) по этим параметрам; считая величину q функцией параметров 占,刀,& можно получать различные решения для ф интегрированием выражения (18.26) по некоторой области изменения этих параметров — по линии, поверхности, объему. Если скорость U сверхзвуковая, то интегрирование нужно производить лишь по той части источников, которая попадает в область зависимости точки Р, т. е. внутрь обращенного от точки Р вперед конуса Маха.

Дифференцируя правую часть (18.26) по Е, получим для потенциала возмущений новое решение

Ф =Ф =д(*Т)д(*Т)4门{(*一出2 + (1一m2)[3一⑴2 + 伍一02]}3/2・4门{(*一出2 + (1一m2)[3一⑴2 + 伍一02]}3/2・

Ф =

Ф =

д(*Т)

д(*Т)

4门{(*一出2 + (1一m2)[3一⑴2 + 伍一02]}3/2・

4门{(*一出2 + (1一m2)[3一⑴2 + 伍一02]}3/2・

中-中-ставим под интегралом вместо 工 переменную а по формуле z—之= =^■匕炉+/n2P2 ctg а; а изменяется при этом от 0 до л. После такой подстановки интеграл легко вычисляется. Заменив в найденном выражении вновь х и у на х—占 и у—г|, получимставим под интегралом вместо 工 переменную а по формуле z—之= =^■匕炉+/n2P2 ctg а; а изменяется при этом от 0 до л. После такой подстановки интеграл легко вычисляется. Заменив в найденном выражении вновь х и у на х—占 и у—г|, получим

中-

中-

ставим под интегралом вместо 工 переменную а по формуле z—之= =^■匕炉+/n2P2 ctg а; а изменяется при этом от 0 до л. После такой подстановки интеграл легко вычисляется. Заменив в найденном выражении вновь х и у на х—占 и у—г|, получим

ставим под интегралом вместо 工 переменную а по формуле z—之= =^■匕炉+/n2P2 ctg а; а изменяется при этом от 0 до л. После такой подстановки интеграл легко вычисляется. Заменив в найденном выражении вновь х и у на х—占 и у—г|, получим

Это решение имеет в точке Е, rj， С особенность типа цилиндрически- симметричного диполя с осью, параллельной оси х.

Расположим такие диполи непрерывно вдоль прямой, параллельной оси z (占=const, т] = const), считая их интенсивность на еди

ницу длины q постоянной величиной, и проинтегрируем по g. Считая без ограничения общности Е = г| = 0, получим потенциал возмущений в виде

Р = § 4JT {炉+ (1 — ；2) [^ + (Z- 02]}3/2 • (18.27)

Рассмотрим отдельно случаи М < 1 и М> 1.

При М < 1 интегрирование по 工 нужно производить вдоль всей прямой, т. е. от —оо до + 8. Положим 1—而=加 и под

(18.28)(18.28)9(%Т)

(18.28)

(18.28)

2п/И [(% — ±)2 + 加2 ® — Т])2]

Это решение представляет собой потенциал диполя в плоском дозвуковом потоке; ось диполя в плоскости течения х, у параллельна оси %.

При М > 1 потенциал (18.27) от распределенных на оси цилиндрических диполей отличен от нуля лишь в точках внутри области влияния этих диполей, т. е. в точках, расположенных при х > 0 внутри угла между плоскостями y=±xtg 卩.В точках вне этого угла потенциал возмущений равен нулю (точка Р' на рис. 3.18.4; область ее зависимости не содержит диполейг). Для точки Р (рис. 3.18.4) внутри области влияния диполей интегрирование в выражении (18.27)

нужно производить по отрезку оси z, попадающему в область зависимости этой точки (т. е. по 工 от g~ до 工+ на рис. 3.18.4). Положим в этом выражении т2 = М2— 1 hz —工=±匕 x2—m2y2 sin a; sina изменяется на отрезке (工一，g+) от 1 до —1. При такой замене интеграл легко вычисляется, и после подстановки в найденное выражение вместо хну величин х—Е и у — г] получаем

屮=2«m[(x-^：—^①一⑴打 *(18.28а)

Это — потенциал диполя в плоском сверхзвуковом потоке. Сравнение выражений (18.28) и (18.28а) показывает, что и при М < 1, и при М > 1 для потенциала диполя справедлива единая формула (18.28) с т2 = 1—М2 (постоянный множитель перед скобками в формулах (18.28) и (18.28а) несуществен, однако можно считать, что в формуле (18.28) в нем m = K 1—М2 при М < 1 и /п = КМ2— 1 при М > 1).

Процедура, аналогичная проделанной для получения потенциала диполя в плоском потоке, с непрерывным распределением на оси z осесимметричных источников (18.26) и последующим интегрированием но С с целью получения потенциала источника в плоском потоке приводит в случае М < 1 к расходящемуся интегралу. Поэтому воспользуемся косвенным путем получения этого потенциала. Будем считать потенциал диполя (18.28) производной нового потенциала по параметру 占 или по параметру т]. Интегрируя правую часть выражения (18.28) по Е, получим потенциал источника в плоском потоке 中=為e/(不一自)2 +m2①一切2.(18.29)

С учетом замечания, сделанного после формулы (18.28а), это выражение справедливо в дозвуковом и в сверхзвуковом потоке (при М > 1 потенциал (18.29) имеет смысл в плоскости х, у лишь внутри угла, образованного идущими вниз по потоку из точки Е, т] характеристиками

"一刀=土丁总” T；(1&3°)

вне этого угла (р = 0).

При интегрировании правой части (18.28) по г] следует различать случаи М < 1 и М > 1. При дозвуковой скорости получаем

屮=%e(183)

Здесь /и = К1——М2, новое обозначение постоянного множителя Г/(2л) взято в связи с тем, что потенциал (18.31) соответствует плоскому течению от вихря в точке 占,刀 плоскости х, у с циркуляцией скорости Г (течение происходит по круговым траекториям с переменной при М > 0 скоростью по углу).

При сверхзвуковой скорости после интегрирования найдем

in М(%-界一加2 ®-т))2

Здесь /п2 = М2—1. Движение происходит по отрезкам круговых траекторий, заключенных между характеристиками (18.30).

§ 19. Линейная теория плоских течений. Обтекание профиля. Закон подобия

В качестве простого примера использования метода малых возмущений рассмотрим двумерное дозвуковое или сверхзвуковое течение

около стенки с волнистой поверхностью (рис. 3.19.1), форма которой определена уравнением

у = У (х) = е sin ах. (19.1)

Рис. 3.19.1Здесь е—амплитуда, / = 2л/а—

длина волны возмущения формы стенки. При е = 0 стенка представляет собой плоскость у = 0, а течение около нее—однородный поток со скоростью U вдоль оси х.

Уравнение (18.10) для потенциала возмущений ср этого однородного основного потока, возникающих при £=/=0, имеет вид

(1-М2)察 + 要=0.(19.2)

Решение уравнения (19.2) должно удовлетворять условию обтекания стенки (18.18):

(19.3)(19.3)v = ^ = U ^ = Usa cos ах при р = 0.

(19.3)

(19.3)

Поскольку волнистая стенка простирается вдоль оси х беспредель

но в обе стороны, то в качестве условия в бесконечности примем ограниченность возмущений составляющих скорости и — g и V

при у―> ОО.

Изучим сначала случай дозвуковой скорости основного потока, когда 1—М2 > 0. Будем искать решение уравнения (19.2) методом разделения переменных, полагая

^ = F^G{y).

Подставив это выражение для потенциала 屮 в уравнение (19.2) и действуя обычным способом, получим

F" —— G"7r =(1 — m2)gF" —— G"7r =(1 — m2)g九2.九2.(19.4)(19.4)

F" —— G"

7r =(1 — m2)g

F" —— G"

7r =(1 — m2)g

九2.

九2.

(19.4)

(19.4)

Знак у постоянной X2 (X считаем действительной положительной

величиной) выбран так, чтобы F выражалось через тригонометрические функции и можно было удовлетворить краевому условию (19.3). Решение уравнений (19.4) дается формулами

尸=4 sin 入％ * 8 cos 入x,

G = A1e~v十 В УМ ・

Из условия ограниченности решения при у ―^8 следует, что Bt = О, а из краевого условия (19.3)—что Л =0,、= а и —从出匕 1—М2 = (/е.

Таким образом, потенциал возмущений скорости при дозвуковом обтекании волнистой стенки имеет вид

(р=尸也=е」а vr^C05 a%.J19.5)

*/ 1_м2让

Отсюда для возмущений скорости 〃=黑，и=^ и давления (см. (18.11)) получаем выражения

ииUeaК1—м2UeaК1—м2«廿 1Т-М2 sinax,«廿 1Т-М2 sinax,v = Uzae~ya ' 1 -м2 cos ах,v = Uzae~ya ' 1 -м2 cos ах,(19.6)(19.6)卩一/h = M=卩一/h = M=pU2£d/ 1—AV2pU2£d/ 1—AV2e-yal i-M2s|nax>e-yal i-M2s|nax>

и

и

Uea

К1—м2

Uea

К1—м2

«廿 1Т-М2 sinax,

«廿 1Т-М2 sinax,

v = Uzae~ya ' 1 -м2 cos ах,

v = Uzae~ya ' 1 -м2 cos ах,

(19.6)

(19.6)

卩一/h = M=

卩一/h = M=

pU2£d

/ 1—AV2

pU2£d

/ 1—AV2

e-yal i-M2s|nax>

e-yal i-M2s|nax>

Найденное решение показывает, что возмущения основного потока имеют наибольшую амплитуду у стенки и экспоненциально затухают при удалении от нее. Скорость затухания возмущений зависит от числа Маха основного потока: чем ближе это число к единице, тем медленнее затухают возмущения.

Значения 〃，и и Ар на стенке с принятой точностью получим, полагая в выражениях (19.6) у = 0. Так, давление на стенке определится формулой

д _ pSga sin осх

Р рп^ •

Согласно этой формуле давление на стенке меняется по тому же закону, что и ордината контура стенки (19.1) (возмущения давления и возмущения формы стенки находятся «в фазе»). Вследствие этого сопротивление стенки (т. е. сила, действующая в направлении движения основного потока на один период волны стенки) равно нулю.

На рис. 3.19.2, а изображены изобары и линии тока возмущенного течения. Числа у изобар соответствуют величине Ар, отнесенной к ее наибольшему значению при у = 0, т. е. к pt/2ea/K 1 — М2. Если изменить направление основного потока на обратное, то изображение на рис. 3.19.2, а не изменится.

Коэффициент давления ср = ^pl^l^U2) на стенке меняется при изменении числа Маха основного потока пропорционально 1/К1 ——М2;

то же относится и к величине относительного возмущения продольной скорости 〃/U.

При выводе уравнений малых возмущений предполагалось, что u[U, v/U <^ 1. Из полученного решения (19.6) следует, что эти условия удовлетворяются при выполнении неравенства

«1・«1・

«1・

«1・

Рис. 3.19.2Рис. 3.19.2

Рис. 3.19.2

Рис. 3.19.2

Величина еа есть наибольший угол, образуемый стенкой с направлением основного потока. Эта величина должна быть малой; при

приближении числа Маха М к единице допустимые значения еа становятся все меньшими.

Второе условие, при котором уравнение (18.6) для возмущений скорости можно заменить линейным уравнением (18.7), имело вид (см. (18.8)) (Г+ 1)М2 粤《| 1—М2|.

Для выполнения этого условия в рассматриваемом случае должно быть

(14 1)m2叫 (1—М2)3/2 R

Напомним, что левая часть этого соотношения обращается в единицу, если максимальное значение скорости на стенке становится в рассматриваемом приближении равным скорости звука, так что решением линейного уравнения можно пользоваться лишь при таких значениях определяющих параметров, при которых скорость газа нигде не приближается к скорости звука.

При приближении числа Маха М к единице второе из написанных условий налагает на величину еа более сильное ограничение, чем первое.

Пусть теперь скорость основного потока сверхзвуковая, т.е. М > 1. Уравнение (19.2) для потенциала возмущений имеет в этом случае общее решение в виде суммы двух произвольных функций одного аргумента)

(Р =尸(х—ИМ2 —1 y)+G(x + КЛ^Т 力. (19.7)

Прямые линии

х—К М2 — 1 у = const

и

х+ К М2—1 g= const

являются акустическими характеристиками уравнения (19.2) и не зависят от вида конкретного решения этого уравнения. Вдоль характеристик первого семейства, распространяющихся от стенки вниз по потоку, сохраняются значения функции 尸,а вдоль характеристик второго семейства, которые идут из бесконечности вниз по потоку к стенке, сохраняются значения функции G. Так как по условию поток над стенкой беспределен в направлении роста у и из бесконечности к стенке не идут никакие возмущения, то в решении (19.7) следует положить G = 0.

Граничное условие на стенке

u=需=—p m2 — ^ , ^)^^ ^^ Ueoccosax

позволяет определить функцию F:

f(%)sin ax.

Таким образом, потенциал возмущений имеет вид Ф=—y^==-sin[a (%—КМ?二ip)] •

Отсюда

〃 =—м^7r. cos [а (х—КМ2—Ту)],u = Ueacos[a (х—匕М2— \у)],

Ар = J^y cos [a (%—Н 而—1 у)].

В отличие от дозвукового течения, при сверхзвуковой скорости потока согласно полученному решению возмущения не затухают при удалении от стенки, а сохраняют постоянные значения вдоль характеристик

х—И М2— 1 у = const.

На рис. 3.19.2, б показаны изобары и линии тока полученного течения. Числа у изобар соответствуют значениям Ар, отнесенным к pSea/HМ2 — 1. При изменении направления основного потока на обратное изображенная картина изменится: возмущения в этом случае будут распространяться от стенки вдоль характеристик % + 匕 М2 — 1 у = const.

cosВозмущение давления на стенке ^р = р—^==cosВозмущение давления на стенке ^р = р—^==находится «в про

cos

Возмущение давления на стенке ^р = р—^==

cos

Возмущение давления на стенке ^р = р—^==

XXJ (еа cos ах)2 dx. оJ (еа cos ах)2 dx. отивофазе» с возмущением формы стенки. Поэтому при сверхзвуковой скорости сопротивление стенки отлично от нуля. На один период волны стенки действует в направлении основного потока сила сопротивления

X

X

J (еа cos ах)2 dx. о

J (еа cos ах)2 dx. о

Сила сопротивления квадратичным образом зависит от среднего по периоду волны угла наклона поверхности стенки к направлению основного потока и меняется (как и Др/(р{/2), и u/U) при изменении числа Маха основного потока как 1/ЙМ2—1.

Оценки применимости полученного решения при М > 1 остаются теми же, что и при М < 1.

Рассмотренный пример обнаруживает характер поведения возмущений потока в приближении линейной теории и устанавливает существенные различия свойств дозвуковых и сверхзвуковых течений. Обнаруженные свойства сохраняются и при обтекании стенок другой формы, поскольку в рамках линейной теории решения таких задач можно получить путем суперпозиции решений задачи об обтекании волнистой стенки при разложении функции, описывающей форму стенки, в ряд Фурье.

Отметим еще одно важное свойство изученных решений, также присущее в рамках линейной теории и течениям более общего вида.

В точной нелинейной постановке решение задачи об обтекании волнистой стенки, например, при дозвуковой скорости, когда в потоке не возникают скачки уплотнения, после перехода к безразмерным величинам имело бы вид

Ф = и^Ф (М, ?; ае; ах, а//).

В линейном приближении (см. формулу (19.5)):

Ф = у；二亦①I (叫 а”' 1 — М2).

Сравнение двух выражений для потенциала <р показывает, что вместо пяти существенных аргументов у функции Ф в точном решении, функция ① 1 имеет лишь два (переменных) аргумента. Это свидетельствует о том, что все дозвуковые течения около волнистой стенки с различным набором определяющих параметров в линейном приближении подобны, т.е. распределения параметров одного течения

могут быть получены простым пересчетом (изменением масштабов величин) из распределений параметров в другом течении. При этом* параметр Г (у—для совершенного газа) вообще оказывается не влияющим на распределения скорсютей и давлений.

Рассмотрим теперь в рамках линейной теории малых возмущений задачу об обтекании одиночного профиля, помещенного в однородный набегающий поток (рис. 3.19.3).

Пусть в системе координат, в которой однородный поток со скоростью U направлен вдоль оси х, контур профиля задан уравнениями

y = sY± (х) при O&x&L,(19.8)

где еУ+ (х) и еУ一 (х) суть соответственно верхняя и нижняя стороны контура. Введем потенциал возмущений <р, по-прежнему удовлетворяющий уравнению (19.2).

Требование обтекания контура приводит к граничному условию 需="y工(%) при у=士0, 0w%&L.(19.9)

В бесконечности перед телом производные от потенциала возмущений должны стремиться к нулю, так что должно выполняться условие

ф—> 0при х—> — оо.(19.10)

Таким образом, задача о нахождении поля возмущений скорости и давления при обтекании профиля сведена к математической задаче нахождения из уравнения (19.2) функции ф, удовлетворяющей условию (19.10) и такой, что при подходе к разрезу (0, А) на оси % с двух его сторон нормальная производная функции ср принимает заданные согласно (19.9) значения.

При выводе уравнений теории малых возмущений предполагалосьу что при малых значениях е величина возмущений скорости тоже мала сравнительно со скоростью невозмущенного потока. Однако» если профиль с любым сколь угодно малым значением е обтекается дозвуковым потоком, то на профиле в общем случае имеются две критические точки, в которых скорость обращается в нуль. Возмущение скорости вблизи этих точек сохраняется конечным при е 一 0, так что дозвуковое течение около профиля стремится при е—*6 к однородному потоку неравномерно: в окрестности передней и задней критических точек профиля возмущения скорости не малы. То же справедливо и при сверхзвуковом обтекании затупленного впереди профиля, когда в дозвуковом потоке за отсоединенным скачком уплотнения имеется критическая точка на поверхности профиля. Поэтому в таких случаях при использовании метода малых возмущений следует ожидать появления в некоторых точках особенностей распределения параметров течения. При сверхзвуковом обтекании заостренных впереди профилей критической точки на профиле нет и стремление к предельному однородному течению при е—-- 0 будет равномерным.

В формулировке задачи об определении потенциала ср параметр е входит лишь в условие (19.9). Так как два других соотношения, определяющие ф, — уравнение (19.2) и условие (19.10)—однородны относительно ф, то ясно, что потенциал возмущений ф, а вместе с ним и возмущения скорости и давления пропорциональны е. Линии тока при обтекании всех аффинноподобных профилей (19.8) с одним и тем же числом М образуют аффинноподобные семейства. Такой закон подобия вытекает из линеаризации по параметру е всех соотношений при постановке задачи. Как уже отмечалось, при приближенной формулировке задачи из числа параметров, от которых зависят поля возмущений скорости и давления, выпала и величина Гп так что в принятом приближении эти поля для всех газов одинаковы.

Покажем, что, как и в случае обтекания волнистой стенки, приближенная постановка задачи позволяет сформулировать закон подобия течения с разными значениями числа М около аффинноподобных профилей. Рассмотрим сначала случай дозвуковой скорости набегающего потока М < 1. Введем «деформированную» координату р

7=旷 丁一AV

и функцию

—一Ф /1 一 м2

В новых переменных уравнение (19.2) и краевые условия (19.9) я (19.10) примут вид

尊+叁=0,d%2 I ду2

寧=y；(%)при ^=0,(19.11)

ф —> 0при 尤—一ОО.

В этой задаче нет н и к а к и х параметров!

Таким образом, поля возмущений скорости и давления при обтекании любого профиля из семейства (19.8) потоком газа с любым значением показателя адиабаты у и с любым значением числа М < 1 подобны между собой. Именно:

〃 =£ у自評”伉1—AV),

0 = £u而7(居 uн1 一m)(19.12)

где «% и ф-——функции двух аргументов х и у, одинаковые для всех профилей семейства (19.8) и не зависящие от у и М.

Избыточное давление на профиле с принятой точностью выразится формулой

^p = -Sy£^^x(xi 0).(19.13)

Отсюда следует, что коэффициент давления с〃 при обтекании профиля с относительной толщиной % потоком с числом Маха Мх и коэффициент давления q? при обтекании профиля с относительной толщиной % потоком с числом Маха М2 связаны соотношением

с — с £2 У 1 — Ml

Выражаемое этим соотношением подобие распределения давлений на профилях разной относительной толщины, обтекаемых дозвуковым потоком с разными числами М, называется законом подобия /7 рандтля—Глауэрта.

Согласно этому закону, зная распределение давления на одном тонком профиле при одном значении числа М = Мх < 1, можно простым и известным изменением масштаба получить распределение давления на любом другом тонком профиле, аффинноподобном первому, при любом другом значении числа М = М2 < 1 (причем это распределение не зависит от термодинамических свойств газа, т. е. от величины Гх).

Число М] может, в частности, быть равным нулю, что соответствует течению несжимаемой жидкости. В этом случае для одного и того же профиля(£1 = %) в несжимаемой жидкости, т. е. при М = 0, и в газе при числе Маха М > 0 получаем связь между давлениями

или между коэффициентами давления

Cjph

Это—формула Прандтля—Глауэрта, уже полученная нами ранее (см. 6.25)).

На рис. 3.19.4 приведено сравнение экспериментальных распределений давления на одном профиле при М = 0,6; 0,7 и'0,8 (сплошные кривые) с пересчитанными по закону Прандтля——Глауэрта данными эксперимента при М = 0,4 (штриховые кривые) ). Совпадение расчетных данных с экспериментальными, естественно, ухудшается при приближении давления на профиле к критическому (значения которого приведены штриховой прямой).

При М > 1 можно ввести координату у и функцию 屮 по формулам

』次口,(19.14)

с другим уравнением для потенциала, а именно 霧-窑(19.15)

В этом случае поля возмущений скорости и давления определяются формулами

и = е%7(%, //КМ?—I),(19.16)

M - ■冠(招W灰刁.

При одних и тех же функциях Y + (%) и У_ (%), т. е. для одного и того же семейства： профилей, функция ф (х, у) при М >|1 будет, конечно, иной, чем в выражениях (19.12).

Аналогично закону подобия Прандтля ——Глауэрта при дозвуковой скорости потока, при М > 1 справедливо соотношение

называемое законом подобия Аккерета.

Перейдем теперь к способам теоретического определения функции «(х, %).

Рассмотрим вначале обтекание тонкого профиля дозвуковым потоком ). Начнем с задачи симметричного обтекания профиля

y^±^Y (X) при 0w工《L.

Для ее решения применим метод источников и стоков. Распределим источники, потенциал которых определяется формулой (18.29), на отрезке оси х, занимаемом профилем (длину этого отрезка L примем за единицу): r)= 0, 0&Е&1. Интенсивность источников dg(§ соответствует тому, что из отрезка протяженностью dE истекает объемный расход газа dq(E).

Обозначим и(Е, +0) и и(Е, —0) нормальную к оси х составляющую скорости при подходе к оси сверху и снизу соответственно. Ясно, что и(Е, —0) = —и(Е, +0) и

dq(^ = v^ +0)龙一и(Е, -0)龙=2。倡 +0)龙.

Потенциал скорости течения от всех источников, расположенных на отрезке 0&Е&1, выразится, таким образом, интегралом

1

屮=言『u信+°)ё匕(Х-32 +加2歹成,(19.17)

b

а составляющие скорости—формулами

" dx nm)(x一自产+m2g2

/(19.18)

(芝諾能恋

0

Покажем, что правая часть выражения для и при у —^ 0 дает значение и(х, +0). Действительно, при 0 < ту = 6

11

丄 lim fu& +0)-——2上dE =丄u(招 +0) lim C?——= 几 6foy(X—g)2+d2 ° я v 1 ' 6f о J (x—&)24-d2

=~v(x, +0)lim arctg^^J =；u(%,+0)lim Qrctg*^"^+arctg^)・

Выражение в скобках в пределе при 6 —> 0 равно л для 0 < х< 1 и нулю для всех х вне этого интервала; этим утверждение док азано.

Функция и(Е, +0), определяющая решение (19.17)—(19.1 8), находится из краевого условия обтекания профиля

V (х, +0) = g[/Y，(%).V (х, +0) = g[/Y，(%).(19.19)(19.19)

V (х, +0) = g[/Y，(%).

V (х, +0) = g[/Y，(%).

(19.19)

(19.19)

Для вычисления давления на профиле по формуле Ар (х, 0)= =—pUu (х, 0) найдем величину и (х, у) при у = 0. в выражении (19.18) для и при у = 0

(19.20)(19.20)

(19.20)

(19.20)

Рис. 3.19.5Рис. 3.19.5

Рис. 3.19.5

Рис. 3.19.5

интеграл расходится при Е = %, т. е. является при 0 < х < 1 несобственным и его следует понимать в смысле главного значения.

Очевидно, что выражение для давления на профиле

р08(…)

W=而]%T

удовлетворяет закону подобия Прандтля — Глауэрта.

На рис. 3.19.5 приведены в качестве примера распределение возмущения скорости 〃/U (пропорциональной возмущению давления), вычисленное по формуле (19.20), и экспериментальные значения этой величины при М = 0,6 на профиле, образованном дугами параболы, с относительной толщиной, равной 0,16.

Отметим, что у передней и задней кромок профиля (при условии, что там 『(%)#=©) рассчитанное возмущение скорости стремится по логарифмическому закону к бесконечности. Как уже говорилось ранее, это является

отражением особенности линейного решения, которая возникает там, где возмущения скорости при е-^0 не стремятся к нулю.

В рассмотренном случае симметричного относительно оси х профиля подъемная сила, о чевидно, отсутствует.

Сопротивление профиля

x=2厶5依)厶=—喀『導早込оо о

равно нулю, как и должно быть в соответствии с парадоксом Эйлера—— Даламбера, так как подынтегральная функция антисимметрична относительно диагонали квадрата, по площади которого производится интегрирование.

Перейдем теперь к более сложному случаю несимметричного обтекания профиля, заменив пока профиль линией (дужкой) у = еУ (х) ).

В отличие от симметричного относительно оси х течения от источников, расположенных в точках этой оси (см. формулы (19.18)), течение от вихря, находящегося на оси х, как легко получить из формулы (18.31) при т] = 0, несимметрично: компонента скорости и сохраняется при переходе через ось х, компонента и меняет знак.

Располагая вихри непрерывно вдоль отрезка 0&Е&1 оси х и полагая

亚阳=一"怎+0)成+ "怎一0)龙=-2" & +0)篋， найдем потенциал 屮 в виде

1

屮〃低 +O)arctg畳龙•(19.21)

о

Компоненты скорости выразятся формулами

"=需="晔+°)(хT阵岸/成,

0 ](19.22)

。=需=_"居+°)后二凉为龙.о

При у = 0 получим

。(招 0)=-^ J^±^^,(19.23)

b

причем интеграл в правой части при 0 < х < 1 вновь нужно понимать в смысле его главного значения.

В случае симметричного обтекания определяющая решение (19.17)— (19.18) функция и(Е, +0) находилась непосредственно из граничного условия на профиле. В рассматриваемом несимметричном ре

шении (19.21)—(19.22) функция w(5, +0) непосредственно граничным условием обтекания профиля не определена. Она известна, если решается обратная задача нахождения формы профиля по заданному на нем распределению давления.

При решении прямой задачи функция 〃(Е, +0) должна находиться из интегрального уравнения

1

ит(%)+ g『.(上寺 S,成=0 при 0<х< 1,(19.24)

о ，

в которое обращается формула (19.22) для и при у = 0 после подстановки в нее значения и (%, 0) из краевого условия обтекания профиля и (%, 0) = и&У'(х).

"（芻 +0）"（芻 +0）Не останавливаясь на выводе, приведем формулу обращения интегрального уравнения (19.24):

"（芻 +0）

"（芻 +0）

〃2 M x(l—x)лт ］^x(\ — x) J' — *

при 0 < х < 1.

Решение определено с точностью до константы С, соответствующей разным значениям циркуляции скорости вокруг профиля. Распоряжаясь этой константой, можно удовлетворить условию Жуковского—— Чаплыгина схода линии тока с задней кромки профиля.

Из условия ограниченности и (х,+0) при 1 получаем nC + ^f UeX (f) M；,；')df = 0, так что решение, удов летвор я ющее о

условию Жуковского — Чаплыгина, имеет вид

"(Х，+。)=罢］/"亭h'⑴m百昌.09.25) о

В качестве примера рассмотрим плоскую пластину под углом атаки а. В этом случае &У'(х) = — а и формула (19.25) дает "(% +。)=-缁/亍 i о

Отсюда

〃(х, +0)=警］/ —・(19.26)

График величины 〃(居 +0) приведен на рис. 3.19.6.

На нижней стороне пластинки и (х, —0)=— 〃(居 +0).

Таким образом, давление на нижней стороне пластинки выше, а на верхней стороне—ниже, чем в набегающем потоке. Нормаль-

ная сила, действующая на пластину, и равная ей с принятой точностью подъемная сила У определяется выражением

Отсюда для коэффициента подъемной силы находим

В соответствии с парадоксом Эйлера—Даламбера сила сопротивления, действующая на пластину, равняется нулю. Однако, проектируя нормальную к пластине силу на направление набегающего потока, получим от- 皆伊 личную от нуля величину|i

лр U2a2

Разрешение этого кажущегося противоре- 2卜、 чия состоит в том, что в линейном прибли- \ жении задача дозвукового обтекания про- \ фи л я газом согласно формулировке (19.11) идентична задаче его обтекания несжимаемой жидкостью. Поэтому при обтекании газом передней кромки пластины возникает, как и、

в несжимаемой жидкости, подсасывающая си- 亩 % 石 ла, о которой подробно говорилось в § 4.\ iq а ?

Согласно формуле (4.11) для 屮 распреде- Рис, 3, 9,6 ление скорости по верхней стороне полубес- конечной пластины, обтекаемой несжимаемой жидкостью, дается выражением

Сравнивая это выражение с распределением скорости (19.26) на пластине единичной длины при х — 0 (тоже для несжимаемой жидкости, т. е. при 加=1), находим 加*'^ =Ua, так что в соответствии с формулой (4.13) подсасывающая сила у кромки такой пластины равна

npU2a2.

В сжимаемом газе подсасывающая сила, уравновешивающая вычисленную выше силу сопротивления, есть

冗ри 2a2

12 г. Г. Чсрнмй

Рассмотрим (рис. 3.19.7, а) симметричный профиль с уравнением контура (при 0&%《1)

у = ±тУ° (х)

(Уо (°) = У。(1) = °； 2t——наибольшее значение относительной толщины профиля). Искривим среднюю линию профиля (рис. 3.19.7, 6), придав ей вид

玖=Е%(%)

Рис. 3.19.7Рис. 3.19.7(У5 (0)=匕(1) = 0； £—наибольшее значение относительно прогиба средней линии). Наконец, повернем профиль (рис. 3.19.7, в) вокруг точки % = 0, р = 0, установив его под углом атаки а.

Рис. 3.19.7

Рис. 3.19.7

оА ~^о

Y Yo (х)

а

В результате при малых т, е и а уравнение контура профиля с принятой точностью можно написать в виде

у = ± тУ0 (х) + sYs (х)—а%.、(19.28)

Решение задачи об обтекании такого контура представится суммой решений рассмотренных ранее задач. В частности, для распределения скорости и на профиле из (19.18), (19.22) и (19.26) следует формула*

心±。)=索普士得/亨±

оо

Перейдем теперь к изучению сверхзвукового обтекания профиля (рис. 3.19.3). В этом случае проще применить не метод источников и стоков, а использовать общее решение уравнения (19.15) в виде

6 = F (尤—办+ G (x + 订.

В силу того, что из бесконечности к профилю возмущения не распространяются, решение в верхней полуплоскости отлично от нуля лишь в пол у пол осе 0 < х—у < L и имеет вид

а в нижней полуплоскости потенциал ф отличен от нуля лишь при 0 < у < L и имеет вид—

，= G(%十办

Функции 尸 и G определяются из условия обтекания соответственно верхней и нижней поверхности профиля: при 0&%《L 票頂(Х)， 片 土 0

т. е.

一尸(%) =(%), Gz(x)^Kl (х).

Следовательно,

G = —У+(%—У) при 0 <х — у< L и

0H = У-(% +办 при 0<x + y<L.

В остальной части плоскости %, у 屮=0.

Согласно формулам (19.16) решение в исходных переменных имеет вид: в полуполосе 0 < %—КМ2— 1 у < 厶 у > 0

U= £u4(%_p而二Г /(19.29)

^гу^\^ ^^ 力

и аналогично для нижней полуплоскости.

Поток возмущен лишь внутри полуполос, ограниченных уходящими вниз по потоку от профиля характеристиками, исходящими из передней и задней кромок профиля (рис. 3.19.3). В остальной части области поток не возмущен. Линии тока внутри возмущенной области повторяют форму профиля; возмущения внутри этой области не затухают при удалении вдоль характеристик в бесконечность. Так как на профиле dy/dx = еУ'(%) = tg 9 ^ 仇 где 0 — угол отклонения стенки от направления набегающего потока, то возмущение давления на профиле (при у = 0) можно согласно формуле (19.29) для Ар записать в виде

A吋冷(⑼30)

а коэффициент давления—в виде

рНм? —1

Формула (19.30) дает чрезвычайно простую связь между давлением в точке на профиле и местным значением угла наклона контура профиля к направлению набегающего потока. Эта формула называется формулой Аккерета.

Используя формулу Аккерета, легко получить в общем виде выражения для сил, действующих на профиль.

Рассмотрим профиль (рис. 3.19.7, в) с заостренными кромками, расположенный под углом атаки а.

Для сил X и У, действующих в направлении осей % и у, имеем dX = ^p+dY+—^p^dY_9 dY = (―&?+ + Ар_) dx.

Следовательно,

X=Т^т П(тУ+(тУ]^'о

L

丫 一 МMJ J dx dx 丿"

Представим уравнение контура профиля в виде (19.28). Тогда

X =演三(т2У7 + 炉呼+ а>(19.31)

У 2р(/2 厶

—Н；^二fa.

Здесь Y^ и У】？一средние по длине профиля значения У0 и У『.

Для коэффициентов силы сопротивления и подъемной силы получаем выражения

(19.32)(19.32)— У _ 4a %pU2L = M^=T °

(19.32)

(19.32)

Согласно формулам (19.31) сопротивление профиля в сверхзвуковом потоке всегда отлично от нуля (если только профиль не есть плоская пластина под нулевым углом атаки); это сопротивление принято называть волновым. Волновое сопротивление профиля представляет собой сумму трех составляющих: сопротивления, связанного с толщиной профиля, сопротивления, связанного с искривлением его средней линии, и сопротивления, обусловленного наличием угла атаки. Возможность такого разделения сопротивления на три независимых слагаемых есть следствие линейности задачи.

Подъемная сила профиля не зависит в рассматриваемом приближении от формы профиля и определяется только углом атаки; зависимость подъемной силы от угла атаки линейная.

Важной характеристикой профиля наряду с подъемной силой является его аэродинамическое качество—отношение К = -^-・

На рис. 3.19.8 представлена зависимость К от a =；々 pAV—1 при разных значениях суммы а^ = р2у；2 + &2У?. с ростом ат значение к при данном Су снижается. При фиксированном значении аш величина К имеет максимум 1 /(2aw) при « =吟

отдельных составляющихотдельных составляющихРис. 3.19.8Рис. 3.19.8Рис. 3.19.9Рис. 3.19.9

отдельных составляющих

отдельных составляющих

Рис. 3.19.8

Рис. 3.19.8

Рис. 3.19.9

Рис. 3.19.9

Коэффициент сопротивления сх при данном угле атаки минимален для профиля в виде плоской пластинки и равен -^г===а2.

Волновое сопротивление одиночного профиля можно уменьшить

только путем уменьшения каждой из трех сопротивления. Однако в случае более сложных пространственных конфигураций общее сопротивление может быть меньше суммы сопротивлений составляющих конфигурацию элементов вследствие их взаимодействия. Это явление называется полезной интерференцией тел при их обтекании. Простейшим замечательным примером такой интерференции является биплан Буземана.

Рассмотрим (рис. 3.19.9, а) два одинаковых профиля треугольного сечения под нулевым углом атаки. Сопротивление каждого такого профиля, не взаимодействующего с другим, отлично от нуля и равно

X=严上眼 e .

/ма-1 х Мм」】

Пусть теперь профили расположены, как показано на рис. 3.19.9,6, т. е. так, что волна, идущая от передней кромки каждого профиля, попадает в точку излома контура другого профиля.

В области между характеристиками /О' и OB' функция F та же, что и для одиночного профиля АО В и, очевидно, она удовлетворяет условию обтекания участка О'В' профиля 4'0'В'. В области между характеристиками Л'О и ОГВ функция G та же, что и для одиночного профиля АГОГВ\ и она удовлетворяет условию обтекания участка ОВ профиля АОВ. Таким образом, давление на участках ОВ и OfBf профилей такое же, как и на участках A'Of и АО соответственно, т. е. давление на задних «скатах» треугольных профилей то же, что и на передних. Вследствие этого общее сопротивление биплана Буземана равно нулю. В четырехугольной области между парами характеристик обоих семейств давление равно сумме давлений в волнах, идущих от участков АО и Аг0г обоих профилей, и равно, следовательно,

удвоенной величине давления на поверхности профилей; скорость в этой области имеет направление набегающего потока.

Очевидно, что при описанном расположении профилей расстояние между профилями й и их длина I связаны с числом Маха соотношением 777r = £已卩=一；Выполнению этого соотношения соот- //2° ГАА2 1“

ветствует расчетный режим обтекания биплана Буземана.

Отсутствие сопротивления у биплана Буземана при расчетном режиме обтекания обусловлено тем, что все возмущения в этом случае сосредоточены внутри канала между двумя профилями и не выходят за его пределы ). При отклонении режима обтекания от расчетного, например, при уменьшении числа М по сравнению с рас

четным, возмущения выхо

h =]"(2%)一匕方匸彳h =]"(2%)一匕方匸彳дят во внешний поток и волновое сопротивление биплана становится отличным от нуля (рис. 3.19.10). Очевидно, однако, что и при

h =]

"(2%)一匕方匸彳

h =]

"(2%)一匕方匸彳

где 〃 = 2,' 3, …，волны не будут выходить за пре

делы канала, распределение давления на профилях будет симметри-

Р^РаР^Рачным по отношению к их середине и, следовательно, сопротивление биплана будет равно нулю.

Р^Ра

Р^Ра

На рис. 3.19.10 приведена зависимость коэффициента сопротивления биплана Буземана от определяющих параметров

рис Qj9ji "// и М во всем диапазоне их 九 二 1 … возможного изменения ). При —-~厂二 〉1 возмущение от передней кромки одного профиля пе

рестает попадать на поверхность второго профиля, так что обтекание профилей становится независимым и эффект полезной интерфе

ренции исчезает.

Рассмотрим еще в рамках линейной теории изучавшуюся уже ранее (в § 15) в точной нелинейной постановке задачу о нерасчетном истечении в пространство плоской однородной сверхзвуковой струи (рис. 3.19.11). Пусть скорость и давление в истекающей струе равны, соответственно, U и ри а давление в окружающем пространстве Ра = Р1+Ара，причем \^pa\<^p1.

Угол отклонения 0а линии тока АО определится по формуле Аккерета (19.30), связывающей угол отклонения однородного потока (при переходе через характеристику первого семейства) с соответствующей величиной изменения давления:

产 а Мм2 — 1 а

Линия тока АО продолжается до точки О встречи ее с характеристикой второго семейства, идущей из точки %'. В области между характеристиками AOf и OBf функция F определена значениями А"=Ара и соответственно 0 = 0а на ЛО; в области между характеристиками /'О и OfB функция G определена значениями Np = Np& и соответственно 0 = —0а на /'О'. Таким образом, в четырехугольной области, образованной пересечением этих двух пар характеристик, Др = 2Дра, а 8 = 6аЧ-(—0а) = 0; в треугольных областях, примыкающих к ОВ и О'В', соответственно Ар = Дра, 9 = —0а и Др= Дра, 0 = Оа. Так как течение за точкой пересечения характеристик OBf и OfB вновь должно стать параллельным линии симметрии (т. е. в нем 8 = 0), то, вновь используя связь Др = -^^— при переходе через характеристику первого семейства, получим в этой области

Таким образом, в струе между точками В и В' условия те же (Др = 0, 0 = 0), что и в истекающей струе между точками / и /'. Следовательно, при дальнейшем течении струи картина, изображенная на рис. 3.19.11, будет периодически повторяться.

Линейная теория обтекания тел вращения.

Законы подобия

При . изучении установившегося обтекания тел вращения (рис. 3.20.1) мы ограничимся случаем, когда направление оси тела совпадает с направлением набегающего потока (угол атаки тела равен нулю). Очевидно, что вследствие симметрии течения действующая на тело поперечная (подъемная) сила равна в этом случае нулю.

В цилиндрической системе координат х, г, 0 уравнение для потенциала возмущений (18.10) с учетом того, что (р=(р(х, г),

примет вид

5 醤+需+ ^=о.

Решение задачи об обтекании тела будем искать в виде потенциала течения от источников, распределенных на отрезке (О, L) оси х, 尸sr соответствующем протяженности тела:

产 Здесь &—координата на оси х, ко- Рис. 3.20.1торой соответствует плотность интен

сивности источников q(E).

Рассмотрим точку .г,厂 в потоке (рис. 3.20.1). Согласно сказанному ранее в § 18 при М < 1 влияние на течение в этой точке будут оказывать источники, расположенные на всем отрезке (0, А) оси х. Если же М > 1, то влиять на течение в точке х, г будут лишь те источники, конус Маха которых включает эту точку, т. е. те точки Е оси х, где х—&》/М2—1 厂.Следовательно, верхним пределом ^ в интеграле (20.1) будет величина L при М < 1 и величина £ = =х—Км2— 1 厂(0 < Ei &厶)при М > 1.

(噜)…(噜)…=UR*=UR*(20.2)(20.2)Интенсивность распределенных источников будем определять из краевого условия обтекания тела (18.22)

(噜)…

(噜)…

=UR*

=UR*

(20.2)

(20.2)

или из более простого условия (18.23).

Для того чтобы обойти трудность при дифференцировании по г под знаком интеграла (20.1) при % = Е, введем вместо Е новую переменную г] по формулам

х—& =加/*511% m =И 1—М2 при М < 1 и

х—? = mr ch г],加= )/М2—1 при М > 1.

После преобразования к новой переменной и учета сказанного выше о верхнем пределе интеграла получим

X-L sh 力= mr

Ф= § q(x—mr shT])dT] при M < 1, m = Kl —M2(20.3)

sh产

И

(p= k q (x—mr ch r]) dr] при M > 1, m — KM2—1.(20.4)

Считая функцию q(J) гладкой, выполняя дифференцирование и вновь возвращаясь к исходной переменной, найдем при М < 1, /п=К 1——М2：

竺=_ j q'e)d& I 9亿)9(0)

g'(0(D 朮m (%一g)2+加2,2g'(0(D 朮m (%一g)2+加2,2及一 ] У (%一評 +现2八十$ (%一L产+加2".m %2+加2严

g'(0(D 朮

m (%一g)2+加2,2

g'(0(D 朮

m (%一g)2+加2,2

(20.5)(20.5)g(L)(%—L)q(0)%

(20.5)

(20.5)

M (%—厶产+现2严J"x2 + 載r2

и при М > 1,加= /М2—1

江=变=_(4'陶朮 _g(0)

°% JM (% —己)2—ТП2Г2К%?—加％ '(20.6)

g=x-mr

—曳= f g'(E)(D 進 I 4(。)％

(20.2)(20.2)полу-полу-Or JM(%—自)2—加2"十|4炉一m2八•

(20.2)

(20.2)

полу-

полу-

Для определения q согласно граничному условию чаем интегральные уравнения:

при М < 1, т = /1 — AV

u磽=u磽=f d 售)(7)dWJ M a—E)2+〃：2尸f d 售)(7)dWJ M a—E)2+〃：2尸r- R (x)r- R (x)(20.7)(20.7)

u磽=

u磽=

f d 售)(7)dW

J M a—E)2+〃：2尸

f d 售)(7)dW

J M a—E)2+〃：2尸

r- R (x)

r- R (x)

(20.7)

(20.7)

при М > 1, т = ИМ2 ——1

r- R (x)r- R (x)(20.8)(20.8)UR空」f "阳（D我以一| J J a一評一曲人

r- R (x)

r- R (x)

(20.8)

(20.8)

Для простоты в первом случае принято g(O) = g (L) = 0, что соответствует заостренному у обоих концов телу (точнее—телу, у которого производная dS/dx обращается у концов в нуль); во втором случае требуется выполнение лишь условия q(0) = 0, так как в этом случае источники не влияют на течение вверх по потоку от исходящего из них конуса Маха.

Нахождение распределения источников д(? из уравнения (20.7) или (20.8) в общем случае производится численными методами. При этом распределение q(E) аппроксимируется многозвенной ломаной, на каждом участке которой q'(Е) = const. После этого интеграл (20.7) или (20.8) заменяется суммой интегралов по интервалам Е, на которых °'= const. Подставляя в преобразованное таким образом уравнение (20.7) или (20.8) в его правую и левую части последовательность значений х, по числу равную числу подлежащих определению значений 々，получим систему линейных уравнений для нахождения этих значений. При сверхзвуковой скорости значения q； находятся последовательно из решения каждый раз лишь одного уравнения,

так как значения q； при больших i не влияют на течение, определяемое значениями @ на предыдущих участках.

Как следует из выражений (20.5) и (20.6), составляющие скорости и и V имеют при обтекании тел вращения разные порядки при малых /*. Поэтому, как уже говорилось в § 18, при вычислении давления на поверхности тела в этом случае в главном приближении следует пользоваться формулой (18.12)

(20.9)(20.9)

(20.9)

(20.9)

На рис. 3.20.2 приведены распределения давления на поверхности веретенообразного тела вращения с параболической формой образующей и относительной толщиной 0,16 при его дозвуковом обтекании, вычисленные по приведенной теории.

Рассмотрим при М > 1 решение обратной задачи, задав q (^) = А1 и разыскивая соответствующую такому распределению источников форму обтекаемого тела. По формуле (20.4) в этом случае 屮=』 S(”—тгс^ ^)^4 = ^^ —a「ch*+ "|/ 1 —~^- )• (20.10)

chr=工 mr

Непосредственным дифференцированием этого выражения (или из формул (20.6)) получаем

и = — A arch^7, v = Am j/ (京『一1・(20.11)

Поскольку обе составляющие скорости зависят только от комбинации %/г, то возникающее течение является коническим и соответ

ствует линейному аналогу задачи о сверхзвуковом обтекании конуса, точное решение которой было дано в § 16. Все линии тока та

кого течения в плоскости %, г подобны. На рнс. 3.20.3 приведена картина линий тока рассматриваемого течения. До конуса Маха х—加г = 0 поток не возмущен. За этим конусом линия тока поворачивается, отклоняясь по часовой стрелке.

На линии тока г——х tg 0О == 0 направление скорости совпадает с нап

равлением луча, т. е. угол 90 есть

пол у у гол при вершине обтекаемого конуса. Угол 90 находится из

соотношения

dx _ drU + u *

Из него получаем

= tg 备

и— A archАт l/"——!]

mtge。у m2tg2e0 丨

откуда

У Ctg2 e0-/n2 + tg e0 arch -^2-

Для очень тонких конусов, для которых tg2 0О <^ ^ = tg2 ^ (т. е. для которых угол конуса 90 много меньше угла Маха 卩),выражение для А можно сильно упростить:

А ^ UQI

Выражения (20.11) для компонент скорости на поверхности конуса в этом случае также можно упростить (при этом используется формула arch а = In (а + {/а?—1)):

〃 =—и婚 in 鳥，и = ие°.

Отсюда согласно формуле (18.12) коэффициент давления на конусе равен

仆= _2. —(£『 = 2掰(in詣一})・(20.12)

Для тонкого клина с полууглом 0О ранее была получена формула (19.33)

J7 т・

Избыточное давление на конусе при том же полуугле по порядку величины в 001п^- раз меньше. Этот меньший рост давления очевидным образом связан с тем, что при обтекании конуса поток имеет возможность «растекаться» во все стороны от оси конуса, тогда как в случае клина это растекание может происходить лишь в двух противоположных направлениях от плоскости симметрии.

Формула (20.12) для коэффициента давления на конусе может быть записана в виде

* =掰f（备/而二!）・* =掰f（备/而二!）・(20.13)(20.13)

* =掰f（备/而二!）・

* =掰f（备/而二!）・

(20.13)

(20.13)

Вспомним, что кания конуса в § параметров имелаВспомним, что кания конуса в § параметров имелаВИДeсCp = fM Y,备),ВИДeсCp = fM Y,备),(20.14)(20.14)при точном решении задачи сверхзвукового обте- 16 зависимость ср на конусе от определяющих

Вспомним, что кания конуса в § параметров имела

Вспомним, что кания конуса в § параметров имела

ВИДeс

Cp = fM Y,备),

ВИДeс

Cp = fM Y,备),

(20.14)

(20.14)

причем функция трех аргументов в правой части определялась численным интегрированием дифференциальных уравнений.

Приближенная формула (20.13) для ср содержит функцию лишь одного аргумента 0О КМ2—1, причем вид этой функции определен простой формулой (20.12).

Покажем, что, как и в случае плоских течений, в линейной теории обтекания тел вращения можно сформулировать законы подобия, аналогичные законам подобия Прандтля — Глауэрта и Аккерета.

Действительно, рассмотрим обтекание семейства тел с образующей

「= *(%)•(20.15)

Введем вместо потенциала 屮 величину (/е2(р, а вместо координаты г—величину г — гт, где

т = К1—М? при М < 1,т = Км2—1 при М > 1.

Тогда задача об обтекании любого тела семейства (20.15) сведется к решению уравнения

0炉丁 Г дг

(20.16)(20.16)(знак «+» при М < 1, знак «—» при М > 1) с условиями

(20.16)

(20.16)

\ 力力=meR (x)*

и

屮Xf - » — 0.

Сформулированная таким образом задача содержит параметр те. Решая ее, получим

Ф = ф (х, г, /не),

откуда

〃 = U&2屮〔(％,厂，/не),v = mU^r (х, г, те),*=—2& —(加 £)2 忌 2.

Приведенные формулы свидетельствуют о подобии течений около аффинноподобных тел одного семейства при дозвуковых или при сверхзвуковых (но не гиперзвуковых) скоростях (и притом в газах с разными термодинамическими свойствами) при одинаковых значениях тг.

Для очень тонких тел, когда в условии (20.16) можно брать левую часть при 厂=0, равенство значений те для подобия течений не требуется, т. е. все дозвуковые или все сверхзвуковые течения около аффинноподобных тел вращения подобны (как в случае очень тонкого конуса при М > 1).

§ 21. Линейная теория обтекания крыла конечного размаха

Рассмотрим в рамках линейной теории малых возмущений обтекание крыла конечного размаха. Набегающий на крыло поток однороден в бесконечности перед крылом и направлен вдоль оси х. Примем, что точки поверхности крыла лежат на малом расстоянии от плоскости х, z и что направление нормали к поверхности крыла мало отклоняется от направления оси у, за исключением, может быть, малой окрестности кромок крыла, если они не заострены (рис.3.21.1).

(21.1)крыла(21.2)крыла(21.1)крыла(21.2)крылаПотенциал возмущений скорости ф должен удовлетворять уравнению

(21.1)

крыла

(21.2)

крыла

(21.1)

крыла

(21.2)

крыла

(1—m停+霓+尊=0

、/1 ду2 дг2

и граничному условию обтекания

学=±°，z)

в точках проекции поверхности на плоскость у = 0.

получения решения, соответствуюполучения решения, соответствуюВ § 17 указывалось, что для

получения решения, соответствую

получения решения, соответствую

щего картине действительного обтекания крыла, необходимо в общем случае принять, что с его задней кромки сходит вихревая пелена. Эта пелена представляет собой тангенциальный разрыв между потоками, сходящими с верхней и нижней сторон крыла.

На поверхности тангенциального разрыва должно быть выпол

нено кинематическое условие—равенство нулю нормальной состав-

ляющей скорости газа с обеих ее сторон и динамическое условие — равенство давлений газа.

7== —Lu IL о о + + 即-f§"虫双7== —Lu IL о о + + 即-f§"虫双3(21.3(21.4)(21.4)(21.В линейном приближении эти краевые условия сносятся, как и условие на поверхности крыла, на плоскость у = 0. При этом считается, что проекция вихревой пелены на плоскость y — Q представляет собой пол у бес ко неч н ую полосу, ограниченную параллельными оси % линиями, идущими от концов крыла (см. рис. 3.21.1). Так как в рассматриваемом приближении возмущение давления пропорционально продольной составляющей возмущения скорости, то краевые условия на вихревой пелене сводятся к непрерывности производной д^1ду и непрерывности производной д^>!дх в точках вихревого следа за крылом

7== —Lu IL о о + + 即-f§"虫双

7== —Lu IL о о + + 即-f§"虫双

3(21.

3(21.

4)(21.

4)(21.

Отсутствие возмущений в бесконечности перед крылом дает условие

Ф —> 0 при х — — оо.(21.5)

Как и при обтекании профиля, разделим общую задачу на две: задачу об обтекании симметричного относительно плоскости у = 0 крыла ненулевой толщины и задачу об обтекании бесконечно тонкого изогнутого крыла. В первом случае потенциал возмущений симметричен относительно у, т. е.

屮(乂 一у, z) = ф (%, у, z),

а во втором—антисимметричен, т. е.

(р(х,—协 z)=—(р(х, у, z).

Рассмотрим вначале более простой случай дозвукового обтекания симметричного крыла.

Будем искать решение задачи с помощью распределения источников по площади проекции крыла на плоскости х, z. В силу симметрии течения относительно плоскости у = 0 для интенсивности источников dq на площадке 龙戏 в окрестности точки 占，С можно написать

dq = v^ + O, ^d^d^-v^-Q, С)成dC = 2u低十 0, ?龙哀.

Для потенциала возмущений ф от распределения источников по поверхности крыла 于 получим формулу

2冗М (%-护+ М产 + 加2(z-g)2''

Отсюда для компонент скорости находим выражения

〃 =L 。喙 +0, C)(&-x)dgdC

- 2л у 他一%产+济炉+б2 (二一 z)2产2，

一 2ny偃一成+加2尸+б2(三一7)2产2'' ,'

昨_虻 f 。& +°，C)(a-z)dEdC

- 2门J [代一%)2 +加2疗+б2隽一明3/2・

Интегралы в этих выражениях расходятся при у = 0 и Е = х, C = z по квадратичному закону. Для избежания этого поступим следующим образом. Будем считать, что контур крыла ограничен кривой z = =f=s(x), 0&%&厶 причем s(x) есть однозначная функция х.

Так как нас более всего интересует продольная составляющая скорости и, позволяющая найти распределение давления по крылу, ограничимся преобразованием выражения только для этой составляющей скорости. Представим в выражении (21.7) для и интеграл по площади в виде интеграла сначала по С от —s(%) до +s(x), а затем по х—от 0 до /, причем в первом интеграле проведем интегрирование по частям. В результате получим

-X-X—京)…"—京)…"О(Е，+0, s) (s —z)h(g -%)2 4-研/2+加2 (s - 2)2

-X

-X

—京)…"

—京)…"

。化，+o, —s)(s + z) j "因 +0,9(C-z)〃 ]

h (占一%户 + 加2y2+ 加2 (s+z)2J h (J -%户 + 加2y2 + (c-z)2*

Особенность, возникающая здесь при у = 0 и Е = х, можно устранить, беря главное значение интеграла.

При у = 0 получим

0, z) = —+0，s)(st)

2[^(自一货+曲e一货丁

dE. (21.8)dE. (21.8)+。(自，+0, — s) (s + z)f‘。£ 因 +°，0(C —z)dC

dE. (21.8)

dE. (21.8)

十 P(±_%)2+ 加2(s + z)2 — J

Функция u(E, + 0, 9 определена для симметричного относительно р = 0 крыла краевым условием (21.2)

呜+0,?=(/%低о, и.呜+0,?=(/%低о, и.(21.9)(21.9)

呜+0,?=(/%低о, и.

呜+0,?=(/%低о, и.

(21.9)

(21.9)

Условия (21.3) и (21.4) удовлетворены автоматически в силу симметрии течения относительно плоскости у = 0; вихревой пелены при этом вообще нет. Условие в бесконечности (21.5) удовлетворено, как это следует из исходного выражения (21.6) для потенциала возмущений ф.

Выражение (21.8) вместе с условием (21.9) позволяет при заданной форме крыла определить распределение давления по его поверхности.

В предельном случае цилиндрического крыла бесконечного размаха (т. е. профиля) уравнение поверхности крыла не содержит z, и внутрен- , ний интеграл в выражении для и исчезает, ， Р(в2 так как % = 0・

V,,—Фактическое применение формулы (21.8)

Рис. 3.21.2 в большинстве случаев требует довольно громоздких вычислений.

В случае крыла, несимметричного относительно плоскости р = 0 (называемого несущим крылом, так как в общем случае такое крыло обладает подъемной силой), будем считать, что его толщина равна нулю, т. е. рассмотрим крыло в виде участка искривленной поверхности. Так как значения возмущения давления, пропорциональные Зф/^х, различны с двух сторон поверхности крыла, то и значения потенциала ф в точках поверхности крыла с обеих его сторон в общем случае различны. В частности, они различны и при подходе к точкам задней кромки крыла сверху и снизу. В силу условия (21.4) эти разные значения потенциала сохраняются далее на вихревой пелене с двух ее сторон.

Рассмотрим (рис. 3.21.2) циркуляцию скорости Г по замкнутому контуру, начинающемуся в точке Р (х, Т 0, z) плоскости у = 0 и приходящему вновь в ту же точку Р(х, —0, z) с другой стороны плоскости р = 0:

Г = ^ (V• dl) = ^ ^- dl = ^> (х, —0, z) — ф (х, + 0；z).

Здесь Ф = 1]х+ ф. Так как потенциал ф в рассматриваемом случае антисимметричен, т. е.

屮(居一Р, z)=—屮(居协 z),(21.10)

(21.11)(21.11)то, следовательно,

(21.11)

(21.11)

F= —2屮(居 4- 0, z).

Согласно выражению (18.2) для изменения циркуляции по контуру, перемещающемуся вместе с частицами газа,

Так как на вихревой пелене давление не терпит разрыва, то и модули скорости с обеих ее сторон одинаковы, так что

^ = 一2 亚伯今生且=-2 回(居 +0, z)(U + ") +(p；叫=0,

поэтому в рамках линейного приближения и при наличии скачка потенциала на вихревой пелене 屮；(х, 4- 0, z) = 0. Это условие еле-

дует, конечно, из условия непрерывности давления (21.7) и свойства (21.10) потенциала ф.

В области у = 0 вне крыла и вихревого следа потенциал непрерывен, так что в этой области можно считать 屮(％, 0, z) = 0.

В дальнейшем будет показано, что при наличии у крыла подъемной силы (направленной вверх—в сторону роста у) вертикальная скорость V в точках вихревой пелены не равна нулю и направлена

Рис. 3.21.3Рис. 3.21.3вниз, т. е. вихревая пелена по мере удаления от крыла отклоняется вниз (напомним, что краевое условие на ней снесено на плоскость // = 0).

Рис. 3.21.3

Рис. 3.21.3

Для решения задачи об обтекании несущего крыла распределим циркуляцию по контурам, охватывающим крыло, или, как это следует из выражения (21.11), зададимся распределением потенциала в точках полуполосы в плоскости у = 0, состоящей из

проекции крыла 于 и проекции вихревого следа W (рис. 3.21.3).

В выражении (21.7) функция и(х, у, z) удовлетворяет, очевидно», уравнению (21.1) и представлена интегралом от ее значений по некоторой области плоскости у = 0. Поэтому для искомого потенциала.

можно написать

(21.12>(21.12>囈9& +0, 0北"

(21.12>

(21.12>

2"限一"产+加2孑+僦售一2）2]3/2

Этот потенциал удовлетворяет условию в бесконечности.

Для определения функции (р(Е, +0, ? необходимо использовать краевые условия (21.2) и (21.3).

Пусть крыло симметрично относительно плоскости z = 0 и ур ав- нения его передней и задней кромок суть соответственно (рис. 3.21.3).

(z), х X + (z).

Размах крыла, т. е. его протяженность вдоль оси z, обозначим через 2b.

Интеграл в выражении (21.12) вычислим, интегрируя сначала по Е от Е = Х_ до Е=оо и затем по С от —b до %; при этом первый интеграл возьмем по частям и учтем, что 屮；(工，+0, z) = 0b точках вихревой пелены н 屮(Х_, +0, z) = 0, q)(oo, +0, z) =(p(X +，+0, z). В результате получим

b「

屮（招 y，2） - ^f / 产 + 售一z）2 屮（X+（U，+0, e）-

(21.13>(21.13>_" / 弘（e，+0, 0信一%）朮

(21.13>

(21.13>

一/心旷值一X）2 +б2川+加2售一2）2

Входящую в это выражение величину (р(Х+， +0, ? удобно представить в виде интеграла от 屮]=〃 no Е от Х_ до Х+. Тогда выражение (21.13) можно записать в виде

，丿2冗必严+ (-Z)2 [ 旷(自一货+哂2 T一加2(e-a2」S， (21.14)

где интеграл распространен лишь на площадь проекции крыла.

Формула (21.14) дает решение обратной задачи, когда задано распределение давления по поверхности крыла, т. е. задана функция 〃(居 +0,匚).

В случае прямой задачи, когда задана форма поверхности крыла, т. е. задана функция 屮；(工， +0, z), выражение (21.14) позволяет получить интегральное уравнение для определения функции 〃(爲 +0, z). Для этого нужно выполнить дифференцирование выражения (21.14) по у и перейти в нем к пределу при у —0. Выполнение этих операций требует осторожности из-за расходимости получаемых промежуточных выражений. Не останавливаясь на выкладках, приведем окончательный вид получаемого интегрального уравнения

。, z)=u喩& +0,山—g咅三引讐

Левая часть этого уравнения известна из краевого условия (21.2). В силу выражения (21.11) производные 屮己 и 屮匕 с точностью до постоянного множителя можно трактовать как распределения вихрей, так что величина 屮史 в этом уравнении есть производная от распределения вихрей.

Перейдем к случаю сверхзвуковой скорости набегающего на крыло потока *).

Решение задачи будем по-прежнему искать методом распределения особенностей по площади проекции на плоскость х, z крыла и сходящей с него в общем случае вихревой пелены.

При интегрировании потенциалов распределенных особенностей нужно учитывать сделанные в § 18 разъяснения об области зависимости решения в точке Р (х, у, z). Так как особенности, от которых идут возмущения, расположены на плоскости п = 0, то область зависимости точки Р (рис. 3.21.4) ограничена на плоскости п = 0 обращенной вперед ветвью гиперболы

т. е. представляет собой часть плоскости 刀=0, где | и ^ удовлетворяют неравенству

—М 加 2fz2 + 加2隽一z)2(21.15)

Рис. 3.21.5Рис. 3.21.5В задаче о сверхзвуковом обтекании тонкого крыла ограничимся такой формой крыла в плане, при которой касательная к контуру крыла поворачивается монотонно при обходе контура (рис. 3.21.5). Выделим на контуре крыла характерные точки. Точки В и 区一 концы крыла в направлении его размаха; часть контура крыла между точками В и Вп обращенная вперед, называется передней

Рис. 3.21.5

Рис. 3.21.5

Рис. 3.21.4

кромкой крыла, а часть контура между этими точками, обращенная， назап,— его задней кромкой. У передней кромки газ натекает на крыло, а у задней кромки — сходит с крыла. В точках / и /^ и в точках С и Cj характеристики двух семейств касаются передней и задней кромок соответственно. Части передней и задней кромок 441 и СС\ называются сверхзвуковыми, а их части между точками Л и С и точками 4】и Сг—дозвуковыми. Очевидно, что нормальная к контуру крыла составляющая скорости газа больше скорости звука у сверхзвуковых кромок и меньше скорости звука у дозвуковых.

Огибающая всех конусов Маха, которые начинаются в точках сверхзвуковой передней кромки крыла, образует передний фронт возмущений, вызываемых в потоке крылом. Перед этим фронтом, набегающий на крыло сверхзвуковой поток не возмущен. В плоскости %, z возмущенная область ограничена спереди сверхзвуковой передней кромкой ААг и выходящими из нее вниз по потоку характеристиками ААГ и 44 (рис. 3.21.5).

С задней кромки крыла ВВГ вниз по потоку сходит вихревая пелена, ограниченная прямыми ВВ' и В^В；, параллельными направлению набегающего потока.

Пусть 于° ——площадь проекции крыла; Т (7\)——область вне крыла между характеристикой AAf (А^^ и краем вихревой пелены BBf (BjBQ;取一вихревая пелена.

Представим потенциал скорости в виде

<р(х,玖 z)=—1 CC(p；l ° 广 喳^—，一……=丁 ・(21.16》 *1，"丿 n y *4 n = ° /(%T)2一叫 2—他2仅一02 、 丿

Согласно сказанному ранее, для определения потенциала 屮 по этой формуле область интегрирования в которой необходимо знать %& 0, С), ограничена неравенством (21.15).

Следует различать несколько характерных случаев расположения области интегрирования У.

возмущений (рис. 3.21.6,возмущений (рис. 3.21.6,ввВ первом случае область 玄 расположена целиком перед фронтом

возмущений (рис. 3.21.6,

возмущений (рис. 3.21.6,

в

в

кривая /). В остальных трех случаях область (21.15) пересекается с возмущенной областью: во втором случае только с поверхностью крыла % (кривая //), в третьем случае (кривая ///) она захватывает и одну или обе области Т (7\) между характеристикой А А' (Л^^) и краем пелены BBf (В^^ наконец, в четвертом случае (кривая IV) область 夕 захватывает и часть вихревой пелены W.

В первом случае в области 夕

чае величина ф^|л=0 обтекания крыла. Вчае величина ф^|л=0 обтекания крыла. В^у (д, 0, G)三 0, так что потенциал возмущений ф равен нулю. Во втором слу- области интегрирования известна из условия

чае величина ф^|л=0 обтекания крыла. В

чае величина ф^|л=0 обтекания крыла. В

третьем и четвертом случаях 屮］卜=о в области

乡 заранее известна только в точках проекции крыла; для использования формулы (21.16) необходимо найти ф^ |л=о в остальной части области интегрирования. Для этого следует использовать краевые условия, к рассмотрению которых мы и переходим.

На переднем фронте возмущений (р = 0. В области 7 (7\) за характеристикой AAr (AXA^ потенциал и давление при переходе плоскости у = 0 непрерывны; так как в силу антисимметричности производной q)i (х, —0, z) = — ф^ (х, 4-0, z), то в этой области ф^ —0 и, следовательно, ф (х, 0, z) = 6.

В точках вихревой пелены условия те же, что и при дозвуковом обтекании, так что в этой области(р^ = 0.

Оказывается, что сформулированные краевые условия позволяют найти значения 屮；卜=° в областях Т (7\) и W путем последовательного решения интегральных уравнений Абеля; при этом решение получается в квадратурах.

Рассмотрим лишь случай, когда на значение потенциала <р в рассматриваемой точке пространства влияют возмущения в области Т ——сказывается так называемый концевой эффект, а влияния вихревой пелены нет.

Получим интегральное уравнение для определения функции Ф^ |п=о в выражении для потенциала (21.16) в части области Т между характеристикой А/' и характеристикой В В" (рис. 3.21.7). Для этого выразим по формуле (21.16) потенциал ф произвольной точки ^ (х, 0, г), лежащей в этой области. Область интегрирования разобьем на две части 外 и %、первая из которых принадлежит

проекции крыла, а вторая лежит вне ее. В области 玄1 функция 啕卜二о задана краевым условием обтекания крыла, в области 纥 она неизвестна. Так как по предыдущему потенциал 屮 в точке ^ равен нулю, то

В&畐。b科办 '⑵•⑺

где f (%, у) — известная функция

Уравнение (21.17) есть интегральное уравнение для определения

<р^ (х, 0, z) в области 夕？• Упростим его путем введения характеристических координат

Рис. 3.21.7Рис. 3.21.7%1 = X — хо —tn (z — z°), z^x—x^ + miz—z^, Ei = E—%—加(C—%)； Ci = E—%+加(C—z°).

Рис. 3.21.7

Рис. 3.21.7

За точку х0, Z。 можно принять, например, точку пересечения продолжения характеристики AAf с осью 无；тогда zo = O. Так как

竭％ =鏡寄成％ = 2加成共,

то вместо уравнения (21.17)} в новых переменных получим

好…)йй^Ьг2"(2118)

Пусть уравнение сверхзвуковой передней кромки крыла ЛгЛ в новых переменных есть z1 = S (хг), а уравнение дозвуковой передней кромки крыла АВ есть z1 = S1 (xj. Тогда уравнение (21.18) можно переписать в виде

е уSi（gi）

]s，*）HaTi）（" 一 s ' 乩訳）н аю（厶一賞）

Иначе

f屮心0, &)f屮心0, &)Si (款)d&+ J UY^X5(b)Si (款)d&+ J UY^X5(b)

f屮心0, &)

f屮心0, &)

Si (款)d&+ J UY^X5(b)

Si (款)d&+ J UY^X5(b)

Это уравнение представляет собой уравнение Абеля относительно функции в квадратных скобках с тождественно равной нулю правой

частью. Из него следует, что при ^1 = х1 выражение в квадратных скобках равно нулю, т. е.

血 &, О, С1)血 &, О, С1)Si (/)Si (/)Si (Х1)d£ = - g UY]S (/)Si (Х1)d£ = - g UY]S (/)第1К Z1—久第1К Z1—久

血 &, О, С1)

血 &, О, С1)

Si (/)

Si (/)

Si (Х1)

d£ = - g UY]S (/)

Si (Х1)

d£ = - g UY]S (/)

第1

К Z1—久

第1

К Z1—久

Это соотношение есть вновь уравнение Абеля, но уже с не равной нулю правой частью. Опуская промежуточные выкладки, приведем формулу обращения этого уравнения:

MS1 （打）一久Z1一£MS1 （打）一久Z1一£Si (%i)

MS1 （打）一久

Z1一£

MS1 （打）一久

Z1一£

% (%, о, 4)= 一寿达^ J "〃%,£)

Отметим, что согласно этой формуле <р； при приближении к дозвуковой кромке АВ растет неограниченно как 1 /Кг, где 厂——расстояние до кромки.

Зная ф^(х, 0, z) в области между характеристиками AAf и ВВ\ можно найти потенциал ср в тех точках пространства, для которых

область интегрирования в формуле (21.16) захватывает поверхность крыла и область Т (на рис. 3.21.8 такая область ограничена гиперболой ///).

Интересный результат, который мы приводим без вывода, состоит в том, что в выражении для потенциала возмущений части интеграла по площадям ^2 и 外 на рис. 3.21.8 взаимно уничтожаются, так что потенциал определяется при этом формулой

где 于° — часть площади крыла, отмеченная на рис. 3.21.8 штриховкой.

Мы рассмотрели наиболее простой случай, когда концевой эффект с одной стороны крыла не сказывается с его противоположной стороны. В случае крыла, вытянутого вдоль оси х, или при малых сверхзвуковых скоростях эта независимость нарушается (рис. 3.21.9): возмущения из области Т проникают в область 7\ и наоборот.

Не рассмотрели мы и вопрос об определении потенциала в точках, где сказывается влияние вихревой пелены. Отметим, что при наличии дозвукового участка задней кромки для однозначности решения требуется условие, аналогичное условию при дозвуковом обтекании профиля с острой задней кромкой, т. е. условие Жуковского —Чаплыгина.

Во всех случаях, как уже говорилось, решение может быть получено в квадратурах.

Рис. 3.21.10

Для некоторых форм крыла в плане отыскание распределения параметров потока в точках поверхности крыла существенно упрощается по сравнению с общим случаем. Так, если отсутствует дозвуковая часть задней кромки, то вихревая пелена не влияет на течение у поверхности крыла (рис. 3.21.10, а); если дозвуковых кромок вообще нет, то нет и влияния концевого эффекта у поверхности крыла (рис. 3.21.10, 6).

Следовательно, если и передняя и задняя кромки сверхзвуковые, то нет необходимости в нахождении функции распределения источников вне поверхности крыла при определении действующих на него нагрузок.

Околозвуковые течения). Общие свойства.

Законы подобия при обтекании тел.

Течения в соплах и струях

Значительный интерес в прикладном и теоретическом отношениях представляют течения с переходом через скорость звука. Назовем некоторые важные случаи реализации таких течений на практике. ■ Так, при обтекании тел с достаточно большой дозвуковой скоростью вблизи той части поверхности тела, где достигаются наибольшие значения скорости, образуется местная зона со сверхзвуковой скоростью. При обтекании сверхзвуковым потоком затупленных впереди тел между телом и отошедшей ударной волной возникает местная зона с дозвуковой скоростью. При ускорении газового потока в сопле Лаваля в узком сечении сопла происходит переход от дозвуковой скорости течения к сверхзвуковой.

С теоретической точки зрения интерес к изучению течений с переходом через скорость звука обусловлен тем, что уравнения стационарных движений газа в области определения решения принадлежат в этом случае к смешанному типу: эллиптическому—там, где скорость дозвуковая, и гиперболическому—при сверхзвуковой скорости.

Некоторые характерные особенности течений с переходом через скорость звука присущи и таким чисто дозвуковым или чисто сверхзвуковым течениям, в которых скорость, хотя и не переходит через скорость звука, но близка к ней во всей области течения или в некоторой ее части.

Течения, в которых скорость всюду близка к скорости звука, называются околозвуковыми (если при этом в течении происходит переход через скорость звука, то пользуются также уже введенным ранее термином «трансзвуковое течение»). Для околозвуковых течений во всей области, занятой газом, должно выполняться условие | М——1 |«1.

Несмотря на большой интерес к изучению течений с переходом через скорость звука, в их теории вследствие сложности исследования все еще много нерешенных задач. Наибольшее продвижение достигнуто в теории плоских потенциальных околозвуковых течений газа. Это продвижение связано в основном с использованием переменных годографа, в которых уравнения движения газа становятся линейными (см. § 3), причем в околозвуковом приближении уравнение для функции тока сводится к уравнению Эйлера—Трикоми (6.26). Линеаризация уравнений в исходных переменных в рамках теории малых возмущений скорости, как уже говорилось ранее, при околозвуковых скоростях невозможна.

Многие явления, обнаруживающиеся при теоретическом изучении плоских течений, качественно сохраняются и для осесимметричных течений, теория которых развита гораздо слабее.

Рассмотрим два характерных случая поведения плоских течений при околозвуковой скорости: обтекание тела с постепенным увеличением скорости набегающего потока от дозвуковой до сверхзвуковой и течение в сопле Лаваля при постепенном уменьшении давления в пространстве, куда истекает газ, когда в области вблизи горла сопла течение перестраивается от чисто дозвукового до течения с переходом через скорость звука на всех линиях тока.

В установившихся течениях переход через скорость звука может происходить скачкообразно——в ударной волне (от сверхзвуковой скорости к дозвуковой) или непрерывно—на звуковой поверхности (от дозвуковой скорости к сверхзвуковой или наоборот). В некоторых специальных случаях в потоке может возникать поверхность, на которой достигается скорость звука, но перехода через скорость звука не происходит. Такую поверхность тоже называют звуковой.

В случае плоских течений линию перехода называют звуковой линией.

Рассмотрим симметричное относительно направления однородного набегающего потока обтекание тонкого, заостренного с обоих концов

профиля (на рис. 3.22.1 и последующих изображена верхняя половина профиля) при постепенном увеличении числа М набегающего потока от близких к единице дозвуковых значений до значений, несколько превосходящих единицу ).

м>/м>/Помещенный в дозвуковой поток профиль «стесняет» движение набегающего на него газа, смещая ближайшие к профилю линии тока и уменьшая при этом расстояние между ними. Вследствие этого вблизи профиля скорость газа увеличивается по сравнению со скоростью набегающего потока.

м>/

м>/

При определенном значении М = = Мкр на контуре профиля в некоторой его точке (в области наибольшей толщины профиля) достигается скорость звука. Это значение М называется нижним критическим числом Маха; оно зависит от формы профиля и прежде всего от его относительной толщины. Так, для профиля, показанного на рис. 3.22.1, имеющего относительную толщину ОД6, Мкр = 0,84, для профиля кругового сечения по расчету MW = 0,65.

При увеличении М сверх Мкр вблизи места максимальной толщины профиля образуется постепенно растущая местная сверхзвуковая зона, в которой газ ускоряется до небольшой сверхзвуковой скорости, а затем вновь замедляется до дозвуковой скорости (рис. 3.22.1).

Увеличение скорости вблизи профиля из-за стесняющего влияния профиля при дозвуковой скорости связано с тем, что в этом случае при сближении линий тока, т. е. при возрастании плотности тока, скорость также увеличивается.

При сверхзвуковой скорости знаки изменения плотности тока и скорости противоположны. Поэтому, начиная с некоторого значения числа М, при котором образуется уже достаточно развитая сверхзвуковая зона (и плотность тока вблизи профиля станет меньше плотности тока в набегающем потоке), должна произойти перестройка течения. Ниже в этом параграфе будет показано, что непрерывное течение в местной сверхзвуковой зоне является в определенном смысле исключительным ). Поэтому следует считаться с тем, что в сверхзвуковой зоне могут возникать скачки уплотнения. В действительности при достаточно больших значениях М картина течения имеет вид, изображенный на рис. 3.22.2, а. Там же приведено распределение величины возмущения скорости на профиле в этом

3.22.23.22.2Рис.Рис.случае. Местная сверхзвуковая зона, в которой газ при движении вдоль профиля ускоряется (подобно тому, как это происходит в чисто сверхзвуковом потоке, обтекающем выпуклую стенку), замыкается скачком уплотнения, за которым скорость вновь становится дозвуковой. Смещение максимума в распределении скорости (и, соответственно, минимума в распределении давления) вниз по потоку за точку максимальной толщины профиля приводит к возникновению сопротивления. Напомним, что появление сопротивления обусловлено

3.22.2

3.22.2

Рис.

Рис.

тем, что при наличии в потоке скачка уплотнения происходит необратимый рост энтропии газа, т. е. диссипация механической энергии (течение перестает быть баротропным и парадокс Эйлера——Да- ламбера не имеет места).

Теоретически нет ответа на вопрос о тем, обязательно ли при обтекании заданного профиля при М > Мкр образуется скачок уплотнения и нет ли некоторого диапазона чисел М, в котором решение задачи неоднозначно и существует как течение с непрерывной местной сверхзвуковой зоной, так и течение со сверхзвуковой зоной, замыкаемой скачком уплотнения ).

При дальнейшем приближении числа М к единице замыкающий скачок уплотнения смещается к задней кромке профиля, а затем и отходит от профиля (рис. 3.22.2, б). У задней кромки профиля из-за конечного угла поворота сверхзвукового потока около нее образуется хвостовой скачок уплотнения, который на некотором удалении от профиля пересекается с замыкающим скачком.

Экспериментально обнаружено, что после того, как сверхзвуковая зона распространяется вплоть до задней кромки профиля, распределение значений числа Маха на профиле перестает заметно изменяться при дальнейшем увеличении числа М в довольно широком диапазоне, включая и значения М > 1. Этот экспериментальный факт формулируется как околозвуковая стабилизация течения около тел. Ниже будут приведены некоторые качественные аргументы, более или менее правдоподобно объясняющие околозвуковую стабилизацию ).

Стабилизация течения указывает на то, что при дальнейшем росте числа М после смещения замыкающего скачка к задней кромке профиля течение перестраивается в основном в области, удаленной от профиля.

При М = 1 звуковая линия, на которой происходит переход от дозвуковой скорости к сверхзвуковой, простирается до бесконечности. То же происходит и. с хвостовым скачком уплотнения, тогда как замыкающий скачок по

мере приближения числа М к единице смещается все дальше и дальше вниз по потоку, а интенсивность его ослабевает (рис. 3.22.3).

Как только число М превзойдет единицу, вдали перед профилем возникает головной скачок уплотнения. При росте М интенсивность скачка увеличивается, а сам он приближается к профилю (рис. 3.22.4, а и 6).

Приведем теперь соображения в обоснование околозвуковой стабилизации течений. При М, очень мало превышающем единицу, головной скачок находится далеко впереди профиля и всюду почти перпендикулярен направлению набегающего потока. На оси течения скорость набегающего потока 匕 и скорость за скачком Vх связаны формулой Прандтля (1.4.16)

『匕= 吸p.

Так как『и 匕 близки к скорости звука, то отсюда можно получить

1—М公 М—1,

где М' обозначено число Маха потока непосредственно за скачком на средней линии тока. Поэтому, когда М > 1 и скачок находится еще очень далеко впереди профиля, профиль как бы обтекается дозвуковым потоком с числом М' < 1. Когда М —> 1 со стороны сверхзвуковых значений, то М' —> 1 со стороны дозвуковых значений.

Рис. 3.22.4Рис. 3.22.4Локальные значения числа М на профиле, таким образом, одинаковы

Рис. 3.22.4

Рис. 3.22.4

при М〉1 положить,при М〉1 положить,и соответствующем ему Mz < 1, так что можно пред- что

при М〉1 положить,

при М〉1 положить,

=0.

М= 1

и следует слабая зависимость локальных значений числа

ОтсюдаОтсюдаРис. 3.22.5Рис. 3.22.5М на профиле от М (т.М на профиле от М (т.е. стабилизация течения) при скоростях набегающего потока, близких к скорости звука.

Отсюда

Отсюда

Рис. 3.22.5

Рис. 3.22.5

М на профиле от М (т.

М на профиле от М (т.

Если, как было предположено, профиль впереди заострен, и угол у передней кромки достаточно мал, то при некотором значении М = Мкр-в скачок примыкает к передней кромке профиля, после чего при последующем небольшом увеличении числа М течение становится всюду сверхзвуковым (рис. 3.22.5). Число Мкр-в называют верхним критическим числом Маха.

ных впереди профилей верхнего критического числа Маха не существует.ных впереди профилей верхнего критического числа Маха не существует.Если профиль впереди затуплен, то при любых сверхзвуковых значениях числа М головной скачок не примыкает к передней кромке; за скачком перед головной частью профиля сохраняется местная дозвуковая зона. Таким образом, для затуплен-

ных впереди профилей верхнего критического числа Маха не существует.

ных впереди профилей верхнего критического числа Маха не существует.

Последовательная смена режимов обтекания профиля при переходе скорости набегающего потока от дозвуковой к сверхзвуковой наблюдается и при симметричном обтекании тел вращения. При этом вследствие того, что стесняющее действие тела вращения при той же форме его меридианного сечения, что и у профиля, проявляется слабее (поток имеет возможность растекаться от оси тела во все стороны), нижнее критическое число Маха для тела вращения будет большим, а верхнее критическое число Маха (если оно существует)— меньшим, чем для профиля. “

Рассмотрим теперь течение в симметричном относительно средней линии плоском сопле Лаваля при постепенном переходе в нем от

Рис. 3.22.6Рис. 3.22.7Рис. 3.22.8

чисто дозвукового течения к течению с переходом через скорость звука. Последовательность режимов течения в этом случае очень напоминает последовательность режимов при дозвуковом обтекании профиля с образованием местной сверхзвуковой зоны.

При уменьшении давления ра в выходном сечении сопла скорость потока во всех его точках возрастает, пока не будет достигнута скорость звука в двух симметрично расположенных точках вблизи места наибольшего сужения канала. При последующем уменьшении давления ра. появляются (рис. 3.22.6) две местные сверхзвуковые зоны, замыкаемые при дальнейшем их развитии скачками уплотнения (рис. 3.22.7); здесь возникают те же вопросы о существовании непрерывного решения и о единственности решения, что и при обтекании профиля. При некотором значении ра местные сверхзвуковые зоны у обеих, стенок сливаются, так что звуковая линия пересекает канал по всей, его ширине (рис. 3.22.8).

Очевидно, что в силу симметрии течения направления звуковой линии и линии симметрии течения в точке их пересечения перпен- дикулярны. Точка на звуковой линии, в которой ее направление перпендикулярно линии тока, называется центром околозвукового' течения. Интересные особенности околозвукового течения вблизи центра будут рассмотрены в этом параграфе ниже.

После того как все сечение канала оказывается перекрытым звуковой линией, при дальнейшем развитии местной сверхзвуковой зоны перестройка течения вниз по потоку от характеристик, попадающих на звуковую линию, перестает оказывать влияние на положение звуковой линии и на дозвуковое течение перед ней——происходит то> что было ранее (см. гл. I) названо «запиранием» сопла. Замыкаю-

щий скачок, также перекрывающий все сечение канала, при дальнейшем понижении давления ра смещается вниз по соплу, давая место все более и более протяженной зоне сверхзвукового течения, пока точки пересечения скачка со стенками не достигнут выходного сечения сопла.

Нужно отметить, что действительная картина обтекания профиля и течения в сопле может заметно отличаться от описанной выше в той области, где вблизи стенки поток замедляется. В такой области из-за влияния вязкости в пристенном пограничном слое может произойти отрыв потока от обтекаемой стенки, существенно нарушающий описанную картину течения идеального газа.

Фактическое определение околозвуковых течений около профилей или тел вращения представляет собой очень сложную задачу и практически не может быть произведено аналитическими методами. Лишь б последние годы удалось разработать достаточно эффективные численные методы расчета конкретных случаев обтекания. В связи с этим особое значение приобретает проблема моделирования околозвуковых течений, т. е. установление подобия околозвуковых течений •определенных классов.

Ранее, в § 18, было получено асимптотическое уравнение (18.9) обтекания тонких тел при околозвуковых скоростях. Для плоских течений около профиля с уравнением контура y = sY± (х), 0 &х&£, это уравнение принимает вид

(Г+1)и爲I + Q嚼=0, (22.1)

а краевые условия для его решения таковы:

需=u2 嗯⑴ nРН 9 = 0， а? ф —> 0 при X—- — ОО.

Уравнение (22.1)——нелинейное и принадлежит к смешанному типу. Тип уравнения меняется при прохождении через нуль выражения в скобках; с принятой точностью это соответствует равенству местной скорости газа и скорости звука в нем.

Из-за нелинейности уравнения решение его представляет значительные трудности; эти трудности усиливаются наличием в потоке в общем случае скачков уплотнения. По этой причине ограничимся установлением с помощью уравнения (22.1) и условий (22.2) условий подобия обтекания профилей рассматриваемого семейства.

Введем функцию 屮1(工，п), связанную с потенциалом скорости ф следующим соотношением:

(р = а(%(居 г|),

где n = W а а и р—неопределенные пока константы. Подставив это выражение в уравнение (22.1) и краевые условия (22.2), получим

после небольших преобразований

а1 дх J дх2 内2 卽崇=и£頂(%)ПРИ 吟°， ср】—> 0при X —> — оо.а1 дх J дх2 内2 卽崇=и£頂(%)ПРИ 吟°， ср】—> 0при X —> — оо.Распорядимся константами равенства0а = Ue,Распорядимся константами равенства0а = Ue,аир так, чтобы были(F + 1)£U2 — 1аир так, чтобы были(F + 1)£U2 — 1(22.3)，выполнены(22.3)，выполнены

а1 дх J дх2 内2 卽崇=и£頂(%)ПРИ 吟°， ср】—> 0при X —> — оо.

а1 дх J дх2 内2 卽崇=и£頂(%)ПРИ 吟°， ср】—> 0при X —> — оо.

Распорядимся константами равенства

0а = Ue,

Распорядимся константами равенства

0а = Ue,

аир так, чтобы были

(F + 1)£U2 — 1

аир так, чтобы были

(F + 1)£U2 — 1

(22.3)，

выполнены

(22.3)，

выполнены

При таком выборе констант система (22.3) примет вид

f+需争十常=。'

(22.4)(22.4)^ = Yi W при n = o， q)if 0 при ——оо.

(22.4)

(22.4)

Система (22.4) содержит единственный параметр м2—1

[(Г+1)8М2]2/3

называемый параметром околозвукового подобия Кармана——Тзяна *).

Течения с одинаковыми значениями % подобны, т. е. распреде- ления параметров течения при равных %, но разных М, е и ^, по- лучаются одно из другого простым пересчетом.

Величина возмущения давления определяется формулой

р—"1 —£ 即 1

•pU2 —一e五，

которую можно записать и иначе:

C/?[(r+l)M2]V3

-一~^= /(爲 %叫•(22.5)

Для коэффициента сопротивления профиля сх, отнесенного к длине профиля, очевидно, верна формула

g(办(22.6)

экспериментами. Так, на переменных подобия %, сх клина с разными углами М в диапазоне от 0,65 доэкспериментами. Так, на переменных подобия %, сх клина с разными углами М в диапазоне от 0,65 доЭта формула хорошо подтверждается рис. 3.22.9, а приведены обработанные в значения сопротивления головной части раствора и при разных значениях числа

экспериментами. Так, на переменных подобия %, сх клина с разными углами М в диапазоне от 0,65 до

экспериментами. Так, на переменных подобия %, сх клина с разными углами М в диапазоне от 0,65 до

1,5. Все данные хорошо следуют одной кривой. Те же данные в исходных переменных М, сх приведены на рис. 3.22.9, 6*).

Вид изображенной на рис. 3.22.9, а зависимости коэффициента сопротивления клиновидных тел от числа Маха характерен и для заостренных впереди головных частей другой формы.

Очевидно, что система (22.4) является более общей, чем рассмотренные ранее системы с линейным уравнением для определения потенциала <р, и переходит в последние при % 士 8 и

Н |М2— 1 IН |М2— 1 Iпри ЭТОМ |%|—>8при ЭТОМ |%|—>8с соблюдением условияс соблюдением условия

Н |М2— 1 I

Н |М2— 1 I

при ЭТОМ |%|—>8

при ЭТОМ |%|—>8

с соблюдением условия

с соблюдением условия

Таким образом, закон подобия, выраженный, например, формулой (22.6), содержит закон подобия Прандтля —Глауэрта и закон подобия Аккерета. Так, при обтекании профиля сверхзвуковым потоком согласно закону подобия Аккерета

е2

fv = Const-—尸 \е —

Xр I М2— 1

Отсюда следует асимптотический вид функции g(y) в формуле (22.6) при больших %:

/ 、 constg(%)-疗

В частности, для клина const = 2. На рис. 3.22.9, а эта асимптотическая зависимость приведена в виде штриховой кривой.

В случае, когда скорость набегающего потока точно равна скорости звука, т. е. M=i, соотношение (22.6) запишется в виде 吟# = g(0) = c。叫

откуда следует, что при М = 1 сопротивление профиля из данного семейства аффинноподобных профилей пропорционально его относительной толщине в степени 5/3. Ранее мы видели, что для сверхзвукового потока в линейной теории сопротивление профиля пропорционально второй степени его относительной толщины; в дальнейшем (§ 23) будет показано, что при очень больших сверхзвуковых скоростях сопротивление профиля пропорционально третьей степени его относительной толщины.

Перейдем к изучению некоторых свойств течений с переходом через скорость звука.

Докажем сначала, что если в плоском потенциальном потоке двигаться вдоль изотахи—линии постоянного модуля скорости Р=У*& &Укр (и постоянных значений М = М*&1), не совпадающей с линией тока, то вектор скорости будет поворачиваться монотонно *).

Действительно, запишем тождественное соотношение

.D(0, V)_D(^ V)D^ V)_fdQ\ (dV\/ -d(居切一D (x, V) D(x,力一丿八方左

Согласно выражению (3.12) левая часть этого соотношения при М&1 не отрицательна и, следовательно, знаки 修)卩 и (|^) одинаковы. Поэтому (рис. 3.22.10), если двигаться вдоль линии R=V*=

*) Этот результат известен как теорема А. А. Никольского и Г. И. Таганова (1946).

13 Г. Г. Черный

=const так, чтобы область V < V* оставалась, например, слева, то вектор скорости будет поворачиваться по часовой стрелке. Этот вывод справедлив, в частности, для звуковой линии, на которой V VKP.

Если течение с обеих сторон звуковой линии дозвуковое или сверхзвуковое, то на такой линии 0 = const. Так как на ней и V = const, то, следовательно, d屮=0 и такая линия является экви- потенциалью.

Рассмотрим теперь местную сверхзвуковую зону, примыкающую к обтекаемому контуру, с непрерывным течением в ней (рис. 3.22.11). Покажем, что это непрерывное течение может разрушиться при сколь

угодно малом изменении обтекаемой границы в сверхзвуковой области течения, например, при замене малой части границы отрезком прямой. Произведем такую замену границы на участке АВ. Возьмем на этом участке точку О. Пусть в точке О V = Vo, 0 = 9о- Выходящие из этой точки характеристики 步-и /+ пересекают звуковую линию в точках Р_ и Р+. Вдоль характеристик справедливы соответственно соотношения (9.1):

8 + G (V)=仇 + С (%)， О-С ")=备一 G (%)，(22.7)

так что

0р- + С (匕р)=备 + С (%)，8р+ — С (匕р)=备一К匕).(22.8) Отсюда

8р_ +%+ = 290.

При изменении положения точки О на прямолинейном отрезке АВ точки Р_ и Р+ на звуковой линии смещаются, причем d8p一 + + d8p+ = 0. Так как вследствие теоремы о монотонности изменения угла 9 вдоль звуковой линии знаки d9p_ и dBp+ совпадают, то 6р_ и 8р+ остаются при изменении положения точек 尸一 и Р+ постоянными. Согласно уравнениям (22.8) при этом должна быть постоянной и скорость R。во всех точках прямолинейного участка границы. Но тогда из соотношений (22.7) следует, что в характеристическом треугольнике АВС течение однородно, так что к нему примыкают волны Прандтля——Майера. Рассмотрим для определенности волну, примыкающую к характеристике АС. Эта волна должна примыкать к звуковой линии вдоль прямой характеристики Р^, на которой М = 1. Но в волне Прандтля——Майера характеристика, на которой

М = 1, является двойной, т. е. никакая характеристика ОР другого семейства не может ее пересекать на участке PR. Полученное противоречие доказывает невозможность непрерывного течения в местной сверхзвуковой зоне около границы с прямолинейным участком.

Отметим, что если участок границы АВ вогнут в сторону потока (d90〉0 при движении вниз по потоку), ю

dQp^ + 成p+ =2或0,

что противоречит теореме о монотонное ги (曲р_&0 и dQp+ ^0). Следовательно, непрерывное течение в местной сверхзвуковой зоне около контура с вогнутыми участками вообще невозможно.

Изучим теперь течение в окрестности центра околозвукового течения, предполагая составляющие скорости трижды непрерывно дифференцируемыми функциями координат. Центр течения поместим в начало координат, а ось х направим по скорости в этой точке. Ограничимся случаем течения, симметричного относительно оси х, и примем, что ускорение газа в центре конечно и не равно нулю. Уравнение (22.1) для потенциала возмущений относительно скорости в центре примет вид (U = a = %):

-(Г + 1)，豊=0.(22.9)

VKp дх 汝2 I 勿2''

Нетрудно проверить, что это уравнение имеет точное решение

屮= %[с^ + Т+1№ 等+ (F+1)V 卦(22.10)

Здесь величина с пропорциональна ускорению газа в центре и равна с = *^о・

Можно показать [5], что это решение является главной частью степенного разложения решения точного уравнения для потенциала возмущений скорости по координатам вблизи центра (в том числе и для течений, несимметричных относительно средней линии, например, для части изображенного на рис. 3.14.11, б течения вблизи точки касания звуковой линии и характеристик).

Из выражения (22.10) получаем

〃 = Кр [с%+(Г + 1)犀^],

^VKp[(r+l)c2xi/ +(r+ I)?。？*}(22.11)

Р—&р = Ар = —Рк储р [c%+(F+ 1)度計

На звуковой линии Др = 0, так что ее уравнение есть уравнение параболы

х^-^-су\(22.12)

Уравнение линии, на которой скорость направлена вдоль оси х, т. е. линии, где и = 0, есть

(22.13)

Найдем, наконец, уравнения характеристик /+ и 8~, проходящих через центр. Из уравнения (22.9) и выражения (22.11) для и следует, что характеристики определяются уравнениями

虾± )Л^ = ± /(r+l)cx +(r+l)2c喈：

Решениями этих уравнений, удовлетворяющими условию %(0) = 0, также являются параболы

х = ^су^(22.14)

и

工=—屮。产(22.15)

При этом характеристика /+ представляет собой участок параболы (22.14) при у > 0 и участок параболы (22.15) при у < 0. Соответственно, характеристика 步一 состоит из участка параболы (22.15)

Рис. 3.22.12Рис. 3.22.12Рис. 3.22.13Рис. 3.22.13

Рис. 3.22.12

Рис. 3.22.12

Рис. 3.22.13

Рис. 3.22.13

при у>0 н участка параболы (22.14) при у < 0. Таким образом, характеристики имеют в центре точки перегиба (с разрывом кривизны).

Линии, определенные формулами (22.12)—(22.15), изображены на рис. 3.22.12.

Любую пару симметричных относительно оси % линий тока рассмотренного течения можно принять за стенки сопла (рис. 3.22.13) и получить таким образом семейство течений в соплах Лаваля с переходом через скорость звука. Течение между любыми двумя линиями тока с одной стороны оси % можно рассматривать как течение в искривленном канале с переходом через скорость звука. Можно убедиться, что все эти течения удовлетворяют околозвуко-

вому закону подобия, аналогичному полученному выше для обтекания тонких профилей. Как показывает сравнение зависимостей (22.12) для звуковой линии и (22.13)—для линии 0=0, звуковая линия отклоняется вверх по течению от места наибольшего сужения канала (где на стенках 0=0).

Из расположения характеристик следует, что область влияния сверхзвукового течения на дозвуковую часть потока ограничена отрезками характеристик @+ и 抬一，составляющими параболу (22.14). Возмущения сверхзвукового потока справа от этой линии и, в частности, изменение формы стенок сопла правее точек А и At не влияет на смешанное течение левее линии (22.14), если, конечно, при этом в потоке не образуются скачки уплотнения, которые могут проникнуть за эту линию.

Таким образом, одно и то же смешанное течение левее линии (22.14) может быть продолжено различными способами в сверхзвуковую область. При этом можно пользоваться описанным ранее методом характеристик.

Обратим внимание на то, как область течения вблизи околозвукового центра отображается на плоскость годографа. Рассмотрим в плоскости течения параболу

А Г+12

х А 2 су ,

где —оо < X <оо. Согласно формулам (22.11) этой параболе в плоскости годографа “, v соответствует линия

v = VKP(l+3k)^±^c^9

" = к<p(1+入)中吸凡

Исключив параметр у, получим

丄(1+3%)2

1 рафик функции H=lJ^px)3~ изображен на рис. 3.22.14. Из него следует, что область, где 九V—1, т. е. область дозвукового течения левее звуковой линии в плоскости х, у однозначно отображается на область внутри звуковой окружности (в принятом приближении — левее линии 〃=0) в плоскости годографа (рис. 3.22.15; соответствующие области обозначены на рис. 3.22.12 и рис. 3.22.15 одинаковыми цифрами). При —1<%<—1/2 отображение также однозначно. Значение 九=—1/2 соответствует в плоскости течения отрезкам характеристик 名+ и 伤-на параболе (22.15), при этом ц=2. Это же значение ц получается при 九=1, что соответствует отрезкам характеристик 協 + и ‘0- на параболе (22.14). При ц<2 каждому 卩 отвечают три значения 九：одно (—1/2<%< —1/3), соответствующее

области между параболами (22.12) и (22.13), второе (―1/3＜入＜1), соответствующее области между параболами (22.13) и характеристиками (22.14) и третье (入〉1), соответствующее области правее характеристик (22.14).

Таким образом, годограф сверхзвукового течения вниз по потоку от характеристик g+ и 務一 (22.15) является трехлистным: области 3, 4, 5 плоскости течения отображаются на одну и ту же область

плоскости годографа. При полном обходе центра в плоскости течения область между характеристиками @+ н 名一 в плоскости годографа проходится трижды (см. рис. 3.22.15).

Выше было изучено течение в окрестности центра околозвукового течения для случая, когда ускорение газа в центре конечно и отлично от нуля. Интересными и важными для некоторых приложений являются околозвуковые течения, для которых это условие не выполнено; однако мы не имеем здесь возможности изложить соответствующие результаты (см., например, [5]).

В заключение отметим, что теория околозвуковых течений газа изобилует многими сложными проблемами, все еще далекими от полного решения.

Гиперзвуковые течения *). Общие свойства.

Обтекание тонких тел. Законы подобия.

Формулы Ньютона и Буземана

Течение газа называется гиперзвуковым или течением с большой сверхзвуковой скоростью, если во всей занятой газом области (или в значительной ее части) скорость газа намного превосходит скорость звука в нем, так что выполняется условие

М2＞1.(23.1)

♦) Теории гиперзвуковых течений посвящена монография [15], а также: Н а у- es W. D., Probstein R. F. Hypersonic flow theory, V. I.— N. Y.— London: Acad. Press, 1966 (есть русский перевод первого издания: Хейз У. Д., П р о б- с т и н Р. Ф. Теория гиперзвуковых течений.— М.: ИЛ, 1962); Лунев В. В. Г перзвуковая аэродинамика.— М.: Машиностроение, 1975 и др.

Так как скорость звука в газе по порядку величины равна средней скорости хаотического движения молекул в нем, то это условие эквивалентно тому, что в гиперзвуковых течениях кинетическая энергия элементарных объемов газа намного превосходит их внутреннюю тепловую энергию и теплосодержание (последнее — так как этношение р/р тоже имеет порядок квадрата средней скорости хаотического движения молекул).

Для совершенного газа с постоянными теплоемкостями отношение кинетической энергии единицы массы газа Н/2 к теплосодержанию СрТ равно 5^ = ^^ М2, так что при у =1,4 кинетическая энергия газа превосходит его теплосодержание при М = 5 в пять раз, а при М= 10—в двадцать раз. Ясно поэтому, что при выполнении условия (23.1) небольшие относительные изменения скорости газа (т. е. его кинетической энергии) могут приводить к большим относительным изменениям теплосодержания и других термодинамических величин.

Если условие (23.1) выполнено, но изменения скорости в потоке настолько малы, что термодинамическое состояние газа тоже меняется мало, то гиперзвуковое течение не обнаруживает новых характерных свойств по сравнению с изученным в предыдущих параграфах линеаризованным сверхзвуковым течением. Поэтому к гиперзвуковым течениям относят лишь такие течения с большой сверхзвуковой скоростью, в которых существенно проявляются нелинейные эффекты.

Одной из основных задач теории гиперзвуковых течений является изучение обтекания газом тел при их движении с очень большой скоростью. Эта задача связана с развитием авиационной и ракетнокосмической техники и с интересом к некоторым естественнонаучным проблемам: входу и движению метеорных тел в атмосфере Земли, обтеканию Земли и других планет солнечным ветром и др.

Первые ступени ракет для вывода на орбиту вокруг Земли искусственных спутников или для вывода на баллистические траектории межконтинентальных снарядов достигают в атмосфере чисел Маха до пяти и более. Спускаемые на Землю космические аппараты имеют при входе в атмосферу с околоземных орбит М 〜25, а при возвращении с окололунных траекторий М 〜35. Метеорные тела достигают в верхних слоях атмосферы значений М 〜100. Большие значения числа Маха (〜Ю—15 и более) имеют потоки в аэродинамических трубах, предназначенных для изучения гиперзвуковых течений газа, а также истекающие в разреженное пространство струи из сопел ракетных двигателей верхних ступеней многоступенчатых ракет.

При набегании на тело газа с гиперзвуковой скоростью газ тормозится за возникающей перед телом головной ударной волной и в вязком пограничном слое у поверхности тела. Вследствие торможения и сжатия газа в ударной волне и диссипации его механической энергии в вязком слое температура газа в возмущенной об-

ласти вблизи тела сильно возрастает. Так, для затупленного впереди тела температура газа То в точке торможения определяется для совершенного газа с постоянными теплоемкостями формулой

и при М==10 превосходит температуру набегающего потока более чем в двадцать раз (при 7=1,4). Появление области с очень высокой температурой при гиперзвуковом обтекании тел воздухом и другими газами приводит ко второй особенности таких течений (первая выражена неравенством (23.1), а именно — к проявлению эффектов, связанных с поведением реальных газов при высокой температуре. Для учета этих эффектов вместо модели совершенного газа для воздуха или других смесей газов вводятся более сложные модели: модели термодинамически равновесного газа с учетом протекания в нем физико-химических процессов — возбуждения внутренних степеней свободы молекул и атомов, диссоциации молекул, химических реакций между компонентами смеси, ионизации атомов и молекул; модели, в которых учитывается конечная скорость протекания названных физико-химических процессов (модели термодинамически неравновесного или релаксирующего газа); модели с учетом процессов молекулярного переноса в газе—вязкости, теплопроводности, диффузии, а также с учетом излучения. В последних моделях нужно принимать во внимание и то, что при высокой температуре обтекающего тела газа поверхностный слой тела может разрушаться, в результате чего поток вблизи тела будет содержать газообразные (а иногда — и испаряющиеся твердые и жидкие) продукты разрушения тела.

В некоторых случаях гиперзвуковых течений обычная модель газа как сплошной среды становится недостаточной, и нужно использовать более сложные модели статистического описания молекулярной структуры газа.

Таким образом, газодинамические эффекты, возникающие при гиперзвуковых течениях газа, можно разделить на две группы: первая связана с влиянием больших значений числа Маха в термодинамически равновесном идеальном газе (основная термодинамическая модель при этом ——совершенный газ с постоянными теплоемкостями), вторая связана с проявлением внутренних свойств реальных газов при высокой температуре, не описываемых двупараметрической моделью идеального газа.

Мы остановимся далее лишь на эффектах первой группы, принимая для газа ту же модель, что и в предыдущих разделах.

При сверхзвуковом обтекании газом тела течение вблизи него стремится при М—^8 к некоторому предельному (асимптотическому) состоянию. Это предельное состояние называется течением с очень большой сверхзвуковой скоростью или предельным гиперзвуковым течением. Подобно тому как совокупность течений газа около дан-

ного тела при разных значениях М замыкается при М —* 0 предельным течением несжимаемой жидкости, предельное ги пер звуковое течение замыкает эту совокупность со стороны неограниченно больших М.

При обтекании затупленных впереди тел малого удлинения предельное состояние достигается при сравнительно небольших значениях М. Решения задач о сверхзвуковом обтекании клина и конуса, а также расчетные и экспериментальные данные об обтекании других тел показывают, что их коэффициенты сопротивления практически

перестают изменяться с ростом М, уже начиная с чисел М порядка 3—5. Остается неизменной и картина течения вблизи тела (в экспериментах—до тех значений скорости, пока не начинают заметно сказываться эффекты реального газа). На рис. 3.23.1 приведены для примера экспериментальные значения коэффициентов сопротивления сферы и цилиндра с конической головной частью, полученные при баллистических испытаниях (т. е. в полете).

Приведем теоретические аргументы, доказывающие существование предельного гиперзвукового течения около тела *). При сверхзвуковой скорости обтекания тела перед ним образуется головная ударная волна (рис. 3.23.2); область зависимости течения около тела ограничена на ударной волне той ее частью, которая попадает внутрь характеристических коноидов, идущих вверх по течению от заднего конца тела. Соотношения на головной волне, служащие краевыми условиями для определения течения за ней, содержат параметры набе-

♦) Эти аргументы были приведены в 1949 г. Сергеем Васильевичем, Валланде- ром (1917—1975); ему принадлежит также ряд других важных результатов в газовой динамике.

гающего потока Vx, р「 рх (и у—•для совершенного газа). Уравнения, описывающие движение газа в возмущенной области, и соотно

шения на возможных в ней разрывах — ударных волнах и тангенциальных разрывах — содержат параметр у. Краевое условие на

поверхности тела добавляет геометрические размерные определяющие параметры. Если зафиксировать параметры рх и рх и неограниченно увеличивать 匕，т. е. увеличивать М, то на том участке волны, которая влияет на течение вблизи тела, величина нормальной к по— верхности волны составляющей скорости тоже будет возрастать неограниченно 亠J (так как волна имеет больший угол ~наклона к направлению набегающего —потока, чем угол Маха в нем). При этом волна станет сильной по терминологии, введенной в гл. II, так что ве- Рис. 3.23.2личиной "i в соотношениях на волне

можно пренебречь. Таким образом, величина pi выпадает из системы определяющих параметров и, следовательно, течение в области вблизи тела перестает зависеть от числа М.

В предельных гиперзвуковых течениях отношения g ,号।, ^ не зависят от числа М; они являются функциями лишь у и безразмерных координат x/厶 где / ——характерный размер тела. Форма образующихся в потоке скачков уплотнения, тангенциальных разрывов, характеристических и звуковых поверхностей, очевидно, тоже сохраняется при изменении числа М.

Существование предельных гиперзвуковых течений имеет следствием следующий закон подобия: при обтекании газом с большой сверхзвуковой скоростью геометрических подобных и одинаково ориентированных тел все течения с разными значениями 匕，〃 и р】 и одним и тем же у подобны между собой, т. е. в таких течениях отношения скорости V к скорости набегающего потока 匕 и плотности р к плотности набегающего потока р】имеют в геометрически соответственных точках одинаковые значения; отношения давления р и температуры Т к их значениям в набегающем потоке, а также величины e(s-s】)/CD в соответствующих точках пропорциональны М2.

Напомним еще раз, что полученный вывод относится не ко всей области, занятой движущимся газом, а лишь к той ее части, на которую оказывает влияние наиболее интенсивная часть ударной волны.

Так как при очень большой сверхзвуковой скорости местные значения коэффициента давления не изменяются при изменении числа М, то перестают зависеть от М и коэффициенты суммарных аэродинамических сил и моментов, действующих на тело (подобно случаю малых дозвуковых скоростей, когда при М?«1 тоже отсутствует

зависимость этих коэффициентов от М). Иллюстрацией этого может служить рис. 3.23.1.

В качестве простого примера обтекания тела гиперзвуковым потоком и для обнаружения дальнейших характерных свойств гиперзвуковых течений рассмотрим уже изученное ранее (в § 14) сверхзвуковое обтекание плоской пластины под углом атаки а. Если угол атаки не превосходит предельного для данного числа М значения, то с одной стороны пластины от ее передней кромки отходит (рис. 3.23.3)

центрированная волна разрежения, а с другой стороны — скачок уплотнения. Головная волна, отделяющая • область возмущенного движения от набегающего однородного потока,—— присоединена к передней кромке пластины О и состоит из поверхности слабого разрыва — переднего фронта волны разрежения и скачка уплотнения. Область зависимости течения

вблизи пластины на головной волнерИс. 3.23.3

ограничена ее участками ОА и 08,

где Л и 8 — точки встречи с волной характеристик, идущих из задней кромки (\ пластины навстречу потоку; течения над пластиной и под ней не влияют одно на другое.

Обратимся к соотношениям на скачке уплотнения.

Из формул (2.9) — (2.12) в предельном случае больших значений' числа М получаем

(23.2)(23.2)Pi y+1pi у—］，

(23.2)

(23.2)

% = 1—而 sin 屮s， ％ =中 sm q)s cos 屮$・

При этом связь (2.13) между углом скачка 屮$ и углом поворота потока 0 преобразуется к следующей (в нашем случае 0 = — а, так что угол q)s отрицателен):

2

tg8 =tg8 =(23.3)(23.3)^q7r sin(P5 COS(PS

tg8 =

tg8 =

(23.3)

(23.3)

1-脩 Sin2(ps

Напомним, что из двух значений 屮$, соответствующих данному 0, следует выбирать меньшее (по модулю).

Из формул (23.2) и (23.3) следует, что при предельном гиперзвуковом обтекании пластины безразмерные постоянные величины за

скачком -—-, 芒,-^, коэффициент давления ср = -^—^ и угол накло

на скачка(ps не зависят от числа М, а безразмерные отношения

у и ^- меняются пропорционально М2. Это — частный пример установленного ранее подобия предельных гиперзвуковых течений.

Отметим еще, что из-за большой плотности газа в области между ударной волной и поверхностью пластины (тем большей, чем ближе к единице величина у) эта область представляет собой сравнительно тонкий слой у поверхности тела — так называемый ударный слой.

Пусть теперь выполнены одновременно два условия: условие (23.1) и условие а2<^ 1, так что величина Ма может быть любой: Ма 11.

В случае, если Ма 〜1, из формул (2.9)—(2.13) получаем

^=]+飾з一），吊-^=]+飾з一），吊-〃 一V]у =〃 一V]у =2 而2 而vv2厶+1)應-1,2厶+1)應-1,(23.4)(23.4)

^=]+飾з一），吊-

^=]+飾з一），吊-

〃 一V]

у =

〃 一V]

у =

2 而

2 而

v

v

2

厶+1)應

-1,

2

厶+1)應

-1,

(23.4)

(23.4)

KKs = *T(个-1) или а =中К+ $ 1+(中用.

Здесь обозначено Ма=К и M|q)s|=Ks・ При получении связи между К и KsH3 формулы (2.13) в последней принято sin2(ps<^h что соответствует скачку «слабого» семейства.

Величина К представляет собой отношение угла а к углу Маха наклона характеристик в набегающем потоке, К«1 соответствует случаю, когда угол Маха много больше угла поворота потока в скачке. Скачок при этом вырождается в характеристику (Ks=M|：ps| — 1), и формулы (23.4) при сохранении в них линейных по 女 членов обращаются в формулы линейной теории при М》1.

При К〜1 угол наклона характеристик по порядку тот же, что и угол а.

При К<*1 угол наклона характеристик много меньше а, ^s= =^^ К—^8, так что I 屮si f^^ а, а выражения (23.4) приобретают частный вид формул (23.2) для предельного гиперзвукового состояния при(ps<C 1.

Формулы (23.4) свидетельствуют о следующем свойстве гиперзвукового течения за плоским скачком уплотнения у плоской пластины, наклонной под малым углом а к набегающему потоку. В этом течении значения —,卫，—=зависят не от

Pi Pi 厶々 Via2， з]

трех определяющих параметров М, а и у, а только от двух: от величины К=Ма и показателя адиабаты 『При этом возмущения скорости набегающего потока имеют разные порядки величины: относительное возмущение продольной составляющей скорости имеет порядок а2, а поперечной составляющей — порядок а.

Рассмотрим теперь течение со стороны разрежения — центрированную волну Прандтля ——Майера. Такая волна описывается

уравнениями (11.3) и (11.1):

£ = tg (9 + 脸曲 + ctg 卩乎=0.

В гиперзвуковом приближении эти соотношения примут вид )

± = В + ±, de + M^« = 0.(23.5)

Заменив во втором из них ^ согласно выражению

считая М?»1 и интегрируя, получим

『爲(扌一去｝(23.6)

Формулы (23.5) и (23.6) описывают гиперзвуковое течение в центрированной волне Прандтля—Майера. Пользуясь гиперзвуковым приближением для адиабатических связей

p

齐一出(责一亲)

и тем, что u = Vcos0, u = Vsin8, найдем

依(咼丁任尸=口+与1

(23.7)(23.7)丁 = 7=^（腐_而，VT丁 = 7=^（腐_而，VT"一% 1/ 11 \ V

(23.7)

(23.7)

丁 = 7=^（腐_而，VT

丁 = 7=^（腐_而，VT

При угле поворота потока в волне Прандтля—Майера, равном 2

—(丫—1)厢,давление в ней падает до нуля. Поэтому при угле атаки а пластины, большем @二】)欣-,поток отрывается от передней кромки и между ним и поверхностью пластины образуется область вакуума.

Выражения (23.5) — (23.7) свидетельствуют о тех же свойствах гиперзвукового течения в области разрежения, что и в области сжатия. Действительно, продольная составляющая возмущения скорости имеет порядок 1/М：, а поперечная — порядок 1/М「 Соотношения

(23.5) — (23.7) можно привести к виду (обозначив у/х= tg^ = -&):

"a 一 y+1 13 天

1 Y-l 6 I 2

Ма —3 十(丫+DK “

У2y

(23.8)(23.8)=(击+黜К产，

(23.8)

(23.8)

Via — a

Из этих формул следует, что и на стороне разрежения величины Н‘ р 1 ТГ^Р 厂疗 зависят не от трех определяющих постоянных параметров М, а и у (и независимой переменной у/х= tg ^), а только от двух постоянных параметров К = Ма и у (и независимой переменной S/a).

Таким образом, установлено подобие гиперзвуковых течений у мало наклоненной плоской пластины; при этом, кроме величины у, параметром подобия является величина К = Ма. Эго подобие течений около пластины представляет собой пример общего закона подобия гиперзвукового обтекания тонких тел, который будет установлен позднее.

То, что возмущение продольной составляющей скорости имеет более высокий порядок малости, чем возмущение поперечной составляющей, является отражением следующего общего факта, с которым тесно связан закон подобия: пролетая в неподвижном газе, тонкое тело не вызывает смещения частиц в направлении полета, а лишь «расталкивает» их в поперечном к направлению полета направлении.

Имея формулы для расчета течения с обеих сторон плоской пластины, определим ее аэродинамические характеристики.

В принятом приближении коэффициенты сопротивления сх и подъемной силы Су пластины, отнесенные к ее длине, равны соответственно

с — Рн — Рв 仪 _ Рн —Рв __ 丝

где индексами «н» и «в》обозначены величины на нижней и на верхней сторонах пластины. Подставив вместо Рн и рв их значения по формулам (23.4) и (23.8) (последнее—при 0 = — а), получим 吋合［岑+ /号百吾+謚［「(l—^K)含］｝a，.

(23.9)

(23.10)(23.10)

(23.10)

(23.10)

При —^~ -^ ^ 1 второе слагаемое в квадратных скобках следует считать равным нулю.

Значения Су в зависимости от угла атаки а, полученные по формуле (23.9) при у = 1,4 для нескольких значений М, приведены сплошными линиями на рис. 3.23.4. Там же штриховыми линиями нанесены значения cY по линейной теории Ак- керета (см. формулу (19.32)). Видно,

что с ростом числа М линейный участок зависимости cY от а уменьшается и в предельном гиперзвуковом течении (女=оо) он исчезает совсем. Формула (23.9) приобретает при этом вид

Для сравнения на рис. 3.23.4 нанесена также зависимость cY от а для другого предельного случая М = 0 (несжимаемая жидкость, см. формулу (19.27))

Су = 2яа.

Подчеркнем, что коэффициент подъемной силы пластины резко уменьшается с ростом числа М и становится при гиперзвуковых скоростях очень низким.

Найдем еще значение числа Маха М‘ в потоке за скачком уплотнения при гиперзвуковом обтекании мало наклоненной пластины.

По формулам (23.4) получим

При росте интенсивности скачка уплотнения величина ^s меняется от единицы до бесконечности. Поэтому при ^s ^ 1 число Маха за скачком имеет тот же порядок, что и перед ним; если же Ks—8, то

МУ 唄呑(23.11)

т. е. и в этом случае при малых углах а число Маха за скачком большое.

Выяснив на примере гиперзвукового обтекания плоской пластины под малым углом атаки основные качественные особенности течения и установив порядки величины возмущений параметров основного

У曳丄史且丄型"1"十gy十№"-u,У曳丄史且丄型"1"十gy十№"-u,匕"崎+血書=°・匕"崎+血書=°・(23.14)(23.14)

У曳丄史且丄型"

1"十gy十№"-u,

У曳丄史且丄型"

1"十gy十№"-u,

匕"崎+血書=°・

匕"崎+血書=°・

(23.14)

(23.14)

потока, изложим основы общей нелинейной асимптотической теории малых возмущений скорости при гиперзвуковом обтекании тонких

тел.

Пусть тонкое тело аэродинамически совершенной формы (рис. 3.23.5) помещено в гиперзвуковой поток газа, направленный по оси %. При

мем длину тела за единицу, и пусть т——малая величина, характеризующая наибольший угол отклонения потока при обтекании тела, например, в случае тела вращения—его наибольшая относительная толщина.

Представим уравнение поверхности тела в виде

尸(招费,彳)=0.(23.12)

В соответствии с оценками, полученными при изучении обтекания пластины, введем новые переменные по формулам

u = V1 + t2w\ v = xv\ ^ =

(23.13)(23.13)Р = *К р = р‘，

(23.13)

(23.13)

% = %, y = ry\ Z = tZ‘・

Подставим эти новые переменные в основные уравнения (1.7.10), считая движение установившимся и адиабатическим (q = 0), я отбросим в них члены порядка т2. В результате получаем систему

Условие обтекания тела в общем случае имеет вид % =(%〃)=0 при е(%, y', z') = 0.

На головном скачке, а также на возможных разрывах внутри области течения должны быть выполнены законы сохранения (1.7.15).

Преобразуем все эти соотношения с учетом сделанных предположений. Как следовало из условий на головной волне, угол ее наклона к направлению набегающего потока по порядку величины тот же, что и угол поворота потока в волне, т. е. равен т (если часть го-

ловной волны есть слабый разрыв, то угол его наклона к направлению набегающего потока равен 1/М, что при Мт^ 1 приводит к оценке 1/М《т). Поэтому уравнение головной волны и уравнения других возможных разрывов в области течения имеют вид 尸(х, у', z') = 0, где yf и z‘ меняются по величине в том же диапазоне, что и %. Нормаль п к поверхности F (х, /, z‘)определяется формулой

grad 尸IgradFjgrad 尸IgradFj= 〃'一九= 〃'一九DD+0"2),+0"2),

grad 尸IgradFj

grad 尸IgradFj

= 〃'一九

= 〃'一九

D

D

+0"2),

+0"2),

где символом О(т2) обозначены члены с модулем порядка т2, а нормальная к поверхности 尸 составляющая скорости vn—формулой

，:—=-;П--нор-，:—=-;П--нор-% = (y •九)=(卩(%十Г"，)+w，]力)=T (%,-0)+0縛).

，:—=-;П--нор-

，:—=-;П--нор-

Здесь введены обозначения: D —

маль к контуру поверхности 尸=0 в плоскости у\ z‘； 丿(и‘，шг)— вектор скорости возмущений в этой плоскости; %,—составляющая этого вектора вдоль нормали 〃'.

С принятой точностью и в новых обозначениях условие на поверхности обтекаемого тела примет вид

% = D при F (х, /, z') = 0.(23.15)

На поверхностях разрыва условие сохранения массы (первое соотношение (1.7.15)) дает связь

р (唬一O) = [p(%，一O)h・(23.16)

С использованием этого условия уравнение импульсов (второе соотношение (1.7.15)) дает проекцию на ось %

Р (%,-D) (〃'一〃；) ％ = (/-р；) о(23.17)

и соотношение в плоскости у', z‘

p (%，一D)丿一[p (%，一D)丿h=期一“)球.(23.18)

Наконец, из уравнения энергии (третье соотношение (1.7.15)), принимая во внимание (23.16) и (23.17), получаем (обозначив e=x2ez)

Р (工，一°)(^-+ *) — [р (立，一°)(―十 е)[ = ("%，)i—SU，).

(23.19)

В том случае, если поверхность есть тангенциальный разрыв, соотношения (23.16) и (23.18) дают условия на нем в виде

工，=(工丿i = D, Р‘ = Р；・(23.20)

Система уравнений (23.14) и дополнительных соотношений (23.15)— (23.20) распадается на две.

Одна независимая система служит для определения Р‘, р‘ и р. Она состоит из четырех последних уравнений (23.14), которые после введения переменной / = %/% примут вид

аг

(23.21)(23.21)券 + diUp*。，

(23.21)

(23.21)

加./近■+?加./近■+?,ds,dsдугдуг9齐"9齐"

加./

近■+?

加./

近■+?

,ds

,ds

дуг

дуг

9齐"

9齐"

Операторы grad' и div' берутся по переменным у9 и z‘. Эта система представляет собой уравнения нестационарного движения газа в плоскости /, z‘.

Условие (23.15) на поверхности тела принимает вид условия непротекания газа сквозь контур FiV^, у', z') = 0 в плоскости у- z', представляющей собой сечение обтекаемого тела плоскостью %=V\f. Условия (23.16), (23.18) и (23.19) или условия (23.20) суть условия на нестационарных поверхностях разрыва (скачках уплотнения или тангенциальных разрывах в плоскости у', z'); величина D в них, ndF/dt

равная。=尸，…-〕”-=」“，есть скорость перемещения по-

爲У

верхности разрыва в плоскости у', z‘.

После нахождения из этой системы У',夕‘以 р первое уравнение (23.14) вместе с условием (23.17) на скачках уплотнения определяет величину возмущения продольной составляющей скорости 〃‘. Нахождение и! можно упростить, если вместо первого уравнения (23.14) использовать интеграл

*=4 + 瓦，

справедливый во всем потоке. Из него в принятом приближении следует, что во всем потоке 〃‘ определяется соотношением

匕〃，+左经+=2Р Pi匕〃，+左经+=2Р Pi(23.22)(23.22)

匕〃，+左经+=

2Р Pi

匕〃，+左经+=

2Р Pi

(23.22)

(23.22)

Таким образом, задача о пространственном гиперзвуковом обтекании тонкого тела эквивалентна задаче о плоском неустановившемся движении газа, вызываемом изменением в этой плоскости контура, который представляет собой сечение поверхности тела плоскостью % = Наглядно эту эквивалентность можно представить (рис. 3.23.6), если рассмотреть фиксированную в пространстве плоскость у', z‘, сквозь которую пролетает со скоростью % по нормали к ней обтекаемое тело. Сечение тела плоскостью д', z‘ представляет собой «поршень», расталкивающий в стороны частицы газа. К примеру,

симметричное гиперзвуковое обтекание со скоростью 匕 тонкого круглого конуса с полууглом а эквивалентно плоскому течению, возникающему при расширении в покоящемся газе круглого цилиндра, радиус которого растет по закону R = V^at.

С принятой точностью составляющая скорости частиц газа V9 в плоскости у\ z‘, его давление и плотность определяются независимо из уравнений движения газа (23.21) в этой плоскости с соответствующими дополнительными условиями. При необходимости из соотношения (23.22) находится возмущение продольной составляющей скорости, имеющее более высокий порядок малости.

Эквивалентность трехмерного гиперзвукового обтекания тонких тел плоскому неустановившемуся течению называется иногда законом плоских сечений в гиперзвуковой аэродинамике.

Эта эквивалентность делает очевидным подобие гиперзвуковых течений около аффинноподобных тонких тел (23.12) с разными значениями т. Действительно, течение в плоскости yz, z‘ будет для разных тел одним и тем же, если при данных параметрах первоначально покоившегося газа (т. е. набегающего на тело потока) поршень, вызывающий движение в плоскости у\ z‘, будет изменяться со временем одинаково; для этого нужно, чтобы для разных тел была одной и той же величина V^ (более тонкое тело должно двигаться с большей скоростью и наоборот).

Сформулируем закон подобия. Система уравнений (23.21) с условиями на поверхностях разрыва (23.16), (23.18), (23.19) или (23.20) и условием на поверхности тела % =力 при 尸(Р", у', z‘)，а также уравнение (23.22) определяют 〃‘，叫"р в зависимости от 厶 /, z‘ и постоянных У】,plt Pi и у или—в безразмерной форме—зависимость 合，三，-~| , ^- от %/=х, у\ z‘ и постоянных-—^ и 丫.

V4V4"一%"一%Таким образом, при гиперзвуковом обтекании аффинноподобных

V4

V4

"一%

"一%

тел с уравнением контура 尸(х,号,彳)=° значения

«Y^, ―^-у,в соответственных точках (т. е. при равных х,

Y,三)одинаковы при равных значениях величин Mt и у. Параметр ^ = Мт называется параметром гиперзвукового подобия Тзяна — Кармана.

Используя установленный закон подобия, вычислим суммарные силы, действующие со стороны потока на обтекаемое тело. Сила, действующая на тело в направлении набегающего потока, т. е. сила сопротивления, равна

X = § р dgdz = рУ"4 § " dy‘ dz‘ = p^Jx4 X (К, у).

Интеграл распространен по площади проекции тела на плоскость 协 z. (Если тело имеет донный срез (как на рис. 3.23.5), то приложенная к нему сила в этой формуле не учитывается. В области течения у донного среза закон подобия становится неприменимым: на давление в донной области сильно влияет вязкость газа, и это давление может не подчиняться установленному закону подобия. Однако величина донного давления обычно имеет порядок давления в набегающем потоке или ниже его, тогда как на обращенной вперед части поверхности давление значительно выше; поэтому давление в донной области слабо влияет на общее сопротивление тела.)

Сила, приложенная к телу в поперечном к набегающему потоку направлении, т. е. подъемная или боковая сила, равна

Y = ^ pdxdy^ рМ^з，pf dx dyf = PxVJt3/ (К, у).

Интеграл распространен по площади проекции тела на плоскость х, у.

В предельном гиперзвуковом течении (/С —>оо) функции X и У стремятся к постоянным. Как показывает выражение для X, при очень большой сверхзвуковой скорости сила сопротивления пропорциональна четвертой степени максимального угла отклонения потока т.

Коэффициенты сопротивления и подъемной силы, отнесенные к площади поперечного сечения тела, можно записать в виде

При К —> 8 отношения с^/т? и cyIx стремятся к постоянным значениям.

Для плоских течений коэффициенты сх и су, отнесенные к длине профиля, выражаются формулами—

分=于尸(爲?)=齿翁2С?р2戸(к, ?)=五給1;

примером могут служить выражения (23.9) для плоской пластины. Сформулированный закон подобия имеет важное значение, в частности, для техники экспериментирования при больших скоростях

потока. Основываясь на этом законе, можно получить данные об аэродинамических характеристиках тел при большой сверхзвуковой скорости путем испытания моделей аффиннопреобразованных тел в аэродинамических трубах при меньших скоростях. Пусть, например, требуется знать аэродинамические характеристики тела, изображенного на рис. 3.23.7 слева, при М] = 6. Для этого можно произвести испытание тела с удвоенными поперечными размерами (рис. 3.23.7 справа) при М] = 3 (если угол ~ атаки отличен от нуля, то у второго тела он должен быть в два раза больше, чем у первого). Согласно закону подобия при одинаковом давлении набегающего потока в соответст

венных точках поверхности тел значения давления будут одинаковы; полная сила сопротивления будет пропорциональна квадрату относительной толщины тела.

На рис. 3.23.8 приведены рассчитанные методом характеристик

вращения в виде цилиндров свращения в виде цилиндров сраспределения давления на телах

вращения в виде цилиндров с

вращения в виде цилиндров с

оживальной головной частью при разных t и М (/—длина головной части). Видно, что с хорошей точностью распределения давления при одинаковом значении параметра подобия Mt совпадают между собой. Даже при сравнительно небольшом значении М = 3 или при большой относительной толщине г= х/3 результаты расчета все еще хорошо согласуются с законом подобия, полученным в предположении М» 1, т乏 1.

Вернемся вновь к задачам обтекания плоской пластинки под углом атаки. При большой сверхзвуковой скорости потока (рис. 3.23.9, а) между пластинкой и ударной волной образуется слой сильно сжатого и движущегося с постоянной скоростью газа. Над пластинкой образуется зона с газом пониженной плотности или, при достаточно больших значениях числа Маха,—область вакуума.

Эта картина обтекания пластины с большой сверхзвуковой скоростью близко напоминает картину обтекания, рассмотренную еще Ньютоном (рис. 3.23.9,6).

Ньютон принимал, что среда, обтекающая тело, состоит из одинаковых частиц, расположенных на равных расстояниях одна от другой и не взаимодействующих между собой. При столкновении с элементом поверхности тела частицы изменяют нормальную к элементу составляющую количества движения, вследствие чего и возникает сила давления потока на тело.

Согласно теории Ньютона давление на элемент поверхности тела зависит только от ориентации этого элемента относительно скорости набегающего потока и не зависит от формы остальной части тела.

万

Рис. 3.23.9

Очевидно, что при этом сопротивление определяется только формой головной части тела, обращенной навстречу потоку; на участках тела, лежащих в его «аэродинамической тени» (рис. 3.23.9,6), давление равно нулю.

При неупругом столкновении частиц с элементом поверхности на единицу площади действует нормальная сила (давление), равная p = Pi 唬，(23.23)

где Рх—масса единицы объема потока частиц, ипХ — составляющая скорости потока частиц по нормали к элементу поверхности.

После столкновения с гладкой поверхностью частицы, сохранив при столкновении касательную к поверхности составляющую количества движения, продолжают двигаться по инерции вдоль поверхности с постоянной скоростью.

Сопоставим формулу Ньютона (23.23) с выводами теории гиперзвуковых течений газа.

Из соотношений (2.4) и (2.5) на скачке уплотнения перед обтекаемым сверхзвуковым потоком телом получаем

% = %i^，р—Pi = Pi^i (1 —^}

Если предположить, что уплотнение газа в скачке становится сколь угодно большим, т. е. считать pjp —> 0, то отсюда следует vn —> О,

р—pi - pi嗚г Таким образом, в этом предельном случае краевое условие обтекания поверхности тела и〃 = 0 будет удовлетворено, если скачок располагается непосредственно на поверхности тела——«стелется» вдоль нее и частицы газа движутся в бесконечно тонком слое за скачком. В силу условия (2.7) начальная—

скорость частиц за скачком равна касательной составляющей их скорости перед 丫 скачком. Избыточное давление непосредственно за скачком равно нормальной со-丁

ставляющей импульса набегающего потока,\

т. е. величине, определяемой формулой飞⑷

Ньютона (23.23).6I

Однако если обтекаемая поверхность\

искривлена, то давление на поверхности Рис 3 23 10 тела не будет равно давлению непосред-'

ственно за головной ударной волной, так

как при криволинейном движении частиц газа в бесконечно тонком слое возникающая нормальная к поверхности (центробежная) сила должна уравновешиваться разностью давлений на двух сторонах слоя между ударной волной и поверхностью тела. Несмотря на бесконечно малую толщину слоя, эта разность конечна из-за бес конечно большой плотности в слое. Как следует из газодинамического соотношения вдоль линии тока VdV +0, в пределе при

р—8 величина скорости частиц при движении в слое остается неизменной.

Рассмотрим плоское или осесимметричное течение в слое вдоль поверхности тела (рис. 3.23.10; слой между ударной волной, изображенной штриховой линией, и контуром тела нужно мыслить бесконечно тонким). В точке с координатой х разность dp давлений в слое толщиной dn частиц, прошедших ударную волну у точки с координатой xz и имеющих скорость равна

dp =也盡竺 dm(23.24)

Здесь R(x)—радиус кривизны обтекаемого контура. Из условия сохранения массы в элементарном слое получаем

р(х, xz) и (xz) / (х) dn = pxVi dS (xz),

где Z (x) = 1 и Z (x) = 2лл (x) соответственно в случае плоского и осесимметричного течений,厂一радиус сечения тела вращения, S—площадь сечения. Используя это выражение и то, что R = —^ = — ^^房, преобразуем (23.24) к виду

dp = — рМ sin а 翁〃 (£) dS (х‘).

Так как касательная к волне составляющая скорости газа остается при прохождении волны неизменной, то и (%')=匕 cos а (%'). Интегрируя полученное выражение для dp и принимая во внимание, что на внешней границе слоя, т. е. непосредственно за ударной волной, p^piVjSin2», найдем давление на поверхности тела

р—夕1 = py：(siri2a+sina^j cosadS). (23.25)

В отличие от формулы Ньютона, согласно этому выражению давление в данной точке обтекаемой поверхности определяется не только ориентацией элемента поверхности по отношению к набегающему потоку, но и формой всей поверхности, расположенной выше по течению.

Формула (23.25) называется формулой Буземана (иногда Ньютона—— Буземана). Она является асимптотически точной формулой для уравнений газовой динамики в предельном случае бесконечного уплотнения газа при прохождении им ударной волны. Для совершенного газа этот предел достигается при и?—>1 (см. формулу (2.10)). Если M2sin2a^> 1, то в формуле (23.25) можно пренебречь величиной /?1 по сравнению с р.

Формулой Буземана можно пользоваться только при р > 0. В точке, где давление согласно этой формуле обращается в нуль, слой уплотненного газа отрывается от тела и между ним и телом образуется область вакуума. Форму оторвавшегося слоя можно найти, приравнивая нулю скобку в (23.25); в плоском течении это квадратичная парабола, а в осесимметричном—кубическая парабола.

Формула Буземана дает удовлетворите л ьные результаты для распределения давления п(\ телу лишь при очень сильных уплотнениях газа. Достигаемое при у =1,4 и М=8 уплотнение, равное шести, недостаточно для использования этой формулы; при учете реальных свойств воздуха при гиперзвуковой скорости уплотнение доходит до пятнадцати и более, однако и это во многих случаях не обеспечивает достаточной точности формулы Буземана. В связи с этим развита асимптотическая теория ги пер звукового обтекания тел более высокого приближения, в которой малым параметром наряду с 1/М2 является величина, обратная характерному значению уплотнения газа в ударной волне в = р1/р5. Мы не имеем возможности останавливаться на полученных в этой теории результатах ).

На рис. 3.23.11,。и б приведены данные о распределении давления по поверхности соответственно цилиндра и тела вращения оживальной формы, вычисленные по формуле Ньютона (сплошные кривые) и по формуле Буземана (штрихпунктирные линии). Там же нанесены значения, полученные с помощью численных методов при ?=1,4 и в эксперименте [15].

расчета давления методомрасчета давления методом

расчета давления методом

расчета давления методом

Достаточно высокая точность формулы Ньютона при у= 1,4 объясняется компенсирующим влиянием двух факторов. При обте- давление за ударной волной выше, чем

давление согласно формуле Ньютона, так как угол встречи ударной волны(р5 с направлением набегающего потока при этом больше фигурирующего в формуле Ньютона угла а, образуемого с этим направлением поверхностью тела. При обтекании выпуклых тел давление за ударной волной уменьшается по направлению к телу из-за центробежной силы, что и компенсирует повышенное давление за ударной волной. При обтекании вогнутых контуров давление по направлению к телу растет и формула Ньютона дает плохие результаты.

На рис. 3.23.12 даны результаты расчета давления на профиле по формулам Ньютона (сплошная линия) и Буземана (штрихпунктирная линия). Там же приведены результг

характеристик при М=8 н двух значениях у: у= 1,4 (уплотнение равно 6) и 丫=1,05 (уплотнение равно 21). При 丫= 1,4 формула Ньютона дает удовлетворительный результат, учет центробежных сил в формуле Буземана существенно преуменьшает давление; напротив, при у= 1,05 формула Буземана дает результаты, близкие к истинным (в области, не очень близкой к точке, где р = 0), формула же Ньютона сильно завышает давление.

Удовлетворительная точность формулы Ньютона при определении давления на выпуклых телах при реально достигаемых уплотнениях газа в гиперзвуковом ударном слое привела к ее широкому использованию на практике для оценочных расчетов аэродинамических сил и моментов при гиперзвуковых скоростях.

35.&35.&12.13.14.15.12.13.14.15.

35.&

35.&

12.

13.

14.

15.

12.

13.

14.

15.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Седов Л. И. Механика сплошной среды: В 2-х т.— М.: Наука, 1984.

Кочин Н. Е., К и б е л ь И. А., Розе Н. В. Теоретическая гидродинамика: В 2-х т. / Под ред. И. А. Кибеля.— М.: Физматгиз, 1963.

Ландау Л. Д., Лившиц Е. М. Теоретическая физика: В 10-ти т. Т. VI. Гидродинамика.— М.: Наука, 1988.

Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа.— М.: Наука, 1987.

Овсянников Л. В. Лекции по основам газовой динамики.——М.: Наука, 1981. Мизес Р. Математическая теория течений сжимаемой жидкости / Пер. с англ. П. П. Корявова и др.; под ред. Н. Н. Моисеева.— М.: ИЛ, 1961.

Oswatitsch К・ Grundlagen der Gasdynamik.— Wien —New York: Springer, 1976.

Абрамович Г. H. Прикладная газовая динамика.— М.: Наука, 1976. Рождественский Б. Л., Я н е н к о Н. Н. Системы квазилинейных уравнений и их применение к газовой динамике.——М.: Наука, 1978.

Седов Л. И. Методы подобия и размерности в механике.——М.: Наука, 1987. Станюкович К. П. Неустановившиеся движения сплошной среды.——М.: Наука, 1971.

Седов Л. И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики.— М.: Наука, 1981.

Курант Р., Фридрихе К. Сверхзвуковое течение и ударные волны/Пер. с англ. А. С. Компанейца.— М.: ИЛ, 1950.

Гудерлей К. Г. Теория околозвуковых течений/Пер. с нем. Г. А. Вольперта. Под ред. Л. В. Овсянникова.— М.: ИЛ, 1960.

Черный Г. Г. Течения газа с большой сверхзвуковой скоростью.——М.: Физматгиз, 1959.

ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ

Адамар Ж- (Hadamard J.) 5

Абрамович Г. Н. 9, 418

Аккерет Я. (Ackeret J.) 6, 53, 357, 363

Арутюнян Г. М. 311

Баженова Т. В. 312

Бернулли Д. (Bernoulli D.) 49

Берстоу Л. (Bairstow L.) 53

Бехерт К. (Bechert К.) 162

Бойль Р. (Boyle R.) 173

Борда Ж. (Borda J.) 63

Буземан A. (Busemann А.) 6, 293, 365

Бьеркнес В. (Bjerknes W.) 146

Ван-дер-Ваальс Я. Д. (van der Waals

J. D.) 27

Ванцель 58

Валландер С. В. 401

Ватажин А. Б. 10

Гаусс К. (Gauss К.) 132

Гельмгольц Г. (Helmholtz Н.) 145, 266, 328

Глауэрт Г. (Glauert Н.) 277, 355

Гонор А. А. 10

Громека И. С. 146, 243

Гудерлей К. (Guderley К.) 299, 383, 385, 387, 418

Гурса Э. (Goursat Е.) 168

Гюгонио A. (Hugoniot Н.) 5, 63, 112

Даламбер Ж- (D'Alembert J.) 359, 361, 386

Дёринг В. (Doring W.) 228

Домбровский Г. А. 280

Доплер К. (Doppler К.) 344

Жуковский Н. Е. 6, 252, 330

Жуге Э. (Jouguet Е.) 6, 114

Зельдович Я. Б. 16, 228

Ирншоу Р. (Earnshaw R.) 5, 177

Карман Т. (Karman Th.) 6, 277, 391, 412

Карчевский Л. В. 311

Келдыш М. В. 6, 9

Кибель И. А. 6, 9, 10, 144, 145, 153, 280, 418

Кирхгоф Г. (Kirchhof G.) 266, 328

Клапейрон Б. П. (Clapeyron В. Р.) 21

Кондратьев В. Н. 16

Кочин Н. Е. 6, 10, 144, 145, 153, 207, 280, 418

Коши О. (Cauchy О.) 147, 165, 207,

Крайко А. Н. 10

Красилыцикова Е. А. 378

Крокко Л. (Crocco L.) 6, 243, 257

Курант Р. (Courant R.) 280, 418

Лаваль К. (Laval К.) 60

Лагранж Ж. (Lagrange J.) 146, 147, 151, 152

Ландау Л. Д. 10, 22, 144, 145, 266, 418

Лейбензон Л. С. 271

Липман Г. В. 280, 355, 392

Лифшиц Е. М. 10, 22, 144, 145, 266, 418

Лойцянский Л. Г. 144, 145, 418

Лунев В. В. 398

Лэмб Г. (Lamb Н.) 146

Любимов Г. А. 10

Маиевский Н. В. 53

Майер Т. (Meyer Th.) 286

Мариотт Э. (Mariotte Е.) 173

Мах Э. (Mach Е.) 5, 53, 248, 312

Мизес Р. (Mises R.) 143, 263, 280, 418

Михельсон В. А. 6, 78, 104

Моленброк П. (Molenbrock Р.) 255

Нейман Дж. (Neumann J., von) 228

Ниёджи П. (Niyogi Р.) 286

Никитин Е. Е. 16

Никольский А. А. 9, 393

Ньютон И. (Newton I.) 33, 413, 414

Овсянников Л. В. 10, 143, 157, 162, 163, 165, 211, 213, 220, 269, 280, 395, 398, 418

Осватич К. (Oswatitsch К.) 10, 280, 385, 418

Остроградский М. В. 132

Петров Г. И. 9

Прандтль Л. (Prandtl L.) 6, 81, 277, 286, 329, 355

Пробстин Р. (Probstein R.) 329, 355, 398

Пуассон С. (Poisson S.) 5, 20, 173

Райзер Ю. П. 16

Рахматулин X. А. 9

Рейнольдс О. (Reynolds О.) 328, 333, 334

Риман Б. (Riemann В.) 5, 159, 161, 172, 173, 177, 276

Ринглеб Ф. (Ringleb F.) 263

Рождественский Б. Л. 157, 161, 162, 211, 213, 216, 418

Розе Н. В. 10, 144, 145, 153, 280, 418

Рошко A. (Roschko А.) 280, 355, 392

Рыжов О. С. 383

Рэлей Дж. (Rayleigh J.) 78, 104

Рэнкин В. (Rankine W.) 5, 73

Седов Л. И. 9, 10, 13, 143, 144, 145, 163, 225, 272, 278, 359, 418

Сен-Венан A. (Saint-Venant А.) 58

Слезкин Н. А. 278

Сретенский Л. Н. 269, 278

Станюкович К. П. 162, 418

Степанов Г. Ю. 10

Стодола A. (Stodola А.) 6

Стокс Дж. (Stokes G.) 5, 145, 177

Таганов Г. И. 393

Тзян С. (Tsien Н.) 6, 276, 277, 278, 391, 412

Томсон У. (Thomson W.) 144

Трикоми Ф. (Tricomi F.) 279

Тейлор Дж. (Taylor G.) 6

Тэт П. (Tait Р.) 29, 161

Фалькович С. В. 269

Ферри A. (Ferri А.) 9, 280

Франкль Ф. И. 6, 9

Фридман А. А. 6, 146, 243

Фридрихе К. (Fridrichs К.) 280,^418

Хейз У. (Hayes W.) 398

Хелмонт Я. (Helmont J., von) 11

Христианович С. А. 6, 278

Цемплен Г. (Zemplen G.) 6, 80

Чаплыгин С. А. 6, 7, 162, 174, 252, 257, 265, 266, 267, 269, 270, 273, 274, 278, 328, 330

Чепмен Д. (Chapman D.) 6, 114

Черный Г. Г. 398, 413, 418

Эйлер Л. (Euler L.) 70, 146, 149, 150, 152, 153, 156, 279, 359, 361

Юрьев И. М. 278

Яненко Н. Н. 157, 161, 162, 211, 213, 216, 418

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

Автомодельность движения 175, 182, 207, 208, 225

Адиабата Гюгонио 75, 112

—Пуассона 20

—ударная 75

Биплан Буземана 365

Вектор потока тепла 35

Возмущение малое 229

Волна головная отошедшая 300

—детонации 114, 226

—дефлаграции 114

—плоская 149

—простая 173

—Римана 173

бегущая вперед 173

———назад 173

— — разрежения 174

сжатия 174

——центрированная 175

— сферическая 149

—ударная 138

проходящая (преломленная) 216

сильная 192

слабая 190

—цилиндрическая 149

— экзотермическая 108, 116, 117

Время релаксации 15

Вязкость «схемная» 333

Газ 11

—Бехерта — Станюковича 162

—идеальный 21

—— нормальный 24

—политропный 22

—совершенный 21

—Чаплыгина 162

Горение быстрое 114, 117

—лазерное 110, 117

— медленное 114, 117

— сверхзвуковое 114, 117

—световое 110, 117

— ядерное 109

Граница свободная 142, 155

Давление полное 50

Двигатель воздушно-реактивный 122

прямоточный 122, 125, 126

Двигатель турбовентиляторный 122

—турбовинтовой 122

—турбореактивный 122, 126—128

Движение автомодельное 175, 182, 207, 208, 225

—баротропное 135

—винтовое 243

—изотермическое 47

—квазистационарное 240

—квазиустановившееся 240

—коническое 244

—одномерное 149

—осесимметричное 244

—плоскопараллельное 244

—плоское 244

—смешанное 249

—стационарное 240

—трансзвуковое 249

—установившееся 240

Детонация 114

— пересжатая 114, 117

— сильная 114, 117

—слабая 114, 117

Дефлаграция 114

— сильная 114, 117

—слабая 114, 117

Динамика газовая 11

Диск несущий (тянущий) 129

активный 130

реактивный 130

Жидкость идеальная 17

Задача I 165, 283

—II 168, 284

—III 169

—Ша 284

—Шб 284

-IV 303

—автомодельная 175,182,207, 208,225

168, 284

165, 283

—метода характеристик элементарная 162

—о распаде произвольного разрыва 207

——о течении со свободной границей 284

—об обтекании заданной стенки 284

Задача с нехарактеристическими начальными данными 165

—с характеристическими начальными данными 168

Закон Ньютона второй 32

—плоских сечений 411

—подобия Аккерета 357

Прандтля — Глауэрта 355

—сохранения количества движения 33, 37

——массы 32, 37

————момента количества движения 33, 37

энергии 33, 37

—①урье 36

Запирание канала 94

—сопла 62

Запуск канала 94

Значение параметра критическое 53

равновесное 15

Изоэнтропа 20

Импеданс акустический 20, 204

Импульс 32

—полный 44

Инварианты Римана 159

Интеграл Бернулли 49

—Коши — Лагранжа 147

Интерференция тел полезная 365

Источник сферический 89

——дозвуковой 90

——сверхзвуковой 90

—цилиндрический 91

Катастрофа градиентная 177

Качество аэродинамическое 364

Количество движения 32

Компрессор 68

Конус Маха 343

Конфигурация махова 312

—— —— двойная 313

——сложная 313

—тройная ударная 312

Корректность постановки задачи 142

Коэффициент нагрузки винта 131

— отражения 204

——полезного действия летательного аппарата полетный 125

пропульсивный 125

энергетический 125

— преломления 205

—расхода винта 131

—скорости 56

—сужения струи 62

—теплопроводности 36

—эжекции 86

Кривая временно-подобная 164

——пространственно-подобная 164

—яблоковидная 324

Кризис тепловой 105

Кромка крыла дозвуковая 379

задняя 379

передняя 379

——сверхзвуковая 379

Крыло несущее 376

Линия звуковая 384

—критическая 255

—Маха 248

—предельная 255

—слабого разрыва 167

—тока 241

Масса 32

Машина лопаточная 68

Метод аппроксимации адиабаты 273

—возмущений 335

—малого параметра 335

— установления по времени 332

—Чаплыгина приближенный 273

——точный 265

Модель Зельдовича — Неймана —

Дёринга 228

— идеальной жидкости 17

—кинетическая структуры сильной волны детонации 228

Момент импульса 32

—количества движения 32

внутренний удельный 13

Направление характеристическое 157

Напряжение 14

Насадок Борда 64

— сужающийся 62

Начало термодинамики второе 16

первое 14, 33

Область влияния 166

—зависимости 166

— определенности 165

Объем индивидуальный 31

—контрольный 31

—материальный 31

Описание течения гидравлическое 47

——квазиодномерное 47

Опрокидывание волны сжатия 177

Парадокс Эйлера — Даламбера 120

Параметр гиперзвукового подобия

Тзяна — Кармана 412

—околозвукового подобия Кармана —Тзяна 391

——термодинамический фундаментальный 21

Параметры торможения 50

Переменные годографа 254

—Римана 159

Пересечение скачков махово 313

Пересечение скачков неправильное 313 нерегулярное 313 ——правильное 313 регулярное 313 Пламя 109

—турбулентное 109

Плоскость годографа 254

—течения 149

Плотность 13

—потока массы 54

Площадь сечения трубки критическая 55

Поверхность звуковая 384

—разрыва 73

вихревая 138

контактная 138

Показатель адиабаты 24

Поляра Буземана 293

—ударная 293

Поршень 154

Постоянная газовая 21

универсальная 21

Постулат Жуковского — Чаплыгина 330

Потенциал запаздывающий 235

Потери на удар 85

—полного давления 51

Поток внешний 122

—внутренний 122

—однородный 336

— полного теплосодержания 45

——постоянный 336

—тепла 35

Преломление ударной волны 215

Приближение акустическое 230

—линейное 230

Проглатывание скачка 94

Производная индивидуальная 30

—конвективная 241

—полная 30

—субстанциональная 30

Процесс 14

—адиабатический 17

—необратимый 16

—неравновесный 15

—обратимый 16

—политропный 162

—равновесный 15

Прямые Рэлея — Михельсона 78, 104

Путь частицы 149

Работа техническая 46

Радиус сечения гидравлический 48

Разрыв 73

—касательный 138

—контактный 138

—неэволюционный 187

—слабый 167

Разрыв тангенциальный 138

—эволюционный 187

Расход 43, 54

—критический 55

—удельный 54

Реакция экзотермическая 108

Режим тепловыделения нормальный

— Чепмена — Жуге 114

Релаксация 15

Решение автомодельное 175, 182, 207

208, 225'

Сжимаемость 11

Сила подсасывающая 263

Система уравнений гиперболическая 157

Скачок 73

—махов 312

—отошедший 300

— присоединенный 300

—разрежения 73

—сильного семейства 296

—слабого семейства 296

——уплотнения 73

Скорость 13

—горения нормальная 109

—дозвуковая 54

—звука 20, 53

—нестационарного истечения газа в вакуум 180

—— ——расширения газа максимальная 180

—перемещения поверхности 31

—приведенная 56

—сверхзвуковая 54

— турбулентного горения 109

—установившегося адиабатическо

го истечения газа в вакуум 52

—— —— ——течения максимальная 52

Слой ударный 404

Соотношение Гюгонио 75

—Прандтля 80, Сопло дозвуковое

——Лаваля 60

81, 996281, 9962— сужающееся 62

81, 99

62

81, 99

62

—эжекторное 86

Сопротивление 119

—внешнее 123

—волновое 121, 364

Состояние критическое 53

—равновесное 15

—торможения 50

Среда Ван-дер-Ваальса 27

—двухпараметрическая 18

—простая 18

Стенка 154

Степень расширения газа в турбине

Степень сжатия газа в компрессоре 127

Сток 89

Сторона фронта разрыва задняя 73

———передняя 73

Теорема Бьеркнеса 146

— Гельмгольца 145

— Лагранжа 146

—Стокса 145

—Томсона 144

—Цемплена 80

Тепло некомпенсированное 16

Теплоемкость при постоянном давлении 19

———объеме 19

—удельная 19

Теплосодержание 17

—полное 38, 50

Течение Буземана 318

—гиперзвуковое 398

предельное 400

—околозвуковое 384

—Прандтля — Майера 286

центрированное 287

——с большой сверхзвуковой скоростью 400

—с очень большой сверхзвуковой скоростью 400

—сжатия 286

Точка тройная 312

—Чепмена — Жуге 114

Траектория 149, 158

Труба ударная 217, 218

Турбина 68

Тяга 66, 119, 123

—внутренняя 123

—полная 123

—эффективная 123

Угол Маха 248

Уравнение баланса импульса 37, 38

——мзссы 37, 38

——момента импульса 37, 38

энергии 37, 38

—Ван-дер-Ваальса 27

Уравнение импульсов в дифференциальной форме 133, 134

в интегральной форме 33, 37, 38

—Клапейрона 21

— неразрывности 133

——обращения воздействия 97

—притока тепла 14, 134

—состояния 18

——калорическое 18

——термическое 18

——сохранения количества движения в дифференциальной форме 133, 134

в интегральной форме 33, 37

Уравнение сохранения массы в дифференциальной форме 133

в интегральной форме 32, 37

———момента количества движения 33, 37

энергии в дифференциальной форме 134

———в интегральной форме 134

—Эйлера 134

в форме Лэмба — Громеки 146

— — — — Фридмана 146

Уравнения в характеристической форме 157

Условия граничные 142

— динамической совместности на разрыве 73

— краевые 142

—Рэнкина — Гюгонио 73

—совместности 157

Формула Аккерета 363

— Буземана 416

—Кармана — Тзяна 277

—Ньютона 414

—Прандтля 80, 81, 99

—Прандтля — Глауэрта 277, 355

——Сен-Венана — Ванцеля 58

—Тзяна 276

Фронт разрыва 73

Функция Гюгонио 75

—тока 244

Характеристика 157, 158, 282

—акустическая 158, 248

—звуковая 158, 248

—контактная 158

——энтропийная 158

Центр околозвукового течения 389

Цикл 14

Частица 13

Число Крокко 257

—Маха 53

——критическое верхнее 388

———нижнее 385

—Чаплыгина 257

Эжектор газовый 86

Энергия 32

——внутренняя удельная 13

Энтальпия 17

—полная 38

Энтропия 16, 32

Эпициклоида 285

Эффект Доплера 344

—концевой 380

/п-прямые 78, 104

М-волна 202

Г. Г. ЧЕРНЫЙ

ГАЗОВАЯ ДИНАМИКА

Допущено Государственным комитетом СССР по народному образованию е качестве учебника для студентов высших учебных заведеь

i

МОСКВА «НАУКА»

ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 19 8 8

ББК 22.25

4-49

УДК 533(075 8)

Черный Г. Г. Газовая динамика: Учебник для университетов и втузов.—— М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988.— 424 с.— ISBN 5-02-013814-2

Книга знакомит читателя с теоретическими основами газовой динамики, ее понятиями, связанными с приложением теоретических методов. Даются термодинамическое введение и основные математические соотношения, описывающие движение сжимаемых сред. Вводится ряд важных для приложений понятий, описываются теоретические модели газовых машин. Рассматриваются классы решений дифференциальных уравнений газавой динамики, соответствующие основным видам движений сжимаемых сред.

Для студентов и аспирантов университетов и втузов, а также для инженеров и научных работников, соприкасающихся в своей деятельности с изучением движений сжимаемых жидкостей и газов.

Табл. 7. Ил. 224. Библиогр. 32 назв.

Рецензенты:

кафедра газовой динамики, горения и теплообмена Московского физико-технического института;

доктор физико-математических наук Г. Ю. Степанов

Учебное издание

ЧЕРНЫЙ Горимир Горимирович